Как решить уравнение с логарифмом – Решение логарифмических уравнений онлайн (log) · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Решение логарифмических уравнений и систем уравнений. Подготовка к ЕГЭ

Ученик проходит в несколько лет дорогу, на которую человечество употребило тысячелетие.
Однако его следует вести к цели не с завязанными глазами, а зрячим:
он должен воспринимать истину, не как готовый результат, а должен её открывать.
Учитель должен руководить этой экспедицией открытий, следовательно, также присутствовать
не только в качестве простого зрителя. Но ученик должен напрягать свои силы;
ему ничто не должно доставаться даром.
Даётся только тому, кто стремится.
(А. Дистервег)

Форма урока: комбинированный урок

Тип урока:

Урок повторного контроля знаний.

Обобщение и закрепление пройденного материала.

Цели урока:

  • Образовательная - обобщение знаний учащихся по теме "Логарифмические уравнения и системы уравнений; закрепить основные приемы и методы решения логарифмических уравнений и систем уравнений; ознакомить учащихся с видами заданий повышенной сложности по данной теме в ЕГЭ.
  • Развивающая - развитие логического мышления для сознательного восприятия учебного материала, внимание, зрительную память, активность учащихся на уроке. Предоставить каждому из учащихся проверить свой уровень подготовки по данной теме.
  • Воспитывающая - воспитание познавательной активности, формирование личностных качеств: точность и ясность словесного выражения мысли; сосредоточенность и внимание; настойчивость и ответственность, положительной мотивации к изучению предмета, аккуратности, добросовестности и чувство ответственности. Осуществить индивидуальный подход и педагогическую поддержку каждого ученика через разноуровневые задания и благоприятную психологическую атмосферу.

Задачи урока:

  • выработать у учащихся умение пользоваться алгоритмом решения логарифмических уравнений.
  • осуществить формирование первоначальных знаний в виде отдельных навыков после определенной тренировки решения уравнений и систем уравнений.
  • познакомить учащихся с частными случаями и отработать навыки по решению таких уравнений и систем уравнений.

Методы и педагогические приемы:

  • Методы самообучения
  • Приемы устного опроса.
  • Приемы письменного контроля.
  • Коллективная учебная деятельность.
  • Организация работы в группах.
  • Повышение интереса к учебному материалу.

Оборудование:

  • компьютер, мультимедийный проектор и экран;
  • тетради;

Раздаточный материал: задания для самостоятельной работы.

План урока:

  1. Организационный момент (1 мин)
  2. Проверка домашнего задания (3 мин)
  3. Входной контроль (повторение теоретического материала) (15 мин)
  4. Этап обобщения знаний учащихся. Решение уравнений и систем уравнений (45 мин)
  5. Разноуровневая самостоятельная работа (проверка знаний учащихся) (20 мин)
  6. Итоги урока (4 мин)
  7. Домашнее задание (2 мин)

Ход урока

1. Организационный момент

Взаимное приветствие; проверка готовности учащихся к уроку, организация внимания.

2. Проверка домашнего задания

Установить правильность и осознанность выполнения домашнего задания всеми учащимися; установить пробелы в знаниях.

3. Входной контроль (повторение теоретического материала)

Организация устной фронтальной работы с классом по повторению логарифмических формул и способов решения логарифмических уравнений.

Решение простейших уравнений:

Сравните числа:

а) и

б) и

2) Найдите Х, если х>0:

[1/5]

[4]

Перечислите: основные способы решения логарифмических уравнений.

Способы решения логарифмических уравнений

  • По определению логарифма.
  • Метод потенцирования.
  • Метод введения новой переменной.
  • Решение уравнений логарифмированием его обеих частей.
  • Функционально-графический способ.

На экране уравнения:

  1. log2(3 - 6x) = 3
  2. lg(х2 - 2х) = lg (2х + 12)
  3. 5х + 1 - 5 х - 1 = 24
  4. хlg х = 10000
  5. 32х + 5 = 3х + 2 + 2
  6. log32x - log3 x = 3
  7. log2x - log4x = 3
  8. 2x = x2 - 2x

Среди данных уравнений выбрать логарифмические. Определить способ решения каждого уравнения. Решите уравнения.

По окончанию работы правильность решения уравнений осуществляется с помощью экрана.

Устно ответить на следующие вопросы (если имеется не один корень):

  • Найти наименьший корень уравнения.
  • Найти сумму корней уравнения.
  • Найти разность корней уравнения.
  • Найти произведение корней уравнения.
  • Найти частное корней уравнения

Самооценка и взаимооценка деятельности учащихся (результаты заносятся в листы самоконтроля).

4. Этап обобщения знаний учащихся

Решение логарифмических уравнений из заданий ЕГЭ части В и С.

№ 1 (В) Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения  log6(3x + 88) - log6 11 = log6 x. [1]

№ 2 (B) Найдите произведение всех корней уравнения

. [1]

№ 3 (B) Найдите сумму корней уравнения = log4 (x - 3) + 2. [2]

№ 4 (C) найти наибольший корень уравнения:  log2(2+5)+ log0,5(-х-0,5) = 1 [-4]

№ 5 (C) Решите уравнение - log6x + 34 = ()2 + x. [2]

Уравнения №1-3 решает по два ученика на обратных крыльях доски с последующей проверкой решения всем классом.

Уравнение №4,5 решает ученик с подробным комментарием.

По окончании самооценка и взаимооценка учащихся (результаты заносятся в листы самоконтроля).

Простейшими логарифмическими уравнениями будем называть уравнения следующих видов:

log a x = b, a > 0, a 1.

log a f(x) = b, a > 0, a 1.

log f(x) b = c, b > 0.

Эти уравнения решаются на основании определения логарифма: если logb a = c, то a = b c.

Решить уравнение log2 x = 3.

Решение. Область определения уравнения x > 0. По определению логарифма x = 23, x = 8 принадлежит области определения уравнения.

Ответ: x = 8.

Уравнения вида loga f(x) = b, a > 0, a 1.

Уравнения данного вида решаются по определению логарифма с учётом области определения функции f(x).

Обычно область определения находится отдельно, и после решения уравнения f(x) = ab проверяется, принадлежат ли его корни области определения уравнения.

Пример. Решить уравнение log3(5х - 1) = 2.

Решение:

ОДЗ: 5х - 1 > 0; х > 1/5.

log3(5х- 1) = 2,

log3(5х - 1) = log332,

5х - 1 =9,

х = 2.

Ответ: 2.

Пример. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения находится из неравенства 2х2 - 2х - 1 > 0. Воспользуемся определением логарифма:

Применим правила действий со степенями, получим 2х2 - 2х - 1 = 3. Это уравнение имеет два корня х = -1; х = 2. Оба полученные значения неизвестной удовлетворяют неравенству 2х2 - 2х - 1 > 0, т.е. принадлежат области определения данного уравнения, и, значит, являются его корнями.

Ответ. х1 = -1, х2

= 2.

Уравнения вида logf(x) b = с, b > 0.

Уравнения этого вида решаются по определению логарифма с учётом области определения уравнения. Данное уравнение равносильно следующей системе

Чаще всего, область определения логарифмического уравнения находится отдельно, и после решения уравнения (f(x))c = b или равносильного уравнения проверяется, принадлежат ли его корни найденной области.

Пример. Решить уравнение

logx-19 = 2.

Решение. Данное уравнение равносильно системе

Ответ. x = 4.

2.. Потенцирование.

Суть метода заключается в переходе от уравнения

log a f(x) = log a g(x) к уравнению f(x) = g(x), которое обычно не равносильно исходному.

Уравнения вида

loga f(x) = loga g(x) , а > 0, а ?1.

На основании свойства монотонности логарифмической функции заключаем, что f(x) = g(x).

Переход от уравнения loga f(x) = loga g(x) к уравнению f(x) = g(x) называется потенцированием.

Нужно отметить, что при таком переходе может нарушиться равносильность уравнения. В данном уравнении f(x) > 0, g(x) > 0, а в полученном после потенцирования эти функции могут быть как положительными, так и отрицательными. Поэтому из найденных корней уравнения f(x) = g(x) нужно отобрать те, которые принадлежат области определения данного уравнения. Остальные корни будут посторонними.

Пример. Решить уравнение log3 (x2 - 3x - 5) = log3 (7 - 2x).

Решение. Область определения уравнения найдётся из системы неравенств:

x2 - 3x - 5>0,  7 - 2x>0

х> -1,5+ , х<3,5

х2

<-1,5-

Потенцируя данное уравнение, получаем х2 - 3х - 5 = 7 - 2х,

х2 - х - 12 = 0, откуда х1 = -3, х2 = 4. Число 4 не удовлетворяет системе неравенств.

Ответ. х = -3.

Cведение уравнений к виду log a f(x) = log a g(x) с помощью свойств логарифмов по одному основанию.

Если уравнение содержит логарифмы по одному основанию, то для приведения их к виду log a f(x) = log a g(x) используются следующие свойства логарифмов:

logb a + logb c = logb (a*c), где a > 0; c > 0; b > 0, b 1,

logb a - logb c = logb (a/c), где a > 0; c > 0; b > 0, b 1,

m logb a = logb a m, где a > 0; b > 0, b 1; m R.

Пример

1. Решить уравнение log6 (x - 1) = 2 - log6 (5x + 3).

Решение. Найдём область определения уравнения из системы неравенств

Применяя преобразования, приходим к уравнению

log6 (x - 1) + log6 (5x + 3) = 2,

log6 ((x - 1)(5x + 3)) = 2, далее, потенцированием, к уравнению

(х - 1)(5х + 3) = 36, имеющему два корня х = -2,6; х = 3. Учитывая область определения уравнения, х = 3.

Ответ. х = 3.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Найдём область определения уравнения, решив неравенство (3x - 1)(x + 3) > 0 методом интервалов.

Учитывая, что разность логарифмов равна логарифму частного, получим уравнение log5 (x + 3) 2 = 0. По определению логарифма (х + 3) 2 = 1, х = -4, х = -2. Число х = -2 посторонний корень.

Ответ. х = -4.

Пример 3. Решить уравнение log2 (6 - x) = 2 log6 x.

Решение. На области определения 0 < x < 6 исходное уравнение равносильно уравнению 6 - x = x2, откуда х = -3, х = 2. Число х = -3 посторонний корень.

Ответ. х = 2.

Уравнения вида Alog a f(x) + Blog b g(x) + C = 0.

Метод потенцирования применяется в том случае, если все логарифмы, входящие в уравнение, имеют одинаковое основание. Для приведения логарифмов к общему основанию используются формулы:

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения 1 < x < 2. Используя формулу (3), получим

Так как 3 = log28, то на области определения получим равносильное уравнение (2-x)/(x-1) = 8, откуда x = 10/9.

Ответ. x = 10/9.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения x > 1. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (4).

Ответ. х = 6.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения x > -1, x 0. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (2).

Умножим обе части уравнения на log 3(x + 1) ? 0 и перенесем все слагаемые в левую часть уравнения. Получим (log 3(x + 1)-1)2 = 0, откуда log 3(x + 1) = 1 и x = 2.

Ответ. x = 2.

3. Введение новой переменной

Рассмотрим два вида логарифмических уравнений, которые введением новой переменной приводятся к квадратным.

Уравнения вида

где a > 0, a 1, A, В, С - действительные числа.

Пусть t = loga f(x), t R. Уравнение примет вид t2 + Bt + C = 0.

Решив его, найдём х из подстановки t = loga f(x). Учитывая область определения, выберем только те значения x, которые удовлетворяют неравенству f(x) > 0.

Пример 1. Решить уравнение lg 2 x - lgx - 6 = 0.

Решение. Область определения уравнения - интервал (0; ).Введём новую переменную t = lg x, t R.

Уравнение примет вид t 2 - t - 6 = 0. Его корни t1 = -2, t2 = 3.

Вернёмся к первоначальной переменной lg x = -2 или lg x = 3, х = 10 -2 или х = 10 3.

Оба значения x удовлетворяют области определения данного уравнения (х > 0).

Ответ. х = 0,01; х = 1000.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Найдём область определения уравнения

Применив формулу логарифма степени, получим уравнение

Так как х < 0, то | x | = -x и следовательно

Введём новую переменную t = log3 (-x), t принадлежит R. Квадратное уравнение t 2 - 4t + 4 = 0

имеет два равных корня t1,2 = 2. Вернёмся к пе

urok.1sept.ru

Системы уравнений с логарифмами

2015-03-26 | Автор: Анна

Пример 1. Решить систему уравнений.

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{lg^2 x+lg^2 y=5} {lg x-lg y=1} {} }}{ }

Показать

Пример 2. Решить систему уравнений.

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{log_3 x+log_9 y=2} {log_9 x-log_3 y=1} }}{ }

Показать

Пример 3. Решить систему уравнений.

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{5(log_y x-log_x y}=26} {xy=64} }}{ }

Показать

Пример 4. Решить систему уравнений.

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{log_x y-2log_y x=1} {x^2+2y^2=3} }}{ }

Показать

Пример 5. Решить систему уравнений.

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{5+log_2 {x/y}={14/{log_2  {x/y}}}} {log_2 ({x/y}-2)-log_2 y=2log_4 (y+1)} }}{ }

Показать

Пример 6. Решить систему уравнений.

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{2+log_{sqrt{3}} 2x=log_3 y^2} {2log_3 (9+{y/x})-log_3 x^2=2log_3 (x+2)} }}{ }

Показать

easy-physic.ru

"Некоторые методы решения логарифмических уравнений"

Некоторые методы решения логарифмических уравнений.

Настоящая статья содержит систематическое изложение методов решения логарифмических уравнений  с одной переменной. Это поможет учителю, прежде всего в дидактическом смысле: подбор упражнений позволяет составить для учащихся индивидуальные задания  с учетом их возможностей. Данные упражнения могут быть использованы для урока обобщения и для подготовки к ЕГЭ.
Краткие теоретические сведения и решения задач позволяют учащимся самостоятельно развивать умения и навыки решения логарифмических уравнений.

Решение логарифмических уравнений.

Логарифмические уравнения – уравнения, содержащие неизвестное под знаком логарифма. При решении логарифмических уравнений часто используются теоретические сведения:

Обычно решение логарифмических уравнений   начинается с определения ОДЗ. В логарифмических уравнениях рекомендуется все логарифмы преобразовать так, чтобы их основания были равны. Затем уравнения либо выражают через один какой – либо логарифм, который обозначается новой переменной, либо уравнение преобразовывают к виду, удобному для потенцирования.
Преобразования логарифмических выражений не должны приводить к сужению ОДЗ, если же примененный метод решения сужает ОДЗ, выпуская из рассмотрения отдельные числа, то эти числа в конце задачи необходимо проверить подстановкой в исходное уравнение, т.к. при сужении ОДЗ возможна потеря корней.

1.  Уравнения вида – выражение, содержащее неизвестное число, а число .
Для решения таких уравнений надо:

1) воспользоваться  определением логарифма: ;
2) сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).
Если ) .

2. Уравнения первой степени относительно логарифма, при решении которых используются свойства логарифмов.

Для решения таких уравнений надо:

1) используя свойства логарифмов, преобразовать уравнение;
2) решить полученное уравнение;
3) сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).
).

3. Уравнение второй и выше  степени относительно логарифма.

Для решения таких уравнений надо:

  1. сделать замену переменной;
  2.  решить полученное уравнение;
  3. сделать обратную замену;
  4. решить полученное уравнение;
  5. сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).

4.Уравнения, содержащие неизвестное в основании и в показателе степени.

Для решения таких уравнений надо:

  1. прологарифмировать уравнение;
  2. решить полученное уравнение;
  3. сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им
    корни (решения).

5. Уравнения, которые не имеют решения.

  1. Для решения таких уравнений надо найти ОДЗ уравнения.
  2. Проанализировать  левую и правую часть уравнения.
  3.  Сделать соответствующие выводы.

Примеры:

Исходное уравнение равносильно системе:

Доказать, что уравнение не имеет решения.

ОДЗ уравнения определяется неравенством  х ≥ 0. На ОДЗ имеем

Сумма положительного числа и неотрицательного числа не равна нулю, поэтому исходное уравнение решений не имеет.

Ответ : решений нет.

В ОДЗ попадает только один корень х = 0. Ответ: 0.

Произведем обратную замену.

Найденные корни принадлежат ОДЗ.

ОДЗ уравнения – множество всех положительных чисел.

Поскольку

Аналогично решаются данные уравнения:

Задачи для самостоятельного  решения:

Используемая литература.

  1. Бесчетнов В.М. Математика. Москва Демиург 1994
  2. Бородуля И.Т. Показательная и логарифмическая функции. ( задачи и упражнения). Москва «Просвещение» 1984
  3. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н.,  Пасиченко П.И. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Москва «Наука» 1987
  4. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер. Москва «Илекса»2007
  5. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В.. Задачи по алгебре и началам анализа. Москва «Просвещение» 2003

Приложение 1

Приложение 2

urok.1sept.ru

Памятка. Методы решения логарифмических уравнений

Логарифмические уравнения

Данная памятка необходима учащимся старших классов для подготовки к ЦТ по математике по теме «Логарифмические уравнения», а также преподавателям для систематизации и обобщению знаний по данной теме.

При решении логарифмических уравнений полезно помнить некоторые свойства логарифмов:

- основное логарифмическое тождество

; ;

; ;

; ;

; ;

- формула перехода к новому основанию

Замечание: десятичный логарифм (по основанию 10)

натуральный логарифм (по основанию )

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

ПРИМЕРЫ

По определению логарифма

Уравнения вида выражение, содержащее неизвестное число, а число .
Для решения таких уравнений надо:

1) воспользоваться  определением логарифма: ;
2) сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).
Если

Решить уравнение .

x-15=24, x-15=16, x=15+16, x=31.

Потенцирование

Уравнения первой степени относительно логарифма, при решении которых используются свойства логарифмов.

Для решения таких уравнений надо:

1) используя свойства логарифмов, преобразовать уравнение;
2) решить полученное уравнение;
3) сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).
).

Введение новой переменной

Уравнение второй и выше  степени относительно логарифма.

Для решения таких уравнений надо:

  1. сделать замену переменной;

  2.  решить полученное уравнение;

  3. сделать обратную замену;

  4. решить полученное уравнение;

  5. сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).

Произведем обратную замену.

Найденные корни принадлежат ОДЗ.

Логарифмирование обеих частей уравнения

Уравнения, содержащие неизвестное в основании и в показателе степени.

Для решения таких уравнений надо:

  1. прологарифмировать уравнение;

  2. решить полученное уравнение;

  3. сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им
    корни (решения).

Решить уравнение .

Поскольку нет возможности выразить обе части уравнения через степени с одинаковым основанием, то логарифмируем по основанию 10 (в уравнении есть десятичный логарифм, да и для числа 100 это основание удобно). Логарифмы равных положительных чисел (фактически одного и того же числа, выраженного по-разному) равны, поэтому логарифм левой части равен логарифму правой части: lg,

x=0,1

x=100.

Легко убедиться, что корни не посторонние.

Приведение к одному основанию

Решите уравнение: .

Решение: ОДЗ: х0. Перейдем к основанию 3.

 или ;

Ответ: 9.

Функционально-графический метод

Решить графически уравнение:

 = 3 – x.

Можно построить графики функций

и

Есть способ, позволяющий не строить графикиОн заключается в следующемесли одна из

функций у = f(x) возрастает, а другая

 y = g(x) убывает на промежутке Х, то уравнение f(x)= g(x) имеет не более одного корня на промежутке Х. Если корень имеется, то его можно угадать. В нашем случае функция  

возрастает при х0, а функция y = 3 – x убывает при всех значениях х, в том числе и при х0, значит, уравнение имеет не более одного корня. Заметим, что при

х = 2 уравнение обращается в верное равенство.

Ответ: 2

intolimp.org

Решение уравнений, содержащих неизвестную в основании логарифма

Цели урока:

  • обучающие: закрепить основные способы решения логарифмических уравнений: по определению логарифма с учётом области определения, на основании свойств монотонности (потенцирование) с учётом равносильности перехода, переход к новому основанию, введение новой переменной; рассмотреть некоторые приемы быстрого решения уравнений рассматриваемого типа;
  • развивающие: содействовать развитию логического мышления учащихся; развивать умения рассуждать, сравнивать, осмысливать материал; развивать у учащихся умения анализа условия задачи перед выбором способа ее решения; развивать навыки исследовательской деятельности; учить видеть задачу целиком, логически мыслить при переходе от частного к общему; развивать навыки обобщения;
  • воспитывающие: воспитание познавательного интереса, элементов культуры общения; побуждение учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности; воспитание у учащихся уверенности в себе, веры в свои силы в нестандартной ситуации.

Тип урока: урок комплексного применения знаний и навыков.

Ход урока:

1. Организационный момент

(сообщить учащимся тему урока, поставить перед ними задачи урока), (на партах у каждого раздаточный материал см. Приложение 1).

Изучив основные свойства логарифмической функции, правила вычисления логарифмов, овладев основными приемами решения логарифмических уравнений и неравенств, наша основная задача на сегодняшний урок – обобщить методы решения логарифмических уравнений, содержащих переменную в основании логарифма.

2. Активизация знаний учащихся.

Устная работа:

  1. Найдите область определения функций:

 

 

 

Ответ: (0;1) U (1;∞)

(- 4; - 3) U (- 3; - 1) U (1;∞)

(-∞; - 2) U (- 2; 2)

  1. Каким способом решается уравнение:

. Ответ: по определению логарифма. Решений нет!!

  1. При каком значении параметра а функция определена на множестве (1; ∞); если изменить основание, значение параметра изменится?

Ответ: а 1

 

Ответ: а 1

 

Ответ: а > 1

3. Основная часть урока.

Слайд 2. Виды уравнений и методы решения

слайд 3.

На области определения  по определению логарифма

Или

слайд 4.

Пример  Решение:   x=6. Ответ: 6.

слайд 5.

На области определения  по определению логарифма

слайд 6.

Пример:

Решение: 7x-14=3-2x; 9x=17; x=17/9; НО!!!  промежутки не пересекаются, значит, решений нет!! Ответ: решений нет.

слайд 7.

Пример:Каким способом решается уравнение?

предполагаемый ответ учащихся: решаем, применяя определение логарифма (решение учеником письменно на доске и в тетрадях)

Решение:    

при х= 6  верно. Ответ: 6

Слайд 8

Слайд 10. На найденной области определения  

решим уравнение: , , х = 0 или х = 1,5

 Ответ: 1,5

Слайд 11 Следующий вид уравнения:

Одна и та же функция в основании логарифма

Вопрос: Каким способом решать?

Один из вариантов ответов: область определения достаточно объёмная, поэтому переходим к следствию  

Найдём корни этого уравнения и подстановкой в первоначальное логарифмическое, проверим.

Слайд 12. Одна и та же функция является подлогарифмическим выражением

Вопрос: Каким способом решать? Один из вариантов ответов: область определения достаточно объёмная, поэтому переходим к совокупности уравнений

 Найдём корни этого уравнения и подстановкой в первоначальное логарифмическое, проверим.

Слайд 13 .Пример

Решение:

 

Слайд 14. На промежутке  решаем совокупность уравнений:

  

Слайд 15. Проверяем на принадлежность этих чисел области определения, делаем вывод: решением уравнения являются числа: ; . Ответ: ;.

Слайд 16 Следующий вид уравнений:

Область определения достаточно объёмная

Найдём корни этого уравнения и подстановкой в первоначальное логарифмическое, проверим.

Слайд 17. Как вы думаете, каким способом лучше решать это уравнение?

Один из вариантов ответов: переход к новому основанию (числовому)

Слайд 18. или к буквенному  

Слайд 19. Пример:

(решение с подробным комментарием письменно на доске и в тетрадях).

Решение: Очевидно . Выполним преобразования основания и подлогарифмического выражения правой части уравнения

,

Перейдём в правой части уравнения к новому основанию х, применяя свойство: логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей по такому же основанию

 ,

Выполним замену переменных

Получим уравнение , ,

Выполнив обратную замену, получим

 Х= - 1.

Очевидно – 1 не входит в область определения заданного уравнения.

Или , , .

По свойству: если коэффициенты квадратного уравнения таковы, что

a + c – b =0, то Х= - 1, Х= ½. Ответ: ½

Слайд 20   

Следующий тип уравнений

Слайд 21. Пример  

Решение:

  Ответ: 5,5.

Слайд 22 «Комбинированные» виды уравнений

Пример

Решение: очевидно   

  

Слайд 23  , ,  

(очевидно, последнее уравнение решений не имеет)

Слайд 24 , . Ответ:

Слайд 25 Уравнения, левая часть которых – сумма взаимно обратных слагаемых

Пример:  (*)

Очевидно, каждое слагаемое равно 1.

Получим систему, равносильную уравнению (*)

Слайд 26

  x = 2. Ответ: 2

Слайд 27. В чём отличие в решении следующего уравнения?

  (*)

Равенство взаимно обратных слагаемых верно при условии х > 0,5, х ≠ 1,5.

На рассматриваемом промежутке уравнение (*) равносильно совокупности

 

Слайд 28

Слайд 29

с учётом области определения:  Ответ: 1

Подведение итогов урока

4. Домашнее задание.

Слайд 30. Решите уравнения: ,

 

P. S. Урок проведён в 10 классе физико-химического профиля. Уложились за урок за счёт экономии времени: на партах лежали у каждого ученика листы с напечатанными типами уравнений, учащиеся записывали только метод решения (без области определения и решения). Эти листы ученики забрали с собой и вклеили в тетрадь.

В слабом классе лучше потратить на эту тему сдвоенный урок.

P. S. S. В кабинете один компьютер с выходом на экран телевизора. В связи с этим, на слайдах текст печатается очень крупно.

Список используемой литературы:

  1. Балаян Э. Н. ЕГЭ по математике: Новейшие тесты. Пособие для учащихся старших классов и абитуриентов вузов. — М: ИКЦ «МарТ»; Ростов-на-Дону: Издательский центр «МарТ», 2004.
  2. Балаян Э. Н. Математика. Серия «Единый госэкзамен». — Ростов н/Д: Феникс, 2004.
  3. Математика. Интенсивный курс подготовки к Единому государственному экзамену. — М.: Айрис-пресс, 2004.
  4. Математика: Варианты задач для вступительных испытаний в НГУЭУ. — Новосибирск: НГУЭУ, 2005.
  5. Математика: Учебное пособие для поступающих в вузы и старшеклассников / М. К. Потапов, С. Н. Олехник, Ю. В. Нестеренко. — М.: ООО «Издательство АСТ»: ООО «Издательство Астрель», 2004.
  6. Уравнения и неравенства: Учеб. пособие / А. Г. Калашникова и др.— Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003.

Презентация.

urok.1sept.ru

Решение логарифмических уравнений. Часть 1.

Решение логарифмических уравнений. Часть 1.

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком логарифма ( в частности, в основании логарифма).

Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид:

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Решение любого логарифмического уравнения предполагает переход от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифмов. Однако это действие расширяет область допустимых значений уравнения и может привести к появлению посторонних корней. Чтобы избежать появления посторонних корней, можно поступить одним из трех способов:

1. Сделать равносильный переход от исходного уравнения к системе, включающей область допустимых значений уравнения:

    Решение задач на сайте www.ege-ok.ru

или

    Решение задач на сайте www.ege-ok.ru

,

в зависимости от того, какое неравенство Подготовка к ГИА и ЕГЭ или Подготовка к ГИА и ЕГЭ проще.

Если уравнение содержит неизвестное в основании логарифма:

Подготовка к ГИА и ЕГЭ,

то мы переходим к системе:

    Решение задач на сайте www.ege-ok.ru

 

2. Отдельно найти область допустимых значений уравнения, затем решить уравнение и проверить, удовлетворяют ли найденные решения ОДЗ уравнения.

3. Решить уравнение, и потом сделать проверку: подставить найденные решения в исходное уравнение, и проверить, получим ли мы верное равенство.

Решение задач на сайте www.ege-ok.ru

Логарифмическое уравнение любого уровня сложности в конечном итоге всегда сводится к простейшему логарифмическому уравнению.

Все логарифмические уравнения можно  условно разделить на четыре типа:

1. Уравнения, которые содержат логарифмы только в первой степени. Они с помощью  преобразований и использования свойств логарифмов  приводятся к виду

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

или

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Пример. Решим уравнение:

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Решение.

Выпишем ОДЗ уравнения:

    Решение задач на сайте www.ege-ok.ru

 

Внимание! Мы всегда ищем ОДЗ исходного уравнения, а не того, которое получится в процессе преобразований. То есть ОДЗ записываем перед тем, как переходим к решению уравнения. 

Для упрощения вычислений давайте перенесем логарифмы с отрицательными коэффициентами в противоположную часть уравнения - из соображений, что умножать проще, чем делить:

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Представим число 2 в виде логарифма по основанию 4:

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Получим уравнение:  Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Воспользуемся свойствами логарифмов:

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Приравняем выражения, стоящие под знаком логарифма:

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Проверим, удовлетворяет ли наш корень ОДЗ уравнения:

    Решение задач на сайте www.ege-ok.ru

Да, удовлетворяет.

Ответ: х=5

2. Уравнения, которые содержат логарифмы в степени, отличной от 1 (в частности, в знаменателе дроби). Такие уравнения решаются с помощью введения замены переменной.

Пример. Решим уравнение:

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Решение.

Найдем ОДЗ уравнения: Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Уравнение содержит логарифмы в квадрате, поэтому решается с помощью замены переменной.

Важно! Прежде чем вводить замену, нужно "растащить" логарифмы, входящие в состав уравнения на "кирпичики", используя свойства логарифмов.

При "растаскивании" логарифмов важно очень аккуратно применять свойства логарифмов:

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Кроме того, здесь есть еще одно тонкое место, и, чтобы избежать распространенной ошибки, воспользуемся промежуточным равенством: запишем степень логарифма в таком виде:

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Аналогично,

Подготовка к ГИА и ЕГЭ.

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Подставим полученные выражения в исходное уравнение. Получим:

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Теперь мы видим, что неизвестное Подготовка к ГИА и ЕГЭ содержится в уравнении в составе Подготовка к ГИА и ЕГЭ. Введем замену: Подготовка к ГИА и ЕГЭ. Так какПодготовка к ГИА и ЕГЭ может принимать любое действительное значение, на переменнуюПодготовка к ГИА и ЕГЭ мы никаких ограничений не накладываем.

Получили уравнение:

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Раскроем скобки, приведем подобные члены и решим квадратное уравнение:

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Подготовка к ГИА и ЕГЭ, Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Вернемся к исходной переменной:

Подготовка к ГИА и ЕГЭ,  Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Отсюда:

Подготовка к ГИА и ЕГЭ,  Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Ответ: Подготовка к ГИА и ЕГЭ,  Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Решение  логарифмических уравнений остальных типов мы рассмотрим здесь и здесь.

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Логарифмические уравнения

Прежде, чем приступить к рассмотрению новой темы, давайте вспомним, что логарифмом положительного числа  по основанию , где , , называется показатель степени, в которую надо возвести число , чтобы получить .

Обозначают: .

Таким образом, равенство  означает, что .

Вспомним также свойства логарифмов. Пусть , , , , а  – любое действительное число. Тогда справедливы следующие свойства:

1.     ,

2.     ,

3.     .

Так какие же уравнения называют логарифмическими?

Запомните! Логарифмическим уравнением называют уравнение, содержащее переменные под знаком логарифма и (или) в его основании.

Существуют различные методы решения логарифмических уравнений.

В первую очередь рассмотрим с вами решение логарифмических уравнений по определению логарифма. Так решаются уравнения вида , где , . Они равносильны уравнению . При этом, так как выражение под знаком логарифма должно принимать только положительные значения, должно выполняться условие .

Решим уравнение: . Сразу отметим, что должно выполняться условие .  Воспользуемся определением логарифма и запишем: . Теперь возведём  в квадрат. Перенесём  в левую часть уравнения и получим квадратное уравнение: . Решим его. Вычислим дискриминант: . Тогда первый корень квадратного уравнения , второй – .

Мы будем проверять, удовлетворяют ли найденные значения икс условию ?

Обязательно проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию. Подставляем  в неравенство: . Получаем верное неравенство. Затем подставляем в неравенство : . И тоже получаем верное неравенство.

А значит, и , и  являются корнями логарифмического уравнения.

Следующий метод – метод потенцирования.

Потенцированием называют действие нахождения числа по его логарифму. При решении логарифмических уравнений под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их. Метод заключается в том, что мы от уравнения вида , где ,  , переходим к уравнению . Причём должны выполняться условия  и .

Решим следующее уравнение: . Следует отметить, что должны выполняться условия:  и . Потенцируем уравнение (то есть избавимся от знаков логарифма) и получаем: . Перенесём  и  в левую часть уравнения и приведём подобные слагаемые: . Решим полученное квадратное уравнение. Запишем его дискриминант: . Находим корни и получаем  и .

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни условиям. Подставляем первый корень в первое неравенство и выполняем преобразования: . Затем подставляем во второе неравенство и тоже выполняем преобразования: . Получаем, что  удовлетворяет каждому из неравенств, а значит, является корнем исходного логарифмического уравнения.

Затем подставляем второй корень в первое неравенство, выполняем преобразования и получаем: . Следовательно,  не удовлетворяет первому неравенству, а значит, не является корнем данного логарифмического уравнения.

В ответ запишем: .

Следующий метод решения логарифмических уравнений – это метод введения новой переменной.

Посмотрите на уравнение. Здесь переменная  может принимать только положительные значения.

Так это же квадратное уравнение относительно логарифма икс по основанию два. Давайте введём новую переменную . Тогда наше уравнение примет вид: . Находим корни этого квадратного уравнения по теореме Виета. Тогда, согласно этой теореме, можем записать, что , а . Легко увидеть, что этим равенствам удовлетворяют значения:  и .

Теперь можем вернуться к замене? Да, теперь мы вернёмся к замене. Имеем:  и . Таким образом, по определению логарифма из первого равенства получаем , а из второго – . Найденные значения икс больше нуля, а значит, каждое из них является корнем исходного логарифмического уравнения.

Таким образом мы с вами рассмотрели основные методы решения логарифмических уравнений.

А сейчас рассмотрим вот такое уравнение: икс в степени логарифм икс по основанию два равняется шестнадцати. Решим его методом логарифмирования, который заключается в переходе от уравнения  к уравнению . То есть берётся логарифм от правой и левой частей уравнения.

Сразу отметим, что переменная  может принимать только положительные значения. Возьмём от обеих частей уравнения логарифмы по основанию . Воспользуемся известным нам свойством  и в левой части уравнения вынесем показатель степени за знак логарифма: . В правой части уравнения найдём значение логарифма: . Теперь произведение в левой части уравнения запишем в виде квадрата логарифма икс по основанию : . Отсюда получаем:  и . По определению логарифма из первого равенства получаем , а из второго – . Оба значения  больше нуля, а значит, и , и  являются корнями исходного уравнения.

И давайте рассмотрим пример решения системы, состоящей из логарифмического уравнения и линейного уравнения:

Сразу отметим, что . Воспользуемся определением логарифма и запишем первое уравнение системы как . Откуда . Подставим найденное значение во второе уравнение системы: . И, решив линейное уравнение, найдём .

А сейчас давайте приступим к практической части нашего урока.

Задание. Решите уравнения: а) ; б) ; в) .

Решение.

videouroki.net

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск