Кто изобрел круги эйлера: «Круги Эйлера при решении логических задач. Проект подготовил ученик 6а класса сш 22 Захаров Максим. Руководитель проекта учитель математики Кулагина К.К.». Скачать бесплатно и без регистрации.

Содержание

ГЛАВА 1 Базель, колыбель великого математика

Базель был прекрасным местом для начала научной карьеры, особенно в области математики.

Этот город был интеллектуальным центром высочайшего уровня, здесь располагался лучший университет Швейцарии и жили многие члены семьи Бернулли, самой знаменитой династии математиков в истории.

Именно они оказали покровительство молодому и многообещающему Эйлеру и привили ему любовь к анализу, которую он пронес через всю свою жизнь.

Базель — город в Швейцарии, занимающий стратегическое положение у границы с Францией и Германией. Он расположен на берегу Рейна недалеко от водопадов, которые делают невозможным речную навигацию. Сейчас в нем вместе с пригородами проживает 750 тысяч человек. Здесь находится самый старый в Швейцарии университет и многочисленные исторические памятники. В Базеле родились и жили такие выдающиеся деятели, как Андреас Везалий, Карл Густав Юнг, Эразм Роттердамский, Фридрих Ницше и Парацельс, а также семья Бернулли.

Сегодня самый известный житель Базеля — теннисист Роджер Федерер. Более образованные горожане предпочитают упоминать Эразма Роттердамского, который, хоть и родился не здесь, жил и умер в Базеле. Среди ученых и в особенности математиков самым выдающимся сыном Базеля считается Леонард Эйлер, родившийся здесь более 300 лет тому назад.

Эйлер был математиком, инженером, физиком, астрономом, философом, архитектором, музыкантом и иногда теологом, одним из самых влиятельных ученых XVIII века и одним из самых плодовитых в истории науки. Его именем названо множество математических явлений. Привести их полный список было бы проявлением излишнего педантизма, но в качестве примера необходимо упомянуть хотя бы эти: формула Эйлера, углы Эйлера, характеристика Эйлера — Пуанкаре, прямая Эйлера, формула Эйлера — Маклорена, теорема Эйлера — Лагранжа, теорема вращения Эйлера, теорема Эйлера о треугольниках, эйлеров цикл, круги Эйлера, эйлеров параллелепипед и еще около 140 названий, в зависимости от источника.

ЭЙЛЕР И СЕМЬЯ БЕРНУЛЛИ

Семья Эйлера ничем не была примечательна. Его отец, Пауль Эйлер, был пастором, а мать, Маргарита Брукер, — домохозяйкой и дочерью пастора. Леонард был старшим из четырех детей, у него было две сестры — Анна Мария и Мария Магдалена — и брат Иоганн Генрих, ставший довольно известным художником.

У Пауля Эйлера было неплохое математическое образование, поскольку в свое время он учился у Якоба Бернулли (1654-1705), выдающегося математика и основателя знаменитой династии, а также дружил с его братом Иоганном (1667— 1748), который был младше Якоба на 13 лет. Леонард Эйлер родился 15 апреля 1707 года. Отец хотел, чтобы он тоже стал пастором и в надлежащее время начал «пасти своих овец», но сыну была уготована другая судьба.

Юный Леонард уже в школе отличался большими способностями к языкам: хорошо говорил на немецком и французском, прекрасно знал латынь, достиг успехов в изучении иврита и греческого, как и ожидалось от будущего священника, и приступил к философии.

Считается, что, воспользовавшись дружбой своего отца с Иоганном Бернулли, Эйлер попросил его давать ему по субботам уроки математики. Так его преподаватель, один из крупнейших математиков эпохи, обнаружил у мальчика феноменальные способности к этой науке.

Гений Эйлера проявился в очень раннем возрасте: в 13 лет он поступил в университет, в 1723 году стал магистром философии, написав работу о теоретических различиях вселенных, вытекающих из учений Декарта и Ньютона. Иоганн Бернулли продолжал следить за успехами Эйлера и, хотя по характеру был очень скуп на похвалу, считал его гением.

СЕМЬЯ БЕРНУЛЛИ

Если попросить назвать четырех ученых, живших до XX века и занимающих математический олимп, то общепринятым ответом будет: Архимед, Ньютон, Эйлер, Гаусс. Если же попробовать выделить кого-то одного, задача усложнится. Многие проголосовали бы за разностороннего математика, представленного целой семьей Бернулли. Эта научная династия включала отцов, сыновей и братьев, которые оказывали влияние на науку на протяжении более 100 лет. В этой семье частенько возникали ссоры на почве математических расхождений, и некоторые из них имели серьезные последствия. Например, Якоб, основатель династии, написал в своем завещании, что запрещает своему брату Иоганну читать его научные записи; а тот, в свою очередь, обвинил своего сына Даниила в плагиате своей работы по гидродинамике. Более века (а точнее, 150 лет без перерыва) главой кафедры математики Базельского университета был представитель семьи Бернулли, и до середины XX века, то есть более 250 лет, в этом городе не было Бернулли без кафедры.

Значение семьи Бернулли

Самыми важными достижениями Бернулли считаются использование полярных координат, углубленное изучение лемнискаты и логарифмической спирали, решение различных задач по теории вероятностей и рядов, знаменитая задача по гидродинамике, названная их именем, и правило Бернулли — Лопиталя. Математический анализ получил огромное развитие именно благодаря этой семье и, усилиями Иоганна, стал любимой дисциплиной Эйлера.

Гравюра 1784 года, изображающая Иоганна и Якоба Бернулли, занятых решением геометрических задач.

ИОГАНН БЕРНУЛЛИ, АНАЛИЗ И БРАХИСТОХРОНА

Иоганн Бернулли оказал решающее влияние на образование и научные интересы Эйлера, а о важности его роли в науке стоит поговорить отдельно. Он был выдающимся математиком, возможно самым ярким из всей семьи, но его отец желал, чтобы тот стал торговцем, а затем врачом. В конце концов Иоганн посвятил себя математике, как и старший брат Якоб, всегда оказывавший ему поддержку, хотя их отношения периодически омрачались соперничеством и ссорами.

Иоганн был довольно самонадеян, часто оказывался в центре споров и дискуссий, в том числе и с членами своей семьи. Сделав открытие, он всегда претендовал на первенство, несмотря на то что другие сделали такое же открытие раньше него. Иоганна даже обвиняли в том, что он лгал, выдавая чужие открытия за свои.

Он был не только великим математиком, но и настоящим кладом для историков, которые благодаря ему смогли узнать множество анекдотов, например о случае с маркизом де Ло- питалем (1661-1704), богатым аристократом и великолепным математиком. Лопиталь заключил с Бернулли необычный интеллектуально-экономический договор: за плату маркиз получал право доступа к открытиям Иоганна и мог выдавать их за свои. Фундаментальные для математического анализа инструменты, такие как правило Лопиталя — Бернулли, увидели свет под именем маркиза, хотя на самом деле были открыты Иоганном. Великолепная книга маркиза де Лопиталя «Анализ бесконечно малых для исследования кривых линий» была встречена читателями с восторгом, но сегодня мы знаем, что авторство он должен разделить с Бернулли. После смерти маркиза Иоганн предъявил права на все, что на самом деле было открыто им, но прошло некоторое время, прежде чем ему поверили.

В июне 1696 года, еще до рождения Эйлера, на страницах первого научного журнала в истории Acta emditorum («Деяния ученых»), издаваемого в Лейпциге, Иоганн Бернулли бросил вызов своим коллегам: на основе заданных точек А и В, где А находится на высоте, отличной от В, найти траекторию, которую опишет тело, двигаясь от одной точки к другой под действием только силы притяжения. Разумеется, у самого Иоганна уже было решение (которое, как выяснилось позже, было не совсем верным), и он просто хотел проверить своих коллег и в особенности брата Якоба. В мае 1697 года в Acta eruditorum были опубликованы правильные результаты, в которых искомой кривой признавалась циклоида с началом в точке А и максимумом в В (см. рисунок).

Циклоида — это кривая, описанная точкой на окружности, которая катится по прямой.

Среди знаменитых ученых, нашедших правильное решение, были Лейбниц и Якоб Бернулли. Превосходное, но анонимное решение пришло из Лондонского Королевского общества. Прочитав его, Иоганн понял, что за ним стоял гениальный Ньютон. Считается, что он сказал фразу «лев узнается по своим когтям», которая стала популярной как аллегорическая похвала английскому ученому.

Как мы уже видели, циклоида — это кривая, которая в определенном случае может быть названа брахистохроной (от греческого «брахистос» — «самый короткий» и «хронос» — «время»). Все вышеперечисленные события вошли в историю математики как задача о брахистохроне. Много лет спустя Эйлер также обратился к циклоиде и брахистохроне, занимаясь вариационным исчислением — сильнейшим методом, созданным им вместе с Жозефом Луи Лагранжем (1736-1813) и оказавшим огромное влияние на развитие механики.

ПЕРВЫЕ ШАГИ ГЕНИЯ

Иоганн Бернулли пытался убедить Пауля, что будущее его сына заключается не в сане священника и не в теологии, а в математике. Эйлер подавал огромные надежды.

В 1726 году, в возрасте 19 лет, Эйлер уже был доктором наук.

Его диссертация — назовем эту работу современным термином — была посвящена распространению звука и называлась Dissettatio physico de sono («Диссертация по физике о звуке»). Научным руководителем юноши был Иоганн Бернулли. Эта работа могла обеспечить Эйлеру оставшуюся свободной кафедру в Базельском университете, но это было маловероятно, учитывая его юный возраст. Как и следовало ожидать, должности он не получил.

В 1727 году Эйлер принял участие в Grand Prix Парижской академии наук, предложив решение задачи о том, где лучше всего размещать мачты на корабле. Нельзя не увидеть в этом иронию судьбы: конкурс, посвященный навигации, собирался выиграть «сухопутный» Эйлер. Как пишет биограф Эйлера Эмиль Фельман, самой большой массой воды, которую тот видел в своей жизни, был Рейн, поэтому, как и большая часть населения Швейцарии, юноша был чрезвычайно далек от вопросов навигации. Так или иначе, Эйлер принял участие в конкурсе и, хоть и не выиграл его, получил медаль с отличием и приобрел известность в научном сообществе.

Победителем стал Пьер Бугер, ординарный профессор 28 лет и непревзойденный специалист по гидродинамике. Юный Эйлер, изучив работы Вариньона, Галилея, Декарта, Ньютона, Ван Схотена, Германа, Тейлора, Валлиса и Якоба Бернулли, начинал демонстрировать первые проблески своего гения.

СПИРАЛЬ БЕРНУЛЛИ

Якоб Бернулли, как истинный геометр, был поражен характеристиками и видом логарифмической спирали, этой винтообразной кривой, упрощенное уравнение которой в полярной системе координат выглядит так: r = а?, где радиус r экспоненциально зависит от угла ?. Ее называют spira mirabilis (удивительная спираль). Очарование Бернулли этой спиралью дошло до того, что он подал официальное прошение о том, чтобы она была высечена на его могиле вместе со словами Eadem mutata resurgo (измененная, я вновь воскресаю). Сказано — сделано. Однако Бернулли не принял в расчет скульптора, делавшего надгробие. Вместо логарифмической спирали тот высек архимедову спираль, поскольку для мраморных дел мастера все они были одинаковы. Зная, каким вспыльчивым характером обладает младший брат Якоба, которому тот передал свою страсть к этой спирали, можно только надеяться, что Иоганн не встретил скульптора на том свете.

На надгробии Якоба Бернулли была высечена не логарифмическая спираль, а спираль Архимеда (см. нижнюю часть иллюстрации), в которой расстояние между витками одинаково.

Логарифмическая спираль не имеет ни начала, ни конца. В природе она встречается в приближенном виде — спираль ураганов и некоторых галактик.

Тем временем выдающиеся математики из разных государств Европы (в особенности Германии и стран, находившихся под ее культурным влиянием), работавшие в то время в России, плели целую сеть, чтобы поймать в нее многообещающего молодого ученого. Одним из них был Кристиан Гольдбах (1690— 1764), с которым Эйлер вел переписку уже на протяжении нескольких лет и о котором мы поговорим позже.

Царь России Петр I (1672-1725), прозванный Великим, придерживался прозападных взглядов. Одним из способов интеграции своей обширной империи в европейскую цивилизацию было создание Российской академии наук по образу академий Парижа и Берлина или Лондонского королевского общества — оплотов просвещения и науки того времени.

Петр поручил искать талантливых ученых, готовых переехать в Россию. Николай и Даниил Бернулли, двое из четырех сыновей Иоганна, с которыми Эйлер был очень дружен и которые уже работали в Санкт-Петербурге, где впоследствии была открыта Академия, с согласия Гольдбаха горячо рекомендовали молодого Эйлера. Николай скоропостижно скончался от внезапного приступа аппендицита, и его место сразу же предложили Эйлеру. Тот согласился. Математик сделал это без особой охоты, но в Базеле отсутствовали какие-либо перспективы, и это стало решающим фактором.

ВКЛАД ЭЙЛЕРА В СОЗДАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ НОТАЦИИ

Эйлер начал работать над созданием новых математических знаков еще в Базеле, до отъезда в Россию, и продолжал заниматься этим всю жизнь. Справедливо будет хотя бы вкратце рассказать об этом его вкладе в математику, прежде чем мы перейдем к рассказу о других его многочисленных достижениях. Главной целью использования знаков является создание синтетического языка, который позволил бы заменить длинный

ПЬЕР БУГЕР, ОТЕЦ КОРАБЛЕСТРОЕНИЯ

Имя Пьера Бугера (1698-1758) редко упоминается в книгах по математике — в основном только в связи с ее применением в гидрографии. В этой области Бугер считается бесспорным авторитетом. Он также является одним из отцов кораблестроения. Дарование этого бретонского ученого проявилось уже в раннем возрасте: в 15 лет он обладал такими глубокими знаниями по физике и математике, что после смерти своего отца, одного из крупнейших специалистов того времени, занял его место на кафедре гидрографии. В 1727 году, когда Бугеру не было еще и 30 лет, он выиграл Grand Prix Парижской академии, решив задачу о наилучшем расположении мачт на корабле, после чего побеждал в этом конкурсе еще два раза. Эйлер в тот раз занял второе место, но впоследствии одерживал победу 12 раз.

Статуя Пьера Бугера недалеко от Луары, в его родном городе Круазик.

Наследие Бугера

Едва Бугеру исполнилось 30 лет, как он сделал важнейшие открытия в фотометрии, проанализировав уменьшение света при прохождении слоев воздуха. В1747 году он изобрел гелиометр, впоследствии усовершенствованный Йозефом Фраунгофером (1787-1826) и позволивший сделать множество открытий в спектрографии в частности и в физике в целом. В 37 лет Бугер вместе с Шарлем Мари де ла Кондамином и Луи Годеном отправился в научную экспедицию в Перу. Ее целью было определить длину градуса меридиана, и в результате был установлен факт расширения земного шара в области экватора. Бугер также открыл гравитационную аномалию, названную его именем. В 1746 году он опубликовал «Трактат о корабле, его построении и движении», ставший главным трудом по кораблестроению той эпохи. В нем стабильность корабля измеряется по положению его метацентра, или киля. Ученый был избран членом Лондонского королевского общества, а слава его символически достигла небес — его именем были названы кратеры на Луне и Марсе. В истории математики Бугера помнят из-за довольно простого, но чрезвычайно полезного нововведения: в 1752 году он предложил использовать символы ? и ?

словесный текст символами и символическими обозначениями. Хорошая система знаков устанавливает общие правила их использования и позволяет нам понимать друг друга. Современная система математических знаков несовершенна, но намного более развита по сравнению с прошлыми эпохами. С ее помощью можно записать практически любое математическое сообщение с существенной экономией выразительных средств. Если же мы попробуем прочитать классический математический текст, написанный до Франсуа Виета (1540-1603), создателя современной алгебраической терминологии, это окажется совсем непростой задачей. Без использования символов все понятия должны быть выражены обычным языком, при этом не избежать частых повторений и тяжеловесных фраз. Приведем один пример.

Сегодня теорему Пифагора можно было бы сформулировать следующим образом:

В треугольнике со сторонами а, b и c, угол А = 90? <=> а2 = b2 + с2.

У Евклида же она записана в двух частях (книга 1, предложения 47 и 48):

В прямоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей прямой угол, равен вместе взятым квадратам на сторонах, заключающих прямой угол. Если в треугольнике квадрат на одной стороне равен вместе взятым квадратам на остальных двух сторонах, то заключенный между остальными двумя сторонами треугольника угол есть прямой. («Начала»)

Этот случай демонстрирует прогресс, достигнутый благодаря использованию знаков. Среди символов, созданных Эйлером или ставших благодаря ему популярными и использующихся и по сей день, особенно выделяются следующие.

Один из самых известных портретов Эйлера» написанный Якобом Эмануэлем Хандманом в 1753 году, когда ученый жил в Берлине. На картине уже заметна болезнь глаз, от которой Эйлер страдал с 1735 года. Ученый ослеп сначала на один глаз, а затем на другой, но никогда не прекращал интенсивных занятий математикой.

?: ни один из знаков, введенных Эйлером, не имел такого успеха, как ? — символ соотношения между длиной окружности и ее диаметром, иррациональное и трансцендентное число, приблизительно равное ? = 3,1415926535… Впервые эта греческая буква была использована англичанином Уильямом Джонсом (1675- 1749), который выбрал ее потому, что с нее начиналось слово «периферия», но именно Эйлер сделал ее знаменитой, опубликовав в 1748 году свою книгу «Введение в анализ бесконечно малых».

— Постоянная е: Эйлер впервые обозначил символом «е» основание натуральных логарифмов еще в письме Гольдбаху 1731 года, говоря о пределе

limn??(1 + 1/n)n

и о сумме бесконечного ряда:

e = 1 + 1/1 + 1/(1?2) + 1/(1?2?3) + 1/(1?2?3?4 + . ..)

Тем не менее только в уже упомянутом «Введении…» Эйлер углубил и развил свои идеи относительно е и даже вычислил первые 26 цифр:

е = 2,71828182845904523536028747…

Почему Эйлер выбрал именно букву е, неизвестно. Существует мнение, что выбор пал на нее, поскольку это первая буква его собственного имени или слова «экспонента», но это всего лишь догадка.

— i: на протяжении большей части своей жизни Эйлер, не обладая строгим и правильным определением предела, записывал как

ex = (1 + x/i)i,

то, что сегодня мы бы записали как

ex = limn??(1 + x/n)n.

В этом примере буква i символизирует бесконечное число. Но в 1777 году ученый передумал и стал использовать ее для обозначения мнимой единицы (комплексного числа). Статья 1777 года была опубликована только в 1794 году, но Гаусс, а с ним и все математическое сообщество, сразу же начали использовать i. Эта буква была выбрана как первая в немецком слове «мнимый».

у = ?(x): Эйлер стал первым ученым, использовавшим современное понятие функции, связав заданное значение х с получившимся значением у посредством соотношения, названного ?. Область определения и значений ? были четко обозначены. Функция появляется уже в 1734-1735 годах в Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae — первом журнале Петербургской академии наук. И хотя современное понятие функции немного отличается от того, которое имел в виду Эйлер, нельзя не признать, что он сделал огромный шаг вперед в том, что касается ясности определений и описания.

? (сигма): Эйлер выбрал эту букву для обозначения суммы последовательности чисел, подчиняющейся какому-либо правилу, которое записывается над или под символом. В общем случае сумма элементов х, где i — «счетчик» слагаемых, идущих от m до n, записывается так:

?i=mnxi = xm + xm+1 + xm+2 + . .. + xn-1 + xn.

Сигма — греческий аналог буквы «с», с которой начинается слово «сумма», поэтому ее использование кажется вполне логичным. В течение жизни Эйлер вычислил сотни таких последовательностей, многие из которых были бесконечными. При n = ? последовательность называется рядом. Возможно, самая знаменитая в своей простоте последовательность Эйлера — это последовательность из Базельской задачи, которую он вычислил в 1735 году, на пике своего математического творчества (мы поговорим о ней подробней в следующей главе):

?n=1?1/n2  = ?2/6.

Никто не ожидал, что в сумме этой последовательности будет задействовано число ?, и его появление внесло настоящую неразбериху в умы ученых.

— Заглавные и строчные буквы: в любом треугольнике стороны обозначаются строчными буквами, а соответствующие углы — теми же буквами, но заглавными (рисунок 1).

РИС. 1

РИС . 2

РИС 3

Аналогичным образом буквами R и г обозначаются соответственно радиусы описанной (рисунок 2) и вписанной окружностей (рисунок 3).

— Использование первых букв алфавита (обычно строчных) — а, b, с, d — для обозначения известных величин в уравнениях, и последних — х, у, z, v — для неизвестных величин.

— Сокращенные латинские формы sin, cos, tang, cot, sec и cosec Эйлер впервые использовал в 1748 году в своей книге «Введение в анализ бесконечно малых» для обозначения тригонометрических функций. Затем они были адаптированы к разным языкам, хотя сейчас фактически универсальным является их английский вариант: sin х, cos х, tan х (в русской традиции tg x), cot х (или ctg х), sec х и cosec х.

— Обозначение для конечных разностей: это вычислительный инструмент, немного похожий на производные. Он не использует понятие предела и так называемые бесконечно малые. Конечные разности встречаются уже у Ньютона (1642-1727), Джеймса Грегори (1638-1675) и Колина Маклорена (1698-1746) и позволяют вычислять неизвестные многочлены на основе их значений, а также интерполировать и изучать последовательности и ряды. Изобретение компьютеров сделало их еще полезнее. Эйлер посвятил много сил изучению конечных разностей. Их обозначения, которые сегодня встречаются в книгах, принадлежат ему. В самом простом случае для последовательности {ui} разность двух соседних членов будет обозначаться ?:

?uk = uk+1 — uk.

Последующие конечные разности (второго порядка ?2, третьего порядка ?3, четвертого порядка ?4 и так далее) определяются, исходя из разностей первого порядка с помощью рекурсии, то есть каждая использует предыдущую:

?puk = ?(?p-1uk).

Таким образом строго определяются конечные разности любого порядка — ?, ?2, ?3,… — и с ними можно работать.

ПЕРВОЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ ОТКРЫТИЕ: КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМЫ

В серии работ, начатых еще в Базеле, Эйлер открыл формулу комплексных чисел, впоследствии ставшую знаменитой. Он использовал ее для нахождения значения математической категории, до той поры неизвестной, — отрицательных логарифмов. Как мы уже сказали, для обозначения мнимой единицы, ?-1, Эйлер использовал символ i.

С этого момента подразумевается, что если в арифметической формуле есть i, то

i= ?-1.

Во время работы в Базеле Эйлер открыл формулу

exi = cos x + isin x

и преобразовал ее так, как только он, великий жонглер символами, был способен. Из этого простого выражения, известного как формула Эйлера, которое связывает комплексные числа с тригонометрией, в последующие столетия произошла, как мы увидим в главе 3, большая часть математического анализа.

Во времена Эйлера пользовались большой популярностью логарифмы — инструмент вычисления, открытый в XVI веке. Однако их потенциал оставался невостребованным вплоть

до появления работ швейцарского ученого. Представим их определение: если а положительное число, называемое основанием, N также положительное число и верно равенство

N = ?x,

то говорится, что х — логарифм N и пишется х = log2N. Или:

N = ?logN.

Если основание логарифма — число е, то пишется In N вместо log N.

Господа: это абсолютно верно и совершенно парадоксально, мы не можем понять этого и не знаем, что это означает, но мы это доказали и, следовательно, знаем: это правда.

Бенджамин Пирс (1809-1880), профессор Гарварда о так называемой

ФОРМУЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ ЭЙЛЕРА

Число -1 можно записать как -1 =1 + 0i и, следовательно, рассматривать его в качестве комплексного числа. Подставим его в формулу Эйлера:

-1 = 1 + 0i = cos? + isin? = exi.

Теперь рассмотрим только начало и конец этого равенства и используем натуральный логарифм:

In(-1) = In(exi) = ?i.

Таким образом, Эйлер получил точное значение натурального логарифма от -1, отрицательного числа. На этом ученый приостановил интеллектуальную атаку на данную область и уехал в Санкт-Петербург. Только в 1751 году, почти 25 лет спустя, Эйлер обнародовал этот результат в надлежащем виде вместе со многими другими в фундаментальном труде «Введение в анализ бесконечно малых».

Как древние воины, которые продолжали выпускать стрелы даже при отступлении, Эйлер уехал в Россию и отложил изучение отрицательных логарифмов, продемонстрировав, тем не менее, свое будущее оружие.

Логический квадрат, или Исключение третьего

Логический квадрат – это схема, наглядно показывающая, как взаимодействуют между собой истинные и ложные суждения, когда более широкое из них включает в себя более узкое. Если более широкое суждение истинно, значит, включенное в него более узкое суждение тем более истинно. Например: если все греки стройны, то греки, живущие в Афинах, стройны тоже. Если более узкое суждение ложно, то широкое суждение, в состав которого входит более узкое или конкретное, будет не менее ложно. Утверждение о том, что все люди, которые весят не более, чем 70 килограмм, живут в Афинах – ложно, значит, более широкое о том, что все стройные люди живут в Греции, также не отличается достоверностью.

Закон исключения третьего

Правила логического квадрата просты в запоминании и основываются на одном важном логическом законе – законе исключения третьего: если суждение с одной стороны истинно, то с другой – ложно и наоборот. Высказывание может быть или истинно, или ложно, и, соответственно, истинным или ложным будет его отрицание. Иных, третьих вариантов, не бывает. Высказывание «Все машины – красные» – ложно. Значит, высказывание «Не все машины – красные» — истинно. И здесь появляется волшебное слово «некоторые», которое почти всегда превратит ложное утверждение в истинное: «Некоторые машины – красные».

Квадрат и крест

Для усвоения на слух правил логического квадрата также следует запомнить, что логику машины из вышеупомянутого утверждения называют субъектом, а красноту – предикатом.
Предикат как атрибуция субъекта может быть глаголом или качеством. Или иным качеством, которое пристраивается к субъекту с использованием глагола-связки «суть». Выглядит логический квадрат, как квадрат. Это и неудивительно. Углы квадрата помечены литерами А, Е, I, O. А противоположно Е, I частично совместимо с O, I подчинено А, а Е главенствует над О. Квадрат перекрещен двумя линиями противоречий. Используя механику квадрата, можно работать с суждениями. Этот инструмент важен более лирикам, чем физикам, у физиков и так все строго, а лирики постоянно нуждаются в механизмах, позволяющих им подвергать сомнению и проверять истинность своих суждений. Конечно, в мире лжи и двусмысленности несколько потерялась красота истины и стремление к достижению ее любой ценой, но в некоторых случаях (в суде, в дорожном движении, в начислении заплаты) объективная истина имеет свою собственную ценность.

Квадрат в истории

Логику как науку основали древние греки. Они очень любили спорить, а спорщиков всегда раздражает, если оппонент не прав. Законы логики и были созданы греками для того, чтобы наглядно объяснить оппоненту, что именно он ошибается.

Логический квадрат придумал и ввел в употребление греческий философ Михаил Пселл в XI веке, существенно позднее того времени, когда Сократ изобрел схоластику. Очевидно, что какое-то время грекам понятие абсолютной истины не было необходимым, и только во времена всеобщей ясности был изобретен логический квадрат. Примеры, которые обычно приводятся в описание его схемы, практически все основаны на аристотелевой логике, но содержат изящные византийские обобщения.

Выборы и химеры Сегодня я не буду приводить цитаты, как обычно. Ну нет: topbloger — LiveJournal

Сегодня я не буду приводить цитаты, как обычно. Ну нет желания ни разу многотомники писать. Перлы Лукашенко на совещании с новым составом правительства, где нас окатили новой версией белорусской истории, и что пишут иные суверенные белорусские источники – есть Яндекс, ищите да обрящете. Я несколько своих соображений по проблеме «Выборы-2020» в Беларуси приведу.

Именно что «Беларусь», не «Белоруссия», потому как этот суверенный новодел, что в русский язык внедрить пытаются, как раз характеризует тот маразм, что на территории творится. Я это наименование, к слову, употребляю всего лишь наряду с иными белорусскими словами, вставляемыми в тексты для коннотации или соблюдения ритма изложения, ибо есть билингва. А некоторые абоненты – они таки всерьёз.

Не, круги Эйлера я рисовать не буду, чтобы обозначить объём и соотношение этих самых понятий, «Белоруссия» и «Республика Беларусь». Ага, чтобы рассказать дебилам, почему в классификаторе стран мира так. Я сразу обзываться начну.

Потому, что можете убиться к ебеням об стену, недоумки, в своём вульгарном солипсизме, но мiр (так верно в старой орфографии, до исторического материализма) никогда не будет функционировать так, как привиделось натур-философу Пахомычу на завалинке после полулитра самогона. Замена завалинки диваном, а самогона – иными напитками, пусть даже вкусной папиросой с анашой, да хуй с ним – чашкой кофе, никакой правильности в солипсизм не вносит. В тезис «мiр такой, каким я его вижу». Он такой, какой он есть, даже если это нихуя не нравится Гению из сто шестой квартиры.

Я весь пиздец как люблю издеваться над постмодернистами, подменяющими сущее словами, но согласен в том, что, задавая себе и обозначая внутри себя некие категории, мы с неизбежностью приходим к определённой парадигме мышления. Задающей, в свою очередь, систему наших действий. Систему внутренних оценок таких действий, что своих, что чужих. Принципиально поебать, где это будет, внутри сознания или снаружи, в поведении или мышлении. Даже если это поведение группы лиц. Обывательских лиц. Политических лиц (местами даже морд).

Что мы собственно и наблюдаем на той территории, на которой на текущий год расположена Республика Беларусь. Почему на текущий? А я просто нихуя не уверен, что она и дальше будет там расположена, в текущей политической конфигурации. Сейчас поясню.

Потому что «Республика Беларусь» — это изолированное понятие, чётко очерченное временными рамками возникновения и существования. Возникло это самое понятие с развалом СССР, и никакого правопреемства с иными политическими понятиями тут не возникает, и ниоткуда это самое правопреемство не выводится.

Хоть обосритесь в лютой ненависти, но Великое Княжество Литовское, Русское, Жемайтское и иных (народов) скончалось на своём историческом пути, не дав потомков. Оно не одиноко – точно так же скончалась без потомков Алтын-орда. Астраханское, Казанское и Крымское ханства, Великие Княжества Тверское и Рязанское также растворились в древних ебенях. Государство Урарту, Армянское и куча грузинских царств – их нет уже, и никогда не будет. Даже население территорий сравнивать бессмысленно, точно так же, как считать население Египта идентичным населению древнейших царств, пусть даже и живут ни вдоль речки Нил.

Так устроен этот сучий мiр, в своём законе отрицания отрицаний: отринутое умирает навсегда. Оно не возродится в новом качестве, это – вульгарная трактовка; просто вновь возникшее может иметь черты схожести с бывшим прежде. А может – не иметь. Играет только магистральный тренд развития.

Ещё в X веке умер к ебеням протогосударственный центр власти в районе Старой Ладоги, переехав в Киев по причинам экономико-политического характера: на Днепре тупо удобнее было контролировать водные пути. Несколько поколений потомков Владимира Святого, лествичная система наследования великокняжеской власти, и «Кождо держить очьчину свою» (Любечский съезд, 1097). И уже в XII веке Киевское княжество как великокняжеский удел никого не разу не ебёт. Не в плане им владеть, а в плане хоть как-то заботиться о его развитии и благополучии. Предсказуемый итог – центр власти переехал во Владимир. Далее, путём интриг и средневекового зверства – в Москву. А далее, когда Великое Княжество Московское выстояло в Смутное время и отхуячило всех конкурентов, получилось то, что сейчас называется Россия.

И теперь смекайте: я могу согласиться с правопреемством «Речь Посполитая – Царство Польское (в составе РИ) – Польша». С Финляндией могу согласиться, ещё кой с чем. Но, блядь, искать в веках белорусскую государственность и выводить её из ВКЛ – это всё одно, что в нынешнем Калининграде постулировать непрерывность исторической линии от балтских племён через Тевтонский орден и Восточную Пруссию в сегодняшний день. Есть земля. На ней в разное время жили разные люди. Жившие в составе различных государств. И подданный Российской империи И.Кант (они не переприсягали) всегда будет жителем города, который звали Кёнигсберг, сейчас – Калининград, но от этого не станет русским/российским философом.

Так что тема ВКЛРЖи (ВКЛ) закрыта давно и наглухо. Нет и не былы белорусских или украинских земель, страдавших под плёткой российской тирании. Были губернии Российской империи, ничем не отличавшиеся от остальных. Существующие в одном цивилизационном пространстве, в том числе – в едином правовом поле. Всё остальное – региональные особенности, и не более того.

Та же ерунда и с БССР. Ну вбейте себе в ум – Ленин сотоварищи никаких национальных государств создавать и не планировали. А их извращённое понимание внутреннего устройства страны, с опорой на «сознательность» нацкадров, имело целью лишь одно – у власти удержаться. Ещё учтите, что (1) Российскую империю в ебучий хлам расфигачили ещё до них, и до них начался парад суверенитетов; (2) хуй в руль там была всенародная поддержка ВОСР по всей РИ, как нам потом втирали. А ещё у тех большевиков была иллюзия, что классовая теория всеобъемлюща, и классы отменяют национальные и цивилизационные особенности людей. То есть, типа, до пизды, кто в какой стране живёт, все одно пролетарии всех стран соединятся.

Сколько бабла потрачено впустую на международную классовую солидарность. Сколько территорий втиснуто в те же Украинскую, Белорусскую, Молдавскую, Грузинскую, Казахскую ССР. Сколько в Средней Азии границ от фонаря, где на местности нарезали союзные республики. Даже прибалтам от щедрот досталось, и вишенкой на тортике внезапно ставший украинским Крым.

Не было никаких независимых республик и никакой у них независимой политики. Была двухуровневая федерация, которая, по мысли правительства Союза ССР, должна была жить вечно, прирастая новыми членами. В перспективе, например, странами Варшавского договора. Конструкция пиздец кривая, потому и не взлетела. Так что тоже здесь пролёт, с белорусской государственностью. Как и с любой другой государственностью, потому как все лимитрофы своими посчитали те границы, подаренные им в СССР.

А с хуя ли эта роскошь вам, козлятушки? Приднестровье никогда не было молдавским, Ю.Осетия и Абхазия – грузинским, Мемель и Вильно – литовским, Новороссия не стала украинской, тем более не стали украинскими Крым и Донбасс. С Белоруссией проще – её исторически не было. была территория, для союзного удобства и международного престижа названная БССР. Да, с прибалтами такая же херня. Просто те большевики, в силу собственной слабости, не сумели удержать Ливонию и Курляндию, а также земли, ставшие Литвой, хоть и пытались.

Все лимитрофы суть химеры. И именно химеричный характер их формирования обуславливает все внутренние конфликты в них. И Россия приходи туда, где охуевшие от осознания своей независимости местные власти начинают делать то, за что они клеймят СССР. А именно – хватаются за плётку.

Геноцид в индустриальном Приднестровье начали «румыны»-молдаване, они и в Гагаузии его начали, но успокоились, получив пизды. Геноцид аланов и абхазов начали грузинские националисты; генацвале ребята гордые, поэтому были опиздошены в два приёма, с промежутком в 15 лет. Украине мало Крыма и Донбасса, она собственную химеричность никак не хочет преодолевать. Надвое распавшийся Таджикистан, вечные конфликты киргизов и казахов, киргизов и узбеков и т.п. – тоже следствие политики СССР.

Региональные советские элиты, ставшие владельцами контрольного пакета акций лимитрофных образований, за власть будут держаться не только синими, а черно-буро-зелёными пальцами, из собственных гробов. И ни один из лимитрофов не сделал главного – не отпустил исторически «не их» территории. Хер с ним, пусть так, но ни один лимитроф не сделал внутри себя ни федерации, ни автономии для групп нетитульного населения его земли. Что, к слову, говорит о неадекватности их местной власти, а также надежде на геноцид и силовое приведение всех к одному знаменателю.

А Республика Беларусь, под все молитвы о её сугубой однородности, химера та ещё. Те территории, что в её составе – по любому осколок, даже если ложную гипотезу о непрерывности взять. Осколок СССР, осколок РИ, осколок того же ВКЛ. Нихуя никак не вытанцовывается историчность белорусской государственности, как ни крути.

Потому я и начал с парадигмы мышления, основанного на ложной интерпретации понятия «Республика Беларусь». А ведь начинали-то правильную интерпретацию, как государства, сформировавшегося на развале СССР и территории, получившей шанс пожить самостоятельно. На халяву получившей шанс, ввиду ошибок переехавшего в Кремль советского правительства.

И всё было истинно красиво. И не надо было бы плодить шизофрению уже внутри себя. ОК, ребята, заебись – мы новые на мировой арене. Новая символика, новые связи, а всё прошедшее – да, с нами связано, но, увы, не мы. Вот это бы взлетело, как аист-бусел над Полесьем. Потому как не было бы раздвоения мозгов.

Да хуй там, лимитрофу древность подавай и несуществующую непрерывность. На выходе – отвал башки, и подстава под соседей. Потому как исторически наследник ВКЛ, после всех уний – Польша, и хоть разорвитесь на куски; а то, что это вот наследие она не сохранила – так это ввиду ебанутости собственной элиты. Причём утратила то наследие навсегда, хоть до сих пор пердак у гордой шляхты на это полыхает. И встаёт прикольный такой вопрос: а почему Смоленск – Россия, а Гомель-Витебск-Могилёв – ни разу нет. Вы сами его, сука, поставили, когда бухтеть решили о той ВКЛ.

Если вы наследники ВКЛ, то просто обязан заявить права на остальную часть её территории; фиг с ним – до Люблинской унии. Не заявили – пиздаболы; нахуй – в сад. Россия, выводя правопреемство из Российской империи и СССР, таки права свои заявила. Сначала реально, защищая население от геноцида лимитрофов, теперь вот – и институционально, тем же облегчённым гражданством или поправками в свою Конституцию.

Поздравляю, граждане РБ, ваша страна – химера. Не, не благодарите нас, вы сделали всё сами, и шансов как-то что-то нормализовать почти что нет. Потому что у вас шизофрения национальной символики, и вы выбираете между советской и антисоветской, не более того; в любом случае столкновения неминуемы, так как символика ни разу не пустяк. У вас шизофрения национальной истории, превратившейся в натуральное фэнтези страдальцев и лишенцев. Шизофрения представлений о национальной экономике, союзах и союзниках. Шизофрения, укоренившаяся и у части населения, и у ваших лидеров, что нынешних, что вероятных.

Когда Цепкало и иные утверждают, что вполне себе нормально, одновременно использовать взаимоисключающие символики. Когда Лукашенко одновременно и за то, что Горбачёв убедительно не опиздошил Вильнюс, и за то, что Керимов – наоборот, опиздошил Андижан. Скажете, фигня? Готовьтесь, неучи, к гражданскому конфликту. В Союзе тоже начиналось так, просто у вас труба пониже и дым пожиже.
Двадцать с лишним лет эксплуатации неверного понятия «РБ» привели к тому, что Синеокая вошла в кризис идентичности. Вошла на нисходящем тренде, так как наплодила шизофренических химер. Часто говорят, что кризис – это возможность; гораздо реже – что это в том числе возможность всё потерять. Закону перехода количества в качество принципиально пофиг, каким это новое качество будет – лучшим или худшим; разрушение структуры тоже вариант. И если Украину ещё может спасти федерализация, то что спасёт самостоятельную Беларусь – за то я не в курсе. Её точно не спасёт раковая опухоль исторических фантазий и химер.

Метастазы давшая в мозги.

источник — ladik2005 
[2 ссылок 195 комментариев 2750 посещений]
читать полный текст со всеми комментариями

Человек, который изобрел число Пи

История постоянного отношения длины окружности к диаметру любого круга так же стара, как желание человека измерять; тогда как символ этого отношения, известный сегодня как π ( пи ), датируется началом 18 века. До этого на средневековой латыни это отношение неуклюже называлось: quantitas in quam cum multiflicetur диаметр, провенет окружность (количество, которое при умножении на него диаметра дает длину окружности).

Широко распространено мнение, что великий математик швейцарского происхождения Леонард Эйлер (1707–1783) ввел в обиход символ π. На самом деле оно было впервые использовано в печати в его современном смысле в 1706 году, за год до рождения Эйлера, учителем-самоучкой математики Уильямом Джонсом (1675-1749) в его второй книге Synopsis Palmariorum Matheseos , или Новое введение в Математика на основе его учебных заметок.

До появления символа π такие приближения, как 22/7 и 355/113, также использовались для выражения отношения, что могло создать впечатление, что это рациональное число.Хотя он и не доказал этого, Джонс считал, что π — иррациональное число: бесконечная неповторяющаяся последовательность цифр, которую невозможно полностью выразить в числовой форме. В Synopsis он писал: «… точная пропорция между диаметром и окружностью никогда не может быть выражена в числах…». Следовательно, требовалось, чтобы символ представлял идеал, к которому можно приблизиться, но никогда не достичь. Для этого Джонс понял, что будет достаточно только чистого платонического символа.

Символ π использовался в предыдущем столетии значительно по-другому ректором и математиком Уильямом Отредом (ок.1575-1660), в своей книге Clavis Mathematicae (впервые опубликованной в 1631 году). Отред использовал π для обозначения окружности данного круга, так что его π менялось в зависимости от диаметра круга, а не представляло постоянную, которую мы знаем сегодня. Окружность круга была известна в те дни как «периферия», отсюда и греческий эквивалент «π» нашей буквы «π». Использование Джонсом числа π было важным философским шагом, который Отред не смог сделать, даже несмотря на то, что он ввел другие математические символы, такие как :: для пропорции и «x» как символ для умножения.

После смерти Отреда в 1660 году некоторые книги и статьи из его прекрасной математической библиотеки были приобретены математиком Джоном Коллинзом (1625–1683), от которого они в конечном итоге перешли к Джонсу.

Иррациональность π не была доказана до 1761 г. Иоганном Ламбертом (1728–1777), затем в 1882 г. Фердинанд Линдеманн (1852–1939) доказал, что π является неалгебраическим иррациональным числом, трансцендентным числом (которое не является решением алгебраического уравнения любой степени с рациональными коэффициентами).Однако открытие того, что существует два типа иррациональных чисел, не умаляет достижения Джонса в признании того, что отношение длины окружности к диаметру не может быть выражено как рациональное число.

Помимо своего первого использования символа π Джонс представляет интерес из-за его связи с рядом ключевых математических, научных и политических персонажей 18-го века. Он также отвечал за развитие одной из величайших научных библиотек и математических архивов в стране, которая оставалась в руках семьи Маклсфилдов, его покровителей, почти 300 лет.

Хотя Джонс закончил свою жизнь в математическом истеблишменте, его происхождение было скромным. Он родился на небольшой ферме в Англси примерно в 1675 году. Его единственное формальное образование было получено в местной благотворительной школе, где он проявил математические способности, и его устроили на работу в торговую контору в Лондоне. Позже он отплыл в Вест-Индию и заинтересовался мореплаванием; затем он стал мастером математики на военном корабле. Он присутствовал в битве при Виго в октябре 1702 года, когда англичане успешно перехватили испанский флот с сокровищами, когда он возвращался в порт на северо-западе Испании под французским эскортом.В то время как моряки-победители сошли на берег в поисках серебра и военных трофеев, для Джонса, согласно мемуарам барона Тейнмута 1807 года, «… литературные сокровища были единственной добычей, которой он желал».

По возвращении в Англию Джонс оставил военно-морской флот и начал преподавать математику в Лондоне, вероятно, сначала в кофейнях, где за небольшую плату посетители могли послушать лекцию. Он также опубликовал свою первую книгу, Новый сборник всего искусства практической навигации (1702). Вскоре после этого Джонс стал наставником Филипа Йорка, впоследствии 1-го графа Хардвика (1690–1764), который стал лордом-канцлером и стал бесценным источником информации для своего наставника.

Вероятно, около 1706 года Джонс впервые привлек внимание Исаака Ньютона, когда он опубликовал «Синопсис», в котором объяснял методы исчисления Ньютона, а также другие математические инновации. В 1708 году Джонс смог приобрести обширную библиотеку и архив Коллинза, которые содержали несколько писем и статей Ньютона, написанных в 1670-х годах.Они представляют большой интерес для Джонса и полезны для его репутации.

Рожденные с разницей в полвека, Коллинз и Джонс никогда не встречались, но история навсегда свяжет их благодаря библиотеке и математическому архиву, которые Коллинз начал, а Джонс продолжил, благодаря их общей страсти к коллекционированию книг. Сын обедневшего священника, Коллинз поступил в ученики к книготорговцу. По сути, самоучка, как и Джонс, он также ходил в море и изучал навигацию. По возвращении в Лондон он зарабатывал на жизнь учителем и бухгалтером.Он занимал несколько все более прибыльных должностей и умел распутывать запутанные счета.

Скромным желанием Коллинза было открыть книжный магазин, но он не смог накопить достаточно капитала. Однако в 1667 году он был избран в Королевское общество, незаменимым членом которого стал, помогая официальному секретарю Генри Ольденбургскому по математическим предметам. Коллинз переписывался с Ньютоном и многими ведущими английскими и зарубежными математиками того времени, делая математические заметки от имени Общества.

Когда в 1709 году Джонс подал заявку на получение степени магистра в Математической школе госпиталя Христа, он взял с собой свидетельства Эдмунда Галлея и Ньютона. Несмотря на это, ему отказали. Однако бывший ученик Джонса, Филип Йорк, к настоящему времени начал свою юридическую карьеру и представил своего наставника сэру Томасу Паркеру (1667–1732), успешному юристу, который собирался стать следующим лордом-главным судьей в следующем году. Джонс присоединился к своему дому и стал наставником своего единственного сына Джорджа (ок.1697-1764). Это было началом его долгой связи с семьей Паркер.

Примерно в то время, когда Джонс купил библиотеку и архив Коллинза, Ньютон и немецкий математик Готфрид Лейбниц (1646–1716) спорили о том, кто первым изобрел исчисление. В математических статьях Коллинза Джонс нашел расшифровку одной из самых ранних работ Ньютона по исчислению, De Analyst (1669), которую он организовал в 1711 году для публикации. Ранее он распространялся только в частном порядке.Президент Королевского общества с 1703 года, Ньютон не хотел публиковать свои работы и ревностно охранял свою интеллектуальную собственность. Однако он признал в Джонсе союзника.

В 1712 году Джонс присоединился к комитету, созданному Королевским обществом для определения приоритета изобретения исчисления. Джонс предоставил комитету документы Коллинза с перепиской Ньютона по математическому анализу, и итоговый отчет о споре, опубликованный позже в том же году, Commercium Epistolicum , был в значительной степени основан на них. Несмотря на анонимность, Commercium Epistolicum редактировался самим Ньютоном, и вряд ли его можно было считать беспристрастным. Неудивительно, что он оказался на стороне Ньютона. (Сегодня считается, что и Ньютон, и Лейбниц открыли исчисление независимо друг от друга, хотя обозначения Лейбница превосходят обозначения Ньютона и в настоящее время широко используются.)

К 1712 году Джонс прочно занял свое место в математическом истеблишменте. В 1718 году его покровитель сэр Томас Паркер стал лордом-канцлером, а в 1721 году получил дворянство как граф Маклсфилд.К этому времени он купил поместье и замок Ширберн за огромную на тот момент сумму в 18 350 фунтов стерлингов. Замок Ширберн стал домом и для Джонса, который к тому времени уже был почти членом семьи. Помимо права, Паркер проявлял научный интерес ко многим предметам, включая естественные науки и математику, и был щедрым покровителем как искусства, так и науки. Он оказал влияние на назначение Галлея королевским астрономом в 1721 году.

Но была и оборотная сторона характера первого графа. Кажется, что вместе с его большими способностями и честолюбием была еще и опасная жажда богатства.Его обвинили в продаже канцелярских должностей тому, кто больше заплатит, и в допущении нецелевого использования средств женихов, находящихся в доверительном управлении. Паркер ушел с поста лорда-канцлера в 1725 году, но, тем не менее, ему был объявлен импичмент. Его наказанием был штраф в размере 30 000 фунтов стерлингов, и он был вынужден провести шесть недель в лондонском Тауэре, прежде чем были собраны необходимые деньги для оплаты штрафа. Некоторые из его активов были проданы, и его имя было вычеркнуто из списка тайных советников, но ему не пришлось лишиться Ширберна, который остается в семье Маклсфилд по сей день.Некоторое достоинство было восстановлено, когда в 1727 году он был одним из несущих гроб на похоронах Ньютона.

Сын Томаса, Джордж Паркер, стал членом парламента от Уоллингфорда в 1722 году и провел большую часть своего времени в Ширберне, где под руководством Джонса он пополнил библиотеку и архив, которые Джонс привез с собой. Джордж Паркер проявил интерес к астрономии и с помощью друга, астронома Джеймса Брэдли (который стал третьим королевским астрономом в 1742 году после смерти Галлея), он построил астрономическую обсерваторию в Ширберне.

К 1718 году Джонс делил свое время в основном между Ширберном и Тиббальдс-Корт, недалеко от площади Ред-Лайон в Лондоне. Среди многих влиятельных математиков, астрономов и естествоиспытателей, с которыми он переписывался, был Роджер Коутс (1682–1716), первый плюмианский профессор астрономии в Кембридже, которого многие считают самым талантливым британским математиком своего поколения после Ньютона. Ему было поручено отредактировать для публикации второе издание « Principia » Ньютона.

Джонс выступал в качестве посредника между Ньютоном и Котсом, когда отношения между ними обострились. Он явно обладал влиянием и значительным тактом. В одном письме Котес написал Джонсу: «Я должен просить вас о помощи и управлении в деле, которое я не могу так должным образом предпринять сам…». Это был деликатный вопрос: предложить Ньютону улучшить один из его методов. У Ньютона был сложный характер, и с ним нужно было обращаться осторожно. Это Джонс смог сделать. Второе исправленное издание Principia было опубликовано в 1713 году и имело большой успех.

Ньютон был выдающимся авторитетом на протяжении большей части периода, и многие представители научного сообщества жили под его тенью. У Джонса также была обширная переписка с астрономом и математиком Джоном Мачином (ок. 1686–1771), который служил секретарем Королевского общества почти 30 лет с 1718 года. Он также входил в комитет Общества по расследованию изобретения исчисления. . Профессор астрономии в Грешам-колледже почти 40 лет Мачин занимался лунной теорией и считал себя экспертом в этом вопросе.В одном письме Джонсу Мачин использовал причудливые выражения, чтобы пожаловаться на лунную теорию Ньютона:

… она (луна) сообщила мне, что он (Ньютон) оскорблял ее на протяжении всей ее жизни, выдавая, что она виновна в таких нарушениях и чудовищных действиях во всех ее путях и действиях, что ни один живой человек может найти, где она находится в любое время.

Затем он написал, что он, Мачин, знает местонахождение Луны и, следовательно, может потребовать 10 000 фунтов стерлингов, которые «лорд-казначей» предлагал за открытие долготы в море; потому что его лунная теория повысит точность лунных таблиц.

Хотя Мачин не получил награды, его лунная теория, описанная в Законах движения Луны в соответствии с гравитацией , была добавлена ​​к английскому изданию Principia 1729 года после смерти Ньютона.

Мачин также работал над рядом отношения длины окружности к диаметру, который сходился довольно быстро. Результат его расчета был напечатан в книге Джонса 1706 года, «верно более 100 мест; как вычислено точным и готовым пером поистине изобретательного мистера Джона Мачина…’. Мачин выполнил это, используя бесконечный ряд, сумма которого сходилась к π. С математической точки зрения это означает, что независимо от того, сколько членов суммируется, всегда существует разница, пусть даже небольшая, между этой суммой и значением иррационального числа π. В бесконечном ряду, который использовал Мачин, члены чередуются между положительными и отрицательными, так что сумма попеременно меньше или больше π.

У Джонса также были корреспонденты за границей; особый интерес представлял ученый-квакер Джеймс Логан (1674–1751), живший в Америке.Логан родился в Ирландии и был приглашен Уильямом Пенном, лидером квакеров и основателем Пенсильвании, в качестве своего секретаря. Там он процветал и в конце концов купил плантацию в Стентоне, где он вышел на пенсию в возрасте пятидесяти лет, чтобы заниматься своими интересами, включая математику и ботанику. Его собственная библиотека из более чем 30 000 книг была одной из самых выдающихся в 18 веке в Америке и была завещана городу Филадельфии.

В 1732 году Логан написал Джонсу об изобретении «здешнего молодого человека»…. превосходного природного гения». Это был Томас Годфри (1704–1749), стекольщик, который в октябре 1730 года изобрел инструмент, который можно было точно использовать в море, поскольку он имел единственный полузеркальный прицел, который совмещал отраженное изображение солнца с горизонтом. В качестве альтернативы любые два астрономических объекта, например, луна и звезда, могут быть выровнены, перемещая поворотный рычаг, содержащий зеркало, и считывая угол со шкалы. Это означало, что движение корабля не будет мешать угловому измерению, поскольку и объект, и изображение будут двигаться вместе.Это был гениальный инструмент. Логан считал, что его можно использовать для определения долготы в море лунным методом. Инструмент — это то, что мы теперь знаем как квадрант Хэдли, хотя на самом деле это октант. На приписывание этого важного изобретения претендовали как Америка, так и Англия. Английский астроном Джон Хэдли (1682–1744) изготовил один из таких инструментов летом 1730 года и в мае следующего года отправил отчет в Королевское общество.

Логан отправил личное письмо с описанием изобретения Годфри Галлею, тогдашнему президенту Королевского общества, назвав его «Уважаемый друг».Это было дружеское общение, а также научное, и его не зачитывали в Королевском обществе, как это было принято. Логан попросил Джонса навести справки об упущении. Впоследствии Джонс поднял этот вопрос перед Обществом в январе 1734 года, и утверждения Годфри о том, что он изобретатель инструмента, хотя и не первый, были подтверждены.

Несколько лет спустя, в 1736 году, Джонс написал Логану, извиняясь за то, что не ответил раньше, сказав следующее:

… мои дела таковы, что требуют от меня постоянного приложения и настолько занимают мой ум, что у меня мало или совсем нет времени (sic) думать о чем-либо другом: даже о математике.Я почти не думал об этом последние 18 лет, и теперь я почти не знаком со всеми улучшениями, сделанными таким образом.

Но в переписке Джонса есть письма, датированные более поздним временем, которые имеют математическую тематику. Возможно, он не хотел побуждать Логана присылать ему новые открытия. Логан был неутомимым корреспондентом, и оказалось, что он написал Джонсу гораздо больше писем, чем Джонс ответил.

Джонс, конечно, думал о другом. Как и многие другие люди науки, Джонс был заинтригован проблемой долготы, и он писал письма в Королевское общество по поводу того, что часы показывают точное время при изменении температуры.

Он был членом совета Общества и стал его вице-президентом в 1749 году. Его доход увеличился за счет синекур, организованных его бывшими учениками: он был назначен секретарем мира благодаря влиянию Хардвика и заместителем кассира в казначействе с Помощь Джорджа Паркера. Тем не менее, он также неоднократно переживал финансовый кризис, когда его банк рушился, что было частым явлением в те дни.

Джонс женился во второй раз в 1731 году на Мэри Никс, которая была на 30 лет моложе его, и у них было трое детей.Он был избран губернатором больницы для подкидышей в 1747 году, когда Джордж Паркер был вице-президентом. Именно Паркер заказал Хогарту портрет Джонса. Хотя Джонс выглядел впечатляюще на этом портрете, сообщается, что он был «немного коротколицым валлийцем и имел обыкновение обращаться со своими друзьями-математиками с большой долей грубости и свободы». Тем не менее, как мы видели, он умел быть тактичным, когда это было необходимо, и мог проявить большую доброту.

После того, как он умер в 1749 году в возрасте 74 лет, Джон Робертсон, клерк и библиотекарь Королевского общества, как сообщается, сказал, что он «умер при лучших обстоятельствах, чем обычно выпадает на долю математиков».Его единственному выжившему сыну, которого также звали Уильям, в то время было всего три года. Известный как Ориентал Джонс, он преуспел как лингвист, филолог и эксперт в области индуистского права и был должным образом посвящен в рыцари.

В 1750 году Джордж Паркер написал доклад, который был прочитан в Королевском обществе под названием Замечания о солнечных и лунных годах . Паркер был принципиальным сторонником принятия григорианского календаря и изменения в 1752 году нового года с 25 марта на 1 января. Можно считать пересмотр календаря частью научного наследия Уильяма Джонса.В том же году Паркер был избран президентом Королевского общества и занимал эту должность до самой смерти.

В своем завещании Джонс оставил свое «изучение книг» Джорджу Паркеру «как свидетельство того, что я признаю многочисленные знаки его благосклонности, которые я получил». Научные книги, унаследованные Паркером от Джонса, вместе с архивом документов остались в библиотеке в Ширберне. Доступ к ним был строго ограничен, хотя было признано, что они представляют собой самую важную коллекцию в своем роде, находящуюся в частных руках.В 2000 году архив писем и документов был предложен библиотеке Кембриджского университета, которая приобрела его за 6 370 000 фунтов стерлингов с помощью гранта Фонда лотереи наследия. Библиотека Маклсфилда наконец была продана на аукционе Sotheby’s в 2005 году в ходе шести массовых продаж, которые пополнили библиотеки по всему миру.

При жизни способность Джонса удерживать своих покровителей была важна, и он хорошо им служил. Однако с исторической точки зрения Джонс дал Маклсфилдам гораздо больше, чем когда-либо получил от них, и тем самым оставил миру огромное интеллектуальное наследие.

Патрисия Ротман — почетный научный сотрудник факультета математики Университетского колледжа Лондона

Как спутник популяризировал диаграмму Венна

Сегодня исполняется 180 лет со дня рождения английского философа и математика Джона Венна, который наиболее известен тем, что представил миру одноименную диаграмму Венна.

В то время как Венн был довольно крутым парнем, по правде говоря, его «ин-венн-ция» не такая оригинальная. Диаграммы Венна — это просто подкатегория диаграмм Эйлера, которые появились на столетие раньше Венна.

Действительно, сам Венн никогда не осмеливался называть диаграммы своим именем и называл свои фигуры эйлеровыми кругами. Более того, можно было бы утверждать, что диаграммы также старше Эйлера на несколько столетий. Например, мистик 13-го века Рамон Луллий экспериментировал с диаграммами, которые исследовали взаимосвязанные концепции, такие как «Prima Figura», изображенная ниже.

Независимо от того, кто имеет право хвастаться, эстетическая и образовательная ценность специфического риффа Венна об этих установленных диаграммах со временем приобрела такую ​​большую популярность, что подлинные диаграммы Эйлера обычно ошибочно называют диаграммами Венна.

Большая разница между ними заключается в том, что окружности на диаграммах Венна должны пересекаться, демонстрируя общие черты каждого демонстрируемого набора. Диаграммы Эйлера также изображаются кружками, но не каждый набор должен пересекаться с другими. Рисунок ниже, например, представляет собой круг Эйлера, а не диаграммы Венна.

Но, несмотря на их различия, и диаграммы Эйлера, и диаграммы Венна были разработаны с одной и той же целью: помочь визуализировать взаимосвязь между «предложениями», одним из самых скользких слов во всей философии (и это конкурентная категория).

Использование диаграммы стало еще популярнее благодаря ее введению в движение «новой математики» 1960-х годов. Этот педагогический поворот был вызван кризисом со спутником и был разработан для того, чтобы школьники как можно раньше познакомились со сложными математическими принципами, такими как теория множеств, чтобы они могли изобретать причудливые космические корабли и усиленные ракеты, как хорошие маленькие патриоты.

Но, как и сами концепции, которые они призваны проиллюстрировать, диаграммы Венна не могут оставаться заключенными в один ограничивающий круг.Педагоги всех мастей начали кооптировать цифры для своих собственных планов уроков, поэтому вам, вероятно, приходилось создавать их практически в каждом классе в школе.

Нужно изучить общие черты повествовательных точек зрения? Диаграмма Венна.

Необходимо классифицировать биологические таксоны? Диаграмма Венна.

Хотите указать на случайное сходство между любыми двумя, казалось бы, не связанными предметами? Диаграмма Венна.

Наконец, нужно проиллюстрировать некоторые из любимых тем Motherboard для отчета? Бум: диаграмма Венна.

Одним из тех причудливых поворотов истории, которые любит преподносить история, стал запуск спутника, благодаря которому диаграмма Венна стала одним из самых широко известных мемов всех времен. Итак, с днем ​​рождения, Джон Венн, квази-изобретатель диаграммы Венна. И пусть все ваши пересекающиеся круги будут гармоничны.

Круг Эйлера — символ или икона?

  • Амируш Моктефи Кафедра философии, Таллиннский технический университет, Akadeemia tee 3, 12618 Таллинн

Ключевые слова: иконичность, Чарльз Пирс, гомоморфизм, диаграмма Эйлера, диаграмма Венна, логическая диаграмма, линейная диаграмма, Лейбниц, линия тождества, обозначение, естественность, формализация

Аннотация

Наиболее известная схема диаграмм, используемых в логике, известна как круги Эйлера.Он назван в честь математика Леонарда Эйлера, который популяризировал его в своих « письмах к немецкой принцессе » (1768 г.). Идея состоит в том, чтобы использовать пробелы для представления классов людей. Чарльз С. Пирс, внесший значительный вклад в теорию диаграмм, хвалил круги Эйлера за их «красоту», которая проистекает из их истинной символичности. Спустя более века такие диаграммы нередко можно встретить в семиотической литературе. Их часто предлагают в виде пиктограмм и говорят, что они представляют логические отношения, каковыми они, естественно, и являются. В этой статье иконичность кругов Эйлера обсуждается в три этапа: во-первых, круги Эйлера показаны как иконы, потому что их отношения имитируют отношения классов. Затем окружности Эйлера сами по себе , независимо от их отношения друг к другу, показаны как иконы классов. Наконец, показано, что круги Эйлера являются знаковыми в высшей степени , потому что они имеют отношений, которые они, как утверждается, представляют. Статья завершается замечанием о так называемой естественности кругов Эйлера.

Загрузки

Данные для загрузки пока недоступны.

Метрики (ссылки, перепосты и т. д.)

Диаграмма Эйлера

Диаграммы Эйлера или «окружности Эйлера» являются диаграммным средством представления множеств и их отношений. Они являются современным воплощением кругов Эйлера, которые были изобретены Леонардом Эйлером в 18 веке.

Обзор

Диаграммы Эйлера обычно состоят из простых замкнутых кривых на плоскости, которые используются для изображения множеств. Пространственные отношения между кривыми (перекрытие, включение или ни то, ни другое) соответствуют теоретико-множественным отношениям (пересечение, подмножество и непересекаемость).

Диаграммы Эйлера обобщают известные диаграммы Венна, которые представляют все возможные пересечения множества, доступные с данными множествами.

Пересечение внутренней части набора кривых и внешней части остальных кривых на диаграммах называется зоной. Таким образом, на диаграмме Венна должны присутствовать все зоны (заданный набор кривых), а на диаграмме Эйлера некоторые зоны могут отсутствовать.

В логической ситуации можно использовать теоретико-модельную семантику для интерпретации диаграмм Эйлера в пределах дискурсивной вселенной. В примерах справа диаграмма Эйлера показывает, что множества «Животное» и «Минерал» не пересекаются, поскольку соответствующие кривые не пересекаются, а также что множество «Четыре ноги» является подмножеством множества «Животных». . Диаграмма Венна, в которой используются те же категории «Животное», «Минерал» и «Четыре ноги», не отражает эти отношения. Традиционно «пустота» множества на диаграммах Венна изображается штриховкой области.Диаграммы Эйлера представляют «пустоту» либо затенением, либо использованием отсутствующей зоны.

Часто накладывается набор условий правильности; это топологические или геометрические ограничения, накладываемые на структуру диаграммы. Например, может быть обеспечена связность зон или может быть запрещена параллельность кривых или нескольких точек, а также тангенциальное пересечение кривых. На диаграмме ниже примеры небольших диаграмм Венна преобразуются в диаграммы Эйлера с помощью последовательностей преобразований; некоторые из промежуточных диаграмм имеют параллелизм кривых.Однако такое преобразование диаграммы Венна с штриховкой в ​​диаграмму Эйлера без штриховки не всегда возможно. Существуют примеры диаграмм Эйлера с 9 наборами, которые невозможно нарисовать с помощью простых замкнутых кривых без создания нежелательных зон, поскольку они должны иметь неплоские двойные графы.

ee также

* Диаграмма Джонстона

Ссылки

Внешние ссылки

* Диаграммы Эйлера. Брайтон, Великобритания (2004 г.). [ http://www.cs.kent.ac.uk/events/conf/2004/euler/eulerdiagrams.html Что такое диаграммы Эйлера? ]
* [ http://www.eulerdiagrams.com/ Проект визуализации с диаграммами Эйлера ]

Фонд Викимедиа. 2010.

Рисование диаграмм Эйлера с помощью окружностей

‘) переменная голова = документ.getElementsByTagName(«голова»)[0] var script = document.createElement(«сценарий») script.type = «текст/javascript» script.src = «https://buy.springer.com/assets/js/buybox-bundle-52d08dec1e.js» script.id = «ecommerce-scripts-» ​​+ метка времени head.appendChild (скрипт) var buybox = document. querySelector(«[data-id=id_»+ метка времени +»]»).parentNode ;[].slice.call(buybox.querySelectorAll(«.вариант-покупки»)).forEach(initCollapsibles) функция initCollapsibles(подписка, индекс) { var toggle = подписка.querySelector(«.цена-варианта-покупки») подписка.classList.remove(«расширенный») var form = подписка.querySelector(«.форма-варианта-покупки») если (форма) { вар formAction = form.getAttribute(«действие») документ.querySelector(«#ecommerce-scripts-» ​​+ timestamp).addEventListener(«load», bindModal(form, formAction, timestamp, index), false) } var priceInfo = подписка.querySelector(«.Информация о цене») var PurchaseOption = toggle.parentElement если (переключить && форма && priceInfo) { toggle. setAttribute(«роль», «кнопка») toggle.setAttribute(«tabindex», «0») переключать.addEventListener(«щелчок», функция (событие) { var expand = toggle.getAttribute(«aria-expanded») === «true» || ложный toggle.setAttribute(«aria-expanded», !expanded) form.hidden = расширенный если (! расширено) { покупкаOption.classList.add(«расширенный») } еще { покупкаOption.classList.удалить («расширить») } priceInfo.hidden = расширенный }, ложный) } } функция bindModal (форма, formAction, метка времени, индекс) { var weHasBrowserSupport = window. fetch && Array.from функция возврата () { var Buybox = EcommScripts ? EcommScripts.Buybox : ноль var Modal = EcommScripts ? EcommScripts.Модальный: ноль if (weHasBrowserSupport && Buybox && Modal) { var modalID = «ecomm-modal_» + метка времени + «_» + индекс var modal = новый модальный (modalID) modal.domEl.addEventListener («закрыть», закрыть) функция закрыть () { form.querySelector(«кнопка[тип=отправить]»).фокус() } вар корзинаURL = «/корзина» var cartModalURL = «/cart?messageOnly=1» форма.установить атрибут ( «действие», formAction. replace(cartURL, cartModalURL) ) var formSubmit = Buybox.interceptFormSubmit( Buybox.fetchFormAction(окно.fetch), Buybox.triggerModalAfterAddToCartSuccess(модальный), функция () { форма.removeEventListener («отправить», formSubmit, false) форма.setAttribute( «действие», formAction.replace(cartModalURL, cartURL) ) форма.отправить() } ) form.addEventListener («отправить», formSubmit, ложь) документ.body.appendChild(modal. domEl) } } } функция initKeyControls() { document.addEventListener («нажатие клавиши», функция (событие) { if (document.activeElement.classList.contains(«цена-варианта-покупки») && (event.code === «Пробел» || event.code === «Enter»)) { если (document.activeElement) { мероприятие.предотвратить по умолчанию () документ.activeElement.click() } } }, ложный) } функция InitialStateOpen() { вар buyboxWidth = buybox.offsetWidth ;[].slice.call(buybox.querySelectorAll(«.опция покупки»)).forEach(функция (опция, индекс) { var toggle = option.querySelector(«. цена-варианта-покупки») вар форма = вариант.querySelector(«.форма-варианта-покупки») var priceInfo = option.querySelector(«.Информация о цене») если (buyboxWidth > 480) { переключить.щелчок() } еще { если (индекс === 0) { переключить.щелчок() } еще { toggle.setAttribute («ария-расширенная», «ложь») форма.скрытый = «скрытый» priceInfo.hidden = «скрытый» } } }) } начальное состояниеОткрыть() если (window.buyboxInitialized) вернуть window.buyboxInitialized = истина initKeyControls() })()

В чем разница между диаграммами Венна и Эйлера? – Жадный.

сеть

В чем разница между диаграммами Венна и Эйлера?

Диаграмма Венна показывает все возможные логические отношения между наборами множеств. Но диаграмма Эйлера показывает только те отношения, которые существуют в реальном мире.

Кто сторонник диаграммы Венна?

Английский логик Джон Венн популяризировал диаграмму в 1880-х годах.

Как нарисовать диаграмму Эйлера?

Диаграмма Эйлера: Шаги

  1. Шаг 1: Нарисуйте три круга, чтобы обозначить три категории (волшебник, ящерица, магия).
  2. Шаг 2: Прочитайте первое утверждение и переместите соответствующий кружок соответствующим образом.
  3. Шаг 2: Прочитайте второе утверждение и переместите соответствующий кружок соответствующим образом.

Кто изобрел диаграмму Эйлера?

Леонард Эйлер
Леонард Эйлер (произносится «Ойлер») был одним из величайших математиков всех времен. Многие утверждают, что он был величайшим. Одним из его менее известных изобретений являются диаграммы Эйлера, которые он использовал для иллюстрации рассуждений.

Что такое аргументы и диаграммы Эйлера?

Цель диаграмм Эйлера состоит в том, чтобы создать визуальное представление каждого из аспектов логического аргумента, чтобы вывод можно было четко оценить.Как правило, для представления каждого набора, описанного в аргументе, строится один овал, а для представления отдельных единиц используется «X».

Что изобрел Джон Венн?

Диаграмма Венна
Джон Венн/Изобретения

Джон Венн (родился 4 августа 1834 г., Кингстон-апон-Халл, Англия — умер 4 апреля 1923 г., Кембридж), английский логик и философ, наиболее известный как изобретатель диаграмм — известных как диаграммы Венна — для представления категориальных предложений и проверки справедливость категорических силлогизмов.

Как решить АУБ на диаграмме Венна?

Пример 2: Найдите A U B, используя следующий рисунок. Решение: Используя формулу A union B, мы находим AUB, просто записывая все элементы A и B в один набор, избегая дубликатов. Таким образом, по данной диаграмме Венна AU B = {11, 20, 14, 2, 10, 15, 30}.

СУПЕРЗВЕЗД МАТЕМАТИИ – ДЖОН ВЕНН

Джон Венн не изобретал диаграмму Венна (первоначальная идея

была Эйлера).Но он известен популяризацией диаграммы, которая теперь носит его имя. Математики всегда ищут способы упростить изображение абстрактных идей — например, числовую прямую для «изображения» чисел или гистограмму для изображения данных. Диаграммы Венна — прекрасный способ организовать группы или «наборы» объектов.

ЗАБАВНЫЙ ПРИМЕР:  предположим, мы хотим отсортировать эти предметы на «предметы с ровно четырьмя ногами» (набор А) и «остальные» (не в наборе А):

Джон Венн, зебра, кот, осьминог, штатив, стул.

Одним из способов сделать это было бы разбить их на два списка, но гораздо более привлекательный способ — расположить их в виде диаграммы Венна с одним кругом:

У зебры, стула и кошки ровно по четыре ноги, поэтому они входят в круг. А вот Джон Венн (2 ноги), тренога (3 ноги) и осьминог (либо 8 ног, либо 2 ноги + 6 рук, смотря кого спросить!!!?!) выходят за пределы круга.

ДВА КРУГА:  Диаграмма Венна наиболее полезна, когда мы рассматриваем более одного качества, например, эта диаграмма Венна, которая сортирует некоторых известных знаменитостей в подгруппы в зависимости от того, являются ли они математиками («МАТИКА») и английский («ENG»):

Джон Венн, будучи одновременно англичанином и математиком, входит в ПЕРЕСЕЧЕНИЕ («перекрытие») обоих кругов (как поступил бы Исаак Ньютон, если бы мы захотели поместить его на эту диаграмму).Эйлер, будучи швейцарцем, а не английским математиком, находится в наборе MATH, но не ENG; Эд Ширан — англичанин, но не математик, поэтому входит в набор ENG, но не в набор MATH; и Дональд Дак, не английский нематематик, находится снаружи.
Сортировка!

ТРИ КРУГА: Диаграммы Венна особенно полезны при сортировке группы объектов по трем качествам. Чтобы проиллюстрировать это, вот пример, в котором некоторые знаменитости сортируются по тому, являются ли они людьми или нет:
 Человек
 Женщина
Мультфильмы.

Для ясности я покрасил пересечений каждой пары кругов в синий цвет, а пересечение всех трех кругов — в розовый.

Хотя на диаграмме представлен только один символ в каждом регионе, вы можете поместить любой символ в любое место на диаграмме. В какой регион вы пойдете? А если у вас 7 или более друзей, попробуйте создать другую диаграмму Венна с тремя качествами, чтобы в каждом регионе был хотя бы один из ваших друзей.Мне было очень весело разрабатывать этот проект!

ВНИМАНИЕ! ТРЕВОГА! ТОЛЬКО ДЛЯ ЭКСПЕРТОВ: Диаграммы Венна также можно рисовать для сортировки объектов по четырем или даже более различным качествам, но вы обнаружите, что невозможно отобразить все возможные комбинации пересечений, используя только круги: нужны более экзотические кривые! Итак: в приведенном выше примере с человеком / мультфильмом / женщиной, если вы также хотите знать, содержит ли, скажем, имя каждого персонажа букву «E», вот один из способов, которым вы могли бы нарисовать диаграмму Венна, но обновив круги до четырех многоточий:

На этот раз нужно заполнить 16 (=2x2x2x2) различных областей, так что я оставлю вас, чтобы найти персонажей для каждой области! С каждым дополнительным качеством количество областей снова удваивается, поэтому диаграмма Венна с 5 кривыми будет иметь 32 различных области. Чтобы понять, почему это так, представьте, что вы хотите добавить еще одно качество, скажем, «они когда-нибудь появлялись на британских почтовых марках?» В новой диаграмме каждый из предыдущих регионов должен сочетаться как с новым качеством, так и без него, то есть вдвое больше регионов на новой диаграмме.

Назад к 4-кривой Венна: сколько областей находится внутри 0, 1, 2, 3 и всех 4 кривых? Я раскрасил их по-разному, чтобы было легче считать, что таких областей 1, 4, 6, 4, 1 соответственно. Поклонники Треугольника Паскаля узнают эту знаменитую последовательность!

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ИДЕЯ: предположим, вы хотите найти HCF (наибольший общий делитель) и LCM (наименьший общий кратный) двух чисел, скажем, 660 и 252.Разбейте каждый из них на произведение их простых множителей (или заставьте ваш Casio fx сделать это за вас: нажмите 660 = SHIFT FACT) и расположите множители на диаграмме Венна. HCF — это произведение чисел в ПЕРЕСЕЧЕНИИ (пересечение), а LCM — это произведение всех чисел в СОЮЗЕ (оба круга и пересечение):

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ МЫСЛИ: Джон Венн жил с 1834 по 1923 год (Вау! Может, математика продлевает жизнь?). Первоначально он был священником, а затем стал математиком на полную ставку (тем, кто любит числа, формы и закономерности), философом («Кто создал Бога?») и логиком (правда или ложь?: «Это предложение — ложь»).Он был женат на Сюзанне и имел одного сына: тоже Джона Венна (что, должно быть, затруднило сортировку его почты). Он был ярым сторонником голосования за женщин и выигрывал призы за свои домашние овощи.

Если вам понравился этот блог, ознакомьтесь с другими моими Superstars Of Maths , или почему бы не связаться со мной, если вы хотите, чтобы я включил кого-то в будущий блог? Джон Венн: суперзвезда математики, джентльмен, ученый. Вы хотите, чтобы объекты были организованы в группы? Джон говорит:

Комментарии приветствуются, пожалуйста, посетите страницу Дома математики в Facebook

УВЕДОМЛЯЙТЕ МЕНЯ О НОВЫХ СООБЩЕНИЯХ ПО ЭЛЕКТРОННОЙ ПОЧТЕ (ок.один в месяц):
.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.