Найти площадь фигуры через интеграл: Вычисление площадей с помощью интегралов. Алгебра, 11 класс: уроки, тесты, задания.

Содержание

Вычисление площадей с помощью интегралов. Алгебра, 11 класс: уроки, тесты, задания.

1. Дополни определение

Сложность: лёгкое

4
2. Площадь фигуры

Сложность: лёгкое

1
3. Вычисление площади

Сложность: лёгкое

1
4. Площадь фигуры, ограниченной графиками квадратных функций

Сложность: среднее

4
5.
Площадь фигуры, ограниченной графиками квадратной функции и функции, содержащей кв. корень

Сложность: среднее

4
6. Площадь фигуры, ограниченной графиком тригонометрической функции

Сложность: среднее

4
7. Площадь фигуры, ограниченной графиками показательной и линейной функций

Сложность: среднее

4
8. Площадь фигуры, ограниченной графиком параболы и касательной

Сложность: сложное

4
9.
Объём тела

Сложность: сложное

3
10. Вычисление объёма тела

Сложность: сложное

5

Вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов.

4dv=2. $$

 

Объём цилиндроида.

Объём цилиндроида, ограниченного сверху непрерывной поверхностью $z=f(x, y)\geq 0,$ снизу плоскостью $z=0$ и с боков прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей из плоскости $O_{xy}$ квадрируемую область $\Omega$ равен $$V=\iint\limits_{\Omega}f(x, y)dxdy.$$ 

 

Вычисление площадей с помощью интегралов

Вычисление площадей фигур
с помощью интеграла
11 класс
Криволинейной трапецией
называется фигура, ограниченная
отрезками прямых х = а, х = b, y = 0
и графиком непрерывной функции y = f(x),
такой, что f(x)≥0 на отрезке [a;b]
и f(x)>0 при x (а;b).
Отрезок [a;b] называется
основанием трапеции.
Формула Ньютона – Лейбница
Площадь
криволинейной
трапеции
Вычислить площадь
криволинейной трапеции
Площадь фигуры равна сумме
площадей криволинейных
трапеций
Площадь фигуры равна разности
площадей криволинейных трапеций
Площадь фигуры вычисляется как
разность площадей криволинейных
трапеций на отрезке [a;b]
Если функции у = f(x) и
непрерывны на отрезке [а;b]
и
на (a;b), то
Искомая площадь фигуры равна
площади фигуры, симметричной
данной относительно оси Ох
• Если f(x) 0 на
отрезке [a; b], то
площадь
криволинейной
трапеции равна
Задача. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
параболой
, осью Ох и прямой, проходящей
через точки (4;0) и (1;3).
Решение.
Фигура состоит из криволинейной
трапеции и прямоугольного
треугольника.
Задача. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
параболой
, осью Ох и прямой, проходящей
через точки (4;0) и (1;3).
Решение. Подставив в уравнение
прямой y = kx + b координаты
заданных точек, получим систему
уравнений:
откуда найдём k = — 1, b = 4.
Уравнение прямой АВ: y = 4 — x.
Задача. Найти площадь фигуры, ограниченной
линиями
Решение. Точки пересечения
заданных линий: О(0;0), К(6;0), Р(4;2)
Фигура состоит из криволинейной
трапеции и прямоугольного
треугольника.
Задача. Найти площадь фигуры, ограниченной
графиками функций y = x2 , y = 2х – x2 и осью Ох.
Решение. Найдём абсциссы
точек пересечения этих
графиков из уравнения
Искомая площадь равна сумме
площадей криволинейных
трапеций
Задача. Найти площадь фигуры, ограниченной
графиками функций ,
осями абсцисс и ординат.
Решение. Функция
возрастает, а у = — x+3
убывает на R, поэтому их
графики имеют только
одну общую точку.
Это точка M(1;2)
Задача. Найти площадь фигуры, ограниченной
графиками функций y = x2 — 2x + 2 и y = — x2+ 6
Решение. Найдём абсциссы
точек пересечения этих
графиков из уравнения
Искомая площадь равна
разности площадей
криволинейных трапеций
Задача. Найти площадь фигуры, ограниченной
графиками функций y = x2 +1 и y = x + 3
Решение. Найдём абсциссы
точек пересечения этих
графиков из уравнения
Искомая площадь равна
разности площадей двух
криволинейных трапеций,
опирающихся на отрезок [-1;2].
Задача. Найти площадь фигуры,
ограниченной графиками функций y = x3
и y=
Решение. Найдём точки
пересечения этих графиков. Их
координаты удовлетворяют
системе уравнений:
Откуда находим пределы
интегрирования, а затем
площадь фигуры по формуле:
Задача. Найти площадь фигуры, ограниченной ,
линиями
,
Решение.

Задача. Найдите площадь фигуры,
ограниченной линиями
Решение.
Задача. Найти площадь фигуры, ограниченной
линиями y = (x + 3)(3 – x), y = 4 и x = 3
Решение.
График функции y = (x + 3)(3 – x)
или
Координаты вершины параболы
В(1;4)
Искомая площадь равна разности
площадей криволинейных трапеций
Задача. Найти площадь фигуры,
ограниченной графиком функции
и осями координат
Решение.
Заданная фигура
представляет собой
криволинейную
трапецию, лежащую
«ниже» оси Ох.
Задача. Вычислить площадь фигуры,
ограниченной параболой
и прямой, проходящей через точки (4;0) и (0;4).
Решение. Первый способ.
Задача. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
параболой
и прямой, проходящей
через точки (4;0) и (0;4).
Решение. 2 способ.
Подставив в уравнение прямой y = kx + b
координаты заданных точек, получим
систему уравнений:
откуда найдём k = — 1, b = 4.
Уравнение прямой АВ:
y = — x + 4.
Задача. Найти площадь фигуры, ограниченной
параболами
Задача. Найти площадь фигуры, ограниченной
графиками функций
Решение. Найдём абсциссы
точек пересечения этих
графиков из уравнения
Искомая площадь равна
разности площадей
криволинейных трапеций
По рисункам 31 – 36 назвать из каких фигур
состоит фигура , площадь которой вычисляется, и
указать пределы интегрирования.
Литература
1. Ю.М. Колягин, М.В. Ткачёва, и др. Под редакцией Жижченко А.Б. Алгебра и начала
математического анализа 11 класс. Учебник для общеобразовательных
учреждений. Базовый и профильный уровень.
2.Программы по математике для общеобразовательных учреждений 2008 год.

Вычисление площади фигуры. Часть 2: Интеграл :: Александр Набатчиков

Постановка задачи


Вычислить площадь четырёхугольника, изображённого на рисунке:
Ограничения: Требуется решить задачу изощрённым формальным способом. На этот раз, учащийся забудет даже формулу площади прямоугольника.
(То есть решение требует базовых знаний уровня старших классов.)

Общие комментарии


Ну, раз речь о площади — бери интегралы. Не будем здесь вдаваться в тонкости формулировок и определений, а просто используем на практике инструментарий, доступный учащемуся старших классов. Попутно вновь поднимем тему переходов от семантики к синтаксису и обратно.

Если данное решение для Вас излишне сложно — внизу есть ссылка на прошлую часть, где разобраны варианты решения для учащегося 5-го класса.

Решение


Определённый интеграл, позволит нам вычислить площадь фигуры, ограниченной некоторой функцией и осью абсцисс (соответственно, сверху и снизу), и прямыми, перпендикулярными оси абсцисс, и проходящими через точки, соответствующие нижнему и верхнему пределам интегрирования (соответственно слева и справа).

Для получения выражения, описывающего площадь данной фигуры, рассмотрим кривую, проходящую через точки MKPN. Пределы интегрирования: от M до N.

Так как фигура ограничивается кривой функции именно сверху, нам необходимо произвести некоторое преобразование, которое никак не повлияет на площадь фигуры, но позволит без проблем применить интеграл для нашей задачи. Отразим фигуру относительно оси абсцисс, как показано на рисунке ниже:


О ломаной MKPN (в плане описания для задачи) можно говорить и как о кусочно-линейной функции, и как о трёх отдельных прямых, определённых на соответствующих отрезках. В любом случае, решение разбивается на нахождение трёх интегралов. Рассмотрим вариант с интерпретацией в виде кусочно-линейной функции, так как он более громоздкий.
Функции y1(x), y2(x) и y3(x) определены ниже.
Запишем выражения для определённых интегралов:
Теперь соберём всё вместе и упростим:
Данная формула соответствует результату, полученному в первой части.

Таким образом, мы снова (см.) можем наблюдать, как выбор более абстрактного инструмента позволяет подойти к решению более формально (ни одной готовой формулы для вычисления площади конкретного примитива) и получить тот же самый ответ. Описание предметной области с использованием подходящего аппарата, позволило переложить (в некоторой степени) умственные усилия по разбиению на примитивы и подбору подходящей формулы, на формальные синтаксические преобразования. Тем не менее, конечный результат имеет ту же смысловую нагрузку, что и результат, полученный при помощи менее формальных методов.

«Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла». 11-й класс

Цели урока: вывести формулу для вычисления площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла; сформировать навык вычисления площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла; повторить известные и сообщить новые сведения из истории интегрального исчисления; подготовка к экзамену; продолжить работу по развитию внимания, речи, логического мышления, аккуратности в записи; совершенствовать графическую культуру; продолжить работу по развитию творческих способностей учащихся; повысить интерес к изучению математики;

Оборудование: мультимедийный проектор, экран, презентация по теме, разработанная в среде Power Point.

Ход урока

I. Организационный момент, сообщение темы и цели урока.

(Слайд 1)

II. Проверка домашнего задания.

(Слайд 2)

Проверка дополнительного домашнего задания (учитель показывает решение на заранее подготовленном рисунке, решение с обратной стороны доски):

Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 1+ 3cos(x/2), x = -π/2, x = 3π/2, y = 0

Решение:


III. Актуализация опорных знаний.

1. Устная работа (Слайды 3-4)

  1. Выразите с помощью интеграла площади фигур, изображенных на рисунках:   
  2. Вычислите интегралы:

2. Немного истории. (Слайды 5-9)

Фрагмент компьютерного проекта учащихся на тему «Из истории интегрального исчисления».

1 учащийся

Интеграл – одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным, а с другой – измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.

Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Оно происходит от латинского integero, переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать.

Другие известные вам термины, относящиеся к интегральному исчислению, появились значительно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее «примитивная функция», которое ввел Жозеф Луи Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как «начальный».

Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объемов. Ряд задач такого рода был решен математиками древней Греции. Первым известным методом для расчёта интегралов является метод исчерпания Евдокса (примерно 370 до н. э.), который пытался найти площади и объёмы, разрывая их на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известен. Этот метод был подхвачен и развит Архимедом, и использовался для расчёта площадей парабол и приближенного расчёта площади круга.

Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приемов и понятий об интеграле, а тем более не создал алгоритма интегрального исчисления.

Труды Архимеда, впервые созданные в 1544 году, явились одним из важнейших отправных пунктов развития интегрального исчисления.

2 учащийся

Понятие интеграл непосредственно связано с интегральным исчислением – разделом математики, занимающимся изучением интегралов, их свойств и методов вычисления.

Более близко и точно к понятию интеграл подошел Исаак Ньютон. Он первый построил дифференциаль­ное и интегральное исчисления и назвал его «Методом флюксий…» (1670-1671 гг., опубл. 1736 г.). Переменные величины Ньютон назвал флюентами (текущими величинами, от лат. fluo – теку). Скорости изменения флюент Ньютон – флюксиями, а необходимые для вычисления флюксий бесконечно малые изменения флюент – «моментами» (у Лейбница они назывались дифференциалами). Таким образом, Ньютон положил в основу понятия флюксий (производной) и флюенты (первообразной, или неопределённого интеграла).

Это сразу позволило решать самые разнообразные, математические и физические, задачи.

Одновременно с Ньютоном к аналогичным идеям пришёл другой выдающийся учёный – Готфрид Вильгельм Лейбниц.

Размышляя над философ­скими и математическими вопросами, Лейб­ниц убедился, что самым надежным средством искать и находить истину в науке может стать математика. Знак интеграла (∫), был впервые использован Лейбницем в конце XVII века. Этот символ образовался из буквы S — сокращения слова лат. summa (сумма).

Ньютон и Лейбниц разработали две трактовки понятия обычного определенного интеграла.

Ньютон трактовал определенный интеграл как разность соответствующих значений первообразной функции:

,
где F`(x)=f(x).

Для Лейбница определенный интеграл был суммой всех бесконечно малых дифференциалов.

.

Формулу, которую открыли независимо друг от друга Ньютон и Лейбниц назвали формула Ньютона – Лейбница.

Таким образом, понятие интеграл было связано с именами знаменитых ученых: Ньютон, Лейбниц, Бернулли, положивших основу современного математического анализа.

IV. Объяснение нового материала.

(Слайд 10)

С помощью интеграла можно вычислять площади не только криволинейных трапеций, но и плоских фигур более сложного вида.

Пусть фигура P ограничена прямыми х = a, x = b и графиками функций y = f(x) и y = g(x), причем на отрезке [a;b] выполняется неравенство g(x)f(x).

Для вычисления площади фигуры будем рассуждать следующим образом. Выполним параллельный перенос фигуры P на m единиц вверх так, чтобы фигура P оказалась расположенной в координатной плоскости выше оси абсцисс.

Теперь она ограничена сверху и снизу графиками функций y = f(x)+m и

y = g(x)+m, причем обе функции непрерывны и неотрицательны на отрезке [a;b].

Полученную фигуру обозначим ABCD. Ее площадь можно найти как разность площадей фигур:

SABCD = SaDCb – SaABb =  =
=

Таким образом, площадь фигуры S, ограниченной прямыми х = a, x = b и графиками функций y = f(x) и y = g(x), непрерывных на отрезке [a;b] и таких, что для всех х из отрезка [a;b] выполняется неравенство g(x)f(x), вычисляется по формуле

Пример. (Слайд 11) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = 5 – x, x = 1, x = 2.

V. Закрепление изученного материала.

Задание 1. (Слайд 12) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 3 – х2 , y = 1+ | x |

Решение.

1. Найдем точки пересечения графиков функций:

  3 – х2 = 1 + |x|
х2 – |x| + 2 = 0
х2 + |x| – 2 = 0
 
x > 0
х2 + x – 2 = 0
x = – 2 – не подходит
x = 1
  x  0
х2
x – 2 = 0
x = 2 – не подходит
x = – 1

2. S1 = S2 S = 2∙S1

3.

Задание 2. (Слайд 13)

С помощью определенного интеграла записывают формулы для вычисления площадей фигур, заштрихованных на рисунках.

Подберите из данных формул для вычисления площади фигуры ту, которая подходит к одному из шести чертежей. (Слайд 14)

Задание 3. (Слайд 15) Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 0,5х2 + 2, касательной к этому графику в точке с абсциссой х = -2 и прямой х = 0.

Решение.

1. Составим уравнение касательной к графику функции y = 0,5х2 + 2 в точке с абсциссой х = -2:

y = f (x0) + f ‘(x0)(x – x0)
f (-2) = 0,5∙(-2)2 + 2 = 4
f ‘(x) = (0,5х2 + 2)’= x
f ‘(-2) = -2
y = 4 – 2(x + 2)
y = -2x

2. Построим графики функций.

3. Найдем площадь фигуры АВС.

SABC =

VI. Подведение итогов.

(Слайд 16)

  • формула для вычисления площадей плоских фигур;
  • запись формул площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла;
  • повторение уравнения касательной к графику функции и решения уравнения с модулем;
  • выставление оценок учащимся.

VII. Домашнее задание.

(Слайд 17)

  1. п. 4 стр. 228-230;
  2. №1025(в, г), №1037(в, г), №1038(в, г)

учебник: А. Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа 10–11»

2. Площадь под кривой путем интегрирования

М. Борна

Мы встречались с областями под кривыми ранее в разделе Интеграция (см. 3. Площадь под кривой), но здесь мы развиваем концепцию дальше. (Вас также может заинтересовать Архимед и область параболического сегмента, где мы узнаем, что Архимед понял идеи, лежащие в основе исчисления, за 2000 лет до того, как это сделали Ньютон и Лейбниц!)

Перед началом важно обрисовать ситуацию.

Мы хотим найти площадь под кривой `y = f(x)` от `x = a` до `x = b`.1`

`=(1/4-16/4)`

`=-15/4`

`=-3,25`

Это , а не правильный ответ для области под кривой. Это — это значение интеграла, но ясно, что площадь не может быть отрицательной.

Всегда лучше начертить кривую, прежде чем искать области под кривыми.

Резюме (на данный момент)

В каждом случае 1, 2 и 3 мы суммируем элементы слева направо, например:

Мы (эффективно) находим площадь на по горизонтали , добавляя площади прямоугольников, ширину `dx` и высоты `y` (которые мы находим, подставляя значения `x` в `f(x)`).бф(х)дх`

(со знаками абсолютного значения, где необходимо, если кривая проходит под осью `x`).

Случай 4: некоторые кривые гораздо проще суммировать по вертикали

В некоторых случаях проще найти площадь, если взять по вертикали суммы. Иногда единственным возможным способом является суммирование по вертикали.

В этом случае мы находим площадь как сумму прямоугольников, высот `x = f(y)` и ширины `dy`.

Если нам дано `y = f(x)`, то нам нужно повторно выразить это как `x = f(y)`, и нам нужно просуммировать снизу вверх.df(y)dy`

Пример случая 4

Найдите площадь области, ограниченной кривой `y=sqrt(x-1)`, осью `y` и линиями `y = 1` и `y = 5`.

Ответить

Первый эскиз:

51015202530123456xy

х

крас

х = у 2 + 1

Кривая x = y 2 + 1, показывающая участок «под» кривой от y = 1 до y = 5.5`

`=45 1/3\ текст[квадратные единицы]`

Примечание: Для этого конкретного примера мы могли бы также просуммировать его по горизонтали (интегрируя `y` и используя `dx`), но сначала нам нужно было бы разбить его на секции.

Вычисление интегралов простых фигур — видео и расшифровка урока

Первый пример: определенные формы трапеции

Давайте рассмотрим действительно конкретный пример. Допустим, вы направляетесь в город и при t = 0 вы движетесь со скоростью 30 миль в час.Ваша скорость убывает линейно (то есть по прямой линии), так что за один час ( t = 1) вы движетесь со скоростью всего 20 миль в час. Скажем, вы попали в пробку, когда едете в город.

Я могу представить это как скорость как функцию времени между t =0 и t =1, где функция f(t) = 30 — 10 t . Вам не нужно знать, откуда взялось это уравнение; скажи, что тебе дано. Таким образом, при t = 0 ваша скорость составляет 30 миль в час, а при t = 1 ваша скорость составляет 20 миль в час.Чтобы узнать, как далеко вы прошли за этот час, нужно взять интеграл от t =0 до t =1 от (30 — 10 t ) dt . Итак, мы интегрируем вашу скорость за этот период времени.

Если я посмотрю на это, это просто трапеция. Если я хочу найти площадь под кривой, то есть интеграл, я могу просто использовать свои знания о геометрии и найти площадь трапеции. Площадь трапеции будет ( f ( t слева) + f ( t справа))/2 * дельта ( t ).Какой у нас рост слева? Это f(t) на левой границе. Итак, f ( t = 0).

Пример трапеции

Подставим: (30 — 10(0)) + 30 — 10(1)/2 * дельта( t ). Упрощенно получаем (30 + 20)/2 *дельта( t ). Дельта( t ) — это изменение во времени (помните, что дельта — это изменение), поэтому изменение во времени составляет 1 — 0 или 1 час. Я иду от 0 часов до 1 часа, поэтому моя дельта ( t ) равна 1.Если я подставлю все это в свою формулу трапеции, я получу (30 + 20)/2 * 1 = 25. Итак, я прошел 25 миль за час.

Пример 2: Общие формы трапеции

Попробуем немного обобщить. Допустим, у нас есть функция y = x , и мы хотим найти площадь под этой кривой между x = a и x = b . Это просто запись интеграла от a до b от xdx .Опять же, поскольку y = х — прямая линия, это просто трапеция на боку. Я знаю, что площадь равна ширине одной стороны плюс ширина другой, деленная на 2 умноженную на высоту. Итак, для ширины с левой стороны у меня есть значение моей функции x = a . Ширина с другой стороны f(b) . Я делю это на 2, и моя высота равна этому изменению в x , так что это b — a.

Поскольку моя функция равна x , то если я вычислю f как x = a , я получу a , а f(b) будет просто b .2)/2.

Как насчет более простого случая? Допустим, моя скорость или моя функция постоянны, c . У меня есть график y = c от x = a до x = b . Интеграл от a до b от cdx представляет собой площадь под этой кривой. Это просто прямоугольник, поэтому я знаю, что площадь равна высоте, умноженной на ширину. Ширина b a , изменение x , а моя высота c , потому что везде по линии y равно c .

Ширина равна b минус a, а высота равна c.

Если я подставляю числа, скажем, я еду со скоростью 7 миль в час в течение 10 часов, я интегрирую 7 от 0 до 10. Я записываю интеграл от x = 0 до x = 10 из 7 дх . Если я воспользуюсь своей формулой для интегрирования константы, я обнаружу, что интеграл от 0 до 10 от 7 dx равен (10 — 0)7, что равно 70. Это имеет большой смысл, потому что у меня просто прямоугольник с высотой 7 и шириной 10.

Резюме урока

Это простые фигуры, и, конечно же, не все функции будут простыми фигурами, геометрию которых вы знаете и как найти площадь. Для таких форм можно точно вычислить определенный интеграл . Помните, что определенный интеграл — это площадь под кривой, которая представляет собой интеграл от a до b от f(x)dx .

MathScene — Интеграция — Урок 2

MathScene — Интеграция — Урок 2
2010 Расмус Эхф и Джанн Сак

Интеграция

Урок 2

Интегралы

 


Интеграция инструмент, используемый во многих науках.Интегрировать означает собрать воедино и сформировать все. В математике интегрирование используется, среди прочего, для нахождения область, ограниченная графиком одной или нескольких функций.

Пример 1

Найдите площадь, ограниченную осью x и графиком параболы f(x) = x 2 + 5x 4. Для этого разобьем площадь на прямоугольные полосы, найдем площадь каждой один
и добавить их вместе.

.

Каждая из синих полос имеет ширину 0,5 единицы, а высота равна определяется функцией.

Первый прямоугольник идет от х = 1,5 до х = 2,

Высота прямоугольника равна f(1,5) = 1,5 2 + 51,5 4 = 1,25

.

а площадь F 1 = 1,250,5 = 0,625.

Следующий прямоугольник начинается через x = 2.

Высота равна f(2) = 2 2 + 52 4 = 2,

.

и площадь F 2 = 20,5 = 1.

Таким же образом мы можем найти площади других прямоугольников, F 3 = 1 и F = 0,625

Таким образом, общая площадь прямоугольников составляет 0,625 + 1 + 1 + 0.625 = 3,325.

Мы видим, что это значение площади равно слишком мал, область красного цвета отсутствует. Мы можем улучшить нашу оценку, сделать полосы более узкими. В следующей таблице показаны расчеты для полос. шириной 0,25 ед.

Эксель очень полезен инструмент для выполнения таких расчетов, как таблица справа показывает.

В этом случае общая площадь прямоугольников составляет 3,9063 единицы, что очевидно, это гораздо более точная оценка площади, чем наша первая попытка, хотя она еще слишком мал.

Мы можем продолжать таким образом, приближаясь все ближе и ближе к правильному ответу. Этот сумма площадей прямоугольников, всегда лежащих под графиком, называется Нижняя сумма.


Пример 2

Найдите площадь между осью x и графиком параболы f(x) = х 2 + 5х 4.Для этого разделим площадь на вертикальные полоски с высотой, равной наибольшему значению функции в каждой интервал. Затем вычисляем общую площадь столбцов. Это дает нам площадь это больше, чем площадь под графиком, как показано в области, заштрихованной красным.

 

 

То Столбец f(x) показывает, какое значение функции используется для вычисления высоты соответствующую полосу, каждая из которых равна 0.25 единиц в ширину. В результате площадь 5.0313 что намного больше, чем число, найденное в примере 1, очевидный результат, так как в этом случае все столбцы выше, чем в предыдущем примере.

Чем уже мы делаем полосы, чем ближе мы подходим к нужной области. Метод, используемый в пример 2 называется нахождением Верхней суммы.

Мы также можем получить лучшее приближение, найдя среднее значение Верхняя сумма и нижняя сумма.В этом случае площадь равна

Площадь F ≈ (3,9063 + 5,0313)/2 ≈ 4,469

Где-то между верхней суммой и нижней суммой должен быть точный размер области мы пытаемся найти между осью x и графиком f(x) = x 2 + 5x 4.

 

Теперь мы рассмотрим, как точно вычислить площадь и связь между интеграцией и площадью.

На диаграмме показаны вертикальные линии высотой h и H в положениях x и x+Dx. (читай дельта х). Интервал между этими двумя линиями имеет ширину Дх, символ, часто используемый для обозначения длины очень маленького интервала на x ось. Если мы обозначим площадь желтых пятен на диаграмме F(x), то общая площадь всей заштрихованной части
F(x+Dx). Площадь желтого цвета только заштрихованная часть — это разница между этими двумя, то есть

Площадь желтой части одного цвета равна F(x+Dx) Ф(х).

Площадь верхнего прямоугольника для этой части – HDx.

Площадь нижнего прямоугольника для этого равна hDx.

Теперь мы можем записать следующее неравенство для площади желтая часть графика:

hDx ≤ F(x+Dx) F(x) ≤ HDx

Разделив на Дкс.

Но H = g(x) и h = g(x+Dx) поэтому неравенство можно записать:

Использование правила сэндвича и принимая предел как Дх идет к 0 дает нам результат

Это напоминает нам о определение производных

ф ‘(х) =

где h — точно такой же интервал, как Дх, на самом деле во многих текстах Дх используется вместо h в определении производной.

Следовательно, мы можем сделать вывод, что F(x) = g(x), поэтому g(x) фактически является производной функции площади Другими словами, мы можем найти площадь, интегрируя функцию, ограничивающую площадь. Единственная разница между ними — константа, которую мы теряем, когда дифференцировать. При вычислении площади с помощью интегралов мы сначала вычисляем площадь с использованием верхнего предела, а затем вычесть площадь, найденную с использованием нижнего предел. Когда мы делаем это, константа исчезает, поскольку она сначала добавляется, а затем снова вычитал.Используются следующие обозначения:

Площадь между а положительная функция g(x) и ось x на интервале от a до b называется определенным интегралом функции и записывается:

где G(x) — функция, для которой G'(x) = g(x)

неопределенный интеграл определяется без ограничений:

Обратите внимание, что символ интегрирования выглядит как вытянутая буква s , ( )   Тот факт, что он выглядит как буква S, напоминает нам, что мы нахождение сумм. На каждом конце этого символа написаны два числа. Нижнее число или нижняя граница показывает значение x, с которого начинается область, и верхний номер или верхний связанный там, где он заканчивается. Формула функции пишется после символа интеграла, за которым следует «dx», что символизирует тот факт, что ширина столбца очень небольшой интервал времени х — ось. Если сложить все это вместе для примеров 1 и 2, получим:

Этот определенный интеграл, F, дает нам площадь между функцией x 2 + 5x 4, ось x и значения x 1 и 4 .


 

Пример 3

Калькуляторы находят определенный интеграл аналогично приведенному выше. примеры, за исключением того, что они в основном используют трапеции вместо прямоугольников для приблизить площадь. На схеме ниже видно, что трапеции дают гораздо больше точная оценка, заштрихованная красным область на диаграмме намного меньше, чем при используются прямоугольники.

Площадь трапеции равна средней двух параллельных сторон (a+b)/2. умножить на расстояние между ними, g.Например, площадь трапеции. цифрой 2 на схеме является

А = г(а+b)/2

= 0,5 (f (1,5) + f (2))/2

= 0,5(1,25 + 2)/2

= 0,8125

Теперь воспользуемся Excel, чтобы найти площадь всех шести трапеций и сложить их вместе.

Этот метод дает достаточно точные результаты даже при небольшом количестве столбцов, поэтому удобно для калькуляторов.Ниже показано, как это делается с помощью CASIO-калькулятор.

Выберите «Выполнить» в меню. RUN, затем нажмите кнопку OPTN рядом с SHIFT. Теперь выберите CALC с помощью F4. и дх снова с F4. На экране появится следующее:  ( . Теперь функция записывается через запятую, затем нижний и верхний пределы в данном случае 1 и 4 с запятой между ними. Мы можем добавить еще один номер к сказать, на сколько полос мы хотим разделить область, но лучше оставить это к калькулятору.Наконец скобка закрыта и кнопка EXE толкнул. Вот результат:


Пример 4

Теперь мы можем использовать определенные интегралы, чтобы найти точная площадь между графиком параболы f(x) = x 2 + 5x 4 и ось х.

Найдем определенный интеграл от f(x) на интервал 1 ≤ x ≤ 4. Сначала найдите подынтегральную функцию.

Мы используем правило
F(x) = x n+1 /(n+1)

Затем вставьте верхнюю и нижние пределы.

Это тот же результат, который выдал калькулятор.


Пример 5

Найдите площадь между осью x и линией y = 2x 2 для 0 ≤ x ≤ 3.

Интегрируя, мы получаем :

В этом примере функция указана выше и ниже оси X, поэтому мы работаем в двух частях.

1)   Найдите на схеме область, отмеченную F 1 .

2)   Далее найдите F 2 .

Когда мы интегрируем функцию, лежащую под осью x, получаем отрицательный ответ. Площадь всегда положительна, поэтому мы забываем о знаке минус и добавляем два Положительные числа вместе, чтобы получить площадь 5 единиц.

3) Если мы просто интегрируем эту функцию между 0 и 3, не думая о ней как о площади мы получили бы:

Что 4 1 = 3, сумма двух ответов в предыдущих примерах

4)   Теперь посмотрим, что произойдет, если мы реверсируем пределы.

Рассчитать

Итак, мы видим, что изменение пределов на противоположное меняет знак результата.

Интеграция функции лежащий под осью x, дает отрицательное значение площади. Поэтому при использовании интегралов для нахождения площади важно проверять находится ли функция выше или ниже оси или пересекает ли она оси x в некоторой точке рассматриваемого интервала.

Следующее правило также сохраняется, когда пределы изменены на противоположные:


Пример 6

Найдите площадь между осью x и графиком функции синуса на интервале от 0 до п.

Полезно использовать графический калькулятор, чтобы получить некоторое представление о том, как выглядит функция.

В меню выберите ГРАФИК и значения экрана (с V-окно).Подойдут следующие единицы. (Убедитесь, что  угол измеряется в радианах (настройка)).

Введите функцию и нарисуйте график.

Синяя область — это то, что мы пытаемся найти. Мы могли бы позволить калькулятору найти его для нас, но нужно попрактиковаться в использовании интегралов.

Сначала интегрируем потом вставляем верхняя и нижняя границы.

Площадь мы ищем нас поэтому 2 ед.


Пример 7

Найдите площадь между осью x и графиком косинуса функция на интервале от 0 до п.

График показывает нам, что график находится как выше, так и ниже оси x

Это означает, что мы должны сделать наши расчеты в двух частях.График пересекает ось x в х = (потому что = 0), поэтому мы сначала интегрируем от 0 до а потом из к .
Интеграция

Вставить в верхнюю и нижнюю границы

Второй ответ отрицательный, как мы и ожидали, поэтому мы забываем об отрицательном и сложите два положительных числа вместе, получив ответ 2, ту же площадь, что и в предыдущий пример.

 

Пример 8

Найдите площадь, заключенную между осью x и графиком f(x) = х 2 3х 4.

С помощью калькулятора видим, что график лежит ниже оси абсцисс поэтому мы начнем с поиска того, где это происходит (с поиска корней f(x)).

х 2 3 х 4 = (х + 1)(х 4) = 0

Корни x = 1 и x = 4.

График выглядит так:

Поскольку график лежит под осью x, мы проинтегрируйте функцию, используя границы 1 и 4, а затем опустите отрицательное значение.

Интеграция: .

Ставим верхнюю и нижнюю лимиты:

Таким образом, площадь:


Попрактикуйтесь в этих методах, затем тест 1 на интеграцию.

Помните контрольный список!!

 

 

 

 

 

 

 

 

Площадь и числовое интегрирование


Далее: Оценка площади под Up: Интегралы и площадь Предыдущий: Интегралы и площадь Нахождение площади под заданным графом — это классическое интегрирование. проблема.
Для очень простых случаев мы знаем ответ из опыта геометрия:
  • Если график представляет собой постоянную функцию, с константой, то площадь под графиком от до является .
  • Если граф представляет собой полукруг радиуса: от до , площадь .
  • Если граф представляет собой часть полукруга: от куда , площадь: (Зачем?!).
  • Если график представляет собой прямую линию: , от к , то площадь под графиком равна: (Зачем?!).
В общем случае, если график задан формулой: с участием положительная функция, запишем площадь под графиком от до так как: Это читается как интеграл функции по , от к .
Здесь мы предполагаем, на данный момент, что .
Позже мы сможем исключить это предположение.
  • Функция называется подынтегральной функцией.
  • это называется переменной интегрирования.
  • называется нижним пределом интеграла.
  • называется верхним пределом интеграла.
  • называется интервалом интегрирования.
  • Этот вид интеграла называется определенным интегралом, т.е. в отличие от другого родственного вида, неопределенного интеграла, который обсуждалось позже.
Итак, из опыта мы знаем следующие интегралы: Обратите внимание, что ответ на интеграл может быть немного больше. сложнее, чем интегрируемая функция.
Заметьте также, что понятие площади под графиком не зависит от использования переменная для функции: мы могли бы с таким же успехом использовать или : Единственное ограничение состоит в том, что мы различаем переменную интегрирование и ограничения.
Например, мы никогда не пишем: .
Предположим, мы хотим теперь узнать площадь под графиком некоторого другого функция, что мы не знаем ответ заранее.
Позже мы разработаем методы исчисления, чтобы дать нам ответ во многих полезные кейсы.
А пока мы изучим численный подход, называемый методом Суммы Римана.
Этот метод также является идеальным резервным копированием, когда все остальные методы не работают.
Сначала введем понятия верхнего и нижнего Суммы Римана, которые используются для оценки интегралов ограниченных функции.
  • Верхняя сумма Римана, , или , или :
    Разделим область под графиком на множество маленьких вертикальных щепки.
    Для каждой полоски мы помещаем прямоугольник вокруг полоски, как как можно ближе.
    Мы вычисляем площадь каждого прямоугольника и складываем все ответы вверх.
    Так как все прямоугольники вместе взятые окружают графика, получаем завышение точного интеграла:
  • Младшая сумма Римана , или , или :
    Снова делим область под графиком на множество маленьких вертикальных щепки.
    Для каждой щепки подгоняем прямоугольник под щепку как можно плотнее насколько это возможно.
    Мы вычисляем площадь каждого прямоугольника и складываем все отвечает.
    Так как все прямоугольники вместе взятые находятся внутри графика, получаем занижение точного интеграла:
  • Итак, теперь у нас есть неравенство:
  • Если функция работает достаточно хорошо (не слишком много глюков) и если мы используем миллионы щепок, часто оказывается, что нижняя и верхние суммы Римана очень близки по значению.
    Так как интеграл лежит между этими двумя числами точная оценка ответа на вопрос интеграл получается усреднением двух чисел.
    Итак, наша оценка для интеграла а ошибка максимум , что, надеюсь, очень мало.
Как это организовать на практике?
Сначала мы проиллюстрируем приблизительный расчет площади под параболой.

Далее: Оценка площади под Up: Интегралы и площадь Предыдущий: Интегралы и площадь
Джордж А.Дж. Спарлинг 2001-08-15

Область под кривой

Если построить график функции y = ƒ( x ) на некотором интервале [ a , b ], произведение xy будет площадью области под графиком, т.е. лежит между графиком графика и осью x , ограниченной слева и справа вертикальными линиями, пересекающими a и b соответственно.Если ƒ( x ) является линейной функцией , область под графиком будет прямоугольником, треугольником или трапецией. Для любой из этих форм вычисление площади является относительно простым делом. Но что, если функция нелинейна ? На рисунке ниже показан график нелинейной функции y = x  2 для 0 ≤ x ≤ 1.


График функции y = x  2 для 0 ≤ x ≤ 1


Если вычислить площадь треугольника с основанием в одну единицу длины и высотой в одну единицу, мы получим результат ноль целых пять десятых (0.5) единицы. Это дает нам грубое приближение площади области под графиком. Конечно, не зная фактической площади, трудно точно сказать, насколько близко наше приближение к правильной цифре. На самом деле область под графиком имеет площадь ровно одной трети ( 1 / 3 ) единицы. Расчеты, использованные для получения этого результата, будут описаны в другом месте этого раздела. А пока давайте подумаем о том, как мы могли бы улучшить нашу оценку.Начнем с того, что разобьем область под кривой на прямоугольные полосы. Для начала мы будем использовать всего четыре полосы одинаковой ширины, как показано ниже. Внутри каждой полоски строим прямоугольник такой же ширины, как полоска. Высота каждого прямоугольника такова, что верхний левый угол прямоугольника едва касается графика.


Площадь под графиком разбита на четыре равные полосы


Если мы вычислим площадь каждого прямоугольника и сложим результаты вместе, мы получим другую оценку площади области под графиком.Чтобы найти ширину каждой полосы, мы разделим общую ширину интервала на количество полос — в данном случае четыре . Ширина интервала [ a , b ] определяется как b a , поэтому общая ширина интервала здесь определяется как 1 — 0. Мы можем думать о каждой полосе как о подинтервалах. . Ширина каждого подинтервала представляет собой постепенное изменение x , которое мы представляем как Δ x . Символ Δ — это греческая заглавная буква , дельта — приращение , символ .Собрав все это вместе, ширину каждого подинтервала можно выразить как:

4 / 4
Δ x =

Таким образом, интервал [0, 1] делится на следующие четыре подинтервала:

[0, 1/4]

[1/4, 1/2]

[1/2, 3/4]

[3/4, 1]

Обратите внимание, что высота прямоугольников, которые мы нарисовали, совпадает со значением функции в левой конечной точке каждого прямоугольника (с тем же успехом мы могли бы использовать правую конечную точку , но мы должны с чего-то начинать). ).Рисование наших прямоугольников таким образом означает, что мы выполняем то, что называется аппроксимацией левой конечной точки . Конечные точки подинтервалов помечены (чтобы мы могли ссылаться на них) следующим образом:

x 0   =  0

x 1   =   1 / 4

x 2   =   1 / 2

x 3   =   3 / 4

x 4   =  1

Следующим шагом является вычисление значений функции в левой конечной точке каждого подынтервала:

ƒ( x 0   =  0  2   =  0

ƒ( x 1 )  =  ( 1 / 4 )  2   =   1 / 16 3 3

ƒ( x 2 )  =  ( 1 / 2 )  2   =   1 / 4

3

( x 3 )  =  ( 3 / 4 )  2   =   9 / 16 3

Мы можем объединить всю эту информацию в общую математическую формулу, которая позволит нам вычислить, а затем сложить (или суммировать ) площади прямоугольников в каждом подинтервале. Это даст нам аппроксимацию общей площади под кривой, которую мы назовем A (для площади ). Мы назовем само приближение L 4 (чтобы указать, что это приближение левой конечной точки с использованием четырех прямоугольников ). Единственная другая метка, которая нам нужна, — это индекс (в форме целочисленного нижнего индекса), чтобы определить, о каком подинтервале мы говорим в любой момент. Мы назовем этот индекс i , и его значение будет варьироваться от i = 1 до i = 4 (поскольку имеется четыре подынтервала).Вот формула:

a ≈ l 4 = = ƒ ( x 2 I — 1 ) Δ x = ƒ ( x 0 ) δ x + ƒ ( x 1 ) δ x + ƒ ( x 2 ) δ x + ƒ ( x 3
Σ
I = 1
A ≈ L 4 = 0 × 1 / 4 + 1 / 16 × 1 / 4 + 1 / 4 × 1 / 4 / 4 + 9 / 16 × 1 / 4
A ≈ L 4 = 7 / 32 = 0. 21875

Мы используем греческую заглавную букву Sigma (Σ), чтобы обозначить, что мы складываем вместе (или суммируя ) ряд терминов. Возможно, вы уже встречались с подобными обозначениями. В случае, если вы этого не сделали, может быть полезно некоторое объяснение того, что происходит. Число над символом сигма вместе с выражением под ним говорит нам, что мы оцениваем некоторую функцию относительно целочисленных значений i , начиная с i = 1 и заканчивая i = 4.Выражение, следующее сразу за символом сигмы — ƒ( x i — 1 ) ∆x — говорит нам, что каждый член в сумме является произведением на ƒ( x i — 3 1 9095 ) и Δ x . В первом члене суммы, например, x i — 1 в скобках функции относится к значению x , которое мы обозначили как x 0 , потому что начальное значение и это один . Таким образом, функция оценивается для x = 0, а результат умножается на Δ x , что является просто шириной каждого подинтервала ( 1 / 4 ).

Эта новая оценка более точна, чем та, которую мы получили с помощью треугольника, даже несмотря на то, что между вершинами прямоугольников и кривой есть довольно большие разрывы. Обратите внимание, что, поскольку мы используем аппроксимацию левой конечной точки с функцией, которая на увеличивает , получаемая нами оценка на занижает .Это связано с тем, что прямоугольники никогда не покрывают всю площадь под кривой. Для функции, уменьшающей на на интервале, аппроксимация левой конечной точки дает прямоугольники, покрывающие все области под кривой, как показано на рисунке ниже. Как вы можете видеть, они также покрывают площади, которые составляют , а не под графиком, поэтому оценка, которую мы получим, суммируя площади прямоугольников, будет на завышенной оценкой .


График y = 1 — x  2 для 0 ≤ x ≤ 1


Если у нас есть функция, которая одновременно увеличивает и уменьшает на интервале, то аппроксимация левой конечной точки будет переоценивать некоторые части области под кривой и недооценивать другие, как вы можете видеть ниже.Будет ли приближение завышенной или заниженной оценкой кривой в целом , конечно, будет зависеть от функции и интересующего нас интервала.


График y = 1 — x  2 для -1 ≤ x ≤ 1


Пока мы говорим о функциях, которые увеличивают и уменьшают на интервале, давайте подумаем о том, как мы будем обрабатывать функции, которые дают как положительные , так и отрицательные значения на интервале или отрицательные значения на всем интервале. Простой ответ заключается в том, что для интервала (или его части), где функция отрицательна , мы находим площадь области выше кривой точно так же, как и для интервала (или его части), где функция является положительным , мы находим площадь области ниже кривой. Принцип проиллюстрирован ниже.


Если функция отрицательна, мы находим площадь выше кривой


Поскольку любая область выше по оси x считается положительной , а любая область ниже по оси x считается отрицательной , то наша аппроксимация будет равна общей площади прямоугольников выше ось x минус общая площадь прямоугольников ниже ось x .Другими словами, сумма дает нам чистое значение площади между графиком и осью x .

Сделаем другую аппроксимацию площади под графиком функции y = x  2 , определенной на отрезке [0, 1]. На этот раз мы будем использовать приближение правой конечной точки .


Аппроксимация правой конечной точки с четырьмя подынтервалами


Если мы вычислим площадь каждого прямоугольника и сложим результаты вместе, у нас будет еще одна оценка площади области под кривой, но на этот раз она будет на больше оценки .Высота каждого прямоугольника на этот раз будет такой же, как значение функции в правой конечной точке прямоугольника. Конечные точки каждого подинтервала имеют те же метки, что и раньше, поскольку изменится только высота прямоугольников. Однако на этот раз мы вычисляем значения функции, используя значение x в правой конечной точке каждого подинтервала, следующим образом:

ƒ( x 1 )  =  ( 1 / 4 )  2   =   1 / 16 3 3

ƒ( x 2 )  =  ( 1 / 2 )  2   =   1 / 4

3

ƒ( x 3 )  =  ( 3 / 4 )  2   =   9 / 16 3 3

ƒ( x 4 )  =  1  2   =  1

Мы назовем аппроксимацию R 4 , чтобы указать, что это аппроксимация правой конечной точки с использованием четырех прямоугольников . И снова аппроксимация общей площади под кривой дается как сумма площадей прямоугольников в каждом подинтервале. Находим сумму по следующей формуле:

a ≈ R 4 = ƒ ƒ ( x 2 I ) Δ x = ƒ ( x 1 ) δ x + ƒ ( x 2 ) δ x + ƒ ( x 3 ) Δ x + ƒ ( x 4 ) Δ x
I = 1
9
A ≈ L 4 = 1 / 16 × 1 / 4 + 1 / 4 × 1 / 4 + 9 / 16 × 1 / 4 + 1 × 1 / 4
A ≈ L 4 = 15 / 32 = 0. 46875

Эта оценка снова более точна, чем та, которую мы получили с помощью треугольника, но немного менее точна, чем аппроксимация левой конечной точки. В этом нет ничего удивительного, так как в каждом прямоугольнике есть несколько значительных частей, выходящих за пределы кривой графика. Использование аппроксимации правой конечной точки с функцией, которая на увеличивается на , всегда будет давать нам завышенную оценку на , потому что прямоугольники всегда покрывают всю площадь под кривой плюс некоторые области, которые не находятся под графиком.Интересно, что если мы возьмем среднее значение аппроксимации левой и правой конечных точек, мы получим цифру, которая не , а далеко от фактической площади области под графиком:

0,21875 + 0,46875   =  0,34375
2

Давайте посмотрим, что произойдет, если мы нарисуем наши прямоугольники так, чтобы их высота была такой же, как значение функции в средней точке каждого прямоугольника (мы выполним то, что называется аппроксимацией средней точки ).


Аппроксимация средней точки с четырьмя подынтервалами


Мы будем следовать точно такой же процедуре, как и раньше. Мы вычисляем площадь каждого прямоугольника и суммируем результаты, чтобы получить приблизительное значение площади под кривой. Мы по-прежнему можем ожидать, что наша аппроксимация будет либо завышенной, либо заниженной, но это еще предстоит увидеть.На этот раз мы вычислим значения функции в средней точке каждого подинтервала следующим образом:

ƒ( x 1 м)  =  ( 1 / 8 )  2   =   1 / 64 3

73

ƒ( x 2 м)  =  ( 3 / 8 )  2   =   9 / 64 3 3

ƒ( x 3 м)  =  ( 5 / 8 )  2   =   25 / 64

ƒ( x 4 м)  =  ( 7 / 8 )  2   =   49 / 64

Мы назовем аппроксимацию M 4 , чтобы указать, что это аппроксимация средней точки с использованием четырех прямоугольников . Как и прежде, аппроксимация площади под кривой дается как сумма площадей прямоугольников в каждом подинтервале. Находим эту сумму по следующей формуле:

= 1
a ≈ M 4 = = ƒ ( x 2 I м) Δ x = ƒ ( x 1 m) Δ x + ƒ ( x 2 м) δ x + ƒ ( x 3 m) Δ x + ƒ ( x 4 м) δ x
Σ
i = 1
A ≈ L 4 = 1 / 64 / 4 + 9 / 64 × 1 / 4 + 25 / 25 / 64 3 × 4 / 4 3 + 49 / 64 3 × 1 / 4
A ≈ L 4 = 21 / 64   =  0. 328125

Эта оценка пока самая точная. Это часто имеет место для функций, которые ведут себя достаточно хорошо. Тем не менее, есть еще много возможностей для улучшения. Прежде чем мы двинемся дальше, мы, возможно, должны кратко упомянуть альтернативный метод аппроксимации площади под графом, который называется правилом трапеций . Используя этот метод, мы по-прежнему делим интервал на несколько подинтервалов одинаковой ширины, но вместо того, чтобы рисовать прямоугольник внутри каждого подинтервала, мы рисуем трапецию (трапеция — это четырехугольник с двумя параллельными сторонами), как показано ниже.


Мы можем получить аппроксимацию площади под кривой, используя трапеции.


На рисунке показан график функции y = x  2 + 1 для 0 ≤ x ≤ 1. Аппроксимация трапеции более точна, чем аппроксимация левой или правой конечной точки, потому что мы может нарисовать трапецию, которая соответствует фактической форме под кривой в каждом подинтервале довольно точно. На самом деле оказывается, что использование правила трапеций дает точно такой же результат, как получение среднего значения аппроксимации левой точки и аппроксимации правой точки для подинтервалов одинаковой ширины. Это можно объяснить тем, что площадь трапеции равна среднему значению площадей двух соответствующих прямоугольников.

Ни один из методов, которые мы видели до сих пор, не дал нам особенно точного приближения. В этот момент вы вполне можете подумать, что если мы разделим область под графиком на большее количество подынтервалов, то получим более точную аппроксимацию.Если да, то вы абсолютно правы. Использование большего количества подинтервалов означает, что разница между фактической площадью под графиком в каждом подинтервале и площадью прямоугольника, нарисованного в пределах этого подинтервала, будет меньше. Это улучшит общую точность нашего приближения. Давайте посмотрим, как выглядит приближение левой конечной точки для функции y = x  2 для 0 ≤ x ≤ 1 с использованием восьми подинтервалов.


Мы можем получить лучшее приближение, используя больше подынтервалов


Не воспроизводя весь расчет (который начинает выглядеть несколько громоздким), мы можем сообщить, что сложение площадей прямоугольников дает нам приблизительное значение площади под графиком, равное 0.2734375 — намного точнее, чем результат, который мы получили всего с четырьмя подынтервалами, но все же значительно менее точен, чем для приближения средней точки. Тем не менее, это прогресс. Оказывается, чем больше у нас подинтервалов (независимо от того, используем ли мы левую конечную точку , правую конечную точку или приближение средней точки ), тем точнее будет наша аппроксимация.

Описанные здесь методы аппроксимации площади фигуры, площадь которой не может быть вычислена с помощью стандартных геометрических формул, основаны на методе, впервые использованном древними греками, который позже стал известен как метод исчерпания . Метод включает в себя нахождение площади фигуры путем рисования внутри нее последовательности многоугольников (площади которых можно легко вычислить). В конце концов, разница между площадью фигуры и общей площадью, занимаемой многоугольниками, станет настолько малой, что ею можно будет пренебречь. Точно так же, если мы продолжим делить площадь под графиком на все более тонкие прямоугольные срезы, наша аппроксимация площади под графиком будет становиться все более точной, но действительно ли это практично? И сколько вычислений нам придется сделать? Мы вернемся к этому вопросу в свое время.

Суммы, которые мы рассчитывали путем сложения площадей прямоугольников, проведенных в каждом подинтервале, называются суммами Римана , в честь немецкого математика Георга Фридриха Бернхарда Римана (1826-1866). Сумма Римана — это аппроксимация площади области, которая определяется путем деления области на прямоугольники или трапеции, вычисления площади каждой из этих фигур и последующего сложения результатов. Как мы видели, точность аппроксимации можно повысить, разбивая область на все более и более мелкие формы, пока сумма не приблизится к так называемому интегралу Римана (мы подробно изучим тему интегралов в другом месте этой статьи). раздел).

Интеграл Римана — это, по существу, число, равное точной площади области под графиком функции, заданной на некотором интервале.Это число находится между результатами двух сумм Римана, известных как верхняя и нижняя суммы Римана . Интервал разбивается на несколько подынтервалов одинаковой ширины, и в каждом рисуется прямоугольник. Ширина каждого прямоугольника будет такой же, как и у подынтервала.

Чтобы вычислить верхнюю сумму Римана , высота прямоугольника в каждом подинтервале должна быть установлена ​​равной максимальному значению функции на этом подинтервале, как показано ниже.Верхняя сумма Римана есть сумма площадей этих прямоугольников.


Прямоугольники эффективно описывают область под графиком.


Предположим, у нас есть функция ƒ( x ), определенная на некотором интервале, который разделен на n равных подинтервалов. Мы можем определить верхнюю сумму Римана как:

91 140 S = п υ я ( х я х я — 1 ) Σ и = 1

Где υ I I 3 — Supremum (наибольшее значение) ƒ ( x ) по интервалу [ x 2 I — 1 , x I ].

Чтобы вычислить нижнюю сумму Римана , высота прямоугольника в каждом подинтервале должна быть установлена ​​равной минимальному значению функции на этом подинтервале, как показано ниже. Нижняя сумма Римана есть сумма площадей этих прямоугольников.


Прямоугольники фактически вписаны в область под графиком.


Мы можем определить нижнюю сумму Римана как:

91 140 S = п υ я ( х я х я — 1 ) Σ и = 1

Где υ I I 3 IS INFUM (наименьшее значение) ƒ ( x ) над интервалом [ x 2 I — 1 , x 2 I ].

До сих пор мы исследовали идею аппроксимации площади под графиком функции, заданной на некотором интервале, путем сложения площадей конечного числа прямоугольников. Если мы хотим найти точных областей под графиком, нам нужно начать думать с точки зрения приближения числа прямоугольников к бесконечности . Это означает, что ширина x ) прямоугольников будет приближаться к нулю .Если это произойдет, то и верхняя, и нижняя суммы Римана сойдутся к одному и тому же значению, т. е. интегралу Римана — чаще называемому определенным интегралом . Хорошая новость заключается в том, что на самом деле нам не нужно производить бесконечное количество вычислений, чтобы вычислить определенный интеграл, как мы увидим.


Модуль 19 — Приложения интеграции

В предыдущих модулях вы использовали определенный интеграл, чтобы найти площадь, ограниченную функцией и осью x.В каждом случае график функции располагался над осью x. В этом уроке вы увидите, что происходит, когда функция опускается ниже оси x. Вы также изучите концепцию определенного интеграла как функции чистой площади.


Все кривые, изученные в Модуле 18, были выше оси x . Далее исследуется определенный интеграл, когда часть кривой находится ниже оси x .

  • График y = sin x в [0, 2 , 1] x [-1, 1, 1] окно.
  • Вычислить интеграл с помощью встроенного ключа.

Как результат может быть нулевым? Площадь, ограниченная y = sin х и ось х , определенно не равна нулю. Чтобы помочь ответить на этот вопрос, разбейте интервал интегрирования на два подинтервала, которые представляют области выше и ниже оси x : [0, ] а также [ , 2 ].

  • Оценивать а также .

Нахождение положительных и отрицательных интегралов

Просмотрите график y = sin x и значения определенных интегралов. а также .

График от 0 до находится выше оси x и соответствующий определенный интеграл положителен.

График из до 2 находится ниже оси x и соответствующий определенный интеграл отрицателен.

Нахождение чистой площади

Определенный интеграл представляет собой значение чистой области или площади над осью x за вычетом площади под осью x .Из приведенного выше мы знаем, что площадь над осью x равна 2, а площадь под осью x равна 2. Чистая площадь между кривой y = sin x и x — Таким образом, ось на этом интервале равна 2 минус 2 или нулю.

19.1.1 Использование определенного интегрального признака в меню CALC экрана Graph, чтобы аппроксимировать значения

Щелкните здесь, чтобы получить ответ.

Визуализация

Вы можете получить общую форму соответствующей чистой функции площади на интервале [0, 2 ] путем изучения графика y = sin x .

  • Обновите график y = sin x , нажав .

Следующие характеристики функции чистой площади можно определить по графику кривой y = sin x .Посмотрите на график, читая таблицы ниже. Напомним, что функция кривой является производной функции чистой площади, или, в данном случае, F ‘ ( x ) = sin( x ).

Более того, значения x , где встречаются максимумы, минимумы и точки перегиба, могут быть идентифицированы путем изучения того, как функция кривой изменяется .

x -значение Функция кривой изменяется Зона Функция
х = от положительного к отрицательному локальный максимум
от увеличения к уменьшению точка перегиба
от уменьшения к увеличению точка перегиба

Другие характеристики функции чистой площади включают:

  1. Когда x = 0, чистая площадь равна 0.
  2. Чистая площадь на интервале [0, ] равно 2, и функция чистой площади начинает уменьшаться в этой точке, поэтому максимум функции чистой площади равен 2, когда x = .
  3. Чистая площадь на интервале [0, 2 ] равно 0, поэтому функция чистой площади равна 0, когда x = 2 .

С помощью этих характеристик вы можете построить график чистой функции площади. .Используя TI-83, мы можем построить график F ( x ) и подтвердить приведенные выше результаты.

Постройте график F ( x ), следуя приведенной ниже процедуре.

  • Введите Y1 = fnInt(sin(T),T,0.X).
  • Показать график в [0, 2 , 1] x [0, 2, 1] окно.

Визуализация общей формы интегральной функции часто очень помогает.

Распространение процедуры на другие кривые

19. 1.2 Начертите кривую и найдите чистую площадь, ограниченную y = x 3 – 3 x 2 x + 3 и интервалом x на оси 4].

Щелкните здесь, чтобы получить ответ.

Визуализация

Характеристики функции чистой площади можно найти, изучив график функции кривой.График кривой показан ниже в окне [0, 4, 1] x [-5, 15, 1] ​​со списком характеристик функции чистой площади.

  1. Когда x = 0, функция чистой площади равна 0.
  2. Функция чистой площади возрастает на (0, 1) и (3, 4), потому что функция кривой здесь положительна.
  3. Функция чистой площади убывает на (1, 3), потому что функция кривой здесь отрицательна.
  4. Функция чистой площади вогнута вниз на (0, 2,1547), потому что кривая там убывает.
  5. Чистая функция площади вогнута вверх на (2.1547, 4), потому что кривая там возрастает.
  6. Поскольку кривая меняется с положительной на отрицательную при x = 1, функция чистой площади имеет здесь локальный максимум.
  7. Поскольку кривая меняется с отрицательной на положительную при x = 3, функция чистой площади имеет здесь локальный минимум.
  8. Функция чистой площади положительна на интервале (0, 2), потому что над осью больше площади, чем под ней.
  9. Площадь от x = 0 до x = 1 кажется примерно такой же, как площадь от x = 1 до x = 2, поэтому функция чистой площади равна примерно 0, когда x = 2 .В этом можно убедиться, вычислив интеграл .
  10. От x = 2 до значений, превышающих x = 3, функция чистой площади отрицательна, поскольку до этой точки большая часть площади находится ниже оси x .
  11. Где-то за пределами x = 3 функция чистой площади снова становится положительной, потому что над осью x находится больше площади, чем под ней.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.

    2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
    тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск