Основание остроугольного равнобедренного треугольника равно 10 а синус: Основание остроугольного равнобедренного треугольника равно 10, а синус противолежащего угла равен 0,6. Найдите площадь треугольника…

Содержание

Комплект билетов по геометрии для выпускников 9 классов общеобразовательных учреждений российской федерации билет № 1

Комплект билетов

по геометрии для выпускников 9 классов

общеобразовательных учреждений Российской Федерации

Билет № 1

1. Углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой. Свойство внутренних односторонних углов.

2. Треугольник: определение и виды. Теорема косинусов (доказательство). Следствия из теоремы косинусов.

3. Найдите диагонали равнобедренной трапеции, основания которой равны 4 см и 6 см, а боковая сторона равна 5 см.

4. В окружности радиуса 6 см проведена хорда АВ. Через середину М этой хорды проходит прямая, пересекающая окружность в точках С и Е. Известно, что СМ = 9 см, <АСВ = 30°. Найдите длину отрезка СЕ.

Билет № 2

1. Вертикальные углы: определение и свойство.

2. Треугольник: определение и виды. Теорема синусов (доказательство). Следствия из теоремы синусов.

3. Углы АDC и ABC вписаны в окружность. Какой может быть величина угла ADC, если известно, что <ABC = 56°?

4. Дана прямоугольная трапеция ABCD (АD – большее основание, АВ┴ АD). Площадь трапеции равна 150√3 см2, <CDA = ∠BСA = 60°. Найдите диагональ АС.

Билет № 3

1. Смежные углы: определение и свойства.

2. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора (доказательство).

3. Найдите площадь круга, если длина окружности равна 8π см.

4. Площадь параллелограмма равна 45√3 см2, <А = 60°, АВ : АD = 10 : 3. Биссектриса угла А пересекает сторону параллелограмма в точке М. Найдите длину отрезка АМ.

Билет № 4

1. Треугольник: определение и виды. Равные треугольники (определение). Признаки равенства треугольников.

2. Теорема Фалеса (доказательство).

3. Величины углов АВС и КВС относятся как 7 : 3, а их разность равна 72°. Могут ли эти углы быть смежными?

4. Найдите радиус окружности, вписанной в параллелограмм, если его диагонали равны 12 см и 3√2 см.

Билет № 5

1. Параллелограмм: определение и признаки.

2. Окружность, описанная около треугольника. Теорема о центре окружности, описанной около треугольника (доказательство).

3. В равностороннем треугольнике АВС проведена высота BD. Найдите углы треугольника ABD.

4. Найдите диагональ А1А3 правильного восьмиугольника А1А2…А8, если площадь треугольника А1А2А5 равна 9√2 м.

Билет № 6

1. Параллелограмм: определение и свойства.

2. Окружность, вписанная в треугольник. Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник (доказательство).

3. В остроугольном равнобедренном треугольнике угол между основанием и высотой, проведенной к боковой стороне, равен 34°. Найдите углы этого треугольника.

4. Диагонали трапеции АВМК пересекаются в точке О. Основания трапеции ВМ и АК относятся соответственно как 2 : 3. Найдите площадь трапеции, если известно, что площадь треугольника АОВ равна 12 см2.

Билет № 7

1. Прямоугольник: определение и свойства.

2. Средняя линия треугольника. Теорема о средней линии треугольника (доказательство).

3. Найдите сторону ромба, если известно, что его диагонали равны 24 см и 32 см.

4. Найдите площадь правильного многоугольника, если его внешний угол равен 30°, а диаметр описанной около него окружности равен 8 см.

Билет № 8

1. Прямоугольник: определение и признаки.

2. Равнобедренный треугольник. Свойство медианы равнобедренного треугольника, проведенной к основанию (доказательство).

3. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что его гипотенуза равна 6√3 см, а один из острых углов в два раза больше другого.

4. К окружности проведены касательные МА и МВ (А и В – точки касания). Найдите длину хорды АВ, если радиус окружности равен 20 см, а расстояние от точки М до хорды АВ равно 9 см.

Билет № 9

1. Ромб: определение и признаки.

2. Треугольник: определение и виды. Теорема о сумме углов треугольника (доказательство).

3. Найдите длину окружности, если известно, что площадь круга равна 18π см2.

4. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник BCD, если она касается стороны ВС в точке Р и известно, что BD = BC = 15 см, СР = 12 см.

Билет № 10

1. Внешний угол треугольника: определение и свойство.

2. Трапеция: определение и виды. Вывод формулы площади трапеции.

3. Найдите число сторон выпуклого многоугольника, сумма внутренних углов которого равна 4320°.

4. В остроугольном треугольнике АВС угол А равен 60°, ВС = 10 см, отрезки ВМ и СК – высоты. Найдите длину отрезка КМ.

Билет № 11

1. Подобные треугольники (определение). Признаки подобия треугольников.

2. Теорема о сумме углов выпуклого n-угольника (доказательство).

3. Найдите медиану, проведенную к гипотенузе прямоугольного треугольника, если известно, что его катеты равны 8 см и 6 см.

4. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если известно, что средняя линия трапеции равна 14 см, боковая сторона равна 4√2 см, а одно из оснований трапеции является диаметром описанной окружности.

Билет № 12

1. Медиана, биссектриса и высота треугольника: определения и свойства.

2. Правильный многоугольник. Вывод формулы для нахождения радиуса окружности, описанной около правильного n-угольника.

3. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса 4 см. Найдите периметр этого треугольника, если известно, что его гипотенуза равна 26 см.

4. Две стороны параллелограмма равны 13 см и 14 см, а одна из диагоналей равна 15 см. Найдите площадь треугольника, отсекаемого от параллелограмма биссектрисой его угла.

Билет № 13

1. Синус острого угла прямоугольного треугольника: определение, значения некоторых углов (30°, 45° и 60°).

2. Параллелограмм. Формулы площади параллелограмма. Вывод формулы площади параллелограмма (одной по выбору учащегося).

3. Найдите угол между векторами и , заданными своими координатами и .

4. Основание остроугольного равнобедренного треугольника равно 48 см. Найдите радиус вписанной в него окружности, если радиус описанной около него окружности равен 25 см.

Билет № 14

1. Косинус острого угла прямоугольного треугольника: определение, значения некоторых углов (30°, 45° и 60°).

2. Правильный многоугольник. Вывод формулы для нахождения радиуса окружности, вписанной в правильный n-угольник.

3. Найдите стороны треугольника, периметр которого равен 5,5 см, если известно, что стороны подобного ему треугольника равны 0,4 см, 0,8 см и 1 см.

4. Найдите площадь параллелограмма КМNO, если его большая сторона равна 4√2 см, диагональ МO равна 5 см, а угол МКО равен 45°.

Билет № 15

1. Тангенс острого угла прямоугольного треугольника: определение, значения некоторых углов (30°, 45° и 60°).

2.

Ромб. Вывод формулы площади ромба.

3. Какие целые значения может принимать длина стороны АС треугольника АВС, если известно, что АВ = 2,9 см, ВС = 1,7 см? Ответ объясните.

4. В равнобедренную трапецию, один из углов которой равен 60°, а площадь равна 24√3 см2, вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

Билет № 16

1. Окружность (определение). Центр, радиус, диаметр окружности. Взаимное расположение окружности и прямой.

2. Формулы площади треугольника. Вывод формулы площади треугольника через две стороны и угол между ними.

3. В равностороннем треугольнике проведены две медианы. Найдите величину острого угла, образовавшегося при их пересечении.

4. Средняя линия трапеции равна 15 м, сумма углов при одном из оснований равна 90°. Найдите площадь трапеции, если одна боковая сторона равна √10 м, а разность оснований равна 10 м.

Билет № 17

1. Окружность (определение). Хорда окружности. Касательная к окружности: определение и свойства.

2. Трапеция. Средняя линия трапеции. Свойство средней линии трапеции (доказательство).

3. Стороны прямоугольника равны 72 см и 8 см. Найдите сторону равновеликого ему квадрата.

4. На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка К. Известно, что сумма углов В и С равна углу АКВ, АК = 5 м, ВК = 16 м и КС = 2 м. Найдите сторону АВ.

Билет № 18

1. Понятие о геометрическом месте точек. Серединный перпендикуляр к отрезку: определение и свойство.

2. Ромб. Свойства диагоналей ромба (доказательство одного из них по выбору учащегося).

3. Средняя линия трапеции равна 8 см и делится диагональю на два отрезка, разность между которыми равна 2 см. Найдите основания трапеции.

4. В треугольнике АВС проведена медиана АМ. Найдите площадь треугольника АВС, если АС = 3√2 м, ВС = 10 м, РМАС = 45°.

Билет № 19

1. Взаимное расположение прямых. Перпендикулярные прямые: определение и свойства.

2. Треугольник: определение и виды. Нахождение элементов треугольника по известным двум сторонам и углу.

3. Найдите углы ромба, если известно, что его периметр равен 8 см, а высота ромба равна 1 см.

4. В равнобедренную трапецию с боковой стороной, равной 10 м, вписана окружность радиуса 3 м. Найдите площадь трапеции.

Билет № 20

1. Взаимное расположение прямых. Параллельные прямые: определение и свойства.

2. Треугольник: определение и виды. Нахождение элементов треугольника по известным стороне и двум углам.

3. Найдите площадь круга, описанного около правильного шестиугольника со стороной 3 см.

4. Большее основание равнобедренной трапеции равно 8 м, боковая сторона равна 9 м, а диагональ равна 11 м. Найдите меньшее основание трапеции.

Билет № 21

1. Углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой. Свойство внутренних накрест лежащих углов.

2. Равнобедренный треугольник. Признак равнобедренного треугольника (доказательство).

3. В окружность вписан прямоугольник, стороны которого равны 6 см и 8 см. Найдите длину этой окружности.

4. Найдите площадь параллелограмма ОМРК, если его сторона КР равна 10 м, а сторона МР, равная 6 м, составляет с диагональю МК угол, равный 45°.

Билет № 22

1. Перпендикуляр и наклонная. Расстояние от заданной точки до данной прямой.

2. Треугольник: определение и виды. Нахождение элементов треугольника по известным трем сторонам.

3. В прямоугольнике точка пересечения диагоналей удалена от меньшей стороны на 4 см дальше, чем от большей стороны. Найдите стороны прямоугольника, если известно, что его периметр равен 56 см.

4. Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, если средняя линия трапеции равна 12 м, а косинус угла при основании трапеции равен (√7)/4

Билет № 23

1. Вектор. Длина (модуль) вектора. Координаты вектора. Равенство векторов.

2. Круг. Площадь круга. Вывод формулы площади сектора.

3. Найдите периметр ромба, если известно, что один из углов ромба равен 60°, а меньшая диагональ равна 5 см.

4. Площадь равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС равна 160 м2, боковая сторона равна 20 м. Высоты ВК и АН пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВО.

Билет № 24

1. Замечательные точки треугольника: точки пересечения серединных перпендикуляров, биссектрис, медиан.

2. Центральный и вписанный углы. Свойство вписанного угла окружности.

3. Найдите высоту равнобедренной трапеции, если известно, что ее основания равны 10 см и 24 см, а боковая сторона равна 25 см.

4. В треугольнике СЕН <С = 45°, точка Т делит сторону СЕ на отрезки СТ = 2 м и ЕТ = 14 м, <СНТ = <СЕН. Найдите площадь треугольника СНТ.

Билет № 25

1. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов: определение и свойства.

2. Равнобедренный треугольник. Свойство углов при основании равнобедренного треугольника (доказательство).

3. Найдите площадь круга, описанного около квадрата со стороной 6 см.

4. В остроугольном треугольнике АВС на стороне АС отмечена точка М, такая, что <С = <АВМ. Найдите сторону АВ, если известно, что сторона АС = 9 м, а отрезок АМ = 4 м.

Тема №5807 Ответы к тестам планиметрия

ТЕСТ 13.01.
Решить задачи:
1. В треугольнике ABC: BАС = 30°. Определить сторону ВС, если АВ =
3 , АС = 1.
2. Площадь треугольника ABC равна 16см2
. Найти длину стороны АВ, если АС = 5 см, ВС = 8
см и угол С тупой.
3. В треугольнике ABC величина угла С равна 60°, а длина стороны АВ =
31
. На стороне АС
отложен отрезок AD = 3. Найти длину ВС, если BD =
2 7 .
4. В треугольнике ABC высота AD на 4 см меньше стороны ВС. Сторона АС равна 5 см.
Найти периметр треугольника ABC если его площадь равна 16 см2
.
5. В треугольнике ABC даны длины трех сторон ВС, АС и АВ, равные соответственно числам
41, 51 и 58. Вычислить площадь этого треугольника и длину высоты, опущенной
из вершины В.

Дополнительные задачи по теме:
6. Найти основание равнобедренного треугольника, если его боковая сторона равна 23, а
периметр равен 71.
7. Найти сумму дли катетов прямоугольного треугольника, если расстояния от середины
гипотенузы до катетов равны 26 и 33.
8. Найти среднюю линию равнобедренного треугольника, параллельную основанию, если
боковая сторона равна 16, а периметр равен 57.
9. В равностороннем треугольнике со стороной 10 найти периметр треугольника, чьи стороны
соединяют основания высот.
10. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) проведена высота ВМ. Найти ее длину, если
периметр треугольника АВС равен 70, а периметр треугольника АВМ равен 50.
11. Найти третью сторону прямоугольного треугольника, если две его другие стороны равны 12
и 13.
12. Найти площадь прямоугольного треугольника, острые углы которого относятся как 1:2, а
гипотенуза равна 10.
13. Высота равностороннего треугольника равна
4
7 3 
. Найти площадь треугольника.
14. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла
60
, равен
5 4
3
2
 . Найти
площадь треугольника.
15. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна
2 2 1   
. Найти его
периметр.
16. Катет прямоугольного треугольника больше другого катета на 10 и меньше гипотенузы на
10. Найти гипотенузу.
17. Периметр прямоугольного треугольника равен 40, а один из катетов равен 8. Найти
гипотенузу.
18. Сумма длин гипотенузы и катета прямоугольного треугольника равна 9, а их разность равна
4. Найти другой катет.
19. В треугольнике АВС величина угла при вершине С равна
30
. Определить синус угла при
вершине В треугольника, если АС = 12,3 и АВ = 61,5.
20. Определить синус угла при вершине А в треугольнике АВС, если
BC  3 3 , АС = 15, а угол
АВС равен
60 .
21. В треугольнике АВС угол А равен
30
, а угол В равен
45
. Найти длину ВС, если
AC 10 2 .
22. Найти величину угла при вершине С треугольника АВС, если
AB  20 , AC 10 6
и угол
АВС равен
120 .
23. Косинус угла при вершине равнобедренного треугольника равен:
1
15
 . Найти боковую
сторону треугольника, если его основание равно:
15
2
.
24. В треугольнике разность углов А и В равна
90
. Противолежащие им стороны равны 10 и 5.
Найти тангенс угла В.
25. В треугольнике АВС сторона ВС равна 6, а сторона АС равна 4. Найти косинус угла В, если
угол А вдвое больше угла В.

ТЕСТ 13.02.
1. Углы САВ и BAD – смежные. Определить величину угла между перпендикуляром АК,
проведенном из точки А к прямой CD, и биссектрисой угла САВ, если
   CAB BAD 20
, а
точки К и В лежат по одну сторону от CD.
2. Углы АВС и CBD – смежные, причем первый из них в 4 раза больше второго. Определить
величину угла между перпендикуляром, проведенным из точки В к прямой ВС, и
биссектрисой угла CBD.
3. Угол АВС на
16
больше угла CBD, смежного с ним. Найти угол между перпендикуляром,
проведенным из точки В к прямой AD, и биссектрисой угла CBD.
4. Углы САВ и BAD – смежные. Определить величину острого угла между перпендикулярами,
проведенными из точки А к прямым АВ и CD, если
   BAD CAB 24 .
5. Углы САВ и BAD – смежные. Найти величину угла BAD, если величина угла между
биссектрисой угла САВ и перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой CD,
равна
12 .
6. Найти величину угла, если он в 4 раза меньше суммы величин двух углов, смежных с ним.
7. Найти величину внутреннего угла треугольника, если сумма величин двух внешних углов, не
смежных с данным, равна
237 .
8. Найти величину угла, если она в сумме с величинами двух углов, смежных с ним,
равна
192 .
9. Через вершину угла АВС проведена прямая BD перпендикулярно биссектрисе этого угла.
Найти величину угла АВС, если прямая BD образует с одной из сторон угла АВС угол,
величина которого равна
156 .
10. Биссектриса внешнего угла равнобедренного треугольника АВС при основании АС образует
с основанием угол, величина которого равна
126
. Найти величину угла АВС.
11. Сумма двух вертикальных углов, полученных при пересечении двух прямых, равна
192 .
Найти меньший из углов, образованных прямыми при пересечении.
12. В одной точке пересекаются 3 прямые. При этом сумма двух получившихся вертикальных
углов равна
126
, а суммы двух оставшихся пар вертикальных углов отличаются на
12 .
Найти больший из острых углов, образованных прямыми при пересечении.
13. В треугольнике один из внутренних углов равен
30
, а второй угол больше третьего в 2 раза.
Найти меньший из неизвестных углов.
14. В треугольнике сумма двух внутренних углов больше третьего на
10
. Найти больший угол.
15. В треугольнике сумма двух равных внутренних углов в 1,5 раза больше третьего. Найти
больший угол.
16. В равнобедренном треугольнике разность двух неравных углов равна
90
. Найти больший
угол.
17. Внутренние углы треугольника относятся как 1:2:3. Найти меньший угол.
18. В треугольнике внутренние углы треугольника относятся как 2:3:5. Найти внешний угол
треугольника, смежный с его меньшим внутренним углом.

ТЕСТ 13.03.
Решить задачи:
1. Основание треугольника равно 26 см. Медианы боковых сторон равны 30 см и 39 см. Найти
площадь треугольника.
2. Одна сторона треугольника равна а, другая — b. Найти третью сторону, если известно,
что она равна медиане, проведенной к ней.
3. В треугольнике ABC медиана AM перпендикулярна медиане BN. Найти площадь
треугольника ABC, если длина AM равна 3, а длина BN равна 4.
4. Две стороны треугольника равны соответственно 6 см и 8 см. Медианы, проведенные к
этим сторонам, перпендикулярны. Найти площадь треугольника.
5. В треугольнике ABC медианы AD и BE пересекаются под прямым углом, АС = 3, ВС = 4.
Найти сторону АВ этого треугольника.
6. Медианы треугольника равны 3 см, 4 см, 5 см. Найти площадь треугольника.
7. Основание треугольника равно 14 см, а медианы, проведенные к боковым сторонам — 3 7
и
6 7
. Найти боковые стороны треугольника.
8. Определить площадь треугольника, если две его стороны Равны 1 и
13
, а медиана
третьей стороны равна 2.
9. Площадь треугольника ABC равна 12. Из вершин тупого угла В проведена медиана BD,
длина которой равна 3. Найти сторону АС, если угол ABD — прямой.
10. Основание равнобедренного треугольника
32
, медиана боковой стороны 5. Найти длины
боковых сторон.
11. Длина основания равнобедренного треугольника равна 10, а его площадь 60. Найти длину
медианы, проведенной к боковой стороне.
12. В равнобедренном треугольнике длина боковой стороны равна
4 10
, а длина медианы,
проведенной к боковой стороне, равна
3 10
. Найти длину основания треугольника.
13. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 6 см. а медиана боковой стороны
5см. Найти длину основания.
14. В равнобедренном треугольнике основание равно
84
, угол при основании равен 30°. Найти
длину медианы, проведенной к боковой стороне.
15. Медиана, проведенная к одной из боковых сторон равнобедренного треугольника, делит его
периметр на части длиной 15 и 6. Найти длину боковой стороны.
16. Медианы прямоугольного треугольника, проведенные к катетам, относятся как
2 :1.
Найти углы треугольника.
17. В прямоугольном треугольнике медианы острых углов равны
89
и
156
. Найти длину
гипотенузы.
18. Длины двух сторон треугольника равны 27 и 29. Длина медианы, проведенной к третьей
стороне, равна 26. Найти высоту треугольника, проведенную к стороне длиной 27.
19. В остроугольном треугольнике ABC длины медиан ВМ и CN и высоты АН равны
соответственно 4, 5 и 6. Найти площадь треугольника.

ТЕСТ 13.04.
Решить задачи:
1. Дан треугольник ABC, в котором угол В равен 30°, АВ = 4, ВС = 6. Биссектриса угла В
пересекает сторону АС в точке D. Определить площадь треугольника ABD.
2. Дан треугольник ABC, в котором АС = 5, АВ = 6, ВС=7. Биссектриса угла С пересекает
сторону АВ в точке D. Определить площадь треугольника ADC.
3. Определить площадь треугольника, если две его стороны равны 35 см и 14 см, а
биссектриса угла между ними содержит 12 см.
4. В треугольнике ABC проведена биссектриса BE, которую центр О вписанной окружности
делит в отношении ВО : ОЕ = 2. Найти АВ, если АС = 7, ВС = 8.
5. Дан треугольник со сторонами 4, 8, 9. Найти длину биссектрисы, проведенной к большей
стороне.
6. В прямоугольном треугольнике катет равен 24см, а гипотенуза – 25 см. Найти биссектрису
треугольника, проведенную из вершины меньшего угла.
7. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом В биссектриса угла А пересекает
сторону ВС в точке D. Известно, что BD = 4, DC = 6. Определить площади треугольника
ADC

ТЕСТ 13.05.
Решить задачи:
1. В треугольнике основание равно 6 см, а высоты, опущенные на боковые стороны — 2 см и
2 3
см. Найти боковые стороны треугольника.
2. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и СЕ, причем длина AD равна 5
см, длина СЕ равна 3 см, а угол между AD и СЕ равен 60°. Найти длину стороны АС.
3. В треугольнике ABC проведены высоты АЕ и CD. Найти АВ, если BD = 18, ВС = 30, АЕ =
20.
4. Высота AD, опущенная на боковую сторону ВС равнобедренного треугольника ABC, делит
его на треугольники ABD и ADC площадью 4см2
и 2см2
соответственно. Найти стороны
треугольника, если АС — его основание.
5. В равнобедренном треугольнике длина основания равна 30 см, длина высоты, проведенной к
основанию, — 20 см. Определить длину высоты, проведенной к боковой стороне.
6. В равнобедренном треугольнике высота равна 8, а основание относится к боковой стороне
как 6 : 5 . Найти радиус вписанного круга.
7. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, равна 5, а высота,
опущенная на боковую сторону, равна 6. Найти площадь треугольника.
8. Найти площадь равнобедренного треугольника, если высота, опущенная на основание, равна
10, а высота, опущенная на боковую сторону, равна 12.
9. В равнобедренном треугольнике ABC основание АС равно б см, а высота, опущенная на
основание, равна 4 см. Найти периметр треугольника CDB, где CD — высота, опущенная на
боковую сторону.
10. В равнобедренном треугольнике длина боковой стороны равна 5, а длина высоты,
опущенной на основание; равна 4. Найти длину основания.
11. В равнобедренном треугольнике ABC с вершиной в точке В основание высоты A D делит
сторону В С так, что B D:DC =
2 : 2 2   . Найти углы треугольника.

 

ТЕСТ 13.06.
Решить задачи:
1. Точка N лежит на стороне ВС треугольника ABC, точка М — на продолжении стороны
АС за точку А, при этом AM = AС, BN : NC = 3 : 4. В каком отношении прямая MN делит
сторону АВ?
2. На сторонах АС и ВС треугольника ABC взяты точки К и N так, что СК:КА = 2 : 3 ,
CN:NB = 4:3. В каком отношении точка пересечения отрезков AN и ВК делит отрезок KB?
3. Точка N делит сторону RQ треугольника RPQ в отношении RN:NQ = 2 : 7 ; точка F делит
сторону RP в отношении RF: FP = 3 : 1 . Прямые QF и PN пересекаются в точке М.
Найти длину MN, если РМ = 12.
4. Точки F и N делят стороны треугольника ABC в отношении FA:FC = 3:1 и CN:NB = 2 : 3 .
Прямые AN и BF пересекаются в точке М. Найти отношение площадей треугольников
AMВ и ANB.
5. Вершины В и С при основании равнобедренного треугольника ABC соединены с серединой М
его высоты, проведенной из аршины А. Эти прямые пересекают боковые стороны АС и АВ
треугольника в точках D и Е соответственно. Найти площадь четырехугольника AEMD,
если площадь треугольника ABC равна 93.
6. Найти углы равнобедренного треугольника, у которого точка пересечения высот делит
пополам высоту, проведенную к основанию.
7. Прямая делит пополам основание АВ равнобедренного треугольника A BC с боковой
стороной 3 и отсекает на лучах С А и С В отрезки С М и C N соответственно. Найти
длину С М , если длина CN равна 2.
8. Вершины В и С основания равнобедренного треугольника ABC соединены в точке М с
серединой высоты, опущенной из вершины А на основание ВС. Продолжение отрезка ВМ
пересекает сторону АС в точке D, а продолжение отрезка СМ пересекает сторону АВ в
точке Е. Найти площадь треугольника ВМА, если площадь четырехугольника
AEMD равна 16.
9. Вершины правильного треугольника лежат на трех параллельных прямых, причем
внутренняя прямая находится на расстояниях
21
и
84
от крайних прямых. Найти длину
стороны треугольника.

 

ТЕСТ 13.07.
Решить задачи:
1. Основание треугольника равно а. Найти длину отрезка прямой, параллельной основанию и
делящей площадь треугольника пополам.
2. В треугольнике с основанием 15 см проведен отрезок, параллельный основанию. Площадь
полученной трапеции составляет 75% площади треугольника. Найти длину этого отрезка.
3. В треугольник со сторонами 10см, 17см и 21 см вписан прямоугольник с периметром 24 см
так, что одна его сторона лежит на большей стороне треугольника. Найти стороны
прямоугольника.
4. Найти длину стороны квадрата, вписанного в равнобедренный треугольник с основанием а
и боковой стороной b так, что две его вершины лежат на основании, а две другие вершины
— на боковых сторонах.
5. Окружность, центр которой лежит на гипотенузе АВ прямоугольного треугольника ABC,
касается катетов АС и ВС соответственно в точках Е и D. Найти величину угла ABC, если
известно, что АЕ = 1, BD = 3.
6. В прямоугольный треугольник вписан квадрат, вершина которого совпадает с вершиной
прямого угла треугольника. Найти площадь треугольника, если один из его катетов равен
42см, а сторона квадрата – 24 см.
7. Точка на гипотенузе прямоугольного треугольника, равноудаленная от катетов, делит её на
отрезки 30 см и 40 см. Найти периметр треугольника.
8. К окружности, вписанной в треугольник с периметром 18см, проведена касательная
параллельно основанию треугольника. Отрезок касательной между боковыми сторонами 2
см. Найти основание треугольника.
9. Точки М и N, D и Е, К и L лежат соответственно на сторонах АВ, АС и ВС треугольника
ABC, при этом AМ = MN = NB, ВК = KL = LC, AD = DE = ЕС. Вычислить площадь
четырехугольника, образованного пересечениями прямых ML, NK, BD, BE, если площадь
треугольника ABC равна 5

ТЕСТ 13. 08.
Решить задачи:
1. В прямоугольном треугольнике сумма катетов равна 17 см, а длина гипотенузы – 13 см.
Найти катеты и площадь треугольника.
2. В прямоугольном треугольнике AВС даны: длина катета ВС, равная 36, и косинус угла ВАС,
равный 8/17. Найти длину другого катета АВ и площадь треугольника.
3. Длина одного из катетов прямоугольного треугольника равна 12. Расстояние от центра
описанной около треугольника окружности до этого катета равно 2,5. Найти длину
гипотенузы треугольника.
4. Площадь равностороннего треугольника, построенного на гипотенузе прямоугольного
треугольника, вдвое больше площади последнего. Определить углы прямоугольного
треугольника.
5. Определить острые углы прямоугольного треугольника, длины сторон которого образуют
геометрическую прогрессию.
6. Найти площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник, если проекции катетов на
гипотенузу равны т = 9 см и п = 16 см.
7. Один из катетов прямоугольного треугольника равен15см, а проекция другого катета на
гипотенузу равна 16см. Найти радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
8. В прямоугольном треугольнике катеты относятся как 3 : 2, а высота делит гипотенузу на
отрезки, из которых один на 2 см больше другого. Определить длину гипотенузы.
9. В прямоугольном треугольнике ABC, где С = 30°,из вершины прямого угла В проведена
медиана ВК. Найти площадь треугольника ВСК, если длина катета АВ равна 4 см.
10. Найти площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник, если высота, проведенная к
гипотенузе, делит последнюю на отрезки длиной 25,6 и 14,4 см.
11. Прямоугольный треугольник, периметр которого равен 10, разбит высотой, опушенной на
гипотенузу, на два треугольника. Периметр одного из них равен 6. Найти периметр другого
треугольника.
12. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разбивает его на два
треугольника с периметрами p1 и р2. Найти стороны треугольника.
13. В прямоугольный треугольник с катетами а и b вписан квадрат, имеющий с треугольником
общий прямой угол. Найти периметр квадрата.
14. В треугольнике ABC проведена биссектриса CD прямого угла АСВ, DM и DN являются
соответственно высотами треугольников ADC и BDC. Найти АС, если известно,
что AM = 4, BN = 9.
15. В прямоугольном треугольнике ABC длины катетов АС и ВС соответственно равны 12 и 8.
Точка К – середина медианыBD. Найти длину отрезка СK.
16. Точка пересечения медиан прямоугольного треугольника удалена от катетов на расстояния
соответственно 3 и 4. Найти расстояние от этой точки до гипотенузы.
17. В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла проведены высота и медиана.
Найти отношение большего катета к меньшему, если отношение высоты к
медиане равно 12/13.
18. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки 3 см
и 4 см. Найти площадь треугольника.
19. Прямоугольные треугольники AВС и ABD имеют общую гипотенузу АВ = 5. Точки С и D
расположены по разные стороны от прямой, проходящей через точки А и В, ВС = BD =
3. Точка Е лежит на АС, ЕС = 1. Точка F лежит па AD, FD = 2. Найти площадь
пятиугольника ECBDF

ТЕСТ 13.09.
Решить задачи:
1. Найти площадь трапеции, у которой основания 15 см и 5 см, а боковые стороны 8 см
и 6 см.
2. Найти площадь трапеции, диагонали которой равны 7 см и 8 см, а основания – 3 см и 6 см.
3. В равнобочной трапеции ABCD длины боковой стороны АВ и меньшего основания ВС равны
а = 2 см и BD перпендикулярна АВ. Найти площадь трапеции.
4. Основания трапеции 4 см и 10 см, одна из боковых сторон составляете меньшим
основанием угол 150°. Найти эту боковую сторону, если площадь трапеции раина 21 см2
.
5. В равнобедренной трапеции боковая сторона равна средней линии, а периметр равен 48 см.
Найти длину боковой стороны.
6. Высота и диагональ равнобедренной трапеции равны соответственно 5 и 13. Найти
площадь трапеции.
7. Диагональ равнобедренной трапеции равна 5 см, а площадь равна 12 см2
. Найти высоту
трапеции.
8. Диагональ равнобочной трапеции, равная 8, перпендикулярна боковой стороне. Найти
меньшее основание трапеции, если ее большее основание равно 10.
9. Большее основание трапеции равно 24 см. Найти ее меньшее основание, зная, что
расстояние между серединами ее диагоналей равно 4 см.
10. Длины оснований трапеции равны 10 и 24. длины боковых сторон равны 13 и 15. Найти
площадь трапеции.
11. Длины параллельных сторон трапеции равны 25 и 4, а длины непараллельных сторон – 20 и
13. Найти высоту трапеции.
12. В трапеции ABCD сумма углов при основании AD равна 90°. Нижнее к верхнее основания
равны соответственно 7 и 3. Определить отрезок, соединяющий середины оснований.
13. Определить площадь трапеции, если ее основания равны 6 см и 11 см, одна из боковых
сторон – 4 см, а сумма углов при нижнем основании равна 90o
.
14. В трапеции, основания которой а и b, через точку пересечения диагоналей проведена
прямая, параллельная основаниям. Найти длину отрезка этой прямой, отсекаемого
боковыми сторонами трапеции.
15. В трапеции ABCD проведены диагонали АС и BD, пересекающиеся в точке F. Из вершины С
проведена прямая СК, параллельная боковой стороне AD, которая пересекает продолжение
BD в точке L так, что DF = BL. Найти отношение АВ:CD.
16. Через точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, параллельная основанию и
пересекающая боковые стороны в точках Е и F. Длина отрезка EF равна 2. Определить
длины оснований трапеции, если их отношение равно 4.
17. Через точку О пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, параллельная
основанию. Определить длину отрезка этой прямой между боковыми сторонами трапеции,
если средняя линия трапеции равна 4/3, а точка О делит диагональ трапеции на части,
отношение которых равно 1/3.
18. В трапеции ABCD длина основания AD равна 4, длина основания ВС равна 3. Длины сторон
АВ и CD равны. Точки М и N лежат на диагонали BD, причем точка М расположена между
точками В и N, а отрезки AM и CN перпендикулярны диагонали BD. Найти длину отрезка
CN, если ВМ:DN = 2:3.
19. В трапеции ABCD с основаниями ВС и AD: ACD = АВС, ВС = 12см, AD = 27 см. Найти
диагональ АС.
20. В прямоугольной трапеции большая диагональ, имеющая длину 24, является биссектрисой
острого угла. Найти площадь трапеции, если расстояние от вершины тупого угла до
диагонали равно 9.
21. В прямоугольной трапеции средняя линия равна 13,5. Меньшая диагональ является
биссектрисой тупого угла и имеет длину 12. Найти стороны трапеции.
22. В трапеции с основаниями 3 и 4 диагональ имеет длину 6 и является биссектрисой одного из
углов. Найдите площадь трапеции.
23. В равнобедренной трапеции ABCD точка О – середина меньшего основания ВС; OA –
биссектриса угла А. Найти площадь трапеции, если AD = 16, а се высота равна 6.
24. Средняя линия трапеции равна 10 и делит площадь трапеции в отношении 3:5. Найти
длины оснований этой трапеции.
25. В трапеции средняя линия, равная 20, делит площадь трапеции в отношении 3:5. Найти
основания трапеции.
26. В трапеции ABCD длины оснований AD и ВС относятся как 5:1, а площадь равна 32 см2
.
Точки M и N – середины боковых сторон АВ и CD соответственно соединены с концами
противоположной боковой стороны, причем отрезки AN и DM пересекаются в точке К, а
отрезки BN и СМ – в точке Е. Определить площадь четырехугольника МENК.
27. В трапеции ABCD точка М лежит на боковой стороне АВ, О – пересечение диагонали BD и
отрезка СМ. Найти площадь треугольника COD, если AM = MB, СО = 4.ОМ, а площадь
треугольника ВОМ равна 1.
28. Высота трапеции ABCD равна 7, а длины оснований AD и ВС равны соответственно 8 и 6.
Через точку Е, лежащую на стороне CD, проведена прямая BE, которая делит диагональ
АС в точке О в отношении АО:ОС = 3:2. Найти площадь треугольника ОЕС.
29. Площадь трапеции ABCD равна 24. а длины оснований AD и ВС относятся как 3:1.
Вершины А и D соединены отрезками с точкой N – серединой стороны ВС, а точки В и С – с
точкой М серединой стороны AD. Отрезки AN и ВМ пересекаются в точке Е, а отрезки DN
и СМ – в точке К. Найти площадь четырехугольника ЕNКМ.
30. Найти площадь равнобочной трапеции, основания которой равны а и b, а диагонали взаимно
перпендикулярны.
31. В равнобедренной трапеции средняя линия равна d, а диагонали взаимно перпендикулярны.
Найти площадь трапеции.
32. Найти площадь равнобочной трапеции, у которой высота равна 10, а диагонали взаимно
перпендикулярны.
33. Высота трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна 4. Найти площадь
трапеции, если известно, что длина одной из ее диагоналей равна 5.

 

ТЕСТ 13.10.
Решить задачи:
1. В параллелограмме с периметром 32 см проведены диагонали. Разность между
периметрами двух смежных треугольников равна 8 см. Найти длины сторон
параллелограмма.
2. Найти площадь параллелограмма, если его диагонали 3 см и 5 см, а острый угол
параллелограмма 60o
.
3. Через точки R и Е, принадлежащие сторонам АВ и AD параллелограмма ABCD, и такие,
что AR = (2/3)AB, АЕ = (l/3)AD проведена прямая. Найти отношение площади
параллелограмма к площади полученного треугольника.
4. В параллелограмме ABCD длина диагонали BD, перпендикулярной стороне АВ, равна 6.
Длина диагонали АС равна
2 22
. Найти длину стороны AD.
5. Радиус окружности, в которую вписан квадрат, равен 6 см. Найти площадь квадрата.
6. Площадь равнобедренного треугольника равна 1/3 площади квадрата, построенного па
основании данного треугольника. Длины боковых сторон треугольника короче длины его
основания на 1 см. Найти длины сторон и высоты треугольника, проведенной к основанию.
7. В квадрат вписан другой квадрат, вершины которого лежат на сторонах первого, а
стороны составляют со сторонами первого квадрата углы в 60°. Какую часть площади
данного квадрата составляет площадь вписанного?
8. Периметр параллелограмма 90 см. а острый угол — 60°. Диагональ параллелограмма делит
его тупой угол на части в отношении 1:3. Найти стороны параллелограмма.
9. В параллелограмме ABCD высота, проведенная из вершины В тупого угла на сторону DA,
делит ее в отношении 5:3, считая от вершины D. Найти отношение AC:BD, если
AD:АВ = 2.
10. Перпендикуляр, проведенный из вершины параллелограмма к его диагонали, делит эту
диагональ на отрезки длиной 6 и 15 см. Разность длин сторон параллелограмма равна 7 см.
Найти длины сторон параллелограмма и его диагоналей.
11. Высота ромба равна 12 см, а одна из его диагоналей равна 15 см. Найти площадь ромба.
12. Сумма длин диагоналей ромба равна т, а его площадь равна m. Найти сторону ромба.
13. Определить сторону ромба, зная, что площадь его равна S, а длины диагоналей откосятся
как m:n.
14. Периметр ромба равен 2р, длины диагоналей относятся как m:n. Вычислить площадь
ромба.
15. Площадь прямоугольника равна 9 см2
, а величина одного из углов, образованного
диагоналями, равна 120°. Найти стороны прямоугольника.
16. В прямоугольнике ABCD на сторонах АВ = 6 и ВС = 8 взяты точки М я N так, что отрезок
MN параллелен отрезку АС. Известно, что периметр многоугольника AMNCD относится к
периметру треугольника MBN, как 7 : 3. Найти длину отрезка MN.
17. Вершины одного квадрата лежат на границе второго квадрата. Найти отношения длин
отрезков, на которые эти вершины разбивают стороны второго квадрата, сели известно,
что отношение площадей квадратов равно p.
18. В квадрате ABCD со стороной а точки Е и F являются серединами сторон АВ и CD
соответственно. Точка К лежит на CF,точка N – на AD, а отрезки EF и К N пересекаются
в точке М. Найти площадь треугольника KFM, если известно, что СК : KF = 1 : 5, а
площадь трапеции ЕМNА составляет 3/10 площади квадрата.
19. В параллелограмме ABCD величина угла BCD равна 600
, длина стороны АВ равна а.
Биссектриса угла BCD пересекает сторону AD в точке N. Найти площадь треугольника
NCD.
20. На стороне NP квадрата MNPQ взята точка А, на стороне PQ – точка В так, что
NА:АР = РВ:BQ = 2:3. Точка L является точкой пересечения отрезков МА и NB. В каком
отношении точка L делит отрезок MA?
21. В параллелограмме ABCD биссектриса тупого угла В пересекает сторону AD в точке F.
Найти периметр параллелограмма, если АВ = 12 и AF:FD = 4:3.
22. Через вершины произвольного четырехугольника проведены прямые, параллельные его
диагоналям. Найти отношение площади параллелограмма, образованного этими прямыми, к
площади данного четырехугольника.
23. Точка М делит диагональ АС квадрата ABCD со стороной а в отношении AM:МС = 3:1;
точка N лежит на стороне АВ, причем угол NMD прямой. Найти длину отрезка AN.
24. В ромбе ABCD угол при вершине А равен /3. Точка N делит сторону АВ в отношении AN:BN
= 2:1. Определить тангенс угла DNC.
25. В квадрат площадью 18см2
вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата
лежит одна вершина прямоугольника. Длины сторон прямоугольника относятся как 1:2.
Найти площадь прямоугольника.
26. В квадрат площадью 24 вписал прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата
лежит одна вершина прямоугольника. Длины сторон прямоугольника относятся как 1:3.
Найти площадь прямоугольника.
27. В параллелограмме ABCD на диагонали АС взята точка Е, где расстояние АЕ составляет
треть длины АС, а на стороне AD взята точка F, где расстояние AF составляет четверть
длины AD. Найти площадь параллелограмма ABCD. если известно, что площадь
четырехугольника ABGE, где G — точка пересечения прямой FE со стороной ВС, равна 8.
28. В параллелограмме даны острый угол, равный 45°, и расстояния от точки пересечения
диагоналей до неравных сторон, равные соответственно 2 и 3. Найти площадь
параллелограмма.

ТЕСТ 13.11.
Решить задачи:
1. Внутренние углы выпуклого четырехугольника относятся как 2:2,5:9,5:10. Найти меньший
угол.
2. В выпуклом четырехугольнике два угла – прямые, разность двух других равна 10°. Найти
меньший угол.
3. Определить меньший внутренний угол выпуклого пятиугольника, зная, что величины их
относятся как 1:1,5:2:2,5:3.
4. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его внутренних углов равна
4320°?
5. В выпуклом пятиугольнике два внутренних угла – прямые, а остальные относятся между
собой как 3 : 4 : 5 . Найти больший угол.
6. В выпуклом четырехугольнике сумма двух внутренних углов равна 110°, а разность двух
других равна 20°. Найти больший угол.
7. В выпуклом пятиугольнике сумма двух внутренних углов равна 120°, остальные углы
относятся между собой как 6:7:8. Найти больший угол.
8. В выпуклом пятиугольнике сумма трех равных внутренних углов равна 300°, разность двух
других равна 10°. Найти больший угол.
9. Один из внутренних углов выпуклого четырехугольника равен 60°, а остальные относятся
между собой как 1:2:3. Найти больший угол.
10. В выпуклом пятиугольнике один внутренний угол – прямой, а остальные относятся между
собой как 1:2:2,5:4,5. Найти меньший угол.
11. В выпуклом правильном многоугольнике величина внутреннего угла больше внешнего на
1200
. Найти количество сторон многоугольника.
12. В выпуклом правильном многоугольнике величина внешнего угла меньше внутреннего на
1400
. Найти количество сторон многоугольника.
13. Из данных многоугольников выберите выпуклые:
A Б В Г Д
14. Найти количество диагоналей в выпуклом семиугольнике.
15. В выпуклом многоугольнике количество диагоналей равно 5. Найти количество сторон
многоугольника.
16. В выпуклом многоугольнике количество диагоналей равно 9. Найти количество сторон
многоугольника.
17. Найдите площадь правильного восьмиугольника с длиной стороны 4 см. Ответ укажите с
точностью до целых.
18. Найдите площадь правильного девятиугольника с длиной стороны 5 см. Ответ укажите с
точностью до целых.
19. Найдите площадь правильного шестиугольника, если радиус описанной вокруг него
окружности равен 4.
20. Найдите площадь правильного шестиугольника, если радиус вписанной в него окружности
равен 4.
21. Найдите площадь правильного двадцатиугольника, если радиус описанной вокруг него
окружности равен 4. Ответ укажите с точностью до целых.
22. Найдите площадь четырёхугольника, если длины его диагоналей равны 3 см и 5 см, а угол
между диагоналями равен 300
.
23. Если в выпуклом четырехугольнике ABCD дано, что A=90 о и B=130о
, то чему равна
величина острого угла между биссектрисами двух других углов?
24. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна 1620о
. Чему равно число его
сторон?
25. Если в пр

ТЕСТ 13.12.
1. Как изменится длина окружности, если радиус окружности увеличить в три раза?
2. Тепловоз прошел 1413 м. Найдите диаметр колеса тепловоза, если известно, что оно сделало 300
оборотов.
3. За два оборота по круговой орбите вокруг Земли космический корабль проделал путь в 84 152
км. На какой высоте над поверхностью Земли находится корабль, если радиус Земли равен 6370
км?
4. Как изменится площадь круга, если его диаметр уменьшить в три раза?
5. Диаметр основания царь-колокола, находящегося в Московском Кремле, равен 6,6 м. Найдите
площадь основания колокола. Ответ округлите с точностью до десятых.
6. Длина окружности цирковой арены равна 41 м. Найдите площадь арены. Ответ округлите с
точностью до десятых.
7. Вычислите сумму углов: 120
25´ + 1
0
15´ + 20´
8. Вычислите разность углов: 750
25´ — 140
55´
9. Вычислите сумму углов: 20´´ + 1
0
14´40´´ + 15´ + 1,50
10. Переведите из радиан в градусы:
а)
3

; б)
6

; в)
10

; г)
4
3 
; д)
5
2  
; е)
12
7  
.
11. Переведите из градусов в радианы:
0
1 ,
0
2 ,
0
30 ,
0
16 ,
0
150 .
12. Сколько градусов содержит центральный угол, если соответствующая ему дуга составляет:
а) 1/3; б) 1/2; в) 1/5; г) 1/6; д) 2/3; е) 3/4 окружности?
13. Вычислить вписанный угол, опирающийся на дугу, равную 1/12 длины окружности.
14. Найдите длину дуги окружности радиуса 6 см, если ее градусная мера равна:
а) 30°; б) 45°; в) 120°. Воспользуйтесь значением π = 3,14.
15. Найдите длину маятника стенных часов, если угол его колебания составляет 60°, а длина дуги,
которую описывает конец маятника, равна 24 см.
16. Радиус закругления пути железнодорожного полотна равен 5 км, а длина дуги закругления —
400 м. Какова градусная мера дуги закругления? Ответ округлите с точностью до десятых.
17. Какой угол в радианах образуют радиусы Земли, проведенные в две точки на ее поверхности,
расстояние между которыми равно 1000 км? Радиус Земли равен 6370 км. Ответ округлите с
точностью до сотых.
18. По данной хорде длиной 4 см найдите длину ее дуги, если градусная мера дуги равна 60°. Ответ
округлите с точностью до десятых.
19. По данной дуге длиной 4 см найдите ее хорду, если дуга содержит 120°. Ответ округлите с
точностью до десятых.
20. Из круга, радиус которого 10 см, вырезан сектор с дугой в 60°. Найдите площадь оставшейся
части круга. Ответ округлите с точностью до целых.
21. Найти площадь сектора, если радиус круга равен 10, а центральный угол содержит 1,1 рад.
22. Определить площадь сектора, если его радиус равен 6, а центральный угол составляет 3 рад.
23. Площадь сектора радиуса 12 равна 216. Определить его центральный угол в радианах.
24. Найти длину дуги сектора, если его площадь равна 15, а радиус круга равен 6.
25. Найдите площадь заштрихованной фигуры, если радиус окружности равен 10
см, а угловая мера дуги АВ равна 1200
. Ответ округлите с точностью до целых.
26. Хорда длиной 10 см делит окружность радиусом 10 см на две части. Найдите
площадь большей из них. Ответ округлите с точностью до целых.
27. Вокруг клумбы, имеющей форму круга, проложена дорожка. Вычислите
площадь дорожки, если радиус клумбы равен 2,5 м, а ширина дорожки 0,5 м.
28. Какой толщины слой нужно снять с круглой медной проволоки, имеющей
площадь сечения 314 мм2
, чтобы она проходила сквозь отверстие диаметром 18.5 мм?
29. Вокруг круглой клумбы, радиус которой равен 3 м, проложена дорожка шириной 1 м. Сколько
нужно песка, чтобы посыпать дорожку, если на 1 м2
дорожки требуется 0,8 дм3 песка?
30. Расстояние от центра окружности до хорды равно
5 3
2
и вдвое меньше радиуса. Найти длину
хорды.
31. Хорда, длина которой равна
7 12
, стягивает дугу, величина которой равна 120°. Найти длину
радиуса окружности.
32. Найти расстояние от центра окружности радиуса
7 3
2
до хорды, если ее длина равна длине
радиуса.
33. Найти расстояние от центра окружности радиуса
5 2
4
до хорды, если она стягивает дугу,
величина которой равна 90°.
34. Длина хорды равна
3 3 . Найти расстояние от центра окружности до хорды, если она стягивает
дугу в 120°.
35. Найти длину хорды, если она стягивает дугу окружности величиной в 90°, а радиус окружности
равен
3 2
16
.
36. Найти расстояние от центра окружности радиуса
3 27
до хорды, если она стягивает дугу,
величина которой равна 60°.
37. Расстояние от центра окружности до хорды равно
7 2
2
и вдвое меньше длины хорды. Найти
длину радиуса.

ТЕСТ 13.15.
Решить задачи:
1. В равнобедренном треугольнике основание 6см, а боковая сторона 5см. Найти радиус
окружности, вписанной в треугольник.
2. В равнобедренный треугольник с углом при вершине 120° и боковой стороной, равной а,
вписана окружность. Найти радиус окружности.
3. Дан равнобедренный треугольник с основанием 2а и высотой h. В него вписана окружность и
к ней проведена касательная, параллельная основанию. Найти радиус окружности и длину
отрезка касательной, заключенного между сторонами треугольника.
4. В равносторонний треугольник ABC вписана окружность и проведен отрезок M N ,
который касается ее и параллелен стороне АВ . Определить периметр трапеции A M N B,
если длина стороны АВ равна 18.
5. В равнобедренный треугольник с основанием а вписана окружность радиуса r. Определить
периметр треугольника.
6. В равнобедренный треугольник вписана окружность радиуса r. Высота, проведенная к
основанию, делится окружностью в отношении 1:2, считая от вершины. Найти площадь
треугольника.
7. Длина основания равнобедренного треугольника равна 12. Радиус вписанного в треугольник
круг равен 3. Найти площадь треугольника.
8. Длина основания равнобедренного треугольника равна 12. Длина боковой стороны равна 10.
Найти расстояние между точками касания вписанной окружности с боковыми сторонами.
9. СЕ — высота равнобедренного треугольника АБС (АС = СВ). Центр О вписанной в
треугольник ABC окружности делит высоту треугольника СЕ на отрезки СО = 13 и
ОЕ = 5. Найти длины сторон треугольника ABC.
10. В треугольник со сторонами АВ = 4, ВС= 2, АС = 3 вписана окружность. Найти площадь
треугольника AMN, где М, N — точки касания этой окружности со сторонами AВ и АС
соответственно.
11. В треугольник со сторонами АВ = 8, ВС = 6, АС = 4 вписана окружность. Найти длину
отрезка DE, где D, Е – точки касания этой окружности со сторонами АВ и АС
соответственно.
12. В треугольник вписана окружность с радиусом 4. Одна из сторон треугольника разделена
точкой касания на отрезки, длины которых 6 и 8. Найти длины сторон треугольника.
13. В треугольнике ABC со сторонами АВ = 12см, ВС = 15 см, АС = 9 см проведена
биссектриса BB1. Пусть С1 — точка касания АВ с вписанной в треугольник окружностью,
отрезки ВВ1 и СС1 пересекаются в точке Р, продолжение АР пересекает ВС в точке А1.
Найти отношение AP/PA1.
14. Найти стороны прямоугольного треугольника, если точка касания вписанной в него
окружности делит один из катетов на отрезки длины т и п.
15. В прямоугольный треугольник, периметр которого равен 36, вписана окружность.
Гипотенуза делится точкой касания в отношении 2 : 3. Найти длину гипотенузы.
16. Вписанная окружность касается гипотенузы прямоугольного треугольника d точке,
делящей гипотенузу на отрезки, длины которых равны т = 2 см, п = 3 см. Найти радиус
этой окружности.
17. Найти сумму длин катетов прямоугольного треугольника, если длина его гипотенузы 20 см,
а радиус вписанной окружности 4 см.
18. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20. Найти расстояние от высоты,
опушенной из вершины прямого угла до центра вписанной окружности.

ТЕСТ 13.16.
Решить задачи:
1. Из одной точки окружности проведены две хорды длиной 9 см и 17см. Найти радиус
окружности, если расстояние между серединами хорд равно 5 см.
2. Стороны треугольника относятся как 1 : 2 : 2 . Вычислить его площадь, если радиус
окружности, описанной вокруг треугольника равен R.
3. В равнобедренном треугольнике основание и опущенная на него высота равны 4. Найти
радиус описанной окружности.
4. В треугольник вписана окружность радиуса 2. Одна из сторон треугольника делится
точкой касания на отрезки 7 и 2. Найти радиус окружности, описанной около
треугольника.
5. Хорда окружности равна 10см. Через один конец хорды проведена касательная к
окружности, а через другой конец проведена секущая параллельно касательной. Определить
радиус окружности, если внутренний отрезок секущей равен 12см.
6. В окружность с радиусом R вписан равнобедренный треугольник ABC (АВ = ВС) с углом
ВАС, равным а. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
7. В окружности пересекающиеся хорды АВ и CD перпендикулярны, AD = т, ВС = п. Найти
диаметр окружности.
8. Круг радиуса
6
4 3 3
R



разделен на два сегмента хордой, равной стороне вписанного в
этот круг правильного треугольника. Определить площадь меньшего из этих сегментов.
9. Длины катетов прямоугольного треугольника равны 20 и 21. Найти длину окружности,
описанной около данного треугольника.
10. Сумма длин катетов прямоугольного треугольника равна 14см, а радиус описанной
окружности равен 5см. Найти площадь круга, вписанною в данный треугольник.
11. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5, а высота, проведенная к ней, равна 2.
Найти радиусы вписанной и описанной окружностей.
12. Периметр прямоугольного треугольника равен 21 см, а площадь его равна 24 см2
. Найти
площадь описанного круга.
13. Найти синус большего острого угла прямоугольного треугольника, если радиус окружности,
описанной около треугольника, в 2,5 раза больше радиуса вписанной окружности.
14. В окружность радиуса R вписан равнобедренный треугольник, у которого су

ТЕСТ 13.17.
Решить задачи:
1. Диаметр окружности радиуса R является основанием правильного треугольника.
Вычислить площадь той части треугольника, которая лежит вне данного круга.
2. Окружность проходит через вершины А и С треугольника ABC, пересекает сторону АВ в
точке Е и сторону ВС в точке F. Угол АЕС в 5 раз больше угла BAF, а угол ABC равен 72°.
Найти радиус окружности, если АС = 6.
3. Дано круговое кольцо, площадь которого Q. Определить длину хорды большего круга,
касательной к меньшему.
4. На стороне АС треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая
сторону АВ в точке D так, что AD:DB = 12:5. Найти площадь треугольника ABC, если АС
= 26, ABC = 45°.
5. Окружность, построенная на стороне АС треугольника ABC как на диаметре, проходит
через середину стороны ВС и пересекает сторону АВ в точке D так, что AD = АВ/3.
Найти площадь треугольника ABC, если АС = 1.
6. Точка М, лежащая вне круга с диаметром АВ, соединена с точками А и В. Отрезки МА и
MB пересекают окружность в точках С и D соответственно. Площадь круга, вписанного в
треугольник AMВ, в 4 раза больше, чем площадь круга, вписанного в треугольник CMD.
Найти меры углов треугольника AMВ, если известно, что один из них в 2 раза больше
другого.
7. Даны равнобедренный треугольник с основанием а и окружность с центром в одной из
вершин треугольника. Известно, что одна из боковых сторон треугольника делится
окружностью на три равные части. Найти радиус окружности.
8. Дан равнобедренный треугольник ABC с боковыми сторонами А В = ВС = 10 и основанием
А С = 80
. Найти радиус окружности, проходящей через вершины В и С , центр которой
находится на высоте C D.
9. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС точка D делит сторону ВС в
отношении 2:1, считая от вершины В, а точка Е середина стороны АВ. Известно, что
медиана CQ треугольника CED равна
23 / 2
и DE =
23 / 2
. Найти радиус окружности,
описанной около треугольника ABC.
10. В треугольнике ABC угол ВАС ранен 30°, АВ = ВС. На стороне А В как на диаметре
построена окружность, пересекающая сторону АС в точке D. Найти расстояние от
вершины С до центра этой окружности, если CD=1.
11. На боковой стороне ВС равнобедренного треугольника ABC как на диаметре построена
окружность, пересекающая основание этого треугольника в точке D. Найти расстояние
от вершины А до центра окружности, если AD =
3
, а угол ABC равен 120°.
12. На основании АС равнобедренного треугольника ABC как на диаметре построена
окружность, пересекающая боковую сторону ВС в точке D так, что BD:DC = 3:2. Найти
площадь треугольника ABC, если AD =
12/ 5 .
13. Площадь равнобедренного треугольника равна S, угол при вершине треугольника равен .
Найти длины высот треугольника.
14. Около равностороннего треугольника описана окружность радиуса 2
3
см, через центр
которой проведена прямая, параллельная одной из сторон треугольника. Найти длину
отрезка этой прямой, заключенного между двумя другими сторонами треугольника.
15. Острый угол прямоугольного треугольника равен α, радиус окружности, касающейся
гипотенузы и продолжений двух катетов, равен R. Найти длину гипотенузы этого
треугольника.
16. В прямоугольном треугольнике AВС с гипотенузой АВ проведена полуокружность радиусом
2, центр которой лежит на стороне АС и которая касается сторон АВ и ВС. 
Полуокружность радиусом 1 касается этой полуокружности и стороны АВ, а центр её
также лежит на стороне АС. Найти длины сторон треугольника.
17. Катеты прямоугольного треугольника равны a и 2a. Середина катета 2а служит центром
окружности с радиусом, равным а. На какие отрезки делится этой окружностью
гипотенуза треугольника?
18. Окружность, радиус которой
8

касается гипотенузы равнобедренного прямоугольного
треугольника в вершине его острого угла и проходит через вершину прямого угла. Найти
длину дуги, заключенной внутри треугольника.
19. Окружность касается одного из катетов равнобедренного прямоугольного треугольника и
проходит через вершину противоположного острого угла. Центр окружности лежит на
гипотенузе треугольника, длина которой равна С. Найти радиус окружности.
20. Пусть BD — высота треугольника ABC, точка Е — середина стороны ВС. Вычислить
радиус круга, описанного около треугольника BDE, если длины сторон треугольника ABC:
АВ = 30 см, ВС = 26 см и АС = 28 см.
21. Из вершины тупого угла А треугольника ABC опущена высота AD. Из точки D радиусом
равным AD, описана окружность, пересекающая стороны треугольника А В и АС в точках
М и N соответственно. Вычислить длину стороны АС, если заданы длины отрезков АВ = с,
AM = п и AN = m.
22. Найти площадь треугольника, вписанного в окружность, если концы его стороны, равной
20 см, отстоят от касательной, проведенной через противолежащую вершину на 25 см и
16см.
23. В окружность вписан треугольник ABC. Расстояние от точек А и С до прямой, касающейся
окружности

ТЕСТ 13. 18.
Решить задачи:
1. В равнобочную трапецию вписана окружность радиуса r. Верхнее основание трапеции в два
раза меньше ее высоты. Найти площадь трапеции.
2. Периметр равнобедренной трапеции вдвое больше дайны вписанной окружности. Найти угол
при основании трапеции.
3. Определить площадь круга, вписанного в прямоугольную трапецию с основаниями a и b.
4. Центр круга, вписанного в прямоугольную трапецию, отстоит от концов боковой стороны на
1 см и 2 см. Найти площадь трапеции.
5. В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса 2. Найти площадь трапеции, если
длина боковой стороны равна 10.
6. Около круга радиуса 2 см описана равнобедренная трапеция с острым углом 30°. Найти длину
средней линии трапеции.
7. В равнобедренной трапеции, описанной около окружности радиуса R, отношение длин боковой
стороны и большего основания есть заданное число k. Найти длину меньшего основания.
8. Вокруг окружности описана равнобочная трапеция, средняя линия которой равна 5, а синус
острого угла при основании равен 0,8. Найти площадь трапеции.
9. Около круга радиуса r = 2см описана равнобочная трапеция с площадью S = 20 см2
. Найти
длины сторон трапеции.
10. Центр окружности, описанной в прямоугольную трапецию, удален от концов боковой стороны
на расстояния l1 = 4 см и l2 = 8 см. Найти длину средней линии трапеции.
11. Около круга радиуса r = 4см описана равнобочная трапеция, средняя линия которой l = 10см.
Определить длины сторон трапеции.
12. В равнобедренную трапецию, основания которой 8 см и 2 см, вписана окружность. Найти длину
окружности.
13. Найти радиус окружности, вписанной в равнобочную трапецию, если периметр трапеции равен
2, а острый угол составляет 30o
.
14. Дана равнобедренная описанная около окружности трапеция ABCD, в которой обе диагонали
равны основанию AD. Найти углы при основании.
15. Длины, боковых сторон трапеции равны 6 см и 10 см. В трапецию можно вписать окружность.
Средняя линия делит трапецию на части, отношение площадей которых равно 5/11. Найти
длины оснований трапеции.
16. Средняя лилия равнобедренной трапеции равна 5 cм и она делит трапецию на части, отношение
площадей которых равно 7/13. Найти длину высоты трапеции, если известно, что в нее можно
вписать окружность.
17. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равна 32 см2
. Найти длину
боковой столпы, если угол при основании равен 30°.
18. В равнобедренную трапецию, верхнее основание которой равно 1, вписана окружность радиуса
1. Найти площадь трапеции.
19. Боковая сторона равнобедренной трапеции в 3 раза длиннее меньшего основания. Биссектрисы
тупых углов этой трапеции пересекаются в точке, лежащей на основании. Найти отношение
площади трапеции к плошали треугольника, образованного меньшим основанием и
биссектрисами.
20. В равнобедренную трапецию с основаниями ВС = 18 и AD = 32 вписан круг. Найти площадь
трапеции и площадь круга.
21. Около круга радиуса 3 описана равнобедренная трапеция с острым углом 60°. Найти длину
средней линии трапеции.
22. Разность длин оснований трапеции равна 14 см, длины боковых сторон равны 13 см и 15 см.
Вычислить площадь трапеции при условии, что в эту трапецию можно описать окружность.
23. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна S. Найти среднюю линию
трапеции, если острый угол при основании равен α.
24. Около круга радиуса 6 см описана равнобочная трапеция, у которой основания относятся как
9:16. Определить боковую сторону трапеции.
25. Около окружности с диаметром в 15 см описана равнобочная трапеция с боковой стороной,
равной 17 см. Найти основания трапеции.
26. Центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, удален от концов боковой стороны
на расстояния 8 см и 4 см. Найти среднюю линию трапеции.
27. В прямоугольную трапецию вписана окружность. Найти ее радиус, если основания
равны 2 и 3.
28. Боковая сторона описанной равнобедренной тралении равна 12см. Найти ее периметр.
29. В равнобедренную трапецию с боковой стороной, равной 9, вписана окружность радиусом 4.
Найти площадь трапеции.
30. В равнобедренную трапецию площадью 28 см2 вписана окружность радиуса 2см. Найти
боковую сторону трапеции.
31. Около окружности с радиусом 2 описана равнобокая трапеция, площадь которой равна 20.
Найти боковую сторону трапеции.
32. В равнобочной трапеции, описанной окаю круга, отношение боковой стороны к меньшему
основанию равно K. Найти углы трапеции и допустимые значения K.
33. Окружность радиуса 24 см касается большего основания и обеих боковых сторон
равнобедренной трапеции. Найти большее основание трапеции, если центр окружности
находится на расстоянии 40 см от точки пересечения продолжений боковых сторон трапеции.
34. В ромб, сторона которого 20 см, вписан круг. Найти площадь круга, если одна диагональ ромба
больше другой в 4/3 раза.
35. Найти углы ромба, если известно, что площадь вписанного и нею круга вдвое меньше площади
ромба.
36. Дан ромб с острым углом α. Какую часть ромба составляет от его площади площадь
вписанного в него круга?
37. Тупой угол ромба в 5 раз больше его острого угла. Во сколько раз сторона ромба больше радиуса
вписанной в него окружности?
38. Определить угол ромба, зная его площадь Q и площадь вписанного в него круга S

ТЕСТ 13.19.
Решить задачи:
1. В равнобедренной трапеции даны длины оснований 21 и 9 и длина высоты 8. Найти радиус
описанной окружности.
2. Основания трапеции равны 4 см и 16 см. Найти ее площадь, если известно, что в трапецию
можно вписать и вокруг нее можно описать окружность.
3. Найти диагональ и боковую сторону равнобочной трапеции с основаниями 20 см и 12 см,
если известно, что центр описанной окружности лежит на большем основании трапеции.
4. Около трапеции ABCD с основаниями AD и ВС описана окружность радиуса 6 см. Центр
описанной окружности лежит на основании AD. Основание ВС разно 4 см. Определить
площадь трапеции.
5. Трапеция KLMN с основаниями LM и KN вписана в окружность, центр которой лежит на
основании КN. Диагональ LN трапеции равна 4 см, а угол МNК равен 60°. Определить длину
основания LM трапеции.
6. В трапеции ABCD меньшее основание ВС = 7. Через вершины А, С и D проведена
окружность, которая пересекает продолжение основания ВС в точке Е. Длина ED = 7
3
, а
угол EDA равен 30°. Найти длину боковой стороны АВ.
7. Основания равнобедренной трапеции равны 12 см и 20 см, а центр описанной около нее
окружности лежит на большем основании. Вычислить площадь этой трапеции.
8. Дан выпуклый четырехугольник ABCD, диагональ АС которого равна
2.
Найти площадь
круга, описанного около треугольника ABD, если известно, что ABC = 105°, ACD = 42°,
DAC = 63o
.
9. Найти сторону квадрата, вписанного в круг, площадь которого 64 см2
.
10. Треугольник ABC вписан в окружность радиуса R. Точка D лежит на дуге ВС, а хорды AD и
ВС пересекаются в точке М, Найти длину стороны ВС, если BMD = 120°, AB = R,
В М : М С = 2:3.

 

Высоты точкой пересечения делятся в отношении. Конспект урока «теорема о пересечении высот треугольника»

Урок содержит описание свойств и формулы нахождения высоты треугольника, а также примеры решения задач. Если Вы не нашли решение подходящей задачи — пишите про это на форуме . Наверняка, курс будет дополнен.

ВЫСОТА ТРЕУГОЛЬНИКА

Высота треугольника – опущенный из вершины треугольника перпендикуляр, проведенный на противолежащую вершине сторону или на ее продолжение.

Свойства высоты треугольника:

  • Если в треугольнике две высоты равны, то такой треугольник — равнобедренный
  • В любом треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, отсекает треугольник подобный данному
  • В треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, лежащих на двух сторонах, непараллелен третьей стороне, с которой он не имеет общих точек. Через два его конца, а также через две вершины этой стороны всегда можно провести окружность
  • В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники
  • Минимальная высота в треугольнике всегда проходит внутри этого треугольника

Ортоцентр треугольника

Все три высоты треугольника (проведенные из трех вершин) пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром . Для того, чтобы найти точку пересечения высот, достаточно провести две высоты (две прямые пересекаются только в одной точке).

Расположение ортоцентра (точка О) определяется видом треугольника.

У остроугольного треугольника точка пересечения высот находится в плоскости треугольника. (Рис.1).

У прямоугольного треугольника точка пересечения высот совпадает с вершиной прямого угла (Рис.2).

У тупоугольного треугольника точка пересечения высот находится за плоскостью треугольника (Рис.3).

У равнобедренного треугольника медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию треугольника, совпадают.

У равностороннего треугольника все три «замечательные» линии (высота, биссектриса и медиана) совпадают и три «замечательных» точки (точки ортоцентра, центра тяжести и центра вписанной и описанной окружностей) находятся в одной точке пересечения «замечательных» линий, т.е. тоже совпадают.

ВИСОТА ТРИКУТНИКА

Висота трикутника — опущений з вершини трикутника перпендикуляр, проведений на протилежну вершині бік або на її продовження.

Всі три висоти трикутника (проведені з трьох вершин) перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром. Для того, щоб знайти точку перетину висот, досить провести дві висоти (дві прямі перетинаються тільки в одній точці).

Розміщення ортоцентра (точка О) визначається видом трикутника.

У гострокутного трикутника точка перетину висот знаходиться в площині трикутника. (Мал.1).

У прямокутного трикутника точка перетину висот збігається з вершиною прямого кута (Мал.2).

У тупоугольного трикутника точка перетину висот знаходиться за площиною трикутника (Мал. 3).

У рівнобедреного трикутника медіана, бісектриса і висота, проведені до основи трикутника, збігаються.

У рівностороннього трикутника всі три «помітні» лінії (висота, бісектриса і медіана) збігаються і три «помітні» точки (точки ортоцентра, центру ваги і центру вписаного і описаного кіл) знаходяться в одній точці перетину «помітних» ліній, тобто теж збігаються.

Формулы нахождения высоты треугольника


Рисунок приведен для облегчения восприятия формул нахождения высоты треугольника. Общее правило — длина стороны обозначена маленькой буквой, лежащей напротив соответствующего угла. То есть сторона a лежит напротив угла A.
Высота в формулах обозначается буквой h, нижний индекс которой соответствует стороне, на которую она опущена.

Другие обозначения:
a,b,c — длины сторон треугольника
h a — высота треугольника, проведенная к стороне a из противолежащего угла
h b — высота, проведенная к стороне b
h c — высота, проведенная к стороне c
R — радиус описанной окружности
r — радиус вписанной окружности


Пояснения к формулам.
Высота треугольника равна произведению длины стороны, прилежащей к углу, из которой опущена эта высота на синус угла между этой стороной и стороной, на которую такая высота опущена (Формула 1)
Высота треугольника равна частному от деления удвоенной величины площади треугольника на длину стороны, к которой опущена эта высота (Формула 2)
Высота треугольника равна частному от деления произведения сторон, прилежащих к углу, из которого опущена эта высота, на удвоенный радиус описанной вокруг него окружности (Формула 4).
Высоты сторон в треугольнике соотносятся между собой в той же самой пропорции, как соотносятся между собой обратные пропорции длин сторон этого же треугольника, а также в той же самой пропорции между собой относятся произведения пар сторон треугольника, которые имеют общий угол (Формула 5).
Сумма обратных значений высот треугольника равна обратному значению радиуса вписанной в такой треугольник окружности (Формула 6)
Площадь треугольника можно найти через длины высот этого треугольника (Формула 7)
Длину стороны треугольника, на которую опущена высота, можно найти через применение формул 7 и 2.

Задача на .

В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90 0) проведена высота CD. Определите CD, если AD = 9 см, BD = 16 см

Решение .

Треугольники ABC, ACD и CBD подобны между собой. Это непосредственно следует из второго признака подобия (равенство углов в этих треугольниках очевидно).

Прямоугольные треугольники — единственный вид треугольников, которые можно разрезать на два треугольника, подобных между собой и исходному треугольнику.

Обозначения этих трех треугольников в таком порядке следования вершин: ABC, ACD, CBD. Тем самым мы одновременно показываем и соответствие вершин. (Вершине A треугольника ABC соответствует также вершина A треугольника ACD и вершина C треугольника CBD и т. д.)

Треугольники ABC и CBD подобны. Значит:

AD/DC = DC/BD, то есть

Задача на применение теоремы Пифагора.


Треугольник ABC является прямоугольным. При этом C-прямой угол. Из него проведена высота CD=6см. Разность отрезков BD-AD=5 см.

Найти: Стороны треугольника ABC.

Решение .

1.Составим систему уравнений согласно теореме Пифагора

CD 2 +BD 2 =BC 2

CD 2 +AD 2 =AC 2

поскольку CD=6

Поскольку BD-AD=5, то

BD = AD+5, тогда система уравнений принимает вид

36+(AD+5) 2 =BC 2

Сложим первое и второе уравнение. Поскольку левая часть прибавляется к левой, а правая часть к правой — равенство не будет нарушено. Получим:

36+36+(AD+5) 2 +AD 2 =AC 2 +BC 2

72+(AD+5) 2 +AD 2 =AC 2 +BC 2

2. Теперь, взглянув на первоначальный чертеж треугольника, по той же самой теореме Пифагора, должно выполняться равенство:

AC 2 +BC 2 =AB 2

Поскольку AB=BD+AD, уравнение примет вид:

AC 2 +BC 2 =(AD+BD) 2

Поскольку BD-AD=5, то BD = AD+5, тогда

AC 2 +BC 2 =(AD+AD+5) 2

3. Теперь взглянем на результаты, полученные нами при решении в первой и второй части решения. А именно:

72+(AD+5) 2 +AD 2 =AC 2 +BC 2

AC 2 +BC 2 =(AD+AD+5) 2

Они имеют общую часть AC 2 +BC 2 . Таким образом, приравняем их друг к другу.

72+(AD+5) 2 +AD 2 =(AD+AD+5) 2

72+AD 2 +10AD+25+AD 2 =4AD 2 +20AD+25

2AD 2 -10AD+72=0

В полученном квадратном уравнении дискриминант равен D=676, соответственно, корни уравнения равны:

Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, отбрасываем первый корень.

Соответственно

AB = BD + AD = 4 + 9 = 13

По теореме Пифагора находим остальные стороны треугольника:

AC = корень из (52)

Треугольники.

Основные понятия.

Треугольник — это фигура, состоящая из трех отрезков и трех точек, не лежащих на одной прямой.

Отрезки называются сторонами , а точки — вершинами .

Сумма углов треугольника равна 180 º .

Высота треугольника.

Высота треугольника — это перпендикуляр, проведенный из вершины к противолежащей стороне.

В остроугольном треугольнике высота содержится внутри треугольника (рис. 1).

В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами треугольника (рис.2).

В тупоугольном треугольнике высота проходит вне треугольника (рис.3).

Свойства высоты треугольника:

Биссектриса треугольника.

Биссектриса треугольника — это отрезок, который делит угол вершины пополам и соединяет вершину с точкой на противолежащей стороне (рис.5).

Свойства биссектрисы:


Медиана треугольника.

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны (рис.9а).


Длину медианы можно вычислить по формуле:

2b 2 + 2c 2 — a 2
m a 2 = ——————
4

где m a — медиана, проведенная к стороне а .

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы:

c
m c = —
2

где m c — медиана, проведенная к гипотенузе c (рис. 9в)

Медианы треугольника пересекаются в одной точке (в центре масс треугольника) и делятся этой точкой в соотношении 2:1, отсчитывая от вершины. То есть отрезок от вершины к центру в два раза больше отрезка от центра к стороне треугольника (рис.9с).

Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников.

Средняя линия треугольника.

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон (рис.10).

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине

Внешний угол треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух несмежных внутренних углов (рис.11).

Внешний угол треугольника больше любого несмежного угла.

Прямоугольный треугольник.

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого есть прямой угол (рис.12).

Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой .

Две другие стороны называются катетами .


Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

1) В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из прямого угла, образует три подобных треугольника: ABC, ACH и HCB (рис.14а). Соответственно, углы, образуемые высотой, равны углам А и В.

Рис.14а

Равнобедренный треугольник.

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны (рис.13).

Эти равные стороны называются боковыми сторонами , а третья — основанием треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. (В нашем треугольнике угол А равен углу C).

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является одновременно и биссектрисой, и высотой треугольника.

Равносторонний треугольник.

Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны (рис.14).

Свойства равностороннего треугольника:

Замечательные свойства треугольников.

У треугольников есть оригинальные свойства, которые помогут вам успешно решать задачи, связанные с этими фигурами. Некоторые из этих свойств изложены выше. Но повторяем их еще раз, добавив к ним несколько других замечательных особенностей:

1) В прямоугольном треугольнике с углами 90º, 30º и 60º катет b , лежащий напротив угла в 30º, равен половине гипотенузы. А катет a больше катета b в √3 раз (рис.15а ). К примеру, если катет b равен 5, то гипотенуза c обязательно равна 10, а катет а равен 5√3.

2) В прямоугольном равнобедренном треугольнике с углами 90º, 45º и 45º гипотенуза в √2 раз больше катета (рис.15b ). К примеру, если катеты равны 5, то гипотенуза равна 5√2.

3) Средняя линия треугольника равна половине параллельной стороны (рис.15с ). К примеру, если сторона треугольника равна 10, то параллельная ей средняя линия равна 5.

4) В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы (рис.9в): m c = с/2.

5) Медианы треугольника, пересекаясь в одной точке, делятся этой точкой в соотношении 2:1. То есть отрезок от вершины к точке пересечения медиан в два раза больше отрезка от точки пересечения медиан к стороне треугольника (рис.9c)

6) В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы является центром описанной окружности (рис.15d ).


Признаки равенства треугольников .

Первый признак равенства : если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства : если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства : если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Неравенство треугольника.

В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

c 2 = a 2 + b 2 .

Площадь треугольника.

1) Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

ah
S = ——
2

2) Площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между ними:

1
S = — AB · AC · sin A
2

Треугольник, описанный около окружности.

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон (рис.16а ).


Треугольник, вписанный в окружность.

Треугольник называется вписанным в окружность, если он касается ее всеми вершинами (рис. 17a ).

Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного треугольника (рис.18).

Синус острого угла x противолежащего катета к гипотенузе.
Обозначается так: sin x .

Косинус острого угла x прямоугольного треугольника — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Обозначается так: cos x .

Тангенс острого угла x — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Обозначается так: tg x .

Котангенс острого угла x — это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Обозначается так: ctg x .

Правила:

Катет, противолежащий углу x , равен произведению гипотенузы на sin x :

b = c · sin x

Катет, прилежащий к углу x , равен произведению гипотенузы на cos x :

a = c · cos x

Катет, противоположный углу x , равен произведению второго катета на tg x :

b = a · tg x

Катет, прилежащий к углу x , равен произведению второго катета на ctg x :

a = b · ctg x .


Для любого острого угла x :

sin (90° — x ) = cos x

cos (90° — x ) = sin x


Треугольника) или проходить вне треугольника у тупоугольного треугольника.

Энциклопедичный YouTube

    1 / 5

    ✪ ВЫСОТА МЕДИАНА БИССЕКТРИСА треугольника 7 класс

    ✪ биссектриса, медиана, высота треугольника. Геометрия 7 класс

    ✪ 7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

    ✪ Медиана, биссектриса, высота треугольника | Геометрия

    ✪ Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты? | Ботай со мной #031 | Борис Трушин

    Субтитры

Свойства точки пересечения трех высот треугольника (ортоцентра)

E A → ⋅ B C → + E B → ⋅ C A → + E C → ⋅ A B → = 0 {\displaystyle {\overrightarrow {EA}}\cdot {\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {EB}}\cdot {\overrightarrow {CA}}+{\overrightarrow {EC}}\cdot {\overrightarrow {AB}}=0}

(Для доказательства тождества следует воспользоваться формулами

A B → = E B → − E A → , B C → = E C → − E B → , C A → = E A → − E C → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {EB}}-{\overrightarrow {EA}},\,{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {EC}}-{\overrightarrow {EB}},\,{\overrightarrow {CA}}={\overrightarrow {EA}}-{\overrightarrow {EC}}}

В качестве точки E следует взять пересечение двух высот треугольника. )

  • Ортоцентр изогонально сопряжен центру описанной окружности .
  • Ортоцентр лежит на одной прямой с центроидом , центром описанной окружности и центром окружности девяти точек (см. прямая Эйлера).
  • Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник .
  • Центр описанной ортоцентром треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника. Последний треугольник называют дополнительным треугольником по отношению к первому треугольнику.
  • Последнее свойство можно сформулировать так: Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром дополнительного треугольника .
  • Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на описанной окружности.
  • Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно середин сторон, также лежат на описанной окружности и совпадают с точками, диаметрально противоположными соответствующим вершинам.
  • Если О — центр описанной окружности ΔABC, то O H → = O A → + O B → + O C → {\displaystyle {\overrightarrow {OH}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}}} ,
  • Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.
  • Любой отрезок, проведенный из ортоцентра до пересечения с описанной окружностью всегда делится окружностью Эйлера пополам. Ортоцентр есть центр гомотетии этих двух окружностей.
  • Теорема Гамильтона . Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника, имеющих ту же самую окружность Эйлера (окружность девяти точек), что и исходный остроугольный треугольник.
  • Следствия теоремы Гамильтона :
    • Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника Гамильтона , имеющих равные радиусы описанных окружностей.
    • Радиусы описанных окружностей трёх треугольников Гамильтона равны радиусу окружности, описанной около исходного остроугольного треугольника.
  • В остроугольном треугольнике ортоцентр лежит внутри треугольника; в тупоугольном — вне треугольника; в прямоугольном — в вершине прямого угла.

Свойства высот равнобедренного треугольника

  • Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера - Лемуса), и третья высота одновременно является медианой и биссектрисой того угла, из которого она выходит.
  • Верно и обратное: в равнобедренном треугольнике две высоты равны, а третья высота одновременно является медианой и биссектрисой.
  • У равностороннего треугольника все три высоты равны.

Свойства оснований высот треугольника

  • Основания высот образуют так называемый ортотреугольник , обладающий собственными свойствами.
  • Описанная около ортотреугольника окружность — окружность Эйлера . На этой окружности также лежат три середины сторон треугольника и три середины трёх отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника.
  • Другая формулировка последнего свойства:
    • Теорема Эйлера для окружности девяти точек . Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон (основания его внутренних медиан) и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром , все лежат на одной окружности (на окружности девяти точек ).
  • Теорема . В любом треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, отсекает треугольник подобный данному.
  • Теорема . В треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, лежащие на двух сторонах, антипараллелен третьей стороне, с которой он не имеет общих точек. Через два его конца, а также через две вершины третьей упомянутой стороны всегда можно провести окружность.

Другие свойства высот треугольника

  • Если треугольник разносторонний (неравносторонний ), то его внутренняя биссектриса , проведённая из любой вершины, лежит между внутренними медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
  • Высота треугольника изогонально сопряжена диаметру (радиусу) описанной окружности , проведенному из той же самой вершины.
  • В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
  • В прямоугольном треугольнике высота , проведенная из вершины прямого угла , разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Свойства минимальной из высот треугольника

Минимальная из высот треугольника обладает многими экстремальными свойствами. Например:

  • Минимальная ортогональная проекция треугольника на прямые, лежащие в плоскости треугольника, имеет длину, равную наименьшей из его высот.
  • Минимальный прямолинейный разрез в плоскости, через который можно протащить несгибаемую треугольную пластину, должен иметь длину, равную наименьшей из высот этой пластины.
  • При непрерывном движении двух точек по периметру треугольника друг навстречу другу, максимальное расстояние между ними за время движения от первой встречи до второй, не может быть меньше длины наименьшей из высот треугольника.
  • Минимальная высота в треугольнике всегда проходит внутри этого треугольника.

Основные соотношения

  • h a = b ⋅ sin ⁡ γ = c ⋅ sin ⁡ β , {\displaystyle h_{a}=b{\cdot }\sin \gamma =c{\cdot }\sin \beta ,}
  • h a = 2 ⋅ S a , {\displaystyle h_{a}={\frac {2{\cdot }S}{a}},} где S {\displaystyle S} — площадь треугольника, a {\displaystyle a} — длина стороны треугольника, на которую опущена высота .
  • h a = b ⋅ c 2 ⋅ R , {\displaystyle h_{a}={\frac {b{\cdot }c}{2{\cdot }R}},} где b ⋅ c {\displaystyle b{\cdot }c} — произведение боковых сторон, R − {\displaystyle R-} радиус описанной окружности
  • h a: h b: h c = 1 a: 1 b: 1 c = (b ⋅ c) : (a ⋅ c) : (a ⋅ b) . {\displaystyle h_{a}:h_{b}:h_{c}={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}=(b{\cdot }c):(a{\cdot }c):(a{\cdot }b).}
  • 1 h a + 1 h b + 1 h c = 1 r {\displaystyle {\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}={\frac {1}{r}}} , где r {\displaystyle r} — радиус вписанной окружности .
  • S = 1 (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b − 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c − 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c − 1 h a) {\displaystyle S={\frac {1}{\sqrt {({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{b}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{a}}})}}}} , где S {\displaystyle S} — площадь треугольника.
  • a = 2 h a ⋅ (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b − 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c − 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c − 1 h a) {\displaystyle a={\frac {2}{h_{a}{\cdot }{\sqrt {({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{b}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{a}}})}}}}} , a {\displaystyle a} — сторона треугольника к которой опускается высота h a {\displaystyle h_{a}} . {2}}},}
где c {\displaystyle c} — основание, a {\displaystyle a} — боковая сторона.

Теорема о высоте прямоугольного треугольника

Если высота в прямоугольном треугольнике ABC длиной h {\displaystyle h} , проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу длиной c {\displaystyle c} на отрезки m {\displaystyle m} и n {\displaystyle n} , соответствующие катетам b {\displaystyle b} и a {\displaystyle a} , то верны следующие равенства.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Реклама

Подпишитесь на новости

3.1 Задачи с окружностью, описанной около треугольника. Окружности в треугольниках и четырехугольниках

Похожие главы из других работ:

Графическое отображение объектов и процессов при их проектировании в промышленности и строительстве

2.2.3 Определение натуральной величины треугольника методом вращения

При решении метрических задач связанных с определением истинных размеров изображенных на эпюре (комплексном чертеже) фигур, могут встретиться значительные трудности, если заданные проекции не подвергнуть специальным преобразованиям. ..

Медианы треугольника

1. Медианы треугольника и их свойства

Как известно, медианами треугольника называются отрезки, соединяющие его вершины с серединами противоположных сторон. Все три медианы пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 1:2…

Методология изучения темы «Признаки параллельности прямых»

1.6. Сумма углов треугольника

При выводе теоремы о сумме углов треугольника можно использовать наглядные пособия. Вырезают треугольник АВС, пронумеровываются его углы, затем обрывают их и прикладывают друг к другу. Получается 1+2+3=2d…

Неевклидова геометрия

3) Площадь треугольника

Подробный вывод формулы площади треугольника на плоскости Лобачевского я приводить не буду ввиду его сложности (в нем используется формулы, доказываемые лишь в курсе дифференциальной геометрии). Если ABC — треугольник в модели Пуанкаре…

Окружности в треугольниках и четырехугольниках

3.
3. Задачи с окружностью, описанной около четырехугольника

Задача 6: в равнобедренной трапеции основания 21 и 9 сантиметров, высота — 8 сантиметров. Найти радиус описанной окружности. Решение: 1. Проведем серединные перпендикуляры к основаниям Н и К, тогда центр окружности О лежит на прямой НК. 2. АО=ОВ=R…

Окружности в треугольниках и четырехугольниках

3.4 Задачи с окружностью, вписанной в четырехугольник

Задача 7: в ромб вписана окружность радиуса R. Найти площадь ромба, если его большая диагональ в 4 раза больше радиуса вписанной окружности. Дано: ромб, радиус вписанной окружности — R, BD r в 4 раза Найти: Решение: 1. Пусть OE = R, BD = 4OE = 4R 2. 3. 4…

Площади многоугольников

1.4.1 Площадь треугольника. Формула Герона

Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведённую к ней высоту: . Доказательство проводится очень просто. Данный треугольник АВС (рис. 1.15) достроим до параллелограмма ABDC…

Построение графических примитивов. Математические модели поверхностей и объектов

Построение треугольника

Алгоритм Брезенхема построения растрового образа отрезка был изначально разработан для графопостроителей, но он полностью подходит и для растровых дисплеев…

Применение дистанционного обучения при изучении курса сферической геометрии

3.6. Площадь сферического треугольника.

Будем называть площадью сферической фигуры, по аналогии с площадью плоской фигуры, действительное число, удовлетворяющее следующим четырём требованиям: 1) площадь сферической фигуры является положительным числом, (свойство позитивности)…

Решение треугольников

Свойства равнобедренного треугольника.

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью — основанием равнобедренного треугольника. АВ = ВС => ?АВС — равнобедренный АВ, ВС — боковые стороны АС — основание I. ..

Решение треугольников

Свойства прямоугольного треугольника

Треугольник, у которого один из углов прямой, называют прямоугольным треугольником. ?АВС — прямоугольный Размещено на http://www.allbest.ru/ Размещено на http://www.allbest.ru/ С = 900 АС, СВ — катеты АВ — гипотенуза Свойства: I…

Фигуры постоянной ширины. Треугольник Рело

4.3 Движение вершины и центра треугольника Рело

Попробуем построить траектории движения двух характерных точек треугольника Рело при качении его по плоской горизонтальной поверхности. Такими точками будут одна из вершин треугольника и его геометрический центр…

Фигуры постоянной ширины. Треугольник Рело

4.4 Площадь треугольника Рело

Одна из задач моей работы: доказать, что из всех фигур постоянной ширины d треугольник Рело имеет наименьшую площадь. Для начала найдем площадь треугольника Рело: ; ; Следовательно, площадь треугольника Рело равна Попробуем доказать. ..

Фигуры постоянной ширины. Треугольник Рело

5. Применение треугольника Рело

Фигуры постоянной ширины. Треугольник Рело

5.4 Применение треугольника Рело в грейферном механизме в кинопроекторах

Также треугольник использовался в грейферном механизме в кинопроекторах. Двигатели дают равномерное вращение оси, а чтобы на экране было четкое изображение, пленку мимо объектива надо протянуть на один кадр, дать ей постоять…

«Геометрия» (материалы для подготовки к ОГЭ по математике)

«Геометрия» (материалы для подготовки к ОГЭ по математике)
Download Report
Transcript «Геометрия» (материалы для подготовки к ОГЭ по математике)
Автор презентации:
Бубнова Надежда Денисовна
Учитель математики МКОУ ООШ №25
п. Нижнеэтокский Предгорного района
Ответ: 70
ПОВТОРЕНИЕ
В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны
В треугольнике сумма углов равна 180°
Ответ: 6.
ПОВТОРЕНИЕ
Внешний угол треугольника – это угол, смежный с
углом треугольника
Сумма смежных углов углов равна 180°
В треугольнике сумма углов равна 180°
5
Один из углов параллелограмма на 46°
больше другого. Найти больший из них.
∠А+∠D=180°
Пусть ∠А=х°, тогда∠D=х°+46°
х+х+46=180
2х=134
х=67
∠D =2∙67°=134°
Ответ: 134.
ПОВТОРЕНИЕ
Параллелограмм – это четырехугольник, у
которого противоположные стороны
параллельны.
Если две параллельные прямые пересечены
третьей, то сумма внутренних односторонних
углов равна 180°
Найти больший угол
параллелограмма АВСD.
∠DCВ=∠АCD+∠АСВ=23°+49°=72°
∠С+∠В=180°
∠В=180°-∠В=180°-72°=108°
Ответ: 108.
ПОВТОРЕНИЕ
Если угол разделен на части, то его градусная
мера равна сумме градусных мер его частей.
В параллелограмме сумма соседних углов
равна 180°
Углы ромба относятся как 3:7 .
Найти больший угол.
∠1+∠2=180°
Пусть х° - одна часть, тогда∠2=3х°, ∠1=7х°
3х+7х=180
10х=180
х=18
∠1=18°∙7=126°
Ответ: 126. 
ПОВТОРЕНИЕ
В ромбе противоположные стороны параллельны
Если две параллельные прямые пересечены
третьей, то сумма внутренних односторонних
углов равна 180°
Разность противолежащих углов
трапеции равна 68°. Найти
больший угол.
∠А+∠В=180°
∠В+∠С
Если ∠А=х°, то ∠В=х°+68°
х+х+68=180
2х=180-68
х=12
∠В=12°+68°=80°
Ответ: 80.
ПОВТОРЕНИЕ
В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны.
Сумма углов, прилежащих боковой стороне
трапеции равна 180°.
В
47⁰
?
С
D
Найдите угол между гипотенузой и
медианой, проведенной из прямого
угла.
А
∠А+∠В=90°
Так как ∠С=∠А+∠В, то ∠В= ∠ВСD, ∠А= ∠АCD
∠ВCD=47°
∠ВDC=180°-2∙47⁰=86⁰
Ответ: 86.
ПОВТОРЕНИЕ
В прямоугольном треугольнике сумма острых
углов равна 90⁰
В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны
Сумма углов треугольника равна 180⁰
С
N
В
Найдите внешний угол при вершине С.
?
О L
4
1
3 100⁰2
А
Так как ∠1=∠2, ∠3=∠4, то ∠2+∠3=1/2(∠А +∠В)
∠2+∠3=180°-100⁰=80⁰ ⇒
∠А+∠В=80⁰∙2=160⁰
Внешний угол при вершине С равен 160⁰
Ответ: 160.
ПОВТОРЕНИЕ
Биссектриса – это луч, который делит угол
пополам
В треугольнике сумма углов равна 180°
Внешний угол треугольника – это угол, смежный с
углом треугольника и он равен сумме углов
треугольника, не смежных с ним. 
В
sin A=0,8. Найдите sin B.
С
А
sin À  cos   0,8
sin   cos   1
2
2
sin   1  cos B  1  0,8  0,6
2
Ответ: 0,6.
2
ПОВТОРЕНИЕ
В прямоугольном треугольнике синус одного
острого угла равен косинусу другого острого угла
Основное тригонометрическое тождество:
sin 2   cos2   1
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №10
15
tgA 
8
В
15
С
Найти АВ.
Повторение (2)
А
ÂÑ
tgA 
ÀC
⇒
ÂÑ 15

ÀC 8
⇒
AÑ  8
По теореме Пифагора
2
2
2
2
ÀÑ  ÀC  ÂÑ  8  15  17
Ответ: 17.
20
ПОВТОРЕНИЕ
Тангенс острого угла прямоугольного
треугольника равен отношению
противолежащего катета к прилежащему
В прямоугольном треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №10
С
Найти AB.
120⁰
25 3
В
H
А
Проведем высоту CH, получим ∆ВCH.
1
⇒ ÂH   25 3
2
∠ВCH=60⁰ ⇒ ∠CВH=30⁰
По теореме Пифагора в ∆BCH
1
2
2
2
2
BH  BC  CH  (25 3 )  (  25 3 )  75
2
Ответ: 75.
ПОВТОРЕНИЕ
Высота в прямоугольном треугольнике,
проведенная к основанию является
биссектрисой и медианой
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий
против угла в 30⁰, равен половине гипотенузы
В прямоугольном треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №10
В
А
1
2
3
Е
С Дано: параллелограмм, P=10,
АЕ:ЕD=1:3. 
D Найти AD
∠1=∠3 как накрест лежащие при секущей ВЕ
∠3=∠2 так как ∠1=∠2 по условию ⇒ АВ=АЕ
Пусть АЕ=х, тогда АВ=х, ЕD=3х
Р=2∙(х+3х) ⇒ 2∙(х+3х)=10
4х=5
Х=1,25
AD=4∙1,25=5
Ответ: 5.
ПОВТОРЕНИЕ
Биссектриса – это луч, который делит угол
пополам
Периметр многоугольника – это сумма длин всех
сторон многоугольника
При пересечении двух параллельных прямых
накрест лежащие углы равны
Если два угла в треугольнике равны, то
треугольник - равнобедренный
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №10
А
49
60⁰
В
О
С
АВСD – ромб. Найти меньшую
диагональ.
D
В ∆АОВ, где ∠ВАО=30⁰ ⇒
ОВ=½АВ=½∙49=24,5
ВD=2ОВ=2∙24,5=49
Ответ: 49.
ПОВТОРЕНИЕ
Диагонали ромба пересекаются под прямым
углом и делят углы ромба пополам
Катет прямоугольного треугольника, лежащий
против угла в 30⁰ равен половине гипотенузы
Диагонали параллелограмма (ромба) точкой
пересечения делятся пополам
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №10
В
А
34
С
Е
D
АВСD – трапеция, СЕ||АВ.
P∆CDЕ =69.
Найти P трапеции
Так как СЕ||АВ, то АВ=ЕС, АЕ=ВС=34
АD=АЕ+ЕD
P∆CDЕ =CD+ЕD+СЕ
P∆АВCD =АВ+ВС+CD+АD
⇒
P∆АВCD =P∆CDЕ +ВС=69+34=103
Ответ: 103. 
ПОВТОРЕНИЕ
Если в четырехугольнике противоположные
стороны параллельны, то такой четырехугольник параллелограмм
В параллелограмме противоположные стороны
равны
Если отрезок точкой разделен на части, то его
длина равна сумме его частей
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №10
В
М
А 51
С
?
H
94
E
К
D
АВСD – трапеция
Найти среднюю линию трапеции
Проведем СЕ⍊AD, получим ∆ABH=∆CED и
прямоугольник BCEH
⇒ AH=ЕD=51, BC=HE=HD-ED=94-51=43,
⇒ AD=AH+HE+ЕD= 51+94=145
AD  BC
145  43
MK 
 94
⇒ MK 
2
2
Ответ: 94.
ПОВТОРЕНИЕ
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного
треугольника соответственно равны гипотенузе и
катету другого треугольника, то треугольники равны
Если отрезок точкой разделен на части, то его
длина равна сумме длин его частей
Средняя линия трапеции равна полусумме
оснований трапеции
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №10
В
М
А
С
К
АВСD – трапеция,
АВ=23, CD=3.
Найти МК.
D
AD+BC=AB+CD=23+3=26
AD  BC
MK 
2
Ответ: 13.
⇒
23  3
MK 
 13
2
ПОВТОРЕНИЕ
Если в четырехугольник можно вписать
окружность, то суммы противоположных сторон
четырехугольника равны
Средняя линия трапеции равна полусумме
оснований трапеции
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №10
Найти r. 
В
r
135
С
11
А
По теореме Пифагора в ∆BCH
ÀB  BC  ÀC2  ( 135)2  112  16
r=½d=½АВ=½∙16=8
Ответ: 8.
ПОВТОРЕНИЕ
Прямой угол, вписанный в окружность опирается
на диаметр окружности
В прямоугольном треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов
Радиус окружности равен половине диаметра
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №10
В
M
А
С
5
АВСD – трапеция, P∆ABCD =12.
Найти боковую сторону трапеции.
К
D
AD  BC
MK 
2
⇒
AD+BC=2MK=2∙5 =10
AB=½(P∆ABCD -(AD+BC))=½(12-10)=1
Ответ: 6.
ПОВТОРЕНИЕ
Средняя линия трапеции равна полусумме
оснований трапеции
Описать окружность можно только около
равнобедренной трапеции
Периметр многоугольника – это сумма длин всех
сторон многоугольника
Задание 11
В прямоугольном треугольнике один из
катетов равен 10, а острый угол,
прилежащий к нему, равен 300.
Найдите площадь треугольника.
А
Подсказка (3):
10
1
S   CB  CA
2
BC
0
cos 30 
AB
300
S-?
С
АВ  АС  ВС
2
В
2
2
50 3
2
АВ
ВС
Задание 11
В прямоугольном треугольнике один
из катетов равен 10, а угол,
лежащий напротив, равен 600. 
Найдите площадь треугольника.
А
10
Подсказка (3):
1
S   BС  AС
2
AC
0
АВ
sin 60 
AB
S-?
ВС  АВ  АС
2
600
С
В
50 3
2
Задание 11
Сторона равностороннего треугольника
равна 10. Найдите его площадь.
А
Подсказка (4):
1
S   BC  AH
2
10
1
ВН  ВС
2
S-?
АН  АВ  ВН
2
В
Н
АВ  ВС  АС
С
25 3
2
Задание 11
Периметр равнобедренного треугольника
равен 16, а основание — 6.
Найдите площадь треугольника.
Подсказка (4):
А
1
S   BC  AH
2
Р  АВ  ВС  АС
АВН :
S-?
В
Н  900 , АВ  5, ВН  3
25 3
Н
Р  16
АВ
С
ВС  6
АВ 2  АН 2  ВН 2
12
В прямоугольнике одна сторона 6,
а диагональ 10.
Найдите площадь прямоугольника.
Задание 11
Подсказка (3):
В
6
А
С
S-?
S  AB  ВC
АВС : В  900
АС2  АВ2  ВС2
10
D
48
ВC
Задание 11
Периметр ромба равен 24,
а тангенс одного из углов равен
Найдите площадь ромба.
А
2
.
4
Подсказка (4):
Sромба  2S
В
D
S-?
С
Р  24
1
S ABD  AВ  AD  sin A
2
1
1  tg A 
2
cos A
2
2
sin A  cos A  1
12
2
Задание 11
Одна из сторон параллелограмма равна 12,
другая равна 5, а один из углов — 450. 
Найдите площадь параллелограмма.
Подсказка (3):
А
5
450
D
Н
12
В
S-?
С
S  DC  AH
АВС :
0
0
0
Н  90 , D  45 , А  45
АН  DH
2
2
АН
AD  2АН
30 2
Основания трапеции равны 18 и 12,
одна из боковых сторон равна 4 2, а угол
между ней и одним из оснований равен 1350.
Найдите площадь трапеции.
Задание 11
Подсказка (3):
В
12
С
1
S  BС  АD )  ВН
2
1350
4 2
А
S-?
Н
18
D
АВН :
0
0
Н  90 , В  А  45
АН  ВН
2
2
АВ  2ВН
ВН
60
Радиус круга равен 3, а длина
ограничивающей его окружности равна 6π.
Найдите площадь круга.
Задание 11
Подсказка (3):
3
S-?
О
  3,14 С  6
S  R
2
С  2R
С  6
28,26
R
Найдите площадь кругового сектора,
если длина ограничивающей его дуги
равна6 , а угол сектора равен 1200
Задание 11
S-?
Подсказка (5):
6π
l
1200
О
  3,14
R
180
S

R
R
2
360
9,68

1. В треугольнике ABC угол C равен 90о, AB = 10, AC = 8.
Найдите sin A.
Решение 1. В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза
AB равна 10. Найдем катет BC. Используя теорему
Пифагора, имеем BC =
. Следовательно, sin A
= 0,6. 
102  82  6
Решение 2. Так как катет AC равен 8, а гипотенуза AB равна 10, то cos A = 0,8.
Воспользуемся формулой , выражающей косинус через синус
2
острого угла. Откуда sin A = 0,6.
Ответ. 0,6.
sin A  1  cos A
2. В треугольнике ABC угол C равен 90о, высота CH равна 6, AC = 10. Найдите tg A.
Решение. В прямоугольном треугольнике ACH катет CH равен 6, гипотенуза AC
равна 10. Используя теорему Пифагора, находим AH = 8. Следовательно, tg A =
0,75.
Ответ. 0,75.
3. В треугольнике ABC AC = BC = 10, AB = 12. Найдите sin A.
Решение. Проведем высоту CH. В прямоугольном треугольнике ACH гипотенуза
AC равна 10, катет AH равен 6. По теореме Пифагора находим CH = 8 и,
следовательно, sin A = 0,8.
Ответ. 0,8.
4. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 10, высота AH равна 8. Найдите cos A.
Решение. В прямоугольном треугольнике ABH гипотенуза AB равна 10, катет AH
равен 8. По теореме Пифагора находим BH = 6 и, следовательно, cos B = 0,6. Так как
углы A и B треугольника ABC равны, то cos A = 0,6.
Ответ. 0,6. 
5. В треугольнике ABC AB = BC, высота CH равна 8, AC =
. Найдите тангенс угла8ACB.
5
Решение. По теореме Пифагора найдем катет AH прямоугольного треугольника ACH.
Имеем AH =
. Откуда tg A = 0,5. Так как углы A и C треугольника ABC
64  5  64  16
равны, то тангенс угла ACB равен 0,5.
Ответ. 0,5.
6. В треугольнике ABC угол C равен 90о, AB = 10, BC = 6. Найдите синус внешнего
угла при вершине A.
Решение. Синус внешнего угла при вершине A треугольника ABC равен синусу
угла A и, следовательно, равен 0,6.
Ответ. 0,6.
7. В треугольнике ABC угол C равен 90о, tg A = 0,75, AC = 8. Найдите AB.
Решение. Имеем BC = AC tg A = 8 0,75 = 6. По теореме Пифагора находим AB =
10.
Ответ. 10.
9. В треугольнике ABC AC = BC = 10, sin A = 0,8. Найдите AB.
Решение. Проведем высоту CH. Имеем CH = AC sin A = 8. По теореме

Пифагора находим AH = 6 и, следовательно, AB = 12.
Ответ. 12.
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №13
Укажите номера верных утверждений
1.Через любые три различные точки
плоскости можно провести единственную
прямую. 
2.Если угол равен 25⁰, то смежный с ним
угол равен 155⁰
3.Через любую точку плоскости можно
провести не менее одной прямой
ПОВТОРЕНИЕ (ПОДСКАЗКА)
Сформулируйте
аксиому
о взаимном
Через
любые две точки
проходит
прямая , и
расположении
прямойодна
и точек.
притом только
КакимСумма
свойством
обладают
смежные
углы?
смежных
углов равна
180°
Сколько
прямых
можно
провести
через
точку на
Через
точку на
плоскости
можно
провести
плоскости?
бесконечно
много прямых.
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №13
Укажите номера верных утверждений
1.Если угол равен 56⁰, то вертикальный с
ним угол равен 124⁰.
2.Существует точка плоскости, через
которую можно провести бесконечное
количество различных прямых.
3.Через любую точку плоскости можно
провести не более двух прямых.
ПОВТОРЕНИЕ (ПОДСКАЗКА)
Сформулируйте
свойство вертикальных
Вертикальные
углы равны углов.
Сколько прямых можно провести через точку на
Через точку на плоскости можно провести
плоскости?
бесконечно
много прямых.
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №13
Укажите номера верных утверждений
1. Через любые две различные точки
плоскости можно провести не более
одной прямой.
2.Через любые две различные точки
плоскости можно провести не менее
одной прямой.
3.Если угол равен 54⁰, то вертикальный с
ним угол равен 36⁰.
ПОВТОРЕНИЕ (ПОДСКАЗКА)
Сформулируйте
о взаимном
Через
любые две аксиому
точки проходит
прямая, и
расположениипритом
прямой
и точек
на плоскости.
только
одна.
Сформулируйте
свойство вертикальных
Вертикальные
углы равны. прямых
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №13
Укажите номера верных утверждений
1.Через любую точку плоскости можно
провести прямую.
2.Через любую точку плоскости можно
провести единственную прямую.
3.Существует точка плоскости, через
которую можно провести прямую.
62
ПОВТОРЕНИЕ (ПОДСКАЗКА)
Сколько прямых можно провести через точку на
Через точку на плоскости можно провести
плоскости?
бесконечно много прямых.
Существует
ли точка
плоскости,можно
через которую
Через любую
точку плоскости
провести
нельзя провести прямую?
прямую.
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №13
Укажите номера верных утверждений
1. Если две параллельные прямые
пересечены третьей прямой, то
соответственные углы равны.
2.Если две параллельные прямые
пересечены третьей прямой, то сумма
внутренних односторонних углов равна 90⁰
3.Если при пересечении двух прямых
третьей соответственные углы равны, то
прямые перпендикулярны.
ПОВТОРЕНИЕ (ПОДСКАЗКА)
Сформулируйте свойство параллельных прямых
Если две параллельные прямые пересечены
относительно соответственных углов
третьей прямой, то соответственные углы равны
Если две параллельные
прямые пересечены
Сформулируйте
свойство параллельных
прямых
третьейвнутренних
прямой, то односторонних
сума внутренних
относительно
углов.
односторонних углов равна 180°
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №13
Укажите номера верных утверждений
1.Если две параллельные прямые
пересечены третьей прямой, то
внутренние накрест лежащие углы равны.
2.Если при пересечении двух прямых
третьей внутренние односторонние углы
равны 70⁰, то прямые параллельны.
3.Если при пересечении двух прямых
третьей внутренние накрест лежащие
углы равны 39⁰ и 141⁰, то прямые
параллельны. 
ПОВТОРЕНИЕ (ПОДСКАЗКА)
Если при пересечении
двух прямых третьей
Сформулируйте
признак параллельности
двух
накрест
лежащие углы
равны,
то прямые
прямых
относительно
накрест
лежащих
углов.
параллельны.
Сформулируйте
признак двух
параллельности
двух
Если при пересечении
прямых третьей
прямых
внутренних односторонних
суммаотносительно
внутренних односторонних
углов равна
углов.параллельны.
180°, то прямые
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №13
Укажите номера верных утверждений
1.Если три угла одного треугольника
соответственно равны трем углам другого
треугольника, то такие тр-ки подобны.
2.Если один из острых углов
прямоугольного треугольника равен 25⁰, то
другой угол равен 65⁰.
3.Если гипотенуза и катет одного
прямоугольного тр-ка соответственно
равны гипотенузе и катету другого
прямоугольного тр-ка, то тр-ки равны
68
ПОВТОРЕНИЕ (ПОДСКАЗКА)
Если два угла одного треугольника
Сформулируйте равны
признак
треугольника
по углам
соответственно
двум
углам другого
треугольника, то такие треугольники подобны.
Каким свойством обладают острые угла
Сумма острых углов прямоугольного
прямоугольного
треугольникатреугольника?
равна 90⁰. 
Сформулируйте
признак
Если гипотенуза
и катет
одного равенства
прямоугольного
прямоугольных
треугольниковравны
по гипотенузе
и и
треугольника
соответственно
гипотенузе
катету.
катету другого прямоугольного
треугольника, то
треугольники равны
ПОВТОРЕНИЕ (ПОДСКАЗКА)
Какие
углы в равнобедренном
треугольнике
В равнобедренном
треугольнике
углы при
равны?равны.
основании
Если три стороны
треугольника
Сформулируйте
признакодного
подобия
треугольников
пропорциональны
трем сторонам другого
по трем сторонам.
треугольника, то треугольники подобны.
Чему
равна
сумма
углов треугольника?
Сумма
углов
треугольника
равна 180⁰?
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №13
Укажите номера верных утверждений
1.В∆АВС, для которого ∠А=45⁰, ∠В=55⁰,
∠80⁰, сторона АС – наименьшая.
2.Квадрат любой стороны треугольника
равен сумме квадратов других сторон
треугольника без удвоенного произведения
этих сторон на косинус угла между ними.
3.В треугольнике против меньшей стороны
лежит меньший угол.
71
ПОВТОРЕНИЕ (ПОДСКАЗКА)
В треугольникетеорему
против большей
сторонымежду
лежит
Сформулируйте
о соотношениях
больший
угол, и наоборот,
против большего угла
сторонами
и углами треугольника. 
лежит большая сторона.
Квадрат любой стороны треугольника равен
теорему
суммеСформулируйте
квадратов других
сторонкосинусов.
треугольника
минус удвоенное произведение этих сторон на
косинус угла между ними.
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №13
Укажите номера верных утверждений
1.В треугольнике против меньшего угла
лежит большая сторона.
2.Центром окружности, описанной около
правильного треугольника, является точка
пересечения его биссектрис.
3.Кажддая сторона треугольника больше
суммы двух других сторон.
ПОВТОРЕНИЕ (ПОДСКАЗКА)
В
треугольнике против
большей
стороны лежит
Сформулируйте
теорему
о соотношениях
между
больший
угол, и наоборот,
большего угла
сторонами
и угламипротив
треугольника.
лежит большая сторона.
около треугольника
ВЦентр
какойокружности,
точке лежитописанной
центр окружности,
описанной
лежит в точке пересечения
серединных
около треугольника?
перпендикуляров к сторонам треугольника.
Каждая
сторона треугольника
суммы
Сформулируйте
неравенствоменьше
треугольника.
двух других сторон.
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №13
Укажите номера верных утверждений
1. Сумма двух противоположных углов
параллелограмма равна 180⁰.
2.Если в четырехугольник можно вписать
окружность, то сумма его
противоположных сторон равна 200, а
длина третьей стороны равна 60, то длина
оставшейся стороны равна 140.
3.Около любого четырехугольника можно
описать окружность.
75
ПОВТОРЕНИЕ (ПОДСКАЗКА)
В параллелограмме
углы
Сформулируйте
свойствопротивоположные
углов параллелограмма.
равны.
Около
четырехугольника
можно
описать
Около
какой
четырехугольника
можно
описать
окружность, если
суммы противоположных
окружность?
сторон четырехугольника равны.
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №13
Укажите номера верных утверждений
1.Около любого квадрата можно описать
окружность.
2.Сумма двух противоположных углов
вписанного в окружность
четырехугольника равна 90⁰.
3.Если диагонали параллелограмма делят
его углы пополам, то этот
параллелограмм – ромб.
ПОВТОРЕНИЕ (ПОДСКАЗКА)
Около
четырехугольника
можно
описать
Около
какой
четырехугольника
можно
описать
окружность, если
суммы противоположных
окружность?
сторон четырехугольника равны . 
Чему
равны
суммы противоположных
углов в
Суммы
противоположных
углов вписанного
вписанного
в окружность
четырехугольника?
окружность
четырехугольника
равны 180⁰
Сформулируйте
ромба с учетом
что
Если диагоналипризнак
параллелограмма
деляттого,
его углы
ромбто–этот
это параллелограмм
параллелограмм.– ромб.
пополам,
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №13
Укажите номера верных утверждений
1.Если в четырехугольнике диагонали
равны, то этот четырехугольник –
прямоугольник.
2.Если в четырехугольник можно вписать
окружность, сумма длин двух его
противоположных сторон равна 180, а
длина третьей стороны равна 70, то длина
оставшейся стороны равна 110.
3.Диагонали прямоугольника равны.
ПОВТОРЕНИЕ (ПОДСКАЗКА)
Если
в параллелограмме
равны, то
Сформулируйте
признак диагонали
прямоугольника.
этот параллелограмм – прямоугольник.
В какой четырехугольник
можно вписать сторон
В четырехугольник,
суммы противоположных
окружность?
которого равны,
можно вписать окружность.
Каким особым свойством обладает
Диагонали
прямоугольника равны. 
прямоугольник?
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №13
Укажите номера верных утверждений
1.В любой ромб можно вписать
окружность.
2.Около любой трапеции можно описать
окружность.
3.Если сумма двух противоположных
углов четырехугольника равна 90, около
этого четырехугольника можно описать
окружность
ПОВТОРЕНИЕ (ПОДСКАЗКА)
В какой четырехугольник
можно вписать сторон
В четырехугольник,
суммы противоположных
окружность?
которого равны
можно вписать окружность.
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №13
Укажите номера верных утверждений
1.Площадь круга радиуса R равна πR².
2.Если радиус окружности равен 10, а
расстояние от центра окружности до
прямой равно 2, то эти прямая и
окружность пересекаются.
3.Длина окружности радиуса R равна πR.
ПОВТОРЕНИЕ (ПОДСКАЗКА)
По какой формуле можно вычислить площадь
S=πR²
круга?
Если
расстояние
от центра
окружности
до прямой
При
каком условии
прямая
и окружность
меньше радиуса
окружности, то прямая и
пересекаются?
окружность пересекаются.
По какой формуле можно вычислить длину
С=2πR
окружности?
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №13
Укажите номера верных утверждений
1. Если радиусы двух окружностей равны 3 и
5, а расстояние между их центрами равно 6 ,
то эти окружности не имеют общих точек
2.Если радиус окружности равна 3, а
расстояние от центра окружности до прямой
равно 2, эти прямая и окружность не имеют
общих точек.
3.Через любые три различные точки
плоскости, не лежащие на одной прямой,
можно провести не более одной окружности
ПОВТОРЕНИЕ (ПОДСКАЗКА)
Каково
взаимное положение
двух окружностей,
если
Если расстояние
между центрами
двух окружностей
расстояние
между их
их радиусов,
центрами то
больше
суммыне
их
больше суммы
окружности
радиусов?
пересекаются.
Если
от центра
окружности
до прямой
Прирасстояние
каком условии
прямая
и окружность
не
больше радиуса окружности,
то прямая и окружность
пересекаются?
не пересекаются.
Через три
точки плоскости
можно
провести
окружность,
Можно
ли через
три точки
плоскости
провести
если центр окружности лежит на биссектрисе угла, вершина
окружность?
которого лежит в одной из данных точек, стороны этого угла
проходят через две другие точки, и центр окружности
равноудален от данных точек. 
Значит такая окружность единственная.
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №13
Укажите номера верных утверждений
1.Если расстояние между центрами двух
окружностей меньше суммы их радиусов,
то эти окружности пересекаются.
2.Площадь круга радиуса R равна 2πR.
3.Длина окружности радиуса R равна 2πR.
ПОВТОРЕНИЕ (ПОДСКАЗКА)
Каково
взаимное положение
двух окружностей,
если
Если расстояние
между центрами
двух окружностей
расстояние
ихих
центрами
меньше
суммы их
меньшемежду
суммы
радиусов,
то окружности
радиусов?
пересекаются.
По какой формуле можно вычислить площадь
S=πR²
круга?
По какой формуле можно вычислить длину
С=2πR
окружности?
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №13
Укажите номера верных утверждений
1.Площадь круга равна квадрату его
радиуса.
2.Площадь круга радиуса R равна 2πR².
3.Если вписанный угол равен 72⁰, то
центральный угол, опирающийся на ту же
дугу окружности, равен 144⁰.
ПОВТОРЕНИЕ (ПОДСКАЗКА)
По какой формуле можно вычислить площадь
S=πR²
круга?
Градусная
мера
вписанного
равна половине
Чему равна
градусная
мераугла
вписанного
угла?
дуги, на которую он опирается. 
Градусная
центрального
угла равна дуге,
Чему
равнамера
градусная
мера центрального
угла?на
которую он опирается.
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №13
Укажите номера верных утверждений
1.Если радиусы двух окружностей равны 3 и
5, а расстояние между их центрами равно 1,
то эти окружности не имеют общих точек.
2.Если расстояние между центрами двух
окружностей больше суммы их радиусов, то
эти окружности пересекаются.
3.Если расстояние от центра окружности до
прямой меньше диаметра окружности, то
эти прямая и окружность пересекаются.
ПОВТОРЕНИЕ (ПОДСКАЗКА)
Каково
взаимное положение
двух окружностей,
если
Если расстояние
между центрами
двух окружностей
расстояние
ихих
центрами
меньше
суммы их
меньшемежду
суммы
радиусов,
то окружности
радиусов?
пересекаются.
Каково
взаимное положение
двух окружностей,
если
Если расстояние
между центрами
двух окружностей
расстояние
между их
их радиусов,
центрами то
больше
суммыне
их
больше суммы
окружности
радиусов?
пересекаются.
Если
расстояние
от центра
окружности
до прямой
При
каком условии
прямая
и окружность
меньше радиуса окружности,
то прямая и окружность
пересекаются?
пересекаются. 
№24. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом
С известны катеты: АС=6, ВС=8. Найдите медиану СК этого
треугольника.
Ответ_________
№25. В параллелограмме АВСД точка Е-середина стороны
АВ. Известно, что ЕС=ЕД. Докажите, что данный
параллелограмм – прямоугольник.
№26 Основание АС равнобедренного треугольника АВС равно 12.
Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается
продолжения боковых сторон треугольника и касается основания АС.
Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.
Ответ_______
№24
№25
№26
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ», ЧАСТЬ 2
24.1 Один угол параллелограмма больше другого на 74°.
Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах.
25.1. Докажите, что если биссектриса одного из внешних
углов треугольника параллельна противоположной стороне
треугольника, то этот треугольник равнобедренный.
26.1. Площадь ромба ABCDравна 18. В треугольник ABD
вписана окружность, которая касается стороны ABв точке K.
Через точку K проведена прямая, параллельная диагонали
ACи отсекающая от ромба треугольник площади 1.  Найдите
синус угла BAC.
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ», ЧАСТЬ 2
24.2 В треугольнике ABCугол С равен 90°, 𝑠𝑖𝑛𝐴 =
2 6
.Найдите косинус внешнего угла при вершине A.
5
25.2. В трапеции ABCDсоснованиями BCи ADдиагонали
AC и BDпересекаются в точке O. Докажите равенство
площадей треугольников AOB и COD.
26.2.
Прямоугольный
треугольник
ABCразделён
высотойCD, проведённой к гипотенузе, на два
треугольника – BCDиACD. Радиусы окружностей,
вписанных в эти треугольники, равны 4 и 3
соответственно. Найдите радиус окружности, вписанной
в треугольник ABC.
РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 24.1
24.1 Один угол параллелограмма больше другого на 74°.
Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах.
Решение.
C
B
A
D
∠A=∠С (какпротивоположные
углыпараллелограмма), значит,
∠A<∠B на 74°, ∠А=∠В‒74°.
∠A+∠B= 180° (по свойству
параллельных прямых).
∠В‒74° +∠B= 180°,
2∠В=254°,
∠В=127°.
Ответ. 127°.
РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 25.1
25.1. Докажите, что если биссектриса одного из внешних
углов треугольника параллельна противоположной стороне
треугольника, то этот треугольник равнобедренный. 
Решение.
ВМ || AC, BC – секущая, ∠𝑀𝐵𝐶 = ∠𝐵𝐶𝐴,
(накрест лежащие).
D
M
B
ВМ || AC, AD– секущая, ∠𝐷𝐵𝑀 = ∠𝐵𝐴𝐶
(соответственные).
∠𝐷𝐵𝑀 = ∠𝑀𝐵𝐶 (по условию), значит,
∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐵𝐶𝐴,
по признаку ∆𝐴𝐵𝐶 – равнобедренный,
A
C
что и требовалось доказать.
РЕШЕНИЕ 26.1
26.1. Площадь ромба ABCD равна 18. В треугольник ABD вписана
окружность, которая касается стороны AB в точке K. Через точку K
проведена прямая, параллельная диагонали AC и отсекающая от ромба
треугольник площади 1. Найдите синус угла BAC.
A
K
D
𝑆𝐵𝐾𝑀 1
1 𝐵𝐾 1
= ,𝑘 = ,
= .
𝑆𝐵𝐴𝐶 9
3 𝐴𝐵 3
B
BO=BK(по свойству касательных).
𝑂𝐵
Из ∆ AOB, AOB=90, sinBAC= ,
O
M
C
∆𝑀𝐵𝐾~∆𝐶𝐵𝐴 (по двум углам, ∠𝐴 − общий,
∠𝐵𝐾𝑀 = ∠𝐵𝐴𝐶 как соответственные,
𝑀𝐾 ∥ 𝐴𝐶, 𝐴𝐵 − секущая).
1
𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 9,
2
1
sinBAC= .
3
1
Ответ. .
3
𝐴𝐵
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ», ЧАСТЬ 2
24. Окружность проходит через вершины A и C
треугольника ABC и пересекает его стороны AB и
BC в точках K и E соответственно. Отрезки AE и CK
перпендикулярны.
Найдите
KCB,
если
ABC=20.
25. В остроугольном треугольнике ABC проведены
высоты CE и AD.  Докажите, что ∆ABD ~ ∆CBE.
26. Диагонали четырехугольника ABCD, вершины
которого
расположены
на
окружности,
пересекаются в точке M. Известно, что ABC=74,
BCD=102, AMD=112. Найдите ACD.
www.fipi.ru – ФИПИ
http://animashky.ru/index/0-16?25-10
http://animashky.ru/index/0-16?25-16
В презентации использован шаблон презентации с сайта
http://pedsovet.su/
«ГИА-2013. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов» под
редакцией А. Л. Семенова, И. В. Ященко. – М.: Изд. «Национальное образование», 2013.
http://www.grafamania.net/uploads/posts/2008-08/1219611582_7.jpg
http://www.grafamania.net/uploads/posts/2009-07/thumbs/1246640277_001.jpg

1.2: Тригонометрические функции острого угла

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\треугольник\,ABC\) с прямым углом при вершине \(C\) и длинами \(a\), \(b\), и \(c\), как на рисунке справа. Для острого угла \(A\) назовите катет \(\overline{BC} \) его противоположной стороной , а катет \(\overline{AC} \) назовите его смежной стороной . Напомним, что гипотенузой треугольника является сторона \(\overline{AB} \). Отношения сторон прямоугольного треугольника достаточно часто встречаются в практических приложениях, чтобы оправдать их собственные названия, поэтому мы определяем шесть тригонометрических функций от \(A\) следующим образом:

Таблица 1.2 Шесть тригонометрических функций \(A\)

Обычно мы будем использовать сокращенные имена функций. Обратите внимание на таблицы 1.2, что пары \(\sin A \) и \(\csc A \), \(\cos A \) и \(\sec A \), и \(\tan A \) и \( \cot A \) обратны:

Пример 1.5

Для прямоугольного треугольника \(\треугольник\,ABC\), показанного справа, найдите значения всех шести тригонометрических функций острых углов \(A\) и \(B\).

Решение:

Гипотенуза \(\треугольника\,ABC\) имеет длину \(5\).Для угла \(A \) противолежащая сторона \(\overline{BC} \) имеет длину \(3 \), а прилежащая сторона \(\overline{AC} \) имеет длину \(4 \). Таким образом:

\[ \nonumber \sin A ~=~ \dfrac{\text{напротив}}{\text{гипотенуза}} ~=~ \dfrac{3}{5} \qquad\qquad
\cos A ~=~ \ dfrac{\text{смежный}}{\text{гипотенуза}} ~=~ \dfrac{4}{5} \qquad\qquad
\tan A ~=~ \dfrac{\text{напротив}}{\text{ соседний}} ~=~ \dfrac{3}{4}\]

\[\nonumber \csc A ~=~ \dfrac{\text{гипотенуза}}{\text{напротив}} ~=~ \dfrac{5}{3} \qquad\qquad
\sec A ~=~ \ dfrac{\text{гипотенуза}}{\text{смежный}} ~=~ \dfrac{5}{4} \qquad\qquad
\cot A ~=~ \dfrac{\text{смежный}}{\text{ напротив}} ~=~ \dfrac{4}{3}\]

Для угла \(B \) противолежащая сторона \(\overline{AC} \) имеет длину \(4 \), а прилежащая сторона \(\overline{BC} \) имеет длину \(3 \).Таким образом:

\[\sin B ~=~ \dfrac{\text{напротив}}{\text{гипотенуза}} ~=~ \dfrac{4}{5} \qquad\qquad
\cos B ~=~ \dfrac{ \text{смежный}}{\text{гипотенуза}} ~=~ \dfrac{3}{5} \qquad\qquad
\tan B ~=~ \dfrac{\text{напротив}}{\text{смежный} } ~=~ \dfrac{4}{3}\]

\[\csc B ~=~ \dfrac{\text{гипотенуза}}{\text{напротив}} ~=~ \dfrac{5}{4} \qquad\qquad
\sec B ~=~ \dfrac{ \text{гипотенуза}}{\text{смежный}} ~=~ \dfrac{5}{3} \qquad\qquad
\cot B ~=~ \dfrac{\text{смежный}}{\text{напротив} } ~=~ \dfrac{3}{4}\]

Уведомление

в примере 1. 5, что мы не указали единицы измерения длины. Это повышает вероятность того, что наши ответы зависели от треугольника определенного физического размера.

Например, предположим, что этот учебник читают два разных ученика: один в США, другой в Германии. Американский студент думает, что длины \(3\), \(4\) и \(5\) в примере 1.5 измеряются в дюймах, а немецкий студент думает, что они измеряются в сантиметрах. Так как \(1\) в \(\приблизительно\)\(2.54 \) см учащиеся используют треугольники разного физического размера (см. рис. 1.2.1 ниже, не в масштабе).


Рисунок 1.2.1: \( △ ABC ∼ △ A ′B ′C ′\)

Если американский треугольник — это \(\треугольник\,ABC\), а немецкий треугольник — это \(\треугольник\,A’B’C’ \), то из рис. 1.2.1 мы видим, что \(\треугольник\, ABC \) подобен \(\треугольнику\,A’B’C’ \), а значит, соответствующие углы равны и отношения соответствующих сторон равны.На самом деле, мы знаем это обычное соотношение: стороны \(\треугольника\,ABC\) примерно в \(2,54\) раза длиннее соответствующих сторон \(\треугольника\,A’B’C’ \). Таким образом, когда американский студент вычисляет \(\sin A \), а немецкий студент вычисляет \(\sin A’ \), они получают один и тот же ответ:

.

\[\triangle\,ABC ~\sim~ \triangle\,A’B’C’ \quad\Стрелка вправо\quad
\dfrac{BC}{B’C’} ~=~ \dfrac{AB}{A ‘B’} \quad\Rightarrow\quad
\dfrac{BC}{AB} ~=~ \dfrac{B’C’}{A’B’} \quad\Rightarrow\quad \sin A ~=~ \sin А’\]

Точно так же другие значения тригонометрических функций \(A\) и \(A’\) одинаковы.На самом деле наш аргумент был достаточно общим, чтобы работать с любыми подобными прямоугольными треугольниками. Это приводит нас к следующему выводу:

При вычислении тригонометрических функций острого угла \(A\) можно использовать любой прямоугольный треугольник, один из углов которого имеет \(A\).

Поскольку мы определили тригонометрические функции в терминах отношений сторон, вы можете думать о единицах измерения этих сторон как об уравновешивании этих отношений. Это означает, что значений тригонометрических функций являются безразмерными числами . \циркуляр \;=\; \dfrac{\text{смежный}}{\text{напротив}} \;=\;
\dfrac{\sqrt{3}}{1} \;=\; \sqrt{3}\]

Пример 1.8

\(A \) острый угол такой, что \(\sin A = \frac{2}{3} \). Найдите значения других тригонометрических функций \(A \).

Решение:

Обычно для решения задач такого типа помогает рисовать прямоугольный треугольник. Причина в том, что тригонометрические функции были определены в терминах отношений сторон прямоугольного треугольника, а вам дана одна такая функция (в данном случае синус) уже в терминах отношения: \(\sin\;A = \фракция{2}{3} \).2 ~=~ 9 ~-~ 4 ~=~ 5 \quad\Rightarrow\quad
b ~=~ \sqrt{5}\]

Теперь мы знаем длины всех сторон треугольника \(\треугольник\,ABC\), поэтому имеем:

\[ \cos\;А \;=\; \dfrac{\text{смежный}}{\text{гипотенуза}} \;=\; \dfrac{\sqrt{5}}{3} \qquad
\tan\;A \;=\; \dfrac{\text{напротив}}{\text{смежный}} \;=\;
\dfrac{2}{\sqrt{5}}\quad\quad\]

\[ \csc\;А \;=\; \dfrac{\text{гипотенуза}}{\text{напротив}} \;=\; \dfrac{3}{2} \qquad
\sec\;A \;=\; \dfrac{\text{гипотенуза}}{\text{смежный}} \;=\; \dfrac{3}{\sqrt{5}} \qquad
\cot\;A \;=\; \dfrac{\text{смежный}}{\text{напротив}} \;=\; \dfrac{\sqrt{5}}{2}\]

Возможно, вы заметили связи между синусом и косинусом, секущей и косекансом, а также тангенсом и котангенсом дополнительных углов в Примерах 1. 5 и 1.7. Обобщая эти примеры, мы получаем следующую теорему:

Теорема 1.2 Кофункция Теорема

Если \(A\) и \(B\) являются дополнительными острыми углами в прямоугольном треугольнике \(\треугольник\,ABC\), то выполняются следующие соотношения:

\[\sin\;A ~=~ \cos\;B \qquad\qquad \sec\;A ~=~ \csc\;B \qquad\qquad \tan\;A ~=~ \cot\;B \]

\[\sin\;B ~=~ \cos\;A \qquad\qquad \sec\;B ~=~ \csc\;A \qquad\qquad \tan\;B ~=~ \cot\;A \]

Мы говорим, что пары функций \(\lbrace\;\sin, \cos\;\rbrace \), \(\lbrace\;\sec, \csc\;\rbrace \) и \(\lbrace\ ;\tan, \cot\;\rbrace \) представляют собой \(\textbf{кофункции}\).\circ \), поместите \(30-60-90 \) прямоугольный треугольник \(\triangle\,ADB \) с катетами длины \(\sqrt{3} \) и \(1 \) на вершине гипотенуза \(45-45-90 \) прямоугольного треугольника \(\triangle\,ABC \), гипотенуза которого имеет длину \(\sqrt{3} \), как на рисунке справа. Из рисунка 1.2.2 (а) мы знаем, что длина каждого катета \(\треугольника\,ABC\) равна длине гипотенузы, деленной на \(\sqrt{2} \). Итак, \(AC = BC = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} =\sqrt{\frac{3}{2}} \). Нарисуйте \(\overline{DE} \) перпендикулярно \(\overline{AC} \), чтобы \(\triangle\,ADE\) был прямоугольным треугольником.\circ \), поскольку он является дополнением к \(\angle\,BDF \). Гипотенуза \(\overline{BD} \) треугольника \(\треугольник\,DFB\) имеет длину \(1\) и \(\треугольник\,DFB\) является \(45-45-90\) прямым треугольник, поэтому мы знаем, что \(DF = FB = \frac{1}{\sqrt{2}} \).

Теперь мы знаем, что \(\overline{DE} \perp \overline{AC} \) и \(\overline{BC} \perp \overline{AC} \), поэтому \(\overline{FE} \) и \(\overline{BC} \) параллельны. Точно так же \(\overline{FB} \) и \(\overline{EC} \) оба перпендикулярны \(\overline{DE} \) и, следовательно, \(\overline{FB} \) параллельны \( \overline{EC} \).\circ = \frac{\sqrt{6} — \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \).

Авторы и авторство

Что такое остроугольный равнобедренный треугольник? – Цвета-NewYork.com

Что такое остроугольный равнобедренный треугольник?

По определению остроугольный равнобедренный треугольник будет иметь по крайней мере две стороны (и по крайней мере два соответствующих угла), которые конгруэнтны, и ни один угол не будет больше, чем . Кроме того, как и во всех треугольниках, сумма трех углов будет равна .

Что такое тупоугольный равнобедренный треугольник?

Равнобедренных треугольника всегда имеют два эквивалентных внутренних угла, и все три внутренних угла любого треугольника всегда имеют сумму градусов. Поскольку это тупоугольный равнобедренный треугольник, два недостающих угла должны быть острыми.

Какая связь между остроугольными треугольниками и равнобедренными треугольниками?

В остроугольном треугольнике градусная мера каждого угла меньше 90°. В равнобедренном треугольнике длины двух сторон — или, по одному определению, по крайней мере двух сторон — равны.

Как отличить остроугольный треугольник от тупоугольного?

Прямоугольный треугольник имеет один угол, равный 90°, и угол, похожий на L. У тупоугольных треугольников один угол больше 90°. В остроугольных треугольниках все углы меньше 90°.

Как узнать, является ли треугольник остроугольным или тупоугольным по длинам сторон?

Правильный ответ: Чтобы определить, остроугольный, прямоугольный или тупоугольный треугольник, сложите квадраты двух меньших сторон и сравните сумму с квадратом наибольшей стороны. Поскольку эта сумма больше, треугольник остроугольный.

Как узнать, остроугольный треугольник или длины сторон?

Когда даны 3 стороны треугольника, чтобы определить, является ли треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным:

  • Подровнять со всех трех сторон.
  • Сложите квадраты двух кратчайших сторон.
  • Сравните эту сумму с квадратом третьей стороны.

Как классифицировать треугольник по длинам сторон?

Равносторонний треугольник: Треугольник с тремя сторонами одинаковой длины.Равнобедренный треугольник: Треугольник, у которого по крайней мере две стороны имеют одинаковую длину. Линия симметрии: Линия, проходящая через фигуру, образующая две точно совпадающие половины. Тупой угол: угол, величина которого больше 90 градусов, но меньше 180 градусов.

Какими тремя способами можно классифицировать треугольник по его сторонам?

Классификация треугольников по сторонам

  • Разносторонний треугольник-треугольник с неконгруэнтными сторонами.
  • равнобедренный треугольник — треугольник, у которого хотя бы две стороны равны (т.е. 2 или 3 конгруэнтные стороны)
  • равносторонний треугольник — треугольник, у которого ровно 3 равные стороны.
  • ПРИМЕЧАНИЕ. Равные стороны означают, что стороны имеют одинаковую длину или меру.

Могут ли стороны треугольника иметь длины 3 3 и 7?

Если две стороны треугольника равны 3 и 7, какова возможная длина третьей стороны треугольника? – Квора. Если угол между сторонами, имеющими длины 3 и 7 единиц, в точке их соприкосновения равен 180°, то третья сторона совпадет с ними и будет иметь длину (3 + 7) = 10 единиц.

По какому правилу определяются стороны треугольника?

Правило сторон треугольника утверждает, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны. См. Длины сторон остроугольного треугольника ниже. Сумма длин двух самых коротких сторон, 6 и 7, равна 13,

.

Каковы стороны равнобедренного прямоугольного треугольника?

Прямоугольный треугольник может быть разносторонним (имеющим все три стороны разной длины) или равнобедренным (имеющим ровно две стороны одинаковой длины).

Сколько равных сторон у равнобедренного треугольника?

две равные стороны

Сколько в сумме составляют стороны равнобедренного треугольника?

Все три угла, расположенные внутри равнобедренного треугольника, острые, что означает, что углы меньше 90°. Сумма трех углов равнобедренного треугольника всегда равна 180°, а значит, мы можем узнать третий угол треугольника, если известны два угла равнобедренного треугольника.

Каковы особенности равнобедренного треугольника?

В равнобедренном треугольнике две равные стороны называются сторонами, а оставшаяся сторона называется основанием.Угол, противоположный основанию, называется углом при вершине, а точка, связанная с этим углом, называется вершиной. Два равных угла называются равнобедренными углами.

Имеет ли равнобедренный треугольник параллельные стороны?

Треугольник с тремя равными сторонами. Трапеция, у которой одна пара параллельных сторон и другая пара противоположных сторон равны. равнобедренный треугольник. Треугольник с 2 равными сторонами и 2 равными углами.

Какова площадь равнобедренного треугольника А?

У равнобедренного треугольника, кроме двух сторон, равны по величине и два угла.Площадь равнобедренного треугольника — это площадь, ограниченная им в двумерном пространстве. Общая формула площади треугольника равна половине произведения основания и высоты треугольника.

Работает ли теорема Пифагора для равнобедренных треугольников?

Теорему Пифагора можно использовать для решения любой стороны равнобедренного треугольника, даже если это не прямоугольный треугольник. У равнобедренных треугольников две стороны одинаковой длины и два равных угла.

Есть ли гипотенуза в равнобедренном треугольнике?

В равнобедренном треугольнике нет гипотенузы. Если вы хотите, вы можете разделить треугольник, используя его линию высоты в качестве разделительной линии. Таким образом, вы создадите два конгруэнтных прямоугольных треугольника с одинаковой длиной гипотенузы и одинаковыми углами.

Как найти третью сторону треугольника тремя способами

Существует несколько способов вычисления длины третьей стороны треугольника.В зависимости от того, нужно ли вам знать, как найти третью сторону треугольника в равнобедренном или прямоугольном треугольнике, или если у вас есть две стороны или два известных угла, в этой статье будут рассмотрены формулы, которые вам необходимо знать.

Теорема Пифагора для третьей стороны прямоугольного треугольника

Теорема Пифагора используется для нахождения длины гипотенузы прямоугольного треугольника.

Пифагор был греческим математиком, который обнаружил, что в треугольнике abc, сторона которого является гипотенузой прямоугольного треугольника (сторона, противоположная прямому углу), что:

Итак, если вам даны две длины, вы можете использовать алгебру и квадратный корень, чтобы найти длину недостающей стороны.

Формула основания равнобедренного треугольника

Если вы знаете длину стороны и высоту равнобедренного треугольника, вы можете найти основание треугольника, используя эту формулу:

, где a — длина одной из двух известных эквивалентных сторон равнобедренной кости.

Найдите третью сторону любого треугольника

Теперь, когда мы рассмотрели два основных случая, давайте посмотрим, как найти третью неизвестную сторону для любого треугольника .

Есть два дополнительных понятия, с которыми вы должны быть знакомы в тригонометрии: закон косинусов и закон синусов. Оба они позволяют найти третью длину треугольника.

Закон синусов проще. Он утверждает, что отношение между длиной стороны и противолежащим ей углом одинаково для всех сторон треугольника:

.

Здесь A, B и C — углы, а длины сторон равны a , b и c .

Поскольку мы знаем угол А и сторону а, мы можем использовать это, чтобы найти сторону с.

Длина стороны c равна 4,38.

Закон косинусов немного длиннее и похож на теорему Пифагора. В нем указано, что:

Здесь угол C — это третий угол, противоположный третьей стороне, которую вы пытаетесь найти.

Поскольку нам известны длины сторон a и b , а также угол C, мы можем определить недостающую третью сторону:

Различные способы нахождения третьей стороны треугольника

Есть несколько ответов на вопрос, как найти длину третьей стороны треугольника.Чтобы выбрать формулу, сначала оцените тип треугольника и любые известные стороны или углы.

Для прямоугольного треугольника используйте теорему Пифагора. Для равнобедренного треугольника используйте формулу площади равнобедренного треугольника. Если вы знаете некоторые из углов и другие длины сторон, используйте закон косинусов или закон синусов.

Вскоре вы будете на пути к познанию третьей стороны.

Помощь с домашним заданием по математике

дальнейшая_тригонометрия

Проект улучшения математического образования в школах (TIMES)

вернуться к индексу

Предполагаемые знания

  • Ознакомление с содержанием модуля Введение в тригонометрию.
  • Знакомство с базовой геометрией координат.
  • Средство с простой алгеброй, формулами и уравнениями.
  • Знакомство с сурдами.

Мотивация

В модуле «Введение в тригонометрию» мы показали, что если мы знаем углы и одну сторону прямоугольного треугольника, мы можем найти другие стороны, используя тригонометрические отношения синуса, косинуса и тангенса. Точно так же, зная любые две стороны прямоугольного треугольника, мы можем найти все углы.

Не все треугольники содержат прямой угол. Мы можем связать стороны и углы в произвольном треугольнике, используя две основные формулы, известные как правило синусов и правило косинусов.

Вооружившись ими, мы можем решать более широкий круг задач в двух измерениях, а также распространять эти идеи на трехмерные задачи. Это незаменимый инструмент для геодезистов и инженеров-строителей.

Вскоре становится очевидным, что в некоторых случаях нам необходимо определить тригонометрическое отношение тупого угла. Это позволяет нам иметь дело с более широким кругом задач и приложений. Он также предоставит модель для расширения определения тригонометрических отношений на любой угол. Эта идея будет подхвачена в модуле «Тригонометрические функции».

Содержание

В модуле «Введение в тригонометрию — 9-10 классы» мы определили три стандартных тригонометрических отношения: синус, косинус и тангенс угла θ, называемого опорным углом,
в прямоугольном треугольнике.

Они определяются:

sin θ = , cos θ = , tan θ = , где 0° < θ < 90°.

Студенты должны тщательно изучить эти соотношения. Им может помочь одна простая мнемоника — SOH CAH TOA, состоящая из первой буквы каждого соотношения и первых букв сторон, составляющих это соотношение.

В прямоугольном треугольнике два других угла дополняют друг друга. Как показано на схеме ниже, сторона, противоположная одному из этих углов, примыкает к другому.

Таким образом, видно, что

sin θ = cos (90° − θ) и cos θ = sin (90° − θ), если 0° < θ < 90°

Косинус (косинус) назван так потому, что косинус угла есть синус его дополнения.

Эти соотношения можно использовать для нахождения сторон и углов в прямоугольных треугольниках.

ПРИМЕР

Найдите с точностью до двух знаков после запятой значение прочислительного в каждом треугольнике.

Решение

и грех 15° =
=
х = 8 × sin 15°
≈ 2. 07 (с точностью до двух знаков после запятой)
б кос 28° =
=
и = 12.2 × cos 28°
≈ 10,77 (с точностью до двух знаков после запятой)

ПРИМЕР

Рассчитайте значение θ с точностью до одного десятичного знака.

Решение

Обратите внимание, что для 0 < x < 1 утверждение sin-1 x = θ означает, что sin θ = x.Это стандартное обозначение, но очень важно, чтобы учащиеся не путали обратное обозначение с обычным значением индекса -1, используемого в алгебре. Чтобы избежать этой путаницы, лучше всегда читать sin-1 x как арксинус x и tan-1 x как арктангенс x.

Точные значения

Тригонометрические соотношения для углов 30°, 45° и 60° могут быть выражены с помощью surds и очень часто встречаются в вводной тригонометрии, в старшей математике и в исчислении.Поэтому важно, чтобы учащиеся ознакомились с ними.

Один из способов быстро их найти — начертить следующие треугольники, а затем просто записать отношения.

Прямоугольный треугольник, содержащий угол 45 °, будет равнобедренным, поэтому мы выберем две более короткие стороны равными 1 единице длины и воспользуемся теоремой Пифагора, чтобы найти гипотенузу.

Для углов 30° и 60° начнем с равностороннего треугольника со стороной 2 единицы длины и опустим перпендикуляр, как показано. Простая геометрия и теорема Пифагора дают остальную информацию, как показано на диаграмме.

Теперь из этих диаграмм можно составить таблицу значений.

Обозначение индекса

Есть несколько отклонений от обычного обозначения индекса, которые возникают в тригонометрии. Поначалу студенты могут счесть их запутанными.

Мы пишем, например, (tan θ) 2 как tan2 θ, (sin θ)3 как sin3 θ и так далее. Это не следует путать с обратной записью, обсуждавшейся выше.Мы не пишем, например,
sin-2 θ вместо (sin θ)-2, так как это спутало бы обычное значение индексов с инверсиями.

Трехмерные задачи

Мы можем использовать наши знания тригонометрии для решения трехмерных задач.

УПРАЖНЕНИЕ 2

Найдите CEG в кубе, показанном ниже.

Правило синусов

Во многих приложениях мы сталкиваемся с непрямоугольными треугольниками.Мы можем расширить наши знания тригонометрии, чтобы иметь дело с этими треугольниками. Это делается с помощью двух основных формул, первая из которых называется правилом синусов.

Предположим на данный момент, что мы имеем дело с остроугольным треугольником ABC.

Как показано на рисунке, опустим перпендикуляр CP длины h из C в AB.

Тогда в APC мы имеем sin A = , поэтому h = b sin A.

Точно так же в CPB мы имеем sin B = , поэтому h = a sin B.

Приравнивая эти два выражения для h, мы получаем b sin A = a sin B, что можно записать как

= .

Тот же результат справедлив для стороны и угла , поэтому мы можем написать

Это известно как правило синусов. На словах это гласит: любая сторона треугольника, превышающая синус противоположного угла, равна любой другой стороне треугольника, превышающей синус противолежащего ему угла.

Вскоре мы увидим, как распространить этот результат на тупоугольные треугольники.

ПРИМЕР

В ABC, AB = 9 см. ABC = 76° и ACB = 58°.

Найти, с точностью до двух знаков после запятой:

а АС б до н.э.

Решение

Подшипники

Истинные пеленги были рассмотрены в модуле Вводная тригонометрия.
Теперь мы можем использовать правило синусов для решения простых геодезических задач, связанных с непрямоугольными треугольниками.

УПРАЖНЕНИЕ 3

Из точки Р, к западу от здания ОА, угол возвышения вершины А здания ОА составляет 28°. Из точки Q, расположенной в 10 м западнее точки P, угол возвышения равен 20°. Нарисуйте диаграмму, а затем используйте правило синусов, чтобы найти расстояние AP и, следовательно, точную высоту здания. Наконец, оцените высоту OA с точностью до сантиметра.

Нахождение углов

Правило синусов можно использовать для нахождения углов, а также сторон в треугольнике.Одна из известных сторон, однако, должна быть противоположна одному из известных углов.

ПРИМЕР

Предположим, что все углы острые.

Найдите угол θ в треугольнике FGH с точностью до градуса.

Решение

Как видно из приведенного выше примера, при нахождении углов проще записать правило синусов в виде = перед подстановкой данной информации.

Работа с тупыми углами

И правило синусов, и правило косинусов используются для нахождения углов и сторон в треугольниках. Что делать, если один из углов тупой? Чтобы справиться с этим, нам нужно расширить определение основных тригонометрических соотношений от острых до тупых углов. Мы используем координатную геометрию, чтобы мотивировать расширенные определения следующим образом.

Нарисуем центр единичной окружности в начале координат на декартовой плоскости и отметим точку на окружности в первом квадранте.

На показанной диаграмме, поскольку = cos θ, мы можем
видеть, что координата x точки P равна cos θ. Точно так же
координата y точки P равна sin θ.

Следовательно, координаты P равны (cos θ, sin θ).

Теперь мы можем перевернуть эту идею и сказать, что
, если θ — это угол между OP и положительной осью x, то:

  • косинус θ определяется как координата x
    точки P на единичной окружности и
  • синус θ определяется как координата y точки
    P на единичной окружности.

Это определение может быть применено ко всем углам, как положительным, так и отрицательным, но в этом модуле мы ограничим угол между 0° и 180°.

Согласованность определений

В модуле «Введение в тригонометрию» мы определили sin θ = и cos θ = , где 0° < θ < 90°. В предыдущем разделе мы определили cos θ = OQ и sin θ = PQ. Мы должны показать, что оба определения совпадают.

На приведенной ниже диаграмме показаны прямоугольный треугольник OAB и треугольник OPQ, оба из которых содержат угол θ.Треугольник OPQ имеет вершину P на единичной окружности. Эти треугольники подобны, поэтому отношение = = PQ, которое является координатой y точки P. Точно так же = = 1, которое является координатой x точки P.

Итак, мы показали, что два определения совпадают.

Углы во втором квадранте

В качестве примера возьмем θ равным 30°, поэтому имеет координаты (cos 30°, sin 30°).

Теперь переместите точку P по окружности к P′ так, чтобы OP′ образовала угол 150° с положительной осью x.Обратите внимание, что 30° и 150° являются дополнительными углами.

Координаты P′ (cos 150°, sin 150°).

Но мы можем видеть, что треугольники OPQ и OP’Q’ конгруэнтны, поэтому координаты
у точек P и P’ совпадают. Таким образом, sin 150° = sin 30°.

Кроме того, x-координаты P и P′ имеют одинаковую величину, но противоположный знак,
, поэтому cos 150° = −cos 30°.

Из этого типичного примера мы видим, что если θ — любой тупой угол, то его дополнение,
180°− θ, является острым, а синус θ равен

sin θ = sin (180° − θ), где 90° < θ < 180°.

Аналогично, если θ — любой тупой угол, то косинус θ равен

cos θ = −cos (180° − θ), где 90° < θ < 180°.

Прописью это означает:

  • синус тупого угла равен синусу его дополнения,
  • косинус тупого угла равен минус косинус его дополнения.

Правило синусов справедливо и для тупоугольных треугольников.

УПРАЖНЕНИЕ 4

Докажите правило синусов = для треугольника, в котором угол А тупой.

 

 

 

Углы 0°, 90°, 180°

Мы можем использовать расширенное определение тригонометрических функций, чтобы найти синус и косинус углов 0°, 90°, 180°.

УПРАЖНЕНИЕ 5

Нарисуйте диаграмму, показывающую точки на единичной окружности под каждым из указанных выше углов. Используйте координаты для заполнения записей в таблице ниже.

θ 90° 180°
sin θ
потому что θ

Тангенс тупого угла

Для θ в диапазоне 0° < θ < 90° или 90° < θ < 180° мы определяем тангенс угла θ как

тангенс θ = , для cos θ ≠ 0.

В случае, когда cos θ = 0, отношение тангенсов не определено. Это произойдет, когда θ = 90°.

Если θ находится в диапазоне 0° < θ < 90°, это определение согласуется с обычным определением

тангенс θ =

Значит, если θ тупой угол, то

тан θ

=

(из определения)

=

(поскольку θ тупой)

= −тангенс (180° − θ)

(из определения).

Следовательно, тангенс тупого угла равен отрицательному значению тангенса его дополнения.

Обратите внимание, что тангенс 0° = 0 и тангенс 180° = 0, так как синус этих углов равен 0, и что тангенс 90° не определен, так как cos 90° = 0.

УПРАЖНЕНИЕ 6

Найдите точные значения тангенса 150° и тангенса 120°.

Неоднозначное дело

В нашей работе над конгруэнтностью подчеркивалось, что при применении теста конгруэнтности SAS рассматриваемый угол должен быть углом между двумя сторонами.Таким образом, на следующей диаграмме показаны два неконгруэнтных треугольника ABC и ABC′ с двумя парами совпадающих сторон, имеющих общий (невключенный) угол.

Предположим, нам сказали, что треугольник PQR имеет PQ = 9, PQR = 45° и PR = 7. Тогда угол, противоположный PQ, не определен однозначно. Имеются два неконгруэнтных треугольника, которые удовлетворяют заданным данным.

Применяя правило синусов к треугольнику, получаем

=

и поэтому sin θ = ≈ 0.9091.

Таким образом, θ ≈ 65°, если предположить, что θ острый. Но дополнительный угол θ′ = 115°. Угол PR′Q также удовлетворяет приведенным данным. Эту ситуацию иногда называют неоднозначным случаем.

Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, в некоторых случаях только один из двух вычисленных углов является геометрически правильным.

УПРАЖНЕНИЕ 7

Найдите значение θ на следующей диаграмме,
объясняя, почему ответ уникален.

 

 

Правило косинусов

Из теста на конгруэнтность SAS мы знаем, что треугольник полностью определен, если нам даны две стороны и угол между ними. Однако, если мы знаем две стороны и угол между ними в треугольнике, правило синусов не поможет нам определить оставшуюся сторону.

Второй важной формулой для общих треугольников является правило косинусов.

Предположим, треугольник ABC и углы A и C острые.Опустите перпендикуляр из В в АС и отметьте длины, как показано на рисунке.

В BDA теорема Пифагора дает

с2 = h3 + (b — x)2.

Также в CBD другое применение теоремы Пифагора дает

ч3 = а2 — х2.

Подставляя это выражение в первое уравнение и расширяя,

с2 = а2 — х2 + (б — х)2
= а2 — х2 + Ь2 — 2Ьх + х2
= а2 + b2 — 2bx.

Наконец, из CBD мы имеем x = a cos C и, следовательно,

с2 = а2 + b2 — 2abcos C

Эта последняя формула известна как правило косинусов. Переобозначив стороны и угол, мы также можем написать a2 = b2 + c2 − 2bc cos A и b2 = a2 + c2 − 2ac cos B.

Обратите внимание, что если C = 90°, то, поскольку cos C = 0, мы получаем теорему Пифагора, и поэтому мы можем рассматривать правило косинусов как теорему Пифагора с поправочным членом.

Правило косинуса также верно, когда C тупой, но обратите внимание, что в этом случае последний член в формуле даст положительное число, потому что косинус тупого угла отрицательный.В этом случае следует соблюдать некоторую осторожность.

ПРИМЕР

Найдите значение x с точностью до одного десятичного знака.

раствор

Применение теоремы косинусов:

x2

= 72 + 82 − 2 × 7 × 8, потому что 110°

= 151. 30…

так

х

= 12,3 (до одного знака после запятой)

 

УПРАЖНЕНИЕ 8

Докажите, что правило косинусов выполняется и в случае, когда C тупая.

Нахождение углов

Из теста на конгруэнтность SSS мы знаем, что если известны три стороны треугольника, то три угла определяются однозначно. Опять же, правило синусов не поможет в их нахождении, поскольку требует знания (по крайней мере) одного угла, но вместо этого мы можем использовать правило косинусов.

Мы можем подставить длины трех сторон a, b и c в формулу c2 = a2 + b2 − 2ab cos C, где C — угол, противоположный стороне c, а затем перестроить, чтобы найти cos C и, следовательно, C.

В качестве альтернативы мы можем изменить формулу, чтобы получить

потому что С =

, а затем заменить. Студенты могут изменить правило косинуса или выучить дополнительную формулу. Использование этой формы правила косинуса часто уменьшает арифметические ошибки.

Напомним, что в любом треугольнике ABC, если a > b, то A > B.

ПРИМЕР

Стороны треугольника равны 6 см, 8 см и 11 см.Найдите наименьший угол треугольника.

Решение

Наименьший угол в треугольнике лежит против наименьшей стороны.

 

Применение теоремы косинусов:

62 = 82 + 112 — 2 × 8 × 11 × cos θ
потому что θ =
=
и так далее θ ≈ 32. 2 (с точностью до одного десятичного знака)

Расширение — Самая длинная сторона и наибольший угол треугольника

В модуле Конгруэнтность мы доказали важную связь между относительными величинами углов треугольника и относительными длинами его сторон: угол треугольника, лежащий против большей стороны, больше, чем угол против меньшей стороны.

Для разносторонних треугольников это можно переформулировать в терминах неравенств всех трех сторон следующим образом:

Если ABC — треугольник, в котором a > b > c, то A > B > C.

Этот результат можно доказать интересным способом, используя либо правило синусов, либо правило косинусов.

Самая длинная сторона и правило синусов

В следующем упражнении используется тот факт, что sin θ увеличивается от 0 до 1, когда θ увеличивается от
0° до 90°.

УПРАЖНЕНИЕ 9

Пусть ABC — треугольник, в котором a > b > c.

  1. Какой вывод можно сделать об относительных величинах sin A, sin B и sin C, используя правило синусов?
  2. Если нет тупых углов, какой вывод можно сделать об относительных размерах A, B и C?
  3. Если треугольник PQR имеет тупой угол P = 180° − θ, где θ острый, используйте тождество sin (180° − θ) = sin θ, чтобы объяснить, почему sin P больше, чем sin Q и sin R.
  4. Отсюда докажите, что если треугольник ABC имеет тупой угол, то A > B > C.

Наибольшая сторона и правило косинусов

В этом упражнении используется тот факт, что cos θ уменьшается от 1 до −1 при увеличении θ от 0° до 180°.

УПРАЖНЕНИЕ 10

Пусть ABC — треугольник, в котором a > b > c.

и
Запишите cos A и cos B через a, b и c и выразите их через их общий знаменатель 2abc.

б
Покажите, что cos B − cos A =
= .

с
Объясните, почему cos B > cos A.

д
Аналогичным образом объясните, почему cos C > cos B, и, следовательно, покажите, что A > B > C.

УПРАЖНЕНИЕ 11

и
Используйте теорему Пифагора, чтобы показать, что гипотенуза является наибольшей стороной прямоугольного треугольника

b
Почему результат части является частным случаем приведенной выше теоремы?

Площадь треугольника

В модуле «Введение в тригонометрию» мы видели, что если мы возьмем любой треугольник с двумя заданными сторонами и заданным (острым) углом θ, то площадь треугольника будет равна

.

Площадь = ab sin θ.

УПРАЖНЕНИЕ 12

Выведите эту формулу в случае тупого θ.

УПРАЖНЕНИЕ 13

Треугольник имеет две стороны длиной 5 см и 4 см, содержащие угол θ. Его площадь 5 см2. Найдите два возможных (точных) значения θ и нарисуйте два треугольника, которые удовлетворяют
заданной информации.

УПРАЖНЕНИЕ 14

Запишите два выражения площади треугольника и выведите из них правило синусов.

Ссылки вперед

Правила синусов и косинусов можно использовать для решения ряда практических задач в геодезии и навигации.

Трехмерные задачи

ПРИМЕР

Точка M находится прямо через реку от основания B дерева AB. С точки в 7 м вверх по течению от М угол возвышения вершины А дерева равен 17°. Из точки Q, находящейся в 5 м ниже по течению от М, угол подъема вершины дерева равен 19°.Предполагая, что PMQ — прямая линия, а дерево находится на берегу реки,
, мы хотим найти ширину w метров реки.

Решение

В задачах, подобных этим, необходимо тщательно нарисовать схему.

Пусть BP = a, BQ = b и AB = h, и тогда, применяя теорему Пифагора к треугольникам
BMP и BMQ, имеем a = , b = .

Из треугольников ABP и ABQ имеем h = a sin 17°, h = b sin 19°.

Приравнивая их, подставляя значения a и b и возводя их в квадрат, мы получаем

(49 + w2)sin2 17° = (25 + w2)sin2 19°

Теперь мы можем сделать w2 предметом и получить w2 = , и, таким образом,
w ≈ 8,66 м с точностью до 2 знаков после запятой.

Примечание. Не выполняйте оценку до последнего шага, чтобы сохранить полную точность калькулятора.

Инженеры-строители, анализирующие силы и напряжения в зданиях и других конструкциях, часто используют векторы для представления направления и величины этих сил. Вектор — это стрелка, которая имеет направление и величину. Правила синуса и косинуса используются в векторных диаграммах для нахождения равнодействующих сил и напряжений. Это важное приложение.

Тригонометрические тождества

Помимо практического применения, правила синусов и косинусов можно использовать для получения теоретических результатов, известных как тригонометрические тождества, которые имеют важные последствия и приложения в дальнейшей работе. Среди них результаты двойного угла, которые мы опишем ниже.

Используя формулу площади A = ab sin C, для треугольника с двумя сторонами a и b, содержащего угол C, мы можем сделать следующее:

Зафиксируем острые углы a и β и пусть угол C = a + β. Из точки C проведите CD длины y и постройте треугольник ABC, как показано на рисунке, где BA перпендикулярен CD.

Из схемы имеем

= потому что α => y = потому что α (1)
и = потому что β => y = b потому что β   (2).

 

Сравнение областей,

ab sin (α + β) = ay sin α + by sin β.

Подставляя значение y из (2) в первое слагаемое, а значение из (1) во второе, после некоторого упрощения имеем

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β.

В обсуждении выше мы предполагали, что α, β — острые углы. Это тождество верно для всех 90 456 α и β, но чтобы показать это, требуется другой подход.

Обратите внимание, что sin (α + β) ≠ sin α + sin β. Например, sin(60°+30°) = sin 90° = 1, тогда как
sin 60° + sin 30° = ≠ 1,

УПРАЖНЕНИЕ 15

Используйте приведенную выше формулу, чтобы показать, что точное значение sin 75° равно .

Подставляя α = β = θ в приведенной выше формуле, мы получаем формулу двойного угла
для синуса, а именно

sin 2θ = 2sin θ cos θ.

Существует аналогичная формула двойного угла для косинуса,

cos 2θ = cos2 θ − sin2 θ.

Обе формулы чрезвычайно полезны, когда вычисления применяются к тригонометрическим функциям.

Углы любой величины и тригонометрические функции

В этом модуле мы увидели, как использовать единичный круг, чтобы придать смысл синусу и косинусу тупого угла. Это определение можно расширить, включив в него углы больше 180°, а также отрицательные углы.

Таким образом, например, если θ находится между 180° и 270°, то sin θ = −sin (θ − 180°) и
cos θ = −cos (θ − 180°).

Как только мы можем найти значения sin θ и cos θ для значений θ, мы можем построить графики функций y = sin θ, y = cos θ.

Эти идеи будут развиты в модуле «Тригонометрические функции».

Графики функций синуса и косинуса используются для моделирования волнового движения и электрических сигналов. Они являются неотъемлемой частью современной обработки сигналов и телекоммуникаций. Это захватывающий пример того, как простая идея, связанная с геометрией и пропорциями, была абстрагирована и превращена в удивительно мощный инструмент, изменивший мир.

История

В модуле «Введение в тригонометрию» мы упомянули, что у греков была версия тригонометрии с использованием аккордов. Это показано на диаграмме ниже.

На диаграмме хорда угла — это длина хорды, стягивающей угол α в центре окружности радиусом R.

Птолемей (85-185 гг. н.э.), живший и работавший в Александрии, написал чрезвычайно влиятельную книгу под названием «Математический синтаксис».Он был переведен на арабский язык и получил арабское название Альмагест.

Птолемей рассматривал хорды, стягивающие угол α на окружности. Используя современные обозначения, если мы возьмем диаметр AB длиной 1 единицу, как показано, и хорду AC, стягивающую угол α на окружности, то длины AC и BC равны соответственно sin α и cos α.

Поскольку углы на окружности, опирающейся на одну и ту же дугу, равны, если α — угол, образуемый любой хордой в этой окружности, то длина этой хорды всегда равна sin α.

Птолемей также показал, что если ABCD — вписанный четырехугольник, то

AB. CD + BC.DA = AC.BD.

То есть сумма произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника равна произведению диагоналей.

Этот результат известен как теорема Птолемея.

Применяя теорему Птолемея на диаграмме ниже, где окружность имеет диаметр 1, мы получаем результат sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β, который мы получили выше.

Используя эту и другие формулы, Птолемей смог построить подробную таблицу хорд углов. Поскольку аккорды тесно связаны с соотношением синусов, у него, по сути, была таблица синусов.

Правило синусов в окружности

Учитывая треугольник ABC, мы можем нарисовать его описанную окружность с диаметром BD, как показано. Пусть 2R будет диаметром описанной окружности.

Тогда для острого α синус угла BDC равен

sin BDC = sin α = .

Перестановка дает = 2р.

Таким образом, величины , и в правиле синусов равны диаметру описанной окружности треугольника ABC.

Региомонтан (1436-1476), написавший первую современную европейскую книгу по тригонометрии, включил в свою работу правило синусов и его вывод.

Правильная пентаграмма и правильный пятиугольник

Правильная пентаграмма и правильный пятиугольник всегда вызывали восхищение и часто использовались в астрологии.Он основан на треугольнике, свойства которого исследуются в следующем упражнении.

УПРАЖНЕНИЕ 16

Начнем с равнобедренного треугольника с углами 72°, 72°, 36°, как показано на рисунке. Этот треугольник
естественным образом встречается внутри как правильного пятиугольника, так и правильной пентаграммы.
Для простоты вычислений мы принимаем две равные стороны равными 4 единицам длины.

Возьмем точку D на AB так, что BDC = 72°.Наконец, пусть BC = 2x.

a Покажите, что информация, отмеченная на диаграмме, верна.

b Докажите, что треугольники ABC и CDB подобны.

c Выведите это = и решите это уравнение, чтобы получить x = − 1.

d. Опустив перпендикуляр из точки A в сторону BC, покажите, что cos 72° = .

e Используйте тождество cos2 θ + sin2 θ = 1, чтобы показать, что sin 72° = .

Ответы на упражнения

Упражнение 1

а −1 б 50( + 1)

Упражнение 2

тангенс-1 ≈ 35.26°, с точностью до двух знаков после запятой.

Упражнение 3

АР = 24,57… м и ОА = 11,54 м с точностью до см.

Упражнение 4

Пусть САМ = θ

Следовательно, CAB = 180° − θ

h = b sin θ (треугольник CAM) и h = a sin B (треугольник CAB)

Поэтому a sin B = b sinθ = b sin (180° — А)
= б грех А
так =

отсюда и результат.

Упражнение 5

sin 0° = 0, sin 90° = 1, sin 180° = 0

cos 0° = 1, cos 90° = 0, cos 180° = −1

Упражнение 6

-, —

Упражнение 7

sin−1 ≈ 22,62° (с точностью до двух знаков после запятой). Две стороны и прямой угол определяют уникальный треугольник (RHS-конгруэнтность).

Упражнение 8

В треугольнике BCM h3 = a2 − (c + MA)2

В треугольнике CMA h3 = b2 − MA2

Следовательно, a2 − (c + MA)2= b2 − MA2

а2 = b2 + с2 + 2с × МА

Но MA = b cos (180° — A) = — b cos A

Следовательно, a2 = b2 + c2 − 2bc cos A

Упражнение 9

a sin A > sin B > sin C (если a > b и a sin B = b sin A, то sin A > sin B

b Согласно замечанию в начале этого абзаца, A > B > C.

c Углы P и Q складываются с θ, потому что сумма углов треугольника равна 180°.
Следовательно, P и Q меньше, чем θ, поэтому sin P и sin Q меньше, чем sin θ = sin P.

d В части c тупой угол равен A, который, следовательно, является наибольшим из трех углов.
Следовательно, sin B > sin C, где B и C острые, поэтому A > B > C.

Упражнение 10

б Группировка терминов,
, потому что В — потому что А =
=
=

c Из a > b > c > 0 следует, что ab > c2 и a3 > b3.Следовательно, cos B > cos A.

d Аналогичное рассуждение доказывает, что cos C > cos B, поэтому cos C > cos B > cos A.

Согласно примечанию в начале этого абзаца, A > B > C.

Упражнение 11

a Пусть ABC образует прямой угол в точке C. Тогда AB2 = AC2 + BC2. Следовательно, AB2 больше, чем AC2 и BC2, поэтому AB длиннее, чем AC и BC.

b В прямоугольном треугольнике два других угла острые, так как сумма углов треугольника равна 180°.Следовательно, прямой угол является наибольшим углом.

Упражнение 12

Мы используем ту же диаграмму, что и для случая тупого угла для доказательства правила синусов и косинусов.

Площадь = c × h = cb sin θ
= CB sin A

Указанный результат получен симметрией аргумента.

Упражнение 13

θ = 30° или 150°

Упражнение 14

Для данного треугольника ABC cb sin A = ca sin B.Поэтому bsin A = asin B и = .

Упражнение 15

Упражнение 16

bТреугольник ABC подобен треугольнику CDB (AA)

c = d cos B = e sin2 B = 1 − =

 

Проект «Улучшение математического образования в школах» (TIMES) на 2009–2011 годы финансировался Министерством образования, занятости и трудовых отношений правительства Австралии.

Мнения, выраженные здесь, принадлежат автору и не обязательно отражают точку зрения Министерства образования, занятости и трудовых отношений правительства Австралии.

© Мельбурнский университет от имени Международного центра передового опыта в области образования по математике (ICE-EM), образовательного подразделения Австралийского института математических наук (AMSI), 2010 г. (если не указано иное). Эта работа находится под лицензией Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Unported License.
https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/

Калькулятор треугольника

– площадь в квадратных футах

Что такое треугольник?

Треугольник – это особая замкнутая форма или многоугольник, который имеет три вершины, три стороны и три угла.Вершина — это точка, в которой встречаются две линии или стороны. Поскольку треугольник имеет три стороны, он также имеет три вершины a, b и c. Сумма внутренних углов всегда равна 180°. Треугольники можно классифицировать по длине стороны и внутреннему углу.

Например, треугольник с равными длинами сторон может быть идентифицирован как равносторонний треугольник или треугольник, ни одна из линий / сторон, имеющих одинаковую длину, не является разносторонним треугольником.

Треугольники, идентифицированные по длинам сторон:

Треугольники, идентифицированные углами:

Типы треугольников:

Треугольники можно разделить на 6 различных типов в зависимости от длины их сторон и углов.

  1. Остроугольный треугольник:

    Треугольник, у которого все три угла меньше 90°.
    ∠ABC, ∠ACB и ∠BAC — все острые углы.

  2. Прямоугольный треугольник:

    Треугольник, у которого один угол равен 90°.
    ∠ABC = один прямой угол.

  3. Тупоугольный треугольник:

    В тупоугольном треугольнике любой из треугольников больше 90°.
    ∠АВС

  4. Равносторонний треугольник:

    Когда длины всех сторон треугольника равны.Он называется равносторонним.
    Здесь АВ = ВС = СА.

  5. Равнобедренный треугольник:

    Треугольник, у которого хотя бы две стороны равны, является равнобедренным.
    Здесь АВ = АС.

  6. Разносторонний треугольник:

    Треугольник, у которого все стороны разной длины.

Факты о треугольнике:

Треугольник не может иметь более одной стороны, больше или равной 90°. Как упоминалось выше в определении треугольника, треугольник — это замкнутый путь.

Сумма всех внутренних треугольников всегда равна 180°.

Сумма длин любых двух сторон всегда больше длины третьей стороны.

Теорема Пифагора:

Теорема Пифагора, это теорема о прямоугольном треугольнике. Согласно теореме Пифагора, квадрат длины по стороне гипотенузы (наибольшая сторона) равен сумме двух других сторон. Любой треугольник, удовлетворяющий этому условию, является прямоугольным.

Уравнение Пифагора:

a 2 + b 2 = c 2
ПРИМЕР: Учитывая a = 5, c = 7, найти b:
5 2 + b 2 = 7 2 3 b3 51 +

2 90 = 49
б 2 = 24 => б = 4.8989

Закон синусов:

По закону синусов отношение длины стороны к синусу противоположного ей угла постоянно. Закон синусов помогает найти любую недостающую длину или угол треугольника. Например: если известна длина стороны а и углы А и В. Мы можем легко найти длину стороны b, подставив данную информацию в формулы ниже:

В случае, когда известны все длины сторон, углы треугольников можно вычислить следующим образом:

Как вычислить площадь треугольника?

Существует множество способов вычисления площади треугольника.Выбор метода зависит от имеющейся информации. Самый распространенный способ узнать площадь треугольника:

.

В случае, когда известны все длины сторон, углы треугольников можно вычислить следующим образом:

В сценарии, где даны две стороны и угол. Небольшое изменение в формуле можно сделать, чтобы получить площадь треугольника. Формула будет:

Существует еще один метод расчета площади треугольника по формуле Герона, требующий знания всех трех сторон:

Медиана:

Медиана треугольника — это длина линии, проведенной от вершины треугольника к середине противоположной стороны.Треугольник имеет три медианы, которые пересекаются в центре треугольника.

Центроид – это среднее арифметическое положение всех точек треугольника.


Ma = медиана стороны a
Mb = медиана стороны b
Mc = медиана стороны c
Медиана каждой стороны может быть рассчитана следующим образом:

Инрадиус:

Внутренний радиус — это радиус окружности, начерченной внутри треугольника, которая касается всех трех сторон треугольника, т. е. вписанной окружности. Центром этой окружности является точка, в которой пересекаются две биссектрисы угла.Он перпендикулярен любой из трех сторон треугольника.


Формула для расчета внутреннего радиуса:
Внутренний радиус = площадь / с
Где s = a + b + c / 2
Где a, b и c — длины сторон треугольника.

Радиус окружности:

В случае треугольника радиус описанной окружности — это радиус окружности, проходящей через все вершины треугольника. Центр этой окружности называется центром описанной окружности. Центр окружности — это точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры каждой стороны треугольника.


Формула для радиуса описанной окружности:
Радиус окружности = a / 2 * sin(A)
Где a — длина стороны, а A — угол, противоположный стороне a.
Хотя используются сторона a и угол A, в формуле можно использовать любую из сторон и соответствующие им противоположные углы.

Чтобы понять, как рассчитать квадратные метры, мы должны сначала начать с определения площади. Площадь – это размер двумерной поверхности. Площадь треугольника – это пространство, содержащееся внутри его трех сторон.Чтобы узнать площадь треугольника, нам нужно знать длины трех его сторон. Стороны должны быть измерены в футах (футах) для расчета квадратных метров и, при необходимости, преобразованы в дюймы (дюймы), ярды (ярды), сантиметры (см), миллиметры (мм) и метры (м).

Формула:
Площадь треугольника = (1/4) x √ [ (a+b+c) x (b+ca) x (c+ab) x (a+bc) ]
Длина стороны a (раскрывающиеся футы, дюймы, ярды, см, мм, м)
Длина стороны b (раскрывающиеся футы, дюймы, ярды, см, мм, м)
Длина стороны c (раскрывающиеся футы, дюймы, ярды, см, мм, м)
Ответ = ((1/4) x √ [ (a+b+c) x (b+ca) x (c+ab) x (a+bc) ])
Сокращения единиц площади: футов 2 , дюймов 2 , ярдов 2 , см 2 , мм 2 , м 2

Где он вам нужен в повседневной жизни?

Наш Калькулятор Треугольника поможет вам рассчитать площадь, необходимую для формы треугольника.Хотя мы охватываем наиболее распространенный вариант использования, например. Вы можете знать две стороны и угол между ними, но хотели бы знать недостающую длину стороны. мы также недавно добавили калькулятор прямоугольного треугольника, который также часто используется в сценарии, где вы знаете две длины сторон треугольника, одна из которых составляет 90 ° градусов.

Какие размеры вам нужны?

Вам необходимо знать длину трех сторон треугольника в футах (футах), дюймах (дюймах), ярдах (ярдах), сантиметрах (см), миллиметрах (мм) или метрах (м).

Что можно рассчитать с помощью этого инструмента?

Вы можете рассчитать площадь треугольника в квадратных футах, квадратных дюймах, квадратных ярдах, квадратных сантиметрах, квадратных миллиметрах и квадратных метрах. Да, наш инструмент такой классный.

Наш калькулятор дает возможность рассчитать точную стоимость материалов. Все, что вам нужно сделать, это ввести цену за единицу площади и вуаля, у вас есть общая стоимость материалов в один клик!

Коэффициенты пересчета:

Чтобы преобразовать квадратные футы, квадратные дюймы, квадратные ярды, квадратные сантиметры, квадратные миллиметры и квадратные метры, вы можете использовать следующую таблицу преобразования.

Квадратные футы в квадратные ярды умножьте футы 2 на 0,11111, чтобы получить ярды 2
Квадратные футы в Квадратные метры умножьте футы 2 на 0,092903, чтобы получить м 2
Квадратные ярды в квадратные футы умножьте ярды 2 на 9, чтобы получить футы 2
Квадратные ярды в Квадратные метры умножить ярдов 2 на 0.836127 чтобы получить m 2
Квадратные метры в Квадратные футы умножьте m 2 на 10,7639, чтобы получить ft 2
Квадратные метры в Квадратные ярды умножьте m 2 на 1,19599, чтобы получить ярды 2
Квадратные метры в квадратные миллиметры умножьте значение m 2 на 1000000, чтобы получить мм 2
Квадратные метры в Квадратные сантиметры умножьте значение m 2 на 10 000, чтобы получить см 2
Квадратные сантиметры в Квадратные метры умножьте значение cm 2 на 0.0001 чтобы получить мм 2
Квадратные сантиметры в Квадратные миллиметры умножьте значение см 2 на 100, чтобы получить мм 2
Квадратные миллиметры в квадратные сантиметры умножьте значение мм 2 на 0,000001, чтобы получить см 2
Квадратных миллиметров в квадратных метров умножьте значение мм 2 на 1000000, чтобы получить m 2
.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск