Как в равнобедренном треугольнике найти третью сторону: Стороны равнобедренного треугольника – формулы

Содержание

Треугольники /qualihelpy

Треугольником называют многоугольник, имеющий три вершины (рис. 8.27 – 8.29).

Классификация треугольников по сторонам

1. Если все три стороны треугольника равны, то треугольник равносторонний. Все внутренние углы равностороннего треугольника равны. 

Например, на рисунке 8.27 изображен равносторонний треугольник : ; .

2. Если две стороны треугольника равны, то треугольник равнобедренный. Стороны, имеющие одинаковую длину, называют боковыми сторонами, а третью сторону – основанием этого треугольника. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. 

Например, на рисунке 8.28 изображен равнобедренный треугольник  с боковыми сторонами  и основанием , а .

3. Если все стороны треугольника имеют различную длину, то треугольник разносторонний (произвольный). 

Например, на рисунке 8.29 изображен разносторонний треугольник . 

Длина стороны треугольника меньше суммы длин двух других его сторон

, причем, большая сторона треугольника лежит против большего его угла.  

Например: 1) если на рисунке 8.27 , то ; 2) если на рисунке 8.28 , то длина стороны  меньше 8, но больше 4. 

Классификация треугольников по углам

1. Если все углы треугольника острые, то треугольник остроугольный (на рисунке 8.27 треугольник ).2. Если один из углов треугольника тупой, то треугольник тупоугольный (на рисунке 8.28 треугольник ).3. Если один из углов треугольника прямой, то треугольник прямоугольный. Сторону прямоугольного треугольника, лежащую против прямого угла, называют гипотенузой, две другие стороны – катетами. Например, на рисунке 8.29 треугольник  – прямоугольный, отрезок  – гипотенуза этого треугольника, а отрезки  и  – его катеты.Рассмотрим прямоугольный треугольник
, у которого  и  – катеты,  – гипотенуза,  – острый угол (рис. 8.30).

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы треугольника равен сумме квадратов его катетов:

, (8.3)где  – гипотенуза,  и  – катеты.

Например, если катеты треугольника соответственно равны 3 и 4, то гипотенуза этого треугольника равна 5. Такой треугольник называют египетским.  

Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике

1. Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

2. Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

3. Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.

Например, на рисунке 8.30: ; ; . Катет, лежащий против угла , равен половине гипотенузы. Рассмотрим
произвольный треугольник
, у которого  – стороны,  – соответственно противолежащие им углы (рис. 8.31).

Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих же сторон на косинус угла между ними:

, (8. 4)

или 

, (8.4.1)

или 

. (8.4.2)

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих им углов: 

 (8.5)

или 

, (8.5.1)где  – радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Линии в треугольнике

Среди всех линий, которые можно провести в треугольнике выделяют среднюю линию треугольника, биссектрису треугольника, его медиану и высоту. 

Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух его сторон. 

Свойства средней линии треугольника

1. Средняя линия треугольника равна половине длины его третьей стороны.

2. Средняя линия треугольника параллельна одной из сторон треугольника.

Высотой треугольника называют перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону. 

Например, на рисунке 8.33 изображены высоты остроугольного треугольника : отрезки  и .На рисунке 8.34 изображена одна из высот тупоугольного треугольника : высота . На рисунке 8.35 изображены три высоты прямоугольного треугольника : высоты  и .

Свойства высоты треугольника

1. В остроугольном и прямоугольном треугольнике три высоты треугольника пересекаются в одной точке (точка  на рисунке 8.33 и точка  на рисунке 8.35). 

2. Если высота треугольника проведена из вершины прямого угла к гипотенузе, то она является средним геометрическим проекций катетов на гипотенузу (рис. 8.5):

, (8.6)где  и  – проекции катетов на гипотенузу.
3.
Для всякого треугольника зависимость между его высотами , ,  и радиусом вписанной окружности r выражается формулой: . (8.7)

Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. 

Например, на рисунке 8.36 изображены медианы треугольника : отрезки  и .

Свойства медианы треугольника

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении , считая от вершины. Например, на рисунке 8. 36 .

2. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника (треугольники, имеющие равные площади, называют равновеликими). 

Например, на рисунке 8.36 треугольники  и  равновеликие. 

3. Если медиана проведена к гипотенузе прямоугольного треугольника, то она равна половине гипотенузы. 

Например, на рисунке 8.37 . 

Биссектрисой треугольника называют отрезок биссектрисы внутреннего угла треугольника, заключенный между вершиной треугольника и точкой пересечения биссектрисы угла и стороны треугольника. 

Например, на рисунке 8.38 отрезки  и  – биссектрисы внутренних углов треугольника .

Свойства биссектрисы треугольника

1. Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром окружности, вписанной в треугольник. 

Например, точка  на рисунке 8.38.

2. В равностороннем треугольнике все биссектрисы равны и являются высотами и медианами этого треугольника. 

Например, на рисунке 8. 39 биссектрисы  – высоты и медианы правильного треугольника  и .

3. Если биссектриса проведена из вершины равнобедренного треугольника к его основанию, то она является высотой и медианой этого треугольника. 

Например, на рисунке 8.40 биссектриса
 
 – высота и медиана равнобедренного треугольника .

4. Биссектриса треугольника делит сторону этого треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам. 

Например, если  – биссектриса треугольника , изображенного на рисунке 8.41, то .

Формулы для вычисления площади треугольника

Для вычисления площади треугольника можно применять одну из следующих формул: 

, (8.8)где  – сторона равностороннего треугольника; , (8.9)где  – сторона,  – высота, проведенная к стороне  произвольного треугольника; , (8.10)где  и  – катеты прямоугольного треугольника; , (8.11)где  и  – стороны,  – величина угла между ними произвольного треугольника;

Формула Герона: 

, (8.12)где  – стороны,  – полупериметр треугольника;, (8. 13)где  — полупериметр треугольника,  — радиус окружности, вписанной в треугольник;, (8.14)где  – стороны,  – радиус окружности, описанной около треугольника.

Два треугольника равны, если все их соответственные стороны и углы равны. 

Признаки равенства треугольников

1. Два треугольника равны, если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника. 

Например, на рисунке 8.42 треугольники  и  равны по двум сторонам и углу между ними.

2. Два треугольника равны, если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника. 

Например, на рисунке 8.43 треугольники  и  равны по стороне и прилежащим к ней углам.

3. Два треугольника равны, если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника. 

Например, на рисунке 8. 44 треугольники  и  равны по трем сторонам
.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

1. Прямоугольные треугольники равны, если катеты одного треугольника соответственно равны катетам другого треугольника. 

Например, на рисунке 8.45 треугольники  и  равны по двум катетам.

2. Прямоугольные треугольники равны, если катет и прилежащий острый угол одного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого треугольника. 

Например, на рисунке 8,46 треугольники  и  равны по катету и прилежащему острому углу.

3. Прямоугольные треугольники равны, если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника. 

Например, на рисунке 8.47 треугольники  и  равны по гипотенузе и острому углу.

4. Прямоугольные треугольники равны, если гипотенуза и катет одного треугольника соответствравны гипотенузе и катету другого треугольника.

 

Например, на рисунке 8.48 треугольники  и  равны по гипотенузе и катету.

Два треугольника подобны, если все углы одного треугольника соответственно равны углам другого, а все стороны одного пропорциональны соответствующим (сходственным) сторонам другого треугольника.

Признаки подобия треугольников

1. Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника равны двум углам другого. 

2. Два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключенные между ними, равны. 

3. Два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого. 

Например, на рисунке 8.51 изображены подобные треугольники, так как длины сторон одного из них в два раза больше длин сторон другого. 

Отношение сходственных сторон подобных треугольников называют
коэффициентом подобия 
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия .  Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия .

Сканави Группа Б Условия, ответы, решения

Сканави М.И.
Задачи по планиметрии с ответами и решениями

перейти к содержанию

Группа Б. Задачи 191 — 240 (с ответами и решениями)

  1. Внутри прямого угла дана точка М, расстояния от которой до сторон угла равны 4 и 8 см. Прямая, проходящая через точку М, отсекает от прямого угла треугольник площадью 100 см2. Найти катеты треугольника. Ответ: 40; 5 или 10; 20

  2. Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит его на два треугольника с площадями Q и q. Найти катеты. Ответ: ;
  3. Периметр прямоугольного треугольника ABC (угол C=90°) равен 72 см, а разность между длинами медианы СМ и высоты СК равна 7 см. Найти длину гипотенузы. Ответ: 32
  4. В прямоугольном треугольнике медианы катетов равны  и . Найти гипотенузу треугольника. Ответ: 10
  5. Периметр прямоугольного треугольника равен 60 см. Найти его стороны, если высота, проведенная к гипотенузе, равна 12 см. Ответ: 15; 20; 25
  6. Найти биссектрису прямого угла треугольника, у которого катеты равны а и b. Ответ:
  7. В прямоугольном треугольнике расстояние от середины гипотенузы до одного из катетов равно 5 см, а расстояние от середины этого катета до гипотенузы равно 4 см. Вычислить площадь треугольника. Ответ: 200/3
  8. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна с. Проекция вершины прямого угла на гипотенузу делит ее на два отрезка, из которых меньший относится к большему как больший ко всей гипотенузе. Определить площадь треугольника. Ответ:
  9. Определить стороны прямоугольного треугольника, у которого периметр равен 2р, а площадь равна m2.
  10. Стороны треугольника равны 3, 4 и 5 см. Определить площади треугольников, на которые разбивается данный треугольник высотой и медианой, проведенными к большей по величине стороне. Ответ: 2,16; 3; 0,84
  11. Высоты треугольника равны 12, 15 и 20 см. Доказать, что треугольник прямоугольный.
  12. Числа  выражают длины высот некоторого треугольника. Показать, что если выполняется равенство , то треугольник является прямоугольным.
  13. Медианы треугольника равны 5,  и  см. Доказать, что треугольник прямоугольный.
  14. Числа , и выражают длины медиан некоторого треугольника. Показать, что если выполняется равенство , то треугольник является прямоугольным.
  15. Площадь равностороннего треугольника, построенного на гипотенузе, вдвое больше площади прямоугольного треугольника с указанной гипотенузой. Найти отношение катетов.  Ответ:
  16. Внутри равностороннего треугольника взята точка М, отстоящая от его сторон на расстояния b, с, d. Найти высоту треугольника. Ответ:
  17. Точка М лежит внутри равностороннего треугольника ABC. Вычислить площадь этого треугольника, если известно, что АМ=ВМ=2 см, а СМ= 1 см. Ответ:
  18. Показать, что сумма расстояний от любой точки, взятой на стороне правильного треугольника, до двух других его сторон есть величина постоянная.
  19. Основания двух правильных треугольников со сторонами а и 2а лежат на одной и той же прямой. Треугольники расположены по разные стороны от прямой и не имеют общих точек, а расстояние между ближайшими концами их оснований равно 2а. Найти расстояние между вершинами треугольников, не принадлежащими данной прямой. Ответ:
  20. Точка С перемещается по отрезку АВ длиной l. На отрезках АС и СВ как на основаниях построены правильные треугольники по одну сторону от АВ. Где нужно взять точку С, чтобы расстояние между вершинами треугольников было наименьшим?
  21. В равнобедренном треугольнике угол при основании содержит 72°, а биссектриса этого угла имеет длину, равную m. Найти длины сторон треугольника. Ответ: 
  22. В равнобедренном треугольнике угол при вершине содержит 36°, а биссектриса угла при основании равна  . Найти длины сторон треугольника. Ответ: 
  23. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной b, проведены биссектрисы углов при основании. Отрезок прямой между точками пересечения биссектрис с боковыми сторонами равен m. Определить основание треугольника. Ответ: 
  24. Длина основания равнобедренного треугольника равна 12 см, а боковой стороны — 18 см. К боковым сторонам треугольника проведены высоты. Вычислить длину отрезка, концы которого совпадают с основаниями высот. Ответ: 28/3
  25. Основание равнобедренного треугольника равно 8, а боковая сторона — 12. Найти длину отрезка, соединяющего точки пересечения биссектрис углов при основании с боковыми сторонами треугольника. Ответ:  4,8
  26. В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) на стороне ВС взята точка D так, что BD: DC = 1:4. В каком отношении прямая AD делит высоту BE треугольника ABC, считая от вершины В? Ответ: 1:2
  27. Равнобедренный треугольник со сторонами 8, 5 и 5 разделен на три равновеликие части перпендикулярами, проведенными из некоторой точки к его сторонам. Найти расстояние от этой точки до каждой стороны треугольника. Ответ: 
  28. Определить углы равнобедренного треугольника, если его площадь относится к площади квадрата, построенного на его основании,  как . Ответ: 30,30,120
  29. Найти третью сторону остроугольного треугольника, если две его стороны равны а и b, а медианы этих сторон пересекаются под прямым углом. Ответ: 
  30. Две стороны треугольника равны 6 и 8 см. Медианы, проведенные к этим сторонам, взаимно перпендикулярны. Найти третью сторону треугольника. Ответ: 
  31. Высота, основание и сумма боковых сторон треугольника равны соответственно 24, 20 и 56 см. Найти боковые стороны. Ответ: 26; 30
  32. Дан треугольник ABC, в котором 2hc=AB и угол A = 75°. Найти величину угла С. Ответ: 75
  33. Внутри угла в 60° расположена точка, отстоящая на расстояния и см от сторон угла. Найти расстояние от этой точки до сторон угла. Ответ: 
  34. Длины двух сторон остроугольного треугольника равны  и см. Найти длину третьей стороны, зная, что эта сторона равна проведенной к ней высоте. Ответ: 3
  35. Расстояния от точки М, лежащей внутри треугольника ABC, до его сторон АС и ВС равны соответственно 2 и 4 см. Вычислить расстояние от точки М до прямой АВ, если АВ = 10 см, ВС= 17 см, АС = 21 см. Ответ: 5,8
  36. Найти отношение суммы квадратов всех медиан треугольника к сумме квадратов всех его сторон. Ответ: 3:4
  37. Найти площадь треугольника, если его высоты равны 12, 15 и 20 см. Ответ: 150
  38. В треугольнике ABC проведена прямая DE, параллельная основанию АС. Площадь треугольника ABC равна 8 кв. ед., а площадь треугольника DEC равна 2 кв. ед. Найти отношение отрезка DE к длине основания треугольника ABC. Ответ: 1:2
  39. Длины сторон треугольника относятся как m:n:m. Найти отношение площади этого треугольника к площади треугольника, вершины которого находятся в точках пересечения биссектрис данного треугольника с его сторонами. Ответ: 
  40. В треугольнике АВС проведены медианы BD и СЕ; М — точка их пересечения. Доказать, что треугольник ВСМ равновелик четырехугольнику ADME.
  41. Отношение величин двух углов треугольника равно 2, а разность длин противоположных им сторон равна 2 см; длина третьей стороны треугольника равна 5 см. Вычислить площадь треугольника. Ответ: 
  42. В треугольнике ABC известны: ВС= 15 см, АС =14 см, АВ = 13 см. Вычислить площадь треугольника, заключенного между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины В. Ответ: 9
  43. Стороны треугольника равны 13, 14 и 15 см. Определить площади треугольников, на которые разбивается данный треугольник его медианами. Ответ: 14
  44. Медианы одного треугольника равны сторонам другого треугольника. Найти отношение площадей этих треугольников. Ответ: 4:3
  45. Медианы треугольника равны 3, 4 и 5 см. Найти площадь треугольника. Ответ: 8
  46. Основание треугольника равно 20 см, медианы боковых сторон равны 18 и 24 см. Найти площадь треугольника. Ответ: 288
  47. Медианы треугольника равны 5, 6 и 5 м. Найти площадь треугольника. Ответ: 16
  48. Определить площадь треугольника, если две, его стороны равны 1 и  см, а медиана третьей стороны равна 2 см. Ответ: 
  49. Определить площадь треугольника, если две его стороны равны 35 и 14 см, а биссектриса угла между ними содержит 12 см. Ответ: 235,2
  50. Биссектрисы углов А и В треугольника ABC одинаково наклонены к сторонам ВС и АС. Найти зависимость между углами А и В. Ответ: A+B=120

 

Метки Сканави. Смотреть запись.

Тема №5113 Задачи по геометрии треугольники

Ответы в самом низу встроенного документа

1524.    Обобщенная теорема синусов.) Докажите, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру окружности, описанной около треугольника.
1525.    Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
1526.    Сторона треугольника равна 21, а две другие стороны образуют угол в 60° и относятся, как 3:8. Найдите эти стороны.
1527.    В треугольнике основание равно 12; один из углов при нем равен 120°; сторона против этого угла равна 28. Найдите третью сторону.
1528.    В равнобедренном прямоугольном треугольнике АВС на продолжении гипотенузы АВ за точку В отложен отрезок BD, равный ВС. Найдите стороны треугольника ADC, если катет ВС = а.
1529.    В прямоугольном треугольнике АВС катет АС = 15 и катет ВС = = 20. На гипотенузе АВ отложен отрезок АП, равный 4. Найдите CD.
1530.    На сторонах углаАВС, равного 120°, отложены отрезки АВ = ВС = 4. Проведите окружность через точки А, В, С и найдите ее радиус.
1531.    Угол при вершине D трапеции ABCD с основаниями AD и ВС равен 60°. Найдите диагонали трапеции, если AD =10, ВС = 3 и CD = 4.
1532.    В треугольнике боковая сторона равна 16 и образует с основанием угол в 60°; другая боковая сторона равна 14. Найдите основание.
1533.    Гипотенуза АВ прямоугольного треугольника АВС равна 9, катет ВС = 3. На гипотенузе взята точка М, причем AM : МВ = 1:2. Найдите СМ.
1534.    Дан равносторонний треугольник со стороной, равной а. Найдите отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой, делящей противоположную сторону в отношении 2 : 1.
1535.    Стороны параллелограмма равны 2 и 4, а угол между ними равен 60° (рис. 7, а две другие стороны образуют
угол в 30° и относятся, как 1 : 2./3. Найдите эти стороны.
1539.    Одна из сторон параллелограмма равна 10, а диагонали равны 20 и 24. Найдите косинус острого угла между диагоналями.
1540.    Одна из сторон треугольника
равна 6, вторая сторона равна 2 Jl, а противолежащий ей угол равен 60°. Найдите третью сторону треугольника.
1541.    В треугольнике АВС дана точка D на стороне АВ. Найдите CD, если известно, что ВС = 37, АС =15, АВ = 44, AD = 14.
1542.    В треугольнике АВС известно, что АС = 13, АВ = 14, ВС = 15. На стороне ВС взята точка М так, что СМ : МВ = 1:2. Найдите AM.
1543.    Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 5 и 8 и углом между ними, равным 60°.
1544.    В прямоугольном треугольнике АВС А С = 90°. На продолжении гипотенузы АВ отложен отрезок BD, равный катету ВС, и точка D соединена с С. Найдите CD, если ВС = 7 и АС = 24.
1545.    В прямоугольном треугольнике даны катеты а и ft. Найдите расстояние от вершины прямого угла до ближайшей к ней точки вписанной окружности.
1546.    Хорда окружности равна 10. Через один конец хорды проведена ка-сательная к окружности, а через другой — секущая, параллельная касательной. Найдите радиус окружности, если внутренний отрезок секущей равен 12.
1547.    В четырехугольнике ABCD известны углы: A DAB = 90°, A BDC = = 90°. Кроме того, DB = a, DC = ft. Найдите расстояние между центрами двух окружностей, одна из которых проходит через точки D,A,B, а другая — через точки В, С, D.
1548.    Трапеция KLMN с основаниями LM и KN вписана в окружность, центр которой лежит на основании KN. Диагональ LN трапеции равна 4, а угол MNK равен 60°. Найдите основание LM трапеции.
1549.    На боковой стороне ВС равнобедренного треугольника АВС как на диаметре построена окружность, пересекающая основание этого треугольника в точке D. Найдите расстояние от вершины А до центра окружности, если AD = J3 , а угол АВС равен 120°.
1550.     В ромбе ABCD точки М nN — середины сторон ВС и CD соответственно. Найдите угол MAN, если A BAD = 60°.
1551.    В квадрате ABCD точка М — середина ВС, а О — точка пересечения DM и АС. Найдите величину угла МОС.
■ 1552. В выпуклом четырехугольнике MNLQ углы при вершинах N и L — прямые, а угол при вершине М рао
вен arctg -. Найдите диагональ NQ,
О
если известно, что сторона LQ вдвое меньше стороны MN и на 2 больше стороны LN.
1553.    Найдите косинусы углов трапеции с основаниями, равными 3 и 7, и боковыми сторонами, равными 2 и 5.
1554.    В треугольнике даны два угла а и Р и радиус R описанной окружное-
ти. Найдите высоту, опущенную из вершины третьего угла треугольника.
1555.    Стороны треугольника равны а, ft, с. Докажите, что медиана т, проведенная к стороне с, равна
1    72а2 + 2ft2-с2.
2
1556.    В треугольнике две стороны равны 11 и 23, а медиана, проведенная к третьей, равна 10. Найдите третью сторону.
1557.    Докажите справедливость следующих формул для площади
треугольника: S = а* j1 ‘ , S =
= 2R2 sin a sin (3 sin у, где а, (3, у — углы треугольника, а — сторона, лежащая против угла a, R — радиус описанного круга.
1558.    В ромбе ABCD угол при вершине А равен 60°. Точка N делит сторону АВ в отношении AN : BN = 2:1. Найдите тангенс угла DNC.
1559.    Можно ли около четырехугольника ABC.D описать окружность, если AADC = 30°, АВ = 3, ВС = 4, АС = 6?
1560.    Прямая, пересекающая основание равнобедренного треугольника и проходящая через противоположную вершину, делит этот треугольник на два. Докажите, что радиусы окружностей, описанных около этих треугольников, равны.
1561.    Найдите периметр четырехугольника ABCD, в котором АВ = CD = = a,ABAD=ABCD = a<90°,BC*AD.
1562.    Докажите, что если стороны a, ft и противолежащие им углы а и (3 треугольника связаны соотношениями —-— = —, то треугольник равно-
cos a cos р
бедренный.
1563.    В треугольнике АВС высота BD равна 11,2, а высота АЕ равна 12. Точка Е лежит на стороне ВС и BE : ЕС = 5:9. Найдите сторону АС.
1564.    На продолжении боковой стороны АВ равнобедренного треугольни 
ка АВС за вершину А взята точка D, причем AD = 2АВ (рис. 62). Известно, что А ВАС = 120°. Докажите, что треугольник BDC — равнобедренный.
D
1565.    Точки М и N лежат соответственно на сторонах AD и ВС ромба ABCD, причем DM : AM = BN : NC = = 2:1. Найдите MN, если известно, что сторона ромба равна a, a A BAD = = 60°.
1566.    Диагональ параллелограмма, равная ft, перпендикулярна стороне параллелограмма, равной а. Найдите вторую диагональ параллелограмма.
1567.    В треугольнике АВС известно, что А А = ot, А С = Р, АВ = а; AD — биссектриса. Найдите BD.
1568.    Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными а, а и ft.
1569.    Дан треугольник АВС, в котором АС = 72 , ВС = 1, А АВС = 45°. Найдите угол ВАС.
1570.    Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что АВ = а, А А = а, А В = р.
1571.    В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а острый угол равен а. Найдите биссектрису прямого угла.
1572.    Две стороны треугольника
равны 2 72 и 3, площадь треугольника равна 3. Найдите третью сторону.
1573.    Стороны треугольника равны 11, 13 и 12. Найдите медиану, проведенную к большей стороне.

1574.    Около четырехугольника ABCD можно описать окружность. Кроме того, АВ = 3, ВС = 4, CD = 5 и AD = 2. Найдите АС.
1575.    Дан угол, равный а, с вершиной в точке А. Расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из некоторой точки В на стороны угла, равно о. Найдите АВ.
1576.    В треугольнике АВС на стороне АС как на диаметре описана окружность, которая пересекает сторону АВ в точке М, а сторону ВС — в точке N. Известно, что АС = 2, АВ = 3, AN = 1,8. Найдите косинус угла ВАС.
1577.    Диаметр АВ окружности продолжили за точку В и на продолжении отметили точку С. Из точки С провели секущую под углом к АС в 7°, пересекающую окружность в точках D и R, считая от точки С. Известно, что DC = = 3, а угол DAC равен 30°. Найдите диаметр окружности.
1578.    В окружности диаметра 4 проведены диаметр АВ и хорда CD, пе-ресекающиеся в точке Е. Известно, что углы АВС и ВСЕ равны соответственно 60° и 8°. Найдите СЕ.
1579.    В выпуклом четырехугольнике отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны соответственно а и ft и пересекаются под углЪм 60°. Найдите диагонали четырехугольника.
1580.    В выпуклом четырехугольнике ABCD точки Е, F, Н, G являются соответственно серединами отрезков АВ, ВС, CD, AD; О — точка пересечения отрезков ЕН и FG. Известно, что EH = a, FG = ft, A FOH = 60°. Найдите диагонали четырехугольника ABCD.
1581.    В прямоугольной трапеции ABCD углы А и D прямые, сторона АВ параллельна стороне CD; длины сторон равны: АВ = 1, CD = 4, AD — 5. На стороне AD взята точка М так, что угол CMD вдвое больше угла ВМА. В каком отношении точка М делит сторону AD?
1582.    В треугольнике АВС медианы, проведенные к сторонамАСиВС, пересекаются под прямым углом. Сторона АС равна ft, сторона ВС равна а. Найдите сторону АВ.
1583.    Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника с острым углом, равным 30°, если известно, что биссектриса, проведенная из вершины прямого угла, равна а.
1584.    Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 13, 14, 15.
1585.    Прямая, проходящая через точки GHK, делит пополам угол FGH, KF _L GF, КН 1 GH, KF = КН = 8, GK =17. Отрезок GL содержит точку В и FL = 2. Отрезок GM содержит точку Н и НМ = 19. Найдите LM.
1586.    В остроугольном треугольнике АВС известно, что ВС = а, АС = ft, А АСВ = а. Найдите высоту CD и угол АВС.
1587.    В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 и 20. Найдите биссектрису угла при основании треугольника.
1588.    В треугольник с боковыми сторонами 9 и 15 вписан параллелограмм так, что одна из его сторон, равная 6, лежит на основании треугольника, а диагонали параллелограмма параллельны боковым сторонам треугольника (рис. 63). Найдите другую сторону параллелограмма и основание треугольника.
 

1589.    В треугольник вписан параллелограмм со сторонами 3 и 5 и диагональю, равной 6. Найдите стороны треугольника, если известно, что диагонали параллелограмма параллельны боковым сторонам треугольника, а меньшая из его сторон лежит на основании треугольника.
1590.    В треугольнике известны одна сторона а и два прилежащих к ней угла (3 и у* Найдите биссектрису третьего угла.
1591.    Основание равнобедренного треугольника равно а, угол при вершине равен а. Найдите биссектрису, проведенную к боковой стороне.
1592.    Дан параллелограмм, в котором острый угол равен 60°. Найдите отношение сторон параллелограмма, если отношение квадратов диагоналей
равно |.
1593.    В треугольнике АВС на сторонах АЛ, ВС и AD ВЗЯТЫ соответственно точки К, L и М. Известно, что АК = 5, КВ = 3, BL = 2, LC = 7, СМ = 1, МА = = 6. Найдите расстояние от точки М до середины KL.
1594.    В параллелограмме ABCD известны длины диагоналей АС = 15, BD = 9. Радиус окружности, описанной около треугольника АЛ С, равен 10. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABD.
1595.    Основания равнобедренной трапеции относятся как 5 : 12, а ее высота равна 17. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если известно, что ее средняя линия равна высоте.
1596.    Окружность касается двух параллельных прямых I и т в точках А и Л соответственно; CD — диаметр окружности, параллельный этим прямым. Прямая ВС пересекает прямую I в точке Е, а прямая ED — прямую т в точке F. Найдите углы треугольника BRF.
1597.    В треугольнике АВС известны стороны: ВС = АС = 12, АЛ = 6; АЛ — биссектриса. Найдите радиус R окружности, описанной около треугольника АВС. Выясните, что больше: R или 6,5.
1598.    Медианы AM и CN треуголь- никаАЛС пересекаются в точке О. Известно, что А ВАС = а, А ЛСА = (3, АС = = Ъ. Найдите расстояние от точки О до прямой АС.
1599.    В треугольнике АВС со стороной АЛ = Jb из вершины В к стороне
АС проведены медиана ВМ = 2j2 и высота ВН = 2. Найдите сторону ВС, если известно, что А АВС + А АСЛ < 90°.
1600.    В треугольнике АВС известно, что АЛ = АС, высота АЛ равна 9, а диаметр описанной окружности равен 25. Найдите радиус вписанной окружности.
1601.    В треугольнике АВС длина АЛ = 4, длина ВС равна 5. Из вершины Л проведен отрезок ВМ (М на АС), причем А АВМ = 45° и А МЛС — 30°.
а)    В каком отношении точка М делит сторону АС?
б)    Найдите отрезки AM и МС.
1602.    Отношение длин двух пересекающихся окружностей равно ,/3. Общая хорда этих окружностей стягивает в меньшей из них дугу в 120°. Найдите стягиваемую этой хордой дугу большей окружности.
1603.    Окружность радиуса R с центром в точке О проходит через вершины А и В треугольника АВС, пересекает отрезок ВС в точке М и касается прямой АС в точке А. Найдите СМ, зная, что А АСО = а, А МАЛ = р.
1604.    В параллелограмме ABCD с углом А, равным 60°, проведена биссектриса угла В, пересекающая сторону CD в точке Е. В треугольник ЕСВ вписана окружность радиуса R. Другая окружность вписана в трапецию ABED. Найдите расстояние между центрами этих окружностей.
1605.    В треугольник АВС вписана окружность, которая касается сторон АЛ, ВС , АС соответственно в точках М, D, N. Известно, что NA = 2, NC = 3, А ЛСА = 60°. Найдите MD.
1606.    На стороне АВ треугольника АВС во внешнюю сторону построен равносторонний треугольник. Найдите расстояние между его центром и вершиной С, если АВ = с и А С = 120°.
1607.    В треугольнике АВС заданы: ВС = а, А. А = а, А В = (3. Найдите радиус окружности, касающейся стороны АС в точке А и касающейся стороны ВС.
1608.    В треугольнике АВС к стороне АС проведены высота ВК и медиана МВ, причем AM = ВМ. Найдите косинус угла КВМ, если АВ = 1, ВС = 2.
1609.    В параллелограмме PQRS биссектриса угла при вершине Р, равного 80°, пересекает сторону RS в точке L. Найдите радиус окружности, касающейся отрезка PQ и лучей QR и PL, если известно, что PQ = 7.
1610.    Дана равнобедренная трапеция ABCD. Известно, что AD = 10, ВС = 2, АВ = CD = 5. Биссектриса угла BAD пересекает продолжение основания ВС в точке К. Найдите биссектрису угла АВ А в треугольнике АВК.
1611.    В треугольнике АВС сторона ВС = 5. Окружность проходит через вершины В и С и пересекает сторону АС в точке К так, что СК = 3, КА = 1. Известно, что косинус углаАСВ равен
%. Найдите отношение радиуса дан- 5
ной окружности к радиусу окружности, вписанной в треугольник АВК.
1612.    В ромбе ABCD со стороной
(1 + Jb) и острым углом BAD, равным 60°, расположена окружность, вписанная в треугольник ABD (рис. 64). Из
 

точки С к окружности проведена касательная, пересекающая сторону АВ в точке Е. Найдите АЕ.
1613.    Окружность проходит через вершины А и С треугольника АВС, пересекая сторону АВ в точке Е и сторону ВС в точке F. Угол АВС в 5 раз больше угла BAF, а угол АВС равен 72°. Найдите радиус окружности, если АС = 6.
1614.    Точка О лежит на отрезке АВ так, что АО = 13, ОВ = 7. С центром в точке О проведена окружность радиуса 5. Из А и В к ней проведены касательные, пересекающиеся в точке М, причем точки касания лежат по одну сторону от прямой АВ. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника AM В.
1615.    Окружность проходит через вершины А и С треугольника АВС, пересекает сторону АВ в точке D и сторону ВС в точке В. 7 , ВВ = 4,ВВ»: СВ = = 3:2.
1616.    Из одной точки окружности проведены две хорды длинами 9 и 17. Найдите радиус окружности, если расстояние между серединами данных хорд равно 5.
1617.    Из одной точки окружности проведены две хорды длинами 10 и 12. Найдите радиус окружности, если расстояние от середины меньшей хорды до большей хорды равно 4.
1618.    В четырехугольнике ABCD известно, что ААВВ = AACD = 45°, А ВАС = 30°, ВС = 1. Найдите АВ.
1619.    В треугольнике АВС угол А равен 60°, АВ = 1, ВС = а. Найдите АС.
1620.    В треугольнике АВС дано: А САВ = 75°, А АВС = 45°. На стороне СА берется точка К так, что СК : АВ = = 3. На стороне СВ берется точка М. Найдите КМ :АВ, если известно, что
Q
это отношение меньше — и что прямая
4
МК отсекает от треугольника АВС треугольник, ему подобный.
1621.    В окружности проведены хорды АВ и ВС, причем АВ = J3 , ВС =
= 3 -УЗ , А АВС = 60°. Найдите длину той хорды окружности, которая делит угол АВС пополам.
1622.    Медианы прямоугольного треугольника, проведенные к катетам, относятся, как J2 : 1. Найдите углы треугольника.
1623.    Стороны треугольника равны 11, 13 и 12. Найдите медиану, проведенную к большей стороне.
1624.    В треугольнике две стороны равны 11 и 23, а медиана, проведенная к третьей, равна 10. Найдите третью сторону.
1625.    Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается стороны АВ в точке М, при этом AM = 1, ВМ = 4. Найдите СМ, если известно, что А ВАС = 120°.
1626.    Основания трапеции равны 1 и 6, а диагонали — 3 и 5. Под каким углом видны основания из точки пересечения диагоналей?
1627.    Дан треугольник АВС, в котором А А = а, А В = р. На стороне АВ взята точкаВ, ана стороне АС — точка М, причем CD — биссектриса треугольника ABC, DM |] ВС и AM = а. Найдите СМ.
1628.    Углы треугольника равны а, Р и у, а периметр равен Р. Найдите стороны треугольника.
1629.    Одна из боковых сторон трапеции образует с большим основанием угол, равный а, а вторая равна а и образует с меньшим основанием угол, равный Р (Р > а). Найдите среднюю линию трапеции, если меньшее основание равно Ь.
1630.    В окружность радиуса R вписан равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) с углом ВАС, равным ос. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.
1631.    Трапеция ABCD (ВС II AD) вписана в окружность. Известно, что
ВС = a, AD = Ъ, A CAD = а. Найдите радиус окружности.
1632.    Касательная к окружности (К — точка касания) параллельна хорде LM. Известно, что LM = 6, КМ = 5. Найдите радиус окружности.
1633.    Найдите биссектрису АВ треугольника АВС со сторонами ВС = 18, АС = 15, АВ= 12.
1634.    В треугольнике АВС угол ВАС равен 60°, высота, опущенная из
вершины С на сторону АВ, равна Уз , а радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 5. Найдите стороны треугольникаАВС.
1635.    В параллелограмме АВСВ высота, проведенная из вершины В тупого угла на сторону ВА, делит ее в отношении 5:3, считая от вершины В. Найдите отношение АС: ВВ, если AD:AB=2.
1636.    Докажите, что отношение суммы квадратов медиан треугольника к
О
сумме квадратов его сторон равно ~ .
2    2
равенство г =     , где г — ра-
а
cos —
2
диус вписанной окружности, а, |3 и у — углы треугольника АВС, а = ВС.
1639.    В треугольнике АВС проведены высота ВМ, биссектриса BN и медиана BL (рис. 65). Известно, что
В
 

AM = MN = NL. Найдите тангенс угла А этого треугольника.
1640.    Через точку L окружности проведены касательная и хорда LM, равная 5. Хорда MN параллельна касательной и равна 6. Найдите радиус окружности.
1641.    В окружность вписаны две равнобедренные трапеции с соответственно параллельными сторонами. Докажите, что диагональ одной из них равна диагонали другой трапеции.
1642.    Отрезки АВ и CD — диаметры одной окружности. Из точки М этой окружности опущены перпендикуляры МР и MQ на прямые АВ и CD. Докажите, что длина отрезкаPQ не зависит от положения точки М.
1643.    Через вершины А и В треугольника АВС проходит окружность радиуса г, пересекающая сторону ВС в точке D. Найдите радиус окружности, проходящей через точки А, йиС, если АВ = с и АС = Ь.
1644.    В прямоугольный треугольник АВС с углом А, равным 30°, вписана окружность радиуса R. Вторая окружность, лежащая вне треугольника, касается стороны ВС и продолжений двух других сторон. Найдите расстояние между центрами этих окружностей.
1645°. Найдите радиус окружности, которая высекает на обеих сторонах угла, равного а, хорды длины а, если известно, что расстояние между ближайшими концами этих хорд равно Ъ.
1646.    В окружности проведены две хорды АВ = а и АС = Ъ. Длина дуги АС вдвое больше длины дуги АВ. Найдите радиус окружности.
1647.    Правильный треугольник АВС со стороной, равной 3, вписан в окружность. Точка В лежит на окружности, причем хорда AD равна J3. Найдите хорды BD и CD.
1648.    В равнобедренном треугольнике основание равно 24, а боковая сторона равна 15. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей.
1649.    Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине С. Угол САВ равен а. Биссектриса угла АВС пересекает катет АС в точке К. На стороне ВС как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу АВ в точке М. Найдите угол AM К.
1650.    В окружности радиуса R = 4 проведены хорда АВ и диаметр АХ, об-разующий с хордой угол . В точке В
проведена касательная к окружности, пересекающая продолжение диаметра АК в точке С. Найдите медиану AM треугольника АВС.
1651.    В треугольник АВС со стороной ВС = 9 вписана окружность, касающаяся стороны ВС в точке D. Известно, что AD = DC и косинус угла
о
ВСА равен — . Найдите сторону АС.
3
1652.    В параллелограмме со сторонами 2 и 4 проведена диагональ длиной 3. В каждый из получившихся треугольников вписано по окружности. Найдите расстояние между центрами окружностей.
1653.    В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, делится точкой пересечения высот пополам. Найдите угла этого треугольника.
1654.    В треугольнике АВС на стороне АС взята точка D так, что отрезок AD равен 3, косинус угла BDC равен
—, а сумма углов АВС и ADB равна 20
180°. Найдите периметр треугольника АВС, если ВС = 2.
1655°. В прямоугольном треугольнике АВС биссектриса АР острого угла А делится центром О вписанной окружности в отношении АО : ОР —
= (73 +1):(73 — 1). Найдите острые углы треугольника.
1656.    В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АС, равной 2, проведены медианы AM и CN. Около четырехугольника ANMC можно описать окружность. Найдите радиус этой окружности.
1657.    Правильный треугольник АВС со стороной а и два ромба ACMN и ABFE расположены так, что точки М и В лежат по разные стороны от прямой АС, а точки В и С — по разные стороны от прямой АВ. Найдите расстояние между центрами ромбов, если А ЕАВ = A ACM = а (а < 90°).
1658.    В параллелограмме ABCD биссектриса угла BAD пересекает сторону CD в точке М такой, что DM : МС = = 2:1. Известно, что А САМ = а. Найдите угол BAD.
1659.    В параллелограмме PQRS биссектриса угла QPS пересекает сторону QR в точке А такой, что QA : AR =3:1. Известно, что A QPS = а. Найдите угол между биссектрисой РА и диагональю РЕ.
1660.    Диагонали выпуклого четырехугольника равны с и d и пересекаются под углом 45°. Найдите отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника.
1661.    Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, удален от вершин острых углов на расстояния а и Ъ. Найдите гипотенузу.
1662.    Точка М лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD с углом 45° при вершине А, причем A AMD = = 90° и ВМ : МС =2:3. Найдите отношение соседних сторон параллелограмма.
1663.    Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник с катетами, равными 6 и 8, касается гипотенузы в точке М (рис. 66). Найдите расстояние от точки М до вершины прямого угла.
 

1664.    Боковая сторона равнобедренной трапеции равна о, средняя линия равна Ь, а один углов при большем основании равен 30°. Найдите радиус окружности, описанной около этой трапеции.
1665.    Медиана AM треугольника АВС равна т и образует со сторонами АВ и АС углы, равные а и |3 соответственно. Найдите эти стороны.
1666.    В треугольнике даны два угла Р и у и радиус R описанной окружности. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.
1667.    В выпуклом четырехугольнике ABCD отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, пересекаются под углом 60°, а их длины относятся, как 1:3. Чему равна меньшая диагональ четырехугольника
ABCD, если большая равна JZQ ?
1668.    В треугольнике АВС известны высоты ha = |, hb = i , hc = i . Найдите отношение биссектрисы CD к радиусу описанной окружности.
1669.    Около треугольника АВС описана окружность. Продолжение биссектрисы СК треугольника АВС пересекает эту окружность в точке L, причем CL — диаметр данной окружности. Найдите отношение от- 

резков BL и АС, если синус угла ВАС
равен i.
4
1670.    В треугольнике АВС сторона АВ = 6, А ВАС = 30°, радиус описанной окружности равен 5. Найдите сторону
АС.
1671.    Биссектриса AD равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС) делит сторону ВС на отрезки BD = b и DC = с. Найдите биссектрису AD.
1672.    Дан треугольник АВС. Известно, чтоАВ = 4, АС = 2, ВС= 3. Биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке К. Прямая, проходящая через точку В параллельно АС, пересекает продолжение биссектрисы АК в точке М. Найдите КМ.
1673°. В равнобедренной трапеции даны основания а = 21, Ь = 9 и высота h = 8. Найдите радиус описанного круга.
1674°. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренной трапеции с основаниями 2 и 14 и боковой стороной 10.
1675.    В треугольнике АВС стороны АВ и АС равны соответственно JlO и 4 2 , а радиус окружности, описанной
около треугольника АВС, равен 4% . Найдите сторону ВС и угол АСВ, если известно, что угол АСВ — острый.
1676.    В треугольник АВС вписана окружность, которая касается сторон АВ, ВС, АС соответственно в точках М, D, N. Найдите отрезок MD, если известно, что NA = 2, NC = 3, А ВСА = = 60°.
1677°. В треугольник KLM вписана окружность, которая касается стороны KL в точке А, а стороны КМ — в точке В. Найдите угол LMK, если известно, что ВМ — 5, AL = 10, а
cos A LKM = — .
26
1678°. Две стороны треугольника равны anb. Найдите третью сторону с 
треугольника, если его угол, лежащий против третьей стороны, в два раза больше угла, лежащего против стороны, равной Ъ.

Высоты треугольника АВС пересекаются в точке Н. Докажите, что радиусы окружностей, описанных около треугольников АВС, АНВ, ВНС и АНС, равны между собой.
1680.    Известно, что расстояние от центра описанной окружности до стороны АВ треугольника АВС равно половине радиуса этой окружности. Найдите высоту треугольника АВС, опущенную на сторону АВ, если она а две другие стороны тре-угольника равны 2 и 3.
1681.    В треугольнике АВС угол С равен 60°, а биссектриса угла С равна 5 J3 . Длины сторон АС и ВС относятся как 5 : 2 соответственно. Найдите тангенс угла А и сторону ВС.
1682.    Окружность проходит через вершины А и С треугольника АВС и пе-ресекает сторону АВ в точке D, а сторону ВС — в точке Е. Найдите угол BDC, если BD : ЕС = 1 : 2, BE : AD = 2:7, угол АВС равен 60°.
1683.    Катеты прямоугольного треугольника равны 36 и 48. Найдите расстояние от центра вписанной в треугольник окружности до высоты, проведенной к гипотенузе.
1684.    Гипотенуза и катет прямоугольного треугольника равны соответственно 60 и 36. Найдите расстояние от точки пересечения биссектрис треугольника до высоты, проведенной к гипотенузе.
1685.    Прямая, проходящая через точку пересечения медиан треугольника АВС, пересекает стороны ВА и ВС в точках А’ и С’ соответственно. При этом ВА’ < ВА = 3, ВС = 2, ВА’ ■ ВС’ = 3. Найдите ВА’.
1686.    В треугольнике АВС известно, чтоАВ = 3, АС = 3./7, А АВС = 60°. 
Биссектриса угла АВС продолжена до пересечения в точке D с окружностью, описанной вокруг треугольника. Найдите BD.
1687.    Во вписанном в окружность четырехугольнике KLMN известно, что KL = 2, LM = 3, A KLM = 120°, а диагональ LN является отрезком биссектрисы угла KLM (рис. 67). Найдите эту диагональ. Cj, если радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен R.
1691°. Основания трапеции равны 4 и 16. Найдите радиусы окружностей, вписанной в трапецию и описанной около нее, если известно, что эти окружности существуют.
1692.    В трапеции АВСЕ основание
АЕ равно 16, СЕ = 8 J3 . Окружность, проходящая через точки А, В и С, вторично пересекает прямую АЕ в точке Н, ААНВ = 60°. Найдите АС.
1693.    В треугольнике АВС на средней линии DE, параллельной АВ, как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны АС и ВС в точках М и N. Найдите MN, если ВС = а, АС = Ъ,АВ = с.
1694.    Угол при основании равнобедренного треугольника равен <р. Найдите отношение радиуса вписанной в данный треугольник окружности к радиусу описанной окружности.
1695.    В треугольнике АВС заданы: АС = b, А АВС = а. Найдите радиус ок-ружности, проходящей через центр вписанного в треугольник АВС круга и вершины А и С.
1696.    В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) сторонаАС = 10. В угол АВС вписана окружность, диаметр которой равен 15, так, что она касается стороны АС в ее середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.
1697.    В прямоугольном треугольнике АВС из точки Е, расположенной в середине катета ВС, опущен перпендикуляр EL на гипотенузу АВ. Найдите углы треугольника АВС, если АЕ =
= JlOELuBOAC.
1698.    В ромбе ABCD из вершины В на сторону АВ опущен перпендикуляр
BE.    Найдите углы ромба, если 2 *J3 СЕ =
= АС.
1699.    Стороны треугольника равны 1 и 2, а угол между ними равен 60°. Через центр вписанной окружности этого треугольника и концы третьей стороны проведена окружность. Найдите ее радиус.
1700.    В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС точка D делит сторону ВС в отношении 3:1, считая от вершины В, а точка Е — середина отрезка AD. Известно, что BE = J7 , СЕ = 3. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС.
1701.    В треугольнике АВС сторона АС равна 7, угол ВСА равен 60°. Точка Е, лежащая на стороне ВС, удалена от вершины В на расстояние, равное 6, F — точка пересечения АЕ с медианой BD. Найдите сторону АВ, если BF : FD = = 3:2.
1702.    В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) медиана AJD и биссектриса СЕ перпендикулярны. Найдите угол AJDB.
1703.    Стороны треугольника равны 1 и 2, а угол между ними равен 120°. Окружность с центром на третьей стороне треугольника касается двух других сторон. Вторая окружность касается этих сторон и первой окружности. Найдите радиусы окружностей.
1704.    Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Известно, что ВС — а, АС — Ъ, Z. АОВ = = 120°. Найдите сторону АВ.
1705.    ТочкаМ лежит на стороне АС равностороннего треугольника АВС со стороной, равной За, причем AM : МС = = 1:2. Точки К и L на сторонах АВ и ВС являются вершинами другого равностороннего треугольника MKL. Найдите его стороны.
1706.    Стороны треугольника равны 1 и 2, а угол между ними равен 60°. Через центр вписанной окружности этого треугольника и концы третьей стороны проведена окружность. Найдите ее радиус.
1707.    В трапеции с основаниями 3 и 4 диагональ равна 6 и является бис-сектрисой одного из углов. Может ли эта трапеция быть равнобедренной?
1708.    В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты ССг и АА1. Известно, что АС = 1 и Z. С1СА1 = а. Найдите площадь круга, описанного около треугольника С1ВА1.
1709.    В трапеции ABCD даны основания AD = 4, ВС = 1 и углы А и D при основании, равные соответственно arctg 2 и acrtg 3. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник СВЕ, где Е — точка пересечения диагоналей трапеции.
1710.    В трапеции KLMN известны
боковые стороны KL = 36, MN = 34, верхнее основание LM =    10 и
cos Z. KLM =    . Найдите диагональ
3
LN.
1711.    В остроугольном треугольнике АВС из основания D высоты BD опущены перпендикуляры DM и DN на стороны АВ и ВС. Известно, что MN = a, BD = Ъ. Найдите угол АВС.
1712.    В треугольнике АВС известно, ЧТОВС = 3,ВА = 377,ААВС = 60°. Биссектриса угла АВС продолжена до пересечения в точке D с окружностью, описанной вокруг треугольника (рис. 68). Найдите BD.
 

1713.    Окружность проходит через вершины А и С треугольника АВС и пересекает сторону АВ в точке D, а сторону ВС — в точке Е. Найдите угол BDC, если ВС : ЕС = 1:2, BE:AD = 2: 7, А АВС = 60°.
1714.    В треугольнике АВС на стороне АВ взята точка L так, что AL = 1, BL = 3, а на стороне ВС взята точка К, делящая эту сторону в отношении ВК : КС = 3 : 2. Точка Q пересечения прямых АХ и CL отстоит от прямой ВС на расстоянии 1,5. Вычислите синус угла АВС.
1715.    Внутри угла в 60° расположена точка, отстоящая на расстояния V7
и 2 от сторон угла. Найдите расстояние этой точки от вершины угла.
1716.    В треугольнике АВС точка D делит сторону АВ пополам, а точка Е лежит на стороне ВС, причем отрезок BE в 3 раза меньше стороны ВС. Отрезки АЕ и CD пересекаются в точке О. Найдите сторону АВ, если отрезок АЕ равен 5, отрезок ОС равен 4, ауголАОС равен 120°.
1717.    Из точки М на окружности проведены три хорды: MN = 1, МР = 6, MQ = 2. При этом углы NMP и PMQ равны. В-у. Укажите ее приближенное значение с точностью до 0,01.
1719.    В окружность с центром О вписана трапеция KLMN, в которой KL параллельна MN, KL = 8, MN = 2, A NKL — 45°. Хорда МА окружности пересекает отрезок KL в точке В такой, что КВ = 3. Найдите расстояние от точки О до прямой АХ.
1720.    Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник АВС, касается основания АС в точке D и боковой стороны АВ в точке Е. Точка F — середина стороны АВ, а точка G — точка пересечения окружности и отрезка FD, отличная от D. Касательная к окружности, проходящая через точку G, пересекает сторону АВ в точке Н.
Найдите угол ВСА, если известно, что FH: НЕ = 2:3.
1721.    Пусть М — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника ABCD, в котором стороны АВ, AD и ВС равны между собой. Найдите угол CMD, если известно, что DM = МС, a A CAB * A DBA.
1722.    В выпуклом четырехугольнике ABCD сторона AD равна 4, сторона CD равна 7, косинус угла ADC равен
— , синус угла ВСА равен — . Найдите
2    3
сторону ВС, если известно, что окружность, описанная около треугольника АВС, проходит также и через точку D.

В треугольнике АВС проведена средняя линия MN, соединяющая стороны АВ и ВС. Окружность, проведенная через точки М, N и С, касается стороны АВ, а ее радиус равен
J2,. Сторона АС равна 2. Найдите синус угла АСВ.
1724°. В окружность радиуса 5 вписан треугольник АВС, у которого АВ = = ВС, BD — высота. Найдите BD, если
BD+ -АС = 10.
3
1725.    В треугольнике АВС известно, что ВС — 4, А АСВ = 30°, радиус описанной окружности равен 6. Найдите среднюю линию, параллельную стороне АС, и расстояние между точками, в которых прямая, содержащая эту среднюю линию, пересекает описанную окружность.
1726.    В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С проведена медиана CD. Около треугольника ACD вписана окружность, а в треугольник BCD вписана окружность. Найдите расстояние между центрами этих окружностей, если ВС = 3, а радиус описанной около тре-
С
угольника АВС окружности равен — .
1727.    Сторона ромба ABCD равна 6. Расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников АВС и BCD, равно 8. Найдите радиусы этих окружностей.
1728.    В равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) вписана окружность с центром О. Касательная к окружности пересекает стороны ВС и СА в точках MHN соответственно. Найдите радиус окружности, если A MNC =
= 2А NMC, ОМ = УТО ,ON =Ц-.
4
1729.    Около окружности с центром О описана трапеция ABCD, в которой ВС IIАВ, ВС <AD. Продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в точке М. Найдите радиус окружности,
если МВ = ВС, ОВ= Jb , ОС = J2.
1730.    В трапеции ABCD сторона АВ перпендикулярна основаниям АВ и ВС. Окружность касается стороны АВ в точке К, лежащей между точками А и В, имеет с отрезком ВС единственную общую точку С, проходит через точку В и пересекает отрезок АВ в точке Е, отличной от точки D. Найдите расстояние от точки К до прямой CD, если АВ = 48, ВС = 12.
1731.    В параллелограмме ABCD известно: АВ = а, ВС = Ъ, А АВС = а. Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников BCD и DAB.
1732.    В окружность вписан равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ = ВС и АВ = р. Средняя линия треугольника продолжена до пересечения с окружностью в точках D и Е (DE || АС). Найдите отношение площадей треугольников АВС и DBE.
1733.    В выпуклом четырехугольнике ABCD заключены две равные окружности, касающиеся друг друга. Центр первой окружности находится на отрезке, соединяющем вершину В с серединой Е стороны АВ, а центр второй окружности — на отрезке СЕ. Первая окружность касается сторон АВ, АВ и СВ, а вторая окружность ка-сается сторон АВ, ВС и СВ. Найдите синус угла между диагоналями четы-рехугольника ABCD.
1734.    Дана равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность и около которой описана окружность. Отношение длины описанной окружности к длине вписанной окружности
равно 2 Уб . Найдите углы трапеции.
1735°. В равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) вписана окружность радиуса 3. Прямая I касается этой окружности и параллельна прямой АС. Расстояние от точки В до прямой I равно 3. Найдите расстояние между точками, в которых данная окружность касается сторон АВ и ВС.
1736. В треугольник АВС вписана окружность. Касательная к этой окружности, параллельная стороне ВС, пересекает сторону АВ в точке В и сторону АС в точке Е (рис. 69). Периметры треугольников АВС и ADE равны соответственно 40 и 30, а угол АВС равен а. Найдите радиус окружности.
А
 

1737. В трапецию ABCD вписана окружность. Продолжения боковых сторон трапеции АВ и ВС за точки В и С пересекаются в точке Е. Периметр треугольника DCE и длина основания трапеции АВ равны соответственно 60 и 20, угол АВС равен |3. Найдите радиус окружности.
1738°. Окружность с центром в точке О лежит на гипотенузе АС прямоугольного треугольника АВС, касается его катетов АВ и ВС. Найдите АС, если
известно, что AM = — , AN : MN =
9
= 6:1, где М — точка касания АВ с окружностью, а N — точка пересечения окружности с АС, расположенная между точками А и О.
1739.    На гипотенузе КМ прямоугольного треугольника KLM расположен центр О окружности, которая касается катетов KL и LM в точках А и В соответственно. Найдите АК, если
09
известно, что ВМ =    , АК: АС =
= 5:23, где С— точка пересечения окружности с КМ, лежащая между точками О и М.
1740.    Найдите периметр треугольника, один из углов которого равен а, а радиусы вписанной и описанной окружностей равны г и R.
1741.    На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС выбраны точки К и L так, что АК = KL — LB. Найдите углы треугольника АВС, если
известно, что СК = J2. CL.
1742.    Медиана AD остроугольного треугольника АВС равна 5. Ортогональные проекции этой медианы на
стороны АВ и АС равны 4 и 2 соответственно. Найдите сторону ВС.
1743.    В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС точка D делит сторону ВС в отношении 2:1, считая от вершины В, а точка Е — середина стороны АВ. Известно, что медиана
CQ треугольника СЕВ равна
/09
DE = «Е— . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС.
1744.    В ромбе ABCD точка Q делит сторону ВС в отношении 1:3, считая 
от вершины В, а точка Е — середина стороныАВ. Известно, что медиана CG
треугольника CEQ равна 2 J2 , a EQ =
= J2 . Найдите радиус окружности, вписанной в ромб ABCD.
1745.    В треугольнике АВС со сторонами ВС = 7, АС = 5, АВ = 3 проведена биссектриса A_D. Вокруг треугольника ABD описана окружность, а в треугольник ACD вписана окружность. Найдите произведение их радиусов.
1746.    В треугольнике АВС проведены биссектрисы BL и АЕ углов АВС и ВАС соответственно, которые пересекаются в точке О. Известно, что АВ = = BL, периметр треугольника равен 28, ВО = 2OL. Найдите АВ.
1747.    В треугольнике АВС известно, что ВС = 4, А АВС = 30°, радиус описанной окружности равен 6. Найдите среднюю линию, параллельную стороне АС, и расстояние между точками, в которых прямая, содержащая эту среднюю линию, пересекает описанную окружность.
1748.     В ромбе ABCD угол BCD равен 135°, а стороны равны 8. Окружность касается прямой CD и пересекает сторону АВ в двух точках, расположенных на расстоянии 1 от А и В. Найдите радиус этой окружности.
1749.    Прямая, проходящая через точку М основания АВ равнобедренного треугольника АВС, пересекает прямые АС и ВС в точках Аг и Вг соответственно. Докажите, что АА1 : АХМ = = ВВ1 : ВгМ.
1770.    Биссектрисы AM и BN треугольника АВС пересекаются в точке
О. Известно, что АО = J3 МО, N0 =
= (J3 — 1)ВО. Найдите углы треугольника АВС.
1771.    В ромбе ABCD угол А АВС = — 60°. Окружность касается прямой AD в точке А, центр окружности лежит внутри ромба. Касательные к окружности, проведенные из точки С, перпендикулярны. Найдите отношение периметра ромба к длине окруж-ности.
1772.    В ромбе ABCD угол A BCD = = 120°. Окружность касается прямой ВС в точке С, центр окружности лежит вне ромба. Касательные к окружности, проведенные из точки А, перпендикулярны. Найдите отношение радиуса окружности к стороне ромба.
1773.    Сторона ромба ABCD равна а, а острый угол равен а. На отрезках AD к ВС построены как на сторонах вне ромба правильные треугольники. Найдите расстояние между центрами этих треугольников.
1774.    (Теорема Стюарта.) Точка D расположена на стороне ВС треугольника АВС. Докажите, что
АВ2 ■ DC + АС2 ■ BD — AD2 — ВС =
= ВС DC- BD.
1775.    Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, равны 5, 12 и 13. Найдите радиус описанной около треугольника окружности.
1776.    В треугольнике АВС сторона АВ равна 21, биссектриса BD равна
, a DC = 8. Найдите периметр треугольника АВС.
1777.    В треугольнике АВС точка D лежит на стороне ВС, прямая АН пересекается с биссектрисой угла АСВ в точке О. Известно, что точки С, Л и О лежат на окружности, центр которой находится на стороне АС, АС : АВ = = 3 : 2, а угол DAC в три раза больше угла DAB. Найдите косинус угла АСВ.
1778.    В треугольнике АВС точка D лежит на стороне ВС, а точка О — на отрезке AD. 2 АВ, угол ЛАС в два раза больше угла BAD, а угол ОСА в два раза меньше угла ОСВ. Найдите косинус угла АВС. —
1779.    Периметр параллелограмма ABCD равен 26. Угол АВС равен 120°. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCD, равен Уз. Найдите стороны параллелограмма, если известно, что сторона АЛ больше стороны АВ.
1780.    В прямоугольнике ABCD сторона АВ втрое больше стороны ВС. Внутри прямоугольника расположена
точка N, причем AN = J2 , BN = 4 У2 , DN = 2. Найдите косинус угла BAN и площадь прямоугольника ABCD.
1802.    Из вершины L ромба KLMN проведена прямая, пересекающая прямую KN в точке Р. Диагональ КМ делит в точке Q отрезок LP так, что LQ : QP = 9 : 10. Найдите синус угла
LKN, если треугольник KLP тупоугольный, a A PLM = 60°.
1803.    Найдите высоту трапеции, у которой основания равны а иЪ (а < Ь), угол между диагоналями равен 90°, а угол между продолжениями боковых сторон равен 45°.
1804.    Диагональ АС квадрата ABCD совпадает с гипотенузой прямоугольного треугольника АСК, причем точки В и К лежат по одну сторону от прямой АС. Докажите, что ВК = = \ЛК-СК\ kDK = АК+СК
Л    Л ‘
1805.    В параллелограмме ABCD угол BCD равен 150°, а основание AD равно 8. Найдите радиус окружности, касающейся прямой CD и проходящей через вершину А, а также пересекающей основание AD на расстоянии 2 от точки D.
1806.    Точки М uN лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственно 2 и 6 от вершины А. Найдите радиус окружности, проходящей через MuNu касающейся прямой АВ, если угол ВАС равен 30°.
1807.    В треугольнике АВС выполнено соотношение между сторонами
АС-АВ _ АВ-ВС Найдите радиус описанной окружности, если расстояние от ее центра до точки пересечения медиан равно d, а сторона АВ равна с.
1808.    В остроугольном треугольнике BCD проведена высота СЕ и из точки Е опущены перпендикуляры ЕМ и EN на стороны ВС и CD. Известно, что СЕ = b, MN = а. Найдите угол BCD.
1809.    В треугольнике АВС даны углы В и С. Биссектриса внутреннего угла ВАС пересекает сторону ВС в точке D, а окружность, описанную около треугольника АВС, — в точке Е. Найдите отношение АЕ : DE.
1834.    В треугольнике АВС перпендикуляр, проходящий через середину стороны АВ, пересекает продолжение стороны ВС в точке М так, что МС : МВ =1:5. Перпендикуляр, проходящий через середину стороны ВС, пересекает сторону АС в точке N так, что AN : NC = 1 : 2. Найдите углы треугольника АВС.
1838.    В остроугольном треугольнике АВС биссектриса AD делит пополам отрезок ОН, где О — центр описанной окружности, Н — точка пересечения высот. Известно, что АС = 2, AD =
= J3 + J2 — 1. Найдите радиус описанной около треугольника АВС окружности.
1839.    Две окружности радиусов R и г пересекаются в точках А к В к касаются прямой в точках С и D. N — точка пересечения прямых АВ и CD (В между А и N). Найдите:
1)    радиус окружности, описанной около треугольника АСВ;
2)    отношение высот треугольников NAC и NAD, опущенных из вершины
N.
1840.    Точка D лежит на стороне АС треугольника АВС. Окружность радио
уса    , вписанная в треугольник АНН,
Л
касается стороны АВ в точке М, а окружность радиуса Л, вписанная в треугольник BCD, касается стороны ВС в точке N. . Известно, что
ВМ = 3, MN = ND = 1. Найдите стороны треугольника АВС.
1842.    В остроугольном треугольнике АВС А АВС = 75°, а высота, опущенная из вершины этого угла, равна 1. Найдите радиус описанной окружности, если известно, что периметр треугольника АВС равен 4 + Уб — J2..
1843.    Докажите формулу Эйлера:
0]0\ = R2 — 2rR, где 01г 02 — центры
вписанной и описанной окружностей треугольника ABC-, г, R — радиусы этих окружностей.
1844.    (Теорема Штейнера—Лемуса.) Докажите, что если две биссектрисы треугольника равны, то он равнобедренный.
1845.    В треугольнике KLM проведена биссектриса MN. Через вершину
 
М проходят окружность, касающаяся стороны KL в точке М и пересекающая сторону КМ в точке Р, а сторону LM — в точке Q. Отрезки КР, QM и LQ соответственно равны k, т и q. Найдите MN.
1846.    В выпуклом четырехугольнике АВКС сторона АВ = Л , диагональ ВС равна 1, а углы АВС, ВКА и ВКС равны 120°, 30° и 60° соответственно. Найдите сторону ВК.
1847.    Два равнобедренных треугольника АВС {АВ = ВС) и MNP {МР = NP) подобны и расположены так, что точки М, N и Р лежат соответственно на сторонах АВ, ВС и СА. Найдите отношение МР: АВ, если NC : BN = 2, а угол ВАС равен arctg 4.
1848.    Сторона ВС треугольника
АВС равна 4, сторона АВ равна 2jl9 . Известно, что центр окружности, проходящей через середины сторон треугольника, лежит на биссектрисе угла С. Найдите АС.
1849.    В окружности с центром О проведены параллельные хорды PQ и RS, диаметр SE и хорда DE. Хорда DE пересекает хорду PQ в точке F, из точки F опущен перпендикуляр FH на SE. Известно, что радиус окружности
равен г, а ЕН = — . Найдите расстоя- 8
ние от середины отрезка ЕО до середины хорды RQ.
1850.    Около окружности описана равнобедренная трапеция с основаниями AD и ВС (АВ > ВС). Прямая, параллельная диагонали АС, пересекает стороны АВ и СВ в точках М и N соответственно и касается окружности в точке Р. Найдите углы трапеции, если k(k< 1).
1851.    Около треугольника АВС описана окружность с центром в точке
О.    Касательная к окружности в точке С пересекается с прямой, делящей пополам угол В треугольника, в точке К, 
причем угол ВКС равен половине разности утроенного угла А и угла С треугольника. Сумма сторон АС и АВ равна 2 + Л , а сумма расстояний от точки О до сторон АС и АВ равна 2. Найдите радиус окружности.

 

1 Сумма двух сторон равнобедренного треугольника равна 26 см

1. Сумма двух сторон равнобедренного треугольника равна 26 см, а периметр равен 36 см. Какими могут быть стороны этого треугольника?

2. Периметр равнобедренного треугольника равен 70 см. Найдите стороны этого треугольника, если его боковая сторона относится к основанию как 5:4.

3. В треугольнике проведена медиана . Найдите длину , если см, периметр треугольника равен 18см, а на 2 см больше .

4. На боковых сторонах равнобедренного треугольника с основанием отложены равные отрезки и . — медиана треугольника — пересекает отрезок в точке . Докажите, что — медиана треугольника .

5. В равнобедренном треугольнике с основанием на медиане отмечена точка . Докажите, что треугольник — равнобедренный.

6. В равнобедренном треугольнике с основанием проведены биссектрисы и . Докажите, что .

7. Внешний угол треугольника равен , а внутренние углы, не смежные с ним, относятся как 3:4. Найдите все внутренние углы треугольника.

8. Треугольник — равнобедренный с основанием . Биссектрисы углов при основании пересекаются в точке , . Найдите угол .

9. Один из углов треугольника равен . Найдите угол между биссектрисами двух других углов треугольника.

10. В прямоугольном треугольнике проведена высота . Найдите длину гипотенузы , если , см.

11. Высота и медиана, проведенные из одной вершины, делят угол треугольника на три равные части. Найдите углы треугольника.

12. В треугольнике . Биссектрисы внутреннего угла и внешнего угла при вершине пересекаются в точке . Найдите угол .

13. На гипотенузе прямоугольного треугольника отмечены точки и , такие, что и (точка лежит между и ). Найдите угол .

14. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника образует с гипотенузой углы, один из которых равен . Найдите острые углы этого треугольника.

15. Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и высоте, опущенной на гипотенузу.

16. Найдите углы треугольника , если угол на больше угла , а угол в 5 раз больше угла .

17. В прямоугольном треугольнике биссектрисы и пересекаются в точке . . Найдите острые углы треугольника .

18. Расстояние между центрами двух окружностей, касающихся внешним образом, равно 18 см. Найдите радиусы окружностей, если один из них в 2 раза больше другого.

19. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу.

20. Постройте геометрическое место точек, равноудаленных от двух параллельных прямых.

21. В равнобедренном треугольнике угол между боковыми сторонами в 3 раза больше угла при основании. Найдите углы треугольника.

22. Параллельные прямые и пересечены двумя параллельными секущими и , причем точки и принадлежат прямой , а точки и — прямой . Докажите, что .

23. Сумма двух сторон параллелограмма равна 24 см, а периметр – 56 см. Найдите стороны параллелограмма.

24. Сторона ромба образует с его диагоналями углы, один из которых в 4 раза больше другого. Найдите углы ромба.

25. Диагональ делит угол прямоугольника в отношении 2:7. Найдите углы между диагоналями данного прямоугольника.

26. Разность двух углов параллелограмма равна . Найдите все углы параллелограмма.

27. В параллелограмме биссектриса угла делит сторону на отрезки и . Найдите периметр параллелограмма, если известно, что см и в два раза меньше .

28. Докажите, что параллелограмм, у которого углы равны, а диагонали перпендикулярны, является квадратом.

29. Точки , и — середины сторон треугольника . Периметр треугольника равен 12 см. Найдите периметр треугольника .

30. Точки , , , — середины сторон четырехугольника . Докажите, что .

31. Разность противолежащих углов равнобокой трапеции равна . Найдите углы трапеции.

32. Боковая сторона равнобокой трапеции равна 6 см, а средняя линия – 10 см. Найдите периметр трапеции.

33. Диагональ делит прямоугольную трапецию на два треугольника – прямоугольный и равносторонний. Найдите среднюю линию трапеции, если ее большее основание равно 12 см.

34. Стороны параллелограмма равны и . Найдите диагонали четырехугольника, образованного при пересечении биссектрис внутренних углов параллелограмма.

35. На стороне ромба построен равносторонний треугольник , найдите угол , если точка находится внутри ромба.

36. Постройте квадрат по разности длин диагонали и стороны.

37. Средняя линия треугольника образует со стороной углы, которые в три раза больше углов треугольника при этой стороне. Найдите углы треугольника.

38. В равнобокой трапеции с острым углом основания относятся как 2:3. Как относятся периметры фигур, на которые трапеция делится своей средней линией?

39. В равностороннем треугольнике со стороной, равной 6 см, точки , и — середины сторон , и соответственно. Определите вид четырехугольника и найдите его периметр.

40. Биссектрисы тупых углов равнобокой трапеции пересекаются в точке, лежащей на большем основании трапеции. Меньшее основание трапеции равно 8 см, а боковая сторона – 9 см. Найдите среднюю линию трапеции.

41. Докажите, что если диагонали четырехугольника равны, то середины его сторон являются вершинами ромба.

42. Диагональ прямоугольника равна 13 см, а одно из его сторон – 12 см. Найдите периметр прямоугольника.

43. Найдите периметр прямоугольной трапеции, основания которой равны 2 см и 8 см, а большая боковая сторона – 10 см.

44. Медиана равностороннего треугольника равна см. Найдите сторону треугольника.

45. Стороны треугольника пропорциональны числам 7, 24, 25. Докажите, что данный треугольник – прямоугольный.

46. Из точки , не лежащей на прямой , проведены к этой прямой перпендикуляр и две наклонные — и . Найдите расстояние между точками и , если см, см, см и точка лежит на отрезке .

47. В треугольнике см, см, — высота. Какой из отрезков больше — или ? Почему?

48. Пересекаются ли окружности с радиусами и и расстоянием между центрами , если см, см, см? Ответ объясните.

49. Докажите, что сумма диагоналей параллелограмма меньше его периметра.

50. Диагонали трапеции равны 8 см и 15 см, а основания – 7 см и 10 см. Найдите угол между диагоналями.

51. Медианы, проведенные к катетам прямоугольного треугольника, равны и . Найдите медиану, проведенную к гипотенузе.

52. В ромбе из точки на сторону опущен перпендикуляр . Найдите , если см, см.

53. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с катетами и и гипотенузой .

54. Докажите, что сумма двух сторон треугольника больше удвоенной медианы, проведенной из той же вершины.

55. Периметр равнобедренного треугольника равен 36 см, а его боковая сторона равна 13 см. Найдите медиану треугольника, проведенную к основанию.

56. Большая диагональ ромба равна 40 см, а меньшая диагональ относится к стороне как 6:5. Найдите сторону и высоту ромба.

57. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 25 см, а синус одного из углов равен 0,28. Найдите катеты треугольника.

58. Диагональ прямоугольника равна 8, а одна из его сторон — . Найдите острый угол между диагоналями прямоугольника.

59. а) Вычислите ,

б) упростите выражения: 1)

2)

3)

в) найдите значения и , если

г) Какой из углов больше — или , если , .

60. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой 6 см один из углов равен . Найдите катеты треугольника.

61. Катет прямоугольного треугольника равен 8 см, а медиана, проведенная к другому катету, равна см. Найдите периметр треугольника.

62. Высоты равнобокой трапеции делят ее на квадрат и два равнобедренных треугольника. Боковая сторона трапеции равна см. Найдите основания и тупой угол трапеции.

63. Даны точки и . Точка — середина отрезка .

а) Найдите координаты точки .

б) Найдите длину отрезка .

64. Окружность с центром в точке проходит через точку .

а) Запишите уравнение этой окружности.

б) Найдите точки окружности, которые имеют абсциссу, равную 3.

65. Дана окружность с центром в точке , заданная уравнением , и точка . Докажите, что данная окружность проходит через середину отрезка .

66. а) Составьте уравнение прямой, проходящей через точки и .

б) Найдите координаты точки пересечения данной прямой с осью абсцисс.

67. Найдите координаты точки пересечения прямых, заданных уравнениями и .

68. Запишите уравнение прямой, которая проходит через точку и параллельна прямой .

69. Даны точки , , . Для треугольника составьте уравнение медианы .

70. Найдите координаты точки пересечения медиан треугольника , если , , .

71. Найдите ГМТ, удаленных на 0,5 от окружности .

72. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку пересечения прямых и и параллельна биссектрисе первого координатного угла.

73. Составьте уравнение окружности с центром в точке , касающейся прямой .

74. Три вершины прямоугольника лежат в точках , , . В каких точках окружность пересекает стороны прямоугольника?

75. Прямая задана уравнением .

а) Найдите координаты точек и пересечения прямой с осями координат.

б) Найдите координаты середины отрезка .

в) Найдите длину отрезка .

76. Даны точки и . Известно, что — диаметр некоторой окружности.

а) Найдите координаты центра окружности.

б) Найдите радиус окружности.

в) Запишите уравнение окружности.

77. Даны точки , , и . Докажите, что — ромб.

78. Даны точки , и .

а) Постройте отрезок , симметричный отрезку относительно точки .

б) Постройте точку , симметричную точке относительно прямой .

в) Укажите координаты точек , и .

79. Сколько осей симметрии имеет ромб, не являющийся квадратом? Ответ проиллюстрируйте чертежом.

80. Дан квадрат . Постройте фигуру, в которую он переходит при повороте на по часовой стрелке относительно точки .

81. Даны точки , и .

а) Найдите вектор .

б) Найдите абсолютную величину вектора .

в) Найдите координаты точки , для которой верно равенство .

82. Дан прямоугольник . Какие из указанных равенств верны:

а) ,

б) ,

в) ,

г) .

83. Дан вектор , абсолютная величина которого равна . Известно, что . Найдите .

84. Даны векторы и .

а) Найдите вектор , если .

б) Найдите число , если .

в) Какие координаты будет иметь вектор , если известно, что противоположно направлен с и ?

85. Даны точки , , и . Найдите значение , при котором векторы и коллинеарны.

86. — точка пересечения диагоналей параллелограмма . Постройте векторы , , .

87. и — медианы треугольника . Выразите через и векторы и .

88. Найдите скалярное произведение векторов и , если , , .

89. Найдите значение , при котором векторы и перпендикулярны, если , .

90. Найдите , если , , . Докажите, что — тупой.

91. Даны точки , , .

а) Найдите координаты и абсолютную величину вектора .

б) Найдите вектор, равный .

в) Найдите .

92. Даны векторы , , .

а) Найдите значение , при котором векторы и перпендикулярны.

б) Найдите значение , при котором векторы и коллинеарны.

в) Будут ли эти коллинеарные векторы сонаправлены? Ответ объяснить.

93. В параллелограмме точка — середина стороны , точка — середина стороны . Выразите через векторы и векторы и .

94. Сумма диагоналей ромба равна 70 см, а его периметр – 100 см. Найдите диагонали ромба.

95. Боковые стороны прямоугольной трапеции относятся как 4:5, а одно из оснований на 9 см больше другого. Меньшая диагональ трапеции равна 20 см. Найдите среднюю линию трапеции.

96. Даны точки , , , . Докажите, что — прямоугольник.

97. Стороны треугольника относятся как 2:4:5. Найдите стороны подобного ему треугольника, в котором сумма наибольшей и наименьшей сторон равна 28 см.

98. Прямоугольный треугольник с катетами и и гипотенузой подобен прямоугольному треугольнику с катетами и и гипотенузой . Докажите, что .

99. Стороны одного треугольника равны 21 см, 27 см и 12 см, а стороны другого треугольника относятся как 7:9:4. Докажите равенство соответствующих углов данных треугольников.

100. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки длиной 15 см и 20 см. Найдите длины отрезков гипотенузы, на которые ее делит высота треугольника.

101. Два треугольника подобны. Разность меньшей стороны одного треугольника и большей стороны другого равна 6 см, разность большей стороны одного и меньшей стороны другого равна 48 см, а длины их средних сторон равны 20 см и 50 см. Найдите неизвестные стороны этих треугольников.

102. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника равна см и делит гипотенузу на отрезки в отношении 3:4. Найдите периметр этого треугольника.

103. Основание равнобедренного треугольника равно 36 см, а боковая сторона – 54 см. К боковым сторонам проведены высоты. Найдите длину отрезка, концами которого являются основания высот.

104. Докажите, что два треугольника подобны, если отношения двух сторон этих треугольников равны и угол между биссектрисами, проведенными к этим сторонам, одного треугольника соответственно равен соответствующему углу между биссектрисами, проведенными к соответствующим сторонам одного треугольника.

105. Из точки проведены лучи и . На луче выбраны точки и , а на луче — точки и так, что . Докажите равенство радиусов окружностей, описанных около треугольников и .

106. Два равнобедренных треугольника имеют равные углы, противолежащие основаниям. Основание и боковая сторона первого треугольника равны 16 см и 10 см. Найдите стороны второго треугольника, если его периметр равен 18 см.

107. Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ на отрезки 15 см и 20 см, считая от ближайшей к данному углу вершины. Найдите отрезки, на которые эта биссектриса делит сторону прямоугольника.

108. Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на диаметр, равен 24 см и делит диаметр на отрезки, разность которых равна14 см. Найдите радиус окружности.

109. При пересечении двух хорд одна из них отсекает треть второй. Найдите длину второй хорды, если первая хорда при пересечении делится на отрезки 8 см и 9 см.

110. Два угла треугольника равны и .

а) Определите, в каком отношении вершины треугольника делят описанную окружность.

б) Найдите углы треугольника, вершинами которого являются точки касания вписанной окружности со сторонами данного треугольника.

111. Стороны , и вписанного четырехугольника стягивают дуги, градусные меры которых относятся как 4:7:5. Найдите углы четырехугольника, если сторона стягивает дугу в .

112. Биссектриса угла треугольника пересекает описанную окружность в точке . Докажите, что треугольник — равнобедренный.

113. Постройте прямоугольный треугольник по медиане и высоте, проведенным к гипотенузе.

114. Разность между медианой и высотой, проведенным к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна 1 см. Основание данной высоты отстоит от центра окружности, описанной около треугольника, на 7 см. Найдите периметр треугольника.

115. Хорда делит дугу окружности в отношении 5:13. Через точку проведена касательная к окружности. Найдите углы, которые она образует с данной хордой.

116. Из точки вне окружности проведена секущая, пересекающая окружность в точках, удаленных от данной на 12 см и 20 см. Расстояния от данной точки до центра окружности равно 17 см. Найдите радиус окружности.

117. Из точки вне окружности проведена касательная длиной 20 см. Найдите радиус окружности, если расстояние от точки до окружности равно 10 см.

118. На сторонах угла, равного , отмечены две точки, удаленные от вершины угла на 17 см и см. Найдите расстояние между этими точками.

119. Две стороны треугольника равны 3 см и 7 см, а угол, противолежащий большей из них, равен .

а) Найдите третью сторону треугольника.

б) Докажите, что угол, противолежащий третьей стороне, — тупой.

120. Диагонали параллелограмма равны 19 см и 23 см, а его периметр равен 58 см. Найдите стороны параллелограмма.

121. Дан равнобедренный треугольник с основанием . Известно, что — наименьшая сторона треугольника. В каких пределах может изменяться величина угла ?

122. Радиус окружности, описанной около треугольника, равен одной из его сторон. Найдите угол треугольника, противолежащий данной стороне. Сколько решений имеет задача?

123. Квадрат стороны треугольника равен неполному квадрату суммы двух других сторон. Найдите угол, противолежащий данной стороне.

124. В параллелограмме биссектриса острого угла, который равен , делит сторону на отрезки 33 см и 55 см, считая от вершины тупого угла. Найдите отрезки, на которые эта биссектриса делит меньшую диагональ этого параллелограмма.

125. Докажите, что в равнобокой трапеции квадрат диагонали равен сумме квадрата боковой стороны и произведения оснований.

126. Стороны треугольника равны 1 см и 2 см. Через центр окружности, вписанной в данный треугольник, и концы третьей стороны проведена окружность. Найдите радиус проведенной окружности, если угол между данными сторонами равен .

127. Высоты треугольника пересекаются в точке . Докажите, что радиусы окружностей, описанных около треугольников и равны.

128. Решите треугольник , если см, см, .

129. Диагональ параллелограмма равна и делит его угол на углы и . Найдите стороны параллелограмма.

130. Из точки , лежащей на окружности, проведены хорды см и см. Найдите углы треугольника и радиус окружности, если расстояние между серединами данных хорд равно 2 см.

131. Найдите углы выпуклого пятиугольника, если каждый из них, начиная со второго, больше предыдущего на .

132. Сумма трех внутренних углов выпуклого четырехугольника равна . Найдите сумму внешних углов четырехугольника, соответствующих данным внутренним углам.

133. Может ли наибольший угол выпуклого семиугольника быть равным ? Ответ объясните.

134. Найдите количество сторон правильного многоугольника, у которого внутренний угол в 3 раза больше центрального.

135. Найдите радиусы окружностей, вписанной в правильный треугольник и описанной около него, если их разность равна 4 см.

136. Докажите, что диагональ правильного пятиугольника параллельна одной из его сторон.

137. В окружности радиуса см выбрана дуга длиной 9 см.

а) Найдите градусную и радианную меру дуги.

б) Найдите длину дуги данной окружности, соответствующей центральному углу, равному 2 радиана.

138. Найдите количество сторон и сумму внутренних углов правильного многоугольника, если его центральный угол равен .

139. Хорда длиной см делит дугу окружности в отношении 1:2. Найдите длину большей из двух образовавшихся дуг.

140. Периметр правильного многоугольника равен 84 см, а сумма его внутренних углов на больше суммы внешних углов. Найдите сторону многоугольника.

141. Угол, равный , вписан в окружность. Найдите длину дуги окружности, заключенной между сторонами угла, если радиус окружности равен 5 см.

142. Около правильного треугольника с высотой 9 см описана окружность, а около окружности описан правильный шестиугольник. Найдите его периметр.

143. Длина окружности, описанной около правильного многоугольника, равна 24 см, а длина его стороны — см. Найдите количество сторон многоугольника.

144. Периметр параллелограмма равен 66 см. Два угла параллелограмма относятся как 1:5, а две стороны – как 2:9. Найдите площадь параллелограмма.

145. Диагональ прямоугольника больше его сторон на 2 см и 16 см соответственно.

а) Найдите площадь прямоугольника.

б) Найдите площадь квадрата, периметр которого равен периметру прямоугольника.

146. Высоты параллелограмма равны 4 см и 6 см, а одна из его сторон на 4 см больше другой. Найдите периметр параллелограмма.

147. В равнобокой трапеции боковая сторона равна 25 см, диагональ – 30 см, а меньшее основание – 11 см. Найдите высоту трапеции.

148. Биссектриса прямого угла делит гипотенузу прямоугольного треугольника на отрезки, разность которых равна 5 см. Найдите площадь треугольника, если его катеты относятся как 3:4.

149. Диагонали ромба относятся как 8:15, а его площадь равна 240см. Найдите периметр ромба.

150. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 7 см и 25 см.

151. Высота треугольника равна 15 см и делит его сторону на отрезки длиной 8 см и 20 см. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника.

152. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, равна 32 см, а радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 12 см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

153. Центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, делит медиану, проведенную к основанию, в отношении 25:7. Боковая сторона треугольника равна 40 см. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

154. Точка касания вписанной окружности делит гипотенузу прямоугольного треугольника на отрезки 4 см и 6 см. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей.

155. В прямоугольном треугольнике радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно равны 10 см и 4 см. Найдите периметр треугольника.

156. Периметр прямоугольника равен 46 см. Биссектриса прямого угла делит диагональ в отношении 8:15. Найдите длину окружности, описанной около прямоугольника.

157. Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, делит его сторону на отрезки 7 см и 18 см. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

158. Основания прямоугольной трапеции равны 21 см и 28 см. Найдите радиус окружности, вписанной в трапецию.

159. Центр окружности, описанной около трапеции, лежит на большем основании. Найдите радиус окружности, если высота и диагональ трапеции соответственно равны 24 см и 40 см.

160. Средняя линия отсекает от данного треугольника треугольник, площадь которого равна 15см. Найдите площадь данного треугольника.

161. Найдите площадь круга, вписанного в треугольник со сторонами 18 см, 24 см и 30 см.

162. Радиус круга равен 6 см. Найдите площадь кругового сегмента, если соответствующий ему центральный угол равен .

163. Периметр равнобедренного треугольника равен 36 см, а его основание равно 10 см. Найдите площадь треугольника.

164. Найдите углы ромба, периметр которого равен 24 см, а площадь – 18 см.

165. Периметр равнобедренного треугольника равен 128 см, а его основание – 48 см. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

166. Найдите площадь равнобокой трапеции, основания которой равны 15 см и 33 см, а диагонали являются биссектрисами острых углов.

167. В треугольнике , см, =13см.

а) Найдите периметр треугольника.

б) Найдите площадь треугольника.

168. Площадь правильного треугольника равна см. Найдите площадь круга, вписанного в треугольник, и площадь квадрата, описанного около этого круга.

169. Диагональ прямоугольной трапеции делит острый угол пополам, а вторую диагональ – в отношении 8:5. Найдите площадь трапеции, если ее высота равна 12 см.

Контрольная работа по теме Теорема Пифагора

 

Тема урока:  Контрольная работа по теме «Теорема Пифагора»

Цели урока:  проверить знания, умения и навыки учащихся по теме «Теорема Пифагора».

 

Ход урока.

      I.            Организационный момент. Сообщение темы урока.

   II.            Выполнение контрольной работы.

Вариант—1

1. В прямоугольном треугольнике АВС большая сторона равна   см, а одна из двух других равна 6 см. Найдите третью сторону.

2. В равнобедренном треугольнике МРТ боковая сторона равна 29 см, а основание равно 42 см. Найдите высоту треугольника и его площадь.

3. В ромбе АВСК диагонали пересекаются в точке Е, сторона ромба равна 17 см, большая диагональ равна 30 см. Найдите другую диагональ и площадь ромба.

 

Вариант—2

1. В прямоугольном треугольнике ОСК большая сторона равна  4 см, а один из углов равен 30°. Найдите неизвестные стороны треугольника.

2. В равнобедренном треугольнике РКТ боковая сторона равна 10 см, а высота равна 6 см. Найдите основание треугольника и его площадь.

3. В ромбе ОВСК диагонали пересекаются в точке А, сторона ромба равна 37 см, большая диагональ равна 70 см. Найдите другую диагональ и площадь ромба.

 

Вариант—3

1. В прямоугольном треугольнике ВОС большая сторона равна 12 см, а одна из двух других равна   см. Найдите третью сторону.

2. В равнобедренном треугольнике РЕТ боковая сторона равна 26 см, а основание равно 20 см. Найдите высоту треугольника и его площадь.

3. В ромбе АВСК диагонали пересекаются в точке Е, сторона ромба равна 65 см, меньшая диагональ равна 66 см. Найдите другую диагональ и площадь ромба.

 

Вариант—4

1. В прямоугольном треугольнике АВС большая сторона равна 14 см, а одна из двух других равна  8 см. Найдите третью сторону.

2. В равнобедренном треугольнике СРТ боковая сторона равна 65 см, а основание равно 32 см. Найдите высоту треугольника и его площадь.

3. В ромбе АВСК диагонали пересекаются в точке Е, сторона ромба равна 29 см, большая диагональ равна 42 см. Найдите другую диагональ и площадь ромба.

 

Ответы:

Вариант—1                      1) — 3;                        2) — 20; 420              3) — 16; 240

Вариант—2                      1) — 2; 6              2) – 16; 48               3) – 24; 840

Вариант—3                      1) – 9                         2) – 24; 240             3) – 112; 3696

Вариант—4                      1) – 2                         2) – 63; 1008          4) – 40; 840

 

 

 


 

Если две стороны равнобедренного треугольника равны 3 см, математика класса 8 CBSE

Подсказка: в этом вопросе, учитывая, что данный треугольник равнобедренный, значит, у него две равные стороны. Поскольку две стороны не равны, третья сторона будет любой из этих двух. Теперь нам нужно проверить, какое из них удовлетворяет условию, что сумма двух сторон больше, чем третья сторона, которая будет результатом.

Полный пошаговый ответ:
ТРЕУГОЛЬНИК: Треугольник – это многоугольник, состоящий из трех сторон, трех ребер, трех вершин и трех углов
Равнобедренный треугольник: Треугольник, у которого две равные стороны и углы, противоположные этим равные стороны как равные углы, называется равнобедренным треугольником.


Свойства треугольника:
Сумма длин двух сторон треугольника больше длины третьей стороны.
Таким же образом, разница между длиной двух сторон должна быть меньше, чем длина третьей стороны.
Теперь из заданного вопроса две стороны равнобедренного треугольника равны 3 см, 8 см
Теперь, здесь, поскольку треугольник равнобедренный, третья сторона должна быть равна любой из данных двух сторон.
Теперь предположим, что третья сторона равна 3 см, то мы имеем
\[3+3
Здесь это не удовлетворяет свойству треугольника, и если любая из трех возможностей не удовлетворяет свойству треугольника он не может образовать треугольник.
Таким образом, третья сторона не может быть 3 см
Теперь, если мы рассмотрим третью сторону равной 8 см, то получим
\[3+8>8\]
Здесь выполняется свойство треугольника
Таким образом, третья сторона сторона 8 см
Значит, правильный вариант (б).

Примечание: Вместо того, чтобы использовать свойство, что сумма длин двух сторон треугольника больше, чем третья сторона, мы также можем использовать то, что разница длин двух сторон треугольника меньше, чем третья сторона. Оба метода дают одинаковый результат.Важно отметить, что здесь мы не можем использовать какое-либо правило синусов или правило косинуса треугольника, поскольку мы не знаем углов и у нас нет конкретных сторон. Итак, предлагается сначала просто проверить свойство треугольника, а затем подумать о других более высоких методах.

Объяснение урока: Теоремы о равнобедренном треугольнике

В этом объяснении мы узнаем, как использовать теоремы о равнобедренном треугольнике для нахождения недостающих длин и углов в равнобедренном треугольнике. треугольники.

Мы знаем, что существует четыре различных типа треугольников: равносторонний, равнобедренный, разносторонний и прямоугольный.Свойства углов и сторон определяют тип конкретного треугольника.

Здесь мы сосредоточимся на равнобедренных треугольниках. Слово конгруэнтно полезно при обсуждении углов и сторон: конгруэнтны углы равны (например, в градусах), а конгруэнтные стороны имеют одинаковую длину.

Напомним точное определение равнобедренного треугольника.

Определение: равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник — это треугольник, две стороны которого равны.

Конгруэнтные стороны называются сторонами треугольника, а третья сторона называется основанием .

В этом определении нам дана полезная терминология для сторон равнобедренного треугольника. Зная, какая из сторон в равнобедренном треугольнике равна другой стороне (стороне) или является ли она третьей стороной (основанием), дает нам способ сослаться на эти сторон и, как мы увидим позже, рассмотреть важные свойства углов.

Мы обычно думаем о равнобедренных треугольниках, нарисованных с основанием как горизонтальной стороной, но, конечно, ориентация треугольник не имеет значения. Конгруэнтные стороны в равнобедренном треугольнике всегда будут называться катетами, независимо от позицию они занимают.

В первом примере мы идентифицируем катеты равнобедренного треугольника.

Пример 1. Определение катетов равнобедренного треугольника

Рассмотрим следующий треугольник.

Определите стороны треугольника.

  1. 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶
  2. 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶
  3. 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶
  4. 𝐵𝐶 и 𝐴𝐶

Ответ

В этом треугольнике мы можем наблюдать, что есть две стороны равной длины: длина 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 равны 2 см.

Треугольник, у которого две равные стороны, по определению является равнобедренным. Эти две конгруэнтные стороны называются катетами. треугольник.

Следовательно, мы можем дать ответ, что катеты треугольника равны 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶.

Кроме того, мы можем отметить, что третья сторона равнобедренного треугольника называется основанием. На рисунке выше 𝐴𝐶 является основой △𝐴𝐵𝐶.

Теперь мы рассмотрим угловые свойства равнобедренных треугольников.

Рассмотрим следующий равнобедренный треугольник 𝐴𝐵𝐶.

𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 стороны равнобедренного треугольника: они конгруэнтны.

Возьмем середину 𝑀 𝐴𝐶. Как 𝑀 средней точки, мы знаем, что 𝐴𝑀=𝑀𝐶.

Проводим линию от 𝐵 до 𝑀.Этот отрезок является медианой из вершины 𝐵.

Теперь у нас есть два треугольника, у которых 3 пары сторон равны, так как 𝐴𝐵=𝐶𝐵,𝐴𝑀=𝑀𝐶,𝐵𝑀.anddiscommonmonobothtriangles

Следовательно, треугольники конгруэнтны. Мы можем написать, что △𝐴𝐵𝑀≅△𝐶𝐵𝑀.

Следовательно, мы знаем, что в треугольнике 𝐴𝐵𝐶 есть пара равных углов: ∠𝐴=∠𝐶.

Итак, мы доказали, что в равнобедренном треугольнике два угла равны. Конгруэнтными углами называют углы, образованные катетом и основанием или углами, противоположными катетам.

Это свойство угла часто называют теоремой о равнобедренном треугольнике.

Теорема: Теорема о равнобедренном треугольнике

Если две стороны треугольника конгруэнтны, то и углы, противолежащие этим сторонам, конгруэнтны.

Конгруэнтные углы называются углами при основании . Третий угол называется углом при вершине .

Теперь мы увидим, как мы можем использовать это угловое свойство равнобедренных треугольников, чтобы помочь нам найти меры недостающих углов.

Пример 2. Нахождение меры углов при основании в равнобедренных треугольниках

Найдите 𝑚∠𝐶𝐵𝐴 и 𝑚∠𝐷𝐴𝐶.

Ответ

На данном рисунке видно, что у нас есть равнобедренный треугольник, △𝐴𝐵𝐶. Мы знаем что он равнобедренный, так как у него есть пара конгруэнтных сторон, отмеченных на рисунке.

Чтобы найти 𝑚∠𝐶𝐵𝐴, мы используем свойство угла равнобедренных треугольников: равнобедренный треугольник имеет два равных угла, которые являются углами, противолежащими двум конгруэнтным сторонам. Следовательно, углы основания △𝐴𝐵𝐶, ∠𝐶𝐴𝐵 и ∠𝐶𝐵𝐴, должны быть равны по мере.

Напомним, что сумма внутренних углов треугольника равна 180∘.

Отсюда имеем 𝑚∠𝐴𝐶𝐵+𝑚∠𝐶𝐵𝐴+𝑚∠𝐶𝐴𝐵=180.∘

Из диаграммы имеем 𝑚∠𝐴𝐶𝐵=38∘, и мы знаем, что 𝑚∠𝐶𝐴𝐵=𝑚∠𝐶𝐵𝐴. Итак, мы можем написать 38 + 𝑚∠𝐶𝐵𝐴 + 𝑚∠𝐶𝐵𝐴 = 18038 + 2 (𝑚∠𝐶𝐵𝐴) = 1802 (𝑚∠𝐶𝐵𝐴) = 180-382 (𝑚∠𝐶𝐵𝐴) = 142.∘∘∘∘∘∘∘

Мы можем потом разделить обе части уравнения на 2, чтобы получить 𝑚∠𝐶𝐵𝐴=71.∘

Далее нам нужно найти 𝑚∠𝐷𝐴𝐶.

Мы могли бы вычислить этот угол, если бы знали 𝑚∠𝐷𝐴𝐵. Чтобы найти этот угол, мы можем заметить, что △𝐷𝐴𝐵 имеет 3 равные стороны. Это означает, что это равносторонний треугольник. Равносторонние треугольники обладают свойством угла, состоящим в том, что все 3 угла равны; они все 60∘. Следовательно, 𝑚∠𝐷𝐴𝐵=60∘.

Как мы ранее подсчитали, что 𝑚∠𝐶𝐵𝐴=71∘ и поскольку △𝐴𝐵𝐶 равнобедренно, мы также знаем, что 𝑚∠𝐶𝐴𝐵=71∘.

Таким образом, мы можем рассчитать требуемый угол как 𝑚∠𝐷𝐴𝐶=𝑚∠𝐶𝐴𝐵−𝑚∠𝐷𝐴𝐵=71−60=11. ∘∘∘

Мы можем дать ответы для обоих искомых углов следующим образом: 𝑚∠𝐶𝐵𝐴=71,𝑚∠𝐷𝐴𝐶=11.∘∘

Теперь мы рассмотрим другой пример, в котором нам нужно использовать свойства угла равнобедренных треугольников, чтобы помочь нам найти меру неизвестных углов.

Пример 3. Нахождение углов треугольника с помощью теорем о равнобедренном треугольнике

Найдите углы треугольника △𝐴𝐵𝐶.

Ответ

На диаграмме видно, что есть пара параллельных линий: 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶.У нас также есть два отрезка, помеченные как конгруэнтные: 𝐴𝐶 и 𝐵𝐶. Эти два конгруэнтных отрезка образуют 2 стороны треугольника 𝐴𝐵𝐶. Треугольник с двумя равными сторонами определяется как равнобедренный треугольник; следовательно, △𝐴𝐵𝐶 — равнобедренный треугольник.

Нам нужно найти величину всех углов в △𝐴𝐵𝐶. Рассмотрим два параллельные прямые вместе с поперечной 𝐴𝐶.

Два угла ∠𝐷𝐴𝐶 и ∠𝐴𝐶𝐵 будут равны, так как это альтернативные углы. Следовательно, 𝑚∠𝐴𝐶𝐵=𝑚∠𝐷𝐴𝐶=39.5.∘

Мы установили, что △𝐴𝐵𝐶 — равнобедренный треугольник, и мы можем вспомнить, что равнобедренный треугольники имеют пару конгруэнтных углов, которые являются углами основания, противолежащими двум конгруэнтным сторонам. Базовые углы △𝐴𝐵𝐶 — это ∠𝐵𝐴𝐶 и ∠𝐴𝐵𝐶. Таким образом, 𝑚∠𝐵𝐴𝐶=𝑚∠𝐴𝐵𝐶.

Используя тот факт, что сумма внутренних углов треугольника равна 180°, мы можем написать это 𝑚∠𝐵𝐴𝐶+𝑚∠𝐴𝐵𝐶+𝑚∠𝐴𝐶𝐵=180.∘

Мы определили, что 𝑚∠𝐴𝐶𝐵=39.5∘, и, поскольку 𝑚∠𝐵𝐴𝐶=𝑚∠𝐴𝐵𝐶, имеем 𝑚∠𝐵𝐴𝐶 + 𝑚∠𝐵𝐴𝐶 + 39,5 = 1802 (𝑚∠𝐵𝐴𝐶) = 180-39,52 (𝑚∠𝐵𝐴𝐶) = 140,5.∘∘∘∘∘

Разделение обеих сторон уравнения на 2 дает нам 𝑚∠𝐵𝐴𝐶=70.25.∘

Поскольку 𝑚∠𝐵𝐴𝐶=𝑚∠𝐴𝐵𝐶, мы также можем написать, что 𝑚∠𝐴𝐵𝐶=70.25.∘

Следовательно, углы △𝐴𝐵𝐶 можно представить как 𝑚∠𝐴𝐵𝐶=70,25,𝑚∠𝐵𝐴𝐶=70,25,𝑚∠𝐴𝐶𝐵=39,5.∘∘∘

Теперь рассмотрим, верно ли обратное утверждение теоремы о равнобедренном треугольнике; то есть, если треугольник имеет два конгруэнтных углов, у него две стороны равны?

Возьмем треугольник 𝐷𝐸𝐹 с двумя конгруэнтными углами: 𝑚∠𝐷𝐸𝐹=𝑚∠𝐷𝐹𝐸.

Строим биссектрису угла ∠𝐸𝐷𝐹 до основания 𝐸𝐹 и обозначьте точку пересечения биссектрисы угла и основания как 𝐺.

Теперь у нас есть два треугольника, △𝐷𝐸𝐺 и △𝐷𝐹𝐺, у которых две пары конгруэнтных углов (поскольку ∠𝐸𝐷𝐹 был разбит на два конгруэнтных угла, ∠𝐸𝐷𝐺 и ∠𝐹𝐷𝐺 на биссектрису угла). В самом деле, если два треугольника две пары равных углов, то третья пара углов в каждом треугольнике должна быть такой же, как и углы в обоих треугольниках. треугольники должны в сумме давать 180∘.Следовательно, мы имеем это 𝑚∠𝐷𝐺𝐸=𝑚∠𝐷𝐺𝐹.

Используя это свойство угла, а также тот факт, что 𝑚∠𝐷𝐸𝐹=𝑚∠𝐷𝐹𝐸 и что 𝐷𝐺 является общей стороной обоих треугольников, мы можем применить треугольник ASA критерий соответствия. Этот критерий гласит, что если два угла и сторона, заключенная между ними, одного треугольника равны соответствующие углы и сторона другого треугольника, то такие треугольники равны.

Таким образом, мы можем написать, что △𝐷𝐸𝐺≅△𝐷𝐹𝐺.

Следовательно, соответствующие стороны 𝐷𝐸 и 𝐷𝐹 должны быть конгруэнтным.Таким образом, мы доказали, что верна обратная теорема о равнобедренном треугольнике.

Определение: обратная теорема о равнобедренном треугольнике

Если два угла треугольника равны, стороны, противоположные этим углам, также равны.

Теперь посмотрим, как можно применить обратную теорему о равнобедренном треугольнике на следующем примере.

Пример 4. Определение пары отрезков в треугольнике равной длины с помощью теорем о равнобедренном треугольнике

Учитывая, что 𝑚∠𝐹𝐶𝐴=134∘ на рисунке ниже две стороны равны.Какие это стороны?

Ответ

На данной фигуре 3 параллельные прямые: 𝐷𝐸, 𝐶𝐹, и 𝐵𝐴. Мы можем использовать угловые свойства параллельных прямых и секущих, чтобы помочь нам определите размеры некоторых неизвестных углов на этом рисунке. Мы можем задаться вопросом, действительно ли △𝐴𝐵𝐶 равнобедренный, но, чтобы доказать это, нам нужно будет определить угол меры в этом треугольнике.

Мы можем начать с добавления информации, указанной в вопросе, 𝑚∠𝐹𝐶𝐴=134∘.

Рассмотрим параллельные прямые 𝐷𝐸 и 𝐹𝐶 вместе с трансверсалью 𝐷𝐶. Углы 𝐶𝐷𝐸 и 𝐹𝐶𝐷 — это противоположные углы, и поэтому их меры равны. Таким образом, у нас есть 𝑚∠𝐹𝐶𝐷=𝑚∠𝐶𝐷𝐸=134.∘

Далее мы можем рассмотреть параллельные прямые 𝐷𝐸 и 𝐴𝐵 вместе с трансверсальной 𝐵𝐷. Напомним, что у параллельных прямых внутренние углы по одну сторону от трансверсали являются дополнительными. ∠𝐶𝐷𝐸 и ∠𝐶𝐵𝐴 являются дополнительными.Следовательно, учитывая, что 𝑚∠𝐶𝐷𝐸=134∘, имеем 𝑚∠𝐶𝐷𝐸 + 𝑚∠𝐶𝐵𝐴 = 180134 + 𝑚∠𝐶𝐵𝐴 = 180𝑚∠𝐶𝐵𝐴 = 180-134 = 46.∘∘∘∘∘∘

Мы можем рассчитать 𝑚∠𝐹𝐶𝐵, используя тот факт, что угловые меры на прямой сумма строк до 180∘. Учитывая, что 𝑚∠𝐹𝐶𝐷=134∘, имеем 𝑚∠𝐹𝐶𝐵 + 𝑚∠𝐹𝐶𝐷 = 180𝑚∠𝐹𝐶𝐵 + 134 = 180 ° = 180-134 = 46.∘∘∘∘∘∘

Кроме того, мы могли бы также рассчитать 𝑚∠𝐹𝐶𝐵, наблюдая, что этот угол чередовать с ∠𝐶𝐵𝐴; таким образом, у нас есть 𝑚∠𝐹𝐶𝐵=𝑚∠𝐶𝐵𝐴=46.

Мы можем вычислить угол при вершине △𝐴𝐵𝐶, 𝑚∠𝐴𝐶𝐵, вычитанием 𝑚∠𝐹𝐶𝐵 (46)∘ из 𝑚∠𝐹𝐶𝐴 (134)∘.Это дает нам 𝑚∠𝐴𝐶𝐵=𝑚∠𝐹𝐶𝐴−𝑚∠𝐹𝐶𝐵=134−46=88.∘∘∘

Теперь мы можем вычислить третий угол в △𝐴𝐵𝐶; то есть 𝑚∠𝐶𝐴𝐵. Напомним, что внутренний угол в треугольнике равен сумме 180∘. Поскольку 𝑚∠𝐶𝐵𝐴=46∘ и 𝑚∠𝐴𝐶𝐵=88∘, имеем 𝑚∠𝐶𝐵𝐴 + 𝑚∠𝐴𝐶𝐵 + 𝑚∠𝐶𝐴𝐵 = 18046 + 88 + 𝑚∠𝐶𝐴𝐵 = 180134 + 𝑚∠𝐶𝐴𝐵 = 180134 + 𝑚∠𝐶𝐴𝐵 = 180𝑚∠𝐶𝐴𝐵 = 180-134 = 46.∘∘∘∘∘∘∘∘∘

Мы можем наблюдать что внутри △𝐴𝐵𝐶 у нас есть два равных угла: 𝑚∠𝐶𝐴𝐵=𝑚∠𝐶𝐵𝐴. По обратному равнобедренному треугольнику Теорема, мы знаем, что треугольник, у которого два угла равны, должен иметь две равные стороны.Этот тип треугольника по определению равнобедренный треугольник.

Мы можем дать ответ, что две равные стороны равны 𝐴𝐶𝐵𝐶.and

Мы видели, что равнобедренный треугольник определяется как треугольник, у которого две конгруэнтные стороны. Он также имеет два равных угла. Обратная теорема о равнобедренном треугольнике сообщает нам, что если треугольник имеет два равных угла, у него будут две равные стороны.

Следовательно, у нас есть два разных способа определить равнобедренный треугольник: если у него две конгруэнтные стороны или если у него два равных угла.Знание любого из этих свойств продемонстрирует, что треугольник равнобедренный.

В последнем примере мы определим, является ли данный треугольник равнобедренным.

Пример 5. Определение того, является ли данный треугольник равнобедренным

Является ли треугольник 𝐴𝐵𝐶 равнобедренным?

Ответ

Напомним, что треугольник равнобедренный, если две его стороны равны. Равнобедренные треугольники также имеют два равных угла, и треугольник можно назвать равнобедренным, если мы можем показать, что у него либо две конгруэнтные стороны, либо две равные углы.

На данном рисунке нам не дано никакой информации о длинах сторон в △𝐴𝐵𝐶. Следовательно, нам нужно будет вычислить угловые меры в треугольнике, чтобы увидеть равны ли два угла или нет.

Учитывая, что 𝑚∠𝐴𝐵𝐷=142∘, мы можно использовать свойство, что угол измеряется на прямой сумме, чтобы 180∘ для расчета 𝑚∠𝐴𝐵𝐶. Таким образом, у нас есть 𝑚∠𝐴𝐵𝐷 + 𝑚∠𝐴𝐵𝐶 = 180142 + 𝑚∠𝐴𝐵𝐶 = 180𝑚∠𝐴𝐵𝐶 = 180-142 = 38.∘∘∘∘∘∘

Далее мы знаем, что угловые меры в треугольной сумме до 180 ∘.Учитывая, что 𝑚∠𝐶𝐴𝐵=83∘ и 𝑚∠𝐴𝐵𝐶=38∘, имеем 𝑚∠𝐶𝐴𝐵 + 𝑚∠𝐴𝐵𝐶 + 𝑚∠𝐴𝐶𝐵 = 18083 + 38 + 𝑚∠𝐴𝐶𝐵 = 180121 + 𝑚∠𝐴𝐶𝐵 = 180𝑚∠𝐴𝐶𝐵 = 180-121 = 59.∘∘∘∘∘∘∘∘∘

У нас есть 3 различные меры угла в треугольнике. Поскольку никакие 2 угла не равны, ответ нет, треугольник 𝐴𝐵𝐶 не равнобедренный.

Подведем итоги.

Ключевые моменты

  • Равнобедренный треугольник — это треугольник, две стороны которого равны. Равные стороны называются катетами треугольника, а третья сторона называется основанием.
  • Теорема о равнобедренном треугольнике утверждает, что если две стороны треугольника равны, то углы, противолежащие этим сторонам конгруэнтны. Равные углы называются углами при основании. Третий угол называется углом при вершине.
  • Обратная теорема о равнобедренном треугольнике утверждает, что если два угла треугольника равны, то стороны, противоположные эти углы равны.
  • Мы можем доказать, что треугольник равнобедренный, либо доказав, что треугольник имеет две конгруэнтные стороны, либо две конгруэнтные стороны. углы.

Как найти сторону равнобедренного треугольника по основанию

Треугольник, у которого две стороны одинаковой длины, называется равнобедренным. Эти стороны считаются боковыми, а третья называется основанием. Одно из важных свойств равнобедренного треугольника: углы, противолежащие его равным сторонам, равны между собой.

Как найти сторону равнобедренного треугольника по основанию

Необходимо

  • — Столы Брадиса;
  • — калькулятор;
  • — линейка. 2. Другими словами, сторона равна квадратному корню, взятому из суммы половины возведенного в квадрат основания и высоты, которая также возведена в квадрат.

    Шаг 4

    Если равнобедренный треугольник прямоугольный, то углы при его основании равны 45°. Рассчитаем размер стороны по теореме синусов: а/sin 45° = b/sin 90°, где b – основание, а a – сторона, sin 90° – единица. Результат: a = b * sin 45° = b * √2/2. То есть сторона равна основанию, умноженному на корень из двух, деленный на два.

    Шаг 5

    Используйте теорему синусов также, когда равнобедренный треугольник не является прямоугольным. Найдите сторону в основании и прилежащий к ней угол α: a = b * sinα/sinβ. Вычислите угол β, используя свойство треугольников, которое гласит, что сумма всех углов треугольника равна 180°: β = 180° – 2*α.

    Шаг 6

    Примените теорему косинусов, согласно которой квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение данных сторон на косинус угла между ними. Применительно к равнобедренному треугольнику данная формула выглядит так: а = b/2cosα.

    РЕШЕНО: Если две равные стороны равнобедренного треугольника имеют длину а, найдите длину третьей стороны, при которой площадь треугольника наибольшая.

    Стенограмма видео

    этот треугольник. Мы знаем, что в конечном итоге мы собираемся использовать область холода, половину основания, умноженную на высоту, и мы собираемся получить их с точки зрения здесь, чтобы сделать, поэтому мы собираемся использовать некоторые триггерные функции.Итак, давайте продолжим и просто настроим знак данных, и это в конечном итоге даст нам противоположное, то есть букву D над гипотенузой, которая равна а, и мы используем здесь половину этого большего треугольника, потому что нас просто интересует только как правая половина этого треугольника. И тогда мы могли бы решить для D, другими словами, так что давайте просто перепишем это. Таким образом, D, конечно, будет просто знаком времени для данных со знаком времени, а скорее D. И это, конечно, на самом деле просто наша высота. Таким образом, мы могли бы просто назвать это здесь.Давайте использовать H и так, что может измениться. И так a b давайте просто назовем это h. Итак, у нас есть кое-что, чтобы заменить этот возраст. Теперь давайте продолжим и настроим один для Кассиана данных, равных вам, соседних X над a, а затем снова, если мы хотим пойти дальше и решить для a, мы могли бы умножить это и просто получить, как сознак данных равен в X. Но поскольку нас интересует вся база, давайте просто умножим обе части на два. Таким образом, два X равны целому основанию B, а это равно cosign data.Итак, давайте продолжим и заменим это здесь данными близкой строки, а затем умножим. Также по высоте, которая является научными данными и умножается на половину впереди. Итак, это отменяется с двумя там, и тогда у нас теперь есть наша формула площади, это просто квадрат кознака, умноженный на знак каждого из этих данных, мы возьмем производную от этого. Итак, давайте продолжим и сделаем прайм, и здесь нам придется использовать правило произведения. Так что подумайте об этом на секунду. Гм, мы различаемся по данным.Так что странный туз просто останется там постоянным. Оставим первый косой знак в покое, а потом будем умножать на. Итак, теперь мы вынесли этот СПИД на фронт, так что они постоянно циркулируют снаружи. Итак, мы используем здесь правило продукта. Мы оставили этот сознак в покое, и теперь нам нужно взять производную от этого знака, которая, конечно же, является просто сознаком. И все это плюс раздача помощи в квадрате. Теперь давайте оставим здесь этот знак в покое, а затем умножим на производную от кознака, которая, конечно же, является отрицательным знаком.Так что это изменит это на негативную песню. Скажи это в конце там. Итак, отсюда мы хотим Хм, посмотрим. Мы могли бы просто пойти дальше и учесть это как где мы хотим установить это равным нулю, потому что мы хотим узнать, когда оно имеет максимум или а затем, а затем просто упрощая, что они будут просто потому, что я за вашу Дану минус синус данные в квадрате. И поэтому теперь это действительно задает вопрос. Вы знаете, когда r синус и косинус одинаковые значения. И, конечно же, если мы посмотрим с точки зрения угла данных, это в конечном итоге приведет к тому, что одни данные равны выставлению, потому что оба будут иметь угол 45 градусов.Саймон Со подписывает то же самое, так что это приведет к тому, что они будут равны нулю. И, наконец, мы могли бы использовать эти данные для решения. Например, какое значение должно быть здесь. Или давайте посмотрим, я предполагаю, то же самое, что, гм, какова будет вся база, другими словами. Итак, давайте просто подключим его к Да, давайте продолжим и подключим данные сюда, и это даст нам косинус трубы. В-четвертых, было бы время на конец, путь к, а затем мы могли бы умножить это. И так, просто переставляя, чтобы мы могли умножить маршрут на более, чтобы сделать это, тоже, чтобы немного спуститься, и это в конечном итоге отменит.Вот эти бы потом. Ой, извини. Подожди. Этот маршрут к вершине останется. Эти два умножат два. И это тоже разделит. И это в конечном итоге дало бы нам путь к значению, которое, гм, в конечном итоге упростило бы здесь. Таким образом, третья сторона треугольника в конечном итоге окажется вот этой стороной. И это будут два X, которые в нашем случае являются двумя способами. Вот и все. Это тот, который заканчивается. Извиняюсь. Мне потребовалась минута, чтобы пройти через это. Но это длина внизу, которая в конечном итоге максимизирует площадь, потому что она удовлетворяет тому, что данные представляют собой круговую диаграмму.В-четвертых, мы подключаем его обратно. Мы знаем, что эти другие стороны представляют собой а, но нас интересует третья сторона, состоящая из двух X, а затем вставляем туда данные. Мы получаем корень в раз a. Итак, это наш окончательный ответ третьей стороны.

    Что такое равнобедренный треугольник?

    Что такое равнобедренный треугольник?

    Определение: Равнобедренный треугольник определяется как треугольник, имеющий две конгруэнтные стороны или две стороны одинаковой длины.

    Равнобедренный треугольник может быть и равносторонним, но не обязательно.

    Определения этих треугольников обычно включают слово «только» или «точно». Эти слова имеют значение при рассмотрении вопроса о том, является ли треугольник также равносторонним треугольником или равнобедренным треугольником.

    Свойства равнобедренного треугольника,

    Характеристики и использование

    Многие треугольники, встречающиеся в реальном мире, можно считать равнобедренными, включая часть куска пиццы. Часто абстрактные или сложные формы разбиваются на более мелкие формы, такие как треугольник.

    Две стороны одинаковой длины называются ножками, а третья сторона называется основанием. Часто проблема будет использовать этот словарь для предоставления информации.

    Знание того, что две стороны равнобедренного треугольника равны, приводит нас к первой теореме, связанной с равнобедренными треугольниками. Теперь давайте посмотрим, как найти недостающие стороны равнобедренного треугольника и вычислить их длины.


    Теоремы о равнобедренном треугольнике

    Теорема № 1. Если две стороны треугольника равны, то и противоположные им углы равны.

    Это означает, что если мы знаем, что в треугольнике две стороны конгруэнтны, мы знаем, что конгруэнтны и два угла. Чтобы найти противоположный угол, вам нужно посмотреть на угол, частью которого сторона не является.

    Одиночные линии на сторонах равнобедренных треугольников представляют собой засечки, указывающие на то, что стороны имеют одинаковую длину или конгруэнтны. Дуги, находящиеся в углах, указывают на то, что углы имеют одинаковую меру или конгруэнтны. Обратите внимание, что основание треугольника образовано конгруэнтными углами.

    Обратное этой теоремы смотрит на обратное.

    Теорема № 2 (обратная). Если два угла треугольника равны, то и противоположные им стороны равны.

    Если мы знаем, что два угла конгруэнтны или имеют одинаковую меру, то мы знаем, что противоположные стороны конгруэнтны или имеют одинаковую длину.

    Опять же, конгруэнтные углы образуют основание, а конгруэнтные стороны — катеты.

    Эти две теоремы важны для любых доказательств, требующих доказать, что треугольник является равнобедренным.

    Обязательно запомните данное вам определение равнобедренного треугольника. Некоторые определения позволяют вам доказать, что два угла конгруэнтны, некоторые требуют дополнительного шага, чтобы показать, что две стороны конгруэнтны.


    Решения задач равнобедренного треугольника

    Одна из распространенных задач, связанных с равнобедренным треугольником, включает высоту, проведенную к основанию. Высота – это линия, проведенная из вершины одного угла к противоположной стороне, образующая прямой угол.

    Если к основанию равнобедренного треугольника провести высоту, то получится два конгруэнтных треугольника. Важен тип треугольника и место, где нарисована высота. Давайте внимательно посмотрим на это понятие.

    Когда нам дан равнобедренный треугольник, мы знаем следующие факты.

    Равнобедренный треугольник имеет две конгруэнтные стороны (определение равнобедренного треугольника). Это часто будет дано вам данной маркировкой основания.Если YZ — основание, то мы знаем, что XY ≅ XZ.

    Поскольку мы знаем, какие стороны конгруэнтны, мы теперь знаем, какие углы конгруэнтны. ∠Y ≅ ∠Z (Если две стороны треугольника конгруэнтны, то и противоположные им углы конгруэнтны).

    Теперь давайте нарисуем высоту от угла X до основания. Это разбивает исходный равнобедренный треугольник на два меньших прямоугольных треугольника.

    Поскольку два прямых угла имеют одинаковую меру (90 градусов), мы можем сказать, что прямые углы равны.Это дает недостающую часть, чтобы доказать, что △XYA ≅ △XZA по AAS.


    Примеры задач на равнобедренный треугольник

    Задача о равнобедренном треугольнике

    Теорема #1

    Как найти сторону равнобедренного треугольника по уравнению x .

    Обратите внимание, что две стороны треугольника имеют одинаковую длину или конгруэнтность. Это означает, что противоположные углы равны. Поскольку один из углов, противоположный катету, равен 50 градусам, это означает, что пропущенное значение также равно 50 градусам.


    Задача о равнобедренном треугольнике

    Теорема #2

    Давайте рассмотрим пример задачи, в которой это используется.

    Найдите значение y .

    Мы видим, что два угла равны 25 градусам. Поскольку они имеют одну и ту же меру, мы знаем, что стороны, противолежащие углам, также равны по размеру. Одна из сторон помечена как 6 см . Мы знаем, что другая сторона тоже должна быть 6 см .Таким образом, значение y равно 6 см.

    Пример:

    Дан треугольник ABC равнобедренный с основанием BC, найдите угол A.

    Предоставленная информация может помочь нам больше обозначить диаграмму. Мы знаем, что треугольник равнобедренный с основанием ВС. Это означает, что стороны АВ и АС конгруэнтны. Это также означает, что противоположные углы равны.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.