Общая касательная: Что это — касательная к окружности? Свойства касательной к окружности. Общая касательная к двум окружностям

Содержание

Что это — касательная к окружности? Свойства касательной к окружности. Общая касательная к двум окружностям

Секущие, касательные — все это сотни раз можно было слышать на уроках геометрии. Но выпуск из школы позади, проходят года, и все эти знания забываются. Что следует вспомнить?

Сущность

Термин «касательная к окружности» знаком, наверное, всем. Но вряд ли у всех получится быстро сформулировать его определение. Между тем касательной называют такую прямую, лежащую в одной плоскости с окружностью, которая пересекает ее только в одной точке. Их может существовать огромное множество, но все они обладают одинаковыми свойствами, о которых речь пойдет ниже. Как нетрудно догадаться, точкой касания называют то место, где окружность и прямая пересекаются. В каждом конкретном случае она одна, если же их больше, то это будет уже секущая.

История открытия и изучения

Понятие касательной появилось еще в древности. Построение этих прямых сначала к окружности, а потом к эллипсам, параболам и гиперболам с помощью линейки и циркуля проводилось еще на начальных этапах развития геометрии. Разумеется, история не сохранила имя первооткрывателя, но очевидно, что еще в то время людям были вполне известны свойства касательной к окружности.

В Новое время интерес к этому явлению разгорелся вновь — начался новый виток изучения этого понятия в сочетании с открытием новых кривых. Так, Галилей ввел понятие циклоиды, а Ферма и Декарт построили к ней касательную. Что же касается окружностей, кажется, еще для древних не осталось секретов в этой области.

Свойства

Радиус, проведенный в точку пересечения, будет перпендикулярен прямой. Это основное, но не единственное свойство, которое имеет касательная к окружности. Еще одна важная особенность включает в себя уже две прямые. Так, через одну точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные, при этом их отрезки будут равны. Есть и еще одна теорема по этой теме, однако ее редко проходят в рамках стандартного школьного курса, хотя для решения некоторых задач она крайне удобна. Звучит она следующим образом. Из одной точки, расположенной вне окружности, проведены касательная и секущая к ней. Образуются отрезки AB, AC и AD. А — пересечение прямых, B точка касания, C и D — пересечения. В этом случае будет справедливым следующее равенство: длина касательной к окружности, возведенная в квадрат, будет равна произведению отрезков AC и AD.

Из вышесказанного есть важное следствие. Для каждой точки окружности можно построить касательную, но при этом только одну. Доказательство этого достаточно просто: теоретически опустив на нее перпендикуляр из радиуса, выясняем, что образованный треугольник существовать не может. И это значит, что касательная — единственная.

Построение

Среди прочих задач по геометрии есть особая категория, как правило, не пользующаяся любовью учеников и студентов. Для решения заданий из этой категории нужны лишь циркуль и линейка. Это задачи на построение. Есть они и на построение касательной.

Итак, даны окружность и точка, лежащая вне ее границ. И необходимо провести через них касательную. Как же это сделать? Прежде всего, нужно провести отрезок между центром окружности О и заданной точкой. Затем с помощью циркуля следует разделить его пополам. Чтобы это сделать, необходимо задать радиус — чуть более половины расстояния между центром изначальной окружности и данной точкой. После этого нужно построить две пересекающиеся дуги. Причем радиус у циркуля менять не надо, а центром каждой части окружности будут изначальная точка и О соответственно. Места пересечений дуг нужно соединить, что разделит отрезок пополам. Задать на циркуле радиус, равный этому расстоянию. Далее с центром в точке пересечения построить еще одну окружность. На ней будет лежать как изначальная точка, так и О. При этом будет еще два пересечения с данной в задаче окружностью. Именно они и будут точками касания для изначально заданной точки.

Интересное

Именно построение касательных к окружности привело к рождению дифференциального исчисления. Первый труд по этой теме был опубликован известным немецким математиком Лейбницем. Он предусматривал возможность нахождения максимумов, минимумов и касательных вне зависимости от дробных и иррациональных величин. Что ж, теперь оно используется и для многих других вычислений.

Кроме того, касательная к окружности связана с геометрическим смыслом тангенса. Именно от этого и происходит его название. В переводе с латыни tangens — «касательная». Таким образом, это понятие связано не только с геометрией и дифференциальным исчислением, но и с тригонометрией.

Две окружности

Не всегда касательная затрагивет лишь одну фигуру. Если к одной окружности можно провести огромное множество прямых, то почему же нельзя наоборот? Можно. Вот только задача в этом случае серьезно усложняется, ведь касательная к двум окружностям может проходить не через любые точки, а взаимное расположение всех этих фигур может быть очень разным.

Типы и разновидности

Когда речь идет о двух окружностях и одной или нескольких прямых, то даже если известно, что это касательные, не сразу становится ясно, как все эти фигуры расположены по отношению друг к другу. Исходя из этого, различают несколько разновидностей. Так, окружности могут иметь одну или две общие точки или не иметь их вовсе. В первом случае они будут пересекаться, а во втором — касаться. И вот тут различают две разновидности. Если одна окружность как бы вложена во вторую, то касание называют внутренним, если нет — то внешним. Понять взаимное расположение фигур можно не только, исходя из чертежа, но и располагая информацией о сумме их радиусов и расстоянии между их центрами. Если две эти величины равны, то окружности касаются. Если первая больше — пересекаются, а если меньше — то не имеют общих точек.

Так же и с прямыми. Для любых двух окружностей, не имеющих общих точек, можно
построить четыре касательные. Две из них будут пересекаться между фигурами, они называются внутренними. Пара других — внешние.

Если речь идет об окружностях, которые имеют одну общую точку, то задача серьезно упрощается. Дело в том, что при любом взаимном расположении в этом случае касательная у них будет только одна. И проходить она будет через точку их пересечения. Так что построение трудности не вызовет.

Если же фигуры имеют две точки пересечения, то для них может быть построена прямая, касательная к окружности как одной, так и второй, но только внешняя. Решение этой проблемы аналогично тому, что будет рассмотрено далее.

Решение задач

Как внутренняя, так и внешняя касательная к двум окружностям, в построении не так уж просты, хоть эта проблема и решаема. Дело в том, что для этого используется вспомогательная фигура, так что додуматься до такого способа самостоятельно довольно проблематично. Итак, даны две окружности с разным радиусом и центрами О1 и О2. Для них нужно построить две пары касательных.

Прежде всего, около центра большей окружности нужно построить вспомогательную. При этом на циркуле должна быть установлена разница между радиусами двух изначальных фигур. Из центра меньшей окружности строятся касательные к вспомогательной. После этого из О1 и О2 проводятся перепендикуляры к этим прямым до пересечения с изначальными фигурами. Как следует из основного свойства касательной, искомые точки на обеих окружностях найдены. Задача решена, по крайнем мере, ее первая часть.

Для того чтобы построить внутренние касательные, придется решить практически аналогичную задачу. Снова понадобится вспомогательная фигура, однако на этот раз ее радиус будет равен сумме изначальных. К ней строятся касательные из центра одной из данных окружностей. Дальнейший ход решения можно понять из предыдущего примера.

Касательная к окружности или даже двум и больше — не такая уж сложная задача. Конечно, математики давно перестали решать подобные проблемы вручную и доверяют вычисления специальным программам. Но не стоит думать, что теперь необязательно уметь делать это самостоятельно, ведь для правильного формулирования задания для компьютера нужно многое сделать и понять. К сожалению, есть опасения, что после окончательного перехода на тестовую форму контроля знаний задачи на построение будут вызывать у учеников все больше трудностей.

Что же касается нахождения общих касательных для большего количества окружностей, это не всегда возможно, даже если они лежат в одной плоскости. Но в некоторых случаях можно найти такую прямую.

Примеры из жизни

Общая касательная к двум окружностям нередко встречается и на практике, хоть это и не всегда заметно. Конвейеры, блочные системы, передаточные ремни шкивов, натяжение нити в швейной машинке, да даже просто велосипедная цепь — все это примеры из жизни. Так что не стоит думать, что геометрические задачи остаются лишь в теории: в инженерном деле, физике, строительстве и многих других областях они находят практическое применение.

Свойства касательной

Относительное положение прямой и окружности


Прямая относительно окружности может находиться в следующих трех положениях:

  1. Расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса. В этом случае все точки прямой лежат вне круга.

  2. Расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса. MN.

    Допустим противное, т.е. предположим, что перпендикуляром, опущенным из O на MN, будет не OA , а какая-нибудь другая прямая, например, OB.

    Возьмем BС = AB и проведем OС.

    Тогда OA и OС будут наклонные, одинаково удаленные от перпендикуляра OB, и следовательно, OС = OA.

    Из этого следует, что окружность, учитывая наше предположение, будет иметь с прямой MN две общие точки: A  и  С , т.е. MN будет не касательная, а секущая, что противоречит условию.

    Следствие. Через всякую данную на окружности точку можно провести касательную к этой окружности и притом только одну, так как через эту точку можно провести перпендикуляр, и притом только один, к радиусу, проведенному в нее.

    Теорема. Касательная, параллельная хорде, делит в точке касания дугу, стягиваемую хордой, пополам.

    Пусть прямая AB (рис.) касается окружности в точке M и параллельна хорде СD.

    Требуется доказать, что ÈCM = ÈMD.

    Проведя через точку касания диаметр ME, получаем: EM ^ AB, и следовательно, EM ^ СВ.

    Поэтому СM=MD.

    Задача. Через данную точку провести касательную к данной окружности.

    Если данная точка находится на окружности, то проводят через нее радиус и через конец радиуса перпендикулярную прямую. Эта прямая будет искомой касательной.

    Рассмотрим тот случай, когда точка дана вне круга.

    Пусть требуется (рис.) провести к окружности с центром O касательную через точку A.

    Для этого из точки A, как из центра, описываем дугу радиусом AO, а из точки O, как центра, пересекаем эту дугу в точках B и С раствором циркуля, равным диаметру данного круга.

    Проведя затем хорды OB и OС, соединим точку A с точками D и E, в которых эти хорды пересекаются с данной окружностью.

    Прямые AD и AE — касательные к окружности O.

    Действительно, из построения видно, что тр-ки AOB и AOС равнобедренные (AO = AB =AС ) с основаниями OB и OС, равными диаметру круга O.

    Так как OD и OE — радиусы, то D — середина OB, а E — середина OС, значит AD и AE — медианы, проведенные к основаниям равнобедренных тр-ков, и потому перпендикулярны к этим основаниям. OD, а прямая, перпендикулярная к радиусу в его конце, лежащем на окружности — касательная.

    Задача. К двум окружностям O и O1 провести общую касательную (рис.).

    Анализ. Предположим, что задача решена.

    Пусть AB будет общая касательная, A и B — точки касания.

    Очевидно, что если мы найдем одну из этих точек, например, A, то затем легко найдем и другую.

    Проведем радиусы OA и O1B. Эти радиусы, будучи перпендикулярны к общей касательной, параллельны между собой.

    Поэтому, если из O1 проведем O1С || BA, то тр-к OСO1 будет прямоугольный при вершине С.

    Вследствие этого, если опишем из O, как центра, радиусом OС окружность, то она будет касаться прямой O

    1С в точке С.

    Радиус этой вспомогательной окружности известен: он равен OA – СA= OA — O1B, т.е. он равен разности радиусов данных окружностей.

    Построение. Из центра O описываем окружность радиусом, равным разности данных радиусов.

    Из O1 проводим к этой окружности касательную O1С (способом, указанным в предыдущей задаче).

    Через точку касания С проводим радиус OС и продолжаем его до встречи с данной окружностью в точке A. Наконец из A проводим AB параллельно СO1.

    Совершенно таким же способом мы можем построить другую общую касательную A1B1 (рис.). Прямые AB и A1B1 называют внешними общими касательными.

    Можно еще провести две внутренние касательные следующим образом:

    Анализ. Предположим, что задача решена (рис.). Пусть AB — искомая касательная.

    Проведем радиусы OA и O1B в точки касания A и B. Так как эти радиусы оба перпендикулярны к общей касательной, то они параллельны между собой.

    Поэтому, если из O1 проведем O1С || BA и продолжим OA до точки С, то OС будет перпендикуляр к O1С.

    Вследствие этого окружность, описанная радиусом OС из точки O, как центра, будет касаться прямой O1С в точке С.

    Радиус этой вспомогательной окружности известен: он равен OA+AС = OA+O1B, т.е. он равен сумме радиусов данных окружностей.

    Построение. Из O как центра, описываем окружность радиусом, равным сумме данных радиусов.

    Из O1 проводим к этой окружности касательную O1С.

    Точку касания С соединяем с O.

    Наконец через точку A, в которой OС пересекается с данной окружностью, проводим AB = O

    1С.

    Подобным же способом можем построить другую внутреннюю касательную A1B1.

    Общее определение касательной

    Пусть к окружности с центром (рис.) проведены через точку A касательная AT и какая-нибудь секущая AM.

    Станем вращать эту секущую вокруг точки A так, чтобы другая точка пересечения B все ближе и ближе придвигалась к A.

    Тогда перпендикуляр OD, опущенный из центра на секущую, будет все больше и больше приближаться к радиусу OA, и угол AOD может стать меньше всякого малого угла.

    Угол MAT, образованный секущей и касательной, равен углу AOD (вследствие перпендикулярности их сторон).

    Поэтому при неограниченном приближении точки B к A угол MAT также может стать как угодно мал.

    Это выражают иными словами так:

    касательная есть предельное положение, к которому стремится секущая, проведенная через точку касания, когда вторая точка пересечения неограниченно приближается к точке касания.

    Это свойство принимают за определение касательной, когда речь идет о какой угодно кривой.

    Так, касательной к кривой AB (рис.) называется предельное положение MT, к которому стремится секущая MN, когда точка пересечения P неограниченно приближается к M.

    Заметим,что определяемая таким образом касательная может иметь с кривой более одной общей точки (как это видно на рис).

    Окружность и касательная — урок. Геометрия, 8 класс.

    В плоскости прямая и окружность могут пересекаться или не пересекаться. При пересечении могут иметь одну или две общие точки.

     

    1. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса, то у прямой и окружности общих точек нет.

     

     

    2. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то у прямой и окружности две общие точки.

     

     

    В этом случае прямую называют секущей окружности.

    Если прямая имеет две общие точки с окружностью, то она называется секущей.

    3. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то у прямой и окружности одна общая точка.

     

     

    В этом случая прямую называют касательной к окружности.

    Касательной к окружности называется прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

    Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

     

    Предположим, что радиус \(OA\) не перпендикулярен к прямой, но является наклонной. Тогда из точки \(O\) можно провести перпендикуляр к прямой, который будет короче радиуса. А это означает, что расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, и у прямой и окружности должны быть две общие точки.  Но это противоречит данной информации, наше предположение неверно.

    Если из точки к окружности проведены две касательные, то
    а) длины отрезков касательных от этой точки до точки касания равны,

    б) прямая, проходящая через центр окружности и эту точку, делит угол между касательными пополам.

     

    Пусть \(AB\) и \(AC\) — касательные к окружности с центром \(O\).

    Требуется доказать, что \(AB = AC\) и \(OA\) является биссектрисой угла \(A\).

     

    Треугольники \(OBA\) и \(OCA\) — прямоугольные, так как касательные перпендикулярны к радиусам в точках \(B\) и \(C\). Сторона \(OA\) — общая. Катеты \(OB\) и \(OC\) равны как радиусы одной и той же окружности. Треугольники равны по гипотенузе и катету, отсюда равны и катеты \(AB\) и \(AC\), и углы \(BAO\) и \(CAO\), то есть \(OA\) делит угол пополам.

    Общая касательная функция Ru Python

    У меня есть интересная проблема в Python, где у меня есть две функции (произвольные), и я бы хотел найти общую касательную между ними и точки на оси x, где общая касательная касается каждой функции. 2 search). Я понимаю, что некоторые библиотеки оптимизации могут помочь, но я беспокоюсь, что они будут оттачивать одно решение и игнорировать остальные.

Кто-нибудь думает о лучшем способе сделать это? Мой «код» находится здесь:

 def common_tangent(T): x_points = 600 x_start = 0.0001 x_end = 0.9999 M = zeros(((x_points+1),5) ) for h in range(M.shape[0]): M[h,0] = x_start + ((x_end-x_start)/x_points)*(h) # populate matrix """ Some function 1 """ M[h,1] = T*M[h,0]**2 + 56 + log(M[h,0]) """ Some function 2 """ M[h,2] = 5*T*M[h,0]**3 + T*M[h,0]**2 - log(M[h,0]) der1 = ediff1d(M[:,1])*x_points # derivative of the first function der2 = ediff1d(M[:,2])*x_points # derivative of the second function D = zeros(((x_points),9) ) for h in range(D.shape[0]): D[h,0] = (M[h,0]+M[h+1,0])/2 # for the der matric, find the point between D[h,1] = der1[h] # slope m_1 at this point D[h,2] = der2[h] # slope m_2 at this point D[h,3] = (M[h,1]+M[h+1,1])/2# average y_1 here D[h,4] = (M[h,2]+M[h+1,2])/2# average y_2 here D[h,5] = D[h,3] - D[h,1]*D[h,0] # y-intercept 1 D[h,6] = D[h,4] - D[h,2]*D[h,0] # y-intercept 2 monitor_distance = 5000 # some starting number for h in range(D.
shape[0]): for w in range(D.shape[0]): distance = sqrt( #in "slope intercept space" find distance (D[w,6] - D[h,5])**2 + (D[w,2] - D[h,1])**2 ) if distance < monitor_distance: # do until the closest is found monitor_distance = distance fraction1 = D[h,0] fraction2 = D[w,0] slope_02 = D[w,2] slope_01 = D[h,1] intercept_01 = D[h,5] intercept_02 = D[w,6] return (fraction1, fraction2)

Это имеет множество применений в материаловедении, в поиске общих касательных между множеством функций Гибба для расчета фазовых диаграмм. Было бы неплохо получить надежную функцию для всех, чтобы использовать …

Вы можете пройти через точки кривой A, и в каждой точке нарисуйте касательную линию и подсчитайте, сколько раз она пересекает кривую B. Если количество переходов перепрыгивает вверх или вниз на два, вы знаете, что вы просто прошли взаимную касательный. Это все еще довольно грубо, но я думаю, что это будет несколько быстрее, чем ваше первоначальное предложение, просто потому, что вам не нужно очень много точек выборки на кривой B, чтобы вычислить количество раз, когда кривая пересекает данную касательную линию.

(Просто посчитайте, сколько раз кривые B переключаются между тем, чтобы быть выше или ниже линии.)

(Конечно, если у вас слишком мало образцов, вы можете пропустить пару пересечений рядом с двойным касанием, но все в порядке, вы все равно будете близки к двойному касанию. Вы можете и должны добавить отдельную оценку – алгоритм уточнения, когда вы очень близки к истинному двойному касанию. Вы можете использовать что-то аналогичное методу Ньютона, рекурсивные биссекции и т. д.),

Если вы более серьезны, я нашел это более сложное обсуждение .

Русско-казахский словарь

` 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - = Backspace Tab q w e r t y u i o p [ ] \ Delete CapsLock a s d f g h j k l ; ‘ Enter Shift z x c v b n m , . /

МФА:

син.

Основная словарная статья:

Нашли ошибку? Выделите ее мышью!

Короткая ссылка:

Слово/словосочетание не найдено.

В словаре имеются схожие по написанию слова:

Вы можете добавить слово/фразу в словарь.

Не нашли перевода? Напишите Ваш вопрос в форму ВКонтакте, Вам, скорее всего, помогут:

Правила:

  1. Ваш вопрос пишите в самом верхнем поле Ваш комментарий…, выше синей кнопки Отправить. Не задавайте свой вопрос внутри вопросов, созданных другими.
  2. Ваш ответ пишите в поле, кликнув по ссылке Комментировать или в поле Написать комментарий…, ниже вопроса.
  3. Размещайте только небольшие тексты (в пределах одного предложения).
  4. Не размещайте переводы, выполненные системами машинного перевода (Google-переводчик и др.)
  5. Не засоряйте форум такими сообщениями, как «привет», «что это» и своими мыслями не требующими перевода.
  6. Не пишите отзывы о качестве словаря.
  7. Рекламные сообщения будут удалены. Авторы получают бан.

Задачи на окружность

Задачи на окружность

Задачи на окружность

к содержанию задачника

  1. Окружность радиуса 2 внешне касается другой окружности в точке А. Общая касательная двух окружностей, проведенная через точку А, пересекается с другой их общей касательной в точке В. Найдите радиус другой окружности, если длина отрезка АВ равна 4. ответ: 8
  2. В окружности перпендикулярно диаметру АВ проведена хорда CD. Точка их пересечения делит диаметр на отрезки 18 и 32. Найдите длину хорды CD. ответ: 48
  3. Внутри окружности, радиус которой равен 13, дана точка М, которая находится от центра на расстоянии 5. Через точку М проведена хорда АВ, равна 25. Найдите произведение длин отрезков, на которые хорда АВ делится точкой М. ответ: 144
  4. Две окружности касаются внешним образом. К первой из них проведена касательная, которая проходит через центр другой окружности. При этом расстояние от точки касания до центра другой окружности равно диаметру другой окружности. Найдите отношение площадей соответствующих кругов. ответ: 9:4
  5. В угол вписаны две окружности, которые касаются внешним образом. Найдите величину угла, если радиусы окружностей равны 2 и 4. ответ:
  6. В равнобедренный треугольник вписаны одна над другой две окружности радиусов 3 и 1, которые касаются одна другой. Найдите угол при основании  треугольника. ответ: 60o
  7. Две окружности радиусов 3 и 2 касаются внутренним образом. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух первых окружностей и их линии центров. ответ: 24/25
  8. Из точки А, не лежащей на окружности, проведены к ней касательная и секущая. Секущая пересекает окружность в двух точка C и D (AC > AD). Найдите радиус окружности, если АС = 32, расстояние от точки А до точки касания равно 16, а от центра окружности до секущей — 5. ответ: 13
  9. Хорда окружности равна 5. Через один конец хорды проведена касательная к окружности, а через другой — секущая, параллельная касательной. Найдите радиус окружности, если внутренний отрезок секущей равен 6. ответ: 25/8
  10. В окружности радиуса проведена хорда длиной . Через один конец хорды проведена касательная к этой окружности, а через другой — секущая, параллельная касательной. Найдите расстояние между касательной и секущей. ответ: a/8
  11. Через концы дуги окружности, которая содержит 120о, проведены касательные, а в фигуру, ограниченную этими касательными и данной дугой, вписана окружность. Найдите длину этой окружности, если радиус данной дуги равен R. ответ:
  12. Две окружности радиусов 4 и 2 касаются внешне в точке М. На окружности меньшего радиуса взята точка T, диаметрально противоположная точке М, и в этой точке построена касательная. Найдите радиус окружности, которая касается двух данных окружностей и касательной. ответ: 6; 3
  13. В равносторонний треугольник вписана окружность. Этой окружности и сторон треугольника касаются три меньшие окружности. Найдите радиус большей окружности, если радиус меньших окружностей равен 3. ответ: 9
  14. Внутри окружности радиуса 15/2 взята точка Р на расстоянии 13/2 от центра. Через точку Р проведена хорда длиной 9. Найдите длины отрезков, на которые точка Р делит хорду. ответ: 7; 2
  15. Внутри окружности дана точка на расстоянии 15 от центра: через эту точку проведена хорда, которая делится ею на две части длиной 7 и 25. Найдите радиус окружности. ответ: 20
  16. В круговой сектор с центральным углом 60о вписана окружность. Найдите радиус вписанной окружности, если радиус данного сектора равен R. ответ: R/3
  17. Две окружности радиусов 16 и 9 касаются внешне в точке С. К окружностям проведена общая внешняя касательная АВ, где А и В — точки касания. Общая касательная, проведенная через точку С, пересекает АВ в точке Т. Найдите длину отрезка СТ. ответ: 12
  18. В круговой сектор, дуга которого содержит 60о, вписан круг. Найдите отношение площади этого круга к площади сектора. ответ: 2/3
  19. Найдите площадь круга, который вписан в сектор круга радиуса R с хордой . ответ:
  20. Около квадрата, сторона которого , описана окружность. В один из сегментов, которые при этом образовались, вписан квадрат. Найдите сторону этого квадрата. ответ:
  21. Найдите радиус окружности, вписанной в сектор, радиус которого равен , если его дуга содержит градусов. ответ:
  22. К двум окружностям радиусов 4 и 1 проведены внешняя касательная АВ и внутренняя касательная CD (A, B, C и D — точки касания). Найдите длину отрезка CD, если AB равно 8. ответ:
  23. Из точки О к окружности проведены касательные ОА и ОВ (А и В — точки касания). Точка М окружности находится от прямых ОА и ОВ на расстоянии и соответственно. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ. ответ:
  24. В данный угол вписаны три окружности, средняя из которых касается двух других окружностей радиусов и . Найдите радиус средней окружности. ответ:
  25. Окружности радиусов 4 и 8 с центрами в точках О и Р пересекаются в точках С и D. Прямая АВ — их общая внешняя касательная. Найдите площадь четырехугольника АОРВ, если известно, что касательные к окружностям, проведенные в точке С, взаимно перпендикулярны. ответ: 48
  26. Две окружности радиуса R с центрами в точках О и Р касаются внешним образом. Прямая пересекает эти окружности в точках A, B, C и D так, что AB = BC = CD. Найдите площадь четырехугольника OADP. ответ:
  27. Две окружности радиусов R и r касаются внешне. К ним проведена общая внешняя касательная. Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются точки касания. ответ:
  28. В окружность вписан равнобедренный треугольник АВС  с основанием AB = и острым углом при вершине . Другая окружность касается первой и основания треугольника в ее середине К и расположена вне треугольника. Найдите радиус другой окружности. ответ:
  29. Две окружности внешне касаются в точке А, прямая ВС — их общая внешняя касательная. Найдите площадь треугольника АВС, если АВ равно , АС равно . ответ:
  30. Две равные окружности внешне касаются одна другой и третьей окружности, радиус которой равен 4. Отрезок, который соединяет точки касания двух равных окружностей с третьей, равен 6. Найдите радиусы равных окружностей. ответ: 12

 

Метки задачи, окружность. Смотреть запись.

© 2013-2022 Репетитор по скайпу Использование материалов согласовывать с администратором сайта

Вопросы»Даны функции f(x) и g(x) Напишите уравнение общей касательной к графикам функций|Поступи в ВУЗ

Уравнение касательной — это уравнение прямой и имеет вид y=kx+b

Общая касательная пересекается с каждым графиком в одной точке. Тогда для первого графика точку пересечения с касательной можно найти из уравнения -x2-2x-3 = kx+b, для второго графика из уравнения x2+4x+6 = kx+b

 1) -x2-2x-3 = kx+b

     x2+2x+3+kx+b = 0

     x2+(2+k)x+(3+b) = 0

Касательная имеет с графиком только одну общую точку, следовательно, корень уравнения должен быть один, а это возможно, когда дискриминант равен нулю.

 D = (2+k)2-4(3+b) = 0

 

2) x2+4x+6 = kx+b

     x2+4x+6 = kx+b

    x2+4x+6-kx-b = 0

   x2+(4-k)x+(6-b) = 0

Приравнваем дискриминант к нулю:

D = (4-k)2-4(6-b) = 0

Так как касательная общая, значит, дискриминанты обоих уравнений должны быть равны нулю вместе. Решаем систему уравнений:

{ (2+k)2-4(3+b) = 0;

{ (4-k)2-4(6-b) = 0.

{ 4+4k+k2-12-4b = 0;

{ 16-8k+k2-24+4b = 0.

{ k2+4k-8-4b = 0;

{ k2-8k-8+4b = 0.

Вычтем почленно из первого уравнения второе:

12k-8b = 0

b = 3k/2 — подставим в первое уравнение:

k2 + 4k — 8 — 4·3k/2 = 0

k2 + 4k — 8 — 6k = 0

k2 — 2k — 8 = 0

k1 = (2-√((-2)2+4·8))/2 = -2

k2 = (2+√((-2)2+4·8))/2 = 4

b1 = -2·3/2 = -3

b2 = 4·3/2 = 6 

Решение состоит из двух пар чисел (k=-2; b=-3) и (k=4; b=6).

Это означает, что графики имеют две общие касательные, уравнения которых:

y = -2x — 3    и       у = 4х + 6 

 

Общий тангенс: определение и построение — видео и расшифровка урока

n = 0, 1 или 2

n = 0

Как возможно, чтобы две окружности не имели общих касательных? Что ж, если одна окружность полностью находится внутри другой, все возможные касательные к меньшей окружности проходят через две точки большей окружности. Поскольку касательная к большему кругу может проходить только через одну точку большего круга, это означает, что не существует ни одной линии, касающейся обеих окружностей.

Глядя на диаграмму, мы видим, что b > a и d < b a .

Поскольку касательных нет, то и строить касательные не нужно.

n = 1

Предположим, что меньший круг может просто коснуться большего круга в одной точке. В этом случае будет одна общая касательная, проходящая через единственную точку, общую для обеих окружностей.

b > a и d = b a

Кроме того, эта касательная является внешней общей касательной между отрезками окружностей.

Касательная касается окружности точно в точке соприкосновения двух окружностей и перпендикулярна каждому радиусу.

n = 2

Продолжая наше исследование, что произойдет, если мы раздвинем центры кругов дальше друг от друга? Пока не слишком далеко друг от друга, но достаточно, чтобы круги пересекались в двух точках.

Для этого сценария a > b и расстояние между центрами кругов будет иметь верхнюю и нижнюю границы: a b < d < a + б . Две касательные являются внешними касательными.

Положите линейку , например линейку или транспортир, так, чтобы она касалась центра каждого круга. Затем двигайтесь вверх, пока только одна точка линейки не коснется меньшего круга.Держите эту точку относительно неподвижной, пока вы регулируете другой конец линейки, пока он не коснется только одной точки на большем круге. Внесите последние небольшие корректировки, необходимые для того, чтобы линия стала касательной к обеим окружностям, затем нарисуйте линию, обводя линейку своим чертежным инструментом. Повторите для другой касательной, перемещая линейку вниз.

n = 3, 4

n = 3

Раздвигая центры кругов еще дальше, мы можем добраться до точки, где у нас снова есть только одна точка, которая находится в обоих кругах, но на этот раз круги почти разделены.

Вы видите, что a + b = d и что касательных ровно три. Имеются две внешние касательные и одна внутренняя касательная.

При проведении внешних касательных внутренняя касательная пройдет через точку, включающую обе окружности, и будет также перпендикулярна обоим радиусам.

n = 4

Предпоследний случай, когда центры окружностей находятся достаточно далеко друг от друга, так что окружности полностью разделены.

Вероятно, это наиболее распространенный случай, определяемый соотношением: d > a + b .

Имеются две внутренние общие касательные и две внешние общие касательные.

Проведите две внешние касательные. Для первой внутренней касательной поместите линейку так, чтобы она касалась нижней части левого круга, и переместите правую сторону линейки так, чтобы она оказалась над центром правого круга.Продолжайте двигаться правой стороной вверх, пока не останется только одна точка окружности, касающаяся линейки. Внесите последние небольшие корректировки, чтобы каждый круг касался линейки только в одном месте. Когда вы расположите его правильно, обведите линейку ручкой, карандашом или маркером.

Бесконечные общие касательные

n = бесконечность

Последний случай является особым, когда расстояние между центрами окружности равно нулю, а радиусы двух окружностей равны друг другу.В этом случае две окружности на самом деле являются одной и той же окружностью, и каждая касательная первой окружности также является касательной второй окружности.

В этом последнем случае a = b , d = 0. Существует бесконечное число общих касательных, и все они внешние.

Слишком много общих касательных! Чтобы нарисовать образец касательной, просто выберите любую точку на кругах и проведите через эту точку линию, перпендикулярную радиусу круга.

Резюме урока

Касательная к окружности проходит через одну точку окружности и перпендикулярна линии, соединяющей эту точку с центром окружности. Общая касательная — это прямая, касательная к двум окружностям. Общая касательная далее может быть разделена на:

  • Внутренние общие касательные , которые проходят через отрезок, соединяющий центры двух окружностей.
  • Внешние общие касательные , которые не проходят через такой отрезок.

Как решить задачу с общими касательными

Задача с общими касательными названа в честь единственного касательного сегмента, который касается двух окружностей. Ваша цель — найти длину касательной. Эти проблемы немного сложны, но они не вызовут у вас особых затруднений, если вы воспользуетесь описанным ниже простым методом решения из трех шагов.

В следующем примере используется общая внешняя касательная (где касательная лежит на одной стороне обеих окружностей).Вы также можете столкнуться с проблемой общей касательной, которая включает в себя общую касательную , внутреннюю касательную (там, где касательная лежит между окружностями). Не беспокойтесь: метод решения одинаков для обоих.

Вот как это решить:

  1. Нарисуйте отрезок, соединяющий центры двух окружностей, и проведите два радиуса к точкам касания (если эти отрезки еще не нарисованы для вас).

    Этот шаг показан на следующем рисунке. Обратите внимание, что заданное расстояние 8 между окружностями — это расстояние между внешними сторонами окружностей вдоль отрезка, соединяющего их центры.

  2. Из центра меньшего круга проведите отрезок, параллельный общей касательной, до пересечения с радиусом большего круга (или продолжением радиуса в задаче об общей внутренней касательной).

    У вас получится прямоугольный треугольник и прямоугольник; одна из сторон прямоугольника является общей касательной. Следующий рисунок иллюстрирует этот шаг.

  3. Теперь у вас есть прямоугольный треугольник и прямоугольник, и вы можете решить задачу с помощью теоремы Пифагора и того простого факта, что противоположные стороны прямоугольника равны.

    Гипотенуза треугольника состоит из радиуса окружности A , отрезка между окружностями и радиуса окружности Z . Их длины в сумме составляют 4 + 8 + 14 = 26. Вы видите, что ширина прямоугольника равна радиусу окружности A , что равно 4; поскольку противоположные стороны прямоугольника конгруэнтны, вы можете сказать, что одна из сторон треугольника равна радиусу окружности Z минус 4, или 14 – 4 = 10. Теперь вы знаете две стороны треугольника, и если вы найдете третья сторона, это даст вам длину общей касательной.Вы получаете третью сторону по теореме Пифагора:

    (Конечно, если вы понимаете, что прямоугольный треугольник находится в семействе 5 : 12 : 13, вы можете умножить 12 на 2, чтобы получить 24, вместо того, чтобы использовать теорему Пифагора.)

    Поскольку противоположные стороны прямоугольника конгруэнтны, BY также равно 24, и все готово.

Теперь вернитесь к последнему рисунку и отметьте, где прямые углы и как расположены прямоугольный треугольник и прямоугольник; затем обязательно прислушайтесь к следующему совету и предупреждению.

Обратите внимание на положение гипотенузы. В задаче об общей касательной отрезок, соединяющий центры окружностей, равен и всегда равен гипотенузе прямоугольного треугольника. Общий тангенс всегда сторона прямоугольника, не гипотенуза.

В задаче на общий касательный отрезок, соединяющий центры окружностей, и никогда не одна сторона прямого угла. Не совершайте эту распространенную ошибку.

writeup6: Общие внешние и внутренние касательные

writeup6: Общие внешние и внутренние касательные
ОБЩИЕ ВНЕШНИЕ И ВНУТРЕННИЕ КАСАТЕЛЬНЫЕ

Что такое касательная к окружности?

Слово tangen t происходит от латинского слова, означающего «касание».» Это понятие касания используется в геометрическом значении тангенса. Думать колеса (круга) по касательной к пандусу (линии), когда оно катится вверх или вниз пандус. Считается, что колесо и пандус имеют одну общую точку. в заданной плоскости. Это называется точкой касания.


Касательная окружности — это линия в плоскости окружности, которая пересекает окружность ровно в одной точке. Эта точка называется точкой . касания .


Рассмотрим случай, когда у вас есть два круга.

Окружности могут быть внутренними и внешними касательными.

Две окружности в одной плоскости касаются внутренне касательной если они пересекаются ровно в одной точке и пересечение их внутренностей не пусто.

Две окружности в одной плоскости внешне касаются t, если они пересекаются ровно в одной точке и пересечение их внутренностей пусто.



Далее мы хотим обсудить случаи, когда у вас есть два круга и их соответствующие общие внешние и внутренние касательные.

Касательная двух окружностей является общей внешней касательной , если пересечение касательной и отрезка, соединяющего центры, пусты.

Например, линия AB и линия CD являются общими внешними касательными.


Касательная двух окружностей является общей внутренней касательной , если пересечение касательной и отрезка, соединяющего центры, не пусты.

Например, линия EF и линия GH являются общими внутренними касательными.



Сколько общих внешних и внутренних касательных будут у следующих наборов круги есть?

Ваш ответ должен быть НЕТ. Так как круги не внутри или снаружи касательной, окружности A и C и концентрические окружности E не будут не имеют общих внутренних и внешних касательных.


Наконец, мы хотим исследовать все возможные случаи касательной к двум заданным окружностям.

Нажмите здесь для демонстрации для всех возможных случаев для двух заданных окружностей.

Нажмите здесь для демонстрации для всех возможных случаев для двух заданных окружностей.

Скрипты созданы для общих внешних и внутренних касательных.

Щелкните здесь, чтобы ознакомиться с общим сценарием внешней касательной.

Нажмите здесь, чтобы увидеть общий внутренний тангенс сценарий.



ВОЗВРАТ

Количество общих касательных к двум окружностям

В этом уроке речь пойдет о количестве общих касательных к двум заданным окружностям. Это будет зависеть от относительного положения двух кругов, о чем я говорил в предыдущем уроке. Давайте пересмотрим все случаи.

лежать друг за другом

В этом случае будет четыре общих касательных . Посмотри.

Касательные, пересекающиеся между окружностями, известны как поперечные общие касательные , а два других называются прямыми общими касательными .

Внешние касания друг друга

В этом случае будет три общих касательных , как показано ниже.

Тангенс между ними можно рассматривать как поперечные касательные, совпадающие вместе.

Пересекаются друг с другом в двух точках

В этом случае будет две общие касательные .

Внутреннее прикосновение друг к другу

В этом случае будет только одна общая касательная , как показано на рисунке.

Представьте, что две касательные в предыдущем случае совпали в одну, когда одна из окружностей подтолкнула другую.

Один лежит внутри другого

В этом случае не будет общей касательной , так как любая линия, касающаяся внутренней окружности, всегда будет пересекать внешнюю окружность в двух точках.

Вот симуляция, показывающая общие касательные к двум окружностям.

Вы можете перетащить четыре синие точки и посмотреть количество общих касательных к двум окружностям.Соответствует ли это тому, что мы обсуждали выше?

Итоги урока

Я резюмировал урок в следующей таблице:

Позиция
Количество общих касательных
Лежащие друг за другом 4
Внешнее прикосновение 3
Пересекающиеся в двух точках 2
Внутреннее касание 1
Один лежит внутри другого 0

В следующем уроке я расскажу об уравнениях этих общих касательных.

Общий тангенс – обзор

3.1.2 Две фазы, два компонента

Теперь предположим, что имеются две фазы: α, обогащенная a фаза, и β, насыщенная b фаза. Существуют ли условия, при которых эти две фазы могут сосуществовать в равновесии? Условие равновесия, конечно, состоит в том, что полная свободная энергия Гиббса,

(3.8)Gtot=Gα(p,T,Naα,Nbα)+Gβ(p,T,Naβ,Nbβ),

будет минимизирована. относительно перехода атомов из одной фазы в другую.Если это так, то изменение полной свободной энергии Гиббса должно обращаться в нуль, если мы увеличиваем Naα при уменьшении Naβ так, чтобы общее число атомов a было постоянным:

(3.9)∂Gtot∂Naα=∂Gα∂Naα+∂Gβ∂ Naα=∂Gα∂Naα−∂Gβ∂Naβ=μaα−μaβ=0⋅

Аналогично, изменение полной свободной энергии Гиббса должно исчезнуть, если мы увеличим Naα при уменьшении Nbβ так, чтобы общее число атомов b было постоянным:

(3.10)∂Gtot∂Nbα=∂Gα∂Nbα+∂Gβ∂Nbα=∂Gα∂bα−∂Gβ∂Naβ=μbα−μbβ=0⋅

Другими словами, химические потенциалы a в двух фазы должны быть равны, как и химические потенциалы b в двух фазах. Чтобы понять почему, вспомним, что химические потенциалы измеряют склонность атомов к включению в фазу. Если бы эти склонности не были одинаковыми для двух фаз, то атомы имели бы тенденцию перемещаться между двумя фазами, и две фазы не могли бы находиться в равновесии.

Теперь из уравнений 3.3 и 3.4 мы знаем, что химические потенциалы являются точками пересечения касательных к кривым свободной энергии Гиббса. Следовательно, если две фазы α и β должны находиться в равновесии друг с другом,

их составы xoα и xoβ должны быть такими, чтобы касательные к g α и g β при этих составах имели те же перехваты.Другими словами, как показано на рис. 3.2, две фазы должны иметь общую касательную . 1 Эту простую геометрическую конструкцию можно вывести математически, приравняв уравнение 3.3 для μaα к аналогичному уравнению для μ β a и приравняв уравнение 3.4 для μbα к аналогичному уравнению для μ 8 β

б :

Рисунок 3. 2. Гипотетическая молярная свободная энергия Гиббса для двух фаз, α и β, в зависимости от состава, x .Их (общий) тангенс определяет составы xoβ и xoα, при которых две фазы находятся в равновесии друг с другом. Точки пересечения их (общей) касательной с осями x = 0 и x = 1 являются их двумя (общими) химическими потенциалами. Для общего состава системы и молярной свободной энергии Гиббса, обозначенных различными сплошными кружками, две фазы будут присутствовать в пропорциях, схематически показанных на различных окружающих панелях.

(3.11)[∂gα(p,T,xα)∂xα]xoα=gβ(p,Txoβ)−gα(p,T,xoα)xoβ−xoα[∂gβ(p,T,xβ)∂xβ ]xoβ=gβ(p,T,xoβ)−gα(p,T,xoα)xoβ−xoα⋅

Уравнения 3.11 — основные уравнения этого раздела. Их совместное решение определяет составы xoα и xoβ, при которых две фазы находятся в равновесии друг с другом, с точки зрения зависимых от состава молярных свободных энергий Гиббса каждой фазы. Если эти зависимости простые, то уравнения иногда могут быть решены аналитически при фиксированных температуре и давлении для этих равновесных составов xoα и xoβ. Однако чаще уравнения должны решаться численно. 2

Зная равновесные составы xoα и xoβ, мы также знаем для данного общего состава системы , x , какая часть 1 − f o системы равна α и какой дробь f o представляет собой β.Как показано на рис. 3.2, если xxoβ (два крайних сплошных кружка на центральной панели рис. 3.2), то система будет либо чистой α, либо чистой β соответственно. Другими словами, чистый α в составе x < xoα имеет более низкую молярную свободную энергию Гиббса, чем любая смесь α в составе x α и β в составе x β = 2 x x α . Точно так же чистый β в составе x>xoβ имеет более низкую молярную свободную энергию Гиббса, чем любая смесь β в составе x β и α в составе x α = 2 x x β .

Если, однако, xxoβ (две средние сплошные окружности, лежащие на касательной на центральной панели рис. 3.2), то равновесным состоянием системы будет смесь α и β фаз, доли которых определяются так называемым правилом рычага:

(3.12)1−fofo=xoβ−xx−xoα⋅

отношение разностей между составом системы х и равновесными составами xoβ и xoα.В терминах этих долей общая молярная свободная энергия Гиббса системы тогда равна

(3.13)gotot=(1−fo)gα(xoα,T)+(fo)gβ(xoβ,T)⋅

. важно иметь в виду, что две фазы не обязательно должны находиться в равновесии друг с другом. Действительно, они часто будут находиться в равновесии, особенно если скорость миграции различных компонентов между фазами мала. Тогда общая молярная свободная энергия Гиббса системы составит

(3.14)gtot=(1−f)gα(xα,T)+(f)gβ(xβ,T)⋅

Фактическая доля системы то есть в фазе β, f , не обязательно должно быть тем, что определяется правилом рычага, и фактические составы x α и x β этих фаз не обязательно должны быть составами, определяемыми уравнением 3. 11. В этом случае g tot будет больше, чем gotot, и величина, на которую оно больше, является мерой отклонения системы от равновесия.

Другой способ взглянуть на это — отметить, что если две фазы не находятся в равновесии друг с другом, то уравнения 3.9 и 3.10 по определению не выполняются. Тогда либо химический потенциал a в α отличается от химического потенциала a в β, либо химический потенциал b в α отличается от потенциала b в β (или и то, и другое). Следовательно, будет существовать движущая сила для атомов a или b (или обоих) для перехода между α- и β-фазами, и эти две фазы могли бы , а не быть в равновесии друг с другом.2

Вы ищете пару прямых, которые пересекаются, то есть касаются противоположных сторон круга.

Где пересечение этих линий? Простой вывод, поскольку круги имеют одинаковые радиусы, состоит в том, что точка пересечения ДОЛЖНА находиться в средней точке между двумя центрами кругов. Таким образом:

x0 = (x1 + x2)/2

y0 = (y1 + y2)/2

КАЖДАЯ линия ДОЛЖНА проходить через эту точку (x0,y0). Затем эти строки можно записать как

y — y0 = s*(x-x0)

y — y0 = t*(x-x0)

, где s и t — соответствующие наклоны пары линий.2)

Итак, мы нашли два возможных склона. Мы могли бы продолжить и вычислить точки пересечения и т. д.

=================================== ===

#2. Базовая геометрия.

Даны окружности с центрами [x1,y1] и [x2,y2], каждая радиусом r. Найдите точки касания.

Ответ: ИСПОЛЬЗУЙТЕ ПРАВИЛЬНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ!

Как мы уже говорили, точка пересечения линий находится в точке

[x0,y0] = [(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2]

Расстояние между центрами окружностей равно

D = norm([x1,y1] — [x2,y2])

Таким образом, расстояние от центра любого круга до его середины равно D/2.

Радиус каждого круга равен r. И линия, касающаяся окружности, ДОЛЖНА образовывать прямоугольный треугольник там, где она касается окружности как касательной. Прямоугольный треугольник имеет гипотенузу длины D/2, одну сторону длины r, и, следовательно, третья сторона в силу теоремы Пифагора имеет длину. ..

Углы этого треугольника теперь тривиально находятся из небольшой тригонометрии. Как прошло? СОХКАТОА. Очень просто.

Используйте метод 2. Это гораздо менее грязно.

Краткий обзор касательных и множественных окружностей


Давайте немного повысим ставки.До сих пор мы имели дело с одним кругом за раз. Предположим, у нас есть два круга. Вау.

Можем ли мы провести прямую, касательную к обеим этим окружностям? Мы можем точно. На самом деле, мы можем провести четыре таких линии, которые мы называем общими касательными , или для краткости «общими касательными».

Не все пары окружностей имеют четыре общих касательных. Взгляните на эти два круга. Они касаются друг друга, то есть имеют ровно одну общую точку.У них есть только три общих касательных. Видеть?

Пример задачи

Приведите пример пары окружностей, у которых ноль общих касательных?

Ноль? Например, без общих касательных … вообще? Никто? Это вообще возможно?

Вообще-то да. Видеть? Касательные к внешнему кругу вообще не будут касаться внутреннего круга, а касательные к внутреннему кругу всегда будут секущими внешнего. Где бы мы ни проводили касательную, мы никогда не найдем общей.Как удручающе.

Поперечное сечение идеализированного рожка мороженого может выглядеть так.

Здесь шарик мороженого — это идеальная сфера, а конус — идеальный конус. (Мы поговорим о сферах и конусах позже.) Это стандартная модель ISO 440 для дизайна конусов для мороженого, используемая инженерами по замороженным десертам во всем мире. (Отказ от ответственности: это полностью и абсолютно неверно.)

В этом поперечном сечении мороженое представляет собой круг, а стороны конуса — отрезки, каждый из которых пересекает круг ровно в одной точке.

Если отрезок прямой является отрезком касательной и имеет одну из своих конечных точек на ⊙ O , то отрезок прямой касается ⊙ O . Мы иногда называем это касательным сегментом .

Обратите внимание, что на диаграмме мороженого два сегмента, составляющие стороны конуса, имеют общую конечную точку в нижней части конуса. Это придает этим сегментам особое свойство.

Учитывая точку P в экстерьере ⊙ O , если сегменты PQ и PQ и PR касаются ⊙ O в пунктах Q и R соответственно, затем PQ соответствует PR .Другими словами, любые два отрезка, которые имеют общую конечную точку и касаются одной и той же окружности, конгруэнтны. Мы назовем это теоремой о конечной точке и касательной .

Как мы можем это доказать? Мы позовем на помощь наших старых приятелей, конгруэнтных треугольников. Но не просто конгруэнтные треугольники: конгруэнтных прямоугольных треугольников. Но сначала нам нужны прямоугольные треугольники. Начнем с рисования сегментов OQ , OR и OP .

Поскольку QP является касательной, она перпендикулярна OQ , а отрезки OR и RP также перпендикулярны.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск