Комбинаторные задачи 6 класс: Комбинаторные задачи 6 класс — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 14.09.201919.04.2021 by alexxlab

Содержание

Комбинаторные задачи. 6-й класс

Цели:

Образовательная – ознакомить учащихся с методами решения комбинаторных задач; научить применять методы полного перебора всех возможных вариантов и умножения.
Развивающая – развивать логическое мышление, интерес к изучению математики. грамотную математическую речь.
Воспитательная – воспитывать внимание и аккуратность в оформлении заданий.

Тип урока: изучение нового материала

Оборудование: доска, учебники, компьютер, проектор, презентация к уроку (образец в приложении)

План урока:

1. Организационный момент. Приветствие.
2. Изучение нового материала.
3. Рефлексия. Закрепление.
4. Итоги урока.

ХОД УРОКА

1. Приветствие.

2. Цели для учащихся:

изучить понятие «комбинаторика»,
рассмотреть методы решения комбинаторных задач,
научиться применять методы решения в различных ситуациях,
развить внимание и аккуратность в оформлении заданий.

А) Введение понятия комбинаторика. (Приложение 1, слайд 2)

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Б) Что значит решить комбинаторную задачу. (Приложение 1, слайд 3)

Решить комбинаторную задачу – это значит выписать все возможные комбинации, составленные из чисел, слов, предметов и др., отвечающих условию задачи.

В разделе представлены комбинаторные задачи на размещение, сочетание, перестановки с повторением и без повторения элементов.

Используется естественный, доступный детям всех возрастов метод решения комбинаторных задач с помощью непосредственного перебора возможных вариантов (комбинаций).

В) Решение задачи методом полного перебора всех возможных вариантов. (Приложение 1, слайд 4)

Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1; 4; 7?

Решение: Для того, чтобы не пропустить и не повторить ни одного из чисел, будем выписывать их в порядке возрастания:
11; 14; 17; (начали с 1)
41; 44; 47; (начали с 4)
71; 74; 77; (начали с 7)

Таким образом, из трёх данных цифр можно составить всего 9 различных двузначных чисел.

Ответ: 9 чисел.

3. Решение задач методом полного перебора на доске и в тетрадях. (Приложение 1, слайд 5)

Сколько трёхзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 5?
В школе проводятся соревнования по хоккею. В качестве призов решили использовать мячи, ракетки, клюшки и шайбы. Сколько различных призов можно составить из этих предметов, если каждому победителю решено давать по 2 разных предмета?
В четверг в первом классе должно быть 3 урока: русский язык, математика и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день?

4. Решение задач с помощью дерева возможных вариантов на доске и в тетрадях. (Приложение 1

, слайд 6)

Существует общий подход к решению самых разных комбинаторных задач с помощью составления специальных схем. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда название – дерево возможных вариантов. При правильном построении дерева ни один из возможных вариантов решения не будет потерян.

5. Задача. (Приложение 1, слайд 7)

Рассмотрим задачу о составлении трехзначных чисел из цифр 1; 4; 7. Для её решения построим схему-дерево возможных вариантов, которое наглядно показывает решение задачи.

6. Решение задач с использованием дерева возможных вариантов на доске и в тетрадях. (Приложение 1, слайд 8)

В костюмерной танцевального кружка имеются жёлтые и зелёные кофты, а также синие и чёрные юбки. Сколько можно из них составить различных костюмов.

Сколькими способами три друга могут разделить между собой 2 банана, 2 груши и 2 персика так, чтобы каждый получил по два каких-нибудь плода?
Служитель зоопарка должен дать зайцу два различных овоща. Запишите все такие пары, если имеются морковь, свекла и капуста.
Из 4 ребят надо выделить двоих для дежурства по классу. Сколькими способами это можно сделать?
Наташа хочет сделать аппликацию на платье из двух цветных вертикальных полос. Из скольких вариантов придётся выбирать Наташе, если у неё есть материя жёлтого, красного и синего цвета?

7. Правило умножения в комбинаторных задачах. (Приложение 1, слайд 9)

Для комбинаторной задачи с умножением можно построить дерево вариантов, но такое дерево строить станет намного сложнее, именно поэтому используется метод умножения, чтобы запись была короче.
Рассмотрим этот метод на примере одной задачи:

На обед в школьной столовой предлагается 2 супа, 3 вторых блюда и 4 разных сока. Сколько различных обедов можно составить по предложенному меню?

Суп 2 Вторые блюда 3 Сок 4

Решение: 2 x 3 x 4 = 24

Ответ: Можно составить 24 варианта различных обедов.

8. Решение задач с использованием дерева возможных вариантов на доске и в тетрадях. (Приложение 1, слайд 10)

В костюмерной танцевального кружка имеются жёлтые и зелёные кофты, а также синие и чёрные юбки. Сколько можно из них составить различных костюмов.
Сколькими способами три друга могут разделить между собой 2 банана,2 груши и 2 персика так, чтобы каждый получил по два каких-нибудь плода?
Служитель зоопарка должен дать зайцу два различных овоща. Запишите все такие пары, если имеются морковь, свекла и капуста.
Из 4 ребят надо выделить двоих для дежурства по классу. Сколькими способами это можно сделать?
Наташа хочет сделать аппликацию на платье из двух цветных вертикальных полос. Из скольких вариантов придётся выбирать Наташе, если у неё есть материя жёлтого, красного и синего цвета?

9. Перестановки в комбинаторных задачах.

(Приложение 1, слайд 11)

В комбинаторике часто приходиться решать задачу о том, сколькими способами можно расположить в ряд или, как говорят математики, упорядочить все элементы некоторого множества. Каждое из таких расположений называют перестановкой.

Задача. В турнире участвуют четыре человека. Сколькими способами могут быть распределены места между ними?

Решение: первое место может занять любой из 4 участников. При этом второе место может занять любой из трёх оставшихся, третье – любой из двух оставшихся, а на четвёртом месте остаётся последний участник.
Значит, места между участниками могут быть распределены следующим образом

4 • 3 • 2 • 1 = 24.

Ответ: 24 способами.

10. Решите задачу на перестановки. (

Приложение 1, слайд 12)

Задача. Андрей, Борис и Василий входят в комнату по одному. Сколько у них есть способов это сделать?

Решение. Пусть первым войдёт Андрей, но тогда вторым может войти Борис или Василий, то есть имеются две возможности. Аналогично есть две возможности, если первым войдёт Борис и если первым войдёт Василий. Таким образом 6 возможностей.

Ответ: 6 способов.

11. Итог урока

Вспомним цели нашего урока:

изучить понятие «комбинаторика»,
рассмотреть методы решения комбинаторных задач,
научиться применять методы решения в различных ситуациях,
развить внимание и аккуратность в оформлении заданий.

– Как мы их реализовали? (

Приложение 1, слайд 13)

Урок математики в 6 классе «Правило умножения для комбинаторных задач», ФГОС

II Всероссийский конкурс для учителей математики «Технологическая карта урока»

Технологическая карта урока по теме: ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ ДЛЯ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ

Класс: 6

Учитель: Колесова Жанна Валерьевна

ОО: МОУ «Школа № 2 р. п. Новые Бурасы Новобурасского района Саратовской области им. Героя Советского Союза М. С. Бочкарева»

УМК: И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович

Тип урока: закрепление новых знаний и способов действий.

Цель деятельности учителя: создать условия для формирования представлений о комбинаторных задачах, переборе всех возможных вариантов, дереве возможных вариантов, правиле умножения для комбинаторных задач.

Планируемые результаты изучения темы:

Личностные: осознают важность и необходимость знаний для человека.

Предметные: умеют, перебирая все возможные варианты, решать простейшие комбинаторные задачи, передавать информацию сжато, полно, выборочно, решать комбинаторные задачи, применяя правило умножения.

Метапредметные результаты изучения темы (универсальные учебные действия):

Познавательные: ориентируются на разнообразие способов решения задач;

Регулятивные: учитывают правило в планировании и контроле способа решения;

Коммуникативные: считаются с разными мнениями и стремятся к координации различных позиций в сотрудничестве; умеют участвовать в диалоге, понимают точку зрения собеседника, признают право на свое мнение, развернуто обосновывают суждение.

Презентация к уроку

Технология проведения

Деятельность

учеников

Деятельность

учителя

Задания для учащихся, выполнение которых приведёт к достижению запланированных результатов

УУД

I. Мотивация к учебной деятельности

Цели: -проверка готовности обучающихся, их настроя на работу

Подготовка учащихся к уроку. Отвечают на вопрос: комбинаторика — ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов, возникла в ХII веке.

Организует учащихся. Проверяет готовность обучающихся к уроку, настраивает на работу.

Здравствуйте, ребята!

В курсе математики 5-го класса и на прошлом уроке мы познакомились с таким разделом математики как комбинаторика. Вспомните, что такое комбинаторика? СЛАЙД 2.

Очень часто в жизни приходится делать выбор, принимать решение. Это сделать очень трудно не потому, что его нет или оно одно и поэтому его трудно найти, а потому, что приходится выбирать из множества возможных вариантов, различных способов, комбинаций.

И нам всегда хочется, чтобы этот выбор был оптимальный.

Задачи, которые мы сегодня будем решать, помогут вам творить, думать необычно, оригинально, смело, видеть то,

мимо чего вы часто проходили не замечая, любить неизвестное, новое; преодолевать трудности и идти через невозможное вперед.

Девизом нашего урока сегодня станет древняя китайская мудрость: СЛАЙД 3

Скажи мне – и я забуду,

Покажи мне – и я запомню,

Вовлеки меня – и я запомню.

Личностные: самоопределение;

Регулятивные: целеполагание;

Коммуникативные:планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками

II Актуализация знаний

Цель: обобщить знания по теме

Устная работа.

Отвечают на вопросы учителя

(с историей развития комбинаторики учащиеся познакомились на предыдущем уроке. Приложение 1.)

Организует устную работу. Следит за правильностью рассуждений.

Когда возникла комбинаторика?

Где применялись комбинаторные задачи?

Назовите фамилии ученых, которым принадлежат первые научные исследования в области комбинаторики?

Может ли комбинаторика помочь в реальной жизни?

Как часто люди комбинируют что-либо?

Какими способами мы умеем решать комбинаторные задачи? (перебор, дерево возможны вариантов, правило треугольника, правило умножения и др.)

В чем заключается правило решения задач с помощью дерева вариантов?

Решите задачу, составив дерево возможных вариантов: Из чисел 1,5, 9 составить трехзначные числа, при условии, что цифры не должны повторяться. Сколько получится чисел? СЛАЙД 4.

В чем заключается правило умножения?

У вас на парте лежат полоски красного, белого и синего цвета. Соберите, пожалуйста, флаг Российской Федерации.

Как вы расположили полоски?

А какое значение имеют цвета флага нашей страны?

(белый — благородство, синий – честность, красный – смелость) СЛАЙД 5

Флаги каких стран также состоят из полос красного, белого, синего цвета? (Франции, Голландии) СЛАЙД 6

Они отличаются от флага России? Чем? (расположением полос)

Замечательно, что вы хорошо знаете флаг своей Родины!

Интересно, сколькими способами можно составить

флаг из горизонтальных и вертикальных полос белого, красного и синего цвета? Решите задачу с помощью правила умножения. СЛАЙД 7.

Личностные: умение структурировать знания, выбор наиболее эффективных способов решения задания, умение осознанно и произвольно

Регулятивные: целеполагание;

Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками

III Решение задач

1) Работа в группах

Цели:-. Составление плана работы

2) Работа с интерактивной доской

Разбиваются в группы.

Ставят цели, формулируют (уточняют) план работы

Ставят цели, формулируют (уточняют) способы выполнения работы

Уточняет понимание учащимися поставленных целей урока.

Выдвигает проблему.

Организует: проверку выполнения упражнения; беседу по уточнению знаний; оценочные высказывания обучающихся; обсуждение способов решения;

Класс разбивается на пять групп. Каждой группе предлагается решить задачу и представить ее решение на доске для остальных групп. (Приложение 2).Повторяют правила работы в группе СЛАЙД 8.

1 группа. Участники лыжных соревнований стартуют с интервалом в 30 секунд. Чтобы определить порядок старта, спортсмены тянут жребий, указывающий номер старта. Сколько существует различных последовательностей выхода лыжников на старт, если в соревнованиях принимают участие 6 лыжников? Через какой промежуток времени все спортсмены будут на лыжне?

2 группа. Проказница-Мартышка,

Осел, Козел,

Да косолапый Мишка

Затеяли квартет.

Ударили в смычки,

дерут, а толку нет.

«Стойте, братцы, стой! –

кричит Мартышка.

– Погодите!

Как музыке идти?

Ведь Вы не так сидите…»

Сколькими различными способами могут музыканты, герои басни И. А. Крылова, сесть в один ряд?

3 группа. В субботу в 6 классе 5 уроков: физкультура, русский язык, литература, ИЗО, математика. Сколько можно ставить вариантов расписания на день? Сколько можно составить вариантов расписания на день, зная, что математика – последний урок?

4 группа. Путешественник хочет выехать на своей машине из города А, посетить города В, С и D, после чего вернуться в город А. Какими путями можно это сделать? На рисунке дана схема путей, связывающих города. Какой из вариантов самый оптимальный?

5 группа. Хоккейная комбинация. На поле 5 игроков. Начал комбинацию игрок № 1, продолжили игроки с другими номерами, а забил гол игрок № 5. Каждый хоккеист ударил по шайбе только один раз. На рисунке с помощью стрелок изображен один из возможных вариантов передачи шайбы между игроками в данной комбинации. Изобразите все другие возможные варианты передачи шайбы.

Решение:

1-я группа.

Первому лыжнику достанется 6 вариантов выбора номера. Второму – 5 и т. д.

Итого: 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 720. Все лыжники будут на лыжне через 150 с, то есть через 2,5 мин.

2-я группа.

Всего вариантов может быть 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24.

3-я группа.

Всего расписаний на день можно составить 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120.

Если математика стоит последней, то всего расписаний 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24.

4-я группа.

Маршрут ABCDA = 300 + 350 + 400 + 500 = 1500

Маршрут ACDBA = 200 + 400 + 400 + 300 = 1300

Маршрут ACBDA = 200 + 350 + 400 + 500 = 1450

Маршрут ABDCA = 300 + 400 + 400 + 200 = 1300

Маршрут ADBCA = 500 + 400 + 350 + 200 = 1450

Ответ: Самый оптимальный маршрут ACDBA или ABDCA.

5-я группа.

Если игроки под номерами 1 и 5 неизменны, то меняем местами игроков с номерами 2, 3, 4. Таких комбинаций возможно 6. Значит, всего 7 комбинаций

Фронтальная работа класс на интерактивной доске с цифровым образовательным ресурсом Комбинаторика-1 http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/10e5a6e1-3646-45dd-8078-7a4f1e41b1d7 /%5BA79_07-01-KT05%5D_%5BQS_00%5D/%5BA79_07-01-KT05%5D_%5BQS_00%5D.html

Правильные ответы:

Познавательные: самостоятельное выделение-формулирование познавательной цели, формулирование проблемы.

Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками

Регулятивные: целеполагание

Регулятивные: целеполагание;

Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками

IV. Самостоятельная работа

Цель:

-осознание каждым обучающимся степени овладения знаниями

Осуществляют: самооценку; самопроверку; взаимопроверку; предварительную оценку.

Контролирует выполнение работы.

Осуществляет:

-индивидуальный контроль;

-выборочный контроль.

Физкультминутка. Раз, два, три, четыре, пять –

СЛАЙД 9. Все умеем мы считать.

Раз! Подняться, потянуться.

Два! Согнуться, разогнуться.

Три! В ладоши три хлопка,

Головою три кивка.

На четыре – руки шире.

Пять – руками помахать.

Шесть — за парту мы присели.

Значит, хватит отдыхать!

Самостоятельная работа. (работа с учебником)

СЛАЙД 10.

Вариант 1. № 504 Ответ: 64, 24

Вариант 2. № 506 Ответ: 48, 18

Регулятивные: контроль, коррекция, выделение и осознание того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения.

Личностные: самоопределение

V. Рефлексия

Цели:- соотнесение поставленных задач с достигнутым результатом

Формулируют конечный результат своей работы на уроке.

Отмечает степень вовлеченности учащихся
в работу на уроке.

Притча. СЛАЙД 11.

Шел мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и задал вопрос каждому. У первого спросил: «А что ты делал целый день?». И тот с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни. У второго мудрец спросил: «А что ты делал целый день?», и тот ответил: «А я добросовестно выполнил свою работу». А третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием: «А я принимал участие в строительстве храма!»

— Ребята! Давайте мы попробуем с вами оценить каждый свою работу за урок.

— Кто работал как первый человек?

— Кто работал добросовестно?

— Кто принимал участие в «строительстве храма»?

В конце урока подводится итог работы, уровень достижения цели:

Сегодня на уроке я научился:

Мне было интересно…

Мне было трудно:

Я понял, что:

Больше всего мне понравилось (не понравилось):

Своей работой на уроке я доволен (не совсем, не доволен), потому что:

Коммуникативные: умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.

Познавательные: рефлексия

Личностные: смыслообразование

Дает комментарий к домашнему заданию.

Домашнее задание: СЛАЙД 12. придумать комбинаторную задачу прикладного характера; решить № 503, 514.

Приложение 1.

Из истории развития комбинаторики.

Комбинаторика, ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов, возникла в ХII веке.

Еще в доисторическую эпоху люди сталкивались с комбинаторными задачами. Выбрать и расположить предметы в определенном порядке, отыскать среди разных расположений наилучшее – вот задачи, решаемые в быту, на охоте или в сражениях. Некоторые элементы комбинаторики были известны в Индии еще во II в. до н. э. Индийцы умели вычислять числа, которые сейчас называют «сочетания». Комбинаторные задачи встречались в качестве игр в часы досуга. Наряду с состязаниями в беге, метании диска, кулачными боями появлялись игры, требовавшие умения мыслить, рассчитывать, составлять планы и опровергать планы противника. Со временем игры успожнились: появились нарды, карты, шашки и шахматы. В таких играх приходилось рассчитывать различные ситуации, комбинации сочетания фигур.

При тайных переписках дипломаты стали применять шифры, которые были основаны на различных перестановках букв, чисел, заменах букв с использованием ключевых слов и т. д.

Комбинаторика как наука стала развиваться в ХIII в. параллельно с возникновением теории вероятностей. Первые научные исследования по этой теме принадлежат итальянским ученым Дж. Кардано, Н. Тарталье (ок. 1499-1557), Г. Галилею (1564—1642) и французским ученым Б. Паскалю (1623-1662) и П. Ферма. Комбинаторику как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666 г. Он также впервые ввел термин «комбинаторика». Значительный вклад в развитие комбинаторики внес Леонард Эйлер. Современная символика сочетаний была предложена разными авторами учебных руководств только в ХIХ в.

Комбинаторика используется для составления и декодирования шифров, а также решения других проблем теории информации.

Приложение 2

Задания для групп.

2 группа. Проказница-Мартышка,

Осел, Козел,

Да косолапый Мишка

Затеяли квартет.

Ударили в смычки,

дерут, а толку нет.

«Стойте, братцы, стой! –

кричит Мартышка.

– Погодите!

Как музыке идти?

Ведь Вы не так сидите…»

Сколькими различными способами могут музыканты, герои басни И. А. Крылова, сесть в один ряд?

Решение нестандартных задач. Комбинаторика.

Дата: 17.02.2015

Автор: Коновалова Валентина Михайловна

Предмет: Математика.

Класс: 2.

Тема: «Решение нестандартных задач. Комбинаторика».

Цель: организовать деятельность по формированию новых способов решения задач комбинаторного содержания.

Задачи:

Образовательные: формировать умение решать комбинаторные задачи разными способами: «дерево возможностей», перебор вариантов, граф, таблица.

Развивающие: развивать умение сравнивать, анализировать, обобщать и делать выводы; развивать внимание, наблюдательность, воображение; развивать математически грамотную речь.

Воспитательные:

воспитывать самостоятельность, усидчивость, трудолюбие, целеустремленность; воспитывать уважение к мнению других.

Оборудование:

— телевизор,

— аннотация к мультфильму «Алёша Попович и Тугарин Змей»,

— карточка с заданиями,

— бланк решения.

Ход занятия:

1 ведущий:

— Сегодня мы совершим путешествие в раздел математики «Комбинаторика» вместе с героями известного мультфильма. Чтобы узнать, как зовут главного героя этого мультфильма, нужно выполнить следующее задание.

Задание 1. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 составьте нечётные двузначные числа, так чтобы цифры в записи числа не повторялись. Расположи их в порядке убывания. Решите задачу с помощью «дерева возможностей».

— Прочитайте задание. Что требуется сделать? (Составить двузначные числа из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6.)

— Какими должны быть составленные нами числа? (Нечетными.)

— Какие двузначные числа называются нечетными? (Нечетными называют числа, которые оканчиваются на нечетную цифру)

— Какие у нас нечетные цифры? (1, 3 и 5). Мы их поставим в разряде единиц.

— Какие цифры будут стоять на месте десятков? (2, 4, 6)

— Запишите эти числа с помощью «дерева возможностей»

(21, 23, 25, 41, 43, 45, 61, 63, 65)

— Что в задании требуется сделать с полученными числами? (Расположить их в порядке убывания)

— Какое число будет первым в ряду: наибольшее или наименьшее? (65)

— Выложите полученный ряд чисел: 65, 63, 61, 45, 43, 41, 25, 23, 21 (пригласить родителя или ученика)

— Перевернув карточки, получаем слово…? ( АЛЕША ПОВИ ). Какие буквы надо добавить, чтобы получилось имя? (П, О, Ч)

2 ведущий:

— Вспомним сюжет мультфильма: http://afisha.mail.ru/cinema/movies/496133_alesha_popovich_i_tugarin_zmej/#trailer

— Назовите главных героев этого мультфильма. (Алёша Попович, Тихон, Тугарин Змей, Любава, бабуля Любавы, конь богатырский Юлий и ослик Моисей)

— В поисках золота герои приходят к обрыву, Им необходимо перебраться на другую сторону.

Задание 2. В какой последовательности герои могут перебраться на другой берег, если бабуля возьмет на руки Любаву и Моисея, а Тихон по бревну не пойдет, так как боится высоты? Сколько всего способов существует? Решите задачу с помощью таблицы.

— Кто из героев будет идти по бревну? (Алеша, Юлий и бабуля). Обозначим их буквами А, Ю, Б.

— Кто может пойти первым? (Либо Алеша, либо Юлий, либо бабуля.)

— Найдем сколько всего способов существует с помощью таблицы:

Первый	А	А	Ю	Ю	Б	Б
Второй	Б	Ю	А	Б	А	Ю
Третий	Ю	Б	Б	А	Ю	А

— Всего 6 способов. Герои благополучно переправились на другой берег.

3 ведущий:

Задание 3. На пути героев встретился камень волшебный, показывающий три дороги: 1, 2, 3. Алеше пришлось пройти по всем дорогам. Сколько различных вариантов прохождения этих дорог существует? Решите задачу перебором.

— Какие цифры используем? (1, 2, 3)

— Проверьте решение. Возможны варианты: 123, 132, 213, 231, 312, 321 (6 вариантов)

4 ведущий:

— По сюжету Любаву захватил Тугарин змей. На время золото оставили на сохранность в Киеве. Освободил Алеша с друзьями Любаву, связали Тугарина и отправились в Киев за золотом ростовским.

Задание 4. На гору до Киева ведут 3 дороги, с горы – 1 дорога. Сколькими способами Тихон вместе с бабулей могут попасть в Киев? Решите с помощью графа.

— Решите самостоятельно.

— Проверим решение с помощью графа: на гору до Киева ведут 3 дороги, с горы – 1 дорога. Героям нужно и подняться на гору, и спуститься с горы. Это можно сделать 3 способами.

5 ведущий.

— Хитрый князь не хочет возвращать золото. Он придумал, что перепутались ключи от хранилища. Помогите героям найти нужный ключ.

Задание 5. В связке 7 ключей. Нужно открыть 5 замков. Какое максимальное количество попыток нужно сделать князю, чтобы узнать, какой ключ подходит к каждому замку? Решите задачу с помощью таблицы.

— Что значит максимальное количество? (самое большое)

— Сколько ключей было в связке? (В связке было 7 ключей)

— Сколько замков нужно открыть? (Нужно открыть 5 замков)

— Что требуется узнать в задаче? (Сколько попыток нужно сделать)

— Решим задачу самостоятельно.

— Проверим. Подбирая ключ к первому замку, сколько попыток сделаем? Почему? (Сделаем 7 попыток, так как в связке 7 ключей)

— Внесем число 7 в столбец № 1. Подобрав ключ, мы знаем, какой из семи ключей подходит к первому замку. Сколько ключей, не подобранных к «своему» замку осталось в связке? ( В связке осталось 6 не подобранных ключей)

— Сколько попыток нужно сделать, чтобы наверняка подобрать ключ ко второму замку? Почему? (Чтобы наверняка подобрать ключ ко второму замку, нужно сделать 6 попыток, так как один ключ мы уже подобрали, а 6 ключей осталось) Внесем цифру 6 в столбец № 2.

— Третий замок точно откроется после 5 попыток, четвертый после 4 попыток, пятый после трех попыток.

№ замка	1	2	3	4	5	итого
Количество попыток	7	6	5	4	3	25

— Посчитаем, максимальное количество попыток – 25. 25 попыток нужно сделать, чтобы открыть все замки.

Учитель:

— Как всегда добро в сказке победило зло. Алеша вернул золото жителям Ростова.

Показ финала мультфильма (1:15:40-1:16:10)

А и сильные, могучие богатыри

На славной Руси!

Не скакать врагам по нашей земле!

Не топтать их коням землю Русскую!

Не затмить им солнце наше красное.

Век стоит Русь — не шатается!

И века простоит — не шелохнется!

— Из какого раздела математики мы выполняли задания? («Комбинаторика»)

— Какими способами мы решали комбинаторые задачи? (таблица, «дерево возможностей», граф, методом перебора)

— Какие чувства у вас вызывают такие задания?

Методы решения комбинаторных задач — Сайт учителя математики Кобец Анны Викторовны — Сайт учителя математики Кобец Анны Викторовны

Методы решения комбинаторных задач

Перебор возможных вариантов

Простые задачи решают обыкновенным полным перебором возможных вариантов без составления различных таблиц и схем.

Задача 1.
Какие двузначные числа можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

Ответ: 11, 12, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 41, 42, 43, 44, 45, 51, 52, 53, 54, 55.

Задача 2.
В финальном забеге на 100 м участвуют Иванов, Громов и Орлов. Назовите возможные варианты распределения призовых мест.

Ответ:
Вариант1: 1) Иванов, 2) Громов, 3) Орлов.
Вариант2: 1) Иванов, 2) Орлов, 3) Громов.
Вариант3: 1) Орлов, 2) Иванов, 3) Громов.
Вариант4: 1) Орлов, 2) Громов, 3) Иванов.
Вариант5: 1) Громов, 2) Орлов, 3) Иванов.
Вариант6: 1) Громов, 2) Иванов, 3) Орлов.

Задача 3.
В кружок бального танца записались Петя, Коля, Витя, Олег, Таня, Оля, Наташа, Света. Какие танцевальные пары девочки и мальчика могут образоваться?

Ответ:
1) Таня — Петя, 2) Таня — Коля, 3) Таня — Витя, 4) Таня — Олег, 5) Оля — Петя, 6) Оля — Коля, 7) Оля — Витя, 8) Оля — Олег, 9) Наташа — Петя, 10) Наташа — Коля, 11) Наташа — Витя, 12) Наташа — Олег, 13) Света — Петя, 14) Света — Коля, 15) Света — Витя, 16) Света — Олег.

Дерево возможных вариантов

Самые разные комбинаторные задачи решаются с помощью составления специальных схем. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда и название метода — дерево возможных вариантов.

Задача 4.
Какие трехзначные числа можно составить из цифр 0, 2, 4?

Решение. Построим дерево возможных вариантов, учитывая, что 0 не может быть первой цифрой в числе.

Ответ: 200, 202, 204, 220, 222, 224, 240, 242, 244, 400, 402, 404, 420, 422, 424, 440, 442, 444.

Задача 5.
Школьные туристы решили совершить путешествие к горному озеру. Первый этап пути можно преодолеть на поезде или автобусе. Второй этап — на байдарках, велосипедах или пешком. И третий этап пути — пешком или с помощью канатной дороги. Какие возможные варианты путешествия есть у школьных туристов?

Решение. Построим дерево возможных вариантов, обозначив путешествие на поезде П, на автобусе — А, на байдарках — Б, велосипедах — В, пешком — Х, на канатной дороге — К.

Ответ: На рисунке перечислены все 12 возможных вариантов путешествия школьных туристов.

Задача 6.
Запишите все возможные варианты расписания пяти уроков на день из предметов: математика, русский язык, история, английский язык, физкультура, причем математика должна быть вторым уроком.

Решение. Построим дерево возможных вариантов, обозначив М — математика, Р — русский язык, И — история, А — английский язык, Ф — физкультура.

Ответ: Всего 24 возможных варианта:

Р
М
И
А
Ф

Р
М
И
Ф
А

Р
М
А
И
Ф

Р
М
А
Ф
И

Р
М
Ф
И
А

Р
М
Ф
А
И

И
М
Р
А
Ф

И
М
Р
Ф
А

И
М
А
Р
Ф

И
М
А
Ф
Р

И
М
Ф
Р
А

И
М
Ф
А
Р

А
М
Р
И
Ф

А
М
Р
Ф
И

А
М
И
Р
Ф

А
М
И
Ф
Р

А
М
Ф
Р
И

А
М
Ф
И
Р

Ф
М
Р
И
А

Ф
М
Р
А
И

Ф
М
И
Р
А

Ф
М
И
А
Р

Ф
М
А
Р
И

Ф
М
А
И
Р

Задача 7.
Саша ходит в школу в брюках или джинсах, к ним одевает рубашки серого, голубого, зеленого цвета или в клетку, а в качестве сменной обуви берет туфли или кроссовки.
а) Сколько дней Саша сможет выглядеть по-новому?
б) Сколько дней при этом он будет ходить в кроссовках?
в) Сколько дней он будет ходить в рубашке в клетку и джинсах?

Решение. Построим дерево возможных вариантов, обозначив Б — брюки, Д — джинсы, С — серая рубашка, Г — голубая рубашка, З — зеленая рубашка, Р — рубашка в клетку, Т — туфли, К — кроссовки.

Ответ: а) 16 дней; б) 8 дней; в) 2 дня.

Составление таблиц

Решить комбинаторные задачи можно с помощью таблиц. Они, как и дерево возможных вариантов, наглядно представляют решение таких задач.

Задача 8.
Сколько нечетных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9?

Решение. Составим таблицу: слева первый столбец — первые цифры искомых чисел, вверху первая строка — вторые цифры.

Ответ: 28.

Задача 9.
Маша, Оля, Вера, Ира, Андрей, Миша и Игорь готовились стать ведущими на Новогоднем празднике. Назовите возможные варианты, если ведущими могут быть только одна девочка и один мальчик.

Решение. Составим таблицу: слева первый столбец — имена девочек, вверху первая строка — имена мальчиков.

Ответ: Все возможные варианты перечисляются в строках и столбцах таблицы.

Правило умножения

Этот метод решения комбинаторных задач применяется, когда не требуется перечислять все возможные варианты, а нужно ответить на вопрос — сколько их существует.

Задача 10.
В футбольном турнире участвуют несколько команд. Оказалось, что все они для трусов и футболок использовали белый, красный, синий и зеленый цвета, причем были представлены все возможные варианты. Сколько команд участвовали в турнире?

Решение.
Трусы могут быть белого, красного, синего или зеленого цвета, т.е. существует 4 варианта. Каждый из этих вариантов имеет 4 варианта цвета майки.

4 х 4 = 16.

Ответ: 16 команд.

Задача 11.
6 учеников сдают зачет по математатике. Сколькими способами их можно расположить в списке?

Решение.
Первым в списке может оказаться любой из 6 учеников,
вторым в списке может быть любой из оставшихся 5 учеников,
третьим — любой из оставшихся 4 учеников,
четвертым — любой из оставшихся 3 учеников,
пятым — любой из оставшихся 2 учеников,
шестым — последний 1 ученик.

6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 720.

Ответ: 720 способами.

Задача 12.
Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 4, 6, 7?

Решение.
Первой в двузначном числе может быть 5 цифр (цифра 0 не может быть первой в числе), второй в двузначном числе может быть 4 цифры (0, 2, 4, 6, т.к. число должно быть четным).
5 х 4 = 20.

Ответ: 20 чисел.

Открытый урок по математике в 6 классе на тему » Комбинаторика»

Технологическая карта урока по теме: ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ ДЛЯ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ

Класс: 6

Учитель: Солдатова Татьяна Анатольевна

ОО: МОУ «СОШ с.Сулак Краснопартизанского района Саратовской области»

УМК:Г.В. Дорофеев

Тип урока: закрепление новых знаний и способов действий.

Планируемые результаты изучения темы:

Личностные: осознают важность и необходимость знаний для человека.

Предметные: умеют, перебирая все возможные варианты, решать простейшие комбинаторные задачи, передавать информацию сжато, полно, выборочно, решать комбинаторные задачи, применяя правило умножения.

Метапредметные результаты изучения темы (универсальные учебные действия):

Познавательные: ориентируются на разнообразие способов решения задач;

Регулятивные: учитывают правило в планировании и контроле способа решения;

Коммуникативные: считаются с разными мнениями и стремятся к координации различных позиций в сотрудничестве; умеют участвовать в диалоге, понимают точку зрения собеседника, признают право на свое мнение, развернуто обосновывают суждение.

Технология проведения

Деятельность

учеников

Деятельность

учителя

Задания для учащихся, выполнение которых приведёт к достижению запланированных результатов

УУД

I. Мотивация к учебной деятельности

Цели: -проверка готовности обучающихся, их настроя на работу

Организует учащихся. Проверяет готовность обучающихся к уроку, настраивает на работу.

Здравствуйте, ребята!
В курсе математики 5-го класса и на прошлом уроке мы познакомились с таким разделом математики как комбинаторика. Вспомните, что такое комбинаторика? СЛАЙД 2.
Очень часто в жизни приходится делать выбор, принимать решение. Это сделать очень трудно не потому, что его нет или оно одно и поэтому его трудно найти, а потому, что приходится выбирать из множества возможных вариантов, различных способов, комбинаций.
И нам всегда хочется, чтобы этот выбор был оптимальный.
Задачи, которые мы сегодня будем решать, помогут вам творить, думать необычно, оригинально, смело, видеть то,

Девизом нашего урока сегодня станет древняя китайская мудрость: СЛАЙД 3

Скажи мне – и я забуду,

Покажи мне – и я запомню,

Вовлеки меня – и я запомню.

Личностные: самоопределение;

Регулятивные: целеполагание;

Коммуникативные:планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками

II Актуализация знаний

Цель: обобщить знания по теме

Устная работа.

Отвечают на вопросы учителя

(с историей развития комбинаторики учащиеся познакомились на предыдущем уроке. Приложение 1.)

Организует устную работу. Следит за правильностью рассуждений.

Когда возникла комбинаторика?
Где применялись комбинаторные задачи?
Назовите фамилии ученых, которым принадлежат первые научные исследования в области комбинаторики?
Может ли комбинаторика помочь в реальной жизни?
Как часто люди комбинируют что-либо?
Какими способами мы умеем решать комбинаторные задачи? (перебор, дерево возможны вариантов, правило треугольника, правило умножения и др.)
В чем заключается правило решения задач с помощью дерева вариантов?
Решите задачу, составив дерево возможных вариантов: Из чисел 1,5, 9 составить трехзначные числа, при условии, что цифры не должны повторяться. Сколько получится чисел? СЛАЙД 4.
В чем заключается правило умножения?
У вас на парте лежат полоски красного, белого и синего цвета. Соберите, пожалуйста, флаг Российской Федерации.
Как вы расположили полоски?
А какое значение имеют цвета флага нашей страны?

(белый — благородство, синий – честность, красный – смелость) СЛАЙД 5

Флаги каких стран также состоят из полос красного, белого, синего цвета? (Франции, Голландии) СЛАЙД 6
Они отличаются от флага России? Чем? (расположением полос)
Замечательно, что вы хорошо знаете флаг своей Родины!
Интересно, сколькими способами можно составить

Регулятивные: целеполагание;

Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками

III Решение задач

1) Работа в группах

Цели:—. Составление плана работы

2) Работа с интерактивной доской

Разбиваются в группы.

Ставят цели, формулируют (уточняют) план работы

Ставят цели, формулируют (уточняют) способы выполнения работы

Уточняет понимание учащимися поставленных целей урока.

Выдвигает проблему.

2 группа. Проказница-Мартышка,

Осел, Козел,

Да косолапый Мишка

Затеяли квартет.

Ударили в смычки,

дерут, а толку нет.

«Стойте, братцы, стой! –

кричит Мартышка.

– Погодите!

Как музыке идти?

Ведь Вы не так сидите…»

Сколькими различными способами могут музыканты, герои басни И. А. Крылова, сесть в один ряд?

Решение:

1-я группа.

Первому лыжнику достанется 6 вариантов выбора номера. Второму – 5 и т. д.

Итого: 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 720. Все лыжники будут на лыжне через 150 с, то есть через 2,5 мин.

2-я группа.

Всего вариантов может быть 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24.

3-я группа.

Всего расписаний на день можно составить 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120.
Если математика стоит последней, то всего расписаний 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24.

4-я группа.

Маршрут ABCDA = 300 + 350 + 400 + 500 = 1500

Маршрут ACDBA = 200 + 400 + 400 + 300 = 1300

Маршрут ACBDA = 200 + 350 + 400 + 500 = 1450

Маршрут ABDCA = 300 + 400 + 400 + 200 = 1300

Маршрут ADBCA = 500 + 400 + 350 + 200 = 1450

Ответ: Самый оптимальный маршрут ACDBA или ABDCA.

5-я группа.

Фронтальная работа класс на интерактивной доске с цифровым образовательным ресурсом Комбинаторика-1 http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/10e5a6e1-3646-45dd-8078-7a4f1e41b1d7/%5BA79_07-01-KT05%5D_%5BQS_00%5D/%5BA79_07-01-KT05%5D_%5BQS_00%5D.html

Правильные ответы:

Познавательные: самостоятельное выделение-формулирование познавательной цели, формулирование проблемы.

Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками

Регулятивные: целеполагание

Регулятивные: целеполагание;

Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками

IV. Самостоятельная работа

Цель:

-осознание каждым обучающимся степени овладения знаниями

Осуществляют: самооценку; самопроверку; взаимопроверку; предварительную оценку.

Контролирует выполнение работы.

Осуществляет:

-индивидуальный контроль;

-выборочный контроль.

Физкультминутка. Раз, два, три, четыре, пять –

СЛАЙД 9. Все умеем мы считать.

Раз! Подняться, потянуться.

Два! Согнуться, разогнуться.

Три! В ладоши три хлопка,

Головою три кивка.

На четыре – руки шире.

Пять – руками помахать.

Шесть — за парту мы присели.

Значит, хватит отдыхать!

Самостоятельная работа. (работа с учебником)

СЛАЙД 10.

Вариант 1. № 504 Ответ: 64, 24

Вариант 2. № 506 Ответ: 48, 18

Личностные: самоопределение

V. Рефлексия

Цели:— соотнесение поставленных задач с достигнутым результатом

Формулируют конечный результат своей работы на уроке.

Отмечает степень вовлеченности учащихся
в работу на уроке.

Притча. СЛАЙД 11.

— Ребята! Давайте мы попробуем с вами оценить каждый свою работу за урок.

— Кто работал как первый человек?

— Кто работал добросовестно?

— Кто принимал участие в «строительстве храма»?

В конце урока подводится итог работы, уровень достижения цели:

Сегодня на уроке я научился:
Мне было интересно…
Мне было трудно:
Я понял, что:
Больше всего мне понравилось (не понравилось):
Своей работой на уроке я доволен (не совсем, не доволен), потому что:

Коммуникативные: умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.

Познавательные: рефлексия

Личностные: смыслообразование

Дает комментарий к домашнему заданию.

Домашнее задание: СЛАЙД 12. придумать комбинаторную задачу прикладного характера; решить № 503, 514.

Приложение 1.

Из истории развития комбинаторики.

Комбинаторика, ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов, возникла в ХII веке.

Приложение 2

Задания для групп.

2 группа. Проказница-Мартышка,

Осел, Козел,

Да косолапый Мишка

Затеяли квартет.

Ударили в смычки,

дерут, а толку нет.

«Стойте, братцы, стой! –

кричит Мартышка.

– Погодите!

Как музыке идти?

Ведь Вы не так сидите…»

Сколькими различными способами могут музыканты, герои басни И. А. Крылова, сесть в один ряд?

Конспект урока по математике «Правило умножения для комбинаторных задач» 6 класс

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 15»

Конспект урока по теме:

«Правило умножения для комбинаторных задач »

Выполнила:

учитель математики

Галкина А.В.

Губаха 2010

Конспект урока составлен по учебнику: И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович Математика 6

Цели:

1. Развивающая – развитие у учащихся умение самостоятельно формулировать правила, развитие логического мышления.

2. Обучающая – сформировать представление о комбинаторных задачах; научить строить дерево возможных вариантов.

3. Воспитательная – приучать учащихся к самостоятельной работе, воспитание взаимопомощи.

Задачи: формировать умения решать задачи по данной теме.

Оборудование: доска, мел, учебник, компьютер , проектор.

План урока:

Организационный момент

2. Подготовка к восприятию нового материала

3. Объяснение нового материала

4. Закрепление новых знаний

5. Домашнее задание

6. Итог урока

Ход

Урока

Деятельность Учителя	Деятельность Ученика	проектор	Доска
Организационный момент (0,5 мин)	-Здравствуйте! Настраиваемся на работу на уроке! Пожалуйста, садитесь!	Здравствуйте! [садятся за парты]	1 слайд	22.12.10
Подготовка к восприятию нового материала (8 мин)	Начало нашего урока пройдет в несколько нестандартном виде. Вначале мы с вами побываем на уроке истории и узнаем о том, что за наука такая комбинаторика и откуда она к нам пришла. Комбинаторика — ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов. Еще комбинаторику можно понимать как перебор возможных вариантов. Комбинаторика возникла в 17 веке. Долгое время она лежала вне основного русла развития математики. С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов – во время битвы, инструментов — во время работы. Комбинаторные навыки оказались полезными и в часы досуга. Нельзя точно сказать, когда наряду с состязаниями в беге, метании диска, прыжках появились игры, требовавшие, в первую очередь, умения рассчитывать, составлять планы и опровергать планы противника. Со временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т.д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных. Не только азартные игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв, заменах букв с использованием ключевых слов и т.д. Комбинаторика как наука стала развиваться в 18 веке параллельно с возникновением теории вероятностей, так как для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Дж.Кардано, Н.Тарталье (1499-1557), Г.Галилею (1564-1642) и французским ученым Б.Паскалю (1623-1662) и П.Ферма. Комбинаторику как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г.Лейбниц в своей работе “ Об искусстве комбинаторики ”, опубликованной в 1666 году. Он также впервые ввел термин “комбинаторика”. Значительный вклад в развитие комбинаторики внес Л.Эйлер. В современном обществе с развитием вычислительной техники комбинаторика “добилась” новых успехов.	[слушают учителя]	2 слайд
Объяснение нового материала (15 мин)	Ну вот мы и узнали о комбинаторике, но прежде чем приступить к решению задач по данной теме нам нужно познакомиться с некоторыми основными понятиями этой науки. В задачах по комбинаторике часто применяется такое понятие как факториал (в переводе с английского “factor” — “множитель”). Итак, произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут: n!=1 2 3 … (n-1) n Пример: В комбинаторике решаются задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: Сочетания – сколько можно образовать сочетаний из n элементов по m. Размещения – сколько можно образовать размещений из n элементов по m Перестановки – это соединения, состоящие из одних и тех же элементов, отличающиеся только порядком расположения Вот этих понятий нам будет достаточно для решения задач. Ну а теперь можем смело приступать к решению комбинаторных задач. На доске вы видите несколько табличек на которых написаны начальные буквы областей знаний, где применяется наука комбинаторика. Разберем пару задач. Первой решим задачу, которая скрывается под буквой М: Как вы думаете какая область применения скрывается под этой буквой? Светлана: Правильно! Математика! Вот условие: Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7? Используя каждую из них не более одного раза? Решение: (решаем) Проведенный перебор вариантов проиллюстрирован на так называемом дереве возможных вариантов. Ответ на поставленный в задаче вопрос мы нашли, используя комбинаторное правило умножения. Ну что ж, молодцы давайте рассмотрим следующую карточку. Пусть это будет буква У: Ваня, как ты думаешь какая здесь задача? Это задача на управление, в данном случае в школе. Условие задачи: Из учащихся пяти 11 классов нужно выбрать двоих дежурных. Сколько пар дежурных можно составить (ученики в паре не должны быть из одного класса)? Решаем:	[записывают в тетради] [смотрят на доску] Математика (предполагает)	3 слайд 4 слайд 5 слайд 6 слайд 7 слайд 8 слайд 9 слайд 10 слайд 11 слайд 12 слайд	n!=1 2 3 …(n-1) n
Закрепление новых знаний (16 мин)	Ну а теперь вы сами попробуете решить любую задачу с моей помощью. Даша к доске. Какую букву выбираешь? Как ты думаешь какую науку скрывает эта буква? Молодец! Правильно! Вот условие задачи: Решаем 2 способами. Спасибо! Молодец! Садись! Ну что ж вы все сегодня хорошо поработали на уроке. (оценки)	(Даша идет к доске) Даша выбирает букву Л Я думаю логику	13 слайд	(Даша пишет решение)
Домашнее задание (3 мин) Итог урока (2 мин)	Откройте, пожалуйста, дневники, запишите домашнее задание. Итак, что нового вы сегодня для себя открыли на нашем уроке? Женя, Какие задачи называются комбинаторными? правильно! Молодец! Дима, что означает слово «комбинаторика»? Правильно! Молодец! Спасибо за урок! До свидания!	[открывают дневники и записывают домашнее задание] [отвечают на вопрос] Задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций, получили название комбинаторных. Комбинаторика означает “соединять, сочетать”. До свидания!		№ 497

КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ — ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКЕ ДЛЯ 5-6 КЛАССОВ — Каталог статей

1. Катя, Маша и Ира играют с мячом. Каждая из них должна по одному разу бросить мяч в сторону каждой подруги. Сколько раз каждая из девочек должна бросать мяч? Сколько всего раз будет подбрасываться мяч? Определите, сколько раз будет подбрасываться мяч, если в игре примут участие: четверо детей; пятеро детей.

2. Даны три фасада и две крыши, имеющие одинаковую форму, но раскрашенные в различные цвета: фасады — в желтый, синий и красный цвета, а крыши — в синий и красный цвета. Какие домики можно построить? Сколько всего комбинаций?

3. Даны три одинаковых по форме фасада домика: синий, желтый и красный — и три крыши: синяя, желтая и красная. Какие домики можно построить? Сколько всего комбинаций?

4. Рисунки на флажках могут иметь вид круга, квадрата, треугольника или звезды, причем их можно раскрасить в зеленый или красный цвет. Сколько всего может быть разных флажков?

5. В школьной столовой на обед приготовили в качестве вторых блюд мясо, котлеты и рыбу. На сладкое — мороженое, фрукты и пирог. Можно выбрать одно второе блюдо и одно блюдо на десерт. Сколько существует различных вариантов обеда?

6. В школьной столовой на обед приготовили в качестве первых блюд суп с мясом и вегетарианский суп, на второе — мясо, котлеты и рыбу, на сладкое — мороженое, фрукты и пирог. Сколько существует различных вариантов обеда из трех блюд?

7. Сколькими способами можно рассадить в ряд на стулья трех учеников? Выписать все возможные случаи.

8. Сколькими способами могут четыре (пять) человек стать в ряд?

9. С разных сторон на холм поднимаются три тропинки и сходятся на вершине. Составьте множество маршрутов, по которым можно подняться на холм и спуститься с него. Решите ту же задачу, если вверх и вниз надо идти по разным тропинкам.

10. Из Акулово в Рыбницу ведут три дороги, а из Рыбницы в Китово — четыре дороги. Сколькими способами можно проехать из Акулово в Китово через Рыбницу?

11. Слог называется открытым, если он начинается с согласной буквы, а заканчивается гласной. Сколько открытых двухбуквенных слогов можно написать, используя буквы «а», «б», «в», «г», «е», «и», «о»? Выпишите эти слоги.

12. Сколько различных вариантов костюмов из блузки и юбки можно составить, если имеется 4 блузки и 4 юбки?

13. Когда Петя идет в школу, он иногда встречает одного или нескольких своих приятелей: Васю, Леню, Толю. Перечислить все возможные случаи, которые при этом могут быть.

14. Записать все возможные двузначные числа, используя цифры 7 и 4.

15. Миша запланировал купить: карандаш, линейку, блокнот и тетрадь. Сегодня он купил только два разных предмета. Что мог купить Миша, если считать, что в магазине были все нужные ему учебные принадлежности?

16. Четыре человека обменялись рукопожатиями. Сколько было всего рукопожатий?

17. Сколько существует двузначных чисел, в записи которых отсутствует цифра 0?

18. Записать все возможные трехзначные числа, которые можно составить из цифр 1 и 2.

19. Выписать все возможные четные трехзначные числа, составленные из цифр 1 и 2.

20. Записать все возможные двузначные числа, при записи которых используются цифры 2, 8 и 5.

21. Сколько существует различных двузначных чисел, все цифры которых нечетные?

22. Какие трехзначные числа можно записать с помощью цифр 3, 7 и 1 при условии, что в записи числа не должно быть одинаковых цифр? Сколько таких чисел?

23. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 4, 6, если никакую цифру не использовать более одного раза? Сколько среди этих чисел будет четных? Сколько нечетных?

24. В автомашине пять мест. Сколькими способами пять человек могут усесться в эту машину, если занять место водителя могут только двое из них?

25. В классе 5 одноместных парт. Сколькими способами можно рассадить на них двух (трех) вновь прибывших школьников?

26. Вспомните басню И. Крылова «Квартет».

Сколькими различными способами могут попытаться сесть эти музыканты? Может ли это улучшить качество их игры?

27. Мальчиков и девочек рассаживают в ряд на подряд расположенные места, причем мальчики садятся на нечетные места, а девочки — на четные. Сколькими способами можно это сделать, если:

а) на 6 мест рассаживают 3 мальчиков и 3 девочек;

б) на 10 мест рассаживают 5 мальчиков и 5 девочек?

На пустую шашечную доску надо поместить две шашки — черную и белую. Сколько различных положений могут они занимать на доске?

28. Пусть номер автомобиля составляется из двух букв, за которыми следуют две цифры, например АВ-53. Сколько разных номеров можно составить, если использовать 5 букв и 6 цифр?

29. Номер автомобиля состоит из трех букв и четырех цифр. Сколько существует различных автомобильных номеров (три буквы берутся из 29 букв русского алфавита)?

30. Пусть вам нужно было сходить в библиотеку, сберегательный банк, на почту и отдать в ремонт ботинки. Для того чтобы выбрать кратчайший маршрут, необходимо рассмотреть все возможные варианты. Сколько существует вариантов пути, если библиотека, сберегательная касса, почта и сапожная мастерская расположены далеко друг от друга?

31. Пусть вам нужно было сходить в библиотеку, сберегательный банк, на почту и отдать в ремонт ботинки. Для того чтобы выбрать кратчайший маршрут, необходимо рассмотреть все возможные варианты. Сколько существует разумных вариантов пути, если библиотека и почта находятся рядом, но значительно удалены от сберегательной кассы и сапожной мастерской, расположенных далеко друг от друга?

32. Среди пассажиров, едущих в вагоне, шло оживленное обсуждение четырех журналов. Оказалось, что каждый выписывает два журнала, причем каждая из возможных комбинаций двух журналов выписывается одним человеком. Сколько человек было в этой группе?

33. Имеется пять кубиков, которые отличаются друг от друга только цветом: 2 красных, 1 белый и 2 черных. Есть два ящика А и Б, причем в А помещается 2 кубика, а в Б — 3. Сколькими различными способами можно разместить эти кубики в ящиках А и Б?

35. Чтобы принести царю-батюшке молодильные яблоки, должен Иван-царевич найти единственный верный путь к волшебному саду. Встретил Иван-царевич на развилке трех дорог старого ворона и вот какие советы от него услышал:

1) иди сейчас по правой тропинке;

2) на следующей развилке не выбирай правую тропинку;

3) на третьей развилке не ходи по левой тропинке.

Пролетавший мимо голубь шепнул Ивану-царевичу, что только один совет ворона верный и что обязательно надо пройти по тропинкам разных направлений. Наш герой выполнил задание и попал в волшебный сад. Каким маршрутом он воспользовался?

(PDF) Стратегия и методы решения комбинаторных задач начального обучения математике

International Journal of Modern Education Research 2015; 2 (6): 77-87 79

комбинаторика, чтобы дать им возможность применять полученные знания

при решении различных жизненных проблем, подготовить учащихся к дальнейшему изучению комбинаторики

и развить умственные способности учащихся

, особенно в область логического

и комбинаторного мышления

и применение комбинаторных

концепций и моделей в различных областях.

Обучение комбинаторике в этом возрасте требует от молодых

учеников уметь распознавать комбинаторную субстанцию в

различных задачах и решать их интуитивно с большой свободой и творчеством

, но не запоминать и применять

готовых- сформулировал формулы при решении комбинаторных задач.

Операционные задачи начального обучения комбинаторике в начальном образовании

могут быть определены с точки зрения результатов и успеваемости

учащихся следующим образом:

• На основе заданных критериев, манипулируя объектами,

используя диаграммы или таблицы студенты должны уметь формировать

различных конкретных наборов и подмножеств объектов, изображений и

символов;

• Они должны иметь возможность сравнивать заданные наборы и подмножества

объектов, чисел, букв и т. Д .;

• Учащиеся должны уметь исследовать различные возможности

формирования подмножеств данного набора, а также возможные

способов организации подмножеств;

• На простых конкретных примерах учащиеся должны уметь определять

упорядоченных пар заданных наборов и определять

их кардинальное число;

• Студенты должны быть в состоянии произвести систематическую процедуру

для различного формирования и расположения

бетонных наборов и на более простых примерах определить

количество всех возможностей;

• Студенты должны уметь распознавать и успешно применять комбинаторные идеи и методы

для решения

задач из реальной повседневной жизни и других областей, в

случаях, чувствительных к элементарному комбинаторному моделированию.

Согласно Скемпу (1971) бесполезно смешивать логический

и психологический подходы в начальном обучении математике,

, поскольку основная цель логического подхода — «убедить скептика

», в то время как основная цель в психологическом подходе к

облегчить понимание. С другой стороны, логический подход

представляет конечные результаты обучения и, следовательно, лишает

студентов возможности открыть методы для понимания математического содержания

(Skemp, 1971).Студенты изучают

математических понятий вместо того, чтобы развивать математическое мышление

. Фройденталь, создатель современной реформы математического образования в Нидерландах

, также

подчеркивает примат развития математического мышления

над математическими мыслями (Freudenthal, 1974). Основные идеи

его реалистичной концепции начального обучения математике

заключаются в следующем: ученики не должны получать

готовой математики, а должны создавать множество реальных проблемных ситуаций

как основу для открытия различных

математические идеи, концепции и восприятия.Следовательно,

вместо пассивного получателя знаний

студент станет активным творцом своих знаний.

В большинстве стран подход к начальному обучению

математике был основан на творческой деятельности, например

как: обучение через игру и манипуляции с предметами,

изобилие учебных материалов, творческий подход к обучению

, спиральное формирование понятий, поэтапно,

дифференциация и индивидуализация.

Таким образом, определенная творческая энергия позволяет детям

изучать тонкое содержание, такое как наборы, логика, комбинаторика и

вероятности.

Базовая парадигма современного начального обучения математике

— это творческий подход к математизации реальности, а не алгоритмическое решение математических задач

, которое

делает упор на развитие вычислительной техники, а

— на решение множества готовых математические модели (Автор,

2013).

Именно из-за возраста детей, вовлеченных в этот этап обучения

, процессы и достижения их познания

ограничены конкретным, материальным и очевидным.

Содержимое комбинаторного характера преподается способом

, что инструкция начинается с формирования наборов и подмножеств,

порядка предметов, лиц или некоторого другого дидактического материала,

, который представляет собой перестановку, затем следующий шаг заключается в том, чтобы формируют

подмножеств с меньшим количеством элементов из большего количества элементов, таким образом создавая

комбинаций, а затем идет формирование упорядоченных

подмножеств, вариаций, а также упорядоченных пар из двух элементов

наборов.

Методическая трансформация этих концепций подразумевает

творческого подхода и использование новых методов и приемов

, таких как метод обнаружения, метод задачи, метод предположения

, кибернетические методы, графики, различные диаграммы, таблицы

и наборы.

Решение комбинаторных задач происходит поэтапно:

следует:

• Экспериментальное решение — игры или манипуляции с объектами

.Затем в более сложных задачах необходимо

для построения дерева событий, использования таблиц и рядов,

и т.д. , вариации или упорядоченные пары), но, скорее,

важно найти как можно больше примеров.

• Позже, в простых случаях можно начать с пиктограммы

проблемы, или даже с правильного символического представления

, которое должно быть

с последующей установкой требований для создания всех возможностей

, или определить или оценить количество из

запрошенных возможностей без использования заранее определенной формулы

.Для символического представления одним из наиболее подходящих устройств

являются компьютеры с соответствующим

аппаратным и программным обеспечением (Автор, 2009).

• Применение комбинаторики к различным областям обучения, таким как

как: формирование слов определенной длины из заданных

букв, формирование предложений с определенным количеством

слов из заданных слов, алфавитные расписания: библиотеки,

словарей, лексиконы и т. д., создание мелодий из заданных

нот, возможности раскрашивания различных картинок с

множественными полями, возможности комбинирования цветов и

создания оттенков, возможность перераспределения учеников, возможности

формировать спортивные команды из определенного количества студентов,

возможностей выбрать несколько (2-3) лидеров или

представителей от большего числа студентов,

Ласло Ловаш: 9780821842621: Amazon.com: Книги

.a-tab-content> .a-box-inner {padding-top: 5px; padding-bottom: 5 пикселей; } #mediaTabs_tabSetContainer .a-tab-content {border-radius: 0px; } #mediaTabsHeadings {white-space: nowrap; переполнение: скрыто; } # mediaTabsHeadings.nonJSTabs {white-space: normal; } #mediaTabsHeadings ul.a-tabs {background: # f9f9f9; } #mediaTabsHeadings .mediaTab_heading .mediaTab_logo {padding-left: 3px; вертикальное выравнивание: базовая линия; } #mediaTabsHeadings #mediaTabs_tabSet {margin-top: 5px; плыть налево; граница справа: 0 пикселей; } #mediaTabsHeadings.mediaTab_heading {маржа слева: -1px; } #mediaTabsHeadings .mediaTab_heading a {color: # 111; граница справа: сплошной 1px #ddd; padding-top: 8 пикселей; padding-bottom: 7 пикселей; } #mediaTabsHeadings .mediaTab_heading.a-active a {color: # c45500; маржа сверху: -5 пикселей; padding-top: 11 пикселей; граница слева: сплошной 1px #ddd; border-top-width: 3px;} #mediaTabsHeadings .tabHidden {display: none! important; } #bookDescription_feature_div {дисплей: встроенный блок; ширина: 100%;} ]]>

В наличии осталось всего 4 штуки (еще в ближайшее время).

Поставляется и продается на Amazon.com.

Комбинаторика | математика | Британника

Комбинаторика , также называемая комбинаторной математикой , область математики, связанная с проблемами выбора, расположения и работы в конечной или дискретной системе.Включена тесно связанная область комбинаторной геометрии.

Одна из основных задач комбинаторики — определить количество возможных конфигураций ( например, графиков, схем, массивов) данного типа. Даже когда правила, определяющие конфигурацию, относительно просты, перечисление иногда может представлять огромные трудности. Математику, возможно, придется довольствоваться поиском приблизительного ответа или, по крайней мере, хорошей нижней и верхней границей.

В математике обычно говорят, что объект «существует», если математический пример удовлетворяет абстрактным свойствам, которые определяют объект.В этом смысле может не быть очевидным, что существует хотя бы одна конфигурация с определенными заданными свойствами. Эта ситуация порождает проблемы существования и строительства. Снова существует важный класс теорем, которые гарантируют существование определенного выбора при соответствующих гипотезах. Помимо собственного интереса, эти теоремы могут использоваться как теоремы существования в различных комбинаторных задачах.

Наконец, есть проблемы с оптимизацией. Например, функция f , экономическая функция, присваивает числовое значение f ( x ) любой конфигурации x с определенными заданными свойствами.В этом случае проблема состоит в том, чтобы выбрать конфигурацию x ₀, которая минимизирует f ( x ) или делает его ε = минимальным, то есть для любого числа ε> 0, f ( x ). ₀) f ( x ) + ε, для всех конфигураций x с указанными свойствами.

Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас

История

Ранние разработки

Некоторые типы комбинаторных задач привлекали внимание математиков с давних времен.Например, магические квадраты, представляющие собой квадратные массивы чисел со свойством, что строки, столбцы и диагонали складываются в одно и то же число, встречаются в I Ching, , китайской книге, датируемой XII веком до нашей эры. Биномиальные коэффициенты, или целочисленные коэффициенты в разложении ( a + b ) ⁿ, были известны индийскому математику XII века Бхаскара, который в своей работе Līlāvatī («Изящный»), посвященный красивой женщине, привел правила их расчета вместе с наглядными примерами.«Треугольник Паскаля», треугольный массив биномиальных коэффициентов, преподавал персидский философ 13 века Накир ад-Дин ас-Суси.

Считается, что на Западе комбинаторика началась в 17 веке с Блеза Паскаля и Пьера де Ферма, оба из Франции, которые открыли многие классические комбинаторные результаты в связи с развитием теории вероятностей. Термин комбинаторный впервые был использован в современном математическом смысле немецким философом и математиком Готфридом Вильгельмом Лейбницем в его диссертации Dissertatio de Arte Combinatoria («Диссертация о комбинированных искусствах»).Он предвидел применение этой новой дисциплины во всем диапазоне наук. Швейцарский математик Леонард Эйлер был, наконец, ответственен за развитие школы аутентичной комбинаторной математики, начиная с 18 века. Он стал отцом теории графов, когда решил проблему Кенигсбергского моста, и его знаменитая гипотеза о латинских квадратах не была решена до 1959 года.

В Англии Артур Кейли в конце XIX века внес важный вклад в создание перечислительного графа. теории, и Джеймс Джозеф Сильвестр открыл много комбинаторных результатов.Британский математик Джордж Буль примерно в то же время использовал комбинаторные методы в связи с развитием символической логики, а также комбинаторные идеи и методы Анри Пуанкаре, которые развились в начале 20 века в связи с проблемой n. тел, привели к дисциплине топологии, которая занимает центральное место в математике. Многие комбинаторные проблемы были поставлены в 19 веке как чисто развлекательные и идентифицированы под такими названиями, как «проблема восьми королев» и «проблема школьницы Киркман».С другой стороны, изучение тройных систем, начатое Томасом П. Киркманом в 1847 году и продолженное Якобом Штайнером, немецким математиком швейцарского происхождения, в 1850-х годах стало началом теории дизайна. Среди первых книг, посвященных исключительно комбинаторике, — книга немецкого математика Ойгена Нетто « Lehrbuch der Combinatorik » (1901; «Учебник комбинаторики») и «Комбинаторный анализ » (1915–16) британского математика Перси Александра Мак-Магона (Percy Alexander MacMahon). комбинаторная теория в том виде, в котором она существовала до 1920 г.

Комбинаторика в 20 веке

Многие факторы способствовали ускорению темпов развития комбинаторной теории с 1920 года. Одним из них было развитие статистической теории планирования экспериментов английскими статистиками Рональдом Фишером и Фрэнком Йейтсом. что породило множество проблем, представляющих комбинаторный интерес; методы, первоначально разработанные для их решения, нашли применение в таких областях, как теория кодирования. Теория информации, зародившаяся примерно в середине века, также стала богатым источником комбинаторных проблем совершенно нового типа.

Еще одним источником возрождения интереса к комбинаторике является теория графов, важность которой заключается в том, что графы могут служить абстрактными моделями для множества различных схем отношений между множествами объектов. Его приложения распространяются на исследования операций, химию, статистическую механику, теоретическую физику и социально-экономические проблемы. Теорию транспортных сетей можно рассматривать как раздел теории ориентированных графов. Одна из самых сложных теоретических проблем, проблема четырех цветов (см. Ниже), относится к области теории графов.Он также имеет приложения к таким другим разделам математики, как теория групп.

Развитие компьютерных технологий во второй половине 20 века является основной причиной интереса к конечной математике в целом и комбинаторной теории в частности. Комбинаторные проблемы возникают не только при численном анализе, но также при проектировании компьютерных систем и при применении компьютеров к таким задачам, как проблемы хранения и поиска информации.

Статистическая механика — один из старейших и наиболее продуктивных источников комбинаторных задач.С середины 20-го века прикладными математиками и физиками была проделана значительная комбинаторная работа — например, работа над моделями Изинга (см. Ниже проблему Изинга).

В чистой математике комбинаторные методы успешно используются в таких различных областях, как вероятность, алгебра (конечные группы и поля, матрица и теория решеток), теория чисел (разностные множества), теория множеств (теорема Спернера) и математическая логика. (Теорема Рамсея).

В отличие от широкого круга комбинаторных проблем и множества методов, которые были разработаны для их решения, стоит отсутствие центральной объединяющей теории.Однако объединяющие принципы и перекрестные связи начали появляться в различных областях комбинаторной теории. Поиск базовой закономерности, которая может каким-то образом указать на переплетение различных частей комбинаторики, — задача, с которой математики столкнулись в последней четверти 20 века.

Математика | Бесплатный полнотекстовый | Связь обобщения, рассуждения и комбинаторного мышления при решении открытых математических задач в рамках математического конкурса

1.Введение

Математическое образование постоянно развивается в соответствии с требованиями современного общества. Следовательно, на разработку учебной программы сильно влияют навыки обучения 21-го века, в частности критическое мышление, решение проблем, общение и сотрудничество [1]. Очевидно, что любая проблема без известного алгоритма или процедурного инструмента может рассматриваться как вызов [2]. Учащиеся, намеревающиеся задавать вопросы, как определено в [3], обладают следующими характеристиками: задавание вопросов, попытки и экспериментирование, определение проблемы, выбор правильной стратегии решения проблем.Природа открытых задач представляет собой средство реализации исследования в математическом образовании [4] и помогает учащимся научиться мыслить независимо для использования стратегий решения проблем [5]. В течение многих лет решение открытых задач в математике превратилось в метод активации, который поддерживает упомянутые выше навыки обучения 21-го века. Способность решать сложные открытые задачи зависит от ряда различных факторов, включая следующие: : (i) метакогнитивные знания [6,7], (ii) позитивное отношение к математике [8,9,10,11,12], (iii) овладение математическими процессами, такими как рассуждение, обобщение, сообщение результатов или математическое моделирование [ 13,14,15,16,17,18] и (iv) высокий уровень математических навыков как в процедурах [19,20], так и в концептуальном понимании [21,22,23], включая арифметику, алгебраическое и комбинаторное мышление.Эти вышеупомянутые факторы не изолированы друг от друга, но они, скорее, взаимно поддерживают друг друга во влиянии способности решать сложные открытые математические задачи [24,25]. Различие между арифметическим и алгебраическим мышлением иногда упрощается как работа с числами или работать с переменными. Напротив, Рэдфорд [26] проводит различие между арифметическим обобщением, алгебраическим обобщением и наивным индуктивным рассуждением, основанным на отличительных способах мышления. Более чем ясно, что алгебраическое обобщение строится на соблюдении общих черт путем абдукции от частностей.Затем гипотеза, если она сформулирована, и выражение могут быть выдвинуты. С другой стороны, просто арифметическое обобщение часто использует некоторые рекуррентные отношения, и, следовательно, учащиеся, придерживаясь этого способа мышления, не могут дать формулу для общего случая. Однако наименее изощренными являются наивные индукции, основанные на вероятных рассуждениях. Тип обобщения может быть связан с типом возникающей проблемы, однако студенты, оснащенные хорошо связанными схемами решения проблем, не удивительно более успешны в передаче своих знаний [27].С другой стороны, алгебраическое обобщение ставит конкретные проблемы почти перед каждым учеником, даже в процессе обучения в старших классах [28]. Результаты наших недавних исследований указывают на способность производить некоторые общие алгебраические выражения как решающий фактор в решении открытых нестандартных задач в математике даже для успешных [29]. Для студентов использование обоснования, стратегий и методов доказательства различных форм математических доказательств, придавая им решающее значение для математических рассуждений, является убедительным.Следовательно, такие способности явно включают в себя получение стратегических знаний в конкретных областях, связанных с данной проблемой, а также знаний и норм, специфичных для доказательства и рассуждения [30], особенно в математических ситуациях открытого решения проблем. Педемонте [31] подчеркивает структурный разрыв между аргументацией и доказательством. Понятно, что именно аргументационные выводы основаны на содержании, тогда как в случае любого доказательства они следуют дедуктивной схеме. Во время работы в классе, как правило, студенты в основном испытывают некоторые заученные алгоритмические рассуждения [32] или с некоторыми формальными доказательствами, последовательность формул на формальном языке [33] вместо фактических творческих математических рассуждений в рамках сложного математического исследования, которое позволяет понять и построить новое знание.Способность делать некоторые обобщения и приводить соответствующие рассуждения считаются математическими навыками высокого уровня. Далее Педемонте [34] исследовал определенные отношения между уровнем обобщения и умением рассуждать. Однако для построения математической индукции, по-видимому, требуется обобщение как таковое и одновременно как процесс, хотя, с другой стороны, была указана некоторая связь как структурное расстояние между ними. Таким образом, именно открытые задачи считаются подходящими способами развития у студентов необходимых навыков рассуждения.Таким образом, абдуктивное рассуждение служит для перехода от индуктивного рассуждения к дедуктивному [26]. Неясно, как классификации или характеристики обобщения и обоснования, вытекающие из исследований, которые были сосредоточены на обобщении числовых закономерностей, применимы к другим темам или задачам математики. Эти структуры также не проясняют другие процессы рассуждения, которые делают возможным обобщение и обоснование [35]. Комбинаторика занимает особое место в области математики и математического образования.Это рассматривается как источник частых и тяжелых затруднений у студентов разного уровня [15]. Дело в том, что именно комбинаторное мышление представляет собой процесс создания различных возможных комбинаций идей и когнитивных операций [36]. Использование комбинаторного мышления в комбинаторных ситуациях означает развитие особой способности создавать абстрактные модели и находить структуру набора результатов [37]. При наличии достаточного количества времени и практических задач, даже обычно неуспевающие ученики могут преуспеть в решении комбинаторных задач, и наоборот, обычно успешные ученики могут сбиться с пути при решении новых задач комбинаторики [38].Джонс и др. [39] рассматривали следующие четыре уровня развития комбинаторного мышления: субъективный, переходный и неформальный, количественный и числовой. Локвуд [40] подчеркивает роль перечисления элементов, образующих набор результатов, при решении любых комбинаторных задач. Предложенная траектория решения задач от некоторых конкретных элементов до некоторых общих выражений казалась продуктивной, помогая студентам познакомиться с контекстом перед обобщением с использованием переменных.Задачи комбинаторики обеспечивают разумную среду для обобщения решения, поскольку «задачи подсчета часто доступны, но сложны, и эти доступные задачи обеспечивают естественную структуру, на основе которой студенты могут делать обобщения» [41] (стр. 311). В процессе обобщения, основанного на комбинаторном решении задач, любой одаренный ученик пытался глубже понять комбинаторную ситуацию, более точно определить некоторые предположения, и сформулированный план носил глобальный характер [42].Мало что известно о связи между математическими рассуждениями и комбинаторным мышлением. Заслуживает упоминания одно из немногих исследований [41], изучающих возможности комбинаторного доказательства, которое можно рассматривать как ценный инструмент для развития комбинаторного мышления и их навыков доказательства. Студентов, участвующих в исследовании, кажется, больше убеждают алгебраические аргументы, чем комбинаторные рассуждения. В настоящее время в математическом образовании постепенно отказываются от стандартного запоминания общих алгоритмов и повторения рутинных вычислений.Вместо этого студентов побуждают думать о данной проблеме более глубоко, анализировать и обсуждать возможности различных решений [43] и искать другие математические аспекты, связанные с математическим содержанием данной проблемы. Таким образом, любую математическую олимпиаду можно рассматривать как задачу [44], направленную на совершенствование учеников в том, чтобы задавать вопросы и использовать различные стратегии решения задач. Развитие математических рассуждений и стратегий решения задач поддерживается в любом математическом конкурсе, особенно нацеленном на взаимное сотрудничество студентов [2].Групповая работа в математическом образовании представляет собой метод обучения, основанный на определении совместного решения задач PISA (Программа международной оценки учащихся ОЭСР) [45] следующим образом: «способность человека использовать когнитивные процессы для противостояния и решения реальных, перекрестных -дисциплинарные ситуации, когда путь решения не сразу очевиден и где области содержания или учебные области, которые могут быть применимы, не находятся в пределах одной предметной области математики, естественных наук или чтения »(стр.7). Математические открытые задачи, требующие высших навыков математического мышления, могут предоставить студентам возможность поделиться своими знаниями [46], обсудить стратегии [47] и сделать выводы из группы как единое целое [48]. Как заявил Эриксон и Локвуд [49], чтобы доказать комбинаторную идентичность, необходимы различные когнитивные модели для понимания алгебраических обозначений. Более того, кажется, что на способность предоставлять правдоподобные рассуждения при решении комбинаторных задач влияет множество представлений, имеющихся в распоряжении учащихся, включая различные алгебраические обозначения [50].Поэтому мы считаем важным пролить свет на отношения между тремя математическими компетенциями в рамках решения сложной открытой математической задачи учениками с высокими достижениями. Кроме того, отношения обычно изучаются для отдельных студентов. Тем не менее, несколько исследователей [51,52] предполагают, что когнитивные способности развиваются в первую очередь через социальные взаимодействия, поэтому групповые решения должны быть исследованы при выполнении очень требовательной к познавательной деятельности деятельности, такой как решение сложных математических задач.Совместная работа в группах хорошо подходит для доступа к навыкам, проявляющимся в решении проблем, поскольку оно побуждает студентов объяснять свое мышление и участвовать в совместной разработке заключительного задания [53].

Нам не известно ни об одном исследовании, посвященном взаимосвязи между различными математическими способностями при изучении групповых решений очень сложных математических задач.

Наше исследование сосредоточено на анализе командного математического соревнования, известного как математический день B, в двух конкретных аспектах: количественном и качественном.Задание конкурса было проанализировано как целостный комплекс математических задач, направленных на исследование по математике. Мы проанализировали правильность решения подзадач с разным уровнем комбинаторного мышления, алгебраических обобщений и математических рассуждений. Затем результаты анализа сравнивались с аутентичными решениями групп из 3–4 студентов.

Вопрос исследования был сформулирован следующим образом: каковы (импликативные) отношения между уровнями алгебраического обобщения, математического мышления и комбинаторного мышления, проявляющиеся в процессе решения нестандартных математических задач группами учеников старших классов средней школы. ?

2.Материалы и методы

Соревнования по математике B-day [54] — это уникальная возможность для учащихся старших классов средней школы поучаствовать в решении реальных математических открытых задач и продемонстрировать свои математические знания и компетенции, предполагая и доказывая по математике. В Словацкой Республике факультет математики Философского университета Константина в Нитре является организатором такого мероприятия, хотя истоки этого конкурса были в Нидерландах. Суть олимпиады по математике B-day основана на образовательной программе по математике для будущих университетских ступеней технических исследований и исследований в области естественных и математических наук.

Студенты, разделенные на группы по три или четыре члена, решают задание, созданное с целью мотивирующего исследования по математике. Задание представляет собой набор последующих задач, связанных с одной выбранной ситуацией, составленных в непрерывном тексте.

Цель задания по математике B-day 2018 [55] была основана на математической открытой задаче под названием «Проблема червя Мозера», сформулированной следующим образом: «Какая поверхность наименьшей плоской формы может покрывать все линии длиной 15? см?» [56] (стр.153). Ситуация была представлена ученикам как рассказ о некой змее длиной 15 см, которой нужно одеяло для каждой позиции, пока эта змея спит. Поставленные задачи были направлены на объяснение конкретных соотношений, при обобщении и доказательстве, и, наконец, на математическое моделирование как таковое. Студенты могли использовать рекомендованные манипуляторы (медную проволоку, лист миллиметровой бумаги, компас, ножницы и т. Д.) Для своих экспериментов на первом этапе процесса решения, а затем было рекомендовано динамическое программное обеспечение GeoGebra.Более чем очевидно, что для успешного решения требуются некоторые элементарные знания, вытекающие из геометрии (например, плоская геометрия и тригонометрия), а также комбинаторики (например, перечисление комбинаций для создания шаблона). В 2018 году 131 студент собрался в 33 команды решили задание олимпиады по математике. Предполагается относительно высокая успеваемость по математике, потому что только два лучших отчета от каждой участвующей школы могут быть представлены для окончательной национальной оценки.Реальные и реальные способности решать нестандартные математические задачи являются одним из основных компонентов общей способности решать проблемы [57]. Нестандартные проблемы потребуют высокой когнитивной нагрузки [58], поэтому решения успешных людей необходимо анализировать в большей степени. По этой причине решатели, которые участвовали в математическом мероприятии B-day, могут представлять подходящую выборку для наблюдения за уровнем обобщения и доказательства в математике.

2.1. Задание математического дня рождения 2018: Змеиное гнездо

Полный текст задания представляет собой 14 страниц непрерывного математического текста, содержащего несколько видов нестандартных задач, направленных на следующие темы и темы: эксперименты, вычисления, а затем, объяснение, обобщение, а также доказательство некоторых актуальных и реальных отношений.Это исследование было сосредоточено на некоторых необходимых подзадачах, требующих некоторых навыков математического мышления более высокого порядка, особенно в области доказательства и обобщения. Задание состоит из 6 задач, разделенных на несколько подзадач, которые характеризуются как открытые задачи.

Вводные подзадачи (1a – 1e) были нацелены на форму круга, охватывающего все положения змеи, представленной кривой длиной 15 см. Студенты должны были найти минимально возможный радиус и свойства в конкретных случаях.В подзадачах 2a – 2e ученикам объясняется стратегия позиционирования змеи на специальном примере: змея согнулась в прямоугольнике.

Следующие ниже задачи 3, 4 и 6 направлены на обнаружение наименьшей плоской формы, представленной несколькими формами, такими как половина и четверть круга, треугольника или ромба. Впоследствии учащихся просят организовать как можно меньшую площадь одеяла, отрезая все бесполезные части вышеупомянутых форм. Видимо и определенно в задании 5 потребуются какие-то навыки комбинаторного мышления.Задача о наименьшей площади одеяла рассматривается с помощью упрощенной модели, представленной тетразмейкой. Тело любой тетразмеи состоит из квадратов, центры которых можно соединить линиями. Любая пунктирная линия может определять любое положение змеи в соответствии с их формой, как показано на рисунке 1. Результаты вводных заданий должны быть полезны для создания математической модели окончательных заданий, назначенных следующим образом: 15-сантиметровая змея »[55] (с.14). Предлагаемый подход обобщен в следующих шести этапах:

Укажите, какой тип змей и какой тип одеял вы рассматриваете.
Экспериментируем.
Дайте стратегию позиционирования для всех форм этих одеял.
Найдите соответствующие минимальные размеры.
Объясните, что все формы остаются под одеялом со стратегией третьего шага.
Отрежьте кусочки от одеяла, чтобы сделать его еще меньше.

Как упоминалось выше, задание состоит из нескольких типов взаимосвязанных задач, характеризуемых как открытые проблемы. Подзадачи были разделены на три группы в зависимости от уровня требуемых способностей: (а) экспериментирование и применение, (б) рассуждение и предположение, (в) обобщение и доказательство. Первая группа подзадач требует некоторых базовых способностей для решения рутинных задач, направленных на оценку конкретного результата или задач с закрытой целью, но открытым подходом.Две другие группы представляют проблемы, требующие более высокого уровня способностей. На рисунке 2 ниже показано, как взаимосвязаны подзадачи всех назначений. Схема (рисунок 2) показывает, что любое назначение состоит из рекомендуемых шагов в окончательном назначении. Для достижения успеха требуется использование широких способностей учащихся на всех уровнях. Задача 5 основана на сути основной задачи найти наименьшее одеяло для змеи, но с учетом использования комбинаторики. Таким образом, подзадачи 5a – 5f кажутся независимыми от всего текста задания, и предположение о том, что предыдущие задачи могут повлиять и повлиять на успех решения задачи 5, опускается.Проблема червя Мозера может быть включена в область комбинаторной геометрии. Таким образом, в частности, мы нацелились на подзадачи, в которых предполагалось проявить исследуемые навыки, в частности подзадачи 1c, 1e, 2a, 2e, 5e, 5f, 6a, 6b (см. Полное задание в [55]), а в случай подзадач 5a – 5f комбинаторного мышления, а также заключительное задание, сфокусированных в основном на навыках математического моделирования.

2.2. Статистический анализ

В этом исследовании использовалось описательное корреляционное исследование для оценки взаимосвязи между уровнем алгебраического обобщения учащихся, математическими рассуждениями и комбинаторным мышлением.Задание, описанное в разделе 2.1, было решено 33 группами учеников из 11 гимназий Словакии в рамках конкурса Mathematical B-day 2018. Каждая группа состояла из 3–4 учеников. Предполагаемый результат конкурса, итоговый отчет каждой группы были оценены, и были исследованы следующие переменные. Уровень навыков рассуждения был назначен каждому решению учащегося всех исследованных подзадач (2a, 5f, 6a, 6b, 6d) и финальное задание (FA). Уровень алгебраического обобщения присваивался каждому студенту решению подзадачи 5f, а также итоговому заданию (FA).Подзадачи 5a, 5c, 5f и финальное задание оценивались на уровень комбинаторного мышления. В таблице 1 приведены все данные по оценке математических способностей. После этого был проведен последующий статистический анализ полученных данных с использованием программной среды R [59], с применением пакетов RVAideMemoire [60], lsr [61] и rchic [62]. Показатели успешности выполнения подзадач данного задания сравнивались с помощью Q-теста Кохрана, который является обобщением теста Макнемара для двух независимых выборок.Частные задачи рассматривались как независимые выборки. Впоследствии апостериорный анализ, сравнивающий каждую пару проблем, был выполнен с помощью теста Макнемара. Уровни навыков рассуждения и алгебраического обобщения в проанализированных подзадачах были сопоставлены, а затем проанализированы апостериорно с помощью теста Фридмана.

Оценивались взаимоотношения между оцениваемыми особенностями группового решения комплексной задачи. Были реализованы различные статистические характеристики в зависимости от шкалы, используемой для конкретной переменной.Связь между булевой переменной, описывающей корректность решения тех или иных подзадач, оценивалась коэффициентом φ. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена ρ использовался для оценки взаимосвязи между навыками рассуждения на уровне, комбинаторным мышлением и обобщением алгебраических паттернов, проявляющихся в конкретных подзадачах. Скорректированная буква V Крамера была рассчитана для измерения связи между правильностью решения конкретной подзадачи и уровнями обобщения, рассуждений и комбинаторного мышления.

Статистический импликативный анализ (SIA) [63] применялся для изучения некоторых взаимоотношений между определенными атрибутами оценивания и для оценки отношений между подзадачами в основном задании и успеваемостью учащихся в итоговом задании.

3. Результаты

Из 33 представленных командных решений 27 пытались решить финальное задание. Относительная частота исследуемых пунктов значительно различалась (Q = 5,4, p = 0,020), попарное сравнение по критерию Макнемара представлено в таблице 2.Нулевая гипотеза была сформулирована для каждой пары подзадач следующим образом: «Нет существенной разницы между соотношением неправильно решенных подзадач для подзадачи A и подзадачи B». Уровни навыков рассуждения варьировались между задачами (chi2 = 48,607, p <0,001), в отличие от уровня алгебраического обобщения (chi2 = 1,316, p = 0,251). Три подзадачи были направлены на доказательство неравенства / невозможности (2a, 6a, 6b). Подзадача 2a решалась правильно и значительно чаще, чем две другие подзадачи (p2a6a = 0.035; p2a6b <0,001; p2a6d <0,001). Удивительно, но одной из наиболее успешных частей задания было последнее задание, требующее мышления более высокого порядка. Однако это открытая проблема, и студентам было разрешено выбирать свои собственные объекты исследования в соответствии с их вовлеченностью и самоэффективностью. Кроме того, проанализированные материалы были не раздаточными версиями, а итоговым отчетом, в котором представлены только избранные результаты. Результаты SIA (см. Рисунок 3) указывают на очевидную взаимосвязь между правильностью исследуемых подзадач.Правильное решение подзадачи 5f, направленной на оценку умения обобщать алгебраически подразумеваемое правильное решение другой подзадачи, направленной на оценку навыков обобщения, а именно подзадачи 2e. Хотя это подразумевалось правильным решением обобщения подзадач 6b, это также подразумевалось экспериментированием и применением высокого уровня, проявленным в командном решении подзадачи 6c. Кроме того, правильное решение 6a подразумевает правильное решение двух обобщений подзадач, 2e и 2a.Успех в 2а подразумевается также правильным решением FA. Прямое влияние подзадач 6a и 6b на успех в 6d не было подтверждено. Это может указывать на то, что именно обобщение является скрытой способностью вождения, поддерживающей математические рассуждения. Правильность командных решений коррелировала между вводными комбинаторными подзадачами (φ5a5b = 0,344, p5a5b = 0,05; φ5b5c = 0,449; p5b5c = 0,009) и между целевыми комбинаторными подзадачами. при оптимизации и обобщениях (φ5d5e = 0.547; p5d5e = 0,001). Стоит отметить, что правильное решение финального задания не коррелировало ни с одной из исследованных подзадач (таблица 3). По результатам, приведенным в таблице 4, можно утверждать, что уровни логического мышления проявляются в командных решениях подзадач 6а. , 6b и 6d коррелировали взаимно (ρ6ab = 0,814, p <0,001; ρ6ad = 0,475, p = 0,005; ρ6bd = 0,534, p = 0,001). С другой стороны, уровень алгебраических обобщений не коррелировал между подзадачей 5f и окончательным заданием.Уровень комбинаторного мышления коррелировал с уровнем обобщения, проявленным в итоговом задании (ρ = 0,453, p = 0,008).

Уровень комбинаторного мышления, проявленный в командных решениях оцениваемых частичных подзадач 5a, 5c и 5f, был коррелирован. Кроме того, комбинаторное мышление, проявленное в решениях подзадач 5c и 5f, коррелировало с алгебраическим обобщением, оцениваемым в командном решении подзадачи 5f (ρ5c5f = 0,536, p5c5f = 0,001; ρ5f5f = 0,393, p5f5f = 0,024).Корреляция между комбинаторным мышлением, проявляющимся в командном решении подзадачи 5c, и алгебраическим обобщением в 5f вызвана не одновременным использованием двух математических компетенций, а скорее в дизайне задачи как таковой, когда правильное решение задачи подзадача 5c необходима для решения подзадачи 5f. Напротив, в подзадаче 5f для успешного решения были необходимы обе компетенции. Кажется, что в отличие от математических рассуждений и алгебраических обобщений, способность использовать комбинаторное мышление оказывается очень последовательным среди частных подзадач исследуемой сложной проблемы.Из-за особого типа задач, а также из-за того, что решающие лица с высокими достижениями являются участниками исследования, невозможно сказать, является ли эта согласованность общей характеристикой комбинаторного мышления или особенностью проблемы или решателей.

Мы постарались связать правильность решения той или иной подзадачи с разным уровнем способностей. Правильность решения была связана с умением рассуждать, которое проявлялось в решениях нескольких исследуемых подзадач (таблица 5).Способность к рассуждению при решении подзадач 6a, 6b и 6d была связана с правильностью 6a (V6a6a = 0,543, p = 0,003; V6a6b = 0,577, p = 0,014; V6a6d = 0,501, p = 0,015). Кроме того, подзадача 5e была единственной подзадачей, в которой правильность решения была связана с уровнем логических навыков в FA (V = 0,206, p = 0,039).

Из 6 команд, которые смогли произвести правильное алгебраическое выражение в решении подзадачи 5f, использовали индуктивный подход, одна команда не представила никаких аргументов, а одна команда использовала абдуктивный подход.Уровень обобщения был связан с правильностью решения данной подзадачи (V = 0,645, p = 0,001). Уровень обобщения в 5f был связан с правильностью подзадачи 5a (V = 0,463, p = 0,024). Правильность итогового задания была связана с уровнем рассуждений (V = 0,606, p = 0,003), но не связана с уровнем обобщения (V = 0,355, p = 0,235), ни с проявленным уровнем комбинаторное мышление в этой сложной задаче (V = 0,182, p = 0,295). Это может быть снова вызвано другим, более открытым характером окончательного задания по сравнению с частичными подзадачами.

3.1. Пример подлинных командных решений подзадачи 2a

Подзадача 2a была отнесена к третьей группе как направленная на обобщение и доказательство, но в решениях учащихся этой подзадачи наблюдались только фактические уровни умений рассуждать и доказывать. Целью подзадач является проверка невозможности присвоенного аргумента.

3.1.1. Решение 2а.А

«На основе предыдущего эксперимента мы нашли интервал углов, для которого невозможно перекрыть Лену.Между наибольшим углом из позиции 1 (41,81 °) и наименьшим углом из позиции 2 (96,38 °) существует интервал углов, который невозможно уместить под крышкой. Например, угол размером 60 ° образует равнобедренный треугольник; следовательно, длины сторон треугольников равны и превышают 5 см. Оба прямоугольника, 5 × 15 и 5 × 14, не всегда закрывают Лену ».

Студенты использовали эксперимент в качестве основного метода для поиска решения (рис. 4).Ключевой параметр представляет собой оценочные длины максимумов треугольников, образованных изогнутой линией, на основе стратегий, изложенных в задании для подзадачи (см. Полное задание [55]). Впоследствии ученики нашли интервал углов, не совпадающий с размерами данного прямоугольника. Этот подход был направлен на оба назначенных прямоугольника. Заключение экспериментов студентов было выражено в простых утверждениях.

3.1.2. Решение 2a.B

«Давайте рассмотрим конкретную группу змей, особенно некоторых змей, состоящих из двух отрезков 7.Длина 5 см с точкой взаимных границ, которую мы будем называть вершиной змейки. Две оставшиеся граничные точки отрезков мы будем называть хвостами змеи. Пусть эти два отрезка образуют угол α. Мы будем называть этих змей ноутбуками, потому что они напоминают нам ноутбук из своего профиля.

«Сначала посмотрим на прямоугольник размером 14 см и 4 см. Нашей змейке этого одеяла мало. Таким образом, очевидно, что змея приобретает форму отрезка длиной 15 см при α = 180 °.Диагональ представляет собой самый длинный отрезок прямой в прямоугольнике. А длину этой диагонали можно вычислить по теореме Пифагора. В нашем случае длина диагонали всего 142 + 42≐14,56 см. Самая широкая часть одеяла для данного угла меньше, чем у нашей змейки, и по этой причине змейка не может поместиться под одеялом.

«Давайте попробуем одеяло размером 15 см и 5 см. Под это одеяло змея не поместится. Возьмем змейку под углом 60 °.Эта змея имеет форму равностороннего треугольника, и весь треугольник должен быть помещен внутри прямоугольника. Кратчайшее расстояние между вершиной и точкой противоположной стороны, высота треугольника, составляет примерно 6,63 см в длину. Если мы повернем этот треугольник в системе координат, для каждого поворота будет размер y больше 5, и поэтому он не может поместиться в прямоугольник, который в некоторых поворотах имеет это измерение, равное 5 ».

В решении 2a.B студенты описали свой подход к решению в двух частях для двух назначенных прямоугольников.В первом случае прямоугольника с конкретными размерами студенты использовали теорему Пифагора. Для заключения достаточно показать, может ли диагональ прямоугольника покрыть всю длину несогнутой змейки. Как и в предыдущем примере решения, студенты приближались, оценивая длину треугольников, созданных изогнутой змейкой для второго назначенного прямоугольника. Однако этот подход не основан на стратегиях, изложенных в назначении подзадачи.Студенты первоначально показали в одном выбранном примере невозможность аргументации, но в решении студентов отсутствует подробное описание или изображение эксперимента.

Таким образом, образ мышления студентов в обоих подходах к решению был правильным. Решение достигло первого уровня умений рассуждать и доказывать, потому что их описание содержит рассуждения на одном конкретном примере.

3.2. Пример подлинных командных решений подзадачи 6d

Следующая подзадача была отнесена ко второй группе на основе схемы взаимосвязанных подзадач, наделенных логическим обоснованием и гипотезой шагов и заданий, но все это требует, кроме того, некоторых навыков рассуждения и доказательства.Подзадача 6d аналогична предыдущей подзадаче 2a, но цель не в том, чтобы опровергнуть аргумент. Напротив, учащихся просят показать, что змея поместится в предполагаемой области при определенных условиях.

3.2.1. Решение 6d.A

«Давайте создадим одеяло, соединив два равносторонних треугольника высотой 7,5 см в длину, а затем поместим середину змеи на общий край треугольников [Рис. 5A].

«Мы можем оценить сторону треугольника x по теореме Пифагора: x2− (x2) 2 = 7.52 = 56,25, поэтому мы получаем с учетом всех корректировок, так что x = 75. Что ж, тогда площадь одного треугольника составляет 75 · 7,52, и поэтому площадь всего одеяла можно оценить как 75 · 7,5. Но достаточно ли этого одеяла?

«Поместите змею так, чтобы ее середина находилась на общих сторонах двух треугольников, и змея касалась двух сторон треугольников, как показано на рисунке B [Рисунок 5B] (одна половина касается одной стороны , вторая половина касается второй).

«Тогда мы видим, что одна половина не может пройти через две стороны, потому что высота треугольника, расстояние между этими двумя сторонами, равны длине половины змеи.”

На первом этапе решения 6d.A ученики вычислили длину стороны равностороннего треугольника для оценки площади ромба. Даже если окончательный результат для области правильный, учащиеся ошиблись в обозначении уравнения. Однако оценка площади алмазов не требовалась в случае решения подзадачи 6d. Здесь важнее было сосредоточиться на аргументации аргумента. Но вывод студентов не состоит из каких-либо математических доказательств, даже из каких-либо математических рассуждений, которые могли бы достичь цели этой подзадачи.Само умение рассуждать и доказывать, проявленное в решении А подзадачи 6d, остается на уровне 0.

3.2.2. Решение 6d.B

«Обе части формы (ромба) представляют собой два равносторонних треугольника, поэтому нам просто нужно посмотреть на один из них, потому что, кроме того, такой же большой кусок змеи выходит за пределы с обеих сторон. Пусть равносторонний треугольник будет иметь высоту 7,5 см в длину. Выберем точку M на одной из сторон треугольника. Мы проведем линию от этой точки, касаясь другой стороны, и наша цель состоит в том, чтобы змея не выходила за третью сторону.По этой причине пойдем по кратчайшему пути. Таким образом мы обнаружим, что отразим третью сторону осевой симметрии на основе второй стороны и продолжим перпендикуляр с первой стороны.

«На рисунке 6 мы видим, что зеленая линия — проекция третьей стороны, основанной на второй — параллельна первой стороне — и точка A лежит на ней. Перпендикуляр всегда является кратчайшим расстоянием, и когда перпендикулярная линия параллельна другой линии, это означает, что линия с самым коротким расстоянием будет перпендикулярна также первой линии.По этой причине расстояние равно высоте треугольника, то есть 7,5 см ».

Студенты использовали надлежащие методы и инструменты, чтобы найти правильные математические доказательства, но описание студентов неясно. Поначалу окончательный (подчеркнутый) вывод запутан. Описание сторон треугольников точно не названо. Кроме того, добавленное изображение не содержит точной метки. Например, есть точка M, определенная в начале решения.Но в следующем объяснении, а также на картинке отмечена точка A.

3.3. Пример подлинных командных решений подзадачи 5f

Вся задача 5 направлена на развитие навыков комбинаторного мышления. Каждая подзадача требует разных навыков на разных уровнях. Подзадача 5f была выбрана в качестве следующего примера главным образом потому, что она требовала всех наблюдаемых навыков в этом исследовании, следовательно, алгебраического обобщения, рассуждений и доказательств, а также комбинаторного мышления.

3.3.1. Решение A

«Если мы согнем змею только один раз в любой точке, то площадь одеяла может быть рассчитана следующим образом 2 (n − 1) для всех видов змей, кроме змеи с длиной тела. 1, потому что формула для него недействительна ».

Решение учащихся представляет собой краткое выражение, формулу или гипотезу для оценки желаемой области. Однако более подробное математическое описание или формулировка этой гипотезы здесь отсутствует. По этой причине ученики не прикладывали никаких усилий к возможным комбинациям некоторых изогнутых змей.Подводя итог, студенты проявили навык алгебраического обобщения на уровне 2, их навыки рассуждения и доказательства на уровне 0, а их комбинаторное мышление не наблюдается в решении 5f.A.

3.3.2. Решение B

«Давайте получим изогнутую тетразмею с длиной тела n; и n не может быть равно 1 или 2, так как наименьшая из возможных сгибаемых тетразмей имеет длину тела 3. В согнутой тетразмеи один квадрат представляет собой точку изгиба, а другие n − 1 квадраты разделены между две руки.В крайнем случае, первое плечо состоит из n − 2 квадратов, а второе плечо — из одного квадрата. Это наиболее непропорциональное распределение. На следующем этапе мы переместим квадраты с более длинной руки на более короткую. В наиболее пропорциональном распределении, если n — четное число, такое же количество квадратов в руках тетразмеи, а если n — нечетное число, в одной руке n − 12 + 0,5 квадратов и n − 12−0,5 квадратов в другом плече. Когда мы добавляем еще один квадрат (например, есть руки тетразмеи длиной 5 и 3, затем 4 и 4, а затем 3 и 5), у нас уже есть эта опция и, следовательно, мы можем наклонить тетра- змейка очень легко.

Это означает, что одно плечо одеяла должно иметь длину n − 2 квадратов (в крайнем случае), а другое плечо должно иметь длину n − 12, если n — четное число, и n − 12−0,5, если n нечетное число. Тогда площадь одеяла составляет S = n-2 + 1 + n-12 для четного n и S = n-2 + 1 + n-12-0,5 для нечетного числа n. Общая форма формулы:

S = n − 2 + 1 + n − 12 + ((- (n mod 2) + 1) ⋅ (−0,5) = 32⋅ ((- (n mod 2) + 1) ⋅ (−0,5). ”

Студенты предложили общее выражение формулы для оценки площади прикрытия согнутой змейки, поэтому навыки алгебраического обобщения хорошо проявились на уровне 3.Однако их выводы не формализованы в виде доказательства или теоремы. Таким образом, учащиеся достигли 2-го уровня в умении рассуждать и доказывать. Что касается навыков комбинаторного мышления, то уровень 2 демонстрируется в решении 5f.B.

3.3.3. Решение C

«Теперь мы собираемся сосредоточиться на односторонних тетразмейках, но без условия, что их точка изгиба должна быть посередине змеи. Мы рисуем (рис. 7A) для всех возможных ситуаций для n∈ 〈1; 7〉. «Мы попытаемся обобщить наблюдаемые свойства для получения формулы, выражающей наименьшее возможное одеяло для тетразмеи длиной n (рис. 7B. ).

«Примечание: мы не будем рассматривать тетразмей с их длиной в 1 и 2 квадрата, потому что эти тетразмеи представляют собой особые случаи и их нельзя согнуть».

Определенно, в решении 5f.C. можно наблюдать более высокие навыки. Студенты проявили 3-й уровень в навыках алгебраического обобщения, а также в навыках комбинаторного мышления. На основе выбранного подхода и инструментов студенты выяснили общую формулу (рис. 7Б). Однако и в этом случае это не формализовано в виде доказательства.Учащиеся достигли 2-го уровня в умении рассуждать и доказывать.

4. Обсуждение

В этой статье мы попытались исследовать конкретные отношения между способностью к алгебраическому обобщению, комбинаторным мышлением и математическим доказательством, которые проявлялись во время решения сложных открытых математических задач в командном соревновании. Сложное задание требовало разнообразных знаний отдельных студентов, участвующих в коллективных решениях, а также их навыков, способностей и опыта [64].Определенные корреляции между алгебраическим обобщением и навыками рассуждения были подтверждены в тех случаях, когда студенты решали открытую математическую задачу, требуя и того, и другого, что означает одновременное использование некоторых навыков рассуждения и некоторых навыков обобщения. Однако такая же связь между этими двумя способностями не была подтверждена среди всех исследованных подзадач. Это подтверждает вывод о том, что математические рассуждения не обязательно связаны с успеваемостью учащихся в решении задач, не предъявляющих высоких когнитивных требований [65].Кроме того, Nunes et al. [66] рассматривали математические рассуждения и алгебраические навыки как два отдельных вклада в достижение в решении математических задач. Были исследованы отношения между некоторыми аспектами решения математических задач, а способность между контролем переменных и рассуждением была подтверждена также в [67]. Тем не менее, Чимони и Питта-Пантази [68] определили способность рассуждать по аналогии, последовательным или дедуктивным рассуждениям как важный прогностический фактор для алгебраического мышления учащихся младших классов средней школы.Студенты должны смотреть за пределы поверхностных характеристик проблемы, чтобы иметь возможность построить математическую модель, которая является достаточно общей и отражает суть ситуации [69]. Расстояние между умениями рассуждать, основанными на выработанном обобщенном шаблоне, может быть препятствием для студентов и возможной или вероятной причиной их неудач при построении математической индукции [31]. Взаимосвязь между уровнем обобщения и умением рассуждать может быть основана на природе математического доказательства, когда «построение дедуктивного доказательства выполняется только тогда, когда индуктивная аргументация основана на обобщении паттернов процесса» [70] (с.147). Анализируемые подзадачи комбинаторики сильно коррелировали и коррелировали с уровнем обобщения. Однако такая корреляция неудивительна, тогда как самый высокий уровень комбинаторного мышления, определенный Jones et al. [39] приводит к решению комбинаторной задачи с помощью выражения или формулы [14]. С другой стороны, на основании результатов, сообщенных Lockwood et al. [71] повторное изобретение комбинаторных формул предъявляет более высокие требования к уровню комбинаторного мышления, чем к алгебраическому обобщению.Проявленные навыки рассуждения были значительно выше по подзадачам 2a, 6a и 6b по сравнению с решением подзадачи 6d. Аналогичная связь наблюдается и в случае правильности решения учащихся. Наши результаты показывают, что легче доказать, что заданная ситуация невозможна или равенство недействительно, чем доказать обоснованность утверждения, даже если такого рода задачи обычно неизвестны или даже новы для многих студентов [72]. В то время как отношение в математике может быть результатом автоматизации повторяющейся эмоциональной реакции, учащиеся с отрицательным отношением к геометрическим доказательствам могут присоединить такое же отношение ко всем доказательствам в других математических областях [73], следовательно, использование вышеупомянутых видов доказательств может уменьшить отрицательное отношение к математическому доказательству как таковому.Кажущаяся независимость между способностью обеспечивать математические рассуждения и комбинаторным мышлением может иметь ресурс в том факте, что алгебра, как правило, является первой частью математики, где студентов просят предоставить абстрактные математические рассуждения [74]. Исследуемые проблемы были нацелены на умение рассуждать. и математическое доказательство (2a, 6a, 6b и 6d) и при алгебраическом обобщении как таковом (5f). Подзадачи были структурированы и ориентированы на конкретные способности учащихся. При решении сложной плохо структурированной открытой задачи математического моделирования, т.е.е., последнее задание, у наших учеников больше свободы для математических исследований и включения различных математических способностей. Это может соответствовать требованию, сформулированному Новотной [75], показывая, что у студентов должна быть реальная возможность испытать некоторое удовольствие при открытии, но также одновременно имея возможность учиться, приобретать некоторые новые знания или навыки, они будут возможность впоследствии применить в других ситуациях. Таким образом, в заключение, любое математическое моделирование позволяет и требует как создания выражения, так и доказательства достоверности полученного результата.Взаимодействие между исследуемыми способностями поддерживает более сложное решение проблемы, чем каждый из навыков, возникающих изолированно от других [76].

Ограничения исследования

При обобщении результатов представленного исследования следует помнить, что выборка не была случайной или стратифицированной. Данные были получены из результатов участников Дня подготовки по математике, что добавляет к результатам систематической ошибки самостоятельного выбора. Напротив, любые отношения между различными источниками математических знаний наиболее заметны при решении сложной задачи учениками с высокими успеваемостями [57].Группы обычно даже более успешны при решении сложных задач [52], поэтому отношения более приемлемы для исследования в такой обстановке. Поэтому анализировался групповой результат, а не индивидуальный вклад. Поскольку «совместные партнерства привлекают разных участников для решения разных задач» [64] (стр. 254), мы сосредоточились на результатах совместной деятельности, независимо от предыдущего опыта групповой работы и распределения нагрузки между членами команды. Хотя анализа работы групп студентов может показаться недостаточным для исследования всех когнитивных аспектов взаимосвязи между способностями рассуждений, комбинаторным мышлением и алгебраическим обобщением, а некоторые лежащие в основе переменные, возможно, могут быть скрыты, некоторые конкретные отношения тем не менее наблюдались. .Как сообщается в метаанализе Lou et al. [77] общая групповая цель (в данном случае участие в математическом соревновании) необходима для того, чтобы совместная работа в группе была эффективной. Хотя результаты этого исследования могут относиться только к особой группе студентов, они экстраполируют отношения между обычными студентами как решателями математических задач.

Комбинаторное мышление для решения задач комбинаторики в типе отбора | Мафтуха Хидаяти

Батанеро, К., Пелайо, В. Н., и Годино, Дж. Д. (1997). Влияние неявной комбинаторной модели на комбинаторные рассуждения школьников. Образовательные исследования по математике, 32, 181–199. https://doi.org/10.1023/A.

Айзенберг, М. М., & Заславский, О. (2004). Стратегии проверки студентов для комбинаторных задач. Математическое мышление и обучение, 15–36. https://doi.org/10.1207/s15327833mtl0601_2.

Английский, Л. Д. (1991). Комбинаторные стратегии детей младшего возраста.Образовательные исследования по математике, 22 (5), 451–474. https://doi.org/10.1007/BF00367908.

Английский, Л. Д. (2005). Комбинаторика и развитие комбинаторного мышления детей. Изучение вероятности в школе: проблемы преподавания и обучения, 121–141. https://doi.org/10.1007/0-387-24530-8_6.

Forsström, S. E. & Kaufmann, O.T. (2018). Обзор литературы, посвященный использованию программирования в математическом образовании. Международный журнал обучения, преподавания и педагогических исследований, 17 (12), 18–32.https://doi.org/10.26803/ijlter.17.12.2.

Годино, Дж. Д., Батанеро, К., и Роа, Р. (2005). Онто-семиотический анализ комбинаторных задач и процессов их решения студентами вузов. Образовательные исследования по математике, 60 (1), 3–36. https://doi.org/10.1007/s10649-005-5893-3.

Грауман, Г., и Германия, Б. (2002). Общие цели математического образования объяснены на примерах из преподавания геометрии. В: A. Rogerson (Ed.), The Mathematics Education into the 21 St Century Project, Proceedings of the International Conference TheHumanistic Renaissance in Mathematical Education, Sicily (Italia), 150–152.

Хеонг, Ю. М., Юнос, Дж. М., Осман, В., Хассан, Р., Кионг, Т. Т., и Мохамад, М. М. (2012). Анализ потребностей в изучении навыков мышления высшего порядка для генерации идей. Процедурно-социальные и поведенческие науки, 59, 197–203. https://doi.org/10.1016/j.sbspro.2012.09.265.

Кавусян С. (2008). Опрос о том, как студенты-старшекурсники понимают комбинаторное. Канада: Университет Саймона Фрейзера.

Лихтман, М. (2009). Качественные исследования в образовании: руководство пользователя (2-е изд.). США: SAGE.

Локвуд, Э. (2013). Модель комбинаторного мышления студентов. Журнал математического поведения, 32 (2), 251–265. https://doi.org/10.1016/j.jmathb.2013.02.008.

Мелусова Дж., Видерманова К. (2015). Стратегии учащихся старших классов средней школы для решения комбинаторных задач. Процедурно-социальные и поведенческие науки, 197, 1703–1709. https://doi.org/10.1016/j.sbspro.2015.07.223

Национальный совет учителей математики.(2000). Принципы и стандарты школьной математики. Рестон, Вирджиния: NCTM.

OECD. (2014). Результаты PISA 2012: что студенты знают и могут делать — успеваемость учащихся по математике, чтению и естественным наукам. Издательство ОЭСР (Том I). https://doi.org/10.1037/e530172011-002.

Пизло, З., и Ли, З. (2005). Решение комбинаторных задач: 15-головоломка. Память и познание, 33 (6), 1069–1084. https://doi.org/10.3758/BF03193214.

Поля, Г. (1957). Поля Как это решить.Нью-Йорк: Doubleday & Company, Inc.

Поурдавуд, Р. Г., и Лю, X. (2017). Опыт, ожидания, убеждения и отношение учителей начальной школы к преподаванию и изучению математики. Международный журнал обучения, преподавания и педагогических исследований, 16 (11), 1–27. https://doi.org/10.26803/ijlter.16.11.1.

Резник, Б. Л. (1987). Образование и обучение мышлению. Вашингтон, округ Колумбия: National Academy Press.

Резайе, М., & Gooya, Z. (2011). Что я имею в виду под комбинаторным мышлением? Процедуры — Социальные и поведенческие науки, 11, 122–126. https://doi.org/10.1016/j.sbspro.2011.01.046

Цай, Ю. Л., и Чанг, К. К. (2009). Использование комбинаторного подхода для улучшения изучения студентами закона распределения и мультипликативных тождеств. Международный журнал естественнонаучного и математического образования, 7 (3), 501–531. 10.1007 / s10763-008-9135-х.

AC Рекурсивное решение комбинаторных задач

В этом разделе мы представляем примеры комбинаторных задач, решения которых могут быть вычислены рекурсивно.В главе 9 мы возвращаемся к этим проблемам и получаем еще более компактные решения. Наша первая проблема обсуждается во вводной главе.

Пример 3.3.

Семейство \ (n \) прямых нарисовано на плоскости, причем (1) каждая пара линий пересекается и (2) нет трех линий, пересекающихся в одной точке. Обозначим через \ (r (n) \) количество областей, на которые плоскость разбита этими прямыми. Очевидно, \ (r (1) = 2 \ text {,} \) \ (r (2) = 4 \ text {,} \) \ (r (3) = 7 \) и \ (r (4) = 11 \ text {.} \) Чтобы определить \ (r (n) \) для всех положительных целых чисел, достаточно заметить, что \ (r (1) = 2 \ text {,} \) и когда \ (n> 1 \ текст {,} \) \ (г (п) = п + г (п-1) \ текст {.} \) Эта формула следует из наблюдения, что если мы помечаем строки как \ (L_1 \ text {,} \) \ (L_2, \ dots, L_n \ text {,} \), то \ (n-1 \) точки на прямой \ (L_n \), где она пересекает другие прямые в семействе, делят \ (L_n \) на \ (n \) сегменты, два из которых бесконечны. Каждый из этих сегментов связан с областью, определяемой первыми \ (n-1 \) линиями, которая теперь разделена на две, что дает нам \ (n \) больше областей, чем было определено \ (n-1 \) линиями. . Эта ситуация проиллюстрирована на рисунке 3.4, где линия, содержащая три точки, — это \ (L_4 \ text {.} \). Другие линии делят ее на четыре сегмента, которые затем делят более крупные области для создания областей \ (1 \) и \ (5 \ text {, } \) \ (2 \) и \ (6 \ text {,} \) \ (7 \) и \ (8 \ text {,} \) и \ (4 \) и \ (9 \ text {.} \)

Рисунок 3.4. Линии и области на плоскости

Таким образом, используя рекурсивную формулу, мы имеем \ (r (5) = 5 + 11 = 16 \ text {,} \) \ (r (6) = 6 + 16 = 22 \) и \ (r (7) = 7 + 22 = 29 \ text {.} \) Даже вручную вычислить \ (r (100) \ text {.} \) Мы могли бы сделать это до обеда.

Пример 3.5.

Шахматная доска \ (2 \ times n \) будет выложена прямоугольниками размером \ (2 \ times1 \) и \ (1 \ times2 \ text {.} \) Найдите рекурсивную формулу для числа \ (t (n ) \) мозаик. Ясно, что \ (t (1) = 1 \) и \ (t (2) = 2 \ text {.} \) Когда \ (n> 2 \ text {,} \) рассмотрим прямоугольник, покрывающий квадрат в верхний правый угол. Если он вертикальный, то перед ним у нас есть мозаика из первых \ (n-1 \) столбцов. Если он горизонтальный, то прямоугольник, расположенный непосредственно под ним, представляет собой мозаику из первых \ (n-2 \) столбцов.Это показывает, что \ (t (n) = t (n-1) + t (n-2) \ text {.} \) В частности, \ (t (3) = 1 + 2 = 3 \ text {,} \) \ (t (4) = 2 + 3 = 5 \) и \ (t (5) = 3 + 5 = 8 \ text {.} \)

Опять же, если бы мы были вынуждены, мы могли бы получить \ (t ( 100) \) вручную, а система компьютерной алгебры могла бы получить \ (t (1000) \ text {.} \)

Пример 3.6.

Назовите троичную строку хорошо , если она никогда не содержит \ (2 \), за которым сразу следует \ (0 \ text {;} \), в противном случае назовите ее плохо . Пусть \ (g (n) \) будет количеством хороших строк длины \ (n \ text {.} \) Очевидно \ (g (1) = 3 \ text {,} \), поскольку все строки длины \ (1 \) хороши. Кроме того, \ (g (2) = 8 \), поскольку единственная неправильная строка длины \ (2 \) — это \ ((2,0) \ text {.} \). Теперь рассмотрим значение \ (n \) больше чем \ (2 \ text {.} \)

Разбивает набор хороших строк длины \ (n \) на три части в соответствии с последним символом. Хорошим строкам, заканчивающимся на \ (1 \), может предшествовать любая хорошая строка длины \ (n-1 \ text {,} \), поэтому таких строк будет \ (g (n-1) \). То же самое касается хороших строк, заканчивающихся на \ (2 \ text {.} \) Однако для хороших строк, заканчивающихся на \ (0 \ text {,} \), мы должны быть более осторожными. Мы можем предшествовать \ (0 \) хорошей строкой длины \ (n-1 \) при условии, что строка не заканчивается на \ (2 \ text {.} \) Есть \ (g (n-1) \) хорошие строки длины \ (n-1 \) и из них ровно \ (g (n-2) \) заканчиваются на \ (2 \ text {.} \). Следовательно, есть \ (g (n- 1) -g (n-2) \) хорошие строки длины \ (n \), которые заканчиваются на \ (0 \ text {.} \) Следовательно, общее количество хороших строк длины \ (n \) удовлетворяет рекурсивная формула \ (g (n) = 3g (n-1) — g (n-2) \ text {.} \) Таким образом, \ (g (3) = 3 \ cdot8 -3 = 21 \) и \ (g (4) = 3 \ cdot21-8 = 55 \ text {.} \)

Еще раз, \ (g (100) \) можно выполнить вручную, в то время как даже скромный компьютер можно уговорить выдать нам \ (g (5000) \ text {.} \)

Подраздел 3.5.1 Нахождение наибольших общих делителей

В следующей элементарной теореме больше смысла, чем вы думаете, которая, кажется, просто констатирует факт, который вам известен со второго класса.

Теорема 3.7. Теорема о делении.

Пусть \ (m \) и \ (n \) — натуральные числа.Тогда существуют единственные целые числа \ (q \) и \ (r \), так что

\ begin {уравнение *} m = q \ cdot n + r \ quad \ text {и} \ quad 0 \ le r \ lt n. \ end {уравнение *}

Мы называем \ (q \) частным и \ (r \) остатком .

Доказательство.

Урегулируем претензию по существованию. Часть уникальности — это просто алгебра средней школы. Если теорема не выполняется, то пусть \ (t \) будет наименьшим положительным целым числом, для которого есть целые числа \ (m \) и \ (n \) с \ (m + n = t \ text {,} \) но не существует целых чисел \ (q \) и \ (r \) с \ (m = qn + r \) и \ (0 \ le r \ lt n \ text {.} \)

Во-первых, отметим, что \ (n \ neq 1 \ text {,} \) для if \ (n = 1 \ text {,} \), то мы могли бы взять \ (q = m \) и \ (r = 0 \ text {.} \) Кроме того, у нас не может быть \ (m = 1 \ text {,} \), потому что если \ (m = 1 \ text {,} \), то мы можем взять \ (q = 0 \) и \ (r = 1 \ text {.} \) Теперь утверждение верно для пары \ (m-1 \ text {,} \) \ (n \), поэтому есть целые числа \ (q \) и \ (r \ ) так что

\ begin {уравнение *} m-1 = q \ cdot n + r \ quad \ text {и} \ quad 0 \ le r \ lt n. \ end {уравнение *}

Так как \ (r \ lt n \ text {,} \) мы знаем, что \ (r + 1 \ le n \ text {.} \) Если \ (r + 1 \ lt n \ text {,} \), то

\ begin {уравнение *} m = q \ cdot n + (r + 1) \ quad \ text {и} \ quad 0 \ le r + 1 \ lt n. \ end {уравнение *}

С другой стороны, если \ (r + 1 = n \ text {,} \), то

\ begin {уравнение *} м знак равно д \ cdot п + (г + 1) знак равно пк + п = (д + 1) п = (д + 1) п + 0. \ end {уравнение *}

Противоречие завершает доказательство.

Напомним, что целое число \ (n \) является делителем целого числа \ (m \), если существует целое число \ (q \) такое, что \ (m = qn \ text {.} \) (Мы пишем \ (n \ mid m \) и читать «\ (n \) делит \ (m \)».) Целое число \ (d \) является общим делителем целых чисел \ (m \) и \ (n \), если \ (d \) является делителем как \ (m \), так и \ (n \ text { .} \) Наибольший общий делитель чисел \ (m \) и \ (n \ text {,} \), записанный \ (\ gcd (m, n) \ text {,} \) , является наибольшим из всех общие делители \ (m \) и \ (n \ text {.} \)

Вот особенно элегантное применение предыдущей основной теоремы:

Теорема 3.8. Евклидов алгоритм.

Пусть \ (m, n \) — натуральные числа с \ (m \ gt n \), и пусть \ (q \) и \ (r \) — уникальные целые числа, для которых

\ begin {уравнение *} m = q \ cdot n + r \ quad \ text {и} \ quad 0 \ le r \ lt n.\ end {уравнение *}

Если \ (r> 0 \ text {,} \), то \ (\ gcd (m, n) = \ gcd (n, r) \ text {.} \) Если \ (r = 0 \ text {,} \), то \ (n \) делит \ (m \ text {,} \) и \ (\ gcd (m, n) = n \ text {.} \)

Доказательство.

Рассмотрим выражение \ (m = q \ cdot n + r \ text {,} \), которое эквивалентно \ (mq \ cdot n = r \ text {.} \) Если число \ (d \) равно делителем \ (m \) и \ (n \ text {,} \), то \ (d \) также должен делить \ (r \ text {.} \). Аналогично, если \ (d \) является делителем \ (n \) и \ (r \ text {,} \), тогда \ (d \) также должен делить \ (m \ text {.} \)

Вот фрагмент кода, который вычисляет наибольший общий делитель \ (m \) и \ (n \), когда \ (m \) и \ (n \) являются положительными целыми числами с \ (m \ ge n \ text {. } \) Мы используем знакомое обозначение m% n для обозначения остатка \ (r \) в выражении \ (m = q \ cdot n + r \ text {,} \) с \ (0 \ le r \ lt n \ text {.} \)

Не стесняйтесь изменять значения 12 и 5 выше в ячейке SageMath в HTML-версии текста, чтобы вычислить наибольший общий делитель некоторых других целых чисел.Просто помните, что код предполагает \ (m \ geq n \), когда вы это делаете!

Недостатком этого подхода является несколько расточительное использование памяти из-за рекурсивных вызовов функций. Нетрудно разработать код для вычисления наибольшего общего делителя \ (m \) и \ (n \), используя только цикл, т. Е. Нет рекурсивных вызовов. С минимальными дополнительными усилиями такой код также может быть разработан для решения следующей задачи диофантова уравнения:

Теорема 3.9.

Пусть \ (m \ text {,} \) \ (n \ text {,} \) и \ (c \) будут положительными целыми числами.Тогда существуют целые числа \ (a \) и \ (b \ text {,} \), не обязательно неотрицательные, решающие линейное диофантово уравнение \ (am + bn = c \) тогда и только тогда, когда \ (c \) равно кратное наибольшему общему делителю \ (m \) и \ (n \ text {.} \)

Давайте посмотрим, как можно использовать алгоритм Евклида для записи \ (\ gcd (m, n) \) в сформируйте \ (am + bn \) с \ (a, b \ in \ ints \) со следующим примером.

Пример 3.10.

Найдите наибольший общий делитель \ (d \) чисел \ (3920 \) и \ (252 \) и найдите целые числа \ (a \) и \ (b \) такие, что \ (d = 3920a + 252b \ text {.} \)

Решение

При решении проблемы мы демонстрируем, как выполнить алгоритм Евклида, чтобы мы могли найти \ (a \) и \ (b \), работая в обратном направлении. Прежде всего отметим, что

\ begin {уравнение *} 3920 = 15 \ cdot 252 + 140. \ end {уравнение *}

Теперь алгоритм Евклида сообщает нам, что \ (\ gcd (3920,252) = \ gcd (252,140) \ text {,} \), поэтому мы пишем

\ begin {уравнение *} 252 = 1 \ cdot 140 + 112. \ end {уравнение *}

Продолжая, у нас есть \ (140 = 1 \ cdot 112 + 28 \) и \ (112 = 4 \ cdot 28 + 0 \ text {,} \), поэтому \ (d = 28 \ text {.} \)

Чтобы найти \ (a \) и \ (b \ text {,} \), мы теперь работаем в обратном направлении по найденным ранее уравнениям, «решая» их для определения остаточного члена, а затем заменяя их. Начнем с

\ begin {уравнение *} 28 = 140-1 \ cdot 112. \ end {уравнение *}

Но мы знаем, что \ (112 = 252-1 \ cdot 140 \ text {,} \), поэтому

\ begin {уравнение *} 28 = 140-1 (252-1 \ cdot 140) = 2 \ cdot 140-1 \ cdot 252. \ end {уравнение *}

Наконец, \ (140 = 3920-15 \ cdot 252 \ text {,} \), теперь у нас

\ begin {уравнение *} 28 = 2 (3920-15 \ cdot 252) — 1 \ cdot 252 = 2 \ cdot 3920-31 \ cdot 252.\ end {уравнение *}

Следовательно \ (a = 2 \) и \ (b = -31 \ text {.} \)

Подраздел 3.5.2 Сортировка

Одной из наиболее распространенных и основных вычислительных проблем является сортировка: для данной последовательности \ (a_1, a_2, \ dots, a_n \) из \ (n \) различных целых чисел переставьте их так, чтобы они располагались в порядке возрастания. Мы описываем здесь простую рекурсивную стратегию для выполнения этой задачи. Эта стратегия известна как Сортировка слиянием и является одним из нескольких оптимальных алгоритмов сортировки. На вводных курсах информатики эта тема рассматривается более глубоко.В нашем курсе нам просто нужна хорошая стратегия, и сортировка слиянием отлично подходит для наших целей.

Чтобы представить сортировку слиянием, необходимо сначала разработать стратегию решения частного случая задачи сортировки. Предположим, у нас есть \ (s + t \) различных целых чисел

\ begin {уравнение *} \ {u_0, u_1, \ dots, u_ {s-1}, v_0, v_1, \ dots, v_ {t-1} \} \ end {уравнение *}

расположены в виде двух списков с \ (u_0 \ lt u_1 \ lt \ dots \ lt u_ {s-1} \) и \ (v_0 \ lt v_1 \ lt \ dots \ lt v_ {t-1} \ text {.} \) Как нам объединить этих двух последовательностей в одну возрастающую последовательность длины \ (s + t \ text {.} \) Представьте две последовательности, расположенные на двух горизонтальных линиях, одна непосредственно под другой. Тогда пусть \ (u \) будет наименьшим целым числом в первой последовательности, а \ (v \) наименьшим целым числом во второй. На данный момент это означает, что \ (u = u_0 \) и \ (v = v_0 \ text {,} \), но целые числа будут удалены из двух последовательностей по мере выполнения процесса. Тем не менее, значение \ (u \) и \ (v \) будет сохранено. Также установите \ (i = 0 \ text {.} \) Затем возьмите \ (a_i \) как минимум \ (u \) и \ (v \) и удалите \ (a_i \) из последовательности, в которой он имеет место.Затем увеличьте \ (i \) на \ (1 \) и повторите. Вот фрагмент кода для выполнения операции слияния, где \ (u_p \) теперь записывается как u [p] , а \ (v_q \) теперь записывается как v [q] .

Теперь, когда у нас есть хорошая стратегия слияния, легко разработать рекурсивную стратегию сортировки. Учитывая последовательность \ (a_1, a_2, \ dots, a_n \) \ (n \) различных целых чисел, мы устанавливаем \ (s = \ lceil n / 2 \ rceil \) и \ (t = \ lfloor n / 2 \ rfloor \ text {.} \) Тогда пусть \ (u_i = a_i \) для \ (i = 1,2, \ dots, s \) и \ (v_j = a_ {s + j} \ text {,} \) для \ (j = 1,2, \ dots, t \ text {.} \) Отсортируйте две подпоследовательности и затем объедините их. В качестве конкретного примера, учитывая последовательность \ ((2,8,5,9,3,7,4,1,6) \ text {,} \), мы разбиваем на \ ((2,8,5,9, 3) \) и \ ((7,4,1,6) \ text {.} \) Эти подпоследовательности сортируются (рекурсивным вызовом) в \ ((2,3,5,8,9) \) и \ ((1,4,6,7) \ text {,} \), а затем эти две отсортированные последовательности объединяются.

Для времени выполнения, если \ (S (n) \) — количество операций, необходимых для сортировки последовательности \ (n \) различных целых чисел, то \ (S (2n) \ le2 S (n) + 2n \ text {,} \), поскольку явно требуется \ (2n \) шагов для слияния двух отсортированных последовательностей длины \ (n \ text {.} \) Это приводит к оценке \ (S (n) \ lt C n \ log n \) для некоторой положительной константы \ (C \ text {,} \), и на курсах информатики вы узнаете (вот это упражнение), что это оптимально.

Mashup-листы по математике

Поддержка «Снова в школу»: посетите наш сайт «Снова в школу», чтобы найти бесплатные вебинары, видеоуроки и другие ресурсы, которые помогут вам во время школьного сезона. Щелкните здесь

Рабочие листы с расстановкой значений, бесплатный онлайн-инструмент для рабочих листов, создание собственных рабочих листов, планы уроков математики в начальной школе, рабочие листы с математическими задачами, бесплатные учебные мероприятия для детей, бесплатные распечатываемые рабочие листы для детей младшего возраста, начальная школа, образование, английский язык, детские мероприятия, рабочие листы , практика по математике, рабочие листы по математике, рабочий лист, учителя, школа, начальная школа, естествознание, занятия для детей…

Бесплатные рабочие листы по математике для 4-го класса — Mashup Math Бесплатные задания по математике для четвертого класса (с ключами ответов) Следующие распечатываемые рабочие листы по математике для 4-го класса взяты из учебной программы по математике Engenny K-12 и не изменились. Эта работа находится под лицензией Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Unported License.

1000 идей об искусстве фольги на pinterest | курсы по проектам клубов из алюминия и алюминиевой фольги моя дочь попросила меня составить управляемый проект, который она могла бы сделать в своем классе у нас были некоторые ограничения t st математический лист diy рождественский орнамент дополнительный кредит для продвинутых почестей forst lbartman com профессиональный учитель старшеклассники c наклейка на стену праздник homeschool кофе-брейк от…

Рабочие листы с расстановкой значений, бесплатный онлайн-инструмент для рабочих листов, создание собственных рабочих листов, планы уроков математики в начальной школе, рабочие листы с математическими задачами, бесплатные учебные мероприятия для детей, бесплатные распечатываемые рабочие листы для детей младшего возраста, начальная школа, образование, английский язык, детские мероприятия, рабочие листы , математическая практика, рабочие листы по математике, рабочий лист, учителя, школа, начальная школа, естественные науки, занятия для детей .

Комбинаторные задачи. 6-й класс

Урок математики в 6 классе «Правило умножения для комбинаторных задач», ФГОС

Решение нестандартных задач. Комбинаторика.

Методы решения комбинаторных задач — Сайт учителя математики Кобец Анны Викторовны — Сайт учителя математики Кобец Анны Викторовны

Открытый урок по математике в 6 классе на тему » Комбинаторика»

Конспект урока по математике «Правило умножения для комбинаторных задач» 6 класс

КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ — ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКЕ ДЛЯ 5-6 КЛАССОВ — Каталог статей

(PDF) Стратегия и методы решения комбинаторных задач начального обучения математике

Ласло Ловаш: 9780821842621: Amazon.com: Книги

Комбинаторика | математика | Британника

История

Ранние разработки

Комбинаторика в 20 веке

1.Введение

2.Материалы и методы

2.1. Задание математического дня рождения 2018: Змеиное гнездо

2.2. Статистический анализ

3. Результаты

3.1. Пример подлинных командных решений подзадачи 2a

3.1.1. Решение 2а.А

3.1.2. Решение 2a.B

3.2. Пример подлинных командных решений подзадачи 6d

3.2.1. Решение 6d.A

3.2.2. Решение 6d.B

3.3. Пример подлинных командных решений подзадачи 5f

3.3.1. Решение A

3.3.2. Решение B

3.3.3. Решение C

4. Обсуждение

Ограничения исследования

Комбинаторное мышление для решения задач комбинаторики в типе отбора | Мафтуха Хидаяти

AC Рекурсивное решение комбинаторных задач

Пример 3.3.

Пример 3.5.

Пример 3.6.

Подраздел 3.5.1 Нахождение наибольших общих делителей

Теорема 3.7. Теорема о делении.

Доказательство.

Теорема 3.8. Евклидов алгоритм.

Доказательство.

Теорема 3.9.

Пример 3.10.

Подраздел 3.5.2 Сортировка

Mashup-листы по математике

Добавить комментарий Отменить ответ