Правило теорема виета: Теорема Виета

Содержание

Теорема Виета — HintFox

Франсуа Виет родился в 1540 г. во Франции в Фонтене-ле-Конт. По образованию юрист. Он много занимался адвокатской деятельностью, а с 1571 по 1584 г. был советником королей Георга III и Георга IV. Но все свое свободное время, весь свой досуг он отдавал занятиям математикой, а также астрономией. Особенно усиленно он начал работать в области математики с 1584 г. после отстранения от должности при королевском дворе. Виет детально изучил труды как древних, так и современных ему математиков.

Франсуа Виет по существу создал новую алгебру. Он ввел в нее буквенную символику. Основные его идеи изложены в труде «Введение в аналитическое искусство». Он писал: «Все математики знали, что под их алгеброй и альмукабалой были скрыты несравненные сокровища, но не умели их найти: задачи, которые они считали наиболее трудными, совершенно легко решаются с помощью нашего искусства».

Действительно, все мы знаем, как легко решать, например, квадратные уравнения.

Для их решения имеются готовые формулы. До Ф. Виета решение каждого квадратного уравнения выполнялось по своим правилам в виде очень длинных словесных рассуждений и описаний, довольно громоздких действий. Даже само уравнение в современном виде не могли записать. Для этого тоже требовалось довольно длинное и сложное словесное описание. На овладение приемами решений уравнений требовались годы. Общих правил, подобных современным, а тем более формул решения уравнений не было. Постоянные коэффициенты буквами не обозначались. Рассматривались выражения только с конкретными числовыми коэффициентами.

Виет ввел в алгебру буквенную символику. После нововведения Виета стало возможным записывать правила в виде формул. Правда, у Виета показатели степеней ещё обозначались словами, и это создавало определенные трудности в решении некоторых задач. Во времена Виета был ещё ограничен запас чисел. Франсуа Виет очень подробно изложил в своих трудах теорию решения уравнений с первой по четвертую степень.

Большой заслугой Виета было открытие зависимости между корнями и коэффициентами уравнений приведенного вида произвольной натуральной степени. Нам хорошо известна знаменитая теорема Виета для приведенного квадратного уравнения: «сумма корней квадратного уравнения приведенного вида равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней этого уравнения равно свободному члену». Эта теорема позволяет устно проверять правильность решения квадратных уравнений, а в простейших случаях находить и корни уравнений.

Отметим также, что Виет дал первое в Европе аналитическое (с помощью формулы) представление числа π.

Умер Виет в возрасте 63 лет в 1603 г.

Теорема Виета.

Сумма корней квадратного трехчлена x2 + px + q равна его второму коэффициенту p с противоположным знаком, а произведение – свободному члену q.

Доказательство.

Пусть x1 и x2 – различные корни квадратного трехчлена x2 + px + q. Теорема Виета утверждает, что имеют место следующие соотношения: x1 + x2 = –p x1 x2 = q

Для доказательства подставим каждый из корней в выражение для квадратного трехчлена. Получим два верных числовых равенства: x12 + px1 + q = 0 x22 + px2 + q = 0

Вычтем эти равенства друг из друга. Получим x12 – x22 + p (x1 – x2) = 0

Разложим разность квадратов и одновременно перенесем второе слагаемое в правую часть:

(x1 – x2) (x1 + x2) = –p (x1 – x2)

Так как по условию корни x1 и x2 различны, то x1 – x2 ≠  0 и мы можем разделить равенство на x1 – x2. Получим первое равенство теоремы: x1 + x2 = –p

Для доказательства второго подставим в одно из написанных выше равенств (например, в первое) вместо коэффициента p, равное ему число – (x1 + x2): x12 – (x1 + x2) x1 + q = 0

Преобразуя левую часть, получаем: x12 – x12 – x2 x1 + q = 0 x1 x2 = q, что и требовалось доказать.

В случае неприведённого квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 : x1+x2 = x1x2 =

Теорема, обратная теореме Виета.

Если выполняются равенства x1+x2 = и x1x2 = , то числа x1 и x2 являются корнями квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0.

Доказательство.

Из равенства x1+x2 = и x1x2 = следует, что x2 + x + =x2 — (x1+x2)x + x1x2.

Но x2 — (x1+x2)x + x1x2 = (x-x1)(x-x2) и поэтому x2 + x + = (x-x1)(x-x2).

Отсюда следует, что x1 и x2 – корни уравнения x2 + x + = 0, а поэтому и уравнения ax2 + bx + c = 0.

Применение теоремы Виета.

Теорема Виета применяется в 8-м классе для подбора корней квадратных уравнений. Можно расширить рамки использования этой теоремы, например, для решения систем уравнений в 9-11-х классах и решения задач, связанных с исследованием квадратных уравнений и их корней. Это сокращает время и упрощает решение системы.

Пример 1.

Решить систему уравнений:

Если допустить, что x и y-корни некоторого квадратного уравнения, сумма корней которого равна 5, а их произведение равно 6, то получим совокупность двух систем

Ответ: (2;3), (3;2).

Учащиеся довольно быстро осваивают этот способ решения и с удовольствием используют его. Далее можно усложнять системы и использовать этот прием при изучении различных тем в 10-11-х классах.

Пример 2.

Решить систему уравнений:

При условии x > 0 y > 0 получаем

Пусть и — корни некоторого приведенного квадратного уравнения, тогда данная система равносильна совокупности двух систем

Вторая система совокупности не имеет решения, решением первой является пара x=9,y=4.

Ответ: (9;4).

Ниже приведены системы уравнений, решаемые с помощью теоремы Виета.

Ответ: (65;3),(5;63).

Ответ: (23;11),(7;27).

Ответ: (4;729),(81;4096).

Ответ: (2;2).

5. x + y =12 Ответ: (8;4),(4;8).

Ответ: (9;4),(4;9).

Аналогичные системы уравнений можно составить самому учителю или подключить к этому учащихся, что способствует развитию интереса к предмету.

Задания для устного решения.

Не решая квадратные уравнения, найдите их корни.

1. x2 — 6x + 8 = 0 Ответ: 2;4.

2. x2 – 5x – 6 = 0 Ответ: -1;6.

3. x2 + 2x — 24 = 0 Ответ: -6;4.

4. x2 + 9x + 14 = 0 Ответ: -7;-2.

5. x2 – 7x + 10 = 0 Ответ: 2;5.

6. 2×2 + 7x + 5 = 0 Ответ: -2,5;-1.

Рассмотрим задачи, при решении которых используется теорема Виета.

Задача 1.

Не решая уравнения 9x²+18x-8=0,найдите x1³+x2³,где x1,x2-его корни.

Решение:

9x²+18x-8=0 │:9 x²+2x-=0

1)Дискриминант больше нуля, D>0,значит x1,x2-действительные корни.

2) x²+2x-=0

По теореме Виета, следует, что: x1+x2=-2 x1∙x2= —

3)Преобразуем выражение x1³+x2³: x1³+x2³=(x1+x2)(x1²-x1 x2 +x2²)= (x1+x2)(x1²+2×1 x2 +x2² -2×1 x2 –

— x1 x2)=(x1+x2)((x1 +x2)²-3×1 x2 ).

В полученную формулу подставим известные нам значения и получим ответ:

-2((-2)²-3(-))= -2(4+)= -2∙= —

Ответ: -.

Задача 2.

При каком значении k в уравнении 9x²-18(k-1)x-8k+24=0,×2 =2×1.

Решение:

9x²-18(k-1)x -8k+24=0 │:9 x²-2(k-1)x -k+=0 x2=2×1.

По теореме Виета: x1∙x2= -k x1+ x2=2(k-1),получили систему из двух уравнений и подставили вместо x2 2×1.

2×12=-k│:2 x1²=-k

3×1=2(k-1)│:3 x1=k-

Сопоставим полученные уравнения:

(k-)²=-k

(k-)²-+k=0

k²-k+-+k=0

k²-k-=0

Решим квадратное уравнение и найдем k:

k²-k-=0

D=b²-4ac D=+=+=()² x1;x2= k1;k2= k1=2 k2=-1

Ответ: при k1=-1 и k2=2.

Задача 3.

Пусть x1;x2 –корни квадратного уравнения x²+13x-17=0. Составьте уравнение корнями бы которого являлись бы числа 2-x1 и 2-x2.

Решение:

Рассмотрим уравнение x²+13x-17=0.

1)Дискриминант D>0,значит x1;x2 –действительные корни.

2) x²+13x-17=0

По теореме Виета: x1 +x2 = -13 x1 ·x2 = -17

3)Подставим числа 2-x2 и 2-x2 в данную систему.

(2-x1 )+(2-x2)= -13 2-x1+2-x2 =-13 x1+x2 =17

(2-x1)·(2-x2)= -17 4-2×1-2×2+x1x =-17 -2(x1+x2) +x1x2 =-21 x1+x2 =17 x1 + x2 =17

-2·17+x1 x2 = -21 x1x2 =13

Следовательно, применяя теорему Виета, искомое уравнение x²-17x+13=0.

Ответ: x²-17x+13=0.

Задача 4.

Дано квадратное уравнение ax2+bx+c=0,какими по знаку будут b и c,если x2>x1,x1>0,x2

Решение:

По теореме Виета: x1+x2=-b x1∙x2=c

Т. к. x2x1,следует, что b>0,с

Ответ: b>0,с

6)Дано квадратное уравнение ax2+bx+c=0,какими по знаку будут b и c,если x10,x2>0.

Решение:

По теореме Виета: x1+x2=-b x1∙x2=c

Т. к. x1>0,x2>0,а x2>x1,следует, что b0.

Ответ:b0.

Задания для самостоятельного решения.

1)Не решая уравнения 2x²-3x-11=0,найдите +,где x1 ;x2 –его корни.

Ответ: -4.

2)Найдите значение выражения +, где x1;x2 –корни трехчлена x²-18x+11=0.

Ответ: -1.

3)Пусть x1;x2 –корни квадратного уравнения x²-7x-46=0.

Составьте квадратное уравнение, корнями которого являлись бы числа

2×1 +x2 и 2×2 +x1.

Ответ: 9×2-21x-481=0

4)При каком целом значении k один из корней уравнения

4x²-(3k+2)x+(k²-1)=0 втрое меньше второго?

Ответ: k=2.

5) Дано квадратное уравнение ax2+bx+c=0,какими по знаку будут b и c,если x10.

Ответ:b>0,c

Теорема Виета

Вопросы занятия:

·  повторить такое понятие как «приведённое квадратное уравнение»;

·  повторить формулы для вычисление корней квадратного уравнения, теорему Виета, обратную теорему;

·  рассмотреть применение теоремы Виета для решения задач разного уровня сложности.

Материал урока

Мы говорили, что квадратные уравнения имеют вид:

Но, если коэффициент a = 1, то такие квадратные уравнения носят специальное название – приведённое квадратное уравнение.

В принципе любое квадратное уравнение можно сделать приведённым.

Например,

Для нахождения корней приведённого квадратного уравнения часто используют теорему Виета. Но надо помнить, что сначала надо удостовериться, что уравнение имеет корни, а для этого обязательно надо определить знак дискриминанта, сам дискриминант находить не надо.

Давайте вспомним эту теорему.

Теорема Виета.

Сразу давайте вспомним и обратную теорему.

Обратная теорема.

Использовать эту теорему для решения квадратных уравнений несложно. Достаточно подобрать такую пару целых чисел, произведение которых равно свободному члену уравнения, а сумма – второму коэффициенту, взятому с обратным знаком.

Важно помнить, что теорема Виета применяется только для приведённых квадратных уравнений.

Теперь давайте рассмотрим применение теоремы Виета на конкретных примерах.

Пример.

Пример.

Пример.

Для квадратного уравнения общего вида теорему Виета можно записать так.

Теорема Виета для квадратного уравнения общего вида:

Но как правило, с помощью теоремы Виета решают те уравнения, у которых при делении на коэффициент а коэффициенты остаются целыми числами.

Рассмотрим такое задание.

Задача.

Рассмотрим ещё такую задачу.

Задача.

Давайте рассмотрим такой пример.

Пример.

Рассмотрим такое задание.

Задание.

Итоги урока

Сегодня мы повторили такое понятие как приведённое квадратное уравнение, формула для вычисления корней приведённого квадратного уравнения, вспомнили теорему Виета, обратную теорему и рассмотрели применение теоремы Виеты для решения задач разного уровня сложности.

 

Урок закрепления по алгебре в 8 классе «Теорема Виета».

Урок по алгебре в 8 классе по теме «Теорема Виета»

Цель урока: Сформулировать приём, позволяющий свести решение уравнения общего вида к нахождению целых корней вспомогательного уравнения и решение с применением теоремы Виета.

Образовательные задачи урока: Обеспечить закрепление теоремы Виета, научить учащихся решать квадратные уравнения с использованием теоремы Виета, привить навыки устного решения квадратных уравнений общего вида.

Развивающие задачи урока: Развивать логическое  мышление, навыки сравнения и анализа; развивать монологическую речь в  ходе  объяснений,  обоснований  выполняемых  действий; развивать коммуникативные навыки; навыки  самостоятельной  работы

Воспитательные задачи урока: развивать самостоятельность путём использования ИКТ для выполнения упражнений, способствовать выработке у школьников умения обобщать факты, содействовать стремлению к личностному росту учащихся, навыки парной работы, самооценку собственных достижений.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний и умений учащихся.

Формы организации взаимодействия на уроке: коллективная, индивидуальная, парная.

Средства обучения: компьютер и мультимедийный проектор, презентации к уроку, документ-камера, ноутбуки для тестирования, используемый УМК: Мордкович. «Алгебра 8 класс», индивидуальные карточки, пособие по подготовке к региональному экзамену по математике.

Мотивация учащихся на работу, сконцентрировать внимание.

II.Постановка цели урока.

Для постановки целей урока учитель обращается к классу со следующими словами:

« Ребята, пож-та, вспомните какая тема у нас была на прошлом уроке? ( Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета и ей обратной). Мы продолжаем изучать эту теорему и давайте вместе с вами сформулируем цель сегодняшнего урока «Обобщить и закрепить знания по решению квадратных уравнений с использованием теоремы Виета и ей обратной».

III. Проверка домашнего задания

Учащиеся обмениваются тетрадями и проверяют домашнее задание с помощью документ-камеры

VI. Актуализации знаний. Повторение теоретического материала

( Третий ряд и первый ряд выполняет математический диктант)

1. х2— 6х – 1, 4 = 0

2. D> 0

3. ах2 + bх + c = 0

4. D = b2 – 4ac

5. x1,2 =

6. – х2 + 15 = 0

7. D< 0.

1. D< 0

2. x1,2 =

3. D> 0

4. ах2 + bх + c = 0

5. – х2 + 15 = 0

6. D = b2 – 4ac

7. х2— 6х – 1, 4 = 0

Вопросы к математическому диктанту:

  1. Под каким номером записан общий вид квадратного уравнения?

  2. Под этим номером записано значение дискриминанта квадратного уравнения, при котором оно имеет 2 корня

  3. Под этим номером мы видим приведенное квадратное уравнение.

  4. Под этим номером записана формула корней квадратного уравнения.

  5. Выбери номер, где указано неполное квадратное уравнение

  6. Под этим номером записана формула дискриминанта.

  7. Под этим номером мы видим запись дискриминанта, при котором квадратное уравнение не имело бы корней

Взаимопроверка результатов. Код ответов:

1вариант 3 215 647 2 вариант 4 372 561

( Второй ряд работает вместе с учителем, отвечают на вопросы)

Фронтальный опрос правил

1.Какие виды квадратных уравнений вы знаете, от чего это зависит число корней квадратного уравнения, формула корней квадратного уравнения?

2.Сформулируйте теорему Виета. (Числа х1 и х2 являются корнями приведенного квадратного уравнения х2+pх+q=0 тогда и только тогда, когда х12= —p, х1х2=q).

Обратная теорема Виета ?(Пусть числа х12,p,q связаны равенствами х12= —p, х1х2=q.

Тогда х1 и х2 – корни уравнения х2+pх+q=0)

3. Какое квадратное уравнение называется полным? Пример?

4. Какое квадратное уравнение называется приведенным, не приведенным? Пример?

5. К каким уравнениям применяется теорема Виета?

6. Зачем нужна теорема Виета? (Найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, не решая его; — Зная один корень, найти другой; — Определить знаки корней уравнения;- Подобрать корни уравнения, не решая его)

Откройте тетради и запишите сегодняшнюю дату. Работаем все вместе.

1) Пользуясь обратной теоремой Виета составите квадратное уравнение, корни которого известны:

а) х1 = 2; х2 = — 7 Решение:

p = — ( 2 – 7) = — (- 5) = 5

q = 2 · (-7) = — 14

х2 + 5х – 14 = 0

б) х1 = — 2; х2 = — 5 Решение:

p = — (- 2 – 5)= 7

q = -2 · (-5) = 10

х2 + 7х + 10 = 0

в) х1 = 0,5; х2 = 0,75 Решение:

p = — (0,5 + 0,75)= — 1,25

q = 0,5 · 0,75 = 0, 375

х2 – 1,25х + 0,375 = 0

2 – 10х + 3 = 0

2) Составить квадратное уравнение, если а = 2, х1 = 4, х2 = — 1

Решение:

p = — (4 — 1)= — 3

q = 4 · (-1) = — 4

х2 – 3х — 4 = 0

2 – 6х – 8 = 0

3)Решить уравнения и сделать проверку с помощью теоремы Виета

1. х2 – 9 = 0;

2. 3х2 + 15х = 0;

Проверка работы у доски:

1. х2 – 9 = 0; а = 1; в= p = 0; с =q = — 9.

(х – 3)(х+3) = 0; х1 + х2 = 3 + (-3) = 0 = — p

х1 = 3; х2 = — 3. х1 · х2 = 3 · (-3) = — 9 = q

2. 3х2 + 15х = 0; а = 3; в = 15; с = q = 0.

3х(х + 5) = 0; p = 5;

х1 = 0; х2 = — 5. х1 + х2 = 0 + (-5) = — 5 = — p

х1 · х2 = 0 · (-5) = 0 = q

V. Страничка истории. ( Сообщение учащегося о Виете).

Франсуа Виет

Франсуа Виет родился в 1540 году во Франции. Отец Виета был прокурором. Сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1563 году он оставляет юриспруденцию и становится учителем в знатной семье. Именно преподавание побудило в молодом юристе интерес к математике.

Виет переезжает в Париж, где легче узнать о достижениях ведущих математиков Европы. С 1571 года Виет занимает важные государственные посты. Теперь он имел возможность всерьез заняться математикой.

В 1591 году была обнародована знаменитая теорема Виета.

VI. Физкультминутка: Гимнастика для глаз

VII. Выполнение учащимися различных заданий по группам.

Учащиеся со второго ряда выполняют задания из пособия по подготовке к региональному экзамену по математике «Тренажер по алгебре для 7-8 классов»

стр.57 № 46, 59, 63, 65, 68, доп-но (73)

Проверка работы у доски, по одному выходят к доске и решают

2) Учащиеся с первого и третьего ряда начинают работают по учебнику: стр. 173 № 29.8 (в), № 29.9( в), № 29.15 (в),№ 29.19(в), доп-но (29.20(в)).

VII. Итог урока:

Каким вопросам был посвящен урок?

Чему научились на уроке?

На какие теоретические факты были рассмотрены задания

Что показалось сложным и почему?

VIII. Домашнее задание:

1. № № 29.8 (г), № 29.9( г), № 29.15 (г),№ 29.19(г). Доп-но по желанию № (29.20(в)).

и составить по 2 уравнения на применение теоремы Виета и теоремы, обратной теореме Виета.

«Музыка может возвышать или умиротворять душу,

Живопись – радовать глаз,

Поэзия – пробуждать чувства,

Философия – удовлетворять потребности разума,

Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,

А МАТЕМАТИКА способна достичь всех этих целей» Морис Клайн

Теорема Виета формула для квадратного уравнения

Теорема

Сумма корней квадратного уравнения вида x2 + px+ q = 0 равна коэффициенту p взятому с обратным знаком, а произведение — свободному члену q

x1 + x2 = – p

x1 · x2= q

Примеры

Условие задачи

Найти решение квадратного уравнения x2 — 5x+ 6 = 0

Решение

По теореме Виета для квадратных уравнений имеем:

x1 + x2 = 5

x1 · x2= 6

Корни:

x1 = 2

x2 = 3

Ответ:

Корни уравнения x1 = 2, x2 = 3.

Краткая биография математика Франсуа Виета

Франсуа Виета был рожден в южной части Франции в 1540 году и умер в 1603. Виета смог создать дополнение к уже существовавшей на то время математике, он создал знаменитую теорему «Виета», а также ввел буквенное обозначение для коэффициентов находящихся в уравнениях.

По профессии он был юрист, но такая необычная профессия была выбрана лишь из-за того, что его отец находился в этой сфере деятельности. Виета поступил на обучение в университет и окончил его с юридическим дипломом. После учебы он проработал по профессии 3 года и стал обучать дочь одной знатной семьи. Именно это занятие дало начало интереса к математике.

После того как его ученица подросла и ее выдали замуж он вместе с ее семьей переехали в Париж и там уже Виета начал целенаправленно заниматься математикой. Там в Париже он познакомился со многими учеными занимающиеся математической наукой. С некоторыми из них у него даже завязались дружеские отношения.

Теорема Виета формула для квадратного уравнения

Интересные ответы

Презентация к уроку алгебры в 8 классе «Теорема Виета»

Проверка домашней работы № 566 Ответ. 5 см или 8 см

Проверка домашней работы № 567 Ответ. 15 см

Проверка домашней работы № 578

3 4 1 5 2

План исследования Решите уравнения. Заполните рабочий лист. Сравните результаты колонок №2 и №5 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод. Сравните результаты колонок №3 и №6 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод. Ответьте на поставленный вопрос.

Рабочий лист 1 2 3 4 5 6 Приведенное квадратное уравнение х2 + px + q = 0 Второй коэффициент p Cвободный член q Корни х1 и х2 Сумма корней х1 + х2 Произведение корней х1 · х2 х2 + 7х + 12 = 0 х2 — 9х + 20 = 0 х2 – х — 6 = 0 х2 + х – 12 = 0 7 12 -3 и -4 -7 12 -9 20 4 и 5 -2 и 3 -4 и 3 9 -1 1 1 -1 -12 -6 20 -6 -12

Франсуа Виет (1540 – 1603) По праву достойна в стихах быть воспета о свойствах корней теорема Виета… (А. Гуревич)

Прямая теорема: Если х₁ и х₂ — корни уравнения х² + px + q = 0 Тогда числа х₁, х₂ и p, q связаны равенствами Обратная теорема: Тогда х₁ и х₂ — корни уравнения х² + px + q = 0.

Пример Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа 4 и 5.

Задание №3 (работа в группах) Выпишите на чистом листе три пары чисел, являющихся корнями квадратных уравнений, которые вы решали на этапе исследования. Обменяйтесь этими листами с соседними группами. По заданным корням составьте соответствующие им квадратные уравнения. Дайте эти уравнения на проверку группе, которая готовила вам задание.

Задание №4 (работа в группах) Не решая уравнение, определите знаки его корней: 1) х2 + 45х – 364 = 0 – для первой группы; 2) х2 + 36х + 315 = 0 – для второй группы; 3) х2 – 40х + 364 = 0 – для третьей группы; 4) х2 – 30х + 250 = 0 – для четвертой группы.

Задание №5 (работа в группах) Не применяя формулу корней, найдите второй корень уравнения, если известен первый: 1) х2 + 26х – 315 = 0, х1 = 9 – для первой группы; 2) х2 +45х — 364 = 0, х1 =7 – для второй группы. 3)х2 — 42х + 315 = 0, х1 = 7 – для третьей группы; 4) х2 — 40х + 364 = 0, х1 =14 – для четвертой группы.

Пример Решить уравнение x2 + 10x – 24 = 0

Франсуа Виет – отец математики!

Домашнее задание. 1. п.24, выучить теорему Виета и обратную ей, рассмотреть доказательства Выучить доказательства и рассказать у доски (по желанию) 2. 584, 586 3. Составьте, решите и оформите на формате А4 три задачи на применение теоремы Виета и три задачи на применение теоремы, обратной теореме Виета (дополнительное задание на карточке). 5. Докажите теорему Виета для квадратного уравнения вида ax² + bx + c = 0 (индивидуальное задание на карточке)

Применение теоремы Проверяем, правильно ли найдены корни уравнения Определяем знаки корней уравнения, не решая его Устно находим корни приведенного квадратного уравнения Составляем квадратное уравнение с заданными корнями

Теорема Виета — презентация онлайн

Теорема Виета
Секция «Созидательная сила великих открытий в математике»
Автор:
Плющев Иван Олегович
9 а класс
МБОУ СОШ №12
Руководитель:
Прокофьева Тамара Александровна
учитель математики
1 квалификационной категории
МБОУ СОШ №12
изучить биографию Франсуа Виета;
изучить подробности его великого открытия в
области математики;
разобраться с формулировками теоремы Виета;
сделать подборку задач, в которых
используется теорема Виета;
найти задачи с параметрами, в которых удобно
использовать теорему Виета;
посмотреть задачи ЕГЭ, в которых может быть
использована теорема;
попробовать весь найденный материал
привести в определенную систему.

4. Теорема Виета

Знаменитая теорема,
устанавливающая связь
коэффициентов многочлена с
его корнями, была
обнародована в 1591 году.
Теперь она носит имя Виета.
Сам автор формулировал её
так: «Если B+D, умноженное на
А, минус А в квадрате равно BD,
то А равно В и рано D».
Теорема Виета.
Если числа
х1
и х2
— есть корни квадратного уравнения
ах 2 вх с 0,
то для них выполнены равенства
х1 х2
х1 х2
Доказательство.
Пусть
х1
с
.
а
в
,
а
х2
и
являются корнями квадратного уравнения, т. е.
х1, 2
в
D
,

тогда вычислим сумму и произведение корней:
х1 х2
х1 х2
в
D
в D
в


в D в D
в2
D
2



Теорема доказана.
2
D в

D
в
,
а
в2 D
в 2 в 2 4ас
4ас
с
.
2
2
2
4a


а
Обобщенная теорема Виета.
х1
Для того чтобы
и
х2
были корнями уравнения
ах2 вх с 0
необходимо и достаточно выполнения равенств
х1 х 2
в
а
и
х1 х2
с
а
.
Из теоремы Виета при
а 1
следует утверждение для корней приведенного квадратного уравнения.
В этом случае обратная теорема часто используется для устного подбора корней уравнения.
Теорема Виета для кубического уравнения
х1 , х2 , х3
Пусть
корни уравнения
ах вх сх d 0
3
а 0
2
,
тогда
в
х1 х2 х3 а ,
с
х1 х2 х1 х3 х2 х3 ,
а
d
х1 х2 х3 а .
Теорема Виета для уравнения четвертой степени.
Пусть
х1 , х2 , х3 , х4
— корни уравнения
ах 4 вх 3 сх 2 dх т 0,
а 0,
тогда
в
х1 х2 х3 х4 а ,
х х х х х х х х х х х х с ,
1 3
1 4
2 3
2 4
3 4
1 2
а
х х х х х х х х х х х х d ,
1 2 4
1 3 4
2 3 4
1 2 3
а
т
х1 х2 х3 х4 .
а
Теорема Виета для алгебраического уравнения п степени.
Пусть
х1 , х2 ,…, хn
— корни уравнения
аn x n an 1 x n 1 … a1 x a0 0,
ап 0
, тогда
an 1
x
x

x
,
2
n
1
an
an 2
x
x
x
x

x
x
,
1 3
n 1 n
1 2
an
an 3
x
x
x
x
x
x

x
x
x
,
1 2 3
1 2 4
n 2 n 1 n
an
………………………………………………
x x x …x x 1 n a0 .
n 1 n
1 2 3
an
Зависимость между коэффициентами и корнями уравнения
а в с 0
х1 1
Решить уравнение
и
, тогда
х2
с
а
132 х 2 247 х 115 0
132 247
115 0,
,
х1 1, х2
.
115
132
а в с 0
х1 1
и
, тогда
х2
с
а
Решить уравнение
345 х 2 137 х 208 0
345 137 208
, 0,
х1 1, х2
.
208
345
Задача
Дано квадратное уравнение
x 2 px q 0
Составить квадратное уравнение, корни которого втрое больше корней данного уравнения.
Решение. Пусть х1 и х2 – корни данного уравнения.
По теореме Виета
x1 x2 p
и
x1 x2 q
.
По условию корни искомого уравнения равны
y1 3×1
и
y 2 3x 2
Отсюда
y1 y 2 3 x1 x2 3 p
и
y1 y 2 9 x1 x2 9q
По теореме, обратной теореме Виета получаем
x 2 3 px 9q 0
Ответ.
x 2 3 px 9q 0
Задача с параметром
При каком значении параметра т три действительных корня уравнения х 9 х 25 х т 0
образуют возрастающую арифметическую прогрессию?
3
2
Решение. Пусть а – первый член арифметической прогрессии, с– разность арифметической прогрессии,
с 0
По формулам Виета
а а с а 2с 9,
а а с а с а 2с а а 2с 25,
а а с а 2с т;
а с 3,
2
2
3 а с с 25;
а с 3,
2
2
3а 6ас 2с 25;
с 2 2.
отсюда
с 0
По условию
с
2
,
, тогда
а 3
2
m a a c a 2c 21.
Ответ. 21.
.

С помощью теоремы Виета можно решать задачи следующего
содержания:
подбирать устно целые корни приведенного квадратного
уравнения;
проверять с помощью обобщенной теоремы Виета полученные
корни квадратных уравнений при , не подставляя их в
исходное уравнение;
используя зависимости между коэффициентами, подбирать
устно корни уравнений с большими коэффициентами,
дающими громоздкие вычисления с помощью дискриминанта;
различные задачи на зависимость между коэффициентами и
корнями уравнений;
исследовательские задачи с параметрами;
задания из разных разделов алгебры и геометрии,
первоначально не связанных с решением уравнений;
задания из математических олимпиад по теме «Многочлены» и
«Алгебраические уравнения»;

Устное решение квадратных уравнений и теорема Виета

Любое полное квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 можно привести к виду x2 + (b/a)x + (c/a) = 0, если предварительно разделить каждое слагаемое на коэффициент a перед x2. А если ввести новые обозначения  (b/a) = p и (c/a) = q, то будем иметь уравнение x2 + px + q = 0, которое в математике называется приведенным квадратным уравнением.

Корни приведенного квадратного уравнения и коэффициенты p и q связаны между собой. Это подтверждается теоремой Виета, названной так в честь французского математика Франсуа Виета, жившего в конце XVI века.

Теорема. Сумма корней приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0 равна второму коэффициенту p, взятому с противоположным знаком, а произведение корней  – свободному члену q.

Запишем данные соотношения в следующем виде:

Пусть x1 и xразличные корни приведенного уравнения x2 + px + q = 0. Согласно теореме Виета x1 + x2 = -p и x1 · x2 = q.

Для доказательства подставим каждый из корней x1 и xв уравнение. Получаем два верных равенства:

x12 + px1 + q = 0

x22 + px2 + q = 0

Вычтем из первого равенства второе. Получим:

x12 – x22 + p(x1 – x2)  = 0

Первые два слагаемых раскладываем по формуле разности квадратов:

(x1 – x2)(x1 – x2) + p(x1 – x2)  = 0

По условию корни x1 и xразличные. Поэтому мы можем сократить равенство на (x1 – x2) ≠ 0 и выразить p.

(x1 + x2) + p = 0;

(x1 + x2) = -p.

Первое равенство доказано.

Для доказательства второго равенства подставим в первое уравнение

x12 + px1 + q = 0 вместо коэффициента p равное ему число  – (x1 + x2):

x12 – (x1 + x2) x1 + q = 0

Преобразовав левую часть уравнения, получаем:

x12 – x22  – x1x2  + q = 0;

x1x2  =  q, что и требовалось доказать.

Теорема Виета хороша тем, что, даже не зная корней квадратного уравнения, мы можем вычислить их сумму и произведение.

Теорема Виета помогает определять целые корни приведенного квадратного уравнения. Но у многих учащихся это вызывает затруднения из-за того, что они не знают четкого алгоритма действия, особенно если корни уравнения имеют разные знаки.

Итак, приведенное квадратное уравнение имеет вид  x2 + px + q = 0, где x1 и xего корни. Согласно теореме Виета x1 + x2 = -p и x1 · x2 = q.

Можно сделать следующий вывод.

Если в уравнении перед последним членом стоит знак «минус», то корни x1 и xимеют различные знаки. Кроме того, знак меньшего корня совпадает со знаком второго коэффициента в уравнении.

Исходя из того, что при сложении чисел с разными знаками их модули вычитаются, а перед полученным результатом ставится знак большего по модулю числа, следует действовать следующим образом:

  1. определить такие множители числа q, чтобы их разность была равна числу p;
  2. поставить перед меньшим из полученных чисел знак второго коэффициента уравнения;  второй корень будет иметь противоположный знак.

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1.

Решить уравнение x2 – 2x – 15 = 0.

Решение.

Попробуем решить данное уравнение с помощью предложенных выше правил. Тогда можно точно сказать, что данное уравнение будет иметь два различных корня, т.к. D = b2 – 4ac= 4 – 4 · (-15) = 64 > 0.

Теперь из всех множителей числа 15 (1 и 15, 3 и 5) выбираем те, разность которых равна 2. Это будут числа 3 и 5. Перед меньшим числом ставим знак «минус», т.е.  знак второго коэффициента уравнения. Таким образом, получим корни уравнения x1 = -3 и  x2 = 5.

Ответ. x1 = -3 и  x2 = 5.

Пример 2.

Решить уравнение x2 + 5x – 6 = 0.

Решение.

Проверим, имеет ли данное уравнение корни. Для этого найдем дискриминант:

D = b2 – 4ac= 25 + 24 = 49 > 0. Уравнение имеет два различных корня.

Возможные множители числа 6 — это 2 и 3, 6 и 1. Разность равна 5 у пары 6 и 1. В этом примере коэффициент второго слагаемого имеет знак «плюс», поэтому и меньшее число будет иметь такой же знак. А вот перед вторым числом будет стоять знак «минус».

Ответ: x1 = -6 и  x2 = 1.

Теорему Виета можно записать и для полного квадратного уравнения. Так, если квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет корни x1  и  x2, то для них выполняются равенства

x1 + x2 = -(b/a) и x1 · x2 = (c/a). Однако применение этой теоремы в полном квадратном уравнении довольно проблематично, т.к. при наличии корней, хотя бы один из них является дробным числом. А работать с подбором дробей достаточно трудно. Но все-таки выход есть.

Рассмотрим полное квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Умножим его левую и правую части на коэффициент a. Уравнение примет вид (ax)2 + b(ax) + ac = 0. Теперь введем новую переменную, например t = ax.

В этом случае полученное уравнение превратиться в приведенное квадратное уравнение вида t2 + bt + ac = 0, корни которого t1 и  t2 (при их наличии) могут быть определены по теореме Виета.

В этом случае корни исходного квадратного уравнения будут  

x1 = (t1 / a) и  x2 = (t2 / a).

Пример 3.

Решить уравнение 15x2 – 11x + 2 = 0.

Решение.

Составляем вспомогательное уравнение. Умножим каждое слагаемое уравнения на 15:

152x2 – 11 · 15x + 15 · 2 = 0.

Делаем замену t = 15x. Имеем:

t2 – 11t + 30 = 0.

По теореме Виета корнями данного уравнения будут t1 = 5 и  t2 = 6.

Возвращаемся к замене t = 15x:

5 = 15x или 6 = 15x. Таким образом, x1 = 5/15 и  x2 = 6/15. Сокращаем и получаем окончательный ответ: x1 = 1/3 и  x2 = 2/5.

Ответ. x1 = 1/3 и  x2 = 2/5.

Чтобы освоить решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета, учащимся необходимо как можно больше тренироваться. Именно в этом и заключается секрет успеха.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

(PDF) Матричная теорема Виета

5. Дальнейшее обобщение

Пусть R — ассоциативное кольцо с единицей, k — поле. Предположим, что зафиксировано

либо аддитивного гомоморфизма tr: R → k, удовлетворяющего условию trUV = trV U для любых

U, V ∈ R, либо кольцевого гомоморфизма det: R → k (или обоих).

Предложение 5.1. Пусть A, B, X, Y ∈ R, причем X − Y обратимо. Если X

2

+AX +B =

0, Y

2

+ AY + B = 0, то n tr A = −(tr X + tr Y ) и/или det B = det Xdet Y , в зависимости от того, что определено

.

Доказательство такое же, как в разделе 3.

Для обобщения на произвольные кольца общего случая теоремы 1.1 нам понадобится явное

выражение A

1

, A

n

X

3

1

, . . . , Х

п

.

Теорема 5.2. Пусть

A

1

= A

1

(x

1

,,,,, x

N

),

A

N

= A

N

1

, .. . , X

n

)

быть выражениями A

1

, A

n

через X

1

3 9 . . . , X

n

, включающие кольцевые операции и обратные операции, и

действительные, если эти обратные существуют (например, (3), (4), (5)). Тогда для любого X

1

, . . . , X

n

∈ R каждое из

равенства

tr a

1

(X

1

, .. . , X

N

) = — (Tr x

1

+ … + Tr x

N

),

det a

n

(x

1

., ., X

n

) = det (−X

1

) . . . det (−X

n

)

выполняется при условии, что существуют обе стороны t (то есть tr или det определены и обратные выражения включают

в

1

или 3 n

3

существуют Р).

Теорема 5.2 не может быть доказана рассуждениями, подобными рассуждениям из раздела 4. Но известно

, что тождества, справедливые для комплексных матриц, выполняются и в произвольных

ассоциативных кольцах с единицами (см. [A], раздел 12.4.3). . Следовательно, теорема 5.2 следует из теоремы 1.1.

Подтверждение. Мы признательны К. Ициксону и И. Каплански за интересное обсуждение.

Библиография

[A] М. Артин. Алгебра. Прентис Холл, Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси, 1991.

[AW] S.L. Адлер, Юн-Ши Ву. Алгебраические и геометрические аспекты обобщенной квантовой динамики. Препринт геп-т 9405054.

[ГР] И.М. Гельфанд, В.С. Ретах. Теория некоммутативных определителей и характеристических функций графов, I. Опубл. дю LACIM, Univ. де Квебек Монреаль, нет.

14, стр. 1–26.

[ГКЛЛРТ] И.М. Гельфанд, Д. Кроб, А. Ласку, Б. Леклерк, В.С. Ретах, Ж.–Ю. Ти-

бон. Некоммутативные симметричные функции.Препринт геп-т 9407124.

[ГС] И.М. Гельфанд, М.М. Смирнов. Алгебра классов Черна-Саймонса и сыновние скобки Пуас-

на ней. Препринт геп-т 9 404103.

[К] М. Концевич. Формальная (не)коммутативная симплектическая геометрия. В: Gelfand

Mathematical Seminar, 1992. Birkhäuser, Boston, 1993, P. 173–189.

6

Теорема Виета в иррациональных уравнениях. Формула корней квадратного уравнения

I. Теорема Виета для редуцированного квадратного уравнения.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения х 2 + px + q = 0 равна второму коэффициенту, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

х 1 + х 2 = -р; х 1 ∙ х 2 = д.

Найдите корни редуцированного квадратного уравнения, используя теорему Виета.

Пример 1) x 2 -x-30 = 0. Это сокращенное квадратное уравнение ( x 2 + px + q = 0) , второй коэффициент p = -1 и свободный член д = -30. Во-первых, убедитесь, что данное уравнение имеет корни, и что корни (если они есть) будут выражены целыми числами. Для этого достаточно, чтобы дискриминант был полным квадратом целого числа.

Найдите дискриминант D = b 2 — 4ac = (- 1) 2 -4 ∙ 1 ∙ (-30) = 1 + 120 = 121 = 11 2 .

Теперь по теореме Виета сумма корней должна быть равна второму коэффициенту, взятому с обратным знаком, т. е. ( ), а произведение равно свободному члену, т. е.е. ( q ). Тогда:

х 1 + х 2 = 1; х 1 ∙ х 2 = -30. Нам нужно выбрать два числа так, чтобы их произведение было равно -30 , а сумма единица … Это числа -5 и 6 . Ответ: -5; 6.

Пример 2) x 2 + 6x + 8 = 0. Имеем редуцированное квадратное уравнение со вторым коэффициентом p = 6 и свободным членом q = 8 … Убедимся, что есть целые корни.Найдите дискриминант D 1 D 1 =3 2 -1∙8=9-8=1= 1 2 … Дискриминант D 1 есть полный квадрат числа 1 , что означает, что корни этого уравнения являются целыми числами. Выберем корни по теореме Виета: сумма корней равна –P = -6 , а произведение корней равно q = 8 . Это числа -4 и -2 .

На самом деле: -4-2 = -6 = -р; -4 ∙ (-2) = 8 = д. Ответ: -4; -2.

Пример 3) x 2 + 2x-4 = 0 … В этом редуцированном квадратном уравнении второй коэффициент p = 2 и свободный член q = -4 . .. Найдите дискриминант D 1 , так как второй коэффициент — четное число. Д 1 =1 2 -1∙(-4)=1+4= 5. Дискриминант не является полным квадратом числа, поэтому делаем вывод : корни этого уравнения не являются целыми числами и не могут быть найдены по теореме Виета. Значит, решаем это уравнение, как обычно, по формулам (в данном случае по формулам). Получаем:

Пример 4). Составьте квадратное уравнение для его корней, если x 1 = -7, x 2 = 4.

Раствор. Искомое уравнение запишется в виде: х 2 + px + q = 0 , и на основании теоремы Виета –P = х 1 + х 2 =-7+4= -3 → р = 3; q = х 1 ∙ х 2 = -7∙4= -28 … Тогда уравнение примет вид: х 2 + 3х-28 = 0.

Пример 5). Составьте квадратное уравнение для его корней, если:

II. Теорема Виета для полного квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0,

Сумма корней минус b разделить на a , произведение корней с разделить на a:

х 1 + х 2 = -б/а; х 1 ∙ х 2 = с/а.

Прежде чем перейти к теореме Виета, введем определение. Квадратное уравнение вида x ² + px + q = 0 называется приведенным. В этом уравнении старший коэффициент равен единице. Например, уравнение x ² — 3 x — 4 = 0 сокращается. Любое квадратное уравнение вида x ² + b x + c = 0 можно сделать сокращенным, для этого разделим обе части уравнения на a ≠ 0.Например, уравнение 4 х ² + 4 х — 3 = 0 делением на 4 приводится к виду: х ² + х — 3/4 = 0. Выводим формулу корней приведенного квадратного уравнения, для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения общего вида: ах ² + bx + с = 0

Сокращенное уравнение x ² + px + q = 0 совпадает с общим уравнением, в котором a = 1, b = p , c = . Следовательно, для данного квадратного уравнения формула принимает вид:

последнее выражение называется формулой корней приведенного квадратного уравнения, особенно удобно пользоваться этой формулой, когда R — четное число. Например, решим уравнение х ² — 14 х — 15 = 0

В ответ запишем уравнение имеет два корня.

Для редуцированного квадратного уравнения с положительной верна следующая теорема.

Теорема Виета

Если х 1 и х 2 — корни уравнения х ² + px + q = 0, то справедливы следующие формулы:

х 1 + х 2 = — Р

х 1 * х 2 = q, то есть сумма корней данного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Исходя из формулы корней приведенного квадратного уравнения, имеем:

Складывая эти равенства, получаем: х 1 + х 2 = — р.

Умножая эти равенства, используя формулу разности квадратов, получаем:


Заметим, что теорема Виета справедлива и при нулевом дискриминанте, если предположить, что в этом случае квадратное уравнение имеет два одинаковых корня: х 1 = х 2 = — R /2.

Не решая уравнений х ² — 13 х + 30 = 0 найдите сумму и произведение его корней х 1 и х 2. этого уравнения D = 169 — 120 = 49 > 0, поэтому можно применить теорему Виета: х 1 + х 2 = 13, х 1 * х 2 = 30. Рассмотрим еще несколько примеров. Один из корней уравнения x ² — px — 12 = 0 равно x 1 = 4 . Найдите коэффициент R и второй корень х 2 этого уравнения.По теореме Виета х 1 * х 2 = — 12, х 1 + х 2 = — R. Поскольку х 1 = 4, то 4 х 2 = — 12, откуда 2 = — 3, R = — ( х 1 + х 2) = — (4 — 3) = — 1. В ответ запишите второй корень х 2 = — 3, коэффициент р = — 1.

Не решая уравнений х ² + 2 х — 4 = 0 найдите сумму квадратов его корней.Пусть х 1 и х 2 — корни уравнения. По теореме Виета х 1 + х 2 = — 2, х 1 * х 2 = — 4 . потому что x 1 + x 2 ² = ( x 1 + x 2) ² — 2 x 1 x 2, затем x 1 ² + x 2 ² = (- 2) ² -2 (- 4) = 12,

Найдите сумму и произведение корней уравнения 3 х ² + 4 х — 5 = 0.Это уравнение имеет два разных корня, так как дискриминант D = 16+4*3*5>0. Для решения уравнения воспользуемся теоремой Виета. Эта теорема доказана для редуцированного квадратного уравнения. Поэтому делим это уравнение на 3.

Следовательно, сумма корней равна -4/3, а их произведение равно -5/3.

В общем случае корни уравнения ах ² + b х + с = 0 связаны следующими равенствами: х 1 + х 2 = — 1 * x 2 = c / a, Чтобы получить эти формулы, достаточно обе части этого квадратного уравнения разделить на a ≠ 0 и применить теорему Виета к полученному редуцированному квадратному уравнению.Рассмотрим пример, требуется составить редуцированное квадратное уравнение, корни которого х 1 = 3 , х 2 = 4 . Потому что х 1 = 3 , х 2 = 4 — корни квадратного уравнения х ² + px + q = 0, тогда по теореме Виета R = — ( х 1 + х 2) = — 2 2 4 7, 90 = х 1 х 2 = 12.В ответ напишите х ² — 7 х + 12 = 0. При решении некоторых задач применяется следующая теорема.

Обратная теорема Виета

Если числа R , q , х 1, х 2 таковы, что х 1 + х 2 = — р, х 90 2, 3 х 2 = 4q 1 и х 2 — корни уравнения х ² + px + q = 0. Подставляем в левую часть х ² + px + q 2 2 4 + 2 4

2 4 9022 2 4 q выражение — ( х 1 + х 2), а вместо q — работать х 1 * х 2. Получаем: х ² + px + q = х ² — ( х 1 + х 2) х + х 1 х 2 = х² — х 2 х 1 + х 1 х 2 = (х — х 1) (х — х 2). Таким образом, если числа R , q , x 1 и x 2 связаны этими соотношениями, то для всех NS выполняется равенство x ² 2 + 4 q

(х — х 1) (х — х 2), откуда следует, что х 1 и х 2 — корни уравнения х ² + px + q = 0. Используя теорему, обратную теореме Виета, иногда можно найти корни квадратного уравнения путем подбора. Рассмотрим пример: х ² — 5 х + 6 = 0. Здесь R = — 5, q = 6. Возьмем два числа х 1 и х 2 так, чтобы х х 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. Заметив, что 6 = 2 * 3 и 2 + 3 = 5, по теореме, обратной теореме Виета, получаем, что x 1 = 2 , х 2 = 3 — корни уравнения х ² — 5 х + 6 = 0.

Одним из методов решения квадратного уравнения является использование формулы VIETA , которая была названа в честь ФРАНСУА ВЬЕТА.

Он был известным юристом и служил при французском короле в 16 веке. В свободное время он изучал астрономию и математику. Он установил связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.

Преимущества формулы:

1 … Применив формулу, можно быстро найти решение.Потому что не нужно вводить в квадрат второй коэффициент, то отнять от него 4ас, найти дискриминант, подставить его значение в формулу для нахождения корней.

2 … Без решения можно определить признаки корней, подобрать значения корней.

3 … Решив систему из двух записей, легко найти сами корни. В данном квадратном уравнении сумма корней равна значению второго коэффициента со знаком минус.Произведение корней в данном квадратном уравнении равно значению третьего коэффициента.

4 … Используя эти корни, запишите квадратное уравнение, то есть решите обратную задачу. Например, этот метод используется для решения задач теоретической механики.

5 … Формулу удобно применять, когда старший коэффициент равен единице.

Недостатки:

1 …Формула не универсальна.

Теорема Виета 8 класс

Формула
Если x 1 и x 2 являются корнями редуцированного квадратного уравнения x 2 + px + q = 0, то:

Примеры
x 1 = -1; х 2 = 3 — корни уравнения х 2 — 2х — 3 = 0.

Р = -2, q = -3.

X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Обратная теорема

Формула
Если числа x 1, x 2, p, q связаны условиями:

Тогда x 1 и x 2 являются корнями уравнения x 2 + px + q = 0.

Пример
Составим квадратное уравнение относительно его корней:

X 1 = 2 — ? 3 и х 2 = 2 +? 3.

Р = х 1 + х 2 = 4; р = -4; q = x 1 x 2 = (2 — ? 3) (2 + ? 3) = 4 — 3 = 1.

Требуемое уравнение: x 2 — 4x + 1 = 0.

Дискриминант, как и квадратные уравнения, начинают изучать в курсе алгебры в 8 классе. Вы можете решить квадратное уравнение через дискриминант и с помощью теоремы Виета. Методика изучения квадратных уравнений, как и дискриминантные формулы, довольно неудачно прививается школьникам, как и многое в реальном образовании.2–4 * а * в.
Корни (решения) квадратного уравнения зависят от знака дискриминанта (D):
D>0 — уравнение имеет 2 различных действительных корня;
D = 0 — уравнение имеет 1 корень (2 совпадающих корня):
D Формула вычисления дискриминанта достаточно проста, поэтому многие сайты предлагают онлайн-калькулятор дискриминанта. С подобными скриптами мы пока не разобрались, так что кто знает как это реализовать, просьба писать на почту Этот адрес электронной почты защищен от спам-ботов.У вас должен быть включен JavaScript для просмотра. .

Общая формула для нахождения корней квадратного уравнения :

Корни уравнения находим по формуле
Если коэффициент при квадрате переменной парный, то целесообразно вычислять не дискриминант, а его четвертую часть
В таких случаях корни уравнения находятся по формуле формула

Второй способ нахождения корней — Теорема Виета.

Сформулирована теорема не только для квадратных уравнений, но и для многочленов.Вы можете прочитать это в Википедии или других электронных ресурсах. Однако для простоты будем рассматривать ту ее часть, которая касается приведенных квадратных уравнений, т. е. уравнений вида (а = 1)
. Суть формул Виета состоит в том, что сумма корней уравнения равна коэффициент при переменной, взятой с обратным знаком. Произведение корней уравнения равно свободному члену. Теорема Виета записана в формулах.
Вывод формулы Виета довольно прост.Запишем квадратное уравнение через простые множители
Как видите, все гениальное просто одновременно. Формулу Виета эффективно использовать, когда разность модулей корней или разность модулей корней равна 1, 2. Например, следующие уравнения по теореме Виета имеют корни

До 4 уравнений, анализ должен выглядеть так. Произведение корней уравнения равно 6, поэтому корнями могут быть значения (1, 6) и (2, 3) или пары с обратным знаком.Сумма корней равна 7 (коэффициент переменной с обратным знаком). Отсюда заключаем, что решения квадратного уравнения равны x = 2; х = 3,
Легче подобрать корни уравнения среди делителей свободного члена, исправив их знак, чтобы выполнить формулы Виета. Вначале это кажется сложным, но при практике на ряде квадратных уравнений такая методика будет более эффективной, чем вычисление дискриминанта и нахождение корней квадратного уравнения классическим способом.
Как видите, школьная теория изучения дискриминанта и способов нахождения решений уравнения лишена практического смысла — «Зачем школьникам квадратное уравнение?», «Каков физический смысл дискриминанта?»

Попробуем разобраться

что описывает дискриминант?

В курсе алгебры изучаются функции, схемы изучения функций и графики функций. Из всех функций важное место занимает парабола, уравнение которой можно записать в виде
. Итак, физический смысл квадратного уравнения — это нули параболы, то есть точки пересечения графика функции с осью абсцисс Ox
Прошу запомнить свойства парабол, которые описаны ниже.Придет время сдавать экзамены, зачеты или вступительные экзамены и вы будете благодарны за справочный материал. Знак у переменной в квадрате соответствует тому, пойдут ли ветви параболы на графике вверх (а > 0),

или парабола с ветвями вниз (а

Вершина параболы лежит посередине между корни

Физический смысл дискриминанта:

Если дискриминант больше нуля (D > 0), то парабола имеет две точки пересечения с осью Ох.
Если дискриминант равен нулю (D = 0), то парабола в вершине касается оси абсцисс.
И последний случай, когда дискриминант меньше нуля (D

Неполные квадратные уравнения

Любое полное квадратное уравнение ах 2 + bx + с = 0 можно привести к виду х 2 + (b/a) x + (c/a) = 0 , если каждое слагаемое разделить на коэффициент a перед х 2 … А если ввести новые обозначения (б/а) = р и (в/а) = q , то мы будем иметь уравнение х 2 + рх + q = 0 , которое в математике называется редуцированным квадратным уравнением .

Квадратичные корни и коэффициенты p и q связаны. Это подтверждается теоремой Виета , названной в честь французского математика Франсуа Виета, жившего в конце 16 века.

Теорема … Сумма корней приведенного квадратного уравнения х 2 + px + q = 0 равна второму коэффициенту p , взятому с обратным знаком, а произведение корней — к свободный срок q .

Запишем эти соотношения в следующем виде:

Пусть x 1 и x 2 различных корней редуцированного уравнения x 2 + px + q = 0 … По теореме Виета x 1 + x 2 = -p 2 = д .

Для доказательства подставьте в уравнение каждый из корней x 1 и x 2. Получаем два правильных равенства:

х 1 2 + пикс 1 + кв = 0

х 2 2 + пикс 2 + кв = 0

Вычтем из первого равенства второе.Получаем:

х 1 2 — х 2 2 + р (х 1 — х 2) = 0

Разложим первые два члена по формуле разности квадратов:

(х 1 — х 2) (х 1 — х 2) + р (х 1 — х 2) = 0

По условию, корни x 1 и x 2 различны. Следовательно, мы можем отменить равенство на (x 1 — x 2) ≠ 0 и выразить p.

(х 1 + х 2) + р = 0;

(х 1 + х 2) = -р.

Первое равенство доказано.

Чтобы доказать второе равенство, подставим в первое уравнение

х 1 2 + рх 1 + q = 0 вместо коэффициента р равное число — (х 1 + х 2):

х 1 2 — (х 1 + х 2) х 1 + q = 0

Преобразовав левую часть уравнения, получим:

х 1 2 — х 2 2 — х 1 х 2 + q = 0;

х 1 х 2 = q, как требуется.

Теорема Виета хороша тем, что даже не зная корней квадратного уравнения, мы можем вычислить их сумму и произведение .

Теорема Виета помогает найти целые корни редуцированного квадратного уравнения. Но у многих учащихся это вызывает трудности из-за того, что они не знают четкого алгоритма действий, особенно если корни уравнения имеют разные знаки.

Итак, данное квадратное уравнение имеет вид x 2 + px + q = 0, где x 1 и x 2 — его корни.Согласно теореме Виета, x 1 + x 2 = -p и x 1 x 2 = q.

Можно сделать следующий вывод .

Если перед последним членом уравнения стоит знак минус, то корни x 1 и x 2 имеют разные знаки. Кроме того, знак меньшего корня совпадает со знаком второго коэффициента в уравнении.

Исходя из того, что при сложении чисел с разными знаками их модули вычитаются, а перед полученным результатом ставится знак большего по модулю числа, следует действовать следующим образом:

  1. определить такие множители числа q, чтобы их разность была равна числу p;
  2. поставить перед наименьшим из полученных чисел знак второго коэффициента уравнения; второй корень будет иметь противоположный знак.

Давайте рассмотрим несколько примеров.

Пример 1 .

Решите уравнение x 2 — 2x — 15 = 0.

Решение .

Попробуем решить это уравнение, используя предложенные выше правила. Тогда можно точно сказать, что это уравнение будет иметь два разных корня, так как D = b 2 — 4ac = 4 — 4 (-15) = 64 > 0,

Теперь из всех множителей 15 (1 и 15, 3 и 5) выберите те, разность которых равна 2.Это будут числа 3 и 5. Перед меньшим числом ставим знак минус, т.е. знак второго коэффициента уравнения. Таким образом, мы получаем корни уравнения x 1 = -3 и x 2 = 5.

Ответ. х 1 = -3 и х 2 = 5.

Пример 2 .

Решите уравнение x2 + 5x — 6 = 0.

Решение .

Проверим, имеет ли данное уравнение корни. Для этого находим дискриминант:

Д = б 2 — 4ас = 25 + 24 = 49 > 0.У уравнения два разных корня.

Возможные делители 6: 2 и 3, 6 и 1. Разница составляет 5 для пары 6 и 1. В этом примере коэффициент второго члена имеет знак плюс, поэтому меньшее число будет иметь тот же знак . Но перед вторым числом будет знак минус.

Ответ: х 1 = -6 и х 2 = 1.

Теорема Виета может быть записана для полного квадратного уравнения. Итак, если квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет корни x 1 и x 2, то они удовлетворяют равенствам

х 1 + х 2 = — (б/а) и х 1 х 2 = (в/а) … Однако применение этой теоремы к полному квадратному уравнению довольно проблематично, так как при наличии корней хотя бы один из них является дробным числом. И работать с подбором фракций довольно сложно. Но все же выход есть.

Рассмотрим полное квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Умножьте его левую и правую части на коэффициент a. Уравнение принимает вид (ax) 2 + b (ax) + ac = 0. Теперь введем новую переменную, например, t = ax.

В этом случае полученное уравнение превращается в редуцированное квадратное уравнение вида t 2 + bt + ac = 0, корни которого t 1 и t 2 (если они есть) можно определить по теореме Виета.

В этом случае корни исходного квадратного уравнения будут равны

х 1 = (t 1 / а) и х 2 = (t 2 / а).

Пример 3 .

Решите уравнение 15×2 — 11x + 2 = 0.

Решение .

Составим вспомогательное уравнение.Умножьте каждый член уравнения на 15:

15 2 х 2 — 11 15 х + 15 2 = 0,

Делаем замену t = 15x. У нас есть:

т 2 — 11т + 30 = 0.

По теореме Виета корни этого уравнения будут t 1 = 5 и t 2 = 6.

Вернемся к замене t = 15x:

5 = 15x или 6 = 15x. Итак, х 1 = 5/15 и х 2 = 6/15. Сокращаем и получаем окончательный ответ: х 1 = 1/3 и х 2 = 2/5.

Ответ. х 1 = 1/3 и х 2 = 2/5.

Чтобы освоить решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета, учащимся необходимо как можно больше практиковаться. Именно в этом секрет успеха.

сайта, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Формулы Виета для правильных полиномов кватернионной переменной

Литература

[1] А. Коннес, А. Шварц, Повторное рассмотрение матричной теоремы Виета. лат. Мат. Физ . 39 (1997), 349–353.MR1449580 Zbl 0874.1501010.1023/A:1007373114601Search in Google Scholar

[2] К. Г. Каллен, Интегральная теорема для аналитических внутренних функций на кватернионах. Герцог Мат. Дж . 32 (1965), 139–148. MR0173012 Zbl 0173.0

0.1215/S0012-7094-65-03212-6Search in Google Scholar

[3] М. К. Фунг, О простом выводе некоммутативной теоремы Виета. Китайский журнал физики 44 (2006), 341–347. Поиск в Google Scholar

[4] I.Гельфанд, С. Гельфанд, В. Ретах, Р. Л. Уилсон, Квазитерминанты. Доп. Математика . 193 (2005), 56–141. MR2132761 Zbl 1079.1500710.1016/j.aim.2004.03.018Search in Google Scholar

[5] И. Гельфанд, Д. Кроб, А. Ласку, Б. Леклерк, В. С. Ретах, Ж.-Ю. Тибон, Некоммутативные симметричные функции. Доп. Математика . 112 (1995), 218–348. MR1327096 Zbl 0831.0506310.1006/aima.1995.1032Search in Google Scholar

[6] Гельфанд И., Ретах В. С. Определители матриц над некоммутативными кольцами. Функц. Анальный. и Приложен . 25 (1991), 13–25, 96. MR1142205 Zbl 0748.1500510.1007/BF01079588Search in Google Scholar

[7] Гельфанд И., Ретах В. С. Теория некоммутативных определителей и характеристические функции графов. Функц. Анальный. и Приложен . 26 (1992), 1–20, 96. MR1209940 Zbl 0799.1500310.1007/BF01075044Search in Google Scholar

[8] Гельфанд И., Ретах В. Некоммутативная теорема Виета и симметрические функции.В: The Gelfand Mathematical Seminars , 1993–1995, 93–100, Birkhäuser 1996. MR1398918 Zbl 0865.0507410.1007/978-1-4612-4122-5Search in Google Scholar

, В. Гельфаханд [9] , Квазитерминанты. I. Selecta Math. (NS) 3 (1997), 517–546. MR1613523 Zbl 0919.1601110.1007/s0002

019Search in Google Scholar

[10] G. Gentili, C. Stoppato, Нули регулярных функций и многочлены кватернионной переменной. Математика Мичигана. Дж . 56 (2008), 655–667. MR24 Zbl 1184.3004810.1307/mmj/1231770366Search in Google Scholar

[11] G. Gentili, C. Stoppato, Степенные ряды и аналитичность над кватернионами. Матем. Энн . 352 (2012), 113–131. MR2885578 Zbl 1262.3005310.1007/s00208-010-0631-2Search in Google Scholar

[12] G. Gentili, D.C. Struppa, Новый подход к регулярным по Каллену функциям кватернионной переменной. CR Math. акад. науч. Париж 342 (2006), 741–744.MR2227751 Zbl 1105.3003710.1016/j.crma.2006.03.015Search in Google Scholar

[13] G. Gentili, D.C. Struppa, Новая теория регулярных функций кватернионной переменной. Доп. Математика . 216 (2007), 279–301. MR2353257 Zbl 1124.3001510.1016/j.aim.2007.05.010Search in Google Scholar

[14] G. Gentili, D.C. Struppa, О кратности нулей многочленов с кватернионными коэффициентами. Милан Дж. Математика . 76 (2008), 15–25. MR2465984 Збл 1194.3005410.1007/s00032-008-0093-0Search in Google Scholar

[15] G. Gentili, D.C. Struppa, F. Vlacci, Основная теорема алгебры для чисел Гамильтона и Кэли. Матем. Z . 259 (2008), 895–902. MR2403747 Zbl 1144.3000410.1007/s00209-007-0254-9Поиск в Google Scholar

[16] Р. Гилони, А. Перотти, Регулярные функции среза на реальных альтернативных алгебрах. Доп. Математика . 226 (2011), 1662–1691. МР2737796 Збл 1217.3004410.1016/ж.aim.2010.08.015Search in Google Scholar

[17] Р. Гилони, А. Перотти, Нули регулярных функций кватернионной и октонионной переменных: лемма о делении и эффект распределительного вала. Энн. Мат. Пура Приложение . (4) 190 (2011), 539–551. MR2825261 Zbl 1246.3001310.1007/s10231-010-0162-1Search in Google Scholar

[18] T.Y. Lam, Первый курс некоммутативных колец . Springer 1991. MR1125071 Zbl 0728.1600110.1007/978-1-4684-0406-7Поиск в Google Scholar

[19] M.Лотер, Алгебраическая комбинаторика слов , том 90 из Математическая энциклопедия и ее приложения . Кембриджский университет Press 2002. MR13 Zbl 1001.6809310.1017/CBO9781107326019Search in Google Scholar

[20] И. Нивен, Уравнения в кватернионах. амер. Мат. Ежемесячно 48 (1941), 654–661. MR0006159 Zbl 0060.0800210.1080/00029890.1941.119Поиск в Google Scholar

[21] Нивен И. Корни кватерниона. амер.Мат. Ежемесячно 49 (1942), 386–388. MR0006980 Zbl 0061.0140710.1080/00029890.1942.119

Поиск в Google Scholar

[22] Оре О. Теория некоммутативных многочленов. Энн. по математике . (2) 34 (1933), 480–508. MR1503119 Zbl 0007.15101 JFM 59.0925.0110.2307/1968173Search in Google Scholar

[23] А. Погоруй, М. Шапиро, О структуре множества нулей кватернионных многочленов. Комплекс Вар. Теория Заявка . 49 (2004), 379–389.MR2073169 Zbl 1160.3035310.1080/0278107042000220276Искать в Google Scholar

[24] Ж.-Ю. Тибон, Введение в некоммутативные симметрические функции. В: Физика и теоретическая информатика , том 7 из NATO Secur. науч. сер. Д Инф. коммун. Secur ., 231–251, IOS, Amsterdam 2007. MR2504339Search in Google Scholar

[25] F. Vlacci, Принцип аргумента для кватернионных регулярных функций среза. Математика Мичигана. Дж . 60 (2011), 67–77.MR2785864 Zbl 1230.3003710.1307/mmj/1301586304Search in Google Scholar

[26] Ф. Влаччи, Теорема Гаусса-Лукаса для правильных кватернионных многочленов. В: Гиперкомплексный анализ и приложения , 275–282, Springer 2011. MR3026147 Zbl 1221.3012110.1007/978-3-0346-0246-4_19Поиск в Google Scholar

Обратный словарь

Как вы, наверное, заметили, слова для термина перечислены выше. Надеюсь, сгенерированный список слов для «термина» выше удовлетворит ваши потребности.Если нет, вы можете проверить «Связанные слова» — еще один мой проект, в котором используется другая техника (несмотря на то, что она лучше всего работает с отдельными словами, а не с фразами).

Об обратном словаре

Обратный словарь работает очень просто. Он просто просматривает тонны словарных определений и выбирает те, которые наиболее точно соответствуют вашему поисковому запросу. Например, если вы наберете что-то вроде «тоска по прошлому», то движок вернет «ностальгия».На данный момент движок проиндексировал несколько миллионов определений, и на данном этапе он начинает давать неизменно хорошие результаты (хотя иногда он может возвращать странные результаты). Он во многом похож на тезаурус, за исключением того, что позволяет выполнять поиск по определению, а не по одному слову. Так что в некотором смысле этот инструмент является «поисковиком слов» или конвертером предложений в слова.

Я сделал этот инструмент после работы над «Связанными словами», который очень похож на инструмент, за исключением того, что он использует кучу алгоритмов и несколько баз данных для поиска слов, похожих на поисковый запрос.Этот проект ближе к тезаурусу в том смысле, что он возвращает синонимы для запроса слова (или короткой фразы), но он также возвращает много широко связанных слов, не включенных в тезаурус. Таким образом, этот проект, Reverse Dictionary, должен идти рука об руку с Related Words, чтобы действовать как набор инструментов для поиска слов и мозгового штурма. Для тех, кто заинтересован, я также разработал «Описывающие слова», которые помогут вам найти прилагательные и интересные описания для вещей (например, волн, закатов, деревьев и т. д.).

Если вы не заметили, вы можете щелкнуть по словам в результатах поиска, и вам будет представлено определение этого слова (если оно доступно).Определения взяты из известной базы данных WordNet с открытым исходным кодом, поэтому огромное спасибо многим участникам за создание такого замечательного бесплатного ресурса.

Особая благодарность авторам открытого исходного кода, использованного в этом проекте: Elastic Search, @HubSpot, WordNet и @mongodb.

Обратите внимание, что Reverse Dictionary использует сторонние скрипты (такие как Google Analytics и рекламные объявления), которые используют файлы cookie. Чтобы узнать больше, ознакомьтесь с политикой конфиденциальности.

Алгебра 2 и тригонометрия – Классическая математическая школа

Алгебра II
Продвинутая алгебра через функции
(два семестра) с 8 по 10 класс. Предварительные требования курса включают умение составлять и решать линейные и квадратные уравнения и неравенства (алгебра I).

Ключевые элементы курса Алгебра II:
Изучение поведения функций в рамках элементарной математики.
Графические функции. Перевод графиков.
Использование функций и уравнений в качестве моделей для текстовых задач.

Введение понятий, включая доказательства теорем и вывод формул, а также решение задач составляли неотъемлемую часть каждого занятия. Учащиеся многому учатся на примерах и на примерах, а также в ходе обсуждения проблем. Различные методы обучения используются для повышения способности учащихся решать проблемы. Студенты решают множество сложных задач, используя индуктивный и дедуктивный подходы к рассуждениям.Некоторые из тем и проблем, которые изучались в этом курсе, включают:

Отношения и функции
Домен и диапазон.
3 способа назначения функций: отображение диаграмм (таблиц), графиков, уравнений (формул)
Функции «один к одному» и «многие к одному». Тесты вертикальной и горизонтальной линий.
Четные и нечетные функции.
Состав функций.
Обратные функции.

Степенные функции и их графики
Естественные, интегральные и рациональные показатели и их свойства.
Прямые и обратные варианты.
Совместные и комбинированные варианты.

Квадратичные функции и их графики
Параболы: вершина, линия симметрии, минимум, максимум.
Теорема Виета. Факторинг. Квадратные уравнения. Вывод квадратной формулы.
Введение в комплексные числа.
Квадратные неравенства. Биквадратные уравнения.
Word задач, ведущих к квадратным уравнениям.

Полиномиальные функции и их графики
Факторинг. Разделение многочленов.Синтетический отдел.
Полиномиальные уравнения. Теоремы об остатках и факторах.
Основная теорема алгебры.
Правило знаков Декарта. Границы корней. Рациональные корни.

Радикальные функции и их графики
Радикальные уравнения. Посторонние решения.
словесных задач, ведущих к радикальным уравнениям.

Рациональные функции и их графики
Вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
Рациональные уравнения. Посторонние решения.
Текстовые задачи, ведущие к рациональным уравнениям.

Экспоненциальные функции и их графики
Число e.
Экспоненциальный рост и упадок. Связанные словесные проблемы.

Логарифмические функции и их графики
Свойства логарифмов. Формула смены основания. 2+b*х+с=0, где х — переменная, а, b, с — постоянные; а0.Задача состоит в том, чтобы найти корни уравнения.

Геометрический смысл квадратного уравнения

График функции, представленной квадратным уравнением, представляет собой параболу. Решениями (корнями) квадратного уравнения являются точки пересечения параболы с осью абсцисс (х). Отсюда следует, что возможны три случая:
1) парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс. Это означает, что он находится в верхней плоскости ветвями вверх или в нижней плоскости ветвями вниз.В таких случаях квадратное уравнение не имеет действительных корней (имеет два комплексных корня).

2) парабола имеет одну точку пересечения с осью Ох. Такая точка называется вершиной параболы, и квадратное уравнение в ней приобретает свое минимальное или максимальное значение. В этом случае квадратное уравнение имеет один действительный корень (или два одинаковых корня).

3) Последний случай на практике более интересен — есть две точки пересечения параболы с осью абсцисс. Это означает, что существует два действительных корня уравнения.

На основе анализа коэффициентов при степенях переменных можно сделать интересные выводы о расположении параболы.

1) Если коэффициент а больше нуля, то парабола направлена ​​ветвями вверх, если отрицательный — ветви параболы направлены вниз.

2) Если коэффициент b больше нуля, то вершина параболы лежит в левой полуплоскости, если принимает отрицательное значение, то в правой.2 в обе части и проводим преобразование

Отсюда находим

Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения

Дискриминантом называется значение подкоренного выражения Если оно положительное, то уравнение имеет два действительных корня, вычисляемых по формуле Когда дискриминант равен нулю, квадратное уравнение имеет одно решение (два совпадающих корня), которое легко получить из приведенной формулы при D = 0.Когда дискриминант отрицателен, уравнение не имеет действительных корней. Однако решения квадратного уравнения в комплексной плоскости находятся, и их значение вычисляется по формуле

Теорема Виета

Рассмотрим два корня квадратного уравнения и на их основе построим квадратное уравнение. Теорема Виета легко следует из обозначений: если мы имеем квадратное уравнение вида, то сумма его корней равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, а произведение корней уравнения равно свободному члену кв.Формальная запись вышеизложенного будет иметь вид Если в классическом уравнении константа а отлична от нуля, то нужно разделить на нее все уравнение, а затем применить теорему Виета.

Расписание квадратного уравнения для факторов

Пусть поставлена ​​задача: вывести квадратное уравнение на множители. Для его выполнения сначала решаем уравнение (находим корни). Далее подставляем найденные корни в формулу разложения квадратного уравнения. Это решит проблему.

Задачи с квадратными уравнениями

Задача 1.2-26х + 120 = 0.

Решение: Запишем коэффициенты и подставим их в дискриминантную формулу

Корень этого значения равен 14, его легко найти с помощью калькулятора, или запомнить при частом использовании , однако для удобства в конце статьи я приведу вам список квадратов чисел, которые часто можно встретить в таких задачах.
Подставляем найденное значение в формулу корня

и получаем

Задача 2. Решаем уравнение

2x 2 + x-3 = 0.

Решение: Имеем полное квадратное уравнение, выписываем коэффициенты и находим дискриминант

По известным формулам находим корни квадратного уравнения

Задача 3. Решить уравнение

9x 2 -12x + 4 = 0.

Решение: У нас есть полное квадратное уравнение. Определить дискриминант

Получился случай, когда корни совпадают. Находим значения корней по формуле

Задача 4.2 + x-6 = 0.

Решение: В случаях, когда при x малые коэффициенты, целесообразно применить теорему Виета. По его условию получаем два уравнения

Из второго условия получаем, что произведение должно быть равно -6. Это означает, что один из корней отрицательный. Имеем следующую возможную пару решений (-3; 2), (3; -2). С учетом первого условия отбрасываем вторую пару решений.
Корни уравнения равны

Задача 5.Найдите длины сторон прямоугольника, если его периметр равен 18 см, а площадь 77 см 2 .

Решение: Половина периметра прямоугольника равна сумме прилежащих сторон. Обозначим х — большую сторону, тогда 18-х — меньшую сторону. Площадь прямоугольника равна произведению этих длин:
х (18-х) = 77;
или
х 2 -18х + 77 = 0.
Найти дискриминант уравнения

Вычислить корни уравнения

Если ах = 11, то 18’s = 7, наоборот, тоже верно (если х = 7, то 21-х = 9).

Задача 6. Разложить квадратные уравнения 10x 2 -11x + 3 = 0 на множители.

Решение: Вычисляем корни уравнения, для этого находим дискриминант

Подставляем найденное значение в формулу корня и вычисляем

Применяем формулу разложения квадратного уравнения в корнях

Раскрывая скобки , получаем тождество.

Квадратное уравнение с параметром

Пример 1. При каких значениях параметра но имеет ли уравнение (а-3) х 2 + (3-а) х-1/4 = 0 один корень?

Решение: Прямая подстановка значения a = 3 показывает, что оно не имеет решения.Далее воспользуемся тем, что при нулевом дискриминанте уравнение имеет один корень кратности 2. Выпишем дискриминант

упростим его и приравняем к нулю

Получили квадратное уравнение относительно параметра а, решение уравнения которое легко получить по теореме Виета. Сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Простым перебором устанавливаем, что числа 3,4 будут корнями уравнения. Так как решение а = 3 мы уже отвергли в начале расчетов, то единственно правильным будет — а = 4.2 + (2a + 6) x-3a-9 = 0 имеет более одного корня?

Решение: Рассмотрим сначала особые точки, ими будут значения a = 0 и a = -3. Когда a = 0, уравнение упростится до вида 6x-9 = 0; x = 3/2 и будет один корень. При а = -3 получаем тождество 0 = 0.
Вычисляем дискриминант

и находим значения а, при которых он положителен

Из первого условия получаем а > 3. Для второго, находим дискриминант и корни уравнения


Определим интервалы, на которых функция принимает положительные значения.Подставляя точку a = 0, получаем 3>0 . Итак, вне интервала (-3; 1/3) функция отрицательна. Не забудьте точку a = 0, которую следует исключить, так как исходное уравнение имеет в ней один корень.
В итоге получаем два интервала, удовлетворяющих условию задачи

Подобных задач на практике будет много, попробуйте сами разобраться в задачах и не забывайте учитывать взаимоисключающие условия. Хорошо выучите формулы решения квадратных уравнений, они часто нужны при расчетах в различных задачах и науках.

Важно! При корнях четной кратности функция не меняет знака.

Внимание! Любое нелинейное неравенство в школьном курсе алгебры необходимо решать методом интервалов.

Предлагаю вам подробный алгоритм решения неравенств методом интервалов , следуя которому вы сможете избежать ошибок при решении нелинейных неравенств .

Решение квадратных уравнений с отрицательными дискриминантами

Как известно,

и 2 = — 1.

Одновременно

(- и ) 2 = (- 1 i ) 2 = (- 1) 2 i 2 = -1.

Таким образом, существует как минимум два значения квадратного корня из — 1, а именно и и — и … А может есть еще какие-то комплексные числа, квадраты которых равны — 1?

Чтобы прояснить этот вопрос, предположим, что квадрат комплексного числа a + bi равно — 1.Затем

( а + би ) 2 = — 1,

но 2 + 2 аби б 2 = — 1

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и коэффициенты при мнимых частях. поэтому

{ а 2 — б 2 = — 1 аб = 0 (1)

Согласно второму уравнению системы (1) хотя бы одно из чисел но и б должно быть равно нулю. Если а б = 0, то из первого уравнения получаем но 2 = — 1. Номер но действительный и, следовательно, , но 2 > 0. Неотрицательное число , но 2 не может быть равно отрицательному числу — 1. Следовательно, равенство b = 0 в этом случае нельзя. Остается признать, что , но = 0, но тогда из первого уравнения системы получаем: — б 2 = — 1, б = ± 1.

Следовательно, комплексные числа с квадратами, равными -1, это только числа i и — и Условно записывается как:

√-1 = ± i .

Аналогичным образом учащиеся могут убедиться, что существует ровно два числа, квадраты которых равны отрицательному числу — , , но . … Эти числа √ ai и -√ ай … Условно это записывается так:

— но = ± √ ai .

Под √ и здесь имеется в виду арифметический, то есть положительный, корень. Например, √4 = 2, √9 = 0,3; так

√-4 = + 2 я , √-9 = ± 3 i

Если раньше при рассмотрении квадратных уравнений с отрицательными дискриминантами мы говорили, что такие уравнения не имеют корней, то теперь так говорить уже нельзя.Квадратные уравнения с отрицательными дискриминантами имеют комплексные корни. Эти корни получаются по известным нам формулам. Например, пусть задано уравнение х 2 + 2 х + 5 = 0; затем

x 1,2 = — 1 ± √1 -5 = — 1 ± √-4 = — 1 ± 2 i .

Итак, это уравнение имеет два корня: х 1 = — 1 +2 я , х 2 = — 1 — 2 я … Эти корни взаимно сопряжены. Интересно отметить, что их сумма равна -2, а произведение равно 5, так что теорема Виета верна.

Концепция комплексного числа

Комплексное число — это выражение вида a + ib, где a и b — любые действительные числа, i — особое число, называемое мнимой единицей. Для таких выражений понятия равенства и операции сложения и умножения вводятся следующим образом:

  1. Два комплексных числа a + ib и c + id называются равными тогда и только тогда, когда
    a = b и c = d.
  2. Сумма двух комплексных чисел a + ib и c + id представляет собой комплексное число
    a + c + i (b + d).
  3. Произведение двух комплексных чисел a + ib и c + id представляет собой комплексное число
    ac — bd + i (ad + bc).

Комплексные числа часто обозначаются одной буквой, например, z = a + ib. Вещественное число а называют действительной частью комплексного числа z, действительную часть обозначают а = Re z. Вещественное число b называется мнимой частью комплексного числа z, мнимая часть обозначается b = Im z.Такие названия были выбраны в связи со следующими особыми свойствами комплексных чисел.

Обратите внимание, что арифметические операции над комплексными числами вида z = a + i · 0 выполняются так же, как и над действительными числами. Действительно,

Следовательно, комплексные числа вида a + i · 0 естественным образом отождествляются с действительными числами. Из-за этого комплексные числа такого рода называются просто действительными. Итак, множество действительных чисел содержится в множестве комплексных чисел.Множество комплексных чисел обозначается . Мы установили, что именно

В отличие от действительных чисел, числа вида 0+ib называются чисто мнимыми. Часто просто пишут bi, например, 0 + i 3 = 3 i. Чисто мнимое число i1 = 1 i = i обладает удивительным свойством:
. Таким образом,

№ 4 .1. В математике числовая функция — это функция, области определения и значения которой являются подмножествами числовых множеств — обычно наборов действительных чисел или наборов комплексных чисел.

Функциональный график

Фрагмент графика функции

Способы установки функции

[править] Аналитический способ

Обычно функция определяется с помощью формулы, включающей переменные, операции и элементарные функции. Возможно кусочная задача, то есть разная для разных значений аргумента.

[править] Табличный способ

Функцию можно указать, перечислив все ее возможные аргументы и значения для них.После этого при необходимости функцию можно расширить для аргументов, которых нет в таблице, путем интерполяции или экстраполяции. Примеры включают программу передач, расписание поездов или таблицу значений булевой функции:

[править] Графический способ

Осциллограмма задает значение определенной функции графически.

Функцию можно задать графически, отобразив множество точек ее графика на плоскости. Это может быть грубый набросок того, как должна выглядеть функция, или показания, полученные с такого прибора, как осциллограф.Этот метод присваивания может страдать от недостаточной точности, однако в некоторых случаях другие методы присваивания вообще неприменимы. Кроме того, этот способ настройки является одним из наиболее наглядных, удобных для восприятия и качественного эвристического анализа функции.

[править] Рекурсивный путь

Функция может быть указана рекурсивно, то есть через себя. При этом одни значения функции определяются через другие ее значения.

  • факториал;
  • Числа Фибоначчи;
  • Функция Аккермана.

[править] Устный способ

Функция может быть описана словами на естественном языке любым однозначным образом, например, путем описания ее входных и выходных значений или алгоритма, по которому функция устанавливает соответствие между этими значениями. Наряду с графическим способом, иногда это единственный способ описания функции, хотя естественные языки не так детерминированы, как формальные.

  • функция, возвращающая цифру в записи числа пи по ее номеру;
  • функция, возвращающая количество атомов во Вселенной в данный момент времени;
  • функция, которая принимает в качестве аргумента человека и возвращает количество людей, которые родятся после его рождения

Внимание!
В Спецразделе 555 имеются дополнительные
материалы.
Для тех, кому «не очень…»
И для тех, кто «очень …»)

Типы квадратных уравнений

Что такое квадратное уравнение? На что это похоже? В термине квадратного уравнения ключевое слово «квадрат». Значит, в уравнении обязательно должен быть икс в квадрате. Кроме него, в уравнении может (а может и не быть!) просто х (в первой степени) и просто число (свободный член). И не должно быть иксов в степени больше двух.

С математической точки зрения, квадратное уравнение — это уравнение вида:

Здесь а, б и в — какие-то числа. b и c — абсолютно любые, а вот да — все что угодно, кроме нуля. Например:

Здесь , но =1; б = 3; с = -4

Здесь , но =2; б = -0,5; с = 2,2

Здесь , но =-3; б = 6; с = -18

Ну вы поняли…

В этих квадратных уравнениях слева имеется полных наборов из членов. Х в квадрате с коэффициентом а, х в первой степени с коэффициентом б и свободный член с.

Такие квадратные уравнения называются полными.

Что если b = 0, что мы получим? У нас X исчезнет в первой степени. Это происходит от умножения на ноль.) Получается, например:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x = 0,

-х 2 + 4х = 0

и т. д.А если оба коэффициента, b и c равны нулю, то еще проще:

2x 2 = 0,

-0,3x 2 = 0

Такие уравнения, в которых чего-то не хватает, называются неполными квадратными уравнениями. Что вполне логично.) Обратите внимание, что квадрат x присутствует во всех уравнениях.

Кстати, почему , а не может быть нулем? И подставляешь а ноль.) Х в квадрате у нас исчезнет! Уравнение становится линейным.И решается совсем по другому…

Это все основные типы квадратных уравнений. Полное и неполное.

Решение квадратных уравнений.

Решение полных квадратных уравнений.

Квадратные уравнения решаются легко. По формулам и понятным, простым правилам. На первом этапе необходимо привести данное уравнение к стандартному виду, т.е. посмотреть:

Если уравнение уже дано вам в таком виде, вам не нужно делать первый этап.) Главное правильно определить все коэффициенты, но , b и c .

Формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит так:

Выражение под корневым знаком называется дискриминантом … Но о нем — ниже. Как видите, чтобы найти x, мы используем только a, b и c . Тех. коэффициенты из квадратного уравнения. Просто аккуратно подставьте значения a, b и c в эту формулу и посчитайте.Замените своими знаками! Например, в уравнении:

, но =1; б = 3; с = -4. Итак записываем:

Пример почти решен:

Это ответ.

Все очень просто. А что, вы думаете, ошибиться невозможно? Ну да как же…

Наиболее частые ошибки — путаница со смысловыми знаками. a, b и c… Вернее, не их знаками (где запутаться?), а подстановкой отрицательных значений в формулу вычисления корней. Здесь спасает подробное обозначение формулы с конкретными цифрами. Если есть вычислительные проблемы, сделайте так !

Предположим, вам нужно решить этот пример:

Здесь a = -6; б = -5; с = -1

Допустим, вы знаете, что редко получаете ответы с первого раза.

Ну не ленись. Написание дополнительной строки займет 30 секунд. И количество ошибок резко уменьшится … Так что пишем подробно, со всеми скобками и знаками:

Кажется невероятно сложным рисовать так тщательно. Но это только кажется. Попытайся. Ну или выбирай. Что лучше, быстро или правильно? Кроме того, я сделаю тебя счастливым. Через некоторое время не будет нужды так тщательно все красить. Это получится само собой.Особенно, если вы используете практические приемы, описанные ниже. Этот злой пример с кучей недостатков решается легко и без ошибок!

Но часто квадратные уравнения выглядят несколько иначе. Например, вот так:

Узнали?) Да! это неполные квадратные уравнения .

Решение неполных квадратных уравнений.

Их также можно решить с помощью общей формулы. Нужно только правильно сообразить, чему равны a, b и c.

Вы поняли это? В первом примере а = 1; б = -4; , но с ? Его вообще нет! Ну да, это правильно. В математике это означает, что c = 0 ! Это все. Подставим ноль в формулу вместо с, и у нас все получится. То же самое и со вторым примером. Только ноль у нас тут не из , а б !

Но неполные квадратные уравнения решаются гораздо проще.Без всяких формул. Рассмотрим первое неполное уравнение. Что вы можете сделать там с левой стороны? Вы можете поставить x из скобок! Давайте вытащим это.

И что из этого? А то, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда любой из сомножителей равен нулю! Не верите мне? Ну, тогда придумайте два ненулевых числа, которые при умножении дадут ноль!
Не работает? Вот так…
Следовательно, мы можем уверенно написать: х 1 = 0 , х 2 = 4 .

Все. Это будут корни нашего уравнения. Оба подходят. При подстановке любого из них в исходное уравнение получаем правильное тождество 0 = 0. Как видите, решение намного проще, чем с использованием общей формулы. Замечу, кстати, какой Х будет первым, а какой вторым — абсолютно безразлично. Удобно записывать по порядку, х 1 — что меньше, а х 2 — что больше.

Второе уравнение тоже решается просто.Переместите 9 вправо. Получаем:

Осталось извлечь рут из 9 и все. Получится:

Также два корня . х 1 = -3 , х 2 = 3 .

Так решаются все неполные квадратные уравнения. Либо поместив x в круглые скобки, либо просто переместив число вправо, а затем извлекая корень.
Спутать эти приемы крайне сложно. Просто потому, что в первом случае придется корень из иксов извлекать, что как-то непонятно, а во втором случае за скобки ставить нечего…

Дискриминант. Дискриминантная формула.

Волшебное слово Дискриминант ! Редкий старшеклассник не слышал этого слова! Фраза «решать через дискриминант» обнадеживает и обнадеживает. Потому что ждать подвоха от дискриминанта не приходится! Пользоваться им просто и безотказно.) Напомню самую общую формулу решения любых квадратных уравнений:

Выражение под знаком корня называется дискриминантом.Обычно дискриминант обозначают буквой D … Формула дискриминанта:

Д = б 2 — 4ас

А что такого примечательного в этом выражении? Почему он заслужил особое название? Какой смысл дискриминанта? Ведь -б, или в этой формуле специально не называют. .. Буквы да буквы.

Вот в чем дело. При решении квадратного уравнения по этой формуле возможны только три случая.

1. Дискриминант положительный. Это значит, что из него можно извлечь рут. Хорошо извлекается рут, или плохо — другой вопрос. Важно, что добывается в принципе. Тогда ваше квадратное уравнение имеет два корня. Два разных решения.

2. Дискриминант равен нулю. Тогда у вас есть одно решение. Так как сложение-вычитание нуля в числителе ничего не меняет. Строго говоря, это не один корень, а два одинаковых … Но, в упрощенном варианте, принято говорить об одном решении .

3. Дискриминант отрицательный. Из отрицательного числа квадратный корень не извлекается. Ну ладно. Это означает, что решений нет.

Честно говоря, при простом решении квадратных уравнений понятие дискриминанта особо не требуется. Подставляем значения коэффициентов в формулу, но считаем. Там все получается само собой, и два корня, и один, и не один. Однако при решении более сложных задач без знания смысла и дискриминантной формулы не обойтись. Особенно — в уравнениях с параметрами. Такие уравнения — высший пилотаж на ЕГЭ и ЕГЭ!)

Итак, как решать квадратные уравнения через дискриминант вы вспомнили. Или научились, что тоже неплохо.) Вы умеете правильно определять а, б и в … Вы умеете внимательно подставлять их в формулу корня и внимательно читать результат.Вы поняли, что ключевое слово здесь осторожно?

А пока обратите внимание на рекомендации, которые значительно уменьшат количество ошибок. Те самые, что из-за невнимательности. … За что потом и больно и обидно…

Первый прием … Не поленитесь привести его к стандартному виду перед решением квадратного уравнения. Что это значит?
Допустим, после некоторых преобразований вы получили следующее уравнение:

Не торопитесь писать формулу корня! Вы почти наверняка перепутаете шансы. а, б и в. Правильно соберите пример. Сначала Х в квадрате, потом без квадрата, потом свободный член. Вот так:

И снова не торопитесь! Минус перед крестиком в квадрате может вас сильно огорчить. Его легко забыть… Избавиться от минуса. Как? Да как учили в предыдущей теме! Вы должны умножить все уравнение на -1. Получаем:

Зато теперь можно смело записывать формулу корней, вычислять дискриминант и завершать пример.Сделай сам. У вас должны получиться корни 2 и -1.

Прием второй. Проверьте корни! По теореме Виета. Не пугайтесь, я все объясню! Проверка последней вещи уравнения. Те. тот, по которому мы записали формулу корней. Если (как в этом примере) коэффициент а = 1 , то проверить корни несложно. Достаточно их умножить. Вы должны получить бесплатный член, т.е. в нашем случае -2. Обратите внимание, не 2, а -2! Бесплатный член с моим знаком …Если не получилось, значит уже где-то накосячил. Ищите ошибку.

Если получится, надо скидывать корни. Последняя и окончательная проверка. Из напротив должен получиться коэффициент b знакомый. В нашем случае -1 + 2 = +1. И коэффициент b перед x равен -1. Итак, все правильно!
Жаль, что это так просто только для примеров, где квадрат х чистый, с коэффициентом а = 1. Да хотя бы в таких уравнениях, проверьте! Будет меньше ошибок.

Приемная третья … Если в вашем уравнении есть дробные коэффициенты, избавьтесь от дробей! Умножьте уравнение на общий знаменатель, как описано в разделе Как решать уравнения? Идентичные преобразования. При работе с дробями почему-то вылезают ошибки…

Кстати, злой пример я обещал упростить кучей минусов. Пожалуйста! Вот.

Чтобы не запутаться в минусах, умножаем уравнение на -1. Получаем:

Вот и все! Одно удовольствие решать!

Итак, подытожим тему.

Практический совет:

1. Перед решением приводим квадратное уравнение к стандартному виду, строим его правильно .

2. Если перед иксом в квадрате стоит отрицательный коэффициент, мы его исключаем, умножая все уравнение на -1.

3. Если коэффициенты дробные, мы исключаем дроби, умножая все уравнение на соответствующий коэффициент.

4. Если квадрат х чистый, коэффициент при нем равен единице, решение легко проверяется по теореме Виета. Сделай это!

Теперь вы можете решить.)

Решить уравнения:

8x 2 — 6x + 1 = 0

х 2 + 3 х + 8 = 0

х 2 — 4х + 4 = 0

(х + 1) 2 + х + 1 = (х + 1) (х + 2)

Ответы (в беспорядке):

х 1 = 0
х 2 = 5

х 1.2 = 2

х 1 = 2
х 2 = -0,5

х — любое число

х 1 = -3
х 2 = 3

нет решений

х 1 = 0,25
х 2 = 0,5

Все ли сходится? Превосходно! Квадратные уравнения — не ваша головная боль. Первые три работали, а остальные нет? Тогда проблема не в квадратных уравнениях.Проблема в одинаковых преобразованиях уравнений. Пройдитесь по ссылке, полезно.

Не совсем получается? Или вообще не работает? Тогда Раздел 555 поможет вам. Там все эти примеры разобраны вдребезги. Показаны основные ошибки в решении. Разумеется, речь идет и об использовании одинаковых преобразований при решении различных уравнений. Очень помогает!

Если вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть для вас еще парочка интересных сайтов.)

Вы можете попрактиковаться в решении примеров и узнать свой уровень. Мгновенное проверочное тестирование. Учимся — с интересом!)

вы можете ознакомиться с функциями и производными.

Надеюсь, изучив эту статью, вы научитесь находить корни полного квадратного уравнения.

С помощью дискриминанта решаются только полные квадратные уравнения, для решения неполных квадратных уравнений используются другие методы, которые вы найдете в статье «Решение неполных квадратных уравнений».

Какие квадратные уравнения называются полными? Это уравнений вида ax 2 + b x + c = 0 , где коэффициенты a, b и c не равны нулю. Итак, чтобы решить полное квадратное уравнение, нужно вычислить дискриминант D.

Д = б 2 — 4ас.

В зависимости от того, какое значение имеет дискриминант, запишем ответ.

Если дискриминант отрицательный (D

Если дискриминант равен нулю, то x = (-b) / 2a. Когда дискриминант является положительным числом (D > 0),

, то x 1 = (-b — √D) / 2a и x 2 = (-b + √D) / 2a.

Например. Решите уравнение x 2 — 4x + 4 = 0.

Д = 4 2 — 4 4 = 0

х = (- (-4)) / 2 = 2

Ответ: 2.

Решение уравнения 2 x 2 + х + 3 = 0.

Д = 1 2 — 4 2 3 = — 23

Ответ: нет корней .

Решение уравнения 2 x 2 + 5х — 7 = 0 .

D = 5 2 — 4 · 2 · (–7) = 81

х 1 = (-5 — √81) / (2 2) = (-5 — 9) / 4 = — 3. 5

х 2 = (-5 + √81) / (2 · 2) = (-5 + 9) / 4 = 1

Ответ: — 3,5; один .

Итак, приведем решение полных квадратных уравнений по схеме на рисунке 1.

Эти формулы можно использовать для решения любого полного квадратного уравнения. Просто нужно следить за тем, чтобы уравнение было записано в виде стандартного многочлена

но x 2 +bx+c, иначе можно ошибиться.Например, записывая уравнение x + 3 + 2x 2 = 0, вы можете ошибочно решить, что

a = 1, b = 3 и c = 2. Тогда

D = 3 2 — 4 · 1 · 2 = 1 и тогда уравнение имеет два корня. И это неправда. (См. решение примера 2 выше).

Следовательно, если уравнение не записано в виде многочлена стандартного вида, сначала полное квадратное уравнение должно быть записано в виде многочлена стандартного вида (на первом месте должен быть моном с наибольшим показателем, то есть , но x 2 , то с меньшим bx а потом свободный член от.

При решении редуцированного квадратного уравнения и квадратного уравнения с четным коэффициентом при втором члене можно использовать и другие формулы. Давайте познакомимся и с этими формулами. Если в полном квадратном уравнении со вторым членом коэффициент четный (b = 2k), то уравнение можно решить по формулам, приведенным на схеме на рисунке 2.

Полное квадратное уравнение называется приведенным, если коэффициент при х 2 равно единице, и уравнение принимает форму x 2 + px + q = 0 … Такое уравнение можно дать для решения, либо оно получается делением всех коэффициентов уравнения на коэффициент но стоящий на х 2 .

На рис. 3 показана схема решения сокращенного квадратного уравнения
. Рассмотрим пример применения формул, рассмотренных в этой статье.

Пример. Решите уравнение

3 x 2 + 6х — 6 = 0.

Решим это уравнение по формулам, показанным на схеме на рисунке 1.

D = 6 2 — 4 3 (- 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √ (363) = 6√3

x 1 = (-6 — 6√3) / (2 3) = (6 (-1- √ (3))) / 6 = –1 — √3

x 2 = (-6 + 6√3) / (2 · 3) = (6 (-1+ √ (3))) / 6 = –1 + √3

Ответ: -1 — √3; –1 + √3

Можно заметить, что коэффициент при x в этом уравнении является четным числом, то есть b = 6 или b = 2k, откуда k = 3.Затем попробуем решить уравнение по формулам, приведенным в схеме на рисунке D 1 = 3 2 — 3 · (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√ (D 1) = √ 27 = √ (9 3) = 3 √ 3 ​​

x 1 = (-3 — 3√3) / 3 = (3 (-1 — √ (3))) / 3 = — 1 — √3

х 2 = (-3 + 3√3) / 3 = (3 (-1 + √ (3))) / 3 = — 1 + √3

Ответ: -1 — √3; –1 + √3 … Заметив, что все коэффициенты в этом квадратном уравнении делятся на 3 и произведя деление, получим редуцированное квадратное уравнение x 2 + 2x — 2 = 0. Решим это уравнение по формулам редуцированного квадратного уравнения
уравнение рисунок 3.

D 2 = 2 2 — 4 (- 2) = 4 + 8 = 12

√ (Д 2) = √ 12 = √ (4 3) = 2 √ 3

x 1 = (-2 — 2√3) / 2 = (2 (-1 — √ (3))) / 2 = — 1 — √3

x 2 = (-2 + 2√3) / 2 = (2 (-1+ √ (3))) / 2 = — 1 + √3

Ответ: -1 — √3; –1 + √3.

Как видите, при решении этого уравнения по разным формулам мы получили одинаковый ответ. Поэтому, хорошо усвоив формулы, изображенные на схеме на рисунке 1, вы всегда сможете решить любое полное квадратное уравнение.

сайта, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Квадратные уравнения изучаются в 8 классе, так что ничего сложного тут нет. Умение решать их абсолютно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, а a ≠ 0.

Перед изучением конкретных методов решения отметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

  1. Не имеют корней;
  2. Иметь ровно один корень;
  3. У них два разных корня.

Это важное различие между квадратными и линейными уравнениями, где корень всегда существует и уникален. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого есть замечательная штука — дискриминант .

Дискриминант

Пусть задано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминантом будет просто число D = b 2 — 4ac.

Эту формулу нужно знать наизусть. Откуда оно родом — сейчас неважно.Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

  1. Если Д
  2. Если D = 0, то корень ровно один;
  3. Если D > 0, то корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает количество корней, а вовсе не их признаки, как почему-то многие считают. Посмотрите примеры — и сами все поймете:

Задача.Сколько корней имеют квадратные уравнения:

  1. х 2 — 8 х + 12 = 0;
  2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
  3. х 2 — 6 х + 9 = 0,

Запишем коэффициенты первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 — 4 1 12 = 64 — 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два разных корня. Аналогично анализируем второе уравнение:
а = 5; б = 3; с = 7;
Д = 3 2 — 4 5 7 = 9 — 140 = -131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Остается последнее уравнение:
а = 1; б = -6; с = 9;
D = (−6) 2 — 4 1 9 = 36 — 36 = 0,

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что коэффициенты были записаны для каждого уравнения. Да, долго, да, скучно — зато коэффициенты не перепутаешь и глупых ошибок не наделаешь. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не нужно будет выписывать все коэффициенты.Вы будете выполнять такие операции в своей голове. Большинство людей начинают это делать где-то после того, как решено 50-70 уравнений — в общем, не так уж и много.

Квадратные корни

Теперь перейдем к решению. Если дискриминант D > 0, то корни можно найти по формулам:

Основная формула для корней квадратного уравнения

При D = 0 можно использовать любую из этих формул — получится то же число, которое будет будь ответом. Наконец, если Д

  1. х 2 — 2 х — 3 = 0;
  2. 15 — 2х — х 2 = 0;
  3. х 2 + 12 х + 36 = 0.

Первое уравнение:
х 2 — 2 х — 3 = 0 ⇒ а = 1; б = -2; с = -3;
D = (−2) 2 — 4 1 (−3) = 16,

D> 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 — 2x — x 2 = 0 ⇒ a = −1; б = -2; с = 15;
D = (-2) 2 — 4 (-1) 15 = 64.

D> 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

\[\begin(align)&((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot\left(-1\right))=- 5; \&((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot\left(-1\right))=3.\\\ конец (выравнивание) \]

Наконец, третье уравнение:
х 2 + 12 х + 36 = 0 ⇒ а = 1; б = 12; с = 36;
D = 12 2 — 4 · 1 · 36 = 0,

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первый:

Как видно из примеров, все очень просто. Если вы знаете формулы и умеете считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет описанная выше методика: смотрите на формулу буквально, описывайте каждый шаг – и очень скоро вы избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

  1. х 2 + 9 х = 0;
  2. х 2 — 16 = 0,

Легко видеть, что в этих уравнениях отсутствует один из членов. Такие квадратные уравнения решаются еще проще, чем стандартные: для них даже не нужно вычислять дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е.е. коэффициент при переменной x или свободном элементе равен нулю.

Конечно, возможен очень сложный случай, когда оба эти коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax 2 = 0. Очевидно, что такое уравнение имеет единственный корень: х = 0,

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл только при (−c / a) ≥ 0.Вывод:

  1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполняется неравенство (−c / a) ≥ 0, то корней будет два. Формула приведена выше;
  2. Если (-с / а)

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже не обязательно помнить о неравенстве (−c/a) ≥ 0. Достаточно выразить значение x 2 и посмотреть, что стоит по ту сторону знака равенства.Если число положительное, то корней будет два. Если отрицательный, корней не будет вообще.

Теперь займемся уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Здесь все просто: корней всегда будет два. Достаточно вынести многочлен:

Вынося в скобки общий множитель

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда и корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача.Решите квадратные уравнения:

  1. х 2 — 7 х = 0;
  2. 5x 2 + 30 = 0;
  3. 4x 2 — 9 = 0.

х 2 — 7 х = 0 ⇒ х (х — 7) = 0 ⇒ х 1 = 0; х 2 = — (- 7) / 1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = -30 ⇒ x 2 = -6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x 2 — 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; х 2 = -1,5.

Формула Виета: определение, доказательство, примеры решений

Формула Виета для квадратичных уравнений

[Щелкните здесь, чтобы просмотреть примеры вопросов]

Рассмотрим квадратное уравнение f(x) = ax 2 + bx + c

с корнями r 1 и r 2 , когда f(x) = 0 .Тогда r 1 + r 2 = \(\frac{-b}{a}\) и r 1  r 2 = \(\frac{c}{a}\) .

Доказательство. Пусть p и q — действительные корни уравнительного квадратного уравнения. его моническая версия.

Поскольку р и q являются корнями уравнения, x +pq

Поскольку два полинома равны тогда и только тогда, когда их коэффициенты равны b= -(p+q) и c=pq.

Корни могут быть обобщены для включения комплексных чисел. т. е. по двум комплексным числам p и q можно построить моноквадратичное число x 2 -(p+q)x+pq=0 с корнями p и q.

Чтобы узнать, когда коэффициенты этого моноквадрата будут действительными, установите p = p 1 + p 2 i и q = q 1 + q 2 i.

Тогда, коэффициенты B = P 1 + Q 1 — (P 2 + Q 2 ) I и C = P 1 Q 1 — P 2 Q 2 + (p 1 q 2 -p 2 q 1 )i.

Чтобы b было действительным, p 2 + q 2 = 0 ⇒ p 2 = -q 2 .

Чтобы с было действительным, p 1 q 2 + p 2 q 1 = 0 ⇒ q 2 p 1 — q 1 3. Отсюда следует, что либо q 2 = 0, либо p 1 = q 1 . Следовательно, либо p и q вещественны, либо комплексно сопряжены друг с другом.

Подробнее:

Формула Виета для обобщенных полиномов высших степеней

[Нажмите здесь, чтобы просмотреть примеры вопросов]

Рассмотрим многочлен степени n, P(x) = a n 6 n x

9 n-1 x n-1 + .{} r_{i_1} r_{i_2}… r_{i_k}\)= (-1) k \(\frac{a_{nk}}{a_k}\) для k = 1, 2, 3 , …, н.

Доказательство: Рассмотрим полином P(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + … +a 1 x+a 9260 степени n с комплексными корнями r 1 , r 2 , …, r n-1 , r n . Выражения в левой части формулы Виета представляют собой элементарные симметрические функции r 1 , r 2 , …, r n-1 , r n .n}\)

Что нужно помнить

  • Формулы Виета были открыты Франсуа Виетом, французским математиком, чья работа над новой алгеброй стала важным шагом на пути к современной алгебре.
  • Простейшими приложениями формул Виета являются квадратика и алгебра.
  • Формулы Виета — это формулы, связывающие коэффициенты многочлена с суммами и произведениями его корней.
  • Рассмотрим квадратное уравнение f(x) = ax2+ bx + c с корнями r 1 и r 2  при f(x) = 0. Тогда r 1 + r 2 = \(\frac{-b}{a}\) и r 1  r 2 = \(\frac{c}{a}\ ) .
  • Рассмотрим многочлен степени n, P(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + … +a 1 x+a 0 , с комплексными коэффициентами и комплексными корнями r 1 , r 2 , …, r n-1 , r n . (n-k)-й коэффициент a n-k связан с суммой со знаком всех возможных подпроизведений корней, взятых k за один раз, следующим образом: 

\(\displaystyle\sum_{i_1

Вопрос. Определите полином P(x) , если сумма и произведение его коэффициентов равны 9 соответственно и P(6) = 4. (3 балла)

Ответ. Используя формулу Виета, мы можем записать многочлен следующим образом.

P(x): k(x 2 -9x+20)

Поскольку P(6) = 2, P(6) = 4 k(6 2 — 9(6) + 20) = 4 k(36 — 54 + 20) = 4 2k = 4 k = 2

Следовательно, многочлен равен P(x): 2x 2 — 18x + 40.{} \)\(\frac{1}{\beta\gamma}\) через коэффициенты, если α, β и являются корнями уравнения x 3 +p x 2 +qx+r=0. (3 балла)

Отв. Учитывая, что α, β и γ являются корнями уравнения,

Ques. Найти уравнение, которое имеет те же корни как кубическое уравнение x 3 + A x 2 + bx + c = 0 (5 мкм)

ANS.{} 3\) = αβγ = —с. …. (3)

Ищем уравнение, корни которого равны α 2 , β 2 и γ 2 .

Использование (1), (2), а (3),

, следовательно, требуемое уравнение

x 3 — ( α 2 + β 2 + γ 2 2 ) x 2 + ( α 2 β 2 + β 2 γ 2 + γ 2 α = 0

, что это, х 3 — ( A 2 — 2 b ) x 2 + ( b 2 — 2 ca ) x c 2 = 0.

Вопрос. Определите значение \(\frac{1}{x_1}\)+ \(\frac{1}{x_2}\)  if x 1 и x 2 являются корнями уравнения x 2 +9x+33 .(3 балла)

Отв. Используя формулы Виета, x 1 + x 2 = -9 и x 1 x 2 = 33. 

Следовательно, \(\frac{1}{x_1}\)+ \(\ frac{1}{x_2}\)   =\(\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}\) = \(\frac{-9}{33}\)

Вопросы. Сформулируйте и докажите формулу Виета для квадратных уравнений. (4 балла)

Отв. Для квадратного уравнения f(x) = ax 2 + bx + c с корнями r 1 и r 2 при f(x) = 0, r 1 + r 2 = \(\ frac{-b}{a}\)и r 1 r 2 = \(\frac{c}{a}\).

Доказательство

Пусть p и q — действительные корни квадратного уравнения с общим уравнением x 2 + bx + c = 0. Квадратное уравнение с основным уравнением используется потому, что его легко разделить на его старший коэффициент. чтобы получить его моник-версию.

Поскольку p и q являются корнями уравнения, Так как два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты b= -(p+q) и c=pq.

Вопрос. Как можно распространить формулу Виета для квадратных уравнений на комплексные числа? (4 балла)

Отв. Формулу Виета можно обобщить, включив в нее комплексные числа. т. е. по двум комплексным числам p и q можно построить моноквадратичное число x 2 -(p+q)x+pq=0 с корнями p и q.

Чтобы узнать, когда коэффициенты этого моноквадрата будут действительными, установите p = p 1 + p 2 i и q = q 1 + q 2 i.

Тогда, коэффициенты

B = P 1 + Q 1 — (P 2 + Q 2 ) I и C = P 1 Q 1 — P 2 Q 2 +(p 1 q 2 -p 2 q 1 )i.

Чтобы b было действительным, p 2 + q 2 = 0 ⇒ p 2 = -q 2 .

Чтобы c было действительным, p 1 q 2+ p 2 q 1 = 0 ⇒ q 2 p 1 — q 1 3.Отсюда следует, что либо q 2 = 0, либо p 1 = q 1 . Следовательно, либо p и q вещественны, либо комплексно сопряжены друг с другом.

Вопрос. Найдите сумму корней и произведение корней многочлена P(x) = 3 x 3 +2 x 2 , 2 балла)

Отв. Используя формулу Виета, r 1 + r 2 + r 3 = \(\frac{-a_2}{a_1}\)= \(\frac{-2}{3}\) и r 1 r 2 = \(\frac{a_o}{a_3}\)= \(\frac{5}{3}\)

Вопросы.Докажите формулу Виета для обобщенных полиномов высших степеней.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск