Первообразная 1 cos 2x: Mathway | Популярные задачи

2

Содержание

Интегральное исчисление функции одной переменной

1. РАЗДЕЛ 6 «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»

2. 1.1 ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1 Функция F( x ) называется первообразной для
функции f ( x ) на некотором промежутке, если в каждой точке этого
промежутка
F ( x ) f ( x )
(1.1)
или, что тоже,
dF( x ) f ( x )dx
(1.2)
Например, F( x ) sin x является первообразной для f ( x ) cos x на всей
числовой оси Ох, так как
(sin x ) cos x
Теорема 1.1 Если функция F(x ) есть первообразная для функции f ( x )
на a; b , то всякая другая первообразная для f ( x ) отличается от F(x ) на
постоянное слагаемое, то есть может быть представлена в виде F( x ) С , где
С постоянная.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2 Если F( x ) одна из первообразных для функции
f ( x ) на a; b , то выражение F( x ) С , где C произвольная постоянная,
называется неопределенным интегралом от функции f ( x ) и обозначается
символом f (x)dx (читается: неопределенный интеграл от f ( x ) на dx ).
Итак,
(1.3)
f (x)dx F(x) C ,
где f ( x ) называется подынтегральной функцией, f ( x )dx подынтегральным выражением, x — переменной интегрирования, а символ знаком неопределенного интеграла.
Отыскание всех первообразных или отыскание неопределенного интеграла для данной
функции f ( x ) называют интегрированием этой функции.

5. 1.2 ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

10 Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной
функции:
f (x)dx f (x) .
(1.4)
Действительно, F ( x ) f ( x ) и согласно (1.3) f (x)dx F(x) C . Тогда
f (x)dx F(x) C F (x) f (x) .
20
Дифференциал
от
подынтегральному выражению
неопределенного
d f ( x )dx f ( x )dx .
Действительно, d f ( x )dx d(F( x ) C) f ( x )dx .
интеграла
равен
(1.5)
30 Неопределенный интеграл от производной равен самой функции
плюс произвольная постоянная:
(1.6)
F (x)dx F(x) C .
Действительно, F ( x ) f ( x ) . Тогда, F (x)dx f (x)dx F(x) C
согласно определения 1.2.
40
Неопределенный
интеграл
от
дифференциала
равен
дифференцируемой функции плюс произвольная постоянная:
(1.7)
dF(x) F(x) C .
Действительно, dF( x ) f ( x )dx . Тогда, dF(x) f (x)dx F(x) C .
5 0 Постоянный множитель k k 0 можно выносить за знак
неопределенного интеграла:
k f (x)dx k f (x)dx .
(1.8)
0
6 Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа
функции равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:
f1(x) f2 (x) … fk (x) dx
f1(x)dx f2 (x)dx … fk (x)dx
(1.9)

10. 1.3 ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

x 1
1 x dx
C , R , 1
1
dx
2
ln x C
x
3 dx x C
(1.10)
(1.11)
(1.12)
ax
4 а dx
C, a 0 , a 1
ln a
(1.13)
5 e x dx e x C
6 sin x dx cos x C
7 cos x dx sin x C
(1. 14)
(1.15)
(1.16)
x
dx
ctg x C
2
sin x
dx
tg x C
9
cos 2 x
8
(1.17)
(1.18)
dx
1
x
arctg
C, a 0
2
2
a
a
a x
dx
1
a x
11 2
ln
C, a 0
2
2a a x
a x
dx
x
12
arcsin C , a 0
a
a2 x2
dx
13
ln x x 2 a 2 C , a 0
x2 a2
dx
14
ln x x 2 a 2 C , a 0
x2 a2
15 tg x dx ln cos x C
16 сtg x dx ln sin x C
17 sh xdx ch x C
18 ch xdx sh x C
dx
19 2 cth x C
sh x
dx
20 2 th x C
ch x
10
(1.19)
(1.20)
(1.21)
(1.22)
(1.23)
(1.24)
(1.25)
(1.26)
(1.27)
(1.28)
(1.29)
Например, для формулы (1.22) имеем
dx
1
2
2
x2 a2
x a
1
2x
2
2
ln x x a C
1
x x2 a2 2 x2 a2
1
x x a
2
2
x2 a2 x
x a
2
2
1
x2 a2
Из равенства производных и следует справедливость равенства (1. 22).

13. 1.4 ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 1.4.1 Интегрирование методом разложения

x 3 5x 2
Пример 1.1 Найти
dx .
x
Решение.
Разделив почленно числитель на знаменатель в подынтегральной
x 3 5x 2 2
2
x 5 ; тогда, согласно (1.8) и (1.9) имеем
функции, получим
x
x
3
x 3 5x 2
2
x
2
dx
x
dx 5dx dx 5x 2 ln x C
x
x
3
Пример 1.2 Найти
dx
.
2
2
sin x cos x
Решение.
dx
sin 2 x cos 2 x
sin 2 x
dx 2
dx
2
2
2
2
2
sin x cos x
sin x cos x
sin x cos x
cos 2 x
dx
dx
2
dx
2 tg x ctg x C
2
2
sin x cos x
cos x
sin x
dx
Пример 1.3 Найти 2
.
2
x 9 x
Решение.
dx
1
9dx
1 9 x2 x2
1 9 x2
2
2
dx 2
dx
2
2
2
2
2
9 x (9 x ) 9 x (9 x )
9 x (9 x )
x 9 x
1
x2
1 dx 1 dx
1 1
x
2
dx 2
arctg C
2
2
9 x (9 x )
9 x 9 9 x
9x 27
3
3
1 x
dx.
Пример 1.4 Найти
3
x
Решение.
1 x dx 1 3
3
3
x
1
2
7
1
x 3x x x
3
6
3
6
dx
dx
x
3
x
3
x
x
3
x
2
3 3
x
2
7
18
x6
7
5
9 3
x
5
6
13
13
x6
C
При вычислении интегралов от тригонометрических функций
используются тригонометрические формулы:
1
1
2
1,
1, ctg x
sin x 1 cos x , tg x
2
2
sin x
cos x
cos2 x 1 sin2 x ,
1
sin cos sin sin ,
2
1
sin sin cos cos ,
2
1
cos cos cos cos ,
2
sin3 x sin 2 x sin x 1 cos2 x sin x sin x cos2 x sin x ,
x
x
1 cos x 2 cos 2 , 1 cos x 2 sin 2 ,
2
2
arcsin x arccos x , arctg x arcctg x и другие.
2
2
2
2
2
1) tg x dx
2
sin 2 x
2
cos x
dx
1 cos 2 x
dx
cos 2 x
dx
dx tg x
2
2
cos x
cos
x
cos x
2
интеграл 8
dx
tg x x C
интеграл 1
2)
dx
dx
1 dx
1
ctg x C
2
2
1 cos 2 x
2
2 sin x 2
sin
x
интеграл 9
3)
arctg
x
arcctg
x
dx
dx
dx
x C
2
2
2
5
5
5
2 x
dx 1 cos x dx dx cos x dx x sin x C
4) 5 cos
2
2
2
2
9x 7 x
9x 7 x
2 cos
cos
cos 9 x cos 7 x
2
2 dx
5)
dx
cos 8 x
cos 8x
cos 8x cos x
2
dx 2 cos x dx 2 sin x C
cos 8x
1 sin 2 x
dx
x
6)
dx
sin x dx ln tg cos x C
sin x
sin x
2
1)
dx
dx
1
x
arctg
C
2
2
2
10
10
10 x
10 x
интеграл 10
2)
dx
5 x2
dx
5 x2
2
arcsin
x
C
5
интеграл 12
dx
1
dx
1
x
3)
arcsin
C
2
2
2 3
2
3
3 2x
2
x
2
2
dx
dx
1 x 3
ln
C
4)
2 2
2
9 x
3
x 6 x 3
интеграл 11
5)
dx
x 2 16
ln x x 2 16 C

20.

Метод введения функции под знак дифференциала Из дифференциального исчисления известно, что дифференциал
функции f(x) вычисляется по формуле d[f (x)] f ‘ (x) dx . Использование этой
формулы в обратном порядке, т.е.
f ‘ (x) dx d [f (x)]
называется введением функции под знак дифференциала. Таким
образом, для известных функций справедливы следующие формулы:
dx d (x C) ,
1
d (a x b) , где a, b, c = Const,
a
1
a x dx
d (a x )
Sin x dx d (Cos x)
ln a
,
dx
e x dx d (e x ) ,
,
Cos x dx d (Sin x)
dx
Cos 2 x
,
dx
d (ln x ) ,
x
dx
1 x
,
2
dx
d ( tg x ) ,
2
Sin x
d (ctg x )
,
d (arcsin x )
,
dx
1 x
2
d (arccos x )
n 5
( x 3) 5 1
( x 3) d ( x 3)
C
( x 3) dx
dx d ( x 3)
5 1
5
5
( x 3) 6
C
6
1
1
1
dx
2
2
2
(
x
3
)
dx
(
x
3
)
d
(
x
3
)
2
(
x
3
)
C
x 3
2
x 3 C
2x 5
2
dx ( x
5x
3) 2 ( 2 x 5)dx
2
2
( x 5x 3)
u
du
2
(x
5x
3)
2
u
dx
(5x 2) 2
( x 2 5x 3) 1
1
d( x
5
x
3
)
C.
2
1
x
5
x
3
u
2
(5x 2) 2 dx
1
1
1
(5x 2) 2 5dx dx 5dx d (5x 2)
5
5
5
1
1 (5x 2) 1
1
2
(5
x
2) d (5x 2)
C
C
5
5
1
5
(
5
x
2
)
u
du
sin
2
sin 3 x
x cos x dx sin
x d (sin x )
C.
3
u2
2
d (sin x )
du
Пример 2.6 Применяя формулу,
найти следующие интегралы:
Решение.
1).
u
dx
d ( x 1)
ln x 1 C.
x 1
x
1
u
2).
2 x dx
x
2
1
u
d ( x 2 1)
2
x
1
ln ( x 2 1) C.
u
3).
x dx
x 2 1
1
2
u
d ( x 2 1)
2
x
1
1
ln ( x 2 1) C.
2
u
4).
u
3
2
2
d (8x 19) 1
4x
1
6 4x
1
dx
dx
ln 8x 3 19 C.
3
3
3
6
6
6
8x 19
8x 19
8
x
19
u
5).
Sin x
d (Cos x 1)
dx
ln (1 Cos x ) C.
1 Cos x
1 Cos x
u
x
6).
e dx
5 e
x
d (e
e
x
x
5)
5
ln (e x 5) C.
Пример 2.7 Применяя формулу, найти следующие интегралы:
au
C
a du
ln a
u
Решение.
1).
3x
C.
3 dx
ln 3
x
представим dx в виде
2).
u
1
1 32x
2x
dx
3
d
(
2
x
)
C.
1
1
2
2
ln
3
dx
2 dx
d (2x )
u
2
2
3
2x
2
5x 4
3).
представим dx в виде
u
1
dx
2 5 x 4 d (5
x
4)
1
1
5
dx 5 dx d (5x 4)
u
5
5
1 2 5x 4
C.
5
ln 2
4).
e
Sin x
Cos x dx e
d ( Sin x )
5).
e tg x dx
2
Cos x
u
Sin x
d (Sin x ) e Sin
x
C.
u
dx
2
Cos x
d ( tg x ) e tg x d ( tg x ) e tg x C.
Рассмотрим примеры на внесение функции под знак
дифференциала с использованием других табличных интегралов.
Пример 2.8 Найти интегралы:
Решение.
1).
dx
dx
(1 x ) arctg x
1 x2
2
u
d (arctg x )
d (arctg x )
ln arctg x C.
arctg x
u
2).
arcsin
2
x dx
1 x
arcsin
3
3
2
x
dx
1 x
2
d (arcsin x ) (arcsin x ) 2 d (arcsin x )
u
u
C.
3).
dx
dx
x
x
x
2 Sin
Cos
Sin
2
2
2 2 Cos 2 x
x
2
Cos
2
умножили и разделили знаменател ь
x
d ( tg
)
x
x
dx
x
2
на Cos
ln tg
C.
,
d ( tg
)
x
2
2
2
2 x
tg
2 Cos
2
2
4).
Sin 5x dx dx
5).
1
1
3 dx
d (3x 7)
3
3
1
1
Cos (3
x
7 ) d (3
x
7)
Sin (3x 7 ) C. 2x}. \]

Система контроля знаний по алгебре и началам анализа. 10–11-е классы

Система контроля знаний по алгебре и началам анализа представляет собой блоки проверочных работ по темам курса, каждый из которых состоит из трех мини-работ, проверяющих усвоение определений, свойств, теорем и применение их в простейших ситуациях. В журнал выставляется итоговая отметка по теме.

10 КЛАСС

Тема 1. Тригонометрические функции

1 вариант 2 вариант

Р – 1

Упростите выражение:

1. sin 1. cos

2. tg 2. ctg

Вычислите:

3. cos 3. sin

4. ctg 135° 4. tg 225°

5. sin 630° 5. cos 540°

P – 2

1. Вычислите f(x), где f(x)=sin x

f f

2. Вычислите f(x), где f(x)=cos x

f f

Не выполняя построения выясните, принадлежит ли точка графику функции:

3. y = sin x 3. y = cos x

4. y = cos x 4. y = sin x

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:

у = sin x y = cos x

P – 3

Решите графически уравнение:

sin x = 2x cos x = 2x + 1

Тема 2. Тригонометрические уравнения

Р – 1

Вычислите:

1. arccos 0 1. arccos 1

2. arccos 2. arccos

3. arccos 3. arccos

Решите уравнение:

4. cos t = 4. cos t =

5. cos t = -2,5 5. cos t =

P – 2

Вычислите:

1. arcsin 1. arcsin

2. arcsin 1 2. arcsin 0

3. arcsin 3. arcsin

Решите уравнение:

4. sin t = 4. sin t =

5. sin t = — 5. sin t =

P – 3

Решите уравнение:

1. sin x = 0 1. cos x = 1

2. cos x = — 1 2. sin x = -1

3. cos x = 0 3. sin x = 1

4. tg x = -1 4. ctg x = 1

5. sin 2x = 5. cos 3x =

Тема 3. Тригонометрические выражения

Р – 1

Упростите выражения:

1. sin 89° cos 1° + cos 89° sin 1° 1. cos 178° cos 2° — sin 178° sin 2°

2. sin 73° cos 28° — cos 73° sin 28° 2. cos 82° cos 37° + sin 82° sin 37°

3. cos 6x cos x + sin 6x sin x 3. sin 8x cos 2x + cos 8x sin 2x

4. cos 9x cos 3x — sin 9x sin 3x 4. sin 5x cos 4x - cos 5x sin 4x

5. 5.

P – 2

Упростите выражения:

1. sin 4x 1. cos 6x

2. cos 8x 2. sin 12x

3. tg 6x 3. tg 4x

4. cos24x 4. sin2 2x

5. sin2 2x 5. cos2

P – 3

Упростите выражения:

1. sin 10° + sin 50° 1. sin 10° + sin 20°

2. sin 2x — sin 8x 2. sin 10x — sin 4x

3. cos 20° + cos 10° 3. cos 20° + cos 40°

4. cos 2x — cos 8x 4. cos 10x — cos 4x

5. sin 5x cos 3x 5. sin 3x cos 5x

Тема 4. Производная

Р – 1

1. Закон движения точки задается формулой S(t)= 3t – 1. Найдите среднюю скорость движения точки с момента времени t 1 = 1 c до момента времени

t 2 = 1,2 c t 2 = 1,1 c

2. Закон движения точки задается формулой S(t)= t 2. Вычислите мгновенную скорость в момент времени

t = 0,2 c t 2 = 0,02 c

3. Найдите значение производной в точке касания к графику функции у = f (x), если касательная наклонена к оси Ох под углом:

30° 60°

4. Найдите скорость изменения функции в точке х:

у = 6,8 х – 13 у = -7х + 4

5. Найдите скорость изменения функции у = f (x) в указанной точке:

f(x) = , x0 = 5 f(x) = , x0 = 3

P – 2

Найдите производную функции:

1. y = -6x + 1 1. y = x + 2

2. y = x2 2. y = 3

3. y = sin x 3. y = cos x

Найдите значение производной в точке а:

4. y = , а = 4 4. y = — х2, а = 1

5. y = соs x, a = 5. y = 1/x, a = 2

P – 3

Найдите производную функции:

1. y = 15x + 1. y = + 5х2

2. y = (x2 – 2) (х7 + 4) 2. y = (х3 + 1) (х4 – 5)

3. y = 3. y =

4. y = 6tg x – cos x 4. y = 2 ctg x + sin x

Найдите значение производной в точке а:

5. y = x2 + 2x — 1, a = 0 5. y = x2 + 3x — 4, a = 1

Тема 5. Приложение производной

Р – 1

Составьте уравнение касательной к графику функции

f(x) = , a = 2 f(x) = 2, a = 2

P – 2

Найдите промежутки возрастания и убывания функции и точки экстремума

у = х3 – 7х2 – 5х + 11 у = -2х3 + 21 х2 + 19

Р – 3

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

у = 2х3 – 3х2 – 12х + 1 у = — х3 — 3 х2 + 9х – 2

11 КЛАСС

Тема 1. Интеграл

Р – 1

Найдите первообразную функции:

1. y = 7x8 1. y =

2. y = 2. y =

3. y = 5х2 – 4х7 3. y = 3x5 +2x6

4. y = 3соs x 4. y = — sin x

5. y = sin 5. y = cos

P – 2

1. Найдите множество всех первообразных для функции

f(x) = x4 – 3x2 f(x) = x12 – 8x7

2. Найдите С, если график первообразной походит через точку

М (1;5) М (1;4)

3. Запишите первообразную, график которой проходит через эту точку.

Найдите неопределенный интеграл:

4. dx 4. dx

5. dx 5. dx

Р – 3

Вычислите определенный интеграл:

1. 1.

2. 2.

3. 3.

Тема 2. Корень n–й степени из действительного числа

Р – 2

Вычислите:

1. 1.

2. -2 2. -3

3. Имеет ли смысл выражение

Решите уравнение

4. х5 = 32 4. х4 = 16

5. 5.

Р – 2

Решите графически уравнение

Р – 3

Вычислите:

1. 1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

5. Приведите радикалы к одинаковому показателю корня

и и

Тема 3. Показательная функция

Р – 1

1. Среди указанных функций назовите те, которые являются показательными:

у = 3х, у = х3, у =, у = у = , у = 5х, у = х5, у =

2. Решите уравнение

2х = 64 3х = 3

3. Решите неравенство

< 16

4. Сравните числа

(0,6)5 и (0,6)3 125 и 123

5. Изобразите схематично график показательной функции

у = (2,8)х у = (0,6)х

Р – 2

Решите уравнения:

1. 3х = 9 1. 2х = 8

2. = 1 2. = -1

3. = -1 3. (0,5)х = 1

4. 2х+1 = 4 4. 4х =

5. = 36 5. 32х – 1 = 27

Р – 3

Решите неравенства:

1. 2х > 4 1. 2х >

2. 2.

3. 5x < 3. 7x <

4. 10x + 1> 0,001 4. 10x - 1 < 0,01

5. 7x > -7 5. 3x < -3

Тема 4. Логарифмическая функция

Р – 1

Вычислите:

1. log5 25 1. log4 16

2. log36 6 2. log49 7

3. lg 0,001 3. log3

Решите уравнения:

4. log8 x = 1 4. log12 x = 0

5. log3 x = -2 5. lg x = -2

Р – 2

Вычислите:

1. log4 8 + log4 2 1. log12 4 + log12 3

2. log2 28 – log2 7 2. log3 45 – log3 5

3. log 3. log

4. 4.

5. 31 + log3 8 5. 8log83 — 2

P – 3

Решите уравнение:

1. log2 x = 1. log2 x = 3

2. log3 x = -2 2. log3 x = —

3. 3.

4. < 0 4. < 2

5. log25 9 – log5 3 5. log9 4 + log3

Приложение (авторский вариант)

Мэтуэй | Популярные задачи

1 Найти производную — d/dx бревно натуральное х
2 Оценить интеграл интеграл натурального логарифма x относительно x
3 Найти производную — d/dx е^х
4 Оценить интеграл интеграл от e^(2x) по x
5 Найти производную — d/dx 1/х
6 Найти производную — d/dx х^2
7 Найти производную — d/dx 1/(х^2)
8 Найти производную — d/dx грех(х)^2
9 Найти производную — d/dx сек(х)
10 Оценить интеграл интеграл от e^x по x
11 Оценить интеграл интеграл от x^2 относительно x
12 Оценить интеграл интеграл квадратного корня из x относительно x
13 Найти производную — d/dx соз(х)^2
14 Оценить интеграл интеграл от 1/х по отношению к х
15 Оценить интеграл интеграл от sin(x)^2 по x
16 Найти производную — d/dx х^3
17 Найти производную — d/dx сек(х)^2
18 Оценить интеграл интеграл от cos(x)^2 по x
19 Оценить интеграл интеграл от sec(x)^2 по x
20 Найти производную — d/dx е^(х^2)
21 Оценить интеграл интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x
22 Найти производную — d/dx грех(2x)
23 Найти производную — d/dx тан(х)^2
24 Оценить интеграл интеграл от 1/(x^2) относительно x
25 Найти производную — d/dx 2^х
26 График натуральное бревно
27 Найти производную — d/dx cos(2x)
28 Найти производную — d/dx хе^х
29 Оценить интеграл интеграл 2х по отношению к х
30 Найти производную — d/dx (натуральный логарифм x)^2
31 Найти производную — d/dx натуральный логарифм (x)^2
32 Найти производную — d/dx 3x^2
33 Оценить интеграл интеграл от xe^(2x) по x
34 Найти производную — d/dx 2е^х
35 Найти производную — d/dx натуральное бревно 2x
36 Найти производную — d/dx — грех(х)
37 Найти производную — d/dx 4x^2-x+5
38 Найти производную — d/dx y=16 Корень четвертой степени из 4x^4+4
39 Найти производную — d/dx 2x^2
40 Оценить интеграл интеграл от e^(3x) по x
41 Оценить интеграл интеграл от cos(2x) относительно x
42 Найти производную — d/dx 1/(корень квадратный из х)
43 Оценить интеграл интеграл от e^(x^2) по x
44 Оценить е^бесконечность
45 Найти производную — d/dx х/2
46 Найти производную — d/dx -cos(x)
47 Найти производную — d/dx грех(3x)
48 Найти производную — d/dx 1/(х^3)
49 Оценить интеграл интеграл от tan(x)^2 относительно x
50 Оценить интеграл интеграл от 1 по х
51 Найти производную — d/dx х^х
52 Найти производную — d/dx х натуральное бревно х
53 Найти производную — d/dx х^4
54 Оценить предел предел, когда x приближается к 3 из (3x-5)/(x-3)
55 Оценить интеграл интеграл x^2 натуральный логарифм x относительно x
56 Найти производную — d/dx f(x) = квадратный корень из x
57 Найти производную — d/dx х^2sin(x)
58 Оценить интеграл интеграл от sin(2x) по x
59 Найти производную — d/dx 3е^х
60 Оценить интеграл интеграл от xe^x по x
61 Найти производную — d/dx у=х^2
62 Найти производную — d/dx квадратный корень из x^2+1
63 Найти производную — d/dx грех(х^2)
64 Оценить интеграл интеграл от e^(-2x) по x
65 Оценить интеграл интеграл натурального логарифма квадратного корня из х по отношению к х
66 Найти производную — d/dx е^2
67 Найти производную — d/dx х^2+1
68 Оценить интеграл интеграл от sin(x) по x
69 Найти производную — d/dx угловой синус(х)
70 Оценить предел предел, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x
71 Оценить интеграл интеграл от e^(-x) по x
72 Найти производную — d/dx х^5
73 Найти производную — d/dx 2/х
74 Найти производную — d/dx бревно натуральное 3x
75 Найти производную — d/dx х^(1/2)
76 Найдите производную — d/[email protected] f(x) = квадратный корень из x
77 Найти производную — d/dx соз(х^2)
78 Найти производную — d/dx 1/(х^5)
79 Найти производную — d/dx кубический корень из x^2
80 Оценить интеграл интеграл от cos(x) по x
81 Оценить интеграл интеграл от e^(-x^2) по x
82 Найдите производную — d/[email protected] ф(х)=х^3
83 Оценить интеграл интеграл от 0 до 10 от 4x^2+7 относительно x
84 Оценить интеграл интеграл от (натуральный логарифм x)^2 по отношению к x
85 Найти производную — d/dx лог х
86 Найти производную — d/dx арктан(х)
87 Найти производную — d/dx бревно натуральное 5x
88 Найти производную — d/dx 5е^х
89 Найти производную — d/dx cos(3x)
90 Оценить интеграл интеграл от x^3 относительно x
91 Оценить интеграл интеграл от x^2e^x относительно x
92 Найти производную — d/dx 16 Корень четвертой степени из 4x^4+4
93 Найти производную — d/dx х/(е^х)
94 Оценить предел предел, когда x приближается к 3 из arctan(e^x)
95 Оценить интеграл интеграл от (e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x)) по x
96 Найти производную — d/dx 3^х
97 Оценить интеграл интеграл от xe^(x^2) по x
98 Найти производную — d/dx 2sin(x)
99 Оценить сек(0)^2
100 Найти производную — d/dx натуральный логарифм x^2

Что такое интеграл от cos^2x? («cos Square x»)

Что такое интеграл от cos^2x?  этот процесс является обратным поиску производной. Интеграции являются антипроизводными. Интеграция — это способ добавления частей, чтобы найти целое. Интеграция — это вся пицца, а кусочки — это дифференцируемые функции, которые можно интегрировать. Если f(x) — любая функция, а f′(x) — ее производные. Интегрирование f′(x) по dx задается как ∫ f′(x) dx = f(x) + C.

Существуют две формы интегралов. Неопределенные интегралы: это интеграл функции, когда нет предела для интегрирования. Он содержит произвольную константу.2(2x)

Используйте идентификатор:

cos2θ=1+cos2θ/2

так что:

∫cos2(2x)dx

=∫1+cos(4x)/2dx

=1/2∫dx+1/8∫cos(4x)d(4x)

=x/2+1/8sin(4x)+C

Что такое интеграция Cos?

По фундаментальной теореме исчисления и тому факту, что производная от sin(x) равна cos(x), мы имеем, что интеграл от cos(x) равен sin(x) + C, где C – константа.

Какая производная от cos 2x?

Производная от cos(2x) равна -2sin(2x).В процессе нахождения этой производной используется цепное правило. Мы можем использовать интегралы для проверки нашей работы при поиске производных. Если D(x) — производная от f(x), то интеграл от D(x) равен f(x) + C, где C — константа.

Почему интеграция Sinx — это CosX?

Определенный интеграл функции дает площадь, а неопределенный интеграл дает первообразную функции, т.е. функцию, производной которой является наша данная функция, а также интеграл от sinx равен -cosx, как производная от — cosx равен sinx.

Что такое Шинь?

Sinh — это гиперболическая синусоидальная функция, которая является гиперболическим аналогом круговой функции Sin, используемой в тригонометрии. Для действительных чисел он определяется удвоенной площадью между осью и лучом, проходящим через начало координат и пересекающим единичную гиперболу.

Что такое CSC?

Косеканс (CSC) – тригонометрическая функция

В прямоугольном треугольнике косекансом угла является длина гипотенузы, деленная на длину противолежащего катета.2.

Как найти производную?

По сути, мы можем вычислить производную f(x), используя предельное определение производной, со следующими шагами:

Найдите f(x+h).

Подставьте f(x + h), f(x) и h в предельное определение производной.

Упростите частное разности.

Возьмите предел, когда h приближается к 0, упрощенного разностного отношения.

Что означает sin 2x?

Технико-машиностроение, Институт машиностроения и менеджмента.2 x представляет собой «квадрат синуса от x», который является функцией, отличной от функции синуса.

Что такое dy dx?

Существует ряд простых правил, которые позволяют легко различать многие функции. Если y = некоторая функция от x (другими словами, если y равно выражению, содержащему числа и x), то производная от y (по x) записывается dy/dx, произносится как «dee y by dee x».

Каково значение sin pi?

Просто поставьте точку и нажмите кнопку.Значение Cos pi= -1 и Sin pi=0. Период sin также равен 2pi или 360°, и его значение повторяется через 2pi или 360°. Диапазон sin также составляет от 1 до -1 sin0°=0 sin90°=1 sin180°=0 sin270°=-1 и sin360°=0.

Как найти период функции?

Период периодической функции – это интервал значений x, на котором лежит повторяющийся в обоих направлениях цикл графика. Следовательно, в случае основной функции косинуса f(x) = cos(x) период равен 2π.

Является ли первообразная такой же, как интеграл?

Ответ, который я всегда видел: интеграл обычно имеет определенный предел, тогда как первообразная обычно является общим случаем и почти всегда будет иметь +C, постоянную интегрирования, в конце. Это единственная разница между ними, кроме того, что они полностью одинаковы.

Что такое Sinh на калькуляторе?

Вычисляет гиперболический синус значения.Гиперболические тригонометрические функции sh(, ch( и tanh() являются аналогом нормальных тригонометрических функций, но для гиперболы, а не для окружности. Они могут быть выражены через действительные степени e и не зависят от Настройка режима в градусах или радианах

Загар — это то же самое, что обратный загар?

Как указано в других ответах, tan и tanh связаны с функцией exp, тогда как arctan и artanh связаны с функцией log, в результате чего переход от тригонометрических функций к гиперболическим происходит в комплексной области. 2x

Интеграл от cos 2x НЕ совпадает с интегралом от cos 2 x. Но при нахождении интеграла от cos 2 x мы также используем интеграл от cos 2x. Чтобы найти это, мы используем формулу cos 2x и тригонометрические тождества. Для нахождения этих интегралов воспользуемся методом подстановки.

Найдем интеграл от cos 2x и интеграл от cos 2 x, а также решим некоторые задачи, связанные с этими интегралами.

Чему равен интеграл от Cos 2x dx?

Интеграл от cos 2x  обозначается ∫ cos 2x dx, а его значение равно (sin 2x) / 2 + C, где «C» — постоянная интегрирования.Для доказательства воспользуемся методом подстановки. Для этого предположим, что 2x = u. Тогда 2 dx = du (или) dx = du/2. Подставляя эти значения в интеграл ∫ cos 2x dx,

∫ cos 2x dx = ∫ cos u (du/2)

= (1/2) ∫ потому что

Мы знаем, что интеграл от cos x равен sin x + C. Итак,

= (1/2) sin у + С

Подставив здесь u = 2x,

∫ cos 2x dx = (1/2) sin (2x) + C

Это интеграл формулы cos 2x. {2\pi}\) cos 2x dx = (1/2) sin (2x) \(\left.2x Использование формулы двойного угла

Чтобы найти интеграл от cos 2 x, мы используем формулу двойного угла для cos. Одна из формул cos 2x: cos 2x = 2 cos 2 x — 1. Добавляя 1 с обеих сторон, мы получаем 1 + cos 2x = 2 cos 2 x. Разделив обе части на 2, мы получим cos 2 x = (1 + cos 2x) / 2. Мы используем это, чтобы найти ∫ cos 2 x dx. Тогда мы получаем

∫ cos 2 x dx = ∫ (1 + cos 2x) / 2 dx

= (1/2) ∫ (1 + cos 2x) дх

= (1/2) ∫ 1 dx + (1/2) ∫ cos 2x dx

В предыдущих разделах мы видели, что ∫ cos 2x dx = (sin 2x)/2 + C.2x с использованием интеграции по частям

Мы знаем, что мы можем записать cos 2 x как cos x · cos x. Поскольку это произведение, мы можем использовать интегрирование по частям, чтобы найти ∫ cos x · cos x dx. Тогда мы получаем

∫ cos 2 x dx = ∫ cos x · cos x dx = ∫ u dv

Здесь u = cos x и dv = cos x dx. 2x

Чему равен интеграл от Cos 2x dx?

Интеграл от cos 2x dx записывается как ∫ cos 2x dx и ∫ cos 2x dx = (sin 2x)/2 + C, где C — постоянная интегрирования.3x дх?

∫ cos 3 x dx = ∫ cos 2 x cos x dx = ∫ (1 — sin 2 x) cos x dx. Подставим sin x = u. Тогда cos x dx = du. Тогда приведенный выше интеграл принимает вид ∫ (1 — u 2 ) du = u — u 3 /3 + C. Подставив здесь u = sin x, ∫ cos 3 x dx = sin x — sin 3 х/3 + С.

Чему равен интеграл от Cos 3x dx?

Чтобы найти ∫ cos 3x dx, предположим, что 3x = u. Тогда 3 dx = du (или) dx = du/3. Тогда приведенный выше интеграл принимает вид ∫ cos u (1/3) du = (1/3) sin u + C = (1/3) sin (3x) + C.2x дх?

Нет, значения этих двух интегралов НЕ совпадают. У нас есть

  • ∫ cos 2 dx = x/2 + (sin 2x)/4 + C
  • ∫ cos 2x dx = (sin 2x)/2 + C

Интеграл от 1 1 тригонометрических тождеств Cos2x – Cuitan Dokter

Интеграл от 1 1 Cos 2x Тригонометрические тождества Youtube

Интеграл от 1 e^x, как его интегрировать шаг за шагом!👋 Следите за @integralsforyou в инстаграме, чтобы получать ежедневный интеграл 😉📸 @integralsforyou в инстаграме. Интеграл от 1 (1 cos(2x)) как его интегрировать шаг за шагом!👋 Следите за @integralsforyou в instagram, чтобы получать ежедневный интеграл 😉📸 @integralsforyou i. Интеграл от (1 cos²x) (1 cos2x)\квадрат! \квадратный! . Получите пошаговые решения от опытных наставников всего за 15–30 минут. ваши первые 5 вопросов на нас!. 7.2 тригонометрические интегралы Три тождества sin 2x cos x = 1, cos x = 1 2 (cos2x 1) и sin2x = 1 2 (1 cos2x) могут использоваться для интегрирования выражений, содержащих степени синуса и косинуса. Основная идея состоит в том, чтобы использовать тождество, чтобы представить ваш интеграл в форме, где может быть применена одна из подстановок u = sin x или u = cos x.примеры 1.к. Это не так уж и плохо). идея состоит в том, чтобы использовать одно или несколько из следующих трех тригонометрических тождеств sin2 x= 1 2 (1 cos2x) cos2 x= 1 2 (1 cos2x) и sinxcosx= 1 2 sin2x, чтобы свести интеграл к сумме интегралов, в которых степени косинусов и синусов не превышают 1. тогда вы можете интегрировать почленно.

Интеграл от 1 1 Cos X Тригонометрические тождества Замена Youtube

Тригонометрические интегралы 20 мая 2013 г. Цели: делать интегралы с участием тригонометрических функций.2х ⇒ потому что 2 х = 1 грех 2 х.

Тригонометрические функции Biomath

Тригонометрические тождества Sec X 1 Cos X Csc X 1 Sin X Tan X Sin X

Пример 21. Решение тригонометрических функций Cos X 1 2 Cbse

Интеграл от 1 (1 Cos(2x)) (тригонометрические тождества)

интеграл от 1 (1 cos(2x)) как его интегрировать шаг за шагом! Подпишитесь на @integralsforyou в Instagram, чтобы получать ежедневный интегральный интеграл от 1 e^x, как интегрировать его шаг за шагом! Подпишитесь на @integralsforyou в Instagram, чтобы получать ежедневные интегралы. Присоединяйтесь к этому каналу, чтобы получить доступ к привилегиям: канал ucfhqelshdkkpv0jrcdqgfoq. Присоединяйтесь к этому каналу, чтобы получить доступ к привилегиям. ) (1 cos 2x) ш.2х). этот интеграл обычно можно найти в исчислении 1 класса.

5.3 Критерии дивергенции и интегральные тесты. Исчисление, том 2

Цели обучения

  • 5.3.1 Используйте тест дивергенции, чтобы определить, сходится ряд или расходится.
  • 5.3.2 Используйте интегральный тест, чтобы определить сходимость ряда.
  • 5.3.3 Оцените значение ряда, найдя границы его остаточного члена.

В предыдущем разделе мы определили сходимость или расходимость нескольких рядов путем явного вычисления предела последовательности частичных сумм {Sk}.{Ск}. На практике явное вычисление этого предела может быть затруднено или невозможно. К счастью, существует несколько тестов, которые позволяют нам определить сходимость или расхождение для многих типов рядов. В этом разделе мы обсудим два из этих тестов: тест дивергенции и интегральный тест. Мы рассмотрим несколько других тестов в оставшейся части этой главы, а затем подытожим, как и когда их использовать.

Тест на расхождение

Чтобы ряд ∑n=1∞an∑n=1∞an сошелся, n-й член anan должен удовлетворять условию an→0an→0 при n→∞.п→∞.

Следовательно, из алгебраических предельных свойств последовательностей

limk→∞ak=limk→∞(Sk−Sk−1)=limk→∞Sk−limk→∞Sk−1=S−S=0.limk→∞ak=limk→∞(Sk−Sk−1)= limk→∞Sk−limk→∞Sk−1=S−S=0.

Следовательно, если ∑n=1∞an∑n=1∞an сходится, то n-й член an→0an→0 при n→∞.n→∞. Важным следствием этого факта является следующее утверждение:

Ifan↛0asn→∞,∑n=1∞и расходится. Ifan↛0asn→∞,∑n=1∞и расходится.

(5.8)

Этот тест известен как тест на расхождение, потому что он позволяет доказать, что ряд расходится.

Теорема 5,8

Тест на расхождение

Если limn→∞an=c≠0limn→∞an=c≠0 или limn→∞anlimn→∞an не существует, то ряд ∑n=1∞an∑n=1∞an расходится.

Важно отметить, что утверждение, обратное этой теореме, неверно. То есть, если limn→∞an=0,limn→∞an=0, мы не можем сделать никакого заключения о сходимости ∑n=1∞an.∑n=1∞an. Например, limn→∞(1/n)=0,limn→∞(1/n)=0, но гармонический ряд ∑n=1∞1/n∑n=1∞1/n расходится. В этом разделе и остальных разделах этой главы мы покажем еще много примеров таких рядов.Следовательно, хотя мы можем использовать критерий расходимости, чтобы показать, что ряд расходится, мы не можем использовать его, чтобы доказать, что ряд сходится. В частности, если an→0,an→0, тест на расхождение неубедителен.

Пример 5.13

Использование теста расхождения

Для каждого из следующих рядов примените тест на расхождение. Если тест на расходимость доказывает, что ряд расходится, укажите это. В противном случае укажите, что тест расхождения неубедителен.

  1. ∑n=1∞n3n−1∑n=1∞n3n−1
  2. ∑n=1∞1n3∑n=1∞1n3
  3. ∑n=1∞e1/n2∑n=1∞e1/n2
Решение
  1. Так как n/(3n−1)→1/3≠0,n/(3n−1)→1/3≠0, по критерию расходимости мы можем заключить, что
    ∑n=1∞n3n−1∑n=1∞n3n−1
    расходится.
  2. Поскольку 1/n3→0,1/n3→0, тест на дивергенцию неубедителен.
  3. Так как e1/n2→1≠0,e1/n2→1≠0, по критерию расходимости ряд
    ∑n=1∞e1/n2∑n=1∞e1/n2
    расходится.

Пропускной пункт 5.12

Что тест на дивергенцию говорит нам о ряде ∑n=1∞cos(1/n2)?∑n=1∞cos(1/n2)?

Интегральный тест

В предыдущем разделе мы доказали, что гармонический ряд расходится, рассмотрев последовательность частичных сумм {Sk}{Sk} и показав, что S2k>1+k/2S2k>1+k/2 для всех натуральных k.к. В этом разделе мы используем другую технику для доказательства расходимости гармонического ряда. Этот метод важен, потому что он используется для доказательства расхождения или сходимости многих других рядов. Этот тест, называемый интегральным тестом, сравнивает бесконечную сумму с неправильным интегралом. Важно отметить, что этот тест можно применять только тогда, когда мы рассматриваем ряд, все члены которого положительны.

Чтобы проиллюстрировать, как работает интегральный тест, используйте в качестве примера гармонический ряд. На рис. 5.12 мы изобразили гармонический ряд, нарисовав последовательность прямоугольников с площадями 1, 1/2, 1/3, 1/4,… 1, 1/2, 1/3, 1/4,… вместе с функция f(x)=1/xf(x)=1/x. Из графика мы видим, что

∑n=1k1n=1+12+13+⋯+1k>∫1k+11xdx.∑n=1k1n=1+12+13+⋯+1k>∫1k+11xdx.

Следовательно, для каждого k,k k-я частичная сумма SkSk удовлетворяет

Sk=∑n=1k1n>∫1k+11xdx=lnx|1k+1=ln(k+1)−ln(1)=ln(k+1).Sk=∑n=1k1n>∫1k+11xdx=lnx |1k+1=ln(k+1)−ln(1)=ln(k+1).

Поскольку limk→∞ln(k+1)=∞, limk→∞ln(k+1)=∞, мы видим, что последовательность частичных сумм {Sk}{Sk} неограничена.Следовательно, {Sk}{Sk} расходится, а, следовательно, расходится и ряд ∑n=1∞1n∑n=1∞1n.

Фигура 5.12 Сумма площадей прямоугольников больше площади между кривой f(x)=1/xf(x)=1/x и осью xx для x≥1.x≥1. Поскольку площадь, ограниченная кривой, бесконечна (как вычислено несобственным интегралом), сумма площадей прямоугольников также бесконечна.

Теперь рассмотрим ряд ∑n=1∞1/n2.∑n=1∞1/n2. Мы покажем, как с помощью интеграла можно доказать, что этот ряд сходится. На рис. 5.13 мы нарисовали последовательность прямоугольников с площадями 1,1/22,1/32,…1,1/22,1/32,… вместе с функцией f(x)=1/x2.f(x )=1/x2. Из графика видим, что

∑n=1k1n2=1+122+132+⋯+1k2<1+∫1k1x2dx.∑n=1k1n2=1+122+132+⋯+1k2<1+∫1k1x2dx.

Следовательно, для каждого k,k k-я частичная сумма SkSk удовлетворяет

Sk=∑n=1k1n2<1+∫1k1x2dx=1−1x|1k=1−1k+1=2−1k<2.Sk=∑n=1k1n2<1+∫1k1x2dx=1−1x|1k=1− 1k+1=2−1k<2.

Мы заключаем, что последовательность частичных сумм {Sk}{Sk} ограничена.Мы также видим, что {Sk}{Sk} является возрастающей последовательностью:

. Sk=Sk−1+1k2fork≥2.Sk=Sk−1+1k2fork≥2.

Поскольку {Sk}{Sk} возрастает и ограничено, по теореме о монотонной сходимости оно сходится. Следовательно, ряд ∑n=1∞1/n2∑n=1∞1/n2 сходится.

Фигура 5.13 Сумма площадей прямоугольников меньше суммы площадей первого прямоугольника и площади между кривой f(x)=1/x2f(x)=1/x2 и осью xx для x≥1 .х≥1. Поскольку площадь, ограниченная кривой, конечна, сумма площадей прямоугольников также конечна.

Мы можем расширить эту идею, чтобы доказать сходимость или расхождение для многих различных рядов. Предположим, что ∑n=1∞an∑n=1∞an — это ряд с положительными членами anan, такой, что существует непрерывная положительная убывающая функция ff, где f(n)=anf(n)=an для всех натуральных чисел. Тогда, как показано на рис. 5.14(а), для любого целого числа k,k k-я частичная сумма SkSk удовлетворяет условию

. Sk=a1+a2+a3+⋯+ak Следовательно, если ∫1∞f(x)dx∫1∞f(x)dx сходится, то последовательность частичных сумм {Sk}{Sk} ограничена.Поскольку {Sk}{Sk} — возрастающая последовательность, если она также является ограниченной последовательностью, то по теореме о монотонной сходимости она сходится. Делаем вывод, что если ∫1∞f(x)dx∫1∞f(x)dx сходится, то сходится и ряд ∑n=1∞an∑n=1∞an. С другой стороны, из рис. 5.14(b) для любого целого числа k,k k-я частичная сумма SkSk удовлетворяет

Sk=a1+a2+a3+⋯+ak>∫1k+1f(x)dx. Sk=a1+a2+a3+⋯+ak>∫1k+1f(x)dx.

Если limk→∞∫1k+1f(x)dx=∞,limk→∞∫1k+1f(x)dx=∞, то {Sk}{Sk} — неограниченная последовательность и, следовательно, расходится.В результате ряд ∑n=1∞an∑n=1∞an также расходится. Мы заключаем, что если ∫1∞f(x)dx∫1∞f(x)dx расходится, то ∑n=1∞an∑n=1∞an расходится.

Фигура 5.14 (a) Если мы можем вписать прямоугольники внутрь области, ограниченной кривой y=f(x)y=f(x) и осью xx, и площадь, ограниченная этими кривыми для x≥1x≥1, конечна, то сумма площадей прямоугольников также конечна. (b) Если набор прямоугольников описывает область, ограниченную y=f(x)y=f(x) и осью xx для x≥1x≥1, и область имеет бесконечную площадь, то сумма площадей прямоугольники также бесконечны.

Теорема 5,9

Интегральный тест

Предположим, что ∑n=1∞an∑n=1∞an ряд с положительными членами an.an. Предположим, что существуют функция ff и натуральное число NN такие, что выполняются следующие три условия:

  1. ff непрерывный,
  2. и далее по убыванию, а
  3. f(n)=anf(n)=an для всех целых чисел n≥N. n≥N.
    Тогда
    ∑n=1∞an и ∫N∞f(x)dx∑n=1∞anи ∫N∞f(x)dx
    оба сходятся или оба расходятся (см. рис. 5.14).

Хотя из сходимости ∫N∞f(x)dx∫N∞f(x)dx следует сходимость связанного ряда ∑n=1∞an, ∑n=1∞an, это не означает, что значение интеграла и сериал тот же.Они могут быть разными, и часто таковыми являются. Например,

∑n=1∞(1e)n=1e+(1e)2+(1e)3+⋯∑n=1∞(1e)n=1e+(1e)2+(1e)3+⋯

представляет собой геометрический ряд с начальным членом a=1/ea=1/e и отношением r=1/e,r=1/e, который сходится к

1/e1-(1/e)=1/e(e-1)/e=1e-1,1/e1-(1/e)=1/e(e-1)/e=1e-1.

Однако связанный интеграл ∫1∞(1/e)xdx∫1∞(1/e)xdx удовлетворяет

∫1∞(1e)xdx=∫1∞e−xdx=лимб→∞∫1be−xdx=лимб→∞−e−x|1b=лимб→∞[−e−b+e−1]=1e.∫ 1∞(1e)xdx=∫1∞e−xdx=лимб→∞∫1be−xdx=лимб→∞−e−x|1b=лимб→∞[−e−b+e−1]=1e.

Пример 5.14

Использование интегрального теста

Для каждого из следующих рядов используйте интегральный критерий, чтобы определить, сходится или расходится ряд. Предположим, что все условия для интегрального теста выполнены.

  1. ∑n=1∞1/n3∑n=1∞1/n3
  2. ∑n=1∞1/2n−1∑n=1∞1/2n−1
Решение
  1. Сравнить
    ∑n=1∞1n3и∫1∞1x3dx.∑n=1∞1n3и∫1∞1x3dx.
    У нас есть
    ∫1∞1x3dx=конечность→∞∫1b1x3dx=конечность→∞[−12×2|1b]=конечность→∞[−12b2+12]=12.∫1∞1x3dx=конечность→∞∫1b1x3dx=конечность→∞[−12×2|1b]=конечность→∞[−12b2+12]=12.
    Таким образом, интеграл ∫1∞1/x3dx∫1∞1/x3dx сходится, а значит, сходится и ряд
    ∑n=1∞1n3.∑n=1∞1n3.
  2. Сравнить
    ∑n=1∞12n−1 и ∫1∞12x−1dx. ∑n=1∞12n−1 и ∫1∞12x−1dx.
    С
    года ∫1∞12x−1dx=конечность→∞∫1b12x−1dx=конечность→∞2x−1|1b=конечность→∞[2b−1−1]=∞,∫1∞12x−1dx=конечность→∞∫1b12x− 1dx=лимб→∞2x−1|1b=конек→∞[2b−1−1]=∞,
    интеграл ∫1∞1/2x−1dx∫1∞1/2x−1dx расходится, поэтому
    ∑n=1∞12n−1∑n=1∞12n−1
    расходится.

Пропускной пункт 5.13

Используйте интегральный тест, чтобы определить, сходится или расходится ряд ∑n=1∞n3n2+1∑n=1∞n3n2+1.

p -Серия

Гармонический ряд ∑n=1∞1/n∑n=1∞1/n и ряд ∑n=1∞1/n2∑n=1∞1/n2 являются примерами ряда, называемого р -серия.

Определение

Для любого действительного числа p,p ряд

называется серией p .

Мы знаем, что p -ряд сходится, если p=2p=2, и расходится, если p=1.р=1. А как насчет других значений p?p? В общем, трудно, если вообще возможно, вычислить точное значение большинства pp-серий. Однако мы можем использовать тесты, представленные до сих пор, чтобы доказать, сходится или расходится pp-ряд.

Если p<0,p<0, то 1/np→∞,1/np→∞, а если p=0,p=0, то 1/np→1,1/np→1. Следовательно, по тесту дивергенции

∑n=1∞1/np расходится, если p≤0. ∑n=1∞1/np расходится, если p≤0.

Если p>0,p>0, то f(x)=1/xpf(x)=1/xp — положительная, непрерывная, убывающая функция. Поэтому при p>0,p>0 используем интегральный критерий, сравнивая

∑n=1∞1nи∫1∞1xpdx.∑n=1∞1nи∫1∞1xpdx.

Мы уже рассмотрели случай, когда p=1.p=1. Здесь мы рассматриваем случай, когда p>0,p≠1.p>0,p≠1. В данном случае

∫1∞1xpdx=конечность→∞∫1b1xpdx=конечность→∞11−px1−p|1b=конечность→∞11−p[b1−p−1].∫1∞1xpdx=конечность→∞∫1b1xpdx=конечность→∞ 11−px1−p|1b=лимб→∞11−p[b1−p−1].

Потому что

b1−p→0ifp>1 и b1−p→∞ifp<1, b1−p→0ifp>1 и b1−p→∞ifp<1,

мы заключаем, что

∫1∞1xpdx={1p−1ifp>1∞ifp≤1.∫1∞1xpdx={1p−1ifp>1∞ifp≤1.

Следовательно, ∑n=1∞1/np∑n=1∞1/np сходится, если p>1p>1, и расходится, если 0

Подводя итог,

∑n=1∞1np{сходится, еслиp>1 расходится, еслиp≤1.∑n=1∞1np{сходится, еслиp>1 расходится, еслиp≤1.

(5.9)

Пример 5.15

Проверка сходимости
p -серия

Для каждого из следующих рядов определите, сходится он или расходится.

  1. ∑n=1∞1n4∑n=1∞1n4
  2. ∑n=1∞1n2/3∑n=1∞1n2/3
Решение
  1. Это p -ряд с p=4>1,p=4>1, поэтому ряд сходится.
  2. Поскольку p=2/3<1,p=2/3<1, ряд расходится.

Пропускной пункт 5.14

Сходится или расходится ряд ∑n=1∞1n5/4∑n=1∞1n5/4?

Оценка стоимости серии

Предположим, мы знаем, что ряд ∑n=1∞an∑n=1∞an сходится, и мы хотим оценить сумму этого ряда. Конечно, мы можем аппроксимировать эту сумму, используя любую конечную сумму ∑n=1Nan∑n=1Nan, где NN — любое натуральное число. Вопрос, который мы рассматриваем здесь, заключается в том, насколько хороша аппроксимация ∑n=1Nan?∑n=1Nan для сходящегося ряда ∑n=1∞an, ∑n=1∞an? Более конкретно, если мы позволим

RN=∑n=1∞an−∑n=1NanRN=∑n=1∞an−∑n=1Nan

будет остатком, когда сумма бесконечного ряда аппроксимируется NthNth частичной суммой, насколько велико RN?RN? Для некоторых типов рядов мы можем использовать идеи интегрального теста для оценки RN.РН.

Теорема 5.10

Оценка остатка от интегрального теста

Предположим, что ∑n=1∞an∑n=1∞an — сходящийся ряд с положительными членами. Предположим, что существует функция ff, удовлетворяющая следующим трем условиям:

  1. ff непрерывный,
  2. и далее по убыванию, а
  3. f(n)=anf(n)=an для всех целых чисел n≥1.n≥1.

Пусть SNSN будет N -й частичной суммой ∑n=1∞an.∑n=1∞an. Для всех положительных целых чисел N,N,

SN+∫N+1∞f(x)dx<∑n=1∞an Другими словами, остаток RN=∑n=1∞an−SN=∑n=N+1∞anRN=∑n=1∞an−SN=∑n=N+1∞an удовлетворяет следующей оценке:

∫N+1∞f(x)dx (5.10)

Это известно как оценка остатка.

Мы иллюстрируем оценку остатка из интегрального теста на рис. 5.15. В частности, представляя остаток RN=aN+1+aN+2+aN+3+⋯RN=aN+1+aN+2+aN+3+⋯ в виде суммы площадей прямоугольников, мы видим, что площадь из этих прямоугольников ограничен сверху ∫N∞f(x)dx∫N∞f(x)dx и ограничен снизу ∫N+1∞f(x)dx.∫N+1∞f(x)dx. Другими словами,

RN=aN+1+aN+2+aN+3+⋯>∫N+1∞f(x)dxRN=aN+1+aN+2+aN+3+⋯>∫N+1∞f(x) дх

и

RN=aN+1+aN+2+aN+3+⋯<∫N∞f(x)dx. RN=aN+1+aN+2+aN+3+⋯<∫N∞f(x)dx.

Мы заключаем, что

∫N+1∞f(x)dx С

∑n=1∞an=SN+RN, ∑n=1∞an=SN+RN,

где SNSN — NthNth частичная сумма, заключаем, что

SN+∫N+1∞f(x)dx<∑n=1∞an∫N+1∞f(x)dx.aN+1+aN+2+aN+3+⋯>∫N+1∞f(x)dx. Следовательно, интеграл является либо завышенной, либо заниженной оценкой ошибки.

Пример 5.16

Оценка стоимости серии

Рассмотрим ряд ∑n=1∞1/n3.∑n=1∞1/n3.

  1. Рассчитайте S10=∑n=1101/n3S10=∑n=1101/n3 и оцените ошибку.
  2. Определите наименьшее значение NN, необходимое для того, чтобы SNSN оценил ∑n=1∞1/n3∑n=1∞1/n3 с точностью до 0,001,0,001.
Решение
  1. С помощью вычислительной утилиты имеем
    S10=1+123+133+143+⋯+1103≈1,19753.S10=1+123+133+143+⋯+1103≈1,19753.
    По оценке остатка мы знаем
    RN<∫N∞1x3dx.RN<∫N∞1x3dx.
    У нас есть
    ∫10∞1x3dx=конечность→∞∫10b1x3dx=конечность→∞[−12×2]Nb=конечность→∞[−12b2+12N2]=12N2.∫10∞1x3dx=конечность→∞∫10b1x3dx=конечность→∞[−12×2]Nb=конечность→∞[−12b2+12N2]=12N2.
    Следовательно, ошибка R10<1/2(10)2=0,005. R10<1/2(10)2=0,005.
  2. Найдите такое NN, что RN<0,001.RN<0,001. В части а. мы показали, что RN<1/2N2.RN<1/2N2. Следовательно, остаток RN<0,001RN<0,001 до тех пор, пока 1/2N2<0,001,1/2N2<0,001. То есть нам нужно 2N2>1000.2N2>1000. Решая это неравенство относительно N,N, мы видим, что нам нужно N>22,36.N>22,36. Чтобы убедиться, что остаток находится в пределах желаемой суммы, нам нужно округлить до ближайшего целого числа.Следовательно, минимально необходимое значение равно N=23.N=23.

Пропускной пункт 5.

15

Для ∑n=1∞1n4,∑n=1∞1n4 вычислить S5S5 и оценить ошибку R5.R5.

Раздел 5.3 Упражнения

Для каждого из следующих рядов, если применим критерий дивергенции, либо укажите, что limn→∞anlimn→∞an не существует, либо найдите limn→∞an.limn→∞an. Если тест на расхождение неприменим, укажите, почему.

141 .

an=(2n+1)(n−1)(n+1)2an=(2n+1)(n−1)(n+1)2

142 .

an=(2n+1)2n(3n2+1)nan=(2n+1)2n(3n2+1)n

144 .

ан=2n+3n10n/2ан=2n+3n10n/2

148 .

an=1−cos2(1/n)sin2(2/n)an=1−cos2(1/n)sin2(2/n)

149 .

ан=(1−1n)2нан=(1−1n)2n

Укажите, сходится ли данный pp-ряд.

154 .

∑n=1∞1n23∑n=1∞1n23

155 .

∑n=1∞1n43∑n=1∞1n43

156 .

∑n=1∞nenπ∑n=1∞nenπ

157 .

∑n=1∞nπn2e∑n=1∞nπn2e

Используйте интегральный тест, чтобы определить, сходятся ли следующие суммы.

158 .

∑n=1∞1n+5∑n=1∞1n+5

159 .

∑n=1∞1n+53∑n=1∞1n+53

160 .

∑n=2∞1nlnn∑n=2∞1nlnn

161 .

∑n=1∞n1+n2∑n=1∞n1+n2

162 .

∑n=1∞en1+e2n∑n=1∞en1+e2n

163 .

∑n=1∞2n1+n4∑n=1∞2n1+n4

164 .

∑n=2∞1nln2n∑n=2∞1nln2n

Выразите следующие суммы в виде pp-рядов и определите, сходится ли каждый из них.

165 .

∑n=1∞2−lnn∑n=1∞2−lnn ( Подсказка: 2−lnn=1/nln22−lnn=1/nln2.)

166 .

∑n=1∞3−lnn∑n=1∞3−lnn ( Подсказка: 3−lnn=1/nln33−lnn=1/nln3.)

167 .

∑n=1∞n2−2lnn∑n=1∞n2−2lnn

168 .

∑n=1∞n3−2lnn∑n=1∞n3−2lnn

Используйте оценку RN≤∫N∞f(t)dtRN≤∫N∞f(t)dt, чтобы найти оценку остатка RN=∑n=1∞an−∑n=1NanRN=∑n=1∞an −∑n=1Nan, где an=f(n).an=f(n).

169 .

∑n=110001n2∑n=110001n2

170 .

∑n=110001n3∑n=110001n3

171 .

∑n=1100011+n2∑n=1100011+n2

172 .

∑n=1100n/2n∑n=1100n/2n

[T] Найдите минимальное значение NN такое, что оценка остатка ∫N+1∞f

173 .

an=1n2,an=1n2, ошибка <10-4<10-4

174 .

an=1n1.1,an=1n1.1, ошибка <10-4<10-4

175 .

an=1n1.01,an=1n1.01, ошибка <10-4<10-4

176 .

an=1nln2n,an=1nln2n, ошибка <10−3<10−3

177 .

an=11+n2,an=11+n2, ошибка <10-3<10-3

В следующих упражнениях найдите такое значение NN, чтобы RNRN было меньше требуемой ошибки. Вычислите соответствующую сумму ∑n=1Nan∑n=1Nan и сравните ее с данной оценкой бесконечного ряда.

178 .

an=1n11,an=1n11, ошибка <10−4,<10−4, ∑n=1∞1n11=1,000494…∑n=1∞1n11=1,000494…

179 .

an=1en,an=1en, ошибка <10−5,<10−5, ∑n=1∞1en=1e−1=0,581976…∑n=1∞1en=1e−1=0,581976…

180 .

an=1en2,an=1en2, ошибка <10−5,<10−5, ∑n=1∞n/en2=0,40488139857…∑n=1∞n/en2=0,40488139857…

181 .

an=1/n4,an=1/n4, ошибка <10−4,<10−4, ∑n=1∞1/n4=π4/90=1,08232...∑n=1∞1/n4= π4/90=1,08232...

182 .

an=1/n6,an=1/n6, ошибка <10−6,<10−6, ∑n=1∞1/n4=π6/945=1,01734306...,∑n=1∞1/n4 =π6/945=1,01734306. ..,

183 .

Найдите предел при n→∞n→∞ числа 1n+1n+1+⋯+12n.1n+1n+1+⋯+12n. ( Подсказка: Сравните с ∫n2n1tdt.)∫n2n1tdt.)

184 .

Найдите предел n→∞n→∞ числа 1n+1n+1+⋯+13n1n+1n+1+⋯+13n

Следующие несколько упражнений предназначены для того, чтобы дать представление о приложениях, в которых возникают частичные суммы гармонического ряда.

185 .

В некоторых приложениях вероятности, таких как так называемая оценка Уоттерсона для предсказания скорости мутаций в популяционной генетике, важно иметь точную оценку числа Hk=(1+12+13+⋯+1k).Hk= (1+12+13+⋯+1к). Напомним, что Tk=Hk-lnkTk=Hk-lnk убывает.Вычислите T=limk→∞TkT=limk→∞Tk с точностью до четырех знаков после запятой. ( Подсказка: 1k+1<∫kk+11xdx1k+1<∫kk+11xdx.)

186 .

[T] Полная выборка с заменой, иногда называемая проблемой сборщика купонов , формулируется следующим образом: Предположим, что у вас есть NN уникальных предметов в ячейке. На каждом этапе случайным образом выбирается предмет, идентифицируется и кладется обратно в корзину. Задача заключается в том, какое ожидаемое количество шагов E(N)E(N) потребуется для рисования каждого уникального элемента хотя бы один раз.Получается, что E(N)=NE(N)=N. HN=N(1+12+13+⋯+1N)HN=N(1+12+13+⋯+1N). Найдите E(N)E(N) для N=10,20 и 50N=10,20 и 50.

187 .

[T] Самый простой способ перетасовать карты — это взять верхнюю карту и вставить ее в случайное место в колоде, что называется случайной вставкой сверху, а затем повторить. Мы будем считать, что колода перетасована случайным образом, как только будет сделано достаточное количество случайных вставок сверху, чтобы карта, первоначально находившаяся внизу, достигла верха, а затем была случайно вставлена. Если в колоде n карт, то вероятность того, что вставка будет ниже карты, изначально находящейся внизу (назовем эту карту B)B), равна 1/n.1/н. Таким образом, ожидаемое количество случайных вставок сверху до того, как BB перестанет быть внизу, равно n . Как только одна карта находится ниже B, B, есть два места ниже BB, и вероятность того, что случайно вставленная карта окажется ниже BB, равна 2/n.2/n. Ожидаемое количество первых случайных вставок до того, как это произойдет, равно n/2.n/2. Две карты ниже BB теперь в случайном порядке. Продолжая в том же духе, найдите формулу для ожидаемого количества случайных вставок сверху, необходимых для того, чтобы колода считалась случайно перетасованной.

188 .

Предположим, скутер может проехать 100100 км на полном баке топлива. Предполагая, что топливо можно переливать с одного мотороллера на другой, но только в баке, представьте процедуру, позволяющую одному из мотороллеров проехать 100HN100HN км, где HN=1+1/2+⋯+1/N. HN=1+1/2+⋯+1/N.

189 .

Покажите, что для применения оценки остатка на [N,∞)[N,∞) достаточно, чтобы f(x)f(x) убывала на [N,∞),[N,∞), но ff нужно не убывает на [1,∞).[1,∞).

190 .

[T] Используйте оценку остатка и интегрирование по частям, чтобы аппроксимировать ∑n=1∞n/en∑n=1∞n/en с погрешностью менее 0,0001,0,0001.

191 .

Сходится ли ∑n=2∞1n(lnn)p∑n=2∞1n(lnn)p, если pp достаточно велико? Если да, то для каких p?p?

192 .

[T] Предположим, что компьютер может суммировать один миллион членов в секунду расходящегося ряда ∑n=1N1n.∑n=1N1n. Используйте интегральный тест, чтобы примерно определить, сколько секунд потребуется, чтобы сложить достаточно членов, чтобы частичная сумма превышала 100.100.

193 .

[T] Быстрый компьютер может суммировать один миллион членов в секунду расходящегося ряда ∑n=2N1nlnn.∑n=2N1nlnn. Используйте интегральный тест, чтобы примерно определить, сколько секунд потребуется, чтобы сложить достаточно членов, чтобы частичная сумма превышала 100,100.

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск