Квадратные неравенства с параметром: Неравенства с параметром и их решение

Содержание

Квадратные неравенства с параметрами — презентация онлайн

1. Решение квадратных неравенств с параметрами

Учитель математики
МАОУ лицей №3 города
Кропоткин Краснодарского
края Зозуля Елена
Алексеевна

2. Цели: формировать умения решать квадратные неравенства; развивать логическое мышление, умение работать в проблемной ситуации;

активизировать познавательную и
творческую деятельность.

3. Задание 1

При каких значениях а неравенство
ах²+2ах+2х+2а+2≤0
выполняется при любых значениях х?

4. Решение:

а)неравенство выполняется при любых значениях х,
à 0
если D 0
ах²+х∙(2а+2)+2а+2≤0
D =(2а)²-4а ∙(2а+2)=4а ²+8а+4-8а²-8а=4-4а=4∙(1а²)=4∙(1-а)∙(1+а)
à 0
4(1 — à)(1 à) 0
Итак, при а ≤-1, уравнение имеет корни при любых
значениях х
Ответ: при а ≤-1

5. Задание 2

а)При каких значениях а решением
неравенства (х-а)²(х-3)(х+1) ≤0
является сплошной промежуток?
б) При каких значениях а неравенство
x 2a 1
0
x a
выполняется при всех значениях х
из отрезка 1;2

6.

Решение а): а)рассмотрим «плавающую» точку а на отрезке прямой
относительно точек -1 и 3
x 1;3 a не удв.услов.
1) а
x 1;3 удв.услов.
2) а=3
x 1;3 удв.услов.
3) -1
4) а= -1
удв.услов.
x 1;3
5) а
x 1;3 a не удв.услов.
Ответ: при -1≤а≤3

7. Решение б):

x 2a 1
0
x a
x 1;2
x (2a 1)
0
x a
1) при а >0 à 0
1

2
à 1
2 à 1 2
2)при а
Ответ: при
1
a ;1
2
à 0
à 1
1
à
2

8. Задание 3

Найти все а, при которых неравенство
1
x 2 a 2 0
x
2
имеет не менее трех целых решений.

9. Решение:

1
x 2 a 2 0
x
1
x 2 2 a
x
1 2
y (x )
x
y a
2
2
1 2
(x ) a
x
Рассмотрим две функции
и выполним рисунок:
При а=4 нер-во примет вид
(x
1 2
) 4 0
x
( x 1)( x 1)
0
2
x
при х=±2 получаем нер-во
2
(2
1 2
) a
2
a 6,25
Всего 2 целых решения(не удв.
усл.) получается 4 целых корня: 2;1;1;2
При всех a 6,25 , тоже 4 корня, т.е. больше 3
Ответ: a 6,25;

10. Задание 4

Найти все а, при которых неравенство
4
4 x 2 5a 8 0
x
2
имеет ровно два целых решения.

11. Решение:

4
4×2
x2
5a 8 0
4( x 2 2
1
) 5a 0
2
x
(x
1 2 5
) a
x
4
Рассмотрим две функции и выполним рисунок:
1 2
y (x )
x
y
5
a
4
При 0≤а
при х=±2 нер-во имеет 4 целых решения, значит при х>2 найдем все а
1 2 5
9 5
(2 ) a
a 1,8
a
2
4
4 4
Ответ:
a 0;1,8

12. Задание на дом

а2
Задание на дом
Найдите
все значения х, для каждого из которых
неравенство
(2-х ) а 2 +( х 2 -2х+3)а-3х≥0
выполняется для любого значения а,
принадлежащего промежутку [-3;0].
Ответ:
-1

Уравнения и неравенства с параметрами в школьном курсе математики

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

Данная тема в школьном курсе математики практически отсутствует, но на экзаменах по математике задания с параметрами встречаются постоянно. Поэтому встал вопрос «Как научить учащихся решать такие задачи?» В этом мне помогают занятия спецкурса «Методы решения математических задач различной степени сложности». В данном курсе рассматриваются именно те вопросы, которые отсутствуют или изучаются в незначительном объеме в школьном курсе математики. Одна из таких тем «Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений с параметрами», на изучение которой отводится 11 ч (это тоже не так много, но все-таки какое-то представление о заданиях с параметрами можно дать).

Основная задача первых уроков по этой темы состоит в том, чтобы у учащихся были сформированы первые представления о решении уравнений с параметром, в частности, чтобы ученики понимали, что решение уравнений с параметром зависит от значений параметра. Учащиеся должны привыкнуть к записи – «при

а = … х = …».

Следующие три темы этой главы позволяют, используя свойства квадратного трехчлена и его графика, изучить вопросы, связанные с решением квадратных уравнений и неравенств с параметрами, применяя графический, так и аналитический методы решения.

Уравнения и неравенства с модулем целесообразно решать графическим способом; для этого выражения, содержащие параметр, обособляют в одной части уравнения (неравенства) и строят графики левой и правой частей уравнения (неравенства).

Системы тоже целесообразно решать графически, для этого надо построить в одной системе координат графики каждого из уравнений системы.

При обучении и закреплении решения различных задач с параметрами можно использовать мультимедийные уроки, которые имеются на CD-ROM диске [1]. В этом электронном пособии вы найдете различные по степени сложности задачи с параметрами, которые можно решить за компьютером.

При решении задач данной темы (особенно при решении графическим методом) очень удобно для построения графиков использовать программное обеспечение «MATHEMATICA 4.2. Компьютерная математика» [4], которая позволит быстро построить график указанной функции, а учащимся потом только провести исследование относительно параметра. При решении простейших уравнений с параметрами также можно использовать данное программное обеспечение.

В работе представлены полностью все уроки по данной теме, т.к. разработка одного урока не даст полного представления о том, что имелось в виду при изучении данной темы.

Тема: Первые шаги к параметрам

Математика – это инструмент, специально

приспособленный для работы с отвлеченными

понятиями всех типов, и поэтому …

её возможности неограниченны

П. Дирак

Цель: сформировать у учащихся представление о задачах с параметром на стандартных задачах; развивать логическое мышление, внимание, сообразительность, наблюдательность

  1. Орг. момент

  1. Мотивация

Известный педагог — математик Д. Пойа писал: «Недостаточно лишь понять задачу, необходимо желание решить её. Без сильного желания решить трудную задачу невозможно, но при наличии такового – возможно. Где есть желание, найдется путь!» Хотелось бы, чтобы его слова стали эпиграфом сегодняшнего урока.

  1. Объяснение нового материала

Принадлежащая Анри Пуанкаре мысль о том, что математика – это искусство давать разным вещам одно и то же название, является ключом к пониманию многих сложных вопросов, которые возникают при изучении математики. Эту идею можно воплощать на стандартных задачах, где следует избегать прямых вычислений, а то и вовсе их не делать. В таких задачах удобно вводить буквенные обозначения, т.е. выполнить переход от числа к символу (параметру) и выполнить действия с переменной.

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1. Сравнить, какое из чисел 200320032003  200720072007 и 2005200520052 больше.

Введем обозначение а = 200520052005. Тогда первое число равно (а – 2)(а + 2) = а2 – 4. Второе число а2. Следовательно, второе число больше.

Пример 2.

Выяснить, рационально ли число ?

Введем обозначения: , , . Тогда данное число можно представить в виде:

.

Преобразовав данное выражение, получим

, следовательно, данное число натуральное.

Пример 3. Вычислить

Данное задание можно выполнить как обычно, выполнив порядок действий с корнями, а можно избавиться от квадратных корней, введя обозначение , и получив обычные рациональные дроби . Преобразовать это выражение для учащихся не составит ни какого труда. После всех преобразований получим, что данное выражение равно: . Выполнив обратную подстановку, получаем, что исходное выражение равно: .

Пример 4. Сравните меньший корень уравнения с числом .

Введем обозначение , , , . Тогда уравнение примет более краткую запись: (даже этот вид уравнение оправдывает введение символа). Решим это уравнение. , , .

Преобразуем число ; введя обозначения получаем

Так как , то ,

тогда ,

, . Выполняя обратную замену, получим , тогда .

Сравним числа а и т. Так как a > 0 и m > 0, то сравним их квадраты. Имеем

Так как выражение , то разность квадратов отрицательна, следовательно, a < m, т.е. меньший корень меньше данного числа.

Пример 5. Найдите наибольшее целое k, при котором уравнение не имеет действительных корней.

Так как речь идет о количестве корней уравнения, то в этом задании предпочтительнее выделить полный квадрат, а не выписывать неравенство для дискриминанта.

Имеем и уравнение примет вид , тогда . Получившееся уравнение не имеет действительных корней, когда , т.е. . Наибольшее целое k, удовлетворяющее этому условию, равно -1.

  1. Закрепление

      1. Сравнить, какое из чисел 199819981998  199819982002 и 1998199820002 меньше

      2. Вычислить

      3. Вычислить

      4. Сравните больший корень уравнения с числом

      5. Найдите наименьшее целое а, при котором уравнение имеет два различных корня

  1. Итог урока

«Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле» (А.Н. Крылов).

Я надеюсь, что идеи, которые мы применяли при решении задач на сегодняшнем занятии, не пройдут мимо вас, и вы будете по мере возможности ими пользоваться.

Ведь «если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе» (М.И. Калинин)

  1. Домашнее задание

Задачи для домашней работы можно составить самим по образу и подобию тех, которые решались на занятии.

Тема: Простейшие уравнения и неравенства с параметрами

Цель: сформировать у учащихся представление о решении простейших уравнений и неравенств с параметрами; развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащихся.

  1. Орг. момент

Задачи с параметрами относятся к наиболее трудным заданиям, предлагаемым на вступительных экзаменах. Это связано с тем, что они требуют хорошего понимания «глубинных» свойств функций, и их решение носит творческий характер. Однако знание некоторых простых правил и алгоритмов решения необходимо.

  1. Актуализация знаний

    1. Рассмотрим уравнения: 2х = 5, -4х = 0, 3х = 3х – 7, 5(х – 7) = 3(х – 4) – 27.

    2. Как называются эти уравнения?

    3. Решить уравнения и исследовать количество корней в зависимости от коэффициента, стоящего при х.

    4. Как записывается линейное уравнение в общем виде?

    5. Решить уравнение в зависимости от коэффициентов.

    6. Решить неравенства 2x < 5, -3x >6 , 2x > 2x – 5, 7 – 3x < 5 – 3x

    7. Вспомнить основные свойства простейших линейных неравенств.

  1. Новая тема.

Таким образом, мы подошли с вами к уравнению, в котором кроме переменной х присутствуют и другие буквенные переменные.

Если уравнение содержит буквенные компоненты, то они называются параметрами, а уравнение – уравнением с параметром. Решение таких уравнений зависит от значений параметров.

Решить уравнение с параметром – это значит, для каждого значения параметра найти значения параметра найти значение переменной, удовлетворяющие этому уравнению.

Примечание. Начинать решать уравнения с параметрами следует с уравнений, решения которых не подразумевает ветвлений.

х – а = 0 5х = а 2х + а = 0 3х – а = 2а

6(х + а) = 12а 12х + 4а = 8(а + х)

Затем рассмотреть уравнение, в котором параметр находится при неизвестной переменной.

Рассмотрим уравнение (а – 2)х = 5.

Видим, что это линейное уравнение. Чтобы найти х надо 5 разделить на (а – 2).

Вопрос. При всех ли а мы можем разделить уравнение на (а – 2)?

При а = 2 выражение а – 2 = 0 и уравнение принимает вид 0х = 5, решений нет.

При а ≠ 2 выражение а – 2 ≠ 0, тогда .

Рассмотреть решение уравнений:

ах = 5 (а – 1)х = 6 2ах = 1 – х 3 – ах = х ха2 = а + х

4а – а2х = 2ах (а2 – 4)х = а2 + а – 6

Рассмотрим неравенство ах < 5.

Каким может быть число а?

Оно может быть положительным, отрицательным или равным 0. Рассмотрим все случаи.

При а = 0 неравенство примет вид 0х < 5. Это неравенство верно при любом х.

При а < 0 решением неравенства будут х >

При а > 0 решением неравенства служат х < .

На закрепление можно решить неравенства вида:

(а – 1)х = 6 2ах = 1 – х 2а(а – 2)х < а – 2 ха2 = а + х

  1. Итог занятия

  2. Домашнее задание

Решить уравнения: 2 – 5)х + а = а(а – 4х)

Решить неравенство: (а – 2)х > 10 – 5х

Тема: Исследование квадратных уравнений, содержащих параметр

Цель: повторить формулы нахождения корней квадратного уравнения; формировать умение у учащихся решать квадратные уравнения, содержащих параметры; развивать логическое мышление, способность самостоятельно решать учебные задачи и работать с дополнительной литературой; развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащихся; прививать интерес к предмету, формировать коммуникативные навыки и волевые качества личности

  1. Орг. момент

  1. Мотивация на изучение нового материала

Однажды Сократ, окружённый учениками, поднимался к храму. Навстречу им спускалась известная афинская гетера. “Вот ты гордишься своими учениками, Сократ, — улыбнулась она ему, — но стоит мне только легонько поманить их, как они покинут тебя и пойдут вслед за мной”. Мудрец же ответил так: “Да, но ты зовёшь их вниз, в тёплую весёлую долину, а я веду их вверх, к неприступным, чистым вершинам”.

Вот и мы с вами сегодня должны подняться на одну ступеньку вверх, “преодолевая” задачи, которые будут рассмотрены на сегодняшнем уроке.

  1. Актуализация знаний

Вспомним основные формулы, связанные с квадратным уравнением.

    1. Определение квадратного уравнения

    2. Формулы корней квадратного уравнения

Задание 1. Сколько корней имеет уравнение:

Задание 2. Изобразить схематически график квадратичной функции

Задание 3. Линейным или квадратным является уравнение относительно х при: а = 1; при а = 2; при а = 0,4; при а = 0?

  1. Изучение нового материала

Сегодня на уроке мы научимся находим значение параметра в квадратных уравнениях используя известные нам формулы из уроков алгебры 8 класса, а также решать квадратные уравнения, содержащие параметр.

Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение ах(ах + 3) + 6 = х(ах – 6) является квадратным, неполным квадратным, линейным?

Вопрос: что необходимо сделать для того, чтобы ответить на поставленный вопрос?

Ответ: привести данное уравнение к виду ах2 + вх + с = 0.

Выполним это, для этого раскроем скобки и сгруппируем слагаемые при х2, при х и свободные коэффициенты:

а2х2 + 3ах + 6 = ах2 – 6х, а2х2 — ах2 + 3ах + 6х + 6 = 0, (а2 – а)х2 + (3а + 6)х + 6 = 0,

Вопрос: при каких условиях квадратное уравнение ах2 + вх + с = 0 является полным, неполным, линейным?

Ответ: уравнение вида ах2 + вх + с = 0 является полным квадратным, если а ≠ 0 и в ≠ 0; является неполным квадратным, если а ≠ 0 и в = 0; является линейным, если а = 0 и в ≠ 0

Исходя из полученных выводов найдем условие на параметр а для каждого случая.

  1. Уравнение является полным квадратным, если , тогда

, т.о. если а (-; -2)(-2; 0)(0; 1)(1; +), то уравнение является полным квадратным.

  1. Уравнение является неполным квадратным, если , тогда

, т.о. при а = -2 исходное уравнение является неполным квадратным.

  1. Уравнение является линейным, если , тогда , т.о. если а = 0 или а = 1, то уравнение исходное уравнение является линейным.

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение ах2 – ах + а = 0 имеет корни? не имеет корней?

Вопрос: при каких условиях уравнение вида ах2 + вх + с = 0 имеет корни и сколько? не имеет корней?

Ответ: если D  0, то уравнение имеет два или один корень; если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Используя полученные выводы, ответим на вопросы задачи, для этого составим выражение для дискриминанта.

D = (-a)2 – 4 a a = a2 – 4a2 = -3a2.

Так как а2 > 0 при любых значениях а, то выражение -3а2 будет всегда отрицательным и лишь при а = 0 дискриминант будет равен 0. Т.о. при а  (-; 0)  (0; +) D < 0 и исходное уравнение не имеет корней; при а = 0 D = 0 и исходное уравнение имеет единственный корень.

Следующим нашим шагом при изучении данной темы – это решение квадратных уравнений с параметром, не содержащих параметра при старшем коэффициенте.

Пример 3. Решить уравнение х2 – 4х + а = 0.

При решении таких заданий используется алгоритм решения квадратных уравнений.

D = (-4)2 – 4 1 a = 16 – 4a.

  1. Рассмотрим случай, когда D > 0, т.е. 16 – 4а > 0, тогда -4а > -16, а < 4.

Т.к. D > 0, то исходное уравнение имеет два корня, которые находим по формуле:

,

  1. Рассмотрим случай, когда D = 0, т.е. 16 – 4а = 0, тогда а = 4.

Т.к. D = 0, то исходное уравнение имеет один корень, который находим по формуле: .

  1. Рассмотрим случай, когда D < 0, т.е. 16 – 4а < 0, тогда -4а < -16, а > 4. Т.к. D < 0, то исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: при а < 4 ; при а = 4 х = 2; при а > 4 корней нет.

Рассмотрим квадратное уравнение, которое содержит параметр при старшем коэффициенте.

Пример 4. Решить уравнение ах2 – 3х + 9 = 0.

Вопрос: всегда ли это уравнение будет квадратным?

Ответ: если а = 0, то исходное уравнение не является квадратным.

Определим вид исходного уравнения при а = 0, получаем -3х + 9 = 0 – это линейное уравнение, которое имеет решение х = 3.

Рассмотрим случай когда а ≠ 0.

При а ≠ 0 исходное уравнение является квадратным, а значит, можем применить алгоритм решения квадратного уравнения.

D = (-3)2 – 4 a 9 = 9 – 36a

  1. Рассмотрим случай, когда D > 0, т.е. 9 – 36а > 0, тогда —36а > -9, а < .

Т.к. D > 0, то исходное уравнение имеет два корня, которые находим по формуле:

,

  1. Рассмотрим случай, когда D = 0, т. е. 9 – 36а = 0, тогда а = .

Т.к. D = 0, то исходное уравнение имеет один корень, который находим по формуле: .

  1. Рассмотрим случай, когда D < 0, т.е. 9 – 36а > 0, тогда -36а > -9, а >. Т.к. D < 0, то исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: при а < ; при а = 4 ; при а > корней нет.

  1. Закрепление изученного материала

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: Доп. главы к шк. учеб.: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / Под ред. Дорофеева Г.В. – М.: Просвещение, 1998

с. 166, № 586, 587

  1. Итог урока

Проверочная работа

1 вариант

2 вариант

    1. Линейным или квадратным является уравнение а(а — 5)х2 + (6а – 3)х – 18 = 0 относительно х при:

а = 6; а = 0; а = 0,5; а = 5 ?

      1. Линейным или квадратным является уравнение а(а + 3)х2 + (4а – 20)х + 7 = 0 относительно х при:

а = -4; а = 0; а = 5; а = -3 ?

    1. Решить уравнение относительно х

2 – 5ах + а2 = 0

      1. Решить уравнение относительно х

12х2 + 7ах + а2 = 0

  1. Домашнее задание

Норин А. В. и др. Сборник задач по математике для поступающих в вузы: Учебное пособие. – СПб.: Питер, 2003.

стр. 209 № 5 – 7.

Тема: Применение теоремы Виета и ей обратной для исследования квадратных уравнений с параметрами

Цель: повторить формулы нахождения корней квадратных уравнений, теорему Виета, научить применять теорему Виета и ей обратную для исследования квадратных уравнений с параметрами; развивать умение анализировать, сравнивать, логическое мышление, способность самостоятельно решать учебные задачи; прививать интерес к предмету, формировать коммуникативные навыки

  1. Орг. момент

Не всегда уравненья разрешают сомненья,

Но итогом сомненья может быть озаренье.

А.Н. Колмогоров

Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении уравнений и неравенств в старших классах.

  1. Актуализация знаний учащихся.

    1. Общий вид квадратного уравнения.

    2. Формулы для решения квадратного уравнения

    3. т. Виета

В результате получается таблица

общий вид квадратного уравнения

формулы для решения КВУР

т. Виета

ах2 + bx + c = 0,

a ≠ 0

D = b2 – 4ac,

если D > 0 , то

если D = 0 , то

если D < 0 , то корней нет

Числа х1 и х2 являются корнями квадратного уравнения ах2 + bx + c = 0, a ≠ 0 тогда и только тогда, когда

  1. Новая тема.

      1. Рассмотрим квадратный трехчлен ах2 + bx + c в общем виде и исследуем зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.

    1. Задача. При каких значениях параметров a, b, c корни соответствующего квадратного уравнения существуют и положительны?

Обсуждение с учащимися:

Вопрос. Что значит, корни квадратного уравнения существуют?

Ответ. Значит, дискриминант – положителен.

Вопрос. Какими равенствами нужно задать второе условие задачи: корни положительны? При этом постараться избежать нахождения самих корней.

Ответ. Можно воспользоваться теоремой Виета. Так как корни положительны, то их сумма и произведение также будут положительны.

Действительно, для решения поставленной задачи достаточно составить следующую систему:

Решив полученную систему, найдем решение поставленной задачи.

Пример 1. При каких значениях параметра а квадратное уравнение х2 – (2а – 1)х + 1 – а = 0 имеет два различных положительных корня?

Имеем, D = (2a – 1)2 – 4(1 –a) = 4a2 – 3; x1 + x2 = 2a – 1; x1 ∙ x2 = 1 – a.

Получаем систему неравенств:

, тогда

Наносим решение на числовые оси

Из полученного чертежа видим, что решением данной системы неравенств является интервал .

Рассуждая аналогичным образом, можно составить и решить следующие задачи.

    1. Задача. При каких значениях параметров a, b, c корни соответствующего квадратного уравнения существуют и отрицательны?

Получим систему

    1. Задача. При каких значениях параметров a, b, c корни соответствующего квадратного уравнения существуют и разных знаков?

Для решения задачи составим следующую систему

Если в эту задачу добавить условие, что по модулю один из корней больше или меньше, то в указанную систему добавим неравенство, которое связывает сумму корней.

      1. Следующим этапом можно перейти к исследованию квадратных неравенств.

2.1. Задача. При каких значениях параметров a, b, c неравенство ах2 + bx + c > 0 выполняется на всей числовой оси?

Для ответа на этот вопрос необходимо вспомнить график квадратичной функции.

Рассмотрим функцию у = ах2 + bx + c. Графиком данной функции является парабола. Направление ветвей параболы зависит от коэффициента а.

Т.о. мы получили новую задачу: при каких значениях параметров a, b, c график квадратичной функции расположен выше оси х?

Это выполнимо, если у графика нет точек пересечения с осью х и ветви направлены вверх.

Что значит, график не имеет точек пересечения с осью х? Это значит, что соответствующее квадратное уравнение не имеет корней, т.е. D < 0.

Ветви параболы направлены вверх, если коэффициент a > 0.

В итоге получаем систему неравенств .

2.2. Рассуждая аналогичным образом, можно решить следующую задачу. При каких значениях параметров a, b, c неравенство ах2 + bx + c < 0 выполняется на всей числовой оси?

      1. На занятиях по данной теме можно также рассмотреть задания следующего характера.

3.1. Не решая уравнения 3х2 + 3х – 1 = 0, найти

и т.д.

Напомнить учащимся, что при исследовании можно использовать теорему Виета.

3.2. После того, когда такие задания отработаны, можно предложить задания с параметрами.

Пример 2. При каких значениях параметра а корни уравнения х2 – 3ах + а2 = 0 удовлетворяют условию =1,75?

Решение.

Проверим для исходного уравнения наличие корней: D = (-3а)2 – 4 · а2 = 5а2. При любых значениях параметра а дискриминант D > 0.

Имеем .

По теореме Виета х1 + х2 = 3а, х1 ∙ х2 = а2.

Подставляя в полученные результаты в условие, получаем равенство:

(3а)2 – 2 ∙ а2 = 1,75

Решив уравнение, получаем а = ± 0,5.

  1. Решение задач.

Для подборки заданий по данной теме можно воспользоваться следующей литературой

    1. Галицкий М.Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8 – 9 классов: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 1994

стр. 53 – 56.

    1. Норин А.В. и др. Сборник задач по математике для поступающих в вузы: Учебное пособие. – СПб: Питер, 2003

стр. 209 – 210.

    1. «Математика» приложение к газете «1 сентября», № 30 – 2003, № 27 – 28 – 2002, № 29 – 2003, № 22 – 2002, № 2 – 2003

  1. Итог занятия.

  1. Домашняя работа

В зависимости от того, что сделано на занятии, на дом можно задать упражнения из тех же сборников.

Тема: Расположение корней квадратного уравнения относительно заданных точек

Цель: повторить определение квадратного трехчлена, его свойства и график; формировать умение у учащихся решать квадратные уравнения, содержащих параметры, используя свойства квадратного трехчлена; развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащихся; прививать интерес к предмету, формировать коммуникативные навыки и волевые качества личности

  1. Орг. момент.

  1. Актуализация знаний

Повторить основные понятия, связанные с квадратным трехчленом.

    1. Определение

Квадратный трехчлен ах2 + bx + c – это многочлен второй степени; а ≠ 0 – первый коэффициент; b – второй коэффициент; с – свободный член.

    1. График

График функции — парабола; координаты вершины , ,

где — дискриминант квадратного трехчлена

    1. Корни квадратного трехчлена

D < 0

Квадратный трехчлен не имеет корней и сохраняет знак первого коэффициента при всех значениях х: a f(x) > 0

D = 0

Квадратный трехчлен имеет один корень

У функции f(x) два промежутка знакопостоянства, на каждом из которых она сохраняет знак первого коэффициента при всех значениях х: a f(x) > 0 (х ≠ х0).

Парабола касается оси абсцисс в своей вершине

D > 0

Квадратный трехчлен имеет два корня: ,

У функции f(x) три промежутка знакопостоянства.

  1. Объяснение новой темы

Для решения квадратных уравнений, содержащих параметр, очень часто используется график квадратичной функции. Рассмотрим возможные случаи расположения графика квадратичной функции f(x) = ах2 + bx + c и ответим на вопросы о знаках а, b, c, D, f(0).

В результате работы с предложенными графиками у учащихся появляется таблица, в которой учащиеся показывают возможные случаи расположения графика квадратичной функции и знаки а, b, c, D, f(0).

Например,

а < 0

b > 0

c < 0

D < 0

f(0) < 0

а < 0

b < 0

c < 0

D < 0

f(0) < 0

Некоторые случаи можно рассмотреть совместно с учащимися, а некоторые дать заполнить самостоятельно.

Пример 1. При каких значениях параметра а оба корня уравнения

х2 – ах + 2 = 0 лежат в интервале (0; 3)?

Рассмотрим функцию f(x) = х2 – ах + 2. Изобразим график данной функции, удовлетворяющей условию задачи, и опишем соответствующие условия.

Т.к. уравнение имеет два корня, то D 0. Корни уравнения – это абсциссы точек пересечения графика функции с осью х, т.е. f(0) > 0 и f(3) > 0. Вершина параболы находится в интервале (0; 3), т.е. 0 < x0 < 3.

Т.о. получаем систему неравенств:

Составим соответствующую систему для исходного уравнения.

Имеем D = (-a)2 – 4 1 2 = a2 – 8, , f(0) = 02 – a 0 + 2 = 2, f(3) = 32 – a 3 + 2 = 9 – 3a + 2 = 11 – 3a.

В итоге получаем систему неравенств:

  1. Закрепление

    1. При каких значениях параметра а оба корня уравнения х2 – ах + 2 = 0 лежат в интервале (1; 3)?

    2. При каких значениях параметра а оба корня уравнения 2 – 2х + а = 0 лежат в интервале (-1; 1)?

    3. При каких значениях параметра а оба корня уравнения (а – 1)х2 – 2(а + 1)х + а – 3 = 0 лежат в интервале (-1; 5)?

    4. При каких значениях параметра а оба корня уравнения х2 – 6ах + 2 – 2а + 9а2 = 0 больше 3?

    5. При каких значениях параметра а оба корня уравнения (а – 1)х2 – 3ах + 2а = 0, а ≠ 1 больше 1?

    6. При каких значениях параметра а оба корня уравнения ах2 + х + 1 = 0, 2 разделяет корни?

    7. При каких значениях параметра а оба корня уравнения (а + 2)х2 – 2ах + 3а = 0 положительны?

  1. Итог урока

  1. Домашнее задание

    1. При каких значениях параметра а оба корня уравнения ах2 – (а3 + 2а + 1) х + а(а + 2) = 0 лежат в промежутке [0; 1]?

    2. При каких значениях параметра а оба корня уравнения aх2 + 2(а – 1)х + a – 5 = 0, a ≠ 0 меньше 2?

Тема: Уравнения и неравенства с параметрами, содержащие модуль

Цель: повторить решение уравнение и неравенств с модулем графическим методом; научить учащихся решать уравнения и неравенства с параметрами, содержащих модуль; развивать логическое мышление, умение сравнивать, анализировать.

  1. Орг. момент.


  1. Актуализация знаний.

    1. Вспомнить в чем заключается графический метод решения уравнений и неравенств с модулем.

    1. Решить графически уравнение ||x| — 3| = 3.

Строим графики функций у = ||x| — 3| и у = 3

По графику видим, что решением исходного уравнения являются три числа -6, 0, 6

  1. Новая тема

Уравнения и неравенства, содержащие модуль иногда целесообразно решать графически. Для этого выражение, содержащее параметр, обособляют в одной части уравнения (или неравенства) и строят графики левой и правой частей уравнения (неравенства). После чего делается вывод о решении уравнения.

Графический метод решения уравнений наиболее удобен, когда встает вопрос о количестве корней уравнений в зависимости от параметра.

Пример 1. Решить уравнение |x – 1| + |x – 3| = a.

Строим графики функций у = |x – 1| + |x – 3| и у = a.

По графику видим

при a < 2, решений нет

при а > 2 два решения

при а = 2 решением является промежуток [1; 3].

Найдем решения при а > 2.

Раскроем модуль на интервалах

1) (-∞; 1), – (х – 1) – (х – 3) = а; -х + 1 – х + 3 = а;

-2х + 4 = а, откуда

2) (3; +∞), х – 1 + х – 3 = а; 2х — 4 = а, откуда

Ответ: при a < 2, решений нет; при а > 2 , ; при а = 2 х [1; 3].

Пример 2. Сколько корней имеет уравнение |x – 2| · (x – 2) = a в зависимости от параметра а.

Строим графики функций у = |x – 2| · (x – 2) и у = a.

Из графика видим, что

при a < 0 и a > 4, 1 корень

при a = 0 и a = 4, 2 корня

при 0 < a < 4, 3 корня

  1. Решение задач.

Для подборки заданий по данной теме можно воспользоваться следующей литературой

    1. Норин А.В. и др. Сборник задач по математике для поступающих в вузы: Учебное пособие. – СПб: Питер, 2003

стр. 209 – 210.

    1. «Математика» приложение к газете «1 сентября», № 30 – 2003, № 27 – 28 – 2002, № 29 – 2003, № 22 – 2002, № 2 – 2003

    2. Фальке Л.Я. и др. Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе: Учебно-методические материалы по математике. – М.: Илекса, 2002

Для отработки решений уравнений и неравенств с параметрами, содержащими модуль, можно также воспользоваться сборником для проведения письменного экзамена по алгебре и началам анализа: стр. 145 № 6.211 – 6.218

  1. Итог урока

  2. Домашнее задание

Сборник для проведения письменного экзамена по алгебре и началам анализа: стр. 146 № 6.221 – 6.224

Примечание. Если на данном уроке вы не ставите целью урока отработку построения графиков функций, то эти уроки можно провести с помощью компьютера. Компьютеру отвести роль построения графика функции или с помощью электронных таблиц Excel, или с использованием ППП «Matematica 4.2».

Тема: Системы уравнений, содержащие параметр

Цель: сформировать у учащихся умение решать системы уравнений с параметрами, содержащими модуль, различными методами; развивать творческую и исследовательскую деятельность, развивать логическое мышление, внимание, сообразительность

  1. Орг. момент

  2. Мотивация

Изучение математики не бывает легким занятием, но те трудности, которые здесь появляются, необходимо преодолевать, не скрывая их. Это оттачивает математическую мысль и рождает новые идеи.

Древнекитайский мыслитель и философ Конфуций сказал: «Три пути ведут к знанию: путь размышления – самый благородный, путь подражания – самый легкий и путь опыта – это путь самый горький…» Мне хотелось бы, чтобы, изучая данную тему, вы размышляли над решениями систем уравнений, содержащих параметры, тем самым не подражали, а приобретали бы свой опыт в решении таких систем.

  1. Объяснение нового материала

Вспомним известные факты из курса алгебры о решении систем линейных уравнений.

Пусть дана система линейных уравнений .

  1. Данная система имеет единственное решение, если

  2. Система имеет бесконечно много решений, если

  3. Система не имеет решений, если

Задание 1. Определить число решений системы

а) б) в)

Решение.

а) Имеем , значит, система имеет единственное решение.

б) Для второй системы характерно , поэтому система имеет бесконечно много решений.

в) Для третьей системы имеем , поэтому система не имеет решений.

Эти же известные факты удобно применять и при решении систем уравнений, содержащих параметр, в которых необходимо выяснить вопрос о количестве решений системы уравнений.

Пример 1. Определить все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.

Данная система является линейной системой из двух уравнений. Если а ≠ 0, то система имеет единственное решение, если .

Составим данное отношение , то 2 ≠ а + 2, тогда 2 — а – 2 ≠ 0. Соответствующее квадратное уравнение 2 — а – 2 = 0 имеет корни и . Значит, при и выполняется условие 2 ≠ а + 2, а, следовательно, система имеет единственное решение.

На закрепление изученного факта предложить учащимся для самостоятельного решения:

  1. Укажите все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.

  2. Определить все значения параметра а, при которых система уравнений имеет бесконечно много решений.

  3. При каком значении параметра а система уравнений не имеет решений?

  4. При всех значениях параметра а решите систему уравнений .

Следующим этапом изучения данной темы – это графический метод решения систем уравнений, содержащих параметр.

Пример 2. При всех значениях параметра а решить систему уравнений .

Построим в одной системе координат график каждого уравнения.

у = 1 – х — это прямая, проходящая через точки (1; 0) и (0; 1).

— это квадрат, вершины которого лежат на координатных осях в точках (а; 0), (0; а), (-а; 0) и (0; -а).

По графикам видим, что количество решений данной системы зависит от параметра.

Если а = 1, то одна из сторон квадрата совпадает с частью прямой у = 1 – х, значит решением системы является промежуток [0; 1].

При а < 1 квадрат и прямая не имеют точек пересечения, а значит, система уравнений не имеет решений.

При а > 1 квадрат и прямая пересекаются в двух точках. Определим координаты точек пересечения.

Имеем . Раскрывая знак модуля получаем = ,

тогда -2х + 1 = а, отсюда ; 2х — 1 = а, отсюда .

Значит, и

Т.о. получаем при а = 1 х 0; 1; при а < 1 система решений не имеет; при a > 1 система имеет два решения и

Пример 3. В зависимости от параметра а найти число решений системы уравнений

На этот вопрос не сложно ответить используя графический метод.

В одной системе координат построим график каждого уравнения. Первое уравнение системы определяет квадрат с вершинами в точках (1; 0), (0; 1), (-1; 0), (0; -1). Второе уравнение системы задает окружность с центром в начале координат и радиуса при условии . Возможны следующие варианты взаимного расположения квадрата и окружности:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

Теперь следует лишь аккуратно указать границы для значений параметра.

  1. Если а < 0, то второе уравнение системы решений не имеет. Если а = 0, то второе уравнение системы имеет единственное решение (0; 0), которое не является решением первого уравнения системы.

Определим радиус окружности, когда окружность касается сторон квадрата. Радиус вписанной окружности в квадрат вычисляется по формуле , где а – сторона квадрата. Сторона исходного квадрата равна , значит

  1. Окружность находится внутри квадрата, если её радиус меньше, чем , т.е. ,

  2. Если , т.е. , то окружность касается четырех сторон квадрата.

  3. Если , то окружность пересекает каждую сторону квадрата в двух точках, не являющихся вершинами.

  4. Если а = 1, то окружность проходит через все вершины квадрата.

  5. Если а > 1, то квадрат находится внутри круга.

Т.о. получаем, что система не имеет решений, если ; система имеет 4 решения при а = 0,5 и а = 1; система имеет 8 решений при

  1. Решение задач

На закрепление изученного материала можно предложить следующие задания:

    1. При каких значениях параметра а система уравнений имеет максимальное число решений?

    2. При каких значениях параметра а система имеет единственное решение?

    3. При каких значениях параметра а система имеет 2 решения?

    4. При каких значениях параметра а система имеет 3 решения?

  1. Итог урока

  1. Домашнее задание

Семенов В. И. Некоторые методические и методологические аспекты углубленного изучении математики. 9 – 11 классы: Учебное пособие. – Кемерово: ОблИУУ, 1998. – стр. 58 – 71.

Кочагин В. Курс «Уравнения и неравенства с параметрами» / Математика. – 2002. — № 33. — стр. 27

Тема: Методы решения и исследования уравнений с параметрами

Цель: продолжить формирование умений и навыков при решении уравнений с параметрами различными методами; развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащихся; обеспечить условия для самостоятельной творческой работы учащихся; развивать компьютерную грамотность учащихся.

  1. Орг. момент

  2. Вступительное слово учителя.

Великий математик Карл Фридрих Гаусс в своё время назвал математику «царицей всех наук», а академик Соболев С.Л. её называет «служанкой всех наук». «Математика скорее добрая фея, только получить у неё можно не волшебную палочку, а надежный и точный инструмент – математические методы» (Петровский И. Г.)

Мы на протяжении нескольких уроков изучаем математические методы решения уравнений с параметрами: аналитический, графический, решение относительно параметра, компьютерное решение. Овладение методикой решения уравнений с параметрами существенно повышает уровень логической подготовки учащихся, развивает мышление, внимание. О человеке, у которого хорошо развито логическое мышление, говорят, что он основательно мыслит, дисциплинировано рассуждает.

Тема нашего занятия «Методы решения и исследования уравнений с параметрами», цель которого продолжить формирование умений и навыков при решении уравнений с параметрами различными методами.

  1. Решение задач

  1. Решить уравнения относительно х (работа в двух группах).

а) 2 – 4) х = а2 + а – 6 б) ах2 – 6х + 1 = 0

(а – 2)(а + 2) = (а – 2)(а + 3) а = 0, -6х + 1 = 0,

а = 2, 0х = 0, х R а  0, D1 = 9 – а,

а = -2, 0х = -4, решений нет 1) 9 – а > 0

а  + 2,

2) 9 – a = 0, a = 9,

, т. е.

3) 9 – а < 0, a > 9, решений нет

  1. При каком значении параметра а корни уравнения х2 + (а + 1) х + а + 4 = 0 существуют, различны и отрицательны? (совместное обсуждение и самостоятельное решение).

Обсуждение.

т.к. корни существуют и различны, то D > 0

т.к. корни отрицательны, то х1 + х2 < 0; х1 · х2 > 0

Имеем D = a2 – 2a – 15, х1 + х2 = — (a + 1), х1 · х2 = a + 4.

Получаем систему , решением которой является а  (5; +)

  1. Сколько корней имеет уравнение х2 – 6х + 5 = а в зависимости от параметра?

(работа с таблицей)

  1. Сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра?

Обдумать ход решения данного задания.

Совместное построение графика функции на доске.

Вывод самостоятельно.

Графический метод решения некоторых уравнений с параметром весьма эффективен, когда нужно установить, сколько корней имеет уравнений в зависимости от параметра.

  1. Практическая работа с использованием ППП «Matematica 4.0»

1 вариант

  1. Решить уравнение:

а) 4а – а2х = 2ах б)

  1. Сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра а?

2 вариант

  1. Решить уравнение:

а) 2 – 9)х = 9а2 – 10 а – 51 б)

  1. Сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра а?

3 вариант

  1. Решить уравнение:

а) 2 — 5а + 6) х = а4 – 16 б)

  1. Сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра а?

Ответы к практической работе.

  1. при а ≠ 1 х = а; настойчивость

при а = 1 корней нет

  1. при а = 3 х – любое число;

при а ≠ 3 и а ≠ — 3 математикой

при а = -3 корней нет

  1. при а ≠ 0 х = 0 мозг

при а = 0 корней нет

  1. при а = 2

при а = 3 Ø упорство

при а ≠ 3, а ≠ 2

  1. при а < 0 Ø

при а = 0, а < 3 4 корня

при 0 < a < 1 8 корней занимается

при а = 1 6 корней

при а = 3 3 решения

при а > 3 2 решения

  1. при а < 1 корней нет

при а = 1 х [-2; -1] развивает

при а > 1 два решения

  1. при а ≠ -2, а ≠ 0

при а = 0 тренирует

при а = -2 Ø

  1. при а = 1, а = -1,5, а = 3,5 Ø воспитывает

при других а

  1. при а < 0 Ø

при а = 0, а > 4 два корня

при 0 < а < 3, а = 4 четыре корня внимание

при а = 3 пять корней

при 3 < а < 4 шесть корней

  1. при а ≠ -2, а ≠ 0 достижении цели

при а = 0

  1. при а < 0 Ø

при а = 0, 1 < а < 3 4 корня

при 0 < a < 1 8 корней волю

при а = 1 6 корней

при а = 3 3 решения

при а > 3 2 решения

В результате выполнения практической работы и соотнесение ответов со словами учащиеся совместно составляют высказывание Маркушевича А. И. «Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает в себе настойчивость и упорство в достижении цели».

  1. Итог занятия

  1. Домашнее задание.

  1. При каких значениях параметра а уравнение х2 – (2а + 1)х + а2 + а – 6 = 0 имеет:

а) два положительных корня;

б) два отрицательных корня;

в) корни разных знаков?

  1. Найдите наибольшее целое а, при котором уравнение имеет четыре корня.

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ КУРСА


А. Рекомендуемая литература

  1. Алгебра и начала анализа. Сборник задач для подготовки и проведения итоговой аттестации за курс средней школы / под ред. Шестакова С.А. — М.: Внешсигма – М, 2003

  2. Башмаков М.И. и др. Алгебра и начала анализа. 10 – 11 кл.: Учебно-методическое пособие. – М.: Дрофа, 2001

  3. Галицкий М.Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8 – 9 классов: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 1994

  4. Гольдштейн З.М. и др. Сборник задач по математике для подготовительных курсов ТУСУР. – Томск, 1999

  5. Горнштейн П.И. и др. Задачи с параметрами. – М.: Илекса, 2002

  6. Горнштейн П.И. Решение конкурсных задач по математике из сборника под редакцией М.И. Сканави. Группа В. — Киев: РИА «Текст МП «ОКО», 1992

  7. Гусак А.А. Пособие к решению задач по высшей математике. – Минск, 1967

  8. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х частях. Ч. 1. – М.: Высшая школа, 1999

  9. Джумаева О.А. Математика: подготовка к государственному централизованному тестированию. – Саратов: Лицей, 2002

  10. Дорофеев Г.В. и др. Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике (курс А) и алгебре и началам анализа (курс В) за курс средней школы. 11 класс. – М.: Дрофа, 2004

  11. Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10 – 11 классов. – М.: Илекса, 2003

  12. Избранные вопросы математики. 9 кл. Факультативный курс. / Сост. Боковнев О.А. и др. – М.: Просвещение, 1979

  13. Казак В.В., Козак А.В. Тесты по математике. Тестирование и единый экзамен. — М., 2003

  14. Клейменов В.А. Математика. Решение задач повышенной сложности. – М.: Интеллект-Центр, 2004

  15. Капустина Т. В. Компьютерная система MATHEMATICA 3.0 // Математика в школе. — 2003, № 7

  16. Карп А.П. «Сборник задач по алгебре и началам анализа. 10 – 11». — М.: Просвещение, 1995

  17. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа. 10 — 11 кл. – М.: Просвещение, 2001

  18. Кордемский Б.А. Увлечь школьников математикой. – М.: Просвещение, 1981

  19. Лаппо Л.Д., Попов М.А. ЕГЭ. Математика. Практикум по выполнению типовых тестовых заданий ЕГЭ: Учебно-методическое пособие. – М.: Экзамен, 2005

  20. Лаппо Л.Д., Попов М.А. Математика. Пособие для подготовки к ЕГЭ и централизованному тестированию: Учебно-методическое пособие. – М.: Экзамен, 2004

  21. Лиман М.М. Школьникам о математике и математиках. – М.: Просвещение, 1981

  22. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: Доп. главы к шк. учеб. 8 кл. – М.: Просвещение, 1998

  23. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: Доп. главы к шк. учеб. 9 кл. – М.: Просвещение, 1997

  24. Мочалин А.А. Сборник задач по математике с решениями. — Саратов: Издательство «Лицей», 1998 г.

  25. Норин А.В. и др. Сборник задач по математике для поступающих в вузы: Учебное пособие. – СПб: Питер, 2003

  26. Олехник С.Н. и др. Алгебра и начала анализа. Уравнения и неравенства. — Москва: «Экзамен», 1998 г.

  27. Олехник С.Н. и др. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. 10 – 11 классы. – М.: Дрофа, 2001

  28. Петраков И.С. Математические кружки в 8 – 10 классах. – М.: Просвещение, 1987

  29. Письменный Д.Т. Готовимся к экзамену по математике. – М.: АЙРИС, 1996

  30. Предметная неделя математики. / Сост. Н.П. Токарчук. – Волгоград, 2007

  31. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы / Под ред М.И. Сканави. — М., 1994

  32. Семенов В.И. Некоторые методические и методологические аспекты углубленного изучения математики. 9 – 11 классы. – Кемерово: ОблИУУ, 1998

  33. Семёнов В.И. По страницам учебника М.Л. Галицкого …. — Кемерово, 1999 г.

  34. Симонов А.Я. и др. Система тренировочных задач и упражнений по математике. – М.: Просвещение, 1991

  35. Тесты: Варианты и ответы централизованного тестирования. – М.: АСТ-ПРЕСС; Центр тестирования выпускников общеобразовательных учреждений РФ, 2000

  36. Фальке Л.Я. и др. Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе: Учебно-методические материалы по математике. – М.: Илекса, 2002

  37. Черкасов О.Ю. и др. «Математика. Интенсивный курс подготовки к экзамену». — Москва, 1997

  38. Шарыгин И.Ф. Математика для школьников старших классов. – М.: Дрофа, 1995

  39. Шарыгин И.Ф. «Факультативный курс по математике 10 – 11 кл.»

  40. Шевкин А.В. Задачи с параметром. Линейные уравнения и их системы. – М.: Русское слово, 2003

  41. Шевкин А.В. Итоговый тест за курс алгебры и начала анализа. В 2-х частях. Часть 1. – М.: Русское слово, 2003

  42. Шевкин А.В. Итоговый тест за курс алгебры и начала анализа. В 2-х частях. Часть 2. – М.: Русское слово, 2003

  43. 3000 конкурсных задач по математике. – М., 1997 год

  44. «Математика» приложение к газете «1 сентября», № 30 – 2003, № 27 – 28 – 2002, № 29 – 2003, № 22 – 2002, № 2 – 2003

  45. www. center. fio. ru

  46. www. 1september. ru

  47. www. profile-edu. ru


В. Мультимедийные обучающие пособия

  1. Математика абитуриенту. Версия 2.0

  2. 1С: Репетитор. Математика. Часть 1.

  3. Курс математики 2000. Версия 4.5

  4. MATHEMATICA 4.2. Компьютерная математика

  5. 1С: Репетитор. Сдаем Единый экзамен

  6. Выпускнику и абитуриенту

  7. Математика для школьников и студентов. Теория и практика

  8. Электронный учебник-справочник. Алгебра. 7 – 11 класс

  9. 1С: Математика 5 – 11 классы. Практикум.

  10. Математика 5 – 11. Новые возможности для усвоения курса математики.

  11. Вычислительная математика и программирование. 10 – 11 классы.

  12. Готовимся к ЕГЭ. Математика. Решение экзаменационных задач в интерактивном режиме.

Решение линейных и квадратных неравенств 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Определение линейного неравенства

 

Линейные неравенства – это неравенства вида  и они решаются двумя способами: эквивалентными преобразованиями либо с помощью графика функции. Рассмотрим второй способ на примерах:

 

 

Решение линейного неравенства графическим способом

 

 

1. Решить неравенство

 

Построим график функции. Графиком является прямая, она пересекает ось oy в точке 1, ось ox в т. Корень функции разбивает ось ox на два различных промежутка. На первом промежутке функция отрицательна, на втором – положительна.

Этого достаточно, чтобы решить линейное неравенство.

Ответ:

Линейные неравенства эффективно решаются путем выбора интервалов, на которых функция сохраняет знак, т.е. до корня и после корня. Решением линейного неравенства, как правило, является луч.

 

Решение квадратного неравенства графическим способом

 

 

Рассмотрим квадратное неравенство

 

Оно решается с помощью свойств квадратичной функции

Рассмотрим на примере.

2. Решить неравенство

Рассмотрим функцию  Построим ее график, для этого вначале найдем корни. По теореме Виета

Схематически изобразим параболу и определим интервалы знакопостоянства и знаки на них. Ветви параболы направлены вверх.

Вне интервала корней функция положительна, внутри интервала корней – отрицательна.

Ответ:

Рассмотрим квадратичную функцию и её свойства в общем виде.

 

 

Квадратичная функция в общем виде, D>0

 

 

1.

 

Функция имеет вид

 значит, корни квадратного трехчлена различны,

Графиком квадратичной функции является парабола, пересекающая ось ox в точках с абсциссами

 ветви параболы направлены вверх.

Вне интервала корней функция имеет положительный знак, внутри интервала корней – отрицательный.

Что можно сказать о функции, если  Прежде всего, что она разлагается на линейные множители:

Также для нее справедлива теорема Виета:

Найдем координаты вершины параболы.

Для квадратичной функции есть два возможных варианта неравенств:

 

Множество значений функции – луч от  в положительном направлении.  Точка пересечения с осью oy – т..

 

Квадратичная функция в общем виде, D=0

 

 

2.

 

Как и в предыдущем случае, многочлен раскладывается на множители.

График функции – парабола, ветви направлены вверх.

Парабола касается оси ox в одной точке, которая и является вершиной параболы.

Рассмотрим возможные варианты неравенств:

Множество значений функции:

График функции пересекается с осью oy в т.

 

Квадратичная функция в общем виде, D<0

 

 

3.

 

Рассмотрим функцию

 означает, что уравнение не имеет корней, трехчлен нельзя разложить на множители и не выполняется теорема Виета.

Найдем координаты вершины:  

Схематически изобразим график – параболу, ветви направлены вверх.

В этом случае часто допускается стандартная ошибка – нет корней, значит, нет решений. Корней нет у квадратного уравнения, а решением неравенства является любое действительное число.

Множество значений функции

Для более глубокого рассмотрения рекомендуется самостоятельно изучить случаи, когда

1.

2.

3.

Необходимо построить графики и расписать решения стандартных неравенств самостоятельно.

 

Решение задач

 

 

Мы подробно рассмотрели свойства квадратичной функции, которые лежат в основе решения задач.

 

Рассмотрим примеры.

1.  Найти область определения функции.

Область определения функции задается неравенством  т.к. трехчлен находится под корнем и в знаменателе.

Умножим обе части неравенства на .

Рассмотрим функцию  найдем ее корни.

По теореме Виета

Изобразим график функции. Точки -2 и 1 выколотые, т. к. неравенство строгое.

Поставленному условию удовлетворяет промежуток внутри интервала корней.

Ответ:

Мы увидели на примере, что многие задачи сводятся к решению квадратного уравнения.

 

Решение неравенства с параметром

 

 

2.  При каких значениях p данное уравнение имеет

 

два различных корня?

один корень?

не имеет корней?

Если p принимает конкретное значение, мы имеем конкретный квадратный трехчлен с конкретным значением дискриминанта,

Найдем дискриминант.

Рассмотрим функцию

Найдем корни по теореме Виета.

Рассмотрим ось p и график функции  Графиком является парабола, ветви направлены вверх.

Функция сохраняет положительный знак вне интервала корней, отрицательный знак – внутри интервала.

Ответ: Уравнение имеет

1. два различных корня, когда

2. один корень, когда

3. не имеет корней, когда

 

19. Заключение

 

 

Мы рассмотрели решение линейных и квадратичных неравенств, некоторые свойства квадратичной функции, которые используются при решении квадратных неравенств.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. — М., 2011. — 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Портал Естественных Наук (Источник).

2. Центр образования «Технология обучения» (Источник).

3. Электронный учебно-методический комплекс для подготовки 10-11 классов к вступительным экзаменам по информатике, математике, русскому языку (Источник).

4. Виртуальный репетитор (Источник).

5. Раздел College.ru по математике (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1.Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с. 2-4\cdot 6\cdot (-3)}}{2\ cdot 6}=

=\frac{7\pm \sqrt{121}}{12}=

=\frac{7\pm 11}{12}

Отсюда получаем решения:

x_1= \frac{7+ 11}{12}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}

x_2=\frac{7- 11}{12}=\frac{-4}{ 12}=-\frac{1}{3}

Так как парабола «улыбается» и нас интересуют сечения ниже оси x, мы получаем

-\frac{1}{3}

Есть вопрос? Нашли ошибку? — Напишите комментарий ниже!
Было полезно? Вы можете купить мне чашку кофе здесь , что сделает меня очень счастливым и поможет мне загрузить больше решений!

Решение квадратных неравенств

Решения квадратных неравенств

Квадратное неравенство Математическое утверждение, которое связывает квадратное выражение как меньшее или большее другого.это математическое утверждение, которое связывает квадратное выражение как меньшее или большее другого. Ниже приведены некоторые примеры квадратных неравенств, решаемых в этом разделе.

x2−2x−11≤0 2×2−7x+3>0 9−x2>0

Решением квадратного неравенства является действительное число, которое даст истинное утверждение при замене переменной.

Пример 1

Являются ли −3, −2 и −1 решениями x2−x−6≤0?

Решение:

Замените данное значение на x и упростите.

x2−x−6≤0x2−x−6≤0x2−x−6≤0(−3)2−(−3)−6≤0(−2)2−(−2)−6≤0(− 1)2−(−1)−6≤09+3−6≤04+2−6≤01+1−6≤06≤0✗0≤0✓−4≤0✓

Ответ: −2 и −1 являются решениями, а −3 — нет.

Квадратные неравенства могут иметь бесконечно много решений, одно решение или не иметь решения.Если существует бесконечно много решений, изобразите набор решений на числовой прямой и/или выразите решение, используя интервальную запись. Построив график функции f(x)=x2−x−6, найденной в предыдущем примере, мы получим

Результат вычисления любого значения x будет отрицательным, нулевым или положительным.

f(−3)=6Положительныйf(x)>0f(−2)=0Нольof(x)=0f(−1)=−4Отрицательныйf(x)<0

Значения области определения функции, разделяющей области, дающие положительные или отрицательные результаты, называются критическими числами. Значения области определения функции, разделяющей области, дающие положительные или отрицательные результаты.. В случае квадратичной функции критическими числами являются корни, иногда называемые нулями. Например, f(x)=x2−x−6=(x+2)(x−3) имеет корни −2 и 3. Эти значения ограничивают области, в которых функция положительна (выше оси x ). или отрицательный (ниже оси x ).

Следовательно, x2−x−6≤0 имеет решения, где −2≤x≤3, используя обозначение интервала [−2,3]. Кроме того, x2−x−6≥0 имеет решения, где x≤−2 или x≥3, используя интервальные обозначения (−∞,−2]∪[−3,∞).

Пример 2

По графику f определить решения f(x)>0:

Решение:

Из графика видно, что корни равны −4 и 2. График функции лежит над осью x (f(x)>0) между этими корнями.

Из-за строгого неравенства множество решений заштриховано открытой точкой на каждой из границ.Это указывает на то, что эти критические числа фактически не включены в набор решений. Этот набор решений может быть выражен двумя способами:

{x|−4

В этом учебнике мы продолжим представлять ответы в интервальной записи.

Ответ: (−4,2)

Попробуй! По графику f определить решения f(x)<0:

Ответ: (−∞,−4)∪(2,∞)

Решение квадратных неравенств

Далее мы описываем технику, используемую для решения квадратных неравенств без построения графика параболы. Для этого мы используем диаграмму знаков — модель функции, использующую числовую прямую и знаки (+ или —) для обозначения областей в области, где функция положительна или отрицательна. который моделирует функцию, используя числовую линию, представляющую ось x , и знаки (+ или -), чтобы указать, где функция положительна или отрицательна. Например,

Знаки «плюс» означают, что функция положительна в регионе. Отрицательные знаки указывают на то, что функция отрицательна на области.Границами являются критические числа, в данном случае −2 и 3. Диаграммы со знаками полезны, когда подробное изображение графика не требуется, и широко используются в математике более высокого уровня. Шаги решения квадратного неравенства с одной переменной показаны в следующем примере.

Пример 3

Решите: −x2+6x+7≥0.

Решение:

Важно отметить, что это квадратное неравенство имеет стандартную форму с нулем на одной стороне неравенства.

Шаг 1 : Определите критические числа. Для квадратного неравенства в стандартной форме критическими числами являются корни. Поэтому приравняйте функцию к нулю и решите.

-x2+6x+7=0-(x2-6x-7)=0-(x+1)(x-7)=0x+1=0orx-7=0x=-1x=7

Критические числа -1 и 7.

Шаг 2 : Создайте диаграмму знаков. Поскольку критические числа ограничивают области, в которых функция положительна или отрицательна, нам нужно проверить только одно значение в каждой области.В этом случае критические числа разбивают числовую прямую на три области, и мы выбираем тестовые значения x=−3, x=0 и x=10.

Тестовые значения могут отличаться. На самом деле нам нужно только определить знак (+ или -) результата при вычислении f(x)=-x2+6x+7=-(x+1)(x-7). Здесь мы оцениваем, используя факторизованную форму.

f(−3)=−(−3+1)(−3−7)=−(−2)(−10)=−отрицательноеf(0)=−(0+1)(0−7)=− (1)(-7)=+Положительноf(10)=-(10+1)(10-7)=-(11)(3)=-Отрицательно

Поскольку результат оценки для -3 был отрицательным, мы помещаем отрицательные знаки над первой областью. Результат оценки на 0 был положительным, поэтому мы размещаем положительные знаки над средней областью. Наконец, результат оценки для 10 был отрицательным, поэтому мы помещаем отрицательные знаки над последней областью, и диаграмма знаков завершена.

Шаг 3 : Используйте таблицу знаков, чтобы ответить на вопрос. В этом случае нас просят определить, где f(x)≥0, или где функция положительна или равна нулю. Из таблицы знаков мы видим, что это происходит, когда значения x находятся в диапазоне от -1 до 7 включительно.

Используя обозначение интервала, заштрихованная область выражается как [−1,7]. График не требуется; однако для полноты он приведен ниже.

Действительно, функция больше или равна нулю выше или на оси x для значений x в указанном интервале.

Ответ: [−1,7]

Пример 4

Решите: 2×2−7x+3>0.

Решение:

Начните с нахождения критических чисел, в данном случае корней f(x)=2×2−7x+3.

2×2-7x+3=0(2x-1)(x-3)=02x-1=0orx-3=02x=1x=3x=12

Критические числа 12 и 3. Из-за строгого неравенства > мы будем использовать открытые точки.

Затем выберите тестовое значение в каждой области и определите знак после оценки f(x)=2×2−7x+3=(2x−1)(x−3).Здесь мы выбираем тестовые значения −1, 2 и 5.

f(−1)=[2(−1)−1](−1−3)=(−)(−)=+f(2)=[2(2)−1](2−3)= (+)(-)=-f(5)=[2(5)−1](5−3)=(+)(+)=+

И мы можем заполнить таблицу знаков.

Вопрос просит нас найти x значений, которые дают положительные результаты (больше нуля). Поэтому заштрихуйте области со знаком + над ними. Это набор решений.

Ответ: (−∞,12)∪(3,∞)

Иногда квадратичная функция не учитывается. В этом случае можно воспользоваться квадратичной формулой.

Пример 5

Решите: x2−2x−11≤0.

Решение:

Найдите критические числа.

х2-2х-11=0

Определите a , b и c для использования в квадратичной формуле. Здесь a=1, b=-2 и c=-11. Подставьте соответствующие значения в квадратную формулу и затем упростите.

х=-b±b2-4ac2a=-(-2)±(-2)2-4(1)(-11)2(1)=2±482=2±432=1±23

Следовательно, критические числа равны 1−23≈−2,5 и 1+23≈4,5. Используйте закрытую точку на числе, чтобы указать, что эти значения будут включены в набор решений.

Здесь мы будем использовать тестовые значения −5, 0 и 7.

f(−5)=(−5)2−2(−5)−11=25+10−11=+f(0)=(0)2−2(0)−11=0+0−11 =−f(7)=(7)2−2(7)−11=49−14−11=+

После заполнения таблицы знаков заштрихуйте значения, в которых функция имеет отрицательное значение, как указано в вопросе (f(x)≤0).

Ответ: [1−23,1+23]

Попробуй! Решите: 9−x2>0.

Ответ: (−3,3)

Возможно, критических чисел нет.

Пример 6

Решите: x2−2x+3>0.

Решение:

Чтобы найти решение критических чисел,

х2-2х+3=0

Подставьте a=1, b=−2 и c=3 в квадратичную формулу, а затем упростите.

х=-b±b2-4ac2a=-(-2)±(-2)2-4(1)(3)2(1)=2±-82=2±2i22=1+i2

Поскольку решения недействительны, мы заключаем, что действительных корней нет; следовательно, критических чисел нет. В этом случае график не имеет точек пересечения 90 118 x 90 119 и находится полностью выше или ниже оси 90 118 x 90 119. Мы можем протестировать любое значение, чтобы создать диаграмму знаков. Здесь мы выбираем х=0.

f(0)=(0)2−2(0)+3=+

Поскольку тестовое значение дало положительный результат, таблица знаков выглядит следующим образом:

Ищем значения, при которых f(x)>0; таблица знаков подразумевает, что любое действительное число для x будет удовлетворять этому условию.

Ответ: (−∞,∞)

Функция в предыдущем примере показана ниже.

Мы видим, что он не имеет точек пересечения x и всегда находится над осью x (положительно). Если бы вопрос заключался в том, чтобы решить x2−2x+3<0, то ответом было бы отсутствие решения. Функция никогда не бывает отрицательной.

Попробуй! Решите: 9×2−12x+4≤0.

Ответ: Одно решение, 23.

Пример 7

Найдите домен: f(x)=x2−4.

Решение:

Напомним, что аргумент функции извлечения квадратного корня должен быть неотрицательным. Следовательно, домен состоит из всех действительных чисел для x , таких что x2−4 больше или равно нулю.

x2−4≥0

Должно быть ясно, что x2−4=0 имеет два решения x=±2; это критические значения.Выберите тестовые значения в каждом интервале и оцените f(x)=x2−4.

f(−3)=(−3)2−4=9−4=+f(0)=(0)2−4=0−4=−f(3)=(3)2−4=9 −4=+

Затенение x значений, дающих положительные результаты.

Ответ: Домен: (−∞,−2]∪[2,∞)

Ключевые выводы

  • Квадратные неравенства могут иметь бесконечно много решений, одно решение или ни одного решения.
  • Мы можем решать квадратные неравенства графически, сначала переписав неравенство в стандартной форме с нулем на одной стороне. Постройте график квадратичной функции и определите, где она выше или ниже оси x . Если неравенство включает «меньше чем», то определите значения 90 118 x 90 119, где функция находится ниже оси 90 118 x 90 119. Если неравенство включает «больше», то определите значения 90 118 x 90 119, где функция находится выше оси 90 118 x 90 119.
  • Мы можем упростить процесс решения квадратных неравенств, используя диаграмму знаков. Диаграмма знаков дает нам визуальную ссылку, которая указывает, где функция находится выше оси x с использованием положительных знаков или ниже оси x с использованием отрицательных знаков.Заштрихуйте соответствующие значения 90 118 x 90 119 в зависимости от исходного неравенства.
  • Чтобы создать диаграмму знаков, используйте функцию и проверочные значения в каждой области, ограниченной корнями. Нас интересует только положительная или отрицательная функция, поэтому полный расчет не требуется.

Тематические упражнения

    Часть A. Решения квадратных неравенств

      Определить, является ли заданное значение решением.

      По графику f определите набор решений.

    1. f(x)≤0;

    2. f(x)≥0;

    3. f(x)≥0;

    4. f(x)≤0;

    5. f(x)>0;

    6. f(x)<0;

    7. f(x)>0;

    8. f(x)<0;

    9. f(x)≥0;

    10. f(x)<0;

      Используйте преобразования, чтобы построить следующий график, а затем определите набор решений.

    Часть B. Решение квадратных неравенств

      Используйте диаграмму знаков для решения и графического отображения набора решений. Представьте ответы, используя интервальную запись.

      Найдите область определения функции.

    1. Компания-производитель робототехники определила, что ее недельная прибыль в тысячах долларов смоделирована как P(n)=−n2+30n−200, где n представляет количество единиц, которые она производит и продает.Сколько единиц продукции должна произвести и продать компания, чтобы сохранить прибыльность. (Подсказка: прибыльность возникает, когда прибыль больше нуля.)

    2. Высота снаряда, выпущенного прямо в воздух, в футах равна h(t)=−16t2+400t, где t представляет время в секундах после выстрела. Через какие промежутки времени снаряд находится ниже 1000 футов? Округлить до десятых долей секунды.

    Часть C: Дискуссионная доска

    1. Всегда ли чередуется таблица знаков для любой заданной квадратичной функции? Объясните и проиллюстрируйте свой ответ несколькими примерами.

    2. Исследуйте и обсудите другие методы решения квадратного неравенства.

    3. Объясните разницу между квадратным уравнением и квадратным неравенством. Как мы можем определить и решить каждую из них? Какова геометрическая интерпретация каждого из них?

ответы

  1. (-∞,-1)∪(1,∞)

  2. (-∞,1)∪(1,∞)

  3. [−3,−1]

  4. [−2,2]

  5. (-∞,-4)∪(-2,∞)

  1. (−∞,−12]∪[6,∞)

  2. (−14,52)

  3. −53

  4. (−∞,12)∪(12,∞)

  5. (−∞,−32]∪[32,∞)

  6. [−52,52]

  7. (-∞,-22)∪(22,∞)

  8. (−∞,−23]∪[1,∞)

  9. (-∞,-2-6)∪(-2+6,∞)

  10. [2−22,2+22]

  11. (−∞,−5]∪[5,∞)

  12. (−∞,−23]∪[1,∞)

  13. Компания должна производить и продавать более 10 единиц и менее 20 единиц каждую неделю.

Давайте узнаем больше о квадратных неравенствах

Как уравнения имеют разные формы, так и неравенства бывают разных типов; квадратное неравенство равно единице.Квадратные неравенства — это формула второго уровня, в которой используется знак неравенства, а не знак равенства.

Средства от квадратного неравенства всегда дают оба корня. Природа корней может быть разной, и ее можно определить с помощью дискриминанта (b2–4ac).

О квадратных неравенствах

Общие формы квадратных неравенств:

ах2 + Ьх + с < 0

и, ax2 + bx + c ≤ 0

ах2 + Ьх + с > 0

Следовательно, ax2 + bx + c ≥ 0

Примеры квадратных неравенств:

x2– 6x– 16 ≤ 0, 2×2– 11x + 12 > 0, x2 + 4 > 0, x2– 3x + 2 ≤ 0 и т. д.

Решение квадратных неравенств

Квадратное уравнение неравенства второй степени использует индикатор неравенства вместо знака равенства.

Примеры квадратных неравенств: x2– 6x– 16 ≤ 0, 2×2– 11x + 12 > 0, x2 + 4 > 0, x2– 3x + 2 ≤ 0 и т. д.

Решение квадратного неравенства в алгебре похоже на решение квадратного уравнения. Единственным исключением является то, что с квадратными уравнениями вы соответствуете выражениям no. Тем не менее, с неравенствами вы хотите знать обе стороны от «нет», то есть отрицательные и положительные стороны.

Квадратные формулы могут быть решены либо методом факторизации, либо с использованием формулы квадрата.Прежде чем мы научимся решать квадратные неравенства, давайте вспомним, как решаются квадратные уравнения, управляя несколькими примерами.

Квадратичные формулы рассматриваются методом факторизации

Учитывая, что мы понимаем, квадратные неравенства можно зафиксировать аналогично квадратным формулам. В результате полезно узнать метод факторизации данной формулы или неравенства.

Давайте посмотрим здесь на пару экземпляров.

6×2– 7x + 2 = 0

Раствор

⟹ 6×2– 4x– 3x + 2 = 0

Разложить выражение на множители;

⟹ 2x (3x– 2)– 1( 3x– 2) = 0

и, ⟹ (3x– 2) (2x– 1) = 0

⟹ 3x– 2 = 0 или 2x– 1 = 0

и, ⟹ 3x = 2 или 2x = 1

⟹ х = 2/3 или х = 1/2

По этой причине х = 2/3, 1/2.

Разрешить 3×2– 6x + 4x– 8 = 0.

Раствор

Факторизируйте выражение в левой части.

⟹ 3×2– 6x + 4x– 8 = 0,

и, ⟹ 3x (x– 2) + 4(x– 2) = 0,

⟹ (х– 2) (3х + 4) = 0,

и, ⟹ x– 2 = 0 или 3x + 4 = 0.

⟹ х = 2 или х = -4/3.

Следовательно, корни квадратной формулы: x = 2, -4/3.

Неравенства отклонения для квадратичных функционалов Винера и умеренные отклонения для оценок параметров

  • Басак Г. К., Ли П.Асимптотические свойства оценки коэффициента дрейфа многомерных процессов Орнштейна-Уленбека, не обязательно устойчивых. Electron J Stat, 2008, 2: 1309–1344

    MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Берку Б., Пройя Ф. Точный анализ асимптотического поведения статистики Дурбина-Ватсона для авторегрессионного процесса первого порядка. ESAIM Probab Stat, 2013, 17: 500–530

    MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Берку Б., Пройя Ф., Сави Н.Об Орнштейне-Уленбеке, управляемом процессами Орнштейна-Уленбека. Statist Probab Lett, 2014, 85: 36–44

    MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Берку Б., Ришу А. Большие отклонения для процесса Орнштейна-Уленбека со сдвигом. Adv Appl Probab, 2015, 47: 880–901

    MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Берку Б. , Руо А.Резкие большие отклонения для процесса Орнштейна-Уленбека. Theory Probab Appl, 2002, 46: 1–19

    MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Bitseki P S, Djellout H, Pröia F. Умеренные отклонения для статистики Дурбина-Ватсона, связанной с авторегрессионным процессом первого порядка. ESAIM Probab Stat, 2014, 18: 308–331

    MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Броквелл П.Дж., Дэвис Р.А., Ян В.Гауссова авторегрессия с непрерывным временем. Statist Sinica, 2007, 17: 63–80

    МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Дембо А. Умеренные уклонения для мартингалов с ограниченными скачками. Electron Comm Probab, 1996, 1: 11–17

    MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Дембо А. , Зейтуни Д. Методы больших отклонений и их применение. Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1998

    Книга МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Джеллаут Х.Умеренные отклонения для мартингальных разностей и приложений к последовательностям f-смешивания. Stoch Stoch Rep, 2002, 73: 37–63

    MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Favetto B, Samson A. Оценка параметров двумерного частично наблюдаемого процесса OU с биологическим приложением. Scand J Stat, 2010, 37: 200–220

    MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Флоренс-Ландайс Д., Фам Х.Большие отклонения в оценке модели Орнштейна-Уленбека. J Appl Probab, 1999, 36: 60–77

    MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Gao F Q. Умеренные отклонения для мартингалов и перемешивания случайных процессов. Приложение стохастического процесса, 1996, 61: 263–275

    MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Гао Ф. К., Цзян Х. Неравенства отклонения и умеренные отклонения для оценок параметров в процессе Орнштейна-Уленбека с линейным дрейфом.Electron Comm Probab, 2009, 14: 210–223

    MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Гао Ф. К., Цзян Х., Ван Б. Б. Умеренные отклонения для оценок параметров в дробном процессе Орнштейна-Уленбека. Acta Math Sci Ser B Engl Ed, 2010, 30: 1125–1133

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Gao F Q, Zhao S J. Умеренные отклонения и проверка гипотез для проблемы обнаружения сигналов.Sci China Math, 2012, 55: 2273–2284

    MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Gao F Q, Zhao X Q. Дельта-метод при больших и умеренных отклонениях для оценщиков. Энн Статист, 2011, 39: 1211–1240

    MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Грасселли М. Р., Херд Т. Р. Хаос Винера и модель Кокса-Ингерсолла-Росса. Proc R Soc Lond Ser A Math Phys Eng Sci, 2005, 461: 459–479

    MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Гуйлин А., Липцер Р.Примеры принципов умеренных отклонений для диффузионных процессов. Discrete Contin Dyn Syst Ser B, 2006, 6: 803–828

    MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Икеда Н., Кусуока С., Манабэ С. Формула стохастической площади Леви и связанные с ней проблемы. Proc Pure Math Amet Math Soc, 1995, 57: 281–305

    Статья МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Цзян Х. Граница Берри-Эссеена и LIL для оценок параметров в процессе Орнштейна-Уленбека с линейным дрейфом. J Appl Probab, 2012, 49: 978–989

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Jiang H, Zhao S J. Большие и умеренные отклонения во времени тестирования неоднородных диффузий. J Statist Plann Inference, 2011, 141: 3160–3169

    MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Кутоянц Ю.А.Статистический вывод для эргодического диффузионного процесса. Нью-Йорк: Спрингер, 2003

    Google ученый

  • Ло А В, Ван Дж. Внедрение моделей ценообразования опционов, когда доходность активов предсказуема. J Finance, 1995, 50: 87–129

    Статья Google ученый

  • Мацумото Х., Танигучи С. Функционалы Винера второго порядка и их меры Леви. Electron J Probab, 2002, 7: 1–30

    MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Приват Н., Ву Х.Вычисление определителей Фредгольма для квадратичных функционалов Орнштейна-Уленбека. Тайваньский J Math, 2015, 19: 1541–1559

    MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Танигучи С. О функционалах Винера второго порядка, связанных с солитонными решениями уравнения КдФ. J Funct Anal, 2004, 216: 212–229

    MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Чжао С.Дж., Гао Ф.К.Большие отклонения при тестировании модели Якоби. Statist Probab Lett, 2010, 80: 34–41

    MathSciNet Статья МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Объяснение урока: Квадратные неравенства с одной переменной

    В этом объяснении мы научимся решать квадратные неравенства с одной переменной алгебраически и графически.

    Вспомните, что в уравнении у нас есть два выражения, которые равны друг другу, и мы поставить знак равенства, =, между ними.Когда у нас есть два выражения, которые не равны друг другу, мы можем связать выражения с помощью знака неравенства.

    У нас могут быть такие неравенства, как 𝑥≥4,6≤𝑥,2𝑥−7>5.

    В каждом из этих неравенств 𝑥 имеет ряд возможных решений. Когда мы есть неравенство, такое как 𝑥≥4, мы можем сказать это словами как «𝑥 больше или равно четырем». Это означает, что значение 𝑥, равное четырем и более, удовлетворяет этому неравенству. Мы используем четыре символа неравенства: >,≥,,≤.больше, чем больше, чем равно меньше, чем меньше, чем равно

    Мы можем решать неравенства в процессе, аналогичном решению уравнений, гарантируя, что мы выполнить одну и ту же математическую операцию с обеими частями неравенства. Однако, как неравенства имеют направление, мы должны тщательно рассмотреть, какая сторона неравенства выражение включено. Когда мы умножаем или делим на отрицательное число, мы должны переключать неравенство. Например, если у нас есть −𝑥≤−2, то при делении на −1 мы должны изменить неравенство, чтобы получить 𝑥≥2.

    Давайте теперь посмотрим, как решить неравенство и представить ответ в виде интервала. До для этого нам нужно повторить некоторые обозначения. Если рассматривать интервал чисел от 0 до 10, который включает 0, но не 10, мы могли бы представить это с помощью неравенства как 0≤𝑥10.

    Строгое неравенство справа говорит нам, что 10 не входит в неравенство, и нестрогое неравенство слева говорит нам, что 0 включен. Другой способ запись этого интервала будет [0,10[.

    Здесь закрытая квадратная скобка говорит нам о том, что 0 включен, а открытая квадратная скобка говорит нам, что 10 не включено. Здесь также стоит напомнить, что символ бесконечности ∞. Это часто используется для представления интервалов, которые больше или меньше одного числа. Например, 𝑥>3 в обозначение интервала будет ]3,∞[.

    В этом объяснении мы сосредоточимся на квадратных неравенствах. Это отличается от линейных неравенств, которые выглядят примерно так: −2𝑥+3≤5.

    Напомним, что процедура решения неравенств этой формы достаточно проста. Первое, что мы хотим сделать, это изменить неравенство так, чтобы все 𝑥-термы находятся на одной стороне, а все постоянные члены — на другой. Мы делаем это, вычитая 3 с обеих сторон: −2𝑥≤2.

    Затем, чтобы получить это с точки зрения только 𝑥, мы делим каждую сторону на −2, помня, что когда мы делим неравенство на отрицательное число, нам нужно поменять знак неравенства. Это дает нам 𝑥≥−1.

    Итак, 𝑥 — это все числа, большие или равные −1. Это также может быть выражено в виде интервала, как [−1,∞[.

    Точно так же, как у нас есть различные уравнения, такие как линейные и квадратные уравнения, мы могут иметь квадратные неравенства в следующих формах.

    Определение: квадратное неравенство

    Квадратное неравенство может быть представлено в одной из следующих форм: , где 𝑎, 𝑏 и 𝑐 — константы, а 𝑎≠0.

    Когда мы решаем квадратное неравенство, нам нужно найти диапазон решений или интервалы, для которого верно неравенство. По сравнению с линейным случаем это сложнее и может включать более одного отдельного интервала. Мы можем решить квадратные неравенства, используя шаги процесса, описанные ниже.

    Как решить квадратное неравенство алгебраически 𝑓(𝑥), с одной стороны, с неравенством, связывающим это с нулем.Для например, 𝑓(𝑥)≤0 или 𝑓(𝑥)>0.

  • Решите 𝑓(𝑥)=0 факторизацией или другим способом, чтобы найти решения уравнение.
  • Выберите контрольные точки для каждого интервала так, чтобы были значения меньше, между и больше решений уравнения. Мы также можем использовать диаграмму знаков, чтобы идентифицировать интервалы, которые будут положительными или отрицательными.
  • Определите интервалы, удовлетворяющие неравенству.
  • В следующем примере мы рассмотрим, как мы можем использовать диаграмму знаков для определения положительных и отрицательные значения интервалов неравенства.

    Пример 1. Решение квадратного неравенства с помощью таблицы знаков

    Опишите все решения неравенства 15−𝑥−2𝑥0.

    Ответ

    Чтобы начать решать неравенство 15−𝑥−2𝑥0, сначала преобразовать и переставить это, чтобы получить положительный коэффициент 𝑥. Мы можно умножить все члены коэффициента на −1, вспомнив, что когда мы умножив неравенство на отрицательное число, мы должны переставить неравенство. Это дает нам 15−𝑥−2𝑥0𝑥+2𝑥−15>0.

    Теперь нам нужно решить 𝑓(𝑥)=0, где 𝑓(𝑥)=𝑥+2𝑥−15. Мы можем факторизовать наше уравнение, чтобы получить 𝑥+2𝑥−15=0(𝑥−3)(𝑥+5)=0.

    Следовательно, 𝑥=3𝑥=−5.or

    Чтобы решить неравенство (𝑥−3)(𝑥+5)>0, нам нужно определите регионы, где это действительно так. Так или иначе (𝑥−3)(𝑥+5)>0 зависит от знаков факторов (𝑥−3) и (𝑥+5).

    Мы можем создать сетку, чтобы определить, будет ли каждый фактор положительным или отрицательным в интервалы меньше, больше и между нашими решениями 𝑥=−5 и 𝑥=3.В сетке мы можем разместить интервалы между нашими решениями по горизонтали и наши факторы 𝑓(𝑥) по вертикали, с произведением приведенные ниже факторы. Затем мы можем вычислить, будет ли произведение факторов положительный или отрицательный.

    𝑥-5 -5 -5𝑥3 𝑥> 3
    (𝑥-3) +
    (𝑥 + 5) + +
    (𝑥−3)(𝑥+5) + +

    значения (𝑥−3) и (𝑥+5) будут оба отрицательное, поэтому произведение этих двух отрицательных значений, (𝑥−3)(𝑥+5) будет положительным.

    Проверяя знак (𝑥−3)(𝑥+5) в сетке, мы видим что оно будет положительным, то есть (𝑥−3)(𝑥+5)>0, когда 𝑥−5 или 𝑥>3. Другими словами, неравенство 15−𝑥−2𝑥0 выполняется, когда 𝑥 не удовлетворяет −5≤𝑥≤3. В интервальных обозначениях мы можем выразить наш ответ как ℝ−[−5,3].

    В первом примере мы смогли точно проследить процесс решения квадратного неравенства, сначала решив квадратное, а затем используя таблицу знаков, но мы должны знать, что это не всегда то, что желательно или необходимо.В следующем примере мы рассмотрим квадратное неравенство, которое нельзя разложить на множители.

    Пример 2. Решение квадратного неравенства

    Найдите все решения неравенства 𝑥+121≤0. Запишите ответ в виде интервала.

    Ответ

    Поскольку это неравенство было дано нам со всеми членами в одной части уравнения, никакой перестановки не потребуется. Обычно, чтобы начать поиск решений, мы попытаемся решить 𝑓(𝑥)=0, где 𝑓(𝑥)=𝑥+121. Однако на самом деле это не имеет решений, поскольку 𝑥 всегда будет больше нуля для любого действительного значения 𝑥.То есть у нас есть 𝑥≥0⟹𝑥+121≥121𝑥+121>0.

    Таким образом, левая часть неравенства всегда будет строго больше нуля, то есть 𝑥+121≤0 никогда не будет истинным.

    Графически это можно увидеть, если учесть, что график 𝑓(𝑥)=𝑥+121 никогда не пересекает 𝑥-ось, как показано ниже.

    Записанное в виде интервала решение представляет собой пустое множество ∅.

    В предыдущих двух примерах мы решали квадратные неравенства, где правая часть неравенства равна равен нулю.Когда обе части неравенства содержат ненулевые выражения, нам нужно сначала упростить неравенство до точки, где одна его часть равна нулю. В следующем примере мы будем рассмотрим пример, когда обе части неравенства содержат квадратные выражения. После упрощая это неравенство, будем решать его как алгебраически, так и графически.

    Пример 3.

    Решение квадратного неравенства

    Определите множество решений неравенства (𝑥+3)≤(5𝑥−9).

    Ответ

    Чтобы начать решать это неравенство, мы сначала упростим его так, чтобы одна сторона была равна нулю.Хотя это заманчиво, мы не можем просто взять здесь квадратный корень из каждой стороны равенства. Поскольку квадратный корень может принимать как положительные, так и отрицательные значения, извлечение квадратного корня из неравенство может привести к неверному ответу. Вместо этого мы можем умножать через круглые скобки в обе части неравенства, чтобы получить (𝑥+3)≤(5𝑥−9)𝑥+6𝑥+9≤25𝑥−90𝑥+81.

    Теперь нам нужно собрать все члены на одной стороне неравенства. Для того, чтобы сохранить положительный коэффициент при 𝑥, мы можем вычесть все члены на в левой части каждой части неравенства, что дает нам 0≤25𝑥−90𝑥+81−𝑥+6𝑥+9.

    Упрощая, мы имеем 0≤24𝑥−96𝑥+72.

    Мы также можем записать это как 24𝑥−96𝑥+72≥0, отметив, что две стороны неравенства поменялись местами.

    Поскольку 24 — общий множитель, мы можем разделить все слагаемые на 24, что дает нам

    𝑥−4𝑥+3≥0. (1)

    Мы упростили данное неравенство до такой степени, что одна его сторона равна нулю. Сейчас, мы закончим решать это неравенство, используя два различных метода: алгебраический метод и графический метод.

    Метод 1

    Сначала решим это неравенство алгебраически. Установка нашего 𝑓(𝑥)=0 и факторинг дают нам 𝑥−4𝑥+3=0(𝑥−1)(𝑥−3)=0.

    Следовательно, 𝑥=1𝑥=3.or

    В факторизованном виде неравенство (1) записывается как (𝑥−1)(𝑥−3)≥0, и нам нужно определить регионы, в которых это неравенство верно. Независимо от того, (𝑥−1)(𝑥+3)≥0 зависит от факторов (𝑥−1) и (𝑥−3).

    Мы можем создать сетку, чтобы определить, будет ли каждый фактор положительным или отрицательным в интервалы меньше, больше и между нашими решениями 𝑥=1 и 𝑥=3. Поскольку у нас есть нестрогое неравенство, мы также можем записать значения, когда 𝑥=1 и 𝑥=3. Затем мы можем вычислить, является ли произведение факторов будет положительным или отрицательным.

    911- 1) (𝑥-3)
    𝑥1 𝑥1 𝑥 = 1 1𝑥3 𝑥 = 3 𝑥 = 3 𝑥> 3 (𝑥 — 1) 0 + + +
    (𝑥-3) (𝑥-3) 0
    + + 0 0 +

    Из сетки видно, что интервалы, где (𝑥−1)(𝑥−3)≥0, соответствуют 𝑥≤1 и когда 𝑥≥3.В другом словами, неравенство (𝑥+3)≤(5𝑥−9) выполняется, когда 𝑥 не удовлетворяет 1𝑥3. В интервальных обозначениях мы можем выразить наш ответ как ℝ−]1,3[.

    Способ 2

    Рассмотрим, как решить неравенство (1) графически. Начнем с построения графика 𝑓(𝑥)=𝑥−4𝑥+3. Учитывая, что коэффициент при 𝑥 положительна, мы знаем, что кривая параболы откроется вверх. В методе 1 мы идентифицировали корни равенство 𝑥=1 и 𝑥=3, это означает, что кривая пройдет через координаты (1,0) и (3,0).

    Для решения неравенства 𝑥−4𝑥+3≥0 рассмотрим точки на график 𝑓(𝑥)=𝑥−4𝑥+3, где 𝑓(𝑥)≥0. Это будет выше оси 𝑥, при значениях, где 𝑥≤1 и где 𝑥≥3. Как показано в методе 1, наш ответ в интервальной записи можно записать как ℝ−]1,3[.

    В предыдущем примере мы решили квадратное неравенство как алгебраически, так и графически. Требуются оба метода упрощая данное неравенство до точки, где одна его часть равна нулю.Отсюда легко решить квадратное неравенство графически, пока мы можем набросать график квадратичной функции. Мы будем использовать графический метод решения квадратных неравенств в остальных примерах.

    Рассмотрим еще один пример графического решения квадратного неравенства.

    Пример 4. Решение квадратного неравенства с помощью графика

    Решите неравенство 2𝑥≤15𝑥−27.

    Ответ

    Начнем с упрощения данного неравенства до точки, где одна его сторона равна нулю.Мы можем вычесть 15𝑥 с обеих сторон, что дает нам 2𝑥≤15𝑥−272𝑥−15𝑥≤−27.

    Затем мы можем добавить 27 к обеим частям неравенства, что даст нам 2𝑥−15𝑥+27≤0.

    Чтобы решить неравенство графически, нарисуем график 𝑓(𝑥)=2𝑥−15𝑥+27. Для этого сначала нужно найти точки пересечения уравнения 𝑥-ось, часто называемая корнями уравнения.

    Установив 𝑓(𝑥)=0, мы можем разложить это на множители, что даст нам 2𝑥−15𝑥+27=0(2𝑥−9)(𝑥−3)=0.

    Итак, 𝑥=4,5𝑥=3.или

    Теперь нам нужно установить форму кривой 𝑓(𝑥)=2𝑥−15𝑥+27. Поскольку коэффициент при 𝑥, 2, положителен, это означает, что кривая параболы разомкнется вверх.

    Итак, поскольку корни уравнения равны 𝑥=4,5 и 𝑥=3, мы можем построить координаты (4. 5,0) и (3,0) и нарисуйте кривую параболы, как показано ниже.

    Далее нам нужно определить области, для которых неравенство 2𝑥−15𝑥+27≤0 Справедливо. Из скетча видно, что 𝑓(𝑥)=2𝑥−15𝑥+27 находится в значениях меньше нуля между значениями 𝑥=3 и 𝑥=4.5. Следовательно, 𝑥 должно удовлетворять 3≤𝑥≤4,5. В интервальных обозначениях мы можем записать это как [3,4.5].

    Рассмотрим еще один пример графического решения квадратного неравенства.

    Пример 5. Решение квадратного неравенства с помощью графика

    Решите неравенство (𝑥−5)(𝑥−7)≥−5𝑥+35.

    Ответ

    Начнем с упрощения данного неравенства до точки, где одна его сторона равна нулю. Умножая через скобки, получаем (𝑥−5)(𝑥−7)≥−5𝑥+35𝑥−12𝑥+35≥−5𝑥+35𝑥−7𝑥+35≥35𝑥−7𝑥≥0.

    Чтобы решить неравенство графически, нарисуем график 𝑓(𝑥)=𝑥−7𝑥. Для этого сначала нужно найти корни квадратичной функции 𝑓(𝑥). Эти корни можно найти, установив 𝑓(𝑥)=0 и решив, что даст нам 𝑥−7𝑥=0.

    Факторизуя, мы имеем 𝑥(𝑥−7)=0.

    Следовательно, 𝑥=0𝑥=7.или

    Как коэффициент при 𝑥 в уравнении 𝑓(𝑥)=𝑥−7𝑥 равно 1, это значение больше нуля; поэтому кривая параболы будет открываться вверх. Как корни уравнения равны 𝑥=0 и 𝑥=7, это означает, что кривая пройдет через координаты (0,0) и (7,0).Мы можем сделать набросок график, показанный ниже.

    Для решения неравенства 𝑥−7𝑥≥0 рассмотрим точки на график 𝑓(𝑥)=𝑥−7𝑥, где 𝑓(𝑥)≥0. Это будет выше оси 𝑥 при значениях, где 𝑥 меньше 0 и где 𝑥 больше 7. Поскольку у нас нет строгого неравенства, 𝑥 также может быть точно равно до 0 или 7. Другой способ выразить это — сказать, что 𝑥 — это все значения, исключая точки, где 0𝑥7. Мы можем выразите этот окончательный ответ в интервальной записи как ℝ−(0,7).

    Давайте закончим повторением нескольких важных понятий из объяснения.

    Ключевые моменты

    • Решением квадратного неравенства является интервал или объединение интервалов. Когда это объединение двух интервалов, мы можем использовать обозначение множества разностей для запишите его как дополнение одного интервала.
    • Чтобы решить квадратное неравенство алгебраически, выполните следующие действия:
      • Перестройте неравенство так, чтобы все члены выражения были стороны, с неравенством, связывающим это с нулем, например, 𝑓(𝑥)>0.
      • Умножьте неравенство, установив 𝑓(𝑥)=0, чтобы определить корни выражения 𝑓(𝑥).
      • Определите интервалы, удовлетворяющие неравенству, используя контрольные точки в каждом интервальная или знаковая диаграмма. Мы также можем нарисовать график функции.
    • Чтобы решить квадратное неравенство графически, выполните следующие действия.
      • Переформулируйте неравенство так, чтобы все члены выражения находились на одном сторона с неравенством, связывающим это с нулем; Например 𝑓(𝑥)>0.
      • Умножьте неравенство, установив 𝑓(𝑥)=0, чтобы определить корни выражения 𝑓(𝑥).
      • Нарисуйте график уравнения 𝑓(𝑥)=0, используя корни уравнения и нахождение направления кривой параболы. Возьмите специальные неважно, изменили ли вы исходное неравенство, чтобы изменить знак 𝑥 значение: используйте коэффициент 𝑥 в переставил форму неравенства, чтобы определить форму кривой, а не исходное неравенство.
      • Определите интервалы, удовлетворяющие неравенству.

    В солнечный день MiniGolf может принести S2000 дохода_ #f …

    Здесь. В этой задаче мы должны максимизировать прибыль производителя Gold Club. Он производил два вида продукции. 1-й 1 — чепуха, а следующий — путо отсалютовал? Предположительно после того, как они произвели блок X с драйвера. И почему Unit Off Butcher И это, знаете ли, для того, чтобы удовлетворить спрос, мы должны производить от 20 до 50 драйверов. Это означает, что X должен находиться в диапазоне от 50 до 20. Это означает, что он должен быть меньше или равен, сэр. 50 и извините X должен быть меньше или равен 50 или больше или равен 20 и далее. Используя этого портера, это значит, почему должно быть от 30 до 50? Это означает, что он должен быть меньше или равен 50. Но скрежет в R равен двум индейкам на максимуме, но без водителя, и, э-э, что они могут производить, это 18, объясняет. Почему должно быть меньше или равно 80 и мы должны заставить вас получать прибыль. А это значит, что он должен громких слов своим.Они получают прибыль от 3 долларов на водителе и получают прибыль от 2 долларов на фотографии. Это означает, что мы должны максимизировать функцию. Пиза идет на три Х плюс два. Почему? И это три неравенства. Теперь я буду смеяться над этой целостностью на миллиметровке. Итак, возьмем графическое оружие. О, так вот почему именно на этой оси единства X? Нет, эта линия представляет уравнение. Объясняет, почему число равно 80 на этом синем представляет X равно 20 на этом изысканно Охлаждает до 50 на этой линии представляет собой уравнение подобных миров для вечеринки на этом, вот почему он уходит слишком 50 теперь общая область между этим неравенством была бы эта область на дни четырех угловых точек, при которых он был бы максимален в любой из точек. Итак, нам нужно найти, в какой точке B будет максимальным. Так что для этого мы должны найти резню. Угол этой точки равен 30 Камар 50. Аналогично, эта точка относится к любым обычным 50. Эта к любым обычным 30 на этой 50 запятая 30. Теперь значение скорости в этой кукурузе получается как 1 Здесь началось 90 из только что заработанных избыточных средств. И почему здесь 50 Точно так же действительно хорошо, Гиллеспи, как до 1 60 Здесь, в этот момент, мы получаем, что Дулут будет равен 1 20, если бы этот был 210. Так что это максимальное значение от этого.Максимальное значение скорости, которое мы открываем На данный момент, Это означает, что мы можем сделать вывод, что X должно быть 50, а vice должно быть 30. Таким образом, чтобы получить максимальную прибыль, которую они должны производить, 50 единиц предлагают водителю на лепешке в сам. Бордо. Итак, это окончательный результат.

    Решение квадратных неравенств: основные понятия

    Решение Квадратичные неравенства: понятия (стр. 1 из 3)


    Решение линейных неравенств, например « x + 3 > 0″, было довольно просто, если вы не забыли перевернуть неравенство знак всякий раз, когда вы умножали или делили на минус (как вы будет при решении чего-то вроде «2 x < 4").

    Но есть большой скачок, между линейными неравенствами и квадратными неравенствами. Часть прыжка заключается в том, что концепции, которые были пропущены при обучении решению линейные неравенства полезны и даже необходимы при решении квадратных неравенств. Итак, давайте сначала рассмотрим линейное неравенство и рассмотрим те понятия, которые были пропущены ранее.

    • Решить x 4 < 0.
    • Я это уже знаю, чтобы решить это неравенство, все, что мне нужно сделать, это добавить 4 на другую сторону, чтобы получить решение» x < 4". Итак, Я уже знаю, какой ответ. Но теперь я подойду к этой проблеме под другим углом, рассмотрев связанный граф с двумя переменными.

      Для » x 4 < 0", связанный линейный граф с двумя переменными равен y = х 4:

        

      Неравенство » х 4 < 0" спрашивает "когда линия и = x 4 ниже строка и = 0?» Так как строка и = 0 — это просто ось x , поэтому неравенство спрашивает: «когда строка и = x 4 ниже ось x ?» Первый шаг к ответу на этот вопрос — найти, где проходит линия пересекает ось x ; то есть сначала мне нужно найти x -перехват. Поэтому я установил и . равно нулю и решить:

      Итак, строка и = х 4 креста ось x при разрешении х = 4. Так как линия и = х 4 прямая линия, она будет над осью x на одной стороне точки пересечения и ниже оси x по ту сторону перехвата.Авторские права Элизабет Стапель 2002-2011 Все права защищены

        
      С склон этой линии м = 1 (в частности, так как наклон положительный), то линия возрастает, поэтому линия находится ниже оси с левой стороны (до перехвата) и над осью с правой стороны (после точки пересечения), как выделено справа:

        


        

      Оригинальный вопрос попросил меня решить x 4 < 0, поэтому мне нужно найти, где линия находится ниже оси x . Это происходит слева от точки пересечения:

      .

        


      Начиная с оригинала неравенство, « х 4 < 0", спрашивал только о значениях x , Я ограничу приведенный выше график только осью x :

      Вспоминая о графический метод представления решений линейных неравенства, приведенный выше график показывает правильное решение » x < 4 «.

    То есть, взглянув на график связанной линии и определение, где (на оси x ) линия графика находилась ниже оси x , легко видеть, что решение неравенства « х 4 < 0" неравенство " х < 4". Вы можете следуйте тому же методу поиска перехватов и использования графиков для решения неравенства, содержащие квадратные числа.


    Рассмотрим квадратичный неравенство:

      Сначала мне нужно посмотреть в связанном уравнении с двумя переменными, y = х 2 + 4, и рассмотрим, где его график находится ниже оси x . Для этого мне нужно знать, где график пересекает ось x .То есть мне сначала надо найти где х 2 + 4 равно нулю:

      Это говорит о том, что квадратичный пересекает ось x при разрешении х = 2 и при x = 2.

      Теперь мне нужно понять где (то есть на каких интервалах) график находится ниже оси. Но это легко! Поскольку это «отрицательный» квадрат, графики в виде перевернутой параболы.

        

      Другими словами, график высокий (над осью) в середине, а низкий (ниже ось) на торцах:

        


      Разгадать оригинал неравенство, мне нужно найти промежутки, где график находится ниже ось (так что y -значения меньше нуля).
        

        

      Мои знания о график вместе с нулями, которые я нашел выше, говорит мне, что что мне нужны интервалы на обоих концах, а не интервал посередине:

        

      Тогда решение четко:

    Я мог бы умножить исходное неравенство через 1, дай мне» x 2 4 > 0″. То нули были бы такими же: x = 2 и х = 2. Но эта парабола был бы правильным, поскольку квадратичный был бы «положительным». Это нормально, потому что, умножая на 1, Я бы перелистнул неравенство, так бы искал где квадратичный больше, чем нулей (то есть, где парабола над по оси).Поскольку парабола была бы направлена ​​вверх, график был бы над осями на концах; так что решение получилось бы таким же, как и раньше: x < 2 или x > 2:

    Верх |  1 | 2 | 3 | Вернуться к индексу Далее >>

    Процитировать эту статью как:

    Стапель, Элизабет.«Решение квадратных неравенств: концепции».

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.

    2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
    тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск