Неравенства с модулем формулы: Решение неравенств с модулем

Содержание

18. Решение линейных неравенств с модулем Краткосрочный план

Актуализация опорных знаний. Устный опрос.

1. Что является решением неравенства

2. Что является решением неравенства

3. В каком случае неравенство с модулем имеет бесконечное множество решений?

4. Приведите примеры неравенства, не имеющие решений.

Предложите учащимся письменно решить несколько неравенств с модулем, постепенно усложняя задание.

Приложение 1

Задание 1. Имеет ли решение неравенство:

а)                   б)                  

в)

г)                д)            

е) ?

Задание 2. Запишите в виде двойного неравенства неравенство с модулем:

а) ;               б)                          в)

Задание 3. Запишите в виде неравенства с модулем двойное неравенство:

а)           б)                    в)

Решить неравенство, изобразить геометрически решение, записать в виде числового промежутка:

Задание 4. а)                   б)

-45 < 15x < 45

15x < -45 или 15x>45

 -3 < x < 3

x < -3 или x>3

            

Ответ:                    

 Ответ:

Задание 5. а)                  б)  

— 84 < — 28x < 84

28x < -84 или 28x>84

— 3< x < 3

x < -3 или  x>3

           

Ответ:                   

Ответ:

Задание 6. а)

                        б) 

-11 < 11x < 11

11x < -11  или  11x>11

 -1 < x < 1

 x < -1  или  x>1

             

Ответ:                     

Ответ:

После окончания выполнения, попросить обменяться тетрадями с соседом. Взаимопроверка по ключу. Собрать информацию о выполнении. Разобрать задания, которые были сделаны с ошибками.

▶▷▶▷ неравенства с модулем гдз

▶▷▶▷ неравенства с модулем гдз
ИнтерфейсРусский/Английский
Тип лицензияFree
Кол-во просмотров257
Кол-во загрузок132 раз
Обновление:15-10-2019

неравенства с модулем гдз — Неравенства с модулем — math-helpernet math-helpernetelementarnaya-matematika Cached Неравенства с модулем При решении неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, используется определение модуля функции: Математика Неравенства с модулем — YouTube wwwyoutubecom watch?vsAY2jRsZOZI Cached Как решать неравенства с модулем? ЕГЭ и ОГЭ по математике — Duration: 12:09 Равиль Хасанов 6,557 views Неравенства С Модулем Гдз — Image Results More Неравенства С Модулем Гдз images Решение неравенств с модулем wwwberdovcomdocsmodulireshenie-neravenstv-s Cached Капитан Очевидность как бы намекает, что для решения неравенств с модулем необходимо знать две вещи: Как решаются неравенства ; Что такое модуль Начнём со второго пункта Определение модуля Решение неравенств с модулем методом рационализации wwwyoutubecom watch?vyI3GknGatRQ Cached Статья с разбором решений неравенств с модулем из реальных прототипов заданий ЕГЭ по математике методом Неравенства с модулем: примеры и достаточные знания uztestruabstracts?idabstract287227 Cached Неравенства с модулем : примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий; Степень с целым показателем; Все формулы по теме Степень Степень с произвольным показателем УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ Репетитор по математике ege-okrucategoryuravneniya-i-neravenstva-s Cached В видеолекции Графический метод решения задач с параметрами подробно разобрано 7 примеров задач с параметрами, начиная с очень простых и заканчивая реальными задачами из Задания 18 ЕГЭ по математике Алгебра Урок 8 Неравенства, системы неравенств — ЁП epmatrumodul-algebraurok-8-neravenstva Cached Системой неравенств называют два неравенства с одной неизвестной, которые объединены в общую систему фигурной скобкой Пример системы неравенств: x 4 0 2 x 3 x 2 Алгоритм решения системы неравенств Неравенства с модулем, примеры решений rusolverbookcomprimery-reshenijprimery-resheniya-ne Cached У нас собраны примеры решения неравенств с модулем разных видов Каждое неравенство содержит подробное решение и ответ Видеотека Решение уравнений и неравенств с модулем ege-okru20141120videoteka-reshenie Cached Две видеолекции и шесть видеоуроков помогут вам научиться решать уравнения и неравенства с модулем Репетитор по математике Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны Контрольная работа по алгебре 11 класс по теме:Решение infourokrukontrolnaya-rabota-po-algebre-klass Cached Зачетная работа по теме Решение уравнений и неравенств с модулем Вариант 2 (1-4) Решите уравнения (5-6) Решите неравенства Promotional Results For You Free Download Mozilla Firefox Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster, smarter, easier way to browse the web and all of 1 2 3 4 5 Next 53,300

  • Неравенства с модулем.
    Задачи из вступительных экзаменов в МГУ. Задачи для самостоятельного решения.
  • Методы решения неравенств с модулем. Алгебраические преобразования, уравнения, неравенства (250) Логарифмические, показательные уравнения, неравенства (8) Числа и выражения (3) Решение неравенства о
  • огарифмические, показательные уравнения, неравенства (8) Числа и выражения (3) Решение неравенства онлайн с модулем и квадратичной функцией в левой части. Марина С., онлайн репетитор по математике написал(a) 12.11.2011. Существует несколько способов решения неравенств, содержащих модуль. Комарова О. М. Неравенства с модулем Электронный ресурс Международный каталог для учителей, преподавателей и студентов Конспекты уроков. Режим доступа: http:xn—-dtbhtbbrhebfpirq0k.xn--p1aimatem9-klassfile8363-neravenstva-s-modulem… Помогите с решением неравенства с модулем, пожалуйста: x2- xx. Http iphonekit ru pomogite s resheniem neravenstva s modulem pozhalujsta x 2 x x 2. Joomla! — the dynamic portal engine and content management system.
    Г) 4 — х S х. Раскройте модули: а) Зл2 -2з; а) зgt;5 — бЩ; Образование, учебная литература (99110) Товары для дачи, сада и огорода (34034) Всё для дома -10 Товары для детей (24930)

онлайн репетитор по математике написал(a) 12.11.2011. Существует несколько способов решения неравенств

неравенства (250) Логарифмические

  • содержащих переменную под знаком модуля
  • начиная с очень простых и заканчивая реальными задачами из Задания 18 ЕГЭ по математике Алгебра Урок 8 Неравенства
  • системы неравенств — ЁП epmatrumodul-algebraurok-8-neravenstva Cached Системой неравенств называют два неравенства с одной неизвестной

Нажмите здесь , если переадресация не будет выполнена в течение нескольких секунд неравенства с модулем гдз Поиск в Все Картинки Ещё Видео Новости Покупки Карты Книги Все продукты Решение неравенств с модулем Павел Бердов berdovcomreshenie фев Ответы и решения Сегодня Неравенства вида Модуль меньше функции Это одна из Уравнения и неравенства с модулем Репетитор по уравнения и Поэтому научиться решать уравнения и неравенства с модулем должен каждый выпускник средней школы Неравенства с модулем YouTube фев Большой урок, посвящённый решению неравенств с модулем Основная страница урока myoutubecom Уравнения и неравенства с модулем PDF DocPlayerru И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Уравнения и неравенства с модулем В данной статье мы Уравнения с модулем Подготовка к ЕГЭ по математике Уравнения с модулем видаxa; xy; xy Уравнения с модулем чтобы получить максимум на ЕГЭ по математике Важно проследить, чтобы ответы соответствовали интервалу! Неравенства с модулем Новый взгляд на решение neravenstva s окт Неравенства с модулем Наиболее сложно решаемыми задачами школьной математики Неравенства с модулем примеры и достаточные знания Неравенства с модулем примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий Решение неравенств с модулем Математика, которая мне hijosrureshenieneravenstvs Неравенства с модулем , их решение, примеры РS напишите, пожалуйста, ответы к и Ответить PDF Неравенства с модулем schoolcollectionedurucatalogview как иначе решать неравенства с модулем ; Объединяя ответы всех трех случаев, получим ответ за дачи Урок Решение неравенств с модулем , содержащих открытыйурокрфстатьи Методы решения неравенств с модулем , содержащие параметр по определению модуля, Ответы Ученик ГДЗ по алгебре класс Белянина, Кинащук, Черевка р гдз пор ГДЗ по алгебре класс Белянина, Кинащук, Черевка р Уравнения и неравенства , содержащие модуль Уравнения и неравенства с модулями и методика их июл Ко всем упражнениям даются ответы , наиболее сложные задания сопровождаются решениями Неравенства с модулем , примеры решений SolverBook rusolverbookcomprimeryresheniya У нас собраны примеры решения неравенств с модулем разных видов Каждое неравенство содержит Неравенства с модулем РЕШУ ЕГЭ математика ЕГЭ Раздел кодификатора ФИПИРешу ЕГЭ Метод интервалов, Введение замены, Неравенства с модулями Калькулятор онлайн Решение неравенств линейных mathsolutionruinequalit Программа решения неравенств не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, ГДЗ по алгебре, Дидактические материалы по алгебре wwwmy gdz comdidakticheskie УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА , СОДЕРЖАЩИЕ ПЕРЕМЕННУЮ СО ЗНАКОМ МОДУЛЯ а имеет два корня; Картинки по запросу неравенства с модулем гдз Помогите с неравенством Алгебра класс Пар Упр gdz pomogites Здравствуйте! Как записать неравенство с модулем в виде двойного неравенства x ; x ГДЗ по алгебре класс дидактические материалы eurokiorg gdz Решебник по алгебре за класс авторы Феоктистов издательство Мнемозина Задание Вариант Неравенства Решение уравнения с модулем фев Решение уравнений с модулем с подробным разбором тригонометрического уравнения с модулем Наносим ответы на каждом промежутке, а не сами промежутки Как решать неравенства Решение неравенств основные viripitruPage_htm Основные методы решения неравенств А В либо А В, если их ответы совпадают Если А В и В А, Севрюков ПФ, Смоляков АН Уравнения и неравенства с psyofficerusevrjuko Категория Учебники для школы Готовые домашние задания по математике Просмотров Севрюков Название Уравнения и неравенства с модулями и методика их решения Формат Неравенства с модулями Курсотека kursotekarucourse Системы уравнений и неравенств Равносильность неравенств, решение неравенств Неравенства с модулями Задачи по школьной математике Неравенства с модулем wwwitmathrepetitorruzadachipo мар Неравенства с модулем Задачи для самостоятельного решения Модуль и его свойства PDF неравенства Abiturientru abiturientruZan ноя задания неравенства ЕГЭ профильного уровня Неравенства , содержащие выражения с модулями Стандартные Ответы к подготовительным заданиям Модульные неравенства , модули , модульные уравнения egegiablogspotcomblogpost_ Решебник ГДЗ по математике ЕГЭ и ОГЭ ГИА по математике Решение заданий любой сложности Уравнения и неравенства с модулем Графики функций Стандартный алгоритм решения уравнений и неравенств с модулем Для решения уравнений и неравенств, Напомните, пожалуйста, как решаются неравенства с двумя модулями Существует несколько способов решения неравенств , содержащих модуль Рассмотрим некоторые из них Абсолютная величина модуль действительного числа resolventarusprmodulht Справочник по математике для школьников алгебра свойства модуля неравенство треугольника уравнения остается лишь решить две этих системы и объединить полученные ответы Решение неравенств Калькулятор Онлайн с подробным kontrolnayarabotaru Подробное решение любых неравенств онлайн Логарифмических, показательных, тригонометрических Числовые промежутки, неравенство с переменной fizmatbymathnumerical_intervals Решением неравенства называется такое значение переменной, при котором это неравенство обращается в Задание ГДЗ по математике класс Мерзляк АГ gdz netzadanie gdz po Задание ГДЗ по математике класс Мерзляк АГ, Полонский ВБ, Якир МС Модуль числа прямой целые значения переменной, при которых верны неравенства Уравнения с модулями Модули Math mathcomuravneniyas Уравнения с модулями Модули Модуль абсолютное значение позитивного числа или нуля есть это число, Неравенства онлайн Решение неравенств Mathbiz Mathbiz решение неравенств онлайн алгебраические, тригонометрические, трансцендентные, линейные, Гдз класс по русскому языку полякова часть Математика pinterestcom Гдз класс по русскому языку полякова часть Неравенства с модулем Логарифмические неравенства Математика Нестандартные методы решения неравенств Скачать Математика Нестандартные методы решения неравенств и их систем Коропец ЗЛ, Коропец АА Теорема о корне Неравенства , содержащие модули Ответы Доказательство некоторого важного неравенства для модулей wwwcyberforumruthreadht некоторого важного неравенства для модулей Алгебра Ответы с готовыми решениями App Store ГДЗ и Решебник по Алгебре Apple гдз решебник Рейтинг , отзывов Бесплатно iOS Обучение авг Загрузите этот контент ГДЗ и Решебник по Алгебре и используйте уравнения неравенства, уравнения неравенства с модулем , Абсолютная ценность и неравенства Решение уравнений с модулем в курсе математики класса uchportalrupubl июн Корнями уравнения называются значения переменной, при которых уравнение обращается в Математика Школьный сайт pzschoolucozruindexmatematika дн назад Модуль предназначен для подготовки к ЕГЭ по математике и ориентирован на Уравнения и системы уравнений ГДЗ по математике математика, алгебра, геометрия Тема Неравенства и системы неравенств Материалы При решении неравенств вы должны свободно владеть понятием числового Раскрываем знак модуля Ответы х ; х ; х Число, которое является или не является решением osvitanameyavlyaetsyayavlyaetsya фев Число является не является решением неравенства t Алгебра Как Решать?задание ,,пожалуйста Домашка и https gdz domashkarukak Ответы на похожие вопросы Когда решаешь неравенства с модулем нужно рассматривал два случая,когда Решение неравенств с модулем онлайн сделать домашку blogruslanaua?doreshenies авг Сайт с помощью информационного неравенства является Решение неравенств с модулем онлайн на викторину в викторине, гдз высшая математика для экономистов, Модуль числа Примеры решения уравнений и неравенств sntpeczruviewshtml ГДЗ по Русскому Языку класс Ладыженская, Тростенцова? , часть Решения по Учебнику ГДЗ по русскому Решение примера решебник гдз скачать DocBazaru Страница Решение задания гдз из учебника Алгебра, класс Дидактические материалы В Уравнения и неравенства , содержащие переменную под знаком модуля С Иррациональные неравенства Видеоурок Алгебра Класс neravenstva Видеоурок Иррациональные неравенства по предмету Алгебра за класс Далее будем рассматривать неравенства с модулем Список литературы Мордкович АГ Алгебра и начала DOC Научиться решать уравнения и неравенства с модулем и educationsimcatru_ Научиться решать уравнения и неравенства с модулем и параметром Текстовые Решебник к книге Под ред Неравенства с модулем простейшие неравенства с Если неравенство содержит несколько модулей , то находят значения x , при которых выражение, стоящее под Равносильные неравенства , преобразование неравенств Равносильные неравенства неравенства , имеющие одни и те же решения при невнимательном использовании свойств корней, логарифмов и модуля Цены и сроки Способы оплаты Вопросы и ответы Действующие В ответ на официальный запрос мы удалили некоторые результаты с этой страницы Вы можете ознакомиться с запросом на сайте LumenDatabaseorg Запросы, похожие на неравенства с модулем гдз неравенства с модулем задания решение неравенств с модулем класс неравенства с модулем формулы решение неравенств с модулем методом интервалов решение неравенств с модулем онлайн неравенство с двумя модулями неравенства с модулем егэ неравенства с двойным модулем След Войти Версия Поиска Мобильная Полная Конфиденциальность Условия Настройки Отзыв Справка

Неравенства с модулем. Задачи из вступительных экзаменов в МГУ. Задачи для самостоятельного решения. Методы решения неравенств с модулем. Алгебраические преобразования, уравнения, неравенства (250) Логарифмические, показательные уравнения, неравенства (8) Числа и выражения (3) Решение неравенства онлайн с модулем и квадратичной функцией в левой части. Марина С., онлайн репетитор по математике написал(a) 12.11.2011. Существует несколько способов решения неравенств, содержащих модуль. Комарова О. М. Неравенства с модулем Электронный ресурс Международный каталог для учителей, преподавателей и студентов Конспекты уроков. Режим доступа: http:xn—-dtbhtbbrhebfpirq0k.xn--p1aimatem9-klassfile8363-neravenstva-s-modulem… Помогите с решением неравенства с модулем, пожалуйста: x2- xx. Http iphonekit ru pomogite s resheniem neravenstva s modulem pozhalujsta x 2 x x 2. Joomla! — the dynamic portal engine and content management system. Г) 4 — х S х. Раскройте модули: а) Зл2 -2з; а) зgt;5 — бЩ; Образование, учебная литература (99110) Товары для дачи, сада и огорода (34034) Всё для дома -10 Товары для детей (24930)

Уравнения и неравенства с модулем на централизованном тестировании (Курсовая работа), стр.

5

которая не имеет решения. Тогда выполняется второй случай.

Ответ. .

Пример Даны три квадратных трехчлена: , и . Докажите, что уравнение имеет не более восьми корней.

Решение. Каждый корень данного уравнения является корнем одного из квадратных трехчленов , , с некоторым набором знаков. Таких наборов 8, и все они дают действительно квадратные трехчлены, так как коэффициент при имеет вид , т.е. отличен от нуля. Однако двум противоположным наборам знаков соответствуют квадратные уравнения, имеющие одни и те же корни. Значит, все решения уравнения содержатся среди корней четырех квадратных уравнений. Следовательно, их не более восьми.

Пример Шабат Г.Б. Бесконечная последовательность чисел определяется условиями: , причем . Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая в том случае, если рационально.

Решение. Если , то . Действительно, . Если рациональное, то рациональное, причем со знаменателем не большим чем у . Действительно, пусть — несократимая дробь. Тогда

Если эта дробь несократима, то ее знаменатель такой же, как и у , если она сократима, то после сокращения знаменатель уменьшится.

Итак, все члены последовательности — рациональные числа, заключенные между 0 и 1, т. е. правильные дроби. Но правильных дробей со знаменателями, не большими заданной величины , — конечное число. Поэтому какие-то члены последовательности повторятся, и с этого момента последовательность будет периодической.

Простейшие уравнения и неравенства с модулем

К простейшим (не обязательно простым) уравнениям мы будем относить уравнения, решаемые одним из нижеприведенных равносильных переходов: (??)(??)(??)(??)

Примеры решения простейших уравнений.

Пример Решим уравнение .

Решение.

Ответ. .

Пример Решим уравнение .

Решение.

Ответ. .

Пример Решим уравнение .

Решение.

Ответ. .

Остановимся подробнее на уравнениях, в которых встречается сумма модулей [??] (формулы (??)—(??)).

Теорема Сумма модулей равна алгебраической сумме подмодульнх величин тогда и только тогда, когда каждая величина имеет тот знак, с которым она входит в алгебраическую сумму.

Пример Решить уравнение

Решение. Так как , то мы имеем равенство вида , где , . Поэтому исходное уравнение равносильно системе:

Ответ. .

Теорема Сумма модулей равна модулю алгебраической суммы подмодульных величин тогда и только тогда, когда все величины имеют тот знак, с которым они входят в алгебраическую сумму, либо все величины имеют противоположный знак одновременно.

Пример Решить уравнение

Решение. «Загоняем» коэффициенты 2 и 5 под знак модуля и «изолируем» сумму модулей:

По константам получаем . Действительно, , то есть уравнение имеет вид . Следовательно, уравнение равносильно совокупности двух систем:

то есть .

Ответ. .

К простейшим (не обязательно простым) неравенствам мы будем относить неравенства, решаемые одним из нижеприведенных равносильных переходов:

(??)

(??)

Примеры решения простейших неравенств.

Пример Решим неравенство .

Решение.

.

Ответ. .

Пример Решим неравенство .

Решение.

Ответ. .

Как ни странно, но достаточно, чтобы избавиться от знака модуля в любых неравенствах.

Пример Решить неравенство

Решение.

Ответ. .

Пример Решить неравенство

Решение. Относительно любого модуля данное неравенство имеет вид . Поэтому перебрав все комбинации знаков двух подмодульных выражений, имеем

Ответ. .

Пример При каких значениях параметра неравенство

выполняется при всех значениях ?

Решение. Исходное уравнение равносильно системе:

Выполнение для всех исходного неравенства равносильно выполнению для всех неравенств последней системы. А это равносильно тому, что дискриминанты всех четырёх квадратных трёхчленов неположительны:

Ответ. .

Пример Найти все значения параметра , при каждом из которых число целочисленных решений неравенства

максимально.

Решение. Так как то исходное уравнение равносильно системе:

Поскольку оба неравенства в системе линейны относительно . Решим систему относительно :

(??)

Условия существования параметра равносильно требованию

(??)

Неравенство (??) объявляет все значения , которые могут быть решением исходного неравенства хотя бы при одном значении параметра. Следовательно, целочисленными решениями исходного неравенства могут быть только целые числа из промежутка , то есть

(??)

Естественно, что для любого целого числа из набора (??) надо выяснить, при каких значениях параметра это число будет решением исходного неравенства.

Школьный сайт — Математика

НАША ШКОЛА
Погода в городе
Для Вас
САЙТ УЧИТЕЛЕЙ
Календарь дат
Рекомендуем

Единый государственный экзамен по математике







Подготовка к ЕГЭ

В основу курса Подготовки к ЕГЭ на базе еФТШ мы заложили ряд фундаментальных принципов и подходов. Наш опыт показал, что они делают подготовку к сдаче экзамена эффективной.

Почему готовиться к ЕГЭ в еФТШ эффективно?

  • мы помогаем Вам решаем именно те задачи, которые Вы перед собой ставите. Если Вы хотите сдать ЕГЭ на 100 баллов по всем предметам и поступить в МГУ (МФТИ, МИФИ, РГУНГ, СПбГУ), мы поможем Вам. Если же Вашей целью является получить твердое «хор», то мы поможем Вам и с этим, заострив внимание на нужном материале и уделив внимание слабым сторонам. Стоит однако понимать, что чудес не бывает, и Вам тоже предстоит принять участие в процессе обучения. Чтобы добиться тех результатов, которые Вы перед собой ставите, потребуется учиться и осваивать предложенный материал;
  • мы учим именно тому, что нужно в первую очередь, учитывая Ваш текущий уровень знаний. В начале каждого модуля ваш тьютор проведет стартовое тестирование, проанализирует его результаты и выдаст рекомендации о том, на что Вам стоит сделать акценты;
  • мы учим Вас понимать математику и стараемся давать общие подходы к решению задач. С другой стороны, часто акцентируется внимание на приемах и задачах, которые встречаются в ЕГЭ по математике. Мы искренне считаем, что «натаскивание» не заменит понимания предмета;
  • мы поможем Вам составить персональный план обучения, с учетом ситуации и времени. Ваш тьютор поможет максимально эффективно использовать ваше время, достигая желаемых результатов в срок;
  • мы все о Вас помним :). Для каждого ученика в школе ведется электронное портфолио, в котором фиксируется информация о его первоначальных знаниях, выбранный персональный план обучения, комментарии тьюторов, разбор результатов контрольных работ и тестирования, многое другое. Это похоже на игровую стратегию и тактику, которые важно правильно анализировать, составить и исполнить;
  • мы используем передовые образовательные технологии, которые позволяют Вам лучше понять учебный материал и обеспечивают взаимодействие с вашим тьютором, делают образовательный процесс увлекательным и интересным.

Весь материал учебного курса мы разделили на 10 модулей. Каждый из первых девяти модулей посвящен одному из разделов математики, который пригодится Вам на экзамене. Десятый модуль посвящен повторению и обобщению полученных знаний. Кроме того, он содержит «элементы вероятностных моделей” и ряд других тем, добавленных в 2012 году и представленных в части вариантов ЕГЭ текущего года. Вы можете начать обучение с любого модуля, сосредоточив внимание на проблемных разделах или задачах ЕГЭ.

Структура курса:

1. Преобразование алгебраических выражений

Модуль предназначен для подготовки к ЕГЭ по математике и ориентирован на изучение задач уровня сложности В7. Модуль включает в себя следующие темы: целые, рациональные и иррациональные числа, действия с дробями, формулы сокращенного умножения, упрощение выражений, арифметический корень, степени с рациональным показателем, понятие логарифма, вычисление значений числовых выражений.

2. Уравнения и системы уравнений

Модуль предназначен для подготовки к ЕГЭ по математике и ориентирован на изучение задач уровня сложности В3, С1, С5, С6. Модуль включает в себя следующие темы: квадратные уравнения и сводящиеся к ним, уравнения с модулем, рациональные и иррациональные уравнения, показательные и логарифмические уравнения. Системы уравнений.

3. Неравенства

Модуль предназначен для подготовки к ЕГЭ по математике и ориентирован на изучение задач уровня сложности С3. Модуль включает в себя следующие темы: квадратичные, рациональные и иррациональные неравенства, метод интервалов, показательные и логарифмические неравенства, равносильность неравенств, использование свойств и графиков функций при решении неравенств.

4. Тригонометрия

Модуль предназначен для подготовки к ЕГЭ по математике и ориентирован на изучение задач уровня сложности В11, В7, С1, С3. Модуль включает в себя следующие темы: основы тригонометрии, понятие тригонометрических функций, преобразование и вычисление тригонометрических выражений с помощью формул, решение всех видов тригонометрических уравнений, простейшие тригонометрические неравенства.

5. Функции и графики. Производная и ее применение

Модуль предназначен для подготовки к ЕГЭ по математике и ориентирован на изучение задач уровня сложности В2, В8, В11. Модуль включает в себя следующие темы: понятие функции, область определения функции , множество значений функции, график функции, преобразования графиков, графики элементарных функций, свойства функций, точки экстремума (локального максимума и минимума) функции, производная функции, вычисление производных, исследование функций с помощью производной.

6. Текстовые задачи

Модуль предназначен для подготовки к ЕГЭ по математике и ориентирован на изучение задач уровня сложности В1, В5, В10, В12. Модуль включает в себя следующие темы:математические методы решения текстовых задач, интерпретация результата, учет реальных ограничений, использование производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах.

7. Планиметрия

Модуль предназначен для подготовки к ЕГЭ по математике и ориентирован на изучение задач уровня сложности В4, В6, С2.   Модуль включает в себя следующие темы: планиметрия: треугольник, параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция, окружность, многоугольник, декартовы координаты, понятие вектора.

8. Элементы стереометрии

Модуль предназначен для подготовки к ЕГЭ по математике и ориентирован на изучение задач уровня сложности B9, С4. Модуль включает в себя следующие темы: многоугольник, прямые и плоскости в пространстве, многогранники: призма, параллелепипед, пирамида, куб, правильные многогранники, тела и поверхности вращения: цилиндр, конус, шар и сфера, площади и объемы пространственных и плоских фигур, декартовы координаты, понятие вектора.

9. Параметры и модули

Модуль предназначен для подготовки к ЕГЭ по математике и ориентирован на изучение задач уровня сложности С5, С6. Модуль включает в себя следующие темы: понятие модуля числа, решение уравнений и неравенств с модулем, уравнения с параметром, методы решения уравнений с параметром, неравенства с параметром, методы решения неравенств с параметром.

10. Краткое повторение и обобщение

Модуль предназначен для подготовки к ЕГЭ по математике и ориентирован на повторение и закрепление всего материала. Модуль включает в себе справочные сведения и упражнения по всем ключевым моментам курса.

Хотите узнать больше? — посмотрите на оглавление и демонстрационное видео модулей.

Хотите знать еще больше? — Просто зарегистрируйтесь и получите доступ к демонстрационному модулю. На его примере Вы сможете ближе познакомиться с ходом обучения в еФТШ.


 Математика, алгебра, геометриязадачи, решения, ответы, тесты, школа, класс, уроки, учебник по математике, алгебре, геометрии, олимпиады по математике, формулы, билеты по геометрии, ЕГЭ 2009, ЦТ, решебник, задания, задачи, решения по алгебре, формулы, билеты по алгебре.

 

1. К уроку математики

2. Решение задач по математике

3. Экзамен (ЕГЭ) по математике

4. Математика абитуриентам

5. Формулы и шпаргалки по математике

6. ГДЗ по математике (математика, алгебра, геометрия)

7. Студентам — скачать учебники, справочники, пособия по математике.

Школа Росатома
Нам 40 лет
Календарь новостей
ОСТАВИТЬ ОТЗЫВ
Класс!ная физика
Другое Дело
ПРЕЗИДЕНТ
Классному
ЕДЕМ ОТДЫХАТЬ
КОНКУРСЫ

Рациональные и модульные неравенства | Концепция и вопросы

Рациональные неравенства:

Неравенства вида (ax+b/cx+d) < k или (ax+b/cx+d) > k называются рациональными неравенствами, где ax + b и cx + d — линейные алгебраические выражения. Для решения рациональных неравенств необходимо выполнить следующие шаги.

БЕСПЛАТНЫЕ живые мастер-классы от нашего звездного факультета с более чем 20-летним опытом. Зарегистрируйтесь сейчас
  • Приравняйте правую часть к нулю, переставив постоянную часть в левую часть.
  • Решите левую часть так, чтобы она приняла вид mx+1/nx+p <0 или mx+1/nx+p >0 Убедитесь, что ‘m’ и ‘n’, которые являются коэффициентами ‘x’ в числителе и знаменателе положительны.

Приравняйте числитель и знаменатель к нулю, чтобы получить критические точки. Поместите эти точки на числовую прямую. Числовая строка будет разделена на три части. Крайняя правая часть дает решение положительных неравенств, средняя часть дает решение отрицательных неравенств, а самая левая часть дает решение положительных неравенств.

Решим несколько задач рационального неравенства:

Иллюстрация 1: Решить 3x+5/5x-2<0

Решение: Имеем 3x+5/5x-2>0

Здесь правая часть уже равна нулю. Так что здесь нам не нужно делать никаких расчетов. Чтобы получить критические точки, приравняйте числитель и знаменатель к нулю.

Имеем 3x + 5 = 0 ⇒ x=(-5/3) и 5x – 2 = 0 ⇒ x = 2/5

Нанесите эти точки на числовую прямую.

Так как данное неравенство отрицательное, то решение (-5/3)< x < (2/5)

Неравенства модуля или неравенства абсолютного значения

Неравенства вида |ax + b| < k или |ax + b| > k называются модульными или абсолютными неравенствами.

Чтобы решить эти неравенства, помните о следующих правилах:

  • Если |х| < а, тогда – а < х < а
  • Если |х| > а, то либо х > а, либо х < - а
  • Если |х – л| < a, то l – a < x < l + a
  • Если |х – л| > a, то либо x > l + a, либо x < l – a.

Давайте попробуем ответить на вопросы о модульном неравенстве:

Обязательно прочитайте статьи о неравенстве

Иллюстрация 2: Решить |x – 3| < 5.

Решение: Имеем |x – 3| < 5
⇒ — 5 < x – 3 < 5 (Если |x| < a, то – a < x < a)
⇒ 3 – 5 < x < 3 + 5 (Одно и то же число может быть добавлено с обеих сторон неравенство)
⇒ -2 < x < 8, что и является требуемым решением.

Начните подготовку с БЕСПЛАТНОГО доступа к 25+ макетам, 75+ видео и 100+ тестам по главам.Зарегистрироваться сейчас

Иллюстрация 3: Решите |8x + 5| < 9.
Решение: Имеем |8x + 5| < 9.
⇒ — 9 < 8x + 5 < 9 (Если |x| < a, то – a < x < a)
⇒ — 5 – 9 < 8x < 9 – 5 (Одно и то же число может быть добавлено с обеих сторон неравенства)
⇒ — 14 < 8x < 4
⇒ -14/8 < x < 4/8
⇒ -7/4 < x < 1/2, что и является требуемым решением.

2.6: Решение уравнений и неравенств с абсолютными значениями

Уравнения с абсолютными значениями

Напомним, что абсолютное значение 63 действительного числа \(a\), обозначаемого \(|a|\), определяется как расстояние между нулем (начало координат) и графиком этого действительного числа на числовая строка. Например, \(|−3|=3\) и \(|3|=3\).

Рисунок \(\PageIndex{1}\)

Кроме того, абсолютное значение действительного числа можно определить алгебраически как кусочную функцию.

\(| a | = \left\{ \begin{array} { l } { a \text { if } a \geq 0 } \\ { — a \text { if } a < 0 } \end{array} \право.\)

Учитывая это определение, \(|3| = 3\) и \(|−3| = − (−3) = 3\). Следовательно, уравнение \(|x| = 3\) имеет два решения при \ (x\), а именно \(\{±3\}\). В общем, для любого алгебраического выражения \(X\) и любого положительного числа \(p\):

\(\text{If}\: | X | = p \text { then } X = — p \text { или } X = p\)

Другими словами, аргумент абсолютного значения 64 \(X\) может быть как положительным, так и отрицательным \(p\).Используйте эту теорему для алгебраического решения уравнений абсолютного значения.

Пример \(\PageIndex{1}\):

Решите: \(|x+2|=3\).

Раствор

В этом случае аргумент абсолютного значения равен \(x+2\) и должен быть равен \(3\) или \(−3\).

Рисунок \(\PageIndex{2}\)

Поэтому, чтобы решить это уравнение абсолютного значения, установите \(x+2\) равным \(±3\) и решите каждое линейное уравнение как обычно.

\(\begin{array} { c } { | x + 2 | = 3 } \\ { x + 2 = — 3 \quad \quad\text { or } \quad\quad x + 2 = 3 } \\ { x = — 5 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad x = 1 } \end{массив}\)

Ответ :

Решения: \(−5\) и \(1\).

Чтобы визуализировать эти решения, постройте графики функций по обе стороны от знака равенства на одном и том же наборе координатных осей. В этом случае \(f (x) = |x + 2|\) — функция абсолютного значения, сдвинутая на две единицы по горизонтали влево, а \(g (x) = 3\) — постоянная функция, график которой представляет собой горизонтальная линия. Определите \(x\)-значения, где \(f (x) = g (x)\).

Рисунок \(\PageIndex{3}\)

Из графика видно, что обе функции совпадают, где \(x = −5\) и \(x = 1\). Решения соответствуют точкам пересечения.

Пример \(\PageIndex{2}\):

Решите: \(| 2 x + 3 | = 4\).

Раствор

Здесь аргумент абсолютного значения равен \(2x+3\) и может быть равен \(-4\) или \(4\).

\(\begin{array} { rl } { | 2 x + 3 | } & { = \quad 4 } \\ { 2 x + 3 = — 4 } & { \text { или }\quad 2 x + 3 = 4 } \\ { 2 x = — 7 } & \quad\quad\:\: { 2 x = 1 } \\ { x = — \frac { 7 } { 2 } } & \quad\quad\:\ : { х = \ гидроразрыв { 1 } { 2 } } \ конец {массив} \)

Проверьте, удовлетворяют ли эти решения исходному уравнению.

Проверка \(x=-\frac{7}{2}\) Проверка \(x=\frac{1}{2}\)
\(\begin{align} | 2 x + 3 | & = 4 \\ \left| 2 \left( \color{Cerulean}{- \frac { 7 } { 2 }} \right) + 3 \ справа | & = 4 \\ | — 7 + 3 | & = 4 \\ | — 4 | & = 4 \\ 4 & = 4 \:\:\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}\) \(\begin{array} { r } { | 2 x + 3 | = 4 } \\ { \left| 2 \left( \color{Cerulean}{\frac { 1 } { 2 }} \right) + 3 \right| = 4 } \\ { | 1 + 3 | = 4 } \\ { | 4 | = 4 } \\ { 4 = 4 } \:\:\color{Cerulean}{✓} \end{array }\)
Таблица \(\PageIndex{1}\)

Ответ :

Решения: \(-\frac{7}{2}\) и \(\frac{1}{2}\).

Чтобы применить теорему, необходимо выделить абсолютное значение. Общие шаги для решения уравнений абсолютного значения описаны в следующем примере.

Пример \(\PageIndex{3}\):

Решите: \(2 |5x − 1| − 3 = 9\).

Раствор

Шаг 1 : Изолируйте абсолютное значение, чтобы получить форму \(|X| = p\).

\(\begin{align} 2 | 5 x — 1 | — 3 & = 9 \:\:\:\color{Cerulean} { Добавить\: 3\: к\: обеим\: сторонам.} \ 2 | 5 х — 1 | & = 12 \:\:\color{Cerulean} { Разделить\: обе\: стороны\: на\: 2 } \\ | 5 х — 1 | & = 6 \end{выровнено}\)

Шаг 2 : Установите аргумент абсолютного значения равным \(±p\). Здесь аргумент равен \(5x — 1\) и \(p = 6\).

\(5 х — 1 = — 6 \текст { или } 5 х — 1 = 6\)

Шаг 3 : Решите каждое из полученных линейных уравнений.

\(\begin{array} { rl } { 5 x — 1 = — 6 \quad\:\:\text { or } \quad\quad5 x — 1 } & { \:\:\:\:\: \:= 6 } \\ { 5 x = — 5 }\quad\:\quad\quad\quad\quad\quad\quad\: & { 5 x = 7 } \\ { x = — 1 } \quad\ quad\quad\quad\quad\quad\quad\:\:& { x = \frac { 7 } { 5 } } \end{массив}\)

Шаг 4 : Проверьте решения в исходном уравнении.

Чек \(х=-1\) Проверка \(x=\frac{7}{5}\)
\(\begin{align} 2 | 5 x — 1 | — 3 & = 9 \\ 2 | 5 ( \color{Cerulean}{- 1}\color{Black}{ )} — 1 | — 3 & = 9 \\ 2 | — 5 — 1 | — 3 & = 9 \\ 2 | — 6 | — 3 & = 9 \\ 12 — 3 & = 9 \\ 9 & = 9 \color{Cerulean}{✓ }\конец{выровнено}\) \(\begin{align} 2 | 5 x — 1 | — 3 & = 9 \\ 2 \left| 5 \left( \color{Cerulean}{\frac { 7 } { 5 }} \right) — 1 \right| — 3 & = 9 \\ 2 | 7 — 1 | — 3 & = 9 \\ 2 | 6 | — 3 & = 9 \\ 12 — 3 & = 9 \\ 9 & = 9 \color{Cerulean }{✓} \end{выровнено}\)
Таблица \(\PageIndex{2}\)

Ответ :

Решения: \(-1\) и \(\frac{7}{5}\)

Упражнение \(\PageIndex{1}\)

Решите: \(2 — 7 | x + 4 | = — 12\).

Ответить

\(-6, -2\)

www.youtube.com/v/G0EjbqreYmU

Не все уравнения абсолютного значения имеют два решения.

Пример \(\PageIndex{4}\):

Решите: \(| 7 x — 6 | + 3 = 3\).

Раствор

Начните с выделения абсолютного значения.

\(\begin{array} { l } { | 7 x — 6 | + 3 = 3 \:\:\:\color{Cerulean} { Вычесть\: 3\: на\: обе\: стороны.} } \\ { \quad | 7 х — 6 | = 0 } \end{массив}\)

Только ноль имеет абсолютное значение нуля, \(|0| = 0\). Другими словами, \(|X| = 0\) имеет одно решение, а именно \(X = 0\). Поэтому установите аргумент \(7x − 6\) равным нулю, а затем найдите \(x\).

\(\begin{align} 7 x — 6 & = 0 \\ 7 x & = 6 \\ x & = \frac { 6 } { 7 } \end{align}\)

Геометрически одно решение соответствует одной точке пересечения.

Рисунок \(\PageIndex{4}\)

Ответ :

Решение: \(\frac{6}{7}\).

Пример \(\PageIndex{5}\):

Решить: \(|x+7|+5=4\).

Раствор

Начните с выделения абсолютного значения.

\(\begin{align} | x + 7 | + 5 & = 4 \:\:\color{Cerulean} { Вычесть \: 5\: на\: обе\: стороны. } \\ | x + 7 | & = — 1 \end{выровнено}\)

В этом случае мы видим, что изолированное абсолютное значение равно отрицательному числу. Напомним, что абсолютное значение всегда будет положительным. Отсюда делаем вывод, что решения нет.Геометрически точки пересечения нет.

Рисунок \(\PageIndex{5}\)

Ответ :

Нет решения, \(Ø\).

Если задано уравнение с двумя абсолютными значениями вида \(| a | = | b |\), то \(b\) должно быть таким же, как \(a\), или противоположным. Например, если \(a=5\), то \(b = \pm 5\) и мы имеем:

\(| 5 | = | — 5 | \text { или } | 5 | = | + 5 |\)

В общем, заданные алгебраические выражения \(X\) и \(Y\):

\(\text{Если} | X | = | Y | \text {тогда } X = — Y \text { или } X = Y\).

Другими словами, если два выражения абсолютного значения равны, то аргументы могут быть одинаковыми или противоположными.

Пример \(\PageIndex{6}\):

Решите: \(| 2 x — 5 | = | x — 4 |\).

Раствор

Установите \(2x-5\) равным \(\pm ( x — 4 )\) и затем решите каждое линейное уравнение.

\(\begin{array} { c } { | 2 x — 5 | = | x — 4 | } \\ { 2 x — 5 = — ( x — 4 ) \:\: \text { или }\: \: 2 x — 5 = + ( x — 4 ) } \\ { 2 x — 5 = — x + 4 }\quad\quad\quad 2x-5=x-4 \\ { 3 x = 9 }\quad \quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad x=1 \\ { x = 3 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\:\:\:\:} \конец{массив}\)

Для проверки подставляем эти значения в исходное уравнение.

Чек \(х=1\) Чек \(x=3\)
\(\begin{align} | 2 x — 5 | & = | x — 4 | \\ | 2 ( \color{Cerulean}{1}\color{Black}{ )} — 5 | & = | ( \color{Cerulean}{1}\color{Black}{ )} — 4 | \\ | — 3 | & = | — 3 | \\ 3 & = 3 \color{Cerulean}{ ✓}\end{aligned }\) \(\begin{align} | 2 x — 5 | & = | x — 4 | \\ | 2 ( \color{Cerulean}{3}\color{Black}{ )} — 5 | & = | ( \ color{Cerulean}{3}\color{Black}{ )} — 4 | \\ | 1 | & = | — 1 | \\ 1 & = 1 \color{Cerulean}{✓}\end{aligned}\)
Таблица \(\PageIndex{3}\)

В качестве упражнения используйте графическую утилиту для построения графиков \(f(x)= |2x-5|\) и \(g(x)=| x-4|\) на том же наборе осей. Убедитесь, что графики пересекаются там, где \(x\) равно \(1\) и \(3\).

Ответ :

Решения: \(1\) и \(3\).

Упражнение \(\PageIndex{2}\)

Решите: \(| х + 10 | = | 3 х — 2 |\).

Ответить

\(-2, 6\)

www.youtube.com/v/CskWmsQCBMU

Неравенства абсолютного значения

Начнем с рассмотрения решений следующего неравенства:

\(| х | \leq 3\)

Абсолютное значение числа представляет собой расстояние от начала координат.Следовательно, это уравнение описывает все числа, расстояние которых от нуля меньше или равно \(3\). Мы можем изобразить этот набор решений, заштриховав все такие числа.

Рисунок \(\PageIndex{6}\)

Конечно, мы можем видеть, что существует бесконечно много решений \(|x|≤3\), ограниченных \(−3\) и \(3\). Выразите этот набор решений, используя обозначение набора или обозначение интервала, следующим образом:

\(\begin{array} { c } { \{ x | — 3 \leq x \leq 3 \} \color{Cerulean} { Set\: Notation } } \\ { [ — 3,3 ] \quad \ color{Cerulean}{Интервал \:Notation} } \end{массив}\)

В этом тексте мы будем выражать решения в виде интервалов. В общем, для любого алгебраического выражения \(X\) и любого положительного числа \(p\):

\(\text{If} | X | \leq p \text { then } — p \leq X \leq p\).

Эта теорема верна и для строгих неравенств. Другими словами, мы можем преобразовать любое абсолютное неравенство, включающее « меньше, чем », в составное неравенство, которое можно решить как обычно.

Пример \(\PageIndex{7}\):

Решите и нарисуйте набор решений: \(|x+2|<3\).

Раствор

Ограничьте аргумент \(x+2\) величинами \(−3\) и \(3\) и решите.

\(\begin{array} { c } { | x + 2 | < 3 } \\ { - 3 < x + 2 < 3 } \\ { - 3 \color{Cerulean}{- 2}\color{Black }{ <} x + 2 \color{Cerulean}{- 2}\color{Black}{ <} 3 \color{Cerulean}{- 2} } \\ { - 5 < x < 1 } \end{array} \)

Здесь мы используем открытые точки для обозначения строгих неравенств на графике следующим образом.

Рисунок \(\PageIndex{7}\)

Ответ :

Используя обозначение интервала, \((−5,1)\).

Решение задачи \(| x + 2 | < 3\) можно интерпретировать графически, если положить \(f ( x ) = | x + 2 |\) и \(g(x)=3\), а затем определить где \(f (x) Рисунок \(\PageIndex{7}\)

Решение состоит из всех \(x\)-значений, где график \(f\) находится ниже графика \(g\). В этом случае мы видим, что \(|x + 2| < 3\), где значения \(x\) находятся между \(−5\) и \(1\). Чтобы применить теорему, мы должны сначала выделить абсолютное значение.

Пример \(\PageIndex{8}\):

Решите: \(4 |x + 3| − 7 ≤ 5\).

Раствор

Начните с выделения абсолютного значения.

\(\begin{array} { c } { 4 | x + 3 | — 7 \leq 5 } \\ { 4 | x + 3 | \leq 12 } \\ { | x + 3 | \leq 3 } \ конец{массив}\)

Затем примените теорему и перепишите абсолютное неравенство как составное неравенство.

\(\begin{array} { c } { | x + 3 | \leq 3 } \\ { — 3 \leq x + 3 \leq 3 } \end{array}\)

Решить.

\(\begin{align} — 3 \leq x + 3 \leq & 3 \\ — 3 \color{Cerulean}{- 3} \color{Black}{ \leq} x + 3 \color{Cerulean}{ — 3} & \color{Black}{ \leq} 3 \color{Cerulean}{- 3} \\ — 6 \leq x \leq 0 \end{aligned}\)

Заштрихуйте решения на числовой прямой и представьте ответ в виде интервалов. Здесь мы используем закрытые точки для обозначения включающих неравенств на графике следующим образом:

Рисунок \(\PageIndex{8}\)

Ответ :

Используя обозначение интервала, \([−6,0]\)

Упражнение \(\PageIndex{3}\)

Решите и нарисуйте набор решений: \(3 + | 4 x — 5 | < 8\).

Ответить

Обозначение интервала: \((0, \frac{5}{2})\)

Рисунок \(\PageIndex{9}\)

www.youtube.com/v/sX6ppL2Fbq0

Далее мы исследуем решения неравенства, включающего « больше, чем », как в следующем примере:

\(| х | \geq 3\)

Это неравенство описывает все числа, расстояние которых от начала координат больше или равно \(3\). На графике мы можем заштриховать все такие числа.

Рисунок \(\PageIndex{10}\)

Существует бесконечно много решений, которые можно выразить с помощью системы обозначений и интервалов следующим образом:

\(\begin{array} { l } { \{ x | x \leq — 3 \text { or } x \geq 3 \} \:\:\color{Cerulean} { Set\: Notation } } \\ { ( — \infty , — 3 ] \cup [ 3 , \infty ) \:\:\color{Cerulean} { Интервал\: Обозначение } } \end{массив}\)

В общем, для любого алгебраического выражения \(X\) и любого положительного числа \(p\):

\(\text{If} | X | \geq p \text { then } X \leq — p \text { или } X \geq p\).

Теорема верна и для строгих неравенств. Другими словами, мы можем преобразовать любое абсолютное неравенство, включающее « больше, чем », в составное неравенство, описывающее два интервала.

Пример \(\PageIndex{9}\):

Решите и нарисуйте набор решений: \(|x+2|>3\).

Раствор

Аргумент \(x+2\) должен быть меньше \(−3\) или больше \(3\).

\(\begin{array} { c } { | x + 2 | > 3 } \\ { x + 2 < - 3 \quad \text { or } \quad x + 2 > 3 } \\ { x < - 5 }\quad\quad\quad\quad\quad\: x>1 \end{массив}\)

Рисунок \(\PageIndex{11}\)

Ответ :

Используя обозначение интервала, \((−∞,−5)∪(1,∞)\).

Решение задачи \(|x + 2| > 3\) можно интерпретировать графически, если положить \(f (x) = |x + 2|\) и \(g (x) = 3\), а затем определить где \ (f (x) > g (x) \) путем построения графиков \ (f \) и \ (g \) на одном и том же наборе осей.

Рисунок \(\PageIndex{12}\)

Решение состоит из всех \(x\)-значений, где график \(f\) находится выше графика \(g\). В этом случае мы можем видеть, что \(|x + 2| > 3\), где \(x\)-значения меньше \(−5\) или больше \(1\). Чтобы применить теорему, мы должны сначала выделить абсолютное значение.

Пример \(\PageIndex{10}\):

Решите: \(3 + 2 |4x − 7| ≥ 13\).

Раствор

Начните с выделения абсолютного значения.

\(\begin{array} { r } { 3 + 2 | 4 x — 7 | \geq 13 } \\ { 2 | 4 x — 7 | \geq 10 } \\ { | 4 x — 7 | \geq 5 } \конец{массив}\)

Затем примените теорему и перепишите абсолютное неравенство как составное неравенство.

\(\begin{array} &\quad\quad\quad\quad\:\:\:|4x-7|\geq 5 \\ 4 x — 7 \leq — 5 \quad \text { or } \quad 4 x — 7 \geq 5 \end{массив}\)

Решить.

\(\begin{array} { l } { 4 x — 7 \leq — 5 \text { or } 4 x — 7 \geq 5 } \\ \quad\:\:\:\:{ 4 x \leq 2 } \quad\quad\quad\:\:\: 4x\geq 12\\ \quad\:\:\:\:{ 4 x \leq \frac { 2 } { 4 } } \quad\quad\quad \quad x\geq 3 \\ \quad\quad{ 4 x \leq \frac { 1 } { 2 } } \end{массив}\)

Заштрихуйте решения на числовой прямой и представьте ответ, используя интервальную запись.

Рисунок \(\PageIndex{13}\)

Ответ :

Используя обозначение интервала, \((−∞,12]∪[3,∞)\)

Упражнение \(\PageIndex{4}\)

Решите и постройте график: \(3 | 6 x + 5 | — 2 > 13\).

Ответить

Используя обозначение интервала, \(\left( — \infty , — \frac { 5 } { 3 } \right) \cup ( 0 , \infty )\)

Рисунок \(\PageIndex{14}\)

www.youtube.com/v/P6HjRz6W4F4

До этого момента наборы решений линейных абсолютных неравенств состояли из одного ограниченного интервала или двух неограниченных интервалов. Это не всегда так.

Пример \(\PageIndex{11}\):

Решите и постройте график: \(|2x−1|+5>2\).

Раствор

Начните с выделения абсолютного значения.

\(\begin{array} {c} { | 2 x — 1 | + 5 > 2 } \\ { | 2 x — 1 | > — 3 } \end{array}\)

Обратите внимание, что абсолютное значение больше отрицательного числа. Для любого действительного числа x абсолютное значение аргумента всегда будет положительным. Следовательно, любое действительное число решит это неравенство.

Рисунок \(\PageIndex{15}\)

Геометрически мы можем видеть, что \(f(x)=|2x−1|+5\) всегда больше, чем \(g(x)=2\).

Рисунок \(\PageIndex{16}\)

Ответ :

Все действительные числа, \(ℝ\).

Пример \(\PageIndex{12}\):

Решите и постройте график: \(|x+1|+4≤3\).

Раствор

Начните с выделения абсолютного значения.

\(\begin{array} { l } { | x + 1 | + 4 \leq 3 } \\ { | x + 1 | \leq — 1 } \end{array}\)

В этом случае мы видим, что изолированное абсолютное значение должно быть меньше или равно отрицательному числу.Опять же, абсолютное значение всегда будет положительным; следовательно, мы можем сделать вывод, что решения нет.

Геометрически мы видим, что \(f(x)=|x+1|+4\) никогда не меньше, чем \(g(x)=3\).

Рисунок \(\PageIndex{17}\)

Ответ : \(Ø\)

Таким образом, есть три случая для уравнений и неравенств с абсолютными значениями. Отношения \(=, <, \leq, > \) и \(≥\) определяют, какую теорему применять.

Случай 1: Уравнение абсолютного значения:

\(\begin{array} { c } { \text { Если } | X | = p } \\ { \text { then } X = — p \text { or } X = p } \end{ массив}\) Рисунок \(\PageIndex{18}\)

Случай 2: Неравенство абсолютного значения, включающее «

меньше, чем «.
\(\begin{array} { c } { \text { If } | X | \leq p } \\ { \text { then } — p \leq X \leq p } \end{array}\ ) Рисунок \(\PageIndex{19}\)

Случай 3: Неравенство абсолютного значения, включающее «

больше, чем «.
\(\begin{array} { c } { \text { If } | X | \geq p } \\ { \text { then } X \leq — p \text { or } X \geq p } \конец{массив}\) Рисунок \(\PageIndex{20}\)

Уравнения и неравенства абсолютного значения

Неравенства с абсолютными значениями

Неравенства абсолютного значения

Помните, что абсолютное значение означает расстояние от нуля на числовой прямой. | х | < 4 означает, что x — это число, которое меньше 4 единиц от нуля на числовой прямой (см. рис. 1).

Рисунок 1. Меньше 4 от нуля.

Решения представляют собой числа справа от –4 и слева от 4 и могут быть обозначены как

| х | > 4 означает, что x — это число, которое более чем на 4 единицы от нуля на числовой прямой (см. рис. 2).

Рисунок 2. Больше 4 из 0.

Решения представляют собой числа слева от –4 или справа от 4 и обозначаются как

{ х | x < –4 или x > 4}

| х | < 0 не имеет решений, тогда как | х | > 0 имеет своим решением все действительные числа, кроме 0.| х | > –1 имеет в качестве решения все действительные числа, потому что после взятия абсолютного значения любого числа этот ответ либо равен нулю, либо положителен и всегда будет больше –1.

Ниже приводится общий подход к решению абсолютных неравенств вида

Пример 1

Решить для x : |3 x – 5| < 12.

Набор решений

Граф набора решений показан на рисунке 3.

Рисунок 3. x больше и меньше .

Пример 2

Решите дизъюнкт для x : |5 x + 3| > 2.

Набор решений . Граф набора решений показан на рисунке 4.

Рисунок 4. x меньше –1 или больше .

Пример 3

Решить для x : |2 x + 11| < 0.

Это неравенство не имеет решения.

Пример 4

Решить для x : |2 x + 11| > 0,

Решением являются все действительные числа , кроме для решения 2 x + 11 = 0. Следовательно,

Решение набора . Граф набора решений показан на рисунке 5.

Рисунок 5. Все номера, кроме .

Пример 5

Решить для x : 7|3 x + 2| + 5 > 4.

Во-первых, изолируйте печать e x , включающую символ абсолютного значения.

Набор решений состоит из действительных чисел. ( Примечание: Абсолютное значение любого числа всегда равно нулю или положительному значению. Следовательно, абсолютное значение любого числа всегда больше отрицательного значения.) График набора решений показан на рисунке 6.

Рисунок 6. Набор всех чисел.

неравенств FP2 | Минимум слепого расчета

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМ

Поскольку здесь мы имеем дело только с непрерывными функциями, за исключением, может быть, нескольких точек, ответом на все эти проблемы с неравенствами будут интервалы:

что-то вроде 0

или: х>1 или х<0

Задача состоит в том, чтобы найти концы интервалов, называемых критическими точками, и узнать, с какой стороны от этих критических точек неравенство справедливо, а с какой нет.

Мы делаем это, рисуя графики, а затем занимаясь алгеброй, чтобы найти точные критические точки. Иногда полезно упростить неравенство перед построением графика.

Чтобы решить неравенство (5x−9)/(x+3) > 2, мы можем нарисовать графики

y=(5x−9)/(x+3) [другими словами, y = 5 − 24/(x+3)]

и

у=2

и посмотрите, где кривая y = 5 − 24/(x+3) находится над прямой y=2

Чтобы получить точные критические точки, упростим неравенство, умножив обе части на (x+3) 2 .[Почему (x+3) 2 , а не только (x+3)?]

Я предпочитаю не слишком много умножать на такие вещи, как (x+3) 2 перед рисованием графиков, потому что построение графиков прямо или почти прямо из неравенства дает вам более прямую проверку вашей алгебры.

Если у вас есть | | в уравнении критической точки вы можете решить его, превратив его в два уравнения.

Например, уравнение точки пересечения имеет вид |x+1| = 2х.

Тогда x+1=2x или x+1=-2x ⇒ x=1 или x=-⅓

Затем, с этими задачами на модуль, мы должны сверить наши ответы с исходным уравнением, с | | в этом.

В этом случае x=1 является действительным решением |x+1| = 2x, но x=−⅓ не равно .

Могут быть критические точки, которые не являются точками пересечения, где либо LHS, либо RHS имеет сингулярность , т. е. становится странным, как y=1/x становится странным при x=0.

Это будут значения x, при которых формула левой или правой части включает попытку деления на ноль. Сингулярность y=(5x−9)/(x+3) возникает, когда x=−3.

Ваш эскиз должен быть большим .(Если линия вообще пересекает параболу, то она пересекает ее дважды. Но легко в конечном итоге нарисовать так, что вторая точка пересечения окажется за пределами вашего эскиза…) Эскиз не обязательно должен быть сверхдетализированным: достаточно, чтобы увидеть, для какой стороны каждой точки пересечения или сингулярности справедливо неравенство.

Затем вы можете выполнить алгебраическую работу. Для этого вы должны умножить обе части на положительных величин, например, для неравенства (5x−9)/(x+3) > 2 умножить обе части на (x+3) 2 (а не только (x+3) ).

A. Попробуйте ответить на вопросы 1, 14 и 8 (что немного сложнее) из упр.1A книги FP2.

B. Затем выполните Q. 2-7 из упр.1A

C. Тогда попробуйте ответить на вопросы из прошлого листа на страницах 1-2 этого PDF-файла. Ответы на страницах 3-5.

Нравится:

Нравится Загрузка…

Родственные

Модульные функции: определение, уравнения и правила

Модульные функции  (также известные как функции абсолютного значения) обычно представляются как .Модуль числа x будет числом той же величины, но положительным.

Но что стоит за этим? Это происходит потому, что он представляет собой расстояние от нуля до числа x на числовой прямой.

Расстояние от нуля до 2 равно 2, а расстояние от нуля до -2 также равно 2, поэтому  и

Функция модуля на числовой прямой, Марилу Гарсиа Де Тейлор — StudySmarter Originals числа x без учета его знака.

Если у вас есть выражение внутри функции модуля, вычислите значение внутри, а затем найдите положительную версию результата.

Если у вас есть функция Найти

Уравнение модуля 9005

Уравнение модуля

Уравнение . Уравнение

. Уравнение функция модуля обозначается следующим образом:

Домен функции модуля — набор всех действительных чисел , а диапазон — это набор всех действительных чисел, больших или равных нулю.Из уравнения мы можем сказать, что если число внутри функции модуля уже положительное, вы оставляете его таким, но если число отрицательное, то результатом будет положительная версия этого числа (как если бы вы умножали отрицательное число на -1).

Свойства модуля функций

свойства функций модуля:


Sum:

Вычитание:

Помните, что значение x внутри функции модуля может быть положительным или отрицательным, вам нужно решить уравнение, учитывая оба случая, поэтому вы получите два решения.

Для уравнения мы можем получить 2 возможных решения следующим образом:

 

1) Решение 1:

2) Решение 2:

Как построить график функций модуля?

Чтобы нарисовать график функции модуля, вам нужно подставить значения x в , чтобы получить соответствующие значения y, как . Вы получите таблицу значений x и y, которые вам нужно будет нанести на координатную плоскость. Подставим значения x от -2 до 2.

График функции модуля, Марилу Гарсиа Де Тейлор — StudySmarter Originals 

Чтобы начертить график функции модуля, вам нужно сделать набросок и отразить часть линии, которая проходит ниже оси x, в ось x.

Нарисуйте график, показывающий точки пересечения осей координат.

Игнорирование модуля, вам нужно набросать график

  • , когда,

линия пересекает ось X в (1, 0)

  • , когда

линия пересекает y- ось в точке (0, -1)

  • Нарисуйте график для:

       

Пример графика функции модуля, Марилу Гарсия Де Тейлор — StudySmarter Originals 

  • ось. В этом случае (0, -1) становится (0, 1)

         

Пример графика модульной функции, Marilu García De Taylor — StudySmarter Originals 

Решение уравнений с использованием модульных функций 

может использовать его график, чтобы помочь вам найти его решение, выполнив следующие шаги:

       

Решение уравнений с использованием модульных функций, Марилу Гарсия Де Тейлор — StudySmarter Originals

  • Определите точки пересечения двух графиков.В этом случае A  соответствует точке пересечения между y = 5 и исходным участком графика , а B  представляет собой пересечение между  и отраженным участком графика .

  • Найти обоих решений:

    Разрешение неравенства с функциями модуля

    Основываясь на предыдущем примере, теперь мы собираемся решить неравенство . Вам нужно действовать так же, как и раньше, чтобы найти значения x в точках пересечения A и B, то есть  и  .

    Обратная функция модуля

    обратная функция модуля не является функцией  если только вы не ограничите ее область определения так, чтобы она могла быть взаимно однозначной функцией. Чтобы добиться этого, нам нужно ограничить область его применения только половиной графа. Вы можете выбрать любую половину, если она не указана в вопросе.

    Найдите обратную функцию

    Обратную функцию модуля, Марилу Гарсия Де Тейлор — StudySmarter Originals 

    Как дифференцировать модульную функцию?

    Чтобы найти производную функции модуля, нам нужно посмотреть на уравнение функции модуля снова:

    Мы знаем, что, следовательно, мы можем сказать следующее:

    в целом, для всех значений x кроме

    Если мы подставим некоторые значения x в предыдущее уравнение, то мы увидим, что утверждения в приведенной выше кусочной функции верны:

    Как интегрировать модульную функцию?

    Чтобы найти интеграл модульной функции, мы можем действовать следующим образом:

    Мы знаем, что модульная функция определяется следующим образом:

                                   

    Помните, что x имеет показатель степени 1 ( )
                                                             

    Используя формулу интегрирования:

    Модульные функции

    ∫|х| dx = ½x² + c, если x ≥ 0, -(½x²) + c, если x < 0

    Модульные функции, также известные как функции абсолютного значения, обычно представляются как f(x) = |x|. Модуль числа x будет тем же числом, но положительным. График модульной функции имеет характерную v-образную форму.

    Чтобы начертить график функции модуля y = |ax+b|, нарисуйте y = ax+b и отразите часть линии, которая идет ниже оси x, на ось x.

    d/dx (|x|) = 1, если x > 0, -1, если x < 0, не определено, если x = 0

    d/dx (|x|) = x/|x| для всех значений x, кроме x = 0

    Финальный опрос по модульным функциям

    Вопрос

    Что такое модульные функции?

    Ответ

    Модульные функции, также известные как функции абсолютного значения, обычно представляются как f(x) = |x|. Модуль числа x будет тем же числом, но положительным. График модульной функции имеет характерную v-образную форму.

    Вопрос

    Что представляет модуль числа x на числовой прямой?

    Ответ

    Модуль числа x представляет собой расстояние от нуля до этого числа x на числовой прямой.

    Вопрос

    Как найти обратную функцию модуля?

    Ответ

    Функция, обратная модульной функции, не является функцией, если ее область определения не ограничена таким образом, что она может быть взаимно однозначной функцией. Чтобы добиться этого, ограничьте его домен только половиной графа. Затем вы можете выполнить шаги, чтобы найти обратную функцию:

    • Замените f(x) на y.
    • Поменяйте местами x и y и найдите y.
    • Область определения обратной функции — это диапазон исходной функции.

    Абсолютные значения, Определение абсолютного значения

    В этой лекции мы обсудим:

    • Абсолютные значения
    • Неравенства с абсолютными значениями
    • Теорема 1. 2,2 (√а 2 =|а|)
    • Неравенство теоремы

    1.2.1 Определение

    Абсолютное значение или величина действительного числа a обозначается |a| и определяется


          Пример
    |5|=5     Так как 5>0
    |-4/7|= -(-4/7) = 4/7   Так как -4/7 |0|=0     Так как 0≥0


          Примечание
    |а| является неотрицательным числом для всех значений a и
    -|a|≤ a ≤ |a|
    Если a само по себе отрицательно, то -a положительно, а +a отрицательно!!!


          Пример
    Решить       |x-3|=4
    Решение

    x-3= 4

        x= 7

    5
      или   -(x-3)= 4
        x-3= -4
           x= -1
    Уравнение имеет 2 решения: -1 и 7.

          Пример
    Решить |3x-2|=|5x+4|

    3x-2   = 5x+4
    3x-5x = 4+2
        -2x = 6
           x = -3
      или   3x-2 = -(5x+4)
        .
        .
           x = $-\frac{1}{4}$
    Уравнение имеет 2 решения: $-3$ и $-\frac{1}{4}$.
          КВАДРАТНЫЕ КОРНИ И АБСОЛЮТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
      (-3) 2 = 9, поэтому b = -3

    Положительный квадратный корень из квадрата числа равен этому числу.


          ТЕОРЕМА 1.2.2
    Для любого действительного числа a
                √a 2 = |a|
    напр.
          √(-4) 2 = √16 = 4 = |-4|

          1.2.3 ТЕОРЕМА
    Если a и b вещественные числа, то

    1. |-a| = |а| число и его отрицательное значение имеют одинаковые абсолютные значения.
    2. |аб| = |а||б| Абсолютное значение продукта есть произведение абсолютных значений.
    3. |а/б| = |а|/|б| Абсолютное значение отношения к представляет собой отношение абсолютных значений.

    Доказательство
    Из теоремы 1.2.2

    (a)  |-a| = √(-a) 2 = √a 2 = |a|

    (б)  |аб| = √(ab) 2 = √a 2 b 2 = √a 2 √b 2 = |a||b|


          Примеры

    (a)  |-4| = |4|

    (б)  |2.-3| = |-6| = 6 = |2|.|3| = 6

    (в)  |5/4| = 5/4 = |5|/|4| = 5/4


    Результат (b) приведенной выше теоремы можно распространить на три или более факторов.
    Для n-множества действительных чисел
    a 1 , a 2 , a 3 ,…a n

    (a) |a 2 … 4 1 a 9 номер | = |а 1 | |а 2 | …|a n |
    (б) |а н | = |а| п


          Геометрическая интерпретация абсолютного значения

    Где A и B являются точками с координатами a и b . Расстояние между A и B равно


    . Теорема 1.2.4 (Дистанционная формула)
    , если A и B — это точки на координатной линии с координатами A и B соответственно, затем расстояние D между A и B
    D = | B

    D = | B
    D = | — а|


          ТАБЛИЦА 1.2.2 (a)
                                |x-a| (k>0)

              Альтернативная форма     -k Набор решений           (a-k, a+k)


    Пример
    Неравенство
      |x-3|
    переписан как
    -4
    , добавление 3 по всему данным
    -1
    набор решений (-1,7)

    на реальной линии


          Пример
    Решить |x+4| ≥ 2
    x+4 ≤ -2
    x ≤ -6
        х+4 ≥ 2
    х≥ -2
    При объединении этих двух наборов
                  (-∞ , -6] ∪ [-2 , +∞ )

                              На реальной линии


          НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА

    Обычно неверно, что
    |a+b| = |а| + |б|
    эл. грамм.
    , если a = 2 и b = -3, то a+b = -1, так что |a+b| = |-1| = 1
    , тогда как
    |a|+|b| = |2|+|-3| = 2+3 = 5, поэтому |a+b| = |а|+|б|


          1.2.5 ТЕОРЕМА — (Неравенство треугольника)
    Если   a  b  , то |a+b| ≤ |а|+|б|
          Доказательство
    Поскольку для любого действительного числа a и b , мы знаем, что
    -|a| ≤ а ≤ |а| и   -|b| ≤ б ≤ |б|
              -|а| ≤ а ≤ |а|
                       +
              -|b| ≤ б ≤ |б|
          ______________
    = -|а| + -|б| ≤ а+b ≤ |а|+|b|
    ______________________________________________
    Теперь у нас есть два случая:

    Случай 1, где a+b ≥ 0
    определенно a+b=|a+b|
    Отсюда
            |a+b| ≤ |а|+|б|

    И

    Случай 2, где a+b
            |a+b| = -(a+b)
                    или
            (a+b) = -|a+b|

    Сравнивая с исходным неравенством
    -(|a|+|b|) ≤ -|a+b|
      Результат следует
    ______________________________

    .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.