Неравенства с логарифмами: Логарифмические неравенства, примеры решений

Содержание

методы решения, сравнение логарифмов с разными основаниями

п.1. Методы решения логарифмических неравенств

Неравенства вида \(\log_a f(x)\gt\log_a g(x)\) или \(\log_{a(x)} f(x)\gt\log_{a(x)} g(x)\) или сводящиеся к ним называются логарифмическими неравенствами.

При решении логарифмических неравенств используются следующие основные методы:
1) переход от логарифмического неравенства к равносильному неравенству между \(f(x)=g(x)\) с системой неравенств, описывающих ОДЗ;
2) графический метод;
3) замена переменной.

п.2. Решение неравенств вида \(\log_a f(x)\gt\log_a g(x)\)

Если \(a\gt 1\), логарифмическое неравенство \(\log_a f(x)\gt\log_a g(x)\) равносильно системе: \begin{gather*} \log_a f(x)\lt\log_a g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)\gt g(x)\\ f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end{cases} \end{gather*} Знак неравенства между \(f(x)\) и \(g(x)\) сохраняется.

Если \(0\lt a\lt 1\), логарифмическое неравенство \(\log_a f(x)\gt\log_a g(x)\) равносильно системе: \begin{gather*} \log_a f(x)\lt\log_a g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)\lt g(x)\\ f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end{cases} \end{gather*} Знак неравенства между \(f(x)\) и \(g(x)\) меняется на противоположный.

Неравенства \( \begin{cases} f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end{cases} \) в системе соответствуют ограничению ОДЗ для аргумента логарифмической функции.

Например:
Решим неравенство \(\log_2(3x-1)\gt\log_2(2-5x)\)
\begin{gather*} \log_2(3x-1)\gt\log_2(2-5x)\Leftrightarrow \begin{cases} 3x-1\gt 2-5x\\ 3x-1\gt 0\\ 2-5x=\gt 0 \end{cases} \\ \begin{cases} 8x\gt 3\\ 3x\gt 1\\ 5x\lt 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\gt\frac38\\ x\gt\frac13\\ x\lt\frac25 \end{cases} \Rightarrow\frac38\lt x\lt \frac25 \end{gather*} Ответ: \(x\in\left(\frac38;\frac25\right)\)

Внимание!

Система \( \begin{cases} f(x)\gt g(x)\\ f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)\gt g(x)\\ g(x)\gt 0 \end{cases} \Leftrightarrow f(x)\gt g(x)\gt 0 \)
т.е., можно опустить второе неравенство.

Система \( \begin{cases} f(x)\lt g(x)\\ f(x)\gt 0\\ g(x)\gt 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)\lt g(x)\\ f(x)\gt 0 \end{cases} \Leftrightarrow 0\lt f(x)\lt g(x) \)
т. е., можно опустить третье неравенство.
Научитесь отбрасывать лишнее неравенство: при решении сложных систем этот навык очень пригодится.

п.3. Решение неравенств вида \(\log_{a(x)} f(x)\gt \log_{a(x)} g(x)\)

Логарифмическое неравенство \(\log_{a(x)} f(x)\gt \log_{a(x)} g(x)\) равносильно совокупности: \begin{gather*} \log_{a(x)} f(x)\gt \log_{a(x)} g(x)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} a(x)\gt 1\\ f(x)\gt g(x)\gt \end{cases} \\ \begin{cases} 0\lt a(x)\lt 1\\ 0\lt f(x)\lt g(x) \end{cases} \end{array} \right. \end{gather*}

Например:
Решим неравенство \(\log_{2x-3}x\gt 1\)
\(\log_{2x-3}x\gt\log_{2x-3}(2x-3)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} 2x-3\gt 1\\ x\gt 2x-3\gt 0 \end{cases} \\ \begin{cases} 0\lt 2x-3\lt 1\\ -\lt x\lt 2x-3 \end{cases} \end{array} \right. \) $$ \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} 2x\gt 4\\ 2x\gt 3\\ x\gt 2x-3 \end{cases} \\ \begin{cases} 3\lt 2x\lt 4\\ 0\lt x\\ x\lt 2x-3 \end{cases} \end{array} \right.

\Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x\gt 2\\ x\gt 1,5\\ x\lt 3 \end{cases} \\ \begin{cases} 1,5\lt x\lt 2\\ x\gt 0\\ x\gt 3 \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} 2\lt x\lt 3\\ \varnothing \end{array} \right. \Rightarrow 2\lt x\lt 3 $$ Ответ: \(x\in(2;3)\)

п.4. Сравнение логарифмов с разными основаниями от одного аргумента

Для \(\log_a x\) и \(\log_bx\) с разными основаниями и одним аргументом справедливы следующие соотношения:

\(a\gt b\gt 1\) \(1\gt a\gt b\gt 0\)
\begin{gather*} \log_bx\gt\log_ax,\ \ x\in(1;+\infty)\\ \log_bx\lt\log_ax,\ \ x\in(0;1) \end{gather*} \begin{gather*} \log_bx\gt\log_ax,\ \ x\in(1;+\infty)\\ \log_bx\lt\log_ax,\ \ x\in(0;1) \end{gather*}

п.5. Примеры

Пример 1. Сравните числа:
a) \( a=\log_5\frac78,\ b=\log_6\frac78 \)
Аналитический метод:
\begin{gather*} a=\frac{\lg\frac78}{\lg 5}=\frac{\lg 7-\lg 8}{\lg 5}\lt 0,\ \ b=\frac{\lg\frac78}{\lg 6}=\frac{\lg 7-\lg 8}{\lg 6}\lt 0\\ a-b=\frac{\lg 7-\lg 8}{\lg 5}-\frac{\lg 7\lg 8}{\lg 6}=(\lg 7-\lg 8)\left(\frac{1}{\lg 5}-\frac{1}{\lg 6}\right)\\ a-b=\frac{\overbrace{(\lg 7-\lg8)}^{\lt 0}\overbrace{(\lg 6-\lg 5)}^{\gt 0}}{\underbrace{\lg 5\cdot\lg 6}_{\gt 0}}\lt 0\\ a\lt b \end{gather*} Графический метод:
\(0\lt\frac78\lt 1\)

При \(0\lt x\lt 1\) кривая \(\log_6x\gt\log_5x\)
Значит, \(b\gt a\)

б) \( a=\log_5 11,\ b=\log_6 11 \)
Аналитический метод:
\begin{gather*} a=\frac{\lg 11}{\lg 5},\ \ b=\frac{\lg 11}{\lg 6}\\ a-b=\lg 11\left(\frac{1}{\lg 5}-\frac{1}{\lg 6}\right)= \frac{\overbrace{\lg 11}^{\gt 0}\overbrace{(\lg 6-\lg 5)}^{\gt 0}}{\underbrace{\lg 5\cdot\lg 6}_{\gt 0}}\gt 0\\ a\gt b \end{gather*} Графический метод:
\(11\gt 1\)

При \(x\gt 1\) кривая \(\log_5x\gt\log_6x\)
Значит, \(a\gt b\)

в) \( a=\log_4 5,\ \ b=\log_{\frac{1}{16}}\frac{1}{25} \)
\( b=\log_{\frac{1}{16}}\frac{1}{25}=\log_{16}25=\log_{4^2}5^2=\log_4 5 \)
\(a=b\)

г*) \( a=\log_4 26,\ \ b=\log_6 17 \)
Решим аналитически. 2+x-2\lt 0\\ x\gt -1 \end{cases} \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin{cases} (x+2)(x-1)\lt 0\\ x\gt -1 \end{cases} \end{gather*}
\(-1\lt x\lt 1\)
Ответ: \(x\in(-1;1)\)

Пример 3*. Решите неравенство:
a) \( \log_{\frac1x}7\gt\log_{\frac{1}{2x-1}}7 \)
Если оба логарифма одного знака и 7>1, основание справа должно быть больше: \begin{gather*} \begin{cases} \frac{1}{2x-1}\gt\frac1x\\ x\gt 0,\ x\ne 1\\ 2x-1\gt 0,2x-1\ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\gt 2x-1\gt 0\\ x\ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\gt 2x-1\\ 2x\gt 1\\ x\ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\lt 1\\ x\gt\frac12\\ x\ne 1 \end{cases} \Rightarrow \\ \Rightarrow \frac12\lt x\lt 1 \end{gather*} Если логарифмы разных знаков, то: \begin{gather*} \begin{cases} \log_{\frac17}\gt 0\\ \log_{\frac{1}{2x-1}}7\lt 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \log_7\frac1x\gt 0\\ x\ne 1\\ \log_7\frac{1}{2x-1}\lt 0\\ 2x-1\ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac1x\gt 1\\ 0\lt\frac{1}{2x-1}\lt 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\lt 1\\ 2x-1\gt 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\lt 1\\ x\gt 1 \end{cases} \Rightarrow \varnothing \end{gather*} Существует только решение для одинаковых знаков. 2-x-2\geq 0\\ x\ne 1 \end{cases} \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin{cases} x\gt 0\\ (x-2)(x+1)\geq 0\\ x\ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\gt 0\\ x\leq -1\cup x\geq 2\\ x\ne 1 \end{cases} \Rightarrow x\geq 2 \end{gather*} Еще одно множество решений, если логарифм слева отрицательный, а справа – положительный. \begin{gather*} \begin{cases} \log_x2\leq 0\\ \log_{x+2}\geq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \log_2x\leq 0\\ \log_2\sqrt{x+2}\geq 0 \end{cases} \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin{cases} 0\lt x\leq 1,\ x\ne 1\\ \sqrt{x+2}\geq 1,\ \sqrt{x+2}\ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 0\lt x\lt 1\\ x+2\gt 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 0\lt x\lt 1\\ x\gt -1 \end{cases} \Rightarrow 0\lt x\lt 1 \end{gather*} Объединяем полученные множества: \(0\lt x\lt 1\cup x\geq 2\)
Ответ: \(x\in(0;1)\cup\left.\left[2;+\infty\right.\right)\)

в) \( \log_{2x+1}0,8\lt\log_{4x-1}0,8 \)
Если оба логарифма одного знака и 0,8>1, основание справа должно быть больше: \begin{gather*} \begin{cases} 4x-1\gt 2x+1\\ 4x-1\gt 0,4x-1\ne 1\\ 2x+1\gt 0,2x+1\ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4x-1\gt 2x+1\gt 0\\ x\ne\left\{0;\frac12\right\} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x\gt 2\\ 2x\gt -1\\ x\ne\left\{0;\frac12\right\} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\gt 1\\ x\gt -\frac12\\ x\ne\left\{0;\frac12\right\} \end{cases} \Rightarrow\\ \Rightarrow x\gt 1 \end{gather*} Если логарифмы разных знаков: \begin{gather*} \begin{cases} \log_{2x+1}0,8\lt 0\\ \log_{4x_1}0,8\gt 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \log_{0,8}(2x+1)\lt 0\\ \log_{0,8}(4x-1)\gt 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x+1\gt 1\\ 0\lt 4x-1\lt 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\gt 0\\ 1\lt 4x\lt 2 \end{cases} \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin{cases} x\gt 0\\ \frac14\lt x\lt\frac12 \end{cases} \Rightarrow \frac14\lt x\lt\frac12 \end{gather*} Объединяем полученные множества: \(\frac14\lt x\lt\frac12\cup x\gt 1\)
Ответ: \(x\in\left(\frac14;\frac12\right)\cup(1;+\infty)\)

Пример 4*. 2-3x-4\gt 0 \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x\lt -1\cup x\gt 1\\ (x+1)(x-4)\lt 0\\ x\ne 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x\ne 0\\ -1\lt x\lt 1\\ x\gt -\frac43\\ (x+1)(x-4)\gt 0 \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow \\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x\lt -1\cup x\gt 1\\ -1\lt x\lt 4\\ x\ne 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x\ne 0\\ -1\lt x\lt 1\\ x\gt -\frac43\\ x\lt -1\cup x\gt 4 \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} 1\lt x\lt 4\\ \varnothing \end{array} \right. \Rightarrow 1\lt x\lt 4 \end{gather*} Ответ: \(x\in(1;4)\)

в) \( \frac{1+\log_{x+1}(x-3)}{\log_{x+1}2}\log_2(2x-3) \)
Найдем сразу ОДЗ: \( \begin{cases} x+1\gt 0,\ x+1\ne 1\\ x-3\gt 0\\ 2x-3\gt 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\gt -1,\ x\ne 0\\ x\gt 3\\ x\gt 1,5 \end{cases} \Rightarrow x\gt 3 \)
Приведем выражение слева к логарифму с основанием 2: \begin{gather*} \frac{1+\log_{x+1}(x-3)}{\log_{x+1}2}= \frac{1+\frac{\log_2(x-3)}{\log_2(x+1)}}{\frac{1}{\log_2(x+1)}}= \log_2(x+1)+\log_2(x-3)=\\ =\log_2\left((x+1)(x-3)\right) \end{gather*} Подставляем: \(\log_2\left((x+1)(x-3)\right)\geq \log_2(2x-3)\)
ОДЗ мы уже нашли. 2-4x\geq 0\)

\(x(x-4)\geq 0\)
С учетом ОДЗ: \( \begin{cases} x(x-4)\geq 0\\ x\gt 3 \end{cases} \)

\(x\geq 4\)
Ответ: \(x\in\left.\left[4;+\infty\right.\right)\)

г) \( \log_2x\cdot \log_3 2x+\log_3x\cdot\log_2 3x\geq 0 \)
ОДЗ: \(x\gt 0\)

Преобразуем: $$ \log_3 x\cdot\log_2 3x=\frac{\lg x}{\lg 3}\cdot\frac{\lg 3x}{\lg 2}=\frac{\lg x}{\lg 2}\cdot \frac{\lg 3x}{\lg 3}=\log_2 x\cdot \log_3 3x $$ Подставляем: \begin{gather*} \log_2x\cdot\log_3 2x+\log_2x\cdot\log_33x\geq 0\\ \log_2x\cdot(\log_32x+\log_3 3x)\geq 0 \end{gather*} Получаем совокупность: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} \log_2x\geq 0\\ \log_3 2x+\log_3 3x\geq 0 \end{cases} \\ \begin{cases} \log_2 x\leq 0\\ \log_3 2x+\log_3 3x\leq 0 \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} \log_2 x\geq \log_2 1\\ \log_3 2x\geq -\log_3 3x \end{cases} \\ \begin{cases} \log_2x\leq \log_2 1\\ \log_32x\leq-\log_3 3x \end{cases} \end{array} \right.

2-4\cdot 9\cdot (-26)=36(1+26)=36\cdot 27\)
\(\sqrt{D}=6\cdot 3\sqrt{3}=18\sqrt{3}\)
\(x_{1,2}=\frac{6\pm 18\sqrt{3}}{18}=\frac13\pm\sqrt{3}\)
\(f(x)\gt 0\) при \(x\lt x_1\cup x\gt x_2\)
\(f(x)\lt 0\) при \(x_1\lt x\lt x_2\)
Подставляем в совокупность: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x\gt \frac23\\ x\lt\frac13-\sqrt{3}\cup x\gt\frac13+\sqrt{3} \end{cases} \\ \begin{cases} \frac13\lt x\frac23\\ \frac13-\sqrt{3}\lt x\lt\frac13+\sqrt{3} \end{cases} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x\gt\frac13+\sqrt{3}\\ \frac13\lt x\lt\frac23 \end{array} \right. \Rightarrow \frac13\lt x\lt\frac23\cup x\gt\frac13+\sqrt{3} \end{gather*} Получаем систему решений: \begin{gather*} \begin{cases} x\leq -2\cup x\gt 2\\ \frac13\lt x\lt\frac23\cup x\gt\frac13+\sqrt{3} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\gt 2\\ x\gt\frac13+\sqrt{3} \end{cases} \end{gather*} Сравним 2 и \(\frac13+\sqrt{3}\)
\(2-\frac13\ ?\ \sqrt{3}\)
\(\frac53\ ?\ \sqrt{3}\)
\(\frac{25}{9}\lt 3\Rightarrow 2\lt\frac13+\sqrt{3}\)
Значит, из \( \begin{cases} x\gt 2\\ x\gt\frac13+\sqrt{3} \end{cases} \Rightarrow x\gt\frac13+\sqrt{3} \)
Ответ: \(x\in\left(\frac13+\sqrt{3};+\infty\right)\)

Неравенства с логарифмами примеры егэ.

Логарифмические неравенства — Гипермаркет знаний

Логарифмические неравенства

На предыдущих уроках мы с вами познакомились с логарифмическими уравнениями и теперь знаем, что это такое и как их решать. А сегодняшний урок будет посвящен изучению логарифмических неравенств. Что же это за такие неравенства и в чем разница между решением логарифмического уравнения и неравенства?

Логарифмические неравенства — это неравенства, которые имеют переменную, стоящую под знаком логарифма или в его основании.

Или же, можно еще сказать, что логарифмическое неравенство – это такое неравенство, в котором его неизвестная величина, как и в логарифмическом уравнении, будет стоять под знаком логарифма.

Простейшие логарифмические неравенства имеют такой вид:

где f(x) и g(x) являются некоторыми выражениями, которые зависят от x.

Давайте это рассмотрим на таком примере: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Решение логарифмических неравенств

Перед решением логарифмических неравенств, стоит отметить, что они при решении имеют сходство с показательными неравенствами, а именно:

Во-первых, при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, нам также необходимо сравнить основание логарифма с единицей;

Во-вторых, решая логарифмическое неравенство, используя замену переменных, нам необходимо решать неравенства относительно замены до того момента, пока мы не получим простейшее неравенство.

Но это мы с вами рассмотрели сходные моменты решения логарифмических неравенств. А сейчас обратим внимание на довольно таки существенное отличие. Нам с вами известно, что логарифмическая функция обладает ограниченной областью определения, поэтому переходя от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, нужно брать в расчет область допустимых значений (ОДЗ).

То есть, следует учитывать, что решая логарифмическое уравнение мы с вами, можем сначала находить корни уравнения, а потом делать проверку этого решения. А вот решить логарифмическое неравенство так не получится, поскольку переходя от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, необходимо будет записывать ОДЗ неравенства.

Вдобавок стоит запомнить, что теория неравенств состоит из действительных чисел, которыми являются положительные и отрицательные числа, а также и число 0.

Например, когда число «а» является положительным, то необходимо использовать такую запись: a >0. В этом случае, как сумма, так и произведение таких этих чисел также будут положительными.

Основным принципом решения неравенства является его замена на более простое неравенство, но главное, чтобы оно было равносильно данному. Дальше, также мы получили неравенство и снова его заменили на то, которое имеет более простой вид и т.д.

Решая неравенства с переменной нужно находить все его решения. Если два неравенства имеют одну переменную х, то такие неравенства равносильны, при условии, что их решения совпадают.

Выполняя задания на решение логарифмических неравенств, необходимо запомнить, что когда a > 1, то логарифмическая функция возрастает, а когда 0

Способы решения логарифмических неравенств

Сейчас рассмотрим некоторые способы, которые имеют место при решении логарифмических неравенств. Для лучшего понимания и усвоения, попытаемся в них разобраться на конкретных примерах.

Нам с вами известно, что простейшее логарифмическое неравенство имеет такой вид:

В этом неравенстве V – является одним из таких знаков неравенства, как: , ≤ или ≥.

Когда основание данного логарифма больше единицы (a>1), осуществляя переход от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, то в этом варианте знак неравенства сохраняется, и неравенство будет иметь такой вид:

что равносильно такой вот системе:


В случае же, когда основание логарифма больше нуля и меньше единицы (0

Это равносильно данной системе:


Посмотрим еще примеры решения простейших логарифмических неравенств, приведенных на картинке ниже:



Решение примеров

Задание. Давайте попробуем решить такое вот неравенство:


Решение области допустимых значений.


Теперь попробуем умножить его правую часть на:

Смотрим, что у нас получится:



Теперь, давайте с вами перейдем к преобразованию подлогарифмических выражений. В связи с тем, что основание логарифма 0

3x — 8 > 16;
3x > 24;
х > 8.

А из этого следует, что интервал, который мы получили, целиком и полностью принадлежит ОДЗ и является решением такого неравенства.

Вот какой ответ у нас получился:


Что необходимо для решения логарифмических неравенств?

А теперь давайте попробуем проанализировать, что нам необходимо для успешного решения логарифмических неравенств?

Во-первых, сосредоточить все свое внимание и постараться не допускать ошибок при выполнении преобразований, которые даны в этом неравенстве. Также, следует запомнить, что при решении таких неравенств нужно не допускать расширений и сужений ОДЗ неравенства, которые могут привести к потере или приобретению посторонних решений.

Во-вторых, при решении логарифмических неравенств необходимо научиться мыслить логически и понимать разницу между такими понятиями, как система неравенств и совокупность неравенств, чтобы вы без проблем смогли осуществлять отбор решений неравенства, при этом руководствуясь его ОДЗ.

В-третьих, для успешного решения таких неравенств каждый из вас должен отлично знать все свойства элементарных функций и четко понимать их смысл. К таким функциям относятся не только логарифмические, но и рациональные, степенные, тригонометрические и т.д., одним словом, все те, которые вы изучали на протяжении школьного обучения алгебры.

Как видите, изучив тему о логарифмических неравенствах, в решении этих неравенств нет ничего сложного при условии, если вы будете внимательны и настойчивы в достижении поставленных целей. Чтобы в решении неравенств не возникало никаких проблем, нужно как можно больше тренироваться, решая различные задания и при этом запоминать основные способы решения таких неравенств и их систем. При неудачных решениях логарифмических неравенств, следует внимательно проанализировать свои ошибки, чтобы в будущем не возвращаться к ним снова.

Домашнее задание

Для лучшего усвоения темы и закрепления пройденного материала, решите следующие неравенства:


Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Неравенство называется логарифмическим, если в нём содержится логарифмическая функция.

Методы решения логарифмических неравенств не отличаются от , за исключением двух вещей.

Во-первых, при переходе от логарифмического неравенства к неравенству подлогарифмических функций следует следить за знаком получающегося неравенства . {3},$

$x \in \)

Очень важно! В любом неравенстве переход от вида \(\log_a{⁡f(x)} ˅ \log_a⁡{g(x)}\) к сравнению выражений под логарифмами можно делать только если:

Пример . Решить неравенство: \(\log\)\(≤-1\)

Решение:

\(\log\)\(_{\frac{1}{3}}⁡{\frac{3x-2}{2x-3}}\) \(≤-1\)

Выпишем ОДЗ.

ОДЗ: \(\frac{3x-2}{2x-3}\) \(>0\)

\(⁡\frac{3x-2-3(2x-3)}{2x-3}\) \(≥\) \(0\)

Раскрываем скобки, приводим .

\(⁡\frac{-3x+7}{2x-3}\) \(≥\) \(0\)

Умножаем неравенство на \(-1\), не забыв при этом перевернуть знак сравнения.

\(⁡\frac{3x-7}{2x-3}\) \(≤\) \(0\)

\(⁡\frac{3(x-\frac{7}{3})}{2(x-\frac{3}{2})}\) \(≤\) \(0\)

Построим числовую ось и отметим на ней точки \(\frac{7}{3}\) и \(\frac{3}{2}\) . 2-t-2>0\)

Раскладываем левую часть неравенства на .

\(D=1+8=9\)
\(t_1= \frac{1+3}{2}=2\)
\(t_2=\frac{1-3}{2}=-1\)
\((t+1)(t-2)>0\)

Теперь нужно вернуться к исходной переменной – иксу. Для этого перейдем к , имеющей такое же решение, и сделаем обратную замену.

\(\left[ \begin{gathered} t>2 \\ t2 \\ \log_3⁡x

Преобразовываем \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac{1}{3}\).

\(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x

Делаем переход к сравнению аргументов. Основания у логарифмов больше \(1\), поэтому знак неравенств не меняется.

\(\left[ \begin{gathered} x>9 \\ x

Соединим решение неравенства и ОДЗ на одном рисунке.


Запишем ответ.

Ответ: \((0; \frac{1}{3})∪(9;∞)\)

Цели урока:

Дидактические:

  • 1 уровень – научить решать простейшие логарифмические неравенства, применяя определение логарифма, свойства логарифмов;
  • 2 уровень – решать логарифмические неравенства, выбирая самостоятельно способ решения;
  • 3 уровень – уметь применять знания и умения в нестандартных ситуациях.

Развивающие: развивать память, внимание, логическое мышление, навыки сравнения, уметь обобщать и делать выводы

Воспитательные: воспитывать аккуратность, ответственность за выполняемое задание, взаимопомощь.

Методы обучения: словесный, наглядный, практический, частично-поисковый, самоуправления, контроля.

Формы организации познавательной деятельности учащихся: фронтальный, индивидуальный, работа в парах.

Оборудование: набор тестовых заданий, опорный конспект, чистые листы для решений.

Тип урока: изучение нового материала.

Ход урока

1. Организационный момент. Объявляются тема и цели урока, схема проведения урока: каждому ученику выдается оценочный лист, который ученик заполняет в течении урока; для каждой пары учеников – печатные материалы с заданиями, выполнять задания нужно в парах; чистые листы для решений; опорные листы: определение логарифма; график логарифмической функции, ее свойства; свойства логарифмов; алгоритм решения логарифмических неравенств.

Все решения после самооценки сдаются учителю.

Оценочный лист учащегося

2. Актуализация знаний.

Указания учителя. Вспомните определение логарифма, график логарифмической функции и ее свойства. Для этого прочитайте текст на с.88–90, 98–101 учебника “Алгебра и начала анализа 10–11” под редакцией Ш.А Алимова, Ю.М Колягина и др.

Ученикам раздаются листы, на которых записаны: определение логарифма; изображен график логарифмической функции, ее свойства; свойства логарифмов; алгоритм решения логарифмических неравенств, пример решения логарифмического неравенства, сводящегося к квадратному.

3. Изучение нового материала.

Решение логарифмических неравенств основано на монотонности логарифмической функции.

Алгоритм решения логарифмических неравенств:

А) Найти область определения неравенства (подлогарифмическое выражение больше нуля).
Б) Представить (если возможно) левую и правую части неравенства в виде логарифмов по одному и тому же основанию.
В) Определить, возрастающей или убывающей является логарифмическая функция: если t>1, то возрастающая; если 01, то убывающая.
Г) Перейти к более простому неравенству (подлогарифмических выражений), учитывая, что знак неравенства сохранится, если функция возрастает, и изменится, если она убывает.

Учебный элемент № 1.

Цель: закрепить решение простейших логарифмических неравенств

Форма организации познавательной деятельности учащихся: индивидуальная работа.

Задания для самостоятельной работы на 10 минут. Для каждого неравенства имеются несколько вариантов ответов, нужно выбрать верный и проверить по ключу.


КЛЮЧ: 13321, максимальное кол-во баллов – 6 б.

Учебный элемент № 2.

Цель: закрепить решение логарифмических неравенств, применяя свойства логарифмов.

Указания учителя. Вспомните основные свойства логарифмов. Для этого прочитайте текст учебника на с.92, 103–104.

Задания для самостоятельной работы на 10 минут.

КЛЮЧ: 2113, максимальное кол-во баллов – 8 б.

Учебный элемент № 3.

Цель: изучить решение логарифмических неравенств методом сведения к квадратному.

Указания учителя: метод сведения неравенства к квадратному состоит в том, что нужно преобразовать неравенство к такому виду, чтобы некоторую логарифмическую функцию обозначить новой переменной, получив при этом квадратное неравенство относительно этой переменной.

Применим метод интервалов.

Вы прошли первый уровень усвоения материала. Теперь вам придется самостоятельно выбрать метод решения логарифмических уравнений, используя все свои знания и возможности.

Учебный элемент № 4.

Цель: закрепить решение логарифмических неравенств, выбрав самостоятельно рациональный способ решения.

Задания для самостоятельной работы на 10 минут

Учебный элемент № 5.

Указания учителя. Молодцы! Вы освоили решение уравнений второго уровня сложности. Целью дальнейшей вашей работы является применение своих знаний и умений в более сложных и нестандартных ситуациях.

Задания для самостоятельного решения:

Указания учителя. Замечательно, если вы справились со всем заданием. Молодцы!

Оценка за весь урок зависит от числа набранных баллов по всем учебным элементам:

  • если N ≥ 20, то вы получаете оценку “5”,
  • при 16 ≤ N ≤ 19 – оценка “4”,
  • при 8 ≤ N ≤ 15 – оценка “3”,
  • при N

Оценочные лисы сдать учителю.

5. Домашнее задание: если вы набрали не более 15 б – выполните работу над ошибками (решения можно взять у учителя), если вы набрали более 15 б – выполните творческое задание по теме “Логарифмические неравенства”.

Смешанные неравенства с логарифмами. Сложные логарифмические неравенства

Это равносильно данной системе:


Посмотрим еще примеры решения простейших логарифмических неравенств, приведенных на картинке ниже:



Решение примеров

Задание. Давайте попробуем решить такое вот неравенство:


Решение области допустимых значений.


Теперь попробуем умножить его правую часть на:

Смотрим, что у нас получится:



Теперь, давайте с вами перейдем к преобразованию подлогарифмических выражений. В связи с тем, что основание логарифма 0

3x — 8 > 16;
3x > 24;
х > 8.

А из этого следует, что интервал, который мы получили, целиком и полностью принадлежит ОДЗ и является решением такого неравенства.

Вот какой ответ у нас получился:


Что необходимо для решения логарифмических неравенств?

А теперь давайте попробуем проанализировать, что нам необходимо для успешного решения логарифмических неравенств?

Во-первых, сосредоточить все свое внимание и постараться не допускать ошибок при выполнении преобразований, которые даны в этом неравенстве. Также, следует запомнить, что при решении таких неравенств нужно не допускать расширений и сужений ОДЗ неравенства, которые могут привести к потере или приобретению посторонних решений.

Во-вторых, при решении логарифмических неравенств необходимо научиться мыслить логически и понимать разницу между такими понятиями, как система неравенств и совокупность неравенств, чтобы вы без проблем смогли осуществлять отбор решений неравенства, при этом руководствуясь его ОДЗ.

В-третьих, для успешного решения таких неравенств каждый из вас должен отлично знать все свойства элементарных функций и четко понимать их смысл. К таким функциям относятся не только логарифмические, но и рациональные, степенные, тригонометрические и т.д., одним словом, все те, которые вы изучали на протяжении школьного обучения алгебры.

Как видите, изучив тему о логарифмических неравенствах, в решении этих неравенств нет ничего сложного при условии, если вы будете внимательны и настойчивы в достижении поставленных целей. Чтобы в решении неравенств не возникало никаких проблем, нужно как можно больше тренироваться, решая различные задания и при этом запоминать основные способы решения таких неравенств и их систем. При неудачных решениях логарифмических неравенств, следует внимательно проанализировать свои ошибки, чтобы в будущем не возвращаться к ним снова.

Домашнее задание

Для лучшего усвоения темы и закрепления пройденного материала, решите следующие неравенства:


Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Неравенство называется логарифмическим, если в нём содержится логарифмическая функция.

Методы решения логарифмических неравенств не отличаются от , за исключением двух вещей.

Во-первых, при переходе от логарифмического неравенства к неравенству подлогарифмических функций следует следить за знаком получающегося неравенства . Он подчиняется следующему правилу.

Если основание логарифмической функции больше $1$, то при переходе от логарифмического неравенства к неравенству подлогарифмических функций знак неравенства сохраняется, а если же меньше $1$, то меняется на противоположный.

Во-вторых, решение любого неравенства – промежуток, а, значит, в конце решения неравенства подлогарифмических функций необходимо составить систему из двух неравенств: первым неравенством этой системы будет неравенство подлогарифмических функций, а вторым – промежуток области определения логарифмических функций, входящих в логарифмическое неравенство. {3},$

$x \in }

Логарифмические неравенства и способы их решения

Разберем основные способы решения логарифмических неравенств

Смысл решения логарифмических неравенств состоит в том, чтобы перейти путем равносильных переходов к рациональному неравенству или их системе       1.   Слева и справа – логарифмы с одинаковым основанием.

Тогда в зависимости от основания логарифма мы опускаем логарифмы и если основание больше 1 – оставляем знак неравенства, если основание меньше 1 но больше 0 – меняем знак неравенства. Вторым неравенством записываем условие существования меньшего из выражений, стоящих под логарифмом (уже после того, как логарифмы опустим, смотрим на какое из выражений указывает «носик» неравенства, то выражение и должно быть больше 0)

2.     С одной стороны – логарифм, а с другой число.

Не советую заучивать какие-либо схемы, советую – рассуждать. Из числа делаем логарифм по тому же основанию, что и исходный логарифм в неравенстве и дальше поступаем как в пункте 1, однако выставлять ли условие существования логарифма зависит от того, какое из выражений в неравенстве окажется наименьшим. Если наименьшее – число, то ставить условие его существования уже не нужно. (то есть, если вы «снимаете» логарифмы, не забудьте посмотреть на основание логарифма, нужно ли разворачивать знак неравенства и после этого оказывается, что «носик» неравенства смотрит на число, то записывать, что это число больше нуля – уже не нужно).


3.     С применением свойств логарифма.

Если применяем какое-либо свойство логарифма, то обязательно выставляем условие существования этого (этих) логарифма. Далее действуем как в пунктах 1 или 2, но при переходе от логарифмического уравнения к системе рациональных условие существования меньшего логарифма уже выставлять не нужно, так как он и так существует, ведь мы уже ранее выставили это условие

 4.     Метод интервалов.

Если из условия понятно, что при переносе в левую часть всех элементов неравенства, она легко разложится на множители (либо уже разложена на множители или представляет собой дробь), целесообразно применить метод интервалов

 5.      Замена
С заменой в неравенствах советую быть особо аккуратными и вводить ее только для того, чтобы разложить на множители, а дальше выполнить обратную замену и решать методом интервалов (как в пункте 4)  6.     Графический
Иногда бывает, что все попытки решить неравенство аналитическими способами не дают должного результата, однако функции, представленные в неравенстве не являются тяжелыми для построения. Тогда есть смысл попробовать их изобразить и по рисунку понять, какая из функций на каком промежутке больше. (не забудем про ОДЗ). Теория по движению графиков

Должны получится следующие графики:


Так как одна функция является возрастающей, а другая – убывающей, то никаких других точек пересечения у них нет. Логарифмическая функция ниже (меньше, о чем спрашивали в неравенстве) чем линейная при
 x є (-1; 1/3) – не забудьте ОДЗ!

Точка пересечения – (-1; 2) – проверьте путем подстановки в обе функции. Они обе через нее проходят.

Ознакомьтесь с решениями тестовых заданий, предложенных на репетиционном тестировании:

Неравенства с логарифмами — презентация онлайн

НЕРАВЕНСТВА С
ЛОГАРИФМАМИ
ЕГЭ, ЗАДАНИЕ С3
УЧАЩИЕСЯ 11А КЛАССА
ДЖОХАДЗЕ ГИГА, ИВАНЧЕНКО ЛИЗА, КАПИНУС МАКСИМ, ЧЕРНОВОЛЮК МАРИЯ
ТЕОРИЯ
ИСПОЛНИТЕЛЬ: ГИГА
• В решении логарифмических неравенств нет определённого алгоритма решения, но
есть некоторые пункты, которые опасно забывать.
Вот основные из них:
1) Область определения найти первым делом.
2) Помнить свойства логарифма.
3) Знать метод рационализации
4) Верить в себя и идти до конца.
• Дополнительный материал для ознакомления: 1 видео
2 видео
ТЕСТ №1 ДЛЯ ПРОВЕРКИ ЗНАНИЙ
СТАЛКЕР: МАКСИМ
РЕШЕНИЯ ТЕСТА №1, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ НА САЙТЕ
РЕШУ ЕГЭ
РЕЗУЛЬТАТЫ РЕШЕНИЯ ТЕСТА №1
АНАЛИТИК: ЛИЗА
• В целом все справились хорошо, очень много замечаний по области
определения. Либо про нее забывают и вспоминают в конце, когда нужно
писать ответ, либо вовсе не пишут. Недостаточное оформление, многие
скользкие моменты опускаются. Во втором задании ошиблись 5 человек,
так как там был момент, который достаточно сложно заметить, и такое мы
не делали раньше. В третьем задании ошиблось два человека, так как не
знали, куда двигаться. В пятом ошибся один человек, тоже не знал в каком
направлении идти. Следует лучше оформлять и больше времени уделять
области определения.
ТЕСТ №2
СТАЛКЕР: МАКСИМ
РЕШЕНИЯ ТЕСТА №2, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ НА САЙТЕ
РЕШУ ЕГЭ
РЕЗУЛЬТАТЫ РЕШЕНИЯ ТЕСТА №2
АНАЛИТИК: ЛИЗА
• Со вторым тестом все справились не то что бы лучше, но по области
определения и по оформлению в целом, если сравнивать с первым
тестом – небо и земля. В основном ошибались в 4, у некоторых ошибки
вычислительного характера, некоторые не знали куда двигаться и как
сделать замену.
• Я довольна работой ребят, они постарались, и второй тест
действительно был в несколько раз сложнее первого, спасибо сталкеру,
им пришлось повозиться и потратить нервы, но они справились и
справились отлично!!!
КОММЕНТАРИИ УЧЕНИКОВ
• Эля: «После этой работы стало легче смотреть на неравенство в целом и видеть и
другие пути решения, а не зацикливаться на базовых действиях с
логарифмами/методе рационализации»
ОБЩИЙ ВЫВОД ПО ПРОДЕЛАННОЙ РАБОТЕ
МОДЕРАТОР: МАША
• Работа в формате САМИ+ была полезна как кураторам, так и ученикам. И
те, и те действительно улучшили свои знания в области решения
неравенств с логарифмами.
• Исполнитель, Сталкер и Аналитик хорошо проявили себя в умении
систематизировать информацию. Каждый прекрасно справился с
поставленной задачей.
• Эта работа научила не только решать С3, но и помогла улучшить навыки
работы в команде, организации своего времени.
Спасибо всем!

Решение смешанных неравенств с логарифмами. Логарифмические неравенства — Гипермаркет знаний

Это равносильно данной системе:


Посмотрим еще примеры решения простейших логарифмических неравенств, приведенных на картинке ниже:



Решение примеров

Задание. Давайте попробуем решить такое вот неравенство:


Решение области допустимых значений.


Теперь попробуем умножить его правую часть на:

Смотрим, что у нас получится:



Теперь, давайте с вами перейдем к преобразованию подлогарифмических выражений. В связи с тем, что основание логарифма 0

3x — 8 > 16;
3x > 24;
х > 8.

А из этого следует, что интервал, который мы получили, целиком и полностью принадлежит ОДЗ и является решением такого неравенства.

Вот какой ответ у нас получился:


Что необходимо для решения логарифмических неравенств?

А теперь давайте попробуем проанализировать, что нам необходимо для успешного решения логарифмических неравенств?

Во-первых, сосредоточить все свое внимание и постараться не допускать ошибок при выполнении преобразований, которые даны в этом неравенстве. Также, следует запомнить, что при решении таких неравенств нужно не допускать расширений и сужений ОДЗ неравенства, которые могут привести к потере или приобретению посторонних решений.

Во-вторых, при решении логарифмических неравенств необходимо научиться мыслить логически и понимать разницу между такими понятиями, как система неравенств и совокупность неравенств, чтобы вы без проблем смогли осуществлять отбор решений неравенства, при этом руководствуясь его ОДЗ.

В-третьих, для успешного решения таких неравенств каждый из вас должен отлично знать все свойства элементарных функций и четко понимать их смысл. К таким функциям относятся не только логарифмические, но и рациональные, степенные, тригонометрические и т.д., одним словом, все те, которые вы изучали на протяжении школьного обучения алгебры.

Как видите, изучив тему о логарифмических неравенствах, в решении этих неравенств нет ничего сложного при условии, если вы будете внимательны и настойчивы в достижении поставленных целей. Чтобы в решении неравенств не возникало никаких проблем, нужно как можно больше тренироваться, решая различные задания и при этом запоминать основные способы решения таких неравенств и их систем. При неудачных решениях логарифмических неравенств, следует внимательно проанализировать свои ошибки, чтобы в будущем не возвращаться к ним снова.

Домашнее задание

Для лучшего усвоения темы и закрепления пройденного материала, решите следующие неравенства:


До сдачи ЕГЭ по математике остается все меньше времени. Обстановка накаляется, нервы у школьников, родителей, учителей и репетиторов натягиваются все сильнее. Снять нервное напряжение вам помогут ежедневные углубленные занятия по математике. Ведь ничто, как известно, так не заряжает позитивом и не помогает при сдаче экзаменов, как уверенность в своих силах и знаниях. Сегодня репетитор по математике расскажет вам о решении систем логарифмических и показательных неравенств, заданий, традиционно вызывающих трудности у многих современных старшеклассников.

Для того, чтобы научиться решать задачи C3 из ЕГЭ по математике как репетитор по математике рекомендую вам обратить внимание на следующие важные моменты.

1. Прежде чем приступить к решению систем логарифмических и показательных неравенств, необходимо научиться решать каждый из этих типов неравенств в отдельности. В частности, разобраться с тем, как находится область допустимых значений, проводятся равносильные преобразования логарифмических и показательных выражений. Некоторые связанные с этим тайны вы сможете постичь, изучив статьи « » и « ».

2. При этом необходимо осознавать, что решение системы неравенств не всегда сводится к решению отдельно каждого неравенства и пересечению полученных промежутков. Иногда, зная решение одного неравенства системы, решение второго значительно упрощается. Как репетитор по математике, занимающийся подготовкой школьников к сдаче выпускных экзаменов в формате ЕГЭ, раскрою в этой статье парочку связанных с этим секретов.

3. Необходимо четко уяснить для себя разницу между пересечением и объединением множеств. Это одно из важнейших математических знаний, которое опытный профессиональный репетитор старается дать своему ученику уже с первых занятий. Наглядное представление о пересечении и объединении множеств дают так называемые «круги Эйлера».

Пересечением множеств называется множество, которому принадлежат только те элементы, которые есть у каждого из этих множеств.

пересечением

Изображение пересечения множеств с помощью «кругов Эйлера»

Объяснение на пальцах. У Дианы в сумочке находится «множество», состоящее из {ручки , карандаша , линейки , тетрадки , расчески }. У Алисы в сумочке находится «множество», состоящее из {записной книжки , карандаша , зеркальца , тетрадки , котлеты по-киевски }. Пересечением этих двух «множеств» будет «множество», состоящее из {карандаша , тетрадки }, поскольку оба этих «элемента» есть и у Дианы, и у Алисы.

Важно запомнить! Если решением неравенства является промежуток а решением неравенства является промежуток то решением систем:

является промежуток то есть пересечение исходных промежутков. Здесь и далее под подразумевается любой из знаков title=»Rendered by QuickLaTeX.com»>а под — ему противоположный знак.

Объединением множеств называется множество, которое состоит из всех элементов исходных множеств.

Другими словами, если даны два множества и то их объединением будет являться множество следующего вида:

Изображение объединения множеств с помощью «кругов Эйлера»

Объяснение на пальцах. Объединением «множеств», взятых в предыдущем примере будет «множество», состоящее из {ручки , карандаша , линейки , тетрадки , расчески , записной книжки , зеркальца , котлеты по-киевски }, поскольку оно состоит из всех элементов исходных «множеств». Одно уточнение, которое может оказаться не лишним. Множество не может содержать в себе одинаковых элементов.

Важно запомнить! Если решением неравенства является промежуток а решением неравенства является промежуток то решением совокупности:

является промежуток то есть объединение исходных промежутков.

Перейдем непосредственно к примерам.

Пример 1. Решите систему неравенств:

Решение задачи C3.

1. Решаем сперва первое неравенств. Используя замену переходим к неравенству:

2. Решаем теперь второе неравенство. Область его допустимых значений определяется неравенством:

Title=»Rendered by QuickLaTeX. com»>

В области допустимых значений с учетом того, что основание логарифма title=»Rendered by QuickLaTeX.com»> переходим к равносильному неравенству:

Исключая решения, не входящие в область допустимых значений, получаем промежуток

3. Ответом к системе неравенств будет пересечение

Полученные промежутки на числовой прямой. Решение — их пересечение

Пример 2. Решите систему неравенств:

Решение задачи C3.

1. Решаем сперва первое неравенство. Умножаем обе части на title=»Rendered by QuickLaTeX.com»> и делаем замену в результате чего приходим к неравенству:

Переходим к обратной подстановке:

2.

Title=»Rendered by QuickLaTeX.com»>

Графическое изображение полученных промежуток. Решение системы — их пересечение

Пример 3. Решите систему неравенств:

Решение задачи C3.

1. Решаем сперва первое неравенство. Умножаем обе его части на title=»Rendered by QuickLaTeX.com»> после чего получаем неравенство:

Используя подстановку переходим к следующему неравенству:

Переходим к обратной подстановке:

2. Решаем теперь второе неравенство. Определим сначала область допустимых значений этого неравенства:

ql-right-eqno»>

Обращаем внимание, что

Тогда с учетом области допустимых значений получаем:

3. Находим общее решения неравенств. Сравнение полученных иррациональных значений узловых точек — задача в данном примере отнюдь не тривиальная. Сделать это можно следующим образом. Так как

Title=»Rendered by QuickLaTeX.com»>

то и окончательный ответ к системе имеет вид:

Пример 4. Решите систему неравенств:

Решение задачи С3.

1. Решим сперва второе неравенство:

2. Первое неравенство исходной системы представляет собой логарифмическое неравенство с переменным основанием. Удобный способ решения подобных неравенств описан в статье «Сложные логарифмические неравенства », в его основе лежит простая формула:

Вместо знака может быть подставлен любой знак неравенства, главное, чтобы он был один и тот же в обоих случаях. Использование данной формулы существенно упрощает решение неравенства:

Определим теперь область допустимых значений данного неравенства. Она задается следующей системой:

Title=»Rendered by QuickLaTeX.com»>

Title=»Rendered by QuickLaTeX.com»>

Легко видеть, что одновременно этот промежуток будет являться и решением нашего неравенства.

3. Окончательным ответом исходной системы неравенств будет пересечение полученных промежутков, то есть

Пример 5. Решите систему неравенств:

Решение задания C3.

1. Решаем сперва первое неравенство. Используем подстановку Переходим к следующему квадратному неравенству:

2. Решаем теперь второе неравенство. Область его допустимых значений определяется системой:

Title=»Rendered by QuickLaTeX.com»>

Данное неравенство равносильно следующей смешанной системе:

В области допустимых значений, то есть при title=»Rendered by QuickLaTeX.com»> используя равносильные преобразования переходим к следующей смешанной системе:

С учетом области допустимых значений получаем:

3. Окончательным решением исходной системы является

Решение задачи C3.

1. Решаем сперва первое неравенство. Равносильными преобразованиями приводим его к виду:

2. Решаем теперь второе неравенство. Область его допустимых значений определяется промежутком: title=»Rendered by QuickLaTeX.com»> Используя замену переменной переходим к следующему квадратичному неравенству:

Этот ответ целиком принадлежит области допустимых значений неравенства.

3. Пересечением полученных в предыдущих пунктах промежутков получаем окончательный ответ к системе неравенств:

Сегодня мы с вами решали системы логарифмических и показательных неравенств. Задания подобного рода предлагались в пробных вариантах ЕГЭ по математике в течение всего ныне идущего учебного года. Однако, как репетитор по математике, имеющий опыт подготовки к ЕГЭ, могу сказать, что это вовсе не означает, что аналогичные задания будут в реальных вариантах ЕГЭ по математике в июне.

Позволю себе высказать одно предостережение, адресованное в первую очередь репетиторам и школьным учителям, занимающимся подготовкой старшеклассников к сдаче ЕГЭ по математике. Весьма опасно готовить школьников к экзамену строго по заданным темам, ведь в этом случае возникает риск полностью «завалить» его даже при незначительном изменении ранее заявленного формата заданий. Математическое образование должно быть полным. Уважаемые коллеги, пожалуйста, не уподобляйте роботам своих учеников так называемым «натаскиванием» на решение определенного типа задач. Ведь нет ничего хуже формализации мышления человека.

Всем удачи и творческих успехов!


Сергей Валерьевич

Если пробовать, то есть два варианта: получится или не получится. Если не пробовать — всего один.
© Народная мудрость

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Введение

Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений. Идея логарифма, т. е. идея выражать числа в виде степени одного и того же основания, принадлежит Михаилу Штифелю. Но во времена Штифеля математика была не столь развита и идея логарифма не нашла своего развития. Логарифмы были изобретены позже одновременно и независимо друг от друга шотландским учёным Джоном Непером(1550-1617) и швейцарцем Иобстом Бюрги(1552-1632) Первым опубликовал работу Непер в 1614г. под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов», теория логарифмов Непера была дана в достаточно полном объёме, способ вычисления логарифмов дан наиболее простой, поэтому заслуги Непера в изобретении логарифмов больше, чем у Бюрги. Бюрги работал над таблицами одновременно с Непером, но долгое время держал их в секрете и опубликовал лишь в 1620г. Идеей логарифма Непер овладел около1594г. хотя таблицы опубликовал через 20 лет. Вначале он называл свои логарифмы «искусственными числами» и уже потом предложил эти «искусственные числа» называть одним словом «логарифм», который в переводе с греческого- «соотнесённые числа», взятые одно из арифметической прогресси, а другое из специально подобранной к ней геометрической прогресси. Первые таблицы на русском языке были изданы в1703г. при участии замечательного педагога 18в. Л. Ф Магницкого. В развитии теории логарифмов большое значение имели работы петербургского академика Леонарда Эйлера. Он первым стал рассматривать логарифмирование как действие, обратное возведению в степень, он ввёл в употребление термины «основание логарифма» и «мантисса» Бригс составил таблицы логарифмов с основанием 10. Десятичные таблицы более удобны для практического употребления, теория их проще, чем у логарифмов Непера. Поэтому десятичные логарифмы иногда называют бригсовыми. Термин «характеристика» ввёл Бригс.

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты правильно нашел». В этом смысле исключением является «Арифметика» греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово «аль-джебр» из арабского названия этого трактата – «Китаб аль-джебер валь-мукабала» («Книга о восстановлении и противопоставлении») – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово «алгебра», а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

Логарифмические уравнения и неравенства

1. Логарифмические уравнения

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

log a x = b . (1)

Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = a b .

Пример 1. Решить уравнения:

a) log 2 x = 3, b) log 3 x = -1, c)

Решение. Используя утверждение 1, получим a) x = 2 3 или x = 8; b) x = 3 -1 или x = 1 / 3 ; c)

или x = 1.

Приведем основные свойства логарифма.

Р1. Основное логарифмическое тождество:

где a > 0, a ≠ 1 и b > 0.

Р2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:

log a N 1 ·N 2 = log a N 1 + log a N 2 (a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Замечание. Если N 1 ·N 2 > 0, тогда свойство P2 примет вид

log a N 1 ·N 2 = log a |N 1 | + log a |N 2 | (a > 0, a ≠ 1, N 1 ·N 2 > 0).

Р3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя

(a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Замечание. Если

, (что равносильно N 1 N 2 > 0) тогда свойство P3 примет вид (a > 0, a ≠ 1, N 1 N 2 > 0).

P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа:

log a N k = k log a N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).

Замечание. Если k — четное число (k = 2s ), то

log a N 2s = 2s log a |N | (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Формула перехода к другому основанию:

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0),

в частности, если N = b , получим

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)

Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (3) (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (4) (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (5)

и, если в (5) c — четное число (c = 2n ), имеет место

(b > 0, a ≠ 0, |a | ≠ 1). (6)

Перечислим и основные свойства логарифмической функции f (x ) = log a x :

1. Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.

2. Область значений логарифмической функции — множество действительных чисел.

3. При a > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 x 1 x 2 log a x 1 a x 2), а при 0 a x 1 x 2 log a x 1 > log a x 2).

4. log a 1 = 0 и log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).

5. Если a > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x (0;1) и положительна при x (1;+∞), а если 0 a x  (0;1) и отрицательна при x (1;+∞).

6. Если a > 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a (0;1) — выпукла вниз.

Следующие утверждения (см., например, ) используются при решении логарифмических уравнений.

(PDF) Неравенство для логарифмов и приложения в теории информации

Неравенство для логарифмов 13

ЗАМЕЧАНИЕ 2.1.

и

Определить

n

1 ~ p~pj

BI:= 21nbi,.= ~-~j({i-~j) 2,

n

1

(как в теореме 1. i~j _>2 для всех i,j£{1,…,n}, то теорема 1.1 дает лучший результат, чем теорема 2.1.

Приведем теперь некоторые приложения полученных выше результатов для равенства среднего арифметического и среднего геометрического

.

n

Напомним, что при qi > 0 с Qn := ~i=lqi среднее арифметическое xi с весами qi, i E

{1,…,n} равно

n

1 (A)

An (~, 5) := ~ 4=1

и среднее геометрическое xi с весами qi, i E {1,… ,n}, равно

/ n \ 1/Q~

Хорошо известно, что следующее неравенство, так называемое среднее арифметическое-среднее геометрическое в равенстве

, имеет место An (~, 5) Z Gn (~, z) (2.5)

с равенством тогда и только тогда, когда xl . . . . xn.

Теперь, используя теорему 1.1, мы можем сформулировать следующее предложение, содержащее аналог

неравенство среднего арифметического и среднего геометрического (2.5).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.2. С учетом сделанных выше предположений для —о и 5 имеем

1 < Ап (—о, 5) 1 ~ qiqj

, где exPb(X) = bx, (b > 1). Равенство //ty выполняется в обоих неравенствах одновременно//: и только

, если Xl …. -= Xn.

Также, используя теорему 2.1, получаем еще одно обратное неравенство для (2.5).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.3. Пусть % такое же, как указано выше, и 5 £ Rn с х~ >_ 1, i = 1,…, n. Тогда имеем неравенство

—b

i,~=1

XiXj (xi — xj)2 ‘

(2.7)

, где Ъ > 1. Равенство имеет место в обоих неравенствах одновременно тогда и только тогда, когда /хх1, …, хп.

ЗАМЕЧАНИЕ 2.2. Как и в предыдущем замечании, если 1 _< xixj <_ 2, то оценка (2.7) лучше, чем (2.6).

Если xixj >_ 2, то (2.6) лучше, чем (2.7).

Некоторые неравенства следов для экспоненциальных и логарифмических функций

Пусть \(\mathbf{M}_n\) обозначает множество комплексных \(n\times n\) матриц. Пусть \(\mathbf{P}_n\) и \(\mathbf{H}_n\) обозначают подмножества \(\mathbf{M}_n\), состоящие из строго положительных и самосопряженных матриц соответственно.г \end{выровнено}$$

(1. 3)

— такая функция с \(p = r(1-t)\) и \(q = rt\). Другие примеры будут рассмотрены ниже.

Если F является такой функцией, то \(\mathrm{Tr}[X \log F(X,Y)] = \mathrm{Tr}[X(p\log X + q\log Y)] \) всякий раз, когда X и Y коммутируют. Нас интересуют условия на F , которые гарантируют либо

$$\begin{aligned} \mathrm{Tr}[X \log F(X,Y)] \ge \mathrm{Tr}[X(p\log X + q\log Y)] \end{aligned}$$

(1.{q/2}\), справедливо (1.5): Замечательно, что эффекты некоммутативности в этих двух примерах идут в разных направлениях. Другие примеры с функциями F вида (1.3) были доказаны Андо и Хиаи [2].

Здесь мы доказываем несколько новых неравенств этого типа, а также усиливаем приведенные выше результаты, вводя третий оператор Z : Например, теорема 1.4 говорит, что для всех положительных X , Y и Z такое, что \(\mathrm{Tr}[Z] = \mathrm{Tr}[X]\),

$$\begin{aligned} \frac{1}{p}\mathrm{Tr}[ X \log (Y^{p/2} Z^p Y^{p/2} ) ]\ \le \ \mathrm{Tr}[ X (\log X + \log Y )] \end{aligned}$ $

(1. 7)

со строгим неравенством, если Y и Z не коммутируют. Если Y и Z коммутируют, то левая часть (1.7) будет просто \(\mathrm{Tr}[ X (\log Z + \log Y )]\), и тогда неравенство (1.7) будет следуют из неравенства \(\mathrm{Tr}[X\log Z] \le \mathrm{Tr}[X\log X]\) для всех положительных X и Z с \(\mathrm{Tr} [Z] = \mathrm{Tr}[X]\). Наш результат показывает, что это сохраняется в некоммутативном случае, и мы получаем аналогичные результаты для других вариантов выбора F , в частности для тех, которые определены в терминах геометрического среднего.{-1}\), причем X и W имеют единичный след, так что и X , и W являются матрицами плотности, средней величиной в (1.6), \(\mathrm{Tr}[ X (\log X — \log W )]\), является относительной энтропией Умегаки X по отношению к W [43]. Таким образом, (1.6) дает верхнюю и нижнюю границы относительной энтропии.

Есть еще один источник интереса в неравенствах (1. 6), которые Хиаи и Петц называют логарифмическими неравенствами .{t K}]\), (1.10) рассматривается в [23] как дополнение к неравенству Голдена–Томпсона.

Хиаи и Петц показывают [23, теорема 2.1], что неравенство (1.10) эквивалентно неравенству справа в (1.6). Одно из направлений доказательства эквивалентности, исходя из (1.10), — это аргумент простого дифференцирования; дифференцирование (1.10) при \(t=0\) дает результат. В то время как левое неравенство в (1.6) доказать относительно просто, неравенство справа кажется более глубоким и трудным для доказательства с точки зрения [23].

В нашей статье мы доказываем ряд новых неравенств, некоторые из которых усиливают и расширяют (1.6) и (1.10). Наши результаты показывают, в частности, что среднее геометрическое обеспечивает естественный мост между парой неравенств (1.6). Эта точка зрения дает довольно простое доказательство более глубокого неравенства в правой части (1.6) и тем самым помещает появление среднего геометрического в (1. 10) в естественный контекст.

Прежде чем точно сформулировать наши результаты, напомним понятия операторной вогнутости и операторной выпуклости.p\) является вогнутым для \(p\in [0,1]\), как и \(F(x) := \log X\).

Функция \(F: \mathbf{P}_n\times \mathbf{P}_n\rightarrow \mathbf{H}_n\) является в совокупности вогнутой в случае, если для всех \(X,Y,W,Z \in \mathbf{P}_n\) и все \(t \in [0,1]\)

$$\begin{aligned} F((1-t)X + t Y, (1-t) Z + t W) — (1-t)F(X,Z) — t F(Y,W) \in \mathbf{P}_n, \end{aligned}$$

и F равно вместе выпуклое в случае, если \(-F\) является совместно вогнутым . Строгая вогнутость или выпуклость означает, что левая часть никогда не равна нулю для любого \(t\in (0,1)\), кроме случаев \(X=Y\) и \(Z=W\).Особенно известный и важный пример дают обобщенные геометрические средства. По теореме Кубо и Андо [26] для каждого \(t\in [0,1]\) \(F(X,Y) := X\#_t Y\) совместно вогнуто в X и Y . Другие примеры совместно вогнутых функций обсуждаются ниже.

Наш первый основной результат следующий:

1.1 Теорема

Пусть \(F:\mathbf{P}_n\times \mathbf{P}_n\rightarrow \mathbf{P}_n\) таково, что:

  1. (1)

    Для каждого фиксированного \(Y\in \mathbf{P}_n\), \(X \mapsto F(X,Y)\) является вогнутым, и для всех \(\lambda >0\), \(F( \лямбда X,Y) = \лямбда F(X,Y)\).к\).

Тогда для всех \(X,Y,Z\in \mathbf{P}_n\) таких, что \(\mathrm{Tr}[Z] = \mathrm{Tr}[X]\),

$ $\begin{aligned} \mathrm{Tr}[ X \log (F(Z,Y))] \le \mathrm{Tr}[X(\log X + q \log Y)]. \end{выровнено}$$

(1.12)

Если, кроме того, \(X \mapsto F(X,Y)\) строго вогнуто, то неравенство в (1.12) является строгим, когда Z и Y не коммутируют.

1.2 Примечание

Обратите внимание, что (1. \infty \frac{1}{\lambda +Y}X\frac{1}{\lambda +Y}\mathrm {d}\lambda }\), что, очевидно, удовлетворяет условиям теоремы 1.п)]. \end{выровнено}$$

(1.14)

Неравенство в (1.14) является строгим, если Z и Y не коммутируют,

Специализируясь на случае \(Z = X\), (1.14) сводится к неравенству слева в (1.6). Таким образом, теорема 1.4 расширяет неравенство из [23] за счет включения третьей переменной Z и уточняет случаи равенства там.

1.5 Примечание

Если Z коммутирует с Y , (1.р)]. \end{выровнено}$$

(1.16)

Для \(s\in (0,1)\), когда Z не коммутирует с Y , неравенство строгое.

Случай, когда \(Z=X\), доказан в [2] с использованием методов логарифмического мажорирования. Неравенство (1.16) является тождеством при \(s=1\). Как мы покажем, его дифференцирование в точке \(s=1\) в случае \(Z = X\) дает правое неравенство в (1. 6). Поскольку среднее геометрическое неравенство (1.16) является следствием нашего обобщения неравенства слева в (1.6), этот вывод показывает, как построение средних геометрических «соединяет» пару неравенств (1.6).

Теоремы 1.3, 1.4 и 1.6 дают бесконечно много новых нижних оценок относительной энтропии Умегаки. По одному на каждый вариант Z . Функционал следа в правой части (1.6) ограничивает относительную энтропию Умегаки сверху и во многих отношениях ведет себя лучше, чем функционал следа слева или любая из отдельных новых нижних границ.{-1/2})]\) является невыпуклым для всех фиксированных \(X\in \mathbf{P}_n\). Поэтому, хотя функция в (1.17) согласуется с относительной энтропией Умегаки, когда X и W коммутируют, отсутствие у нее выпуклости делает ее непригодной для рассмотрения в качестве функционала относительной энтропии. Мы обсудим нарушение выпуклости в конце разд. 3.

Однако теорема 1.4 предлагает лекарство, вводя третью переменную Z , относительно которой мы можем максимизировать. \infty \frac{1}{ \lambda +Y}Z\frac{1}{\lambda +Y}\mathrm{d}\lambda \right) \right] \right\} \end{aligned}$$

(1.2] \right\} \end{выровнено}$$

(1.23)

Предложение 3.1 показывает, что обе супремумы равны \(D_D(X||Y)\).

Наши следующие результаты касаются частичных преобразований Лежандра трех относительных энтропий \(D_D(X||Y)\), D ( X || Y ) и \(D_{BS}(X| |Ю)\). Для этого их естественно рассматривать как функции на \(\mathbf{P}_n\times \mathbf{P}_n\), а не только на матрицах плотности. Естественное расширение функционала относительной энтропии Умегаки на \(\mathbf{P}_n\times \mathbf{P}_n\) равно

$$\begin{aligned} D(X||W) := \mathrm{ Tr}[X(\log X — \log W)] + \mathrm{Tr}[W] — \mathrm{Tr}[X].\end{выровнено}$$

(1.24)

Он однороден первой степени по X и W и, при таком определении, \(D(X||Y) \ge 0\) с равенством только в случае \(X=W\), что является следствием неравенства Клейна, как описано в Приложении A. {1/2})] + \ mathrm{Tr}[W] — \mathrm{Tr}[X].H\), супремум в (1.21) равен

$$\begin{aligned} \sup \{ \mathrm{Tr}[X\log Q]\ :\ Q\ge 0\, \mathrm{Tr}[ WQ] \le 1 \} , \end{aligned}$$

и расширение относительной энтропии Дональда до \(\mathbf{P}_n\times \mathbf{P}_n\) равно

$$\ begin{align} D_{D}(X||W) = \sup _{Q > 0}\{ \mathrm{Tr}[X\log Q] \ :\ \mathrm{Tr}[ WQ] \le \ mathrm{Tr}[X] \} +\mathrm{Tr}[W] — \mathrm{Tr}[X].\qquad \end{aligned}$$

(1.26)

Чтобы избежать повторения, полезно отметить, что все три из этих функционалов являются примерами квантовых функционалов относительной энтропии в смысле выполнения следующих аксиом.Эта аксиоматизация отличается от многих других, например, в [14, 18], призванных выделить относительную энтропию Умегаки.

1.8 Определение

квантовая относительная энтропия является функцией R ( X || W ) на \(\mathbf{P}_n\times \mathbf{P}_n\) со значениями в \([0, \infty ]\) такое, что

  1. (1)

    \(X,Y \mapsto R(X||W)\) выпукло по совокупности.

  2. (2)

    Для всех \(X,W\in \mathbf{P}_n\) и всех \(\lambda >0\), \(R(\lambda X,\lambda W) = \lambda R(X,W) \) и

    $$\begin{aligned} R(\lambda X, W) = \lambda R(X,W) + \lambda \log \lambda \mathrm{Tr}[X] + (1-\lambda )\mathrm{Tr}[W]. \end{выровнено}$$

    (1.27)

  3. (3)

    Если X и W коммутируют, \(R(X||W) = D(X||W)\).

В определение не включено требование равенства \(R(X||W) \ge 0\) тогда и только тогда, когда \(X = W\), поскольку это следует непосредственно из (1) , ( 2) и (3) :

1.9 Предложение

Пусть R ( X || W ) будет любой квантовой относительной энтропией. 2 \end{выровнено}$$

(1.28)

где \({\Vert}\cdot {\Vert}_1\) обозначает норму трассировки.

Доказательство дано в конце разд. 3. Известна относительная энтропия Умегаки [21], но в доказательстве используются только свойства (1) , (2) и (3) .

Следующая пара неравенств суммирует отношения между тремя относительными энтропиями. Для всех \(X,W\in\mathbf{P}_n\),

$$\begin{aligned} D_D(X||W) \le D(X||W) \le D_{BS}( Х||В).*(y) = {\left\{ \begin{array}{ll} 0 &{} y\in C\\ \infty &{} y \notin C\end{массив}\right. } \end{aligned}$$

для некоторого выпуклого множества C [38]. Множество C , фигурирующее в полном преобразовании Лежандра относительной энтропии Умегаки, было впервые вычислено Пушем и Вороновичем [37] и несколько более явно Дональдом в [14].

Рассмотрим любую функцию R ( X || Y ) на \(\mathbf{P}_n\times \mathbf{P}_n\), которая является выпуклой и полунепрерывной снизу в X . { \Phi _R(X,Y) + \mathrm{Tr}[Y] -1} — \mathrm{Tr}[Y] .\end{выровнено}$$

(1.34)

Это простое соотношение между двумя преобразованиями Лежандра является следствием масштабирования, и, следовательно, соответствующее соотношение выполняется для любой квантовой относительной энтропии.

Рассмотрим относительную энтропию Дональда и определим

$$\begin{aligned} \Psi _D(H,Y) := \sup _{X>0} \{ \mathrm{Tr}[XH] — D_D(X ||Y) \}, \end{выровнено}$$

(1,35)

и

$$\begin{aligned} \Phi _D(H,Y):= \sup _{X>0, \mathrm{Tr}[X] =1} \{ \mathrm{Tr}[XH ] — D_D(X||Y) \} \end{aligned}$$

(1.36)

В лемме 3.7 доказывается следующий аналог (1.32): Для \(H\in \mathbf{H}_n\) и \(Y\in \mathbf{P}_n\)

$$\ begin{align} \Phi _D(H,Y) = 1 — \mathrm{Tr}[Y] + \inf \big \{\lambda _{\max}\left( H — \log Q\right) \ : \ Q\in \mathbf{P}_n\, \mathrm{Tr}[QY] \le 1 \big \}\ \nonumber \\ \end{aligned}$$

(1. 37)

где для любого самосопряженного оператора K , \(\lambda _{\max }(K)\) является наибольшим собственным значением K , и мы доказываем, что \(\Phi _D(H,Y) \) вогнута в Y .H]\) в вариационной формуле для \(\Psi _D(H,Y)\). Выбранный здесь Q является оптимальным только , когда H и Y коммутируют. В противном случае есть лучший выбор для Q , который мы идентифицируем в разд. 4, что приведет к более жесткой верхней границе. В разд. В разделе 4 мы также обсудим преобразование Лежандра относительной энтропии Белавкина–Сташевского и из него получим дальнейшие уточнения неравенства Голдена–Томпсона. Наконец, в теореме 4.В разделе 3 мы доказываем усиленную форму (1.10), дополнительное неравенство Голдена–Томпсена Хиаи и Петца, включающее относительный энтропийный остаток. В трех приложениях собран справочный материал для удобства читателя.

4 5 Экспоненциальные и логарифмические уравнения и неравенства

4-5 Экспоненциальные и логарифмические уравнения и неравенства Разминка Урок Презентация Урок Викторина Холт. Мак. Дугал Алгебра 2 Холт

4-5 Экспоненциальные и логарифмические уравнения и неравенства Разминка Решить.1. log 16 x = 3 2 64 2. log x 1. 331 = 3 1. 1 3. log 10, 000 = x 4 Холт Мак. Алгебра Дугала 2

4-5 Показательные и логарифмические уравнения и неравенства Цели Решить показательные и логарифмические уравнения и равенства. Решите задачи, связанные с показательными и логарифмическими уравнениями. Холт Мак. Алгебра Дугала 2

4-5 Экспоненциальные и логарифмические уравнения и неравенства Словарь экспоненциальное уравнение логарифмическое уравнение Holt Mc. Алгебра Дугала 2

4-5 Экспоненциальные и логарифмические уравнения и неравенства Показательное уравнение – это уравнение, содержащее одно или несколько выражений, в которых переменная является показателем степени.Чтобы решить показательные уравнения: • Попробуйте написать их так, чтобы все основания были одинаковыми. • Возьмем логарифм обеих сторон. Холт Мак. Алгебра Дугала 2

4 -5 Экспоненциальные и логарифмические уравнения и неравенства Полезный совет При использовании округленного числа в проверке результат не будет точным, но он должен быть разумным. Холт Мак. Алгебра Дугала 2

4 -5 Показательные и логарифмические уравнения и неравенства Пример 1 A: Решение показательных уравнений Решите и проверьте.98 – х = 27 х – 3 (32)8 – х = (33)х – 3 Перепишите каждую сторону с той же основой; 9 и 27 являются степенями числа 3. Чтобы возвести степень в степень, 316 — 2 x = 33 x — 9 умножьте на степени 3. 16 — 2 х = 3 х — 9 Основания одинаковы, поэтому и степени должны быть равны. х=5 Холт Мак. Алгебра Дугала 2 Решите для x.

4 -5 Экспоненциальные и логарифмические уравнения и неравенства Пример 1 Продолжение проверки 98 – x = 27 x – 3 98 – 5 275 – 3 93 272 729 Решение x = 5. Holt Mc. Алгебра Дугала 2

4 -5 Показательные и логарифмические уравнения и неравенства Пример 1 B: Решение показательных уравнений Решите и проверьте.4 x – 1 = 5 5 не является степенью числа 4, поэтому возьмите журнал 4 x – 1 = журнал 5 журналов обеих сторон. Примените свойство мощности (x – 1)log 4 = log 5 логарифмов. log 5 x – 1 = log 4 Разделите обе части на log 4. log 5 x = 1 + log 4 ≈ 2. 161 Проверка Используйте калькулятор. Решение x ≈ 2. 161. Holt Mc. Алгебра Дугала 2

4-5 Экспоненциальные и логарифмические уравнения и неравенства Проверьте это! Пример 1 а Решите и проверьте. 32 x = 27 (3)2 x = (3)3 Перепишите каждую сторону с одинаковым основанием; 3 и 27 — степени числа 3.32 x = 33 Чтобы возвести степень в степень, умножьте показатели степени. 2 x = 3 Основания одинаковые, поэтому степени должны быть равны. х = 1,5 Холт Мак. Алгебра Дугала 2 Решите для x.

4-5 Экспоненциальные и логарифмические уравнения и неравенства Проверьте это! Пример 1 a Продолжение проверки 32 x = 27 32(1,5) 27 33 27 27 27 Решение: x = 1,5. Холт Мак. Алгебра Дугала 2

4-5 Экспоненциальные и логарифмические уравнения и неравенства Проверьте это! Пример 1 б Решите и проверьте. 7–x = 21 log 7–x = log 21 (–x)log 7 = log 21 –x = log 21 log 7 log 21 21 не является степенью числа 7, поэтому возьмите журнал обеих сторон.Примените мощное свойство логарифмов. Разделите обе части на log 7. x = – log 7 ≈ – 1,565 Холт Мак. Алгебра Дугала 2

4-5 Экспоненциальные и логарифмические уравнения и неравенства Проверьте это! Пример 1 b Продолжение Проверка Используйте калькулятор. Решение: x ≈ – 1,565. Холт Мак. Алгебра Дугала 2

4-5 Экспоненциальные и логарифмические уравнения и неравенства Проверьте это! Пример 1 c Решить и проверить. 23 x = 15 log 23 x = log 15 (3 x) log 2 = log 15 3 x = log 15 log 2 x ≈ 1.302 Холт Мак. Алгебра Дугала 2 15 не является степенью числа 2, поэтому возьмите журнал обеих сторон. Примените мощное свойство логарифмов. Разделите обе стороны на 2, затем разделите обе стороны на 3.

4-5 Экспоненциальные и логарифмические уравнения и неравенства Проверьте это! Пример 1 c Продолжение Проверка Используйте калькулятор. Решение x ≈ 1. 302. Holt Mc. Алгебра Дугала 2

4 -5 Экспоненциальные и логарифмические уравнения и неравенства Пример 2. Применение в биологии Предположим, что культура бактерий удваивается каждый час. Через сколько часов число бактерий превысит 1000? В час 0 существует одна бактерия или 20 бактерий. В первый час есть две бактерии или 21 бактерия и так далее. Значит, в час n будет 2 n бактерий. Решите 2 n > 106 Напишите 1000 в научной аннотации. log 2 n > log 106 Возьмите журнал обеих сторон. Холт Мак. Алгебра Дугала 2

4 -5 Экспоненциальные и логарифмические уравнения и неравенства Пример 2 Продолжение nlog 2 > log 106 Используйте силу логарифмов.nlog 2 > 6 log 106 равно 6,6 n > log 2 n> 6 0,301 n > ≈ 19,94 Разделите обе части на log 2. Оцените с помощью калькулятора. Округлить до следующего целого числа. Потребуется около 20 часов, чтобы количество бактерий превысило 1000. Холт Мак. Алгебра Дугала 2

4 -5 Экспоненциальные и логарифмические уравнения и неравенства Пример 2 Продолжение Проверка Через 20 часов будет 220 бактерий. 220 = 1 048 576 бактерий. Холт Мак. Алгебра Дугала 2

4-5 Экспоненциальные и логарифмические уравнения и неравенства Проверьте это! Пример 2. Вы получаете один пенни в первый день, затем утроите эту сумму (3 цента) во второй день и так далее в течение месяца.В какой день вы бы получили хотя бы миллион долларов. 1000 долларов — это 100 000 центов. В первый день вы получите 1 цент или 30 центов. На второй день вы получите 3 цента или 31 цент и так далее. Итак, в день n вы получите 3 n– 1 цента. Решите 3 n – 1 > 1 x 108 Напишите 100 000 в научной аннотации. log 3 n – 1 > log 108 Возьмите журнал обеих сторон. Холт Мак. Алгебра Дугала 2

4-5 Экспоненциальные и логарифмические уравнения и неравенства Проверьте это! Пример 2 (продолжение) (n – 1) log 3 > log 108 Используйте силу логарифмов.(n – 1)log 3 > 8 8 n – 1 > log 3 8 log 108 равно 8. Разделите обе части на log 3. n > log 3 + 1 Оцените с помощью калькулятора. n > ≈ 17. 8 Округлить до следующего целого числа. Начиная с 18-го дня, вы получите более миллиона долларов. Холт Мак. Алгебра Дугала 2

4-5 Экспоненциальные и логарифмические уравнения и неравенства Проверьте это! Пример 2 Чек На 18-й день вы получите 318 – 1 или более миллиона долларов. 317 = 129, 140, 163 цента или 1,29 миллиона долларов.Холт Мак. Алгебра Дугала 2

4-5 Экспоненциальные и логарифмические уравнения и неравенства Логарифмическое уравнение — это уравнение с логарифмическим выражением, которое содержит переменную. Вы можете решать логарифмические уравнения, используя свойства логарифмов. Холт Мак. Алгебра Дугала 2

4-5 Экспоненциальные и логарифмические уравнения и неравенства Помните! Повторите свойства логарифмов из урока 7-4. Холт Мак. Алгебра Дугала 2

4 -5 Показательные и логарифмические уравнения и неравенства Пример 3 A: Решение логарифмических уравнений Solve.log 6(2 x – 1) = – 1 6 log (2 x – 1) 6 = 6– 1 2 x – 1 = 1 6 7 x = 12 Холт Мак. Алгебра Дугала 2 Используйте 6 в качестве основы для обеих сторон. Используйте инверсные свойства, чтобы удалить 6 в логарифмическом основании 6. Упростите.

Показательные и логарифмические уравнения и неравенства 4-5 Пример 3 B: Решение логарифмических уравнений Solve. log 4100 – log 4(x + 1) = 1 log 4(x + 1) = 1 100 4 100 log 4(x + 1) 100 x+1 Запишите в виде частного. = 41 Используйте 4 в качестве основы для обеих сторон. =4 Используйте обратные свойства с левой стороны.х = 24 Холт Мак. Алгебра Дугала 2

4 -5 Показательные и логарифмические уравнения и неравенства Пример 3 C: Решение логарифмических уравнений Solve. log 5 x 4 = 8 4 log 5 x = 8 log 5 x = 2 x = 52 x = 25 Холт Мак. Алгебра Дугала 2 Степенное свойство логарифмов. Разделите обе стороны на 4, чтобы изолировать бревно 5 x. Определение логарифма.

4 -5 Показательные и логарифмические уравнения и неравенства Пример 3 D: Решение логарифмических уравнений Solve. log 12 x + log 12 (x + 1) = 1 log 12 x (x + 1) = 1 12 log x (x + 1) 12 = 121 x (x + 1) = 12 Холт Мак.Алгебра Дугала 2 Свойство произведения логарифмов. Экспоненциальная форма. Используйте обратные свойства.

4 -5 Экспоненциальные и логарифмические уравнения и неравенства Пример 3 (продолжение) x 2 + x – 12 = 0 (x – 3)(x + 4) = 0 Умножьте и соберите члены. Фактор. x – 3 = 0 или x + 4 = 0 Установите каждый из коэффициентов равным нулю. x = 3 или x = – 4 Решить. Проверьте оба решения в исходном уравнении. log 12 x + log 12(x +1) = 1 log 123 + log 12(3 + 1) log 123 + log 124 log 1212 1 Холт Мак. Алгебра Дугала 2 1 1 log 12(– 4) + log 12(– 4 +1) 1 x log 12(– 4) не определено.Решение x = 3.

4-5 Экспоненциальные и логарифмические уравнения и неравенства Проверьте это! Пример 3 а Решить. 3 = log 8 + 3 log x 3 = log 8 + log x 3 3 = log (8 x 3) 103 = 10 log (8 x 3) 1000 = 8 x 3 125 = x 3 5 = x Holt Mc. Алгебра Дугала 2 Степенное свойство логарифмов. Свойство произведения логарифмов. Используйте 10 в качестве базы для обеих сторон. Используйте обратные свойства на правой стороне.

4-5 Экспоненциальные и логарифмические уравнения и неравенства Проверьте это! Пример 3 б Решить.2 log x – log 4 = 0 2 log( 4 x 2(10 log )=0 Запишите как частное. x 4 Используйте 10 в качестве основания для обеих сторон. ) = 100 2( x ) = 1 4 x = 2 Холт Мак. Алгебра Дугала 2 Используйте обратные свойства в левой части.

4-5 Экспоненциальные и логарифмические уравнения и неравенства Внимание! Остерегайтесь расчетных решений, которые не являются решениями исходного уравнения. Холт Мак. Алгебра Дугала 2

Экспоненциальные и логарифмические 4-5 Уравнения и неравенства Пример 4 A: Использование таблиц и графиков для решения экспоненциальных и логарифмических уравнений и неравенств Используйте таблицу и график для решения 2 x + 1 > 8192 x.(x + 1) как Y 1 и 8192 x как Y 2. В таблице найдите значения x, где Y 1 больше, чем Y 2. На графике найдите значение x в точке пересечения. Набор решений {x | х > 16}. Холт Мак. Алгебра Дугала 2

4-5 Экспоненциальные и логарифмические уравнения и неравенства Пример 4 B log(x + 70) = 2 log(x) 3 Используйте графический калькулятор. Введите log(x + 70) как Y 1 и 2 log( x ) как Y 2. 3 Найдите в таблице значения x, где Y 1 равно Y 2. Решение: x = 30. Холт Мак.Алгебра Дугала 2 Найдите на графике значение x в точке пересечения.

4-5 Экспоненциальные и логарифмические уравнения и неравенства Проверьте это! Пример 4 a Используйте таблицу и график для решения 2 x = 4 x – 1. Используйте графический калькулятор. Введите 2 x как Y 1 и 4(x – 1) как Y 2. Найдите в таблице значения x, где Y 1 равно Y 2. Решение: x = 2. Холт Мак. Алгебра Дугала 2 Найдите на графике значение x в точке пересечения.

4-5 Экспоненциальные и логарифмические уравнения и неравенства Проверьте это! Пример 4 b. Используйте таблицу и график, чтобы решить 2 x > 4 x – 1.Воспользуйтесь графическим калькулятором. Введите 2 x в качестве Y 1 и 4(x – 1) в качестве Y 2. Найдите в таблице значения x, при которых Y 1 больше, чем Y 2. Решение: x < 2. Холт Мак. Алгебра Дугала 2 Найдите на графике значение x в точке пересечения.

4-5 Экспоненциальные и логарифмические уравнения и неравенства Проверьте это! Пример 4 c Используйте таблицу и график для решения log x 2 = 6. Используйте графический калькулятор. Введите log(x 2) как Y 1 и 6 как Y 2. Найдите в таблице значения x, где Y 1 равно Y 2.Решение x = 1000. Холт Мак. Алгебра Дугала 2 Найдите на графике значение x в точке пересечения.

4-5 Экспоненциальные и логарифмические уравнения и неравенства Контрольный урок: Часть I Решение. 1. 43 x– 1 = 8 x+1 x= 5 3 2. 32 x– 1 = 20 x ≈ 1,86 3. log 7(5 x + 3) = 3 x = 68 4. log(3 x + 1) – log 4 = 2 x = 133 5. log 4 (x – 1) + log 4 (3 x – 1) = 2 x = 3 Холт Мак. Алгебра Дугала 2

4-5 Экспоненциальные и логарифмические уравнения и неравенства Контрольный урок: Часть II 6.Одна клетка делится каждые 5 минут. Сколько времени потребуется, чтобы одна ячейка превратилась в более чем 10 000 ячеек? 70 мин. 7. Используя таблицу и график, решите уравнение 23 x = 33 x– 1, x ≈ 0,903 Холта Мак. Алгебра Дугала 2

Если у нас есть логарифмическое неравенство как log 05x1log класс 11 по математике CBSE

Подсказка: Мы решим правую часть уравнения. Сделаем основание логарифма одинаковым с обеих сторон. Поскольку основания логарифма совпадают, журнал можно удалить.{2}}-2x-x+2>0 \\
 & \Стрелка вправо x(x-2)-1(x-2) \\
 & \Стрелка вправо \влево( x-1 \вправо)\влево( x -2 \right)>0 \\
\end{align}$
Если мы положим значение x < 1, мы получим положительное значение, а если мы положим значение x > 2, мы получим положительное значение.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.