На простые множители: Mathway | Популярные задачи

Содержание

Онлайн урок: Разложение на простые множители по предмету Математика 6 класс

Закономерность между расположением простых чисел на числовой прямой так и остается загадкой с древнейших времён.

Уже точно известно, что простых чисел бесчисленное множество и никто не знает точное их количество.

При Эратосфене появился первый алгоритм того, как можно определить, простое перед нами число или нет.

Начиная с работ известных математиков  Эйлера и Ферма, множество других ученых до сих пор пытаются разгадать тайну простых чисел.

Придумано и описано несколько алгоритмов, закономерностей, но они работают только для небольшого количества простых чисел. А для всех сразу уже возникают проблемы.

К числу таких проблем относится так называемая гипотеза Римана. За её решение, а так же за решение других шести проблем тысячелетия предлагается премия в размере одного миллиона долларов.

На сегодняшний день ученые уже говорят о 23 проблемах, которые появились в более позднее время и тоже относятся к неразрешенным.

Рассмотрим 2 проблемы по изучаемой нами теме.

Первая проблема Ландау.

Каждое чётное число, большее 2, записывается как сумма двух простых чисел, а каждое нечётное число, большее 5, записывается как сумма трёх простых чисел.

 

Примеры:

14 = 7 + 7

17 = 5 + 5 + 7

22 = 11 + 11

23 = 11+5+7

51 = 1 + 13 + 37

 

Вторая проблема Ландау.

Бесконечно ли множество «простых близнецов» — простых чисел, разность между которыми равна 2?

1. Среди чисел нашлись «близнецы»:

3 и 5; 5 и 7; 7 и 9

; 11 и 13, 17 и 19; 41 и 43;

2. Пары близнецов состоят из двойников с общим элементом. Математики смогли найти такие пары близнецов-«двойников» (3, 5) и (5, 7).

Мы знаем, что число простых чисел неограничено, но бесконечность количества пар близнецов не была доказана или опровергнута.

Разложить на простые множители. Пример разложения числа на простые множители. Разложите на простые множители число 16. Разложить на простые множители число 9

Разложить на простые множители значит представить число в виде призведения множителей, каждый из которых есть простое число.

Вспомним определение простых чисел:

Простым называют число, если оно нацело делится только на единицу и на себя.

Примеры простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …

Единица не является простым числом.

Итак, разложить на простые множители – это получить произведение простых чисел.

Посмотрим на примерах, как разложить на простые множители.

Пример разложения числа на простые множители

Пример.

Разложить на простые множители число 9.

9 можно представить как произведение 3 на 3:

9 = 3 * 3

3 – это простое число. Значит мы получили разложение 9 на простые множители.

Разложите на простые множители число 16

Пример.

Разложить на простые множители число 16.

16 можно представить как произведение 2 на 8:

16 = 2 * 8

Разложили мы на простые множители 16? Нет, ведь 8 является составным числом, а не простым.

Разложим 8 на множители:

8 = 2 * 4

Разложили мы на простые множители 8? Нет, ведь 4 является составным числом, а не простым.

Разложим 4 на множители:

4 = 2 * 2

Разложили мы на простые множители 4? Да, 2 есть простое число.

Теперь мы готовы ответить на вопрос как разложить 16 на простые множители:

16 = 2 * 2 * 2 * 2 = 24

Это и есть разложение числа 16 на простые множители.

Проверим правильность нашего разложения на простые множители. Найдем чему равно произведение

2 * 2 * 2 * 2 = 16

То есть ответ правильный, разложение на множители дает исходное число.

Урок 3. простые и составные числа. разложение натурального числа на множители — Алгебра — 7 класс

Алгебра

7 класс

Урок № 3

Простые и составные числа. Разложение натурального числа на множители

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • Определения простого и составного числа, примеры простых и составных чисел.
  • Разложение числа на простые множители.
  • Таблица простых чисел.

Тезаурус:

Делителем натурального числа n называют натуральное число, на которое n делится без остатка

Натуральное число называют простым, если оно имеет ровно два делителя: единицу и само это число.

Натуральное число называют составным, если оно имеет более двух делителей.

Основная теорема арифметики.

Любое натуральное число, большее единицы, можно разложить на произведение простых чисел, причём это разложение единственно с точностью до порядка следования сомножителей.

Теорема 1.

Каждое отличное от единицы натуральное число имеет делитель – простое число.

Теорема 2. (теорема Евклида)

Простых чисел бесконечно много.

Разложить натуральное число на простые множители – значит представить его в виде произведения простых чисел.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

На уроке будем формулировать определения, конструировать несложные определения самостоятельно. Сформулируем определения простого и составного числа, приведём примеры простых и составных чисел. Выполним разложение числа на простые множители. Выясним, является ли число составным. Будем использовать таблицу простых чисел.

Натуральные числа, имеющие только два делителя, называют простыми.

Пример:

числа 2; 3; 5; 7; 11 – простые, т. к. делятся только на 1 и сами на себя, т. е. имеют ровно два делителя.

Натуральные числа, имеющие более двух делителей, называют составными.

Пример:

числа 4; 6; 8; 10 – составные, т. к. делятся не только на 1 и сами на себя, а ещё, например, на 2, т. е. имеют более двух делителей.

Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам.

Представление числа в виде произведения степеней простых чисел называют разложением числа на простые множители.

Простых чисел бесконечно много.

Основная теорема арифметики.

Любое натуральное число (кроме 1) либо является простым, либо его можно разложить на простые множители, причём единственным способом.

Рассмотрим, как раскладывать составные числа на простые множители.

Число 57 – составное, т. к. кроме 1 и 57 оно делится, например, ещё на 3.

Покажем это.

Согласно признаку делимости на 3, сумма цифр должна делиться на 3. Проверяем:

5 + 7 = 12,

12 : 3 = 4.

Число 57 можно представить в виде произведения простых чисел.

При разложении числа на простые множители используют признаки делимости и применяют запись столбиком, при которой делитель располагают справа от вертикальной черты, а частное записывают под делимым.

Получаем:

57 = 3 · 12.

Рассмотрим разложение еще одного составного числа на простые множители.

120.

120 – чётное число, значит, делится на 2.

120 : 2 = 60.

60 – чётное число

60 : 2 = 30.

30 – чётное число.

30 : 2 = 15.

15 – нечётное число,

Следовательно, не делится на 2,

но делится на 3.

15 : 3 = 5.

5 – простое число.

Получаем:

120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 23 · 3 · 5.

При выполнении задания по определению простых и составных чисел удобно использовать таблицу простых чисел.

Выясним, является ли число 337 простым или составным.

Будем считать, что каждое простое число уже разложено на множители.

Например, простое число 13 равно произведению само числа 13 и единицы.

13 = 13 · 1.

Рассмотрим задачу.

Определите самое маленькое натуральное число, которое не имеет простых делителей кроме 2 и 3.

Решение.

Не имеет простых делителей кроме 2 и 3 – это означает, что в разложении может быть 2 в любой степени и 3 любой степени.

Самое маленькое натуральное число, не является ни простым не сложным.

2, 3, 5 – натуральные числа, они есть в таблице простых чисел.

4 – составное число, которое делится на 2, но не делится на 3. Нам не подходит.

6 – составное число, которое делится на 2 и на 3. Оно удовлетворяет нашему условию.

Ответ: 6.

Итак, мы с вами узнали, какие числа называют простыми и составными.

Узнали основную теорему арифметики.

Узнали, как разложить натуральное число на простые множители.

Углубим наши знания.

Делимость на 3.

Докажем, что одно из трёх последовательных чётных чисел делится на 3

Доказательство.

Чётные числа должны делиться на 2.

Предположим противное не делиться на 3.

Тогда получаем:

первое чётное число представим в виде:

2 · 3n + 2,

тогда второе чётное число представим в виде:

2 · 3n + 4

а третье чётное число представим в виде:

2 · 3n + 6

Видим первое и второе не делятся на 3, а третье делится, так как

(2 · 3n) делится на 3 и 6 делится на 3, значит и сумма 2 · 3n + 6.

Делится на 3, по свойствам делимости.

Значит, предположение неверно и из трёх последовательных чётных чисел одно обязательно будет делиться на 3.

Разбор заданий тренировочного модуля.

1. Выберите правильный ответ.

Сколько чисел в ряду от 1 до 100 одновременно не делятся ни на 2, ни на 7?

Варианты ответа:

40

43

57

67

Решение.

Для решения задачи нужно вспомнить признаки делимости на 2.

Если число оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8, то оно делится на 2.

То есть делятся на 2 чётные числа. Таких чисел в ряду от 1 до 100 50 штук.

Значит, из 100 вычитаем 50 чётных чисел, которые нам не подходят.

Далее рассматриваем в ряду числа от 1 до 100, которые делятся на 7 и являются нечётными. Это: 7, 21, 35, 49, 63, 77, 91. Всего их 7 штук. Вычтем их из 50 и получим 43.

Ответ: 43.

2. Впишите правильный ответ.

Определите, какую цифру, являющуюся простым числом, нужно подставить вместо звёздочки, чтобы число f делилось на число k без остатка, если:

f = 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5

и

k = 3 * 5.

Решение.

Для того чтобы одно число делилось без остатка на другое, необходимо, чтобы они имели в разложении общие множители. Чтобы число k делилось без остатка на f , необходимо, чтобы оно было меньше f и содержало только делители f. Значит, нам подходит только 2.

Ответ: 2.

Разложение на простые множители

УРОК 2 Цели: отрабатывать умения и навыки разложения чисел на простые множители, решения комбинаторных задач; повторить степень числа; проверить знания и умения учащихся по изученному материалу. Информация для учителя Обратить внимание учащихся на особенность разложения разрядных единиц на простые множители и чисел, оканчивающихся 0. Ход урока I. Организационный момент II. Устный счет 1. Разложите числа на простые множители: а) 4; б) 6; в) 8; г) 9; д) 10; е) 12; ё) 14; ж) 22. 2. Найдите значение выражений 3. № 126 стр. 22. (Ответ: при а = 1, так как произведение 23а делится только на 1 и само на себя, то есть на 23.) — Почему не подходят другие значения а? (Если взять любое другое значение а, то тогда произведение будет делится на 23 и на а, следовательно, по определению простых чисел произведение 23а не будет являться простым числом.) — Составьте аналогичное задание. (При каких значениях с произведение 37с является простым числом?) 4. № 129 стр. 22. (Ответ: 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43.) — Как изменить запись неравенства, чтобы простых чисел в решении стало на одно больше? (17? р < 44; 16 < р < 44; 17 < р < 48.) 5. На огороде посадили 54 куста малины в 9 рядов и 90 кустов клубники в 5 рядов. Какой из рядов короче? Во сколько раз? (54 : 9 = 6 (к) — малины в 1 ряду, 90 : 5 = 18 (к.) — клубники в 1 ряду, 18 : 6 = 3 (раза).) III. Индивидуальная работа 1 карточка Какие из чисел 2781, 6300, 52 125, 63 309, 530 240, 21 195, 123 278 делятся: а) на 2; (6300, 530 240, 123 278) б) на 5; (6300, 52 125, 530 240, 21 195) в) на 10; (6300, 530 240) е) на 3; (2781, 6300, 52 125, 63 309, 21 195) ж) на 9; (2781, 6300, 21 195) 2 карточка Какие из чисел 7776, 7290, 31 125, 33 507, 200 640, 11 165, 211 214 делятся: а) на 2; (7776, 7290, 200 640, 211 214) б) на 5; (7290, 31 125, 200 640, 11 165) в) на 10; (7290, 200 640) е) на 3; (7776, 7290, 31 125, 33 507, 200 640) ж) на 9; (7776, 7290, 33 507) IV. Сообщение темы урока Сегодня мы с вами продолжим раскладывать числа на простые множители. V. Изучение нового материала 1. Подготовительная работа. — Разложите на простые множители: 10, 100, 1000, 10 000, 100 000, 1000 000. Решение: и т. д. — Какие простые числа являются делителями этих чисел? (2, 5.) — Сколько раз они встречаются в разложении каждого из чисел? (Если в числе 5 нулей, то множители 2 и 5 встречаются 5 раз, то есть 100 000 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 25 · 55.) 2. Работа над новой темой. а) Разложите на простые множители числа 80, 600, 25 000. Но записывать мы будем по-другому. (Учитель показывает образец записи.) Можно сразу писать так: 80 = 24 · 5 600 = 23 · 3 · 52 2000 = 24 · 53. б) № 121 (б) стр. 21 (у доски с комментированием и в тетрадях). — Какие простые множители обязательно будут иметь эти числа? (2, 5.) — Сколько раз они обязательно будут повторяться? (Все зависит от количества нулей в записи числа.) VI. Физкультминутка VII. Работа над задачей 1. № 137 стр. 23 (Самостоятельно, к доске пригласить тех учащихся, которые не знают, как решать данную задачу. С ними подробно разобрать решение). — Какая цифра может стоять на первом месте в записи числа? (2, 3, 4, 5.) — Какие цифры будут стоять на втором и третьем месте в записи числа? (Любая из пяти.) — А на последнем? (Только четные: 2, 4, 0.) По правилу умножения получаем: 4 · 5 · 5 · 3 = 300 (чисел). 2. № 134 (а) стр. 22. — Прочитайте задачу. — Что известно? — Что надо узнать? — Что примем за х? (Стоимость альбома.) — Что значит книга на 100% дороже альбома? (Это два раза нужно взять стоимость альбома, то есть х + х = 2х.) — Как узнать, на сколько процентов альбом дешевле книги? (Нужно найти разность стоимости книги и альбома, а затем найти процентное отношение.) Решение: Пусть х — стоимость альбома. 2х — стоимость книги. 2х — х = х х — это 1/2 от 2х или 50% (Ответ: альбом дешевле книги на 50%.) VIII. Закрепление изученного материала 1. № 121 (а, 4—6 число) стр. 21 (у доски с комментированием и в тетрадях). (Ответ: 512 = 29; 675 = 33 · 52; 1024 = 210.) 2. № 122 стр. 21 (самостоятельно с последующей проверкой). (Ответ: а) 25 = 5 · 5, 49 = 7 · 7; б) 27 = 3 · 3 · 3.) 3. — Назовите все простые числа от 2 до 10. (2, 3, 5, 7.) 4. № 123 стр. 21 (у доски и в тетрадях с объяснением). — Как удобнее найти эти двузначные числа? (Умножить каждое число на 2, 3, 5, 7, проверить является ли двузначным получившееся число, например, 47 надо умножать только на 2, а 11 · 2 = 22, 11 · 3 = 33, 11 · 5 = 55, 11 · 7 = 77.) IX. Самостоятельная работа (10 мин) Разложите числа на простые множители. Вариант I. 630, 2175, 1998. Вариант II. 720, 1845, 2520. Ответы: Вариант I. 630 = 2 · 32 · 5 · 7, 2175 = 3 · 52 · 29, 1998 = 2 · 33 · 37. Вариант II. 720 = 24 · 32 · 5, 1845 = 32 · 5 · 41, 25 20 = 23 · 32 · 5 · 7. X. Подведение итогов урока — Существуют ли составные числа, которые нельзя разложить на простые множители? — Чем могут отличаться два разложения одного и того же числа на простые множители? — Если число оканчивается цифрой 0, то какие простые делители оно обязательно имеет? Домашнее задание № 143, 139 (3, 4), № 141 (в) стр. 23. Выучить математические термины: 1. Делимое. 2. Делитель. 3. Комбинаторика. 4. Кратное. 5. Множитель. 6. Признак делимости. 7. Произведение. 8. Простое число. 9. Разложение. 10. Составное число. 11. Частное. 12. Цифра.

Разложение числа на простые множители

Определение разложения числа на простые множители

 

Представление числа в виде произведения степеней простых чисел называют

разложением числа на простые множители.

 

Любое натуральное число (n>1) можно представить в виде простых множителей.

 

При разложении числа на простые множители используют признаки делимости и применяют запись столбиком, при которой делитель располагают справа от вертикальной черты, а частное записывают под делением.

 

Когда простые множители располагаются в порядке возрастания, называют

каноническим разложением.

Как разложить число на простые множители

 

Разложение на множители обычно записывают столбиком (в две колонки).

Шаг 1

Записать число и провести черту.

 

Шаг 2

Берем число 2 и, используя признаки делимости на 2, проверяем, делится ли исходное число на 2. Если делится, то справа от черты записываем 2, а под исходным числом, слева от черты, записываем результат от деления числа на 2.

Если же число на 2 не делится, то берем число 3. Используя признаки деления на 3, проверяем, делится ли число на 3. Если не делится, то берем следующее простое число.

Повторяем эти шаги, записывая справа числа, на которые делится число, записанное слева, а слева – результат от деления. Заканчиваем разложение, когда в левой колонке будет записано число «1».

Пример 1

 

Разложить число 224 на простые множители.

Решение

Записываем число 224 и проводим вертикальную черту.

Проверяем, делится ли 224 на 2. Так как 224 заканчивается на четное число, то, значит 224 делится на 2. Записываем 2 справа. Результат от деления 224 на 2 (224:2=112) записываем слева под 224.

Проверяем, делится ли 112 на 2. Так как 112 заканчивается на четное число, то, значит 112 делится на 2. Записываем 2 справа. Результат от деления 112 на 2 (112:2=56) записываем слева под 112.

56 делится на 2. Записываем 2 справа. Результат от деления 56 на 2 (56:2=28) записываем слева под 56.

28 делится на 2. Записываем 2 справа. Результат от деления 28 на 2 (28:2=14) записываем слева под 28.

14 делится на 2. Записываем 2 справа. Результат от деления 14 на 2 (14:2=7) записываем слева под 14.

7 делится на 7. Записываем 7 справа. Результат от деления 7на 7 (7:7=1) записываем слева под 7.

Итак, мы разложили 224 на простые множители:

224 = 2∙2∙2∙2∙2∙7

Пример 2

 

Найдем наибольший общий множитель и наименьшее общее кратное чисел 648 и 432.

Разложим числа на простые множители:

Можем записать:

Найдем НОД:

Найдем НОК:

Пример 3

 

Найдем наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 180 и 120.

Разложим числа на простые множители:

Можем записать:

Найдем НОД:

Найдем НОК:

9E09BEAE0A118E93DED3D74128EA2C147A65428915829EB11235F7758F7B38C3

Простые множители

Множитель — это член умножения. Простой множитель — это множитель, который является простой величиной, а это означает, что он может быть сформирован только как произведение 1 и самого себя. Например, 3 × 7 = 21. В этой задаче 3 и 7 — простые множители, так как они оба простые числа.

Числа — не единственные величины, которые могут быть простыми множителями. Такие выражения, как x, (x + 1) и (x 2 — 5) также являются простыми множителями, поскольку они не могут быть далее разложены на множители (могут быть сформированы только как произведение 1 и самих себя).

Простая факторизация

Простым разложением данной составной (не простой) величины является произведение всех ее простых множителей. Существует несколько способов определить первичную факторизацию заданной величины, например, с помощью факторного дерева или пробного деления. Пробное деление — простой метод, но может быть очень утомительным. Он включает в себя деление составной величины (и последующего частного) на наименьшие простые числа до тех пор, пока частное не станет равным 1. Факторизация простых чисел представляет собой произведение всех простых чисел, используемых при делении.

Пример

Найдите разложение числа 60 на простые множители с помощью пробного деления.

64 ÷ 2 = 30

30 ÷ 2 = 15

15 &дел; 3 = 5

5 &дел; 5 = 1

В приведенном выше примере все простые множители подчеркнуты. Простая факторизация числа 60 — это произведение всех простых множителей:

.

60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2 2 × 3 × 5

Таким образом, простые делители числа 60 равны 2 2 × 3 × 5.

Факторинг

Факторинг эквивалентен простой факторизации. Термины по существу взаимозаменяемы, но «простая факторизация» обычно используется для обозначения целых чисел, а «факторизация» используется для алгебраических выражений, таких как многочлены. Факторизация полиномов может быть относительно простой или сложной в зависимости от полинома. Ниже приведен более простой пример, демонстрирующий факторизацию многочлена в контексте простых множителей.

Примеры

1.Найдите простые множители числа 2x 2 + 8,

.

2x 2 + 8 = 2(x 2 + 4)

Ни 2, ни x 2 + 4 нельзя разложить на множители, поэтому они являются простыми множителями 2x 2 + 8.

2. Найдите простые делители x 2 + 3x + 2.

х 2 + 3х + 2 = (х + 2)(х + 1)

Ни х + 2, ни х + 1 нельзя разложить на множители, поэтому они являются простыми делителями х 2 + 3х + 2.


Факторизация простых чисел | Блестящая математика и естественные науки вики

Уникальность простой факторизации — невероятно важный результат, заслуживший название фундаментальной теоремы арифметики:

Основная теорема арифметики

Любое целое число больше 111 является либо простым числом, либо может быть записано как уникальное произведение простых чисел с точностью до порядка множителей.

Это утверждение подразумевает, что если число не простое, оно имеет простое число в качестве своего множителя. Например, делители 101010 равны 1,2,5,1, 2, 5,1,2,5 и 101010, где 222 и 555 — простые числа. «Вплоть до порядка множителей» означает, что не имеет значения порядок, в котором записано произведение простых чисел.

Каковы простые делители числа 12?12?12?


Коэффициенты числа 121212 равны 111, 222, 333, 444, 666 и 121212.Простые делители 222 и 333. □_\квадрат□​

Каковы простые делители 60?60?60?


Делители числа 606060 равны 111, 222, 333, 444, 555, 666, 101010, 121212, 151515, 202020, 303030 и 606060. Простые делители числа 222, 333 и 55\5.

Отправьте свой ответ

6125=49×125 6125 = 49 х 1256125=49×125

Каков наименьший простой делитель числа 6125?

Если x,y,zx,y,zx,y,z — три различных простых числа, таких что N=x×y×zN=x\times y\times zN=x×y×z, сколько положительных делителей имеет NNN кроме 111 и самого себя.


Поскольку N=x×y×zN=x\times y\times zN=x×y×z, мы можем заключить, что x,yx, yx,y и zzz являются факторами NNN. Поскольку x, yx, yx, y и zzz — простые числа, мы не можем их разложить на множители, чтобы получить какое-либо другое число, так что всего у нас 333 числа.

Но подождите, мы знаем, что если xxx и yyy являются факторами NNN, то x×yx\times yx×y также является фактором NNN. Таким образом, комбинация двух факторов из трех факторов также является делителем NNN. Другими словами, мы имеем x×yx\times yx×y, x×zx\times zx×z и y×zy\times zy×z как множители N,N,N, которые являются еще 333 в дополнение к 333 выше.

Обратите внимание, что x×y×zx\times y\times z x×y×z также является комбинацией, которая является фактором NNN, но она равна самому числу и поэтому опущена.

Итак, у нас всего 666 делителей, не считая 111 и самого числа. □_\квадрат□​

Отправьте свой ответ

Если nnn имеет 151515 множителей (1 и nnn включительно), а 2n2n2n имеет 202020 множителей. Сколько делителей у 4n?4n?4n?

6 как продукт простых факторов

Вы хотите выразить или показать число 6 как произведение его простых множителей? В этом очень быстром уроке мы объясним, что такое произведение простых множителей, и перечислим форму произведения 6, чтобы помочь вам в вашем путешествии по математике!

Что такое 6 как произведение простых множителей?

Давайте кратко повторим основные факторы, чтобы убедиться, что вы понимаете термины, которые мы используем.Когда мы говорим здесь о слове «произведение», мы на самом деле имеем в виду результат, который вы получаете, когда перемножаете числа вместе, чтобы получить число 6.

В этом уроке мы рассматриваем простые множители, которые можно перемножить, чтобы получить произведение, равное 6.

Каждое число можно представить в виде произведения простых чисел. Поэтому, когда мы говорим о простой факторизации числа 6, мы говорим о строительных блоках числа. Простой множитель — это положительное целое число, которое можно разделить только на 1 и на себя.Простые делители числа 6 — это все его простые числа, которые при умножении вместе дадут 6.

В этом случае простые множители числа 6 равны:

Теперь мы можем легко представить 6 как произведение простых множителей:

2 х 3 = 6

Забавный факт! Существует один набор уникальных простых множителей, которые можно умножить на 6. Вот почему мы называем их строительными блоками чисел!

Вот и все. Полное руководство по факторам 6.Теперь у вас должны быть знания и навыки, чтобы выйти и рассчитать свои собственные факторы и пары факторов для любого числа, которое вам нравится.

Не стесняйтесь попробовать калькулятор ниже, чтобы проверить другое число, или, если вам хочется, возьмите карандаш и бумагу и попробуйте сделать это вручную. Только не забудьте выбрать маленькие числа!

Процитируйте, дайте ссылку или ссылку на эту страницу

Если вы нашли этот контент полезным в своем исследовании, пожалуйста, сделайте нам большую услугу и используйте приведенный ниже инструмент, чтобы убедиться, что вы правильно ссылаетесь на нас, где бы вы его ни использовали. Мы очень ценим вашу поддержку!

  • 6 как продукт простых факторов

  • «6 как произведение простых множителей». VisualFractions.com . По состоянию на 27 февраля 2022 г. http://visualfractions.com/calculator/prime-factors/6-as-a-product-of-prime-factors/.

  • «6 как произведение простых множителей». Визуальные фракции.com , http://visualfractions.com/calculator/prime-factors/6-as-a-product-of-prime-factors/. По состоянию на 27 февраля 2022 г.

  • 6 как продукт простых факторов. VisualFractions.com. Получено с http://visualfractions.com/calculator/prime-factors/6-as-a-product-of-prime-factors/.

Продукт калькулятора простых факторов

Хотите найти простой делитель для другого числа? Введите свой номер ниже и нажмите рассчитать.

Расчет следующего простого множителя

Хотите продолжить изучение простой факторизации? Почему бы не попробовать следующее число в нашем списке и посмотреть, сможете ли вы сами вычислить для него произведение простых множителей?

Простые множители

Некоторые числа можно разделить без остатка только на 1 и на самих себя. Это простые числа. Факторы, являющиеся простыми числами, называются простыми факторами.

Каждое целое число больше единицы является либо простым числом, либо может быть описано как произведение простых множителей.

Примеры: 10 — это продукт основных факторов 2 x 5
11 — простое число
12 — это продукт простых факторов 2 х 2 х 3
324 произведение простых делителей 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 3
700 произведение простых делителей 2 x 2 x 5 x 5 x 7 701 — простое число
2103 — произведение простых множителей 3 x 701

.Если меньше 1000, используйте таблицу простых чисел. Если оно простое, добавьте его в список простых множителей, и все готово.

  • Если оно не простое, попробуйте разделить его на простое число, начиная с 2.
    • Если оно делится без остатка, добавьте это простое число в список простых множителей. Возьмите частное в качестве нового числа для работы и вернитесь к шагу 1.
    • Если оно не делится точно, вернитесь к шагу 2, но перейдите к следующему простому числу в списке.
    Пример: Простые множители числа 700 700 2 = 350, без остатка. Добавьте 2 к списку простых множителей.
    350 2 = 175, без остатка. Добавьте 2 к списку простых множителей.
    175 2 = 87,5. Оно не делится начисто, поэтому мы переходим к следующему простому числу.
    175 3 = 58,33. Оно не делится начисто, поэтому мы переходим к следующему простому числу.
    175 5 = 35, без остатка. Добавьте 5 к списку простых множителей.
    35 5 = 7, без остатка. Добавьте 5 к списку простых множителей.
    7 — простое число. Добавьте 7 к списку простых множителей, и все готово.
    Простые множители числа 700 равны 2 x 2 x 5 x 5 x 7 .

    Обязательно проверяйте на каждом этапе, является ли полученное число простым.Следующий пример показывает почему:

    Пример: Простые множители числа 2103 2103 2 равны 1051,5. Оно не делится начисто, поэтому мы переходим к следующему простому числу.
    2103 3 равно 701, без остатка. Добавьте 3 к списку простых множителей.
    Таблица простых чисел подскажет вам, что 701 — это простое число. Добавьте 701 к списку простых множителей, и все готово.
    Простые делители числа 2103 равны 3 x 701 .

    Если бы мы не заметили, что 701 — простое число, мы бы продолжили проверку 5, 7, 11, 13 и т. д., перебрав еще 120 простых чисел, прежде чем закончить. Поэтому обязательно проверяйте частное каждый раз, прежде чем продолжить.

    (Как вы понимаете, этот метод предназначен для меньших чисел. Для очень больших он занимает слишком много времени.)


    Факторы Общие факторы

    .com/ipa/0/9/3/3/3/4/ A0933342.html

    Объяснение урока: Факторизация простых чисел с показателями

    В этом объяснении мы узнаем, как использовать различные стратегии для нахождения факторизации простых чисел с использованием показателей.

    Вы уже должны понимать термины простое число, составное число, и фактор.

    Определение: простое число, составное число и множитель

    • Факторы числа — это числа, которые мы перемножаем, чтобы получить оригинальный номер. Мы часто пишем множители парами.
      Например, 6×1=6 и 2×3=6, поэтому 1, 2, 3 и 6 равны множители 6. Одна пара множителей для 6 — это 1 и 6, потому что их произведение равно 6; еще один пара множителей 2 и 3.
    • Простое число — это целое число, имеющее ровно два делителя: 1 и само себя.
      Например, 7 является простым, потому что единственные делители 7 — это 1 и 7.
    • Составное число — это целое число, имеющее более двух делителей.
      Например, 6 является составным числом, потому что оно имеет 4 делителя.

    Любое число можно записать как произведение некоторых его множителей. Полезный способ записи числа как произведение только простых чисел.

    Определение: Факторизация простых чисел

    Факторизация чисел — это произведение простых чисел, которое равно исходному числу.

    Например, 2×3×5 — простая факторизация числа 30, потому что 2, 3 и 5 простые, а их произведение равно 30.

    Пример 1. Нахождение простой факторизации малых чисел

    Что из следующего является простой факторизацией числа 18?

    1. 18
    2. 2
    3. 2×9
    4. 2×3×3
    5. 3

    две вещи: что произведение равно 18 и что множители в произведение — все простые числа.

    • Поскольку 18 не простое число, это неверный ответ.
    • Поскольку ни 2, ни 3 не равны 18, они неверны.
    • Поскольку 9 не является простым числом, 2×9 не является простой факторизацией.

    У нас осталось 2×3×3. И 2, и 3 простые, и произведение равно 18. Следовательно, это простая факторизация числа 18.

    Простая факторизация числа может быть полезна, когда нам нужно найти наибольшее общее делители или наименьшие общие кратные наборов чисел, но мы не будем здесь обсуждать, как это сделать.Вместо этого мы сосредоточимся на двух методах нахождения простой факторизации: факторных деревьях и методе деления. по простым числам. Эти методы используют тот факт, что когда вы записываете число как произведение его факторов, вы всегда можете обменять один из факторов на продукт, который коэффициент равен.

    Например, мы знаем, что 40=4×10. Но мы можем заменить 4 на 2×2 или заменить 10 на 2×5 в уравнение и произведение в правой части по-прежнему будут равны 40. Это дает нам возможность записывать числа как произведение все меньших и меньших множителей. Если мы продолжим наш пример для 40, мы получим 40=2×2×2×5, в этот момент мы не можем разбить ни один из факторов на меньшие числа, потому что все они простые.

    Ключом к нахождению простых множителей является следующий результат.

    Результат: Факторы числа

    Если 𝑎 является множителем 𝑏, а 𝑏 является множитель 𝑐, то 𝑎 является множителем 𝑐.

    Например, 6 является коэффициентом 12, а 2 и 3 являются коэффициентами 6, что означает, что 2 и 3 также коэффициенты 12.

    Этот результат говорит нам, что мы можем работать с множителями исходного числа (которые меньше и с ним легче иметь дело, чем с исходным числом) при поиске простых множителей.

    Теперь мы увидим, как это помогает нам найти простую факторизацию числа, рисуя Факторные деревья.

    Начните с числа 60. Найдите любую пару множителей 60 и запишите эти два числа на первый уровень дерева. Например, 60=6×10.

    Затем выберите любое число в конце ветви и проверьте, является ли оно простым.Если да, то проверьте другой номер; если это не так, то снова факторизовать его. Например, 6 не простое, поэтому разложите 6 на 2×3 и запишите их на следующем уровень дерева.

    Обратите внимание, что на любом этапе произведение чисел на концах ветвей равно равно начальному числу. Например, на предыдущем шаге множители на концах ветвей 2, 3 и 10, а 2×3×10=60.

    Продолжайте разлагать составные числа на концах ветвей, пока не останется только с простыми числами.

    Если у вас есть только простые числа, вы нашли простую факторизацию номер. Запишите число как произведение этих факторов; мы можем использовать либо знак умножения или точка для представления умножения, поэтому, 60=2×3×2×560=2⋅3⋅2⋅5.или

    Часто мы записываем простую факторизацию с факторами в порядке возрастания, поэтому 60=2×2×3×560=2⋅2⋅3⋅5или или с помощью показателей для группировки одинаковых факторов, 60=2×3×560=2⋅3⋅5. или

    Мы суммируем метод рисования древовидной диаграммы ниже.

    Как найти простую факторизацию с помощью дерева множителей

    Шаг 1: Сначала найдите любую пару множителей для числа и запишите эти числа в первых двух ветвях.

    Шаг 2: Для любого множителя, который не является простым, запишите его как произведение двух его множителей.

    Шаг 3: Продолжайте, пока все ветви не оканчиваются простыми числами.

    Шаг 4: Факторизация простых чисел представляет собой произведение всех простых чисел на концах ветвей древовидной диаграммы.Хорошей практикой является записывать множители в простой факторизации в порядке возрастания и использовать показатели степени для упрощения выражения.

    Примечание. Вы можете начать с любой пары множителей, и вы получите тот же набор простых множителей и ту же разложение на простые множители. Единственное, что изменится, — это порядок, в котором вы найдете факторы.

    Далее мы увидим, как использовать метод деления на простые числа. Этот метод иногда называют методом лестницы.

    Чтобы найти простую факторизацию числа 60, начните с записи 60 на первом шаге. (если это поможет, вы можете думать о каждом шаге как о перевернутом делении).Затем запишите любой простой делитель 60 рядом с ним и частное под ним на новом шаге. Итак, мы можем выбрать 2 в качестве простого множителя 60, а затем записать частное в следующем шаг 60÷2=30.

    На втором шаге мы должны учитывать коэффициенты 30 (которые также являются коэффициентами 60). В качестве простого множителя мы могли бы выбрать 2, 3 или 5. Если мы выберем 3, то частное для третьего шага равно 30÷3=10. Мы продолжим эти шаги, пока мы не получим частное 1. Это показывает нам, что нет никаких больше простых множителей числа.

    Как только мы получим частное 1, мы идентифицируем все простые множители числа 60; 60 это произведение простых множителей, записанных в левой части каждого шага. Следовательно, 60=2×3×5×2=2×3×5.

    Подведем итоги метода деления на простые числа.

    Как найти факторизацию простых чисел путем деления на простые числа

    Шаг 1: Запишите число на верхнем шаге.

    Шаг 2: Запишите простой множитель слева и разделите на этот простой множитель, чтобы получить частное в шаге ниже.

    Шаг 3: Продолжайте находить простые множители и делить на них, пока не получите частное 1.

    Шаг 4: Запишите число как произведение простых чисел в левой части.

    Обратите внимание, что не имеет значения, какие простые множители вы выбираете на каждом шаге; ответ всегда будет один. Кроме того, вы можете записывать шаги в метод в вертикальной линии вместо того, чтобы шагать вниз и вправо каждый раз.

    Обратите внимание, что существует только одна простая факторизация числа.Неважно, какой метод вы выберете или какие факторы вы выберете на каждом этапе, в конце вы всегда будете получать один и тот же набор простых множителей.

    Далее мы покажем, что эти методы можно использовать для нахождения простых факторизаций больших чисел.

    Пример 2: Нахождение простой факторизации больших чисел

    Найдите простую факторизацию числа 792.

    Ответ

    Существует несколько методов нахождения простой факторизации.

    Метод 1 : Мы можем использовать метод деления на простые числа, чтобы найти каждый простой делитель один шаг за шагом.

    Начните с нахождения простого делителя числа 792. Поскольку 792 четно, мы знаем, что 2 — это простой делитель. Итак, 792=2×396, и мы записываем это следующим образом.

    Мы знаем, что все простые делители числа 396 будут также простыми делителями числа 792, поэтому следующий шаг — найти простой делитель числа 396 (например, 2) и разделить на него, продолжая находить простые множители результатов, пока не останется простых множителей.

    В зависимости от простых множителей, выбранных на каждом шаге, конечный результат может выглядеть как следующее.

    Как только мы получили результат 1, мы знаем, что больше нет простых множителей и что простая факторизация числа 792 равна 2×2×2×3×3×11.

    В зависимости от того, какую запись вы выберете для представления умножения, мы можно записать это, используя показатели степени, как 2×3×112⋅3⋅11.или

    Метод 2 : В качестве альтернативы мы можем использовать факторные деревья для разложения числа на простые числа в несколько шагов.

    Для этого начните с 792 в верхней части дерева и запишите пару множителей на первой две ветви.

    Затем для каждого числа в конце ветви разложите его дальше, если оно не простое.

    Числа на концах ветвей, когда вы закончите, являются простыми факторы 792: 2×3×2×2×3×11 или, что то же самое, 2×3×11.

    Наконец, обратите внимание, что если вы знаете простую факторизацию числа, вы можете найти все пары факторов, использующие ассоциативные и коммутативные свойства.

    Например, мы можем использовать нашу простую факторизацию числа 792, чтобы найти делители числа 792.

    Мы знаем, что 792=2×2×2×3×3×11. Если мы переставим эти факторы, используя свойство коммутативности, то мы знаем, что можем сгруппировать их и умножить в любом порядке на ассоциативное свойство. Следовательно, 792=(2×2×2)×(3×3×11)=8×33792=(2×11)×(2×2×3×3)=22×36, или

    Таким образом, 8, 22 , 33 и 36 — все множители 792, и любой множитель 792, который больше единицы будет равно произведению ряда этих простых множителей.

    Факторизация простых чисел и наименьшее общее кратное — Преалгебра

    Цели обучения

    К концу этого раздела вы сможете:

    • Найти простую факторизацию составного числа
    • Найдите наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел

    Найти простую факторизацию составного числа

    В предыдущем разделе мы нашли делители числа.Простые числа имеют только два делителя: число и само простое число. Составные числа имеют более двух делителей, и каждое составное число можно записать как уникальное произведение простых чисел. Это называется простой факторизацией числа. Когда мы записываем простую факторизацию числа, мы переписываем число как произведение простых чисел. Нахождение простой факторизации составного числа поможет вам позже в этом курсе.

    Простая факторизация

    Разложение числа на простые множители — это произведение простых чисел, равное числу.

    Выполнение упражнения по манипулятивной математике «Простые числа» поможет вам лучше понять простые числа.

    Вы можете обращаться к следующему списку простых чисел меньше, чем при работе с этим разделом.

    Факторизация простых чисел с использованием метода факторного дерева

    Один из способов найти разложение числа на простые множители — составить дерево множителей. Начнем с того, что запишем число, а затем запишем его как произведение двух множителей. Мы записываем факторы под числом и соединяем их с числом небольшим отрезком линии — «ветвью» дерева факторов.

    Если множитель простой, мы обводим его кружком (как почку на дереве) и больше не факторизуем эту «ветвь». Если множитель не является простым, мы повторяем этот процесс, записывая его как произведение двух множителей и добавляя новые ветви к дереву.

    Продолжаем до тех пор, пока все ветви не закончатся штрихом. Когда факторное дерево завершено, обведенные простые числа дают нам простую факторизацию.

    Например, давайте найдем простую факторизацию Мы можем начать с любой пары факторов, таких как и Мы пишем и ниже с ответвлениями, соединяющими их.

    Множитель простой, поэтому мы его обводим. Фактор составной, поэтому нам нужно найти его множители. Воспользуемся и запишем эти множители на дереве под

    Множитель простой, поэтому мы его обводим. Множитель составной, и он делится на Мы пишем эти множители под словом Так как простое число, мы обводим оба

    Факторизация простых чисел является произведением простых чисел, обведенных кружком. Обычно мы записываем простую факторизацию в порядке от наименьшего к наибольшему.

    В подобных случаях, когда некоторые из простых множителей повторяются, мы можем записать простую факторизацию в экспоненциальной форме.

    Обратите внимание, что мы могли бы начать наше дерево факторов с любой пары факторов Мы выбрали и, но тот же результат был бы таким же, если бы мы начали с и и

    Найдите простую факторизацию составного числа с помощью метода дерева.

    1. Найдите любую пару множителей заданного числа и используйте эти числа для создания двух ветвей.
    2. Если множитель простой, эта ветвь завершена. Обведите штрих.
    3. Если множитель не является простым, запишите его как произведение пары множителей и продолжите процесс.
    4. Запишите составное число как произведение всех обведенных простых чисел.

    Найдите простую факторизацию с помощью метода факторного дерева.

    Решение

    Проверьте это самостоятельно, перемножив все коэффициенты вместе. Результат должен быть

    Найдите простую факторизацию с помощью метода факторного дерева:

    2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 или 2 4 ⋅ 5

    Найдите простую факторизацию с помощью метода факторного дерева:

    2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 или 2 2 ⋅ 3 ⋅ 5

    Найдите простую факторизацию числа 84 с помощью метода факторного дерева.

    Найдите простую факторизацию с помощью метода факторного дерева:

    2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 7 или 2 ⋅ 3 2 ⋅ 7

    Найдите простую факторизацию с помощью метода факторного дерева:

    2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 7 или 2 ⋅ 3 ⋅ 7 2

    Факторизация простых чисел с использованием лестничного метода

    Лестничный метод — это еще один способ нахождения простых делителей составного числа. Он приводит к тому же результату, что и метод факторного дерева. Некоторые люди предпочитают метод лестницы методу дерева факторов, и наоборот.

    Чтобы начать строить «лестницу», разделите заданное число на его наименьший простой множитель. Например, чтобы начать лестницу для мы делим на наименьший простой множитель

    Чтобы добавить к лестнице «ступеньку», мы продолжаем делить на одно и то же простое число до тех пор, пока оно не перестанет делиться равномерно.

    Затем делим на следующее простое число; значит делим на

    Продолжаем делить лестницу таким образом, пока частное не станет простым. Поскольку частное простое, мы остановимся здесь.

    Вы понимаете, почему лестничный метод иногда называют многоуровневым делением?

    Факторизация простых чисел — это произведение всех простых чисел на сторонах и на вершине лестницы.

    Обратите внимание, что результат такой же, как и при использовании метода факторного дерева.

    Найдите простую факторизацию составного числа с помощью лестничного метода.

    1. Разделите число на наименьшее простое число.
    2. Продолжайте делить на это простое число, пока оно не перестанет делиться без остатка.
    3. Деление на следующее простое число до тех пор, пока оно не перестанет делиться без остатка.
    4. Продолжайте, пока частное не станет простым.
    5. Запишите составное число как произведение всех простых чисел на сторонах и на вершине лестницы.

    Найдите простую факторизацию с помощью лестничного метода.

    Решение

    Проверьте это сами, перемножив коэффициенты. Результат должен быть

    Найдите простую факторизацию с помощью лестничного метода:

    2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 или 2 4 ⋅ 5

    Найдите простую факторизацию с помощью лестничного метода:

    2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 или 2 2 ⋅ 3 ⋅ 5

    Найдите простую факторизацию с помощью лестничного метода.

    2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 7 или 2 ⋅ 3 2 ⋅ 7

    Найдите простую факторизацию с помощью лестничного метода.

    2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 7 или 2 ⋅ 3 ⋅ 7 2

    Найдите наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел

    Одна из причин, по которой мы рассматриваем кратные и простые числа, заключается в использовании этих методов для нахождения наименьшего общего кратного двух чисел. Это будет полезно, когда мы будем складывать и вычитать дроби с разными знаменателями.

    Секционные упражнения

    Практика делает совершенным

    Найти простую факторизацию составного числа

    В следующих упражнениях найдите разложение каждого числа на простые множители, используя метод факторного дерева.

    3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 11

    В следующих упражнениях найдите простую факторизацию каждого числа, используя метод лестницы.

    2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7

    2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3

    2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5

    В следующих упражнениях найдите разложение каждого числа на простые множители любым методом.

    Найдите наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел

    В следующих упражнениях найдите наименьшее общее кратное (НОК), перечислив кратные.

    В следующих упражнениях найдите наименьшее общее кратное (НОК), используя метод простых множителей.

    В следующих упражнениях найдите наименьшее общее кратное (НОК) любым методом.

    Математика на каждый день

    Покупка продуктов Хот-доги продаются упаковками по десять штук, а булочки для хот-догов продаются упаковками по восемь штук. Какое наименьшее количество хот-догов и булочек можно купить, если вы хотите иметь одинаковое количество хот-догов и булочек? (Подсказка: это LCM!)

    Покупка продуктов Бумажные тарелки продаются в упаковках, а чашки для вечеринок — в упаковках по Сколько наименьшего количества тарелок и чашек вы можете купить, если хотите, чтобы их было одинаковое количество? (Подсказка: это LCM!)

    Письменные упражнения

    Вы предпочитаете находить разложение составного числа на простые множители, используя метод факторного дерева или метод лестницы? Почему?

    Вы предпочитаете находить LCM, перечисляя кратные или используя метод простых множителей? Почему?

    Самопроверка

    ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство выполнения целей этого раздела.

    ⓑ В целом, после просмотра контрольного списка, как вы думаете, хорошо ли вы подготовились к следующей главе? Почему или почему нет?

    Упражнения на обзор главы

    Использовать язык алгебры

    Использование переменных и алгебраических символов

    В следующих упражнениях переведите с алгебры на английский.

    50 больше или равно 47

    Сумма n и 4 равна 13

    Определение выражений и уравнений

    В следующих упражнениях определите, является ли каждое из них выражением или уравнением.

    Упрощение выражений с помощью показателей

    В следующих упражнениях записывайте в экспоненциальной форме.

    В следующих упражнениях пишите в развернутой форме.

    г г г г г

    В следующих упражнениях упростите каждое выражение.

    Упрощение выражений с использованием порядка операций

    В следующих упражнениях упрощайте.

    Оценка, упрощение и перевод выражений

    Вычисление выражения

    В следующих упражнениях оцените следующие выражения.

    когда

    Определение терминов, коэффициентов и подобных терминов

    В следующих упражнениях определите термины в каждом выражении.

    В следующих упражнениях определите коэффициент каждого члена.

    В следующих упражнениях определите похожие термины.

    Упрощение выражений путем объединения похожих терминов

    В следующих упражнениях упростите следующие выражения, объединив одинаковые термины.

    Перевод английских фраз в алгебраические выражения

    В следующих упражнениях переведите следующие фразы в алгебраические выражения.

    разница и

    сумма и дважды

    продукт и

    частное и

    меньше, чем произведение и

    Джек купил бутерброд и кофе.Стоимость бутерброда была больше, чем стоимость кофе. Назовите стоимость кофе Напишите выражение для стоимости бутерброда.

    Количество сборников стихов на книжной полке Брианны более чем в два раза превышает количество романов. Назовите количество романов. Напишите выражение для количества книг стихов.

    Найти множители и множители

    Идентификация кратных чисел

    В следующих упражнениях перечислите все кратные меньше чем для каждого из следующих.

    3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48

    Использование общих признаков делимости

    В следующих упражнениях с помощью признаков делимости определите, делится ли каждое число на

    .

    Найти все множители числа

    В следующих упражнениях найдите все делители каждого числа.

    1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

    1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180

    Определение простых и составных чисел

    В следующих упражнениях определите каждое число как простое или составное.

    Факторизация простых чисел и наименьшее общее кратное

    Найти простую факторизацию составного числа

    В следующих упражнениях найдите простую факторизацию каждого числа.

    Найдите наименьшее общее кратное двух чисел

    В следующих упражнениях найдите наименьшее общее кратное каждой пары чисел.

    Математика на каждый день

    Опишите, как вы использовали две темы из главы «Язык алгебры» в своей жизни вне занятий по математике в течение последнего месяца.

    Практический тест главы

    В следующих упражнениях переведите алгебраическое уравнение в английские фразы.

    В следующих упражнениях определите каждое из них как выражение или уравнение.

    1. ⓐ Запишите в экспоненциальной форме.
    2. ⓑ Пишите в развернутой форме, а затем упрощайте.
    1. п 6
    2. ⓑ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 243

    В следующих упражнениях упростите, используя порядок операций.

    В следующих упражнениях оцените каждое выражение.

    Упростите, объединив одинаковые термины.

    В следующих упражнениях переведите каждую фразу в алгебраическое выражение.

    больше, чем

    частное и

    в три раза больше чем

    В левом ухе Кэролайн меньше серег, чем в правом.Назовите количество серег в ее правом ухе, Напишите выражение для количества серег в ее левом ухе.

    В следующих упражнениях решите каждое уравнение.

    В следующих упражнениях переведите каждое английское предложение в алгебраическое уравнение, а затем решите его.

    Перечислите все числа, кратные меньше

    .

    4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48

    Найдите все делители числа

    Найдите простую факторизацию числа

    .

    Найдите LCM (наименьшее общее кратное) и

    Сила простой факторизации для количественного раздела GMAT

    Мы все сталкивались с факторными деревьями в какой-то момент в начальной школе.Когда я впервые столкнулся с ними в детстве, все это упражнение казалось ненужным и глупым. Я подумал про себя: «Отлично. Я могу перечислить все простые множители числа 48. Но с какой целью?» Только много позже я понял полезность простых факторизаций. На таком экзамене, как GMAT, где от нас ожидают довольно больших вычислений без калькулятора, найти простую факторизацию может быть затруднительно.

    Подождите. Что такое простое число снова? Я даже почти не помню, что такое факторы!

    Помните, что множитель — это любое целое число, которое без остатка делится на другое целое число. Например, 7 является делителем 21, потому что 7 делится без остатка на 21. Кроме того, помните, что простым числом является любое целое число, единственными делителями которого являются 1 и само . Например, 13 будет простым числом, потому что его единственные делители — 1 и 13. Число 15 НЕ будет простым числом, потому что 1 и 15 — не единственные делители; 3 и 5 тоже будут множителями.

    Наименьшее простое число — 2, а первые несколько простых чисел — 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29…

    Ладно, круто.Итак, почему я забочусь о поиске простых множителей?

    Факторизация простых чисел подобна ДНК для любого целого числа . Давайте рассмотрим первичную факторизацию числа 990:

    .

    Здесь мы видим, что 990 = 2 · 3 2 · 5 · 11

     

    Что мы можем сделать из этого? Что ж, очевидно, что 2, 3, 5 и 11 являются множителями числа 990. Кроме того, любое произведение этих простых чисел будет множителем. Таким образом, 55 будет множителем , потому что 5 и 11 являются множителями. 18 будет множителем , потому что 2 и 32 (также известные как 9) являются множителями.

     

    Мы также знаем, какие числа точно НЕ являются множителями. Например, число 14 НЕ МОЖЕТ быть делителем . Поскольку простые делители числа 14 равны 7 и 2, нам ДОЛЖНО быть 7 в нашей простой факторизации, чтобы 14 было делителем.

    Короче говоря, простая факторизация сообщает нам все факторы (и не факторы) любого целого числа.

    Нахождение наибольшего общего делителя (НОК) и наименьшего общего кратного (НОК) любых двух целых чисел

    Мы можем использовать простые факторизации, чтобы найти наибольший общий делитель (НОК) и наименьшее общее кратное (НОК) пары целых чисел.

    GCF относится к наибольшему целому числу, которое можно без остатка разделить на оба числа . Рассмотрим следующий пример.

    Пример 1: Найдите GCF чисел 98 и 126

    Сначала мы находим простые факторизации каждого:

    Получаем следующее:

    98 = 2 · 7 2

    126 = 2 · 3 2 · 7 

     

    Теперь мы спросим себя, что мы можем вписать в обе эти простые факторизации.Ну, мы можем поместить 2 и 7. Мы НЕ МОЖЕМ поместить 3 в оба, и мы НЕ МОЖЕМ вместить 7 2 в оба.

     

    GCF чисел 98 и 126 равен 2 · 7 = 14

     

    Давайте посмотрим на корпус LCM. Помните, что НОК относится к наименьшему целому числу, на которое можно без остатка разделить оба числа.

     

    Пример 2: Найти LCM 66 и 84

    Опять же, мы начинаем с простой факторизации обоих чисел:

    Получаем следующее:

    66 = 2 · 3 · 11

    84 = 2 2 · 3 · 7

    Теперь спросим себя, какое наименьшее целое число «содержит» обе эти простые факторизации? Чтобы вместить 66, нам нужно как минимум 2, 3 и 11. Если мы хотим уместить 84 дюйма, нам понадобятся дополнительные 7 и дополнительные 2 (чтобы получилось 2 2 ).

    LCM 66 и 84 равен 2 2 · 3 · 7 · 11 = 924

    Понял. Итак, как я могу применить свои основные навыки факторизации на GMAT?

    Давайте вместе рассмотрим задачу GMAT, чтобы понять, чем может быть полезна факторизация простых чисел.

    Официальное руководство 2018: Задача №195 со с. 175 из Официального руководства по GMAT 2018 г.  (авторское право 2017 г. Совета по приему выпускников, опубликовано John Wiley & Sons, Inc., Хобокен, Нью-Джерси)

    Если y — наименьшее положительное целое число, такое что 3150, умноженное на y , является квадратом целого числа, то y должно быть

    (А) 2

    (Б) 5

    (С) 6

    (Д) 7

    (Е) 14

    Во-первых, мы «переводим» утверждение «3150 умножить на y — это квадрат целого числа». Мы будем использовать n для представления целого числа.

    Теперь найдем простую факторизацию числа 3150:

    .

     

    Получаем 3150 = 2 · 3 2 · 5 2 · 7.Подставим это в наше исходное уравнение:

    .

    3150y = п 2

    (2 · 3 2 · 5 · 7)y = n 2

    Теперь давайте посмотрим, что мы знаем о простой факторизации квадрата целого числа. Чтобы целое число было полным квадратом, простая факторизация должна содержать все четные показатели степени. Этот факт должен быть понятен, если мы рассмотрим всего несколько примеров.

    36 = 6 2 = (2 · 3) 2 = 2 2 · 3 2

    144 = 12 2 = (2 2 · 3) 2 = 2 4 · 3 2

    225 = 15 2 = (3 · 5) = 3 2 · 5 2

    Возведение в квадрат целого числа требует удвоения каждого показателя степени; следовательно, все наши показатели будут четными. Для нашей исходной задачи нам нужно найти минимальное значение y, при котором простая факторизация n 2 будет состоять из всех одиннадцати показателей. Другими словами, нам нужно еще 2 и еще 7, чтобы получить 2 2 и 7 2 .

    Если мы сделаем y = 2 · 7 = 14, то:

    2 · 3 2 · 5 2 · 7 · у =

    2 · 3 2 · 5 2 · 7 · 14 =

    2 · 3 2 · 5 2 · 7 · (2 ​​· 7) =

    2 2 · 3 2 · 5 2 · 7 2

    У нас есть целое число в квадрате! Следовательно, минимальное значение y должно быть (E) 14.

    В заключение

    Целочисленные свойства имеют большое значение для GMAT, и поиск простой факторизации — один из самых полезных инструментов для решения этих типов вопросов. Полное понимание множителей и кратных целых чисел поможет вам получить некоторое представление о количественном разделе GMAT.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.