Окружность описанная около трапеции: Радиус описанной окружности трапеции | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU

Содержание

Соотношение сторон в трапеции. Окружность описанная около трапеции

Описанная окружность и трапеция. Здравствуйте! Для вас ещё одна публикация, в которой рассмотрим задачи с трапециями. Задания входят в состав экзамена по математике. Здесь они объединены в группу, дана не просто одна трапеция, а комбинация тел – трапеция и окружность. Большинство из таких задачек решаются устно. Но есть и такие на которые нужно обратить особое внимание, например, задача 27926.

Какую теорию необходимо помнить? Это:

Задачи с трапециями, которые имеются на блоге можно посмотреть здесь .

27924. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.

Отметим, что описать окружность можно только около равнобедренной трапеции. Нам дана средняя линия, значит можем определить сумму оснований, то есть:

Значит сумма боковых сторон будет равна 22–10=12 (периметр минус основания).

Так как боковые стороны равнобедренной трапеции равны, то одна сторона будет равна шести.

27925. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60 0 , большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Если вы решали задачи с окружностью и вписанным в неё шестиугольником, то сразу озвучите ответ – радиус равен 6. Почему?

Посмотрите: равнобедренная трапеция с углом при основании равным 60 0 и равными сторонами AD, DC и CB, представляет собой половину правильного шестиугольника:

В таком шестиугольнике отрезок соединяющий противоположные вершины проходит через центр окружности. *Центр шестиугольника и центр окружности совпадают, подробнее

То есть большее основание этой трапеции совпадает с диаметром описанной окружности. Таким образом радиус равен шести.

*Конечно, можно рассмотреть равенство треугольников ADO, DOС и OCB. Доказать что они равносторонние. Далее сделать вывод о том, что угол AOB равен 180 0 и точка О равноудалена от вершин A, D, C и B, а и значит АО=ОВ=12/2=6.

27926. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Отметим, что центр описанной окружности лежит на оси симметрии, при чём если построить высоту трапеции проходящую через этот центр, то она при пересечении с основаниями разделит их пополам. Покажем это на эскизе, также соединим центр с вершинами:

Отрезок EF является высотой трапеции, его нам нужно найти.

В прямоугольном треугольнике OFC нам известна гипотенуза (это радиус окружности), FC=3 (так как DF=FC). По теореме Пифагора можем вычислить OF:

В прямоугольном треугольнике OEB нам известна гипотенуза (это радиус окружности), EB=4 (так как AE=EB). По теореме Пифагора можем вычислить OE:

Таким образом EF=FO+OE=4+3=7.

Теперь важный нюанс!

В этой задаче на рисунке чётко показано, что основания лежат по разные стороны от центра окружности, поэтому задача решается именно так.

А если бы в условии не было дано эскиза?

Тогда у задачи было бы два ответа. Почему? Посмотрите внимательно – в любую окружность можно вписать две трапеции с заданными основаниями:

*То есть при данных основаниях трапеции и радиусе окружности существует две трапеции.

И решение будет «второго варианта» будет следующим.

По теореме Пифагора вычисляем OF:

Также вычислим OE:

Таким образом EF=FO–OE=4–3=1.

Конечно, в задаче с кратким ответом на ЕГЭ двух ответов быть не может, и подобная задача без эскиза дана не будет. Поэтому обратите особое внимание на эскиз! А именно: как расположены основания трапеции. А вот в заданиях с развёрнутым ответом такая в прошлые годы присутствовала (немного с усложнённым условием). Тот, кто рассматривал только один вариант расположения трапеции теряли балл на этом задании.

27937. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите ее среднюю линию.

Здесь сразу следует вспомнить свойство четырёхугольника описанного около окружности:

Суммы противоположных сторон любого четырёхугольника описанного около окружности равны.

  1. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен половине разности оснований
  2. Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей до точки их пересечения — подобны
  3. Треугольники, образованные отрезками диагоналей трапеции, стороны которых лежат на боковых сторонах трапеции — равновеликие (имеют одинаковую площадь)
  4. Если продлить боковые стороны трапеции в сторону меньшего основания, то они пересекутся в одной точке с прямой, соединяющей середины оснований
  5. Отрезок, соединяющий основания трапеции, и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в пропорции, равной соотношению длин оснований трапеции
  6. Отрезок, параллельный основаниям трапеции, и проведенный через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам, а его длина равна 2ab/(a + b), где a и b — основания трапеции

Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции

Соединим середины диагоналей трапеции ABCD, в результате чего у нас появится отрезок LM.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии трапеции .

Данный отрезок параллелен основаниям трапеции .

Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности ее оснований.

LM = (AD — BC)/2
или
LM = (a-b)/2

Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции


Треугольники, которые образованы основаниями трапеции и точкой пересечения диагоналей трапеции — являются подобными .
Треугольники BOC и AOD являются подобными. Поскольку углы BOC и AOD являются вертикальными — они равны.
Углы OCB и OAD являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC (основания трапеции параллельны между собой) и секущей прямой AC, следовательно, они равны.
Углы OBC и ODA равны по той же самой причине (внутренние накрест лежащие).

Так как все три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, то данные треугольники подобны.

Что из этого следует?

Для решения задач по геометрии подобие треугольников используется следующим образом. Если нам известны значения длин двух соответствующих элементов подобных треугольников, то мы находим коэффициент подобия (делим одно на другое). Откуда длины всех остальных элементов соотносятся между собой точно таким же значением.

Свойства треугольников, лежащих на боковой стороне и диагоналях трапеции


Рассмотрим два треугольника, лежащих на боковых сторонах трапеции AB и CD. Это — треугольники AOB и COD. Несмотря на то, что размеры отдельных сторон у данных треугольников могут быть совершенно различны, но площади треугольников, образованных боковыми сторонами и точкой пересечения диагоналей трапеции равны , то есть треугольники являются равновеликими.


Если продлить стороны трапеции в сторону меньшего основания, то точка пересечения сторон будет совпадать с прямой линией, которая проходит через середины оснований .

Таким образом, любая трапеция может быть достроена до треугольника. При этом:

  • Треугольники, образованные основаниями трапеции с общей вершиной в точке пересечения продленных боковых сторон являются подобными
  • Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, является, одновременно, медианой построенного треугольника

Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции


Если провести отрезок, концы которого лежат на основаниях трапеции, который лежит на точке пересечения диагоналей трапеции (KN), то соотношенее составляющих его отрезков от стороны основания до точки пересечения диагоналей (KO/ON) будет равно соотношению оснований трапеции (BC/AD).

KO / ON = BC / AD

Данное свойство следует из подобия соответствующих треугольников (см. выше).

Свойства отрезка, параллельного основаниям трапеции


Если провести отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, то он будет обладать следующими свойствами:

  • Заданный отрезок (KM) делится точкой пересечения диагоналей трапеции пополам
  • Длина отрезка , проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельного основаниям, равна
    KM = 2ab/(a + b)

Формулы для нахождения диагоналей трапеции


a, b — основания трапеции

c, d — боковые стороны трапеции

d1 d2 — диагонали трапеции

α β — углы при большем основании трапеции

Формулы нахождения диагоналей трапеции через основания, боковые стороны и углы при основании

Первая группа формул (1-3) отражает одно из основных свойств диагоналей трапеции:

1. Сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенное произведение ее оснований . Данное свойство диагоналей трапеции может быть доказано как отдельная теорема

2 . Данная формула получена путем преобразования предыдущей формулы. Квадрат второй диагонали переброшен через знак равенства, после чего из левой и правой части выражения извлечен квадратный корень.

3 . Эта формула нахождения длины диагонали трапеции аналогична предыдущей, с той разницей, что в левой части выражения оставлена другая диагональ

Следующая группа формул (4-5) аналогична по смыслу и выражает аналогичное соотношение.

Группа формул (6-7) позволяет найти диагональ трапеции, если известны большее основание трапеции, одна боковая сторона и угол при основании.

Формулы нахождения диагоналей трапеции через высоту


Примечание . В данном уроке приведено решение задач по геометрии о трапециях. Если Вы не нашли решение задачи по геометрии, интересующего Вас типа — задайте вопрос на форуме .

Задача .
Диагонали трапеции ABCD (AD | | ВС) пересекаются в точке О. Найдите длину основания ВС трапеции, если основание АD = 24 см, длина АО = 9см, длина ОС = 6 см.

Решение .
Решение данной задачи по идеологии абсолютно идентично предыдущим задачам.

Треугольники AOD и BOC являются подобными по трем углам — AOD и BOC являются вертикальными, а остальные углы попарно равны, поскольку образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых.

Поскольку треугольники подобны, то все их геометрические размеры относятся между собой, как геометрически размеры известных нам по условию задачи отрезков AO и OC. То есть

AO / OC = AD / BC
9 / 6 = 24 / BC
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Ответ : 16 см

Задача .
В трапеции ABCD известно, что AD=24, ВС=8, АС=13, BD=5√17. Найдите площадь трапеции.

Решение .
Для нахождения высоты трапеции из вершин меньшего основания B и C опустим на большее основание две высоты. Поскольку трапеция неравнобокая — то обозначим длину AM = a, длину KD = b (не путать с обозначениями в формуле нахождения площади трапеции). Поскольку основания трапеции параллельны, а мы опускали две высоты, перпендикулярных большему основанию, то MBCK — прямоугольник.

Значит
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 — b

Треугольники DBM и ACK — прямоугольные, так их прямые углы образованы высотами трапеции. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда по теореме Пифагора

H 2 + (24 — a) 2 = (5√17) 2
и
h 2 + (24 — b) 2 = 13 2

Учтем, что a = 16 — b , тогда в первом уравнении
h 2 + (24 — 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 — (8 + b) 2

Подставим значение квадрата высоты во второе уравнение, полученное по Теореме Пифагора. Получим:
425 — (8 + b) 2 + (24 — b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 — b) 2 = -256
-64 — 16b — b 2 + 576 — 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Таким образом, KD = 12
Откуда
h 2 = 425 — (8 + b) 2 = 425 — (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Найдем площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований
, где a b — основания трапеции, h — высота трапеции
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 см 2

Ответ : площадь трапеции равна 80 см 2 .

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

— (греч. trapezion). 1) в геометрии четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две нет. 2) фигура, приспособленная для гимнастических упражнений. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ТРАПЕЦИЯ… … Словарь иностранных слов русского языка

Трапеция — Трапеция. ТРАПЕЦИЯ (от греческого trapezion, буквально столик), выпуклый четырехугольник, в котором две стороны параллельны (основания трапеции). Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований (средней линии) на высоту. … Иллюстрированный энциклопедический словарь

Четырехугольник, снаряд, перекладина Словарь русских синонимов. трапеция сущ., кол во синонимов: 3 перекладина (21) … Словарь синонимов

— (от греческого trapezion, буквально столик), выпуклый четырехугольник, в котором две стороны параллельны (основания трапеции). Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований (средней линии) на высоту … Современная энциклопедия

— (от греч. trapezion букв. столик), четырехугольник, в котором две противоположные стороны, называемые основаниями трапеции, параллельны (на рисунке АD и ВС), а другие две непараллельны. Расстояние между основаниями называют высотой трапеции (на… … Большой Энциклопедический словарь

ТРАПЕЦИЯ, четырехугольная плоская фигура, в которой две противоположные стороны параллельны. Площадь трапеции равна полусумме параллельных сторон, умноженной на длину перпендикуляра между ними … Научно-технический энциклопедический словарь

ТРАПЕЦИЯ, трапеции, жен. (от греч. trapeza стол). 1. Четырехугольник с двумя параллельными и двумя непараллельными сторонами (мат.). 2. Гимнастический снаряд, состоящий из перекладины, подвешенной на двух веревках (спорт.). Акробатические… … Толковый словарь Ушакова

ТРАПЕЦИЯ, и, жен. 1. Четырёхугольник с двумя параллельными и двумя непараллельными сторонами. Основания трапеции (её параллельные стороны). 2. Цирковой или гимнастический снаряд перекладина, подвешенная на двух тросах. Толковый словарь Ожегова. С … Толковый словарь Ожегова

Жен., геом. четвероугольник с неравными сторонами, из коих две опостенны (паралельны). Трапецоид, подобный четвероугольник, у которого все стороны идут врознь. Трапецоэдр, тело, ограненное трапециями. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 … Толковый словарь Даля

— (Trapeze), США, 1956, 105 мин. Мелодрама. Начинающий акробат Тино Орсини поступает в цирковую труппу, где работает Майк Риббл, известный в прошлом воздушный гимнаст. Когда то Майк выступал вместе с отцом Тино. Молодой Орсини хочет, чтобы Майк… … Энциклопедия кино

Четырехугольник, две стороны которого параллельны, а дведругие стороны не параллельны. Расстояние между параллельными сторонаминаз. высотою Т. Если параллельные стороны и высота содержат а, b и hметров, то площадь Т. содержит квадратных метров … Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

Радиус описанной окружности этой трапеции. Описанная окружность и трапеция

Как найти радиус описанной окружности для трапеции?

В зависимости от данных условия, сделать это можно разными способами. Готовой формулы радиуса описанной около трапеции окружности нет.

I. Радиус описанной около трапеции окружности как радиус окружности, описанной около треугольника, вершины которого — вершины трапеции

Описанная около трапеции окружность проходит через все её вершины, следовательно, является описанной для любого из треугольников, вершины которых являются вершинами трапеции.

В общем случае может быть найден по одной из формул

где a — сторона треугольника, α — противолежащий ей угол;

либо по формуле

где a, b, c — стороны, S — площадь треугольника.

Для трапеции ABCD радиус может быть найден, например, как радиус окружности, описанной около треугольника ABD:

где синус угла A можно найти из прямоугольного треугольника ABF:

III. Радиус описанной около трапеции окружности как расстояние до точки пересечения серединных перпендикуляров

Радиус описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров с сторонам трапеции. (Можно рассуждать иначе: в равнобедренном треугольнике AOD (AO=OD=R) высота ON является также медианой. Для треугольника BOC — аналогично).

Если известна высота трапеции KN=h, основания AD=a, BC=b, можно обозначить ON=x.

Если центр окружности лежит внутри трапеции, OK=h-x, из прямоугольных треугольников ANO и BKO можно выразить

и приравнять правые части

Решив это уравнения относительно x, можно найти R. \circ\) .

2) Т.к. \(AD\parallel BC\) и \(BD\) – секущая, то \(\angle DBC=\angle BDA\) как накрест лежащие.
Также \(\angle BOC=\angle AOD\) как вертикальные.
Следовательно, по двум углам \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\) .

Докажем, что \(S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}\) . Пусть \(h\) – высота трапеции. Тогда \(S_{\triangle ABD}=\frac12\cdot h\cdot AD=S_{\triangle ACD}\) . Тогда: \

Определение

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Теорема

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.


Доказательство*

1) Докажем параллельность.


Проведем через точку \(M\) прямую \(MN»\parallel AD\) (\(N»\in CD\) ). Тогда по теореме Фалеса (т.к. \(MN»\parallel AD\parallel BC, AM=MB\) ) точка \(N»\) — середина отрезка \(CD\) . Значит, точки \(N\) и \(N»\) совпадут.

2) Докажем формулу.

Проведем \(BB»\perp AD, CC»\perp AD\) . Пусть \(BB»\cap MN=M», CC»\cap MN=N»\) .


Тогда по теореме Фалеса \(M»\) и \(N»\) — середины отрезков \(BB»\) и \(CC»\) соответственно. Значит, \(MM»\) – средняя линия \(\triangle ABB»\) , \(NN»\) — средняя линия \(\triangle DCC»\) . Поэтому: \

Т.к. \(MN\parallel AD\parallel BC\) и \(BB», CC»\perp AD\) , то \(B»M»N»C»\) и \(BM»N»C\) – прямоугольники. По теореме Фалеса из \(MN\parallel AD\) и \(AM=MB\) следует, что \(B»M»=M»B\) . Значит, \(B»M»N»C»\) и \(BM»N»C\) – равные прямоугольники, следовательно, \(M»N»=B»C»=BC\) .

Таким образом:

\ \[=\dfrac12 \left(AB»+B»C»+BC+C»D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Теорема: свойство произвольной трапеции

Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.


Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.

1) Докажем, что точки \(P\) , \(N\) и \(M\) лежат на одной прямой.


Проведем прямую \(PN\) (\(P\) – точка пересечения продолжений боковых сторон, \(N\) – середина \(BC\) ). Пусть она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\) . Докажем, что \(M\) – середина \(AD\) .

Рассмотрим \(\triangle BPN\) и \(\triangle APM\) . Они подобны по двум углам (\(\angle APM\) – общий, \(\angle PAM=\angle PBN\) как соответственные при \(AD\parallel BC\) и \(AB\) секущей). Значит: \[\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{PN}{PM}\]

Рассмотрим \(\triangle CPN\) и \(\triangle DPM\) . Они подобны по двум углам (\(\angle DPM\) – общий, \(\angle PDM=\angle PCN\) как соответственные при \(AD\parallel BC\) и \(CD\) секущей). Значит: \[\dfrac{CN}{DM}=\dfrac{PN}{PM}\]

Отсюда \(\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{CN}{DM}\) . Но \(BN=NC\) , следовательно, \(AM=DM\) .

2) Докажем, что точки \(N, O, M\) лежат на одной прямой.


Пусть \(N\) – середина \(BC\) , \(O\) – точка пересечения диагоналей. Проведем прямую \(NO\) , она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\) . Докажем, что \(M\) – середина \(AD\) .

\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\) по двум углам (\(\angle OBN=\angle ODM\) как накрест лежащие при \(BC\parallel AD\) и \(BD\) секущей; \(\angle BON=\angle DOM\) как вертикальные). Значит: \[\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{ON}{OM}\]

Аналогично \(\triangle CON\sim \triangle AOM\) . Значит: \[\dfrac{CN}{MA}=\dfrac{ON}{OM}\]

Отсюда \(\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{CN}{MA}\) . Но \(BN=CN\) , следовательно, \(AM=MD\) .

\[{\Large{\text{Равнобедренная трапеция}}}\]

Определения

Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов – прямой.

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

Теоремы: свойства равнобедренной трапеции

1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.

2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, являются равнобедренными.

Доказательство

1) Рассмотрим равнобедренную трапецию \(ABCD\) .

Из вершин \(B\) и \(C\) опустим на сторону \(AD\) перпендикуляры \(BM\) и \(CN\) соответственно. Так как \(BM\perp AD\) и \(CN\perp AD\) , то \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , тогда \(MBCN\) – параллелограмм, следовательно, \(BM = CN\) .

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABM\) и \(CDN\) . Так как у них равны гипотенузы и катет \(BM\) равен катету \(CN\) , то эти треугольники равны, следовательно, \(\angle DAB = \angle CDA\) .

2)

Т.к. \(AB=CD, \angle A=\angle D, AD\) – общая, то по первому признаку . Следовательно, \(AC=BD\) .

3) Т.к. \(\triangle ABD=\triangle ACD\) , то \(\angle BDA=\angle CAD\) . Следовательно, треугольник \(\triangle AOD\) – равнобедренный. Аналогично доказывается, что и \(\triangle BOC\) – равнобедренный.

Теоремы: признаки равнобедренной трапеции

1) Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.

2) Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.

Доказательство

Рассмотрим трапецию \(ABCD\) , такую что \(\angle A = \angle D\) .


Достроим трапецию до треугольника \(AED\) как показано на рисунке. Так как \(\angle 1 = \angle 2\) , то треугольник \(AED\) равнобедренный и \(AE = ED\) . Углы \(1\) и \(3\) равны как соответственные при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AB\) . Аналогично равны углы \(2\) и \(4\) , но \(\angle 1 = \angle 2\) , тогда \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 = \angle 4\) , следовательно, треугольник \(BEC\) тоже равнобедренный и \(BE = EC\) .

В итоге \(AB = AE — BE = DE — CE = CD\) , то есть \(AB = CD\) , что и требовалось доказать.

2) Пусть \(AC=BD\) . Т.к. \(\triangle AOD\sim \triangle BOC\) , то обозначим их коэффициент подобия за \(k\) . Тогда если \(BO=x\) , то \(OD=kx\) . Аналогично \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .


Т.к. \(AC=BD\) , то \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Значит \(\triangle AOD\) – равнобедренный и \(\angle OAD=\angle ODA\) .

Таким образом, по первому признаку \(\triangle ABD=\triangle ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\) – общая). Значит, \(AB=CD\) , чтд.

Трапеция — это четырехугольник, имеющий две параллельные стороны, являющиеся основаниями и две не параллельные стороны, являющиеся боковыми сторонами.

Также встречаются такие названия, как равнобокая или равнобочная .

— это трапеция, у которой углы при боковой стороне прямые.

Элементы трапеции

a, b — основания трапеции (a параллельно b ),

m, n — боковые стороны трапеции,

d 1 , d 2 — диагонали трапеции,

h — высота трапеции (отрезок, соединяющий основания и при этом перпендикулярен им),

MN — средняя линия (отрезок, соединяющий середины боковых сторон).

Площадь трапеции

  1. Через полусумму оснований a, b и высоту h : S = \frac{a + b}{2}\cdot h
  2. Через среднюю линию MN и высоту h : S = MN\cdot h
  3. Через диагонали d 1 , d 2 и угол (\sin \varphi ) между ними: S = \frac{d_{1} d_{2} \sin \varphi}{2}

Свойства трапеции

Средняя линия трапеции

Средняя линия параллельна основаниям, равна их полусумме и разделяет каждый отрезок с концами, находящимися на прямых, которые содержат основания, (к примеру, высоту фигуры) пополам:

MN || a, MN || b, MN = \frac{a + b}{2}

Сумма углов трапеции

Сумма углов трапеции , прилежащих к каждой боковой стороне, равна 180^{\circ} :

\alpha + \beta = 180^{\circ}

\gamma + \delta =180^{\circ}

Равновеликие треугольники трапеции

Равновеликими , то есть имеющими равные площади, являются отрезки диагоналей и треугольники AOB и DOC , образованные боковыми сторонами. {2} .

Отношение длин отрезков и оснований

Каждый отрезок, соединяющий основания и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, поделен этой точкой в отношении:

\frac{OX}{OY} = \frac{BC}{AD}

Это будет являться справедливым и для высоты с самими диагоналями.

Проектная работа « Интересные свойства трапеции » Выполнили: ученицы 10 класса Кудзаева Эллина Баззаева Диана МКОУ СОШ с. Н.Батако Руководитель: Гагиева А.О. 20.11.2015 года

Цель работы: Рассмотреть свойства трапеции, которые в школьном курсе геометрии не изучаются, но при решении геометрических задач ЕГЭ из развернутой части С 4 бывает необходимо знать и уметь применять именно эти свойства.

Свойства трапеции: Если трапеция разделена прямой, параллельной ее основаниям, равным a и в, на две равновеликие трапеции. Тогда отрезок к этой прямой, заключенный между боковыми сторонами, равен a В к

Свойство отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции. Отрезок, параллельный основаниям, проходящий через точку пересечения диагоналей равен: а в с

Свойства трапеции: Отрезок прямой, параллельной основаниям трапеции, заключенный внутри трапеции, разбивается ее диагоналями на три части. Тогда отрезки, прилегающие к боковым сторонам, равны между собой. МР=ОК Р М О К

Свойства равнобедренной трапеции: Если в трапецию можно вписать окружность, то радиус окружности есть среднее пропорциональное отрезков, на которые точка касания делит боковую сторону. О С В А Д. Е О

Свойства равнобедренной трапеции: Если центр описанной окружности лежит на основании трапеции, то её диагональ перпендикулярна боковой стороне О А В С Д

Свойства равнобедренной трапеции: В равнобедренную трапецию можно вписать окружность, если боковая сторона равна её средней линии. С В А Д h

1)Если в условии задачи сказано, что в прямоугольную трапецию вписана окружность, можно использовать следующие свойства: 1. Сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон. 2. Расстояния от вершины трапеции до точек касания вписанной окружности равны. 3. Высота прямоугольной трапеции равна ее меньшей боковой стороне и равна диаметру вписанной окружности. 4. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции. 5. Если точка касания делит боковую сторону на отрезки m и n , то радиус вписанной окружности равен

Свойства прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность: 1) Четырехугольник, образованный центром вписанной окружности, точками касания и вершиной трапеции — квадрат, сторона которого равна радиусу. (AMOE и BKOM — квадраты со стороной r). 2) Если в прямоугольную трапецию вписана окружность, то площадь трапеции равна произведению ее оснований: S=AD*BC

Доказательство: Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту: Обозначим CF=m , FD=n . Поскольку расстояния от вершин до точек касания равны, высота трапеции равна двум радиусам вписанной окружности, а

I. Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под углом 90º . 1)∠ABC+∠BAD=180º(как внутренние односторонние при AD∥BC и секущей AB). 2) ∠ABK+∠KAB=(∠ABC+∠BAD):2=90º(так как биссектрисы делят углы пополам). 3) Так как сумма углов треугольника равна 180º, в треугольнике ABK имеем: ∠ABK+∠KAB+∠AKB=180º, отсюда ∠AKB=180-90=90º. Вывод: Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом. Это утверждение применяется при решении задач на трапецию, в которую вписана окружность.

I I .Точка пересечения биссектрис трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на средней линии трапеции. Пусть биссектриса угла ABC пересекает сторону AD в точке S. Тогда треугольник ABS — равнобедренный с основанием BS Значит, его биссектриса AK является также медианой, то есть точка K — середина BS. Если M и N — середины боковых сторон трапеции, то MN — средняя линия трапеции и MN∥AD. Так как M и K — середины AB и BS, то MK — средняя линия треугольника ABS и MK∥AS. Поскольку через точку M можно провести лишь одну прямую, параллельную данной, точка K лежит на средней линии трапеции.

III. Точка пересечения биссектрис острых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию. В этом случае треугольники ABK и DCK — равнобедренные с основаниями AK и DK соответственно. Таким образом, BC=BK+KC=AB+CD. Вывод: Если биссектрисы острых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей меньшему основанию, то меньшее основание равно сумме боковых сторон трапеции. У равнобедренной трапеции в этом случае меньшее основание в два раза больше боковой стороны.

I V. Точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию. В этом случае треугольники ABF и DCF — равнобедренные с основаниями BF и CF соответственно. Отсюда AD=AF+FD=AB+CD. Вывод: Если биссектрисы тупых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей большему основанию, то большее основание равно сумме боковых сторон трапеции. У равнобедренной трапеции в этом случае большее основание в два раза больше боковой стороны.

Если равнобедеренную трапецию со сторонами а,в,с, d можно вписать и около неё можно описать окружности, то площадь трапеции равна

— (греч. trapezion). 1) в геометрии четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две нет. 2) фигура, приспособленная для гимнастических упражнений. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ТРАПЕЦИЯ… … Словарь иностранных слов русского языка

Трапеция — Трапеция. ТРАПЕЦИЯ (от греческого trapezion, буквально столик), выпуклый четырехугольник, в котором две стороны параллельны (основания трапеции). Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований (средней линии) на высоту. … Иллюстрированный энциклопедический словарь

Четырехугольник, снаряд, перекладина Словарь русских синонимов. трапеция сущ., кол во синонимов: 3 перекладина (21) … Словарь синонимов

— (от греческого trapezion, буквально столик), выпуклый четырехугольник, в котором две стороны параллельны (основания трапеции). Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований (средней линии) на высоту … Современная энциклопедия

— (от греч. trapezion букв. столик), четырехугольник, в котором две противоположные стороны, называемые основаниями трапеции, параллельны (на рисунке АD и ВС), а другие две непараллельны. Расстояние между основаниями называют высотой трапеции (на… … Большой Энциклопедический словарь

ТРАПЕЦИЯ, четырехугольная плоская фигура, в которой две противоположные стороны параллельны. Площадь трапеции равна полусумме параллельных сторон, умноженной на длину перпендикуляра между ними … Научно-технический энциклопедический словарь

ТРАПЕЦИЯ, трапеции, жен. (от греч. trapeza стол). 1. Четырехугольник с двумя параллельными и двумя непараллельными сторонами (мат.). 2. Гимнастический снаряд, состоящий из перекладины, подвешенной на двух веревках (спорт.). Акробатические… … Толковый словарь Ушакова

ТРАПЕЦИЯ, и, жен. 1. Четырёхугольник с двумя параллельными и двумя непараллельными сторонами. Основания трапеции (её параллельные стороны). 2. Цирковой или гимнастический снаряд перекладина, подвешенная на двух тросах. Толковый словарь Ожегова. С … Толковый словарь Ожегова

Жен., геом. четвероугольник с неравными сторонами, из коих две опостенны (паралельны). Трапецоид, подобный четвероугольник, у которого все стороны идут врознь. Трапецоэдр, тело, ограненное трапециями. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 … Толковый словарь Даля

— (Trapeze), США, 1956, 105 мин. Мелодрама. Начинающий акробат Тино Орсини поступает в цирковую труппу, где работает Майк Риббл, известный в прошлом воздушный гимнаст. Когда то Майк выступал вместе с отцом Тино. Молодой Орсини хочет, чтобы Майк… … Энциклопедия кино

Четырехугольник, две стороны которого параллельны, а дведругие стороны не параллельны. Расстояние между параллельными сторонаминаз. высотою Т. Если параллельные стороны и высота содержат а, b и hметров, то площадь Т. содержит квадратных метров … Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

Facebook

Twitter

Вконтакте

Одноклассники

Google+

Окружность: описанная около многоугольника

Определение

Окружность \(S\) описана около многоугольника \(P\), если все вершины многоугольника \(P\) лежат на окружности \(S\).

В этом случае многоугольник \(P\) называется вписанным в окружность.

 

Определение

Серединный перпендикуляр к отрезку – это прямая, проходящая через середину данного отрезка перпендикулярно ему.

 

Теорема

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

 

Доказательство

Рассмотрим отрезок \(AB\) и серединный перпендикуляр \(a\) к нему. Докажем, что для любой точки \(X\in a\) выполнено: \(AX=BX\).


 

Рассмотрим \(\triangle AXB\): отрезок \(XO\) является медианой и высотой, следовательно, \(\triangle AXB\) – равнобедренный, следовательно, \(AX=BX\).

 

Теорема

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

 

Доказательство

Рассмотрим \(\triangle ABC\). Проведем серединные перпендикуляры к сторонам \(AB\) и \(AC\). Они пересекутся в точке \(O\).


 

По предыдущей теореме для серединного перпендикуляра \(C_1O\) выполнено: \(AO=BO\), а для \(B_1O\) — \(AO=CO\). Следовательно, \(BO=CO\). Значит, \(\triangle BOC\) – равнобедренный, следовательно, высота \(OA_1\), проведенная к основанию \(BC\), будет также и медианой. Значит, \(OA_1\) – серединный перпендикуляр к отрезку \(BC\).

 

Таким образом, все три серединных перпендикуляра пересеклись в одной точке \(O\).

 

Следствие

Если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на его серединном перпендикуляре.

 

Теорема

Около любого треугольника можно описать единственную окружность, причём центр описанной окружности есть точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

 

Доказательство

Из доказанной выше теоремы следует, что \(AO=BO=CO\). Значит, все вершины треугольника равноудалены от точки \(O\), следовательно, они лежат на одной окружности.


 

Такая окружность единственна. Допустим, что около \(\triangle ABC\) можно описать еще одну окружность. Тогда ее центр должен совпасть с точкой \(O\) (т.к. это единственная точка, равноудаленная от вершин треугольника), а радиус должен быть равен расстоянию от центра до какой-то из вершин, т.е. \(OA\). Т.к. у этих окружностей совпадают и центр, и радиус, то и эти окружности совпадают.

 

Теорема о площади вписанного треугольника

Если \(a, b, c\) – стороны треугольника, а \(R\) – радиус описанной около него окружности, то площадь треугольника \[S_{\triangle}=\dfrac{abc}{4R}\]

Доказательство*
С доказательством данной теоремы рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Теорема синусов”.

 

Обозначим угол между сторонами \(a\) и \(c\) за \(\alpha\). Тогда \(S_{\triangle}=\frac12 ac\cdot \sin \alpha\).

 

По теореме синусов \(\dfrac b{\sin\alpha}=2R\), откуда \(\sin \alpha=\dfrac b{2R}\). \circ\), чего быть не может (сумма углов это четырёхугольника есть сумма углов двух треугольников), следовательно, точки \(D\) и \(D’\) совпадают.

 

Замечание. На рисунке точка \(D\) лежит вне круга, ограниченного окружностью, описанной около \(\triangle ABC\), однако, в случае, когда \(D\) лежит внутри, доказательство также остаётся верным.

 

Теорема

Около выпуклого четырехугольника \(ABCD\) можно описать окружность тогда и только тогда, когда \(\angle ABD=\angle ACD\).


 

Доказательство

Необходимость. Если около \(ABCD\) описана окружность, то углы \(\angle ABD\) и \(\angle ACD\) – вписанные и опираются на одну дугу \(\buildrel\smile\over{AD}\), следовательно, они равны.

 

Достаточность. Пусть \(\angle ABD=\angle ACD=\alpha\). Докажем, что около \(ABCD\) можно описать окружность.


 

Опишем окружность около \(\triangle ABD\). Пусть прямая \(CD\) пересекла эту окружность в точке \(C’\). \circ\). Следовательно, \(\angle W=\angle E\). Т.к. углы при основании \(WE\) трапеции равны, то она равнобедренная.

 

Обратное утверждение очевидно.

 

ОГЭ по математике. Вычисление длин

ОГЭ по математике. Вычисление длин

Задачи для ОГЭ с ответами и решениями

Вычисление длин II

 

перейти к содержанию задачника

  1. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 132.
  2. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 15.
  3. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
  4.  Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
  5. В треугольнике АВС АС равно 7,5, ВС равно 4, угол С равен 90o. Найдите радиус вписанной окружности.
  6. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 569, основание равно 462. Найдите радиус вписанной окружности.
  7. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 656, основание равно 288. Найдите радиус вписанной окружности.
  8. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 9 и 1, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.
  9. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 12 и 1, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.
  10. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 15 и .
  11. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 27 и .
  12. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной .
  13. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной .
  14. Сторона ромба равна , острый угол равен 60o. Найдите радиус вписанной в этот ромб окружности.
  15. Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 28.
  16. Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 24.
  17. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 116, средняя линия равна 54. Найдите боковую сторону трапеции.
  18. Основания равнобедренной трапеции равны 48 и 20. Радиус описанной окружности равен 26. Найдите высоту трапеции, если известно, что центр описанной окружности лежит внутри трапеции.
  19. Основания равнобедренной трапеции равны 120 и 50. Радиус описанной окружности равен 65. Найдите высоту трапеции, если известно, что центр описанной окружности лежит внутри трапеции.
  20. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 7 и 4. Найдите среднюю линию трапеции.
  21. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 128. Найдите среднюю линию трапеции.
  22. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100, ее большая боковая сторона равна 29. Найдите радиус окружности.
  23. В четырехугольник ABCD вписана окружность, АВ = 17, CD = 22. Найдите периметр четырехугольника.
  24. Периметр четырехугольника, описанного около окружности, равен 56, две его стороны равны 7 и 25. Найдите большую из оставшихся сторон.
  25. В четырехугольник ABCD вписана окружность, АВ = 7, ВС = 12 и CD = 9. Найдите четвертую сторону четырехугольника.
  26. В четырехугольник ABCD вписана окружность, АВ = 7, ВС = 1 и CD = 19. Найдите четвертую сторону четырехугольника.
  27. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1 : 3 : 9. Найдите большую сторону этого четырехугольника, если его периметр равен 20.
  28. Около окружности, радиус которой равен , описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
  29. Около окружности, радиус которой равен , описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
  30. Сторона АВ треугольника АВС равна 11. Противолежащий ей угол С равен 30o. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
  31. Угол С треугольника АВС, вписанного в окружность радиуса 10, равен 30o.  Найдите сторону АВ этого треугольника.
  32. Угол С треугольника АВС, вписанного в окружность радиуса 12, равен 30o.  Найдите сторону АВ этого треугольника.

перейти к содержанию задачника

Ответы

  1. 44
  2. 5
  3. 16,5
  4. 3,125
  5. 1,5
  6. 150,15
  7. 115,2
  8. 22
  9. 28
  10. 10
  11. 16
  12. 27
  13. 14
  14. 25,5
  15. 56
  16. 48
  17. 4
  18. 34
  19. 85
  20. 5,5
  21. 32
  22. 10,5
  23. 78
  24. 21
  25. 4
  26. 25
  27. 9
  28. 32
  29. 58
  30. 11
  31. 10
  32. 12

 

Метки ОГЭ. Смотреть запись.

© 2013-2022 Репетитор по скайпу Использование материалов согласовывать с администратором сайта

Go Геометрические задачи и теоремы, стр. 8

Теоремы и задачи по геометрии — последние дополнения (стр. 8 из 15)

Проблема 549.
Параллельные прямые, поперечные, суммы углов.

Проблема 548.
Треугольник, поперечный, четыре окружности, центры окружностей, конциклические точки, Сходство.

Проблема 547.
Треугольник, поперечный, четыре окружности, параллелизм.

Окружность Показатель.

Проблема 546.
Треугольник, трисекторы угла, 60 градусов, равносторонний треугольник.

Проблема 545.
Остроугольный треугольник, Квадраты, Высоты, Площадь, Меры.

Проблема 544.
Прямоугольный треугольник, Высота, Медиана, Равные углы, Мера.

Задачи по геометрии 341 — 350.
Треугольник, Четырехугольник, Пятиугольник, Шестиугольник, Вписанная окружность, Касательная, Полупериметр, Равные окружности, Совпадающие прямые, Высота, Конциклические точки, Чевиан, Вписанная окружность.

Проблема 543.
Прямоугольный треугольник, высота, биссектриса угла, медиана.

Проблема 542.
Прямоугольный треугольник, высота, биссектриса угла, перпендикуляр, 90 градусов.

Проблема 541.
Прямоугольный треугольник, Высота, Биссектриса угла, Конгруэнтность.

Задачи по геометрии 331 — 340.
Квадрат, Окружность, Подобие, Вписанный четырехугольник, Трапеция, Треугольник, Равнобедренный, Окружность, Вписанная окружность, Диагональ, Касательная, Перпендикуляр, Параллель, Конциклические точки.

Задачи по геометрии 321 — 330.
Треугольник, Квадрат, Окружность, Площадь, Вписанный четырехугольник, Касательная, В центре, В центре окружности, Вне окружности, Середина, Высота, Коллинеарность, Совпадение, Равнобедренный, Равносторонний, Параллельный, Перпендикулярный, Диаметр, Конциклический.

Задачи по геометрии 311 — 320.
Окружность, Полуокружность, Хорда, Диаметр, Касательная, Вписанный четырехугольник, Среднее геометрическое, Квадрат, Прямоугольный треугольник, Высота, Коллинеарность, Окружность, Центр вписанной окружности, Эксцентр.

Задачи по геометрии 301 — 310.
Окружность, Касательная, Секущая, Квадрат, Треугольник, Биссектриса угла, 45, 60, 90, 120 градусов, Сторона, Нонагон, Середина, Дуга, Диагональ, Полуокружность.

Задачи по геометрии 231 — 240.
Треугольник, Четырехугольник, Квадрат, Параллелограмм, Трапеция, Высота, Расстояния, Середина, Перпендикуляр, Поперек.

Проблема 540.
Прямоугольный треугольник, Квадрат, Параллель, Перпендикуляр, Рассечение, Площадь, Пифагор.

Задачи по геометрии 291 — 300.
Треугольник, Окружность, Квадрат, Конгруэнтность, Подобие, Радиус окружности, Перпендикуляр, Параллель, Секущая, Касательная, Хорда, Пересечение, Середина, Радиус, Угол.

Проблема 539.
Прямоугольный треугольник, Квадрат, Параллель, Перпендикуляр, Рассечение, Площадь, Пифагор.

Задачи по геометрии 281 — 290.
Треугольник, Квадрат, Круг, Восьмиугольник, Конгруэнтность, Равнобедренный, Равносторонний, 90 градусов, Круговой сектор, Полуокружность, Касательная, Радиус, Диаметр, Среднее гармоническое.

Проблема 538.
Треугольник, Биссектриса, Окружность, Середина.

Проблема 537.
Прямоугольник, Середины, Диагональ, Биссектриса.

Проблема 536.
Пересекающиеся окружности, Хорда, Перпендикуляр.

Проблема 535.
Саваяма — Теорема Тебо: треугольник, вписанная окружность, окружность, центр, касательная, Коллинеарный.

Проблема 534.
Прямоугольный треугольник, квадраты, перпендикуляр, рассечение, площади.

Задачи по геометрии 271 — 280.
Окружность, Четырехугольник, Квадрат, Касательная, Куб, Треугольник, Равнобедренный, Площадь, 90-80-80-20 градусов, Окружность, Стрела, Внутренний радиус, Хорда, Перпендикуляр.

Задачи по геометрии 261 — 270.
Правильный многоугольник, пятиугольник, шестиугольник, круг, касательная, сходство, треугольник, гипотенуза, катет, среднее геометрическое, высота, проекция, дробный показатель.

Проблема 533.
Евклида Элементы, Книга XIII, Предложение 10. Наглядная иллюстрация на одной странице.

Задачи по геометрии 251 — 260.
Параллелограмм, Прямоугольник, Треугольник, Квадрат, Круг, Площадь, Сторона, Равносторонний, Равнобедренный, Центроид, Расстояние, Вершина, Окружность, Вписанная окружность, Касательная, Диагональ.

Теорема Брахмагупты и проблемы — Указатель
Брахмагупта (598–668) был индийским математиком и астрономом, открывшим точную формулу площади вписанного четырехугольника.

Твердотельная геометрия: трансформация платоновых тел.Сакральная геометрия, видео и новости.

Задача 532.
Треугольник, Окружность, Равные углы, Перпендикуляр, Площадь.

Теоремы и проблемы Птолемея — Указатель.

Полупериметр, индекс периметра.
Теоремы и задачи.

Задача 531.
Треугольник, Биссектриса, Середина, Параллель, Периметр, Полупериметр.

Задачи по геометрии 241 — 250.
Треугольник, Четырехугольник, Конгруэнтность, Площадь, Параллелограмм, Квадрат, Диагональ, Центр, Наполеон, Медиана, Середина.

Задача 530.
Циклический Четырехугольник, Диагональ, Диаметр, Перпендикуляр, Конгруэнтность.

Задача 529.
Правильная трапеция, окружность, диаметр.

Задача 528.
Треугольник, Медианы, Перпендикуляр, Измерение.

Задача 527.
Окружность, Касательная, Секущая, Хорда, Середина, Измерение.

Задача 526.
Равносторонний треугольник, Окружность, Хорда, Измерение.

Задачи по геометрии 221 — 230.
Равнобедренный, Равносторонний треугольник, Теорема Вивиани, Высота, Расстояния, Правильный многоугольник, Апофема, Центроид, Середина, Перпендикуляр, Поперечный..

Задача 525.
Окружности, Диаметр, Касательная, Радиус, Конгруэнтность, Измерение.

Задача 524.
Окружность, Равносторонние треугольники, Середина, Сторона, Измерение.

Задача 523.
касательных окружностей, диаметр перпендикуляра, коллинеарность.

Задача 522.
Прямоугольный треугольник, Окружность, Диаметр, Касательная.

Проблема 521.
Треугольник с тремя квадратами, Высота, Прямоугольник, Площадь.

Задачи по геометрии 211 — 220.
Равносторонний треугольник, Четырехугольник, Площадь, Циклический четырехугольник, 60 градусов, Биссектриса угла, 120, вписанная окружность, Внутренний радиус, Полуокружность, Касательная, Параллелизм, Прямоугольный треугольник, Высота, Проекция, Ромб, Перпендикуляр, Среднее арифметическое, Расстояние.

Проблема 520.
Треугольник с шестью квадратами, соотношение, площадь.

Проблема 519.
Треугольник, Квадраты, Высота, Перпендикуляр, Прямоугольник, Площадь.

Задачи по геометрии 191 — 200.
Треугольник, Окружность, Квадрат, Площадь, Окружность, Диаметр, Высота, Ортоцентр, Полупериметр, Внутренний радиус, Эксрадиус, Четырехугольник, Угол, Касательная, Прямоугольный треугольник.

Проблема 518.
Параллелограмм, пять квадратов, центры, 45 градусов, мера.

Проблема 517.
Прямоугольный треугольник, Шесть квадратов, Площади.

Проблема 516.
Треугольник, Чевиан, Конгруэнтность, Углы.

Проблема 515.
Треугольник, Двойной угол, Высота, Измерение.

Задачи по геометрии 181 — 190.
Прямоугольный треугольник, трапеция, квадрат, пересекающиеся окружности, круговой сектор, 90 градусов, углы, трисекция, гипотенуза, расстояние, центр, высота, диагональ, 45 градусов, касательная, хорда, перпендикуляр.

Проблема 514.
Треугольник, Пять Квадратов, Линия, Площадь.

Проблема 513.
Треугольник, Двойной угол, Биссектриса внешнего угла, Измерение.

Задачи по геометрии 171 — 180.
Площадь, Треугольник, Четырехугольник, Окружность, Параллелограмм, Трапеция, Квадрат, Ромб, Диагональ, Угол, Касательная, Трисекция.

Задачи по геометрии 161 — 170.
Площадь, Треугольник, Параллелограмм, Трапеция, Пятиугольник, Диагональ, Середина, Восьмиугольник.

Проблема 512.
Треугольник с тремя квадратами и параллелизмом.

Проблема 511.
Треугольник, Двойной угол, Биссектриса угла, Измерение.

Проблема 510.
Треугольник, три квадрата, средние точки, параллелизм.

Проблема 509.
Треугольник, 120 градусов, углы, конгруэнтность, интеллект-карта.

Задачи по геометрии 151 — 160.
Треугольник, Четырехугольник, Площадь, Трисекция, Окружность, Пропорция, Диагональ, Хорда, Внутренний радиус, Окружной радиус, Исходящий радиус, Эйлер, Расстояние, В центре, Окружность, Внецентр, Вписанная окружность, Окружность.

Проблема 508.
Треугольник с тремя квадратами, Четыре треугольника равной площади.

Проблема 507.
Треугольник, Внутренняя точка, 120 градусов, Конгруэнтность, Угол.

Проблема 506.
Треугольник с тремя квадратами, центром, серединой, перпендикуляром.

Проблема 505.
Прямоугольный треугольник, чевиан, сумма сегментов, углов.

Проблема 504.
Равносторонний треугольник, углы 45, 60 градусов.

Десять задач по геометрии, визуальный индекс

Проблема 503.
Треугольник с тремя квадратами, перпендикуляр, конгруэнтность, параллелизм.

Задачи по геометрии 141 — 150.
Треугольник, Четырехугольник, Параллелограмм, Вписанная окружность, В центре, Касательная, Параллельность, Периметр, Площадь, Внутренний радиус, Окружной радиус, Середина, Вариньон, Трисекция.

Проблема 502.
Треугольник, Два квадрата, Середина, Перпендикуляр, Половина меры.

Проблема 501.
Треугольник, Два Квадрата, Центр, Середина, еще один Квадрат.

Проблема 500.
Окружность, Диаметр, Хорда, Перпендикуляр, Мера.

Задача 499.
Треугольник, два квадрата, перпендикуляр.

Задача 498.
Треугольник, Биссектриса, Двойной угол, Измерение.

Задача 497.
Треугольник, два квадрата, центры, середина, 90 градусов.

Задача 496.
Треугольник, два квадрата, 90 градусов, параллелизм, биссектрисы угла.

Задача 495.
Треугольник, 120 градусов, биссектрисы угла.

Задачи по геометрии 121 — 130.
Треугольник, Площадь, Подобие, Трисекция, Шестиугольник, Звезда, В центре, Центроид, Параллельность, Пропорции, Биссектриса угла, Отношение

Задача 494.
Круговой сектор, 90 градусов, полуокружность, хорда, параллель.

Задачи по геометрии 111 — 120.
Ортогональные окружности, треугольник, квадрат, площадь, вписанная окружность, вписанная окружность, касательная, центр вписанной окружности

Линия Симсона, Теоремы и задачи — Указатель.

Задачи по геометрии 101 — 110.
Угол, Равносторонний треугольник, Теорема Пифагора, Медиана, Герон, Чевиан, Контактный треугольник.

Задача 493.
Прямоугольный треугольник, Окружность, Перпендикуляр, Хорда.

Задача 492.
Циклический Четырехугольник, Окружность, Перпендикуляр, Сторона, Диагональ, Параллельность.

Задачи по геометрии 91 — 100.
Подобие, Треугольники, Высота, Параллель, Окружность, Параллелограмм, В центре, Площадь, Центроид, Четырехугольник, Архимед, Пифагор.

Задача 491.
Квадрат, Прямоугольный треугольник, Вписанная окружность, Вписанная окружность, Радиус.

Задачи по геометрии 81 — 90.
Треугольник, Четырехугольник, Окружность, Вписанная окружность, Окружность, Внекруг, Внутренний радиус, Окружной радиус, Исходящий радиус, Контактный треугольник, Площадь, Середина.

Задача 490.
Касательные окружности, Дуга, Радиус, Круговой сектор, Площадь.

Задача 489.
Параллелограмм, Треугольник, Четырехугольник, Площадь.

Задача 488.
Треугольник, Чевиан, Параллелизм, Круг, Окружность.

Задачи по геометрии 71 — 80.
Циклический четырехугольник, пересекающиеся окружности, площадь, внутренний радиус, вписанная окружность.

Задача 487.
Пересекающиеся Круги, площадь, диаметр, параллели, 90 градусов.

Задача 486.
Касательные окружности, Хорда, Дуга, Середина, Коллинеарность, Конгруэнтность.

Задача 485.
Квадрат, Сторона, Окружность, Касательная, Радиус, Измерение.

Задача 484.
Квадрат, Угол, 90 градусов, Треугольник, Измерение, Пропорция.

Задачи по геометрии — визуальный указатель.

Задача 483.
Квадрат, Угол, 90 градусов, Измерение.

Задача 482.
Треугольник, Окружность, Центр вписанной окружности, Эксцентр, Середина, Циклические точки.

Задача 481.
Треугольник, Высота, Чевиан, Перпендикуляр, Угол.

Задачи по геометрии 61 — 70.
Треугольник, Четырехугольник, Круг, Цикличность, Подобие.

Задача 480.
Треугольник, Окружность, Центр, Высота, Угол, Центр окружности.

Задача 479.
Треугольник, Cevians, Concurrency, Transversal, Proportion.

Задача 478.
Треугольник, Стороны, Радиус окружности, Центр окружности, Окружность.

Задача 477.
Параллелограмм, Треугольник, Четырехугольник, Площадь.

Задачи по геометрии 51 — 60.
Треугольник, четырехугольник, круг, вписанный четырехугольник.

Задача 476.
Треугольник, Центр окружности, Окружность, Углы.

Задача 475.
Касательные окружности, секущая, касательная, параллельная.

Задачи по геометрии 41 — 50.
Треугольник, Сангаку, Четырехугольник, Круг, 30-60 градусов.

Задача 474.
Параллелограмм, Диагональ, Окружность, Вершина.

Задача 473.
Треугольник, Параллель, Сторона, Параллелограмм, Площадь, Подобие.

Задача 472.
Треугольник, Параллель, Сторона, Параллелограмм, Площадь, Подобие.

Задачи по геометрии 21 — 30.
Прямоугольный треугольник, Высота, Вписанная окружность и внутренний радиус, Конгруэнтность, Окружность.

Задача 471.
Треугольник, Параллельность, Сторона, Параллелизм, Площадь, Подобие.

Задачи по геометрии 11 — 20.
Угол, Биссектриса угла, Треугольник, Высота, Медиана, Конгруэнтность, Чевиана, Окружность, Excircle, Excenter, Inradius, Exradius

Задача 470.
Треугольник, Параллель, Сторона, Параллелограмм, Площадь, Подобие.

Задачи по геометрии 1–10.
Угол, Треугольник, Четырехугольник, Конгруэнтность, 20, 30, 45, 60, 80, 120 градусов, Срединные, Вспомогательные линии.

Предложенный Задача 469.
Равнобедренный треугольник, Середина, Трансверсаль, Конгруэнтность.

Предложенный Задача 468.
Окружность, Хорда, Середина, Конгруэнтность, Угол.

Предложенный Задача 467.
Концентрические окружности, Хорда, Касательная, Конгруэнтность, Измерение.

Предложенный Задача 466.
Концентрические окружности, Секущая, Конгруэнтность, Измерение.

Предложенный Задача 465.
Квадрат, Дуга, Угол, 90 градусов, Измерение.

Теоремы и проблемы Наполеона, Index.

Предложенный Задача 464.
Квадрат, Дуги, Центр, Угол, 90 градусов, 120 градусов.

Концентрический Круги.Показатель.
Теоремы и задачи.

Концентрический Определение кругов.

Предложенный Задача 463.
Три концентрических окружности, секущая, касательная, треугольник, площадь.

Предложенный Задача 462.
Квадрат, Дуги, 90 градусов, Окружность, Тангенс, Радиус, Измерение.

Предложенный Задача 461.
Три окружности, Касательная, Прямой угол, Центр, Расстояние, Измерение.

Предложенный Задача 460.
Окружность, Касательная, Перпендикуляр, Радиус, Расстояние, Измерение.

Предложенный Задача 459.
Прямоугольный треугольник, Квадраты, Расстояние, Измерение.

Предложенный Задача 458.
Квадрат, Полуокружность, Круговой сектор, Внутренняя общая касательная, Измерение.

Предложенный Задача 457.
Треугольник, Первая точка Брокара, Конгруэнтные углы, Окружность, Радиус окружности.

Предложенный Задача 456.
Три касательные окружности, Центр, Хорда, Секущая, Коллинеар.

Предложенный Задача 455.
Ромб, Вписанная окружность, Угол, Хорда, 45 градусов.

Предложенный Задача 454.
Треугольник, Вписанная окружность, Внутренний радиус, Касательная, Окружность, Радиус.

Предложенный Задача 453.
Пересекающиеся окружности, Касательная, Отрезок окружности, Конгруэнтность, Площадь.

Треугольные центры, Визуальный указатель.

Точка Ферма.
 

Вектен Внешняя точка.
 

Предложенный Задача 452.
Треугольник, Окружность, Касательная, Пропорциональные отрезки.

Предложенный Задача 451.
Треугольник, Медиана, Конгруэнтность, Пропорциональные сегменты.

Предложенный Задача 450.
Треугольник, медиана, чевиан, конгруэнтность, пропорциональные отрезки.

Предложенный Задача 449.
Конгруэнтные касательные окружности, Диаметр, Стрелец, Дуга, Перпендикуляр, Хорда.

Предложенный Задача 448.
Касательные окружности, Диаметр, Перпендикуляр, Хорда.

Предложенный Задача 447.
Полный четырехугольник, внутренний радиус, внешний радиус, стороны.

Полный указатель четырехугольника.
 

Предложенный Задача 446.
Площадь четырехугольника, стороны которого делятся на 5 равных частей.

Предложенный Задача 445.
Три окружности касания, точки касания, радиус окружности.

Предложенный Задача 444.
Внутренние касательные окружности, Секущая линия, Хорды, Углы, Конгруэнтность.

Предложенный Задача 443.
Перекрытие, Пересекающиеся окружности, Общая хорда, Секущая, Касательная, Углы.

Предложенный Задача 442.
Треугольник, Срединный, Чевиан, Трансверсальный, Конгруэнтный Углы.

Предложенный Задача 441.
Четырехугольник, Треугольник, Площадь, Пропорция, Измерение, Подобие.

Предложенный Задача 440.
Треугольник, Вписанная окружность, Центр вписанной окружности, Биссектриса угла, Точки касания, Окружность, Углы.

Теорема Мэрион Уолтер и связанные темы: Индекс

Предложенный Задача 439.
Равнобедренный треугольник, Чевиан, В центре, Углы, Окружность.

Предложенный Задача 438.
Касательные окружности, Диаметр, Хорда, Перпендикуляр, Конгруэнтность, Измерение, Параллельные линии.

Предложенный Задача 437.
Касательные окружности, Диаметр, Хорда, Перпендикуляр, Конгруэнтность, Измерение.

Предложенный Задача 436.
Касательные окружности, Диаметр, Хорда, Перпендикуляр, Конгруэнтность, Измерение.

Расстояние между вписанным центром и центроидом треугольника.
Формула для сторон a,b,c.

Расстояния между центрами треугольников Показатель.

Предложенный Задача 435.
Треугольник, Вписанная окружность, Внутренний радиус, Конгруэнтные окружности, Касательная, Измерение.

Предложенный Задача 434.
Четырехугольник, Трансверсаль, Отношение, Измерение, Подобие.

Предложенный Задача 433.
Четырехугольник, Треугольник, Площадь, Доля, Измерение, Подобие.

Предложенный Задача 432.
Трапеция, Параллельность, Измерение, Подобие, Поперечная.

Предложенный Задача 431.
Четырехугольник, середины диагоналей, трансверсаль.

Поперечные линии.

Предложенный Задача 430.
Описанных и вписанных правильных пятиугольников, перпендикуляров, площадей.

Тупой угол.Теоремы и проблемы.

Равнобедренный треугольник 80-20-80. Индекс

Предложенный Задача 429.
Описанный и вписанный правильный пятиугольник, перпендикуляр, измерение.

Предложенный Задача 428.
Квадрант окружности, Квадрат, Биссектриса угла, Измерение.

Элементы Евклида, книга I, предложение 8: (Side-Side-Side SSS Congruence)

Элементы Евклида, книга I, предложение 7
Даны две прямые, построенные на прямой (от ее концов) и пересекающиеся в точке…

Предложенный Задача 427.
Треугольник, две высоты, квадрат стороны.

Предложенный Задача 426.
Треугольник, радиус окружности, центр окружности, параллельные чевианы.

Элементы Евклида, Книга I, Предложение 5: (Pons Asinorum) Равнобедренные треугольники

Площадь квадратного индекса.

Элементы Евклида, книга I, предложение 6: Конверс I.5

Предложенный Задача 425.
Четырехугольник, Треугольник, Углы, 10, 20, 50 градусов, Конгруэнтность.

Перейти на страницу: Предыдущая | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | Далее

Домашние задания 15

Домашние задания 15

Ответы на домашние задания

( стр.159, Smart, Modern Geometries, 4-е изд. .)

1 . Сколько в треугольнике:

  • а. Круги с девятью точками?
  • б. Линии Эйлера?
  • г. Баллы Микеля?

Ответ : 1, 1, бесконечное число.

3 . Укажите максимальное и минимальное количество точек, которые могут быть общими для треугольника и его девятиконечной окружности.

Ответ : 6, 3 Решение : Окружность может пересекать сторону треугольника не более чем в двух точках.Если это произойдет для всех трех сторон, то будет 6 общих точек (максимум). Поскольку девятиконечная окружность должна проходить через основания высот и середины сторон, если они совпадают (т. е. в равностороннем треугольнике), то девятиконечная окружность будет пересекать стороны треугольника только в одном точка, дающая 3 общих точки (минимум)

5 . При доказательстве теоремы 4.16 докажите, что DB’C’A’ — равнобедренная трапеция.

Решение :Поскольку B’ и C’ являются серединами сторон треугольника, прямая, соединяющая их, параллельна третьей стороне треугольника, которая включает в себя отрезок DA’.Таким образом, противоположные стороны B’C’ и DA’ этого четырехугольника параллельны, так что это трапеция. Поскольку A’ и C’ являются серединами сторон треугольника, A’C’ имеет длину, равную 1/2 длины AC. В прямоугольном треугольнике ADC отрезок DB’ соединяет вершину прямого угла с серединой гипотенузы. Длина такой линии равна 1/2 гипотенузы, то есть АС. Таким образом, DB’ и A’C’ имеют одинаковую длину, поэтому трапеция равнобедренная.

7 . Завершите детали доказательства теор.4.17 в тексте нет.

Решение . В доказательстве отсутствуют две детали: AHBI — параллелограмм и AG = 2GA’. Этот второй факт следует из того факта, что центроид делит на три части каждую из биссектрис угла, проходящих через него. На схеме (рис. 4.19) ДИ — это диаметр окружности. Это означает, что углы CAI и CBI прямые. Таким образом, IB параллелен высоте AD (отсюда AH), а IA параллелен высоте BH. Следовательно, AHBI — параллелограмм.

9 . Докажите, что девятиконечная окружность делит пополам каждый отрезок, соединяющий ортоцентр с точкой описанной окружности.

Решение . Пусть K — точка описанной окружности. Соедините K с H (ортоцентр) и пусть L будет точкой, где этот отрезок пересекает окружность с девятью точками. Соедините N (центр девятиконечной окружности) с L и O (центр описанной окружности) с K. Рассмотрите треугольники HKO и HLN. Поскольку N включен и делит пополам OH, отношение HN к HO равно 1:2.Поскольку NL — радиус девятиконечной окружности, а OK — радиус описанной окружности, их соотношение равно 1:2 (см. условие упражнения 8). Поскольку эти два треугольника имеют общий угол H, они должны быть подобны. Таким образом, отношение HL к HK также равно 1:2, т. е. L делит пополам отрезок HK.

11 .

  • а. Нарисуйте рисунок, показывающий пример, в котором точка Микеля находится вне треугольника.
  • б. При необходимости измените доказательство, чтобы три окружности совпадали.

Решение : а)

б) Угол ECF является внешним углом треугольника ABC, поэтому его мера есть сумма мер углов A и B. Пусть окружности, проходящие через ECF и BDE, пересекаются в точке M. Тогда угол FME и угол ECF являются дополнительными. Кроме того, углы EMD и EBD (то есть угол B) равны, потому что они вписывают одну и ту же дугу в окружность BDE. Теперь мера угла FME = \pi — мера угла ECF = \pi — мера угла A — мера угла B.Итак, мы имеем \pi — m(A) = m(FME) + m(B) = m(FME) + m(EMD) = m(FMD). Таким образом, углы FMD и A являются дополнительными, что означает, что M лежит на окружности, определяемой A, F и D.

13 . Покажите, что на прямой Эйлера центр тяжести и ортоцентр делят внутри и снаружи в одинаковом отношении отрезок, концами которого являются центр описанной окружности и центр девятиконечной окружности.

Решение :

15 . Докажите, что если точка Микеля лежит на описанной окружности, то три точки на сторонах треугольника лежат на одной прямой.

Решение . См. схему упражнения 11а. Поскольку M лежит на описанной окружности, углы CMB и A являются дополнительными. Поскольку A, D, M и F лежат на одной окружности, углы FMD и A являются дополнительными. Следовательно, углы CMB и FMD равны. Поскольку эти два угла пересекаются в угле CMD, мы имеем, что углы CMF и DMB равны. Теперь угол CEF равен CMF, потому что они вписывают одну и ту же дугу в окружность CEF. Кроме того, угол DEB и угол DMB равны, потому что они вписывают одну и ту же дугу в окружность DEB.Таким образом, CEF и DEB конгруэнтны. Поскольку CEB является прямой, DEF также должен лежать на прямой (противоположные углы равны).

описанная окружность

  • описанная окружность — /serr keuhm serr keuhl/, н. геом. окружность, описанная вокруг фигуры. [1880 85; КРУГ + КРУГ] * * * …   Универсалиум

  • описанная окружность — существительное Окружность, проходящая через каждую вершину заданного треугольника (или другого многоугольника, где это возможно) …  

  • описанная окружность — существительное Геометрия круг, касающийся всех вершин треугольника или многоугольника …   Словарь новых терминов английского языка

  • circlecircle — cir·cum·circle …   Английские слоги

  • описанная окружность — н.геом. окружность, касающаяся всех вершин треугольника или многоугольника …   Полезный словарь английского языка

  • Описанная окружность — Описанная окружность С и центр описанной окружности О вписанного многоугольника Р В геометрии описанная окружность или описанная окружность многоугольника — это окружность, проходящая через все вершины многоугольника. Центр этой окружности называется… …   Wikipedia

  • Треугольник — Эта статья об основной геометрической форме.Чтобы узнать о других значениях, см. Треугольник (значения). Равнобедренные и остроугольные треугольники перенаправляются сюда. Чтобы узнать о трапеции, см. Равнобедренную трапецию . Чтобы узнать об эпизоде ​​«Добро пожаловать в Paradox», см. Список «Добро пожаловать в… …   Wikipedia

  • ».
  • Вписанная и вписанная окружности треугольника — Треугольник (черный) с вписанной окружностью (синий), вписанной окружностью (I), вписанными окружностями (оранжевый), эксцентрами (JA,JB,JC), биссектрисами внутреннего угла (красные) и внешним углом биссектрисы (зеленый) В геометрии вписанная или вписанная окружность треугольника является наибольшей окружностью …   Википедия

  • Вписанный четырехугольник — Вписанный четырехугольник.В евклидовой геометрии вписанный четырехугольник — это четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. Эта окружность называется описанной окружностью или описанной окружностью, а вершины называются конциклическими. Другое… …   Википедия

  • Линия Симсона — В геометрии для данного треугольника и точки на его описанной окружности пересечения, образованные при построении линий из точки, перпендикулярной каждой из сторон треугольника, коллинеарны. Линия, проходящая через эти точки, является линией Симсона, называемой …   Википедия

  • Форма трапеции.Примеры решения задач

    Трапеция — это частный случай четырехугольника с одной парой параллельных сторон. Термин «трапеция» происходит от греческого слова τράπεζα, означающего «стол», «стол». В этой статье мы рассмотрим виды трапеций и их свойства. Кроме того, мы разберемся, как рассчитать отдельные элементы данного примера, диагональ равнобедренной трапеции, среднюю линию, площадь и т. д. Материал изложен в стиле элементарной популярной геометрии, то есть в легкодоступном форма.

    Общая информация

    Для начала разберемся, что такое четырехугольник. Эта фигура является частным случаем многоугольника, содержащего четыре стороны и четыре вершины. Две несмежные вершины четырехугольника называются противоположными. То же самое можно сказать и о двух несмежных сторонах. Основные виды четырехугольников – параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция и дельтовидная форма.

    Итак, вернемся к трапеции. Как мы уже говорили, у этой фигуры две стороны параллельны.Они называются базами. Две другие (непараллельные) — стороны. В экзаменационных материалах и различных контрольных работах очень часто можно встретить задачи, связанные с трапециями, решение которых зачастую требует от студента знаний, не предусмотренных программой. Школьный курс геометрии знакомит учащихся со свойствами углов и диагоналей, а также со средней линией равнобедренной трапеции. Но ведь помимо этого упомянутая геометрическая фигура имеет и другие особенности.Но о них позже…

    Виды трапеций

    Есть много видов этой фигуры. Однако чаще всего принято рассматривать две из них – равнобедренную и прямоугольную.

    1. Прямоугольной трапецией называется фигура, у которой одна из сторон перпендикулярна основаниям. Он имеет два угла, которые всегда равны девяноста градусам.

    2. Равнобедренная трапеция – геометрическая фигура, стороны которой равны между собой. Это означает, что углы при основаниях также попарно равны.

    Основные принципы методики изучения свойств трапеции

    Основным принципом является использование так называемого задачного подхода. На самом деле нет необходимости вводить в теоретический курс геометрии новые свойства этой фигуры. Их можно обнаружить и сформулировать в процессе решения различных задач (лучше системных). При этом очень важно, чтобы преподаватель знал, какие задачи нужно ставить перед учащимися в тот или иной момент.воспитательный процесс. При этом каждое свойство трапеции можно представить как ключевую задачу в системе задач.

    Второй принцип — так называемая спиральная организация изучения «замечательных» свойств трапеции. Это предполагает возврат в процессе обучения к отдельным признакам данной геометрической фигуры. Таким образом, учащимся легче их запомнить. Например, свойство четырех точек. Это можно доказать как при изучении подобия, так и впоследствии с помощью векторов.А равенство площадей треугольников, прилегающих к сторонам фигуры, можно доказать, применяя не только свойства равновеликих треугольников, проведенных к сторонам, лежащим на одной прямой, но и используя формулу S= 1/ 2(ab*sinα). Кроме того, можно отработать на вписанной трапеции или прямоугольном треугольнике на описанной трапеции и т. д.

    Использование «внепрограммных» признаков геометрической фигуры в содержании школьного курса является задачей технологии их обучение.Постоянное обращение к изучаемым свойствам при прохождении других тем позволяет учащимся получить более глубокие знания о трапеции и обеспечивает успешность решения поставленных задач. Итак, приступим к изучению этой замечательной фигуры.

    Элементы и свойства равнобедренной трапеции

    Как мы уже отмечали, стороны этой геометрической фигуры равны. Ее еще называют правильной трапецией. Чем он так примечателен и почему получил такое название? К особенностям этой фигуры относится то, что равны не только стороны и углы у оснований, но и диагонали.Кроме того, сумма углов равнобедренной трапеции равна 360 градусов. Но это не все! Из всех известных трапеций только вокруг равнобедренной можно описать окружность. Это связано с тем, что сумма противоположных углов этой фигуры равна 180 градусам, и только при этом условии вокруг четырехугольника можно описать окружность. Следующее свойство рассматриваемой геометрической фигуры состоит в том, что расстояние от вершины основания до проекции противоположной вершины на прямую, содержащую это основание, будет равно средней линии.

    Теперь разберемся, как найти углы равнобедренной трапеции. Рассмотрим решение этой задачи при условии, что известны размеры сторон фигуры.

    Solution

    Обычно четырехугольник принято обозначать буквами A, B, C, D, где BS и AD — основания. У равнобедренной трапеции стороны равны. Будем считать, что их размер равен X, а размеры оснований равны Y и Z (меньше и больше соответственно). Для выполнения расчета необходимо от угла В провести высоту Н.В результате получится прямоугольный треугольник ABN, где AB — гипотенуза, а BN и AN — катеты. Вычисляем размер катета АН: из большего основания вычитаем меньшее, а результат делим на 2. Записываем в виде формулы: (ЗУ)/2=Ф. Теперь для расчета острого угла треугольника воспользуемся функцией cos. Получаем следующую запись: cos(β) = Х/F. Теперь вычисляем угол: β=arcos (Х/F). Далее, зная один угол, мы можем определить второй, для этого выполняем элементарное арифметическое действие: 180 — β.Все углы определены.

    Есть и второе решение этой проблемы. В начале опускаем высоту Н от угла В. Рассчитываем величину ножки БН. Мы знаем, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Получаем: БН = √(X2-F2). Далее воспользуемся тригонометрической функцией tg. В результате имеем: β = arctg(BN/F). Найден острый угол. Далее определяем аналогично первому способу.

    Свойство диагоналей равнобедренной трапеции

    Сначала запишем четыре правила.Если диагонали в равнобедренной трапеции перпендикулярны, то:

    Высота фигуры будет равна сумме оснований, деленной на два;

    Его высота и срединная линия равны;

    Центром круга является точка, где ;

    Если боковая сторона делится точкой касания на отрезки Н и М, то она равна произведениям квадратных корней этих отрезков;

    Четырехугольник, образованный точками касания, вершиной трапеции и центром вписанной окружности, представляет собой квадрат, сторона которого равна радиусу;

    Площадь фигуры равна произведению оснований на произведение половины суммы оснований на ее высоту.

    Подобные трапеции

    Эта тема очень удобна для изучения свойств этой. Например, диагонали делят трапецию на четыре треугольника, причем прилежащие к основаниям подобны, а прилежащие к сторонам равны. Это утверждение можно назвать свойством треугольников, на которые трапеция делится своими диагоналями. Первая часть этого утверждения доказывается с помощью критерия подобия в двух углах. Для доказательства второй части лучше использовать изложенный ниже метод.

    Доказательство теоремы

    Примем, что фигура ABSD (AD и BS — основания трапеции) делится диагоналями VD и AC. Точка их пересечения — О. Получаем четыре треугольника: АОС — у нижнего основания, БОС — у верхнего основания, АВО и СОД — у боковых сторон. Треугольники SOD и BOS имеют общую высоту, если их основаниями являются отрезки BO и OD. Получаем, что разница между их площадями (П) равна разнице между этими отрезками: ПБОС/ПСОД=БО/ОД=К.Следовательно, PSOD = PBOS/K. Точно так же треугольники BOS и AOB имеют общую высоту. За их основания возьмем отрезки СО и ОА. Получаем PBOS/PAOB=CO/OA=K и PAOB=PBOS/K. Отсюда следует, что PSOD=PAOB.

    Для закрепления материала учащимся предлагается найти зависимость между площадями полученных треугольников, на которые трапеция делится своими диагоналями, путем решения следующей задачи. Известно, что площади треугольников BOS и AOD равны, необходимо найти площадь трапеции.Поскольку ПСОД = ПАОБ, значит, ПАВСД = ПБОС + ПАОД + 2 * ПСОД. Из подобия треугольников BOS и AOD следует, что BO/OD = √(PBOS/PAOD). Следовательно, PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Получаем PSOD=√(PBOS*PAOD). Тогда PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

    Подобие свойств

    Продолжая развивать эту тему, мы можем доказать и другие интересные особенности трапеций. Итак, используя подобие, можно доказать свойство отрезка, проходящего через точку, образованную пересечением диагоналей этой геометрической фигуры, параллельно основаниям.Для этого решим следующую задачу: необходимо найти длину отрезка RK, проходящего через точку O. Из подобия треугольников AOD и BOS следует, что AO/OS=AD/BS. Из подобия треугольников АОП и АСБ следует, что АО/АС=РО/БС=АД/(БС+АД). Отсюда получаем, что РО = БС*АД/(БС+АД). Аналогично, из подобия треугольников DOK и DBS следует, что OK = BS * AD / (BS + AD). Отсюда мы получаем, что RO=OK и RK=2*BS*AD/(BS+AD).Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей, параллельных основаниям и соединяющий две стороны, делится точкой пересечения пополам. Его длина есть среднее гармоническое оснований фигуры.

    Рассмотрим следующее свойство трапеции, которое называется свойством четырех точек. Точки пересечения диагоналей (О), пересечения продолжения сторон (Е), а также середины оснований (Т и W) всегда лежат на одной прямой.Это легко доказывается методом подобия. Получившиеся треугольники BES и AED подобны, и в каждом из них медианы ET и EZH делят угол при вершине E на равные части. Следовательно, точки E, T и W лежат на одной прямой. Точно так же точки T, O и G расположены на одной прямой. Все это следует из подобия треугольников BOS и AOD. Отсюда делаем вывод, что все четыре точки — Е, Т, О и W — будут лежать на одной прямой.

    Используя подобные трапеции, учащимся можно предложить найти длину отрезка (LF), который делит фигуру на две подобные.Этот отрезок должен быть параллелен основаниям. Так как получившиеся трапеции ALFD и LBSF подобны, то BS/LF=LF/AD. Отсюда следует, что LF=√(BS*BP). Получаем, что отрезок, который делит трапецию на две подобные, имеет длину, равную среднему геометрическому длин оснований фигуры.

    Рассмотрим следующее свойство сходства. В его основе лежит отрезок, который делит трапецию на две фигуры одинакового размера. Примем, что трапеция ABSD делится отрезком EN на два подобных.От вершины B опускается высота, которая делится отрезком EH на две части — B1 и B2. Получаем: ПАБСД/2=(БС+ЭХ)*Б1/2=(АД+ЭХ)*Б2/2 и ПАБСД=(БС+АД)*(Б1+Б2)/2. Далее составляем система, первое уравнение которой (БС+ЭН)*В1=(АД+ЭН)*В2 и второе (БС+ЭН)*В1=(БС+АД)*(В1+В2)/2. Отсюда следует что B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) и BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Получаем, что длина отрезка, делящего трапецию на две равные, равна среднему квадрату длин оснований: √ ((BS2 + AD2)/2).

    Выводы о подобии

    Итак, мы доказали, что:

    1. Отрезок, соединяющий середины сторон трапеции, параллелен AD и BS и равен среднему арифметическому между BS и AD (длина основание трапеции).

    2. Прямая, проходящая через точку О пересечения диагоналей, параллельных AD и BS, будет равна среднему гармоническому чисел AD и BS (2 * BS * AD / (BS + AD)).

    3. Отрезок, делящий трапецию на подобные, имеет длину среднего геометрического оснований BS и AD.

    4. Элемент, делящий фигуру на две равные, имеет длину средних квадратов чисел AD и BS.

    Для закрепления материала и понимания связи между рассматриваемыми отрезками учащемуся необходимо построить их для конкретной трапеции. Он легко может отобразить среднюю линию и отрезок, проходящий через точку О — пересечение диагоналей фигуры — параллельно основаниям. Но где будет третий и четвертый? Этот ответ приведет учащегося к обнаружению желаемого соотношения между средними значениями.

    Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции

    Рассмотрим следующее свойство этой фигуры. Примем, что отрезок MH параллелен основаниям и делит диагонали пополам. Назовем точки пересечения W и W. Этот отрезок будет равен полуразности оснований. Давайте проанализируем это более подробно. МШ — средняя линия треугольника АБС, она равна БС/2. МС — средняя линия треугольника АВД, она равна АД/2.Тогда получаем, что ШЩ = МЩ-МШ, следовательно, Сщ = АД/2-БС/2 = (АД+ВС)/2.

    Центр тяжести

    Посмотрим, как определяется этот элемент для данной геометрической фигуры . Для этого необходимо вытянуть основания в противоположные стороны. Что это значит? Необходимо к верхнему основанию добавить нижнее основание — в любую из сторон, например, вправо. А низ удлиняется на длину верха влево. Далее соединяем их диагональю.Точка пересечения этого отрезка со средней линией фигуры является центром тяжести трапеции.

    Вписанные и описанные трапеции

    Перечислим признаки таких фигур:

    1. Трапецию можно вписать в окружность только в том случае, если она равнобедренная.

    2. Трапецию можно описать по окружности при условии, что сумма длин их оснований равна сумме длин сторон.

    Последствия вписанного круга:

    1.Высота описываемой трапеции всегда равна двум радиусам.

    2. Боковая сторона описанной трапеции наблюдается из центра окружности под прямым углом.

    Первое следствие очевидно, а для доказательства второго требуется установить, что угол СОД прямой, что, собственно, тоже не составит труда. Но знание этого свойства позволит нам использовать прямоугольный треугольник при решении задач.

    Уточним теперь эти следствия для равнобедренной трапеции, вписанной в окружность.Получаем, что высота есть среднее геометрическое оснований фигуры: H=2R=√(BS*AD). Отрабатывая основной прием решения задач на трапеции (принцип рисования двух высот), учащийся должен решить следующую задачу. Примем, что BT есть высота равнобедренной фигуры ABSD. Необходимо найти отрезки AT и TD. Используя формулу, описанную выше, сделать это не составит труда.

    Теперь разберемся, как определить радиус окружности, используя площадь описанной трапеции.Снижаем высоту от вершины B к основанию AD. Так как окружность вписана в трапецию, то BS+AD=2AB или AB=(BS+AD)/2. Из треугольника ABN находим sinα=BN/AB=2*BN/(BS+AD). ПАБСД=(БС+АД)*БН/2, БН=2Р. Получаем ПАБСД=(БС+АД)*R, отсюда следует, что R=ПАБСД/(БС+АД).

    Все формулы средней линии трапеции

    Теперь пора перейти к последнему элементу этой геометрической фигуры.Разберемся, чему равна средняя линия трапеции (М):

    1. Через основания: М = (А+В)/2.

    2. Через высоту, основание и углы:

    М = АХ*(ctgα + ctgβ)/2;

    М = В + Н * (ctgα + ctgβ) / 2.

    3. Через высоту, диагонали и угол между ними. Например, D1 и D2 — диагонали трапеции; α, β — углы между ними:

    M = D1*D2*sinα/2H = D1*D2*sinβ/2H.

    4. По площади и высоте: М = П/Н.

    В этой статье мы постараемся максимально полно отразить свойства трапеции. В частности, речь пойдет об общих признаках и свойствах трапеции, а также о свойствах вписанной трапеции и о окружности, вписанной в трапецию. Затронем также свойства равнобедренной и прямоугольной трапеции.

    Пример решения задачи с использованием рассмотренных свойств поможет вам разобраться в голове и лучше запомнить материал.

    Трапеция и все-все-все

    Для начала кратко вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны.

    Итак, трапеция – это четырехугольник, две стороны которого параллельны друг другу (это основания). А две не параллельны — это стороны.

    В трапеции высоту можно не указывать — перпендикулярно основаниям. Проводятся средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции можно провести биссектрису.

    О различных свойствах, связанных со всеми этими элементами и их комбинациями, мы сейчас и поговорим.

    Свойства диагоналей трапеции

    Чтобы было понятнее, при чтении нарисуйте трапецию ACME на листе бумаги и проведите в ней диагонали.

    1. Если найти середины каждой из диагоналей (назовем эти точки X и T) и соединить их, получится отрезок. Одно из свойств диагоналей трапеции состоит в том, что отрезок XT лежит на средней линии.А его длину можно получить, разделив разность оснований на два: XT = (a — b)/2·.
    2. Перед нами та самая трапеция ACME. Диагонали пересекаются в точке O. Рассмотрим треугольники AOE и IOC, образованные отрезками диагоналей вместе с основаниями трапеции. Эти треугольники подобны. Коэффициент подобия k треугольников выражается через отношение оснований трапеции: k = AE/KM.
      Отношение площадей треугольников AOE и IOC описывается коэффициентом k 2 .
    3. Все та же трапеция, те же диагонали, пересекающиеся в точке О. Только на этот раз мы будем рассматривать треугольники, которые диагональные отрезки образовали вместе со сторонами трапеции. Площади треугольников АКО и ЭМО равны — их площади одинаковы.
    4. Еще одним свойством трапеции является построение диагоналей. Итак, если мы продолжим стороны АК и МЕ в сторону меньшего основания, то рано или поздно они пересекутся в какой-то точке. Далее проведите прямую линию через середины оснований трапеции.Она пересекает основания в точках X и T.
      Если теперь продолжить прямую XT, то она соединит точку пересечения диагоналей трапеции O, точку, в которой продолжения сторон и середины трапеций основания X и T пересекаются.
    5. Через точку пересечения диагоналей проводим отрезок, соединяющий основания трапеции (Т лежит на меньшем основании КМ, Х — на большем АЕ). Точка пересечения диагоналей делит этот отрезок в следующем соотношении: ТО/ОН = КМ/АЭ.
    6. А теперь через точку пересечения диагоналей проводим отрезок, параллельный основаниям трапеции (а и б). Точка пересечения разделит его на две равные части. Длину отрезка можно найти по формуле 2ab/(a + b) .

    Свойства средней линии трапеции

    Проведите среднюю линию трапеции параллельно ее основаниям.

    1. Длину средней линии трапеции можно вычислить, сложив длины оснований и разделив их пополам: м = (a + b)/2 .
    2. Если провести любой отрезок (высоту, например) через оба основания трапеции, то средняя линия разделит ее на две равные части.

    Свойство биссектрисы трапеции

    Выберите любой угол трапеции и проведите биссектрису. Возьмем, к примеру, угол КАЕ нашей трапеции АСМЕ. Выполнив построение самостоятельно, вы легко увидите, что биссектриса отсекает от основания (или его продолжения на прямой вне самой фигуры) отрезок той же длины, что и сторона.

    Свойства угла трапеции

    1. Какую бы из двух пар углов, примыкающих к стороне, вы ни выбрали, сумма углов в паре всегда равна 180 0 : α + β = 180 0 и γ + δ = 180 0 .
    2. Соедините середины оснований трапеции отрезком ТХ. Теперь посмотрим на углы при основаниях трапеции. Если сумма углов для любого из них равна 90 0 , длину отрезка ТХ легко вычислить, исходя из разницы длин оснований, разделенной пополам: ТХ = (АЕ — КМ) / 2 .
    3. Если провести параллельные линии через стороны угла трапеции, то они разделят стороны угла на пропорциональные отрезки.

    Свойства равнобедренной (равнобедренной) трапеции

    1. У равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
    2. Теперь снова постройте трапецию, чтобы легче было представить, о чем она. Посмотрите внимательно на основание АЕ — вершина противоположного основания М проецируется в некоторую точку на прямой, содержащей АЕ.Расстояние от вершины А до точки проекции вершины М и средней линии равнобедренной трапеции равно.
    3. Несколько слов о свойстве диагоналей равнобедренной трапеции — их длины равны. А также углы наклона этих диагоналей к основанию трапеции одинаковы.
    4. Только вблизи равнобедренной трапеции можно описать окружность, так как обязательным условием для этого является сумма противоположных углов четырехугольника 180 0 .
    5. Свойство равнобедренной трапеции следует из предыдущего абзаца — если вокруг трапеции можно описать окружность, то она равнобедренная.
    6. Из особенностей равнобедренной трапеции следует свойство высоты трапеции: если ее диагонали пересекаются под прямым углом, то длина высоты равна половине суммы оснований: h = (a + б)/2 .
    7. Снова проведите линию ТХ через середины оснований трапеции — в равнобедренной трапеции она перпендикулярна основаниям. И в то же время ТХ является осью симметрии равнобедренной трапеции.
    8. На этот раз опустите к большему основанию (назовем его а) высоту от противоположной вершины трапеции.Вы получите два разреза. Длину единицы можно найти, если сложить длины оснований и разделить пополам: (a+b)/2 . Второе мы получим, если из большего основания вычтем меньшее и разделим полученную разницу на два: (a – b)/2 .

    Свойства трапеции, вписанной в окружность

    Поскольку речь уже идет о трапеции, вписанной в окружность, остановимся на этом вопросе подробнее. В частности, где находится центр окружности по отношению к трапеции.Здесь тоже рекомендуется не полениться взять в руки карандаш и нарисовать то, о чем пойдет речь ниже. Так вы быстрее поймете и лучше запомните.

    1. Расположение центра окружности определяется углом наклона диагонали трапеции к ее стороне. Например, диагональ может выходить из вершины трапеции под прямым углом к ​​стороне. В этом случае большее основание пересекает центр описанной окружности ровно посередине (R = ½AE).
    2. Диагональ и сторона могут также встречаться под острым углом — тогда центр окружности находится внутри трапеции.
    3. Центр описанной окружности может находиться вне трапеции, за ее большим основанием, если между диагональю трапеции и боковой стороной имеется тупой угол.
    4. Угол, образованный диагональю и большим основанием трапеции ACME (вписанный угол), равен половине соответствующего ей центрального угла: MAE = ½MY .
    5. Коротко о двух способах нахождения радиуса описанной окружности. Способ первый: внимательно посмотрите на свой рисунок — что вы видите? Вы легко заметите, что диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Радиус можно найти через отношение стороны треугольника к синусу противоположного угла, умноженное на два. Например, R = AE/2 * sinAME . Аналогично формулу можно записать для любой из сторон обоих треугольников.
    6. Способ второй: находим радиус описанной окружности через площадь треугольника, образованного диагональю, стороной и основанием трапеции: R = AM * ME * AE / 4 * S AME .

    Свойства трапеции, описанной около окружности

    В трапецию можно вписать окружность, если выполняется одно условие. Подробнее об этом ниже. А вместе это сочетание фигур имеет ряд интересных свойств.

    1. Если в трапецию вписана окружность, то длину ее средней линии легко найти, сложив длины сторон и разделив полученную сумму пополам: м = (с + d)/2 .
    2. Для трапеции ACME, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин сторон: AK + ME = KM + AE .
    3. Из этого свойства оснований трапеции следует обратное утверждение: в ту трапецию, сумма оснований которой равна сумме сторон, можно вписать окружность.
    4. Точка касания окружности радиуса r, вписанной в трапецию, делит боковую сторону на два отрезка, назовем их a и b. Радиус окружности можно рассчитать по формуле: r = √ab .
    5. И еще одно свойство. Чтобы не запутаться, нарисуйте этот пример сами.У нас есть старая добрая трапеция ACME, описанная вокруг окружности. В нем проведены диагонали, пересекающиеся в точке О. Треугольники АОК и ЕОМ, образованные отрезками диагоналей и сторон, прямоугольные.
      Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы (т. е. стороны трапеции), совпадают с радиусами вписанной окружности. А высота трапеции равна диаметру вписанной окружности.

    Свойства прямоугольной трапеции

    Прямоугольной называется трапеция, один из углов которой прямой.И его свойства вытекают из этого обстоятельства.

    1. У прямоугольной трапеции одна сторона перпендикулярна основаниям.
    2. Высота и сторона трапеции, примыкающей к прямому углу, равны. Это позволяет вычислить площадь прямоугольной трапеции (общая формула S = (a + b) * h/2· ) не только через высоту, но и через сторону, примыкающую к прямому углу.
    3. Для прямоугольной трапеции актуальны уже описанные выше общие свойства диагоналей трапеции.

    Доказательства некоторых свойств трапеции

    Равенство углов при основании равнобедренной трапеции:

    • Вы наверное уже догадались, что здесь нам снова понадобится трапеция ACME — нарисуйте равнобедренную трапецию. Из вершины M проведите прямую MT, параллельную стороне AK (MT || AK).

    Получившийся четырехугольник АКМТ является параллелограммом (АК || МТ, КМ || АТ). Поскольку ME = KA = MT, ∆ MTE равнобедренный и MET = MTE.

    АК || МТ, следовательно, МТЭ = КАЭ, МЭТ = МТЭ = КАЭ.

    Где АКМ = 180 0 — МЕТ = 180 0 — КАЭ = КМЭ.

    К.Э.Д.

    Теперь, основываясь на свойстве равнобедренной трапеции (равенстве диагоналей), докажем, что трапеция ACME равнобедренная :

    • Для начала проведем прямую МХ – МХ || КЭ. Получаем параллелограмм КМНЕ (основание — МХ || КЕ и КМ || ЕХ).

    ∆AMH равнобедренный, так как AM = KE = MX и MAX = MEA.

    МХ || KE, KEA = MXE, следовательно, MAE = MXE.

    Оказалось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, так как АМ = КЕ и АЕ — общие стороны двух треугольников. А также MAE=MXE. Можно заключить, что AK = ME, а значит, трапеция AKME равнобедренная.

    Задача для повторения

    Основания трапеции АСМЕ равны 9 см и 21 см, сторона КА, равная 8 см, образует угол 150 0 с меньшим основанием.Вам нужно найти площадь трапеции.

    Решение: Из вершины К опускаем высоту к большему основанию трапеции. И начнем смотреть на углы трапеции.

    Углы АЕМ и КАН односторонние. Значит, в сумме они составляют 1800. Следовательно, КАН = 30 0 (исходя из свойства углов трапеции).

    Теперь рассмотрим прямоугольный ∆ANK (я думаю, что это очевидно для читателей без дополнительных доказательств). Из него находим высоту трапеции KH — в треугольнике это катет, который лежит напротив угла 30 0 .Следовательно, КН = ½АВ = 4 см.

    Площадь трапеции находится по формуле: S АКМЭ = (КМ + АЭ) * КН / 2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2 .

    Послесловие

    Если вы внимательно и вдумчиво изучили эту статью, не поленились нарисовать карандашом в руках трапеции всех вышеперечисленных свойств и разобрать их на практике, вы должны были хорошо усвоить материал.

    Конечно, здесь много информации, разнообразной и местами даже запутанной: спутать свойства описываемой трапеции со свойствами вписанной не так уж и сложно.Но вы сами видели, что разница огромна.

    Теперь у вас есть подробная сводка всех общих свойств трапеции. А также специфические свойства и особенности равнобедренных и прямоугольных трапеций. Очень удобно использовать для подготовки к зачетам и экзаменам. Попробуйте сами и поделитесь ссылкой с друзьями!

    блог.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

    Для обозначения элементов трапеции существует своя терминология.Параллельные стороны этой геометрической фигуры называются ее основаниями. Как правило, они не равны друг другу. Однако есть такое, в котором ничего не сказано о непараллельности сторон. Поэтому некоторые математики рассматривают трапецию параллелограмма как частный случай. Однако в подавляющем большинстве учебников все же упоминается о непараллельности второй пары сторон, которые называются боковыми.

    Есть несколько видов трапеций. Если ее стороны равны между собой, то трапеция называется равнобедренной или равнобедренной.Одна из сторон может быть перпендикулярна основаниям. Соответственно, в этом случае фигура будет прямоугольной.

    Есть еще несколько линий, которые определяют трапеции и помогают рассчитать другие параметры. Разделите стороны пополам и через полученные точки проведите прямую линию. У вас получится средняя линия трапеции. Он параллелен основаниям и их полусумме. Его можно выразить формулой n = (a + b)/2, где n — длина, а и b — длины оснований.Средняя линия — очень важный параметр. Например, через него можно выразить площадь трапеции, которая равна произведению длины средней линии на высоту, то есть S=nh.

    Нарисуйте из угла между стороной и более коротким основанием перпендикулярно длинному основанию. Вы получите высоту трапеции. Как и всякий перпендикуляр, высота есть кратчайшее расстояние между заданными прямыми.

    Он имеет дополнительные свойства, которые вам необходимо знать. Углы между сторонами и основанием этого находятся между собой.Кроме того, его диагонали равны, что легко сделать, сравнив образованные ими треугольники.

    Разделите основания пополам. Найдите точку пересечения диагоналей. Продолжайте стороны, пока они не пересекутся. Вы получите 4 точки, через которые можно провести прямую линию, причем только одну.

    Одним из важных свойств любого четырехугольника является способность построить вписанную или описанную окружность. С трапецией это не всегда получается. Вписанная окружность получается только в том случае, если сумма оснований равна сумме сторон.Окружность можно описать только вокруг равнобедренной трапеции.

    Цирковая трапеция может быть стационарной и передвижной. Первый представляет собой небольшой круглый бар. Он крепится железными прутьями к куполу цирка с двух сторон. Подвижная трапеция крепится тросами или веревками, она может свободно качаться. Встречаются двойные и даже тройные трапеции. Этот же термин используется для описания жанра цирковой акробатики.

    Терминал «трапеция»

    Поэтому назовем один из них большой , вторая — малая база трапеция. Высота трапецией можно назвать любой отрезок перпендикуляра, проведенного из вершин к соответствующей противоположной стороне (для каждой вершины две противоположные стороны), заключенный между взятой вершиной и противолежащей стороной. Но можно выделить «особый тип» высот.
    Определение 8. Высота основания трапеции – это отрезок прямой, перпендикулярный основаниям, заключенный между основаниями.
    Теорема 7 .Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна половине их суммы.
    Доказательство. Пусть даны трапеция ABCD и срединная линия KM. Проведите прямую через точки B и M. Продолжаем сторону AD через точку D до пересечения с BM. Треугольники BCm и MPD равны по стороне и двум углам (CM=MD, ∠ BCM=∠ MDP — перекрытие, ∠ BMC=∠ DMP — вертикаль), поэтому VM=MP или точка M является серединой BP. КМ — средняя линия треугольника АВР. По свойству средней линии треугольника КМ параллельна АР и, в частности, AD и равна половине АР:

    Теорема 8 .Диагонали делят трапецию на четыре части, две из которых, примыкающие к сторонам, равны.
    Напомню, что фигуры называются равными, если они имеют одинаковую площадь. Треугольники ABD и ACD равны по площади, имеют одинаковую высоту (обозначены желтым цветом) и общее основание. Эти треугольники имеют общую часть AOD. Их площадь можно расширить следующим образом:

    Типы трапеций:
    Определение 9. (рисунок 1) Остроугольной трапецией называется трапеция, у которой углы, прилежащие к большему основанию, острые.
    Определение 10. (рисунок 2) Тупой трапецией называется трапеция, у которой один из углов, примыкающих к большему основанию, тупой.
    Определение 11. (рисунок 4) Прямоугольной называется трапеция, у которой одна сторона перпендикулярна основаниям.
    Определение 12. (рисунок 3) Равнобедренная (isosceles, isosceles) – трапеция, у которой стороны равны.

    Свойства равнобедренной трапеции:
    Теорема 10 . Углы, прилежащие к каждому из оснований равнобедренной трапеции, равны.
    Доказательство. Докажем, например, равенство углов A и D при большем основании AD равнобедренной трапеции ABCD. Для этого проведем через точку С прямую, параллельную боковой стороне АВ. Он будет пересекать большое основание в точке М. Четырехугольник ABCM является параллелограммом, так как по построению имеет две пары параллельных сторон. Следовательно, отрезок СМ секущей, заключенной внутри трапеции, равен ее боковой стороне: СМ=АВ. Отсюда видно, что CM=CD, треугольник CMD равнобедренный, ∠CMD=∠CDM и, следовательно, ∠A=∠D.Углы, прилежащие к меньшему основанию, также равны, т.к. являются для найденных внутренними односторонними и имеют сумму двух прямых.
    Теорема 11 . Диагонали равнобедренной трапеции равны.
    Доказательство. Рассмотрим треугольники ABD и ACD. Он равен по двум сторонам и углу между ними (AB=CD, AD общий, углы A и D равны по теореме 10). Следовательно, АС=BD.

    Теорема 13 . Диагонали равнобедренной трапеции разделены точкой пересечения на соответственно равные отрезки.Рассмотрим треугольники ABD и ACD. Он равен по двум сторонам и углу между ними (AB=CD, AD общий, углы A и D равны по теореме 10). Следовательно, ∠ ОАД=∠ ОDA, следовательно, углы ОВС и OSV равны, так как соответственно перекрываются углы ODA и ОАД. Напомним теорему: если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный, поэтому треугольники ОВС и ОАД равнобедренные, значит OS=OB и ОА=OD и т. д.
    Равнобедренная трапеция – симметричная фигура.
    Определение 13. Осью симметрии равнобедренной трапеции называют прямую, проходящую через середины ее оснований.
    Теорема 14 . Ось симметрии равнобедренной трапеции перпендикулярна ее основаниям.
    В теореме 9 мы доказали, что прямая, соединяющая середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей. Далее (теорема 13) мы доказали, что треугольники AOD и BOC равнобедренные. OM и OK по определению являются медианами этих треугольников соответственно.Напомним свойство равнобедренного треугольника: медиана равнобедренного треугольника, опущенная к основанию, также является высотой треугольника. Из-за перпендикулярности оснований частей прямой КМ ось симметрии перпендикулярна основаниям.
    Признаки, выделяющие равнобедренную трапецию среди всех трапеций:
    Теорема 15 . Если углы, прилежащие к одному из оснований трапеции, равны, то трапеция равнобедренная.
    Теорема 16 .Если диагонали трапеции равны, то трапеция равнобедренная.
    Теорема 17 . Если боковые стороны трапеции, продолженные до пересечения, образуют вместе с ее большим основанием равнобедренный треугольник, то трапеция равнобедренная.
    Теорема 18 . Если в трапецию можно вписать окружность, то она равнобедренная.
    Знак прямоугольной трапеции:
    Теорема 19 . Любой четырехугольник, имеющий только два прямых угла в соседних вершинах, является прямоугольной трапецией (очевидно, две стороны параллельны, так как односторонние равны).в случае, когда три прямых угла — прямоугольник)
    Теорема 20 . Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине высоты основания.
    Доказательство этой теоремы состоит в том, чтобы объяснить, что радиусы, проведенные к основаниям, лежат на высоте трапеции. Из точки О — центра окружности ABCD, вписанной в эту трапецию, проводим радиусы к точкам касания ее оснований трапеции. Как известно, радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной, поэтому OK^BC и OM^AD.Напомним теорему: если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй. Следовательно, прямая OK также перпендикулярна AD. Таким образом, две прямые, перпендикулярные прямой AD, проходят через точку О, чего быть не может, поэтому эти прямые совпадают и составляют общий перпендикуляр КМ, который равен сумме двух радиусов и является диаметром вписанной окружности, поэтому r=KM/2 или r=h/ 2.
    Теорема 21 . Площадь трапеции равна произведению половины суммы оснований на высоту оснований.

    Доказательство: Пусть ABCD — данная трапеция, а AB и CD — ее основания. Пусть также AH будет высотой, опущенной из точки A на прямую CD. Тогда S ABCD = S ACD + S ABC.
    Но S ACD = 1/2AH CD и S ABC = 1/2AH AB.
    Следовательно, S ABCD = 1/2AH (AB + CD).
    К.Э.Д.

    Вторая формула переместилась из четырехугольника.

    Родственные слова — Найдите слова, связанные с другим словом

    Как вы, наверное, заметили, слова, относящиеся к термину, перечислены выше.Надеемся, что сгенерированный список слов, связанных с терминами, приведенный выше, удовлетворит ваши потребности.

    П.С. Есть некоторые проблемы, о которых я знаю, но не могу исправить в настоящее время (поскольку они выходят за рамки этого проекта). Основная из них заключается в том, что отдельные слова могут иметь много разных значений (значений), поэтому, когда вы ищете такое слово, как означает , движок не знает, какое определение вы имеете в виду («хулиганы — это означает » против , «что вы имеете в виду ?» и т. д.), поэтому учтите, что ваш поисковый запрос по таким словам, как термин, может быть немного двусмысленным для движка в этом смысле, и возвращаемые связанные термины могут отражать это.Вам также может быть интересно: что за слово такое ~термин~?

    Также проверьте ~term~ слова на relatedwords.io для другого источника ассоциаций.

    Связанные слова

    Related Words работает на нескольких разных алгоритмах, которые соревнуются, чтобы получить свои результаты выше в списке. Один из таких алгоритмов использует встраивание слов для преобразования слов в многомерные векторы, которые представляют их значения. Векторы слов в вашем запросе сравниваются с огромной базой данных предварительно вычисленных векторов, чтобы найти похожие слова.Другой алгоритм просматривает Concept Net, чтобы найти слова, которые имеют какое-то значимое отношение к вашему запросу. Эти и некоторые другие алгоритмы позволяют сервису Related Words давать вам… родственных слова, а не просто прямые синонимы.

    Помимо поиска слов, связанных с другими словами, вы можете вводить фразы, и это должно дать вам связанные слова и фразы, если введенная вами фраза/предложение не слишком длинная. Вероятно, время от времени вы будете получать какие-то странные результаты — такова природа движка в его текущем состоянии.

    Особая благодарность авторам открытого исходного кода, который был использован для составления этого списка тематических слов: @Planeshifter, @HubSpot, Concept Net, WordNet и @mongodb.

    Предстоит еще много работы, чтобы заставить его давать стабильно хорошие результаты, но я думаю, что он находится на той стадии, когда он может быть полезен людям, поэтому я его и выпустил.

    Обратите внимание, что Related Words использует сторонние скрипты (такие как Google Analytics и рекламные объявления), которые используют файлы cookie.Чтобы узнать больше, ознакомьтесь с политикой конфиденциальности.

    Свойства доказательства равнобедренной трапеции. Трапеция. Полное иллюстрированное руководство (2019)


























    Назад вперед

    Внимание! Предварительный просмотр слайдов предназначен только для информационных целей и может не отражать весь объем презентации.Если вас заинтересовала эта работа, пожалуйста, скачайте полную версию.

    Цель занятия:

    • учебное — познакомить с понятием трапеции, познакомиться с видами трапеций, изучить свойства трапеции, научить учащихся применять полученные знания в процессе решения задач ;
    • развивающая — развитие коммуникативных качеств учащихся, развитие умения проводить эксперимент, обобщать, делать выводы, развитие интереса к предмету.
    • воспитательная — воспитывать внимание, создавать ситуацию успеха, радость от самостоятельного преодоления трудностей, развивать у учащихся потребность в самовыражении через разного рода произведения.

    Формы работы: фронтальная, парная, групповая.

    Форма организации детской деятельности: умение слушать, строить обсуждение, высказывать мысль, вопрос, дополнение.

    Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран.На столах у учащихся: раскройный материал для изготовления трапеции каждому ученику на парте; карточки-задания (распечатки рисунков и заданий из конспекта урока).

    ВО ВРЕМЯ ЗАНЯТИЙ

    I. Организационный момент

    Приветствие, проверка готовности рабочего места к занятию.

    II. Обновление знаний

    • развитие навыков классификации предметов;
    • с выделением основных и второстепенных признаков в классификации.

    Рисунок №1 считается.

    Ниже приводится обсуждение рисунка.
    Из чего состоит эта геометрическая фигура? Ответ ребята находят в картинках: [из прямоугольника и треугольников].
    Какими должны быть треугольники, составляющие трапецию?
    Все мнения выслушаны и обсуждены, выбран один вариант: [треугольники должны быть прямоугольными].
    Как образуются треугольники и прямоугольники? [Так, чтобы противоположные стороны прямоугольника совпадали с катетом каждого из треугольников].
    Что вы знаете о противоположных сторонах прямоугольника? [Они параллельны].
    — Значит, в этом четырехугольнике будут параллельные стороны? [Да].
    – Сколько их? [Два].
    После обсуждения учитель демонстрирует «королеву урока» — трапецию.

    III. Пояснение к новому материалу

    1. Определение трапеции, элементов трапеции

    • научить учащихся определять трапецию;
    • назовите его элементы;
    • развитие ассоциативной памяти.

    — Теперь попробуем дать полное определение трапеции. Каждый ученик думает над ответом на вопрос. Они обмениваются мнениями в парах, готовят единый ответ на вопрос. Устный ответ дает один студент из 2-3 пар.
    [Трапецоид – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны].

    Как называются стороны трапеции? [Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — сторонами].

    Воспитатель предлагает сложить трапецию из вырезанных фигур. Учащиеся работают в парах и собирают детали. Ну а если пары учеников разного уровня, то один из учеников является консультантом и помогает другу в случае затруднения.

    — Постройте в тетрадях трапецию, запишите названия сторон трапеции. Задавайте вопросы по рисунку соседу, слушайте его ответы, сообщайте свои ответы.

    Ссылка на историю

    «Трапеция» — греческое слово, которое в древности означало «стол» (по-гречески «трапедзион» означает стол, обеденный стол.Геометрическая фигура была названа так за сходство с небольшим столиком.
    В «Началах» (греч. Στοιχεῖα, лат. Elementa) находится основное произведение Евклида, написанное около 300 г. до н.э. е. и посвящен систематическому построению геометрии) термин «трапеция» употребляется не в современном, а в ином смысле: любой четырехугольник (не параллелограмм). «Трапеции» в нашем понимании встречаются впервые у древнегреческого математика Посидония (Ив.). В Средние века, по Евклиду, любой четырехугольник (не параллелограмм) назывался трапецией; только в XVIII в.слово приобретает современное значение.

    Построение трапеции по заданным ее элементам. Ребята выполняют задания на карточке №1.

    Студентам предстоит сконструировать трапеции самого разного расположения и очертания. В шаге 1 нужно построить прямоугольную трапецию. В пункте 2 появляется возможность построить равнобедренную трапецию. В пункте 3 трапеция будет «лежать на боку». В пункте 4 на рисунке предусмотрено построение такой трапеции, у которой одно из оснований оказывается необычно малым.
    Ученики «удивляют» учителя разными фигурами, носящими одно общее название — трапеция. Воспитатель демонстрирует возможные варианты построения трапеций.

    Задача 1 . Будут ли равны две трапеции, если соответственно равны одно из оснований и две стороны?
    Обсудите решение задачи в группах, докажите правильность рассуждений.
    Один ученик из группы рисует на доске, объясняет ход рассуждений.

    2.Типы трапеций

    • развитие двигательной памяти, умение разбивать трапецию на известные фигуры, необходимые для решения задач;
    • развитие умений обобщать, сравнивать, определять по аналогии, выдвигать гипотезы.

    Рассмотрим цифру:

    — Чем отличается трапеция, изображенная на рисунке?
    Ребята заметили, что вид трапеции зависит от типа треугольника, расположенного слева.
    — Завершите предложение:

    Трапеция называется прямоугольной, если…
    Трапеция называется равнобедренной, если…

    3. Свойства трапеции. Свойства равнобедренной трапеции.

    • выдвижение по аналогии с равнобедренным треугольником гипотезы о свойстве равнобедренной трапеции;
    • развитие аналитических способностей (сравнивать, выдвигать гипотезы, доказывать, строить).
    • Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований.
    • Равнобедренная трапеция имеет равные углы при любом основании.
    • У равнобедренной трапеции диагонали равны.
    • В равнобедренной трапеции высота, опущенная от вершины к большему основанию, делит ее на два отрезка, один из которых равен половине суммы оснований, другой — половине разности оснований.

    Задание 2. Докажите, что в равнобедренной трапеции: а) углы при каждом основании равны; б) диагонали равны. Чтобы доказать эти свойства равнобедренной трапеции, напомним признаки равенства треугольников.Учащиеся выполняют задание в группах, обсуждают, записывают решение в тетрадь.
    Один ученик из каждой группы делает доказательство у доски.

    4. Упражнение на внимание

    5. Примеры использования трапециевидных форм в быту:

    Практическая работа (по вариантам).

    – В одной системе координат построить равнобедренные трапеции по заданным трем вершинам.

    Вариант 1: (0; 1), (0; 6), (- 4; 2), (…; …) и (- 6; — 5), (4; — 5), (- 4; — 3) , (…;…).
    Вариант 2: (- 1; 0), (4; 0), (6; 5), (…; …) и (1; — 2), (4; — 3), (4; — 7), (…; …).

    — Определить координаты четвертой вершины.
    Решение проверяется и комментируется всем классом. Учащиеся указывают координаты четвертой найденной точки и устно пытаются объяснить, почему заданные условия определяют только одну точку.

    Интересная задача. Сложите трапецию из: а) четырех прямоугольных треугольников; б) из трех прямоугольных треугольников; в) два прямоугольных треугольника.

    IV. Домашнее задание

    • воспитание правильной самооценки;
    • создание ситуации «успеха» для каждого ученика.

    п.44, знать определение, элементы трапеции, ее виды, знать свойства трапеции, уметь их доказывать, №388, №390.

    v. Конспект урока. В конце урока детям выдается профиль , который позволяет провести самоанализ, дать качественную и количественную оценку урока .

    — (греч. трапеция). 1) в геометрии четырехугольника, у которого две стороны параллельны, а две нет. 2) фигура, приспособленная для гимнастических упражнений. Словарь иностранных слов, входящих в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ТРАПЕЦИЯ… … Словарь иностранных слов русского языка

    Трапеция — Трапеция. ТРАПЕЦИЯ (от греч. trapezion, буквально стол), выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основания трапеции).Площадь трапеции равна произведению половины суммы оснований (средняя линия) на высоту. … Иллюстрированный энциклопедический словарь

    Четырехугольник, снаряд, перекладина Словарь синонимов русского языка. трапеция п., кол во синонимов: 3 перекладина (21) … Словарь синонимов

    — (от греч. trapezion, буквально стол), выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основания трапеции). Площадь трапеции равна произведению половины суммы оснований (средняя линия) и высоты… Современная энциклопедия

    — (от греч. trapezion букв. стол), четырехугольник, у которого две противоположные стороны, называемые основаниями трапеции, параллельны (на рисунке AD и BC), а две другие не параллельны. Расстояние между основаниями называется высотой трапеции (при… … Большой Энциклопедический словарь

    ТРАПЕЦИЯ Четырехугольная плоская фигура, две противоположные стороны которой параллельны. Площадь трапеции равна половине суммы параллельных сторон, умноженной на длину перпендикуляра между ними… Научно-технический энциклопедический словарь

    ТРАПЕЦИЯ, трапециевидная, с внутренней резьбой. (от греческого трапециевидного стола). 1. Четырехугольник с двумя параллельными и двумя непараллельными сторонами (мат.). 2. Гимнастический снаряд, состоящий из перекладины, подвешенной на двух канатах (спорт.). Акробатические… … Словарь Ушакова

    ТРАПЕЦИЯ, а, жен. 1. Четырехугольник с двумя параллельными и двумя непараллельными сторонами. Основания трапеции (ее параллельные стороны). 2. Цирковой или гимнастический снаряд, перекладина, подвешенная на двух тросах.Толковый словарь Ожегова. ОТ… Толковый словарь Ожегова

    Самка, геом. четырехугольник с неравными сторонами, из которых две постенные (параллельные). Трапеция – это подобный четырехугольник, у которого все стороны разведены. Трапецоэдр, тело, разрезанное трапециями. Толковый словарь Даля. В И. Дал. 1863 1866 … Толковый словарь Даля

    — (Трапеция), США, 1956 г., 105 мин. Мелодрама. Начинающий акробат Тино Орсини поступает в цирковую труппу, где работает известный в прошлом воздушный гимнаст Майк Риббл.Однажды Майк выступал с отцом Тино. Юный Орсини хочет Майка… … Киноэнциклопедия

    Четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Расстояние между параллельными сторонами. высота T. Если параллельные стороны и высота содержат a, b и h метров, то площадь T. содержит квадратных метров … Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

    Многоугольник — это часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией. Углы многоугольника обозначаются точками вершин ломаной.Угловые вершины многоугольника и вершины многоугольника являются конгруэнтными точками.

    Определение. Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.

    Свойства параллелограмма

    1. Противоположные стороны равны.
    На рис. одиннадцать AB = CD ; г. до н.э. г. = г. н.э. г. .

    2. Противолежащие углы равны (два острых и два тупых угла).
    На рис. 11∠ А = ∠ С ; ∠ Б = ∠ Д .

    3 Диагонали (отрезки, соединяющие две противоположные вершины) пересекаются, и точка пересечения делится пополам.

    На рис. 11 сегментов AO = OC ; БО = ОД .

    Определение. Трапеция — это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие — нет.

    Параллельные стороны называются ее основаниями , а две другие стороны сторонами .

    Типы трапеций

    1. Трапеция , стороны которой не равны,
    называется универсальной (рис. 12).

    2. Трапецию, у которой стороны равны, называют равнобедренной (рис. 13).

    3. Трапецию, у которой одна сторона образует с основаниями прямой угол, называют прямоугольной (рис. 14).

    Отрезок, соединяющий середины сторон трапеции (рис. 15), называется средней линией трапеции ( МН ). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна половине их суммы.

    Трапецию можно назвать усеченным треугольником (рис. 17), поэтому названия трапеций аналогичны названиям треугольников (треугольники бывают разносторонними, равнобедренными, прямоугольными).

    Площадь параллелограмма и трапеции

    Правило. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

    Ваша конфиденциальность важна для нас. По этой причине мы разработали Политику конфиденциальности, в которой описывается, как мы используем и храним вашу информацию.Пожалуйста, ознакомьтесь с нашей политикой конфиденциальности и сообщите нам, если у вас есть какие-либо вопросы.

    Сбор и использование личной информации

    Личная информация относится к данным, которые могут быть использованы для идентификации конкретного лица или связи с ним.

    Вас могут попросить предоставить личную информацию в любое время, когда вы свяжетесь с нами.

    Ниже приведены некоторые примеры типов личной информации, которую мы можем собирать, и того, как мы можем использовать такую ​​информацию.

    Какую личную информацию мы собираем:

    • Когда вы подаете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваше имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. д.

    Как мы используем вашу личную информацию:

    • Собранная нами личная информация позволяет нам связываться с вами и информировать вас об уникальных предложениях, рекламных акциях и других событиях и предстоящих событиях.
    • Время от времени мы можем использовать вашу личную информацию для отправки вам важных уведомлений и сообщений.
    • Мы также можем использовать личную информацию для внутренних целей, таких как проведение аудитов, анализ данных и различные исследования, чтобы улучшить предоставляемые нами услуги и предоставить вам рекомендации относительно наших услуг.
    • Если вы участвуете в розыгрыше призов, конкурсе или аналогичном поощрении, мы можем использовать предоставленную вами информацию для управления такими программами.

    Раскрытие информации третьим лицам

    Мы не раскрываем полученную от вас информацию третьим лицам.

    Исключения:

    • В случае необходимости — в соответствии с законом, судебным приказом, в судебном порядке и/или на основании публичных запросов или запросов государственных органов на территории Российской Федерации — раскрывать свои персональные данные.Мы также можем раскрыть информацию о вас, если решим, что такое раскрытие необходимо или уместно для обеспечения безопасности, правоохранительных органов или других целей, представляющих общественный интерес.
    • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать личную информацию, которую мы собираем, соответствующему правопреемнику третьей стороны.

    Защита личной информации

    Мы принимаем меры предосторожности, в том числе административные, технические и физические, для защиты вашей личной информации от потери, кражи и неправомерного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

    Сохранение вашей конфиденциальности на уровне компании

    Чтобы обеспечить безопасность вашей личной информации, мы сообщаем нашим сотрудникам о правилах соблюдения конфиденциальности и безопасности и строго соблюдаем правила соблюдения конфиденциальности.

    В этой статье мы постараемся максимально полно отразить свойства трапеции. В частности, речь пойдет об общих признаках и свойствах трапеции, а также о свойствах вписанной трапеции и о окружности, вписанной в трапецию.Затронем также свойства равнобедренной и прямоугольной трапеции.

    Пример решения задачи с использованием рассмотренных свойств поможет вам разобраться в голове и лучше запомнить материал.

    Трапеция и все-все-все

    Для начала кратко вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны.

    Итак, трапеция – это четырехугольник, две стороны которого параллельны друг другу (это основания).А две не параллельны — это стороны.

    В трапеции высоту можно не указывать — перпендикулярно основаниям. Проводятся средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции можно провести биссектрису.

    О различных свойствах, связанных со всеми этими элементами и их комбинациями, мы сейчас и поговорим.

    Свойства диагоналей трапеции

    Чтобы было понятнее, при чтении нарисуйте трапецию ACME на листе бумаги и проведите в ней диагонали.

    1. Если найти середины каждой из диагоналей (назовем эти точки X и T) и соединить их, получится отрезок. Одно из свойств диагоналей трапеции состоит в том, что отрезок XT лежит на средней линии. А его длину можно получить, разделив разность оснований на два: XT = (a — b)/2·.
    2. Перед нами та самая трапеция ACME. Диагонали пересекаются в точке O. Рассмотрим треугольники AOE и IOC, образованные отрезками диагоналей вместе с основаниями трапеции.Эти треугольники подобны. Коэффициент подобия k треугольников выражается через отношение оснований трапеции: k = AE/KM.
      Отношение площадей треугольников AOE и IOC описывается коэффициентом k 2 .
    3. Все та же трапеция, те же диагонали, пересекающиеся в точке О. Только на этот раз мы будем рассматривать треугольники, которые диагональные отрезки образовали вместе со сторонами трапеции. Площади треугольников АКО и ЭМО равны — их площади одинаковы.
    4. Еще одним свойством трапеции является построение диагоналей. Итак, если мы продолжим стороны АК и МЕ в сторону меньшего основания, то рано или поздно они пересекутся в какой-то точке. Далее проведите прямую линию через середины оснований трапеции. Она пересекает основания в точках X и T.
      Если теперь продолжить прямую XT, то она соединит точку пересечения диагоналей трапеции O, точку, в которой продолжения сторон и середины трапеций основания X и T пересекаются.
    5. Через точку пересечения диагоналей проводим отрезок, который соединит основания трапеции (Т лежит на меньшем основании КМ, Х — на большем АЕ). Точка пересечения диагоналей делит этот отрезок в следующем соотношении: ТО/ОН = КМ/АЭ.
    6. А теперь через точку пересечения диагоналей проводим отрезок, параллельный основаниям трапеции (а и б). Точка пересечения разделит его на две равные части.Длину отрезка можно найти по формуле 2ab/(a + b) .

    Свойства средней линии трапеции

    Проведите среднюю линию трапеции параллельно ее основаниям.

    1. Длину средней линии трапеции можно вычислить, сложив длины оснований и разделив их пополам: м = (a + b)/2 .
    2. Если провести любой отрезок (высоту, например) через оба основания трапеции, то средняя линия разделит ее на две равные части.

    Свойство биссектрисы трапеции

    Выберите любой угол трапеции и проведите биссектрису. Возьмем, к примеру, угол КАЕ нашей трапеции АСМЕ. Выполнив построение самостоятельно, вы легко увидите, что биссектриса отсекает от основания (или его продолжения на прямой вне самой фигуры) отрезок той же длины, что и сторона.

    Свойства угла трапеции

    1. Какую бы из двух пар углов, примыкающих к стороне, вы ни выбрали, сумма углов в паре всегда равна 180 0 : α + β = 180 0 и γ + δ = 180 0 .
    2. Соедините середины оснований трапеции отрезком ТХ. Теперь посмотрим на углы при основаниях трапеции. Если сумма углов для любого из них равна 90 0 , длину отрезка ТХ легко вычислить, исходя из разницы длин оснований, разделенной пополам: ТХ = (АЕ — КМ) / 2 .
    3. Если провести параллельные линии через стороны угла трапеции, то они разделят стороны угла на пропорциональные отрезки.

    Свойства равнобедренной (равнобедренной) трапеции

    1. У равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
    2. Теперь снова постройте трапецию, чтобы легче было представить, о чем она. Посмотрите внимательно на основание АЕ — вершина противоположного основания М проецируется в некоторую точку на прямой, содержащей АЕ. Расстояние от вершины А до точки проекции вершины М и средней линии равнобедренной трапеции равно.
    3. Несколько слов о свойстве диагоналей равнобедренной трапеции — их длины равны. А также углы наклона этих диагоналей к основанию трапеции одинаковы.
    4. Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, так как сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 — необходимое условие для этого.
    5. Свойство равнобедренной трапеции следует из предыдущего абзаца — если вокруг трапеции можно описать окружность, то она равнобедренная.
    6. Из особенностей равнобедренной трапеции следует свойство высоты трапеции: если ее диагонали пересекаются под прямым углом, то длина высоты равна половине суммы оснований: h = (a + б)/2 .
    7. Снова проведите линию ТХ через середины оснований трапеции — в равнобедренной трапеции она перпендикулярна основаниям. И в то же время ТХ является осью симметрии равнобедренной трапеции.
    8. На этот раз опустите к большему основанию (назовем его а) высоту от противоположной вершины трапеции.Вы получите два разреза. Длину единицы можно найти, если сложить длины оснований и разделить пополам: (a+b)/2 . Второе мы получим, если из большего основания вычтем меньшее и разделим полученную разницу на два: (a – b)/2 .

    Свойства трапеции, вписанной в окружность

    Поскольку речь уже идет о трапеции, вписанной в окружность, остановимся на этом вопросе подробнее. В частности, где находится центр окружности по отношению к трапеции.Здесь тоже рекомендуется не полениться взять в руки карандаш и нарисовать то, о чем пойдет речь ниже. Так вы быстрее поймете и лучше запомните.

    1. Расположение центра окружности определяется углом наклона диагонали трапеции к ее стороне. Например, диагональ может выходить из вершины трапеции под прямым углом к ​​стороне. В этом случае большее основание пересекает центр описанной окружности ровно посередине (R = ½AE).
    2. Диагональ и сторона могут сходиться под острым углом, тогда центр окружности находится внутри трапеции.
    3. Центр описанной окружности может находиться вне трапеции, за ее большим основанием, если между диагональю трапеции и боковой стороной имеется тупой угол.
    4. Угол, образованный диагональю и большим основанием трапеции ACME (вписанный угол), равен половине соответствующего ей центрального угла: MAE = ½MY .
    5. Коротко о двух способах нахождения радиуса описанной окружности.Способ первый: внимательно посмотрите на свой рисунок — что вы видите? Вы легко заметите, что диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Радиус можно найти через отношение стороны треугольника к синусу противоположного угла, умноженное на два. Например, R = AE/2 * sinAME . Аналогично формулу можно записать для любой из сторон обоих треугольников.
    6. Способ второй: находим радиус описанной окружности через площадь треугольника, образованного диагональю, стороной и основанием трапеции: R = AM * ME * AE / 4 * S AME .

    Свойства трапеции, описанной около окружности

    В трапецию можно вписать окружность, если выполняется одно условие. Подробнее об этом ниже. А вместе это сочетание фигур имеет ряд интересных свойств.

    1. Если в трапецию вписана окружность, то длину ее средней линии легко найти, сложив длины сторон и разделив полученную сумму пополам: м = (с + d)/2 .
    2. Для трапеции ACME, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин сторон: AK + ME = KM + AE .
    3. Из этого свойства оснований трапеции следует обратное утверждение: в ту трапецию, сумма оснований которой равна сумме сторон, можно вписать окружность.
    4. Точка касания окружности радиуса r, вписанной в трапецию, делит боковую сторону на два отрезка, назовем их a и b. Радиус окружности можно рассчитать по формуле: r = √ab .
    5. И еще одно свойство. Чтобы не запутаться, нарисуйте этот пример сами.У нас есть старая добрая трапеция ACME, описанная вокруг окружности. В нем проведены диагонали, пересекающиеся в точке О. Треугольники АОК и ЕОМ, образованные отрезками диагоналей и сторон, прямоугольные.
      Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы (т. е. стороны трапеции), совпадают с радиусами вписанной окружности. А высота трапеции равна диаметру вписанной окружности.

    Свойства прямоугольной трапеции

    Прямоугольной называется трапеция, один из углов которой прямой.И его свойства вытекают из этого обстоятельства.

    1. У прямоугольной трапеции одна сторона перпендикулярна основаниям.
    2. Высота и сторона трапеции, примыкающей к прямому углу, равны. Это позволяет вычислить площадь прямоугольной трапеции (общая формула S = (a + b) * h/2 ) не только через высоту, но и через сторону, примыкающую к прямому углу.
    3. Для прямоугольной трапеции актуальны уже описанные выше общие свойства диагоналей трапеции.

    Доказательства некоторых свойств трапеции

    Равенство углов при основании равнобедренной трапеции:

    • Вы наверное уже догадались, что здесь нам снова понадобится трапеция ACME — нарисуйте равнобедренную трапецию. Из вершины M проведите прямую MT, параллельную стороне AK (MT || AK).

    Получившийся четырехугольник АКМТ является параллелограммом (АК || МТ, КМ || АТ). Поскольку ME = KA = MT, ∆ MTE равнобедренный и MET = MTE.

    АК || МТ, следовательно, МТЭ = КАЭ, МЭТ = МТЭ = КАЭ.

    Где АКМ = 180 0 — МЕТ = 180 0 — КАЭ = КМЭ.

    К.Э.Д.

    Теперь, основываясь на свойстве равнобедренной трапеции (равенстве диагоналей), докажем, что трапеция ACME равнобедренная :

    • Для начала проведем прямую МХ – МХ || КЭ. Получаем параллелограмм КМНЕ (основание — МХ || КЕ и КМ || ЕХ).

    ∆AMH равнобедренный, так как AM = KE = MX и MAX = MEA.

    МХ || KE, KEA = MXE, следовательно, MAE = MXE.

    Оказалось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, так как АМ = КЕ и АЕ — общая сторона двух треугольников. А также MAE=MXE. Можно заключить, что AK = ME, а значит, трапеция AKME равнобедренная.

    Задача для повторения

    Основания трапеции АСМЕ равны 9 см и 21 см, сторона КА, равная 8 см, образует угол 150 0 с меньшим основанием.Вам нужно найти площадь трапеции.

    Решение: Из вершины К опускаем высоту к большему основанию трапеции. И начнем смотреть на углы трапеции.

    Углы АЕМ и КАН односторонние. Значит, в сумме они составляют 1800. Следовательно, КАН = 30 0 (исходя из свойства углов трапеции).

    Теперь рассмотрим прямоугольный ∆ANK (я думаю, что это очевидно для читателей без дополнительных доказательств). Из него находим высоту трапеции KH — в треугольнике это катет, который лежит напротив угла 30 0 .Следовательно, КН = ½АВ = 4 см.

    Площадь трапеции находится по формуле: S АКМЭ = (КМ + АЭ) * КН / 2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2 .

    Послесловие

    Если вы внимательно и вдумчиво изучили эту статью, не поленились нарисовать карандашом в руках трапеции всех вышеперечисленных свойств и разобрать их на практике, вы должны были хорошо усвоить материал.

    Конечно, здесь много информации, разнообразной и местами даже запутанной: спутать свойства описываемой трапеции со свойствами вписанной не так уж и сложно.Но вы сами видели, что разница огромна.

    Теперь у вас есть подробный обзор всех основных свойств трапеции. А также специфические свойства и особенности равнобедренных и прямоугольных трапеций. Очень удобно использовать для подготовки к зачетам и экзаменам. Попробуйте сами и поделитесь ссылкой с друзьями!

    блог.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

    *3.Центры четырехугольников — В этой главе давайте изучим, существуют ли центры треугольника в четырехугольнике или нет. **3.1 Центр окружности четырехугольника — Постройте четырехугольник на листе бумаги с помощью карандаша и линейки. Неважно, какая форма. %03-01.png -Постройте в четырехугольнике четыре перпендикулярные биссектрисы. —(1) Встречаются ли серединные перпендикуляры в одной точке вашей конструкции? — Если серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке вашего построения, эта точка называется центром описанной окружности вашего четырехугольника.Вы можете нарисовать окружность с радиусом от центра описанной окружности до любой вершины четырехугольника. Окружность пройдет через четыре вершины четырехугольника. Другими словами, ваш четырехугольник будет циклическим на вашем рисунке. (См. рисунок ниже. Точка О является центром описанной окружности четырехугольника ABCD.) %03-02.png —(2) Чем отличается центр описанной окружности четырехугольника от центра описанной окружности треугольника? [email protected]#3.1.1, щелкните здесь, чтобы исследовать с помощью компьютера или GC/html (3.1.1) —(3) Вы узнали, что все треугольники имеют центр описанной окружности и центр описанной окружности. А во всех четырехугольниках? [email protected]#3.1.2, щелкните здесь, чтобы исследовать с помощью компьютера или GC/html (3.1.2) —(4) Какие четырехугольники имеют описанную окружность? Запишите их как можно больше. -Проверьте следующие четырехугольники внутри таблицы, имеют ли они центр описанной окружности или нет. Запишите свои ответы, используя слова «всегда», «иногда» или «никогда» в соответствующих местах.|Четырехугольники |(Фигуры)|Центр окружности| |квадрат|%TBL01-01.png|всегда| |прямоугольник|%TBL01-02.png|| |ромб|%TBL01-03.png|| |параллелограмм|%TBL01-04.png|| |трапеция|%TBL01-05.png|| |воздушный змей|%TBL01-06.png|| -Вы знаете, что прямоугольник — это своего рода параллелограмм. В случае параллелограмма вы не можете найти его центр описанной окружности и не можете нарисовать описанную окружность. Но в случае прямоугольника вы можете найти его центр описанной окружности и нарисовать описанную окружность. (См. рисунки ниже.) |%03-03.png|%03-04.png| — В случае воздушного змея вы можете иногда найти его центр описанной окружности и нарисовать описанную окружность. —(5) Какие виды воздушных змеев имеют центр описанной окружности и окружность? (См. рисунки ниже.) |%03-05.png|%03-06.png| —(6) В случае трапеции, можете ли вы найти центр описанной окружности для всей трапеции? Если нет, то какие виды трапеций имеют центр описанной окружности? (См. рисунки ниже.) |%03-07.png|%03-08.png| —(7) В каких видах неправильных четырехугольников находится их центр описанной окружности? — Следующие четырехугольники внутри таблицы имеют центр описанной окружности.|№|Виды четырехугольников|Четырехугольники с центром описанной окружности| |i.|-Выпуклый четырехугольник, противоположные углы которого являются дополнительными,
  • На правом рисунке ∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180⁰|%TBL02-01.png| |ii.|-Выпуклый четырехугольник, каждый внешний угол которого равен противолежащему внутреннему углу,
  • На правом рисунке ∠A = ∠C|%TBL02-02.png| |iii.|-Выпуклый четырехугольник, в котором угол между стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и другой диагональю,
  • На правом рисунке ∠BAC = ∠BDC|%TBL02-03.png| **3.2 Центр четырехугольника — Постройте четырехугольник на листе бумаги с помощью карандаша и линейки. Неважно, какая форма. %03-01.png -Постройте четыре биссектрисы четырехугольника. —(1) Встречаются ли биссектрисы угла в одной точке вашей конструкции? — Если биссектрисы пересекаются в одной точке вашего построения, эта точка называется центром вписанной стороны вашего четырехугольника. Таким образом, вы можете сделать вывод, что вы можете нарисовать вписанную окружность для своего четырехугольника, как вписанную окружность треугольника.Такой четырехугольник называется касательным четырехугольником или описанным четырехугольником. (На следующем рисунке ABCD — касательный четырехугольник с вписанной окружностью.) %03-09.png —(2) Убедитесь, что уравнение AB + DC = BC + AD верно или неверно в случае, показанном на рисунке выше. Докажите, если это правда. —(3) Вы узнали, что все треугольники имеют центр и вписанную окружность. А во всех четырехугольниках? [email protected]#3.2.1, щелкните здесь, чтобы исследовать с помощью компьютера или GC/html (3.2.1) -Проверьте четырехугольники внутри следующей таблицы, есть ли у них вписанный центр или нет. Запишите свои ответы, используя слова «всегда», «иногда» или «никогда» в соответствующих местах. |Четырехугольники |(Фигуры)|В центре| |квадрат|%TBL01-01.png|всегда| |прямоугольник|%TBL01-02.png|| |ромб|%TBL01-03.png|| |параллелограмм|%TBL01-04.png|| |трапеция|%TBL01-05.png|| |воздушный змей|%TBL01-06.png|| -В этой части вы не можете найти инцентр в обоих случаях прямоугольника и параллелограмма.(См. рисунки ниже. На обоих рисунках синяя линия — это биссектриса угла ∠BAD, а зеленая — биссектриса угла ∠BCD на каждом рисунке. Эти линии никогда не пересекутся, потому что они параллельны.) |%03-10.png|%03-11.png| -В случае с кайтами всегда можно найти центр для всех видов кайтов. -В случае трапеции иногда можно найти центр вписанной окружности. (См. рисунки ниже.) |%03-12.png|%03-13.png| — Сравните центр описанной окружности и центр вписанной окружности четырехугольников в следующей таблице.|Четырехугольники |(Фигуры)|Центр окружности|В центре| |квадрат|%TBL01-01.png|всегда|всегда| |прямоугольник|%TBL01-02.png||| |ромб|%TBL01-03.png||| |параллелограмм|%TBL01-04.png||| |трапеция|%TBL01-05.png||| |воздушный змей|%TBL01-06.png||| —(4) В приведенной выше таблице всегда можно найти центр описанной окружности и центр вписанной квадрата. В каком другом четырехугольнике всегда можно найти центр описанной окружности и центр вписанной окружности? —(5) В случае воздушного змея, можете ли вы найти его центр описанной окружности и центр вписанной окружности в одном и том же воздушном змее? — На самом деле вы можете найти специальные воздушные змеи, которые мы называем правильными воздушными змеями.Эти воздушные змеи имеют два равных прямых (90 градусов) угла по разные стороны от оси симметрии. (См. следующий рисунок ниже.) %03-14.png **3.3 Центроид или центр тяжести четырехугольника — В этой теме вы не можете использовать медианы, чтобы найти центр тяжести или центр тяжести четырехугольника, потому что у каждого угла есть две противоположные стороны, чтобы провести медианы. (См. рисунок ниже. AE и AF — медианы вершины A.) %03-15.png —(1) Как найти центр тяжести четырехугольника? — Вы можете найти центр тяжести четырехугольника двумя способами: найти экспериментально и найти математически.- Попробуйте выполнить следующие шаги, чтобы экспериментально найти центр тяжести. |Шаг-1|Сделайте из картона любой четырехугольник (неважно, какой он формы.) и проделайте маленькое отверстие возле вершины (любой, которую хотите) на картонном четырехугольнике.|%TBL03-01.png| |Шаг-2|Провяжите веревку через маленькое отверстие. Пусть оба конца нити выступают наружу.|%TBL03-02.png| |Шаг-3|Поместите груз на один конец нити. Поднимите четырехугольник за конец нити с грузом. При этом на треугольнике к концу груза будет линия, созданная струной.Отметьте эту строку.|%TBL03-03.png| |Шаг-4|Таким же образом сделайте маленькое отверстие рядом с любой другой вершиной и снова отметьте линию.|%TBL03-04.png| |Шаг-5|После этого у вас есть точка, в которой пересекаются две струнные линии. Эта точка является центроидом или центром тяжести вашего четырехугольника. (На рисунке «G» — это центр тяжести четырехугольника.) |%TBL03-05.png| —(2) Найдите центр тяжести четырехугольника математически. -Намекать: —Изготовьте любой четырехугольник из картона.Неважно, какая форма. — Нарисуйте диагональ этого картонного четырехугольника. У вас получится два треугольника. — Затем найдите два центроида треугольников и соедините их линией. — Положите свой картонный четырехугольник на край другого стоящего куска картона. Совместите край стоящего куска картона с линией, которую вы только что нарисовали. — Если вы сделали это правильно, ваш картонный четырехугольник будет балансировать на краю другого куска картона.(См. рисунки ниже.) %03-16.png — Таким образом, мы можем заключить, что центр тяжести картонного четырехугольника будет на этой линии. — Продолжите этот эксперимент, чтобы определить точное положение центра тяжести вашего картонного четырехугольника. -Примечание: — Мы не можем найти ортоцентр четырехугольника, потому что есть две противоположные стороны угла, чтобы провести его высоты. (См. рисунок ниже.) %03-17.png **3.4 Дальнейшие исследования ***3.4.1 Японская теорема — В древности японские математики писали свои математические задачи на табличках в храмах и святилищах. В 1800 году в префектуре Ямагата на табличке была написана задача. Давайте изучим об этом. -Нарисуйте вписанный четырехугольник A1A2A3A4 и две его диагонали. На вашем рисунке четыре больших треугольника A1A2A3, A2A3A4, A3A4A1 и A4A1A2. -Постройте центры четырех треугольников и соедините их.—(1) Какой четырехугольник получится после соединения вписанных центров? (См. рисунок ниже.) %03-jp1.png [email protected]#3.4.1.1, нажмите здесь, чтобы исследовать с помощью компьютера или GC/html (3.4.1.1) — На рисунке I1 является центром треугольника A1A2A4, треугольника I2 A1A2A3, треугольника I3 A2A3A4 и треугольника I4 A1A3A4 соответственно. I1I2I3I4 — прямоугольник, и это одна из японских теорем. (См. следующую задачу, написанную на табличке в 1800 году.) -Проблема: — A1A2A3A4 — вписанный четырехугольник.Окружность I1 радиуса r1 вписана в треугольник A1A2A4, окружность I2 радиуса r2 — в треугольник A2A3A1, окружность I3 радиуса r3 — в треугольник A3A4A2, а окружность I4 радиуса r4 — в треугольник A4A1A3. Покажите, что r1 + r3 = r2 + r4 и I1I2I3I4 — вершины прямоугольника. См. рисунок выше (Виннипег, 1989 г.). -Доказательство: — Два рисунка ниже разбивают окружности I1 и I3, а затем I2 и I4 различной длины от вершины до контакта стороны с окружностью. И мы должны использовать теорему о том, что касательные из точки к окружности в широком смысле равны по длине.|%03-jp2.png|%03-jp3.png| — Сначала покажем, что N2N4 = N1N3. — Глядя на два рисунка (1) и (2), мы получили (1) и (2). —-a2 + a1 = A2A1 [см. рис.1] —-A2A1 – a’2 = a»1 [см. рис.2] —-a»1 + a»4 = A1A4 [см. рис.2] —-A1A4 – a’1 = a4 [см. рис.1] —-∴a2 + a1 – a’2 + a»4 – a’1 = a4 ——- (1) —Аналогично получаем; —-а2 + а3 – а»2 + а’4 – а’3 = а4 ——- (2) — Из (1) и (2) мы можем написать; —-а2 + а1 — а’2 + а»4 — а’1 = а2 + а3 — а»2 + а’4 — а’3 —-(а1 – а’1) + (а’3 – а3) = (а’2 – а»2) + (а’4 – а»4) —-N2N4 + N2N4 = N1N3 + N1N3 —-2N2N4 = 2N1N3 —-∴ N2N4 = N1N3 —Опять же, поскольку ∠A2A3A1 = ∠A2A4A1, —-△A3I2N2 ~ △A4I1N1 [∵∠* = ∠*,  ∠A3N2I2 = ∠A4N1I1 = 90°] —Итак, мы получили; г2 : а3 = г1 : а-4 [см.3] %03-jp4.png —Аналогично можно найти r3 : a’4 = r2 : a1, r4 : a’3 = r1 : a’2 и r4 : a’1 = r3 : a»2. — Из соотношений мы можем написать следующее; —-r2 : a3 = r1 : a»4 ⇔ r2a»4 = r1a3 ⇔ r2a»4 – r1a3 = 0 , —-r3 : a’4 = r2 : a1 ⇔ r3a1 = r2a’4 ⇔ r3a1 – r2a’4 = 0, —-r4 : a’3 = r1 : a’2 ⇔ r1a’3 = r4a’2 ⇔ r1a’3 – r4a’2 = 0, и —-r4 : a’1 = r3 : a»2 ⇔ r4a»2 = r3a’1 ⇔ r4a»2 – r3a’1 = 0 — Итак, мы можем писать; —-r2a»4 – r1a3 + r3a1 – r2a’4 + r1a’3 – r4a’2 + r4a»2 – r3a’1 = 0 —-(r2a»4 – r2a’4) + (r1a’3 – r1a3) + (r3a1 – r3a’1) + (r4a»2 – r4a’2) = 0 —-–r2 (а’4 – а»4) + r1 (а’3 – а3) + r3 (а1 – а’1) – r4 (а’2 – а»2) = 0 —-–r2 (N1N3) + r1 (N2N4) + r3 (N2N4) – r4 (N1N3) = 0 —-(–r2 + r1 + r3 – r4) N1N3= 0 [∵N2N4 = N1N3] —-–r2 + r1 + r3 – r4 = 0 —-∴ r1 + r3 = r2 + r4 —Тогда мы докажем, что I1I2I3I4 является прямоугольником.Итак, нам нужно доказать, что каждая пара его противоположных сторон и двух диагоналей равны. (I1I2 = I3I4, I2I3 = I1I4 и диагонали I1I3 = I2I4) —В ∆I2I4N’4 [рис. 4], —-(I4N’4)2 + (I2N’4)2 = (I2I4)2[∵ теорема Пифагора] —-(r2 + r4)2 + (N2N4)2 = (I2I4)2 |%03-jp5.png|%03-jp6.png| —В ∆ I1I3N’1 [Рис.5], —-(I1N’1)2 + (I3N’1)2 = (I1I3)2 [∵ теорема Пифагора] —-(r1 + r3)2 + (N1N3)2 = (I1I3)2 |%03-jp7.png|%03-jp8.png| —Поскольку N2N4 = N1N3 ⇔ (N2N4)2 = (N1N3)2 и —-r2 + r4 = r1 + r3 ⇔ (r2 + r4)2 = (r1 + r3)2 —-(r2 + r4)2 + (N2N4)2 = (r1 + r3)2 + (N1N3)2 —-I2I4 = I1I3 [доказано] ——-(3) —-∴ Диагонали I2I4 и I1I3 четырехугольника I1I2I3I4 равны.— Теперь докажем, что I1I2 = I3I4. %03-jp9.png —-а1 – а»1 = а’2 – а2 [Рис.6] —-a1 – a»1= (a»2 + N1N3) – (A2A3 – a3) [Рис.2 и 1] —-a3 = a’3 – N2N4 [Рис.1] —-a1 – a»1 = (a»2 + N1N3) – [A2A3 – (a’3 – N2N4)] —-а1 – а»1 = а»2 + N1N3 – [А2А3 – а’3 + N2N4] —-a1 – a»1= a»2 + N1N3 – A2A3 + a’3 – N2N4 [∵ N1N3 = N2N4] —-а1 – а»1= а»2 – А2А3 + а’3 —-a1 – a»1= – a»3 + a’3 [∵a»2 – A2A3 = – a»3, рис.1] —-∴a1 – a»1 = a’3– a»3 %03-jp10.png — На рисунке 7 ∆ I1I’1I2 и ∆ I4I’4I3 являются прямоугольными треугольниками. —-∴ (a1 – a»1)2 + (r1 – r2)2 = (I1I2)2 —-(а’3 – а»3)2 + (r3 – r4)2 = (I3I4)2 —-Здесь (a1 – a»1)2 = (a’3 – a»3)2 [доказано] и —-(r1 – r2)2 = (r3 – r4)2 [∵r2 + r4 = r1 + r3] —-∴ (a1 – a»1)2 + (r1 – r2)2 = (a’3 – a»3)2 + (r3 – r4)2 —-(I1I2)2 = (I3I4)2 —-∴I1I2 = I3I4 ———(4) %03-jp11.png —Аналогично можно доказать I2I3 = I1I4 —-а»2 – а2 = а3 – а»3 [рис.8] —-a»2 – a2 = (a’3 – N2N4) – (A3A4 – a’4) [Рис.1 и 2] —-а’4 = а»4 + N1N3 (рис.2) —-а»2 – а2 = (а’3 – N2N4) – [А3А4 – (а»4 + N1N3)] —-а»2 – а2 = а’3 – N2N4 – [А3А4 – а»4 – N1N3] —-a»2 – a2= a’3 – N2N4 – A3A4 + a»4 + N1N3 [∵ N1N3 = N2N4] —-а»2 – а2= а’3 – А3А4 + а»4 —-а»2 – а2 = – а4 + а»4 [∵а’3 – А3А4 = – а4, рис.1] —-∴ а»2 – а2 = а»4 – а4 %03-jp12.png — На рисунке 9 ∆I2I’2I3 и ∆I1I’1I4 являются прямоугольными треугольниками.—-∴ (a»2 – a2)2 + (r2 – r3)2 = (I2I3)2 —-(а»4 – а4)2 + (r1 – r4)2 = (I1I4)2 —-Здесь (a»2 – a2)2 = (a»4 – a4)2 [доказано] и —-(r2 – r3)2 = (r1 – r4)2 (∵r2 + r4 = r1 + r3) —-∴ (a»2 – a2)2 + (r2 – r3)2 = (a»4 – a4)2 + (r1 – r4) —-(I2I3)2 = (I1I4)2 —-∴I2I3 = I1I4 ———(5) —Согласно уравнениям (3), (4) и (5), I1I2I3I4 является прямоугольником.
  • Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.

    2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
    тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск