Квадратичная функция неполная: Неполная квадратичная функция. Квадратичная функция

2 + 4*(1)-1= 4.
9. Соединяем полученные точки и подписываем график.

Содержание

График неполной квадратичной функции – Telegraph

График неполной квадратичной функции

Квадратичная функция и ее график

=== Скачать файл ===

В этой статье мы поговорим о том, что такое квадратичная функция , научимся строить ее график и определять вид графика в зависимости от знака дискриминанта и знака старшего коэффициента. Обратите внимание на точки, обозначенные зелеными кружками — это, так называемые ‘базовые точки’. В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: Следовательно, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции. Следующий важный параметр графика квадратичной функции — координаты вершины параболы: Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. В зависимости от того, каким образом задана квадратичная функция, можно выбрать наиболее удобный. Рассмотрим общий алгоритм построения графика квадратичной параболы на примере построения графика функции. Найдем дискриминант квадратного трехчлена. Дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ. Для того, чтобы найти их координаты, решим уравнение: Точка пересечения параболы с осью OY: Построим для примера график функции. Вспомним линейные преобразования графиков функций. Выделим в уравнении функции полный квадрат: Старший коэффициент равен 1, поэтому построим по шаблону параболу с вершиной в точке -2; Вид уравнения функции позволяет легко найти нули функции — точки пересечения графика функции с осью ОХ:. Перед вами график квадратичной функции вида. Фельдман, репетитор по математике. Если ветви параболы направлены вниз, то множество значений \\\\\\\\\\\\] Если ветви параболы направлены вверх, то множество значений \\\\\\\\\\\\[. Помогите, пожалуйста, решить задачу Даны вершины треугольника М -7;1 ;N 8;9 ; К 2; Ваш e-mail не будет опубликован. Репетитор по математике Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим. Интерактивные модели ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ. Квадратичная функция и ее график. В уравнении квадратичной функции: Для нахождения координат базовых точек составим таблицу: И здесь возможны три случая: Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы. То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты 0;c. Нанесем эти точки на координатную плоскость, и соединим их плавной кривой: Этот способ можно несколько упростить. Найдем координаты вершины параболы. Найдем координаты точек, стоящих справа и слева от вершины. Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим плавной линией: Старший коэффициент равен 1, поэтому построим по шаблону параболу с вершиной в точке -2;1: Вид уравнения функции позволяет легко найти нули функции — точки пересечения графика функции с осью ОХ: Точка пересечения с осью OY: Для вас другие записи этой рубрики: Как найти множество значений функции. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш e-mail не будет опубликован. ЕГЭ-ТРЕНЕР, видеоуроки по математике Ольги Себедаш. Подготовка к ЕГЭ и ДВИ в МГУ. Простая физика — сайт Анны Денисовой. EgeMaximum — сайт Елены Репиной. Индивидуальная подготовка к ОГЭ и ЕГЭ по математике. Справочные материалы, видеолекции и видеоуроки по математике. Главная Карта сайта Репетитор Библиотека Статьи Контакты.

Лего френдс дом стефани инструкция по сборке

Охтинский центр эстетического воспитания

Рассказ про германию на немецком с переводом

Квадратичная функция. Парабола

Дашки военные рязань на карте

Расписание электричек ярославского направленияна сегодня

Расписание поездов москва можайск с белорусского завтра

Городская больница номер 5

Восстановить стим через почту

Квадратичная функция,ее свойства и график — СПИШИ У АНТОШКИ

Расписание городского транспорта иваново

Брежнев правил годы

Производственная характеристика переводчика английского языка

Разная компрессия в цилиндрах ваз 2114 причины

Каким способом не стоит избавляться от неликвидов

Asus n10 характеристики

Как сделать мангал из ведра

График квадратичной функции

Спальник в уаз патриот чертеж

Скачать музыку на телефон с контакта без

Как сделать сиденье на балконе

Типология рекламных текстов

Обозначение автомата на машине

Квадратичная функция — МАТВОКС

Исследование и график квадратичной функции

 

Квадратичная функция – это функция вида:

Графиком квадратичной функции является

парабола.

Исследование квадратичной функции и построение ее графика состоит в выяснении следующих фактов:

 

Множество значений, область определения, минимальное и максимальное значение квадратичной функции

 

Область определения – множество действительных чисел (D(f)=R).

 

 Область значений функции:

Если a>0, то область значений – это промежуток от (-D/4a) до +∞:

Если a<0, то область значений – это промежуток от -∞ до (-D/4a):

Максимальное и минимальное значения квадратичной функции:
  • Если a>0, то минимальное значение функции достигается в вершине; максимальное не достигается.
  • Если a<0, то максимальное значение функции достигается в вершине; минимальное не достигается.

Множество значений квадратичной функции при a>0

 

Множество значений квадратичной функции при a<0

Направление ветвей квадратичной функции

 

Если a>0, то ветви параболы направлены вверх;

Если a<0, ветви направлены вниз.

Ветви параболы направлены вверх

Ветви параболы направлены вниз

Точки пересечения с осями координат и координаты вершины параболы

 

Нули функции – точки пересечения графика с осью Ox – соответствуют действительным корням квадратного уравнения:

Число нулей функции определяется знаком дискриминанта:

Если D<0, то точек пересечения нет;

Если D=0, то одна точка пересечения;

Если D>0, то две точки пересечения.

Точка пересечения с осью Oy:

 

Координаты вершины параболы определяются по формулам:

Парабола имеет две точки пересечения с осью Ox. Дискриминант больше нуля

 

Парабола имеет одну точку пересечения с осью Ox. Дискриминант равен нулю

 

Парабола не имеет точек пересечения с осью Ox. Дискриминант меньше нуля

Точка пересечения параболы с осью Oy

График квадратичной функции

Ось симметрии квадратичной функции

 

Ось симметрии параболы – это прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси Oy.

m — ось симметрии параболы

9E09BEAE0A118E93DED3D74128EA2C147A65428915829EB11235F7758F7B38C3

Квадратичная функция и ее применение при решении уравнений и неравенств

1. Организационный момент

Учитель приветствует учащихся: “Здравствуйте, ребята! Начнём урок. Сегодня у нас урок обобщения и систематизации знаний по теме “Квадратичная функция и её применение при решении уравнений и неравенств”. Запишите тему в рабочую тетрадь.

В конце урока вы должны знать всё о квадратичной функции и её графике, уметь применять знания при решении квадратичных уравнений и неравенств, оценивать свою работу и работу других, расширить область знаний о графике квадратичной функции.

План работы следующий (на доске):

1. Знакомство с параболой.

2. Построение графика квадратичной функции.

3.Решение квадратных уравнений.

4. Решение квадратных неравенств.

5. Проверка знаний”.

Учащиеся приветствуют учителя, слушают его, знакомятся с планом работы, настраиваются на работу, ставят перед собой цель на урок – научиться решать квадратные уравнения (неполные; полные) одним или несколькими способами.

2. Знакомство с параболой

Учитель: “Знания по теме у нас есть. Расширим наши представления о графике квадратичной функции. Эти новые знания вам будут нужны в дальнейшем. Будьте внимательны.

Итак, начнём наш урок с истоков изучения квадратичной функции, её графика, исторически известных фактов, а для вас ещё новых открытий о параболе”.

Ученик 1 рассказывает “Об одной из математических моделей”:

“История развития человечества доказала, что математика – красивейшая наука, без которой не может развиваться ни одна другая. Продуктивнейший метод познания природы – математическое моделирование. В математике прежде всего поражает удивительная универсальность её моделей и их эффективность и применение для других наук. Правда, математическая модель не всегда даёт немедленную практическую отдачу. Бывает, что она оказывается полезной только через тысячу лет. Пример тому – конические сечения. Они были открыты в древней Греции и описаны Аполлоном Пергским (около 260 – 170 гг. до н.э.). Коническими сечениями называют эллипс, гиперболу и параболу, так как эти кривые можно получить на поверхности круглого конуса в пересечении плоскостью, не проходящей через вершину конуса.

Почти 2 тыс. лет казалось, что теория конических сечений применима только к решению чисто математических задач. Но в XVI веке математик и астроном Иоганн Кеплер, стараясь описать законы движения планет, высказал гипотезу, что траектория движения планет Солнечной системы – это эллипсы. Правда, доказать это смог не Кеплер, а Исаак Ньютон в 1687 г. в своей книге “Математические начала натуральной философии”, которая послужила основой всей современной теоретической физики, доказал эллиптичность планетных траекторий.

После того, как в XVII веке философ и математик Рене Декарт ввёл понятие координатной плоскости, оказалось невозможным записать каждую линию на плоскости уравнением, связывающим её текущие координаты.

Уравнения, задающие эллипс (в частности окружность), гиперболу и параболу, во всякой системе декартовых координат являются уравнениями второй степени. Поэтому соответствующие линии называются кривыми второго порядка.

Кривые второго порядка часто фигурируют при математическом описании законов природы. Почему эта модель оказалась столь плодотворной для приложений? Почему, в частности, сечение конуса описывает движение планет? Загадка. Но ясно, что, если теория сечения не была заранее разработана, то фундаментальные законы природы не были бы своевременно открыты, а это бы затормозило развитие науки. В школе рассматривается подробнее всего одно из конических сечений – парабола”.

Ученик 2: “О том, что парабола не допускает и мысли не подчиниться личной директрисе”.

Уже сказано было, что планеты движутся по кривым, называемым эллипсами, которые похожи на вытянутые окружности.

Кометы же могут двигаться, как по очень вытянутым в длину эллипсам, так и по параболам или гиперболам. В двух последних случаях, появившись в окрестностях солнца, они уходят в межзвёздное пространство и больше к Солнцу уже никогда не возвращаются. То, что кометы могут двигаться по кривым трёх различных видов. наводит на мысль: не связаны ли три линии – эллипс, гипербола и парабола какими – то общими геометрическими свойствами?

Действительно, все три линии можно охарактеризовать одним и тем же геометрическим свойством, которое мы сейчас установим.

Возьмём произвольную прямую l и точку F на расстоянии p от неё и рассмотрим геометрическое место точек М, для которых выполняется условие FM/MK=e=const (постоянно), где МК – длина перпендикуляра, опущенного из точки М к прямой l.

Оказывается, если 0<е<1, то получится эллипс, если е>1 – гипербола, если е=1 – парабола. Теперь мы можем дать чисто геометрическое определение параболы: параболой называется геометрическое место точек, равноудалённых от некоторой точки, называемой фокусом, и некоторой прямой, называемой директрисой параболы.

Обычно фокус обозначают буквой F, а директрису – буквой l.

Расположим ось абсцисс параллельно директрисе на равном расстоянии от директрисы и фокуса, а ось ординат пусть проходит через фокус.

Если р – расстояние от фокуса до директрисы, то в указанной системе координат фокус есть точка F(0;р/2), а директриса задаётся уравнением у = — р/2.

Пусть М(х;у) – произвольная точка искомой параболы. Условие МF=МК в переводе на алгебраический язык даст равенство:

Преобразовав данное уравнение, получим х2 = 2ру. Это каноническое уравнение параболы. Если систему координат выбрать иначе, то уравнение получится другим у2=2рх

Ученик 3: “О замечательных оптических свойствах параболы”.

Слово “фокус” в переводе с латинского означает “очаг”, “огонь”. Оно оправдывается следующим замечательным свойством параболы. Если изогнуть узкую полоску хорошо отполированного металла по дуге параболы и направить на неё пучок световых лучей, параллельный оси симметрии параболы, то после отражения от такой полоски все лучи пройдут через фокус. Наоборот, лучи точечного источника света, помещенного в фокусе, отразившись от полоски, пойдут параллельно оси параболы.

Указанное свойство параболы используют, изготовляя параболические отражатели для автомобильных фар и прожекторов. если зеркало с поверхностью. образованной вращением параболы около её оси симметрии, направить на Солнце, то в фокусе параболы действительно будет очаг, в котором при достаточном размере зеркала можно было бы плавить сталь. Американский физик Роберт Вуд получил параболическое зеркало, вращая сосуд с налитой в него ртутью. Зеркало получилось отличным. Поверхность такого зеркала называется параболоидом вращения. Если параболоид вращения пересекать плоскостями, то будут получаться в сечении, либо эллипсы, либо параболы.

Учитель: Итак, ещё одно знакомство с параболой произошло.

В школьном курсе алгебры парабола рассматривается как график квадратичной функции. Об этом вам сейчас напомнит Ученик 4.

Ученик 4: “О параболе, как о графике квадратичной функции”.

В математике принято записывать уравнение параболы либо в виде у2=2рх, либо в виде у = ах2. В первом случае ось симметрии параболы по оси Ох, во втором – по оси Оу. Вершина параболы в обоих случаях находится в начале координат.

А так как параболой будет и график любого квадратного трёхчлена у = ах2+вх+с, то естественно связать изучение параболы с графиками квадратичных функций.

Например, графику функции у=х2 принадлежат точки (-1;1), (2;4), (-7;49), (0;0).

С помощью графика функции у=х2 можно построить следующие:

1) у = — х2 – симметричное отображение относительно оси Ох;

2) у = ах2 – сжатие к оси Оу в а раз, если а > 1, а < -1; к оси Ох, если -1<а<1.

3) у = ах2+вх+с – представление функции в виде у = а(х – m)2+n

график y=(x – m)2 сдвигом вдоль оси Ох вправо, если m> 0 и влево, если m< 0;

график y=a(x – m)2 сжатием к оси Оу или Ох;

график y = a(x – m)2+n – сдвигом вдоль оси Оу вверх, если n>0 и вниз, если n<0.

Используя кодоскоп, ученик 5 демонстрирует преобразование графиков функций:

1) у = х2;

2) у = — х2;

3) у = 2х2 ;

4) у = 1/2 х2;

5) у = 1/2 (х+1)2;

6) у = 1/2 (х – 2)2;

7) у = 1/2 (х – 2)2+3.

Учитель: На доске построены графики функций

(1) у = х2— 4

(2) у = х2+ 4

(3) у = (х – 4)2

(4) у = (х+4)2.

Для каждого графика укажите соответствующую формулу.

Задание учащимся: схематично построить в одной системе координат графики функций:

1) у = х2 – 5;

2) у = (х – 5)2 – 2.

Двое учащихся, выполнивших задание, воспроизводят рисунок на доске, объясняют построение.

Учитель просит назвать координаты вершины параболы.

Задание: рассказать о свойствах квадратичной функции по графику и втором способе построения графика.

Вопросы учащимся:

— Как определить по коэффициентам а,в,с расположение параболы на плоскости? В какой четверти расположена вершина, где график пересекает ось Оу?

Учитель организует устную работу с кодоскопом (к задаче 1 – 4 примера, к задаче 2 – 2 примера):

Задание учащимся:

1) Определить по расположению параболы знаки а,в,с,Д.

2) Задать формулой функцию, график которой показан, перечислить свойства этой функции.

Задание для самоконтроля (на доске): используя наиболее удобный способ построить графики функций:

1) у = х2;

2) у = (х + 1)2 – 3;

3) у = х х .

Проверка через кодоскоп. Самооценка.

Учитель: “Итак, мы повторили построение графика квадратичной функций и её свойства, а теперь остановимся на двух из них: нули функции, промежутки знакопостоянства.

Что называют нулями функции? Как найти нули квадратичной функции?”

Ученики дают определение нулей функции. Для нахождения нулей функции нужно решить уравнение у = 0, т.е. ах2+вх+с=0.

Ученики (в парах) проверяют друг друга: какими способами решаются квадратные уравнения; алгоритм решения.

Решение квадратных уравнений

Ученики решают уравнения по индивидуальным карточкам (Приложение 1) в тетради. Для успешно выполнивших задания учащихся подготовлены дополнительные карточки. Учащиеся проверяют решение по листу самоконтроля (Приложение 2), оценивают работу каждого ученика в малой группе. У доски двое учащихся находят нули функции у = х2 + 4х +3.

Один — с помощью графика функции, второй – используя теорему Виета.

Задание: найти нули функции у = (а – 5)х2 – 2ах +а – 4.

У доски один из учеников решает уравнение (а – 5)х2 – 2ах +а – 4 = 0.

Учитель: умение решать квадратные уравнения необходимо при описании одного из свойств квадратичной функции – нахождении нулей функции.

Итак, мы выполнили три пункта плана. А сейчас немного отдохнём перед следующим важным этапом работы.

Объявляется игра “Брейн-ринг” между командами – рядами и командой гостей. На обсуждение вопроса дается одна минута. Играем до 3 очков.

Вопросы:

  1. Тело подброшено вверх. какую кривую опишет траектория его движения? (парабола)
  2. Закончите фразу: “ Корнями уравнения воспета знаменитая теорема… (Виета)
  3. Каким свойством обладает квадратичная функция и одна из тригонометрических функций?(чётность)
  4. Превращение квадрата в равновеликий прямоугольник с данным основанием называлось в греческой геометрии “приложением” квадрата к данному основанию, что в переводе с греческого означает “приложение”?(парабола)
  5. Это слово происходит от латинского – “исполнение, осуществление”. В математике его впервые употребил лишь в XVII веке Лейбниц. Что это за слово? (функция)
  6. назовите кривые второго порядка, изучаемые в теории конических сечений (эллипс, гипербола, парабола)
  7. Кто высказал гипотезу о траектории движения планет солнечной системы как эллипсы? (И. Кеплер)

На доске учитель фиксирует результаты игры.

Учитель поздравляет победителей, благодарит за внимательную работу на уроке и интерес к математике.

4. Решение квадратных неравенств.

Учитель: “Рассмотрим ещё одно свойство квадратичной функции – знакопостоянство функции. Как определить, на каких промежутках функция принимает положительные, отрицательные значения? Что необходимо уметь решать?”

На доске выписываются неравенства ах2+вх +с>0, ах2+вх +с<0, ах2+вх +с0.

— Что необходимо знать о квадратичной функции, чтобы решить такое неравенство? (количество нулей функции, направление ветвей параболы).

Итак, нужно хорошо представлять себе схему (напоминает расположение графика функции)

  Д>0 Д<0 Д=0
а> 0      
а< 0      

и алгоритм решения:

1) нахождение нулей функции у = ах2+вх+с

2) определение направления ветвей параболы

3) схематичный график функции

4) определение промежутков.

Учитель: “А сейчас, поработаем в группах под руководством консультантов, которые проверят работу каждого и оценят её”.

Каждой группе даётся карточка с заданием – решить неравенство (Приложение 3).

Учитель предлагает решить неравенства устно. На доске изображены графики функций

у = х2 – 2х – 3; у = 2; у = х — 10 и записаны неравенства:

1)х2 – 2х – 3< 0;

2)х2 – 2х – 3> 0;

3)х2 – 2х – 3 < 2;

4)х2 – 2х – 3 > х – 10.

Ученики устно решают неравенства.

Учитель: “Итак, квадратные неравенства можно решать с помощью графиков. Это и красиво, и интересно. Возьмите на заметку”.

Проверка знаний.

Учитель: “А теперь проверим себя, насколько хорошо вы овладели материалом, были внимательны на уроках и на этом уроке тоже. Предлагаю вам тестовое задание выполнить на оценку. Проверьте свои знания и умения”.

Ученики выполняют задание в тестовой форме (Приложение 4).

Учитель:

“1. Подсчитайте сумму номеров правильных ответов. Если получилось число 21, то вы на верном пути.

2. Проверьте работу друг друга и оцените работу по следующим критериям:

  • “5” — 7 заданий выполнено верно,
  • “3” — 4 задания
  • “4” — 5-6 заданий
  • “2” — 0-3 задания.

3.проверьте качество вашей проверки через кодоскоп.

4.сообщите результаты учителю”.

6. Итог урока. Учитель: весь план мы выполнили. Основные знания проверили, узнали новое о параболе. За работу на уроке вы получаете следующие отметки (зачитывает по ведомости учета работы) (Приложение 5). Спасибо всем за работу! Урок окончен.

Квадратичная функция — урок.

Алгебра, 8 класс.

Функция y=kx2 и её график

В \(7\)-м классе мы изучали функции \(у = m\), \(у = kx\), \(у = kx + m\), y=x2.  В общем виде функция \(у = f(x)\) является математической моделью зависимости значений функции (зависимой переменной \(y\)) от заданных значений аргумента (независимой переменной \(x\)).

 

Действительно, функция y=kx2 в одном случае нам немного знакома. Смотри: при \(k = 1\), получаем y=x2; эту функцию мы изучили в \(7\)-м классе, и ты, скорее всего, помнишь, что график этой функции — парабола.

 

 

Посмотрим, что получится при иных значениях коэффициента \(k\).

Проведём анализ двух функций: y=4×2 и y=0,25×2. Составим таблицу значений для первой функции y=4×2:

 

\(x\)\(0\)\(1\)\(-1\)\(2\)\(-2\)\(1.5\)\(-1.5\)
\(y\)\(0\)\(4\)\(4\)\(16\)\(16\)\(9\)\(9\)

 

Нанесём точки \((0; 0), (1; 4), (-1; 4), (2; 16), (-2; 16), (1,5; 9), (-1,5; 9)\) и соединим их плавной линией.

 

 

Заполним таблицу значений для функции y=0,25×2:

 

\(x\)\(0\)\(1\)\(-1\)\(2\)\(-2\)\(4\)\(-4\)
\(y\)\(0\)\(0.25\)\(0.25\)\(1\)\(1\)\(4\)\(4\)

 

Нанесём точки \((0; 0), (1; 0,25), (-1; 0,25), (2; 1), (-2; 1), (4; 4), (-4; 4)\) и соединим их плавной линией.

 

 

Сравни полученные рисунки. Заметно, что оба графика похожи. График такого вида называют параболой.

У каждой параболы есть вершина и ось симметрии (говорят ось параболы). У данных парабол это точка \((0; 0))\) и ось \(y\).

Обрати внимание!

Коэффициент \(k\) определяет, как быстро изменяется значение функции при изменении аргумента. Чем больше коэффициент \(k\), тем более круто направлены вверх ветви параболы.

Возьмём отрицательный коэффициент \(k=-1\) и построим график функции y=−x2.  Заполним таблицу:

 

\(x\)\(0\)\(1\)\(-1\)\(2\)\(-2\)\(3\)\(-3\)
\(y\)\(0\)\(-1\)\(-1\)\(-4\)\(-4\)\(-9\)\(-9\)

 

Отметим точки \((0; 0), (1; -1), (-1; -1), (2; -4), (-2; -4), (3; -9), (- 3; — 9)\) и соединим плавной линией.

 

 

Эта парабола имеет вершину в точке \((0; 0)\), ось симметрии — ось \(y\). Коэффициент \(k<0\), поэтому ветви идут вниз.

График функции y=kx2 — парабола с вершиной в точке \((0; 0)\), с симметричными относительно оси ординат ветвями, идущими вверх (если \(k>0\)) или вниз (если \(k<0\)).

Графики функций, имеющие противоположные значения коэффициента \(k\), симметричны друг другу относительно оси абсцисс. Например, графики функций y=x2 и y=−x2.

 

 

Точно так же симметричны друг другу относительно оси \(x\) параболы y=4×2 и  y=−4×2.

 

 

Обрати внимание!

График функции \(у = — f(x)\) симметричен графику функции \(у = f(x)\) относительно оси абсцисс.

Диссипация неполная — Энциклопедия по машиностроению XXL

Дельта амплитуды 185 Динама 136 Динамика 16 Диссипация неполная 279  [c.563]

Если мощность диссипативных спл N будет определенно-отрицательной функцией обобщенных скоростей (г = 1, 2,. .., гар), то диссипация называется полной. Если же N — знакопостоянная отрицательная функция ), то диссипация называется неполной или частичной.  [c.237]

Из равенства (6.37) видно, что однородным силам положительного сопротивления с полной диссипацией отвечает определенно-положительная диссипативная функция F, а при неполной (частичной) диссипации — просто положительная функция F.  [c.161]


Однако данное уравнение динамического равновесия конструкции будет неполным, так как при этом не учитывается демпфирование (обычно оно учитывается введением сил диссипации, зависящих от скорости). Демпфирование является основным фактором, который ограничивает рост амплитуд колебаний в режиме резонанса. Действие его проявляется в любой колебательной системе. Например, если отклонить кузов автомобиля, а затем отпустить его, то колебания быстро затухнут, что объясняется действием специально установленных демпферов. Когда колеса автомобиля наезжают на препятствие, упругие элементы подвески резко сжимаются. Если бы демпферы отсутствовали, то кузов автомобиля раскачивался после этого долгое время, пока не рассеялась бы энергия.  [c.72]

Матрица коэффициентов демпфирования В без ограничения общности может рассматриваться как симметричная. Среди диссипативных систем с конечным числом степеней свободы различают системы с полной и неполной диссипацией, К первым относят системы, для которых диссипативная функция Релея R = 1/2 (Bq, q) является положительной (R > 0) матрица В при этом является положительно определенной. Для систем с неполной диссипацией функция Релея является неотрицательной, а матрица В — неотрицательно определенней.[c.108]

Диссипация малая 94 — неполная 90, 92  [c.342]

Если функция рассеивания Релея (20.93) определенно положительна относительно обобщенных скоростей, то диссипация называется полной. Если же функция Релея может, кроме положительных значений, принимать значения, равные нулю, когда не все = 0, то диссипация называется неполной, или частичной.  [c.497]

Рассмотрим систему с неполной диссипацией, когда функция Релея  [c.296]

Когда Р содержит производные от всех диссипация называется полной в противном случае она неполная. Уравнения возмущенного движения системы, на которую, кроме консервативных, действуют и диссипативные силы, могут быть приведены к форме  [c.461]

Градиент функции 312 Диссипация энергии неполная 677  [c.721]

Следовательно, если диссипация неполная— функция Ф знакопостоянная, то по теореме Ляпунова устойчивость состояния равновесия сохраняется. Если же диссипация полная и функция Рэлея знакоопределенная отрицательная, то устойчивость станет асимптотической.  [c.468]

Если эта функция не отрицательна, то она называется функцией рассеивания или диссипативной функцией Ре-лея-, соответствующие силы Х> = —Bq называются диссипативными силами с положительным сопротивлением (или просто диссипативными силами). Если квадратичная форма F определенно-положительна, то диссипация называется полной, в противном случае — неполной. Наконец, если функция F может принимать отрицательные значения, то среди составляющих силы D = —Bq имеются ускоряющие силы силы отрицательного сопротивления). Обычно диссипативные силы с положительным сопротивлением возникают естественным обралом при движении тел в сопротивляющейся среде, в электрических цепях при наличии омического сопротивления и т. п. Ускоряющие силы (силы отрицательного сопротивления), как правило, создаются с помощью специальных устройств (см. пример 3 6.6).  [c. 152]


Обобщенные силы, соответствующие матрицам Bj и В2, называют соответственно диссипативными и гироскопическими. Если матрица Bi — положительно определенная, то мощность диссипации при любых движениях будет величиной положительной. В этом случае диссипативные силы обладают полной диссипацией. Если матрица Bi положительно полуопределенная, то говорят о неполной диссипации, если матрица Bi отрицательно определенная, то любое движение будет сопровождаться отрицательной диссипацией, т. е. амплитуды будут возрастать. Соответствующие силы будем называть силами с отрицательной диссипацией или ускоряющими силами. Этот термин будем применять и для снл (2) со знакопеременной матрицей коэффициентов, т. е. со знакопеременной квадратичной формой мощности диссипации. Мощность гироскопических сил на любых действительных перемещениях равна нулю в этом смысле гироскопические силы являются консервативными.  [c.90]

Все остальные системы можно отнести к неконсервативным. Будем считать, что во всех колебательных системах имеются позиционные консервативные (квазиупру-гие) силы. Системы, находящиеся под действием диссипативных сил, будем называть диссипативными системами. В зависимости от характера сил диссипации будем различать системы с полной диссипацией, с неполной диссипацией и с отрицательной диссипацией. Первые два типа систем называют также пассивными системами. Системы с отрицательной диссипацией и (или) с позиционными неконсервативными силами относят к активным системам. В пассивных системах возможны либо стационарные, либо затухающие колебания. В активных системах возможно самовозбуждение колебаний. Активные линейные системы являются линейными моделями автоколебательных или потенциально автоколебательных систем.  [c.90]

Все частные решения — затухающие функции, и, следовательно, общее решение — затухающая функция времени. Если система обладает неполной диссипацией, то часть ее показателей лежитвлевой полуплоскости, а часть —на мнимой оси (рис. 1, в). Среди частных решений содержатся периодические, отвечающие незадемпфирован-ным степеням свободы.  [c.92]

Уравнения (21) для систем с полной диссипацией обладают отличным от нуля определителем и, следовательно, всегда имеют единственное решение. В системе с неполной диссипацией возможны случаи отсутствия единсгвенного решения (наличие бесконечных значений амплитуд при определенных собственных частотах).  [c.108]

Механизм диссипации энергии деформируемых упорядоченных сплавов при переходе через порог упругости связан с движением сверхдислокаций. Это предопределяется исходной структурой упорядоченных сплавов, обладающих сверхструктурой. Ответственным за образование сверхдислокаций в упорядоченных сплавах является особый тип дефекта — антифазные границы. Механизм их образования следующий. Антифазные границы — это плоские дефекты при упорядочении, как правило, возрастает период идентичности в направлении вектора сдвИга. Поэтому при движении дислокации с обычным вектором Бюргерса за ней остается полоска антифазной границы из-за неполного, с точки зрения идеальной сверхструктуры, сдвига одной части кристалла относительно другой. В результате в плоскости границы образуются пары из одинаковых соседств атомов, которые отсутствуют в теле упорядоченного домена.  [c.253]

Простое определяющее соотношение для расчета ударной адиабаты в области неполного уплотнения пористого материала предложено в работе [38]. Модель основана на предположениях, что геометрические характеристики пор и матрицы примерно одни и те же как в случае ударного сжатия, так и в условиях изостатического уплотнения, а эффектами скорости деформирования и диссипации энергии при ударном сжатии можно пренебречь. С зтими предположениями получено определяющее соотношение в виде  [c.146]

С явлением диссипации мы познакомимся более подробно в следующем параграфе при рассмотрении поглощения звука в релаксирующей среде. Поглощение звуковых волн представляет собой характерный пример диссипации механической энергии. Примером неполного использования энергии вследствие необратимости может служить рассмотренный выше идеализированный случай истечения газа в пустоту с полностью замороженными колебаниями. В кинетическую энергию разлета идет только обратимая часть внутренней энергии энергия поступательных и вращательных степеней свободы, а энергия колебаний так и остается в молекулах, благодаря чему скорость истечения оказывается меньшей. Подобные эффекты необратимости при наличии неравновесных процессов могут привести к дополнительным потерям в высокоскоростных турбинах при высоких температурах, в соплах ракетных двигателей и т. д. На использовании эффекта повышения энтропии с течением времени основан независимый метод измерения времени колебательной релаксации т, примененный Кантровицем [1] для исследования релаксации в СОг.  [c.427]


Из состояний равновесия, определяемых условиями (1) или (2), практически реализуются лишь те, к-рые явл. устойчивыми (см. Устойчивость равновесия). Равновесия жидкостей и газов рассматриваются в гидростатике и аэростатике. с. М Тарг РАВНОВЕСИЕ статистическое состояние замкнутой статистич. системы, в к-ром ср. значения всех физ. величин, характеризующих состояние, не зависят от времени. Р. с.— одно из осн. понятий статистической физики, играющее такую же роль, как равновесие термодинамическое в терлюдинамике. Р. с. не явл, равновесным в механич. смысле, т. к. в системе при этом постоянно возникают малые флуктуации физ. величин около ср. значений. Теория Р. с. даётся в статистич. физике, к-рая описывает его при помощи разл. Гиббса распределений (микроканонич., канонич. или большого канонического) в зависимости от типа контакта системы с окружающей средой, запрещающего или допускающего обмен с ней энергией или ч-цами. В теории неравновесных процессов важную роль играет понятие неполного Р. с., при к-ром параметры, характеризующие состояние системы, очень слабо зависят от времени. Широко применяется понятие локального Р. с., при к-ром темп-ра и химический потенциал в малом элементе объёма зависят от времени и пространств, координат её ч-ц. См. Кинетика физическая. д. н. Зубарев. РАВНОВЕСИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЕ, состояние термодинамич. системы, в к-рое она самопроизвольно приходит через достаточно большой промежуток времени в условиях изоляции от окружающей среды. При Р. т. в системе прекращаются все необратимые процессы, связанные с диссипацией энергии теплопровод ность, диффузия, хим. реакции и др. В состоянии Р. т. параметры системы не меняются со временем (строго говоря, те из параметров, к-рые не фиксируют заданные условия существования системы, могут испытывать флуктуации — малые колебания около своих ср. значений). Изоляция системы не исключает определённого типа контактов со средой (напр., теплового контакта с термостатом, обмена с ним в-вом). Изоляция осуществляется обычно при помощи неподвижных стенок, непроницаемых для в-ва (возможны также случаи подвижных стенок и полупроницаемых перегородок). Если стенки не проводят теплоты (как, напр., в сосуде Дьюара), то изоляция наз. адиабатической. При теплопроводящих (диатермических) стенках между системой и внеш  [c.601]
{2}
ведущий коэффициент: 1
постоянный член: 11
конечное поведение: как x→\infty,y→\infty; как график x→-\infty,y→\infty
: https://p16-ehi-va. {2}
ведущий коэффициент: 1
постоянный член: 1
конечное поведение: как x→\infty,y→\infty, как x→-\infty,y→\infty
график: https://p16-ehi-va.gauthmath.com/tos-maliva-i-ejcjvp0zxf-us/01c3d150c9944e739236d3ed30180a19~tplv-ejcjvp0zxf-scale:1904:888.image

8.3 — Разложение на множители квадратичных трехчленов 8.3

8.3 — Разложение квадратичных трехчленов на множители


Определения: A квадратичный трехчлен является выражением вида:
а х 2 + б х + в ,
где x — переменная, а a , b и c — ненулевые константы.Константа a называется старшим коэффициентом , b называется линейным коэффициентом , а c называется аддитивной константой .

Дискриминант , D квадратного трехчлена определяется как количество:

D = б 2 − 4 а в .
Дискриминант используется для классификации или различения различных случаев квадратичные трехчлены.

Число в идеальном квадрате — это число, являющееся квадратом некоторого целого числа. Нам будет интересно узнать, является ли дискриминант полным квадратом.


Пример: Выражение:
x 2 + 7 x + 6.
представляет собой квадратный трехчлен с коэффициентами a = 1, b = 7 и c = 6. Дискриминант равен D = 7  2 − 4 · 1 · 6 или D = 25. D является полным квадратом, потому что это квадрат числа 5.

Пример: Выражение:
2 x 2 + 3 x − 4.
представляет собой квадратный трехчлен с коэффициентами a = 2, b = 3 и c = −4. Дискриминант равен D = 3  2 − 4 · 2 · (−4) или D = 41. Обратите внимание, что D не является идеальным квадратом.

Примечание: Если b или c равно нулю, то говорят, что квадратичный неполный квадратичный и если a равно нулю, то выражение не даже квадратичный; это линейно.Если любой из коэффициентов a , b или c равен нулю то выражение уже не является трехчленом и должно быть факторизовано (при условии, что является факторизуемым ) одним из более простые методы, которые мы изучали ранее:
  • Если c = 0, то a x  2 + b x имеет общий делитель, а именно x .
  • Если b = 0, то, в зависимости от того, является ли c положительным или отрицательным, х 2 + в либо сумма, либо разница квадратов.
  • Если a = 0, то b x + c является линейным, а не квадратичным, и может иметь только число в качестве общего множителя.


Предположения для этого раздела: Предположим, что коэффициенты a , b и c отличны от нуля. целых чисел и что дискриминант, D , представляет собой полный квадрат . Если эти условия не выполняются, то квадратный трехчлен нельзя разложить на множители. методами, описанными в этом разделе, но все еще могут быть факторизованы с использованием более сложного метода завершение квадрата.

Если эти условия 90 265 и 90 266 выполняются, то для квадратного трехчлена возможны три случая: каждый из которых учитывается другим методом:
  • Дискриминант D = 0 (трехчлен — полный квадрат)
  • дискриминант D ≠ 0 и старший коэффициент a = 1
  • Дискриминант D ≠ 0 и старший коэффициент a ≠ 1 (используйте метод группировки)
Сейчас мы изучаем эти методы.

Разложение на множители совершенных квадратных квадратичных трехчленов

В этом разделе мы узнаем, как разложить на множители совершенные квадратные квадратичные трехчлены . Это квадратичные трехчлены которое можно записать в виде квадрата некоторого выражения. вот несколько примеров совершенных квадратных трехчленов в нефакторизованной и факторизованной форме:
Обратите внимание, что второй пример можно рассматривать как квадратичный трехчлен потому что мы можем позволить x играют роль переменной, а y пусть будет константой.Дискриминант D всегда равен нулю для идеальных квадратных трехчленов. Если вы вычислите дискриминант для первого примера, вы обнаружите, что:
и для второго примера:

Совершенный квадратный трехчлен удобно записать в виде:
а  2 + 2 а б + б  2
Тогда это можно рассчитать следующим образом:
а 2 + 2 а б + б 2 = ( а + б )  2

Вы можете проверить это, распределив правую часть приведенного выше уравнения и получение левой части:
Обратите внимание, что первый и последний члены трехчлена получаются возведение в квадрат первого и последнего членов факторизованной формы:
и что средний член трехчлена получается путем удвоения произведения первого и последнего членов факторизованной формы:

Это приводит к следующей процедуре для разложения на множители совершенного квадратного трехчлена :
  • Убедитесь, что трехчлен на самом деле является полным квадратом, проверив, что дискриминант D = 0.
  • Запишите трехчлен в виде а 2 + 2 а б + б 2 .
  • Извлеките квадратный корень из первого и последнего членов и предварительно фактор это как а 2 + 2 а б + б 2 = ( a b )  2 где ? знак означает либо знак +, либо знак -.
  • Если средний член имеет тот же знак, что и первый и последний члены, то поставить знак + вот так:
    а 2 + 2 а б + б 2 = ( a  +  b )  2
    и если средний член имеет противоположный знак первого и последнего членов, то поставьте знак — вот так:
    а 2 − 2 а б + б 2 = ( а  —  б )  2

Пример:   Фактор  

  • Убедитесь, что это правильный квадратный трехчлен, проверив, что D = 0:
  • Предварительно разложите трехчлен следующим образом (? означает либо +, либо -):
  • Средний член имеет противоположный знак первого и последнего членов, поэтому результат:


Пример:  Множитель  
  • Убедитесь, что это правильный квадратный трехчлен, проверив, что D = 0:
  • Предварительно разложите трехчлен следующим образом (? означает либо +, либо -):
  • Средний член имеет противоположный знак первого и последнего членов, поэтому результат:


Разложение на множители квадратных трехчленов, когда

a = 1 В этом разделе мы узнаем, как разложить квадратичный трехчлен на множители. старший коэффициент которого равен a = 1:
x 2 + b x + c .
(Мы также предполагаем, что b и c являются целыми числами и что Дискриминант — полный квадрат.) Сначала заметьте, что множители должны быть биномиальными, оба члена размером x должны иметь коэффициенты 1:
( х + •) ( х + •)
Теперь нам нужно определить две • величины. Назовем их м и н и установите нефакторизованную форму равной факторизованной форме:
Если мы распределим правую часть, а затем объединим подобные члены, мы получим:
Единственный способ, которым левая сторона может быть идентична правой стороне, это если:
b = m + n и c = m n .
(Прописью сумма m и n должна равняться b а произведение m и n должно равняться c . ) Легко показать, что только одна комбинация m и n будет удовлетворить оба условия. Также мы увидим в раздел по заполнению квадрата что м и н гарантированы быть целыми числами, если дискриминант D является полным квадратом.

Это приводит к следующей процедуре 90 260 для факторизации квадратного трехчлена. a x  2 + b x + c , когда a = 1 :
  • Убедитесь, что для этого метода выполняются все следующие условия. работать: = 1, и — целые числа, а дискриминант D — полный квадрат.
  • Предварительно запишите трехчлен в факторизованной форме:
    x 2 + b x + c = ( х + м ) ( х + п )
  • Теперь найдите m и n .Это целые числа, удовлетворяющие условиям:
    m n = c и m + n = b .
    Их можно найти простым методом проб и ошибок: запишите список всех пары целых чисел, произведение которых равно c , а затем выберите одну пару сумма которых равна b . (Обратите внимание, что если c отрицательно, то один из m и n должны быть положительными, а другие отрицательными. Если c положительный, то m и n должны оба быть положительными или оба отрицательными.)

Пример: Коэффициент x 2 + 8 x + 12

  • Для этого трехчлена a = 1, b = 8 и c = 12, а дискриминант D = б 2 − 4 а в = 8 2 − 4 · 1 · 12 = 16, который является полным квадратом, а именно 4  2 .
  • Предварительно запишите трехчлен в факторизованной форме:
    x 2 + 8 x + 12 = ( х + м ) ( х + п )
  • Теперь найдите m и n . Это целые числа, удовлетворяющие условиям:
    m n = 12 и m + n = 8.
    Вот список всех пар целых чисел, произведение которых равно 12. Выберите пару сумма которых равна 8.
      м   n
    12 1
    6 2 ← сумма этой пары равна 8
    4 3
    3 4 ← уже проверено
    2 6 ← уже проверено
    1 12 ← уже проверено
    Таким образом, 90 265 м 90 266 = 6 и 90 265 n 90 266 = 2, а коэффициенты выражения как:
    x 2 + 8 x + 12 = ( х + 6) ( х + 2)
Примечание: Последние 3 строки таблицы дублируют первые 3 строки и не надо считать.

Пример: Коэффициент x 2 + x − 12
  • Для этого трехчлена a = 1, b = 1 и c = −12, а дискриминант D = б 2 − 4 а в = 1  2 − 4 · 1 · (−12) = 49, который является полным квадратом, а именно 7  2 .
  • Предварительно запишите трехчлен в факторизованной форме:
    x  2 + x — 12 = ( х + м ) ( х + п )
  • Теперь найдите m и n .Это целые числа, удовлетворяющие условиям:
    m n = −12 и m + n = 1,
    Вот список некоторых пар целых чисел, произведение которых равно −12. Выберите пару, сумма которых равна 1.
      м   n
    12 −1
    6 −2
    4 −3 ← сумма этой пары равна 1
    ← больше проверять не нужно
    Таким образом, 90 265 м 90 266 = 4 и 90 265 n 90 266 = -3, а коэффициенты выражения как:
    x  2 + x — 12 = ( х + 4) ( х — 3)


Разложение на множители квадратных трехчленов, когда

a ≠ 1 с использованием метода группировки В этом разделе мы узнаем, как разложить квадратичный трехчлен на множители. чьи коэффициенты a , b и c могут быть любыми целыми числами:
а х 2 + б х + в .
(Таким образом, и больше не должны быть равны 1, как в предыдущем разделе, но мы по-прежнему предполагаем, что дискриминант является полным квадратом.) Метод, который мы разрабатываем, является разновидностью метода группировки . Начните с предположения, что квадратичный трехчлен можно разложить на множители следующим образом:
а х 2 + б х + в = ( p x + q ) ( r x + s ).
Теперь мы решили найти p , q , r и s .Распределите по правой стороне:
х 2 + б х + с = п р х 2 + пс x + кв х + q с .
Посмотрите на синие и красные цифры справа. Думать о  p r как единый номер (которое имеет коэффициенты p и r ), подумайте о  p s как о другом числе, которое можно разложить на множители, и так далее. Тогда, как и в предыдущем случае, одно условие для того, чтобы левая сторона была равна правой стороне, состоит в том, что:
b = p s + q r .
Другими словами, сумма числа p s и числа q r должна равно б . В отличие от предыдущего случая, второе условие относится к продукту . а в . Это то, что:
а в = р р · кв с = ( p s ) ( q r ).
Проще говоря, произведение числа p s на число q r должно равняться продукт и c . Вместе эти два условия дают нам достаточно информации, чтобы найти два числа. p s и q r . Мы увидим в раздел по заполнению квадрата что эти два числа гарантированы быть целыми числами, если дискриминант D является полным квадратом. Также можно показать, что они единственны.

Теперь используйте два числа p s и q r в качестве ориентира для разделения. член трехчлена размером x на два члена, например:

х 2 + б х + с = х 2 + пс x + кв х + с ,
или, показывая множители a и c , вот так:
х 2 + б х + с = п р х 2 + пс x + кв х + q с .
Теперь создайте две группы с правой стороны (отсюда и название метода группировки ). Первая группа состоит из первых двух терминов (показаны красным) и вторая группа состоит из двух последних терминов (показаны синим цветом):
а х 2 + б х + в = п р х 2 + пс x + кв х + q с .
Вынести один общий фактор из первой группы и другой общий делитель из последней группы, например:
а х 2 + б х + в = п х ( г х + с ) + q ( r x + s ).
Это приводит к появлению нового общего делителя 90 265 r x + s 90 266, которые мы также можем исключить, и мы закончили:
а х 2 + б х + в = ( p x + q ) ( r x + s ).


Это приводит к следующей процедуре 90 260 для факторизации квадратного трехчлена. а х 2 + б х + в когда а ≠ 1 :
  • Убедитесь, что a , b и c все являются целыми числами и что дискриминант D является полным квадратом.
  • Найдите два целых числа m и n , которые удовлетворяют условиям:
    m n = a c и m + n = b .
    Их можно найти простым методом проб и ошибок: запишите список всех пары целых чисел, произведение которых равно a c , а затем выберите одну пару сумма которых равна b . (Обратите внимание, что если a c отрицательно, то одно из m и n должны быть положительными, а другие отрицательными.Если a c положительный, то m и n оба должны быть положительными или оба отрицательными.)
  • Используйте m и n , чтобы разделить член трехчлена размером x следующим образом:
    а х 2 + б х + в = a x  2 + m x + n x + c .
  • Сделайте две группы справа, первая группа состоит из первые два термина и последняя группа, состоящая из двух последних терминов.Вынести один общий фактор из первой группы и другой общий фактор из последней группы. Это вызывает появление нового общего фактора. Фактор этот общий множитель также исключается, и результатом является факторизованный трехчлен.

Пример: Коэффициент 6 x 2 + 7 x − 5

  • Для этого трехчлена a = 6, b = 7 и c = −5, а дискриминант D = б 2 − 4 а в = 7  2 − 4 · 6 · (−5) = 169, то есть полный квадрат, а именно 13 2 , поэтому условия выполнены чтобы метод группировки работал.
  • Найдите целые числа m и n , которые удовлетворяют условиям:
    m n = a c = −30 и m + n = b = 7,
    Вот список всех пар целых чисел, произведение которых равно −30. Выберите пару, сумма которых равна 7.
      м   n
    30 −1
    15 −2
    10 −3 ← сумма этой пары равна 7
    6 −5
    ← больше проверять не нужно; остальные дубликаты списка предыдущие строки
  • Используйте два числа 90 265 m 90 266 = 10 и 90 265 n 90 266 = −3 в качестве ориентира для разделения. член трехчлена размером x на два члена:
    6 x 2 + 7 x — 5 = 6 х 2 + 10 х — 3 х — 5.
  • Думайте об этом как о двух группах, каждая из которых состоит из двух терминов:
    6 x 2 + 7 x — 5 = 6 х 2 + 10 х — 3 х — 5.
    Фактор общего множителя 2 x из первой группы и a — выйти из последней группы:
    6 x 2 + 7 x — 5 = 2  x (3  x + 5) – (3  x + 5).
  • Теперь разложите новый общий множитель 3 x + 5, и все готово:
    6 x 2 + 7 x — 5 = (2 90 265 x 90 266 – 1) (3 90 265 x 90 266 + 5).


Пример: Коэффициент 8 x 2 + 2 x − 15
  • Для этого трехчлена a = 8, b = 2 и c = −15, а дискриминант D = б 2 − 4 а в = 2  2 − 4 · 8 · (−15) = 484, то есть полный квадрат, а именно 22 2 , поэтому условия выполнены чтобы метод группировки работал.
  • Найдите целые числа m и n , которые удовлетворяют условиям:
    m n = a c = −120 и m + n = b = 2,
    Вот список всех пар целых чисел, произведение которых равно −120. Выберите пару, сумма которых равна 2.
      м   n
    120 −1
    60 −2
    40 −3
    30 −4
    24 −5
    20 −6
    15 −8
    12 −10 ← сумма этой пары равна 2
    ← больше проверять не нужно; остальные дубликаты списка предыдущие строки
  • Используйте два числа 90 265 m 90 266 = 12 и 90 265 n 90 266 = −10 в качестве ориентира для разделения. член трехчлена размером x на два члена:
    8 x 2 + 2 x — 15 = 8 х 2 + 12 х — 10 х — 15.
  • Думайте об этом как о двух группах, каждая из которых состоит из двух терминов:
    8 x 2 + 2 x — 15 = 8 х 2 + 12 х — 10 х — 15.
    Фактор общего множителя 4 x из первой группы и −5 из последней группы:
    8 x 2 + 2 x — 15 = 4 x (2 x + 3) – 5 (2  x + 3).
  • Теперь разложите новый общий множитель 2 x + 3, и мы закончили:
    8 x 2 + 2 x — 15 = (2  x + 3) (4  x  – 5).



Если вы нашли эту страницу в веб-поиске, вы не увидите
Оглавление в рамке слева.
Щелкните здесь, чтобы отобразить его.

Квадратичные функции — Алгебра и тригонометрия

Цели обучения

В этом разделе вы:

  • Распознавать характеристики парабол.
  • Поймите, как график параболы связан с ее квадратичной функцией.
  • Определить минимальное или максимальное значение квадратичной функции.
  • Решите задачи на минимальное или максимальное значение квадратичной функции.
Рис. 1. Набор спутниковых антенн. (кредит: Мэтью Колвин де Валле, Flickr)

Изогнутые антенны, подобные показанным на (рис.), обычно используются для фокусировки микроволн и радиоволн для передачи телевизионных и телефонных сигналов, а также спутниковой и космической связи.Поперечное сечение антенны имеет форму параболы, которую можно описать квадратичной функцией.

В этом разделе мы будем исследовать квадратичные функции, которые часто моделируют задачи, связанные с движением площади и снаряда. Работа с квадратичными функциями может быть менее сложной, чем работа с функциями более высоких степеней, поэтому они предоставляют хорошую возможность для детального изучения поведения функции.

Распознавание характеристик парабол

График квадратичной функции представляет собой U-образную кривую, называемую параболой.Одной из важных особенностей графа является то, что он имеет крайнюю точку, называемую вершиной. Если парабола раскрывается, вершина представляет собой самую низкую точку на графике или минимальное значение квадратичной функции. Если парабола открывается вниз, вершина представляет собой самую высокую точку на графике или максимальное значение. В любом случае вершина является поворотной точкой на графе. График также симметричен, а вертикальная линия проходит через вершину, называемую осью симметрии. Эти функции показаны на (Рисунок).

Рис. 2.

Точка пересечения y — это точка, в которой парабола пересекает ось y . Точки пересечения x — это точки, в которых парабола пересекает ось x . Если они существуют, то точки пересечения x представляют собой нули , или корни квадратичной функции, значения которой

Определение характеристик параболы

Определите вершину, ось симметрии, нули и точку пересечения параболы, показанной на (рис.).

Рис. 3.

Понимание того, как графики парабол связаны с их квадратичными функциями

Общая форма квадратичной функции представляет функцию в виде

, где и — действительные числа, а если парабола направлена ​​вверх. Если парабола направлена ​​вниз. Мы можем использовать общую форму параболы, чтобы найти уравнение для оси симметрии.

Ось симметрии определяется выражением. Если мы используем квадратичную формулу для решения точек пересечения или нулей, мы находим, что значение на полпути между ними всегда является уравнением для оси симметрии.

(рисунок) представляет собой график квадратичной функции, записанный в общем виде как В таком виде, а Потому что парабола открывается вверх. Ось симметрии это тоже имеет смысл, потому что из графика видно, что вертикальная линия делит график пополам. Вершина всегда находится вдоль оси симметрии. Для параболы, которая открывается вверх, вершина находится в самой нижней точке графика, в этом случае точки пересечения, точки пересечения параболы с осью, находятся в точке

. Рис. 4.

Стандартная форма квадратичной функции представляет функцию в виде

где вершина. Поскольку вершина появляется в стандартной форме квадратичной функции, эта форма также известна как вершинная форма квадратичной функции.

Как и в случае с общей формой, если парабола открывается вверх и вершина минимальна. Если парабола направлена ​​вниз, а вершина максимальна. (Рисунок) представляет собой график квадратичной функции, записанный в стандартной форме, как в этом примере, в этой форме, и потому, что парабола открывается вниз. Вершина находится на

Рис. 5.

Стандартная форма полезна для определения того, как график преобразуется из графика (Рисунок) в график этой базовой функции.

Рис. 6.

Если график смещается вверх, тогда как если график смещается вниз. На (рис.) график смещен на 4 единицы вверх. Если график смещается вправо и если график смещается влево. На (рис.) график сдвинут на 2 единицы влево. Величина указывает на растяжение графика.Если точка, связанная с определенным значением, смещается дальше от оси x-, то график становится более узким и появляется вертикальное растяжение. Но если точка, связанная с тем или иным значением, смещается ближе к оси x — , то график как бы становится шире, а на самом деле происходит сжатие по вертикали. На (рис.), поэтому график становится более узким.

Стандартная форма и общая форма являются эквивалентными методами описания одной и той же функции. Мы можем увидеть это, расширив общую форму и приравняв ее к стандартной форме.

Чтобы линейные члены были равны, коэффициенты должны быть равны.

Это ось симметрии, которую мы определили ранее. Установка постоянных членов равными:

Однако на практике обычно легче запомнить, что k — это выходное значение функции, когда входное значение равно

.

Написание уравнения квадратичной функции по графику

Напишите уравнение для квадратичной функции на (рис.) в виде преобразования, а затем расширьте формулу и упростите члены, чтобы записать уравнение в общем виде.

Рис. 7.

Нахождение вершины квадратичной функции

Найдите вершину квадратичной функции. Перепишите квадратичную функцию в стандартной форме (вершинная форма).

Анализ

Одна из причин, по которой мы можем захотеть идентифицировать вершину параболы, заключается в том, что эта точка сообщит нам, где происходит максимальное или минимальное значение выходного сигнала и где оно происходит,

Попробуйте

Данному уравнению запишите уравнение в общем виде, а затем в стандартной форме.

[reveal-answer q=»fs-id1165137638479″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165137638479″]

в общей форме; в стандартной форме

[/скрытый ответ]

Нахождение области определения и области значений квадратичной функции

Любое число может быть входным значением квадратичной функции. Следовательно, областью определения любой квадратичной функции являются все действительные числа. Поскольку параболы имеют точку максимума или минимума, диапазон ограничен. Поскольку вершина параболы будет либо максимальной, либо минимальной, диапазон будет состоять из всех y -значений, больших или равных y -координаты в точке поворота или меньших или равных y -координата в точке поворота, в зависимости от того, открывается парабола вверх или вниз.

Нахождение области определения и области значений квадратичной функции

Найти домен и диапазон

Попробуйте

Найти домен и диапазон

[reveal-answer q=»fs-id11651375

″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id11651375

″]

Домен состоит из действительных чисел. Ассортимент isor

[/скрытый ответ]

Определение максимального и минимального значений квадратичных функций

Выход квадратичной функции в вершине является максимальным или минимальным значением функции, в зависимости от ориентации параболы.Мы можем видеть максимальное и минимальное значения на (Рисунок).

Рис. 9.

Существует множество реальных сценариев, в которых требуется найти максимальное или минимальное значение квадратичной функции, например приложения, связанные с площадью и доходом.

Нахождение максимального значения квадратичной функции

Фермер на заднем дворе хочет выделить прямоугольное пространство для нового сада на своем огороженном заднем дворе. Она купила 80 футов проволочного ограждения, чтобы огородить три стороны, и она будет использовать часть забора заднего двора в качестве четвертой стороны.

  1. Найдите формулу площади ограждения, если стороны ограждения, перпендикулярные существующему ограждению, имеют длину
  2. Каких размеров она должна сделать свой сад, чтобы увеличить огороженную площадь?
[reveal-answer q=»fs-id1165137836806″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165137836806″]

Давайте воспользуемся диаграммой, такой как (Рисунок), для записи данной информации. Также полезно ввести временную переменную для представления ширины сада и длины участка забора, параллельного забору заднего двора.

Рис. 10.
  1. Мы знаем, что у нас есть только 80 футов забора, и, проще говоря, это позволяет нам представить ширину в терминах

    Теперь мы готовы написать уравнение для площади, ограниченной забором. Мы знаем, что площадь прямоугольника равна длине, умноженной на ширину, поэтому

    Эта формула представляет площадь забора через переменную длину Функция, записанная в общем виде, равна

  2. Квадратичный имеет отрицательный старший коэффициент, поэтому график будет открываться вниз, а вершина будет максимальным значением площади.При нахождении вершины мы должны быть осторожны, потому что уравнение не записано в стандартной полиномиальной форме с убывающими степенями. Вот почему мы переписали функцию в общем виде выше. Поскольку это коэффициент при квадрате члена, а

Чтобы найти вершину:

Максимальное значение функции составляет площадь 800 квадратных футов, что происходит при ступнях. Когда более короткие стороны составляют 20 футов, для более длинной стороны остается 40 футов ограждения. Чтобы максимизировать площадь, она должна окружить сад так, чтобы две более короткие стороны имели длину 20 футов, а длинная сторона, параллельная существующему забору, имела длину 40 футов.

[/скрытый ответ]

Анализ

Эту задачу также можно решить, построив график квадратичной функции. Мы можем видеть, где находится максимальная площадь на графике квадратичной функции на (рис.).

Рис. 11.

Как

Учитывая приложение, связанное с доходом, используйте квадратное уравнение, чтобы найти максимум.

  1. Напишите квадратное уравнение для функции дохода.
  2. Найдите вершину квадратного уравнения.
  3. Определите y -значение вершины.

Поиск максимального дохода

Цена за единицу товара влияет на его спрос и предложение. То есть, если цена за единицу растет, спрос на товар обычно снижается. Например, местная газета в настоящее время имеет 84 000 подписчиков при ежеквартальной оплате в размере 30 долларов. Исследование рынка показало, что если владельцы поднимут цену до 32 долларов, они потеряют 5000 подписчиков. Предполагая, что подписка линейно связана с ценой, какую цену должна взимать газета за ежеквартальную подписку, чтобы максимизировать свой доход?

[reveal-answer q=»fs-id1165135389886″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165135389886″]

Выручка — это сумма денег, которую приносит компания.В этом случае доход можно найти, умножив цену за подписку на количество подписчиков или количество. Мы можем ввести переменные для цены за подписку и для количества, что даст нам уравнение

.

Поскольку количество подписчиков меняется в зависимости от цены, нам нужно найти взаимосвязь между переменными. Мы знаем, что в настоящее время, и мы также знаем, что если цена поднимется до 32 долларов, газета потеряет 5000 подписчиков, что даст вторую пару значений, и из этого мы можем найти линейное уравнение, связывающее две величины. Наклон будет

Это говорит нам о том, что газета потеряет 2500 подписчиков на каждый доллар, на который они повысят цену. Затем мы можем решить для y -перехват.

Это дает нам линейное уравнение, касающееся стоимости и количества подписчиков. Теперь вернемся к нашему уравнению доходов.

Теперь у нас есть квадратичная функция дохода как функция платы за подписку. Чтобы найти цену, которая максимизирует доход газеты, мы можем найти вершину.

Модель говорит нам, что максимальный доход будет получен, если газета взимает 31 доллар.80 за подписку. Чтобы найти максимальный доход, мы оцениваем функцию дохода.

[/ скрытый ответ]
Анализ

Это также можно решить, построив квадратичный график, как показано на (Рисунок). Максимальный доход мы можем увидеть на графике квадратичной функции.

Рис. 12.
Нахождение
x – и y – точек пересечения квадратичной функции

Подобно тому, как мы это делали в приведенных выше прикладных задачах, нам также необходимо найти точки пересечения квадратных уравнений для графического построения парабол. Напомним, что мы находим точку пересечения квадратичного уравнения, оценивая функцию на входе, равном нулю, и мы находим точку пересечения в точках, где выход равен нулю. Обратите внимание на (рисунок), что количество перехватов может варьироваться в зависимости от расположения графика.

Переписывание квадратичных уравнений в стандартной форме

На (рисунке) квадратное уравнение легко решается с помощью разложения на множители. Однако есть много квадратичных уравнений, которые нельзя разложить на множители. Мы можем решить эти квадратичные уравнения, предварительно переписав их в стандартной форме.

Нахождение

x точек пересечения параболы

Найти точки пересечения квадратичной функции

Попробуйте

В программе Try It мы нашли стандартную и общую форму функции. Теперь найдите y — и x -перехваты (если есть).

[reveal-answer q=»fs-id1165135240997″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165135240997″]

y -перехват в точке (0, 13), без перехвата

[/скрытый ответ]

Применение вершины и

x — пересечений параболы

Мяч брошен вверх с вершины здания высотой 40 футов со скоростью 80 футов в секунду. Высота мяча над землей может быть смоделирована уравнением

.
  1. Когда мяч достигает максимальной высоты?
  2. Какова максимальная высота мяча?
  3. Когда мяч коснется земли?

[reveal-answer q=”85834″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый-answer a=”85834″]

  1. Мяч достигает максимальной высоты в вершине параболы.

    Мяч достигает максимальной высоты через 2,5 секунды.

  2. Чтобы найти максимальную высоту, найдите координату вершины параболы.

    Мяч достигает максимальной высоты 140 футов.

  3. Чтобы найти момент удара мяча о землю, нам нужно определить момент, когда высота равна нулю.

    Воспользуемся квадратичной формулой.

    Поскольку квадратный корень не очень упрощается, мы можем использовать калькулятор для аппроксимации значений решений.

    Второй ответ находится за пределами разумной области нашей модели, поэтому мы заключаем, что мяч упадет на землю примерно через 5,458 секунды. См. (Рисунок).

    Рис. 16.

    Обратите внимание, что на графике не показан физический путь мяча вверх и вниз. При интерпретации графика помните о количествах на каждой оси.

[/скрытый ответ]

Попробуйте

Камень брошен вверх с вершины скалы высотой 112 футов над океаном со скоростью 96 футов в секунду. Высота скалы над океаном может быть смоделирована уравнением

.
  1. Когда камень достигает максимальной высоты?
  2. Какова максимальная высота скалы?
  3. Когда камень падает в океан?
[reveal-answer q=»fs-id1165135152213″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165135152213″]

3 секунды256 футов7 секунд

[/скрытый ответ]

Ключевые уравнения

общий вид квадратичной функции
стандартная форма квадратичной функции

Секционные упражнения

Устный

Объясните преимущество записи квадратичной функции в стандартной форме.

[reveal-answer q=»fs-id1165135361339″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165135361339″]

При записи в таком виде вершину легко идентифицировать.

[/скрытый ответ]

Как можно использовать вершину параболы для решения реальных задач?

Объясните, почему в определении квадратичной функции наложено условие of.

[reveal-answer q=»fs-id1165135453265″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165135453265″]

Если то функция становится линейной функцией.

[/скрытый ответ]

Как иначе называется стандартная форма квадратичной функции?

Какие два алгебраических метода можно использовать для нахождения точек пересечения по горизонтали квадратичной функции?

[reveal-answer q=»fs-id1165133276250″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165133276250″]

Если возможно, мы можем использовать факторинг. В противном случае можно использовать квадратичную формулу.

[/скрытый ответ]

Алгебраический

Для следующих упражнений перепишите квадратичные функции в стандартной форме и задайте вершину.

[reveal-answer q=»fs-id1165132963686″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165132963686″]

Вершина

[/скрытый ответ]

[reveal-answer q=»fs-id1165135584090″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = «fs-id1165135584090»]

Вершина

[/скрытый ответ]

[reveal-answer q=»fs-id1165135382110″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165135382110″]

Вершина

[/скрытый ответ]

[reveal-answer q=»fs-id1165137749740″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165137749740″]

Вершина

[/скрытый ответ]

Для следующих упражнений определите, существует ли минимальное или максимальное значение для каждой квадратичной функции. Найдите значение и ось симметрии.

[reveal-answer q=»fs-id1165135254602″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165135254602″]

Минимум is и происходит на оси симметрии

[/скрытый ответ]

[reveal-answer q=»fs-id1165137852807″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165137852807″]

Минимум is и происходит на оси симметрии

[/скрытый ответ]

[reveal-answer q=»fs-id1165134328315″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165134328315″]

Минимум isand на оси симметрии равен

[/скрытый ответ]

Для следующих упражнений определите область определения и область значений квадратичной функции.

[reveal-answer q=»fs-id1165135353077″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165135353077″]

Домен isRange равен

[/скрытый ответ]

[reveal-answer q=»fs-id1165135548952″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165135548952″]

Домен isRange равен

[/скрытый ответ]

[reveal-answer q=»fs-id1165135470085″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165135470085″]

Домен isRange равен

[/скрытый ответ]

В следующих упражнениях используйте вершину и точку на графике, чтобы найти общий вид уравнения квадратичной функции.

[reveal-answer q=»fs-id1165135403325″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165135403325″]

[/скрытый ответ]

[reveal-answer q=»fs-id1165135551841″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165135551841″]

[/скрытый ответ]

[reveal-answer q=»fs-id1165137843237″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165137843237″]

[/скрытый ответ]

[reveal-answer q=»fs-id1165135384995″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165135384995″]

[/скрытый ответ]

Технология

Для следующих упражнений используйте калькулятор, чтобы найти ответ.

График на том же наборе осей функции

Каков эффект изменения коэффициента?

График на одном наборе осей и Каков эффект добавления константы?

[reveal-answer q=»fs-id1165137843141″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165137843141″]

График смещен вверх или вниз (вертикальный сдвиг).

[/скрытый ответ]

График на том же наборе осей

Каков результат сложения или вычитания этих чисел?

Путь объекта, спроецированного под углом 45 градусов с начальной скоростью 80 футов в секунду, определяется функцией, где пройденное расстояние по горизонтали и высота в футах.Используйте функцию TRACE вашего калькулятора, чтобы определить высоту объекта, когда он переместился на 100 футов по горизонтали.

[reveal-answer q=»fs-id1165135533787″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165135533787″]

50 футов

[/скрытый ответ]

Висячий мост можно смоделировать с помощью квадратичной функции, где число футов от центра и высота в футах. Используйте функцию TRACE вашего калькулятора, чтобы оценить, как далеко от центра находится мост высотой 100 футов.

Реальные приложения

Найдите размеры прямоугольного загона, образующего наибольшую замкнутую площадь при длине ограждения 200 футов.

[reveal-answer q=»fs-id1165131857400″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165131857400″]

50 футов на 50 футов. Развернуть

[/скрытый ответ]

Найдите размеры прямоугольного загона, разделенного на 2 загона одинакового размера, дающего максимально возможную замкнутую площадь при 300 футах ограждения.

Найдите размеры прямоугольного загона, образующего наибольшую огороженную территорию, разделенную на 3 загона одинакового размера при длине ограждения 500 футов.

[reveal-answer q=»fs-id1165137940538″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165137940538″]

125 футов на 62,5 фута. Развернуть

[/скрытый ответ]

Среди всех пар чисел, сумма которых равна 6, найдите пару с наибольшим произведением. Что такое продукт?

Среди всех пар чисел, разница которых равна 12, найдите пару с наименьшим произведением.Что такое продукт?

[reveal-answer q=»fs-id1165134089405″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165134089405″]

и продукт -36; максимизировать

[/скрытый ответ]

Предположим, что цена за единицу продукции сотового телефона в долларах моделируется выражением в тысячах произведенных телефонов, а доход, выраженный в тысячах долларов, равен Найдите уровень производства, при котором доход будет максимальным.

В воздух запущена ракета.Его высота в метрах над уровнем моря как функция времени в секундах определяется формулой: Найдите максимальную высоту, которую достигает ракета.

[reveal-answer q=»fs-id1165135394030″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165135394030″]

2909,56 метра

[/скрытый ответ]

Мяч подброшен в воздух с крыши здания. Его высота в метрах над землей как функция времени в секундах определяется выражением Сколько времени требуется, чтобы достичь максимальной высоты?

Футбольный стадион вмещает 62 000 зрителей.При цене билета 11 долларов средняя посещаемость составила 26 000 человек. Когда цена упала до 9 долларов, средняя посещаемость выросла до 31 000 человек. Предполагая, что посещаемость линейно связана с ценой билета, какая цена билета будет максимизировать доход?

[reveal-answer q=»fs-id1165135449636″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165135449636″]

10,70 $

[/скрытый ответ]

Фермер обнаружил, что если посадить 75 деревьев на акр, каждое дерево принесет 20 бушелей фруктов. По ее оценкам, для каждого дополнительного дерева, посаженного на акр, урожайность каждого дерева уменьшится на 3 бушеля. Сколько деревьев она должна посадить на акр, чтобы получить максимальный урожай?

Глоссарий

ось симметрии
вертикальная линия, проведенная через вершину параболы, направленная вверх или вниз, относительно которой парабола симметрична; это определяется
общий вид квадратичной функции
функция, описывающая параболу, записывается в виде, где и действительные числа и
корни
в заданной функции, значения которой, также называемые нулями
стандартная форма квадратичной функции
функция, описывающая параболу, записанная в виде, где вершина
вершина
точка, в которой парабола меняет направление, соответствующее минимальному или максимальному значению квадратичной функции
вершинная форма квадратичной функции
другое название стандартной формы квадратичной функции
нули
в заданной функции, значения которой, также называемые корнями

Несогласованные во времени задачи потребления-инвестиции на неполных рынках при общих функциях дисконтирования

  • 1. Г. Эйнсли и Спешеус: поведенческая теория импульсивности и импульсивного контроля, Psychol. Бык. , 82 (1975), стр. 463-496.

  • 2. И. Алия, Неэкспоненциальное дисконтирование, несогласованная во времени стохастическая задача оптимального управления для скачкообразной диффузии, Матем. Отн. управления Филдс, 9 (2019), стр. 541–570.

  • 3. И. Алия, Ф. Чигуб, Н. Хелфаллах и Дж. Вивес, Согласованные во времени стратегии инвестирования и потребления при общей функции дисконта, Дж.Риск. финанс. Управление , 14 ( 2021 ), 86 .

  • 4. Т. Бьорк, М. Хапко и А. Мургочи, О несогласованном во времени стохастическом управлении в непрерывном времени, Finance Stoch. , 21 (2017), стр. 331 — 360.

  • 5. П. Черидито и Ю. Ху, Оптимальное потребление и инвестиции на неполных рынках с общими ограничениями, Stoch. Дин. , 11 (2011), стр. 283-299.

  • 6. И. Экеланд и Т.А. Пирву, Инвестиции и потребление без обязательств, Матем. финанс. Экон. , 2 (2008), стр. 57-86.

  • 7. А. Фромм и П. Имкеллер, Максимизация полезности с помощью разделяющих полей, Ann. заявл. Вероятно. , 30 (2020), стр. 2665 — 2694.

  • 8. Ю. Хамагучи, Разрешимость потока стохастических дифференциальных уравнений с малым временем в прямом и обратном направлениях, Прикл. Мат. Оптим. (2020 г.), https://doi.org/10.1007/s00245-020-09654-7.

  • 9. У. Хорст, Ю. Ху, П. Имкеллер, А. Ревейяк и Дж. Чжан, Системы вперед-назад для максимизации ожидаемой полезности, Стохастический процесс. заявл. , 124 (2014), стр. 1813-1848.

  • 10. Ю. Ху, П. Имкеллер и М. Мюллер, Максимизация полезности на неполных рынках, Ann. заявл. Вероятно. , 15 (2005), стр. 1691-1712.

  • 11. Ю. Ху, Х. Джин и С. Ю. Чжоу, Несогласованное во времени стохастическое линейно-квадратичное управление, SIAM J.Управление Оптим. , 50 (2012), стр. 1548 — 1572.

  • 12. Ю. Ху, Х. Джин и С. Ю. Чжоу, Несогласованное во времени стохастическое линейно-квадратичное управление: характеристика и уникальность равновесия, SIAM J. Control Optim. , 55 (2017), стр. 1261 — 1279.

  • 13. И. Карацас, С. Э. Шрив, Методы математических финансов, Вероятность. Теория Стоха. Модель. 39, Springer-Verlag, New York, 1998.

  • 14. Т. Ванг, Необходимые условия в стохастических линейно-квадратичных задачах и их приложениях, J. Math. Анальный. заявл. , 469 (2019), стр. 280 — 297.

  • 15. Т. Ван, Уникальность равновесных стратегий в динамических задачах среднего отклонения со случайными коэффициентами, J. Math. Анальный. заявл. , 490 (2020), 124199.

  • 16. В. Ян и Дж. Йонг, Несогласованные во времени задачи оптимального управления и связанные с ними вопросы, в книге «Моделирование, стохастическое управление, оптимизация и приложения», Springer International Publishing, Cham, 2019, стр.533 — 569 .

  • 17. J. Yong , Несогласованные во времени задачи оптимального управления и равновесное уравнение HJB , Math. Отн. управления Филдс, 2 (2012), стр. 271–329.

  • 18. J. Yong , Линейно-квадратичные задачи оптимального управления для стохастических дифференциальных уравнений среднего поля — согласованные во времени решения , Trans. амер. Мат. соц. , 369 (2017), стр. 5467 — 5523.

  • 19. Дж. Чжан, Обратные стохастические дифференциальные уравнения: от линейной к полностью нелинейной теории, Springer, Нью-Йорк, 2017.

  • 20. Q. Zhao, Y. Shen и J. Wei, Стратегии потребления-инвестиций с неэкспоненциальным дисконтированием и логарифмической полезностью, European J. Oper. Рез. , 238 (2014), стр. 824-835.

  • 21. К. Чжао, Р. Ван и Дж. Вей, Экспоненциальная максимизация полезности для страховщика с непостоянными во времени предпочтениями, Insurance Math. эконом. , 70 (2016), стр. 89 — 104.

  • Совершенная, неполная и несовершенная информация — NYU Scholars

    TY — JOUR

    T1 — Дискретно-временные линейно-квадратичные повторяющиеся игры типа среднего поля

    T2 — Совершенная, неполная и несовершенная информация

    AU — Баррейро-Гомез, Джулиан

    AU — Дункан, Тайрон Э.

    AU — Тембине, Хамиду

    N1 — Информация о финансировании: Мы благодарим за поддержку Управление научных исследований ВВС США (грант № FA9550-17-1-0259 и FA9550-17-1-0073) и Национальный научный фонд (грант № DMS 1411412). конференция. Эта статья была рекомендована к публикации в исправленном виде заместителем редактора Валерием Угриновским под руководством редактора Яна Р. Петерсена. Авторское право издателя: © 2019 Elsevier Ltd

    PY — 2020/2

    Y1 — 2020/2

    N2 — В этой статье мы изучаем линейно-квадратичные повторяющиеся игры типа среднего поля с произвольным числом взаимодействующих лиц, принимающих решения.Исследуются различные информационные структуры: (i) совершенное знание модели, (ii) несовершенное знание модели; под наблюдением идеального состояния. Мы предоставляем полуявные решения как для некооперативных, так и для кооперативных случаев. Динамика состояния задается стохастическим разностным уравнением, которое включает члены среднего поля, то есть ожидаемое значение как для состояния, так и для управляющих входных данных. Кроме того, функция стоимости включает в себя не только ожидаемое значение состояний, но также и дисперсию как состояния системы, так и управляющих входных данных.Эффект информации количественно определяется ценой анархии и ценой несовершенной информации. Наконец, приведены некоторые численные примеры.

    AB — В этой статье мы изучаем линейно-квадратичные повторяющиеся игры типа среднего поля с произвольным числом взаимодействующих лиц, принимающих решения. Исследуются различные информационные структуры: (i) совершенное знание модели, (ii) несовершенное знание модели; под наблюдением идеального состояния. Мы предоставляем полуявные решения как для некооперативных, так и для кооперативных случаев.Динамика состояния задается стохастическим разностным уравнением, которое включает члены среднего поля, то есть ожидаемое значение как для состояния, так и для управляющих входных данных. Кроме того, функция стоимости включает в себя не только ожидаемое значение состояний, но также и дисперсию как состояния системы, так и управляющих входных данных. Эффект информации количественно определяется ценой анархии и ценой несовершенной информации. Наконец, приведены некоторые численные примеры.

    KW — Прямой метод

    KW — Несовершенная информация

    KW — Игры типа среднего поля

    KW — Минимизация средней дисперсии

    KW — Полная информация

    KW — Повторные игры

    KW — Стохастический контроль

    UR — http://www.scopus.com/inward/record.url?scp=85074048098&partnerID=8YFLogxK

    UR — http://www.scopus.com/inward/citedby.url?scp=85074048098&partnerID=8YFLogxK

    U2 — 10.1016/j.automatica. 2019.108647

    do — 10.1016 / j.automatoma.2019.108647

    м3 — Статья

    An — Scopus: 85074048098

    VL — 112

    JF — AUGUATYA

    SN — 0005-1098

    M1 — 108647

    ER —

    InstantCert Credit — College Algebra: Урок 14

    Цели урока:

    — Найдите нули квадратичных функций.2-4ас))/(2а)`. Это равно `(-1+-31)/2`, что составляет `30/2`, или `-32/2`, что равно 15 или -16.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.

    2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
    тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск