Как узнать делится ли число на 9: Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11

Содержание

Урок 40. признаки делимости — Математика — 5 класс

Математика

5 класс

Урок №40

Признаки делимости

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • свойства делимости;
  • признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10;
  • чётные и нечётные числа.

Тезаурус

Кратное натурального числа – это число, которое делится на данное натуральное число без остатка.

Чётное число – это число, делящееся на два.

Нечётное число – это число, не делящееся на два.

Обязательная литература

  1. Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. ФГОС//С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.

Дополнительная литература

  1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл. //П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О.Ф. Зарапина.– М.: Просвещение, 2009. ¬–142 с.
  2. Шарыгин И. Ф.
    Задачи на смекалку: 5-6 кл. //И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

«Поэт должен видеть то, чего не видят другие. И это же должен и математик», – однажды сказала Софья Ковалевская, русский математик.

И мы сегодня увидим необычные признаки деления, которые помогут нам выполнять обычные арифметические действия намного быстрее и проще.

Оказывается, существуют признаки, по которым можно определить, делится ли данное число на 2, 3, 5, 9 и 10.

Начнём с признака делимости на 10.

Если число оканчивается цифрой 0, то оно делится на 10.

Например, 1570 делится на 10, т. к. оканчивается цифрой нуль, его можно представить в виде произведения чисел 10 и 157, которое делится на десять по свойству 1, если один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число. Значит, число 1570 делится на 10.

А число тысяча пятьсот семьдесят один на десять не делится, т. к. тысяча пятьсот семьдесят один на это сумма двух чисел – тысяча пятьсот семьдесят и единицы, первое число делится на десять, а другое, т. е. один, не делится на десять. Это выходит по свойству 4.

Если одно из двух чисел делится на некоторое число, а другое на него не делится, то их сумма и разность не делятся на это число.

Рассмотрим признак делимости на 5.

Если число оканчивается на одну из цифр: 0 или 5, – то оно делится на 5.

Например, число 1570 делится на 5, т. к. 1570 делится 10, а 10 делится на 5. По второму свойству делимости, если первое число делится на второе, а второе делится на третье, то первое число делится на третье. Значит, число 1570 делится на 5.

Аналогичные рассуждения проведём для числа 1575, но здесь применим третье свойство делимости – если каждое из двух чисел делится на некоторое число, то их сумма и разность делятся на это число.

Число 1575 делится на 5, т. к. число 1575 – это сумма чисел 1570 и 5, при этом оба числа делятся на 5, следовательно, их сумма тоже делится на 5.

А 1573 не делится на 5. В рассуждениях используем четвёртое свойство делимости – если одно из двух чисел делится на некоторое число, а другое на него не делится, то их сумма и разность не делятся на это число.

Исходя из него, число не будет делиться на 5, т. к. при разложении числа 1573 на сумму чисел 1570 и 3 число 3 не делится на 5.

Рассмотрим признак делимости на 2.

Если число оканчивается одной из цифр: 0, 2, 4, 6, 8, – то оно делится на 2.

Например, числа 120, 124 делятся на два, а 125 не делится на два. Т. к. число 120 делится на 10, а 10 делится на 2, тогда по второму свойству делимости – если первое число делится на второе, а второе делится на третье, то первое число делится на третье – число 120 делится на 2.

Число 124 делится на 2, т. к. число 124 – это сумма чисел 120 и 4, при этом оба числа делятся на 2, следовательно, их сумма тоже делится на 2 (по третьему свойству делимости).

Число 125 на 2 не делится, т. к. при разложении числа 125 на сумму чисел 120 и 5 число 5 не делится на 2 (по четвёртому свойству делимости).

Исходя из вышесказанных признаков, можно ввести определение чётного и нечётного числа.

Чётные числа – числа, делящиеся на 2.

Числа 34, 46, 146 – чётные.

Нечётные числа – числа, не делящиеся на 2.

Числа 35, 47, 149 – нечётные.

Рассмотрим признак делимости на 9.

Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9.

Например, числа 153 делится на 9, а 155 не делится на 9.

Посчитаем сумму цифр числа 153:

1 + 5 + 3 = 9 – делится на 9.

Теперь число 153 представим в виде суммы сотен, десятков и единиц:

153 = 1 · 100 + 5 · 10 + 3 · 1.

Сделаем небольшое математическое преобразование и представим сумму в несколько ином виде:

153 = 1 · 100 + 5 · 10 + 3 · 1 = 1 · (99 + 1) + 5 · (9 + 1) + 3 · 1= = (1 · 99 + 5 · 9) + (1 + 5 + 3).

Числа в каждой из скобок делятся на 9, следовательно, число 153 делится на 9 – по свойству 3.

Как сказано ранее, число 155 не делится на 9, т. к. сумма цифр, из которых состоит число:

1 + 5 + 5 = 11 – не делится на 9.

Другое число 155 на 9 тоже не делится, т. к. при разложении числа на сумму сотен, десятков и единиц и дальнейшем небольшом математическом преобразовании, получается, что

155 = 1 · 100 + 5 · 10 + 5 · 1.

1 · (99 + 1) + 5 · (9 + 1) + 5 · 1 =

= (1 · 99 + 5 · 9) + (1 + 5 + 5).

В первых скобках сумма делится на 9, а во-вторых, скобках сумма цифр не делится на 9, следовательно, число 155 не делится на 9 – по свойству 4.

Рассмотрим признак делимости на 3.

Если сумма цифр делится на 3, то и само число делится на 3.

Например, на 3 делится числа 273, а и 274 не делится на три.

Посчитаем сумму цифр числа 273:

2 + 7 + 3 = 12 – делится на 3.

Теперь число 273 представим в виде суммы сотен, десятков и единиц:

273 = 2 · 100 + 7 · 10 + 3 · 1.

Сделаем небольшое математическое преобразование и представим сумму в несколько ином виде:

273 = 2 · 100 + 7 · 10 + 3 · 1 = 2 · (99 + 1) + 7 · (9 + 1) + 3 · 1= = (2 · 99 + 7 · 9) + (2 + 7 + 3).

Сумма в каждой из скобок делится на 3, следовательно, число 273 делится на 3 – по свойству 3.

Другое число 274 на 3 не делится, т. к. сумма цифр, из которых состоит число 274:

2 + 7 + 4 = 13 – не делится на 3.

Теперь разложим число двести семьдесят четыре на сумму сотен, десятков и единиц:

274 = 2 · 100 + 7 · 10 + 4 · 1.

Сделаем небольшое математическое преобразование и представим сумму в несколько ином виде.

274 = 2 · 100 + 7 · 10 + 4 · 1 = 2 · (99 + 1) + 7 · (9 + 1) + 4 · 1= = (2 · 99 + 7 · 9) + (2 + 7 + 4)

В первых скобках сумма делится на 3, а во-вторых, скобках сумма не делится на 3, следовательно, число 274 не делится на 3– по свойству 4.

Число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 4. В остальных случаях – не делится.

Например, рассмотрим, делятся ли на 4 числа 3312, 3300 и 3310.

Представим числа в виде суммы:

3312 = 3 · 1000 + 3 · 100 + 12 – каждое из этих чисел делится на 4, значит, по третьему свойству делимости число 3312 делится на 4.

3300 = 3 · 1000 + 3 · 100 – каждое из этих чисел делится на 4, значит, по третьему свойству делимости число 3300 делится на 4.

3310 = 3 · 1000 + 3 · 100 + 10 – третье слагаемое не делится на 4, следовательно, по четвёртому свойству делимости число 3310 не делится на 4.

Тренировочные задания

№ 1. Какую из цифр 2,0,3 нужно подставить в число 251*вместо звёздочки, чтобы оно делилось на 5?

Решение. Для решения достаточно вспомнить признак делимости на 5, т. е. на 5 делятся числа, оканчивающиеся цифрой 0 или 5. Т. к. пропуск стоит последней цифрой в числе, то нужно подставить из предложенных цифру 0.

Ответ: 0.

№ 2. Рассортируйте числа 213,490,252,481 на те, которые делятся на 3, и те, которые не делятся на 3.

Решение. Вспомним признак делимости на 3 –число делится на 3, если сумма всех его цифр делится на 3. Найдем сумму цифр всех чисел:

213 = 2 + 1 + 3= 6 – число делится на 3.

490 = 4 + 9 + 0 = 13 – число не делится на 3.

252 = 2 + 5 + 2 = 9 – число делится на 3.

481 = 4 + 8 + 1 = 13 – число не делится на 3.

Ответ: 213, 252 – делятся на 3.

490, 481 – не делятся на 3.

О сумме цифр, обобщённом признаке делимости и одной нерешённой задаче

Все знают, что если сумма цифр числа делится на 9, то и сумма его цифр делится на 9. А для определения, делится ли число на 11, нужно сложить его цифры, стоящие на чётных местах и отнять сумму цифр, стоящих на нечётных местах. Если результат будет делиться на 11, то и само число также будет делиться на 11.

Возникает вопрос: почему существуют признаки делимости? Иными словами, почему для ответа на вопрос, делится ли число m на число n, достаточно не выполнять деление, а провести некоторые операции с цифрами числа m? И как вывести признак делимости на произвольное n. К ответу на этот вопрос мы придём, решая одну, казалось бы, пустяковую задачку.

Задача

Возьмём какое-нибудь натуральное число, скажем, 17.

Сумма его цифр равна 8. Если 17 умножить на 2, получим 34 и сумма цифр этого числа окажется равной 7. А у произведения 17*3=51 сумма цифр равна 6. Вопрос: на какое натуральное число нужно умножить 17, чтобы сумма цифр произведения была наименьшей?

Решение

Понятно, что сумма цифр, равная 1 будет только у степеней десятки, которые кратны лишь произведениям степеней двойки и пятёрки. Поэтому попробуем найти кратное 17-ти число вида 100…01 с суммой цифр, равной двум.

17*X=100…01

Чтобы последней цифрой произведения была единица, последней цифрой неизвестного множителя должна быть тройка. Далее, т.к. 17*3=51, а предпоследняя цифра произведения равна 0, то предпоследней цифрой неизвестного множителя должна быть пятёрка.
17*53=901

Третьей с конца цифрой множителя снова должна быть тройка (чтобы произведение оканчивалось на ..001)

17*353=6001.

Далее находим, последовательно:
17*2353=40001
17*82353=1400001
17*882353=15000001
17*5882353=100000001 (!)

Весь этот процесс представлен на анимированной гиф-иллюстрации

Итак, среди чисел, кратных 17-ти наименьшая сумма цифр, равная 2, будет у числа 100000001=17*5882353.

Ответ: число 17 нужно умножить на 5882353, и тогда сумма цифр произведения будет равна 2.

Возникает вторая задача: а что было бы, если бы потребовалось найти кратное с минимальной суммой цифр для какого-нибудь другого числа? Почти сразу приходят на ум числа 3 и 9, кратные которых, вследствие соответствующих признаков делимости, не могут иметь суммы цифр, меньшие, чем 3 или 9, соответственно. Но оказывается, что и многие другие числа не имеют кратных вида 100…01.

К примеру, попробуем провести операции, аналогичные проведённым с числом 17, для числа 41.

Если существует такой множитель Х, что 41*Х=100…01, то последняя цифра числа Х равна 1.
41*1=41.
Далее, предпоследняя цифра числа Х должна быть равна 6
41*61=2501
Далее получаем, последовательно:
41*561=23001
41*7561=310001
41*97561=4000001

И тут мы обнаруживаем, что зациклились: далее неизвестный множитель будет продолжать обрастать цифрами 6, 5, 7 и 9, а сумма цифр кратного, равная 2, достигнута не будет.

Итак, какова же минимальная сумма цифр у числа, кратного 41-му?

Вот тут мы и приходим к проблеме построения обобщённого признака делимости. Почему же для ответа на вопрос, делится ли число m на число n, достаточно не выполнять деление, а провести некоторые операции с цифрами числа m?

Как известно, если число m имеет k цифр, то его можно представить в виде суммы произведений его цифр на соответствующие степени десятки:

Далее, известно, что сумма остатков равна остатку суммы, а произведение остатков равно остатку произведения. Тогда, если j-я степень десятки даёт остаток  при делении на n, то остаток числа m при делении на n будет равен остатку от деления на n выражения

Этот обобщённый признак делимости называется признаком Паскаля.

Докажем теперь с помощью этого признака делимости, что не существует числа вида 100…01, которое делится на 41. Вычислим остатки от деления на 41 степеней десятки:


j

Остаток от деления на 41

0

1

1

1

10

10

2

100

18

3

1000

16

4

10000

37

5

100000

1

6

1000000

10

Заметим, что удобнее находить искомые остатки не непосредственно делением степени числа 10 на 41, а делением на 41 предыдущего остатка, умноженного на 10. И, поскольку каждый следующий остаток однозначно зависит от предыдущего, то, получив на шестом шаге единицу, мы видим, что последовательность зациклилась.

Следовательно, признак делимости на 41 можно сформулировать следующим образом:

Чтобы проверить, делится ли число на 41, его следует справа налево разбить на грани по 5 цифр в каждой. Затем в каждой грани первую справа цифру умножить на 1, вторую цифру умножить на 10, третью – на 18, четвёртую – на 16, пятую – на 37 и все полученные произведения сложить. Если результат будет делиться на 41, тогда и только тогда само число будет делиться на 41.

Таким способом можно получать признаки делимости на любые числа.

Возвращаясь к задаче о минимальной сумме цифр кратного, мы убеждаемся, что число с двумя единицами и остальными цифрами – нулями на 41 разделиться не может.

Перебирая не более чем 5-ти значные числа с суммами цифр 3 и 4 (это можно сделать как на компьютере, так и вручную) оказывается, что среди чисел, кратных 41-му минимальную сумму цифр, равную 5, будет иметь само число 41.

Другое интересное число, 31, замечательно тем, что, хотя на 3 не делится, никакое из его кратных не может иметь сумму цифр, меньше трёх. В первый раз минимум достигается в числе 31*322581=10000011

Собственно, вот и та самая нерешённая задача, о которой сказано в заголовке. Исследование поведения последовательности минимальных сумм цифр кратных чисел (обозначим эту функцию minmds(n) – minimal multiples’ digits sum) представляет собой открытую проблему. Мы с моим учителем, а ныне и коллегой, Сергеем Тихоновичем Кузнецовым, оптимизировали алгоритм поиска и сейчас имеются данные по 56000 чисел.

По этим данным можно построить следующую таблицу:


k

Количество чисел в диапазоне 1-56000 с minmds(n)=k

Минимальное n, такое, что minmds(n)=k

1

65

1

2

15544

7

3

26521

3

4

3889

79

5

939

41

6

2485

33

7

143

239

8

23

2629

9

5581

9

10

21

2981

11

2

21649

12

89

813

13

0

?

14

1

51139

15

4

13947

16

0

?

17

0

?

18

632

99

0

?

27

56

999

0

?

36

5

9999

Сразу возникает очевидный и интересный вопрос: для какого числа x minmds(x)=13? (И существует ли такое число вообще?) И как по числу определить его minmds, по возможности наименее прибегая к перебору? Существует ли не кратное трём число с minmds, равным 9? (На этот можно ответить при внимательном изучении прилагаемого файла 😉

Таких вопросов можно набрать множество, и решать их будет одинаково интересно как математику-профессионалу, так и учащемуся при написании работы в Малой академии наук.

Признаки делимости, или Что не поделили числа

Признак делимости – это своеобразный алгоритм, который позволяет быстро определить, делится ли заданное число на другое заданное число. Знание признаков делимости значительно сокращает время при счете, а также позволяет развивать память и логическое мышление при выполнении вычислений в уме.

Кроме того, существует ряд заданий, где нужно определить, делится ли какое-либо число без остатка на иное число. И при его решении вовсе не нужно производить деление (а числа в таких заданиях немаленькие), нужно всего лишь воспользоваться признаком делимости.

Самым простым признаком делимости является признак делимости на 2. Число делится на 2 только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, иными словами, она должна быть четной.

Число 123456 делится на 2, т.к. 6 – последняя цифра – четная. Число 12345 на 2 не делится, т.к. на 2 не делится 5.

Признак делимости на 3: число делится на 3 тогда, когда суммы всех его цифр кратна 3.

Число 123456 делится на 3, т.к. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21, где 21 : 3 = 7.

Число 1234 не делится на 3, т.к 1 + 2 + 3 + 4 = 10, где 10 : 3 ≠.

Признак делимости на 4: число делится на 4 тогда, когда его две последние цифры делятся на 4.

Число 123456 делится на 4, т.к. 56 : 4 = 14.

Число 1234 не делится на 4, т.к 34 : 4 ≠.

А как быть с признаком делимости на 4, если число двузначное? Для двузначных чисел работает такое правило: если сумма половины единиц числа и десятков делится на 2, то само число делится на 4; в противном случает – число на 4 не делится.

Число 92 делится на 4, т.к. (2 : 2) + 9 = 1 + 9 = 10, где 10 : 2 = 5.

Одним из наиболее простых признаков является признак делимости на 5: число делится на 5, если его последняя цифра делится на пять.

Число 12345 делится на 5, т.к. 5 – последняя цифра и она делится на 5.

Число 1234 на 5 не делится, т.к. 4 : 5 ≠.

Признак делимости на 6: на 6 делится число, которое делится на делители 6, т. е. на 2 и на 3. Значит, нам нужно вспомнить признаки делимости на 2 и 3: последняя цифра числа должна быть четной, а сумма всех цифр должна делиться на 3.

Число 123456 делится на 6, т.к. его последняя цифра четная (6), а сумма цифр 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 делится на 3.

Число 12345 не делится на 6, т.к. не подходит по одному признаку: 5 – нечетное число (хотя сумма цифр делится на 3).

Признак делимости на 7: на 7 делится число, в котором результат вычитания удвоенной последней цифры этого числа без последней цифры делится на 7.

Число 364 мы сможем разделить на 7 без остатка, т.к. удвоенная последняя цифра – это 4 ∙ 2, т.е. 8; результат вычитания равен 36 – 8 = 28, где 28 : 7 = 4.

Признак делимости на 8: если  три последних цифры числа делятся на 8, то тамо число делится на 8. Процесс определения делимости трехзначного числа на 8 более сложный: нужно к десяткам прибавить половину единиц и повторить то же самое с получившимся числом; если результат делится на 2, то он делится и на 8.

952 делится на 8, потому что:

1. 95 + 1 = 96

2. 9 + 3 = 12

3. 12 : 2 = 6.

Признак делимости на 9: на 9 делится число, сумма цифр которого без остатка делится на 9.

Число 12348 делится на 9, т.к. 1 + 2 + 3 + 4 + 8 = 18, где 18 : 9 = 2.

Признак делимости на 10 очень прост: число делится на 10 в том случае, если оно оканчивается на 0. Например: 100, 3458903456890 и др.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Урок математики «Признаки делимости чисел»

Приложение 1

Слайд 2.

Если для двух целых чисел a и b существует такое целое число q, что bq = a, то говорят, что число a делится на число b, или число а кратно числу b.

Слайд 3.

Признак делимости это алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу.

Слайд 4.

Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.

Слайд 5.

Если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

Слайд 6.

Признак делимости на 2.
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является четной.

Слайд 7. Пример:

1) 28
    8 – четное число, значит, 28 делится на 2 без остатка.

2) 1346
    6 – четное число, значит, 1346 делится на 2 без остатка.

Слайд 8.

Признак делимости на 3.
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 без остатка.

Слайд 9.

Пример:

1) 723

7 + 2 + 3 = 12
12 делится на 3 без остатка,
Значит, 723 делится на 3.

2) 2364

2 + 3 + 6 + 4 = 15
15 делиться на 3 без остатка, значит, 2364 делится на 3.

Слайд 10.

Признак делимости на 4.
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 4.

Слайд 11.

Пример:

1) 716
    16 делится на 4, значит, число 716 делится на 4 без остатка.

2) 35636
    36 делится на 4, значит, число 35636 делится на 4 без остатка.

Слайд 12.

Признаки делимости на 4.
Чтобы узнать делится ли двухзначное число на 4, можно половину единиц прибавить к десяткам, если сумма делится на 2, значит, число делится на 4.

Слайд 13.

Пример:

1) 92
    9 + 1 = 10 – четное число, значит, 92 делится на 4 без остатка

2) 68
    6 + 4 = 10 – четно число, значит, 68 делится на 4 без остатка.

Слайд 14.

Признак делимости на 5.
Число делится на 5 только тогда, когда его последняя цифра 5 или 0.

Слайд 15.

Пример:

1) 1380
    Число 1380 оканчивается нулем, значит, число 1380 делится на 5 без остатка.

2) 24715
    Число 24715 оканчивается пятеркой, значит, число 24715 делится на 5 без остатка.

Слайд 16.

Признак делимости на 6.
Число делится на 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть, если оно четное и сумма его цифр делится на 3).

Слайд 17.

Пример:

948
Число 948 является чётным и сума его цифр, 9 + 4 + 8 = 21 делится на 3, значит, число 948 делится на 6 без остатка.

Слайд 18.

Признаки делимости на 7.
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.

Слайд 19.

Пример:

364
36 – (4 • 2) = 28
28 : 7 = 4
Значит, число 364 делится на 7 без остатка.

Слайд 20.

Признак делимости на 8.
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8.

Слайд 21.

Пример:

24816
816 : 8 = 102.
Значит, число 24816 делится на 8 без остатка.

Слайд 22.

Признак делимости на 8.
Чтобы узнать, делится ли трехзначное число на 8, можно половину единиц прибавить к десяткам. У получившегося числа также половину единиц прибавить к десяткам. Если итоговая сумма делится на 2, значит, число делится на 8.

Слайд 23.

Пример:

952
95 + 1 = 96
9 + 3 = 12
12 : 2 = 6(делится на 2).
Значит, 952 делится на 8.

Слайд 24.

Признак делимости на 9.
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9 без остатка.

Слайд 25.

Пример:

27891
2 + 7 + 8 + 9 + 1 = 27
27 : 9 = 3
Сумма делится на 9, значит, число 27891 делится на 9 без остатка.

Слайд 26.

Признак делимости на 10.
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Слайд 27.

Пример:

1) 17310
Число 17310 оканчивается на ноль, значит, число 17310 делится на десять без остатка.

2) 236810
Число 236810 оканчивается на ноль, значит, число 236810 делится на десять без остатка.

Слайд 28.

Признак делимости на 11.
На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр занимающих нечетные места, либо равна сумме цифр, занимающих четные места, либо отличается от нее на число, делящееся на 11.

Слайд 29.

Пример:

1) 103785
    1 + 3 + 8 = 12
    0 + 7 + 5 = 12
    Значит, 103785 делится на 11 без остатка.

2) 9163627
    9 + 6 + 6 + 7 = 28
    1 + 3 + 2 = 6
    28 – 6 = 22
    22 : 11 = 2
    Значит, 9163627 делится на 11 без остатка.

Слайд 30.

Признак делимости на 13.
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда сумма числа, полученного отбрасыванием последней цифры и учетверенной последней цифры, делится на 13.

Слайд 31.

Пример:

845
84 + (4 • 5) = 104 : 13
10 + (4 • 4) = 26 : 13 = 2
Число 845 делится на 13 без остатка.

Слайд 32.

Признак делимости на 17.
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратко 17.

Слайд 33. Пример:

29053
2905 + 36 = 2941
294 + 12 = 306
30 + 72 = 102
10 + 24 = 34
Так как 34 : 17 = 2, то 29053 делится на 17 без остатка.

Слайд 34.

Признак делимости на 19.
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19.

Слайд 35.

Пример:

646
Так как 64 + (6 • 2) = 64 + 12 = 76
7 + (6 • 2) = 7 + 12 = 19
19 делится на 19, значит, 646 делится на 19 без остатка.

Слайд 36.

Признак делимости на 20.
Число делится на 20 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 0 и его предпоследняя цифра делится на 2.

Слайд 37.

Пример:

2740.
Число делится на 20, так как оканчивается на 0 и 4 – четное число.

Слайд 38.

Признак делимости на 23.
Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков и единиц, кратно 23.

Слайд 39.

Пример:

28842
Число делится на 23, так как
288 + (3 • 42) = 414
4 + (3 • 14) = 46
46 делится на 23.

Слайд 40.

Признак делимости на 99.
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двухзначными числами. Если эта сумма делится на 99, то и само число делится на 99.

Слайд 41.

Пример:

122166
12 + 21 + 66 = 99
Число 99 делится на 99, значит, 122166 делится на 99 без остатка.

Слайд 42.

Признак делимости на 101.
Разобьем числа на группы по 2 цифры справа налево ( в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем алгебраическую сумму этих групп, с переменными знаками, считая их двухзначными числами.
Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101.

Слайд 43.

Пример:

590547
59 – 05 + 47 = 101
101 делится на 101, значит, 590547 делится на 101.

Свойства и признаки делимости

Дели́мость — одно из основных понятий арифметики и теории чисел, связанное с операцией деления. С точки зрения теории множеств, делимость целых чисел является отношением, определённым на множестве целых чисел.

Признак делимости —алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному.

 

Свойства делимости:

1.     Любое целое число, кроме нуля, делится на само себя. а:а=1

2.     Любое целое число делится на единицу. а:1=а

3.     Если a делится на b, а b  в свою очередь делится на с, то а также делится на с.

4.     Сумма слагаемых делится на число с, если на него делится каждое слагаемое по отдельности.

5.     Разность делится нацело на число с, если уменьшаемое и вычитаемое делятся нацело на число с.

6.     Если среди слагаемых, все кроме одного, делятся нацело на число с, то сумма этих слагаемых не делится нацело на число с.

7.     Если в произведении нескольких чисел, хотя бы один множитель делится нацело на число с, то и всё произведение делится нацело на число с.

8.     Если в произведении один из множителей делится нацело на число m, а другой на число n, то всё произведение делится нацело на mn.

9.     Среди n последовательных чисел ровно одно делится нацело на n.

10. Произведение n последовательных целых чисел делится нацело на n.

 

Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 11.

 

-Число делится на 2, если на 2 делится его последняя цифра.

-Число делится на 3, если на 3 делится сумма всех его цифр.

-Число делится на 4, если на 4 делится число, составленное из двух его последних цифр.

-Число делится на 5, если на 5 делится его последняя цифра.

-Число делится на 9, если на 9 делится сумма всех его цифр.

-Число делится на 11 тогда и только тогда:

*когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц). Например, 103785 делится на 11, так как на 11 делятся 10 + 37 + 85 = 132  и 01 + 32 = 33.

*число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места, делится на 11. Например, 9 163 627 делится на 11, так как

| ( 9 + 6 + 6 + 7 ) − ( 1 + 3 + 2 ) | = 22  делится на 11. Другой пример — 99077 делится на 11, так как

| ( 9 + 0 + 7 ) − ( 9 + 7 ) | = 0

 делится на 11.


 

Правило делимости на 9 — Методы, примеры

Правило делимости 9 гласит, что если сумма цифр любого числа делится на 9, то это число также делится на 9. Это помогает нам в различных понятиях, таких как нахождение делителей, HCF, LCM, измерения и деление. Признак делимости на 9 — это правило, позволяющее определить, делится ли число на 9 или нет, не выполняя длинное деление.

Что такое правило делимости числа 9?

Правило делимости на 9 помогает нам определить, является ли число кратным 9 или нет без выполнения фактического деления. Некоторые числа, кратные 9, равны 9, 18, 27, 36, 45 и т. д. Видите ли вы общую закономерность в сумме цифр этих чисел? Сумма цифр всех этих чисел сама кратна 9. Например, 18 — это 1+8 = 9, что делится на 9, 27 — это 2+7 = 9, что делится на 9 и т. д. Итак, согласно признаку делимости на 9, если сумма всех цифр числа кратна 9, то число также делится на 9.

Делимость Правило 9 Fun Activity

Есть веселое занятие, основанное на правиле делимости на 9.Попросите вашего друга придумать любое однозначное число, отличное от нуля. Попросите ее/его взять в три раза больше этого числа, убедитесь, что вы не должны знать, какое число он/она взял. Теперь попросите ее/его умножить результат на 3. Теперь спросите ее/его, сколько цифр в ответе, и назовите одну из цифр полученного значения. Затем вы можете узнать, какая другая цифра числа, используя признак делимости 9. Другую цифру можно получить, вычитая известную цифру из 9.Давайте попробуем это с числом, скажем, 6. Три раза по 6 будет 18. Теперь умножьте 18 на 3, что равно 54. Если мы знаем любую из цифр, скажем, 4, мы можем легко узнать, что такое другую цифру, вычитая ее из 9, т. е. 9 — 4 = 5. Итак, другая цифра 5.

Правило делимости на 9 для больших чисел

То же самое и с большими числами. Единственное отличие состоит в том, что мы многократно используем тест на делимость 9, пока не получим сумму цифр числа ближе к 9.Например, чтобы узнать, делится ли 2374878 на 9 или нет, мы сначала найдем сумму цифр, которая равна 2 + 3 + 7 + 4 + 8 + 7 + 8 = 39. Теперь мы снова сложим 3 и 9. , то есть 3+9 = 12, а 12 не делится на 9. Итак, 2374878 не делится на 9. Возьмем другой пример. Чтобы узнать, делится ли 456318 на 9 или нет, мы сначала найдем сумму цифр, которая равна 4 + 5 + 6 + 3 + 1 + 8 = 27. Теперь мы снова сложим 2 и 7, что равно 2+. 7 = 9, а 9 делится на 9. Итак, 456318 делится на 9. Давайте посмотрим, как легко применить правило делимости 9 к любым большим или меньшим числам:

  • Шаг 1: Найдите сумму всех цифр данного числа.
  • Шаг 2: Проверьте, делится ли сумма на 9 или нет. Если это все еще большое число, добавьте цифры еще раз.
  • Шаг 3: Проверьте, делится ли новая сумма на 9 или нет. Повторите этот процесс, если вам все еще трудно понять, делится ли сумма цифр на 9 или нет.
  • Шаг 4: Если окончательная сумма делится на 9, то исходное число также будет делиться на 9.

Вот как работает тест на делимость 9.

Правило делимости на 9 и 3

Оба признака делимости 9 и 3 основаны на одном и том же принципе, который гласит, что сумма цифр данного числа должна делиться на них. Чтобы проверить, делится ли число на 3 или нет, сумма всех цифр числа должна делиться на 3, а с другой стороны, в случае правила делимости на 9, если сумма всех цифр числа число делится на 9, то число также кратно 9.

Например, чтобы узнать, делится ли число 459072 на 9 и 3 или нет, найдем сумму цифр. Сумма 4 + 5 + 9 + 0 + 7 + 2 = 27, что можно снова суммировать как 2 + 7 = 9. Сумма «9» делится и на 9, и на 3, следовательно, 459072 делится на оба числа 9. и 3. Здесь важным фактом является то, что каждое число, которое делится на 9, также делится на 3, потому что 9 само кратно 3. С другой стороны, каждое число, которое делится на 3, может делиться или не делиться на 9.

Тест на делимость 9 и 11

Мы уже обсуждали правило делимости на 9, так что теперь давайте разберемся с делимостью на 11.Это путем нахождения разницы суммы цифр в четных и нечетных местах. Оба правила основаны на сумме цифр, но в случае 11 мы должны найти сумму цифр в нечетных и четных разрядах по отдельности, и тогда, если разница между двумя суммами делится на 11 , число также будет делиться на 11.

Например, найдем, делится ли 99990 на 9 и 11 или нет. Сумма всех цифр равна 9+9+9+9+0 = 36, что делится на 9, поэтому 99990 делится на 9.Теперь найдем сумму цифр на четных местах, начиная справа, 9+9 = 18. Сумма цифр на нечетных местах справа равна 0+9+9 = 18. Теперь разность между два 18-18 = 0, который делится на 11 (поскольку 0 делится на любое число). Итак, 99990 делится и на 9, и на 11.

Статьи, относящиеся к тесту на делимость числа 9

Также проверьте указанные артикулы на основе признака делимости разных чисел.

Часто задаваемые вопросы о правиле делимости числа 9

Что такое правило делимости числа 9?

Правило делимости 9 гласит, что если сумма всех цифр числа делится на 9, то только само число делится на 9.Это помогает нам определить, является ли 9 делителем любого числа или нет, не выполняя фактического деления.

Что общего в правилах делимости на 9 и 3?

Тест на делимость 9 и 3 основан на сумме цифр числа. Если сумма цифр данного числа делится на 9 и 3, то число будет делиться на 9 и 3 соответственно. Обратите внимание, что все числа, которые делятся на 9, также делятся на 3, так как 9 само кратно 3.

Используя правило делимости 9, проверьте, делится ли 1450 на 9?

Сумма всех цифр числа 1450 равна 1+4+5+0 = 10, что не делится на 9. Итак, 1450 не делится на 9 согласно тесту на делимость 9.

Как узнать, делится ли большое число на 9?

С большими числами мы повторяем процесс сложения цифр числа, если мы не уверены, делится ли сумма цифр на 9 или нет. Если эта сумма делится на 9, то и число делится на 9.Например, чтобы проверить, делится ли 5409279 на 9 или нет, мы складываем все цифры, 5+4+0+9+2+7+9 = 36, которые можно добавить, как 3+6=9, и 9 делится на 9. Итак, 5409279 делится на 9.

Используя правило делимости 9, проверьте, делится ли число 8955 на 9?

Сумма всех цифр числа 8955 равна 8+9+5+5 = 27, что делится на 9. Итак, 8955 делится на 9 по правилу делимости 9.

Как узнать, делится ли число на 9

Как узнать, делится ли число на 9

Чтобы определить, делится ли число на 9, выполните следующие действия.

  1. Сложите цифры числа.
  2. Если сумма этих цифр делится на 9, исходное число делится на 9.
  3. Если сумма этих цифр не делится на 9, исходное число не делится на 9.
  4. Повторите шаги с 1 по 3 еще раз, чтобы решить, делится ли сумма цифр числа на 9.

Если число делится на 9, это означает, что число можно разделить на 9 точно без остатка.

Правило делимости на 9 состоит в том, что число делится на 9 только в том случае, если сумма его цифр также делится на 9.

В этом примере мы будем использовать правило делимости на 9, чтобы проверить, делится ли 8595 на 9.

Первым шагом является добавление цифр числа.

8 + 5 + 9 + 5 = 27.

Следующим шагом является определение, делится ли сумма цифр числа на 9.

27 делится на 9, потому что это 9 × 3.

Если сумма цифр делится на 9, то само число делится на 9.

27 делится на 9, значит, 8595 тоже делится на 9.

Если мы не уверены, делится ли сумма цифр на 9, складываем цифры этого числа и решаем, делится ли новая сумма также на 9.

Например, здесь 27 делится на 9, потому что 2 + 7 = 9.

Вот пример использования правила делимости на 9. Мы проверим, делится ли 771 на 9.

Правило проверки делимости на 9 состоит в том, чтобы сложить цифры и решить, делится ли эта сумма на 9.

7 + 7 + 1 = 15

15 не кратно 9. Первые два числа, кратные 9, равны 9 и 18.

15 не делится на 9 и, следовательно, 771 не делится на 9. Число делится на 9 только в том случае, если его цифры складываются с числом, которое делится на 9.

Неважно, насколько велико число. Правило делимости на 9 работает всегда без исключения.

Например, вот 7 719 984.

7 + 7 + 1 + 9 + 9 + 8 + 4 = 45

45 делится на 9, значит, 7 719 984 тоже делится на 9.

Вот большой пример числа, не делящегося на 9. Вот 529 943.

5 + 2 + 9 + 9 + 4 + 3 = 32

32 не делится на 9, значит, 529 943 не делится на 9.

Почему правило делимости на 9 работает?

Правило делимости на 9 работает, потому что числа записываются с основанием 10. Каждая цифра числа представляет собой кратное 9 плюс значение этой цифры. Число, кратное 9, делится на 9, поэтому нужно проверить только значение цифр.Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Например, 7236 можно записать как 7 × 1000 плюс 2 × 100 плюс 3 × 10 плюс 6.

7 × 1000 соответствует 7 × 999 + 7, 2 × 100 соответствует 2 × 99 + 2 и 3 × 10 соответствует 3 × 9 + 3.

Числа, кратные 999, 99 и 9, делятся на 9, поэтому нам просто нужно проверить оставшиеся цифры.

Если 7 + 2 + 3 + 6 делится на 9, то делится и все число.

7 + 2 + 3 + 6 = 18, то есть в таблице умножения на 9. Следовательно, 7236 делится на 9.

Список чисел, делящихся на 9

Существует 11 чисел меньше 100, которые делятся на 9:

9, 18, 27, 36, 45, 63, 72, 81, 90 и 99.

Числа от 1 до 100, которые делятся на 9, легко запомнить, потому что их цифры в сумме дают 9.

Как определить, делится ли число на 7, 8 или 9

Две недели назад мы узнали, как быстро проверить, делится ли число на 2 или 3, а на прошлой неделе мы узнали несколько хитрых приемов. который вы можете использовать, чтобы проверить, делится ли число на 4, 5 или 6.Итак, каков наш логичный следующий шаг? Что ж, сегодня мы собираемся закончить эту серию, научившись проверять, делится ли число на 7, 8 или 9.

Как узнать, делится ли число на 7

Быстрый и грязный совет Проверка числа на делимость на 7 состоит из трех шагов:

  1. Возьмите последнюю цифру тестируемого числа и удвойте ее.

  2. Вычтите это число из остальных цифр исходного числа.

  3. Если это новое число либо 0, либо число, которое делится на 7, то вы знаете, что исходное число также делится на 7. Если вы еще не можете легко сказать, делится ли новое число на 7, вернитесь назад. на первый шаг с этим новым меньшим числом и повторите попытку.

Купить сейчас

Будучи партнером Amazon и партнером Bookshop.org, QDT зарабатывает на соответствующих покупках.

Например, делится ли число 203 на 7? Что ж, давайте воспользуемся нашим трехэтапным процессом, чтобы выяснить:

  1. Последняя цифра числа 203 — 3, поэтому удвоить, то есть 3 х 2 = 6.

  2. Вычитание этого нового числа 6 из 20 (оставшихся цифр исходного числа 203) дает 14.

  3. Поскольку 14 делится на 7, мы можем сразу сказать, что исходное число 203 также должно делиться на 7.

Попробуем увеличить число.2023 делится на 7?

  1. Последняя цифра числа 2 023 — 3, поэтому в два раза больше, чем 6.

  2. Вычитание 6 из 202 (оставшиеся цифры из 2023) дает нам 202 – 6 = 196.

  3. Делится ли 196 на 7? Я не уверен. Итак, давайте повторим процесс, используя новое число 196. Последняя цифра 196 — 6, поэтому вдвое больше 12. Вычитая это из 19 (оставшиеся цифры 196), мы получаем 19 — 12 = 7. Поскольку 7, безусловно, делится на 7 мы сразу знаем, что исходное число 2023 тоже делится на 7!

Почему тест на делимость на 7 работает?

Хорошо, это достаточно легко сделать, но это определенно немного странно… как это вообще может работать? Что ж, это фантастический вопрос, но, к сожалению, логика этого трюка слишком сложна, чтобы я мог объяснить ее здесь. Поэтому, хотя обычно я этого не делаю, в данном случае я оставлю объяснение трюка с делимостью на 7 на потом. А пока, если вам интересно узнать больше, вы можете ознакомиться с объяснением в разделе «Дополнение» внизу этой страницы.

Страницы

Признаки делимости на 3, 4, 9 и 11

В этом посте мы узнаем о признаках делимости на 3, 4, 9 и 11 .

Признаки делимости на 3

Число делится на 3, если сумма его цифр кратна 3.

Например:  Делится ли 1098 на 3?

Складываем все цифры 1098:

1 + 0 + 9 + 8 = 18

1+ 8 = 9

9 кратно 3, поэтому 1098 делится на 3.

Критерии делимости на 4

Число делится на 4, если два последних числа делятся на 4.

Давайте рассмотрим пример. Мы хотим знать, делится ли 448 на 4 , поэтому нам нужно проверить, делятся ли два его последних числа, 48, на 4.

48/4 = 12, а остаток равен 0.

Следовательно, 448 делится на 4.

Критерии делимости на 9

Число делится на 9, если сумма его цифр кратна 9.

Например, проверим, кратно ли 2610 9.

2 + 6 + 1 + 0 = 9

Следовательно, 2610 делится на 9.

Критерии делимости на 11

Число делится на 11, если сумма чисел, занимающих четные места, за вычетом суммы чисел, занимающих нечетные места, равна 0 или числу, кратному 11.

Делится ли число 5863 на 11?

Чтобы узнать, делится ли 5863 на 11, мы определяем, какие числа стоят на четных местах, а какие — на нечетных.

Четные места: 8 и 3.

Складываем их: 8+3=11

Нечетные места: 5 и 6.

Складываем их: 5+6=11

11-11 = 0

Следовательно, 5863 делится на 11.

Попробуйте Smartick бесплатно, чтобы узнать больше о математике.

Подробнее:

Веселье — любимый способ обучения нашего мозга

Дайан Акерман

Smartick — увлекательный способ изучения математики
  • 15 минут веселья в день
  • Адаптируется к уровню вашего ребенка
  • Миллионы учеников с 2009 года

Группа создания контента.
Мультидисциплинарная и мультикультурная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
Они стремятся создать наилучший математический контент.

22 делится на 9?

В этом кратком и простом руководстве мы выясним, делится ли 22 на 9. Есть несколько простых правил, которым мы можем следовать, чтобы решить, делится ли одно число на другое, даже не выполняя деление!

Во-первых, давайте проясним, что мы подразумеваем под «22 делится на 9».Мы хотим проверить, можно ли 22 разделить на 9 без остатка (т. е. ответ — целое число).

При проверке, делится ли число на 9, самый простой способ проверить это — сложить цифры в числе 22, и если полученное число делится на 9, то и 22 тоже.

2 + 2 = 4

Мы видим, что сумма цифр в данном случае равна 4 и это число НЕ делится на 9, значит, 22 тоже НЕ делится на 9.

Еще один способ выяснить, делится ли 22 на 9, — это фактически выполнить вычисление и разделить 22 на 9:

22 / 9 =   2. 4444

Как видите, когда мы делаем это деление, мы получаем десятичную дробь 0,4444. Поскольку деление не дает целого числа, это показывает нам, что 22 не делится на 9.

Надеюсь, теперь вы точно знаете, как определить, делится ли одно число на другое. Мог ли я просто попросить вас разделить 22 на 9 и проверить, является ли это целым числом? Да, но разве ты не рад, что изучил процесс?

Попробуйте сами и попробуйте рассчитать пару из них, не используя наш калькулятор.Возьмите карандаш и лист бумаги и выберите пару чисел, чтобы попробовать.

Процитируйте, дайте ссылку или ссылку на эту страницу

Если вы нашли этот контент полезным в своем исследовании, пожалуйста, сделайте нам большую услугу и используйте приведенный ниже инструмент, чтобы убедиться, что вы правильно ссылаетесь на нас, где бы вы его ни использовали. Мы очень ценим вашу поддержку!

  • Делится ли 22 на 9?

  • «22 делится на 9?». VisualFractions.com . По состоянию на 30 марта 2022 г. http://visualfractions.com/calculator/divisible-by/is-22-divisible-by-9/.

  • «22 делится на 9?». VisualFractions.com , http://visualfractions.com/calculator/divisible-by/is-22-divisible-by-9/. По состоянию на 30 марта 2022 г.

  • 22 делится на 9?. VisualFractions.com. Получено с http://visualfractions.com/calculator/divisible-by/is-22-divisible-by-9/.

Делится на X Калькулятор

Вычисление следующего деления на X

Делится ли 45 на 9?

В этом кратком и простом руководстве мы выясним, делится ли 45 на 9.Есть несколько простых правил, которым мы можем следовать, чтобы решить, делится ли одно число на другое, даже не выполняя деление!

Прежде всего, давайте проясним, что мы подразумеваем под «45 делится на 9». Мы хотим проверить, можно ли 45 разделить на 9 без остатка (т. е. ответ — целое число).

При проверке, делится ли число на 9, самый простой способ проверить это — сложить цифры в числе 45, и если полученное число делится на 9, то и 45 тоже.

4 + 5 = 9

Мы видим, что сумма цифр в этом случае равна 9, и это число делится на 9, а это значит, что 45 также делится на 9.

Еще один способ выяснить, делится ли 45 на 9, — это фактически выполнить вычисление и разделить 45 на 9:

45 / 9 =   5

Поскольку ответом на наше деление является целое число, мы знаем, что 45 делится на 9.

Надеюсь, теперь вы точно знаете, как определить, делится ли одно число на другое.Мог ли я просто попросить вас разделить 45 на 9 и проверить, является ли это целым числом? Да, но разве ты не рад, что изучил процесс?

Попробуйте сами и попробуйте рассчитать пару из них, не используя наш калькулятор. Возьмите карандаш и лист бумаги и выберите пару чисел, чтобы попробовать.

Процитируйте, дайте ссылку или ссылку на эту страницу

Если вы нашли этот контент полезным в своем исследовании, пожалуйста, сделайте нам большую услугу и используйте приведенный ниже инструмент, чтобы убедиться, что вы правильно ссылаетесь на нас, где бы вы его ни использовали. Мы очень ценим вашу поддержку!

  • 45 делится на 9?

  • «45 делится на 9?». VisualFractions.com . По состоянию на 30 марта 2022 г. http://visualfractions.com/calculator/divisible-by/is-45-divisible-by-9/.

  • «45 делится на 9?». VisualFractions.com , http://visualfractions.com/calculator/divisible-by/is-45-divisible-by-9/.По состоянию на 30 марта 2022 г.

  • 45 делится на 9?. VisualFractions.com. Получено с http://visualfractions.com/calculator/divisible-by/is-45-divisible-by-9/.

Делится на X Калькулятор

Вычисление следующего деления на X

Делимость на 9 — ProofWiki

Содержание

  • 1 Теорема
    • 1.1 Следствие
  • 2 Пруф 1
  • 3 Пруф 2
  • 4 источника

Теорема

Число, выраженное в десятичной системе счисления, делится на $9$ тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на $9$. n\) \(\экв\) \(\ds 0 \pmod 9\) как $10\экв 1\pmod 9$ \(\ds\ ведет к\\\) \(\ds a_0 + a_1 + \cdots + a_n\) \(\экв\) \(\ds 0 \pmod 9\)

$\blacksquare$

Это частный случай сравнения суммы цифр с основанием меньше 1.

$\черный квадрат$

Источники

  • 1978: Томас А. Уайтлоу: Введение в абстрактную алгебру  .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.