При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней: Умножение степеней с одинаковыми основаниями — урок. Алгебра, 7 класс.

Содержание

Конспект урока на тему «Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями»

На этом уроке мы изучим умножение степеней с одинаковыми показателями. Сначала вспомним основные определения и теоремы об умножении и делении степеней с одинаковыми основаниями и возведении степень в степень. Затем сформулируем и докажем теоремы об умножении и делении степеней с одинаковыми показателями. А затем с их помощью решим ряд типичных задач.

 

 Напоминание основных определений и теорем

Напоминание:

Основные определения:

Здесь a — основание степени,

 — показатель степени,

— n-ая степень числа.

Теорема 1. Для любого числа а и любых натуральных исправедливо равенство:

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остается неизменным.

Теорема 2. Для любого числа а и любых натуральных и k, таких, что k справедливо равенство:

При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели отнимаются, а основание остается неизменным.

Теорема 3. Для любого числа а и любых натуральных иk справедливо равенство:

Все перечисленные теоремы были о степенях с одинаковыми основаниями, на этом уроке будут рассмотрены степени с одинаковыми показателями.

 Примеры на умножение степеней с одинаковыми показателями

Рассмотрим следующие примеры:

Распишем выражения по определению степени.

1) 

2) 

Вывод: из примеров можно заметить, что , но это еще нужно доказать. Сформулируем теорему и докажем ее в общем случае, то есть для любых а и и любого натурального n.

 Формулировка и доказательство теоремы 4

Теорема 4

Для любых чисел а и и любого натурального n справедливо равенство:

Доказательство теоремы 4.

По определению степени:

 .

Итак, мы доказали, что .

Чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, достаточно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

 Формулировка и доказательство теоремы 5

Сформулируем теорему для деления степеней с одинаковыми показателями.

Теорема 5

Для любого числа а и b (и любого натурального n справедливо равенство:

Доказательство теоремы 5.

Распишем  и по определению степени:

 Формулировка теорем словами

Итак, мы доказали, что .

Чтобы разделить друг на друга степени с одинаковыми показателями, достаточно разделить одно основание на другое, а показатель степени оставить неизменным.

 Решение типичных задач с помощью теоремы 4

Пример 1: Представить в виде произведения степеней.

Для решения следующих примеров воспользуемся теоремой 4.

а) 

б)

в) 

Для решения следующего примера вспомним формулы:

г) 

д) 

е) 

ж) 

 Обобщение теоремы 4

Обобщение теоремы 4:

 Решение примеров с помощью обобщенной теоремы 4

з) 

и) 

к) 

л) 

 Продолжение решения типичных задач

Пример 2: Запишите в виде степени произведения.

а) 

б) 

в)

г) 

Пример 3: Запишите в виде степени с показателем 2.

а)  

б)  

 Примеры на вычисление

Пример 4: Вычислить самым рациональным способом.

а) 

б) 

Деление степеней с одинаковыми основаниями 7 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Напоминание основных определений и теоремы 1

 

Основные определения:

 

Здесь a — основание степени,

n — показатель степени,

n-ая степень числа.

Теорема 1. Для любого числа а и любых натуральных n и k справедливо равенство:

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остается неизменным.

Теорема 2. Для любого числа а и любых натуральных n и k, таких, что  n k справедливо равенство:

При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели отнимаются, а основание остается неизменным.

 

Разъясняющие задачи

 

 

Разъясняющие задачи

 

1) 

2) 

Вывод: частные случаи подтвердили правильность теоремы №2. Докажем ее в общем случае, то есть для любого а и любых натуральных n и k таких, что  n k.

 

Доказательство теоремы 2 двумя способами

 

 

Доказательство теоремы 2.

 

Первый способ.

Воспользуемся теоремой 1. Применим ее для степеней  и .

 

  . Разделим обе части на .

Второй способ.        

Доказательство основано на определении степени

Сократим k сомножителей.

То есть   для любого а и любых натуральных

n и k таких, что  n k.

 

Решение примеров на вычисление и упрощение с помощью теоремы 2

 

 

Пример 1: Вычислить.

 

Для решения следующих примеров воспользуемся теоремой 2.

а)

б)

Пример 2Упростить.

а)  

б) 

в) 

Пример 3Решить уравнение.

а)  

б)  

 

Решение примеров на вычисление на совместное применение теорем 1 и 2

 

 

Пример 4: Вычислить:

 

Для решения следующих примеров будем пользоваться обеими теоремами.

а)  = 6 или быстрее  = 6

б)  =  = 81 или быстрее  = 81

в)  =  =  или быстрее

 

Решение примеров на упрощение на совместное применение теорем 1 и 2

 

 

Пример 5: Упростить:

 

а) = или быстрее

б)  

в)  или быстрее

 

Список рекомендованной литературы

  1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.
  2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ 
  3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

  1. Школьный помощник (Источник).
  2. Testent.ru (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

Вычислить:

а)       б)

 Упростить:

а)        б)       в)

Решить уравнение:

а)     б)  

Вычислить:

а)       б)       в)

Упростить:

а)       б)       в)

 

Степень с натуральным показателем.

Умножение степеней с одинаковыми а основаниями Степень с натуральным показателем
a a a … a
n
1)3 27
3
2)5 125
3
3)2 16
4
4)3 3
1
Степенью числа а с
натуральным
показателем n, большим
1, называется
произведение n
множителей, каждый из
которых равен а
При умножении степеней с одинаковыми А
основаниями…
1 …основание остается прежним,
показатели перемножаются.
При делении
основаниями…
2 …равно единице
степеней
с
одинаковыми Б
прежним,
а
При возведении степени в степень…
В
3 … основание остается
показатели складываются.
При возведении произведения в степень …
Г
4 …в эту степень возводят числитель и
знаменатель и результаты делят.
При возведении дроби в степень
Д
5 …основание остается
показатели вычитаются.
Любое число в нулевой степени…
Е
6 … в эту степень возводят каждый
множитель и результаты перемножают.

прежним,
а
а
Степень с целым показателем
1
a n
a
a 0
n
a 1
0
Свойства степени с целым показателем
1)a a a
n
m
2)a : a a
n
3) a
m
n
m
n m
n m
a
n m
4) a b a b
n
n
n
a a
5) n
b b
n
n
1
1
а) 10 6
;
1)30 1
10
1000000
1
1
2
б) 9 2 ;
9
2
)
0
0
9
81
1
1
1
в) а 1 ;
7
7
3)0 нет смысла , 0 7
а
0
1
20
г) х 20 ;
х
4)1000000 1
1
3
д) ав
;
3
ав
1
4
е) а в
.
4
а в
6
Степень с рациональным показателем
a
r
Цель урока:
• Сформулировать определение степени с рациональным
показателем в виде корня n-ой степени;
• Пользуясь определением степени представлять степень с
рациональным показателем в виде корня и наоборот;
• Выявлять случаи, когда степень с рациональным
показателем не определена;
• Применять свойства степени для упрощения числовых и
буквенных выражений.
Понятие степени с рациональным
показателем
Степенью числа
где
а>0
с рациональным показателем
,
m – целое число, а n – натуральное (n>1),
называется число
a
m
n
n
1)
2)
3)
am ,
где a 0, n N , m Z
2
3
Примеры
5 3 5 2 3 25
7
5
121,4 12 5 127
4
9
2
2
5
4
9
12
5
4
9
5
12
12
9
4
5
Представьте в виде степени с дробным показателем:
1
m
2
1.
m
n
n
а
4
4
9
9
2.
7 7
a
а а
1
3
3 2 2
3.
2
1
4.
5.
b b b b b
2
х у
3
1, 5
x y x y
3
2
1,5
Представьте степень с дробным показателем в виде
корня:
2
3
2
3
1.
2
2
2.
3
1
3
1
1
2
3
1
3
1
3
3
3.
5а 5 а
4.
х у
5.
1
3
( 8)
2
3
3
х у
2
не имеет смысла
Свойства степени с рациональным
показателем (для n ∈ R, k ∈ R)
1
a 0 1,
2
a1 a
1
3
a
4
a n
5
где a 0
6
1
, где a 0
a
1
n , где a 0
a
10
a
b
где a 0
7
a
8
a n b n ab
9
an a
,
n
b
b
n k
a nk
n
n
a n a k a n k
n
an
n k
a
,
k
a
n
b
,
a
где a 0 , b 0
где b 0
m
n
a a
km
kn
nk
а
mk
где a 0, n, k N , m Z
2
3
4
6
2 2 2
10
15

Умножение и деление степеней задания. Как умножать степени, умножение степеней с разными показателями

Урок на тему: «Правила умножения и деления степеней с одинаковыми и разными показателями.

3=8$.

Если вам нужно возвести какое-то конкретное число в степень, можете воспользоваться . А сейчас мы более подробно остановимся на свойствах степеней .

Экспоненциальные числа открывают большие возможности, они позволяют нам преобразовать умножение в сложение, а складывать гораздо легче, чем умножать.

Например, нам надо умножить 16 на 64. Произведение от умножения этих двух чисел равно 1024. Но 16 – это 4×4, а 64 – это 4х4х4. То есть 16 на 64=4x4x4x4x4, что также равно 1024.

Число 16 можно представить также в виде 2х2х2х2, а 64 как 2х2х2х2х2х2, и если произвести умножение, мы опять получим 1024.

А теперь используем правило . 16=4 2 , или 2 4 , 64=4 3 , или 2 6 , в то же время 1024=6 4 =4 5 , или 2 10 .

Следовательно, нашу задачу можно записать по-другому: 4 2 х4 3 =4 5 или 2 4 х2 6 =2 10 , и каждый раз мы получаем 1024.

Мы можем решить ряд аналогичных примеров и увидим, что умножение чисел со степенями сводится к сложению показателей степени , или экспонент, разумеется, при том условии, что основания сомножителей равны.

Таким образом, мы можем, не производя умножения, сразу сказать, что 2 4 х2 2 х2 14 =2 20 .

Это правило справедливо также и при делении чисел со степенями, но в этом случае экспонента делителя вычитается из экспоненты делимого . Таким образом, 2 5:2 3 =2 2 , что в обычных числах равно 32:8=4, то есть 2 2 . Подведем итоги:

a m х a n =a m+n , a m: a n =a m-n , где m и n — целые числа.

С первого взгляда может показаться, что такое умножение и деление чисел со степенями не очень удобно, ведь сначала надо представить число в экспоненциальной форме. Нетрудно представить в такой форме числа 8 и 16, то есть 2 3 и 2 4 , но как это сделать с числами 7 и 17? Или как поступать в тех случаях, когда число можно представить в экспоненциальной форме, но основания экспоненциальных выражений чисел сильно различаются. Например, 8×9 – это 2 3 х3 2 , и в этом случае мы не можем суммировать экспоненты. Ни 2 5 и ни 3 5 не являются ответом, ответ также не лежит в интервале между этими двумя числами.

Тогда стоит ли вообще возиться с этим методом? Безусловно стоит. Он дает огром­ные преимущества, особенно при сложных и трудоемких вычислениях.

Формулы степеней используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.

Число c является n -ной степенью числа a когда:

Операции со степенями.

1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:

a m ·a n = a m + n .

2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:

(a/b) n = a n /b n .

5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:

(a m) n = a m n .

Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.

Например . (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4 .

Операции с корнями.

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:

3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:

4. Если увеличить степень корня в n раз и в тоже время возвести в n -ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:

5. Если уменьшить степень корня в n раз и в тоже время извлечь корень n -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:

Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:

Формулу a m :a n =a m — n можно использовать не только при m > n , но и при m n .

Например . a 4:a 7 = a 4 — 7 = a -3 .

Чтобы формула a m :a n =a m — n стала справедливой при m=n , нужно присутствие нулевой степени.

Степень с нулевым показателем. Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице.

Например . 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Степень с дробным показателем. Чтобы возвести действительное число а в степень m/n , необходимо извлечь корень n -ой степени из m -ой степени этого числа а .

Как умножать степени? Какие степени можно перемножить, а какие — нет? Как число умножить на степень?

В алгебре найти произведение степеней можно в двух случаях:

1) если степени имеют одинаковые основания;

2) если степени имеют одинаковые показатели.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями надо основание оставить прежним, а показатели — сложить:

При умножении степеней с одинаковыми показателями общий показатель можно вынести за скобки:

Рассмотрим, как умножать степени, на конкретных примерах.

Единицу в показателе степени не пишут, но при умножении степеней — учитывают:

При умножении количество степеней может быть любое. Следует помнить, что перед буквой знак умножения можно не писать:

В выражениях возведение в степень выполняется в первую очередь.

Если нужно число умножить на степень, сначала следует выполнить возведение в степень, а уже потом — умножение:

www.algebraclass.ru

Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней

Сложение и вычитание степеней

Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками .

Так, сумма a 3 и b 2 есть a 3 + b 2 .
Сумма a 3 — b n и h 5 -d 4 есть a 3 — b n + h 5 — d 4 .

Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.

Так, сумма 2a 2 и 3a 2 равна 5a 2 .

Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

Но степени различных переменных и различные степени одинаковых переменных , должны слагаться их сложением с их знаками.

Так, сумма a 2 и a 3 есть сумма a 2 + a 3 .

Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

Сумма a 3 b n и 3a 5 b 6 есть a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

Или:
2a 4 — (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a — h) 6 — 2(a — h) 6 = 3(a — h) 6

Умножение степеней

Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

Так, результат умножения a 3 на b 2 равен a 3 b 2 или aaabb.

Или:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
Выражение примет вид: a 5 b 5 y 3 .

Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат — это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.

Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Здесь 5 — это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

Так, a n .a m = a m+n .

Для a n , a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

И a m , берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Или:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h — y) n ⋅ (b + h — y) = (b + h — y) n+1

Умножьте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x — y).
Ответ: x 4 — y 4 .
Умножьте (x 3 + x — 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых — отрицательные .

1. Так, a -2 .a -3 = a -5 . Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Если a + b умножаются на a — b, результат будет равен a 2 — b 2: то есть

Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.

Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат , результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.

Так, (a — y).(a + y) = a 2 — y 2 .
(a 2 — y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 — y 4 .
(a 4 — y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 — y 8 .

Деление степеней

Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.

Таким образом a 3 b 2 делённое на b 2 , равно a 3 .

Запись a 5 , делённого на a 3 , выглядит как $\frac $. 3$

Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.

Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями

1. Уменьшите показатели степеней в $\frac $ Ответ: $\frac $.

2. Уменьшите показатели степеней в $\frac $. Ответ: $\frac $ или 2x.

3. Уменьшите показатели степеней a 2 /a 3 и a -3 /a -4 и приведите к общему знаменателю.
a 2 .a -4 есть a -2 первый числитель.
a 3 .a -3 есть a 0 = 1, второй числитель.
a 3 .a -4 есть a -1 , общий числитель.
После упрощения: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

4. Уменьшите показатели степеней 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и приведите к общему знаменателю.
Ответ: 2a 3 /5a 7 и 5a 5 /5a 7 или 2a 3 /5a 2 и 5/5a 2 .

5. Умножьте (a 3 + b)/b 4 на (a — b)/3.

6. Умножьте (a 5 + 1)/x 2 на (b 2 — 1)/(x + a).

7. Умножьте b 4 /a -2 на h -3 /x и a n /y -3 .

8. Разделите a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Ответ: a/y.

Свойства степени

Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

Свойство № 1


Произведение степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

a m · a n = a m + n , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

  • Упростить выражение.
    b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
  • Представить в виде степени.
    6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17
  • Представить в виде степени.
    (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
  • Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями . Оно не относится к их сложению.

    Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2) на 3 5 . Это понятно, если
    посчитать (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 , а 3 5 = 243

    Свойство № 2


    Частное степеней

    При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

  • Записать частное в виде степени
    (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
  • Вычислить.

    11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
    Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
    3 8: t = 3 4

    Ответ: t = 3 4 = 81

    Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

      Пример. Упростить выражение.
      4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

    Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.

    2 11 − 5 = 2 6 = 64

    Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

    Нельзя заменять разность (4 3 −4 2) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4

    Свойство № 3


    Возведение степени в степень

    При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

    (a n) m = a n · m , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.


    Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.

    (a n · b n)= (a · b) n

    То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

  • Пример. Вычислить.
    2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 = 10 4 = 10 000
  • Пример. Вычислить.
    0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 = 1
  • В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.

    Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216

    Пример возведения в степень десятичной дроби.

    4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4

    Свойства 5


    Степень частного (дроби)

    Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

    (a: b) n = a n: b n , где « a », « b » — любые рациональные числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.

  • Пример. Представить выражение в виде частного степеней.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12
  • Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

    Степени и корни

    Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным ,

    нулевым и дробным показателем. О выражениях, не имеющих смысла.

    Операции со степенями.

    1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

    a m · a n = a m + n .

    2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются .

    3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.

    4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

    (a / b ) n = a n / b n .

    5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

    Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.

    П р и м е р. (2 · 3 · 5 / 15) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

    Операции с корнями. Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).

    1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

    2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

    3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:

    4. Если увеличить степень корня в m раз и одновременно возвести в m -ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:

    5. Если уменьшить степень корня в m раз и одновременно извлечь корень m -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:


    Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным , нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.

    Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:

    Т еперь формула a m : a n = a m — n может быть использована не только при m , большем, чем n , но и при m , меньшем, чем n .

    П р и м е р. a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

    Если мы хотим, чтобы формула a m : a n = a m n была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.

    Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

    П р и м е р ы. 2 0 = 1, ( 5) 0 = 1, ( 3 / 5) 0 = 1.

    Степень с дробным показателем. Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n –ой степени из m -ой степени этого числа а:

    О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений.

    где a ≠ 0 , не существует.

    В самом деле, если предположить, что x – некоторое число, то в соответствии с определением операции деления имеем: a = 0· x , т.e. a = 0, что противоречит условию: a ≠ 0

    любое число.

    В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x , то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x . Но это равенство имеет место при любом числе x , что и требовалось доказать.

    0 0 — любое число.

    Р е ш е н и е. Рассмотрим три основных случая:

    1) x = 0 это значение не удовлетворяет данному уравнению

    2) при x > 0 получаем: x / x = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,

    что x – любое число; но принимая во внимание, что в

    нашем случае x > 0 , ответом является x > 0 ;

    Правила умножения степеней с разным основанием

    СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,

    СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ IV

    § 69. Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями

    Теорема 1. Чтобы перемножить степени с одинаковыми основаниями, достаточно показатели степеней сложить, а основание оставить прежним , то есть

    Доказательство. По определению степени

    2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

    Мы рассмотрели произведение двух степеней. На самом же деле доказанное свойство верно для любого числа степеней с одинаковыми основаниями.

    Теорема 2. Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, когда показатель делимого больше показателя делителя, достаточно из показателя делимого вычесть показатель делителя, а основание оставить прежним, то есть при т > п

    (a =/= 0)

    Доказательство. Напомним, что частным от деления одного числа на другое называется число, которое при умножении на делитель дает делимое. Поэтому доказать формулу , где a =/= 0, это все равно, что доказать формулу

    Если т > п , то число т — п будет натуральным; следовательно, по теореме 1

    Теорема 2 доказана.

    Следует обратить внимание на то, что формула

    доказана нами лишь в предположении, что т > п . Поэтому из доказанного пока нельзя делать, например, таких выводов:

    К тому же степени с отрицательными показателями нами еще не рассматривались и мы пока что не знаем, какой смысл можно придать выражению 3 2 .

    Теорема 3. Чтобы возвести степень в степень, достаточно перемножить показатели, оставив основание степени прежним , то есть

    Доказательство. Используя определение степени и теорему 1 этого параграфа, получаем:

    что и требовалось доказать.

    Например, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

    518 (Устно.) Определить х из уравнений:

    1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

    2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

    519. (У с т н о. ) Упростить:

    520. (У с т н о.) Упростить:

    521. Данные выражения представить в виде степеней с одинаковыми основаниями:

    1) 32 и 64; 3) 8 5 и 16 3 ; 5) 4 100 и 32 50 ;

    2) -1000 и 100; 4) -27 и -243; 6) 81 75 8 200 и 3 600 4 150 .

    Каждая арифметическая операция порою становится слишком громоздкой для записи и её стараются упростить. Когда-то так было и с операцией сложения. Людям было необходимо проводить многократное однотипное сложение, например, посчитать стоимость ста персидских ковров, стоимость которого составляет 3 золотые монеты за каждый. 3+3+3+…+3 = 300. Из-за громоздкости было придумано сократить запись до 3 * 100 = 300. Фактически, запись «три умножить на сто» означает, что нужно взять сто троек и сложить между собой. Умножение прижилось, обрело общую популярность. Но мир не стоит на месте, и в средних веках возникла необходимость проводить многократное однотипное умножение. Вспоминается старая индийская загадка о мудреце, попросившем в награду за выполненную работу пшеничные зёрна в следующем количестве: за первую клетку шахматной доски он просил одно зерно, за вторую – два, третью – четыре, пятую – восемь и так далее. 3. В остальном, когда различные основания и показатели, произвести полное умножение нельзя. Иногда можно частично упростить или прибегнуть к помощи вычислительной техники.


    Рекомендуем также

    Урок 13. Свойства степени с натуральным показателем

    17.1

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    При произведении степеней с одинаковым основанием основание переписываем, а показатели складываем.

    17.2

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    При произведении степеней с одинаковым основанием основание переписываем, а показатели складываем.

    17.3

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    При произведении степеней с одинаковым основанием основание переписываем, а показатели складываем.

    17.4

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    При произведении степеней с одинаковым основанием основание переписываем, а показатели складываем.

    17.5

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    При произведении степеней с одинаковым основанием основание переписываем, а показатели складываем. 

    17.6

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    При произведении степеней с одинаковым основанием основание переписываем, а показатели складываем.

    17.7

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    При произведении степеней с одинаковым основанием показатели складывают, а основание переписывают один раз.  Зная результат, можно найти степень второго множителя, вычитанием из 25 показателя степени первого множителя.

    17.8

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    При произведении степеней с одинаковым основанием основание переписываем, а показатели складываем. Подбирайте степени так, чтобы сумма всех показателей степени слева была равна показателю степени справа от равно.

    17.9

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    При произведении степеней с одинаковым основанием основание переписываем, а показатели складываем. Подбирайте степени так, чтобы сумма всех показателей степени слева была равна показателю степени справа от равно. 

    17.10

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    При произведении степеней  одинаковым основанием, основание переписываем, показатели складываем.

    17.11

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    Используйте таблицу степеней. Примените свойство: при произведении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, показатели складываем.

    17.12

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    Используйте таблицу степеней. Примените свойство: при произведении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, показатели складываем.

    17.13

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    Чётная степень всегда положительна, нечётная степень сохраняет знак основания степени.

    17.14

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

    17.15

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    При делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, показатели вычитаем. 

    17.16

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    При делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, показатели вычитаем.

    17.17

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    При делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, показатели вычитаем.

    17.18

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    При делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, показатели вычитаем.

    17.19

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    При делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, показатели вычитаем.

    17.20

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    При делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, показатели вычитаем.

    17.21

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    При делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, показатели вычитаем.

    17.22

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    При делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, показатели вычитаем.  При произведении - показатели складываем.
    Подбирайте показатели таким образом, чтобы в результате сложения или вычитания показателей слева получился показатель справа от равно.

    17.23

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    Сначала в левой части уравнения применим свойство деления степеней. Затем приравниваем показатели, т.к. основания одинаковые, и решаем линейное уравнение.

    17.24

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    Делимое : Делитель = Частное
    
    1) чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель;
    2) чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

    17.25

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    Используем свойства степени:
    1) при произведении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, а показатели складываем;
    2) при делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, а показатели вычитаем.
    Эти свойства можно применить одновременно ко всему выражению. 

    17.26

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    Используем свойства степени:
    
    1) при произведении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, а показатели складываем;
    
    2) при делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, а показатели вычитаем.
    
    Эти свойства можно применить одновременно ко всему выражению.

    17.27

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    Используем свойства степени:
    
    1) при произведении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, а показатели складываем;
    
    2) при делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, а показатели вычитаем.
    
    Эти свойства можно применить одновременно ко всему выражению.

    17.28

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    При возведении степени в степень показатели перемножаются.

    17.29

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    При возведении степени в степень показатели перемножаются. 

    17.30

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    При возведении степени в степень показатели перемножаются.

    17.31

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    При возведении степени в степень показатели перемножаются.

    17.32

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    Применяем все известные свойства степени.

    17.33

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    Сначала приведем все к одному основанию степени, затем применим все известные свойства степеней.

    17.34

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    При возведении степени в степень показатели перемножаются.

    17.35

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    Применяем свойства:
    1) При возведении степени в степень показатели перемножаются.
    2) При произведении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, а показатели складываем.

    17.36

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    Применяем свойства произведения и деления степеней с одинаковым основанием. 

    17.37

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    Используем свойство возведения степени в степень.

    17.38

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    Используем свойства:
    
    1) При возведении степени в степень показатели перемножаются.
    
    2) При произведении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, а показатели складываем.

    17.39

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    Применяем свойства:
    
    1) При возведении степени в степень показатели перемножаются.
    
    2) При делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, а показатели вычитаем.

    17.40

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    Примените все известные вам свойства степеней.

    17.41

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    При возведении степени в степень показатели перемножаются.

    17.42

    Условие:

    Решение:

    Советы:

    Сначала в левой части уравнения упростите выражение с помощью свойств степеней.  Затем уравнение можно решить подбором корней.

    Можно ли умножить числа с разными степенями. Урок «умножение и деление степеней»

    Формулы степеней используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.

    Число c является n -ной степенью числа a когда:

    Операции со степенями.

    1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:

    a m ·a n = a m + n .

    2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

    3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:

    (abc…) n = a n · b n · c n …

    4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:

    (a/b) n = a n /b n .

    5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:

    (a m) n = a m n .

    Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.

    Например . (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4 .

    Операции с корнями.

    1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:

    2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:

    3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:

    4. Если увеличить степень корня в n раз и в тоже время возвести в n -ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:

    5. Если уменьшить степень корня в n раз и в тоже время извлечь корень n -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:

    Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:

    Формулу a m :a n =a m — n можно использовать не только при m > n , но и при m n .

    Например . a 4:a 7 = a 4 — 7 = a -3 .

    Чтобы формула a m :a n =a m — n стала справедливой при m=n , нужно присутствие нулевой степени.

    Степень с нулевым показателем. Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице.

    Например . 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

    Степень с дробным показателем. Чтобы возвести действительное число а в степень m/n , необходимо извлечь корень n -ой степени из m -ой степени этого числа а .

    В прошлом видеоуроке мы узнали, что степенью некоего основания называется такое выражение, которое представляет собой произведение основания на самого себя, взятого в количестве, равном показателю степени. Изучим теперь некоторые важнейшие свойства и операции степеней.

    Например, умножим две разные степени с одинаковым основанием:

    Представим это произведение в полном виде:

    (2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

    Вычислив значение этого выражения, мы получим число 32. С другой стороны, как видно из этого же примера, 32 можно представить в виде произведения одного и того же основания (двойки), взятого в количестве 5 раз. И действительно, если пересчитать, то:

    Таким образом, можно с уверенностью прийти к выводу, что:

    (2) 3 * (2) 2 = (2) 5

    Подобное правило успешно работает для любых показателей и любых оснований. Это свойство умножения степени вытекает из правила сохранности значения выражений при преобразованиях в произведении. При любом основании а произведение двух выражений (а)х и (а)у равно а(х + у). Иначе говоря, при произведении любых выражений с одинаковым основанием, итоговый одночлен имеет суммарную степень, образующуюся сложением степени первого и второго выражений.

    Представляемое правило прекрасно работает и при умножении нескольких выражений. Главное условие — что бы основания у всех были одинаковыми. Например:

    (2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

    Нельзя складывать степени, да и вообще проводить какие-либо степенные совместные действия с двумя элементами выражения, если основания у них являются разными.
    Как показывает наше видео, в силу схожести процессов умножения и деления правила сложения степеней при произведении прекрасно передаются и на процедуру деления. Рассмотрим такой пример:

    Произведем почленное преобразование выражения в полный вид и сократим одинаковые элементы в делимом и делителе:

    (2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

    Конечный результат этого примера не так интересен, ведь уже в ходе его решения ясно, что значение выражения равно квадрату двойки. И именно двойка получается при вычитании степени второго выражения из степени первого.

    Чтобы определить степень частного необходимо из степени делимого вычесть степень делителя. Правило работает при одинаковом основании для всех его значений и для всех натуральных степеней. В виде абстракции имеем:

    (а) х / (а) у = (а) х — у

    Из правила деления одинаковых оснований со степенями вытекает определение для нулевой степени. Очевидно, что следующее выражение имеет вид:

    (а) х / (а) х = (а) (х — х) = (а) 0

    С другой стороны, если мы произведем деление более наглядным способом, то получим:

    (а) 2 / (а) 2 = (а) (а) / (а) (а) = 1

    При сокращении всех видимых элементов дроби всегда получается выражение 1/1, то есть, единица. Поэтому принято считать, что любое основание, возведенное в нулевую степень, равно единице:

    Вне зависимости от значения а.

    Однако будет абсурдно, если 0 (при любых перемножениях дающий все равно 0) будет каким-то образом равен единице, поэтому выражение вида (0) 0 (ноль в нулевой степени) просто не имеет смысла, а к формуле (а) 0 = 1 добавляют условие: «если а не равно 0».

    Решим упражнение. Найдем значение выражения:

    (34) 7 * (34) 4 / (34) 11

    Так как основание везде одинаково и равно 34, то итоговое значение будет иметь такое же основание со степенью (согласно вышеуказанных правил):

    Иначе говоря:

    (34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

    Ответ: выражение равно единице.

    Как умножать степени? Какие степени можно перемножить, а какие — нет? Как число умножить на степень?

    В алгебре найти произведение степеней можно в двух случаях:

    1) если степени имеют одинаковые основания;

    2) если степени имеют одинаковые показатели.

    При умножении степеней с одинаковыми основаниями надо основание оставить прежним, а показатели — сложить:

    При умножении степеней с одинаковыми показателями общий показатель можно вынести за скобки:

    Рассмотрим, как умножать степени, на конкретных примерах.

    Единицу в показателе степени не пишут, но при умножении степеней — учитывают:

    При умножении количество степеней может быть любое. Следует помнить, что перед буквой знак умножения можно не писать:

    В выражениях возведение в степень выполняется в первую очередь.

    Если нужно число умножить на степень, сначала следует выполнить возведение в степень, а уже потом — умножение:

    www.algebraclass.ru

    Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней

    Сложение и вычитание степеней

    Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками .

    Так, сумма a 3 и b 2 есть a 3 + b 2 .
    Сумма a 3 — b n и h 5 -d 4 есть a 3 — b n + h 5 — d 4 .

    Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.

    Так, сумма 2a 2 и 3a 2 равна 5a 2 .

    Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

    Но степени различных переменных и различные степени одинаковых переменных , должны слагаться их сложением с их знаками.

    Так, сумма a 2 и a 3 есть сумма a 2 + a 3 .

    Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

    Сумма a 3 b n и 3a 5 b 6 есть a 3 b n + 3a 5 b 6 .

    Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

    Или:
    2a 4 — (-6a 4) = 8a 4
    3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
    5(a — h) 6 — 2(a — h) 6 = 3(a — h) 6

    Умножение степеней

    Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

    Так, результат умножения a 3 на b 2 равен a 3 b 2 или aaabb.

    Или:
    x -3 ⋅ a m = a m x -3
    3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
    a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

    Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
    Выражение примет вид: a 5 b 5 y 3 .

    Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат — это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.

    Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

    Здесь 5 — это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

    Так, a n .a m = a m+n .

    Для a n , a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

    И a m , берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

    Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

    Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

    Или:
    4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
    b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
    (b + h — y) n ⋅ (b + h — y) = (b + h — y) n+1

    Умножьте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x — y).
    Ответ: x 4 — y 4 .
    Умножьте (x 3 + x — 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

    Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых — отрицательные .

    1. Так, a -2 .a -3 = a -5 . Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

    2. y -n .y -m = y -n-m .

    3. a -n .a m = a m-n .

    Если a + b умножаются на a — b, результат будет равен a 2 — b 2: то есть

    Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.

    Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат , результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.

    Так, (a — y).(a + y) = a 2 — y 2 .
    (a 2 — y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 — y 4 .
    (a 4 — y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 — y 8 .

    Деление степеней

    Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби. 3$

    Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.

    Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями

    1. Уменьшите показатели степеней в $\frac $ Ответ: $\frac $.

    2. Уменьшите показатели степеней в $\frac $. Ответ: $\frac $ или 2x.

    3. Уменьшите показатели степеней a 2 /a 3 и a -3 /a -4 и приведите к общему знаменателю.
    a 2 .a -4 есть a -2 первый числитель.
    a 3 .a -3 есть a 0 = 1, второй числитель.
    a 3 .a -4 есть a -1 , общий числитель.
    После упрощения: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

    4. Уменьшите показатели степеней 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и приведите к общему знаменателю.
    Ответ: 2a 3 /5a 7 и 5a 5 /5a 7 или 2a 3 /5a 2 и 5/5a 2 .

    5. Умножьте (a 3 + b)/b 4 на (a — b)/3.

    6. Умножьте (a 5 + 1)/x 2 на (b 2 — 1)/(x + a).

    7. Умножьте b 4 /a -2 на h -3 /x и a n /y -3 .

    8. Разделите a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Ответ: a/y.

    Свойства степени

    Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

    Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

    Свойство № 1


    Произведение степеней

    При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

    a m · a n = a m + n , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

    Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

  • Упростить выражение.
    b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
  • Представить в виде степени.
    6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17
  • Представить в виде степени.
    (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
  • Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями . Оно не относится к их сложению.

    Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2) на 3 5 . Это понятно, если
    посчитать (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 , а 3 5 = 243

    Свойство № 2


    Частное степеней

    При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

  • Записать частное в виде степени
    (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
  • Вычислить.

    11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
    Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
    3 8: t = 3 4

    Ответ: t = 3 4 = 81

    Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

      Пример. Упростить выражение.
      4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

    Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.

    2 11 − 5 = 2 6 = 64

    Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

    Нельзя заменять разность (4 3 −4 2) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4

    Свойство № 3


    Возведение степени в степень

    При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

    (a n) m = a n · m , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.


    Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.

    (a n · b n)= (a · b) n

    То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

  • Пример. Вычислить.
    2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 = 10 4 = 10 000
  • Пример. Вычислить.
    0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 = 1
  • В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.

    Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216

    Пример возведения в степень десятичной дроби.

    4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4

    Свойства 5


    Степень частного (дроби)

    Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

    (a: b) n = a n: b n , где « a », « b » — любые рациональные числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.

  • Пример. Представить выражение в виде частного степеней.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12
  • Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

    Степени и корни

    Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным ,

    нулевым и дробным показателем. О выражениях, не имеющих смысла.

    Операции со степенями.

    1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

    a m · a n = a m + n .

    2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются .

    3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.

    4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

    (a / b ) n = a n / b n .

    5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

    Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.

    П р и м е р. (2 · 3 · 5 / 15) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

    Операции с корнями. Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).

    1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

    2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

    3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:

    4. Если увеличить степень корня в m раз и одновременно возвести в m -ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:

    5. Если уменьшить степень корня в m раз и одновременно извлечь корень m -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:


    Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным , нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.

    Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:

    Т еперь формула a m : a n = a m — n может быть использована не только при m , большем, чем n , но и при m , меньшем, чем n .

    П р и м е р. a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

    Если мы хотим, чтобы формула a m : a n = a m n была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.

    Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

    П р и м е р ы. 2 0 = 1, ( 5) 0 = 1, ( 3 / 5) 0 = 1.

    Степень с дробным показателем. Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n –ой степени из m -ой степени этого числа а:

    О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений.

    где a ≠ 0 , не существует.

    В самом деле, если предположить, что x – некоторое число, то в соответствии с определением операции деления имеем: a = 0· x , т.e. a = 0, что противоречит условию: a ≠ 0

    любое число.

    В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x , то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x . Но это равенство имеет место при любом числе x , что и требовалось доказать.

    0 0 — любое число.

    Р е ш е н и е. Рассмотрим три основных случая:

    1) x = 0 это значение не удовлетворяет данному уравнению

    2) при x > 0 получаем: x / x = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,

    что x – любое число; но принимая во внимание, что в

    нашем случае x > 0 , ответом является x > 0 ;

    Правила умножения степеней с разным основанием

    СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,

    СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ IV

    § 69. Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями

    Теорема 1. Чтобы перемножить степени с одинаковыми основаниями, достаточно показатели степеней сложить, а основание оставить прежним , то есть

    Доказательство. По определению степени

    2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

    Мы рассмотрели произведение двух степеней. На самом же деле доказанное свойство верно для любого числа степеней с одинаковыми основаниями.

    Теорема 2. Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, когда показатель делимого больше показателя делителя, достаточно из показателя делимого вычесть показатель делителя, а основание оставить прежним, то есть при т > п

    (a =/= 0)

    Доказательство. Напомним, что частным от деления одного числа на другое называется число, которое при умножении на делитель дает делимое. Поэтому доказать формулу , где a =/= 0, это все равно, что доказать формулу

    Если т > п , то число т — п будет натуральным; следовательно, по теореме 1

    Теорема 2 доказана.

    Следует обратить внимание на то, что формула

    доказана нами лишь в предположении, что т > п . Поэтому из доказанного пока нельзя делать, например, таких выводов:

    К тому же степени с отрицательными показателями нами еще не рассматривались и мы пока что не знаем, какой смысл можно придать выражению 3 2 .

    Теорема 3. Чтобы возвести степень в степень, достаточно перемножить показатели, оставив основание степени прежним , то есть

    Доказательство. Используя определение степени и теорему 1 этого параграфа, получаем:

    что и требовалось доказать.

    Например, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

    518 (Устно.) Определить х из уравнений:

    1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

    2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

    519. (У с т н о. ) Упростить:

    520. (У с т н о.) Упростить:

    521. Данные выражения представить в виде степеней с одинаковыми основаниями:

    1) 32 и 64; 3) 8 5 и 16 3 ; 5) 4 100 и 32 50 ;

    2) -1000 и 100; 4) -27 и -243; 6) 81 75 8 200 и 3 600 4 150 .

    Если вам нужно возвести какое-то конкретное число в степень, можете воспользоваться . А сейчас мы более подробно остановимся на свойствах степеней .

    Экспоненциальные числа открывают большие возможности, они позволяют нам преобразовать умножение в сложение, а складывать гораздо легче, чем умножать.

    Например, нам надо умножить 16 на 64. Произведение от умножения этих двух чисел равно 1024. Но 16 – это 4×4, а 64 – это 4х4х4. То есть 16 на 64=4x4x4x4x4, что также равно 1024.

    Число 16 можно представить также в виде 2х2х2х2, а 64 как 2х2х2х2х2х2, и если произвести умножение, мы опять получим 1024.

    А теперь используем правило . 16=4 2 , или 2 4 , 64=4 3 , или 2 6 , в то же время 1024=6 4 =4 5 , или 2 10 .

    Следовательно, нашу задачу можно записать по-другому: 4 2 х4 3 =4 5 или 2 4 х2 6 =2 10 , и каждый раз мы получаем 1024.

    Мы можем решить ряд аналогичных примеров и увидим, что умножение чисел со степенями сводится к сложению показателей степени , или экспонент, разумеется, при том условии, что основания сомножителей равны.

    Таким образом, мы можем, не производя умножения, сразу сказать, что 2 4 х2 2 х2 14 =2 20 .

    Это правило справедливо также и при делении чисел со степенями, но в этом случае экспонента делителя вычитается из экспоненты делимого . Таким образом, 2 5:2 3 =2 2 , что в обычных числах равно 32:8=4, то есть 2 2 . Подведем итоги:

    a m х a n =a m+n , a m: a n =a m-n , где m и n — целые числа.

    С первого взгляда может показаться, что такое умножение и деление чисел со степенями не очень удобно, ведь сначала надо представить число в экспоненциальной форме. Нетрудно представить в такой форме числа 8 и 16, то есть 2 3 и 2 4 , но как это сделать с числами 7 и 17? Или как поступать в тех случаях, когда число можно представить в экспоненциальной форме, но основания экспоненциальных выражений чисел сильно различаются. Например, 8×9 – это 2 3 х3 2 , и в этом случае мы не можем суммировать экспоненты. Ни 2 5 и ни 3 5 не являются ответом, ответ также не лежит в интервале между этими двумя числами.

    Тогда стоит ли вообще возиться с этим методом? Безусловно стоит. Он дает огром­ные преимущества, особенно при сложных и трудоемких вычислениях.

    Если не обращать внимание на восьмую степень, что мы здесь видим? Вспоминаем программу 7 класса. Итак, вспомнили? Это формула сокращенного умножения, а именно — разность квадратов! Получаем:

    Внимательно смотрим на знаменатель. Он очень похож на один из множителей числителя, но что не так? Не тот порядок слагаемых. Если бы их поменять местами, можно было бы применить правило.

    Но как это сделать? Оказывается, очень легко: здесь нам помогает четная степень знаменателя.

    Магическим образом слагаемые поменялись местами. Это «явление» применимо для любого выражения в четной степени: мы можем беспрепятственно менять знаки в скобках.

    Но важно запомнить: меняются все знаки одновременно !

    Вернемся к примеру:

    И снова формула:

    Целыми мы называем натуральные числа, противоположные им (то есть взятые со знаком « ») и число.

    целое положительное число , а оно ничем не отличается от натурального, то все выглядит в точности как в предыдущем разделе.

    А теперь давайте рассмотрим новые случаи. Начнем с показателя, равного.

    Любое число в нулевой степени равно единице :

    Как всегда, зададимся вопросом: почему это так?

    Рассмотрим какую-нибудь степень с основанием. Возьмем, например, и домножим на:

    Итак, мы умножили число на, и получили то же, что и было — . А на какое число надо умножить, чтобы ничего не изменилось? Правильно, на. Значит.

    Можем проделать то же самое уже с произвольным числом:

    Повторим правило:

    Любое число в нулевой степени равно единице.

    Но из многих правил есть исключения. И здесь оно тоже есть — это число (в качестве основания).

    С одной стороны, в любой степени должен равняться — сколько ноль сам на себя ни умножай, все-равно получишь ноль, это ясно. Но с другой стороны, как и любое число в нулевой степени, должен равняться. Так что из этого правда? Математики решили не связываться и отказались возводить ноль в нулевую степень. То есть теперь нам нельзя не только делить на ноль, но и возводить его в нулевую степень.

    Поехали дальше. Кроме натуральных чисел и числа к целым относятся отрицательные числа. Чтобы понять, что такое отрицательная степень, поступим как в прошлый раз: домножим какое-нибудь нормальное число на такое же в отрицательной степени:

    Отсюда уже несложно выразить искомое:

    Теперь распространим полученное правило на произвольную степень:

    Итак, сформулируем правило:

    Число в отрицательной степени обратно такому же числу в положительной степени. Но при этом основание не может быть нулевым: (т.к. на делить нельзя).

    Подведем итоги:

    I. Выражение не определено в случае. Если, то.

    II. Любое число в нулевой степени равно единице: .

    III. Число, не равное нулю, в отрицательной степени обратно такому же числу в положительной степени: .

    Задачи для самостоятельного решения:

    Ну и, как обычно, примеры для самостоятельного решения:

    Разбор задач для самостоятельного решения:

    Знаю-знаю, числа страшные, но на ЕГЭ надо быть готовым ко всему! Реши эти примеры или разбери их решение, если не смог решить и ты научишься легко справляться с ними на экзамене!

    Продолжим расширять круг чисел, «пригодных» в качестве показателя степени.

    Теперь рассмотрим рациональные числа. Какие числа называются рациональными?

    Ответ: все, которые можно представить в виде дроби, где и — целые числа, причем.

    Чтобы понять, что такое «дробная степень» , рассмотрим дробь:

    Возведем обе части уравнения в степень:

    Теперь вспомним правило про «степень в степени» :

    Какое число надо возвести в степень, чтобы получить?

    Эта формулировка — определение корня -ой степени.

    Напомню: корнем -ой степени числа () называется число, которое при возведении в степень равно.

    То есть, корень -ой степени — это операция, обратная возведению в степень: .

    Получается, что. Очевидно, этот частный случай можно расширить: .

    Теперь добавляем числитель: что такое? Ответ легко получить с помощью правила «степень в степени»:

    Но может ли основание быть любым числом? Ведь корень можно извлекать не из всех чисел.

    Никакое!

    Вспоминаем правило: любое число, возведенное в четную степень — число положительное. То есть, извлекать корни четной степени из отрицательных чисел нельзя!

    А это значит, что нельзя такие числа возводить в дробную степень с четным знаменателем, то есть выражение не имеет смысла.

    А что насчет выражения?

    Но тут возникает проблема.

    Число можно представить в виде дргих, сократимых дробей, например, или.

    И получается, что существует, но не существует, а ведь это просто две разные записи одного и того же числа.

    Или другой пример: раз, то можно записать. Но стоит нам по-другому записать показатель, и снова получим неприятность: (то есть, получили совсем другой результат!).

    Чтобы избежать подобных парадоксов, рассматриваем только положительное основание степени с дробным показателем .

    Итак, если:

    • — натуральное число;
    • — целое число;

    Примеры:

    Степени с рациональным показателем очень полезны для преобразования выражений с корнями, например:

    5 примеров для тренировки

    Разбор 5 примеров для тренировки

    1. Не забываем об обычных свойствах степеней:

    2. . Здесь вспоминаем, что забыли выучить таблицу степеней:

    ведь — это или. Решение находится автоматически: .

    Ну а теперь — самое сложное. Сейчас мы разберем степень с иррациональным показателем .

    Все правила и свойства степеней здесь точно такие же, как и для степени с рациональным показателем, за исключением

    Ведь по определению иррациональные числа — это числа, которые невозможно представить в виде дроби, где и — целые числа (то есть, иррациональные числа — это все действительные числа кроме рациональных).

    При изучении степеней с натуральным, целым и рациональным показателем, мы каждый раз составляли некий «образ», «аналогию», или описание в более привычных терминах.

    Например, степень с натуральным показателем — это число, несколько раз умноженное само на себя;

    число в нулевой степени — это как-бы число, умноженное само на себя раз, то есть его еще не начали умножать, значит, само число еще даже не появилось — поэтому результатом является только некая «заготовка числа», а именно число;

    степень с целым отрицательным показателем — это как будто произошел некий «обратный процесс», то есть число не умножали само на себя, а делили.

    Между прочим, в науке часто используется степень с комплексным показателем, то есть показатель — это даже не действительное число.

    Но в школе мы о таких сложностях не думаем, постичь эти новые понятия тебе представится возможность в институте.

    КУДА МЫ УВЕРЕНЫ ТЫ ПОСТУПИШЬ! (если научишься решать такие примеры:))

    Например:

    Реши самостоятельно:

    Разбор решений:

    1. Начнем с уже обычного для нас правила возведения степени в степень:

    Теперь посмотри на показатель. Ничего он тебе не напоминает? Вспоминаем формулу сокращенного умножения разность квадратов:

    В данном случае,

    Получается, что:

    Ответ: .

    2. Приводим дроби в показателях степеней к одинаковому виду: либо обе десятичные, либо обе обычные. Получим, например:

    Ответ: 16

    3. Ничего особенного, применяем обычные свойства степеней:

    ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ

    Определение степени

    Степенью называется выражение вида: , где:

    • основание степени;
    • — показатель степени.

    Степень с натуральным показателем {n = 1, 2, 3,…}

    Возвести число в натуральную степень n — значит умножить число само на себя раз:

    Степень с целым показателем {0, ±1, ±2,…}

    Если показателем степени является целое положительное число:

    Возведение в нулевую степень :

    Выражение неопределенное, т. к., с одной стороны, в любой степени — это, а с другой — любое число в -ой степени — это.

    Если показателем степени является целое отрицательное число:

    (т.к. на делить нельзя).

    Еще раз о нулях: выражение не определено в случае. Если, то.

    Примеры:

    Степень с рациональным показателем

    • — натуральное число;
    • — целое число;

    Примеры:

    Свойства степеней

    Чтобы проще было решать задачи, попробуем понять: откуда эти свойства взялись? Докажем их.

    Посмотрим: что такое и?

    По определению:

    Итак, в правой части этого выражения получается такое произведение:

    Но по определению это степень числа с показателем, то есть:

    Что и требовалось доказать.

    Пример : Упростите выражение.

    Решение : .

    Пример : Упростите выражение.

    Решение : Важно заметить, что в нашем правиле обязательно должны быть одинаковые основания. Поэтому степени с основанием мы объединяем, а остается отдельным множителем:

    Еще одно важное замечание: это правило — только для произведения степеней !

    Ни в коем случае нелья написать, что.

    Так же, как и с предыдущим свойством, обратимся к определению степени:

    Перегруппируем это произведение так:

    Получается, что выражение умножается само на себя раз, то есть, согласно определению, это и есть -я степень числа:

    По сути это можно назвать «вынесением показателя за скобки». Но никогда нельзя этого делать в сумме: !

    Вспомним формулы сокращенного умножения: сколько раз нам хотелось написать? Но это неверно, ведь.

    Степень с отрицательным основанием.

    До этого момента мы обсуждали только то, каким должен быть показатель степени. Но каким должно быть основание? В степенях с натуральным показателем основание может быть любым числом .

    И правда, мы ведь можем умножать друг на друга любые числа, будь они положительные, отрицательные, или даже. Давайте подумаем, какие знаки (« » или « ») будут иметь степени положительных и отрицательных чисел?

    Например, положительным или отрицательным будет число? А? ?

    С первым все понятно: сколько бы положительных чисел мы друг на друга не умножали, результат будет положительным.

    Но с отрицательными немного интереснее. Мы ведь помним простое правило из 6 класса: «минус на минус дает плюс». То есть, или. Но если мы умножим на (), получится — .

    И так до бесконечности: при каждом следующем умножении знак будет меняться. Можно сформулировать такие простые правила:

    1. четную степень, — число положительное .
    2. Отрицательное число, возведенное в нечетную степень, — число отрицательное .
    3. Положительное число в любой степени — число положительное.
    4. Ноль в любой степени равен нулю.

    Определи самостоятельно, какой знак будут иметь следующие выражения:

    Справился? Вот ответы:

    1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

    В первых четырех примерах, надеюсь, все понятно? Просто смотрим на основание и показатель степени, и применяем соответствующее правило.

    В примере 5) все тоже не так страшно, как кажется: ведь неважно, чему равно основание — степень четная, а значит, результат всегда будет положительным. Ну, за исключением случая, когда основание равно нулю. Основание ведь не равно? Очевидно нет, так как (потому что).

    Пример 6) уже не так прост. Тут нужно узнать, что меньше: или? Если вспомнить, что, становится ясно, что, а значит, основание меньше нуля. То есть, применяем правило 2: результат будет отрицательным.

    И снова используем определение степени:

    Все как обычно — записываем определение степеней и, делим их друг на друга, разбиваем на пары и получаем:

    Прежде чем разобрать последнее правило, решим несколько примеров.

    Вычисли значения выражений:

    Решения :

    Если не обращать внимание на восьмую степень, что мы здесь видим? Вспоминаем программу 7 класса. Итак, вспомнили? Это формула сокращенного умножения, а именно — разность квадратов!

    Получаем:

    Внимательно смотрим на знаменатель. Он очень похож на один из множителей числителя, но что не так? Не тот порядок слагаемых. Если бы их поменять местами, можно было бы применить правило 3. Но как это сделать? Оказывается, очень легко: здесь нам помогает четная степень знаменателя.

    Если домножить его на, ничего не поменяется, верно? Но теперь получается следующее:

    Магическим образом слагаемые поменялись местами. Это «явление» применимо для любого выражения в четной степени: мы можем беспрепятственно менять знаки в скобках. Но важно запомнить: меняются все знаки одновременно! Нельзя заменить на, изменив только один неугодный нам минус!

    Вернемся к примеру:

    И снова формула:

    Итак, теперь последнее правило:

    Как будем доказывать? Конечно, как обычно: раскроем понятие степени и упростим:

    Ну а теперь раскроем скобки. Сколько всего получится букв? раз по множителей — что это напоминает? Это не что иное, как определение операции умножения : всего там оказалось множителей. То есть, это, по определению, степень числа с показателем:

    Пример:

    Степень с иррациональным показателем

    В дополнение к информации о степенях для среднего уровня, разберем степень с иррациональным показателем. Все правила и свойства степеней здесь точно такие же, как и для степени с рациональным показателем, за исключением — ведь по определению иррациональные числа — это числа, которые невозможно представить в виде дроби, где и — целые числа (то есть, иррациональные числа — это все действительные числа, кроме рациональных).

    При изучении степеней с натуральным, целым и рациональным показателем, мы каждый раз составляли некий «образ», «аналогию», или описание в более привычных терминах. Например, степень с натуральным показателем — это число, несколько раз умноженное само на себя; число в нулевой степени — это как-бы число, умноженное само на себя раз, то есть его еще не начали умножать, значит, само число еще даже не появилось — поэтому результатом является только некая «заготовка числа», а именно число; степень с целым отрицательным показателем — это как будто произошел некий «обратный процесс», то есть число не умножали само на себя, а делили.

    Вообразить степень с иррациональным показателем крайне сложно (так же, как сложно представить 4-мерное пространство). Это, скорее, чисто математический объект, который математики создали, чтобы расширить понятие степени на все пространство чисел.

    Между прочим, в науке часто используется степень с комплексным показателем, то есть показатель — это даже не действительное число. Но в школе мы о таких сложностях не думаем, постичь эти новые понятия тебе представится возможность в институте.

    Итак, что мы делаем, если видим иррациональный показатель степени? Всеми силами пытаемся от него избавиться!:)

    Например:

    Реши самостоятельно:

    Ответы:

    1. Вспоминаем формулу разность квадратов. Ответ: .
    2. Приводим дроби к одинаковому виду: либо обе десятичные, либо обе обычные. Получим, например: .
    3. Ничего особенного, применяем обычные свойства степеней:

    КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ РАЗДЕЛА И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

    Степенью называется выражение вида: , где:

    Степень с целым показателем

    степень, показатель которой — натуральное число (т. е. целое и положительное).

    Степень с рациональным показателем

    степень, показатель которой — отрицательные и дробные числа.

    Степень с иррациональным показателем

    степень, показатель которой — бесконечная десятичная дробь или корень.

    Свойства степеней

    Особенности степеней.

    • Отрицательное число, возведенное в четную степень, — число положительное .
    • Отрицательное число, возведенное в нечетную степень, — число отрицательное .
    • Положительное число в любой степени — число положительное.
    • Ноль в любой степени равен.
    • Любое число в нулевой степени равно.

    ТЕПЕРЬ ТЕБЕ СЛОВО…

    Как тебе статья? Напиши внизу в комментариях понравилась или нет.

    Расскажи о своем опыте использования свойств степеней.

    Возможно у тебя есть вопросы. Или предложения.

    Напиши в комментариях.

    И удачи на экзаменах!

    Умножение показателей | Как умножать показатели степени с разным основанием — видео и расшифровка урока

    Умножение показателей степени с одинаковым основанием: добавляете ли вы показатели степени при умножении?

    Что вы делаете при умножении показателей степени? Поскольку показатели степени означают многократное умножение, может возникнуть естественный вопрос о том, что происходит, когда вы умножаете показатели степени. 3 {/eq}.{x + y} {/eq}

    Умножение показателей степени с разными основаниями

    Но что происходит при умножении показателей степени с разными основаниями? Этого нельзя сделать сложением показателей, как в предыдущем разделе, потому что непонятно, что делать с базой. В этом разделе будет показано, как умножать показатели степени с разными основаниями, используя два разных метода упрощения.

    Экспоненциальное умножение: метод упрощения

    Первый метод — это метод упрощения.3 экв.}. Запись этого дает: {eq}3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 4 \times 4 \times 4 {/eq}, и ни одна из 3 не может быть объединена с 4, кроме как путем умножения этого произведения. Это дает ответ 5184.

    Экспоненциальное умножение: метод группировки

    Вторым методом умножения экспоненциальных выражений с разными основаниями является группировка. Метод группировки, по сути, говорит переставить члены так, чтобы умножение можно было выполнить немного проще.2 {/eq}

    Правила умножения степеней: все правила степеней

    Для умножения оснований с степенями следует помнить семь правил. {x — y} { /eq}

    Правило 3: Степень степени

    Если экспоненциальное выражение возводится в другую степень, то перемножьте степени.7 {/eq} означает умножить 7 копий числа 3. В этом случае 7 называется показателем степени. основание экспоненциального выражения — это многократно умножаемое число. В данном случае 3 является основанием.

    Поскольку экспоненты представляют собой многократное умножение, экспоненты имеют особые взаимодействия при перемножении экспоненциальных выражений. Чтобы умножить экспоненциальные выражения с одинаковыми основаниями, просто добавьте показатели степени. Чтобы умножить экспоненциальные выражения с разными основаниями, либо оцените каждое выражение по отдельности, либо объедините некоторые члены путем группировки.(а+б).

    Что происходит, когда вы умножаете показатели?

    Экспонентное «правило произведения» говорит нам, что при умножении двух степеней, имеющих одинаковое основание, вы можете складывать экспоненты. Добавление показателей — это всего лишь короткий путь! Правило мощности. «Правило степени» говорит нам, что для возведения степени в степень просто умножьте показатели степени.

    Чему равно число, умноженное на показатель степени?

    Показатель степени можно определить как количество раз, когда величина умножается сама на себя. Например, если 2 умножить на себя трижды, получится 2 × 2 × 2 = 23.Здесь 2 — основание, а 3 — степень или показатель степени. Перемножение любых двух выражений с показателями степени называется умножением показателей степени.

    Что используется для записи многократного умножения числа?

    Показатель степени означает повторное умножение. Основание равно 4; 4 — это число, которое нужно умножить. Показатель степени равен 2; Это означает использование двух множителей 4 при умножении.

    Как умножить на экспоненту?

    Когда вы умножаете степени, используйте первое правило: складывайте степени вместе при умножении подобных оснований. 52 × 56 =? Основания уравнения остаются прежними, а значения показателей складываются.

    Какое число, умноженное само на себя, равно 25?

    5
    Нахождение квадратного корня похоже на вопрос: «Какое число, умноженное само на себя, даст мне это число?» Квадратный корень из 25 равен 5, потому что 5, умноженное само на себя, равно 25.

    Что такое 2x раз 2x?

    4×2
    2x умножить на 2x равно 4×2 . В таком выражении, как 2x, 2 называется коэффициентом, а x — переменной.16.

    Каковы 7 правил экспоненты?

    Умножение сил с одинаковым основанием. При умножении показателей степени, если основания одинаковы, нам нужно сложить показатели степени.

  • Разделение держав с одинаковым основанием. При делении, если основания одинаковы, нам нужно вычесть степени.
  • Сила Силы.
  • Степени умножения с одинаковыми показателями степени.
  • Отрицательные показатели.
  • Мощность с нулевой экспонентой.
  • Когда вы умножаете показатель степени?

    Показатель степени говорит вам, сколько раз нужно умножить число само на себя. 4 или 5 e4) говорит вам умножить 5 само на себя 4 раза: 5 x 5 x 5 x 5. Число 5 является основанием, а число 4 — показателем степени.

    Три правила показателей — Полный курс алгебры

    Урок 13, Раздел 2

    Назад к разделу 1

    Правило 1. Та же база

    Правило 2. Мощность продукта

    Правило 3. Сила силы

    Правило 1.То же основание

    «Чтобы умножить степени одного и того же основания, сложите показатели степени.»

    Например,   a 2 a 3 = a 5 .

    Почему мы добавляем показатели степени? Из-за того, что означают символы. Раздел 1.

    Пример 1.   Умножить 3 x 2 · 4 x 5 ·  2 x

    Раствор .Проблема означает (Урок 5):  Умножьте числа, затем объедините степени x :

    3 x 2 · 4 x 5 · 2 x = 24 x 8 90

    два факторы факторов x x 2 — раз пять факторов x 5 — раз один фактор x , производить всего 2 + 5 + 1 = 8 множителей x :   x 8 .

    Задача 1.   Умножение. Примените правило Та же база.

    Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
    Чтобы снова закрыть ответ, нажмите «Обновить» («Reload»).
    Сначала решай задачу сам!

      а)   5 x 2 ·  6 x 4  = 30 x 6   б)   7 x 3 ·  8 x 6  = 56 x 9
     
      в)   x ·  5 x 4  = 5 x 5   г)   2 x ·  3 x ·  4 x  = 24 x 3
     
      д)   x 3 · 3 x 2 ·  5 x  = 15 x 6 90   е)   x · · Y 9 9 9 2 · 9 · 6 · 6 · 6 ·
    96 y 2 = 6 x 13 y 2   г)   4 x 9 9 3 9 9 9 9 · 5 95 · 5 · 5 x 96 9 x 2 9 3 = 20 3 4 4 4   ч)   2 x 9 9 9 Y Y Y Y Y Y 5 = 18 4 Y 6     i)   A 2 2 B 3 3 3 3 B 4 = A 5 B 7   к)   A 2 BC BC 3 B 2 AC = AC 3 B 3 C 4     к)   х м у п х р у д = х м + р у n + q   л)   P B Q ab = A A P + 1 B Q + 1 + 1

    Проблема 2. Различают следующее:

    x · x и x + x .

    х ·   х = х ². х + х = 2 х .

    Пример 2.   Сравните следующее:

    a)   x ·   x 5              b)  2 ·  2 5

    Раствор .

    а) x 6

    96 6

    6

    b) 2 · 2 5 = 2 6

    Часть b) имеет ту же форму , что и часть a). Это часть а) с х = 2,

    Один делитель 2 умножает пять делителей 2, что дает шесть делителей 2.

    2 ·  2 = 4 здесь неверно.

    Проблема 3.   Примените правило «Та же база».

       а)   x x 7  = x 8   б)   3 ·  3 7  = 3 8   в)   2 ·  2 4 ·  2 5  = 2 10
     
       г)   10 ·  10 5  = 10 6   д)   3 x ·  3 6 x 6  = 3 7 x 7

    Проблема 4. Примените правило Та же база.

      а)   x n x 2  = x n + 2   б)   x n x  = x n + 1
     
      в)   x n x n  = x 2 n   г)   x n x 1 − n  = x
     
      д)   x · 2 x n − 1  = 2 x n   е)   x n x м  = x n + m 9098
     
    г)   x 2 n x 2 − n  = x 5 n 2

    9 + 8
     

    Правило 2: Степень произведения факторов

    «Возвести каждый множитель в ту же степень. »

    Например,  ( ab ) 3 = a 3 b 3 .

    Почему мы можем это делать? Опять же по тому, что означают символы:

    ( ab ) 3 = ab = · · · · ab = Aaabbb = A 3 B 3 .

    Порядок факторов не имеет значения:

    аб ·   аб ·   аб = аааббб .

    Задача 5.   Применить правила экспонент.

       а)   ( x y ) 4  = x 4 y 4   б)   ( pqr ) 5  = p 5 q 5 r 5   в)   (2 абв ) 3  = 2 3 а 3 б 3 3 9
    D) x 3 y 2 Z 4 ( Xyz ) 5 = x 3 y 2 2 Z 4 · x 5 y 5 Z 5 Руководство 2.
     
      = x 8 y 7 z 9    Та же база.

    Правило 3: Сила силы

    «Чтобы взять степень степени, умножьте степени.»

    Например,  ( a 2 ) 3 = a 2 ·  3 = a 6 .

    Почему мы это делаем? Опять же, из-за того, что означают символы:

    ( A 2 ) 3 ) 3 = 9 2 A 2 A 2 = A 3 · 2 = A 6

    Задача 6.   Применить правила показателей.

       а)   ( x 2 ) 5  = x 10   б)   ( a 4 ) 8  = a 32   в)   (10 7 ) 9  = 10 63

    Пример 3. Примените правила экспоненты: (2 x 3 y 4 ) 5

    Раствор . В скобках указано три множителя:  2,   x 3 и y 4 . По правилу 2 мы должны взять пятую степень каждого из них. Но чтобы взять степень степени, мы умножаем показатели. Следовательно,

    (2 x y y 4 ) 5 = 2 5 x 15 y 20

    Проблема 7.Примените правила показателей.

       а)   (10 a 3 ) 4  = 10 000 a 12   б)   (3 x 6 ) 2  = 9 x 12
     
      в)   (2 а 2 б 3 ) 5  = 32 а 10 8 1 8 9   г)   ( XY 3 Z 5 ) 2 ) 2 = 2 y 6 Z 10
     
      д)   (5 x 2 у 4 ) 3  = 125 x 6 8   е)   (2 A 4 BC 8 ) 6 ) 6 = 64 9 24 B 6 C 48

    Проблема 8. Примените правила показателей.

    a) 2 x 6 6 5 5 9 9 3 4 9 3 Y 6 = 2 5 = 2 x 5 y 4 · 2 5 x 9 y 30 = 2 6 x 20 y 34

    b) abc 9 ( a 2 b 3 c 4 ) 8 = ABC 9 · 9 9 B 24 C 32 = A 17 9 25 C 41

    Проблема 9.Используйте правила экспоненты, чтобы вычислить следующее.

    а)  (2 ·  10) 4  = 2 4 ·  10 4 = 16 · 050 10 000 = 0 160,000

     б)   (4 ·  10 2 ) 3 = 4 3 ·  10 6 = 64 000 000

     c)   (9 ·  10 4 ) 2 = 81 ·  10 8 = 8 100 000 000

    В степенях числа 10 столько нулей, сколько в степени 10.

    Пример 4.   Квадрат x 4 .

    Раствор . ( х 4 ) 2 = х 8 .

    Чтобы возвести в квадрат степень, удвойте показатель степени.

    Задача 10. Возведите в квадрат следующее.

      а)   x 5 = x 10   б)   8 а 3 б 6 = 64 а 6 б 12 8 8
     
      в)   −6 x 7 = 36 x 14   г)   x n  = x 2 n

    Часть c) иллюстрирует:  Квадрат числа никогда не бывает отрицательным.

    (-6)(-6) = +36. Правило знаков.

    Задача 11.   Применить правило экспоненты — если возможно.

       а)   x 2 x 5  = x 7 ,   Правило 1.   б)   ( x 2 ) 5  = x 10 ,   Правило 3.
       в)   x 2 + x 5
      Невозможно. Правила экспоненты применяют только к умножению.

    Итого:   Добавьте показателей степени, когда одно и то же основание встречается дважды:   x 2 x 4 = x

    9 8 9. Умножить степени, когда основание встречается один раз — и в круглых скобках: ( x 2 ) 5  =  x 10 .

    Задача 12.   Применить правила показателей.

       а)    ( x N N ) = = N · N = N 2   б)    ( x n ) 2  = x 2 n

    Проблема 13.Примените правило экспоненты или добавьте похожие термины, если это возможно.

    а) 2 x 2 + 3 x 4 Невозможно. Это не терминов .

    б)   2 x 2 · 3 x 4  = 6 x 6 . Правило 1.

    c) 2 x 3 + 3 x 3 = 5 х 3 .Как термины. Показатель не меняется.

    г)    x 2 + у 2 Невозможно. Это не такие термины.

    e)    x 2 + x 2 = 2 х 2 . Как термины.

    f)    x 2 ·   x 2 = х 4 . Правило 1

    г)    x 2 ·   y 3 Невозможно.Разные базы.

    ч) 2 · 2 6 = 2 7 . Правило 1

    i)   3 5 + 3 5 + 3 5 = 3 · 3 5 (при добавлении подобных слагаемых) = 3 6 .

    Мы продолжим правила экспонент в Уроке 21.

    Следующий урок: умножение. Распределительное правило.

    Назад к разделу 1

    Содержание | Дом


    Copyright © 2021 Лоуренс Спектор

    Вопросы или комментарии?

    Электронная почта: [email protected]


    Умножение показателей степени с разными основаниями и одинаковыми степенями

    В математике в умножении участвуют два или более экспоненциальных члена, которые содержат разные основания и одинаковые степени. 5$

    Обратите внимание на приведенные ниже лучшие примеры, чтобы понять умножение экспоненциальных членов, имеющих разные основания и одинаковые показатели степени.4$

    Используйте одну и ту же основную процедуру для умножения любого количества показателей степени, которые имеют разные основания, но степень степени должна быть одинаковой в терминах.

    Степень правила произведения выводится в общей алгебраической форме на основе умножения показателей степени, имеющих одинаковую мощность, но разные основания.

    Алгебра 1: Общее ядро ​​(15-е издание) Глава 7. Экспоненты и экспоненциальные функции. 7-2 Умножение степеней с одинаковым основанием. Понятно? — Страница 429 6

    Chegg стоит денег, решения GradeSaver бесплатны!

    Оценивание начального уровняГлава 1Глава 2Глава 3Глава 4Глава 5Глава 6Глава 7Глава 8Глава 9Глава 10Глава 11Глава 12Common Core Функции — 7-1 Нулевые и отрицательные показатели — понятно? Показатель степени и экспоненциальные функции — 7-1 Нулевые и отрицательные показатели — понятно? 1. Нулевые и отрицательные показатели — практика и решение задач. Функции — Понятие ByteExponents и экспоненциальные функции — 7-2 Умножение степеней с t Одинаковая база – Понятно?Показатели и экспоненциальные функции – 7-2 Умножение степеней с одинаковым основанием – Понятно?Показатели и экспоненциальные функции – 7-2 Умножение степеней с одинаковым основанием – Понятно?Показатели и экспоненциальные функции – 7- 2 Умножение степеней с одинаковым основанием — Понятно? Показатель степени и экспоненциальные функции — 7-2 Умножение степеней с одинаковым основанием — Проверка урокаПоказатели и показательные функции — 7-2 Умножение степеней с одинаковым основанием — Практика и упражнения по решению задачПоказатели и экспонента Функции — 7-2. Умножение степеней с одинаковым основанием — Практика и решение задач. Упражнения. 3 Дополнительные свойства умножения экспонент — Понятно? Экспоненты и экспоненциальные функции — 7-3 Дополнительные свойства умножения экспонент — Понятно? Экспоненты и экспоненциальные функции Функциональные функции — 7-3 Дополнительные свойства экспонент умножения — Понял? и экспоненциальные функции — 7-3 Дополнительные свойства умножения показателей — Практика и решение задач. — Применение полученных знанийЭкспоненты и экспоненциальные функции — 7-4 Свойства деления экспонент — Понятно? Экспоненты и экспоненциальные функции — 7-4 Свойства деления экспонент — Понятно? Экспоненты и экспоненциальные функции — 7-4 Свойства деления экспонент — Понятно? Экспоненты и экспоненциальные функции — 7-4 Свойства деления экспонент — Le sson CheckExponents and Exponential Functions — 7-4 Свойства деления показателей — Практика и решение задач. УпражненияПоказатели и экспоненциальные функции — 7-4 Свойства деления показателей — Практика и решение задач. Практика и упражнения по решению задачЭкспоненты и экспоненциальные функции — 7-4 Свойства деления экспонент — Практика и решение задач Упражнения Экспоненты и экспоненциальные функции — Викторина в середине главы Понял? Экспоненты и экспоненциальные функции — 7-5 Рациональные экспоненты и радикалы — Понял? Экспоненты и экспоненциальные функции — 7-5 Рациональные экспоненты и радикалы — Проверка урока Экспоненты и экспоненциальные функции — 7-5 Рациональные экспоненты и радикалы — Практика и задача- Решение упражненийПоказатели и экспоненциальные функции — 7-5 Rational Exponen ts и радикалы — Практика и упражнения по решению задачЭкспоненты и экспоненциальные функции — 7-5 Рациональные экспоненты и радикалы — Практика и упражнения по решению задачЭкспоненты и экспоненциальные функции — 7-6 Экспоненциальные функции — понял? Функции — понял? Экспоненты и экспоненциальные функции — 7-6 Экспоненциальные функции — понял? Экспоненты и экспоненциальные функции — 7-6 Экспоненциальные функции — проверка урока Функции — 7-6 Экспоненциальные функции — Практика и решение задач. 7-7 Экспоненциальный рост и затухание — Понятно? Экспоненты и экспоненциальные функции — 7-7 Экспонента Экспоненциальный рост и спад — понял? Экспоненты и экспоненциальные функции — 7-7 Экспоненциальный рост и спад — понял? — Практика и упражнения по решению задачПоказатели и экспоненциальные функции — 7-7 Экспоненциальный рост и затухание — Практика и упражнения по решению задачПоказатели и экспоненциальные функции — 7-7 Экспоненциальный рост и затухание — Практика и упражнения по решению задачПоказатели и экспоненциальные функции — 7-7 Экспоненциальный рост и затухание — применение полученных знанийЭкспоненты и экспоненциальные функции — 7-8 Геометрические последовательности — понятно? Экспоненты и экспоненциальные функции — 7-8 Геометрические последовательности — понятно? CheckExponents and Exponential Functions — 7-8 Geometric Sequences — Практика и упражнения по решению задачExponents and Exponential Functions — 7-8 Geometric Se quences — Практика и упражнения по решению задачПоказатели и экспоненциальные функции — 7-8 Геометрические последовательности — Практика и решение задач УпражненияПоказатели и экспоненциальные функции — Обзор главыПоказатели и экспоненциальные функции — Обзор главыПоказатели и экспоненциальные функции — Обзор главыПоказатели и экспоненциальные функции — Обзор главыПоказатели и экспоненциальные функции Функции — Обзор главы Экспоненты и экспоненциальные функции — Глава TestExponents и экспоненциальные функции — Обзор общих основных кумулятивных стандартов — Словарь BuilderExponents и экспоненциальные функции — Обзор общих основных кумулятивных стандартов — Выбранные экспоненты Response и экспоненциальные функции — Обзор общих основных кумулятивных стандартов — Выбранные экспоненциальные экспоненты и экспоненциальные функции — Обзор общих основных кумулятивных стандартов — выбранный ответ6
    Работа шаг за шагом

    Чтобы быть в экспоненциальном представлении, слева от десятичной точки должно стоять число меньше 10. m+n лишь иногда является числом в экспоненциальном представлении.

    Обновите этот ответ!

    Вы можете помочь нам, пересматривая, улучшая и обновляя этот ответ.

    Обновите этот ответ

    После того, как вы запросите ответ, у вас будет 24 часа , чтобы отправить черновик. Редактор рассмотрит отправку и либо опубликует ее, либо предоставит отзыв.

    Каковы законы показателей? (Видео и практика)

    Привет, и добро пожаловать в это видео о законах показателей степени !

    Работа с полиномиальными , радикальными и рациональными функциями часто требует от нас выполнения алгебраических операций со степенями.x}\)

    Как видите, эти правила необходимы для упрощения выражений в нашей работе с различными алгебраическими функциями.

    Спасибо за просмотр этого обзора законов экспоненты! Удачной учебы!

    Когда сила в Дивизионе одинаковая, а база разная? – СидмартинБио

    Когда в Дивизии сила одинаковая, а база разная?

    Чтобы разделить степени (или степени) с одинаковым основанием, вычтите степени. Деление противоположно умножению, поэтому имеет смысл, что, поскольку вы добавляете показатели степени при умножении чисел с одним и тем же основанием, вы вычитаете степени при делении чисел с одним и тем же основанием.

    Можно ли складывать числа с разными показателями степени?

    Чтобы складывать или вычитать переменные с показателями степени, необходимо иметь одинаковые основания и одинаковые показатели степени, а это означает, что основания и показатели степени одинаковы. Несмотря на то, что показатели степени одинаковы, их нельзя складывать или вычитать, поскольку их основания или показатели степени различны.

    Что делать, если у вас одно основание, но разные показатели степени?

    Умножение показателей степени с разными основаниями Для чисел с одинаковым основанием и отрицательными показателями степени мы просто складываем показатели степени.В общем случае: a -n x a -m = a –(n + m) = 1 / a n + m. Точно так же, если основания разные, а показатели степени одинаковы, мы сначала умножаем основания и используем показатель степени. 2 эквивалентно (b * b * b * b) / (a ​​* a).

  • Оперативный порядок.
  • Можно ли складывать основания с одинаковыми показателями?

    Если термины имеют одинаковое основание и показатель степени, их можно складывать или вычитать. Ответ: Члены с одинаковым основанием и показателем степени можно складывать и вычитать. Их часто называют «подобными терминами».

    Можно ли складывать показатели с одинаковым основанием, но разными степенями?

    Чтобы складывать или вычитать со степенями, переменные и показатели степени переменных должны быть одинаковыми.При сложении или вычитании со степенями объединяющиеся члены всегда имеют одни и те же переменные с одинаковыми степенями. Эти правила справедливы и для умножения и деления показателей степени.

    Как складывать числа с разными показателями степени?

    Сложение чисел с показателями вручную Решите первое экспоненциальное выражение. Показательное выражение имеет основание (большое число) и показатель степени (малое число). Решите второе показательное выражение. Для этого умножьте основание само на себя то количество раз, которое указано в показателе степени.Сложите два значения вместе.

    Как добавить переменные с разными показателями степени?

    Добавление переменных с показателями степени Найдите термины с одинаковым основанием и одним и тем же показателем степени. Сложите члены с одинаковым основанием и показателем степени. Сложите коэффициенты подобных членов. Выпишите последнее предложение с упрощенным дополнением.

    Каковы правила сложения и вычитания показателей степени?

    Первое правило, которое следует помнить при сложении с показателями степени, — это порядок операций: скобки, возведения в степень, умножение, деление, сложение, вычитание.Этот порядок операций ставит показатели на второе место в схеме решения. Поэтому, если вы знаете и основание, и показатель степени, решите их, прежде чем двигаться дальше.

    Каковы 7 правил экспоненты?

    Умножение сил с одинаковым основанием.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.