Линейные функции: Линейная функция и ее график

Содержание

Сценарий урока по математике в 7 классе на тему «Линейные функции и их графики»

Сценарий урока по математике в 7 классе на тему «Линейные функции и их графики»

Автор: Сойникова М.В.

Методическая копилка — Математика

Урок-путешествие

Тема: «Линейные функции  и их графики»

Цель: 1)    Обобщение и систематизация знаний, умений, навыков учащихся при построении графиков линейных функций; развивать умение читать график функции;

                2) Развивать познавательную активность,   творческих способностей, внимание, логическое мышление, активизировать мыслительную деятельность с помощью применения информационных технологий, установить межпредметные связи математики с географией, историей, краеведением.

            3)прививать интерес к математике, воспитывать чувства ответственности, коллективизма, трудолюбие, аккуратность, развивать общую культуру личности

 Формы организации учебной деятельности: групповая, индивидуальная.

Оборудование: компьютер, проектор.

Дидактическое обеспечение урока: листы с изображением контурной карты Курской области,  карточки с заданием (тест), сигнальные карточки,  презентация.

Структура урока:

$11.     Организационная часть.(1)

$12.     Сообщение  темы,  целей урока и формы его проведения (1 мин.).

$13.     Актуализация знаний учащихся (3)

$14.     Работа по теме урока:

$11)          Практическая работа по вариантам (6-7).

$12)         Информация по краеведению (2)

$13)         Индивидуальная работа (6).

$14)         Историческая информация (1)

$15)         Творческая работа в парах (6)

$16)         Исторические сведения (1)

5.Закрепление знаний, умений и навыков. (4)

6. Рефлексия (2)

7. Домашнее задание (1)

8. Итог урока.(1)

$11.     Организация урока.

$12.      Вступительное слово учителя:

«Математика – это полет»  — так говорил советский летчик-испытатель, герой советского союза В.П. Чкалов. Пусть эти слова станут эпиграфом к нашему уроку.

Сегодня я предлагаю вам, ребята отправиться в путешествие по  необычным местам курской области, и с высоты полета найти эти места на карте, применив необходимые знания по алгебре. Таким образом, мы повторим и закрепим знания по разделу «Линейные функции», что и будет являться целью нашего урока.

$13.     Актуализация знаний

Итак, чтобы отправиться в полет нам необходимо пройти подготовку (фронтальный опрос).

1)Что представляет собой система координат? (пересечение двух координатных прямых под углом 90ْ)      

2)Какие знаки имеет IV четверть?

3)Что такое линейная функция? (функция вида y=kx+b, k , b – некоторые числа, где k≠0).

4)Что является графиком линейной функции? (прямая).

5)Прямая пропорциональность – это … . (функция вида  y=kx)

6) Что такое угловой коэффициент? ( k =  ).

7)Если k>0, что можно сказать о прямой? ( образует с положительной осью острый угол).

4.Работа по теме урока.

1.Итак, все успешно прошли испытания и готовы к полету.  Мы отправляемся в населенный пункт, который имеет следующие координаты (-4;-5). Возьмите листочки с изображение  контурной карты курской области и нанесите точку с такими координатами на плоскость. А вот что это за пункт, и чем он знаменит мы узнаем после того как выполним задание. Задание выполняем в тетрадях. (слайд с заданием)

Задание: Соотнести правильные ответы в порядке последовательности с соответствующими буквами и прочитать слово.

№1Чему равен угловой коэффициент прямой заданной формулой:

а) 2х+4у=0  ( k= — )                                 б) – 5х+2у=2 (k=2,5)

№2 найдите значение линейной функции при данном значении аргумента:

а) у=5х+6 при х=1,    (у=51+6=11)

б) у=9х – 6, при х=1,5    (у=91,5 – 6=7,5)

№3 Найдите значение аргумента, при котором линейная функция у=5х – 2,5 принимает значении  2,5. (х=1)

Ж

О

У

Д

К

С

А

7,5

5

2,5

11

5,5

1

 СУДЖА. А сейчас я предлагаю оценить себя и на полях поставить себе отметку. Если допущена 1 ошибка – «4»; 2-3 ошибки –«3»; более 3 ошибок – «2».

Итак, это Суджа. В районе этого города есть местечко Нижнемахово, которое знаменито своим озером Клюквенник. На этом озере есть остров, который не стоит на месте, а плавает по воде – скорость его – 1км/ч. Растительность озера скорее северная, чем черноземная. Там растут уникальные растения, которые занесены в красную книгу.

2. Ну а мы продолжаем. Теперь мы будем двигаться в юго-восточном направлении от г. Курска. В какой четверти мы окажемся?

№Сейчас мы построим прямую у = — 5 и прямую  у = х. Точка их пересечения будет искомой, куда будет лежать наш путь  (в тетрадях).

Дадим характеристику функциям. ( Ответ: линейная функция принимает вид у=kх и является прямой пропорциональностью, k0, значит прямая убывает, прямая у=-5 параллельна оси х и при любом значении х принимает одно и тоже значение у)

Если полет осуществлять по прямой у = х с данным угловым коэффициентом до точки К(8;-5), то мы будем пролетать над селом Красниково Пристенского района. В этом самом селе есть старая водяная мельница, которая существует по сей день.

Мельница может намолоть за сутки до тонны муки. Ее построил барин в 1861 году, а позже подарил обычному батраку Фоме, который стал его зятем.

3.А мы вновь набираем высоту. И чтобы осуществить очередной перелет нам нужно выполнить задание. Это задание мы выполняем самостоятельно.

№5 Зная угловой коэффициент прямой или угловой коэффициент пропорциональности задайте и постройте прямую, проходящую через начало координат. k= .

Теперь на плоскости отметьте точку L(-2;-1). Что можно сказать об этой точке? (L  у = .)

И мы неспроста оказались в этой точке. Оказывается, она тоже для курской области имеет особое значение. Это г.Льгов. На въезде в этот город есть башня Шамиля. Это одно из самых необычным для центральной России сооружение, когда-то было частью ограды дворцово-паркового ансамбля имения семей Барятенских. Легенда гласит, что именно в этой башне молился Шамиль – предводитель чеченских горцев.

$14.     Творческая работа в парах.

А мы продолжаем путешествовать. Сейчас на карте я покажу вам точку, куда мы должны отправиться, осуществляя наш полёт. Эта точка          S(-5; -7). Ваша задача придумать такое задание, решив которое мы окажемся в этой точке, используя для этого необходимые знания по линейным функциям. Сейчас мы объединяемся в пары и начинаем работать. Самая интересная версия будет главной, а авторы идеи получат отличные отметки.

(На случай, если дети затрудняются:

$11.     Самый простой способ: 7 ед. отр. на запад 5 ед. отр. на юг

$12.     Найти точку пересечения прямых х=-7, у=-5

$13.     Построить прямую у=-5 и у= х. Найти точку пересечения.)

(Проверка ответов детей)

Справившись с заданием мы оказались над Кореневским районом в селе Сафоновка. В этом селе есть дворец, который носит романтичное название «Дворец для любимой». Он был построен пожилым дворянином Иосифом Викторовым, племянником князя Барятинского. Он влюбился в молодую девушку – немку. И в её честь построил этот дворец. Но она уехала не увидев это творение. Сейчас в этом здании на первом этаже находится сельская школа.

5.Самостоятельная работа (тест)

На этом наш увлекательный полёт по местам курской области окончен. И в завершении выполним небольшой тест.

Тест

$11.     Какая из функций является линейной:

а)у = 3х+1 (1)    б)у = 2х2+4 (3)    в) у =  +1 (2) ?

2. График какой функции проходит через начало координат:

   а) у=х+4 (8)      б)    2х=у (9)        в) у = 2х2 +1 (4).

3. График какой функции возрастает:

   а) у= -х2 +4 (1)      б) у=2х+1 (3)   в) у = — 3х (7)?

  1. На каком рисунке промежуток (-∞; 8] изображен верно:

    а)◦                                       (5) б)                                        (3)

   

    в)                                          (8) г)                                        (4)

     

   (Взаимопроверка и выставление оценок)

-1938 – это не только код правильного ответа на наш тест, но и год гибели В. Чкалова, под чьим девизом мы работали сегодня на уроке.

Он погиб в Москве. И имя героя советского союза ему присвоено посмертно.

6.Рефлексия:

Вопросы (продолжите фразу):

$11.     График функции возрастает, если… .

$12.     Прямая задается формулой … .

$13.     Угловой коэффициент – это… .

Прошу детей высказать свое мнение об уроке (словесно).  Используя сигнальные карточки красного, желтого и зеленого цветов, оценить свою работу на уроке.

7.Домашнее задание:

Домашнее работа носит творческий характер: найти на карте курской области необычное, на ваш взгляд, место и придумать задачу о месте его расположения, используя знания по «Линейным функциям».

8.Оценивание.

9.Итог урока.

Надеюсь, что урок не пройдет для вас, ребята,  бесследно. Вы пополнили свои знания по географии, краеведению, истории. И, надеюсь, закрепили знания по теме «Линейные функции». Замечайте, что математика  тесно связана  с другими предметами, ведь математика наука «замечательная».

          

.

 

 

 

Линейная функция и её график. Линейная функция Линейные функции y 3 5x

Линейной функцией называется функция вида y = kx + b , заданная на множестве всех действительных чисел. Здесь k – угловой коэффициент (действительное число), b свободный член (действительное число), x – независимая переменная.

В частном случае, если k = 0 , получим постоянную функцию y = b , график которой есть прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку с координатами (0; b) .

Если b = 0 , то получим функцию y = kx , которая является прямой пропорциональностью.

b длина отрезка , который отсекает прямая по оси Oy, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox, считается против часовой стрелки.

Свойства линейной функции:

1) Область определения линейной функции есть вся вещественная ось;

2) Если k ≠ 0 , то область значений линейной функции есть вся вещественная ось. Если k = 0 , то область значений линейной функции состоит из числа b ;

3) Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b .

a) b ≠ 0, k = 0, следовательно, y = b – четная;

b) b = 0, k ≠ 0, следовательно y = kx – нечетная;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, следовательно y = kx + b – функция общего вида;

d) b = 0, k = 0, следовательно y = 0 – как четная, так и нечетная функция.

4) Свойством периодичности линейная функция не обладает;

5) Точки пересечения с осями координат:

Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k , следовательно (-b/k; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.

Oy: y = 0k + b = b , следовательно (0; b) – точка пересечения с осью ординат.

Замечание.Если b = 0 и k = 0 , то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х . Если b ≠ 0 и k = 0 , то функция y = b не обращается в ноль ни при каких значениях переменной х .

6) Промежутки знакопостоянства зависят от коэффициента k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – положительна при x из (-b/k; +∞) ,

y = kx + b – отрицательна при x из (-∞; -b/k) .

b) k

y = kx + b – положительна при x из (-∞; -b/k) ,

y = kx + b – отрицательна при x из (-b/k; +∞) .

c) k = 0, b > 0; y = kx + b положительна на всей области определения,

k = 0, b отрицательна на всей области определения.

7) Промежутки монотонности линейной функции зависят от коэффициента k .

k > 0 , следовательно y = kx + b возрастает на всей области определения,

k , следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

8) Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b . Ниже приведена таблица, которая наглядно это иллюстрирует.

Линейной функцией называется функция вида y=kx+b, где x-независимая переменная, k и b-любые числа.
Графиком линейной функции является прямая.

1. Чтобы постороить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y= ⅓ x+2, удобно взять x=0 и x=3, тогда ординаты эти точек будут равны y=2 и y=3. Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график функции y= ⅓ x+2:

2. В формуле y=kx+b число k называется коэффицентом пропорциональности:
если k>0, то функция y=kx+b возрастает
если k
Коэффициент b показывает смещение графика функции вдоль оси OY:
если b>0, то график функции y=kx+b получается из графика функцииy=kx сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY
если b
На рисунке ниже изображены графики функций y=2x+3; y= ½ x+3; y=x+3

Заметим, что во всех этих функциях коэффициент k больше нуля, и функции являются возрастающими. Причем, чем больше значение k, тем больше угол наклона прямой к положительному направлению оси OX.

Во всех функциях b=3 – и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)

Теперь рассмотрим графики функций y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

На этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и функции убывают. Коэффициент b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)

Рассмотрим графики функций y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны 2. И мы получили три параллельные прямые.

Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
График функции y=2x+3 (b=3) пересекает ось OY в точке (0;3)
График функции y=2x (b=0) пересекает ось OY в точке (0;0) — начале координат.
График функции y=2x-3 (b=-3) пересекает ось OY в точке (0;-3)

Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции y=kx+b.
Если k 0

Если k>0 и b>0 , то график функции y=kx+b имеет вид:

Если k>0 и b , то график функции y=kx+b имеет вид:

Если k, то график функции y=kx+b имеет вид:

Если k=0 , то функция y=kx+b превращается в функцию y=b и ее график имеет вид:

Ординаты всех точек графика функции y=b равны b Если b=0 , то график функции y=kx (прямая пропорциональность) проходит через начало координат:

3. Отдельно отметим график уравнения x=a. График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельую оси OY все точки которой имеют абсциссу x=a.

Например, график уравнения x=3 выглядит так:
Внимание! Уравнение x=a не является функцией, так одному значению аргумента соотвутствуют разные значения функции, что не соответствует определению функции.

4. Условие параллельности двух прямых:

График функции y=k 1 x+b 1 параллелен графику функции y=k 2 x+b 2 , если k 1 =k 2

5. Условие перепендикулярности двух прямых:

График функции y=k 1 x+b 1 перепендикулярен графику функции y=k 2 x+b 2 , если k 1 *k 2 =-1 или k 1 =-1/k 2

6. Точки пересечения графика функции y=kx+b с осями координат.

С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).

С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда x=-b/k. То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты (-b/k;0):

Определение линейной функции

Введем определение линейной функции

Определение

Функция вида $y=kx+b$, где $k$ отлично от нуля называется линейной функцией.

График линейной функции — прямая. Число $k$ называется угловым коэффициентом прямой.

При $b=0$ линейная функция называется функцией прямой пропорциональности $y=kx$.

Рассмотрим рисунок 1.

Рис. 1. Геометрический смысл углового коэффициента прямой

Рассмотрим треугольник АВС. Видим, что$ВС=kx_0+b$. Найдем точку пересечения прямой $y=kx+b$ с осью $Ox$:

\ \

Значит $AC=x_0+\frac{b}{k}$. Найдем отношение этих сторон:

\[\frac{BC}{AC}=\frac{kx_0+b}{x_0+\frac{b}{k}}=\frac{k(kx_0+b)}{{kx}_0+b}=k\]

С другой стороны $\frac{BC}{AC}=tg\angle A$.

Таким образом, можно сделать следующий вывод:

Вывод

Геометрический смысл коэффициента $k$. Угловой коэффициент прямой $k$ равен тангенсу угла наклона этой прямой к оси $Ox$.

Исследование линейной функции $f\left(x\right)=kx+b$ и её график

Вначале рассмотрим функцию $f\left(x\right)=kx+b$, где $k > 0$.

  1. $f»\left(x\right)={\left(kx+b\right)}»=k>0$. Следовательно, данная функция возрастает на всей области определения. Точек экстремума нет.
  2. ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } kx\ }=-\infty $, ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } kx\ }=+\infty $
  3. График (рис. 2).

Рис. 2. Графики функции $y=kx+b$, при $k > 0$.

Теперь рассмотрим функцию $f\left(x\right)=kx$, где $k

  1. Область определения — все числа.
  2. Область значения — все числа.
  3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. Функция не является ни четной, ни нечетной.
  4. При $x=0,f\left(0\right)=b$. При $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac{b}{k}$.

Точки пересечения с осями координат: $\left(-\frac{b}{k},0\right)$ и $\left(0,\ b\right)$

  1. $f»\left(x\right)={\left(kx\right)}»=k
  2. $f^{«»}\left(x\right)=k»=0$. Следовательно, функция не имеет точек перегиба.
  3. ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } kx\ }=+\infty $, ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } kx\ }=-\infty $
  4. График (рис. 3).

Линейные функции полезности — Энциклопедия по экономике

Нейтральность к риску (линейность функции полезности) является частным —  [c.125]

Для линейной функции полезности верно U (x) = Ь. Все производные более высоких порядков являются нулевыми. Если мы учтем это в рамках (2.22), то тогда функция ожидаемой полезности будет выглядеть следующим образом  [c.88]


Так как дисперсия не имеет значения для линейной функции полезности, оба принципа и здесь совместимы.  [c.88]

Аддитивность простых взвешенных (по вероятности компонент сущностей) полезностей дает нам возможность назвать эту составную функцию полезности некой линейной функцией полезности. Это означает, что мерой полезности неопределенных перспектив (в вероятностном смысле) является сумма ожидания полезностей составных сущностей но не означает, что наши численные величины (измеряющие полезность), заданные для сущностей, являются линейными функциями физических величин (например, весов или количеств) сущностей.  [c.358]

Здесь линейность означает, что полезность неопределенных перспектив является линейной функцией полезности составных сущностей в данном случае функция полезности является также линейной функцией вероятностей сущностей.  [c.359]

Повторить упражнение 4.4. при использовании линейной функции полезности и функции полезности, возрастающей с растущей скоростью.  [c.79]


Опишем модель с одним страхователем и одним страховщиком [18]. Пусть страхователь не склонен к риску и имеет строго монотонно возрастающую непрерывно дифференцируемую вогнутую функцию полезности м(-), а страховщик нейтрален к риску и имеет линейную функцию полезности.  [c.39]

Пусть, как и в Примере 3, потребители имеют линейные функции полезности с положительными коэффициентами,  [c.206]

Предположим, что предпочтения потребителей в модели обмена допускают представление линейными функциями полезности. Какие свойства этих функций гарантируют, что каждое равновесие этой модели. ..  [c.209]

Представление предпочтений линейной функцией полезности  [c.234]

Доказательство существования представления предпочтений на множестве простых лотерей линейной функцией полезности  [c.239]

Если [/( ) является линейной функцией полезности, представляющей предпочтения на множестве лотерей [c.240]

Если предпочтения на множестве лотерей представимы линейной функцией полезности [/( ), то эти предпочтения удовлетворяют свойствам (А1)-(АЗ).  [c.240]

Эта функция — единственная (с точностью до линейного преобразования) линейная функция полезности, представляющая данные предпочтения.  [c.244]

Предположим, что F(.) — другая линейная функция полезности. Обозначим V(p) -  [c.244]

Это линейная функция полезности. Она описывает предпочтения нейтрального к риску лица, а также ситуации, в которых возврат, например прибыли, линейно зависит от вложенных в проекты средств. Как известно, для линейной функции отрезок, соединяющий две точки графика, находится на графике функции.  [c.45]

Каждый респондент оценивает много профилей, даже если оценивают только одни линейные функции полезности без каких-либо эффектов взаимодействий. В модели частной  [c.804]

Вернемся к анализу углового равновесия в общем случае для линейной функции полезности.  [c.28]


При линейной функции полезности MUX = а, MUr = b. Если MRS = — > — — (tga >  [c.29]

Величина коэффициента значимости Д распространяется на весь интервал Кц — Kio. Но это правомерно лишь для линейных функций Г = f(K,). Рассмотрим для упрощения пример, когда функция полезности зависит от одного  [c.49]

Он приведен только для того, чтобы прояснить необходимые условия математической корректности и содержательной эквивалентности прямого расчета Ки по формуле (3.23), и косвенного — по формулам (3.21), (3.27). Как оказалось, они очень деликатны. Достаточно небольшого их нарушения и косвенный расчет Кк утратит достоверность. Во-первых, истинные величины коэффициентов значимости единичных показателей /Я можно получить лишь из функции полезности. Во-вторых, даже для линейной формы  [c.53]

Линейное программирование полезно прежде всего для установления целевой функции при ограниченных ресурсах материалов, труда и производственных мощностей, а также времени и ассортимента.  [c.14]

При соблюдении этих аксиом существует функция полезности U Lj->R, однозначно определенная на множестве лотерей с точностью до монотонного строго возрастающего линейного преобразования, причем  [c.190]

Функции полезности инвариантны относительно положительных линейных преобразований. Так, функция предпочтения полезности In x, приведет к выбору тех же инвестиций, что и функции полезности 25 + In х, 7 In x или (In х)/1,453456. То есть функция полезности, подвергнутая воздействию положительной константы (прибавлением, вычитанием, умножением или делением), приведет к выбору тех же самых инвестиций. Другими словами, она приведет к тому же набору инвестиций, максимизирующих полезность, что и до воздействия на нее положительной константой.  [c.114]

Если функция полезности И линейна, то 4 = Ех и (8) может иметь место  [c.122]

Две функции полезности приводят к принятию одинаковых решений тогда, когда их можно взаимно перевести друг в друга посредством положительного линейного преобразования (см. по этому поводу также с. 74). Если нам удастся показать, что U(x) является положительным линейным преобразованием функции U (x), то тогда выбор функции полезности не окажет влияния на упорядочение альтернатив. Мы ищем два числа а и Ъ при Ь > 0, так чтобы было верно  [c.59]

На первый взгляд эта разность может показаться вам мизерной. Но вы должны принять во внимание, что функции полезности положительно линейно преобразованы и, таким образом, разность между обеими альтернативами можно сделать насколько угодно большой.  [c.64]

При изучении значимости постоянных издержек и страхового договора с лимитом собственной ответственности выяснилось, что начальный запас влияет на выбор альтернатив. В продолжение этого мы сконцентрируем внимание на измерении систематической связи между отношением к риску и личным богатством для конкретных функций полезности (и их положительных линейных преобразований). Отношение к риску измеряется с помощью показателей риска абсолютная нерасположенность к риску (ARA) и относительная нерасположенность к риску (RRA). На основе этих показателей мы, в общем, в состоянии обосновать, почему ограничение допустимых правил преобразования необходимо для класса положительных и линейных преобразований.  [c.69]

Покажите в общем, что свойства функции полезности U(x), касающиеся отношения к риску лица, принимающего решение, сохраняются лишь при положительном линейном преобразовании.  [c.74]

Числовой характеристикой предпочтений людей на множестве альтернатив, зависящих от случайных величин, выступает полезность. Если обозначить х — альтернативу (например, размер денежного выигрыша в лотерее), м(-) — функцию полезности, определенную на множестве альтернатив, то люди, нейтральные к риску, имеют линейные функции полезности (и = onst > 0, и» = 0 полезность определяется с точностью до монотонного линейного преобразования), склонные к риску — выпуклые (и > 0, и» > 0), а несклонные — вогнутые (и > 0, и » [c. 23]

Рассмотрим экономику с I благами и т потребителями. Предпочтения первых т-1 потребителей представляются функциями полезности Кобба — Дугласа. Предпочтения т-го потребителя представляется линейной функцией полезности ыт(жт) = 2k=i Lkxmk, af >0. Совокупные начальные запасы всех благ положительны.  [c.182]

Докажем, что линейность функции полезности эквивалентна тому, что это функция Неймана — Моргенштерна.  [c.239]

Если предпочтения участника на лотереях удовлетворяют аксиомам (А1)-(АЗ), то можно подобрать линейную функцию полезности, которая представляет предпочтения этого участника, притом такая линейная функция полезности единственна. Ниже мы докажем это73, используя следующее вспомогательное предположение (теорема верна и без этого предположения )  [c.241]

Здесь, как это обычно делается в экономической теории, предполагается, что определенные на лотереях предпочтения каждого игрока удовлетворяют условиям, которые гарантируют существование представляющей их линейной функции полезности (имеется в виду линейность по вероятностям). См. Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн, «Теория игр и экономическое поведение», М. Наука, 1970, П. Фишберн, «Теория игр для принятия решений». М. Наука, 1978.  [c.629]

Отметим важное преимущество функции полезности (3.12) — ее использование позволяет свести задачу оптимизации (3.11) к задаче линейного программиро- Рис- 6>7>  [c.305]

Так как /(0) = 0, то она проходит через начало координат. Принадлежащая первой лотерее функция полезности по Бернулли является геометрическим местом всех линейных комбинаций, состоящих из значений полезности U(0) и U(50). Она начерчена как непрерывная сплошная линия. Определенная аналогичным образом полезность по Бернулли второй лотереи изображена пунктиром. На основе заданных вероятностей математиче-  [c.55]

Э.б. исходит из принципа господства потребителя. Это означает, что предпочтения индивидуального потребителя и фирмы должны включаться в рациональный критерий экономического оптимума. Однако на первых порах попытки агрегировать индивидуальные полезности потребителей в целевой функции потребления (в виде суммы или взвешенной средней и т. п.) оказались неудачными — выяснилось, что полезности не аддитивны. Вместе с тем с появлением полезности фон Неймана—Моргенштер-па (см..Лотерея) появилась возможность конструирования линейной функции общественного благосостояния, в которой весами, примененными к индивидуальным полезностям потребителей, служили коэффициенты распределения. По-видимому, принципиальная и еще далеко не решенная проблема Э.б. состоит в выяснении соотношения между эффективностью экономической системы и справедливостью распределения результатов ее функционирования.  [c.401]

Линейная функция и её график. Презентация «Линейная функция, её график, свойства»

Заместитель директора по УВР,

учитель математики

МОУ «СОШ № 65 им. Б.П.Агапитова УИПМЭЦ»

города Магнитогорска


y=kx + b

Графиком уравнения y=kx + b является прямая. При b=0 уравнение принимает вид y=kx, его график проходит через начало координат.



1.y=3x-7 и y=-6x+2

3 не равно –6,то графики пересекаются.

2.Решаем уравнение:

3x-7=-6x+2

1-абсцисса точки пересечения.

3.Находим ординату:

Y=3x-7=-6x+2=3-7=-4

-4-ордината точки пересечения

4. А(1;-4) координаты точки пересечения.


Геометрический смысл коэффициента k

От значений k зависит угол наклона прямой к оси X.

Y=0,5x+3

Y=0,5x-3,3

При возрастании /k/ возрастает угол наклона к оси X у прямых.

k равны по 0,5 и угол наклона к оси X одинаков у прямых

Коэффициент k называют угловым коэффициентом


От значения b зависит ордината точки пересечения с осью Y .

b=4,(0,4)- точка

Пересечения с осью Y

b=-3,(0,-3)- точка пересечения с осью Y


1. Функции заданы формулами: Y=X-4, Y=2x-3,

Y=-x-4, Y=2x, Y=x-0,5 . Найти пары параллельных прямых. Ответы:

а) y=x- 4 и y=2x б) y=x-4 и y=x-0.5

в) y=-x-4 и y=x-0,5 г) y=2x и y=2x-3



Cлайд 1

Урок алгебры в 7 классе «Линейная функция и её график» Подготовила Татчин У.В. учитель математики МБОУ СОШ №3 город Сургут

Cлайд 2

Цель: формирование понятия «линейная функция», навыка построения её графика по алгоритму Задачи: Образовательные: — изучить определение линейной функции, — ввести и изучить алгоритм построения графика линейной функции, — отработать навык распознавания линейной функции по заданной формуле, графику, словесному описанию. Развивающие: — развивать зрительную память, математически грамотную речь, аккуратность, точность в построении, умение анализировать. Воспитательные: — воспитывать ответственное отношение к учебному труду, аккуратность, дисциплинированность, усидчивость. — формировать навыки самоконтроля и взаимоконтроля

Cлайд 3

План урока: I. Организационный момент II. Актуализация опорных знаний III. Изучение новой темы IV. Закрепление: устные упражнения, задачи на построение графиков V. Решение занимательных заданий VI. Подведение итога урока, запись домашнего задания VII. Рефлексия

Cлайд 4

I. Организационный момент Разгадав слова по горизонтали, вы узнаете ключевое слово 1. Точный набор инструкций, описывающих порядок действий исполнителя для достижения результата решения задачи за конечное время 2. Одна из координат точки 3. Зависимость одной переменной от другой, при которой каждому значению аргумента соответствует единственное значение зависимой переменной 4. Французский математик, который ввел прямоугольную систему координат 5. Угол, градусная мера которого больше 900, но меньше 1800 6. Независимая переменная 7. Множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции 8. Дорога, которую мы выбираем А Л Г О Р И Т М А Б С Ц И С С А Ф У Н К Ц И Я Д Е К А Р Т Т У П О Й А Р Г У М Е Н Т Г Р А Ф И К П Р Я М А Я

Cлайд 5

1. Точный набор инструкций, описывающих порядок действий исполнителя для достижения результата решения задачи за конечное время 2. Одна из координат точки 3. Зависимость одной переменной от другой, при которой каждому значению аргумента соответствует единственное значение зависимой переменной 4. Французский математик, который ввел прямоугольную систему координат 5. Угол, градусная мера которого больше 900, но меньше 1800 6. Независимая переменная 7. Множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции 8. Дорога, которую мы выбираем А Л Г О Р И Т М А Б С Ц И С С А Ф У Н К Ц И Я Д Е К А Р Т Т У П О Й А Р Г У М Е Н Т Г Р А Ф И К П Р Я М А Я

Cлайд 6

II. Актуализация опорных знаний Многие реальные ситуации описываются математическими моделями, представляющими собой линейные функции. Приведем пример. Турист проехал на автобусе 15 км от пункта А до пункта В, а затем продолжил движение из пункта В в том же направлении до пункта С, но уже пешком, со скоростью 4 км/ч. На каком расстоянии от пункта А будет турист через 2ч, через 4ч, через 5ч ходьбы? Математической моделью ситуации является выражение y = 15 + 4x, где x – время ходьбы в часах, y – расстояние от А (в километрах). С помощью этой модели отвечаем на вопрос задачи: если x = 2, то y =15 + 4 ∙ 2 = 23 если x = 4, то y = 15 + 4 ∙ 4= 31 если x = 6, то y = 15 + 4 ∙ 6 = 39 Математическая модель y = 15 + 4x является линейной функцией. А В С

Cлайд 7

III. Изучение новой темы. Уравнение вида y=k x+ m , где k и m – числа (коэффициенты) называется линейной функцией. Чтобы построить график линейной функции надо, указав конкретное значение x, вычислить соответствующее значение y. Обычно эти результаты оформляют в виде таблицы. Говорят, что x – независимая переменная (или аргумент), y – зависимая переменная. 2 1 1 2 x x x y y x

Cлайд 8

Алгоритм построения графика линейной функции 1) Составить таблицу для линейной функции (каждому значению независимой переменной поставить в соответствие значение зависимой переменной) 2) Построить на координатной плоскости xOy точки 3) Провести через них прямую – график линейной функции Теорема Графиком линейной функции y = k x + m является прямая.

Cлайд 9

Рассмотрим применение алгоритма для построения графика линейной функции Пример 1 Построить график линейной функции y = 2x + 3 1)Составить таблицу 2)Построить в координатной плоскости xОy точки (0;3) и (1;5) 3) Провести через них прямую

Cлайд 10

Если линейную функцию y=k x+ m рассматривать не при всех значениях x, а лишь для значений x из некоторого числового множества X, то пишут: y=k x+ m, где x X (- знак принадлежности) Вернёмся к задаче В нашей ситуации независимая переменная может принять любое неотрицательное значение, но практически турист не может шагать с постоянной скоростью без сна и отдыха сколько угодно времени. Значит, нужно было сделать разумные ограничения на x, скажем, турист идёт не более 6 ч. Теперь запишем более точную математическую модель: y = 15 + 4x, x 0; 6

Cлайд 11

Рассмотрим следующий пример Пример 2 Построить график линейной функции а) y = -2x + 1, -3; 2 ; б) y = -2x + 1, (-3; 2) 1) Составим таблицу для линейной функции y = -2x + 1 2) Построим на координатной плоскости xOy точки (-3;7) и (2;-3) и проведём через них прямую линию. Это график уравнения y = -2x + 1. Далее, выделим отрезок, соединяющий построенные точки. x -3 2 y 7 -3

Cлайд 12

Cлайд 13

Выполняем построение графика функции y = -2x + 1, (-3; 2) Чем отличается этот пример от предыдущего?

Cлайд 14

Cлайд 15

IV. Закрепление изученной темы Выберите, какая функция является линейной функцией

Cлайд 16

Cлайд 17

Cлайд 18

Выполните следующее задание Линейная функция задана формулой y = -3x – 5. Найдите её значение при x = 23, x = -5, x = 0

Cлайд 19

Проверка решения Если x = 23, то y = -3 23 – 5=-69 – 5 = -74 Если x = -5, то y = -3 (-5) – 5= 15– 5 = 10 Если x = 0, то y = -3 0– 5= 0 – 5= -5

Cлайд 20

Найдите значение аргумента, при котором линейная функция y = -2x + 2,4 принимает значение равное 20,4? Проверка решения При x = -9 значение функции равно 20,4 20,4 = — 2x + 2,4 2x =2,4 – 20,4 2x = -18 x= -18:2 x = -9

Cлайд 21

Следующее задание Не выполняя построения ответьте на вопрос: графику какой функции принадлежит А (1;0)?

Cлайд 22

Cлайд 23

Cлайд 24

Cлайд 25

Назовите координаты точек пересечения графика данной функции с осями координат С осью ОХ: (-3; 0) Проверь себя: С осью ОУ: (0; 3)

В презентации для 7-го класса на тему «Линейная функция и ее график» говорится о таком понятии как «линейная функция». В процессе работы до учащихся нужно будет донести главную мысль о том, что линейная функция должна содержать в себе необходимые условия при построении ее графика.

слайды 1-2 (Тема презентаци и » Линейная функция и ее график » , пример)

На первом слайде показана формула, по которой строиться каждая линейная формула. Соответственно, любая функция, которая принимает вид данной формулы, будет являться линейной. Эта формулу учащимися стоит выучить, чтобы в дальнейшем они могли построить по ней график линейной функции.

слайды 3-4 (примеры)

Чтобы школьникам стало более-менее понятно, как использовать данную формулу, необходимо разобрать несколько примеров, наглядно показывающих, каким именно образом нужно получать данные из конкретной задачи, чтобы потом их подставить вместо переменных этой формулы. Для этого и приводится первый пример.

Во втором примеры дана другая задача и с другими значениями для того, чтобы учащиеся имели возможность закрепить только что полученные знания по данной теме.

слайды 5-6 (пример, определение линейной функции)

На следующем слайде показаны результаты двух примеров, а именно два уравнения линейной функции, составленные по соответствующей формуле. Ниже она разобрана на отдельные составляющие. То есть тут до школьников важно донести, что линейная функция состоит из двух важных элементов, а точнее коэффициентов двучлена. Если ориентироваться по формуле, то ими являются переменные k и b.

Дальше учащимися должно быть тщательно разобрано определение самой линейной функции. В его формуле x является независимой переменной, в то время как k и b могут быть любыми числами. Для того чтобы сама линейная функция существовала, необходимо соблюдать некоторое условие. Оно гласит, что число b должно равняться при условии, что число k наоборот не должно равняться нулю.

слайды 7-8 (примеры)

Для большей наглядности на следующем слайде приведен пример построения графика, составленный по формуле двумя способами. То есть при построении были учтены два условия: первое — коэффициент b равняется числу 3, второе — коэффициент b равняется нулю. С помощью презентации видно, что эти графики отличаются лишь расположением прямой по оси Y.

Во втором примере построения графика линейной функции учащиеся должны понять следующее: во-первых, график при коэффициенте k, равному нулю проходит через начало координат, а во-вторых, коэффициент k отвечает в зависимости от своего значения за степень наклона полученного графика по оси Y.

слайды 9-10 (пример, график линейной функции)

На следующем слайде разбирается пример особого графика, где коэффициент k равен нулю, а сама функция равна значению коэффициента b.

Итак, донеся до школьников вышеперечисленный материал, учитель теперь должен пояснить, что график, построенный с помощью линейной функции, всегда является линия, то есть прямая.

Теперь следует разобрать несколько примеров построения графиков для того, чтобы понять зависимость условий значения коэффициентов, а также научиться определять координаты точек на графике.

слайды 13-14 (примеры)

В примере под номером 4 ученики 7-го класса уже самостоятельно должны определить координаты графика в соответствии с условием.

Следующий пример создан для того, чтобы школьникам стало максимально понятно каким образом строиться график линейной функции с положительным коэффициентом x, от которого напрямую зависит расположение прямой на оси X.

слайды 15-16 (примеры)

По этой же причине в презентации приведен пример построения графика при отрицательном значении коэффициента x.

В качестве последнего примера выступает график с отрицательным коэффициентом x. Чтобы его выполнить учащиеся должны определить координаты указанного графика и построить график, исходя из этих координат. На этом слайде презентация заканчивается.

Этот материал можно использовать как учителями при проведении уроков по учебной программе, так и школьниками при самостоятельном изучении материала. Наглядность данной презентации позволяет без особого труда понять учебный материал по данной тематике.

Цели урока: сформулировать определение линейной функции, представление о ее графике; выявить роль параметров b и k в расположении графика линейной функции; формировать умение строить график линейной функции; развивать умение анализировать, обобщать, делать выводы; развивать логическое мышление; формирование навыков самостоятельной деятельности


Uk-badge uk-margin-small-right»>

Ответы 1. а; б 2. а) 1; 3 б) 2; х y 1. а; в 2. а) 2; 4 б) 1; х y вариант 2 вариант


Uk-badge uk-margin-small-right»>


B k b>0b0 K 0b0 K»> 0b0 K»> 0b0 K» title=»b k b>0b0 K»> title=»b k b>0b0 K»>

B k b>0b0 y=kx I, III четверти Через начало координат K 0b0 y=kx I, III четверти Через начало координат K»> 0b0 y=kx I, III четверти Через начало координат K»> 0b0 y=kx I, III четверти Через начало координат K» title=»b k b>0b0 y=kx I, III четверти Через начало координат K»> title=»b k b>0b0 y=kx I, III четверти Через начало координат K»>

B k b> 0b0 y=kx I, III четверти Через начало коорд K»> 0b0 y=kx I, III четверти Через начало коорд K»> 0b0 y=kx I, III четверти Через начало коорд K» title=»b k b>0b0 y=kx I, III четверти Через начало коорд K»> title=»b k b>0b0 y=kx I, III четверти Через начало коорд K»>

B k b>0b0 y=kx I, III четверти Через начало коорд K 0b0 y=kx I, III четверти Через начало коорд K»> 0b0 y=kx I, III четверти Через начало коорд K»> 0b0 y=kx I, III четверти Через начало коорд K» title=»b k b>0b0 y=kx I, III четверти Через начало коорд K»> title=»b k b>0b0 y=kx I, III четверти Через начало коорд K»>

B k b>0b0 y=kx I, III четверти Через начало коорд K 0b0 y=kx I, III четверти Через начало коорд K»> 0b0 y=kx I, III четверти Через начало коорд K»> 0b0 y=kx I, III четверти Через начало коорд K» title=»b k b>0b0 y=kx I, III четверти Через начало коорд K»> title=»b k b>0b0 y=kx I, III четверти Через начало коорд K»>

B k b>0b0 y=kx I, III четверти Через начало коорд K 0b0 y=kx I, III четверти Через начало коорд K»> 0b0 y=kx I, III четверти Через начало коорд K»> 0b0 y=kx I, III четверти Через начало коорд K» title=»b k b>0b0 y=kx I, III четверти Через начало коорд K»> title=»b k b>0b0 y=kx I, III четверти Через начало коорд K»>

B k b>0b0 y=kx+b (y=2x+1) I, III четверти y=kx+b (y=2x-1) I, III четверти y=kx I, III четверти Через начало коорд K 0b0 y=kx+b (y=2x+1) I, III четверти y=kx+b (y=2x-1) I, III четверти y=kx I, III четверти Через начало коорд K»> 0b0 y=kx+b (y=2x+1) I, III четверти y=kx+b (y=2x-1) I, III четверти y=kx I, III четверти Через начало коорд K»> 0b0 y=kx+b (y=2x+1) I, III четверти y=kx+b (y=2x-1) I, III четверти y=kx I, III четверти Через начало коорд K» title=»b k b>0b0 y=kx+b (y=2x+1) I, III четверти y=kx+b (y=2x-1) I, III четверти y=kx I, III четверти Через начало коорд K»> title=»b k b>0b0 y=kx+b (y=2x+1) I, III четверти y=kx+b (y=2x-1) I, III четверти y=kx I, III четверти Через начало коорд K»>

B k b>0b0 y=kx+b (y=2x+1) I, III четв. y=kx+b (y=2x-1) I, III четв. y=kx I, III четверти Через начало коорд K 0b0 y=kx+b (y=2x+1) I, III четв. y=kx+b (y=2x-1) I, III четв. y=kx I, III четверти Через начало коорд K»> 0b0 y=kx+b (y=2x+1) I, III четв. y=kx+b (y=2x-1) I, III четв. y=kx I, III четверти Через начало коорд K»> 0b0 y=kx+b (y=2x+1) I, III четв. y=kx+b (y=2x-1) I, III четв. y=kx I, III четверти Через начало коорд K» title=»b k b>0b0 y=kx+b (y=2x+1) I, III четв. y=kx+b (y=2x-1) I, III четв. y=kx I, III четверти Через начало коорд K»> title=»b k b>0b0 y=kx+b (y=2x+1) I, III четв. y=kx+b (y=2x-1) I, III четв. y=kx I, III четверти Через начало коорд K»>




Информационная карта урока:

Учебный предмет: алгебра

Тема: «Линейная функция и её график»

Тип урока: объяснение нового материала

Место урока в учебном плане: третий урок в разделе «Функции». Линейная функция изучается после того как учащиеся изучили понятия функции и её график, могут отвечать на вопросы об области определения и области значения, могут находить значения функции по графику и находить аргумент, соответствующий значению функции. Знают способы задания функции. На этом уроке учащиеся должны усвоить определение линейной функции, научиться строить её график. Определять расположение графика в зависимости от чисел k и b . Основное содержание изучаемого материала задают учебная программа и обязательный минимум содержания образования по математике.

Аннотация: Данный урок ориентирован на обучающихся 7 класса с углубленным изучением математики по учебнику «Алгебра 7» , авторы Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, И.Е.Феоктистов. Урок проходит по сценарию мультимедийной презентации, что позволяет сэкономить время, которое тратит учитель на выполнение построения на доске. Презентация выполнена с помощью красочных иллюстраций, анимации и звуковых эффектов. При необходимости этап урока, где возникли трудности, можно повторить. На уроке использованы материалы, не входящие в обязательные стандарты образования.

Цель урока: ввести понятие линейной функции и её графика. Проверить умение учащихся читать график.

Задачи урока:

    научить применять полученные знания к решению практических задач;

    развивать творческие способности;

    активизировать внимание обучающихся с помощью применения мультимедийных средств;

    воспитывать интерес к предмету, уверенность в положительном результате обучения.

Оборудование:

Методы:

    информационно – развивающие;

    наглядные;

    репродуктивные;

    частично – поисковые.

Этап урока

Время

(мин)

Организационный момент.

Создание условий для успешной

совместной деятельности

Проверка домашнего задания.

Фронтальная и индивидуальная проверка,

создание рабочей атмосферы урока. Фронтальная проверка теоретического материала. Повторение.

Постановка проблемы

Создание математической модели задачи. Формулирование цели урока.

Основная часть урока состоит из нескольких этапов

Определение линейной функции. График линейной функции. Способы задания линейной функции.

Первый этап

Введение понятия линейной функции.

Второй этап

Построение графика линейной функции

Третий этап

Расположение графика линейной функции

Подведение итогов

Проверка умений обучающихся с помощью самостоятельной работы. Рефлексия. Выставление оценок.

Домашней задание

Ознакомление обучающихся с домашним заданием.

Предполагаемый результат: осознание обучающимися необходимости изучения темы и её значимости, формирование навыков и умения строить график линейной функции и читать его.

Ход урока

    Организационный момент

Здравствуйте ребята. Садитесь.

    Проверка домашнего задания

Дайте определение функции. Как называется независимая переменная? Как можно задать функцию? Что такое график функции?

3. Постановка проблемы. Известный польский математик Гуго Штейнгаус шутливо утверждает, что существует закон, который формулируется так: математик сделает это лучше. А именно, если поручить двум людям, один из которых математик, выполнение любой незнакомой им работы, то результат всегда будет следующим: математик сделает ее лучше. Представьте себе задачу: На складе было 500 тонн угля. Ежедневно стали увозить по 30 тонн угля. Сколько тонн угля будет на складе через х дней? Составим математическую модель решения этой задачи.(Слайд №1)

у = 500 – 30х

Вычислим значение при х=2 и х=5 (Слайд №2)

Составим таблицу значений с шагом 1 для х и у(Слайд №3)

Дополнительные вопросы: 1) Сколько угля останется на складе, если его вывозить его 7 дней? 2) Хватит ли угля на 20 дней?

Покажем зависимость у от х на координатной плоскости (Слайд №4) Что мы получили?

Сегодня мы будем изучать функции, которые можно задать формулой вида у = кх+b , где к и b – некоторые числа, отличные от нуля. Такие функции называются линейными. Графиком линейной функции является прямая.

4. Основная часть урока. Скажите, является ли функция у = 2х+1 линейной? Чем будет является её график? Сколько точек необходимо, чтоб построить прямую. Сделаем вывод: Чтоб построить график линейной функции необходимо выбрать два значения аргумента, найти значение функции при этих значениях аргумента. Построить точки на координатной плоскости. Провести прямую через эти точки. Итак, строим график функции у = 2х+1 (Слайд №6, №7)

Промежуточная рефлексия: Выберите линейные функции (Слайд №8)

Постройте график функции у = 3х-4. Проверка с помощью слайда №9

Введем понятие области определения и области значения линейной функции.

Рассмотрим зависимость расположения графика линейной функции от чисел k и

b . Рассмотрите графики на слайде №11 и сделайте вывод.

Схематичные графики (Слайд № 12)

Рефлексия : (слайда №13)

Какая функция называется линейной? Каков её график?

Под каким углом (острым или тупым) наклонена прямая к оси х, если

1) k ˃0 2) k ˂ 0

Какова область определения линейной функции?

Какова область значения линейной функции?

Самостоятельная работа по вариантам с выборочной проверкой.

№ 1063 (б, д)

Домашнее задание: № 1065 (а, е), № 1066, 1068 (б, г)

Что такое линейная функция? — Определение и примеры — Видео и стенограмма урока

Примеры линейных функций — задачи из реальной жизни

Линейные функции часто возникают как модели реальных ситуаций. В следующих примерах учащиеся определят, может ли ситуация быть представлена ​​линейной функцией с помощью графика. Затем, если это линейная функция, учащиеся напишут уравнение для моделирования ситуации. После выполнения примеров учащиеся приобретут необходимую практику построения точек, чтобы определить, является ли функция линейной, приобретут уверенность в распознавании ситуаций, которые можно смоделировать с помощью линейной функции, и попрактикуются в написании уравнения линейной функции.

Примеры

1. Кофейня продает чашки кофе по 2 доллара за штуку. Нанесите точки, представляющие общую стоимость, если вы покупаете 1, 2, 3 или 4 чашки кофе. Представляет ли график линейную функцию? Откуда вы знаете? Если это линейная функция, напишите уравнение, представляющее ситуацию.

2. Поголовье кроличьего семейства начинается с 2 кроликов и удваивается каждый месяц. Точки графика, представляющие общую популяцию семейства кроликов через 1, 2, 3 и 4 месяца.Представляет ли график линейную функцию? Откуда вы знаете? Если это линейная функция, напишите уравнение, представляющее ситуацию.

3. Джесси зарабатывает на жизнь уборкой домов и берет 20 долларов за встречу плюс 5 долларов за уборку комнаты. Точки графика, представляющие общую сумму, взимаемую за уборку 1, 2, 3 или 4 комнат. Представляет ли график линейную функцию? Откуда вы знаете? Если это линейная функция, напишите уравнение, представляющее ситуацию.

Решения

1.При покупке 1 чашки кофе общая стоимость составляет 2 доллара США. При покупке 2 чашек общая стоимость составляет 2 * 2,00 доллара США = 4,00 доллара США. При покупке 3 чашек общая стоимость составляет 3 * 2 доллара США = 6 долларов США. При покупке 4 чашек общая стоимость составляет 4 * 2 доллара США = 8 долларов США. Нанося точки на график, используя x для количества чашек и y для общей стоимости в долларах, мы имеем:

Учащиеся должны распознать график как линейную функцию, так как точки выстраиваются в прямую линию.

Чтобы написать уравнение для функции, мы знаем, что общая стоимость равна количеству чашек кофе, умноженному на 2 доллара. Таким образом, у нас есть y = 2x, где x — количество чашек кофе, а y — общая стоимость в долларах.

2. Через 1 месяц кролики удвоились один раз, поэтому у нас 2*2 = 4 кролика. Через 2 месяца кролики удвоились вдвое, поэтому у нас 2*(2*2) = 8 кроликов. Через 3 месяца кролики удвоились в три раза, поэтому у нас есть 2 * (2 * 2 * 2) = 16 кроликов. Через 4 месяца кролики удвоились в четыре раза, поэтому у нас есть 2 * (2 * 2 * 2 * 2) = 32 кролика.Нанеся точки на график, используя x для количества месяцев и y для количества кроликов, мы имеем:

Учащиеся должны понимать, что график не является линейной функцией, так как точки не выстраиваются по прямой линии. На самом деле это экспоненциальная функция.

3. Если убрана 1 комната, общая стоимость составит 20$ + 1*5$ = 25$. Если убираются 2 комнаты, общая стоимость составляет 20 долларов США + 2 * 5 долларов США = 30 долларов США. Если убираются 3 комнаты, общая стоимость составляет 20 долларов США + 3 * 5 долларов США = 35 долларов США. Если убираются 4 комнаты, общая стоимость составляет 20 долларов + 4 * 5 долларов = 40 долларов. Нанося точки на график, используя x для количества комнат и y для общей стоимости в долларах, мы имеем:

Учащиеся должны распознать график как линейную функцию, так как точки выстраиваются в прямую линию.

Чтобы написать уравнение для функции, мы знаем, что общая стоимость составляет 20 долларов плюс количество комнат, умноженное на 5 долларов. Итак, у нас есть y = 20 + 5x, где x — количество комнат, а y — общая стоимость в долларах.

Math Nspired — Алгебра 1

Управляйте настройками файлов cookie

Вы можете контролировать свои предпочтения относительно того, как мы используем файлы cookie для сбора и использования информации, когда вы находитесь на веб-сайтах TI, настраивая статус этих категорий.

Категория Описание Разрешить
Аналитические и эксплуатационные файлы cookie Эти файлы cookie, в том числе файлы cookie из Google Analytics, позволяют нам распознавать и подсчитывать количество посетителей на сайтах TI, а также отслеживать, как посетители перемещаются по нашим сайтам. Это помогает нам улучшить работу сайтов TI (например, упрощая поиск информации на сайте).
Рекламные и маркетинговые файлы cookie Эти файлы cookie позволяют размещать рекламу на основе интересов на сайтах TI и сторонних веб-сайтах с использованием информации, которую вы предоставляете нам при взаимодействии с нашими сайтами.Объявления на основе интересов отображаются для вас на основе файлов cookie, связанных с вашими действиями в Интернете, такими как просмотр продуктов на наших сайтах. Мы также можем передавать эту информацию третьим лицам для этих целей. Эти файлы cookie помогают нам адаптировать рекламу, чтобы она лучше соответствовала вашим интересам, управлять частотой, с которой вы видите рекламу, и понимать эффективность нашей рекламы.
Функциональные файлы cookie

Эти файлы cookie помогают определить, кто вы, и хранить информацию о вашей деятельности и учетной записи, чтобы обеспечить расширенные функциональные возможности, включая более персонализированный и актуальный опыт на наших сайтах. Если вы не разрешите использование этих файлов cookie, некоторые или все функции и службы сайта могут работать неправильно.

Если вы не разрешите использование этих файлов cookie, некоторые или все функции и службы сайта могут работать неправильно.

Файлы cookie социальных сетей Эти файлы cookie позволяют идентифицировать пользователей и контент, связанный с онлайн-социальными сетями, такими как Facebook, Twitter и другие платформы социальных сетей, и помогают TI улучшить охват социальных сетей.
Строго необходимо Эти файлы cookie необходимы для работы сайтов TI или для выполнения ваших запросов (например, для отслеживания того, какие товары вы положили в свою корзину на TI.com, для доступа к безопасным областям сайта TI или для управления настроенными настройки файлов cookie). Всегда включен

Линейные функции и их графики

Обзор графических линий

Напомним, что множество всех решений линейного уравнения может быть представлено на прямоугольной координатной плоскости с помощью прямой линии, проходящей не менее чем через две точки; эта линия называется ее графиком. Например, чтобы нарисовать линейное уравнение 8x+4y=12, мы сначала решим y .

8x + 4Y = 12 вычесть 8x с обеих сторон 4Y = -8x + 12 разделить обе стороны на 4.y = -8x + 124 SimPlify.y = -8×4 + 124y = -2x + 3

Записанный в этой форме, мы видим, что y зависит от x ; другими словами, 90 119 x 90 120 — это независимая переменная. Переменная, определяющая значения других переменных. Обычно мы считаем значение x упорядоченной пары ( x , y ) независимой переменной.а y — зависимая переменная. Переменная, значение которой определяется значением независимой переменной. Обычно мы думаем о y -значении упорядоченной пары ( x , y ) как о зависимой переменной. Выберите по крайней мере два x -значения и найдите соответствующие y -значения. Рекомендуется выбирать ноль, некоторые отрицательные числа, а также некоторые положительные числа. Здесь мы выберем пять значений x , определим соответствующие значения y , а затем сформируем репрезентативный набор упорядоченных парных решений.

х

у

у=-2x+3

Решения

−2

7

у=-2(-2)+3=4+3=7

(−2, 7)

−1

5

у=-2(-1)+3=2+3=5

(-1, 5)

0

3

у=-2(0)+3=0+3=3

(0, 3)

4

−5

у=-2(4)+3=-8+3=-5

(4, −5)

6

−9

у=-2(6)+3=-12+3=-9

(6, −9)

Нанесите точки на график и проведите линию через точки с помощью линейки. Не забудьте добавить стрелки на обоих концах, чтобы указать, что график расширяется до бесконечности.

Полученная линия представляет все решения уравнения 8x+4y=12, которых бесконечно много. Вышеприведенный процесс описывает метод построения графика, известный как построение точек. Способ построения графика с использованием конечного числа репрезентативных упорядоченных парных решений. Этот метод будет использоваться для построения графиков более сложных функций по мере продвижения в этом курсе.

Крутизна любого уклона может быть измерена как отношение вертикального изменения к горизонтальному изменению.Например, наклон 5% можно записать как 5100, что означает, что на каждые 100 футов вперед высота увеличивается на 5 футов.

В математике мы называем наклон линии наклоном. Наклон линии, измеряемый как отношение вертикального изменения к горизонтальному изменению, часто упоминается как «подъем относительно пробега», обозначаемый буквой м . Вертикальное изменение называется подъемом. Вертикальное изменение между любыми двумя точками на линии. а изменение по горизонтали называется изменением по горизонтали между любыми двумя точками на линии.. Имея любые две точки (x1, y1) и (x2, y2), мы можем получить подъем и бег, вычитая соответствующие координаты.

Это приводит нас к формуле наклонаНаклон линии, проходящей через точки (x1,y1) и (x2,y2), определяется формулой m=y2−y1x2−x1.. Для любых двух точек (x1, y1) и (x2, y2), наклон определяется как:

Уклон    m=riserun=y2−y1x2−x1=ΔyΔx      ← Изменение в y      ← Изменение в x

Греческая буква дельта (Δ) часто используется для описания изменения количества.Поэтому наклон иногда описывают с помощью обозначения ΔyΔx, которое представляет собой изменение y , деленное на изменение х .

Пример 1

Найдите наклон линии, проходящей через (−3, −5) и (2, 1).

Решение:

Учитывая (−3, −5) и (2, 1), вычислить разницу значений y , деленную на разницу значений x . Будьте последовательны при вычитании координат:

 (x1,y1)           (x2, y2)(−3,−5)       (2,1)

м=у2-у1х2-х1=1-(-5)2-(-3)=1+52+3=65

Неважно, какую точку вы считаете первой, а какую второй.Однако, поскольку вычитание не является коммутативным, вы должны позаботиться о том, чтобы вычесть координаты первой точки из координат второй точки в том же порядке. Например, мы получим тот же результат, если применим формулу наклона с переключением точек:

 (x1, y1)      (x2, y2)(2,1)       (−3,−5)

м=у2-у1х2-х1=-5-1-3-2=-6-5=65

Ответ: m=65

Убедитесь, что наклон равен 65, нарисовав линию, описанную в предыдущем примере.

Разумеется, граф необязателен; Прелесть формулы наклона в том, что для любых двух точек мы можем получить наклон, используя только алгебру.

Пример 2

Найдите y -значение, для которого наклон линии, проходящей через (6,−3) и (−9,y), равен −23.

Решение:

Подставьте данную информацию в формулу уклона.

наклон (x1, y1) (x2, y2) m = -23 (6, -3) (-9, y)

m=y2−y1x2−x1−23= y−(−3) −9−6−23=y+3 −15

После подстановки данной информации осталась только переменная y .Решить.

−15(−23)=−15(−y+3 15)10=y+37=y

Ответ: у = 7

Существует четыре геометрических случая для значения наклона.

При чтении графика слева направо линии с наклоном вверх имеют положительный наклон, а линии с наклоном вниз имеют отрицательный наклон. Два других случая включают горизонтальные и вертикальные линии. Напомним, что если k — действительное число, то мы имеем

.

y=kHorizontal Linex=kVertical Line

Например, если изобразить y=2, получится горизонтальная линия, а если изобразить x=−4, получится вертикальная линия.

Из графиков мы можем определить две точки и рассчитать наклон, используя формулу наклона.

Горизонтальная линия

Вертикальная линия

 (x1, y1)         (x2, y2)(−3,2)            (3,  2)

м=у2-у1х2-х1=2-(2)3-(-3)=2-23+3=06=0

 (x1, y1)         (x2, y2)(−4,−1)        (−4,  1)

m=y2−y1x2−x1=1−(−1)−4−(−4)=1+1−4+4=20        Не определено

Обратите внимание, что точки на горизонтальной линии имеют одинаковые значения и . Следовательно, подъем равен нулю и, следовательно, наклон равен нулю. Точки на вертикальной линии имеют одинаковые значения x . Следовательно, пробег равен нулю, что приводит к неопределенному наклону. В общем

Линейные функции

Для любого линейного уравнения в стандартной форме. Любая невертикальная линия может быть записана в стандартной форме: ax+by=c., ax+by=c, мы можем решить для y , чтобы получить форму пересечения наклона. Любая невертикальная линия может быть записана в форма y=mx+b, где м — наклон, а (0, b ) — точка пересечения y ., у=тх+б. Например,

3x-4y = 8 ← Стандартная форма 4Y = -3x + 8Y = -3x + 8-4Y = -3x-4 + 8-4Y = 34x-2 ← Форма наклона наклона

Когда x=0, мы видим, что y=−2 и, таким образом, (0,−2) является упорядоченным парным решением. Это точка, в которой график пересекает ось y и называется точкой пересечения y . Точка (или точки), в которой график пересекает ось y , выражается в виде упорядоченной пары ).. Мы можем использовать эту точку и наклон как средство быстрого построения графика линии.Например, чтобы построить график y=34x−2, начните с точки пересечения y (0,−2) и отметьте наклон, чтобы найти вторую точку. Затем используйте эти точки для построения линии следующим образом:

Проверка вертикальной линии указывает на то, что этот график представляет собой функцию. Кроме того, домен и диапазон состоят из всех действительных чисел.

В общем случае линейная функция Любая функция, которую можно записать в виде f(x)=mx+b, — это функция, которую можно записать в виде f(x)=mx+bЛинейная функция где уклон м и b представляют собой любые действительные числа.Поскольку y=f(x), мы можем использовать y и f(x) взаимозаменяемо, а упорядоченные парные решения на графе (x,y) можно записать в виде (x,f(x)).

(x,y)       ⇔       (x,f(x))

Мы знаем, что любой y -перехват будет иметь x -значение, равное нулю. Таким образом, отрезок y может быть выражен как упорядоченная пара (0,f(0)). Для линейных функций,

f(0)=m(0)+b=b

Следовательно, точка пересечения y любой линейной функции равна (0,b).Чтобы найти точку пересечения x — точку (или точки), где график пересекает ось x , выраженную в виде упорядоченной пары ( x , 0), точку, где функция пересекает ось x , мы находим x , где y=0 или f(x)=0.

Пример 3

Нарисуйте график линейной функции f(x)=−53x+6 и пометьте точку пересечения x .

Решение:

Из функции мы видим, что f(0)=6 (или b=6) и, таким образом, точка пересечения y равна (0, 6).Также мы можем видеть, что уклон m=-53=-53=подъемник. Начиная с точки пересечения и , отметьте вторую точку на 5 единиц вниз и на 3 единицы вправо. Проведите линию, проходящую через эти две точки, с помощью линейки.

Чтобы определить точку пересечения x , найдите значение x , при котором функция равна нулю. Другими словами, определите x , где f(x)=0.

f(x)=-53x+60=-53x+653x=6(35)53x=(35)6x=185=335

Следовательно, точка пересечения x равна (185,0).Общее правило заключается в том, чтобы маркировать все важные точки, которые невозможно четко прочитать на графике.

Ответ:

Пример 4

Определите линейную функцию, которая определяет данный график, и найдите точку пересечения x .

Решение:

Начнем с чтения наклона с графика. В этом случае даны две точки, и мы видим, что

м=стояк=−23

Кроме того, точка пересечения y равна (0, 3) и, следовательно, b=3.Мы можем подставить в уравнение любую линейную функцию.

г(х)=мх+b↓↓г(х)=-23х+3

Чтобы найти точку пересечения x , мы устанавливаем g(x)=0 и находим x .

г(х)=-23х+30=-23х+323х=3(32)23х=(32)3х=92=412

Ответ: g(x)=−23x+3; х — точка пересечения: (92,0)

Далее рассмотрим горизонтальные и вертикальные линии. Используйте тест вертикальной линии, чтобы убедиться, что любая горизонтальная линия представляет собой функцию, а вертикальная — нет.

Для любой горизонтальной линии проверка вертикальной линии показывает, что каждое значение x в домене соответствует точно одному значению y в диапазоне; это функция. С другой стороны, вертикальная линия не проходит тест на вертикальную линию; это не функция. Вертикальная линия представляет собой набор упорядоченных пар, в которых все элементы домена одинаковы. Это нарушает требование, согласно которому функции должны ассоциировать ровно один элемент в диапазоне с каждым элементом в домене.Резюмируем следующим образом:

 

Горизонтальная линия

Вертикальная линия

Уравнение:

у=2

х=-3

x-пересечение:

Нет

(−3,0)

Y-точка:

(0,2)

Нет

Домен:

(−∞,∞)

{−3}

Диапазон:

{2}

(−∞,∞)

Функция:

Да

Горизонтальную линию часто называют постоянной функцией . Для любого действительного числа c ,

f(x)=cConstant Функция

Пример 5

Нарисуйте график постоянной функции g(x)=−2 и укажите домен и диапазон.

Решение:

Здесь нам дана постоянная функция, эквивалентная y=−2. Это определяет горизонтальную линию через (0,−2).

Ответ: Домен: ℝ; диапазон: {−2}

Попробуйте! Нарисуйте график f(x)=3x−2 и обозначьте точку пересечения x .

Ответ:

Линейные уравнения и неравенства: графическая интерпретация

Мы можем использовать идеи, изложенные в этом разделе, чтобы развить геометрическое понимание того, что значит решать уравнения вида f(x)=g(x), где f и g — линейные функции. Используя алгебру, мы можем решить линейное уравнение 12x+1=3 следующим образом:

12x+1=312x=2(2)12x=(2)2x=4

Решение этого уравнения: х = 4.Геометрически это x -значение пересечения двух графиков f(x)=12x+1 и g(x)=3. Идея состоит в том, чтобы построить графики линейных функций по обе стороны уравнения и определить, где графики совпадают.

Пример 6

Постройте график  f(x)=12x+1 и g(x)=3 на одном наборе осей и определите, где f(x)=g(x).

Решение:

Здесь f — линейная функция с наклоном 12 и y — точкой пересечения (0,1).Функция g является постоянной функцией и представляет собой горизонтальную линию. Постройте график обеих этих функций на одном наборе осей.

Из графика видно, что f(x)=g(x), где x=4. Другими словами, 12x+1=3, где x=4.

Ответ: х = 4

Мы можем немного расширить геометрическую интерпретацию для решения неравенств. Например, мы можем решить линейное неравенство 12x+1≥3, используя алгебру, следующим образом:

12x+1≥312x≥2(2)12x≥(2)2x≥4

Набор решений состоит из всех действительных чисел, больших или равных 4.Геометрически это значения x , для которых график f(x)=12x+1 лежит выше графика g(x)=3.

Пример 7

Постройте график f(x)=12x+1 и g(x)=3 на одном наборе осей и определите, где f(x)≥g(x).

Решение:

На графике это заштриховано.

Из графика видно, что f(x)≥g(x) или 12x+1≥3, где x≥4.

Ответ: x -значений, которые решают неравенство в интервальной записи, равны [4,∞).

Ключевые выводы

  • Мы можем рисовать линии, нанося точки. Выберите несколько значений для x , найдите соответствующие значения y , а затем нанесите на график результирующие упорядоченные парные решения. Проведите линию через точки с помощью линейки, чтобы завершить график.
  • Имея любые две точки на линии, мы можем вычислить уклон алгебраически, используя формулу наклона m=riserun=y2−y1x2−x1=ΔyΔx.
  • Используйте форму точки пересечения наклона y=mx+b, чтобы быстро нарисовать график линии.От точки пересечения и (0,b) отметьте наклон, чтобы определить вторую точку. Поскольку две точки определяют линию, проведите линию через эти две точки с помощью линейки, чтобы завершить график.
  • Линейные функции имеют вид f(x)=mx+b, где наклон m и b — действительные числа. Чтобы найти точку пересечения x , если она существует, установите f(x)=0 и найдите x .
  • Поскольку y=f(x), мы можем использовать y и f(x) взаимозаменяемо.Любую точку на графике функции можно выразить с помощью обозначения функции (x,f(x)).

Тематические упражнения

    Часть A.

    Построение линий по точкам

      Найдите решения для пяти упорядоченных пар и постройте график.

      Найдите наклон прямой, проходящей через заданные точки.

    1. (−52,14) и (−12,54)

    2. (-4,-3) и (-2,-3)

    3. (12,−1) и (−1,−32)

      Найдите значение y , для которого наклон линии, проходящей через заданные точки, имеет заданный наклон.

    1. м=32; (6,10), (−4,г)

    2. м=-13; (−6,4), (9,у)

    3. м=-4; (−2,5), (−1,y)

    4. м=3; (1,−2), (−2,y)

    5. м=15; (1,у), (6,15)

    6. м=-34; (−1,y), (−4,5)

      По графику определить наклон.

    Часть B: Линейные функции

      Найдите точки пересечения x и y и используйте их для построения графика следующих функций.

      Нарисуйте график линейной функции и обозначьте точку пересечения x .

      Определите линейную функцию, которая определяет данный график, и найдите точку пересечения x .

    Часть C: Графическая интерпретация линейных уравнений и неравенств

      Начертите графики функций f и g на одном наборе осей и определите, где f(x)=g(x). Подтвердите свой ответ алгебраически.

    1. f(x)=3x−2, g(x)=−2x+3

    2. f(x)=-13x, g(x)=-23x+1

    3. f(x)=23x−1, g(x)=−43x−3

      Постройте графики функций f и g на одной и той же оси и определите, где f(x)≥g(x). Подтвердите свой ответ алгебраически.

      Постройте графики функций f и g на одном наборе осей и определите, где f(x) Подтвердите свой ответ алгебраически.

    1. f(x)=32x+3, g(x)=-32x-3

    Часть D: Дискуссионная доска

    1. Все ли линейные функции имеют точки пересечения и ? Все ли линейные функции имеют x -перехватов? Объяснять.

    2. Может ли функция иметь более одного y -intercept? Объяснять.

    3. Как проверка вертикальной линии показывает, что вертикальная линия не является функцией?

ответы

  1. f(x)=x+1; (−1,0)

  2. f(x)=-32x; (0,0)

Линейные функции

Линейные функции

Линейные функции

Алгебраическое представление

Алгебраически линейные функции представляют собой семейство с двумя параметрами . Параметр   a  называется -й точкой пересечения функции , а параметр   b  называется наклоном . Вместе они полностью определяют вход-выход линейной функции.

Обратите внимание, что  f(0) = a : точка пересечения с осью Y является выходным значением, когда входное значение 0.

Когда  a = 0 , функция упрощается до  y = f(x) = bx, или пропорционального отношения между  y  и  x  с  b в качестве константы пропорциональности .

Обзор пропорциональности :

Если (x 0 , y 0 ) и (x 1 , y 1 ) равны любым двум парам ввода-вывода для функции, то

То есть наклон дает среднюю скорость изменения между любыми двумя точками. Поскольку эта скорость одинакова независимо от выбранных пар вход-выход, мы видим, что линейные функции имеют постоянную скорость изменения .

Чем больше значение  b , тем выше скорость изменения функции; меньшие значения означают меньшие ставки. Положительные значения b дают положительные скорости изменения или возрастающие функции; отрицательные значения дают убывающие функции.

Когда  b = 0 , функция упрощается до  y = f(x) = a или постоянной функции с одинаковыми выходными данными для каждого входа.

Ключевым алгебраическим свойством линейных функций является следующее:

То есть увеличение любого входа x на постоянный интервал Dx изменяет выход на постоянный интервал bDx .Другими словами, если вход изменяется на  Dx , то выход изменяется на наклон 91 396, умноженный на  Dx . Это свойство линейных функций легче всего распознать в ситуациях моделирования.

Производные линейных функций — Концепция

Производную линейной функции mx + b можно вывести, используя определение производной. Производная линейной функции является константой и равна наклону линейной функции. Производные линейной функции являются частью многих полиномиальных производных.

Я хочу поговорить о производной линейных функций, поэтому давайте вспомним, что такое линейная функция. Линейная функция — это функция вида f от x равно mx+b. Теперь производная собирается начать с определения производной.Таким образом, f простое число x равно пределу, когда h приближается к нулю f числа x плюс h минус f числа x над h. И я обычно начинаю находить производную, глядя на частное разности, поэтому давайте найдем и упростим частное разности, теперь в этом случае наше f от x равно mx+b. Таким образом, f от x плюс h будет равно m, умноженному на x+h+b, m, умноженному на количество x+h+b, а затем я вычитаю из этого f от x, так что получается минус mx+b, и я делю это на h. Итак, давайте распределим m, я получаю mx+mh, oops mh плюс b минус, и я должен распределить этот знак минус обоих этих терминов, так что минус mx и минус b все это по h.
Теперь взгляните, у нас есть отмена здесь, mx отменяет и b отменяет. Таким образом, у нас остается mh над h, и даже если вы получаете отмену, h отменяется, оставляя только m, поэтому вся разность разностей f от x плюс h минус f от x по h упрощается до m. Таким образом, этот предел становится пределом, когда h приближается к нулю константы m, и это просто m, и в этом есть смысл. Что производная линейной функции должна равняться наклону прямой. Правильно, потому что производная дает нам наклон кривой в любой точке, поэтому наклон линии в любой точке должен быть m.Теперь другой способ сказать об этой связи между линейной функцией, которая является производной, состоит в том, что производная по x от mx+b равна m. Это производная линейной функции.

Линейные функции

  • Линейное означает прямое
  • Линейная функция представляет собой прямую линию
  • Линейный график представляет линейную функцию

Линейные функции

A Функция представляет собой особую связь, в которой каждый вход имеет выход.

Функция часто записывается как f(x) , где x — вход:

Результаты f(x) = x

x y y = x
1 1 y = x = 1
2 2 y = x = 2
3 3 y = x = 3
4 4 y = x = 4
5 5 y = x = 5

Результат f(x) = 2x

x Y y = 2x
1 2 y = 2x = 2
2 4 y = 2x = 4
3
6 y = 2x = 6
4 8 y = 2x = 8
5 10 y = 2x = 10


Линейные уравнения

Линейное уравнение — это уравнение прямой линии:

  • у = х
  • у = х*2
  • у = х*2 + 7
  • у = топор + б
  • 5x = 3y
  • у/2 = 6

Нелинейные уравнения

Линейное уравнение НЕ может содержать показатели степени или квадратные корни:

  • у = х**2
  • y = Мат. кврт(х)
  • y = Math.sin(x)

Линейная регрессия

Линейная регрессия пытается смоделировать взаимосвязь между двумя переменными путем подгонки линейного графика к данным.

Одна переменная (x) считается данными, а другая (y) считается зависимой.

Например, линейная регрессия может быть моделью, связывающей цену дома с его размером.


Линейный метод наименьших квадратов

Линейная алгебра используется для решения линейных уравнений.

Linear Least Squares (LLS) представляет собой набор формулировок для решения статистических задач. участвует в линейной регрессии.



Обратная линейная функция — ChiliMath

Обратную линейную функцию найти намного проще, чем другие виды функций, такие как квадратичные и рациональные. Причина в том, что область определения и диапазон линейной функции естественным образом охватывают все действительные числа, если область определения не ограничена.

Прежде чем перейти к пяти (5) примерам, иллюстрирующим процедуру, я хочу показать вам, как связаны домен и диапазон заданной функции и ее обратной функции.

Домен и диапазон только что поменялись местами!

Примечания к диаграмме :

  • Область определения исходной функции становится областью значений обратной функции.
  • Диапазон исходной функции становится областью определения обратной функции.
  • Обычно используется буква \large{\color{blue}x} для домена и \large{\color{red}y} для диапазона.

Общий подход к алгебраическому решению для обратного выглядит следующим образом:


Основные этапы поиска обратной линейной функции

  1. Заменить f\left( x \right) на y.{ — 1}}\left( x \right), чтобы получить обратную функцию.
  2. Иногда полезно использовать домен и диапазон исходной функции, чтобы определить правильную обратную функцию из двух возможных. Это происходит, когда в итоге вы получаете случай «плюс-минус».

Примеры нахождения обратной линейной функции

Пример 1: Найти обратную линейную функцию

Эта функция работает правильно, поскольку и домен, и диапазон являются действительными числами.Это гарантирует, что его обратная функция тоже должна быть функцией. Возможно, вы знакомы с тестом горизонтальной линии, который гарантирует, что он будет обратным всякий раз, когда ни одна горизонтальная линия не пересекается или не пересекает график более одного раза.

Используйте приведенные выше ключевые шаги в качестве руководства для решения обратной функции:

Это было просто!


Пример 2: Найти обратную линейную функцию

В конце решения я хочу сделать знаменатель положительным, чтобы он выглядел «хорошо».Я сделал это, умножив и числитель, и знаменатель на -1.


Пример 3: Найти обратную линейную функцию

Некоторые учащиеся могут рассматривать это как рациональную функцию, потому что уравнение содержит некоторые рациональные выражения. Не путайте дроби здесь. Да, дроби есть, но в знаменателе нет переменных. Это делает его просто обычной линейной функцией.

Чтобы понять это, я должен избавиться от знаменателя.Я добьюсь этого, умножив обе части уравнения на их наименьший общий знаменатель (LCD).

Как показано выше, окончательные ответы можно записать двумя способами. Одна с одним знаменателем, а другая разложена на неполные дроби.


Пример 4: Найдите обратную линейную функцию ниже и укажите ее область определения и диапазон.

Это «нормальная» линейная функция, но с ограниченной областью определения. Допустимые значения x начинаются с x=2 и доходят до положительной бесконечности.Диапазон можно определить по его графику. Помните, что диапазон — это набор всех значений y, когда допустимые значения x (домен) подставляются в функцию.

Обратите особое внимание на то, как домен и диапазон определяются с помощью его графа.

Найти обратную эту функцию очень просто. Но помните, как правильно описать область определения и область значений обратной функции. Мы рассмотрели эту концепцию в начале этого раздела о замене домена и диапазона.

Всегда проверяйте домен и диапазон обратной функции, используя домен и диапазон оригинала. Они просто взаимозаменяемы.


Пример 5: Найдите обратную линейную функцию ниже и укажите ее область определения и диапазон.

Первым шагом является построение графика функции по оси xy. Четко обозначьте домен и диапазон.

Незакрашенный кружок (незаштрихованная точка) означает, что число в этой точке исключено. Если вам нужно освежить в памяти эту тему, посмотрите мой отдельный урок о решении линейных неравенств.

Во-вторых, найдите обратное алгебраически, используя предложенные шаги. Убедитесь, что вы указали правильный домен и диапазон обратной функции.

Переменная x в исходном уравнении имеет коэффициент -1. Следите за этим, когда будете решать обратное.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск