Правила логарифмы: Формулы и свойства логарифмов, основные формулы логарифмов с примерами

{k}} b=\frac{1}{k} \cdot \log _{a} b$

8  $\log _{a} b=\frac{1}{\log _{b} a}$

9  $\log _{a} b=\frac{\log _{c} b}{\log _{c} a}$ — переход к новому основанию.

Содержание

Примеры решения задач

Пример

Задание. Вычислить $\log _{a} \sqrt{a b}$, если $\log _{a} b=7$

Решение. Перепишем данное выражение, используя свойство логарифма степени и логарифма произведения:

$\log _{a} \sqrt{a b}=\frac{1}{2} \log _{a}(a b)=\frac{1}{2}\left(\log _{a} a+\log _{a} b\right)=\frac{1}{2}(1+7)=4$

Ответ. $\log _{a} \sqrt{a b}=4$

Больше примеров решений

Читать дальше: основное логарифмическое тождество.

Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

график, основание, функции, предел, формулы и область определения

Как известно, при перемножении выражений со степенями их показатели всегда складываются (a b *a c = a b+c).

Этот математический закон был выведен Архимедом, а позже, в VIII веке, математик Вирасен создал таблицу целых показателей. Именно они послужили для дальнейшего открытия логарифмов. Примеры использования этой функции можно встретить практически везде, где требуется упростить громоздкое умножение на простое сложение. Если вы потратите минут 10 на прочтение этой статьи, мы вам объясним, что такое логарифмы и как с ними работать. Простым и доступным языком.

Определение в математике

Логарифмом называется выражение следующего вида: log a b=c, то есть логарифмом любого неотрицательного числа (то есть любого положительного) «b» по его основанию «a» считается степень «c», в которую необходимо возвести основание «a», чтобы в итоге получить значение «b». Разберем логарифм на примерах, допустим, есть выражение log 2 8. Как найти ответ? Очень просто, нужно найти такую степень, чтобы из 2 в искомой степени получить 8. Проделав в уме некоторые расчеты, получаем число 3! И верно, ведь 2 в степени 3 дает в ответе число 8.

Разновидности логарифмов

Для многих учеников и студентов эта тема кажется сложной и непонятной, однако на самом деле логарифмы не так страшны, главное — понять общий их смысл и запомнить их свойста и некоторые правила. Существует три отдельных вида логарифмических выражений:

  1. Натуральный логарифм ln a, где основанием является число Эйлера (e = 2,7).
  2. Десятичный a, где основанием служит число 10.
  3. Логарифм любого числа b по основанию a>1.

Каждый из них решается стандартным способом, включающим в себя упрощение, сокращение и последующее приведение к одному логарифму с помощью логарифмических теорем. Для получения верных значений логарифмов следует запомнить их свойства и очередность действий при их решениях.

Правила и некоторые ограничения

В математике существует несколько правил-ограничений, которые принимаются как аксиома, то есть не подлежат обсуждению и являются истиной. Например, нельзя числа делить на ноль, а еще невозможно извлечь корень четной степени из отрицательных чисел. Логарифмы также имеют свои правила, следуя которым можно с легкостью научиться работать даже с длинными и емкими логарифмическими выражениями:

  • основание «a» всегда должно быть больше нуля, и при этом не быть равным 1, иначе выражение потеряет свой смысл, ведь «1» и «0» в любой степени всегда равны своим значениям;
  • если а > 0, то и а b >0, получается, что и «с» должно быть больше нуля.

Как решать логарифмы?

К примеру, дано задание найти ответ уравнения 10 х = 100. Это очень легко, нужно подобрать такую степень, возведя в которую число десять, мы получим 100. Это, конечно же, 10 2 =100.

А теперь давайте представим данное выражение в виде логарифмического. Получим log 10 100 = 2. При решении логарифмов все действия практически сходятся к тому, чтобы найти ту степень, в которую необходимо ввести основание логарифма, чтобы получить заданное число.

Для безошибочного определения значенияя неизвестной степени необходимо научиться работать с таблицей степеней. Выглядит она следующим образом:

Как видите, некоторые показатели степени можно угадать интуитивно, если имеется технический склад ума и знание таблицы умножения. Однако для больших значений потребуется таблица степеней. Ею могут пользоваться даже те, кто совсем ничего не смыслит в сложных математических темах. В левом столбце указаны числа (основание a), верхний ряд чисел — это значение степени c, в которую возводится число a. На пересечении в ячейках определены значения чисел, являющиеся ответом (a c =b). Возьмем, к примеру, самую первую ячейку с числом 10 и возведем ее в квадрат, получим значение 100, которое указано на пересечении двух наших ячеек. Все так просто и легко, что поймет даже самый настоящий гуманитарий!

Уравнения и неравенства

Получается, что при определенных условиях показатель степени — это и есть логарифм. Следовательно, любые математические численные выражения можно записать в виде логарифмического равенства. Например, 3 4 =81 можно записать в виде логарифма числа 81 по основанию 3, равному четырем (log 3 81 = 4). Для отрицательных степеней правила такие же: 2 -5 = 1/32 запишем в виде логарифма, получим log 2 (1/32) = -5. Одной из самых увлекательных разделов математики является тема «логарифмы». Примеры и решения уравнений мы рассмотрим чуть ниже, сразу же после изучения их свойств. А сейчас давайте разберем, как выглядят неравенства и как их отличить от уравнений.

Дано выражение следующего вида: log 2 (x-1) > 3 — оно является логарифмическим неравенством, так как неизвестное значение «х» находится под знаком логарифма. А также в выражении сравниваются две величины: логарифм искомого числа по основанию два больше, чем число три.

Самое главное отличие между логарифмическими уравнениями и неравенствами заключается в том, что уравнения с логарифмами (пример — логарифм 2 x = √9) подразумевают в ответе одно или несколько определенных числовых значений, тогда как при решении неравенства определяются как область допустимых значений, так и точки разрыва этой функции. Как следствие, в ответе получается не простое множество отдельных чисел как в ответе уравнения, а а непрерывный ряд или набор чисел.

Основные теоремы о логарифмах

При решении примитивных заданий по нахождению значений логарифма, его свойства можно и не знать. Однако когда речь заходит о логарифмических уравнениях или неравенствах, в первую очередь, необходимо четко понимать и применять на практике все основные свойства логарифмов. С примерами уравнений мы познакомимся позже, давайте сначала разберем каждое свойство более подробно.

  1. Основное тождество выглядит так: а logaB =B. Оно применяется только при условии, когда а больше 0, не равно единице и B больше нуля.
  2. Логарифм произведения можно представить в следующей формуле: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. При этом обязательным условием является: d, s 1 и s 2 > 0; а≠1. Можно привести доказательство для этой формулы логарифмов, с примерами и решением. Пусть log a s 1 = f 1 и log a s 2 = f 2 , тогда a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Получаем, что s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (свойства степеней), а далее по определению: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, что и требовалось доказать.
  3. Логарифм частного выглядит так: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 — log a s 2.
  4. Теорема в виде формулы приобретает следующий вид: log a q b n = n/q log a b.

Называется эта формула «свойством степени логарифма». Она напоминает собой свойства обычных степеней, и неудивительно, ведь вся математика держится на закономерных постулатах. Давайте посмотрим на доказательство.

Пусть log a b = t, получается a t =b. Если возвести обе части в степень m: a tn = b n ;

но так как a tn = (a q) nt/q = b n , следовательно log a q b n = (n*t)/t, тогда log a q b n = n/q log a b. Теорема доказана.

Примеры задач и неравенств

Самые распространенные типы задач на тему логарифмов — примеры уравнений и неравенств. Они встречаются практически во всех задачниках, а также входят в обязательную часть экзаменов по математике. Для поступления в университет или сдачи вступительных испытаний по математике необходимо знать, как правильно решать подобные задания.

К сожалению, единого плана или схемы по решению и определению неизвестного значения логарифма не существует, однако к каждому математическому неравенству или логарифмическому уравнению можно применить определенные правила. Прежде всего следует выяснить, можно ли упростить выражение или привести к общему виду. Упрощать длинные логарифмические выражения можно, если правильно использовать их свойства. Давайте скорее с ними познакомимся.

При решении же логарифмических уравнений, следует определить, какой перед нами вид логарифма: пример выражения может содержать натуральный логарифм или же десятичный.

Вот примеры ln100, ln1026. Их решение сводится к тому, что нужно определить ту степень, в которой основание 10 будет равно 100 и 1026 соответственно. Для решений же натуральных логарифмов нужно применить логарифмические тождества или же их свойства. Давайте на примерах рассмотрим решение логарифмических задач разного типа.

Как использовать формулы логарифмов: с примерами и решениями

Итак, рассмотрим примеры использования основных теорем о логарифмах.

  1. Свойство логарифма произведения можно применять в заданиях, где необходимо разложить большое значение числа b на более простые сомножители. Например, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Ответ равен 9.
  2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 — как видите, применяя четвертое свойство степени логарифма, удалось решить на первый взгляд сложное и нерешаемое выражение. Необходимо всего лишь разложить основание на множители и затем вынести значения степени из знака логарифма.

Задания из ЕГЭ

Логарифмы часто встречаются на вступительных экзаменах, особенно много логарифмических задач в ЕГЭ (государственный экзамен для всех выпускников школ). Обычно эти задания присутствуют не только в части А (самая легкая тестовая часть экзамена), но и в части С (самые сложные и объемные задания). Экзамен подразумевает точное и идеальное знание темы «Натуральные логарифмы».

Примеры и решения задач взяты из официальных вариантов ЕГЭ. Давайте посмотрим, как решаются такие задания.

Дано log 2 (2x-1) = 4. Решение:
перепишем выражение, немного его упростив log 2 (2x-1) = 2 2 , по определению логарифма получим, что 2x-1 = 2 4 , следовательно 2x = 17; x = 8,5.

  • Все логарифмы лучше всего приводить к одному основанию, чтобы решение не было громоздким и запутанным.
  • Все выражение, стоящие под знаком логарифма, указываются как положительные, поэтому при вынесении множителем показателя степени выражения, который стоит под знаком логарифма и в качестве его основания, остающееся под логарифмом выражение должно быть положительно.

В центре внимания этой статьи – логарифм . Здесь мы дадим определение логарифма, покажем принятое обозначение, приведем примеры логарифмов, и скажем про натуральные и десятичные логарифмы. После этого рассмотрим основное логарифмическое тождество.

Навигация по странице.

Определение логарифма

Понятие логарифма возникает при решении задачи в известном смысле обратной , когда нужно найти показатель степени по известному значению степени и известному основанию.

Но хватит предисловий, пришло время ответить на вопрос «что такое логарифм»? Дадим соответствующее определение.

Определение.

Логарифм числа b по основанию a , где a>0 , a≠1 и b>0 – это показатель степени, в который нужно возвести число a , чтобы в результате получить b .

На этом этапе заметим, что произнесенное слово «логарифм» должно сразу вызывать два вытекающих вопроса: «какого числа» и «по какому основанию». Иными словами, просто логарифма как бы нет, а есть только логарифм числа по некоторому основанию.

Сразу введем обозначение логарифма : логарифм числа b по основанию a принято обозначать как log a b . Логарифм числа b по основанию e и логарифм по основанию 10 имеют свои специальные обозначения lnb и lgb соответственно, то есть, пишут не log e b , а lnb , и не log 10 b , а lgb .

Теперь можно привести : .
А записи не имеют смысла, так как в первой из них под знаком логарифма находится отрицательное число, во второй – отрицательное число в основании, а в третьей – и отрицательное число под знаком логарифма и единица в основании.

Теперь скажем о правилах чтения логарифмов . Запись log a b читается как «логарифм b по основанию a ». Например, log 2 3 — это логарифм трех по основанию 2 , а — это логарифм двух целых двух третьих по основанию квадратный корень из пяти. Логарифм по основанию e называют натуральным логарифмом , а запись lnb читается как «натуральный логарифм b ». К примеру, ln7 – это натуральный логарифм семи, а мы прочитаем как натуральный логарифм пи. Логарифм по основанию 10 также имеет специальное название –

десятичный логарифм , а запись lgb читается как «десятичный логарифм b ». Например, lg1 — это десятичный логарифм единицы, а lg2,75 — десятичный логарифм двух целых семидесяти пяти сотых.

Стоит отдельно остановиться на условиях a>0 , a≠1 и b>0 , при которых дается определение логарифма. Поясним, откуда берутся эти ограничения. Сделать это нам поможет равенство вида , называемое , которое напрямую следует из данного выше определения логарифма.

Начнем с a≠1 . Так как единица в любой степени равна единице, то равенство может быть справедливо лишь при b=1 , но при этом log 1 1 может быть любым действительным числом. Чтобы избежать этой многозначности и принимается a≠1 .

Обоснуем целесообразность условия a>0 . При a=0 по определению логарифма мы бы имели равенство , которое возможно лишь при b=0 . Но тогда log 0 0 может быть любым отличным от нуля действительным числом, так как нуль в любой отличной от нуля степени есть нуль. Избежать этой многозначности позволяет условие a≠0 . А при a0 .

Наконец, условие b>0 следует из неравенства a>0 , так как , а значение степени с положительным основанием a всегда положительно.

В заключение этого пункта скажем, что озвученное определение логарифма позволяет сразу указать значение логарифма, когда число под знаком логарифма есть некоторая степень основания. Действительно, определение логарифма позволяет утверждать, что если b=a p , то логарифм числа b по основанию a равен p . То есть, справедливо равенство log a a p =p . Например, мы знаем, что 2 3 =8 , тогда log 2 8=3 . Подробнее об этом мы поговорим в статье

Сегодня мы поговорим о формулах логарифмов

и дадим показательные примеры решения .

Сами по себе подразумевают шаблоны решения согласно основным свойствам логарифмов. Прежде применять формулы логарифмов для решения напомним для вас, сначала все свойства:

Теперь на основе этих формул(свойств), покажем примеры решения логарифмов .

Примеры решения логарифмов на основании формул.

Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается log a b) — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b, при этом b > 0, a > 0, а 1.

Согласно определения log a b = x, что равносильно a x = b, поэтому log a a x = x.

Логарифмы , примеры:

log 2 8 = 3, т.к. 2 3 = 8

log 7 49 = 2, т.к. 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, т. к. 5 -1 = 1/5

Десятичный логарифм — это обычный логарифм, в основании которого находится 10. Обозначается как lg.

log 10 100 = 2, т.к. 10 2 = 100

Натуральный логарифм — также обычный логарифм логарифм, но уже с основанием е (е = 2,71828… — иррациональное число). Обозначается как ln.

Формулы или свойства логарифмов желательно запомнить, потому что они понадобятся нам в дальнейшем при решении логарифмов, логарифмических уравнений и неравенств. Давайте еще раз отработаем каждую формулу на примерах.

  • Основное логарифмическое тождество
    a log a b = b

    8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

  • Логарифм произведения равен сумме логарифмов
    log a (bc) = log a b + log a c

    log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

  • Логарифм частного равен разности логарифмов
    log a (b/c) = log a b — log a c

    9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

  • Свойства степени логарифмируемого числа и основания логарифма

    Показатель степени логарифмируемого числа log a b m = mlog a b

    Показатель степени основания логарифма log a n b =1/n*log a b

    log a n b m = m/n*log a b,

    если m = n, получим log a n b n = log a b

    log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

  • Переход к новому основанию
    log a b = log c b/log c a,

    если c = b, получим log b b = 1

    тогда log a b = 1/log b a

    log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Как видите, формулы логарифмов не так сложны как кажутся. Теперь рассмотрев примеры решения логарифмов мы можем переходить к логарифмическим уравнениям. Примеры решения логарифмических уравнений мы более подробно рассмотрим в статье: » «. Не пропустите!

Если у вас остались вопросы по решению, пишите их в комментариях к статье.

Заметка: решили получить образование другого класса обучение за рубежом как вариант развития событий.

1.1. Определение степени для целого показателя степени
X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X

X N = X * X * … * X — N раз
1.2. Нулевая степень.
По определению принято считать, что нулевая степень любого числа равна 1:
1.3. Отрицательная степень.
X -N = 1/X N
1.4. Дробная степень, корень.
X 1/N = корень степени N из Х.

Например: X 1/2 = √X.

1.5. Формула сложения степеней.
X (N+M) = X N *X M
1.6.Формула вычитания степеней.
X (N-M) = X N /X M
1.7. Формула умножения степеней.
X N*M = (X N) M
1.8. Формула возведения дроби в степень.
(X/Y) N = X N /Y N

2. Число e.

Значение числа e равно следующему пределу:

E = lim(1+1/N), при N → ∞.

С точностью 17 знаков число e равно 2.71828182845904512.

3. Равенство Эйлера.

Это равенство связывает пять чисел, играющих особую роль в математике: 0, 1, число e, число пи, мнимую единицу.

E (i*пи) + 1 = 0

4. Экспоненциальная функция exp (x)

exp(x) = e x

5. Производная экспоненциальной функции

Экспоненциальная функция обладает замечательным свойством: производная функции равна самой экспоненциальной функции:

(exp(x))» = exp(x)

6. Логарифм.

6.1. Определение функции логарифм
Если x = b y , то логарифмом называется функция

Y = Log b (x).

Логарифм показывает в какую степень надо возвести число — основание логарифма (b), чтобы получить заданное число (X). Функция логарифм определена для X больше нуля.

Например: Log 10 (100) = 2.

6.2. Десятичный логарифм
Это логарифм по основанию 10:

Y = Log 10 (x) .

Обозначается Log(x): Log(x) = Log 10 (x).

Пример использования десятичного логарифма — децибел .

6.3. Децибел
Пункт выделен в отдельную страницу Децибел
6.4. Двоичный логарифм
Это логарифм по основанию 2:

Y = Log 2 (x).

Обозначается Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. Натуральный логарифм
Это логарифм по основанию e:

Y = Log e (x) .

Обозначается Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
Натуральный логарифм — обратная функция к экспоненциальной функции exp (X).

6.6. Характерные точки
Log a (1) = 0
Log a (a) = 1
6.7. Формула логарифма произведения
Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)
6.8. Формула логарифма частного
Log a (x/y) = Log a (x)-Log a (y)
6.9. Формула логарифма степени
Log a (x y) = y*Log a (x)
6.10. Формула преобразования к логарифму с другим основанием
Log b (x) = (Log a (x))/Log a (b)
Пример:

Log 2 (8) = Log 10 (8)/Log 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7.

Формулы полезные в жизни

Часто возникают задачи пересчета объема в площадь или в длину и обратная задача — пересчет площади в объем. Например, доски продаются кубами (кубометрами), а нам требуется рассчитать какую площадь стены можно обшить досками содержащимися в определенном объеме, см. расчет досок, сколько досок в кубе . Или, известны размеры стены, надо рассчитать число кирпичей, см. расчет кирпича .

Разрешается использовать материалы сайта при условии установки активной ссылки на источник.

Логарифмом положительного числа b по основанию a (a>0, a не равно 1) называют такое число с, что a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) &nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp

Обратите внимание: логарифм от неположительного числа не определен. Кроме того, в основании логарифма должно быть положительное число, не равное 1. Например, если мы возведем -2 в квадрат, получим число 4, но это не означает, что логарифм по основанию -2 от 4 равен 2.

Основное логарифмическое тождество a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Важно, что области определения правой и левой частей этой формулы отличаются. Левая часть определена только при b>0, a>0 и a ≠ 1. Правая часть определена при любом b, а от a вообще не зависит. Таким образом, применение основного логарифмического «тождества» при решении уравнений и неравенств может привести к изменению ОДЗ.

Два очевидных следствия определения логарифма log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень — единицу.

Логарифм произведения и логарифм частного log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Хотелось бы предостеречь школьников от бездумного применения данных формул при решении логарифмических уравнений и неравенств. При их использовании «слева направо» происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного — расширение ОДЗ.

Действительно, выражение log a (f (x) g (x)) определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля.

Преобразуя данное выражение в сумму log a f (x) + log a g (x) , мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6).

Степень можно выносить за знак логарифма log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть — только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени.

Формула перехода к новому основанию log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Тот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной.

Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Несколько простых примеров с логарифмами

Пример 1. Вычислите: lg2 + lg50.
Решение. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Мы воспользовались формулой суммы логарифмов (5) и определением десятичного логарифма.

Пример 2. Вычислите: lg125/lg5.
Решение. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Мы использовали формулу перехода к новому основанию (8).

Таблица формул, связанных с логарифмами
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)
log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)
log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

правила, основные свойства и формулы

Логарифмы и правила действий с ними достаточно емкие и простые. Следовательно, разобраться в данной теме вам не составит труда. После того как вы узнаете все правила натуральных логарифмов, любая задача решится самостоятельно. Первое знакомство с этой темой может показаться скучным и бессмысленным, но именно при помощи логарифмов решились многие проблемы математиков XVI века. «О чем это?» — подумали вы. Прочтите статью до конца и узнаете, что этот раздел «царицы наук» может быть интересен не только математикам, ученым точных наук, но и простым ученикам средних школ.

Определение логарифма

Начнем с определения логарифма. Как гласят многие учебники: логарифмом числа b по основанию a (logab) является некое число с, для которого выполняется такое равенство: b=ac. То есть, говоря простыми словами, логарифм — определенная степень, в которую возводим основание, чтобы получить данное число. Но важно помнить, что логарифм вида logab имеет смысл только при: a>0; a — число, отличное от 1; b>0, следовательно, делаем вывод, что логарифм можно найти только у положительных чисел.

Классификация логарифмов по основанию

Логарифмы могут быть с любым положительным числом в основании. Но также существует два вида: натуральный и десятичный логарифмы.

  • Натуральный логарифм — логарифм с основанием е (е — число Эйлера, численно приблизительно равняется 2,7, иррациональное число, которое ввели для показательной функции y = ex), обозначается как ln a = logea;
  • Десятичный логарифм — логарифм с основанием 10, то есть log10a = lg a.

Основные правила логарифмов

Для начала нужно познакомиться с основным логарифмическим тождеством: alogab=b, далее следуют два таких основных правила:

  • loga1 = 0 — так как любое число в нулевой степени равно 1;
  • logaa = 1.

Благодаря открытию логарифма для нас не составит труда решить абсолютно любое показательно уравнение, ответ которого нельзя выразить натуральным числом, а только иррациональным. Например: 5х = 9, х = log59 (так как натурального х для данного уравнения не существует).

Действия с логарифмами

  • loga(x · y) = logax+ logay — чтобы найти логарифм произведения, нужно сложить логарифмы сомножителей. Обратите внимание на то, что основания логарифмов одинаковы. Если записать это в обратном порядке, то получим правило сложения логарифмов.
  • loga xy = logax — logay — чтобы найти логарифм частного, нужно найти разность логарифмов делимого и делителя. Обратите внимание: основания у логарифмов одинаковы. При записи в обратном порядке получаем правило вычитания логарифмов.
  • logakxp = (p/k)*logax — таким образом, если в аргументе и основании логарифма стоят степени, то их можно выносить за знак логарифма.
  • logax = logac xc — частный случай предыдущего правила, когда показатели степеней равны, их можно сократить.
  • logax = (logbx)(logba) — так называемый модуль перехода, процедура приведения логарифма к другому основанию.
  • logax = 1/logxa — частный случай перехода, смена мест основания и данного числа. Все выражение, образно говоря, переворачивается, и логарифм с новым основанием оказывается в знаменателе.

История возникновения логарифмов

В XVI веке возникла необходимость проведения многих приближенных вычислений для решения практических задач, главным образом, в астрономии (например, определение положения судна по Солнцу или звездам).

Эта потребность быстро росла и значительную трудность создавало умножение и деление многозначных чисел. И ученый-математик Непер при тригонометрических расчетах решил заменить трудоемкое умножение на обыкновенное сложение, сопоставив для этого некоторые прогрессии. Тогда деление, аналогично, заменяется на процедуру попроще и надежнее — вычитание, а дабы извлечь корень n-ой степени, нужно разделить логарифм подкоренного выражения на n. Решение такой нелегкой задачи в математике явно отображало цели Непера в науке. Вот как он писал об этом в начале своей книги «Рабдология»:

Я всегда старался, насколько позволяли мои силы и способности, освободить людей от трудности и скуки вычислений, докучливость которых обыкновенно отпугивает очень многих от изучения математики.

Название логарифма предложил сам Непер, он был получен путем совмещения греческих слов, которые в сочетании означали “число отношений”.

Основание логарифма ввел Спейдел. Его заимствовал Эйлер из теории о степенях и перенес в теорию логарифмов. Понятие логарифмирования стало известным благодаря Коппе в XIX веке. А использование натуральных и десятичных логарифмов, а также их обозначения появились благодаря Коши.

В 1614 году Джон Непер издал на латыни сочинение «Описание удивительной таблица логарифмов». Там было изложено краткое описание логарифмов, правил и их свойств. Так термин «логарифм» утвердился в точных науках.

Операцию логарифмирования и первое упоминание о ней появилось благодаря Валлису и Иоганну Бернулли, а окончательно установлена она была Эйлером в XVIII веке.

Именно заслуга Эйлера в распространении логарифмической функции вида y = logax на комплексную область. В первой половине XVIII века вышла его книга «Введение в анализ бесконечных», где были современные определения показательной и логарифмической функций.

Логарифмическая функция

Функция вида y = logах (имеет смысл, только если: а > 0, а ≠ 1).

  • Логарифмическая функция определяется множеством всех положительных чисел, так как запись logах существует только при условии — х > 0;.
  • Данная функция может принимать абсолютно все значения из множества R (действительных чисел). Так как у всякого действительного числа b есть положительное x, чтобы выполнялось равенство logaх = b, то есть, это уравнение имеет корень — х = аb (следует из того, что logaab= b).
  • Функция возрастает на промежутке a>0, а убывает на промежутке 0
  • Если а>0, то функция принимает положительные значения при х>1.

Следует помнить, что любые графики логарифмической функции у = logах имеют одну стационарную точку (1;0), так как logа 1 = 0. Это хорошо видно на иллюстрации графика ниже.

Как видим на изображениях, функция не имеет четности или нечетности, не имеет наибольших или наименьших значений, не ограничена сверху или снизу.

Логарифмическая функция y = logаx и показательная функция y = aх, где (а>0, а≠1), взаимно обратные. Это можно видеть на изображении их графиков.

Решение задач с логарифмами

Обычно решение задачи, содержащей логарифмы, основано на преобразовании их в стандартный вид или же направлено на упрощение выражений под знаком логарифма. Или же стоит переводить обычные натуральные числа в логарифмы с нужным основанием, проводить дальнейшие операции по упрощению выражения.

Есть некие тонкости, которые не стоит забывать:

  • При решении неравенств, когда обе части стоят под логарифмами по правилу с одним основанием, не спешите «отбрасывать» знак логарифма. Помните о промежутках монотонности логарифмической функции. Так как, если основание больше 1 (случай, когда функция возрастает) — знак неравенства останется без изменений, но когда основание больше 0 и меньше 1 (случай, когда функция убывает) — знак неравенства изменится на противоположный;
  • Не забывайте определения логарифма: logах = b, а>0, а≠1 и х>0, чтобы не потерять корней из-за неучтенной области допустимых значений. ОДЗ (область допустимых значений) существует практически для всех сложных функций.

При решении логарифмических уравнений рекомендуется пользоваться равносильными преобразованиями. Также, необходимо быть внимательным и учитывать возможные преобразования, которые способны привести к потере некоторых корней.

Это банальные, но масштабные ошибки, с которыми столкнулись многие на пути поиска верного ответа для задания. Правил решения логарифмов не так уж и много, поэтому эта тема проще, чем другие и последующие, но в ней стоит хорошо разобраться.

Вывод

Данная тема с первого взгляда может показаться сложной и громоздкой, но, исследуя ее глубже и глубже, начинаешь понимать, что тема просто заканчивается, а сложностей так ничего и не вызвало. Мы рассмотрели все свойства, правила и даже ошибки, касающиеся темы логарифмов. Успехов в обучении!

Логарифмы десятичные — Энциклопедия по машиностроению XXL

Заменим в уравнении (2.17) натуральные логарифмы десятичными, а его значением из уравнения (2.15), Р его значением, рав-  [c.24]

Если в это выражение подставить значение п и заменить натуральный логарифм десятичным, получим  [c.224]

Логарифмы десятичные — Таблицы 15—16  [c.754]

Количество звуковой энергии, испускаемое источником звука в единицу времени Количество звуковой энергии, проходящее в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения Десятикратный логарифм (десятичный) отношения фактической силы звука в данной точке пространства к так называемой пороговой силе звука  [c. 255]


Звукоизоляция ([1], (9)). Звукоизоляцией называется разность уровней звука (в децибелах) между двумя точками пространства, разделенными преградой, по одну сторону которой находится источник звука. Если преграда однородна и простирается безгранично, разделяя все пространство на два полупространства, в которых отсутствуют отражающие звук поверхности, то звукоизоляция ее есть десятикратный логарифм (десятичный) обратной величины коэффициента звукопроводности  [c.263]

Нахождение логарифма (десятичного) трехзначного числа производится непосредственно по таблице, а для числа с тремя значащими цифрами из таблицы берется мантисса, характеристика же устанавливается по правилам алгебры. Например,  [c.34]

Превращения 78 Логарифмы десятичные 77  [c.576]

Десятикратный логарифм (десятичный) отношения фактической силы звука в данной точке пространства к так называемой пороговой силе звука, равной Jq = = вт/см  [c. 348]

Логарифмы десятичные 48 Функции тригонометрические дополнительных углов — Зависимости 92  [c.565]

Заменяя в уравнении (40,9) натуральный логарифм десятичным и подставляя 1,986— —, получим  [c.160]

Показательная функция Натуральный логарифм Десятичный логарифм Округление Функция Антье exp (л ) 1п(х) exp (X) ln x)  [c.148]

Логарифмическая величина — логарифм (десятичный, натуральный или двоичный) относительной величины.  [c.14]

Введя вместо натуральных логарифмов десятичные, будем иметь  [c.245]

Подставляя вместо Ух и их значения из формул (УП.96) и заменяя натуральный логарифм десятичным, получаем окончательно  [c.416]

Электродный потенциал при 18°С после подстановки в уравнение значения газовой постоянной и замены натурального логарифма десятичным примет вид  [c.133]

Логарифм интегральный 1 — 164 Логарифмирование 1 — 78 Логарифмические линейки 1 — 336 Логарифмические номограммы 1—317 Логарифмические уравнения 1 — 122 Логарифмические функции 1 — 91 Логарифмические шкалы 1—-314 Логарифмический шаблон 1 — 314 Логарифмы 1—75 Логарифмы десятичные 1 — 77  [c. 435]

Логарифмы десятичные 1—48 Функции тригонометрические дополнительных углов—Зависимости 1—92  [c.491]

Ig логарифм десятичный. In натуральный.  [c.3]

Логарифм десятичный Логарифм натуральный  [c.6]

Постоянные величины и их логарифмы (десятичные) — Таблицы 66 Постоянный ток 205 Пояс шаровой — Поверхность и объем — Расчет 81 Предел выносливости — Обозначения 11, 12 — пропорциональности — Обозначения 11  [c.597]

В науке и технике широко распространены логарифмические величины и их единицы. Логарифмическая величина представляет собой логарифм (десятичный, натуральный или при основании 2) безразмерного отношения двух одноименных физических величин.  [c.92]


Ig логарифм десятичный. 1п > натуральный,  [c.4]

Липкина инверсоры 466 Липшица условие 210 Лобачевского метод приближенного решения алгебраических уравнений 129 Логарифм итгегральный 164 Логарифмирование 78 Логарифмические линейки — Правила пользования 336 Логарифмические номограммы 317 Логарифмические спирали — см. Спирали логарифмические Логарифмические уравнения 122 Логарифмические функции 91 Логарифмические шкалы 314 Логарифмический шаблон 314 Логарифмы 76 Логарифмы десятичные 77  [c.554]

В шестой графе таблицы, помещённой на стр. 14, указаны десятичные логарифмы целых чисел от 1 до 1000. Таким образом логарифмы целых чисел не выше трёхзначных отыскиваются непосредственно по таблицам. Для того же, чтобы разыскать логарифм десятичной дроби или числа, имеющего на конце несколько нулей, отбрасывают запятую и нули справа и слева и, обратив его в целое трехзначное число, ищут по таблицам (стр. 14) его логарифм, из которого берут только мантиссу, характеристику же опреде- ляют по правилу, пояснённому в табл. 1.  [c.85]

Свойства десятичных логарифмов. Десятичные логарифмы записываются в виде десятичной дроби с точностью до определенного десятичного знака. Целая часть этой дроби называется характеристикой логарифма, а дробная — мантиссой, напрнХ1ер 324 = 2,5105 2 — характеристика. 0.5105 — мантисса. Для всех чи ev . равных 324-10 (например 3240, 32 400 3.24 0.00324 н т. д.), мантисса равна 0,5105.  [c.39]

В таблицах термодинамических величин приводятся энтальпии и энтропии различных веществ для стандартного состояния (Т = = 298 °С, р = 1 ат). Для температур, отличных от стандартной, нужно учитывать изменения теплоемкостей веществ, участвующих в реакции [согласно уравнениям (V. 14) и (V. 15)]. Однако рассматриваемый метод допускает АСр — 0. Тогда, заменив в уравнении (У.бЗ) натуральный логарифм десятичным и подставив вместо Я его значение— К987 кал моль °С), получим  [c.186]

Литье стальное — Квалифицикационные признаки 770 Логарифмика —Уравнение 870 Логарифмы десятичные чисел — Таблицы 854  [c.892]


Логарифмы: примеры и решения

Как известно, при перемножении выражений со степенями их показатели всегда складываются (ab*ac = ab+c). Этот математический закон был выведен Архимедом, а позже, в VIII веке, математик Вирасен создал таблицу целых показателей. Именно они послужили для дальнейшего открытия логарифмов. Примеры использования этой функции можно встретить практически везде, где требуется упростить громоздкое умножение на простое сложение. Если вы потратите минут 10 на прочтение этой статьи, мы вам объясним, что такое логарифмы и как с ними работать. Простым и доступным языком.

Определение в математике

Логарифмом называется выражение следующего вида: logab=c, то есть логарифмом любого неотрицательного числа (то есть любого положительного) «b» по его основанию «a» считается степень «c», в которую необходимо возвести основание «a», чтобы в итоге получить значение «b». Разберем логарифм на примерах, допустим, есть выражение log28. Как найти ответ? Очень просто, нужно найти такую степень, чтобы из 2 в искомой степени получить 8. Проделав в уме некоторые расчеты, получаем число 3! И верно, ведь 2 в степени 3 дает в ответе число 8.

Разновидности логарифмов

Для многих учеников и студентов эта тема кажется сложной и непонятной, однако на самом деле логарифмы не так страшны, главное — понять общий их смысл и запомнить их свойста и некоторые правила. Существует три отдельных вида логарифмических выражений:

  1. Натуральный логарифм ln a, где основанием является число Эйлера (e = 2,7).
  2. Десятичный логарифм lg a, где основанием служит число 10.
  3. Логарифм любого числа b по основанию a>1.

Каждый из них решается стандартным способом, включающим в себя упрощение, сокращение и последующее приведение к одному логарифму с помощью логарифмических теорем. Для получения верных значений логарифмов следует запомнить их свойства и очередность действий при их решениях.

Правила и некоторые ограничения

В математике существует несколько правил-ограничений, которые принимаются как аксиома, то есть не подлежат обсуждению и являются истиной. Например, нельзя числа делить на ноль, а еще невозможно извлечь корень четной степени из отрицательных чисел. Логарифмы также имеют свои правила, следуя которым можно с легкостью научиться работать даже с длинными и емкими логарифмическими выражениями:

  • основание «a» всегда должно быть больше нуля, и при этом не быть равным 1, иначе выражение потеряет свой смысл, ведь «1» и «0» в любой степени всегда равны своим значениям;
  • если а > 0, то и аb>0, получается, что и «с» должно быть больше нуля.

Как решать логарифмы?

К примеру, дано задание найти ответ уравнения 10х= 100. Это очень легко, нужно подобрать такую степень, возведя в которую число десять, мы получим 100. Это, конечно же, квадратичная степень! 102=100.

А теперь давайте представим данное выражение в виде логарифмического. Получим log10100 = 2. При решении логарифмов все действия практически сходятся к тому, чтобы найти ту степень, в которую необходимо ввести основание логарифма, чтобы получить заданное число.

Для безошибочного определения значенияя неизвестной степени необходимо научиться работать с таблицей степеней. Выглядит она следующим образом:

Как видите, некоторые показатели степени можно угадать интуитивно, если имеется технический склад ума и знание таблицы умножения. Однако для больших значений потребуется таблица степеней. Ею могут пользоваться даже те, кто совсем ничего не смыслит в сложных математических темах. В левом столбце указаны числа (основание a), верхний ряд чисел — это значение степени c, в которую возводится число a. На пересечении в ячейках определены значения чисел, являющиеся ответом (ac=b). Возьмем, к примеру, самую первую ячейку с числом 10 и возведем ее в квадрат, получим значение 100, которое указано на пересечении двух наших ячеек. Все так просто и легко, что поймет даже самый настоящий гуманитарий!

Уравнения и неравенства

Получается, что при определенных условиях показатель степени — это и есть логарифм. Следовательно, любые математические численные выражения можно записать в виде логарифмического равенства. Например, 34=81 можно записать в виде логарифма числа 81 по основанию 3, равному четырем (log381 = 4). Для отрицательных степеней правила такие же: 2-5= 1/32 запишем в виде логарифма, получим log2 (1/32) = -5. Одной из самых увлекательных разделов математики является тема «логарифмы». Примеры и решения уравнений мы рассмотрим чуть ниже, сразу же после изучения их свойств. А сейчас давайте разберем, как выглядят неравенства и как их отличить от уравнений.

Дано выражение следующего вида: log2(x-1) > 3 — оно является логарифмическим неравенством, так как неизвестное значение «х» находится под знаком логарифма. А также в выражении сравниваются две величины: логарифм искомого числа по основанию два больше, чем число три.

Самое главное отличие между логарифмическими уравнениями и неравенствами заключается в том, что уравнения с логарифмами (пример — логарифм2x = √9)подразумевают в ответе одно или несколько определенных числовых значений, тогда как при решении неравенства определяются как область допустимых значений, так и точки разрыва этой функции. Как следствие, в ответе получается не простое множество отдельных чисел как в ответе уравнения, а а непрерывный ряд или набор чисел.

Основные теоремы о логарифмах

При решении примитивных заданий по нахождению значений логарифма, его свойства можно и не знать. Однако когда речь заходит о логарифмических уравнениях или неравенствах, в первую очередь, необходимо четко понимать и применять на практике все основные свойства логарифмов. С примерами уравнений мы познакомимся позже, давайте сначала разберем каждое свойство более подробно.

  1. Основное тождество выглядит так: аlogaB=B. Оно применяется только при условии, когда а больше 0, не равно единице и B больше нуля.
  2. Логарифм произведения можно представить в следующей формуле: logd(s1*s2) = logds1 + logds2. При этом обязательным условием является: d, s1 и s2 > 0; а≠1. Можно привести доказательство для этой формулы логарифмов, с примерами и решением. Пусть logas1 = f1 и logas2 = f2, тогда af1= s1, af2= s2. Получаем, что s1*s2 = af1*af2= af1+f2 (свойства степеней), а далее по определению: loga(s1*s2)= f1+ f2 = logas1 + logas2, что и требовалось доказать.
  3. Логарифм частного выглядит так: loga(s1/s2) = logas1— logas2.
  4. Теорема в виде формулы приобретает следующий вид: logaqbn = n/q logab.

Называется эта формула «свойством степени логарифма». Она напоминает собой свойства обычных степеней, и неудивительно, ведь вся математика держится на закономерных постулатах. Давайте посмотрим на доказательство.

Пусть logab = t, получается at=b. Если возвести обе части в степень m: atn = bn;

но так как atn= (aq)nt/q = bn, следовательно logaqbn = (n*t)/t, тогда logaqbn = n/q logab. Теорема доказана.

Примеры задач и неравенств

Самые распространенные типы задач на тему логарифмов — примеры уравнений и неравенств. Они встречаются практически во всех задачниках, а также входят в обязательную часть экзаменов по математике. Для поступления в университет или сдачи вступительных испытаний по математике необходимо знать, как правильно решать подобные задания.

К сожалению, единого плана или схемы по решению и определению неизвестного значения логарифма не существует, однако к каждому математическому неравенству или логарифмическому уравнению можно применить определенные правила. Прежде всего следует выяснить, можно ли упростить выражение или привести к общему виду. Упрощать длинные логарифмические выражения можно, если правильно использовать их свойства. Давайте скорее с ними познакомимся.

При решении же логарифмических уравнений, следует определить, какой перед нами вид логарифма: пример выражения может содержать натуральный логарифм или же десятичный.

Вот примеры десятичных логарифмов: ln100, ln1026. Их решение сводится к тому, что нужно определить ту степень, в которой основание 10 будет равно 100 и 1026 соответственно. Для решений же натуральных логарифмов нужно применить логарифмические тождества или же их свойства. Давайте на примерах рассмотрим решение логарифмических задач разного типа.

Как использовать формулы логарифмов: с примерами и решениями

Итак, рассмотрим примеры использования основных теорем о логарифмах.

  1. Свойство логарифма произведения можно применять в заданиях, где необходимо разложить большое значение числа b на более простые сомножители. Например, log24 + log2128 = log2( 128) = log2512. Ответ равен 9.
  2. log48 = log22 23 = 3/2 log22 = 1,5 — как видите, применяя четвертое свойство степени логарифма, удалось решить на первый взгляд сложное и нерешаемое выражение. Необходимо всего лишь разложить основание на множители и затем вынести значения степени из знака логарифма.

Задания из ЕГЭ

Логарифмы часто встречаются на вступительных экзаменах, особенно много логарифмических задач в ЕГЭ (государственный экзамен для всех выпускников школ). Обычно эти задания присутствуют не только в части А (самая легкая тестовая часть экзамена), но и в части С (самые сложные и объемные задания). Экзамен подразумевает точное и идеальное знание темы «Натуральные логарифмы».

Примеры и решения задач взяты из официальных вариантов ЕГЭ. Давайте посмотрим, как решаются такие задания.

Дано log2(2x-1) = 4. Решение:
перепишем выражение, немного его упростив log2(2x-1) = 22, по определению логарифма получим, что 2x-1 = 24, следовательно 2x = 17; x = 8,5.

Ниже даны несколько рекомендаций, следуя которым можно с легкостью решать все уравнения, содержащие выражения, которые стоят под знаком логарифма.

  • Все логарифмы лучше всего приводить к одному основанию, чтобы решение не было громоздким и запутанным.
  • Все выражение, стоящие под знаком логарифма, указываются как положительные, поэтому при вынесении множителем показателя степени выражения, который стоит под знаком логарифма и в качестве его основания, остающееся под логарифмом выражение должно быть положительно.

Что такое расширяющиеся логарифмы?

Многие уравнения могут быть упрощены путем расширения логарифмов. Термин «расширяющиеся логарифмы» относится не к логарифмам, которые расширяются, а скорее к процессу, посредством которого одно математическое выражение заменяет другое согласно определенным правилам. Есть три таких правила. Каждое из них соответствует определенному свойству показателей, потому что логарифм является функциональной обратной величиной возведения в степень: log 3 (9) = 2, потому что 3 2 = 9.

Наиболее распространенное правило для расширения логарифмов используется для разделения продуктов. Логарифм произведения является суммой соответствующих логарифмов: log a ( x * y ) = log a ( x ) + log a (y). Это уравнение выводится из формулы a x * a y = a x + y . Его можно распространить на несколько факторов: log a ( x * y * z * w ) = log a ( x ) + log a ( y ) + log a ( z ) + log a ( w ).

Повышение числа до отрицательной степени равносильно увеличению его обратной величины до положительной степени: 5 -2 = (1/5) 2 = 1/25. Эквивалентным свойством для логарифмов является то, что log a (1 / x ) = -log a ( x ). Когда это свойство объединяется с правилом произведения, оно предоставляет закон для логарифма отношения: log a ( x / y ) = log a ( x ) — log a ( y ).

Последнее правило для расширения логарифмов относится к логарифму числа, возведенного в степень. Используя правило продукта, можно обнаружить, что log a ( x 2 ) = log a ( x ) + log a ( x ) = 2 * log a ( x ). Аналогично, log a ( x 3 ) = log a ( x ) + log a ( x ) + log a ( x ) = 3 * log a ( x ). В общем случае, log a ( x n ) = n * log a ( x ), даже если n не является целым числом.

Эти правила могут быть объединены для расширения выражений журнала более сложного характера. Например, можно применить второе правило для log a ( x 2y / z ), получив выражение log a ( x 2y ) — log a (z). Тогда первое правило может быть применено к первому члену, давая log a ( x 2 ) + log a ( y ) — log a ( z ). Наконец, применение третьего правила приводит к выражению 2 * log a ( x ) + log a ( y ) — log a ( z ).

Расширение логарифмов позволяет быстро решить многие уравнения. Например, кто-то может открыть сберегательный счет на 400 долларов США. Если счет выплачивает 2% годовых, начисляемых ежемесячно, то количество месяцев, необходимое для того, чтобы счет удвоился, можно найти с помощью уравнения 400 * (1 + 0,02 / 12) m = 800. Деление на 400 доходностей (1 + 0,02 / 12) m = 2. Если взять логарифм по основанию-10 с обеих сторон, получится уравнение log 10 (1 + 0,02 / 12) m = log 10 (2).

Это уравнение можно упростить, используя правило степени m * log 10 (1 + 0,02 / 12) = log 10 (2). Использование калькулятора для нахождения логарифмов дает m * (0,00072322) = 0,30102. После решения для m выясняется, что для счета удвоится стоимость счета в течение 417 месяцев, если не будут внесены дополнительные деньги.

ДРУГИЕ ЯЗЫКИ

Mathway | Популярные задачи

1 Trovare la Derivata — d/dx натуральный логарифм x
2 Вычислим интеграл интеграл натурального логарифма x по x
3 Trovare la Derivata — d/dx e^x
4 Вычислим интеграл интеграл e^(2x) относительно x
5 Trovare la Derivata — d/dx 1/x
6 Trovare la Derivata — d/dx x^2
7 Trovare la Derivata — d/dx 1/(x^2)
8 Trovare la Derivata — d/dx sin(x)^2
9 Trovare la Derivata — d/dx sec(x)
10 Вычислим интеграл интеграл e^x относительно x
11 Вычислим интеграл интеграл x^2 относительно x
12 Вычислим интеграл интеграл квадратного корня x по x
13 Trovare la Derivata — d/dx cos(x)^2
14 Вычислим интеграл интеграл 1/x относительно x
15 Вычислим интеграл интеграл sin(x)^2 относительно x
16 Trovare la Derivata — d/dx x^3
17 Trovare la Derivata — d/dx sec(x)^2
18 Вычислим интеграл интеграл cos(x)^2 относительно x
19 Вычислим интеграл интеграл sec(x)^2 относительно x
20 Trovare la Derivata — d/dx e^(x^2)
21 Вычислим интеграл интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x
22 Trovare la Derivata — d/dx sin(2x)
23 Trovare la Derivata — d/dx tan(x)^2
24 Вычислим интеграл интеграл 1/(x^2) относительно x
25 Trovare la Derivata — d/dx 2^x
26 График натуральный логарифм a
27 Trovare la Derivata — d/dx cos(2x)
28 Trovare la Derivata — d/dx xe^x
29 Вычислим интеграл интеграл 2x относительно x
30 Trovare la Derivata — d/dx ( натуральный логарифм x)^2
31 Trovare la Derivata — d/dx натуральный логарифм (x)^2
32 Trovare la Derivata — d/dx 3x^2
33 Вычислим интеграл интеграл xe^(2x) относительно x
34 Trovare la Derivata — d/dx 2e^x
35 Trovare la Derivata — d/dx натуральный логарифм 2x
36 Trovare la Derivata — d/dx -sin(x)
37 Trovare la Derivata — d/dx 4x^2-x+5
38 Trovare la Derivata — d/dx y=16 корень четвертой степени 4x^4+4
39 Trovare la Derivata — d/dx 2x^2
40 Вычислим интеграл интеграл e^(3x) относительно x
41 Вычислим интеграл интеграл cos(2x) относительно x
42 Trovare la Derivata — d/dx 1/( квадратный корень x)
43 Вычислим интеграл интеграл e^(x^2) относительно x
44 Вычислить e^infinity
45 Trovare la Derivata — d/dx x/2
46 Trovare la Derivata — d/dx -cos(x)
47 Trovare la Derivata — d/dx sin(3x)
48 Trovare la Derivata — d/dx 1/(x^3)
49 Вычислим интеграл интеграл tan(x)^2 относительно x
50 Вычислим интеграл интеграл 1 относительно x
51 Trovare la Derivata — d/dx x^x
52 Trovare la Derivata — d/dx x натуральный логарифм x
53 Trovare la Derivata — d/dx x^4
54 Оценить предел предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
55 Вычислим интеграл интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x
56 Trovare la Derivata — d/dx f(x) = square root of x
57 Trovare la Derivata — d/dx x^2sin(x)
58 Вычислим интеграл интеграл sin(2x) относительно x
59 Trovare la Derivata — d/dx 3e^x
60 Вычислим интеграл интеграл xe^x относительно x
61 Trovare la Derivata — d/dx y=x^2
62 Trovare la Derivata — d/dx квадратный корень x^2+1
63 Trovare la Derivata — d/dx sin(x^2)
64 Вычислим интеграл интеграл e^(-2x) относительно x
65 Вычислим интеграл интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x
66 Trovare la Derivata — d/dx e^2
67 Trovare la Derivata — d/dx x^2+1
68 Вычислим интеграл интеграл sin(x) относительно x
69 Trovare la Derivata — d/dx arcsin(x)
70 Оценить предел предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
71 Вычислим интеграл интеграл e^(-x) относительно x
72 Trovare la Derivata — d/dx x^5
73 Trovare la Derivata — d/dx 2/x
74 Trovare la Derivata — d/dx натуральный логарифм 3x
75 Trovare la Derivata — d/dx x^(1/2)
76 Trovare la Derivata — d/[email protected] f(x) = square root of x
77 Trovare la Derivata — d/dx cos(x^2)
78 Trovare la Derivata — d/dx 1/(x^5)
79 Trovare la Derivata — d/dx кубический корень x^2
80 Вычислим интеграл интеграл cos(x) относительно x
81 Вычислим интеграл интеграл e^(-x^2) относительно x
82 Trovare la Derivata — d/[email protected] f(x)=x^3
83 Вычислим интеграл интеграл 4x^2+7 от 0 до 10 относительно x
84 Вычислим интеграл интеграл от ( натуральный логарифм x)^2 по x
85 Trovare la Derivata — d/dx логарифм x
86 Trovare la Derivata — d/dx arctan(x)
87 Trovare la Derivata — d/dx натуральный логарифм 5x
88 Trovare la Derivata — d/dx 5e^x
89 Trovare la Derivata — d/dx cos(3x)
90 Вычислим интеграл интеграл x^3 относительно x
91 Вычислим интеграл интеграл x^2e^x относительно x
92 Trovare la Derivata — d/dx 16 корень четвертой степени 4x^4+4
93 Trovare la Derivata — d/dx x/(e^x)
94 Оценить предел предел arctan(e^x), если x стремится к 3
95 Вычислим интеграл интеграл (e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x)) относительно x
96 Trovare la Derivata — d/dx 3^x
97 Вычислим интеграл интеграл xe^(x^2) относительно x
98 Trovare la Derivata — d/dx 2sin(x)
99 Вычислить sec(0)^2
100 Trovare la Derivata — d/dx натуральный логарифм x^2

Правила логарифмирования — ChiliMath

В этом уроке вы познакомитесь с общими правилами логарифмирования, также известными как «правила журнала». Эти семь (7) логарифмических правил полезны при расширении логарифмов, сокращении логарифмов и решении логарифмических уравнений. Кроме того, поскольку обратная функция логарифма является экспоненциальной функцией, я бы также рекомендовал вам пройтись и освоить правила экспоненты. Поверьте, они всегда идут рука об руку.

Если вас когда-нибудь интересовало, почему правила логарифмирования работают, посмотрите мой урок о доказательствах или обоснованиях свойств логарифмов.


Правила логарифмов

Описание правил логарифмирования

Правило 1: Правило продукта

Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей.

Правило 2: Частное правило

Логарифм отношения двух величин равен логарифму числителя минус логарифм знаменателя.

Правило 3: Силовое правило

Логарифм экспоненциального числа равен произведению показателя степени на логарифм основания.

Правило 4: Нулевое правило

Логарифм 1 такой, что b > 0, но b≠1 равно нулю.

Правило 5: Правило идентификации

Логарифм аргумента (в скобках), где аргумент совпадает с основанием, равен 1. Поскольку аргумент равен основанию, b должно быть больше 0, но не может равняться 1.

Правило 6: логарифм экспоненты (логарифм основания в степенном правиле)

Логарифм экспоненциального числа, основание которого совпадает с основанием логарифма, равен показателю степени.

Правило 7: Экспонента логарифмического правила (основа логарифмического степенного правила)

Возведение логарифма числа в основание равно числу.


Примеры применения правил журнала

Пример 1: Оцените приведенное ниже выражение, используя правила журнала.

{\ log _2} 8 + {\ log _2} 4

Выразите 8 и 4 в виде экспоненциальных чисел с основанием 2. Затем примените Power Rule, а затем Identity Rule. После этого вы добавляете полученные значения, чтобы получить окончательный ответ.

Таким образом, ответ: \color{blue}5.


Пример 2: Оцените приведенное ниже выражение, используя правила журнала.

{\ log _3} 162 — {\ log _3} 2

Мы не можем выразить 162 в виде экспоненциального числа с основанием 3. Похоже, мы застряли, поскольку нет правил, которые можно было бы применить напрямую.

Однако можно применять правила логарифмирования в обратном порядке! Обратите внимание, что логарифмическое выражение может быть выражено в виде одного или одного логарифмического числа посредством обратного использования правила отношения.Похоже на план.

Мы сделали это! Применив правила в обратном порядке, мы создали одно выражение журнала, которое легко решить. Окончательный ответ здесь: \color{blue}4.


Пример 3: Оцените приведенное ниже выражение.

Похоже, столько всего происходит одновременно. Сначала проверьте, можно ли упростить каждое из логарифмических чисел. Если нет, начните думать о некоторых логарифмических правилах, которые, очевидно, применимы.

Наблюдая, мы видим, что задействовано два основания: 5 и 4. Так почему бы не составить выражения вместе, имеющие одно и то же основание? Упростим их по отдельности.

Для журнала с основанием 5 сначала примените правило мощности, а затем правило частного. Для журнала с основанием 4 немедленно примените правило продукта. Затем получите окончательный ответ, сложив два найденных значения.

Да, окончательный ответ: \color{blue}7.


Пример 4: Разверните приведенное ниже логарифмическое выражение.5}} \справа)

В скобках произведение множителей. Примените правило продукта, чтобы разбить их на сумму отдельных выражений журнала. Убедитесь, что вы изо всех сил пытаетесь упростить числовые выражения до точного значения, когда это возможно. Используйте правило 5 (правило идентификации) как можно чаще, потому что оно может упростить процесс упрощения.

Верно! Последняя строка подробного решения, как показано выше, является окончательным ответом. Хотя надо признать, что выглядят они немного «незаконченными».Пока мы знаем, что правильно применили правила, это не должно нас беспокоить.


Пример 5 : Разверните логарифмическое выражение.

Подход заключается в том, чтобы сначала применить правило отношения к разности двух выражений журнала, поскольку они имеют дробную форму. Затем используйте правило произведения, чтобы разделить произведение факторов на сумму логарифмических выражений.


Пример 6 : Разверните логарифмическое выражение.{{1 \более 2}}}. Как и в задаче № 5, примените правило отношения к журналам, а затем используйте правило продукта.


Пример 7 : Разверните логарифмическое выражение.

Подобная проблема может заставить вас сомневаться в том, что вы действительно пришли к правильному ответу, потому что окончательный ответ все еще может выглядеть «незавершенным». Однако если вы правильно применяете правила ведения журналов на каждом этапе, вам не о чем беспокоиться.

Вы могли заметить, что нам нужно сначала применить правило отношения, потому что выражение имеет дробную форму.


Вас также может заинтересовать:

Конденсированные логарифмы

Расширение логарифмов

Объяснение логарифмов

Решение логарифмических уравнений

Доказательства свойств логарифма

правил экспонентов — ChiliMath

Правила экспоненты, также известные как «правила экспоненты», — это некоторые из правил алгебры, с которыми нам необходимо ознакомиться. Освоение этих основных правил экспоненты вместе с основными правилами логарифмирования (также известными как «логарифмические правила») сделает ваше изучение алгебры очень продуктивным и приятным.

Начнем с изучения частей экспоненциального числа.

Показательное число или выражение состоит из двух частей. Первый компонент — это основание , которое «несет» показатель степени , который является вторым компонентом в правом верхнем углу.

Взгляните на рисунок ниже.

Части экспоненциального числа или выражения

Например, как записать 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 в экспоненциальной записи?

Число 2 многократно умножается, поэтому оно автоматически становится основанием экспоненциального выражения.Обратите внимание, что это написано пять раз. Это значение указывает количество вхождений основания, поэтому оно должно быть показателем степени.

Читается как «от 2 до 5 степени».


Основой экспоненциального выражения также может быть буква или переменная. Предположим, у нас есть

Поскольку переменная x умножает себя десять раз, мы можем записать это в компактной форме.

Читается как «x в 10-й степени».


Краткое изложение семи (7) экспонентных правил

Теперь давайте рассмотрим семь (7) основных правил экспоненты.0} = 1.

  • Упростите приведенное ниже экспоненциальное выражение.

Каждое выражение со скобками, возведенными в нулевую степень, 0, встречающееся как в числителе, так и в знаменателе, будет просто заменено на 1. Обязательно уменьшите дробь до наименьшего члена.


📍ПРАВИЛО 2: Свойство отрицательного показателя степени

Любое ненулевое число, возведенное в отрицательную степень, не соответствует стандартной форме. Нам нужно будет сделать некоторую перестановку.{-\,4}}.

Основание 2 имеет отрицательную степень -4. Это можно исправить, переместив его в знаменатель и изменив знак экспоненты на положительный, используя отрицательное правило экспоненты.

  • Упростите экспоненциальное выражение.

На этот раз в знаменателе находится основание с отрицательным показателем степени. Поднимите его до числителя, сделав показатель степени положительным.

  • Упростите экспоненциальное выражение.

Оба показателя в числителе и знаменателе отрицательны. Имеет смысл поменять их местами вдоль дробной полосы. Переменная x уменьшается, а переменная y растет! Обязательно измените оба их показателя на положительные.


📍ПРАВИЛО 3: Свойство произведения экспоненты

При умножении экспоненциальных выражений с одним и тем же основанием, где основанием является ненулевое действительное число, скопируйте общее основание, а затем добавьте их показатели степени.2}} \справа).

После того, как мы умножим экспоненциальные выражения с одним и тем же основанием, добавив их показатели степени, мы получим одну переменную с отрицательным показателем, а другую с нулевым показателем.

Не стесняйтесь применять два предыдущих изученных правила, а именно Правило 1 и Правило 2, чтобы еще больше упростить это выражение.


📍ПРАВИЛО 4: Частное свойство экспоненты

При делении экспоненциальных выражений с одинаковым основанием, где основанием является ненулевое действительное число, скопируйте общее основание, а затем вычтите верхний показатель из нижнего показателя.Здесь мы должны предположить, что b \ne 0 и оба m и n принадлежат множеству целых чисел.

Примеры :

  • Упростите частное экспоненциального выражения.

Дробная черта означает, что мы собираемся делить. Имеет смысл применить правило деления экспоненты, то есть скопировать общее основание в числителе и знаменателе и вычесть верхний показатель на меньший показатель.

  • Упростите экспоненциальные выражения.

Сравнивая выражения в числителе и знаменателе, я вижу, что есть два общих основания, х и у. Примените правило деления к каждой переменной. После этого переменная x будет содержать отрицательную экспоненту, поэтому используйте отрицательное правило экспоненты, чтобы решить проблему.

  • Упростите экспоненциальные выражения.

Один из способов упростить это — пока игнорировать отрицательные показатели степени. Сначала примените правило деления и посмотрите, появятся ли снова отрицательные показатели.3}.

Это выражение имеет внутренний и внешний показатели. Правило степени в степени позволяет нам копировать основание и умножать показатели степени.


📍ПРАВИЛО 6: Степень произведения Свойство экспоненты

Когда произведение двух или более множителей возведено в степень, скопируйте каждый множитель, а затем умножьте его показатель степени на внешний показатель степени. Мы должны сделать это для каждого фактора внутри скобок, которые в данном случае являются a и b. Предположения: a \ne 0 или b \ne 0, а n — целое число. 2}.

Эта проблема очень похожа на предыдущую. Единственная разница в том, что есть три (3) множителя с показателями степени. Нам просто нужно распределить внешний показатель на каждый из внутренних показателей.


📍ПРАВИЛО 7: Степень частного свойства экспоненты

Когда частное возведено в степень, скопируйте множитель в числитель, а затем умножьте его показатель степени на внешний показатель степени. Мы должны сделать то же самое с множителем в знаменателе, где мы копируем его, а затем умножаем его показатель на внешний показатель.Здесь также нужно предположить, что a \ne 0 или b \ne 0, а m — целое число.

Пример:

  • Упростите экспоненциальное выражение.

На самом деле, мы будем использовать здесь одновременно два свойства экспонент, чтобы полностью упростить это. В дополнение к правилу 7 (правило мощности частного) нам нужно будет применить правило 6 (правило мощности продукта). Проще говоря, просто рассматривайте числитель и знаменатель отдельно при распределении путем умножения внутреннего и внешнего показателей для каждого фактора.


Практика с рабочими листами

доказательств свойств логарифма — ChiliMath

Свойства или правила логарифмирования выводятся с использованием законов экспоненты. Вот почему мы собираемся использовать правила экспоненты для доказательства свойств логарифма ниже.

Большую часть времени нам просто говорят помнить или запоминать эти логарифмические свойства, потому что они полезны. Но в этом уроке мы собираемся предоставить обоснования или простые доказательства того, почему они верны.{\цвет{красный}у}}

По существу это означает, что существует эквивалентность между логарифмическими операторами и экспоненциальными операторами.

Таким образом, при заданном логарифмическом выражении мы можем выразить его как показательное выражение. Таким же образом, если у нас есть экспоненциальное выражение, мы можем преобразовать его в логарифмическое выражение.

Теперь приступим к доказательству четырех (4) свойств или правил логарифмирования.


Доказательство произведения Свойство логарифма

\large{\log _b}\left( {{x \cdot y}} \right) = {\log _b}x + {\log _b}y

Шаг 1: Пусть {\color{red}m }= {\log _b}x и {\color{blue}n} = {\log _b}y.{м + п}}} \справа)}

\large{{\log _b}\left({xy} \right) = m + n}

Шаг 5: Наконец, замените выражения для \color{red}m и \color{blue}{n}, которые мы присвоили на шаге 1.

\large{{\log _b}\left({xy} \right) = {\log _b}x + {\log _b}y}

или

\large{{\log _b}\left( {x \cdot y} \right) = {\log _b}x + {\log _b}y}


Доказательство частного свойства логарифма

\large{{\log _b}\left( {\Large{{{x \over y}}}} \right) = {\log _b}x — {\log _b}y}

Шаг 1: Предположим, что {\color{red}m} = {\log _b}x и {\color{blue}n} = {\log _b}y. k}} \right) = k \cdot {\log _b}x

Шаг 1: Предположим, \large{{\color{red}m} = {\log _b}x}.м}}

Шаг 3: Возведите обе части уравнения в степень \large{k}.

Шаг 4: Прологарифмируйте по основанию b обе части уравнения, затем упростите.

Всегда помните это удобное правило: \large{{\log _b}b = 1}.

Шаг 5: На шаге 1 мы предполагаем \large{{\color{red}m} = {\log _b}x}. Последним шагом является подстановка выражения m в виде журналов в правую часть уравнения.{\ большой {{\ цвет {красный} k}}}}} \ справа)}

Шаг 4: Теперь примените Степенное правило логарифмирования к правой части экспоненциального уравнения, чтобы уменьшить показатель степени k. Затем найдите k, разделив обе части уравнения на {\log _b}\left( a \right).

\large{{\log _b}\left( x \right) = {\color{red}k} \cdot {\log _b}\left(a \right)}

\Large{{{{{\log }_b}\left( x \right)} \over {{{\log }_b}\left( a \right)}} = {{{\color{red}k } \cdot {{\log }_b}\left( a \right)} \over {{{\log }_b}\left( a \right)}}}

{\ Large {{{{{\ log } _b} \ left (x \ right)} \ over {{{\ log } _b} \ left ( a \ right)}}}} = {\ color {red} к}

Шаг 5: Наш последний шаг — подставить обратно выражение для k = {\log _a}x. Мы установили его на шаге 1.

{\ Large {{{{{\ log } _b} \ left (x \ right)} \ over {{{\ log } _b} \ left ( a \ right)}}}} = {\ color {red} к}

{\ Large {{{{{\ log }_b} \ left (x \ right)} \ over {{{\ log } _b} \ left ( a \ right)}}}} = {\ log _a} x

или

{\log _a}x={\Large{{{{{\log}_b}\left(x\right)} \over{{{\log}_b}\left(a\right)}}}}


Вас также может заинтересовать:

Правила логарифмирования

Цепное правило

: правило общего логарифма — концепция

Логарифмическое правило является частным случаем цепного правила.Это полезно при нахождении производной натурального логарифма функции. Правило логарифмирования гласит, что эта производная равна 1, деленной на произведение функции на производную от функции.

Говоря о цепном правиле, я сейчас расскажу о том, как различать особый класс функций, где они представляют собой композиции функций, а внешняя функция — это естественный логарифм. Но сначала я хочу взглянуть на тождество, которое происходит от свойства натурального логарифма e к натуральному логарифму x равно x, теперь, если я продифференцирую обе части этого уравнения, я получу удивительный и полезный результат. Итак, я различаю левую часть e с lnx и правую часть справа. Если 2 функции равны при всех значениях x, то их производная должна быть равна. Итак, с правой стороны вы можете видеть, что производная по x от x равна 1. Это просто производная линейной функции как наклон, а с левой стороны я могу использовать цепное правило.
Производная от e к lnx будет равна e к lnx, умноженной на производную от lnx, давайте притворимся, что мы этого не знаем, мы не знаем производную от lnx, умноженную на производную от lnx, и тогда мы можем разделить обе стороны от e к lnx, и мы получаем, что производная по x от lnx равна 1 по e к lnx. Теперь давайте вспомним, что e для lnx — это просто x, так что это то же самое, что 1 по x. Мы только что доказали, что производная по x от lnx равна 1 по x. Мы использовали этот результат некоторое время, но я не думаю, что мы доказали его, поэтому вот фактическое доказательство этого производного результата.
Теперь давайте перейдем к цепному правилу, так что вы помните, цепное правило говорит нам, как производная различает составную функцию, а для составных функций есть внутренняя функция и внешняя функция, и я вызывал внутреннюю функцию g для x и вне функции f от x. Что ж, в этом случае мы будем иметь дело с составными функциями с естественным логарифмом внешних функций. Итак, если вы дифференцируете натуральный логарифм g от x, производная равна 1 по g от x, умноженному на g, простому от x, и это всего лишь частный случай цепочки.

12.4: Свойства логарифмов — Mathematics LibreTexts

В этом разделе мы делаем логарифмы еще на один шаг и обсуждаем свойства логарифмов. Поскольку логарифмы являются экспонентами, а у нас есть много свойств экспоненты, как мы узнали из главы Полиномы , имеет смысл, что у нас есть аналогичные свойства для логарифмов. Например, если произведение двух множителей с одинаковым основанием дает сумму их показателей, то мы имеем свойство произведения логарифмов; если частное двух множителей с одним и тем же основанием дает разность их показателей, то мы имеем частное свойство логарифмов; аналогичный случай для правила степени логарифмов.

Понимание свойств логарифмов

Произведение Свойство логарифмов

Логарифм произведения есть сумма логарифмов:

\[\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N\не число\]

, где \(а\) — база, \(а > 0\) и \(а\neq 1\) и \(М,\: N > 0\).

Пример 12.4.1

Переписать в виде суммы логарифмов: \(\log_3 (6\cdot 5)\)

Раствор

Так как \(3\) является основанием, а \(6\) и \(5\) являются множителями, то в формуле мы видим \(\log_a (MN)\), \(a = 3\), \ (М = 6\) и \(N = 5\).Следовательно,

\[\log_3 (6\cdot 5)=\log_3 6+\log_3 5\не число\]

Пример 12.4.2

Переписать в виде суммы логарифмов: \(\ln(2k)\)

Раствор

Так как \(e\) является основанием, а \(2\) и \(k\) являются множителями (вы видите это, когда мы записываем \(2k\) как \(2\cdot k\)), мы видим в формулах \(\log_a (MN)\), \(a = e\), \(M = 2\) и \(N = k\). Следовательно,

\[\ln(2k) = \log_e (2\cdot k) = \log_e 2 + \log_e k = \ln 2 + \ln k\nonumber\]

Частное свойство логарифмов

Логарифм частного есть разность логарифмов:

\[\log_a \left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_a M — \log_a N\nonumber\]

, где \(а\) — база, \(а > 0\) и \(а\neq 1\) и \(М,\: N > 0\).

Пример 12.4.3

Переписать как разность логарифмов: \(\log_3\left(\dfrac{7}{5}\right)\)

Раствор

Поскольку \(3\) — основание, \(7\) — числитель, а \(5\) — знаменатель, то в формуле мы видим \(\log_a\left(\dfrac{M}{N} \справа)\), \(а = 3\), \(М = 7\) и \(N = 5\). Следовательно,

\[\log_3\left(\dfrac{7}{5}\right)=\log_3 7-\log_3 5\номер\]

Примечание

Обратите внимание, что значение журнала после знака минус является значением знаменателя дроби.

Пример 12.4.4

Переписать как разность логарифмов: \(\ln\left(\dfrac{7}{2}\right)\)

Раствор

Поскольку \(e\) — основание, \(7\) — числитель, а \(2\) — знаменатель, мы видим в формуле \(\log_a\left(\dfrac{M}{N} \справа)\), \(а = е\), \(М = 7\) и \(N = 2\). r=r\nonnumber\]

Пример 12.{\log_{12}\sqrt{12}}=\sqrt{12}\).

Расширение и сокращение логарифмов

Мы обсуждаем расширение и сокращение логарифмических выражений как часть применения свойств. В следующем разделе мы применим эти свойства для решения логарифмических уравнений.

Эмпирические правила для разложения логарифмов

При разложении логарифмов из одного выражения обязательно записывайте все логарифмы числа

Правило 1. Произведения как суммы

Правило 2. Частные как разности

Правило 3. Степени как множители

Мы используем порядок операций при расширении выражения и применяем свойство степени, а затем свойства произведения и частного — в этом порядке.

Пример 12.4.8

Разверните логарифм, переписав его как сумму или разность логарифмов со степенями как множителями.

\[\log\left(\dfrac{1000\sqrt{x}}{y}\right)\nonnumber\]

Раствор

Мы видим частное для значения логарифма, поэтому предвидим, что будем использовать частное свойство логарифмов. {1/2}\), чтобы увидеть, что у \(x\) есть степень, в которой мы должны использовать свойство произведения логарифмов, чтобы уменьшить его как множитель. Таким образом, все произведения записываются в виде сумм, все частные — в виде разностей, а все степени — в виде множителя

.

Эмпирические правила сокращения логарифмов

Когда сокращает логарифмы из одного выражения, обязательно записывайте любое

Правило 1. Умножение логарифма как степень аргумента

Правило 2. Сумма логарифмов как логарифм произведения

Правило 3. Разность логарифмов как логарифм частного

Пример 12.4.9

Запишите \(\log_2 9 + 2 \log_2 x − \log_2 (x − 4)\) в виде единичного логарифма

Раствор

Сразу же мы видим сумму и разность с логарифмами, поэтому мы знаем, что будем использовать свойство частного и произведения логарифмов. Кроме того, нам придется использовать свойство мощности логарифмов. 2\), чтобы увидеть, что есть степень на \(x\), в которой мы должны были использовать свойство произведения логарифмов, чтобы записать \(2\) в качестве показателя степени. Таким образом, все множители записываются в виде степеней, все суммы записываются в виде произведений, а все разности записываются в виде частных.

Примечание

Шотландский математик Джон Нэпьер опубликовал свое открытие логарифмов в 1614 году. Его цель состояла в том, чтобы помочь в умножении величин, которые тогда назывались синусами. Весь синус был величиной стороны прямоугольного треугольника с большой гипотенузой.

Изменение базовой формулы

la Иногда нам нужно иметь возможность переписывать логарифмы в терминах других оснований. Это особенно полезно при счете в разных системах счисления. Например, в компьютерном языке мы считаем в двоичной системе счисления с основанием \(2\). Мы можем использовать изменение базовой формулы для перезаписи чисел в различных системах счисления, и это особенно полезно в информатике. Однако в этом учебнике мы изучаем изменение формулы основания для оснований десятичного и натурального логарифмов, т.е.y =\log M&\text{Применить правило степени логарифмов} \\ y\log a=\log M&\text{Найти} y \\ y=\dfrac{\log M}{\log a}&\ text{Это изменение базовой формулы}\end{массив}\nonumber\]

Изменение базовой формулы

Если \(a\), \(b\), \(M>0\) и \(a\), \(b\neq 1\), то

\[\log_a M=\dfrac{\log M}{\log a}\quad\text{or}\quad \log_a M=\dfrac{\ln M}{\ln a}\nonumber\]

, где log — десятичный логарифм, а ln — натуральный логарифм.Мы можем использовать любую формулу и получить тот же результат.

Пример 12.4.10

Перепишите выражение, используя формулу изменения основания, а затем аппроксимируйте ответ до трех знаков после запятой.

\[\log_2 9\номер\]

Раствор

Мы хотели бы приблизить это значение с помощью калькулятора, но мы не можем легко ввести логарифм по основанию \(2\). Мы должны переписать \(\log_2 9\) так, чтобы мы могли легко ввести его в калькулятор.Здесь пригодится формула изменения базы (COB). Обратите внимание на базу \(a = 2\) и значение \(M = 9\). Используя формулу COB, мы перепишем \(\log_2 9\) как

\[\log_{\color{red}{2}}\color{blue}{9}\color{black}{=}\dfrac{\log\color{blue}{9}}{\log\color {красный}{2}}\номер\]

Напомним, log — это десятичный логарифм, \(\log_{10}\). Подставив \(\dfrac{\log 9}{\log 2}\) в калькулятор, мы аппроксимируем \(3,170\).

Примечание

Мы могли бы легко использовать натуральный логарифм в формуле COB и получить тот же результат.7}\справа)\)

Используйте формулу изменения основания и калькулятор для расчета логарифма. Округлите до четырех знаков после запятой.

Упражнение 12.4.9

\(\log_3 23\)

Упражнение 12.4.10

\(\log_{0.4}20\)

Упражнение 12.4.11

\(\log_{19}57,8\)

Вычислить каждый логарифм.

Упражнение 12.4.12

\(\log_{23}23\)

Упражнение 12.{\log_{247}\sqrt{5}}\)

Упражнение 12.4.15

\(\log_{\dfrac{1}{3}}1\)

правил логарифмов: всесторонний обзор алгебры

Логарифмические функции обладают несколькими важными алгебраическими свойствами. Правила логарифмирования (иногда сокращенно «правила логарифмирования») описывают, как выполнять алгебраические операции с логарифмическими функциями. В этой статье мы познакомим вас с этими правилами, выясним, почему они верны, и рассмотрим несколько примеров их использования.1=б

Поскольку log b x является обратной функцией b x , отражение графика y = b x через линию y = x дает график y = log b x, который показан на изображение ниже:

Источник изображения: Викисклад

Если b > 1, то log b x — возрастающая функция, потому что b x — возрастающая функция.

Наиболее часто используемые значения для базы

Когда мы применяем логарифмы, чаще всего используются значения для основания 10, 2 и константа e , которая приблизительно равна 2.71828. Использование этих логарифмов настолько частое, что они имеют специальные названия.

Десятичный логарифм

Обычно мы называем логарифм с основанием 10 десятичным логарифмом. Обычно логарифмы по основанию 10 записывают просто как log (без основания). Другими словами, если база не отображается, предполагается, что база равна 10:

.

лог х = лог_{10} х

Десятичный логарифм имеет множество применений в науке и технике.

Натуральный логарифм

Логарифм с основанием e называется натуральным логарифмом.Натуральный логарифм обычно обозначается как в . В частности,

ln ,x = log_{e} x , .

Натуральный логарифм часто используется в математике и физике из-за его более простой производной.

Двоичный логарифм

Функцию { lb }(x)=log _{ 2 } x  иногда называют двоичным логарифмом. Двоичные логарифмы менее распространены по сравнению с десятичными и натуральными логарифмами. Обычно они используются в информатике.

Вы можете изучить графики функций двоичного, десятичного и натурального логарифмов на изображении ниже:

Источник изображения: Викисклад

Из этого изображения видно, что функции двоичного, десятичного и натурального логарифмов являются возрастающими функциями.В более общем смысле функция f(x) = log b x является возрастающей функцией, если b > 1, и убывающей функцией, если 0 < b < 1. Мы также можем заметить, что функция log b x расходится к бесконечности. (становится больше любого заданного положительного числа), если x растет до бесконечности и b > 1. Для b < 1 функция log b x также стремится к бесконечности, когда x увеличивается до бесконечности, но имеет отрицательное значение (другими словами , функция расходится к отрицательной бесконечности). 5 = 5

Правило логарифмического произведения

Среди других правил журнала правило логарифмического произведения кажется наиболее важным.{(т+а)} = т + а

Другими словами, логарифм произведения переменных x и y равен сумме логарифма x и логарифма y с одним и тем же основанием. Это отношение может быть выражено как

log_b(xy)=log_bx + log_by

Это правило известно как правило логарифмического произведения. Это позволяет нам разбивать сложные логарифмы на более простые суммы:

log_2 6 = log_2 (2\cdot 3) = log_2 2 + log_2 3 = 1 + log_2 3

лог (10x) = лог 10 + лог х = 1 + лог х

Правило логарифмического отношения

Аналогичным образом мы можем вывести другой важный закон, правило частных.Правило частного гласит, что логарифм частного равен разнице между логарифмом числителя и логарифмом знаменателя:

log_b \dfrac{x}{y}=log_b x — log_b y

Это правило особенно полезно для вычисления логарифмов дробей:

log 0,2 = log \dfrac{2}{10} = log 2 — log 10 = log 2 — 1

log 500 = log \dfrac{1000}{2} = log 1000 — log 2 = 3 — log 2

Логарифм обратного мультипликативного числа

В качестве частного случая правила логарифмирования частного возьмем x = 1 в формуле логарифма частного:

log_b \dfrac{1}{y} = log_b 1 — log_b y = — log_b y

Формула логарифма обратной мультипликативной функции приводит к следующим соотношениям:

п 0. {alog_b x}\right) = alog_b x , .

Если a — натуральное число, мы можем понять правило степени логарифма следующим образом:

Мы можем применить правило степени логарифма всякий раз, когда x и b — положительные числа, b ≠ 1, а a — действительное число. В частности, его можно использовать для дробных показателей. Например:

log \sqrt{10 x} = \dfrac 12 log(10 x) = \dfrac 12 (1+log x)

журнал \sqrt{0.07} = \dfrac 12 log 0,07 = \dfrac 12 log \dfrac{7}{100} = \dfrac 12 log 7 — 1

Изменение основания логарифмов

Во многих случаях нам нужно знать значение логарифма с произвольным основанием. Например, в информатике обычно используются основания 2, 8, 16, тогда как большинство калькуляторов могут вычислять только десятичные и натуральные логарифмы. Мы можем решить эту проблему, применив правило изменения основания логарифма.

Если a , b и y — положительные числа, причем a ≠ 1 и b ≠ 1, мы можем вывести правило изменения основания логарифмов. {log_а у},

Сравнивая последние два выражения, мы приходим к правилу изменения основания логарифма:

log_b y = \dfrac{log_a y}{log_a b} ,

Частный случай этой формулы, подходящий для использования с калькуляторами, состоит в том, чтобы взять a = 10 или a = e , таким образом преобразовав в десятый или натуральный логарифм следующим образом:

log_b y = \dfrac{log y}{log b} = \dfrac{ln y}{ln b} ,

Примечательно, что не имеет значения, какую стандартную базу мы используем для вычисления log b y, если одна и та же база применяется как для числителя, так и для знаменателя.х}{пер 2} = \dfrac{х}{пер 2}

log_{16} 8 = \dfrac{log_2 8}{log_2 16} = \dfrac{3}{4}

Завершение всего

В этой статье мы изучили различные правила обработки и упрощения выражений с помощью логарифмов. Правила журнала можно использовать для упрощения выражений, расширения выражений или поиска значений в зависимости от поставленной задачи. Мы надеемся, что этот обзор будет полезен для вас при изучении алгебры.

Давайте применим все на практике.Попробуйте этот практический вопрос по алгебре: .

Ищете больше упражнений по алгебре?

На Albert.io можно найти тысячи практических вопросов. Albert.io позволяет вам настраивать учебный процесс так, чтобы он ориентировался на практику, в которой вам больше всего нужна помощь. Мы дадим вам сложные практические вопросы, которые помогут вам достичь мастерства в алгебре.

Вы учитель или администратор, заинтересованный в повышении успеваемости учащихся по алгебре?

Узнайте больше о наших школьных лицензиях здесь .

правил логарифмирования. Правила логарифмирования и примеры | by studypivot

Правила логарифмирования

В этой статье вы получите полную информацию и примеры различных правил логарифмирования и правил экспоненты, а также связь между логарифмом и экспонентой.

Важно понять связь между показателем степени и логарифмом, чтобы полностью понять логарифмы и их правила и применять их к различным вопросам и примерам.

Мы начнем с самых простых логарифмических и экспоненциальных правил и расширим их до примеров высокого уровня.Существует также связь между натуральным логарифмом и десятичным логарифмом. Наконец, вы также можете скачать правила логарифмирования в формате pdf, примеры и рабочий лист, связанный с логарифмическими и экспоненциальными правилами, и pdf.

«Логарифм данного числа по данному основанию — это показатель степени, в которую необходимо возвести основание, чтобы оно равнялось данному числу».

Если а > 0 и а ≠ 1, то логарифм положительного числа N определяется как показатель степени x той степени числа «а», которая равна N.Эти правила также известны как основные правила логарифмирования или правила журнала.

Основные правила логарифмирования

См. следующую таблицу для сравнения экспоненциальных правил и правил логарифмирования и запомните ее, чтобы вам было удобно использовать дальнейшие логарифмические и экспоненциальные правила.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск