Площадь трапеции и площадь треугольника: Формулы площади. Площадь треугольника, квадрата, прямоугольника, ромба, параллелограмма, трапеции, круга, эллипса.

Содержание

Площадь трапеции, через площади треугольников, образованных ее диагоналями

Если известны площади треугольников, образованных диагоналями трапеции и ее основаниями (S

1 и S2), то можно найти площадь этой трапеции:

Площадь трапеции, через площади треугольников, образованных ее диагоналями

Вывод формулы площади трапеции

 

Шаг 1

 

Рассмотрим трапецию ABCD. Точку пересечения ее диагоналей обозначим буквой О.

Докажем, что площадь трапеции ABCD будет равна:

Вывод формулы площади трапеции. Шаг 1

Шаг 2

 

Диагонали трапеции, разбили ее на 4 треугольника. Следовательно, площадь этой трапеции будет равна сумме площадей этих четырех треугольников:

По свойствам диагоналей трапеции, площади треугольника, образованные их пересечением и боковыми сторонами, равны:

Тогда формулу трапеции можно переписать:

По свойствам диагоналей трапеции, треугольники, образованные их пересечением и основаниями, подобны:

Из подобия треугольников следует отношение сторон:

Из теоремы об отношении площадей подобных треугольников следует:

Так как равны правые части в равенствах, то будут равны и левые:

Вывод формулы площади трапеции. Шаг 2

Вывод формулы площади трапеции. Шаг 3

Шаг 4

 

Итак, на шагах 2 и 3 получили формулы:

Так как в последних двух равенствах левые части равны, то будут равны и правые:

Отсюда:

Тогда:

Здесь записан развернутый вид формулы квадрата суммы двух выражений:

Таким образом, была выведена формула, которая позволяет найти площадь трапеции, через площади треугольников, образованных ее диагоналями.

Вывод формулы площади трапеции. Шаг 4

9E09BEAE0A118E93DED3D74128EA2C147A65428915829EB11235F7758F7B38C3

Формулы площади. Площадь треугольника, квадрата, прямоугольника, ромба, параллелограмма, трапеции, круга, эллипса.

Площадь геометрической фигуры — численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры).

Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

Формулы площади треугольника

  1. Формула площади треугольника по стороне и высоте
    Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты
  2. Формула площади треугольника по трем сторонам

    Формула Герона

    S = √p(p — a)(p — b)(p — c)


  3. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
    Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.
    S = 1a · b · sin γ
    2
  4. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

  5. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
    Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

    где S — площадь треугольника,
    a, b, c — длины сторон треугольника,
    h — высота треугольника,
    γ — угол между сторонами a и b,
    r — радиус вписанной окружности,
    R — радиус описанной окружности,
    p = a + b + c  — полупериметр треугольника.
    2

Формулы площади квадрата

  1. Формула площади квадрата по длине стороны
    Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.

    S = a2


  2. Формула площади квадрата по длине диагонали
    Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.

    где S — Площадь квадрата,
    a — длина стороны квадрата,
    d — длина диагонали квадрата.

Формула площади прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон

S = a · b


где S — Площадь прямоугольника,
a, b — длины сторон прямоугольника.

Формулы площади параллелограмма

  1. Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
    Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

    S = a · h


  2. Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
    Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.

    S = a · b · sin α


  3. Формула площади параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними
    Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей умноженному на синус угла между ними.

    где S — Площадь параллелограмма,
    a, b — длины сторон параллелограмма,
    h — длина высоты параллелограмма,
    d1, d2 — длины диагоналей параллелограмма,
    α — угол между сторонами параллелограмма,
    γ — угол между диагоналями параллелограмма.

Формулы площади ромба

  1. Формула площади ромба по длине стороны и высоте
    Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

    S = a · h


  2. Формула площади ромба по длине стороны и углу
    Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.

    S = a2 · sin α


  3. Формула площади ромба по длинам его диагоналей
    Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.
    где S — Площадь ромба,
    a — длина стороны ромба,
    h — длина высоты ромба,
    α — угол между сторонами ромба,
    d1, d2 — длины диагоналей.

Формулы площади трапеции

  1. Формула Герона для трапеции
    S = a + b√(p — a)(p — b)(p — a — c)(p — a — d)
    |a — b|
  2. Формула площади трапеции по длине основ и высоте
    Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту
    где S — Площадь трапеции,
    a, b — длины основ трапеции,
    c, d — длины боковых сторон трапеции,
    p = a + b + c + d  — полупериметр трапеции.
    2

Формулы площади выпуклого четырехугольника

  1. Формула площади четырехугольника по длине диагоналей и углу между ними

    Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей умноженному на синус угла между ними:
    где S — площадь четырехугольника,
    d1, d2 — длины диагоналей четырехугольника,
    α — угол между диагоналями четырехугольника.
  2. Формула площади описанного четырехугольника (по длине периметра и радиусу вписанной окружности)
    Площадь выпуклого четырехугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности

    S = p · r


  3. Формула площади четырехугольника по длине сторон и значению противоположных углов

    S = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d) — abcd cos2θ


    где S — площадь четырехугольника,
    a, b, c, d — длины сторон четырехугольника,
    p = a + b + c + d  — полупериметр четырехугольника,
    2
    θ = α + β
     — полусумма двух противоположных углов четырехугольника.
    2

  4. Формула площади четырехугольника, вокруг которого можно описать окружность

    S = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d)



Формулы площади круга

  1. Формула площади круга через радиус
    Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число пи.

    S = π r2


  2. Формула площади круга через диаметр
    Площадь круга равна четверти произведения квадрата диаметра на число пи. где S — Площадь круга,
    r — длина радиуса круга,
    d — длина диаметра круга.

Формулы площади эллипса

Площадь эллипса равна произведению длин большой и малой полуосей эллипса на число пи.

S = π · a · b


где S — Площадь эллипса,
a — длина большей полуоси эллипса,
b — длина меньшей полуоси эллипса.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Урок по теме «Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции»

Цели урока:

  • Вывести формулы площади прямоугольного треугольника, произвольного треугольника, параллелограмма, трапеции и показать их применение в процессе решения задач.
  • Развивать умение
    • искать оригинальные решения;
    • владеть умениями совместной деятельности;
    • формулировать выводы.
  • Воспитывать самостоятельность.

ХОД УРОКА

I.   Организационный момент (сообщение темы и целей урока)

II. Актуализация знаний

  1. Какой треугольник называется прямоугольным?
  2. Как называются стороны прямоугольного треугольника?
  3. Сформулируйте основные свойства площадей многоугольников.
  4. Как вычислить площадь прямоугольника?
  5. Какой отрезок называется высотой треугольника (параллелограмма, трапеции)?
  6. Постройте высоту изображенных фигур.

III. Мини-лекция

Учитель. Для того чтобы вы сегодня могли справиться с предложенными вам заданиями, решим задачу.

Задача.  Стороны прямоугольника ABCD равны a см и  b см. Найдите площадь треугольника  ADC.

 Назовите вид треугольника ADC. Какие стороны треугольника ADC равны a см и  b см? Сделайте вывод: как найти площадь прямоугольного треугольника?

Вывод. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

IV. Работа в группах разноуровневого состава (по 4 человека).

Задание. Зная высоту и основание, найдите площадь

  • треугольника гр. № 1, 4.
  • параллелограмма  гр. № 2, 5.
  • трапеции гр. № 3, 6.

V. Обсуждение решений

1) Площадь треугольника

Вывод. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

2) Площадь параллелограмма

Вывод. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

3) Площадь трапеции

 

Вывод. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

(При работе в группах можно дать рисунки, с помощью которых обучающиеся смогут найти разные способы доказательства.)

VI. Закрепление изученного материала (работа в рабочих тетрадях с печатной основой)

№ 33, 36. (Решают задачи с подробным комментированием.)

№ 33

Пусть a – основание, h – высота S – площадь параллелограмма. Найдите:

а) S, если a = 16 см, h = 9 см;
б) a, если h = 4,8 см, S = 48 см2;
в) h, если a = 3,5 дм, S = 14 дм2.

Решение:

а) S = ________ · ________ = _______ см2;
б) 48 см2  = a · _______ см, откуда a = _______ см2 : _______ см = _______ см;
в) 14 дм2  = 3,5 дм · h, откуда h = _______ : _______ = _______ см.
Ответ. а) S = ______ см2; б) a = _____ см; в) h = _____ дм.

 № 36

Пусть a – основание, h – высота S – площадь треугольника. Найдите:

а) S, если a = 5,4 см, h = 6 см;
б) h, если a = 12 см, S = 42 см2;
в) a, если h = 2,4 дм, S = 4,32 дм2.

Решение:

а) S = ah =  ________ · ________ = ________ см2;
б) h = ________ : a = ________ : ________ = ________см;
в) a = 2S : ______ = ________ : ________ = ________ дм.
Ответ. а) S = ______ см2; б) h = _____ см; в) a = _____ дм.

 Хорошо успевающим обучающимся в это время можно предложить задачи № 34, 42.

VII. Подведем итог

1. Вывод формулы площади какой фигуры вам показался самым легким? Самым трудным?
2. Давайте повторим изученные формулы еще раз.
Закончите фразу:

– площадь прямоугольного треугольника равна…
– площадь произвольного треугольника равна…
– площадь параллелограмма равна…
– площадь трапеции равна…

3. Работа в рабочих тетрадях помогла нам научиться применять формулы площадей при решении задач.
4. Думаю, что все получили удовольствие от творческого поиска решения задач.
5. Отметки за урок.
6. Спасибо за урок.

5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора

Видеоурок 1: Площади параллелограмма, треугольника и трапеции — часть 1

Видеоурок 2: Площади параллелограмма, треугольника и трапеции — часть 2

Лекция: Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора

Площадь треугольника

Как уже говорилось при изучении треугольников, при решении геометрических задач на произвольные фигуры, чаще всего приходят к решению треугольников. Именно поэтому формулы для нахождения площадей треугольников занимают особенное место.

Итак, начнем с самого распространенного треугольника – прямоугольный треугольник. Так как прямоугольный треугольник – это половина прямоугольника, то и его площадь находится, как половина произведения катетов:

Данная формула была получена из основной формулы для треугольников:

В формуле имеется значение синуса угла между сторонами a и b.

Зная высоту и одну сторону треугольник, к которой проведена высота, можно воспользоваться следующей формулой:

Для определения площади можно воспользоваться популярной формулой Герона. Для нахождения площади потребуется знать все три стороны и величину полупериметра:

Если вокруг треугольника описана окружность, то для нахождения площади можно воспользоваться следующей формулой:

Если же окружность наоборот вписана, то для нахождения площади необходимо найти произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:

Площадь квадрата

С квадратом все предельно ясно, ведь у него все стороны равны и диагонали так же между собой равны.

Площадь квадрата находится, как квадрат его стороны или полуквадрат длины диагонали:

Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению его двух смежных сторон:

Площадь параллелограмма

Площадь любого параллелограмма можно найти по известной стороне и высоте или же по двум сторонам и углу между ними:

Площадь трапеции

Для нахождения площади трапеции можно воспользоваться формулой Герона для трапеций:

Но есть и более простая формула для нахождения площади трапеции – по известным длинам оснований и высоте:

Площадь круга

Для нахождения площади круга следует знать либо значение радиуса, либо диаметра круга:

Площадь сектора

Для нахождения площади сектора, следует умножить радиус соответствующей окружности на длину дуги сектора. Напомним, что длина дуги находится произведением радиуса на соответствующую радианную меру дуги:

Площадь трапеции / Площадь / Справочник по геометрии 7-9 класс

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по геометрии 7-9 класс
  4. Площадь
  5. Площадь трапеции

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Понятие площади многоугольника

Площадь квадрата

Площадь прямоугольника

Площадь параллелограмма

Площадь треугольника

Теорема Пифагора

Теорема, обратная теореме Пифагора

Формула Герона

Площадь

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 480, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 495, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 8, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 512*, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 518, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 527, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 625, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 725, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 735, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 892, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


© budu5. com, 2022

Пользовательское соглашение

Copyright

Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора

Напомним, что площадь многоугольника – это величина части плоскости, которую занимает многоугольник. За единицу измерения площади принимается квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. Площадь многоугольника выражается положительным числом, которое показывает, сколько раз единица измерения и её части укладываются в данном многоугольнике.

Вспомним некоторые свойства площадей.

1. Равные многоугольники имеют равные площади.

2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

3. Площадь квадрата равна квадрату его стороны, то есть если сторона квадрата при выбранной единице измерения отрезков выражается числом , то площадь этого квадрата выражается числом .

Первое и второе свойства называют основными свойствами площадей.

Теперь вспомним, что площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон.

Прежде чем вспомнить, чему равна площадь параллелограмма, напомним, что высотой параллелограмма, проведённой к стороне, называется перпендикуляр (или его длина), проведённый из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей эту сторону. Площадь параллелограмма равна произведению длины стороны на высоту, проведённую к ней.

Площадь треугольника. Напомним, что высотой треугольника называется перпендикуляр (или длина перпендикуляра), проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону треугольника. Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны на высоту, проведённую к ней.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов.

Если высота одного треугольника равна высоте другого треугольника, то их площади относятся как длины сторон, к которым проведены высоты.

Вспомним теорему об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу. Итак, если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения длин сторон, заключающих равные углы.

Площадь трапеции. Напомним, что высотой трапеции называется перпендикуляр, опущенный из любой точки одного из оснований на другое основание или его продолжение. Площадь трапеции равна произведению полусуммы длин её оснований на высоту.

Площадь ромба равна половине произведения длин диагоналей.

Площадь круга радиуса  можно вычислить по формуле .

Сектором называется часть круга, ограниченная дугой окружности и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Дуга, которая ограничивает сектор, называется дугой сектора.

Площадь сектора, ограниченная дугой, градусная мера которой равна  градусов, можно найти по формуле .

Мы с вами повторили основные моменты, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.

Задача первая. Найдите периметр прямоугольника , если его площадь равна см², а сторона  в два раза больше стороны .

Решение.

Задача вторая. Длина стороны  параллелограмма  равна  см. Найдите высоту, проведённую к этой стороне, если площадь параллелограмма равна  см².

Решение.

Задача третья. В равнобедренном треугольнике  боковые стороны  и  равны  см, основание  равно  см. Найдите площадь треугольника.

Решение.

Задача четвёртая. Медиана  прямоугольного треугольника , проведённая к гипотенузе , равна  см. Проекция  медианы  на гипотенузу  равна  см. Найдите площадь треугольника .

Решение.

Задача пятая. Диагонали ромба  относятся как . Найдите площадь ромба, если его периметр равен  см.

Решение.

Задача шестая. У равнобедренной трапеции  основание  равно  см, основание  равно  см, боковая сторона равна  см. Найдите площадь трапеции.

Решение.

Задача седьмая. Площадь квадрата равна см². Найдите площадь части квадрата, лежащей вне вписанной в него окружности.

Решение.

Задача восьмая. Длина окружности, ограничивающей круг, равна  см. Градусная мера вписанного в окружность  равна . Найдите площадь сектора, ограниченного дугой, на которую опирается вписанный угол, и радиусами, соединяющими концы этой дуги с центром круга.

Решение.

Площадь треугольника и трапеции — презентация онлайн

8 класс

2. Устная работа.

УСТНАЯ РАБОТА.
В
А
30
С
0
К 10 см
D
ABCD – параллелограмм.
Найти площадь параллелограмма.

3. Устная работа.

УСТНАЯ РАБОТА.
В
60
А
С
0
8 см
D
ABCD – параллелограмм.
Найти площадь параллелограмма.
В
Н1
АС- основание
ВН- высота;
ВС- основание
АН1- высота
АВ — основание
СК — высота
К
А
Н
С
4

5. Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

ТЕОРЕМА. ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА РАВНА
ПОЛОВИНЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЕГО ОСНОВАНИЯ
НА ВЫСОТУ.
С
D Дано: АВС;
СН- высота;
АВ- основание.
Док-ть: S= ½ АВ СН.
А
Н
В
Док-во: АВС= DСВ (по трем сторонам (СВ- общая, АВ=
СД, АС= ВД ))
SАВС =SDСВ
SАВС= ½ SАBCD, т. е. S = = ½ АВ СН.
Теорема доказана.
5

6. Следствие 1.

СЛЕДСТВИЕ 1.
Площадь прямоугольного треугольника равна
половине произведения его катетов.
В
А
С
6
ВС- гипотенуза;
АВ и АС- катеты.
АВС- прямоугольный;
SАВС= ½ АВ АС.

7. Следствие 2.

СЛЕДСТВИЕ 2.
Если высоты двух треугольников равны, то их
площади относятся как основания.
В
С
S
Н
В1
ВН= В1Н1
S/S1= АС/А1С1
А
А1
S1
Н1
С1
7
1.
Дано:
Найти:
ABCD параллелограмм
S ABD
C
B
4
А
D
2.
Дано:
Найти:
ABC треугольник
S ABС
B
300
А
9см
С
В
А
С
Н
Н
D
Перпендикуляр, проведенный из любой точки
одного из оснований к прямой, содержащей
другое основание, называют
высотой трапеции

12. Теорема: Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

ТЕОРЕМА: ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ РАВНА
ПРОИЗВЕДЕНИЮ ПОЛУСУММЫ ЕЕ
ОСНОВАНИЙ НА ВЫСОТУ.
В
А
Н
С
D
S ABCD= ½∙(BC+AD) ∙ ВН
Дано: АВСD – трапеция, АD и ВС – основания, ВН –
высота, S – площадь трапеции.
Доказать:S=1/2∙(AD+BC)∙BН.
В
С Н1
Доказательство:
D
А
Н
4.
Проведем диагональ ВD и вторую высоту
трапеции DН1.
S=SABD+SBCD.
SABD=1/2∙AD∙BH, SBCD=1/2∙BC∙Dh2.
HBh2D- прямоугольник ,то BH=Dh2.
5.
S=1/2∙AD ∙ BH+1/2 ∙ BC ∙ Dh2=1/2 ∙(AD+BC) ∙ BH.
1.
2.
3.

14. Решить задачу

РЕШИТЬ ЗАДАЧУ
Дано:ABCD-трапеция
AD=12 см; BC=8см,
AB=6 см, A=30°
Найти:
Решение:S ABCD
8см
B
C
6см
A
30º
a b
S
h
2
BC AD
S ABCD
BK
2
8 12
2
S ABCD
3 30( см )
2
К
D

15. Спасибо за внимание!

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

Как соотносятся формулы площадей треугольников, параллелограммов и трапеций — Видео и стенограмма урока

Зона отношений

Хорошо! Теперь, когда мы разобрались со всеми определениями и формулами, давайте посмотрим, как связаны области этих трех фигур. Для начала позвольте спросить вас: любите ли вы головоломки? Возможно, это звучит странно, но, как оказалось, мы можем создавать параллелограммы, используя треугольники или трапеции в качестве кусочков головоломки. Этот факт поможет нам проиллюстрировать взаимосвязь между площадями этих фигур.

Давайте сначала посмотрим на отношения между параллелограммами и треугольниками. Сначала рассмотрим треугольники и параллелограммы. Обратите внимание, что если мы разрезаем параллелограмм по диагонали, чтобы разделить его пополам, мы образуем два треугольника с тем же основанием и высотой, что и у параллелограмма.

Мы видим, что каждый треугольник занимает ровно половину параллелограмма. Отсюда мы видим, что площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, или площадь параллелограмма в два раза больше площади треугольника.Рассматривая параллелограмм как головоломку, составленную из двух равных частей треугольника, мы получаем взаимосвязь между площадями этих двух фигур, как вы можете видеть во всех этих уравнениях.

Теперь давайте посмотрим на связь между параллелограммами и трапециями. Точно так же, как мы можем построить параллелограмм из двух треугольников, мы можем создать параллелограмм из двух трапеций.Для этого мы переворачиваем трапецию вверх ногами и выстраиваем ее рядом с собой, как показано на рисунке.

Из изображения мы видим, что из двух трапеций мы можем составить параллелограмм, либо мы можем разделить любой параллелограмм на две равные трапеции. Когда мы делаем это, основание параллелограмма имеет длину b 1 + b 2, а высота такая же, как у трапеций, поэтому площадь параллелограмма равна ( b 1 + b 2) * ч .

Поскольку этот параллелограмм образовался из двух трапеций одинакового размера, площадь одной из этих трапеций равна половине площади параллелограмма. Вот как мы получаем площадь трапеции: 1/2( b 1 + b 2) * h . Мы видим еще одну связь между этими формами.

Итоги урока

Давайте потратим несколько минут на то, чтобы повторить то, что мы узнали о взаимосвязях между формулами площади треугольников, параллелограммов и трапеций.Параллелограмм представляет собой четырехстороннюю двумерную фигуру с противоположными сторонами, которые параллельны и имеют одинаковую длину. Треугольник — это двумерная фигура с тремя сторонами и тремя углами. Трапеция — это двумерная фигура с двумя параллельными сторонами. Формулы площади этих трех фигур показаны здесь:

Мы видим, что мы можем составить параллелограмм из двух треугольников или из двух трапеций, как пазл.При этом мы иллюстрируем взаимосвязь между формулами площади этих трех фигур. Эти отношения делают нас более знакомыми с этими формами и откуда берутся их формулы площади.

Определить площадь трапеции

Хорошая задача!

 

Прежде всего можно показать, что треугольники, смежные с параллельными сторонами, подобны. Это можно сделать, используя правило чередующихся внутренних углов, когда прямая пересекает две параллельные прямые, и правило противоположных углов, когда две прямые пересекаются.Это важный факт, который будет использован далее в задаче. Посмотрим, сможешь ли ты доказать это самому себе.

 

Теперь самое интересное…

 

Я не могу нарисовать здесь трапецию, но давайте сделаем следующее:

 

1. Пусть a будет длиной верхней параллельной стороны, а b — длиной нижней параллельной стороны

2. Проведите диагонали, как описано в задаче.

3. От пересечения диагоналей проведите перпендикулярный отрезок к каждой из двух параллельных сторон.

4. Пусть j будет длиной линии, которую мы только что провели до верхней стороны, и пусть k будет длиной линии, которую мы провели до нижней стороны k.

 

Теперь, какова площадь трапеции? Это 1/2 (a + b)h, где h — высота трапеции. Но h = j + k, верно? Таким образом, площадь трапеции равна 1/2 (a + b) (j + k). Давайте упростим это, умножив термины. Получается aj/2 + ak/2 + bj/2 + bk/2.

 

Теперь вернемся к двум треугольникам, которые, как мы показали, подобны.Мы не обязательно знаем, что есть что, но давайте просто предположим, что тот, что наверху, — меньший. По формуле площади треугольника его площадь равна 1/2 aj или aj/2. И мы знаем, что это 2. Точно так же площадь нижнего треугольника равна bk/2, что, как мы знаем, равно 18. Таким образом, мы можем подставить эти числа в выражение для площади трапеции, и мы получим 2 + 18 + ak/ 2 + bj/2 = 20 + 1/2 (ak + bj).

 

А теперь хитрость. Мы знаем, что отношение площадей двух треугольников равно 18:2 или 9:1.А еще мы знаем, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату отношений любых двух соответствующих сторон, или отношениям высот. Таким образом, отношение основания большого треугольника (b) к основанию малого треугольника (a) равно 3:1. Итак, b = 3а. И точно так же отношение высоты большого треугольника (k) к высоте маленького треугольника (j) равно 3:1. Итак, k = 3j.

 

Значит площадь трапеции:

 

20 + 1/2 (ak + bj) =

20 + 1/2 (а*3к + 3а*к) =

20 + 1/2 (3aj + 3aj) =

20 + 1/2 (6aj) =

20 + 6 * 1/2 * ай

 

Но 1/2 aj — это площадь верхнего треугольника, равная 2.

 

Получается:

 

20 + 6 * 2 = 20 + 12 = 32

 

 

 

Геометрия: Формулы площади: Геометрия: TI Math Nspired

Категория Описание Разрешить
Аналитические и эксплуатационные файлы cookie Эти файлы cookie, в том числе файлы cookie из Google Analytics, позволяют нам распознавать и подсчитывать количество посетителей на сайтах TI и видеть, как посетители перемещаются по нашим сайтам. Это помогает нам улучшить работу сайтов TI (например, упрощая поиск информации на сайте).
Рекламные и маркетинговые файлы cookie Эти файлы cookie позволяют размещать рекламу на основе интересов на сайтах TI и сторонних веб-сайтах с использованием информации, которую вы предоставляете нам при взаимодействии с нашими сайтами.Объявления на основе интересов отображаются для вас на основе файлов cookie, связанных с вашими действиями в Интернете, такими как просмотр продуктов на наших сайтах. Мы также можем передавать эту информацию третьим лицам для этих целей. Эти файлы cookie помогают нам адаптировать рекламу, чтобы она лучше соответствовала вашим интересам, управлять частотой, с которой вы видите рекламу, и понимать эффективность нашей рекламы.
Функциональные файлы cookie

Эти файлы cookie помогают определить, кто вы, и сохраняют информацию о вашей деятельности и учетной записи, чтобы обеспечить расширенные функциональные возможности, включая более персонализированный и актуальный опыт на наших сайтах. Если вы не разрешите использование этих файлов cookie, некоторые или все функции и службы сайта могут работать неправильно.

Если вы не разрешите использование этих файлов cookie, некоторые или все функции и службы сайта могут работать неправильно.

Файлы cookie социальных сетей Эти файлы cookie позволяют идентифицировать пользователей и контент, связанный с онлайн-социальными сетями, такими как Facebook, Twitter и другие платформы социальных сетей, и помогают TI улучшить охват социальных сетей.
Строго необходимо Эти файлы cookie необходимы для работы сайтов TI или для выполнения ваших запросов (например, для отслеживания того, какие товары вы положили в свою корзину на TI.com, для доступа к безопасным областям сайта TI или для управления настроенными настройки файлов cookie). Всегда включен

9.4 Использование свойств прямоугольников, треугольников и трапеций — Предварительная алгебра 2e

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Понимание линейной, квадратной и кубической меры
  • Использовать свойства прямоугольников
  • Использование свойств треугольников
  • Использование свойств трапеций

Будь готов 9.

10

Прежде чем начать, пройдите этот тест на готовность.

Длина прямоугольника на 33 меньше ширины.Пусть ww представляет ширину. Запишите выражение для длины прямоугольника.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 2.26.

Будь готов 9.11

Упрощение: 12(6ч).12(6ч).
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 7.7.

Будь готов 9.12

Упрощение: 52(10,3−7,9).52(10,3−7,9).
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 5.36.

В этом разделе мы продолжим работу с геометрическими приложениями.Мы добавим еще некоторые свойства треугольников и узнаем о свойствах прямоугольников и трапеций.

Понимание линейной, квадратной и кубической меры

Когда вы измеряете свой рост или длину садового шланга, вы используете линейку или рулетку (рис. 9.13). Рулетка может напоминать вам линию — вы используете ее для линейной меры, которая измеряет длину. Дюйм, фут, ярд, миля, сантиметр и метр являются единицами линейной меры.

Фигура 9.13 Эта рулетка измеряет дюймы по верху и сантиметры по низу.

Если вы хотите узнать, сколько плитки нужно, чтобы покрыть пол, или размер стены, которую нужно покрасить, вам нужно знать площадь, меру области, необходимой для покрытия поверхности. Площадь измеряется в квадратных единицах. Мы часто используем квадратные дюймы, квадратные футы, квадратные сантиметры или квадратные мили для измерения площади. Квадратный сантиметр – это квадрат, каждая сторона которого равна одному сантиметру (см). Квадратный дюйм — это квадрат, каждая сторона которого равна одному дюйму (рис. 9.14).

Фигура 9.14 Квадратные меры имеют стороны, длина каждой из которых составляет 11 единиц.

На рис. 9.15 показан прямоугольный ковер длиной 22 фута и шириной 33 фута. Каждый квадрат имеет ширину 11 футов и длину 11 футов, или 11 квадратных футов. Ковер состоит из 66 квадратов. Площадь ковра 66 кв.

Фигура 9.15 Ковер состоит из шести квадратов по 1 квадратному футу каждый, поэтому общая площадь ковра составляет 6 квадратных футов.

Когда вы измеряете, сколько требуется для заполнения контейнера, например, количество бензина, которое может поместиться в бак, или количество лекарства в шприце, вы измеряете объем.Объем измеряется в кубических единицах, таких как кубические дюймы или кубические сантиметры. Измеряя объем прямоугольного твердого тела, вы измеряете, сколько кубов заполняет контейнер. Мы часто используем кубические сантиметры, кубические дюймы и кубические футы. Кубический сантиметр — это куб, каждая сторона которого имеет один сантиметр, а кубический дюйм — это куб, каждая сторона которого имеет один дюйм (рис. 9.16).

Фигура 9.16 Кубические меры имеют стороны, длина которых равна 1 единице.

Предположим, куб на рисунке 9.17 имеет длину 33 дюйма с каждой стороны и разрезается по показанным линиям. Сколько в нем маленьких кубиков? Если бы мы разобрали большой куб на части, мы бы нашли 2727 маленьких кубиков, каждый из которых имеет размер в один дюйм со всех сторон. Таким образом, каждый маленький куб имеет объем 11 кубических дюймов, а объем большого куба равен 2727 кубических дюймов.

Фигура 9.17 Куб со стороной 3 дюйма состоит из 27 кубов со стороной один дюйм или 27 кубических дюймов.

Манипулятивная математика

Выполнение упражнения «Манипулятивная математика» Визуализация площади и периметра поможет вам лучше понять разницу между площадью фигуры и ее периметром.

Пример 9.25

Для каждого элемента укажите, какую меру вы бы использовали: линейную, квадратную или кубическую:

  1. ⓐ необходимое количество коврового покрытия в комнате

  2. ⓑ длина удлинителя

  3. ⓒ количество песка в песочнице

  4. ⓓ длина карниза

  5. ⓔ количество муки в канистре

  6. ⓕ размер крыши собачьей будки.

Решение
ⓐ Вы измеряете площадь покрытия ковра, то есть площадь. квадратная мера
ⓑ Вы измеряете длину удлинителя, то есть длину. линейная мера
ⓒ Вы измеряете объем песка. куб. мера
ⓓ Вы измеряете длину карниза. линейная мера
ⓔ Вы измеряете объем муки. куб. мера
ⓕ Вы измеряете площадь крыши. квадратная мера

Попытайся 9,49

Определите, будете ли вы использовать линейную, квадратную или кубическую меру для каждого элемента.

ⓐ количество краски в банке ⓑ высота дерева ⓒ пол вашей спальни ⓓ диаметр велосипедного колеса ⓔ размер куска дерна ⓕ количество воды в бассейне

Попытайся 9.

50

Определите, будете ли вы использовать линейную, квадратную или кубическую меру для каждого элемента.

ⓐ объем упаковочного ящика ⓑ размер патио ⓒ количество лекарства в шприце ⓓ длина отрезка пряжи ⓔ размер жилищного участка ⓕ высота флагштока

Многие приложения по геометрии требуют нахождения периметра или площади фигуры.Периметр и площадь также имеют множество применений в повседневной жизни, поэтому важно убедиться, что вы понимаете, что они означают.

Представьте себе комнату, которой нужна новая напольная плитка. Плитки состоят из квадратов со стороной в фут — один квадратный фут. Сколько таких квадратов нужно, чтобы покрыть пол? Это площадь пола.

После укладки плитки подумайте о том, чтобы поставить новый плинтус по периметру комнаты. Чтобы прикинуть, сколько нужно полосок, необходимо знать расстояние по комнате.Вы бы использовали рулетку, чтобы измерить количество футов вокруг комнаты. Это расстояние и есть периметр.

Периметр и площадь

Периметр — это мера расстояния вокруг фигуры.

Площадь — это мера поверхности, покрытой фигурой.

На рис. 9.18 показана квадратная плитка со стороной 11 дюймов. Если бы муравей обошел край плитки, он прошел бы 44 дюйма. Это расстояние является периметром плитки.

Поскольку плитка представляет собой квадрат со стороной 11 дюймов, ее площадь равна одному квадратному дюйму.Площадь фигуры измеряется путем определения количества квадратных единиц, покрывающих фигуру.

Фигура 9.18 Периметр = 4 дюйма Площадь = 1 квадратный дюйм Периметр = 4 дюйма Площадь = 1 квадратный дюйм
Когда муравей полностью обходит плитку по краю, он обводит плитку по периметру. Площадь плитки 1 квадратный дюйм.

Манипулятивная математика

Упражнение «Манипулятивная математика» «Измерение площади и периметра» поможет вам лучше понять, как измерять площадь и периметр фигуры.

Пример 9.26

Площадь каждой из двух квадратных плиток составляет 11 квадратных дюймов. Две плитки показаны вместе.

  1. ⓐ Каков периметр фигуры?

  2. ⓑ Какая площадь?

Решение

ⓐ Периметр — это расстояние вокруг фигуры. Периметр 66 дюймов.

ⓑ Площадь – это поверхность, покрытая фигурой. Есть плитки 22 квадратных дюйма, поэтому площадь равна 22 квадратных дюймов.

Попытайся 9,51

Каждая ячейка на рисунке ниже равна 1 квадратному дюйму. Найдите ⓐ периметр и ⓑ площадь фигуры:

Попытайся 9,52

Каждая ячейка на рисунке ниже равна 1 квадратному дюйму. Найдите ⓐ периметр и ⓑ площадь фигуры:

Использование свойств прямоугольников

У прямоугольника четыре стороны и четыре прямых угла. Противоположные стороны прямоугольника имеют одинаковую длину. Мы обозначаем одну сторону прямоугольника как длину, L, L, а смежную сторону как ширину, W.W. См. рисунок 9. 19.

Фигура 9.19 У прямоугольника четыре стороны и четыре прямых угла. Стороны помечены L для длины и W для ширины.

Периметр, P,P, прямоугольника — это расстояние вокруг прямоугольника. Если бы вы начали с одного угла и прошлись по прямоугольнику, вы бы прошли единицы L+W+L+WL+W+L+W, или две длины и две ширины. Тогда периметр равен

P=L+W+L+WorP=2L+2WP=L+W+L+WorP=2L+2W

Как насчет площади прямоугольника? Помните прямоугольный ковер из начала этого раздела.Он был 22 фута в длину и 33 фута в ширину, а его площадь составляла 66 квадратных футов. См. рисунок 9.20. Поскольку A=2⋅3,A=2⋅3, мы видим, что площадь A,A равна длине L,L, умноженной на ширину W,W, поэтому площадь прямоугольника равна A=L⋅ ВА=Д⋅Вт.

Фигура 9.20 Площадь этого прямоугольного ковра составляет 66 квадратных футов, его длина умножается на ширину.

Свойства прямоугольников

  • Прямоугольники имеют четыре стороны и четыре прямых (90°)(90°) угла.
  • Длины противоположных сторон равны.
  • Периметр P,P прямоугольника равен сумме удвоенной длины и удвоенной ширины. См. рисунок 9.19.
  • Площадь A,A прямоугольника равна произведению длины на ширину.

Для удобства работы с примерами в этом разделе мы повторно сформулируем здесь стратегию решения задач для геометрических приложений.

Как

Используйте стратегию решения проблем для геометрических приложений
  1. Шаг 1. Прочтите задачу и убедитесь, что вы понимаете все слова и идеи.Нарисуйте рисунок и подпишите его с помощью данной информации.
  2. Шаг 2. Определите , что вы ищете.
  3. Шаг 3. Имя то, что вы ищете. Выберите переменную для представления этого количества.
  4. Шаг 4. Переведите в уравнение, написав соответствующую формулу или модель для данной ситуации. Замените предоставленную информацию.
  5. Шаг 5. Решите уравнение, используя хорошие методы алгебры.
  6. Шаг 6. Проверьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл.
  7. Шаг 7. Ответьте на вопрос полным предложением.

Пример 9.27

Длина прямоугольника 3232 метра, а ширина 2020 метров. Найдите ⓐ периметр и ⓑ площадь.

Решение

Попытайся 9,53

Длина прямоугольника 120120 ярдов, а ширина 5050 ярдов. Найдите ⓐ периметр и ⓑ площадь.

Попытайся 9,54

Длина прямоугольника 6262 фута, а ширина 4848 футов. Найдите ⓐ периметр и ⓑ площадь.

Пример 9,28

Найдите длину прямоугольника с периметром 5050 дюймов и шириной 1010 дюймов.

Решение
Шаг 1. Прочтите проблему. Нарисуйте рисунок и подпишите его с помощью данной информации.
Шаг 2. Определите , что вы ищете. длина прямоугольника
Шаг 3. Имя. Выберите переменную для ее представления. Пусть L = длина
Шаг 4. Перевести.
Напишите соответствующую формулу.
Заменитель.

Шаг 5. Решите уравнение.
Шаг 6. Проверка:
Шаг 7. Ответьте на вопрос. Длина 15 дюймов.

Попытайся 9,55

Найдите длину прямоугольника с периметром 8080 дюймов и шириной 2525 дюймов.

Попытайся 9,56

Найдите длину прямоугольника с периметром 3030 м и шириной 66 м.

В следующем примере ширина определяется через длину. Мы подождем, чтобы нарисовать фигуру, пока не напишем выражение для ширины, чтобы мы могли пометить одну сторону этим выражением.

Пример 9.29

Ширина прямоугольника на два дюйма меньше его длины. Периметр составляет 5252 дюйма. Найдите длину и ширину.

Решение
.
Шаг 1. Прочтите проблему.
Шаг 2. Определите то, что вы ищете. длина и ширина прямоугольника
Шаг 3. Имя. Выберите переменную для ее представления.

Теперь мы можем нарисовать фигуру, используя эти выражения для длины и ширины.
Поскольку ширина определяется через длину, мы принимаем L = длину. Ширина на два фута меньше длины, поэтому мы принимаем L − 2 = ширина
Шаг 4. Перевести.
Напишите соответствующую формулу. Формула периметра прямоугольника связывает всю информацию.
Замените предоставленную информацию.

Шаг 5. Решите уравнение. 52=2Л+2Л-452=2Л+2Л-4
Объедините похожие термины. 52=4л-452=4л-4
Добавьте по 4 с каждой стороны. 56=4Л56=4Л
Разделить на 4. 564=4L4564=4L4
14=L14=L
Длина 14 дюймов.
Теперь нам нужно найти ширину.
Ширина L − 2.
Ширина 12 дюймов.
Шаг 6. Проверка:
Поскольку 14+12+14+12=5214+12+14+12=52, это работает!
Шаг 7. Ответьте на вопрос. Длина 14 футов, ширина 12 футов.

Попытайся 9,57

Ширина прямоугольника на семь метров меньше длины. Периметр 5858 метров. Найдите длину и ширину.

Попытайся 9,58

Длина прямоугольника на восемь футов больше его ширины. Периметр 6060 футов. Найдите длину и ширину.

Пример 9.30

Длина прямоугольника на четыре сантиметра больше его ширины более чем в два раза. Периметр 3232 сантиметра. Найдите длину и ширину.

Решение
Шаг 1. Прочтите проблему.
Шаг 2. Определите , что вы ищете. длина и ширина
Шаг 3. Имя. Выберите переменную для ее представления. пусть Вт = ширина
Длина в четыре раза больше ширины.
2 ширина + 4 = длина
Шаг 4. Перевести.
Напишите соответствующую формулу и замените данные.
Шаг 5. Решите уравнение.
Шаг 6. Проверка:
Шаг 7. Ответьте на вопрос. Длина 12 см, ширина 4 см.

Попытайся 9,59

Длина прямоугольника в восемь раз больше его ширины. Периметр составляет 6464 фута. Найдите длину и ширину.

Попытайся 9,60

Ширина прямоугольника в шесть раз меньше его длины.Периметр 1818 сантиметров. Найдите длину и ширину.

Пример 9.31

Площадь прямоугольной комнаты 168168 квадратных футов. Длина 1414 футов. Какова ширина?

Решение
Шаг 1. Прочтите проблему.
Шаг 2. Идентифицируйте то, что вы ищете. ширина прямоугольной комнаты
Шаг 3. Имя. Выберите переменную для ее представления. Пусть Вт = ширина
Шаг 4. Перевести.
Напишите соответствующую формулу и замените данные.
Шаг 5. Решите уравнение.
Шаг 6. Проверка:
Шаг 7. Ответьте на вопрос. Ширина комнаты 12 футов.

Попытайся 9,61

Площадь прямоугольника 598598 квадратных футов. Длина 2323 метра. Какова ширина?

Попытайся 9,62

Ширина прямоугольника 2121 метр. Площадь 609609 квадратных метров. Какова длина?

Пример 9.32

Периметр прямоугольного бассейна составляет 150150 футов. Длина на 1515 футов больше ширины. Найдите длину и ширину.

Решение
Шаг 1. Прочтите проблему. Нарисуйте рисунок и подпишите его с помощью данной информации.
Шаг 2. Идентифицируйте то, что вы ищете. длина и ширина бассейна
Шаг 3. Имя. Выберите переменную для ее представления.
Длина на 15 футов больше ширины.
Пусть W=ширинаW=ширина
W+15=длинаW+15=длина
Шаг 4. Перевести.
Напишите соответствующую формулу и замените ее.
Шаг 5. Решите уравнение.
Шаг 6. Проверка:
Шаг 7. Ответьте на вопрос. Длина бассейна 45 футов, а ширина 30 футов.

Попытайся 9,63

Периметр прямоугольного бассейна составляет 200200 футов. Длина на 4040 футов больше, чем ширина. Найдите длину и ширину.

Попытайся 9,64

Длина прямоугольного сада на 3030 ярдов больше его ширины. Периметр 300300 ярдов. Найдите длину и ширину.

Использование свойств треугольников

Теперь мы знаем, как найти площадь прямоугольника. Мы можем использовать этот факт, чтобы визуализировать формулу площади треугольника. В прямоугольнике на рис. 9.20 мы обозначили длину bb и ширину h,h, поэтому его площадь равна bh.бх.

Фигура 9.21 Площадь прямоугольника равна основанию, b, b, умноженному на высоту, h.h.

Этот прямоугольник можно разделить на два конгруэнтных треугольника (рис. 9.22). Конгруэнтные треугольники имеют одинаковые длины сторон и углы, поэтому их площади равны. Площадь каждого треугольника равна половине площади прямоугольника, или 12bh.12bh. Этот пример помогает нам понять, почему формула площади треугольника A=12bh.A=12bh.

Фигура 9. 22 Прямоугольник можно разделить на два треугольника одинаковой площади.Площадь каждого треугольника равна половине площади прямоугольника.

Формула площади треугольника: A=12bh,A=12bh, где bb — основание, а hh — высота.

Чтобы найти площадь треугольника, нужно знать его основание и высоту. Основание — это длина одной стороны треугольника, обычно стороны внизу. Высота — это длина линии, соединяющей основание с противоположной вершиной и образующей с основанием угол 90°90°. На рис. 9.23 показаны три треугольника, основание и высота каждого из которых отмечены.

Фигура 9.23 Высота hh треугольника — это длина отрезка, соединяющего основание с противоположной вершиной и образующего с основанием угол 90°90°.

Свойства треугольника

Для любого треугольника ΔABC, ΔABC сумма углов равна 180°.180°.

м∠А+м∠В+м∠С=180°м∠А+м∠В+м∠С=180°

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон.

Площадь треугольника равна половине основания, b, b, умноженной на высоту, h. час

Пример 9.33

Найдите площадь треугольника с основанием 1111 дюймов и высотой 88 дюймов.

Решение
Шаг 1. Прочтите проблему. Нарисуйте рисунок и подпишите его с помощью данной информации.
Шаг 2. Идентифицируйте то, что вы ищете. площадь треугольника
Шаг 3. Имя. Выберите переменную для ее представления. пусть А = площадь треугольника
Шаг 4. Перевести.
Напишите соответствующую формулу.
Заменитель.

Шаг 5. Решите уравнение.
Шаг 6. Проверка:
Шаг 7. Ответьте на вопрос. Площадь 44 квадратных дюйма.

Попытайся 9,65

Найдите площадь треугольника с основанием 1313 дм и высотой 22 дм.

Попытайся 9,66

Найдите площадь треугольника с основанием 1414 дюймов и высотой 77 дюймов.

Пример 9.34

Периметр треугольного сада составляет 2424 фута. Длины двух сторон 44 фута и 99 футов. Какой длины третья сторона?

Решение
Шаг 1. Прочтите проблему. Нарисуйте рисунок и подпишите его с помощью данной информации.
Шаг 2. Идентифицируйте то, что вы ищете. длина третьей стороны треугольника
Шаг 3. Имя. Выберите переменную для ее представления. Пусть c = третья сторона
Шаг 4. Перевести.
Напишите соответствующую формулу.
Замените предоставленную информацию.

Шаг 5. Решите уравнение.
Шаг 6. Проверка:
Шаг 7. Ответьте на вопрос. Длина третьей стороны 11 футов.

Попытайся 9,67

Периметр треугольного сада составляет 4848 футов. Длины двух сторон 1818 футов и 2222 фута. Какой длины третья сторона?

Попытайся 9.68

Длина двух сторон треугольного окна равна 77 футам и 55 футам. Периметр составляет 1818 футов. Какой длины третья сторона?

Пример 9.35

Площадь треугольного окна церкви 9090 квадратных метров. База окна 1515 метров. Какая высота окна?

Решение
Шаг 1. Прочтите проблему. Нарисуйте рисунок и подпишите его с помощью данной информации.
Шаг 2. Идентифицируйте то, что вы ищете. высота треугольника
Шаг 3. Имя. Выберите переменную для ее представления. Пусть h = высота
Шаг 4. Перевести.
Напишите соответствующую формулу.
Замените предоставленную информацию.

Шаг 5. Решите уравнение.
Шаг 6. Проверка:
Шаг 7. Ответьте на вопрос. Высота треугольника 12 метров.

Попытайся 9,69

Площадь треугольной картины составляет 126126 квадратных дюймов. База 1818 дюймов. Какова высота?

Попытайся 9,70

Треугольная дверь палатки имеет площадь 1515 квадратных футов.Высота 55 футов. Что такое база?

Равнобедренные и равнобедренные треугольники

Помимо прямоугольного треугольника, некоторые другие треугольники имеют специальные названия. Треугольник с двумя сторонами одинаковой длины называется равнобедренным треугольником. Треугольник, у которого три стороны одинаковой длины, называется равносторонним треугольником. На рис. 9.24 показаны оба типа треугольников.

Фигура 9. 24 В равнобедренном треугольнике две стороны имеют одинаковую длину, а третья сторона является основанием.В равностороннем треугольнике все три стороны имеют одинаковую длину.

Равнобедренные и равнобедренные треугольники

Равнобедренный треугольник имеет две стороны одинаковой длины.

Равносторонний треугольник имеет три стороны одинаковой длины.

Пример 9,36

Периметр равностороннего треугольника равен 9393 дюймам. Найдите длину каждой стороны.

Решение

Попытайся 9,71

Найдите длину каждой стороны равностороннего треугольника с периметром 3939 дюймов.

Попытайся 9,72

Найдите длину каждой стороны равностороннего треугольника с периметром 5151 см.

Пример 9.37

Арианна имеет 156156 дюймов бисера, чтобы использовать его как отделку вокруг шарфа. Шарф будет представлять собой равнобедренный треугольник с основанием
6060 дюймов. Как долго она может сделать две равные стороны?

Решение
Шаг 1. Прочтите проблему. Нарисуйте рисунок и подпишите его с помощью данной информации.
P = 156 дюймов
Шаг 2. Идентифицируйте то, что вы ищете. длины двух равных сторон
Шаг 3. Имя. Выберите переменную для ее представления. Пусть с = длина каждой стороны
Шаг 4. Перевести.
Напишите соответствующую формулу.
Замените предоставленную информацию.

Шаг 5. Решите уравнение.
Шаг 6. Проверка:
Шаг 7. Ответьте на вопрос. Арианна может сделать каждую из двух равных сторон длиной 48 дюймов.

Попытайся 9,73

Терраса заднего двора имеет форму равнобедренного треугольника с основанием 2020 футов. Периметр палубы составляет 4848 футов. Какой длины каждая из равных сторон колоды?

Попытайся 9.74

Парус лодки представляет собой равнобедренный треугольник с основанием 88 метров. Периметр 2222 метра. Какой длины каждая из равных сторон паруса?

Использование свойств трапеций

Трапеция — это четырехсторонняя фигура, четырехугольник , две стороны которого параллельны, а две — нет. Параллельные стороны называются основаниями. Мы называем длину меньшего основания b,b, а длину большего основания B.B. Высота h,h трапеции — это расстояние между двумя основаниями, как показано на рисунке 9.25.

Фигура 9.25 Трапеция имеет большее основание B, B и меньшее основание b.b. Высота hh — это расстояние между основаниями.

Формула площади трапеции:

Площадь трапеции=12h(b+B)Площадь трапеции=12h(b+B)

Разделение трапеции на два треугольника может помочь нам понять формулу. Площадь трапеции равна сумме площадей двух треугольников. См. рисунок 9.26.

Фигура 9.26 Разделение трапеции на два треугольника может помочь вам понять формулу ее площади.

Высота трапеции также является высотой каждого из двух треугольников. См. рисунок 9.27.

Фигура 9.27

Формула площади трапеции:

Если раздать, то получим,

Свойства трапеций

  • Трапеция имеет четыре стороны. См. рисунок 9.25.
  • Две его стороны параллельны, а две стороны нет.
  • Площадь A,A трапеции равна A=12h(b+B)A=12h(b+B).

Пример 9,38

Найдите площадь трапеции, высота которой 6 дюймов, а основания 1414 и 1111 дюймов.

Решение
Шаг 1. Прочтите проблему. Нарисуйте рисунок и подпишите его с помощью данной информации.
Шаг 2. Идентифицируйте то, что вы ищете. площадь трапеции
Шаг 3. Имя. Выберите переменную для ее представления. Пусть A=площадьA=площадь
Шаг 4. Перевести.
Напишите соответствующую формулу.
Заменитель.

Шаг 5. Решите уравнение.
Шаг 6. Проверить: Разумен ли этот ответ?

Если вокруг трапеции нарисовать прямоугольник с таким же большим основанием BB и высотой h,h, то его площадь должна быть больше площади трапеции.

Если внутри трапеции начертить прямоугольник с таким же малым основанием bb и высотой h,h, то его площадь должна быть меньше площади трапеции.

Площадь большего прямоугольника составляет 8484 квадратных дюйма, а площадь меньшего прямоугольника составляет 6666 квадратных дюймов. Таким образом, имеет смысл, что площадь трапеции составляет от 8484 до 6666 квадратных дюймов

.

Шаг 7. Ответьте на вопрос. Площадь трапеции 7575 квадратных дюймов.

Попытайся 9.75

Высота трапеции 1414 ярдов, а основания 77 и 1616 ярдов. Что такое площадь?

Попытайся 9,76

Высота трапеции 1818 см, основания 1717 и 88 см. Что такое площадь?

Пример 9.39

Найдите площадь трапеции, высота которой 55 футов, а основания 10,3×10,3 и 13,7×13,7 фута.

Решение
Шаг 1. Прочтите проблему. Нарисуйте рисунок и подпишите его с помощью данной информации.
Шаг 2. Идентифицируйте то, что вы ищете. площадь трапеции
Шаг 3. Имя. Выберите переменную для ее представления. Пусть А = площадь
Шаг 4. Перевести.
Напишите соответствующую формулу.
Заменитель.

Шаг 5. Решите уравнение.
Шаг 6. Проверить: Разумен ли этот ответ?
Площадь трапеции должна быть меньше площади прямоугольника с основанием 13,7 и высотой 5, но больше площади прямоугольника с основанием 10,3 и высотой 5.
Шаг 7. Ответьте на вопрос. Площадь трапеции 60 квадратных футов.

Попытайся 9.77

Высота трапеции 77 см, а основания 4,64,6 и 7,47,4 см. Что такое площадь?

Попытайся 9,78

Высота трапеции 99 метров, а основания 6,26,2 и 7,87,8 метра. Что такое площадь?

Пример 9.40

У Винни есть сад в форме трапеции. Трапеция имеет высоту 3,43,4 ярда и основания 8,28,2 и 5,65,6 ярда. Сколько квадратных метров будет доступно для посадки?

Решение
Шаг 1. Прочтите проблему. Нарисуйте рисунок и подпишите его с помощью данной информации.
Шаг 2. Идентифицируйте то, что вы ищете. площадь трапеции
Шаг 3. Имя. Выберите переменную для ее представления. Пусть А = площадь
Шаг 4. Перевести.
Напишите соответствующую формулу.
Заменитель.

Шаг 5. Решите уравнение.
Шаг 6. Проверить: Разумен ли этот ответ?
Да. Площадь трапеции меньше площади прямоугольника с основанием 8,2 ярда и высотой 3,4 ярда, но больше площади прямоугольника с основанием 5,6 ярда и высотой 3,4 ярда.

Шаг 7. Ответьте на вопрос. У Винни есть 23,46 квадратных ярда, на которых он может сажать растения.

Попытайся 9.79

Лин хочет задернить свой газон, имеющий форму трапеции. Основания 10.810,8 ярда и 6.76,7 ярда, а высота 4.64,6 ярда. Сколько квадратных метров дерна ему нужно?

Попытайся 9,80

Кира хочет покрыть свой двор бетонной плиткой. Если патио имеет форму трапеции с основаниями 1818 футов и 1414 футов и высотой 1515 футов, сколько квадратных футов брусчатки ему потребуется?

Ссылки на грамотность

Упражнение «Ссылки на обучение грамоте» Спагетти и фрикадельки для всех предоставит вам другой взгляд на темы, затронутые в этом разделе.

Раздел 9.4 Упражнения

Практика ведет к совершенству

Понимание линейных, квадратных и кубических измерений

В следующих упражнениях определите, будете ли вы измерять каждый элемент в линейных, квадратных или кубических единицах измерения.

129 .

количество воды в аквариуме

131 .

жилая площадь квартиры

132 .

площадь плитки в ванной

134 .

вместимость грузового прицепа

В следующих упражнениях найдите периметр ⓐ и площадь ⓑ каждой фигуры.Предположим, что каждая сторона квадрата равна 11 см.

136 . 138 . 140 .

Использование свойств прямоугольников

В следующих упражнениях найдите ⓐ периметр и ⓑ площадь каждого прямоугольника.

141 .

Длина прямоугольника 8585 футов, а ширина 4545 футов.

142 .

Длина прямоугольника 2626 дюймов, а ширина 5858 дюймов.

143 .

Прямоугольная комната имеет ширину 1515 футов и длину 1414 футов.

144 .

Подъездная дорога имеет форму прямоугольника шириной 2020 футов и длиной 3535 футов.

В следующих упражнениях решите.

145 .

Найдите длину прямоугольника с периметром 124124 дюйма и шириной 3838 дюймов.

146 .

Найдите длину прямоугольника с периметром 20,220,2 ярда и шириной 7,87,8 ярда.

147 .

Найдите ширину прямоугольника с периметром 9292 метра и длиной 1919 метров.

148 .

Найдите ширину прямоугольника с периметром 16.216,2 метра и длина 3,23,2 метра.

149 .

Площадь прямоугольника 414414 квадратных метров. Длина 1818 метров. Какова ширина?

150 .

Площадь прямоугольника равна 782782 квадратных сантиметра. Ширина 1717 сантиметров. Какова длина?

151 .

Длина прямоугольника на 99 дюймов больше его ширины. Периметр составляет 4646 дюймов. Найдите длину и ширину.

152 .

Ширина прямоугольника на 88 дюймов больше его длины.Периметр составляет 5252 дюйма. Найдите длину и ширину.

153 .

Периметр прямоугольника равен 5858 метрам. Ширина прямоугольника на 55 метров меньше длины. Найдите длину и ширину прямоугольника.

154 .

Периметр прямоугольника равен 6262 футам. Ширина на 77 футов меньше длины. Найдите длину и ширину.

155 .

Ширина прямоугольника на 0,70,7 метра меньше длины. Периметр прямоугольника равен 52.652,6 метра. Найдите размеры прямоугольника.

156 .

Длина прямоугольника на 1,11,1 метра меньше ширины. Периметр прямоугольника равен 49,449,4 метра. Найдите размеры прямоугольника.

157 .

Периметр прямоугольника 150150 футов. Длина прямоугольника в два раза больше ширины. Найдите длину и ширину прямоугольника.

158 .

Длина прямоугольника в три раза больше ширины. Периметр составляет 7272 футов.Найдите длину и ширину прямоугольника.

159 .

Длина прямоугольника на 33 метра меньше его ширины в два раза. Периметр 3636 метров. Найдите длину и ширину.

160 .

Длина прямоугольника на 55 дюймов больше его ширины более чем в два раза. Периметр составляет 3434 дюйма. Найдите длину и ширину.

161 .

Ширина прямоугольного окна 2424 дюйма. Площадь 624624 квадратных дюйма. Какова длина?

162 .

Длина прямоугольного плаката 2828 дюймов.Площадь 13161316 квадратных дюймов. Какова ширина?

163 .

Площадь прямоугольной крыши 23102310 квадратных метров. Длина 4242 метра. Какова ширина?

164 .

Площадь прямоугольного брезента составляет 132132 квадратных фута. Ширина 1212 футов. Какова длина?

165 .

Периметр прямоугольного двора составляет 160160 футов. Длина на 1010 футов больше ширины. Найдите длину и ширину.

166 .

Периметр прямоугольной картины равен 306306 сантиметров.Длина на 1717 сантиметров больше ширины. Найдите длину и ширину.

167 .

Ширина прямоугольного окна на 4040 дюймов меньше его высоты. Периметр дверного проема составляет 224224 дюйма. Найдите длину и ширину.

168 .

Ширина прямоугольной детской площадки на 77 метров меньше длины. Периметр детской площадки составляет 4646 метров. Найдите длину и ширину.

Использование свойств треугольников

Решите следующие упражнения, используя свойства треугольников.

169 .

Найдите площадь треугольника с основанием 1212 дюймов и высотой 55 дюймов.

170 .

Найдите площадь треугольника с основанием 4545см и высотой 3030см.

171 .

Найдите площадь треугольника с основанием 8,38,3 м и высотой 6,16,1 м.

172 .

Найдите площадь треугольника с основанием 24 224,2 фута и высотой 20 520,5 фута.

173 .

Треугольный флаг имеет основание 11 футов и высоту 1,51,5 фута.Какова его площадь?

174 .

Треугольное окно имеет основание 88 футов и высоту 66 футов. Какова его площадь?

175 .

Если треугольник имеет стороны 66 футов и 99 футов, а периметр равен 2323 футам, то какой длины третья сторона?

176 .

Если стороны треугольника 1414 см и 1818 см, а периметр равен 4949 см, то какой длины третья сторона?

177 .

Чему равно основание треугольника площадью 207 207 квадратных дюймов и высотой 1818 дюймов?

178 .

Какова высота треугольника с площадью 893893 квадратных дюймов и основанием 3838 дюймов?

179 .

Периметр треугольного отражающего бассейна составляет 3636 ярдов. Длины двух сторон 1010 ярдов и 1515 ярдов. Какой длины третья сторона?

180 .

Треугольный двор имеет периметр 120120 метров. Длины двух сторон 3030 метров и 5050 метров. Какой длины третья сторона?

181 .

равнобедренный треугольник имеет основание 2020 сантиметров.Если периметр равен 7676 см, найдите длину каждой из других сторон.

182 .

Равнобедренный треугольник имеет основание 2525 дюймов. Если периметр равен 9595 дюймов, найдите длину каждой из других сторон.

183 .

Найдите длину каждой стороны равностороннего треугольника с периметром 5151 ярд.

184 .

Найдите длину каждой стороны равностороннего треугольника с периметром 5454 метра.

185 .

Периметр равностороннего треугольника равен 1818 метрам.Найдите длину каждой стороны.

186 .

Периметр равностороннего треугольника равен 4242 мили. Найдите длину каждой стороны.

187 .

Периметр равнобедренного треугольника равен 4242 футам. Длина самой короткой стороны 1212 футов. Найдите длину двух других сторон.

188 .

Периметр равнобедренного треугольника равен 8383 дюймам. Длина самой короткой стороны 2424 дюйма. Найдите длину двух других сторон.

189 .

Блюдо в форме равностороннего треугольника.Каждая сторона имеет длину 88 дюймов. Найдите периметр.

190 .

Напольная плитка имеет форму равностороннего треугольника. Каждая сторона имеет длину 1,51,5 фута. Найдите периметр.

191 .

Дорожный знак в форме равнобедренного треугольника имеет основание 3636 дюймов. Если периметр равен 9191 дюйму, найдите длину каждой из других сторон.

192 .

Платок в форме равнобедренного треугольника имеет основание 0,750,75 метра. Найдите длину каждой из сторон, если периметр равен 22 м.

193 .

Периметр треугольника равен 3939 футов. Одна сторона треугольника на 11 футов длиннее второй стороны. Третья сторона на 22 фута длиннее второй. Найдите длину каждой стороны.

194 .

Периметр треугольника равен 3535 футов. Одна сторона треугольника на 55 футов длиннее второй. Третья сторона на 33 фута длиннее второй. Найдите длину каждой стороны.

195 .

Одна сторона треугольника вдвое меньше.Третья сторона на 55 футов длиннее самой короткой стороны. Периметр составляет 1717 футов. Найдите длины всех трех сторон.

196 .

Одна сторона треугольника в три раза больше его стороны. Третья сторона на 33 фута больше, чем самая короткая сторона. Периметр составляет 1313 футов. Найдите длины всех трех сторон.

Использование свойств трапеций

В следующих упражнениях решите задачи, используя свойства трапеций.

197 .

Высота трапеции 1212 футов, а основания 99 и 1515 футов.Что такое площадь?

198 .

Высота трапеции 2424 м, а основания 1818 и 3030 м. Что такое площадь?

199 .

Найдите площадь трапеции с высотой 5151 м и основаниями 4343 и 6767 м.

200 .

Найдите площадь трапеции с высотой 6262 дюйма и основаниями 5858 и 7575 дюймов.

201 .

Высота трапеции 1515 см, а основания 12,512,5 и 18,318,3 см.Что такое площадь?

202 .

Высота трапеции 4848 футов, а основания 38,638,6 и 60,260,2 футов. Что такое площадь?

203 .

Найдите площадь трапеции с высотой 4,24,2 м и основаниями 8,18,1 и 5,55,5 м.

204 .

Найдите площадь трапеции с высотой 32,532,5 см и основаниями 54,654,6 и 41,441,4 см.

205 .

Лорел делает знамя в форме трапеции. Высота знамени 33 фута, а основания 44 и 55 футов.Какова площадь баннера?

206 .

Нико хочет выложить плиткой пол в своей ванной. Пол имеет форму трапеции шириной 55 футов и длиной 55 футов и 88 футов. Какова площадь пола?

207 .

Терезе нужна новая столешница для кухонного стола. Счетчик имеет форму трапеции шириной 18,518,5 дюйма и длиной 6262 и 5050 дюймов. Какова площадь счетчика?

208 .

Елена вяжет шарф. Шарф будет иметь форму трапеции шириной 88 дюймов и длиной 48.248,2 дюйма и 56,256,2 дюйма. Какова площадь шарфа?

Математика на каждый день
209 .

Забор Хосе только что убрал детский игровой набор со своего заднего двора, чтобы освободить место для прямоугольного сада. Он хочет поставить забор вокруг сада, чтобы отпугнуть собаку. У него в гараже рулон забора длиной 5050 футов, который он планирует использовать. Чтобы поместиться на заднем дворе, ширина сада должна быть 1010 футов. Как долго он может пройти другую сторону, если он хочет использовать весь рулон забора?

210 .

Садоводство Люпита хочет обнести забором свой томатный сад. Сад имеет прямоугольную форму, а длина в два раза больше ширины. Для ограждения сада потребуется 4848 футов ограждения. Найдите длину и ширину ее сада.

211 .

Забор Криста хочет поставить забор вокруг своей треугольной клумбы. Стороны клумбы составляют 66 футов, 88 футов и 1010 футов. Забор стоит $10$10 за фут. Сколько будет стоить Кристе огородить свою клумбу?

212 .

Картина Калеб хочет покрасить одну стену своего чердака. Стена имеет форму трапеции высотой 88 футов и основаниями 2020 футов и 1212 футов. Стоимость покраски одного квадратного фута стены составляет около 0,05–0,05 доллара. Примерно сколько будет стоить Калебу покрасить стену чердака?

Письменные упражнения
213 .

Если вам нужно положить плитку на кухонный пол, вам нужно знать периметр или площадь кухни? Объясните свои рассуждения.

214 .

Если вам нужно поставить забор вокруг вашего двора, вам нужно знать периметр или площадь заднего двора? Объясните свои рассуждения.

215 .

Посмотрите на две фигуры.

ⓐ Какая фигура имеет большую площадь? Какой из них имеет больший периметр?

ⓑ Теперь вычислите площадь и периметр каждой фигуры. У кого площадь больше? У кого больше периметр?

216 .

Длина прямоугольника на 55 футов больше его ширины.Площадь 5050 квадратных метров. Найдите длину и ширину.

ⓐ Напишите уравнение, которое вы использовали бы для решения задачи.

ⓑ Почему вы не можете решить это уравнение методами, изученными в предыдущей главе?

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в выполнении целей этого раздела.

ⓑ По шкале от 1 до 10, как бы вы оценили свое знание этого раздела в свете ваших ответов на контрольный список? Как вы можете улучшить это?

Площадь трапеции: дифференцирующие критерии успеха … не намерения учиться

Я наслаждаюсь нашей медленной книжной беседой о формирующем оценивании встраивания Дилана Уильяма.(Вы можете скачать первую главу здесь, если вам интересно.)

Глава 3 называется Стратегия 1: разъяснение совместного использования и понимание целей обучения

Как мы поддерживаем учащихся, которым нужны строительные леса, и в то же время подталкиваем учащихся, которым нужны более сложные задачи?

Я борюсь с дифференциацией. Но по мере того, как мы больше сосредотачиваемся на математической гибкости, я учусь понимать, что имеет в виду Уильям, говоря о критериях успеха, а не о целях обучения.

Рассмотрим этот прогресс обучения математической гибкости от Джилл Гоф.

Что, если мы соединим это с продвижением по содержанию в области трапеций?

4: Я могу доказать формулу площади трапеции более чем одним способом.

3: Я могу доказать формулу площади трапеции.

2: Я могу вычислить площадь трапеции, составив ее в виде прямоугольника и/или разложив на треугольники и другие фигуры.

1: Я могу вычислить площадь трапеции по формуле.

Наш стандарт практики для этого урока: «Я могу искать и использовать структуру».

Уильям говорит, что существует 13 концептуально различных способов нахождения площади трапеции. Некоторые из них более сложны алгебраически, чем другие. Некоторые из них сложнее геометрически, чем другие.

Сколькими способами можно доказать формулу площади трапеции?

Как мы можем использовать это упражнение, чтобы различать критерии успеха для наших учащихся?

Я попробовал это с 6 -12 классными учителями в недавнем институте геометрии Департамента образования штата Миссисипи. В нашем сеансе геометрической меры и измерения мы перешли от площадей специальных четырехугольников на координатной плоскости к доказательству формул площадей воздушного змея и ромба. Затем мы доказали формулу площади трапеции. У нас были некоторые учителя, для которых было проблемой обобщить высоту трапеции как h и основания как b 1 и b 2 вместо того, чтобы использовать числа для представления длин.

(1 и 2)

Первым побуждением многих учителей было составить из трапеции прямоугольник с размерами b 2 × h и вычесть площади двух дополнительных прямоугольных треугольников

Или разложить трапецию на прямоугольник с размерами b 1 × h и сложить площади двух прямоугольных треугольников.

Алгебра может быть сложной, особенно при решении, как представить длины оснований треугольников. Вы назовете один из них x , а другой b 2 x – b 1 ? Или вы признаете, что вместе базы имеют сумму b 2 – b 1 ?

(3)

Один из наименее инстинктивных методов среди 200 с лишним учителей на моих занятиях состоял в том, чтобы разложить трапецию на два треугольника с помощью диагонали. Это также один из самых доступных алгебраических методов. Несколько раз я спрашивал застрявшего учителя, что произойдет, если провести одну диагональ. Затем я ушел. Я почти всегда возвращался позже к успешному доказательству.

Как мы можем использовать это упражнение, чтобы различать критерии успеха для наших учащихся?

(4)

После того, как они успешно разложили на два треугольника, они были готовы рассмотреть разложение на три треугольника. Несколько учителей справились с алгеброй и были готовы к новому испытанию.(Мы отметили свободу соединения концов b 1 с точкой на b 2 , которая разбивает b 2 в любом соотношении, 1:1, 1:2 или 1:x. )

(5)

Некоторые разложили трапецию на параллелограмм и треугольник.

(6)

Некоторые использовали жесткие движения, чтобы понять площадь трапеции, повернув трапецию на 180˚ вокруг середины одной из ее сторон, создав параллелограмм с основанием b 1 + b 2 и высотой ч . Для других жесткие движения были проблемой. Они попросили ножницы, чтобы можно было вырезать трапеции и физически переводить и вращать их.

(7)

Другие разложили трапецию на две трапеции с помощью медианы, а затем переставили верхнюю трапецию на части, чтобы получился параллелограмм с основанием b 1 + b 2 и высотой ½ h .

(8)

Или прямоугольник с такими же размерами.

(9)

Некоторые использовали медиану для создания «среднего прямоугольника» с площадью, равной трапеции.

Или «средний параллелограмм» с площадью, равной трапеции.

(10)

Трапецию разложили, построив отрезок от одной конечной точки b 1 до середины другого катета, а затем перестроив полученный треугольник, чтобы получилась трапеция, в треугольник с основанием b 1 + b 2 и высота h .

Другой сделал то же самое с одной конечной точки b 2 .

(11)

Я спросил тех, кто закончил быстро, что произойдет, если они вытянут стороны трапеции, чтобы образовать треугольник. Им потребовалось много алгебры, чтобы доказать площадь трапеции, используя аналогичные соотношения треугольников, но начав, они уже не останавливались.

Я думаю, что это будет 11 концептуально разных методов доказательства площади трапеции.Я не могу вспомнить, чтобы кто-нибудь нашел еще 2, и я уверен, что где-то есть сайт, на котором я могу найти еще два способа. Но я пока не собираюсь уступать Google. Я собираюсь продолжать работать над своей математической гибкостью, и я буду продолжать практиковаться в поиске и использовании структуры, поскольку путешествие продолжается…

Нравится:

Нравится Загрузка…

Родственные

 

Разница двух треугольников — nebusresearch

[ Неделя трапеций продолжается! ]

Вчера я изложил схему, показывающую один пример трапеции, с помощью которой я хочу показать один из способов получения формулы площади трапеции. Используемый здесь подход состоит в том, чтобы найти два треугольника так, чтобы разница площадей между ними была площадью трапеции. Часто это может быть удобным способом нахождения площади чего-либо: найти простые фигуры для работы, чтобы площадь, которую мы хотим, представляла собой сумму или разность этих простых площадей. Позже я собираюсь сделать эту область суммой простых форм.

А пока я настроил трапецию так, что ее площадь будет разностью площадей двух треугольников. Площадь треугольника — это достаточно простая формула: это половина длины основания, умноженная на высоту.Мы увидим большую часть этой формулы.

На схеме я поместил более длинное основание, соединяющее точки A и B, длиной b 1 внизу, и более короткое основание, соединяющее точки D и E, длиной b 2 , на верх. И я продлил две непараллельные стороны так, чтобы они в конце концов сошлись в точке, обозначенной С. Трапеция — это фигура, ограниченная точками А, В, Е и D, или, говоря кратко, АВЕД. Расстояние между линией AB и линией DE равно высоте a .А перпендикулярное расстояние между линией AB и точкой C является первой высотой, h 1 . Перпендикулярная высота между линией DE и точкой C является второй высотой, h 2 . Это все предыстория.

На рисунке два треугольника. Больший из них — это треугольник ΔABC, и его площадь равна (1/2) * b 1 * h 1 , половина произведения основания на высоту. Меньший треугольник — это треугольник ΔDEC, и его площадь равна (1/2) * b 2 * h 2 , произведение половины основания на высоту.Трапеция ABED — это часть треугольника ΔABC, еще не входящая в треугольник ΔDEC; его площадь должна быть разницей между ними. То есть трапеция имеет площадь (1/2) * b 1 * h 1 – (1/2) * b 2 * h 2 . Это совершенно верно, хотя для этого нужно выяснить, что такое h 1 и h 2 , что может быть рабочим. Что мы сделаем, так это попытаемся избавиться от h 1 и h 2 .

Вот одна деталь, которая позволяет нам избавиться как минимум от h 2 . (Он вернется, но вскоре после этого мы избавимся от него навсегда). Высота h 1 — это расстояние между параллельными основаниями, которые мы назвали a , плюс расстояние между более коротким основанием DE и точкой C, h 2 . Таким образом, мы можем заменить h 1 на a + h 2 или заменить h 2 на h 1 – a .В любом случае будет работать, но я хочу использовать второе выражение. Заменив h 2 в области трапеции, мы получим уравнение:

ABED = (1/2) * b 1 * h 1 – (1/2) * b 2 * (h 1 – a)

Эту вторую часть вышеуказанной строки мы можем расширить в соответствии со свойством распределения. Согласно дистрибутивному свойству, для любых трех чисел s * (x + y) совпадает с числом s * x + s * y .Таким образом, мы можем изменить то, как мы записываем уравнение — хотя и не его значение или его истинность — на это:

.

ABED = (1/2) * b 1 * h 1 – (1/2) * b 2 * h 1 + (1/2) * b 2 * a

Теперь у нас есть площадь как сумма трех членов, средний отрицательный. Это то место, где я, кстати, застрял в классе, так как не мог придумать, как избавиться от h 1 . В лучшем случае я мог перетасовать между ч 1 и ч 2 , не исключая их вместе.

Озарение, в котором я нуждался и которое пришло ко мне после занятий, состояло в том, чтобы понять, что треугольники ΔABC и ΔDEC подобны. У этого есть точное математическое определение: это означает, что треугольники имеют одинаковые внутренние углы. Если они и отличаются, то только размерами. Если бы я показывал изображение ΔABC отдельно и показывал увеличенное изображение ΔDEC отдельно, не было бы никакого способа отличить их друг от друга, кроме меток.

Почему это важно из-за тонкого свойства в отношении подобных треугольников.Если у вас есть два подобных треугольника, то отношения соответствующих частей двух треугольников будут равны. То есть, например, отношение длины AB к длине AC будет таким же, как длина DE к длине DC. Более непосредственно полезно, отношение длины AB, b 1 , к высоте ΔABC, h 1 , равно отношению длины DE, b 2 , до высоты ΔDEC, ч 2 .

Поместите в более привычную форму уравнения: h 1 / b 1 = h 2 / b 2 . Или мы можем переписать это несколькими способами; я собираюсь использовать: b 2 = b 1 * h 2 / h 1 .

Теперь я подставлю это выражение для b 2 в уравнение именно там, где я застрял, и вскоре оба члена h 2 и h 1 исчезнут.Начиная с выражения, где я застрял:

ABED = (1/2) * b 1 * h 1 – (1/2) * b 2 * h 1 + (1/2) * b 2 * a

Замена b 2 , как я и предполагал, дает мне это:

ABED = (1/2) * b 1 < * h 1 – (1/2) * (b 1 * h 2 / h 1 ) * h 1 1/2) * б 2 * а

В среднесрочной перспективе мы имеем количество, которое делится на ч 1 только для того, чтобы снова умножиться на ч 1 .Пока ч 1 не равно нулю, это деление и умножение приводят к тому же результату, что и умножение остального количества на 1 , что означает просто оставить количество в покое. И мы можем быть абсолютно уверены, что чем бы ни было h 1 , оно не равно нулю. Итак:

ABED = (1/2) * b 1 * h 1 – (1/2) * b 1 * h 2 + (1/2) * b 2 * a

Теперь я снова вызову распределительное свойство, снова объединив первое и второе слагаемые:

ABED = (1/2) * b 1 * ( h 1 – h 2 ) + (1/2) * b 2 * a

Много работы, чтобы не избавиться от h 1 или h 2 … за исключением того, что мы знаем кое-что о h 1 минус 9. h 9 2Эта разница есть расстояние между двумя параллельными основаниями, то есть и . Значит площадь трапеции:

ABED = (1/2) * b 1 * a + (1/2) * b 2 * a

И — вы, возможно, предвидели это — с еще одним раундом распределительной собственности мы получаем:

ABED = (1/2) * ( b 1 + b 2 ) * a

Итак, мы получили именно ту формулу, которую должны были получить.

Это один из способов показать, что формула верна. Это не самое лучшее. Я не уверен, что это даже лучший способ сделать это с помощью разности-между-треугольниками, особенно потому, что, похоже, нужно помнить немного о подобных треугольниках. Это не малоизвестное свойство подобных треугольников, но оно не так очевидно, как площадь треугольников. Доказательство также делает одно трудноустранимое предположение: мы предполагаем, что стороны AE и BE, если мы продолжим рисовать эти линии, в конце концов сойдутся в одной точке.То есть доказательство не будет работать на параллелограммах или прямоугольниках, которые, по крайней мере, в прошлый раз я хотел включить в число трапеций.

Итак, как это можно сделать лучше?

Нравится:

Нравится Загрузка…

Родственные

Автор: Джозеф Небус

Я родился через 198 лет после Джонни Эпплсида. На этом различия между нами не заканчиваются. Он/его. Просмотреть все сообщения Джозефа Небуса

Площадь трапеции

Площадь трапеции
Next: Формулы сумм Римана Up: Интегралы и площадь Предыдущий: Решения Трапеция – это область под прямой линией, , между а также : Как идет от к , идет от к .
Проведите горизонтальную линию через трапецию на высоте .
Мы видим, что площадь под трапецией такая же, как площадь под прямоугольник высоты, с удаленным треугольником и другим добавлен треугольник.
Но легко видеть, что эти два треугольника конгруэнтны, поэтому их области отменяются.
Итак, площадь трапеции такая же, как у прямоугольника, поэтому является произведением его средней высоты и ширины: Воспроизведем теперь это вычисление, используя суммы Римана.
Пусть площадь области под трапецией будет .
Использование Римана суммы мы хотим показать, что .
Разделить регион из к в равные щепки.
Ширина каждой полоски .
Сначала мы вычислим левую и правую суммы Римана.
Для , правый конец первого интервала равен , так прямоугольник имеет высоту и ширина , поэтому его площадь .
Точно так же второй прямоугольник имеет площадь , третья имеет площадь и т. д., поэтому общая площадь составляет: Чтобы перейти к последней строке, мы использовали: Расчет почти такой же и дает: Обсуждение теперь делится на две части в соответствии со знаком наклона.
  • Если , то возрастает и имеем а также .
    Итак, для искомой площади имеем неравенства: Так как это верно для всех , по принципу Архимеда мы должны иметь и так, как требуется.
  • Если , то убывает и имеем а также .
    Итак, для искомой площади имеем неравенства: Так как это верно для всех , по принципу Архимеда мы должны иметь и так, как требуется.
Обратите внимание, что среднее значение а также , для любого просто : Таким образом, среднее значение и дает точная площадь трапеции (даже для одной полоски!).
Этот факт используется в правиле трапеций: см. ниже.

Next: Формулы сумм Римана Up: Интегралы и площадь Предыдущий: Решения
Джордж Эй Джей Спарлинг 2001-11-25
.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск