Правила квадратного корня: Свойства арифметического квадратного корня. Квадратный корень из степени. Преобразование выражений, содержащих

Содержание

Свойства арифметического квадратного корня. Квадратный корень из степени. Преобразование выражений, содержащих

Свойства арифметического квадратного корня. Квадратный корень из степени.

Арифметический квадратный корень обладает рядом свойств.

  • ab=ab (a,b≥0). Если a и b – неотрицательные числа, то корень из их произведения равен произведению корней.

    Доказательство: воспользуемся определением квадратного корня.

    (ab)2=ab

    (ab)2=ab

    Функция y=x2 при х≥0 принимает свои значения ровно один раз.

    Следовательно, ab=ab, так как равны их квадраты.

    Примеры:

    36·25=36∙25=6∙5=30

    8·50=8∙2∙25=16∙25=4∙5=20

    Рассмотрим обобщение первого свойства: abc=abc при a,b,c≥0.

    Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней этих множителей.

    Примеры:

    81·4·16=81416=9∙2∙4=72

    0,01·8·50=0,01∙8∙2∙25=0,011625=0,1∙4∙5=2

  • ab=ab (a>0, b≥0). Если а – неотрицательное число, а b – положительное число, то корень из их отношения равен отношению корней.

    Доказательство: воспользуемся определением квадратного корня.

    ab2=ab

    ab2=(a)2(b)2=ab

    Функция y=x2 при х≥0 принимает свои значения ровно один раз.

    Следовательно, ab=ab, так как равны их квадраты.

    Примеры:

    49=49=23

    1916=2516=2516=54=114

  •  

    a2n=anпри a≥0, n∈N

    Доказательство: воспользуемся определением квадратного корня.

    (a2n)2=a2n

    (an)2=a2n

    Функция y=x2 при х≥0 принимает свои значения ровно один раз.

    Следовательно, a2n=an, так как равны их квадраты.

    Примеры:

    36=32∙3=33=27

    x8=x2∙4=x4 при x≥0

    Рассмотренные свойства широко используются в различных задачах.

    Разберем пример:

    132-122=(13-12)(13+12)=1∙25=5

    Конечно, в данном примере можно было просто вычислить квадраты указанных чисел, а затем посчитать их разность. Однако подсчёт «в лоб» станет слишком трудным для больших чисел.

    Рассмотрим одну из самых распространённых и грубейших ошибок, которую часто допускают при работе с квадратными корнями.

    Утверждение а±b=a±b – НЕВЕРНО!

    В качестве подтверждения рассмотрим следующий пример: 9+16=25=5, а 9+16=3+4=7. Как видим, применение неправильной формулы приводит к неправильным результатам.

     

  • Правила квадратного корня — Квадратный Корень

    Применение операции корня к числам

    Квадратный корень из числа  — это такое число, квадрат которого (результат умножения на себя) равен , то есть решение уравнения относительно переменной . [1][2] Часто под этим понятием подразумевают более узкое — т. н. арифметический квадратный корень — неотрицательное число.

    Рациональные числа

    Корень из рационального числа является рациональным числом, только если и (после сокращения общих множителей) являются квадратами натуральных чисел.

    Непрерывная дробь корня из рационального числа всегда является периодической (возможно с предпериодом) что позволяет с одной стороны легко вычислять хорошие рациональные приближения к ним с помощью линейных рекуррент, а с другой стороны ограничивает точность приближения: , где зависит от

    [3][4]. Верно и обратное: любая периодическая цепная дробь является квадратичной иррациональностью.

    Действительные числа

    При натуральных уравнение не всегда разрешимо в рациональных числах, что и привело к появлению новых числовых полей. Древнейшее из таких расширений — поле вещественных (действительных) чисел.

    Теорема. Для любого положительного числа a существует ровно два вещественных корня, которые равны по модулю и противоположны по знаку.[5]

    Неотрицательный квадратный корень из положительного числа называется арифметическим квадратным корнем и обозначается с использованием знака радикала .[6]

    Комплексные числа

    Над полем комплексных чисел решений всегда два, отличающихся только знаком (за исключением квадратного корня из нуля). Корень из комплексного числа часто обозначают как , однако использовать это обозначение нужно осторожно. Распространённая ошибка:

    Для извлечения квадратного корня из комплексного числа удобно использовать экспоненциальную форму записи комплексного числа: если

    ,

    то (см. Формула Муавра)

    ,

    где корень из модуля понимается в смысле арифметического значения, а k может принимать значения k=0 и k=1, таким образом в итоге в ответе получаются два различных результата.

    Вещественный анализ

    График функции

    Квадратным корнем называют также функцию вещественной переменной , которая каждому ставит в соответствие арифметическое значение корня.[7] Эта функция является частным случаем степенной функции с . Эта функция является гладкой при , в нуле же она непрерывна справа, но не дифференцируема.


    Обобщения

    Квадратные корни вводятся как решения уравнений вида и для других объектов: матриц[8], функций[9], операторов[10] и т. п. В качестве операции при этом могут использоваться достаточно произвольные мультипликативные операции, например, суперпозиция.

    В алгебре применяется следующее формальное определение: Пусть  — группоид и . Элемент называется квадратным корнем из если .

    Квадратный корень в элементарной геометрии

    Квадратные корни тесно связаны с элементарной геометрией: если дан отрезок длины 1, то с помощью циркуля и линейки можно построить те и только те отрезки, длина которых записывается выражениями, содержащими целые числа, знаки четырёх действий арифметики, квадратные корни и ничего сверх того. [11]

    Квадратный корень в информатике

    Во многих языках программирования функционального уровня (а также языках разметки типа LaTeX) функция квадратного корня обозначается как

    sqrt (от англ. square root «квадратный корень»).

    Алгоритмы нахождения квадратного корня

    Нахождение или вычисление квадратного корня заданного числа называется извлечением (квадратного) корня.

    Разложение в ряд Тейлора

    при .

    Арифметическое извлечение квадратного корня

    Для квадратов чисел верны следующие равенства:

    и так далее.

    То есть, узнать целую часть квадратного корня числа можно, вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю, и посчитав количество выполненных действий. Например, так:

    Выполнено 3 действия, квадратный корень числа 9 равен 3.

    Недостатком такого способа является то, что если извлекаемый корень не является целым числом, то можно узнать только его целую часть, но не точнее. В то же время такой способ вполне доступен детям, решающим простейшие математические задачи, требующие извлечения квадратного корня.

    Грубая оценка

    Многие алгоритмы вычисления квадратных корней из положительного действительного числа S требуют некоторого начального значения. Если начальное значение слишком далеко от настоящего значения корня, вычисления замедляются. Поэтому полезно иметь грубую оценку, которая может быть очень неточна, но легко вычисляется. Если S ≥ 1, пусть D будет числом цифр S слева от десятичной запятой. Если S < 1, пусть D будет числом нулей, идущих подряд, справа от десятичной запятой, взятое со знаком минус. Тогда грубая оценка выглядит так:

    Если D нечётно, D = 2n + 1, тогда используем
    Если D чётно, D = 2n + 2, тогда используем

    Два и шесть используются потому, что и

    При работе в двоичной системе (как внутри компьютеров), следует использовать другую оценку (здесь D это число двоичных цифр).

    Геометрическое извлечение квадратного корня

    В частности, если , а , то [12]

    Итерационный аналитический алгоритм

    Основная статья: Итерационная формула Герона

    тогда

    Столбиком

    Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью. Такой способ может быть освоен даже школьником. К недостаткам способа можно отнести увеличивающуюся сложность вычисления с увеличением количества найденных цифр.

    Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком. Выписывается число, корень которого ищем. Справа от него будем постепенно получать цифры искомого корня. Пусть извлекается корень из числа с конечным числом знаков после запятой. Для начала мысленно или метками разобьём число N на группы по две цифры слева и справа от десятичной точки. При необходимости, группы дополняются нулями — целая часть дополняется слева, дробная справа.

    Так 31234.567 можно представить, как 03 12 34 . 56 70. В отличие от деления снос производится такими группами по 2 цифры.

    1. Записать число (в примере — 69696) на листке.
    2. Найти , квадрат которого меньше или равен группе старших разрядов числа (старшая группа — самая левая не равная нулю), а квадрат больше группы старших разрядов числа. Записать найденное справа от N (это очередная цифра искомого корня). (На первом шаге примера , а ).
    3. Записать квадрат под старшей группой разрядов. Провести вычитание из старшей группы разрядов выписанного квадрата числа и записать результат вычитания под ними.
    4. Слева от этого результата вычитания провести вертикальную черту и слева от черты записать число равное уже найденным цифрам результата (мы их выписываем справа от N) умноженное на 20. Назовём это число . (На первом шаге примера это число просто есть , на втором ).
    5. Произвести снос следующей группы цифр, то есть дописать следующие две цифры числа справа от результата вычитания. Назовем число, полученное соединением результата вычитания и очередной группы из двух цифр. (На первом шаге примера это число , на втором ). Если сносится первая группа после десятичной точки числа , то нужно поставить точку справа от уже найденных цифр искомого корня.
    6. Теперь нужно найти такое , что меньше или равно , но больше, чем . Записать найденное справа от N, как очередную цифру искомого корня. Вполне возможно, что окажется равным нулю. Это ничего не меняет — записываем 0 справа от уже найденных цифр корня. (На первом шаге примера это число 6, так как , но ) Если число найденных цифр уже удовлетворяет искомой точности прекращаем процесс вычисления.
    7. Записать число под . Провести вычитание столбиком числа из и записать результат вычитания под ними. Перейти к шагу 4.

    Наглядное описание алгоритма:

    Арифметический квадратный корень и его свойства

    Цели урока:

    Образовательные:

    — стимулирование мотивации и интереса в области предмета изучения;

    — поддержание и усиление значения полученной информации по данной теме

     – выявление уровня сформированности знаний по теме  и умений применять свойства арифметического квадратного корня для вычисления значений квадратного корня и преобразования выражений, содержащих квадратные корни.

    Развивающие:

    — развитие навыков принятия решений;

     — развитие и формирование у учащихся навыков логического мышления,

    -развитие реакции на ситуативность;

    — правильной и грамотной речи, быстрой реакции, способности рисковать.

    Воспитательные:

     – воспитание познавательной активности, настойчивости в учебе;

    — воспитание объективности в самооценке, духа соревновательности, стремления к самоутверждению личности.

    Задачи:

     1. Повторить определение арифметического квадратного корня.

    2. Повторить теорему квадратного корня из степени.

    3. Повторить теорему квадратный корень из произведения и дроби.

    4. Развить навыки устного счета.

    5. Подготовить учащихся к контрольной работе.

    6. Рассказать об истории возникновения арифметического корня.

    Форма проведения урока: урок-игра

    Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

    Оборудование:экран, проектор, компьютер, плакаты, раздаточный и демонстрационный материал, карточки с номерами.

    Структура урока:

    1. Оргмомент.

    2. Целеполагание и мотивация учебной деятельности учащихся (разъяснение правил игры).

    3. Игровые действия:

    — актуализация знаний;

    — обобщение и систематизация знаний и умений при решении задач

    — из истории корней

    4. Подведение итогов. Рефлексия.

    5. Домашнее задание.

    Ход урока

    1. Организационный момент.

    Учитель: Вы закончили изучение свойств арифметического квадратного корня. Ваша задача на этом уроке показать свои  умения и полученные знания. Открываем тетради, записываем число и тему урока.

    2. Целеполагание и мотивация учебной деятельности.

    В Америке несколько десятилетий назад была объявлена премия автору, который напишет книгу «Как человек без математики жил». Премия осталась невыданной. По-видимому, ни один из авторов не сумел изобразить жизнь человека без всяких математических знаний. Цель сегодняшнего урока – максимально использовать все свои знания по теме урока.

    На доске в разных местах записаны пословицы.

    — Набирайся ума в ученье, храбрости в сраженье.

    — Без муки нет науки.

    — Была бы охота — заладится всякая работа.

    — Математика – гимнастика ума.

    Учитель: Ребята, прочитайте пословицы и запишите себе в тетрадь наиболее понравившуюся народную мудрость. Скажите, почему вы записали именно эту пословицу? Чем она вам так понравилась, в чём её смысл? Может она помогла вам поставить перед собой цель на сегодняшний урок?

    А мне нравится “ Математика – гимнастика ума”.

    Что такое гимнастика?

    Выслушав ответы, учитель подводит итог:

    Гимнастика – это система упражнений для физического развития человека;

    гимнаст – человек ловкий, стройный, сильный, пластичный, красивый.

    Также много даёт математика для умственного развития человека — заставляет думать, соображать, искать простые и красивые решения, помогает развивать логическое мышление, умение правильно и последовательно рассуждать, тренирует память, внимание, закаляет характер.

    Мы сегодня проводим необычный урок – игру «Аукцион математических знаний». Аукцион – слово латинское, оно означает – распродажа за большую цену (дороже).

    Обратите внимание на экран:

    «Необходимые знания, умения и навыки по теме «Арифметический квадратный корень и его свойства» (за несколько дней до урока вывесить в классе)

    1.  Знать понятие квадратного корня и арифметического квадратного корня из числа.

    2. Уметь применять определение арифметического квадратного корня при решении уравнения

    3.Уметь находить приближенные значения арифметического квадратного корня.

    4. Знать свойства арифметического квадратного корня.

    5.Уметь применять свойства корней для вычисления значений квадратных корней и для преобразования выражений, содержащих квадратные корни.

    6. Знать историю возникновения понятия радикала и знака квадратного корня.

    Для ведения аукциона мне необходим  помощник. Учитель представляет помощника: ведущую торгов (ученица 10 класса). Назначенная ученица выходит к доске и занимает свое место.

    Учитель: слово предоставляется ведущей аукциона.

    Ведущая зачитывает «Правила поведения на аукционе» для его участников и объявляет аукцион открытым.

    Правила поведения на аукционе знаний

    1. Стремись к победе.

    2. Прояви свою смекалку.

    3. Покажи свои знания, умения и навыки по теме.

    4. Первоначальная сумма очков у каждого участника – 10 очков.

    5. Если знаешь ответ, то назначь свою цену.

    6. Считать проигравшим того, кто набрал 0 очков.

    7. Покажи свой имидж в конкурсе.

    Учитель знакомит с правилами игры.

    3. Игровые действия.

    Учитель задает вопрос №1:  «Сформулируйте определение арифметического квадратного корня. При каких значениях а выражение  имеет смысл?» (первоначальная цена 5 очков).

    Ведущая: «Кто дает больше?»

    Учащиеся поднимают карточки с номерами. Если они знают ответ, то могут назначить свою цену – 6 очков, 8 очков и т. д. Ведущий выбирает наибольшее количество очков и стучит молотком, произнося счет: «Раз! Два! Три!» Если не назначается еще большее число очков, то право отвечать отдается тому учащемуся, который назвал сумму очков. Учитель оценивает правильность ответа и сообщает о результате ассистенту.

    Если ответ правильный, то ведущий объявляет, что вопрос продан. Если ответ неправильный, то право ответа предоставляется предыдущему участнику.

    Если никто из участников не дает правильного ответа, то учитель кратко объясняет задание на доске.

    Ассистент  ведет запись очков + или – в таблице..

    Дальнейшая работа с вопросами 2 – 13 проводится аналогично. Вопросы иллюстрируются слайдами на экране.

    Весь материал — в архиве.

    Свойства арифметического квадратного корня (произведения и частного)

    Тема: Свойства арифметического квадратного корня (произведения и частного).

     

    Класс: 8

     

    Тип урока: изучение нового материала

     

    Цели урока:

    Образовательная: изучить правило вычисления квадратного корня из произведения и частного, сформировать умение применять данные правила к решению примеров в стандартной и нестандартной ситуациях.

    Воспитывающие: воспитывать умение работать в группах, оказывать взаимопомощь, умение оценивать свою деятельность.

    Развивающая: развивать вычислительные навыки, умение анализировать, сравнивать и делать выводы.

     

    Формирование предметных компетенций

    На этапе актуализации опорных знаний:

    1.      знание и понимание определения арифметического квадратного корня;

    2.      умение извлекать квадратный корень.

    На этапе изучения новой темы:

    1.      знание и понимание свойств квадратного корня из произведения и дроби;

    2.      умение применять данные свойства в стандартных ситуациях.

    На этапе закрепления: умение применять изученные свойства квадратных корней в стандартных и изменённых ситуациях

    Формирование познавательных компетенций

    1.       способность и готовность применять раннее изученный материал для усвоения нового;

    2.      способность и готовность выдвигать различные гипотезы при изучении нового;

    3.      способность доказывать или опровергать выдвинутые гипотезы;

    4.      способность и готовность к решению проблемных задач.

    Формирование ключевых компетенций на всех этапах урока:

    1.      формирование коммуникативной компетенции

    2.      формирование социальной компетенций – работа в группах, в паре

    3.      формирование интеллектуальной и поликультурной компетенций.

    Перечень рассматриваемого на уроке учебного материала: определение арифметического квадратного корня, свойства арифметического квадратного корня из произведения и дроби.

     

    Краткая теория, на которую опирается учитель при проведении урока:

      1. Определение арифметического квадратного корня: Квадратным корнем из числа  называется такое число , квадрат которого равен .

    Свойства арифметического квадратного корня из произведения и дроби: Квадратный корень из произведения двух неотрицательных множителей равен произведению квадратных корней из этих множителей . Квадратный корень из частного (дроби), числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен квадратному корню из числителя, деленному на квадратный корень из знаменателя .

     

    Перечень учебных источников информации, которые могут быть использованы учащимися при выполнении заданий урока:

    1. Башмаков М.И. Алгебра в основной школе 7 – 9 классы (учебник). http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/5b447219-ac7c-4872-8737-66b949cc5547/M-22_UC8-ch6.pdf
    2. Башмаков М.И. Алгебра в основной школе 7 – 9 классы (задачник). http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/3290658c-5d48-42ad-b36b-dd7c101437f1/M-22_ZD8_ch6.pdf
    3. Башмаков М.И. Алгебра в основной школе 7 – 9 классы (рабочая тетрадь). http://files. school-collection.edu.ru/dlrstore/0bc19ce2-fca3-4349-b2d7-dece37828147/M-22_RT8_ch6.pdf
    4. Дубровский В.Н. Определение и свойства квадратного корня. Давайте вспомним. http://school-collection.edu.ru/catalog/res/c658e479-510c-49e8-84e8-37e8fdbea9b5/?interface=catalog&class=50&subject=17
    5. Дубровский В.Н. Определение и свойства квадратного корня. Проверь себя. http://school-collection.edu.ru/catalog/res/692cc326-c54d-4f88-b234-741e56c58319/?interface=catalog&class=50&subject=17

    Этапы урока

    Время

    Деятельность учителя

    Деятельность учащихся

    1. Актуализация знаний учащихся

    6 минут

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    Для начала вспомним определение квадратного корня.

    1. Что такое квадратный корень из числа? [5]
    2. Сколько существует квадратных корней из числа  в зависимости от ? [5]

    Комментарий для учителя: из данного ЦОР учащимся демонстрируется только первые два вопроса. Если учащихся возникают трудности при ответе на данные вопросы им предлагается воспользоваться ресурсом [1].

    Далее учащимся предлагается задание Т.601 из [3].

    Слабых: 1, 4

    Средних: 8, 12

    Сильных: 16, 17, 19

     

     

     

     

    Квадратным корнем из числа  называется такое число , квадрат которого равен .

    Если число , то на множестве действительных числе не существует квадратного корня из отрицательного числа.

    Если число , то на множестве действительных числе существует два квадратных корня  из положительного числа.

    Если число , то на множестве действительных чисел существует один единственный квадратный корень , который равен 0.

     

     

     

     

    1)                

    4)                

    8)                

    12)            

    16)    

    17)    

    19)        

     

    2.    Изучение нового материала

    20 минут

     

    Запишем тему урока «Свойства арифметического квадратного корня»

    Учащимся предлагается ниже описанная исследовательская работа (робота может проходить в парах или индивидуально).

    Вычислите и сравните значения следующих выражений:

    Выскажите свое мнение о проведенной исследовательской работе (сформулируйте результат, сформулируйте гипотезу).

    Выдвинутая гипотеза является свойством арифметического квадратного корня.

     

     

    «Свойства арифметического квадратного корня»

     

     

     

    Вычисляют и сравнивают:

    Гипотеза: квадратный корень из произведения двух неотрицательных множителей равен произведению квадратных корней из этих множителей.

     

    Сформулируйте теорему – свойство арифметического квадратного корня.

    Сформулируйте теорему в знаковой форме.

    Данное свойство аналогично свойству степени. Давайте его вспомним [4].

    Комментарий для учителя: из данного цифрового ресурса необходимо только вспомнить два свойства (произведения и частного).

    Тогда как по аналогии можно сконструировать свойство частного арифметического квадратного корня.

     

     

     

    Проверим нами сформулированные свойства по учебному ресурсу [5]

    Квадратный корень из произведения двух неотрицательных множителей равен произведению квадратных корней из этих множителей.

     

     

     

     

     

     

    Квадратный корень из частного (дроби), числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен квадратному корню из числителя, деленному на квадратный корень из знаменателя.

    3.              Закрепление изученного материала

    18 минут

     

    Верны ли следующие предложения:

    1)      Квадратный корень из произведения двух положительных множителей равен произведению квадратных корней из этого множителя.

    2)      Квадратный корень из произведения двух неотрицательных множителей равен сумме квадратных корней из этих множителей.

    3)      Квадратный корень из частного двух отрицательных множителей равен частному квадратных корней из этих множителей.

    4)      Квадратный корень из произведения двух неотрицательных множителей равен произведению квадратных корней из этого множителя.

    5)      Квадратный корень из произведения двух неотрицательных множителей равен квадратному корню из произведения двух неотрицательных множителей.

    6)      Квадратный корень из частного (дроби), числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен квадратному корню из числителя, деленному на квадратный корень из знаменателя.

    (предложенные предложения, учащиеся выполняют как исследовательскую работу).

     

    1)      Неверно. Так как случай когда  упущен.

    2)      Неверно. Так как для  не выполняется равенство .

    3)      Неверно. Так как откуда в частном множители

    4)      Верно. Свойство произведения квадратного корня.

    5)      Верно. Свойств произведения квадратного корня.

    6)      Верно. Свойство частного квадратного корня.

     

    Примените теорему к решению следующих задач из [2].

    Задние А-2 (1,2) страница 2.

    Слабые:

    1. из 1)

    из 2)

    1. из 1)

    из 2)

    Средние:

    1. из 2)

    из 3)

    1. из 1)

    из 2)

    Сильные:

    1. из 2)

    из 3)

    из 4)

    1. из 1)

    из 2)

    Решают приведенные задания.

     

    Решение:

    Слабые:

    Средние:

    Сильные:

     

     

    4.                       Домашнее задание

    2 минуты

    Домашнее задание: выучить словесную и символьную запись свой произведения и частного квадратного корня.

    Рабочая тетрадь [3]

    Задание Т – 602 под цифрами 1 – 12 (страницы 2 – 3).

    Записывают домашнее задание.

     


     

    Скачано с www.znanio.ru

    Квадратные корни (Реферат) — TopRef.ru

    Квадратные корни

    Введение

    В ходе решения некоторых математических задач приходится оперировать с квадратными корнями. Поэтому важно знать правила действий с квадратными корнями и научиться преобразовывать выражения, их содержащие. Цель – изучение правил действий с квадратными корнями и способов преобразования выражений с квадратными корнями.

    Мы знаем, что некоторые рациональные числа выражаются бесконечными периодическими десятичными дробями, как, например, число 1/1998=0,000500500500… Но ничто не мешает вообразить и число, в десятичном разложении которого не обнаружится никакого периода. Такие числа называются иррациональными.

    История иррациональных чисел восходит к удивительному открытию пифагорейцев еще в VI в. до н. э. А началось все с простого, казалось бы, вопроса: каким числом выражается длина диагонали квадрата со стороной 1?

    Диагональ разбивает квадрат на 2 одинаковых прямоугольных треугольника, в каждом из которых она выполняет роль гипотенузы. Поэтому, как следует из теоремы Пифагора, длина диагонали квадрата равна. Сразу же возникает соблазн достать микрокалькулятор и нажать клавишу извлечения квадратного корня. На табло мы увидим 1,4142135. Более совершенный калькулятор, выполняющий вычисления с высокой точностью покажет 1,414213562373. А с помощью современного мощного компьютера можно вычислить с точностью до сотен, тысяч, миллионов знаков после запятой. Но даже самый высокопроизводительный компьютер, сколько бы долго он ни работал, никогда не сможет ни рассчитать все десятичные цифры, ни обнаружить в них какой-либо период.

    И хотя у Пифагора и его учеников компьютера не было, обосновали этот факт именно они. Пифагорейцы доказали, что у диагонали квадрата и его стороны общей меры (т.е. такого отрезка, который целое число раз откладывался бы и на диагонали, и на стороне) не существует. Следовательно, отношение их длин – число – нельзя выразить отношением некоторых целых чисел m и n. А коль скоро это так, добавим мы, десятичное разложение числа не обнаруживает никакой регулярной закономерности.

    По следам открытия пифагорейцев

    Как доказать, что число иррационально? Предположим, существует рациональное число m/n=. Дробь m/n будем считать несократимой, ведь сократимую дробь всегда можно привести к несократимой. Возведя обе части равенства, получим . Отсюда заключаем, что m – число четное, то есть m=2К. Поэтому и, следовательно, , или . Но тогда получим что и n четное число, а этого быть не может, поскольку дробь m/n несократима. Возникает противоречие.

    Остается сделать вывод, что наше предположение неверно и рационального числа m/n, равного не существует.

    1. Квадратный корень из числа

    Зная время t, можно найти путь при свободном падении по формуле: Решим обратную задачу.

    Задача. Сколько секунд будет падать камень, сброшенный с высоты 122,5 м?

    Чтобы найти ответ, нужно решить уравнение Из него находим, что Теперь осталось найти такое положительное число t, что его квадрат равняется 25. Этим числом является 5, так как Значит, камень будет падать 5 с.

    Искать положительное число по его квадрату приходится и при решении других задач, например при отыскании длины стороны квадрата по его площади. Введем следующее определение.

    Определение. Неотрицательное число, квадрат которого равен неотрицательному числу а, называется квадратным корнем из а. Это число обозначают

    Таким образом

    Пример. Так как

    Из отрицательных чисел нельзя извлекать квадратные корни, так как квадрат любого числа или положителен, или равен нулю. Например, выражение не имеет числового значения.

    В записи знак называют знаком радикала (от латинского «радикс» – корень), а число а – подкоренным числом. Например, в записи подкоренное число равно 25. Так как Это означает, что квадратный корень из числа, записанного единицей и 2n нулями, равен числу, записываемому единицей и n нулями:

    = 10…0

    2n нулей n нулей

    Аналогично доказывается, что 2n нулей n нулей

    Например,

    2. Вычисление квадратных корней

    Мы знаем, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. Это означает, что не может быть рациональным числом. Он является иррациональным числом, т.е. записывается в виде непериодической бесконечной десятичной дроби, причем первые десятичные знаки этой дроби имеют вид 1,414… Чтобы найти следующий десятичный знак, надо взять число 1.414х, где х может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, возвести по порядку эти числа в квадрат и найти такое значение х, при котором квадрат меньше, чем 2, но следующий за ним квадрат больше, чем 2. Таким значением является х=2. Далее повторяем то же самое с числами вида 1,4142х. Продолжая этот процесс, получаем одну за другой цифры бесконечной десятичной дроби, равной .

    Аналогично доказывается существование квадратного корня из любого положительного действительного числа. Разумеется, последовательное возведение в квадрат весьма трудоемкое занятие, и потому существуют способы быстрее находить десятичные знаки квадратного корня. С помощью микрокалькулятора можно найти значение с восемью верными цифрами. Для этого достаточно ввести в микрокалькулятор число а>0 и нажать клавишу – на экране высветится 8 цифр значения . В некоторых случаях приходится использовать свойства квадратных корней, которые мы укажем ниже.

    Если точность, даваемая микрокалькулятором, недостаточна, можно воспользоваться способом уточнения значения корня, даваемым следующей теоремой.

    Теорема. Если а – положительное число и – приближенное значение для по избытку, то – приближенное значение для по недостатку.

    Доказательство.

    По условию x1> и потому х12 >a, <1. Но 2 = = a. Т.к. <1, то a<a. Значит, а и — приближенное значение для по недостатку.

    Аналогично доказывается, что если – приближенное значение для по недостатку, то – приближенное значение по избытку.

    Поскольку и являются приближенными значениями для по избытку и по недостатку, то в качестве лучшего приближения для естественно выбрать среднее арифметическое этих чисел, т.е. число х2 = . А чтобы получить еще более точное значение для , надо взять среднее арифметическое чисел , т.е. число х3 = . Так вычисляются одно за другим все лучшие и лучшие приближенные значения для . Приближения ведут до тех пор, пока два полученных значения не совпадут в пределах заданной точности. Можно доказать, что каждое приближение примерно удваивает число верных десятичных знаков.

    Пример 1. Уточним по формуле х2 = приближение

    х1 = 1,414 для .

    Урок «Свойства арифметического квадратного корня. Урок №7»

    Урок № 7         §2, п. 15

    Тема: Свойства арифметического квадратного корня.

    Цель урока:

    Образовательная:  изучить основные свойства квадратных корней, сформировать умение применять их для преобразования выражений, содержащих квадратные корни, научить вычислять значения квадратных корней.

    Развивающая:  развитие вычислительных умений и навыков.

    Воспитательная: воспитание прилежности, аккуратности и творческого подхода к поставленной задаче. 

    Тип урока: урок усвоения новых знаний и умений

    Оборудование: мел, доска, плакаты, учебник, карточки красные, зеленые и синие для проведения рефлексии

     

    Х о д   у р о к а

    1. Организационный момент.

     

    — проверка готовности класса к уроку;

    — проверка готовности учащихся к уроку;

    — приветствие

     

    1. Мотивация урока.

    Эпиграф нашего урока “О, сколько нам открытий чудных готовит просвещенья дух…”. А были ли открытия в вашей жизни? Что значат слова “Я сделал открытие”? Если человек своим трудолюбием, упорством достигает истины в чем-либо, то это и есть его открытие.

    На сегодняшнем уроке мы тоже попытаеся совершить маленькое, но самостоятельное открытие. Для этого надо быть настойчивым и внимательным

     

    3. Проверка Д.З.

       Анализ работ №454 и №449

       Учитель: «Прежде чем перейти к новой теме, давайте обобщим и систематизируем теоретически знания, которые мы с вами имеем на данный момент».

    Закрепление теоретического материала § 2,п.14.

      1. Какие числа называют действительными?

      2. Какие числа называют рациональными, какие иррациональными?    

      3. Приведите примеры иррациональных чисел.

      4. Бывают ли иррациональные числа отрицательными?

      5. Является ли число 0 целым, рациональным, действительным?

      6. Какие действия можно выполнять с иррациональными числами?  

          А с действительными числами?

      7. Всегда ли сумма, разность, произведение или частное двух 

          иррациональных чисел — число иррациональное?

    4.Объяснение нового материала

       Задание классу (из предыдущего материала) – решите уравнение

       х2 = 25,

    корни уравнения   х1 = 5    т. к.   52 = 25,  

                          но и  х2 = -5    т.к.   (-5)2 = 25.

    Если учесть, что  5 = ,    а    — 5 = — ,  то получается, что

                    (5)2 = ()2   и   (-5)2 = (- )2  

                      т.е.   25 = ()2   и   25 = (- )2  следовательно

             а = ()2              

       Примеры.

        ()2 = 6;    ()2 = 18;     ()2 = 3; 

        ()2 = 3,2;    = ;  2 = 0.

      Верны также тождества:

    плакат 1

     

    1. = ∙ , если a ≥ 0 и b ≥ 0;
    2. = ,            если a ≥ 0 и b > 0;
    3. = ,     если a ≥ 0 и k N.
    4. ()2 = ,   при допустимых a

     

     

      Приведем доказательство первого равенства

    ()2 =

    ( ∙ )2 =()2 ∙ ()2 =   ч.т.д.

    Эти три теоремы кратко можно сформулировать так.

     

    Плакат 2

     

    1. Корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел (теорема о корне из произведения).

    2. Корень из дроби, числитель которой неотрицатель­ный, а знаменатель положительный, равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя (теорема о корне из дроби).

    3. Корень из степени , в котором числа  а неотри­цательное и k — натуральное, равен (теорема о кор­не из степени)

     

     

    Приводим для каждого свойства примеры:

    = ∙ = 2 ∙ 3 = 6.

    = = .

    = = = = 8

      Если эти тождества записать наоборот, то получим правила умножения, деления и представления любого выражения в виде квадрата.

    Плакат 3

     

         1. ∙ = , если a ≥ 0 и b ≥ 0;

                   2. = ,            если a ≥ 0 и b > 0;

                   3. = = ()2,  если a ≥ 0 и k N.

     

    Приведем примеры:

            ∙ = = = 4;

            = = = 5;

             =       или  = ()2 ;

            13 = ()2 – умение представлять любое выражение и число в виде квадрата.

      Из теоремы о корне из степени следует, что = а, если а ≥ 0. Если  же а < 0, то равенство   = а  неверное, поскольку число      неотрицательное и не может быть равным отрицательному числу  а.  Это равенство запишем в  таком виде

                                      = |а|

    верное при каждом значении а, поскольку число |а|— нео­трицательное и его квадрат равен а .

     Например:

                   = |8|        = |-7| = 7       = 3.

     Запомним следующее

     

     

    = |а|

    ()2 = а

     

     

    Проблемная ситуация: если вдруг окажутся следующие типы заданий:  ,  ,  , то необходимо воспользоваться определением арифметического значения квадратного  корня, т.е.

    = = 6.

    = = .

    = = 5  или   = = 5.

    4. Закрепление изученного материала.

        Для закрепления знаний свойств квадратных корней в классе    решить задания:

        №471(1,4,7) и №471(2,5,8), №471(3,6,9) – три  ученика

    Релаксация.


     

    Рисуй глазами треугольник

    Рисуй глазами треугольник.

    Теперь его переверни

    Вершиной вниз.

    И вновь глазами

    ты по периметру веди.

    Рисуй восьмерку вертикально.

    Ты головою не крути,

    А лишь глазами осторожно

    Ты вдоль по линиям води.

    И на бочок ее клади.

    Теперь следи горизонтально,

    И в центре ты остановись.

    Зажмурься крепко, не ленись.

    Глаза открываем мы, наконец.

    Зарядка окончилась.

    Ты – молодец!

     

       №472  — следующий ученик.

        №473 – весь класс

    Учитель регулирует и направляет ход решения каждого задания, а класс активно участвует во время обсуждения решений этих заданий.

      

    1. Итоги урока. Рефлексия.

    Шёл мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства храма. Мудрец остановился и задал каждому  по вопросу. У первого спросил: «Что ты делал сегодня?» И тот с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни. У второго мудрец спросил: «А что ты делал сегодня?» и тот ответил: «А я добросовестно выполнял свою работу». А третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием. А я принимал участие в строительстве храма.

    — Ребята, кто работал так, как первый человек, поднимите синие карточки.

    -Кто работал как второй человек, поднимите зелёные карточки.

    — Кто принимал участие в строительстве храма,  поднимите красные карточки.

     

        Подведение итогов и оценивание  знаний учащихся.

     

    5. Домашнее задание  § 2, п. 15  № 472(2), 474 (1-12) и № 495 – на повторение.

     

    Квадратные корни — Документ

    Квадратные корни

    Определение: Квадратным корнем из числа а называют число, квадрат которого равен а.

    Определение: Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.

    Равенство является верным, если выполняются два условия: 1) в0; 2) в2. При а<0 выражение не имеет смысла.

    Свойства арифметического корня

    Если а0 и в0. то

    Если а0 и в>0, то

    При любом значении х верно равенство

    Рассмотрим два случая.

    а) если х 0, то по определению арифметического корня . Так как х 0, то и равенство может быть записано в виде .

    б) если х< 0, то величина –х>0 и получаем . Так как х< 0, то –х= и равенство можно записать в виде .

    Чтобы извлечь корень из степени с четным показателем, достаточно представить подкоренное выражение в виде квадрата некоторого выражения и воспользоваться тождеством.

    Для сравнения числовых выражений, преобразования иррациональных выражений необходимы навыки вынесения множителя из-под знака корня и внесения множителя под знак корня. Рассмотрим эти приемы на примерах.
    Сравнить значение выражений и . Это можно сделать двумя способами:
    а) вынесения множителя из-под знака корня Преобразуем иррациональное число . Представим число 75 в виде произведения двух множителей . Используем свойство корней из произведения получаем: . Теперь легко сравнить: .

    б) внесения множителя под знак корня Преобразуем втрое иррациональное число, представим его в виде арифметического квадратного корня, заменим число 6 выражением и используя свойства: . Сравним данные числа: так как 75<108, то .

    Вынесем множитель из-под знака корня в выражении

    Выражение имеет смысл только при (если а<0, то и а3<0). Представим подкоренное выражение в виде произведения а32 а. Учитывая свойства квадратного корня получаем: .

    Вынесем множитель из-под знака корня в выражении

    Выражение имеет смысл при (или Представим подкоренное выражение в виде произведения, в котором первый множитель а6 является степенью с четным показателем, а второй множитель (-а) принимает только неотрицательные значения. Тогда получаем: . Было учтено, что

    Преобразование выражений содержащих квадратные корни

    Рассмотрим другие способы преобразований выражений, содержащих квадратные корни.

    Первый способ. Выражение, содержащее квадратные корни преобразуется в сумму подобных слагаемых, затем выполняется суммирование. Два или несколько выражений, содержащих квадратные корни, называются подобными, если каждое из них есть произведение рационального числа на один и тот же квадратный корень. Например, подобные выражения.

    Упростить выражение:

    = =

    Второй способ. В дроби в которой знаменатель имеет вид избавляются от квадратных корней или иррациональности в знаменателе, путем умножения числителя и знаменателя на число . Действительно, в знаменателе после такого умножения будет находится произведение, к которому применяется формула разности квадратов.

    Если a,b,c,d- рациональные числа, то и a2 b – c2 d — рациональное число. Таким образом, мы избавляемся от иррациональности в знаменателе. Число называется сопряженным к числу .

    Квадратный корень: знак, правила и задачи — видео и расшифровка урока

    Распознавание идеальных квадратов

    Говоря на любом языке, полезно знать более простую версию того, что вы хотите сказать. Совершенные квадраты дают нам способ находить более простые версии выражений квадратного корня. Подкоренное число — это совершенный квадрат , если его главный квадратный корень — целое число. Например, 16 — это совершенный квадрат, потому что его главный квадратный корень равен 4. Число 26 не является совершенным квадратом, потому что его главный квадратный корень (около 5.2) в виде сетки r на r , где r — целое число. Например, 4 квадрата одинакового размера могут отображаться в виде квадрата в сетке 2 на 2. Сетка 3 на 3 дает вам 9 квадратов, сетка 4 на 4 дает вам 16 квадратов и так далее. Однако число, не являющееся идеальным квадратом, например 26, нельзя отобразить таким же образом. Не существует квадратной сетки r на r , которая даст вам 26 квадратов.

    Распознавание идеальных квадратов важно, потому что это помогает нам упростить более сложные выражения квадратного корня.Вместо того, чтобы говорить «квадратный корень из 16», проще сказать «4».

    Упрощение выражения квадратного корня

    Выражение квадратного корня считается упрощенным, если оно удовлетворяет двум условиям:

    1) Подкоренные числа не имеют полных квадратных множителей, кроме 1

    и

    2) В выражении нет знаков квадратного корня. denominator

    На самом деле наше первое условие означает, что мы ищем идеальные квадраты под знаком квадратного корня. Мы можем вытащить эти идеальные квадраты из-под знака квадратного корня и записать их как целые числа.

    Например, чтобы упростить квадратный корень из 200, вам нужно найти совершенные квадратные множители 200. Мы можем записать 200 как 2*100. Является ли 2 идеальным квадратом? Нет, его главный квадратный корень не является целым числом. Является ли 100 идеальным квадратом? Да, его главный квадратный корень равен 10! Давайте вытащим это 100 из-под корня и запишем его как 10. Таким образом, квадратный корень из 200 можно упростить до 10-кратного квадратного корня из 2.

    Это не кажется слишком сложным, но что, если бы нас попросили упростить квадратный корень из умноженного на 2 квадратного корня из числа 200, деленного на 3.Не пугайтесь. В дополнение к распознаванию идеальных квадратов есть два свойства, которые помогут нам выполнить эту задачу.

    Если a больше 0 и b больше 0, то мы можем использовать следующие свойства для упрощения выражения квадратного корня:

    Во-первых, у нас есть частное свойство , где квадратный корень из a / b равен квадратному корню из a , деленному на квадратный корень из b .

    У нас также есть свойство продукта , где квадратный корень из a * b равен квадратному корню из a , умноженному на квадратный корень из b.

    Мы можем использовать частное, чтобы найти квадратный корень из числа 200, деленного на 3 части нашей задачи. Следуя этому свойству, мы можем переписать эту часть как квадратный корень из 200, деленный на квадратный корень из 3.Ранее мы знали, что квадратный корень из 200 можно упростить до 10-кратного квадратного корня из 2. Так что давайте также включим это в наше выражение.

    Теперь у нас есть квадратный корень из 2, умноженный на 10, умноженный на квадратный корень из 2 в числителе и квадратный корень из 3 в знаменателе.

    Чтобы упростить числитель, мы можем использовать свойство произведения, чтобы записать квадратный корень из 2, умноженный на квадратный корень из 2, как квадратный корень из числа, умноженного на 2. Это дает нам квадратный корень из 4, так что теперь у нас есть 10-кратный квадратный корень из 4 в числителе. Не забывайте, что 4 — это полный квадрат, поэтому мы можем переписать квадратный корень из 4 как 2. Это дает нам 20 в нашем числителе.

    Мы закончили? Нет, помните, что в знаменателе не может быть знака квадратного корня, так как же нам избавиться от этого квадратного корня из 3?

    Мы должны рационализировать знаменатель . Это причудливый способ сказать, что нам нужно умножить на некоторую версию 1, чтобы избавиться от знаков квадратного корня в знаменателе.В этом случае мы умножаем все наше выражение на квадратный корень из 3, деленный на квадратный корень из 3.

    Умножение нашего знаменателя на квадратный корень из 3 дает нам квадратный корень из 3, умноженный на 3 (помните свойство произведения). Это дает нам квадратный корень из 9 в нашем знаменателе, который равен всего 3.

    Наша окончательная упрощенная версия в 20 раз больше квадратного корня из 3 для всех трех. знаки квадратного корня в знаменателе, вот и все!

    Сложение и вычитание квадратных корней

    Вы чувствуете себя уверенно? Даже если вы еще не знаете решения, ответ всегда должен быть утвердительным, поэтому мы собираемся ввести еще одно понятие: сложение и вычитание квадратных корней.

    При добавлении и вычитании терминов, которые имеют переменные, вы можете помнить, что вы должны комбинировать похожие термины. Мы применяем ту же концепцию для сложения и вычитания квадратных корней, за исключением того, что мы комбинируем термины с одним и тем же корнем. Давайте посмотрим на пример, который применяет это и все остальное, что вы узнали, на практике. Вы можете в любой момент поставить видео на паузу и поработать над примером самостоятельно.

    Упростите следующий радикал: 6-кратный квадратный корень из числа 1 на 2 плюс 4-кратный квадратный корень из 18 минус 8-кратный квадратный корень из 2.

    Может показаться, что это много, но давайте поработаем над упрощением каждого термина в отдельности. Мы можем использовать частное свойство на нашем первом термине. Это дает нам 6-кратный квадратный корень из 1 на весь квадратный корень из 2. Квадратный корень из 1 равен всего 1, так что на самом деле это 6 на квадратный корень из 2.

    Чтобы завершить упрощение этого члена, нам нужно рационализировать знаменатель, чтобы избавиться от знака квадратного корня. Умножьте этот первый член на квадратный корень из 2 на квадратный корень из 2, и вы увидите, что этот член упрощается до 3-кратного квадратного корня из 2.

    Теперь о втором сроке. Мы можем использовать свойство произведения, чтобы найти идеальный квадрат. 4-кратный квадратный корень из 18 становится 4-кратным квадратным корнем из 2-кратного квадратного корня из совершенного квадрата 9. Квадратный корень из 9 равен 3, так что это дает нам 4-кратный 3-кратный квадратный корень из 2, или 12-кратный квадратный корень из 2.

    Хорошо, давайте посмотрим на наш последний член, минус 8, умноженный на квадратный корень из 2.Можем ли мы что-нибудь сделать, чтобы упростить его еще больше? Нет, подкоренное число не имеет полных квадратов, и уж точно нет знака квадратного корня в знаменателе.

    Наш последний шаг — сложение и вычитание этих квадратных корней. Помните, что мы можем комбинировать только термины с одинаковым подкоренным числом, но все наши термины имеют подкоренное число 2. Это означает, что мы можем объединить их все и переписать наше выражение в виде квадратного корня из числа 3 + 12 — 8, умноженного на 2.Это просто дает нам 7-кратный квадратный корень из 2, и мы закончили!

    Пока вы делаете это шаг за шагом и помните правила упрощения, вы скоро будете бегло говорить на языке квадратных корней. 2 = х .

    Умение говорить о выражениях с квадратным корнем означает умение выражать их простыми словами. Вы выразили выражение квадратного корня в простейших терминах, если оно удовлетворяет двум условиям:

    1) Подкоренные числа не имеют полных квадратных множителей, кроме 1

    и

    2) В знаменателе нет знаков квадратного корня

    In В дополнение к распознаванию идеальных квадратов есть два свойства, которые помогают упростить радикальные выражения.

    Если a больше 0 и b больше 0, то мы можем использовать частное свойство , где квадратный корень из a / b равен квадратному корню из a , разделенного квадратным корнем из b.

    Мы также можем использовать свойство продукта , где квадратный корень из a * b равен квадратному корню из a , умноженному на квадратный корень из b.

    Кроме того, не забудьте рационализировать знаменатель или умножить на какую-либо версию 1, чтобы избавиться от знаков квадратного корня в знаменателе.

    Квадратный корень Обзор

    Знак квадратного корня говорит нам найти квадратные корни любых чисел под ними
    Радиканд число под знаком квадратного корня
    Частное свойство квадратный корень из a / b равен квадратному корню из a , деленному на квадратный корень из b
    Свойство продукта квадратный корень из a * b равен квадратному корню из a , умноженному на квадратный корень из b
    Рационализируйте знаменатель умножьте на какую-нибудь версию 1, чтобы избавиться от знаков квадратного корня в знаменателе

    Результаты обучения

    Сосредоточьтесь на понятиях, связанных с квадратными корнями во время этого урока, чтобы впоследствии вы могли:

    • Распознавать знак квадратного корня, подкоренное число и полный квадрат
    • Упростить и найти квадратный корень
    • Использование свойства частного и произведения
    • Сложение и вычитание квадратных корней

    Квадраты и квадратные корни в алгебре

    Возможно, вы захотите сначала прочитать наше введение в квадраты и квадратные корни.

    Квадраты

    Чтобы возвести число в квадрат, просто умножьте его само на себя …

    Пример: Сколько будет 3 в квадрате?

    3 В квадрате = = 3 × 3 = 9

    «Квадрат» часто записывается как маленькая двойка, например:

    .


    Здесь написано «4 в квадрате равно 16»
    (маленькая двойка означает число появляется дважды при умножении, поэтому 4×4 = 16)

    Квадратный корень

    квадратный корень из идет в другом направлении:

    3 в квадрате равно 9, поэтому квадратный корень из из 9 это 3

    Это все равно, что спросить:

    Что я могу умножить само на себя, чтобы получить это?

    Определение

    Вот определение:

    Квадратный корень из x равен числу r , квадрат которого равен x:

    r 2 = x
    r — квадратный корень из x

    Символ квадратного корня


     

    Это специальный символ, означающий «квадратный корень». это как галочка,
    и на самом деле началась сотни лет назад в виде точки с движением вверх.

    Он называется радикалом и всегда делает математику важной!

    Мы можем использовать это так:


    мы говорим «квадратный корень из 9 равен 3»

    Пример: Что такое √36?

    Ответ: 6 × 6 = 36, поэтому √36 = 6

    Отрицательные числа

    Мы также можем возводить в квадрат отрицательные числа.

    Пример: Сколько будет

    минус 5 в квадрате ?

    Но подождите … что значит «минус 5 в квадрате»?

    • возвести в квадрат 5, а потом минус?
    • или квадрат (−5)?

    Непонятно! И получаем разные ответы:

    • возведите в квадрат 5, затем выполните минус: -(5×5) = -25
    • в квадрате (-5): (-5)×(-5) = +25

    Итак, давайте проясним это, используя «()».

    Было интересно!

    Когда мы возводим в квадрат отрицательное число , мы получаем положительное число .

    Точно так же, как при возведении в квадрат положительного числа:

    .

    Теперь помните наше определение квадратного корня?

    Квадратный корень из x равен числу r , квадрат которого равен x:

    r 2 = x
    r — квадратный корень из x

    И мы только что обнаружили, что:

    (+5) 2 = 25
    (-5) 2 = 25

    Таким образом, и +5, и -5 являются квадратными корнями из 25

    Два квадратных корня

    Может быть положительных и отрицательных квадратный корень!

    Это важно помнить.

    Пример: решить w

    2 = a

    Ответ:

    w = √a   и   w = −√a

    Основной квадратный корень

    Итак, если квадратных корней действительно два, почему люди говорят, что √25 = 5?

    Потому что означает главный квадратный корень из из . .. тот, который не является отрицательным!

    Там есть два квадратных корня, но символ √ означает просто главный квадратный корень .

    Пример:

    Квадратный корень из 36 равен 6 и −6

    .

    Но √36 = 6 (не −6)

    Главный квадратный корень иногда называют положительным квадратным корнем (но он может быть равен нулю).

    Знак плюс-минус

    .
    ±  – специальный символ, означающий «плюс-минус»,
       
    поэтому вместо записи:   w = √a   и   w = −√a
    можно написать:   вес = ±√a

    В двух словах

    Когда имеем:r 2 = x

    тогда:r = ±√x

    Почему это важно?

    Почему важен этот «плюс-минус»? Потому что мы не хотим упустить решение!

    Пример: решить x

    2 − 9 = 0

    Начните с:x 2 − 9 = 0

    Переместить 9 вправо:x 2 = 9

    Квадратные корни: x = ±√9

    Ответ: х = ±3

    «±» говорит нам также включить ответ «-3».

    Пример: Найдите x в (x − 3)

    2 = 16

    Начните с: (x − 3) 2 = 16

    Квадратные корни: x − 3 = ±√16

    Вычислить √16:x − 3 = ±4

    Прибавьте 3 к обеим сторонам: x = 3 ± 4

    Ответ: x = 7 или −1

    Проверка: (7−3) 2 = 4 2 = 16
    Проверка: (−1−3) 2 = (−4) 2 = 16

    Квадратный корень xy

    Когда два числа умножаются на в пределах квадратного корня, мы можем разделить его на умножение двух квадратных корней следующим образом:

    √ху = √х√у

    , но только когда x и y равны , оба больше или равны 0

     

    Пример: Что такое

    √(100×4) ?

    √(100×4)= √(100) × √(4)

     = 10 × 2

     = 20

    И √x√y = √xy :

    Пример: Что такое

    √8√2 ?

    √8√2= √(8×2)

     = √16

     = 4

    Пример: чему равно

    √(−8 × −2) ?

    √(−8 × −2) = √(−8) × √(−2)

     = ???

    Кажется, мы попали в какую-то ловушку!

    Мы можем использовать мнимые числа, но это приводит к неправильному ответу −4

    Ах да. ..

    Правило работает, только когда x и y больше или равны 0

    Так что здесь мы не можем использовать это правило.

    Вместо этого просто сделайте так:

    √(−8 × −2) = √16 = +4

    Почему √xy = √x√y ?

    Мы можем использовать тот факт, что возведение квадратного корня в квадрат возвращает нам исходное значение:

    (√а) 2 = а

    Предположим, что и не являются отрицательными!

    Мы можем сделать это для xy:(√xy) 2 = xy

    А также к x и y отдельно: (√xy) 2 = (√x) 2 (√y) 2

    Используйте a 2 b 2 = (ab) 2 :(√xy) 2 = (√x√y) 2

    Удалить квадрат с обеих сторон :√xy = √x√y

    Показатель половины

    Квадратный корень можно также записать в виде дробного показателя степени половины:


    , но только для x больше или равно 0

    Как насчет квадратного корня из минусов?

    Результат — мнимое число. 2=16\), квадратный корень из \(16\) равен \(4\). Функция квадратного корня является обратной функцией возведения в квадрат точно так же, как вычитание является обратной функцией сложения. Чтобы отменить возведение в квадрат, мы извлекаем квадратный корень.

    В общих чертах, если \(a\) — положительное действительное число, то квадратный корень из \(a\) — это число, которое при умножении само на себя дает \(a\). Квадратный корень может быть положительным или отрицательным, потому что умножение двух отрицательных чисел дает положительное число. Однако символ \( \sqrt{ \text{                   }  } \) обозначает только неотрицательный результат, или так называемый главный квадратный корень .Квадратный корень, полученный с помощью калькулятора, является главным квадратным корнем.

    Главный квадратный корень — это неотрицательное число, которое при умножении само на себя равно \(a\). Главный квадратный корень из \(a\) записывается как \(\sqrt{a}\). Символ называется радикалом, термин под символом называется радикалом, а все выражение называется радикальным выражением .

    Пример \(\PageIndex{1}\)

    Имеет ли \(\sqrt{25} = \pm 5\)?

    Раствор

    №2\) равны \(25\), подкоренной символ подразумевает только неотрицательных корней, главный квадратный корень. Главный квадратный корень из \(25\) равен \(\sqrt{25}=5\).

    Определение: Главный квадратный корень

    главный квадратный корень из \(a\) — это неотрицательное число, которое при умножении само на себя равно \(a\). Он записывается как подкоренное выражение \(\sqrt{a}\) с символом, называемым радикалом , над термином \(a\), называемым подкоренным и .2=81\)

    Пример \(\PageIndex{3}\):

    Для \(\sqrt{25+144}\) можем ли мы найти квадратные корни перед сложением?

    Раствор

    № \(\sqrt{25} + \sqrt{144} =5+12=17\). Это не эквивалентно \(\sqrt{25+144}=13\). Порядок операций требует, чтобы мы сложили члены подкоренного числа, прежде чем найти квадратный корень.

     Попробуйте \(\PageIndex{3}\)

    Оценить каждое выражение.

    а.\(\sqrt{25}\) б. \(\sqrt{\sqrt{81}}\) в. \(\sqrt{25-9}\) д. \(\sqrt{36} + \sqrt{121}\)
    Ответы
    а. \(5\) \( \qquad \) б. \(3\)  \( \qquad \) c.\(4\)  \( \qquad \) d. \(17\)

    Использование правила произведения для упрощения извлечения квадратных корней

    Чтобы упростить квадратный корень, мы перепишем его так, чтобы в подкоренной части не было полных квадратов.Есть несколько свойств квадратных корней, которые позволяют нам упростить сложные подкоренные выражения. Первое правило, которое мы рассмотрим, — это правило произведения для упрощения квадратных корней, которое позволяет нам разделить квадратный корень из произведения двух чисел на произведение двух отдельных рациональных выражений. Например, мы можем переписать \(\sqrt{15}\) как \(\sqrt{3}\times\sqrt{5}\). Мы также можем использовать правило произведения, чтобы выразить произведение нескольких подкоренных выражений в виде одного подкоренного выражения.

    Правило произведения для упрощения квадратных корней

    Если числа \(a\) и \(b\) неотрицательны, то квадратный корень произведения \(ab\) равен произведению квадратных корней из \(a\) и \(b\)

    \[\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}\]

     Как: упростить вычисление квадратного корня из произведения.

    1. Выразите любой совершенный квадрат из подкоренного числа.
    2. Запишите подкоренное выражение как произведение подкоренных выражений.
    3. Упростить.3з}\)

      Ответить

      \(5|x||y|\sqrt{2yz}\)

      Обратите внимание на знаки абсолютного значения вокруг \(x\) и \(y\)? Это потому, что их значение должно быть положительным!

       Как: упростить произведение нескольких подкоренных выражений

      1. Выразите произведение множественных радикальных выражений как одиночное радикальное выражение.
      2. Упростить.

      Пример \(\PageIndex{5}\): использование правила произведения для упрощения произведения кратных квадратных корней

      Умножить.{ 3 } | у | \sqrt { 3 y } \end{выровнено}\)

      Обратите внимание на полосы абсолютного значения вокруг \( y \). Это потому, что результат извлечения квадратного корня никогда не бывает отрицательным.

       Попробуйте \(\PageIndex{5}\)

      Упростить \(\sqrt{50x}\times\sqrt{2x}\), предполагая \(x>0\).

      Ответить

      \(10|х|\)

       

      Использование правила отношения для упрощения квадратных корней

      Точно так же, как мы можем переписать квадратный корень произведения как произведение квадратных корней, мы также можем переписать квадратный корень частного как частное квадратных корней, используя правило отношения для упрощения квадратных корней.

      ЧАСТНОЕ ПРАВИЛО ДЛЯ УПРОЩЕНИЯ КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ

      Квадратный корень из частного \(\dfrac{a}{b}\) равен частному из квадратных корней из \(a\) и \(b\) , где \(a \ge 0\) и \(b > 0\) .

      \[\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\]

       Как: упростить радикал частного

      1. Упростите подкоренное число в частном.
      2. Запишите упрощенное частное подкоренное выражение как частное двух подкоренных выражений.2\), так как этот член всегда будет неотрицательным.

         Как: упростить частное нескольких подкоренных выражений

        1. Выразите частное нескольких подкоренных выражений как частное одного подкоренного выражения.
        2. Упростите радикал.

        Пример \(\PageIndex{7}\): использование правила отношения для упрощения отношения двух квадратных корней

        Разделить. Упростите подкоренное выражение.

        а.4\кв.{3аб}\)

        \( \boxed{ \text{С этого момента предполагается, что все переменные представляют неотрицательные действительные числа.} \\ \text{Поэтому использование абсолютных значений при упрощении не требуется. } } \)

         

        Сложение и вычитание квадратных корней

        Мы можем складывать или вычитать подкоренные выражения, только если они имеют одинаковые подкоренные и один и тот же подкоренной тип, например, квадратные корни. Например, сумма \(\sqrt{2}\) и \(3\sqrt{2}\) равна \(4\sqrt{2}\).Однако часто можно упростить радикальные выражения, и это может изменить подкоренное выражение. Подкоренное выражение \(\sqrt{18}\) может быть записано с \(2\) в подкоренной и как \(3\sqrt{2}\), поэтому \(\sqrt{2}+\sqrt{ 18}=\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}\)

         Как: упростить подкоренное выражение, требующее сложения или вычитания квадратных корней

        1. Упростите каждое подкоренное выражение.
        2. Сложение или вычитание выражений с одинаковыми подкоренными числами.

        Часто нам приходится упрощать, прежде чем мы сможем идентифицировать подобные радикалы в терминах.4с}\)

        Решение

        а. \(\begin{align}  \text{ }& \text{ } \\ & \text{ } && = ( 4 — 5 ) \sqrt { 10 } \\ & & &= — 1 \sqrt { 10 } \\ & & &= — \sqrt { 10 } \end{выровнено}\) 

        б. { 4 } b }\).

        Решение

        а.

        \(\begin{aligned}   & \text{ } && = \color{Cerulean}{10 \sqrt { 5 } — 9 \sqrt { 5 }}\color{black}{ +}\color{OliveGreen}{ 6 \sqrt { 2 } — 7 \sqrt { 2 }} \\ &&& = \sqrt { 5 } — \sqrt { 2 } \end{выровнено}\)

        Дальнейшее упрощение невозможно, потому что \(\sqrt{5}\) и \(\sqrt{2}\) не похожи на радикалы; подкоренные не совпадают.
        \(\color{YellowOrange}{\text{Внимание:}}\) Важно отметить, что \(\sqrt { 5 } — \sqrt { 2 } \neq \sqrt { 5 — 2 }\).Мы можем убедиться в этом, рассчитав значение каждой стороны с помощью калькулятора.

        \(  \sqrt { 5 } — \sqrt { 2 } \приблизительно 0,82 \qquad \text{ не совпадает с } \qquad  \sqrt { 5 — 2 } = \sqrt { 3 } \приблизительно 1,73   \)

        б.

        \(\begin{align} & \text{ } && = \sqrt { 16 } \cdot 2 — \sqrt { 9 \cdot 2 } + \sqrt { 25 \cdot 2 } \\ &&& = 4 \sqrt { 2 } — 3 \sqrt { 2 } + 5 \sqrt { 2 } \\ &&& = 6 \sqrt { 2 } \end{aligned}\)

        На первый взгляд радикалы не похожи. { 2 } } \neq x + y } \end{массив}\)

        Свойство говорит о том, что мы можем упростить подкоренные числа, когда операция в подкоренном символе – это умножение.Соответствующего свойства для сложения нет.

        Упрощение произведений выражений, содержащих квадратные корни

        Часто перед радикалами стоят коэффициенты.

        Пример \(\PageIndex{10.1x}\):

        Умножить: \(3 \sqrt { 6 } \cdot 5 \sqrt { 2 }\)

        Раствор

        Используя правило произведения для радикалов и тот факт, что умножение является коммутативным, мы можем умножить коэффициенты и подкоренные числа следующим образом.

        \(\begin{align} 3 \sqrt { 6 } \cdot 5 \sqrt { 2 } & = \color{Cerulean}{3 \cdot 5}\color{black}{ \cdot}\color{OliveGreen}{ \sqrt { 6 } \cdot \sqrt { 2} }\quad\color{Cerulean}{Multiplication\:is\:commutative.} \\ & = 15 \cdot \sqrt { 12 } \quad\quad\quad\: \color{Cerulean}{Multiply\:the\:coefficients\:and\:the\:radicans.} \\ & = 15 \sqrt { 4 \cdot 3 } \quad\quad\quad\:\color{Cerulean} {Упрощение. } \\ & = 15 \cdot 2 \cdot \sqrt { 3 } \\ & = 30 \sqrt { 3 } \end{aligned}\)

        Обычно первый шаг, связанный с применением свойства коммутативности, не показан.

        Нам часто приходится вычитать подкоренное выражение с несколькими членами. Если это так, не забудьте применить распределительное свойство перед объединением подобных терминов.

        Пример \(\PageIndex{10.2x}\): использование свойства распределения с квадратными корнями

        \(\begin{aligned} & \text{Упрощение:  } ( 5 \sqrt { x } — 4 \ sqrt { y } ) — ( 4 \ sqrt { x } — 7 \ sqrt { y } ) && \text{ Решение:} \\ \text{ }& \text{ } \\ & \text{ } && = 5 \sqrt { x } — 4 \sqrt { y } — 4 \sqrt { x } + 7 \sqrt { y } \quad\color{Cerulean}{Распределить.} \\ &&& = 5 \sqrt { x } — 4 \sqrt { x } — 4 \ sqrt { y } + 7 \ sqrt { y } \\ &&& = \ sqrt { x } + 3 \ sqrt { y } \end {выровнено}\)

        Используйте распределительное свойство при умножении рациональных выражений с более чем одним термином.

        Пример \(\PageIndex{10. 3x}\):

        Умножить: \(5 \sqrt { 2 x } ( 3 \sqrt { x } — \sqrt { 2 x } )\).

        Решение :

        Примените свойство распределения и умножьте каждый член на \(5 \sqrt { 2 x }\).{ 2 } } } \\ { = x — 10 \sqrt { x y } + 25 y } \end{массив}\)

        Биномы \((a + b)\) и \((a − b)\) называются сопряженными . При умножении сопряженных двучленов средние члены противоположны друг другу, а их сумма равна нулю.

        Пример \(\PageIndex{10.5x}\):

        Умножить: \(( \sqrt { 10 } + \sqrt { 3 } ) ( \sqrt { 10 } — \sqrt { 3 } )\).

        Раствор

        Примените распределительное свойство, а затем объедините подобные термины.

        \(\begin{align} (\sqrt {10} + \sqrt {3}) (\sqrt {10} — \sqrt {3}) & = \color{Cerulean}{\sqrt {10}}\color {black}{ \cdot} \sqrt { 10 } + \color{Cerulean}{\sqrt { 10} }\color{black}{ (} — \sqrt { 3 } ) + \color{OliveGreen}{\sqrt{ 3}}\color{black}{ (}\sqrt{10}) + \color{OliveGreen}{\sqrt{3}}\color{black}{(}-\sqrt{3}) \\ & = \ sqrt {100} — \sqrt {30} + \sqrt {30} — \sqrt {9} \\ & = 10 — \color{red}{\sqrt {30}}\color{black}{ +}\color {red}{ \sqrt { 30} }\color{black}{ -} 3 \\ & = 10 — 3 \\ & = 7 \\ \end{aligned}\)

        Важно отметить, что при умножении сопряженных подкоренных выражений мы получаем рациональное выражение. { 2 } \\ & = x — y \end{выровнено}\)

         Попробуйте \(\PageIndex{10x}\)

        Умножить: \(( 3 — 2 \sqrt { y } ) ( 3 + 2 \sqrt { y } )\). (Предположим, что \(у\) положительно).

        Ответить

        \(9-4л\)

        Рационализация знаменателей

        Если выражение, включающее радикалы квадратного корня, записано в простейшей форме, оно не будет содержать радикала в знаменателе. Мы можем удалить радикалы из знаменателей дробей, используя процесс, называемый рационализацией знаменателя.

        Мы знаем, что умножение на \(1\) не меняет значения выражения. Мы используем это свойство умножения, чтобы изменять выражения, содержащие радикалы в знаменателе. Чтобы удалить радикалы из знаменателей дробей, умножьте на форму \(1\), которая удалит радикал.

        Мономиальные знаменатели

        Для знаменателя, содержащего один член, умножить на радикал в знаменателе над самим собой. Другими словами, если знаменатель равен \(b\sqrt{c}\), умножьте на \(\dfrac{\sqrt{c}}{\sqrt{c}}\).

         Как: рационализировать знаменатель выражения с помощью мономиального знаменателя

        1. Умножьте числитель и знаменатель на радикал в знаменателе.
        2. Упростить.

         Иногда мы обнаружим необходимость уменьшить или отменить после рационализации знаменателя.

        Пример \(\PageIndex{11}\): рационализация знаменателя, содержащего один член

        Пишите в простейшей форме (рационализируйте знаменатель).

        а. \( \dfrac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{10}} \) б. \ (\ dfrac { \ sqrt { 2 } } { \ sqrt { 5 x } } \) в. \(\dfrac { 3 a \ sqrt { 2 } } { \ sqrt { 6 a b } } \)
        Решение


        а. Радикал в знаменателе равен \(\sqrt{10}\). Итак, умножьте дробь на \(\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}\). Тогда упрости.

        \( \dfrac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{10}}\times   {\color{Cerulean}{  \dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} } } = \ dfrac{2\sqrt{30}}{30} =  \dfrac{\sqrt{30}}{15} \)

        б. { 2 } } } \quad\ quad\: \color{Cerulean} { Упростить.{ 2 } } } \quad\quad\color{Cerulean}{Simplify.}\\ & = \frac { 3 a \sqrt { 4 \cdot 3 ab} } { 6 ab } \\ & = \frac { 6 a \sqrt { 3 ab } } { b }\quad\quad\:\:\color{Cerulean}{Cancel.} \\ & = \frac { \sqrt { 3 ab } } { b } \end{aligned}\ )

        Обратите внимание, что \(b\) в этом примере не отменяется. Не отменяйте факторы внутри радикала с теми, что снаружи.

         Попробуйте \(\PageIndex{11}\)

        Пишите в простейшей форме (рационализируйте знаменатель).

        а.\(\dfrac{12\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\) б. \ (\ sqrt { \ dfrac { 9 х } { 2 у } } \)
        Ответить

        а. \(6\sqrt{6}\) \( \qquad \) б. \(\frac { 3 \ sqrt { 2xy } } { 2 y } \)

        Биномиальные знаменатели

        Для знаменателя, содержащего сумму или разность рациональных или иррациональных членов, умножьте числитель и знаменатель на сопряженное значение знаменателя, которое находится путем изменения знака, соединяющего два члена в знаменателе. Если знаменатель равен \(a+b\sqrt{c}\) , то сопряженным является \(a-b\sqrt{c}\).

         Как: рационализировать знаменатель выражения с биномиальным знаменателем

        1. Найдите сопряженное число знаменателя.
        2. Умножьте числитель и знаменатель на сопряженное.
        3. Используйте свойство дистрибутива.
        4. Упростить.

        Пример \(\PageIndex{12}\): рационализация знаменателя, содержащего два члена

        Пишите в простейшей форме (рационализируйте знаменатель).

        а. \(\dfrac{4}{1+\sqrt{5}}\) б. \ (\ dfrac { 1 } { \ sqrt { 5 } — \ sqrt { 3 } } \) в. \ (\ dfrac { \ sqrt { 10 } } { \ sqrt { 2 } + \ sqrt { 6 } } \) д. \ (\ dfrac { \ sqrt { x } — \ sqrt { y } } { \ sqrt { x } + \ sqrt { y } } \)

        Решение

        а. Начните с нахождения сопряжения знаменателя, записав знаменатель и изменив знак. Таким образом, сопряжение \(1+\sqrt{5}\) равно \(1-\sqrt{5}\). Затем умножьте дробь на \(\tfrac{1-\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}\) .

        \[\begin{align*} &\dfrac{4}{1+\sqrt{5}}\times { \color{Cerulean} {  \dfrac{1-\sqrt{5}}{1-\sqrt{ 5}} }  }\\[5pt] &\dfrac{4-4\sqrt{5}}{-4} & & \text{Использовать свойство распределения}\\[5pt] &-1 + \sqrt{5 } & & \text{Упрощение} \end{выравнивание*}\]

        б. В этом примере сопряжение знаменателя равно \(\sqrt { 5 } + \sqrt { 3 }\). Следовательно, умножьте на \(1\) в виде \(\frac { (\sqrt {5} + \sqrt {3})} { (\sqrt {5} + \sqrt {3})}\).

        \(\begin{align} \frac { 1 } {\sqrt { 5 } — \sqrt { 3 } } & = \ frac { 1 } { ( \ sqrt { 5 } — \ sqrt { 3 } ) } \color {Cerulean}{\frac { (\sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } ) } { ( \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } ) } \:\:Multiply \:by\:»1″. } \\ & = \frac { \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } } { \sqrt { 25 } + \sqrt { 15 } — \sqrt{15}-\sqrt{9} } \:\color{ Cerulean}{Упростить.} \\ & = \frac { \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } } { 5-3 } \\ & = \ frac { \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } } { 2 } \конец{выровнено}\)

        Обратите внимание, что члены, содержащие квадратный корень в знаменателе, исключаются путем умножения на сопряженное. Мы можем использовать свойство \(( \sqrt {a} + \sqrt {b}) (\sqrt {a} — \sqrt {b}) = a — b\), чтобы ускорить процесс умножения выражений в знаменателе .

        в. Умножьте на \(1\) в виде \(\frac {\sqrt {2} — \sqrt {6}} {\sqrt {2} — \sqrt {6}}\).

        \(\begin{align} \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}+\sqrt{6}}&= \frac{(\sqrt{10})}{(\sqrt{2} +\sqrt{6})} \color{Cerulean}{\frac{(\sqrt{2}-\sqrt{6})}{(\sqrt{2}-\sqrt{6})}\quad\quad Множественное\:по\:сопряженному\:.} \\ &= \frac { \sqrt { 20 } — \sqrt { 60 } } { 2 — 6 } \quad\quad\quad\quad\quad\quad\:\:\:\color{Cerulean}{Simplify .} \\ &= \frac { \sqrt { 4 \cdot 5 } — \sqrt { 4 \cdot 15 } } { — 4 } \\ &= \frac { 2 \sqrt { 5 } — 2 \sqrt { 15 } } { — 4 } \\ &=\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{15})}{-4} \\ &= \frac { \sqrt { 5 } — \sqrt { 15 } } { — 2 } = — \ frac { \ sqrt { 5 } — \ sqrt { 15 } } { 2 } = \ frac { — \ sqrt { 5 } + \ sqrt { 15 } } { 2 } \ end {align} \)

        д. В этом примере мы будем умножать на \(1\) в форме \(\frac {\sqrt { x } — \sqrt { y } } { \sqrt { x } — \ sqrt { y } }\). { 2 } } } { x — y } \:\:\color{Cerulean}{Simplify.} \\ & = \frac { x — 2 \sqrt { xy } + y } { x — y } \end{aligned }\)

         Попробуйте \(\PageIndex{12}\)

        Пишите в простейшей форме (рационализируйте знаменатель).

        а. \(\dfrac{7}{2+\sqrt{3}}\) б. \(\dfrac { 2 \sqrt { 3 } } { 5 — \sqrt { 3 } }\)
        Ответить

        а. \(14-7\sqrt{3}\) \( \qquad \) б.\(\dfrac {5 \sqrt {3} + 3} {11}\)

         

        Экспоненты и квадратные корни

        Экспоненциальное представление и положительные целые показатели степени

        Если число многократно повторяется как множитель, то мы можем записать произведение в более компактной форме, используя экспоненциальную запись. Компактная запись ax2+bx+c=0. используется, когда множитель повторяется несколько раз. Например,

        ОснованиеМножитель a в экспоненциальной записи an. — множитель, а положительное целое число — показатель степени. Положительное целое число n в экспоненциальной записи an, указывающее, сколько раз основание используется в качестве множителя. указывает, сколько раз основание повторяется как множитель. В приведенном выше примере основание равно 5, а показатель степени равен 4. В общем, если a — это основание, которое повторяется как множитель n раз, то

        Когда показатель степени равен 2, мы называем результат квадратом. Результат, когда показатель степени любого действительного числа равен 2.. Например,

        Число 3 — основание, а целое число 2 — показатель степени. Обозначение 32 можно прочитать двояко: «три в квадрате» или «3, возведенное во вторую степень». Основанием может быть любое действительное число.

        Важно изучить разницу между способами расчета в последних двух примерах. В примере (−7)2 основание равно −7, как указано в скобках. В примере -52 основание равно 5, а не -5, поэтому возводится в квадрат только 5, а результат остается отрицательным.) следующим образом:

        Квадрат целого числа называется идеальным квадратомРезультат возведения в квадрат целого числа.. Способность распознавать совершенные квадраты полезна при изучении алгебры. Следует запомнить квадраты целых чисел от 1 до 15. Ниже приведен неполный список идеальных квадратов:

        .

         

        Попробуйте это! Упростить (−12)2.

        Ответ: 144

        Когда показатель степени равен 3, мы называем результат кубом. Результат, когда показатель степени любого действительного числа равен 3.. Например,

        Обозначение 33 можно прочитать двумя способами: «три в кубе» или «3 в третьей степени». Как и прежде, основанием может быть любое действительное число.

        Обратите внимание, что результат кубирования отрицательного числа отрицательный. Куб целого числа называется совершенным кубом. Результат кубирования целого числа. Умение распознавать совершенные кубы пригодится при изучении алгебры. Кубики целых чисел от 1 до 10 следует запомнить.Ниже приведен неполный список идеальных кубов:

        .

         

        Попробуйте это! Упростить (−2)3.

        Ответ: −8

        Если показатель степени больше 3, то обозначение an читается как « a в степени n ».

        Обратите внимание, что результат отрицательного основания с четным показателем степени положительный. Результат отрицательного основания с нечетным показателем степени отрицателен.Эти факты часто путают, когда речь идет об отрицательных числах. Внимательно изучите следующие четыре примера:

        Основание равно (−2) База 2
        (−2)4=(−2)⋅(−2)⋅(−2)⋅(−2)=+16(−2)3=(−2)⋅(−2)⋅( −2)=−8 −24=−2⋅2⋅2⋅2=−16−23=−2⋅2⋅2=−8

        Скобки указывают на то, что в качестве основания следует использовать отрицательное число.

         

        Пример 1: Расчет:

        а. (−13)3

        б. (−13)4

        Решение: Основание равно −13 для обеих задач.

        а. Используйте базу как множитель три раза.

        б. Используйте базу как множитель четыре раза.

        Ответы: а. −127; б. 181

         

        Попробуйте это! Упростить: −104 и (−10)4.

        Ответы: −10 000 и 10 000

        Квадратный корень из действительного числа

        Подумайте о том, чтобы найти квадратный кореньЧисло, которое при умножении само на себя дает исходное число. числа как обратное квадрату числа. Другими словами, чтобы определить квадратный корень из 25, нужно задать вопрос: «Какое число в квадрате равно 25?» На самом деле есть два ответа на этот вопрос: 5 и −5.

        Когда нас спрашивают о квадратном корне из числа, мы неявно имеем в виду главный (неотрицательный) квадратный кореньНеотрицательный квадратный корень. . Следовательно, у нас есть

        Например, 25=5, что читается как «квадратный корень из 25 равен 5». Символ √ называется подкоренным знаком. Символ √ используется для обозначения квадратного корня. а 25 называется подкоренным числом. Выражение a в подкоренном знаке, an.. Альтернативное текстовое обозначение квадратных корней выглядит следующим образом:

        Также стоит отметить, что

        Это так, потому что 12=1 и 02=0.

         

        Пример 2: Упрощение: 10 000.

        Решение: 10 000 — полный квадрат, потому что 100⋅100=10 000.

        Ответ: 100

         

        Пример 3: Упрощение: 19.

        Решение: Здесь мы замечаем, что 19 — квадрат, потому что 13⋅13=19.

        Ответ: 13

         

        Если a и b являются положительными действительными числами, используйте следующее свойство для упрощения квадратных корней, подкоренные числа которых не являются квадратами:

        Идея состоит в том, чтобы определить наибольший квадратный множитель подкоренного числа, а затем применить свойство, показанное выше. Например, чтобы упростить 8, обратите внимание, что 8 не является идеальным квадратом. Однако 8=4⋅2 и, таким образом, имеет совершенный квадратный множитель, отличный от 1. Примените это свойство следующим образом:

        Здесь 22 — упрощенное иррациональное число. Вас часто просят найти примерный ответ, округленный до определенного знака после запятой. В этом случае используйте калькулятор, чтобы найти десятичную аппроксимацию, используя либо исходную задачу, либо ее упрощенный эквивалент.

        На калькуляторе попробуйте 2.2. Что вы ожидаете? Почему ответ не такой, как вы ожидали?

        Важно отметить, что подкоренное число должно быть положительным . Например, -9 не определено, поскольку не существует действительного числа, которое при возведении в квадрат было бы отрицательным. Попробуйте извлечь квадратный корень из отрицательного числа на калькуляторе. Что это говорит? Примечание: извлечение квадратного корня из отрицательного числа определяется позже в курсе.

         

        Пример 4: Упростите и дайте примерный ответ, округленный до сотых: 75.

        Решение: Подкоренное число 75 можно разложить на множители как 25 ⋅ 3, где множитель 25 представляет собой полный квадрат.

        Ответ: 75≈8,66

         

        В качестве проверки посчитайте 75 и 53 на калькуляторе и убедитесь, что оба результата приблизительно равны 8,66.

         

        Пример 5: Упрощение: 180.

        Решение:

        Поскольку вопрос не предполагал приблизительного ответа, приводим точный ответ.

        Ответ: 65

         

        Пример 5: Упрощение: -5162.

        Решение:

        Ответ: −452

         

        Попробуйте это! Упростите и дайте примерный ответ с округлением до сотых: 128.

        Ответ: 82≈11,31

        Рисунок 1.1 Пифагор

        Прямоугольный треугольникТреугольник с углом, равным 90°.треугольник, у которого один из углов равен 90°. Сторона, лежащая против прямого угла, является наибольшей стороной, называемой гипотенузойСамая длинная сторона прямоугольного треугольника, она всегда будет стороной, противолежащей прямому углу., а две другие стороны называются катетамиСтороны прямоугольного треугольника, которые не являются гипотенуза .. Эта геометрическая фигура используется во многих реальных приложениях. Теорема Пифагора. Для любого прямоугольного треугольника с катетами 90 812 90 813 и 90 812 b 90 813 единиц и гипотенузой 90 812 c 90 813 единиц, тогда a2+b2=c2.утверждает, что для любого прямоугольного треугольника с катетами, имеющими размеры a и b единиц, квадрат меры гипотенузы c равен сумме квадратов мер катетов: a2+b2=c2. Другими словами, гипотенуза любого прямоугольного треугольника равна квадратному корню из суммы квадратов его катетов.

         

        Пример 6: Если длина двух катетов прямоугольного треугольника равна 3 и 4 единицам, найдите длину гипотенузы.

        Решение: Зная длины катетов прямоугольного треугольника, используйте формулу c=a2+b2, чтобы найти длину гипотенузы.

        Ответ: c = 5 единиц

         

        При нахождении гипотенузы прямоугольного треугольника по теореме Пифагора подкоренное число не всегда является правильным квадратом.

         

        Пример 7: Если длина двух катетов прямоугольного треугольника равна 2 единицам и 6 единицам, найдите длину гипотенузы.

        Решение:

        Ответ: c=210 единиц

        Ключевые выводы

        • При использовании экспоненциальной записи an основание a используется как множитель n раз.
        • Когда показатель степени равен 2, результат называется квадратом. Когда показатель степени равен 3, результат называется кубом.
        • Запомните квадраты целых чисел до 15 и кубы целых чисел до 10.Они будут часто использоваться по мере вашего продвижения в изучении алгебры.
        • Если используются отрицательные числа, позаботьтесь о том, чтобы связать показатель степени с правильным основанием. Скобки группируют отрицательное число, возведенное в некоторую степень.
        • Отрицательное основание, возведенное в четную степень, является положительным.
        • Отрицательное основание, возведенное в нечетную степень, является отрицательным.
        • Квадратный корень числа — это число, которое при возведении в квадрат дает исходное число.Главный квадратный корень — это положительный квадратный корень.
        • Упростите квадратный корень, найдя наибольший квадратный множитель подкоренного числа. Как только идеальный квадрат найден, примените свойство a⋅b=a⋅b, где a и b неотрицательны, и упростите.
        • Проверьте упрощенный квадратный корень, вычислив аппроксимацию ответа, используя как исходную задачу, так и упрощенный ответ на калькуляторе, чтобы убедиться, что результаты совпадают.2

          17. (213)2

          18. (534)2

          Если s длина стороны квадрата, то площадь равна A=s2 .

          19. Определите площадь квадрата, сторона которого равна 5 дюймам.

          20. Определите площадь квадрата, сторона которого равна 2,3 фута.

          21. Перечислите все квадраты целых чисел от 0 до 15.

          22. Перечислите все квадраты целых чисел от −15 до 0.

          23. Перечислите квадраты всех рациональных чисел в множестве {0, 13, 23, 1, 43, 53, 2}.

          24. Перечислите квадраты всех рациональных чисел в множестве {0, 12, 1, 32, 2, 52}.

          Часть B: Целочисленные экспоненты

          Упрощение.

          25. 53

          26. 26

          27.100

          41. −(12)3

          42. (12)6

          43. (52)3

          44. (−34)4

          45. Перечислите все кубы целых чисел от −5 до 5.

          46. Перечислите все кубы целых чисел от −10 до 0.

          47. Перечислите все кубы рациональных чисел в множестве {−23, −13, 0, 13, 23}.

          48. Перечислите все кубы рациональных чисел в множестве {−37, −17, 0, 17, 37}.

          Часть C: Квадратный корень числа

          Определите точный ответ в упрощенной форме.

          49. 121

          50. 81

          51. 100

          52. 169

          53. −25

          54. −144

          55. 12

          56. 27

          57. 45

          58. 50

          59.98

          60. 2000

          61. 14

          62. 916

          63. 59

          64. 836

          65. 0,64

          66. 0,81

          67. 302

          68. 152

          69. (−2)2

          70. (−5)2

          71. −9

          72. −16

          73. 316

          74.518

          75. −236

          76. −332

          77. 6200

          78. 1027

          Приблизьте следующее с точностью до сотых.

          79. 2

          80. 3

          81. 10

          82. 15

          83. 23

          84. 52

          85. −65

          86. −46

          87.кв (79)

          88 кв. кв(54)

          89. − кв.(162)

          90. −кв.(86)

          91. Если длина двух катетов прямоугольного треугольника равна 6 единицам и 8 единицам, то найдите длину гипотенузы.

          92. Если два катета прямоугольного треугольника имеют размеры 5 единиц и 12 единиц, то найдите длину гипотенузы.

          93. Если два катета прямоугольного треугольника имеют размеры 9 единиц и 12 единиц, то найдите длину гипотенузы.

          94. Если длина двух катетов прямоугольного треугольника равна 32 единицам и 2 единицам, то найдите длину гипотенузы.

          95. Если оба катета прямоугольного треугольника имеют длину 1 единицу, то найдите длину гипотенузы.

          96. Если длина двух катетов прямоугольного треугольника равна 1 единице и 5 единицам, то найдите длину гипотенузы.

          97. Если два катета прямоугольного треугольника имеют размеры 2 единицы и 4 единицы, то найдите длину гипотенузы.

          98. Если длина двух катетов прямоугольного треугольника равна 3 единицам и 9 единицам, то найдите длину гипотенузы.

          Часть D: Темы на доске обсуждений

          99. Почему результат степени 2 называется квадратом? Почему результат степени 3 называется кубом?

          100. Исследуйте и обсудите историю теоремы Пифагора.

          101. Исследуйте и обсудите историю квадратного корня.

          102. Обсудите значение главного квадратного корня.

          ответы

          1:100

          3:81

          5: 121

          7:0

          9: −64

          11:1/4

          13:.25

          15:6,76

          17: 549

          19: 25 квадратных дюймов

          21: {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225}

          23: {0, 1/9, 4/9, 1, 16/9, 25/9, 4}

          25:125

          27:1

          29: −1

          31: −343

          33:27

          35:1

          37: −216

          39:1

          41: −18

          43: 1258

          45: {−125, −64, −27, −8, −1, 0, 1, 8, 27, 64, 125}

          47: {−827, −127, 0, 127, 827}

          49:11

          51:10

          53: −5

          55:23

          57: 35

          59:72

          61:12

          63: 53

          65:0. 8

          67:30

          69:2

          71: Не настоящий

          73:12

          75: −12

          77: 602

          79: 1,41

          81: 3,16

          83: 3,46

          85: −13,42

          87: 8,89

          89: −12,73

          91: 10 шт.

          93: 15 шт.

          95: 2 шт.

          97: 25 шт.

          Радикалы и абсолютные значения — Концепция

          Поскольку любой корень с четным номером должен быть положительным числом (иначе он будет мнимым), при упрощении корней с переменными необходимо использовать абсолютное значение, что гарантирует положительный ответ.При работе с подкоренными выражениями это требование не распространяется ни на один нечетный корень, потому что нечетные корни существуют для отрицательных чисел. Кроме того, абсолютное значение не нужно, если из корня выходит четное число переменной — ответ должен быть положительным.

          Абсолютное значение и квадратный корень, так что сейчас мы собираемся поговорить об абсолютных значениях, и иногда случается так, что нам действительно нужно абсолютное значение, когда мы даем наш ответ, и поэтому мы собираемся посмотреть на ряд примеров и поговорим о том, когда они нам нужны, а когда нет.
          Итак, начинаем, квадратный корень из 4, простой пример, мы знаем, что квадратный корень из 4 равен 2, потому что 2 умножить на 2 равно 4. Итак, квадратный корень из -4, нам нужны 2 числа, которые дадут нам — 4 этого не произойдет, ладно, это ненастоящее число, ладно, позже мы на самом деле поговорим о том, как мы можем это сделать, но это еще не все, ладно? Итак, квадратный корень из 3 в квадрате. 3 в квадрате равно 9, квадратный корень из девяти равен 3. Квадратный корень из минус 3 в квадрате. Когда мы возводим в квадрат отрицательное число, мы на самом деле получаем положительное, поэтому -3 умножить на -3 равно 9 квадратному корню из 9 снова равно 3.Хорошо, кубический корень из 8 имеет три двойки в восьми, поэтому получается 2, а кубический корень из минус 8 равен -2. Отрицательное 2, умноженное на 3, само по себе является отрицательным восемью, поэтому мы рассмотрели здесь, когда у нас есть нечетный корень, хорошо, кубический корень, здесь мы можем получить положительный ответ или отрицательный ответ.
          Хорошо, когда у нас есть четный корень, все наши ответы должны быть положительными, хорошо? Итак, это числовые представления, но теперь мы перейдем к переменным. Итак, давайте рассмотрим здесь квадратный корень из х в квадрате, который состоит из 2 х, чтобы мы знали, что можем упростить это как х.Проблема в том, что мы не знаем, является ли x положительным или отрицательным, верно? Скажем, x равно отрицательному числу 3, как здесь. Что происходит, так это то, что мы возводим его в квадрат, чтобы он стал положительным, а затем извлекаем из него квадратный корень, чтобы он на самом деле оставался положительным, потому что мы не знаем, является ли x положительным или отрицательным, мы должны поставить знаки абсолютного значения снаружи чтобы сделать этот термин положительным, хорошо, поэтому квадратный корень из x в кубе. Мы можем убрать один х, и у нас все еще останется один х внутри, но мы знаем, что это должно быть положительным, потому что мы не можем извлечь отрицательное значение из квадратного корня, поэтому еще раз мы должны ввести абсолютное значение знаки в порядке, потому что все, что выходит из квадратного корня, должно быть положительным.Хорошо, а как насчет квадратного корня из x в четвертой степени. Хорошо, мы знаем, что это 4 х, поэтому мы можем убрать 2 из них, оставив нам х в квадрате. Нужны ли в этом случае абсолютные значения? Нет, потому что х в квадрате всегда будет положительным, хорошо? Итак, всякий раз, когда нам нужны абсолютные значения, в основном это одно из практических правил, которое я всегда использую, когда вы берете четный корень, так что здесь это квадратный корень, здесь на самом деле немного невидимая 2 и всякий раз, когда вы берете четный корень и у нас есть добавочная мощность для переменной, хорошо, так что здесь у нас есть один х, один х, х в квадрате. Если бы нам нужно было взять x в кубе, нам понадобилось бы абсолютное значение. Если мы вычтем х из четвертого числа, мы этого не сделаем, потому что четвертое число всегда будет положительным.
          На самом деле нам никогда не нужно абсолютное значение, когда мы имеем дело с нечетным корнем, и мы сделаем еще один пример, скажем, кубический корень из x в третьей степени. x к третьему равно 3 x, так что это на самом деле равно x, но поскольку мы имеем дело с нечетным корнем, кубическим корнем, нам не нужно абсолютное значение, потому что мы можем получить положительные или отрицательные числа, чтобы получить из этого хорошо? Таким образом, в основном всякий раз, когда вы имеете дело с абсолютным, извините, квадратным корнем переменной, если у вас есть четный корень, и вы получаете нечетную степень, вы всегда включаете абсолютные значения.

          Упрощение квадратных корней – методы и примеры

          Квадратный корень — это операция, обратная возведению в квадрат числа . Квадратный корень числа x обозначается знаком радикала √x или x 1/2 . Квадратный корень из числа x таков, что число y является квадратом x, что упрощает запись как y 2  = x.

          Например, квадратный корень из 25 представляется как √25 = 5. Число, квадратный корень которого вычисляется, называется подкоренным числом.В этом выражении √25 = 5, число 25 является подкоренным числом.

          Иногда вы получаете сложные выражения с несколькими радикалами, и вас просят упростить их.

          Для этого существует множество способов, в зависимости от количества радикалов и значений под каждым радикалом. Мы увидим их один за другим.

          Как упростить вычисление квадратных корней?

          Чтобы упростить выражение, содержащее квадратный корень, находим множители числа и группируем их по парам.

          Например, число 16 имеет 4 экземпляра множителей, поэтому мы берем число два из каждой пары и ставим его перед корнем, окончательно отброшенным, т.е.например, √16 = √(2 x 2 x 2 x 2) = 4.

          Упрощение квадратного корня из числа влечет за собой несколько методов. В этой статье описаны некоторые из этих методов.

          Упрощение при одинаковых радикалах

          Сами квадратные корни можно складывать или вычитать, только если значения под знаком радикала равны. Затем добавьте или вычтите коэффициенты (числа перед знаком радикала) и сохраните исходное число знака радикала.

          Пример 1

          Выполните следующие операции

          1. 2√3 + 3√3 = (2 +3) √3

          = 5√3

          1. 4√6 — 2√6 = (4 – 2) √6

          = 2√6

          • 5√2 + √2 = (5+ 1) √2

          = 6√2

          упростить квадратный корень, когда целые числа находятся под одним знаком, путем сложения, вычитания и умножения целых чисел под этим знаком.

          Пример 2

          Упростите следующие выражения:

          = √100

          = 10

          = √36

          = 6

          = √25

          = 5

          = √11

          Упрощение когда радикальные значения различны

          Когда радикалы не совпадают, упростите квадрат числа путем сложения или вычитания различных квадратных корней.

          Пример 3

          Выполните следующие операции:

          = √ (25 x 2) + 3√2

          = 5√2 + 3√2

          = 8√2

          = √ (100 х 3) + √ (4 х 3)

          = 10√3 + 2√3

          = 12√3

          = 12√3

          = 12√3

          Упрощение умножением неотрицательных корней

          Пример 4

          Умножьте:

          = 4

          = √x 4 = x 4

          Пример 5

          Найти значение номера n Если квадратный корень из суммы номера с 12 составляет 5 .

          Решение

          Напишите выражение этой задачи, квадратный корень из суммы n и 12 равен 5
          √(n + 12) = квадратный корень из суммы.

          √(n + 12) = 5
          Наше уравнение, которое нужно решить сейчас:
          √(n + 12) = 5
          Каждая сторона уравнения возведена в квадрат:
          [√(n + 12)]² = 5²
          [√(n + 12)] x [√(n + 12)] = 25
          √[(n + 12) x √(n + 12)] = 25
          √(n + 12)² = 25
          n + 12 = 25
          вычтите 12 с обеих сторон выражения
          N + 12 — 12 = 25 — 12
          N + 0 = 25 — 12
          N = 13

          Пример 6

          Упростите

          1. √4 500
          2. √72

           

          Решение

          Аргумент 4500 имеет множители 5, 9 и 100. Теперь можно вычислить его квадратный корень. Вычислите квадратный корень из точных квадратных чисел

          √4500 = √(5 x 9 x 100)

          = 30√5

          2.

          Число 72 равно 2 x 36, а так как 36 является полным квадратом, вычислить его квадратный корень.

          √(2 x 36)

          = 6√2

          Числа — Степени и корни

          Индексные законы : [умножение] [деление] ][ повышенные степени ][ обратное ][ ноль ][ корни ]

           

           

          Квадратный корень   Квадратный корень из числа — это число, которое необходимо возвести в квадрат (умножить само на себя), чтобы получить исходное число.

           

           

           

           

           

          Кубический корень Кубический корень числа — это число, которое необходимо возвести в куб (умножить само на себя 3 раза), чтобы получить исходное число.

           

           

           

           

          вернуться к началу

           

           

           

          Законы об индексах «Индекс» (множественное число «индексы») — это число, написанное строчными буквами в правом верхнем углу числа для обозначения размера числа. Иногда индекс называют степенью числа.

           

           

           

           

          Индексный закон умножения — Индексы , умноженных на членов, составляют , добавленных друг к другу.

           

           

           

           

          вернуться к началу

           

           

           

          Индексный Закон Раздела — Индексы разделены на слагаемых, вычитаются друг из друга.

           

           

           

           

           

          Индексный закон возведенных степеней — Индексы членов в скобках, возведенных в другую степень, имеют свои индексы , умноженные на на индекс вне скобок.

           

           

           

           

           

          Индексный закон обратных степеней — Индекс обратной индексированной величины умножается на ‘ -1 ‘ при переворачивании (переворачивании).

          Добавить комментарий

          Ваш адрес email не будет опубликован.

          2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
          тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск