Неполные квадратные уравнения решение онлайн: Решение квадратных уравнений онлайн

Содержание

Решение неполных квадратных уравнений. 8 класс

Тем, кто учит математику,
Тем, кто учит математику,
Тем, кто любит математику,
Тем, кто ещё не знает,
Что может полюбить
математику,
Наш урок посвящается
Величие человека в его способности мыслить
Блез Паскаль
Личностные цели :
1. Стимулировать способность иметь
собственное мнение.
2. Умение учиться самостоятельно.
3. Умение хорошо говорить и легко выражать
свои мысли.
4. Учиться применять свои знания и умения к
решению новых проблем.
5. Умение уверенно и легко выполнять
математические операции.
2
х =
а)
х2 =
б)
х2 =
а
81
в) х2 = -25
0
г)х2 = 0,49

4. Разложите на множители

• Условие
• y2 + y
• x2 – 16
• 3×2 + x
• 9z2 – 4
• y2 – 6y +9
• Ответ
• y(y + 1)
• (x – 4)(x + 4)
• x(3x + 1)
• (3z – 2)(3z + 2)
• (y – 3)2

5. Выполним устно

Найди корни уравнения
а) (х -3) (х+ 12) = 0;
б) (6х – 5) (х + 5) = 0;
в) (х – 8) (х + 2) (х² + 25) = 0;
1. Какое уравнение называется
квадратным?
2. Может ли коэффициент а в
квадратном уравнении быть
равным 0?
ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
Квадратным уравнением
называется…
уравнение вида ах2 + вх +с = 0,
где х –переменная,
а, в и с некоторые
числа,
причем а
0.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
корнями квадратного уравнения
называются …
все значения переменной, при
которых уравнение обращается в
верное равенство
ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
решить квадратное уравнение значит…
найти все его корни или установить,
что их нет
Из данных уравнений выберите квадратные
и назовите их коэффициенты а, в и с
1) 7 x 8 19 61x
4 2
2) x 7 x 1 0
5
3x 1
3)
2x 0
5x 2
4) x 6 x 3 x 2
5
5) 2 4 x 9 0
x
2
2
6) 2 x 7 x 6 2 x
7) 17 x 5 x
8) 4 x 7 x 0
2
3x 1
9)
2x 0
5
10) 2 x 6 x 3 x 7
11) 6,2 x 8 0
2
3 2
12) x 0
7

11.

Выступление учащихся Поведать мы сегодня вам хотим
Историю возникновения
Того, что каждый школьник должен знать –
Историю квадратных уравнений.
Историческая
справка:
Квадратные уравнения впервые
встречаются в работе индийского
математика и астронома
Ариабхатты.
Другой индийский ученый
Брахмагупта (VII в) изложил общее
правило решения квадратных
уравнений.

13. Историческая справка

В трактате «Китаб аль –
джебр валь- мукабала»
хорезмский математик
аль – Хорезми разъясняет
приёмы решения уравнений
вида
ах²=bх, ах²=с, ах²+с=bх, ах²+bх=с,
bх+с=ах² (а>0; b>0; с>0).

14. Историческая справка

Общее правило решения
квадратных уравнений было
сформулировано немецким
математиком М.Штифелем
(1487 — 1567).
Выводом формулы
решения квадратных
уравнений общего вида
занимался Виет.

15. Историческая справка

После трудов нидерландского
математика А. Жирара (1595 — 1632), а
также Декарта и Ньютона способ
решения квадратных уравнений
принял современный вид.
Рене Декарт
Исаак Ньютон
(1596 – 1650 г.)
(1643 – 1727г.)
Интересно,
а что будет, если
коэффициенты
квадратного уравнения
по очереди или все сразу
(кроме а)
превратятся в нули.
Давайте проведём исследование.

17. Посмотрите на данные уравнения и попробуйте разбить их на две группы по каким – либо признакам.

2
5х – 9х + 4 = 0
х2 + 0, 16 = 0
9х2 = 0
2
— х – 8х + 1 = 0
6х2 – 30 = 0
х2 + 3х – 10 = 0
2
х + 2х = 0
— 20 х2 + х – 1 = 0
4 х2 – 3х + 5= 0
— 0,4 х2 – 3 = 0
2
х – 2х + 0, 5 = 0
2
— 4х + 5х = 0

18. Мы получили вот такой результат:

5х2 – 9х + 4 = 0
2
— х – 8х + 1 = 0
2
х + 3х – 10 = 0
2
4 х – 3х + 5= 0
2
9х2 = 0
2
6х – 30 = 0
2
— 4х + 5х = 0
2
х + 2х = 0
2
— 20 х + х – 1 = 0
— 0,4 х – 3 = 0
х2 – 2х + 0, 5 = 0
х2 + 0, 16 = 0
2
— х + 4х = 0
Тема:
Решение неполных
квадратных
уравнений
1. Научиться определять
вид квадратного уравнения
— полное оно или неполное.
2. Научиться выбирать
нужный алгоритм решения
неполного квадратного
уравнения.
Сегодня вы узнаете:
1. Какие уравнения называют
неполными квадратными?
2. Какие частные случаи
квадратных уравнений бывают?
3. Каковы способы решения
квадратных уравнений в каждом
частном случае?
А теперь давайте вместе
искать ответы на эти
вопросы.
Желаю удачи!

22. Определение неполного квадратного уравнения.

Если в квадратном уравнении
ах2+bх+с=0
хотя бы один из коэффициентов
b или с равен нулю,
то такое уравнение называют
неполным квадратным
уравнением.
РЕШЕНИЕ
НЕПОЛНЫХ
КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
в=0
с=0
в,с=0
ах2+с=0
ах2+вх=0
ах2=0
1.Перенос с в правую част ь
уравнения.
1.
ах2= -с
х(ах + в) = 0
2.Деление обеих част ей
уравнения на а.
х2=
2.
-с/а
3.Если –с/а>0 -два решения:
х1 =
с
а
и х2 = —
Вынесение х за
скобки:
Если –с/а
с
а
Разбиение уравнения
на два
равносильных:
х=0
и
ах + в = 0
3. Два решения:
х = 0 и х = -в/а
1.Деление обеих
част ей уравнения
на а.
х2 = 0
2.Одно решение:
х = 0.
Работа по учебнику:
№ 342 (а)
№ 342 (в)
№ 342 (д)
№ 342 (ж)
№ 345 (5)
Подготовка к ОГЭ
В ответе напишите наибольший корень
( х +2 )2 + ( х — 3 )2 = 13
( х +2 )2 + ( х — 3 )2 = 13
х2 + +4х + 4 + х2 – 6х +9 – 13 = 0
2х2 -2х = 0
х=0
х=1
Ответ: 1

26. Физкультминутка для глаз.

На уроке мы сидим
И во все глаза глядим,
А глаза нам говорят,
Что они уже болят…
… Открываем мы глаза
Дальше нам решать пора.
Продолжаем мы урок
Всем пошел наш отдых впрок.
Блицтурнир
Выполните
взаимопроверку с вашим
соседом по парте:
За каждое правильно
решённое уравнение
присуждается 1 балл
Домашнее задание:
П. 24 (1, 2)
№ 342 (б, г, е, з)
Вопрос №1 п. 24
(Приведите примеры
квадратных
уравнений, при
решении которых
пользоваться общей
формулой
нерационально)

30. Подведем итоги

•Какие уравнения называются
неполными квадратными?
•Сколько видов неполных
квадратных уравнений мы узнали?
Я решал эти
непонятные
уравнения…
Я добросовестно
работал.
Я преумножил
свои знания!
Вот и завершается
наш урок.
Ребята! Вы получили ответы на
интересующие вас вопросы?
Поняли, что нас впереди
ждут интересные,
а самое главное – важные темы?
Я только хочу вам напомнить,
что при решении задач, примеров
надо искать рациональные подходы
и
применять разнообразные способы.
за урок!

Квадратные уравнения 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Составление уравнений

 

Когда вы просыпаетесь утром и слышите за окном размеренный стук капель, то сразу понимаете, что на улице идет дождь. Для этого вам даже не надо выглядывать в окно. Или мама приготовила вам с братом 5 бутербродов в школу. Увидев только 2 бутерброда, вы понимаете, что ваш брат взял с собой 3, хотя и не видели, как он это сделал.

 

В жизни мы часто сталкиваемся с такими ситуациями: наблюдаем одно, а на основании этих наблюдений делаем выводы о другом. Если речь идет о числовых величинах, то по результатам наблюдений мы можем составить уравнение для получения вывода – нахождения неизвестной величины.

Как измерить толщину листа бумаги? Обычная линейка не подойдет – у нее цена деления больше измеряемой величины. Но можно воспользоваться тем, что толщина у листов, обычно, практически одинаковая. Значит, если взять много листов, то толщина одного – это толщина пачки, разделенная на количество листов в ней.

Получаем метод измерения: взять пачку такой толщины, чтобы ее можно было достаточно точно измерить имеющейся линейкой, затем посчитать количество листов в ней. Если, к примеру, толщина пачки из 500 листов оказалась равной , то получаем уравнение:

Откуда толщина одного листа:

Другой пример. Вам нужно посчитать, сколько конфет лежит в пакете. Конечно, это можно сделать напрямую. Ну, а если конфет очень много? Выход есть! Если мы знаем массу одной конфеты (например, на упаковке написано: 15 г), то можем взвесить весь пакет (пусть получилось 1800 г). Обозначив количество конфет за , составляем уравнение:

Решая уравнение, получаем ответ:

 

Квадратные уравнения

 

 

Полученные в примерах уравнения:  и  – это линейные уравнения (уравнения вида ). С ними и с задачами, которые ими описываются, мы уже умеем работать.

 

Но в линейных уравнениях переменная всегда в первой степени (. Понятно, что так будет не всегда. Например, если мы ищем сторону квадрата с площадью , то должны решить уравнение: , которое уже не будет линейным (логично так и назвать его – нелинейным).

Многие задачи могут быть смоделированы нелинейными уравнениями. Например, для нахождения минимальной начальной скорости мяча , с которой нужно его подбросить, чтобы он перелетел через забор высотой  метра, нужно решить квадратное уравнение .


 

Как получилось такое уравнение?

Воспользуемся формулой из курса физики, а именно – формулой для вычисления расстояния, которое прошло тело при равноускоренном движении.

Когда мы подбрасываем мяч, то на него действует только сила тяжести, т.е. мяч движется с ускорением , которое направлено вниз. Пока мяч летит вверх, это ускорение замедляет его начальную скорость до  (в верхней точке), а когда он начинает падать, наоборот, разгоняет (увеличивает скорость).

Рис. 1. Когда мяч начинает падать, ускорение увеличивает его скорость

В этом случае расстояние от земли до мяча можно вычислить по формуле:

где  – начальная скорость мяча,  – скорость мяча на данной высоте,  – ускорение свободного падения:

Мяч перелетит через забор, если высота его подлета станет равной высоте забора:

 м

Т.к. мы ищем минимальную скорость, то достаточно, чтобы это была верхняя точка траектории, т.е.

скорость мяча в ней равнялась

Кроме того, мы обозначили:

Получаем:

Откуда:

Подробнее о решении таких задач (и о том, откуда взялась использованная нами формула) вы узнаете на уроках физики в 9 классе


Рассмотрим два линейных уравнения:

Если мы их перемножим, то получим уравнение:

Понятно, что у этого уравнения два корня:  и , потому что произведение равно  только тогда, когда хотя бы один из множителей равен .

Если мы раскроем скобки в левой части, то получим уравнение:

Мы получили пример простейшего нелинейного уравнения – квадратного уравнения.

Строгое определение: квадратное уравнение – это уравнение вида:

где  – заданные числа (коэффициенты квадратного уравнения), причем, ведь если , то уравнения будет линейным .

 

Алгоритм решения квадратных уравнений

 

 

В рассмотренном нами примере квадратное уравнение  можно решить, разложив левую часть на множители:

 

Но для любых ли  можно разложить квадратный трехчлен (так называется выражение   в левой части квадратного уравнения – три члена – три слагаемых, старшая степень – квадрат) на линейные множители?

Например,  разложить на множители нам не удастся, у уравнения  нет действительных корней (потому что, как мы знаем, квадрат действительного числа не может быть отрицательным: ).

Но можно ли как-то определить наличие или отсутствие корней квадратного уравнения по его коэффициентам? Оказывается, да. И это мы сегодня тоже научимся делать.

Итак, как решать квадратные уравнения? Один способ мы уже нашли – попытаться разложить левую часть на линейные множители, и приравнять каждый из них к . Алгоритм будет следующий:

  1. перенести все слагаемые в одну сторону;
  2. разложить полученное выражение на множители;
  3. решить полученные линейные уравнения.

Для разложения на множители, можем использовать различные уже известные нам приемы:

  1. вынесение множители за скобки;
  2. формулы сокращенного умножения;
  3. метод группировки;
  4. выделение полного квадрата.

Повторить эти методы вы можете, посмотрев урок «Разложение многочленов на множители»

Рассмотрим несколько примеров.

 

Пример 1. Решить уравнение:

Решение.

Перенесем слагаемое из правой части уравнения в левую:

Представим число так:

Тогда:

Применяем формулу разности квадратов:

Откуда:

Часто в квадратных уравнениях получается  ответа, поэтому возле неизвестной ставят индексы и записывают так:

Ответ: .

 

Пример 2. Решить уравнение:

Решение.

Выносим общий множитель за скобки:

Тогда:

Ответ: .

 

Неполные квадратные уравнения

 

 

Рассмотренные квадратные уравнения называются неполными квадратными уравнениями. Если вы сравните их с общим видом квадратного уравнения: , то поймете, почему.

 

Так, в уравнении  отсутствует слагаемое с , т.е. в нем коэффициент . В уравнении  отсутствует свободный член, т.е. . Рассмотрим еще несколько примеров неполных квадратных уравнений.

 

Пример 3. Решить уравнение:

Решение.

Чтобы использовать здесь формулу разности квадратов, вспомним соотношение для квадратных корней:

для любого неотрицательного . Соответственно:

Тогда:

Ответ: .

 

Пример 4. Решить уравнение:

Решение.

Формулы для суммы квадратов нет, поэтому мы не можем разложить левую часть уравнения на множители. В таком случае, уравнение не имеет решений. Покажем это:

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицательная величина, значит, нельзя найти такое значение , при котором .

Ответ: нет действительных корней.

С примером ситуации, когда квадратное уравнение не имеет решений, можно ознакомиться ниже.


 

Пример задачи, которая не имеет решения

Уравнения возникают, как модели для решения некоторых задач. Понятно, что некоторые задачи могут не иметь решения, а, значит, не будет иметь решения и соответствующее уравнение.

Вернемся к примеру с мячом, который бросают вертикально вверх. Выше мы говорили о формуле для пройденного мячом расстояния:

Если воспользоваться тем, что скорость при таком движении изменяется по формуле: , то получим:

Тогда, если тело подбросили вертикально вверх со скоростью  м/с, то зависимость высоты над поверхностью  будет иметь вид:

Чтобы определить время, через которое тело будет находиться на высоте  метра, нужно будет решить уравнение:

На высоте  м – уравнение:

Но тело, брошенное вертикально со скоростью  м/с, не долетит до высоты  метров (максимальная высота составит  метров). Поэтому вполне естественно, что уравнение  не будет иметь решений.

Когда мы говорим о том, что квадратное уравнение не будет иметь корней, то всегда будем говорить о действительных (вещественных) корнях. Мы говорили, что можно расширить такой инструмент число и ввести числа, квадрат которых может быть отрицательным (см. рис. 1):

Рис. 1. Действительные и комплексные числа

Такие числа называются комплексными. Если рассматривать решение квадратного уравнения на множестве комплексных чисел, то у него всегда будет два корня. Например:

Но, если по определению:

то:

Тогда:


 

 

Решение квадратных уравнений

 

 

Рассмотрим еще несколько примеров квадратных уравнений.

 

 

Пример 5. Решить уравнение:

Решение.

Здесь видим формулу полного квадрата:

Ответ: .

 

Пример 6. Решить уравнение:

Решение.

ФСУ здесь не видно, поэтому применим метод выделение полного квадрата. Квадрат первого выражения уже есть . Далее должно идти удвоенное произведение: . Глядя на выражение, видим, что вместо знака вопроса должно быть  (чтобы получить ):

Для полного квадрата не хватает квадрата второго выражения. Добавим и вычтем его:

Не забудем о последнем слагаемом :

Получим разность квадратов :

Ответ: .

 

Дискриминант квадратного уравнения

 

 

Итак, раскладывая на множители левую часть, мы можем решить любое квадратное уравнение. Если же разложить на множители нельзя, то уравнение не будет иметь решений. Это один из методов решения. Но, обратите внимание, он эффективно работал, когда нам удавалось легко разложить левую часть на множители.

 

Универсальный метод – это метод выделения полного квадрата, но, как мы видели на примере, он может быть достаточно громоздким. Попробуем с его помощью вывести готовую формулу для вычисления корней квадратного уравнения по его коэффициентам.

Квадратное уравнение в общем виде  можно преобразовать к виду:


 

Преобразование квадратного уравнения

Квадратное уравнение:

Поскольку , можем разделить обе части уравнения на :

Второе слагаемое должно представлять из себя удвоенное произведение:

Выделим полный квадрат – прибавим и вычтем :


Рассмотрим подробнее вторую дробь:

Поэтому знак дроби определяется знаком выражения . Это выражение называют дискриминантом квадратного уравнения:

В зависимости от знака дискриминанта, получаем разные решения:

1. если , то можно записать:

Тогда:

Получаем:

Используем формулу разности квадратов:

Получаем корни:

В этом случае уравнение имеет два корня. Их можно записать одной формулой:

2. если , то:

Получаем:

Получаем один корень уравнения. Иногда еще говорят, что «уравнение имеет два совпадающих корня». Полученное выражение для корня уравнения согласуется с формулой для квадратных корней при положительном дискриминанте:

3. если, то разложить на множители левую часть не удастся. При этом квадратное уравнение не будет иметь корней. Покажем это:

В левой части стоит неотрицательное выражение. В правой части – отрицательное:

Таким образом, уравнение не имеет решений в действительных числах.

Решим несколько квадратных уравнений, используя полученные формулы. Начнем с уравнения, которое мы уже решали.

 

Пример 6*. Решить уравнение:

Решение.

Сравнивая с общим видом уравнения , выпишем коэффициенты:

Считаем дискриминант:

Дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два корня:

Естественно, получаем те же корни, что были получены при решении другим методом.

Ответ: .

 

Пример 7. Решить уравнение:

Решение.

Сравнивая с общим видом уравнения , выпишем коэффициенты:

Считаем дискриминант:

Дискриминант , уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: нет действительных корней.

С решением еще одного квадратного уравнения вы можете ознакомиться ниже.


 

Решение еще одного квадратного уравнения

Пример. Решить уравнение:

Решение.

Выпишем коэффициенты:

Считаем дискриминант:

Дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два корня:

Используем свойства корня, чтобы упростить выражения (см. урок «Свойства квадратного корня»):

Получаем:

Ответ: .


 

 

Теорема Виета

 

 

Чтобы рассмотреть еще один способ решения, снова обратимся к общему виду квадратного уравнения . Поскольку , можем разделить обе части уравнения на :

 

Для удобства введем новые обозначения:

Получим:

Теперь в уравнении коэффициент при  равен . Квадратное уравнение в таком виде называют приведенным квадратным уравнением.

В рассмотренных ранее методах решения мы убедились, что если мы можем разложить левую часть уравнения на множители, то уравнение имеет корни.

Верно и обратное утверждение: если данное уравнение имеет корни, то его левую часть можно разложить на множители. Причем, это разложение будет иметь вид:

,

где  и  – это корни уравнения.

Из этого утверждения мы получаем два важных следствия.

Следствие 1. Мы получили еще один способ разложения на множители: многочлен вида  можно представить в виде , где  и  – корни уравнения .

Чтобы получить второе следствие, раскроем скобки в левой части равенства:

Сравнивая коэффициенты в левой и правой части, получаем:

Или:

Эти соотношения являются записью теоремы Виета. Итак, мы получили еще один способ решения квадратного уравнения: если подобрать такие числа  и , что:

то они будут корнями приведенного квадратного уравнения .

 

Пример 8. Решить уравнение:

Решение.

Составим приведенное квадратное уравнение:

По теореме Виета:

Подберем такие числа, которые удовлетворяют этим условиям. Этими числами являются  и , ведь:

Таким образом:

Ответ: .

С несколькими рекомендациями о том, как быстро подбирать корни по теореме Виета, вы можете ознакомиться ниже.


 

Подбор корней

Несколько рекомендаций по подбору корней.

1. Лучше всего подбор начинать с произведения корней. Раскладываете свободный член на множители и проверяете, выполняется ли соотношение для суммы корней:

 можно разложить на  и ; сумма будет  – не подходит. Можно на  и ; сумма равна  – подходит:

2. Подбирая корни, можно сначала подобрать модули корней, а затем уже определиться с их знаками. Рассмотрим на примере:

Знак перед свободным членом «плюс»,  значит, корни одного знака. Поэтому раскладываем на множители  так, чтобы сумма была . Подходят  и . Теперь определяемся со знаками. Сумма корней равна , значит, числа берем со знаком «минус»:

Еще пример:

Знак перед свободным членом «минус»,  значит, корни разного знака. Поэтому раскладываем на множители  так, чтобы разность была равна . Подходят  и . Теперь определяемся со знаками. Сумма корней равна , значит,  должно быть со знаком «плюс», а  – со знаком «минус»:

3. Теорему Виета удобно применять к приведенному уравнению с целочисленными коэффициентами. Но если изначально в уравнении коэффициент , то могут возникнуть дробные числа, с которыми работать менее удобно:


Этого можно избежать, рассмотрев другое приведенное уравнение:



Сделав замену , получаем приведенное квадратное уравнение:

Задача свелась к нахождению таких корней уравнения , произведение которых равно, а сумма равна . Корни исходного уравнения будут в  раз меньше:

Рассмотрим на примере уравнения:

Ищем числа, произведение которых равно , а сумма равна . Это числа  и . Корни исходного уравнения в  раза меньше этих чисел, т.е.


Разберем несколько типичных заданий, в которых удобно использовать теорему Виета.

 

Задание 1. Один из корней уравнения  равен . Определить второй корень уравнения.

Решение.

Составим приведенное квадратное уравнение:

По теореме Виета:

Один из корней равен единице , тогда:

Ответ: .

 

Задание 2. Найти значение выражения:

,

где  и  – корни уравнения:

Решение.

Конечно, можно найти корни уравнения с помощью дискриминанта и затем вычислить сумму кубов. Но вы можете убедиться, что корни не будут целыми числами, поэтому расчеты будут затруднительны. Данное задание удобнее решать с помощью теоремы Виета:

Выразим искомое выражение через сумму и произведение корней. Используем формулу суммы кубов :

Можем подставить значения из теоремы Виета:

Осталось выразить . Для этого выделим полный квадрат:

Подставляем значения из теоремы Виета:

Таким образом:

Ответ: .

 

Заключение

Мы рассмотрели несколько способов решения квадратных уравнений.

  1. Разложение на множители. Этим методом быстро и удобно решать неполные квадратные уравнения.
  2. Использование готовых формул для корней квадратного уравнения. Этот алгоритм является наиболее универсальным и четким: можно решить любое квадратное уравнение и есть строгий алгоритм действий.
  3. Использование теоремы Виета. Позволяет подбирать корни квадратного уравнения. Способ удобен для уравнений, корни которого являются целыми числами.

Какой способ лучше? Попробуйте сами и выберите наиболее удобный для себя: кому-то легче угадывать по теореме Виета, а кто-то будет четко идти по алгоритму, считая дискриминант. Различие понятно – подобрать корни по теореме Виета можно не всегда, и здесь больше элемент везения, а считать через дискриминант – это всегда наверняка, но дольше.

Итак, вы уже знаете алгоритмы решения линейных и квадратных уравнений. Естественно, при моделировании различных задач могут встретиться и более сложные уравнения. Некоторые из них можно свести к решению линейных и квадратных уравнений.

С тем, как это можно сделать, вы познакомитесь на практическом занятии. В общем виде также можно выписать формулы для решения любого уравнения 3 и 4 степени. Но эти алгоритмы решения не входят в курс школьной алгебры, поскольку они достаточно сложные и требуют введения понятия комплексного числа.

Интересна ситуация с уравнениями 5 и выше степени. Есть теорема о существовании корней этих уравнений. А другая теорема утверждает, что не существует алгоритмов, позволяющих найти точные решения этих уравнений в общем виде. Для уравнений 5 и выше степеней решения можно найти только для некоторых уравнений или же найти корни любого, но приближенно. Вот такая вот ситуация: решения есть, а универсальной формулы для их нахождения нет.

 

Список рекомендованной литературы.

  1. Никольский С. М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра. 8 класс. Учебник. ФГОС, издательство «Просвещение», 2018.
  2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра. 8  класс. Учебник, издательство «Просвещение», 2018.
  3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б./Под ред. Теляковского С.А. Алгебра. 8 класс. Учебник, издательство «Просвещение», 2018

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет.

  1. Интернет-портал «youclever.org»
  2. Интернет-портал «school-assistant.ru»
  3. Интернет-портал «yaklass.ru»

 

Домашнее задание.

1. Решить уравнение:

2. Уравнение  имеет два корня  и . Найти:

3. В уравнении  один из корней равен . Найти второй корень и коэффициент .

 

Конспект урока «Неполные квадратные уравнения»

Конспект открытого урока по математике

Тема: Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения.

Тип: изучение нового материала

Дидактическая цель урока: организация деятельности учащихся по усвоению понятий квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения, способов решения неполных квадратных уравнений.

Задачи:

Образовательные: дать определение квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения, вывести формулы для решения квадратных уравнений, применить полученные знания при решении неполных квадратных уравнений.

Воспитательные: воспитание трудолюбия, ответственности, самостоятельности, взаимоуважения.

Развивающие: продолжить развитие логического мышления, памяти, внимания.

УУД:

Предметные: формировать умение распознавать, приводить примеры полных, неполных квадратных уравнений, решать неполные квадратные уравнения.

Личностные: формировать интерес к изучению темы и желание применить приобретенные знания и умения.

Метапредметные: формировать умение определять понятия, создавать обобщения, устанавливать аналогии, классифицировать, самостоятельно выбирать основания и критерии классификации.

Основные понятия: уравнение второй степени, коэффициенты уравнения второй степени, неполное квадратное уравнение, виды неполных квадратных уравнений.

Формы работы: фронтальная, парная, индивидуальная.

Структура урока

1. Организационный момент

Приветствие, проверка готовности к уроку, эмоциональный настрой

2. Актуализация опорных знаний: (устная работа, если какое-то задание вызывает сложности – запись в тетрадь)

Вспомним способы разложения на множители (на доске заранее записаны выражения):

3. Постановка целей и задач урока

Повторим еще немного уже известного нам материала:

Что называют уравнением? Корнем уравнения? Что значит решить уравнение?

(за доской уже написаны уравнения группами):

1 группа:

2 группа:

Как вы думаете, почему именно так я записала эти уравнения? По какому принципу сформированы группы?

Обсуждение. Как можно назвать эти уравнение? Почему? (Квадратное, есть квадрат).

Сформулируйте цели и задачи сегодняшнего урока (Предложения учащихся. Формулируют цели и задачи). З

аписываем тему сегодняшнего урока: Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения.

4. Изучение нового материала.

Рассмотрим уравнения

.

Что общего в этих уравнениях? (у них у всех есть квадрат).

Какие уравнения мы изучали в 7 классе? (Линейные).Например х+3=0, 2х=0.

Чем они отличаются от квадратных?

Вспомните общий вид линейных уравнений? (ах+в=0, а ≠0). Попробуйте представить квадратное уравнение в общем виде? ().

Сформулируйте определение квадратного уравнения (Ответы учащихся). Давайте уточним у автора учебника. (стр. 139)

Несколько раз повторили определение.

Найдите в учебнике, как называют числа а, b, с? (Отвечают на вопрос).

Приведите примеры своих квадратных уравнений? (Записывают примеры в тетрадях).

А теперь посмотрите на уравнения, записанные мной. Является ли уравнение квадратным, и если да, то каковы его коэффициенты?

Обсудим уравнение .

При каких значениях а, уравнений является квадратным?(при а≠1, т.к при а-1=0 уравнение примет вид 2х+5=0 — линейное).

А коэффициенты b и c могут быть равными нулю? Могут.

Как бы вы их назвали? (Назвали бы неполные квадратные уравнения). Сформулируйте определение неполного квадратного уравнения. Проверим по учебнику наши предположения. (стр. 140)

Сколько видов неполных уравнений может быть. Попробуйте записать их в общем виде. Проверка с доской

  1. 2) 3) . Молодцы.

5.Первичное закрепление

Обратимся к задачнику.

стр. 157, № 27.11 ; стр. 128 № 27.16(а, б), 27.18 (а,б)

6. Контроль усвоения новых знаний

Математический диктант.

7.Рефлексия.

Что нового узнали? Чему научились? Что получалось, что нет?

8. Итоги.

Устное оценивание работы каждого.

9 .Д.З п. 27 , 27.2, 27.12, 27.17, 27.18 (в, г), 27. 19 (в,г)

9 0 решение. Калькулятор онлайн.Решение показательных уравнений. Извлечение корня из числа

Уравнение с одним неизвестным, которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов принимает вид

aх + b = 0 , где a и b произвольные числа, называется линейным уравнением с одним неизвестным. Cегодня разберёмся, как эти линейные уравнения решать.

Например, все уравнения:

2х + 3= 7 – 0,5х; 0,3х = 0; x/2 + 3 = 1/2 (х – 2) — линейные.

Значение неизвестного, обращающее уравнение в верное равенство называется решением или корнем уравнения .

Например, если в уравнении 3х + 7 = 13 вместо неизвестного х подставить число 2 , то получим верное равенство 3· 2 +7 = 13. Значит, значение х = 2 есть решение или корень уравнения.

А значение х = 3 не обращает уравнение 3х + 7 = 13 в верное равенство, так как 3· 2 +7 ≠ 13. Значит, значение х = 3 не является решением или корнем уравнения.

Решение любых линейных уравнений сводится к решению уравнений вида

aх + b = 0.

Перенесем свободный член из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед b на противоположный, получим

Если a ≠ 0, то х = ‒ b/a .

Пример 1. Решите уравнение 3х + 2 =11.

Перенесем 2 из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед 2 на противоположный, получим
3х = 11 – 2.

Выполним вычитание, тогда
3х = 9.

Чтобы найти х надо разделить произведение на известный множитель, то есть
х = 9: 3.

Значит, значение х = 3 является решением или корнем уравнения.

Ответ: х = 3 .

Если а = 0 и b = 0 , то получим уравнение 0х = 0. Это уравнение имеет бесконечно много решений, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0,но b тоже равно 0. Решением этого уравнения является любое число.

Пример 2. Решите уравнение 5(х – 3) + 2 = 3 (х – 4) + 2х ‒ 1.

Раскроем скобки:
5х – 15 + 2 = 3х – 12 + 2х ‒ 1.


5х – 3х ‒ 2х = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Приведем подобные члены:
0х = 0.

Ответ: х — любое число .

Если а = 0 и b ≠ 0 , то получим уравнение 0х = — b. Это уравнение решений не имеет, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0, но b ≠ 0 .

Пример 3. Решите уравнение х + 8 = х + 5.

Сгруппируем в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:
х – х = 5 ‒ 8.

Приведем подобные члены:
0х = ‒ 3.

Ответ: нет решений.

На рисунке 1 изображена схема решения линейного уравнения

Составим общую схему решения уравнений с одной переменной. Рассмотрим решение примера 4.

Пример 4. Пусть надо решить уравнение

1) Умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, равное 12.

2) После сокращения получим
4 (х – 4) + 3·2 (х + 1) ‒ 12 = 6·5 (х – 3) + 24х – 2 (11х + 43)

3) Чтобы отделить члены, содержащие неизвестные и свободные члены, раскроем скобки:
4х – 16 + 6х + 6 – 12 = 30х – 90 + 24х – 22х – 86 .

4) Сгруппируем в одной части члены, содержащие неизвестные, а в другой – свободные члены:
4х + 6х – 30х – 24х + 22х = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Приведем подобные члены:
‒ 22х = ‒ 154.

6) Разделим на – 22 , Получим
х = 7.

Как видим, корень уравнения равен семи.

Вообще такие уравнения можно решать по следующей схеме :

а) привести уравнение к целому виду;

б) раскрыть скобки;

в) сгруппировать члены, содержащие неизвестное, в одной части уравнения, а свободные члены ‒ в другой;

г) привести подобные члены;

д) решить уравнение вида aх = b,которое получили после приведения подобных членов.

Однако эта схема не обязательна для всякого уравнения. При решении многих более простых уравнений приходится начинать не с первого, а со второго (Пример. 2 ), третьего (Пример. 1, 3 ) и даже с пятого этапа, как в примере 5.

Пример 5. Решите уравнение 2х = 1/4.

Находим неизвестное х = 1/4: 2,
х = 1/8
.

Рассмотрим решение некоторых линейных уравнений, встречающихся на основном государственном экзамене.

Пример 6. Решите уравнение 2 (х + 3) = 5 – 6х.

2х + 6 = 5 – 6х

2х + 6х = 5 – 6

Ответ: ‒ 0, 125

Пример 7. Решите уравнение – 6 (5 – 3х) = 8х – 7.

– 30 + 18х = 8х – 7

18х – 8х = – 7 +30

Ответ: 2,3

Пример 8. Решите уравнение

3(3х – 4) = 4 · 7х + 24

9х – 12 = 28х + 24

9х – 28х = 24 + 12

Пример 9. Найдите f(6), если f (x + 2) = 3 7-х

Решение

Так как надо найти f(6), а нам известно f (x + 2),
то х + 2 = 6. n} \)

7) a n > 1, если a > 1, n > 0

8) a n 1, n
9) a n > a m , если 0

В практике часто используются функции вида y = a x , где a — заданное положительное число, x — переменная. Такие функции называют показательными . Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени — заданное число.

Определение. Показательной функцией называется функция вида y = a x , где а — заданное число, a > 0, \(a \neq 1\)

Показательная функция обладает следующими свойствами

1) Область определения показательной функции — множество всех действительных чисел.
Это свойство следует из того, что степень a x где a > 0, определена для всех действительных чисел x.

2) Множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел.
Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение a x = b, где а > 0, \(a \neq 1\), не имеет корней, если \(b \leq 0\), и имеет корень при любом b > 0.

3) Показательная функция у = a x является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a > 1, и убывающей, если 0 Это следует из свойств степени (8) и (9)

Построим графики показательных функций у = a x при a > 0 и при 0 Использовав рассмотренные свойства отметим, что график функции у = a x при a > 0 проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси Oх.
Если х 0.
Если х > 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.

График функции у = a x при 0 Если х > 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси Ох (не пересекая её). Таким образом, ось Ох является горизонтальной асимптотой графика.
Если х

Показательные уравнения

Рассмотрим несколько примеров показательных уравнений, т.е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения a x = a b где а > 0, \(a \neq 1\), х — неизвестное. Это уравнение решается с помощью свойства степени: степени с одинаковым основанием а > 0, \(a \neq 1\) равны тогда и только тогда, когда равны их показатели. {x-2} = 1 \)
x — 2 = 0
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 |х — 1| = 3 |х + 3|
Так как 3 > 0, \(3 \neq 1\), то исходное уравнение равносильно уравнению |x-1| = |x+3|
Возводя это уравнение в квадрат, получаем его следствие (х — 1) 2 = (х + 3) 2 , откуда
х 2 — 2х + 1 = х 2 + 6х + 9, 8x = -8, х = -1
Проверка показывает, что х = -1 — корень исходного уравнения.
Ответ х = -1

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a , b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

  1. Не имеют корней;
  2. Имеют ровно один корень;
  3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант .

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b 2 − 4ac .

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

  1. Если D
  2. Если D = 0, есть ровно один корень;
  3. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

  1. x 2 − 8x + 12 = 0;
  2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
  3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D

  1. x 2 − 2x − 3 = 0;
  2. 15 − 2x − x 2 = 0;
  3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=3. \\ \end{align}\]

Наконец, третье уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

  1. x 2 + 9x = 0;
  2. x 2 − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c /a ) ≥ 0. Вывод:

  1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (−c /a ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
  2. Если же (−c /a )

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c /a ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Вынесение общего множителя за скобку

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

  1. x 2 − 7x = 0;
  2. 5x 2 + 30 = 0;
  3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Приложение

Решение любого типа уравнений онлайн на сайт для закрепления изученного материала студентами и школьниками.. Решение уравнений онлайн. Уравнения онлайн. Различают алгебраические, параметрические, трансцендентные, функциональные, дифференциальные и другие виды уравнений.. Некоторые классы уравнений имеют аналитические решения, которые удобны тем, что не только дают точное значение корня, а позволяют записать решение в виде формулы, в которую могут входить параметры. Аналитические выражения позволяют не только вычислить корни, а провести анализ их существования и их количества в зависимости от значений параметров, что часто бывает даже важнее для практического применения, чем конкретные значения корней. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Решение уравнения — задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.). Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Вы сможете решить уравнение онлайн моментально и с высокой точностью результата. Аргументы заданных функций (иногда называются «переменными») в случае уравнения называются «неизвестными». Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения. Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению. Решить уравнение онлайн означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Равносильными или эквивалентными называются уравнения, множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения, которые не имеют корней. Эквивалентность уравнений имеет свойство симметричности: если одно уравнение эквивалентно другому, то второе уравнение эквивалентно первому. Эквивалентность уравнений имеет свойство транзитивности: если одно уравнение эквивалентно другому, а второе эквивалентно третьему, то первое уравнение эквивалентно третьему. Свойство эквивалентности уравнений позволяет проводить с ними преобразования, на которых основываются методы их решения. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Сайт позволит решить уравнение онлайн. К уравнениям, для которых известны аналитические решения, относятся алгебраические уравнения, не выше четвёртой степени: линейное уравнение, квадратное уравнение, кубическое уравнение и уравнение четвёртой степени. Алгебраические уравнения высших степеней в общем случае аналитического решения не имеют, хотя некоторые из них можно свести к уравнениям низших степеней. Уравнения, в которые входят трансцендентные функции называются трансцендентными. Среди них аналитические решения известны для некоторых тригонометрических уравнений, поскольку нули тригонометрических функций хорошо известны. В общем случае, когда аналитического решения найти не удаётся, применяют численные методы. Численные методы не дают точного решения, а только позволяют сузить интервал, в котором лежит корень, до определённого заранее заданного значения. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн.. Вместо уравнения онлайн мы представим, как то же самое выражение образует линейную зависимость и не только по прямой касательной, но и в самой точке перегиба графика. Этот метод незаменим во все времена изучения предмета. Часто бывает, что решение уравнений приближается к итоговому значению посредством бесконечных чисел и записи векторов. Проверить начальные данные необходимо и в этом суть задания. Иначе локальное условие преобразуется в формулу. Инверсия по прямой от заданной функции, которую вычислит калькулятор уравнений без особой задержки в исполнении, взаимозачету послужит привилегия пространства. Речь пойдет о студентах успеваемости в научной среде. Впрочем, как и все вышесказанное, нам поможет в процессе нахождения и когда вы решите уравнение полностью, то полученный ответ сохраните на концах отрезка прямой. Линии в пространстве пересекаются в точке и эта точка называется пересекаемой линиями. Обозначен интервал на прямой как задано ранее. Высший пост на изучение математики будет опубликован. Назначить значению аргумента от параметрически заданной поверхности и решить уравнение онлайн сможет обозначить принципы продуктивного обращения к функции. Лента Мебиуса, или как её называет бесконечностью, выглядит в форме восьмерки. Это односторонняя поверхность, а не двухсторонняя. По принципу общеизвестному всем мы объективно примем линейные уравнения за базовое обозначение как есть и в области исследования. Лишь два значения последовательно заданных аргументов способны выявить направление вектора. Предположить, что иное решение уравнений онлайн гораздо более, чем просто его решение, обозначает получение на выходе полноценного варианта инварианта. Без комплексного подхода студентам сложно обучиться данному материалу. По-прежнему для каждого особого случая наш удобный и умный калькулятор уравнений онлайн поможет всем в непростую минуту, ведь достаточно лишь указать вводные параметры и система сама рассчитает ответ. Перед тем, как начать вводить данные, нам понадобится инструмент ввода, что можно сделать без особых затруднений. Номер каждой ответной оценки будет квадратное уравнение приводить к нашим выводам, но этого сделать не так просто, потому что легко доказать обратное. Теория, в силу своих особенностей, не подкреплена практическими знаниями. Увидеть калькулятор дробей на стадии опубликования ответа, задача в математике не из легких, поскольку альтернатива записи числа на множестве способствует увеличению роста функции. Впрочем, не сказать про обучение студентов было бы некорректным, поэтому выскажем каждый столько, сколько этого необходимо сделать. Раньше найденное кубическое уравнение по праву будет принадлежать области определения, и содержать в себе пространство числовых значений, а также символьных переменных. Выучив или зазубрив теорему, наши студенты проявят себя только с лучшей стороны, и мы за них будем рады. В отличие от множества пересечений полей, наши уравнения онлайн описываются плоскостью движения по перемножению двух и трех числовых объединенных линий. Множество в математике определяется не однозначно. Лучшее, по мнению студентов, решение — это доведенная до конца запись выражения. Как было сказано научным языком, не входит абстракция символьных выражений в положение вещей, но решение уравнений дает однозначный результат во всех известных случаях. Продолжительность занятия преподавателя складывается из потребностей в этом предложении. Анализ показал как необходимость всех вычислительных приемов во многих сферах, и абсолютно ясно, что калькулятор уравнений незаменимый инструментарий в одаренных руках студента. Лояльный подход к изучению математики обуславливает важность взглядов разных направленностей. Хотите обозначить одну из ключевых теорем и решите уравнение так, в зависимости от ответа которого будет стоять дальнейшая потребность в его применении. Аналитика в данной области набирает все мощный оборот. Начнем с начала и выведем формулу. Пробив уровень возрастания функции, линия по касательной в точке перегиба обязательно приведет к тому, что решить уравнение онлайн будет одним из главных аспектов в построении того самого графика от аргумента функции. Любительский подход имеет право быть применен, если данное условие не противоречит выводам студентов. На задний план выводится именно та подзадача, которая ставит анализ математических условий как линейные уравнения в существующей области определения объекта. Взаимозачет по направлению ортогональности взаимоуменьшает преимущество одинокого абсолютного значения. По модулю решение уравнений онлайн дает столько же решений, если раскрыть скобки сначала со знаком плюс, а затем со знаком минус. В таком случае решений найдется в два раза больше, и результат будет точнее. Стабильный и правильный калькулятор уравнений онлайн есть успех в достижении намеченной цели в поставленной преподавателем задаче. Нужный метод выбрать представляется возможным благодаря существенным отличиям взглядов великих ученых. Полученное квадратное уравнение описывает кривую линий так называемую параболу, а знак определит ее выпуклость в квадратной системе координат. Из уравнения получим и дискриминант, и сами корни по теореме Виета. Представить выражение в виде правильной или неправильной дроби и применить калькулятор дробей необходимо на первом этапе. В зависимости от этого будет складываться план дальнейших наших вычислений. Математика при теоретическом подходе пригодится на каждом этапе. Результат обязательно представим как кубическое уравнение, потому что его корни скроем именно в этом выражении, для того, чтобы упростить задачу учащемуся в ВУЗе. Любые методы хороши, если они пригодны к поверхностному анализу. Лишние арифметические действия не приведут к погрешности вычислений. С заданной точностью определит ответ. Используя решение уравнений, скажем прямо — найти независимую переменную от заданной функции не так-то просто, особенно в период изучения параллельных линий на бесконечности. В виду исключения необходимость очень очевидна. Разность полярностей однозначна. Из опыта преподавания в институтах наш преподаватель вынес главный урок, на котором были изучены уравнения онлайн в полном математическом смысле. Здесь речь шла о высших усилиях и особых навыках применения теории. В пользу наших выводов не стоит глядеть сквозь призму. До позднего времени считалось, что замкнутое множество стремительно возрастает по области как есть и решение уравнений просто необходимо исследовать. На первом этапе мы не рассмотрели все возможные варианты, но такой подход обоснован как никогда. Лишние действия со скобками оправдывают некоторые продвижения по осям ординат и абсцисс, чего нельзя не заметить невооруженным глазом. В смысле обширного пропорционального возрастания функции есть точка перегиба. В лишний раз докажем как необходимое условие будет применяться на всем промежутке убывания той или иной нисходящей позиции вектора. В условиях замкнутого пространства мы выберем переменную из начального блока нашего скрипта. За отсутствие главного момента силы отвечает система, построенная как базис по трем векторам. Однако калькулятор уравнений вывел, и помогло в нахождении всех членов построенного уравнения, как над поверхностью, так и вдоль параллельных линий. Вокруг начальной точки опишем некую окружность. Таким образом, мы начнем продвигаться вверх по линиям сечений, и касательная опишет окружность по всей ее длине, в результате получим кривую, которая называется эвольвентой. Кстати расскажем об этой кривой немного истории. Дело в том, что исторически в математике не было понятия самой математики в чистом понимании как сегодня. Раньше все ученые занимались одним общим делом, то есть наукой. Позже через несколько столетий, когда научный мир наполнился колоссальным объемом информации, человечество все-таки выделило множество дисциплин. Они до сих пор остались неизменными. И все же каждый год ученые всего мира пытаются доказать, что наука безгранична, и вы не решите уравнение, если не будете обладать знаниями в области естественных наук. Окончательно поставить точку не может быть возможным. Об этом размышлять также бессмысленно, как согревать воздух на улице. Найдем интервал, на котором аргумент при положительном своем значении определит модуль значения в резко возрастающем направлении. Реакция поможет отыскать как минимум три решения, но необходимо будет проверить их. Начнем с того, что нам понадобиться решить уравнение онлайн с помощью уникального сервиса нашего сайта. Введем обе части заданного уравнения, нажмем на кнопу «РЕШИТЬ» и получим в течение всего нескольких секунд точный ответ. В особых случаях возьмем книгу по математике и перепроверим наш ответ, а именно посмотрим только ответ и станет все ясно. Вылетит одинаковый проект по искусственному избыточному параллелепипеду. Есть параллелограмм со своими параллельными сторонами, и он объясняет множество принципов и подходов к изучению пространственного отношения восходящего процесса накопления полого пространства в формулах натурального вида. Неоднозначные линейные уравнения показывают зависимость искомой переменной с нашим общим на данный момент времени решением и надо как-то вывести и привести неправильную дробь к нетривиальному случаю. На прямой отметим десять точек и проведем через каждую точку кривую в заданном направлении, и выпуклостью вверх. Без особых трудностей наш калькулятор уравнений представит в таком виде выражение, что его проверка на валидность правил будет очевидна даже в начале записи. Система особых представлений устойчивости для математиков на первом месте, если иного не предусмотрено формулой. На это мы ответим подробным представление доклада на тему изоморфного состояния пластичной системы тел и решение уравнений онлайн опишет движение каждой материальной точки в этой системе. На уровне углубленного исследования понадобится подробно выяснить вопрос об инверсиях как минимум нижнего слоя пространства. По возрастанию на участке разрыва функции мы применим общий метод великолепного исследователя, кстати, нашего земляка, и расскажем ниже о поведении плоскости. В силу сильных характеристик аналитически заданной функции, мы используем только калькулятор уравнений онлайн по назначению в выведенных пределах полномочий. Рассуждая далее, остановим свой обзор на однородности самого уравнения, то есть правая его часть приравнена к нулю. Лишний раз удостоверимся в правильности принятого нами решения по математике. Во избежание получения тривиального решения, внесем некоторые корректировки в начальные условия по задаче на условную устойчивость системы. Составим квадратное уравнение, для которого выпишем по известной всем формуле две записи и найдем отрицательные корни. Если один корень на пять единиц превосходит второй и третий корни, то внесением правок в главный аргумент мы тем самым искажаем начальные условия подзадачи. По своей сути нечто необычное в математике можно всегда описать с точностью до сотых значений положительного числа. В несколько раз калькулятор дробей превосходит свои аналоги на подобных ресурсах в самый лучший момент нагрузки сервера. По поверхности растущего по оси ординат вектора скорости начертим семь линий, изогнутых в противоположные друг другу направления. Соизмеримость назначенного аргумента функции опережает показания счетчика восстановительного баланса. В математике этот феномен представим через кубическое уравнение с мнимыми коэффициентами, а также в биполярном прогрессе убывания линий. Критические точки перепада температуры во много своем значении и продвижении описывают процесс разложения сложной дробной функции на множители. Если вам скажут решите уравнение, не спешите это делать сию минуту, однозначно сначала оцените весь план действий, а уже потом принимайте правильный подход. Польза будет непременно. Легкость в работе очевидна, и в математике то же самое. Решить уравнение онлайн. Все уравнения онлайн представляют собой определенного вида запись из чисел или параметров и переменной, которую нужно определить. Вычислить эту самую переменную, то есть найти конкретные значения или интервалы множества значений, при которых будет выполняться тождество. Напрямую зависят условия начальные и конечные. В общее решение уравнений как правило входят некоторые переменные и константы, задавая которые, мы получим целые семейства решений для данной постановки задачи. В целом это оправдывает вкладываемые усилия по направлению возрастания функциональности пространственного куба со стороной равной 100 сантиметрам. Применить теорему или лемму можно на любом этапе построения ответа. Сайт постепенно выдает калькулятор уравнений при необходимости на любом интервале суммирования произведений показать наименьшее значение. В половине случаев такой шар как полый, не в большей степени отвечает требованиям постановки промежуточного ответа. По крайней мере на оси ординат в направлении убывания векторного представления эта пропорция несомненно будет являться оптимальнее предыдущего выражения. В час, когда по линейным функциям будет проведен полный точечный анализ, мы, по сути, соберем воедино все наши комплексные числа и биполярные пространства плоскостной. Подставив в полученное выражение переменную, вы решите уравнение поэтапно и с высокой точностью дадите максимально развернутый ответ. Лишний раз проверить свои действия в математике будет хорошим тоном со стороны учащегося студента. Пропорция в соотношении дробей зафиксировала целостность результата по всем важным направлениям деятельности нулевого вектора. Тривиальность подтверждается в конце выполненных действий. С простой поставленной задачей у студентов не может возникнуть сложностей, если решить уравнение онлайн в самые кратчайшие периоды времени, но не забываем о всевозможных правилах. Множество подмножеств пересекается в области сходящихся обозначений. В разных случаях произведение не ошибочно распадается на множители. Решить уравнение онлайн вам помогут в нашем первом разделе, посвященном основам математических приемов для значимых разделов для учащихся в ВУЗах и техникумах студентов. Ответные примеры нас не заставят ожидать несколько дней, так как процесс наилучшего взаимодействия векторного анализа с последовательным нахождением решений был запатентован в начале прошлого века. Выходит так, что усилия по взаимосвязям с окружающим коллективом были не напрасными, другое очевидно назрело в первую очередь. Спустя несколько поколений, ученые всего мира заставили поверить в то, что математика это царица наук. Будь-то левый ответ или правый, все равно исчерпывающие слагаемые необходимо записать в три ряда, поскольку в нашем случае речь пойдет однозначно только про векторный анализ свойств матрицы. Нелинейные и линейные уравнения, наряду с биквадратными уравнениями, заняли особый пост в нашей книге про наилучшие методы расчета траектории движения в пространстве всех материальных точек замкнутой системы. Воплотить идею в жизнь нам поможет линейный анализ скалярного произведения трех последовательных векторов. В конце каждой постановки, задача облегчается благодаря внедрениям оптимизированных числовых исключений в разрез выполняемых наложений числовых пространств. Иное суждение не противопоставит найденный ответ в произвольной форме треугольника в окружности. Угол между двумя векторами заключает в себе необходимый процент запаса и решение уравнений онлайн зачастую выявляет некий общий корень уравнения в противовес начальным условиям. Исключение выполняет роль катализатора во всем неизбежном процессе нахождения положительного решения в области определения функции. Если не сказано, что нельзя пользоваться компьютером, то калькулятор уравнений онлайн в самый раз подойдет для ваших трудных задач. Достаточно лишь вписать в правильном формате свои условные данные и наш сервер выдаст в самые кратчайшие сроки полноценный результирующий ответ. Показательная функция возрастает гораздо быстрее, чем линейная. Об этом свидетельствую талмуды умной библиотечной литературы. Произведет вычисление в общем смысле как это бы сделало данное квадратное уравнение с тремя комплексными коэффициентами. Парабола в верхней части полуплоскости характеризует прямолинейное параллельное движение вдоль осей точки. Здесь стоит упомянуть о разности потенциалов в рабочем пространстве тела. Взамен неоптимальному результату, наш калькулятор дробей по праву занимает первую позицию в математическом рейтинге обзора функциональных программ на серверной части. Легкость использования данного сервиса оценят миллионы пользователей сети интернет. Если не знаете, как им воспользоваться, то мы с радостью вам поможем. Еще хотим особо отметить и выделить кубическое уравнение из целого ряда первостепенных школьнических задач, когда необходимо быстро найти его корни и построить график функции на плоскости. Высшие степени воспроизведения — это одна из сложных математических задач в институте и на ее изучение выделяется достаточное количество часов. Как и все линейные уравнения, наши не исключение по многих объективным правилам, взгляните под разными точками зрений, и окажется просто и достаточно выставить начальные условия. Промежуток возрастания совпадает с интервалом выпуклости функции. Решение уравнений онлайн. В основе изучения теории состоят уравнения онлайн из многочисленных разделов по изучению основной дисциплины. По случаю такого подхода в неопределенных задачах, очень просто представить решение уравнений в заданном заранее виде и не только сделать выводы, но и предсказать исход такого положительного решения. Выучить предметную область поможет нам сервис в самых лучших традициях математики, именно так как это принято на Востоке. В лучшие моменты временного интервала похожие задачи множились на общий множитель в десять раз. Изобилием умножений кратных переменных в калькулятор уравнений завелось приумножать качеством, а не количественными переменными таких значений как масса или вес тела. Во избежание случаев дисбаланса материальной системы, нам вполне очевиден вывод трехмерного преобразователя на тривиальном схождении невырожденных математических матриц. Выполните задание и решите уравнение в заданных координатах, поскольку вывод заранее неизвестен, как и неизвестны все переменные, входящие в пост пространственное время. На короткий срок выдвинете общий множитель за рамки круглых скобок и поделите на наибольший общий делитель обе части заранее. Из-под получившегося накрытого подмножества чисел извлечь подробным способом подряд тридцать три точки за короткий период. Постольку поскольку в наилучшем виде решить уравнение онлайн возможно каждому студенту, забегая вперед, скажем одну важную, но ключевую вещь, без которой в дальнейшем будем непросто жить. В прошлом веке великий ученый подметил ряд закономерностей в теории математики. На практике получилось не совсем ожидаемое впечатление от событий. Однако в принципе дел это самое решение уравнений онлайн способствует улучшению понимания и восприятия целостного подхода к изучению и практическому закреплению пройдённого теоретического материала у студентов. На много проще это сделать в свое учебное время.

= Назначение сервиса . Матричный калькулятор предназначен для решения систем линейных уравнений матричным способом (см. пример решения подобных задач).

Инструкция . Для онлайн решения необходимо выбрать вид уравнения и задать размерность соответствующих матриц. где А, В, С — задаваемые матрицы, Х — искомая матрица. Матричные уравнения вида (1), (2) и (3) решаются через обратную матрицу A -1 . Если задано выражение A·X — B = C , то необходимо, сначала сложить матрицы C + B , и находить решение для выражения A·X = D , где D = C + B (). Если задано выражение A*X = B 2 , то предварительно матрицу B надо возвести в квадрат .

Рекомендуется также ознакомиться с основными действиями над матрицами .

Пример №1 . Задание . Найти решение матричного уравнения
Решение . Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X·B = C.
Определитель матрицы А равен detA=-1
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим слева обе части уравнения на A -1:Умножаем обе части этого равенства слева на A -1 и справа на B -1: A -1 ·A·X·B·B -1 = A -1 ·C·B -1 . Так как A·A -1 = B·B -1 = E и E·X = X·E = X, то X = A -1 ·C·B -1

Обратная матрица A -1:
Найдем обратную матрицу B -1 .
Транспонированная матрица B T:
Обратная матрица B -1:
Матрицу X ищем по формуле: X = A -1 ·C·B -1

Ответ:

Пример №2 . Задание. Решить матричное уравнение
Решение . Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X = B.
Определитель матрицы А равен detA=0
Так как A вырожденная матрица (определитель равен 0), следовательно уравнение решения не имеет.

Пример №3 . Задание. Найти решение матричного уравнения
Решение . Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: X·A = B.
Определитель матрицы А равен detA=-60
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим справа обе части уравнения на A -1: X·A·A -1 = B·A -1 , откуда находим, что X = B·A -1
Найдем обратную матрицу A -1 .
Транспонированная матрица A T:
Обратная матрица A -1:
Матрицу X ищем по формуле: X = B·A -1


Ответ: >

Способы решения квадратных уравнений.

Уравнения онлайн Проверка правильности решения

В этой статье мы будем учиться решать биквадратные уравнения.

Итак, уравнения какого вида называются биквадратными?
Все уравнения вида ах 4 + bx 2 + c = 0 , гдеа ≠ 0 , являющиеся квадратными относительно х 2 , и называются биквадратными уравнениями. Как видите, эта запись очень похожа на запись квадратного уравнения, поэтому и решать биквадратные уравнения будем используя формулы, которые мы применяли при решении квадратного уравнения.

Только нам необходимо будет ввести новую переменную, то есть обозначим х 2 другой переменной, например, у или t (или же любой другой буквой латинского алфавита).

Например, решим уравнение х 4 + 4х 2 ‒ 5 = 0.

Обозначим х 2 через у (х 2 = у ) и получим уравнение у 2 + 4у – 5 = 0.
Как видите, такие уравнения вы уже умеете решать.

Решаем полученное уравнение:

D = 4 2 – 4 (‒ 5) = 16 + 20 = 36, √D = √36 = 6.

у 1 = (‒ 4 – 6)/2= ‒ 10 /2 = ‒ 5,

у 2 = (‒ 4 + 6)/2= 2 /2 = 1.

Вернемся к нашей переменной х.

Получили, что х 2 = ‒ 5 и х 2 = 1.

Замечаем, что первое уравнение решений не имеет, а второе дает два решения: х 1 = 1 и х 2 = ‒1. Будьте внимательны, не потеряйте отрицательный корень (чаще всего получают ответ х = 1, а это не правильно).

Ответ: — 1 и 1.

Для лучшего усвоения темы разберем несколько примеров.

Пример 1. Решите уравнение 2х 4 ‒ 5 х 2 + 3 = 0.

Пусть х 2 = у, тогда 2у 2 ‒ 5у + 3 =0.

D = (‒ 5) 2 – 4· 2 · 3 = 25 ‒ 24 = 1, √D = √1 = 1.

у 1 = (5 – 1)/(2· 2) = 4 /4 =1, у 2 = (5 + 1)/(2· 2) = 6 /4 =1,5.

Тогда х 2 = 1 и х 2 = 1,5.

Получаем х 1 = ‒1, х 2 = 1, х 3 = ‒ √1,5 , х 4 = √1,5.

Ответ: ‒1; 1; ‒ √1,5; √1,5.

Пример 2. Решите уравнение 2х 4 + 5 х 2 + 2 = 0.

2у 2 + 5у + 2 =0.

D = 5 2 – 4 · 2 · 2 = 25 ‒ 16 = 9, √D = √9 = 3.

у 1 = (‒ 5 – 3)/(2 · 2) = ‒ 8 /4 = ‒2, у 2 = (‒5 + 3)/(2 · 2) = ‒ 2 /4 = ‒ 0,5.

Тогда х 2 = ‒ 2 и х 2 = ‒ 0,5. Обратите внимание, ни одно из этих уравнений не имеет решения.

Ответ: решений нет.

Неполные биквадратные уравнения — это когда b = 0 (ах 4 + c = 0) или же c = 0

(ах 4 + bx 2 = 0) решают как и неполные квадратные уравнения.


Пример 3. Решить уравнение х 4 ‒ 25х 2 = 0

Разложим на множители, вынесем х 2 за скобки и тогда х 2 (х 2 ‒ 25) = 0.

Получим х 2 = 0 или х 2 ‒ 25 = 0, х 2 = 25.

Тогда имеем корни 0; 5 и – 5.

Ответ: 0; 5; – 5.

Пример 4. Решить уравнение 5х 4 ‒ 45 = 0 .

х 2 = ‒ √9 (решений не имеет)

х 2 = √9, х 1 = ‒ 3, х 2 = 3.

Как видите, умея решать квадратные уравнения, вы сможете справиться и с биквадратными.

Если же у вас остались вопросы, записывайтесь на мои уроки. Репетиор Валентина Галиневская.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Решить уравнение — это значит найти такие значения неизвестного, при которых равенство будет верным.

Решение уравнения

  • Представим уравнение в следующем виде:

2х * х — 3 * х = 0.

  • Видим, что члены уравнения в левой части имеют общий множитель х. Вынесем его за скобки и запишем:

х * (2х — 3) = 0.

  • Полученное выражение является произведением множителей х и (2х — 3). Вспомним, что произведение равно 0 в том случае, если хотя бы один из множителей равен 0. Значит, можно записать равенства:

х = 0 или 2х — 3 = 0.

  • Значит одним из корней исходного уравнения является х 1 = 0.
  • Найдем второй корень, решив уравнение 2х — 3 = 0.

В этом выражении 2х — уменьшаемое, 3 — вычитаемое, 0 — разность. Чтобы найти уменьшаемое, необходимо к разности прибавить вычитаемое:

В последнем выражении 2 и х — множители, 3 — произведение. Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение разделить на известный множитель:

Таким образом, мы нашли второй корень уравнения: х 2 = 1,5.

Проверка правильности решения

Для того, чтобы узнать, правильно ли решено уравнение, необходимо подставить в него числовые значения х и выполнить необходимые арифметические действия. Если в результате вычислений получится, что левая и правая части выражения имеют одинаковое значение, то уравнение решено правильно.

Выполним проверку:

  • Вычислим значение исходного выражения при х 1 = 0 и получим:

2 * 0 2 — 3 * 0 = 0,

0 = 0, верно.

  • Вычислим значение выражения при х 2 = 0 и получим:

2 * 1,5 2 — 3 * 1,5 = 0,

2 * 2,25 — 4,5 = 0,

0 = 0, верно.

  • Значит, уравнение решено правильно.

Ответ: х 1 = 0, х 2 = 1,5.

    Решите уравнение х 2 +(1-х) 2

    Докажите, что нет целых чисел, которые от перестановки начальной цифры в конец, увеличиваются в 5 раз.

    В некотором царстве каждые двое – либо друзья, либо враги. Каждый человек может в некоторый момент поссориться со всеми друзьями и помириться со всеми врагами. Оказалось, что каждые три человека могут таким образом стать друзьями. Докажите, что тогда и все люди в этом царстве могут стать друзьями.

    В треугольнике одна из медиан перпендикулярна одной из биссектрис. Докажите, что одна из сторон этого треугольника вдвое больше другой.

Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике.

    По стрельбе из мишени спортсмен выбивал только по 8,9 и 10 очков. Всего он, сделав более 11 выстрелов, выбил ровно 100 очков. Сколько выстрелов сделал спортсмен, и какие были попадания?

    Докажите истинность неравенства:

3. Решите уравнение:

    Найдите трехзначное число, которое уменьшается в 7 раз после зачеркивания в нем средней цифры.

    В треугольнике АВС проведены биссектрисы из вершин А и В. Затем из вершины С проведены прямые, параллельные этим биссектрисам. Точки Д и Е пересечения этих прямых с биссектрисами соединены. Оказалось, что прямые ДЕ и АВ параллельны. Докажите, что треугольник АВС – равнобедренный.

Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике.

    Решите систему уравнений:

    На сторонах АВ и АД параллелограмма АВСД взяты соответственно точки Е и К так, что отрезок ЕК параллелен диагонали ВД. Докажите, что площади треугольников ВСЕ и СДК равны.

    Группу туристов решили рассадить по автобусам так, чтобы в каждом автобусе было одинаковое число пассажиров. Сначала в каждый автобус сажали по 22 человека, однако оказалось, что при этом не удается посадить одного туриста. Когда же один автобус уехал пустым, то в оставшиеся автобусы все туристы сели поровну. Сколько первоначально было автобусов и сколько туристов в группе, если известно, что в каждый автобус помещается не более 32 человек?

Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике.

    Решите систему уравнений:

    Докажите, что четыре расстояния от точки окружности до вершины вписанного в нее квадрата не могут одновременно быть рациональными числами.

Возможные решения задач

1. Ответ: х=1, х=0,5

От перестановки начальной цифры в конец значность числа не изменится. При этом, по условию задачи, должны получить число, в 5 раз большее первого числа. Следовательно, первая цифра искомого числа должна равняться 1 и только 1. (т.к. если первая цифра будет 2 или больше, то изменится значность, 2*5=10). При перестановке 1 в конец, полученное число оканчивается на 1, следовательно на 5 не делится.

Из условия следует, что если А и В – друзья, то С либо их общий враг, либо общий друг (иначе им троим не примириться). Возьмем всех друзей человека А. Из сказанного следует, что все они дружны между собой и враждуют с остальными. Пусть теперь А и его друзья по очереди ссорятся с друзьями и мирятся с врагами. После этого все окажутся друзьями.

Действительно, пусть А первым поссорился со своими друзьями и помирился со своими врагами, но тогда каждый их его бывших друзей будет с ним мириться, а бывшие враги останутся друзьями. Итак, все люди оказываются друзьями А, а следовательно, и друзьями между собой.

Число 111 делится на 37, поэтому на 37 делится и названная сумма.

По условию, число делится на 37, поэтому и сумма

Делится на 37.

Заметим, что указанные медиана и биссектриса не могут выходить из одной вершины, так как в противном случае угол при этой вершине был бы больше 180 0 . Пусть теперь в треугольнике АВС биссектриса АD и медиана СЕ пересекаются в точке F. Тогда AF – биссектриса и высота в треугольнике АСЕ, значит этот треугольник равнобедренный (АС=АЕ), а так как СЕ – медиана, то АВ = 2АЕ и, следовательно, АВ =2АС.

Возможные решения задач

1. Ответ: 9 выстрелов по 8 очков,

2 выстрела по 9 очков,

1 выстрел по 10 очков.

Пусть x выстрелов сделал спортсмен, выбивая по 8 очков, y выстрелов по 9 очков, z выстрелов по 10 очков. Тогда можно составить систему:

Используя первое уравнение системы, запишем:

Из этой системы следует, что x + y + z =12

Умножим второе уравнение на (-8) и сложим с первым. Получим, что y +2 z =4 , откуда y =4-2 z , y =2(2- z ) . Следовательно, у – четное число, т.е. y=2t , где .

Следовательно,

3. Ответ: х = -1/2, х = -4

После приведения дробей к одному знаменателю получаем

4. Ответ: 105

Обозначим через x , y , z соответственно первую, вторую и третью цифру искомого трехзначного числа. Тогда его можно записать в виде . После вычеркивания средней цифры получится двузначное число . По условию задачи , т.е. неизвестные цифры x , y , z удовлетворяют уравнению

7(10 x + z )=100 x +10 y + x , которое после приведения подобных членов и сокращений принимает вид 3 z =15 x +5 y .

Из этого уравнения следует, что z должно делиться на 5 и должно быть положительным, так как по условию . Поэтому z =5, а цифры х, у удовлетворяют уравнению 3=3х + у, которое в силу условия имеет единственное решение х =1, у = 0. Следовательно, условию задачи удовлетворяет единственное число 105.

Обозначим буквой F точку, в которой пересекаются прямые АВ и СЕ. Так как прямые DB и CF параллельны, то . Ввиду того, что BD – биссектриса угла АВС, заключаем, что . Отсюда следует, что , т.е. треугольник BCF равнобедренный и BC=BF. Но из условия следует, что четырехугольник BDEF – параллелограмм. Поэтому BF = DE, и, значит ВС = DE. Аналогично доказывается, что АС = DE. Это приводит к требуемому равенству.

Возможные решения задач

1.

Отсюда (х + у) 2 = 1 , т.е. х + у = 1 или х + у = -1 .

Рассмотрим два случая.

а) х + у = 1 . Подставив х = 1 – у

б) х + у = -1 . После подстановки х = -1-у

Итак, решениями системы могут быть лишь следующие четыре пары чисел: (0;1), (2;-1), (-1;0), (1;-2). Подстановкой в уравнения исходной системы убеждаемся, что каждая из этих четырех пар является решением системы.

Треугольники CDF и BDF имеют общее основание FD и равные высоты, так как прямые ВС и AD параллельны. Следовательно, их площади равны. Аналогично, равны площади треугольников BDF и BDE, так как прямая BD параллельна прямой EF. И равны площади треугольников BDE и BCE, так как АВ параллельна CD. Отсюда и следует требуемое равенство площадей треугольников CDF и BCE.

Учитывая область определения функции, построим график.

Используя формулу выполним дальнейшие преобразования

Применяя формулы сложения и выполняя дальнейшие преобразования, получим

5. Ответ: 24 автобуса, 529 туристов.

Обозначим через k первоначальное число автобусов. Из условия задачи следует, чтои что число всех туристов равно 22 k +1 . После отъезда одного автобуса всех туристов удалось рассадить в оставшиеся (k-1) автобусов. Следовательно, число 22 k +1 должно делиться на k-1 . Таким образом, задача свелась к определению всех целых , для которых число

Является целым и удовлетворяет неравенству (число n равно числу туристов, посаженных в каждый автобус, а по условию задачи автобус вмещает не более 32 пассажиров).

Число будет целым только тогда, когда число будет целым. Последнее возможно только при k =2 и при k =24 .

Если k =2 , то n=45.

А если k =24 , то n=23.

Отсюда и из условия получаем, что только k =24 удовлетворяет всем условиям задачи.

Следовательно, первоначально было 24 автобуса, а число всех туристов равно n(k-1)=23*23=529

Возможные решения задач

1. Ответ:

Тогда уравнение примет вид:

Получили квадратное уравнение относительно р .

2. Ответ: (0;1), (2;-1), (-1;0), (1;-2)

Сложив уравнения системы, получим , или

Отсюда (х + у) 2 = 1 , т.е. х + у = 1 или х + у = -1 .

Рассмотрим два случая.

а) х + у = 1 . Подставив х = 1 – у в первое уравнение системы, получим

б) х + у = -1 . После подстановки х = -1-у в первое уравнение системы, получим или

Квадратные уравнения.

Квадратное уравнение — алгебраическое уравнение общего вида

где x — свободная переменная,

a, b, c, — коэффициенты, причём

Выражение называют квадратным трёхчленом.

Способы решения квадратных уравнений.

1. СПОСОБ : Разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение х 2 + 10х — 24 = 0 . Разложим левую часть на множители:

х 2 + 10х — 24 = х 2 + 12х — 2х — 24 = х(х + 12) — 2(х + 12) = (х + 12)(х — 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 12)(х — 2) = 0

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2 , а также при х = — 12 . Это означает, что число 2 и — 12 являются корнями уравнения х 2 + 10х — 24 = 0 .

2. СПОСОБ : Метод выделения полного квадрата.

Решим уравнение х 2 + 6х — 7 = 0 . Выделим в левой части полный квадрат.

Для этого запишем выражение х 2 + 6х в следующем виде:

х 2 + 6х = х 2 + 2 х 3.

В полученном выражении первое слагаемое — квадрат числа х, а второе — удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 2 , так как

х 2 + 2 х 3 + 3 2 = (х + 3) 2 .

Преобразуем теперь левую часть уравнения

х 2 + 6х — 7 = 0 ,

прибавляя к ней и вычитая 3 2 . Имеем:

х 2 + 6х — 7 = х 2 + 2 х 3 + 3 2 — 3 2 — 7 = (х + 3) 2 — 9 — 7 = (х + 3) 2 — 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3) 2 — 16 =0, (х + 3) 2 = 16.

Следовательно, х + 3 — 4 = 0, х 1 = 1, или х + 3 = -4, х 2 = -7.

3. СПОСОБ : Решение квадратных уравнений по формуле.

Умножим обе части уравнения

ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0

на 4а и последовательно имеем:

4а 2 х 2 + 4аbх + 4ас = 0,

((2ах) 2 + 2ах b + b 2) — b 2 + 4ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 — 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 — 4ac,

2ax = — b ± √ b 2 — 4ac,

Примеры .

а) Решим уравнение: 4х 2 + 7х + 3 = 0.

а = 4, b = 7, с = 3, D = b 2 — 4ac = 7 2 — 4 4 3 = 49 — 48 = 1,

D > 0, два разных корня;

Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при

b 2 — 4ac >0 , уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.

б) Решим уравнение: 4х 2 — 4х + 1 = 0,

а = 4, b = — 4, с = 1, D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 4 1= 16 — 16 = 0,

D = 0, один корень;

Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. b 2 — 4ac = 0 , то уравнение

ах 2 + bх + с = 0 имеет единственный корень,

в) Решим уравнение: 2х 2 + 3х + 4 = 0,

а = 2, b = 3, с = 4, D = b 2 — 4ac = 3 2 — 4 2 4 = 9 — 32 = — 13 , D

Данное уравнение корней не имеет.

Итак, если дискриминант отрицателен, т.е. b 2 — 4ac , уравнение

ах 2 + bх + с = 0 не имеет корней.

Формула (1) корней квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного. Словесно формула (1) выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент.

4. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

х 2 + px + c = 0. (1)

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = — p

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0 ), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p . Если р , то оба корня отрицательны, если р , то оба корня положительны.

Например,

x 2 – 3x + 2 = 0; x 1 = 2 и x 2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = — 3

x 2 + 8x + 7 = 0; x 1 = — 7 и x 2 = — 1, так как q = 7 > 0 и p= 8 > 0.

б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q ), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p , или отрицателен, если p > 0 .

Например,

x 2 + 4x – 5 = 0; x 1 = — 5 и x 2 = 1, так как q= — 5 и p = 4 > 0;

x 2 – 8x – 9 = 0; x 1 = 9 и x 2 = — 1, так как q = — 9 и p = — 8

Примеры.

1) Решим уравнение 345х 2 – 137х – 208 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то

х 1 = 1, х 2 = c/a = -208/345.

Ответ: 1; -208/345.

2)Решим уравнение 132х 2 – 247х + 115 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то

х 1 = 1, х 2 = c/a = 115/132.

Ответ: 1; 115/132.

Б. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней

Пример.

Решим уравнение 3х2 — 14х + 16 = 0 .

Решение . Имеем: а = 3, b = — 14, с = 16, k = — 7 ;

D = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, два различных корня;

Ответ: 2; 8/3

В. Приведенное уравнение

х 2 + рх + q= 0

совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1 , b = р и с = q . Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней

Принимает вид:

Формулу (3) особенно удобно использовать, когда р — четное число.

Пример. Решим уравнение х 2 – 14х – 15 = 0.

Решение. Имеем: х 1,2 =7±

Ответ: х 1 = 15; х 2 = -1.

5. СПОСОБ: Решение уравнений графически.

Пример. Решить уравнение х2 — 2х — 3 = 0.

Построим график функции у = х2 — 2х — 3

1) Имеем: а = 1, b = -2, х0 = = 1, у0 = f(1)= 12 — 2 — 3= -4. Значит, вершиной параболы служит точка (1; -4), а осью параболы — прямая х = 1.

2) Возьмем на оси х две точки, симметричные относительно оси параболы, например точки х = -1 и х = 3.

Имеем f(-1) = f(3) = 0. Построим на координатной плоскости точки (-1; 0) и (3; 0).

3) Через точки (-1; 0), (1; -4), (3; 0) проводим параболу (рис. 68).

Корнями уравнения х2 — 2х — 3 = 0 являются абсциссы точек пересечения параболы с осью х; значит, корни уравнения таковы: х1 = — 1, х2 — 3.

для решения математики. Быстро найти решение математического уравнения в режиме онлайн . Сайт www. сайт позволяет решить уравнение почти любого заданного алгебраического , тригонометрического или трансцендентного уравнения онлайн . При изучении практически любого раздела математики на разных этапах приходится решать уравнения онлайн . Чтобы получить ответ сразу, а главное точный ответ, необходим ресурс, позволяющий это сделать. Благодаря сайту www.сайт решение уравнений онлайн займет несколько минут. Основное преимущество www.сайт при решении математических уравнений онлайн — это скорость и точность выдаваемого ответа. Сайт способен решать любые алгебраические уравнения онлайн , тригонометрические уравнения онлайн , трансцендентные уравнения онлайн , а также уравнения с неизвестными параметрами в режиме онлайн . Уравнения служат мощным математическим аппаратом решения практических задач. C помощью математических уравнений можно выразить факты и соотношения, которые могут показаться на первый взгляд запутанными и сложными. Неизвестные величины уравнений можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде уравнений и решить полученную задачу в режиме онлайн на сайте www.сайт. Любое алгебраическое уравнение , тригонометрическое уравнение или уравнения содержащие трансцендентные функции Вы легко решите онлайн и получите точный ответ. Изучая естественные науки, неизбежно сталкиваешься с необходимостью решения уравнений . При этом ответ должен быть точным и получить его необходимо сразу в режиме онлайн . Поэтому для решения математических уравнений онлайн мы рекомендуем сайт www.сайт, который станет вашим незаменимым калькулятором для решения алгебраических уравнений онлайн , тригонометрических уравнений онлайн , а также трансцендентных уравнений онлайн или уравнений с неизвестными параметрами. Для практических задач по нахождению корней различных математических уравнений ресурса www. . Решая уравнения онлайн самостоятельно, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение уравнений на сайте www.сайт. Необходимо правильно записать уравнение и моментально получите онлайн решение , после чего останется только сравнить ответ с Вашим решением уравнения. Проверка ответа займет не более минуты, достаточно решить уравнение онлайн и сравнить ответы. Это поможет Вам избежать ошибок в решении и вовремя скорректировать ответ при решении уравнений онлайн будь то алгебраическое , тригонометрическое , трансцендентное или уравнение с неизвестными параметрами.

Какие бывают квадратные уравнения. Алгебра, 8 класс: уроки, тесты, задания.

1. Коэффициенты квадратного уравнения

Сложность: лёгкое

0,9
2. Приведённые и неприведённые уравнения

Сложность: лёгкое

1
3. Составление квадратного уравнения

Сложность: лёгкое

1
4. Неполное квадратное уравнение (b = 0)

Сложность: среднее

1
5. Неполное квадратное уравнение (b = 0) II

Сложность: среднее

2
6. Неполное квадратное уравнение (с = 0)

Сложность: среднее

2
7. Неполное квадратное уравнение (с = 0) II

Сложность: среднее

2
8. Решение уравнения

Сложность: сложное

3
9. Площадь круга

Сложность: сложное

3
10. Уравнение с параметром

Сложность: сложное

3

Квадратные уравнения. Способы решения

Цель: научить решать квадратные уравнения различного вида разными способами.

План урока:

  1. Повторение темы “Линейные уравнения”.
  2. Новый материал. Тема “Квадратные уравнения”:
  3. Полные квадратные уравнения;
  4. Неполные квадратные уравнения;
  5. Из истории квадратных уравнений;
  6. Решение неполных квадратных уравнений;
  7. Способ выделения квадрата двучлена при решении полных квадратных уравнений;
  8. Графический способ решения квадратных уравнений;
  9. Вывод формул для решения полных квадратных уравнений;
  10. Теорема Виета.
  11. Обобщение темы.
  12. Задание к зачету.
  13. Викторина.
  14. Рефлексия.

Ход урока

1. Повторение темы “Линейные уравнения”.

Фронтальный опрос:

  • Что такое уравнение?
  • Что такое корень уравнения?
  • Что значит решить уравнение?
  • Сформулируйте свойства уравнений.
  • Виды уравнений.

Решение линейных уравнений:

3х – 2 = 5х + 4. (ответ: -3)

Іх — 1І + 2 = 3х. (ответ: )

(3х + 4b) – (7b + 2х) = 13b и указать при каких значениях b корень уравнения – положительное число.

Решение:

(3х + 4b) – (7b + 2х) = 13b

3х + 4b – 7b — 2х = 13b;

Х — 3b = 13b;

Х = 16b.

При b>0 корень уравнения х>0.

Ответ: 16b, корень уравнения положителен при b>0.

2. Новый материал. Тема “Квадратные уравнения”.

1) Определение квадратного уравнения.

2) Определение неполного квадратного уравнения.

3) Из истории квадратных уравнений: (сообщение готовит ученик)

Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных уравнений умели решать вавилоняне примерно 2 тысячи лет до н.э.. Некоторые виды квадратных уравнений могли решать древнегреческие математики, сводя их решения к геометрическим построениям. Приёмы решения уравнений без обращения к геометрии дает Диофант Александрийский в 3 веке в книгах “Арифметика”, которые до настоящего времени не сохранились. Правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду ах2 + вх + с = 0, где а > 0, дал индийский ученый Брахмагупта (7в.). В трактате “Китаб аль-джебр валь-мукабала” хорезмский математик аль-Хорезми разъяснил приёмы решения уравнений вида: ах2 = вх; ах2 = с, ах2 + с = вх; ах2 + вх = с; вх + с = ах2, где а, в, с – положительные числа.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду х2 + вх = с, было сформулировано немецким математиком М. Штифелем (1487 – 1567). После трудов нидерландского математика А.Жирара (1595–1632), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид. Формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов, были выведены Виетом в 1591 г. Для квадратного уравнения теорема Виета в современных обозначениях записывается так: корнями уравнения (а + в) * х – х2 = ав, являются числа а и в.

4) Решение неполных квадратных уравнений:

  • ах2 + с = 0; х = , где < 0.

1. 8х2 – 8 = 0, х2 = 1, х = 1. Ответ: 1.

  • ах2 = 0; х2 = 0; х = 0.

1. 2х2 = 0; х2 = 0; х= 0. Ответ: 0.

  • ах2 + вх = 0; х(ах + в) = 0; х=0 или х = — .

1. 5х2 — 2х = 0; х(5х – 2) = 0; х = 0 или х = 0,4. Ответ: 0; 0,4.

5) Способ выделения квадрата двучлена при решении полных квадратных уравнений.

1. Решить уравнение х2 + 8х – 33 = 0.

Вспомним формулы квадрата суммы и квадрата разности и запишем их: (а в)2 = а2 2ав + в2 .

Выделим квадрат двучлена из квадратного трёхчлена:

х2 + 8х – 33 = (х2 + 2*4х + 16) – 16 – 33 = (х + 4)2 – 49.

Получим: (х + 4)2 – 49 = 0; (х + 4)2 = 49; х + 4 = 7; х1 = — 11, х2 = 3. Ответ: -11; 3.

2. Решить уравнение 2х2 — 9х + 4 = 0.

Вынесем в уравнении число 2 за скобки, как общий множитель:

2(х2 — х + 2) = 0; х2 — х + 2 = 0;

Выделим квадрат двучлена из квадратного трёхчлена:

х2 — х + 2 = (х2 -2· х + ) — + 2 = ( х — )2 — ;

( х — )2 — = 0; х — = ± ; х1 = 0,5; х2 = 4. Ответ: 0,5; 4.

6) Графический способ решения квадратных уравнений.

Если задана функция f (x) = ax2 + bx + c, то значения аргумента х, при которых функция обращается в нуль, называются нулями этой функции. Следовательно, корни уравнения ax2 + bx + c = 0 являются нулями функции f (x) = ax2 + bx + c.

Пример: решить графически уравнение х2 — 4х + 3 = 0.

Решение: f (x) = х2 — 4х + 3 = (х2 — 2 * 2х + 4) – 4 + 3 = (х – 2)2 – 1;

Х = 1, Х = 3 – точки пересечения графика функции f (x) = х2 — 4х + 3 с осью абсцисс, следовательно, Х = 1 и Х = 3 являются корнями данного квадратного уравнения.

Ответ: Х = 1, Х = 3.

7) Вывод формул для решения полных квадратных уравнений.

, где D = называется дискриминантом квадратного уравнения.

Если D > 0, то уравнение имеет два корня;

если D = 0, то уравнение имеет один корень;

если D < 0, то уравнение не имеет корней.

Пример: решить уравнение 2х2 — 5х + 2 = 0.

D = , D = 9, D > 0 — уравнение имеет два корня.

, х = , х = 0,5; х = 2. Ответ: 0,5; 2.

Любое полное квадратное уравнение можно привести к виду х2 + px + q = 0 делением обеих частей уравнения на а 0. Такое уравнение называется приведенным квадратным уравнением. Корни приведенного квадратного уравнения можно найти по формуле х = — ± — q , где а = 1, в = р, с = q.

Пример: решить уравнение 2х2 +8х — 42 = 0.

Разделим обе части уравнения на 2 и получим равносильное уравнение х2 + 4х — 21 = 0.

Используя формулу корней для приведенного квадратного уравнения, получим: х1 = — 7, х2 = 3.

8) Теорема Виета.

Если полное квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет действительные корни, то их сумма равна — , а произведение , т.е. х1 + х2 = — , х1 * х2 = .

Рефлексия: облако «тегов», которые необходимо дополнить.

  • сегодня я узнал…
  • было трудно…
  • я понял, что…
  • я научился…
  • я смог…
  • было интересно узнать, что…
  • меня удивило…
  • мне захотелось…
Калькулятор квадратных уравнений

— Калькулятор квадратных уравнений онлайн

Калькулятор квадратных уравнений

используется для определения корней заданного квадратного уравнения. Квадратное уравнение — это алгебраическое уравнение с одной переменной, а степень уравнения равна 2.

Что такое калькулятор квадратных уравнений?

Калькулятор квадратных уравнений

— это онлайн-инструмент, который помогает решить заданное квадратное уравнение и найти его корни. Стандартная форма квадратного уравнения задается как ax 2 + bx + c = 0.Здесь x — переменная, a и b — коэффициенты, а c — константа. Чтобы использовать калькулятор квадратных уравнений , введите значения в поля ввода.

Калькулятор квадратных уравнений

ПРИМЕЧАНИЕ. Коэффициент x 2 не должен быть равен нулю.

Как использовать калькулятор квадратных уравнений?

Чтобы решить квадратное уравнение с помощью калькулятора квадратных уравнений, выполните следующие действия.

  • Шаг 1: Воспользуйтесь онлайн-калькулятором квадратных уравнений Cuemath.
  • Шаг 2: Введите значения в соответствующие поля ввода калькулятора квадратных уравнений.
  • Шаг 3: Нажмите кнопку «Рассчитать» , чтобы решить данное квадратное уравнение.
  • Шаг 4: Нажмите кнопку «Сброс» , чтобы очистить поля и ввести новые значения.

Как работает калькулятор квадратных уравнений?

Когда мы решаем квадратное уравнение, мы получаем два значения x.Эти значения известны как корни. Существует 4 метода нахождения корней квадратного уравнения. Это завершение метода квадратов, факторизация квадратного уравнения, использование квадратной формулы и техника построения графиков. Из них самый быстрый способ найти корни данного квадратного уравнения — использовать квадратную формулу. Далее, применяя эту формулу, можно также сделать различные важные выводы относительно природы корней. Если квадратное уравнение задается как ax 2 + bx + c = 0, то квадратная формула имеет вид:

х = (-b ± √(b 2 — 4ac))/2a.

Мы можем найти природу корней, анализируя дискриминант (D). Это часть квадратичной формулы и задается следующим образом:

Д = б 2 — 4ас.

  • D > 0, корни квадратного уравнения действительны и различны.
  • D = 0, корни вещественные и равные.
  • D < 0, корней не существует, т. е. корни мнимые.

Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы.С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.

Забронируйте бесплатный пробный урок

Решенные примеры квадратных уравнений

Пример 1: Решите квадратное уравнение x 2 + 5x + 6 = 0 и проверьте его с помощью калькулятора квадратных уравнений.

Решение:

Дано: а = 1, b = 5, с = 6

х = (-b ± √(b 2 — 4ac))/2a.

х = (-5 ± √(5 2 — 4 × 1 × 6))/2 × 1.

х = -2, -3

Следовательно, корни данного квадратного уравнения равны -2, -3. Далее, при D > 0 корни вещественны и различны.

Пример 2: Решите квадратное уравнение 2x 2 — 4x + 2 = 0 Проверьте его с помощью калькулятора квадратных уравнений.

Решение:

Дано: а = 2, b = -4, с = 2

х = (-b ± √(b 2 — 4ac))/2a.

х = (-(-4) ± √((-4) 2 — 4 × 2 × 2))/2 × 2.

х = 1, 1

Следовательно, x = 1. Далее, поскольку D = 0, корни вещественные и равные.

Точно так же вы можете попробовать калькулятор квадратных уравнений для решения следующих квадратных уравнений:

  • 2x 2 + х — 3 = 0
  • х 2 + 10х — 11 = 0

☛ Математические калькуляторы:

Онлайн-урок — Решение квадратных уравнений

Примеры использования квадратных уравнений в реальной жизни

Длина земельного участка на 8 метров больше ширины. Каков размер этого участка?

Решение:

Пусть ширина участка равна х, тогда длина (х + 8) и площадь х * (х + 8). По условию задачи площадь составляет 425 м². Составим уравнение для нахождения площади: x * (x + 8) = 425.

Раскроем скобки и получим квадратное уравнение x² + 8x = 425.

Если правая часть уравнения ≠ 0, то необходимо все поменять на левую часть (цифры правой части заменяем на левые, используя противоположные знаки).В результате получаем x² + 8x — 425 = 0. Уравнение такого типа называется квадратным. Зная, как решать такие уравнения, мы можем найти значения х, следовательно, рассчитать длину и ширину земельного участка.

Решив это уравнение, получим:

х = 17 (метров) — ширина земельного участка, (х + 8) = 25 (метров) — его длина.
Ответ: 17м, 25м.
 

Определение:

Если уравнение соответствует форме ax² + bx + c = 0, где x — переменная, a, b, c — некоторые числа, а a ≠ 0, то это квадратное уравнение. Число a — первый коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Примеры:

Рассмотрим примеры квадратных уравнений и определим составляющие члены:
 

Решения квадратных уравнений

Прежде чем изучать множество способов решения квадратных уравнений, вам необходимо изучить такие понятия:

полное квадратное уравнение (все коэффициенты не равны нулю) и неполное квадратное уравнение (некоторые коэффициенты равны нулю).
 

Ответить, если уравнение полное или неполное?
 

Решение полных квадратных уравнений:

Вот уравнение вида ax² + bx + c = 0. Убедимся, что все коэффициенты не равны нулю: b ≠ 0 и c ≠ 0, a ≠ 0. Теперь мы можем приступить к решению этого полного квадратного уравнения. Во-первых, нам нужно найти количество корней уравнения или их отсутствие путем вычисления дискриминанта (D). Для уравнения вида ax² + bx + c = 0, где
a ≠ 0, b ≠ 0 или c ≠ 0, мы можем вычислить значение дискриминанта по формуле: D = b² — 4ac (очень важно помнить !).

Алгоритм решения полных квадратных уравнений

Примеры:

3x² + x + 2 = 0

Решение:

  1. Определить коэффициенты в уравнении: a = 3, b = 1, c = 2.
  2. Вычислить дискриминант квадратного уравнения: D = b² — 4ac = (1)² — 4*3*2 = 1 — 24 = -23
  3. Определите значение дискриминанта, чтобы вывести свойства корней: D = -23.Это меньше нуля. Это означает, что корней уравнения не будет.

    Ответ: нет корней.

х² — 6х + 9 = 0

Решение:

  1. Найдите коэффициенты в уравнении: a = 1, b = -6, c = 9.
  2. Определить дискриминант квадратного уравнения: D = b² — 4ac = (-6)² — 4*1*9 = 36 — 36 = 0
  3. Используйте минимальное и максимальное значения дискриминанта, чтобы вывести свойства корней: D = 0 Он равен нулю.Значит, будет один действительный корень уравнения: x = (6) / 2*1 = 3.

    Ответ: 3.

    Метод решения неполных квадратных уравнений

    Уравнения, соответствующие форме ax² + bx + c = 0, где b = 0 или c = 0, b = 0 и c = 0 называются неполными квадратными уравнениями. Рассмотрим способы решения основных типов таких уравнений: ax² + bx = 0, ax² + c = 0, ax² = 0.
     

Примеры

-х² + х = 0

Решение:

  1. Во-первых, определите коэффициенты уравнения: a = -1, b = 1, c = 0 — уравнение неполное, так как свободный член равен нулю.
  2. Найдите дискриминант квадратного уравнения: D = b² — 4ac = (1) ² — 4 * (- 1) * 0 = 1 — 0 = 1
  3. Используйте значение дискриминанта, чтобы вывести свойства корней: D = 1 — больше нуля. Это означает, что уравнение будет иметь два корня.
  4. Определим корни x₁ и x₂:
     

Мы можем решить это неполное квадратное уравнение, используя форму ax² + bx = 0:

-х² + х = 0

х * (-х + 1) = 0 → х = 0 → х = 0

   -x + 1 = 0 x = 1

Ответ: 0, 1.

3x² — 27 = 0

Решение:

  1. Найдем коэффициенты уравнения: a = 3, b = 0, c = 27 — уравнение неполное, так как коэффициент b равен нулю.
  2. Вычислите дискриминант квадратного уравнения: D = b² — 4ac = (0)² — 4*3*(-27) = 0 + 324 = 324
  3. Определите значение дискриминанта, чтобы вывести свойства корней: D = 324 — больше 0. Это означает, что уравнение имеет два действительных корня.
  4. Вычислим корни x₁ и x₂:

Решим неполное квадратное уравнение, выбрав метод на основе вида ax² + c = 0:

3x² — 27 = 0

3 * (х² — 9) = 0

х² — 3² = 0 → (х — 3) = 0 → х = 3

   (х + 3) = 0 х = -3

Ответ: -3, 3.

5x² = 0

Решение:

  1. Определим коэффициенты уравнения: a = 5, b = 0, c = 0 — уравнение неполное, так как коэффициент b и свободный член равны нулю.
  2. Вычислить дискриминант квадратного уравнения: D = b² — 4ac = (0)² — 4*5*(0) = 0 — 0 = 0
  3. Проанализируйте значение дискриминанта, чтобы вывести свойства корней: D = 0 — будет один действительный корень, так как уравнение неполное и дискриминант равен 0.

Мы можем применить форму ax² + c = 0, чтобы решить это неполное квадратное уравнение:

5x² = 0
x² = 0
x = 0

Ответ: 0.
 

Калькулятор квадратичных формул

с шагами • Решите квадратное уравнение Calc

Калькулятор фактов, вымыслов и квадратных формул

Если вы выберете имя текущей программы, будет открыта только эта программа, поэтому выберите отличительное имя. Процедура представлена ​​ниже.Как только они станут достаточно взрослыми, я надеюсь, что эта программа им тоже пригодится.

Вы можете обнаружить, что символьный решатель не дает решения. Есть ассортимент калькуляторов на выбор, чтобы удовлетворить ваши требования. Ни один из наших ответов не входит в число запрещенных решений, так что все в порядке.

Вы должны иметь в виду, что не каждое квадратное уравнение имеет корни, которые можно выразить относительно действительных чисел. Между обоими корнями меньше 0. Кроме того, будьте осторожны при работе с отрицательными числами в пределах квадратного корня.

Поскольку трехчлен эквивалентен 0, один из обоих биномиальных множителей также должен быть равен нулю. Очевидно, что для разработки этой формулы учитываются многие факторы. Возможно, вы слышали об уравнениях квадратной и кубической природы.

Процедура разложения квадратного уравнения на множители зависит от старшего коэффициента, пока он равен 1 или другому целому числу. Работа с квадратными неравенствами с 1 переменной аналогична работе с линейными неравенствами с 1 переменной. Квадратные уравнения обычно используются в сценариях, где две вещи перемножаются вместе, и обе они основаны на одной и той же переменной.

Ключ к успешному калькулятору квадратичных формул

Легкость, с которой мой сын использует его, чтобы научиться решать сложные уравнения, поистине изумительна. В этом видео вы узнаете, как исправить квадратное уравнение с помощью факторизации.

Это может быть полезно, если у вас есть графический калькулятор, потому что вы можете использовать квадратичную формулу (при необходимости) для решения квадратного числа и применить свой графический калькулятор, чтобы убедиться, что отображаемые точки пересечения с координатами имеют те же десятичные значения, что и решения, представленные квадратичной формулой. Иногда сгенерированный рабочий лист не совсем то, что вам нужно. Мне очень нравятся панели инструментов, ввод уравнений так прост!

В случае, если дискриминант не является полным квадратом, квадратное уравнение не может быть решено с помощью факторизации. В таких ситуациях многочлен не будет разлагаться на линейные многочлены. Определите дискриминант.

Некоторые эксперименты могут быть необходимы, чтобы определить подходящие альтернативы для размещения на печатной странице. Существует две версии программы расчета квадратичных формул в зависимости от того, какой тип TI-84 у вас есть.Для получения точного результата требуется три шага с использованием тригонометрических функций.

Инструкция для пользователей Windows Убедитесь, что изображение, которое вы хотите напечатать, видно на мониторе. Нажмите ENTER, чтобы перейти на следующую строку. Нажимайте клавишу ENTER после каждого ввода.

Если вы хотите продать что-то даже такое простое, как лимонад, вы должны выбрать, сколько предметов производить, чтобы получить прибыль. Теперь его великий момент настал. Щелкните фильм ниже, чтобы услышать хороший пример этого.

Пока вы вводите соответствующие коэффициенты в соответствующие поля, у вас будут ответы, которые вы искали. Этого можно добиться, сделав дискриминант равным нулю. В этом случае перепишите это предыдущее уравнение, чтобы найти, что оно является кубическим по y. Когда вас просят решить квадратное уравнение, у вас есть масса вариантов.

Еще в 16 веке оказалось, что решать кубические уравнения — огромная проблема. Поставьте соответствующие знаки, чтобы обозначить средний термин.Перепишите идеальный квадратный трехчлен для квадрата двучлена.

Единственный способ, с помощью которого они могут гарантировать идеальное создание искривленного объекта, — это использование квадратичной формулы для придания объекту формы параболы. Также отображаются сведения о расчетах, которые привели к решению уравнения. В настоящее время у вас есть все, что вам нужно, чтобы преобразовать логарифмы из одного основания в другое.

Они должны останавливаться после каждого сета и обсуждать, что произошло и почему, по их мнению, это произошло.У вас есть x в квадрате. Затем подумайте о том, что происходит, когда объект падает на землю.

Способность Квадратной Формулы заключается в том, что ее можно использовать для решения любого квадратного уравнения, даже такого, в котором поиск числовых комбинаций не помогает. Если у вас есть два числа и ответ отрицательный, это означает, что одно из ваших чисел должно быть отрицательной ценой. Среди чисел обязательно должны быть отрицательные.

Вышеупомянутые функции не поддерживаются. Суть в том, чтобы нарисовать грубую форму графика и обозначить два или три простых значения, но не заботиться о высокой точности.Есть несколько аспектов, которые следует учитывать при расчете ожидаемой суммы претензии.

Он обслуживает не только тех, кто изучает основы, но и тех, кто занимается углубленной алгеброй. Им потребуется некоторая практика с этим методом, особенно со вторым шагом. Чтобы решить эту дилемму, учащийся может также использовать графический калькулятор, чтобы посмотреть на свои математические решения.

Это позволит вам проверить, понимаете ли вы подобные проблемы.Есть несколько различных способов, которыми учащийся может решить такое уравнение. В противном случае вы рискуете получить еще более серьезные проблемы с решением математических задач в будущем.

Вспомним, что постороннее решение — это решение уравнения после выполнения чего-то вроде возведения любой его части в четную степень, но не решение исходной проблемы. Можно продолжить, если вы заинтересованы в том, чтобы ответ был более точным, но, тем не менее, в этом нет необходимости.Это позволит убедиться, что вы получите правильный ответ.

Иногда требуется немного воображения, чтобы понять, как конкретную функцию можно создать квадратичной. Квадратичная формула — это один из подходов к решению такого рода вопросов.

Что делать с калькулятором квадратичных формул

Ниже приводится способ решения рациональных неравенств. Формула четвертой степени — это только окончательный результат этой методологии, записанный по отношению к исходным коэффициентам. Он также предоставляет стандартный способ решения квадратных уравнений, очевидно, для упрощения сложных выражений.

Это действительно просто, так как есть очевидный общий элемент. В случае, если выражение в квадратном корне отрицательное, кривая не пересекает ось x и нет никаких действительных корней. Пока вы можете проверить правильность формы вашего уравнения и правильно запомнить формулу, остальное — просто арифметика (даже если она немного сложна).

Первоначальное задание было создано для того, чтобы помочь учащимся решить самые сложные уравнения, включающие радикалы и различные упрощения.Это уравнение регрессии, которое можно использовать для прогнозирования данных. Он равен 23.

Детали калькулятора квадратных формул

Эта формула часто используется в математических задачах и в реальном мире. Мои концепции предельно ясны, и мне очень нравится пошаговая стратегия. Они широко используются в науке, бизнесе и технике.

Это позволит вам проверить, понимаете ли вы подобные проблемы.Есть несколько различных способов, которыми учащийся может решить такое уравнение. Вы можете использовать уникальные процедуры для решения проблемы.

Окончательный трюк с калькулятором квадратичных формул

Этот параметр позволит вам четко наблюдать анимированный круг, пересекающий экран. Кроме того, когда нужно интерпретировать среднее значение, важно указать и типичное отклонение. Поскольку другого общего фактора нет, 2x является самой распространенной проблемой.

В любой момент, когда вас просят построить график уравнения, в котором используется квадрат х, оно всегда может иметь ту же самую форму параболы.Квадратичная регрессия — это процедура поиска уравнения параболы, наиболее подходящего для набора информации. Его также иногда называют полиномиальным уравнением второй степени.

Эти варианты в первую очередь подразделяются на общеобразовательные и частные школы. Цель состоит в том, чтобы представить любое произвольное квадратное уравнение в форме идеального квадратного квадратного уравнения. Когда у вас нет члена x, потому что b равно 0, вам нужно будет решить более простое уравнение, и вам просто нужно будет решить для квадрата члена.

Заявление Мики не соответствует действительности. Последний ответ должен быть точно таким же. Если вы хотите найти среднюю точку на линии, вам понадобится формула средней точки.

Итак, когда вы смотрите на текстовые задачи, связанные с квадратикой, это означает, что ваш наибольший показатель степени x равен квадрату. Его также называют средним квадратичным. Таким образом, у нас есть средство для решения любой квадратичной функции!

Стратегия факторизации многочленов предлагается в следующем поле.Если значение равно нулю, есть 1 решение. Способ решения квадратного уравнения.

Вы можете обнаружить, что символьный решатель не дает решения. Есть ассортимент калькуляторов на выбор, чтобы удовлетворить ваши требования. Ни один из наших ответов не входит в число запрещенных решений, так что все в порядке.

Калькулятор квадратичных формул — Обзор

Это известно как сопряженный элемент. Формула нормального отклонения сравнима с формулой дисперсии.У нас есть один способ факторизации квадратных уравнений в этой форме.

Период b2-4ac называется дискриминантом квадратного уравнения. На графике он находится под осью x или над осью x. На графике показано, где у положительно, а где отрицательно.

Умножение комплексных чисел почти так же просто, как умножение двух двучленов. Мы можем использовать список квадратов, чтобы найти десятичные приближения, если подкоренное число не является идеальным квадратом. Также обязательно загляните в Справочный центр Mathcad.

Тем не менее, вам следует постараться запомнить формулу, так как во время экзамена у вас не будет доступа к вспомогательным инструментам. Если вы ранее не использовали ни одну из программ, размещенных на этом сайте, вам следует сначала прочитать информацию в разделе «Введение в программирование». Продолжайте прокручивать, чтобы определить, как работает программа и как ее использовать (необязательно).

Выходные данные Здесь мы импортировали модуль cmath для извлечения комплексного квадратного корня. F5 открывает функцию поиска, которая позволяет вам искать в вашей программе определенную строку.Как только вы научитесь находить среднюю точку с помощью этого калькулятора, вы сможете использовать эту информацию для ряда приложений.

Привлекательность калькулятора квадратных формул

Каждому значению x соответствует одно и только 1 значение y. Задача 2. Ее легко определить по максимальной степени переменной x, которая должна быть равна двум. Давайте попробуем последний пример.

Поскольку вы не можете найти квадратный корень из отрицательного числа, используя действительные числа, реальных решений нет.Суть в том, чтобы нарисовать грубую форму графика и обозначить два или три простых значения, но не заботиться о высокой точности. Есть несколько аспектов, которые следует учитывать при расчете ожидаемой суммы претензии.

Неожиданная правда о калькуляторе квадратных формул

Math Is Fun отмечает, что квадратное уравнение можно использовать, чтобы определить, куда в конечном итоге приземлится мяч, брошенный в воздух. Решение квадратных уравнений может быть сложной задачей, но, к счастью, существует множество разнообразных методов, которые мы можем использовать в зависимости от того, какого рода квадратные уравнения мы пытаемся решить.Таким образом, факторизация чисел очень помогла в решении целого ряда вопросов.

Скорее всего, наш компьютер отобразит все 3 из них одновременно, и мы будем обсуждать их по мере их появления. В данном случае у нас всего четыре ответа. Эта страница позволяет разобраться в законах логарифмов.

Обнаружен ажиотаж вокруг калькулятора квадратичных формул

Ниже приводится способ решения рациональных неравенств. Формула четвертой степени — это только окончательный результат этой методологии, записанный по отношению к исходным коэффициентам. Он также предоставляет стандартный способ решения квадратных уравнений, очевидно, для упрощения сложных выражений.

В литературе можно найти несколько альтернативных производных. Гарантируйте, что исходное уравнение записано в типичном виде. Теперь у вас есть все условия, записанные в уравнении, вы продолжаете упрощать, пока не дойдете до последних ответов.

С другой стороны, если вы изучили комплексы, вы можете продолжить. Он равен 625. Он равен 375.

Тип калькулятора квадратичных формул

Инженеры также могут использовать свои знания для улучшения текущих вещей, включая эффективность или высокое качество предмета. Студентам потребуется много практики с факторингом квадратичных чисел. Используя результаты испытаний, студенты работали над увеличением своих катапульт.

Математика работает точно так же, как и все остальное, если вы хотите хорошо в ней разобраться, вам нужно попрактиковаться. Это дает другой взгляд на область математики.Инженеры используют квадратное уравнение в дополнение к другим передовым формам математики при разработке своих проектов.

В частности, будут рациональные корни в том случае, если часть под знаком квадратного корня в квадратной формуле является идеальным квадратом. Другой подход к нахождению области квадрата состоит в суммировании областей геометрических частей, составляющих квадрат. Перепишите идеальный квадратный трехчлен для квадрата двучлена.

Таким образом, вы только что доказали, что число 50 не является полным квадратом и его нельзя разложить на множители.В этом уравнении это длина гипотенузы, а A и B представляют длины двух других сторон. Если он отрицательный, он откроется вниз.

Эти варианты в первую очередь подразделяются на общеобразовательные и частные школы. У вас есть x в квадрате. Снова рассмотрим, каково значение h всякий раз, когда объект падает на землю.

Калькулятор хроник квадратных формул

Но есть способ проще. Вот быстрый подход к получению ответа.Это позволит убедиться, что вы получите правильный ответ.

Не стесняйтесь задавать другой вопрос о кубике, и я с удовольствием отвечу. Однако на этот раз больший множитель закрепит знак «минус».

LP и выпуклые задачи QP являются частными случаями задач SOCP (конусное программирование второго порядка, своего рода коническая оптимизация), и иногда они решаются с более высокой производительностью с помощью SOCP Solvers, большинство из которых в настоящее время используют процедуры внутренних точек.Упражнения II Определите диапазон решений для каждого из этих логарифмических уравнений. Скачать эту программу можно здесь.

Все процедуры были такими легкими и простыми. Есть ассортимент калькуляторов на выбор, чтобы удовлетворить ваши требования. В данном случае оба этих метода равнозначны по времени нахождения решений.

Чего ожидать от калькулятора квадратных формул?

Квадратичная формула стала наиболее частым подходом к решению квадратных уравнений.Возможно, вам придется использовать квадратную формулу для некоторых из них. Поскольку теперь вы хорошо осведомлены о терминах уравнений.

Это может быть полезно, если у вас есть графический калькулятор, потому что вы можете использовать квадратичную формулу (при необходимости) для решения квадратного числа и применить свой графический калькулятор, чтобы убедиться, что отображаемые точки пересечения с координатами имеют те же десятичные значения, что и решения, представленные квадратичной формулой. Иногда сгенерированный рабочий лист не совсем то, что вам нужно.Мне очень нравятся панели инструментов, ввод уравнений так прост!

Особенно эффективен при слабо ограниченных задачах QP. В таких ситуациях многочлен не будет разлагаться на линейные многочлены. Определите дискриминант.

Полиномиальные функции сравнительно просты для понимания. Если вы ранее не использовали ни одну из программ, размещенных на этом сайте, вам следует сначала прочитать информацию в разделе «Введение в программирование». Программа — огромный инструмент!

Выходные данные Здесь мы импортировали модуль cmath для извлечения комплексного квадратного корня.Команды для интернет-калькулятора можно вводить не только мышью, но и с цифровой компьютерной клавиатуры. Из множества процессов Solver в Excel является идеальным вариантом.

Обратите внимание, как он сочетает в себе эффекты трех терминов. Факторы важны при работе с дробями, а также при поиске закономерностей в числах. Давайте попробуем последний пример.

Поскольку вы не можете найти квадратный корень из отрицательного числа, используя действительные числа, реальных решений нет.При использовании квадратичной формулы вы должны знать о 3 возможностях. Затем вы попадете на экран ниже.

Основные сведения о калькуляторе квадратных формул

Это одно из самых простых состояний, и вы можете наблюдать гораздо больше в своей обычной жизни. Владелец магазина покупает определенное количество книг за 720 долларов. Щелкните фильм ниже, чтобы услышать хороший пример этого.

С практикой эта процедура может стать довольно легкой, особенно если вы тщательно выполняете одни и те же действия в одной и той же покупке.Помните, что эти ресурсы никогда не проверялись CPALMS, и за использование некоторых из них в этой коллекции может взиматься плата. Этот пример немного другой.

Как нарисовать квадратное уравнение. Онлайн калькулятор

Проще. Для этого выведите z за скобки. Получится: z(az+b)=0. Множители можно раскрасить: z=0 и az+b=0, так как оба могут дать нуль. В записи az+b=0 вторую справа переводим с другим знаком.Отсюда получаем z1=0 и z2=-b/a. Это корни оригинала.

При наличии неполного уравнения вида az² + c = 0, в этом случае их находят простым переносом свободного члена в правую часть уравнения. Также измените его знак. В результате получается azz = -s. Экспресс z² = -s/a. Возьмите корень и запишите два решения — положительное и отрицательное значение квадратного корня.

примечание

Если в уравнении есть дробные коэффициенты, умножьте все уравнение на соответствующий коэффициент, чтобы избавиться от дробей.2 — 4 * а * в. Значение D может быть больше, меньше или равно нулю. Если D больше или меньше нуля, то корней будет два, если D = 0, то останется только один корень, точнее можно сказать, что D в этом случае имеет два эквивалентных корня. Подставляем известные коэффициенты a, b, c в формулу и вычисляем значение.

После того, как вы найдете дискриминант, используйте формулы для нахождения x: x(1) = (- b + sqrt(D))/2 * a; x(2) = (-b-sqrt(D))/2*a, где sqrt — функция, означающая извлечение квадратного корня из заданного числа. Подсчитав эти выражения, вы найдете два корня вашего уравнения, после чего уравнение считается решенным.

Если D меньше нуля, то оно все еще имеет корни. В школе этот раздел практически не изучается. Студенты вузов должны знать, что под корнем стоит отрицательное число. От него избавляются выделением мнимой части, то есть -1 под корнем всегда равно мнимому элементу «i», который умножается на корень с тем же положительным числом.Например, если D = sqrt (-20), после преобразования получается D = sqrt (20) * i. После этого преобразования решение уравнения сводится к такому же нахождению корней, как описано выше.

Теорема Виета состоит в выборе значений x(1) и x(2). Используются два одинаковых уравнения: х(1)+х(2)=-b; х(1)*х(2) = с. Причем знак перед коэффициентом b — очень важный момент, помните, что этот знак противоположен тому, что в уравнении.На первый взгляд кажется, что считать х(1) и х(2) очень просто, но при решении вы столкнетесь с тем, что вам придется подбирать числа.

Элементы для решения квадратных уравнений

По правилам математики некоторые можно разложить на множители: (a + x(1)) * (bx(2)) = 0, если вы смогли преобразовать это квадратное уравнение в это образом с помощью математики, не стесняйтесь записывать ответ. х(1) и х(2) будут равны соседним коэффициентам в скобках, но с обратным знаком.2 или x, то коэффициенты a и b равны 1.

Квадратное уравнение — решается просто! *Далее по тексту «КУ». Друзья, казалось бы, по математике это может быть проще, чем решать такое уравнение. Но что-то мне подсказывало, что у многих были с ним проблемы. Решил посмотреть, сколько показов по запросу в месяц дает Яндекс. Вот что получилось, взгляните:


Что это значит? Это значит, что эту информацию ищут около 70 000 человек в месяц, при чем тут лето, а что будет в середине учебного года — запросов будет в два раза больше.Это и неудивительно, ведь эту информацию ищут те парни и девушки, которые давно закончили школу и готовятся к экзамену, а также школьники стремятся освежить ее в памяти.

Несмотря на то, что существует множество сайтов, объясняющих, как решить это уравнение, я решил внести свою лепту и опубликовать материал. Во-первых, я хочу, чтобы посетители приходили на мой сайт по этому запросу; во-вторых, в других статьях, когда речь идет о речи «КУ» я буду давать ссылку на эту статью; в-третьих, расскажу о его решении немного больше, чем обычно указывается на других сайтах.Приступим! Содержание статьи:

Квадратное уравнение — это уравнение вида:

где коэффициенты a, b   и c — произвольные числа, причем a ≠ 0,

В школьном курсе материал подается в следующей форме — условно сделано разделение уравнений на три класса:

1. Имеют два корня.

2. * Имеют только один корень.

3. Не имеют корней.Здесь стоит отметить, что они не имеют действительных корней

Как вычисляются корни? Просто!

Вычисляем дискриминант. Под этим «страшным» словом скрывается совсем простая формула:

Корневые формулы следующие:

* Эти формулы надо знать наизусть.

Можно сразу записать и решить:

Пример:


1. Если D > 0, то уравнение имеет два корня

2.Если D = 0, то уравнение имеет один корень.

3. Если D

Посмотрим на уравнение:


По этому поводу, когда дискриминант равен нулю, школьный курс говорит, что получается один корень, здесь — девять. Правильно, так и есть, но…

Это мнение несколько неверно. На самом деле получается два корня. Да, не удивляйтесь, у вас получится два равных корня, и для математической точности в ответе следует написать два корня:

х 1 = 3 х 2 = 3

Но это небольшое отступление.В школе можно записать и сказать, что корень один.

Теперь следующий пример:


Как известно, корень из отрицательного числа не извлекается, поэтому решения в данном случае нет.

Вот и весь процесс принятия решения.

Квадратичная функция.

Показывает, как решение выглядит геометрически. Это крайне важно понимать (в дальнейшем в одной из статей мы подробно разберем решение квадратного неравенства).

Это функция вида:

где x и y — переменные

a, b, c — заданные числа, a ≠ 0

График представляет собой параболу:

То есть получается, что решая квадратное уравнение с «у» равным нулю, мы находим точки пересечения параболы с осью оХ. Точек может быть две (дискриминант положительный), одна (дискриминант равен нулю) и ни одной (дискриминант отрицательный).Подробнее о квадратичной функции вы можете прочитать в статье Инны Фельдман.

Рассмотрим следующие примеры:

Пример 1: Решение 2x 2 +8 х –192=0

а = 2 б = 8 в = –192

Д = б 2 –4ас = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64 + 1536 = 1600

Ответ: х 1 = 8 х 2 = –12

* Можно было сразу разделить левую и правую части уравнения на 2, то есть упростить его.Расчеты будут проще.

Пример 2: Решить x 2 –22 х + 121 = 0

а = 1 б = –22 с = 121

D = b 2 –4ac = (- 22) 2 –4 ∙ 1 ∙ 121 = 484–484 = 0

Получили, что х 1 = 11 и х 2 = 11

В ответе допустимо написать х = 11.

Ответ: х = 11

Пример 3: Решить х 2 –8х + 72 = 0

а = 1 б = –8 с = 72

D = b 2 –4ac = (- 8) 2 –4 ∙ 1 ∙ 72 = 64–288 = –224

Дискриминант отрицательный, решения в действительных числах нет.

Ответ: нет решения

Дискриминант отрицательный. Есть решение!

Здесь мы сосредоточимся на решении уравнения в случае, когда получен отрицательный дискриминант. Вы знаете что-нибудь о комплексных числах? Я не буду здесь подробно рассказывать о том, почему и откуда они взялись и какова их конкретная роль и необходимость в математике, это тема для большой отдельной статьи.

Понятие комплексного числа.

Немного теории.

Комплексное число z — это число вида

з = а + би

где a и b — действительные числа, i — так называемая мнимая единица.

а + би   — ЕДИНСТВЕННОЕ ЧИСЛО, а не дополнение.

Мнимая единица равна корню из минус единицы:

Теперь рассмотрим уравнение:


Получили два сопряженных корня.

Неполное квадратное уравнение.

Рассмотрим частные случаи, это когда коэффициент «b» или «c» равен нулю (или оба равны нулю). Они легко решаются без каких-либо дискриминантов.

Случай 1. Коэффициент b = 0.

Уравнение принимает вид:

Преобразовать:

Пример:

4х 2 –16 = 0 => 4х 2 = 16 = 0 0 3 => 2 х 003 1 = 2 х 2 = –2

Случай 2. Коэффициент с = 0.

Уравнение принимает вид:

Преобразовать, разложить на множители:

* при равенстве нулю произведения хотя бы один из сомножителей равен нулю.

Пример:

9х 2 –45х = 0 => 9х (х – 5) = 0 => х = 0 или х – 5 = 0

х 0 х 1 = 0 = 5

Случай 3.Коэффициенты b = 0 и c = 0.

Здесь ясно, что решением уравнения всегда будет x = 0.

Полезные свойства и закономерности коэффициентов.

Есть свойства, позволяющие решать уравнения с большими коэффициентами.

а х 2 + бх + в =0   имеет место равенство

a + б   + с = 0, тогда

— если для коэффициентов уравнения а х 2 + бх + в =0 имеет место равенство

а + с = б , , затем

Эти свойства помогают решать уравнения определенного типа.

Пример 1: 5001 х 2 –4995 х – 6=0

Сумма коэффициентов 5001+ ( 4995)+( 6) = 0, значит

Пример 2: 2501 х 2 +2507 х +6=0

Равенство выполнено a  +c = b ,   означает

Образцы коэффициентов.

1. Если в уравнении ах 2 + bx + с = 0 коэффициент «b» равен (а 2 +1), а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

ах 2 + (а 2 +1) ∙ х + а = 0 => х 1 = –ах 2 = –1 / а.

Пример. Рассмотрим уравнение 6х 2 + 37х + 6 = 0.

х 1 = –6 х 2 = –1/6.

2. Если в уравнении ах 2 — bx + с = 0 коэффициент «b» равен (а 2 +1), а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

ах 2 — (а 2 +1) ∙ х + а = 0 => х 1 = ах 2 = 1 / а.

Пример. Рассмотрим уравнение 15х2 –226х +15 = 0.

х 1 = 15 х 2 = 1/15.

3. Если в уравнении ax 2 + bx — c = 0 коэффициент «b» равно (a 2 — 1), а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а» , , то его корни равны

ах 2 + (а 2 –1) ∙ х — а = 0 => х 1 = — а х 2 = 1 / а.

Пример. Рассмотрим уравнение 17х 2 + 288х — 17 = 0.

х 1 = — 17 х 2 = 1/17.

4. Если в уравнении ах 2 — bx — с = 0 коэффициент «b» равен (а 2 — 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

акс 2 — (а 2 –1) ∙ х — а = 0 => х 1 = акс 2 = — 1 / а.

Пример. Рассмотрим уравнение 10х 2 — 99х –10 = 0.

х 1 = 10 х 2 = — 1/10

Теорема Виета.

Теорема Виета названа в честь известного французского математика Франсуа Виета.Используя теорему Виета, мы можем выразить сумму и произведение корней произвольного КУ через его коэффициенты.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Всего число 14 дает только 5 и 9. Это корни. При определенной сноровке с помощью представленной теоремы можно решить сразу многие квадратные уравнения.

Теорема Виета, кроме того. он удобен тем, что после решения квадратного уравнения обычным способом (через дискриминант) можно проверить полученные корни.Я рекомендую делать это всегда.

МЕТОД ОБРАЩЕНИЯ

В этом методе коэффициент «а» умножается на свободный член, как бы «переносится» на него, поэтому он называется методом «переноса». Этот метод используется, когда легко найти корни уравнения с помощью теоремы Виета и, что особенно важно, когда дискриминант является точным квадратом.

Если а ± б + с ≠ 0, то используется метод переноса, например:

2 х 2 – 11 х + 5 = 0 (1) => х х х – 11 х + 10 = 0 (2)

По теореме Виета в уравнении (2) несложно определить, что х 1 = 10 х 2 = 1

Полученные корни уравнения необходимо разделить на 2 (т.к. х 2 «выкинуло» два) , получаем

х 1 = 5 х 2 = 0. 5.

В чем причина? Посмотрите, что происходит.

Дискриминанты уравнений (1) и (2) равны:

Если посмотреть в корни уравнений, то получаются только разные знаменатели, а результат зависит от коэффициента при х 2:


Вторые (модифицированные) корни получаются в 2 раза больше.

Следовательно, результат делится на 2.

* Если переводим три, то делим результат на 3 и т.д.

Ответ: х 1 = 5 х 2 = 0.5

К ур-ие и экзамен.

Кратко скажу о его важности — ВЫ ДОЛЖНЫ УМЕТЬ РЕШАТЬ быстро и не задумываясь, нужно знать наизусть формулы корня и дискриминанта. Очень многие задания, входящие в состав заданий ЕГЭ, сводятся к решению квадратного уравнения (в том числе и геометрического).

Что стоит отметить!

1. Форма уравнения может быть «неявной». Например, возможен следующий ввод:

15+ 9х 2 — 45х = 0 или 15х + 42 + 9х 2 — 45х = 0 или 15 -5х + 10х 2 = 0.

Нужно привести к стандартному виду (чтобы не запутаться при принятии решения).

2. Помните, что х — неизвестная величина и ее можно обозначать любой другой буквой — т, q, р, h и другими.

Копиевская сельская средняя общеобразовательная школа

10 способов решения квадратных уравнений

Руководитель: Патрикеева Галина Анатольевна,

учитель математики

с.Копьево, 2007

1. История развития квадратных уравнений

1.1 Квадратные уравнения в древнем Вавилоне

1.2 Как Диофант составлял и решал квадратные уравнения

1.3 Квадратные уравнения в Индии

1.4 Квадратные уравнения аль-Хорезми

1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII — XVII веков

1.6 О теореме Виета

2. Методы решения квадратных уравнений

Заключение

Литература

1. История развития квадратных уравнений

1.1 Квадратные уравнения в древнем Вавилоне

Необходимость решения уравнений не только первой, но и второй степени в древности была вызвана необходимостью решения задач, связанных с нахождением площадей земель и земляных работ военного характера, а также развитием астрономии и математики сам. Они умели решать квадратные уравнения около 2000 г. до н.э. е. вавилоняне.

Используя современные алгебраические обозначения, можно сказать, что в их клинописных текстах, помимо неполных, встречаются, например, полные квадратные уравнения:

Х 2 + х = ¾; х 2 х = 14,5

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, по существу такое же, как и современное, но неизвестно, как вавилоняне пришли к этому правилу.Почти во всех клинописных текстах, найденных до сих пор, упоминаются только проблемы с решениями, изложенными в виде рецептов, без указания того, как они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствует понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

1.2 Как Диофант составлял и решал квадратные уравнения.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, но она содержит систематизированный ряд задач, сопровождаемых пояснениями и решаемых путем составления уравнений разной степени.

При составлении уравнений Диофант умело выбирает неизвестные, чтобы упростить решение.

Вот, например, одно из его заданий.

Задача 11.    «Найдите два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение равно 96»

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи следует, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение было бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их всего, т.е. . 10 + x   , другое число меньше, то есть 10 s   . Разница между ними 2x .

Отсюда уравнение:

(10 + х) (10 — х) = 96

100 — х 2 = 96

х 2 — 4 = 0 (1)

Отсюда х = 2 . Одно из искомых чисел — 12.   прочее 8 . Решение х = -2   для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если решить эту задачу, выбрав в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения

у (20 — у) = 96,

  у 2 — 20 у + 96 = 0. (2)

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1).

1.3 Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения уже встречаются в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой.Другой индийский ученый Брахмагупта (7 век) изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ах 2+ б х = с, а > 0. (1)

В уравнении (1) коэффициенты, кроме и , могут быть отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Древней Индии были широко распространены публичные состязания в решении трудных задач. В одной из древнеиндийских книг о таких состязаниях сказано следующее: «Как солнце своим блеском затмевает звезды, так ученый человек затмевает славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи. Задания часто облечены в стихотворную форму.

Вот одна из задач известного индийского математика XII века. Бхаскара.

Задача 13.

«Обезьян резвой стаей И двенадцать в лианах…

Сила еды, веселье. Стали прыгать, висеть…

Их восемь на площади. Сколько было обезьян,

На лугу она развлекалась. Подскажите в этом паке?

Решение Бхаскара свидетельствует о том, что он знал о неоднозначности корней квадратных уравнений (рис.3).

Уравнение, соответствующее задаче 13:

( х /8) 2 + 12 = х

Бхаскара пишет под видом:

х 2 — 64х = -768

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавить к обеим частям 32 2   получение тогда:

х 2 — 64х + 32 2 = -768 + 1024,

(х — 32) 2 = 256,

х — 32 = ± 16,

х 1 = 16, х 2 = 48.

1.4 Квадратные уравнения для ал — Хорезми

Алгебраический трактат аль-Хорезми дает классификацию линейных и квадратных уравнений. Автор имеет 6 типов уравнений, выражая их следующим образом:

  1) «Квадраты равны корнями», т.е. ah 2 + c = б х

  2) «Квадраты равны числу», т.е. ах 2 = s.

  3) «Корни равны числу», т.е.е. ах = с.

  4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ah 2 + c = б х

  5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ah 2+ бх   = с.

  6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. бх + с = ах 2.

Для аль-Хорезми, избегая использования отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений являются членами, не вычитаемыми.При этом уравнения, не имеющие положительных решений, заведомо не учитываются. Автор намечает способы решения этих уравнений, используя приемы аль-джабра и аль-мукабала. Его решение, конечно, не совсем совпадает с нашим. Не говоря уже о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого рода

ал — Хорезми, как и все математики до XVII века, не учитывает нулевое решение, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений аль-Хорезми на конкретных числовых примерах излагает правила решения, а затем геометрические доказательства.

Задание 14.    «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найдите корень » (подразумевается корень уравнения х 2 + 21 = 10х).

Решение автора звучит примерно так: делим количество корней пополам, получаем 5, умножаем 5 на себя, от произведения отнимаем 21, оставляем 4.Возьми корень из 4, получи 2. Из 5 отними 2, получи 3, это и будет искомый корень. Или прибавить 2 к 5, что даст 7, это тоже корень.

Трактат аль-Хорезми — первая дошедшая до нас книга, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы для их решения.

1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII XVII   куб.см

Формулы для решения квадратных уравнений по образцу аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в Книге счетов, написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемный труд, отражающий влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции, отличается полнотой и ясностью изложения. Автор самостоятельно разработал несколько новых алгебраических примеров решения задач и первым в Европе ввел отрицательные числа. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги счетов» вошли почти во все европейские учебники XVI–XVII вв.и частично XVIII.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенное к единой канонической форме:

х 2 + бх   = с

со всеми видами комбинаций знаков коэффициентов б , из   Сформулирован в Европе только в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы для решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни.Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли в числе первых в XVI в. Помимо положительных, учитываются отрицательные корни. Лишь в XVII в. Благодаря работам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых метод решения квадратных уравнений приобретает современный вид.

1.6 О теореме Виета

Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была впервые сформулирована им в 1591 году следующим образом: «Если В + D   раз A А 2   равно Bd   затем A   равно IN    и равно D ».

Чтобы понять Виета, следует помнить, что А   , как и всякая гласная буква, означала неизвестное (наше х ), гласные ИН, D    — коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры приведенная выше формулировка Виета означает: если

 (а + б ) х — х 2 = аб ,

х 2 — (а + б ) х + а б = 0,

х 1 = а, х 2 = б .

Выражая связь между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в способах решения уравнений. Однако символика Виеты еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и поэтому при решении уравнений рассматривал только случаи, когда все корни положительные.

2. Методы решения квадратных уравнений

Квадратные уравнения — это фундамент, на котором держится великолепное здание алгебры.Квадратные уравнения широко используются при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания школы.

Просто. По формулам и понятным простым правилам. На первом этапе

необходимо привести данное уравнение к стандартному виду, т.е. просмотреть:

Если уравнение уже дано вам в таком виде — первый шаг не нужен. Самое главное правильно

определяют все коэффициенты a , b и c .

Формула для нахождения корней квадратного уравнения.

Выражение под знаком корня называется Дискриминант . Как видите, для нахождения X мы имеем

использовать только a, b и c .   Тех. коэффициенты из квадратного уравнения . Просто аккуратно подставьте

значений a, b и c в эту формулу и считаем.Замените на их знаков  !

например в уравнении:

и =1; б = 3; с = -4.

Подставляем значения и пишем:

Пример почти решен:

Это ответ.

Наиболее распространенными ошибками является путаница со значениями знаков a, b и   из . Вернее, с заменой

отрицательных значения в формуле вычисления корней.Здесь сохраняется подробная запись формулы

с конкретными номерами. Если у вас есть проблемы с расчетами, сделайте это!

Предположим, нам нужно решить такой пример:

Здесь a = -6; б = -5; с = -1

Расписываем все подробно, внимательно, ничего не пропуская со всеми знаками и скобками:

Часто квадратные уравнения выглядят несколько иначе.Например, вот так:

Теперь обратите внимание на практические методы, которые значительно уменьшают количество ошибок.

Первый прием . Не поленитесь перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду.

Что это значит?

Допустим, после всех преобразований вы получили такое уравнение:

Не спешите писать формулу корней! Почти наверняка вы перепутаете шансы 90 547 a, b и c.

Правильно соберите пример. Х сначала в квадрате, потом без квадрата, потом свободный член. Вот так:

Избавьтесь от минуса. Как? Необходимо все уравнение умножить на -1. Получаем:

А теперь можно смело записывать формулу корней, считать дискриминант и завершать пример.

Сделай сам. Вы должны получить корни 2 и -1.

Прием второй.   Проверьте корни! По теореме Виета .

Решить заданные квадратные уравнения, т.е. если коэффициент

х 2 + Ьх + с = 0,

тогда х 1 х 2 = с

х 1 + х 2 = — б

Для полного квадратного уравнения, в котором a ≠ 1 :

х 2 + б х + в =0,

разделить все уравнение на a:

→ →

, где x 1 и x 2 — корни уравнения.

Третий прием . Если в вашем уравнении есть дробные коэффициенты, избавьтесь от дробей! Умножить

уравнение с общим знаменателем.

Заключение. Практические советы:

1. Перед решением приводим квадратное уравнение к стандартному виду, строим его правильно .

2. Если перед икс-квадратом стоит отрицательный коэффициент, устраняем его умножением всего на

уравнения на -1.

3. Если коэффициенты дробные, дроби исключаем, умножая все уравнение на соответствующий

фактор

.

4. Если x в квадрате чистый, коэффициент равен единице, решение легко проверяется по

Эта тема поначалу может показаться сложной из-за множества не очень простых формул. Не только сами квадратные уравнения имеют длинные записи, но и корни проходят через дискриминант. Всего получается три новые формулы.Не очень легко запомнить. Это возможно только после частого решения таких уравнений. Тогда все формулы запомнятся сами собой.

Общий вид квадратного уравнения

Здесь предлагается их явный ввод при записи сначала наибольшей степени, а затем в порядке убывания. Нередко бывают ситуации, когда термины расходятся. Тогда лучше переписать уравнение в порядке убывания степени переменной.

Введем обозначения.Они представлены в таблице ниже.

Если принять эти обозначения, то все квадратные уравнения приводятся к следующим обозначениям.

При этом коэффициент a ≠ 0. Обозначим эту формулу цифрой один.

При задании уравнения неясно, сколько корней будет в ответе. Потому что всегда возможен один из трех вариантов:

  • в решении будет два корня;
  • ответ — одно число;
  • уравнение вообще не будет иметь корней.

И пока решение не принято окончательно, сложно понять, какой вариант выпадет в том или ином случае.

Типы записей квадратных уравнений

В задачах могут встречаться разные их записи. Они не всегда будут похожи на общую формулу квадратного уравнения. Иногда он пропускает некоторые термины. То, что было написано выше, является полным уравнением. Если убрать в нем второе или третье слагаемое, то получится нечто другое. Эти записи еще называют квадратными уравнениями, только неполными.

Причем исчезнуть могут только члены с коэффициентами «b» и «c». Число «а» не может быть равно нулю ни при каких условиях. Потому что в этом случае формула превращается в линейное уравнение. Формулы для неполной формы уравнений будут такими:

Итак, видов всего два, кроме полных; бывают и неполные квадратные уравнения. Пусть первая формула будет номер два, а вторая три.

Дискриминант и зависимость количества корней от его значения

Это число необходимо знать для вычисления корней уравнения.Его всегда можно рассчитать, какой бы ни была формула квадратного уравнения. Для того, чтобы вычислить дискриминант, нужно воспользоваться написанным ниже равенством, которое будет цифрой четыре.

После подстановки значений коэффициентов в эту формулу можно получить числа с разными знаками. Если ответ да, то ответом на уравнение будут два разных корня. При отрицательном числе корни квадратного уравнения будут отсутствовать. Если он равен нулю, ответ будет один.

Как решается полное квадратное уравнение?

На самом деле рассмотрение этого вопроса уже началось. Потому что сначала нужно найти дискриминант. После того, как выяснено, что корни квадратного уравнения есть, и известно их количество, нужно воспользоваться формулами для переменных. Если корней два, то нужно применить эту формулу.

Поскольку в нем стоит знак «±», то значений будет два. Выражение под знаком квадратного корня является дискриминантом.Поэтому формулу можно переписать по-другому.

Формула номер пять. Из той же записи видно, что если дискриминант равен нулю, то оба корня примут одинаковые значения.

Если решение квадратных уравнений еще не выработано, лучше перед применением формул дискриминанта и переменной записать значения всех коэффициентов. В дальнейшем этот момент не вызовет затруднений. Но в самом начале возникает путаница.

Как решается квадратное уравнение неполной формы?

Здесь все намного проще. Нет необходимости даже в дополнительных формулах. А те, что уже были записаны для дискриминанта и неизвестного, будут не нужны.

Сначала рассмотрим неполное уравнение под номером два. В этом равенстве предполагается заключить в скобки неизвестную величину и решить оставшееся в скобках линейное уравнение. В ответе будет два корня.Первый обязательно равен нулю, потому что есть множитель, состоящий из самой переменной. Второй получается путем решения линейного уравнения.

Неполное уравнение под номером три решается переносом числа из левой части равенства в правую. Затем нужно разделить на коэффициент перед неизвестным. Осталось только извлечь квадратный корень и не забыть записать его дважды с противоположными знаками.

Далее написаны некоторые действия, которые помогут научиться решать всевозможные равенства, переходящие в квадратные уравнения.Они помогут ученику избежать ошибок по невнимательности. Эти недостатки являются причиной плохих оценок при изучении обширной темы «Квадратные уравнения (8 класс)». Впоследствии эти действия не нужно будет выполнять постоянно. Потому что будет устойчивый навык.

  • Сначала нужно написать уравнение в стандартной форме. То есть сначала член с наибольшей степенью переменной, а потом — без степени и последним — просто число.
  • Если перед коэффициентом «а» стоит минус, то он может усложнить работу новичку в изучении квадратных уравнений.Лучше от него избавиться. Для этого все равенства нужно умножить на «-1». Это означает, что у всех слагаемых знак изменится на противоположный.
  • Таким же образом рекомендуется избавиться от дробей. Просто умножьте уравнение на соответствующий коэффициент, чтобы знаменатели уменьшились.

Примеры

Требуется решить следующие квадратные уравнения:

х 2 — 7х = 0;

15 — 2х — х 2 = 0;

х 2 + 8 + 3х = 0;

12х + х 2 + 36 = 0;

(х + 1) 2 + х + 1 = (х + 1) (х + 2).

Первое уравнение: х 2 — 7х = 0. Оно неполное, поэтому решается так, как описано для формулы под номером два.

После вынесения за скобки получается: х(х — 7) = 0.

Первый корень принимает значение: х 1 = 0. Второй будет найден из линейного уравнения: х — 7 \ u003d 0. Легко видеть, что х 2 = 7.

Второе уравнение: 5х 2 + 30 = 0. Снова неполное. Только решается так, как описано для третьей формулы.

После переноса 30 в правую часть уравнения: 5х 2 = 30. Теперь нужно разделить на 5. Получается: х 2 = 6. Ответами будут числа: х 1 = √6, х 2 = — √6.

Третье уравнение: 15 — 2х — х 2 = 0. Здесь и далее решение квадратных уравнений начнем с переписывания их в стандартной форме: — х 2 — 2х + 15 = 0. Теперь пришло время использовать второй полезный совет и умножь все на минус один. Получается х 2 + 2х — 15 = 0.По четвертой формуле нужно вычислить дискриминант: D = 2 2 — 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Это положительное число. Из сказанного выше получается, что уравнение имеет два корня. Их нужно рассчитать по пятой формуле. Получается, что х = (-2 ± √64)/2 = (-2 ± 8)/2. Тогда х 1 = 3, х 2 = — 5.

Четвертое уравнение х 2 + 8 + 3х = 0 преобразуется в это: х 2 + 3х + 8 = 0. Его дискриминант равен этому значению: -23.Так как это число отрицательное, то ответом на это задание будет следующая запись: «Корней нет».

Пятое уравнение 12х + х 2 + 36 = 0 следует переписать так: х 2 + 12х + 36 = 0. После применения формулы для дискриминанта получаем число ноль. Это значит, что у него будет один корень, а именно: х = -12/(2*1) = -6.

Шестое уравнение (х + 1) 2 + х + 1 = (х + 1) (х + 2) требует преобразований, которые заключаются в том, что перед раскрытием скобок необходимо привести аналогичные члены.На месте первого появляется это выражение: х 2 + 2х + 1. После равенства появляется такая запись: х 2 + 3х + 2. После подсчета этих слагаемых уравнение принимает вид: х 2 — х = 0. Он превратился в неполный . Подобные ему уже были рассмотрены чуть выше. Корнями этого будут числа 0 и 1.

Влияние пищевых добавок пиколината хрома на показатели роста бройлеров: метаанализ

%PDF-1. 6 % 1 0 объект >поток дои: 10.1371/journal.pone.0249527

  • Чао Фэн, Цициге Вурен, Синьюй Чжан, Сяоин Сунь, Цинь На
  • Влияние пищевых добавок пиколината хрома на показатели роста бройлеров: метаанализ
  • 10.1371/journal.pone.0249527http://dx.doi.org/10.1371/journal.pone.02495272021-04-06false10.1371/journal.pone.0249527
  • www.plosone.org
  • 10.1371/journal.pone.02495272021-04-06false
  • www.plosone.org
  • конечный поток эндообъект 2 0 объект > эндообъект 3 0 объект >/ProcSet 13 0 R/XObject>>> эндообъект 6 0 объект [15 0 R 16 0 R 17 0 R 18 0 R 19 0 R 20 0 R 21 0 R 22 0 R 23 0 R 24 0 R 25 0 R 26 0 R 27 0 R 28 0 R 29 0 R 30 0 R 31 0 R 32 0 R 33 0 R 34 0 R 35 0 R 36 0 R 37 0 R 38 0 R 39 0 R 40 0 ​​R 41 0 R 42 0 R 43 0 R 44 0 R 45 0 R 46 0 R 47 0 R 48 0 Р] эндообъект 15 0 объект >/Граница[0 0 0]>> эндообъект 16 0 объект >/Граница[0 0 0]>> эндообъект 17 0 объект >/Граница[0 0 0]>> эндообъект 18 0 объект >/Граница[0 0 0]>> эндообъект 19 0 объект >/Граница[0 0 0]>> эндообъект 20 0 объект >/Граница[0 0 0]>> эндообъект 21 0 объект >/Граница[0 0 0]>> эндообъект 22 0 объект >/Граница[0 0 0]>> эндообъект 23 0 объект >/Граница[0 0 0]>> эндообъект 24 0 объект >/Граница[0 0 0]>> эндообъект 25 0 объект >/Граница[0 0 0]>> эндообъект 26 0 объект >/Граница[0 0 0]>> эндообъект 27 0 объект >/Граница[0 0 0]>> эндообъект 28 0 объект >/Граница[0 0 0]>> эндообъект 29 0 объект >/Граница[0 0 0]>> эндообъект 30 0 объект >/Граница[0 0 0]>> эндообъект 31 0 объект >/Граница[0 0 0]>> эндообъект 32 0 объект >/Граница[0 0 0]>> эндообъект 33 0 объект >/Граница[0 0 0]>> эндообъект 34 0 объект >/Граница[0 0 0]>> эндообъект 35 0 объект >/Граница[0 0 0]>> эндообъект 36 0 объект >/Граница[0 0 0]>> эндообъект 37 0 объект >/Граница[0 0 0]>> эндообъект 38 0 объект >/Граница[0 0 0]>> эндообъект 39 0 объект >/Граница[0 0 0]>> эндообъект 40 0 объект >/Граница[0 0 0]>> эндообъект 41 0 объект >/Граница[0 0 0]>> эндообъект 42 0 объект >/Граница[0 0 0]>> эндообъект 43 0 объект >/Граница[0 0 0]>> эндообъект 44 0 объект >/Граница[0 0 0]>> эндообъект 45 0 объект >/Граница[0 0 0]>> эндообъект 46 0 объект >/Граница[0 0 0]>> эндообъект 49 0 объект > эндообъект 47 0 объект >/Граница[0 0 0]>> эндообъект 50 0 объект > эндообъект 48 0 объект >/Граница[0 0 0]>> эндообъект 51 0 объект > эндообъект 4 0 объект >поток х\mFr|_/a,^[g’WsT. ƛ3,eqdDGdc»7M,2ysa8’5mL

    IIBF Junior Executive Section-Wise Syllabus 2022

    Образец экзамена IIBF Junior Executive Exam состоит из: письменного экзамена, за которым следует этап личного собеседования (PI). Кандидаты должны будут явиться на 140-минутный экзамен. Окончательный отбор кандидатов будет основан на их выступлениях на обоих этапах.

    Загрузить более 1000 бумажных вопросов на основе памяти в формате PDF для всех банковских экзаменов

    Программа экзамена

    IIBF Junior Executive состоит из пяти различных тестов: английский язык, рассуждение, количественные способности, общая осведомленность и знание компьютера.Экзамен состоит из 200 вопросов.

    Индийский институт выпечки и финансов вскоре проведет онлайн-экзамен на должность младшего руководителя в 2022 году. Дата экзамена на 2022 год будет объявлена ​​в ближайшее время. Отобранные кандидаты должны быть размещены в Ченнаи, Мумбаи, Калькутте или Нью-Дели в любом из этих офисов соответствующего Института. Подробная программа экзамена IIBF Junior Executive представлена ​​ниже.

    Основные моменты IIBF

    Основные моменты IIBF Junior Executive Exam 2022

    Некоторая подробная информация, касающаяся IIBF Junior Executive Examination, представлена ​​ниже в табличной форме.Кандидаты, заинтересованные в должности, могут проверить детали перед заполнением экзаменационной формы:

    Сведения Детали
    Название экзамена Экзамен для младших руководителей Индийского института выпечки и финансов (IIBF)
    Проводит Индийский институт выпечки и финансов (IIBF)
    Режим проверки Онлайн
    Количество ступеней Две ступени
    Количество статей Одна бумага
    Уровень экзамена Национальный
    Продолжительность экзамена 140 минут
    Среда исследования Английский
    Официальный сайт www. iibf.org.in

    Программа рассуждений

    Программа рассуждений для младших руководителей IIBF

    Рассуждение содержит в общей сложности 50 вопросов. Максимальное количество баллов за эту часть – 50. Время, отведенное на этот раздел – 40 минут. Кандидатам необходимо подготовить следующий пункт аргументации:

    .
    • Завершение серии
    • Аналогия
    • Классификация
    • Тест реакции на ситуацию
    • Утверждение
    • Достаточность данных
    • Кодирование-декодирование
    • Арифметические рассуждения
    • Буквенно-цифровая головоломка
    • Математические операции
    • Тест определения направления
    • Проверка истинности Заявления
    • Кровные отношения
    • Диаграммы Венна
    • Последовательность слов
    • Отсутствующие символы
    • Тест на соответствие требованиям
    • Точка Ситуация
    • Направления
    • Тест по алфавиту
    • Формирование фигур и анализ
    • Идентичные группы фигур
    • Серия
    • Построение квадрата и треугольника
    • Резка бумаги
    • Складывание бумаги
    • Изображения воды
    • Зеркальные изображения
    • Кубики и кости
    • Завершение неполного шаблона
    • Распознавание встроенных фигурок
    • Классификация
    • Обнаружение правил
    • Аналитическое мышление

    Программа английского языка

    IIBF Junior Executive Программа английского языка

    Часть английского языка содержит в общей сложности 40 вопросов. Максимальный балл за эту часть – 40. Время, отведенное на этот раздел – 30 минут. Кандидаты должны подготовить следующие пули в разделе английского языка:

    • Идиомы и фразы
    • Синонимы
    • Антонимы
    • Заполните поля
    • Завершение прохождения
    • Ошибки обнаружения
    • Расстановка предложений
    • Улучшение предложения
    • Замена
    • Предлог
    • Приговор
    • Активный и пассивный голос
    • Параграф Завершение
    • Соединение предложений
    • Исправление ошибок (подчеркнутая часть)
    • Трансформация
    • Исправление ошибок (фраза выделена жирным шрифтом)
    • Орфографический тест
    • Завершение

    Учебный план способностей

    Программа IIBF Junior Executive Quantitative Aptitude Syllabus

    Часть «Количественные способности» содержит в общей сложности 50 вопросов.Максимальное количество баллов за эту часть – 50. Общее время, отведенное на этот раздел, – 40 минут. Кандидаты должны будут изучить следующие пункты раздела «Количественные способности»:

    .
    • Гонки и игры
    • Лодки и ручьи
    • Соотношение и пропорция
    • Партнерство «Время и работа»
    • Простые проценты
    • Проблемы в поездах
    • Области
    • Числа и Возраст
    • Измерение
    • Смешения и обвинения
    • Трубы и цистерны
    • Простое уравнение
    • Проблемы с H.CF и LCM
    • Простые уравнения
    • Средние значения
    • Проценты
    • Перестановки и комбинации
    • Лишний человек
    • Квадратные уравнения
    • Прибыли и убытки
    • Вероятность
    • томов
    • Сложные проценты
    • Индексы и Surds
    • Упрощение и приближение

    Общая осведомленность

    Общая программа обучения младших руководителей IIBF

    Этот раздел общей информации специально связан с банковским делом.Этот раздел состоит из 40 вопросов, за которые можно получить 40 баллов. Общее время, отведенное на этот раздел, составляет 20 минут. Следующие пули, которые должны быть подготовлены в разделах «Общая осведомленность»:

    • Инфляция
    • Налоги на доходы и расходы
    • Финансовые комиссии
    • Доход центрального правительства
    • Государственные финансы
    • Экономическое планирование
    • Векселя
    • Национальный доход
    • Типы банков
    • Концепция бюджета
    • История индийской банковской индустрии
    • Схемы и политика, реализуемые правительством
    • RBI и его денежно-кредитная политика
    • Денежный рынок в Индии
    • Рынок капитала в Индии
    • Функции банков
    • Роль банковского дела

    Компьютерные знания

    Программа IIBF Junior Executive по компьютерным знаниям

    Раздел по компьютерным знаниям состоит из 20 вопросов письменного экзамена.Суммарная оценка этого раздела – 20. Общее время, отведенное на этот раздел, – 10 минут. Кандидаты должны пройти указанные пули в разделе Компьютерные знания:

    .
    • Компьютерные сети
    • Булева алгебра
    • MS Word, Microsoft OneNote
    • Microsoft Access
    • Введение в информатику
    • Программное обеспечение для ПК и офисная автоматизация
    • Новые технологии и веб-публикации
    • MS PowerPoint
    • Интернет
    • Инструменты повышения производительности на рабочем месте
    • MS Visio и MS Excel
    • Структуры данных
    • Система управления базами данных
    • Microsoft Outlook
    • MS Project, Microsoft Publisher

    Кандидаты могут подготовиться к письменному экзамену в соответствии с программой, приведенной в предыдущих разделах, для IIBF Junior Executive Exam.Все кандидаты могут посетить официальный сайт IIBF — iibf.org.in, чтобы получить всю необходимую информацию об экзамене.

    Часто задаваемые вопросы IIBF JE

    IIBF Junior Executive Exam 2022 Часто задаваемые вопросы

    Вопросы. Каковы основные разделы письменного экзамена IIBF Junior Executive?

    Ответ. Письменный экзамен IIBF Junior Executive состоит из 5 разделов, которые относятся к соответствующему потоку: Рассуждение, Английский язык, Количественные способности, Общая осведомленность и Компьютерные знания.Кандидаты должны подготовить эти конкретные разделы, чтобы пройти письменный экзамен.

    Вопросы. Что является средством письменного экзамена IIBF Junior Executive?

    Ответ. Письменный экзамен IIBF Junior Executive будет проводиться на английском языке. Все разделы экзаменационной работы будут доступны только на английском языке. Никакой другой носитель не доступен для написания экзамена.

    Вопросы. Есть ли возрастные ограничения для IIBF Junior Executive Examination?

    Ответ.Да, для сдачи IIBF Junior Executive Examination существует возрастное ограничение. Кандидаты могут подавать заявки в возрасте до 28 лет.

    Вопросы. Взимается ли плата за подачу заявки на экзамен IIBF Junior Executive Examination?

    Ответ. По данным за прошлый год плата за подачу заявки не взималась даже для общих категорий. IIBF может взимать плату за подачу заявки на 2022 год. Кандидаты должны будут проверять на официальном сайте информацию о плате за подачу заявки.

    Вопросы. Какова структура заработной платы Младший руководитель IIBF?

    Ответ. Лицо, занимающее должность младшего исполнительного директора IIBF, получает заработную плату в размере от 28 300 до 91 300 индийских рупий. Ему/ей также будут предоставлены другие льготы, такие как пособие на аренду жилья, пособие по бездорожью и т. д.

    ESIC UDC Syllabus & Exam Pattern 2022: проверьте предметную программу

    Серия предварительных онлайн-тестов ESIC UDC

    Государственная страховая корпорация (ESIC) опубликовала уведомление ESIC на официальном сайте 15 января 2022 года. ESIC выпустила официальное уведомление о заполнении таких должностей, как МТС, УДК ​​и Стенографистка. Всего через экзамен ESIC будет заполнено 4315 вакансий.

    Загрузить более 1000 бумажных вопросов на основе памяти в формате PDF для всех банковских экзаменов

    Подходящие кандидаты смогут подать онлайн-заявку на экзамен ESIC UDC до 15 февраля 2022 года. Претенденты, зарегистрировавшиеся на экзамен ESIC UDC, должны пройти три этапа: Prelims, Mains и Computer. Тесты навыков.

    Хотя предметы экзаменов ESIC UDC Phase I и Phase II одинаковы, уровни сложности экзаменов различаются. В этой статье вы найдете подробные сведения о предметной программе экзамена ESIC UDC 2022.

    Решите ESIC UDC Практические документы прошлых лет Здесь.

    Основные моменты ESIC UDC

    ESIC UDC 2022: важные моменты

    Важные моменты программы ESIC UDC 2022 выделены в следующей таблице:

    Служба набора Государственная корпорация страхования работников (ESIC)
    Должность Клерк высшего отдела
    Категория Учебный план
    Уровень экзамена Национальный
    Режим экзамена Онлайн
    Схема маркировки Prelims — 2 балла за каждый тест Mains & Skill — 1 балл за каждый
    Негативная маркировка 0. 25 баллов или ¼ балла
    Процесс отбора Prelims-Main-Skill Test
    Официальный сайт https://www.esic.nic.in/

    Проверить ESIC UDC Зарплата 2022 здесь.

    Образец экзамена ESIC

    Образец экзамена ESIC UDC 2022

    В этой статье обсуждался шаблон экзамена

    ESIC UDC для Prelims, Mains и Computer Skill Test. Ознакомьтесь с шаблоном экзамена по секциям на 2022 год здесь:

    Предварительный экзамен ESIC UDC 2022

    Экзамен ESIC UDC Prelims состоит из четырех разделов: «Общая осведомленность», «Общий интеллект и рассуждение», «Понимание английского языка» и «Количественные способности».

    • Общее количество вопросов: 100
    • Тип вопроса: MCQ.
    • Претенденты получат 2 балла за каждый правильный ответ, а кандидаты будут вычитать одну четвертую балла за каждый неправильный ответ.
    • Общая продолжительность времени: 60 минут.
    Наименование теста Количество вопросов Максимальная оценка Версия
    Общий интеллект и мышление 25 50 Двуязычный
    Общая осведомленность 25 50 Двуязычный
    Количественные способности 25 50 Двуязычный
    Понимание английского языка 25 50 Английский
    Итого 100 200

    Кандидаты должны будут ответить на вопросы на 200 баллов.Выбор для сетевой обмотки будет 1:10.

    ESIC UDC Экзамен сети 2022

    Экзамен ESIC UDC Mains носит зачетный характер, и оценки будут приняты для окончательного отбора. Как и в случае с экзаменом PRelims, в экзамене ESIC UDC Mains также есть четыре раздела: общая осведомленность, общий интеллект и рассуждение, понимание английского языка и количественные способности.

    • Всего вопросов: 200
    • Тип вопроса: MCQ
    • За каждый правильный ответ кандидаты получают 1 балл, а за каждый неправильный ответ кандидаты получают вычет 1/4 балла.
    • Продолжительность: 120 минут.
    Наименование теста Количество вопросов Максимальная оценка Версия
    Общий интеллект и мышление 50 50 Двуязычный
    Общая осведомленность 50 50 Двуязычный
    Количественные способности 50 50 Двуязычный
    Понимание английского языка 50 50 Английский
    Итого 200 200

    Процесс отбора для теста на компьютерные навыки будет происходить в соотношении 1:5.

    ESIC UDC Компьютерный тест 2022

    Никаких отрицательных оценок за компьютерный тест не будет, и эти оценки не будут учитываться для окончательного списка достижений.

    Продолжительность проверки навыков работы с компьютером: 30 минут.

    Наименование теста Максимальное количество баллов
    Подготовка 02 слайдов PowerPoint 10
    Набор текста в MS Word с форматированием 20
    Подготовка таблицы в MS Excel с использованием формул 20
    Итого 50

    Этот раунд носит квалификационный характер, и оценки, полученные в ходе теста на компьютерные навыки, будут учитываться в списке заслуг.Проверьте ESIC UDC Result здесь.

    ESIC УДК Часто задаваемые вопросы

    Часто задаваемые вопросы

    Вопросы. Могу ли я выбрать вариант присутствия на всех трех этапах экзамена одновременно?

    Ответ. Нет, абитуриенты не смогут одновременно участвовать в трех этапах экзамена ESIC UDC.

    Вопросы. Будут ли три этапа ESIC UDC проходить в разные даты?

    Ответ. Да, этапы ESIC UDC начнутся в разные даты.

    Вопросы. Получу ли я какие-либо вычеты баллов, если я отмечу какой-либо неправильный ответ?

    Ответ. Да, кандидаты получат вычет 1/4 балла за каждый неправильный ответ.

    Вопросы. Схема выставления оценок одинакова для всех этапов ESIC UDC 2022?

    Ответ. Нет, схема выставления оценок различна для всех этапов ESIC UDC 2022.

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.

    2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
    тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск