По графику зависимости скорости автомобиля от времени 3 с: 2. По графику зависимости скорости от времени (рис. 2) определите уско рение тела. А. 0,5 м/с^2. Б. 2 м/с^2. В. 4м/с^2 3. Определите, на каком из графиков (рис. 3) представлено движение тела, имеющег…

Содержание

1. График зависимости скорости от времени при прямолинейном движении с постоянным ускорением

Самое простое из всех неравномерных движений — это прямолинейное движение с постоянным ускорением.

 

При движении с постоянным ускорением (a→=const→) скорость тела линейно зависит от времени:

 

v→=v→o+a→t.

 

В проекциях на ось \(Ox\) данные равенства имеют вид:

 

ax=const;

 

vx=vox+axt.

 

Построим  и ax<0.

Примем vox>0.

 

Поскольку в обоих случаях ax=const, то графиком зависимости axt ускорения от времени в обоих случаях будет прямая, параллельная оси времени.

Только при ax>0 данная прямая будет лежать в верхней полуплоскости (рис. \(1\)), а при ax<0 — в нижней (рис. \(2\)).

 

  

Рис. \(1\). График зависимостей axt и vxt, для случая ax>0

 

 

Рис. \(2\). График зависимостей axt и vxt, для случая ax<0

 

Графиком зависимости скорости движения тела от времени vxt является прямая, пересекающая ось скорости в точке v0 и образующая с положительным направлением оси времени острый угол при ax>0 (рис. \(3\)) и тупой угол при ax<0 (рис. \(4\)).

 

  

Рис. \(3\). График зависимости скорости движения тела от времени vxt  

 

  

Рис. \(4\). График зависимости скорости движения тела от времени vxt, проекция vx скорости тела вначале положительна

 

График на рисунке \(3\) описывает возрастание проекции скорости vx. При этом модуль скорости тела также растёт. Данный график соответствует равноускоренному движению тела.

 

График на рисунке \(4\) показывает, что проекция vx скорости тела вначале положительна.

Она уменьшается и в момент времени t=tп становится равной нулю.

В этот момент тело достигает точки поворота, в которой направление скорости тела меняется на противоположное, и при t>tп проекция скорости становится отрицательной.

 

Из последнего графика также видно, что до момента поворота модуль скорости уменьшался — тело двигалось равнозамедленно.

При t>tп модуль скорости растёт — тело движется равноускоренно.

Для любого равнопеременного прямолинейного движения площадь фигуры между графиком vx и осью времени \(t\) численно равна проекции перемещения Δrx.

 

Рис. \(5\). Трапеция, образовываемая осями координат и графиком 

 

Согласно данному правилу, проекция перемещения Δrx при равнопеременном движении определяется площадью трапеции \(ABCD\) (рис. \(5\)). Эта площадь равна полусумме оснований трапеции, умноженной на её высоту:

  

S=AB+DC2⋅AD.

  

В результате:

  

Δrx=vox&plus;vx2⋅Δt.

  

Из данной формулы получим формулу для среднего значения проекции скорости:

  

vxср=ΔrxΔt=vox&plus;vx2.

  

При движении с постоянным ускорением данное отношение выполняется не только для проекций, но и для векторов скорости:

  

vcp→=vo→&plus;v→2.

Средняя скорость движения с постоянным ускорением равна полусумме начальной и конечной скоростей.

Источники:

Рис. 1. График зависимостей axt и vxt, для случая ax>0. © ЯКласс.

Рис. 2. График зависимостей axt и vxt, для случая ax<0. © ЯКласс.

Рис. 3. График зависимости скорости движения тела от времени vxt. © ЯКласс.

Рис. 4. График зависимости скорости движения тела от времени vxt, проекция vx скорости тела вначале положительна. © ЯКласс.

Рис. 5. Трапеция, образовываемая осями координат и графиком. © ЯКласс. 

Графики зависимости кинематических величин от времени при РПД и РУД

Будьте внимательны! У Вас есть 10 минут на прохождение теста. Система оценивания — 5 балльная. Разбалловка теста — 3,4,5 баллов, в зависимости от сложности вопроса. Порядок заданий и вариантов ответов в тесте случайный. С допущенными ошибками и верными ответами можно будет ознакомиться после прохождения теста. Удачи!

Список вопросов теста

Вопрос 1

По графику зависимости скорости от времени определите путь, пройденный телом за 8 с.


 

Варианты ответов
Вопрос 2

По графику зависимости скорости от времени определите путь, пройденный телом за 15 с.
 

Варианты ответов
  • 105 м
  • -105 м
  • 15 м
  • -15 м
Вопрос 3

Пользуясь графиком зависимости проекции скорости от времени, определите путь автомобиля.


 

Варианты ответов
  • 125 м
  • 200 м
  • -125 м
  • -200 м
Вопрос 4

По графику зависимости модуля скорости от времени, представленному на рисунке, определите перемещение, прямолинейно движущегося тела за 5 с.
 

Варианты ответов
  • 125 м
  • -125 м
  • 0 м
  • -40 м
Вопрос 5

Определите по графику зависимости скорости тела от времени, перемещение тела за 8 с.  

Варианты ответов
  • 24 м
  • -24 м
  • 20 м
  • -20 м
Вопрос 6

Пользуясь графиком движения определите координату тела через 6 с после начала движения

 

Варианты ответов
Вопрос 7

Пользуясь графиком движения определите путь пройденный телом за 3 с
 

Варианты ответов
Вопрос 8

По графику движения определите время, за которое тело пройдет путь, равный 5 м.
 

Варианты ответов
Вопрос 9

По графику движения определите время и координату встречи двух тел
 

Варианты ответов
  • 4 с, 5 м
  • 6 с, 10 м
  • 2 с, 2,5 м
  • 0 с, 25 м
Вопрос 10

Определите расстояние между телами в момент времени 2 с.
 

Варианты ответов
  • 12,5 м
  • 17,5 м
  • 15 м
  • 2,5 м

Физика _10класс рус дидактические задания

 

Тестовые задания  по теме  «Основные понятия и уравнения кинематики равноускоренного движения тела»

Вопрос 1.  Изображен график скорости движения мотоцикла от времени. Чему равна скорость мотоцикла в момент времени t=5c?

 

A)20 м/с

 

B) 3 м/с

 

C) 4 м/с

 

D) 5 м/с

Вопрос 2. На рисунке изображен график зависимости скорости прямолинейного движения тела от времени. Чему равно ускорение тела?

A) 4 м/с2

B) 1 м/с2

C) 6 м/с2

D) 2 м/с2

Вопрос 3. На рисунке изображен график зависимости скорости прямолинейного движения тела от времени. Чему равно ускорение тела?

A) 20 м/с2

B) -20 м/с2

C) -100 м/с2

D) -10 м/с2

E) 10 м/с2

Вопрос 4.  На рисунке изображена зависимость скорости движения тела от времени. На каком из участков тело движется равноускоренно?

A) только на участке ВС

B) только на участке ОА

C) только на участке АВ

D) на участках ОА и ВС

Вопрос 5. На рисунке представлен график зависимости скорости движения тела от времени. На каком из участков тело движется равноускоренно?

A) только на участке аб

B) только на участке бс

C) только на участке сд

D) на участках бс и сд

Вопрос 6. На рисунке представлен график зависимости скорости движения тела от времени. На каком из участков тело движется равноускоренно?

A) на участках аб и сд

B) только на участке бс

C) только на участке аб

D) только на участке сд

Вопрос 7.  На рисунке изображен график зависимости скорости движения тела от времени. Используя данные графика, запишите уравнение зависимости скорости от времени движения тела. 

Вопрос 8. По графику зависимости модуля скорости от времени, представленному на рисунке, определите перемещение тела за 2 с.

A) 10 м

B) 30 м

C) 20 м

D) 40 м

Вопрос 9. Используя информацию, приведенную на рисунке, определить проекцию перемещения тела через 14 с после начала движения.

A) 14 м

B) 36 м

C) 0 м

D) 9 м

Вопрос 10. Автомобиль начинает двигаться равноускоренно и вдруг тормозит. Какой вид графика соответствует зависимости ускорения автомобиля от времени? 

A) первый

B) четвертый

C) третий

D) второй

Вопрос 11.  На рисунке 1 изображен график зависимости ускорения от времени движения тела. Как зависит скорость движения этого тела от времени (рисунок 2), если начальная скорость равна нулю?

A) первый

B) третий

C) второй

Вопрос 12. На рисунке приведен график зависимости проекции скорости тела от времени. Определить в какой момент времени тело остановилось.

A) 3 с

B) 2 с

C) 3,2 с

D) 2,8 с

Вопрос 13. На рисунке представлен график зависимости проекции скорости двух тел от времени. Определите скорость первого тела через три секунды после начала движения.

A) 9 м/с

B) 14 м/с

C) 6 м/с

D) 8 м/с

E) 24 м/с

Вопрос 14.  Тело, имеющее начальную скорость 2 м/с, направленную против выбранной оси координат, двигается с ускорением, график зависимости проекции которого от времени приведен на рисунке. Какой из нижеприведенных графиков соответствует зависимости проекции скорости этого тела от времени для промежутка времени (0, 8) с?

A) B

B) А

C) D

D) Е

E) C

 

 

 

Задания для самостоятельной  работы  на закрепление материала по теме  «Основные понятия и уравнения кинематики равноускоренного движения тела»

 

1)      Уравнение зависимости проекции скорости движущегося тела от времени: vx=20+3t (см/с). Каково соответствующее уравнение проекции перемещения тела  s(t), м?

 

2) Вдоль оси ОХ движется тело, координата изменилось за 0,5 минуты от  х1 =15см до значения х2=-150 мм. Найдите модуль скорости (м/с) точки и проекцию вектора скорости на ось ОХ. Запишите формулу зависимости x(t).Считать скорость постоянной.

 

 

3)      Из пункта А и В, расположенных на расстоянии 250 км друг от друга, одновременно навстречу друг другу выехили два автомобиля. Скорость автомобиля выехавшегося из пункта А  60 км/час, а скорость второго из пункта В 40 км/час. Определите время и место встречи двух автомобилей от расстоянии пункта А.

 

4)      Автомобиль движется со скоростью 108 км/час, чему равен модуль ускорения автомобиля, если время торможения его 15с. Найти тормозной путь автомобиля.

 

 

5)      Тело падает с высоты 2000 м, за какое время  пролетит 100 м своего пути?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Задания по кинематике Может ли

Задания по кинематике Может ли график зависимости пути от времени иметь следующий вид? 1) да 2) нет 3) может, если траектория прямолинейная 4) может, если тело возвращается в исходную точку

2 Мяч, брошенный вертикально вверх, падает на землю. Найдите график зависимости от времени проекции скорости на вертикальную ось, направленную вверх. 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

3 Мяч брошен с вершины скалы без начальной скорости. Найдите график зависимости модуля перемещения от времени. Сопротивлением воздуха пренебречь. 1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4

4 Автомобиль движется по прямой улице. На графике представлена зависимость скорости автомобиля от времени. В каком интервале времени максимален модуль ускорения? 1) от 0 до 10 с 2) от 10 до 20 с 3) от 20 до 30 с 4) от 30 до 40 с

5 По графику зависимости модуля скорости тела от времени, представленного на рисунке, определите путь, пройденный телом от момента времени 0 с до момента времени 2 с. 1) 1 м 2) 2 м 3) 3 м 4) 4 м

6 На рисунке представлен график зависимости модуля скорости автомобиля от времени. Определите по графику путь, пройденный автомобилем в интервале от момента времени 0 с до момента времени 5 с после начала отсчета времени. 1) 6 м 2) 15 м 3) 17 м 4) 23 м

7 На рисунке представлен график зависимости модуля скорости тела от времени. Какой путь пройден телом за вторую секунду? 1) 0 м 2) 1 м 3) 2 м 4) 3 м

8 На рисунке представлен график зависимости модуля скорости тела от времени. Найдите путь, пройденный телом за время от момента времени 0 с до момента времени 5 с. 1) 0 м 2) 15 м 3) 20 м 4) 30 м

9 На рисунке представлен график зависимости пути от времени. Определите по графику скорость движения велоипедиста в интервале от момента времени 1 с до момента времени 3 с после начала движения. 1) 2) 3) 4)

10 На рисунке приведен график зависимости проекции скорости тела от времени. На каком графике представлена проекция ускорения тела в интервале времени от 10 до 20 с? 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

Скорость тела За ви си мость ко ор ди на ты x тела от вре ме ни t имеет вид: . Чему равна про ек ция ско ро сти тела на ось Ox в мо мент вре ме ни при таком дви же нии? 1) 2) 3) 4)

Глава 2. Ускорение. Равноускоренное движение

Характеристикой изменения скорости является ускорение. Эта величина определяется как отношение изменения скорости тела к тому интервалу времени, за который это изменение произошло

(2.1)

где и — скорости тела в конце и начале интервала времени . Из определения (2.1) следует, что вектор ускорения тела отличен от нуля только в том в случае, когда изменяется вектор скорости. При этом направление вектора определяется направлением разности , и может не совпадать с направлениями векторов и . Поэтому в задаче 2.1.1 ситуации, перечисленные в ответах 1, 3 и 4, возможны в следующих случаях. В 1 — когда тело, поворачивая на восток, в некоторый момент времени имеет вектор скорости, направленный на север. В 3 — при равноускоренном движении. В 4 — например, в такой ситуации: тело бросили вертикально вверх и в верхней точке траектории оно имеет нулевую скорость и ускорение, равное ускорению свободного падения. Ситуация, сформулированная в ответе 2, невозможна: если у тела постоянная скорость, то у него равное нулю и, следовательно, постоянное ускорение.

В задаче 2.1.2 вектор скорости в конце любого интервала времени меньше вектора скорости в начале этого интервала. Поэтому при направлении вектора скорости на юг вектор изменения скорости, а, следовательно, и вектор ускорения направлены на север (ответ 3).

Если тело движется с постоянной скоростью, координата линейно зависит от времени, причем наклон графика определяется скоростью. Поэтому скорость тела уменьшается, если уменьшается угол наклона графика зависимости координаты от времени к оси времени (задача 2.1.3 — ответ 4).

Движение тела, при котором его ускорение (как величина, так и направление) не изменяется, называется равноускоренным (задача 2. 1.4 — ответ 4). Из определения ускорения (2.1) следует, что при равноускоренном движении зависимость скорости от времени является линейной. Поэтому равноускоренному движению в задаче 2.1.5 отвечает график 1 (несмотря на то, что скорость тела убывает). В этой связи отметим, что равноускоренность означает не то, что тело постоянно разгоняется, а то, что оно имеет «равное ускорение».

При равноускоренном движении зависимости радиус-вектора тела по отношению к произвольной системе координат и скорости тела от времени даются соотношениями

(2.2)

(2.3)

где и — радиус-вектор и скорость тела в момент времени , — ускорение тела. После проецирования на оси координат зависимости (2.2) и (2.3) позволяют находить координаты тела и проекции его скорости на оси в любые моменты времени.

В задаче 2.1.6 зависимость (2.2) в проекциях на ось , которая направлена параллельно ускорению и начало которой находится в точке начала движения, дает

Поскольку тело движется из начала координат и только в одну сторону, то, очевидно, координата тела совпадает с пройденным путем. Поэтому при ускорении через 20 с после начала движения пройденный путь будет равен 100 м (ответ 2). Из этого результата следует, что задача 2.1.7 является обратной по отношению к задаче 2.1.6, поэтому правильный ответ для времени, за которое тело пройдет путь 100 м — 20 с (ответ 1).

В задаче 2.1.8 необходимо использовать зависимость (2.3) для скорости. Так как по условию автомобиль движется из состояния покоя, проекция зависимости (2.3) на ось , направленную вдоль вектора ускорения, имеет вид

где – проекция вектора скорости тела на ось . Так как в момент времени , находим (правильный ответ – 2).

Сравнивая данную в задаче 2.1.9 зависимость координаты от времени с законом (2.2), заключаем, что начальная скорость тела , проекция ускорения тела на ось – . Поэтому из (2.3) получаем зависимость скорости тела от времени .

Из этой зависимости следует, что скорость тела равна нулю при (правильный ответ 2). Можно было также найти скорость как производную координаты по времени. Дифференцируя данную в условии функцию, получим тот же ответ

Зависимость проекции скорости от времени на ось, направленную вертикально вверх, для тела из задачи 2.1.10 имеет вид

где — начальная скорость тела. Подставляя в эту формулу время , находим скорость тела через 0,5 с после броска (ответ 3). Знак «плюс» для проекции скорости на рассматриваемую ось показывает, что через 0,5 c после броска вектор скорости тела все еще направлен вверх.

Чтобы найти время подъема тела, брошенного вертикально вверх, на максимальную высоту (задача 2.2.1) используем то обстоятельство, что в верхней точке траектории скорость тела равна нулю. Поэтому подстановка времени подъема в зависимость скорости от времени дает

где — начальная скорость тела. Отсюда получаем для времени подъема (ответ 4). А самую максимальную высоту подъема (задача 2.2.2) можно найти, подставляя найденное время подъема в зависимость координаты тела по вертикальной оси от времени

Подстановка в эту формулу числовых значений дает (ответ 1).

Пусть время, затраченное телом на прохождение участка пути длиной , отсчитанного от начальной точки, равно , а время, затраченное телом на прохождение участка пути длиной , отсчитанного от этой же точки, равно (задача 2.2.3). Тогда из уравнения движения (2. 2) в проекции на ось, направленную вдоль вектора ускорения тела, имеем

Деля первое уравнение на второе и извлекая из этого отноше-ния квадратный корень, находим

что означает, что время прохождения пути меньше времени прохождения пути в раз (ответ 2).

В некоторых ситуациях приходится применять одновременно обе зависимости — и координаты и скорости. Например, в задаче 2.2.4 зависимости координаты тела по вертикальной оси и проекции скорости на эту ось имеют вид

Из первой зависимости находим время, за которое тело поднимается на высоту

(Два корня для времени получилось, поскольку на рассматриваемой высоте тело побывало дважды — в процессе подъема и в процессе спуска.) Подставляя эти значения времени в уравнение для скорости, получим для проекции скорости на вертикальную ось на высоте :

(«плюс» — на подъеме, «минус» — на спуске). Отсюда находим величину скорости тела на этой высоте — 15 м/с (ответ 3).

Иногда в задачах на равноускоренное движение требуется найти интервалы времени или расстояния, отсчитанные не от момента начала движения или от начального положения тела. Трудность таких задач заключается в том, что такие времена или расстояния сами не входят в уравнения равноускоренного движения. В этом случае искомые интервалы времени или расстояния удобно находить как разность интервалов времени или расстояний, отсчитанных от начала движения. Например, зависимость координаты автомобиля от времени в задаче 2.2.5 дается соотношением

где — ускорение автомобиля, в качестве начала координат выбрана точка начала движения. Из этой зависимости находим, что через 2 с после начала движения автомобиль окажется на расстоянии 4 м от начальной точки, через 3 с после начала движения — на расстоянии 9 м от начальной точки. Поэтому за третью секунду движения автомобиль пройдет путь 5 м — ответ 3.

Аналогично в задаче 2.2.6 из зависимости координаты тела от времени находим, что автомобиль окажется на расстоянии 2 м от начальной точки через время с, на расстоянии 3 м — через время с. Поэтому на прохождение третьего метра пути автомобиль затратит время с (ответ 2).

В задаче 2.2.7 следует из зависимости скорости от времени найти время падения, а затем подставить его в зависимость координаты от времени. Правильный ответ — 1.

При движении тела под углом к горизонту вектор ускорения тела направлен вертикально вниз (ускорение свободного падения — ). Поэтому проекция зависимости скорости от времени (2.3) на горизонтальную ось имеет вид

где – начальная скорость тела, – угол, под которым бросили тело (проекция вектора ускорения тела на горизонтальную ось равна нулю). Из этой формулы следует, что проекция скорости на горизонтальную ось не зависит от времени (задача 2. 2.8 – правильный ответ 4).

Дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту, определяется из проекции уравнения (2.2) на горизонтальную ось

где — проекция вектора начальной скорости на горизонтальную ось, — полное время движения. По условию задачи 2.2.9 проекции векторов начальной скорости тел на горизонтальную ось одинаковы (это подчеркнуто на рисунке в условии с помощью вертикальной пунктирной прямой). Поэтому дальше улетит то из них, у которого больше время движения. А оно, в свою очередь, определяется проекцией уравнения (2.2) на вертикальную ось

поскольку в момент падения вертикальная координата тела равна нулю. Отсюда следует, что время движения равно , т.е. определяется проекцией вектора начальной скорости на вертикальную ось. А она по условию больше у тела 1, которое, таким образом, и улетит дальше (ответ 1).

Задача 2.2.10 содержит небольшой «подвох». При движении тела по прямой и в одном направлении пройденный путь равен разности координат конца и начала траектории. В этом случае можно, выбрав начало координат в начальной точке, найти пройденный путь, просто подставляя время в уравнение для координаты. В нашем же случае тело движется сначала вверх, потом вниз. Действительно, время подъема для тела, брошенного вертикально вверх со скоростью 20 м/с, равно 2 с. А пройденный путь нужно найти за 3 с после броска. Поэтому пройденный путь складывается из максимальной высоты подъема (для тела, брошенного со скоростью 20 м/с, она равна 20 м) и длины участка пути от верхней точки траектории до точки, в которой тело окажется через 3 с после броска. Координату этой точки в системе координат, начало которой расположено на земле, а ось направлена вертикально вверх, можно найти, подставляя это значение времени в уравнение

(все величины заданы в международной системе единиц СИ). В результате находим, что пройденный телом путь равен 25 м (ответ 3).

2.3 Графики зависимости положения от времени — Физика

Раздел Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете делать следующее:

  • Объясните значение наклона на графиках зависимости положения от времени
  • Решение задач с использованием графиков положения и времени

Поддержка учителей

Поддержка учителей

Цели обучения в этом разделе помогут вашим учащимся освоить следующие стандарты:

  • (4) Научные концепции.Учащийся знает и применяет законы, управляющие движением, в различных ситуациях. Ожидается, что студент:
    • (A) создание и интерпретация графиков и диаграмм, описывающих различные типы движения, включая использование технологий реального времени, таких как детекторы движения или фотодатчики.

Ключевые термины раздела

зависимая переменная независимая переменная тангенс

Поддержка учителей

Поддержка учителей

[BL][OL] Опишите сценарий, например, в котором вы запускаете в воздух водяную ракету.Он поднимается на 150 футов, останавливается и снова падает на землю. Предложите учащимся оценить ситуацию. Куда бы они поставили свой ноль? Что такое положительное направление, и что такое отрицательное направление? Попросите одного из учащихся нарисовать сценарий на доске. Затем нарисуйте график зависимости положения от времени, описывающий движение. Попросите учащихся помочь вам заполнить график. Линия прямая? Он изогнут? Он меняет направление? Что они могут сказать, глядя на график?

[AL] После того, как учащиеся просмотрели и проанализировали график, проверьте, смогут ли они описать различные сценарии, в которых линии были бы прямыми, а не изогнутыми? Где линии будут прерывистыми?

Положение на графике как функция времени

График, как и картинка, стоит тысячи слов. Графики не только содержат числовую информацию, они также показывают отношения между физическими величинами. В этом разделе мы исследуем кинематику, анализируя графики положения во времени.

Графики в этом тексте имеют перпендикулярные оси, одна горизонтальная, а другая вертикальная. Когда две физические величины нанесены друг против друга, горизонтальная ось обычно считается независимой переменной, а вертикальная ось — зависимой переменной. В алгебре вы бы назвали горизонтальную ось осью x , а вертикальную ось осью y .Как и на рис. 2.10, линейный график имеет общий вид y=mx+by=mx+b.

Здесь м — уклон, определяемый как подъем, деленный на длину (как видно на рисунке) прямой. Буква b — это точка пересечения y , которая является точкой пересечения прямой с вертикальной осью y . С точки зрения физической ситуации в реальном мире эти величины приобретут особое значение, как мы увидим ниже. (Рисунок 2.10.)

Фигура 2.10 На схеме изображен линейный график. Уравнение прямой линии y равно m x + b .

В физике время обычно является независимой переменной. Говорят, что другие величины, такие как смещение, зависят от него. Таким образом, график зависимости положения от времени будет иметь положение на вертикальной оси (зависимая переменная) и время на горизонтальной оси (независимая переменная). К чему в этом случае относятся наклон и y -intercept? Давайте вернемся к нашему исходному примеру при изучении расстояния и смещения.

Дорога в школу находилась в 5 км от дома. Предположим, что поездка заняла 10 минут, и ваш родитель все это время ехал с постоянной скоростью. График зависимости положения от времени для этого участка пути будет выглядеть так, как показано на рисунке 2.11.

Фигура 2. 11 Показан график зависимости положения от времени по дороге в школу. Как бы выглядел график, если бы мы добавили обратный путь?

Как мы уже говорили, d 0 = 0, потому что мы называем домом наше O и начинаем считать оттуда.На рис. 2.11 линия также начинается с d = 0. Это b в нашем уравнении для прямой линии. Нашей начальной позицией на графике зависимости положения от времени всегда является место, где график пересекает ось x в точке t = 0. Каков наклон? подъем — это изменение положения (т. е. смещение), а прогон — это изменение во времени. Это отношение также можно записать

Это соотношение было тем, как мы определили среднюю скорость.Следовательно, наклон графика d по сравнению с t представляет собой среднюю скорость.

Советы для успеха

Иногда, как в случае, когда мы строим график как поездки в школу, так и обратно, поведение графика выглядит по-разному в разные промежутки времени. Если график выглядит как серия прямых линий, то вы можете рассчитать среднюю скорость для каждого временного интервала, глядя на наклон. Если затем вы хотите рассчитать среднюю скорость за всю поездку, вы можете сделать средневзвешенное значение.

Давайте посмотрим на другой пример. На рис. 2.12 показан график зависимости положения автомобиля с реактивным двигателем от времени на очень плоском высохшем дне озера в Неваде.

Фигура 2.12 На диаграмме показан график зависимости положения автомобиля с реактивным двигателем от времени на соляных равнинах Бонневилля.

Используя взаимосвязь между зависимыми и независимыми переменными, мы видим, что наклон на графике на рис. 2.12 представляет собой среднюю скорость, v avg , а точка пересечения представляет собой перемещение в нулевой момент времени, то есть d 0 . Подстановка этих символов в y = m x + b дает

или

Таким образом, график зависимости положения от времени дает общую взаимосвязь между перемещением, скоростью и временем, а также предоставляет подробную числовую информацию о конкретной ситуации. Из рисунка видно, что автомобиль занимает позицию 400 м при t = 0 с, 650 м при t = 1,0 с и так далее. И мы также можем узнать о скорости объекта.

Поддержка учителей

Поддержка учителей

Демонстрация учителя

Помогите учащимся узнать, чем отличаются графики смещения от смещения.время похоже.

[Визуально] Установите метр.

  1. Если вы можете найти машину с дистанционным управлением, попросите одного из учащихся записать время, когда вы отправляете машину вперед вдоль палки, затем назад, а затем снова вперед с постоянной скоростью.
  2. Возьмите записанное время и изменение положения и соедините их.
  3. Попросите учеников научить вас рисовать график зависимости позиции от времени.

Каждый этап пути должен представлять собой прямую линию с различным уклоном.Участки, где машина ехала вперед, должны иметь положительный уклон. Часть, где он движется назад, будет иметь отрицательный наклон.

[ПР] Спросите, влияет ли место, которое они занимают как ноль , на график.

[AL] Реально ли нарисовать любой график положения, который начинается в состоянии покоя без какой-либо кривой? Почему мы можем пренебречь кривой в некоторых сценариях?

[Все] Обсудите, что можно узнать из этого графика. Учащиеся должны уметь читать чистое перемещение, но они также могут использовать график для определения общего пройденного расстояния.Затем спросите, как скорость или скорость отражены на этом графике. Укажите учащимся, что крутизна линии (наклона) является мерой скорости, а направление уклона является направлением движения.

[AL] Некоторые учащиеся могут понять, что кривая на линии представляет собой своего рода наклон склона, предварительный просмотр ускорения, о котором они узнают в следующей главе.

Снап Лаборатория

График движения

В этом упражнении вы запустите мяч вниз по пандусу и нарисуете график зависимости смещения мяча от высоты.время.

  • Выберите открытое место с большим пространством для расстановки, чтобы было меньше шансов споткнуться или упасть из-за катящихся шаров.
  • 1 шарик
  • 1 плата
  • 2 или 3 книги
  • 1 секундомер
  • 1 рулетка
  • 6 шт. малярной ленты
  • 1 лист миллиметровой бумаги
  • 1 карандаш

Процедура

  1. Постройте пандус, поместив один конец доски поверх стопки книг.При необходимости отрегулируйте местоположение до тех пор, пока на пути прямой линии от нижней части пандуса до следующих 3 м не будет препятствий.
  2. Отметьте расстояния 0,5 м, 1,0 м, 1,5 м, 2,0 м, 2,5 м и 3,0 м от нижней части пандуса. Запишите расстояния на ленте.
  3. Пусть один человек возьмет на себя роль экспериментатора. Этот человек выпустит мяч с вершины рампы. Если мяч не достигает отметки 3,0 м, увеличьте наклон пандуса, добавив еще одну книгу.Повторяйте этот шаг по мере необходимости.
  4. Попросите экспериментатора отпустить мяч. Попросите второго человека, таймера, начать отсчет времени, как только мяч достигнет нижней части пандуса, и остановить отсчет времени, когда мяч достигнет 0,5 м. Попросите третьего человека, регистратора, записать время в таблицу данных.
  5. Повторите шаг 4, остановив время на расстоянии 1,0 м, 1,5 м, 2,0 м, 2,5 м и 3,0 м от нижней части рампы.
  6. Используйте свои измерения времени и смещения, чтобы определить позицию по сравнению с другими.временной график движения мяча.
  7. Повторите шаги с 4 по 6, при этом разные люди берут на себя роли экспериментатора, таймера и записывающего устройства. Получаете ли вы одинаковые значения измерений независимо от того, кто выпускает мяч, измеряет время или записывает результат? Обсудите возможные причины расхождений, если таковые имеются.

Верно или неверно: средняя скорость мяча будет меньше средней скорости мяча.

  1. Правда

  2. Ложь

Поддержка учителей

Поддержка учителей

[BL][OL] Подчеркните, что движение в этой лаборатории – это движение мяча, когда он катится по полу.Спросите учащихся, где должен быть ноль.

[AL] Спросите учащихся, как бы выглядел график, если бы они начали отсчет времени с верхней, а с нижней стороны рампы. Почему график будет выглядеть иначе? Что может объяснить разницу?

[BL][OL] Предложите учащимся сравнить графики, построенные для разных людей, играющих разные роли. Попросите их определить и сравнить средние скорости для каждого интервала. Каковы были абсолютные различия в скоростях и каковы процентные различия? Являются ли различия случайными или существуют систематические различия? Почему могут быть систематические различия между двумя наборами измерений с разными людьми в каждой роли?

[BL][OL] Предложите учащимся сравнить графики, построенные для разных людей, играющих разные роли.Попросите их определить и сравнить средние скорости для каждого интервала. Каковы были абсолютные различия в скоростях и каковы процентные различия? Являются ли различия случайными или существуют систематические различия? Почему могут быть систематические различия между двумя наборами измерений с разными людьми в каждой роли?

Решение проблем с использованием графиков зависимости положения от времени

Итак, как мы можем использовать графики для решения вещей, которые мы хотим знать, таких как скорость?

Рабочий пример

Использование графика положение-время для расчета средней скорости: реактивный автомобиль

Найдите среднюю скорость автомобиля, положение которого показано на рисунке 1. 13.

Стратегия

Наклон графика d по сравнению с t представляет собой среднюю скорость, поскольку наклон равен подъему над пробегом.

уклон = ΔdΔt=vslope =ΔdΔt=v

2,7

Поскольку наклон здесь постоянный, для определения наклона можно использовать любые две точки на графике.

Решение

  1. Выберите две точки на линии. В этом случае выбираем точки, отмеченные на графике: (6,4 с, 2000 м) и (0,50 с, 525 м).(Обратите внимание, однако, что вы можете выбрать любые две точки.)
  2. Подставьте значения d и t выбранных точек в уравнение. Помните, что при расчете изменения (Δ) мы всегда используем конечное значение минус начальное значение. v=ΔdΔt=2000 м−525 м6,4 с−0,50 с=250 м/с, v=ΔdΔt=2000 м−525 м6,4 с−0,50 с=250 м/с,

    2,8

Обсуждение

Это впечатляюще высокая наземная скорость (900 км/ч или около 560 миль/ч): намного больше, чем типичный предел скорости на шоссе в 27 м/с или 96 км/ч, но значительно меньше рекорда в 343 м. / с или 1234 км / ч, установлен в 1997 году.

Поддержка учителей

Поддержка учителей

Если график положения представляет собой прямую линию, то единственное, что нужно знать учащимся для расчета средней скорости, — это наклон линии, подъем/бег. Они могут использовать любые точки на линии, которые наиболее удобны.

А что, если график позиции сложнее прямой линии? Что, если объект ускорится или развернется и пойдет назад? Можем ли мы узнать что-нибудь о его скорости из графика такого движения? Давайте еще раз посмотрим на автомобиль с реактивным двигателем.График на рис. 2.13 показывает его движение по мере того, как он набирает скорость после старта из состояния покоя. Время для этого движения начинается с нуля (как если бы его измеряли секундомером), а перемещение и скорость изначально равны 200 м и 15 м/с соответственно.

Фигура 2.13 На диаграмме показан график положения автомобиля с реактивным двигателем в течение промежутка времени, когда он разгоняется. Наклон графика зависимости расстояния от времени — это скорость. Это показано в двух точках. Мгновенная скорость в любой точке равна наклону касательной в этой точке.

Фигура 2.14 Реактивный автомобиль ВВС США мчится по трассе. (Мэтт Тростл, Flickr)

График зависимости положения от времени на рис. 2.13 представляет собой кривую, а не прямую линию. Наклон кривой становится круче с течением времени, показывая, что скорость увеличивается с течением времени. Наклон в любой точке графика зависимости положения от времени представляет собой мгновенную скорость в этой точке. Его находят, проводя прямую линию, касающуюся кривой в интересующей точке, и измеряя наклон этой прямой.Касательные линии показаны для двух точек на рисунке 2.13. Средняя скорость равна чистому перемещению, деленному на пройденное время.

Рабочий пример

Использование графика положение-время для расчета средней скорости: реактивный автомобиль, дубль два

Рассчитайте мгновенную скорость реактивного автомобиля через 25 с, найдя наклон касательной в точке Q на рис. 2.13.

Стратегия

Наклон кривой в точке равен наклону прямой, касательной к кривой в этой точке.

Решение

  1. Найдите касательную к кривой в момент времени t=25 st=25 s .
  2. Определить конечные точки касательной. Они соответствуют положению на 1300 м в момент времени 19 с и положению на 3120 м в момент времени 32 с.
  3. Подставьте эти конечные точки в уравнение для определения наклона v . уклон=vQ=ΔdQΔtQ=(3120−1300) м(32−19) с=1820 м13 с=140 м/с уклон=vQ=ΔdQΔtQ=(3120−1300) м(32−19) с=1820 м13 с=140 м/с

    2.9

Обсуждение

Полный график v против t может быть получен таким образом.

Поддержка учителей

Поддержка учителей

Кривая линия — более сложный пример. Определить касательную как линию, которая касается кривой только в одной точке. Покажите, что когда прямая линия меняет свой угол рядом с кривой, она на самом деле несколько раз пересекается с кривой в основании, но только одна линия вообще никогда не касается.Эта линия образует прямой угол с радиусом кривизны, но на этом уровне они могут просто увидеть ее на глаз. Наклон этой линии дает мгновенную скорость. Наиболее полезная часть этой линии заключается в том, что учащиеся могут сказать, когда скорость увеличивается, уменьшается, положительна, отрицательна и равна нулю.

[AL] Вы можете найти мгновенную скорость в каждой точке на графике, и если вы начертите график каждой из этих точек, у вас будет график скорости.

Практические задачи

16 .

Рассчитайте среднюю скорость объекта, показанного на графике ниже, за весь интервал времени.

  1. 0,25 м/с
  2. 0,31 м/с
  3. 3,2 м/с
  4. 4,00 м/с
17 .

Верно или неверно: взяв наклон кривой на графике, вы можете убедиться, что скорость реактивного автомобиля равна 125\,\text{м/с} при t = 20\,\text{с}.

  1. Правда

  2. Ложь

Проверьте свое понимание

18 .

Какую из следующих сведений о движении можно определить, глядя на график зависимости положения от времени, который представляет собой прямую линию?

  1. система отсчета
  2. среднее ускорение
  3. скорость
  4. направление приложенной силы
19 .

Верно или неверно: график зависимости положения ускоряющегося объекта от времени представляет собой прямую линию.

  1. Правда

  2. Ложь

Поддержка учителей

Поддержка учителей

Используйте вопросы Проверьте свое понимание , чтобы оценить достижение учащимися учебных целей раздела. Если учащиеся испытывают трудности с выполнением определенной задачи, тест «Проверка понимания» поможет определить, как направить учащихся к соответствующему содержанию.

Понимание независимых и зависимых переменных

Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже.Если университетские наставники примут меры в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как так как ChillingEffects. org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

 

3.3 Среднее и мгновенное ускорение – University Physics Volume 1

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Вычислите среднее ускорение между двумя моментами времени.
  • Рассчитайте мгновенное ускорение, учитывая функциональную форму скорости.
  • Объясните векторную природу мгновенного ускорения и скорости.
  • Объясните разницу между средним ускорением и мгновенным ускорением.
  • Найдите мгновенное ускорение в указанное время на графике зависимости скорости от времени.

Важность понимания ускорения охватывает наш повседневный опыт, а также обширные пространства космического пространства и крошечный мир субатомной физики.В повседневном разговоре ускорить означает ускорить; при нажатии на педаль тормоза автомобиль замедляется. Например, мы знакомы с ускорением нашего автомобиля. Чем больше ускорение, тем больше изменение скорости за данное время. Ускорение широко используется в экспериментальной физике. Например, в экспериментах на линейных ускорителях субатомные частицы разгоняются до очень высоких скоростей в экспериментах по столкновению, которые сообщают нам информацию о структуре субатомного мира, а также о происхождении Вселенной. В космосе космические лучи — это субатомные частицы, которые были ускорены до очень высоких энергий в сверхновых (взрывах массивных звезд) и активных ядрах галактик. Важно понимать процессы, которые ускоряют космические лучи, потому что эти лучи содержат сильно проникающее излучение, которое может повредить электронику, например, на космическом корабле.

Среднее ускорение

Формальное определение ускорения согласуется с только что описанными понятиями, но является более всеобъемлющим.

Среднее ускорение

Среднее ускорение — скорость изменения скорости:

   

где

   

— среднее ускорение, v — скорость, t — время. (Полоса над и означает среднее ускорение .)

Поскольку ускорение представляет собой скорость в метрах, деленную на время в секундах, единицы измерения ускорения в системе СИ часто обозначаются аббревиатурой м/с 2 , то есть метры в секунду в квадрате или метры в секунду в секунду. Это буквально означает, на сколько метров в секунду скорость изменяется каждую секунду. Напомним, что скорость — это вектор — она имеет как величину, так и направление — это означает, что изменение скорости может быть изменением величины (или скорости), но также может быть и изменением направления. Например, если бегун, движущийся со скоростью 10 км/ч строго на восток, замедляется до остановки, меняет направление и продолжает свой бег со скоростью 10 км/ч строго на запад, его скорость изменилась в результате изменения направления, хотя магнитуда скорости одинакова в обоих направлениях.Таким образом, ускорение возникает, когда скорость изменяется по величине (увеличение или уменьшение скорости) или по направлению, или по тому и другому.

Ускорение как вектор

Ускорение является вектором в том же направлении, что и изменение скорости,

   

. Поскольку скорость является вектором, она может изменяться по величине или по направлению, или по обоим направлениям. Таким образом, ускорение — это изменение скорости или направления, или и того, и другого.

Имейте в виду, что хотя ускорение происходит в направлении изменения скорости, оно не всегда совпадает с направлением движения.Когда объект замедляется, его ускорение противоположно направлению его движения. Хотя это обычно называют замедлением (рисунок), мы говорим, что поезд ускоряется в направлении, противоположном направлению его движения.

Рис. 3.10 Поезд метро в Сан-Паулу, Бразилия, замедляет скорость, приближаясь к станции. Он ускоряется в направлении, противоположном направлению его движения. (кредит: Юсуке Кавасаки)

Термин замедление может вызвать путаницу в нашем анализе, поскольку он не является вектором и не указывает на определенное направление относительно системы координат, поэтому мы его не используем.Ускорение — это вектор, поэтому мы должны выбрать для него соответствующий знак в выбранной нами системе координат. В случае поезда на (Рисунок) ускорение составляет в отрицательном направлении в выбранной системе координат , поэтому мы говорим, что поезд испытывает отрицательное ускорение.

Если объект в движении имеет скорость в положительном направлении по отношению к выбранному началу координат и приобретает постоянное отрицательное ускорение, объект в конце концов приходит в состояние покоя и меняет направление.Если мы подождем достаточно долго, объект пройдет через начало координат в противоположном направлении. Это показано на (рис.).

Рисунок 3.11 Объект, движущийся с вектором скорости на восток с отрицательным ускорением, останавливается и меняет направление. Он проходит начало координат, двигаясь в противоположном направлении через достаточно долгое время.

Пример

Расчет среднего ускорения: скаковая лошадь покидает ворота

Скаковая лошадь, выходящая из ворот, разгоняется из состояния покоя до скорости 15.0 м/с на запад за 1,80 с. Каково его среднее ускорение?

Рисунок 3.12 Скаковые лошади разгоняются за воротами. (кредит: Джон Салливан)
Стратегия

Сначала рисуем эскиз и присваиваем задаче систему координат (Рисунок). Это простая задача, но визуализировать ее всегда полезно. Обратите внимание, что мы назначаем восток как положительный, а запад как отрицательный. Таким образом, в этом случае мы имеем отрицательную скорость.

Рисунок 3.13 Определите систему координат, предоставленную информацию и то, что вы хотите определить.

Мы можем решить эту проблему, идентифицируя

   

из данной информации, а затем рассчитать среднее ускорение непосредственно из уравнения

   

.
 

Решение

Сначала определите известные:

   

(знак минус указывает направление на запад), Δ t = 1,80 с.

Во-вторых, найдите изменение скорости. Так как лошадь движется от нуля до -15.0 м/с, его изменение скорости равно его конечной скорости:

   

Наконец, подставьте известные значения (

   

) и найти неизвестное

   

:

   

Значение

Отрицательный знак ускорения указывает на то, что ускорение направлено на запад. Ускорение 8,33 м/с 2 строго на запад означает, что лошадь увеличивает свою скорость на 8,33 м/с строго на запад каждую секунду; то есть 8.33 метра в секунду за секунду, что мы запишем как 8,33 м/с 2 . Это действительно среднее ускорение, потому что езда не плавная. Позже мы увидим, что ускорение такой величины потребовало бы от всадника удержания силы, почти равной его весу.

Проверьте свое понимание

протона в линейном ускорителе разгоняются из состояния покоя до

   

через 10 –4 с. Каково среднее ускорение протонов?

[reveal-answer q=»fs-id1168327875120″]Показать решение[/reveal-answer]

[скрытый ответ a=”fs-id1168327875120″]

Подставляем известные, имеем

   

[/скрытый ответ]

Мгновенное ускорение

Мгновенное ускорение a или ускорение в определенный момент времени получается с использованием того же процесса, что и для мгновенной скорости. То есть мы вычисляем среднюю скорость между двумя моментами времени, разделенными на

   

и пусть

   

приближаются к нулю. Результатом является производная функции скорости v ( t ), которая равна мгновенному ускорению и математически выражается как

   

Таким образом, аналогично тому, как скорость является производной функции положения, мгновенное ускорение является производной функции скорости.Мы можем показать это графически так же, как мгновенную скорость. На (Рисунке) мгновенное ускорение в момент времени t 0 представляет собой наклон касательной к графику зависимости скорости от времени в момент времени t 0 . Мы видим, что среднее ускорение

   

приближается к мгновенному ускорению как

   

приближается к нулю. Также в части (а) рисунка мы видим, что скорость имеет максимум, когда ее наклон равен нулю. Это время соответствует нулю функции ускорения. В части (b) показано мгновенное ускорение при минимальной скорости, которая также равна нулю, так как наклон кривой и там равен нулю. Таким образом, для данной функции скорости нули функции ускорения дают либо минимальную, либо максимальную скорость.

Рисунок 3.14 На графике зависимости скорости от времени мгновенное ускорение представляет собой наклон касательной. (a) Показано среднее ускорение

   

между временами

   

и

   

.Когда

   

, среднее ускорение приближается к мгновенному ускорению в момент времени t0. На виде (а) показано мгновенное ускорение для точки на кривой скорости при максимальной скорости. В этой точке мгновенное ускорение представляет собой наклон касательной, который равен нулю. В любой другой момент времени наклон касательной и, следовательно, мгновенное ускорение не были бы равны нулю. (b) То же, что и (a), но показано для мгновенного ускорения при минимальной скорости.

Чтобы проиллюстрировать эту концепцию, давайте рассмотрим два примера.Во-первых, показан простой пример с использованием (Рисунок)(b), графика зависимости скорости от времени (Рисунок), для графического определения ускорения. Этот график изображен на (Рисунок)(а) и представляет собой прямую линию. Соответствующий график зависимости ускорения от времени находится по наклону скорости и показан на (Рисунок)(б). В этом примере функция скорости представляет собой прямую линию с постоянным наклоном, поэтому ускорение является постоянным. В следующем примере функция скорости имеет более сложную функциональную зависимость от времени.

Рисунок 3.15 (a, b) График зависимости скорости от времени является линейным и имеет отрицательный постоянный наклон (a), равный ускорению, показанному на (b).

Если мы знаем функциональную форму скорости, v ( t ), мы можем вычислить мгновенное ускорение a ( t ) в любой момент времени в движении, используя (Рисунок).

Пример

Расчет мгновенного ускорения

Частица движется и ускоряется.Функциональная форма скорости равна

.

   

.

  1. Найдите функциональную форму ускорения.
  2. Найти мгновенную скорость в точке t = 1, 2, 3 и 5 с.
  3. Найти мгновенное ускорение в точке т = 1, 2, 3 и 5 с.
  4. Интерпретируйте результаты (c) с точки зрения направлений векторов ускорения и скорости.
Стратегия

Найдем функциональную форму ускорения, взяв производную от функции скорости.Затем вычисляем значения мгновенной скорости и ускорения по заданным функциям для каждого. Для части (d) нам нужно каждый раз сравнивать направления скорости и ускорения.

Решение
  1.    

  2.    

    ,

       

    ,

       

    ,

       

  3.    

    ,

       

    ,

       

    ,

       

  4. В t = 1 с, скорость

       

    положительна, а ускорение положительно, поэтому и скорость, и ускорение имеют одинаковое направление. Частица движется быстрее.

При t = 2 с скорость возросла до

   

, где оно максимальное, что соответствует времени, когда ускорение равно нулю. Мы видим, что максимальная скорость возникает, когда наклон функции скорости равен нулю, что равно нулю функции ускорения.

При t = 3 с, скорость

   

и ускорение отрицательное. Частица уменьшила свою скорость, и вектор ускорения отрицателен.Частица замедляется.

При t = 5 с, скорость

   

и ускорение становится все более отрицательным. Между моментами времени t = 3 с и t = 5 с скорость частицы уменьшилась до нуля, а затем стала отрицательной, тем самым изменив свое направление. Теперь частица снова ускоряется, но в противоположном направлении.

Мы можем увидеть эти результаты графически на (Рисунок).

Рисунок 3.16 (a) Скорость в зависимости от времени.Касательные линии указаны в моменты времени 1, 2 и 3 с. Наклоны касательных линий являются ускорениями. При t = 3 с скорость положительна. При t = 5 с скорость отрицательна, что указывает на то, что частица изменила направление. (b) Ускорение в зависимости от времени. Сравнивая значения ускорений, заданные черными точками, с соответствующими наклонами касательных (наклоны линий, проведенных через черные точки) на (а), мы видим, что они идентичны.
Значение

Проводя численный и графический анализ скорости и ускорения частицы, мы можем многое узнать о ее движении.Численный анализ дополняет графический анализ, давая общее представление о движении. Ноль функции ускорения соответствует максимуму скорости в этом примере. Также в этом примере, когда ускорение положительно и в том же направлении, что и скорость, скорость увеличивается. По мере того, как ускорение стремится к нулю, со временем становясь отрицательным, скорость достигает максимума, после чего начинает уменьшаться. Если мы подождем достаточно долго, скорость также станет отрицательной, указывая на изменение направления. Реальным примером такого типа движения является автомобиль, скорость которого увеличивается до максимума, после чего он начинает замедляться, останавливается, а затем меняет направление.

Проверьте свое понимание

Самолет приземляется на взлетно-посадочной полосе, направляясь на восток. Опишите его ускорение.

[reveal-answer q=»fs-id1168327963777″]Показать решение[/reveal-answer]

[скрытый ответ a=”fs-id1168327963777″]

Если мы возьмем восток за положительное значение, то ускорение самолета будет отрицательным, потому что он движется на запад.Он также замедляется; его ускорение противоположно направлению его скорости.

[/скрытый ответ]

Почувствуйте ускорение

Вероятно, вы привыкли ощущать ускорение, когда входите в лифт или нажимаете на педаль газа в машине. Однако ускорение происходит и со многими другими объектами в нашей Вселенной, с которыми у нас нет прямого контакта. (Рисунок) представлены ускорения различных объектов. Мы можем видеть, что величины ускорений простираются на многие порядки.

Типичные значения ускорения (кредит: Википедия: порядки величины (ускорение))
Ускорение Значение (м/с 2 )
Скоростной поезд 0,25
Лифт 2
Гепард 5
Объект в свободном падении без сопротивления воздуха у поверхности Земли 9,8
Максимум космического корабля во время запуска 29
Пик парашютиста при нормальном раскрытии парашюта 59
Выход самолета F16 из пикирования 79
Катапультирование кресла взрывом из самолета 147
Спринт ракета 982
Самое быстрое пиковое ускорение ракетных саней 1540
Прыгающая блоха 3200
Удар битой по бейсбольному мячу 30 000
Закрывающие челюсти муравья-ловушки 1 000 000
Протон в большом адронном коллайдере

   

В этой таблице мы видим, что типичные ускорения сильно различаются для разных объектов и не имеют ничего общего с размером объекта или его массой. Ускорение также может сильно меняться со временем во время движения объекта. Дрэг-рейсер имеет большое ускорение сразу после старта, но затем оно уменьшается, когда транспортное средство достигает постоянной скорости. Его среднее ускорение может сильно отличаться от его мгновенного ускорения в определенный момент времени во время его движения. (Рисунок) графически сравнивает среднее ускорение с мгновенным ускорением для двух очень разных движений.

Рисунок 3.17 Графики зависимости мгновенного ускорения от времени для двух различных одномерных движений.а) Ускорение меняется незначительно и всегда в одном и том же направлении, так как оно положительно. Среднее значение по интервалу почти такое же, как ускорение в любой момент времени. (b) Ускорение сильно различается, возможно, это представляет собой пакет на ленточном конвейере почтового отделения, который ускоряется вперед и назад, когда он толкается. В такой ситуации необходимо рассматривать небольшие промежутки времени (например, от 0 до 1,0 с) с постоянным или почти постоянным ускорением.

Резюме

  • Ускорение — скорость изменения скорости.Ускорение — это вектор; оно имеет как величину, так и направление. Единицей ускорения в системе СИ является метр в секунду в квадрате.
  • Ускорение может быть вызвано изменением величины или направления скорости, или и тем, и другим.
  • Мгновенное ускорение a ( t ) является непрерывной функцией времени и дает ускорение в любой конкретный момент времени во время движения. Он рассчитывается из производной функции скорости. Мгновенное ускорение — это наклон графика зависимости скорости от времени.
  • Отрицательное ускорение (иногда называемое замедлением) — это ускорение в отрицательном направлении в выбранной системе координат.

Концептуальные вопросы

Возможно ли, чтобы скорость была постоянной, а ускорение не равно нулю?

[reveal-answer q=»fs-id1168328025381″]Показать решение[/reveal-answer]

[скрытый ответ a=”fs-id1168328025381″]

Нет, в одном измерении постоянная скорость требует нулевого ускорения.

[/скрытый ответ]

Возможно ли, чтобы скорость была постоянной, а ускорение не равно нулю? Объяснять.

Приведите пример, в котором скорость равна нулю, а ускорение — нет.

[reveal-answer q=»fs-id11683282«]Показать решение[/reveal-answer]

[скрытый ответ a=”fs-id11683282″]

Мяч подброшен в воздух, и его скорость равна нулю в точке броска, но ускорение не равно нулю.

[/скрытый ответ]

Если поезд метро движется влево (имеет отрицательную скорость), а затем останавливается, то как направлено его ускорение? Ускорение положительное или отрицательное?

Знаки плюс и минус используются в одномерном движении для указания направления.Каков знак ускорения, уменьшающего модуль отрицательной скорости? положительной скорости?

[reveal-answer q=»fs-id1168328228855″]Показать решение[/reveal-answer]

[скрытый ответ a=”fs-id1168328228855″]

Плюс, минус

[/скрытый ответ]

Гепард может разогнаться из состояния покоя до скорости 30,0 м/с за 7,00 с. Каково его ускорение?

[reveal-answer q=»fs-id1168328195958″]Показать решение[/reveal-answer]

[скрытый ответ a=”fs-id1168328195958″]

   

[/скрытый ответ]

Др.Джон Пол Стэпп был офицером ВВС США, изучавшим влияние экстремального ускорения на организм человека. 10 декабря 1954 года Стэпп проехал на ракетных санях, разогнавшись из состояния покоя до максимальной скорости 282 м/с (1015 км/ч) за 5,00 с и резко остановившись всего за 1,40 с. Вычислите его (а) ускорение в направлении его движения и (б) ускорение, противоположное направлению его движения. Выразите каждое число, кратное г (9,80 м/с 2 ), взяв его отношение к ускорению свободного падения.

Нарисуйте график зависимости ускорения от времени на основе следующего графика зависимости скорости от времени.


[reveal-answer q=”1811″]Показать ответ[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”1811″] [/hidden-answer]

Пассажирка выезжает из гаража задним ходом с ускорением 1,40 м/с 2 . а) За какое время она достигнет скорости 2,00 м/с? б) Если она затем затормозит до остановки через 0,800 с, каково ее ускорение?

Предположим, что межконтинентальная баллистическая ракета выходит из состояния покоя до суборбитальной скорости 6.50 км/с за 60,0 с (фактическая скорость и время засекречены). Каково его среднее ускорение в метрах в секунду и кратно г (9,80 м/с 2 )?

[reveal-answer q=»fs-id1168325667515″]Показать решение[/reveal-answer]

[скрытый ответ a=”fs-id1168325667515″]

   

[/скрытый ответ]

Самолет, стартовав из состояния покоя, движется по взлетно-посадочной полосе с постоянным ускорением в течение 18 с, а затем взлетает со скоростью 60 м/с.Каково среднее ускорение самолета?

Глоссарий

среднее ускорение
скорость изменения скорости; изменение скорости во времени
мгновенное ускорение
ускорение в определенный момент времени

Учебник по физике: Скорость звука

Звуковая волна представляет собой возмущение давления, которое распространяется через среду посредством взаимодействия между частицами. Когда одна частица возмущается, она оказывает силу на соседнюю соседнюю частицу, тем самым выводя эту частицу из состояния покоя и перенося энергию через среду. Как и любая волна, скорость звуковой волны зависит от того, насколько быстро возмущение передается от частицы к частице. В то время как частота относится к числу колебаний, которые отдельная частица совершает в единицу времени, скорость относится к расстоянию, которое возмущение проходит за единицу времени. Всегда будьте осторожны, чтобы различать две часто путаемые величины скорости ( насколько быстро… ) и частота ( как часто… ).

Поскольку скорость волны определяется как расстояние, которое точка волны (например, сжатие или разрежение) проходит за единицу времени, ее часто выражают в метрах в секунду (сокращенно м/с). В форме уравнения это

 

скорость = расстояние/время

Чем быстрее распространяется звуковая волна, тем большее расстояние она преодолевает за тот же период времени. Если бы звуковая волна прошла расстояние 700 метров за 2 секунды, то скорость волны была бы 350 м/с. Более медленная волна покрыла бы меньшее расстояние — возможно, 660 метров — за тот же период времени в 2 секунды и, таким образом, имела бы скорость 330 м/с. Более быстрые волны покрывают большее расстояние за тот же период времени.

 

Факторы, влияющие на скорость волны

Скорость любой волны зависит от свойств среды, в которой распространяется волна.Обычно существует два основных типа свойств, влияющих на скорость волны: инерционные свойства и упругие свойства. Упругие свойства – это свойства, связанные с тенденцией материала сохранять свою форму и не деформироваться при воздействии на него силы или напряжения. Такой материал, как сталь, испытывает очень небольшую деформацию формы (и размеров) при воздействии на него напряжения. Сталь представляет собой жесткий материал с высокой эластичностью. С другой стороны, такой материал, как резиновая лента, очень гибкий; когда к резиновой ленте прикладывается усилие, она легко деформируется или меняет свою форму. Небольшое напряжение на резиновой ленте вызывает большую деформацию. Сталь считается жестким или жестким материалом, тогда как резиновая лента считается гибким материалом. На уровне частиц жесткий или жесткий материал характеризуется атомами и/или молекулами, сильно притягивающимися друг к другу. Когда сила прикладывается в попытке растянуть или деформировать материал, его сильные взаимодействия частиц предотвращают эту деформацию и помогают материалу сохранять свою форму. Считается, что жесткие материалы, такие как сталь, обладают высокой эластичностью.(Модуль упругости — это технический термин). Фаза вещества оказывает огромное влияние на упругие свойства среды. Как правило, твердые тела имеют самые сильные взаимодействия между частицами, за ними следуют жидкости, а затем газы. По этой причине продольные звуковые волны в твердых телах распространяются быстрее, чем в жидкостях, чем в газах. Несмотря на то, что фактор инерции может благоприятствовать газам, фактор упругости оказывает большее влияние на скорость ( против ) волны, что дает следующую общую картину:

v твердые вещества > v жидкости > v газы

Инерционные свойства — это свойства, связанные с тенденцией материала к вялотекущему изменению состояния его движения. Плотность среды является примером инерционного свойства . Чем больше инерция (т. е. плотность массы) отдельных частиц среды, тем менее чувствительными они будут к взаимодействиям между соседними частицами и тем медленнее будет волна. Как сказано выше, звуковые волны распространяются быстрее в твердых телах, чем в жидкостях, чем в газах. Однако в пределах одной фазы материи инерционное свойство плотности имеет тенденцию оказывать наибольшее влияние на скорость звука.Звуковая волна будет распространяться быстрее в менее плотном материале, чем в более плотном. Таким образом, звуковая волна будет распространяться в гелии почти в три раза быстрее, чем в воздухе. В основном это связано с меньшей массой частиц гелия по сравнению с частицами воздуха.

Скорость звука в воздухе

Скорость звуковой волны в воздухе зависит от свойств воздуха, в основном от температуры и в меньшей степени от влажности.Влажность – это результат присутствия водяного пара в воздухе. Как и любая жидкость, вода имеет свойство испаряться. При этом частицы газообразной воды смешиваются с воздухом. Эта дополнительная материя повлияет на массовую плотность воздуха (инерционное свойство). Температура будет влиять на силу взаимодействия частиц (упругое свойство). При нормальном атмосферном давлении температурная зависимость скорости звуковой волны через сухой воздух аппроксимируется следующим уравнением:

v = 331 м/с + (0.6 м/с/°C)•T

, где Т — температура воздуха в градусах Цельсия. Использование этого уравнения для определения скорости звуковой волны в воздухе при температуре 20 градусов Цельсия дает следующее решение.

v = 331 м/с + (0,6 м/с/Кл)•T

v = 331 м/с + (0,6 м/с/°С)•(20°С)

v = 331 м/с + 12 м/с

v = 343 м/с

(Приведенное выше уравнение, связывающее скорость звуковой волны в воздухе с температурой, дает достаточно точные значения скорости для температур от 0 до 100 градусов по Цельсию. Само уравнение не имеет никакой теоретической основы; это просто результат проверки данных о температуре и скорости для этого температурного диапазона. Существуют и другие уравнения, основанные на теоретических рассуждениях и дающие точные данные для всех температур. Тем не менее, вышеприведенного уравнения будет достаточно для того, чтобы мы могли его использовать в качестве изучающих физику.)

Посмотри!

Приведенный ниже виджет Скорость звука позволяет узнать скорость, с которой звуковые волны распространяются во многих различных материалах.Просто введите название материала. Например, ввести в заготовку воду, гелий, воздух, воздух при 45 град С (или любой другой материал и условия); затем нажмите кнопку Отправить .

Использование скорости волны для определения расстояний

При нормальном атмосферном давлении и температуре 20 градусов Цельсия звуковая волна будет распространяться со скоростью приблизительно 343 м/с; это примерно равно 750 милям в час. Хотя эта скорость может показаться высокой по человеческим меркам (самые быстрые люди могут бегать со скоростью примерно 11 м/с, а скорость на шоссе составляет примерно 30 м/с), скорость звуковой волны мала по сравнению со скоростью световой волны.Свет распространяется по воздуху со скоростью примерно 300 000 000 м/с; это почти в 900 000 раз больше скорости звука. По этой причине люди могут наблюдать заметную временную задержку между громом и молнией во время грозы. Приход световой волны от места удара молнии происходит за столь короткое время, что им можно пренебречь. Однако приход звуковой волны от места удара молнии происходит значительно позже. Временная задержка между приходом световой волны (молния) и приходом звуковой волны (гром) позволяет человеку приблизительно определить свое расстояние от места грозы.Например, если гром слышен через 3 секунды после того, как видна молния, то звук (скорость которого приблизительно равна 345 м/с) прошел расстояние

расстояние = v • t = 345 м/с • 3 с = 1035 м

Если это значение преобразовать в мили (разделить на 1600 м/1 милю), то гроза находится на расстоянии 0,65 мили.

Другим явлением, связанным с восприятием временных задержек между двумя событиями, является эхо. Человек часто может ощущать временную задержку между производством звука и появлением отражения этого звука от удаленного барьера.Если вы когда-либо издавали крик в каньоне, возможно, вы слышали эхо вашего крик от далекой стены каньона. Временная задержка между криком и эхом соответствует времени прохождения крика в оба конца до стены каньона и обратно. Измерение этого времени позволило бы человеку оценить расстояние до стены каньона в одну сторону. Например, если эхо слышно через 1,40 секунды после крика , то расстояние до стены каньона можно найти следующим образом:

расстояние = v • t = 345 м/с • 0.70 с = 242 м

Стена каньона находится в 242 метрах. Вы могли заметить, что в уравнении используется время 0,70 секунды. Поскольку временная задержка соответствует времени прохождения криком пути туда и обратно до стены каньона и обратно, расстояние до стены каньона в один конец соответствует половине временной задержки.

В то время как эхо имеет относительно небольшое значение для людей, эхолокация является важным ремесленным трюком для летучих мышей.Будучи ночными существами, летучие мыши должны использовать звуковые волны для навигации и охоты. Они производят короткие всплески ультразвуковых звуковых волн, которые отражаются от объектов в их окружении и возвращаются. Обнаружение ими временной задержки между отправкой и получением импульсов позволяет летучей мыши приблизительно определять расстояние до окружающих объектов. Некоторые летучие мыши, известные как доплеровские летучие мыши, способны определять скорость и направление любых движущихся объектов, отслеживая изменения частоты отраженных импульсов.Эти летучие мыши используют физику эффекта Доплера, обсуждавшуюся в предыдущем разделе (а также которая будет обсуждаться позже в Уроке 3). Этот метод эхолокации позволяет летучей мыши ориентироваться и охотиться.


Новый взгляд на волновое уравнение

Как и любая волна, звуковая волна имеет скорость, которая математически связана с частотой и длиной волны. Как обсуждалось в предыдущем разделе, математическая связь между скоростью, частотой и длиной волны задается следующим уравнением.

Скорость = Длина волны • Частота

Используя символы v , λ и f , уравнение можно переписать как

v = f • λ

Приведенное выше уравнение полезно для решения математических задач, связанных со скоростью, частотой и длиной волны. Тем не менее, одно важное заблуждение может быть передано уравнением. Несмотря на то, что скорость волны рассчитывается с использованием частоты и длины волны, скорость волны составляет , а не , в зависимости от этих величин.Изменение длины волны не влияет (то есть не изменяет) скорость волны. Скорее, изменение длины волны влияет на частоту обратным образом. Удвоение длины волны приводит к уменьшению вдвое частоты; но скорость волны не изменилась. Скорость звуковой волны зависит от свойств среды, в которой она движется, и единственный способ изменить скорость — изменить свойства среды.

 

 

 

Проверьте свое понимание

1.Камера с автоматической фокусировкой может фокусироваться на объектах с помощью ультразвуковой звуковой волны. Камера посылает звуковые волны, которые отражаются от удаленных объектов и возвращаются в камеру. Датчик определяет время, необходимое для возвращения волн, а затем определяет расстояние, на котором объект находится от камеры. Если звуковая волна (скорость = 340 м/с) возвращается в камеру через 0,150 секунды после выхода из камеры, на каком расстоянии находится объект?


 

2.В жаркий летний день надоедливый маленький комар издал предупреждающий звук возле вашего уха. Звук издается взмахами его крыльев со скоростью около 600 взмахов крыльев в секунду.

а. Какова частота звуковой волны в герцах?

б. Если предположить, что звуковая волна движется со скоростью 350 м/с, какова длина волны?

 

3. Удвоение частоты источника волн удваивает скорость волн.

 

 

4. При игре на фортепианной клавиатуре в середине C воспроизводится звук с частотой 256 Гц. Принимая скорость звука в воздухе равной 345 м/с, определите длину волны звука, соответствующую средней ноте до.

 


5. Большинство людей могут различать частоты до 20 000 Гц.Принимая скорость звука в воздухе равной 345 м/с, определите длину волны звука, соответствующую этому верхнему диапазону слышимости.

 

 

6. Слон производит звуковую волну частотой 10 Гц. Приняв скорость звука в воздухе равной 345 м/с, определите длину волны этой инфразвуковой звуковой волны.


 

7.Определите скорость звука в холодный зимний день (Т=3 градуса С).

 


8. Майлз Туго разбил лагерь в Национальном парке Глейшер. Посреди ледникового каньона он издает громкий крик. Через 1,22 секунды он слышит эхо. Температура воздуха 20 градусов С. Как далеко стены каньона?


 

9.Две звуковые волны проходят через сосуд с неизвестным газом. Волна А имеет длину волны 1,2 м. Волна B имеет длину волны 3,6 м. Скорость волны B должна быть __________ скорости волны A.

а. одна девятая

б. одна треть

в. то же, что

д. в три раза больше, чем

 


10.Две звуковые волны проходят через сосуд с неизвестным газом. Волна А имеет длину волны 1,2 м. Волна B имеет длину волны 3,6 м. Частота волны B должна быть __________ частоты волны A.

а. одна девятая

б. одна треть

в. то же, что

д. в три раза больше, чем

 

 

Движение в 2-х и 3-х измерениях

Движение в 2-х и 3-х измерениях

Движение в 2-х и 3-х измерениях

Рассмотрим определения скорости и ускорения с помощью две проблемы.

Проблема:

Предположим, что вектор-функция положения частицы задается выражением р (т) = x(t) i + y(t) j  
где x(t) = at + b и y(t) = ct 2 + d, где a = 1 м/с, b = 1 м, c = 0,125 м/с 2 и d = 1 м.
(a) Рассчитайте среднюю скорость в течение интервала времени от t = 2 с до t = 4 с.
б) Определить скорость и скорость в момент времени t = 2 с.

Решение:

  • Рассуждение:
    Определение мгновенной скорости: v = ∆ r /∆t.
    Определение мгновенной скорости: v = lim ∆t -> 0 r /∆t = d r /dt.
  • Детали расчета:
    (а) Положение частицы дано нам как функция времени. При t = 2 с положение частицы
    r (2 с) = [(1 м/с)(2 с) + 1 м] i   + [(0,125 м/с 2 )(4 с 2 ) + 1 м] j = 3 м i + 1.5 м и .

    В момент t = 4 с его положение равно
    r (4 с) = [(1 м/с)(4 с) + 1 м] i + [(0,125 м/с 2 )(16 с 2 ) + 1 м] j = 5 м i + 3 м j .

    Средняя скорость частицы между 2 и 4 секундами составляет r (2 с))/(2 с),
    v = [(5 м — 3 м) i + (3 м — 1,5 м) j ]/(2 с) = (1 м/с) и + (0.75 м/с) j .

    (b) Мгновенная скорость частицы равна и + 2ct j .
    Просмотрите деривативы, если вы не понимаю этого.

    При t = 2 с мгновенная скорость равна v (2с) = (1 м/с) i + (0,5 м/с) j .
    Скорость через 2 секунды v = (v x 2 + v y 2 ) ½ = (1 + 0.25) ½ м/с = 1,12 м/с.

Проблема:

Координаты объекта, движущегося в плоскости xy, изменяются со временем в соответствии с к уравнениям
x = (-5 м) sin(t) и y = (4 м) — (5 м) cos(t), где t в секундах.
а) Определить компоненты скорости и компоненты ускорения при t = 0.
(b) Напишите выражения для вектора положения, вектора скорости и вектор ускорения в любой момент времени t > 0.
(c) Опишите путь объекта на xy-графике.

Решение:

  • Рассуждение:
    Мы используем v = d r /dt, a = d v /dt.
  • Детали расчета:
    (a) Заданы x- и y-компоненты вектора положения объекта как функция времени.
    Имеем v x = dx/dt = (-5 м/с) cos(t), v y = dy/dt = (5 м/с) грех (т).
    При t = 0 имеем v = (-5 м/с) i .

    Дифференцируя вектор скорости по времени, находим
    a x = dv x /dt = (5 м/с 2 ) sin(t), a y = dv y /dt = (5 м/с 2 ) cos(t).
    При t = 0 имеем a = (5 м/с 2 ) j .
    (б)   v = (-5 м/с) cos(t) i + (5 м/с) sin(t) j , а = (5 м/с 2 ) sin(t) i + (5 м/с 2 ) cos(t) j .
    (c) Для составления приведенной ниже таблицы можно использовать электронную таблицу.

    т(с) х(т) (м) г(т) (м)
    0 0 -1
    0,1 -0,49917 -0,97502
    0,2 -0,99335 -0,
    0.3 -1,4776 -0,77668
    0,4 -1,94709 -0,6053
    0,5 -2,39713 -0,38791
    0,6 -2,82321 -0,12668
    0,7 -3. 22109 0.175789
    0,8 -3,58678 0,516466
    0,9 -3, 0,89195
    1 -4.20735 1.298488
    1.1 -4.45604 1.732019

    Теперь мы можем использовать электронную таблицу для создания графика [тип диаграммы XY (разброс) в Microsoft Excel] пути объекта, отобразив y(t) как функция x(t). Путь представляет собой круг. Центр этой окружности лежит на ось y при x = 0, y = 4 м.


    При t = 0 частица находится в точке x = 0, y = -1m. Его вектор скорости равен указывая в отрицательном x-направлении. Частица движется по часовой стрелке в круг.


Теперь рассмотрим трехмерное движение с постоянным ускорением.

Пусть a = a x i + a y j + a z k = (a x , a y , a z ) = константа. С есть константа, компоненты a x , a y и a z равны постоянна, а среднее ускорение равно мгновенному ускорение.
Предположим, что в момент t = 0 частица находится в положении r 0 = x 0 i + y 0 j + z 0 k и имеет скорость v 0 = v 0x i + v 0y j + v 0z k . В момент времени t, т.е. за промежуток времени ∆t = t его скорость изменилась на величину ∆ v = a ∆t = a t.Мы можем переписать это в терминах компоненты как

∆v x i + ∆v y j + ∆v z k = a x t i + a y t j + a z t k .

Подобное векторное уравнение эквивалентно набору из трех уравнений, одно для каждый компонент вектора в трех измерениях.

∆v х = a x ∆t,  ∆v y = a y ∆t,   ∆v z = а z ∆t.

Компонент x ускорения изменяет только компонент x скорости, y-компонента ускорения изменяет только y-компоненту скорость и т.д. 
Скорость как функция времени равна

v x = v 0x + ∆v x = v 0x + a x ∆t,
v y = v 0y + a y ∆t,
v z = v 0z ∆t + a z ∆t,
или против = в 0 + a ∆t.

Примечание: Если направления v 0 и отличаются, направление и отличается от направления v 0 .

При постоянном ускорении движения вдоль перпендикулярных осей декартовой системы координат независимы и могут быть анализируются отдельно.
Положение частицы в момент времени t определяется как

x = x 0 + v 0x ∆t + ½a x ∆t 2 ,
y = y 0 + v 0y ∆t + ½a y ∆t 2 ,
z = z 0 + v 0z ∆t + ½a z ∆t 2 ,
или   r = r 0 + v 0 ∆t + ½ a ∆t 2 .

Примечание: Направления р 0 , в 0 , a и r могут быть разными. Если a является константой, тогда x, y и z-координируются как функция времени можно найти самостоятельно.

Проблема:

При t = 0 частица, движущаяся в плоскости xy с постоянным ускорением, имеет скорость v 0 = (3 i — 2 j ) м/с в начале координат.В т = 3 с, скорость частицы v = (9 i + 7 j ) м/с. Найти
(а) ускорение частицы и
(b) координаты в любое время.

Решение:

  • Рассуждение:
    Для движения с постоянным ускорением имеем
    v = в 0 + а ∆t, r = r 0 + v 0 ∆t + ½ a ∆t 2 .
  • Детали расчета:
    (а) Нам говорят, что частица движется с постоянным ускорением, и мы задан вектор его скорости при t = 0 и t = 3 с.
    a = ∆ v / ∆t = ( v (3 с) — v 0 )/(3 с) = (9 м/с — 3 м/с) i /(3 с) + (7 м/с + 2 м/с) j /(3 с).
    a
    = (2 м/с 2 ) i + (3 м/с 2 ) j .

    (b)  При t = 0 частица находится в начале координат, r 0 = 0. Следовательно, r = v 0 t + ½ a t 2 является его положение в момент времени t.
    r = [(3 м/с)t + (1 м/с 2 )t 2 ] i + [(-2 м/с)t + (1,5 м/с 2 )t 2 ] j .
    x(t) = (3 м/с)t + (1 м/с 2 )t 2 , y(t) = (-2 м/с)t + (1,5 м/с 2 ) т 2 .

Проблема:

Частица, первоначально находившаяся в начале координат, ускорение a = 3 j м/с 2 и начальная скорость v 0 = 5 i м/с.
(a) Найдите положение и скорость вектора в любой момент времени t.
(б) Координаты и скорость частицы в момент времени t = 2 с.

Решение:

История электромобиля

Электромобили, представленные более 100 лет назад, сегодня переживают рост популярности по многим из тех же причин, по которым они были популярны в начале.

Будь то гибрид, подключаемый гибрид или полностью электрический, спрос на автомобили с электроприводом будет продолжать расти, поскольку цены падают, а потребители ищут способы сэкономить деньги на заправке. Согласно отчету Navigant Research, к 2020 году во всем мире продажи электромобилей составляют более 3% продаж новых автомобилей и могут вырасти почти до 7%, или 6,6 млн в год.

В связи с растущим интересом к электромобилям мы смотрим, где эта технология была и куда она движется.Отправляйтесь вместе с нами в прошлое, исследуя историю электромобилей.

Рождение электромобиля

Трудно связать изобретение электромобиля с одним изобретателем или страной. Вместо этого это была серия прорывов — от батареи до электродвигателя — в 1800-х годах, которые привели к появлению первого электромобиля на дороге.

В начале века новаторы в Венгрии, Нидерландах и США, в том числе кузнец из Вермонта, начали экспериментировать с концепцией автомобиля с батарейным питанием и создали одни из первых небольших электрических легковые автомобили.И хотя Роберт Андерсон, британский изобретатель, примерно в это же время разработал первую грубую электрическую тележку, только во второй половине 19 века французские и английские изобретатели создали одни из первых практических электромобилей.

Здесь, в США, первый успешный электромобиль дебютировал примерно в 1890 году благодаря Уильяму Моррисону, химику, который жил в Де-Мойне, штат Айова. Его автомобиль с шестью пассажирами, способный развивать максимальную скорость 14 миль в час, был немногим больше, чем электрифицированный фургон, но это помогло пробудить интерес к электромобилям.

В течение следующих нескольких лет электромобили от разных автопроизводителей начали появляться в США. Парк Нью-Йорка даже насчитывал более 60 электрических такси. К 1900 году электромобили достигли своего расцвета, составляя около трети всех транспортных средств на дорогах. В течение следующих 10 лет они продолжали показывать высокие продажи.

Ранний взлет и падение электромобиля

Чтобы понять популярность электромобилей в 1900 году, также важно понять развитие личного автомобиля и другие доступные варианты.На рубеже 20-го века лошадь все еще была основным средством передвижения. Но по мере того, как американцы становились более зажиточными, они обращались к недавно изобретенному автомобилю — доступному в паровой, бензиновой или электрической версиях — чтобы передвигаться.

Пар был проверенным и надежным источником энергии, доказавшим свою надежность для питания заводов и поездов. Некоторые из первых самоходных транспортных средств в конце 1700-х годов полагались на пар; тем не менее, только в 1870-х технология прижилась в автомобилях.Частично это связано с тем, что пар не очень удобен для личного транспорта. Паровым транспортным средствам требовалось длительное время запуска — иногда до 45 минут на морозе — и их нужно было доливать водой, что ограничивало их радиус действия.

С появлением на рынке электромобилей появился новый тип транспортных средств — автомобиль с бензиновым двигателем — благодаря усовершенствованию двигателя внутреннего сгорания в 1800-х годах. Хотя бензиновые автомобили были многообещающими, они не обошлись без недостатков. Для их вождения требовалось много ручных усилий — переключение передач было непростой задачей, и их нужно было запускать с помощью рукоятки, что затрудняло работу с ними для некоторых.Они также были шумными, и их выхлоп был неприятным.

У электромобилей не было проблем, связанных с паром или бензином. Они были тихими, легкими в управлении и не выделяли вонючих загрязняющих веществ, как другие автомобили того времени. Электромобили быстро стали популярны среди городских жителей, особенно среди женщин. Они идеально подходили для коротких поездок по городу, а плохие дорожные условия за пределами города означали, что немногие автомобили любого типа могли отправиться дальше. По мере того, как все больше людей получали доступ к электричеству в 1910-х годах, стало легче заряжать электромобили, что повышало их популярность во всех сферах жизни (включая некоторых из «самых известных и выдающихся производителей бензиновых автомобилей», таких как New York Times 1911 года). указана статья ).

Многие новаторы того времени обратили внимание на высокий спрос на электромобили, изучая способы улучшения технологии. Например, Фердинанд Порше, основатель одноименной компании по производству спортивных автомобилей, в 1898 году разработал электромобиль под названием P1. Примерно в то же время он создал первый в мире гибридный электромобиль — автомобиль, работающий на электричестве и газовый двигатель. Томас Эдисон, один из самых плодовитых изобретателей в мире, считал электромобили превосходной технологией и работал над созданием лучшей аккумуляторной батареи для электромобилей.Согласно Wired , даже Генри Форд, друживший с Эдисоном, сотрудничал с Эдисоном в 1914 году, чтобы изучить варианты недорогого электромобиля.

Тем не менее, удар по электромобилю нанесла серийная модель Генри Форда «Т». Представленная в 1908 году модель T сделала автомобили с бензиновым двигателем широко доступными и доступными. К 1912 году бензиновый автомобиль стоил всего 650 долларов, а электрический родстер стоил 1750 долларов. В том же году Чарльз Кеттеринг представил электрический стартер, устранив необходимость в ручном приводе и увеличив продажи автомобилей с бензиновым двигателем.

Другие разработки также способствовали упадку электромобилей. К 1920-м годам в США была улучшенная система дорог, соединяющих города, и американцы хотели выйти и исследовать. С открытием месторождений сырой нефти в Техасе газ стал дешевым и легкодоступным для жителей сельских районов Америки, и по всей стране начали появляться заправочные станции. Для сравнения, в то время у очень немногих американцев за пределами городов было электричество. В конце концов, к 1935 году электромобили практически исчезли.

Нехватка бензина вызывает интерес к электромобилям

В течение следующих 30 лет электромобили вступили в своего рода темные века с небольшим развитием технологий. Дешевый бензин в изобилии и постоянное совершенствование двигателя внутреннего сгорания препятствовали спросу на автомобили, работающие на альтернативном топливе.

Перенесемся в конец 1960-х и начало 1970-х годов. Стремительный рост цен на нефть и дефицит бензина, достигший своего пика в 1973 году, когда было введено арабское нефтяное эмбарго, вызвали растущий интерес к снижению курса доллара США.Зависимость С. от иностранной нефти и поиск доморощенных источников топлива. Конгресс принял это к сведению и принял Закон об исследованиях, разработках и демонстрациях электрических и гибридных транспортных средств 1976 года, разрешающий Министерству энергетики поддерживать исследования и разработки в области электрических и гибридных транспортных средств.

Примерно в это же время многие крупные и мелкие автопроизводители начали изучать варианты автомобилей на альтернативном топливе, включая электромобили. Например, General Motors разработала прототип городского электромобиля, который был представлен на Первом симпозиуме Агентства по охране окружающей среды по разработке энергосистем с низким уровнем загрязнения в 1973 году, а American Motor Company произвела электрические джипы для доставки, которые Почтовая служба США использовала в Программа испытаний 1975 года. Даже НАСА помогло поднять популярность электромобилей, когда их электрический луноход стал первым пилотируемым транспортным средством, совершившим поездку по Луне в 1971 году. . Электромобили в то время имели ограниченную производительность — обычно достигали скорости 45 миль в час — и их типичный диапазон был ограничен 40 милями, прежде чем их нужно было перезарядить.

Забота об окружающей среде продвигает электромобили вперед

Снова перенесемся вперед — на этот раз в 1990-е годы.За 20 лет, прошедших после длинных газовых магистралей 1970-х годов, интерес к электромобилям в основном угас. Но новые федеральные и государственные правила начинают все менять. Принятие поправок к Закону о чистом воздухе 1990 г. и Закону об энергетической политике 1992 г., а также новые правила транспортных выбросов, изданные Калифорнийским советом по воздушным ресурсам, способствовали возрождению интереса к электромобилям в США. модифицируя некоторые из своих популярных моделей автомобилей в электромобили. Это означало, что электромобили теперь достигли скорости и производительности, намного более близких к автомобилям с бензиновым двигателем, и многие из них имели запас хода в 60 миль.

Одним из самых известных электромобилей того времени был EV1 компании GM, автомобиль, широко показанный в документальном фильме 2006 года «Кто убил электромобиль?». Вместо того, чтобы модифицировать существующий автомобиль, GM спроектировала и разработала EV1 с нуля. Благодаря запасу хода в 80 миль и способности разгоняться от 0 до 50 миль в час всего за семь секунд, EV1 быстро завоевал культ поклонников.Но из-за высоких производственных затрат EV1 никогда не был коммерчески выгодным, и GM прекратила его выпуск в 2001 году. экономичные автомобили. Несмотря на то, что в то время не было особого внимания общественности к электромобилям, за кулисами ученые и инженеры при поддержке Министерства энергетики работали над улучшением технологии электромобилей, включая аккумуляторы.

Новое начало для электромобилей

Хотя все взлеты и падения индустрии электромобилей во второй половине 20-го века помогли показать миру перспективность технологии, настоящего возрождения электромобилей не произошло примерно до начала 21 века. В зависимости от того, кого вы спросите, это было одно из двух событий, вызвавших интерес, который мы наблюдаем сегодня к электромобилям.

Первым поворотным моментом, по мнению многих, стало появление Toyota Prius.Выпущенный в Японии в 1997 году Prius стал первым в мире массовым гибридным электромобилем. В 2000 году Prius был выпущен во всем мире и сразу же стал пользоваться успехом у знаменитостей, что помогло поднять авторитет автомобиля. Чтобы сделать Prius реальностью, Toyota использовала никель-металлгидридную батарею — технологию, которая была подтверждена исследованиями Министерства энергетики. С тех пор рост цен на бензин и растущая обеспокоенность по поводу загрязнения окружающей среды углекислым газом помогли сделать Prius самым продаваемым гибридом в мире за последнее десятилетие.

(Историческое примечание: до того, как Prius мог быть представлен в США, Honda выпустила гибрид Insight в 1999 году, что сделало его первым гибридом, продаваемым в США с начала 1900-х годов. )

Другим событием, которое помогло изменить форму электромобилей, стало объявление в 2006 году о том, что небольшой стартап из Силиконовой долины, Tesla Motors, начнет производство роскошного электрического спортивного автомобиля, который может проехать более 200 миль без подзарядки. В 2010 году Tesla получила ссуду в размере 465 миллионов долларов от Управления кредитных программ Министерства энергетики — ссуду, которую Tesla погасила на целых девять лет раньше — для создания производственного предприятия в Калифорнии.За короткое время с тех пор Tesla завоевала широкую известность благодаря своим автомобилям и стала крупнейшим работодателем в автомобильной промышленности Калифорнии.

Объявление Tesla и последующий успех побудили многих крупных автопроизводителей ускорить работу над собственными электромобилями. В конце 2010 года на рынок США были выпущены Chevy Volt и Nissan LEAF. Первый коммерчески доступный подключаемый гибрид, Volt имеет бензиновый двигатель, который дополняет его электрический привод, когда батарея разряжена, что позволяет потребителям ездить на электричестве в большинстве поездок и на бензине, чтобы увеличить запас хода автомобиля. Для сравнения, LEAF — это полностью электрический автомобиль (часто называемый аккумуляторным электромобилем, электромобилем или просто электромобилем для краткости), то есть он приводится в действие только электродвигателем.

В течение следующих нескольких лет другие автопроизводители начали выпускать электромобили в США; тем не менее, потребители по-прежнему сталкивались с одной из первых проблем электромобилей — где заряжать свои автомобили на ходу. В соответствии с Законом о восстановлении Министерство энергетики инвестировало более 115 миллионов долларов в создание общенациональной зарядной инфраструктуры, установив более 18 000 бытовых, коммерческих и общественных зарядных устройств по всей стране.Автопроизводители и другие частные предприятия также установили свои собственные зарядные устройства в ключевых местах в США, в результате чего на сегодняшний день общее количество общественных зарядных устройств для электромобилей установлено в более чем 8000 различных мест с более чем 20 000 зарядных точек.

В то же время новая аккумуляторная технология, поддерживаемая Управлением транспортных технологий Министерства энергетики, начала появляться на рынке, помогая увеличить запас хода электромобиля с подключаемым модулем. В дополнение к аккумуляторной технологии почти во всех гибридах первого поколения исследования Департамента также помогли разработать технологию литий-ионных аккумуляторов, используемых в Volt.Совсем недавно инвестиции Департамента в исследования и разработки аккумуляторов помогли сократить расходы на аккумуляторы для электромобилей на 50 процентов за последние четыре года, одновременно улучшив производительность автомобильных аккумуляторов (имеется в виду их мощность, энергия и долговечность). Это, в свою очередь, помогло снизить стоимость электромобилей, сделав их более доступными для потребителей.

Теперь у потребителей больше возможностей выбора, чем когда-либо, когда дело доходит до покупки электромобиля. На сегодняшний день доступно 23 подключаемых электрических и 36 гибридных моделей различных размеров — от двухместного Smart ED до среднеразмерного Ford C-Max Energi и роскошного внедорожника BMW i3. Поскольку цены на бензин продолжают расти, а цены на электромобили продолжают падать, электромобили становятся все более популярными — сегодня в США на дорогах более 234 000 подключаемых электромобилей и 3,3 миллиона гибридов.

Будущее электромобилей

Трудно сказать, куда приведут электромобили в будущем, но очевидно, что они обладают большим потенциалом для создания более устойчивого будущего. Если бы мы перевели все легковые автомобили в США.к гибридам или подключаемым электромобилям, используя наш текущий набор технологий, мы могли бы уменьшить нашу зависимость от иностранной нефти на 30-60 процентов, снизив при этом выбросы углекислого газа в транспортном секторе на целых 20 процентов.

Чтобы добиться сокращения выбросов, в 2012 году президент Обама запустил инициативу EV Everywhere Grand Challenge — инициативу Министерства энергетики, которая объединяет лучших и самых ярких ученых, инженеров и представителей бизнеса Америки, чтобы сделать электромобили с подключаемыми модулями более доступными, чем современный бензин. автомобилей с двигателем к 2022 году.Что касается батарей, то Объединенный центр исследований в области накопления энергии в Аргоннской национальной лаборатории Департамента работает над преодолением самых больших научных и технических барьеров, мешающих крупномасштабным улучшениям батарей.

А Управление перспективных исследовательских проектов Департамента энергетики (ARPA-E) продвигает революционные технологии, которые могут изменить наше представление об электромобилях. От инвестиций в новые типы аккумуляторов, которые могут работать дальше без подзарядки, до экономически эффективных альтернатив материалам, критически важным для электродвигателей, проекты ARPA-E могут трансформировать электромобили.

В конце концов, только время покажет, какие дорожные электромобили примут в будущем.

Какая разница?

  • Гибридный электромобиль (сокращенно HEV) — это транспортное средство без возможности подключения к сети, но с системой электрического привода и аккумуляторной батареей. Его движущая энергия исходит только от жидкого топлива. Узнайте об истории гибрида — от первого в мире до самого продаваемого в мире.
  • Подключаемый гибридный электромобиль (также называемый PHEV) — это транспортное средство с возможностью подзарядки, которое может использовать для движения энергию либо от аккумулятора, либо от жидкого топлива.Узнайте о первом коммерчески доступном подключаемом гибриде.
  • Полностью электрическое транспортное средство (часто называемое аккумуляторно-электрическим транспортным средством, электромобилем или сокращенно EV или AEV) — это транспортное средство, которое получает энергию для движения полностью от своей батареи, и для подзарядки его необходимо подключить к сети. . Исследуйте эволюцию электромобиля, охватывая все, от его ранней популярности до средневековья и его возрождения сегодня.
  • Подключаемый электромобиль (или PEV) — это любое транспортное средство, которое можно подзаряжать от сети (подключаемый гибрид или полностью электрический автомобиль). Узнайте, как электромобили с подключаемым модулем могут помочь нам создать более устойчивое будущее.

3.3 Среднее и мгновенное ускорение – University Physics Volume 1

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Вычислите среднее ускорение между двумя моментами времени.
  • Рассчитайте мгновенное ускорение, учитывая функциональную форму скорости.
  • Объясните векторную природу мгновенного ускорения и скорости.
  • Объясните разницу между средним ускорением и мгновенным ускорением.
  • Найдите мгновенное ускорение в указанное время на графике зависимости скорости от времени.

Важность понимания ускорения охватывает наш повседневный опыт, а также обширные пространства космического пространства и крошечный мир субатомной физики. В повседневном разговоре ускорить означает ускорить; при нажатии на педаль тормоза автомобиль замедляется.Например, мы знакомы с ускорением нашего автомобиля. Чем больше ускорение, тем больше изменение скорости за данное время. Ускорение широко используется в экспериментальной физике. Например, в экспериментах на линейных ускорителях субатомные частицы разгоняются до очень высоких скоростей в экспериментах по столкновению, которые сообщают нам информацию о структуре субатомного мира, а также о происхождении Вселенной. В космосе космические лучи — это субатомные частицы, которые были ускорены до очень высоких энергий в сверхновых (взрывах массивных звезд) и активных ядрах галактик.Важно понимать процессы, которые ускоряют космические лучи, потому что эти лучи содержат сильно проникающее излучение, которое может повредить электронику, например, на космическом корабле.

Среднее ускорение

Формальное определение ускорения согласуется с только что описанными понятиями, но является более всеобъемлющим.

Среднее ускорение

Среднее ускорение — скорость изменения скорости:

[латекс]\overset{\text{–}}{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{{v}_{\text{f}}-{v}_{ 0}}{{t}_{\text{f}}-{t}_{0}},[/латекс]

, где [латекс]\overset{\text{−}}{a}[/латекс] — среднее ускорение, v — скорость, t — время. (Полоса над и означает среднее ускорение .)

Поскольку ускорение представляет собой скорость в метрах, деленную на время в секундах, единицы измерения ускорения в системе СИ часто обозначаются аббревиатурой м/с 2 , то есть метры в секунду в квадрате или метры в секунду в секунду. Это буквально означает, на сколько метров в секунду скорость изменяется каждую секунду. Напомним, что скорость — это вектор — она имеет как величину, так и направление — это означает, что изменение скорости может быть изменением величины (или скорости), но также может быть и изменением направления.Например, если бегун, движущийся со скоростью 10 км/ч строго на восток, замедляется до остановки, меняет направление и продолжает свой бег со скоростью 10 км/ч строго на запад, его скорость изменилась в результате изменения направления, хотя магнитуда скорости одинакова в обоих направлениях. Таким образом, ускорение возникает, когда скорость изменяется по величине (увеличение или уменьшение скорости) или по направлению, или по тому и другому.

Ускорение как вектор

Ускорение — это вектор в том же направлении, что и изменение скорости, [латекс]\Delta v[/латекс].Поскольку скорость является вектором, она может изменяться по величине или по направлению, или по обоим направлениям. Таким образом, ускорение — это изменение скорости или направления, или и того, и другого.

Имейте в виду, что хотя ускорение происходит в направлении изменения скорости, оно не всегда совпадает с направлением движения. Когда объект замедляется, его ускорение противоположно направлению его движения. Хотя это обычно называют замедлением Рисунок, мы говорим, что поезд ускоряется в направлении, противоположном направлению его движения.

Рис. 3.10 Поезд метро в Сан-Паулу, Бразилия, замедляет скорость, приближаясь к станции. Он ускоряется в направлении, противоположном направлению его движения. (кредит: Юсуке Кавасаки)

Термин замедление может вызвать путаницу в нашем анализе, поскольку он не является вектором и не указывает на определенное направление относительно системы координат, поэтому мы его не используем. Ускорение — это вектор, поэтому мы должны выбрать для него соответствующий знак в выбранной нами системе координат.В случае поезда на рисунке ускорение составляет в отрицательном направлении в выбранной системе координат , поэтому мы говорим, что поезд испытывает отрицательное ускорение.

Если объект в движении имеет скорость в положительном направлении по отношению к выбранному началу координат и приобретает постоянное отрицательное ускорение, объект в конце концов приходит в состояние покоя и меняет направление. Если мы подождем достаточно долго, объект пройдет через начало координат в противоположном направлении. Это показано на рисунке.

Рисунок 3.11 Объект, движущийся с вектором скорости на восток с отрицательным ускорением, останавливается и меняет направление. Он проходит начало координат, двигаясь в противоположном направлении через достаточно долгое время.

Пример

Расчет среднего ускорения: скаковая лошадь покидает ворота

Скаковая лошадь, выходящая из ворот, разгоняется из состояния покоя до скорости 15,0 м/с строго на запад за 1,80 с. Каково его среднее ускорение?

Рис. 3.12 Скаковые лошади разгоняются за воротами. (кредит: Джон Салливан)
Стратегия

Сначала рисуем эскиз и присваиваем проблеме систему координат Рисунок. Это простая задача, но визуализировать ее всегда полезно. Обратите внимание, что мы назначаем восток как положительный, а запад как отрицательный. Таким образом, в этом случае мы имеем отрицательную скорость.

Рисунок 3.13 Определите систему координат, предоставленную информацию и то, что вы хотите определить.

Мы можем решить эту проблему, определив [латекс]\Delta v\,\text{и}\,\Delta t[/латекс] из данной информации, а затем рассчитав среднее ускорение непосредственно из уравнения [латекс]\overset {\ text {–}} {a} = \ frac {\ Delta v} {\ Delta t} = \ frac {{v} _ {\ text {f}} — {v} _ {0}} {{t }_{\text{f}}-{t}_{0}}[/латекс].

 

Решение

Сначала определите известные: [латекс]{v}_{0}=0,{v}_{\text{f}}=-15,0\,\text{м/с}[/латекс] (отрицательное знак указывает направление на запад), Δ t = 1,80 с.

Во-вторых, найдите изменение скорости. Поскольку лошадь движется от нуля до –15,0 м/с, изменение ее скорости равно ее конечной скорости:

[латекс]\Delta v={v}_{\text{f}}-{v}_{0}={v}_{\text{f}}=-15,0\,\text{м/с }.[/латекс]

Наконец, подставьте известные значения ([латекс]\Delta v\,\text{and}\,\Delta t[/latex]) и найдите неизвестное [латекс]\overset{\text{–}}{a }[/латекс]:

[латекс]\overset{\text{–}}{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{-15.{2}.[/латекс]

Значение

Отрицательный знак ускорения указывает на то, что ускорение направлено на запад. Ускорение 8,33 м/с 2 строго на запад означает, что лошадь увеличивает свою скорость на 8,33 м/с строго на запад каждую секунду; то есть 8,33 метра в секунду за секунду, что мы запишем как 8,33 м/с 2 . Это действительно среднее ускорение, потому что езда не плавная. Позже мы увидим, что ускорение такой величины потребовало бы от всадника удержания силы, почти равной его весу. {2}.[/латекс]

Мгновенное ускорение

Мгновенное ускорение a или ускорение в определенный момент времени получается с использованием того же процесса, что и для мгновенной скорости. То есть мы вычисляем среднюю скорость между двумя моментами времени, разделенными [латекс]\Delta t[/латекс], и приближаем [латекс]\Дельта t[/латекс] к нулю. Результатом является производная функции скорости v ( t ), которая равна мгновенному ускорению и математически выражается как

[латекс]a(t)=\frac{d}{dt}v(t).[/латекс]

Таким образом, аналогично тому, как скорость является производной функции положения, мгновенное ускорение является производной функции скорости. Мы можем показать это графически так же, как мгновенную скорость. На рисунке мгновенное ускорение в момент времени t 0 представляет собой наклон касательной к графику зависимости скорости от времени в момент времени t 0 . Мы видим, что среднее ускорение [latex]\overset{\text{–}}{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}[/latex] приближается к мгновенному ускорению как [latex]\Delta t[/latex ] приближается к нулю.Также в части (а) рисунка мы видим, что скорость имеет максимум, когда ее наклон равен нулю. Это время соответствует нулю функции ускорения. В части (b) показано мгновенное ускорение при минимальной скорости, которая также равна нулю, так как наклон кривой и там равен нулю. Таким образом, для данной функции скорости нули функции ускорения дают либо минимальную, либо максимальную скорость.

Рисунок 3.14 На графике зависимости скорости от времени мгновенное ускорение представляет собой наклон касательной.(a) Показано среднее ускорение [латекс]\overset{\text{–}}{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{{v}_{\text{f}} -{v}_{i}}{{t}_{\text{f}}-{t}_{i}}[/latex] между временами [latex]\Delta t={t}_{6} -{t}_{1},\Delta t={t}_{5}-{t}_{2}[/latex] и [латекс]\Delta t={t}_{4}-{ т}_{3}[/латекс]. Когда [latex]\Delta t\to 0[/latex], среднее ускорение приближается к мгновенному ускорению в момент времени t0. На виде (а) показано мгновенное ускорение для точки на кривой скорости при максимальной скорости. В этой точке мгновенное ускорение представляет собой наклон касательной, который равен нулю.В любой другой момент времени наклон касательной и, следовательно, мгновенное ускорение не были бы равны нулю. (b) То же, что и (a), но показано для мгновенного ускорения при минимальной скорости.

Чтобы проиллюстрировать эту концепцию, давайте рассмотрим два примера. Во-первых, показан простой пример с использованием рисунка (b), графика зависимости скорости от времени на рисунке, для графического определения ускорения. Этот график изображен на рисунке (а) в виде прямой линии. Соответствующий график зависимости ускорения от времени находится по наклону скорости и показан на рисунке (b).В этом примере функция скорости представляет собой прямую линию с постоянным наклоном, поэтому ускорение является постоянным. В следующем примере функция скорости имеет более сложную функциональную зависимость от времени.

Рисунок 3.15 (a, b) График зависимости скорости от времени является линейным и имеет отрицательный постоянный наклон (a), равный ускорению, показанному на (b).

Если мы знаем функциональную форму скорости, v ( t ), мы можем вычислить мгновенное ускорение a ( t ) в любой момент времени в движении, используя рис.{2}\,\text{м/с}[/латекс].

  1. Найдите функциональную форму ускорения.
  2. Найти мгновенную скорость в точке t = 1, 2, 3 и 5 с.
  3. Найти мгновенное ускорение в точке т = 1, 2, 3 и 5 с.
  4. Интерпретируйте результаты (c) с точки зрения направлений векторов ускорения и скорости.
Стратегия

Найдем функциональную форму ускорения, взяв производную от функции скорости.{2}[/латекс]

  • В t = 1 с скорость [латекс]v(1\,\text{s)}=15\,\text{м/с}[/latex] положительна, а ускорение положительно, поэтому и скорость, и ускорения направлены в одну сторону. Частица движется быстрее.
  • В t = 2 с скорость увеличилась до[latex]v(2\,\text{s)}=20\,\text{м/с}[/latex], где она максимальна, что соответствует моменту, когда ускорение равно нулю. Мы видим, что максимальная скорость возникает, когда наклон функции скорости равен нулю, что равно нулю функции ускорения.

    При t = 3 с скорость равна [латекс]v(3\,\text{s)}=15\,\text{м/с}[/латекс] и ускорение отрицательно. Частица уменьшила свою скорость, и вектор ускорения отрицателен. Частица замедляется.

    В t = 5 с скорость [латекс]v(5\,\текст{с)}=-25\,\текст{м/с}[/латекс] и ускорение становится все более отрицательным. Между моментами времени t = 3 с и t = 5 с скорость частицы уменьшилась до нуля, а затем стала отрицательной, тем самым изменив свое направление.Теперь частица снова ускоряется, но в противоположном направлении.

    Мы можем увидеть эти результаты графически на рисунке.

    Рисунок 3. 16 (a) Скорость в зависимости от времени. Касательные линии указаны в моменты времени 1, 2 и 3 с. Наклоны касательных линий являются ускорениями. При t = 3 с скорость положительна. При t = 5 с скорость отрицательна, что указывает на то, что частица изменила направление. (b) Ускорение в зависимости от времени. Сравнивая значения ускорений, заданные черными точками, с соответствующими наклонами касательных (наклоны линий, проведенных через черные точки) на (а), мы видим, что они идентичны.
    Значение

    Проводя численный и графический анализ скорости и ускорения частицы, мы можем многое узнать о ее движении. Численный анализ дополняет графический анализ, давая общее представление о движении. Ноль функции ускорения соответствует максимуму скорости в этом примере. Также в этом примере, когда ускорение положительно и в том же направлении, что и скорость, скорость увеличивается. По мере того, как ускорение стремится к нулю, со временем становясь отрицательным, скорость достигает максимума, после чего начинает уменьшаться. Если мы подождем достаточно долго, скорость также станет отрицательной, указывая на изменение направления. Реальным примером такого типа движения является автомобиль, скорость которого увеличивается до максимума, после чего он начинает замедляться, останавливается, а затем меняет направление.

    Проверьте свое понимание

    Самолет приземляется на взлетно-посадочной полосе, направляясь на восток. Опишите его ускорение.

    Показать решение

    Если мы возьмем восток за положительное значение, то ускорение самолета будет отрицательным, потому что он движется на запад.Он также замедляется; его ускорение противоположно направлению его скорости.

    Почувствуйте ускорение

    Вероятно, вы привыкли ощущать ускорение, когда входите в лифт или нажимаете на педаль газа в машине. Однако ускорение происходит и со многими другими объектами в нашей Вселенной, с которыми у нас нет прямого контакта. На рисунке представлены ускорения различных объектов. Мы можем видеть, что величины ускорений простираются на многие порядки.

    Типичные значения ускорения (кредит: Википедия: порядки величины (ускорение))
    Ускорение Значение (м/с 2 )
    Скоростной поезд 0,25
    Лифт 2
    Гепард 5
    Объект в свободном падении без сопротивления воздуха у поверхности Земли 9,8
    Максимум космического корабля во время запуска 29
    Пик парашютиста при нормальном раскрытии парашюта 59
    Выход самолета F16 из пикирования 79
    Катапультирование кресла взрывом из самолета 147
    Спринт ракета 982
    Самое быстрое пиковое ускорение ракетных саней 1540
    Прыгающая блоха 3200
    Удар битой по бейсбольному мячу 30 000
    Закрывающие челюсти муравья-ловушки 1 000 000
    Протон в большом адронном коллайдере [латекс]1. {9}[/латекс]

    В этой таблице мы видим, что типичные ускорения сильно различаются для разных объектов и не имеют ничего общего с размером объекта или его массой. Ускорение также может сильно меняться со временем во время движения объекта. Дрэг-рейсер имеет большое ускорение сразу после старта, но затем оно уменьшается, когда транспортное средство достигает постоянной скорости. Его среднее ускорение может сильно отличаться от его мгновенного ускорения в определенный момент времени во время его движения.На рисунке графически сравнивается среднее ускорение с мгновенным ускорением для двух очень разных движений.

    Рисунок 3.17 Графики зависимости мгновенного ускорения от времени для двух различных одномерных движений. а) Ускорение меняется незначительно и всегда в одном и том же направлении, так как оно положительно. Среднее значение по интервалу почти такое же, как ускорение в любой момент времени. (b) Ускорение сильно различается, возможно, это представляет собой пакет на ленточном конвейере почтового отделения, который ускоряется вперед и назад, когда он толкается. В такой ситуации необходимо рассматривать небольшие промежутки времени (например, от 0 до 1,0 с) с постоянным или почти постоянным ускорением.

    Резюме

    • Ускорение — скорость изменения скорости. Ускорение — это вектор; оно имеет как величину, так и направление. Единицей ускорения в системе СИ является метр в секунду в квадрате.
    • Ускорение может быть вызвано изменением величины или направления скорости, или и тем, и другим.
    • Мгновенное ускорение a ( t ) является непрерывной функцией времени и дает ускорение в любой конкретный момент времени во время движения.Он рассчитывается из производной функции скорости. Мгновенное ускорение — это наклон графика зависимости скорости от времени.
    • Отрицательное ускорение (иногда называемое замедлением) — это ускорение в отрицательном направлении в выбранной системе координат.

    Концептуальные вопросы

    Возможно ли, чтобы скорость была постоянной, а ускорение не равно нулю?

    Показать решение

    Нет, в одном измерении постоянная скорость требует нулевого ускорения.

    Возможно ли, чтобы скорость была постоянной, а ускорение не равно нулю? Объяснять.

    Приведите пример, в котором скорость равна нулю, а ускорение — нет.

    Показать решение

    Мяч подброшен в воздух, и его скорость равна нулю в точке броска, но ускорение не равно нулю.

    Если поезд метро движется влево (имеет отрицательную скорость), а затем останавливается, то как направлено его ускорение? Ускорение положительное или отрицательное?

    Знаки плюс и минус используются в одномерном движении для указания направления.{2}[/латекс]

    Доктор Джон Пол Стэпп был офицером ВВС США, изучавшим влияние экстремального ускорения на организм человека. 10 декабря 1954 года Стэпп проехал на ракетных санях, разогнавшись из состояния покоя до максимальной скорости 282 м/с (1015 км/ч) за 5,00 с и резко остановившись всего за 1,40 с. Вычислите его (а) ускорение в направлении его движения и (б) ускорение, противоположное направлению его движения. Выразите каждое число, кратное г (9,80 м/с 2 ), взяв его отношение к ускорению свободного падения.

    Нарисуйте график зависимости ускорения от времени на основе следующего графика зависимости скорости от времени.

    Показать ответ

    Пассажирка выезжает из гаража задним ходом с ускорением 1,40 м/с 2 . а) За какое время она достигнет скорости 2,00 м/с? б) Если она затем затормозит до остановки через 0,800 с, каково ее ускорение?

    Предположим, что межконтинентальная баллистическая ракета выходит из состояния покоя и достигает суборбитальной скорости 6,50 км/с за 60.0 с (фактическая скорость и время засекречены). Каково его среднее ускорение в метрах в секунду и кратно г (9,80 м/с 2 )?

    Показать раствор

    [латекс]а=11,1 г[/латекс]

    Самолет, стартовав из состояния покоя, движется по взлетно-посадочной полосе с постоянным ускорением в течение 18 с, а затем взлетает со скоростью 60 м/с.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.

    2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
    тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск