Вычисление площадей плоских фигур. 11 класс
1. МКОУ Андреевская СОШ
2. Тема урока: «Вычисление площадей плоских фигур».
Цели урока:Закрепить и углубить знания по теме;
Совершенствовать навыки построения
графиков элементарных функций;
Воспитывать у учащихся уверенность в
своих знаниях, быстроту реакции,
мобильность мышления.
3. Приложение 1 (к I этапу урока) Типовая карточка для тренинга по закреплению понятия криволинейной трапеции
№1y
0
1
x
y
0
y
0
2
x
y
3
x
0
4
x
4. продолжение
№2y
0
1
x
y
0
y
0
2
x
y
3
x
0
4
x
5. продолжение
№3y
0
y
x
1
0
x
2
y
y
x
0
3
0
x
4
6. продолжение
№4y
0
1
y
x
y
0
x
2
y
0
x
3
0
x
4
Приложение 2 (ко II этапу урока)
Чертежи
для тренинга по закреплению
формулы вычисления площади
криволинейной трапеции
(ф.
8. I вариант
yа)
б)
y
1
2
0
0
x
2
в)
y
г)
2
x
y
3
Y=2-x2
2 0
2
x
0
1 2
3
x
9. II вариант
yа)
б)
Y=
0
в)
1
2
x
3
y
Y=
x
2
x
y
0
г)
4
x
y
Y=x2
1
2
0
Y=cos x
2
x
0
1
3
x
10. Приложение 3 (к III этапу урока) “Провокационные” задачи
Задача 1. 13
x
Равен ли dx площади фигуры,
1
ограниченной линиями x=-1, x=1, y=0, y=x3 ?
Поясните.
Задача 2.
Вычислить площадь фигуры,
ограниченной
линиями: x= , x 2 , у=0, у= cos x, через
2
интеграл
cos xdx.
11. Приложение 4 (к IV этапу урока)
yD
A
B
0
C
I вариант
Выразить площадь заштрихованной фигуры через сумму
или разность площадей криволинейных трапеций.
x
Ответы: 1.SODB-SODA
2. SOAC-SCAB
3. SODAC+SCAB-SODA
4. SODAC+SACB
12. продолжение
II вариантy
C
F
A
B
D 0
E
Выразить площадь
заштрихованной фигуры
через сумму или разность
x площадей криволинейных
трапеций.
Ответы: 1. SACE-SABOCE
2. SCBF+SOFC
3. SACE-SABO-SOCE
4. SDBCE-SDBOCF
13. продолжение
yC
B
A
0
D
E
x
III вариант
Выразить площадь
заштрихованной фигуры
через сумму или разность
площадей криволинейных
трапеций.
Ответы: 1. SBOC-SOCD
2. SOBD
3. SABDE-SABODE
4. SABDE-SOBD
14. продолжение
IV вариантy
F
A
K
B
0
E
D
C
x
Выразить площадь
заштрихованной фигуры
через сумму или разность
площадей криволинейных
трапеций.
Ответы: 1. SOFC-SOFmBC
2. SEAnBD- SEAmBD
3. SOKAnBD-SOKAmBD
SEAC-SEAmBC15. Приложение 5 (к V этапу урока)
1 вариант1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями y=9×2, y= 0.
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями y=2x-x2, y= x.
3. Найти площадь фигуры, ограниченной
линиями y=x2, x+y=6, y=0.
16. продолжение
2 вариант1. Найти площадь фигуры, ограниченной
графиками функций y=4-x2, y=x+2,y= 0.
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями y x, x=1, x=4, y=0.
3. Найти площадь фигуры, ограниченной
линиями y=x2, x+y=6.
17. продолжение
3 вариант1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями y=sin x, x=0, x , y= 0.
2. Найти площадь фигуры, ограниченной
линиями у=9-x2, 2y-5x=0, y=0, при x>0.
3. Вычислить площадь фигуры,
1
ограниченной линиями y 2 , y=x2, x=2.
x
18. продолжение
4 вариант1. Вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями y=x2+1,x=-2, х=2,
y= 0.
2.
Найти площадь фигуры, ограниченной1
графиками функций y= x, y 2 , y=0,
x
x=3.
3. Вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями y=x2, y=2-x2.
Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла
Будьте внимательны! У Вас есть 10 минут на прохождение теста. Система оценивания — 5 балльная. Разбалловка теста — 3,4,5 баллов, в зависимости от сложности вопроса. Порядок заданий и вариантов ответов в тесте случайный. С допущенными ошибками и верными ответами можно будет ознакомиться после прохождения теста. Удачи!Список вопросов теста
Вопрос 1
Варианты ответов
Вопрос 2
Вопрос 3
Выберите те значения, которые являются границами интегрирования, при нахождении площади фигуры, ограниченной линиямиВарианты ответов
Вопрос 4
Укажите формулу для вычисления площади фигуры, график которой изображен на рисунке.
Варианты ответов
Вопрос 5
Укажите формулу для вычисления площади фигуры, график которой изображен на рисунке.
Варианты ответов
Вопрос 6
Выберите те значения, которые являются границами интегрирования, при нахождении площади фигуры, ограниченной линиямиВарианты ответов
- 1
Вопрос 7
Вычислить площадь фигуры, показанной на рисунке.
Эта фигура ограничена линиями
Вопрос 8
Укажите на каком рисунке изображена фигура, ограниченная линиямиВарианты ответов
Вопрос 9
C помощью какой формулы можно найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Варианты ответов
Вопрос 10
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Ответ запишите в виде десятичной дроби, отделяя целую часть от дробной запятой.
2, y=0, x=2, x=4МатематикаЕсть ответ! 1Ответить
на плоскости даны пересекающиеся прямые A и B 9 точек расположены симметрично относительно прямых A и B Докажите что она из этих точек лежит на пер…
Есть ответ! 1ОтветитьМатематикаЕсть ответ! 2Ответить0,3:100= 48,4:2,2= пожалуйста помогите!!!срочно надо!!!!
Есть ответ! 2ОтветитьМатематикаБез ответа 0ОтветитьПомогите пожалуйста мне очень нужен ответ
Без ответа 0ОтветитьМатематикаБез ответа 0ОтветитьТо , что обведено в кружочки . помогите пожалуйста
Без ответа 0ОтветитьМатематикаЕсть ответ! 2Ответить2. Чему равен X в уравнении 240:X=24? А) 1 В)10 С)100
Есть ответ! 2ОтветитьМатематикаЕсть ответ! 2Ответить2.
В координатной плоскости отметьте точки A(-1; -5), В(2; 1), C(-4; 4), D(4; — 4), E(-3;2). срочна даю 50 бал
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 11 Реши задачу. к а) На покупку товаров потратили 600 тен- ге, это составило от первоначальной сум- = мы денег. Найди первоначальн…
Без ответа 0ОтветитьМатематикаЕсть ответ! 1ОтветитьТо , что обведено в кружочки . помогите пожалуйста! математика , 5 класс
Есть ответ! 1ОтветитьМатематикаЕсть ответ! 1Ответить(2+3а). (4-6а+9а²) раскройте скобки с помощью формул сокращенного умножения
Есть ответ! 1ОтветитьМатематикаЕсть ответ! 2ОтветитьВведите указанный интервал.b) c) Ну там надо их уравнение написать. Ну я не знаю. Например такой должен (+8;-5) Напишите пожалуйста
Есть ответ! 2ОтветитьТематические тесты по математике «Интеграл.
Площадь криволинейной трапеции»
Площадь криволинейной трапеции.
Формула Ньютона – Лейбница.
1.Вычислите:
2. Вычислите:
21
3. Вычислите:
-3
4. Вычислите:
5. Вычислите:
6. Вычислить интеграл:
8
7. Вычислить интеграл:
8. Вычислите интеграл:
9. Вычислите интеграл6
10. Вычислите интеграл:
3
11. Вычислите интеграл:
ln4
12. Вычислите интеграл:
13. Вычислите интеграл:
14. Вычислите интеграл:
15. Вычислите интеграл:
16. Вычислите интеграл:
17. Вычислите интеграл:
18. Вычислите интеграл:
19. Вычислите интеграл:
20. Найдите площадь фигуры, заключённой между линиями .
ln4
21. Найдите площадь фигуры, ограниченной кривой у = -х2 + 5х и осью абсцисс.
20
22. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
21
23. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2 – 5х + 4, у = -3х + 4.
24.Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямыми х + у = 4, у = 3х и осью Оу.
2
25. Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямыми у = 4 – х, у = 3х и осью Ох.
6.
26. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = е5х, у = 0, х = 0, х = 2.
27. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = -х3, у = х2, х = 1.
28. При каких значениях а площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2, у = 0, х = а, равна 9?
3
29. При каких значениях а площадь фигуры, ограниченной линиями у = х3, у = 0, х = а, a>0, равна 4?
2
30. При каких значениях а площадь фигуры, ограниченной линиями у = х3, у = 0, х = а, а>0, равна64?
4
31. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х2 -4х + 9, касательной к графику этой функции в точке с абсциссой х0 = 3 и осью ординат.
9
32. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х(3 – х) и осью абсцисс.
33. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х(4 – х) и осью абсцисс.
34. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 9х – х2 и касательной к этому графику в его точке с абсциссой 1 и осью ординат.
35. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями .
2
36. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = 4х – х2, у = 5, х = 0 , х = 3.
6
37. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .
1
38. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х – х2, у = х2 – х.
39. Площадь фигуры, ограниченной линиями равна:
1,5
40. Площадь фигуры, ограниченной линиями равна:
1.
41. Площадь фигуры, ограниченной линиями равна:
.
42. При каких значениях параметра а значение интеграла не превосходит 3?
43.
При каких значениях параметра а значение интеграла максимально?
44. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2х, у = 0, х = 1, х = 3.
8.
45. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х2 – х и осью абсцисс.
.
46. Найдите объём фигуры, полученной вращением криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = х2, х = 0 и х = 1, у = 0 вокруг оси абсцисс.
.
47. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 2х – х2 и осью абсцисс.
.
48. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2 и х = у2.
49. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 6х, у = 0, х = 1 и х = 2.
9
50. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
.
51. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
.
52. Найдите площадь фигуры, ограниченной кривыми у = 1 – х2 и у = 0.
.
53.
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 6х –х2 и у = 0.
36.
54. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2х, у = 0, х = 1 . х = 3.
8
55. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х2 – х и осью абсцисс.
56.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2, у = 0, х = 2.
57. Вычислите площадь фигуры, ограниченную линиями у = 4 –х2, у = 0.
.
58. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х3, у = 8, х = 1.
4
59. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = -х2 + 3, у = 2.
1
60. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х3, х = 1, х = 3, у = 0.
20
61. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2 -5х + 3, у = 3 – х.
10
62. Вычислите площадь фигуры, расположенной правее оси ординат и ограниченной линиями y = sinx, y = cosx, x = 0.
.
63. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2 +2х + 4, х = -2, х = 1, у = 2.
6
64. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
1.
Применение интеграла.
Вычисление интеграла.
1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = -х2 + х + 2 и прямой у = 0.
4,5
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функции f(x) = (x-1)2 и у = 3 – х.
4
3. Вычислите интеграл
10.
4. Вычислите площадь фигуры, которая ограничена графиком функции у = -0,5х2 + 2х и осью абсцисс.
5
5. Найдите объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями .
6. Вычислите:
-3
7. Вычислите:
8. По заданной площади криволинейной трапеции найдите значение параметра а, если
9. Вычислите:
1.
10.
Вычислите интеграл
2
11. Вычислите интеграл
12. Вычислите интеграл
.
13. Вычислите интеграл
0
14. Вычислите интеграл
15. Вычислите интеграл
16. Вычислите интеграл
24. Вычислите интеграл
Смешанные задачи.
1. При каких а верно равенство
2. При каких а верно равенство
3. При каких а верно неравенство
4. При каких а верно неравенство
5. Решите уравнение если
8.
6. Найдите объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями
7. Найдите объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями
8. Найдите объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = 1 – х2, у = 0.
9.
Найдите объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = х3, х = 1, х = 2 , у = 0.
10. Найдите объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = х2, х = 1, х = 2, у = 0.
11. Найдите объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = 2х + 1, х = 0,.х = 2 , у = 0.
20
12. Вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции , отрезком оси Ох и прямой х = -1.
9
14. При каких a>0 справедливо
15. Найти объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями и y = sinx; , вокруг оси Ох . Ответ:
| 1 | Trovare la Derivata — d/dx | натуральный логарифм x | |
| 2 | Вычислим интеграл | интеграл натурального логарифма x по x | |
| 3 | Trovare la Derivata — d/dx | e^x | |
| 4 | Вычислим интеграл | интеграл e^(2x) относительно x | |
| 5 | Trovare la Derivata — d/dx | 1/x | |
| 6 | Trovare la Derivata — d/dx | x^2 | |
| 7 | Trovare la Derivata — d/dx | 1/(x^2) | |
| 8 | Trovare la Derivata — d/dx | sin(x)^2 | |
| 9 | Trovare la Derivata — d/dx | sec(x) | |
| 10 | Вычислим интеграл | интеграл e^x относительно x | |
| 11 | Вычислим интеграл | интеграл x^2 относительно x | |
| 12 | Вычислим интеграл | интеграл квадратного корня x по x | |
| 13 | Trovare la Derivata — d/dx | cos(x)^2 | |
| 14 | Вычислим интеграл | интеграл 1/x относительно x | |
| 15 | Вычислим интеграл | интеграл sin(x)^2 относительно x | |
| 16 | Trovare la Derivata — d/dx | x^3 | |
| 17 | Trovare la Derivata — d/dx | sec(x)^2 | |
| 18 | Вычислим интеграл | интеграл cos(x)^2 относительно x | |
| 19 | Вычислим интеграл | интеграл sec(x)^2 относительно x | |
| 20 | Trovare la Derivata — d/dx | e^(x^2) | |
| 21 | Вычислим интеграл | интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x | |
| 22 | Trovare la Derivata — d/dx | sin(2x) | |
| 23 | Trovare la Derivata — d/dx | tan(x)^2 | |
| 24 | Вычислим интеграл | интеграл 1/(x^2) относительно x | |
| 25 | Trovare la Derivata — d/dx | 2^x | |
| 26 | График | натуральный логарифм a | |
| 27 | Trovare la Derivata — d/dx | cos(2x) | |
| 28 | Trovare la Derivata — d/dx | xe^x | |
| 29 | Вычислим интеграл | интеграл 2x относительно x | |
| 30 | Trovare la Derivata — d/dx | ( натуральный логарифм x)^2 | |
| 31 | Trovare la Derivata — d/dx | натуральный логарифм (x)^2 | |
| 32 | Trovare la Derivata — d/dx | 3x^2 | |
| 33 | Вычислим интеграл | интеграл xe^(2x) относительно x | |
| 34 | Trovare la Derivata — d/dx | 2e^x | |
| 35 | Trovare la Derivata — d/dx | натуральный логарифм 2x | |
| 36 | Trovare la Derivata — d/dx | -sin(x) | |
| 37 | Trovare la Derivata — d/dx | 4x^2-x+5 | |
| 38 | Trovare la Derivata — d/dx | y=16 корень четвертой степени 4x^4+4 | |
| 39 | Trovare la Derivata — d/dx | 2x^2 | |
| 40 | Вычислим интеграл | интеграл e^(3x) относительно x | |
| 41 | Вычислим интеграл | интеграл cos(2x) относительно x | |
| 42 | Trovare la Derivata — d/dx | 1/( квадратный корень x) | |
| 43 | Вычислим интеграл | интеграл e^(x^2) относительно x | |
| 44 | Вычислить | e^infinity | |
| 45 | Trovare la Derivata — d/dx | x/2 | |
| 46 | Trovare la Derivata — d/dx | -cos(x) | |
| 47 | Trovare la Derivata — d/dx | sin(3x) | |
| 48 | Trovare la Derivata — d/dx | 1/(x^3) | |
| 49 | Вычислим интеграл | интеграл tan(x)^2 относительно x | |
| 50 | Вычислим интеграл | интеграл 1 относительно x | |
| 51 | Trovare la Derivata — d/dx | x^x | |
| 52 | Trovare la Derivata — d/dx | x натуральный логарифм x | |
| 53 | Trovare la Derivata — d/dx | x^4 | |
| 54 | Оценить предел | предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3 | |
| 55 | Вычислим интеграл | интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x | |
| 56 | Trovare la Derivata — d/dx | f(x) = square root of x | |
| 57 | Trovare la Derivata — d/dx | x^2sin(x) | |
| 58 | Вычислим интеграл | интеграл sin(2x) относительно x | |
| 59 | Trovare la Derivata — d/dx | 3e^x | |
| 60 | Вычислим интеграл | интеграл xe^x относительно x | |
| 61 | Trovare la Derivata — d/dx | y=x^2 | |
| 62 | Trovare la Derivata — d/dx | квадратный корень x^2+1 | |
| 63 | Trovare la Derivata — d/dx | sin(x^2) | |
| 64 | Вычислим интеграл | интеграл e^(-2x) относительно x | |
| 65 | Вычислим интеграл | интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x | |
| 66 | Trovare la Derivata — d/dx | e^2 | |
| 67 | Trovare la Derivata — d/dx | x^2+1 | |
| 68 | Вычислим интеграл | интеграл sin(x) относительно x | |
| 69 | Trovare la Derivata — d/dx | arcsin(x) | |
| 70 | Оценить предел | предел (sin(x))/x, если x стремится к 0 | |
| 71 | Вычислим интеграл | интеграл e^(-x) относительно x | |
| 72 | Trovare la Derivata — d/dx | x^5 | |
| 73 | Trovare la Derivata — d/dx | 2/x | |
| 74 | Trovare la Derivata — d/dx | натуральный логарифм 3x | |
| 75 | Trovare la Derivata — d/dx | x^(1/2) | |
| 76 | Trovare la Derivata — d/[email protected] | f(x) = square root of x | |
| 77 | Trovare la Derivata — d/dx | cos(x^2) | |
| 78 | Trovare la Derivata — d/dx | 1/(x^5) | |
| 79 | Trovare la Derivata — d/dx | кубический корень x^2 | |
| 80 | Вычислим интеграл | интеграл cos(x) относительно x | |
| 81 | Вычислим интеграл | интеграл e^(-x^2) относительно x | |
| 82 | Trovare la Derivata — d/[email protected] | f(x)=x^3 | |
| 83 | Вычислим интеграл | интеграл 4x^2+7 от 0 до 10 относительно x | |
| 84 | Вычислим интеграл | интеграл от ( натуральный логарифм x)^2 по x | |
| 85 | Trovare la Derivata — d/dx | логарифм x | |
| 86 | Trovare la Derivata — d/dx | arctan(x) | |
| 87 | Trovare la Derivata — d/dx | натуральный логарифм 5x | |
| 88 | Trovare la Derivata — d/dx | 5e^x | |
| 89 | Trovare la Derivata — d/dx | cos(3x) | |
| 90 | Вычислим интеграл | интеграл x^3 относительно x | |
| 91 | Вычислим интеграл | интеграл x^2e^x относительно x | |
| 92 | Trovare la Derivata — d/dx | 16 корень четвертой степени 4x^4+4 | |
| 93 | Trovare la Derivata — d/dx | x/(e^x) | |
| 94 | Оценить предел | предел arctan(e^x), если x стремится к 3 | |
| 95 | Вычислим интеграл | интеграл (e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x)) относительно x | |
| 96 | Trovare la Derivata — d/dx | 3^x | |
| 97 | Вычислим интеграл | интеграл xe^(x^2) относительно x | |
| 98 | Trovare la Derivata — d/dx | 2sin(x) | |
| 99 | Вычислить | sec(0)^2 | |
| 100 | Trovare la Derivata — d/dx | натуральный логарифм x^2 |
Шаг 3: Вычислите определенный интеграл, чтобы найти площадь.
Словарь и уравнения для вычисления площадей областей, ограниченных полярными кривыми с определенными интегралами
Полярная кривая: Полярная кривая представляет собой функцию {eq}r = f(\theta) {/eq} записано в полярных координатах, где {eq}(r,\theta) {/eq} представляет положение точки на расстоянии {eq}r {/eq} из полюса {eq}(0,0) {/eq} и угол {eq}\theta {/eq} измеряется против часовой стрелки от положительной горизонтальной оси.2) д\тета {/экв}.
Мы будем использовать эти шаги, определения и уравнения для вычисления площадей областей, ограниченных полярными кривыми с определенными интегралами, в следующих двух примерах.
Пример задачи 1. Вычисление площадей областей, ограниченных полярными кривыми с определенными интегралами
Используйте определенный интеграл для вычисления площади области, заштрихованной синим цветом, за пределами круга {eq}r = 3
{/eq} и внутри кардиоиды {eq}r = 3 + 3\cos(\theta)
{/экв}.
2\right)d \ тета
{/eq} где {eq}g(\theta)\geq f(\theta)
{/eq} в интегрируемом регионе.{\пи/2}\\
\\
& = 9 \ sin \ left (\ frac {\ pi} {2} \ right) + \ frac {9} {4} \ cdot \ frac {\ pi} {2} + \ frac {9} {8} \ sin\left(2\cdot\frac{\pi}{2}\right) — 9\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) -\frac{9}{4}\cdot \left(-\frac{\pi}{2}\right) — \frac{9}{8}\sin\left(2\cdot\left(-\frac{\pi}{2}\right)\ правильно)\\
\\
& = 9 +\frac{9\pi}{8} + 0 — 9(-1) +\frac{9\pi}{8} — 0\\
\\
& = 18 + \frac{18\pi}{8}\\
\\
& = 18 + \frac{9\pi}{4}
\end{выравнивание}
{/экв}
Площадь заштрихованной области равна {eq}18 + \dfrac{9\pi}{4} {/экв} квадратных единиц.
Пример задачи 2. Вычисление площадей областей, ограниченных полярными кривыми с определенными интегралами
Используйте определенный интеграл для вычисления площади области, заштрихованной синим цветом, за пределами круга {eq}r = cos(\theta) {/eq} и внутри круга {eq}r = 2\cos(\theta) {/экв}.
Шаг 1: Определите границы интеграла.
Границы можно найти, найдя пересечения двух полярных кривых.{\пи/2}\\
\\
& = \frac{3}{4}\cdot\frac{\pi}{2} + \frac{3}{8}\sin(\pi) — \frac{3}{4}\cdot\left( -\frac{\pi}{2}\right) — \frac{3}{8}\sin(-\pi)\\
\\
& = \ гидроразрыва {3 \ пи} {4}
\end{выравнивание}
{/экв}
Площадь области составляет {eq}\dfrac{3\pi}{4} {/экв} квадратных единиц.
Получите доступ к тысячам практических вопросов и пояснений!Калькулятор площади между двумя кривыми
Калькулятор площади между двумя кривыми вычисляет площадь для заданных кривых и пределов.Площадь под кривой можно определить, выполнив определенный интеграл между заданными пределами.
Что такое Калькулятор площади между двумя кривыми?
Калькулятор площади между двумя кривыми – это онлайн-инструмент, который помогает рассчитать площадь для заданных кривых и пределов. Этот онлайн-калькулятор площади между двумя кривыми поможет вам рассчитать площадь между двумя кривыми за несколько секунд.
Чтобы использовать калькулятор этой области между двумя кривыми, введите функцию и предельные значения в данное поле ввода.
Как использовать калькулятор площади между двумя кривыми?
Чтобы найти площадь с помощью онлайн-калькулятора площади между двумя кривыми, выполните следующие действия:
- Шаг 1: Перейдите в онлайн-калькулятор Cuemath между двумя кривыми.
- Шаг 2: Введите большую функцию и меньшую функцию в данное поле ввода площади между двумя кривыми калькулятора.
- Шаг 3: Введите значения пределов (нижняя и верхняя границы) в заданное поле ввода площади между двумя кривыми калькулятора.
- Шаг 4: Нажмите кнопку «Рассчитать» , чтобы найти площадь для заданных кривых и пределов.
- Шаг 5: Нажмите кнопку «Сброс» , чтобы очистить поля и ввести новые значения.
Как работает калькулятор площади между двумя кривыми?
Основная теорема исчисления говорит нам, что для вычисления площади под кривой y = f(x) от x = a до x = b.
2 + x-3)]\)
= 6.67
Точно так же вы можете попробовать вычислить площадь между двумя кривыми и найти площадь для:
- f(x) = 5x + 6 и g(x) = 6x 2 для пределов x = от -3 до 1
- f(x) = x 3 / 2 и g(x) = 5x для пределов от x = 2 до x = 5
☛
Связанные статьи:Используя интегрирование, найдите площадь треугольной области, ограниченной линиями y=2x+1, y=3x+1 и x=4. — Sarthaks eConnect
Дано,
• Треугольник ABC
• Уравнение стороны AB у = 2x + 1
• Уравнение стороны BC у = 3x+1
• Уравнение стороны CA у x= 4
Решая AB и BC, получаем точку B,
AB : y = 2x+1 , BC: y = 3x+1
2x+1 = 3x+1
x = 0
подставляя x = 0 в AB получаем y = 1
Точка B = (0,1)
Решая BC & CA, получаем точку C,
AC : x = 4 , BC: y = 3x+1
y = 12+1 = 13
y = 13
Точка C = (4,13)
Решая AB и AC, получаем точку A,
AB : y = 2x+1 , AC : x= 4
y = 8+1= 9
y = 9
Точка A = (4,9)
Эти точки используются для получения верхней и нижней границ интеграла.
Исходя из предоставленной информации, площадь под треугольником (цветным) может быть представлена на рисунке ниже.
Из приведенного выше рисунка ясно видно, что площадь между ABC и есть область, которую нужно найти.
Для нахождения этой площади рассматриваются линейные уравнения сторон данного треугольника. Вычислив площадь под этими линиями, мы можем найти площадь всей области.
Рассмотрим линию AB, y = 4x + 5
Площадь под линией AB:
Из приведенного выше рисунка площадь под линией AB будет равна
= {[(4 2 ) + (4)] – [(0) 2 + 0)]} = 20
под АВ = 20 кв.единицы. …… (1)
Рассмотрим линию BC, y = 3x+1
Рассмотрим площадь под BC:
Из приведенного выше рисунка площадь под линией BC будет равна,
= 24 + 4 — 0 = 28
Площадь под БЦ = 28 кв. …… (2)
Если площадь под AB удалить из BC из графа, мы можем получить требуемую площадь.
Теперь общая площадь под rABC определяется как
Площадь под rABC = Площадь под BC — Площадь под AB
Из (1), (2) получаем
Площадь под rABC = 28 – 20 = 8
Следовательно, площадь под rABC = 8 кв.единицы.
Найдите площадь фигуры, ограниченной кривыми Y = | Х — 1 | и Y = 3 −| Х |. — Математика
Имеем,
\[y = \left| x — 1 \right|\]
\[ \Rightarrow y = \begin{cases}x — 1&\text{ для }x \geq 1\\1 — x &\text{ для } x < 1\end{cases }\]
y = x − 1 – прямая, проходящая через A(1, 0)
y = 1 − x – прямая, проходящая через A(1, 0) и пересекающая ось y в точке B(0, 1)
\[y = 3 — \left| x \right|\]
\[ \Rightarrow y = \begin{cases}3 — x&\text{ for }x \geq o\\3 — \left( — x \right) = 3 + x&\text{ for }x < 0\end{cases}\]
y = 3 − x прямая, проходящая через C(0, 3) и D(3, 0)
y = 3 + x прямая, проходящая через C(0 , 3) и D'(−3, 0)
Точка пересечения получается путем решения уравнений
\[y = x — 1\]
\[\text{ и }y = 3 — x\]
Получаем
\[ \Rightarrow x — 1 = 3 — x\]
\[ \Rightarrow 2x — 4 = 0\]
\[ \Rightarrow x = 2\]
\[ \Rightarrow y = 2 — 1 = 1\]
\[\text{ Таким образом, P }\left( 2, 1 \right)\text{ точка пересечения }y = x — 1\text{ и }y = 3 — x\]
Точка пересечения для
\[y = 1 — x\]
\[y = 3 + x\]
\[ \Стрелка вправо 1 — x = 3 + x\]
\[ \Стрелка вправо 2x = — 2\]
\[ \Стрелка вправо x = — 1\]
\[ \Стрелка вправо y = 1 — \влево( — 1 \вправо) = 2\]
\[\text{ Таким образом, Q }\left( — 1, 2 \right)\text{ является точкой пересечения }y = 1 — x\text{ и }y = 3 + x\]
\[\text{ Так как характер функции меняется в точках C }\left( 0, 3 \right)\text{ и A }(1, 0) , \text{ начертите AM перпендикулярно оси }x — \text{ } \]
\[\text{ Требуемая область = Заштрихованная область }\left( QCPAQ \right)\]
\[ =\text{ Область }\left( QCB \right) +\text{ Область }\left( BCMAB \ справа) +\текст{ область }\слева( AMPA \справа) .
2}\]
|
частичное заполнение области между кривыми РезюмеВ этом учебном пособии показано, как построить две функции и настроить график, частично заполнив область между двумя функциональными кривыми. Требуемая минимальная версия Origin: 2017 SR0 Чему вы научитесь
Шаги Этот учебник с папкой «Заполнить частичную область между функциональными графиками» в проекте Область заполнения между частями двух кривых Чтобы применить разные цвета заливки к двум или более частям кривой, необходимо строить кривые в виде сегментов.
Изменение диапазона оси
Добавление специальных точек с метками для обозначения пересеченийНа приведенном выше графике есть три пересечения двух функциональных кривых. Мы хотим отметить два из них, при X=-2 и X=2 соответственно.
Добавление формул функций и стрелок осей
Генерация данных функции с помощью инструмента Set Values
|
В этом уроке вы узнаете, как заполнить область между кривыми, определяемыми как X <= 1 .
Удалите заголовки оси, а затем выберите две группы линий по отдельности, чтобы установить Width на 2 , используя панель инструментов стиля.Тогда график будет выглядеть так:
Выполните шаги, аналогичные шагу 1, чтобы добавить еще одно пересечение в X = 2 (индекс строки = 46).
Выполните настройки, как показано ниже:
Добавьте еще один текстовый объект и снова откройте диалоговое окно Text Properties , чтобы ввести вторую формулу выше на вкладке Text .Нажмите кнопку OK еще раз, после чего эти две формулы будут добавлены в окно графика. Переставьте их по мере необходимости.
3.
