Линейные уравнения с дробями – Решение уравнений с дробями онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Уравнения с дробями 7 класса онлайн

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Линейные уравнения с дробями 7 класс решаются по стандартной схеме, когда производят перенос членов уравнения с неизвестной в одну сторону, а с известной — в другую, учитывая правила переноса. Если схема не подходит для вашего случая, тогда можно попробовать упростить уравнение, преобразовав его с линейного с дробями в линейное с целыми значениями.

решение уравнений с дробями 7 класса

Так же читайте нашу статью «Решить уравнения с дробями 8 класса онлайн решателем»

Допустим, дано следующее уравнение:

\[\frac {3}{8}x-\frac{5}{6}=\frac {7}{12}x-\frac {2}{3}\]

Решим его по стандартной схеме и выполним перенос членов уравнения:

\[\frac {3}{8}x-\frac{7}{12}x=-\frac{2}{3}+\frac{5}{6}\]

Далее выполним приведение каждой части уравнения к общему знаменателю:

\[\frac{9-14}{24}x=\frac{4-+5}{6}\]

\[-\frac{5}{25}x=\frac{1}{6}\]

Делим левую и правую часть на число правой части:

\[x=\frac{1}{6}:(-\frac{5}{24})\]

Выполняем деление:

\[x=-\frac {1 \cdot 24}{6 \cdot 5}\]

Есть возможность сократить:

\[x=-\frac{4}{5}\]

Чтобы наглядно увидеть другой способ решения, решим такое уравнение:

\[\frac{3}{8}x — \frac{5}{6}=\frac{7}{12}x-\frac{2}{3}\]

Произведем умножение и приведем к 24 (наименьший общий знаменатель) каждый знаменатель:

\[\frac{3}{8}x-\frac{5}{6}=\frac{7}{12}x — \frac{2}{3}\]

В знаменателе остается 1, который мы не пишем:

\[9x-20=14x-16\]

Осталось решить простое линейное уравнения:

\[9x-14x=-16+20\]

\[-5x=4\]

Делим левую и правую часть на \[-5:\]

\[x=-\frac{4}{5}\]

Где можно решить уравнение онлайн решателем?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

www.pocketteacher.ru

Дробно-линейная функция. Видеоурок. Алгебра 11 Класс

Тема: Повторение

Урок: Дробно-линейная функция

Определение:

Дробно-линейной называется функция вида:

Например:

Докажем, что графиком данной дробно-линейной функции является гипербола.

Вынесем в числителе двойку за скобки, получим:

Имеем х и в числителе, и в знаменателе. Теперь преобразуем так, чтобы в числителе появилось выражение :

Теперь почленно сократим дробь:

Очевидно, что графиком данной функции является гипербола.

Можно предложить второй способ доказательства, а именно разделить в столбик числитель на знаменатель:

Получили:

Важно уметь легко строить график дробно-линейной функции, в частности находить центр симметрии гиперболы. Решим задачу.

Пример 1 – построить эскиз графика функции:

Мы уже преобразовали данную функцию и получили:

Для построения данного графика мы не будем сдвигать оси или саму гиперболу. Мы используем стандартный метод построения графиков функции, использующий наличие интервалов знакопостоянства.

Действуем согласно алгоритму. Сначала исследуем заданную функцию.

ОДЗ:

Корни:

Таким образом, имеем три интервала знакопостоянства: на крайнем правом () функция имеет знак плюс, далее знаки чередуются, так как все корни имеют первую степень. Так, на интервале  функция отрицательна, на интервале  функция положительна.

Строим эскиз графика в окрестностях корней и точек разрыва ОДЗ. Имеем: поскольку в точке  знак функции меняется с плюса на минус, то кривая сначала находится над осью, потом проходит через ноль и далее расположена под осью х. Когда  знаменатель дроби практически равен нулю, значит, когда значение аргумента стремится тройке, значение дроби стремится к бесконечности. В данном случае, когда аргумент подходит к тройке слева функция отрицательна и стремится к минус бесконечности, справа функция положительна и выходит из плюс бесконечности.

Теперь строим эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек, т.е. когда аргумент стремится к плюс или минус бесконечности. Постоянными слагаемыми при этом можно пренебречь. Имеем:

Таким образом, имеем горизонтальную асимптоту  и вертикальную , центр гиперболы точка (3;2). Проиллюстрируем:

График гиперболы к примеру 1

Рис. 1. График гиперболы к примеру 1

Задачи с дробно-линейной функцией могут быть осложнены наличием модуля или параметра. Чтобы построить, например, график функции График гиперболы к примеру 1

, необходимо следовать следующему алгоритму:

1. Построить график подмодульной функции График гиперболы к примеру 1

Предположим, получен следующий график:

Иллюстрация к алгоритму

Рис. 2. Иллюстрация к алгоритму

В полученном графике есть ветви, которые находятся над осью х и под осью х.

1. Наложить заданный модуль. При этом части графика, находящиеся над осью х, остаются без изменений, а те, которые находятся под осью – зеркально отображаются относительно оси х. Получим:

Иллюстрация к алгоритму

Рис. 3. Иллюстрация к алгоритму

Пример 2 – построить график функции:

Иллюстрация к алгоритму

Согласно алгоритму, сначала нужно построить график подмодульной функции, мы его уже построили (см. рисунок 1)

Далее требуется наложить на функцию модуль, при этом части графика, находящиеся над осью х, остаются без изменений, а те, которые находятся под осью – зеркально отображаются относительно оси х. Получим:

График функции к примеру 2

Рис. 4. График функции к примеру 2

Рассмотрим следующую задачу – построить график функции График функции к примеру 2. Для этого необходимо следовать следующему алгоритму:

1. Построить график подмодульной функции График гиперболы к примеру 1

Предположим, получен следующий график:

Иллюстрация к алгоритму

Рис. 5. Иллюстрация к алгоритму

1. Наложить заданный модуль. Чтобы понять, как это сделать, раскроем модуль.

Иллюстрация к алгоритму

Таким образом, для значений функции при неотрицательных значениях аргумента изменений не произойдет. Касательно второго уравнения мы знаем, что оно получается путем симметричного отображения относительно оси у. имеем график функции:

Иллюстрация к алгоритму

Рис. 6. Иллюстрация к алгоритму

Пример 3 – построить график функции:

Иллюстрация к алгоритму

Согласно алгоритму, сначала нужно построить график подмодульной функции, мы его уже построили (см. рисунок 1)

Далее требуется наложить на аргумент модуль, при этом части графика, находящиеся справа от оси у, остаются без изменений, и симметрично отображаются относительно оси у. Получим:

График функции к примеру 3

Рис. 7. График функции к примеру 3

Пример 4 – найти число корней уравнения с параметром:

График функции к примеру 3

Напомним, что решить уравнение с параметром означает перебрать все значения параметра и для каждого из них указать ответ. Действуем согласно методике. Сначала строим график функции, это мы уже сделали в предыдущем примере (см. рисунок 7). Далее необходимо рассечь график семейством прямых График функции к примеру 3 при различных а, найти точки пересечения и выписать ответ.

Глядя на график, выписываем ответ: при График функции к примеру 3 и График функции к примеру 3 уравнение имеет два решения; при График функции к примеру 3 уравнение имеет одно решение; при График функции к примеру 3 уравнение не имеет решений.

График функции к примеру 4

Рис. 8. График функции к примеру 4

Итак, мы рассмотрели дробно-линейную функцию, далее будем рассматривать функции третьей и четвертой степени.

 

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. М.: Мнемозина

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. М.: Просвещение.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Математика, которая мне нравится (Источник).

2. Егэ по математике (Источник).

3. Институт менеджмента, маркетинга и финансов (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Построить эскизы графиков функций:

График функции к примеру 4

График функции к примеру 4

График функции к примеру 4

График функции к примеру 4

График функции к примеру 4

2. Построить эскизы графиков функций:

График функции к примеру 4

График функции к примеру 4

График функции к примеру 4

График функции к примеру 4

График функции к примеру 4

3. Решить уравнение с параметром:

График функции к примеру 4

График функции к примеру 4

График функции к примеру 4

График функции к примеру 4

График функции к примеру 4

interneturok.ru

Тренажер по математике на тему «Решение уравнений, сводящихся к линейным» (7 класс)

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение школа №60

Выборгского района Санкт-Петербурга

Учитель: Воронова Лариса Валентиновна

Методическая разработка тренажера по математике

для 6 — 7 класса по теме:

«Решение уравнений, сводящихся к линейным»

Аннотация.

Тренажер предназначен для учащихся 6–7 классов с целью отработки и совершенствования навыков решения уравнений первой степени, содержащих дробную часть.

Тренажер содержит:

— пошаговую инструкцию преобразования заданного уравнения к более простому виду, что в итоге приводит к линейному уравнению вида ax=b;

задания в двух уровнях: уровень А (базовый) и уровень В (повышенный).

ответы к заданиям;

примеры решения уравнений.

Тренажер может быть использован для самостоятельной работы учащихся в классе и дома, на дополнительных индивидуальных занятиях, а также при подготовке к итоговой аттестации.

Материал тренажера можно использовать для составления раздаточного материала.

Тренажер по теме:

«Решение уравнений, сводящихся к линейным»

(уровень А)

Алгоритм решения.

  1. Найти общий знаменатель всех дробей, входящих в уравнение (наименьшее общее кратное всех знаменателей).

  2. Умножить каждый член в левой и правой частях уравнения на общий знаменатель.

  3. Сократить получившиеся дроби.

  4. Упростить левую и правую части уравнения (раскрыть скобки).

  5. Перенести неизвестные члены уравнения в левую часть, а известные – в правую, изменив при этом их знак на противоположный.

  6. Привести подобные слагаемые в левой части и найти значение правой части.

Получится линейное уравнение вида ax = b.

  1. Найти значение x, разделив обе части уравнения на коэффициент при неизвестном a.

Решить уравнения

У р о в е н ь А

п/п

Вариант 1

Вариант 2

hello_html_3415dc95.gif

hello_html_m136626bc.gif

hello_html_12b9c6f5.gif

hello_html_m4022dfc9.gif

hello_html_m3e369f0d.gif

hello_html_m5ca88ffa.gif

hello_html_6b76551c.gif

hello_html_m5d1de4cb.gif

hello_html_2d9790d4.gif

hello_html_m234fe7d.gif

hello_html_m2a5cdfbf.gif

hello_html_m1eefb92a.gif

hello_html_29e791e5.gif

hello_html_m48703aae.gif

hello_html_mbe84ba6.gif

hello_html_4decc3d1.gif

hello_html_m390750e8.gif

hello_html_37b9dd8.gif

hello_html_me4699bc.gif

hello_html_48ff5a80.gif

Тренажер по теме:

Решение уравнений, сводящихся к линейным

(уровень В)

Алгоритм решения.

1. Найти общий знаменатель всех дробей, входящих в уравнение (наименьшее общее кратное всех знаменателей).

2. Умножить каждый член в левой и правой частях уравнения на общий знаменатель.

3. Сократить получившиеся дроби.

4. Упростить левую и правую части уравнения (раскрыть скобки).

5. Перенести неизвестные члены уравнения в левую часть, а известные – в правую, изменив при этом их знак на противоположный.

6. Привести подобные слагаемые в левой части и найти значение правой части.

Получится линейное уравнение вида ax = b.

7. Найти значение x, разделив обе части уравнения на коэффициент при неизвестном a.

Решить уравнения

У р о в е н ь В

п/п

Вариант 1

Вариант 2

hello_html_7144942b.gif

hello_html_7c216ca.gif

hello_html_m52a31fed.gif

hello_html_54fd5c90.gif

hello_html_154bff23.gif

hello_html_m12e27d2d.gif

hello_html_10736345.gif

hello_html_178daa63.gif

hello_html_771fe0c1.gif

hello_html_m6966b903.gif

hello_html_157ccc27.gif

hello_html_m537ca8a6.gif

hello_html_m55d68baa.gif

9 hello_html_m50fe4da8.gif

hello_html_m71d00369.gif

2x hello_html_m6d91c772.gif

hello_html_1a3665aa.gif

hello_html_50d6c488.gif

hello_html_695f8158.gif

6 hello_html_m622694b5.gif

Ответы к тренажеру

«Решение уравнений, сводящихся к линейным»

Уровень А

Уровень В

Вариант 1

Вариант 2

1

17

13

2

11

-4

3

-3

11

4

17

17

5

13

2

6

-7

-7

7

hello_html_1294f5ce.gif

2

8

1

hello_html_5b1aeb7.gif

9

2,5

hello_html_7ccd7c88.gif

10

-1

hello_html_m46f89def.gif

Вариант 1

Вариант 2

1

hello_html_5048115d.gif

hello_html_m775d175b.gif

2

hello_html_16362f61.gif

hello_html_m6d8a5c09.gif

3

hello_html_6822bc4c.gif

-2,5

4

45

170

5

4

hello_html_623e5dff.gif

6

12hello_html_241beab6.gif

2

7

2hello_html_mcdcd79f.gif

2

8

49hello_html_m19e8bb17.gif

7

9

11

-8

10

5

7

Примеры решения уравнений

I способ II способ

1) hello_html_38fec3e8.gif или

hello_html_38fec3e8.gif — пропорция

1 / 3/

hello_html_38fec3e8.gif|•6

x — 7 = 3(x+1)

x – 7 = 3x + 3

x — 3x = 3+7

-2x = 10

x = 10: (–2)

x = –5

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции

равно произведению ее средних членов.

(x – 7)·2 = 6·(x+1)

2 x14 = 6x + 6

2 x6 x = 6 + 14

-4x = 20

x = 20: (-4)

x = –5

2) hello_html_ec22fa4.gif

3) hello_html_7a485c27.gif hello_html_m53d4ecad.gif

8/ 7/ 56/

hello_html_e4cf662.gif = 5 |·56

8(5y + 8) – 7(3y — 1) = 56·5

40y + 64 – 21y +7 = 280

19y = 280 – 64 – 7

19y = 209

y = 209 : 19

y = 11

3/ 5/ 15/

hello_html_7780e8d8.gif— 7hello_html_m53d4ecad.gif|·15

3(х — 5) = 5(2х + 1) — 15·7

3х – 15 = 10х +5 – 105

3х – 10х = -100 + 15

-7х = -85

х = -85: (-7)

х = hello_html_m5cef817a.gif = 12hello_html_241beab6.gif

4) hello_html_c08d002.gif

5) hello_html_mb8f8f01.gif

3/ 2/ 42/

hello_html_97163f2.gif + hello_html_3e7c8e2e.gif = 0 |·42

–3(1 – 5m) + 2(1 +3m) = 0

–3 + 15m + 2 + 6m = 0

21m = 0 + 3 – 2

21m = 1

m = 1 : 21

m = hello_html_m6d8a5c09.gif

6/ 2/ 3/ 6/

2xhello_html_4eab5115.gif = hello_html_m5089fa7d.gif + 6 6

6·2x – 2(16 – x) = 3(x +3) +6·6

12x – 32 + 2x = 3x + 9 + 36

14x – 3x = 45 + 32

11x = 77

x= 77 : 11

x = 7

Ответ: 1) —5; 2) 11; 3) 12hello_html_241beab6.gif; 4) hello_html_m6d8a5c09.gif; 5) 7.

infourok.ru

Линейное уравнение с одной переменной

1. Корень линейного уравнения 1 вид — рецептивный лёгкое 1 Б. Найти корень линейного уравнения.
2. Решение линейного уравнения 1 вид — рецептивный лёгкое 1 Б. Решить линейное уравнение.
3. Линейное уравнение, схема решения 2 вид — интерпретация лёгкое 1 Б. Решение линейного уравнения, схема решения линейных уравнений.
4. Линейное уравнение (коэффициент при x дробный) 2 вид — интерпретация лёгкое 1 Б. Решение линейного уравнения (коэффициент при x дробный).
5. Составление и решение линейного уравнения 2 вид — интерпретация лёгкое 2 Б. Составление и решение линейного уравнения.
6. Линейное уравнение вида x + a = b 2 вид — интерпретация лёгкое 1 Б. Решение линейного уравнения вида x + a = b.
7. Линейное уравнение вида x + a = 0 2 вид — интерпретация лёгкое 1 Б. Решение линейного уравнения вида x + a = 0.
8. Линейное уравнение вида ax + b = 0 2 вид — интерпретация лёгкое 1 Б. Решение линейного уравнения вида ax + b = 0.
9. Линейное уравнение (с дробями) 2 вид — интерпретация среднее 2 Б. Решение линейного уравнения (с дробями).
10. Линейное уравнение вида a — kx = c 2 вид — интерпретация среднее 3 Б. Решение линейного уравнения вида a — kx = c (десятичная дробь при неизвестном).
11. Линейное уравнение вида a — b + kx = c + d — mx 2 вид — интерпретация среднее 4 Б. Решение линейного уравнения вида a — b + kx = c + d — mx.
12. Задача на движение 2 вид — интерпретация среднее 3 Б. Определение расстояния и скорости на одном участке пути, если известно всё расстояние и разница скоростей.
13. Задача на движение, скорость по течению и против течения 2 вид — интерпретация среднее 4 Б. Определение скорости катера в стоячей воде, если известна скорость течения и время при равенстве расстояний.
14. Задача на движение, две лодки 2 вид — интерпретация среднее 4 Б. Определение собственной скорости лодок, движущихся навстречу друг другу, если известно расстояние между пристанями и время встречи.
15. Задача на движение в одном направлении 2 вид — интерпретация среднее 4 Б. Определение времени встречи автомашин, движущихся в одном направлении, если известно первоначальное расстояние между ними и их скорость движения.
16. Задача на движение, скорость течения реки 2 вид — интерпретация сложное 5 Б. Определение скорости течения реки, если известна разница пройденных расстояний и время движения.
17. Решение уравнения, записанного в виде пропорции 3 вид — анализ сложное 3 Б. В ходе решения уравнения используется свойство пропорции, раскрываются скобки, упрощается полученное уравнение.
18. Определение книг на полках 3 вид — анализ сложное 6 Б. В ходе решения составляется математическая модель задачи. Решается полученное уравнение и делается вывод о количестве книг на полках.

www.yaklass.ru

Линейные уравнения 7 класс | Алгебра

Линейные уравнения, решение которых начинается в курсе алгебры (7 класс) — это уравнения вида

   

где a и b — числа, x — переменная.

Уравнения, сводящиеся к виду ax=b при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей на число, отличное от нуля (то есть при помощи равносильных преобразований), также часто называют линейными (правильнее называть их уравнениями, сводящимися к линейным).

Рассмотрим примеры уравнений, сводящихся к линейным, которые встречаются в начале курса алгебры 7 класса.

   

Раскрываем скобки. Если перед скобками стоит множитель, умножаем этот множитель на каждое слагаемое в скобках. Если перед скобками стоит знак «+», знаки  не меняем. Если перед скобками стоит знак «-«, знаки меняем на противоположные:

   

Неизвестные слагаемые переносим в одну сторону, известные — в другую. При переносе знаки слагаемых меняем на противоположные:

   

   

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

   

   

Ответ: -9.

   

Раскрываем скобки:

   

Неизвестные слагаемые перенесём в левую часть, известные — в правую. Знак каждого слагаемого при переносе из одной части уравнения в другую меняем на противоположный:

   

(Обратите внимание: хотя сумма слагаемых  с переменной равна нулю, результат записываем не как 0, а как 0x).

Какое бы число мы не подставили в это уравнение вместо x, получим верное равенство.

Ответ: x — любое число.

   

Раскрываем скобки:

   

Можно сначала привести подобные слагаемые, чтобы упростить уравнение:

   

а уже потом перенести: неизвестные — в одну сторону, известные — в другую:

   

   

Это уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

   

Раскрываем скобки:

   

Приводим подобные слагаемые:

   

Переносим неизвестные слагаемые в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

   

   

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

   

Ответ:

   

В следующий раз рассмотрим сводящиеся к линейным уравнениям уравнения с дробями.

www.algebraclass.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о