Правила смежные и вертикальные углы: Вертикальные и смежные углы равны. Смежные и вертикальные углы

Содержание

Вертикальные и смежные углы равны. Смежные и вертикальные углы

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. На рисунке 20 углы АОВ и ВОС смежные.

Сумма смежных углов равна 180°

Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180°.

Доказательство. Луч ОВ (см. рис.1) проходит между сторонами развернутого угла. Поэтому ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180° .

Из теоремы 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.

Вертикальные углы равны

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и АОС, образованные при пересечении двух прямых, являются вертикальными (рис. 2).

Теорема 2. Вертикальные углы равны.

Доказательство. Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD (см. рис. 2). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ и COD. По теореме 1 ∠ АОВ + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Отсюда заключаем, что ∠ АОВ = ∠ COD.

Следствие 1. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD (рис.3). Они образуют четыре угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис.3), то остальные углы также прямые (углы 1 и 2, 1 и 4 — смежные, углы 1 и 3 — вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.

АН — перпендикуляр к прямой

Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на ней (рис.4). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.

Чертежный угольник

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Из всякой точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертежный угольник (рис.5).

Замечание. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Например, условие теоремы 2 — углы вертикальные; заключение — эти углы равны.

Всякую теорему можно подробно выразить словами так, что ее условие будет начинаться словом «если», а заключение — словом «то». Например, теорему 2 можно подробно высказать так: «Если два угла вертикальные, то они равны».

Пример 1.

Один из смежных углов равен 44°. Чему равен другой?

Решение. Обозначим градусную меру другого угла через x , тогда согласно теореме 1.
44° + х = 180°.
Решая полученное уравнение, находим, что х = 136°. Следовательно, другой угол равен 136°.

Пример 2. Пусть на рисунке 21 угол COD равен 45°. Чему равны углы АОВ и АОС?

Решение. Углы COD и АОВ вертикальные, следовательно, по теореме 1.2 они равны, т. е. ∠ АОВ = 45°. Угол АОС смежный с углом COD, значит, по теореме 1.
∠ АОС = 180° — ∠ COD = 180° — 45° = 135°.

Пример 3. Найти смежные углы, если один из них в 3 раза больше другого.

Решение. Обозначим градусную меру меньшего угла через х. Тогда градусная мера большего угла будет Зх. Так как сумма смежных углов равна 180° (теорема 1), то х + Зх = 180°, откуда х = 45°.
Значит, смежные углы равны 45° и 135°.

Пример 4. Сумма двух вертикальных углов равна 100°. Найти величину каждого из четырех углов.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 2. Вертикальные углы COD к АОВ равны (теорема 2), значит, равны и их градусные меры. Поэтому ∠ COD = ∠ АОВ = 50° (их сумма по условию 100°). Угол BOD (также и угол АОС) смежный с углом COD, и, значит, по теореме 1
∠ BOD = ∠ АОС = 180° — 50° = 130°.

Смежные углы – два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой.

Сумма смежных углов равна 180°

Вертикальные углы — это два угла, у которых стороны одного угла являются продолжение сторон другого.

Вертикальные углы равны.

2. Признаки равенства треугольников:

I признак : Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

II признак : Если стороны и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

III признак : Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

3. Признаки параллельности двух прямых: односторонние углы, накрест лежащие и соответственные:

Две прямые на плоскости называются параллельными , если они не пересекаются.

Накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;

Односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6; рис. Стр55

Соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7;

Теорема : Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Теорема : Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Теорема : Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Теорема : если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны

Теорема : если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны

Теорема : если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°

4. Сумма углов треугольника:

Сумма углов треугольника равна 180°

5. Свойства равнобедренного треугольника:

Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Теорема: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, являетсямедианой и высотой (медиана наоборот), (биссектриса делит угол пополам, медиана делит сторону пополам, высота образует угол 90°)

Признак: Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

6. Прямоугольный треугольник:

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90 градусов)

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета

1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°

2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы

3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°

7.

Сумма углов четырёхугольника равна 2 π = 360°.

Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, сумма противоположных углов равна 180°

10. Признаки подобия треугольников:

I признак : если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны

II признак : если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

III признак : если три стороны одного треугольника порциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны

11. Формулы:

· Теорема Пифагора: a 2 +b 2 =c 2

· Теорема sin:

· Теорема cos:

· 3 формулы площади треугольника:

· Площадь прямоугольного треугольника: S= S=

· Площадь равностороннего треугольника:

· Площадь параллелограмма: S = ah

· Площадь квадрата: S = a2

· Площадь трапеции:

· Площадь ромба:

· Площадь прямоугольника: S=ab

· Равносторонний треугольник. Высота: h=

· Тригонометрическая единица: sin 2 a+cos 2 a=1

· Средняя линия треугольника: S=

· Средняя линия трапеции : МК=

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-12

Равна двум прямым углам.

Даны два смежных угла : АОВ и ВОС . Требуется доказать, что:

∠АОВ+∠ВОС= d+ d = 2d

Восставим из точки О к прямой АС перпендикуляр OD . Мы разделили угол АОВ на две части AOD и DOB так, что можно написать:

∠AO B = AO D+∠ D OB

Прибавим к обеим частям этого равенства по одному и тому же углу

BOС , отчего равенство не нарушится:

AO B + BO С = ∠ AOD + D OB + BO С

Так как сумма D OB + BOС составляет прямой угол DO С , то

AO B+ BO С = AO D + DO С = d + d = 2 d,

что и требовалось доказать.

Следствия .

1. Сумма углов (AO B, BOС , СOD , DOE ), расположенных вокруг общей вершины (O ) по одну сторону прямой (AE ) равна 2 d = 180 0 , потому что эта сумма составляет сумму двух

смежных углов , например таких: АОС + СОЕ

2. Сумма углов , расположенных вокруг общей вершины (O ) по обе стороны какой-нибудь прямой равна 4 d=360 0 ,

Обратная теорема.

Если сумма двух углов , имеющих общую вершину и общую сторону и не покрывающих друг друга, равна двум прямым углам (2d), то такие углы — смежные , т.е. две другие их стороны составляют прямую линию .

Если из одной точки (O) прямой (AB) восстановить к ней, по каждую ее сторону, перпендикуляры, то эти перпендикуляры образуют одну прямую (СD). Из всякой точки вне прямой можно опустить на эту прямую перпендикуляр и притом только один. С D .

Два угла называются вертикальными , если стороны одного составляют продолжение сторон другого.

Так, при пересечении двух прямых AB и С D образуются две пары вертикальных углов: AO D и СOB ; AOС и D OB .

Теорема.

Два вертикальных угла равны.

Пусть даны два вертикальных угла: AOD и С OB т.е. OB есть продолжение OA , а O С продолжение OD .

Требуется доказать, что AOD = С OB.

По свойству смежных углов можем написать:

AO D + D OB = 2 d

DOB + BOС = 2d

Значит: AOD + DOB = DOB + BOС.

Если вычесть из обеих частей этого равенства по углу D OB , получим:

AO D = BOС , что и требовалось доказать.

Аналогично докажем, что AOС = D OB .

Геометрия — это весьма многогранная наука. Она развивает логику, воображение и интеллект. Конечно, из-за своей сложности и огромного количества теорем и аксиом, она не всегда нравится школьникам. Кроме этого, существует необходимость постоянно доказывать свои выводы, используя общепринятые стандарты и правила.

Смежные и вертикальные углы — это неотъемлемая составляющая геометрии. Наверняка многие школьники просто обожают их по той причине, что их свойства понятны и просты в доказательстве.

Образование углов

Любой угол образуется путем пересечения двух прямых или проведения двух лучей из одной точки. Они могут называться либо одной буквой, либо тремя, которые последовательно обозначают точки построения угла.

Углы измеряются в градусах и могут (в зависимости от их значения) по-разному называться. Так, существует прямой угол, острый, тупой и развернутый. Каждому из названий соответствует определенная градусная мера или ее промежуток.

Острым называется угол, мера которого не превышает 90 градусов.

Тупым является угол, превышающий 90 градусов.

Угол называется прямым в том случае, когда его градусная мера равна 90.

В том случае, когда он образован одной сплошной прямой, и его градусная мера равна 180, его называют развернутым.

Углы, имеющие общую сторону, вторая сторона которых продолжает друг друга, называются смежными. Они могут быть как острыми, так и тупыми. Пересечение линией образует смежные углы. Свойства их следующие:

  1. Сумма таких углов будет равна 180 градусам (существует теорема, доказывающая это). Поэтому можно легко вычислить один из них, если известен другой.
  2. Из первого пункта следует, что смежные углы не могут быть образованы двумя тупыми или двумя острыми углами.

Благодаря этим свойствам, можно всегда вычислить градусную меру угла, имея значение другого угла или, по крайней мере, отношение между ними.

Вертикальные углы

Углы, стороны которых являются продолжением друг друга, называются вертикальными. В качестве такой пары могут выступать любые их разновидности. Вертикальные углы всегда равны между собой.

Они образуются при пересечении прямых. Совместно с ними всегда присутствуют и смежные углы. Угол может быть одновременно смежным для одного и вертикальным для другого.

При пересечении произвольной линией также рассматривают еще несколько видов углов. Такая линия называется секущей, она и образует соответственные, односторонние и накрест лежащие углы. Они равны между собой. Их можно рассматривать в свете свойств, которые имеют вертикальные и смежные углы.

Таким образом, тема углов представляется довольно простой и понятной. Все их свойства легко запомнить и доказать. Решение задач не представляется сложным до тех пор, пока углам соответствует числовое значение. Уже дальше, когда начнется изучение sin и cos, придется запоминать множество сложных формул, их выводов и следствий. А до того времени можно просто наслаждаться легкими задачками, в которых необходимо найти смежные углы.

На данном уроке мы рассмотрим и уясним для себя понятие смежные углы. Рассмотрим теорему, которая их касается. Введем понятие «вертикальные углы». Рассмотрим опорные факты, касающиеся этих углов. Далее сформулируем и докажем два следствия об угле между биссектрисами вертикальных углов. В конце занятия рассмотрим несколько задач, посвященных этой теме.

Начнем наш урок с понятия «смежные углы». На рисунке 1 изображен развернутый угол ∠АОС и луч ОВ, который делит данный угол на 2 угла.

Рис. 1. Угол ∠АОС

Рассмотрим углы ∠АОВ и ∠ВОС. Вполне очевидно, что они имеют общую сторону ВО, а стороны АО и ОС являются противолежащими. Лучи ОА и ОС дополняют друг друга, а значит, они лежат на одной прямой. Углы ∠АОВ и ∠ВОС являются смежными.

Определение: Если два угла имеют общую сторону, а две другие стороны являются дополняющими лучами, то данные углы называются смежными .

Теорема 1: Сумма смежных углов — 180 о.

Рис. 2. Чертеж к теореме 1

∠МОL + ∠LON = 180 o . Данное утверждение является верным, так как луч OL делит развернутый угол ∠MON на два смежных угла. То есть мы не знаем градусных мер ни одного из смежных углов, а знаем лишь их сумму — 180 о.

Рассмотрим пересечение двух прямых. На рисунке изображено пересечение двух прямых в точке О.

Рис. 3. Вертикальные углы ∠ВОА и ∠СОD

Определение: Если стороны одного угла являются продолжением второго угла, то такие углы называются вертикальными. Именно поэтому на рисунке изображено две пары вертикальных углов: ∠АОВ и ∠СОD, а также ∠AOD и ∠ВОС.

Теорема 2: Вертикальные углы равны.

Используем рисунок 3. Рассмотрим развернутый угол ∠АОС. ∠АОВ = ∠АОС — ∠ВОС = 180 о — β. Рассмотрим развернутый угол ∠ВОD. ∠CОD = ∠BОD — ∠BОС = 180 о — β.

Из этих соображений мы делаем вывод, что ∠АОВ = ∠СОD = α. Аналогично, ∠AOD = ∠ВОС = β.

Следствие 1: Угол между биссектрисами смежных углов равен 90 о.

Рис. 4. Чертеж к следствию 1

Поскольку ОL — биссектриса угла ∠ВОА, то угол ∠LOB = , аналогично ∠ВОК = . ∠LOK = ∠LOB + ∠BOK = + = . Сумма углов α + β равна 180 о, поскольку данные углы — смежные.

Следствие 2: Угол между биссектрисами вертикальных углов равен 180 о.

Рис. 5. Чертеж к следствию 2

KO — биссектриса ∠AOB, LO — биссектриса ∠COD. Очевидно, что ∠KOL = ∠KOB + ∠BOC + ∠COL = o . Сумма углов α + β равна 180 о, так как данные углы — смежные.

Рассмотрим некоторые задачи:

Найдите угол, смежный с ∠АOС, если ∠АOС = 111 о.

Выполним чертеж к задаче:

Рис. 6. Чертеж к примеру 1

Поскольку ∠АОС = β и ∠СOD = α смежные углы, то α + β = 180 о. То есть 111 о + β = 180 о.

Значит, β = 69 о.

Этот тип задач эксплуатирует теорему о сумме смежных углов.

Один из смежных углов прямой, каким (острым, тупым или прямым) является другой угол?

Если один из углов прямой, а сумма двух углов 180 о, то и другой угол тоже прямой. Эта задача проверяет знания о сумме смежных углов.

Верно ли, что если смежные углы равны, то они прямые?

Составим уравнение: α + β = 180 о, но поскольку α = β, то β + β = 180 о, значит, β = 90 о.

Ответ: Да, утверждение верно.

Даны два равных угла. Верно ли, что и смежные им углы тоже будут равны?

Рис. 7. Чертеж к примеру 4

Если два угла равны α, то соответствующие им смежные углы будут 180 о — α. То есть они будут равны между собой.

Ответ: Утверждение верно.

  1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. — М.: Просвещение.
  2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. — М.: Просвещение.
  3. \Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под редакцией В.А. Садовничего. — М.: Просвещение, 2010.
  1. Измерение отрезков ().
  2. Обобщающий урок по геометрии в 7-м классе ().
  3. Прямая линия, отрезок ().
  1. № 13, 14. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под редакцией В.А. Садовничего. — М.: Просвещение, 2010.
  2. Найдите два смежных угла, если один из них в 4 раза больше другого.
  3. Дан угол. Постройте для него смежный и вертикальный углы. Сколько таких углов можно построить?
  4. * В каком случае получается больше пар вертикальных углов: при пересечении трех прямых в одной точке или в трех точках?

Вертикальные и смежные углы. Угол. Свойства смежных и вертикальных углов

Можно провести только одну прямую.

1.Ученик, отвечая на вопросы учителя, дал соответствующие ответы. Проверьте, верны ли они, пометив в третьем столбике словом «ДА», «НЕТ», «НЕ ЗНАЮ». В случает «НЕТ» запишите там же верный ответ или добавьте недостающее.

Д)

Нет. Они вертикальные

Е) Какие прямые называются перпендикулярными?

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом

Ж) Начертите вертикальные углы так, чтобы их стороны были перпендикулярными прямыми.

2. Назовите вертикальные углы на данном рисунке.

Итого:10 баллов

«5»-10баллов;

«4»-8-9 баллов;

«3»-5-7 баллов.

Проверочная работа №2.

Реши на выбор любой вариант

Вариант I

    Найдите смежные углы, если их разность и их сумма относятся как 2:9. (4б)

    Найдите все неразвернутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если один из них на 240°, меньше суммы двух других.(6б)

Вариант II

1) Найдите смежные углы, если их разность и их сумма относятся как 5:8(4б)

2) Найдите все неразвернутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если один из них на 60°, больше суммы двух других.(6б)

Итого:10 баллов

«5»-10баллов;

«4»-8-9 баллов;

«3»-5-7 баллов.

Геометрия — это весьма многогранная наука. Она развивает логику, воображение и интеллект. Конечно, из-за своей сложности и огромного количества теорем и аксиом, она не всегда нравится школьникам. Кроме этого, существует необходимость постоянно доказывать свои выводы, используя общепринятые стандарты и правила.

Смежные и вертикальные углы — это неотъемлемая составляющая геометрии. Наверняка многие школьники просто обожают их по той причине, что их свойства понятны и просты в доказательстве.

Образование углов

Любой угол образуется путем пересечения двух прямых или проведения двух лучей из одной точки. Они могут называться либо одной буквой, либо тремя, которые последовательно обозначают точки построения угла.

Углы измеряются в градусах и могут (в зависимости от их значения) по-разному называться. Так, существует прямой угол, острый, тупой и развернутый. Каждому из названий соответствует определенная градусная мера или ее промежуток.

Острым называется угол, мера которого не превышает 90 градусов.

Тупым является угол, превышающий 90 градусов.

Угол называется прямым в том случае, когда его градусная мера равна 90.

В том случае, когда он образован одной сплошной прямой, и его градусная мера равна 180, его называют развернутым.

Углы, имеющие общую сторону, вторая сторона которых продолжает друг друга, называются смежными. Они могут быть как острыми, так и тупыми. Пересечение линией образует смежные углы. Свойства их следующие:

  1. Сумма таких углов будет равна 180 градусам (существует теорема, доказывающая это). Поэтому можно легко вычислить один из них, если известен другой.
  2. Из первого пункта следует, что смежные углы не могут быть образованы двумя тупыми или двумя острыми углами.

Благодаря этим свойствам, можно всегда вычислить градусную меру угла, имея значение другого угла или, по крайней мере, отношение между ними.

Вертикальные углы

Углы, стороны которых являются продолжением друг друга, называются вертикальными. В качестве такой пары могут выступать любые их разновидности. Вертикальные углы всегда равны между собой.

Они образуются при пересечении прямых. Совместно с ними всегда присутствуют и смежные углы. Угол может быть одновременно смежным для одного и вертикальным для другого.

При пересечении произвольной линией также рассматривают еще несколько видов углов. Такая линия называется секущей, она и образует соответственные, односторонние и накрест лежащие углы. Они равны между собой. Их можно рассматривать в свете свойств, которые имеют вертикальные и смежные углы.

Таким образом, тема углов представляется довольно простой и понятной. Все их свойства легко запомнить и доказать. Решение задач не представляется сложным до тех пор, пока углам соответствует числовое значение. Уже дальше, когда начнется изучение sin и cos, придется запоминать множество сложных формул, их выводов и следствий. А до того времени можно просто наслаждаться легкими задачками, в которых необходимо найти смежные углы.

Равна двум прямым углам.

Даны два смежных угла : АОВ и ВОС . Требуется доказать, что:

∠АОВ+∠ВОС= d+ d = 2d

Восставим из точки О к прямой АС перпендикуляр OD . Мы разделили угол АОВ на две части AOD и DOB так, что можно написать:

∠AO B = AO D+∠ D OB

Прибавим к обеим частям этого равенства по одному и тому же углу BOС , отчего равенство не нарушится:

AO B + BO С = ∠ AOD + D OB + BO С

Так как сумма D OB + BOС составляет прямой угол DO С , то

AO B+ BO С = AO D + DO С = d + d = 2 d,

что и требовалось доказать.

Следствия .

1. Сумма углов (AO B, BOС , СOD , DOE ), расположенных вокруг общей вершины (O ) по одну сторону прямой (AE ) равна 2 d = 180 0 , потому что эта сумма составляет сумму двух смежных углов , например таких: АОС + СОЕ

2. Сумма углов , расположенных вокруг общей вершины (O ) по обе стороны какой-нибудь прямой равна 4 d=360 0 ,

Обратная теорема.

Если сумма двух углов , имеющих общую вершину и общую сторону и не покрывающих друг друга, равна двум прямым углам (2d), то такие углы — смежные , т.е. две другие их стороны составляют прямую линию .

Если из одной точки (O) прямой (AB) восстановить к ней, по каждую ее сторону, перпендикуляры, то эти перпендикуляры образуют одну прямую (СD). Из всякой точки вне прямой можно опустить на эту прямую перпендикуляр и притом только один. С D .

Два угла называются вертикальными , если стороны одного составляют продолжение сторон другого.

Так, при пересечении двух прямых AB и С D образуются две пары вертикальных углов: AO D и СOB ; AOС и D OB .

Теорема.

Два вертикальных угла равны.

Пусть даны два вертикальных угла: AOD и С OB т.е. OB есть продолжение OA , а O С продолжение OD .

Требуется доказать, что AOD = С OB.

По свойству смежных углов можем написать:

AO D + D OB = 2 d

DOB + BOС = 2d

Значит: AOD + DOB = DOB + BOС.

Если вычесть из обеих частей этого равенства по углу D OB , получим:

AO D = BOС , что и требовалось доказать.

Аналогично докажем, что AOС = D OB .

На данном уроке мы рассмотрим и уясним для себя понятие смежные углы. Рассмотрим теорему, которая их касается. Введем понятие «вертикальные углы». Рассмотрим опорные факты, касающиеся этих углов. Далее сформулируем и докажем два следствия об угле между биссектрисами вертикальных углов. В конце занятия рассмотрим несколько задач, посвященных этой теме.

Начнем наш урок с понятия «смежные углы». На рисунке 1 изображен развернутый угол ∠АОС и луч ОВ, который делит данный угол на 2 угла.

Рис. 1. Угол ∠АОС

Рассмотрим углы ∠АОВ и ∠ВОС. Вполне очевидно, что они имеют общую сторону ВО, а стороны АО и ОС являются противолежащими. Лучи ОА и ОС дополняют друг друга, а значит, они лежат на одной прямой. Углы ∠АОВ и ∠ВОС являются смежными.

Определение: Если два угла имеют общую сторону, а две другие стороны являются дополняющими лучами, то данные углы называются смежными .

Теорема 1: Сумма смежных углов — 180 о.

Рис. 2. Чертеж к теореме 1

∠МОL + ∠LON = 180 o . Данное утверждение является верным, так как луч OL делит развернутый угол ∠MON на два смежных угла. То есть мы не знаем градусных мер ни одного из смежных углов, а знаем лишь их сумму — 180 о.

Рассмотрим пересечение двух прямых. На рисунке изображено пересечение двух прямых в точке О.

Рис. 3. Вертикальные углы ∠ВОА и ∠СОD

Определение: Если стороны одного угла являются продолжением второго угла, то такие углы называются вертикальными. Именно поэтому на рисунке изображено две пары вертикальных углов: ∠АОВ и ∠СОD, а также ∠AOD и ∠ВОС.

Теорема 2: Вертикальные углы равны.

Используем рисунок 3. Рассмотрим развернутый угол ∠АОС. ∠АОВ = ∠АОС — ∠ВОС = 180 о — β. Рассмотрим развернутый угол ∠ВОD. ∠CОD = ∠BОD — ∠BОС = 180 о — β.

Из этих соображений мы делаем вывод, что ∠АОВ = ∠СОD = α. Аналогично, ∠AOD = ∠ВОС = β.

Следствие 1: Угол между биссектрисами смежных углов равен 90 о.

Рис. 4. Чертеж к следствию 1

Поскольку ОL — биссектриса угла ∠ВОА, то угол ∠LOB = , аналогично ∠ВОК = . ∠LOK = ∠LOB + ∠BOK = + = . Сумма углов α + β равна 180 о, поскольку данные углы — смежные.

Следствие 2: Угол между биссектрисами вертикальных углов равен 180 о.

Рис. 5. Чертеж к следствию 2

KO — биссектриса ∠AOB, LO — биссектриса ∠COD. Очевидно, что ∠KOL = ∠KOB + ∠BOC + ∠COL = o . Сумма углов α + β равна 180 о, так как данные углы — смежные.

Рассмотрим некоторые задачи:

Найдите угол, смежный с ∠АOС, если ∠АOС = 111 о.

Выполним чертеж к задаче:

Рис. 6. Чертеж к примеру 1

Поскольку ∠АОС = β и ∠СOD = α смежные углы, то α + β = 180 о. То есть 111 о + β = 180 о.

Значит, β = 69 о.

Этот тип задач эксплуатирует теорему о сумме смежных углов.

Один из смежных углов прямой, каким (острым, тупым или прямым) является другой угол?

Если один из углов прямой, а сумма двух углов 180 о, то и другой угол тоже прямой. Эта задача проверяет знания о сумме смежных углов.

Верно ли, что если смежные углы равны, то они прямые?

Составим уравнение: α + β = 180 о, но поскольку α = β, то β + β = 180 о, значит, β = 90 о.

Ответ: Да, утверждение верно.

Даны два равных угла. Верно ли, что и смежные им углы тоже будут равны?

Рис. 7. Чертеж к примеру 4

Если два угла равны α, то соответствующие им смежные углы будут 180 о — α. То есть они будут равны между собой.

Ответ: Утверждение верно.

  1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. — М.: Просвещение.
  2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. — М.: Просвещение.
  3. \Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под редакцией В.А. Садовничего. — М.: Просвещение, 2010.
  1. Измерение отрезков ().
  2. Обобщающий урок по геометрии в 7-м классе ().
  3. Прямая линия, отрезок ().
  1. № 13, 14. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под редакцией В.А. Садовничего. — М.: Просвещение, 2010.
  2. Найдите два смежных угла, если один из них в 4 раза больше другого.
  3. Дан угол. Постройте для него смежный и вертикальный углы. Сколько таких углов можно построить?
  4. * В каком случае получается больше пар вертикальных углов: при пересечении трех прямых в одной точке или в трех точках?

Г Л А В А I.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

§11. СМЕЖНЫЕ И ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ.

1. Смежные углы.

Если мы продолжим сторону какого-нибудь угла за его вершину, то получим два угла (черт. 72): / А ВС и / СВD, у которых одна сторона ВС общая, а две другие АВи ВD составляют прямую линию.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие составляют прямую линию, называются смежными углами.

Смежные углы можно получить и таким образом: если из какой-нибудь точки прямой проведём луч (не лежащий на данной прямой), то получим смежные углы.
Например, / АDF и / FDВ — углы смежные (черт. 73).

Смежные углы могут иметь самые разнообразные положения (черт. 74).

Смежные углы в сумме составляют развёрнутый угол, поэтому сумма двух смежных углов равна 2d.

Отсюда прямой угол можно определить как угол, равный своему смежному углу.

Зная величину одного из смежных углов, мы можем найти величину другого смежного с ним угла.

Например, если один из смежных углов равен 3 / 5 d , то второй угол будет равен:

2d — 3 / 5 d = l 2 / 5 d .

2. Вертикальные углы.

Если мы продолжим стороны угла за его вершину, то получим вертикальные углы. На чертеже 75 углы EOF и АОС- вертикальные; углы АОЕ и СОF — также вертикальные.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.

Пусть / 1 = 7 / 8 d (черт. 76). Смежный с ним / 2 будет равен 2d — 7 / 8 d , т. е. 1 1 / 8 d .

Таким же образом можно вычислить, чему равны / 3 и / 4.
/ 3 = 2d — 1 1 / 8 d = 7 / 8 d ; / 4 = 2d — 7 / 8 d = 1 1 / 8 d (черт. 77).

Мы видим, что / 1 = / 3 и / 2 = / 4.

Можно решить ещё несколько таких же задач, и каждый раз будет получаться один и тот же результат: вертикальные углы равны между собой.

Однако, чтобы убедиться в том, что вертикальные углы всегда равны между собой, недостаточно рассмотреть отдельные числовые примеры, так как выводы, сделанные на основе частных примеров, иногда могут быть и ошибочными.

Убедиться в справедливости свойства вертикальных углов необходимо путём рассуждения, путём доказательства.

Доказательство можно провести следующим образом (черт. 78):

/ a + / c = 2d ;
/ b + / c = 2d ;

(так как сумма смежных углов равна 2d ).

/ a + / c = / b + / c

(так как и левая часть этого равенства равна 2d , и правая его часть тоже равна 2d ).

В это равенство входит один и тот же угол с .

Если мы от равных величин отнимем поровну, то и останется поровну. В результате получится: / a = / b , т. е. вертикальные углы равны между собой.

При рассмотрении вопроса о вертикальных углах мы сначала объяснили, какие углы называются вертикальными, т. е. дали определение вертикальных углов.

Затем мы высказали суждение (утверждение) о равенстве вертикальных углов и в справедливости этого суждения убедились путём доказательства. Такие суждения, справедливость которых надо доказывать, называются теоремами . Таким образом, в данном параграфе мы дали определение вертикальных углов, а также высказали и доказали теорему об их свойстве.

В дальнейшем при изучении геометрии нам постоянно придётся встречаться с определениями и доказательствами теорем.

3. Сумма углов, имеющих общую вершину.

На чертеже 79 / 1, / 2, / 3 и / 4 расположены по одну сторону прямой и имеют общую вершину на этой прямой. В сумме эти углы составляют развёрнутый угол, т. е.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d .

На чертеже 80 / 1, / 2, / 3, / 4 и / 5 имеют общую вершину. В сумме эти углы составляют полный угол, т. е. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d .

Упражнения.

1. Один из смежных углов равен 0,72 d. Вычислить угол, составленный биссектрисами этих смежных углов.

2. Доказать, что биссектрисы двух смежных углов образуют прямой угол.

3. Доказать, что если два угла равны, то равны и их смежные углы.

4. Сколько пар смежных углов на чертеже 81?

5. Может ли пара смежных углов состоять из двух острых углов? из двух тупых углов? из прямого и тупого угла? из прямого и острого угла?

6. Если один из смежных углов прямой, то что можно сказать о величине смежного с ним угла?

7. Если при пересечении двух прямых линий один угол прямой, то что можно сказать о величине остальных трёх углов?

Репетитор по математике в работе со смежными и вертикальными углами

Если отбросить отдельные мелкие темы, не влияющие на общее построение теории, то курсы геометрии в 7 классе по учебнику Погорелова и и по учебнику Атанасяна будут мало чем друг от друга отличаться. На первых уроках репетитор по математике не часто испытывает какие-либо проблемы с преподнесением материала, ибо изучаются очень простые и знакомые объекты: отрезок, луч, угол. Первые занятия больше напоминают уроки рисования и поэтому даются детям сравнительно легко. (по любому учебнику). Что-то более содержательное начинается с темы «смежные и вертикальные углы». О ней и поговорим.

Если ребенок приходит к репетитору математики с уже сформированным представлением об углах и отрезках, то введение в планиметрию можно сократить до разъяснения правил обозначений и смело двигаться дальше. Однако перед тем как начать новую тему репетитору необходимо убедиться в том, что ребенок знает свойство (аксиому) измерения углов. Она звучит следующим образом: если провести луч между сторонами угла, то его градусная мера будет равна сумме градусных мер его частей. Именно этот факт используется репетитором по математике для доказательства теоремы о смежных углах, поэтому нужно обратить на него внимание ученика.

Смежные и вертикальные углы не является сложной для преподавания темой. Смысловая нагрузка минимальная, теоремы простые, а в некоторых случаях (при работе с сильным учеником) изучаемые объекты (смежные углы) и вовсе могут быть представлены без какого-либо формального определения (как части развернутого угла). Репетитор по математике сразу же закрепляет новые понятия через содержательные задачи. Но такой подход удается реализовать не часто. Обычно требуется некая подготовительная процедура, о которой пойдет речь ниже.

Записывает ли репетитор по математике определения углов?

Да, я предпочитаю продиктовать их для теоретической тетради. Почему? Во-первых, новую терминологию надо зафиксировать, во-вторых, репетитор по математике с помощью записей показывает ребенку не только важность самого понятия «смежные углы», но и определения как такового. Ученик постепенно привыкает, что перед использованием нового объекта его сначала нужно описать и дать ему название. Акценты в формулировках должны быть расставлены репетитором по математике в письменном виде. Я подчеркиваю красными чернилами две главные фразы в тексте для смежных углов: «общая сторона» и «дополнительные лучи».

Отработка определения
В работе со слабым учеником репетитору по математике необходимо заняться углами на отдельных чертежах. Сначала на простых, а затем на сложных. Цель – научить ребенка выявлять углы различных комбинациях линий. Репетитор по матемаик предлагает рисунки, на которых не будут выполняться какие-нибудь пункты определения.

Задания репетитора по математике

Приведем примеры наиболее интересных и полезных с точки зрения методики задач. Часть из них авторские.

1) Являются ли углы, изображенные на рисунке смежными? Если не являются то почему? Какое условие в определении не выполняется?

2) Для того, чтобы репетитору по математике научить ребенка распознавать смежные углы в разных положениях, необходима тренироваться в умении видеть. Подготовка заданий с различными отклонениями дополнительных лучей от горизонтального вида:

3) Очень важно для репетитора научить ребенка распознавать углы на комбинированном рисунке, когда проведено множество линий.

Укажите все пары смежных углов на рисунке:

4) Укажите все пары вертикальных углов на рисунке:

5) Классические номера:
а) Один из смежных углов на 30 град больше другого. Найдите эти углы.
б) Один из межных углов в 2 раза меньше другого. Найдит больший угол
в) Один из углов составляет другого угла. Найдите меньший из них.

Задания репетитора по математике для среднего ученика

Среднему ученику будет откровенно скучно заниматься по такой программе. Для него я даю задания посложнее, например:

Если луч OB повернуть на так, как показано на рисунке 2, то получится на больше угла . Найдите углы АОВ и СОВ на рисунке1.

Конечно, можно было бы обойтись и одним рисунком. При помощи 20 и 40 градусов, все углы выражаются через одну переменную и составляется стандартное уравнение. Но я намеренно усложняю условие для дополнительного увеличения смысловой нагрузки на задачу. Кроме того, вращение позволяет репетитору по математике сформировать представление у семиклассника о сохранении объекта при любом расположении луча. Это можно затронуть при обсуждении условия задачи.

Задания репетитора по математике для сильного ученика

1) Из вершины О развернутого углы АОС проведены лучи ОВ и ОN так, что . Найдите

2) Из вершины О развернутого углы АОС проведены лучи ОВ и ОN так, что угол градусная мера угла COB составляет 40% градусной меры угла CON, а угол BON составляет угла AOB. Найдите углы COB, BON и AON.

Александр Николаевич, репетитор по математике — 7 класс

Смежные и вертикальные углы 1 уровень. Угол. Свойства смежных и вертикальных углов

Г Л А В А I.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

§11. СМЕЖНЫЕ И ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ.

1. Смежные углы.

Если мы продолжим сторону какого-нибудь угла за его вершину, то получим два угла (черт. 72): / А ВС и / СВD, у которых одна сторона ВС общая, а две другие АВи ВD составляют прямую линию.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие составляют прямую линию, называются смежными углами.

Смежные углы можно получить и таким образом: если из какой-нибудь точки прямой проведём луч (не лежащий на данной прямой), то получим смежные углы.
Например, / АDF и / FDВ — углы смежные (черт. 73).

Смежные углы могут иметь самые разнообразные положения (черт. 74).

Смежные углы в сумме составляют развёрнутый угол, поэтому сумма двух смежных углов равна 2d.

Отсюда прямой угол можно определить как угол, равный своему смежному углу.

Зная величину одного из смежных углов, мы можем найти величину другого смежного с ним угла.

Например, если один из смежных углов равен 3 / 5 d , то второй угол будет равен:

2d — 3 / 5 d = l 2 / 5 d .

2. Вертикальные углы.

Если мы продолжим стороны угла за его вершину, то получим вертикальные углы. На чертеже 75 углы EOF и АОС- вертикальные; углы АОЕ и СОF — также вертикальные.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.

Пусть / 1 = 7 / 8 d (черт. 76). Смежный с ним / 2 будет равен 2d — 7 / 8 d , т. е. 1 1 / 8 d .

Таким же образом можно вычислить, чему равны / 3 и / 4.
/ 3 = 2d — 1 1 / 8 d = 7 / 8 d ; / 4 = 2d — 7 / 8 d = 1 1 / 8 d (черт. 77).

Мы видим, что / 1 = / 3 и / 2 = / 4.

Можно решить ещё несколько таких же задач, и каждый раз будет получаться один и тот же результат: вертикальные углы равны между собой.

Однако, чтобы убедиться в том, что вертикальные углы всегда равны между собой, недостаточно рассмотреть отдельные числовые примеры, так как выводы, сделанные на основе частных примеров, иногда могут быть и ошибочными.

Убедиться в справедливости свойства вертикальных углов необходимо путём рассуждения, путём доказательства.

Доказательство можно провести следующим образом (черт. 78):

/ a + / c = 2d ;
/ b + / c = 2d ;

(так как сумма смежных углов равна 2d ).

/ a + / c = / b + / c

(так как и левая часть этого равенства равна 2d , и правая его часть тоже равна 2d ).

В это равенство входит один и тот же угол с .

Если мы от равных величин отнимем поровну, то и останется поровну. В результате получится: / a = / b , т. е. вертикальные углы равны между собой.

При рассмотрении вопроса о вертикальных углах мы сначала объяснили, какие углы называются вертикальными, т. е. дали определение вертикальных углов.

Затем мы высказали суждение (утверждение) о равенстве вертикальных углов и в справедливости этого суждения убедились путём доказательства. Такие суждения, справедливость которых надо доказывать, называются теоремами . Таким образом, в данном параграфе мы дали определение вертикальных углов, а также высказали и доказали теорему об их свойстве.

В дальнейшем при изучении геометрии нам постоянно придётся встречаться с определениями и доказательствами теорем.

3. Сумма углов, имеющих общую вершину.

На чертеже 79 / 1, / 2, / 3 и / 4 расположены по одну сторону прямой и имеют общую вершину на этой прямой. В сумме эти углы составляют развёрнутый угол, т. е.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d .

На чертеже 80 / 1, / 2, / 3, / 4 и / 5 имеют общую вершину. В сумме эти углы составляют полный угол, т. е. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d .

Упражнения.

1. Один из смежных углов равен 0,72 d. Вычислить угол, составленный биссектрисами этих смежных углов.

2. Доказать, что биссектрисы двух смежных углов образуют прямой угол.

3. Доказать, что если два угла равны, то равны и их смежные углы.

4. Сколько пар смежных углов на чертеже 81?

5. Может ли пара смежных углов состоять из двух острых углов? из двух тупых углов? из прямого и тупого угла? из прямого и острого угла?

6. Если один из смежных углов прямой, то что можно сказать о величине смежного с ним угла?

7. Если при пересечении двух прямых линий один угол прямой, то что можно сказать о величине остальных трёх углов?

Геометрия — это весьма многогранная наука. Она развивает логику, воображение и интеллект. Конечно, из-за своей сложности и огромного количества теорем и аксиом, она не всегда нравится школьникам. Кроме этого, существует необходимость постоянно доказывать свои выводы, используя общепринятые стандарты и правила.

Смежные и вертикальные углы — это неотъемлемая составляющая геометрии. Наверняка многие школьники просто обожают их по той причине, что их свойства понятны и просты в доказательстве.

Образование углов

Любой угол образуется путем пересечения двух прямых или проведения двух лучей из одной точки. Они могут называться либо одной буквой, либо тремя, которые последовательно обозначают точки построения угла.

Углы измеряются в градусах и могут (в зависимости от их значения) по-разному называться. Так, существует прямой угол, острый, тупой и развернутый. Каждому из названий соответствует определенная градусная мера или ее промежуток.

Острым называется угол, мера которого не превышает 90 градусов.

Тупым является угол, превышающий 90 градусов.

Угол называется прямым в том случае, когда его градусная мера равна 90.

В том случае, когда он образован одной сплошной прямой, и его градусная мера равна 180, его называют развернутым.

Углы, имеющие общую сторону, вторая сторона которых продолжает друг друга, называются смежными. Они могут быть как острыми, так и тупыми. Пересечение линией образует смежные углы. Свойства их следующие:

  1. Сумма таких углов будет равна 180 градусам (существует теорема, доказывающая это). Поэтому можно легко вычислить один из них, если известен другой.
  2. Из первого пункта следует, что смежные углы не могут быть образованы двумя тупыми или двумя острыми углами.

Благодаря этим свойствам, можно всегда вычислить градусную меру угла, имея значение другого угла или, по крайней мере, отношение между ними.

Вертикальные углы

Углы, стороны которых являются продолжением друг друга, называются вертикальными. В качестве такой пары могут выступать любые их разновидности. Вертикальные углы всегда равны между собой.

Они образуются при пересечении прямых. Совместно с ними всегда присутствуют и смежные углы. Угол может быть одновременно смежным для одного и вертикальным для другого.

При пересечении произвольной линией также рассматривают еще несколько видов углов. Такая линия называется секущей, она и образует соответственные, односторонние и накрест лежащие углы. Они равны между собой. Их можно рассматривать в свете свойств, которые имеют вертикальные и смежные углы.

Таким образом, тема углов представляется довольно простой и понятной. Все их свойства легко запомнить и доказать. Решение задач не представляется сложным до тех пор, пока углам соответствует числовое значение. Уже дальше, когда начнется изучение sin и cos, придется запоминать множество сложных формул, их выводов и следствий. А до того времени можно просто наслаждаться легкими задачками, в которых необходимо найти смежные углы.

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. На рисунке 20 углы АОВ и ВОС смежные.

Сумма смежных углов равна 180°

Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180°.

Доказательство. Луч ОВ (см. рис.1) проходит между сторонами развернутого угла. Поэтому ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180° .

Из теоремы 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.

Вертикальные углы равны

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и АОС, образованные при пересечении двух прямых, являются вертикальными (рис. 2).

Теорема 2. Вертикальные углы равны.

Доказательство. Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD (см. рис. 2). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ и COD. По теореме 1 ∠ АОВ + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Отсюда заключаем, что ∠ АОВ = ∠ COD.

Следствие 1. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD (рис.3). Они образуют четыре угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис.3), то остальные углы также прямые (углы 1 и 2, 1 и 4 — смежные, углы 1 и 3 — вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.

АН — перпендикуляр к прямой

Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на ней (рис.4). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.

Чертежный угольник

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Из всякой точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертежный угольник (рис.5).

Замечание. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Например, условие теоремы 2 — углы вертикальные; заключение — эти углы равны.

Всякую теорему можно подробно выразить словами так, что ее условие будет начинаться словом «если», а заключение — словом «то». Например, теорему 2 можно подробно высказать так: «Если два угла вертикальные, то они равны».

Пример 1. Один из смежных углов равен 44°. Чему равен другой?

Решение. Обозначим градусную меру другого угла через x , тогда согласно теореме 1.
44° + х = 180°.
Решая полученное уравнение, находим, что х = 136°. Следовательно, другой угол равен 136°.

Пример 2. Пусть на рисунке 21 угол COD равен 45°. Чему равны углы АОВ и АОС?

Решение. Углы COD и АОВ вертикальные, следовательно, по теореме 1.2 они равны, т. е. ∠ АОВ = 45°. Угол АОС смежный с углом COD, значит, по теореме 1.
∠ АОС = 180° — ∠ COD = 180° — 45° = 135°.

Пример 3. Найти смежные углы, если один из них в 3 раза больше другого.

Решение. Обозначим градусную меру меньшего угла через х. Тогда градусная мера большего угла будет Зх. Так как сумма смежных углов равна 180° (теорема 1), то х + Зх = 180°, откуда х = 45°.
Значит, смежные углы равны 45° и 135°.

Пример 4. Сумма двух вертикальных углов равна 100°. Найти величину каждого из четырех углов.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 2. Вертикальные углы COD к АОВ равны (теорема 2), значит, равны и их градусные меры. Поэтому ∠ COD = ∠ АОВ = 50° (их сумма по условию 100°). Угол BOD (также и угол АОС) смежный с углом COD, и, значит, по теореме 1
∠ BOD = ∠ АОС = 180° — 50° = 130°.

На данном уроке мы рассмотрим и уясним для себя понятие смежные углы. Рассмотрим теорему, которая их касается. Введем понятие «вертикальные углы». Рассмотрим опорные факты, касающиеся этих углов. Далее сформулируем и докажем два следствия об угле между биссектрисами вертикальных углов. В конце занятия рассмотрим несколько задач, посвященных этой теме.

Начнем наш урок с понятия «смежные углы». На рисунке 1 изображен развернутый угол ∠АОС и луч ОВ, который делит данный угол на 2 угла.

Рис. 1. Угол ∠АОС

Рассмотрим углы ∠АОВ и ∠ВОС. Вполне очевидно, что они имеют общую сторону ВО, а стороны АО и ОС являются противолежащими. Лучи ОА и ОС дополняют друг друга, а значит, они лежат на одной прямой. Углы ∠АОВ и ∠ВОС являются смежными.

Определение: Если два угла имеют общую сторону, а две другие стороны являются дополняющими лучами, то данные углы называются смежными .

Теорема 1: Сумма смежных углов — 180 о.

Рис. 2. Чертеж к теореме 1

∠МОL + ∠LON = 180 o . Данное утверждение является верным, так как луч OL делит развернутый угол ∠MON на два смежных угла. То есть мы не знаем градусных мер ни одного из смежных углов, а знаем лишь их сумму — 180 о.

Рассмотрим пересечение двух прямых. На рисунке изображено пересечение двух прямых в точке О.

Рис. 3. Вертикальные углы ∠ВОА и ∠СОD

Определение: Если стороны одного угла являются продолжением второго угла, то такие углы называются вертикальными. Именно поэтому на рисунке изображено две пары вертикальных углов: ∠АОВ и ∠СОD, а также ∠AOD и ∠ВОС.

Теорема 2: Вертикальные углы равны.

Используем рисунок 3. Рассмотрим развернутый угол ∠АОС. ∠АОВ = ∠АОС — ∠ВОС = 180 о — β. Рассмотрим развернутый угол ∠ВОD. ∠CОD = ∠BОD — ∠BОС = 180 о — β.

Из этих соображений мы делаем вывод, что ∠АОВ = ∠СОD = α. Аналогично, ∠AOD = ∠ВОС = β.

Следствие 1: Угол между биссектрисами смежных углов равен 90 о.

Рис. 4. Чертеж к следствию 1

Поскольку ОL — биссектриса угла ∠ВОА, то угол ∠LOB = , аналогично ∠ВОК = . ∠LOK = ∠LOB + ∠BOK = + = . Сумма углов α + β равна 180 о, поскольку данные углы — смежные.

Следствие 2: Угол между биссектрисами вертикальных углов равен 180 о.

Рис. 5. Чертеж к следствию 2

KO — биссектриса ∠AOB, LO — биссектриса ∠COD. Очевидно, что ∠KOL = ∠KOB + ∠BOC + ∠COL = o . Сумма углов α + β равна 180 о, так как данные углы — смежные.

Рассмотрим некоторые задачи:

Найдите угол, смежный с ∠АOС, если ∠АOС = 111 о.

Выполним чертеж к задаче:

Рис. 6. Чертеж к примеру 1

Поскольку ∠АОС = β и ∠СOD = α смежные углы, то α + β = 180 о. То есть 111 о + β = 180 о.

Значит, β = 69 о.

Этот тип задач эксплуатирует теорему о сумме смежных углов.

Один из смежных углов прямой, каким (острым, тупым или прямым) является другой угол?

Если один из углов прямой, а сумма двух углов 180 о, то и другой угол тоже прямой. Эта задача проверяет знания о сумме смежных углов.

Верно ли, что если смежные углы равны, то они прямые?

Составим уравнение: α + β = 180 о, но поскольку α = β, то β + β = 180 о, значит, β = 90 о.

Ответ: Да, утверждение верно.

Даны два равных угла. Верно ли, что и смежные им углы тоже будут равны?

Рис. 7. Чертеж к примеру 4

Если два угла равны α, то соответствующие им смежные углы будут 180 о — α. То есть они будут равны между собой.

Ответ: Утверждение верно.

  1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. — М.: Просвещение.
  2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. — М.: Просвещение.
  3. \Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под редакцией В.А. Садовничего. — М.: Просвещение, 2010.
  1. Измерение отрезков ().
  2. Обобщающий урок по геометрии в 7-м классе ().
  3. Прямая линия, отрезок ().
  1. № 13, 14. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под редакцией В.А. Садовничего. — М.: Просвещение, 2010.
  2. Найдите два смежных угла, если один из них в 4 раза больше другого.
  3. Дан угол. Постройте для него смежный и вертикальный углы. Сколько таких углов можно построить?
  4. * В каком случае получается больше пар вертикальных углов: при пересечении трех прямых в одной точке или в трех точках?

Равна двум прямым углам.

Даны два смежных угла : АОВ и ВОС . Требуется доказать, что:

∠АОВ+∠ВОС= d+ d = 2d

Восставим из точки О к прямой АС перпендикуляр OD . Мы разделили угол АОВ на две части AOD и DOB так, что можно написать:

∠AO B = AO D+∠ D OB

Прибавим к обеим частям этого равенства по одному и тому же углу BOС , отчего равенство не нарушится:

AO B + BO С = ∠ AOD + D OB + BO С

Так как сумма D OB + BOС составляет прямой угол DO С , то

AO B+ BO С = AO D + DO С = d + d = 2 d,

что и требовалось доказать.

Следствия .

1. Сумма углов (AO B, BOС , СOD , DOE ), расположенных вокруг общей вершины (O ) по одну сторону прямой (AE ) равна 2 d = 180 0 , потому что эта сумма составляет сумму двух смежных углов , например таких: АОС + СОЕ

2. Сумма углов , расположенных вокруг общей вершины (O ) по обе стороны какой-нибудь прямой равна 4 d=360 0 ,

Обратная теорема.

Если сумма двух углов , имеющих общую вершину и общую сторону и не покрывающих друг друга, равна двум прямым углам (2d), то такие углы — смежные , т.е. две другие их стороны составляют прямую линию .

Если из одной точки (O) прямой (AB) восстановить к ней, по каждую ее сторону, перпендикуляры, то эти перпендикуляры образуют одну прямую (СD). Из всякой точки вне прямой можно опустить на эту прямую перпендикуляр и притом только один. С D .

Два угла называются вертикальными , если стороны одного составляют продолжение сторон другого.

Так, при пересечении двух прямых AB и С D образуются две пары вертикальных углов: AO D и СOB ; AOС и D OB .

Теорема.

Два вертикальных угла равны.

Пусть даны два вертикальных угла: AOD и С OB т.е. OB есть продолжение OA , а O С продолжение OD .

Требуется доказать, что AOD = С OB.

По свойству смежных углов можем написать:

AO D + D OB = 2 d

DOB + BOС = 2d

Значит: AOD + DOB = DOB + BOС.

Если вычесть из обеих частей этого равенства по углу D OB , получим:

AO D = BOС , что и требовалось доказать.

Аналогично докажем, что AOС = D OB .

Урок 7 класс «Смежные и вертикальные углы»

Приложение 2

ООО «Инфоурок»

 

 

 

 

 

 

План-конспект  урока

по геометрии

в 7 классе (МБОУ «СОШ № 43»)

на тему «Смежные и вертикальные углы»

 

 

 

 

 

 

 

 

Разработал: Филиппович Наталия Сергеевна                                  

 

слушатель курсов профессиональной переподготовки  «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Проверил: Мальм А. Э

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Братск 2021

СМЕЖНЫЕ И ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ

Цель урока:формирование навыков в решении задач с применением свойств смежных и вертикальных углов.

Задачи:

1. Организовать деятельность учащихся по закреплению правил действий над углами, понятия смежных, вертикальных углов и их свойств, понятия биссектрисы угла.

2. Создать условия для развития у учащихся логического мышления, практических и исследовательских навыков, аналитического мышления, умения грамотно использовать информационные технологии.

3. Способствовать развитию интеллекта и общей математической культуры.

Оборудование: интерактивная доска, мультимедийные средства обучения, презентация, тесты.

Тип урока: обобщающий урок

Ход урока

Геометрия является самым могущественным средством

для изощрения наших умственных способностей

и дает нам возможность

правильно мыслить и рассуждать.

                                           Галилей

I. Организационный момент.

Класс разбит на три команды. Учитель проверяет готовность учащихся к уроку.

Добрый день, начнем урок,

В конце, как всегда, подведем мы итог.

Изученных правил проведем повторение,

Задачи решим на закрепление.

Слушаем внимательно, пишем аккуратнее,

Нам путешествие предстоит занятное,

Должны мы испытание пройти

И волшебный ключ к учению найти.

1-й учащийся. Сегодня впереди много споров. Поэтому чтобы справедливость восторжествовала, мы решили создать судейскую коллегию.

2-й учащийся.

Уважаемые участники!

Вас прошу без промедленья

Поприветствовать жюри,

Чтоб вы больше впечатленье

Оказать на них смогли!

3-й учащийся.

Будут баллы они ставить,

Это, в общем, нелегко!

Всех хотелось бы оставить,

Но условий нет на то!

1-й учащийся.

Пожелаем мы успеха

Драгоценному жюри!

Пусть им будет не помеха

Жалость, скрытая внутри!

2-й учащийся.

Пусть бесспорным, справедливым

Будет выставленный балл,

Чтобы конкурс был счастливым

И успех торжествовал!

3-й учащийся.В соревнованиях участвуют команды «Биссектриса», «Задачка», «Аксиома».

II. Мотивацияучебной деятельности.

Учитель. Ребята! А вы знаете, что ещё в Древней Греции всех ораторов учили геометрии (оратор – это тот, кто произносит речь, а также человек, обладающий даром говорить речи). На дверях Платоновской академии в Афинах было написано:

«Да не войдёт сюда ни один из тех,

кто не овладел геометрией!»

Постановка проблемы. Объясните, пожалуйста, какая может быть связь между ораторским искусством и геометрией?

1-й учащийся.

Геометрия учит нас доказывать. А речь человека убедительна только тогда, когда он доказывает свои выводы.

1-й учащийся.

На уроках по геометрии можно познать тайну доказательства, сделать открытие, почувствовать радость победы.

Учитель. Сегодня мы с вами продолжим путешествовать по великой, необъятной стране Геометрия. И мне интересно узнать, какую тему мы изучаем и чего, вы, ждёте от сегодняшней встречи?

ІІІ. Актуализация знаний.

Разминка команд «Блицтурнир»

Повторить определения смежных и вертикальных углов и их свойства.

 

 

 

 

 

 

Конкурс капитанов

Вопросы капитану 1 команды.

·  Градусная мера прямого угла?

·  Луч, делящий угол пополам?

·  Прибор, для измерения диаметра трубки?

·  1/60 часть градуса?

·  Автор учебника геометрии, по которому вы занимаетесь?

·  Стандартной международной единицей измерения отрезков выбран…

·  Сколько сантиметров содержит 1 метр?

·  Две прямые, перпендикулярные к третьей…

·  Курс геометрии, в котором рассматриваются свойства фигур в пространстве?

·  Один из смежных углов тупой. Каким является другой угол?

Вопросы капитану 2 команды.

·  Градусная мера развернутого угла?

·  Свойство вертикальных углов?

·  Прибор для измерения углов на местности?

·  Какой угол называется тупым?

·  Единица измерения углов?

·  Кто была русской женщиной-математиком?

·  Сколько прямых можно провести через одну точку?

·  В астрономии для измерения очень больших расстояний за единицу измерения принимают…

·  Один из смежных углов прямой. Каким является другой угол?

·  Сколько можно построить углов, смежных данному углу?

Вопросы капитану 3 команды.

·  Сумма смежных углов?

·  Курс геометрии, в котором рассматриваются свойства фигур на плоскости?

·  Сколько сторон имеет треугольник?

·  Какой угол называется острым?

·  Свойство вертикальных углов?

·  Точка отрезка, делящая его пополам?

·  Где хранится эталон метра?

·  1/60 часть минуты?

·  Прибор, для построения прямых углов на местности?

·  Один из смежных углов острый. Каким является другой угол?

III. Обобщение и систематизация знаний и умений.

Конкурс «Кто быстрее?»

Тест по теме «ВЕРТИКАЛЬНЫЕ И СМЕЖНЫЕ УГЛЫ».

Конкурс «Кто больше?»

Решение задач.

Дуэль «Кто первый?»

Самостоятельная работа по карточкам.

IV. Подведение итогов.

Учитель.

 

Вот закончена игра,

Результат узнать пора.

Кто же лучше всех трудился?

На уроке отличился?

Слово жюри. Награждение команд.

Учитель.

Вот закончился урок,

Подведём сейчас итог,

Мы много вспомнили, друзья,

Без этого никак нельзя.

Правила мы повторили,

На практике их применили

Задачи, находя решенье,

Развивают мышление,

Память и внимание,

Закрепляли знания.

А теперь, внимание,

Домашнее задание:

V.  Домашнее задание.§ 6 пункт 11, №65(а), № 67 стр. 25.

*Составить две задачи по готовым чертежам и их решить.

 

Чему равно сумма смежных углов.

Вертикальные и смежные углы. Сумма углов, имеющих общую вершину

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. На рисунке 20 углы АОВ и ВОС смежные.

Сумма смежных углов равна 180°

Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180°.

Доказательство. Луч ОВ (см. рис.1) проходит между сторонами развернутого угла. Поэтому ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180° .

Из теоремы 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.

Вертикальные углы равны

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и АОС, образованные при пересечении двух прямых, являются вертикальными (рис. 2).

Теорема 2. Вертикальные углы равны.

Доказательство. Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD (см. рис. 2). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ и COD. По теореме 1 ∠ АОВ + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Отсюда заключаем, что ∠ АОВ = ∠ COD.

Следствие 1. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD (рис.3). Они образуют четыре угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис.3), то остальные углы также прямые (углы 1 и 2, 1 и 4 — смежные, углы 1 и 3 — вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.

АН — перпендикуляр к прямой

Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на ней (рис.4). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.

Чертежный угольник

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Из всякой точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертежный угольник (рис.5).

Замечание. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Например, условие теоремы 2 — углы вертикальные; заключение — эти углы равны.

Всякую теорему можно подробно выразить словами так, что ее условие будет начинаться словом «если», а заключение — словом «то». Например, теорему 2 можно подробно высказать так: «Если два угла вертикальные, то они равны».

Пример 1. Один из смежных углов равен 44°. Чему равен другой?

Решение. Обозначим градусную меру другого угла через x , тогда согласно теореме 1.
44° + х = 180°.
Решая полученное уравнение, находим, что х = 136°. Следовательно, другой угол равен 136°.

Пример 2. Пусть на рисунке 21 угол COD равен 45°. Чему равны углы АОВ и АОС?

Решение. Углы COD и АОВ вертикальные, следовательно, по теореме 1.2 они равны, т. е. ∠ АОВ = 45°. Угол АОС смежный с углом COD, значит, по теореме 1.
∠ АОС = 180° — ∠ COD = 180° — 45° = 135°.

Пример 3. Найти смежные углы, если один из них в 3 раза больше другого.

Решение. Обозначим градусную меру меньшего угла через х. Тогда градусная мера большего угла будет Зх. Так как сумма смежных углов равна 180° (теорема 1), то х + Зх = 180°, откуда х = 45°.
Значит, смежные углы равны 45° и 135°.

Пример 4. Сумма двух вертикальных углов равна 100°. Найти величину каждого из четырех углов.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 2. Вертикальные углы COD к АОВ равны (теорема 2), значит, равны и их градусные меры. Поэтому ∠ COD = ∠ АОВ = 50° (их сумма по условию 100°). Угол BOD (также и угол АОС) смежный с углом COD, и, значит, по теореме 1
∠ BOD = ∠ АОС = 180° — 50° = 130°.

Как найти смежный угол?

Математика — древнейшая точная наука, которую в обязательном порядке изучают в школах, колледжах, институтах и университетах. Однако, базовые знания всегда закладываются еще в школе. Порой, ребенку задают достаточно сложные задания, а родители не в силах помочь, потому что просто забыли некоторые вещи из математики. Например, как найти смежный угол по величине основного угла и т.п. Задача проста, но может вызвать затруднения при решении из-за незнания того, какие углы называются смежными и как их найти.

Рассмотрим подробнее определение и свойства смежных углов, а также как их вычислить по данным в задаче.

Определение и свойства смежных углов

Два луча, исходящие из одной точки образуют фигуру под названием «плоский угол». При этом эта точка именуется вершиной угла, а лучи являются его сторонами. Если продолжить один из лучей дальше начальной точки по прямой, то образуется еще один угол, который и называется смежным. У каждого угла в этом случае есть два смежных угла, так как стороны угла равнозначны. То есть всегда присутствует еще смежный угол в 180 градусов.

К основным свойствам смежных углов относят

  • Смежные углы имеют общую вершину и одну сторону;
  • Сумма смежных углов равна всегда 180 градусам или числу Пи, если вычисление ведется в радианах;
  • Синусы смежных углов всегда равны;
  • Косинусы и тангенсы смежных углов равны, но имеют противоположные знаки.

Как найти смежные углы

Обычно даются три вариации задач на нахождение величины смежных углов

  • Дана величина основного угла;
  • Дано соотношение основного и смежного угла;
  • Дана величина вертикального угла.

Каждый вариант задачи имеет свое решение. Рассмотрим их.

Дана величина основного угла

Если в задаче указана величина основного угла, то найти смежный угол очень просто. Для этого достаточно из 180 градусов вычесть величину основного угла, и вы получите величину смежного угла. Данное решение исходит из свойства смежного угла — сумма смежных углов равна всегда 180 градусам.

Если же величина основного угла дана в радианах и в задаче требуется найти смежный угол в радианах, то необходимо вычесть из числа Пи величину основного угла, так как величина полного развернутого угла в 180 градусов равна числу Пи.

Дано соотношение основного и смежного угла

В задаче может быть дано соотношение основного и смежного угла вместо градусов и радиан величины основного угла. В этом случае решение будет выглядеть, как уравнение пропорции:

  1. Обозначаем долю пропорции основного угла, как переменную «Y».
  2. Долю относящуюся к смежному углу обозначаем, как переменную «Х».
  3. Количество градусов, которые приходятся на каждую пропорцию, обозначим, например, «a».
  4. Общая формула будет выглядеть так — a*X+a*Y=180 или a*(X+Y)=180.
  5. Находим общий множитель уравнения «a» по формуле a=180/(X+Y).
  6. Затем полученное значение общего множителя «а» умножаем на долю угла, который необходимо определить.

Таким образом мы можем найти величину смежного угла в градусах. Однако, если необходимо найти величину в радианах, то нужно просто перевести градусы в радианы. Для этого умножаем угол в градусах на число Пи и делим все на 180 градусов. Полученное значение будет в радианах.

Дана величина вертикального угла

Если в задаче не дана величина основного угла, но дана величина вертикального угла, то вычислить смежный угол можно по такой же формуле, что и в первом пункте, где дана величина основного угла.

Вертикальный угол — это угол, который исходит из той же точки, что и основной, но при этом он направлен в строго противоположном направлении. Тем самым получается зеркальное отражение. Это значит, что вертикальный угол по величине равен основному. В свою очередь, смежный угол вертикального угла равен смежному углу основного угла. Благодаря этому можно вычислить смежный угол основного угла. Для этого просто вычитаем из 180 градусов величину вертикального и получаем значение смежного угла основного угла в градусах.

Если же величина дана в радианах, то необходимо вычесть из числа Пи величину вертикального угла, так как величина полного развернутого угла в 180 градусов равна числу Пи.

Также вы можете прочесть наши полезные статьи и .

1. Смежные углы.

Если мы продолжим сторону какого-нибудь угла за его вершину, то получим два угла (рис. 72): ∠АВС и ∠СВD, у которых одна сторона ВС общая, а две другие, АВ и ВD, составляют прямую линию.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие составляют прямую линию, называются смежными углами.

Смежные углы можно получить и таким образом: если из какой-нибудь точки прямой проведём луч (не лежащий на данной прямой), то получим смежные углы.

Например, ∠АDF и ∠FDВ — углы смежные (рис. 73).

Смежные углы могут иметь самые разнообразные положения (рис. 74).

Смежные углы в сумме составляют развёрнутый угол, поэтому сумма двух смежных углов равна 180°

Отсюда прямой угол можно определить как угол, равный своему смежному углу.

Зная величину одного из смежных углов, мы можем найти величину другого смежного с ним угла.

Например, если один из смежных углов равен 54°, то второй угол будет равен:

180° — 54° = l26°.

2. Вертикальные углы.

Если мы продолжим стороны угла за его вершину, то получим вертикальные углы. На рисунке 75 углы EOF и АОС- вертикальные; углы АОЕ и СОF — также вертикальные.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.

Пусть ∠1 = \(\frac{7}{8}\) ⋅ 90°(рис. 76). Смежный с ним ∠2 будет равен 180° — \(\frac{7}{8}\) ⋅ 90°, т. е. 1\(\frac{1}{8}\) ⋅ 90°.

Таким же образом можно вычислить, чему равны ∠3 и ∠4.

∠3 = 180° — 1\(\frac{1}{8}\) ⋅ 90° = \(\frac{7}{8}\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° — \(\frac{7}{8}\) ⋅ 90° = 1\(\frac{1}{8}\) ⋅ 90° (рис. 77).

Мы видим, что ∠1 = ∠3 и ∠2 = ∠4.

Можно решить ещё несколько таких же задач, и каждый раз будет получаться один и тот же результат: вертикальные углы равны между собой.

Однако, чтобы убедиться в том, что вертикальные углы всегда равны между собой, недостаточно рассмотреть отдельные числовые примеры, так как выводы, сделанные на основе частных примеров, иногда могут быть и ошибочными.

Убедиться в справедливости свойства вертикальных углов необходимо путём доказательства.

Доказательство можно провести следующим образом (рис. 78):

a + c = 180°;

b + c = 180°;

(так как сумма смежных углов равна 180°).

a + c = ∠b + c

(так как и левая часть этого равенства равна 180°, и правая его часть тоже равна 180°).

В это равенство входит один и тот же угол с .

Если мы от равных величин отнимем поровну, то и останется поровну. В результате получится: a = ∠b , т. е. вертикальные углы равны между собой.

3. Сумма углов, имеющих общую вершину.

На чертеже 79 ∠1, ∠2, ∠3 и ∠4 расположены по одну сторону прямой и имеют общую вершину на этой прямой. В сумме эти углы составляют развёрнутый угол, т. е.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

На чертеже 80 ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 и ∠5 имеют общую вершину. В сумме эти углы составляют полный угол, т. е. ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

Другие материалы

Геометрия — это весьма многогранная наука. Она развивает логику, воображение и интеллект. Конечно, из-за своей сложности и огромного количества теорем и аксиом, она не всегда нравится школьникам. Кроме этого, существует необходимость постоянно доказывать свои выводы, используя общепринятые стандарты и правила.

Смежные и вертикальные углы — это неотъемлемая составляющая геометрии. Наверняка многие школьники просто обожают их по той причине, что их свойства понятны и просты в доказательстве.

Образование углов

Любой угол образуется путем пересечения двух прямых или проведения двух лучей из одной точки. Они могут называться либо одной буквой, либо тремя, которые последовательно обозначают точки построения угла.

Углы измеряются в градусах и могут (в зависимости от их значения) по-разному называться. Так, существует прямой угол, острый, тупой и развернутый. Каждому из названий соответствует определенная градусная мера или ее промежуток.

Острым называется угол, мера которого не превышает 90 градусов.

Тупым является угол, превышающий 90 градусов.

Угол называется прямым в том случае, когда его градусная мера равна 90.

В том случае, когда он образован одной сплошной прямой, и его градусная мера равна 180, его называют развернутым.

Углы, имеющие общую сторону, вторая сторона которых продолжает друг друга, называются смежными. Они могут быть как острыми, так и тупыми. Пересечение линией образует смежные углы. Свойства их следующие:

  1. Сумма таких углов будет равна 180 градусам (существует теорема, доказывающая это). Поэтому можно легко вычислить один из них, если известен другой.
  2. Из первого пункта следует, что смежные углы не могут быть образованы двумя тупыми или двумя острыми углами.

Благодаря этим свойствам, можно всегда вычислить градусную меру угла, имея значение другого угла или, по крайней мере, отношение между ними.

Вертикальные углы

Углы, стороны которых являются продолжением друг друга, называются вертикальными. В качестве такой пары могут выступать любые их разновидности. Вертикальные углы всегда равны между собой.

Они образуются при пересечении прямых. Совместно с ними всегда присутствуют и смежные углы. Угол может быть одновременно смежным для одного и вертикальным для другого.

При пересечении произвольной линией также рассматривают еще несколько видов углов. Такая линия называется секущей, она и образует соответственные, односторонние и накрест лежащие углы. Они равны между собой. Их можно рассматривать в свете свойств, которые имеют вертикальные и смежные углы.

Таким образом, тема углов представляется довольно простой и понятной. Все их свойства легко запомнить и доказать. Решение задач не представляется сложным до тех пор, пока углам соответствует числовое значение. Уже дальше, когда начнется изучение sin и cos, придется запоминать множество сложных формул, их выводов и следствий. А до того времени можно просто наслаждаться легкими задачками, в которых необходимо найти смежные углы.

Г Л А В А I.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

§11. СМЕЖНЫЕ И ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ.

1. Смежные углы.

Если мы продолжим сторону какого-нибудь угла за его вершину, то получим два угла (черт. 72): / А ВС и / СВD, у которых одна сторона ВС общая, а две другие АВи ВD составляют прямую линию.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие составляют прямую линию, называются смежными углами.

Смежные углы можно получить и таким образом: если из какой-нибудь точки прямой проведём луч (не лежащий на данной прямой), то получим смежные углы.
Например, / АDF и / FDВ — углы смежные (черт. 73).

Смежные углы могут иметь самые разнообразные положения (черт. 74).

Смежные углы в сумме составляют развёрнутый угол, поэтому сумма двух смежных углов равна 2d.

Отсюда прямой угол можно определить как угол, равный своему смежному углу.

Зная величину одного из смежных углов, мы можем найти величину другого смежного с ним угла.

Например, если один из смежных углов равен 3 / 5 d , то второй угол будет равен:

2d — 3 / 5 d = l 2 / 5 d .

2. Вертикальные углы.

Если мы продолжим стороны угла за его вершину, то получим вертикальные углы. На чертеже 75 углы EOF и АОС- вертикальные; углы АОЕ и СОF — также вертикальные.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.

Пусть / 1 = 7 / 8 d (черт. 76). Смежный с ним / 2 будет равен 2d — 7 / 8 d , т. е. 1 1 / 8 d .

Таким же образом можно вычислить, чему равны / 3 и / 4.
/ 3 = 2d — 1 1 / 8 d = 7 / 8 d ; / 4 = 2d — 7 / 8 d = 1 1 / 8 d (черт. 77).

Мы видим, что / 1 = / 3 и / 2 = / 4.

Можно решить ещё несколько таких же задач, и каждый раз будет получаться один и тот же результат: вертикальные углы равны между собой.

Однако, чтобы убедиться в том, что вертикальные углы всегда равны между собой, недостаточно рассмотреть отдельные числовые примеры, так как выводы, сделанные на основе частных примеров, иногда могут быть и ошибочными.

Убедиться в справедливости свойства вертикальных углов необходимо путём рассуждения, путём доказательства.

Доказательство можно провести следующим образом (черт. 78):

/ a + / c = 2d ;
/ b + / c = 2d ;

(так как сумма смежных углов равна 2d ).

/ a + / c = / b + / c

(так как и левая часть этого равенства равна 2d , и правая его часть тоже равна 2d ).

В это равенство входит один и тот же угол с .

Если мы от равных величин отнимем поровну, то и останется поровну. В результате получится: / a = / b , т. е. вертикальные углы равны между собой.

При рассмотрении вопроса о вертикальных углах мы сначала объяснили, какие углы называются вертикальными, т. е. дали определение вертикальных углов.

Затем мы высказали суждение (утверждение) о равенстве вертикальных углов и в справедливости этого суждения убедились путём доказательства. Такие суждения, справедливость которых надо доказывать, называются теоремами . Таким образом, в данном параграфе мы дали определение вертикальных углов, а также высказали и доказали теорему об их свойстве.

В дальнейшем при изучении геометрии нам постоянно придётся встречаться с определениями и доказательствами теорем.

3. Сумма углов, имеющих общую вершину.

На чертеже 79 / 1, / 2, / 3 и / 4 расположены по одну сторону прямой и имеют общую вершину на этой прямой. В сумме эти углы составляют развёрнутый угол, т. е.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d .

На чертеже 80 / 1, / 2, / 3, / 4 и / 5 имеют общую вершину. В сумме эти углы составляют полный угол, т. е. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d .

Упражнения.

1. Один из смежных углов равен 0,72 d. Вычислить угол, составленный биссектрисами этих смежных углов.

2. Доказать, что биссектрисы двух смежных углов образуют прямой угол.

3. Доказать, что если два угла равны, то равны и их смежные углы.

4. Сколько пар смежных углов на чертеже 81?

5. Может ли пара смежных углов состоять из двух острых углов? из двух тупых углов? из прямого и тупого угла? из прямого и острого угла?

6. Если один из смежных углов прямой, то что можно сказать о величине смежного с ним угла?

7. Если при пересечении двух прямых линий один угол прямой, то что можно сказать о величине остальных трёх углов?

Смежные и вертикальные углы, их свойства

1.

Тема урока: Смежные и вертикальные углы. Школа 291
Класс 7
Автор: Алескерова И.Г.
Цели урока:
Ознакомить учащихся с понятиями
смежных и вертикальных углов,
рассмотреть их свойства;
Научить строить угол, смежный с
данным углом, изображать
вертикальные углы, находить на
рисунке вертикальные и смежные углы.

3. Давай вспомним!

Что
такое угол?
АОВ
ВОА
О
Как
обозначаются углы?
А
О
В
Какой
инструмент
Для
измерения
можно
углов
использовать для
используют
измерения углов?
транспортир .
Что называется биссектрисой угла ?
А
АOB = 700
110
100
130
60
70
90
120
140
80
70
80
60
100
120
50
150
30
140
30
150
160
20
170
170
10
180
40
130
40
160
50
110
180
0
O
20
10
0
B
Единицы измерения угла
Всего 180 частей.
1 часть – это 1 градус.
1/60 часть градуса
называется минутой,
обозначается знаком «′»
1/60 часть минуты
называется секундой,
обозначается знаком «″»
Виды углов
Название угла
Рисунок
Градусная
мера
ОСТРЫЙ УГОЛ
менее 90˚
ПРЯМОЙ УГОЛ
90˚
ТУПОЙ УГОЛ
>90˚, но
РАЗВЕРНУТЫЙ
180˚

9. Какой угол образует клюв вороны, когда: «Ворона сыр во рту держала?»

Какой угол образует клюв вороны, когда:
«Ворона сыр во рту держала?»
А когда «Ворона каркнула во все воронье
горло?»

10. Острый Тупой

11. В сказке об углах квадрата брат-круг отрубил ему углы. Какими они стали после этого?

В сказке об углах квадрата браткруг отрубил ему углы. Какими
они стали после этого?
К
вашим знаниям об углах
сегодня добавится еще два
вида:

13. Начертите развернутый угол АОС. Начертите произвольный луч ОB, лежащий между сторонами развернутого угла.

B
O
C
A

14. Определение смежных углов

А
а другие стороны
этих углов являются
противоположными
лучами.
О
Определение. Два
угла называются
смежными, если у
них одна сторона
общая,
В
С
ВОА и ВОС смежные

15. Являются ли смежными углы AOD и BOD AOС и DOС AOС и DOВ AOС, DOС и BOD?

Являются ли смежными углы
AOD и BOD
AOС и DOС
AOС и DOВ
AOС, DOС и BOD?

16. Построение смежных углов

1.Одну из сторон угла продолжить
за его вершину.
А
2.Получившийся угол АОС
является смежным с углом АОВ.
С
0
1
2
3
4
5
6
7
8
О
9
10
11
12
13
14
В
15
16
17
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
Угол смежный для острого угла является тупым.
1. Одну из сторон угла
продолжить за его
вершину.
А
С
О
В
2. Получившийся угол
АОС является
смежным для угла
АОВ.
Угол смежный для тупого угла является
острым.
1.
А
2.
В
О
С
Одну из сторон угла
продолжить за его
вершину.
Получившийся угол
АОС является
смежным с углом АОВ
Угол смежный с прямым углом является прямым

20. Cвойство смежных углов

Теорема.
Сумма
смежных углов
1. Сколько углов изображено на
рисунке? Какие это углы?
2. Существует ли какая-нибудь
взаимосвязь между этими углами?
(Вспомните аксиому сложения
углов).
равна 1800
Дано: AOC и BOC –
смежные.
Доказать: AOC + BOC =
180 .
Доказательство. 1) Так как
AOC и BOC – смежные, то
лучи ОА и ОВ –
противоположные, то есть,
AOB – развернутый,
следовательно, AOB = 180 .
2) Луч OC проходит между
сторонами AOB, значит,
AOC + BOC = AOB = 180
Решите задачу по чертежу
D
?
A
C
Решение:
B
(по свойству смежных углов)


22.

Начертите произвольный AOB. Постройте лучи OC и OD, противоположные к его сторонам. Начертите произвольный AOB.
Постройте лучи OC и OD,
противоположные к его
сторонам.
D
А
В
О
Определение. Два угла
называются
вертикальными, если
стороны одного угла
являются
противоположными
лучами к сторонам
другого.
С
Найдите
вертикальные углы.
C
B
O
А
D
D
B
O
А
С
B
D
А
N
С
D
B
M
А
С

24. Построение вертикальных углов

А
В
1. Построить угол.
2.Продлить каждую
сторону угла за его
вершину.
О
D
C

26. Свойство вертикальных углов

Теорема. Вертикальные
A
D
O
B
C
углы равны.
Дано: AOD и COB –
вертикальные.
Доказать: AOD= COB
Доказательство. Каждый из
углов AOD и COB является
смежным с углом AOB. По
свойству смежных углов:
AOD + AOB = 180
и COВ + AOB = 180 .
Имеем: AOD = 180 – AOB
и COB = 180 – AOB,
значит, AOD = COB
Решите задачу по чертежу
Решение:
(по свойству вертикальных
углов)

28. Закончи предложение

Если один из смежных углов равен 50°,
то другой равен… 130°
Угол, смежный с прямым, … прямой
Если один из вертикальных углов
прямой, то второй… прямой
Угол смежный с острым… тупой
Если один из вертикальных углов равен
25°, то второй угол равен… 25°

29. Задания для самопроверки Определите по рисункам:

Найдите 1 и 2
?
1
50°
2
1
+
2
= 90°
Найдите 1 и 2
?
11
79°
1
_
2
2 = 70°
Дано: = 3 .
Найти: и .
ОС- биссектриса
Найти BOC
Найти BOC
1. Сумма смежных углов равна….
A
3600
B
900
C
1800
2. Как называется угол меньше 1800,
но больше 900
A острый
B
тупой
C
прямой
3. Чему равен угол, если смежный с
ним равен 470?
A 1330
B
0
47
C
0
43
4. Какой угол образуют часовая и
минутная стрелки часов, когда они
показывают 6 часов?
A
тупой
B
развернутый
C прямой
5. Найдите
С
О
A
0
77
В
А
1030
D
0
103
B
C
30
6. Найдите
A
B
С
0
54
О
0
126
А
540
D
C
0
36
В
7. Найдите смежные углы, если один
из них в два раза больше другого.
A 900 и 1000
и
B
0
60
C
0
40 и
0
120
0
80
8. Угол равен 720. Чему равен
вертикальный ему угол?
A
0
18
0
108
B
C
720
9. Какой угол образуют часовая и
минутная стрелки часов, когда они
показывают три часа?
A
острый
B
тупой
C прямой

41. Проверь себя.

1. C
2. B
3. A
4. B
5. B
6. B
7. B
8. C
9. C

42. Образец оформления решения задачи

При пересечении двух прямых образовалось четыре
угла. Один из них равен 430. Найдите величины
остальных углов.
F
M
Дано:
МК PF = О
МОF = 43°
43 0
Найти: FOK, KOP, POM.
Решение:
O
P
МОF и KOP вертикальные, значит, по свойству
вертикальных углов, МОF = KOP , KOP = 43°
МОF + FOK = 180°, так как они смежные. Отсюда
FOK = 180°- 43°=137°
K FOK и POM вертикальные, значит FOK = POM ,
POM =137°
Ответ: 1370, 430, 1370
Задача 1. Найдите углы, полученные при пересечении
двух прямых, если один из углов равен 102 0.
Задача 2. Найдите величины смежных углов, если один из
них в 5 раз меньше другого.
Задача 3. Чему равны смежные углы, если один из них на
300 больше другого?
Задача 4. Найдите величину каждого из двух вертикальных
углов, если их сумма равна 980.
Обучающая самост оят ельная работ а
В
С
o
А
D
1. На рисунке изображены прямые АС и ВD,
пересекающиеся в точке О. Дополните записи:
ВОС и . . . — вертикальные,
ВОС и . . . — смежные,
СОD и . . . — вертикальные,
СОD и . . . — смежные.
2. Начертите угол МОК. Постройте смежный с ним: а) угол КОN; б)
угол MOR.
3. Запишите пары смежных углов, имеющиеся на рисунке:
В
А
Е
D
C
F
4. Запишите пары вертикальных углов, имеющиеся на
рисунке:
В
D
М
А
С
N

Углы и параллельные линии (Предварительная алгебра, Введение в геометрию) – Mathplanet

Когда две прямые пересекаются, они образуют две пары противоположных углов, A + C и B + D. Другое название противоположных углов — вертикальные углы.

Вертикальные углы всегда конгруэнтны, что означает, что они равны.

Смежные углы — это углы, выходящие из одной вершины. Смежные углы имеют общий луч и не пересекаются.

Размер угла xzy на картинке выше равен сумме углов A и B.

Два угла называются дополнительными, если сумма двух углов равна 90°.

Два угла называются смежными, если сумма двух углов равна 180°.

Если у нас есть две параллельные линии и есть третья линия, которая их пересекает, как показано на рисунке ниже, то линия пересечения называется поперечной

При пересечении секущей с двумя параллельными прямыми получается восемь углов.

Восемь углов вместе образуют четыре пары соответствующих углов.Углы 1 и 5 составляют одну из пар. Соответствующие углы равны. Все углы, которые имеют одинаковое положение относительно параллельных прямых и секущих, являются соответствующими парами, например. 3 + 7, 4 + 8 и 2 + 6.

Углы, находящиеся в области между параллельными линиями, такими как углы 2 и 8 выше, называются внутренними углами, тогда как углы, которые находятся снаружи двух параллельных линий, таких как 1 и 6, называются внешними углами.

Углы, лежащие по разные стороны от секущей, называются параллельными углами e.грамм. 1 + 8.

Все углы, которые являются либо внешними углами, либо внутренними углами, либо параллельными углами, либо соответственными углами, равны.


Пример

На рисунке выше показаны две параллельные прямые с поперечной. Угол 6 равен 65°. Есть ли другой угол, равный 65°?

6 и 8 являются вертикальными углами и поэтому равны, что означает, что угол 8 также равен 65°.

6 и 2 являются соответствующими углами и поэтому равны, что означает, что угол 2 равен 65°.

6 и 4 являются альтернативными внешними углами и, следовательно, равны, что означает, что угол 4 равен 65 °.


Видеоурок

Найдите величину всех углов фигуры

Вертикальные углы — Теорема, доказательство, Вертикально противоположные углы

Вертикальные углы образуются, когда две прямые пересекаются в одной точке. Они всегда равны друг другу. Другими словами, всякий раз, когда две прямые пересекаются или пересекаются друг с другом, образуются 4 угла. Мы можем заметить, что два угла, которые противоположны друг другу, равны, и они называются вертикальными углами. Их также называют «вертикально противоположными углами», поскольку они лежат напротив друг друга.

Что такое вертикальные углы?

При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Имеются две пары несмежных углов. Эти пары называются вертикальными углами. На изображении ниже (∠1, ∠3) и (∠2, ∠4) две пары вертикальных углов.

Определение вертикальных углов

Вертикальные углы — это пара несмежных углов, образованных пересечением двух прямых.Простыми словами, вертикальные углы расположены друг напротив друга в углах «Х», образованных двумя прямыми линиями. Их также называют вертикально противоположными углами, так как они расположены друг напротив друга.

Вертикальные углы Теорема

Теорема о вертикальных углах или теорема о вертикально противоположных углах утверждает, что два противоположных вертикальных угла, образованных при пересечении двух прямых, всегда равны (конгруэнтны) друг другу. Давайте узнаем о теореме о вертикальных углах и ее доказательстве в деталях.

Утверждение : Вертикальные углы (противоположные углы, которые образуются при пересечении двух прямых) равны.

Доказательство вертикальных углов

Доказательство простое и основано на прямых углах. Мы уже знаем, что сумма углов на прямой составляет 180°.

Итак, на приведенном выше рисунке
∠1 + ∠2 = 180° (поскольку они представляют собой линейную пару углов) ——— (1)
∠1 +∠4 = 180° (поскольку они представляют собой линейную пару углов) ——— (2)
Из уравнений (1) и (2) ∠1 + ∠2 = 180° = ∠1 +∠4.
Согласно свойству транзитивности, если a = b и b = c, то a = c.
Следовательно, мы можем переписать утверждение как ∠1 + ∠2 = ∠1 +∠4. ———(3)
Исключив ∠1 в обеих частях уравнения (3), мы получим ∠2 = ∠4.
По аналогии. мы можем использовать тот же набор утверждений, чтобы доказать, что ∠1 = ∠3. Отсюда делаем вывод, что вертикально противоположные углы всегда равны.

Чтобы найти меру углов на рисунке, мы используем свойство прямого угла и теорему о вертикальном угле одновременно.Давайте посмотрим на некоторые решенные примеры, чтобы понять это.

Вертикально противоположные углы Рабочий лист

Следующая таблица состоит из рабочих листов творческих вертикальных углов. Эти рабочие листы легко и бесплатно скачать. Попробуйте и отработайте несколько вопросов, основанных на вертикально противоположных углах, и улучшите знания по теме.

Важные примечания

  • Вертикальные углы всегда равны.
  • Вертикальные углы могут быть как дополнительными, так и взаимодополняющими.
  • Вертикальные углы всегда несмежны.

Темы, относящиеся к вертикальным углам

Ознакомьтесь с некоторыми интересными статьями, посвященными вертикальным углам.

Часто задаваемые вопросы о вертикальных углах

Что такое вертикальные углы в геометрии?

Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых. Из 4 образованных углов углы, противоположные друг другу, являются вертикальными углами. Их также называют «вертикально противоположными углами».Эти углы всегда равны.

☛Также читайте

Конгруэнтны ли вертикальные углы?

При пересечении двух прямых линий образуются вертикальные углы. Вертикальные углы всегда конгруэнтны и равны. Вертикальные углы конгруэнтны, так как две пары несмежных углов, образованные пересечением двух прямых, накладываются друг на друга.

☛Проверьте и прочитайте

Дополняют ли вертикальные углы?

Когда любые два угла в сумме составляют 180°, мы называем их дополнительными углами.Если есть случай, когда вертикальные углы прямые или равны 90°, то каждый вертикальный угол равен 90°. Следовательно, сумма этих двух углов будет равна 180°. Так что в таких случаях можно сказать, что вертикальные углы являются дополнительными. Следует отметить, что это частный случай, когда вертикальные углы являются дополнительными. В противном случае во всех остальных случаях, когда величина каждого из вертикальных углов меньше или больше 90 градусов, они не являются дополнительными.

☛Почувствуйте разницу между:

Что такое теорема о вертикальном угле?

Теорема о вертикальном угле утверждает, что углы, образованные двумя пересекающимися прямыми, которые называются вертикальными углами, равны.Вертикальные углы имеют равные измерения. Например, если ∠a, ∠b, ∠c, ∠d — это 4 угла, образованные двумя пересекающимися прямыми, и ∠a вертикально противоположна ∠b, а ∠c вертикально противоположна ∠d, то ∠a конгруэнтна ∠ b и ∠c конгруэнтно ∠d.

Могут ли вертикальные углы быть прямыми?

Да, вертикальные углы могут быть прямыми. Если два противоположных вертикальных угла равны 90° каждый, то вертикальные углы называются прямыми. Это можно наблюдать по линиям оси x и оси y декартова графика.

☛Проверьте

Как измерить значение вертикального угла?

При решении таких случаев сначала нужно внимательно следить за заданными параметрами. Если задан угол, следующий за вертикальным углом, то легко определить значение вертикальных углов, вычитая данное значение из 180 градусов до Так как в геометрии доказано, что вертикальный угол и смежный с ним угол являются дополнительными (180°) друг другу.

Как узнать, является ли угол смежным или вертикальным углом?

Вертикальные углы — это углы, образованные при пересечении двух прямых.Противоположные углы, образованные этими линиями, называются вертикально противоположными углами. Принимая во внимание, что смежные углы — это два угла, которые имеют одну общую сторону и вершину.

Могут ли вертикальные углы быть смежными?

Вертикальные углы противоположны друг другу, тогда как смежные углы — это углы, расположенные рядом друг с другом. Таким образом, вертикальные углы никогда не могут быть смежными друг с другом.

Всегда ли вертикальные углы равны?

Да, вертикальные углы всегда равны. Пересечение двух прямых дает 4 угла. При этом образуются две пары вертикальных углов. Они равны по мере и конгруэнтны.

Какие углы являются вертикальными углами? – М.В.Организинг

Какие углы являются вертикальными углами?

Углы, противоположные друг другу при пересечении двух прямых. Они всегда равны. В этом примере a° и b° являются вертикальными углами.

Сколько пар вертикальных углов?

две пары

Какая пара вертикальных углов на рисунке?

Факты о вертикальных углах Обе пары вертикальных углов (всего четыре угла) всегда в сумме составляют полный угол (360°).Смежные углы. На рисунке выше угол от каждой пары вертикальных углов является смежным и дополнительным (добавьте к 180°). Например, на рисунке выше m∠JQL + m∠LQK = 180°.

Какие из следующих углов являются вертикальными?

Ответ: Углы a° и c° также являются вертикальными углами, поэтому должны быть равны, то есть по 140° каждый. Ответ: a = 140°, b = 40° и c = 140°. Примечание. Их также называют вертикально противоположными углами, что является более точным способом сказать то же самое.

Что такое Теорема о вертикальных углах?

Вертикальные углы Теорема утверждает, что вертикальные углы, углы, которые противоположны друг другу и образованы двумя пересекающимися прямыми линиями, конгруэнтны. Вертикальные углы всегда конгруэнтны, поэтому, когда кто-то задает следующий вопрос, вы уже знаете ответ.

Каковы примеры смежных углов?

Смежные углы — это два угла, которые имеют общую вершину и общую сторону, но не пересекаются. На рисунке ∠1 и ∠2 — смежные углы.Они имеют одну и ту же вершину и одну общую сторону. На рисунке ∠1 и ∠3 — несмежные углы.

Могут ли 2 смежных угла быть дополнительными?

Два смежных угла могут быть дополнительными, если в сумме они составляют 90°, т.е. сумма двух образовавшихся углов должна быть 90°. Они также дополняют друг друга, так как сумма углов равна 90∘, то есть ∠ABD+∠CBD=30∘+60∘=90∘.

Могут ли 3 угла быть дополнительными?

Три или более углов, сумма которых равна 90 градусам, также не могут называться дополнительными углами. Дополнительные углы всегда имеют положительную меру. Он состоит из двух острых углов, размер которых меньше 90 градусов.

Могут ли два тупых угла быть смежными?

Два тупых угла могут быть смежными. Их сумма будет больше 180∘ .

Смежные углы равны 90?

На приведенном выше рисунке два угла ∠PQR и ∠JKL дополняют друг друга, поскольку в сумме они всегда составляют 90°. Часто эти два угла являются смежными, и в этом случае они образуют прямой угол. В прямоугольном треугольнике два меньших угла всегда дополняют друг друга.(Почему? Один угол равен 90°, а все три в сумме дают 180°.

Что делать, если два угла смежные?

В геометрии два угла смежны, если они имеют общую сторону и общую вершину. Другими словами, смежные углы находятся непосредственно рядом друг с другом и не пересекаются.

Вертикальные углы равны или дополняют друг друга?

Теорема: Вертикальные углы всегда равны. На рисунке ∠1≅∠3 и ∠2≅∠4. Доказательство: ∠1 и ∠2 образуют линейную пару, поэтому по постулату дополнения они являются дополнительными.

Смежные углы равны 180?

Смежные углы в сумме дают 180 градусов. В сумме они составляют 180 градусов (e и c также являются внутренними). Любые два угла, которые в сумме составляют 180 градусов, называются дополнительными углами.

Каковы правила углов?

Факты об углах

для GCSE

  • Внутренние углы любого треугольника в сумме составляют 180 градусов.
  • Внутренние углы любого четырехугольника в сумме составляют 360 градусов.
  • а + b = 180 градусов.
  • При пересечении двух прямых противоположные углы равны.
  • х = у + г.
  • Соответствующие углы.
  • Альтернативные углы.
  • внутренних углов составляют 180 градусов.

Когда два смежных угла в сумме составляют 180 градусов, они называются?

Смежные дополнительные углы. Два угла называются смежными, если сумма обоих углов равна 180 градусов. Если два дополнительных угла смежны друг с другом, то они называются линейной парой.

У трапеций углы равны 180?

В трапеции два угла, лежащие на одном катете (один у верхнего основания, другой у нижнего), называются смежными углами. Эти смежные углы являются дополнительными, что означает, что их меры в сумме составляют 180°, как мы сейчас покажем.

Смежные углы равны?

Вертикальные углы всегда конгруэнтны, что означает, что они равны. Смежные углы – это углы, выходящие из одной вершины. Смежные углы имеют общий луч и не пересекаются.Два угла называются смежными, если сумма двух углов равна 180°.

Какова формула дополнительных углов?

Угол 1 и угол 2 дополняют друг друга, если сумма обоих углов равна 90 градусам (угол 1 + угол 2 = 90°), и, таким образом, угол 1 и угол 2 называются дополнительными друг друга.

Чему равен дополнительный угол 50 градусов?

90-50

Чему равно 12 градусов?

Это означает, что его дополнение равно 90 – х градусов.Но разница в их мерах составляет 12 градусов.

Что такое дополнительный угол 40 градусов?

140°

Используйте факты о дополнительных, дополнительных, вертикальных и смежных углах в многоэтапной задаче, чтобы написать и решить простые уравнения для неизвестного угла в фигуре.

MAFS.7.G.2.5 — Используйте факты о дополнительных, дополнительных, вертикальных и смежных углах в многошаговой задаче, чтобы написать и решить простые уравнения для неизвестного угла в фигуре.

Веб-сайт несовместим с используемой версией браузера. Не все функции могут быть доступны. Пожалуйста, обновите ваш браузер до последней версии.

Используйте факты о дополнительных, дополнительных, вертикальных и смежных углы в многоэтапной задаче, чтобы написать и решить простые уравнения для неизвестный угол в фигуре.

Общая информация

Предметная область: Математика

Класс: 7

Домен-поддомен: Геометрия

Кластер: Уровень 2: Базовое применение навыков и понятий

Дата принятия или пересмотра: 14 февраля

Дата последней оценки: 14/02

Статус: Утвержден Государственным советом

Оценено: Да

Образцы тестовых заданий (3)



  • Тестовый образец #: Образец образца 3
  • Вопрос:

    Показана диаграмма с углами, обозначенными в градусах (º).

    Дополните предложения по схеме.

    A. Уравнение ___________ можно использовать для решения x.

     

    B. Мерой , в градусах, является _____.

  • Сложность: Н/Д
  • Тип: EE: Редактор формул

Связанные точки доступа

Альтернативная версия этого теста для учащихся с серьезными когнитивными нарушениями.

MAFS.7.G.2.AP.5d: Определите вертикальные углы с помощью визуальных моделей и найдите их меры.

Связанные ресурсы

Проверенные ресурсы, которые преподаватели могут использовать для обучения концепциям и навыкам в этом эталонном тесте.

Формирующие оценки MFAS

Найдите меру угла:

Учащихся просят использовать знания об отношениях углов, чтобы написать и решить уравнения для определения неизвестных величин углов.

Решите для угла:

Учащихся просят написать и решить уравнения для определения неизвестных величин углов в дополнительных и дополнительных парах углов.

Прямые углы:

Учащихся просят написать и решить уравнения для определения неизвестных величин углов в дополнительных соотношениях углов.

Какой у вас угол?:

Учащихся просят использовать знания об отношениях углов, чтобы написать и решить уравнение для определения неизвестной меры угла.

Оригинальные учебники для учащихся по математике — 6-8 классы

Углы детской площадки, часть 1:

Исследуйте дополнительные и дополнительные углы игровой площадки с Джейкобом в этом интерактивном руководстве.

Это первая часть из двух частей. Нажмите ЗДЕСЬ, чтобы открыть Playground Angles: Part 2.

Углы детской площадки: Часть 2:

Помогите Джейкобу написать и решить уравнения, чтобы найти отсутствующие меры угла на основе отношения между углами, которые в сумме составляют 90 градусов и 180 градусов, в этом интерактивном учебном пособии на тему игровой площадки.

Это вторая часть серии из двух частей. Нажмите ЗДЕСЬ , чтобы открыть Playground Angles: Part 1.

Ресурсы для учащихся

Проверенные ресурсы, которые учащиеся могут использовать для изучения концепций и навыков в этом эталонном тесте.

Оригинальные учебные пособия для студентов

Углы детской площадки, часть 1:

Исследуйте дополнительные и дополнительные углы игровой площадки с Джейкобом в этом интерактивном руководстве.

Это первая часть из двух частей. Нажмите ЗДЕСЬ, чтобы открыть Playground Angles: Part 2.

Тип: оригинальное учебное пособие для учащихся

Углы детской площадки: часть 2:

Помогите Джейкобу написать и решить уравнения, чтобы найти отсутствующие меры угла на основе отношения между углами, которые в сумме составляют 90 градусов и 180 градусов, в этом интерактивном учебном пособии на тему игровой площадки.

Это вторая часть серии из двух частей. Нажмите ЗДЕСЬ , чтобы открыть Playground Angles: Part 1.

Тип: оригинальное учебное пособие для учащихся

Образовательное программное обеспечение/инструмент

Глоссарий:

Этот ресурс представляет собой онлайн-глоссарий для поиска значений математических терминов. Студенты также могут использовать онлайн-глоссарий, чтобы найти слова, связанные со словом, введенным в поле поиска. Например: введите «поперечный», и появятся 11 других терминов. Нажмите на один из этих терминов, и отобразится его значение.

Тип: Образовательное программное обеспечение/инструмент

Учебники

Ресурсы для родителей

Проверенные ресурсы, которые опекуны могут использовать, чтобы помочь учащимся освоить концепции и навыки в этом эталонном тесте.

Образовательное программное обеспечение/инструмент

Глоссарий:

Этот ресурс представляет собой онлайн-глоссарий для поиска значений математических терминов.Студенты также могут использовать онлайн-глоссарий, чтобы найти слова, связанные со словом, введенным в поле поиска. Например: введите «поперечный», и появятся 11 других терминов. Нажмите на один из этих терминов, и отобразится его значение.

Тип: Образовательное программное обеспечение/инструмент

Загрузка.

Строительные блоки — Углы и пересекающиеся линии

Смежные средства «рядом с.» Но мы используем это слово очень специфическим образом, когда говорим о соседних углы. Изучите эти две фигуры. Учитывается только пара справа быть смежными, углы c и d . Смежные углы должны иметь общую общая сторона и общая вершина, и они не должны пересекаться друг с другом.

Вертикальные углы пары углов, образованные двумя пересекающимися прямыми.Вертикальные углы , а не смежных угла — они противоположны друг другу. На этой диаграмме углы а и с являются вертикальными углами, а углы б и d — вертикальные углы. Вертикальные углы равны.

Эти две строки параллельны и пересекаются секущей, которая является просто именем, данным линия, пересекающая две или более прямых в разных точках. Восемь углов появляются в четырех соответствующих парах, которые имеют одинаковую меру, поэтому, следовательно, конгруэнтны.

Эти четыре соответствующих пар:

уголки а и е
уголки c и g
уголки b и f
уголки d и h

Углы, которые лежат во внутренней области или в области между двумя линиями, пересекаемыми поперечные, называются внутренними углами.Уголки c, d, e и f являются внутренними углами. Углы а, b, g, и h лежат снаружи площади, и их называют «внешними углами».

Мы назовите углы на противоположных сторонах поперечных альтернативных углов. Углы c и f , и d и e , являются альтернативными внутренними углами. Уголки a и h , и b и g , являются альтернативными внешними углы. Обратите внимание, что эти альтернативные пары также конгруэнтны.

При пересечении разрезает две линии, которые не параллельны, как показано здесь, он по-прежнему образует восемь углы – четыре соответствующие пары. Однако соответствующие пары не конгруэнтны, как это бывает с параллельными прямыми.

назад до

Смежны ли вертикальные углы? — Первый законкомик

Смежны ли вертикальные углы?

Вертикальные углы — это два угла, стороны которых образуют две пары противоположных лучей (прямых).Вертикальные углы не смежные. ∠1 и ∠3 не являются вертикальными углами (это линейная пара). Вертикальные углы всегда равны по величине.

Являются ли вертикальные углы и смежные углы одним и тем же?

Когда две прямые линии пересекаются друг с другом, создаются четыре угла, так что точка пересечения является вершиной каждого угла. Если два угла имеют общую вершину и общую сторону, они называются смежными углами. Вертикальные углы противоположны друг другу и равны по величине.

Вертикальные углы несмежны?

Вертикальные углы — это пара несмежных углов, образованных пересечением двух прямых. Вертикальные углы расположены друг напротив друга в углах «Х», образованных двумя прямыми линиями.

Какие углы являются смежными углами?

Смежные углы — это два угла, которые имеют общую вершину и общую сторону, но не пересекаются. На рисунке ∠1 и ∠2 — смежные углы. Они имеют одну и ту же вершину и одну общую сторону.

Какие примеры вертикальных углов?

Вертикальные углы являются дополнительными углами, когда прямые пересекаются перпендикулярно. Например, ∠W и ∠Y — вертикальные углы, которые также являются дополнительными углами. Точно так же ∠X и ∠Z являются дополнительными вертикальными углами.

Пример вертикальных углов?

Какие углы перпендикулярны друг другу?

Вертикальные углы образуются, когда две прямые пересекаются в одной точке. Они всегда равны друг другу.Другими словами, всякий раз, когда две прямые пересекаются или пересекаются друг с другом, образуются 4 угла. Мы можем заметить, что два угла, которые противоположны друг другу, равны, и они называются вертикальными углами.

Вертикальные углы равны между собой?

Вертикальные углы образуются, когда две прямые пересекаются в одной точке. Они всегда равны друг другу. Другими словами, всякий раз, когда две прямые пересекаются или пересекаются друг с другом, образуются 4 угла.

Как определить смежные углы?

Два угла являются смежными, если они имеют общую сторону и общую вершину (угловую точку) и не пересекаются.Потому что: у них есть общая сторона (линия CB) у них есть общая вершина (точка B)

Какие углы перпендикулярны друг другу?

Они всегда равны друг другу. Другими словами, всякий раз, когда две прямые пересекаются или пересекаются друг с другом, образуются 4 угла. Мы можем заметить, что два угла, которые противоположны друг другу, равны, и они называются вертикальными углами… Вертикальные углы.

1. Что такое вертикальные углы?
4. Часто задаваемые вопросы о вертикальных углах

Может ли вертикальный угол быть смежным с другим вертикальным углом?

Что такое вертикальные углы? Вертикальные углы определяются как углы, противоположные друг другу, когда две линии пересекаются (т.е. пересекаются). Он также известен как вертикально противоположные углы. Следует отметить, что два вертикальных угла всегда равны. Могут ли вертикальные углы быть смежными? Нет, вертикальные углы никогда не могут быть смежными.

Какие бывают типы смежных углов?

Существуют различные виды пар углов, такие как дополнительные углы, дополнительные углы, смежные углы, линейная пара углов, противоположные углы и т. д.В этой статье мы собираемся подробно обсудить определение смежных углов и вертикальных углов.

Как равны углы двух вертикальных линий?

Углы от каждой пары вертикальных углов называются смежными углами и являются дополнительными (сумма углов составляет 180 градусов). Теорема о вертикальных углах утверждает, что вертикальные углы, углы, которые противоположны друг другу и образованы двумя пересекающимися прямыми линиями, конгруэнтны.

Существуют ли углы, противоположные друг другу?

Вертикальные углы определяются как углы, противоположные друг другу при пересечении двух прямых (т.е. пересекаются). Он также известен как вертикально противоположные углы. Следует отметить, что два вертикальных угла всегда равны. Могут ли вертикальные углы быть смежными? Нет, вертикальные углы никогда не могут быть смежными.

Какие есть примеры смежных углов?

Смежные углы – это углы, имеющие общую вершину и общую сторону. Итак, чтобы найти пары смежных углов, просто найдите два угла, у которых есть общая вершина и сторона. В этом примере ∠FAE и ∠EAD имеют вершину A и сторону AE, поэтому они смежны.Другой пример — ∠BAC и ∠BAF.

Какие углы смежные?

Ответ Вики. Смежные углы — это углы, которые примыкают друг к другу. Два угла смежны, если они имеют общую вершину и ребро, причем один угол находится с одной стороны ребра, а другой — с другой. Вы можете найти смежные углы в углах, треугольниках, четырехугольниках, многоугольниках, окружностях, конусах, фактически любой фигуре.

Сколько градусов составляет смежный угол?

Смежные углы — это углы, расположенные бок о бок.Сумма смежных углов равна 180 градусов. Противоположные углы равны, поэтому, если вы знаете значение одного угла, противоположный ему угол будет иметь такое же значение. Например, если значение одного угла равно 75 градусов, смежный с ним угол будет равен 105 градусам, а противоположный ему угол также будет равен 75 градусам.

Вертикальные углы равны или дополняют друг друга?

Вертикальные углы равны, и это легко доказать. Мы просто используем тот факт, что линейная пара углов является дополнительной; то есть их меры складываются в .На рисунке выше, чтобы доказать, что вертикальные углы конгруэнтны, мы должны показать, что и конгруэнтны или и конгруэнтны. Вертикальные углы равны.

Пересекающиеся линии и углы — SAT Mathematics

Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже.Если университетские наставники примут меры в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как так как ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

 

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.