Правило как решать уравнения 3 класс: Урок математики в 3-м классе по теме: «Уравнения»

Содержание

Конспект урока на тему «Упрощение уравнений». Петерсон, 3 класс.

Урок 35

Тип урока: ОНЗ

Тема: «Упрощение уравнений»

Основные цели:

Метапредметные:

1) Тренировать умение применять правило первичного закрепления нового знания.

2) Тренировать умение применять правила ведения диалога.

3) Тренировать умение применять правила понимания текста.

4) Тренировать умение применять простейшие приемы ораторского искусства.

Предметные:

1) Сформировать умение упрощать записи в уравнениях и решать их по построенному алгоритму.

2) Отработать навыки устных и письменных вычислений, нумерацию и действия с многозначными числами, свойства сложения и умножения, решение текстовых задач, умение определять время по часам и соотношения между единицами времени.



Вариант проведения урока

Оборудование.

1) Демонстрационный материал:

Эталоны из курса «Мир деятельности».

Д-35.1 Цитата на этапе мотивации к учебной деятельности;

Д-35.2 Определения уравнения, корня, понятия решения уравнения;

Д-35.3 Алгоритм решения уравнений;

Д-35.4 Подробный образец для самопроверки домашнего задания;

Д-35.5 Дополненный алгоритм решения уравнений;

Д-35.6 Подробный образец для самопроверки работы в парах;

Д-35.7 Подробный образец для самопроверки самостоятельной работы.

Ход урока:

1. Мотивация к учебной деятельности.

— Что нового вы узнали на прошлых уроках? (Мы узнали определения: уравнения, корня уравнения, уточнили, что значит решить уравнение, составили алгоритм решения уравнения изученных видов.)

— Ваша работа была успешной? (…)

— Где вы использовали ваши знания? (При выполнении домашнего задания. )

— Посмотрите на доску и прочитайте цитату (Д-35.1, слайд 1) известного американского писателя и философа.

Учение — это лишь открытие того, что ты уже давно знаешь

— Как вы поняли данное высказывание? (…)

— Сегодня вы продолжите открывать новые знания по теме: «Уравнения».

— Раз сегодня вы будете узнавать новое, как вы будете работать? (…)

— Любой урок вы с чего начинаете? (С повторения.)

2. Актуализация знаний и фиксация индивидуального затруднения в пробном действии.

На доске эталоны прошлого урока и подробный образец для самопроверки домашнего задания (Д-35.4, слайд 2):


— Что вы использовали при решении уравнений?

— Проверьте свои работы.

Дальше при необходимости проводится коррекция ошибок.

— Что вы сейчас повторили? (…)

— Какое следующее задание я вам предложу? (Задание с затруднением, задание, в котором будет, что-то новое. )

— Откройте рабочие тетради на стр. 54, выполняем задание № 2 (а).

Уравнение составляется фронтально: х + 2 = 3 + 5. Уравнение записывается на доске.

— Что нового в этом уравнении? (Справа не число, а сумма чисел.)

— Решите данное уравнение, используя только ранее изученные алгоритмы.

— Поднимите руки, кто не решил уравнение. (…)

— В чём у вас затруднение? (Не смогли решить уравнение.)

— Поднимите руки, кто выполнил задание (…)

— Каким алгоритмом вы пользовались? (…)

— В чём у вас затруднение? (Мы не можем назвать алгоритм, которым воспользовались.)

— Что будете дальше делать? (Будем разбираться, в чём причина, возникшего затруднения.)

3.Выявление места и причины затруднения.

— Какое задание выполняли? (Должны были решить уравнение, используя построенный алгоритм.)

— Каким алгоритмом пользовались? (….)

— Почему возникло затруднение? (У нас нет алгоритма решения уравнений, в правой части которых числовое выражение. )

4. Построение проекта выхода из затруднения.

— Сформулируйте цель урока? (Составить алгоритм решения уравнений, где в одной части числовое выражение.)

— Тогда тема сегодня на уроке? (Уравнения.)

Учитель фиксирует тему на доске.

— Что вам может помочь при открытии нового? (Известный алгоритм решения уравнений.)

— Что вам нужно будет сделать с алгоритмом? (Изменить его для нашего случая.)

— Тогда по какому плану вы будете действовать?

1) Определим, какого шага не хватает.

2) Дополним известный алгоритм решения уравнений.

План фиксируется на доске.

5. Реализация построенного проекта.

Учащимся предлагается поработать в группах, одна из групп представляет свой вариант, остальные работают на дополнение, уточнение.

Построенный ранее алгоритм решения уравнений дополняется еще одним шагом, который выполняется первым: найти значение числового выражения.

Алгоритм приобретает вид (Д-35. 5):

Найти значение числового выражения


Определить неизвестный компонент действий


Выбрать и применить правило его нахождения


Выполнить действие


При необходимости сделать проверку

Назвать ответ

— Вы теперь можете выполнить пробное действие?

— Я вам предлагаю поработать в парах.

Учащиеся работают самостоятельно, проверка проводится фронтально.

— Что вы можете сказать о затруднении? (Мы справились с ним.)

6. Первичное закрепление во внешней речи.

— Что теперь надо сделать? (Научиться применять новый алгоритм при решении уравнений.)

№ 3 (РТ) стр. 54.

Решение уравнений всех видов с комментированием в громкой речи.

Решение заданий:

а) б) в) г)

х + 138 = 250 – 86 243 600 : х = 5  8 3540 – х = 58  60 х : 307 = 100 − 20

х + 138 = 164 243 600 : х = 40 3540 – х = 3480 х : 307 = 80

х = 164 – 138 х = 243 600 : 40 х = 3540 – 3480 х = 80  307

х = 26 х = 6090 х = 60 х = 24 560

Задание № 2 (У) (а, в, д), стр.

81 выполняется в парах, с самопроверкой по подробному образцу (Д-35.6, слайд 3):


7. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

— Какой следующий шаг необходимо сделать? (Надо проверит свои знания.)

Для самостоятельной работы предлагается № 2 (б, г, е) (У), стр.81. На выполнение задания отводится 5 минут.

— Проверьте себя по подробному образцу для самопроверки (Д-35.7, слайд 4):


— Как вы выполняли задание? (…)

— В чём причина допущенных ошибок? (…)

8. Включение в систему знаний и повторение.

№ 8 (а, б, г) (У), стр. 82.

а) 12 мин 23 с + 7 мин 52 с = 19 мин 75 с = 20 мин 15 с;

б) 6ч 18 мин – 3 ч 49 мин =2 ч 29 мин

. 60

6 ч 18 мин

3 ч 49 мин

2 ч 29 мин

г) 7 ч 36 мин + 4 ч 48 мин – 2 ч 39 мин = 9 ч 45 мин

7 ч 36 мин 11 ч 84 мин

4 ч 48 мин 2 ч 39 мин

11ч 84 мин 9 ч 45 мин

9. Рефлексия учебной деятельности на уроке.

— Что нового вы сегодня узнали? (.)

— Чем вы пользовались при открытии нового? (Алгоритмом решения уравнений любого вида.)

— Можно сказать, что вы учились? (Да.)

— Можно сказать, что вы сегодня совершили открытие того, что вы уже давно знаете? (…)

— Что вам помогало при решении уравнений? (Алгоритм решения уравнений.)

— Проанализируйте свою работу на уроке (…)

— На планшетках ответьте на вопросы, подставив «+» или «?».

1) Я знаю, как решить уравнение, если в одной части числовое выражение.

2) Я сегодня справился с самостоятельной работой

Домашнее задание: № 3 (У), стр. 82 (три любых уравнения), № 8 (в, д) (У), стр. 82, № 10* (У), стр. 82.

Урок математики, 3 класс. Тема: : «Решение уравнений»

МУНИЦИПАЛЬНОЕ КАЗЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ЯРАГКАЗМАЛЯРСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА им. М.ЯРАГСКОГО»

  1. План-конспект

  2. открытого урока по математике

  3. в 3 «б» классе

  4. Дата: 08.02.2019г

Тема: «Решение уравнений»

Разработал учитель начальных классов ,

Имирсадыкова Рейганат Мирземетовна.

Директор МКОУ «Ярагказмалярская СОШ имени М.Ярагского»

Аюбова Фезина Михралиевна

2019г

математика: учебник для 3 класса в 2-х ч УМК «Школа России»

Школа: МКОУ «Ярагказмалярская СОШ им.М.Ярагского»

Учитель начальных классов: Имирсадыкова Рейганат Мирземетовна

Дата: 08.02.2019г

Класс: 3 «б»

Урок математики, 3 класс.
Тема: : «Решение уравнений»

Тип урока: урок введения новых знаний.

Цель: познакомить с уравнениями нового вида.

Задачи:

  • Учить решать уравнения нового вида, которые будут вводиться через текстовую задачу.

  • Развивать умение переносить ранее изученные знания на новый материал.

  • Развивать интеллектуальные и коммуникативные умения, умения

Планируемые результаты:

Предметные:

Понимать, что такое «уравнение», «решить уравнение». Знать способ решения уравнения (на основе взаимосвязи между компонентами).

Уметь решать простые уравнения. Уметь решать задачи способом составления уравнения, читать математические выражения, неравенства, равенства.

Личностные:

Уметь проводить самооценку на основе критерия успешности учебной деятельности.

Метапредметные:

Уметь определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя; проговаривать последовательность действий на уроке; работать по коллективно составленному плану; оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки; планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок; высказывать своё предположение (Регулятивные УУД).

Уметь оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других; совместно договариваться о правилах поведения и общения в школе и следовать им (Коммуникативные УУД).

Уметь ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя; добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке (Познавательные УУД).

Оборудование:

  • компьютер, телевизор, презентация.

  • Лист самооценки учащихся представлен в Приложение 1

  • Листики для работы в группах

  • Карточки с домашним заданием ( разноуровневые задания).

Ход урока

I. Организация класса.

Положительный настрой на работу.

II. Актуализация знаний.

Ребята, вы согласны, что сейчас период повышенного распространения вирусных заболеваний. И что важно заботиться о здоровье? На что, нужно обратить внимание?

(Здоровый образ жизни. Гигиена . Здоровое питание.)

Знать о пользе разных продуктов?

Вы любите ягоды? Не случайно вас спрашиваю. Вы сейчас потренируетесь в счёте и заодно узнаете о пользе и лечебных свойствах некоторых ягод и фруктов.

Работа в тетрадях.

  1. Математическая разминка + тема здоровья 

(лечебные свойства ягод, фруктов)

Послушайте задачи и запишите выражения в тетрадях:

а) Семья собрала летом с одного куста 2 кг черной смородины. Сколько всего кг смородины собрала семья с 11 таких кустов?

В плодах черной смородины много витамина Е, С в 20 раз больше, чем в яблоках и апельсинах. Витамины — необходимы для растущего организма.

б) Юля разделила поровну 30 мандаринов среди пяти своих подруг. Сколько мандаринов получила каждая из них?

При простуде и кашле — рекомендуется каждое утро выпивать по стакану мандаринового сока. Эфирное масло мандарина поднимает настроение.

в) На зиму заготовили 4 баночки малины, а клюквы в 6 раз больше. Сколько банок с клюквой заготовили на зиму?

Раны и ожоги, промытые клюквенным соком, моментально заживают. Брусника повышает остроту зрения и рекомендуются пилотам, морякам, водителям, работающим с напряжением зрения и ученикам.

г) Масса арбуза 12 кг, Сколько кг в 2,…3… арбузах?

Арбузы прекрасно утоляют жажду и выводят из организма ядовитые вещества.

Проверьте. (Слайд № 2 по щелчку)

Дети выполняют отметку в листе самооценки. Приложение 1.)

Какие знания понадобились для решения задач? (Знания таблицы умножения и деления)

Отлично справились с заданием.

Продолжаем математическую разминку:

2. Игра.

На какие 2 группы можно разбить записи? (Слайд № 3 по щелчку)

505 — 5

Х+ 20= 70

Х- 40 =30

808 — 8

(Уравнения и числовые выражения)

(Равенство с неизвестным)

III. Подводящий диалог к формулированию новой темы.

Сообщение темы урока.

Составление целей урока:

Обучающие: учиться решать уравнение нового типа;

Развивающие: развивать речевой аппарат, внимание, память, логическое мышление, применять знания в повседневной жизни;

Воспитывающие: выполнять правила для учащихся, уметь слышать, слушать, комментировать;

Что такое уравнение? Урав­не­ние – это ма­те­ма­ти­че­ское ра­вен­ство, ко­то­рое со­дер­жит неиз­вест­ное число. Неиз­вест­ное число обо­зна­ча­ют бук­ва­ми ла­тин­ско­го ал­фа­ви­та.

Что зна­чит «ре­шить урав­не­ние»?

Ре­шить урав­не­ние – зна­чит найти такое чис­ло­вое зна­че­ние неиз­вест­но­го, при ко­то­ром ра­вен­ство будет вер­ным.

В ма­те­ма­ти­ке го­во­рят: ре­шить урав­не­ние – это зна­чит найти ко­рень урав­не­ния.

Работа с компонентами ( сложение, вычитание, умножение, деление)

Решение уравнений по вариантам. (1 –В Х+ 20= 70; 2 –В Х- 40 =30)

Проверка решения уравнений по рядам. (Слайд № 4).

Оцените своё решение (Дети делают отметку в листе самооценки.Приложение 1.)

III. Подводящий диалог к формулированию новой темы.

  1. Работа с рисунками. 

По этому рисунку давайте составим задачу и решим её. (слайд № 5 )

Ребята, перечислите предметы, которые здесь изображены художником? (Весы, гири, тыква).

Что за цифры на гирях. Зачем они? (Указывают массу гирь)

Скажите, в каком положении находятся весы (Весы находятся в равновесии)

Запишем то, что видите на картинке с помощью цифр, математических знаков(слайд № 6 по щелчку)

Что лежит сначала на левой чаше весов? (Тыква)

Какова её масса? (Неизвестна)

Как её можно обозначить?( Давайте обозначим массу тыкву буквой Х)

Что ещё находиться на этой же чаше? (Гиря массой в 2 кг)

Если это вместе на одной чаше весов, какой знак между числами поставим?

( х+2)

(Аналогично с правой чашей весов) Перечисляют и появляется запись: 5 5 5

Весы в равновесии, какой знак поставим между записями ? (Равенства)

Интересная запись! Х + 2 = 5 x 3

Давайте это запишем в тетрадь.

А я догадалась, как правую часть проще записать, а вы?

(5 x 3 сумма одинаковых слагаемых)

Х + 2 = 5 x 3

Что вы заметили? Что напоминает вам эта запись? (Похоже на уравнение)

А решали такие сложные уравнения? (Нет)

IV. Оздоровительная минутка.

Видеоролик «Фрукты»

V. Совместное «открытие» нового знания.

Работа в группах.

Проведём свои наблюдения, исследовательскую работу. Помогайте друг другу.

С чего бы вы начали решение этого уравнения?

Сделайте его проще!(Можно найти произведение 5 и 3. Мы получили уравнение, которое уже умеем решать: Х +2 = 15)

Неизвестно 1 слагаемое. Чтобы его найти, необходимо из суммы вычесть известное слагаемое.

Корень — 13 (слайд № 8 по щелчку)

Молодцы! Вы сделали открытие!

Смогли сами справиться с таким сложным заданием.

Сделайте отметку в листе самооценки. Делают отметку в листе самооценки.

(работа в группах)

Если уч-ся не смогут самостоятельно решить данное уравнение, то предложить готовое решение . ( № 1 стр. 88 учебника)

Откуда появляется число 15 в уравнении? (Произведение 5 и 3)

Витя решил уравнение так:

Х + 2 = 5 x 3

Х + 2 = 15

Х = 15 — 2

Х = 13

Ответ 13 килограммов масса камбалы.

Чему же равна масса рыбы?(Масса рыбы — 13 кг)

VI. Первичное закрепление.

Попытайтесь сами решить уравнение

Самостоятельная работа по вариантам (разно уровневая)(слайд № 11)

R + 10 = 43

2 х С = 24

х + 3 = 14 : 2

9 — у = 13 — 6

Проверка самостоятельной работы. (слайд № 12, 13)

VIII. Рефлексия.

IX. Итог урока.

Чему учились на уроке? (Учились решать сложные уравнения)

Проанализируйте свою деятельность.(лист самооценки) Вложите в свои тетради. (Заполненный лист самооценки вкладывают в тетради, тетради сдают).

Как работалось в команде?( Ответы детей)

О пользе каких ягод и фруктов вы узнали?(клюквы, черной смородины, арбуза, мандаринов, тыквы)

X. Домашнее задание. (дифференцированное)

Чтобы научиться решать задачи с уравнениями, вы потренируйтесь в решении уравнений дома. Здесь и пригодятся полученные знания новой темы урока.

(Учащимся предлагаются разно уровневые карточки с уравнениями. Дети, оценивая степень усвоения, выбирают себе карточку легче по уровню или труднее)

1 уровень:

Х + 4= 3+3+3+3

3 + Х= 2 x 6

7+ у = 16 — 3

40 — а =30+ 8

*2 уровень

9 + у = 12 x 6

40 — а = 30 : 5

88 : с = 55 : 5

Х x 10 = 16 x 5

Дополнительный материал. (если останется время) Слайд № 13.

Игра.

Найдите зашифрованное слово.

12 х 2 = 24 ( З )

36 : 3 = 12 (Д)

40 : 10 = 4 (О)

18 + 12 = 30 (Р)

0 х 15 = 0 (О)

4 : 0 = нельзя (В)

1 х 35 = 35 (Ь)

16 : 2 = 8 (Я) Спасибо за урок!

Общие сведения об уравнениях.

Конспект урока по математике «Решение уравнений» (3 класс) Уравнения является неизвестным слагаемым

§ 1 Как найти неизвестное слагаемое

Как найти корень уравнения, если неизвестно одно из слагаемых? В этом уроке рассмотрим метод решения уравнений на основе связи между слагаемыми и значением суммы.

Давайте решим такую задачу.

На клумбе росло 6 красных тюльпанов и 3 желтых. Сколько всего тюльпанов росло на клумбе? Запишем решение. Итак, росло 6 красных и 3 желтых тюльпана, следовательно, мы можем записать выражение 6+3, выполнив сложение, получим результат — на клумбе росло 9 тюльпанов.

Запишем решение. Итак, росло 6 красных и 3 желтых тюльпана, следовательно, мы можем записать выражение 6+3, выполнив сложение, получим результат — на клумбе росло 9 тюльпанов. 6 + 3 = 9.

Давайте изменим условие задачи. На клумбе росло 9 тюльпанов, 6 сорвали. Сколько тюльпанов осталось?

Чтобы узнать, сколько тюльпанов осталось на клумбе, необходимо из общего количества тюльпанов 9 вычесть сорванные цветы, их 6.

Произведем вычисления: 9-6 получим результат 3. На клумбе осталось 3 тюльпана.

Снова преобразуем эту задачу. Росло 9 тюльпанов, 3 сорвали. Сколько тюльпанов осталось?

Решение будет выглядеть так: из общего количества тюльпанов 9 необходимо вычесть сорванные цветы, их 3. Осталось 6 тюльпанов.

Давайте внимательно рассмотрим равенства и постараемся выяснить, каким образом они связаны между собой.

Как можно заметить, в этих равенствах записаны одни и те же числа и взаимообратные действия: сложение и вычитание.

Вернемся к решению первой задачи и рассмотрим выражение 6 + 3 = 9.

Давайте вспомним, как называются числа при сложении:

6 — это первое слагаемое

3 — второе слагаемое

9 — значение суммы

А теперь подумаем, как мы получили разности 9 — 6 = 3 и 9 — 3 = 6?

В равенстве 9 — 6 = 3 из значения суммы9 вычли первое слагаемое6, получили второе слагаемое3.

В равенстве 9 — 3 = 6 из значения суммы9 вычли второе слагаемое3, получили первое слагаемое6.

Следовательно, если из значения суммы вычесть первое слагаемое, то получится второе слагаемое, а если из значения суммы вычесть второе слагаемое, то получится первое слагаемое.

Сформулируем общее правило:

Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из значения суммы вычесть известное слагаемое.

§ 2 Примеры решения уравнений с неизвестным слагаемым

Давайте рассмотрим уравнения с неизвестными слагаемыми и попробуем с помощью этого правила найти корни.

Решим уравнение Х + 5 = 7.

В этом уравнении неизвестно первое слагаемое. Чтобы его найти, воспользуемся правилом: чтобы найти неизвестное первое слагаемое X, необходимо из значения суммы 7 вычесть второе слагаемое 5.

Значит, Х = 7 — 5,

найдем разность 7 — 5 = 2 , Х = 2.

Проверим, правильно ли мы нашли корень уравнения. Для осуществления проверки необходимо подставить в уравнение вместо Х число 2:

7 = 7 — получили верное равенство. Делаем вывод: число 2 является корнем уравнения Х+5=7.

Решим еще одно уравнение 8 + У =17.

В этом уравнении неизвестно второе слагаемое.

Чтобы его найти, необходимо из значения суммы 17 вычесть первое слагаемое 8.

Сделаем проверку: подставим вместо У число 9. Получим:

17 = 17 — получили верное равенство.

Следовательно, число 9 является корнем уравнения 8 + У = 17.

Итак, на уроке мы познакомились с методом решения уравнений на основе связи между слагаемыми и значением суммы. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из значения суммы вычесть известное слагаемое.

Список использованной литературы:

  1. И.И. Аргинская, Е.И. Ивановская, С.Н. Кормишина. Математика: Учебник для 2 класса: В 2ч. — Самара: Издательство «Учебная литература»: Издательский дом «Федоров», 2012.
  2. Аргинская И.И. Сборник заданий по математике для самостоятельных, проверочных и контрольных работ в начальной школе. — Самара: Корпорация «Федоров», Издательство «Учебная литература», 2006.

Использованные изображения:

Урок 80-81. Тема: «Решение уравнений»

Цели: учить решать уравнения с неизвестным слагаемым; повторить соотношение единиц длины; закреплять навыки вы-числений в столбик; развивать умения рассуждать и логически мыслить.

Планируемые результаты: учащиеся научатся решать урав-нения на нахождение неизвестного слагаемого; выполнять пись-менные вычисления, используя изученные приемы; понимать причины успеха/неуспеха учебной деятельности.

Ход урока

I . Организационный момент

II . Актуализациязнаний

Математический диктант

1. На сколько 67 меньше 89? (На 22.)

2. Из 7 десятков вычесть 4 десятка. (30.)

3. Увеличить 23 на 32. (55.)

4. Какое число я уменьшила на 27 и получила 23? (50.)

5. На сколько нужно увеличить 43, чтобы получилось 70? (На 27.)

6. Из суммы чисел 9 и 6 вычесть 10. (5.)

7. Какое число нужно вычесть из 64, чтобы получилось 37? (27. )

8. К какому числу прибавили 0 и получили 44? (44.)

9. К 21 прибавить разность чисел 14 и 6. (29.) 10. Сумма чисел 33, 16,4 и 27. (80.)

(Проверка.Самооценка.)

III . Самоопределение к деятельности

Составьте еще три примера, используя данный пример. 6 + 4=10

(Учитель записывает примеры на доске.) 4 + 6=10 10-4 = 6 10-6 = 4

Какое правило вы применили при составлении примера насложение? (От перестановки слагаемых сумма не меня-ется.)

Какое правило вы применили при составлении примера на вычитание? (Если из суммы вычесть одно слагаемое, то по-лучится другое слагаемое.)

Чтобы узнать тему урока, разгадайте кроссворд.

1. Они бывают числовые и буквенные. (Выражения.)

2. Числа, которые складывают, называют. (Слагаемые.)

3. Число, из которого вычитают. (Уменьшаемое.)

4. Математический знак вычитания. (Минус. )

5. Равенство, которое содержит неизвестное число. (Уравнение.)

6. Сумма длин сторон фигуры. (Периметр.)

7. Выражение со знаком «плюс». (Сумма.)

8. Запись, в которой есть знак «равно». (Равенство.)

9. Наименьшее двузначное число. (Десять.) 10. Латинская буква. (Икс.)

Что получилось в выделенной строке? (Решение уравнений.)

Тема урока: «Решение уравнений с неизвестным слагае-мым». Какие задачи мы поставим перед собой?

IV . Работа по теме урока

1. Работа по учебнику

Рассмотрите фишки домино на с. 7 учебника и примеры, записанные рядом. Как получены примеры на вычитание? Каким правилом воспользовались при их составлении? За-кончите вывод. (Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.)

1 (с. 7). (Устное выполнение.)

2 (с. 7). (Коллективное выполнение с подробным объяснением. )

2. Самостоятельное решение уравнений

Вариант 1 Вариант 2

х + 45 = 92 75+х = 81

26+х = 50 х + 22 = 70

(Два ученика записывают решение на откидной доске. Про-верка. Самооценка.)

Решение:

х + 45 = 92 75 + х = 81

х = 92-45 х = 81-75

х = 47 х = 6

26+х=50 х + 22 = 70

х = 50 – 26 х = 70 — 22

3. Работа по учебнику

3(с. 7). (Устное выполнение.)

4 (с. 7). (Самостоятельное выполнение.Тем, кто испытывает затрудне-ния, учитель дает карточку-помощницу с программой решения.) 1) Сколько стаканов малины собрала сестра?

2) Сколько стаканов малины собрали вместе?(Проверка.Самооценка.)

V . Физкультминутка

Я иду, и ты идешь — раз, два, три.{Шаги на месте.)

Я пою, и ты поешь — раз, два, три.(Хлопки в ладоши.)

Мы идем и поем — раз, два, три.(Прыжки на месте. )

Очень дружно мы живем — раз, два, три.(Шаги на месте.)

VI . Закрепление изученного материала

Работа по учебнику № 1 (с. 14).

Какие единицы длины вы знаете?

Сколько миллиметров в 1 см? (Самостоятельное выполнение.Проверка.)Решение:

5 см 3 мм = 53 мм

3 см 8 мм = 38 мм №2 (с. 14).

(Самостоятельное выполнение.Проверка.)

1) Решение:

АВ= 3 см 5 мм, CD = 5 см 5 мм;

5 см 5 мм — 3 см 5 мм = 2 см.

Ответ: длина отрезка CD на 2 см больше длины отрезка АВ.

2) Решение: ЕКМО = 2 см + 4 см + 1 см 5 мм = 7 см 5 мм. №3(с. 14).

(Самостоятельное выполнение. Проверка. Самооценка.)

Решение:

2 см = 20 мм

4 см 2 мм > 40 мм 30 мм = 3 см

4 см 5 мм см

VII . Рефлексия

(«Проверь себя» (учебник, с. 7). Самостоятельное выполне-ние. Проверка.)

Решение: 15+х = 35 х = 35-15 х = 20

VIII . Подведение итогов урока

Какой вид уравнений вспомнили сегодня?

Как найти неизвестное слагаемое?

Кому нужна помощь?

Домашнее задание: Рабочая тетрадь: № 10, 11 (с. 6).

Уравнения — одна из сложных тем для усвоения, но при этом они являются достаточно мощным инструментом для решения большинства задач.

С помощью уравнений описываются различные процессы, протекающие в природе. Уравнения широко применяются в других науках: в экономике, физике, биологии и химии.

В данном уроке мы попробуем понять суть простейших уравнений, научимся выражать неизвестные и решим несколько уравнений. По мере усвоения новых материалов, уравнения будут усложняться, поэтому понять основы очень важно.

Предварительные навыки Содержание урока

Что такое уравнение?

Уравнение — это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой требуется найти. Это значение должно быть таким, чтобы при его подстановке в исходное уравнение получалось верное числовое равенство.

Например выражение 3 + 2 = 5 является равенством. При вычислении левой части получается верное числовое равенство 5 = 5 .

А вот равенство 3 + x = 5 является уравнением, поскольку содержит в себе переменную x , значение которой можно найти. Значение должно быть таким, чтобы при подстановке этого значения в исходное уравнение, получилось верное числовое равенство.

Другими словами, мы должны найти такое значение, при котором знак равенства оправдал бы свое местоположение — левая часть должна быть равна правой части.

Уравнение 3 + x = 5 является элементарным. Значение переменной x равно числу 2. При любом другом значении равенство соблюдáться не будет

Говорят, что число 2 является корнем или решением уравнения 3 + x = 5

Корень или решение уравнения — это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Корней может быть несколько или не быть совсем. Решить уравнение означает найти его корни или доказать, что корней нет.

Переменную, входящую в уравнение, иначе называют неизвестным . Вы вправе называть как вам удобнее. Это синонимы.

Примечание . Словосочетание «решить уравнение» говорит самó за себя. Решить уравнение означает «уравнять» равенство — сделать его сбалансированным, чтобы левая часть равнялась правой части.

Выразить одно через другое

Изучение уравнений по традиции начинается с того, чтобы научиться выражать одно число, входящее в равенство, через ряд других. Давайте не будем нарушать эту традицию и поступим также.

Рассмотрим следующее выражение:

8 + 2

Данное выражение является суммой чисел 8 и 2. Значение данного выражения равно 10

8 + 2 = 10

Получили равенство. Теперь можно выразить любое число из этого равенства через другие числа, входящие в это же равенство. К примеру, выразим число 2.

Чтобы выразить число 2, нужно задать вопрос: «что нужно сделать с числами 10 и 8, чтобы получить число 2». Понятно, что для получения числа 2, нужно из числа 10 вычесть число 8.

Так и делаем. Записываем число 2 и через знак равенства говорим, что для получения этого числа 2 мы из числа 10 вычли число 8:

2 = 10 − 8

Мы выразили число 2 из равенства 8 + 2 = 10 . Как видно из примера, ничего сложного в этом нет.

При решении уравнений, в частности при выражении одного числа через другие, знак равенства удобно заменять на слово «есть» . Делать это нужно мысленно, а не в самом выражении.

Так, выражая число 2 из равенства 8 + 2 = 10 мы получили равенство 2 = 10 − 8 . Данное равенство можно прочесть так:

2 есть 10 − 8

То есть знак = заменен на слово «есть». Более того, равенство 2 = 10 − 8 можно перевести с математического языка на полноценный человеческий язык. Тогда егоможно будет прочитать следующим образом:

Число 2 есть разность числа 10 и числа 8

Число 2 есть разница между числом 10 и числом 8.

Но мы ограничимся лишь заменой знака равенства на слово «есть», и то будем делать это не всегда. Элементарные выражения можно понимать и без перевода математического языка на язык человеческий.

Вернём получившееся равенство 2 = 10 − 8 в первоначальное состояние:

8 + 2 = 10

Выразим в этот раз число 8. Что нужно сделать с остальными числами, чтобы получить число 8? Верно, нужно из числа 10 вычесть число 2

8 = 10 − 2

Вернем получившееся равенство 8 = 10 − 2 в первоначальное состояние:

8 + 2 = 10

В этот раз выразим число 10. Но оказывается, что десятку выражать не нужно, поскольку она уже выражена. Достаточно поменять местами левую и правую часть, тогда получится то, что нам нужно:

10 = 8 + 2

Пример 2 . Рассмотрим равенство 8 − 2 = 6

Выразим из этого равенства число 8. Чтобы выразить число 8 остальные два числа нужно сложить:

8 = 6 + 2

Вернем получившееся равенство 8 = 6 + 2 в первоначальное состояние:

8 − 2 = 6

Выразим из этого равенства число 2. Чтобы выразить число 2, нужно из 8 вычесть 6

2 = 8 − 6

Пример 3 . Рассмотрим равенство 3 × 2 = 6

Выразим число 3. Чтобы выразить число 3, нужно 6 разделить 2

Вернем получившееся равенство в первоначальное состояние:

3 × 2 = 6

Выразим из этого равенства число 2. Чтобы выразить число 2, нужно 6 разделить 3

Пример 4 . Рассмотрим равенство

Выразим из этого равенства число 15. Чтобы выразить число 15, нужно перемножить числа 3 и 5

15 = 3 × 5

Вернем получившееся равенство 15 = 3 × 5 в первоначальное состояние:

Выразим из этого равенства число 5. Чтобы выразить число 5, нужно 15 разделить 3

Правила нахождения неизвестных

Рассмотрим несколько правил нахождения неизвестных. Возможно, они вам знакомы, но не мешает повторить их ещё раз. В дальнейшем их можно будет забыть, поскольку мы научимся решать уравнения, не применяя эти правила.

Вернемся к первому примеру, который мы рассматривали в предыдущей теме, где в равенстве 8 + 2 = 10 требовалось выразить число 2.

В равенстве 8 + 2 = 10 числа 8 и 2 являются слагаемыми, а число 10 — суммой.

Чтобы выразить число 2, мы поступили следующим образом:

2 = 10 − 8

То есть из суммы 10 вычли слагаемое 8.

Теперь представим, что в равенстве 8 + 2 = 10 вместо числа 2 располагается переменная x

8 + x = 10

В этом случае равенство 8 + 2 = 10 превращается в уравнение 8 + x = 10 , а переменная x неизвестного слагаемого

Наша задача найти это неизвестное слагаемое, то есть решить уравнение 8 + x = 10 . Для нахождения неизвестного слагаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

Что мы в принципе и сделали, когда выражали двойку в равенстве 8 + 2 = 10 . Чтобы выразить слагаемое 2, мы из суммы 10 вычли другое слагаемое 8

2 = 10 − 8

А сейчас, чтобы найти неизвестное слагаемое x , мы должны из суммы 10 вычесть известное слагаемое 8:

x = 10 − 8

Если вычислить правую часть получившегося равенства, то можно узнать чему равна переменная x

x = 2

Мы решили уравнение. Значение переменной x равно 2 . Для проверки значение переменной x отправляют в исходное уравнение 8 + x = 10 и подставляют вместо x. Так желательно поступать с любым решённым уравнением, поскольку нельзя быть точно уверенным, что уравнение решено правильно:

В результате

Это же правило действовало бы в случае, если неизвестным слагаемым было бы первое число 8.

x + 2 = 10

В этом уравнении x — это неизвестное слагаемое, 2 — известное слагаемое, 10 — сумма. Чтобы найти неизвестное слагаемое x , нужно из суммы 10 вычесть известное слагаемое 2

x = 10 − 2

x = 8

Вернемся ко второму примеру из предыдущей темы, где в равенстве 8 − 2 = 6 требовалось выразить число 8.

В равенстве 8 − 2 = 6 число 8 это уменьшаемое, число 2 — вычитаемое, число 6 — разность

Чтобы выразить число 8, мы поступили следующим образом:

8 = 6 + 2

То есть сложили разность 6 и вычитаемое 2.

Теперь представим, что в равенстве 8 − 2 = 6 вместо числа 8 располагается переменная x

x − 2 = 6

В этом случае переменная x берет на себя роль так называемого неизвестного уменьшаемого

Для нахождения неизвестного уменьшаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

Что мы и сделали, когда выражали число 8 в равенстве 8 − 2 = 6 . Чтобы выразить уменьшаемое 8, мы к разности 6 прибавили вычитаемое 2.

А сейчас, чтобы найти неизвестное уменьшаемое x , мы должны к разности 6 прибавить вычитаемое 2

x = 6 + 2

Если вычислить правую часть, то можно узнать чему равна переменная x

x = 8

Теперь представим, что в равенстве 8 − 2 = 6 вместо числа 2 располагается переменная x

8 − x = 6

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного вычитаемого

Для нахождения неизвестного вычитаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

Что мы и сделали, когда выражали число 2 в равенстве 8 − 2 = 6. Чтобы выразить число 2, мы из уменьшаемого 8 вычли разность 6.

А сейчас, чтобы найти неизвестное вычитаемое x , нужно опять же из уменьшаемого 8 вычесть разность 6

x = 8 − 6

Вычисляем правую часть и находим значение x

x = 2

Вернемся к третьему примеру из предыдущей темы, где в равенстве 3 × 2 = 6 мы пробовали выразить число 3.

В равенстве 3 × 2 = 6 число 3 — это множимое, число 2 — множитель, число 6 — произведение

Чтобы выразить число 3 мы поступили следующим образом:

То есть разделили произведение 6 на множитель 2.

Теперь представим, что в равенстве 3 × 2 = 6 вместо числа 3 располагается переменная x

x × 2 = 6

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного множимого .

Для нахождения неизвестного множимого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное множимое, нужно произведение разделить на множитель.

Что мы и сделали, когда выражали число 3 из равенства 3 × 2 = 6 . Произведение 6 мы разделили на множитель 2.

А сейчас для нахождения неизвестного множимого x , нужно произведение 6 разделить на множитель 2.

Вычисление правой части позволяет нам найти значение переменной x

x = 3

Это же правило применимо в случае, если переменная x располагается вместо множителя, а не множимого. Представим, что в равенстве 3 × 2 = 6 вместо числа 2 располагается переменная x .

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного множителя . Для нахождения неизвестного множителя предусмотрено такое же, что и для нахождения неизвестного множимого, а именно деление произведения на известный множитель:

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое.

Что мы и сделали, когда выражали число 2 из равенства 3 × 2 = 6 . Тогда для получения числа 2 мы разделили произведение 6 на множимое 3.

А сейчас для нахождения неизвестного множителя x мы разделили произведение 6 на множимое 3.

Вычисление правой части равенства позволяет узнать чему равно x

x = 2

Множимое и множитель вместе называют сомножителями. Поскольку правила нахождения множимого и множителя совпадают, мы можем сформулировать общее правило нахождения неизвестного сомножителя:

Чтобы найти неизвестный сомножитель, нужно произведение разделить на известный сомножитель.

Например, решим уравнение 9 × x = 18 . Переменная x является неизвестным сомножителем. Чтобы найти этот неизвестный сомножитель, нужно произведение 18 разделить на известный сомножитель 9

Решим уравнение x × 3 = 27 . Переменная x является неизвестным сомножителем. Чтобы найти этот неизвестный сомножитель, нужно произведение 27 разделить на известный сомножитель 3

Вернемся к четвертому примеру из предыдущей темы, где в равенстве требовалось выразить число 15. В этом равенстве число 15 — это делимое, число 5 — делитель, число 3 — частное.

Чтобы выразить число 15 мы поступили следующим образом:

15 = 3 × 5

То есть умножили частное 3 на делитель 5.

Теперь представим, что в равенстве вместо числа 15 располагается переменная x

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного делимого .

Для нахождения неизвестного делимого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.

Что мы и сделали, когда выражали число 15 из равенства . Чтобы выразить число 15, мы умножили частное 3 на делитель 5.

А сейчас, чтобы найти неизвестное делимое x , нужно частное 3 умножить на делитель 5

x = 3 × 5

x .

x = 15

Теперь представим, что в равенстве вместо числа 5 располагается переменная x .

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного делителя .

Для нахождения неизвестного делителя предусмотрено следующее правило:

Что мы и сделали, когда выражали число 5 из равенства . Чтобы выразить число 5, мы разделили делимое 15 на частное 3.

А сейчас, чтобы найти неизвестный делитель x , нужно делимое 15 разделить на частное 3

Вычислим правую часть получившегося равенства. Так мы узнаем чему равна переменная x .

x = 5

Итак, для нахождения неизвестных мы изучили следующие правила:

  • Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое;
  • Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое;
  • Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность;
  • Чтобы найти неизвестное множимое, нужно произведение разделить на множитель;
  • Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое;
  • Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель;
  • Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

Компоненты

Компонентами мы будем называть числа и переменные, входящие в равенство

Так, компонентами сложения являются слагаемые и сумма

Компонентами вычитания являются уменьшаемое , вычитаемое и разность

Компонентами умножения являются множимое , множитель и произведение

Компонентами деления являются делимое, делитель и частное

В зависимости от того, с какими компонентами мы будем иметь дело, будут применяться соответствующие правила нахождения неизвестных. Эти правила мы изучили в предыдущей теме. При решении уравнений желательно знать эти правило наизусть.

Пример 1 . Найти корень уравнения 45 + x = 60

45 — слагаемое, x — неизвестное слагаемое, 60 — сумма. Имеем дело с компонентами сложения. Вспоминаем, что для нахождения неизвестного слагаемого, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

x = 60 − 45

Вычислим правую часть, получим значение x равное 15

x = 15

Значит корень уравнения 45 + x = 60 равен 15.

Чаще всего неизвестное слагаемое необходимо привести к виду при котором его можно было бы выразить.

Пример 2 . Решить уравнение

Здесь в отличие от предыдущего примера, неизвестное слагаемое нельзя выразить сразу, поскольку оно содержит коэффициент 2. Наша задача привести это уравнение к виду при котором можно было бы выразить x

В данном примере мы имеем дело с компонентами сложения — слагаемыми и суммой. 2x — это первое слагаемое, 4 — второе слагаемое, 8 — сумма.

При этом слагаемое 2x содержит переменную x . После нахождения значения переменной x слагаемое 2x примет другой вид. Поэтому слагаемое 2x можно полностью принять за неизвестное слагаемое:

Теперь применяем правило нахождения неизвестного слагаемого. Вычитаем из суммы известное слагаемое:

Вычислим правую часть получившегося уравнения:

Мы получили новое уравнение . Теперь мы имеем дело с компонентами умножения: множимым, множителем и произведением. 2 — множимое, x — множитель, 4 — произведение

При этом переменная x является не просто множителем, а неизвестным множителем

Чтобы найти этот неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое:

Вычислим правую часть, получим значение переменной x

Для проверки найденный корень отправим в исходное уравнение и подставим вместо x

Пример 3 . Решить уравнение 3x + 9x + 16x = 56

Cразу выразить неизвестное x нельзя. Сначала нужно привести данное уравнение к виду при котором его можно было бы выразить.

Приведем в левой части данного уравнения:

Имеем дело с компонентами умножения. 28 — множимое, x — множитель, 56 — произведение. При этом x является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое:

Отсюда x равен 2

Равносильные уравнения

В предыдущем примере при решении уравнения 3x + 9x + 16x = 56 , мы привели подобные слагаемые в левой части уравнения. В результате получили новое уравнение 28x = 56 . Старое уравнение 3x + 9x + 16x = 56 и получившееся новое уравнение 28x = 56 называют равносильными уравнениями , поскольку их корни совпадают.

Уравнения называют равносильными, если их корни совпадают.

Проверим это. Для уравнения 3x + 9x + 16x = 56 мы нашли корень равный 2 . Подставим этот корень сначала в уравнение 3x + 9x + 16x = 56 , а затем в уравнение 28x = 56 , которое получилось в результате приведения подобных слагаемых в левой части предыдущего уравнения. Мы должны получить верные числовые равенства

Согласно порядку действий, в первую очередь выполняется умножение:

Подставим корень 2 во второе уравнение 28x = 56

Видим, что у обоих уравнений корни совпадают. Значит уравнения 3x + 9x + 16x = 56 и 28x = 56 действительно являются равносильными.

Для решения уравнения 3x + 9x + 16x = 56 мы воспользовались одним из — приведением подобных слагаемых. Правильное тождественное преобразование уравнения позволило нам получить равносильное уравнение 28x = 56 , которое проще решать.

Из тождественных преобразований на данный момент мы умеем только сокращать дроби, приводить подобные слагаемые, выносить общий множитель за скобки, а также раскрывать скобки. Существуют и другие преобразования, которые следует знать. Но для общего представления о тождественных преобразованиях уравнений, изученных нами тем вполне хватает.

Рассмотрим некоторые преобразования, которые позволяют получить равносильное уравнение

Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.

и аналогично:

Если из обеих частей уравнения вычесть одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.

Другими словами, корень уравнения не изменится, если к обеим частям данного уравнения прибавить (или вычесть из обеих частей) одно и то же число.

Пример 1 . Решить уравнение

Вычтем из обеих частей уравнения число 10

Получили уравнение 5x = 10 . Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти неизвестный сомножитель x , нужно произведение 10 разделить на известный сомножитель 5.

и подставим вместо x найденное значение 2

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение мы вычли из обеих частей уравнения число 10 . В результате получили равносильное уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения так же равен 2

Пример 2 . Решить уравнение 4(x + 3) = 16

Вычтем из обеих частей уравнения число 12

В левой части останется 4x , а в правой части число 4

Получили уравнение 4x = 4 . Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти неизвестный сомножитель x , нужно произведение 4 разделить на известный сомножитель 4

Вернемся к исходному уравнению 4(x + 3) = 16 и подставим вместо x найденное значение 1

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение 4(x + 3) = 16 мы вычли из обеих частей уравнения число 12 . В результате получили равносильное уравнение 4x = 4 . Корень этого уравнения, как и уравнения 4(x + 3) = 16 так же равен 1

Пример 3 . Решить уравнение

Раскроем скобки в левой части равенства:

Прибавим к обеим частям уравнения число 8

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

В левой части останется 2x , а в правой части число 9

В получившемся уравнении 2x = 9 выразим неизвестное слагаемое x

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 4,5

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение мы прибавили к обеим частям уравнения число 8. В результате получили равносильное уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения так же равен 4,5

Следующее правило, которое позволяет получить равносильное уравнение, выглядит следующим образом

Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.

То есть корень уравнения не изменится, если мы перенесем слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак. Это свойство является одним из важных и одним из часто используемых при решении уравнений.

Рассмотрим следующее уравнение:

Корень данного уравнения равен 2. Подставим вместо x этот корень и проверим получается ли верное числовое равенство

Получается верное равенство. Значит число 2 действительно является корнем уравнения .

Теперь попробуем поэкспериментировать со слагаемыми этого уравнения, перенося их из одной части в другую, изменяя знаки.

Например, слагаемое 3x располагается в левой части равенства. Перенесём его в правую часть, изменив знак на противоположный:

Получилось уравнение 12 = 9x − 3x . в правой части данного уравнения:

x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Отсюда x = 2 . Как видим, корень уравнения не изменился. Значит уравнения 12 + 3x = 9x и 12 = 9x − 3x являются равносильными.

На самом деле данное преобразование является упрощенным методом предыдущего преобразования, где к обеим частям уравнения прибавлялось (или вычиталось) одно и то же число.

Мы сказали, что в уравнении 12 + 3x = 9x слагаемое 3x было перенесено в правую часть, изменив знак. В реальности же происходило следующее: из обеих частей уравнения вычли слагаемое 3x

Затем в левой части были приведены подобные слагаемые и получено уравнение 12 = 9x − 3x. Затем опять были приведены подобные слагаемые, но уже в правой части, и получено уравнение 12 = 6x.

Но так называемый «перенос» более удобен для подобных уравнений, поэтому он и получил такое широкое распространение. Решая уравнения, мы часто будем пользоваться именно этим преобразованием.

Равносильными также являются уравнения 12 + 3x = 9x и 3x − 9x = −12 . В этот раз в уравнении 12 + 3x = 9x слагаемое 12 было перенесено в правую часть, а слагаемое 9x в левую. Не следует забывать, что знаки этих слагаемых были изменены во время переноса

Следующее правило, которое позволяет получить равносильное уравнение, выглядит следующим образом:

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение равносильное данному.

Другими словами, корни уравнения не изменятся, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число. Это действие часто применяется тогда, когда нужно решить уравнение содержащее дробные выражения.

Сначала рассмотрим примеры, в которых обе части уравнения будут умножаться на одно и то же число.

Пример 1 . Решить уравнение

При решении уравнений, содержащих дробные выражения, сначала принято упростить это уравнение.

В данном случае мы имеем дело именно с таким уравнением. В целях упрощения данного уравнения обе его части можно умножить на 8:

Мы помним, что для , нужно числитель данной дроби умножить на это число. У нас имеются две дроби и каждая из них умножается на число 8. Наша задача умножить числители дробей на это число 8

Теперь происходит самое интересное. В числителях и знаменателях обеих дробей содержится множитель 8, который можно сократить на 8. Это позволит нам избавиться от дробного выражения:

В результате останется простейшее уравнение

Ну и нетрудно догадаться, что корень этого уравнения равен 4

x найденное значение 4

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

При решении данного уравнения мы умножили обе его части на 8. В результате получили уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения равен 4. Значит эти уравнения равносильны.

Множитель на который умножаются обе части уравнения принято записывать перед частью уравнения, а не после неё. Так, решая уравнение , мы умножили обе части на множитель 8 и получили следующую запись:

От этого корень уравнения не изменился, но если бы мы сделали это находясь в школе, то нам сделали бы замечание, поскольку в алгебре множитель принято записывать перед тем выражением, с которым он перемножается. Поэтому умножение обеих частей уравнения на множитель 8 желательно переписать следующим образом:

Пример 2 . Решить уравнение

В левой части множители 15 можно сократить на 15, а в правой части множители 15 и 5 можно сократить на 5

Раскроем скобки в правой части уравнения:

Перенесем слагаемое x из левой части уравнения в правую часть, изменив знак. А слагаемое 15 из правой части уравнения перенесем в левую часть, опять же изменив знак:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях, получим

Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 5

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно. При решении данного уравнения мы умножили обе го части на 15 . Далее выполняя тождественные преобразования, мы получили уравнение 10 = 2x . Корень этого уравнения, как и уравнения равен 5 . Значит эти уравнения равносильны.

Пример 3 . Решить уравнение

В левой части можно сократить две тройки, а правая часть будет равна 18

Останется простейшее уравнение . Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 9

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Пример 4 . Решить уравнение

Умнóжим обе части уравнения на 6

В левой части уравнения раскроем скобки. В правой части множитель 6 можно поднять в числитель:

Сократим в обеих частях уравнениях то, что можно сократить:

Перепишем то, что у нас осталось:

Воспользуемся переносом слагаемых. Слагаемые, содержащие неизвестное x , сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые свободные от неизвестных — в правой:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Теперь найдем значение переменной x . Для этого разделим произведение 28 на известный сомножитель 7

Отсюда x = 4.

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 4

Получилось верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Пример 5 . Решить уравнение

Раскроем скобки в обеих частях уравнения там, где это можно:

Умнóжим обе части уравнения на 15

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

Сократим в обеих частях уравнения, то что можно сократить:

Перепишем то, что у нас осталось:

Раскроем скобки там, где это можно:

Воспользуемся переносом слагаемых. Слагаемые, содержащие неизвестное, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые, свободные от неизвестных — в правой. Не забываем, что во время переноса, слагаемые меняют свои знаки на противоположные:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

Найдём значение x

В получившемся ответе можно выделить целую часть:

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение

Получается довольно громоздкое выражение. Воспользуемся переменными. Левую часть равенства занесем в переменную A , а правую часть равенства в переменную B

Наша задача состоит в том, чтобы убедиться равна ли левая часть правой. Другими словами, доказать равенство A = B

Найдем значение выражения, находящегося в переменной А.

Значение переменной А равно . Теперь найдем значение переменной B . То есть значение правой части нашего равенства. Если и оно равно , то уравнение будет решено верно

Видим, что значение переменной B , как и значение переменной A равно . Это значит, что левая часть равна правой части. Отсюда делаем вывод, что уравнение решено правильно.

Теперь попробуем не умножать обе части уравнения на одно и то же число, а делить.

Рассмотрим уравнение 30x + 14x + 14 = 70x − 40x + 42 . Решим его обычным методом: слагаемые, содержащие неизвестные, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые, свободные от неизвестных — в правой. Далее выполняя известные тождественные преобразования, найдем значение x

Подставим найденное значение 2 вместо x в исходное уравнение:

Теперь попробуем разделить все слагаемые уравнения 30x + 14x + 14 = 70x − 40x + 42 на какое-нибудь число.Замечаем, что все слагаемые этого уравнения имеют общий множитель 2. На него и разделим каждое слагаемое:

Выполним сокращение в каждом слагаемом:

Перепишем то, что у нас осталось:

Решим это уравнение, пользуясь известными тождественными преобразованиями:

Получили корень 2 . Значит уравнения 15x + 7x + 7 = 35x − 20x + 21 и 30x + 14x + 14 = 70x − 40x + 42 равносильны.

Деление обеих частей уравнения на одно и то же число позволяет освобождать неизвестное от коэффициента. В предыдущем примере когда мы получили уравнение 7x = 14 , нам потребовалось разделить произведение 14 на известный сомножитель 7. Но если бы мы в левой части освободили неизвестное от коэффициента 7, корень нашелся бы сразу. Для этого достаточно было разделить обе части на 7

Этим методом мы тоже будем пользоваться часто.

Умножение на минус единицу

Если обе части уравнения умножить на минус единицу, то получится уравнение равносильное данному.

Это правило следует из того, что от умножения (или деления) обеих частей уравнения на одно и то же число, корень данного уравнения не меняется. А значит корень не поменяется если обе его части умножить на −1 .

Данное правило позволяет поменять знаки всех компонентов, входящих в уравнение. Для чего это нужно? Опять же, чтобы получить равносильное уравнение, которое проще решать.

Рассмотрим уравнение . Чему равен корень этого уравнения?

Прибавим к обеим частям уравнения число 5

Приведем подобные слагаемые:

А теперь вспомним про . Что же представляет собой левая часть уравнения . Это есть произведение минус единицы и переменной x

То есть минус, стоящий перед переменной x, относится не к самой переменной x , а к единице, которую мы не видим, поскольку коэффициент 1 принято не записывать. Это означает, что уравнение на самом деле выглядит следующим образом:

Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти х , нужно произведение −5 разделить на известный сомножитель −1 .

или разделить обе части уравнения на −1 , что еще проще

Итак, корень уравнения равен 5 . Для проверки подставим его в исходное уравнение. Не забываем, что в исходном уравнении минус стоящий перед переменной x относится к невидимой единице

Получилось верное числовое равенство. Значит уравнение решено верно.

Теперь попробуем умножить обе части уравнения на минус единицу:

После раскрытия скобок в левой части образуется выражение , а правая часть будет равна 10

Корень этого уравнения, как и уравнения равен 5

Значит уравнения и равносильны.

Пример 2 . Решить уравнение

В данном уравнении все компоненты являются отрицательными. С положительными компонентами работать удобнее, чем с отрицательными, поэтому поменяем знаки всех компонентов, входящих в уравнение . Для этого умнóжим обе части данного уравнения на −1 .

Понятно, что от умножения на −1 любое число поменяет свой знак на противоположный. Поэтому саму процедуру умножения на −1 и раскрытие скобок подробно не расписывают, а сразу записывают компоненты уравнения с противоположными знаками.

Так, умножение уравнения на −1 можно записать подробно следующим образом:

либо можно просто поменять знаки всех компонентов:

Получится то же самое, но разница будет в том, что мы сэкономим себе время.

Итак, умножив обе части уравнения на −1 , мы получили уравнение . Решим данное уравнение. Из обеих частей вычтем число 4 и разделим обе части на 3

Когда корень найден, переменную обычно записывают в левой части, а её значение в правой, что мы и сделали.

Пример 3 . Решить уравнение

Умнóжим обе части уравнения на −1 . Тогда все компоненты поменяют свои знаки на противоположные:

Из обеих частей получившегося уравнения вычтем 2x и приведем подобные слагаемые:

Прибавим к обеим частям уравнения единицу и приведем подобные слагаемые:

Приравнивание к нулю

Недавно мы узнали, что если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.

А что будет если перенести из одной части в другую не одно слагаемое, а все слагаемые? Верно, в той части откуда забрали все слагаемые останется ноль. Иными словами, не останется ничего.

В качестве примера рассмотрим уравнение . Решим данное уравнение, как обычно — слагаемые, содержащие неизвестные сгруппируем в одной части, а числовые слагаемые, свободные от неизвестных оставим в другой. Далее выполняя известные тождественные преобразования, найдем значение переменной x

Теперь попробуем решить это же уравнение, приравняв все его компоненты к нулю. Для этого перенесем все слагаемые из правой части в левую, изменив знаки:

Приведем подобные слагаемые в левой части:

Прибавим к обеим частям 77 , и разделим обе части на 7

Альтернатива правилам нахождения неизвестных

Очевидно, что зная о тождественных преобразованиях уравнений, можно не заучивать наизусть правила нахождения неизвестных.

К примеру, для нахождения неизвестного в уравнении мы произведение 10 делили на известный сомножитель 2

Но если в уравнении обе части разделить на 2 корень найдется сразу. В левой части уравнения в числителе множитель 2 и в знаменателе множитель 2 сократятся на 2. А правая часть будет равна 5

Уравнения вида мы решали выражая неизвестное слагаемое:

Но можно воспользоваться тождественными преобразованиями, которые мы сегодня изучили. В уравнении слагаемое 4 можно перенести в правую часть, изменив знак:

В левой части уравнения сократятся две двойки. Правая часть будет равна 2. Отсюда .

Либо можно было из обеих частей уравнения вычесть 4. Тогда получилось бы следующее:

В случае с уравнениями вида удобнее делить произведение на известный сомножитель. Сравним оба решения:

Первое решение намного короче и аккуратнее. Второе решение можно значительно укоротить, если выполнить деление в уме.

Тем не менее, необходимо знать оба метода, и только затем использовать тот, который больше нравится.

Когда корней несколько

Уравнение может иметь несколько корней. Например уравнение x (x + 9) = 0 имеет два корня: 0 и −9 .

В уравнении x (x + 9) = 0 нужно было найти такое значение x при котором левая часть была бы равна нулю. В левой части этого уравнения содержатся выражения x и (x + 9) , которые являются сомножителями. Из законов умножения мы знаем, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или первый сомножитель или второй).

То есть в уравнении x (x + 9) = 0 равенство будет достигаться, если x будет равен нулю или (x + 9) будет равно нулю.

x = 0 или x + 9 = 0

Приравняв к нулю оба этих выражения, мы сможем найти корни уравнения x (x + 9) = 0 . Первый корень, как видно из примера, нашелся сразу. Для нахождения второго корня нужно решить элементарное уравнение x + 9 = 0 . Несложно догадаться, что корень этого уравнения равен −9 . Проверка показывает, что корень верный:

−9 + 9 = 0

Пример 2 . Решить уравнение

Данное уравнение имеет два корня: 1 и 2. Левая часть уравнения является произведение выражений (x − 1) и (x − 2) . А произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или сомножитель (x − 1) или сомножитель (x − 2) ).

Найдем такое x при котором выражения (x − 1) или (x − 2) обращаются в нули:

Подставляем по-очереди найденные значения в исходное уравнение и убеждаемся, что при этих значениях левая часть равняется нулю:

Когда корней бесконечно много

Уравнение может иметь бесконечно много корней. То есть подставив в такое уравнение любое число, мы получим верное числовое равенство.

Пример 1 . Решить уравнение

Корнем данного уравнения является любое число. Если раскрыть скобки в левой части уравнения и привести подобные слагаемые, то получится равенство 14 = 14 . Это равенство будет получаться при любом x

Пример 2 . Решить уравнение

Корнем данного уравнения является любое число. Если раскрыть скобки в левой части уравнения, то получится равенство 10x + 12 = 10x + 12. Это равенство будет получаться при любом x

Когда корней нет

Случается и так, что уравнение вовсе не имеет решений, то есть не имеет корней. Например уравнение не имеет корней, поскольку при любом значении x , левая часть уравнения не будет равна правой части. Например, пусть . Тогда уравнение примет следующий вид

Пример 2 . Решить уравнение

Раскроем скобки в левой части равенства:

Приведем подобные слагаемые:

Видим, что левая часть не равна правой части. И так будет при любом значении y . Например, пусть y = 3 .

Буквенные уравнения

Уравнение может содержать не только числа с переменными, но и буквы.

Например, формула нахождения скорости является буквенным уравнением:

Данное уравнение описывает скорость движения тела при равноускоренном движении.

Полезным навыком является умение выразить любой компонент, входящий в буквенное уравнение. Например, чтобы из уравнения определить расстояние, нужно выразить переменную s .

Умнóжим обе части уравнения на t

В правой части переменные t сократим на t

В получившемся уравнении левую и правую часть поменяем местами:

У нас получилась формула нахождения расстояния, которую мы изучали ранее.

Попробуем из уравнения определить время. Для этого нужно выразить переменную t .

Умнóжим обе части уравнения на t

В правой части переменные t сократим на t и перепишем то, что у нас осталось:

В получившемся уравнении v × t = s обе части разделим на v

В левой части переменные v сократим на v и перепишем то, что у нас осталось:

У нас получилась формула определения времени, которую мы изучали ранее.

Предположим, что скорость поезда равна 50 км/ч

v = 50 км/ч

А расстояние равно 100 км

s = 100 км

Тогда буквенное уравнение примет следующий вид

Из этого уравнения можно найти время. Для этого нужно суметь выразить переменную t . Можно воспользоваться правилом нахождения неизвестного делителя, разделив делимое на частное и таким образом определить значение переменной t

либо можно воспользоваться тождественными преобразованиями. Сначала умножить обе части уравнения на t

Затем разделить обе части на 50

Пример 2 x

Вычтем из обеих частей уравнения a

Разделим обе части уравнения на b

a + bx = c , то у нас будет готовое решение. Достаточно будет подставить в него нужные значения. Те значения, которые будут подставляться вместо букв a, b, c принято называть параметрами . А уравнения вида a + bx = c называют уравнением с параметрами . В зависимости от параметров, корень будет меняться.

Решим уравнение 2 + 4x = 10 . Оно похоже на буквенное уравнение a + bx = c . Вместо того, чтобы выполнять тождественные преобразования, мы можем воспользоваться готовым решением. Сравним оба решения:

Видим, что второе решение намного проще и короче.

Для готового решения необходимо сделать небольшое замечание. Параметр b не должен быть равным нулю (b ≠ 0) , поскольку деление на ноль на допускается.

Пример 3 . Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x

Раскроем скобки в обеих частях уравнения

Воспользуемся переносом слагаемых. Параметры, содержащие переменную x , сгруппируем в левой части уравнения, а параметры свободные от этой переменной — в правой.

В левой части вынесем за скобки множитель x

Разделим обе части на выражение a − b

В левой части числитель и знаменатель можно сократить на a − b . Так окончательно выразится переменная x

Теперь, если нам попадется уравнение вида a(x − c) = b(x + d) , то у нас будет готовое решение. Достаточно будет подставить в него нужные значения.

Допустим нам дано уравнение 4(x − 3) = 2(x + 4) . Оно похоже на уравнение a(x − c) = b(x + d) . Решим его двумя способами: при помощи тождественных преобразований и при помощи готового решения:

Для удобства вытащим из уравнения 4(x − 3) = 2(x + 4) значения параметров a , b , c , d . Это позволит нам не ошибиться при подстановке:

Как и в прошлом примере знаменатель здесь не должен быть равным нулю (a − b ≠ 0) . Если нам встретится уравнение вида a(x − c) = b(x + d) в котором параметры a и b будут одинаковыми, мы сможем не решая его сказать, что у данного уравнения корней нет, поскольку разность одинаковых чисел равна нулю.

Например, уравнение 2(x − 3) = 2(x + 4) является уравнением вида a(x − c) = b(x + d) . В уравнении 2(x − 3) = 2(x + 4) параметры a и b одинаковые. Если мы начнём его решать, то придем к тому, что левая часть не будет равна правой части:

Пример 4 . Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

Умнóжим обе части на a

В левой части x вынесем за скобки

Разделим обе части на выражение (1 − a )

Линейные уравнения с одним неизвестным

Рассмотренные в данном уроке уравнения называют линейными уравнениями первой степени с одним неизвестным .

Если уравнение дано в первой степени, не содержит деления на неизвестное, а также не содержит корней из неизвестного, то его можно назвать линейным. Мы еще не изучали степени и корни, поэтому чтобы не усложнять себе жизнь, слово «линейный» будем понимать как «простой».

Большинство уравнений, решенных в данном уроке, в конечном итоге сводились к простейшему уравнению, в котором нужно было произведение разделить на известный сомножитель. Таковым к примеру является уравнение 2(x + 3) = 16 . Давайте решим его.

Раскроем скобки в левой части уравнения, получим 2x + 6 = 16. Перенесем слагаемое 6 в правую часть, изменив знак. Тогда получим 2x = 16 − 6. Вычислим правую часть, получим 2x = 10. Чтобы найти x , разделим произведение 10 на известный сомножитель 2. Отсюда x = 5.

Уравнение 2(x + 3) = 16 является линейным. Оно свелось к уравнению 2x = 10 , для нахождения корня которого потребовалось разделить произведение на известный сомножитель. Такое простейшее уравнение называют линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в каноническом виде . Слово «канонический» является синонимом слов «простейший» или «нормальный».

Линейное уравнение первой степени с одним неизвестным в каноническом виде называют уравнение вида ax = b.

Полученное нами уравнение 2x = 10 является линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в каноническом виде. У этого уравнения первая степень, одно неизвестное, оно не содержит деления на неизвестное и не содержит корней из неизвестного, и представлено оно в каноническом виде, то есть в простейшем виде при котором легко можно определить значение x . Вместо параметров a и b в нашем уравнении содержатся числа 2 и 10. Но подобное уравнение может содержать и другие числа: положительные, отрицательные или равные нулю.

Если в линейном уравнении a = 0 и b = 0 , то уравнение имеет бесконечно много корней. Действительно, если a равно нулю и b равно нулю, то линейное уравнение ax = b примет вид 0x = 0 . При любом значении x левая часть будет равна правой части.

Если в линейном уравнении a = 0 и b ≠ 0 , то уравнение корней не имеет. Действительно, если a равно нулю и b равно какому-нибудь числу, не равному нулю, скажем числу 5, то уравнение ax = b примет вид 0x = 5 . Левая часть будет равна нулю, а правая часть пяти. А ноль не равен пяти.

Если в линейном уравнении a ≠ 0 , и b равно любому числу, то уравнение имеет один корень. Он определяется делением параметра b на параметр a

Действительно, если a равно какому-нибудь числу, не равному нулю, скажем числу 3 , и b равно какому-нибудь числу, скажем числу 6 , то уравнение примет вид .
Отсюда .

Существует и другая форма записи линейного уравнения первой степени с одним неизвестным. Выглядит она следующим образом: ax − b = 0 . Это то же самое уравнение, что и ax = b

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Как быстро и легко научить ребенка решать уравнения с иксом. | Мать драконов

Как научить ребенка решать уравнения с одним неизвестным? Мы столкнулись с этим заданием еще в первом классе. Программа по математике тогда у нас была по Петерсон.

Мы заболели и пропустили эту тему. Учителя сейчас с отставшими не занимается, как говорится пропустили — это ваши трудности. Папа наш взял на себя инициативу объяснить сыну как же решать эти примеры.

И понеслось…

Пример:

3+x=10

Чтобы найти неизвестное слагаемое нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

Пример:

10-x=8

Чтобы найти вычитаемое нужно из уменьшаемого вычесть разность.

Мы с ребенком учили-учили эти правила, но результат всегда был один:

Правила отдельно — примеры отдельно

Ребенок никак не мог применить эти правила при решении уравнений.

Учеба в школе, как эта волна — ребенку одному с ней не справится

Учеба в школе, как эта волна — ребенку одному с ней не справится

Включилась «угадайка»:

-ммм . .. нужно вычесть?

-Нет…

-Тогда сложить?

-Вспомни правило!

В результате ребенок — в слезы, папа — курить.

Я устала за всем этим наблюдать и решила немного упростить правило, исключив из него все уменьшаемые, разности, слагаемые.

Заменила их на части и целое.

А так как мой сын визуал, то для наглядности взяла яблоко. Это любимое лакомство.

Теперь пример на сложение стал выглядеть так:

ЧАСТЬ + ЧАСТЬ = ЦЕЛОЕ

На вычитание так:

ЦЕЛОЕ — ЧАСТЬ = ЧАСТЬ

И правило теперь такое:

Чтобы найти неизвестную часть, нужно из целого вычесть известную часть.

Чтобы найти целое, нужно сложить части.

Конспект урока по математике «Решение уравнений» (3 класс). Видеоурок «Решение уравнений на основе связи между слагаемыми и суммой

Уравнения — одна из сложных тем для усвоения, но при этом они являются достаточно мощным инструментом для решения большинства задач.

С помощью уравнений описываются различные процессы, протекающие в природе. Уравнения широко применяются в других науках: в экономике, физике, биологии и химии.

В данном уроке мы попробуем понять суть простейших уравнений, научимся выражать неизвестные и решим несколько уравнений. По мере усвоения новых материалов, уравнения будут усложняться, поэтому понять основы очень важно.

Предварительные навыки Содержание урока

Что такое уравнение?

Уравнение — это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой требуется найти. Это значение должно быть таким, чтобы при его подстановке в исходное уравнение получалось верное числовое равенство.

Например выражение 2 + 2 = 4 является равенством. При вычислении левой части получается верное числовое равенство 4 = 4 .

А вот равенство 2 + x = 4 является уравнением, поскольку содержит в себе переменную x , значение которой можно найти. Значение должно быть таким, чтобы при подстановке этого значения в исходное уравнение, получилось верное числовое равенство.

Другими словами, мы должны найти такое значение, при котором знак равенства оправдал бы свое местоположение — левая часть должна быть равна правой части.

Уравнение 2 + x = 4 является элементарным. Значение переменной x равно числу 2. При любом другом значении равенство соблюдаться не будет

Говорят, что число 2 является корнем или решением уравнения 2 + x = 4

Корень или решение уравнения — это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Корней может быть несколько или не быть совсем. Решить уравнение означает найти его корни или доказать, что корней нет.

Переменную, входящую в уравнение, иначе называют неизвестным . Вы вправе называть как вам удобнее. Это синонимы.

Примечание . Словосочетание «решить уравнение» говорит само за себя. Решить уравнение означает «уравнять» равенство — сделать его сбалансированным, чтобы левая часть равнялась правой части.

Выразить одно через другое

Изучение уравнений по традиции начинается с того, чтобы научиться выражать одно число, входящее в равенство, через ряд других. Давайте не будем нарушать эту традицию и поступим также.

Рассмотрим следующее выражение:

8 + 2

Данное выражение является суммой чисел 8 и 2. Значение данного выражения равно 10

8 + 2 = 10

Получили равенство. Теперь можно выразить любое число из этого равенства через другие числа, входящие в это же равенство. К примеру, выразим число 2.

Чтобы выразить число 2, нужно задать вопрос: «что нужно сделать с числами 10 и 8, чтобы получить число 2». Понятно, что для получения числа 2, нужно из числа 10 вычесть число 8.

Так и делаем. Записываем число 2 и через знак равенства говорим, что для получения этого числа 2 мы из числа 10 вычли число 8:

2 = 10 − 8

Мы выразили число 2 из равенства 8 + 2 = 10 . Как видно из примера, ничего сложного в этом нет.

При решении уравнений, в частности при выражении одного числа через другие, знак равенства удобно заменять на слово «есть» . Делать это нужно мысленно, а не в самом выражении.

Так, выражая число 2 из равенства 8 + 2 = 10 мы получили равенство 2 = 10 − 8 . Данное равенство можно прочесть так:

2 есть 10 − 8

То есть, знак = заменен на слово «есть». Более того, равенство 2 = 10 − 8 можно перевести с математического языка на полноценный человеческий язык. Тогда егоможно будет прочитать следующим образом:

Число 2 есть разность числа 10 и числа 8

Число 2 есть разница между числом 10 и числом 8.

Но мы ограничимся лишь заменой знака равенства на слово «есть», и то будем делать это не всегда. Элементарные выражения можно понимать и без перевода математического языка на язык человеческий.

Вернём получившееся равенство 2 = 10 − 8 в первоначальное состояние:

8 + 2 = 10

Выразим в этот раз число 8. Что нужно сделать с остальными числами, чтобы получить число 8? Верно, нужно из числа 10 вычесть число 2

8 = 10 − 2

Вернем получившееся равенство 8 = 10 − 2 в первоначальное состояние:

8 + 2 = 10

В этот раз выразим число 10. Но оказывается, что десятку выражать не нужно, поскольку она уже выражена. Достаточно поменять местами левую и правую часть, тогда получится то, что нам нужно:

10 = 8 + 2

Пример 2 . Рассмотрим равенство 8 − 2 = 6

Выразим из этого равенства число 8. Чтобы выразить число 8 остальные два числа нужно сложить:

8 = 6 + 2

Вернем получившееся равенство 8 = 6 + 2 в первоначальное состояние:

8 − 2 = 6

Выразим из этого равенства число 2. Чтобы выразить число 2, нужно из 8 вычесть 6

2 = 8 − 6

Пример 3 . Рассмотрим равенство 3 × 2 = 6

Выразим число 3. Чтобы выразить число 3, нужно 6 разделить 2

Вернем получившееся равенство в первоначальное состояние:

3 × 2 = 6

Выразим из этого равенства число 2. Чтобы выразить число 2, нужно 6 разделить 3

Пример 4 . Рассмотрим равенство

Выразим из этого равенства число 15. Чтобы выразить число 15, нужно перемножить числа 3 и 5

15 = 3 × 5

Вернем получившееся равенство 15 = 3 × 5 в первоначальное состояние:

Выразим из этого равенства число 5. Чтобы выразить число 5, нужно 15 разделить 3

Правила нахождения неизвестных

Рассмотрим несколько правил нахождения неизвестных. Возможно, они вам знакомы, но не мешает повторить их ещё раз. В дальнейшем их можно будет забыть, поскольку мы научимся решать уравнения, не применяя эти правила.

Вернемся к первому примеру, который мы рассматривали в предыдущей теме, где в равенстве 8 + 2 = 10 требовалось выразить число 2.

В равенстве 8 + 2 = 10 числа 8 и 2 являются слагаемыми, а число 10 — суммой.

Чтобы выразить число 2, мы поступили следующим образом:

2 = 10 − 8

То есть, из суммы 10 вычли слагаемое 8.

Теперь представим, что в равенстве 8 + 2 = 10 вместо числа 2 располагается переменная x

8 + x = 10

В этом случае равенство 8 + 2 = 10 превращается в уравнение 8 + x = 10 , а переменная x неизвестного слагаемого

Наша задача найти это неизвестное слагаемое, то есть решить уравнение 8 + x = 10 . Для нахождения неизвестного слагаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

Что мы в принципе и сделали, когда выражали двойку в равенстве 8 + 2 = 10 . Чтобы выразить слагаемое 2, мы из суммы 10 вычли другое слагаемое 8

2 = 10 − 8

А сейчас, чтобы найти неизвестное слагаемое x , мы должны из суммы 10 вычесть известное слагаемое 8:

x = 10 − 8

Если вычислить правую часть получившегося равенства, то можно узнать чему равна переменная x

x = 2

Мы решили уравнение. Значение переменной x равно 2 . Для проверки значение переменной x отправляют в исходное уравнение 8 + x = 10 и подставляют вместо x. Так желательно поступать с любым решённым уравнением, поскольку нельзя быть точно уверенным, что уравнение решено правильно:

В результате

Это же правило действовало бы в случае, если неизвестным слагаемым было бы первое число 8.

x + 2 = 10

В этом уравнении x — это неизвестное слагаемое, 2 — известное слагаемое, 10 — сумма. Чтобы найти неизвестное слагаемое x , нужно из суммы 10 вычесть известное слагаемое 2

x = 10 − 2

x = 8

Вернемся ко второму примеру из предыдущей темы, где в равенстве 8 − 2 = 6 требовалось выразить число 8.

В равенстве 8 − 2 = 6 число 8 это уменьшаемое, число 2 — вычитаемое, число 6 — разность

Чтобы выразить число 8, мы поступили следующим образом:

8 = 6 + 2

То есть, сложили разность 6 и вычитаемое 2.

Теперь представим, что в равенстве 8 − 2 = 6 вместо числа 8 располагается переменная x

x − 2 = 6

В этом случае переменная x берет на себя роль так называемого неизвестного уменьшаемого

Для нахождения неизвестного уменьшаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

Что мы и сделали, когда выражали число 8 в равенстве 8 − 2 = 6 . Чтобы выразить уменьшаемое 8, мы к разности 6 прибавили вычитаемое 2.

А сейчас, чтобы найти неизвестное уменьшаемое x , мы должны к разности 6 прибавить вычитаемое 2

x = 6 + 2

Если вычислить правую часть, то можно узнать чему равна переменная x

x = 8

Теперь представим, что в равенстве 8 − 2 = 6 вместо числа 2 располагается переменная x

8 − x = 6

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного вычитаемого

Для нахождения неизвестного вычитаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

Что мы и сделали, когда выражали число 2 в равенстве 8 − 2 = 6. Чтобы выразить число 2, мы из уменьшаемого 8 вычли разность 6.

А сейчас, чтобы найти неизвестное вычитаемое x , нужно опять же из уменьшаемого 8 вычесть разность 6

x = 8 − 6

Вычисляем правую часть и находим значение x

x = 2

Вернемся к третьему примеру из предыдущей темы, где в равенстве 3 × 2 = 6 мы пробовали выразить число 3.

В равенстве 3 × 2 = 6 число 3 — это множимое, число 2 — множитель, число 6 — произведение

Чтобы выразить число 3 мы поступили следующим образом:

То есть, разделили произведение 6 на множитель 2.

Теперь представим, что в равенстве 3 × 2 = 6 вместо числа 3 располагается переменная x

x × 2 = 6

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного множимого .

Для нахождения неизвестного множимого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное множимое, нужно произведение разделить на множитель.

Что мы и сделали, когда выражали число 3 из равенства 3 × 2 = 6 . Произведение 6 мы разделили на множитель 2.

А сейчас для нахождения неизвестного множимого x , нужно произведение 6 разделить на множитель 2.

Вычисление правой части позволяет нам найти значение переменной x

x = 3

Это же правило применимо в случае, если переменная x располагается вместо множителя, а не множимого. Представим, что в равенстве 3 × 2 = 6 вместо числа 2 располагается переменная x .

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного множителя . Для нахождения неизвестного множителя предусмотрено такое же, что и для нахождения неизвестного множимого, а именно деление произведения на известный множитель:

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое.

Что мы и сделали, когда выражали число 2 из равенства 3 × 2 = 6 . Тогда для получения числа 2 мы разделили произведение 6 на множимое 3.

А сейчас для нахождения неизвестного множителя x мы разделили произведение 6 на множимое 3.

Вычисление правой части равенства позволяет узнать чему равно x

x = 2

Множимое и множитель вместе называют сомножителями. Поскольку правила нахождения множимого и множителя совпадают, мы можем сформулировать общее правило нахождения неизвестного сомножителя:

Чтобы найти неизвестный сомножитель, нужно произведение разделить на известный сомножитель.

Например, решим уравнение 9 × x = 18 . Переменная x является неизвестным сомножителем. Чтобы найти этот неизвестный сомножитель, нужно произведение 18 разделить на известный сомножитель 9

Решим уравнение x × 3 = 27 . Переменная x является неизвестным сомножителем. Чтобы найти этот неизвестный сомножитель, нужно произведение 27 разделить на известный сомножитель 3

Вернемся к четвертому примеру из предыдущей темы, где в равенстве требовалось выразить число 15. В этом равенстве число 15 — это делимое, число 5 — делитель, число 3 — частное.

Чтобы выразить число 15 мы поступили следующим образом:

15 = 3 × 5

То есть, умножили частное 3 на делитель 5.

Теперь представим, что в равенстве вместо числа 15 располагается переменная x

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного делимого .

Для нахождения неизвестного делимого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.

Что мы и сделали, когда выражали число 15 из равенства . Чтобы выразить число 15, мы умножили частное 3 на делитель 5.

А сейчас, чтобы найти неизвестное делимое x , нужно частное 3 умножить на делитель 5

x = 3 × 5

x .

x = 15

Теперь представим, что в равенстве вместо числа 5 располагается переменная x .

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного делителя .

Для нахождения неизвестного делителя предусмотрено следующее правило:

Что мы и сделали, когда выражали число 5 из равенства . Чтобы выразить число 5, мы разделили делимое 15 на частное 3.

А сейчас, чтобы найти неизвестный делитель x , нужно делимое 15 разделить на частное 3

Вычислим правую часть получившегося равенства. Так мы узнаем чему равна переменная x .

x = 5

Итак, для нахождения неизвестных мы изучили следующие правила:

  • Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое;
  • Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое;
  • Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность;
  • Чтобы найти неизвестное множимое, нужно произведение разделить на множитель;
  • Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое;
  • Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель;
  • Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

Компоненты

Компонентами мы будем называть числа и переменные, входящие в равенство

Так, компонентами сложения являются слагаемые и сумма

Компонентами вычитания являются уменьшаемое , вычитаемое и разность

Компонентами умножения являются множимое , множитель и произведение

Компонентами деления являются делимое, делитель и частное

В зависимости от того, с какими компонентами мы будем иметь дело, будут применяться соответствующие правила нахождения неизвестных. Эти правила мы изучили в предыдущей теме. При решении уравнений желательно знать эти правило наизусть.

Пример 1 . Найти корень уравнения 45 + x = 60

45 — слагаемое, x — неизвестное слагаемое, 60 — сумма. Имеем дело с компонентами сложения. Вспоминаем, что для нахождения неизвестного слагаемого, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

x = 60 − 45

Вычислим правую часть, получим значение x равное 15

x = 15

Значит корень уравнения 45 + x = 60 равен 15.

Чаще всего неизвестное слагаемое необходимо привести к виду при котором его можно было бы выразить.

Пример 2 . Решить уравнение

Здесь в отличие от предыдущего примера, неизвестное слагаемое нельзя выразить сразу, поскольку оно содержит коэффициент 2. Наша задача привести это уравнение к виду при котором можно было бы выразить x

В данном примере мы имеем дело с компонентами сложения — слагаемыми и суммой. 2x — это первое слагаемое, 4 — второе слагаемое, 8 — сумма.

При этом слагаемое 2x содержит переменную x . После нахождения значения переменной x слагаемое 2x примет другой вид. Поэтому слагаемое 2x можно полностью принять за неизвестное слагаемое:

Теперь применяем правило нахождения неизвестного слагаемого. Вычитаем из суммы известное слагаемое:

Вычислим правую часть получившегося уравнения:

Мы получили новое уравнение . Теперь мы имеем дело с компонентами умножения: множимым, множителем и произведением. 2 — множимое, x — множитель, 4 — произведение

При этом переменная x является не просто множителем, а неизвестным множителем

Чтобы найти этот неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое:

Вычислим правую часть, получим значение переменной x

Для проверки найденный корень отправим в исходное уравнение и подставим вместо x

Пример 3 . Решить уравнение 3x + 9x + 16x = 56

Cразу выразить неизвестное x нельзя. Сначала нужно привести данное уравнение к виду при котором его можно было бы выразить.

Приведем в левой части данного уравнения:

Имеем дело с компонентами умножения. 28 — множимое, x — множитель, 56 — произведение. При этом x является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое:

Отсюда x равен 2

Равносильные уравнения

В предыдущем примере при решении уравнения 3x + 9x + 16x = 56 , мы привели подобные слагаемые в левой части уравнения. В результате получили новое уравнение 28x = 56 . Старое уравнение 3x + 9x + 16x = 56 и получившееся новое уравнение 28x = 56 называют равносильными уравнениями , поскольку их корни совпадают.

Уравнения называют равносильными, если их корни совпадают.

Проверим это. Для уравнения 3x + 9x + 16x = 56 мы нашли корень равный 2 . Подставим этот корень сначала в уравнение 3x + 9x + 16x = 56 , а затем в уравнение 28x = 56 , которое получилось в результате приведения подобных слагаемых в левой части предыдущего уравнения. Мы должны получить верные числовые равенства

Согласно порядку действий, в первую очередь выполняется умножение:

Подставим корень 2 во второе уравнение 28x = 56

Видим, что у обоих уравнений корни совпадают. Значит уравнения 3x + 9x + 16x = 6 и 28x = 56 действительно являются равносильными.

Для решения уравнения 3x + 9x + 16x = 56 мы воспользовались одним из — приведением подобных слагаемых. Правильное тождественное преобразование уравнения позволило нам получить равносильное уравнение 28x = 56 , которое проще решать.

Из тождественных преобразований на данный момент мы умеем только сокращать дроби, приводить подобные слагаемые, выносить общий множитель за скобки, а также раскрывать скобки. Существуют и другие преобразования, которые следует знать. Но для общего представления о тождественных преобразованиях уравнений, изученных нами тем вполне хватает.

Рассмотрим некоторые преобразования, которые позволяют получить равносильное уравнение

Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.

и аналогично:

Если из обеих частей уравнения вычесть одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.

Другими словами, корень уравнения не изменится, если к обеим частям данного уравнения прибавить (или вычесть из обеих частей) одно и то же число.

Пример 1 . Решить уравнение

Вычтем из обеих частей уравнения число 10

Получили уравнение 5x = 10 . Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти неизвестный сомножитель x , нужно произведение 10 разделить на известный сомножитель 5.

и подставим вместо x найденное значение 2

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение мы вычли из обеих частей уравнения число 10 . В результате получили равносильное уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения так же равен 2

Пример 2 . Решить уравнение 4(x + 3) = 16

Вычтем из обеих частей уравнения число 12

В левой части останется 4x , а в правой части число 4

Получили уравнение 4x = 4 . Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти неизвестный сомножитель x , нужно произведение 4 разделить на известный сомножитель 4

Вернемся к исходному уравнению 4(x + 3) = 16 и подставим вместо x найденное значение 1

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение 4(x + 3) = 16 мы вычли из обеих частей уравнения число 12 . В результате получили равносильное уравнение 4x = 4 . Корень этого уравнения, как и уравнения 4(x + 3) = 16 так же равен 1

Пример 3 . Решить уравнение

Раскроем скобки в левой части равенства:

Прибавим к обеим частям уравнения число 8

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

В левой части останется 2x , а в правой части число 9

В получившемся уравнении 2x = 9 выразим неизвестное слагаемое x

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 4,5

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение мы прибавили к обеим частям уравнения число 8. В результате получили равносильное уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения так же равен 4,5

Следующее правило, которое позволяет получить равносильное уравнение, выглядит следующим образом

Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.

То есть, корень уравнения не изменится, если мы перенесем слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак. Это свойство является одним из важных и одним из часто используемых при решении уравнений.

Рассмотрим следующее уравнение:

Корень данного уравнения равен 2. Подставим вместо x этот корень и проверим получается ли верное числовое равенство

Получается верное равенство. Значит число 2 действительно является корнем уравнения .

Теперь попробуем поэкспериментировать со слагаемыми этого уравнения, перенося их из одной части в другую, изменяя знаки.

Например, слагаемое 3x располагается в левой части равенства. Перенесём его в правую часть, изменив знак на противоположный:

Получилось уравнение 12 = 9x − 3x . в правой части данного уравнения:

x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Отсюда x = 2 . Как видим, корень уравнения не изменился. Значит уравнения 12 + 3x = 9x и 12 = 9x − 3x являются равносильными.

На самом деле, данное преобразование является упрощенным методом предыдущего преобразования, где к обеим частях уравнения прибавлялось (или вычиталось) одно и то же число.

Мы сказали, что в уравнении 12 + 3x = 9x слагаемое 3x было перенесено в правую часть, изменив знак. В реальности же происходило следующее: из обеих частей уравнения вычли слагаемое 3x

Затем в левой части были приведены подобные слагаемые и получено уравнение 12 = 9x − 3x. Затем опять были приведены подобные слагаемые, но уже в правой части, и получено уравнение 12 = 6x.

Но так называемый «перенос» более удобен для подобных уравнений, поэтому он и получил такое широкое распространение. Решая уравнения, мы часто будем пользоваться именно этим преобразованием.

Равносильными также являются уравнения 12 + 3x = 9x и 3x − 9x = −12 . В этот раз в уравнении 12 + 3x = 9x слагаемое 12 было перенесено в правую часть, а слагаемое 9x в левую. Не следует забывать, что знаки этих слагаемых были изменены во время переноса

Следующее правило, которое позволяет получить равносильное уравнение, выглядит следующим образом:

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение равносильное данному.

Другими словами, корни уравнения не изменятся, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число. Это действие часто применяется тогда, когда нужно решить уравнение содержащее дробные выражения.

Сначала рассмотрим примеры, в которых обе части уравнения будут умножаться на одно и то же число.

Пример 1 . Решить уравнение

При решении уравнений, содержащих дробные выражения, сначала принято упростить это уравнение.

В данном случае мы имеем дело именно с таким уравнением. В целях упрощения данного уравнения обе его части можно умножить на 8:

Мы помним, что для , нужно числитель данной дроби умножить на это число. У нас имеются две дроби и каждая из них умножается на число 8. Наша задача умножить числители дробей на это число 8

Теперь происходит самое интересное. В числителях и знаменателях обеих дробей содержится множитель 8, который можно сократить на 8. Это позволит нам избавиться от дробного выражения:

В результате останется простейшее уравнение

Ну и нетрудно догадаться, что корень этого уравнения равен 4

x найденное значение 4

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

При решении данного уравнения мы умножили обе его части на 8. В результате получили уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения равен 4. Значит эти уравнения равносильны.

Множитель на который умножаются обе части уравнения принято записывать перед частью уравнения, а не после неё. Так, решая уравнение , мы умножили обе части на множитель 8 и получили следующую запись:

От этого корень уравнения не изменился, но если бы мы сделали это находясь в школе, то нам сделали бы замечание, поскольку в алгебре множитель принято записывать перед тем выражением, с которым он перемножается. Поэтому умножение обеих частей уравнения на множитель 8 желательно переписать следующим образом:

Пример 2 . Решить уравнение

В левой части множители 15 можно сократить на 15, а в правой части множители 15 и 5 можно сократить на 5

Раскроем скобки в правой части уравнения:

Перенесем слагаемое x из левой части уравнения в правую часть, изменив знак. А слагаемое 15 из правой части уравнения перенесем в левую часть, опять же изменив знак:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях, получим

Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 5

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно. При решении данного уравнения мы умножили обе го части на 15 . Далее выполняя тождественные преобразования, мы получили уравнение 10 = 2x . Корень этого уравнения, как и уравнения равен 5 . Значит эти уравнения равносильны.

Пример 3 . Решить уравнение

В левой части можно сократить две тройки, а правая часть будет равна 18

Останется простейшее уравнение . Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 9

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Пример 4 . Решить уравнение

Умножим обе части уравнения на 6

В левой части уравнения раскроем скобки. В правой части множитель 6 можно поднять в числитель:

Сократим в обеих частях уравнениях то, что можно сократить:

Перепишем то, что у нас осталось:

Воспользуемся переносом слагаемых. Слагаемые, содержащие неизвестное x , сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые свободные от неизвестных — в правой:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Теперь найдем значение переменной x . Для этого разделим произведение 28 на известный сомножитель 7

Отсюда x = 4.

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 4

Получилось верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Пример 5 . Решить уравнение

Раскроем скобки в обеих частях уравнения там, где это можно:

Умножим обе части уравнения на 15

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

Сократим в обеих частях уравнения, то что можно сократить:

Перепишем то, что у нас осталось:

Раскроем скобки там, где это можно:

Воспользуемся переносом слагаемых. Слагаемые, содержащие неизвестное, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые, свободные от неизвестных — в правой. Не забываем, что во время переноса, слагаемые меняют свои знаки на противоположные:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

Найдём значение x

В получившемся ответе можно выделить целую часть:

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение

Получается довольно громоздкое выражение. Воспользуемся переменными. Левую часть равенства занесем в переменную A , а правую часть равенства в переменную B

Наша задача состоит в том, чтобы убедиться равна ли левая часть правой. Другими словами, доказать равенство A = B

Найдем значение выражения, находящегося в переменной А.

Значение переменной А равно . Теперь найдем значение переменной B . То есть, значение правой части нашего равенства. Если и оно равно , то уравнение будет решено верно

Видим, что значение переменной B , как и значение переменной A равно . Это значит, что левая часть равна правой части. Отсюда делаем вывод, что уравнение решено правильно.

Теперь попробуем не умножать обе части уравнения на одно и то же число, а делить.

Рассмотрим уравнение 30x + 14x + 14 = 70x − 40x + 42 . Решим его обычным методом: слагаемые, содержащие неизвестные, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые, свободные от неизвестных — в правой. Далее выполняя известные тождественные преобразования, найдем значение x

Подставим найденное значение 2 вместо x в исходное уравнение:

Теперь попробуем разделить все слагаемые уравнения 30x + 14x + 14 = 70x − 40x + 42 на какое-нибудь число.Замечаем, что все слагаемые этого уравнения имеют общий множитель 2. На него и разделим каждое слагаемое:

Выполним сокращение в каждом слагаемом:

Перепишем то, что у нас осталось:

Решим это уравнение, пользуясь известными тождественными преобразованиями:

Получили корень 2 . Значит уравнения 15x + 7x + 7 = 35x − 20x + 21 и 30x + 14x + 14 = 70x − 40x + 42 равносильны.

Деление обеих частей уравнения на одно и то же число позволяет освобождать неизвестное от коэффициента. В предыдущем примере когда мы получили уравнение 7x = 14 , нам потребовалось разделить произведение 14 на известный сомножитель 7. Но если бы мы в левой части освободили неизвестное от коэффициента 7, корень нашелся бы сразу. Для этого достаточно было разделить обе части на 7

Этим методом мы тоже будем пользоваться часто.

Умножение на минус единицу

Если обе части уравнения умножить на минус единицу, то получится уравнение равносильное данному.

Это правило следует из того, что от умножения (или деления) обеих частей уравнения на одно и то же число, корень данного уравнения не меняется. А значит корень не поменяется если обе его части умножить на −1 .

Данное правило позволяет поменять знаки всех компонентов, входящих в уравнение. Для чего это нужно? Опять же, чтобы получить равносильное уравнение, которое проще решать.

Рассмотрим уравнение . Чему равен корень этого уравнения?

Прибавим к обеим частях уравнения число 5

Приведем подобные слагаемые:

А теперь вспомним про . Что же представляет собой левая часть уравнения . Это есть произведение минус единицы и переменной x

То есть, минус стоящий перед переменной x относится не к самой переменной x , а к единице, которую мы не видим, поскольку коэффициент 1 принято не записывать. Это означает, что уравнение на самом деле выглядит следующим образом:

Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти х , нужно произведение −5 разделить на известный сомножитель −1 .

или разделить обе части уравнения на −1 , что еще проще

Итак, корень уравнения равен 5 . Для проверки подставим его в исходное уравнение. Не забываем, что в исходном уравнении минус стоящий перед переменной x относится к невидимой единице

Получилось верное числовое равенство. Значит уравнение решено верно.

Теперь попробуем умножить обе части уравнения на минус единицу:

После раскрытия скобок в левой части образуется выражение , а правая часть будет равна 10

Корень этого уравнения, как и уравнения равен 5

Значит уравнения и равносильны.

Пример 2 . Решить уравнение

В данном уравнении все компоненты являются отрицательными. С положительными компонентами работать удобнее, чем с отрицательными, поэтому поменяем знаки всех компонентов, входящих в уравнение . Для этого умножим обе части данного уравнения на −1 .

Понятно, что от умножения на −1 любое число поменяет свой знак на противоположный. Поэтому саму процедуру умножения на −1 и раскрытие скобок подробно не расписывают, а сразу записывают компоненты уравнения с противоположными знаками.

Так, умножение уравнения на −1 можно записать подробно следующим образом:

либо можно просто поменять знаки всех компонентов:

Получится то же самое, но разница будет в том, что мы сэкономим себе время.

Итак, умножив обе части уравнения на −1 , мы получили уравнение . Решим данное уравнение. Из обеих частей вычтем число 4 и разделим обе части на 3

Когда корень найден, переменную обычно записывают в левой части, а её значение в правой, что мы и сделали.

Пример 3 . Решить уравнение

Умножим обе части уравнения на −1 . Тогда все компоненты поменяют свои знаки на противоположные:

Из обеих частей получившегося уравнения вычтем 2x и приведем подобные слагаемые:

Прибавим к обеим частям уравнения единицу и приведем подобные слагаемые:

Приравнивание к нулю

Недавно мы узнали, что если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.

А что будет если перенести из одной части в другую не одно слагаемое, а все слагаемые? Верно, в той части откуда забрали все слагаемые останется ноль. Иными словами, не останется ничего.

В качестве примера рассмотрим уравнение . Решим данное уравнение, как обычно — слагаемые, содержащие неизвестные сгруппируем в одной части, а числовые слагаемые, свободные от неизвестных оставим в другой. Далее выполняя известные тождественные преобразования, найдем значение переменной x

Теперь попробуем решить это же уравнение, приравняв все его компоненты к нулю. Для этого перенесем все слагаемые из правой части в левую, изменив знаки:

Приведем подобные слагаемые в левой части:

Прибавим к обеим частям 77 , и разделим обе части на 7

Альтернатива правилам нахождения неизвестных

Очевидно, что зная о тождественных преобразованиях уравнений, можно не заучивать наизусть правила нахождения неизвестных.

К примеру, для нахождения неизвестного в уравнении мы произведение 10 делили на известный сомножитель 2

Но если в уравнении обе части разделить на 2 корень найдется сразу. В левой части уравнения в числителе множитель 2 и в знаменателе множитель 2 сократятся на 2. А правая часть будет равна 5

Уравнения вида мы решали выражая неизвестное слагаемое:

Но можно воспользоваться тождественными преобразованиями, которые мы сегодня изучили. В уравнении слагаемое 4 можно перенести в правую часть, изменив знак:

В левой части уравнения сократятся две двойки. Правая часть будет равна 2. Отсюда .

Либо можно было из обеих частей уравнения вычесть 4. Тогда получилось бы следующее:

В случае с уравнениями вида удобнее делить произведение на известный сомножитель. Сравним оба решения:

Первое решение намного короче и аккуратнее. Второе решение можно значительно укоротить, если выполнить деление в уме.

Тем не менее, необходимо знать оба метода, и только затем использовать тот, который больше нравится.

Когда корней несколько

Уравнение может иметь несколько корней. Например уравнение x (x + 9) = 0 имеет два корня: 0 и −9 .

В уравнении x (x + 9) = 0 нужно было найти такое значение x при котором левая часть была бы равна нулю. В левой части этого уравнения содержатся выражения x и (x + 9) , которые являются сомножителями. Из законов произведения мы знаем, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или первый сомножитель или второй).

То есть, в уравнении x (x + 9) = 0 равенство будет достигаться, если x будет равен нулю или (x + 9) будет равно нулю.

x = 0 или x + 9 = 0

Приравняв к нулю оба этих выражения, мы сможем найти корни уравнения x (x + 9) = 0 . Первый корень, как видно из примера, нашелся сразу. Для нахождения второго корня нужно решить элементарное уравнение x + 9 = 0 . Несложно догадаться, что корень этого уравнения равен −9 . Проверка показывает, что корень верный:

−9 + 9 = 0

Пример 2 . Решить уравнение

Данное уравнение имеет два корня: 1 и 2. Левая часть уравнения является произведение выражений (x − 1) и (x − 2) . А произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или сомножитель (x − 1) или сомножитель (x − 2) ).

Найдем такое x при котором выражения (x − 1) или (x − 2) обращаются в нули:

Подставляем по-очереди найденные значения в исходное уравнение и убеждаемся, что при этих значениях левая часть равняется нулю:

Когда корней бесконечно много

Уравнение может иметь бесконечно много корней. То есть, подставив в такое уравнение любое число, мы получим верное числовое равенство.

Пример 1 . Решить уравнение

Корнем данного уравнения является любое число. Если раскрыть скобки в левой части уравнения и привести подобные слагаемые, то получится равенство 14 = 14 . Это равенство будет получаться при любом x

Пример 2 . Решить уравнение

Корнем данного уравнения является любое число. Если раскрыть скобки в левой части уравнения, то получится равенство 10x + 12 = 10x + 12. Это равенство будет получаться при любом x

Когда корней нет

Случается и так, что уравнение вовсе не имеет решений, то есть не имеет корней. Например уравнение не имеет корней, поскольку при любом значении x , левая часть уравнения не будет равна правой части. Например, пусть . Тогда уравнение примет следующий вид

Пример 2 . Решить уравнение

Раскроем скобки в левой части равенства:

Приведем подобные слагаемые:

Видим, что левая часть не равна правой части. И так будет при любом значении y . Например, пусть y = 3 .

Буквенные уравнения

Уравнение может содержать не только числа с переменными, но и буквы.

Например, формула нахождения скорости является буквенным уравнением:

Данное уравнение описывает скорость движения тела при равноускоренном движении.

Полезным навыком является умение выразить любой компонент, входящий в буквенное уравнение. Например, чтобы из уравнения определить расстояние, нужно выразить переменную s .

Умножим обе части уравнения на t

В правой части переменные t сократим на t

В получившемся уравнении левую и правую часть поменяем местами:

У нас получилась формула нахождения расстояния, которую мы изучали ранее.

Попробуем из уравнения определить время. Для этого нужно выразить переменную t .

Умножим обе части уравнения на t

В правой части переменные t сократим на t и перепишем то, что у нас осталось:

В получившемся уравнении v × t = s обе части разделим на v

В левой части переменные v сократим на v и перепишем то, что у нас осталось:

У нас получилась формула определения времени, которую мы изучали ранее.

Предположим, что скорость поезда равна 50 км/ч

v = 50 км/ч

А расстояние равно 100 км

s = 100 км

Тогда буквенное примет следующий вид

Из этого уравнения можно найти время. Для этого нужно суметь выразить переменную t . Можно воспользоваться правилом нахождения неизвестного делителя, разделив делимое на частное и таким образом определить значение переменной t

либо можно воспользоваться тождественными преобразованиями. Сначала умножить обе части уравнения на t

Затем разделить обе части на 50

Пример 2 x

Вычтем из обеих частям уравнения a

Разделим обе части уравнения на b

a + bx = c , то у нас будет готовое решение. Достаточно будет подставить в него нужные значения. Те значения, которые будут подставляться вместо букв a, b, c принято называть параметрами . А уравнения вида a + bx = c называют уравнением с параметрами . В зависимости от параметров, корень будет меняться.

Решим уравнение 2 + 4x = 10 . Оно похоже на буквенное уравнение a + bx = c . Вместо того, чтобы выполнять тождественные преобразования, мы можем воспользоваться готовым решением. Сравним оба решения:

Видим, что второе решение намного проще и короче.

Для готового решения необходимо сделать небольшое замечание. Параметр b не должен быть равным нулю (b ≠ 0) , поскольку деление на ноль на допускается.

Пример 3 . Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x

Раскроем скобки в обеих частях уравнения

Воспользуемся переносом слагаемых. Параметры, содержащие переменную x , сгруппируем в левой части уравнения, а параметры свободные от этой переменной — в правой.

В левой части вынесем за скобки множитель x

Разделим обе части на выражение a − b

В левой части числитель и знаменатель можно сократить на a − b . Так окончательно выразится переменная x

Теперь, если нам попадется уравнение вида a(x − c) = b(x + d) , то у нас будет готовое решение. Достаточно будет подставить в него нужные значения.

Допустим нам дано уравнение 4(x − 3) = 2(x + 4) . Оно похоже на уравнение a(x − c) = b(x + d) . Решим его двумя способами: при помощи тождественных преобразований и при помощи готового решения:

Для удобства вытащим из уравнения 4(x − 3) = 2(x + 4) значения параметров a , b , c , d . Это позволит нам не ошибиться при подстановке:

Как и в прошлом примере знаменатель здесь не должен быть равным нулю (a − b ≠ 0) . Если нам встретится уравнение вида a(x − c) = b(x + d) в котором параметры a и b будут одинаковыми, мы сможем не решая его сказать, что у данного уравнения корней нет, поскольку разность одинаковых чисел равна нулю.

Например, уравнение 2(x − 3) = 2(x + 4) является уравнением вида a(x − c) = b(x + d) . В уравнении 2(x − 3) = 2(x + 4) параметры a и b одинаковые. Если мы начнём его решать, то придем к тому, что левая часть не будет равна правой части:

Пример 4 . Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

Умножим обе части на a

В левой части x вынесем за скобки

Разделим обе части на выражение (1 − a )

Линейные уравнения с одним неизвестным

Рассмотренные в данном уроке уравнения называют линейными уравнениями первой степени с одним неизвестным .

Если уравнение дано в первой степени, не содержит деления на неизвестное, а также не содержит корней из неизвестного, то его можно назвать линейным. Мы еще не изучали степени и корни, поэтому чтобы не усложнять себе жизнь, слово «линейный» будем понимать как «простой».

Большинство уравнений, решенных в данном уроке, в конечном итоге сводились к простейшему уравнению, в котором нужно было произведение разделить на известный сомножитель. Таковым к примеру является уравнение 2(x + 3) = 16 . Давайте решим его.

Раскроем скобки в левой части уравнения, получим 2x + 6 = 16. Перенесем слагаемое 6 в правую часть, изменив знак. Тогда получим 2x = 16 − 6. Вычислим правую часть, получим 2x = 10. Чтобы найти x , разделим произведение 10 на известный сомножитель 2. Отсюда x = 5.

Уравнение 2(x + 3) = 16 является линейным. Оно свелось к уравнению 2x = 10 , для нахождения корня которого потребовалось разделить произведение на известный сомножитель. Такое простейшее уравнение называют линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в каноническом виде . Слово «канонический» является синонимом слов «простейший» или «нормальный».

Линейное уравнение первой степени с одним неизвестным в каноническом виде называют уравнение вида ax = b.

Полученное нами уравнение 2x = 10 является линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в каноническом виде. У этого уравнения первая степень, одно неизвестное, оно не содержит деления на неизвестное и не содержит корней из неизвестного, и представлено оно в каноническом виде, то есть в простейшем виде при котором легко можно определить значение x . Вместо параметров a и b в нашем уравнении содержатся числа 2 и 10. Но подобное уравнение может содержать и другие числа: положительные, отрицательные или равные нулю.

Если в линейном уравнении a = 0 и b = 0 , то уравнение имеет бесконечно много корней. Действительно, если a равно нулю и b равно нулю, то линейное уравнение ax = b примет вид 0x = 0 . При любом значении x левая часть будет равна правой части.

Если в линейном уравнении a = 0 и b ≠ 0 , то уравнение корней не имеет. Действительно, если a равно нулю и b равно какому-нибудь числу, не равному нулю, скажем числу 5, то уравнение ax = b примет вид 0x = 5 . Левая часть будет равна нулю, а правая часть пяти. А ноль не равен пяти.

Если в линейном уравнении a ≠ 0 , и b равно любому числу, то уравнение имеет один корень. Он определяется делением параметра b на параметр a

Действительно, если a равно какому-нибудь числу, не равному нулю, скажем числу 3 , и b равно какому-нибудь числу, скажем числу 6 , то уравнение примет вид .
Отсюда .

Существует и другая форма записи линейного уравнения первой степени с одним неизвестным. Выглядит она следующим образом: ax − b = 0 . Это то же самое уравнение, что и ax = b

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Урок 80-81. Тема: «Решение уравнений»

Цели: учить решать уравнения с неизвестным слагаемым; повторить соотношение единиц длины; закреплять навыки вы-числений в столбик; развивать умения рассуждать и логически мыслить.

Планируемые результаты: учащиеся научатся решать урав-нения на нахождение неизвестного слагаемого; выполнять пись-менные вычисления, используя изученные приемы; понимать причины успеха/неуспеха учебной деятельности.

Ход урока

I . Организационный момент

II . Актуализациязнаний

Математический диктант

1. На сколько 67 меньше 89? (На 22.)

2. Из 7 десятков вычесть 4 десятка. (30.)

3. Увеличить 23 на 32. (55.)

4. Какое число я уменьшила на 27 и получила 23? (50.)

5. На сколько нужно увеличить 43, чтобы получилось 70? (На 27.)

6. Из суммы чисел 9 и 6 вычесть 10. (5.)

7. Какое число нужно вычесть из 64, чтобы получилось 37? (27.)

8. К какому числу прибавили 0 и получили 44? (44.)

9. К 21 прибавить разность чисел 14 и 6. (29.) 10. Сумма чисел 33, 16,4 и 27. (80.)

(Проверка. Самооценка.)

III . Самоопределение к деятельности

Составьте еще три примера, используя данный пример. 6 + 4=10

(Учитель записывает примеры на доске.) 4 + 6=10 10-4 = 6 10-6 = 4

Какое правило вы применили при составлении примера насложение? (От перестановки слагаемых сумма не меня-ется.)

Какое правило вы применили при составлении примера на вычитание? (Если из суммы вычесть одно слагаемое, то по-лучится другое слагаемое.)

Чтобы узнать тему урока, разгадайте кроссворд.

1. Они бывают числовые и буквенные. (Выражения.)

2. Числа, которые складывают, называют. (Слагаемые.)

3. Число, из которого вычитают. (Уменьшаемое.)

4. Математический знак вычитания. (Минус.)

5. Равенство, которое содержит неизвестное число. (Уравнение.)

6. Сумма длин сторон фигуры. (Периметр.)

7. Выражение со знаком «плюс». (Сумма.)

8. Запись, в которой есть знак «равно». (Равенство.)

9. Наименьшее двузначное число. (Десять.) 10. Латинская буква. (Икс.)

Что получилось в выделенной строке? (Решение уравнений.)

Тема урока: «Решение уравнений с неизвестным слагае-мым». Какие задачи мы поставим перед собой?

IV . Работа по теме урока

1. Работа по учебнику

Рассмотрите фишки домино на с. 7 учебника и примеры, записанные рядом. Как получены примеры на вычитание? Каким правилом воспользовались при их составлении? За-кончите вывод. (Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.)

1 (с. 7). (Устное выполнение.)

2 (с. 7). (Коллективное выполнение с подробным объяснением.)

2. Самостоятельное решение уравнений

Вариант 1 Вариант 2

х + 45 = 92 75+х = 81

26+х = 50 х + 22 = 70

(Два ученика записывают решение на откидной доске. Про-верка. Самооценка.)

Решение:

х + 45 = 92 75 + х = 81

х = 92-45 х = 81-75

х = 47 х = 6

26+х=50 х + 22 = 70

х = 50 – 26 х = 70 — 22

3. Работа по учебнику

3(с. 7). (Устное выполнение.)

4 (с. 7). (Самостоятельное выполнение.Тем, кто испытывает затрудне-ния, учитель дает карточку-помощницу с программой решения.) 1) Сколько стаканов малины собрала сестра?

2) Сколько стаканов малины собрали вместе?(Проверка.Самооценка.)

V . Физкультминутка

Я иду, и ты идешь — раз, два, три.{Шаги на месте.)

Я пою, и ты поешь — раз, два, три.(Хлопки в ладоши.)

Мы идем и поем — раз, два, три.(Прыжки на месте.)

Очень дружно мы живем — раз, два, три.(Шаги на месте.)

VI . Закрепление изученного материала

Работа по учебнику № 1 (с. 14).

Какие единицы длины вы знаете?

Сколько миллиметров в 1 см? (Самостоятельное выполнение. Проверка.)Решение:

5 см 3 мм = 53 мм

3 см 8 мм = 38 мм №2 (с. 14).

(Самостоятельное выполнение.Проверка.)

1) Решение:

АВ= 3 см 5 мм, CD = 5 см 5 мм;

5 см 5 мм — 3 см 5 мм = 2 см.

Ответ: длина отрезка CD на 2 см больше длины отрезка АВ.

2) Решение: ЕКМО = 2 см + 4 см + 1 см 5 мм = 7 см 5 мм. №3(с. 14).

(Самостоятельное выполнение. Проверка. Самооценка.)

Решение:

2 см = 20 мм

4 см 2 мм > 40 мм 30 мм = 3 см

4 см 5 мм см

VII . Рефлексия

(«Проверь себя» (учебник, с. 7). Самостоятельное выполне-ние. Проверка.)

Решение: 15+х = 35 х = 35-15 х = 20

VIII . Подведение итогов урока

Какой вид уравнений вспомнили сегодня?

Как найти неизвестное слагаемое?

Кому нужна помощь?

Домашнее задание: Рабочая тетрадь: № 10, 11 (с. 6).

§ 1 Как найти неизвестное слагаемое

Как найти корень уравнения, если неизвестно одно из слагаемых? В этом уроке рассмотрим метод решения уравнений на основе связи между слагаемыми и значением суммы.

Давайте решим такую задачу.

На клумбе росло 6 красных тюльпанов и 3 желтых. Сколько всего тюльпанов росло на клумбе? Запишем решение. Итак, росло 6 красных и 3 желтых тюльпана, следовательно, мы можем записать выражение 6+3, выполнив сложение, получим результат — на клумбе росло 9 тюльпанов.

Запишем решение. Итак, росло 6 красных и 3 желтых тюльпана, следовательно, мы можем записать выражение 6+3, выполнив сложение, получим результат — на клумбе росло 9 тюльпанов. 6 + 3 = 9.

Давайте изменим условие задачи. На клумбе росло 9 тюльпанов, 6 сорвали. Сколько тюльпанов осталось?

Чтобы узнать, сколько тюльпанов осталось на клумбе, необходимо из общего количества тюльпанов 9 вычесть сорванные цветы, их 6.

Произведем вычисления: 9-6 получим результат 3. На клумбе осталось 3 тюльпана.

Снова преобразуем эту задачу. Росло 9 тюльпанов, 3 сорвали. Сколько тюльпанов осталось?

Решение будет выглядеть так: из общего количества тюльпанов 9 необходимо вычесть сорванные цветы, их 3. Осталось 6 тюльпанов.

Давайте внимательно рассмотрим равенства и постараемся выяснить, каким образом они связаны между собой.

Как можно заметить, в этих равенствах записаны одни и те же числа и взаимообратные действия: сложение и вычитание.

Вернемся к решению первой задачи и рассмотрим выражение 6 + 3 = 9.

Давайте вспомним, как называются числа при сложении:

6 — это первое слагаемое

3 — второе слагаемое

9 — значение суммы

А теперь подумаем, как мы получили разности 9 — 6 = 3 и 9 — 3 = 6?

В равенстве 9 — 6 = 3 из значения суммы9 вычли первое слагаемое6, получили второе слагаемое3.

В равенстве 9 — 3 = 6 из значения суммы9 вычли второе слагаемое3, получили первое слагаемое6.

Следовательно, если из значения суммы вычесть первое слагаемое, то получится второе слагаемое, а если из значения суммы вычесть второе слагаемое, то получится первое слагаемое.

Сформулируем общее правило:

Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из значения суммы вычесть известное слагаемое.

§ 2 Примеры решения уравнений с неизвестным слагаемым

Давайте рассмотрим уравнения с неизвестными слагаемыми и попробуем с помощью этого правила найти корни.

Решим уравнение Х + 5 = 7.

В этом уравнении неизвестно первое слагаемое. Чтобы его найти, воспользуемся правилом: чтобы найти неизвестное первое слагаемое X, необходимо из значения суммы 7 вычесть второе слагаемое 5.

Значит, Х = 7 — 5,

найдем разность 7 — 5 = 2 , Х = 2.

Проверим, правильно ли мы нашли корень уравнения. Для осуществления проверки необходимо подставить в уравнение вместо Х число 2:

7 = 7 — получили верное равенство. Делаем вывод: число 2 является корнем уравнения Х+5=7.

Решим еще одно уравнение 8 + У =17.

В этом уравнении неизвестно второе слагаемое.

Чтобы его найти, необходимо из значения суммы 17 вычесть первое слагаемое 8.

Сделаем проверку: подставим вместо У число 9. Получим:

17 = 17 — получили верное равенство.

Следовательно, число 9 является корнем уравнения 8 + У = 17.

Итак, на уроке мы познакомились с методом решения уравнений на основе связи между слагаемыми и значением суммы. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из значения суммы вычесть известное слагаемое.

Список использованной литературы:

  1. И.И. Аргинская, Е.И. Ивановская, С.Н. Кормишина. Математика: Учебник для 2 класса: В 2ч. — Самара: Издательство «Учебная литература»: Издательский дом «Федоров», 2012.
  2. Аргинская И.И. Сборник заданий по математике для самостоятельных, проверочных и контрольных работ в начальной школе. — Самара: Корпорация «Федоров», Издательство «Учебная литература», 2006.

Использованные изображения:

Тема: Уравнение. Решение уравнений на основе взаимосвязи действий сложения и вычитания. Неизвестное слагаемое.

Цель урока: формировать умение решать уравнения с неизвестным слагаемым на основе взаимосвязи действий сложения и вычитания; развитие умений складывать и вычитать десятки; повторение знаний о геометрических фигурах; воспитание интереса к математике.

Ход урока

1. Организационный момент

2.Актуализация опорных знаний, умений и навыков.

1.Игра «Покажи знак». Учитель читает задачи:

Я купил 10 конвертов без марок. На 4 конверта я наклеил марки. Сколь­ко конвертов осталось без марок?

В альбоме 8 цветных фотографий, а черно-белых — на 3 меньше. Сколь­ко черно-белых фотографий в альбоме?

Набрали 7 банок малины и 3 банки смородины. Сколько всего банок с ягодами набрали?

В букете 5 желтых и 8 белых гвоздик. На сколько меньше желтых гвоздик?

В коробке 8 пирожных. Сколько пирожных надо взять из коробки, что­бы в ней осталось 5 пирожных?

С катка ушли 4 мальчика, остальные 6 продолжали кататься. Сколько мальчиков было на катке сначала?

2.На карточках найти среди записей уравнения и подчеркнуть их одной чертой (по линейке). На карточках за­пись.

4 + 5 = 9 7 – а = 3 6 + b х 4 4 + у = 6

3.Найди решение каждого уравнения. Запиши.

7 + х = 9 8 – y = 2 3 + a = 9

3. Изучение нового материала.

П одготовки к восприятию нового материала учитель

Составьте четверки примеров.

50 + 40 = 90 90 — 40 = 50

40 + 50 = 90 90 — 50 = 40

Затем решить уравнения.

50 + х = 90 х + 40 = 90

Х=90 – 50 х= 90 — 40

Х=40 х=50_____

50+40=90 50+40=90

Корень уравнения можно подобрать, а можно использовать знания о взаимосвязи сложения и вычитания. Решение уравнения обязательно нужно проверять. Если из суммы вычесть одно слагаемое, то получится другое слагаемое.

4. Закрепление

З адание 2 в тетрадях. Решете уравнения и сделайте проверку.

Задание 4 с 187. какие фигуры вы видите на рисунке? Какие пересекаются?

5.Работа в тетради. С 23

Задание 3. решение задачи с комментированием с места

6. Работа по методической теме. направлено на развитие логического мышления. Научить строить логические высказывания.

Задание 4 с 24

Задание5 . с 187. Какой подарок тяжелее? Какой легче?

7. Домашнее задание с 23 з 1 8. Итог урока

Урок математики в 3 классе «Решение составных уравнений» — TOП

Урок математики в 3 классе “Решение составных уравнений”

Автор: Лукина Елена Сергеевна,
учитель начальных классов
МБОУ “Гимназия №6”,
г. Ижевск, Удмуртская Республика

Цель: Систематизация  знаний по теме «Уравнения».

Задачи:

  1. Учить осознанно применять алгоритм решения составных уравнений, математически грамотно читать составные уравнения, видеть, в какой части находиться, и каким компонентом действия является неизвестное.
  2. Способствовать развитию когнитивного мышления, речи, внимания, познавательной активности; умения рассуждать, анализировать и решать задачи алгебраическим способом-уравнением.
  3. Прививать  интерес к предмету, к поисковой и исследовательской работе;  воспитывать коммуникативные навыки, умение сотрудничать.

Ход урока

I. Ориентировочно-мотивационный этап.

– Я задумала число, если его умножить на 8, а затем вычесть 30, и разделить на 2, и прибавить 12, то получиться 17. Какое число я задумала?

 

***Работа в парах по опорной схеме, методом обратной операции, учащиеся находят ответ.

 

***Да, это число 5! Я думаю, все сегодня получат оценку «5».

 

У нас урок математики – царицы всех наук. Без нее не обходиться ни один человек независимо от возраста и профессии.

– Прочитайте   в группах высказывания мудрых выдающихся людей о математике.

«Мир построен на силе чисел» Пифагор

«Природа формирует свои законы языком математики» Галилей

«Природа говорит языком математики: буквы этого языка – круги, треугольники и иные математические фигуры» Галилей

«Математика дисциплинирует ум, приучает к логическому мышлению»

«Математика – гимнастика ума» Калинин

Математика принадлежит к числу наук, имеющих громадное значение для выработки умения логически мыслить, делать обобщение» Крупская

«Математика – царица наук» Гаусс

«В сущности же это наука, требующая наибольшей фантазии,… Нельзя быть математиком, не будучи в то же время и поэтом в душе» Ковалевская

«Математика – царица всех наук.

Ее возлюбленный – истина.

Ее наряд – простота и ясность.

Дворец  этой владычицы открывается лишь разуму».

II. Актуализация ранее изученного материала.

– Расшифруйте имя великого музыканта, который имел блестящие математические знания, расположив числа в порядке возрастания:

  1. Индивидуальная работа:
* + 250=400 150-М
340 – * =180 160-А
* – 245 =155 400-Р
* . 6 = 300 50-М
210 : * = 3 70-О
* : 50 = 9 450-Т
  1. Проверка:

150, 160, 400, 50, 70, 450———-50, 70, 150, 160, 400, 450.

– Это  композитор Вольфганг Амадей Моцарт.

Что общего заметили в примерах? Как называются данные высказывания? Как найти неизвестные компоненты?

III. Постановка темы урока.

Как вы думаете, какая тема урока? Чем мы будем заниматься на уроке? Какую цель поставим?  (Решение уравнений, решение задач уравнением)

Какие понятия, ассоциации у вас возникают со словом «уравнение»?

-равенство -переменная
-корень уравнения -проверка
-неизвестный компонент -правило
-простые -алгоритм
-сложные, составные -действие

Что  значить решить уравнение? Найти значение корня.

Что  мы называем уравнением?  Уравнение- это равенство с переменной, значение которой надо найти.

Какие виды уравнений мы изучали?  Простые и составные.

IV. Работа по теме урока.

Операционно-исполнительный этап:

  1. Решить уравнения
4 . х + 90 =154 (18 + х) . 3 =72
х : 4 +144 = 160 62 – х . 2 = 38
  1. Алгоритм решения уравнений:

– найти последнее действие
– выделить неизвестный компонент
– применить правило
– упростить
– корень уравнения найден?
– проверка

Ответы: 16, 64, 6, 12.

  1. Исследование по решению задач.

1) Что это за фигура? Необходимо найти длину неизвестной стороны, зная периметр. Что такое периметр? Как его найти?

а) Длина прямоугольника 12 см. Периметр прямоугольника равен 36 см. Найди ширину.

б) Периметр прямоугольника равен 68 дм, ширина – 16 см. Найдите длину.

в) Длина одной стороны треугольника-12дм, другой-9 дм. Р=29 см. Найдите длину третьей стороны.

г) Периметр треугольника равен 45 см. Найди длину одной стороны, если две другие равны 20 и 9 см.

2) Задача: Школьники ехали на экскурсию в трех автобусах. Всего 78 человек. Во втором автобусе на 2 человека больше, чем в первом, а в третьем – на 4 человека больше, чем в первом автобусе. Сколько человек ехало в каждом автобусе?

– Исследуйте текст  задачи. Что известно, неизвестно? Можно ли сразу найти? Как решить задачу?  Какой способ является рациональным? Почему?

Как называется данный способ решения?

Самостоятельно составляют уравнение к решению задачи.

Что приняли за неизвестное? Достаточно ли только решить уравнение?

(Пусть Х-количество человек в первом автобусе, тогда х+2 – во втором, а х +4 – в третьем)

Выносится на доску:

х+х+2+х+4=78

х . 3 + 6 = 78

х . 3 = 78-6

х . 3 = 72

х = 72: 3

х = 24 (чел.) – в 1 автобусе

– А во 2 автобусе? В 3 автобусе? 24+2=26; 24+4=28

V. Рефлексивно-оценочный этап.

Подведение итогов урока

  • Чему научился?
  • Что хочу узнать?
  • В чем я еще затрудняюсь?

Домашнее задание:

Творческое: Объявляется конкурс на самую  интересную  задачу, в которую  можно будет решить уравнением.


Математика. 3 класс. Решение уравнений на основе взаимосвязи между компонентами и результатом действий сложения и вычитания

План-конспект урока математики в 3 классе. Урок 40

 

Тема урока: Решение уравнений на основе взаимосвязи между компонентами и результатом действий сложения и вычитания.

Цели урока:

  • Познакомить со способом решения уравнения на основе взаимосвязи между компонентами и результатом действий сложения и вычитания;
  • Совершенствовать вычислительные навыки и умение решать задачи на нахождение числа по его доле.
  • Воспитывать внимательность и аккуратность в работе.

Ход урока:

  1. Организационный момент

Смена тетрадей.

— Записываем дату, классная работа.

  1. Устный счет (2 чел. у доски)

1) 8 увеличить на 9

2) 32 уменьшить в 4 раза

3) 3 увеличить в 6 раз

4) 40 уменьшить на 4

5) Найди произведение чисел 5 и 8

6) Чему равно частное чисел 48 и 6

7) Сумму чисел 15 и 70 уменьши на 23

8) Разницу чисел 93 и 21 уменьши в 9 раз

9) Частное чисел 14 и 7 умножь на 10.

10) В доме 3 подъезда. В каждом подъезде 8 квартир. Сколько всего квартир в доме?

Проверка: 17, 8, 18, 10, 40, 8, 62, 8, 20, 24.

— Сколько правильных ответов. Какая твоя оценка?

  1. Математическая разминка

Нахождение дроби числа:

— 1/2 от 12 – это сколько? 1/3?

— 1/3 отрезка=3 см. Какой длины весь отрезок? Начертите этот отрезок в тетради.

  1. Актуализация знаний

Как называются латинские буквы в выражениях? (переменные)

Как называются равенства с переменной? (уравнения)

Решите уравнения способом подстановки числа. Выполните проверку

26+х=40             91-у=30

  1. Объявление целей и темы урока. Новая тема

Проблемная ситуация

К нам в гости сегодня пришел Незнайка. У него проблема. Дело в том, что он не умеет сразу подбирать нужное число на место переменной. Он хочет научиться правильно вычислять это число. Знайка подсказал ему, что для этого нужно знать компоненты действий (сложения и вычитания).

Подумайте, как можно использовать знание компонентов для решения уравнений?

(Нужно определить, каким компонентом является переменная. А потом найти неизвестный компонент.)

— Так чему мы сегодня будем учиться? (решать уравнения способом нахождения неизвестной переменной)

12+х=31                             72-у=55

Объяснение учителя. Самостоятельное чтение правила в учебнике.

  1. Закрепление. Работа по учебнику (с.80-81)

№ 1 (п). Решение уравнений новым способом с последующей самопроверкой. (2 чел у доски по очереди с объяснением)

— Назови компоненты сложения. Какой компонент неизвестен?. Как найти неизвестное слагаемое?

— Назови компоненты вычитания. Какой компонент неизвестен? Как найти неизвестное вычитаемое? Уменьшаемое?

№ 2 (п) Решение выражений, порядок действий. С объяснением. (2 чел. по очереди у доски)

— Что выполняем первым в выражениях без скобок?

Задача № 3. На нахождение числа по его доле. (1 чел у доски)

— Читай задачу. Что нам известно? (Что Дима прочитал ¼ страниц)

— Что нам известно про эту ¼ часть? (Что это 7 страниц.) Запишем ¼=7 стр.

— О чем спрашивается в задаче?

— Если Дима прочитал ¼ от того, что прочитала его сестра, как узнать, сколько она прочла? (7 умножить на 4). Записываем решение задачи.

Задача № 4. (1 чел у доски)

— Составь задачу. Во сколько действий будем ее решать?

— Что узнаем первым?

— Что узнаем вторым?

2 способ. Запиши решение задачи одним выражением. (2*8+12)

  1. Подведение итогов урока

— Чему мы сегодня научились?

— Что мы сегодня вспомнили?

— Как найти неизвестное слагаемое? Вычитаемое? Уменьшаемое?

  1. Домашнее задание

Повторить умножение и деление, компоненты действий к контрольному устному счету.

С. 81 № 1, 2 (чертеж). Т. урок 40

Чтобы не пропустить ничего, что происходит и публикуется на блоге, подписывайтесь ЗДЕСЬ. И не забудьте оставить чуть ниже свой комментарий 😉 Я ценю ваше мнение!

С уважением и любовью, Татьяна Саксон

Помощь в решении уравнений для 3-го класса

В 3-м классе вы познакомитесь с начальными алгебраическими навыками, такими как определение пропущенного числа в уравнении. Вы также будете практиковаться в написании уравнений для решения текстовых задач. Чтобы узнать больше, читайте дальше!

Уравнения для 3-х классов

Уравнение использует знак ‘=’, чтобы сообщить вам, что два выражения имеют одинаковое значение. Уравнения могут принимать самые разные формы. Вот некоторые примеры:

3 = 3
5 — 2 = 3
5 — 2 = 3
3 ÷ 1 = 3
5 — 2 = 3 ÷ 1

Уравнения решения

В 3-м классе вы будете решать уравнения . Это означает, что вам будут даны уравнения, в которых пропущено число, и вам придется выяснить, что это за число. Недостающее число называется переменной , и вы можете представить его любым символом. Для этой цели мы часто используем такие буквы, как x или n , но вы можете использовать любой символ, какой захотите. Вот несколько уравнений с переменными:

4 + х = 7
n ÷ 2 = 4
х
9 0 1 1 90 ?

Первые два примера могут быть для вас новыми, но последний должен быть вам знаком.Это потому, что, даже если вы этого не осознаете, вы «решаете» уравнение каждый раз, когда решаете математическую задачу. Когда вы отвечаете на задачу 4 x 5, написав 4 x 5 = 20, вы только что нашли недостающую переменную!

Теперь давайте попрактикуемся в решении уравнений, в которых переменная находится на другой стороне. Чтобы определить x в задаче 4 + x = 7, спросите себя: «Четыре плюс , какое число равно семи?» Вы помните, что 4 + 3 = 7, так что вы можете сказать, что x = 3.

Это работает одинаково для умножения и деления. Чтобы найти n в задаче n ÷ 2 = 4, вам нужно выяснить, какое число разделить на два равно четырем. Так как 8 ÷ 2 = 4, n = 8. Теперь попробуем решить задачу 5 x ? = 20. Ранее вы уже знали, что 5 x 4 = 20, поэтому четыре — недостающая переменная.

Уравнения для текстовых задач

Еще один предварительный алгебраический навык, который вы освоите в 3-м классе, — это написание уравнений для решения текстовых задач.Вот пример:

Даника, Калеб и Тэмми пошли за мороженым. Даника заказала два шарика мороженого, Калеб заказал три шарика, а Тэмми тоже заказала мороженое. Если они заказали всего шесть шариков мороженого, сколько мороженого заказала Тэмми?

Поскольку общее количество заказанных мерных ложек равно шести, это число стоит с одной стороны знака «=». Мы хотим знать, сколько шариков мороженого заказала Тэмми, поэтому обозначим это буквой T . Мы знаем, что количество ложек, заказанных Даникой и Калебом, плюс количество, заказанное Тэмми, равно шести, поэтому мы можем написать уравнение 2 + 3 + T = 6. Поскольку 2 + 3 + 1 = 6, мы можем сказать, что Тэмми заказала один шарик мороженого.

Уравнения — Математика 3 класса

Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже.Если университетские наставники примут меры в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как так как ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
Сент-Луис, Миссури 63105

Или заполните форму ниже:

 

Уравнения и эквиваленты в 3 классе

Итак, я тупо болтал в Интернете с некоторыми невероятно серьезными исследователями об эквивалентности и знаке равенства, и о том, что это не такая сложная тема для преподавания, когда — ОЙ! — мое фактическое преподавание мешало.

Я поступил правильно. В моем 3-м классе я хотел ввести «?» как символ неизвестного, поэтому я написал на доске несколько уравнений:

.

15 = ? х 5

3 + ? = 10

10 + 3 = 11 + ?

И я не был ни шокирован, ни моргнул, когда один ребенок сказал мне, что последнее уравнение не имеет никакого смысла. Ах, подумал я, пора пресечь это в зародыше.

Я выслушал ребенка и сказал, что понял, но хотел бы поделиться, в чем смысл этого.Я спросил, знает ли кто-нибудь, что означает знак равенства, и один ребенок сказал «делает», а другой сказал «такой же, как». Замечательно, сказал я, потому что последнее уравнение просто говорит, что левая часть равна правой. Итак, какое число сделает их одинаковыми? 2? Фантастика, идем дальше.

Затем, на следующий день, я поставил задачу на доске:

5+ 10 = ___ + 5

И ты знаешь, что будет дальше, верно? Все согласны с тем, что пробел равен 15. «Но разве мы не говорили вчера, что знак равенства означает «такой же, как»?» Я попросил. Ребенок поднял руку и объяснил, что это действительно значит, но ответ все равно должен быть 15. Вот как она хотела, чтобы мы прочитали уравнение, как пробег:

(5 + 10 = 15) + 5

Теперь мне стали ясны две вещи. Во-первых, моя гордость тем, что я четко и решительно занялся этим вопросом, была ошибочной. Мне нужно было сделать больше и глубже вникнуть в это.

Во-вторых, разве это не интересно? Вы можете иметь совершенно правильное понимание знака равенства и по-прежнему совершать те же «классические» ошибки, интерпретируя реальное уравнение.

Думаю, это поможет прояснить некоторые вещи, которые я путал в голове. Когда люди говорят о том, что детям необходимо хорошо понимать эквивалентность, они на самом деле имеют в виду несколько разных вещей. Вот два, которые появились выше:

  • Частный смысл знака равенства (из этого следует, что уравнение может быть записано слева направо или справа налево, т.е. оно симметрично)
  • Обычные способы записи уравнений (напр. грамм. без повторов, может включать несколько операций и терминов с каждой стороны)

Но это только начало, потому что часто люди говорят о множестве других вещей, когда говорят об «эквивалентности». Вот лишь некоторые из них:

  • Вы можете выполнять одни и те же операции с каждой стороной  (отлично полезно для решения уравнений)
  • Вы можете манипулировать одинаковыми элементами на одной стороне уравнения, чтобы создать истинное уравнение (10 + 5 можно превратить в 9 + 6 можно превратить в 8 + 7; 8 x 7 можно превратить в 4 x 14; 3 (x + 4) можно превратить в 3x + 12 и т. д.)

Когда ребенок не может решить 5 + 10 = ___ + 9 правильно или легко, используя «реляционное понимание», это часто винят в понимании ребенком знака равенства, эквивалентности или конкретных способов соотнесения 5 + 10 с __ + 9. Но теперь я ясно вижу, что это разные вещи, и одни даются детям легче, чем другие.

Итак, мы подошли к следующему уроку с моими 3-классниками.

Я начал, как обычно в этой ситуации, с избегая знака равенства .Я считаю, что для этой цели хорошо подходит двойная стрелка, поэтому я нарисовал на доске отношение стрелок:

.

2 x 6 <–> 8 + 4

Я указал, что 2 x 6 дает 12, а также 8 + 4. Могут ли дети придумать что-то подобное, спросил я?

Да. Я не сделал фото, но я был благодарен, что все подошло. Дети прекрасно смешивали операции, например, 12 – 2 <–> 5 + 5, в целом казалось, что это не сложно, дети точно знали, что я имею в виду, и могли генерировать множество идей.

Следующим моим шагом было сделать паузу и ввести в этот разговор знак равенства. Кто-нибудь будет возражать, если я заменю эту двойную стрелку знаком равенства? Во всяком случае, именно это и означает знак равенства. Ничего страшного, тоже все прошло нормально.

Дети даже приводили замечательные примеры, такие как 1 x 2 = 2 x 1 или 12 = 12. Замечательно.

Затем я представил задачу дня в стиле Open Middle (R) (TM) (C):

Да, я быстро написал его от руки фломастером. Это был именно такой день.

Я подробно объяснил ограничения. 10 – 2 + 7 + 1 было правильным уравнением, но для этой головоломки не годилось. Как и 15 – 5 = 6 + 4. А потом я дал детям время на поиск решений, сколько они смогли найти.

Бла-бла-бла, большинство детей добились успеха, другим было трудно начать, но все в конце концов добились определенного успеха. Вот несколько фотографий студентов, которые меня украшают:

Вот фотография студента, который мучился, но в конце концов нашел решение:

Вот фотография ученика из класса, который меня больше всего интересовал.Вы можете видеть отметки вдоль его страницы, когда он пытается обрабатывать такие вещи, как 12 – 9, когда он пытается вычитать разные числа из 12. Я думаю, что с правой стороны могло происходить какое-то умножение, не знаю почему. В любом случае:

Дело в том, что накануне этот последний студент чуть не сломался от разочарования из-за своей неспособности разобраться в этих «нетрадиционных» уравнениях. Так что это заставляет меня выглядеть отлично — я сделал это! Я научил его эквивалентности примерно за день.Тада.

Но я не думаю, что это то, что происходит. Понятие равенства двух различных вещей не было для него трудным. На самом деле я не думаю, что это понятие вообще сложно для очень многих учеников — дети знают, что различные сложения равны 10. И для этого ребенка не было особенно трудно объединить это понятие эквивалентности со знаком равенства. Мол, нет, он не думал, что именно это означает знак равенства, но что бы там ни было, это было просто на основании того, что он думал раньше.Это просто условность. Я сказал ему, что знак равенства означает что-то еще, хорошо, конечно. Не так уж и плохо.

Однако для этого ученика было очень трудно вычитать число из 12.

Вот о чем, я думаю, говорят люди, говоря об «относительном понимании». Это правда — мне бы очень хотелось, чтобы этот студент знал, что 10 + 2 <–> 9 + 3, и поэтому, когда он увидел 12, он мог связать это с 10 + 2 и, следовательно, быстро перейти к 9 + 3 и понять, что 12 — 3 = 9 . Я имею в виду, что это то, что делают многие мои третьеклассники, не так много слов. Это очень полезно.

В завершение несколько вопросов и предварительных ответов:

В: Трудно ли преподавать или изучать концепцию эквивалентности.

А: №

В: Сложно ли выучить знак равенства и его значение?

А: Это тяжелее , но это все условно. Если вы введете новый символ, такой как «<–>», я не думаю, что дети так сильно спотыкаются.Иногда им приходится забыть о том, что они сделали из предыдущего опыта, который был слишком ограничен (т. е. всегда ставить результат на правильную сторону). Таким образом, вы не делаете детям никаких одолжений, делая это, хорошо представлять уравнения в разных формах, как только дети впервые видят уравнения в K или 1-м классе. Я имею в виду, почему бы и нет?

В: Если дети не узнают, как обычно работают уравнения, запутаются ли они позже в алгебре?

А: Да. Но всем моим детям складывать и вычитать сложнее, чем понимать эти условности. Я считаю, что вам не нужно лет , чтобы привыкнуть к тому, как работают уравнения. Тебе нужен час или два, чтобы представить его.

В: Нужно ли учить этому заранее? Не слишком ли поздно изучать алгебру, как работают уравнения?

A: Я думаю, что дети должны учиться этому рано, но ВООБЩЕ не поздно, если они этого не сделают.

Я вел занятия по алгебре в 8-м и 9-м классах, где ученики не понимали, как работают уравнения.По моим воспоминаниям, это раздражало, потому что я слишком поздно понял, что происходит, и мне пришлось отступить. Но, основываясь на том, что я обучаю этому младших детей, я не могу себе представить, что уже слишком поздно учить этому старшеклассников.

Я думаю, вполне возможно, что с годами становится все труднее вытряхнуть учеников из их более ограниченного понимания уравнений, потому что они укрепляют их теорию об уравнениях и символе равенства. Я не знаю.

Я не вижу причин не учить этому раньше, но я думаю, что важно помнить, что в средней школе мы говорим детям, что иногда вычитание числа делает его больше и что существуют отрицательные показатели степени.Дети могут узнать что-то новое и в более поздние годы.

В: Так что же мешает маленьким детям решать уравнения вроде 5 + 10 = 6 + __?

A: Это определенно правда, что дети, которые не понимают, как читать такого рода уравнения, вообще не смогут участвовать. Но самому относительному мышлению, как мне кажется, труднее всего научить и чему научиться.

Вот мысленный эксперимент. Что, если бы у вас была школа или учебная программа, в которой только использовали знаки равенства и уравнения скучным, ограниченным способом «5 + 10 = »? и «6 х ? = 12” на протяжении всей школы, но в то же время глубоко и эффективно обучали реляционному мышлению с использованием <–> и другой терминологии? А затем в 8-м классе у них есть несколько уроков, обучающих «новому» способу понимания знака равенства? Будет ли это иметь большое значение? Я не знаю, я так не думаю.

В: Есть данные, свидетельствующие о том, что изучение вышеперечисленных вещей помогает детям добиться большего успеха в алгебре на более позднем этапе. Твои мысли?

А: Не знаю! Мне кажется, что если что-то и имеет значение для более поздней алгебры, то это должна быть либо концепция эквивалентности, либо условность уравнений, либо реляционное мышление.

Я думаю, что понятие эквивалентности знакомо каждому ребенку. Я думаю, что правила уравнений не так уж трудно выучить, но они действительно имеют смысл только в том случае, если вы свяжете уравнения с концепцией эквивалентности.Концепция эквивалентности объясняет , почему уравнения имеют определенные соглашения. Так что я понимаю, почему эти двое идут вместе. Но может ли этого быть достаточно, чтобы помочь студентам с более поздним опытом алгебры? Может быть. Это потому, что учителя алгебры не учат правилам уравнений на своих занятиях? Будет ли преимуществом ранний опыт работы с уравнениями, если его будут преподавать учителя алгебры?

В конце концов, это не имеет большого значения, потому что маленькие дети могут этому научиться, так почему бы не научить их этому? Не повредит, только стоит вам час или два.

Но еще одна большая вещь — это реляционное мышление. Теперь я не думаю, почему реляционное мышление имеет место в контексте уравнений. Вы МОЖЕТЕ использовать другие символы, такие как двойные стрелки или что-то еще. Но в математике уже есть этот символ эквивалентности, так что вы можете также учить реляционному мышлению о сложении/вычитании/умножении/делении в контексте уравнений. И это действительно сложная, очень важная математика для изучения. Важно, чтобы ребенок понял, что 2 х 14 равно 4 х 7.

По очень многим причинам, практически по всем причинам важно, что арифметика является основой алгебры. Я не могу перечислить их сейчас, но я хочу сказать, что это выходит за рамки уравнений. Реляционное мышление (например, как различные дополнения соотносятся друг с другом) огромно и чрезвычайно важно.

Изменится ли понимание условностей знаков равенства и уравнений при отсутствии опыта, помогающего детям понять отношения? Начинают ли некоторые дети самостоятельно устанавливать связи, когда учатся писать уравнения? Неужели обучение реляционному пониманию проваливается просто потому, что дети не понимают, что означают уравнения, которые используют их учителя?

Не знаю.

Нравится:

Нравится Загрузка…

Родственные

Общие базовые стандарты для 3-го класса

Ниже приведены общие базовые стандарты для 3-го класса со ссылками на поддерживающие их ресурсы. Мы также поощряем множество упражнений и работу с книгами.

Класс 3 | Операции и алгебраическое мышление

Представлять и решать задачи на умножение и деление.

3.OA.A.1 Интерпретация произведений целых чисел, e.г., интерпретируйте 5 х 7 как общее количество предметов в 5 группах по 7 предметов в каждой. Например, опишите контекст, в котором общее количество объектов может быть выражено как 5 x 7.

Умножение — Таблицы умножения Играйте с числовыми блоками онлайн

3.OA.A.2 Интерпретировать целочисленные частные целых чисел, например, интерпретировать 56/8 как количество объектов в каждой доле, когда 56 объектов разделены поровну на 8 долей, или как количество долей, когда 56 объектов разделены на равные доли по 8 объектов в каждой. Например, опишите контекст, в котором количество долей или количество групп можно выразить как 56/8.

Играйте с числовыми блоками онлайн

3.OA.A.3 Используйте умножение и деление в пределах 100 для решения текстовых задач в ситуациях, связанных с равными группами, массивами и измеряемыми величинами, например, используя рисунки и уравнения с символом для неизвестного числа для представления задачи.

3.OA.A.4 Определите неизвестное целое число в уравнении умножения или деления, относящемся к трем целым числам.Например, определите неизвестное число, которое делает уравнение истинным в каждом из уравнений 8 x ? = 48,
5 = ?/3, 6 x 6 = ?

Понимать свойства умножения и связь между умножением и делением.

3.OA.B.5 Применять свойства операций как стратегии умножения и деления. (Учащимся не нужно использовать формальные термины для этих свойств.) Примеры: если известно 6 x 4 = 24, то также известно 4 x 6 = 24. . (Переместительное свойство умножения.) 3 x 5 x 2 можно найти из 3 x 5 = 15, тогда 15 x 2 = 30, или из 5 x 2 = 10, тогда 3 x 10 = 30. (Ассоциативное свойство умножения.) Зная, что 8 x 5 = 40 и 8 x 2 = 16, можно найти 8 x 7 как 8 x (5 + 2) = (8 x 5) + (8 x 2) = 40 + 16 = 56. (Распределительное свойство.)

3.OA.B.6Понимать деление как задачу с неизвестным фактором. Например, разделите 32/8, найдя число, которое дает 32 при умножении на 8.

Умножение и деление в пределах 100.

3.OA.C.7 Свободно умножать и делить в пределах 100, используя такие стратегии, как взаимосвязь между умножением и делением (т.г., зная, что 8 х 5 = 40, известно 40/5 = 8) или свойства операций. К концу 3 класса знать наизусть все произведения двух однозначных чисел.

Решите задачи, связанные с четырьмя операциями, и определите и объясните закономерности в арифметике.

3.OA.D.8 Решите двухэтапные текстовые задачи, используя четыре операции. Представьте эти проблемы, используя уравнения с буквой, обозначающей неизвестную величину. Оцените обоснованность ответов, используя вычисления в уме и стратегии оценки, включая округление. (Этот стандарт ограничивается задачами, поставленными с целыми числами и имеющими целочисленные ответы; учащиеся должны знать, как выполнять операции в обычном порядке, когда нет круглых скобок для указания определенного порядка (Порядок операций).)

3.OA.D.9Определять арифметические шаблоны (включая шаблоны в таблице сложения или таблице умножения) и объяснять их, используя свойства операций. Например, заметьте, что число, умноженное на 4, всегда будет четным, и объясните, почему число, умноженное на 4, можно разложить на два равных слагаемых.

Класс 3 | Числа и операции в десятичной системе счисления

Используйте понимание разрядного значения и свойства операций для выполнения многоразрядной арифметики.

3.NBT.A.1 Используйте понимание разрядности для округления целых чисел до ближайших 10 или 100.

3.NBT.A.2 Свободно складывать и вычитать в пределах 1000, используя стратегии и алгоритмы, основанные на разрядном значении, свойствах операций и/или отношениях между сложением и вычитанием. (Можно использовать ряд алгоритмов.)

3.NBT.A.3 Умножать одноразрядные целые числа на кратные 10 в диапазоне от 10 до 90 (например, 9 x 80, 5 x 60), используя стратегии, основанные на разрядности и свойствах операций. (Можно использовать ряд алгоритмов.)

Класс 3 | Числа и операции — дроби

Развивать понимание дробей как чисел.

3.NF.A.1 Под дробью 1/b понимается количество, образованное 1 частью при разделении целого на b равных частей; Под дробью a/b понимают количество, образованное частями a размера 1/b.(Ожидания 3-го класса в этой области ограничиваются дробями со знаменателями 2, 3, 4, 6 и 8.)

3.NF.A.2 Понимание дроби как числа на числовой прямой; изображать дроби на числовой линейной диаграмме.
а. Представьте дробь 1/b на числовой линейной диаграмме, определив интервал от 0 до 1 как целое и разделив его на b равных частей. Знайте, что каждая часть имеет размер 1/b и что конечная точка части, основанная на 0, соответствует числу 1/b на числовой прямой.
б.Представьте дробь a/b на числовой линейной диаграмме, отметив a длины 1/b от 0. Определите, что результирующий интервал имеет размер a/b и что его конечная точка соответствует числу a/b на числовой прямой.

Сопоставьте дробь — слова с числовой строкой Сопоставьте дробь — дробь с числовой строкой

3.NF.A.3 Объясните эквивалентность дробей в особых случаях и сравните дроби, рассуждая об их размере.
а. Две дроби считают эквивалентными (равными), если они имеют одинаковую величину или одну и ту же точку на числовой прямой.
б. Распознавайте и создавайте простые эквивалентные дроби, например, 1/2 = 2/4, 4/6 = 2/3. Объясните, почему дроби эквивалентны, например, используя визуальную модель дроби.
с. Выражайте целые числа в виде дробей и распознавайте дроби, эквивалентные целым числам. Примеры: Выразите 3 в виде 3 = 3/1; признать, что 6/1 = 6; найдите 4/4 и 1 в одной и той же точке диаграммы с числовыми линиями.
д. Сравните две дроби с одним и тем же числителем или одним и тем же знаменателем, рассуждая об их размере. Признайте, что сравнения допустимы только тогда, когда две дроби относятся к одному и тому же целому. Запишите результаты сравнений символами >, = или < и обоснуйте выводы, например, с помощью визуальной дробной модели.

Класс 3 | Измерения и данные

Решение задач, связанных с измерением и оценкой интервалов времени, объемов жидкостей и масс объектов.

3.MD.A.1 Укажите и запишите время с точностью до минуты и измерьте интервалы времени в минутах.3 и нахождение геометрического объема сосуда.) Сложите, вычтите, умножьте или разделите, чтобы решить одноэтапные текстовые задачи, включающие массы или объемы, заданные в одних и тех же единицах измерения, например, с помощью рисунков (таких как стакан с шкала измерения) для представления проблемы. (Исключая задачи мультипликативного сравнения (задачи, связанные с понятиями «в разы больше»))

Представление и интерпретация данных.

3.MD.B.3 Нарисуйте масштабированный график изображения и масштабированную гистограмму, чтобы представить набор данных с несколькими категориями. Решайте одно- и двухэтапные задачи «насколько больше» и «на сколько меньше», используя информацию, представленную в масштабированных гистограммах. Например, нарисуйте гистограмму, в которой каждый квадрат гистограммы может представлять 5 домашних животных.

Отображение результатов опроса

3.MD.B.4 Генерация данных измерений путем измерения длин с помощью линеек, отмеченных половинками и четвертями дюйма. Покажите данные, построив линейный график, где горизонтальная шкала отмечена в соответствующих единицах — целых числах, половинках или четвертях.

Геометрические измерения: понять понятия площади и соотнести площадь с умножением и сложением.

3.MD.C.5 Распознавать площадь как атрибут плоских фигур и понимать принципы измерения площади.
а. Говорят, что квадрат со стороной 1 единица, называемый «единичным квадратом», имеет «одну квадратную единицу» площади и может использоваться для измерения площади.
б. Говорят, что плоская фигура, которую можно покрыть без зазоров и перекрытий n единичными квадратами, имеет площадь n квадратных единиц.

3.MD.C.6 Измерение площадей путем подсчета единиц площади (квадратный сантиметр, квадратный метр, квадратный дюйм, квадратный фут и импровизированные единицы).

3.MD.C.7 Область, связанная с операциями умножения и сложения.
а. Найдите площадь прямоугольника с целыми числами длин сторон, замостив его мозаикой, и покажите, что площадь такая же, как и при умножении длин сторон.
б. Умножайте длины сторон, чтобы находить площади прямоугольников с целыми числами длин сторон в контексте решения реальных и математических задач, и представляйте произведения целых чисел в виде прямоугольных площадей в математических рассуждениях.
с. Используйте мозаику, чтобы показать в конкретном случае, что площадь прямоугольника с целыми числами длин сторон a и 90 332 b + c равна сумме a x b и a x c. Используйте модели площадей для представления распределительного свойства в математических рассуждениях.
д. Распознать площадь как аддитивную. Находите площади прямолинейных фигур, разбивая их на непересекающиеся прямоугольники и добавляя площади непересекающихся частей, применяя эту технику для решения реальных задач

Геометрические измерения: распознавать периметр как атрибут плоских фигур и различать линейные меры и меры площади.

3.MD.D.8 Решать реальные и математические задачи, связанные с периметрами многоугольников, включая нахождение периметра по длинам сторон, нахождение неизвестной длины стороны и отображение прямоугольников с одинаковым периметром и разной площадью или с одинаковой площадью и разными периметр.

Класс 3 | Геометрия

Разбираться с формами и их атрибутами.

3.G.A.1 Поймите, что фигуры в разных категориях (например, ромбы, прямоугольники и другие) могут иметь общие атрибуты (например,например, с четырьмя сторонами), и что общие атрибуты могут определять более крупную категорию (например, четырехугольники). Распознайте ромбы, прямоугольники и квадраты как примеры четырехугольников и нарисуйте примеры четырехугольников, не принадлежащих ни к одной из этих подкатегорий.

3.G.A.2 Разделите фигуры на части одинаковой площади. Выразите площадь каждой части в виде доли целого. Например, разделите фигуру на 4 части одинаковой площади и опишите площадь каждой части как 1/4 площади фигуры.

Сопоставьте дробь — слова с пиццей Сопоставьте дробь — дробь с пиццей

 

Рабочие листы

уравнений для 3 класса

Рабочие листы уравнений для 3 класса — Решение уравнений с переменными Рабочие листы 3 класса

Написание уравнений из рабочих листов Word

У нас есть для ваших детей специальная коллекция хорошо упрощенных рабочих листов с уравнениями для 3 класса .На самом деле, эти решения уравнений с переменными 3 rd классные листы помогут 3 rd классникам легко определить уравнение, как две равные вещи, разделенные знаком равенства.

Самое главное, они узнают, как сбалансировать уравнение так, чтобы суммы по обе стороны от знака равенства были одинаковыми.

В более увлекательной форме мы в равной степени сформулировали увлекательные написание уравнений из рабочих листов текстовых задач , в которых дети узнают стратегические способы легко находить взаимосвязь между различными величинами в задаче.

Таким образом, замечательное умение переводить ситуацию, объясненную словами, в математическое выражение с помощью символов.

Может ли решение уравнений с переменными улучшить навыки ребенка в основных математических операциях??

Какими бы увлекательными и увлекательными ни были наши рабочие листы уравнений для 3-го класса , опыт ребенка в умном решении уравнений с переменными повысит их компетентность в основных математических операциях .

Итак, как вы увидите в большинстве наших упражнений, например, решить для переменной: только сложение и вычитание; решить для переменной: только умножение и деление , нашим маленьким ученикам математики будет предложено использовать свои навыки сложения, вычитания, умножения и деления, чтобы сбалансировать уравнения повседневных ситуаций.

Таким образом, немного попрактиковавшись и применяя наши простые правила, ваши дети быстро освоятся и, таким образом, станут более комфортно решать простые уравнения.

Как научить решать уравнения в Word в третьем классе | Образование

Третьеклассники начинают лучше разбираться в математике. Сложение и вычитание уже должно быть легким делом, а вы знакомитесь с более сложными понятиями умножения и деления. Конечно, одной из целей Common Core State Standards является правильное понимание чисел и того, как их использовать для решения задач, и именно здесь возникают текстовые задачи.Студенты, привыкшие к механической математике, могут столкнуться с трудностями при решении текстовых задач.

Примеры из реальной жизни

Словесные задачи предназначены для того, чтобы показать учащимся, как они могут использовать математику в реальном мире, но иногда примеры в учебниках по математике просто не нравятся учащимся. Даже если учащиеся могут решить задачу, она просто недостаточно интересна для того, чтобы они захотели ее решить. Чтобы отразить их интересы в словесных задачах, попробуйте сослаться на видеоигру, например Minecraft.Вы можете спросить, сколько блоков в доме, который имеет 20 блоков в ширину, 10 блоков в ширину и 10 блоков в высоту, с восемью одноблочными окнами и дверью, которая равна площади двух блоков. Студенты использовали умножение, чтобы найти площадь каждой стороны дома, а затем вычесть блоки для окон и дверей.

Понимание прочитанного

Некоторые учащиеся, которые могут быстро выполнять математические упражнения, испытывают затруднения при решении текстовых задач. В некоторых из этих случаев основная проблема связана с пониманием прочитанного.Научите учащихся разбирать проблемы. Прочитав пример, вы можете спросить, какие функции необходимы для решения задачи. Учащийся может знать, что в нем есть сложение, а затем деление. Затем вы можете написать задачу как _ + _ и помочь учащимся заполнить пробелы цифрами, которые им нужны из задачи.

Смешивание

Традиционные учебные программы часто не дают учащимся результатов, потому что задачи со словами в конце главы используют исключительно функции, которые только что преподавались, по словам Марии Миллер, создателя программы Math Mammoth.Учащиеся могут легко решить эти задачи, потому что они потратили несколько страниц на похожие примеры. Когда словесные задачи бывают смешанного типа — как это было бы в тестах — учащиеся больше не знают, как их решать. Когда вы даете листы с практическими заданиями, постарайтесь смешать несколько задач, в которых используются приемы из предыдущих глав, в качестве повторения, чтобы держать учащихся в напряжении.

Визуализация задачи

Некоторым учащимся трудно понять смысл данных в словесной задаче при чтении или прослушивании примера.Им нужна лучшая визуализация. Объясните этим учащимся, что они могут рисовать, если это имеет для них больше смысла. Например, задача может заключаться в том, что у Анны было 28 мармеладок, но она съела 17 из них, а у Хьюго было 45 мармеладок, но он съел 9. Затем задача спрашивает, сколько всего мармеладок осталось. Студенты могут начать с написания имен «Энн» и «Хьюго» на бумаге, затем написать 28-17 под Энн и 45-9 под Хьюго. Получив эти ответы, они могут просто сложить их вместе.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск