Обобщения понятия о показателе степени: Обобщение понятия о показателе степени

Содержание

Обобщение понятия о показателе степени

Вопросы занятия:

·  обобщить случаи, когда показатель степени – рациональное или целое число;

·  ввести понятие «иррациональных уравнений».

Материал урока

На сегодняшнем уроке мы постараемся объединить все, что мы знаем о показателе степени, вспомним все свойства степеней в зависимости от показателя.

Прежде всего, давайте вспомним, что такое степень.

Определение.

Степень с натуральным показателем – произведение n множителей, каждый из которых равен а.

В записи an: а – это основание степени, n – это показатель степени.

Напомним, что:

Все это мы изучали с вами раньше. А теперь давайте рассмотрим степень, показателем которой является не натуральное, а рациональное число.

Определение.

Рациональным числом называется число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби m/n, где m – это целое число, а n – натуральное. То есть на сегодняшнем уроке мы познакомимся с:

Запишем определение.

Определение.

Почему ввели ограничение q ≠ 1? Потому что при q = 1 показатель степени становится целым числом. А все свойства таких степеней мы уже рассматривали раньше.

Запишем несколько степеней и преобразуем их в радикалы.

При таком определении степени с рациональным показателем сохраняются все привычные свойства степеней, которые были доказаны для натуральных показателей:

Используя свойства таких степеней, становится проще делать некоторые преобразования радикалов.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример.

Пример.

Давайте теперь рассмотрим степень с рациональным показателем в случае отрицательного показателя.

Например:

Для таких степеней справедливы те же свойства, что и для степеней с положительным рациональным показателем.

Давайте запишем их ещё раз:

Рассмотрим несколько примеров.

Пример.

Пример.

Определение.

Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или возводиться в дробную степень, называют иррациональными.

С такими уравнениями вы уже встречались в курсе алгебры 8 класса. Напомним основные методы решения иррациональных уравнений.

Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

Метод введения новых переменных.

Функционально-графический метод.

Более подробно иррациональные уравнения и методы их решения мы рассмотрим позднее.

ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ О ПОКАЗАТЕЛЕ СТЕПЕНИ

ЧАСТЬ II. ГЛАВА VI. Обобщение понятия о показателе степени.

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.

Введение

При введении понятия о степени подразумевалось, что показатель ;
степени — целое положительное число. Все правила действий над степенями
были выведены в этом предположении.

В математике наряду со степенями с целыми положительными
показателями рассматриваются также и степени с нулевым, отрицательным
и дробным показателями. Более того, исследование некоторых
вопросов, имеющих очень большое значение, требует рассмотрения
степеней с иррациональными показателями.
В этой главе будет введено понятие о степени с любым веще- i
ственным показателем и будет показано, что все правила действий
над степенями, выведенные для целых положительных показателей,
сохраняются и для любых вещественных показателей. . (3)
С другой стороны, посредством. сокращения получаем
(4)
Сравнение результатов (3) и (4) показывает, что целесообразно считать
3 7 4 ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ о ПОКАЗАТЕЛЕ СТЕПЕНИ \ГП. VI
где q—целое положительное число.
Рассуждения, которые приведены выше, не являются, кОнёчно,
доказательствами того, что в®=1; • Эти рассуждения проведены
только для того, чтобы показать, что принимаемые нами опре

374 ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ О ПОКАЗАТЕЛЕ СТЕПЕНИ. Кабинет Математики.

деления нулевого и отрицательного показателя подсказаны нам опытом
деления степеней с одним и тем же основанием и единственно
возможны, если мы желаем сохранить правило деления степеней для
случая, когда показатель степени делимого не превосходит показателя
степени делителя..
Замечание. Не следует думать, что введением отрицательного
показателя дробное выражение превращается в целое drq. Выражение
crq является лишь другой формой записи выражения

375 ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ О ПОКАЗАТЕЛЕ СТЕПЕНИ. {-\frac{1}{3}}+10=0$.

Цель урока:

  1. Обобщение и систематизация знаний, умений, навыков.
  2. Актуализация опорных знаний в условиях сдачи ЕГЭ.
  3. Контроль и самоконтроль знаний, умений, навыков с помощью тестов.
  4. Развитие умения сравнивать, обобщать.

План урока.

  1. Формулировка цели урока (1 мин)
  2. Устная работа “Верю – не верю!” (6 мин)
  3. Решение серии примеров на сравнение выражений (12 мин)
  4. Софизм (4–5 мин)
  5. Решение примера на упрощение выражения (из ЕГЭ) с обсуждением наиболее “тонких” мест (15 мин)
  6. Самостоятельная работа на основе демонстрационного варианта ЕГЭ (гр.А) (5 мин)
  7. Задание на дом (на листочках)

Оборудование: проектор.

1. Друзья! Перед вашими глазами часть высказывания английского математика Джеймса Джозефа Сильвестра (1814–1897) о математике “Математика – это музыка разума”. Не правда ли, как романтично?

Вопрос. А как вы думаете, как определил он музыку?

“Музыка – это математика чувств”.

К чувствам мы можем отнести различного рода переживания. В этом году одной из причин ваших и моих переживаний является успешная сдача ЕГЭ и, как следствие, поступление в ВУЗ. Очень хочется, чтобы преобладали положительные эмоции. Должна быть уверенность, а это наши знания и навыки. Сегодня на уроке мы продолжим подготовку к ЕГЭ, повторяя и обобщая понятие степени.

Итак, тема сегодняшнего урока – “Обобщение понятия степени”.

Основные свойства и определения мы уже с вами повторили, и я предлагаю вам сыграть в игру “Верю – не верю!”

Ваша задача быстро (полагаясь на свою интуицию, она поможет при решении гр. А) ответить на вопрос утвердительно или отрицательно, а затем пояснить свой ответ.

2. Устная работа “Верю – не верю!”

1. Имеют смысл выражения:

а) б) в) с) д)

3. Уравнение имеет три корня

(нет, корень один: 7, т.к.)

4. Наименьший корень уравнения 1

3. Решение серии примеров на сравнение дробей. Теперь я предлагаю обратить ваше внимание на серию примеров на сравнение степеней.

Вопрос. Какие способы сравнения степеней вы знаете?

Сравнение показателей при одинаковых основаниях, сравнение оснований при одинаковых показателях степеней.

1. Сравните и .

2. Сравните числа и .

Как видите, случай более сложный.

Вопрос. Какими числами являются показатели степеней?

Иррациональными.

Давайте найдём рациональные числа, близкие к данным иррациональным и попытаемся сравнить степени с рациональным показателем.

Т.к. основание степени больше 1, то по свойству степеней имеем

Сравним теперь и .

Для этого достаточно сравнить и 2 или и .

Но , а .

Теперь получаем цепочку неравенств:

3. Сравните числа и .

Воспользуемся следующим свойством радикалов: если , то , где .

Сравним и .

Оценим их отношение:

Таким образом, .

Замечания.

1) В данном случае степени и невелики, а именно

, и их нетрудно вычислить “вручную”, т. е. без калькулятора. Можно и без вычислений оценить степени:

Поэтому,

2) Если же степени действительно не поддаются вычислению (даже на калькуляторе), например, и , то можно использовать неравенство:

Верно при любых , и поступить так:

при всех натуральных .

Можно доказать самостоятельно

4. Софизм. Что ж, давайте переключимся на иную работу. Найдём ошибку в следующих рассуждениях, опровергнув утверждение:

“Единица в бесконечно большой степени равна произвольному числу”.

Как известно, единица, возведённая в любую степень, в том числе и в нулевую, равна единице, т.е., где а – любое число. Посмотрим, однако, всегда ли это так.

Пусть х – произвольное число. Простым умножением легко убедиться, что выражение (1) является тождеством при любых

х . Тогда справедливо и тождество, которое следует из (1), а именно . (2)

Для произвольного положительного числа а существует .

Из равенства (2) вытекает равенство

,

или, что то же самое,

. (3)

Полагая в тождестве (3) х=3 , получаем

, (4)

а принимая во внимание, что , получим, что .

Итак, степень единицы, даже когда показатель степени равен бесконечности, равен произвольному числу, но отнюдь не единице, как того требуют правила алгебры.

Решение.

Ошибка в следующем.

Равенство (1) действительно справедливо при всех значениях х и потому является тождеством. Полученное из него равенство (2) справедливо уже не для всех значений х. Так, х не может быть равен 2. так как знаменатели в левой и правой частях (2) обращаются при этом в нуль, и

х не может быть равен 3, так как знаменатель в правой части (2) также обращается в нуль. При х = 3 равенство (2) принимает вид , который не имеет смысла.

Соотношение же (4) получено из (3) именно при х = 3 , что и привело к нелепому результату.

Ну, а теперь перенесёмся в 2004 год, когда в задании С3 был предложен следующий номер.

5. Решение примера (из ЕГЭ).

Так как f(x) –возрастающая функция, то .

Найдём, какое из этих значений ближе лежит к 0,7, для чего сравним

и

Так как , то значение f(26) лежит ближе к 0,7.

6. Самостоятельная работа с последующей проверкой на доске.

А теперь самое время потренироваться: перед вами примеры из демонстрационного варианта, гр.А 2009 года.

Вы их видите как на доске, так и на листочках. Ваша задача – быстро решить и заполнить таблицы с ответами. Соответствие букв и чисел перед вами. Правильно вычислив или упростив выражения в таблице, вы прочтёте то, что необходимо вам при сдаче ЕГЭ.

1 вариант – удача, знания,

2 вариант – уверенность.

Итак, сегодня на уроке мы увидели насколько широко понятие степени используется при сдаче ЕГЭ. Закрепить полученные навыки вы сможете, выполнив домашнюю работу.

7. Домашняя работа.

Обратите внимание на домашнюю работу, она поможет вам закрепить материал, который мы решали на уроке.

Пособие содержит самостоятельные и контрольные работы по всем важнейшим темам курса математики 10-11 классов. Работы состоят из 6 вариантов трех уровней сложности. Дидактические материалы предназначены для организации дифференцированной самостоятельной работы учащихся.


Примеры.

В ящике лежат 10 шариков, среди которых 3 — белые. Из ящика последовательно вынимают и удаляют по одному шарику до тех пор, пока не появится белый шарик. Найдите вероятность появления белого шарика.

Три стрелка стреляют по одной цели по 2 раза каждый. Известно, что вероятность попадания для каждого стрелка равна 0,5 и не зависит от результатов других стрелков и предыдущих выстрелов. Можно ли утверждать
с вероятностью 0,99, что в цель попадет хотя бы один выстрел?
с вероятностью 0,5, что каждый стрелок попадет в цель хотя бы один раз?

СОДЕРЖАНИЕ
Тригонометрия
С-1. Определение и свойства тригонометрических функций. Градусная и радианная меры угла
С-2. Тригонометрические тождества
С-3. Формулы приведения. Формулы сложения
С-4. Формулы двойного и половинного угла
С-5. Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение и произведения в сумму
С-6*. Дополнительные тригонометрические задачи (домашняя самостоятельная работа)
К-1. Преобразование тригонометрических выражений
С-7. Общие свойства функций. Преобразования графиков функций
С-8. Четность и периодичность функций
С-9. Монотонность функций. Экстремумы С-10*. Исследование функций. Гармонические колебания (домашняя практическая работа)
К-2. Тригонометрические функции
С-11. Обратные тригонометрические функции __
С-12*. Применение свойств обратных тригонометрических функций (домашняя самостоятельная работа)
С-13. Простейшие тригонометрические уравнения
С-14. Тригонометрические уравнения
С-15. Отбор корней в тригонометрических уравнениях. Системы тригонометрических уравнений
С-16*. Методы решения тригонометрических уравнений (домашняя самостоятельная работа)
С-17*. Системы тригонометрических уравнений (домашняя самостоятельная работа)
С-18. Простейшие тригонометрические неравенства
С-19*. Методы решения тригонометрических неравенств (домашняя самостоятельная работа)
К-3. Тригонометрические уравнения, неравенства, системы
Алгебра
С-20. Корень n-ой степени и его свойства
С-21. Иррациональные уравнения
С-22. Иррациональные неравенства. Системы иррациональных уравнений
С-23*. Методы решения иррациональных уравнений, неравенств, систем (домашняя самостоятельная работа)
С-24. Обобщение понятия степени
К-4. Степени и корни
С-25. Показательные уравнения. Системы показательных уравнений
С-26. Показательные неравенства
С-27*. Методы решения показательных уравнений и неравенств (домашняя самостоятельная работа)
С-28*. Показательно-степенные уравнения и неравенства (домашняя самостоятельная работа)
К-5. Показательная функция
С-29. Логарифм. Свойства логарифмов
С-30. Логарифмические уравнения и системы
С-31*. Применение логарифмов в решении трансцендентных уравнений и систем (домашняя самостоятельная работа)
С-32. Логарифмические неравенства
С-33*. Методы решения логарифмических уравнений, неравенств, систем (домашняя самостоятельная работа)
К-6. Логарифмическая функция
С-34. Обобщение понятия модуля. Уравнения и неравенства с модулем
Начала анализа
С-35. Вычисление пределов числовых последовательностей и функций. Непрерывность функции
С-36. Определение производной. Простейшие правила вычисления производных
С-37. Производные тригонометрических и сложных функций
С-38. Геометрический и механический смысл производной
К-7. Производная
С-39. Исследование функции на монотонность и экстремумы
С-40*. Дополнительное исследование функции (домашняя самостоятельная работа)
С-41*. Построение графиков функций (домашняя практическая работа)
С-42. Наибольшее и наименьшее значения функции. Экстремальные задачи
С-43*. Избранные задачи дифференциального исчисления (домашняя самостоятельная работа)
К-8. Применение производной
С-44. Первообразная. Вычисление первообразных
С-45. Определенный интеграл. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла
С-46. Применение первообразной и интеграла
С-47*. Избранные задачи интегрального исчисления (домашняя самостоятельная работа)
К-9. Первообразная и интеграл
С-48. Производная и первообразная показательной функции
С-49. Производная и первообразная логарифмической функции
С-50. Степенная функция
С-51*. Дополнительные задачи математического анализа (домашняя самостоятельная работа)
К-10. Производная и первообразная показательной, логарифмической и степенной функций
Комплексные числа
С-52. Понятие комплексного числа. Действия с комплексными числами в алгебраической форме
С-53. Модуль и аргумент комплексного числа. Действия с комплексными числами в геометрической форме
С-54. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула Муавра
С-55*. Дополнительные задачи с комплексными числами (домашняя самостоятельная работа)
К-11. Комплексные числа
Комбинаторика
С-56. Множества. Операции над множествами
С-57. Основные формулы комбинаторики. Простейшие комбинаторные задачи
С-58. Бином Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов
С-59. Комбинаторные задачи. Правило суммы и правило произведения
С-60*. Дополнительные задачи по комбинаторике (домашняя самостоятельная работа)
К-12. Элементы комбинаторики
Теория вероятностей
С-61. Классическая вероятность. Использование формул комбинаторики при вычислении вероятности
С-62. Теоремы сложения и умножения вероятностей
С-63. Вероятность осуществления хотя бы одного из независимых событий. Схема Бернулли
С-64*. Дополнительные главы теории вероятностей (домашняя самостоятельная работа)
К-13. Элементы теории вероятностей
ОТВЕТЫ
Ответы к контрольным работам
Ответы к домашним самостоятельным
работам
ЛИТЕРАТУРА.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа, 10-11 класс, Ершова А. П., Голобородько В.В., 2013 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

С любым целочисленным показателем, руководствуясь при этом следующими определениями:

Но математики на этом не остановились, они научились работать не только с целочисленными показателями. В этом параграфе мы обсудим, какой смысл придается в математике понятию степени с дробным показателем, т.е. выясним, что означают такие символы математического языка, как 2 5 , З -0″3 и т.д.

Зададимся вопросом: если вводить символ то каким математическим содержанием его наполнить? Хорошо бы, рассуждали математики, чтобы сохранялись привычные , например, чтобы при возведении степени в степень показатели перемножались, в частности, чтобы выполнялось следующее равенство:


Положим Тогда интересующее нас равенство можно переписать в виде а 5 =2 3 , откуда получаем Значит, появились основания определить

Подобные соображения и позволили математикам принять следующее определение.

Если

Самое любопытное, что введенное определение оказалось настолько удачным, что при нем сохранились все привычные свойства степеней, которые были доказаны для натуральных показателей: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, при делении — вычитаются и т. д. Пусть, например, нам нужно выполнить умножение

Поскольку складывать дроби легче, чем применять свойства радикалов, на практике предпочитают заменять радикалы степенями с дробными показателями. Для иллюстрации этого положения вернемся к примеру Если перейти к дробным показателям, то получим:

Видите, насколько быстрее и проще мы получили здесь тот же результат, что и в § 42.
Пример 1. Вычислить:

г) Это задание некорректно, поскольку нет определения степени с дробным показателем для случая отрицательного основания. Математики договорились возводить в дробные степени только неотрицательные числа (и это оговорено в определении). Так что запись вида считается в математике лишенной смысла.
Замечание. Иногда приходится слышать возражения: неверно, что запись лишена смысла, ведь можно вычислить корень 3-й степени из числа -8; получится Так почему бы не считать, что

Если бы математики не запретили себе возводить в дробные степени отрицательные числа, то вот с какими неприятностями пришлось бы столкнуться:

Получилось «равенство» -2 = 2. Выбирая определения, математики как раз и заботятся о том, чтобы все было точно, определенно, недвусмысленно. Поэтому в определении степени с нулевым показателем а° появилось ограничение а в определении степени с положительным дробным показателем
Разумеется, математики не ограничились понятием степени с положительным дробным показателем, они ввели и определение степени с отрицательным дробным показателем, используя известную идею:

Но наличие дробного показателя заставляет сделать ограничение а>0, а наличие знаменателя заставляет сделать ограничение а= 0; в итоге приходится накладывать ограничение а > 0.

Если

Итак, теперь мы знаем, что такое степень с любым рациональным показателем. Справедливы следующие свойства (мы считаем, что а> 0, b> 0, s и t — произвольные рациональные числа):

Частичные обоснования указанных свойств были сделаны выше; этим мы и ограничимся.

Пример 2. Упростить выражение:



Пример 3. Решить уравнения:
а) Возведя обе части уравнения в куб, получаем:

х = ±1.
б) Это практически то же самое уравнение, что и в п. а), но с одной существенной оговоркой: поскольку переменная х возводится в дробную степень, она, по определению, должна принимать только неотрицательные значения. Значит, из найденных выше двух значений х в качестве корня уравнения мы имеем право взять лишь значение х = 1.
Ответ: а) ±1; б) 1.

Пример 4. Решить уравнение:
Введем новую переменную
Значит, получаем квадратное уравнение относительно новой переменной у:

у 2 -2у-8 = 0.

Решив это уравнение, получим: у 1 =-2, у 2 =4. Теперь задача сводится к решению двух уравнений:


Первое уравнение не имеет корней, поскольку (напомним еще раз) область допустимых значений для переменной х в подобных случаях определяется условием х > 0. Решая второе уравнение, последовательно находим:

Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или возводится в дробную степень, называют иррациональными. Первое знакомство с иррациональными уравнениями состоялось у вас в курсе алгебры 8-го класса, где встречались уравнения, содержащие переменную под знаком квадратного корня. В этой главе мы рассмотрели еще несколько примеров решения иррациональных уравнений — пример 2 из § 39, пример 2 из § 40 и примеры 3 и 4 из § 43.

Основные методы решения иррациональных уравнений:

Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;
— метод введения новых переменных;
— функционально-графический метод.

Если используется метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, то возможно появление посторонних корней, значит, обязательна проверка всех найденных решений — об этом мы говорили и раньше, в курсе алгебры 8-го класса.

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки
  1. Одной из актуальных проблем современной методики преподавания в школе является развитие мотивации обучающихся. Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем, как поддержать у учащихся интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. Надо позаботиться о том, чтобы на уроках каждый ученик работал активно и увлечённо. В сложившейся ситуации на помощь учителю приходят игровые технологии – современный и признанный метод обучения и воспитания, обладающий образовательной, развивающей и воспитывающей функциями, которые действуют в органическом единстве. Игровые формы обучения на уроках математики дают возможность эффективной организации взаимодействия педагога и обучающихся. Даже самые пассивные учащиеся включаются в игру. Игровая деятельность мотивирует на обучение, в ходе игры каждый обучающийся получает возможность думать самостоятельно, развивать творческое мышление и решать разнообразные проблемы (то есть применять полученные знания в конкретной жизненной ситуации).

Скачать:


Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 24 с углублённым изучением отдельных предметов гуманитарного профиля им. И.С.Тургенева г. Орла

Методическая разработка урока

Алгебра и начала анализа

11 класс

Учебник: Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10 -11 кл.: Учеб. Для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2013. – 336с.:ил. (базовый)

Учитель математики: Морева Оксана Владимировна

Аннотация работы: Одной из актуальных проблем современной методики преподавания в школе является развитие мотивации обучающихся. Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем, как поддержать у учащихся интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. Надо позаботиться о том, чтобы на уроках каждый ученик работал активно и увлечённо. В сложившейся ситуации на помощь учителю приходят игровые технологии – современный и признанный метод обучения и воспитания, обладающий образовательной, развивающей и воспитывающей функциями, которые действуют в органическом единстве. Игровые формы обучения на уроках математики дают возможность эффективной организации взаимодействия педагога и обучающихся. Даже самые пассивные учащиеся включаются в игру. Игровая деятельность мотивирует на обучение, в ходе игры каждый обучающийся получает возможность думать самостоятельно, развивать творческое мышление и решать разнообразные проблемы (то есть применять полученные знания в конкретной жизненной ситуации).

Технологическая карта урока

ФИО (полностью)

Морева Оксана Владимировна

Место работы

МБОУ – СОШ № 24 с углублённым изучением отдельных предметов гуманитарного профиля им. И.С.Тургенева г. Орла

Должность

Учитель

Предмет

Алгебра и начала анализа

Класс

11 класс

Тема и номер урока в теме

Обобщение понятия о показателе степени (2 – ой урок)

Базовый учебник

Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. 10 -11 кл.: Учеб. Для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2013. – 336с.: ил. (базовый)

Цель урока

Выработать умение выполнять преобразование выражений, содержащих степени с дробным показателем

Задачи

обучающие

  1. Актуализация опорных знаний о степени с дробным показателем
  2. Отработка навыков преобразования выражений, содержащих степени с дробным показателем

развивающие

Развитие:

  1. Операционного мышления, направленного на выбор оптимальных решений;
  2. Памяти и внимания;
  3. Умения применять полученные знания при решении задач.

воспитательные

  1. Формирование навыков групповой работы;
  2. Воспитание у обучающихся самостоятельности и ответственности за себя и других членов коллектива;
  3. Воспитание умения критически и объективно оценивать свою работу и работу товарища.

Тип урока

Урок — деловая игра «Покорение вершины»

Формы работы учащихся

Фронтальная, индивидуальная, групповая

Необходимое техническое оборудование

  1. Мультимедийный проектор и экран;
  2. Акустические колонки;
  3. Компьютеры.

План урока

  1. Организационный момент (2-3 мин.)
  2. Актуализация опорных знаний (5 мин.)
  3. «Покорение вершин» (30 мин.)
  • Первая высота (самопроверка)
  • Вторая высота (групповая работа)
  • Третья высота (индивидуальная дифференцированная работа).
  1. Подведение итогов (4 — 5 мин. )
  2. Домашнее задание (2 – 3 мин.)
  3. Рефлексия достижения цели (1 мин.)

Ход урока:

  1. Организационный момент

Урок начинается с прослушивания отрывка из песни В.В.Высоцкого «Лучше гор могут быть только горы» (слайд 2).

Учитель: У каждого в жизни есть вершины, которые они стремятся покорить. Кто – то хочет стать врачом, кто – то спортсменом, а кто – то может хочет стать альпинистом. Ведь высота всегда манила людей. Вспомните Икара, ведь его мечтой было полететь к Солнцу. И он осуществил свою мечту. Сущность человека состоит в том, чтобы всегда добиваться намеченной цели. Эпиграфом к нашему уроку подходят слова из прослушанной вами песни.

Как вечным огнем сверкает днем
Вершина изумрудным льдом,
Которую ты так и не покорил.

В.В.Высоцкий

Сегодня на уроке я приглашаю вас в экспедицию на покорение горных вершин. Вам предстоит перевоплотиться в спортсменов-альпинистов, покоряющих вершину знаний под названием «Степень с дробным показателем» (слайд 3).

Деятельность обучающихся: Обучающиеся записывают тему урока в рабочую тетрадь.

  1. Актуализация опорных знаний

Учитель: Перед каждым из вас лежит карточка – счётчик, в которую вы будете заносить свои успехи в покорении горных вершин (приложение 1) . Впишите в верхнюю строку свои фамилию и имя. В этой карточке вы будете фиксировать прохождение каждой высоты в баллах. В конце урока вы самостоятельно подсчитаете набранные за урок баллы и выясните: удалось ли вам покорить “горную высоту» или нет.

Проверка снаряжения: “Что возьмем с собой в дорогу?” (слайд4).

Учитель: Как известно, экспедиции всегда предшествует тщательная подготовка, поэтому в начале, я предлагаю вам проверить свою готовность к покорению горной вершины.

1) Продолжите фразу: Если — обыкновенная дробь(q ≠1) и a ≥ 0, то под a p/q понимают…

2) Вычислите устно: 16 ¼ , 27 1/3 , 81 ¼ , 8 -1/3 , (-144) ½ (Задания можно заранее записать на доске или оформить в виде карточек)

3) Продолжите следующие свойства (Задания можно заранее записать на доске)

a s ∙ a t = …

a s : a t = …

(a s ) t = …

(ab) s = …

() s = …

4) Вычислите устно: (Задание можно заранее записать на доске)

Учитель: Итак, снаряжение собрано. Мы отправляемся в горы на покорение горных вершин.

  1. Покорение вершин

Первая высота “Снежная лавина” (Самопроверка)

Учитель: Любые горы насколько прекрасны, настолько и опасны. В горах альпинистов поджидает множество опасностей. Первое, с чем нам придётся столкнуться в горах – это снежная лавина (слайд 5). Чтобы выбраться из – под снежного завала, необходимо выполнить следующее задание.

Деятельность обучающихся: Обучающиеся получает задание на два варианта и самостоятельно выполняют его в рабочих тетрадях. (Каждый ученик получает своё задание на карточке). Два ученика работают с обратной стороны доски. На выполнение задания отводится 5 – 7 минут.

Вариант 1

Вариант 2

  1. Вычислите: 27 1/3 -25 -1/2 +16 3/4 -27 4/3
  2. Упростите выражение: а) (125х -6 ) -2/3 ; б) (a∙a -1/3 ) 1/6 ∙a 8/9

По окончании работы обучающиеся, работавшие у доски, отворачивают доску. Их работу проверяет учитель. Обучающиеся, работавшие в тетрадях, осуществляют самопроверку. То есть каждый ученик самостоятельно проверяет правильность выполнения своего задания, опираясь на решение на доске. Каждое верно выполненное задание оценивается в 2 балла. Набранные баллы за прохождение «Снежной лавины» записываются в карточку-счетчик.

Физкультминутка.

Учитель: Покорение горных вершин дело очень трудное. Все мы очень устали освобождаясь из – под снежного завала. Предлагаю сделать привал.

Упражнение «А ну, попробуй!»:

Учитель предлагает учащимся вытянуть вперед руку раскрытой ладонью вверх. Прижмите к ладони большой палец. Остальные пальцы должны быть развернуты. А теперь прижмите мизинец. Получилось? Не тут-то было!

Вторая высота “Ледовая трещина” (работа в группах)

Учитель: Пока мы отдыхали, на нашем пути образовалась ледовая трещина (слайд 6). Знаете ли вы как альпинисты поступают в такой ситуации?

Примерные ответы обучающихся: Альпинисты помогают друг другу… Чтобы поднять альпиниста из трещины они бросают ему верёвку… Работают в связке…. Одному выбраться очень трудно, нужна помощь друга…….

Учитель: Из ваших ответов следует, чтобы выбраться из ледовой трещины, нужно работать в команде. Вот и мы с вами следующее задание будем выполнять в группах.

Деятельность обучающихся: Класс делится на группы по 4 – 5 человек. Каждая группа получает карточку с заданиями, в решении которых допущены ошибки. Обучающиеся должны их найти и исправить. На выполнение задания отводится 5 – 7 минут.

Карточка 1

Найдите ошибки

  1. (121 1/2 +128 5/7 -81 5/4 )∙125 -1/3 = (11+32-81∙3)∙(-5) = -200∙(-5) = 1000
  2. p-q = (p 2/3 -q 2/3 )(p 2/3 +2p 1/3 q 1/3 + q 2/3 )

Карточка 2

Найдите ошибки

Карточка 3

Найдите ошибки

  1. (x 1/4 +1) (x 1/4 -1)(x 1/2 -1) = (x 1/4 -1) 2 (x 1/2 -1) = (x 1/2 -1)(x 1/2 -1) = (x 1/2 -1) 2
  2. (-625) -1/4 = 625 1/4 = 5

Карточка 4

Найдите ошибки

По окончании работы, обучающие сообщают учителю найденные и исправленные ими ошибки. Учитель проверяет правильность выполнения задания. За каждую исправленную ошибку начисляется 2 балла каждому члену группы. Набранные баллы за прохождение «Ледовой трещины» записываются в карточку-счетчик.

Третья высота “Камнепад” (индивидуальная дифференцированная работа).

Учитель: Не успели мы выбраться из ледовой трещины, как на нас обрушился камнепад (слайд 7). Нужно расчистить завал. Все камни разные: большие и маленькие. Кто – то будет носить маленькие камни, а кто – то большие. Каждый выберет себе задание по силам.

Деятельность обучающихся: Обучающиеся получают на выбор дифференцированные задания различного уровня сложности.

Те, кто выбрали «большие камни», получают задания повышенного уровня на индивидуальных карточках. По результатам выполнения этого задания они смогут заработать до 8 баллов. Каждое верно выполненное задание оценивается в 2 балла.

Вариант 1

Сократите дробь:

а) ; b) ; c) ; d)

Вариант 2

Сократите дробь:

По окончании работы, учитель проверяет правильность выполнения задания.

А те, кто выбрал «маленькие камни», выполняют задания базового уровня в виде теста (см. интерактивный тест на диске или в приложении 2 ). По результатам выполнения этого задания они могут заработать до 5 баллов.

Набранные баллы за прохождение «Камнепада» записываются в карточку-счетчик.

  1. Подведение итогов игры:

Учитель: Дорогие «альпинисты»! Давайте подсчитаем баллы, набранные вами по результатам трёх испытаний.

Деятельность обучающихся: Обучающиеся подсчитывают набранные ими баллы и записывают из в графе «Общий результат».

Учитель: Давайте подведём итоги (слайд 8). Если вы набрали 18-20 баллов, то вы покорили самую высокую вершину – молодцы (отметка отлично) ! Если вы набрали 15 – 17 баллов – покорили вторую высоту, хорошо (отметка хорошо) . Если 11 — 14 баллов –вы пока одолели только первую высоту, это тоже неплохо (отметка удовлетворительно) . Если вы набрали менее 11 баллов, то вы остались у подножия вершины. Но не огорчайтесь! Вам еще раз нужно пройти подготовку и повторить восхождение, ваша вершина у вас еще впереди!

Деятельность обучающихся: Обучающиеся согласно рейтингу выставляют себе отметку за урок в графе «Отметка» и сдают свою карточку – счётчик учителю.

Учитель (по своему усмотрению) переносит эти отметки в журнал.

  1. Домашнее задание: § 37; № 37.28; № 37.30аг; № 37.39*б

№ 37.28. Сократите дробь: а) ; б) ; в) ; г) .

№ 37.30аг. Упростите выражение: а) (1 + ) 2 — 2 ; г) + — ( + ) 2

№ 37.39*б. Упростите выражение: б) ( + )

  1. Рефлексия достижения цели:

Учитель: А теперь я попрошу вас продолжить одну или несколько фраз (слайд 9)

  • было интересно…
  • было трудно…
  • я выполнял задания…
  • у меня получилось …
  • урок дал мне для жизни…

Деятельность обучающихся: Обучающиеся по желанию продолжают одну или несколько фраз.

Учитель: Наш урок начался с песни, а закончить его я хочу стихами (слайд 10) . Читает стихотворение.

Почетно стремление сердца к вершине,

Приятно на землю смотреть свысока.

Взошел… Ты герой, победитель отныне

И, кажется, мир поднебесный в руках.

Вершина – пустыня, лишь мудрые камни

Спокойно взирают сияние звёзд…

Для них ты никто, заблудившийся странник,

Иллюзии пленник, сомнительных грёз…

Вершина дает ощущенье полета,

Свободу от вечной мирской суеты,

Открыты к иному познанью ворота…

Волнительна зрелость ее чистоты…

Приложение к плану-конспекту урока «Обобщение понятия о показателе степени»

Приложение 1.

Карточка – счётчик __________________________ (Фамилия, имя)

Приложение 2.

Тест

Выберите один из предложенных ответов.

  1. Упростите выражение: (1 – с 1/2 )(1 + с 1/2 )
  • (1 – с 1/2 ) 2
  • 1 – с
  • 1 – 2с 1/2 + с
  1. Упростите выражение: (1 – а 1/2 ) 2
  1. Разложите на множители: в 3/4 – в 1/2
  • в 3/4 (1 – в)
  • в 1/2 (в 1/4 – 1)
  • в 1/2 (в 1/2 – 1)
  • разложить нельзя
  1. Разложите на множители: а – в
  • ав (а 1/2 – в 1/2 )
  • (а – в 1/2 )(а + в 1/2 )
  • разложить нельзя
  • (а 1/2 – в 1/2 ) (а 1/2 +в 1/2 )

Оценивание теста: 1 правильный ответ – 2 балла; 2 правильных ответа – 3 балла; 3 правильных ответа – 4 балла; 4 правильных ответа – 5 баллов.


ГДЗ решебник по алгебре 11 класс самостоятельные работы Александрова

Здесь представлены ответы к самостоятельным работам по алгебре 11 класс Александрова. Вы можете смотреть и читать гдз онлайн (без скачивания) с компьютера и мобильных устройств.

Понятие корня n-ой степени из действительного числа 1 2
Функции у = корень n степени из х, их свойства и графики 1 2 3 4
Свойства корня n -ой степени 1 2 3 4 5
Преобразование выражений, содержащих радикалы 1 2 3 4 5
Обобщение понятия о показателе степени 1 2 3 4 5
Степенные функции, их свойства и графики. 1 2 3 4
Дифференцирование степенной функции с рациональным показателем 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Показательная функция, ее свойства и график 1 2 3 4 5 6
Показательные уравнения и неравенства 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Понятие логарифма 1 2 3
Функция у = logaX, ее свойства и график 1 2 3 4 5 6
Свойства логарифмов 1 2 3
Логарифмические уравнения 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Логарифмические неравенства 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Переход к новому основанию логарифма 1 2 3 4 5 6 7 8
Дифференцирование показательной и логарифмической функций 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Первообразная 1 2 3 4 5 6
Определенный интеграл 1 2 3 4 5 6 7 8
Статистическая обработка данных 1 2
Простейшие вероятностные задачи 1 2 3 4
Сочетания и размещения 1 2 3 4 5 6
Формула бинома Ньютона 1 2 3 4
Случайные события и их вероятности 1 2 3 4
Равносильность уравнений 1 2 3 4 5 6
Общие методы решения уравнений 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Решение неравенств с одной переменной 1 2 3 4 5 6 7 8
Уравнения и неравенства с двумя переменными 1 2 3 4 5 6 7 8
Системы уравнений 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Уравнения и неравенства с параметрами 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Итоговое повторение 1 2 3 4 5 6 7 8

ГДЗ решебник по алгебре 11 класс самостоятельные работы Александрова

Алгебра относиться к предметам, которые учат не только считать и выполнять примеры и задачи. Кроме этого, она помогает развивать логическое мышление. Решебник 11 класс, автора Александровой содержит все необходимые учебные темы, такие как степени и корни, логарифмические функции, неравенства и уравнения, интегралы, элементы, имеющие отношение к математической статистике, повторение пройденного и ответы. В данном ГДЗ, максимально собрано все, что поможет повторить школьную программу по алгебре, научится решать самому задачи, улучшить свои познания этого сложного предмета. Также, потренировать существующие навыки и успешно применить их в будущем на практике.

Понятие корня n-ой степени из действительного числа 12
Функции у = корень n степени из х, их свойства и графики1234
Свойства корня n -ой степени12345
Преобразование выражений, содержащих радикалы 12345
Обобщение понятия о показателе степени 12345
Степенные функции, их свойства и графики.1234
Дифференцирование степенной функции с рациональным показателем 1234567891011
Показательная функция, ее свойства и график123456
Показательные уравнения и неравенства123456789101112
Понятие логарифма123
Функция у = logaX, ее свойства и график123456
Свойства логарифмов123
Логарифмические уравнения123456789
Логарифмические неравенства1234567891011
Переход к новому основанию логарифма12345678
Дифференцирование показательной и логарифмической функций12345678910
Первообразная123456
Определенный интеграл12345678
Статистическая обработка данных12
Простейшие вероятностные задачи1234
Сочетания и размещения123456
Формула бинома Ньютона1234
Случайные события и их вероятности1234
Равносильность уравнений123456
Общие методы решения уравнений12345678910
Решение неравенств с одной переменной12345678
Уравнения и неравенства с двумя переменными12345678
Системы уравнений1234567891011
Уравнения и неравенства с параметрами12345678910111213
Итоговое повторение12345678

Загрузка. ..

Открытый урок «Обобщение понятия степени»

Цель урока:

  1. Обобщение и систематизация знаний, умений, навыков.
  2. Актуализация опорных знаний в условиях сдачи ЕГЭ.
  3. Контроль и самоконтроль знаний, умений, навыков с помощью тестов.
  4. Развитие умения сравнивать, обобщать.

План урока.

  1. Формулировка цели урока (1 мин)
  2. Устная работа “Верю – не верю!” (6 мин)
  3. Решение серии примеров на сравнение выражений (12 мин)
  4. Софизм (4–5 мин)
  5. Решение примера на упрощение выражения (из ЕГЭ) с обсуждением наиболее “тонких” мест (15 мин)
  6. Самостоятельная работа на основе демонстрационного варианта ЕГЭ (гр.А) (5 мин)
  7. Задание на дом (на листочках)

Оборудование: проектор.

1. Друзья! Перед вашими глазами часть высказывания английского математика Джеймса Джозефа Сильвестра (1814–1897) о математике “Математика – это музыка разума”. Не правда ли, как романтично?

Вопрос. А как вы думаете, как определил он музыку?

“Музыка – это математика чувств”.

К чувствам мы можем отнести различного рода переживания. В этом году одной из причин ваших и моих переживаний является успешная сдача ЕГЭ и, как следствие, поступление в ВУЗ. Очень хочется, чтобы преобладали положительные эмоции. Должна быть уверенность, а это наши знания и навыки. Сегодня на уроке мы продолжим подготовку к ЕГЭ, повторяя и обобщая понятие степени.

Итак, тема сегодняшнего урока – “Обобщение понятия степени”.

Основные свойства и определения мы уже с вами повторили, и я предлагаю вам сыграть в игру “Верю – не верю!”

Ваша задача быстро (полагаясь на свою интуицию, она поможет при решении гр. А) ответить на вопрос утвердительно или отрицательно, а затем пояснить свой ответ.

Приложение 2

2. Устная работа “Верю – не верю!”

1. Имеют смысл выражения:

а) б) в) с) д)

2. (да)

3. Уравнение имеет три корня

(нет, корень один: 7, т.к.)

4. Наименьший корень уравнения 1

(нет) ()

3. Решение серии примеров на сравнение дробей. Теперь я предлагаю обратить ваше внимание на серию примеров на сравнение степеней.

Вопрос. Какие способы сравнения степеней вы знаете?

Сравнение показателей при одинаковых основаниях, сравнение оснований при одинаковых показателях степеней.

1. Сравните и .

2. Сравните числа и .

Как видите, случай более сложный.

Вопрос. Какими числами являются показатели степеней?

Иррациональными.

Давайте найдём рациональные числа, близкие к данным иррациональным и попытаемся сравнить степени с рациональным показателем.

Т.к. основание степени больше 1, то по свойству степеней имеем

Сравним теперь и .

Для этого достаточно сравнить и 2 или и .

Но , а .

Теперь получаем цепочку неравенств :

3. Сравните числа и .

Воспользуемся следующим свойством радикалов: если , то , где .

Получим

Сравним и .

Оценим их отношение:

Таким образом, .

Замечания.

1) В данном случае степени и невелики, а именно

, и их нетрудно вычислить “вручную”, т.е. без калькулятора. Можно и без вычислений оценить степени:

Поэтому,

2) Если же степени действительно не поддаются вычислению (даже на калькуляторе), например, и , то можно использовать неравенство:

верно при любых , и поступить так:

при всех натуральных .

Можно доказать самостоятельно

.

4. Софизм. Что ж, давайте переключимся на иную работу. Найдём ошибку в следующих рассуждениях, опровергнув утверждение:

“Единица в бесконечно большой степени равна произвольному числу”.

Как известно, единица, возведённая в любую степень, в том числе и в нулевую, равна единице, т.е., где а – любое число. Посмотрим, однако, всегда ли это так.

Пусть х – произвольное число. Простым умножением легко убедиться, что выражение (1) является тождеством при любых х. Тогда справедливо и тождество, которое следует из (1), а именно . (2)

Для произвольного положительного числа а существует .

Из равенства (2) вытекает равенство

,

или, что то же самое,

. (3)

Полагая в тождестве (3) х=3, получаем

, (4)

а принимая во внимание, что , получим, что .

Итак, степень единицы, даже когда показатель степени равен бесконечности, равен произвольному числу, но отнюдь не единице, как того требуют правила алгебры.

Решение.

Ошибка в следующем.

Равенство (1) действительно справедливо при всех значениях х и потому является тождеством. Полученное из него равенство (2) справедливо уже не для всех значений х. Так, х не может быть равен 2. так как знаменатели в левой и правой частях (2) обращаются при этом в нуль, и х не может быть равен 3, так как знаменатель в правой части (2) также обращается в нуль. При х = 3 равенство (2) принимает вид , который не имеет смысла.

Соотношение же (4) получено из (3) именно при х = 3, что и привело к нелепому результату.

Ну, а теперь перенесёмся в 2004 год, когда в задании С3 был предложен следующий номер.

5. Решение примера (из ЕГЭ).

Решение.

Вопрос. При каких значениях х данное выражение имеет смысл?

Так как х – целое положительное число, то N,

 при .

Проверим, не обращается ли в 0 знаменатель при х = 7.

 при х = 7. Следовательно, x > 7.

Преобразуем выражение:

Пусть .

При положительна и возрастает

убывает

возрастает

возрастает

Найдём, при каких значениях х

Так как f(x) –возрастающая функция, то .

Найдём, какое из этих значений ближе лежит к 0,7, для чего сравним

 и

Так как , то значение f(26) лежит ближе к 0,7.

6. Самостоятельная работа с последующей проверкой на доске.

А теперь самое время потренироваться: перед вами примеры из демонстрационного варианта, гр.А 2009 года.

Вы их видите как на доске, так и на листочках. Ваша задача – быстро решить и заполнить таблицы с ответами. Соответствие букв и чисел перед вами. Правильно вычислив или упростив выражения в таблице, вы прочтёте то, что необходимо вам при сдаче ЕГЭ.

Приложение 1.

1 вариант – удача, знания,

2 вариант – уверенность.

Итак, сегодня на уроке мы увидели насколько широко понятие степени используется при сдаче ЕГЭ. Закрепить полученные навыки вы сможете, выполнив домашнюю работу.

7. Домашняя работа.

Обратите внимание на домашнюю работу, она поможет вам закрепить материал, который мы решали на уроке.

Домашняя работа по теме: “Обобщение понятия степени”, 11-й класс.

1. Какое из чисел больше или 50 !

2. Вычислить

3. Выбрать наименьшее из чисел

4. Пусть . Найти сумму .

5. При каком значение выражения

ближе всего к 73 ?

6. При каком целом положительном х значение выражения

ближе всего к (–0,7) ?

Математическое соревнование в 11 классе по теме «Степень с рациональным показателем и ее свойства» | Внеклассные мероприятия по математике

Математическое соревнование в 11 классе по теме «Степень с рациональным показателем и ее свойства»