Какие функции бывают: Ошибка: 404 Материал не найден

Содержание

Параметры и аргументы функций — Документация Python для сетевых инженеров 3.0

Цель создания функции, как правило, заключается в том, чтобы вынести кусок кода, который выполняет определенную задачу, в отдельный объект. Это позволяет использовать этот кусок кода многократно, не создавая его заново в программе.

Как правило, функция должна выполнять какие-то действия с входящими значениями и на выходе выдавать результат.

При работе с функциями важно различать:

  • параметры — это переменные, которые используются при создании функции.
  • аргументы — это фактические значения (данные), которые передаются функции при вызове.

Параметры бывают обязательные и необязательные.

Обязательные:

Необязательные (со значением по умолчанию):

В этом случае a — передавать необязательно.

Аргументы бывают позиционные и ключевые.

def summ(a, b):
    return a + b

Позиционные:

Ключевые:

Независимо от того как параметры созданы, при вызове функции им можно передавать значения и как ключевые и как позиционные аргументы.

При этом обязательные параметры надо передать в любом случае, любым способом (позиционными или ключевыми), а необязательные можно передавать, можно нет. Если передавать, то тоже любым способом.

Подробнее типы параметров и аргументов будут рассматриваться позже.

Для того, чтобы функция могла принимать входящие значения, ее нужно создать с параметрами (файл func_check_passwd.py):

In [1]: def check_passwd(username, password):
   ...:     if len(password) < 8:
   ...:         print('Пароль слишком короткий')
   ...:         return False
   ...:     elif username in password:
   ...:         print('Пароль содержит имя пользователя')
   ...:         return False
   ...:     else:
   ...:         print(f'Пароль для пользователя {username} прошел все проверки')
   ...:         return True
   ...:

В данном случае, у функции два параметра: username и password.

Функция проверяет пароль и возвращает False, если проверки не прошли и True если пароль прошел проверки:

In [2]: check_passwd('nata', '12345')
Пароль слишком короткий
Out[2]: False

In [3]: check_passwd('nata', '12345lsdkjflskfdjsnata')
Пароль содержит имя пользователя
Out[3]: False

In [4]: check_passwd('nata', '12345lsdkjflskfdjs')
Пароль для пользователя nata прошел все проверки
Out[4]: True

При таком определении функции надо обязательно передать оба аргумента. Если передать только один аргумент, возникнет ошибка:

In [5]: check_passwd('nata')
---------------------------------------------------------------------------
TypeError                                 Traceback (most recent call last)
<ipython-input-5-e07773bb4cc8> in <module>
----> 1 check_passwd('nata')

TypeError: check_passwd() missing 1 required positional argument: 'password'

Аналогично, возникнет ошибка, если передать три и больше аргументов.

ступенчатая, линейная, ReLu, Tahn, сигмоида

Что делает искусственный нейрон? Простыми словами, он считает взвешенную сумму на своих входах, добавляет смещение (bias) и решает, следует это значение исключать или использовать дальше (да, функция активации так и работает, но давайте пойдем по порядку). 

Функция активации определяет выходное значение нейрона в зависимости от результата взвешенной суммы входов и порогового значения.


Рассмотрим нейрон:

Теперь значение Y может быть любым в диапазоне от -бесконечности до +бесконечности. В действительности нейрон не знает границу, после которой следует активация. Ответим на вопрос, как мы решаем, должен ли нейрон быть активирован (мы рассматриваем паттерн активации, так как можем провести аналогию с биологией. Именно таким образом работает мозг, а мозг — хорошее свидетельство работы сложной и разумной системе).

Для этой цели решили добавлять активационную функцию. Она проверяет произведенное нейроном значение Y на предмет того, должны ли внешние связи рассматривать этот нейрон как активированный, или его можно игнорировать.

Ступенчатая функция активации

Первое, что приходит в голову, это вопрос о том, что считать границей активации для активационной функции. Если значение Y больше некоторого порогового значения, считаем нейрон активированным. В противном случае говорим, что нейрон неактивен. Такая схема должна сработать, но сначала давайте её формализуем.

  • Функция А = активирована, если Y > граница, иначе нет.
  • Другой способ:  A = 1, если Y > граница, иначе А = 0.

Функция, которую мы только что создали, называется ступенчатой. Такая функция представлена на рисунке ниже.

Функция принимает значение 1 (активирована), когда Y > 0 (граница), и значение 0 (не активирована) в противном случае.

Мы создали активационную функцию для нейрона. Это простой способ, однако в нём есть недостатки. Рассмотрим следующую ситуацию.

Представим, что мы создаем бинарный классификатор — модель, которая должна говорить “да” или “нет” (активирован или нет). Ступенчатая функция сделает это за вас — она в точности выводит 1 или 0.

Теперь представим случай, когда требуется большее количество нейронов для классификации многих классов: класс1, класс2, класс3 и так далее. Что будет, если активированными окажутся больше чем 1 нейрон? Все нейроны из функции активации выведут 1. В таком случае появляются вопросы о том, какой класс должен в итоге получиться для заданного объекта.

Мы хотим, чтобы активировался только один нейрон, а функции активации других нейронов были равна нулю (только в этом случае можно быть уверенным, что сеть правильно определяет класс). Такую сеть труднее обучать и добиваться сходимости. Если активационная функция не бинарная, то возможны значения “активирован на 50%”, “активирован на 20%” и так далее. Если активированы несколько нейронов, можно найти нейрон с наибольшим значением активационной функции (лучше, конечно, чтобы это была softmax функция, а не max. Но пока не будем заниматься этими вопросами).

Но в таком случае, как и ранее, если более одного нейрона говорят “активирован на 100%”, проблема по прежнему остается. Так как существуют промежуточные значения на выходе нейрона, процесс обучения проходит более гладко и быстро, а вероятность появления нескольких полностью активированных нейронов во время тренировки снижается по сравнению со ступенчатой функцией активации (хотя это зависит от того, что вы обучаете и на каких данных).

Мы определились, что хотим получать промежуточные значения активационной функции (аналоговая функция), а не просто говорить “активирован” или нет (бинарная функция).

Первое, что приходит в голову — линейная функция.

Линейная функция активации

A = cx

Линейная функция представляет собой прямую линию и пропорциональна входу (то есть взвешенной сумме на этом нейроне).

Такой выбор активационной функции позволяет получать спектр значений, а не только бинарный ответ. Можно соединить несколько нейронов вместе и, если более одного нейрона активировано, решение принимается на основе применения операции max (или softmax). Но и здесь не без проблем.

Если вы знакомы с методом градиентного спуска для обучения, то можете заметить, что для этой функции производная равна постоянной.

Производная от A=cx по x равна с. Это означает, что градиент никак не связан с Х. Градиент является постоянным вектором, а спуск производится по постоянному градиенту. Если производится ошибочное предсказание, то изменения, сделанные обратным распространением ошибки, тоже постоянны и не зависят от изменения на входе delta(x).

Это не есть хорошо (не всегда, но в большинстве случаев). Но существует и другая проблема. Рассмотрим связанные слои. Каждый слой активируется линейной функцией. Значение с этой функции идет в следующий слой в качестве входа, второй слой считает взвешенную сумму на своих входах и, в свою очередь, включает нейроны в зависимости от другой линейной активационной функции.

Не имеет значения, сколько слоев мы имеем. Если все они по своей природе линейные, то финальная функция активации в последнем слое будет просто линейной функцией от входов на первом слое! Остановитесь на мгновение и обдумайте эту мысль.

Это означает, что два слоя (или N слоев) могут быть заменены одним слоем. Мы потеряли возможность делать наборы из слоев. Не важно, как мы стэкаем, вся нейронная сеть все равно будет подобна одному слою с линейной функцией активации (комбинация линейных функций линейным образом — другая линейная функция).

Сигмоида

Сигмоида выглядит гладкой и подобна ступенчатой функции. Рассмотрим её преимущества.

Во-первых, сигмоида — нелинейна по своей природе, а комбинация таких функций производит тоже нелинейную функцию. Теперь мы можем стэкать слои.

Еще одно достоинство такой функции — она не бинарна, что делает активацию аналоговой, в отличие от ступенчатой функции. Для сигмоиды также характерен гладкий градиент.

Если вы заметили, в диапазоне значений X от -2 до 2 значения Y меняется очень быстро. Это означает, что любое малое изменение значения X в этой области влечет существенное изменение значения Y. Такое поведение функции указывает на то, что Y имеет тенденцию прижиматься к одному из краев кривой.

Сигмоида действительно выглядит подходящей функцией для задач классификации. Она стремиться привести значения к одной из сторон кривой (например, к верхнему при х=2 и нижнему при х=-2). Такое поведение позволяет находить четкие границы при предсказании.

Другое преимущество сигмоиды над линейной функцией заключается в следующем. В первом случае имеем фиксированный диапазон значений функции — [0,1], тогда как линейная функция изменяется в пределах (-inf, inf). Такое свойство сигмоиды очень полезно, так как не приводит к ошибкам в случае больших значений активации.

Сегодня сигмоида является одной из самых частых активационных функций в нейросетях. Но и у неё есть недостатки, на которые стоит обратить внимание.

Вы уже могли заметить, что при приближении к концам сигмоиды значения Y имеют тенденцию слабо реагировать на изменения в X. Это означает, что градиент в таких областях принимает маленькие значения. А это, в свою очередь, приводит к проблемам с градиентом исчезновения. Рассмотрим подробно, что происходит при приближении активационной функции к почти горизонтальной части кривой на обеих сторонах.

В таком случае значение градиента мало или исчезает (не может сделать существенного изменения из-за чрезвычайно малого значения). Нейросеть отказывается обучаться дальше или делает это крайне медленно (в зависимости от способа использования или до тех пор, пока градиент/вычисление не начнет страдать от ограничений на значение с плавающей точкой). Существуют варианты работы над этими проблемами, а сигмоида всё ещё очень популярна для задач классификации.

Гиперболический тангенс

Еще одна часто используемая активационная функция — гиперболический тангенс.

Гиперболический тангенс очень похож на сигмоиду. И действительно, это скорректированная сигмоидная функция.

Поэтому такая функция имеет те же характеристики, что и у сигмоиды, рассмотренной ранее. Её природа нелинейна, она хорошо подходит для комбинации слоёв, а диапазон значений функции -(-1, 1). Поэтому нет смысла беспокоиться, что активационная функция перегрузится от больших значений. Однако стоит отметить, что градиент тангенциальной функции больше, чем у сигмоиды (производная круче). Решение о том, выбрать ли сигмоиду или тангенс, зависит от ваших требований к амплитуде градиента. Также как и сигмоиде, гиперболическому тангенсу свойственная проблема исчезновения градиента.

Тангенс также является очень популярной и используемой активационной функцией.

ReLu

Следующая в нашем списке — активационная функция ReLu,

A(x) = max(0,x)

Пользуясь определением, становится понятно, что ReLu возвращает значение х, если х положительно, и 0 в противном случае. Схема работы приведена ниже.

На первый взгляд кажется, что ReLu имеет все те же проблемы, что и линейная функция, так как ReLu линейна в первом квадранте. Но на самом деле, ReLu нелинейна по своей природе, а комбинация ReLu также нелинейна! (На самом деле, такая функция является хорошим аппроксиматором, так как любая функция может быть аппроксимирована комбинацией ReLu). Это означает, что мы можем стэкать слои. Область допустимых значений ReLu — [0,inf), то есть активация может “взорваться”.

Следующий пункт — разреженность активации. Представим большую нейронную сеть с множеством нейронов. Использование сигмоиды или гиперболического тангенса будет влечь за собой активацию всех нейронов аналоговым способом. Это означает, что почти все активации должны быть обработаны для описания выхода сети. Другими словами, активация плотная, а это затратно. В идеале мы хотим, чтобы некоторые нейроны не были активированы, это сделало бы активации разреженными и эффективными.

ReLu позволяет это сделать. Представим сеть со случайно инициализированными весами (или нормализированными), в которой примерно 50% активаций равны 0 из-за характеристик ReLu (возвращает 0 для отрицательных значений х). В такой сети включается меньшее количество нейронов (разреженная активация), а сама сеть становится легче. Отлично, кажется, что ReLu подходит нам по всем параметрам. Но ничто не безупречно, в том числе и ReLu.

Из-за того, что часть ReLu представляет из себя горизонтальную линию (для отрицательных значений X), градиент на этой части равен 0. Из-за равенства нулю градиента, веса не будут корректироваться во время спуска. Это означает, что пребывающие в таком состоянии нейроны не будут реагировать на изменения в ошибке/входных данных (просто потому, что градиент равен нулю, ничего не будет меняться). Такое явление называется проблемой умирающего ReLu (Dying ReLu problem). Из-за этой проблемы некоторые нейроны просто выключатся и не будут отвечать, делая значительную часть нейросети пассивной. Однако существуют вариации ReLu, которые помогают эту проблему избежать. Например, имеет смысл заменить горизонтальную часть функции на линейную. Если выражение для линейной функции задается выражением y = 0.01x для области x < 0, линия слегка отклоняется от горизонтального положения. Существует и другие способы избежать нулевого градиента. Основная идея здесь — сделать градиент неравным нулю и постепенно восстанавливать его во время тренировки.

ReLu менее требовательно к вычислительным ресурсам, чем гиперболический тангенс или сигмоида, так как производит более простые математические операции. Поэтому имеет смысл использовать ReLu при создании глубоких нейронных сетей.

Как выбрать функцию активации?

Настало время решить, какую из функций активации использовать. Следует ли для каждого случая использовать ReLu? Или сигмоиду? Или tanh? На эти вопросы нельзя дать однозначного ответа. Когда вы знаете некоторые характеристики функции, которую пытаетесь аппроксимировать, выбирайте активационную функцию, которая аппроксимирует искомую функцию лучше и ведет к более быстрому обучению.

Например, сигмоида хорошо показывает себя в задачах классификации (посмотрите еще раз на пункт про сигмоиду. Не присущи ли ей свойства идеального классификатора?), так как аппроксимацию классифицирующей функции комбинацией сигмоид можно провести легче, чем используя ReLu, например.

Используйте функцию, с которой процесс обучения и сходимость будут быстрее. Более того, вы можете использовать собственную кастомную функцию! Если вы не знаете природу исследуемой функции, в таком случае начните с ReLu и потом работайте в обратном направлении. В большинстве случаев ReLu работает как хороший аппроксиматор.

для чего они нужны и какие бывают

В рекламе стиральных машин часто в качестве преимущества упоминается наличие многочисленных режимов. Как показывает практика, многие владельцы устройств не пользуются большинством из них и стирают, включая стандартную программу или быструю. Но разобраться действительно стоит, потому что простым нажатием кнопки можно существенно продлить срок службы вещей.

Перед приобретением агрегата не лишним будет понять, как конкретно работает каждая из программ. Аналогичная модель от того же производителя может стоить дешевле просто из-за того, что в ней отсутствуют некоторые, не для всех важные, функции стиральной машины. В результате благодаря грамотному выбору модели и необходимых режимов, можно немало сэкономить.


Какие бывают режимы стирки и для чего они нужны

Существует 3 главных категории, на которые делятся режимы стирки:

  • Программы, настраивающие процесс в зависимости от типа белья. Правильно подобранный цикл не испортит тонкую шелковую вещь, сохранит свитер от «усаживания» или удалит въевшиеся пятна с плотной джинсовой ткани.
  • Программы, предназначенные для экономии воды и электроэнергии. Качество стирки в таких случаях не страдает, но процесс длится дольше. Или наоборот — отстирать удастся только легкие пятна, но программа в разы быстрее.
  • Целевые программы. Дезинфекция белья, облегчение процесса глажки, гипоаллергенные и т.д.

В зависимости от производителя, на панели управления будут размещены значки и/или текст, дающий понять, что делают режимы стирки в стиральной машине. В случае с текстом разобраться проще, но если присутствуют только значки, то придется заглянуть в инструкцию, потому что у разных фирм встречаются свои пометки. Если инструкция утеряна, то найти ее можно в интернете, на сайте производителя агрегата.

Обозначения, которые практически идентичны у всех устройств:


Наиболее распространенные режимы

В современных моделях устройств встречаются нестандартные функции, но существует ряд циклов, которые можно встретить у всех производителей:

Хлопок Данный режим подойдет для постельного белья и изделий из хлопка, льняных тканей.

Дополнительно устанавливается температура. На высоких температурах рекомендуется стирать белые вещи, а для цветных изделий, которые могут полинять, рекомендуется устанавливать не более 40 градусов.

Полоскание белья осуществляется в холодной воде, отжим — на высоких оборотах.
Синтетика Подходит для одежды из синтетических и смешанных тканей. Температура, как правило, 60 градусов. Отжим на больших оборотах, цикл длится продолжительное время. 
Деликатный или стирка вручную Стирать вручную в данном случае не придется, всю работу сделает машинка. Барабан поворачивается медленно, температура — не более 40 градусов.

Цикл деликатной стирки предполагает слабый отжим, а при ручной может отсутствовать совсем.

Подходит для тонких вещей, которые легко портятся, линяют, рвутся.
Быстрая стирка Позволяет освежить вещи и удалить легкие пятна. Универсальный цикл, наиболее популярный. Также экономит воду и электроэнергию. Цикл длится от 15 минут до часа, в зависимости от агрегата. 
Интенсивная  Позволяет удалить сложные пятна. Не подходит для одежды из деликатных материалов. Высокая температура, увеличенное время.
Шерсть Специальный цикл, предназначенный для шерстяной одежды. Отличается малым количеством воды и низкими оборотами. После такого цикла вещи не сядут, не покроются катышками.
Шелк Специальный цикл для деликатных шелковых тканей.
    Предварительная  Цикл в таком случае разбит на 2 этапа. Сначала белье стирается с порошком при температуре 30-40 градусов, после чего начинается стандартная процедура. Позволяет отстирать пятна с сильнозагрязненных вещей.
Дополнительное полоскание (гипоаллергенный)      Увеличен объем воды при ополаскивании, увеличена температура вплоть до 60 градусов. В результате порошок полностью вымывается из вещей.
Замачивание До основного цикла белье отмачивается при температуре 30 градусов около 1-2 часов. Это помогает более эффективно удалить сложные пятна даже с деликатных тканей.
Отпаривание Подходит, чтобы освежить вещи, продезинфицировать белье. Вода нагревается и превращается в пар с высокой температурой, который подается из отверстий в барабане. Горячий пар убивает грибки и вредные микроорганизмы, устраняет запахи.

Далеко не все программы подойдут конкретному человеку, например, стирка с применением пара не всегда актуальна, а о наличии гипоаллергенного цикла стоит задуматься только в случае, если в доме есть аллергики или маленькие дети. Потому при выборе стиралки стоит отталкиваться не от количества режимов, а от того, какие из них будут реально использоваться в повседневной жизни.


Режим быстрой стирки

Наиболее распространенный в быту цикл — это быстрая стирка в стиральной машине. Многие люди, не задумываясь, всегда стирают вещи с использованием этой программы. Но такой подход способен нанести непоправимый ущерб вещам.

Режим быстрой стирки можно разделить на 2 категории:

  • отдельная программа;
  • кнопка, сокращающая время любой другой программы.

Первый случай предполагает короткий цикл с низкой температурой воды (30-40 градусов). Во втором случае сокращается время каждого этапа в основной программе.

Преимущества и недостатки

Плюсы

Минусы

Экономия времени

Не отстирываются сильные загрязнения

Экономия электроэнергии

Не подходит для деликатных тканей

Возможность освежить вещи, на которых отсутствует сильное загрязнение

Не устранит запах затхлости и сырости

 

Нельзя полностью загружать барабан

Время быстрой стирки

Длительность программы зависит от конкретной модели устройства. В среднем цикл занимает 30-40 минут. В случае со старыми агрегатами программа может отнимать целый час. В современных машинках можно встретить функцию супербыстрой стирки, которая длится всего 15 минут.

Температура воды

Если речь идет об отдельном режиме, то температура будет составлять 30 или 40 градусов. Для цветных вещей, которые способны полинять, лучше установить температуру в 30 градусов. Низкие температуры сказываются на качестве процедуры, так как порошки эффективнее всего работают в горячей воде.

Как правильно использовать режим

Данную функцию стоит использовать для повседневных вещей, которые не сильно загрязнены. Это рубашки, футболки, блузы, носки и т.д. Хорошо подходит для освежения вещей из синтетической и комбинированной ткани. Вещи не должны быть изношены, сильно загрязнены, иначе эффективность процедуры оставит желать лучшего.

Белую и цветную одежду лучше стирать отдельно. Для повышения качества стирки рекомендуется предварительно замочить ткани на 20-30 минут. Загружать машинку стоит не более чем на половину барабана.

Что нельзя стирать в режиме быстрой стирки

В данном режиме не следует отстирывать постельное белье, шерстяные вещи, сильнозагрязненную одежду. Не рекомендуется стирать деликатные ткани, например, шелк.


Стирка c паром

Функция стирки c паром появилась в бытовых стиралках относительно недавно. Помещенная в барабан одежда в данном случае проходит паровую обработку, не контактируя с водой напрямую. В некоторых случаях обработка паром является дополнением к основной программе. Пар попадает глубоко в материю, устраняет загрязнения, убирает неприятные запахи, а также дезинфицирует вещь за счет высоких температур.

Преимущества и недостатки

Плюсы

Минусы

Увеличивается эффективность

Цена выше, чем у моделей без данной функции

Экономия электроэнергии

Не выводит въевшиеся пятна, например, от вина

Дезинфекция

Вещи приходится досушивать

Подходит для деликатных материй

 

Убивает до 90% микробов

 

Облегчает глажку

 

Как правильно использовать режим

Ограничений в данном случае практически нет. Режим подходит для всех типов материалов, не навредит даже шелковым тканям. Можно освежить таким образом пуховики и другие синтетические изделия. Если опция используется как дополнение к обычной стирке, то она усилит действие порошка за счет больших температур. В случае с отдельным применением программы рекомендуется не перегружать барабан, чтобы вещи были обработаны полностью и равномерно.

Гипоаллергенная стирка паром

Стирка c паром в стиральной машине — это настоящая находка для аллергиков или семей с маленькими детьми. Эффект от такой процедуры как от кипячения, но без негативных последствий для белья. Пар проникает глубоко в структуру ткани, устраняет пыль, убивает вредные микроорганизмы.


Легкая глажка в стиральной машине

Данная функция позволяет достать из барабана вещи без загибов и заломов, не скомканные. Важно отметить, что режим не заменяет полноценную глажку утюгом, а только упрощает дальнейшую обработку.

Принцип действия прост: в отличии от обычных режимов, при глажке используется пар. В результате количество заломов на одежде уменьшается на 84%.

Преимущества и недостатки

Плюсы

Минусы

Упрощает последующую глажку

Вещи сохнут дольше

Ткань менее изнашивается

Не заменяет глажку

Экономия электричества

Увеличение времени программы

 

Нельзя постирать много вещей, потому что барабан загружается не полностью

Как правильно использовать режим

Легкая глажка в стиральной машине предполагает загрузку барабана не более чем на 2/3. Не стоит насыпать большое количество порошка, так как он может не вымыться полностью и оставить пятна на тканях. Такая процедура занимает больше времени, вещи будут сохнуть еще 2-3 часа, потому не рекомендуется использовать функцию, если одежда нужна в ближайшее время. Непосредственно перед глажкой утюгом следует дать вещам подсохнуть.


Подводя итоги

Программы в современных устройствах для стирки позволяют сэкономить время и снизить суммы в платежках за электричество и воду, дают возможность отстирать сложные загрязнения и устраняют аллергены. Не стоит пренебрегать использованием разных режимов и включать только одну из множества программ.

При покупке не стоит гнаться за количеством функций в приборе. Необходимо заранее подумать, какие функции будут использоваться, а какие не пригодятся вовсе, и отдать предпочтение той модели, которая будет соответствовать выдвинутым требованиям. Количество и набор режимов — не единственный показатель, на который следует смотреть при выборе устройства. Не забудьте оценить габариты прибора, его мощность, класс энергоэффективности, объем барабана.

watchOS 8: новые функции доступа, возможности подключения и практики осознанности на Apple Watch

Купертино, Калифорния Сегодня компания Apple представила watchOS 8 — новую версию своей передовой операционной системы для носимых устройств, в которой появилось ещё больше впечатляющих функций для здоровой, активной жизни и связи с близкими людьми. Новые функции приложений Wallet и «Дом» делают Apple Watch ещё более универсальным устройством, которое предоставляет пользователям удобный доступ к автомобилю и тем местам, где они живут, работают и часто бывают. Обновлённое приложение «Дыхание» и новые тренировки по тайцзицюань и пилатесу помогают вести здоровый образ жизни и поддерживать ясность ума, а новый циферблат «Портреты» и улучшенные приложения «Сообщения» и «Фото» расширяют возможности общения с теми, кто вам дорог.

«Apple Watch получили огромную популярность во всём мире. Они помогают пользователям вести здоровую, активную жизнь и оставаться на связи, — сказал Кевин Линч, вице‑президент Apple по технологиям. — В watchOS 8 мы значительно обновим приложения «Дом» и Wallet, добавив ещё более удобные возможности доступа к тем местам, где живут, работают и часто бывают наши пользователи. Мы также расширим функции, помогающие поддерживать здоровье и ясность ума, а новый циферблат «Портреты» и обновлённое приложение «Сообщения» помогут обогатить личное общение между пользователями».

Новые функции доступа с Wallet

С Apple Watch невероятно удобно пользоваться Apple Pay и Wallet для безопасной бесконтактной оплаты покупок в магазинах и поездок в общественном транспорте. В watchOS 8 у пользователей появятся ещё более удобные возможности бесконтактного доступа к важным вещам и часто посещаемым местам, — и это будет легко, надёжно и безопасно.

Технология Ultra Wideband, впервые представленная на WWDC в 2020 году, теперь поддерживается для цифровых ключей от автомобиля на Apple Watch Series 6. С помощью Apple Watch пользователи могут безопасно разблокировать свой автомобиль на расстоянии, а также запускать двигатель с водительского места.1 Этой осенью также появится возможность добавлять в Wallet ключи от дома, офиса или отеля, чтобы отпирать замки с Apple Watch.2 Позже в этом году в некоторых штатах США появится возможность добавлять в Wallet водительские права или удостоверение личности государственного образца. Первым местом, где можно будет использовать цифровые удостоверения личности, станут избранные пункты контроля Администрации транспортной безопасности США.

Функции и формулы в Excel с примерами

Описание функций в Excel с картинками и готовыми примерами их применения на практике.

Функции для эффективных расчетов

Функция ПОРОГ для определения порогового значения в Excel.
Примеры методов расчетов пороговых значений с помощью формул с использованием специальной функции ПОРОГ. Как определить пороговые значения показателей? Функция ЧСТРОК возвращает количество строк в диапазоне Excel.
Примеры использования функции ЧСТРОК для подсчета количества строк листа в диапазоне ячеек. Как узнать сколько строк в массиве при условии. Функция ФИ и плотность стандартного нормального распределения в Excel.
Пример построения графика функций плотности стандартного нормального распределения с помощью формулы ФИ. Альтернативная функция для НОРМ.СТ.РАСП.  Примеры формул тригонометрических функций ASIN и ASINH в Excel.
Примеры как работают основные тригонометрические функции ASIN и ASINH и при каких условиях их используют для расчетов или вычислений значений. Функция МВСД для определения скорости обращения денег в Excel.
Примеры финансовых анализов и определения модифицированной внутренней скорости денежного обращения в инвестиционных проектах. Сравнение уровней доходности акций и облигаций. Функция НОРМАЛИЗАЦИЯ возвращает нормализованное значения в Excel.
Примеры формул для вычисления нормализированного значения вероятности в процентах с помощь функции НОРМАЛИЗАЦИЯ. Как использовать эту функцию и при каких условиях? Функция СКОС и коэффициент асимметрии распределения в Excel .
Примеры вычисления коэффициент асимметрии несимметричности распределения числовых значений относительно среднего с помощью функции СКОС. Функция ВЕЙБУЛЛ для расчета распределения Вейбулла в Excel.
Примеры использования функции ВЕЙБУЛЛ для нахождения плотности случайной величины, при расчете параметров распределения по закону Вейбулла в теории надежности. Функция ЕСНД для проверки ячеек на ошибки НД в Excel.
Как исправить или удалить шибки с кодом #Н/Д в формулах и ячейках таблицы? Примеры использования формул с логической функцией ЕСНД для обработки ошибок недоступных данных. ОБЩДОХОД для расчета общей суммы погашение инвестиций в Excel.
Пример расчетов общей суммы платежей на погашение основной стоимости инвестиций с использованием функции ОБЩДОХОД. Как рассчитать досрочное погашение части выплачиваемого кредита? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Вопрос 56 Какие функции менеджмента бывают?.

Менеджмент

Читайте также

Вопрос 9 Что такое функции менеджмента?

Вопрос 9 Что такое функции менеджмента? Ответ Этот вопрос в настоящее время не имеет однозначного ответа, особенно по составу этих функций. Проблемой определения функций как таковых и их оптимального состава заняты в основном отечественные исследователи. Классические

Вопрос 13 Какие бывают системы и с какими из них имеет дело менеджмент?

Вопрос 13 Какие бывают системы и с какими из них имеет дело менеджмент? Ответ Система – одно из основных понятий современной научной методологии, широко используемое во всех областях знания и научных дисциплинах, но не имеющее достаточно строгого и общего определения,

Вопрос 39 Какие функции управления сформулировал а. файоль?

Вопрос 39 Какие функции управления сформулировал а. файоль? Ответ Француз Анри Файоль (1841–1925) будучи практиком, выполнил большую работу по систематизации принципов менеджмента применительно к организации в целом. Сформулировал следующие функции

Вопрос 49 Какие школы менеджмента существуют в мире?

Вопрос 49 Какие школы менеджмента существуют в мире? Ответ Имеются различные подходы к классификации научных школ в менеджменте. Но большинство авторов четко выделяет три школы.• Школа научного менеджмента. Ее представителями являются Ф. Тейлор, супруги Джилбрет, Г.

Вопрос 57 Какие функции менеджмента относятся к общим?

Вопрос 57 Какие функции менеджмента относятся к общим? Ответ Общие функции менеджмента отражают содержание основных стадий процесса управления на всех иерархических уровнях и по всем объектам управления.К общим функциям менеджмента относятся следующие:• формирование

Вопрос 58 Какие функции менеджмента относятся к фоновым, или связующим?

Вопрос 58 Какие функции менеджмента относятся к фоновым, или связующим? Ответ К фоновым, или связующим, относятся функции мотивации, принятия управленческих решений и установления коммуникаций. В процессе выполнения общих, или основных, функций менеджмента любой

Вопрос 59 В какой последовательности выполняются общие функции менеджмента?

Вопрос 59 В какой последовательности выполняются общие функции менеджмента? Ответ Перечисление общих функций практически регламентирует последовательность процесса управления.Процесс управления начинается с формирования целей. Цели могут быть как стратегическими,

Вопрос 65 Какие типы стратегий бывают?

Вопрос 65 Какие типы стратегий бывают? Ответ Типология стратегий может проводиться:• по функциональным областям менеджмента – стратегия сбыта, стратегия исследований и разработок, продуктовая, инвестиционная, финансовая, кадровая стратегия;• по направлениям развития

Вопрос 112 Какие формы коллегиальности бывают?

Вопрос 112 Какие формы коллегиальности бывают? Ответ Коллегиальность может быть вертикальной и горизонтальной. Вертикальная коллегиальность – участие сотрудников в постановке, обсуждении и принятии решений по вопросам, не связанным с их функциональными

Вопрос 118 Какие формы коммуникации бывают?

Вопрос 118 Какие формы коммуникации бывают? Ответ Коммуникации различаются по формам.Коммуникация может быть устной или письменной. Письменная коммуникация может быть личной или визуальной. Личная письменная коммуникация – это письма, записки, СМС, сообщения по

Вопрос 140 Что такое конфликт и какие конфликты бывают?

Вопрос 140 Что такое конфликт и какие конфликты бывают? Ответ Конфликт определяется как отсутствие согласия или столкновение в сфере общения, вызванное противоречивыми целями, установками, поведением людей. Каждая сторона конфликта старается, чтобы была принята ее точка

Вопрос 150 Какие экономические показатели характеризуют эффективность менеджмента?

Вопрос 150 Какие экономические показатели характеризуют эффективность менеджмента? Ответ Рентабельность менеджмента. Этот показатель показывает, какой процент от затрат на содержание системы управления организации составляет прибыль организации:Рм = Пр: Зу · 100, где Рм

Какие бывают бизнес-тренеры?

Какие бывают бизнес-тренеры? Краткий дайджест того, что вас ждет в книге, если вы не успели вчитаться в оглавление.В этой книге мы разберем типы бизнес-тренеров.Мы также рассмотрим основные ошибки, которые допускают бизнес-тренеры при общении с представителями СМИ.И,

Какой подарок вы могли бы брендировать и подарить? Какие подарки бывают?

Какой подарок вы могли бы брендировать и подарить? Какие подарки бывают? • Упаковка, пригодная для дальнейшего использования дома или в офисе: банки для кофе или печенья, красивые коробки, пакеты, баночки для меда.• Сувениры: наклейки, магниты, рамки, значки,

Беспроводное оборудование | CBS – системный интегратор

Какие архитектуры построения беспроводной сети на базе оборудования Cisco существуют?

У Cisco есть несколько вариантов по построению беспроводных сетей, в зависимости от масштаба, производительности, требуемых функций и типа управления сетью.

Автономный (Autonomous)

Данный вариант предполагает установку автономных (независимых друг от друга) точек доступа. Каждая точка настраивается и управляется отдельно. Трафик беспроводной сети коммутируется локально на каждой точке.

Централизованный (Centralized)

В данном варианте весь функционал по настройке и мониторингу находится на контроллере беспроводной сети. Весь трафик беспроводной сети проходит через контроллер, что позволяет обеспечить максимальную управляемость и функционал. Это стандартный режим работы сети для внедрения в одной локации.

Контроллер на точке доступа (Mobility Express)

В качестве альтернативы централизованному варианту, для небольших офисов можно использовать режим Mobility Express. В данном варианте, в качестве контроллера выступает точка (или кластер из нескольких точек) доступа 1540, 1560, 1815, 1830, 1850, 2800, 3800. Подключаться к такому «контроллеру» могут все актуальные точки доступа (x600, x700, x800 и др. ). Для быстрой настройки сети используется специальный веб-мастер или мобильное приложение. Трафик на точках доступа коммутируется локально (частный случай FlexConnect). Поддерживается до 100 точек доступа и 2000 клиентов. Лицензии не требуются.

Гибкое подключение (FlexConnect)

Данный режим используется в основном для подключения точек доступа в удаленных офисах компании. Управление и мониторинг точек в данном режиме осуществляется централизованно на контроллере (установленном, как правило, в центральном офисе). C точки зрения аутентификации клиентов и коммутации трафика FlexConnect является наиболее гибким вариантом: можно подключать пользователей и коммутировать трафик как локально на точке, используя ресурсы в удаленном офисе, так и на контроллере в центральном офисе.

Стоит отметить, что режим FlexConnect имеет ряд ограничений по сравнению с режимом Centralized, что продолжает делает актуальным использование режима Centralized в определённых случаях.

Конвергентный доступ (Converged Access)

В данном варианте для подключения точек доступа обязательно используются коммутаторы 4500E, 3850, 3650. Точки доступа обязательно должны быть подключены к коммутатору(-ам) напрямую. Для настройки и мониторинга сети может использоваться как один из указанных коммутаторов (или стек), так и выделенный контроллер, например, 5760. Подход Converged Access является наиболее современным и обеспечивает единые политики доступа для беспроводной и проводной сети, высокую скорость коммутации трафика, сохраняя при этом централизованное управление и мониторинг сетью. Все политики качества обслуживания (QoS), доступа (ACL), анализа трафика (AVC) применяются непосредственно на порту коммутатора, к которому подключена точка доступа. Таким образом, больше нет необходимости пропускать весь трафик через контроллер беспроводной сети, для получения полноценного мониторинга и управляемости, что позволяет стоить высокопроизводительные беспроводные сети с большим количеством подключений.

Исчисление I — Функции

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана ( т.е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 1-1: Функции

В этом разделе мы постараемся убедиться, что вы знакомы с функциями и обозначениями функций. 2} + 1\) Показать решение

Это первая функция.2} = 3 + 1 = 4\]

Теперь мы можем использовать два возможных значения \(y\). Мы могли бы использовать \(y = 2\) или \(y = — 2\). Поскольку есть два возможных значения \(y\), которые мы получаем из одного \(x\), это уравнение не является функцией.

Обратите внимание, что это должно иметь место только для одного значения \(x\), чтобы уравнение не было функцией. Например, мы могли бы использовать \(x = — 1\), и в этом случае мы бы получили одиночное \(y\) (\(y = 0\)). Однако из-за того, что происходит при \(x = 3\), это уравнение не будет функцией.2} — 5x + 3\\ \end{выровнено} \\ & \vdots & \end{массив}\]

Напомним, что это НЕ буква, умноженная на \(x\), это просто причудливый способ написания \(y\).

Итак, почему это полезно? Что ж, давайте возьмем приведенную выше функцию и получим значение функции в точке \(x = -3\). Используя обозначение функции, мы представляем значение функции в точке \(x = -3\) как \(f\left(-3 \right)\). 2} + 6т = 0\]

Во-первых, мы должны как можно больше разложить уравнение на множители.2} — 4\влево( 3 \вправо)\влево( 2 \вправо)} }}{{2\влево( 3 \вправо)}}\\ & = \frac{{6 \pm \sqrt {12} } {6}\\ & = \ frac{{6 \pm \sqrt {\left( 4 \right)\left( 3 \right)}}}}{6}\\ & = \frac{{6 \pm 2 \sqrt 3 }}{6}\\ & = \frac{{3 \pm \sqrt 3 }}{3}\\ & = 1 \pm \frac{1}{3}\sqrt 3 \\ & = 1 \pm \frac{1}{{\sqrt 3}}\end{align*}\]

Чтобы напомнить вам, как упрощать радикалы, мы привели несколько форм ответа.

Для полноты задачи вот полный список всех корней этой функции.

\[t = 0,\,\,t = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{3},\,\,\,t = \frac{{3 — \sqrt 3 }}{3}\ ]

Обратите внимание, что мы не использовали окончательную форму для корней из квадратного уравнения. Обычно мы останавливаемся на упрощении для таких корней. Также обратите внимание, что ради практики мы разбили компактную форму для двух корней квадратного уравнения. Вы должны быть в состоянии сделать это, поэтому убедитесь, что вы можете.

В этом примере было несколько моментов помимо поиска корней функций.

Первый должен был напомнить вам о квадратной формуле. Это не последний раз, когда он вам понадобится в этом классе.

Во-вторых, чтобы вы привыкли видеть «беспорядочные» ответы. На самом деле ответы в приведенном выше примере не так уж и беспорядочны. Тем не менее, большинство студентов после занятий по алгебре очень привыкли видеть в качестве ответов только целые числа и случайные «хорошие» дроби.

Итак, честное предупреждение. На этом уроке я часто намеренно делаю ответы «грязными», чтобы вы отвыкли всегда ожидать «хороших» ответов.В «реальной жизни» (что бы это ни было) ответ редко представляет собой простое целое число, например два. В большинстве задач ответом будет десятичная дробь, полученная из неупорядоченной дроби, и/или ответ, содержащий радикалы.

Одна из наиболее важных идей о функциях состоит в том, что домен и диапазон функции. 2} + 12х + 5\)

  • \(f\влево( z \вправо) = \влево| {z — 6} \вправо | — 3\)
  • \(г\влево( х \вправо) = 8\)
  • Показать все решения Скрыть все решения a \(f\left( x \right) = 5x — 3\) Показать решение

    Мы знаем, что это линия, а не горизонтальная линия (потому что наклон равен 5, а не нулю…).Это означает, что эта функция может принимать любое значение, поэтому диапазоном являются все действительные числа. Используя «математическую» запись, это

    . \[{\rm{Диапазон}}:\,\,\,\влево( { — \infty ,\infty } \вправо)\]

    В более общем смысле это полином, и мы знаем, что можем подставить любое значение в полином, поэтому областью определения в этом случае также являются все действительные числа или

    . \[{\rm{Домен}}:\,\,\, — \infty
    b \(g\left( t \right) = \sqrt {4 — 7t} \) Показать решение

    Это квадратный корень, а мы знаем, что квадратные корни всегда положительны или равны нулю. Тогда мы знаем, что диапазон будет

    . \[{\rm{Диапазон}}:\,\,\,\влево [{0,\infty} \вправо)\]

    Для домена нам нужно немного поработать, но немного. Нам нужно убедиться, что мы не извлекаем квадратные корни из каких-либо отрицательных чисел, поэтому нам нужно это потребовать,

    \[\begin{align*}4 — 7t & \ge 0\\ 4 & \ge 7t\\ \frac{4}{7} & \ge t \hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0,25 дюйма}\hspace{0,25 дюйма}t \le \frac{4}{7}\end{align*}\]

    Тогда домен

    \[{\rm{Домен}}:\,\,\,t \le \frac{4}{7}\hspace{0.2} + 12\влево( 3 \вправо) + 5 = 23\hspace{0,25 дюйма}\hspace{0,25 дюйма} \Стрелка вправо \hspace{0,25 дюйма}\влево({3,23} \right)\]

    Итак, как обсуждалось, мы знаем, что это будет самая высокая точка на графике или наибольшее значение функции, а парабола будет принимать все значения меньше этого, поэтому диапазон тогда равен

    . \[{\rm{Диапазон}}:\,\,\,\влево( { — \infty ,23} \вправо]\]
    d \(f\left( z \right) = \left| {z — 6} \right| — 3\) Показать решение

    Эта функция содержит абсолютное значение, и мы знаем, что абсолютное значение будет либо положительным, либо нулевым. В этом случае абсолютное значение будет равно нулю, если \(z = 6\), и поэтому часть абсолютного значения этой функции всегда будет больше или равна нулю. Мы вычитаем 3 из части абсолютного значения, поэтому мы знаем, что диапазон будет равен

    . \[{\rm{Диапазон}}:\,\,\,\влево[ { — 3,\infty } \вправо)\]

    Мы можем подставить любое значение в абсолютное значение, и поэтому домен снова состоит из действительных чисел или

    . \[{\rm{Домен}}:\,\,\, — \infty
    e \(g\left( x \right) = 8\) Показать решение

    Поначалу эта функция может показаться немного сложной, но на самом деле она самая простая в этом наборе примеров.Это постоянная функция, поэтому любое значение \(x\), которое мы подставляем в функцию, даст значение 8. Это означает, что диапазон представляет собой одно значение или

    . \[{\rm{Диапазон}}:\,\,\,8\]

    Домен состоит из действительных чисел,

    \[{\rm{Домен}}:\,\,\, — \infty

    В общем, определение диапазона функции может быть несколько затруднено. 2} — 2x — 15 = \left( {x — 5} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\hspace{0.2} — t — 6 = \left( {t — 3} \right)\left( {t + 2} \right) = 0\]

    Итак, функция будет равна нулю при \(t = — 2\) и \(t = 3\). Напомним, что эти точки будут единственным местом, где функция может изменить знак . В этих точках менять знак не требуется, но это будут единственные точки, в которых функция может менять знак. Это означает, что все, что нам нужно сделать, это разбить числовую прямую на три области, которые избегают этих двух точек, и проверить знак функции в одной точке в каждой из областей.Если функция положительна в одной точке области, она будет положительной во всех точках этой области, потому что она не содержит ни одной из точек, где функция может менять знак. У нас будет аналогичная ситуация, если функция отрицательна для контрольной точки.

    Итак, вот числовая строка, показывающая эти вычисления.

    Отсюда видно, что единственная область, в которой квадратичная функция (в ее модифицированной форме) будет отрицательной, находится в средней области. 2} — 9 > 0\]

    Обратите внимание, что нам нужно, чтобы неравенство здесь было строго больше нуля, чтобы избежать деления на ноль. Мы можем либо решить это методом из предыдущего примера, либо, в данном случае, достаточно легко решить путем проверки. Домен в данном случае

    \[{\rm{Домен}}:\,\,\,x 3\hspace{0,25 дюйма}{\rm{или}} \hspace{0,25 дюйма} \left( { — \infty , — 3} \right )\,\,\& \,\,\влево( {3,\infty } \вправо)\]

    Следующая тема, которую нам нужно здесь обсудить, это композиция функций .2} — x + 10\) и \(g\left( x \right) = 1 — 20x\) найти каждое из следующих.

    1. \(\влево( {f \circ g} \вправо)\влево( 5 \вправо)\)
    2. \(\влево( {f \circ g} \вправо)\влево( x \вправо)\)
    3. \(\влево( {g \circ f} \вправо)\влево( x \вправо)\)
    4. \(\влево( {g \circ g} \вправо)\влево( x \вправо)\)
    Показать все решения Скрыть все решения a \(\left( {f \circ g} \right)\left( 5 \right)\) Показать решение

    В этом случае вместо \(x\) у нас число, но работает точно так же. 2} + 20x — 199\конец{выравнивание*}\]

    И еще раз подчеркну. Этот ответ отличается от предыдущей части. В композиции важен порядок.


    d \(\left( {g \circ g} \right)\left( x \right)\) Показать решение

    В данном случае не радуйтесь тому, что это одна и та же функция. Состав по-прежнему работает так же.

    \[\begin{align*}\left( {g \circ g} \right)\left( x \right) & = g\left( {g\left( x \right)} \right)\\ & = g\left( {1 — 20x} \right)\\ & = 1 — 20\left( {1 — 20x} \right)\\ & = 400x — 19\end{align*}\]

    Давайте рассмотрим еще один пример, который приведет нас к следующему разделу.

    Пример 7. Даны \(f\left( x \right) = 3x — 2\) и \(g\left( x \right) = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}\ ) найти каждое из следующих.
    1. \(\влево( {f \circ g} \вправо)\влево( x \вправо)\)
    2. \(\влево( {g \circ f} \вправо)\влево( x \вправо)\)
    Показать все решения Скрыть все решения a \(\left( {f \circ g} \right)\left( x \right)\) Показать решение

    \[\begin{align*}\left( {f \circ g} \right)\left( x \right) & = f\left( {g\left( x \right)} \right)\\ & = е \ влево ( {\ гидроразрыва {1} {3} х + \ гидроразрыва {2} {3}} \ справа) \\ & = 3 \ влево ( {\ гидроразрыва {1} {3} х + \ гидроразрыва {2 }{3}} \right) — 2\\ & = x + 2 — 2\\ & = x\end{align*}\]


    b \(\left( {g \circ f} \right)\left( x \right)\) Показать решение

    \[\begin{align*}\left( {g \circ f} \right)\left( x \right) & = g\left( {f\left( x \right)} \right)\\ & = g\left( {3x — 2} \right)\\ & = \frac{1}{3}\left( {3x — 2} \right) + \frac{2}{3}\\ & = x — \frac{2}{3} + \frac{2}{3}\\ & = x\end{align*}\]

    В данном случае два состава были одинаковыми, и на самом деле ответ был очень простым.

    \[\left( {f \circ g} \right)\left( x \right) = \left( {g \circ f} \right)\left( x \right) = x\]

    Обычно этого не происходит. Однако, когда две композиции равны \(x\), между этими двумя функциями существует очень хорошая взаимосвязь. Мы рассмотрим эту связь в следующем разделе.

    Функции

    Функция — это правило, которое назначает каждому входу ровно один выход. Мы называем выход изображением входа.Набор всех входных данных для функции называется доменом . Набор всех допустимых выходных данных называется кодовым доменом . Мы бы написали \(f:X \to Y\) для описания функции с именем \(f\text{,}\) domain \(X\) и кодовым доменом \(Y\text{.}\). скажите нам , какая функция \(f\) есть. Чтобы определить функцию, мы должны описать правило. Часто это делается путем предоставления формулы для вычисления результата для любого входа (хотя это, конечно, не единственный способ описать правило). 2 + 3\text{.}\) Здесь домен и кодовый домен являются одним и тем же набором (натуральные числа). Правило таково: возьми свои входные данные, умножь их само на себя и добавь 3. Это работает, потому что мы можем применить это правило к каждому натуральному числу (каждому элементу домена), и результатом всегда будет натуральное число (элемент кодомена) . Однако обратите внимание, что не каждое натуральное число на самом деле является выходом (нет способа получить 0, 1, 2, 5 и т. д.). Набор натуральных чисел, равный , на самом деле выдает , называется диапазоном функции (в данном случае диапазон равен \(\{3, 4, 7, 12, 19, 28, \ldots\}\text {,}\) все натуральные числа, которые на 3 больше полного квадрата).

    Ключевым моментом, который делает правило фактически функцией , является то, что для каждого входа имеется ровно один выход . То есть важно, чтобы правило было хорошим правилом. Какой выход мы назначаем входу 7? Для любой конкретной функции может быть только один ответ.

    Описание правила может сильно различаться. Мы могли бы просто дать список изображений каждого входа. Вы также можете описать функцию с помощью таблицы или графика или словами.

    Пример0.4.1

    Ниже приведены все примеры функций:

    1. \(f:\Z \to \Z\), определяемый \(f(n) = 3n\text{.}\) Домен и кодовый домен являются набором целых чисел. Однако диапазон — это только набор целых чисел, кратных 3.
    2. \(g: \{1,2,3\} \to \{a,b,c\}\), определяемое как \(g(1) = c\text{,}\) \(g(2) = a\) и \(g(3) = a\text{.}\) Домен — это набор \(\{1,2,3\}\text{,}\) кодовый домен — это набор \( \{a,b,c\}\), а диапазон — это набор \(\{a,c\}\text{.}\) Обратите внимание, что \(g(2)\) и \(g(3) \) являются одним и тем же элементом домена кода.Это нормально, поскольку каждый элемент домена по-прежнему имеет только один выход.
    3. \(h:\{1,2,3\} \to \{1,2,3\}\) определяется следующим образом:

      Это означает, что функция \(f\) отправляет 1 в 2, 2 в 1 и 3 в 3: просто следуйте за стрелками.

    Стрелочная диаграмма, используемая для определения функции выше, может быть очень полезной для визуализации функций. Мы часто будем работать с функциями с конечными доменами, поэтому такое изображение часто бывает более полезным, чем традиционный график функции.График функции в примере 3 выше будет выглядеть так:

    Было бы абсолютно НЕПРАВИЛЬНО соединять точки или пытаться подогнать их под какую-то кривую. В домене всего три элемента. Кривая предполагает, что область содержит весь интервал действительных чисел. Помните, мы больше не занимаемся исчислением!

    Поскольку мы так часто будем использовать функции с небольшими доменами и кодоменами, давайте примем некоторые обозначения, с которыми немного легче работать, чем в примерах 2 и 3 выше.Все, что нам нужно, — это какой-то четкий способ обозначения образа каждого элемента в домене. На самом деле, написание таблицы значений сработало бы идеально:

    \(х\) 0 1 2 3 4
    \(f(x)\) 3 3 2 4 1

    Мы еще больше упростим это, записав это как матрицу с каждым входом непосредственно над его выходом:

    \begin{уравнение*} f = \begin{pmatrix}0 \amp 1 \amp 2\amp 3 \amp 4 \\ 3 \amp 3 \amp 2 \amp 4 \amp 1\end{pmatrix} \end{уравнение*}

    Обратите внимание, что это всего лишь обозначения, а не тот тип матрицы, который вы найдете в классе линейной алгебры (например, нет смысла выполнять операции с этими матрицами или уменьшать их по строкам).

    Важно знать, как определить, является ли правило функцией или нет. В этом может помочь рисование стрелочных диаграмм.

    Пример 0.4.2

    Какая из следующих диаграмм представляет функцию? Пусть \(X = \{1,2,3,4\}\) и \(Y = \{a,b,c,d\}\text{.}\)

    Решение

    \(f\) является функцией. То же самое и с \(g\text{.}\). Нет проблем с тем, что элемент кодового домена не является изображением какого-либо входа, и нет проблем с тем, что \(a\) из кодового домена является изображением обоих 2 и 3 из домена.Мы могли бы использовать нашу двухстрочную нотацию, чтобы записать их как

    . \begin{уравнение*} f= \begin{pmatrix} 1 \amp 2 \amp 3 \amp 4 \\ d \amp a \amp c \amp b \end{pmatrix} \qquad g = \begin{pmatrix} 1 \amp 2 \amp 3 \amp 4 \\ d \amp a \amp a \amp b \end{pmatrix}. \end{уравнение*}

    Однако \(h\) НЕ является функцией. На самом деле он не работает по двум причинам. Во-первых, элемент 1 из домена не был сопоставлен ни с одним элементом из кодового домена. Во-вторых, элемент 2 из домена был сопоставлен более чем с одним элементом из кодового домена (\(a\) и \(c\)). Обратите внимание, что любой из этих проблем достаточно, чтобы сделать правило не функцией. Как правило, ни одно из следующих отображений не является функцией:

    Также может быть полезно подумать о том, как бы вы написали двухстрочную нотацию для \(h\text{.}\) У нас было бы что-то вроде:

    \begin{уравнение*} h=\begin{pmatrix} 1 \amp 2 \amp 3 \amp 4 \\ \amp a,c? \amp d \amp b\end{pmatrix}. \end{уравнение*}

    Нет ничего ниже 1 (плохо), и нам нужно было поставить более одной вещи ниже 2 (очень плохо).С правилом, которое на самом деле является функцией, двухстрочная запись всегда будет «работать».

    Подраздел Сюръекции, инъекции и биекции

    Теперь мы переходим к исследованию специальных свойств, которыми могут обладать функции, а могут и не быть.

    В приведенных выше примерах вы, возможно, заметили, что иногда есть элементы кодового домена, которые не входят в диапазон. Когда происходит что-то вроде , а не (то есть когда все в домене кодов находится в диапазоне), мы говорим, что функция — это в или что функция отображает домен в кодовый домен . Эта терминология должна иметь смысл: функция помещает домен (полностью) поверх кодового домена. Причудливый математический термин для обозначения онтофункции — это сюръекция , и мы говорим, что онтофункция — это сюръективная функция.

    На фото:

    Пример 0.4.3

    Какие функции сюръективны (т. е. онто)?

    1. \(f:\Z \to \Z\), определяемый как \(f(n) = 3n\text{.}\)
    2. \(g: \{1,2,3\} \to \{a,b,c\}\) определяется как \(g = \begin{pmatrix}1 \amp 2 \amp 3 \\ c \amp a \amp a \end{pmatrix}\text{.}\)
    3. \(h:\{1,2,3\} \to \{1,2,3\}\) определяется следующим образом:

    Решение
    1. \(f\) не является сюръективным. В домене кода есть элементы, которые не входят в диапазон. Например, никакое \(n \in \Z\) не отображается в число 1 (правило говорит, что \(\frac{1}{3}\) будет отправлено в 1, но \(\frac{1 {3}\) не входит в домен). На самом деле диапазон функции равен \(3\Z\) (целое число, кратное 3), что не равно \(\Z\text{. }\)
    2. \(g\) не сюръективно.Не существует \(x \in \{1,2,3\}\) (домен), для которого \(g(x) = b\text{,}\), поэтому \(b\text{,}\ ), который находится в домене кода, не входит в диапазон. Обратите внимание, что элемент из домена кода «отсутствует» в нижней строке матрицы.
    3. \(h\) сюръективно. Каждый элемент кодового домена также находится в этом диапазоне. Ничто в домене кода не пропущено.

    Чтобы быть функцией, правило не может назначать один элемент домена двум или более различным элементам кодового домена. Однако мы видели, что обратное допустимо для : функция может назначить один и тот же элемент домена кода двум или более разным элементам домена.Когда это не встречается (то есть, когда каждый элемент кодового домена является изображением не более чем одного элемента домена), тогда мы говорим, что функция взаимно однозначна . Опять же, эта терминология имеет смысл: мы отправляем не более одного элемента из домена одному элементу из домена кода. Один вход на один выход. Причудливый математический термин для однозначной функции — инъекция . Мы называем взаимно однозначные функции инъективными функциями.

    На фото:

    Пример0.4.4

    Какие функции являются инъективными (т. е. взаимно однозначными)?

    1. \(f:\Z \to \Z\), определяемый как \(f(n) = 3n\text{.}\)
    2. \(g: \{1,2,3\} \to \{a,b,c\}\) определяется как \(g = \begin{pmatrix}1 \amp 2 \amp 3 \\ c \amp а \amp а \end{pmatrix}\text{.}\)
    3. \(h:\{1,2,3\} \to \{1,2,3\}\) определяется следующим образом:

    Решение
    1. \(f\) инъективен. Каждому элементу в кодовом домене назначается не более максимум один элемент из домена.Если \(x\) кратно трем, то только \(x/3\) отображается в \(x\text{.}\). Если \(x\) не кратно 3, то существует нет ввода, соответствующего выводу \(x\text{.}\)
    2. \(g\) не является инъективным. Оба входа \(2\) и \(3\) назначаются выходу \(a\text{. }\) Обратите внимание, что есть элемент из кодового домена, который появляется более одного раза в нижней строке матрицы.
    3. \(h\) инъективно. Каждый выход является выходом только один раз.

    Из приведенных выше примеров должно быть ясно, что существуют функции, которые являются сюръективными, инъективными, обеими или ни одной из них.В случае, когда функция является одновременно взаимно однозначной и на (инъекция и сюръекция), мы говорим, что функция является биекцией или что функция является биективной функцией.

    ПодразделОбратное изображение

    При обсуждении функций у нас есть обозначения для разговора об элементе домена (скажем, \(x\)) и соответствующем ему элементе в домене кода (мы пишем \(f(x)\text{,}\), который есть образ \(x\)). Также было бы неплохо начать с какого-нибудь элемента кодового домена (скажем, \(y\)) и рассказать о том, какой элемент или элементы (если они есть) из домена являются изображением. Мы могли бы написать «те \(x\) в домене, что \(f(x) = y\text{,}\)», но это слишком много. Вот некоторые обозначения, чтобы сделать нашу жизнь проще.

    Предположим, что \(f:X \to Y\) является функцией. Для \(y \in Y\) (элемент кодового домена) мы пишем \(f\inv(y)\) для представления набора всех элементов в домене \(X\), которые отправляются в \(y\text{.}\) То есть \(f\inv(y) = \{x \in X \st f(x) = y\}\text{.}\) Мы говорим, что \( f\inv(y)\) — это 90 233 полных прообраза 90 234 \(y\) под \(f\text{.}\)

    ВНИМАНИЕ: \(f\inv(y)\) не является обратной функцией! Обратные функции существуют только для биекций, но \(f\inv(y)\) определено для любой функции \(f\text{.}\) Точка: \(f\inv(y)\) является набором из , а не элемент домена.

    Пример 0.4.5

    Рассмотрим функцию \(f:\{1,2,3,4,5,6\} \to \{a,b,c,d\}\), заданную числом

    \begin{уравнение*} f = \begin{pmatrix}1 \amp 2 \amp 3 \amp 4 \amp 5 \amp 6 \\ a \amp a \amp b \amp c \amp c \amp c\end{pmatrix}. 2 = 2\text{.}\) Таких целых чисел нет, поэтому \(g\inv(3) = \emptyset\text{.}\)

    Наконец, \(g\inv(10) = \{-3, 3\}\), поскольку \(g(-3) = 10\) и \(g(3) = 10\text{.}\)

    Поскольку \(f\inv(y)\) является набором, имеет смысл запросить \(\card{f\inv(y)}\text{,}\) количество элементов в домене, которые отображают в \(г\текст{.}\)

    Пример 0.4.7

    Найдите функцию \(f:\{1,2,3,4,5\} \to \N\) такую, что \(\card{f\inv(7)} = 5\text{.}\)

    Решение

    Имеется только одна такая функция.Нам нужно, чтобы пять элементов домена отображались на число \(7 \in \N\text{.}\). Поскольку в домене всего пять элементов, все они должны отображаться на 7. Таким образом,

    \begin{уравнение*} f = \begin{pmatrix}1 \amp 2 \amp 3 \amp 4 \amp 5 \\ 7 \amp 7 \amp 7 \amp 7 \amp 7\end{pmatrix}. \end{уравнение*}
    Определения функций
    • Функция — это правило, которое назначает каждый элемент набора, называемого доменом , ровно одному элементу второго набора, называемого кодовым доменом .

    • Обозначение: \(f:X \to Y\) — это наш способ сказать, что функция вызывается \(f\text{,}\) областью определения является множество \(X\text{,}\) и кодовый домен — это набор \(Y\text{.}\)

    • Чтобы указать правило для функции с небольшим доменом, используйте двухстрочную нотацию , написав матрицу с каждым выходом непосредственно под соответствующим входом, например:

      \begin{уравнение*} f = \begin{pmatrix}1 \amp 2 \amp 3 \amp 4 \\ 2 \amp 1 \amp 3 \amp 1 \end{pmatrix}.\end{уравнение*}
    • \(f(x) = y\) означает, что элемент \(x\) домена (вход) назначается элементу \(y\) кодомена. Мы говорим, что \(y\) является выходом. В качестве альтернативы мы называем \(y\) изображением \(x\) при \(f\) .

    • Диапазон является подмножеством кодового домена. Это набор всех элементов, которые функция присваивает хотя бы одному элементу предметной области. То есть диапазон — это набор всех выходов.

    • Функция является инъективной ( инъекцией или взаимно однозначной ), если каждый элемент кодомена является выходом для не более одного элемента из домена.

    • Функция является сюръективной ( сюръекция или на ), если каждый элемент кодового домена является результатом по крайней мере одного элемента домена.

    • Биекция — это функция, которая одновременно является инъекцией и сюръекцией. Другими словами, если каждый элемент домена кода является результатом , то ровно один элемент домена.

    • Изображение элемента \(x\) в домене — это элемент \(y\) в домене кодов, с которым отображается \(x\).То есть образ \(x\) при \(f\) есть \(f(x)\text{.}\)

    • полный прообраз элемента \(y\) в кодовом домене, записанный как \(f\inv(y)\text{,}\), представляет собой набор всех элементов в домене, которые назначены к \(y\) по функции.

    ПодразделУпражнения

    1

    Выпишите все функции \(f: \{1,2,3\} \to \{a,b\}\) (используя двухстрочную запись). Сколько их там? Сколько инъективных? Сколько сюръективных? Сколько их обоих?

    Решение

    Имеется 8 различных функций.В двухстрочном обозначении это:

    \begin{уравнение*} f = \begin{pmatrix} 1 \amp 2 \amp 3 \\ a \amp a\amp a \end{pmatrix} \quad f = \begin{pmatrix} 1 \amp 2 \amp 3 \\ b \amp b \amp b \end{pmatrix} \end{уравнение*} \begin{уравнение*} f = \begin{pmatrix} 1 \amp 2 \amp 3 \\ a \amp a\amp b \end{pmatrix} \quad f = \begin{pmatrix} 1 \amp 2 \amp 3 \\ a \amp b \amp a \end{pmatrix} \quad f = \begin{pmatrix} 1 \amp 2 \amp 3 \\ b \amp a\amp a \end{pmatrix} \end{уравнение*} \begin{уравнение*} \quad f = \begin{pmatrix} 1 \amp 2 \amp 3 \\ b \amp b \amp a \end{pmatrix} \quad f = \begin{pmatrix} 1 \amp 2 \amp 3 \\ b \ amp a\amp b \end{pmatrix} \quad f = \begin{pmatrix} 1 \amp 2 \amp 3 \\ a \amp b \amp b \end{pmatrix} \end{уравнение*}

    Ни одна из функций не является инъективной.Ровно 6 функций сюръективны. Никакие функции не являются обоими (поскольку здесь нет инъективных функций).

    2

    Выпишите все функции \(f: \{1,2\} \to \{a,b,c\}\) (в двухстрочном представлении). Сколько их там? Сколько инъективных? Сколько сюръективных? Сколько их обоих?

    Решение

    . Имеется 9 функций: у вас есть выбор из трех выходных данных для \(f(1)\text{,}\) и для каждой у вас есть три варианта выходных данных \(f(2)\text{.} \) Из этих функций 6 инъективны, 0 сюръективны и 0 обе:

    \begin{уравнение*} f = \twoline{1 \amp 2}{a\amp a} \quad f = \twoline{1 \amp 2}{b \amp b} \quad f = \twoline{1 \amp 2}{c \amp в} \end{уравнение*} \begin{уравнение*} f = \twoline{1 \amp 2}{a\amp b} \quad f = \twoline{1 \amp 2}{a \amp c} \quad f = \twoline{1 \amp 2}{b \amp в} \end{уравнение*} \begin{уравнение*} f = \twoline{1 \amp 2}{b \amp a} \quad f = \twoline{1 \amp 2}{c \amp a} \quad f = \twoline{1 \amp 2}{c \amp б} \end{уравнение*}
    3

    Рассмотрим функцию \(f:\{1,2,3,4,5\} \to \{1,2,3,4\}\), заданную в таблице ниже:

    \(х\) 1 2 3 4 5
    \(f(x)\) 3 2 4 1 2
    1. Является ли \(f\) инъективным? Объяснять.

    2. Является ли \(f\) сюръективным? Объяснять.

    3. Запишите функцию, используя двухстрочную запись.

    4

    Рассмотрим функцию \(f:\{1,2,3,4\} \to \{1,2,3,4\}\), представленную на графике ниже.

    1. Является ли \(f\) инъективным? Объяснять.

    2. Является ли \(f\) сюръективным? Объяснять.

    3. Запишите функцию, используя двухстрочную запись.

    5

    Для каждой приведенной ниже функции определите, является ли функция инъективной и является ли функция сюръективной.

    1. \(f:\N \to \N\), заданное выражением \(f(n) = n+4\text{.}\)
    2. \(f:\Z \to \Z\), заданное выражением \(f(n) = n+4\text{.}\)
    3. \(f:\Z \to \Z\), заданное выражением \(f(n) = 5n — 8\text{.}\)
    4. \(f:\Z \to \Z\), заданное формулой \(f(n) = \begin{cases}n/2 \amp \text{, если } n \text{ четно} \\ (n+1 )/2 \amp \text{ если } n \text{ нечетно} .\end{cases}\)
    Решение
    1. \(f\) инъективен, но не сюръективен (поскольку 0, например, никогда не является выходом).
    2. \(f\) инъективно и сюръективно.В отличие от предыдущего вопроса, каждое целое число является выходом (целого числа на 4 меньше него).
    3. \(f\) инъективно, но не сюръективно (например, 10 не на 8 меньше кратного 5).
    4. \(f\) не инъективно, но сюръективно. Каждое целое число является выходом (например, дважды), но некоторые целые числа являются выходом более чем одного входа: \(f(5) = 3 = f(6)\text{.}\)
    6

    Пусть \(A = \{1,2,3,\ldots,10\}\text{.}\) Рассмотрим функцию \(f:\pow(A) \to \N\), заданную \(f (В) = |В|\текст{.}\) То есть \(f\) принимает подмножество \(A\) в качестве входных данных и выводит количество элементов этого набора.

    1. Является ли \(f\) инъективным? Докажите свой ответ.

    2. Является ли \(f\) сюръективным? Докажите свой ответ.

    3. Найти \(f\inv(1)\text{.}\)

    4. Найти \(f\inv(0)\text{.}\)

    5. Найти \(f\inv(12)\text{.}\)

    Решение
    1. \(f\) не является инъективным. Чтобы доказать это, мы должны просто найти два разных элемента домена, которые отображаются на один и тот же элемент кодомена.Поскольку \(f(\{1\}) = 1\) и \(f(\{2\}) = 1\text{,}\), мы видим, что \(f\) не является инъективным.
    2. \(f\) не сюръективно. Наибольшее подмножество \(A\) — это само \(A\), а \(|A| = 10\text{.}\) Таким образом, никакое натуральное число больше 10 никогда не будет выходным.
    3. \(f\inv(1) = \{\{1\}, \{2\}, \{3\}, \ldots \{10\}\}\) (множество всех одноэлементных подмножеств \(А\)).
    4. \(f\inv(0) = \{\emptyset\}\text{.}\) Обратите внимание, было бы неправильно писать \(f\inv(0) = \emptyset\) — это утверждало бы, что существует не является входом, который имеет 0 в качестве выхода.
    5. \(f\inv(12) = \emptyset\text{,}\) так как нет подмножеств \(A\) с мощностью 12.
    7

    Пусть \(A = \{n \in \N \st 0 \le n \le 999\}\) — множество всех чисел, состоящих из трех и менее цифр. Определите функцию \(f:A \to \N\) как \(f(abc) = a+b+c\text{,}\), где \(a\text{,}\) \(b\text {,}\) и \(c\) — это цифры числа в \(A\text{. }\). Например, \(f(253) = 2 + 5 + 3 = 10\text{.} \)

    1. Найти \(f\inv(3)\text{.}\)

    2. Найти \(f\inv(28)\text{.}\)

    3. Является \(f\) инъективным. Объяснять.

    4. Является \(f\) сюръективным. Объяснять.

    Решение
    1. \(f\inv(3) = \{003, 030, 300, 012, 021, 102, 201, 120, 210, 111\}\)
    2. \(f\inv(28) = \emptyset\) (поскольку наибольшая сумма трех цифр равна \(9+9+9 = 27\))
    3. Часть (а) доказывает, что \(f\) не инъективен. Выход 3 назначен на 10 различных входов.

    4. Часть (b) доказывает, что \(f\) не сюръективно.Существует элемент домена кода (28), который не назначен никаким входам.

    8

    Пусть \(f:X\to Y\) — некоторая функция. Предположим, \(3 \in Y\text{.}\) Что вы можете сказать о \(f\inv(3)\), если знаете,

    1. \(f\) инъективен? Объяснять.
    2. \(f\) сюръективно? Объяснять.
    3. \(f\) биективно? Объяснять.
    Решение
    1. \(|f\inv(3)| \le 1\text{.}\) Другими словами, либо \(f\inv(3)\) — это пустое множество, либо множество, содержащее ровно один элемент.Инъективные функции не могут иметь два элемента из домена, оба из которых соответствуют 3.
    2. \(|f\inv(3)| \ge 1\text{.}\) Другими словами, \(f\inv(3)\) — это множество, содержащее хотя бы один элемент, а возможно, и больше. Сюръективные функции должны иметь какое-то отображение на 3.
    3. \(|f\inv(3)| = 1\text{.}\) Существует ровно один элемент из \(X\), который отображается в 3, поэтому \(f\inv(3)\) является набор, содержащий этот один элемент.
    9

    Найдите множество \(X\) и функцию \(f:X \to \N\), такие, что \(f\inv(0) \cup f\inv(1) = X\text{.}\)

    Решение

    \(X\) действительно может быть любым набором, если \(f(x) = 0\) или \(f(x) = 1\) для каждого \(x \in X\text{.} \) Например, \(X = \N\) и \(f(n) = 0\) работают.

    10

    Какой вывод вы можете сделать о множествах \(X\) и \(Y\), если знаете. ..

    1. есть инъективная функция \(f:X\Y\text{?}\) Объясните.

    2. есть сюръективная функция \(f:X\Y\text{?}\) Объясните.

    3. есть биективная функция \(f:X\Y\text{?}\) Объясните.

    11

    Предположим, что \(f:X \to Y\) является функцией. Что из следующего возможно? Объяснять.

    1. \(f\) инъективен, но не сюръективен.
    2. \(f\) сюръективно, но не инъективно.
    3. \(|X| = |Y|\) и \(f\) инъективно, но не сюръективно.
    4. \(|X| = |Y|\) и \(f\) сюръективно, но не инъективно.
    5. \(|X| = |Y|\text{,}\) \(X\) и \(Y\) конечны, а \(f\) инъективно, но не сюръективно.
    6. \(|X| = |Y|\text{,}\) \(X\) и \(Y\) конечны, а \(f\) сюръективно, но не инъективно.
    12

    Пусть \(f:X\to Y\) и \(g:Y\to Z\) — функции. Мы можем определить композицию из \(f\) и \(g\) как функцию \(g\circ f:X\to Z\), которой является образ каждого \(x\in X\). \(g(f(x))\text{. }\) То есть подставьте \(x\) в \(f\text{,}\), а затем подставьте результат в \(g\) (точно так же, как композиция по алгебре и вычислениям).

    1. Если \(f\) и \(g\) оба инъективны, то должен ли \(g\circ f\) быть инъективным? Объяснять.
    2. Если \(f\) и \(g\) оба сюръективны, то должен ли \(g\circ f\) быть сюръективным? Объяснять.
    3. Предположим, что \(g\circ f\) инъективен. Что вы можете сказать о \(f\) и \(g\text{?}\)? Объясните.
    4. Предположим, что \(g\circ f\) сюръективен. Что вы можете сказать о \(f\) и \(g\text{?}\)? Объясните.
    Подсказка

    Работа с примерами. Что если \(f = \twoline{1\amp 2 \amp 3}{a \amp a \amp b}\) и \(g = \twoline{a\amp b \amp c}{5 \amp 6 \ усилитель 7}\текст{?}\)

    13

    Рассмотрим функцию \(f:\Z \to \Z\), заданную формулой \(f(n) = \begin{cases}n+1 \amp \text{, если }n\text{ четно} \\ n -3 \amp \text{ если }n\text{ нечетное} .\конец{дела}\)

    1. Является ли \(f\) инъективным? Докажите свой ответ.

    2. Является ли \(f\) сюръективным? Докажите свой ответ.

    Решение
    1. \(f\) инъективно.

      Доказательство

      Пусть \(x\) и \(y\) элементы области определения \(\Z\text{.}\) Предположим, что \(f(x) = f(y)\text{.}\) Если \ (x\) и \(y\) оба четны, тогда \(f(x) = x+1\) и \(f(y) = y+1\text{.}\) Поскольку \(f( x) = f(y)\text{,}\) имеем \(x + 1 = y + 1\), откуда следует, что \(x = y\text{.}\) Аналогично, если \(x\) и \(y\) оба нечетны, то \(x — 3 = y-3\), так что снова \(x = y\text{.}\) Единственный другой возможно, что \(x\) четно, а \(y\) нечетно (или наоборот). Но тогда \(x + 1\) было бы нечетным, а \(y — 3\) было бы четным, так что не может быть, чтобы \(f(x) = f(y)\text{.}\) Следовательно, если \ (f(x) = f(y)\), тогда мы имеем \(x = y\text{,}\), что доказывает инъективность \(f\).

    2. \(f\) сюръективно.

      Доказательство

      Пусть \(y\) — элемент кодового домена \(\Z\text{.}\) Мы покажем, что существует элемент \(n\) области определения (\(\Z\)) такой, что \(f(n) = y\text{. }\) Есть два случая: во-первых, если \(y\) четно, то пусть \(n = y+3\text{.}\) Поскольку \(y\) четно, \(n\) нечетно, поэтому \(f(n) = n-3 = y+3-3 = y\) по желанию. Во-вторых, если \(y\) нечетно, то пусть \(n = y-1\text{.}\) Поскольку \(y\) нечетно, \(n\) четно, поэтому \(f(n ) = n+1 = y-1+1 = y\) по мере необходимости. Поэтому \(f\) сюръективен.

    14

    В конце семестра учитель выставляет буквенные оценки каждому из своих учеников.Это функция? Если да, то какие множества составляют домен и кодовый домен, и является ли функция инъективной, сюръективной, биективной или ни той, ни другой?

    Решение

    Да, это функция, если правильно выбрать домен и кодовый домен. Домен будет набором учеников, а кодовый домен будет набором возможных оценок. Функция почти наверняка не является инъективной, потому что вполне вероятно, что два студента получат одинаковую оценку. Функция может быть сюръективной, если есть хотя бы один ученик, получивший каждую оценку.

    15

    В игре Hearts четырем игрокам раздается по 13 карт из колоды из 52 карт. Это функция? Если да, то какие множества составляют домен и кодовый домен, и является ли функция инъективной, сюръективной, биективной или ни той, ни другой?

    16

    Предположим, 7 игроков играют в 5-карточный стад. Каждый игрок изначально получает 5 карт из колоды из 52 карт. Это функция? Если да, то какие множества составляют домен и кодовый домен, и является ли функция инъективной, сюръективной, биективной или ни той, ни другой?

    Решение

    Это не может быть функцией.Если бы областью был набор карт, то это не функция, потому что не каждая карта сдается игроку. Если бы домен был набором игроков, это не было бы функцией, потому что один игрок был бы сопоставлен с несколькими картами. Поскольку это не функция, нет смысла говорить, является ли она инъективной/сюръективной/биективной.

    о функциях — PowerShell | Документы Майкрософт

    • Статья
    • 12 минут на чтение
    • 3 участника

    Полезна ли эта страница?

    да Нет

    Любая дополнительная обратная связь?

    Отзыв будет отправлен в Microsoft: при нажатии кнопки отправки ваш отзыв будет использован для улучшения продуктов и услуг Microsoft.Политика конфиденциальности.

    Представлять на рассмотрение

    В этой статье

    Краткое описание

    Описывает, как создавать и использовать функции в PowerShell.

    Подробное описание

    Функция — это список операторов PowerShell с именем, которое вы назначать. Когда вы запускаете функцию, вы вводите имя функции.Заявления в списке запускаются так, как если бы вы набрали их в командной строке.

    Функции могут быть такими простыми, как:

      функция Get-PowerShellProcess {Get-Process PowerShell}
      

    Функция также может быть такой же сложной, как командлет или прикладная программа.

    Как и командлеты, функции могут иметь параметры. Параметры могут быть названы, позиционные, переключающие или динамические параметры. Параметры функции могут быть прочитаны из командной строки или из конвейера.

    Функции могут возвращать значения, которые можно отображать, назначать переменным или передается другим функциям или командлетам. Вы также можете указать возвращаемое значение, используя ключевое слово возвращает ключевое слово . Ключевое слово return не влияет и не подавляет другие вывод, возвращаемый вашей функцией. Однако ключевое слово возвращает . функция на этой линии. Дополнительные сведения см. в разделе about_Return.

    Список операторов функции может содержать различные типы списков операторов. с ключевыми словами Начало , Процесс и Конец .Эти списки утверждений обрабатывать входные данные из конвейера по-разному.

    Фильтр — это функция особого типа, в которой используется ключевое слово Фильтр .

    Функции также могут действовать как командлеты. Вы можете создать функцию, которая работает точно так же, как командлет, без использования программирования C# . Чтобы получить больше информации, см. about_Functions_Advanced.

    Важно

    В файлах скриптов и модулях на основе скриптов должны быть определены функции прежде чем их можно будет назвать.

    Синтаксис

    Ниже приведен синтаксис функции:

      функция [<область:>]<имя> [([тип]$параметр1[,[тип]$параметр2])]
    {
      begin {<список операторов>}
      процесс {<список операторов>}
      конец {<список операторов>}
    }
      
      функция [<область:>]<имя>
    {
      параметр([тип]$параметр1 [,[тип]$параметр2])
      dynamicparam {<список операторов>}
      begin {<список операторов>}
      процесс {<список операторов>}
      конец {<список операторов>}
    }
      

    Функция включает следующие элементы:

    • A Функция ключевое слово
    • Область применения (дополнительно)
    • Имя, которое вы выбираете
    • Любое количество именованных параметров (необязательно)
    • Одна или несколько команд PowerShell, заключенных в фигурные скобки {}

    Для получения дополнительной информации о ключевом слове Dynamicparam и динамических параметрах в функции см. about_Functions_Advanced_Parameters.

    Простые функции

    Функции не обязательно должны быть сложными, чтобы быть полезными. Самые простые функции иметь следующий формат:

      функция <имя-функции> {операторы}
      

    Например, следующая функция запускает PowerShell с параметром «Запуск от имени». Вариант администратора.

      функция Start-PSAdmin {Start-Process PowerShell -Глагол RunAs}
      

    Чтобы использовать эту функцию, введите: Start-PSAdmin

    Чтобы добавить операторы в функцию, введите каждый оператор в отдельной строке или используйте точку с запятой ; для разделения операторов.

    Например, следующая функция находит все файлов .jpg в папке текущего пользователя. каталоги, которые были изменены после даты начала.

      функция Get-NewPix
    {
      $start = Get-Date -Месяц 1 -День 1 -Год 2010
      $allpix = Get-ChildItem -Path $env:UserProfile\*. jpg -Recurse
      $allpix | Где-Объект {$_.LastWriteTime -gt $Start}
    }
      

    Вы можете создать набор полезных небольших функций. Добавьте эти функции в ваш профиль PowerShell, как описано в about_Profiles и далее в Эта тема.

    Имена функций

    Вы можете присвоить функции любое имя, но функции, с которыми вы другие должны следовать правилам именования, которые были установлены для всех Команды PowerShell.

    Имена функций должны состоять из пары глагол-существительное, в которой глагол определяет действие, которое выполняет функция, а существительное определяет элемент, над которым командлет выполняет свое действие.

    Функции должны использовать стандартные глаголы, одобренные для всех Команды PowerShell.Эти глаголы помогают нам сохранить названия наших команд. простой, последовательный и легкий для понимания пользователями.

    Дополнительные сведения о стандартных командах PowerShell см. в разделе Утвержденные команды в документах Майкрософт.

    Функции с параметрами

    Вы можете использовать параметры с функциями, включая именованные параметры, позиционные параметры, параметры переключения и динамические параметры. Чтобы получить больше информации о динамических параметрах в функциях см. about_Functions_Advanced_Parameters.

    Именованные параметры

    Вы можете определить любое количество именованных параметров. Вы можете включить значение по умолчанию для именованных параметров, как описано далее в этом разделе.

    Вы можете определить параметры внутри фигурных скобок, используя ключевое слово param , как показано в следующем образце синтаксиса:

      функция <имя> {
      параметр ([тип]$параметр1 [,[тип]$параметр2])
      <список операторов>
    }
      

    Вы также можете определить параметры вне фигурных скобок без ключевого слова Param , как показано в следующем образце синтаксиса:

      функция <имя> [([тип]$параметр1[,[тип]$параметр2])] {
      <список операторов>
    }
      

    Ниже приведен пример этого альтернативного синтаксиса.

      function Add-Numbers([int]$one, [int]$two) {
        $ один + $ два
    }
      

    Хотя первый метод предпочтительнее, между этими двумя нет никакой разницы. методы.

    Когда вы запускаете функцию, значение, которое вы указываете для параметра, присваивается переменная, содержащая имя параметра. Значение этой переменной может быть используется в функции.

    В следующем примере показана функция с именем Get-SmallFiles . Эта функция имеет параметр $Size .Функция отображает все файлы меньшего размера чем значение параметра $Size , и он исключает каталоги:

      функция Get-SmallFiles {
      Параметр($Размер)
      Get-ChildItem $HOME | Где-Объект {
        $_.Length -lt $Size -и !$_.PSIsContainer
      }
    }
      

    В функции можно использовать переменную $Size , имя которой определено для параметр.

    Чтобы использовать эту функцию, введите следующую команду:

      Get-SmallFiles-Размер 50
      

    Вы также можете ввести значение именованного параметра без имени параметра. Например, следующая команда дает тот же результат, что и команда, называет параметр Размер :

      Get-SmallFiles 50
      

    Чтобы определить значение по умолчанию для параметра, введите знак равенства и значение после имени параметра, как показано в следующем варианте Get-SmallFiles пример:

      функция Get-SmallFiles ($Size = 100) {
      Get-ChildItem $HOME | Где-Объект {
        $_.Length -lt $Size -и !$_.PSIsContainer
      }
    }
      

    Если ввести Get-SmallFiles без значения, функция присвоит 100 $размер .Если вы предоставляете значение, функция использует это значение.

    При желании вы можете предоставить краткую справочную строку, описывающую значение вашего параметра, добавив атрибут PSDefaultValue в описание вашего параметра и указание свойства Help PSDefaultValue . Чтобы предоставить строку справки, описывающую значение по умолчанию (100) параметра Size в функции Get-SmallFiles добавьте Атрибут PSDefaultValue , как показано в следующем примере.

      функция Get-SmallFiles {
      параметр (
          [PSDefaultValue (Справка = '100')]
          Размер $ = 100
      )
    }
      

    Дополнительные сведения о классе атрибутов PSDefaultValue см. Члены атрибута PSDefaultValue.

    Позиционные параметры

    Позиционный параметр — это параметр без имени параметра. PowerShell использует порядок значений параметров, чтобы связать каждое значение параметра с параметром в функция.

    При использовании позиционных параметров введите одно или несколько значений после функции имя.Значения позиционных параметров присваиваются переменной массива $args . Значение, следующее за именем функции, присваивается первой позиции в массив $args , $args[0] .

    Следующая функция Get-Extension добавляет расширение имени файла .txt к имя файла, которое вы указываете:

      функция Get-Extension {
      $имя = $args[0] + ". txt"
      $имя
    }
      
      Get-Extension myTextFile
      
      мойтекстовый файл.текст
      

    Параметры переключения

    Переключатель — это параметр, которому не требуется значение. Вместо этого вы вводите имя функции, за которым следует имя параметра переключателя.

    Чтобы определить параметр переключателя, укажите тип [переключатель] перед параметром имя, как показано в следующем примере:

      функция Элемент переключения {
      параметр ([переключатель]$on)
      если ($on) { "Включить" }
      иначе { "Выключить" }
    }
      

    При вводе параметра переключателя On после имени функции функция показывает «Включить».Без параметра переключения отображается «Выключить».

      Элемент включения
      
      Включение
      
      Переключатель
      
      Выключить
      

    Вы также можете назначить логическое значение переключателю при запуске функции, как показано в следующем примере:

      Элемент включения: $true
      
      Включение
      
      Переключаемый элемент -вкл:$false
      
      Выключить
      

    Использование разбрызгивания для представления параметров команды

    Вы можете использовать разбрызгивание для представления параметров команды. Эта особенность представлен в Windows PowerShell 3.0.

    Используйте этот метод в функциях, которые вызывают команды в сеансе. Ты не нужно объявить или перечислить параметры команды, или изменить функцию при изменении параметров команды.

    Следующий пример функции вызывает командлет Get-Command . Команда использует @Args для представления параметров Get-Command .

      функция Get-MyCommand { Get-Command @Args }
      

    Вы можете использовать все параметры Get-Command при вызове Функция Get-MyCommand .Параметры и значения параметров передаются в команда с использованием @Args .

      Get-MyCommand -Name Get-ChildItem
      
      Имя CommandType Имя модуля
    ----------- ---- ----------
    Командлет Get-ChildItem Microsoft.PowerShell.Management
      

    Функция @Args использует автоматический параметр $Args , который представляет необъявленные параметры командлета и значения из оставшихся аргументов.

    Дополнительные сведения о разбрызгивании см. в разделе about_Splatting.

    Конвейер объектов к функциям

    Любая функция может принимать данные из конвейера. Вы можете контролировать, как функция обрабатывает ввод из конвейера, используя Begin , Process и End ключевые слова. В следующем образце синтаксиса показаны три ключевых слова:

    .
      функция <имя> {
      begin {<список операторов>}
      процесс {<список операторов>}
      конец {<список операторов>}
    }
      

    Список операторов Begin запускается только один раз, в начале функция.

    Важно

    Если ваша функция определяет блок Begin , Process или End , весь ваш код должны находиться внутри этих блоков. Никакой код не будет распознан за пределами блоков если определены любые блоков.

    Список операторов Process запускается один раз для каждого объекта в конвейере. Во время работы блока Process каждый объект конвейера назначается $_ автоматическая переменная, по одному объекту конвейера за раз.

    После того, как функция получит все объекты в конвейере, Конец список операторов запускается один раз. Если нет Начать , Обработать или Конец ключевых слов используются, все операторы обрабатываются как список операторов End .

    Следующая функция использует ключевое слово Process . Функция отображает примеры из конвейера:

      функция Get-Pipeline
    {
      процесс {"Значение: $_"}
    }
      

    Чтобы продемонстрировать эту функцию, введите список чисел, разделенных запятыми, как показано в следующем примере:

      1,2,4 | Get-Pipeline
      
      Значение: 1
    Значение: 2
    Значение: 4
      

    При использовании функции в конвейере объекты, переданные в функцию, присваивается автоматической переменной $input . Функция запускает операторы с ключевое слово Начать до того, как какие-либо объекты поступят из конвейера. Функция работает операторы с ключевым словом End после того, как все объекты были получены от трубопровод.

    В следующем примере показана автоматическая переменная $input с Начало и Конец ключевых слов.

      функция Get-PipelineBeginEnd
    {
      begin {"Начало: ввод $input"}
      end {"Конец: ввод $input" }
    }
      

    Если эта функция запускается с использованием конвейера, она отображает следующее результаты:

      1,2,4 | Get-PipelineBeginEnd
      
      Начало: ввод
    Конец: ввод 1 2 4
      

    Когда запускается оператор Begin , функция не имеет входных данных из трубопровод.Оператор End запускается после того, как функция получит значения.

    Если функция имеет ключевое слово Process , каждый объект в $input удаляется. из $ введите и присвойте $_ . В следующем примере используется процесс . список операторов:

      функция Get-PipelineInput
    {
      процесс {"Обработка: $_ " }
      end {"Конец: ввод: $input" }
    }
      

    В этом примере каждый объект, переданный в функцию, отправляется в Обработать список операторов .Операторы Process выполняются для каждого объекта, по одному объект за раз. Автоматическая переменная $input пуста, когда функция достигает ключевого слова End .

      1,2,4 | Get-PipelineInput
      
      Обработка: 1
    Обработка: 2
    Обработка: 4
    Конец: Вход:
      

    Дополнительные сведения см. в разделе Использование счетчиков

    .

    Фильтры

    Фильтр — это тип функции, которая выполняется для каждого объекта в конвейере.А filter напоминает функцию со всеми ее операторами в блоке Process .

    Синтаксис фильтра следующий:

      фильтр [<область:>]<имя> {<список операторов>}
      

    Следующий фильтр берет записи журнала из конвейера, а затем отображает либо вся запись, либо только часть сообщения записи:

      фильтр Get-ErrorLog ([переключатель]$сообщение)
    {
      if ($message) { Out-Host -InputObject $_. Message}
      иначе {$_}
    }
      

    Область действия

    Функция существует в той области, в которой она была создана.

    Если функция является частью скрипта, функция доступна для операторов внутри этого скрипта. По умолчанию функция в скрипте недоступна в командная строка.

    Вы можете указать область действия функции. Например, функция добавлена ​​в глобальная область в следующем примере:

      глобальная функция: Get-DependentSvs {
      Получить-Сервис | Где-объект {$_.DependentServices}
    }
      

    Когда функция находится в глобальной области видимости, вы можете использовать эту функцию в сценариях, в функциях и в командной строке.

    Обычно функции создают область. Элементы, созданные в функции, например переменные существуют только в области видимости функции.

    Дополнительные сведения об области в PowerShell см. about_Scopes.

    Поиск функций и управление ими с помощью функции: Диск

    Все функции и фильтры в PowerShell автоматически сохраняются в Функция: привод . Этот диск предоставляется PowerShell Функция провайдера.

    При обращении к диску Функция: введите двоеточие после Функция , просто как если бы вы ссылались на диск C или D компьютера.

    Следующая команда отображает все функции в текущем сеансе PowerShell:

      Функция Get-ChildItem:
      

    Команды в функции хранятся в виде блока скрипта в определении свойство функции. Например, для отображения команд в справке функция, поставляемая с PowerShell, введите:

      (функция Get-ChildItem: help). Определение
      

    Вы также можете использовать следующий синтаксис.

      $функция:помощь
      

    Дополнительные сведения о приводе Функция: см. в разделе справки. для поставщика Function .Введите Функция получения справки .

    Повторное использование функций в новых сеансах

    Когда вы вводите функцию в командной строке PowerShell, функция становится частью текущего сеанса. Он доступен до тех пор, пока сеанс заканчивается.

    Чтобы использовать вашу функцию во всех сеансах PowerShell, добавьте функцию в свой профиль PowerShell. Для получения дополнительной информации о профилях, см. about_Profiles.

    Вы также можете сохранить свою функцию в файле сценария PowerShell. Введите свой функцию в текстовом файле, а затем сохраните файл с расширением .ps1 имя файла расширение.

    Написание справки для функций

    Командлет Get-Help получает справку по функциям, а также по командлетам, провайдеры и скрипты. Чтобы получить справку по функции, введите Get-Help , а затем по имени функции.

    Например, чтобы получить справку по функции Get-MyDisks , введите:

      Get-Help Get-MyDisks
      

    Вы можете написать справку для функции, используя один из двух следующих способов: методы:

    • Справка по функциям на основе комментариев

      Создайте раздел справки, используя специальные ключевые слова в комментариях. Создавать справка для функции на основе комментариев, комментарии должны быть размещены в начало или конец тела функции или строки, предшествующие функции ключевое слово. Дополнительные сведения о справке на основе комментариев см. about_Comment_Based_Help.

    • Справка по функциям на основе XML

      Создайте раздел справки на основе XML, например тип, который обычно создается для командлетов. Справка на основе XML требуется, если вы локализуете разделы справки. на несколько языков.

      Чтобы связать функцию с разделом справки на основе XML, используйте .ExternalHelp ключевое слово справки на основе комментариев. Без этого ключевого слова Get-Help не может найти раздел справки по функции и вызывает Get-Help для функции возвращать только автоматически сгенерированную справку.

      Дополнительные сведения о ключевом слове ExternalHelp см. about_Comment_Based_Help. Чтобы получить больше информации о справке на основе XML см. Как написать справку по командлету.

    См. также

    1.1: Обзор функций — Mathematics LibreTexts

    В этом разделе мы даем формальное определение функции и исследуем несколько способов представления функций, а именно с помощью таблиц, формул и графиков.Мы изучаем формальные обозначения и термины, связанные с функциями. Мы также определяем композицию функций и свойства симметрии. Большая часть этого материала будет для вас обзором, но он служит удобным справочником, напоминающим вам о некоторых алгебраических приемах, полезных при работе с функциями.

    Функции

    Для двух множеств \(A\) и \(B\) множество с элементами, которые являются упорядоченными парами \((x,y)\), где \(x\) является элементом \(A\) и \( y\) является элементом \(B,\) является отношением из \(A\) в \(B\).Отношение от \(A\) к \(B\) определяет отношение между этими двумя множествами. Функция — это отношение особого типа, в котором каждый элемент первого множества связан ровно с одним элементом второго множества. Элемент первого набора называется входом ; элемент второго набора называется выходом . Функции постоянно используются в математике для описания отношений между двумя множествами. Для любой функции, когда мы знаем вход, выход определен, поэтому мы говорим, что выход является функцией входа.Например, площадь квадрата определяется длиной его стороны, поэтому мы говорим, что площадь (выход) является функцией длины его стороны (входа). Скорость мяча, брошенного в воздух, можно описать как функцию времени, в течение которого мяч находится в воздухе. Стоимость отправки посылки зависит от веса посылки. Поскольку у функций так много применений, важно иметь точные определения и терминологию для их изучения.

    Рисунок \(\PageIndex{1}\): Функцию можно визуализировать как устройство ввода/вывода

    Определение: Функции

    Функция \(f\) состоит из набора входов, набора выходов и правила для назначения каждого входа ровно одному выходу. Набор входов называется областью функции. Набор выходов называется диапазоном функции .

    Рисунок \(\PageIndex{2}\): Функция сопоставляет каждый элемент в домене ровно с одним элементом в диапазоне. Хотя каждый вход может быть отправлен только на один выход, два разных входа могут быть отправлены на один и тот же выход.

    Например, рассмотрим функцию \(f\), где областью определения является множество всех действительных чисел, а правилом является возведение входных данных в квадрат.2=9\).

    Поскольку каждое неотрицательное действительное число имеет действительный квадратный корень, каждое неотрицательное число является элементом диапазона этой функции. Поскольку не существует действительного числа с отрицательным квадратом, отрицательные действительные числа не являются элементами диапазона. Мы заключаем, что областью значений является множество неотрицательных действительных чисел.

    Для общей функции \(f\) с областью определения \(D\) мы часто используем \(x\) для обозначения входа и \(y\) для обозначения выхода, связанного с \(x\). При этом мы ссылаемся на \(x\) как на независимую переменную и на \(y как на зависимую переменную , потому что она зависит от \(x\).2\).

    Концепция функции может быть визуализирована с помощью рисунков \(\PageIndex{1}\) — \(\PageIndex{3}\).

    Рисунок \(\PageIndex{3}\): В этом случае график функции f имеет область определения \({1,2,3}\) и диапазон \({1,2 }\). Независимая переменная — это \(х\), а зависимая переменная — это \(у\).

    Мы также можем визуализировать функцию, нанеся точки \((x,y)\) на координатную плоскость, где \(y=f(x)\). График функции представляет собой множество всех этих точек.Например, рассмотрим функцию \(f\), где областью определения является множество \(D={1,2,3}\), а правилом является \(f(x)=3−x\). На рисунке \(\PageIndex{4}\) мы строим график этой функции.

    Рисунок \(\PageIndex{4}\): Здесь мы видим график функции \(f\) с областью определения \({1,2,3}\) и правилом \(f(x)= 3−х\). 2\), без указания конкретной области.2\) и \(f(x)=\sqrt{x}\) домены представляют собой множества с бесконечным числом элементов. Ясно, что мы не можем перечислить все эти элементы. При описании набора с бесконечным числом элементов часто бывает полезно использовать построитель набора или нотацию интервала. При использовании нотации построителя множеств для описания подмножества всех действительных чисел, обозначаемого \(R\), мы пишем

    .

    \[\{x|\textit{x имеет некоторое свойство}\}.\]

    Мы читаем это как набор действительных чисел \(x\), таких что \(x\) обладает некоторым свойством. Например, если бы нас интересовал набор действительных чисел, которые больше единицы, но меньше пяти, мы могли бы обозначить этот набор, используя нотацию построителя наборов, написав

    .

    \[\{х|1<х<5\}.\]

    Такой набор, который содержит все действительные числа больше \(a\) и меньше b, также может быть обозначен с использованием интервальной нотации \((a,b)\). Следовательно,

    \[(1,5)=\{х|1<х<5\}.\]

    Числа \(1\) и \(5\) называются конечными точками этого множества. Если мы хотим рассмотреть множество, включающее конечные точки, мы будем обозначать это множество, написав

    .

    \[[1,5]=\{x|1\leq x \leq 5\}.\]

    Мы можем использовать аналогичные обозначения, если хотим включить одну из конечных точек, но не другую.Чтобы обозначить набор неотрицательных действительных чисел, мы будем использовать нотацию построителя наборов

    .

    \[\{x|x \geq 0\}.\]

    Наименьшее число в этом наборе равно нулю, но в этом наборе нет самого большого числа. Используя обозначение интервала, мы использовали бы символ \(∞,\), обозначающий положительную бесконечность, и записали бы множество как

    \[[0,∞)=\{x|x \geq 0\}.\]

    Важно отметить, что \(∞\) не является действительным числом. Он используется здесь символически, чтобы указать, что этот набор включает в себя все действительные числа, большие или равные нулю. Точно так же, если бы мы хотели описать множество всех неположительных чисел, мы могли бы написать

    .

    \[(−∞,0]=\{х|х≤0\}.\]

    Здесь обозначение \(−∞\) относится к отрицательной бесконечности и означает, что мы включаем все числа, меньшие или равные нулю, независимо от того, насколько они малы. Набор

    \[(−∞,∞)=\{\textit{x} | \textit{x — любое действительное число}\}\]

    относится к набору всех действительных чисел.

    Кусочные функции

    Некоторые функции определяются с использованием разных уравнений для разных частей их области определения.2=y−5.\)

    Это уравнение выполняется до тех пор, пока существует действительное число x такое, что

    \(x−4=±\sqrt{y−5}\)

    Так как \(y≥5\), квадратный корень определен корректно. Мы заключаем, что для \(x=4±\sqrt{y−5}\),\(f(x)=y\) и, следовательно, диапазон равен {\(y|y≥5 \)}.

    2. Рассмотрим \(f(x)=\sqrt{3x+2}−1\).

    1. Чтобы найти область определения f, нам нужно выражение \(3x+2≥0\). Решая это неравенство, заключаем, что область определения равна {\(x|x≥−2/3 \)}.

    2.Чтобы найти диапазон f, заметим, что, поскольку \(\sqrt{3x+2}≥0\),\(f(x)=\sqrt{3x+2}−1≥−1\). Следовательно, диапазон f должен быть подмножеством множества {\(y|y≥−1\)}. Чтобы показать, что каждый элемент в этом наборе находится в диапазоне \(f\), нам нужно показать, что для всех \(y\) в этом наборе существует действительное число x в области определения такое, что \(f( х)=у \) . Пусть \(y≥−1\). Тогда \(f(x)=y\) тогда и только тогда, когда

    \(\sqrt{3x+2}−1=y.\)

    Решая это уравнение относительно х, мы видим, что х должен решать уравнение

    \(\sqrt{3x+2}=y+1.2-\frac{2}{3}≥-\frac{2}{3},\)

    существует x в домене \(f\). Мы заключаем, что диапазон \(f\) равен {\(y|y≥−1\)}.

    3. Рассмотрим \(f(x)=3/(x−2).\)

    1. Поскольку \(3/(x−2)\) определено, когда знаменатель не равен нулю, домен равен {\(x|x≠2\)}.

    2. Чтобы найти диапазон \(f\), нам нужно найти такие значения \(y\), что существует действительное число \(x\) в домене со свойством, что

    \(\frac{3}{x}−2=y. \)

    Решая это уравнение относительно x, находим, что

    \(x=\frac{3}{y}+2.\)

    Следовательно, пока \(y≠0\), существует действительное число \(x\) в домене такое, что \(f(x)=y\). Таким образом, диапазон равен {\(y|y≠0\)}.

    Упражнение \(\PageIndex{2}\)

    Найти домен и диапазон для \(f(x)=\sqrt{4−2x}+5.\)

    Подсказка

    Используйте \(4−2x≥0\).

    Ответить

    Домен = {\(x∣x≤2\)} и диапазон = {\(y∣y≥5\)}

    Представление функций

    Обычно функция представляется с помощью одного или нескольких из следующих инструментов:

    • Стол
    • График
    • Формула

    Мы можем идентифицировать функцию в каждой форме, но мы также можем использовать их вместе.Например, мы можем изобразить на графике значения из таблицы или создать таблицу из формулы.

    Таблицы

    Функции, описанные с помощью таблицы значений , часто возникают в реальных приложениях. Рассмотрим следующий простой пример. Мы можем описать температуру в данный день как функцию времени суток. Предположим, мы записываем температуру каждый час в течение 24-часового периода, начиная с полуночи. Пусть наша входная переменная \(x\) будет временем после полуночи, измеренным в часах, а выходная переменная \(y\) будет температурой \(x\) часов после полуночи, измеренной в градусах по Фаренгейту.Мы записываем наши данные в таблицу \(\PageIndex{1}\) .

    Час после полуночи
    Температура (°F) Час после полуночи Температура (°F)
    0 58 12 84
    1 54 13 85
    2 53 14 85
    3 52 15 83
    4 52 16 82
    5 55 17 80
    6 60 18 77
    7 64 19 74
    8 72 20 69
    9 75 21 65
    10 78 22 60
    11 80 23 58

    Из таблицы видно, что температура является функцией времени, и температура то снижается, то повышается, то снова снижается. Однако мы не можем получить четкое представление о поведении функции без ее графического отображения.

    Графики

    Имея функцию \(f\), описанную таблицей, мы можем представить визуальное изображение функции в виде графика. Графики температур, указанные в таблице \(\PageIndex{1}\), могут дать нам лучшее представление об их колебаниях в течение дня. На рисунке показан график температурной функции.

    Рисунок \(\PageIndex{5}\): График данных из таблицы показывает зависимость температуры от времени.

    По точкам, нанесенным на график на рисунке \(\PageIndex{5}\), мы можем визуализировать общую форму графика. Часто бывает полезно соединить точки на графике, которые представляют данные из таблицы. В этом примере, хотя мы не можем сделать какой-либо окончательный вывод о том, какой была температура в любой момент времени, для которого температура не была зарегистрирована, учитывая количество собранных точек данных и закономерность в этих точках, разумно предположить, что температуры в в других случаях следовала аналогичная картина, как мы можем видеть на рисунке \(\PageIndex{6}\) . {rt}\). Алгебраические формулы являются важными инструментами для вычисления значений функций. Часто мы также представляем эти функции визуально в виде графика.

    Для заданной алгебраической формулы функции \(f\) графиком \(f\) называется множество точек \((x,f(x))\), где \(x\) находится в области из \(f\) и \(f(x)\) находится в диапазоне. Чтобы построить график функции, заданной формулой, полезно начать с использования формулы для создания таблицы входов и выходов. Если область определения \(f\) состоит из бесконечного числа значений, мы не можем перечислить их все, но поскольку перечисление некоторых входных и выходных данных может быть очень полезным, часто это хороший способ начать.2−4\) равны \(x=±2\). Нули определяют, где график \(f\) пересекает ось \(x\), что дает нам больше информации о форме графика функции. График функции может никогда не пересекать ось \(х\) или пересекаться несколько (или даже бесконечно много) раз.

    Другим интересным моментом является \(y\) -перехват, если он существует. \(y\)-перехват задается \((0,f(0))\).

    Поскольку функция имеет ровно один выход для каждого входа, график функции может иметь не более одного \(y\)-отрезка.Если \(x\)=0 находится в области определения функции \(f\), то \(f\) имеет ровно один \(y\)-перехват. Если \(x=0\) не находится в домене \(f,\), то \(f\) не имеет \(y\)-перехвата. Точно так же для любого действительного числа \(c\), если \(c\) находится в области определения \(f\), имеется ровно один выход \(f(c)\), и линия \(x= c\) пересекает график \(f\) ровно один раз. С другой стороны, если \(c\) не находится в области определения \(f\), \(f(c)\) не определено и прямая \(x=c\) не пересекает график \(ф\). Это свойство суммируется в тесте вертикальной линии.

    Проверка вертикальной линии

    Для заданной функции \(f\) каждая вертикальная линия, которую можно провести, пересекает график функции \(f\) не более одного раза. Если любая вертикальная линия пересекает набор точек более одного раза, набор точек не представляет собой функцию.

    Мы можем использовать этот тест, чтобы определить, представляет ли набор нанесенных точек график функции (рисунок \(\PageIndex{7}\)).

    Рисунок \(\PageIndex{7}\): (a) Набор нанесенных точек представляет собой график функции, поскольку каждая вертикальная линия пересекает набор точек не более одного раза.(b) Набор нанесенных точек не представляет собой график функции, поскольку некоторые вертикальные линии пересекают набор точек более одного раза.

    Пример \(\PageIndex{3}\): поиск нулей и \(y\)-перехватов функции

    Рассмотрим функцию \(f(x)=−4x+2.\)

    1. Найдите все нули \(f\).
    2. Найдите точку пересечения \(y\) (если есть).
    3. Нарисуйте график \(f\).

    Раствор

    1.Чтобы найти нули, решите \(f(x)=−4x+2=0\). Мы обнаруживаем, что f имеет один нуль в точке \(x=1/2\).

    2. Пересечение по оси y задается выражением \((0,f(0))=(0,2). \)

    3. Учитывая, что f — линейная функция вида \(f(x)=mx+b\), проходящая через точки \((1/2,0)\) и \((0,2)\ ), мы можем нарисовать график \(f\) (Рисунок \(\PageIndex{8}\)).

    Рисунок \(\PageIndex{8}\): Функция \(f(x)=−4x+2\) представляет собой прямую с точкой пересечения \(x\) \((1/2,0) \) и \(y\)-перехват \((0,2)\).

    Пример \(\PageIndex{4}\): использование нулей и точек пересечения оси Y для построения графика

    Рассмотрим функцию \(f(x)=\sqrt{x+3}+1\).

    1. Найдите все нули \(f\).
    2. Найдите точку пересечения \(y\) (если есть).
    3. Нарисуйте график \(f\).

    Раствор

    1. Чтобы найти нули, решите \(\sqrt{x+3}+1=0\). Из этого уравнения следует \(\sqrt{x+3}=−1\). Поскольку \(\sqrt{x+3}≥0\) для всех \(x\), это уравнение не имеет решений, а значит, f не имеет нулей.

    2. \(y\)-отрезок задается \((0,f(0))=(0,\sqrt{3}+1)\).

    3. Для построения графика этой функции составим таблицу значений. Поскольку нам нужно \(x+3≥0\), нам нужно выбрать значения \(x≥−3\). Мы выбираем значения, которые упрощают вычисление функции квадратного корня.

    \(х\) -3 -2 1
    \(f(x)\) 1 2 3

    Пользуясь таблицей и зная, что, поскольку функция представляет собой квадратный корень, график \(f\) должен быть подобен графику \(y=\sqrt{x}\), нарисуем график (рис. \(\PageIndex{9}\)).2+100\), где s измеряется в футах, а t — в секундах. Область определения ограничена интервалом \([0,c]\), где \(t=0\) — момент падения мяча, а \(t=c\) — момент удара мяча о землю. .

    1. Создайте таблицу, показывающую высоту s(t), когда \(t=0,0,5,1,1,5,2\) и \(2,5\). Используя данные таблицы, определите домен для этой функции. То есть найдите время c, когда мяч упадет на землю.
    2. Нарисуйте график \(s\).

    Раствор

    \(т\) 0 0.5 1 1,5 2 2,5
    \(с(т)\) 100 96 84 64 36 0

    Поскольку мяч падает на землю в момент \(t=2,5\), областью определения этой функции является интервал \([0,2,5]\).

    2.

    Обратите внимание, что для этой функции и функции \(f(x)=−4x+2\), показанной на рисунке \(\PageIndex{8}\), значения \(f(x)\) становятся меньше по мере \(x\) становится больше. Функция с этим свойством называется убывающей. С другой стороны, для функции \(f(x)=\sqrt{x+3}+1\), показанной на рисунке \(\PageIndex{9}\), значения \(f(x)\) становятся больше по мере того, как значения \(x\) становятся больше. Функция с этим свойством называется возрастающей. Однако важно отметить, что функция может возрастать на каком-то интервале или интервалах и убывать на другом интервале или интервалах.Например, используя нашу температурную функцию, построенную выше, мы можем видеть, что функция убывает на интервале \((0,4)\), возрастает на интервале \((4,14)\), а затем убывает на интервале интервал \((14,23)\). Мы уточняем идею возрастания или убывания функции на определенном интервале в следующем определении.

    Определение: увеличение и уменьшение на интервале

    Мы говорим, что функция \(f\) является возрастающей на интервале I , если для всех \(x_{1},x_{2}∈I,\)

    \(f(x_{1})≤f(x_{2})\), когда \(x_{1}

    Мы говорим, что \(f\) строго возрастает на интервале \(I\), если для всех \(x_{1},x_{2}∈I,\)

    \(f(x_{1}) \)

    Мы говорим, что функция \(f\) является убывающей на интервале I , если для всех \(x_{1},x_{2}∈I,\)

    \(f(x_{1})≥f(x_{2})\), если \(x_{1}

    Говорят, что функция \(f\) строго убывает на интервале \(I\), если для всех \(x_{1},x_{2}∈I\),

    \(f(x_{1})>f(x_{2})\), если \(x_{1}

    Объединение функций

    Теперь, когда мы рассмотрели основные характеристики функций, мы можем увидеть, что происходит с этими свойствами, когда мы комбинируем функции различными способами, используя основные математические операции для создания новых функций. Например, если затраты компании на производство \(x\) единиц товара описываются функцией \(C(x)\), а доход от продажи \(x\) единиц товара описывается функцией \ (R(x)\), то прибыль от производства и реализации x изделий определяется как \(P(x)=R(x)−C(x)\).2+1.\]

    Обратите внимание, что эти две новые функции отличаются друг от друга. 2−1\), найдите каждую из следующих функций и укажите ее область определения.2+3}{2x−5}\). Домен равен {\(x|x≠\frac{5}{2}\)}.

    Функциональная композиция

    Когда мы составляем функции, мы берем функцию функции. Например, предположим, что температура \(T\) в данный день описана как функция времени \(t\) (измеряется в часах после полуночи), как в табл. Предположим, что стоимость \(C\) для обогрева или охлаждения здания в течение 1 часа может быть описана как функция температуры \(T\). Объединив эти две функции, мы можем описать стоимость обогрева или охлаждения здания как функцию времени, оценив \(C(T(t))\).Мы определили новую функцию, обозначенную \(C∘T\), которая определена таким образом, что \((C∘T)(t)=C(T(t))\) для всех \(t\) в домен \(T\). Эта новая функция называется составной функцией. Отметим, что, поскольку стоимость является функцией температуры, а температура является функцией времени, имеет смысл определить эту новую функцию \((C∘T)(t)\). Не имеет смысла рассматривать \((T∘C)(t)\), потому что температура не является функцией стоимости.

    Определение: составные функции

    Рассмотрим функцию \(f\) с областью определения \(A\) и областью значений \(B\) и функцию \(g\) с областью определения \(D\) и областью значений \(E\).Если \(B\) является подмножеством \(D\), то составная функция \((g∘f)(x)\) является функцией с областью определения \(A\), такой что

    \[(g∘f)(x)=g(f(x))\]

    Составную функцию \(g∘f\) можно просмотреть в два этапа. Во-первых, функция \(f\) сопоставляет каждый вход \(x\) в домене f с его выходом \(f(x)\) в диапазоне \(f\). Во-вторых, поскольку диапазон \(f\) является подмножеством домена \(g\), выход \(f(x)\) является элементом домена \(g\), и, следовательно, он сопоставляется с выходом \(g(f(x))\) в диапазоне \(g\).2+1=5\)

    В примере видно, что \((f∘g)(x)≠(g∘f)(x)\). В общих чертах это говорит нам о том, что порядок, в котором мы составляем функции, имеет значение.

    Упражнение \(\PageIndex{7}\)

    Пусть \(f(x)=2−5x\). Пусть \(g(x)=\sqrt{x}\). Найдите \((f∘g)(x)\).

    Раствор

    \((f∘g)(x)=2−5\sqrt{x}\).

    Пример \(\PageIndex{8}\): композиция функций, определяемая таблицами

    Рассмотрим функции \(f\) и \(g\), описанные

    х -3 -2 -1 0 1 2 3 4
    ф(х) 0 4 2 4 -2 0 -2 4
    х -4 -2 0 2 4
    г(х) 1 0 3 0 5
    1. Вычислить \((g∘f)(3)\),\((g∘f)(0)\).
    2. Укажите домен и диапазон \((g∘f)(x)\).
    3. Вычислить \((f∘f)(3)\),\((f∘f)(1)\).
    4. Укажите домен и диапазон \((f∘f)(x)\).

    Решение :

    1. \((g∘f)(3)=g(f(3))=g(−2)=0\)

    \((g∘f)(0)=g(4)=5\)

    2. Областью определения \(g∘f\) является множество {\(−3,−2,−1,0,1,2,3,4\)}. Поскольку диапазоном \(f\) является множество {\(−2,0,2,4\)}, диапазоном \(g∘f\) является множество {\(0,3,5\) }.

    3. \((f∘f)(3)=f(f(3))=f(−2)=4\)

    \((f∘f)(1)=f(f(1))=f(-2)=4\)

    4.Областью определения \(f∘f\) является множество {\(−3,−2,−1,0,1,2,3,4\)}. Поскольку диапазоном \(f\) является множество {\(−2,0,2,4\)}, диапазоном \(f∘f\) является множество {\(0,4\)}.

    Пример \(\PageIndex{9}\): Приложение, использующее составную функцию

    Магазин объявляет о распродаже со скидкой 20% на все товары. У Кэролайн есть купон, который дает ей право на дополнительную скидку 15% на любой товар, включая распродажные товары. Если Кэролайн решит купить товар по первоначальной цене \(x\) долларов, сколько она в конечном итоге заплатит, если применит свой купон к цене продажи? Решите эту проблему, используя составную функцию.

    Раствор

    Поскольку продажная цена на 20% ниже первоначальной цены, если предмет стоит \(x\) долларов, его продажная цена будет равна \(f(x)=0,80x\). Поскольку купон дает право на скидку 15% от цены любого предмета, если предмет стоит \(y\) долларов, цена после применения купона определяется как g(y)=0,85y. Следовательно, если цена изначально равна \(x\) долларов, ее продажная цена будет \(f(x)=0,80x\), а затем ее окончательная цена после купона будет \(g(f(x))= 0,85 (0,80х)=0,68х\).

    Упражнение \(\PageIndex{9}\)

    Если товары продаются со скидкой 10% от их первоначальной цены, а у покупателя есть купон на дополнительную скидку 30%, какова будет окончательная цена товара, изначально равная x долларам, после применения купона к цене продажи ?

    Подсказка

    Продажная цена предмета с первоначальной ценой \(x\) долларов равна \(f(x)=0,90x\). Цена купона на товар стоимостью \(y\) долларов равна \(g(y)=0.3−4x\), показанные на рисунке \(\PageIndex{12b}\). Если мы возьмем график и повернем его на \(180°\) вокруг начала координат, новый график будет выглядеть точно так же. В этом случае мы говорим, что функция имеет симметрию относительно начала координат .

    Рисунок \(\PageIndex{12}\): (a) График, симметричный относительно оси \(y\). (b) Граф, симметричный относительно начала координат.

    Если нам дан график функции, легко увидеть, обладает ли график одним из этих свойств симметрии.3=-f(x).\)

    Определение: четные и нечетные функции

    • Если \(f(x)=f(−x)\) для всех \(x\) в области определения \(f\), то \(f\) является четной функцией. Четная функция симметрична относительно оси \(y\).
    • Если \(f(-x)=-f(x)\) для всех \(x\) в области определения \(f\), то \(f\) является нечетной функцией. Нечетная функция симметрична относительно начала координат.
    Тест алгебраической симметрии: является ли функция четной, нечетной или ни одной?

    Вычислить \(f(-x)\) и сравнить его с \(f(x)\) и \(-f(x)\).

    • Если \(f(x)=f(−x)\) для всех \(x\) в области определения \(f\), то \(f\) является четной функцией.
    • Если \(f(-x)=-f(x)\) для всех \(x\) в области определения \(f\), то \(f\) является нечетной функцией.
    • Если \(f(−x)\) не совпадает с \(f(x)\) и не совпадает с \(−f(x)\) , то \(f) не является ни четным, ни нечетным.

    Пример \(\PageIndex{10}\): четные и нечетные функции

    Определите, является ли каждая из следующих функций четной, нечетной или ни одной из них.3−5x является четным, нечетным или ни тем, ни другим.

    Подсказка

    Сравните \(f(−x)\) с \(f(x)\) и \(−f(x)\).

    Ответить

    f(x) нечетно.

    Одной из часто встречающихся симметричных функций является функция абсолютного значения , записываемая как \(|x|\). Функция абсолютного значения определяется как

    .

    \[f(x)=\begin{cases} -x& x<0 \\ x& x≥0 \end{cases}\]

    Некоторые студенты описывают эту функцию, заявляя, что она «делает все позитивным.” По определению функции абсолютного значения мы видим, что если \(x<0\), то \(|x|=−x>0\), а если \(x>0\), то \(| х|=х>0\). Однако для \(x=0\),\(|x|=0\). Следовательно, точнее сказать, что для всех ненулевых входных данных выход положительный, но если \(x=0\), выход \(|x|=0\). Мы заключаем, что диапазон функции абсолютного значения равен {\(y|y≥0\)}. На рисунке \(\PageIndex{13}\) мы видим, что функция абсолютного значения симметрична относительно оси \(y\) и поэтому является четной функцией.

    Рисунок \(\PageIndex{13}\): График \(f(x)=|x|\) симметричен относительно оси \(y\).

    Пример \(\PageIndex{11}\): работа с функцией абсолютного значения

    Найдите область определения и область значений функции \(f(x)=2|x−3|+4\).

    Раствор

    Поскольку функция абсолютного значения определена для всех действительных чисел, областью определения этой функции является \((−∞,∞)\). Поскольку \(|x−3|≥0\) для всех \(x\), функция \(f(x)=2|x−3|+4≥4\).Следовательно, диапазон — это не более чем множество {\(y|y≥4\)}. Чтобы увидеть, что область значений — это, по сути, все это множество, нам нужно показать, что для \(y≥4\) существует действительное число \(x\), такое что

    \(2|х−3|+4=у\)

    Действительное число \(x\) удовлетворяет этому уравнению, пока

    \(|x−3|=\frac{1}{2}(y−4)\)

    Так как \(y≥4\), мы знаем \(y−4≥0\), и, таким образом, правая часть уравнения неотрицательна, поэтому возможно, что существует решение. Кроме того,

    \(|x−3|=\begin{cases} −(x−3)&\text{if } x<3\\x−3&\text{if } x≥3\end{cases}\).

    Таким образом, мы видим два решения:

    \(x=±\frac{1}{2}(y−4)+3\).

    Диапазон этой функции: \({y|y≥4}\).

    Упражнение \(\PageIndex{11}\): домен и диапазон

    Для функции \(f(x)=|x+2|−4\) найдите домен и диапазон.

    Подсказка

    \(|x+2|≥0\) для всех действительных чисел \(x\).

    Ответить

    Домен = \((−∞,∞)\), диапазон = {\(y|y≥−4\)}.

    Ключевые понятия

    • Функция — это отображение набора входных данных в набор выходных с ровно одним выходом для каждого входа.
    • Если для функции \(y=f(x)\) не указана область определения,
    • доменом считается множество всех действительных чисел \(x\)
    • , для которого определена функция.
    • При построении графика функции \(f\),
    • каждая вертикальная линия может пересекать график не более одного раза.
    • Функция может иметь любое количество нулей, но не более одного отрезка по оси y.
    • Чтобы определить композицию \(g∘f\), диапазон \(f\) должен содержаться в домене \(g\).
    • Четные функции симметричны относительно оси \(y\), тогда как нечетные функции симметричны относительно начала координат.

    Ключевые уравнения

    • Композиция из двух функций

    \(g∘f)(x)=g(f(x))\)

    \(f(x)=\begin{cases}−x&x<0\\x&x≥0\end{cases}\)

    Глоссарий

    Функция абсолютного значения
    \(f(x)=\begin{cases}−x&x<0\\x&x≥0\end{cases}\)
    составная функция
    заданы две функции \(f\) и \(g\), новая функция, обозначаемая \(g∘f\), такая, что \((g∘f)(x)=g(f(x))\ )
    убывает на интервале II
    функция, убывающая на интервале \(I\), если для всех \(x_1,x_2∈I,f(x_1)≥f(x_2)\) if \(x_1
    зависимая переменная
    выходная переменная для функции
    домен
    набор входов для функции
    четная функция
    функция четная, если \(f(−x)=f(x)\) для всех \(x\) в области определения \(f\)
    функция
    набор входов, набор выходов и правило отображения каждого входа ровно на один выход
    график функции
    множество точек \((x,y)\) таких, что \(x\) находится в области определения \(f\) и \(y=f(x)\)
    возрастание на интервале II
    функция, возрастающая на отрезке \(I\), если для al\(l x1,x2∈I,f(x1)≤f(x2)\), если \(x1
    независимая переменная
    входная переменная для функции
    нечетная функция
    функция является нечетной, если \(f(-x)=-f(x)\) для всех \(x\) в области определения \(f\)
    диапазон
    набор выходов для функции
    симметрия относительно начала координат
    график функции \(f\) симметричен относительно начала координат, если \((−x,−y)\) находится на графике \(f\), когда \((x,y)\) находится на график
    симметрия относительно оси y
    график функции \(f\) симметричен относительно оси \(y\), если \((−x,y)\) находится на графике \(f\), когда \((x,y )\) находится на графе
    таблица значений
    таблица, содержащая список входов и соответствующих им выходов
    проверка вертикальной линии
    задан график функции, каждая вертикальная линия пересекает график не более одного раза
    нули функции
    , когда действительное число x является нулем функции \(f,f(x)=0\)
    Авторы
    • Гилберт Странг (MIT) и Эдвин «Джед» Херман (Харви Мадд) со многими авторами. Этот контент от OpenStax лицензирован по лицензии CC-BY-SA-NC 4.0. Скачать бесплатно на http://cnx.org.

    Функции Python (по умолчанию): определение с примерами

    Что такое функция в Python?

    В Python функция — это группа связанных операторов, выполняющая определенную задачу.

    Функции помогают разбить нашу программу на более мелкие и модульные фрагменты. По мере того, как наша программа становится все больше и больше, функции делают ее более организованной и управляемой.

    Кроме того, он позволяет избежать повторения и делает код пригодным для повторного использования.

    Синтаксис функции

    def имя_функции (параметры):
    """строка документации"""
    заявление(я) 

    Выше показано определение функции, состоящее из следующих компонентов.

    1. Ключевое слово def , обозначающее начало заголовка функции.
    2. Имя функции для уникальной идентификации функции. Именование функций следует тем же правилам написания идентификаторов в Python.
    3. Параметры (аргументы), через которые мы передаем значения в функцию. Они являются необязательными.
    4. Двоеточие (:) для обозначения конца заголовка функции.
    5. Необязательная строка документации (docstring) для описания того, что делает функция.
    6. Один или несколько допустимых операторов Python, составляющих тело функции. Операторы должны иметь одинаковый уровень отступа (обычно 4 пробела).
    7. Необязательный оператор return для возврата значения из функции.

    Пример функции

      приветствие по умолчанию (имя):
        """
        Эта функция приветствует
        человек прошел как
        параметр
        """
        print("Здравствуйте, " + имя + ". Доброе утро!")  

    Как вызвать функцию в питоне?

    После того, как мы определили функцию, мы можем вызывать ее из другой функции, программы или даже из командной строки Python. Чтобы вызвать функцию, мы просто набираем имя функции с соответствующими параметрами.

      >>> приветствовать('Пол')
    Здравствуйте, Пол.Доброе утро!  

    Попробуйте запустить приведенный выше код в программе Python с определением функции, чтобы увидеть результат.

      приветствие по умолчанию (имя):
        """
        Эта функция приветствует
        человек прошел как
        параметр
        """
        print("Здравствуйте, " + имя + ". Доброе утро!")
    
    приветствовать('Пол')  

    Примечание : В python определение функции всегда должно присутствовать перед вызовом функции. В противном случае мы получим ошибку. Например,

      # вызов функции
    приветствовать('Пол')
    
    # определение функции
    приветствие (имя):
        """
        Эта функция приветствует
        человек прошел как
        параметр
        """
        print("Здравствуйте, " + имя + ".Доброе утро!")
    
    # Ошибка: имя 'greet' не определено  

    Строки документации

    Первая строка после заголовка функции называется строкой документации и является сокращением от строки документации. Он кратко используется для объяснения того, что делает функция.

    Несмотря на то, что документация необязательна, это хорошая практика программирования. Если вы не можете вспомнить, что ели на обед на прошлой неделе, всегда документируйте свой код.

    В приведенном выше примере у нас есть строка документации сразу после заголовка функции.Обычно мы используем тройные кавычки, чтобы строка документации могла расширяться до нескольких строк. Эта строка доступна нам как атрибут __doc__ функции.

    Например :

    Попробуйте запустить следующую команду в оболочке Python, чтобы увидеть результат.

      >>> print(приветствие.__doc__)
    
        Эта функция приветствует
        человек прошел как
        параметр  

     

    Чтобы узнать больше о строках документации в Python, посетите Python Docstrings.


    Оператор возврата

    Оператор return используется для выхода из функции и возврата к тому месту, откуда она была вызвана.

    Синтаксис возврата

    вернуть [список_выражений] 

    Этот оператор может содержать выражение, которое вычисляется и возвращается значение. Если в операторе нет выражения или сам оператор return отсутствует внутри функции, то функция вернет объект None .

    Например:

      >>> print(приветствовать("май"))
    Привет, Мэй. Доброе утро!
    Нет  

    Здесь Нет — это возвращаемое значение, так как Greet() напрямую печатает имя и не используется оператор return .


    Пример возврата

      определение абсолютного_значения (число):
        """Эта функция возвращает абсолютное
        значение введенного числа"""
    
        если число >= 0:
            возвращаемое число
        еще:
            возврат - число
    
    
    печать (абсолютное_значение (2))
    
    печать (абсолютное_значение (-4))  

    Выход

      2
    4  

    Как функция работает в Python?

    Работа функций в Python

    Область действия и время жизни переменных

    Область действия переменной — это часть программы, в которой переменная распознается. Параметры и переменные, определенные внутри функции, не видны снаружи функции. Следовательно, они имеют локальную область применения.

    Время жизни переменной — это период, в течение которого переменная существует в памяти. Время жизни переменных внутри функции равно времени ее выполнения.

    Они уничтожаются, как только мы возвращаемся из функции. Следовательно, функция не запоминает значение переменной из своих предыдущих вызовов.

    Вот пример, иллюстрирующий область действия переменной внутри функции.

      защита my_func():
    х = 10
    print("Значение внутри функции:",x)
    
    х = 20
    моя_функция()
    print("Значение вне функции:",x)  

    Выход

      Значение внутри функции: 10
    Значение вне функции: 20  

    Здесь мы видим, что значение x изначально равно 20. Хотя функция my_func() изменила значение x на 10, это не повлияло на значение вне функции.

    Это связано с тем, что переменная x внутри функции отличается (локальная по отношению к функции) от внешней. Хотя у них одинаковые имена, это две разные переменные с разными областями действия.

    С другой стороны, переменные вне функции видны изнутри. Они имеют глобальный охват.

    Мы можем прочитать эти значения внутри функции, но не можем изменить (записать) их. Чтобы изменить значение переменных вне функции, их необходимо объявить как глобальные переменные с помощью ключевого слова global .


    Типы функций

    В принципе, мы можем разделить функции на следующие два типа:

    1. Встроенные функции — функции, встроенные в Python.
    2. Пользовательские функции — функции, определяемые самими пользователями.

    Функции Python: как вызывать и записывать функции

    Функции — неотъемлемая часть языка программирования Python: возможно, вы уже сталкивались и использовали некоторые из многих фантастических функций, встроенных в язык Python или поставляемых с его библиотечной экосистемой. Однако, как Data Scientist, вам постоянно нужно писать свои собственные функции для решения проблем, которые ваши данные ставят перед вами.

    Вот почему этот пост познакомит вас с функциями в Python. Вы затронете следующие темы:

     

    (Для дальнейшей практики попробуйте курс DataCamp Python Data Science Toolbox (часть 1)!)

    Функции в Python

    Вы используете функции в программировании, чтобы связать набор инструкций, которые вы хотите использовать повторно или которые, из-за их сложности, лучше автономны в подпрограмме и вызываются при необходимости. Это означает, что функция — это фрагмент кода, написанный для выполнения определенной задачи.Для выполнения этой конкретной задачи функции может потребоваться несколько входных данных, а может и не потребоваться. Когда задача выполняется, функция может возвращать или не возвращать одно или несколько значений.

    В Python есть три типа функций:

    • Встроенные функции, такие как help() для запроса помощи, min() для получения минимального значения, print() для вывода объекта на терминал,… Вы можете найти обзор с больше этих функций здесь.
    • пользовательских функций (UDF), которые представляют собой функции, которые пользователи создают, чтобы помочь им; И
    • Анонимные функции, которые также называются лямбда-функциями, поскольку они не объявлены со стандартным ключевым словом def .

    Функции и методы

    Метод ссылается на функцию, которая является частью класса. Вы получаете доступ к нему с экземпляром или объектом класса. Функция не имеет этого ограничения: она просто ссылается на автономную функцию. Это означает, что все методы являются функциями, но не все функции являются методами.

    Рассмотрим этот пример, где вы сначала определяете функцию plus() , а затем класс Summation с методом sum() :

    eyJsYW5ndWFnZSI6InB5dGhvbiIsInNhbXBsZSI6IiMgRGVmaW5lIGEgZnVuY3Rpb24gYHBsdXMoKWBcbmRlZiBwbHVzKGEsYik6XG4gIHJldHVybiBhICsgYlxuICBcbiMgQ3JlYXRlIGEgYFN1bW1hdGlvbmAgY2xhc3NcbmNsYXNzIFN1bW1hdGlvbihvYmplY3QpOlxuICBkZWYgc3VtKHNlbGYsIGEsIGIpOlxuICAgIHNlbGYuY29udGVudHMgPSBhICsgYlxuICAgIHJldHVybiBzZWxmLmNvbnRlbnRzICJ9

    Если теперь вы хотите вызвать метод sum() , который является частью класса Summation , вам сначала нужно определить экземпляр или объект этого класса. Итак, давайте определим такой объект:

    eyJsYW5ndWFnZSI6InB5dGhvbiIsInByZV9leGVyY2lzZV9jb2RlIjoiZGVmIHBsdXMoYSxiKTpcbiAgcmV0dXJuIGEgKyBiXG4gIFxuY2xhc3MgU3VtbWF0aW9uKG9iamVjdCk6XG4gIGRlZiBzdW0oc2VsZiwgYSwgYik6XG4gICAgc2VsZi5jb250ZW50cyA9IGEgKyBiXG4gICAgcmV0dXJuIHNlbGYuY29udGVudHMgIiwic2FtcGxlIjoiIyBJbnN0YW50aWF0ZSBgU3VtbWF0aW9uYCBjbGFzcyB0byBjYWxsIGBzdW0oKWBcbnN1bUluc3RhbmNlID0gU3VtbWF0aW9uKClcbnN1bUluc3RhbmNlLnN1bSgxLDIpIn0 =

    Помните, что в этом экземпляре нет необходимости, когда вы хотите вызвать функцию plus() ! Вы сможете выполнить plus(1,2) в фрагменте кода DataCamp Light без каких-либо проблем!

    Параметры против аргументов

    Параметры — это имена, используемые при определении функции или метода, и в которые будут отображаться аргументы.Другими словами, аргументы — это то, что передается при вызове любой функции или метода, а код функции или метода ссылается на аргументы по именам их параметров.

    Рассмотрим следующий пример и вернемся к приведенному выше фрагменту DataCamp Light: вы передаете два аргумента методу sum() класса Summation , хотя ранее вы определили три параметра , а именно self , a и b .

    Что случилось с собой ?

    Первый аргумент каждого метода класса всегда является ссылкой на текущий экземпляр класса, в данном случае это Summation . По соглашению этот аргумент называется self .

    Все это означает, что в данном случае вы не передаете ссылку на self , потому что self — это имя параметра для неявно переданного аргумента, который ссылается на экземпляр, через который вызывается метод.Он неявно вставляется в список аргументов.

    Как определить функцию: определяемые пользователем функции (UDF)

    Четыре шага для определения функции в Python:

    1. Используйте ключевое слово def , чтобы объявить функцию, а затем укажите имя функции.
    2. Добавьте параметры в функцию: они должны быть в круглых скобках функции. Завершите строку двоеточием.
    3. Добавьте операторы, которые должны выполняться функциями.
    4. Завершите свою функцию оператором return, если функция должна что-то выводить. Без оператора return ваша функция вернет объект None .

    eyJsYW5ndWFnZSI6InB5dGhvbiIsInNhbXBsZSI6ImRlZiBoZWxsbygpOlxuICBwcmludChcIkhlbGxvIFdvcmxkXCIpIFxuICByZXR1cm4gIn0=

    Конечно, ваши функции будут усложняться по мере продвижения: вы можете добавить циклы for, управление потоком и многое другое, чтобы сделать его более точным:

      по умолчанию привет():
      name = str(input("Введите ваше имя: "))
      если имя:
        print ("Привет" + ул(имя))
      еще:
        печать("Привет, мир")
      вернуть
      
    привет()  

    В приведенной выше функции вы просите пользователя дать имя.Если имя не указано, функция выведет «Hello World». В противном случае пользователь получит персонализированный ответ «Привет».

    Помните также, что вы можете определить один или несколько параметров функции для вашего UDF. Вы узнаете об этом больше, когда будете заниматься разделом «Аргументы функции». Кроме того, вы можете или не можете вернуть одно или несколько значений в результате вашей функции.

    Возврат

    Заявление

    Обратите внимание, что когда вы печатаете что-то в UDF hello() , вам не нужно это возвращать.Не будет никакой разницы между функцией выше и этой:

    eyJsYW5ndWFnZSI6InB5dGhvbisInNhbXBsZSI6ImRlZiBoZWxsb19ub3JldHVybigpOlxuICBwcmludChcIkhlbGxvIFdvcmxkXCIpICJ9

    Однако, если вы хотите продолжить работу с результатом вашей функции и попробовать над ним некоторые операции, вам нужно будет использовать оператор return , чтобы фактически вернуть значение, такое как строка, целое число, …. Рассмотрим следующий сценарий, где hello() возвращает строку "hello" , а функция hello_noreturn() возвращает None :

    eyJsYW5ndWFnZSI6InB5dGhvbiIsInNhbXBsZSI6ImRlZiBoZWxsbygpOlxuICBwcmludChcIkhlbGxvIFdvcmxkXCIpIFxuICByZXR1cm4oXCJoZWxsb1wiKVxuXG5kZWYgaGVsbG9fbm9yZXR1cm4oKTpcbiAgcHJpbnQoXCJIZWxsbyBXb3JsZFwiKVxuICBcbiMgTXVsdGlwbHkgdGhlIG91dHB1dCBvZiBgaGVsbG8oKWAgd2l0aCAyIFxuaGVsbG8oKSAqIDJcblxuIyAoVHJ5IHRvKSBtdWx0aXBseSB0aGUgb3V0cHV0IG9mIGBoZWxsb19ub3JldHVybigpYCB3aXRoIDIgXG5oZWxsb19ub3JldHVybigpICogMiJ9

    Вторая функция выдает ошибку, потому что вы не можете выполнять какие-либо операции с None . Вы получите TypeError , в котором говорится, что вы не можете выполнить операцию умножения для NoneType ( None , который является результатом hello_noreturn() ) и int ( 2 ).

    Подсказка Функции немедленно завершают работу, когда встречаются с оператором return , даже если это означает, что они не вернут никакого значения:

    eyJsYW5ndWFnZSI6InB5dGhvbiIsInNhbXBsZSI6ImRlZiBydW4oKTpcbiAgZm9yIHggaW4gcmFuZ2UoMTApOlxuICAgICBpZiB4ID09IDI6XG4gICAgICAgcmV0dXJuXG4gIHByaW50KFwiUnVuIVwiKVxuICBcbnJ1bigpIn0 =

    Еще одна вещь, о которой стоит упомянуть при работе с оператором return , — это тот факт, что вы можете использовать его для возврата нескольких значений.Для этого вы используете кортежи.

    Помните , что эта структура данных очень похожа на структуру списка: она может содержать несколько значений. Однако кортежи неизменяемы, а это означает, что вы не можете изменить какие-либо суммы, хранящиеся в них! Вы строите его с помощью двойных скобок () . Вы можете распаковать кортежи в несколько переменных с помощью запятой и оператора присваивания.

    Посмотрите следующий пример, чтобы понять, как ваша функция может возвращать несколько значений:

    eyJsYW5ndWFnZSI6InB5dGhvbiIsInNhbXBsZSI6IiMgRGVmaW5lIGBwbHVzKClgXG5kZWYgcGx1cyhhLGIpOlxuICBzdW0gPSBhICsgYlxuICByZXR1cm4gKHN1bSwgYSlcblxuIyBDYWxsIGBwbHVzKClgIGFuZCB1bnBhY2sgdmFyaWFibGVzIFxuc3VtLCBhID0gcGx1cygzLDQpXG5cbiMgUHJpbnQgYHN1bSgpYFxucHJpbnQoc3VtKSJ9

    Обратите внимание, , что возвращает оператор return sum, будет иметь тот же результат, что и return (sum, a) : первый фактически упаковывает sum и a в кортеж под капотом!

    Как вызвать функцию

    В предыдущих разделах вы уже видели много примеров того, как вы можете вызывать функцию.Вызов функции означает, что вы выполняете определенную функцию — либо непосредственно из командной строки Python, либо через другую функцию (как вы увидите в разделе «Вложенные функции»).

    Вызовите только что определенную функцию hello() , просто выполнив hello() , как в фрагменте DataCamp Light ниже:

    eyJsYW5ndWFnZSI6InB5dGhvbisInByZV9leGVyY2lzZV9jb2RlIjoiZGVmIGhlbGxvKCk6XG4gIHByaW50KFwiSGVsbG8gV29ybGRcIikgXG4gIHJldHVybiAiLCJz0In9W1wbGUiOiby=

    Как добавить строки документации в функцию Python

    Еще один важный аспект написания функций на Python: строки документации.Строки документации описывают, что делает ваша функция, например, выполняемые ею вычисления или возвращаемые значения. Эти описания служат документацией для вашей функции, поэтому любой, кто читает строку документации вашей функции, понимает, что делает ваша функция, без необходимости отслеживать весь код в определении функции.

    Строки документации функций помещаются в строку сразу после заголовка функции и заключаются между тройными кавычками. Подходящей строкой документации для вашей функции hello() является «Печать «Hello World»».

      по умолчанию привет():
    """Печатает "Hello World".
    
    Возвращает:
        Никто
    """
      печать("Привет, мир")
      возврат  

    Обратите внимание , что строки документации могут быть более длинными, чем приведенные здесь в качестве примера. Если вы хотите более подробно изучить строки документации, вам лучше всего посетить некоторые репозитории библиотек Python на Github, такие как scikit-learn или pandas, где вы найдете множество примеров!

    Аргументы функций в Python

    Ранее вы узнали о разнице между параметрами и аргументами.Короче говоря, аргументы — это то, что задается при вызове любой функции или метода, в то время как код функции или метода ссылается на аргументы по именам их параметров. Существует четыре типа аргументов, которые могут принимать пользовательские функции Python:

    .
    • Аргументы по умолчанию
    • Обязательные аргументы
    • Аргументы ключевого слова
    • Переменное количество аргументов

    Аргументы по умолчанию

    Аргументы по умолчанию — это те, которые принимают значение по умолчанию, если во время вызова функции не передается значение аргумента. Вы можете присвоить это значение по умолчанию с помощью оператора присваивания = , как в следующем примере:

    eyJsYW5ndWFnZSI6InB5dGhvbiIsInNhbXBsZSI6IiMgRGVmaW5lIGBwbHVzKClgIGZ1bmN0aW9uXG5kZWYgcGx1cyhhLGIgPSAyKTpcbiAgcmV0dXJuIGEgKyBiXG4gIFxuIyBDYWxsIGBwbHVzKClgIHdpdGggb25seSBgYWAgcGFyYW1ldGVyXG5wbHVzKGE9MSlcblxuIyBDYWxsIGBwbHVzKClgIHdpdGggYGFgIGFuZCBgYmAgcGFyYW1ldGVyc1xucGx1cyhhPTEsIGI9MykifQ ==

    Требуемые аргументы

    Как следует из названия, обязательные аргументы UDF — это те, которые должны быть там.Эти аргументы должны быть переданы во время вызова функции и точно в правильном порядке, как в следующем примере:

    Вам нужны аргументы, которые соответствуют параметрам a , а также параметрам b , чтобы вызывать функцию без каких-либо ошибок. Если вы поменяете местами на и на , результат не изменится, но может быть, если вы измените plus() на следующее:

    Аргументы ключевого слова

    Если вы хотите убедиться, что вызываете все параметры в правильном порядке, вы можете использовать аргументы ключевого слова в вызове функции. Вы используете их для идентификации аргументов по имени параметра. Давайте возьмем пример выше, чтобы сделать это немного более понятным:

    eyJsYW5ndWFnZSI6InB5dGhvbiIsInNhbXBsZSI6IiMgRGVmaW5lIGBwbHVzKClgIGZ1bmN0aW9uXG5kZWYgcGx1cyhhLGIpOlxuICByZXR1cm4gYSArIGJcbiAgXG4jIENhbGwgYHBsdXMoKWAgZnVuY3Rpb24gd2l0aCBwYXJhbWV0ZXJzIFxucGx1cygyLDMpXG5cbiMgQ2FsbCBgcGx1cygpYCBmdW5jdGlvbiB3aXRoIGtleXdvcmQgYXJndW1lbnRzXG5wbHVzKGE9MSwgYj0yKSJ9

    Обратите внимание, что с помощью аргументов ключевого слова вы также можете изменить порядок параметров и по-прежнему получать тот же результат при выполнении вашей функции:

    eyJsYW5ndWFnZSI6InB5dGhvbiIsInNhbXBsZSI6IiMgRGVmaW5lIGBwbHVzKClgIGZ1bmN0aW9uXG5kZWYgcGx1cyhhLGIpOlxuICByZXR1cm4gYSArIGJcbiAgXG4jIENhbGwgYHBsdXMoKWAgZnVuY3Rpb24gd2l0aCBrZXl3b3JkIGFyZ3VtZW50c1xucGx1cyhiPTIsIGE9MSkifQ ==

    Переменное число аргументов

    В тех случаях, когда вы не знаете точное количество аргументов, которые вы хотите передать функции, вы можете использовать следующий синтаксис с *args :

    eyJsYW5ndWFnZSI6InB5dGhvbiIsInNhbXBsZSI6IiMgRGVmaW5lIGBwbHVzKClgIGZ1bmN0aW9uIHRvIGFjY2VwdCBhIHZhcmlhYmxlIG51bWJlciBvZiBhcmd1bWVudHNcbmRlZiBwbHVzKCphcmdzKTpcbiAgcmV0dXJuIHN1bShhcmdzKVxuXG4jIENhbGN1bGF0ZSB0aGUgc3VtXG5wbHVzKDEsNCw1KSJ9

    Звездочка ( * ) помещается перед именем переменной, которая содержит значения всех аргументов переменных, не являющихся ключевыми словами. Обратите внимание, что вы могли также передать *varint , *var_int_args или любое другое имя функции plus() .

    Совет : попробуйте заменить *args другим именем, которое содержит звездочку. Вы увидите, что приведенный выше код продолжает работать!

    Вы видите, что приведенная выше функция использует встроенную функцию Python sum() для суммирования всех аргументов, которые передаются в plus() . Если вы хотите избежать этого и создать функцию полностью самостоятельно, вы можете использовать эту альтернативу:

    eyJsYW5ndWFnZSI6InB5dGhvbiIsInNhbXBsZSI6IiMgRGVmaW5lIGBwbHVzKClgIGZ1bmN0aW9uIHRvIGFjY2VwdCBhIHZhcmlhYmxlIG51bWJlciBvZiBhcmd1bWVudHNcbmRlZiBwbHVzKCphcmdzKTpcbiAgdG90YWwgPSAwXG4gIGZvciBpIGluIGFyZ3M6XG4gICAgdG90YWwgKz0gaVxuICByZXR1cm4gdG90YWxcblxuIyBDYWxjdWxhdGUgdGhlIHN1bSAgXG5wbHVzKDIwLDMwLDQwLDUwKSJ9

    Глобальные и локальные переменные

    Как правило, переменные, определенные внутри тела функции, имеют локальную область действия, а переменные, определенные снаружи, — глобальную область действия. Это означает, что локальные переменные определены внутри функционального блока и доступны только внутри этой функции, а глобальные переменные могут быть получены всеми функциями, которые могут быть в вашем скрипте:

    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 ==

    Вы увидите, что вы получите NameError , в котором говорится, что имя 'total' не определено , когда вы попытаетесь распечатать локальную переменную total , которая была определена внутри тела функции. С другой стороны, переменная init может быть распечатана без проблем.

    Анонимные функции в Python

    Анонимные функции также называются лямбда-функциями в Python, потому что вместо их объявления с помощью стандартного ключевого слова def вы используете ключевое слово lambda .

    eyJsYW5ndWFnZSI6InB5dGhvbisInNhbXBsZSI6ImRvdWJsZSA9IGxhbWJkYSB4OiB4KjJcblxuZG91YmxlKDUpIn0=

    В фрагменте DataCamp Light выше lambda x: x*2 — это анонимная или лямбда-функция. x — аргумент, а x*2 — выражение или инструкция, которая вычисляется и возвращается. Что особенного в этой функции, так это то, что у нее нет имени, как в примерах, которые вы видели в первой части этого руководства по функциям. Если бы вам пришлось написать вышеуказанную функцию в UDF, результат был бы следующим:

      по умолчанию двойной (х):
      возврат x*2  

    Давайте рассмотрим еще один пример лямбда-функции, в которой вы работаете с двумя аргументами:

    eyJsYW5ndWFnZSI6InB5dGhvbiIsInNhbXBsZSI6IiMgYHN1bSgpYCBsYW1iZGEgZnVuY3Rpb25cbnN1bSA9IGxhbWJkYSB4LCB5OiB4ICsgeTtcblxuIyBDYWxsIHRoZSBgc3VtKClgIGFub255bW91cyBmdW5jdGlvblxuc3VtKDQsNSlcblxuIyBcIlRyYW5zbGF0ZVwiIHRvIGEgVURGXG5kZWYgc3VtKHgsIHkpOlxuICByZXR1cm4geCt5In0 =

    Вы используете анонимные функции, когда вам требуется безымянная функция на короткий период времени, которая создается во время выполнения. Конкретные контексты, в которых это будет актуально, — это когда вы работаете с filter() , map() и reduce() :

    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 ==

    Функция filter() фильтрует, как следует из названия, исходный список ввода my_list на основе критерия >10 .С другой стороны, с map() вы применяете функцию ко всем элементам списка my_list . В этом случае вы умножаете все элементы на 2 .

    Обратите внимание, что функция reduce() является частью библиотеки functools . Вы используете эту функцию кумулятивно для элементов списка my_list слева направо и сокращаете последовательность до одного значения, в данном случае 55 .

    Использование

    main() в качестве функции

    Если у вас есть опыт работы с другими языками программирования, такими как Java, вы знаете, что для выполнения функций требуется основная функция .Как вы видели в приведенных выше примерах, для Python это необязательно. Однако включение функции main() в вашу программу на Python может быть удобно для логической структуризации кода — все наиболее важные компоненты содержатся в этой функции main() .

    Вы можете легко определить функцию main() и вызвать ее точно так же, как вы сделали со всеми другими функциями выше:

    eyJsYW5ndWFnZSI6InB5dGhvbiIsInByZV9leGVyY2lzZV9jb2RlIjoiZGVmIGhlbGxvKCk6XG4gIHByaW50KFwiSGVsbG8gV29ybGRcIikgXG4gIHJldHVybiAiLCJzYW1wbGUiOiIjIERlZmluZSBgbWFpbigpYCBmdW5jdGlvblxuZGVmIG1haW4oKTpcbiAgaGVsbG8oKVxuICBwcmludChcIlRoaXMgaXMgYSBtYWluIGZ1bmN0aW9uXCIpXG5cbm1haW4oKSJ9

    Однако в настоящее время код вашей функции main() будет вызываться, когда вы импортируете ее как модуль. Чтобы этого не произошло, вы вызываете функцию main() , когда __name__ == '__main__' .

    Это означает, что код приведенного выше фрагмента кода становится:

    eyJsYW5ndWFnZSI6InB5dGhvbiIsInByZV9leGVyY2lzZV9jb2RlIjoiZGVmIGhlbGxvKCk6XG4gIHByaW50KFwiSGVsbG8gV29ybGRcIikgXG4gIHJldHVybiAiLCJzYW1wbGUiOiIjIERlZmluZSBgbWFpbigpYCBmdW5jdGlvblxuZGVmIG1haW4oKTpcbiAgaGVsbG8oKVxuICBwcmludChcIlRoaXMgaXMgYSBtYWluIGZ1bmN0aW9uXCIpXG4gIFxuIyBFeGVjdXRlIGBtYWluKClgIGZ1bmN0aW9uIFxuaWYgX19uYW1lX18gPT0gJ19fbWFpbl9fJzpcbiAgICBtYWluKCkifQ ==

    Обратите внимание, , что помимо функции __main__ у вас также есть функция __init__ , которая инициализирует экземпляр класса или объекта.Проще говоря, он действует как конструктор или инициализатор и автоматически вызывается при создании нового экземпляра класса. С помощью этой функции вновь созданный объект назначается параметру self, который вы видели ранее в этом руководстве. Взгляните на следующий пример:

      класс Собака:
        """
        Требует:
        ноги - Ноги, чтобы собака могла ходить.
        color - Цвет меха.
        """
    
        def __init__(я, ноги, цвет):
            себя.ноги = ноги
            self.color = цвет
            
        защита коры (я):
            кора = "кора" * 2
            возврат коры
    
    если __name__ == "__main__":
        собака = Собака(4, "коричневый")
        лай = собака.лай()
        печать(кора)  

    Хотите продолжить практику?

    Поздравляем! Вы прошли этот краткий учебник по функциям в Python. Если вы хотите пересмотреть другие базовые материалы по программированию на Python, не пропустите курс «Типы данных для науки о данных», где вы закрепите и отработаете свои знания о списках, словарях, кортежах, наборах и времени дат.

    Раздел 4.3 Обзор

    Раздел 4.3 Обзор

    Дополнительные функции

    Индивидуальные функции | На Функции | Индивидуальные соответствия | Обратные функции


    Индивидуальные функции

    Пусть f : A B, функция из множества A в множество B. f называется однозначной функцией или впрыск, если и только если для всех элементов 1 и 2 в,

    Эквивалентно

    И наоборот, функция f : A B не являются взаимно однозначными функциональными элементами a 1 и 2 в A такие, что f (a 1 ) = f (a 2 ) и 1  а 2 .

    В терминах стрелочных диаграмм функция один к одному принимает различные точки домена в разные точки содомена. Функция не является однозначной функционируют, если хотя бы две точки области перенесены в одну и ту же точку содомен. Рассмотрим следующие диаграммы:

    Один к одному функция

    Функция А это не один к одному

    Однозначные функции на бесконечных множествах

    Чтобы доказать, что функция взаимно однозначна, метод прямого обычно используется доказательство. Рассмотрим пример:

    Пример : Определить f : R R по правилу

      Докажите, что f взаимно однозначно.

      Доказательство: предположим, что x 1 и x 2 — действительные числа такие, что f (x 1 ) = f (x 2 ). (Нам нужно показать x 1 = х 2 .)

        5x 1 — 2 = 5x 2 — 2

        Прибавление 2 к обеим сторонам дает

        5x 1 = 5x 2

        Деление на 5 с обеих сторон дает

        х 1 = х 2

        Мы доказали, что f взаимно однозначно.

    С другой стороны, чтобы доказать функцию, которая не является однозначной, счетчик надо подавать пример.

    Пример : Определить h : R R определяется по правилу h (n) = 2n 2 . Докажите, что ч есть не один к одному, приводя встречный пример.

                     Счетчик пример:

                     Пусть n 1 = 3 и n 2 = -3.Затем

                                    h (n 1 ) = ч (3) = 2 * 3 2 = 18 и

                                    h (n 2 ) = ч (-3) = 2 * (-3) 2 = 18

                     Отсюда ч (n 1 ) = ч (n 2 ), но n 1 n 2 , и, следовательно, h не является взаимно однозначным.

    Практические упражнения

    Функции

    И наоборот, функция f : A B не на у в B такое, что x А, е (х) у.

    В представлениях стрелочных диаграмм функция включена, если каждый элемент co-domain имеет стрелку, указывающую на него из какого-либо элемента домена. Функция не включен, если на какой-либо элемент домена не указывает стрелка. Рассмотреть возможность следующие схемы:

    Функция включения

    Функция А это не на

    Доказательство или опровержение функций На

    Пример : Определить f : R Р по правилу f (x) = 5x — 2 для всех x R .Докажите, что f лежит на.

      Доказательство: Пусть y R . (Нам нужно показать, что х в R такое, что f (x) = y.)

      Если такое действительное число x существует, то 5x -2 = y и х = (у + 2)/5. x — действительное число, так как суммы и частные (кроме деления на 0) действительных чисел являются действительными числами. Отсюда следует, что

    Пример : Определить г : Z З по правилу g (n) = 2n — 1 для всех n Z .Докажите, что g не является прямым, приведя контрпример.

      Пример счетчика:

      Домен g — это Z . по определению г и 0 Z . Однако г (n) 0 для любого целого числа n.

      Если г (n) = 0, то

        2n -1 = 0

        2n  = 1       на добавление 1 с обеих сторон

        n  = 1/2      на деление 2 с обеих сторон

      Но 1/2 не является целым числом.Следовательно, нет целых n для g (n) = 0, поэтому g не совпадает.

    Практические упражнения

    Один к одному Соответствия SRC=»images/unction>

    ф : А Б может быть как один к одному, так и одновременно. Это означает, что при любом элемента a в A существует единственный соответствующий элемент b = f(a) в B.Также для любого IMG SRC=»images/I>b в B существует элемент a в A, такой что f (a) = b, так как f находится на и существует только один такой b, как f один к одному. В этом случае функция f устанавливает сопряжение между элементами из A и элементов B, который соединяет каждый элемент A ровно с одним элементом из B и каждый элемент B ровно с одним элементом из A. Это спаривание называется однозначное соответствие или биекция .На диаграммах со стрелками это показано ниже:

    Функция, являющаяся взаимно-однозначным соответствием


    Обратные функции

    Если есть функция f которой соответствует onIMG SRC=»images//I> из множества A в множество B, то существует функция из B в A, которая «отменяет» действие ф . Эта функция называется обратной . функция для f .

    Предположим, f: A B является взаимно однозначным соответствием (f является взаимно однозначным и на). То есть есть функция f -1 : B   b = f (а

    f -1 — функция, обратная f.

     

    Функция f и обратная ей функция ф -1


    Нахождение обратной функции для заданной функции по формуле:

    Пример : Определить f : R R по правилу f (x) = 5x — 2 для всех x -1 .

    Решение : По определение f   -1 ,

    Практические упражнения
    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.

    2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
    тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск