Определение теорема фалеса: Теорема Фалеса и обобщенная теорема, формула

Содержание

Теорема Фалеса 1 — презентация онлайн

1. Здравствуйте, мои гениальные дети!

2. Каждый раз, когда я буду задавать вопрос

• 1. Внимательно прочтите его;
• 2. Ответьте на него;
• 3. Ещё раз проанализируйте условие
задания, свой ответ;
• 4. Сравните с правильным ответом;
• 5. Если выполнили неверно, найдите
ошибку.

3. Как вы думаете


1. Чем является MN ?
2. Какими свойствами
обладает MN ?

4. Да вы правы.

• 1. MN — средняя линия;
2. а) MN – половине СВ;
б) MN параллельна СВ.

5. Как вы думаете

1. Чем является MN ?
2. Какими свойствами
обладает MN ?

6. Да вы правы.

• 1. MN — средняя линия;
2. а) MN – полусумме оснований АВ и СD;
б) MN параллельна основаниям АВ и СD.

7. Возникает вопрос!

8. Возникает вопрос!

9. Возможно вы уже догадались и даже доказали свои утверждения. Вы молодцы!

• Ну, а те, которые затрудняются прошу
повнимательнее отнестись к следующим
моим умозаключениям.

10. На эти вопросы нам ответит теорема Фалеса.

• Тема урока: Теорема Фалеса.

11. Теорема Фалеса

12. Итак


1) Должен быть угол;
2) Прямые должны пересекать его;
3) Прямые должны быть параллельны;
4) Отсекать равные отрезки на одной стороне;

13. Вставьте недостающее.

• Если … прямые, пересекающие стороны угла,
отсекают на одной его стороне равные отрезки, то
они отсекают равные отрезки и на другой его
стороне.
• Если параллельные прямые, пересекающие стороны
угла, отсекают на одной его стороне … отрезки, то
они отсекают равные отрезки и на другой его
стороне.
• Если параллельные прямые, … стороны угла,
отсекают на одной его стороне равные отрезки, то
они отсекают равные отрезки и на другой его
стороне.

14. Верно ли

• Если
1. перпендикулярные прямые, пересекающие
стороны угла, отсекают на одной его стороне
равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и
на другой его стороне.
• Если параллельные прямые, пересекающие стороны
угла, отсекают на одной его стороне не равные
отрезки, то они отсекают равные отрезки и на
другой его стороне.
• Если параллельные прямые, пересекающие стороны
угла, отсекают на одной его стороне равные
отрезки, то они отсекают равные отрезки и на
другой его стороне.

15. Дано: ˪АОВ, ОА₁=А₁А₂=А₂А₃ и т.д. А₁В₁||В₂А₂ ||В₃А₃ и т.д. Доказать: ОВ₁=В₁В₂=В₂В₃=…

16. Доказательство: 1)Предположим, что ОВ₁≠В₁В₂. Возьмём тС₁ так чтобы ОС₁=С₁В₂. 2) тА₁ -середина ОА₂, т.С₁ -середина

ОВ₂,=>А₁С₁-средняя линия
треугольника А₂ОВ₂ => А₁С₁||А₂В₂ => через т.А₁ провели две
прямые параллельные А₂В₂, а это противоречит аксиоме
параллельности, => наше предположение не верно, = > ОВ₁=В₁В₂.

17. 3)Предположим, что В₁В₂≠В₂В₃. Отметим т.С₂ -середину В₁В₃. 4) А₂ -середина А₁А₃ и С₂-середина В₁В₃, => А₂С₂-ср. линия трапеции

3)Предположим, что В₁В₂≠В₂В₃. Отметим т.С₂ -середину В₁В₃.
4) А₂ -середина А₁А₃ и С₂-середина В₁В₃, => А₂С₂-ср. линия
трапеции А₃А₁В₁В₃ => А₂С₂||А₃В₃;
5)С одной стороны А₂С₂||А₃В₃ , с другой А₂В₂||А₃В₃ => через
одну тА₂ проходят две прямые параллельные А₃В₃, => мы
пришли к противоречию, а значит наше предположение
неверно. Значит В₁В₂=В₂В₃ и т.д.

18. Задача 1 ОА₁=А₁А₂=А₂А₃=А₃А₄, А₁В₁||А₂В₂||А₃В₃||А₄В₄, ОВ₁=3см. Найдите отрезки В₁В₂, ОВ₃, В₁В₄.

19. Задача 2 На рисунке АВ=ВС, ЕF=5см. Найдите отрезок ED?

20. Решение задач.

• № 381, №387, №391, №392, №394, №396.

21. Обобщённая теорема Фалеса.

• По свидетельству Апулея:
• «Фалес Милетский, несомненно самый выдающийся из
тех знаменитых семи мудрецов (он ведь и геометрии у
греков первый открыватель, и природы точнейший
испытатель, и светил опытнейший наблюдатель)».

25. Биография Фалеса Милетского

27. Сообщается, что Фалес был торговцем и много путешествовал. Некоторое время жил в Египте, в Фивах и Мемфисе, где учился у

жрецов, изучал причины наводнений.

28. Заслуги Фалеса геометрия

29. Заслуги Фалеса геометрия

31. Заслуги Фалеса Между семью мудрецами Фалес – мудрец-звездоведец

Заслуги Фалеса
Между семью мудрецами Фалес – мудрецзвездоведец
• Считается, что Фалес первым (из известных на сегодня
древних учёных) изучил движение Солнца по небесной сфере.
• Научился вычислять время солнцестояний и
равноденствий, установил неравность промежутков между
ними.
• Первым стал утверждать, что Луна светит отражённым
светом; что затмения Солнца происходят тогда, когда
между ним и Землей проходит Луна; а затмения Луны
происходят тогда, когда Луна попадает в тень от Земли.

33. Философия Фалеса

Фалес Милетский по традиции считается первым
греческим философом и основателем философской
школы в Милете.
Свои географические, астрономические и физические
познания Фалес связал в стройное философское
представление о мире.
Среди его философских положений выделяются два :
— начало всех вещей — вода ;
— космос одушевлённый и полный божественных сил.

34. Философия Фалеса

• Про Фалеса передавали такую легенду (её с большой
охотой повторил Аристотель). Когда Фалеса, по причине
его бедности, укоряли в бесполезности философии, он,
сделав по наблюдению звезд вывод о грядущем урожае
маслин, ещё зимой нанял все маслодавильни в Милете и
на Хиосе. Нанял он их за бесценок (потому что никто не
давал больше), а когда пришла пора и спрос на них
внезапно возрос, стал отдавать их внаем по своему
усмотрению. Собрав таким образом много денег, он
показал, что философы при желании легко могут
разбогатеть, но это не то, о чём они заботятся. Аристотель
подчеркивает: урожай Фалес предсказал «по наблюдению
звезд», то есть благодаря знаниям

35. Высказывания Фалеса

• «Ищи что-нибудь одно мудрое,
выбирай что-нибудь одно доброе,
так ты уймешь пустословие
болтливых людей». Таков девиз
первого древнезападного
философа, его философское
завещание.

39.

Запишите пропорцией. • АВ относится к СD также
как 7:9

40. Верная пропорция:


=

41. Что записано у Вас слева?

Отношение длин
отрезков

42. А можем ли мы найти отношение длин отрезков, если их длины выражены в разных единицах измерения?

нет

43. Подводим итог сказанному. Что называется отношением двух отрезков?

Определение: Отношением двух
отрезков называется отношение
их длин, выраженных в одних и
тех же единицах измерения
.

44. Решите задачу.

• Найдите отношение отрезков АВ и СD, если их
длины соответственно равны 12 см и 18см.
Изменится ли это отношение, если длины
данных отрезков выразить в дециметрах? в
миллиметрах?

45. Выполните задания.


Начертите отрезок АВ = 2 см;
Начертите отрезок CD = 4 см;
Найдите отношение AB к CD;
Каким числам пропорциональны отрезки
AB и CD;
Начертите отрезок КМ = 8 см;
Начертите отрезок ТР = 16 см;
Найдите отношение КМ к ТР;
Каким числам пропорциональны отрезки
КМ и ТР;

46.

Что вы можете сказать про отрезки AB,CD и КМ,ТР
Они
пропорциональны.
А почему?

47. Итак делаем вывод. Какие отрезки называются пропорциональными?

Определение:
Отрезки называются
пропорциональными, если равны
отношения их длин.
=

48. Назовите пропорциональные отрезки.

49. Решите задачу.

№ 375

Теорема Фалеса Формулировка Если на одной из

Теорема Фалеса

Формулировка Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Доказательство Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки:

Средняя линия треугольника

Определение Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника.

Первое и второе свойство средней линии треугольника средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине. 2. средняя линия отсекает треугольник, который подобен данному, а его площадь равна ¼ площади исходного треугольника. 1.

Третье свойство средней линии треугольника при проведении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных исходному с коэффициентом 1/2.

Трапеция

Трапе ция — четырёхугольник, у которого только одна пара сторон параллельна. Две параллельные стороны называются основанием трапеции, а две другие — это боковые стороны. Иногда трапеция определяется как четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна, в этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции.

Свойства Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон. Отрезок, параллельный основаниями проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен 2 BC*AD/(BC+AD).

Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Средняя линия трапеции

Определение Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон этой трапеции. Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, называют второй средней линией трапеции.

Свойство Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Спасибо за просмотр!!!

Малоизвестное обобщение теоремы Пифагора / Хабр

Теорема Пифагора — пожалуй, самая известная из математических теорем. Сколько существует оригинальных доказательств! Сколько применений она находит в технике! Сколькими благами цивилизации мы обязаны этой великой теореме! Однако, совсем недавно, я открыл для себя совершенно новую, ранее неизвестную грань этой теоремы, которая значительно расширяет область ее применения. Именно этим открытием я и хочу поделиться с вами, уважаемые читатели Geektimes. Пожалуйста, не судите строго, если описанные с статье факты, вам известны. Это скроее развлекательная история с научно-популярным элементом, чем строгая математика.



Геометрическое доказательство теоремы Пифагора

Вокруг да около

История теоремы Пифагора уходит в века и тысячелетия. В этой статье, мы не будем подробно останавливаться на исторических темах. Для интриги, скажем только, что, по-видимому, эту теорему знали еще древне-египетские жрецы, жившие более 2000 лет до нашей эры. Для тех, кому любопытно, вот ссылка на статью в

Википедии

.

Прежде всего, хочется для полноты изложения привести здесь доказательство теоремы Пифагора, которое, по моему мнению, наиболее элегантно и очевидно. На рисунке выше изображено два одинаковых квадрата: левый и правый. Из рисунка видно, что слева и справа площади закрашенных фигур равны, так как в каждом из больших квадратов закрашено по 4 одинаковых прямоугольных треугольника. А это означает, что и незакрашенные (белые) площади слева и справа тоже равны. Замечаем, что в первом случае площадь незакрашенной фигуры равна , а во втором — площадь незакрашенной области равна . Таким образом, . Теорема доказана!

Зарождение идеи

В этой статье я хочу не только рассказать что-то новое и познавательное о теореме Пифагора, но и поделиться своей историей о том, как в моей голове зародилась интересная идея, которую я сумел сформулировать, доказать и даже предположил возможность обобщения на более высокую размерность. Но обо всем по порядку.

Египетские треугольники

С давних времен науке известны так называемые египетские треугольники. Это такие прямоугольные треугольники, у которых катеты и гипотенуза выражаются целыми числами. Можно сказать и иначе: египетские треугольники — это такие тройки натуральных чисел

, которые образуют прямоугольный треугольник. Мы все, наверняка, хоть раз встречались с ними в школе на уроках геометрии. Для примера привожу несколько таких троек:

Во-первых, это красивые математические объекты. А во-вторых, с ними очень удобно решать задачи! Нет никаких квадратных корней и иррациональных чисел в ответе.

Загадочные четверки

И вот, году этак в 2004 — 2005, в пору подготовки к ЕГЭ, когда я сутками напролет решал просто какую-то бесконечную прорву хитро-вычурных задач из части С, мне то и дело стали попадаться не тройки, а уже четверки чисел, которые обладали похожими свойствами: а именно, сумма квадратов трех из них давала полный квадрат четвертого. Этот факт заинтриговал меня настолько, что я до сих пор наизусть помню некоторые из них. На самом деле, таких четверок бесконечно много и только в пределах чисел до 1000 их существует около 84 000. А вот, к примеру, пять таких четверок, из тех, что компьютер нашел перебором, пока я писал эту статью:

Заметив такое удивительное совпадение, я стал думать. Вопрос, который меня занимал в связи с этим загадочным обстоятельством, наличием не только троек, но и четверок, обнаруживающих свойства египетского треугольника, был таков: «

А что бы это все могло значить?

» Я перебирал варианты, какие только приходили в голову. В фантазии себя никак не ограничивал. Много раз садился за стол, выписывал известные мне наборы четверок и вдумчиво на них смотрел… часами… без перерыва… и… ничего не происходило. У меня был школьный товарищ Саня, с которым я как-то поделился своими идеями. Но его больше интересовали гуманитарные науки. Он стал юристом и сейчас служит в звании майора милиции. Саня сказал мне примерно следующее:«Вот странный ты человек. Делать тебе больше нечего. Мало тебе задают домашек? Хватит думать о всякой ерунде!». А, надо сказать, думал я, не переставая, и думал много лет, время от времени возвращаясь к этой загадке. Еще будучи школьником, я сделал вывод, что это, вероятнее всего, имеет отношение к великой теореме Ферма (на которую я тоже много раз подолгу смотрел). Шли годы. Ничего не получалось. Озарение не приходило. И я понял, что, вероятно, дальше чем «что-то связанное с теоремой Ферма» я никуда уже не продвинусь. Но не тут то было

Шерлок нашел зацепку

Итак, в 2014 году ехал я в автобусе по Новосибирску. А может быть это было метро. Дорога не близкая. Заняться нечем. И в очередной раз решил я подумать о моей школьной загадке. И вот что я подумал.

Как же назвать эти числа? Треугольниками не назовешь, ведь четыре числа никак не могут образовать треугольник. И тут! Как гром среди ясного неба

Раз есть такие четверки чисел, значит должен быть геометрический объект с такими же свойствами, отраженными в этих числах!

Теперь осталось только подобрать какой-то геометрический объект под это свойство, и все встанет на свои места! Конечно, предположение было чисто гипотетическое, и никакого подтверждения под собой не имело. Но что если это так!

Начался перебор объектов. Звезды, многоугольники, правильные, неправильные, с прямым углом и так далее и тому подобное. Опять ничего не подходит. Что делать? И в этот момент Шерлок получает свою вторую зацепку.

Надо повысить размерность! Раз тройке соответствуют треугольник на плоскости, значит четверке соответствует нечто трехмерное!

О нет! Опять перебор вариантов! А в трехмерии гораздо, гораздо больше всевозможных геометрических тел. Попробуй перебрать их все! Но не все так плохо. Есть же еще прямой угол и другие зацепки! Что мы имеем? Египетские четверки чисел (пусть будут египетские, надо же их как-то называть), прямой угол (или углы) и некий трехмерный объект. Дедукция сработала! И… Полагаю, что догадливые читатели уже поняли, что речь идет о пирамидах, у которых при одной из вершин все три угла — прямые. Можно даже назвать их прямоугольными пирамидами по аналогии с прямоугольным треугольником.

Новая теорема

Итак, у нас есть все что нужно. Прямоугольные (!) пирамиды, боковые

грани-катеты

и секущая

грань-гипотенуза

. Пришло время нарисовать еще одну картинку.



Теорема Пифагора для прямоугольной пирамиды

На картинке изображена пирамида с вершиной в начале прямоугольных координат (пирамида как бы лежит на боку). Пирамида образована тремя взаимно-перпендикулярными векторами, отложенными из начала координат вдоль координатных осей. То есть каждая боковая грань пирамиды — это прямоугольный треугольник с прямым углом при начале координат. Концы векторов определяют секущую плоскость и образуют грань-основание пирамиды.

Теорема

Пусть есть прямоугольная пирамида, образованная тремя взаимно-перпендикулярными векторами , у которой площади граней-катетов равны — , и площадь грани-гипотенузы — . Тогда

Альтернативная формулировка: У четырехгранной пирамиды, у которой при одной из вершин все плоские углы прямые, сумма квадратов площадей боковых граней равна квадрату площади основания.

Разумеется, если обычная теорема Пифагора формулируется для длин сторон треугольников, то наша теорема формулируется для площадей сторон пирамиды. Доказать эту теорему в трех измерениях очень просто, если вы немного знаете векторную алгебру.

Доказательство

Выразим площади через длины векторов .


где .

Площадь представим как половину площади параллелограмма, построенного на векторах и


Как известно, векторное произведение двух векторов — это вектор, длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
Поэтому


Таким образом,


Что и требовалось доказать!

ЭВРИКА!

Моему восторгу не было границ! Я буквально прыгал от счастья. Конечно, это не бог весть какая сложная теорема, и доказательство очень простое, но ведь сам. И до меня — никто! Я был в этом искренне убежден в течение около года. Попытки найти хоть какие-то свидетельства о том, что это уже известно и доказано терпели неудачу одна за другой, и я думал, что совершил открытие. Это непредаваемое чувство! Я хотел поделиться этой теоремой со всем миром. Говорил о ней друзьям, знакомым математикам, просто знакомым с техническим/математическим образованием и без. Никто не разделял моего восторга и энтузиазма. Всем было попросту безразлично. Будто бы я не придумал и доказал теорему, а просто в магазин за хлебом сходил. Ну и что тут такого? Вот уж действительно… Как говорится, «Как скучно мы живём! В нас пропал дух авантюризма, мы перестали лазить в окна к любимым женщинам, мы перестали делать большие хорошие глупости.» (из фильма «Ирония судьбы»).

Конечно, как у человека, профессионально занимающегося исследованиями, подобное в моей жизни уже случалось, и не раз. Но этот момент был самым ярким и самым запоминающимся. Я испытал полную гамму чувств, эмоций, переживаний первооткрывателя. От зарождения мысли, кристализации идеи, нахождения доказательства — до полного непонимания и даже неприятия, которое встретили мои идеи у моих друзей, знакомых и, как мне тогда казалось, у целого мира. Это было уникально! Я словно почувствовал себя в шкуре Галлилея, Коперника, Ньютона, Шредингера, Бора, Эйнштейна и многих многих других открывателей.

Послесловие

В жизни, все оказалось гораздо проще и прозаичнее. Я опоздал… Но на сколько! Всего-то навсего 18 лет! Под страшными продолжительными пытками и не с первого раза Гугл признался мне, что эта теорема была опубликована в 1996 году!

Вот ссылка на статью:

Amir-Moéz, Ali R., Robert E. Byerly, and Robert R. Byerly. «Pythagorean theorem in unitary spaces.» Publikacije Elektrotehničkog fakulteta. Serija Matematika (1996): 85-89.

Статья опубликована издательством Техасского технического университета. Авторы, профессиональные математики, ввели терминологию (которая, кстати, во многом совпала с моей) и доказали также и обобщенную теорему справедливую для пространства любой размерности большей единицы. Что же произойдет в размерностях более высоких, чем 3? Все очень просто: вместо граней и площадей будут гиперповерхности и многомерные объемы. А утверждение, конечно, останется все тем же: сумма квадратов объемов боковых граней равна квадрату объема основания, — просто количество граней будет больше, а объем каждой из них станет равен половине произведения векторов-образующих. Вообразить это почти невозможно! Можно только, как говорят философы, помыслить!

Что удивительно, узнав о том, что такая теорема уже известна, я ничуть не расстроился. Где-то в глубине души я подозревал, что вполне возможно, я был не первый, и понимал, что нужно быть всегда к этому готовым. Но тот эмоциониальный опыт, который я получил, зажег во мне искру исследователя, которая, я уверен, теперь уже не угаснет никогда!

P.S.

Эрудированный читатель в комментариях прислал ссылку


Теорема де Гуа
Выдержка из Википедии

В 1783 году теорема была представлена Парижской академии наук французским математиком Ж.-П. де Гуа, однако ранее она была известна Рене Декарту[3] и до него Иоганну Фульгаберу (англ.), который, вероятно, первым открыл её в 1622 году[4]. В более общем виде теорему сформулировал Шарль Тинсо (фр.) в докладе Парижской академии наук в 1774 году[4]

Так что я опоздал не на 18 лет, а как минимум на пару веков!

Источники

Читатели указали в комментариях несколько полезных ссылок. Вот эти и некоторые другие ссылки:

  1. Теорема де Гуа
  2. Теорема Пифагора
  3. Пифагорова тройка
  4. Пифагорова четверка
  5. Равенство Парсеваля

Оформление теоремы фалеса. Теорема Фалеса

Пусть f {\displaystyle f} — проективное преобразование коники. Тогда огибающей множества прямых X f (X) {\displaystyle Xf(X)} будет коника (возможно, вырожденная).

| ]

О параллельных и секущих.

Вне русскоязычной литературы теоремой Фалеса иногда называют другую теорему планиметрии, а именно, утверждение о том , что вписанный угол , опирающийся на диаметр окружности , является прямым. Открытие этой теоремы действительно приписывается Фалесу, о чём есть свидетельство Прокла .

Формулировки

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки.

Более общая формулировка, также называемая теорема о пропорциональных отрезках

Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки :

A 1 A 2 B 1 B 2 = A 2 A 3 B 2 B 3 = A 1 A 3 B 1 B 3 . {\displaystyle {\frac {A_{1}A_{2}}{B_{1}B_{2}}}={\frac {A_{2}A_{3}}{B_{2}B_{3}}}={\frac {A_{1}A_{3}}{B_{1}B_{3}}}.}

Замечания

  • В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих (она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных). Также не важно, где находятся отрезки на секущих.
  • Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о пропорциональных отрезках, поскольку равные отрезки можно считать пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности, равным 1.

Доказательство в случае секущих

Рассмотрим вариант с несвязанными парами отрезков: пусть угол пересекают прямые A A 1 | | B B 1 | | C C 1 | | D D 1 {\displaystyle AA_{1}||BB_{1}||CC_{1}||DD_{1}} и при этом A B = C D {\displaystyle AB=CD} .

Доказательство в случае параллельных прямых

Проведем прямую BC . Углы ABC и BCD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей BC , а углы ACB и CBD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC и BD и секущей BC . Тогда по второму признаку равенства треугольников треугольники ABC и DCB равны. Отсюда следует, что AC = BD и AB = CD . ■

Вариации и обобщения

Обратная теорема

Если в теореме Фалеса равные отрезки начинаются от вершины (часто в школьной литературе используется такая формулировка), то обратная теорема также окажется верной. Для пересекающихся секущих она формулируется так:

В обратной теореме Фалеса важно, что равные отрезки начинаются от вершины

Таким образом (см. рис.) из того, что C B 1 C A 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … {\displaystyle {\frac {CB_{1}}{CA_{1}}}={\frac {B_{1}B_{2}}{A_{1}A_{2}}}=\ldots } , следует, что A 1 B 1 | | A 2 B 2 | | … {\displaystyle A_{1}B_{1}||A_{2}B_{2}||\ldots } .

Если секущие параллельны, то необходимо требовать равенство отрезков на обеих секущих между собой, иначе данное утверждение становится неверным (контрпример — трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середины оснований).

Этой теоремой пользуются в навигации: столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется направление с одного судна на другое.

Лемма Соллертинского

Следующее утверждение, двойственно к лемме Соллертинского :

Пусть f {\displaystyle f} — проективное соответствие между точками прямой l {\displaystyle l} и прямой m {\displaystyle m} . Тогда множество прямых будет множеством касательных к некоторому коническому сечению (возможно, вырожденному).

В случае теоремы Фалеса коникой будет бесконечно удалённая точка, соответствующая направлению параллельных прямых.

Это утверждение, в свою очередь, является предельным случаем следующего утверждения:

Пусть f {\displaystyle f} — проективное преобразование коники. Тогда огибающей множества прямых X f (X) {\displaystyle Xf(X)} будет коника (возможно, вырожденная).

называется пропорцией . При этом говорят, что:

x 1 относится к x 2 как y 1 относится к y 2 ,

отношение чисел x 1 и x 2 равно отношению чисел y 1 и y 2 ,

числа x 1 и x 2 соотносятся так же, как числа y 1 и y 2 ,

или, наконец,

числа x 1 и y 1 (!) пропорциональны числам x 2 и y 2 (то есть числители пропорциональны знаменателям).

Входящие сюда числа x 1 , x 2 , y 1 и y 2 называются членами пропорции. Обычно все они положительны, но это необязательно. Предполагается, однако, что ни одно из них не равно нулю. Особого названия это равенство удостоилось по той причине, что оно часто встречается при решении разных математических задач.

Пропорции можно преобразовывать, перенося члены «с верху» одной части равенства «в низ» другой части равенства и наоборот. Эту процедуру легко обосновать следующим образом. Допустим мы хотим перенести x 1 из левой части в правую. Для этого умножим обе части пропорции на 1/x 1:

то есть переменная x 1 у нас переместилась «по диагонали сверху вниз». Перенесем теперь «влево наверх» переменную y 2 . Это достигается умножением на нее обеих частей данного равенства. В результате имеем

числители x 1 и y 1 соотносятся между собой точно так же, как и соответствующие им знаменатели x 2 и y 2 .

Обобщенная теорема Фалеса

Теорема Фалеса, рассмотренная в прошлый раз, допускает следующее обобщение.

Пусть две произвольные прямые x и y пересекаются тремя параллельными прямыми n 1 , n 2 и n 3 в точках X 1 , X 2 , X 3 и Y 1 , Y 2 , Y 3 , как показано на рисунке:

Тогда длины отсекаемых отрезков образуют следующую пропорцию

представляет собой рациональное число, то есть может быть выражено в виде несократимой дроби

где a и b — некоторые натуральные числа, a b . Разобьем отрезок X 1 X 3 на b одинаковых частей. (При этом точка X 2 окажется одной из точек деления. ) Проведем через каждую точку деления прямые, параллельные n 1 , n 2 и n 3 . (Одна из этих прямых совпадет с прямой n 2 .)

По теореме Фалеса (в ее первоначальном варианте), отрезок Y 1 Y 3 также делится этими прямыми на b равных частей, из которых a частей составляют отрезок Y 1 Y 2 . Следовательно,

|Y 1 Y 2 |

|X 1 X 2 |

|Y 1 Y 3 |

b

|X 1 X 3 |

что и требовалось доказать. Из нашего построения следует также, что

|Y 2 Y 3 |

|X 2 X 3 |

|Y 1 Y 3 |

b

|X 1 X 3 |

|Y 2 Y 3 |

|X 2 X 3 |

|Y 1 Y 2 |

a

|X 1 X 2 |

Пользуясь свойствами пропорций, эти равенства можно переписать в виде одной цепочки:

|Y 1 Y 2 |

|Y 2 Y 3 |

|Y 1 Y 3 |

|X 1 X 2 |

|X 2 X 3 |

|X 1 X 3 |

Таким образом, отрезки отсекаемые на прямой y пропорциональны соответствующим отрезкам на прямой x .

Теоретически возможна также ситуация, когда отношение длин

не является рациональным числом, поскольку длины отрезков |X 1 X 2 | и |X 1 X 3 | могут, в принципе, выражаться иррациональными числами. Однако на практике такой случай никогда не встречается. Для определения длин отрезков мы всегда пользуемся каким-либо измерительным прибором (например, школьной линейкой), который выдает лишь округленные результаты в виде конечной десятичной дроби.

Важное следствие

Пусть даны несовпадающие прямые x и y , которые пересекаются в точке O, и еще — две параллельные прямые n 1 и n 2 , которые пересекают прямую x в точках X 1 и X 2 и прямую y в точках Y 1 и Y 2 , как показано на рисунке.

Введем обозначения:

x 1 = |OX 1 |, x 2 = |OX 2 |;

y 1 = |OY 1 |, y 2 = |OY 2 |;

z 1 = |X 1 Y 1 |, z 2 = |X 2 Y 2 |.

Действительно, оба равенства в этой цепочке непосредственно следует из обобщенной теоремы Фалеса. Для первого равенства это ясно сразу, а для второго это становится очевидным после того, как мы через точку Y 1 проведем прямую m , параллельную прямой x .

Верно и обратное утверждение. Пусть дана та же геометрическая конструкция и известно, что

Тогда прямые n 1 и n 2 параллельны. В самом деле, проведем через точку X 1 вспомогательную прямую, параллельную прямой n 2 . По обобщенной теореме Фалеса, эта вспомогательная прямая проходит через точку Y 1 . Следовательно, она совпадает с прямой n 1 . Таким образом, прямая n 1 параллельна прямой n 2 .

Масштаб

Выйдем на улицу, прихватив с собой лист бумаги и карандаш. Расположим наш лист горизонтально и поставим на нем приблизительно посередине точку O. Из этой точки проведем мысленно лучи в направлении различных примечательных точек на местности, расположенных в радиусе примерно ста метров, — деревьев, столбов, углов зданий и того подобного.

Допустим, у нас есть возможность измерить расстояния до этих примечательных точек. Пусть, например, расстояние до ближайшего дерева равно 10 м. Мысленно отложим от точки O в направлении этого дерева отрезок, длина которого в 1000 раз меньше данного расстояния, и отметим карандашом на бумаге положение второго его конца. Нетрудно рассчитать, что расстояние от точки O до отметки составит 10 м/1000 = 1 см.

Подобным же образом, пусть расстояние до какого-то другого примечательного объекта равно x 1 . Умножим это расстояние на число k , равное 1/1000. Мысленно отложим от точки O отрезок длиной x 2 = kx 1 вдоль луча, направленного на данный объект. В том месте на бумаге, где находится второй конец отрезка, сделаем отметку карандашом. Проделаем такую процедуру со всеми примечательными точками на местности, используя всё время одно и то же значение параметра k . Если какие-либо из этих точек соединены между собой забором или стеной или же чем-то подобным, то между соответствующими метками на бумаге также проведем линии.

В результате на нашем листе бумаги получится карта местности. В силу теоремы Фалеса и свойств пропорций, все соотношения между расстояниями на бумаге будут в точности такими же, как и в действительности. Более того, все линии на бумаге окажутся параллельны соответствующим линиям на местности. Эта параллельность, конечно, нарушится, когда мы унесем наш лист куда-нибудь в другое место, однако углы между линиями сохранятся.

Параметр k , который мы использовали в нашем построении, называется масштабным коэффициентом или просто масштабом . Разумеется, он необязательно должен быть равен 1/1000. Он может, в принципе, принимать любое значение, важно лишь, чтобы это значение оставалось всё время неизменным в процессе построения карты.

На настоящих географических картах масштаб обязательно указывается в легенде, при этом вместо дробной черты обычно используется двоеточие. Например, масштаб 1:100 000 означает, что один сантиметр на карте соответствует 100000 сантиметрам (то есть одному километру) на местности.

Технические чертежи также всегда выполняются, как говорят, в определенном масштабе. Масштаб 1:1 означает, что деталь начерчена в натуральную величину. А масштаб 10:1 говорит о том, что чертеж выполнен с десятикратным увеличением.

Замечание о параллельных прямых

Мы назвали параллельными такие несовпадающие прямые, угол между которыми равен нулю. Мы отметили, что такие прямые нигде не пересекаются. Докажем теперь, что если прямые лежат в одной плоскости и не параллельны (то есть угол между ними отличен от нуля), то тогда они обязательно где-нибудь пересекутся.

Пусть на плоскости даны две прямые — x и n . Отметим на них произвольные точки — O и Y — и проведем через эти точки третью прямую — y . Если исходить из того, что угол между прямыми x и n не равен нулю, то смежные углы должны оказаться не равны друг другу. Пусть для определенности α 1 > α 2 , как показано на рисунке.

Проведем через точку O прямую n 1 , параллельную прямой n . Отметим на ней со стороны угла α 1 произвольную точку N 1 и проведем через эту точку прямую y 1 , параллельную прямой y . При этом образуется параллелограмм, обозначенный на рисунке серым фоном.

Это значит, что прямая y 1 пересекает прямую n в некоторой точке, которую мы обозначим через N . Прямая x , заходя на «территорию» параллелограмма в точке O , обязательно должна где-то оттуда выйти. Она может это сделать либо через отрезок YN , либо через отрезок N 1 N . В первом случае сразу становится очевидно, что прямая x пересекает прямую n . Рассмотрим второй случай. Обозначим точку пересечения прямой x и отрезка N 1 N через X 1 . Проведем через нее прямую n 2 , параллельную прямой n . Эта прямая разбивает параллелограмм ON 1 NY на два новых параллелограмма и пересекает прямую y в некоторой точке Y 1 . Отметим на прямой x такую точку X , для которой выполняется соотношение

Проведем через точки X и Y прямую. Согласно рассмотренному выше следствию из теоремы Фалеса, эта прямая параллельна прямой n 2 , а значит, образует нулевой угол с прямой n . Следовательно, новая прямая совпадает с прямой n , которая, таким образом, пересекает прямую x в точке X .

Мы теперь можем утверждать, что следующие три утверждения о несовпадающих прямых a и b , лежащих в одной плоскости, означают в точности одно и то же:

(1) Угол между прямыми a и b равен нулю.

(2) Прямые a и b нигде не пересекаются.

(3) Прямые a и b параллельны.

В традиционных курсах геометрии определением параллельности прямых служит утверждение 2. Мы выбрали для этих целей утверждение 1. Ведь гораздо проще определить угол между двумя прямыми, чем удостовериться, что они нигде не пересекаются на всём своем бесконечном протяжении.

Конспект

1. Равенство вида x 1 /x 2 = y 1 /y 2 называется пропорцией. Числители пропорциональны знаменателям. Числитель и знаменатель одной дроби соотносятся так же, как числитель и знаменатель другой дроби. Эквивалентное равенство: x 1 /y 1 = x 2 /y 2 .

2. Обобщенная теорема Фалеса . Пусть две произвольные прямые a и b пересекаются тремя параллельными прямыми. Тогда отрезки, отсекаемые на прямой a , пропорциональны соответствующим отрезкам, отсекаемым на прямой b .

3. Следствие 1 . Пусть стороны угла с вершиной в точке O пересекаются двумя параллельными прямыми n 1 и n 2 . Тогда отрезки, отсекаемые на прямых n 1 и n 2 , соотносятся так же, как отрезки, отложенные на любой из сторон угла от точки O до соответствующих точек пересечения с прямыми n 1 и n 2 .

4. Следствие 2 . Пусть на сторонах угла отложены от вершины отрезки таким образом, что отрезки на одной стороне пропорциональны отрезкам на другой. Тогда прямые, проходящие через соответствующие концы этих отрезков, параллельны друг другу.

5. На карте сохраняются все соотношения между расстояниями и все углы. Отношение расстояния между некоторыми двумя точками на карте к расстоянию между соответствующими точками на местности не зависит от выбора точек и называется масштабом.

6. Если угол между двумя прямыми, лежащими в одной плоскости, не равен нулю, то такие прямые обязательно пересекаются.

О параллельных и секущих.

Вне русскоязычной литературы теоремой Фалеса иногда называют другую теорему планиметрии, а именно, утверждение о том , что вписанный угол , опирающийся на диаметр окружности , является прямым. Открытие этой теоремы действительно приписывается Фалесу, о чём есть свидетельство Прокла .

Формулировки

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки.

Более общая формулировка, также называемая теорема о пропорциональных отрезках

Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки :

A 1 A 2 B 1 B 2 = A 2 A 3 B 2 B 3 = A 1 A 3 B 1 B 3 . {\displaystyle {\frac {A_{1}A_{2}}{B_{1}B_{2}}}={\frac {A_{2}A_{3}}{B_{2}B_{3}}}={\frac {A_{1}A_{3}}{B_{1}B_{3}}}.}

Замечания

  • В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих (она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных). Также не важно, где находятся отрезки на секущих.
  • Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о пропорциональных отрезках, поскольку равные отрезки можно считать пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности, равным 1.

Доказательство в случае секущих

Рассмотрим вариант с несвязанными парами отрезков: пусть угол пересекают прямые A A 1 | | B B 1 | | C C 1 | | D D 1 {\displaystyle AA_{1}||BB_{1}||CC_{1}||DD_{1}} и при этом A B = C D {\displaystyle AB=CD} .

  1. Проведём через точки A {\displaystyle A} и C {\displaystyle C} прямые, параллельные другой стороне угла. A B 2 B 1 A 1 {\displaystyle AB_{2}B_{1}A_{1}} и C D 2 D 1 C 1 {\displaystyle CD_{2}D_{1}C_{1}} . Согласно свойству параллелограмма: A B 2 = A 1 B 1 {\displaystyle AB_{2}=A_{1}B_{1}} и C D 2 = C 1 D 1 {\displaystyle CD_{2}=C_{1}D_{1}} .
  2. Треугольники △ A B B 2 {\displaystyle \bigtriangleup ABB_{2}} и △ C D D 2 {\displaystyle \bigtriangleup CDD_{2}} равны на основании второго признака равенства треугольников

Доказательство в случае параллельных прямых

Проведем прямую BC . Углы ABC и BCD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей BC , а углы ACB и CBD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC и BD и секущей BC . Тогда по второму признаку равенства треугольников треугольники ABC и DCB равны. Отсюда следует, что AC = BD и AB = CD . ■

Вариации и обобщения

Обратная теорема

Если в теореме Фалеса равные отрезки начинаются от вершины (часто в школьной литературе используется такая формулировка), то обратная теорема также окажется верной. Для пересекающихся секущих она формулируется так:

Таким образом (см. рис.) из того, что C B 1 C A 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … {\displaystyle {\frac {CB_{1}}{CA_{1}}}={\frac {B_{1}B_{2}}{A_{1}A_{2}}}=\ldots } , следует, что A 1 B 1 | | A 2 B 2 | | … {\displaystyle A_{1}B_{1}||A_{2}B_{2}||\ldots } .

Если секущие параллельны, то необходимо требовать равенство отрезков на обеих секущих между собой, иначе данное утверждение становится неверным (контрпример — трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середины оснований).

Этой теоремой пользуются в навигации: столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется направление с одного судна на другое.

Лемма Соллертинского

Следующее утверждение, двойственно к лемме Соллертинского :

Пусть f {\displaystyle f} — проективное соответствие между точками прямой l {\displaystyle l} и прямой m {\displaystyle m} . Тогда множество прямых X f (X) {\displaystyle Xf(X)} будет множеством касательных к некоторому

Тема урока

Цели урока

  • Познакомиться с новыми определениями и вспомнить некоторые уже изученные.
  • Сформулировать и доказать свойства квадрата, доказать его свойства.
  • Научиться применять свойства фигур при решении задач.
  • Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
  • Воспитательные — посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока

  • Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока

  1. Историческая справка.
  2. Фалес как математик и его труды.
  3. Полезно вспомнить.

Историческая справка

  • Теорема Фалеса до сих пор используется в морской навигации в качестве правила о том, что столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется курс судов друг на друга.


  • Вне русскоязычной литературы теоремой Фалеса иногда называют другую теорему планиметрии, а именно, утверждение о том, что вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым. Открытие этой теоремы действительно приписывается Фалесу, о чём есть свидетельство Прокла.
  • Основы геометрии Фалес постигал в Египте.

Открытия и заслуги ее автора

А известно ли вам, что Фалес Милетский был одним из семи самых известных по тем временам, мудрецом Греции. Он основал Ионийскую школу. Идею, которую продвигал Фалес в этой школе, было единство всего сущего. Мудрец считал, что есть единое начало, от которого произошли все вещи.

Огромной заслугой Фалеса Милетского является создание научной геометрии. Этот великий учений сумел с египетского искусства измерения создать дедуктивную геометрию, базой которой есть общие основания.

Кроме огромных познаний в геометрии, Фалес еще и неплохо разбирался в астрономии. Эму первому удалось предсказать полное затмение Солнца. А ведь это происходило не в современном мире, а в далеком 585 году, еще до нашей эры.

Фалес Милетский был тем человеком, который сообразил, что север можно точно определить по созвездию Малой Медведицы. Но и это не было его последним открытием, так как он сумел в точности определить продолжительность года, разбить его на триста шестьдесят пять дней, а также установил время равноденствий.

Фалес на самом деле был всесторонне развитым и мудрым человеком. Кроме того, что он славился как прекрасный математик, физик, астроном, он еще и как настоящий метеоролог, смог довольно точно предсказать урожай оливок.

Но самое примечательное то, что Фалес никогда не ограничивался в своих познаниях только научно-теоретической областью, а всегда пытался закрепить доказательства своих теорий на практике. И самое интересное, то, что великий мудрец не сосредотачивался на какой-то одной области своих познаний, его интерес имел различные направленности.

Имя Фалеса стало нарицательным для мудреца уже тогда. Его важность и значимость для Греции была так велика, как для России имя Ломоносова. Конечно, его мудрость можно толковать по-разному. Но точно можно сказать, что ему были присущи и изобретательность, и практическая смекалка, и в какой-то степени отрешенность.

Фалес Милетский был отличным математиком, философом, астрономом, любил путешествовать, был купцом и предпринимателем, занимался торговлей, а также был неплохим инженером, дипломатом, провидцем и активно участвовал в политической жизни.

Он даже умудрился с помощью посоха и тени определить высоту пирамиды. А было это так. В один погожий солнечный день Фалес поставил свой посох на границе, где заканчивалась тень от пирамиды. Далее он дождался, когда длинна от тени его посоха сравнялась с его высотой, и замерил длину тени пирамиды. Вот так, казалось бы просто Фалес определил высоту пирамиды и доказал, что длина одной тени имеет отношение к длине другой тени, также, как и высота пирамиды относится к высоте посоха. Чем и поразил самого фараона Амасиса.

Благодаря Фалесу все известные в то время знания были переведены в область научного интереса. Он смог донести результаты до уровня, пригодного для научного потребления, выделив определенный комплекс понятий. И возможно с помощью Фалеса началось последующее развитие античной философии.

Теорема Фалеса играет одну важных ролей в математике. Она была известна не только в Древнем Египте и Вавилоне, но и в других странах и являлась почвой для развития математики. Да и в повседневной жизни, при строительстве зданий, сооружений, дорог и т.д., без теоремы Фалеса не обойтись.

Теорема Фалеса в культуре

Теорема Фалеса прославилась не только в математике, но ее приобщили еще и к культуре. Однажды аргентинская музыкальная группа Les Luthiers (исп.) на суд зрителей представила песню, которую посвятила известной теореме. Участники Les Luthiers в своем видеоклипе специально для этой песни предоставили доказательства для прямой теоремы для пропорциональных отрезков.

Вопросы

  1. Какие прямые называются параллельными?
  2. Где практически применяется теорема Фалеса?
  3. О чем гласит теорема Фалеса?

Список использованных источников

  1. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика/Глав.ред.М.Д.Аксенова.-м.:Аванта+,2001.
  2. «Единый государственный экзамен 2006. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся/ Рособрнадзор, ИСОП – М.: Интеллект-Центр, 2006»
  3. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина «Геометрия, 7 – 9: учебник для общеобразовательных учреждений»
Предмети > Математика > Математика 8 класс

Разработка урока геометрии в 7-м классе на тему «Средняя линия треугольника»

Цели:

  1. Повторить доказательство теоремы Фалеса;
  2. Дать определение и доказать свойства средней линии треугольника;
  3. Научить распознавать и применить свойства средней линии треугольника в решении задачи.

Оборудование: учебник, дидактический материал, методическое пособие, готовые чертежи.

Ход урока

I. Актуализация

1) Что было задано на дом? (№ 49(2), №48)

  1. Проверка домашнего задания
  2. Устные упражнения по готовым чертежам.

2) Сформулировать и доказать теорему Фалеса.

3) Решение задач (трое учащихся решают задачи по готовому чертежу на местах)

II. Объяснение нового материала

  1. Определение средней линии треугольника.
  2. Устные упражнения направленные на закрепление определения и на распознавание средней линии треугольника по готовому чертежу.

  1. Является ли отрезок EF средней линией треугольника АВС (рис 1)
  2. Является ли отрезок СD средней линией треугольника MNK (рис 2)
  3. KL – средняя линия треугольника DЕF, DF=10 см, FE=12 см. Чему равны отрезок DK, KF,FL, LE.

Т6.7Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Доказательство: Проведем через точку D прямую, параллельную стороне АВ. По теореме Фалеса она пересекает АС в его середине, т.е. содержит среднюю линию DE. Значит, ЕD II АВ. Проведем теперь среднюю линию DF. Она параллельно стороне АС. Четырехугольник АЕDF – параллелограмм . По свойству параллелограмма ЕD = AF, а так как AF=FB по теореме Фалеса, то ЕD= АВ

III. Закрепление

  1. Сколько средних линий можно построить в данном треугольнике?
  2. Стороны треугольника равны 4 м, 6 м и 8 м. Чему равны средние линии этого треугольника?
  3. DЕ – средняя линия треугольника АВС. Определите сторону АВ, если DЕ=4см. б) DЕ=5 см, DС=3 см, СЕ=6 см. Определите стороны треугольника АВС.

    4. МК и РК – средние линии треугольника АВС. Является ли отрезок МР средней линией этого треугольника?

IV. Итог урока.

  1. Что такое средняя линия треугольника?
  2. Сформулировать Т6.7
  3. Д/з п 58 Т6.7 готовиться к доказательству теоремы. № 51, № 52.

1. Теорема Фалеса[25] . Объясняя мир [Истоки современной науки]

Теорема Фалеса – хороший пример того, как, рассуждая в понятиях геометрии, можно прийти к неочевидному выводу о свойствах окружностей и треугольников. Фалес или кто-либо другой был первым, кто доказал эту теорему, для нас она представляет интерес, так как демонстрирует, что древние греки знали о геометрии до Евклида.

Рассмотрим любую окружность. Пусть прямая пересекает ее по диаметру. Точки пересечения этой прямой с окружностью обозначим A и B. Выберем в любом месте окружности точку P, не совпадающую ни с A, ни с B, и соединим точки A и B с точкой P отрезками. Диаметр AB и отрезки AP и BP образуют треугольник ABP. Теорема Фалеса гласит, что такой треугольник всегда является прямоугольным, то есть его угол при вершине P всегда равен 90°.

Хитрость в доказательстве этой теоремы заключается в том, что необходимо из центра C окружности провести в точку P радиус CP. При этом треугольник ABP окажется разделен на два треугольника: ACP и BCP (см. рис. 1). Оба эти треугольника являются равнобедренными, то есть такими, у которых две стороны равны. В треугольнике ACP стороны CA и CP являются радиусами окружности и, по определению окружности, равны (будем обозначать стороны треугольника по точкам, которые они соединяют). Аналогично в треугольнике BCP равны стороны CB и CP. В равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, равны между собой, поэтому угол ? (альфа) между сторонами AP и AC равен углу между сторонами AP и CP, а угол ? (бета) между сторонами BP и BC равен углу между сторонами BP и CP. Сумма углов любого треугольника равна удвоенному прямому углу[26], или, как сейчас принято говорить, 180°, поэтому если в треугольнике ACP третий угол между сторонами AC и CP обозначить ?? и точно так же обозначить ?? угол между сторонами BC и CP в треугольнике BCP, то будут верны равенства:

2? +?’ = 180°; 2?+?’ = 180°

Сложив оба равенства и переставив слагаемые местами, получим:

2(? + ?)+ (?’ + ?’) = 360°.

Учтем, что ?? + ?? – это развернутый угол между сторонами AC и BC, то есть такой угол, лучи которого образуют отрезок прямой линии. Его величина составляет 180°, поэтому:

2(? + ?) = 360° ? 180° = 180°.

Следовательно, ? + ? = 90°. Но если посмотреть на рисунок 1, то легко увидеть, что угол ? + ? – это угол между сторонами AP и BP в исходном треугольнике ABP, значит, он является прямоугольным треугольником, что и требовалось доказать.

Рис. 1. Доказательство теоремы Фалеса. Теорема утверждает, что для любой взятой на окружности точки P угол между отрезками, проведенными из этой точки к концам произвольного диаметра AB, будет прямым.

Математика — 8

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне конгруэнтные отрезки, то они отсекают конгруэнтные отрезки и на другой его стороне. Если
OA1 ≅ A1A2 ≅ A2A3 тогда OB1 ≅ B1B2 ≅ B2B3. Запишите в тетради доказательство теоремы, заполнив пропущенные строки.
Доказательство: через точку B2 проведем параллельную прямую к прямой OA3.

Предположение Обоснование
1. Дано.
2. …………………………….
3.A1 A2 ≅ A2 A3
4. …………………………….
5. Вертикальные углы
6. Признак УСУ
7. ……………………………

Если в условии теоремы Фалеса, вместо угла взять две произвольные прямые, то результат не изменится.

Исследование: 1) В треугольнике ∇через точку М — середину стороны АВ, проведите прямую параллельную AC: MN||AC. Какая фигура получилась? Является ли АМNC трапецией? Измерьте и сравните основания полученной трапеции. 2) Измерьте и сравните длины отрезков ВN и NC Можно ли утверждать, что
ВN = NС ?

Определение: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией этого треугольника.

Теорема. Средняя линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна ее половине MN||AC, MN = AC
2

Доказательство. Пусть дан треугольник ∇ABC и его средняя линия МN. Проведём через точку М прямую параллельную стороне АС. По теореме Фалеса, она проходит через середину стороны АВ, т.е. совпадает со средней линией МN Т.е. средняя линия МN параллельна стороне АС. Теперь проведём среднюю линию NК. Т.к. NК||АВ, то четырёхугольник АМNК является параллелограммом. По свойству параллелограмма MN ≅ AK. По теореме Фалеса AK ≅ KC. Тогда MN = AC
2 . Теорема доказана.

Теорема Фалеса | Блестящая математика и естественные науки вики

Есть много способов доказать эту теорему. Одно из самых классических доказательств выглядит следующим образом:

Мы знаем AO=BO=COAO=BO=COAO=BO=CO, так как все они являются радиусами окружности. Следовательно, ∠OAB=∠OBA\угол OAB=\угол OBA∠OAB=∠OBA и ∠OBC=∠OCB\угол OBC=\угол OCB∠OBC=∠OCB, потому что углы, лежащие против равных сторон, равны.

Пусть ∠OAB=∠OBA=α∠OBC=∠OCB=β. \begin{выровнено} \угол OAB&=\угол OBA=\альфа \\ \угол OBC&=\угол OCB=\beta.\круг.\ _\квадрат \end{выровнено}∠ABC+∠BCA+∠CAB∠OAB+(∠OBA+∠OBC)+∠OCBα+(α+β)+βα+β∠ABC​=180∘=180∘=180∘=90∘=90∘ . □​​

Есть еще один способ доказать это, основанный на другой теореме, называемой теоремой об альтернативных сегментах, которая утверждает, что

Теорема об альтернативном сегменте:

Угол, образуемый хордой (или двумя радиусами) в центре окружности, в два раза больше угла, образуемого хордой на остальной части окружности. □_\квадрат□​

Попробуем теперь доказать теорему Фалеса с помощью приведенной выше теоремы.\круг 90∘

ABABAB — это диаметр полукруга.
CCC — точка на окружности.
Чему равен угол ACB?ACB?ACB?

Самая длинная хорда в окружности — это ее диаметр.

Пусть окружность с центром ООО имеет хорду АВАВАВ. Соедините OAOAOA и OBOBOB, и пусть PPP будет точкой на ABABAB такой, что OP⊥ABOP\perp ABOP⊥AB.
Мы знаем, что перпендикуляр из центра окружности к хорде делит хорду пополам. Тогда PA=PB=12ABPA=PB= \dfrac12 ABPA=PB=21​AB.

Пусть радиус равен rr r, длина хорды ABABAB равна ccc, а расстояние по перпендикуляру между центром и хордой ABABAB равно xxx.

Теперь по теореме Пифагора в △OPA\треугольнике OPA △OPA
OA2=OP2+AP2r2=x2+(c2)2⇒c=2r2−x2.2} = 2r = 2 \times \text{(радиус)} = \text{(диаметр)}.\ _\squarec=2r2−02​=2r2​=2r=2×(радиус)=(диаметр). □​

Правда или ложь?

Длина наибольшей возможной хорды в окружности всегда равна удвоенному ее радиусу.

соразмерность — значение на бенгальском языке — значение соразмерности на бенгальском языке на sobdartho.com

Существительное:

আনুপাতিকতা,

пропорциональность

এখানে আনুপাতিকতা ধ্রুবক পরিবর্তিত হয় এবং সমাধান সূত্র: d m d t = ρ a v {\ displayStyle.

আনুপাতিকতা অপারেটর «α» (ইউনিকোডে: u + ২২1 ডি) মাঝে মাঝে আলফার জন্য ভুল হয়.

Примеры использования пропорциональности:

математика, две переменные величины находятся в отношении пропорциональности , мультипликативно связанном с константой; то есть когда либо их.

В качестве критерия используется концепция пропорциональности .

На самом деле системы PR, достигающие наивысшего уровня пропорциональности , как правило, включают округа с большим количеством мест, вплоть до.

принять RFRA, потому что закон не был разработан, чтобы иметь « соответствие и соразмерность » с существенными правами, которые определил суд.

результаты конкретных выборов, пропорциональность выборов может варьироваться.

Сиденья с выступом могут уменьшить пропорциональность системы, хотя это может.

В общем случае точная пропорциональность невозможна, потому что эти деления дают дробные числа.

, также известная как теорема Фалеса, или теорема Фалеса о перехвате, или основная теорема о пропорциональности , или теорема о боковом сплиттере, является важной элементарной теоремой.

C также является коэффициентом x, и его можно назвать константой пропорциональности y к x.

как магнитная постоянная или проницаемость свободного пространства, пропорциональность между магнитной индукцией и силой намагничивания при формировании магнита.

прямая пропорциональность между пористостью и гидравлической проводимостью, а скорее предполагаемая пропорциональность .

Существует четкая пропорциональность между порами.

Постоянная Больцмана (kB или k) — это коэффициент пропорциональности, который связывает среднюю относительную кинетическую энергию частиц в газе с термодинамической.

Есть предложения в Великобритании, что доктрина пропорциональности должна заменить или быть объединена с концепцией неразумности Веднсбери;.

преференциальное (рейтинговое) голосование позволяет передавать голоса для обеспечения пропорциональности , формирования консенсуса в отношении выбранных кандидатов и предотвращения потерь.

инвентаризация: Стоимость заказа Стоимость установки Стоимость хранения Стоимость дефицита Инвентаризация пропорциональность является целью управления запасами на основе спроса.

Постоянная Авогадро (NA или L) представляет собой коэффициент пропорциональности , который связывает количество составляющих частиц (обычно молекул, атомов или ионов) в a.

Оговорка о наказании содержала своего рода анализ пропорциональности .

Тем не менее, среди этих шести трое поддержали принцип пропорциональности, который носит весьма почтительный характер.



Теорема Thaless — YTread

привет сегодня мы собираемся сделать забавные декоративные круги и использовать праздничный новый способ найти их центры присоединяйтесь ко мне в жизни Майкла Стивенса есть ли кто-нибудь, кто не любит делать круги просто шучу я люблю делать круги, и сегодня мы собираемся сделать несколько, чтобы сделать наш первый круг, вам понадобится одна компания, извините, это семейное шоу, которое приносит комфорт, но содержит острие и маркировочный инструмент, которые всегда находятся на одинаковом расстоянии друг от друга. и это

определение круга множество всех точек, которые находятся на одинаковом расстоянии от данной точки, эта данная точка будет везде, где я поставлю остроконечную стрелу прямо сейчас, когда я вращаю кумбху вокруг маркировочного инструмента все точки, которые находятся на одинаковом расстоянии от этого центра, какой замечательный круг, но где этот круг, центр, ну, это довольно легко узнать, потому что пришел, но оставил крошечную ямку на бумаге, которую я делаю не знаю, видите ли вы это, но это позволяет мне точно знать, где

сейчас находится его центр диаметр идет от двух точек на окружности через центр, потому что я знаю, где находится центр, я могу использовать линейку, чтобы найти диаметр кругов красивый это фантастический способ сделать круг таким образом, что его очень легко разделить на две конгруэнтные части, но у вас не всегда есть удобство, и горшок не всегда правильный способ сделать круг, который вы хочу, так что давайте сделаем круг другим способом и посмотрим, сможем ли мы

найти его центр, что я собираюсь сделать сегодня, так это использовать круглый предмет из коробки для любопытства. в головоломке, то вам повезло, вы уже получили его, но эта коробка уже распродана, если вы закажете сейчас, вместо этого вы получите лучшее из коробки, и вы будете добавлены в список людей, которые определенно получат коробку номер одиннадцать. если вы не зарегистрируетесь, вы можете не получить одиннадцать, потому что мы делаем только определенное количество лучших из коробки

действительно полны лучших вещей, это не просто остатки, которые мы не могли продать, мы заказали дополнительные вещи, которые нам действительно нравятся, одна из этих вещей — колесо шифрования ynx я сделал видео о том, как это работает, так что проверьте это, но что мне нравится в шифровальном колесе для этого сегодняшнего проекта, так это то, что это круг, давайте использовать его, чтобы сделать круг, отслеживая, если я это сделаю, у меня не будет дырки в центр, но это может не быть проблемой, я покажу вам, почему давайте продолжим, и

создадим круг, который будет проходить вокруг нашего шифровального колеса, о, какой красивый фиолетовый цвет, это будет действительно хороший круг, прекрасный, но где центр мне просто нужно на глаз посмотреть посмотрим насколько хорошо я справлюсь это похоже на центр я догадаюсь с помощью этого фиолетового маркера я догадаюсь что центр прямо там сейчас я не совсем доволен этим, но давайте посмотрим, как далеко я был, как мы найдем центр w Один из способов — использовать

fales

теорема
все, что вам нужно, это прямой угол для этого я собираюсь использовать что-то еще, что входит в лучшее из коробки книга элементы книга ооо красиво каждый элемент отображается и отмечает такой, какой она должна быть, эта книга фантастическая, потому что у нее хороший острый прямой угол для реализации теоремы Фалеса
, все, что нам нужно сделать, это поместить нашу книгу внутрь круга и выровнять вершину ее прямого угла прямо по окружности круга. выглядит довольно хорошо, теперь мы берем эту вершину и

расширяем, чтобы поднять вдоль края книги точно так же и точно так же замечательно теперь терпит неудачу

теорема
говорит нам, что две другие точки, где эти лучи касаются окружности, диаметрально противоположны они находятся на противоположных сторонах круга, и линия, проходящая через них, будет проходить через центр, давайте нарисуем эту линию, я нарисую ее оранжевым цветом, вот она, и, как вы видите, моя догадка не приземлилась на этой линии, это прискорбно, но вы знаете, что жизнь состоит из ошибок

, и все дело в том, чтобы быть несовершенным и плохим, так что хорошая работа, давайте теперь нарисуем другой диаметр, чтобы найти истинный центр этого круга, два разных диаметра пересекутся в центре, так что давайте давай, найди другой диаметр, я могу просто поместить точку книги в любом другом месте, которое я хочу, это выглядит довольно хорошо, давайте нарисуем наши лучи, красиво и красиво, а теперь, где эти лучи пересекают окружность прямо здесь в своей вершине, а затем прямо здесь и прямо здесь

давайте теперь нарисуем другой диаметр вот наш диаметр и вот мы где эти два диаметра пересекаются это центр круга как раз там так что как вы можете видеть я немного отклонился но это нормально давайте посмотрим как далеко я был давайте посмотрим, о, упс, это моя недальновидная линейка, где-то на сантиметр отстает, слава богу,

Thales

теорема
, если вы также хотите линейку, которая не qu ite использует свое пространство оптимально WASC — ваш источник, мой друг Дори делает это, и

они довольно забавны, но вот вопрос, почему не работает теорема

, почему прямой угол, вписанный в круг, касается окружности двух другие точки, которые хорошо определяют диаметр, я рад, что вы спросили, потому что именно поэтому этот эпизод был сделан, есть более четкие и строгие доказательства, связанные в описании ниже, но я надеюсь, что в этом эпизоде ​​​​покажу, как можно убедить себя, что это не удается
теорема
всегда будет работать нам нужно начать с

постулирования некоторых основных правил некоторых аксиом вещи, которые мы объявим и примем за истину без доказательства нашим первым основным правилом будет определение того, какие вещи являются изометрией x’ во вселенной, а изометрия — это преобразование, сохраняющее расстояния в преобразовании. буквально просто изменение, например, вот Пентагон, теперь каждая сторона этого Пентагона имеет определенную длину, и мы могли бы измерить эту длину

, используя множество различных методов или инструментов, но теперь я собираюсь преобразовать этот Пентагон, переведя его и вращая его, о, теперь все по-другому, но все же каждая сторона по-прежнему имеет одинаковую длину, и каждый внутренний угол по-прежнему имеет одну и ту же меру, на самом деле независимо от того, что я делаю, независимо от того, как я вращаю или как я перемещаю этот пятиугольник, его расстояния и углы не изменить сейчас это может показаться тривиальным и очевидным, но если это не правда fales

теорема
не будет гарантирована теперь давайте поговорим

о конгруэнтности этот Пентагон и этот Пентагон конгруэнтны конгруэнтность буквально означает, что они могут упасть вместе, если я положу их прямо на вершину друг от друга они в точности совпадают, если бы ни один из них не имел толщины они были бы во всех отношениях одинаковыми прямо сейчас составлены из одного и того же набора и отношений точек, равных, но конгруэнтность немного отличается, потому что теперь эти два Пентагона не равны, да, у них одинаковые длины сторон и одинаковые внутренние углы, но один Пентагон

здесь, а один Пентагон здесь, они сделаны из совершенно разных точек, поэтому они не равны, вместо этого они представляют собой более мягкую версию равенства, они просто конгруэнтны, две вещи конгруэнтны, если каждое соответствующее измерение обоих дает одинаковые величины. Я именно имею в виду, что они отличаются друг от друга в пространстве, но имеют одинаковую меру, т. е. одинаковые размеры

. Итак, давайте теперь перейдем от Пентагона к треугольникам. Что мне нужно знать, что мне достаточно знать, чтобы сказать, что два треугольники конгруэнтны, если кто-то скажет мне, что все их стороны имеют одинаковую длину и все их углы равны, тогда я знаю, но что, если мне только скажут длины двух сторон треугольника и угол между этими двумя сторонами, как оказалось, этого достаточно, потому что посмотрите на это, сколько разных способов я могу сделать треугольник

, используя эти две длины сторон и этот угол между ними, давайте посмотрим, что я можно соединить обе эти линии, есть треугольник, это на самом деле единственный способ, которым я могу сделать треугольник с этой стороной, этим углом и этой стороной. так что если два треугольника имеют две стороны одинаковой длины и одинаковые углы между ними, то, ничего не зная о третьей стороне, я

уже могу заключить, что оба этих треугольника конгруэнтны, что есть третьи стороны и все углы в них также равны одинаковый размер теперь это очень важное свойство нашего пространства давайте поговорим о некоторых из этих следствий у меня есть здесь два четырехугольника это на самом деле некоторые части шаблона, когда мы возводили квадрат тор, проверьте это видео, если вы еще этого не сделали, эти два четырехугольника конгруэнтны, их длины сторон и все внутренние углы равны.

Thales

теорема
давайте возьмем один из этих четырехугольников и проследим две его стороны точно так же, как сейчас, если я переведу этот четырехугольник, я знаю, что где бы он ни оказался это будет конгруэнтно своему состоянию, прежде чем давайте переведем его вниз вот так, мы только что переместили его так, чтобы

эта линия эта сторона была прямо на одной линии со старой стороной, а затем эта линия параллельна этой линии, посмотрите, как это работает перевод переместил каждую точку на то же расстояние от того места, где она была раньше, и мы объявим, что это всегда будет истинным, даже если обе линии будут продолжаться бесконечно в обоих направлениях. ионы так что две линии никогда не пересекутся они параллельны так интересно теперь у нас есть две параллельные линии и поперечная давайте продолжим эти линии и поговорим о том что мы знаем об их углах

красиво красиво и это сделает это длиннее совершенным теперь что мы знаем заключается в том, что прямо здесь есть угол, я назову этот угол а, и этот угол равен внутреннему углу нашего четырехугольника, но не забудьте создать этот угол прямо здесь, все, что я сделал, это переместил четырехугольник, так как перевод — это изометрия в нашем пространстве. знать, что эти два угла одинаковы, перемещение четырехугольника отсюда сюда не изменило этот внутренний угол, поэтому эти два угла оба являются

соответствующими углами, что означает, что они оба находятся в одном и том же месте относительно их вершины здесь точки пересечения ау и ау обе находятся в правом верхнем квадранте их пересечения, если соответствующие углы равны, это означает, что этот угол, который я буду называть В, равен ual к соответствующему углу B, но теперь вы можете задаться вопросом, а что насчет этого угла? равен 180 градусам, а так как сумма углов a и B образует эту прямую линию, мера угла a и мера угла B должны в сумме давать 180 градусов, но теперь взгляните на этот угол прямо здесь, он также определяет прямую линию с углом а, так что если плюс этого загадочного угла равен 180 градусам, а плюс В равен 180 градусам, то загадочный угол также должен быть равен В. Углы, противоположные друг другу через точку пересечения

, также равны, это означает, что этот угол равно a, это также означает, что этот угол равен a, а этот угол равен B. Теперь, когда мы убедились в некоторых свойствах линии, пересекающей две параллельные прямые, мы готовы заняться треугольником, давайте продолжим и нарисуем две параллельные линии. линии я использую этот инструмент для этой прекрасной вот мои две параллельные линии та и та ооо они никогда не встретятся возьми эти линии постоянное одиночество теперь давайте нарисуем линию которая

пересекает их не важно под каким углом мы нарисуем линию в я просто найду что-то, что мне понравится, и моим гостям это понравится, это фантастика, теперь мы знаем, что когда две линии пересекаются, углы, которые противоположны друг другу через вершину, равны, что означает, что если это угол а, тогда это равно а, его мера также а, но теперь давайте нарисуем вторую линию, пересекающую эти две параллельные линии, чтобы создать треугольник. Я буду использовать синий цвет для

этой линии, я собираюсь сделать треугольник когда эта линия проходит прямо через эту вершину, я могу выбрать любой угол, который я хочу, я думаю, я выберу что-нибудь красивое и разностороннее или как можно более разностороннее, вот эта линия, красивая, замечательная, теперь мы можем сказать больше об этой Оранжевой линии, которую мы k теперь соответствующие углы будут равны, и поэтому верхний правый квадрант здесь, на этом пересечении, равен а, что означает, что верхний правый квадрант здесь также равен аа, теперь давайте сфокусируем

на этой синей линии, мы знаем, что угол здесь соответствует углу здесь, между синей и черной линиями, поэтому, если мы назовем эту меру B, у этой меры будет B, наконец, снова, потому что вертикальные углы равны, этот угол будет иметь меру, скажем, C, что означает, что этот угол напротив него также будет C и, наконец, если вертикальные углы равны, то угол, противоположный B через вершину, равен B. Что здесь очень интересно, так это то, что мы обнаружили кое-что о треугольнике

, помните, что мера прямой линии составляет 180 градусов, что означает, что этот угол прямо здесь равен 180 градусов и этот угол является суммой трех углов a плюс C плюс B a плюс C плюс B равно 180 градусов a плюс CB равно 180 градусов сумма внутренних углов в любом треугольнике будет равна 1 80 градусов мы действительно очень близки к тому, чтобы полностью убедить себя в теореме Фалеса

последняя часть, которая нам нужна, включает в себя равнобедренные треугольники, а равнобедренный треугольник — это треугольник, который

имеет две стороны или, согласно некоторым определениям, по крайней мере две стороны одинаковой длины, давайте сделай одну, я решу длину двух равных сторон, как насчет 10 сантиметров, это довольно хорошо 10 сантиметров, так что вот одна сторона, а затем вот другая, не имеет значения, под каким углом они находятся, так что довольно легко построить две десять сантиметров линий, которые мы затем соединим, я не буду делать это от руки, я буду использовать линейку, будь милой и красивой, я буду использовать

другого цвета для этой третьей линии, вот мы идем, это равнобедренный треугольник, потому что по крайней мере два из его сторон эта и эта равны по длине эта фиолетовая или розовая сторона даже не имеет значения, но она отличается от двух других, что я хочу знать, так это могу ли я узнать что-нибудь об этих двух углах противоположные равным сторонам эти два угла хорошо я могу, и вот как я могу это сделать, давайте разделим этот угол пополам здесь вверху пополам означает, что я собираюсь разрезать этот угол пополам

и я просто посмотрю на это, так что это не будет идеальным, но я объявлю по построению, что я разрезал этот угол пополам, вот и мы, вот наша биссектриса красивая, теперь мы знаем по определению, что этот угол, я назову этот угол a, равен этому углу угла a oh похоже, что у нас может быть некоторая конгруэнтность, помните, что если два треугольника имеют одинаковую длину стороны, другая сторона равна, и угол между этими двумя сторонами равен, то все

в них конгруэнтны все их углы все их стороны и имеют конгруэнтность стороны-угла-стороны, потому что смотрите, у нас есть два треугольника, теперь этот и этот, они оба имеют одинаковую длину стороны с этой черной стороной, они оба имеют одинаковую длину стороны здесь с этой синей, и они также имеют общую тот же угол le между этими двумя сторонами, используя сторону угла стороны, мы можем объявить, что этот треугольник и этот треугольник конгруэнтны, что означает, что все меры равны, длины сторон равны

и все углы одинаковы, поэтому эти два угла напротив одинаковы. стороны b и b — равные углы, противоположные равным сторонам в треугольнике равны, теперь мы готовы понять, почему

Thales

теорема
работает, давайте нарисуем круг, и я собираюсь использовать приходить, но для этого, потому что я хочу знать точно там, где его диаметр прекрасен вот наш круг наш диаметр будет линией, которая проходит через этот круг через круг через центр и касается окружности в двух местах

там диаметр а и б центр я обозначу ой теперь я собираюсь выбрать третью точку где угодно на окружности я действительно мог бы выбрать любую точку на их окружности мне было интересно я мог бы даже выбрать B или a я мог бы выбрать эту я мог бы выбрать ту я думаю что я собираюсь сделать это pi ck это будет хорошо и приятно сейчас, если я соединим эту точку, которую я назову C, с центром круга. центр круга к его окружности всегда равен радиусу, они всегда равны, что означает, что длина OC равна длине a, а OB OC равна o ei равна ob теперь, если мы соединим C и B, чтобы создать два треугольники эти треугольники будут равнобедренными я просто нарисую это от руки если я соединим a и C есть треугольник, у которого две стороны одинаковой длины и если я соединим C и BI в другом равнобедренном треугольнике эта сторона в этой стороне в этом треугольнике

равны, теперь мы знаем, что углы, противоположные сторонам одинаковой длины, также равны, поэтому в наших двух равнобедренных треугольниках мы знаем, что этот угол, который противоположен этой стороне, я буду называть углом а, равен этому углу, противоположному стороне той же длины, так что это также угол а, а затем в нашем другом равнобедренный треугольник я знаю, что этот угол и этот угол равны я буду называть их оба B теперь мы также знаем, что сумма всех углов внутри треугольника равна 180 градусов, что означает, что этот большой

розовый треугольник, который мы сделали, содержит внутренние углы, которые в сумме составляют 180 градусов, поэтому 180 градусов равны сумме всех внутренних углов в этом большом розовом треугольнике, что это за три угла, ну, первый прямо здесь — B, убедитесь, что вы знаете, что это угол, поэтому B плюс это угол, который является суммой B и a, а затем, наконец, a, так что a плюс a плюс B плюс B должны равняться 180 градусам, мы можем упростить это, сказав, что 180 градусов равны у нас есть два A и два B в два раза больше

меры B плюс удвоенное количество а мы можем вытащить два из этих 180 градусов равно 2 умноженной на сумму угла В и угла а теперь мы можем разделить 2 из обеих частей этого уравнения 180 разделить на 2 равно 90 градусов и это разделить на 2 просто оставляет нас с углом B плюс угол a the s сумма a и B равна 90 градусов они дополняют друг друга они образуют прямой угол сумма a и B является прямым углом две диаметрально противоположные точки окружности образуют

вписанный угол 90 градусов, если вы используете прямой угол, как мы делали ранее с книгой, две другие точки пересекают окружность, которая будет частью диаметра

Thales

теорема
спасибо, терпит неудачу спасибо
теорема
s и, как всегда, спасибо за просмотр

Источник: D!NG

Теорема Фалеса и плач Локхарта

Отправленный Кевином Хьюстоном 31 января 2012 в Истории Математики, Математического мышления, Математического образования | 2 комментария

Йоркширское отделение Математической ассоциации недавно провело выступление Дэвида Ачесона под названием «Доказательство, пицца и гитара». (Кстати, в среду, 8 февраля, в 19:30 в Школе математики я буду выступать с докладом о мошенничестве с картами для YBMA. Всех приветствую, но возможна небольшая оплата в фунт.)

Во время выступления Дэвид привел доказательство теоремы Фалеса. Это теорема, которая утверждает следующее. Для любой точки полукруга угол, образованный линиями от этой точки до двух краевых точек основания, прямоугольный.

Теорема Фалеса


Это хорошая теорема, по крайней мере для меня, она не кажется интуитивно очевидной (что, всегда — прямой угол? Правда?), и все же легко убедиться в ее истинности, приведя несколько примеров.

Фалеса (ок. 624 г. до н. э. – ок. 547 г. до н. э.) часто считают первым ученым, потому что он был первым человеком (о котором мы знаем), который искал несверхъестественные причины явлений. Вместо того, чтобы верить, что молнии или землетрясения были вызваны богами, он рассматривал более естественные объяснения. Однако его решение последнего связано с тем, что земля плавает в море, то есть он был совершенно неправ, но здесь имеет значение концепция избегания призыва богов. В случае с математикой ему приписывают ряд теорем, и главное в том, что он якобы предоставил доказательства.

Ему также приписывают измерение пирамид в Египте. Его метод интересен тем, что он не предполагает грубого применения измерительных инструментов, т. е. достает измерительные стержни и отправляет с ними людей вверх по пирамидам. Его доказательство более элегантно. Он измерил рост раба, и когда солнце было таково, что длина тени раба была равна его росту, они измерили длину тени пирамиды. По этой тени можно было определить высоту пирамиды.

Измерение Фалесом пирамид



Возвращаясь к теореме Фалеса, ее доказательство довольно просто, если принять, что сумма углов треугольника составляет 180 градусов, а в равнобедренном треугольнике два угла равны. (Первое утверждение, вероятно, является самой известной теоремой в мире. Я думаю, что оно превосходит теорему Пифагора, потому что, хотя большинство людей слышали о ней, они обычно формулируют ее неправильно. )

Давайте посмотрим, что я буду называть традиционным доказательством. Из центральной точки проведите линию к предполагаемой точке прямого угла, чтобы получить два треугольника.Оба равнобедренные, так как, очевидно, ребра из центра имеют длину, равную радиусу окружности.

Доказательство теоремы Фалеса



Как и на диаграмме ниже, мы можем обозначить углы с и . Используя тот факт, что углы до 180 градусов получаем, что это 180 градусов, т.е. 90 градусов как и требуется.

Доказательство теоремы Фалеса



Это доказательство, которое я использую в своих лекциях по геометрии, было представлено Дэвидом Ачесоном в его докладе. Он также сказал, что однажды услышал, как кто-то сказал, что это проще, вам просто нужно использовать прямоугольник.Идея состоит в том, что вы поворачиваете треугольник на 180 градусов вокруг центра. Дэвид задался вопросом, действительно ли этот человек путает это доказательство с доказательством обратной теоремы Фалеса.

Как бы то ни было, эта идея вызвала много дискуссий после лекции. Некоторые из нас пытались заставить аргумент прямоугольника работать. Вращение треугольника дает параллелограмм (поскольку мы повернули на 180 градусов, противоположные стороны параллельны). Диагонали пересекаются в центре и имеют одинаковую длину. Такой параллелограмм должен быть прямоугольником, следовательно, интересующий нас угол должен быть равен 90 градусам.

Конечно, мы все знаем и можем согласиться с тем, что такой параллелограмм должен быть прямоугольником, но проблема в том, что его строгое доказательство кажется более сложным, чем традиционное доказательство теоремы Фалеса выше. На самом деле я не смог дать простое доказательство результата параллелограмма, которое не включало бы что-то похожее на это доказательство.

Этот прямоугольный аргумент в пользу теоремы Фалеса был мне до боли знаком, и после того, как я закончил доклад, я вспомнил, что видел его в «Плаче» Локкарта.Это документ, распространенный в сети Китом Девлином несколько лет назад, в котором Локхарт сетует на состояние математического образования в США. Это стоит прочитать, если вы никогда не видели его. Тем не менее, он утверждает, что доказательство прямоугольника является фантастическим.

К сожалению, Локхарт сравнивает доказательство прямоугольника не с традиционным доказательством выше, а с геометрическим доказательством в два столбца. Этот тип доказательства раньше был излюбленным методом обучения математике. Действительно, она эффективно обучает строгости, но ее недостатком является то, что она выжимает из геометрии все самое интересное.Сравнивать этот тип доказательства с доказательством прямоугольника очень несправедливо — с точки зрения удовольствия любое доказательство должно быть лучше, чем доказательство в два столбца!

Итак, мой вопрос: может ли кто-нибудь доказать, что параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником, не прибегая к аргументам, подобным моему традиционному доказательству теоремы Фалеса?

Получить информационный бюллетень!/> Хотите, чтобы информационный бюллетень информировал вас о математических новостях, статьях, видео и событиях, которые вы могли бы пропустить? Тогда зарегистрируйтесь ниже. (Никакого спама, и я никогда не передам ваши данные никому другому.)

Фалес и начало геометрии – Интеллектуальная математика

Podcast: Download

Геометрия, ориентированная на доказательство, началась с Фалеса. Теоремы, приписываемые ему, заключают в себе два способа выполнения математики, предполагая, что идея доказательства могла исходить из любого из двух источников: внимания к закономерностям и отношениям, возникающим в результате исследовательского построения и игры, или осознания того, что «очевидные» вещи могут быть продемонстрировано с помощью формальных определений и доказательства от противного.

Стенограмма

Как начинались пруфы? Это похоже на загадку «курица или яйцо». Зачем кому-то садиться и говорить себе: «Сегодня я докажу некоторые теоремы», если никто никогда не делал ничего подобного раньше? Как эта идея могла прийти кому-то в голову ни с того ни с сего?

На самом деле мы вроде как знаем ответ. Греческая традиция говорит нам, у кого был этот момент лампочки: у Фалеса. Около года -600 или около того. За сотни лет до этого у нас есть прямые исторические источники по греческой геометрии.Но мы все еще более или менее знаем, что доказал Фалес. Более поздние источники сообщают нам о Фалесе. История, возможно, перемешана с легендами в такого рода отчетах, но ключевые аспекты, вероятно, вполне надежны. Больше фактов, чем вымысла. Давайте позже проанализируем этот вопрос, вопрос достоверности, немного глубже, но сначала давайте примем истории за чистую монету и посмотрим, как мы можем заново пережить создание дедуктивной геометрии, как это описано в этих греческих историях.

Итак, приступим: какая теорема была доказана первой? Что послужило той искрой, которая зажгла лесной пожар аксиоматико-дедуктивной математики? Лучшая догадка, основанная на исторических свидетельствах, выглядит так.Этот момент любви с первого взгляда, та теорема, которая открыла нам глаза на силу математического доказательства, заключалась в следующем: диаметр делит круг пополам.

Довольно разочаровывает, не правда ли? Какая хромая теорема. Это едва ли вообще теорема. Как можно влюбиться в геометрию, доказывая что-то столь тривиальное и очевидное?

Но не отчаивайтесь. Это приятно, на самом деле. Дело не в теореме, а в доказательстве.

Вот как ты это докажешь. Предположим, что нет. Это будет доказательство от противного.Предположим, что диаметр не делит окружность на две равные половины. Очень хорошо, у нас есть линия, проходящая через середину круга, и она разрезана на две части. И мы предполагаем, что эти две части не одинаковы. Возьмите одну из частей и переверните ее на другую. Как вы складываете омлет или блинчик. Мы предположили, что части не равны, поэтому, когда вы переворачиваете одну поверх другой, они не совпадают. Значит, должно быть какое-то место, где одна из двух частей выступает за другую.Теперь нарисуйте радиус в этом направлении от середины круга до места на периметре, где две половины не совпадают. Тогда один радиус больше другого. Но это означает, что вещь не была кругом с самого начала. Круг — это фигура, которая одинаково удалена от середины во всех направлениях. Вот что значит круг.

Итак, мы доказали, что две вещи несовместимы друг с другом: нельзя быть одновременно кругом и иметь несовпадающие половинки. Потому что, если у вас есть несовпадающие половины, у вас также есть «неравные радиусы», а это означает, что вы не круг.

Значит, у круга должны быть равные половины. Бам. Теорема. Это скучный результат, но великолепное доказательство. Или косвенное доказательство. Это доказательство, намекающее на новый мир.

Фалес, должно быть, чувствовал себя волшебником, который только что обнаружил, что у него есть сверхспособности. «Вау, ты можешь это сделать?!» С помощью чистых рассуждений, выводя следствия из определения, можно без тени сомнения доказать, что некоторые утверждения не могут быть ошибочными? Это вещь? Это что-то можно сделать? Вот это да. Сделаем так со всем! Верно?

Вот как Фалес нашел доказательство. Насколько мы можем предположить.

Несколько других теорем также приписываются Фалесу. Я хочу затронуть, в частности, одну, которая, по моему мнению, также является своего рода архетипом того, что представляет собой математика.

Теорема, которую мы только что видели, о диаметре, делящем окружность пополам, прекрасно воплощает один из прототипов математического рассуждения. Вы могли бы назвать это парадигмой чистой математики. Логические следствия определений, доказательства от противного. Что-то в этом роде. Доказательство Фалеса действительно поражает своей эстетикой.С тех пор мы делаем одно и то же снова и снова. Современный курс, скажем, теории групп, например, — это всего лишь идея доказательства Фалеса, примененная, по сути, пятьсот раз.

Теперь я хочу взять еще один результат, приписываемый Фалесу, и я хочу доказать, что он символизирует другой способ математического мышления. Это второй путь к доказательству. Этот второй способ больше основан на игре, исследовании, открытии, а не на логике и определениях.

Пример, который я хочу использовать, чтобы подчеркнуть это, действительно часто называют просто «Теоремой Фалеса».В котором говорится, что любой треугольник, поставленный на диаметр окружности, имеет прямой угол. Другими словами, изобразите круг. Разрежьте его пополам диаметром. Теперь поднимите треугольник, используя этот диаметр в качестве одной из сторон, а третья вершина треугольника находится где-то на окружности. Так что это похоже на некую палатку, торчащую из диаметра. И это может быть асимметричная палатка, заостренная больше в одну или другую сторону. Независимо от того, как вы разместите эту палатку, пока ее конец находится в любой точке круга, тогда угол между двумя стенками палатки в этой точке, на конце, будет прямым углом, 90 градусов. .Это Теорема Фалеса.

Как мог бы Фалес доказать эту теорему? К сожалению, мы не знаем этого, основываясь на исторических свидетельствах. Но давайте рассмотрим одну гипотезу, которая имеет контекстуальный смысл.

Мы должны представить, что Фалес каким-то образом наткнулся бы на доказательство. Мы не пытаемся объяснить, как можно представить себе доказательство этой теоремы как таковой. Это неправильная точка зрения, потому что считается само собой разумеющимся, что в математике пытаются что-то доказать. Что нам нужно объяснить, так это то, откуда взялось это видение, чтобы доказать все в геометрии.Как мог кто-то, так сказать, непреднамеренно наткнуться на теорему Фалеса и благодаря этой случайности узнать об идее дедуктивной геометрии?

Действительно, теорема Фалеса сама по себе не очень интересна и не важна. Если бы у вас было такое видение подвергнуть всю геометрию систематическим доказательствам, почему вы начали бы с этой теоремы или сделали бы эту теорему такой центральной частью, как предположительно сделал Фалес? Вы бы не стали.

Самое интересное в теореме Фалеса не то, что она была одним из первых результатов, к которым математики применили дедуктивное доказательство.Скорее, интересно в этом то, что это был повод для математиков непреднамеренно наткнуться на саму идею доказательства.

Рассказывают, что Фалес упал в колодец, потому что так увлекся астрономическими рассуждениями, что забыл, что его окружает. У Платона записано: «Когда он изучал звезды и смотрел вверх, он упал в яму. Из-за того, что он так стремился познать небесное, он не мог видеть того, что было перед ним, у самых его ног.

Может быть, и легенда, но открытие Теоремы Фалеса, должно быть, тоже немного похоже на это. Обнаружение математического доказательства должно быть подобно падению в яму. Вы смотрите в одном направлении, и бум, вдруг вы случайно врезались лицом в эту совершенно не связанную новую вещь, о существовании которой вы не знали.

Как Теорема Фалеса могла быть такой? Что среди всех существующих в мире теорем делает теорему Фалеса особенно подходящей для такого рода случайного открытия доказательства?

Вот моя гипотеза.В этот век невинности, когда еще никто ничего не знал о доказательствах, люди все еще любили формы. Имелись линейка и компас. Они использовали эти инструменты для измерения полей и прочего, но им также нравилась их эстетика.

Они играли с линейкой и циркулем. Игра с формами. После пяти минут игры с циркулем вы узнаете, как нарисовать правильный шестиугольник. Запомнить? Вы, наверное, делали это в детстве. Начертите окружность, а затем, не меняя апертуры циркуля, проведите циркулем по окружности.Он подходит ровно шесть раз. Очень приятная форма.

Мы точно знаем, что люди делали это до Фалеса. В месопотамских мозаиках есть шестиугольные мозаичные узоры, датируемые примерно -700 годом.

додекаэдра — еще одна из этих вещей. Додекаэдр похож на двенадцатигранный кубик, который вы используете в Dungeons and Dragons и тому подобном. До-декаэдр, буквально: двудесятигранник. Таким образом, двенадцатигранный, другими словами. Двенадцать граней, каждая из которых представляет собой правильный пятиугольник.Эти вещи есть в археологических записях. Люди делали их из камня и бронзы. Было найдено несколько десятков додекаэдров древности, самые старые из которых появились еще до Фалеса. Возможно, они использовались для оракулов, как карты Таро или что-то в этом роде. Или, может быть, для настольных игр, кто знает?

В любом случае я хочу сказать, что люди интересовались геометрическими рисунками для различных целей: художественных, культурных и так далее. Не только измерение полей для целей налогообложения. И они явно работали с такими инструментами, как линейка и компас, чтобы сделать эти вещи.

Легко прийти к теореме Фалеса, просто играя с линейкой и циркулем, пытаясь рисовать красивые вещи. Начните с прямоугольника. Проведите его диагонали. Поместите стрелку компаса там, где они пересекаются, прямо в середине прямоугольника. Установите перо компаса в один из углов прямоугольника. А теперь крути. У вас получится круг, который идеально, плотно прилегает к прямоугольнику.

Но посмотрите, что получилось. Диагональ прямоугольника становится диаметром круга.А торчащие из него куски прямоугольника — это как раз те самые «шатровые» треугольники, о которых говорит теорема Фалеса. Это неожиданно делает теорему очевидной.

Почему теорема Фалеса верна? Почему любая из этих «палаток», возведенных на диаметре круга, имеет прямой угол? Это потому, что он исходит из прямоугольника. Любая такая палатка представляет собой половину прямоугольника. Это мощное изменение точки зрения. Глядя на треугольник таким образом, мы обнаруживаем скрытые отношения, скрытый порядок в природе вещей.Определенные углы всегда должны быть прямыми по некой метафизической необходимости. Наши глаза открылись, может быть, впервые, на существование такого рода потребностей, таких скрытых отношений, которые должен раскрыть мыслящий человек.

Таким образом, ключ заключается в этом смещении перспективы, что треугольник «на самом деле» является половиной прямоугольника. Предположим вместо этого, что мы застряли в точке зрения, что мы смотрим на треугольник, вписанный в круг.Тогда те ассоциации и идеи, которые нам напрашиваются, не так уж полезны для доказательства этой теоремы. С этой точки зрения, если бы вы искали доказательство, что бы вы сделали? Может быть, вы, например, соедините середину круга с вершиной треугольника. Итак, теперь у вас есть два меньших треугольника. Что ты собираешься делать с ними? Что-то с суммами углов и так далее? Или, может быть, у вас возникнет соблазн опустить перпендикуляр вместо вершины треугольника, и тогда вы сможете использовать теорему Пифагора для двух полученных маленьких треугольников.

Нам не нужны такие вещи. Подобные подходы быстро становятся слишком техническими. Помните, это должно было стать началом геометрии. Вы не должны использовать кучу предыдущих результатов для доказательства. Это должно быть доказательство из первых принципов. Доказательство перед всеми другими доказательствами.

Представление о том, что треугольник «на самом деле» является половиной прямоугольника, отличается. Это меняет то, как мы смотрим на диаграмму. Он меняет ударение. Это меняет то, что мы считаем первичным.Теперь прямоугольник идет первым, треугольник — вторым, а круг — последним. С этой точки зрения теорема на самом деле не столько о кругах, скажем так. Круг — это всего лишь своего рода вторичный артефакт.

С этим доказательством мы как художники. Мы делаем шаг назад от холста, наклоняем головы и получаем это прозрение. И прозрение стало возможным благодаря тому, как мы раньше играли с этими идеями. Мы просто играли с линейкой и циркулем, мы исследовали треугольники, прямоугольники и круги с непредвзятой любовью. Из этой пьесы возникают прозрения, подобные теореме Фалеса. Вдохновение приходит естественным образом в этом контексте.

В отличие от других скучных доказательств, о которых я упоминал, которые были основаны на разрезании треугольника и бросании в него книги: суммы углов, теорема Пифагора, все, что мы можем придумать. Это невдохновленный подход, подход грубой силы. Ему не хватает того эстетического вдохновения, того прозрения раскрытия истинной природы треугольника и его второй половины, с которой ему суждено было воссоединиться.

Геометрия не могла бы начаться с таких типовых доказательств, потому что они имеют смысл только после того, как для начала есть книга по геометрии. Но геометрия могла бы начаться с доказательства типа прозрения. Таким образом, кто-то вроде Фалеса мог прийти к идее доказательства, играя с линейкой и циркулем.

Возможно, вы знакомы с «Плачом Локхарта»: отличным эссе о том, что не так с математическим образованием. Почитайте, она есть в сети. Интересно, что Локхарт использует именно этот пример, чтобы доказать свою точку зрения. Он описывает, как его ученики открыли теорему Фалеса, в основном так, как я говорю, что это мог бы сделать и Фалес. Он также красноречиво уловил, что это приносит гораздо больше удовлетворения, чем сухое формальное доказательство.

Недаром в этом вопросе история и образование идут рука об руку. Доказательство, должно быть, началось с неотразимого эстетического опыта или вау-моментов. Другого пути в то время не было. Некому было заставить Фалеса запоминать факты для экзамена.Открытие заставило его ценить математику. Если мы хотим развивать внутреннюю мотивацию у наших учеников, было бы неплохо подумать, что в первую очередь заставило людей влюбиться в эти идеи. Первая любовь всегда самая чистая и невинная. Современные учебники подобны бракам по расчету, навязанным ученикам. Но в истории всегда есть настоящая история любви.

Тем не менее, несмотря на все это, вам может показаться, что теорема Фалеса немного скучна. Что-то всегда находится под прямым углом.И что? Какая разница?

Как я пытался доказать, Фалеса и его современников впечатляла, вероятно, не сама теорема как таковая, а скорее идея существования таких вещей, как теоремы и доказательства. Есть скрытые истины, которые можно раскрыть с помощью рассуждений. Замечательный.

Но ведь и сама теорема весьма интересна. Позвольте мне показать вам кое-что интересное, что вы можете сделать с теоремой Фалеса.

Существует древняя легенда о царице Дидоне.Дочь царя Тира, крупного города в древности. Вы все еще можете увидеть руины этого древнего города в современном Ливане. В какой-то момент Дидоне пришлось бежать из-за придворных интриг. Убийства и предательства и так далее. Поэтому она хватает пару диадем с тумбочки, может быть, сундук с золотом, который она отложила на черный день, и поспешно уплывает в ночь. В мире почти не осталось друга.

Ей предстоит пройти весь путь до современного Туниса, за тысячи километров, и попытаться как-то начать все сначала, как подобает королевской особе. Используя свой сундук с сокровищами, она заключает сделку, чтобы купить землю. Согласно легенде, столько земли она может укрыть бычьей шкурой. Итак, она разрезает воловью шкуру на тонкие полоски и связывает их вместе, и что теперь? Так что теперь у нее есть эта длинная веревка, которую она может использовать как своего рода забор, чтобы отгородить землю, которую она хочет.

Но какой формы сделать? Квадрат, прямоугольник, треугольник? Нет. Дидоне виднее. Возможно, ее королевское образование включало математику. Сделайте его круглым. Это лучший способ.Круг имеет наибольшую площадь среди всех фигур с заданным периметром. Или в данном случае, поскольку она находилась у океана: полукругом, с береговой линией как естественной границей на другой стороне.

Давайте докажем это. Что полукруг — лучший выбор. Я собираюсь доказать это от противного: предположим, что кто-то огородил участок, не являющийся полукруглым; затем я могу показать, как сделать его лучше: как переместить забор, чтобы площадь стала еще больше, не добавляя больше забора.

Итак, у вас есть береговая линия, это прямая линия. И из одной точки на берегу, идя вглубь суши, у вас есть этот забор, который затем возвращается вниз и снова встречается с берегом в какой-то другой точке. Таким образом, вместе с береговой линией он замыкает определенную территорию.

Предположим, что эта фигура не является полукругом. Если бы это был полукруг, применима теорема Фалеса. И он сказал бы вам, что этот угол, который я назвал углом палатки, в любой точке забора будет прямым углом.Итак, если фигура не является полукругом, должна быть какая-то точка вдоль забора, где этот угол не является прямым.

Я говорю, что превращение этого угла в прямой угол увеличивает площадь охвата. Вы можете представить это так. Итак, у вас есть эта фигура, окруженная забором: представьте, что вы вырезали ее из картона. А по периметру у вас отмечена точка, где угол палатки не прямой. Итак, на картоне у вас нарисован этот треугольник: треугольник, состоящий из прямой береговой линии с одной стороны и двух линий, идущих от его концов вверх и пересекающихся в точке палатки по периметру.

Давайте вырежем этот треугольник из картона. Итак, у вас осталось две части: те части, которые торчали из сторон треугольника. Теперь переместите эти две части так, чтобы угол палатки получился прямым. Это означает перемещение конечных точек вдоль береговой линии. Перемещая две точки на береговой линии, вы меняете угол, под которым встречаются две картонные детали. Две картонные части встречаются в одной точке, точке палатки, и это похоже на петлю, которая может открываться или закрываться на больший или меньший угол.Таким образом, вы двигаете эти штуки до тех пор, пока этот угол шарнира не станет равным 90 градусам.

Обратите внимание, что вы не изменили периметр таким образом. Вы только что передвинули столько же забора вокруг.

Но на самом деле вы увеличили огороженную площадь. Потому что, если у вас есть две палки фиксированной длины, и вы хотите сделать из этих палочек самый большой треугольник, лучший способ — сделать угол между ними прямым. Это вполне понятно интуитивно. Вы знаете, что площадь треугольника равна основанию, умноженному на два.Итак, если одна из ваших палочек является основанием, то, чтобы максимизировать площадь, вы хотите максимизировать высоту, то есть перпендикулярную высоту, идущую вверх от основания, что, очевидно, достигается путем направления другой палки прямо вверх под прямым углом.

Это доказывает, что любое ограждение, не являющееся полукругом, можно сделать лучше. Вы можете передвигать забор и увеличивать площадь. Так что полукруг — лучшее решение, а все остальные — менее хорошие.

Не знаю, сможете ли вы все это представить.Но, возможно, позже вы попытаетесь восстановить этот аргумент для себя. Это действительно очень интуитивно понятно и красиво.

Так в чем тогда мораль этой истории? Математически это ответ на вопрос «ну и что?» Вопрос по теореме Фалеса. Это могло показаться достаточно скучной теоремой, но здесь мы видим ее в действии в прекрасном и неожиданном виде, как ключевой ингредиент в этом доказательстве того, как оградить землю. Кто бы это предвидел?

Это говорит о том, что математика имеет своего рода снежный ком или самооплодотворяющийся аспект.Теорема Фалеса, в чем же дело? Просто какое-то скучное наблюдение о треугольнике в круге. Может показаться, что не так много. Но одно ведет к другому. Как только Теорема Фалеса становится для вас вещью, вы начинаете видеть ее в других местах, в неожиданных местах. Как эта задача о площади. Вы бы не подумали, что это связано, но чем больше вы занимаетесь математикой, тем больше связей вы находите.

Выберите любую теорему, какой бы скучной она ни была, например, теорему Фалеса, и вы обнаружите эти удивительные вещи, в которых скучная теорема на самом деле является ключевым открытием, открывающим совершенно новые способы осмысления, казалось бы, несвязанных между собой проблем.Это вам математика. Неудивительно, что это прижилось среди греков, как жук, как только они начали действовать. В один момент вы натыкаетесь на какой-нибудь случайный результат, например, на теорему Фалеса, а в следующий момент вы понимаете, что повсюду видите математику.

Такова математическая мораль этой истории. Теперь мы должны вернуться и сказать кое-что об исторической стороне всего этого. Что мы на самом деле знаем о Фалесе и его теоремах, о царице Дидоне и обо всем этом? Насколько история и насколько легенда?

Если мы начнем с Дидоны, эта история будет использована прежде всего через Вергилия.Энеида, знаменитая эпическая поэма. Это было написано во времена Римской империи, около -20 года. Но это относится к историческим или предположительно историческим событиям, которые произошли еще до Фалеса, может быть, за два столетия до Фалеса, то есть около 800 г. У нас есть версия Вирджила, это то, что дошло до нас, но он просто крадет более старую историю. Эти вещи веками существовали в греческой культуре, в различных литературных и исторических пересказах, которые сейчас утеряны.

Вполне возможно, что такая историческая королева действительно существовала, которая действительно бежала из своего царского дома в Тире и действительно высадилась на северных берегах Африки, где она основала это новое поселение, которому суждено было стать великим городом Карфагена. .Может быть, она и в самом деле сделала городские стены полукруглыми, кто знает? Вполне возможно, что по какой-то причине она хотела уменьшить периметр и могла знать, что полукруглая форма оптимальна для этой цели.

Но в то время не было бы никаких математических доказательств этого, подобных тому, которое я набросал выше. Доказательство, которое я изложил, принадлежит Якобу Штайнеру в начале 19 века. С греческих времен у нас есть другое доказательство этого результата.Таким образом, они, конечно, были очень хорошо осведомлены о результате, что полукруг является оптимальным, если, возможно, не о конкретном доказательстве, которое я предложил.

Если история царицы Дидоны что-то говорит об истории математики, то она, вероятно, больше всего не освещает ни время, когда произошли события, около -800 г., ни время, когда источники, которые у нас есть, были написаны, около 0 года. Но, может быть, это говорит что-то о промежуточных веках, когда история передавалась и перерабатывалась.

История была как бы замаринована в греческой культуре.Может быть, именно они придали ему математический оттенок. Обувь подходит: греки ценили мудрых, аристократических, хорошо образованных правителей, которые разрабатывают рациональную политику для общего блага, основанную на разуме и математике. Может быть, они позволили этим идеалам придать окраску тому, как они пересказывают историю царицы Дидоны и ее круглого города.

С этой точки зрения мы могли бы также предположить, что к тому времени, когда Вергилий придет в себя и напишет римскую версию истории, это понимание математики уже не будет таким, каким оно было раньше.На самом деле Вергилий на самом деле не разъясняет аспект математической оптимизации этой истории. Дидона вообще второстепенный персонаж. Его эпос рассказывает об Энее, который находится в поисках, которая в конечном итоге приведет к основанию Рима.

Эней терпит кораблекрушение и выброшен на берег в Карфагене, круглом городе Дидоны. Дидона влюбляется в него, но он не отвечает на ее любовь. Он уплывает, и Дидона убивает себя из-за разбитого сердца. Моррис Клайн заключает рассказ: «Итак, неблагодарный и невосприимчивый человек с жестким умом стал причиной потери потенциального математика.Это был первый удар по математике, который нанесли римляне». Конечно же, есть еще много того, откуда это взялось.

Эту историю можно рассматривать как символ перехода от мудрых царей-философов (или в данном случае цариц) греческого мира, которые лелеяли математику и использовали ее для улучшения мира. Переход от этого к бессердечному римлянину, который думает только о себе и не заботится о теореме Фалеса. В греческом мире ботаники-математики считались привлекательными, но эти невежественные римляне почему-то не думали, что королева-геометрик вообще не подходит для подружек.

Итак, история о Дидоне, круглом городе, доказательстве оптимизации и прочем, очень интересна с точки зрения более широких математических и культурных аспектов, с которыми она связана, но сама по себе она не является непосредственно историей как таковой.

С Фалесом все иначе. Это больше факт, чем легенда. Насколько мы можем судить, Фалес действительно доказал, что диаметр делит окружность пополам, скорее всего, с помощью доказательства, обсуждавшегося выше.

Имеющиеся у нас источники далеки от совершенства.В первую очередь Прокла, который писал примерно в 450 году, примерно через тысячу лет после того, как жил Фалес. Такие поздние источники бывают случайными. Они не имеют авторитета сами по себе. Прокл был никем. Его собственное понимание истории и математики очень плохое. Посредственный мыслитель, посредственный ученый, живущий в посредственное время.

Вот такие источники у нас есть. По сути, такой же авторитетный, как факт, который вы читаете на обратной стороне коробки с хлопьями или что-то в этом роде.

Но есть надежда.В дни своего расцвета Греция была просто выдающейся интеллектуальной культурой. И некоторые вещи, например, о Фалесе, можно проследить до того времени, что делает их весьма достоверными. Ученик Аристотеля Евдем написал историю геометрии. Его уже нет с нами увы. Невежественные века пренебрегали им, и теперь его нет. Но какая это была бы работа.

Эти люди знали, что делали. Более поздние люди, такие как Прокл, похожи на некоторых онлайн-рандо, публикующих полусырые идеи в блоге или плохо информированные комментарии в Facebook.Вот насколько они достоверны.

Но такие люди, как Евдем, — совсем другое дело. Это больше похоже на первоклассного ученого в научно-исследовательском учреждении со всей инфраструктурой, о которой можно только мечтать: библиотеки, очень знающие и умные коллеги с широким спектром знаний, широкая финансовая и культурная поддержка со стороны общественности и политиков и так далее. . «История геометрии» Эвдема могла бы стать настоящей книгой «Университетского издательства», тщательно отрецензированной экспертами и снабженной красивой рекламой Аристотеля в суперобложке.

Такие люди, как Евдемус, не занимались распространением случайных сплетен и непроверенных фактов, потому что они звучат круто. Они были настоящими учеными и интеллектуалами.

И действительно, многие сведения о Фалесе восходят к этому утерянному источнику. Когда Прокл говорит, что Фалес был первым, кто доказал, что круг делится пополам своим диаметром, источником этого является Евдем. Следовательно, это очень достоверно. Эта история с Фалесом действительно произошла. На самом деле часть о диаметре, делящем окружность пополам, более достоверна, чем часть о теореме Фалеса.Действительно ли теорема Фалеса принадлежала Фалесу? Может быть. Но мы не можем проследить эту часть конкретно до лучших источников. В отличие от диаметра деления пополам одной и некоторых других деталей. Но контекстуально это имеет смысл.

Истории Фалеса и происхождение геометрии, очевидно, были хорошо известны не только ученым-специалистам, но и широкой афинской публике. Драматург Аристофан несколько раз использует в своих пьесах имя Фалеса как символ геометрии. Так же, как сегодня можно использовать имя Эйнштейна, например, чтобы вызвать образ ученого. У Аристофана один оратор в диалоге говорит: «Человек — это Фалес». Это означает, что человек является геометром. Очевидно, можно было ожидать, что театральная публика в классических Афинах поймет эту ссылку. Каждый образованный человек знал бы о Фалесе и происхождении геометрии.

В самом деле, общественное уважение к геометрии и ее истории, по-видимому, было так велико, что Аристофан даже заставил одного из своих персонажей сетовать на это как на чрезмерное, говоря: «Почему мы продолжаем восхищаться старым Фалесом?» Какое время было бы для жизни.Когда драматургам приходилось решать такие проблемы, как слишком большое уважение и интерес к математике среди широкой публики. «Эй, ребята, может быть, нам нужно охладить это тем, как сильно мы любим геометрию». Какая роскошная проблема. Вряд ли это то, с чем сегодня приходится бороться голливудским блокбастерам.

В любом случае, нам, возможно, не следует слишком много читать в этих изолированных цитатах. Но общая интеллектуальная достоверность этого века важна. Эти очень умные и серьезные люди записали в научных историях рассказы о Фалесе, основавшем дедуктивную геометрию и доказавшем, что круг делится пополам своим диаметром.Это всего лишь каких-то двести или триста лет после Фалеса и прямое его происхождение, возможно, целые произведения Фалеса все еще хранятся в библиотеках и так далее.

Ну вот. Истоки доказательства и дедуктивной геометрии. Мы действительно довольно много знаем об этом, и если вы спросите меня, то стоит узнать эту историю.

Значение ‘thales’ в английском Словарь

Ниже приведены примеры предложений со словом «thales» из Словаря английского языка.Мы можем обратиться к этим шаблонам предложений для предложений в случае нахождения образцов предложений со словом «thales» или обратиться к контексту, используя слово «thales» в словаре английского языка.

1. Автоматическая система оплаты проезда поставляется Thales Group.

2. В 2016 году Thales приобрела Vormetric, компанию по обеспечению безопасности данных, за 400 миллионов долларов.

3. Известно, что Китай импортировал Thales TSM 2233 ELEDONE/DSUV-22 и Thales TSM 2255/DUUX-5 из Франции в 1980-х и начале 1990-х годов.

4. Разрабатывается Thales для внедрения сервиса в 2006 году.

5. В настоящее время производятся три серии перископов Thales Optronics.

6. В любом случае знание вселенной, переданное Фалесом , не имеет значения.

7. Меморандум о взаимопонимании для спонсируемой промышленностью стипендии Ph.D между IIT Mumbai и Thales Systemes Aeroportes

8. Подобно Фалесу до него, Ксенофан размышлял об основных принципах явлений природы.

9. Thales — глобальная группа, работающая в области аэронавтики, космоса, наземного транспорта, обороны и безопасности.

10. Симуляторы Thales включают в себя устройства полного движения, а также плоские панели и другие средства обучения.

11. Решение Thales ATM (Управление воздушным движением) продается под названием TopSky, ранее называвшимся EuroCat.

12. Для защиты сети JHITS будут развернуты Datacryptor Thales SONET и более низкоскоростные Datacryptor.

13. Начиная с августа 2008 года контракт Thales Australia предусматривает техническое обслуживание, проектирование, поставку и эксплуатационную поддержку.

14. В городе расположены одни из крупнейших компаний, в том числе Dassault, EADS Sogerma, Snecma, Thales , SNPE и другие.

15. Со смартфоном Thales Every Talk все эти сервисы доступны в одном карманном устройстве!

16. В то время как Фалес считал первым принципом воду, Ксенофан предложил менее привлекательную возможность грязи.

17. Thales также производит и устанавливает системы продажи билетов и связи для общественного транспорта через свое подразделение продажи билетов и сбора доходов.

18. Thales Air Defense производит ряд ракетных систем малой дальности, таких как зенитная ракета Starstreak.

19. Фалес (635-543 гг. до н.э.) из Милета (ныне на юго-западе Турции) был первым, кому приписывают дедукцию в математике.

20. В 2006 году Thales приобрела компанию Australian Defense Industries, крупного производителя военной техники, такой как бездымный порох и Bushmaster IMV.

21. 7 Система, предоставляемая Thales , позволяет перехватывать, анализировать, декодировать (www.Sentencedict.com), записывать и обрабатывать разведывательные сигналы (SIGINT).

22. 19 Найдите такие слова и понятия, как счеты, теорема Фалеса , тупоугольный треугольник и многое другое на этом специальном сайте.

23. Правительство Франции также уменьшит свою долю в Thales до 27,1% с 31,3% в рамках приобретения.

24. 4 Предположим, что вы, милетец, стоящий на площади и слушающий Фалеса , прекрасно знаете, что означает слово все.

25. Греческая культура поднималась к своему классическому пику благодаря естествоиспытателям ( Фалес , Парменид), ранним политическим лидерам (Солон), инженерам (Херсифрон) и поэтам (Сафо, Пиндар).

26. 7 Греческая культура поднималась к своему классическому пику благодаря естествоиспытателям ( Фалес , Парменид), ранним политическим лидерам (Солон), инженерам (Херсифрон) и поэтам (Сапфо, (www.Sentencedict.com) Пиндар). .

27. Spherion — гидролокатор Thales Underwater Systems, установленный на корпусе. Он включает перенос программного приложения DSTO Panorama на промышленную консоль оператора гидролокатора (SOC).

28.Денис Ранк, председатель и главный исполнительный директор Thales , объявил о реорганизации своей команды, чтобы укрепить международную организацию и способствовать развитию трансверсальности в Группе.

29. Это могло случиться с любым типом зонда Пито, но к лету 200 года проблема обледенения на Thales AA была известна как особенно распространенная.

30. Thales продемонстрировал свою концепцию обратной идентификации «свой-чужой» (IFF) на Eurosatory 18 июня: система, предназначенная для подавления дружественного огня во время боев «воздух-земля».

31. Компания Thales снова была выбрана в 2005 году для развертывания модернизации сети общественного транспорта Тайбэя с помощью сквозного и полностью бесконтактного решения для автоматической оплаты проезда, которое объединяет 116 станций метро, ​​5000 автобусов и 92 автостоянки.

32. Говорят, что какая-то остроумная фракийская служанка пошутила над Фалесом ‘, что в своем стремлении узнать, что происходит в небе, он не замечал того, что было перед ним и у его ног.

33. Истребитель имел усиленные крылья для полетов на малых высотах, а также маловысотные высокоточные системы навигации/атаки, построенные на основе радара Dassault/ Thales Antilope 5, который был разработан для ударной роли и отличался уклонением от рельефа местности. способность.

Основная теорема о пропорциональности: определение и примеры

Основная теорема о пропорциональности Теорема была разработана Фалесом, выдающимся греческим математиком.Теорема Фалеса — другое название этой теории. «Линия, проведенная параллельно одной стороне треугольника и пересекающая две другие стороны, делит две другие стороны в равной пропорции», — гласит основная теорема пропорциональности, часто известная как теорема Фалеса. Длины пересечений, сделанных отрезком на двух других сторонах треугольника, когда он проведен параллельно третьей стороне треугольника, описываются этой теоремой. Это важная теорема геометрии, касающаяся треугольников.

Мы рекомендуем учащимся уделить большое внимание этой теореме, так как она поможет им понять основные математические понятия, такие как треугольники в геометрии. Чем больше они понимают, тем легче им будет добиться отличных результатов на экзаменах.

Определение основной теоремы о пропорциональности

Основная теорема пропорциональности была выведена известным греческим математиком Фалесом. Ее также называют теоремой Фалеса.

Основная теорема о пропорциональности или теорема Фалеса утверждает, что если прямая проведена параллельно одной стороне треугольника и пересекает две другие стороны, то эта линия делит две стороны в одинаковом отношении.

Изучение концепций экзамена на Embibe

Рассмотрим треугольник \(ABC,\) такой, что прямая \(DE\) проведена параллельно основанию треугольника \(BC.\). Тогда прямая \(DE\) делит стороны \(AB , AC\) в том же отношении. Итак, из основной теоремы пропорциональности или теоремы Фалеса мы получаем   \(\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AE}}{{EC} }\)

РАЗЪЯСНИТЕ СВОИ КОНЦЕПТУАЛЬНЫЕ СОМНЕНИЯ ПО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЕ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ

Доказательство основной теоремы о пропорциональности

Давайте посмотрим на доказательство Основной теоремы о пропорциональности:

Утверждение:
В треугольнике, если линия, проведенная параллельно одной стороне треугольника, пересекает другие стороны в двух точках, а затем делит две другие стороны в равном отношении.

Дано:
Рассмотрим треугольник \(ABC\), показанный на рисунке ниже. В данном треугольнике проведена прямая \(DE\), параллельная основанию \(BC\), к пересекающим сторонам \(AB, AC,\) треугольника \(∆ABC\) в точках \(D, E.\ )

Конструкция:
Соедините \(BE\) и \(CD.\) Проведите перпендикулярные линии \(DM\) и \(EN\) к сторонам \(AC\) и \(AB,\) \ (∆ABC,\) соответственно.

Доказательство:

Мы знаем, что площадь треугольника определяется как  \(\frac{1}{2} \times {\rm{основание}} \times {\rm{высота}}{\rm{.}}\)

Рассмотрим \(∆ADE,\) с основанием как \(AD\) и высотой \(EN.\)

Итак, площадь прямоугольника \(∆ADE\) равна \(\frac{1}{2} \times AD \times EN……..\left( 1 \right)\)

Площадь \(∆BDE\) равна \(\frac{1}{2} \times BD \times EN……..\left( 2 \right)\)

Из уравнений \(1, (2)\)

\(\frac{{{\mathop{\rm ar}\nolimits} (\Delta ADE)}}{{{\mathop{\rm ar}\nolimits} (\Delta BDE)}} = \frac{{ \frac{1}{2} \times AD \times EN}}{{\frac{1}{2} \times BD \times EN}}\)

\( \Rightarrow \frac{{{\mathop{\rm ar}\nolimits} (\Delta ADE)}}{{{\mathop{\rm ar}\nolimits} (\Delta BDE)}} = \frac {{\frac{1}{2} \times AD \times EN}}{{\frac{1}{2} \times BD \times EN}}\)

\( \Rightarrow \frac{{{\mathop{\rm ar}\nolimits} (\Delta ADE)}}{{ar(\Delta BDE)}} = \frac{{AD}}{{BD}} …………. \влево( 3 \вправо)\)

Рассмотрим треугольник \(ADE,\) с основанием \(AE\) и высотой \(DM.\)

Значит, площадь прямоугольника ∆ADE равна \(\frac{1}{2} \times AE \times DM……..\left( 4 \right)\)

Площадь ∆CDE составляет \(\frac{1}{2} \times CE \times DM……..\left( 5 \right)\)

Из уравнений \(4, (5)\)

\(\frac{{{\mathop{\rm ar}\nolimits} (\Delta ADE)}}{{{\mathop{\rm ar}\nolimits} (\Delta CDE)}} = \frac{{ \frac{1}{2} \times AE \times DM}}{{\frac{1}{2} \times CE \times DM}}\)

\( \Rightarrow \frac{{{\mathop{\rm ar}\nolimits} (\Delta ADE)}}{{{\mathop{\rm ar}\nolimits} (\Delta CDE)}} = \frac {{AE}}{{CE}}………\влево( 6 \вправо)\)

Мы знаем, что площади треугольников, имеющих одно основание и лежащих между одними и теми же параллельными прямыми, равны.

Здесь \(∆BDE\) и \(∆CDE\) имеют одно и то же основание \(DE\) и лежат между параллельными прямыми \(DE\) и \(BC\left( {DC\parallel BC} \право).\)
Значит, их площади равны.

\({\mathop{\rm ar}\nolimits} (\Delta BDE) = {\mathop{\rm ar}\nolimits} (\Delta CDE)……….{\rm{(7)}}\ )

Из уравнений \(3, 6\) и \((7),\) получаем,  \(\frac{{{\mathop{\rm ar}\nolimits} (\Delta ADE)}}{{{\ mathop{\rm ar}\nolimits} (\Delta BDE)}} = \frac{{{\mathop{\rm ar}\nolimits} (\Delta ADE)}}{{{\mathop{\rm ar}\ без ограничений} (\Delta CDE)}}.\)

Итак, у нас есть

\(\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AE}}{{EC}}\)

Таким образом, основная теорема о пропорциональности доказана.

Обратное утверждение основной теоремы пропорциональности

Это обратная сторона основной теоремы пропорциональности. Теорема, обратная основной пропорциональности, утверждает, что если прямая делит любые две стороны треугольника в одном и том же отношении, то эта прямая должна быть параллельна третьей стороне треугольника.

Рассмотрим треугольник \(ABC,\), в котором прямая \(DE\), делящая стороны \(AB, AC\) в равном отношении \(\left( {\frac{{AD}}{{DB }} = \frac{{AE}}{{EC}}} \right),\) то прямая \(DE\) параллельна третьей стороне \(BC. \)

\(DE\параллельно BC\)

Практические экзаменационные вопросы

Обратное доказательство основной теоремы пропорциональности

Доказательство обратной теоремы основной пропорциональности приведено ниже:

Дано:
Рассмотрим треугольник \(ABC,\), в котором \(DE\) пересекает стороны \(AB, AC\) в точках \(D\) и \(E,\) такой, что \(\ frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AE}}{{EC}}.\)

Конструкция:
Предположим, что \(DE\) не параллельна \(BC.\) Тогда должна быть другая прямая, параллельная \(BC.\). Пусть эта прямая будет \(DE’. \) (нарисовано нами). Докажем теперь, что \(DE\) и \(DE’\) — одна и та же прямая или точки \(E\) и \(E’\) совпадают.

Доказательство:

Дано, \(\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AE}}{{EC}}…………\left( 1 \right)\)

Здесь \(DE’\параллель ВС\) (нарисовано).
Из основной теоремы пропорциональности мы знаем, что линия, проведенная параллельно одной стороне, делит другие стороны в равном отношении. \prime}………..\left( 3 \right)\)

Это возможно только в ситуации, когда \(E\) и \(E’\) совпадают.
Итак, \(E=E’\) и, таким образом, линии \(DE\) и \(DE’\) — это одна и та же линия.

Значит, прямая \(DE\) параллельна стороне \(BC.\)

Таким образом, теорема, обратная основной теореме пропорциональности, доказана.

Особые случаи основной теоремы о пропорциональности

Основная теорема пропорциональности может быть применена для доказательства части теоремы о средней точке и ее обратной части, как описано ниже:

А) Из ​​основной теоремы о пропорциональности или теоремы Фалеса мы узнали, что если провести прямую, параллельную одной стороне треугольника, и пересечь две другие стороны, то две стороны делятся в одинаковом отношении.

Это приводит нас к наблюдению, что когда линия проведена из середины одной стороны параллельно другой стороне, она делит третью сторону пополам.

Доказательство:
Пусть треугольник \(ABC,\), в котором \(D\) является серединой стороны \(AB. \)
Итак, \(AD=DB…………(1)\ )

Теперь, если линия \(DE\) проведена параллельно стороне \(BC,\), то согласно основной теореме о пропорциональности можно написать, 

\(\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AE}}{{EC}}\)

\( \Стрелка вправо \frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AE}}{{EC}}\)

\( \Стрелка вправо 1 = \frac{{AE}}{{EC}}\)

\(\Стрелка вправо AE = EC\)

Таким образом, \(E\) является серединой стороны \(AC\)

Следовательно, прямая \(DE\) делит пополам сторону \(AC.\) (доказано)

B) Другой частный случай следует из теоремы, обратной основной пропорциональности, которая используется для частичного доказательства обратной средней точки.

Можно доказать, что прямая, соединяющая середины любых двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне.

Доказательство:
Пусть треугольник \(ABC,\), в котором \(D\) является серединой стороны \(AB.\)
AD=DB 

Итак, \(\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AD}}{{AD}} = 1……. .\влево( 1 \вправо)\)

\(E\) является серединой \(AC.\)
\(AE=EC\)

Итак, \(\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{AE}}{{AE}} = 1……..\left( 2 \right)\)

Из \((1,) (2,)\)
ADDB=AEEC

Следовательно, согласно обратной основной теореме пропорциональности, мы можем сказать, что прямая \(DE\) параллельна \(BC.\)

Следовательно, \(DE\параллельно BC.\) (доказано)

Попытка пробных тестов

Решенные примеры – основная теорема о пропорциональности

В.1. В треугольнике \(ABC,DE\параллельно BC,\) найти значение \(EC\) ?

Ответ:
Дано, \(DE\параллельно BC.\)
Согласно основной теореме пропорциональности мы знаем, что линия, проведенная параллельно одной стороне, делит другие стороны в равном отношении.
Итак, \(\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AE}}{{EC}}\)
\( \Rightarrow \frac{{1. 5}}{3} = \frac {1}{{EC}}\)
\( \Стрелка вправо \frac{1}{2} = \frac{1}{{EC}}\)
\( \Стрелка вправо EC = {\rm{2}} \)
Следовательно, значение \(EC\) равно \({\rm{2}}\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

Q.2. Учитывая, \(DE\parallel AC\) и \(DF\parallel AE,\) доказывают, что \(\frac{{BF}}{{FE}} = \frac{ {BE}}{{EC}}\)

Ответ:
В треугольнике \(ABC,DE\параллельно AC\)
Согласно основной теореме пропорциональности, мы знаем, что линия, проведенная параллельно одной стороне, делит остальные стороны в равном отношении.
\(\frac{{BD}}{{DA}} = \frac{{BE}}{{EC}}……….\left( 1 \right)\)
В треугольнике \(ABE,DF\parallel AE\)
Согласно основной теореме пропорциональности мы знаем, что прямая, проведенная параллельно одной стороне, делит остальные стороны в равном отношении.
\(\frac{{BD}}{{DA}} = \frac{{BF}}{{FE}}……….\left( 2 \right)\)
From \((1)\) и \((2),\)
\(\frac{{BF}}{{FE}} = \frac{{BE}}{{EC}}\)

Q. 3. В треугольнике \(ABC,\) значения \(AB = 10\,{\rm{см}},AC = 12\,{\rm{см}},\,AD = {\rm{5}}\,{\rm{см}}\) и \(AE = 6\,{\rm{см}},\) , затем проверьте \( DE\параллельно ВС.\)

Ответ:
Дано: из \(AB = 10\,{\rm{см}}, AC = 12\,{\rm{см}},\,AD = {\rm{5}} \,{\rm{см}}\) и \(AE = 6\,{\rm{см}}{\rm{.}}\)
Итак, \(DB = AB — AD = 10 — 5 = 5\;{\rm{см}}\)
\(EC = AC — AE = 12 — 6 = 6\;{\rm{см}}\)
Итак, \(\frac{{AD}}{ {DB}} = \frac{5}{5} = 1…….\left( 1 \right)\)
И, \(\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{6} {6} = 1…….\left( 2 \right)\)
Из \({\rm{ (1), (2), }}\frac{{AD}}{{DB}} = \frac {{AE}}{{EC}} = 1\)
Согласно утверждению обратной основной теоремы пропорциональности, \({\rm{DE}}\parallel {\rm{BC}}{\rm{.}}\)

Q.4. В треугольнике \(ABC,DE\параллельно BC{\rm{.}}\) найдите значение \(AD\) ?

Ответ:
Дано, \(DE\parallel BC{\rm{. }}\)
Согласно основной теореме о пропорциональности мы знаем, что прямая, проведенная параллельно одной стороне, делит другие стороны на равные соотношение.
Итак, \(\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AE}}{{EC}}\)
\( \Rightarrow \frac{{AD}}{{7.2}} = \frac{{1.8}}{{5.4}}\)
\( \Стрелка вправо \frac{{AD}}{{7.2}} = \frac{1}{3}\)
\( \ Стрелка вправо AD = \frac{{7.2}}{3}\)
\( \Стрелка вправо AD = 2,4\;{\rm{см}}\)
Следовательно, мера AD равна \(2,4\;{\rm {см}}{\rm{.}}\)

Q.5. На приведенном рисунке \(LM\параллель BC\) и \(LN\параллель CD,\) докажите, что \(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{AN}}{{ND}}.\)

Ответ:
В треугольнике \(ABC,LM\параллелен BC.\)
Согласно основной теореме о пропорциональности мы знаем, что линия, проведенная параллельно одной стороне, делит другие стороны в равном отношении.
\(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{AL}}{{LC}}…. \left( 1 \right)\)
В треугольнике \(ACD,LN\параллельно CD .\)
Согласно основной теореме о пропорциональности мы знаем, что линия, проведенная параллельно одной стороне, делит другие стороны в равном отношении.
\(\frac{{AN}}{{ND}} = \frac{{AL}}{{LC}}…………\left( 2 \right)\)
From \(\left( 1 \ right),\left( 2 \right)\)
\(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{AN}}{{ND}}\)
Следовательно, доказано.

Сводка

В этой статье мы узнали об основной теореме пропорциональности, также известной как теорема Фалеса, сокращенно обозначаемой как \({\rm{B}}{\rm{.P}}{\rm{.T} }\)

Здесь мы также обсудили обращение основной теоремы о пропорциональности. Приложения основной теоремы пропорциональности. Например, как его можно применить для доказательства теоремы о средней точке в треугольнике и ее обратной. Это поможет нам найти длины сторон треугольников.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ПО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЕ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ

Часто задаваемые вопросы

Мы предоставили некоторые часто задаваемые вопросы об основной теореме пропорциональности здесь:

Q. 1. Дайте определение основной теореме пропорциональности.
Ответ: Основная теорема пропорциональности или Теорема Фалеса утверждает, что когда линия проведена параллельно одной стороне треугольника и пересекает две другие стороны, то эта линия делит две стороны в одинаковом отношении.

Q.2. Какова формула основной теоремы о пропорциональности?
Ответ: В треугольнике \(ABC,\) такая, что прямая \(DE\) параллельна основанию треугольника \(BC.\) Тогда прямая \(DE\) делит стороны \(АВ, АС\) в том же отношении.
\(\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AE}}{{EC}}\)

Q.3. Что означает \({\rm{B}}{\rm{.P}}{\rm{.T}}\) ?
Ответ: Основная теорема пропорциональности, сокращенно \({\rm{B}}{\rm{.P}}{\rm{.T}}{\rm{.}}\) Ее также называют теоремой Фалеса.

Q. 4. Каковы свойства основной теоремы пропорциональности?
Ответ: Основная теорема о пропорциональности — это теорема, касающаяся соотношений пересечений, сделанных линией с двух сторон при различных обстоятельствах. У нее нет свойства как такового, но у этой теоремы много приложений в геометрии.

Q.5. Каково применение основной теоремы пропорциональности?
Ответ: Основная теорема пропорциональности помогает найти длины двух сторон.Одним из приложений основной теоремы пропорциональности является нахождение отношения сторон двух равноугольных треугольников.

Вы также можете обратиться к NCERT Solutions  для математики, предоставленным академическими экспертами Embibe для подготовки к выпускному экзамену или экзамену.

Мы надеемся, что эта подробная статья об основной теореме пропорциональности окажется для вас полезной. Если у вас есть какие-либо вопросы по этой статье, отправьте нам сообщение через поле для комментариев ниже, и мы свяжемся с вами как можно скорее.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск