Касательная в точке: Касательная к окружности — свойства, теорема, правила

Содержание

Касательная к окружности — свойства, теорема, правила

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.



Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).



Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т.

е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.


  1. Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.

  2. Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

  • окружность с центральной точкой А;
  • прямая а — касательная к ней;
  • радиус АВ, проведенный к касательной.

Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е.

аАВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.


Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Решение:

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

∠АОС = 180° — ∠САО — ∠АСО = 180° — 90° — 28° = 62°

Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно,

АВ = 62°.

Ответ: АВ = 62°.



  • Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

  • Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.

    Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.


    Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.

    Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

    Задача 1

    У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

    Решение

    Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.

    ∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).

    Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

    ∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

    Итак, угол между касательными составляет 60°.


    Ответ: ∠BDA = 60°.

    Задача 2

    К окружности с центром О провели две касательные

    КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

    Решение

    Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

    Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

    ∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°


    Ответ: ∠NМК = 65°.


  • Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

  • Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

    Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую.

    Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

    AB2 = AD × AC



    Задача 1

    Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

    Решение

    Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

    Найдем длину внешней части секущей:

    МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)

    МА2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

    МА = √ 64= 8 (см)


    Ответ: MA = 8 см.

    Задача 2

    Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки

    М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.

    Решение

    Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

    В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

    Поскольку МВ = 2 МА, значит:

    МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

    Согласно теореме о касательной и секущей, МА2 = МВ × МС.

    Значит:

    (у + R)2 : 4 = (у + R) × (у — R)

    Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:

    (у + R) : 4 = (у — R)

    у = 5R : 3

    Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).


    Ответ: MO = 10 см.

  • Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

  • Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда . Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

    ∠АВС = ½ АВ



    Задача 1

    Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

    Решение

    Согласно свойствам угла между касательной и хордой,

    ∠АВС = ½ АВ.

    АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°


    Ответ: АВ = 64°.

    Задача 2

    У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

    Решение

    Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

    КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

    Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

    ∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2

    Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

    ∠КОМ = КМ = 168°

    ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°


    Ответ: ∠ОМК = 6°.

    Не удается найти страницу | Autodesk Knowledge Network

    (* {{l10n_strings.REQUIRED_FIELD}})

    {{l10n_strings.CREATE_NEW_COLLECTION}}*

    {{l10n_strings.ADD_COLLECTION_DESCRIPTION}}

    {{l10n_strings. COLLECTION_DESCRIPTION}} {{addToCollection.description.length}}/500 {{l10n_strings.TAGS}} {{$item}} {{l10n_strings.PRODUCTS}} {{l10n_strings.DRAG_TEXT}}  

    {{l10n_strings.DRAG_TEXT_HELP}}

    {{l10n_strings.LANGUAGE}} {{$select.selected.display}}

    {{article.content_lang.display}}

    {{l10n_strings. AUTHOR}}  

    {{l10n_strings.AUTHOR_TOOLTIP_TEXT}}

    {{$select.selected.display}} {{l10n_strings.CREATE_AND_ADD_TO_COLLECTION_MODAL_BUTTON}} {{l10n_strings.CREATE_A_COLLECTION_ERROR}}

    Уравнение касательной к графику функции. 10 класс

    1. Уравнение касательной к графику функции

    10 класс

    2. Верно ли определение?

    Касательная – это прямая,
    имеющая с данной кривой
    одну общую точку.

    3. Пусть дана и две прямые и , имеющая с данной параболой одну общую точку М (1;1).

    Пуст ь дана y x 2 и две прямые x 1 и y 2 x 1 ,
    имеющая с данной параболой одну общую т очку М
    (1;1).
    x 1

    4. На данном уроке:

    1. выясним, что же такое касательная к
    графику функции в точке, как составить
    уравнение касательной;
    2. рассмотрим основные задачи на
    составление уравнения касательной.
    Для этого:
    вспомним общий вид уравнения прямой
    условия параллельности прямых
    определение производной
    правила дифференцирования
    Формулы дифференцирования

    5. Определение производной

    Пусть функция y f (x) определена в
    некотором интервале, содержащем внутри
    себя точку x0 . Дадим аргументу x
    приращение такое, чтобы не выйти из этого
    интервала. Найдем соответствующее
    приращение y функции и составим
    y
    отношение x .Если существует предел
    отношения при x 0 , то указанный предел
    называют производной функции
    y f (x)

    в точке x0 и обозначают f ( x0 ) .
    y
    lim
    f ‘ ( x0 )
    x 0 x

    6. Правила дифференцирования

    1. Производная суммы равна сумме производных.
    f x g x ‘ f ‘ x g ‘ x
    2. Постоянный множитель можно вынести за знак
    производной.


    kf x kf x
    3. Производная произведения двух функций равна сумме
    двух слагаемых; первое слагаемое есть произведение
    производной первой функции на вторую функцию, а второе
    слагаемое есть произведение первой функции на
    производную второй функции.
    f x g x f ‘ x g x f x g ‘ x

    4. Производная частного
    f x
    f ‘ x g x f x g ‘ x
    2
    x
    g
    x
    g

    7. Основные формулы дифференцирования

    f (x)
    С
    1
    x
    x
    x

    f ( x)

    f (x)
    f ( x)
    0
    sin x
    cos x
    1
    2
    x
    cos x
    sin x
    1
    2 x
    x
    1
    tgx
    ctgx
    1
    cos 2 x
    1
    2
    sin x

    8. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны

    Параллельны ли прямые:
    a ) y 2 x 1;
    б) y 2 x 2;
    в) y 3 x 1.

    9. Пусть дан график функции y=f(x). На нем выбрана точка M(a;f(a)), в этой точке к графику функции проведена касательная (мы

    предполагаем, что она существует). Найти угловой
    коэффициент касательной.
    y f x , M a; f a
    k сек
    y
    x
    k кас lim kcек
    x 0
    k кас
    y
    lim
    x 0 x

    10. Геометрический смысл производной

    Если к графику функции y = f (x) в точке
    x a можно провести касательную,
    непараллельную оси у, то f ‘ (a)
    выражает угловой коэффициент
    касательной
    kкас
    y
    f (a x) f (a)

    lim
    lim
    f a
    x 0 x
    x a
    (a x) a

    11. Геометрический смысл производной

    Производная в точке
    x x0 равна
    угловому коэффициенту
    касательной к
    графику функции
    y = f(x) в этой точке.
    .
    Т.е.
    f ( x0 ) tg

    Причем, если :
    1. f ‘ ( x0 ) tg 0, то острый
    2. f ‘ ( x0 ) tg 0, то развернутый
    3. f ‘ ( x0 ) tg 0, то тупой

    12.

    Вывод уравнения касательной y kx m, M a; f a
    Пусть прямая задана уравнением:
    k f ‘ (a)
    f a ka m
    m f a ka
    y kx f a ka
    y f a f

    a x a
    уравнение касательной к
    графику функции
    y f (x)

    13. Составить уравнение касательной:

    к графику функции
    M 1;1
    f (1) 12 1
    f ‘ ( x) 2 x
    f ‘ (1) 2 1 2
    y f (a ) f ‘ (a )( x a )
    y 1 2 ( x 1)
    y 1 2x 2
    y 2x 1
    f ( x) x
    2
    в точке

    14. Составить уравнение касательной:

    к графику функции
    f (0) tg 0 0
    1
    f ( x)
    cos 2 x
    1

    f ( 0)
    1
    2
    cos 0
    y f (a ) f ‘ (a )( x a )

    y 0 1 ( x 0)
    y x
    y tgx
    в точке M 0;0

    15. Алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции y=f(x).

    1. Обозначим абсциссу точки касания буквой
    x=a.
    2. Вычислим f (a ) .
    3. Найдем f ‘ ( x) и f ‘ (a) .
    4. Подставим найденные числа a , в формулу
    y f a f a x a .

    16. Составить уравнение касательной к графику функции в точке .

    Составить уравнение касательной к
    1
    графику функции y в точке x 1 .
    x
    1
    f ( x)
    x
    1) a 1
    2) f (a) f (1) 1
    1

    3) f ( x) 2
    x
    1
    f (a ) f (1) 2 1
    1


    4) y 1 ( x 1)
    y 2 x
    Ответ
    y 2 x
    :

    17. К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой .

    x3
    К графику функции y 3
    провести касательную так,
    чтобы она была параллельна прямой y 4 x 5 .
    kкас 4, k кас f ‘ ( x) f ‘ ( x) 4
    x
    f ( x)
    3

    1
    3 x 2 x 2
    3
    f ‘ (a) a 2 a 2 4,
    3

    .
    1) a1 2, a2 2
    3
    (
    2
    )
    8
    2
    8 , f (a )
    2) f (a1 )
    2
    3
    3
    3 3
    3
    3) f ‘ (a1 ) f ‘ (a2 ) 4
    16
    16
    4) y 4 x
    , y 4x
    3
    3
    ,

    18. Ответьте на вопросы:

    1. Что называется касательной к графику
    функции в точке?
    2. В чем заключается геометрический
    смысл производной?
    3. Сформулируйте алгоритм нахождения
    уравнения касательной?

    19. Домашняя работа

    Выучить алгоритм
    составления
    уравнения
    касательной

    20. Литература

    1.
    2.
    3.
    4.
    Алгебра и начала математического анализа: Учеб. Для 10-11
    кл. для учащихся общеобразовательных учреждений
    (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.:
    Мнемозина, 2009.
    Алгебра и начала математического анализа: Задачник, Для
    10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений
    (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.:
    Мнемозина, 2009.
    Алгебра и начала анализа. Самостоятельные и контрольные
    работы для 10-11 классов. / Ершова А.П., Голобородько В.В. –
    М.: ИЛЕКСА, 2010
    ЕГЭ 2010. Математика. Задача В8. Рабочая тетрадь / Под
    редакцией А.Л.Семенова и И.В.Ященко – M.: Издательство
    МЦНМО, 2010

    Касательная к кривой | Блестящая математика и естественные науки вики

    Чтобы найти наклон mmm кривой в определенной точке, мы дифференцируем уравнение кривой. Если задана кривая y=f(x),y=f(x),y=f(x), мы оцениваем dydx\frac { dy }{ dx } dxdy​ или f′(x)f'(x) f′(x) и подставьте значение xxx, чтобы найти наклон.

    Для линии формы (или любой другой формы) y=mx+c,y=mx+c,y=mx+c мы можем найти ее наклон, просто взяв любые два значения x,x,x, x1{ x}_{1}x1​ и x2,{x}_{2},x2​, и их соответствующие значения y yy, y1{y}_{1}y1​ и y2{y}_{2}y2​ .Находим наклон по формуле x}_{2}}tanθ=x1​−x2​y1​−y2​​. В случае с кривыми наш подход несколько иной. В приведенном выше случае мы имели }_{1}-{x}_{2} Δx=x1​−x2​. Теперь нам нужно найти наклон касательной к кривой в некоторой точке. Для этого нам опять понадобится

    tan⁡θ=y1−y2x1−x2,\tan \theta =\frac {{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}- {x}_{2 }},tanθ=x1​−x2​y1​−y2​​,

    , но на этот раз Δy \Delta yΔy и Δx \Delta xΔx стремятся к нулю, что означает, что интервал очень мал, поскольку он является касательной в точке.3)-2+a \ подразумевает a=5.19=2(23)−2+a⟹a=5.

    Следовательно, a=5a=5a=5 и b=1. b=1.b=1. □ _\квадрат □​

    Точка касания: определение и пример — видео и расшифровка урока

    Точка касания окружности

    В геометрии мы говорим о касательных к окружностям. Чтобы визуализировать, как выглядит линия, касающаяся окружности, представьте, что вы балансируете линейкой на шаре, как показано здесь:

    Линейка является касательной.Красная точка, где линейка касается шара, является точкой касания. Давайте упростим схему до того, что вы можете увидеть в книге по геометрии. Мяч становится кругом, а линейка становится линией, например:

    Один круг может иметь более одной точки касания, если на нем есть более одной «балансирующей» линии. Например, если вы поместите квадрат вокруг круга, то каждая сторона квадрата будет иметь точку касания с кругом.

    Точки A , B , C и D на приведенной выше диаграмме являются точками касания окружности. 2.Ось x пересекает эту параболу в одной точке, обозначенной как V . Точка V является точкой касания параболы и оси x .

    Вы также можете выбрать любую другую точку параболы и провести через нее касательную. Итак, нанесем на эту параболу еще одну точку касания. Мы назовем эту точку T .

    По мере того, как вы проводите касательные линии к более прямой части параболы, может стать труднее увидеть, что линия касается параболы только в одной точке.Помните, что линии и кривые в математике не имеют толщины. Однако мы не можем рисовать тонкие линии и кривые в реальной жизни и видеть их. Поэтому на наших диаграммах иногда может показаться, что касательная касается более чем одной точки.

    Итоги урока

    Давайте повторим. Касательная — это объект, который едва натыкается на окружность или кривую и касается в одной точке. Точка, где касательная касается кривой, является точкой касания .Линии или сегменты могут создавать точку касания с окружностью или кривой. Две окружности также могут иметь общую точку касания, если они касаются, но не пересекаются.

    4.4 Касательные плоскости и линейные аппроксимации. Расчет, том 3

    Цели обучения

    • 4.4.1 Определить уравнение плоскости, касательной к заданной поверхности в точке.
    • 4.4.2 Используйте касательную плоскость для аппроксимации функции двух переменных в точке.
    • 4.4.3 Объясните, когда функция двух переменных дифференцируема.
    • 4.4.4 Используйте полный дифференциал, чтобы аппроксимировать изменение функции двух переменных.

    В этом разделе рассматривается задача нахождения касательной плоскости к поверхности, которая аналогична нахождению уравнения касательной к кривой, когда кривая задана графиком функции одной переменной y=f (х).у=е(х). Наклон касательной в точке x=ax=a определяется выражением m=f′(a);m=f′(a); чему равен наклон касательной плоскости? Мы узнали об уравнении плоскости в «Уравнениях линий и плоскостей в пространстве»; в этом разделе мы увидим, как его можно применить к рассматриваемой проблеме.

    Касательные плоскости

    Интуитивно кажется очевидным, что на плоскости только одна прямая может касаться кривой в точке. Однако в трехмерном пространстве многие прямые могут касаться данной точки. Если эти прямые лежат в одной плоскости, то они определяют касательную плоскость в этой точке. Касательная плоскость в регулярной точке содержит все прямые, касающиеся этой точки. Более интуитивный способ думать о касательной плоскости — предположить, что поверхность в этой точке гладкая (без углов).Тогда касательная к поверхности в этой точке в любом направлении не имеет резких изменений наклона, поскольку направление изменяется плавно.

    Определение

    Пусть P0=(x0,y0,z0)P0=(x0,y0,z0) — точка на поверхности S, S, а CC — любая кривая, проходящая через P0P0 и целиком лежащая в SS. Если касательные ко всем такие кривые CC при P0P0 лежат в одной плоскости, то эта плоскость называется касательной к SS в точке P0P0 (рис. 4. 27).

    Фигура 4,27 Касательная плоскость к поверхности SS в точке P0P0 содержит все касательные к кривым в SS, проходящие через точку P0.Р0.

    Чтобы касательная плоскость к поверхности существовала в точке на этой поверхности, достаточно, чтобы функция, определяющая поверхность, была дифференцируемой в этой точке, определенной далее в этом разделе. Здесь мы определяем термин касательная плоскость, а затем интуитивно исследуем эту идею.

    Определение

    Пусть SS — поверхность, определяемая дифференцируемой функцией z=f(x,y),z=f(x,y), и пусть P0=(x0,y0)P0=(x0,y0) — точка в домен ff Тогда уравнение касательной плоскости к SS в точке P0P0 имеет вид

    z=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0).z=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0).

    (4.24)

    Чтобы понять, почему эта формула верна, давайте сначала найдем две касательные к поверхности SS. Уравнение касательной к кривой, представленной пересечением SS с вертикальной трассой, заданной x=x0x=x0, равно z= f(x0,y0)+fy(x0,y0)(y−y0). z=f(x0,y0)+fy(x0,y0)(y−y0). Точно так же уравнение касательной к кривой, представленной пересечением SS с вертикальным следом, заданным y=y0y=y0, имеет вид z=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x−x0 ).z=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x−x0). Вектор, параллельный первой касательной, равен a=j+fy(x0,y0)k;a=j+fy(x0,y0)k; вектор, параллельный второй касательной, равен b=i+fx(x0,y0)k.b=i+fx(x0,y0)k. Мы можем взять векторное произведение этих двух векторов:

    a×b=(j+fy(x0,y0)k)×(i+fx(x0,y0)k)=|ijk01fy(x0,y0)10fx(x0 ,y0)|=fx(x0,y0)i+fy(x0,y0)j−ka×b=(j+fy(x0,y0)k)×(i+fx(x0,y0)k)=| ijk01fy(x0,y0)10fx(x0,y0)|=fx(x0,y0)i+fy(x0,y0)j−k.

    Этот вектор перпендикулярен обеим линиям и, следовательно, перпендикулярен касательной плоскости.Мы можем использовать этот вектор как вектор нормали к касательной плоскости вместе с точкой P0=(x0,y0,f(x0,y0))P0=(x0,y0,f(x0,y0)) в уравнении для самолет:

    n·((x−x0)i+(y−y0)j+(z−f(x0,y0))k)=0(fx(x0,y0)i+fy(x0,y0)jk)·((x −x0)i+(y−y0)j+(z−f(x0,y0))k)=0fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)−(z− f(x0,y0))=0. n·((x−x0)i+(y−y0)j+(z−f(x0,y0))k)=0(fx(x0,y0)i+fy( x0,y0)jk)·((x−x0)i+(y−y0)j+(z−f(x0,y0))k)=0fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0 )(y−y0)−(z−f(x0,y0))=0.

    Решение этого уравнения относительно zz дает уравнение 4.24.

    Пример 4.21

    Нахождение касательной плоскости

    Найти уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной функцией f(x,y)=2×2−3xy+8y2+2x−4y+4f(x,y)=2×2−3xy+8y2+2x−4y+4 в точке (2,−1).(2,−1).

    Решение

    Сначала мы должны вычислить fx(x,y)fx(x,y) и fy(x,y),fy(x,y), затем использовать уравнение 4.24 с x0=2×0=2 и y0=−1:y0 =-1:

    fx(x,y)=4x−3y+2fy(x,y)=−3x+16y−4f(2,−1)=2(2)2−3(2)(−1)+8(−1 )2+2(2)−4(−1)+4=34.fx(2,−1)=4(2)−3(−1)+2=13fy(2,−1)=−3( 2)+16(-1)-4=-26.fx(x,y)=4x−3y+2fy(x,y)=−3x+16y−4f(2,−1)=2(2)2−3(2)(−1)+8(−1 )2+2(2)−4(−1)+4=34.fx(2,−1)=4(2)−3(−1)+2=13fy(2,−1)=−3( 2)+16(-1)-4=-26.

    Тогда уравнение 4.24 становится

    z=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)z=34+13(x−2)−26(y−(−1 ))z=34+13x−26−26y−26z=13x−26y−18. z=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y− y0)z=34+13(x−2)−26(y−(−1))z=34+13x−26−26y−26z=13x−26y−18.

    (см. следующий рисунок).

    Фигура 4,28 Вычисление уравнения касательной плоскости к заданной поверхности в данной точке.

    Пропускной пункт 4.19

    Найти уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной функцией f(x,y)=x3−x2y+y2−2x+3y−2f(x,y)=x3−x2y+y2−2x+3y−2 в точке (−1,3).(−1,3).

    Пример 4.22

    Поиск другой касательной плоскости

    Найдите уравнение касательной плоскости к поверхности, определяемой функцией f(x,y)=sin(2x)cos(3y)f(x,y)=sin(2x)cos(3y) в точке (π /3,π/4).(π/3,π/4).

    Решение

    Сначала вычислите fx(x,y)fx(x,y) и fy(x,y),fy(x,y), затем используйте уравнение 4.24 с x0=π/3×0=π/3 и y0=π/4:y0=π/4:

    fx(x,y)=2cos(2x)cos(3y)fy(x,y)=−3sin(2x)sin(3y)f(π3,π4)=sin(2(π3))cos(3(π4 ))=(32)(−22)=−64fx(π3,π4)=2cos(2(π3))cos(3(π4))=2(−12)(−22)=22fy(π3,π4) =−3sin(2(π3))sin(3(π4))=−3(32)(22)=−364. fx(x,y)=2cos(2x)cos(3y)fy(x,y) =−3sin(2x)sin(3y)f(π3,π4)=sin(2(π3))cos(3(π4))=(32)(−22)=−64fx(π3,π4)=2cos( 2(π3))cos(3(π4))=2(−12)(−22)=22fy(π3,π4)=−3sin(2(π3))sin(3(π4))=−3(32 )(22)=-364.

    Тогда уравнение 4.24 становится

    z=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)z=−64+22(x−π3)−364(y−π4) z=22x−364y−64−π26+3π616.z=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)z=−64+22(x−π3)−364(y−π4) z=22x−364y−64−π26+3π616.

    Касательная плоскость к поверхности не всегда существует в каждой точке поверхности. Рассмотрим функцию

    f(x,y)={xyx2+y2(x,y)≠(0,0)0(x,y)=(0,0).f(x,y)={xyx2+y2(x,y) )≠(0,0)0(х,у)=(0,0).

    Ниже приведен график этой функции.

    Фигура 4.29 График функции, не имеющей касательной плоскости в начале координат.

    Если либо x=0x=0, либо y=0,y=0, то f(x,y)=0,f(x,y)=0, поэтому значение функции не меняется ни на x — или у -оси.Таким образом, fx(x,0)=fy(0,y)=0,fx(x,0)=fy(0,y)=0, поэтому, когда любая xoryxory приближается к нулю, эти частные производные остаются равными нулю. Подстановка их в уравнение 4.24 дает z=0z=0 как уравнение касательной. Однако, если мы подойдем к происхождению с другой стороны, мы получим другую историю. Например, предположим, что мы подходим к началу координат по линии y=x.y=x. Если мы подставим y=xy=x в исходную функцию, получится

    . f(x,x)=x(x)x2+(x)2=x22x2=|x|2.f(x,x)=x(x)x2+(x)2=x22x2=|x|2.

    При x>0,x>0 наклон этой кривой равен 2/2;2/2; при x<0,x<0 наклон этой кривой равен −(2/2).−(2/2). Это представляет проблему. В определении касательной плоскости мы предполагали, что все касательные, проходящие через точку PP (в данном случае начало координат), лежат в одной плоскости. Здесь явно не тот случай. Когда мы будем изучать дифференцируемые функции, мы увидим, что эта функция не является дифференцируемой в нуле.

    Линейные аппроксимации

    Напомним из книги «Линейные приближения и дифференциалы», что формула линейного приближения функции f(x)f(x) в точке x=ax=a задается как

    y≈f(a)+f′(a)(x−a). y≈f(a)+f′(a)(x−a).

    Диаграмма для линейной аппроксимации функции одной переменной показана на следующем графике.

    Фигура 4.30 Линейная аппроксимация функции одной переменной.

    Касательная может использоваться в качестве аппроксимации функции f(x)f(x) для значений xx, достаточно близких к x=a.x=a. При работе с функцией двух переменных касательная заменяется касательной плоскостью, но идея аппроксимации почти такая же.

    Определение

    Для заданной функции z=f(x,y)z=f(x,y) с непрерывными частными производными, существующими в точке (x0,y0),(x0,y0), линейное приближение ff в точке ( x0,y0)(x0,y0) задается уравнением

    L(x,y)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0).L(x,y)=f(x0,y0 )+fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0).

    (4.25)

    Обратите внимание, что это уравнение также представляет касательную плоскость к поверхности, заданной формулой z=f(x,y)z=f(x,y) в точке (x0,y0).(x0,y0).Идея использования линейной аппроксимации заключается в том, что если существует точка (x0,y0)(x0,y0), в которой известно точное значение f(x,y)f(x,y), то для значений (x,y)(x,y) достаточно близко к (x0,y0),(x0,y0), линейное приближение (т. е. касательная плоскость) дает значение, которое также достаточно близко к точному значению f(x ,y)f(x,y) (рис. 4.31). Кроме того, плоскость, которая используется для нахождения линейного приближения, также является касательной плоскостью к поверхности в точке (x0,y0).(x0,y0).

    Фигура 4.31 Использование касательной плоскости для линейной аппроксимации в точке.

    Пример 4.23

    Использование приближения касательной плоскости

    Учитывая функцию f(x,y)=41−4×2−y2,f(x,y)=41−4×2−y2, аппроксимируйте f(2.1,2.9)f(2.1,2.9), используя точку (2,3) (2,3) для (x0,y0).(x0,y0). Каково приблизительное значение f(2.1,2.9)f(2.1,2.9) с точностью до четырех знаков после запятой?

    Решение

    Чтобы применить уравнение 4.25, мы сначала должны вычислить f(x0,y0),f(x0,y0), fx(x0,y0),fx(x0,y0) и fy(x0,y0)fy(x0,y0). ) используя x0=2×0=2 и y0=3:y0=3:

    f(x0,y0)=f(2,3)=41−4(2)2−(3)2=41−16−9=16=4fx(x,y)=−4×41−4×2−y2sofx(x0 ,y0)=−4(2)41−4(2)2−(3)2=−2fy(x,y)=−y41−4×2−y2sofy(x0,y0)=−341−4(2)2 −(3)2=−34. f(x0,y0)=f(2,3)=41−4(2)2−(3)2=41−16−9=16=4fx(x,y)=−4×41−4×2−y2sofx(x0 ,y0)=−4(2)41−4(2)2−(3)2=−2fy(x,y)=−y41−4×2−y2sofy(x0,y0)=−341−4(2)2 −(3)2=−34.

    Теперь подставляем эти значения в уравнение 4.25:

    L(x,y)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)=4−2(x−2)−34(y −3)=414−2x−34y.L(x,y)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)=4− 2(х-2)-34(у-3)=414-2х-34у.

    Наконец, мы подставляем x=2.1x=2.1 и y=2.9y=2.9 в L(x,y):L(x,y):

    L(2,1,2,9)=414−2(2,1)−34(2,9)=10,25−4,2−2,175=3,875.L(2,1,2,9)=414−2(2,1)−34(2,9)=10,25−4,2−2,175=3,875.

    Приблизительное значение f(2.1,2.9)f(2.1,2.9) с точностью до четвертого знака после запятой равно

    f(2.1,2.9)=41−4(2.1)2−(2.9)2=14.95≈3.8665,f(2.1,2.9)=41−4(2.1)2−(2.9)2=14.95≈3.8665,

    , что соответствует ошибке аппроксимации 0,2%0,2%.

    Пропускной пункт 4.20

    Учитывая функцию f(x,y)=e5−2x+3y,f(x,y)=e5−2x+3y, аппроксимировать f(4.1,0.9)f(4.1,0.9), используя точку (4,1) (4,1) для (x0,y0).(x0,y0). Каково приблизительное значение f(4. 1,0.9)f(4.1,0.9) до четырех знаков после запятой?

    Дифференцируемость

    При работе с функцией y=f(x)y=f(x) одной переменной говорят, что функция дифференцируема в точке x=ax=a, если f′(a)f′(a) существует. Более того, если функция одной переменной дифференцируема в какой-то точке, то график в этой точке «гладкий» (т. е. не существует углов) и касательная в этой точке четко определена.

    Идея дифференцируемости функции двух переменных связана с идеей гладкости в этой точке.В этом случае поверхность считается гладкой в ​​точке PP, если в этой точке существует касательная плоскость к поверхности. Если функция дифференцируема в точке, то в этой точке существует касательная плоскость к поверхности. Напомним, что формула касательной плоскости в точке (x0,y0)(x0,y0) имеет вид

    z=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0),z=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x −x0)+fy(x0,y0)(y−y0),

    Чтобы касательная плоскость существовала в точке (x0,y0),(x0,y0), частные производные должны существовать в этой точке. Однако это не является достаточным условием гладкости, как показано на рис. 4.29. В этом случае частные производные существовали в начале координат, но функция также имела угол на графике в начале координат.

    Определение

    Функция f(x,y)f(x,y) дифференцируема в точке P(x0,y0)P(x0,y0), если для всех точек (x,y)(x,y) в δδ диск вокруг P,P, мы можем записать

    f(x,y,z)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)+E(x,y),f(x ,y,z)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)+E(x,y),

    (4.26)

    , где член ошибки EE удовлетворяет

    lim(x,y)→(x0,y0)E(x,y)(x−x0)2+(y−y0)2=0.lim(x,y)→(x0,y0)E(x, у)(х-х0)2+(у-у0)2=0.

    Последний член в уравнении 4.26 упоминается как член ошибки , и он показывает, насколько близко касательная плоскость подходит к поверхности в малой окрестности (δ(δ disk) точки PP). Чтобы функция ff была дифференцируемой в точке P ,P, функция должна быть гладкой, т. е. график ff должен быть близок к касательной плоскости для точек вблизи P. стр.

    Пример 4,24

    Демонстрация дифференцируемости

    Покажите, что функция f(x,y)=2×2−4yf(x,y)=2×2−4y дифференцируема в точке (2,−3).(2,−3).

    Решение

    Сначала мы вычисляем f(x0,y0),fx(x0,y0)иfy(x0,y0)f(x0,y0),fx(x0,y0)иfy(x0,y0), используя x0=2×0= 2 и y0=-3,y0=-3, то используем уравнение 4.26:

    f(2,−3)=2(2)2−4(−3)=8+12=20fx(2,−3)=4(2)=8fy(2,−3)=−4.f( 2,−3)=2(2)2−4(−3)=8+12=20fx(2,−3)=4(2)=8fy(2,−3)=−4.

    Следовательно, m1=8m1=8 и m2=-4,m2=-4 и уравнение 4.26 становится

    f(x,y)=f(2,−3)+fx(2,−3)(x−2)+fy(2,−3)(y+3)+E(x,y)2×2−4y =20+8(x−2)−4(y+3)+E(x,y)2×2−4y=20+8x−16−4y−12+E(x,y)2×2−4y=8x−4y −8+E(x,y)E(x,y)=2×2−8x+8.f(x,y)=f(2,−3)+fx(2,−3)(x−2)+ fy(2,−3)(y+3)+E(x,y)2×2−4y=20+8(x−2)−4(y+3)+E(x,y)2×2−4y=20 +8x−16−4y−12+E(x,y)2×2−4y=8x−4y−8+E(x,y)E(x,y)=2×2−8x+8.

    Далее вычисляем lim(x,y)→(x0,y0)E(x,y)(x−x0)2+(y−y0)2:lim(x,y)→(x0,y0)E (х,у)(х-х0)2+(у-у0)2:

    lim(x,y)→(x0,y0)E(x,y)(x−x0)2+(y−y0)2=lim(x,y)→(2,−3)2×2−8x+8 (x−2)2+(y+3)2=lim(x,y)→(2,−3)2(x2−4x+4)(x−2)2+(y+3)2=lim (x,y)→(2,−3)2(x−2)2(x−2)2+(y+3)2≤lim(x,y)→(2,−3)2((x −2)2+(y+3)2)(x−2)2+(y+3)2=lim(x,y)→(2,−3)2(x−2)2+(y+ 3)2=0. lim(x,y)→(x0,y0)E(x,y)(x−x0)2+(y−y0)2=lim(x,y)→(2,−3)2×2−8x+8 (x−2)2+(y+3)2=lim(x,y)→(2,−3)2(x2−4x+4)(x−2)2+(y+3)2=lim (x,y)→(2,−3)2(x−2)2(x−2)2+(y+3)2≤lim(x,y)→(2,−3)2((x −2)2+(y+3)2)(x−2)2+(y+3)2=lim(x,y)→(2,−3)2(x−2)2+(y+ 3)2=0.

    Поскольку E(x,y)≥0E(x,y)≥0 для любого значения xory,xory, исходный предел должен быть равен нулю. Следовательно, f(x,y)=2×2−4yf(x,y)=2×2−4y дифференцируемо в точке (2,−3).(2,−3).

    Пропускной пункт 4.21

    Покажите, что функция f(x,y)=3x−4y2f(x,y)=3x−4y2 дифференцируема в точке (−1,2).(−1,2).

    Функция f(x,y)={xyx2+y2(x,y)≠(0,0)0(x,y)=(0,0)f(x,y)={xyx2+y2(x ,y)≠(0,0)0(x,y)=(0,0) не дифференцируема в нуле. Мы можем увидеть это, вычислив частные производные. Эта функция появилась ранее в разделе, где мы показали, что fx(0,0)=fy(0,0)=0.fx(0,0)=fy(0,0)=0. Подставляя эту информацию в уравнение 4.26, используя x0=0x0=0 и y0=0,y0=0, мы получаем

    . f(x,y)=f(0,0)+fx(0,0)(x−0)+fy(0,0)(y−0)+E(x,y)E(x,y) =xyx2+y2.f(x,y)=f(0,0)+fx(0,0)(x−0)+fy(0,0)(y−0)+E(x,y)E (х,у)=хух2+у2.

    Вычисление lim(x,y)→(x0,y0)E(x,y)(x−x0)2+(y−y0)2lim(x,y)→(x0,y0)E(x,y) (x−x0)2+(y−y0)2 дает

    lim(x,y)→(x0,y0)E(x,y)(x−x0)2+(y−y0)2=lim(x,y)→(0,0)xyx2+y2x2+y2= lim(x,y)→(0,0)xyx2+y2.lim(x,y)→(x0,y0)E(x,y)(x−x0)2+(y−y0)2=lim( x,y)→(0,0)xyx2+y2x2+y2=lim(x,y)→(0,0)xyx2+y2.

    В зависимости от пути к исходной точке этот предел принимает разные значения. Следовательно, предела не существует, и функция ff не дифференцируема в начале координат, как показано на следующем рисунке.

    Фигура 4.32 Эта функция f(x,y)f(x,y) не дифференцируема в нуле.

    Дифференцируемость и непрерывность для функций двух и более переменных связаны, как и для функций одной переменной. Фактически, с некоторыми изменениями в обозначениях, основная теорема остается той же.

    Теорема 4.6

    Дифференцируемость подразумевает непрерывность

    Пусть z=f(x,y)z=f(x,y) — функция двух переменных с (x0,y0)(x0,y0) в области определения f.f. Если f(x,y)f(x,y) дифференцируема в (x0,y0),(x0,y0), то f(x,y)f(x,y) непрерывна в (x0,y0). (х0, у0).

    Дифференцируемость подразумевает Непрерывность показывает, что если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в ней. Однако, если функция непрерывна в точке, то она не обязательно дифференцируема в этой точке. Например,

    f(x,y)={xyx2+y2(x,y)≠(0,0)0(x,y)=(0,0)f(x,y)={xyx2+y2(x,y) ≠(0,0)0(х,у)=(0,0)

    непрерывен в нуле, но не дифференцируем в нуле. Это наблюдение также похоже на ситуацию в исчислении с одной переменной.

    Непрерывность первых частей подразумевает дифференцируемость далее исследует связь между непрерывностью и дифференцируемостью в точке. Эта теорема утверждает, что если функция и ее частные производные непрерывны в точке, то функция дифференцируема.

    Теорема 4.7

    Непрерывность первых частей влечет дифференцируемость

    Пусть z=f(x,y)z=f(x,y) — функция двух переменных с (x0,y0)(x0,y0) в области определения f.f. Если f(x,y),f(x,y), fx(x,y),fx(x,y) и fy(x,y)fy(x,y) существуют в окрестности (x0 ,y0)(x0,y0) и непрерывны в точках (x0,y0),(x0,y0), то f(x,y)f(x,y) там дифференцируема.

    Напомним, ранее мы показали, что функция

    f(x,y)={xyx2+y2(x,y)≠(0,0)0(x,y)=(0,0)f(x,y)={xyx2+y2(x,y) ≠(0,0)0(х,у)=(0,0)

    не был дифференцируем в начале координат. Рассчитаем частные производные fxfx и fy:fy:

    ∂f∂x=y3(x2+y2)3/2и∂f∂y=x3(x2+y2)3/2.∂f∂x=y3(x2+y2)3/2и∂f∂y=x3( х2+у2)3/2.

    Контрапозитив предыдущей теоремы утверждает, что если функция не дифференцируема, то по крайней мере одна из гипотез должна быть ложной. Давайте исследуем условие непрерывности fx(0,0)fx(0,0).Чтобы это было правдой, должно быть верно, что lim(x,y)→(0,0)fx(0,0)=fx(0,0):lim(x,y)→(0,0)fx (0,0)=fx(0,0):

    lim(x,y)→(0,0)fx(x,y)=lim(x,y)→(0,0)y3(x2+y2)3/2.lim(x,y)→(0 ,0)fx(x,y)=lim(x,y)→(0,0)y3(x2+y2)3/2.

    Пусть x=ky.x=ky. Затем

    lim(x,y)→(0,0)y3(x2+y2)3/2=известковый→0y3((ky)2+y2)3/2=известковый→0y3(k2y2+y2)3/2=известковый →0y3|y|3(k2+1)3/2=1(k2+1)3/2limy→0|y|y.lim(x,y)→(0,0)y3(x2+y2)3 /2=известковый→0y3((ky)2+y2)3/2=известковый→0y3(k2y2+y2)3/2=известковый→0y3|y|3(k2+1)3/2=1(k2+ 1)3/2известковый→0|у|у.

    Если y>0,y>0, то это выражение равно 1/(k2+1)3/2;1/(k2+1)3/2; если y<0,y<0, то оно равно −(1/(k2+1)3/2).−(1/(k2+1)3/2). В любом случае значение зависит от k,k, поэтому предела не существует.

    Дифференциалы

    В «Линейных приближениях и дифференциалах» мы впервые изучили понятие дифференциалов. Дифференциал y,y, записанный как dy,dy, определяется как f′(x)dx.f′(x)dx. Дифференциал используется для аппроксимации Δy=f(x+Δx)−f(x), Δy=f(x+Δx)−f(x), где Δx=dx.Δx=dx. Распространение этой идеи на линейную аппроксимацию функции двух переменных в точке (x0,y0)(x0,y0) дает формулу полного дифференциала для функции двух переменных.

    Определение

    Пусть z=f(x,y)z=f(x,y) — функция двух переменных с (x0,y0)(x0,y0) в области f,f, и пусть ΔxΔx и ΔyΔy выбраны так что (x0+∆x,y0+∆y)(x0+∆x,y0+∆y) также находится в области ff Если ff дифференцируема в точке (x0,y0),(x0,y0), то дифференциалы dxdx и dydy определяются как

    dx=Δxanddy=Δy. dx=Δxanddy=Δy.

    Дифференциал dz,dz, также называемый полным дифференциалом z=f(x,y)z=f(x,y) в точке (x0,y0),(x0,y0), определяется как

    dz=fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0)dy.dz=fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0)dy.

    (4.27)

    Обратите внимание, что символ ∂∂ не используется для обозначения полного дифференциала; скорее, dd стоит перед zz. Теперь давайте определим Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y).Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y). Мы используем dzdz для аппроксимации Δz, Δz, поэтому

    Δz≈dz=fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0)dy. Δz≈dz=fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0)dy.

    Таким образом, дифференциал используется для аппроксимации изменения функции z=f(x0,y0)z=f(x0,y0) в точке (x0,y0)(x0,y0) при заданных значениях ΔxΔx и Δy .Δу. Поскольку Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y),Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y), это можно использовать в дальнейшем для аппроксимации f( х+Δх,у+Δу):f(х+Δх,у+Δу):

    f(x+Δx,y+Δy)=f(x,y)+Δz≈f(x,y)+fx(x0,y0)Δx+fy(x0,y0)Δy.f(x+Δx,y +Δy)=f(x,y)+Δz≈f(x,y)+fx(x0,y0)Δx+fy(x0,y0)Δy.

    См. следующий рисунок.

    Фигура 4,33 Линейное приближение рассчитывается по формуле Δy)≈f(x,y)+fx(x0,y0)Δx+fy(x0,y0)Δy.

    Одним из таких применений этой идеи является определение распространения ошибок.Например, если мы производим гаджет и ошибаемся на определенную величину при измерении данного количества, дифференциал можно использовать для оценки погрешности общего объема гаджета.

    Пример 4,25

    Аппроксимация дифференциалом

    Найдите дифференциал dzdz функции f(x,y)=3×2−2xy+y2f(x,y)=3×2−2xy+y2 и используйте его для аппроксимации ΔzΔz в точке (2,−3).(2,− 3). Используйте Δx=0,1Δx=0,1 и Δy=-0,05.Δy=-0,05. Каково точное значение Δz?Δz?

    Решение

    Сначала мы должны вычислить f(x0,y0),fx(x0,y0)иfy(x0,y0)f(x0,y0),fx(x0,y0)иfy(x0,y0), используя x0=2×0 =2 и y0=-3:y0=-3:

    f(x0,y0)=f(2,−3)=3(2)2−2(2)(−3)+(−3)2=12+12+9=33fx(x,y)=6x −2yfy(x,y)=−2x+2yfx(x0,y0)=fx(2,−3)=6(2)−2(−3)=12+6=18fy(x0,y0)=fy( 2,−3)=−2(2)+2(−3)=−4−6=−10.f(x0,y0)=f(2,−3)=3(2)2−2(2)(−3)+(−3)2=12+12+9=33fx(x,y)=6x −2yfy(x,y)=−2x+2yfx(x0,y0)=fx(2,−3)=6(2)−2(−3)=12+6=18fy(x0,y0)=fy( 2,−3)=−2(2)+2(−3)=−4−6=−10.

    Затем мы подставляем эти величины в уравнение 4.27:

    dz=fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0)dydz=18(0,1)−10(−0,05)=1,8+0,5=2,3.dz=fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0 )dydz=18(0,1)−10(−0,05)=1,8+0,5=2,3.

    Это приближение к Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0).Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0). Точное значение ΔzΔz равно

    . Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)=f(2+0.1,−3−0,05)−f(2,−3)=f(2,1,−3,05)−f(2,−3)=2,3425.∆z=f(x0+∆x,y0+∆y)−f(x0 ,y0)=f(2+0,1,−3−0,05)−f(2,−3)=f(2,1,−3,05)−f(2,−3)=2,3425.

    Пропускной пункт 4.22

    Найдите дифференциал dzdz функции f(x,y)=4y2+x2y−2xyf(x,y)=4y2+x2y−2xy и используйте его для аппроксимации ΔzΔz в точке (1,−1).(1,− 1). Используйте Δx=0,03,Δx=0,03 и Δy=-0,02.Δy=-0,02. Каково точное значение Δz?Δz?

    Дифференцируемость функции трех переменных

    Все предыдущие результаты о дифференцируемости функций двух переменных можно обобщить на функции трех переменных.Во-первых, определение:

    Определение

    Функция f(x,y,z)f(x,y,z) дифференцируема в точке P(x0,y0,z0)P(x0,y0,z0), если для всех точек (x,y,z )(x,y,z) в δδ-диске вокруг PP мы можем записать

    f(x,y,z)=f(x0,y0,z0)+fx(x0,y0,z0)(x−x0)+fy(x0,y0,z0)(y−y0)+fz(x0, y0,z0)(z−z0)+E(x,y,z),f(x,y,z)=f(x0,y0,z0)+fx(x0,y0,z0)(x−x0) +fy(x0,y0,z0)(y−y0)+fz(x0,y0,z0)(z−z0)+E(x,y,z),

    (4. 28)

    , где терм ошибки E удовлетворяет

    lim(x,y,z)→(x0,y0,z0)E(x,y,z)(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=0.lim(x,y,z)→(x0,y0,z0)E(x,y,z)(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=0.

    Если функция трех переменных дифференцируема в точке (x0,y0,z0),(x0,y0,z0), то она там непрерывна. Кроме того, непрерывность первых частных производных в этой точке гарантирует дифференцируемость.

    Раздел 4.4 Упражнения

    Для следующих упражнений найдите единичный вектор нормали к поверхности в указанной точке.

    163 .

    f(x,y)=x3,(2,−1,8)f(x,y)=x3,(2,−1,8)

    164 .

    ln(xy-z)=0ln(xy-z)=0, когда x=y=1x=y=1

    Для следующих упражнений в качестве полезного обзора методов, использованных в этом разделе, найдите вектор нормали и касательный вектор в точке P.P.

    165 .

    x2+xy+y2=3,P(−1,−1)x2+xy+y2=3,P(−1,−1)

    166 .

    (x2+y2)2=9(x2−y2),P(2,1)(x2+y2)2=9(x2−y2),P(2,1)

    167 .

    xy2−2×2+y+5x=6,P(4,2)xy2−2×2+y+5x=6,P(4,2)

    168 .

    2×3−x2y2=3x−y−7,P(1,−2)2×3−x2y2=3x−y−7,P(1,−2)

    169 .

    zex2-y2-3=0,zex2-y2-3=0, P(2,2,3)P(2,2,3)

    Для следующих упражнений найдите уравнение касательной плоскости к поверхности в указанной точке. ( Подсказка: Найдите zz через xx и y.)y.)

    170 .

    −8x−3y−7z=−19,P(1,−1,2)−8x−3y−7z=−19,P(1,−1,2)

    171 .

    z=-9×2-3y2,P(2,1,-39)z=-9×2-3y2,P(2,1,-39)

    172 .

    x2+10xyz+y2+8z2=0,P(−1,−1,−1)x2+10xyz+y2+8z2=0,P(−1,−1,−1)

    173 .

    z=ln(10×2+2y2+1),P(0,0,0)z=ln(10×2+2y2+1),P(0,0,0)

    174 .

    z=e7x2+4y2,z=e7x2+4y2, P(0,0,1)P(0,0,1)

    175 .

    xy+yz+zx=11,P(1,2,3)xy+yz+zx=11,P(1,2,3)

    176 .

    x2+4y2=z2,P(3,2,5)x2+4y2=z2,P(3,2,5)

    177 .

    x3+y3=3xyz,P(1,2,32)x3+y3=3xyz,P(1,2,32)

    178 .

    г = акси, Р (1,1а, 1) г = акси, Р (1,1а, 1)

    179 .

    z=sinx+siny+sin(x+y),P(0,0,0)z=sinx+siny+sin(x+y),P(0,0,0)

    180 .

    h(x,y)=lnx2+y2,P(3,4)h(x,y)=lnx2+y2,P(3,4)

    181 .

    z=x2−2xy+y2,P(1,2,1)z=x2−2xy+y2,P(1,2,1)

    Для следующих упражнений найдите параметрические уравнения для линии нормали к поверхности в указанной точке. (Напомним, что для нахождения уравнения прямой в пространстве вам нужна точка на прямой P0(x0,y0,z0),P0(x0,y0,z0) и вектор n=〈a,b,c 〉n=〈a,b,c〉, параллельной прямой, тогда уравнение прямой имеет вид x−x0=at,y−y0=bt,z−z0=ct.)x−x0=at,y −y0=bt,z−z0=ct.)

    182 .

    −3x+9y+4z=−4,P(1,−1,2)−3x+9y+4z=−4,P(1,−1,2)

    183 .

    z=5×2−2y2,P(2,1,18)z=5×2−2y2,P(2,1,18)

    184 .

    x2−8xyz+y2+6z2=0,P(1,1,1)x2−8xyz+y2+6z2=0,P(1,1,1)

    185 .

    z=ln(3×2+7y2+1),P(0,0,0)z=ln(3×2+7y2+1),P(0,0,0)

    186 .

    z=e4x2+6y2,P(0,0,1)z=e4x2+6y2,P(0,0,1)

    187 .

    z=x2−2xy+y2z=x2−2xy+y2 в точке P(1,2,1)P(1,2,1)

    Для следующих упражнений используйте рисунок, показанный здесь.

    188 .

    Какому математическому выражению равна длина отрезка ACAC?

    189 .

    Какому математическому выражению равна длина отрезка BCBC?

    190 .

    Используя рисунок, объясните, что представляет собой длина отрезка АВАВ.

    Для следующих упражнений выполните каждое задание.

    191 .

    Покажите, что f(x,y)=exyxf(x,y)=exyx дифференцируема в точке (1,0).(1,0).

    192 .

    Найдите полный дифференциал функции w=eycos(x)+z2.w=eycos(x)+z2.

    193 .

    Покажите, что f(x,y)=x2+3yf(x,y)=x2+3y дифференцируема в каждой точке.Другими словами, покажите, что ,y)=fx∆x+fy∆y+ε1∆x+ε2∆y, где как ε1ε1, так и ε2ε2 стремятся к нулю, когда (∆x,∆y)(∆x,∆y) приближается к (0,0).(0,0).

    194 .

    Найдите полный дифференциал функции z=xyy+xz=xyy+x, где xx изменяется от 10 до 10,510 до 10,5, а yy изменяется от 15 до 13,15 до 13.

    195 .

    Пусть z=f(x,y)=xey.z=f(x,y)=xey. Вычислите ΔzΔz от P(1,2)P(1,2) до Q(1.05,2.1)Q(1.05,2.1), а затем найдите приблизительное изменение zz от точки PP до точки Q.Q. Напомним, что Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y),Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y), а dzdz и ΔzΔz примерно равны .

    196 .

    Объем прямого кругового цилиндра определяется выражением V(r,h)=πr2h.V(r,h)=πr2h. Найдите дифференциал dV.dV. Расшифруйте формулу геометрически.

    197 .

    См. предыдущую проблему. Используйте дифференциалы для оценки объема алюминия в закрытой алюминиевой банке диаметром 8,0 см 8,0 см и высотой 12 см 12 см, если алюминий имеет толщину 0,04 ± 0,04 см.

    198 .

    Используйте дифференциал dzdz для аппроксимации изменения z=4−x2−y2z=4−x2−y2 при перемещении (x,y)(x,y) из точки (1,1)(1,1) в точку ( 1,01,0,97).(1,01,0,97). Сравните это приближение с фактическим изменением функции.

    199 .

    Пусть z=f(x,y)=x2+3xy−y2.z=f(x,y)=x2+3xy−y2. Найдите точное изменение функции и приблизительное изменение функции при изменении xx от 2,00 до 2,052,00 до 2,05 и при изменении yy от 3,00 до 2,96.3,00 до 2,96.

    200 .

    Центростремительное ускорение частицы, движущейся по окружности, определяется формулой a(r,v)=v2r,a(r,v)=v2r, где vv — скорость, а rr — радиус окружности. Приблизительно определите максимальную процентную ошибку измерения ускорения, возникающую из-за ошибок 3%3% в vv и 2%2% в r.r. (Напомним, что процентная ошибка — это отношение суммы ошибки к исходной сумме. Таким образом, в данном случае процентная ошибка в aa определяется как daa.)daa.)

    201 .

    Радиус rr и высота hh прямого кругового цилиндра измерены с возможными погрешностями 4% и 5%, 4% и 5% соответственно. Приблизительно укажите максимально возможную процентную ошибку измерения объема (Напомним, что процентная ошибка — это отношение суммы ошибки к исходной сумме.Таким образом, в этом случае процентная ошибка в VV определяется как dVV.)dVV.)

    202 .

    Радиус основания и высота прямого круглого конуса измеряются как 1010 дюймов и 2525 дюймов соответственно, с возможной погрешностью измерения до 0,10,1 дюйма каждая. Используйте дифференциалы, чтобы оценить максимальную ошибку в расчетном объеме конуса.

    203 .

    Электрическое сопротивление RR, создаваемое параллельным соединением резисторов R1R1 и R2R2, можно рассчитать по формуле 1R=1R1+1R2. 1Р=1Р1+1Р2. Если R1R1 и R2R2 измерены как 7 Ом 7 Ом и 6 Ом, 6 Ом, соответственно, и если эти измерения точны в пределах 0,05 Ом, 0,05 Ом, оцените максимально возможную ошибку при вычислении RR (символ Ω представляет собой ом, единицу измерения электрического сопротивления). сопротивление.)

    204 .

    Площадь эллипса с осями длиной 2a2a и 2b2b находится по формуле

    А=πаб.А=πаб. Приблизительно процентное изменение площади, когда aa увеличивается на 2%2%, а bb увеличивается на 1,5%.1,5%.

    205 .

    Период TT простого маятника с малыми колебаниями вычисляется по формуле T=2πLg,T=2πLg, где LL — длина маятника, а gg — ускорение, возникающее под действием силы тяжести. Предположим, что LL и gg имеют погрешности не более 0,5%0,5% и 0,1%,0,1% соответственно. Используйте дифференциалы для аппроксимации максимальной процентной ошибки в расчетном значении TT

    . 206 .

    Электрическая мощность PP определяется как P=V2R,P=V2R, где VV — напряжение, а RR — сопротивление. Приблизительно максимальная погрешность в процентах при расчете мощности при подаче 120120 ВВ на резистор 2000-Ом2000-Ом и возможные процентные ошибки при измерении ВВ и RR составляют 3%3% и 4%,4% соответственно.

    Для следующих упражнений найдите линейную аппроксимацию каждой функции в указанной точке.

    207 .

    f(x,y)=xy,P(1,4)f(x,y)=xy,P(1,4)

    208 .

    f(x,y)=excosy;P(0,0)f(x,y)=excosy;P(0,0)

    209 .

    f(x,y)=arctan(x+2y),P(1,0)f(x,y)=arctan(x+2y),P(1,0)

    210 .

    f(x,y)=20−x2−7y2,P(2,1)f(x,y)=20−x2−7y2,P(2,1)

    211 .

    f(x,y,z)=x2+y2+z2,P(3,2,6)f(x,y,z)=x2+y2+z2,P(3,2,6)

    212 .

    [T] Найти уравнение касательной плоскости к поверхности f(x,y)=x2+y2f(x,y)=x2+y2 в точке (1,2,5),(1,2, 5) и начертите поверхность и касательную плоскость в точке.

    213 .

    [T] Найдите уравнение касательной плоскости к поверхности в указанной точке и постройте график поверхности и касательной плоскости: z=ln(10×2+2y2+1),P(0,0,0). z=ln(10×2+2y2+1),P(0,0,0).

    214 .

    [T] Найти уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y)=sin(x+y2)z=f(x,y)=sin(x+y2) в точке (π4 ,0,22),(π4,0,22) и изобразите поверхность и касательную плоскость.

    Как найти точку касания кривой или окружности?

    Подтверждено

    Мухаммад Хассан

    Уроки ProOnline

    Опытный, преданный своему делу, упорный, умелый преподаватель и аспирант Университета Сент-Эндрюс Сент-Эндрюс.Я получил степень бакалавра электронной инженерии (BE) и магистра электротехники (ME) в Национальном университете науки и технологий (NUST), Пакистан (358-е место в рейтинге QS World University 2022 и 74-е место в рейтинге азиатских университетов QS 2022). Я высший обладатель сертификата CGPA и золотой медалист программы последипломного образования NUST. После окончания магистратуры я присоединился к NUST в качестве научного сотрудника и проработал там более 3 лет на аналогичной должности. Я также преподавал в качестве адъюнкт-преподавателя (лектора) в различных университетах Пакистана, таких как Институт технологий и предпринимательства Карачи (KITE) и Институт коммуникаций и экономики Ньюпорта (NICE).Кроме того, у меня есть некоторый опыт онлайн-обучения, и я работала преподавателем в SkillUp Academy в Южной Африке. Я умею преподавать математику, физику, инженерное дело (электроника/электротехника) и компьютерные науки. Я также имею право читать Священный Коран с таджвидом. Короче говоря, у меня большой опыт преподавания на уровне выпускников, и я полностью вооружен такими навыками, которые очень помогут вам улучшить свои оценки. Моя философия преподавания довольно проста, чтобы мои ученики начали думать.В забавной форме я призываю своих учеников думать вместе со мной. Как только они начинают вести себя таким образом, они сами обнаруживают, что способны двигаться вперед и достигать своих целей. Дополнительное примечание: Если вы хотите, чтобы я организовал бесплатное 20-минутное введение для вас, чтобы вы лучше познакомились со мной перед первым платным уроком, вы можете поговорить со мной. Во введении я постараюсь больше узнать о вас, вашей доступности, вашем предмете и плане курса, чтобы я мог организовать ваши уроки в соответствии с вашими потребностями.

    Примеры Wolfram|Alpha: касательные и нормали


    Секущие линии

    Найдите секущую к кривой.

    Найдите секанс графика функции через две точки:

    Вычислить наклон секущей уравнения через две заданные точки:

    Еще примеры


    Касательные линии

    Найти касательную к кривой.

    Найдите касательную к графику функции в точке:

    Найдите касательную к кривой, заданной уравнением:

    Еще примеры


    Касательные плоскости

    Найдите плоскость, касательную к поверхности в 3D.

    Найдите касательную плоскость к поверхности:

    Еще примеры


    Касательные гиперплоскости

    Найдите гиперплоскость, касающуюся абстрактной поверхности.

    Найдите касательную гиперплоскость:

    Еще примеры


    Нормальные линии

    Найдите прямую, перпендикулярную касательной к уравнению в точке.

    Найдите нормаль к графику функции в точке:

    Найдите нормаль к кривой, заданной уравнением:

    Найдите нормаль к поверхности:

    Еще примеры

    Мы не можем найти эту страницу

    (* {{l10n_strings. REQUIRED_FIELD}})

    {{l10n_strings.CREATE_NEW_COLLECTION}}*

    {{l10n_strings.ADD_COLLECTION_DESCRIPTION}}

    {{l10n_strings.COLLECTION_DESCRIPTION}} {{addToCollection.description.length}}/500 {{l10n_strings.TAGS}} {{$элемент}} {{l10n_strings.ПРОДУКТЫ}} {{l10n_strings.DRAG_TEXT}}

    {{l10n_strings.DRAG_TEXT_HELP}}

    {{l10n_strings. LANGUAGE}} {{$выбрать.выбранный.дисплей}}

    {{article.content_lang.display}}

    {{l10n_strings.АВТОР}}

    {{l10n_strings.AUTHOR_TOOLTIP_TEXT}}

    {{$выбрать.выбранный.дисплей}} {{l10n_strings.CREATE_AND_ADD_TO_COLLECTION_MODAL_BUTTON}} {{l10n_strings.CREATE_A_COLLECTION_ERROR}}

    Мэтуэй | Популярные проблемы

    1 Найти производную — d/dx натуральное бревно х
    2 Оценить интеграл интеграл натурального логарифма x относительно x
    3 Найти производную — d/dx е^х
    4 Оценить интеграл интеграл от e^(2x) по x
    5 Найти производную — d/dx 1/х
    6 Найти производную — d/dx х^2
    7 Найти производную — d/dx 1/(х^2)
    8 Найти производную — d/dx грех(х)^2
    9 Найти производную — d/dx сек(х)
    10 Оценить интеграл интеграл от e^x по x
    11 Оценить интеграл интеграл от x^2 относительно x
    12 Оценить интеграл интеграл квадратного корня из x относительно x
    13 Найти производную — d/dx кос(х)^2
    14 Оценить интеграл интеграл от 1/х по отношению к х
    15 Оценить интеграл интеграл от sin(x)^2 по x
    16 Найти производную — d/dx х^3
    17 Найти производную — d/dx сек(х)^2
    18 Оценить интеграл интеграл от cos(x)^2 по x
    19 Оценить интеграл интеграл от sec(x)^2 по x
    20 Найти производную — d/dx е^(х^2)
    21 Оценить интеграл интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x
    22 Найти производную — d/dx грех(2x)
    23 Найти производную — d/dx загар(х)^2
    24 Оценить интеграл интеграл от 1/(x^2) относительно x
    25 Найти производную — d/dx 2^х
    26 График натуральное бревно
    27 Найти производную — d/dx cos(2x)
    28 Найти производную — d/dx хе^х
    29 Оценить интеграл интеграл 2х по отношению к х
    30 Найти производную — d/dx (натуральный логарифм x)^2
    31 Найти производную — d/dx натуральный логарифм (x)^2
    32 Найти производную — d/dx 3x^2
    33 Оценить интеграл интеграл от xe^(2x) по x
    34 Найти производную — d/dx 2е^х
    35 Найти производную — d/dx натуральное бревно 2x
    36 Найти производную — d/dx -грех(х)
    37 Найти производную — d/dx 4x^2-x+5
    38 Найти производную — d/dx y=16 Корень четвертой степени из 4x^4+4
    39 Найти производную — d/dx 2x^2
    40 Оценить интеграл интеграл от e^(3x) по x
    41 Оценить интеграл интеграл от cos(2x) по x
    42 Найти производную — d/dx 1/(корень квадратный из х)
    43 Оценить интеграл интеграл от e^(x^2) по x
    44 Оценить е^бесконечность
    45 Найти производную — d/dx х/2
    46 Найти производную — d/dx -cos(x)
    47 Найти производную — d/dx грех(3x)
    48 Найти производную — d/dx 1/(х^3)
    49 Оценить интеграл интеграл от tan(x)^2 относительно x
    50 Оценить интеграл интеграл от 1 по х
    51 Найти производную — d/dx х^х
    52 Найти производную — d/dx х натуральное бревно х
    53 Найти производную — d/dx х^4
    54 Оценить предел предел, когда x приближается к 3 из (3x-5)/(x-3)
    55 Оценить интеграл интеграл x^2 натуральный логарифм x относительно x
    56 Найти производную — d/dx f(x) = квадратный корень из x
    57 Найти производную — d/dx х^2sin(x)
    58 Оценить интеграл интеграл от sin(2x) по x
    59 Найти производную — d/dx 3е^х
    60 Оценить интеграл интеграл от xe^x по x
    61 Найти производную — d/dx у=х^2
    62 Найти производную — d/dx квадратный корень из x^2+1
    63 Найти производную — d/dx грех(х^2)
    64 Оценить интеграл интеграл от e^(-2x) по x
    65 Оценить интеграл интеграл натурального логарифма квадратного корня из х по отношению к х
    66 Найти производную — d/dx е^2
    67 Найти производную — d/dx х^2+1
    68 Оценить интеграл интеграл от sin(x) по x
    69 Найти производную — d/dx угловой синус(х)
    70 Оценить предел предел, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x
    71 Оценить интеграл интеграл от e^(-x) по x
    72 Найти производную — d/dx х ^ 5
    73 Найти производную — d/dx 2/х
    74 Найти производную — d/dx натуральное бревно 3x
    75 Найти производную — d/dx х^(1/2)
    76 Найдите производную — d/[email protected] f(x) = квадратный корень из x
    77 Найти производную — d/dx потому что (х^2)
    78 Найти производную — d/dx 1/(х^5)
    79 Найти производную — d/dx кубический корень из x^2
    80 Оценить интеграл интеграл от cos(x) по x
    81 Оценить интеграл интеграл от e^(-x^2) по x
    82 Найдите производную — d/[email protected] ф(х)=х^3
    83 Оценить интеграл интеграл от 0 до 10 от 4x^2+7 относительно x
    84 Оценить интеграл интеграл от (натуральный логарифм x)^2 по отношению к x
    85 Найти производную — d/dx лог х
    86 Найти производную — d/dx арктан(х)
    87 Найти производную — d/dx натуральное бревно 5x
    88 Найти производную — d/dx 5е^х
    89 Найти производную — d/dx cos(3x)
    90 Оценить интеграл интеграл от x^3 относительно x
    91 Оценить интеграл интеграл от x^2e^x относительно x
    92 Найти производную — d/dx 16 Корень четвертой степени из 4x^4+4
    93 Найти производную — d/dx х/(е^х)
    94 Оценить предел предел, когда x приближается к 3 из arctan(e^x)
    95 Оценить интеграл интеграл от (e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x)) по x
    96 Найти производную — d/dx 3^х
    97 Оценить интеграл интеграл от xe^(x^2) по x
    98 Найти производную — d/dx 2sin(x)
    99 Оценить сек(0)^2
    100 Найти производную — d/dx натуральный логарифм x^2
    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.

    2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
    тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск