Отрезок это фигура в математике: 1. Начальные геометрические понятия. Точки, прямые, лучи и отрезки

Содержание

точка, прямая, отрезок, луч, ломаная линия. Урок «Прямая»

Страница 1 из 3

§1. Контрольные вопросы
Вопрос 1. Приведите примеры геометрических фигур.
Ответ. Примеры геометрических фигур: треугольник, квадрат, окружность.

Вопрос 2. Назовите основные геометрические фигуры на плоскости.
Ответ. Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая.

Вопрос 3. Как обозначаются точки и прямые?
Ответ. Точки обозначаются прописными латинскими буквами: A, B, C, D, … . Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: a, b, c, d, … .
Прямую можно обозначать двумя точками, лежащими на ней. Например, прямую a на рисунке 4 можно обозначить AC, а прямую b можно обозначить BC.

Вопрос 4. Сформулируйте основные свойства принадлежности точек и прямых.
Ответ. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.


Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
Вопрос 5. Объясните, что такое отрезок с концами в данных точках.
Ответ. Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными её точками. Эти точки называются концами отрезка. Отрезок обозначается указанием его концов. Когда говорят или пишут: «отрезок AB», то подразумевают отрезок с концами в точках A и B.

Вопрос 6. Сформулируйте основное свойство расположения точек на прямой.
Ответ. Из трёх точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
Вопрос 7. Сформулируйте основные свойства измерения отрезков.
Ответ. Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
Вопрос 8. Что называется расстоянием между двумя данными точками?

Ответ. Длину отрезка AB называют расстоянием между точками A и B.
Вопрос 9. Какими свойствами обладает разбиение плоскости на две полуплоскости?
Ответ. Разбиение плоскости на две полуплоскости обладает следующим свойством. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.

Несмотря на то что геометрия относится к числу точных наук, ученые не могут однозначно дать определение термину «прямая». В самом общем виде можно дать такое определение: «Прямая — это линия, путь вдоль которой равен расстоянию между двумя точками».

Что такое прямая в математике? Определение прямой в математике: прямая не имеет концов и может продолжаться в обе стороны до бесконечности.

К основным понятиям геометрии относятся точка, прямая и плоскость, они даются без определения, но определения других геометрических фигур даются через эти понятия. Плоскость, как и прямая, — это первичное понятие, не имеющее определения.

Это утверждение устанавливается следующей аксиомой: если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей.

Задача: где прямая, луч, отрезок, кривая? Вершины ломаной(похожи на вершины гор) — это точка, с которой начинается ломанная, точки, в которых соединяются отрезки, образующие ломаную, точка, которой заканчивается ломанная. Задача: какая ломанная длиннее, а у какой больше вершин? Смежные стороны многоугольника — это смежные звенья ломанной. Вершины многоугольника — это вершины ломанной. Соседние вершины — это точки концов одной стороны многоугольника.

На уроках математики можно услышать следующее объяснение: математический отрезок имеет длину и концы. Отрезок в математике — это совокупность всех точек, лежащих на прямой между концами отрезка.

В дальнейшем будут определения для разных фигур кроме двух — точка и прямая. Значит иногда обозначить прямую можем и двумя большими латинскими буквами, например, прямая\(AB\), так как никакая другая прямая через эти две точки не может быть проведена. Символически записываем отрезок \(AB\).

Что такое точка в математике?

Теорема:Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. С. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику. С. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой. Здесь собраны основные определения, теоремы, свойства фигур на плоскости.

Вектор с координатами точки называется нормальным вектором, он перпендикулярен прямой.

При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенно определяется аксиомами геометрии.

4.Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или они параллельны. Лучом называют часть прямой линии, ограниченную с одной стороны. Отрезок, как и прямая линия, обозначается или одной буквой, или двумя. В последнем случае эти буквы указывают концы отрезка.

Точка — это абстрактный объект, который не имеет измерительных характеристик: ни высоты, ни длины, ни радиуса. В рамках задачи важно только его местоположение

Точка обозначается цифрой или заглавной (большой) латинской буквой. Несколько точек — разными цифрами или разными буквами, чтобы их можно было различать

точка A, точка B, точка C
A B C
точка 1, точка 2, точка 3
1 2 3

Можно нарисовать на листке бумаги три точки «А» и предложить ребёнку провести линию через две точки «А». Но как понять через какие? A A A

Линия — это множество точек. У неё измеряют только длину. Ширины и толщины она не имеет

Обозначается строчными (маленькими) латинскими буквами

линия a, линия b, линия c
a b c

Линия может быть

  1. замкнутой, если её начало и конец находятся в одной точке,
  2. разомкнутой, если её начало и конец не соединены
замкнутые линии
разомкнутые линии
Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб и вернулся обратно в квартиру. Какая линия получилась? Правильно, замкнутая. Ты вернулся в исходную точку. Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб, зашёл в подъезд и разговорился с соседом. Какая линия получилась? Разомкнутая. Ты не вернулся в исходную точку. Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб. Какая линия получилась? Разомкнутая. Ты не вернулся в исходную точку.
  1. самопересекающейся
  2. без самопересечений
самопересекающиеся линии
линии без самопересечений
  1. прямой
  2. ломанной
  3. кривой
прямые линии
ломанные линии
кривые линии

Прямая линия — это линия которая не искривляется, не имеет ни начала, ни конца, её можно бесконечно продолжать в обе стороны

Даже когда виден небольшой участок прямой, предполагается, что она бесконечно продолжается в обе стороны

Обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами — точками, лежащими на прямой

прямая линия a
a
прямая линия AB
B A

Прямые могут быть

  1. пересекающимися, если имеют общую точку. Две прямые могут пересекаться только в одной точке.
    • перпендикулярными, если пересекаются под прямым углом (90°).
  2. параллельными, если не пересекаются, не имеют общей точки.
параллельные линии
пересекающиеся линии
перпендикулярные линии

Луч — это часть прямой, которая имеет начало, но не имеет конца, её можно бесконечно продолжать только в одну сторону

У луча света на картинке начальной точкой является солнце

солнышко

Точка разделяет прямую на две части — два луча A A

Луч обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается луч, а вторая — точка, лежащая на луче

луч a
a
луч AB
B A

Лучи совпадают, если

  1. расположены на одной и той же прямой,
  2. начинаются в одной точке,
  3. направлены в одну сторону
лучи AB и AC совпадают
лучи CB и CA совпадают
C B A

Отрезок — это часть прямой, которая ограничена двумя точками, то есть она имеет и начало и конец, а значит можно измерить её длину.

Длина отрезка — это расстояние между его начальной и конечной точками

Через одну точку можно провести любое число линий, в том числе прямых

Через две точки — неограниченное количество кривых, но только одну прямую

кривые линии, проходящие через две точки
B A
прямая линия AB
B A

От прямой «отрезали» кусочек и остался отрезок. Из примера выше видно, что его длина — наикратчайшее расстояние между двумя точками. ✂ B A ✂

Отрезок обозначается двумя заглавными(большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается отрезок, а вторая — точка, которой заканчивается отрезок

отрезок AB
B A

Задача: где прямая , луч , отрезок , кривая ?

Ломанная линия — это линия, состоящая из последовательно соединённых отрезков не под углом 180°

Длинный отрезок «поломали» на несколько коротких

Звенья ломаной (похожи на звенья цепи) — это отрезки, из которых состоит ломанная. Смежные звенья — это звенья, у которых конец одного звена является началом другого. Смежные звенья не должны лежать на одной прямой.

Вершины ломаной (похожи на вершины гор) — это точка, с которой начинается ломанная, точки, в которых соединяются отрезки, образующие ломаную, точка, которой заканчивается ломанная.

Обозначается ломанная перечислением всех её вершин.

ломанная линия ABCDE
вершина ломанной A, вершина ломанной B, вершина ломанной C, вершина ломанной D, вершина ломанной E
звено ломанной AB, звено ломанной BC, звено ломанной CD, звено ломанной DE
звено AB и звено BC являются смежными
звено BC и звено CD являются смежными
звено CD и звено DE являются смежными
A B C D E 64 62 127 52

Длина ломанной — это сумма длин её звеньев: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Задача: какая ломанная длиннее , а у какой больше вершин ? У первой линии все звенья одинаковой длины, а именно по 13см. У второй линии все звенья одинаковой длины, а именно по 49см. У третьей линии все звенья одинаковой длины, а именно по 41см.

Многоугольник — это замкнутая ломанная линия

Стороны многоугольника (помогут запомнить выражения: «пойти на все четыре стороны», «бежать в сторону дома», «с какой стороны стола сядешь?») — это звенья ломанной. Смежные стороны многоугольника — это смежные звенья ломанной.

Вершины многоугольника — это вершины ломанной. Соседние вершины — это точки концов одной стороны многоугольника.

Обозначается многоугольник перечислением всех его вершин.

замкнутая ломанная линия, не имеющая самопересечения, ABCDEF
многоугольник ABCDEF
вершина многоугольника A, вершина многоугольника B, вершина многоугольника C, вершина многоугольника D, вершина многоугольника E, вершина многоугольника F
вершина A и вершина B являются соседними
вершина B и вершина C являются соседними
вершина C и вершина D являются соседними
вершина D и вершина E являются соседними
вершина E и вершина F являются соседними
вершина F и вершина A являются соседними
сторона многоугольника AB, сторона многоугольника BC, сторона многоугольника CD, сторона многоугольника DE, сторона многоугольника EF
сторона AB и сторона BC являются смежными
сторона BC и сторона CD являются смежными
сторона CD и сторона DE являются смежными
сторона DE и сторона EF являются смежными
сторона EF и сторона FA являются смежными
A B C D E F 120 60 58 122 98 141

Периметр многоугольника — это длина ломанной: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и т. д.

В геометрии основными геометрическими фигурами являются точка и прямая. Для обозначения точек принято использовать прописные латинские буквы: A, B, C, D, E, F … . Для обозначения прямых используют строчные латинские буквы: a, b, c, d, e, f … . На рисунке ниже представлена прямая а, и несколько точек A, B, C, D.

Для изображения на рисунке прямой мы пользуемся линейкой, но мы изображаем не всю прямую, а только лишь её кусок. Так как прямая в нашем представлении простирается до бесконечности в обе стороны, то прямая есть бесконечна.

На рисунке представленном выше мы видим, что точки А и С расположены на прямой а . В таких случаях говорят, что точки А и С принадлежат прямой а. Либо говорят, что прямая проходит через точки А и С. При записи принадлежность точки к прямой обозначают специальным значком. А тот факт, что точка не принадлежит прямой, отмечают таким же значком, только зачеркнутым.

В нашем случае точки B и D не принадлежат прямой а.

Как уже отмечалось выше, на рисунке точки А и С принадлежат прямой а. Часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными точками называется отрезком . Другими словами, отрезком называется часть прямой, ограниченная двумя точками.

В нашем случае мы имеем отрезок АB . Точки А и B называются концами отрезка. Для того, чтобы обозначить отрезок указывают его концы, в нашем случае АB. Одним из основных свойств принадлежности точек и прямых является следующее свойство : через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.

Если две прямые имеют общую точку, то говорят, что эти две прямые пересекаются. На рисунке прямые a и b пересекаются в точке A. Прямые а и с не пересекаются.

Любые две прямые имеют только одну общую точку либо не имеют общих точек. Если предположить обратное, что две прямые имеют две общих точки, тогда через них проходили бы две прямые. А это невозможно, так как через две точки можно провести лишь одну прямую.

Рекомендуем также

Точка.

Линия. Луч. Отрезок. Кривая.

План урока

Предмет: Математика

Сквозная тема: «Моя школа»

Раздел3: Элементы геометрии

Подраздел 3.1.: Геометрические фигуры и их классификация

Класс: 1

Тема урока

Геометрические фигуры: Точка. Линия. Луч. Отрезок. Кривая.

Цели обучения, которые достигаются на данном уроке (ссылка на учебную программу)

1.3.1.1 распознавать и называть геометрические фигуры: точка, прямая, кривая, замкнутая и незамкнутая линии, луч, отрезок, угол.

Цель урока

Учащиеся смогут распознавать точку, линии, прямую, отрезок , кривую, луч, угол;

выявлять различия геометрических фигур.

Критерии оценивания

Смогут определять, перечислять геометрические фигуры;

Выбирать данную геометрическую фигуру из всех фигур;

сравнивать фигуры, выделять основные признаки, классифицировать фигуры.

Языковые цели

Учащиеся могут:

обсуждать и объяснять геометрические фигуры в соответствии с их признаками, выделять ее среди других фигур

Предметная лексика . Ключевые слова и фразы: луч, прямая, точка, замкнутая, кривая, незамкнутая, ломаная, отрезок, начало, конец

Вопросы для обсуждения:

Обсуждение:

• Почему следует группировать их вместе?

• Какие общие признаки имеют эти фигуры?

• Где вы использовали подобные фигуры?

Можете ли вы сказать, почему…? Это линия называется замкнутой?

Воспитание ценностей

Воспитание коммуникативных возможностей (уважения, взаимопомощи, сотрудничества; труд и творчество воспитание осуществляется через все приемы и методы, используемые на уроке.

Межпредметные связи

Обучение грамоте, художественный труд, геометрия

Предыдущие

знания

перерабатывают полученную информацию: сравнивают и группируют плоские геометрические фигуры.

Ход урока

Запланированные этапы урока

Виды упражнений, запланированных на уроке

Ресурсы

Начало урока

1-9 мин.

  1. Создание коллаборативной среды. Метод «Четыре стихии»

2.1. Деление на группы

Дома заранее учащимся предлагалось разукрасить картинки. Если я скажу «солнце» — вы подтягиваетесь к солнышку . Если я скажу «радуга» — вы вытягиваете руки к друг другу и создаете радугу. Если скажу «ветер» — вы поднимаетесь на носочки и дуете вверх. Если я скажу «дождь» — вы вращаете руками топаете ногами. Далее распределяются по группам

1группа-солнце это будут названия групп

2группа-радуга

3группа-ветер

4 группа-дождь.

– формируются группы по 5 человека)

Эти знаки являются в каждой группе своим обозначением для ФО.

ФО добавляются условные обозначения на каждый правильный ответ. (В конце урока ведется подсчет каждой группы. Выигрывает группа, получившая большее количество знаков).

2.2 стратегия «Предположение»)

В группах на столах лежат конверты, в которых геометрические фигуры:

-Как вы думаете о чем будем говорить?

Выход на тему урока

2.3Прием «Что лишнее?» Д/О

( учащимся предлагаются предложения для ответов

………..является…………..в то время как……….., потому что…………. Все лишние фигуры по предложения детей вывешиваются на доску.

Ф/О-«»

Середина урока

35 мин

Ф.О. первая группа показывает прямые-остальные группы сверяются. Если правильно то берут условный знак.

2гр.кривые линии

3гр замкнутые

4гр лучи. Остается одна карточка с отрезком

Ф.О. за ответ на вопрос – условный знак

Критерии успеха

Проблемная ситуация. Учитель: Сегодня на уроке проведем исследование, совершим маленькие «открытия» и, надеюсь, по окончанию урока проверим наши ответы- предположения.

Пожелание успеха на уроке.

3.Стратения «Предположение»

Как вы думаете, о чем будем говорить сегодня на уроке?

Выход на тему урока

Проблемная ситуация. Учитель: Сегодня на уроке мы будем наблюдать за такими линиями, займёмся исследованием, совершим маленькие «открытия» и, надеюсь, ответим на многие ваши вопросы


  • Мы с вами отправимся в Шишкину школу. В гости к Шунечке

  • Просматривают мультфильм до момента (поселилась точка)

  • Работают индивидуально.

  • -Давайте вы тоже поселите себе точку на ламинированные листы. И мы нарисуете друзей своим точкам.(вр 2,35с)

  • Выполним просьбу точки, добавьте ей много, много друзей. (2,45сек). — Сколько у вас получилось точек? (Множество).

  • Подружите их между собой ( вр 3,54с)

— Какие линии у вас получились? (Кривые).

— Почему они называются кривыми?

(Они неровные, проводятся от руки).

— Ровную линию провести очень трудно. Какой инструмент понадобиться , чтобы провести прямую линию.

Я люблю прямоту, я сама прямая.

Сделать ровную черту всем я помогаю.

Что-нибудь без меня начертить сумей-ка.

Угадайте-ка, друзья, кто же я ?… (Линейка)

Исследование

  • А как мы с вами можем показать, что мы дружные?

  • В группе дети берутся за руки.

  • Постройте прямую. /дети выстраиваются в линии.

  • Сколько у нас получилось прямых?/4/

  • Предложите , каким образом мы можем превратиться в одну линию? / встать в одну линию/

  • Постараться построиться ровно, прямо (но в кабинете не хватит места и линия будет кривая) Дети в руках держат нить или веревку.

  • Наша линия соответствует выполненному заданию?/нет/ Почему? Как мы ее тогда можем назвать? Дети дают название – кривая.

  • Разыгрывает учитель. Где будет мое место?/ учитель встает либо с одного конца прямой, либо с другого конца прямой. Показывает начало отрезка. Кто назовет- что теперь у нас получилось?/луч/ Что же мне делать,- Не могу же я вечно гулять по прямой.

  • Кто догадался, каким способом нам вернуться на свои группы и превратиться обратно в отрезки./ разъединиться/ Позвать на помощь ножницы,

Тут, откуда ни возьмись появились ножницы, щёлкнули раз, щёлкнули два, и разрезали прямую.

Это отрезок, — сказали ножницы, теперь ты на отрезке прямой. Что необходимо для построения прямой? Чем нужно было пользоваться? Знакомство с линейкой.

Дети возвращаются на свои места и выполняют следующее задание, Как интересно, что же получилось из прямой, которую мы с вами построили?/луч, кривая, замкнутая, отрезок/

Вывод. Возвращаемся к началу нашего урока , когда мы выбирали геометрические фигуры. Проверим наши ответы. Дети делают выводы.

Стадия осмысления.

  • Формирвание новых знаний. Практическая работа 1. Прием «Шкатулка»

  • В группы предлагается детям продукты и предметы из повседневной жизни

  • ( трубочки, макароны, спагетти, гречка, горох, лапша, ватные палочки, пластилин, тесьма. Используя активный словарь, расположенным на классной доске. Распределить данный материал, по соответствующим группам.

2 . сквозная тема «Моя школа»

В классе, где мы можем наблюдать наши изученные геометрические фигуры?

З. межпредметная связь.

На уроке обучению грамоте?

Значок /сигнал светофор/

Стадия осмысления.

Формирвание новых знаний. Практическая работа.

— А в какую группу поместить оставшуюся карточку? Назовите ее отличия?

Кто знает как называется такая фигура?( отрезок)

Какой вывод можно сделать? Линии бывают прямые и кривые, замкнутые, незамкнутые, ломаные.

Ребята, посмотрите, как проведены линии? Прямые ли линии?(кривые) Почему не получились?

Рабочий лист 46 «Учись строить линии, лучи и точки», с. 48.

Предложите учащимся рассмотреть иллюстрацию в тетради, задание детям найти на рисунке точки, замкнутые и незамкнутые линии.

Ответы

Закрепите понятие о разных видах линий: прямых и кривых. Сделайте вывод о том, что для изображения прямых линий следует пользоваться линейкой и остро заточенным карандашом.

Физминутка

Точка-двигаются по одному

Луч- строят луч

Прямая линия – идут в колонне друг за другом

Кривая – извиваются змейкой и т.д.

Попробуй. Предложите школьникам выполнить задание в парах, используя ламинированные листы и маркеры. Предоставьте им возможность в парах построить две точки и провести через них линию. Обратите внимание на то, что линия должна быть прямая.

Реши. Задание направлено на отработку умения называть линии. Сообщите ребятам, что для обозначения линий в математике можно использовать строчные буквы латинского алфавита.

Стадия осмысления Работа в группе:

1. гр.: найди и назови геом. фигуры на картинке и при помощи пластилина раскатать различные виды линий

2гр.: Найдите подобные геометрические фигуры среди окружающих предметов в классе.

Преобразуйте лучи в отрезки, точки в лучи. Кто больше составит картинок из геом.фигур

3гр.: 1.Из окружающего нас мира приведите примеры какие предметы могут быть в виде прямой, отрезка, луча.

2.Как можно больше нарисовать предметов из геом.фигур

Оценивание группами: карточки с буквами Д, С (достиг, стремится)

Формативное оценивание учителем (похвала, у каждой группы условный знак за правильные ответы)

умеют распознавать геометрические фигуры: прямая линия, кривая линия, луч, различать прямые и кривые линии, чертить прямые линии при помощи линейки.

Ресурсы:Образов. сайт «Шишкина школа»

  • цветные фломастеры

  • маркерная доска или листы формата A3;

  • ламинированные дощечки для учащихся;

  • электронная

  • ;

Составляется активный словарь урока. / карточки с названием геометрических фигур/ постепенно вывешиваются на доску

Учебник:

Точка. Линия. Луч, с. 48—49.

На классной доске формируется словарь:

Точка.

луч.

прямая.

замкнутая.

кривая

Рабочая тетрадь:

Рабочий лист 45 «Точка. Линия. Луч», с. 47. Рабочий лист 46 «Учись строить линии, лучи и точки», с. 48.

Конец урока

10 мин.

Рефлексия (

прием-4 стихии)

Рисунки солнышек: солнышко улыбающееся – урок понравился, все понятно;

Солнышко слегка хмурое: есть затруднения, на уроке было интересно;

Солнышко закрыто тучками: ничего не понятно, урок не понравился.

Формативное оценивание учителем (похвала)

Самооценивание: подсчет значков у каждой группы

Задание

Соотнесите название с изображением фигуры (или укажите номер фигуры в

соответствии с названием

Дескриптор: Обучающийся

— определяет отрезок;

— определяет прямую линию;

— определяет ломаную линию;

— определяет луч;

— определяет угол;

— определяет замкнутую линию;

— определяет кривую незамкнутую линию.

Геометрические фигуры. Полные уроки — Гипермаркет знаний

Точка и прямая являются основными геометрическими фигурами на плоскости.

Древнегреческий учёный Евклид говорил: «точка» – это то, что не имеет частей». Слово «точка» в переводе с латинского языка означает результат мгновенного касания, укол. Точка является основой для построения любой геометрической фигуры.

Прямая линия или просто прямая – это линия, вдоль которой расстояние между двумя точками является кратчайшим. Прямая линия бесконечна, и изобразить всю прямую и измерить её невозможно.

Точки обозначают заглавными латинскими буквами А, В, С, D, Е и др., а прямые теми же буквами, но строчными а, b, c, d, e и др. Прямую можно обозначить и двумя буквами, соответствующими точкам, лежащим на ней. Например, прямую a можно обозначить АВ.

Можно сказать, что точки АВ лежат на прямой а или принадлежат прямой а. А можно сказать, что прямая а проходит через точки А и В.

Простейшие геометрические фигуры на плоскости – это отрезок, луч, ломаная линия.

Отрезок – это часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, ограниченных двумя выбранными точками. Эти точки – концы отрезка. Отрезок обозначается указанием его концов.

Луч или полупрямая – это часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной её точки. Эта точка называется начальной точкой полупрямой или началом луча. Луч имеет точку начала, но не имеет конца.

Полупрямые или лучи обозначаются двумя строчными латинскими буквами: начальной и любой другой буквой, соответствующей точке, принадлежащей полупрямой. При этом начальная точка ставится на первом месте.

Получается, что прямая бесконечна: у неё нет ни начала, ни конца; у луча есть только начало, но нет конца, а отрезок имеет начало и конец. Поэтому только отрезок мы можем измерить.

Несколько отрезков, которые последовательно соединены между собой так, что имеющие одну общуюточкуотрезки (соседние) располагаются не на одной прямой, представляют собой ломаную линию.

Ломаная линия может быть замкнутой и незамкнутой. Если конец последнего отрезка совпадает с началом первого, перед нами замкнутая ломаная линия, если же нет – незамкнутая.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Кандинский систематизировал свои взгляды на живопись в книге «Точка и линия на плоскости» (1926). Изучая геометрические формы, художник нашёл, что с их помощью можно усиливать или ослаблять свойства цвета. Для этой картины он использовал приглушённую палитру, смещённую к цветам, расположенным в одной части спектра.

Цитаты из книги:
ЛИНИЯ
Геометрическая линия – это невидимый объект. Она – след перемещающейся точки, то есть ее произведение. Она возникла из движения – а именно вследствие уничтожения высшего, замкнутого в себе покоя точки. Здесь произошел скачок из статики в динамику.
Таким образом, линия – величайшая противоположность живописного первоэлемента – точки. И она с предельной точностью может быть обозначена как вторичный элемент.

ВОЗНИКНОВЕНИЕ
Силы, приходящие извне, преобразовавшие точку в линию, могут быть различными. Разнообразие линий зависит от числа этих сил и их комбинаций.
В конце концов [происхождение] всех форм линий можно свести к двум случаям:
1. приложение одной силы и
2. приложение двух сил:
а) одно- или многократное поочередное воздействие обеих сил,
б) одновременное воздействие обеих сил.


ПРЯМАЯ
Если одна приходящая извне сила перемещает точку в каком-либо направлении, то возникает первый тип линии, причем выбранное направление остается неизменным, и сама линия стремится двигаться по прямому пути бесконечно.
Это – прямая, представляющая в своем напряжении самую сжатую форму бесконечной возможности движения.

Среди прямых мы выделяем три типа, по отношению к которым все прочие прямые – лишь отклонения.
1. Простейшая форма прямой – это горизонталь. В человеческом представлении она соответствует линии или поверхности, на которой человек стоит или передвигается. Итак, горизонталь – это холодная несущая основа, которая может быть продолжена на плоскости в различных направлениях. Холод и плоскостность – это основные звучания данной линии, она может быть определена как кратчайшая форма неограниченной холодной возможности движения.
2. Полностью противоположна этой линии и внешне, и внутренне стоящая к ней под прямым углом вертикаль, в которой плоскостность заменяется высотой, то есть холод – теплом. Таким образом, вертикаль является кратчайшей формой неограниченной теплой возможности движения.
3. Третий типичный вид прямой – это диагональ, которая схематичным образом под равным углом отклоняется от обеих вышеназванных и тем самым имеет к обеим равное тяготение, что и определяет ее внутреннее звучание, равномерное соединение холода и тепла. Итак: кратчайшая форма неограниченной тепло-холодной возможности движения .. .

Точка и прямая являются основными геометрическими фигурами на плоскости.

Древнегреческий учёный Евклид говорил: «точка» – это то, что не имеет частей». Слово «точка» в переводе с латинского языка означает результат мгновенного касания, укол. Точка является основой для построения любой геометрической фигуры.

Прямая линия или просто прямая – это линия, вдоль которой расстояние между двумя точками является кратчайшим. Прямая линия бесконечна, и изобразить всю прямую и измерить её невозможно.

Точки обозначают заглавными латинскими буквами А, В, С, D, Е и др., а прямые теми же буквами, но строчными а, b, c, d, e и др. Прямую можно обозначить и двумя буквами, соответствующими точкам, лежащим на ней. Например, прямую a можно обозначить АВ.

Можно сказать, что точки АВ лежат на прямой а или принадлежат прямой а. А можно сказать, что прямая а проходит через точки А и В.

Простейшие геометрические фигуры на плоскости – это отрезок, луч, ломаная линия.

Отрезок – это часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, ограниченных двумя выбранными точками. Эти точки – концы отрезка. Отрезок обозначается указанием его концов.

Луч или полупрямая – это часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной её точки. Эта точка называется начальной точкой полупрямой или началом луча. Луч имеет точку начала, но не имеет конца.

Полупрямые или лучи обозначаются двумя строчными латинскими буквами: начальной и любой другой буквой, соответствующей точке, принадлежащей полупрямой. При этом начальная точка ставится на первом месте.

Получается, что прямая бесконечна: у неё нет ни начала, ни конца; у луча есть только начало, но нет конца, а отрезок имеет начало и конец. Поэтому только отрезок мы можем измерить.

Несколько отрезков, которые последовательно соединены между собой так, что имеющие одну общуюточкуотрезки (соседние) располагаются не на одной прямой, представляют собой ломаную линию.

Ломаная линия может быть замкнутой и незамкнутой. Если конец последнего отрезка совпадает с началом первого, перед нами замкнутая ломаная линия, если же нет – незамкнутая.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

2.1. Геометрические фигуры на плоскости

В последние годы наметилась тенденция к включению значительного по объему геометрического материала в начальный курс математики. Но для того, чтобы мог познакомить учащихся с различными геометрическими фигурами, мог научить их правильно изображать, ему нужна соответствующая математическая подготовка. Учитель должен быть знаком с ведущими идеями курса геометрии, знать основные свойства геометрических фигур, уметь их построить.

При изображении плоской фигуры не возникает никаких геометрических проблем. Чертеж служит либо точной копией оригинала, либо представляет ему подобную фигуру. Рассматривая на чертеже изображение круга, мы получаем такое же зрительное впечатление, как если бы рассматривали круг-оригинал.

Поэтому изучение геометрии начинается с планиметрии.

Планиметрия – это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на плоскости.

Геометрическую фигуру определяют как любое множество точек.

Отрезок, прямая, круг – геометрические фигуры.

Если все точки геометрической фигуры принадлежат одной плоскости, она называется плоской.

Например, отрезок, прямоугольник – это плоские фигуры.

Существуют фигуры, не являющиеся плоскими. Это, например, куб, шар, пирамида.

Так как понятие геометрической фигуры определено через понятие множества, то можно говорить о том, что одна фигура включена в другую, можно рассматривать объединение, пересечение и разность фигур.

Например, объединением двух лучей АВ и МК является прямая КВ, а их пересечение есть отрезок АМ.

Различают выпуклые и невыпуклые фигуры. Фигура называется выпуклой, если она вместе с любыми двумя своими точками содержит также соединяющий их отрезок.

Фигура F 1 – выпуклая, а фигура F 2 – невыпуклая.

Выпуклыми фигурами являются плоскость, прямая, луч, отрезок, точка. нетрудно убедится в том, что выпуклой фигурой является круг.

Если продолжить отрезок XY до пересечения с окружностью, то получим хорду АВ. Так как хорда содержится в круге, то отрезок XY тоже содержится в круге, и, значит, круг – выпуклая фигура.

Основные свойства простейших фигур на плоскости выражаются в следующих аксиомах:

1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой и не принадлежащие ей.

Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Эта аксиома выражает основное свойство принадлежности точек и прямых на плоскости.

2. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Этой аксиомой выражается основное свойство расположения точек на прямой.

3. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

Очевидно, что аксиома 3 выражает основное свойство измерения отрезков.

Этим предложением выражается основное свойство расположения точек относительно прямой на плоскости.

5. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180 о. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Эта аксиома выражает основное свойство измерения углов.

6. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.

7. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180 О, и только один.

В этих аксиомах отражаются основные свойства откладывания углов и отрезков.

К основным свойствам простейших фигур относится и существование треугольника, равного данному.

8. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.

Основные свойства параллельных прямых выражается следующей аксиомой.

9. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

Рассмотрим некоторые геометрические фигуры, которые изучаются в начальной школе.

Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало – его вершиной.

Угол называется развернутым, если его стороны лежат на одной прямой.

Угол, составляющий половину развернутого угла, называется прямым. Угол, меньший прямого, называется острым. Угол, больший прямого, но меньший развернутого, называется тупым.

Кроме понятия угла, данного выше, в геометрии рассматривают понятие плоского угла.

Плоский угол – это часть плоскости, ограничения двумя различными лучами, исходящими из одной точки.

Существует два плоских угла, образованные двумя лучами с общим началом. Они называются дополнительными. На рисунке изображены два плоских угла со сторонами ОА и ОВ, один из них заштрихован.

Углы бывают смежные и вертикальные.

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

Сумма смежных углов равна 180 градусов.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.

Углы АОД и СОВ, а также углы АОС и ДОВ – вертикальные.

Вертикальные углы равны.

Параллельные и перпендикулярные прямые.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Если прямая а параллельна прямой в, то пишут а II в.

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Если прямая а перпендикулярна прямой в, то пишут а в.

Треугольники.

Треугольников называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков.

Любой треугольник разделяет плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю.

В любом треугольнике выделяют следующие элементы: стороны, углы, высоты, биссектрисы, медианы, средние линии.

Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называются перпендикуляр, проведенный из этой вершины к прямой, содержащей противоположную сторону.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.

Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Четырехугольники.

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков, причем никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами треугольника, а соединяющие из отрезки – его сторонами.

Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются противолежащими.

У четырехугольника АВСД вершины А и В – соседние, а вершины А и С – противолежащие; стороны АВ и ВС – соседние, ВС и АД – противолежащие; отрезки АС и ВД – диагонали данного четырехугольника.

Четырехугольники бывают выпуклые и невыпуклые. Так, четырехугольник АВСД – выпуклый, а четырехугольник КРМТ – невыпуклый.

Среди выпуклых четырехугольников выделяют параллелограммы и трапеции.

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

ВС и АД – основания трапеции; АВ и СД – боковые стороны; КМ – средняя линия трапеции.

Из множества параллелограммов выделяют прямоугольники и ромбы.

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Из множества прямоугольников выделяют квадраты.

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Окружность.

Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, которая называется центром.

Расстояние от точек до ее центра называется радиусом. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром. ОА – радиус, СД – хорда, АВ – диаметр.

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу.

По новым учебникам в новых программах М.И. Моро, М.А. Бантовой, Г.В. Бельтюковой, С.И. Волковой, С.В. Степановой в 4 классе даются задачи на построение, такие, которых раньше в программе по математике в начальной школе не было. Это такие задачи, как:

Построить перпендикуляр к прямой;

Разделить отрезок пополам;

Построить треугольник по трем сторонам;

Построить правильный треугольник, равнобедренный треугольник;

Построить шестиугольник;

Построить квадрат, пользуясь свойствами диагоналей квадрата;

Построить прямоугольник, пользуясь свойством диагоналей прямоугольника.

Рассмотрим построение геометрических фигур на плоскости.

Раздел геометрии, изучающий геометрические построения, называется конструктивной геометрией. Основным понятием конструктивной геометрии является понятие «построить фигуру». Основные предложения формируются в виде аксиом и сводятся к следующим.

1. Каждая данная фигура построена.

2. Если построены две (или более) фигуры, то построено и объединение этих фигур.

3. Если построены две фигуры, то можно установить, будет ли их пересечение пустым множеством или нет.

4. Если пересечение двух построенных фигур не пусто, то оно построено.

5. Если построены две фигуры, то можно установить, будет ли их разность пустым множеством или нет.

6. Если разность двух построенных фигур не является пустым множеством, то она построена.

7. Можно простроить точку, принадлежащую простроенной фигуре.

8. Можно построить точку, не принадлежащей построенной фигуре.

Для построения геометрических фигур, обладающих некоторыми указанными свойствами, пользуются различными чертежными инструментами. Простейшими из них являются: односторонняя линейка (в дальнейшем просто линейка), двусторонняя линейка, угольник, циркуль и др.

Различные чертежные инструменты позволяют выполнять различные построения. Свойства чертежных инструментов, используемые для геометрических построений, также выражаются в форме аксиом.

Поскольку в школьном курсе геометрии рассматриваются построения геометрических фигур с помощью циркуля и линейки, мы также остановимся на рассмотрении основных построений, выполняемых именно этими чертежами инструментами.

Итак, с помощью линейки можно выполнить следующие геометрические построения.

1. построить отрезок, соединяющий две построенные точки;

2. построить прямую, проходящую через две построенные точки;

3. построить луч, исходящий из построенной точки и проходящий через построенную точку.

Циркуль позволяет выполнить следующие геометрические построения:

1. построить окружность, если построен ее центр и отрезок, равный радиусу окружности;

2. построить любую из двух дополнительных дуг окружность, если построены центр окружности и концы этих дуг.

Элементарные задачи на построение.

Задачи на построение – это, пожалуй, самые древние математические задачи, они помогают лучше понять свойства геометрических фигур, способствуют развитию графических умений.

Задача на построение считается решенной, если указан способ построения фигуры и доказано, что в результате выполнения указанных построений действительно получается фигура с требуемыми свойствами.

Рассмотрим некоторые элементарные задачи на построение.

1. Построить на данной прямой отрезок СД, равный данному отрезку АВ.

Возможность только построения вытекает из аксиомы откладывания отрезка. С помощью циркуля и линейки оно осуществляется следующим образом. Пусть даны прямая а и отрезок АВ. Отмечаем на прямой точку С и строим с центром в точке С окружность с прямой а обозначаем Д. Получаем отрезок СД, равный АВ.

2. Через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой.

Пусть даны точки О и прямая а. Возможны два случая:

1. Точка О лежит на прямой а;

2. Точка О не лежит на прямой а.

В первом случае из обозначим точку С, не лежащую на прямой а. Из точки С как из центра списываем окружность произвольного радиуса. Пусть А и В – точки ее пересечения. Из точек А и В описываем окружность одного радиуса. Пусть точка О – точка их пересечения, отличная от С. Тогда полупрямая СО – это биссектриса развернутого угла, а также и перпендикуляр к прямой а.

Во втором случае из точки О как из центра проводим окружность, пересекающую прямую а, а затем из точек А и В тем же, радиусом проводим еще две окружности. Пусть О – точка их пересечения, лежащая в полуплоскости, отличной от той, в которой лежит точка О. Прямая ОО/ и есть перпендикуляр к данной прямой а. Докажем это.

Обозначим через С точку пересечения прямых АВ и ОО/. Треугольники АОВ и АО/В равны по трем сторонам. Поэтому угол ОАС равен углу О/АС равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда из углы АСО и АСО/ равны. А так как углы смежные, то они прямые. Таким образом, ОС есть перпендикуляр к прямой а.

3. Через данную точку провести прямую, параллельную данной.

Пусть даны прямая а и точка А вне этой прямой. Возьмем на прямой а какую-нибудь точку В и соединим ее с точкой А. Через точку А проведем прямую С, образующую с АВ такой же угол, какой АВ образует с данной прямой а, но на противоположной стороне от АВ. Построенная прямая будет параллельна прямой а., что следует из равенства накрест лежащих углов, образованных при пересечении прямых а и с секущей АВ.

4. Построить касательную к окружности, проходящую через данную на ней точку.

Дано: 1) окружность Х (О, ч)

2) точка А х

Построить: касательную АВ.

Построение.

2. окружность Х (А, ч), где ч – произвольный радиус (аксиома 1 циркуля)

3. точки М и N пересечения окружности х 1 , и прямой АО, то есть {М, N} = х 1 АО (аксиома 4 общая)

4. окружность х (М, r 2), где r 2 – произвольный радиус, такой что r 2 r 1 (аксиома 1 циркуля)

И внешне – своим открытым поведением, а внутренне – своим психическими процессами и чувствами. Выводы по первому разделу Для развития всех познавательных процессов младшего школьника необходимо соблюдать следующие условия: 1. Учебная деятельность должна быть целенаправленной, вызывать и поддерживать постоянный интерес у учащихся; 2. Расширять и развивать познавательные интересы у…



Всему тесту в целом, что говорит о том, что у них уровни развития мыслительных операций сравнения и обобщения выше, чем у слабоуспевающих школьников. Если анализировать индивидуальные данные по субтестам, то затруднения при ответах на отдельные вопросы говорят о слабом владении данными логическими операциями. Данные затруднения наиболее часто встречаются именно у слабоуспевающих школьников. Это…

Младшего школьника. Объект исследования: развитие образного мышления у учащихся 2 класса средней школы №1025. Метод: тестирование. Глава 1. Теоретические основы исследования образного мышления 1.1. Понятие о мышлении Наше познание окружающей действительности начинается с ощущений и восприятия и переходит к мышлению. Функция мышления – расширение границ познания путем выхода за…

Отрезок обозначается так же, как и прямая. Отрезок — это часть прямой вместе с ограничивающими эту часть точками. Понятно, что две точки не должны совпадать, то есть лежать в одном и том же месте на прямой. Если на прямой вы поставили точку, то этой точкой прямая разбивается па два луча, противоположно направленных. Точки обозначаются большими латинскими буквами, прямые обозначаются малыми латинскими буквами. Что через эти две точки проходит прямая, и притом только одна. Вроде бы это понятно.

У плоскости, как и у прямой, нельзя видеть ни начала, ни конца. Мы рассматриваем только часть плоскости, которая ограничена замкнутой ломаной линией. Отрезок, луч, ломаная линия — самые простые геометрические фигуры на плоскости. Точка — мельчайшая геометрическая фигура, являющаяся основой других фигур во всяком изображении либо чертеже.

Обычно у отрезка прямой неважно, в каком порядке рассматриваются его концы: то есть отрезки AB{\displaystyle AB} и BA{\displaystyle BA} представляют собой один и тот же отрезок. Например, направленные отрезки AB{\displaystyle AB} и BA{\displaystyle BA} не совпадают. Дальнейшее обобщение приводит к понятию вектора — класса всех равных по длине и сонаправленных направленных отрезков.

Луч с началом в точке O, содержащий точку A, обозначается «луч ОА». Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб, зашёл в подъезд и разговорился с соседом. Какая линия получилась? Задача: где прямая, луч, отрезок, кривая?

Звенья ломаной(похожи на звенья цепи) — это отрезки, из которых состоит ломанная. Смежные звенья — это звенья, у которых конец одного звена является началом другого. Смежные звенья не должны лежать на одной прямой. Соседние вершины — это точки концов одной стороны многоугольника. Сын на подготовку в школу ходит. Дано в книге «Раз-ступенька, Два-ступенька…» (Петерсон и Холина) задание «Найди прямые, лучи и отрезки.».

Прямая — одно из фундаментальных понятий геометрии. Однако можно сказать, что это геометрическая фигура, которая получается из отрезка неограниченным продожением его в обе стороны. Кривая или линия — геометрическое понятие, определяемое в разных разделах геометрии различно, иногда определяется как «длина без ширины» или как «граница фигуры».

Кандинский систематизировал свои взгляды на живопись в книге «Точка и линия на плоскости» (1926). Разнообразие линий зависит от числа этих сил и их комбинаций.В конце концов всех форм линий можно свести к двум случаям:1.

Итак, горизонталь – это холодная несущая основа, которая может быть продолжена на плоскости в различных направлениях. Холод и плоскостность – это основные звучания данной линии, она может быть определена как кратчайшая форма неограниченной холодной возможности движения.2. Полностью противоположна этой линии и внешне, и внутренне стоящая к ней под прямым углом вертикаль, в которой плоскостность заменяется высотой, то есть холод – теплом.

Даже среди простейших фигур выделяется самая простейшая — это точка. Все остальные фигуры состоят из множества точек. В геометрии принято обозначать точки прописными (большими) латинскими буквами. Прямая — это бесконечная линия, на которой если взять две любые точки, то кратчайшее расстояние между ними будет проходить как раз по этой прямой.

Например, прямая a, прямая b. Однако в некоторых случаях и двумя большими. Иначе отрезок будет иметь нулевую длину и по-сути будет точкой. Обозначают отрезки двумя большими буквами, которыми обозначаются концы отрезка.

Основные геометрические понятия

Таким образом, если отрезок ограничен с обоих концов, то луч только с одной, а другая сторона луча бесконечна, как у прямой. Обозначают лучи также как и прямые: либо одной маленькой буквой, либо двумя большими.

В геометрии есть такой раздел, который занимается изучением различных фигур на плоскости и называется планиметрия. Вам уже известно, что фигурой называют произвольное множество точек, находящиеся на плоскости. Из выше изученного материала вам уже известно, что точка относится к главным геометрическим фигурам. Ведь построение более сложноватых геометрических фигур складывается из множества точек, характерных для данной фигуры.

Фигура, которая имеет два луча и вершину, называется углом. Место соединения лучей, является вершиной этого угла, а его сторонами считаются лучи, которые этот угол образуют. Также к простым геометрическим фигурам принадлежит и уже изучаемый вами треугольник. Это один из видов многоугольников, у которого часть плоскости ограничена тремя точками и тремя отрезками, которые соединяют эти точки попарно.

В многоугольнике все точки, которые соединяют отрезки, являются его вершинами. А отрезки, из которых состоит многоугольник, являются его сторонами. А вот одна из известных картин, созданная еще в начале прошлого века Малевичем, прославляет такую геометрическую фигуру, как квадрат.

В дальнейшем будут определения для разных фигур кроме двух — точка и прямая. Значит иногда обозначить прямую можем и двумя большими латинскими буквами, например, прямая\(AB\), так как никакая другая прямая через эти две точки не может быть проведена. 2) Все прямые \(a\), \(b\) и \(c\) пересекаются! Это изучение фигур, их свойств и взаимного расположения. Первые геометрические факты найдены в вавилонских клинописных таблицах и египетских папирусах (III тысячелетие до нашей эры), а также в других источниках.

Точка — это самая малая геометрическая фигура, которая является основой всех прочих построений (фигур) в любом изображении или чертеже. Часть прямой, ограниченную двумя точками и точки, называют отрезком. Плоскость, как и прямая, — это исходное понятие, у которого нет определения.

Что такое отрезок в геометрии? | Сегмент линии: примеры — видео и расшифровка урока

Как найти длину сегмента линии

Существует несколько способов определения длины сегмента линии, в зависимости от типа сегмента линии и способа представления информации о сегменте линии. Длину любого сегмента линии можно рассчитать, имея достаточно информации.

Сумма сегментов линии

Если один более длинный сегмент линии состоит из двух или более отдельных сегментов линии и известны расстояния между отдельными сегментами линии, то длину самого длинного сегмента линии можно определить, взяв сумму отдельных сегментов линии сегменты.

Сегмент линии, состоящий из меньших сегментов линии

{eq}\overline{AD} = \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CD} {/eq}

Длина сегмента длинной линии, {eq}\overline{ AD} {/eq} можно определить, сложив все расстояния до других отрезков.

Сумма графических единиц

При определении расстояния на графике или декартовой плоскости простейшими отрезками являются вертикальные и горизонтальные отрезки.Декартову плоскость можно представить как обычный график, это всего лишь два набора осей, перпендикулярных друг другу. Найти длину вертикального или горизонтального отрезка на графике так же просто, как подсчитать единицы между конечными точками.

Однако найти длину диагонального отрезка на графике не так просто. Единицы не могут быть подсчитаны напрямую, так как они пересекаются по диагонали. Вместо этого есть две разные формулы, которые можно использовать для определения длины диагонального отрезка. {2} {/eq}

C — длина гипотенузы, а A и B — длины других сторон прямоугольного треугольника .

Теорема Пифагора часто используется в треугольниках, но также может быть использована для вычисления длины диагонального отрезка на графике. Каждый раз, когда на графике есть диагональный отрезок, его можно превратить в прямоугольный треугольник, рисуя линии вниз и сверху от конечных точек отрезка. Поскольку эти линии на графике вертикальные и горизонтальные, длину можно легко определить, посчитав единицы между конечными точками. Когда эти длины известны, можно использовать теорему Пифагора для вычисления длины диагонали.{2}} {/eq}

D — расстояние сегмента линии, {eq}x_{1}, x_{2}, y_{1}, {/eq} и {eq}y_{2} { /eq} — это значения точек в упорядоченных парах {eq}(x_{1},y_{1}) {/eq} и {eq}(x_{2},y_{2}) {/eq}. Эти упорядоченные пары являются координатами конечной точки сегмента линии на графике.

Формула расстояния использует упорядоченные парные значения на графике

Формула расстояния выводится из теоремы Пифагора. Он просто использует упорядоченные значения пар из конечных точек для определения длин сторон прямоугольного треугольника. Он используется для расчета расстояния между любыми двумя точками на графике, поэтому его также можно использовать для определения длины сегментов вертикальных и горизонтальных линий.

Примеры сегментов линии

Пример 1:

Сегмент линии {eq}\overline{AC} {/eq} состоит из двух отдельных сегментов линии, {eq}\overline{AB} {/eq} и {eq }\overline{BC} {/eq}. Длина {eq}\overline{AB} {/eq} составляет 2 см, а длина {eq}\overline{BC} {/eq} – 3 см.Какова общая длина отрезка {eq}\overline{AC} {/eq}?

Решение:

Длина отрезка {eq}\overline{AC} {/eq} определяется суммой длин отрезков {eq}\overline{AB} {/eq} и {eq}\ надчеркните {BC} {/eq}. Длина отрезка {eq}\overline{AC} {/eq} равна 5 см, так как 2 см + 3 см = 5 см.

Пример 2:

Какова длина диагонального отрезка на графике?

Каждая из темно-серых линий соответствует 1 см, поэтому A равно -1,1

Решение:

Треугольник можно построить, проведя линии вниз и вверх от концов диагонального отрезка. {2}} \\ D=\sqrt{4+4} \\ D=\sqrt{8} \\ D = 2,83 \\ {/eq}

Длина отрезка 2,83 единицы.

Резюме урока

Отрезок линии в геометрии — это кусок или часть линии. Однако, в отличие от линий, линейные сегменты имеют конечных точек , которые представляют различные начало и конец линейного сегмента. Линии продолжаются вечно и изображаются двумя стрелками по обе стороны от линии. Сегменты линии обозначаются точками по обе стороны от сегмента линии.Существует несколько способов определения длины отрезка линии, и они следующие:

  • Сумма меньших отрезков, составляющих больший отрезок
  • Счетные единицы на графике
  • Использование Теоремы Пифагора
  • Использование формулы расстояния

Метод, используемый для определения длины линейного сегмента, зависит от типа линейного сегмента и от того, как представлена ​​информация о линейном сегменте.Если отрезок представлен на декартовой плоскости (или на наборе двух перпендикулярных осей), то можно использовать либо теорему Пифагора, либо формулу расстояния. Формула расстояния использует пары, упорядоченные по конечным точкам на графике, для определения расстояния между ними. Теорема Пифагора используется для вычисления длины гипотенузы , которая представляет собой отрезок прямой, противоположный прямому углу в треугольнике. В любое время, когда на декартовой плоскости есть диагональная линия, прямоугольный треугольник можно создать, рисуя линии вниз и сверху от конечных точек диагонального отрезка.Отрезки линий часто используются в мире геометрии и являются распространенным методом обозначения расстояний между объектами или местами.

Нахождение векторной величины отрезка прямой

Величина вектора — это расстояние между начальной и конечной точками направленного отрезка прямой. Вот изображение вектора AB:

Длина вектора в этом случае выражается как абсолютное значение AB (|AB|).

Формула векторной величины

Это формула величины вектора.Вы можете найти длину вектора, вычитая и возводя в квадрат значения x и y соответственно. Затем вы сложите эти два значения и извлечете квадратный корень:

.

См. приведенный ниже рисунок vec SQRT:

Поскольку координаты заданы, мы можем использовать их для нахождения модуля вектора SQ (округленного до первого десятичного знака).

Компонентная форма вектора

Чтобы найти компонентную форму вектора, вы должны вычислить изменения значений x и y от одного набора координат к другому.

Продемонстрируем с помощью вектора RT. Просто вычтите значения x и y каждой упорядоченной пары:

Формула направления вектора

В тригонометрии часто путают термины вектор и скаляр. Оба они содержат значения, которые измеряются в величинах. Однако скаляры определяются исключительно своей величиной. Например, скорость, объем, масса и время — все это скалярные величины.

Векторы отличаются от скаляров тем, что у них также есть направление. Направление вектора — это его угол вдоль оси x. Вот как выглядит этот угол.

Для определения угла можно использовать следующую формулу:

Нахождение величины вектора помогает определить, сколько отрезок прошел от одного набора точек до другого. Кроме того, нахождение угла его направления позволяет полностью измерить величину вектора. Чтобы узнать больше о векторах, просмотрите сложение и вычитание векторов.

Помощь с домашним заданием по математике

Как разделить отрезок на несколько частей

Если вы можете найти середину отрезка, вы можете разделить его на две равные части.Нахождение середины каждой из двух равных частей позволяет найти точки, необходимые для разделения всего отрезка на четыре равные части. Нахождение середины каждого из этих сегментов дает вам восемь равных частей и так далее.

Например, чтобы разделить отрезок с концами (–15,10) и (9,2) на восемь равных частей, найдите различные середины следующим образом:

  • Середина основного отрезка от (–15,10) до (9,2) равна (–3,6).

  • Середина половины основного сегмента от (–15,10) до (–3,6) – (–9,8), а середина другой половины основного сегмента – от (–3 ,6) до (9,2), равно (3,4).

  • Середины четырех определенных выше сегментов: (–12,9), (–6,7), (0,5) и (6,3).

На рисунке показаны координаты точек, которые делят этот отрезок на восемь равных частей.

Можно использовать метод средней точки, если вы просто хотите разделить сегмент на четное число равных сегментов. Но твоя работа не всегда так проста. Например, вам может понадобиться разделить отрезок на три равные части, пять равных частей или любое другое нечетное количество равных частей.

Чтобы найти точку, которая не равноудалена от концов отрезка, просто используйте эту формулу:

В этой формуле ( x 1 , y 1 ) является конечной точкой, с которой вы начинаете, ( x 2 , y

90) k — дробная часть нужного сегмента.

Итак, чтобы найти координаты, делящие отрезок с концами (–4,1) и (8,7) на три равные части, сначала найдите точку, которая составляет одну треть расстояния от (–4,1) до другую конечную точку, а затем найдите точку, которая составляет две трети расстояния от (–4,1) до другой конечной точки.Следующие шаги покажут вам, как это сделать.

Чтобы найти точку, которая находится на расстоянии одной трети расстояния от (–4,1) до другой конечной точки, (8,7):

  1. Заменить 7 x 1 с -4, x

  2. Вычтите значения во внутренних скобках.

  3. Выполните умножение, а затем сложите результаты, чтобы получить координаты.

    =(–4 + 4,1 + 2) = (0,3)

Чтобы найти точку, которая составляет две трети расстояния от (–4,1) до другой конечной точки, (8,7):

  1. Заменить 7 10254 x 1 с -4, x

  2. Вычтите значения во внутренних скобках.

  3. Выполните умножение, а затем сложите результаты, чтобы получить координаты.

    =(–4 + 8,1 + 4) = (4,5)

На следующем рисунке показан график этого отрезка и точки, которые делят его на три равные части.

Quia — Math 2 Geometry Термины

8 IsoSceles треугольник 7 8 Angle Biscor 9 множество всех точек плоскости, находящихся на фиксированном расстоянии от данной точки.
A B
Отрезок линии Набор точек на линии, состоящий из двух конечных точек и всех точек между ними.
Линия Прямая одномерная фигура, не имеющая толщины и бесконечно простирающаяся в обоих направлениях.
Луч Часть линии, которая начинается в определенной точке и простирается бесконечно далеко в одном направлении.
Многоугольник Ряд соединенных отрезков, которые начинаются и заканчиваются в одном и том же месте и нигде не пересекаются между собой.
Треугольник Трехсторонний многоугольник.
Четырехугольник Четырехсторонний многоугольник.
Пятиугольник Пятиугольник.
Шестиугольник Шестиугольник.
Семиугольник Семиугольник.
Восьмиугольник Восьмиугольник.
Нонагон Девятиугольник.
Десятиугольник Десятиугольник.
Вершина Общая конечная точка двух сторон многоугольника или угла.
Диагональ Отрезок, соединяющий две несмежные вершины многоугольника.
Периметр Расстояние вокруг фигуры.
Угол Фигура, образованная двумя отрезками или лучами с общим концом.
Ось симметрии Линия, которая делит фигуру пополам так, что каждая половина является зеркальным отражением другой.
Конгруэнтные Два геометрических объекта, имеющих одинаковую меру.
Прямой угол Угол, равный 90º.
Биссектриса Прямая, пересекающая данный отрезок под прямым углом и делящая его на две равные части.
Правильный многоугольник Многоугольник с максимальной симметрией: все стороны и углы равны.
Ромб Равносторонний четырехугольник.
Параллелограмм Четырехугольник с параллельными противоположными сторонами.
Прямоугольник Равноугольный четырехугольник.
Квадрат Равноугольный ромб; равносторонний прямоугольник; или правильный четырехугольник.
Равноугольный Многоугольник, все углы которого равны.
Равносторонний Многоугольник, все стороны которого равны.
Площадь Количество квадратных единиц, которые будут соответствовать заданной границе.
Прямоугольный треугольник Треугольник, один из трех углов которого имеет прямой угол.
Каттер Одна из сторон прямоугольного треугольника, не являющаяся гипотенузой.
Гипотенуза Самая длинная сторона прямоугольного треугольника; сторону, противоположную прямому углу.
Высота Отрезок, проведенный из одной вершины к противоположной стороне, перпендикулярный этой стороне.
Основание Сторона, противоположная вершине треугольника, из которой проводится высота, если высота находится внутри треугольника; также любая из двух параллельных сторон трапеции.
Объем Количество единичных кубов, необходимое для заполнения данного пространства.
Подобные Два объекта, расстояние между любыми двумя точками одного объекта является определенной константой, умноженной на расстояние между соответствующими точками другого объекта.
Масштабный коэффициент Отношение длин соответствующих сторон двух подобных фигур.
Острый угол Угол измерения менее 90°, но более 0°.
Тупой угол Угол измерения больше 90º и меньше 180º.
Угол отражения Угол измерения больше 180º и меньше 360º.
Прямой угол Угол измерения 180º.
Вертикальные углы Конгруэнтные углы, образующиеся противоположно друг другу при пересечении двух прямых.
Дополнительные углы Два угла, сумма мер которых равна 180 град.
Параллельные линии Прямые линии на плоскости, которые никогда не пересекаются, как бы далеко они ни простирались.
Поперечный Прямая линия, которая пересекает две или более других прямых в разных плоскостях в разных точках.
Углы соответствующие Углы, расположенные в сходных местах вдоль секущей, пересекающей две прямые; также углы от конгруэнтных или подобных фигур в соответствующих положениях.
Альтернативные внутренние углы Два несмежных угла на противоположных сторонах секущей, находящиеся внутри линий, пересекаемых этой секущей.
Альтернативные внешние углы Углы на противоположных сторонах секущей и вне линий, пересекаемых секущей.
Дополнительные углы Два угла, сумма мер которых равна 90º.
Connoguent Trangles (SSS, SAS, ASA, AAS) треугольников, которые имеют одинаковую форму и размер
треугольник с двумя сторонами равной длины
A линия или луч, который делит угол пополам
Углы при основании Углы, противоположные двум равным сторонам в равнобедренных треугольниках.Пара углов, имеющих основание как общую сторону трапеции.
Выпуклые многоугольники Многоугольник, в котором размер каждого угла меньше 180º.
Внутренний угол Угол, который выходит внутрь многоугольника
Внешний угол Угол, образованный одной стороной многоугольника и продолжением соседней стороны
Диск Круг со всеми точками внутри него.
Окружность Расстояние по окружности.
Диаметр Отрезок, проходящий через центр окружности и имеющий обе конечные точки на окружности; также длина такого отрезка.
Хорда Отрезок, оба конца которого лежат на одной окружности.
Касательная Прямая линия, которая касается окружности только в одной точке.
Коллинеарность Точки на одной линии.
Вписанные многоугольники Многоугольник, все вершины которого лежат на окружности.
Малая дуга Часть круга, которая меньше полукруга.
Большая дуга Дуга больше полукруга.
Центральный угол Угол, образованный двумя радиусами окружности.
Сектор окружности Область, ограниченная двумя радиусами и дугой между ними.
Сегмент окружности Область, заключенная между дугой и хордой.
Вписанные углы Угол, образованный двумя хордами с общими концами.

Как идентифицировать точки, сегменты, линии и лучи.

Привет Эрвин,

Поскольку в вопросе не указано ничего, кроме «как идентифицировать», я не могу точно сказать, что нужно вашей дочери; если следующего недостаточно, не стесняйтесь задать более подробный вопрос. Короче однако:

 

Точка — это в основном геометрическая фигура, соответствующая тому, что мы думаем как «точка» в реальном мире, с ключевым аспектом, заключающимся в том, что геометрическая точка не имеет ни длины, ни ширины, ни высоты/глубины, в то время как «точка «Мы делаем с помощью даже очень острого карандаша, будет иметь некоторый размер. Таким образом, геометрическая фигура — это «идеальная» форма, не встречающаяся в таком точном виде в реальном мире, но охватываемая понятием «точка».

Точно так же отрезок (иногда называемый отрезком линии, в отличие от полной линии, описанной ниже) — это «идеальная» геометрическая фигура, представленная прямым отрезком, который можно нарисовать карандашом и линейкой.Прямой означает отсутствие «поворота» или изгиба, а «сегмент» означает, что он начинается в одной точке и заканчивается в другой. Идеальная геометрическая фигура имеет длину, но не ширину и глубину, в то время как фигура, которую мы рисуем карандашом, имеет (очень тонкую) ширину, даже если мы используем очень острый карандаш.

Линия — это то, что вы получаете, когда начинаете с сегмента (или линейного сегмента), но позволяете ему продолжаться бесконечно, вечно в каждом из двух противоположных направлений (скажем, одно всегда идет на север, а другое — на юг), поэтому есть больше нет конечных точек.Мы не можем рисовать «навсегда» карандашом, поэтому мы используем «стрелку» с каждой стороны нарисованной линии, чтобы указать «продолжать вечно в этом направлении». Луч похож на линию, за исключением того, что мы начинаем с сегмента линии, сохраняем одну конечную точку из двух и выполняем «расширение навсегда» только в одном направлении. Как конечная точка является отправной точкой для луча, который затем продолжается в прямом направлении (скажем, на север) во веки веков.

П.С. посмотрите на клавиатуру вашего компьютера. Если это как у меня, у вас будут «стрелка вверх» и «стрелка вниз», «стрелка влево» и «стрелка вправо». Это изображения четырех лучей! Если у вас есть продолжение, просто спросите здесь.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск