Как в равнобедренном треугольнике найти основание: Как найти основание равнобедренного треугольника?

Содержание

Как найти основание равнобедренного треугольника зная периметр. Периметр и площадь треугольника. Формула вычисления периметра

Предварительные сведения

Периметр любой плоской геометрической фигур на плоскости определяется как сумма длин всех его сторон. Исключением из этого не является и треугольник. Сначала приведем понятие треугольника, а также виды треугольников в зависимости от сторон.

Определение 1

Треугольником будем называть геометрическую фигуру, которая составлена из трех точек, соединенных между собой отрезками (рис. 1).

Определение 2

Точки в рамках определения 1 будем называть вершинами треугольника.

Определение 3

Отрезки в рамках определения 1 будем называть сторонами треугольника.

Очевидно, что любой треугольник будет иметь 3 вершины, а также три стороны.

В зависимости от отношении сторон друг к другу, треугольники делятся на разносторонние, равнобедренные и равносторонние.

Определение 4

Треугольник будем называть разносторонним, если ни одна из его сторон не равняется никакой другой.

Определение 5

Треугольник будем называть равнобедренным, если две его стороны равны друг другу, но не равняются третьей стороне.

Определение 6

Треугольник будем называть равносторонним, если все его стороны равняются друг другу.

Все виды этих треугольников Вы можете видеть на рисунке 2.

Как найти периметр разностороннего треугольника?

Пусть нам дан разносторонний треугольник, у которого длины сторон будут равняться $α$, $β$ и $γ$.

Вывод: Для нахождения периметра разностороннего треугольника надо все длин его сторон сложить между собой.

Пример 1

Найти периметр разностороннего треугольника равняются $34$ см, $12$ см и $11$ см.

$P=34+12+11=57$ см

Ответ: $57$ см.

Пример 2

Найти периметр прямоугольного треугольника, у которого катеты равняются $6$ и $8$ см.

Сначала найдем длину гипотенуз этого треугольника по теореме Пифагора. Обозначим ее через $α$, тогда

$α=10$ По правилу вычисления периметра разностороннего треугольника, получим

$P=10+8+6=24$ см

Ответ: $24$ см.

Как найти периметр равнобедренного треугольника?

Пусть нам дан равнобедренный треугольник, у которого длины боковых сторон будут равняться $α$, а длина основания равняется $β$.

По определению периметра плоской геометрической фигуры, получим, что

$P=α+α+β=2α+β$

Вывод: Для нахождения периметра равнобедренного треугольника надо удвоенную длину его сторон сложить с длиной его основания.

Пример 3

Найти периметр равнобедренного треугольника, если его боковые стороны равняются $12$ см, а основание $11$ см.

По рассмотренному выше примеру, видим, что

$P=2\cdot 12+11=35$ см

Ответ: $35$ см.

Пример 4

Найти периметр равнобедренного треугольника, если его высота, проведенная на основание, равняется $8$ см, а основание $12$ см.

Рассмотрим рисунок по условию задачи:

Так как треугольник равнобедренный, то $BD$ также является и медианой, следовательно, $AD=6$ см.

По теореме Пифагора, из треугольника $ADB$, найдем боковую сторону. Обозначим ее через $α$, тогда

По правилу вычисления периметра равнобедренного треугольника, получим

$P=2\cdot 10+12=32$ см

Ответ: $32$ см.

Как найти периметр равностороннего треугольника?

Пусть нам дан равносторонний треугольник, у которого длины всех сторон будут равняться $α$.

По определению периметра плоской геометрической фигуры, получим, что

$P=α+α+α=3α$

Вывод: Для нахождения периметра равностороннего треугольника надо длину стороны треугольника умножить на $3$.

Пример 5

Найти периметр равностороннего треугольника, если его сторона равняется $12$ см.

По рассмотренному выше примеру, видим, что

$P=3\cdot 12=36$ см

Периметром треугольника , как в прочем и любой фигуры, называется сумма длин всех сторон. Довольно часто это значение помогает найти площадь или используется для расчета других параметров фигуры.
Формула периметра треугольника выглядит так:

Пример расчета периметра треугольника. Пусть дан треугольник со сторонами a = 4см, b = 6 см, c = 7 см. подставим данные в формулу: см

Формула расчета периметра равнобедренного треугольника будет выглядеть так:

Формула расчета периметра равностороннего треугольника :

Пример расчета периметра равностороннего треугольника. Когда все стороны фигуры равны, то их можно просто умножить на три. Допустим, дан правильный треугольник со стороной 5 см в таком случае: см

В общем, когда все стороны даны, найти периметр довольно просто. В остальных же ситуациях требуется найти размер недостающей стороны. В прямоугольном треугольнике можно найти третью сторону по

теореме Пифагора . К примеру, если известны длины катетов, то можно найти гипотенузу по формуле:

Рассмотрим пример расчета периметра равнобедренного треугольника при условии, что мы знаем длину катетов в прямоугольном равнобедренном треугольнике.
Дан треугольник с катетами a =b =5 см. Найти периметр. Для начала найдем недостающую сторону с . см
Теперь посчитаем периметр: см
Периметр прямоугольного равнобедренного треугольника будет равен 17 см.

В случае, когда известна гипотенуза и длина одного катета, можно найти недостающий по формуле:
Если в прямом треугольнике известна гипотенуза и один из острых углов, то недостающая сторона находится по формуле.

Предварительные сведения

Периметр любой плоской геометрической фигур на плоскости определяется как сумма длин всех его сторон. Исключением из этого не является и треугольник. Сначала приведем понятие треугольника, а также виды треугольников в зависимости от сторон.

Определение 1

Треугольником будем называть геометрическую фигуру, которая составлена из трех точек, соединенных между собой отрезками (рис. 1).

Определение 2

Точки в рамках определения 1 будем называть вершинами треугольника.

Определение 3

Отрезки в рамках определения 1 будем называть сторонами треугольника.

Очевидно, что любой треугольник будет иметь 3 вершины, а также три стороны.

В зависимости от отношении сторон друг к другу, треугольники делятся на разносторонние, равнобедренные и равносторонние.

Определение 4

Треугольник будем называть разносторонним, если ни одна из его сторон не равняется никакой другой.

Определение 5

Треугольник будем называть равнобедренным, если две его стороны равны друг другу, но не равняются третьей стороне.

Определение 6

Треугольник будем называть равносторонним, если все его стороны равняются друг другу.

Все виды этих треугольников Вы можете видеть на рисунке 2.

Как найти периметр разностороннего треугольника?

Пусть нам дан разносторонний треугольник, у которого длины сторон будут равняться $α$, $β$ и $γ$.

Вывод: Для нахождения периметра разностороннего треугольника надо все длин его сторон сложить между собой.

Пример 1

Найти периметр разностороннего треугольника равняются $34$ см, $12$ см и $11$ см.

$P=34+12+11=57$ см

Ответ: $57$ см.

Пример 2

Найти периметр прямоугольного треугольника, у которого катеты равняются $6$ и $8$ см.

Сначала найдем длину гипотенуз этого треугольника по теореме Пифагора. Обозначим ее через $α$, тогда

$α=10$ По правилу вычисления периметра разностороннего треугольника, получим

$P=10+8+6=24$ см

Ответ: $24$ см.

Как найти периметр равнобедренного треугольника?

Пусть нам дан равнобедренный треугольник, у которого длины боковых сторон будут равняться $α$, а длина основания равняется $β$.

По определению периметра плоской геометрической фигуры, получим, что

$P=α+α+β=2α+β$

Вывод: Для нахождения периметра равнобедренного треугольника надо удвоенную длину его сторон сложить с длиной его основания.

Пример 3

Найти периметр равнобедренного треугольника, если его боковые стороны равняются $12$ см, а основание $11$ см.

По рассмотренному выше примеру, видим, что

$P=2\cdot 12+11=35$ см

Ответ: $35$ см.

Пример 4

Найти периметр равнобедренного треугольника, если его высота, проведенная на основание, равняется $8$ см, а основание $12$ см.

Рассмотрим рисунок по условию задачи:

Так как треугольник равнобедренный, то $BD$ также является и медианой, следовательно, $AD=6$ см.

По теореме Пифагора, из треугольника $ADB$, найдем боковую сторону. Обозначим ее через $α$, тогда

По правилу вычисления периметра равнобедренного треугольника, получим

$P=2\cdot 10+12=32$ см

Ответ: $32$ см.

Как найти периметр равностороннего треугольника?

Пусть нам дан равносторонний треугольник, у которого длины всех сторон будут равняться $α$.

По определению периметра плоской геометрической фигуры, получим, что

$P=α+α+α=3α$

Вывод: Для нахождения периметра равностороннего треугольника надо длину стороны треугольника умножить на $3$.

Пример 5

Найти периметр равностороннего треугольника, если его сторона равняется $12$ см.

По рассмотренному выше примеру, видим, что

$P=3\cdot 12=36$ см

Периметр – это сумма всех сторон фигуры. Эта характеристика, наравне с площадью, одинаково востребована для всех фигур. Формула периметра равнобедренного треугольника логично вытекает из его свойств, но формула не столь сложна, как получение и закрепление практических навыков.

Формула вычисления периметра

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны между собой. Это проистекает из определения и хорошо видно даже из названия фигуры. Именно из этого свойства и проистекает формула периметра:

P=2a+b, где b-это основание треугольника, a-значение боковой стороны.

Рис. 1. Равнобедренный треугольник

Из формулы видно, что для нахождения периметра достаточно знать величину основания и одной из боковых сторон. Рассмотри несколько задач на нахождение периметра равнобедренного треугольника. Задачи будем решать по мере возрастания сложности, это позволит лучше понять способ размышления, которому нужно следовать для нахождения периметра.

2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

Найдем периметр: P=AC+AB*2=6+5*2=16

Задача 2

  • В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, равна 10, а острый угол при основании 30 градусам. нужно найти периметр треугольника.

Рис. 3. Рисунок к задаче 2

Эта задача осложнена отсутствием сведений о сторонах треугольника, но, зная значение высоты и угла, в прямоугольном треугольнике ABH можно найти катет AH, а после решение пойдет по тому же сценарию, что и в задаче 1.

Найдем AH через значение синуса:

$$sin (ABH)={BH\over AB}={1\over2}$$ — синус 30 градусов является табличным значением.

Выразим нужную сторону:

$$AB={{BH\over {1\over 2}}} =BH*2=10*2=20$$

Через котангенс найдем значение AH:

$$ctg(BAH)={AH\over BH}={1\over\sqrt{3}}$$

$$AH={BH\over\sqrt{3}}=10*\sqrt{3}=17,32$$ — получившееся значение округлим до сотых.

Найдем основание:

AC=AH*2=17,32*2=34,64

Теперь, когда все требуемые значения найдены, определим периметр:

P=AC+2*AB=34,64+2*20=74,64

Задача 3

  • В равнобедренном треугольнике ABC известна площадь, которая равна $$16\over\sqrt{3}$$ и острый угол при основании в 30 градусов. Найти периметр треугольника.

Значения в условии часто приводятся в виде произведения корня на число. Это делается, чтобы максимально оградить последующее решение от погрешностей. Округлять результат лучше в конце вычислений

При такой постановке задачи может показаться, что решений нет, ведь сложно выразить одну из сторон или высоту из имеющихся данных. Попробуем решить по-другому.

Обозначим высоту и половину основания латинскими буквами: BH=h и AH=a

Тогда основание будет равно: AC=AH+HC=AH*2=2a

Площадь: $$S={1\over 2}*AC*BH={1\over 2}*2a*h=ah$$

С другой стороны, значение h можно выразить из треугольника ABH через тангенс острого угла. Почему именно тангенс? Потому что в треугольнике ABH мы уже обозначили два катета a и h. Нужно выразить одно через другое. Два катета вместе связывают тангенс и котангенс. Традиционно к котангенсу и косинусу обращаются, только если не подходит тангенс или синус. Это не правило, можно решать так, как удобно, просто так принято. 2}=4,62$$

Подставим значения в формулу периметра:

P=AB*2+AH*2=4,62*2+4*2=17,24

Что мы узнали?

Мы разобрались подробно во всех тонкостях нахождения периметра равнобедренного треугольника. Решили три задачи разного уровня сложности, показав на примере, как решаются типовые задачи на решение равнобедренного треугольника.

Тест по теме

Оценка статьи

Средняя оценка: 4.4 . Всего получено оценок: 83.

Любого треугольника равен сумме длин трёх его сторон. Общая формула для нахождения периметра треугольников:

P = a + b + c

где P — это периметр треугольника, a , b и c — его стороны.

Можно найти сложив последовательно длины его сторон или умножив длину боковой стороны на 2 и прибавив к произведению длину основания. Общая формула для нахождения периметра равнобедренных треугольников будет выглядеть так:

P = 2a + b

где P — это периметр равнобедренного треугольника, a — любая из боковых сторон, b — основание.

Можно найти сложив последовательно длины его сторон или умножив длину любой его стороны на 3. Общая формула для нахождения периметра равносторонних треугольников будет выглядеть так:

P = 3a

где P — это периметр равностороннего треугольника, a — любая из его сторон.

Площадь

Для измерения площади треугольника можно сравнить его с параллелограммом . Рассмотрим треугольник ABC :

Если взять равный ему треугольник и приставить его так, чтобы получился параллелограмм, то получится параллелограмм с той же высотой и основанием, что и у данного треугольника:

В данном случае общая сторона сложенных вместе треугольников является диагональю образованного параллелограмма. Из свойства параллелограммов известно, что диагональ всегда делит параллелограмм на два равных треугольника, значит площадь каждого треугольника равна половине площади параллелограмма.

Так как площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, то площадь треугольника будет равна половине этого произведения. Значит для ΔABC площадь будет равна

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник:

Два равных прямоугольных треугольника можно сложить в прямоугольник, если прислонить их друг к другу гипотенузой. Так как площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон, то площадь данного треугольника равна:

Из это можно сделать вывод, что площадь любого прямоугольного треугольника равна произведению катетов, разделённому на 2.

Из данных примеров можно сделать вывод, что площадь любого треугольника равна произведению длин основания и высоты, опущенной на основание, разделённому на 2 . Общая формула для нахождения площади треугольников будет выглядеть так:

где S — это площадь треугольника, a — его основание, h a — высота, опущенная на основание a .

Задачи для самостоятельного решения

Задачи для самостоятельного решения

  1. Точка на гипотенузе, равноудаленная от обоих катетов, делит гипотенузу на отрезки длиной 30 и 40 см. Найти катеты треугольника.
  2. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна т и делит прямой угол в отношении 1:2. Найти стороны треугольника.
  3. Длины сторон прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию с разностью 1 см. Найти длину гипотенузы.
  4. Определить острые углы прямоугольного треугольника, если медиана, проведенная к его гипотенузе, делит прямой угол в отношении 1:2.
  5. Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12 см. Найти расстояние между точкой пересечения его биссектрис и точкой пересечения медиан.
  6. Найти биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника с катетами 24 и 18 см.
  7. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5 см. Определить площадь треугольника.
  8. Через вершину прямого угла прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 м проведен перпендикуляр к гипотенузе. Вычислить площади образовавшихся треугольников.
  9. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной 4 см, проведена медиана боковой стороны. Найти основание треугольника, если медиана равна 3 см.
  10. Найти длины сторон равнобедренного треугольника ABC с основанием АС, если известно, что длины его высот AN и ВМ равны соответственно n и m.
  11. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 и 20 см. Найти биссектрису угла при основании треугольника.
  12. Вычислить площадь равнобедренного треугольника, если длина высоты, проведенной к боковой стороне, равна 12 см, а длина основания равна 15 см.
  13. Найти площадь равнобедренного треугольника, если основание его равно а, а длина высоты, проведенной к основанию, равна длине отрезка, соединяющего середины основания и боковой стороны.
  14. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна Н и вдвое больше своей проекции на боковую сторону. Найти площадь треугольника.
  15. Найти длины сторон АВ и АС треугольника ABC, если ВС= 8 см, а длины высот, проведенных к АС и ВС, равны соответственно 6,4 и 4 см.
  16. В треугольнике длины двух сторон составляют 6 и 3 см. Найти длину третьей стороны, если полусумма высот, проведенных к данным сторонам, равна третьей высоте.
  17. Длина основания треугольника равна 36 см. Прямая, параллельная основанию, делит площадь треугольника пополам. Найти длину отрезка этой прямой, заключенного между сторонами треугольника.
  18. На каждой медиане треугольника взята точка, делящая медиану в отношении 3:1, считая от вершины. Во сколько раз площадь треугольника с вершинами в этих трех точках меньше площади исходного треугольника?
  19. Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на части, площади которых относятся как 2:1. В каком отношении, считая от вершины, она делит боковые стороны?
  20. Основание треугольника равно 30 см, а боковые стороны 26 и 28 см. Высота разделена в отношении 2:3 (считая от вершины), и через точку деления проведена прямая, параллельная основанию. Определить площадь полученной при этом трапеции.

Доказать тригонометрические тождества 

Как найти основание треугольника зная площадь.

Площадь треугольника

Треугольник – это такая геометрическая фигура, которая состоит из трех прямых, соединяющихся в точках, не лежащих на одной прямой. Точки соединения прямых – это вершины треугольника, которые обозначаются латинскими буквами (например, A, B,C). Соединяющиеся прямые треугольника называются отрезками, которые также принято обозначать латинскими буквами. Различают следующие типы треугольников:

  • Прямоугольный.
  • Тупоугольный.
  • Остроугольный.
  • Разносторонний.
  • Равносторонний.
  • Равнобедренный.

Общие формулы для вычисления площади треугольника

Формула площади треугольника по длине и высоте

S= a*h/2,
где а – это длина стороны треугольника, площадь которого нужно найти, h-длина проведенной к основанию высоты.

Формула Герона

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
где √-это квадратный корень, p-полупериметр треугольника, a,b,c-это длина каждой стороны треугольника. Полупериметр треугольника можно вычислить по формуле p=(a+b+c)/2.


Формула площади треугольника по величине угла и длине отрезка

S = (a*b*sin(α))/2,
где b,c -это длина сторон треугольника, sin(α)- синус угла между двумя сторонами.


Формула площади треугольника по радиусу вписанной окружности и трем сторонам

S=p*r,
где p-это полупериметр треугольника, площадь которого нужно найти, r-радиус вписанной в этот треугольник окружности.


Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной вокруг него окружности

S= (a*b*c)/4*R,
где a,b,c-это величина длины каждой стороны треугольника, R- радиус описанной вокруг треугольника окружности.


Формула площади треугольника по декартовым координатам точек

Декартовы координаты точек – это координаты в системе xOy, где x- это абсцисса, y- ордината. Декартовой системой координат xOy на плоскости называют взаимно перпендикулярные числовых оси Oх и Oy с общим началом отсчета в точке О. Если заданы координаты точек на этой плоскости в виде A(x1, y1), B(x2, y2) и C(x3, y3), то можно вычислить площадь треугольника по следующей формуле, которая получена из векторного произведения двух векторов.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
где || обозначает модуль.


Как найти площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник – это такой треугольник, у которого один угол составляет 90 градусов. Такой угол у треугольника может быть лишь один.

Формула площади прямоугольного треугольника по двум катетам

S= a*b/2,
где a,b – это длина катетов. Катетами называются стороны, прилежащие к прямому углу.


Формула площади прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу

S = a*b*sin(α)/ 2,
где a, b – это катеты треугольника, а sin(α)- это синус угла, в котором пересекаются прямые a, b.


Формула площади прямоугольного треугольника по катету и противолежащему углу

S = a*b/2*tg(β),
где a, b – это катеты треугольника, tg(β) – это тангенс угла, в котором соединяются катеты a, b.


Как вычислить площадь равнобедренного треугольника

Равнобедренным называется такой треугольник, который имеет две равные стороны. Эти стороны называются боковыми, а другая сторона является основой. Для вычисления площади равнобедренного треугольника можно использовать одну из следующих формул.

Основная формула для вычисления площади равнобедренного треугольника

S=h*c/2,
где с – это основание треугольника, h-это высота треугольника, опущенного к основанию.


Формула равнобедренного треугольника по боковой стороне и основанию

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
где с – основание треугольника, a- величина одной из боковых сторон равнобедренного треугольника.


Как найти площадь равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник – это такой треугольник, у которого все стороны равны. Для вычисления площади равностороннего треугольника можно использовать следующую формулу:
S = (√3*a*a)/4,
где a-это длина стороны равностороннего треугольника.



Вышеприведенные формулы позволят вычислить искомую площадь треугольника. Важно помнить, что для вычисления пощади треугольников нужно учитывать тип треугольника и доступные данные, которые можно использовать для вычисления.

Как вы можете помнить из школьной программы по геометрии, треугольник – это фигура, образованная из трех отрезков, соединяющихся тремя точками, не лежащими на одной прямой. Треугольник образует три угла, отсюда и название фигуры. Определение может быть и иным. Треугольник можно так же назвать многоугольником с тремя углами, ответ будет так же верным. Треугольники делятся по числу равных сторон и по величине углов в фигурах. Так выделяют такие треугольники, как равнобедренный, равносторонний и разносторонний, а так же прямоугольный, остроугольный и тупоугольный, соответственно.

Формул вычисления площади треугольника очень много. Выбирать, как найти площадь треугольника, т.е. какой формулой воспользоваться, только вам. Но стоит отметить лишь некоторые обозначения, которые используются во многих формулах вычисления площади треугольника. Итак, запоминайте:

S – это площадь треугольника,

a, b, c – это стороны треугольника,

h – это высота треугольника,

R – это радиус описанной окружности,

p – это полупериметр.

Вот основные обозначения, которые могут вам пригодиться, если вы совершенно забыли курс геометрии. Ниже будут приведены наиболее понятные и не сложные варианты вычисления неизвестной и загадочной площади треугольника. Это не сложно и пригодится как вам в домашних нуждах, так и для помощи своим детям . Давайте вспомним, как вычислить площадь треугольника проще простого:

В нашем случае площадь треугольника равна: S = ½ * 2,2 см. * 2,5 см. = 2,75 кв.см. Помните, что площадь измеряется в квадратных сантиметрах (кв.см.).

Прямоугольный треугольник и его площадь.

Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол равен 90 градусам (потому называется прямым). Прямой угол образуют две перпендикулярные линии (в случае с треугольником – два перпендикулярных отрезка). В прямоугольном треугольнике прямой угол может быть только один, т.к. сумма всех углов одного любого треугольника равна 180 градусам. Получается, что 2 других угла должны делить между собой оставшиеся 90 градусов, например 70 и 20, 45 и 45 и т. д. Итак, основное вы вспомнили, осталось узнать, как найти площадь прямоугольного треугольника. Представим, что перед нами вот такой прямоугольный треугольник, и нам необходимо найти его площадь S.

1. Самый простой способ определения площади прямоугольного треугольника высчитывается по следующей формуле:

В нашем случае, площадь прямоугольного треугольника равна: S = 2,5 см. * 3 см. / 2 = 3,75 кв.см.

В принципе, больше нет необходимости выверения площади треугольника иными способами, т.к. в быту пригодится и поможет только этот. Но существуют и варианты измерения площади треугольника через острые углы.

2. Для других способов вычисления необходимо иметь таблицу косинусов, синусов и тангенсов. Посудите сами, вот какие варианты вычисления площадей прямоугольного треугольника еще можно использовать:

Мы решили воспользоваться первой формулой и с небольшими помарками (чертили в блокноте и использовали старую линейку и транспортир), но у нас вышел верный расчет:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). У нас вышли такие результаты 3,6=3,7, но с учетом сдвига клеток, этот нюанс нам можно простить.

Равнобедренный треугольник и его площадь.

Если перед вами стоит задача вычислить формулу равнобедренного треугольника, то проще всего воспользоваться главной и как считается классической формулой площади треугольника.

Но для начала, перед тем, как найти площадь равнобедренного треугольника, узнаем, что это за фигура такая. Равнобедренным треугольником называется треугольник, у которого две стороны имеют одинаковую длину. Эти две стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. Не путайте равнобедренный треугольник с равносторонним, т.е. правильным треугольником, у которого все три стороны равны. В таком треугольнике нет особых тенденций к углам, точнее к их величине. Однако углы у основания в равнобедренном треугольнике равны, но отличаются от угла между равными сторонами. Итак, первую и главную формулу вы уже знаете, осталось узнать, какие еще формулы определения площади равнобедренного треугольника известны:

Ниже приведены формулы нахождения площади произвольного треугольника которые подойдут для нахождения площади любого треугольника, независимо от его свойств, углов или размеров. Формулы представлены в виде картинки, здесь же приведены пояснения по применению или обоснованию их правильности. Также на отдельном рисунке указаны соответствия буквенных обозначений в формулах и графических обозначений на чертеже.

Примечание . Если же треугольник обладает особыми свойствами (равнобедренный, прямоугольный, равносторонний), можно использовать формулы, приведенные ниже, а также дополнительно специальные, верные только для треугольников с данными свойствами, формулы:

  • «Формулы площади равностороннего треугольника»

Формулы площади треугольника

Пояснения к формулам :
a, b, c — длины сторон треугольника, площадь которого мы хотим найти
r — радиус вписанной в треугольник окружности
R — радиус описанной вокруг треугольника окружности
h — высота треугольника, опущенная на сторону
p — полупериметр треугольника, 1/2 суммы его сторон (периметра)
α — угол, противолежащий стороне a треугольника
β — угол, противолежащий стороне b треугольника
γ — угол, противолежащий стороне c треугольника
h a , h b , h c — высота треугольника, опущенная на сторону a , b , c

Обратите внимание, что приведенные обозначения соответствуют рисунку, который находится выше, чтобы при решении реальной задачи по геометрии Вам визуально было легче подставить в нужные места формулы правильные значения.

  • Площадь треугольника равна половине произведения высоты треугольника на длину стороны на которую эта высота опущена (Формула 1). Правильность этой формулы можно понять логически. Высота, опущенная на основание, разобьет произвольный треугольник на два прямоугольных. Если достроить каждый из них до прямоугольника с размерами b и h, то, очевидно, площадь данных треугольников будет равна ровно половине площади прямоугольника (Sпр = bh)
  • Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними (Формула 2) (см. пример решения задачи с использованием этой формулы ниже). Несмотря на то, что она кажется непохожей на предыдущую, она легко может быть в нее преобразована. Если из угла B опустить высоту на сторону b, окажется, что произведение стороны a на синус угла γ по свойствам синуса в прямоугольном треугольнике равно проведенной нами высоте треугольника, что и даст нам предыдущую формулу
  • Площадь произвольного треугольника может быть найдена через произведение половины радиуса вписанной в него окружности на сумму длин всех его сторон (Формула 3), проще говоря, нужно полупериметр треугольника умножить на радиус вписанной окружности (так легче запомнить)
  • Площадь произвольного треугольника можно найти, разделив произведение всех его сторон на 4 радиуса описанной вокруг него окружности (Формула 4)
  • Формула 5 представляет собой нахождение площади треугольника через длины его сторон и его полупериметр (половину суммы всех его сторон)
  • Формула Герона (6) — это представление той же самой формулы без использования понятия полупериметра, только через длины сторон
  • Площадь произвольного треугольника равна произведению квадрата стороны треугольника на синусы прилежащих к этой стороне углов деленного на двойной синус противолежащего этой стороне угла (Формула 7)
  • Площадь произвольного треугольника можно найти как произведение двух квадратов описанной вокруг него окружности на синусы каждого из его углов. (Формула 8)
  • Если известна длина одной стороны и величины двух прилежащих к ней углов, то площадь треугольника может быть найдена как квадрат этой стороны, деленный на двойную сумму котангенсов этих углов (Формула 9)
  • Если известна только длина каждой из высот треугольника (Формула 10), то площадь такого треугольника обратно пропорциональна длинам этих высот, как по Формуле Герона
  • Формула 11 позволяет вычислить площадь треугольника по координатам его вершин , которые заданы в виде значений (x;y) для каждой из вершин. Обратите внимание, что получившееся значение необходимо взять по модулю, так как координаты отдельных (или даже всех) вершин могут находиться в области отрицательных значений

Примечание . Далее приведены примеры решения задач по геометрии на нахождение площади треугольника. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, похожей на которую здесь нет — пишите об этом в форуме. В решениях вместо символа «квадратный корень» может применяться функция sqrt(), в которой sqrt — символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение . Иногда для простых подкоренных выражений может использоваться символ

Задача. Найти площадь по двум сторонам и углу между ними

Стороны треугольника равны 5 и 6 см. Угол между ними составляет 60 градусов. Найдите площадь треугольника .

Решение .

Для решения этой задачи используем формулу номер два из теоретической части урока.
Площадь треугольника может быть найдена через длины двух сторон и синус угла межу ними и будет равна
S=1/2 ab sin γ

Поскольку все необходимые данные для решения (согласно формуле) у нас имеются, нам остается только подставить значения из условия задачи в формулу:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

В таблице значений тригонометрических функций найдем и подставим в выражение значение синуса 60 градусов . Он будет равен корню из трех на два.
S = 15 √3 / 2

Ответ : 7,5 √3 (в зависимости от требований преподавателя, вероятно, можно оставить и 15 √3/2)

Задача. Найти площадь равностороннего треугольника

Найти площадь равностороннего треугольника со стороной 3см.

Решение .

Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c — a)(a + c — b)(a + b -c))

Поскольку a = b = c формула площади равностороннего треугольника примет вид:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Ответ : 9 √3 / 4.

Задача. Изменение площади при изменении длины сторон

Во сколько раз увеличится площадь треугольника, если стороны увеличить в 4 раза?

Решение .

Поскольку размеры сторон треугольника нам неизвестны, то для решения задачи будем считать, что длины сторон соответственно равны произвольным числам a, b, c. Тогда для того, чтобы ответить на вопрос задачи, найдем площадь данного треугольника, а потом найдем площадь треугольника, стороны которого в четыре раза больше. Соотношение площадей этих треугольников и даст нам ответ на задачу.

Далее приведем текстовое пояснение решения задачи по шагам. Однако, в самом конце, это же самое решение приведено в более удобном для восприятия графическом виде. Желающие могут сразу опуститься вниз решения.

Для решения используем формулу Герона (см. выше в теоретической части урока). Выглядит она следующим образом:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c — a)(a + c — b)(a + b -c))
(см. первую строку рисунка внизу)

Длины сторон произвольного треугольника заданы переменными a, b, c.
Если стороны увеличить в 4 раза, то площадь нового треугольника с составит:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c — 4a)(4a + 4c — 4b)(4a + 4b -4c))
(см. вторую строку на рисунке внизу)

Как видно, 4 — общий множитель, который можно вынести за скобки из всех четырех выражений по общим правилам математики.
Тогда

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c — a)(a + c — b)(a + b -c)) — на третьей строке рисунка
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c — a)(a + c — b)(a + b -c)) — четвертая строка

Из числа 256 прекрасно извлекается квадратный корень, поэтому вынесем его из-под корня
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c — a)(a + c — b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c — a)(a + c — b)(a + b -c))
(см. пятую строку рисунка внизу)

Чтобы ответить на вопрос, заданный в задаче, нам достаточно разделить площадь получившегося треугольника, на площадь первоначального.
Определим соотношения площадей, разделив выражения друг на друга и сократив получившуюся дробь.

Треугольник — это одна из самых распространенных геометрических фигур, с которой мы знакомимся уже в начальной школе. С вопросом, как найти площадь треугольника, сталкивается каждый школьник на уроках геометрии. Так, какие же особенности нахождения площади данной фигуры можно выделить? В данной статье мы рассмотрим основные формулы, необходимые для выполнения такого задания, а также разберем виды треугольников.

Виды треугольников

Найти площадь треугольника можно абсолютно разными способами, потому что в геометрии выделяется не один вид фигур, содержащих три угла. К таким видам относятся:

  • Тупоугольный.
  • Равносторонний (правильный).
  • Прямоугольный треугольник.
  • Равнобедренный.

Рассмотрим подробнее каждый из существующих типов треугольников.

Такая геометрическая фигура считается наиболее распространенной при решении геометрических задач. Когда возникает необходимость начертить произвольный треугольник, на помощь приходит именно этот вариант.

В остроугольном треугольнике, как понятно по названию, все углы острые и в сумме составляют 180°.

Такой треугольник также очень распространен, однако встречается несколько реже остроугольного. Например, при решении треугольников (т. е. известно несколько его сторон и углов и нужно найти оставшиеся элементы) иногда требуется определить, является угол тупым или нет. Косинус — это отрицательное число.

В величина одного из углов превышает 90°, поэтому оставшиеся два угла могут принимать маленькие значения (например, 15° или вовсе 3°).

Чтобы найти площадь треугольника данного типа, необходимо знать некоторые нюансы, о которых мы поговорим дальше.

Правильный и равнобедренный треугольники

Правильным многоугольником называется фигура, включающаяся в себя n углов, у которой все стороны и углы равны. Таким и является правильный треугольник. Так как сумма всех углов треугольника составляет 180°, то каждый из трех углов равен 60°.

Правильный треугольник, благодаря его свойству, также называют равносторонней фигурой.

Стоит также отметить, что в правильный треугольник можно вписать только одну окружность и около него можно описать только одну окружность, причем их центры расположены в одной точке.

Помимо равностороннего типа, можно также выделить равнобедренный треугольник, несильно от него отличающийся. В таком треугольнике две стороны и два угла равны между собой, а третья сторона (к которой прилегают равные углы) является основанием.

На рисунке показан равнобедренный треугольник DEF, углы D и F которого равны, а DF является основанием.

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник назван так потому, что один из его углов прямой, то есть равен 90°. Другие же два угла в сумме составляют 90°.

Самая большая сторона такого треугольника, лежащая против угла в 90° является гипотенузой, остальные же две его стороны — это катеты. Для данного типа треугольников применима теорема Пифагора:

Сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.

На рисунке изображен прямоугольный треугольник BAC с гипотенузой AC и катетами AB и BC.

Чтобы найти площадь треугольника с прямым углом, нужно знать числовые значения его катетов.

Перейдем к формулам нахождения площади данной фигуры.

Основные формулы нахождения площади

В геометрии можно выделить две формулы, которые подходят для нахождения площади большинства видов треугольников, а именно для остроугольного, тупоугольного, правильного и равнобедренного треугольников. Разберем каждую из них.

По стороне и высоте

Данная формула является универсальной для нахождения площади, рассматриваемой нами фигуры. Для этого достаточно знать длину стороны и длину проведенной к ней высоты. Сама формула (половина произведения основания на высоту) выглядит следующим образом:

где A — сторона данного треугольника, а H — высота треугольника.

Например, чтобы найти площадь остроугольного треугольника ACB, нужно умножить его сторону AB на высоту CD и разделить получившееся значение на два.

Однако не всегда бывает легко найти площадь треугольника таким способом. Например, чтобы воспользоваться этой формулой для тупоугольного треугольника, необходимо продолжить одну из его сторон и только после этого провести к ней высоту.

На практике данная формула применяется чаще остальных.

По двум сторонам и углу

Данная формула, как и предыдущая подходит для большинства треугольников и по своему смыслу является следствием формулы нахождения площади по стороне и высоте треугольника. То есть рассматриваемую формулу можно легко вывести из предыдущей. Ее формулировка выглядит так:

S = ½*sinO*A*B,

где A и B — это стороны треугольника, а O — угол между сторонами A и B.

Напомним, что синус угла можно посмотреть в специальной таблице, названной в честь выдающегося советского математика В. М. Брадиса.

А теперь перейдем к другим формулам, подходящим только для исключительных видов треугольников.

Площадь прямоугольного треугольника

Помимо универсальной формулы, включающей в себя необходимость проводить высоту в треугольнике, площадь треугольника, содержащего прямой угол, можно найти по его катетам.

Так, площадь треугольника, содержащего прямой угол, — это половина произведения его катетов, или:

где a и b — катеты прямоугольного треугольника.

Правильный треугольник

Данный вид геометрических фигур отличается тем, что его площадь можно найти при указанной величине лишь одной его стороны (так как все стороны правильного треугольника равны). Итак, встретившись с задачей «найти площадь треугольника, когда стороны равны», нужно воспользоваться следующей формулой:

S = A 2 *√3 / 4,

где A — это сторона равностороннего треугольника.

Формула Герона

Последний вариант для нахождения площади треугольника — это формула Герона. Для того чтобы ею воспользоваться, необходимо знать длины трех сторон фигуры. Формула Герона выглядит так:

S = √p·(p — a)·(p — b)·(p — c),

где a, b и c — это стороны данного треугольника.

Иногда в задаче дано: «площадь правильного треугольника — найти длину его стороны». В данном случае нужно воспользоваться уже известной нам формулой нахождения площади правильного треугольника и вывести из нее значение стороны (или ее квадрата):

A 2 = 4S / √3.

Экзаменационные задачи

В задачах ГИА по математике встречаются множество формул. Помимо этого, достаточно часто необходимо найти площадь треугольника на клетчатой бумаге.

В данном случае удобнее всего провести высоту к одной из сторон фигуры, определить по клеткам ее длину и воспользоваться универсальной формулой для нахождения площади:

Итак, после изучения представленных в статье формул, у вас не возникнут проблемы при нахождении площади треугольника любого вида.

Инструкция

Стороны и углы считаются основными элементами а . Треугольник полностью определяется любой из следующих своих основных элементов: либо тремя сторонами, либо одной стороной и двумя углами, либо двумя сторонами и углом между ними. Для существования треугольника , задаваемого тремя сторонами a, b, c, необходимо и достаточно выполнение неравенств, называемых неравенствами треугольника :
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

Для построения треугольника по трем сторонам a, b, c, необходимо из точки С отрезка СВ=a как из провести циркулем окружность радиусом b. Затем аналогичным образом провести из точки B окружность радиусом равным стороне c. Точка их пересечения A – третья вершина искомого треугольника ABC, где АВ=c, CB=a, CA=b — стороны треугольника . Задача имеет , если стороны a, b, c, удовлетворяют неравенствам треугольника указанным в шаге 1.

Площадь S, построенного таким образом треугольника ABC с известными сторонами a, b, c, вычисляется по формуле Герона:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
где a, b, c – стороны треугольника , p – полупериметр. 2 v3)/4

Если треугольник является прямоугольным, то есть один из его углов равен 90°, а стороны, его образующие, катетами, третья сторона гипотенузой. В данном случае площадь равняется произведению катетов, деленному на два.
S=ab/2

Чтобы найти площадь треугольника , можно воспользоваться одной из многочисленных формул. Формулу выбирайте в зависимости от того, какие данные уже известны.

Вам понадобится

  • знание формул для нахождения площади треугольника

Инструкция

Если вы знаете величину одной из сторон и величину высоты, опущенной на эту сторону из противолежащего ей угла, то можно найти площадь по следующей : S = a*h/2, где S — площадь треугольника, a — одна из сторон треугольника, а h — высота, к стороне a.

Существует известная для определения площади треугольника, если известны три его стороны. Она формулой Герона. Для упрощения ее записи вводят промежуточную величину — полупериметр: p = (a+b+c)/2, где a, b, c — . возведение в степень.

Предположим, что вам известна одна из сторон треугольника и три угла. Тогда легко найти площадь треугольника: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), где β — угол, противолежащий стороне a, а α и γ — прилежащие к стороне углы.

Видео по теме

Обратите внимание

Самая общая формула, которая подходит для всех случаев — это формула Герона.

Источники:

Поиск площади треугольника — одна из самых распространенных задач школьной планиметрии. Знания трех сторон треугольника достаточно для определения площади любого треугольника. В частных случаях и равностороннего треугольников достаточно знать длины двух и одной стороны соответственно.

Вам понадобится

  • длины сторон треугольников, формула Герона, теорема косинусов

Инструкция

Формула Герона для площади треугольника следующим образом: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Если расписать полупериметр p, то получится: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c)/2)) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4. 2). Подставляя синус в формулу для площади и расписывая его, можно прийти к формуле для площади треугольника ABC.

Видео по теме

Для проведения ремонтных работ бывает необходимо измерить площадь стен. Так проще рассчитать необходимое количество краски или обоев. Для измерений лучше всего воспользоваться рулеткой или сантиметровой лентой. Замеры следует проводить уже после того, как стены были выровнены.

Вам понадобится

  • -рулетка;
  • -стремянка.

Инструкция

Чтобы посчитать площадь стен, вам необходимо знать точную высоту потолков, а также произвести замеры длины по полу. Делается это следующим образом: возьмите сантиметр, проложите его над плинтусом. Обычно сантиметра для всей длины не хватает, поэтому закрепите его в углу, затем размотайте на максимальную длину. В этой точке поставьте отметку карандашом, запишите полученный результат и дальнейшее измерение проводите тем же образом, начиная с последней точки замера.

Стандартная потолков в типовых — 2 метра 80 сантиметров, 3 метра и 3 метра 20 сантиметров, в зависимости от дома. Если дом был построен до 50-х годов, то, скорее всего, реальная высота несколько ниже указанной. Если вы вычисляете площадь для ремонтных работ, то небольшой запас не повредит — считайте, исходя из стандарта. Если все же необходимо знать реальную высоту — проведите замеры . Принцип аналогичен измерению длины, но потребуется стремянка.

Перемножьте полученные показатели — это и есть площадь вашей стены . Правда, при покрасочных работах или для необходимо вычесть площадь дверных и оконных проемов. Для этого проложите сантиметр вдоль проема. Если речь идет о двери, которую вы впоследствии собираетесь менять, то проводите со снятой дверной коробкой, учитывая только площадь непосредственно самого проема. Площадь окна высчитывается по периметру его рамы. После того, как площадь окна и дверного проема высчитана, вычтите результат из общей полученной площади комнаты.

Учтите, что замеры длины и ширины комнаты проводить вдвоем, так легче зафиксировать сантиметр или рулетку и, соответственно, получить более точный результат. Проводите один и тот же замер несколько раз, чтобы убедиться в точности полученных цифр.

Видео по теме

Нахождение объема треугольника действительно нетривиальная задача. Дело в том, что треугольник — двухмерная фигура, т.е. он целиком лежит в одной плоскости, а это значит, что у него попросту нет объема. Разумеется нельзя найти то, чего не существует. Но не будем опускать руки! Можно принять следующее допущение — объем двухмерной фигуры, это ее площадь. Площадь треугольника мы и будем искать.

Вам понадобится

  • лист бумаги, карандаш, линейка, калькулятор

Инструкция

Начертите на листе бумаги при помощи линейки и карандаша. Внимательно рассмотрев треугольник, вы сможете убедиться, что у него действительно нет , так как он нарисован на плоскости. Подпишите стороны треугольника: пусть одна сторона будет стороной «а», другая — стороной «b», и третья — стороной «c». Подпишите вершины треугольника буквами «А», «B» и «C».

Измерьте линейкой любую сторону треугольника и запишите получившийся результат. После этого восстановите перпендикуляр к измеренной стороне из противоположной ей вершины, такой перпендикуляр будет высотой треугольника. В случае, представленном на рисунке, перпендикуляр «h» восстановлен к стороне «c» из вершины «A». Измерьте получившуюся высоту линейкой и запишите результат измерения.

Может случиться, что вам будет сложно восстановить точный перпендикуляр. В этом случае вам следует воспользоваться другой формулой. Измерьте все стороны треугольника линейкой. После этого подсчитайте полупериметр треугольника «p», сложив получившиеся длины сторон и разделив их сумму пополам. Имея в своем распоряжении значение полупериметра, вы можете по формуле Герона. Для этого необходимо извлечь квадратный корень из следующего : p(p-a)(p-b)(p-c).

Вы получили искомую величину площади треугольника. Задача нахождения объема треугольника не решена, но как говорилось выше, объема не . Вы можете найти объем , которая по сути треугольником в трехмерном мире. Если представить, что наш первоначальный треугольник стал трехмерной пирамидой, то объем такой пирамиды будет произведению длины ее основания на полученную нами площадь треугольника.

Обратите внимание

Подсчеты будут тем точнее, чем тщательнее вы будете производить измерения

Источники:

  • Калькулятор “Все во все” — портал по справочным величинам
  • объем треугольника в 2019

Три точки, однозначно определяющие треугольник в Декартовой системе координат — это его вершины. Зная их положение относительно каждой из координатных осей можно вычислить любые параметры этой плоской фигуры, включая и ограничиваемую ее периметром площадь . Это можно сделать несколькими способами.

Инструкция

Используйте формулу Герона для расчета площади треугольника . В ней задействованы размеры трех сторон фигуры, поэтому вычисления начините с . Длина каждой стороны должна быть равна корню из суммы квадратов длин ее проекций на координатные оси. Если обозначить координаты A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) и C(X₃,Y₃,Z₃), длины их сторон можно выразить так: AB = √((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Для упрощения расчетов введите вспомогательную переменную — полупериметр (Р). Из , что это половина суммы длин всех сторон: Р = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²) + √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Математика для блондинок: Сторона равнобедренного треугольника

Вот крик о помощи, в котором просят помочь найти сторону равнобедренного треугольника:

Помогите, пожалуйста! Я не понимаю геометрию(( У меня задача по типу вот этой, только числа другие. Мне бы сам ход решения.

ЗАДАЧА: Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 25.

Помочь мне не трудно, но есть одна проблема: я понятия не имею о школьной программе и не представляю, что можно использовать при решении задачи, а что нельзя. Если просто брать математику и использовать её для решения, то задача решается довольно просто.

Начинаем рассуждать. У нас есть площадь равнобедренного треугольника и угол при его вершине. Нужно найти длину боковой стороны. Можно использовать теорему Пифагора, тригонометрические функции и всё то, чему вас учили до этого момента. Используя разные трюки с подстановками, можно в конце концов найти решение этой задачи. Я поступлю гораздо проще.

Для определения площади треугольника существует много разных формул. Вот к ним-то я и предлагаю присмотреться внимательнее.

Площадь треугольника формулы
 Все эти формулы есть в Википедии, можно их отыскать и в разных математических справочниках. Шестая формула нам подходит как нельзя кстати. Здесь площадь треугольника определяется по боковой стороне и углам. Зная площадь треугольника, можно легко найти сторону. Осталось только с углами разобраться. Углы в основании равнобедренного треугольника равны. На картинке запишем те условия, которые превращают обычный треугольник в равнобедренный.
Равнобедренный треугольник
Как видите, нам даже нет необходимости искать углы в основании равнобедренного треугольника — синусы этих углов равны и сокращаются в дроби. Угол в вершине равен 30 градусов, синус этого угла равен одной второй. Теперь легко можно решить задачу. Выражаем квадрат стороны через площадь и синус угла в вершине, извлекаем квадратный корень и получаем сторону размером в 10 единиц.

Это взрослое решение. Все взрослые пользуются справочниками, не вдаваясь в подробности. Для инквизиторов от математики такое решение может показаться богохульством. Специально для инквизиторов мы сейчас выведем формулу площади равнобедренного треугольника через боковую сторону и синус угла в вершине. Как и предыдущее решение, это будет пример того, как нужно пользоваться математикой.

Стоп! Я обещал писать в режиме реального времени. Так вот, всё, что написано до сих пор, писалось в ночь с пятницы на субботу. Сейчас утро воскресенья. Почему я сразу всё не написал? Ну, во-первых, у меня проблемы с картинками тригонометрических формул — программа, в которой я их писал, начала глючить и не переключается на английский язык. Во-вторых, я, наверное, чувствовал, что у этой задачи есть очень простое, детское, решение. Сегодня утром до меня дошло.

Почему-то все самые интересные решения ко мне приходят по утрам. Может, я ночью с инопланетянами общаюсь? Может, это они за меня задачки решают? Есть там у них какой-то канал, типа Ютуба, под названием «Из жизни идиотов». Когда им становится грустно, они включают этот канал и начинают ухохатываться над нашими математиками с их идиотскими определениями и не менее грамотными решениями. Потом появляюсь я со своим; «Не могу решить задачу…». Они долго смеются и один говорит другому: «Покажи этому дурачку картинку, пусть исчезнет с экрана». Формулы можно записывать разными загогулинами и вкладывать в эти загогулины разный смысл. А вот геометрия на всю вселенную одна и у инопланетян равнобедренный треугольник выглядит точно так же, как и у нас. Именно поэтому инопланетяне понимают, что делают наши математики и им становится очень смешно. Мы ведь тоже смеемся, наблюдая за некоторыми проделками животных.


Это было маленькое лирическое отступление. Теперь перейдем к инквизиторским пыткам и я на время превращусь в математика-садиста, который будет мучить вас тригонометрией. Для начала картинка нашего равнобедренного треугольника с сохранением всех обозначений, принятых для произвольного треугольника. Почему я об этом специально говорю? Из-за тупости отдельных наших математиков. Если в формуле треугольника фигурирует один угол, то математик обозначит его как «альфа» и ему по барабану, этот угол находится в основании или в вершине треугольника. Это уже потом он будет тыкать пальцем в картинку и рассказывать, что именно этот угол он имел в виду, а не какой-нибудь другой. Когда же посторонний человек попробует воспользоваться такой формулой, вот тут и начинаются все проблемы в математике. И так, картинка.
Равнобедренный треугольник
Теперь тригонометрические пляски с бубном.
Вывод формулы площади равнобедренного треугольника
Краткое пояснение к этой шаманской пляске. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Высоту и основание выражаем через боковую сторону и тригонометрические функции угла при основании треугольника. Дальше переходим к углу в вершине треугольника, точнее, его половине. На следующем этапе используем тригонометрическую формулу произведения синуса и косинуса, но с учетом того, что у нас одинаковые углы. Потом всё складываем в кучку и получаем искомую формулу площади равнобедренного треугольника.

Но всё гениальное просто. Давайте разрежем наш равнобедренный треугольник пополам и сложим две половинки в прямоугольник.

Равнобедренный треугольник и прямоугольник
 А как известно, площадь любого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними. Наша боковая сторона равнобедренного треугольника превратилась в диагональ прямоугольника, угол в вершине равен углу между диагоналями. Мы получаем ту же формулу площади равнобедренного треугольника.

Ну и наконец, само решение задачи.

Сторона равнобедренного треугольника
Картинки получились плохими. Но мы это как-нибудь переживем. Главное — их смысл.

Свойства равнобедренного треугольника / Треугольники / Справочник по геометрии 7-9 класс

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по геометрии 7-9 класс
  4. Треугольники
  5. Свойства равнобедренного треугольника

1. Теорема

Дано: АВС — равнобедренный, ВС — основание.

Доказать: В = С.

Доказательство:

Проведем биссектрису АD из вершины А к стороне ВС.

Рассмотрим АВD и АСD: АВ = АС по условию (АВС — равнобедренный), АD — общая сторона, BAD = CAD, так как АD — биссектриса по построению, АВD = АСD по первому признаку равенства треугольников В = С, потому что в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы (В лежит против стороны АС, С. — против стороны АВ).

Теорема доказана.

Справедливо и обратное утверждение:

Если в каком-либо треугольнике два угла равны, то такой треугольник равнобедренный.

 

2. Теорема

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой

Дано: АВС — равнобедренный, ВС — основание, АD — биссектриса.

Доказать: АD — медиана и высота.

Доказательство:

Рассмотрим АВD и АСD: АВ = АС по условию (АВС — равнобедренный), АD — общая сторона, BAD = CAD, так как АD — биссектриса по условию, АВD = АСD по первому признаку равенства треугольников ВD = DC и ADВ = ADС.  

Мы доказали, что ВD = DC точка D — середина стороны ВС, тогда АD является медианой АВС (по определению медианы).

Мы доказали, что ADВ = ADС, причем ADВ и ADС смежные углы, поэтому ADВ + ADС = 1800,  тогда ADВ = ADС = 900, т.е. АDBC, а это означает, что AD является высотой АВС (по определению высоты).

Теорема доказана.

Справедливо и обратное утверждение:

Если в каком-либо треугольнике медиана и высота совпадут, то такой треугольник равнобедренный, а сторона, к которой они проведены, основание данного треугольника.

 

3. Теорема

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой

Справедливо и обратное утверждение:

Если в каком-либо треугольнике медиана и биссектриса совпадут, то такой треугольник равнобедренный, а сторона, к которой они проведены, основание данного треугольника.

 

4. Теорема

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.

Справедливо и обратное утверждение:

Если в каком-либо треугольнике высота и биссектриса совпадут, то такой треугольник равнобедренный, а сторона, к которой они проведены, основание данного треугольника.

 

Важно помнить, что данные теоремы справедливы только в том случае, если высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника проведены к его ОСНОВАНИЮ.

 

Если треугольник равносторонний, то данные теоремы справедливы для медиан, биссектрис и высот, проведенных к каждой из сторон треугольника.

EFG — равносторонний:

  • ЕС — биссектриса, медиана и высота, проведенная к стороне FG,
  • FK — биссектриса, медиана и высота, проведенная к стороне ЕG,
  • GM — биссектриса, медиана и высота, проведенная к стороне ЕF.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Треугольник

Равенство треугольников

Первый признак равенства треугольников

Перпендикуляр к прямой

Медианы треугольника

Биссектрисы треугольника

Высоты треугольника

Равнобедренный треугольник

Второй признак равенства треугольников

Третий признак равенства треугольников

Окружность

Построения циркулем и линейкой

Треугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 153, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 190, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 226, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 228, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 425, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 670, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 691, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 812, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 843, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1310, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


© budu5. com, 2022

Пользовательское соглашение

Copyright

Проверочная № 6 Равнобедренный треугольник

1 вариант

1).Периметр равнобедренного треугольника равен 7,5 см, а боковая сторона 2 см. Найдите основание.

2). В равнобедренном треугольнике DEK с основанием DK = 16 см отрезок EF – биссектриса, ∠DEF = 43˚. Найдите KF, ∠DEK, ∠EFD.

3).               А             

 

 

 

                      С

            В                   Е

Треугольник АВЕ  равнобедренный с основанием ВЕ, АС – биссектриса ˂ ВАЕ. Доказать, что треугольник ВСЕ – равнобедренный.

 

2 вариант

1)Периметр равнобедренного треугольника равен 15 см, а боковая сторона 3 см. Найдите основание.

2). В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC = 28 см отрезок AD – биссектриса, ∠BAD = 36˚. Найдите CD, ∠BAC, ∠ADB.

3).               А

 

 

 

 

 

          В    Е          О     С

Треугольник АВС – равнобедренный, с основанием ВС. На стороне ВС отмечены точки Е и О так, что ВЕ = ОС. Докажите, что

треугольник ЕАО — равнобедренный

 

3 вариант

1)Периметр равнобедренного треугольника равен 19 см, а основание – 7 см. Найдите боковую сторону треугольника

2) Периметр равнобедренного треугольника равен 58 см. Его основание является одной из сторон равностороннего треугольника, периметр которого равен 42 см. Найдите стороны равнобедренного треугольника

3)                                                        

                                                           Треугольник МРЕ  равнобедренный с основанием РЕ, МС – биссектриса ˂РМЕ. Доказать, что треугольник РСЕ – равнобедренный.

 

4        вариант

1)Периметр равнобедренного треугольника равен 12 см, а боковая сторона  – 5 см. Найдите основание треугольника

2) Периметр равнобедренного треугольника равен 40 см. Его боковая сторона является одной из сторон равностороннего треугольника, периметр которого равен 45 см. Найдите стороны равнобедренного треугольника

3).               А

 

 

 

 

 

          В    Е          О     С

Треугольник АЕО – равнобедренный, с основанием ЕО.  Докажите, что

треугольник ВАС – равнобедренный, если

ВО = ЕС.

 

Калькулятор равнобедренного прямоугольного треугольника — Расчет высокой точности

[1]  2021/12/20 13:55   30-летний уровень / Офисный работник / Государственный служащий / Очень /

Назначение
Расчет рабочего места
Комментарий/Запрос
люди любят виноград

[2]  17.12.2021 17:44   Младше 20 лет / Высшая школа/ Университет/ Аспирант / Очень /

Назначение
Для проектирования квадроциклов рама коптера
Комментарий/Запрос
Очень полезно при проектировании рамы дрона

[3]  21. 11.2021 23:54   60 лет и старше / Пенсионер / Очень /

Назначение
6

6

6
6 Схема укладки квадратной керамической плитки с ромбовидным узором.
21.11.21

[4]  26.07.2021 20:06   30-летний уровень / Инженер / Полезное /

Назначение
Изготовление 3D-детали, Знал диаметр круга и квадрата нужно вписаться… но не хотелось решать уравнение

[5]  2021/07/08 04:08   60 лет или старше / Пенсионер / Очень /

Цель использования
Я воспользовался калькулятором, чтобы определить размер треугольника, необходимого для изготовления банданы для собаки.Я знал, что хочу, чтобы высота была 9,5 дюймов. Калькулятор дал длину стороны и основания. Спасибо!

[6]  2021/06/03 15:52   30-летний уровень / Офисный работник / Государственный служащий / Очень /

Назначение
Размер шкафа под мойку угловой
90 203 [0/ 13.02 18:40   40-летний уровень / Офисный работник / Государственный служащий / Очень /

Цель использования
Строительство Каркасные клетки для кроликов, необходима приблизительная длина ножек, чтобы рассчитать, сколько пиломатериалов потребуется

[8]  2020/01/23 15:04   40-летний уровень / Офисный работник / Государственный служащий / Полезный /

Цель использования
Это был хороший инструмент, чтобы вычислить высоту чердака, зная ширина пола и уклон кровли.

[9]  25.11.2019 18:35   60 лет и старше / Офисный работник / Государственный служащий / Полезный /

Цель использования
Повторение мат.

[10]  25.09.2019 18:52   40-летний уровень / Офисный работник / Государственный служащий / Очень /

Назначение
Помощь с домашним заданием!

Как найти основание треугольника четырьмя различными способами

В зависимости от того, изучаете ли вы площадь треугольника, теорему Пифагора или продвинутую тригонометрию на уроке математики в старшей школе, существует множество способов найти основание треугольника. основание треугольника.Вот несколько наиболее распространенных сценариев и методов:

1. Как найти основание из площади треугольника

Формула площади треугольника:

Если вы знаете площадь треугольника, а также высоту треугольника, вы можете применить формулу площади в обратном порядке, чтобы вычислить длину основания, используя алгебру для выделения интересующей вас переменной:

2.

Как найти основание прямоугольного треугольника

Когда дело доходит до нахождения основания прямоугольного треугольника, вы можете применить либо теорему Пифагора, либо формулу площади в зависимости от того, знаете ли вы длины двух сторон или только площадь и высоту.Если вы знаете длину гипотенузы и длину другой стороны, вы можете применить теорему Пифагора в обратном порядке:

Если вы не знаете площадь, но знаете длину стороны треугольника, вы можете смело использовать формулу площади. Прямой угол означает, что высота (воображаемый перпендикуляр от основания) и сторона треугольника совпадают. Рассмотрим следующий треугольник abc:

.

Здесь мы переворачиваем формулу площади и находим:

3.Как найти основание равнобедренного треугольника

Если вы знаете длину стороны и высоту равнобедренного треугольника, вы можете найти основание треугольника, используя эту формулу:

, где термин а представляет собой длину двух известных сторон равнобедренных, которые эквивалентны.

4. Основание равностороннего треугольника

Все три стороны равностороннего треугольника имеют одинаковую длину. Мы можем использовать это в своих интересах, еще раз подставив формулу площади:

Чтобы найти h, мы визуализируем равносторонний треугольник как два меньших прямоугольных треугольника, где длина гипотенузы равна длине стороны b .По правилу 30-60-90, частному случаю прямоугольного треугольника, мы знаем, что основание этого меньшего прямоугольного треугольника равно , а высота этого меньшего прямоугольного треугольника равна , принимая b за гипотенузу.

Теперь, когда мы знаем высоту, мы можем применить формулу площади:

И замените высоту:

Как найти основание треугольника

Как видите, основание треугольника можно вычислить разными способами в зависимости от типа треугольника и имеющейся у вас информации.Однако длина основания всегда связана с площадью треугольника по формуле площади.

Теорема Пифагора может помочь вам, если вы работаете с прямоугольными треугольниками. И не забывайте, что определения равнобедренного или равностороннего треугольника также являются инструментами, помогающими вам решать подобные геометрические задачи!

Как найти основание треугольника

Математика является важным предметом практически для всех конкурсных экзаменов, включая SAT и ACT.Правильное понимание основ очень важно, когда дело доходит до решения сложных задач по математике. Многим учащимся трудно запомнить шаги и вспомнить математические формулы во время подготовки к экзамену. С дополнительным давлением конкурсных экзаменов беды студента удваиваются.

Основные термины, касающиеся нахождения основания треугольника: 

Что такое основание?
Основание означает дно.

Какая высота?
Высота любого объекта — это его длина от верха до низа.

Как определить основание треугольника?
Любая из трех сторон треугольника может считаться его основанием.

Как определить высоту треугольника?
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный на его основание из угла, противоположного основанию.

 Поскольку Турито понимает эту трудность и решает эту проблему, мы предлагаем вам способы, которыми можно найти основание треугольника.

    1. Способ найти базу треугольника из области треугольника:

    площадь треугольника = ½ BH

    , где B-база

    H- высота

    После того, как область треугольника найден, формулы площади можно применить к A = 1/2 bh в обратном порядке, чтобы получить длину основания. Таким образом, формула для основания треугольника: формула, которая включает длину двух сторон или гипотенузу.Обратная техника помогает даже в этом отношении.

    Источник: https://tutorme.com/blog/post/how-to-find-the-base-of-a-triangle/ 

    Даже если значение площади неизвестно, но известна длина треугольника — эту формулу можно использовать. В прямоугольном треугольнике высота и основание имеют одинаковую длину.

           3. Способ нахождения основания равнобедренного треугольника:  

     Известно, что в равнобедренном треугольнике две стороны имеют одинаковую длину.

    а — длина двух известных равнобедренных сторон, которые эквивалентны.

           4. Способ нахождения основания равностороннего треугольника:  

     У равностороннего треугольника все стороны одинаковой длины. Здесь применяется формула правильной площади треугольника.По правилу 30-60-90, частному случаю прямоугольного треугольника, мы знаем, что основание этого меньшего прямоугольного треугольника равно , а высота этого меньшего прямоугольного треугольника равна , принимая b за гипотенузу.

    Найдя высоту, используйте ее в следующей формуле, добавив значения площади и высоты: 

     И замените высоту: 

    Инструменты для нахождения основания треугольника: 

    Теорема Пифагора: Это уравнение показывает отношение между тремя сторонами прямоугольного треугольника, найти площадь проще.

    Треугольник, в одном из трех углов которого имеется прямой угол, равный 90 градусам, называется прямоугольным. Основанием прямоугольного треугольника является одна из сторон, прилежащая к углу 90 градусов.

    Все о Пифагоре — создателе этой находчивой формулы:

    Пифагор, родом из Греции, часто связывают с открытием математической теоремы, которая до сих пор используется для вычисления размеров прямоугольного треугольника. Для выполнения расчетов необходимо знать размеры наибольшей стороны геометрической фигуры, гипотенузы, а также еще одной ее стороны.

    Легендарный математик эмигрировал в Италию примерно в 532 г. до н.э. из-за политических и социальных условий в стране. Пифагор также определил значение чисел в музыке. К сожалению, большинство его работ не задокументировано, поэтому ученые не знают, был ли это сам Пифагор, который открыл теорему, или один из многих студентов или учеников, которые были членами пифагорейского братства, религиозной или мистической группы, принципы которой повлияли на творчество Платона и Аристотеля.

    Эффективные советы по поиску основания треугольника: 
    1. Сначала узнайте типы треугольников: важно знать классификацию треугольников: равнобедренный, равнобедренный, прямоугольный и разносторонний.

      Равнобедренный треугольник : Из трех сторон две стороны имеют одинаковую длину для этого типа треугольника.

      Эквивалентный треугольник: Три стороны этого треугольника равны по длине.

      Прямоугольный: В этом треугольнике одна сторона наибольшая по сравнению с двумя другими сторонами и называется гипотенузой.

      Scalene: Здесь все стороны треугольника неравны. Решение задач и нахождение площади и основания этого треугольника найти непросто.

    1. Запомните формулы: Ожидается, что учащийся запомнит все формулы, связанные с нахождением площади и длины треугольника.Это сэкономит время, чтобы найти решение без особых усилий.
    2. Думайте нестандартно: Хотя математика является предметом, который зависит от пошаговой последовательности решения проблемы, иногда возникает идея обратного проектирования, чтобы получить ответ. Особенно, когда дело доходит до конкурсных экзаменов, время является ценным ресурсом. Следовательно, нестандартное мышление облегчит поиск решений.
    Заключительное слово: 

    Нахождение основания треугольника зависит от типа треугольника по отношению к длине, и ожидается, что учащийся запомнит формулы, чтобы использовать их соответствующим образом для получения решения.Правильное руководство от преподавателя и запись на курс могут легко помочь студенту создать прочные основы.

    Математика — это предмет, который в значительной степени зависит от концепции, и наличие прочных и фундаментальных знаний очень поможет учащемуся в долгосрочной перспективе — будь то на конкурсных экзаменах или в карьере по этому предмету.

    Как найти площадь прямоугольного равнобедренного треугольника 45/45/90

    Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже. Если университетские наставники примут меры в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

    Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как так как ChillingEffects.org.

    Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

    Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

    Вы должны включить следующее:

    Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.

    Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:

    Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
    101 S. Hanley Rd, Suite 300
    St. Louis, MO 63105

    Или заполните форму ниже:

     

    Теорема о равнобедренном треугольнике (доказательство, обратное, примеры и видео)

    Теорема о равнобедренном треугольнике (доказательство, обратное и примеры)

    равнобедренных треугольника имеют равные катеты (вот что означает слово «равнобедренный»). Ура им, но что мы знаем об их углах основания? Откуда мы знаем, что тоже равны? Мы беремся за инструменты нашего геометра и достаем теорему о равнобедренном треугольнике. Его не нужно подключать или перезаряжать батареи — он прямо у вас в голове!

    1. Равнобедренный треугольник
  1. Теорема о равнобедренном треугольнике
  2. Конверс
  3. Обратное доказательство
  4. Равнобедренный треугольник

    Здесь мы демонстрируем величественный равнобедренный треугольник △DUK.Вы можете нарисовать его сами, взяв за образец △DUK.

    Решётка показывает стороны ∠DU ≅ ∠DK, что указывает на то, что у вас равнобедренный треугольник. Если эти две стороны, называемые катетами , равны, то это равнобедренный треугольник. Что еще у тебя есть?

    Свойства равнобедренного треугольника

    Давайте используем △DUK для изучения деталей:

    • Как и любой треугольник, △DUK имеет три внутренних угла: ∠D, ∠U и ∠K
    • Все три внутренних угла острые
    • Как и любой треугольник, △DUK имеет три стороны: DU, UK и DK
    • ∠DU ≅ ∠DK, поэтому мы называем этих близнецов ногами
    • .
    • Третья сторона называется основанием (даже если треугольник не сидит на этой стороне)
    • Два угла, образованные между основанием и ногами, ∠DUK и ∠DKU, или сокращенно ∠D и ∠K, называются углами основания :

    Теорема о равнобедренном треугольнике

    Зная части треугольника, вот задача: как мы докажем , что углы при основании равны? Это сердце Теоремы о равнобедренном треугольнике , которая построена как условное (если, то) утверждение:

    Теорема о равнобедренном треугольнике утверждает: Если две стороны треугольника равны, , то углов, противоположных этим сторонам, равны.

    Чтобы математически доказать это, нам нужно ввести срединную линию, линию, построенную от внутреннего угла до середины противоположной стороны. Находим точку C на базе UK и строим отрезок DC:

    .

    Вот! Это просто УТКА! Посмотрите на два треугольника, образованных медианой. Нам дано:

    1. UC ≅ CK (медиана)
    2. DC ≅ DC (рефлексивное свойство)
    3. ДУ ≅ ДК (дан)

    Мы только что показали, что три стороны △DUC конгруэнтны △DCK, что означает, что у вас есть постулат Side Side Side , который дает конгруэнтность.Итак, если два треугольника конгруэнтны, то соответствующие части конгруэнтных треугольников конгруэнтны (CPCTC), что означает …

    Обратная теорема о равнобедренном треугольнике

    Обратное условное утверждение получается путем замены гипотезы (если…) заключением (тогда…) . Возможно, вам придется повозиться с ним, чтобы убедиться, что он имеет смысл. Итак, вот еще раз теорема о равнобедренном треугольнике:

    Если две стороны треугольника равны, , то углов, противоположных этим сторонам, равны.

    Чтобы сделать его обратное, мы могли бы точно поменять местами части, получив немного мешанины:

    Если углов, противоположных этим сторонам, равны, , то две стороны треугольника равны.

    Неловко, так что приведите в порядок формулировку:

    Теорема , обратная теореме о равнобедренном треугольнике , утверждает: Если два угла треугольника конгруэнтны, , то сторон, противоположных этим углам, конгруэнтны.

    Теперь это понятно, но так ли это? Не каждое обратное утверждение условного утверждения истинно. Если исходное условное выражение ложно, то обратное тоже будет ложным. Если посылка верна, тогда обратное может быть истинным или ложным:

    Если я увижу медведя, то я лягу и останусь.
    Если я лягу и буду неподвижен, то я увижу медведя.

    Чтобы это обратное утверждение было правдой, сон в вашей постели стал бы странным опытом.

    Или этот:

    Если у меня есть мед, то я привлечу медведей.
    Если я притягиваю медведей, то у меня будет мед.

    Если только медведи не принесут вам приманки, чтобы поделиться с вами, обратное вряд ли когда-либо произойдет. А медведи известны своей эгоистичностью.

    Доказательство обратного утверждения

    Чтобы доказать обратное, построим еще один равнобедренный треугольник, △BER.

    Учитывая, что ∠BER ≅ ∠BRE, мы должны доказать, что BE ≅ BR.

    Добавьте биссектрису угла от ∠EBR вниз к основанию ER. Там, где биссектриса угла пересекает основание ER, обозначьте ее точкой A.

    .

    Теперь у нас есть два маленьких прямоугольных треугольника вместо одного большого равнобедренного треугольника: △BEA и △BAR. Поскольку отрезок BA является биссектрисой угла, получается ∠EBA ≅ ∠RBA. Поскольку отрезок BA используется в обоих меньших прямоугольных треугольниках, он конгруэнтен сам себе. Что у нас есть?

    • ∠BER ≅ ∠BRE (дано)
    • ∠EBA ≅ ∠RBA (биссектриса угла)
    • BA ≅ BA (рефлексивное свойство)

    Посмотрим. .. это угол, еще один угол и сторона.Это будет теорема об угле и стороне стороны , AAS:

    .

    Теорема AAS утверждает: Если два угла и не включенная в них сторона одного треугольника конгруэнтны соответствующим частям другого треугольника, то треугольники конгруэнтны.

    Поскольку доказано, что сами треугольники конгруэнтны, их соответствующие части конгруэнтны (CPCTC), что делает BE ≅ BR. Обратное утверждение теоремы о равнобедренном треугольнике верно!

    Итоги урока

    Выполняя эти упражнения, вы теперь сможете распознавать и рисовать равнобедренный треугольник, математически доказывать конгруэнтность равнобедренных треугольников, используя теорему о равнобедренных треугольниках , и математически доказывать обратное утверждение теоремы о равнобедренных треугольниках.Теперь вы также должны увидеть связь между теоремой о равнобедренном треугольнике и постулатом о стороне, стороне и стороне, и теоремой об угле, стороне, стороне.

    Следующий урок:

    Альтернативные внешние углы

    Формула периметра равнобедренного треугольника

    — объяснение, примеры решений и часто задаваемые вопросы

    Треугольники — одни из самых интересных фигур, которые вам когда-либо доводилось изучать. В них не только много шаблонов и интересных формул, из которых можно почерпнуть много знаний, но и очень интересно их изучать.Треугольники можно найти повсюду, и еще одна вещь, которую можно найти повсюду, — это связанные с ними узоры. Они повсюду вокруг нас и нуждаются в хорошем наблюдении, чтобы их понять. Мы предлагаем, когда вы будете смотреть на окружающие вас предметы и смотреть на симметрию треугольника, попытайтесь связать знания, которые вы узнаете из этой статьи, со своей повседневной жизнью.

     

    Знайте о формуле периметра равнобедренного треугольника

    Треугольник называется равнобедренным, если любые две его стороны равны.Углы, противолежащие этим равным сторонам, также равны. Площадь равнобедренного треугольника можно вычислить, используя длины его сторон. На диаграмме треугольника ABC стороны AB и AC равны, а также ∠B = ∠C. Теорема, описывающая равнобедренный треугольник, гласит: «Если две стороны треугольника равны, то равны и углы, лежащие против этих сторон».

     

    (Изображение будет загружено в ближайшее время)

     

    Периметр равнобедренного треугольника

    Как мы знаем, периметр любой фигуры определяется границей фигуры.Аналогичным образом периметр равнобедренного треугольника определяется как сумма трех сторон равнобедренного треугольника. Периметр равнобедренного треугольника можно найти, зная его основание и сторону. Формула периметра равнобедренного треугольника определяется по формуле:

     

    Формула периметра равнобедренного треугольника, P = 2a + b единиц, где «a» — длина двух равных сторон равнобедренного треугольника, а «b» — длина двух равных сторон равнобедренного треугольника. основание треугольника.

     

    Формула для нахождения площади равнобедренного треугольника

    Площадь равнобедренного треугольника определяется как область, занимаемая им в двумерном пространстве.Как правило, равнобедренный треугольник представляет собой половину произведения основания и высоты равнобедренного треугольника. Формула для расчета площади равнобедренного треугольника приведена ниже:

    Площадь равнобедренного треугольника A = ½ × b × h Квадратные единицы, где «b» — основание, а «h» — высота равнобедренного треугольника.

     

    Свойства равнобедренного треугольника

    • Как мы знаем, в этом треугольнике две стороны равны, а неравная сторона называется основанием треугольника.

    • Углы, противоположные двум равным сторонам треугольника, всегда равны.

    • Высота равнобедренного треугольника измеряется от основания до вершины (самой верхней) треугольника.

    • Третий угол прямоугольного равнобедренного треугольника равен 90 градусов.

     

    Как правило, равнобедренный треугольник подразделяется на различные типы, называемые

    • Равнобедренный остроугольный треугольник.

    • Прямоугольный равнобедренный треугольник.

    • Тупоугольный равнобедренный треугольник.

     

    Давайте подробно обсудим эти три различных типа равнобедренного треугольника.

     

    Равнобедренный остроугольный треугольник

    Как мы знаем, треугольники различаются сторонами, основанием и высотой. Ось симметрии равнобедренного треугольника проходит по серединному перпендикуляру к его основанию. В зависимости от угла между двумя катетами равнобедренный треугольник классифицируется как остроугольный, прямоугольный и тупоугольный.Равнобедренный треугольник может быть остроугольным, если два угла, противоположные катетам, равны и меньше 90 градусов (или острый угол).

     

    (Изображение будет загружено в ближайшее время)

     

    Равнобедренный прямоугольный треугольник

    Прямоугольный равнобедренный треугольник имеет две равные стороны, в которых одна из двух равных сторон выступает перпендикуляром, а другая — основанием треугольника. Третья сторона, которая не равна, известна как гипотенуза. Поэтому здесь можно применить теорему Пифагора, где квадрат гипотенузы равен сумме квадратов основания и перпендикуляра.2} =  a\sqrt{2}\] или \[h = \sqrt{2} a \]

     

    Равнобедренный тупоугольный треугольник

    Мы знаем, что тупоугольный треугольник – это треугольник, в котором один из углов больше чем 90 градусов (или прямой угол). Также невозможно нарисовать треугольник с более чем двумя тупыми углами. Мы знаем, что тупоугольный треугольник может быть двух типов, т. е. разносторонний треугольник или равнобедренный треугольник. Следовательно, равнобедренный тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого две равные стороны имеют тупой угол.

     

    (Изображение будет загружено в ближайшее время)

     

    Решенные Примеры:

    1. Найдите периметр равнобедренного треугольника со стороной 5 см и основанием 4 см.

    Решение: При этом длина основания равна 4 см.

    Длина двух равных сторон 5 см.

    Мы знаем, что формула для вычисления периметра равнобедренного треугольника: P = 2a + b единиц.

    Теперь подставим значения основания и стороны в формулу периметра, получим

    P = 2(5) + 4 = 10 + 4 = 14 см

    Следовательно, периметр равнобедренного треугольника равен 16 см.

     

    2. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его высота равна 5 см, а основание равно 4 см?

    Решение: Учитывая, что основание = 4 см, а высота = 5 см

    Мы знаем, что площадь равнобедренного треугольника равна ½ × b × h квадратных единиц

    Теперь подставьте значение основания и высоты в формулу для расчета площадь

    Площадь равнобедренного треугольника равна ½ × b × h

    A = ½ × 4 × 5 = 10 см2

    Следовательно, площадь равнобедренного треугольника равна 10 см2

    Заключение

    Равнобедренный треугольник треугольник, у которого любая из двух его сторон имеет одинаковую длину, а также два угла, противоположные равным сторонам, будут равновеликими.Периметр и площадь равнобедренного треугольника вычисляют, используя длины его равных сторон и его основания. Существуют различные применения равнобедренных треугольников в математике и построениях. Следовательно, это одно из самых фундаментальных понятий геометрии. Равнобедренные треугольники обладают уникальными свойствами, и мы надеемся, что эта статья помогла вам узнать о формуле периметра для них.

    Проекции и сечения твердых тел MCQ в инженерном чертеже с ответами

    Проекции и сечение твердых тел MCQ в инженерном чертеже с ответами Для всех конкурсов, размещения и всех университетских экзаменов.

    Нажмите здесь, чтобы получить MCQ по введению в инженерный чертеж

     

    1    Тело тела этого типа имеет два основания, которые представляют собой параллельные равные многоугольники:    
        A) пирамида    B) призма    C) конус    D) тор

        Ответ-В

    2    Тело, имеющее в основании многоугольник и треугольные боковые грани, пересекающиеся в вершине, есть
        А) пирамида     Б) призма    В) конус                   

        Ответ — А

    3    Среди следующих тел правильным многогранником является    
        A) квадратная призма     B) квадратная пирамида    C) куб         сфера

        Ответ — C

    4    Тело, имеющее минимальное количество граней        
        A) тетраэдр    B) треугольная призма    C) квадратная пирамида     D) куб

        Ответ — А

    5    Количество граней в додекаэдре        
        A) 4    B) 8    C) 12    D) 20

        Ответ — C

    6    Количество этапов, необходимых для получения ортогональных видов твердого тела, ось которого наклонена к обеим опорным плоскостям, составляет
        A) 1    B) 2    C) 3    D) 4

        Ответ — C

    7    Тетраэдр лежит гранью на H. П. стороной, перпендикулярной В.П. Его вид спереди будет
        A) равносторонний треугольник    B) равнобедренный треугольник    C) разносторонний треугольник    D) прямоугольный треугольник

        Ответ — B

    8    Квадратная пирамида опирается на грань в В.П. Количество пунктирных линий, которые появятся на виде спереди, равно
        A) 1    B) 2    C) 3    D) 4

        Ответ — B

    9    Твердое тело, которое будет иметь две пунктирные линии на виде сверху, когда оно покоится на своей грани в формате H.P. is
        A) квадратная пирамида    B) пятиугольная пирамида    C) шестиугольная пирамида    D) все эти

        Ответ — D

    10    Куб покоится на HP. со сплошной диагональю, перпендикулярной к ней. Вид сверху будет выглядеть как
        A) квадрат    B) прямоугольник    C) неправильный шестиугольник    D) правильный шестиугольник

        Ответ — D

    11    Правильный круговой конус, опирающийся на точку окружности своего основания в H. P. имеет ось, наклоненную под углом 30º к H.п. и 45º к В.П. Угол между базовой линией и видом сверху на ось будет
        A) 30º    B) между 30º и 45º    C) 45º    D) более 45º

        Ответ — D

    12    Правильный круговой конус, опирающийся на образующую в Г.П. имеет ось, наклоненную под углом 30º к Н.П. и 45º к В.П. Угол между базовой линией и видом сверху на ось будет
        A) менее 45º    B) 45º    C) более 45º    D) любой из этих

        Ответ — C

    13    Цилиндр опирается на точку своей базовой окружности в H.п., с осью, наклоненной под углом 30º к л.с. и 60º к В.П. Наклон оси сверху с опорной линией будет
        A) 30º    B) 60º    C) 90º    D) ни один из этих

        Ответ — C

    14    Секущая плоскость разрезает конус таким образом, что истинная форма секущей части видится треугольником, когда секущая плоскость пересекает основание и проходит через      
        A) середина оси    B) вершина конуса    C) образующая конуса    D) любая точка на оси

        Ответ — B

    15    Другое название куба        
        A) шестигранник    B) тетраэдр    C) изокоэдр    D) октаэдр

        Ответ — C

    16    Другое название тетраэдра        
        A) треугольная призма                C) треугольная пирамида         C) треугольная пирамида      D) квадратная пирамида

        Ответ — C

    17    A(n)     конус имеет две плоские поверхности, параллельные друг другу.
        A) усеченный    B) усеченный    C) правый    D) косой

        Ответ — А

    18    Тело, имеющее многоугольник в основании и треугольные боковые грани, пересекающиеся в вершине,
        A) пирамида     B) призма    C) конус        

        Ответ — А

    19    Назовите тело, образованное четырьмя равносторонними треугольниками    
        A) Квадратная пирамида    B) Треугольная пирамида    C) Тетраэдр    D) Квадратная призма

        Ответ — C

    20    Цилиндр, стоящий на ТП, рассечен вертикальной плоскостью, параллельной оси и от нее.Форма сечения будет
        A) Прямоугольник    B) Круг    C) Эллипс  D) Гипербола
        
        Ans — A

    21    Когда ось твердого тела параллельна как HP, так и VP, вид, который показывает истинную форму основания,
        A) Вид спереди    B) Вид сверху    C) Вид сбоку    D) Ни один из этих

        Ответ — C

    22    Назовите твердое тело, образованное вращающимся прямоугольным треугольником с неподвижной перпендикулярной стороной
        A) Конус    B) Цилиндр C) Тетраэдр    D) Октаэдр

        Ответ — А

    23    Когда конус, опирающийся на основание V.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск