Постройте график функции заданной кусочно: Кусочно-заданная функция · Калькулятор Онлайн

Содержание

Кусочно-заданная функция · Калькулятор Онлайн

Что умеет калькулятор?

На данной странице вы можете выполнить различные действия с кусочно-заданной функцией, а также для большинства сервисов — получить подробное решение.

  • Производная кусочно-заданной функции
  • Построить график
  • Исследовать график
  • Определённый интеграл
  • Неопределённый интеграл от таких функций
  • Предел кусочно-заданной
  • Ряд Фурье (в примерах для нахождения ряда в основном используются кусочно-заданные функции)
  • Ряд Тейлора

Сначала задайте соответствующую функцию.

Как задавать условия?

Приведём примеры, как задавать условия:

x≠0
x не равен нулю
x > pi
x больше, чем число Пи
-pi/2
x меньше или равно, чем Пи пополам, но нестрого больше, чем Пи пополам
true
означает «в любых других случаях»
Правила ввода выражений и функций
Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):
absolute(x)
Абсолютное значение x
(модуль x или |x|)
arccos(x)
Функция — арккосинус от x
arccosh(x)
Арккосинус гиперболический от x
arcsin(x)
Арксинус от x
arcsinh(x)
Арксинус гиперболический от x
arctg(x)
Функция — арктангенс от x
arctgh(x)
Арктангенс гиперболический от x
exp(x)
Функция — экспонента от x (что и e^x)
log(x) or ln(x)
Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10))
sin(x)
Функция — Синус от x
cos(x)
Функция — Косинус от x
sinh(x)
Функция — Синус гиперболический от x
cosh(x)
Функция — Косинус гиперболический от x
sqrt(x)
Функция — квадратный корень из x
sqr(x) или x^2
Функция — Квадрат x
ctg(x)
Функция — Котангенс от x
arcctg(x)
Функция — Арккотангенс от x
arcctgh(x)
Функция — Гиперболический арккотангенс от x
tg(x)
Функция — Тангенс от x
tgh(x)
Функция — Тангенс гиперболический от x
cbrt(x)
Функция — кубический корень из x
gamma(x)
Гамма-функция
LambertW(x)
Функция Ламберта
x! или factorial(x)
Факториал от x
В выражениях можно применять следующие операции:
Действительные числа
вводить в виде 7. 3
— возведение в степень
x + 7
— сложение
x — 6
— вычитание
15/7
— дробь

Другие функции:
asec(x)
Функция — арксеканс от x
acsc(x)
Функция — арккосеканс от x
sec(x)
Функция — секанс от x
csc(x)
Функция — косеканс от x
floor(x)
Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
ceiling(x)
Функция — округление x
в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
sign(x)
Функция — Знак x
erf(x)
Функция ошибок (или интеграл вероятности)
laplace(x)
Функция Лапласа
asech(x)
Функция — гиперболический арксеканс от x
csch(x)
Функция — гиперболический косеканс от x
sech(x)
Функция — гиперболический секанс от x
acsch(x)
Функция — гиперболический арккосеканс от x

Постоянные:
pi
Число «Пи», которое примерно равно ~3. 14159..
e
Число
e
— основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..
i
Комплексная единица
oo
Символ бесконечности — знак для бесконечности

Кусочно-заданная функция

Реальные процессы, происходящие в природе, можно описать с помощью функций. Так, можно выделить два основных типа течения процессов, противоположных друг другу – это постепенное или непрерывное и скачкообразное (примером может служить падение мяча и его отскок). Но если есть разрывные процессы, то существуют и специальные средства для их описания. С этой целью вводятся в обращение функции, имеющие разрывы, скачки, то есть на различных участках числовой прямой функция ведет себя по разным законам и, соответственно, задается разными формулами.

Вводятся понятия точек разрыва, устранимого разрыва.

Наверняка вам уже встречались функции, заданные несколькими формулами, в зависимости от значений аргумента, например:

y = {x – 3, при x > -3;
     {-(x – 3), при x < -3.

Такие функции называются кусочными или кусочно-заданными. Участки числовой прямой с различными формулами задания, назовем составляющими область определения. Объединение всех составляющих является областью определения кусочной функции. Те точки, которые делят область определения функции на составляющие, называются граничными точками. Формулы, определяющие кусочную функцию на каждой составляющей области определения, называются входящими функциями. Графики кусочно-заданных функций получаются в результате объединения частей графиков, построенных на каждом из промежутков разбиения.

Упражнения.

Построить графики кусочных функций:

1)       {-3, при -4 ≤ x < 0,
f(x) = {0, при x = 0,
          {1, при 0 < x ≤ 5.

График первой функции – прямая, проходящая через точку y = -3. Она берет свое начало в точке с координатами (-4; -3), идет параллельно оси абсцисс до точки с координатами (0; -3). График второй функции – точка с координатами (0; 0). Третий график аналогичен первому – это прямая, проходящая через точку y = 1, но уже на участке от 0 до 5 по оси Ох.

Ответ: рисунок 1.

2)       {3, если x ≤ -4,
f(x) = {|x2 – 4|x| + 3|, если  -4 < x ≤ 4,
          {3 – (x – 4)2, если x > 4.

Рассмотрим отдельно каждую функцию и построим ее график.

Так, f(x) = 3 – прямая, параллельная оси Ох, но изображать ее нужно только на участке, где x ≤ -4.

График функции f(x) = |x

2 – 4|x| + 3| может быть получен из параболы y = x2 – 4x + 3. Построив ее график, часть рисунка, которая лежит над осью Ox, необходимо оставить без изменений, а часть, которая лежит под осью абсцисс, симметрично отобразить относительно оси Ox. Затем симметрично отобразить часть графика, где
x ≥ 0 относительно оси Oy для отрицательных x. Полученный в результате всех преобразований график оставляем только на участке от -4 до 4 по оси абсцисс.

График третьей функции – парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке с координатами (4; 3). Чертеж изображаем только на участке, где x > 4.

Ответ: рисунок 2.

3)       {8 – (x + 6)2, если x ≤ -6,
f(x) = {|x2 – 6|x| + 8|, если -6 ≤ x < 5,
          {3, если x ≥ 5.

Построение предлагаемой кусочной-заданной функции аналогично предыдущему пункту. Здесь графики первых двух функций получаются из преобразований параболы, а график третьей – прямая, параллельная Ох.  

Ответ: рисунок 3.

4) Построить график функции y = x – |x| + (x – 1 – |x|/x)2 .

Решение. Область определения данной функции – все действительные числа, кроме нуля. Раскроем модуль. Для этого рассмотрим два случая:

1) При x > 0 получим y = x – x + (x – 1 – 1)2 = (x – 2)2.

2) При x < 0 получим y = x + x + (x – 1 + 1)2 = 2x + x2.

Таким образом, перед нами кусочно-заданная функция:

y = {(x – 2)2, при x > 0;
     { x2 + 2x, при x < 0.

Графики обоих функций – параболы, ветви которых направлены вверх.

Ответ: рисунок 4.

5) Построить график функции y = (x + |x|/x – 1)

2 .

Решение.

Легко видеть, что областью определения функции являются все действительные числа, кроме нуля. После раскрытия модуля получим кусочно-заданную функцию:

1) При x > 0 получим y = (x + 1 – 1)2 = x2.

2) При x < 0 получим y = (x – 1 – 1)2 = (x – 2)2.

Перепишем.

y = {x2, при x > 0;
      {(x – 2)2, при x < 0.

Графики этих функций – параболы.

Ответ: рисунок 5.

6) Существует ли функция, график которой на координатной плоскости имеет общую точку с любой прямой?

Решение.

Да, существует.

Примером может быть функция f(x) = x3. Действительно, с вертикальной прямой х = а график кубической параболы пересекается в точке (а; а

3). Пусть теперь прямая задана уравнением y = kx + b. Тогда уравнение
x3 – kx – b = 0 имеет действительный корень х0 (так как многочлен нечетной степени всегда имеет хотя бы один действительный корень). Следовательно, график функции пересекается с прямой y = kx + b, например, в точке (х0; х03).

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Образец чтения свойств кусочно заданной функции.

Кусочные функции

Реальные процессы, происходящие в природе, можно описать с помощью функций. Так, можно выделить два основных типа течения процессов, противоположных друг другу – это постепенное или непрерывное и скачкообразное (примером может служить падение мяча и его отскок). Но если есть разрывные процессы, то существуют и специальные средства для их описания. С этой целью вводятся в обращение функции, имеющие разрывы, скачки, то есть на различных участках числовой прямой функция ведет себя по разным законам и, соответственно, задается разными формулами. Вводятся понятия точек разрыва, устранимого разрыва.

Наверняка вам уже встречались функции, заданные несколькими формулами, в зависимости от значений аргумента, например:

y = {x – 3, при x > -3;
{-(x – 3), при x

Такие функции называются кусочными или кусочно-заданными . Участки числовой прямой с различными формулами задания, назовем составляющими область определения. Объединение всех составляющих является областью определения кусочной функции. Те точки, которые делят область определения функции на составляющие, называются граничными точками . Формулы, определяющие кусочную функцию на каждой составляющей области определения, называются

входящими функциями . Графики кусочно-заданных функций получаются в результате объединения частей графиков, построенных на каждом из промежутков разбиения.

Упражнения.

Построить графики кусочных функций:

1) {-3, при -4 ≤ x f(x) = {0, при x = 0,
{1, при 0

График первой функции – прямая, проходящая через точку y = -3. Она берет свое начало в точке с координатами (-4; -3), идет параллельно оси абсцисс до точки с координатами (0; -3). График второй функции – точка с координатами (0; 0). Третий график аналогичен первому – это прямая, проходящая через точку y = 1, но уже на участке от 0 до 5 по оси Ох.

Ответ: рисунок 1.

2) {3, если x ≤ -4,
f(x) = {|x 2 – 4|x| + 3|, если -4 {3 – (x – 4) 2 , если x > 4.

Рассмотрим отдельно каждую функцию и построим ее график.

Так, f(x) = 3 – прямая, параллельная оси Ох, но изображать ее нужно только на участке, где x ≤ -4.

График функции f(x) = |x 2 – 4|x| + 3| может быть получен из параболы y = x 2 – 4x + 3. Построив ее график, часть рисунка, которая лежит над осью Ox, необходимо оставить без изменений, а часть, которая лежит под осью абсцисс, симметрично отобразить относительно оси Ox. Затем симметрично отобразить часть графика, где
x ≥ 0 относительно оси Oy для отрицательных x. Полученный в результате всех преобразований график оставляем только на участке от -4 до 4 по оси абсцисс.

График третьей функции – парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке с координатами (4; 3). Чертеж изображаем только на участке, где x > 4.

Ответ: рисунок 2.

3) {8 – (x + 6) 2 , если x ≤ -6,
f(x) = {|x 2 – 6|x| + 8|, если -6 ≤ x {3, если x ≥ 5.

Построение предлагаемой кусочной-заданной функции аналогично предыдущему пункту. Здесь графики первых двух функций получаются из преобразований параболы, а график третьей – прямая, параллельная Ох.

Ответ: рисунок 3.

4) Построить график функции y = x – |x| + (x – 1 – |x|/x) 2 .

Решение. Область определения данной функции – все действительные числа, кроме нуля. Раскроем модуль. Для этого рассмотрим два случая:

1) При x > 0 получим y = x – x + (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2 .

2) При x

Таким образом, перед нами кусочно-заданная функция:

y = {(x – 2) 2 , при x > 0;
{ x 2 + 2x, при x

Графики обоих функций – параболы, ветви которых направлены вверх.

Ответ: рисунок 4.

5) Построить график функции y = (x + |x|/x – 1) 2 .

Решение.

Легко видеть, что областью определения функции являются все действительные числа, кроме нуля. После раскрытия модуля получим кусочно-заданную функцию:

1) При x > 0 получим y = (x + 1 – 1) 2 = x 2 .

2) При x

Перепишем.

y = {x 2 , при x > 0;
{(x – 2) 2 , при x

Графики этих функций – параболы.

Ответ: рисунок 5.

6) Существует ли функция, график которой на координатной плоскости имеет общую точку с любой прямой?

Решение.

Да, существует.

Примером может быть функция f(x) = x 3 . Действительно, с вертикальной прямой х = а график кубической параболы пересекается в точке (а; а 3). Пусть теперь прямая задана уравнением y = kx + b. Тогда уравнение
x 3 – kx – b = 0 имеет действительный корень х 0 (так как многочлен нечетной степени всегда имеет хотя бы один действительный корень). Следовательно, график функции пересекается с прямой y = kx + b, например, в точке (х 0 ; х 0 3).

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №13

«Кусочные функции»

Сапогова Валентина и

Донская Александра

Руководитель-консультант:

г. Бердск

1. Определение основных целей и задач.

2. Анкетирование.

2.1. Определение актуальности работы

2.2. Практическая значимость.

3. История функций.

4. Общая характеристика.

5. Способы задания функций.

6. Алгоритм построения.

8. Используемая литература.

1. Определение основных целей и задач.

Цель:

Выяснить способ решения кусочных функций и, исходя из этого, составить алгоритм их построения.

Задачи:

— Познакомиться с общим понятием о кусочных функциях;

— Узнать историю термина «функция»;

— Провести анкетирование;

— Выявить способы задания кусочных функций;

— Составить алгоритм их построения;

2. Анкетирование.

Среди старшеклассников было проведено анкетирование на умение строить кусочные функции. Общее количество опрошенных составило 54 человека. Среди них 6% — работу выполнили полностью. 28% работу смогли выполнить, но с определёнными ошибками. 62% — работу не смогли выполнить, хоть и предпринимали какие-либо попытки, а оставшиеся 4% вообще не приступали к работе.

Из этого анкетирования можно сделать вывод, что ученики нашей школы, которые проходят программу имеют не достаточную базу знаний, ведь этот автор не уделяет особого внимания на задания подобного рода. Именно из этого вытекает актуальность и практическая значимость нашей работы.

2.1. Определение актуальности работы.

Актуальность:

Кусочные функции встречаются, как в ГИА, так и в ЕГЭ, задания, которые содержат функции подобного рода, оцениваются в 2 и более баллов. И, следовательно, от их решения может зависеть ваша оценка.

2.2. Практическая значимость.

Результатом нашей работы будет являться алгоритм решения кусочных функций, который поможет разобраться в их построении. И добавит шансы на получения желаемой вами оценки на экзамене.

3. История функций.

— «Алгебра 9 класс» и др.;

7
Урок по алгебре в 9А классе учителя Микитчук Ж. Н. МОУ «СОШ №23» 19.03.07г Тема урока: «Кусочно-заданные функции» Цели:

    обобщить и совершенствовать знания, умения и навыки учащихся по указанной теме; воспитывать у учащихся внимательность, сосредоточенность, настойчивость, уверенность в своих знаниях; развивать мыслительные способности, логическое мышление; речевую культуру, умение применять теоретические знания.
В результате обобщения темы учащиеся должны знать:
    понятие кусочно-заданной функции; формулы различных функций, соответствующие названия и изображения графиков;
уметь:
    строить график кусочно-заданной функции; читать график; задавать функцию аналитически по графику.

Ход урока

I. Организационно-психологический момент. Начнем наш урок словами Д.К.Фадеева «Какую бы задачу вы не решали, в концевас ждёт счастливая минута – радостноечувство успеха, укрепление веры в свои силы.Пусть эти слова на нашем уроке обретут реальное подтверждение. II. Проверка домашнего задания. Начнем урок как обычно с проверки д/з.-Повторите определение кусочной функции и план исследования функций.1). На доске изобразить придуманные вами графики кусочных функций (рис.1,2,3)2).Карточки .№1. Расставьте порядок исследования свойств функций:
    выпуклость; четность, нечётность; область значений; ограниченность; монотонность; непрерывность; наибольшее и наименьшее значение функции; область определения.
№2.Изобразите схематически графики функций:

А) у = kx + b, k0; Б) y = kx, k0;

В) у = , k0.

3).Устная работа . – 2мин

    Какая функция называется кусочной?
Кусочной называется функция, заданная разными формулами на разных промежутках.
    Из каких функций состоят кусочные функции, изображенные на рис.1,2,3? Какие ещё названия функций вы знаете? Как называются графики соответствующих функций? Является ли графиком какой-либо функции, фигура, изображенная на рис.4? Почему?
Ответ: нет, т. к. по определению функции, каждому значению независимой переменной х ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной у. 4) Самоконтроль — 3 минИз предложенных графиков и соответствующих формул, задающих функции, выберите верные. Из полученных букв ответов составьте знакомое слово. Ответ: ГРАФИК Где в жизни, в науке, в быту мы ещё встречаемся со словом ГРАФИК?-График зависимости массы от объёма,-объёма от давления;- график дежурства;- график движения поездов;-графики используются для представления различной информации, например, объём промышленного производства в Саратовской области в период с 1980 по 2002год.. По этому графику можно проследить за снижением и ростом производства в отдельные года.-Скажите, графиком какой функции представлена данная информация.Ответ: кусочная функция .III. Сообщение темы, цели урока. Тема урока: «Кусочно-заданные функции»Цель: — на примере кусочно-заданной функции вспомнить план исследования функций;
    повторить шаги построения кусочно-заданной функции; применять обобщенные знания при решении нестандартных задач.
IV. Актуализация ранее усвоенных знаний. Понятие функции впервые встретилось нам в 7 классе при изучении линейной зависимости. С точки зрения моделирования реальных процессов, эта зависимость соответствует равномерным процессам.Пример: Движение пешехода с постоянной скоростью за время t. Формула: s =vt, график – отрезки прямой, расположен в I четверти.
Основная тема 8-го класса – квадратичная функция, моделирующая равноускоренные процессы.Пример: изученная вами в 9-ом классе формула определения сопротивления нагретой лампы (R) при постоянной мощности (Р) и изменяющемся напряжении (U). ФормулаR = , график – ветвь параболы, расположен-ная в I четверти.
На протяжении трёх лет наши знания о функциях обогащались, количество изученных функций росло, пополнялся и набор заданий для решения которых приходится прибегать к графикам.Назовите эти типы заданий…- решение уравнений; — решение систем уравнений; — решение неравенств; — исследование свойств функций. V.Подготовка уч-ся к обобщающей деятельности. Вспомним один из типов заданий, а именно – исследование свойств функций или чтение графика.Обратимся к учебнику. Страница 65 рис.20а из №250.Задание: прочитать график функции. Порядок исследования функции перед нами.1. область определения – (-∞; +∞) 2. четность, нечётность – ни четная, ни нечётная 3. монотонность- возрастает [-3; +∞), убывает [-5;-3], постоянна (-∞; -5]; 4. ограниченность – ограничена снизу 5. наибольшее и наименьшее значение функции – у наим = 0, у наиб – не существует; 6. непрерывность- непрерывна на всей области определения; 7. область значений – , выпукла и вниз и вверх (-∞; -5] и [-2; +∞). VI. Воспроизведение знаний на новом уровне. Вы знаете, что построение и исследование графиков кусочно-заданных функций, рассматриваются во второй части экзамена по алгебре в разделе функции и оцениваются 4-мя и 6-ю баллами. Обратимся к сборнику заданий.Страница 119 — №4.19-1).Решение: 1).у = — x, — квадратичная функция, график – парабола, ветви вниз (а = -1, а 0). х -2 -1 0 1 2 у -4 -1 0 1 4 2) у= 3х – 10, — линейная функция, график – прямая Составим таблицу некоторых значений х 3 3 у 0 -1 3) у= -3х -10, — линейная функция, график – прямая Составим таблицу некоторых значений х -3 -3 у 0 -1 4)Построим графики функций в одной системе координат и выделим части графиков на заданных промежутках.
Найдем по графику, при каких значениях х значения функции неотрицательны. Ответ: f(x)  0 при х = 0 и при  3VII.Работа над нестандартными заданиями. №4.29-1), стр. 121. Решение: 1)Прямая (слева) у = kx + b проходит через точки (-4;0) и (-2;2). Значит,-4 k + b = 0,-2 k + b = 2;
k = 1, b = 4, у = х+4.Ответ: х +4, если х -2 у = , если -2 х £ 3 3, если х 3
VIII.Контроль знаний. Итак, подведём небольшой итог. Что мы повторили на уроке?План исследования функций, шаги построения графика кусочной функции, задание функции аналитически. Проверим как вы усвоили данный материал.Тестирование на «4»- «5», «3» I вариант№ У
2 1 -1 -1 1 Х
    D(f) = , выпуклая и вверх и вниз на , выпуклая вверх и вниз на , убывает на ________ Ограничена ____________ у наим не существует, у наиб =_____ Непрерывна на всей области определения Е(f) = ____________ Выпукла и вниз и вверх на всей области определения

Графики кусочно – заданных функций

Мурзалиева Т. А. учитель математики МБОУ «Борская средняя общеобразовательная школа» Бокситогорский район Ленинградская область


Цель:

  • освоить метод линейного сплайна для построения графиков, содержащих модуль;
  • научиться применять его в простых ситуациях.

Под сплайном (от англ. spline — планка, рейка) обычно понимают кусочно-заданную функцию.

Такие функции были известны математикам давно, начиная еще с Эйлера (1707-1783г.,швейцарский, немецкий и российский математик), но их интенсивное изучение началось, фактически, только в середине XX века.

В 1946 году Исаак Шёнберг (1903- 1990г., румынский и американский математик) впервые употребил этот термин. С 1960 года с развитием вычислительной техники началось использование сплайнов в компьютерной графике и моделировании.


1 . Введение

2. Определение линейного сплайна

3. Определение модуля

4. Построение графиков

5. Практическая работа



Одно из основных назначений функций – описание реальных процессов, происходящих в природе.

Но издавна ученые – философы и естествоиспытатели выделяли два типа протекания процессов: постепенное ( непрерывное ) и скачкообразное.


При падении тела на землю сначала происходит непрерывное нарастание скорости движения , а в момент столкновения с поверхностью земли скорость изменяется скачкообразно , становясь равной нулю или меняя направление (знак) при «отскоке» тела от земли (например, если тело – мяч).

Но раз есть разрывные процессы, то необходимы средства их описаний. С этой целью вводятся в действие функции, имеющие разрывы .


a — формулой y = h(x), причем будем считать, что каждая из функций g(x) и h(x) определена для всех значений х и разрывов не имеет. Тогда, если g(a) = h(a), то функция f(x) имеет при х=а скачок; если же g(a) = h(a) = f(a), то «комбинированная» функция f разрывов не имеет. Если обе функции g и h элементарные, то f называется кусочно–элементарной. »
  • Один из способов введения таких разрывов следующий:

Пусть функция y = f(x)

при x определена формулой y = g(x),

а при xa — формулой y = h(x), причем будем считать , что каждая из функций g(x) и h(x) определена для всех значений х и разрывов не имеет.

Тогда , если g(a) = h(a), то функция f(x) имеет при х=а скачок;

если же g(a) = h(a) = f(a), то «комбинированная» функция f разрывов не имеет. Если обе функции g и h элементарные, то f называется кусочно–элементарной.



Графики непрерывных функций


Построить график функции:

У = |X-1| + 1

Х=1 –точка смены формул


Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера».

Модулем числа а называется расстояние (в единичных отрезках ) от начала координат до точки А (а) .

Это определение раскрывает геометрический смысл модуля.

Модулем (абсолютной величиной ) действительного числа а называется то самое число а ≥ 0, и противоположное число –а , если а


0 или х=0 у = -3х -2 при х »

Построить график функции у = 3|х|-2.

По определению модуля, имеем: 3х – 2 при х0 или х=0

-3х -2 при х


x n) »

. Пусть заданы х 1 х 2 х n – точки смены формул в кусочно-элементарных функциях.

Функция f, определенная при всех х, называется кусочно-линейной, если она линейна на каждом интервале

и к тому же выполнены условия согласования, то есть в точках смены формул функция не терпит разрыв.

Непрерывная кусочно-линейная функция называется линейным сплайном . Её график есть ломаная с двумя бесконечными крайними звеньями – левым (отвечающим значениям x n ) и правым ( отвечающим значениям x x n )


Кусочно-элементарная функция может быть определена более чем двумя формулами

График – ломаная с двумя бесконечными крайними звеньями – левым (х1).

У=|x| — |x – 1|

Точки смены формул: х=0 и х=1.

У(0)=-1, у(1)=1.


График кусочно-линейной функции удобно строить, указывая на координатной плоскости вершины ломаной.

Кроме построения n вершин следует построить также две точки : одну левее вершины A 1 ( x 1; y ( x 1)), другую – правее вершины An ( xn ; y ( xn )).

Заметим, что разрывную кусочно-линейную функцию нельзя представить в виде линейной комбинации модулей двучленов .


Построить график функции у = х+ |x -2| — |X|.

Непрерывная кусочно-линейная функция называется линейным сплайном

1.Точки смены формул: Х-2=0, Х=2 ; Х=0

2. Составим таблицу:

У(0 )= 0+|0-2|-|0|=0+2-0= 2 ;

у(2 )=2+|2-2|-|2|=2+0-2= 0 ;

у (-1 )= -1+|-1-2| — |-1|= -1+3-1= 1 ;

у(3 )=3+|3-2| — |3|=3+1-3= 1 .


Построить график функции у = |х+1| +|х| – |х -2|.

1 .Точки смены формул:

х+1=0, х=-1 ;

х=0 ; х-2=0, х=2.

2 . Составим таблицу:

y(-2)=|-2+1|+|-2|-|-2-2|=1+2-4=-1;

y(-1)=|-1+1|+|-1|-|-1-2|=0+1-3=-2;

y(0)=1+0-2=-1;

y(2)=|2+1|+|2|-|2-2|=3+2-0=5;

y(3)=|3+1|+|3|-|3-2|=4+3-1=6.


|x – 1| = |x + 3|

Решите уравнение:

Решение. Рассмотрим функцию y = |x -1| — |x +3|

Построим график функции /методом линейного сплайна/

  • Точки смены формул:

х -1 = 0, х = 1; х + 3 =0, х = — 3.

2. Составим таблицу:

y(- 4) =|- 4–1| — |- 4+3| =|- 5| — | -1| = 5-1=4;

y( -3 )=|- 3-1| — |-3+3|=|-4| = 4;

y( 1 )=|1-1| — |1+3| = — 4 ;

y(-1) = 0.

y(2)=|2-1| — |2+3|=1 – 5 = — 4.

Ответ: -1.



1. Построить графики кусочно-линейных функций методом линейного сплайна:

у = |x – 3| + |x|;

1). Точки смены формул:

2). Составим таблицу:


2. Построить графики функций, используя УМК «Живая математика »

А) у = |2x – 4| + |x +1|

1) Точки смены формул:

2) y() =

Б) Постройте графики функций, установите закономерность :

a) у = |х – 4| б) y = |x| +1

y = |x + 3| y = |x| — 3

y = |x – 3| y = |x| — 5

y = |x + 4| y = |x| + 4

Используйте инструменты «Точка», «Отрезок», «Стрелка» на панели инструментов.

1. Меню «Графики».

2. Вкладка «Построить график».

.3. В окне «Калькулятор» задать формулу.


Постройте график функции:

1) У = 2х + 4


1. Козина М.Е. Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов. – Волгоград: Учитель, 2006.

2. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Алгебра: учеб. Для 7 кл. общеобразоват. учреждений/ под ред. С. А. Теляковского. – 17-е изд. – М. : Просвещение, 2011

3. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Алгебра: учеб. Для 8 кл. общеобразоват. учреждений/ под ред. С. А. Теляковского. – 17-е изд. – М. : Просвещение, 2011

4. ВикипедиЯ свободная энциклопедия

http://ru.wikipedia.org/wiki/Spline

построение графика, формула, знак модуля и примеры

Графики и формулы кусочно-линейных функций

Ситуация, когда движение или другое явление можно описать одной линейной функцией, определенной на интервале $-\infty \lt t \lt +\infty$, в действительности невозможна. Хотя бы потому, что возраст Вселенной велик, но не бесконечен.

На практике в течение некоторого времени тело может двигаться, потом – покоиться, потом – опять прийти в движение, но уже с другой скоростью и в другом направлении и т.п. Как задать подобную зависимость?

Допустим, турист идет из начальной точки по прямой тропинке в течение 2 ч со скоростью 5 км/ч, затем останавливается отдохнуть на 1ч и возвращается обратно по той же тропинке со скоростью 4 км/ч. Нам нужно найти формулу для расстояния s(t) от начальной точки на протяжении всего похода.

Изобразим зависимость s(t) графически:

Первый отрезок AB легко записать: $ s_1 (t) = 5t,0 \le t \lt 2$

С отрезком BC тоже всё ясно: $s_2 (t) = 10,2 \le t \lt 3$

Осталось найти формулу для отрезка CD. Для него известен угловой коэффициент, равный скорости k = -4; знак «минус» оттого, что турист возвращается обратно. Формула имеет вид $s_3 (t) = -4t+b$. Также, нам известны координаты C(3;10).

Подставляем: $10 = -4 \cdot 3+b \Rightarrow b =22$. Осталось рассчитать момент возвращения:

$$0 = -4t_{back}+22 \Rightarrow t_{back} = 22:4 = 5,5$$ (ч)

Значит, формула движения на отрезке $CD:s_3 (t) = -4t+22,3 \le t \le 5,5.$

Получаем:

$$s(t) = {\left\{ \begin{array}{c} 5t,0 \le t \lt 2 \\ 10,2 \le t \lt 3 \\ -4t+22,3 \le t \le 5,5 \end{array} \right.} $$

Важным свойством заданной функции является выполнение условий согласования:

$$ s_1 (2) = s_2 (2) = 10,s_2 (3) = s_3 (3) = 10$$

Наша функция «сшита» на концах промежуточных интервалов.

В общем случае:

Функция вида

$$x f(x) = {\left\{ \begin{array}{c} k_1 x+b_1, x_1 \le x \lt x_2 \\ k_2 x+b_2,x_2 \le x \lt x_3 \\…\\ k_n x+b_n,x_n \le x \lt x_{n+1} \end{array} \right.}$$

называется кусочно-линейной.

При этом для функции на краях интервалов выполняются условия согласования:

$$f_i (x_{i+1} ) = f_{i+1} (x_{i+1} ),i = \overline {1,n-1} $$

Графиком кусочно-линейной функции является ломаная линия

Знак модуля в линейных функциях

По правилу раскрытия скобок модуля (см. §4 данного справочника)

$$ |x| = \left[ \begin{array}{cc} x, x\ge0 \\ -x, x \lt 0\end{array} \right.$$

Внимание!

Если в формуле для линейной функции содержится знак модуля, то после его раскрытия получается кусочно-линейная функция.

Например:

$$ y = 2|x|+5 = {\left\{ \begin{array}{c} -2x+5, x\ge0 \\ 2x+5, x \lt 0\end{array} \right.} $$

Мы заменили квадратную скобку со значением «или» на фигурную скобку со значением «и», поскольку именно смысл объединения — «и того, и другого» — вкладывается в определение кусочно-линейной функции .

Примеры

Пример 1. Представьте функцию с модулем в виде кусочно-линейной и постройте её график:

а) $ y = |x| = {\left\{ \begin{array}{c} -x, x \lt0 \\ x, x \ge 0 \end{array} \right.}$

б) $ y = 2|x|-1 = {\left\{ \begin{array}{c} -2x-1, x \lt0 \\ 2x-1, x \ge 0 \end{array} \right.}$

в) $ y = |x+1| = {\left\{ \begin{array}{c} -x-1, x \lt0 \\ x+1, x \ge 0 \end{array} \right. }$

г) $ y = |x-2| = {\left\{ \begin{array}{c} -x+2, x \lt0 \\ x-2, x \ge 0 \end{array} \right.}$

Пример 2*. Представьте функцию с модулем в виде кусочно-линейной и постройте её график:

$$ y = |2|x|-1| = {\left\{ \begin{array}{c} |-2x-1|, x\lt0 \\ |2x-1|,x \ge 0 \end{array} \right.} = {\left\{ \begin{array}{c} 2x+1, {\left\{ \begin{array}{c} -2x-1 \lt 0 \\ x \lt 0 \end{array} \right.} \\ -2x-1, {\left\{ \begin{array}{c} -2x-1 \ge 0 \\ x \lt 0\end{array} \right.} \\ -2x+1, {\left\{ \begin{array}{c}2x-1 \lt 0 \\ x \ge 0\end{array} \right.} \\ 2x-1, {\left\{ \begin{array}{c}2x-1 \ge 0 \\ x \ge 0\end{array} \right.} \end{array} \right.}= $$

$$ = {\left\{ \begin{array}{c} 2x+1, {\left\{ \begin{array}{c} -2x \lt 1 \\ x \lt 0 \end{array} \right.} \\ -2x-1, {\left\{ \begin{array}{c} -2x \ge 1 \\ x \lt 0\end{array} \right.} \\ -2x+1, {\left\{ \begin{array}{c}2x \lt 1 \\ x \ge 0\end{array} \right.} \\ 2x-1, {\left\{ \begin{array}{c}2x \ge 1 \\ x \ge 0\end{array} \right. } \end{array} \right.}= {\left\{ \begin{array}{c} 2x+1, {\left\{ \begin{array}{c} x \gt — \frac{1}{2} \\ x \lt 0 \end{array} \right.} \\ -2x-1, {\left\{ \begin{array}{c} x \le — \frac{1}{2} \\ x \lt 0\end{array} \right.} \\ -2x+1, {\left\{ \begin{array}{c}x \lt \frac{1}{2} \\ x \ge 0\end{array} \right.} \\ 2x-1, {\left\{ \begin{array}{c}x \ge \frac{1}{2} \\ x \ge 0\end{array} \right.} \end{array} \right.}= {\left\{ \begin{array}{c} -2x-1, x \le — \frac{1}{2} \\ 2x+1, — \frac{1}{2} \lt x \lt 0 \\ -2x+1, 0 \le x \lt \frac{1}{2} \\ 2x-1, x \ge \frac{1}{2} \end{array} \right.} $$

Как видно из этого примера, аналитически выводить формулу для двух модулей очень нелегко.

Гораздо легче сразу построить график, если следовать следующим простым правилам преобразования.

Шаг 1. Строим y = 2x-1

Шаг 2. Строим y = 2|x|-1 по правилу: |x| отражает часть графика для положительных $x \ge 0$ влево, зеркально относительно оси Y

Шаг 3. Строим y = |(2|x|-1)| по правилу: общий модуль отражает участок графика с отрицательными $y \lt 0$ вверх, зеркально относительно оси X

Или на одном графике:

Урок-мастерская по теме «Построение графика кусочной функции в табличном процессоре Excel по заданным параметрам»

Цели:

  • Ознакомление учащихся с методом поиска подхода к решению задач и умелое применение данного метода в решении любых задач;
  • Умение ставить вопросы, работать по алгоритму;
  • Развитие математической речи учащихся в ходе комментирования, объяснения, аргументации смысла вопросов;
  • Развитие навыков сотрудничества и взаимопомощи при работе в группе;
  • Сформировать у учащихся понятие “точечная диаграмма”;
  • Научить заполнять таблицу с учетом заданного интервала и шага.

План проведения мастерской:

  1. Организационный момент.
  2. Актуализация знаний.
  3. Подготовительная работа.
  4. Поиск подхода к решению задачи.
  5. Работа в группах.
  6. Обсуждение в мастерской.
  7. Оценочно-рефлексивная деятельность.
  8. Итог урока.

Оборудование урока: доска, экран, проектор, компьютер учителя, компьютеры для учащихся (кол-во 12), раздаточный материал. (Памятка 1 , памятка 2, конверт с заданием)

1. Организационный момент.

Учащиеся проходят в класс. Занимают свои места. Учителя приветствуют их.

2. Актуализация знаний.

На доске записано слово “Функция”. Учитель математики просит учащихся назвать ассоциации, связанные с этим словом.

3. Подготовительная работа.

Задание 1.

Учащимся предлагается 4 вида графиков и варианты функций. Соотнести графики функций с их алгебраической записью.

Графики и алгебраические записи размещены на маркерной доске.

Задание 2.

Учащимся предлагается 4 вида преобразования графиков. Необходимо объяснить, какой вид преобразования используется (данное задание учитель математики иллюстрирует, используя электронное сопровождение курса “Алгебра – 8” под редакцией А.Г.Мордковича).

4. Поиск подхода к решению задачи.

Каждый ученик получает карточку определённого цвета, на которой представлена часть того или иного графика. Учащиеся делятся на группы по цветам.

– Соедините части и скажите, что у Вас получилось? (График кусочной функции)

– Как построить график кусочной функции? Попробуйте вспомнить алгоритм.

Группа 1.

 

Группа 2.

Группа 3.

Группа 4.

5. Работа в группах.

Каждая группа получает конверты с заданиями. Учащиеся внутри группы сами определяют, кто и какую часть будет строить. Построив каждый кусочек функции на листе, учащийся выполняет построение на компьютере под руководством учителя информатики.

Необходимо построить таблицу значений “х” и “у”, заполнить для заданного интервала, самостоятельно выбрав шаг.

(Памятка 1.)

Для заполнения значений “у” необходимо правильно внести формулы в ячейку таблицы. (Памятка 2.)

Каждый ученик строит согласно своему заданию функцию и сохраняет работу на отдельном листе книги Excel, переименовав его согласно номеру задания.

Далее все части собираются на одном листе, а затем на компьютере. Если группы справились с заданием, то и на листе, и на компьютере графики одинаковы.

Раздаточный материал:

Конверт 1.

Конверт 2.

Конверт 3.

Конверт 4.

Приложение 1.

Приложение 2.

6. Обсуждение в мастерской.

Работы вывешиваются на доску. Учащиеся сравнивают полученный график с макетом, собранным ими в начале урока. Оценивают работы друг друга. Высказывают свои мнения.

Группа 1 получила после выполнения задания график вида:

Группа 2 получила после выполнения задания график вида:

Группа 3 получила после выполнения задания график вида:

Группа 4 получила после выполнения задания график вида:

7. Оценочно-рефлексивная деятельность.

Каждому ученику предлагается оценить свои чувства после выполнения работы. Для этого, на доске расположены 3 рисунка. Каждый ученик подходит к доске и прикрепляет к выбранному им рисунку клейкую бумагу. В конце подсчитывается количество прикреплённых бумажек к тому или иному рисунку. Обсуждается, почему выбрано то или иное настроение.

 

8. Итог урока.

В конце урока каждому ученику вручается сертификат и выполненная им работа.

Список используемой литературы:

  1. Мордкович А.Г., Семенов П.В. методическое пособие для учителей “Алгебра и начало математического анализа 8 класс” М: “Мнемозина”, 2010 – 203 с.
  2. Мордкович А.Г., Семенов П.В. “Алгебра. Задачник. Часть 2 8 класс” М: “Мнемозина”, 2011 – 272 с.
  3. Семенов А.Л., Ященко И.В. “ГИА – 2013 ФИПИ “Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов”” – М: “Национальное образование” , 2013 192 с. М: “Мнемозина”, 2010 – 203 с.
  4. Мордкович А.Г., Семенов П.В. “Алгебра 8 класс. Электронное сопровождение курса” – М: “Мнемозина”, 2008.
  5. Анеликова Л.А., Гусев О.Б. “ Информатика и информационно-коммуникационные технологии. Базовый уровень. 9 класс” – М: “Солон-пресс”, 2009–400с.
  6. Крылов С.С., Чуркина Т.Е. “ГИА – 2013 ФИПИ “Информатика и ИКТ типовые экзаменационные варианты: 10 вариантов”” М: “Национальное образование” , 2013 – 144 с.
  7. Угринович Н.Д. “информатика и ИКТ.9 класс” – М: БИНОМ лаборатория знаний, 2011 – 295c.
  8. Горностаева А.М. “Информатика 8 класс. Поурочные планы по учебнику Угриновича Н.Д.” Волгоград: Учитель,2008 – 185 с.
  9. Лапчик М.П. и др. “Методика преподавания информатики: Учебное пособие для студентов пед ВУЗов” – издательский центр “Академия”, 2001 – 624 с.

Электронные Образовательные Ресурсы

  1. Федеральный институт педагогических измерений: http\\ www.fipi.ru
  2. Методическая копилка учителя информатики: http \\ www. metod-kopilka.ru
  3. Электронные учебники: http\\ www.agtu.ru
  4. Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов: http \\ school-collection.edu.ru
  5. Информационный образовательный портал для учителей информатики и ИКТ: http \\ www.klyaksa.net
  6. Сайт для учителей видео уроки: http\\ www.videouroki.net

Кусочно линейная функция задана формулой найти в. Кусочные функции

Графики кусочно – заданных функций

Мурзалиева Т.А. учитель математики МБОУ «Борская средняя общеобразовательная школа» Бокситогорский район Ленинградская область


Цель:

  • освоить метод линейного сплайна для построения графиков, содержащих модуль;
  • научиться применять его в простых ситуациях.

Под сплайном (от англ. spline — планка, рейка) обычно понимают кусочно-заданную функцию.

Такие функции были известны математикам давно, начиная еще с Эйлера (1707-1783г.,швейцарский, немецкий и российский математик), но их интенсивное изучение началось, фактически, только в середине XX века.

В 1946 году Исаак Шёнберг (1903- 1990г., румынский и американский математик) впервые употребил этот термин. С 1960 года с развитием вычислительной техники началось использование сплайнов в компьютерной графике и моделировании.


1 . Введение

2. Определение линейного сплайна

3. Определение модуля

4. Построение графиков

5. Практическая работа



Одно из основных назначений функций – описание реальных процессов, происходящих в природе.

Но издавна ученые – философы и естествоиспытатели выделяли два типа протекания процессов: постепенное ( непрерывное ) и скачкообразное.


При падении тела на землю сначала происходит непрерывное нарастание скорости движения , а в момент столкновения с поверхностью земли скорость изменяется скачкообразно , становясь равной нулю или меняя направление (знак) при «отскоке» тела от земли (например, если тело – мяч).

Но раз есть разрывные процессы, то необходимы средства их описаний. С этой целью вводятся в действие функции, имеющие разрывы .


a — формулой y = h(x), причем будем считать, что каждая из функций g(x) и h(x) определена для всех значений х и разрывов не имеет. Тогда, если g(a) = h(a), то функция f(x) имеет при х=а скачок; если же g(a) = h(a) = f(a), то «комбинированная» функция f разрывов не имеет. Если обе функции g и h элементарные, то f называется кусочно–элементарной. »
  • Один из способов введения таких разрывов следующий:

Пусть функция y = f(x)

при x определена формулой y = g(x),

а при xa — формулой y = h(x), причем будем считать , что каждая из функций g(x) и h(x) определена для всех значений х и разрывов не имеет.

Тогда , если g(a) = h(a), то функция f(x) имеет при х=а скачок;

если же g(a) = h(a) = f(a), то «комбинированная» функция f разрывов не имеет. Если обе функции g и h элементарные, то f называется кусочно–элементарной.



Графики непрерывных функций


Построить график функции:

У = |X-1| + 1

Х=1 –точка смены формул


Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера».

Модулем числа а называется расстояние (в единичных отрезках ) от начала координат до точки А (а) .

Это определение раскрывает геометрический смысл модуля.

Модулем (абсолютной величиной ) действительного числа а называется то самое число а ≥ 0, и противоположное число –а , если а


0 или х=0 у = -3х -2 при х »

Построить график функции у = 3|х|-2.

По определению модуля, имеем: 3х – 2 при х0 или х=0

-3х -2 при х


x n) »

. Пусть заданы х 1 х 2 х n – точки смены формул в кусочно-элементарных функциях.

Функция f, определенная при всех х, называется кусочно-линейной, если она линейна на каждом интервале

и к тому же выполнены условия согласования, то есть в точках смены формул функция не терпит разрыв.

Непрерывная кусочно-линейная функция называется линейным сплайном . Её график есть ломаная с двумя бесконечными крайними звеньями – левым (отвечающим значениям x n ) и правым ( отвечающим значениям x x n )


Кусочно-элементарная функция может быть определена более чем двумя формулами

График – ломаная с двумя бесконечными крайними звеньями – левым (х1).

У=|x| — |x – 1|

Точки смены формул: х=0 и х=1.

У(0)=-1, у(1)=1.


График кусочно-линейной функции удобно строить, указывая на координатной плоскости вершины ломаной.

Кроме построения n вершин следует построить также две точки : одну левее вершины A 1 ( x 1; y ( x 1)), другую – правее вершины An ( xn ; y ( xn )).

Заметим, что разрывную кусочно-линейную функцию нельзя представить в виде линейной комбинации модулей двучленов .


Построить график функции у = х+ |x -2| — |X|.

Непрерывная кусочно-линейная функция называется линейным сплайном

1. Точки смены формул: Х-2=0, Х=2 ; Х=0

2.Составим таблицу:

У(0 )= 0+|0-2|-|0|=0+2-0= 2 ;

у(2 )=2+|2-2|-|2|=2+0-2= 0 ;

у (-1 )= -1+|-1-2| — |-1|= -1+3-1= 1 ;

у(3 )=3+|3-2| — |3|=3+1-3= 1 .


Построить график функции у = |х+1| +|х| – |х -2|.

1 .Точки смены формул:

х+1=0, х=-1 ;

х=0 ; х-2=0, х=2.

2 . Составим таблицу:

y(-2)=|-2+1|+|-2|-|-2-2|=1+2-4=-1;

y(-1)=|-1+1|+|-1|-|-1-2|=0+1-3=-2;

y(0)=1+0-2=-1;

y(2)=|2+1|+|2|-|2-2|=3+2-0=5;

y(3)=|3+1|+|3|-|3-2|=4+3-1=6.


|x – 1| = |x + 3|

Решите уравнение:

Решение. Рассмотрим функцию y = |x -1| — |x +3|

Построим график функции /методом линейного сплайна/

  • Точки смены формул:

х -1 = 0, х = 1; х + 3 =0, х = — 3.

2. Составим таблицу:

y(- 4) =|- 4–1| — |- 4+3| =|- 5| — | -1| = 5-1=4;

y( -3 )=|- 3-1| — |-3+3|=|-4| = 4;

y( 1 )=|1-1| — |1+3| = — 4 ;

y(-1) = 0.

y(2)=|2-1| — |2+3|=1 – 5 = — 4.

Ответ: -1.



1. Построить графики кусочно-линейных функций методом линейного сплайна:

у = |x – 3| + |x|;

1). Точки смены формул:

2). Составим таблицу:


2. Построить графики функций, используя УМК «Живая математика »

А) у = |2x – 4| + |x +1|

1) Точки смены формул:

2) y() =

Б) Постройте графики функций, установите закономерность :

a) у = |х – 4| б) y = |x| +1

y = |x + 3| y = |x| — 3

y = |x – 3| y = |x| — 5

y = |x + 4| y = |x| + 4

Используйте инструменты «Точка», «Отрезок», «Стрелка» на панели инструментов.

1. Меню «Графики».

2. Вкладка «Построить график».

.3. В окне «Калькулятор» задать формулу.


Постройте график функции:

1) У = 2х + 4


1. Козина М.Е. Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов. – Волгоград: Учитель, 2006.

2. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Алгебра: учеб. Для 7 кл. общеобразоват. учреждений/ под ред. С. А. Теляковского. – 17-е изд. – М. : Просвещение, 2011

3. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Алгебра: учеб. Для 8 кл. общеобразоват. учреждений/ под ред. С. А. Теляковского. – 17-е изд. – М. : Просвещение, 2011

4. ВикипедиЯ свободная энциклопедия

http://ru.wikipedia.org/wiki/Spline

Реальные процессы, происходящие в природе, можно описать с помощью функций. Так, можно выделить два основных типа течения процессов, противоположных друг другу – это постепенное или непрерывное и скачкообразное (примером может служить падение мяча и его отскок). Но если есть разрывные процессы, то существуют и специальные средства для их описания. С этой целью вводятся в обращение функции, имеющие разрывы, скачки, то есть на различных участках числовой прямой функция ведет себя по разным законам и, соответственно, задается разными формулами. Вводятся понятия точек разрыва, устранимого разрыва.

Наверняка вам уже встречались функции, заданные несколькими формулами, в зависимости от значений аргумента, например:

y = {x – 3, при x > -3;
{-(x – 3), при x

Такие функции называются кусочными или кусочно-заданными . Участки числовой прямой с различными формулами задания, назовем составляющими область определения. Объединение всех составляющих является областью определения кусочной функции. Те точки, которые делят область определения функции на составляющие, называются граничными точками . Формулы, определяющие кусочную функцию на каждой составляющей области определения, называются входящими функциями . Графики кусочно-заданных функций получаются в результате объединения частей графиков, построенных на каждом из промежутков разбиения.

Упражнения.

Построить графики кусочных функций:

1) {-3, при -4 ≤ x f(x) = {0, при x = 0,
{1, при 0

График первой функции – прямая, проходящая через точку y = -3. Она берет свое начало в точке с координатами (-4; -3), идет параллельно оси абсцисс до точки с координатами (0; -3). График второй функции – точка с координатами (0; 0). Третий график аналогичен первому – это прямая, проходящая через точку y = 1, но уже на участке от 0 до 5 по оси Ох.

Ответ: рисунок 1.

2) {3, если x ≤ -4,
f(x) = {|x 2 – 4|x| + 3|, если -4 {3 – (x – 4) 2 , если x > 4.

Рассмотрим отдельно каждую функцию и построим ее график.

Так, f(x) = 3 – прямая, параллельная оси Ох, но изображать ее нужно только на участке, где x ≤ -4.

График функции f(x) = |x 2 – 4|x| + 3| может быть получен из параболы y = x 2 – 4x + 3. Построив ее график, часть рисунка, которая лежит над осью Ox, необходимо оставить без изменений, а часть, которая лежит под осью абсцисс, симметрично отобразить относительно оси Ox. Затем симметрично отобразить часть графика, где
x ≥ 0 относительно оси Oy для отрицательных x. Полученный в результате всех преобразований график оставляем только на участке от -4 до 4 по оси абсцисс.

График третьей функции – парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке с координатами (4; 3). Чертеж изображаем только на участке, где x > 4.

Ответ: рисунок 2.

3) {8 – (x + 6) 2 , если x ≤ -6,
f(x) = {|x 2 – 6|x| + 8|, если -6 ≤ x {3, если x ≥ 5.

Построение предлагаемой кусочной-заданной функции аналогично предыдущему пункту. Здесь графики первых двух функций получаются из преобразований параболы, а график третьей – прямая, параллельная Ох.

Ответ: рисунок 3.

4) Построить график функции y = x – |x| + (x – 1 – |x|/x) 2 .

Решение. Область определения данной функции – все действительные числа, кроме нуля. Раскроем модуль. Для этого рассмотрим два случая:

1) При x > 0 получим y = x – x + (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2 .

2) При x

Таким образом, перед нами кусочно-заданная функция:

y = {(x – 2) 2 , при x > 0;
{ x 2 + 2x, при x

Графики обоих функций – параболы, ветви которых направлены вверх.

Ответ: рисунок 4.

5) Построить график функции y = (x + |x|/x – 1) 2 .

Решение.

Легко видеть, что областью определения функции являются все действительные числа, кроме нуля. После раскрытия модуля получим кусочно-заданную функцию:

1) При x > 0 получим y = (x + 1 – 1) 2 = x 2 .

2) При x

Перепишем.

y = {x 2 , при x > 0;
{(x – 2) 2 , при x

Графики этих функций – параболы.

Ответ: рисунок 5.

6) Существует ли функция, график которой на координатной плоскости имеет общую точку с любой прямой?

Решение.

Да, существует.

Примером может быть функция f(x) = x 3 . Действительно, с вертикальной прямой х = а график кубической параболы пересекается в точке (а; а 3). Пусть теперь прямая задана уравнением y = kx + b. Тогда уравнение
x 3 – kx – b = 0 имеет действительный корень х 0 (так как многочлен нечетной степени всегда имеет хотя бы один действительный корень). Следовательно, график функции пересекается с прямой y = kx + b, например, в точке (х 0 ; х 0 3).

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №13

«Кусочные функции»

Сапогова Валентина и

Донская Александра

Руководитель-консультант:

г. Бердск

1. Определение основных целей и задач.

2. Анкетирование.

2.1. Определение актуальности работы

2.2. Практическая значимость.

3. История функций.

4. Общая характеристика.

5. Способы задания функций.

6. Алгоритм построения.

8. Используемая литература.

1. Определение основных целей и задач.

Цель:

Выяснить способ решения кусочных функций и, исходя из этого, составить алгоритм их построения.

Задачи:

— Познакомиться с общим понятием о кусочных функциях;

— Узнать историю термина «функция»;

— Провести анкетирование;

— Выявить способы задания кусочных функций;

— Составить алгоритм их построения;

2. Анкетирование.

Среди старшеклассников было проведено анкетирование на умение строить кусочные функции. Общее количество опрошенных составило 54 человека. Среди них 6% — работу выполнили полностью. 28% работу смогли выполнить, но с определёнными ошибками. 62% — работу не смогли выполнить, хоть и предпринимали какие-либо попытки, а оставшиеся 4% вообще не приступали к работе.

Из этого анкетирования можно сделать вывод, что ученики нашей школы, которые проходят программу имеют не достаточную базу знаний, ведь этот автор не уделяет особого внимания на задания подобного рода. 2 > 0%%, т.е. %%D = (-1, 1)%%.

Преимущества явного аналитического задания функции

Отметим, что явный аналитический способ задания функции достаточно компактен (формула, как правило, занимает немного места), легко воспроизводим (формулу нетрудно записать) и наиболее приспособлен к выполнению над функциями математических действий и преобразований.

Некоторые из этих действий — алгебраические (сложение, умножение и др.) — хорошо известны из школьного курса математики, другие (дифференцирование, интегрирование) будем изучать в дальнейшем. Однако этот способ не всегда нагляден, так как не всегда четок характер зависимости функции от аргумента, а для нахождения значений функции (если они необходимы) требуются иногда громоздкие вычисления.

Неявное задание функции

Функция %%y = f(x)%% задана неявным аналитическим способом , если дано соотношение $$F(x,y) = 0, ~~~~~~~~~~(1)$$ связывающее значения функции %%y%% и аргумента %%x%%. Если задавать значения аргумента, то для нахождения значения %%y%%, соответствующего конкретному значению %%x%%, необходимо решить уравнение %%(1)%% относительно %%y%% при этом конкретном значении %%x%%. 5 — 1 = 0%%

и равенство %%y = \sqrt{1 — x}%% определяют одну и ту же функцию.

Параметрическое задание функции

Когда зависимость %%y%% от %%x%% не задана непосредственно, а вместо этого даны зависимости обоих переменных %%x%% и %%y%% от некоторой третьей вспомогательной переменной %%t%% в виде

$$ \begin{cases} x = \varphi(t),\\ y = \psi(t), \end{cases} ~~~t \in T \subseteq \mathbb{R}, ~~~~~~~~~~(2) $$то говорят о параметрическом способе задания функции;

тогда вспомогательную переменную %%t%% называют параметром.

Если из уравнений %%(2)%% удается исключить параметр %%t%%, то приходят к функции, заданной явной или неявной аналитической зависимостью %%y%% от %%x%%. Например, из соотношений $$ \begin{cases} x = 2 t + 5, \\ y = 4 t + 12, \end{cases}, ~~~t \in \mathbb{R}, $$ исключением параметра %%t%% получим зависимость %%y = 2 x + 2%%, которая задает в плоскости %%xOy%% прямую.

Графический способ

Пример графического задания функции

Приведенные выше примеры показывают, что аналитическому способу задания функции соответствует ее графическое изображение , которое можно рассматривать как удобную и наглядную форму описания функции. Иногда используют графический способ задания функции, когда зависимость %%y%% от %%x%% задают линией на плоскости %%xOy%%. Однако при всей наглядности он проигрывает в точности, поскольку значения аргумента и соответствующие им значения функции можно получить из графика лишь приближенно. Возникающая при этом погрешность зависит от масштаба и точности измерения абсциссы и ординаты отдельных точек графика. В дальнейшем графику функции отведем роль только иллюстрации поведения функции и поэтому будем ограничиваться построением «эскизов» графиков, отражающих основные особенности функций.

Табличный способ

Отметим табличный способ задания функции, когда некоторые значения аргумента и соответствующие им значения функции в определенном порядке размещаются в таблице. Так построены известные таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т.п. В виде таблицы обычно представляют зависимость между величинами, измеряемыми при экспериментальных исследованиях, наблюдениях, испытаниях.

Недостаток этого способа состоит в невозможности непосредственного определения значений функции для значений аргумента, не входящих в таблицу. Если есть уверенность, что непредставленные в таблице значения аргумента принадлежат области определения рассматриваемой функции, то соответствующие им значения функции могут быть вычислены приближенно при помощи интерполяции и экстраполяции.

Пример

x 3 5.1 10 12.5
y 9 23 80 110

Алгоритмический и словесный способы задания функций

Функцию можно задать алгоритмическим (или программным ) способом, который широко используют при вычислениях на ЭВМ.

Наконец, можно отметить описательный (или словесный ) способ задания функции, когда правило соответствия значений функции значениям аргумента выражено словами.

Например, функцию %%[x] = m~\forall {x \in }

Задание функции кусочно аналитическим способом.

Аналитическое задание функции

Кусочные функции — это функции, заданные разными формулами на разных числовых промежутках. Например,

Такая запись обозначает, что значение функции вычисляется по формуле √x, когда x больше или равен нулю. Когда же x меньше нуля, то значение функции определяется по формуле –x 2 . Например, если x = 4, то f(x) = 2, т. к. в данном случае используется формула извлечения корня. Если же x = –4, то f(x) = –16, т. к. в этом случае используется формула –x 2 (сначала возводим в квадрат, потом учитываем минус).

Чтобы построить график такой кусочной функции, сначала строятся графики двух разных функций не зависимо от значения x (т. е. на всей числовой прямой аргумента). После этого от полученных графиков берутся только те части, которые принадлежат соответствующим диапазонам x. Эти части графиков объединяются в один. Понятно, что в простых случаях чертить можно сразу части графиков, опустив предварительную прорисовку их «полных» вариантов.

Для приведенного выше примера для формулы y = √x получим такой график:

Здесь x в принципе не может принимать отрицательных значений (т. е. подкоренное выражение в данном случае не может быть отрицательным). Поэтому в график кусочной функции уйдет весь график уравнения y = √x.

Построим график функции f(x) = –x 2 . Получим перевернутую параболу:

В данном случае в кусочную функции мы возьмем только ту часть параболы, для которой x принадлежит промежутку (–∞; 0). В результате получится такой график кусочной функции:

Рассмотрим другой пример:

Графиком функции f(x) = (0.6x – 0.5) 2 – 1.7 будет видоизмененная парабола. Графиком f(x) = 0.5x + 1 является прямая:

В кусочной функции x может принимать значения в ограниченных промежутках: от 1 до 5 и от –5 до 0. Ее график будет состоять из двух отдельных частей. Одну часть берем на промежутке от параболы, другую — на промежутке [–5; 0] от прямой:

7
Урок по алгебре в 9А классе учителя Микитчук Ж. Н. МОУ «СОШ №23» 19.03.07г Тема урока: «Кусочно-заданные функции» Цели:

    обобщить и совершенствовать знания, умения и навыки учащихся по указанной теме; воспитывать у учащихся внимательность, сосредоточенность, настойчивость, уверенность в своих знаниях; развивать мыслительные способности, логическое мышление; речевую культуру, умение применять теоретические знания.
В результате обобщения темы учащиеся должны знать: уметь:
    строить график кусочно-заданной функции; читать график; задавать функцию аналитически по графику.

Ход урока

I. Организационно-психологический момент. Начнем наш урок словами Д.К.Фадеева «Какую бы задачу вы не решали, в концевас ждёт счастливая минута – радостноечувство успеха, укрепление веры в свои силы.Пусть эти слова на нашем уроке обретут реальное подтверждение.II. Проверка домашнего задания. Начнем урок как обычно с проверки д/з.-Повторите определение кусочной функции и план исследования функций. 1). На доске изобразить придуманные вами графики кусочных функций (рис.1,2,3)2).Карточки .№1. Расставьте порядок исследования свойств функций:
    выпуклость; четность, нечётность; область значений; ограниченность; монотонность; непрерывность; наибольшее и наименьшее значение функции; область определения.
№2.Изобразите схематически графики функций:

А) у = kx + b, k0; Б) y = kx, k0;

В) у = , k0.

3).Устная работа . – 2мин

    Какая функция называется кусочной?
Кусочной называется функция, заданная разными формулами на разных промежутках.
    Из каких функций состоят кусочные функции, изображенные на рис.1,2,3? Какие ещё названия функций вы знаете? Как называются графики соответствующих функций? Является ли графиком какой-либо функции, фигура, изображенная на рис.4? Почему?
Ответ: нет, т.к. по определению функции, каждому значению независимой переменной х ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной у. 4) Самоконтроль — 3 минИз предложенных графиков и соответствующих формул, задающих функции, выберите верные. Из полученных букв ответов составьте знакомое слово. Ответ: ГРАФИК Где в жизни, в науке, в быту мы ещё встречаемся со словом ГРАФИК?-График зависимости массы от объёма,-объёма от давления;- график дежурства;- график движения поездов;-графики используются для представления различной информации, например, объём промышленного производства в Саратовской области в период с 1980 по 2002год.. По этому графику можно проследить за снижением и ростом производства в отдельные года.-Скажите, графиком какой функции представлена данная информация.Ответ: кусочная функция .III. Сообщение темы, цели урока. Тема урока: «Кусочно-заданные функции»Цель: — на примере кусочно-заданной функции вспомнить план исследования функций;
    повторить шаги построения кусочно-заданной функции; применять обобщенные знания при решении нестандартных задач.
IV. Актуализация ранее усвоенных знаний. Понятие функции впервые встретилось нам в 7 классе при изучении линейной зависимости. С точки зрения моделирования реальных процессов, эта зависимость соответствует равномерным процессам.Пример: Движение пешехода с постоянной скоростью за время t. Формула: s =vt, график – отрезки прямой, расположен в I четверти.
Основная тема 8-го класса – квадратичная функция, моделирующая равноускоренные процессы.Пример: изученная вами в 9-ом классе формула определения сопротивления нагретой лампы (R) при постоянной мощности (Р) и изменяющемся напряжении (U). ФормулаR = , график – ветвь параболы, расположен-ная в I четверти.
На протяжении трёх лет наши знания о функциях обогащались, количество изученных функций росло, пополнялся и набор заданий для решения которых приходится прибегать к графикам.Назовите эти типы заданий…- решение уравнений; — решение систем уравнений; — решение неравенств; — исследование свойств функций. V.Подготовка уч-ся к обобщающей деятельности. Вспомним один из типов заданий, а именно – исследование свойств функций или чтение графика.Обратимся к учебнику. Страница 65 рис.20а из №250.Задание: прочитать график функции. Порядок исследования функции перед нами.1. область определения – (-∞; +∞) 2. четность, нечётность – ни четная, ни нечётная 3. монотонность- возрастает [-3; +∞), убывает [-5;-3], постоянна (-∞; -5]; 4. ограниченность – ограничена снизу 5. наибольшее и наименьшее значение функции – у наим = 0, у наиб – не существует; 6. непрерывность- непрерывна на всей области определения; 7. область значений – , выпукла и вниз и вверх (-∞; -5] и [-2; +∞). VI. Воспроизведение знаний на новом уровне. Вы знаете, что построение и исследование графиков кусочно-заданных функций, рассматриваются во второй части экзамена по алгебре в разделе функции и оцениваются 4-мя и 6-ю баллами. Обратимся к сборнику заданий.Страница 119 — №4.19-1).Решение: 1).у = — x, — квадратичная функция, график – парабола, ветви вниз (а = -1, а 0). х -2 -1 0 1 2 у -4 -1 0 1 4 2) у= 3х – 10, — линейная функция, график – прямая Составим таблицу некоторых значений х 3 3 у 0 -1 3) у= -3х -10, — линейная функция, график – прямая Составим таблицу некоторых значений х -3 -3 у 0 -1 4)Построим графики функций в одной системе координат и выделим части графиков на заданных промежутках.
Найдем по графику, при каких значениях х значения функции неотрицательны. Ответ: f(x)  0 при х = 0 и при  3VII.Работа над нестандартными заданиями. №4.29-1), стр. 121. Решение: 1)Прямая (слева) у = kx + b проходит через точки (-4;0) и (-2;2). Значит,-4 k + b = 0,-2 k + b = 2;
k = 1, b = 4, у = х+4.Ответ: х +4, если х -2 у = , если -2 х £ 3 3, если х 3
VIII.Контроль знаний. Итак, подведём небольшой итог. Что мы повторили на уроке?План исследования функций, шаги построения графика кусочной функции, задание функции аналитически. Проверим как вы усвоили данный материал.Тестирование на «4»- «5», «3» I вариант№ У
2 1 -1 -1 1 Х
    D(f) = , выпуклая и вверх и вниз на , выпуклая вверх и вниз на , убывает на ________ Ограничена ____________ у наим не существует, у наиб =_____ Непрерывна на всей области определения Е(f) = ____________ Выпукла и вниз и вверх на всей области определения

Непрерывность и построение графиков кусочно-заданных функций – сложная тема. Учиться строить графики лучше непосредственно на практическом занятии. Здесь в основном показано исследование на непрерывность.

Известно, что элементарная функция (см. с. 16) непрерывна во всех точках, в которых определена. Поэтому нарушение непрерывности у элементарных функций возможно только в точках двух типов:

а) в точках, где функция «переопределяется»;

б) в точках, где функция не существует.

Соответственно только такие точки и проверяются при исследовании на непрерывность, что показано в примерах.

Для неэлементарных функций исследование сложнее. Например, функция (целая часть числа) определена на всей числовой оси, но терпит разрыв при каждом целомx . Подобные вопросы выходят за рамки пособия.

Перед изучением материала следует повторить по лекции или учебнику, какими (какого рода) бывают точки разрыва.

Исследование кусочно-заданных функций на непрерывность

Функция задана кусочно , если она на разных участках области определения задаётся разными формулами.

Основная идея при исследовании таких функций – выяснить, задана ли функция в тех точках, в которых переопределяется, и как. Затем проверяется, совпадают ли значения функции слева и справа от таких точек.

Пример 1. Покажем, что функция
непрерывна.

Функция
элементарна и потому непрерывна в тех точках, в которых определена. Но, очевидно, она определена во всех точках. Следовательно, во всех точках она и непрерывна, в том числе при
, как требует условие.

То же справедливо для функции
, и при
она непрерывна.

В таких случаях непрерывность может нарушаться только там, где функция переопределяется. В нашем примере это точка
. Проверим её, для чего найдём пределы слева и справа:

Пределы слева и справа совпадают. Остаётся узнать:

а) определена ли функция в самой точке
;

б) если да, то совпадает ли
со значениями пределов слева и справа.

По условию, если
, то
. Поэтому
.

Видим, что (все равны числу 2). Это означает, что в точке
функция непрерывна . Итак, функция непрерывна на всей оси, включая точку
.

Замечания к решению

а) При вычислениях не играло роли, подставляем мы в конкретную формулу число
или
. Обычно это важно, когда получается деление на бесконечно малую величину, поскольку влияет на знак бесконечности. Здесь же
и
отвечают только завыбор функции;

б) как правило, обозначения
и
равноправны, то же касается обозначений
и
(и справедливо для любой точки, а не только для
). Дальше для краткости применяются обозначения вида
;

в) когда пределы слева и справа равны, для проверки на непрерывность фактически остаётся посмотреть, будет ли одно из неравенств нестрогим . В примере таковым оказалось 2-е неравенство.

Пример 2. Исследуем на непрерывность функцию
.

По тем же причинам, что в примере 1, непрерывность может нарушаться только в точке
. Проверим:

Пределы слева и справа равны, но в самой точке
функция не определена (неравенства строгие). Это означает, что
– точкаустранимого разрыва .

«Устранимый разрыв» означает, что достаточно или сделать любое из неравенств нестрогим, или придумать для отдельной точки
функцию, значение которой при
равно –5, или просто указать, что
, чтобы вся функция
стала непрерывной.

Ответ: точка
– точка устранимого разрыва.

Замечание 1. В литературе устранимый разрыв обычно считается частным случаем разрыва 1-го рода, однако студентами чаще понимается как отдельный тип разрыва. Во избежание разночтений будем придерживаться 1-й точки зрения, а «неустранимый» разрыв 1-го рода оговаривать особо.

Пример 3. Проверим, непрерывна ли функция

В точке

Пределы слева и справа различны:
. Независимо от того, определена ли функция при
(да) и если да, то чему равна (равна 2), точка
точка неустранимого разрыва 1-го рода .

В точке
происходитконечный скачок (от 1 к 2).

Ответ: точка

Замечание 2. Вместо
и
обычно пишут
и
соответственно.

Возможен вопрос: чем отличаются функции

и
,

а также их графики? Правильный ответ:

а) 2-я функция не определена в точке
;

б) на графике 1-й функции точка
«закрашена», на графике 2-й – нет («выколотая точка»).

Точка
, где обрывается график
, не закрашена на обоих графиках.

Сложнее исследовать функции, по-разному определённые на трёх участках.

Пример 4. Непрерывна ли функция
?

Так же, как в примерах 1 – 3, каждая из функций
,
инепрерывна на всей числовой оси, в том числе – на участке, на котором задана. Разрыв возможен только в точке
или (и) в точке
, где функция переопределяется.

Задача распадается на 2 подзадачи: исследовать на непрерывность функции

и
,

причём точка
не представляет интереса для функции
, а точка
– для функции
.

1-й шаг. Проверяем точку
и функцию
(индекс не пишем):

Пределы совпадают. По условию,
(если пределы слева и справа равны, то фактически функция непрерывна, когда одно и из неравенств нестрогое). Итак, в точке
функция непрерывна.

2-й шаг. Проверяем точку
и функцию
:

Поскольку
, точка
– точка разрыва 1-го рода, и значение
(и то, есть ли оно вообще) уже не играет роли.

Ответ: функция непрерывна во всех точках, кроме точки
, где имеет место неустранимый разрыв 1-го рода – скачок от 6 к 4.

Пример 5. Найти точки разрыва функции
.

Действуем по той же схеме, что в примере 4.

1-й шаг. Проверяем точку
:

а)
, поскольку слева от
функция постоянна и равна 0;

б) (
– чётная функция).

Пределы совпадают, но при
функция по условию не определена, и получается, что
– точка устранимого разрыва.

2-й шаг. Проверяем точку
:

а)
;

б)
– значение функции не зависит от переменной.

Пределы различны: , точка
– точка неустранимого разрыва 1-го рода.

Ответ:
– точка устранимого разрыва,
– точка неустранимого разрыва 1-го рода, в остальных точках функция непрерывна.

Пример 6. Непрерывна ли функция
?

Функция
определена при
, поэтому условие
превращается в условие
.

С другой стороны, функция
определена при
, т.е. при
. Значит, условие
превращается в условие
.

Получается, что должно выполняться условие
, и область определения всей функции – отрезок
.

Сами по себе функции
и
элементарны и потому непрерывны во всех точках, в которых определены – в частности, и при
.

Остаётся проверить, что происходит в точке
:

а)
;

Поскольку
, смотрим, определена ли функция в точке
. Да, 1-е неравенство – нестрогое относительно
, и этого достаточно.

Ответ: функция определена на отрезке
и непрерывна на нём.

Более сложные случаи, когда одна из составляющих функций неэлементарна или не определена в какой-либо точке своего отрезка, выходят за рамки пособия.

НФ1. Постройте графики функций. Обратите внимание, определена ли функция в той точке, в которой переопределяется, и если да – каково значение функции (слово «если » в определении функции для краткости пропущено):

1) а)
б)
в)
г)

2) а)
б)
в)
г)

3) а)
б)
в)
г)

4) а)
б)
в)
г)

Пример 7. Пусть
. Тогда на участке
строим горизонтальную прямую
, а на участке
строим горизонтальную прямую
. При этом точка с координатами
«выколота», а точка
«закрашена». В точке
получается разрыв 1-го рода («скачок»), и
.

НФ2. Исследуйтена непрерывность функции, по-разному определённые на 3-х интервалах. Постройте графики:

1) а)
б)
в)

г)
д)
е)

2) а)
б)
в)

г)
д)
е)

3) а)
б)
в)

г)
д)
е)

Пример 8. Пусть
. На участке
строим прямую
, для чего находим
и
. Соединяем точки
и
отрезком. Сами точки не включаем, поскольку при
и
функция по условию не определена.

На участке
и
обводим осьOX (на ней
), однако точки
и
«выколоты». В точке
получаем устранимый разрыв, а в точке
– разрыв 1-го рода («скачок»).

НФ3. Постройте графики функций и убедитесь в их непрерывности:

1) а)
б)
в)

г)
д)
е)

2) а)
б)
в)

г)
д)
е)

НФ4. Убедитесь в непрерывности функций и постройте их графики:

1) а)
б)
в)

2 а)
б)
в)

3) а)
б)
в)

НФ5. Постройте графики функций. Обратите внимание на непрерывность:

1) а)
б)
в)

г)
д)
е)

2) а)
б)
в)

г)
д)
е)

3) а)
б)
в)

г)
д)
е)

4) а)
б)
в)

г)
д)
е)

5) а)
б)
в)

г)
д)
е)

НФ6. Постройте графики разрывных функций. Обратите внимание на значение функции в той точке, где функция переопределяется (и существует ли оно):

1) а)
б)
в)

г)
д)
е)

2) а)
б)
в)

г)
д)
е)

3) а)
б)
в)

г)
д)
е)

4) а)
б)
в)

г)
д)
е)

5) а)
б)
в)

г)
д)
е)

НФ7. То же задание, что и в НФ6:

1) а)
б)
в)

г)
д)
е)

2) а)
б)
в)

г)
д)
е)

3) а)
б)
в)

г)
д)
е)

4) а)
б)
в)

г)
д)
е)

Аналитическое задание функции

Функция %%y = f(x), x \in X%% задана явным аналитическим способом , если дана формула, указывающая последовательность математических действий, которые надо выполнить с аргументом %%x%%, чтобы получить значение %%f(x)%% этой функции. 2 > 0%%, т.е. %%D = (-1, 1)%%.

Преимущества явного аналитического задания функции

Отметим, что явный аналитический способ задания функции достаточно компактен (формула, как правило, занимает немного места), легко воспроизводим (формулу нетрудно записать) и наиболее приспособлен к выполнению над функциями математических действий и преобразований.

Некоторые из этих действий — алгебраические (сложение, умножение и др.) — хорошо известны из школьного курса математики, другие (дифференцирование, интегрирование) будем изучать в дальнейшем. Однако этот способ не всегда нагляден, так как не всегда четок характер зависимости функции от аргумента, а для нахождения значений функции (если они необходимы) требуются иногда громоздкие вычисления.

Неявное задание функции

Функция %%y = f(x)%% задана неявным аналитическим способом , если дано соотношение $$F(x,y) = 0, ~~~~~~~~~~(1)$$ связывающее значения функции %%y%% и аргумента %%x%%. Если задавать значения аргумента, то для нахождения значения %%y%%, соответствующего конкретному значению %%x%%, необходимо решить уравнение %%(1)%% относительно %%y%% при этом конкретном значении %%x%%. 5 — 1 = 0%%

и равенство %%y = \sqrt{1 — x}%% определяют одну и ту же функцию.

Параметрическое задание функции

Когда зависимость %%y%% от %%x%% не задана непосредственно, а вместо этого даны зависимости обоих переменных %%x%% и %%y%% от некоторой третьей вспомогательной переменной %%t%% в виде

$$ \begin{cases} x = \varphi(t),\\ y = \psi(t), \end{cases} ~~~t \in T \subseteq \mathbb{R}, ~~~~~~~~~~(2) $$то говорят о параметрическом способе задания функции;

тогда вспомогательную переменную %%t%% называют параметром.

Если из уравнений %%(2)%% удается исключить параметр %%t%%, то приходят к функции, заданной явной или неявной аналитической зависимостью %%y%% от %%x%%. Например, из соотношений $$ \begin{cases} x = 2 t + 5, \\ y = 4 t + 12, \end{cases}, ~~~t \in \mathbb{R}, $$ исключением параметра %%t%% получим зависимость %%y = 2 x + 2%%, которая задает в плоскости %%xOy%% прямую.

Графический способ

Пример графического задания функции

Приведенные выше примеры показывают, что аналитическому способу задания функции соответствует ее графическое изображение , которое можно рассматривать как удобную и наглядную форму описания функции. Иногда используют графический способ задания функции, когда зависимость %%y%% от %%x%% задают линией на плоскости %%xOy%%. Однако при всей наглядности он проигрывает в точности, поскольку значения аргумента и соответствующие им значения функции можно получить из графика лишь приближенно. Возникающая при этом погрешность зависит от масштаба и точности измерения абсциссы и ординаты отдельных точек графика. В дальнейшем графику функции отведем роль только иллюстрации поведения функции и поэтому будем ограничиваться построением «эскизов» графиков, отражающих основные особенности функций.

Табличный способ

Отметим табличный способ задания функции, когда некоторые значения аргумента и соответствующие им значения функции в определенном порядке размещаются в таблице. Так построены известные таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т.п. В виде таблицы обычно представляют зависимость между величинами, измеряемыми при экспериментальных исследованиях, наблюдениях, испытаниях.

Недостаток этого способа состоит в невозможности непосредственного определения значений функции для значений аргумента, не входящих в таблицу. Если есть уверенность, что непредставленные в таблице значения аргумента принадлежат области определения рассматриваемой функции, то соответствующие им значения функции могут быть вычислены приближенно при помощи интерполяции и экстраполяции.

Пример

x 3 5.1 10 12.5
y 9 23 80 110

Алгоритмический и словесный способы задания функций

Функцию можно задать алгоритмическим (или программным ) способом, который широко используют при вычислениях на ЭВМ.

Наконец, можно отметить описательный (или словесный ) способ задания функции, когда правило соответствия значений функции значениям аргумента выражено словами.

Например, функцию %%[x] = m~\forall {x \in }

Кусочные функции — определение, график и примеры

Есть случаи, когда выражение для функций зависит от заданного интервала входных значений. Когда это происходит, мы называем эти типы функций кусочно-определенными функциями .

Кусочные функции определяются разными функциями на разных интервалах области.

На самом деле мы применяем кусочные функции в своей жизни чаще, чем думаем.Налоговые скобки, оценка наших тарифных планов мобильных телефонов и даже наша зарплата (с оплатой сверхурочных) используют кусочные функции.

Поэтому для этой функции мы выделили специальный артикул. В этой статье вы узнаете следующее:

  • Определение кусочной функции.
  • Научиться вычислять кусочно-определенные функции на заданных интервалах.
  • Графики и интерпретация кусочных функций.

Что такое кусочная функция?

Чтобы полностью понять, что такое кусочно-определенные функции и как мы можем построить наши собственные кусочно-определенные функции, давайте сначала углубимся в понимание того, как это работает.

Определение кусочной функции

Кусочная функция — это функция, которая определяется различными формулами или функциями для каждого заданного интервала. Это также в названии: шт. Функция определяется фрагментами функций для каждой части домена .

2x, при x > 0

1, при x = 0

-2x, при x < 0

Как видно из приведенного выше примера, f(x) является кусочной функцией, поскольку она определяется однозначно для трех интервалов: x > 0, x = 0 и x < 0.

Как читать кусочные функции?

Если у нас есть данная кусочно-определенная функция, мы можем интерпретировать ее, глядя на заданные интервалы. Если мы посмотрим на наш пример, мы можем прочитать его как:

  • Когда x > 0, f(x) равно 2x.
  • Когда x = 0, f(x) равно 1.
  • Когда x < 0, f(x) равно -2x.

При задании графика кусочной функции обязательно соблюдайте заданные интервалы, где f(x) имеет различные графики.Но прежде чем мы попробуем примеры, которые включают анализ графиков кусочных функций, давайте продолжим и узнаем, как мы можем сначала оценить и построить график кусочных функций.

Как решать кусочные функции?

Теперь, когда мы узнали об этой уникальной функции, как нам убедиться, что мы возвращаем правильное значение для функции, заданной x ? Вот советы, которые следует помнить при вычислении и вычислении кусочных функций:

  • Дважды проверьте, где x находится в заданном интервале.
  • Оцените значение с помощью соответствующей функции.

Допустим, мы хотим найти f(8) , используя показанную нами кусочную функцию.

2x, для x > 0

1, для x = 0

-2x, для x < 0

Поскольку 8 больше 0, функция, которую мы будем использовать для оценки f(8) , равна f(x) = 2x . Следовательно, мы имеем f(8) = 2(8) = 16 . Это также означает, что f(-6) = -2(-6) = 12 и f(0) = 1 .

Как построить график кусочных функций?

Как мы уже упоминали ранее, кусочные функции содержат разные функции для каждого из заданных интервалов. Это означает, что при графическом построении кусочных функций также ожидают построения графиков различных функций для каждого интервала .

Вот несколько быстрых напоминаний при построении графика кусочных функций:

  • Это помогает определить, как будет выглядеть каждая функция.
  • Для инклюзивных интервалов (т. е. x ≥ 0), включая конечные точки.
  • Для исключающих интервалов (т. е. x < 0) исключайте конечные точки, используя незакрашенные точки.

Каковы общие функции, с которыми вы можете столкнуться при построении графика кусочных функций? Вот некоторые ресурсы, и не стесняйтесь проверить ссылки, чтобы освежить свои знания о некоторых часто используемых графиках:

Это не единственные функции, которые могут использовать кусочные функции, поэтому обязательно проверьте библиотеку функций вашего учебника. всякий раз, когда вам нужно. Попробуем построить график кусочной функции, приведенной в первом разделе.

2x, для x > 0

1, для x = 0

-2x, для x < 0

Когда x > 0 и x < 0, f(x) возвращает линейную функцию . Найдите по крайней мере две пары точек, удовлетворяющих каждой функции, и используйте их для построения двух линейных графиков.

Поскольку оба неравенства являются исключающими, мы оставляем точку в начале координат незаполненной. Теперь у нас осталось условие, когда x = 0. Поскольку значение постоянно при f (x) = 1, давайте нанесем точку в (0,1).

Этот график возвращает окончательный график для данной кусочной функции.Из графика видно, что f(x) имеет домен и диапазон (-∞, ∞) и [0, -∞) соответственно.

Мы рассмотрели все основные свойства и методы, которые мы можем использовать с кусочными функциями, поэтому пришло время проверить наши знания на этих примерах!

Пример 1

Оцените данную кусочную функцию при заданных значениях x , как показано ниже.

√x , для x > 0

5, для x = 0

x/6, для x < 0

     а.f(-36)

     б. f(0)

     c. f(49)

Решение

  • Когда x = -36 (или меньше 0), выражение для f(x) равно x/6 . Давайте оценим f(-36) , используя выражение. Следовательно, мы имеем f(-36) = -36/6 = -6 .
  • Когда x = 0, f(x) является константой . Это означает, что у нас есть f(0) = 5 .
  • Когда x = 49 (и, следовательно, больше 0), выражение для f(x) равно x .Давайте оценим f(49) , используя выражение. Следовательно, мы имеем f(49) = 49 = 7 .

Пример 2

Постройте график кусочной функции, показанной ниже. Используя график, определите его домен и диапазон.

2x , для x ≠ 0

1, для x = 0

Решение

Для всех интервалов x, кроме тех, когда он равен 0, f(x) = 2x (что является линейной функцией) .Чтобы построить график линейной функции, мы можем использовать две точки для соединения линии. Просто убедитесь, что две точки удовлетворяют y = 2x . Не забудьте оставить точку происхождения незаполненной.

Поскольку f(x) = 1 , когда x = 0 , мы наносим закрашенную точку на (0,1). На приведенном выше графике показан окончательный график кусочной функции.

Поскольку граф охватывает все значения x, областью определения будет все действительные числа или  (-∞, ∞). То же самое относится и к диапазону функций.Поскольку она распространяется в обоих направлениях, диапазон функции равен (- , ) в интервальной нотации .

Пример 3

Постройте график кусочной функции, показанной ниже. Используя график, определите его домен и диапазон.

x 2 , для x ≤ 0

5, для 0 < x < 2

x/2 , для x ≥ 2 будет выглядеть так:

  • Когда x ≤ 0, f(x) становится квадратичной функцией с параболой, проходящей через начало координат и (-2, 4). Поскольку это применимо только для 0 и отрицательных чисел, мы получим только половину параболы.
  • Когда 0 < x < 2, f(x) будет представлять константу, которая является горизонтальной линией, проходящей через y = 5 . Обязательно оставьте (0,5) и (2,5) незаполненными, так как они не являются частью решения.
  • Когда x ≥ 2, f(x) является функцией и проходит через (2, 1) и (6,3).

Используя эту информацию, мы можем построить график f(x) .

На изображении выше показаны три компонента кусочной функции.Давайте продолжим и упростим этот график, чтобы мы могли проанализировать его домен и диапазон.

Поскольку все значения x простираются в обоих направлениях, областью определения будет все действительные числа или  (-∞, ∞). Поскольку график охватывает только значения y над осью x, диапазон функции равен [0, ) в интервальной нотации .

Пример 4

В близлежащем кафе проводится устная поэзия.Они берут 6 долларов с человека за стол от 1 до 5 гостей. Они также предлагают фиксированную плату в размере 50 долларов за стол с 6 или более людьми. Напишите функцию, которая связывает количество людей x и стоимость посещения мероприятия f(x) .

Решение

Давайте разберем задачу и найдем выражение f(x) для каждого интервала:

  • Для стола от 1 до 5 гостей мы можем выразить это как 1 ≤ x ≤ 5 по x.Поскольку это будет стоить каждому гостю 6 долларов, общее количество гостей для x составит 6x .
  • Теперь для стола с 6 или более людьми мы можем выразить интервал как x ≥ 6. Для этого интервала f(x) будет всегда равно 60 .

Теперь мы можем суммировать это в кусочную функцию:

6x, для 1 ≤ x ≤ 5

50, для x ≥ 6

гости.

Объяснение урока: Графики кусочных функций

В этом объяснении мы научимся строить графики и анализировать кусочно-определенные функции и изучать их различные характеристики.

Кусочная функция состоит из нескольких подфункций, определенных в отдельных подобластях. Объединение подобластей составляет общую область определения кусочной функции. Объединение диапазонов подфункций составляет диапазон всей кусочной функции.

Следующие данные о ценах на билеты в парк развлечений можно смоделировать с помощью кусочной функции.

Стоимость билетов в парк развлечений
Возраст Цена
5–12 8 долларов.50
13–18 $12
19+ $15

В таблице представлены три разные цены билетов, которые зависят от возраста посетителя парка. Для моделирования этого потребуются три разные подфункции. Нам также нужно будет тщательно продумать, как интерпретировать возрастные категории при выборе домена каждой подфункции. Возраст от 5 до 12 лет охватывает людей с момента, когда часы бьют полночь в начале их 5-летия, до момента, когда часы бьют полночь в начале их 13-летия.Возраст 13–18 лет охватывает людей с момента, когда часы бьют полночь в начале их 13-летия, до момента, когда часы бьют полночь в начале их 19-летия. Возраст 19+ охватывает людей с момента, когда часы бьют полночь в начале их 19-летия и далее.

Определим 𝑥 как возраст (в годах) посетителя парка, а 𝑓(𝑥) как цену билета посетителя (в долларах). Затем мы можем написать определение нашей функции 𝑓(𝑥): 𝑓(𝑥)=8,55≤𝑥13,1213≤𝑥19,15𝑥≥19.

Теперь рассмотрим, как построить график этой функции. Нам нужно будет изучить каждый поддомен отдельно.

С посетителей парка в возрасте от 5 до 12 лет взимается плата в размере 8,50 долларов США, поэтому значение 𝑓(𝑥) равно 8,5, когда 5≤𝑥13. Это представлено горизонтальной линией на нашем графике со значением 𝑦 8,5 и значениями 𝑥 от 5 (включая 5, представленных сплошной точкой) до 13 (исключая 13, представленных полой точкой). Мы представили это розовой линией на нашем графике ниже.

С посетителей парка в возрасте от 13 до 18 лет взимается плата в размере 12 долларов США, поэтому значение 𝑓(𝑥) равно 12, когда 13≤𝑥19.Это представлено горизонтальной линией на нашем графике со значением 𝑦, равным 12, и значениями 𝑥 от 13 (включая 13, представленных сплошной точкой) до 19 (исключая 19, представленных полой точкой). Мы представили это синей линией на нашем графике ниже.

С посетителей парка в возрасте 19+ взимается плата в размере 15 долларов США, поэтому значение 𝑓(𝑥) равно 15, когда 𝑥≥19. Это представлено горизонтальной линией на нашем графике со значением 𝑦, равным 15, и значениями 𝑥 от 19 (включая 19, представленных сплошной точкой) вверх (представлено лучом, указывающим вправо).Хотя люди не живут вечно, модель ценообразования определена таким образом, что независимо от того, сколько вам лет, если вам 19 лет или больше, с вас будет взиматься 15 долларов за посещение парка. Мы представили это зеленым лучом на нашем графике ниже.

Хотя во многих кусочных функциях определения подфункций могут быть намного сложнее, чем константные функции в нашем примере с парком развлечений, принцип их графического отображения тот же. Нам нужно рассмотреть график для каждой подобласти отдельно, посмотреть, что произойдет на каждом конце каждой подфункции, и отобразить их рядом друг с другом на одном и том же наборе осей.

Кусочная функция, которую мы определили для цен на билеты в парк развлечений и построили график, определена только для всех действительных 𝑥-значений 5 или более. Следовательно, область определения общей функции можно записать в виде неравенства 𝑥≥5, используя обозначение интервала как [5,∞[ или в обозначении множества как {𝑥∈ℝ∣𝑥≥5}.

Функция может принимать только 𝑓(𝑥)=8,5, 𝑓(𝑥)=12 или 𝑓(𝑥)=15. Следовательно, диапазон общей функции можно записать в виде {8.5,12,15}.

Теперь рассмотрим несколько примеров, где приходится работать с графиками кусочно определенных функций.

Пример 1.

Определение типа функции, представленной на графике

Какой вид функции изображен на графике?

  1. Четная функция
  2. Логарифмическая функция
  3. Кусочная функция
  4. Полиномиальная функция

Ответ

Рассмотрим каждый из вариантов.

  1. Четная функция — это функция, для которой 𝑓(𝑥)=𝑓(−𝑥) для всех значений 𝑥 в области определения 𝑓. Это означает, что четные функции симметричны относительно оси 𝑦, чего нельзя сказать о данном графике.Например, 𝑓(5)=7, но 𝑓(-5)=0, поэтому 𝑓(5)≠𝑓(-5); поэтому функция не четная.
  2. Логарифм определенного значения, скажем, 𝑥, представляет собой показатель степени, в которую нужно возвести другое базовое число, чтобы получить 𝑥. Графики логарифмических функций имеют гладкие кривые, которые асимптотичны к оси 𝑦, как мы можем видеть в примерах ниже, или они могут быть преобразованы. Данный граф имеет острые углы при 𝑥=−3 и 𝑥=0, поэтому он не является гладким во всей своей области определения, а также не имеет вертикальных асимптот. Кроме того, логарифмические функции не определены для отрицательных значений 𝑥; другими словами, их областью определения является множество положительных действительных чисел. Данный график представляет собой функцию, которая имеет область определения не менее −10𝑥8, которая включает в себя некоторые отрицательные 𝑥-значения, поэтому данный график не похож на логарифмическую функцию.
  3. График этой функции состоит из трех отдельных подфункций.
    1. Для значений 𝑥 между −∞ и −3 график представляет собой прямую линию с наклоном 1. Уравнение для этой линии можно записать в виде 𝑦=𝑚𝑥+𝑏, где 𝑚 — наклон (1), а 𝑏 является 𝑦-перехватом, поэтому 𝑦=𝑥+𝑏.Мы также видим, что прямая проходит через точку (−5,0), поэтому 𝑦=0, когда 𝑥=−5, что позволяет нам вычислить значение 𝑏 как 5. Следовательно, мы могли бы записать уравнение как 𝑦=𝑥 +5.
    2. Для 𝑥-значений от −3 до 0 график представляет собой горизонтальную линию, так что 𝑦-значение всегда равно 2, поэтому мы можем записать уравнение этой линии как 𝑦=2.
    3. Для 𝑥-значений от 0 до ∞ график снова представляет собой прямую линию с наклоном 1. На этот раз мы видим, что 𝑦-перехват равен 2, поэтому мы можем записать уравнение как 𝑦=𝑥+2.
    Хотя нас специально не просили сделать это, мы могли бы записать определение функции следующим образом: ≥0.
    Однако из графика видно, что значения подфункций такие же, как у их соседей в их общих конечных точках; другими словами, подфункции объединяются в непрерывную функцию. В равной степени было бы правильно определить подфункции как имеющие несколько отличающиеся подобласти путем перестановки подфункций, к которым принадлежат точки соединения.В этой ситуации, когда распределение является произвольным, принято включать левую конечную точку и исключать правую конечную точку из подфункций.
    Тот факт, что наша функция должна быть определена в терминах ряда подфункций в конкретных подобластях, делает ее кусочной функцией.
  4. Полиномиальные функции включают сложение, вычитание и умножение коэффициентов и переменных с неотрицательными целыми показателями степени. Графики полиномиальных функций образуют гладкие кривые и могут быть определены одним полиномиальным уравнением.На данном графике есть две негладкие точки, когда 𝑥=−3 и 𝑥=0, поэтому он не является графиком полиномиальной функции.

Следовательно, функция, изображенная на графике, является кусочной функцией (вариант C).

В нашем следующем примере мы исследуем конечные точки каждой подфункции на графике кусочно-определенной функции, чтобы найти ее область определения.

Пример 2. Нахождение области определения кусочной функции по ее графику

Определите область определения функции, представленной данным графиком.

Ответ

Область определения функции — это набор всех значений, в которых функция определена. На графике функции доменом являются все 𝑥-значения, где нарисована кривая. Для кусочно-определенной функции областью определения будет объединение подобластей каждой подфункции. Эта кусочно-определенная функция имеет две подфункции.

Первая подфункция — это луч с полой точкой в ​​точке (−4,1). Полая точка указывает на то, что эта подфункция не определена при 𝑥=−4 и, следовательно, имеет правый открытый интервал.Стрелка указывает, что подфункция бесконечно продолжается в направлении этой стрелки, здесь к отрицательной бесконечности. Следовательно, первая подфункция имеет подобласть ]−∞,−4[.

Вторая подфункция — это луч с полой точкой в ​​точках (−4,−2). Полая точка указывает на то, что эта подфункция также не определена для 𝑥=−4 и, следовательно, имеет левый открытый интервал. Стрелка указывает, что эта подфункция продолжается бесконечно в направлении стрелки, которая здесь направлена ​​к положительной бесконечности.Поэтому областью определения второй подфункции будет ]−4,∞[.

Объединение этих подобластей равно ]−∞,−4[∪]−4,∞[.

Объединение этих двух поддоменов будет включать все действительные числа, кроме −4,ℝ−{−4}.

Графически мы можем найти домен, взглянув на вертикальные линии на графике и увидев, где они пересекают заданную функцию. В этом случае вертикальная линия при 𝑥=−4 пересекает только пустые точки каждой подфункции.

Ни одна из подфункций не определена при 𝑥=−4, что означает, что эта кусочная функция не определена при 𝑥=−4.Следовательно, областью определения этой кусочно определенной функции будет множество всех действительных чисел, кроме −4, ℝ−{−4}.

В предыдущем примере мы видели, что область определения кусочно определенной функции представляет собой объединение подобластей для каждой из подфункций. В нашем следующем примере мы покажем, что диапазон кусочно-определенной функции будет равен объединению диапазонов каждой подфункции в соответствующих подобластях.

Пример 3. Определение диапазона кусочной функции по ее графику

Найдите диапазон функции.

Ответ

На данном графике мы можем выделить две конкретные подфункции, делающие эту функцию кусочной. Диапазон функции — это набор всех возможных выходных значений функции с заданной областью определения. Диапазон кусочно-определенной функции представляет собой объединение диапазонов каждой подфункции в соответствующих подобластях.

Мы можем идентифицировать значения в диапазоне с помощью горизонтальных линий. Если горизонтальная линия пересекает график нашей функции, то значение горизонтальной линии является частью диапазона.Для этой кусочной функции горизонтальная линия 𝑦=3 пересекает график одной из подфункций, значит, 3 входит в диапазон этой подфункции.

На графике мы видим поведение подфункции, которая начинается в (4,−1) и бесконечно продолжается до положительной бесконечности. Любая горизонтальная линия выше 𝑦=3 будет пересекать эту подфункцию и должна быть включена в диапазон.

Любая горизонтальная линия между 𝑦=−1 и 𝑦=∞ будет пересекать эту подфункцию, делая ее диапазон [−1,∞[.

Здесь стоит отметить, что другая подфункция — это горизонтальная линия 𝑦=−1 над своей подобластью ]−∞,4].

Таким образом, −1 является единственным значением в наборе для диапазона. Диапазон этой подфункции по ее подобласти будет {-1}.

Объединение диапазонов этих двух подфункций в соответствующих подобластях равно {−1}∪[−1,∞[.

Следовательно, область значений этой кусочно определенной функции равна [−1,∞[.

В нашем следующем примере мы будем использовать график кусочно определенной функции, чтобы найти формальное определение функции.

Пример 4. Определение кусочной функции по заданному графику

Дайте кусочное определение функции ℎ, график которой показан.

Ответ

Кусочная функция состоит из двух или более подфункций. Чтобы определить кусочную функцию, нам нужно выражение для каждой из подфункций и подобластей для каждой из подфункций. Сначала мы определим, сколько подфункций является частью этой кусочной функции, посмотрев на поведение графика.В данном случае есть две подфункции.

У нас есть прямая с отрицательным наклоном, которая заканчивается в (2,1) и еще одна прямая линия, которая начинается в (2,1) и имеет положительный наклон. Каждая из этих линий будет формировать подфункцию этой кусочной функции в соответствующей подобласти. Итак, мы определяем уравнение в терминах 𝑥 для каждой подфункции и определить их соответствующие поддомены.

Форма пересечения наклона линии говорит нам, что линия наклона 𝑚 и 𝑦-отрезок 𝑏 имеет уравнение 𝑦=𝑚𝑥+𝑏.Наклон 𝑚 равен изменению на изменение в 𝑦𝑥.

Прямая линия с отрицательным наклоном имеет 𝑦-пересечение в точке 3. Наклон можно определить по графику без каких-либо формальных вычислений. При увеличении 𝑥-значения на одну единицу 𝑦-значение уменьшается на одну единицу.

Следовательно, changeinchangein𝑦𝑥=−11. Следовательно, 𝑚=−1.

Следовательно, первая подфункция определяется как 𝑦=−𝑥+3𝑦=3−𝑥.или

Однако нам все еще нужно определить подобласть этой подфункции; мы можем изобразить вертикальную линию в точке 𝑥=2, и мы можем подтвердить, что 2 входит в область определения этой кусочной функции, поскольку она пересекает кривую в точке (2,1).

На графике число 2 кажется частью обоих доменов подфункций. Однако, когда мы определяем кусочную функцию, мы включаем только 2 в один из доменов подфункций, чтобы их домены не перекрывались. Обычно это определяется контекстом вопроса. Поскольку у нас есть только график без каких-либо других данных, мы просто позволим определить первую подфункцию для подобласти ]−∞,2[.

Следовательно, вторая подфункция будет определена для подобласти [2,∞[.

В равной степени было бы правильно определить подфункции как имеющие несколько отличающиеся подобласти путем изменения порядка подфункций, которым принадлежат точки соединения.В этой ситуации, когда распределение является произвольным, принято включать левую конечную точку и исключать правую конечную точку из подфункций.

Теперь, когда мы определили каждую подобласть, мы используем график, чтобы записать формулу для второй подфункции в ее подобласти.

Прямая вторая подфункция моделирует увеличение 𝑦-значения на 1 единицу при увеличении 𝑥-значения на 2 единицы. Следовательно, changeinchangein𝑦𝑥=12. Затем мы можем идентифицировать 𝑦-перехват графически, продолжив линию, чтобы увидеть, где эта подфункция пересекла бы ось 𝑦, если бы она была частью области.

𝑦-пересечение второй подфункции будет равно 0. Следовательно, формула для второй подфункции 𝑦=𝑥2.

Объединение этих двух правил подфункции над соответствующими подобластями определяет эту кусочную функцию как ℎ(𝑥)=3−𝑥𝑥2,𝑥22≤𝑥.ifif

В примере 5 мы будем использовать график кусочно определенной функции, чтобы найти формальное определение функции для кусочной функции с более чем двумя подфункциями.

Пример 5. Определение кусочной функции по заданному графику, включающему разрыв

Дайте кусочное определение функции 𝑓, график которой показан.

Ответ

Кусочная функция состоит из двух или более подфункций. Чтобы определить кусочную функцию, нам нужна формула для каждой из подфункций и их соответствующих подобластей. На этом графике показаны три различных поведения.

Таким образом, нам нужно будет написать всего три выражения и найти три подобласти, по одной для каждой подфункции.

Для прямых линий мы можем написать уравнение, используя форму пересечения наклона, 𝑦=𝑚𝑥+𝑏, где 𝑏 — 𝑦-отрезок, а 𝑚 — наклон. Наклон 𝑚 равен изменению на изменение в 𝑦𝑥.

Для этой строки изменение 𝑥 на 1 единицу вправо, а изменение 𝑦 на 1 единицу вниз. Следовательно, changeinchangein𝑦𝑥=−11, что упрощается до 𝑚=−1. 𝑦-перехват равен 3. Следовательно, выражение для этой подфункции в ее подобласти равно −𝑥+33−𝑥.или

. Подобласть этой подфункции равна набору всех входных значений для этой подфункции. Полая конечная точка (2,1) указывает, что верхняя граница этой подобласти должна быть открытым интервалом.Следовательно, подобласть будет открытым интервалом из ]−∞,2[.

Следующая подфункция имеет замкнутую точку (2,2).

Замкнутая точка в (2,2) показывает постоянную функцию 𝑦=2, где подобластью является {2}.

Третья подфункция имеет пустую точку в (2,3) и продолжается до бесконечности. Следовательно, подобластью этой подфункции является интервал ]2,∞[.

Для этой подфункции значение 𝑥 увеличивается на 2 единицы при увеличении значения 𝑦 на 1 единицу. Следовательно, changeinchangein𝑦𝑥=12. Затем мы можем идентифицировать 𝑦-перехват графически, продолжив линию, чтобы увидеть, где эта подфункция пересекла бы ось 𝑦, если бы она была частью ее подобласти.

𝑦-перехват для этой подфункции равен 2. Следовательно, формула для третьей подфункции над ее подобластью имеет вид 𝑦=𝑥2+2.

Объединение каждой из этих трех подфункций в формате кусочно-определенных функций: 𝑓(𝑥)=⎧⎨⎩3−𝑥𝑥2,2𝑥=2,𝑥2+22𝑥.ififif

Наш последний пример дополнительно исследует, как открытые и закрытые интервалы для подобластей кусочно-определенные функции изображаются графически.

Пример 6. Идентификация графика кусочной функции по ее определению

Укажите, какой из следующих графиков представляет функцию

Дана кусочно-определенная функция 𝑓(𝑥)=𝑥,𝑥2,−2𝑥+10,𝑥≥2.

Эта кусочно-определенная функция состоит из двух подфункций над указанными подобластями. Первая подфункция является квадратичной функцией 𝑦=𝑥 над подобластью 𝑥2. Чтобы отобразить этот квадратичный показатель, мы можем использовать подобласть для создания таблицы входных и выходных значений. Мы знаем, что подобластью для этой функции являются значения 𝑥 это менее 2.

0 𝑦 = 𝑥 𝑥
𝑥 𝑦
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4

Используя таблицу, мы можем нанести эти точки на график. Обратите внимание, что точка (2,4) на графике полая, так как 𝑥=2 не входит в подобласть 𝑦=𝑥.

Если провести линию через эти координаты, получится график 𝑦=𝑥 над подобластью 𝑥2.

Вторая подфункция 𝑦=−2𝑥+10 является линейной функцией. Опять же, мы можем использовать данный поддомен для создания таблицы входных и выходных значений для построения графика этой подфункции. Для этой подфункции подобласть равна 𝑥≥2; следовательно, значение 𝑥=2 включено в домен.

9034 9 9
𝑦 = -2𝑥 + 10
𝑥 𝑦
6
3 4
4 2
5 0

Затем нанесите эти точки на ту же сетку, что и первая подфункция.

Обратите внимание, что для второй подфункции при 𝑥=2 мы включаем сплошную точку, поскольку 2 входит в подобласть для 𝑦=−2𝑥+10.

Наконец, мы рисуем линию, начинающуюся в (2,6) и продолжающуюся через (5,0), помня, что эта линия бесконечно продолжается в этом направлении.

Построив график этой кусочно-определенной функции, мы показали, что только вариант D правильно представляет эту функцию.

Давайте закончим, повторив некоторые основные моменты.

Ключевые точки

  • Кусочная функция состоит из нескольких подфункций, определенных в подобластях.
  • Пустая точка на кривой функции означает, что функция не определена в этой точке.
  • Закрашенная точка на кривой функции означает, что функция определена в этой точке.
  • Чтобы построить график кусочно-определенной функции:
    • рассмотрите каждую подфункцию в ее подобласти отдельно,
    • посмотрите, что происходит в конечных точках области определения каждой подфункции,
    • нарисуйте каждую подфункцию на одном и том же наборе осей.

Характеристики кусочных функций — Математика 1 ОБЗОР EOCT

Кусочная функция — это функция, определяемая двумя или более выражениями, где каждое выражение связано с уникальным интервалом области определения функции.

домен функции — это набор всех возможных действительных входных значений, обычно представляемых x.

Диапазон функции представляет собой набор всех возможных реальных выходных значений, обычно представляемых как y .

Пример 1:

Какова область определения функции, изображенной ниже?

Решение:

Данная функция является кусочной функцией, и областью определения кусочной функции является множество всех возможных x -значений.

Видно, что на графике есть разрывы, известные как разрывы, при x = -3 и x  = 1. Эти разрывы не влияют на область определения этой функции, поскольку кусочная функция по-прежнему определена на каждом разрыве.

График начинается с x  = -7. На 90 008 x  = -7 есть замкнутый кружок, который указывает, что значение находится в домене функции.

График заканчивается на x  = 3. На x  = 3 есть незакрашенный кружок, который указывает на то, что значение не находится в домене функции.

Следовательно, область определения функции  { x  | -7 ≤ x  < 3} .

x -пересечения или нули функции – это точки, в которых график функции касается или пересекает ось x . Когда график функции касается или пересекает x -ось, f(x)  = 0,

ось y .Когда график функции касается или пересекает ось y , x  = 0,

Решение:

Чтобы найти точку пересечения x или ноль кусочной функции, пусть f(x)  = 0.

Чтобы решить уравнение f(x)  = 0, установите каждый выражение в кусочной функции равно нулю. Затем найдите x .После решения для x убедитесь, что решения каждого уравнения существуют в соответствующей области.

Установите первое выражение равным нулю и решите.

Так как пять не может равняться 0, в первом разделе домена нет x -отрезков.

Установите второе выражение равным нулю и решите.

Несмотря на то, что уравнение может быть решено, x  = 8 не находится во второй части домена; поэтому во втором разделе домена нет перехватов размером x .

Приравняйте третье выражение к нулю и решите.

В этом случае уравнение дало два решения: x  = 0 и x  = 3. Хотя x  = 0 является решением уравнения, оно не находится в третьей части области. Хотя решение x = 3 находится в третьем разделе домена. Таким образом, существует точка пересечения x при x = 3.

Чтобы найти точку пересечения y кусочной функции, пусть x = 0.

Определите выражение, соответствующее разделу домена, который содержит x  = 0. В этом случае x  = 0 находится во втором разделе домена функции.

Вычислите выражение, соответствующее второму участку области при x  = 0.

Итак, имеется y -отрезок при y  = 4.

данная кусочная функция равна (3, 0) , а отрезок y равен (0, 4) .

Разрывы функции — это точки, в которых график функции имеет разрывы или разрывы.

Пример 3:

Найдите любые разрывы графика следующей кусочной функции.

Решение:

Разрывы возникают в кусочных функциях на общих концах участков домена.

Чтобы определить, является ли общая конечная точка точкой разрыва кусочной функции, определите два участка области, которые содержат конечную точку. Затем оцените каждое связанное выражение в конечной точке.


  • Если оба связанных выражения, оцениваемые в конечной точке, равны, то кусочная функция не имеет разрыва в точке.
  • Если оба связанных выражения, оцениваемые в конечной точке, не равны, то кусочная функция имеет разрыв в этой точке.

В данной кусочной функции есть две общие конечные точки разделов домена: x = -2 и x = 2.Таким образом, разрывы могут возникать на графике кусочной функции в одной или обеих этих точках.

Конечная точка x = -2 связана с первым и вторым разделами домена.

Первый раздел домена связан с выражением 5.

Второй раздел домена связан с выражением x  + 4. Оцените выражение как x  = -2.

Поскольку 5 = 5, разрыва при x  = -2 нет.

Конечная точка x = 2 связана со вторым и третьим разделами домена.

Второй раздел домена связан с выражением x  + 4. Оцените выражение как x  = 2.

Третий раздел домена связан с выражением 3 x  —  x 2 . Оцените выражение как x  = 2.

Поскольку 3 ≠ 2, существует разрыв в x  = 2 .

График кусочной функции показан ниже, показывая разрыв в x  = 2.

График функции  увеличивается на  , если значение y  увеличивается по мере увеличения значения x 9000.

График функции равен убыванию , если значение y уменьшается по мере увеличения значения x .

График функции является постоянным , если значение y не меняется при увеличении значения x .

Пример 4:

Определите интервал, на котором график следующей функции является постоянным.

Решение:

При определении интервалов, на которых функция возрастает, убывает или остается постоянной, всегда считывайте график функции от отрицательного направления x (слева) к положительному направлению x (слева). правильно).

График функции является постоянным, если значение y не изменяется при увеличении значения x .

Наблюдая график слева направо, видно, что единственный интервал, на котором значения y не меняются при увеличении значений x , составляет -4 ≤ x  < 1.

Следовательно , интервал, на котором график функции постоянен, равен -4 ≤ x  < 1 .

Средняя скорость изменения  является отношением изменения f(x) к изменению x .
Пример 5:

Какова средняя скорость изменения между x = -2 и x  = 4 в следующей кусочной функции?

Решение:

Средняя скорость изменения между двумя точками x 1 и x 2 кусочной функции можно найти, разделив разность значений функции в этих точках на разность между двумя точками.

дано, что x 1 = -2 и x 2 = 4.

Так как функция — это кусочная функция, определить, какой раздел домена содержит x 1 и x 2  и определите выражение, связанное с разделом домена. Затем оцените связанное выражение в каждой точке.

Точка x 1  = -2 находится во втором разделе домена и связана с выражением x  + 6.Оцените связанное выражение в x 1 .

Точка x 2  = 4 находится в третьем разделе домена и связана с выражением 3 x . Оцените связанное выражение в x 2 .

Рассчитать среднюю скорость изменения.

Средняя скорость изменения кусочной функции между x = -2 и x = 4 равна.

Функция абсолютного значения  может быть представлена ​​кусочной функцией с двумя участками домена.Один участок области определения кусочной функции будет представлять часть функции абсолютного значения с отрицательным наклоном, а другой участок области определения кусочной функции будет представлять часть функции абсолютного значения с положительным наклоном.

Точно так же, как функция абсолютного значения имеет такие характеристики, как вершина, ось симметрии и максимум/минимум, кусочная функция также может обладать этими характеристиками.

Помните, что график кусочной функции, представляющей функцию абсолютного значения, имеет V-образную форму.Этот V-образный график симметричен относительно линии, известной как ось симметрии, и может открываться вверх или вниз.

  • Если график кусочной функции, представляющий функцию абсолютного значения, открывается, то функция имеет минимальное значение в своей вершине.
  • Если график кусочной функции, представляющей функцию абсолютного значения, открывается вниз, то функция имеет максимальное значение в своей вершине.
Пример 6:

Какая кусочная функция представляет следующую функцию?

Решение:

Чтобы записать функцию абсолютного значения в виде кусочной функции, определите участок области, где функция абсолютного значения имеет положительный наклон, и участок области, где функция абсолютного значения имеет отрицательный наклон.

Чтобы определить участок области, где функция абсолютного значения имеет положительный наклон, установите выражение в столбцах абсолютного значения больше или равное нулю и найдите x .

Теперь определите выражение, которое может представлять функцию абсолютного значения, где x  ≥ 5.

Чтобы определить участок области, где функция абсолютного значения имеет отрицательный наклон, установите выражение в столбцах абсолютного значения меньше чем ноль, и найдите x .

Теперь определите выражение, которое может представлять функцию абсолютного значения, где x  < 5.

Следовательно, кусочная функция, которая может представлять данную функцию абсолютного значения, выглядит следующим образом.

Пример 7:

Определите вершину и ось симметрии следующей кусочной функции.

Решение:

Определите, есть ли у функции разрывы.

Конечная точка, связанная с обоими разделами домена, имеет размер x  = 4.

Первая секция домена связана с выражением — x  + 6. Оценить выражение как x  = 4.

Вторая секция домена связана с выражением x — 2. Вычислить выражение при x  = 4.

Поскольку 2 = 2, нет разрыва при x  = 4. Хотя, поскольку каждое выражение дает значение 2, при оценке в конечной точке домена значение , x  = 2, называется критическим значением кусочной функции.

Проверьте наклон по обе стороны от критического значения. Если происходит изменение знака наклона (с положительного на отрицательный или с отрицательного на положительный) с той же константой, то конечной точкой области будет вершина.

Наклон первой секции равен -1, а наклон второй секции равен 1.

Поскольку имеет место изменение наклона с отрицательного на положительное и нет разрыва, вершина кусочной функции находится в x  = 4.

Итак, вершина кусочной функции равна (4, 2) .

Ось симметрии — это вертикальная линия, проходящая через вершину.

Итак, ось симметрии задается уравнением x  = 4 .

Пример 8:

Определите минимум кусочной функции из примера 7.

Решение:

Кусочная функция из примера 7 является функцией абсолютного значения. Функция абсолютного значения имеет максимальное или минимальное значение в своей вершине.

Вершина кусочной функции из примера 7 находится в точке (4, 2), поэтому минимум функции находится в точке (4, 2) .

Как построить график кусочно-определяемых функций на TI-84 Plus

Кусочная функция на самом деле состоит из «кусков» различных функций. Каждая функциональная «кусок» определяется на определенном интервале. Использование калькулятора TI-84 Plus для построения графиков кусочных функций может быть немного сложным, но вы скоро научитесь.

Ваш калькулятор оценивает утверждения и выдает одно из двух возможных значений истинности: 1 = Истина и 0 = Ложь. Когда утверждение x < –2 верно?

Ваш калькулятор возвращает 1 (соответствует True), если x меньше –2, и возвращает 0 (соответствует False), когда x больше или равно –2. Если вы делите функцию на утверждение x < –2, функция делится на 1, когда утверждение верно, и функция делится на 0, когда утверждение ложно.

Угадайте, что? Вы не можете делить на 0, поэтому функция не будет строиться на интервале, где утверждение неверно!

Чтобы построить здесь график кусочной функции, начните с построения графика каждой части как отдельной функции на калькуляторе.Затем нарисуйте все три части в одной функции, чтобы вы могли похвастаться перед друзьями.

Вот шаги для построения графика кусочной функции в вашем калькуляторе:

  1. Нажмите [ALPHA][Y=][ENTER], чтобы вставить шаблон дроби n/d в редактор Y=.

  2. Введите функциональную часть в числитель и соответствующий интервал в знаменатель.

    Чтобы ввести первую функциональную часть в Y 1 , введите ( X + 8) в числителе и ( X < –1) в знаменателе.

    Нажмите [2nd][MATH], чтобы вставить неравенство из меню Test. Нажмите

    , чтобы вставить « и » из меню «Логика».

    Ваш калькулятор не может вычислить многослойное неравенство, подобное этому: ( –1 < X < 2). К счастью, ( –1 < X < 2) также можно записать в виде составного неравенства:

    См. первый экран.

  3. Нажмите [GRAPH], чтобы построить график функций.

    См. второй экран.

Если вы можете успешно построить график кусочных функций на своем калькуляторе, вы уже на пути к тому, чтобы стать зависимым от своего калькулятора. Если вы знаете два разных метода построения графика кусочных функций в своем калькуляторе, то вам может понадобиться ввести 12-шаговую программу для зависимости от калькулятора! Первый шаг — признать, что у вас есть проблема.

Вот метод построения графика кусочных функций в одной функции:

  1. В редакторе Y= введите первую часть функции, используя круглые скобки, и умножьте на соответствующий интервал (также в круглых скобках).

    Пока не нажимайте [ENTER]!

  2. Нажимайте [+] после каждой детали и повторяйте до тех пор, пока не закончите.

    См. третий экран. Для того, чтобы вы могли видеть уравнение целиком, калькулятор временно переведен в классический режим.

Графики кусочных функций в одной функции имеют несколько преимуществ. Очевидно, что в редакторе Y= используется только одна функция. Еще одно преимущество заключается в том, что при использовании Trace вам не нужно прыгать от функции к функции.Один недостаток проявляется, если кусочная функция имеет домен, отличный от всех действительных чисел. Когда используется умножение, горизонтальная линия y = 0 отображает любые отсутствующие интервалы доменов.

Если одна или несколько функций в кусочно-определяемой функции являются тригонометрическими, убедитесь, что калькулятор находится в режиме радиан, а не в режиме градусов. В противном случае ваша кусочно-определенная функция может выглядеть как ступенчатая функция, а не как график, который вы ожидали.

[PDF] 1.6. Кусочные функции. УЗНАТЬ О математике. Представление задачи с помощью графической модели

1 1. Кусочные функции ВАМ ПОТРЕБУЕТСЯ графический калькулятор на миллиметровой бумаге ЦЕЛЬ Понимать, интерпретировать и графически изображать ситуации…

1.6 ВАМ ПОТРЕБУЕТСЯ

• миллиметровая бумага • графический калькулятор

Кусочные функции ЦЕЛЬ

Понимать, интерпретировать и графически изображать ситуации, описываемые кусочными функциями.

УЗНАЙТЕ О МАТЕМАТИКЕ Городская парковка использует следующие правила для расчета платы за парковку: • Фиксированная ставка 5 долларов США.00 за любое количество времени до первого часа включительно • Единая ставка в размере 12,50 долларов США за любое количество времени от 1 часа до 2 часов включительно • Единая ставка в размере 13 долларов США плюс 3 доллара США в час за каждый час после 2 часов Как вы можете описать функцию платы за парковку с точки зрения количества часов парковки?

?

ПРИМЕР

1

Представление задачи с помощью графической модели

Используйте графическую модель для представления функции платы за парковку.

Время решения (ч)

46

1.6

кусочно-технические функции

плата за парковку ($)

0

0

0

0

0.25

5002 0,25

0

5.00

0.50

5.00

1.00

5.00

1,25

12.50

1,50

12.50

2.00

12.50

2.50

14.50

3.00

16.00

4.00

19.0 Таблица значений

NEL

1.6 Отметьте точки в таблице значений.Используйте сплошную точку, чтобы включить значение в интервал. Используйте открытую точку, чтобы исключить значение из интервала. В точке (0, 0) есть закрашенная точка, а в точке (0, 5) — светлая точка, поскольку плата за парковку в 0 часов составляет 0,00 доллара США.

24 Стоимость ($)

20 16

В точках (1, 5) есть закрытая точка, а в точке (1, 12,50) — открытая точка, поскольку плата за парковку за 1 час составляет 5 долларов.

12 8 4 0

2 3 4 Время (ч)

1

5

Область определения этой кусочной функции x $ 0. Функция линейна по области, но разрывается в точках x 5 0, 1 и 2. 2 часа — 12,50 долларов. Последняя часть графика продолжается прямой линией, поскольку скорость изменения постоянна через 2 часа.

кусочная функция функция, определяемая с помощью двух или более правил на двух или более интервалах; в результате граф состоит из двух или более частей одинаковых или разных функций

Каждая часть кусочной функции может быть описана с помощью определенного уравнения для интервала области.ПРИМЕР

2

Представление задачи с помощью алгебраической модели

Используйте алгебраическую модель для представления функции платы за парковку.

Решение Y1 5 0

IF X 5 0

y2 5 5

y2 5 5

IF 0, X # 1

Y3 5 12.50

Если 1, X # 2

Y4 5 3x 113

, если x. 2

NEL

Напишите соотношение для каждого правила.

Глава 1

47

0, если х 5 0 5, если 0 , х # 1 f (х) 5 мк 12.50, если 1, х # 2 3х 1 13, если х. 2

Объединить отношения в кусочную функцию.

Область определения функции x $ 0. Функция разрывна в точках x 5 0, 1 и 2, поскольку в каждой из этих точек функция имеет разрыв.

Отражение А.

Как начертить график кусочной функции?

B.

Как создать алгебраическое представление кусочной функции?

C.

Как по графику или по алгебраическому представлению кусочной функции определить, есть ли разрывы?

ПРИМЕНЕНИЕ математики ПРИМЕР

3

Представление кусочной функции с помощью графика

Нарисуйте следующую кусочную функцию.f (x) 5 e

x 2, если x , 2 2x 1 3, если x $ 2

Решение Создайте таблицу значений. f (x) 5 x 2

48

1.6

кусочно-технические функции

F (x) 5 2x 1 3

x

F (x)

x

F (x)

22

4

2

7

7

21

1

3

0

0

0

4

11

1

1

5

13

5

13

2

4

6

15

Из приведенных уравнений график состоит из части параболы, которая раскрывается вверх, и линии, которая поднимается слева направо. Обе таблицы включают x 5 2, так как здесь меняется описание функции.

NEL

1,6 года Нанесите точки и нарисуйте график.

10 8

Сплошная точка помещена в (2, 7), так как x 5 2 включено в f(x) 5 2x 1 3. Незаштрихованная точка помещена в (2, 4), так как x 5 2 исключено из f(x) 5 x2.

6 4 y = f (x) 2

x

-4 -2 0

-4 -2 0

2

4

f (x) прерывается на X 52

Пример

4

Представление кусочная функция с использованием алгебраической модели

Определите алгебраическое представление следующей кусочной функции.6

Y

4 y = f (x)

2

-6 -6 -4 -2 0 -2

x 2

4

6

-4 -46

Раствор

1, если x # 2 f (x) 5 • x 2, если x . 2

График состоит из двух частей. Одна часть является частью обратной функции, определяемой как 1 y 5 x, когда x # 2. Другая часть представляет собой горизонтальную линию, определяемую y 5 2, когда x . 2. Сплошная точка указывает, что точка Q2, 2 R принадлежит обратной функции. 1

NEL

Глава 1

49

ПРИМЕР

5

Рассуждение о непрерывности кусочной функции

Непрерывна ли эта функция в точках, где она соединяется? Объяснять.x 1 1, если x # 0 g(x) 5 • 2x 1 1, если 0 , x , 3 4 2 x 2, если x $ 3

Решение Функция непрерывна в точках, где она собирается, если соединяемые функции имеют одинаковые значения y в этих точках. Рассчитайте значения функции при x 5 0, используя соответствующие уравнения: y5x11 y5011 y51

y 5 2x 1 1 y 5 2(0) 1 1 y51

График состоит из трех частей. Одна часть является частью возрастающей линии, определяемой y 5 x 1 1, когда x # 0. Вторая часть является возрастающей линией, определяемой y 5 2x 1 1, когда 0, x, 3.Третий кусок является частью параболы, которая раскрывается вниз и определяется как y 5 4 2 x2 при x $ 3. Два значения y одинаковы, поэтому два линейных отрезка соединяются друг с другом в точке x 5 0.

Вычислите значения функции в точке x 5 3 с использованием соответствующих уравнений: y 5 4 2 x2 y 5 2x 1 1 y 5 2(3) 1 1 y 5 4 2 32 y57 y 5 25 Функция разрывна, так как имеется разрыв на графике в точке x 5 3. Tech

Support

Два значения y различны, поэтому второй линейный отрезок не соединяется с параболой в точке x 5 3.

Проверить по графику.

Справку по использованию графического калькулятора для построения графика кусочной функции см. в Техническом приложении, T-16.

50

1.6

Кусочные функции

NEL

1.6

Резюме Ключевые идеи • Некоторые функции представлены двумя или более «кусками». Эти функции называются кусочными функциями. • Каждая часть кусочной функции определяется для определенного интервала области определения функции.

Необходимо знать • Чтобы построить график кусочной функции, постройте график каждой части функции на заданном интервале.• Кусочная функция может быть как непрерывной, так и нет. Если все части функции соединяются вместе на концах заданных интервалов, то функция непрерывна. В противном случае он разрывен при этих значениях области определения.

ПРОВЕРКА вашего понимания 1. Нарисуйте график каждой кусочной функции. а) f (x) 5 e

2, если x , 1 3x, если x $ 1

d) f (x) 5 e

b) f (x) 5 e

22x, если x , 0 x 1 4, если x $ 0

e) f (x) 5 e

0 x 1 2 0, если x # 21 2x 2 1 2, если x .21 !x, если x , 4 2x, если x $ 4

0 x 0, если x # 22 c) f (x) 5 e 2x 2, если x . 22

1 , если x , 1 f ) f (x) 5 • x 2x, если x $ 1 2. Укажите, является ли каждая рассматриваемая функция 1 непрерывной или нет. Если нет, укажите, где он прерывается. 3. Напишите алгебраическое представление каждой кусочной функции, используя

обозначения функций. а)

6

Y

B)

6

4 y = f (x)

y = f (x)

2

-6 -4 -2 0 -2

x 2

4

6

Y

Y

4 2

-6 -6 -4 -2 0 -2

-4

-4

-6

-6

x 2

4

6

4. Укажите область определения каждой кусочной функции в вопросе 3 и

прокомментируйте непрерывность функции. NEL

Глава 1

51

ЗАНЯТИЯ 5. Нарисуйте график следующих кусочных функций. Определите, является ли каждая функция K

непрерывной или нет, и укажите область определения и диапазон функции. а) f (x) 5 e

2, если x , 21 3, если x $ 21

b) f (x) 5 e

2x, если x # 0 x, если x . 0

x 2 1 1, если x , 2 2x 1 1, если x $ 2 1, если x , 21 d) f (x) 5 • x 1 2, если 21 # x # 3 5, если x .3 c) f (x) 5 e

6. Тарифный план Graham для междугородной телефонной связи включает первые 500 минут в месяц A

в размере 15,00 долларов в месяц. За каждую минуту после 500 минут с Грэма взимается плата в размере 0,02 доллара США. Напишите функцию, описывающую общую плату Грэма за междугородние звонки в терминах количества минут междугородной связи, которые он использует в месяц.

7. Многие системы подоходного налога рассчитываются по многоуровневому методу. Согласно

определенному налоговому законодательству, первые 100 000 долларов дохода облагаются налогом по ставке 35%; доходы свыше 100 000 долларов США и до 500 000 долларов США облагаются налогом в размере 45%.Любая прибыль, превышающая 500 000 долларов США, облагается налогом по ставке 55%. Напишите кусочную функцию, моделирующую эту ситуацию. 8. Найдите значение k, при котором следующая функция непрерывна. T

График функции. x 2 2 k, если x , 21 f (x) 5 e 2x 2 1, если x $ 21

9. Численность рыб, тыс., в озере в любое время, x, в годах

моделируется следующую функцию:

2x, если 0 # x # 6 4x 1 8, если x . 6 Эта функция описывает внезапное изменение численности населения в момент времени x 5 6 из-за разлива химикатов.а) Нарисуйте график кусочной функции. б) Опишите непрерывность функции. c) Сколько рыб погибло в результате разлива химикатов? г) В какое время численность населения восстановилась до уровня, который был до разлива химикатов? e) Опишите другие события, связанные с популяциями рыб в озере, которые могут привести к кусочным функциям. f (x) 5 e

52

1,6

Кусочные функции

NEL

1,6 10. Создайте блок-схему, которая описывает, как построить кусочную функцию

из двух частей.В блок-схему включите, как определить, где функция непрерывна. 11. Функцию абсолютного значения можно записать в виде кусочной функции, которая C

включает две линейные функции. Запишите функцию f (x) 5 0x 1 3 0 в виде кусочной функции и постройте график кусочной функции, чтобы проверить ее.

12. Спрос на новый компакт-диск описывается как

1 , если 0 , p # 15 D(p) 5 • p 2 0, если p . 15 где D — спрос на CD по цене p, в долларах. Определите, где функция спроса является прерывистой и непрерывной.

Расширение 13. Рассмотрим функцию f (x), которая берет элемент своей области определения и

округляет его в меньшую сторону до ближайших 10. Таким образом, f (15.6) 5 10, а f (21.7) 5 20 и f (30) 5 30. Нарисуйте график и напишите кусочную функцию. Вы можете ограничить домен xP [0, 50). Как вы думаете, почему графики, подобные этому, часто называют ступенчатыми функциями? 14. Объясните, почему не существует значения k, которое сделает следующую функцию

непрерывной.

5x, если x , 21 f (x) 5 • x 1 k, если 21 # x # 3 2x 2, если x .3 15. Функция наибольшего целого числа — это ступенчатая функция, которая записывается как

f (x) 5 3×4, где f (x) — наибольшее целое число, меньшее или равное x. Другими словами, функция наибольшего целого числа округляет любое число до ближайшего целого числа. Например, наибольшее целое число, меньшее или равное числу [5.3], равно 5, а наибольшее целое число, меньшее или равное числу 325,34, равно 26. Нарисуйте график функции f (x) 5 3×4.

16. a) Создайте свою собственную кусочную функцию, используя три различные

преобразованные родительские функции.б) Нарисуйте график функции, которую вы создали в части а). в) Является ли функция, которую вы создали, непрерывной или нет? Объяснять. d) Если созданная вами функция не является непрерывной, измените интервал

или скорректируйте используемые преобразования, чтобы превратить ее в непрерывную функцию.

NEL

Глава 1

53

11. 12.

13.

Нет; несколько учащихся могут иметь одинаковый средний балл. 1 а) f 21 (x) 5 (x 2 4) 3 b) h 21 (x) 5 2x

–6 –4 –2 0 –2

2

4

у 5 х.

Да; обратным y 5 «x 1 2 является y 5 x 2 2 2, если область определения этой второй функции ограничена D 5 5xPR 0 x $ 06. 16. Джон прав. x3 x3 Алгебраический: y 5 1 2 ; у 2 2 5 ; 4 4 3 4 (у 2 2) 5 х 3; х 5» 4 (у 2 2).

Числовой: Let x 5 4. 43 64 y5 125 1 2 5 16 1 2 5 18; 4 4

f (x) 5 k 2 x работает для всех kPR. y5k2x Поменяйте местами переменные и найдите y: x 5 k 2 y y5k2x Итак, функция является обратной самой себе. Если горизонтальная линия пересекает функцию в двух местах, это означает, что есть две точки с одинаковыми значениями y и разными значениями x.Когда функция отражается над линией y 5 x, чтобы найти обратное отношение, эти две точки становятся точками с одинаковыми значениями x и разными значениями y, тем самым нарушая определение функции.

Урок 1.6, с. 51-53 1. а)

2 2

4

-4

-4

B)

-6

4

6

-4

2. A) B ) c) d) e) f)

Прерывистый при x 5 1 Прерывистый при x 5 0 Прерывистый при x 5 22 Непрерывный Прерывистый при x 5 4 Прерывистый при x 5 1 и x 5 0

3.а) f(x) 5 e

x2 2 2, если x # 1 x 1 1, если x . 1 0 х 0, если х , 1 !х, если х 2 0 -2

2

2

4

6

-4

6

-6

-4 -6

C)

Y

6 4

B)

2 x — 6 –4 –2 0 –2

2

4

Функция прерывается в x 5 21.D 5 5xPR6 R 5 52, 36 6

2 -6 -4 -2 -2 0 -2

D)

4

6

-4

Y

-6

6 4 2 -6 -4 -2 0 -2

Y

Y

4

6

-6

4

-4

2

-6

Y

6

-4

6

x

-6-4 -2 -2 0 -2

6

2

y

4

y

4

2

4

5 «4 (16) 5» 64 5 4.

2

4

–6

Графический:

–6 –4 –2 0 –2

y

6

b) D 5 5xPR 6; функция непрерывна. 5. а) у

6

3

х

е)

8

4. а) Д 5 5хПР6; функция разрывна в x 5 1.

x

–6 –4 –2 0 –2

4

b) f (x) 5 e

y

6 4

3 3 (y 2 2) 5″ 4(18 2 2)

2

x

0 –8

–6

Для y 5 2″x 1 2, D 5 5xPR 0 x $226 и R 5 5yPR 0 г # 06.Для y 5 x 2 2 2, D 5 5xPR6 и R 5 5yPR 0 y $ 226. Студент был бы прав, если домен y 5 x 2 2 2 был ограничен D 5 5xPR 0 x # 06.

6

8

6

–4

d) (2.20, 3.55), (2.40, 2.40), (3.55, 2.20), (3.84, 3.84) e) x $ 3, поскольку отрицательный квадратный корень не определен. е) g(2) 5 5, но g 21 (5) 5 2 или 4; обратная не является функцией, если это область определения g.

3

16

x

18.

15.

24

2

17.

у 32

4

3 в) г 21 (х) 5″ x11 xd) м 21 (х) 2 2 х 5 4 а) 3) 2 1 1

x21 b) Y 5 6 13 Å 4 C)

14.

E)

Y

6

Y

6

x 2

4

6

Функция непрерывна. D 5 5xPR6 R 5 5F (x) PR 0 F (x) $ 06

-4 -4 -6

618

Ответы

NEL

C)

10.

y

Ответы могут варьироваться.Например:

12

Постройте график функции для левого интервала.

8 4

x

–12 –8 –4 0 –4

4

8

12

16.

Ответы могут отличаться. Например: x 1 3, если x , 21 а) f (x) 5 • x2 1 1, если 21 # x # 2 !x 1 1, если x . 2 b) y

Постройте график функции для правильного интервала.

5

–8

4

–12

г)

3

Функция непрерывная.D 5 5xPR6 R 5 5f (x) PR 0 f (x) $ 16 y

12 8 4

Определить непрерывность двух интервалов стандартными методами.

x

–12 –8 –4 0 –4

4

8

12

11.

–8 –12

Функция непрерывная. D 5 5xPR6 R 5 5 f (x) PR 0 1 # f (x) # 56 15, если 0 # x # 500 6. f (x) 5 e 15 1 0,02x, если x $ 500 7. f (x) ) 5 0,35x, если 0 # x # 100 000 • 0,45x 2 10 000, если 100 000 , x # 500 000 0,55x 2 60 000, если x .500 000

2 2

3

3

4

5

5

-4

9. a)

70 50 40

14.

30 20 10

x 2

4

6

8

10

б) Функция разрывна в х 5 6. в) 32 рыбы г) 4х 1 8 5 64; 4х 5 56; x 5 14 e) Ответы могут быть разными. Например, три возможных события — это изменение окружающей среды, введение нового хищника и увеличение рыболовства. НЕЛ

6

15.

3

10 8 6

0, если 0 # x , 10 10, если 10 # x , 20 f (x) 5 f20, если 20 # x , 30 30, если 30 # x , 40 40, если 40 # x, 50

4 2

b)

y

y

x

-8 -8 -6 -4-2 -2 0 -2

2

4

6

8

2

4

6

8

8

2

4

4

6

8

Y 10

40

8

30

6

20

6

20

4

0

60

0

4

2

10

y

2

c) Функция не является непрерывной. Последние две части не имеют одинакового значения для x 5 2. x 1 3, если x , 21 d) f (x) 5 • x2 1 1, если 21 # x # 1 !x 1 1, если x . 1

прерывистый при р 5 0 и р 5 15; непрерывно в точках 0, p, 15 и p. 15

50

1

x

Ее часто называют ступенчатой ​​функцией, поскольку график выглядит как ступеньки. Чтобы первые две части были непрерывными, 5(21) 5 21 1 k, поэтому k 5 24. Но если k 5 24, то граф разрывается в точке x 5 3,6

y

3.а)

у 10 8 6 4 2

4 2 –6 –4 –2 0 –2

х

–8 –6 –4 –2 0 –2

10 20 30 40 50 60

х

2

4

6

6

-8 -8 -6 -4 -2 0 -2

x

-4 -6

-4 -4 -6

Ответы

619

Ответы

x 1

2

–4

4

x

0 –1

1. а) 5 (24, 6), (22, 5), (1, 5), (4, 10)6 б) 5 (24, 2), (22, 3), (1, 1), (4, 2)6 в) 5 (24, 22), (22, 23), (1, 21), (4, 22) 6 г) 5 (24, 8), (22, 4), (1, 6), (4, 24)6 2. а) y

x

— 6

6

-3 -3 -2 -1

Урок 1.7, с. 56-57

-6 -4 -2 -2 0 -2

12.

1

y

2

13.

8

x 1 3, если x $ 23 2x 2 3, если x, 23

4

y 10

f (x) 5 0 x 1 3 0 5 e 6

8. k 5 4

–3 –2 –1 0 –2

2

Определите, встречаются ли графики для левого и правого интервалов при значении x, которое служит общей конечной точкой для интервалы; если да, то функция в этой точке непрерывна.

2.6 Графики кусочно-определяемых функций – математика 3080 Подготовка

Иногда мы сталкиваемся с функцией, которая требует более одной формулы для получения заданного вывода. Например, в функциях инструментария мы ввели функцию абсолютного значения [latex]\text{}f\left(x\right)=|x|\text{}[/latex]. С доменом всех действительных чисел и диапазоном значений, большим или равным 0, абсолютное значение может быть определено как величина или модуль значения действительного числа независимо от знака. Это расстояние от 0 на числовой прямой. Все эти определения требуют, чтобы результат был больше или равен 0,

.

Если мы вводим 0 или положительное значение, вывод будет таким же, как ввод.

[латекс]f\left(x\right)=x\text{}\text{ if }\text{}x\ge 0[/latex]

Если мы вводим отрицательное значение, вывод будет противоположен вводу.

[латекс]f\left(x\right)=-x\text{}\text{ если }\text{}x

Поскольку для этого требуются два разных процесса или части, функция абсолютного значения является примером кусочной функции.Кусочная функция — это функция, в которой используется более одной формулы для определения выходных данных для разных частей области.

Мы используем кусочные функции для описания ситуаций, в которых правило или отношение изменяются, когда входное значение пересекает определенные «границы». Например, в бизнесе мы часто сталкиваемся с ситуациями, когда цена за единицу определенного товара снижается, когда количество заказанного товара превышает определенное значение. Налоговые скобки — еще один реальный пример кусочных функций.Например, рассмотрим простую налоговую систему, в которой доходы до 10 000 долларов облагаются налогом по ставке 10%, а любой дополнительный доход облагается налогом по ставке 20%. Налог на общий доход [латекс]\текст{}С\текст{}[/латекс] будет [латекс]\текст{}0,1Ш\текст{}[/латекс], если [латекс]\текст{}С \le \text\$10\text{,}000\text{}[/latex] и [латекс]\text{}\text\$1000+0,2\left(S-\text\$10\text{,}000\ справа)\текст{}[/латекс] если [латекс]\текст{}S>\текст\$10\текст{,}000[/латекс].

Кусочная функция

Кусочная функция — это функция, в которой для определения выходных данных используется более одной формулы.У каждой формулы есть свой домен, а домен функции представляет собой объединение всех этих меньших доменов. Обозначим эту идею так:

[латекс] е \ влево (х \ вправо) \ влево \ {\ {массив} {lc} формула \; 1 & если \; х \; находится \; в \; области \; 1 \\ формула \; 2 & если \ ;x\;есть\;в\;домене\;2\\формула\;3&if\;x\;есть\;в\;домене\;3\конец{массив}\право. [/latex]

В кусочной записи функция абсолютного значения равна

[латекс]\влево|х\вправо|=\влево\{\begin{array}{lc}x\;if\;x&\geq0\\-x\;if\;x&

Для заданной кусочной функции напишите формулу и определите область определения для каждого интервала.

  1. Определите интервалы, для которых применяются разные правила.
  2. Определите формулы, описывающие, как вычислить выход из входа в каждом интервале.
  3. Используйте фигурные скобки и операторы if для записи функции.

Музей взимает 5 долларов США с человека за экскурсию с группой от 1 до 9 человек или фиксированную плату в размере 50 долларов США за группу из 10 и более человек. Напишите функцию, связывающую количество людей [latex]\text{}n\text{}[/latex] со стоимостью [latex]\text{}C[/latex].

Анализ

Функция представлена ​​на рис. 2-20. График представляет собой диагональную линию от [латекс]\текст{}n=0\текст{}[/латекс] до [латекс]\текст{}n=10\текст{}[/латекс] и константу после нее. В этом примере две формулы согласуются в точке встречи, где [латекс]\текст{}n=10,\текст{}[/латекс], но не все кусочные функции обладают этим свойством.

Рисунок 2-20

Решение

Компания сотовой связи использует приведенную ниже функцию для определения стоимости [latex]\text{}C,\text{}[/latex] в долларах для [latex]\text{}g\text{}[/latex] гигабайт передачи данных.

C(g)={25if0 Найдите стоимость использования 1,5 гигабайта данные и стоимость использования 4 гигабайт данных.

Анализ

Функция представлена ​​на рис. 2-21. Мы можем видеть, где функция меняется от постоянной к смещенной и растянутой идентичности в [latex]\text{}g=2\text{}[/latex]. Мы строим графики для различных формул на общем наборе осей, следя за тем, чтобы каждая формула применялась в соответствующей области.

Рисунок 2-21

Решение

По заданной кусочной функции построить график.

  1. Укажите на оси x границы, определяемые интервалами на каждой части области.
  2. Для каждой части области построить график на этом интервале, используя соответствующее уравнение, относящееся к этой части. Не изображайте две функции на одном интервале, потому что это нарушит критерии функции.

Нарисуйте график функции.

f(x)={x2ifx≤13if12f(x)={x2ifx≤13if12

Анализ

Обратите внимание, что график проходит тест вертикальной линии даже при [латексе]\текст{}х=1\текст{}[/латекс] и [латекс]\текст{}х=2\текст{}[/латекс] потому что точки [латекс]\влево(1,3\вправо)[/латекс] и [латекс]\влево(2,2\вправо)[/латекс] не являются частью графика функции, хотя [латекс] \left(1,1\right)[/latex] и [латекс]\left(2,\text{}3\right)[/latex].

Решение

Постройте график следующей кусочной функции.

f(x)={x3ifx<-1-2if-14f(x)={x3ifx<-1-2if-14

 

Решение

Можно ли применить более одной формулы кусочной функции к значению в области?

Нет. Каждое значение соответствует одному уравнению в кусочной формуле.

Бесплатный доступ на https://openstax.org/books/precalculus/pages/1-introduction-to-functions

как написать кусочную функцию из таблицы.Продемонстрируйте свои навыки. Затем мы увидим, как преобразование Лапласа и его обратное взаимодействуют с указанной конструкцией. Для кусочных операций над столбцами вложенной таблицы используйте выражение TABLE. Пусть f: D → R и пусть c будет точкой накопления D. Общие базовые математические функции. Горизонтальные растяжения и сжатия. Преобразования функций. Написание письма с заявлением о приеме на работу сильно отличается от быстрого электронного письма другу или благодарственного письма родственнику. Если вы цитируете произведение напрямую, вам необходимо указать автора, год публикации и номер страницы.Пример 1. Рассмотрим функцию, определенную следующим образом. Вы можете использовать кусочные функции, чтобы смоделировать производительность спортсмена в триатлоне. Рабочий пример. ф (х) = 3х+5. В этом разделе нашего руководства основное внимание уделяется правильной длине бумаги, форматированию заголовков, интервалам и, если вы решите создать таблицу, очень кратко обсудите это в тексте. Чтобы написать кусочную функцию по графику, сначала напишите функции для каждого интервала на графике. Поместите курсор в нужное место кусочной функции. ] Найдите линейное уравнение.Вы немного пугаете других покупателей в A&P, но вы очень умны. График это! Подпишите график! 7. Если вы претендуете на работу за пределами Северной Америки, вам понадобится убедительное биографическое описание, чтобы попасть на собеседование. Во-вторых, объедините их в функцию с правилами для каждого интервала. количество изготовленных рубашек. Запись кусочной функции из графа Математика, Алгебра, Графика | Как написать кусочную функцию. Выбрав тему, напишите краткое изложение того, что вы узнали о своем опыте.» Ты очень умный. Функции, заданные в кусках, называются кусочно определенными функциями. Затем вы опишете свое движение, написав кусочно-определяемую функцию для движения. Короткие цитаты. В этой статье мы объясним, как написать эффективное и привлекательное письмо с заявлением о приеме на работу. Определение: кусочная функция. Этот раздаточный материал описывает, как использовать рисунки и таблицы для представления сложной информации в форме. Итак, в чем же разница между таблицей и рисунком? Таблицы представляют собой списки чисел или линейные графики, однако отображают ряд связанных значений, отображающих изменение одной переменной как функцию.Примечания: Кусочные функции. Кусочно-определенная функция: функция, которая определяется по-разному для разных частей своей области. На этом уроке по кусочным функциям учащиеся рисуют кусочные функции вручную и находят область определения и диапазон. рубашки по следующей цене. нам нужно написать кусочную формулу для данной функции. Еще один хороший способ упорядочить свои идеи — записать их в виде диаграммы или таблицы с тремя столбцами. Как написать статью Экзамен CAE. Вместо этого, чтобы построить набор точек, вы можете использовать таблицу или список точек: R=[0…10], (R, d.2x , для x ≠ 0 1, для x = 0 Решение Для всех интервалов x, кроме тех, когда он равен 0, f (x) = 2x (что является линейной функцией). f ( x) = 3 x + 5. Пример. Рассмотрим простую функцию \(y=|x-2|\) на оси \(x-y\). В вашем тезисе должна быть указана точка обсуждения. Как нарисовать кусочную функцию с помощью таблицы значений. Мы используем кусочные функции для описания ситуаций, в которых правило или отношение изменяются по мере того, как входное значение пересекает определенные «границы». Кусочная функция — это функция, в которой используется более одной формулы для определения выходных данных для разных частей области.Кусочная функция — это функция, состоящая из нескольких подфункций, каждая из которых определена в подмножестве домена основной функции, называемого поддоменом. КАК ПЕРЕНОСИТЬ ВАШИ ОТСУТСТВУЮЩИЕ УРОКИ: Щелкните здесь, чтобы получить инструкции о том, как перенести ваши уроки и данные из Tes в Blendspace. А теперь пример подробного образовательного раздела от недавнего выпускника: 5. Иногда мы сталкиваемся с функцией, которая требует более одной формулы для получения заданного результата. Библиотека кусочных полиномов может использоваться для вычисления кусочно-полиномиальных функций.Кусочная функция — это функция, которая определяется различными формулами или функциями для каждого заданного интервала. Убедитесь, что вы разбили уравнение на. Практика: Графики кусочных функций. Итак, что-то вроде «Почему так равно X, таким образом, пять или шесть или близкие к семи?» Потому что это будет аналогичный график. Теперь постройте график этой кусочной функции: f(x) = ¯ ® x x 10 2 3,1 7, 8 1 dd d x x Начните с заполнения таблицы значений кусочной функции в заданной области. Теперь, когда мы знаем, что такое кусочные функции, все не так уж и плохо!Каждое уравнение справедливо для некоторого интервала. Требуемое количество функций: 10 (должно быть не менее 2. кусочная функция — это функция, для разных частей которой действуют разные правила. Практика: вычисление кусочно-линейных функций. Показывает, как объявлять кусочно-линейные функции на языке OPL. Написать кусочно-функцию для этой ситуации, когда каждая линейная функция представлена ​​в форме точка-наклон Объясните свой процесс создания этой кусочной функции и как она связана с вашим ответом в 4. Кусочная функция описывает функцию, которая построена из разных частей в фрагментированных областях.Каждый раз, когда мы выполняли кусочную функцию, условия «если» начинались с отрицательных значений x, а затем становились равными. Цель: Учащиеся смогут написать оценку кусочно-определенных функций, построить график кусочно-определенных функций, оценить область определения и диапазон для кусочно-определенных функций и решить прикладные задачи. Множество D называется областью определения f. Для целей Common Core Standards «график квадратного корня, кубического корня и кусочно-определенные функции, включая ступенчатые функции и функции абсолютного значения» подпадает под кластер C концепции «Анализ функций с использованием различных представлений» (CCSS. В других штатах есть описания того, как собираются подоходные налоги. Выразите функцию, изображенную на осях ниже, как кусочную функцию. Пример: написание кусочной функции. Музей берет 5 долларов с человека за экскурсию с группой от 1 до 9 человек или фиксированную плату 50 долларов за группу из 10 и более человек. Практика: Оцените ступенчатые функции. Они берут 6 с человека за стол от 1 до 5 гостей. Такие определения называются кусочными функциями или отношениями. Введите нормальную часть уравнения и, чтобы получить кусочную функцию, перейдите в «Уравнение»> «Скобки»> «Случаи и стеки» и вставьте столбец желаемого размера только с левыми фигурными скобками.Напишите программу для создания функции, принимающей два аргумента, name. Чтобы избежать этого, отмените подписку и войдите в YouTube на своем компьютере. Как это сделать на компьютере или ноутбуке? Ответ сообщества. Цель состоит в том, чтобы вертолет посоветовал себе, как достичь определенной вершины за максимально короткое время. Напишите кусочную функцию для данного приложения. Работодатели всегда ищут кандидатов, которые. В этом видео показано, как найти формулу кусочной функции по заданному графику. А то я в аналогичной функции.Таким образом, u(t) «шагает» от постоянного значения 0 к постоянному значению 1 при t = 0. Как определить, является ли кусочная функция непрерывной или прерывистой. Проблемы с кусочно-функциональными словами. В другом FAQ я показал, как построить кусочную функцию из налоговой таблицы формы 140 подоходного налога штата Аризона. Первый шаг — написать определение для графа, что делается путем идентификации различных доменов, показанных на графе. С уважением, Узнайте, как писать другие типы деловых писем, которые могут очень помочь вам в работе, в нашей таблице содержания.Кусочный оператор можно ввести как pw или \ [Piecewise]. Вы также можете выбрать из списка пользовательское оглавление, где вы выбираете цвет и размер шрифта в зависимости от ваших предпочтений. Как и в случае с другими функциями, кусочной функции также можно дать имя, просто заменив Вот рисунок, иллюстрирующий, как неявные функции и параметрические уравнения работают в Desmos. В то время как список данных составляет основу одномерной статистики, имея таблицу данных с несколько столбцов. А затем для другого снова я бы написал Почему равно X минус один плюс почему? Для классического излишка для всего выше.Напишите функцию, связывающую количество людей [latex]n[/latex] со стоимостью [latex]C[/latex]. Этот модуль реализует кусочные функции в одной переменной. u(t) = {0, t Уравнение для доступа к редактору уравнений. 4 Запись данных в реляционные таблицы 186 Запись строк, полученных из спецификаций данных 186 17. Бесплатный калькулятор кусочных функций — пошаговое исследование домена кусочной функции, диапазона, точек пересечения, экстремумов и асимптот Этот веб-сайт использует файлы cookie, чтобы обеспечить вам наилучшие результаты. опыт.Менеджеры по найму и потенциальные интервьюеры имеют определенные ожидания, когда речь заходит о презентации и внешнем виде письма. Но вместо того, чтобы описывать ваш опыт работы, он должен больше сосредоточиться на вашей мотивации для подачи заявки на конкретную работу. Определение ступенчатых функций: единичная ступенчатая функция (или функция Хевисайда) определяется как ≥ 0. Выражение x− 2 представляет значение f, когда xi меньше или равно 0. Второй шаг — написание формул для каждой области, заданной линиями на графике.Запишите свой ответ в форме пересечения наклона. Обратите внимание, что функции, которые необходимо оценить, должны быть определены и сохранены в файле GDX. Добавьте свой ответ и заработайте очки. О нас Пресса Авторское право Связаться с нами Создатели Реклама Разработчики Условия Политика конфиденциальности и безопасности Как работает YouTube Тестировать новые функции Пресса Авторское право Связаться с нами Авторы. Учащиеся составляют таблицы значений с учетом другого видео Mathispower4u Algebra I, в котором приводится дополнительный пример построения графика кусочной функции. HMH Алгебра 1 класс 8 рабочая тетрадь и ответы помогают онлайн.«Цена авокадо — это кусочная функция. Запишите сцены, улики, цитаты и идеи на отдельных карточках, затем разложите их на столе или прикрепите к доске и начните группировать и упорядочивать их, пока не найдете свою структуру. Демонстрирует процесс создания определения кусочной функции по заданному графику. Напишите и нарисуйте кусочные функции. Мы хотим найти интерполирующую функцию p(x), которая удовлетворяет всем заданным данным и, надеюсь, близка к функции f(x).Кусочные функции. pdf(x) будет выглядеть как кусочно-постоянная функция. Учащиеся должны иметь знания о родительских функциях: линейной, квадратичной. Запишем это в предельных обозначениях следующим образом. Рабочий пример: домен и диапазон ступенчатой ​​функции. 1 в систематический способ найти преобразование Лапласа кусочно-непрерывной функции. Сетку значений и условий можно построить, сначала введя , а затем используя и . 3 кусочные функции. Постройте график кусочной функции, показанной ниже. Кусочная функция — это функция, которая определяется различными кратными функциями.» Например, в бизнесе мы часто сталкиваемся с ситуациями, когда стоимость за штуку определенного товара снижается один раз. Также предлагается фиксированная плата в размере 50 за стол с 6 и более людьми. Как написать код в «функции printOut(){}» на javascript Подгонка к кусочной функции с использованием Python Урок 1: кусочно-функции определение: кусочно-функция функция, состоящая из 2 или более функций, определяемых ограничениями предметной области (части функций на одном графике) 10 10 что наш график является функцией.Кусочная функция также используется для описания свойства любого уравнения или функции. Кусочная функция, операнды которой не являются кусочными, если это возможно, то есть до тех пор, пока кусочная переменная одна и та же. Функция непрерывна для всех x ∈ [0, π/2). Примеры перепланировки электронной почты. Часто единичная ступенчатая функция u. Это текущий выбранный элемент. Далее необходимо предоставить справочную информацию, пояснить. Показывает, как кусочное определение может определить «смайлик». Левый и правый пределы.Нам не нравится писать электронное письмо о переносе встречи, поскольку это причиняет неудобства тем, с кем мы запланировали встречу. Начните писать вступление. Постройте точки, чтобы определить общую форму основных функций. Введение в кусочные функции. Вводный абзац должен начинаться с привлекающей внимание фразы: «Вы пишете научную статью», но это не значит, что вы должны быть скучными. Следующий код. Размещено: (1 день назад) График кусочно определенных функций. Напишите запрос, который выбирает все ордера на арест из учебника.Как добавить пользовательский столбец, которого нет в таблице, в активном администраторе на рельсах? Spring Boot, статические ресурсы и конфигурация типа mime. Вычисление кусочной функции добавляет дополнительный шаг ко всей процедуре. Как писать кусочные функции? Кусочная функция — это функция, построенная из кусочков разных функций на разных интервалах. Используя график, определите его домен и диапазон. У меня есть график кусочной функции ниже, и у меня возникли проблемы с определением области определения функции в интервальной нотации.Изображение с Youtube. Обратите внимание, что для дискретных распределений d. Мы используем сплошную точку в конце фрагмента, чтобы подчеркнуть, что эта точка находится на графике. Пример показан ниже. Брайан Маклоган. (ℒf)(s) = ∫ ∞0e − sxf(x) dx. Дана кусочная функция, напишите формулу и определите область определения для каждого интервала. Теперь, как написать цель резюме? Как и в резюме вашего резюме, ваша цель должна состоять не более чем из 2-3 предложений. Окончательное руководство по написанию идеальных научных работ, эссе, диссертаций или даже диссертации. В этой статье представлено подробное руководство о том, как справиться с задачей написания надежного исследования.Если воспроизведение не начнется в ближайшее время, попробуйте перезагрузить устройство. Таким образом, чтобы найти интервалы функции, которые либо уменьшаются, либо возрастают, возьмите производную и подставьте несколько значений. Просто убедитесь, что две точки удовлетворяют y = 2x. Функция в этом примере является кусочно-линейной, поскольку каждая из трех частей функции. ф(х)=3х+5. Части могут быть отдельными точками, линиями или кривыми. Например, студенты колледжа. Напишите кусочную функцию, которая представляет индивидуальную стоимость футболки в виде.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск