Примеры дифференциальных уравнений первого порядка с решением: Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Содержание

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение называется линейным, если в нём функция и все её производные содержатся только в первой степени, отсутствуют и их произведения.

Общий вид линейного дифференциального уравнения первого порядка таков:

,

где и — непрерывные функции от x.

Как решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка?

Интегрирование такого уравнения можно свести к интегрированию двух двух дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными. Великие математики доказали, что нужную функцию, то есть решение уравнения, можно представить в виде произведения двух неизвестных функций u(x) и v(x). Пусть y = uv, тогда по правилу дифференцирования произведения функций

и линейное дифференциальное уравнения первого порядка примет вид

или

.   (*)

Выберем функцию v(x) так, чтобы в этом уравнении выражение в скобках обратилось в нуль:

,

то есть в качестве функции v берётся одно из частных решений этого уравнения с разделяющимися переменными, отличное от нуля. Разделяя в уравнении переменные и выполняя затем его почленное интегрирование, найдём функцию v. Так как функция v — решение уравнения, то её подстановка в уравнение даёт

.

Таким образом, для нахождения функции u получили дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Найдём функцию

u как общее решение этого уравнения.

Теперь можем найти решение исходного линейного дифференциального уравнения первого порядка. Оно равно произведению функций u и v, т. е. y = uv. u и v уже нашли.

Пример 1. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

.

Решение. Как было показано в алгоритме, y = uv. Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

  (* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

.

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

.

Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные:

и, интегрируя находим u:

Теперь можно записать общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Как видим, всё решение выполняется точным следованием алгоритму, приведённому в начале статьи. Меняются лишь виды функций в уравнениях. Степени, корни, экспоненты и т.д. Это чтобы алгоритм отпечатался в памяти и был готов к разным случаям, которые только могут быть на контрольной и экзамене. А кому стало скучно, наберитесь терпения: впереди ещё примеры с интегрированием по частям!

Важное замечание. При решении заданий не обойтись без преобразований выражений. Для этого требуется открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

Пример 2. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

.

Решение. Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

  (* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

.

После разделения переменных это уравнение принимает вид

.

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

.

Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные:

и, интегрируя находим u:

Теперь можно записать общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

В следующем примере — обещанная экспонента.

Пример 3. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

.

Решение. Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

  (* *).

Выберем функцию v(x

) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

.

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

.

Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные и, интегрируя, находимu:

Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Любители острых ощущений дождались примера с интегрированием по частям. Таков следующий пример.

Пример 4. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

.

Решение. В этом случае сначала нужно добиться, чтобы производная «игрека» ни на что не умножалась. Для этого поделим уравнение почленно на «икс» и получим

.

Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

  (* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

.

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

.

Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции

u. Разделяем переменные и, интегрируем по частям.

В интеграле , .

Тогда .

Интегрируем и находим u:

Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

И уж совсем странной статья о дифференциальных уравнениях была бы без примера с тригонометрическими функциями.

Пример 5. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

.

Решение. Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

  (* *).

Выберем функцию

v(x) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

.

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

.

Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные и, интегрируя, находим u:

Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

В последних двух примерах требуется найти частное решение уравнения.

Пример 6. Найти частное решение

линейного дифференциальное уравнение первого порядка

при условии .

Решение. Чтобы производная «игрека» ни на что не умножалась, разделим уравнение почленно на и получим

или

.

Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

  (* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

.

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

.

Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u.

Разделяем переменные и, интегрируя, находим u:

Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Найдём частное решение уравнения. Для этого в общее решение подставим и и найдём значение C:

Подставляем значение C и получаем частное решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

.

Пример 7. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

при условии .

Перенесём функцию «игрека» в левую часть и получим

.

Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

  (* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

.

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

.

Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные и, интегрируя, находим u:

.

Первый интеграл равен , второй находим интегрированием по частям.

В нём , .

Тогда , .

Находим второй интеграл:

.

В результате получаем функцию u:

Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Найдём частное решение уравнения. Для этого в общее решение подставим и и найдём значение C:

Подставляем значение C и получаем частное решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

.

Выводы. Алгоритм решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка достаточно однозначен. Трудности чаще всего возникают при интегрировании и это означает, что следует повторить этот обширный раздел математического анализа. Кроме того, что особенно видно из примеров ближе к концу статьи, очень важно владеть приёмами действий со степенями и дробями, а это школьные темы, и если они подзабыты, то их тоже следует повторить. Совсем простых «демо»-примеров ждать на контрольной и на экзамене не стоит.

Всё по теме «Дифференциальные уравнения»

Поделиться с друзьями

Решение дифференциальных уравнений первого порядка

Определение и формулы дифференциальных уравнений первого порядка

Таким образом, дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае содержит независимую переменную x, неизвестную (искомую) функцию и ее первую производную .

Функция называется решением дифференциального уравнения (1), если после подстановки функции в это уравнение оно обращается в тождество:

   

Решение дифференциальных уравнений первого порядка

Решить дифференциальное уравнение означает, что нужно найти такое множество функций , которые удовлетворяют заданному уравнению. Это множество функций имеет вид

   

где C – произвольная постоянная, который называется общим решением дифференциального уравнения (1).

График, соответствующий решению дифференциального уравнения (1), называется интегральной кривой этого уравнения.

Для того чтобы из множества решений выделить единственное, нужно задать начальные условия.

Задача отыскания решения уравнения (1), которое удовлетворяет начальному условию , называется задачей Коши.

Любое решение задачи Коши уравнения (1) называется частным решением этого уравнения.

Если общее решение уравнения (1) записано в неявном виде , то оно называется общим интегралом этого уравнения.

Если дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, то его называют уравнением, записанными в нормальной форме:

   

Далее рассмотрим методы решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка

   

1. Метод Бернулли или метод подстановки

Делаем замену

   

а тогда по правилу дифференцирования произведения получаем, что

   

Подставляя эти выражения в исходное дифференциальное уравнение, будем иметь:

   

Во втором и третьем слагаемом левой части последнего равенства вынесем функцию u за скобки:

   

Функцию и подбираются таким образом, чтобы выражение , стоящее в скобках, обращалось в нуль:

   

Тогда уравнение (3) распадается на два, которые запишем в виде следующей системы:

   

Второе уравнение системы получаем из уравнения (3) с учетом того, что второе слагаемое обнуляется.

Далее находится решение полученной системы. вначале из первого уравнения находится функция (это уравнение решается как уравнение с разделяющимися переменными):

   

Подставляем полученную функцию v во второе уравнение системы:

   

А тогда, находим и искомую функцию

   

2. Метод Лагранжа или метод вариации произвольной постоянной

Этот метод применяется для решения неоднородных дифференциальных уравнений вида (2).

Вначале находится решение соответствующего однородного уравнения

   

которое, как уже было сказано выше, является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Пусть полученное решение

   

Далее варьируем постоянную C. То есть считаем, что она есть функцией переменной x:

   

И тогда общее решение исходного неоднородного уравнения ищем в виде:

   

Неизвестную функцию находим подстановкой последнего выражения в исходное неоднородное уравнение (2).

Дифференциальные уравнения первого порядка с примерами решения

Содержание:

Экономические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям:

Понятие дифференциального уравнения является одним из основных математических понятий. Дифференциальные уравнения возникают в том случае, когда различные состояния изучаемого явления или процесса, в том числе и экономического, удается описать аналитически зависимостью между некоторыми параметрами и их производными или дифференциалами.

Рассмотрим на экономических примерах составление дифференциальных уравнений.

Пример:

Пусть полные издержки К являются функцией объема производства х, т. е. К = К(х), и пусть известно, что предельные издержки для всех значений х равняются средним издержкам. Требуется определить функцию полных издержек (затрат производства).

Решение:

Предположим, что объем производства продукции увеличился^ на

т. е. мы получили уравнение, которос содержит производную неизвестной функции К и саму функцию. Такое уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка. Таким образом, мы рассмотрели задачу о нахождении функции издержек производства по известным предельным издержкам, которая сводится к решению дифференциального уравнения.

Пример:

Пусть эластичность спроса q относительно цены р на некоторый товар описывается функцией , т. с. известен закон изменения спроса на данный товар, если цена изменяется на 1%. Определим по данному закону функциональную зависимость между спросом на данный товар и его ценой.

Решение:

Поскольку изменению цены на , соответствует изменение спроса на , то величины характеризуют относитсльное изменение спроса и цены.

Предел отношения относительного приращения спроса к относительному приращению цены называется эластичностью спроса относительно цены:

Поэтому если эластичность является известной функцией

, то получим уравнение , содержащее неизвестную функцию и ее производную, т. е. дифференциальное уравнение.

Таким образом, мы рассмотрели экономические задачи, приводящие к уравнениям, содержащим вместе с неизвестной функцией ее производную.

Сформулируем теперь определение таких уравнений и рассмотрим методы их решения.

Понятие о дифференциальном уравнении и его решении

Определение 22.2.1. Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется соотношение вида:

где F — известная функция своих аргументов, заданная в некоторой области; х — неизвестная переменная; у — функция переменной х, подлежащая определению; — ее производные.

Заметим, что некоторые из величин или даже все могут и не входить в соотношение (22.2.1), но обязательно входит n-ая производная , так как иначе соотношение (22.2.1) уже не будет дифференциальным уравнением n-го порядка.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной искомой функции, фигурирующей в уравнении.

Решением дифференциального уравнения (22. 2.1) называется такая функция , которая, будучи подставлена в это уравнение, обращает его в тождество:

Вначале мы рассмотрим уравнение

называемое дифференциальным уравнением первого порядка, частным случаем которого является уравнение, разрешенное относительно производной :

где функция f(x, у) задана в некоторой области D плоскости хОу. Тогда будем говорить, что и дифференциальное уравнение (22.2.3) задано в области D. Кривая, соответствующая решению уравнения (22.2.2) или (22.2.3) называется интегральной кривой.

Например, дифференциальным уравнением первого порядка будет уравнение

Изменение производительной силы труда может быть описано дифференциальным уравнением первого порядка:

где — показатель, характеризующий производительность труда в период времени t; абсолютный прирост производительности труда в единицу времени (например, за год) или скорость абсолютного роста в единицу времени; • относительная скорость роста производительности труда в единицу времени; — функция зависящая от времени, характеризующая относительную скорость роста.

Простейшая модель воспроизводства национального дохода описывается уравнением:

где В — капиталоемкость национального дохода (отношение производственного накопления к приросту национального дохода), В — называют акселератором; c(t) — динамика национального дохода, определяется траекторией c(t): национальный доход направляется на расширение производства и на потребление.

Задача теории дифференциальных уравнений состоит в нахождении решения дифференциального уравнения, а процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения. Часто решение находят в неявном виде:

Равенство (22.2.4) и определяет функцию , являющуюся решением уравнения (22.2.3).

Заметим еще, что иногда интегральную кривую получают в параметрическом виде:

где вспомогательный параметр t изменяется в некотором промежутке и выполняется тождество:

Пример:

Пусть дано дифференциальное уравнение

Покажем, что равенство

определяет решение уравнения (22. 2.6).

Решение:

Действительно, дифференцируя (22.2.7) получим

и подставляя в это равенство из (22.2.6), получим тождество 1 х-еу

в силу (26.2.7).

Итак, мы показали, что существует решение дифференциального уравнения первого порядка заданное в неявном виде.

Общее решение дифференциального уравнения первого порядка

Частный случай уравнения

(22.3.1)

изучается в интегральном исчислении, именно там рассматривается уравнение

(22.3.2)

По заданной производной ищется функция, производная которой равна Известно из интегрального исчисления, что решения этого уравнения задаются формулой

(22.3.3) где С — произвольная постоянная. Отсюда видим, что уравнение (22.3.2) имеет бесконечное множество решений, отличающихся на постоянную величину С. Далее мы увидим, что и для уравненияпервого порядка при довольно общих предположениях относительно существует бесконечное множество решений, именно семейство решений содержащее произвольную постоянную С . Решение вида (22.3.4) с произвольной постоянной С называют общим решением уравнения (22.3.1), которое может быть найдено и в неявном виде:

Всякое же решение, полученное из общего при конкретном значении постоянной С, называется частным решением.

Пример №1

Пусть дано дифференциальное уравнение: (22.3.5)

Общим решением этого дифференциального уравнения будет функция:

(22.3.6)

Пологая С = 1, получим частное решение Но является также решением (22.3.5), хотя его нельзя получить из (22.3.6) ни при каком значении С.

Решение, которое нельзя получить из общего при конкретном значении С, называется особым решением.

Часто, особенно в приложениях, требуется найти решение задачи Коши (начальной задачи), т.е. требуется найти решение уравнения (22.3.1) обладающее свойством

(22.3.7)

где наперед заданные числа, которые называются начальными значениями. Таким образом, в задаче Коши требуется найти решение которое проходило бы через наперед заданную точку в которой функция определена. Теперь можно уточнить определение общего решения дифференциального уравнения первого порядка, т.е. справедливо опрсделе-26.3.1.

Определение 22.3.1. Общим решением дифференциально уравнения первого порядка, определенного в области D, называется функция удовлетворяющая условиям:

а) при любом конкретном значении постоянной величины С она определяет частное решение;

б) для любых начальных условий принадлежащих области определения дифференциального уравнения, существует знчение С* такое, что выполняется равенство:

Рассмотрим теперь геометрическую интерпретацию дифферциального уравнения первого порядка. Пусть на плоскости зада прямоугольная система координат Тогда решению или или уравнения (22.3.1), как уже говорили, будет соответствовать интегральная кривая. Предложим, что правая часть уравнения (22.3.1) определена и конечна каждой точке некоторой области D плоскости Проведем через каждую точку (рис 22.1), этой области, отрезок Т, составляющий с осью уголТангенс этого угла равен значению правой части уравнения (22. 3.1) в точке т. е. Отметим, что оба направления указанного отрезка для нас безразличны. Таким образом, можно считать, что уравнение (22.3.1) определяет некоторое поле направлений или поле линейных элементов. Ясно, что дифференциальное уравнение (22.3.1) выражает геометрически тот факт, что направление касательной в каждой точке интегральной кривой совпадает с направлением поля в этой точке.

Из выше сказанного вытекает, что всякое дифференциальное уравнение первого порядка выражает некоторое общее свойство касательных всех его интегральных кривых. И задача состоит в том, чтобы по этому свойству касательных к интегральным кривым восстановить само семейство интегральных кривых.

Пример №2

Пусть дано уравнение

Его решением является семейство функций гдеИнтегральные кривые семейства парабол обладают общим свойством: в каждой точке области определения уравнения угловой коэффициент касательной к интегральной кривой равен удвоенной абсциссе этой точки:

Теоремы существования и единственности

Выше мы говорили о решении уравнения предполагая, что оно существует.

Сформулируем теперь теоремы (без доказательства), которые гарантируют существование и единственность решения.

Теорема Пеано (теорема существования). Для того, чтобы уранение имело хотя бы одно решение достаточно, чтобы его правая часть была непрерывна.

Теорема Пикаро (теорема единственности). Пусть дано уравнение (22.4.1) и поставлено начальное условие при Предположим, что функция определена в некоторой окрестности точки — заданные положительные числа) и удовлетворяет в ней следующим двум условиям:

  1. Функция непрерывна и. следовательно, ограничена т. е. — любая точка
  2. Функция имеет ограниченную частную производную по т. е.

Тогда уравнение (22.4.1) имеет единственное решение удовлетворяющее начальному условию Это решение определено и непрерывно дифференцируемо в интервале В последующих параграфах рассмотрим частные виды дифференциальных уравнений первого порядка, интегрирование которых сводится к вычислению неопределенных интегралов (или их интегрирование приводится к квадратурам).

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Рассмотрим уравнение вида (22.3.1) записанное в дифференциальной форме:

(23.1.1)

в котором коэффициенты при представляют собой произведения функций от на функции от Такое уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными. Относительно функций будем предполагать, что они непрерывны при всех рассматриваемых значениях Разделим это равенство на произведение получим уравнение:

(23.1.2) которое называется уравнением с разделенными переменными, так как коэффициент при зависит только от а коэффициент при

зависит только от Интегрируя уравнение (23.1.2), получаем выражение:

где С = const, называемое общим решением уравнения (23.1.1) в неявном виде (общим интегралом).

Пример №3

Проинтегрировать уравнение

Решение:

Заданное дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, так как при записаны функции, зависящие отсоответственно. Разделим каждый член уравнения на произведение множителей Получим уравнение с разделенными переменными: интегрируя которое, последовательно получаем:

Функция определяет общее решение заданного уравнения. При делении на произведение мы можем потерять решение заданного уравнения. Поэтому проверим, являются ли решения частными решениями. Решение получаем из общего яри Это означает, что оно является частным решением. Решение sinx = 0 получаем из общего решения, которое можно переписать в виде

Следовательно, sinx = О также является частным решением заданного уравнения.

Заметим, что уравнение с разделяющимися переменными является одним из основных типов уравнения первого порядка, разрешенных относительно производной и допускающих интегрирование в квадратурах.

Пример №4

Предположим что, эластичность объема валовой продукции от объема капитальных вложенийвыражается формулой:

Определить зависимость объема валовой продукции у от объема капитальных вложений если при

Решение:

Указанная в примере эластичность описывается, как легко следует из определения эластичности функции, дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными:

так как при dy записано произведение функций, зависящих от Разделив левую и правую части на получим уравнение:

с разделенными переменными, интегрируя которое, последовательно, получим:

Функция определяет общее решение. Определим значение произвольной постоянной С воспользовавшись начальными условиями. Подставим в общее решение Получим равенство:

откуда находим Подставив значение С в общее решение получим функцию которая описывает зависимость объема валовой продукции от объема капитальных вложений

Линейные уравнения

Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной

(23.2.1)

Коэффициент при у’, ибо в противном случае (23.2.1) не является дифференциальным уравнением.

Приведем уравнение (23.2.1) к каноническому виду. Для этого разделим все члены уравнения на Обозначим полученные отношения

Тогда уравнение (23.2.1) примет вид: (23.2.2) Умножая левую и правую часть уравнения (23.2.2) на множитель, получатель, называемый интегрирующим, получаем в левой части производную произведения функций: Интегрируя это равенство, найдем общее решение уравнения (23. 2.2) в виде: где С = const.

Пример №5

Проинтегрировать уравнение

Решение:

Заданное уравнение является линейным уравнением первого порядка. Умножая его на интегрирующий множитель

получим: Применив к левой части уравнения формулу производной произведения, преобразуем уравнение к виду: интегрируя которое находим общее решение:

Заметим, что интегрирование линейного дифференциального уравнения можно производить при помощи замены — неизвестные функции. Действительно, подставляя в уравнение (23.2.1) получим: или и, выбирая функциютакой, чтобы получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, интегрирование которого показано в пункте 23.1.

Пример №6

Предположим, что размер предложения сельскохозяйственного продукта в году есть функция цены в году: а спрос на этот продукт является функцией цены в данном году:

Определить цену равновесия, т. е. когда спрос равен предложению: s = q.

Решение:

По условию примера приравниваем функцию цены к функции предложения:

Приведя подобные, получаем линейное дифференциальное уравнение:

которое проинтегрируем подстановкой Подставляяи производя элементарные преобразования, получим уравнение вида: (23.2.3) Определим функцию такой, чтобы (23.2.4)

Уравнение (23.2.4) — уравнение с разделяющимися переменными. Его частным решением является функция: В качестве решения уравнения с разделяющимися переменными (23.2.4), выбирается функция, аналитическая запись которой самая простая.

Представляя найденное значение функции в (23.2.3), снова получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

Запишем его в дифференциальной форме: Интегрируя левую и правую часть этого уравнения, получим его общее решение:

Тогда общее решение заданного уравнения записывается в виде:

Замечание. Линейные уравнения вида: приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными при помощи замены

Действительно, Тогда исходное уравнение примет вид или а это и есть дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Уравнения Бернулли

Обобщением линейного дифференциального уравнения первого порядка является уравнение Бернулли: (23.3.1)

причем показатель степени можно считать отличным от нуля и единицы, так как в этих случаях уравнение будет линейным. Разделим каждый член уравнения (23.3.1) на

(23.3.2)

Введем новую искомую функцию по формуле:

(23.3.3)

После подстановки в (23.3.2) выражений (23.3.3), уравнение

(23.3.2) примет вид:

или

или

(23.3.4)

где

Уравнение (23.3.4) линейное относительно искомой функции и оно интегрируется аналогично уравнению (23.2.2).

Пример №7

Проинтегрировать уравнение:

Решение:

Данное уравнение является уравнением Бернулли. Показатель степени в правой части равен двум: . Разделим обе части заданного уравнения на

и введем новую искомую функцию по формуле:

При этом уравнение приведется к виду:

Полученное уравнение является линейным относительно новой искомой функции Умножая его на интегрирующий множитель

получаем в левой части производную произведения функций: Интегрируя обе части полученного уравнения, будем иметь:

Для вычисления интеграла в правой части равенства, применим формулу интегрирования по частям:

Подставив значение интеграла, получим:

Выполнив обратную замену находим общее решение заданного уравнения в виде:

Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним

Определение 23. 4.1. Однородной функцией степени называется функция если

Пологая получим

Определение 23.4.2. Дифференциальное уравнение вида

(23.4.1)

называется однородным, еслиоднородные функции степени

В силу однородности функций уравнение (23.4.1) можно записать в виде:

(23.4.2) Выполняя в (23.4.2) подстановку: или

получим

или (23.4.3)

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя в уравнении (23.4.3) переменные и интегрируя, найдем его общее решение:

Возвращаясь к старой переменной, семейство интегральных кривых запишем в виде:(23.4.4)

Из (23.4.4) следует, что все интегральные кривые однородного уравнения могут быть получены из одной интегральной кривой при помощи преобразования подобия с центром подобия в начале координат:

Пример №8

Проинтегрировать дифференциальное уравнение:

Решение:

Заданное уравнение записано в дифференциальной форме, где однородные функции второй степени. Следовательно, заданное уравнение однородное. Разрешим его относительно производной и разделим числитель и знаменатель правой части на

Подставив получим уравнение: Приведя к общему знаменателю в правой части, получим уравнение с разделяющимися переменными: (23.4.5) Разделив в (23.4.5) переменные, преобразуем его к уравнению с разделенными переменными: проинтегрировав которое, найдем общее решение в виде: или, возвращаясь к у, получим:

Это окружности, проходящие через начало координат, центры которых лежат на оси Оу, касающиеся оси Ох в точке (0,0).

К однородному дифференциальному уравнению преобразуется также уравнение (23.4.6)

если Если жето (23.4.6) преобразуется к уравнению с разделяющимися переменными. Покажем это. Для этого введем новые переменные по формулам: где удовлетворяют системе алгебраических уравнений:

Тогда, если то получим однородное уравнение

Если же то и уравнение (23.4.6) примет вид:

которое подстановкой приводится к уравнению с разделяющимися переменными:

К однородному уравнению приводится также уравнение подстановкой

Пример №9

Предположим, что динамическая функция предложения товара описывается зависимостью: где х, — запас товара, — — тенденция формирования цены, р, — цена товара в данный момент времени t. Требуется определить зависимость цены от количества товара, если динамическая функция предложения товара будет равна скорости увеличения запаса товара.

Решение:

Из условия примера следует, что динамическая функция предложения товара равна скорости увеличения запаса товара, т.е.

Подставив выражение для динамической функции предложения товара, получим уравнение:

Это однородное дифференциальное уравнение, которое интегрируем при помощи подстановки Выполнив подстановку, получим уравнение с разделяющимися переменными:

Разделив переменные

и вычислив интегралы от обеих частей уравнения с разделенными переменными, найдем общее решение в виде:

Получим функцию цены р в зависимости от запаса товара

Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах

Дифференциальное уравнение вида:

(23.5.1)

называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция что

(23. 5.2)

Тогда (23.5.2) можно переписать в виде: откуда находим общее решение в неявном виде:

Отметим, что необходимым и достаточным условием существования функции удовлетворяющей условию (23.5.2), является равенство:

(23 5 3)

Пример №10

Проинтегрировать дифференциальное уравнение

Решение:

Для данного уравнения выполняется условие (23.5.2) во всей плоскости, кроме точки (0,0). Легко заметить, что функция имеет вид: и, следовательно, заданное уравнение можно записать в виде:

Тогда общее решение имеет вид:

Однородные дифференциальные уравнения 1 порядка

Готовые ответы к примерам на однородные дифференциальные уравнения первого порядка ищут многие студенты (ДУ 1 порядка самые распространенные в обучении), далее Вы их сможете подробно разобрать. Но прежде чем перейти к рассмотрению примеров рекомендуем внимательно прочитать краткий теоретический материал.
Уравнения вида P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, где функции P(x,y) і Q(x,y) являются однородными функциями одного порядка называют однородным дифференциальным уравнением (ОДР).

Схема решения однородного дифференциального уравнения

1. Сначала нужно применить подстановку y=z*x, где z=z(x) – новая неизвестная функция (таким образом исходное уравнение сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.
2. Производная произведения равна y’=(z*x)’=z’*x+z*x’=z’*x+z или в дифференциалах dy=d(zx)=z*dx+x*dz.
3. Далее подставляем новую функцию у и ее производную y’ (или dy) в ДУ с разделяющимися переменными относительно x та z.
4. Решив дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, сделаем обратную замену y=z*x, поэтому z= y/х, и получим общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.
5. Если задано начальное условие y(x0)=y0, то находим частное решение задачи Коши. В теории все звучит легко, однако на практике не у всех так весело получается решать дифференциальные уравнения. Поэтому для углубления знаний рассмотрим распространенные примеры. На легких задачах нет особо Вас научить, поэтому сразу перейдем к более сложным.

Вычисления однородных дифференциальных уравнений первого порядка

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение

Решение: Делим правую сторону уравнения на переменную, которая стоит множителем возле производной. В результате придем к однородного дифференциального уравнения 0 порядка

И здесь многим пожалуй стало интересно, как определить порядок функции однородного уравнения?
Вопрос достаточно уместен, а ответ на него следующий:
в правую сторону подставляем вместо функции и аргумента значение t*x, t*y. При упрощении получают параметр «t» в определенном степени k, его и называют порядком уравнения. В нашем случае «t» сократится, что равносильно 0-м степени или нулевом порядке однородного уравнения.
Далее в правой стороне можем перейти к новой переменной y=zx; z=y/x .
При этом не забываем выразить производную «y» через производную новой переменной. По правилу части находим

Уравнения в дифференциалах примет вид

Совместные слагаемые в правой и левой части сокращаем и переходим к дифференциальному уравнению с разделенными переменными.

Проинтегрируем обе части ДУ

Для удобства дальнейших преобразований постоянную сразу вносим под логарифм

По свойствам логарифмов полученное логарифмическое уравнение эквивалентно следующему

Эта запись еще не решение (ответ), необходимо вернуться к выполненной замене переменных

Таким образом находят общее решение дифференциальных уравнений. Если Вы внимательно читали предыдущие уроки, то мы говорили, что схему вычисления уравнений с разделенными переменными Вы должны уметь применять свободно и такого рода уравнения придется вычислять для более сложных типов ДУ.

Пример 2. Найти интеграл дифференциального уравнения

Решение:Схема вычислений однородных и сводных к ним ДУ Вам тепер знакома. Переносим переменную в правую сторону уравнения, а также в числителе и знаменателе выносим x2, как общий множитель

Таким образом получим однородное ДУ нулевого порядка.
Следующим шагом вводим замену переменных z=y/x, y=z*x, о которой постоянно будем напоминать, чтобы Вы ее заучили

После этого ДУ записываем в дифференциалах

Далее преобразуем зависимость к дифференциальному уравнению с отделенными переменными

и интегрированием решаем его.

Интегралы несложные, остальные преобразования выполнены на основе свойств логарифма. Последнее действие включает экспонирования логарифма. Наконец возвращаемся к исходной замене и записываем решение дифференциального уравнения в форме

Константа «C» принимает любое значение. Все кто учится заочно имеют проблемы на экзаменах с данным типом уравнений, поэтому просьба внимательно посмотреть и запомнить схему вычислений.

 

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение

Решение:Как следует из приведенной выше методики, дифференциальные уравнения такого типа решают методом введения новой переменной. Перепишем зависимость так, чтобы производная была без переменной

Далее по анализу правой части видим, что везде присутствует частка -ее и обозначаем за новую неизвестную
z=y/x, y=z*x.
Находим производную от y

С учетом замены первоначальное ДУ перепишем в виде

Одинаковые слагаемые упрощаем, а все получившие сводим к ДУ с отделенными переменными

Интегрированием обеих частей равенства

приходим к решению в виде логарифмов

Экспонируя зависимости находим общее решение дифференциального уравнения

которое после подстановки в него начальной замены переменных примет вид

Здесь С — постоянная, которую можно доопределить из условия Коши. Если не задана задача Коши то стала принимает произвольное действительное значение.
Вот и вся мудрость в исчислении однородных дифференциальных уравнений.

Линейные и однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решения

Думаю, нам стоит начать с истории такого славного математического инструмента как дифференциальные уравнения. Как и все дифференциальные и интегральные исчисления, эти уравнения были изобретены Ньютоном в конце 17-го века. Он считал именно это своё открытие настолько важным, что даже зашифровал послание, которое сегодня можно перевести примерно так: «Все законы природы описываются дифференциальными уравнениями». Это может показаться преувеличением, но всё так и есть. Любой закон физики, химии, биологии можно описать этими уравнениями.

Огромный вклад в развитие и создание теории дифференциальных уравнений внесли математики Эйлер и Лагранж. Уже в 18-м веке они открыли и развили то, что сейчас изучают на старших курсах университетов.

Новая веха в изучении дифференциальных уравнений началась благодаря Анри Пуанкаре. Он создал «качественную теорию дифференциальных уравнений», которая в сочетании с теорией функций комплексного переменного внесла значительный вклад в основание топологии — науки о пространстве и его свойствах.

Что такое дифференциальные уравнения?

Многие боятся одного словосочетания «дифференциальное уравнение». Однако в этой статье мы подробно изложим всю суть этого очень полезного математического аппарата, который на самом деле не так сложен, как кажется из названия. Для того чтобы начать рассказывать про дифференциальные уравнения первого порядка, следует сначала познакомиться с основными понятиями, которые неотъемлемо связаны с этим определением. И начнём мы с дифференциала.

Дифференциал

Многие знают это понятие ещё со школы. Однако всё же остановимся на нём поподробнее. Представьте себе график функции. Мы можем увеличить его до такой степени, что любой его отрезок примет вид прямой линии. На ней возьмём две точки, находящиеся бесконечно близко друг к другу. Разность их координат (x или y) будет бесконечно малой величиной. Ее и называют дифференциалом и обозначают знаками dy (дифференциал от y) и dx (дифференциал от x). Очень важно понимать, что дифференциал не является конечной величиной, и в этом заключается его смысл и основная функция.

А теперь необходимо рассмотреть следующий элемент, который нам пригодится при объяснении понятия дифференциального уравнения. Это — производная.

Производная

Все мы наверняка слышали в школе и это понятие. Говорят, что производная — это скорость роста или убывания функции. Однако из этого определения многое становится непонятным. Попробуем объяснить производную через дифференциалы. Давайте вернёмся к бесконечно малому отрезку функции с двумя точками, которые находятся на минимальном расстоянии друг от друга. Но даже за это расстояние функция успевает измениться на какую-то величину. И чтобы описать это изменение и придумали производную, которую иначе можно записать как отношение дифференциалов: f(x)’=df/dx.

Теперь стоит рассмотреть основные свойства производной. Их всего три:

  1. Производную суммы или разности можно представить как сумму или разность производных: (a+b)’=a’+b’ и (a-b)’=a’-b’.
  2. Второе свойство связано с умножением. Производная произведения — это сумма произведений одной функции на производную другой: (a*b)’=a’*b+a*b’.
  3. Производную разности записать можно в виде следующего равенства: (a/b)’=(a’*b-a*b’)/b2.

Все эти свойства нам пригодятся для нахождения решений дифференциальных уравнений первого порядка.

Также бывают частные производные. Допустим, у нас есть функция z, которая зависит от переменных x и y. Чтобы вычислить частную производную этой функции, скажем, по x, нам необходимо принять переменную y за постоянную и просто продифференцировать.

Интеграл

Другое важное понятие — интеграл. По сути это прямая противоположность производной. Интегралы бывают нескольких видов, но для решения простейших дифференциальных уравнений нам понадобятся самые тривиальные неопределённые интегралы.

Итак, что такое интеграл? Допустим, у нас есть некоторая зависимость f от x. Мы возьмём от неё интеграл и получим функцию F(x) (часто её называют первообразной), производная от которой равна первоначальной функции. Таким образом F(x)’=f(x). Отсюда следует также, что интеграл от производной равен первоначальной функции.

При решении дифференциальных уравнений очень важно понимать смысл и функцию интеграла, так как придётся очень часто их брать для нахождения решения.

Уравнения бывают разными в зависимости от своей природы. В следующем разделе мы рассмотрим виды дифференциальных уравнений первого порядка, а потом и научимся их решать.

Классы дифференциальных уравнений

«Диффуры» делятся по порядку производных, участвующих в них. Таким образом бывает первый, второй, третий и более порядок. Их также можно поделить на несколько классов: обыкновенные и в частных производных.

В этой статье мы рассмотрим обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры и способы их решения мы также обсудим в следующих разделах. Будем рассматривать только ОДУ, потому что это самые распространённые виды уравнений. Обыкновенные делятся на подвиды: с разделяющимися переменными, однородные и неоднородные. Далее вы узнаете, чем они отличаются друг от друга, и научитесь их решать.

Кроме того, эти уравнения можно объединять, чтобы после у нас получилась система дифференциальных уравнений первого порядка. Такие системы мы тоже рассмотрим и научимся решать.

Почему мы рассматриваем только первый порядок? Потому что нужно начинать с простого, а описать всё, связанное с дифференциальными уравнениями, в одной статье просто невозможно.

Уравнения с разделяющимися переменными

Это, пожалуй, самые простые дифференциальные уравнения первого порядка. К ним относятся примеры, которые можно записать так: y’=f(x)*f(y). Для решения этого уравнения нам понадобится формула представления производной как отношения дифференциалов: y’=dy/dx. С помощью неё получаем такое уравнение: dy/dx=f(x)*f(y). Теперь мы можем обратиться к методу решения стандартных примеров: разделим переменные по частям, т. е. перенесём всё с переменной y в часть, где находится dy, и так же сделаем с переменной x. Получим уравнение вида: dy/f(y)=f(x)dx, которое решается взятием интегралов от обеих частей. Не стоит забывать и о константе, которую нужно ставить после взятия интеграла.

Решение любого «диффура» — это функция зависимости x от y (в нашем случае) или, если присутствует численное условие, то ответ в виде числа. Разберём на конкретном примере весь ход решения:

y’=2y*sin(x)

Переносим переменные в разные стороны:

dy/y=2*sin(x)dx

Теперь берём интегралы. Все их можно найти в специальной таблице интегралов. И получаем:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Если требуется, мы можем выразить «игрек» как функцию от «икс». Теперь можно сказать, что наше дифференциальное уравнение решено, если не задано условие. Может быть задано условие, например, y(п/2)=e. Тогда мы просто подставляем значение этих переменных в решение и находим значение постоянной. В нашем примере оно равно 1.

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Теперь переходим к более сложной части. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка можно записать в общем виде так: y’=z(x,y). Следует заметить, что правая функция от двух переменных однородна, и её нельзя разделить на две зависимости: z от x и z от y. Проверить, является ли уравнение однородным или нет, достаточно просто: мы делаем замену x=k*x и y=k*y. Теперь сокращаем все k. Если все эти буквы сократились, значит уравнение однородное и можно смело приступать к его решению. Забегая вперёд, скажем: принцип решения этих примеров тоже очень прост.

Нам нужно сделать замену: y=t(x)*x, где t — некая функция, которая тоже зависит от x. Тогда мы можем выразить производную: y’=t'(x)*x+t. Подставляя всё это в наше исходное уравнение и упрощая его, мы получаем пример с разделяющимися переменными t и x. Решаем его и получаем зависимость t(x). Когда мы ее получили, то просто подставляем в нашу предыдущую замену y=t(x)*x. Тогда получаем зависимость y от x.

Чтобы было понятнее, разберём пример: x*y’=y-x*ey/x.

При проверке с заменой всё сокращается. Значит, уравнение действительно однородное. Теперь делаем другую замену, о которой мы говорили: y=t(x)*x и y’=t'(x)*x+t(x). После упрощения получаем следующее уравнение: t'(x)*x=-et. Решаем получившийся пример с разделёнными переменными и получаем: e-t=ln(C*x). Нам осталось только заменить t на y/x (ведь если y=t*x, то t=y/x), и мы получаем ответ: e-y/x=ln(x*С).

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Пришло время рассмотреть ещё одну обширную тему. Мы разберём неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка. Чем они отличаются от предыдущих двух? Давайте разберёмся. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка в общем виде можно записать таким равенством: y’ + g(x)*y=z(x). Стоит уточнить, что z(x) и g(x) могут являться постоянными величинами.

А теперь пример: y’ — y*x=x2.

Существует два способа решения, и мы по порядку разберём оба. Первый — метод вариации произвольных констант.

Для того чтобы решить уравнение этим способом, необходимо сначала приравнять правую часть к нулю и решить получившееся уравнение, которое после переноса частей примет вид:

y’ = y*x;

dy/dx=y*x;

dy/y=xdx;

ln|y|=x2/2 + C;

y=ex2/2С=C1*ex2/2.

Теперь надо заменить константу C1 на функцию v(x), которую нам предстоит найти.

y=v*ex2/2.

Проведём замену производной:

y’=v’*ex2/2-x*v*ex2/2.

И подставим эти выражения в исходное уравнение:

v’*ex2/2 — x*v*ex2/2 + x*v*ex2/2 = x2.

Можно видеть, что в левой части сокращаются два слагаемых. Если в каком-то примере этого не произошло, значит вы что-то сделали не так. Продолжим:

v’*ex2/2 = x2.

Теперь решаем обычное уравнение, в котором нужно разделить переменные:

dv/dx=x2/ex2/2;

dv = x2*ex2/2dx.

Чтобы извлечь интеграл, нам придётся применить здесь интегрирование по частям. Однако это не тема нашей статьи. Если вам интересно, вы можете самостоятельно научиться выполнять такие действия. Это не сложно, и при достаточном навыке и внимательности не отнимает много времени.

Обратимся ко второму способу решения неоднородных уравнений: методу Бернулли. Какой подход быстрее и проще — решать только вам.

Итак, при решении уравнения этим методом нам необходимо сделать замену: y=k*n. Здесь k и n — некоторые зависящие от x функции. Тогда производная будет выглядеть так: y’=k’*n+k*n’. Подставляем обе замены в уравнение:

k’*n+k*n’+x*k*n=x2.

Группируем:

k’*n+k*(n’+x*n)=x2.

Теперь надо приравнять к нулю то, что находится в скобках. Теперь, если объединить два получившихся уравнения, получается система дифференциальных уравнений первого порядка, которую нужно решить:

n’+x*n=0;

k’*n=x2.

Первое равенство решаем, как обычное уравнение. Для этого нужно разделить переменные:

dn/dx=x*v;

dn/n=xdx.

Берём интеграл и получаем: ln(n)=x2/2. Тогда, если выразить n:

n=ex2/2.

Теперь подставляем получившееся равенство во второе уравнение системы:

k’*ex2/2=x2.

И преобразовывая, получаем то же самое равенство, что и в первом методе:

dk=x2/ex2/2.

Мы также не будем разбирать дальнейшие действия. Стоит сказать, что поначалу решение дифференциальных уравнений первого порядка вызывает существенные трудности. Однако при более глубоком погружении в тему это начинает получаться всё лучше и лучше.

Где используются дифференциальные уравнения

Очень активно дифференциальные уравнения применяются в физике, так как почти все основные законы записываются в дифференциальной форме, а те формулы, которые мы видим — решение этих уравнений. В химии они используются по той же причине: основные законы выводятся с их помощью. В биологии дифференциальные уравнения используются для моделирования поведения систем, например хищник — жертва. Они также могут использоваться для создания моделей размножения, скажем, колонии микроорганизмов.

Как дифференциальные уравнения помогут в жизни

Ответ на этот вопрос прост: никак. Если вы не учёный или инженер, то вряд ли они вам пригодятся. Однако для общего развития не помешает знать, что такое дифференциальное уравнение и как оно решается. И тогда вопрос сына или дочки «что такое дифференциальное уравнение?» не поставит вас в тупик. Ну а если вы учёный или инженер, то и сами понимаете важность этой темы в любой науке. Но самое главное, что теперь на вопрос «как решить дифференциальное уравнение первого порядка?» вы всегда сможете дать ответ. Согласитесь, всегда приятно, когда понимаешь то, в чём люди даже боятся разобраться.

Основные проблемы при изучении

Основной проблемой в понимании этой темы является плохой навык интегрирования и дифференцирования функций. Если вы плохо берёте производные и интегралы, то, наверное, стоит ещё поучиться, освоить разные методы интегрирования и дифференцирования, и только потом приступать к изучению того материала, что был описан в статье.

Некоторые люди удивляются, когда узнают, что dx можно переносить, ведь ранее (в школе) утверждалось, что дробь dy/dx неделима. Тут нужно почитать литературу по производной и понять, что она является отношением бесконечно малых величин, которыми можно манипулировать при решении уравнений.

Многие не сразу осознают, что решение дифференциальных уравнений первого порядка — это зачастую функция или неберущийся интеграл, и это заблуждение доставляет им немало хлопот.

Что ещё можно изучить для лучшего понимания

Лучше всего начать дальнейшее погружение в мир дифференциального исчисления со специализированных учебников, например, по математическому анализу для студентов нематематических специальностей. Затем можно переходить и к более специализированной литературе.

Стоит сказать, что, кроме дифференциальных, есть ещё интегральные уравнения, так что вам всегда будет к чему стремиться и что изучать.

Заключение

Надеемся, что после прочтения этой статьи у вас появилось представление о том, что такое дифференциальные уравнения и как их правильно решать.

В любом случае математика каким-либо образом пригодится нам в жизни. Она развивает логику и внимание, без которых каждый человек как без рук.

Примеры решения линейных дифференциальных уравнений й

Рассмотрим примеры решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли.

1) y’=3x-y/x

Перепишем уравнение в стандартном виде: y’+y/x=3x.  Здесь p(x)=1/x, q(x)=3x.

1) Введем замену y=uv, где u=u(x) и v=v(x) — некоторые новые функции от x. Отсюда y’=(uv)’=u’v+v’u. Подставляем полученные выражения для y и y’ в условие: u’v+v’u+uv/x=3x.

2) Сгруппируем слагаемые, содержащие v:  [u’+u/x]v+v’u=3x.      (I)    Теперь потребуем равенства нулю выражения в скобках: u’+u/x=0. Получили новое дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно  u и x. Подставляем u’=du/dx и разделяем переменные: du/dx= — u/x. Умножаем обе части уравнения на dx  и делим на u≠0. Пришли к уравнению с разделенными переменными: du/u= — dx/x. Интегрируем его:

   

Поскольку при нахождении u С берем равным нулю, то получаем, что ln│u│=-ln│x│,  используем свойство логарифма: ln│u│= ln│1/x│отсюда u=1/x.

3) В уравнение (I) подставляем [u’+u/x]=0 и u=1/x. Имеем: v’/x=3x. Умножаем  обе части полученного уравнения на x≠0: v’=3x². Можно представить v’=dv/dx  и разделить переменные: dv/dx=3x², отсюда, умножив обе части на dx, получаем dv=3x²dx, интегрируем:

   

здесь С уже не игнорируем, и приходим к v=x³+C.          (А можно было просто проинтегрировать обе части равенства: v’=3x²

   

и сразу получить ответ v=x³+C).

4) Так как y=uv, подставив найденные выражения для u и v, получаем: y=(x³+C)/x. Если преобразовать ответ, получим: y=x²+C/x.

Ответ: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

Линейное уравнение в стандартном виде. p(x)=1, q(x)=cosx.

1) y=uv, y’=u’v+v’u. Подставляем в условие:

u’v+v’u+uv=cosx. Группируем слагаемые с v: [u’+u]v+v’u=cosx.     (II)

2) Теперь потребуем, чтобы выполнялось условие u’+u=0. Получили уравнение с разделяющимися переменными u и x. Так как u’=du/dx, то du/dx+u=0, откуда du/dx=-u. Умножаем обе части на dx и делим на u≠0: du/u=-dx. Интегрируем уравнение:

   

3) В уравнение (II) подставляем [u’+u]=0 и

   

   

Интегрируем обе части уравнения:

   

Этот интеграл находится с помощью формулы интегрирования по частям:

   

4) y=uv, подставляем найденные выражения для u и v:

   

Ответ:

   

Рассмотрим еще одно интересное задание.

3) Найти решение уравнения (x+y)y’=1, удовлетворяющее начальному условию y(-1)=0.

Если рассматривать y как функцию от x, то уравнение не получится записать в стандартном виде y’+p(x)y=q(x). А вот если рассматривать x как функцию от y, то с учетом того, что y’=1/x’, получаем: (x+y)·1/x’=1, откуда x’=x+y, теперь переписываем это уравнение в виде x’-x=y.      (III)

Мы получили линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида x’+p(y)=q(y). Здесь p(y)=-1, q(y)=y. Все рассуждения абсолютно аналогичны. Проведем их.

1) Замена x=uv, где u=u(y), v=v(y). Отсюда x’=u’v+v’u. Подставляем в (III): u’v+v’u-uv=y.

2) Группируем слагаемые с v: [u’-u]v+v’u=y.        (IV)     Требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: u’-u=0. А это — уравнение с разделяющимися переменными. Только не забываем, что вторая переменная здесь y, а не x. С учетом того, что u’=du/dy, разделим переменные: du/dy=u. Умножаем обе части уравнения на dy и делим на u: du/u=dy. Теперь интегрируем:

   

3) В (IV) подставляем [u’-u]=0 и

   

Этот интеграл также находим по формуле интегрирования по частям

   

Здесь

   

Подставляем, по формуле интегрирования по частям получаем:

   

4) Так как x=uv, то, подставив найденные выражения для функций u и v, получаем:

   

5) В общее решение уравнения

   

подставляем начальные условия y(-1)=0  (то есть x=-1, y=0):

   

Отсюда частное решение x=-y-1. Выразив y через x, приходим к окончательному варианту ответа: y=-x-1.

Ответ: y=-x-1.

Задания для самопроверки:

1) y’=x+y

2) xy’-2y=x²

   

Показать решение

1) y’-y=x. Здесь p(x)=-1, q(x)=x.

1) Вводим замену y=uv, y’=u’v+v’u. Подставляем в условие: u’v+v’u=x+uv, u’v+v’u- uv=x.

2) Группируем слагаемые с v: [u’- u]v+v’u=x       (*).

Требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: u’- u=0ю Из этого условия находим u: du/dx=u, du/u=dx. Интегрируем:

   

3) В равенство (*) подставляем [u’- u]=0 и

   

   

Интеграл в правой части уравнения будем искать с помощью формулы интегрирования по частям: u=x, du=x’dx=dx.

   

Отсюда получаем, что

   

   

4) Поскольку y-uv, подставлям:

   

Ответ:

   

2) Делим обе части уравнения на x: y’-(2/x)y=x. Здесь p(x)=-2/x, q(x)=x.

1) Замена y=uv, y’=u’v+v’u. Подставляем в условие: xu’v+xv’u-2uv=x².

2)  Группируем слагаемые с v: [xu’-2u]v+xv’u=x²      (**). Теперь требуем выполнения условия xu’-2u=0. Отсюда x·du/dx=2u, du/u=2dx/x. Интегрируем:

   

3) В равенство (**) подставляем [xu’-2u]=0, u=x²: xv’x²=x², отсюда xv’=1, а значит, v’=1/x. Отсюда v= ln|x|+C.

4) Так как y=uv, то подставляем и получаем: y=x²(ln|x|+C).

Ответ: y=x²(ln|x|+C).

   

1)  Замена y=uv, y’=u’v+v’u. Подставляем в условие:

   

2) Группируем слагаемые с v:

   

Требуем равенства нулю выражения в скобках: u’+2u/x=0. Отсюда du/dx=-2u/x, du/u= (-2/x)dx. Интегрируем:

   

3) В условие (***) подставляем [u’+2u/x]=0  и u=1/x². Имеем:

   

Чтобы найти интеграл в правой части, введем замену -x²=t, тогда dt=(-x²)’dx=-2xdx. Отсюда

   

   

4) Так как y=uv, подставив, получаем:

   

Ответ:

   

 

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Рассмотрим примеры решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений со специальной правой частью.

Пример 1
Найти общее решение дифференциального уравнения
y’ + y·tg x = cos x

Дифференциальное уравнение неоднородное, его правая часть не равна нулю. Решение такого уравнения обычно ищут в виде произведения двух функций:
y(x) = u(x)·v(x)
Некоторые умудряются использовать метод вариации произвольной постоянной. Действительно, u(x)   является варьируемой постоянной, а   v(x) — решением соответствующего однородного уравнения. Метод же вариации произвольной постоянной, используемый в явном виде, пригоден для решения дифференциальных уравнений высших порядков, но не совсем уместен для решения дифференциальных уравнений первого порядка. Зачем из пушки по комарам палить?
Попытаемся найти общее решение уравнения, применяя известные нам формулы дифференцирования. Будем исходить из предположения, что однородные дифференциальные уравнения первого порядка мы решать уже умеем.
Представив   tg x = sin x/cos x, приведём левую часть дифференциального уравнения к общему знаменателю.
y’ + y·sin x/cos x = (y’·cos x + y·sin x)/cos x = (y’·cos x − y·(cos x)’)/cos x = cos x
Разделив обе части уравнения на   cos x, получим в левой части производную частного:
(y’·cos x − y·(cos x)’)/cos² x = (y/cos x)’ = 1
Интегрируем:   y/cos x = ∫dx = x + C, откуда
y = (x + C)·cos x — общее решение уравнения.

Пример 2
Найти частное решение дифференциального уравнения
y’ + y·tg x = 2·x/cos x;   y(0) = 0
Разделим обе части уравнения на   cos x, получив в левой части производную частного:
(y/cos x)’ = 2·x/cos² x
Проинтегрируем с учётом начальных условий: при   x = 0   y/cos x = 0
Учитывая вид подынтегральной функции, интегрировать будем по частям.


y = 2·cos x·(x·tg x + ln|cos x|) = 2·(x·sin x + cos x·ln|cos x|) — частное решение дифференциального уравнения.

Линейные уравнения первого порядка

Линейные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным , если оно может быть выражено в форме

   

, где P и Q являются функциями x . Метод решения таких уравнений аналогичен тому, который используется для решения неточных уравнений. Там неточное уравнение умножалось на интегрирующий множитель, что потом облегчало решение (потому что уравнение становилось точным).

Чтобы решить линейное уравнение первого порядка, сначала перепишите его (при необходимости) в приведенной выше стандартной форме; затем умножьте обе части на коэффициент интегрирования

Полученное уравнение,

 

Тогда число

легко решить не потому, что оно точное, а потому, что левая часть схлопывается:

Следовательно, уравнение (*) становится

   

делает его восприимчивым к интеграции, что дает решение:

Не запоминайте это уравнение для решения; запомнить шаги, необходимые для достижения цели.

Пример 1: Решение дифференциального уравнения

 

Уравнение уже выражено в стандартной форме: P(x) = 2 x и Q(x) = x . Умножение обеих сторон на

   

преобразует данное дифференциальное уравнение в

Обратите внимание, как левая часть схлопывается в ( μy )′; как показано выше, это всегда будет .Интегрирование обеих сторон дает решение:

 

Пример 2: Решите IVP

Обратите внимание, что дифференциальное уравнение уже имеет стандартную форму. Поскольку P(x) = 1/ x , коэффициент интегрирования равен

.

 

Умножение обеих частей стандартного дифференциального уравнения на μ = x дает

 

Обратите внимание, как левая сторона автоматически схлопывается в ( μy )′.Интегрирование обеих сторон дает общее решение:

.

 

Применение начального условия y (π) = 1 определяет константу c :

 

Таким образом, искомое частное решение равно

.

   

или, поскольку x не может равняться нулю (обратите внимание на коэффициент P(x) = 1/ x в данном дифференциальном уравнении),

Пример 3: Решение линейного дифференциального уравнения

   

Сначала перепишем уравнение в стандартной форме:

Так как коэффициент интегрирования здесь равен

   

умножить обе части стандартного уравнения (*) на μ = e −2/ x ,

 

свернуть левую сторону,

 

и интегрировать:

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения может быть явно выражено как

Пример 4: Найдите общее решение каждого из следующих уравнений:

а.

б.

Оба уравнения являются линейными уравнениями в стандартной форме, где P(x) = –4/ x . С 90 005

 

коэффициент интегрирования будет

 

для обоих уравнений. Умножение на μ = x −4 дает

Интегрирование каждого из этих полученных уравнений дает общие решения:

 

Пример 5: Нарисуйте интегральную кривую

   

, который проходит через источник.

Первый шаг — переписать дифференциальное уравнение в стандартной форме:

   

С

 

интегрирующий коэффициент равен

Умножение обеих частей стандартного уравнения (*) на μ = (1 + x 2 ) 1/2 дает

Как обычно, левая сторона схлопывается в (μ y )

   

и интеграция дает общее решение:

Чтобы найти конкретную кривую этого семейства, проходящую через начало координат, подставьте ( x,y ) = (0,0) и вычислите константу c :

.

 

Таким образом, искомая интегральная кривая равна

   

, показанный на рисунке 1.


Рисунок 1

Пример 6: Объект движется вдоль оси x таким образом, что его положение в момент времени t > 0 определяется линейным дифференциальным уравнением

 

Если объект находился в позиции x = 2 в момент времени t = 1, где он будет находиться в момент времени t = 3?

Вместо x в качестве независимой переменной и y в качестве зависимой, в этой задаче t является независимой переменной, а x — зависимой.Таким образом, решение не будет иметь форму « y = некоторая функция от x », а вместо этого будет « x = некоторая функция от t ».

Уравнение имеет стандартную форму для линейного уравнения первого порядка, где P = t t −1 и Q = t 2 . С

   

интегрирующий коэффициент равен

Умножение обеих частей дифференциального уравнения на этот интегрирующий коэффициент преобразует его в

 

Как обычно, левая сторона автоматически складывается,

   

и интегрирование дает общее решение:

Теперь, поскольку задано условие « x = 2 at t = 1», это фактически IVP, и константа c может быть оценена:

 

Таким образом, положение x объекта как функция времени t задается уравнением

   

и, следовательно, позиция в момент времени t = 3 равна

 

, что примерно равно 3.055.


Дифференциальное уравнение первого порядка — решение, задача с начальными значениями, примеры, формула

Дифференциальное уравнение первого порядка — это дифференциальное уравнение, в котором максимальный порядок производной равен единице, и никакая другая производная более высокого порядка не может фигурировать в этом уравнении. Дифференциальное уравнение первого порядка обычно имеет вид F(x, y, y’) = 0, где y — зависимая переменная, а x — независимая переменная, а y’ явно появляется в дифференциальном уравнении.Его также можно записать как F(t, f(t), f'(t)) = 0, где f(t) — решение дифференциального уравнения. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка — это дифференциальное уравнение с производной первого порядка и степенью уравнения, равной единице.

В этой статье мы рассмотрим концепцию дифференциальных уравнений первого порядка, способы нахождения их решений, дифференциальные уравнения начальной задачи первого порядка и их приложения. Мы решим несколько примеров для лучшего понимания концепции.

Что такое дифференциальное уравнение первого порядка?

Дифференциальное уравнение первого порядка обычно записывается как F(x, y, y’) = 0, где y’ — это производная первого порядка, которая явно присутствует в уравнении, x — независимая переменная, а y — функция от x. . Говорят, что функция f(t) является решением дифференциального уравнения первого порядка F(t, f(t), f'(t)) = 0 при всех значениях t. Реальным примером дифференциального уравнения первого порядка является уравнение охлаждения Ньютона, определяемое как y’ = k(M — y), и его можно выразить как F(t, y, y’) = k(M — у) — у’.Приведем еще несколько примеров дифференциальных уравнений первого порядка:

  • у’ = т 2 + 1 ⇒ F(t, у, у’) = т 2 + 1 — у’
  • у’ = 2(25 — у) ⇒ F(t, у, у’) = 2(25 — у) — у’
  • mv'(t) = -mg ⇒ F(t, v, v’) = -mg — mv'(t)

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид y’ + y P(x) = Q(x) или dy/dx + y P(x) = Q(x), где y, P, Q — функции x , а y’ — производная первого порядка от y.Такие дифференциальные уравнения имеют степень производной, равную единице, поэтому их называют линейными дифференциальными уравнениями первого порядка. Мы можем решить такие уравнения, используя метод интегрирования множителей.

Решение дифференциального уравнения первого порядка

Теперь мы можем решать дифференциальные уравнения первого порядка, используя различные методы, такие как разделение переменных, метод интегрирования факторов, варьирование параметров и т. д. Мы можем определить частное решение p(x) и общее решение g(x), соответствующее однородного дифференциального уравнения первого порядка y’ + y P(x) = 0, и тогда общее решение неоднородного дифференциального уравнения первого порядка y’ + y P(x) = Q(x) задается выражением y(x) = р(х) + г(х).Давайте решим несколько примеров, используя разные методы, чтобы понять применение каждого метода.

Разделимое дифференциальное уравнение первого порядка

Общая форма сепарабельного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид dy/dx = f(y).g(x). Здесь мы можем разделить переменные в двух частях уравнения, т. е. dy/dx = f(y). g(x) также можно записать как dy/f(y) = g(x) dx, разделив переменные и тогда мы можем решить уравнение интегрированием. Рассмотрим пример дифференциального уравнения первого порядка и найдем его решение методом разделения переменных.

Пример: Рассмотрим дифференциальное уравнение dy/dx = (5y + 4)x.

Сохраняя переменную y в левой части уравнения и x в правой части уравнения, мы имеем

dy/dx = (5y + 4)x

⇒ dy/(5y + 4) = xdx

Теперь, интегрируя обе части уравнения, мы имеем

∫dy/(5y + 4) = ∫ x dx

⇒ (1/5) пер |5у + 4| = х 2 /2 + С

⇒ пер |5у + 4| = 5 (х 2 /2 + С)

⇒ пер |5у + 4| = 5x 2 /2 + 5С

⇒ 5y + 4 = e 5x 2 /2 + 5C

⇒ y = (1/5) [e 5x 2 /2 + 5C — 4]

⇒ y = (1/5)e 5x 2 /2 e 5C — 4/5

⇒ y = Ke 5x 2 /2 — 4/5, где K = (1/5)e 5C

Следовательно, y = Ke 5x 2 /2 — 4/5 является общим решением дифференциального уравнения первого порядка dy/dx = (5y + 4)x.

Решение дифференциального уравнения первого порядка с использованием интегрирующих коэффициентов

Дифференциальное уравнение первого порядка вида dy/dx + y P(x) = Q(x) может быть решено с использованием метода интегрирующих факторов. Мы можем выполнить данные шаги, чтобы найти общее решение дифференциального уравнения:

  • Шаг 1: Упростите дифференциальное уравнение первого порядка и запишите его как dy/dx + y P(x) = Q(x)
  • Шаг 2: Определите интегрирующий коэффициент, заданный формулой I.F.= е ∫P(x) dx
  • Шаг 3: Умножьте дифференциальное уравнение dy/dx + y P(x) = Q(x) на I.F. чтобы получить d(y × I.F.)/dx = Q(x) × I.F.
  • Шаг 4. Теперь проинтегрируйте обе части уравнения d(y × I.F.)/dx = Q(x) × I.F. чтобы получить общее решение.

Давайте решим дифференциальное уравнение первого порядка, используя метод интегрирующих коэффициентов, чтобы понять его применение.

Пример: Рассмотрим дифференциальное уравнение xy’ + 3y = 4x 2 — 3x.

Сначала запишем данное дифференциальное уравнение первого порядка в виде y’ + y P(x) = Q(x)

Разделим xy’ + 3y = 4x 2 — 3x на x, получим

у’ + (3/х) у = 4х — 3

Здесь P(x) = 3/x и Q(x) = 4x — 3

Теперь интегрирующий коэффициент I.F. = e ∫P(x) dx = e ∫(3/x) dx = e 3ln x = x 3

Умножение дифференциального уравнения первого порядка y’ + (3/x) y = 4x — 3 на I.F. = x 3 , имеем

х 3 (у’ + (3/х) у) = х 3 (4х — 3)

⇒ х 3 у’ + 3х 2 у = 4х 4 — 3х 3

⇒ d(yx 3 )/dx = 4x 4 — 3x 3

Интегрируя обе части уравнения по x, получаем

⇒ ∫[d(yx 3 )/dx] dx = ∫(4x 4 — 3x 3 ) dx

⇒ ух 3 = (4/5)х 5 — (3/4)х 4 + С

⇒ у = (4/5)х 2 — (3/4)х + Сх -3

Следовательно, общее решение дифференциального уравнения первого порядка xy’ + 3y = 4x 2 — 3x с использованием метода интегрирующих множителей есть y = (4/5)x 2 — (3/4)x + Cx -3

Задача с начальным значением Дифференциальное уравнение первого порядка

Дифференциальное уравнение задачи с начальным значением первого порядка имеет форму F(x, y, y’) = 0 и начальное значение y(x 0 ) = y 0 , где x 0 — фиксированное значение x и y 0 является соответствующим значением y и (x 0 ,y 0 ) удовлетворяет общему решению y(x). Начальное значение дифференциального уравнения помогает найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка. Давайте рассмотрим пример, чтобы увидеть, как определить решение дифференциального уравнения, используя начальное значение.

Пример: Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка y’ = x 2 + 1, y(1) = 4

Сначала мы оценим общее решение данного дифференциального уравнения. У нас есть dy/dx = x 2 + 1, которое можно решить, разделив переменные.

dy/dx = х 2 + 1

⇒ dy = (x 2 + 1) dx

Интегрируя обе части уравнения, мы получаем

∫ dy = ∫ (x 2 + 1) dx

⇒ y = x 3 /3 + x + C, что является общим решением данного дифференциального уравнения первого порядка.

У нас есть y(1) = 4. Подставьте это в общее решение, чтобы определить значение C и, следовательно, частное решение.

4 = 1 3 /3 + 1 + С

⇒ С = 4 — 1/3 — 1

= 3 — 1/3

= 8/3

Следовательно, y = y = x 3 /3 + x + 8/3 является частным решением дифференциального уравнения начальной задачи y’ = x 2 + 1, y(1) = 4.

Важные замечания по дифференциальному уравнению первого порядка

  • Некоторые из важных применений дифференциального уравнения первого порядка относятся к закону охлаждения Ньютона, моделям роста и распада и электрическим цепям.
  • Дифференциальные уравнения первого порядка могут быть решены с использованием метода разделения переменных, интегрирования и вариации параметров.

Темы, связанные с дифференциальным уравнением первого порядка

Часто задаваемые вопросы о дифференциальном уравнении первого порядка

Что такое дифференциальное уравнение первого порядка в исчислении?

Дифференциальное уравнение первого порядка — это дифференциальное уравнение, в котором максимальный порядок производной равен единице, и никакая другая производная более высокого порядка не может фигурировать в этом уравнении.Дифференциальное уравнение первого порядка обычно имеет вид F(x, y, y’) = 0,

.

Что такое линейное дифференциальное уравнение первого порядка?

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид y’ + y P(x) = Q(x) или dy/dx + y P(x) = Q(x), где y, P, Q — функции x , а y’ — производная первого порядка от y. Такие дифференциальные уравнения имеют степень производной, равную единице, поэтому их называют линейными дифференциальными уравнениями первого порядка.

Что такое однородное дифференциальное уравнение первого порядка?

Дифференциальное уравнение первого порядка M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 называется однородным, если и M(x, y), и N(x, y) однородны.Мы можем написать однородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида y’ + p(x)y = 0,

.

Как найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка?

Общее решение дифференциального уравнения первого порядка может быть оценено с помощью метода разделения переменных или метода интегрирующего фактора.

Как найти интегрирующий коэффициент дифференциального уравнения первого порядка?

Коэффициент интегрирования дифференциального уравнения первого порядка dy/dx + y P(x) = Q(x) можно рассчитать по формуле I. F. = e ∫P(x) dx .

Что такое дифференциальное уравнение первой степени первого порядка?

Дифференциальное уравнение первой степени первого порядка — это дифференциальное уравнение, содержащее производную первого порядка, и никакая другая производная более высокого порядка не может фигурировать в этом уравнении, а степень производной равна единице.

Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?

Дифференциальное уравнение первого порядка может быть решено с использованием различных методов, таких как разделение переменных, интегрирование множителей или изменение параметров.

Система линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже. Если университетские наставники примут меры в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как так как ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
Сент-Луис, Миссури 63105

Или заполните форму ниже:

 

4.5 Линейные уравнения первого порядка. Расчет, том 2

Цели обучения

  • 4.5.1 Запишите линейное дифференциальное уравнение первого порядка в стандартной форме.
  • 4.5.2 Найдите интегрирующий коэффициент и используйте его для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка.
  • 4.5.3 Решение прикладных задач, связанных с линейными дифференциальными уравнениями первого порядка.

Ранее мы изучали применение дифференциального уравнения первого порядка, которое включало решение скорости объекта. В частности, если мяч брошен вверх с начальной скоростью v0v0 фут/с, то начальная задача, описывающая скорость мяча через tt секунд, имеет вид

dvdt=-32,v(0)=v0.dvdt=-32,v(0)=v0.

В этой модели предполагается, что единственной силой, действующей на мяч, является сила тяжести. Теперь добавим к проблеме возможность сопротивления воздуха, действующего на мяч.

Сопротивление воздуха всегда действует в направлении, противоположном движению. Поэтому, если объект поднимается, сопротивление воздуха действует в направлении вниз. Если предмет падает, сопротивление воздуха действует вверх (рис. 4.24). Точной зависимости между скоростью тела и действующим на него сопротивлением воздуха не существует.Для очень маленьких объектов сопротивление воздуха пропорционально скорости; то есть сила сопротивления воздуха численно равна некоторой постоянной kk, умноженной на v.v. Для более крупных (например, размером с бейсбольный мяч) объектов, в зависимости от формы, сопротивление воздуха может быть приблизительно пропорционально квадрату скорости. На самом деле сопротивление воздуха может быть пропорционально v1,5,v1,5, или v0,9,v0,9, или какой-либо другой степени v.v.

Фигура 4,24 Силы, действующие на движущийся бейсбольный мяч: сила тяжести действует в направлении вниз, а сопротивление воздуха действует в направлении, противоположном направлению движения.

Мы будем работать с линейным приближением сопротивления воздуха. Если предположить, что k>0,k>0, то выражение для силы FAFA, вызванной сопротивлением воздуха, будет иметь вид FA=−kv.FA=−kv. Поэтому сумма сил, действующих на объект, равна сумме силы тяжести и силы сопротивления воздуха. Это, в свою очередь, равно произведению массы объекта на его ускорение в момент времени tt (второй закон Ньютона). Это дает нам дифференциальное уравнение

mdvdt=-kv-mg.mdvdt=-kv-mg.

Наконец, мы накладываем начальное условие v(0)=v0,v(0)=v0, где v0v0 — начальная скорость, измеряемая в метрах в секунду. Получается, что g=9,8 м/с2.g=9,8 м/с2. Задача с начальным значением становится

mdvdt=-kv-mg,v(0)=v0.mdvdt=-kv-mg,v(0)=v0.

(4.13)

Дифференциальное уравнение в этой начальной задаче является примером линейного дифференциального уравнения первого порядка. (Напомним, что дифференциальное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка, если производная старшего порядка, входящая в уравнение, равна 1.)1.) В этом разделе мы изучаем линейные уравнения первого порядка и рассматриваем метод нахождения общего решения этих типов уравнений, а также решение начальных задач с их участием.

Определение

Дифференциальное уравнение первого порядка является линейным, если его можно записать в виде

а(х)у’+б(х)у=с(х),а(х)у’+б(х)у=с(х),

(4. 14)

, где a(x),b(x),a(x),b(x) и c(x)c(x) — произвольные функции x.x.

Помните, что неизвестная функция yy зависит от переменной x;x; то есть xx — независимая переменная, а yy — зависимая переменная.Некоторые примеры линейных дифференциальных уравнений первого порядка:

(3×2−4)y′+(x−3)y=sinx(sinx)y′−(cosx)y=cotx4xy′+(3lnx)y=x3−4x.(3×2−4)y′+(x− 3)y=sinx(sinx)y′−(cosx)y=cotx4xy′+(3lnx)y=x3−4x.

Примеры нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка включают

(y′)4−(y′)3=(3x−2)(y+4)4y′+3y3=4x−5(y′)2=siny+cosx.(y′)4−(y′) 3=(3x−2)(y+4)4y′+3y3=4x−5(y′)2=siny+cosx.

Эти уравнения нелинейны из-за таких членов, как (y′)4,y3,(y′)4,y3 и т. д. Из-за этих членов невозможно представить эти уравнения в той же форме, что и уравнение 4.14.

Стандартная форма

Рассмотрим дифференциальное уравнение

(3×2−4)y′+(x−3)y=sinx.(3×2−4)y′+(x−3)y=sinx.

Нашей основной целью в этом разделе является вывод метода решения уравнений этой формы. Полезно, чтобы коэффициент y′y′ был равен 1,1. Чтобы это произошло, мы разделим обе части на 3×2−4,3×2−4.

y′+(x−33×2−4)y=sinx3x2−4y′+(x−33×2−4)y=sinx3x2−4

Это называется стандартной формой дифференциального уравнения. Мы будем использовать его позже при поиске решения общего линейного дифференциального уравнения первого порядка.Возвращаясь к уравнению 4.14, мы можем разделить обе части уравнения на a(x).a(x). Это приводит к уравнению

y′+b(x)a(x)y=c(x)a(x).y′+b(x)a(x)y=c(x)a(x).

(4.15)

Теперь определим p(x)=b(x)a(x)p(x)=b(x)a(x) и q(x)=c(x)a(x).q(x)=c (х)а(х). Тогда уравнение 4.14 становится

. y′+p(x)y=q(x).y′+p(x)y=q(x).

(4.16)

Мы можем записать любое линейное дифференциальное уравнение первого порядка в этой форме, и это называется стандартной формой для линейного дифференциального уравнения первого порядка.

Пример 4.15

Запись линейных уравнений первого порядка в стандартной форме

Приведите каждое из следующих линейных дифференциальных уравнений первого порядка к стандартной форме. Определите p(x)p(x) и q(x)q(x) для каждого уравнения.

  1. у’=3х-4уу’=3х-4у
  2. 3xy′4y−3=23xy′4y−3=2 (здесь x≠0)x≠0)
  3. у=3у’-4х2+5у=3у’-4х2+5
Решение
  1. Добавьте 4y4y к обеим сторонам:

    В этом уравнении p(x)=4p(x)=4 и q(x)=3x.д(х)=3х.
  2. Умножьте обе стороны на 4y−3,4y−3, затем вычтите 8y8y из каждой стороны:
    3xy′4y−3=23xy′=2(4y−3)3xy′=8y−63xy′−8y=−6,3xy′4y−3=23xy′=2(4y−3)3xy′=8y−63xy′− 8у=-6.
    Наконец, разделите обе части на 3x3x, чтобы сделать коэффициент y′y′ равным 1:1:
    y′−83xy=−2x.y′−83xy=−2x.

    (4.17)

    Это допустимо, поскольку в исходной постановке этой задачи мы предполагали, что x≠0,x≠0. (Если x=0x=0, то исходное уравнение становится 0=2,0=2, что явно неверно.)
    В этом уравнении p(x)=-83xp(x)=-83x и q(x)=-23x.q(x)=-23x.
  3. Вычтите yy из каждой стороны и прибавьте 4×2−5:4×2−5:
    3y′−y=4×2−5,3y′−y=4×2−5.
    Затем разделите обе части на 3:3:
    y′−13y=43×2−53.y′−13y=43×2−53.
    В этом уравнении p(x)=-13p(x)=-13 и q(x)=43×2-53.q(x)=43×2-53.

Пропускной пункт 4.15

Поместите уравнение (x+3)y′2x−3y−4=5(x+3)y′2x−3y−4=5 в стандартную форму и определите p(x)p(x) и q(x) .q(х).

Интегрирующие коэффициенты

Теперь мы разработаем метод решения любого линейного дифференциального уравнения первого порядка.Начнем со стандартной формы линейного дифференциального уравнения первого порядка:

y′+p(x)y=q(x).y′+p(x)y=q(x).

(4.18)

Первый член в левой части уравнения 4.15 — это производная неизвестной функции, а второй член — это произведение известной функции на неизвестную функцию. Это чем-то напоминает правило продукта из раздела «Правила дифференциации». Если мы умножим уравнение 4.16 на еще не определенную функцию µ(x),µ(x), то уравнение примет вид

µ(x)y′+µ(x)p(x)y=µ(x)q(x).µ(x)y′+µ(x)p(x)y=µ(x)q(x).

(4.19)

Левую часть уравнения 4.18 можно идеально согласовать с правилом произведения:

ddx[f(x)g(x)]=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).ddx[f(x)g(x)]=f′(x)g (х)+f(х)g'(х).

Почленное сопоставление дает y=f(x),g(x)=µ(x),y=f(x),g(x)=µ(x) и g′(x)=µ(x )p(x).g′(x)=µ(x)p(x). Взяв производную g(x)=µ(x)g(x)=µ(x) и приравняв ее к правой части g′(x)=µ(x)p(x)g′( x)=µ(x)p(x) приводит к

µ′(x)=µ(x)p(x).µ′(x)=µ(x)p(x).

Это разделимое дифференциальное уравнение первого порядка для µ(x).м(х). Мы знаем p(x)p(x), потому что оно появляется в дифференциальном уравнении, которое мы решаем. Разделение переменных и интегрирование результатов

μ′(x)μ(x)=p(x)∫μ′(x)μ(x)dx=∫p(x)dxln|μ(x)|=∫p(x)dx+Celn|μ( х)|=e∫p(x)dx+C|µ(x)|=C1e∫p(x)dxµ(x)=C2e∫p(x)dx.µ′(x)µ(x)=p (x)∫µ′(x)µ(x)dx=∫p(x)dxln|µ(x)|=∫p(x)dx+Celn|µ(x)|=e∫p(x)dx +C|µ(x)|=C1e∫p(x)dxµ(x)=C2e∫p(x)dx.

Здесь C2C2 может быть произвольной (положительной или отрицательной) константой. Это приводит к общему методу решения линейного дифференциального уравнения первого порядка. Сначала мы умножаем обе части уравнения 4.16 на интегрирующий коэффициент µ(x).µ(x). Это дает

μ(x)y′+μ(x)p(x)y=μ(x)q(x).μ(x)y′+μ(x)p(x)y=μ(x)q(x ).

(4.20)

Левую часть уравнения 4.20 можно переписать как ddx(μ(x)y).ddx(μ(x)y).

ddx(µ(x)y)=µ(x)q(x).ddx(µ(x)y)=µ(x)q(x).

(4.21)

Затем проинтегрируйте обе части уравнения 4.21 относительно x.x.

∫ddx(µ(x)y)dx=∫µ(x)q(x)dxµ(x)y=∫µ(x)q(x)dx.∫ddx(µ(x)y)dx=∫µ (x)q(x)dxµ(x)y=∫µ(x)q(x)dx.

(4.22)

Разделите обе части уравнения 4.22 на µ(x):µ(x):

y=1µ(x)[∫µ(x)q(x)dx+C].y=1µ(x)[∫µ(x)q(x)dx+C].

(4.23)

Так как µ(x)µ(x) было вычислено ранее, мы закончили. Важное замечание о константе интегрирования C:C: может показаться, что мы непоследовательны в использовании константы интегрирования. Однако интеграл, включающий p(x)p(x), необходим для того, чтобы найти интегрирующий коэффициент для уравнения 4.15. Для решения уравнения необходим только один интегрирующий фактор; поэтому безопасно присвоить значение CC для этого интеграла. Мы выбрали C=0.C=0. При вычислении интеграла в скобках в уравнении 4.21 необходимо оставить открытыми варианты значений константы интегрирования, потому что наша цель — найти общее семейство решений уравнения 4.15. Этот интегрирующий фактор гарантирует именно это.

Стратегия решения проблем

Стратегия решения задач: решение линейного дифференциального уравнения первого порядка
  1. Приведите уравнение к стандартной форме и определите p(x)p(x) и q(x).д(х).
  2. Вычислите интегрирующий коэффициент µ(x)=e∫p(x)dx.µ(x)=e∫p(x)dx.
  3. Умножьте обе части дифференциального уравнения на µ(x).µ(x).
  4. Проинтегрируйте обе части уравнения, полученного на шагах 3 и 3, и разделите обе части на µ(x).µ(x).
  5. Если есть начальное условие, определить значение C.C.

Пример 4.16

Решение линейного уравнения первого порядка

Найдите общее решение дифференциального уравнения xy′+3y=4×2−3x. ху’+3у=4х2-3х. Предположим, х>0.х>0.

Решение
  1. Чтобы представить это дифференциальное уравнение в стандартной форме, разделите обе части на x:x:
    y′+3xy=4x−3.y′+3xy=4x−3.
    Следовательно, p(x)=3xp(x)=3x и q(x)=4x−3.q(x)=4x−3.
  2. Коэффициент интегрирования равен µ(x)=e∫(3/x)dx=e3lnx=x3.µ(x)=e∫(3/x)dx=e3lnx=x3.
  3. Умножение обеих частей дифференциального уравнения на µ(x)µ(x) дает нам
    x3y′+x3(3x)y=x3(4x−3)x3y′+3x2y=4×4−3x3ddx(x3y)=4×4−3×3.x3y′+x3(3x)y=x3(4x−3)x3y′+3x2y =4×4−3x3ddx(x3y)=4×4−3×3.
  4. Интегрируйте обе части уравнения.
    ∫ddx(x3y)dx=∫4×4−3x3dxx3y=4×55−3×44+Cy=4×25−3×4+Cx−3.∫ddx(x3y)dx=∫4×4−3x3dxx3y=4×55−3×44+Cy=4×25−3×4+Cx− 3.
  5. Начальное значение отсутствует, поэтому проблема решена.
Анализ

Возможно, вы заметили условие, которое было наложено на дифференциальное уравнение; а именно, x>0.x>0. Для любого ненулевого значения C,C общее решение не определено при x=0. x=0. Кроме того, когда x<0,x<0, интегрирующий коэффициент изменяется.Коэффициент интегрирования определяется уравнением 4.19 как f(x)=e∫p(x)dx.f(x)=e∫p(x)dx. Для этого p(x)p(x) мы получаем

e∫p(x)dx=e∫(3/x)dx=e3ln|x|=|x|3,e∫p(x)dx=e∫(3/x)dx=e3ln|x|=| х|3,

, так как x<0.x<0. Поведение общего решения меняется при x=0x=0 во многом из-за того, что p(x)p(x) там не определено.

Пропускной пункт 4.16

Найдите общее решение дифференциального уравнения (x−2)y′+y=3×2+2x.(x−2)y′+y=3×2+2x. Предположим, х>2.х>2.

Теперь мы используем ту же стратегию, чтобы найти решение задачи с начальным значением.

Пример 4.17

Линейная задача первого порядка с начальным значением

Решить задачу с начальным значением

y′+3y=2x−1,y(0)=3.y′+3y=2x−1,y(0)=3.
Решение
  1. Это дифференциальное уравнение уже имеет стандартную форму с p(x)=3p(x)=3 и q(x)=2x−1. q(x)=2x−1.
  2. Коэффициент интегрирования равен µ(x)=e∫3dx=e3x.µ(x)=e∫3dx=e3x.
  3. Умножение обеих частей дифференциального уравнения на µ(x)µ(x) дает
    e3xy′+3e3xy=(2x−1)e3xddx[ye3x]=(2x−1)e3x.e3xy′+3e3xy=(2x−1)e3xddx[ye3x]=(2x−1)e3x.
    Интегрируйте обе части уравнения:
    ∫ddx[ye3x]dx=∫(2x−1)e3xdxye3x=e3x3(2x−1)−∫23e3xdxye3x=e3x(2x−1)3−2e3x9+Cy=2x−13−29+Ce−3xy=2×3−59 +Ce−3x.∫ddx[ye3x]dx=∫(2x−1)e3xdxye3x=e3x3(2x−1)−∫23e3xdxye3x=e3x(2x−1)3−2e3x9+Cy=2x−13−29+Ce− 3xy=2×3−59+Ce−3x.
  4. Теперь подставьте x=0x=0 и y=3y=3 в общее решение и найдите C:C:
    y=23x−59+Ce−3×3=23(0)−59+Ce−3(0)3=−59+CC=329.y=23x−59+Ce−3×3=23(0)−59+Ce −3(0)3=−59+CC=329.
    Следовательно, решение начальной задачи равно
    . у=23х-59+329е-3х.у=23х-59+329е-3х.

Пропускной пункт 4.17

Решить начальную задачу y′−2y=4x+3y(0)=−2.y′−2y=4x+3y(0)=−2.

Приложения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Мы рассмотрим два различных применения линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Первый связан с сопротивлением воздуха, поскольку он относится к объектам, которые поднимаются или падают; второй включает в себя электрическую цепь. Другие приложения многочисленны, но большинство из них решаются аналогичным образом.

Свободное падение с сопротивлением воздуха

В начале этого раздела мы обсуждали сопротивление воздуха. В следующем примере показано, как применить эту концепцию к мячу в вертикальном движении. На силу сопротивления воздуха могут влиять и другие факторы, например размер и форма объекта, но здесь мы их игнорируем.

Пример 4.18

Мяч с сопротивлением воздуху

Ракетный мяч брошен прямо вверх с начальной скоростью 22 м/с. Масса ракетного мяча приблизительно равна 0.04270,0427 кг. Сопротивление воздуха действует на мяч с силой, численно равной 0,5v, 0,5v, где vv — скорость мяча в момент времени t.t.

  1. Найдите зависимость скорости мяча от времени.
  2. Через какое время мяч достигнет максимальной высоты?
  3. Если по мячу ударить с начальной высоты 11 метров, до какой высоты он поднимется?
Решение
  1. Масса m=0,0427 кг, k=0,5, m=0,0427 кг, k=0,5 и g=9.8 м/с2.g=9,8 м/с2. Начальная скорость v0=2v0=2 м/с. Следовательно, задача с начальным значением равна
    . 0,0427dvdt=-0,5v-0,0427(9,8),v0=2,0,0427dvdt=-0,5v-0,0427(9,8),v0=2.
    Деление дифференциального уравнения на 0,04270,0427 дает
    . dvdt=-11,7096v-9,8,v0=2.dvdt=-11,7096v-9,8,v0=2.
    Дифференциальное уравнение является линейным. Использование стратегии решения задач для линейных дифференциальных уравнений:
    Шаг 1. Перепишите дифференциальное уравнение в виде dvdt+11,7096v=-9,8.dvdt+11,7096v=-9,8. Это дает p(t)=11.7096p(t)=11,7096 и q(t)=-9,8q(t)=-9,8
    Шаг 2. Коэффициент интегрирования равен µ(t)=e∫11,7096dt=e11,7096t.µ(t)=e∫11,7096dt=e11,7096t.
    Шаг 3. Умножьте дифференциальное уравнение на µ(t):µ(t):
    e11. 7096tdvdt+11.7096ve11.7096t=-9.8e11.7096tddt[ve11.7096t]=-9.8e11.7096t.e11.7096tdvdt+11.7096ve11.7096t=-9.8e11.7096tddt=19.8t[ve11.709.6t] 7096т.
    Шаг 4. Интегрируйте обе стороны:
    ∫ddt[ve11.7096t]dt=∫−9.8e11.7096tdtve11.7096t=−9.811.7096e11.7096t+Cv(t)=−0.8369+Ce−11.7096t.∫ddt[ve11.7096t]dt=∫-9,8e11,7096tdtve11,7096t=-9,811,7096e11,7096t+Cv(t)=-0,8369+Ce-11,7096t.
    Шаг 5. Решите для CC, используя начальное условие v0=v(0)=2:v0=v(0)=2:
    v(t)=-0,8369+Ce-11,7096tv(0)=-0,8369+Ce-11,7096(0)2=-0,8369+CC=2,8369.v(t)=-0,8369+Ce-11,7096tv(0)= -0,8369+Ce-11,7096(0)2=-0,8369+CC=2,8369.
    Следовательно, решение задачи с начальными значениями имеет вид v(t)=2,8369e-11,7096t-0,8369.v(t)=2,8369e-11,7096t-0,8369.
  2. Мяч достигает максимальной высоты, когда его скорость равна нулю.Причина в том, что при положительной скорости она возрастает, а при отрицательной — падает. Следовательно, когда он равен нулю, он не поднимается и не опускается и находится на максимальной высоте: 90 247. 2.8369E-11.7096T-0.8369 = 02.8369E-11.7096T = 0.8369E-11.7096T = 0.83692.8369≈0.295LNE-11.7096T = LN0.295≈-1.221-11-176T = -1.221T≈0.104.2.8369E-11.7096 t-0,8369=02,8369e-11,7096t=0,8369e-11,7096t=0,83692,8369≈0,295lne-11,7096t=ln0,295≈-1,221-11,7096t=-1,221t≈0,104.
    Поэтому требуется примерно 0.1040,104 секунды для достижения максимальной высоты.
  3. Чтобы найти высоту мяча как функцию времени, используйте тот факт, что производная положения есть скорость, т. е. если h(t)h(t) представляет собой высоту в момент времени t,t, то h′(t )=v(t).h′(t)=v(t). Поскольку мы знаем v(t)v(t) и начальную высоту, мы можем сформировать задачу с начальным значением:
    h'(t)=2,8369e-11,7096t-0,8369,h(0)=1.h'(t)=2,8369e-11,7096t-0,8369,h(0)=1.
    Интегрирование обеих частей дифференциального уравнения относительно tt дает
    ∫h′(t)dt=∫2.8369e-11,7096t-0,8369dth(t)=-2,836911,7096e-11,7096t-0,8369t+Ch(t)=-0,2423e-11,7096t-0,8369t+C.∫h'(t)dt=∫2,8369e −11,7096t−0,8369dth(t)=−2,836911,7096e−11,7096t−0,8369t+Ch(t)=−0,2423e−11,7096t−0,8369t+C.
    Решите для CC, используя начальное условие:
    h(t)=-0,2423e-11,7096t-0,8369t+Ch(0)=-0,2423e-11,7096(0)-0,8369(0)+C1=-0,2423+CC=1,2423.h(t)=-0,2423 e-11,7096t-0,8369t+Ch(0)=-0,2423e-11,7096(0)-0,8369(0)+C1=-0,2423+CC=1,2423.
    Поэтому
    h(t)=-0,2423e-11,7096t-0,8369t+1,2423.h(t)=-0,2423e-11,7096t-0,8369t+1,2423.
    Через 0,1040,104 секунды высота равна
    . h(0,104)=-0,2423e-11,7096t-0,8369t+1,2423≈1,0836h(0,104)=-0,2423e-11,7096t-0,8369t+1,2423≈1,0836 метра.

Пропускной пункт 4.18

Вес пенни составляет 2,52,5 грамма (Монетный двор США, «Спецификации монет», по состоянию на 9 апреля 2015 г., http://www.usmint.gov/about_the_mint/?action=coin_specifications), а верхняя смотровая площадка Эмпайр Стейт Билдинг находится на высоте 369 369 метров над уровнем улицы.Поскольку монета представляет собой небольшой и относительно гладкий предмет, сопротивление воздуха, действующее на монету, на самом деле довольно мало. Примем сопротивление воздуха численно равным 0,0025v. 0,0025v. Более того, монетка падает без придания ей начальной скорости.

  1. Создайте задачу с начальным значением, представляющую падающую монету.
  2. Решите задачу для v(t).v(t).
  3. Какова конечная скорость копейки (т. е. вычислить предел скорости при стремлении tt к бесконечности)?
Электрические цепи

Источник электродвижущей силы (например,g., батарея или генератор) создает ток в замкнутой цепи, и этот ток вызывает падение напряжения на каждом резисторе, катушке индуктивности и конденсаторе в цепи. Правило петли Кирхгофа гласит, что сумма падений напряжения на резисторах, катушках индуктивности и конденсаторах равна общей электродвижущей силе в замкнутой цепи. У нас есть следующие три результата:

  1. Падение напряжения на резисторе определяется как

    где RR — константа пропорциональности, называемая сопротивлением , и ii — ток.
  2. Падение напряжения на катушке индуктивности определяется выражением
    .
    где LL — константа пропорциональности, называемая индуктивностью , а ii снова обозначает ток.
  3. Падение напряжения на конденсаторе определяется выражением
    .

, где CC — константа пропорциональности, называемая емкостью , а qq — мгновенный заряд конденсатора. Связь между ii и qq такова: i=q’.i=q’.

Мы используем вольты (В)(В) для измерения напряжения E,E, ампер (A)(A) для измерения тока i,i, кулоны (C)(C) для измерения заряда q,q, омы (Ω )(Ω) для измерения сопротивления R,R, генри (H)(H) для измерения индуктивности L,L и фарады (F)(F) для измерения емкости C.C. Рассмотрим схему на рис. 4.25.

Фигура 4,25 Типичная электрическая цепь, содержащая генератор напряжения (VS), (VS), конденсатор (C), (C), катушку индуктивности (L), (L) и резистор (R) (R).

Применяя к этой цепи правило цикла Кирхгофа, обозначим через EE электродвижущую силу, создаваемую генератором напряжения. Затем

Подставляя выражения для EL,ER,EL,ER и ECEC в это уравнение, мы получаем

Li’+Ri+1Cq=E.Li’+Ri+1Cq=E.

(4.24)

Если в цепи нет конденсатора, то уравнение принимает вид

Ли’+Ри=Е.Ли’+Ри=Е.

(4.25)

Это дифференциальное уравнение первого порядка относительно i.i. Схема называется схемой LRLR.

Далее предположим, что в цепи нет катушки индуктивности, но есть конденсатор и резистор, поэтому L=0,R≠0,L=0,R≠0 и C≠0.C≠0. Тогда уравнение 4.23 можно переписать как

. Rq’+1Cq=E, Rq’+1Cq=E,

(4.26)

, которое представляет собой линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Это называется схемой RC . В любом случае мы можем поставить и решить задачу с начальным значением.

Пример 4.19

Определение тока в электрической цепи
RL

Цепь имеет последовательную электродвижущую силу, определяемую как E=50sin20tV, E=50sin20tV, резистор 5Ω, 5Ω и катушку индуктивности 0. 4H.0.4H. Если начальный ток равен 0,0, найти ток в момент времени t>0.t>0.

Решение

В цепи есть резистор и катушка индуктивности, поэтому мы используем уравнение 4.24. Падение напряжения на резисторе определяется как ER=Ri=5i.ER=Ri=5i. Падение напряжения на катушке индуктивности определяется как EL=Li’=0,4i’.EL=Li’=0,4i’. Электродвижущая сила становится правой частью уравнения 4.24. Следовательно, уравнение 4.24 становится

. 0,4i′+5i=50sin20t.0,4i′+5i=50sin20t.

Деление обеих частей на 0,40,4 дает уравнение

i’+12,5i=125sin20t.i’+12,5i=125sin20t.

Поскольку начальный ток равен 0, этот результат дает начальное условие i(0)=0.i(0)=0. Мы можем решить эту начальную задачу, используя пятишаговую стратегию решения дифференциальных уравнений первого порядка.

Шаг 1. Перепишите дифференциальное уравнение в виде i′+12,5i=125sin20t.i′+12,5i=125sin20t. Это дает p(t)=12,5p(t)=12,5 и q(t)=125sin20t.q(t)=125sin20t.

Шаг 2. Коэффициент интегрирования: μ(t)=e∫12,5dt=e12,5t.μ(t)=e∫12,5dt=e12,5t.

Шаг 3. Умножьте дифференциальное уравнение на µ(t):µ(t):

e12,5ti′+12,5e12,5ti=125e12,5tsin20tddt[ie12,5t]=125e12,5tsin20t.e12,5ti′+12,5e12,5ti=125e12,5tsin20tddt[ie12,5t]=125e12,5tsin20t.

Шаг 4. Интегрируйте обе стороны:

∫ddt[т.е.12.5t]dt=∫125e12,5tsin20tdtie12,5t=(250sin20t−400cos20t89)e12,5t+Ci(t)=250sin20t−400cos20t89+Ce−12,5t.∫ddt[ie12,5t]dt=t=∫125e12,5ts1,5tdtdtie (250sin20t−400cos20t89)e12,5t+Ci(t)=250sin20t−400cos20t89+Ce−12,5t.

Шаг 5. Решите для CC, используя начальное условие v(0)=2:v(0)=2:

i(t)=250sin20t−400cos20t89+Ce−12,5ti(0)=250sin20(0)−400cos20(0)89+Ce−12,5(0)0=−40089+CC=40089.i(t)=250sin20t− 400cos20t89+Ce-12,5ti(0)=250sin20(0)-400cos20(0)89+Ce-12,5(0)0=-40089+CC=40089.

Следовательно, решение задачи с начальными значениями есть i(t)=250sin20t−400cos20t+400e−12.5t89=250sin20t−400cos20t89+400e−12,5t89.i(t)=250sin20t−400cos20t+400e−12,5t89=250sin20t−400cos20t89+400e−12,5t89.

Первое слагаемое можно переписать как одну функцию косинуса. Сначала умножьте и разделите на 2502+4002=5089:2502+4002=5089:

250SIN20T-400COS20T89 = 508989 (250SIN20T-400COS20T5089) = — 508989 (8COS20T89-5SIN20T89) .250SIN20T-400COS20T899 = 508989 (250SIN20T-400COS20T5089) = — 508989 (8COS20T89-5SIN20T89).

Затем определите φφ как острый угол, такой что cosφ=889.cosφ=889. Тогда sinφ=589sinφ=589 и

−508989(8cos20t89−5sin20t89)=−508989(cosφcos20t−sinφsin20t)=−508989cos(20t+φ).−508989(8cos20t89−5sin20t89)=−508989(cosφcos20t−sinφsin20t)=−508989cos(20t+φ).

Следовательно, решение можно записать как

. i(t)=-508989cos(20t+φ)+400e-12,5t89.i(t)=-508989cos(20t+φ)+400e-12,5t89.

Второй член называется -затухающим -членом, потому что он быстро исчезает по мере увеличения t . Фазовый сдвиг определяется как φ,φ, а амплитуда установившегося тока определяется как 508989,508989. График этого решения показан на рисунке 4. 26:

Фигура 4.26

Пропускной пункт 4.19

В цепи последовательно соединены электродвижущая сила E=20sin5tE=20sin5t В, конденсатор емкостью 0,02F, 0,02F и резистор 8Ω,8Ω. Если начальный заряд равен 4C,4C, найти заряд в момент времени t>0.t>0.

Раздел 4.5 Упражнения

Являются ли следующие дифференциальные уравнения линейными? Объясните свои рассуждения.

208 .

dydx=x2y+sinxdydx=x2y+sinx

Запишите следующие дифференциальные уравнения первого порядка в стандартной форме.

213 .

у’=x3y+sinxy’=x3y+sinx

214 .

y′+3y−lnx=0y′+3y−lnx=0

215 .

−xy′=(3x+2)y+xex−xy′=(3x+2)y+xex

216 .

dydt=4y+ty+tantdydt=4y+ty+tant

Каковы интегрирующие коэффициенты для следующих дифференциальных уравнений?

219 .

y′+exy=sinxy′+exy=sinx

220 .

y′=xln(x)y+3xy′=xln(x)y+3x

221 .

dydx=тангенс(х)у+1dydx=тангенс(х)у+1

Решите следующие дифференциальные уравнения, используя интегрирующие коэффициенты.

225 .

ху’=3у-6х2ху’=3у-6х2

226 .

(х+2)у’=3х+у(х+2)у’=3х+у

229 .

грех(х)у’=у+2хsin(х)у’=у+2х

Решите следующие дифференциальные уравнения. С помощью калькулятора нарисуйте семейство решений. Существуют ли определенные начальные условия, которые изменяют поведение решения?

233 .

[Т] (х+2)у’=2у-1(х+2)у’=2у-1

234 .

[T] y′=3et/3−2yy′=3et/3−2y

235 .

[T] xy’+y2=sin(3t)xy’+y2=sin(3t)

236 .

[T] xy’=2cosxx-3yxy’=2cosxx-3y

237 .

[T] (x+1)y′=3y+x2+2x+1(x+1)y′=3y+x2+2x+1

238 .

[T] sin(x)y′+cos(x)y=2xsin(x)y′+cos(x)y=2x

239 .

[T] x2+1y′=y+2×2+1y′=y+2

240 .

[T] x3y′+2x2y=x+1x3y′+2x2y=x+1

Решите следующие задачи с начальными значениями, используя интегрирующие коэффициенты.

241 .

у’+у=х,у(0)=3у’+у=х,у(0)=3

242 .

у’=у+2х2,у(0)=0у’=у+2х2,у(0)=0

243 .

ху’=у-3х3,у(1)=0ху’=у-3х3,у(1)=0

244 .

x2y′=xy−lnx,y(1)=1x2y′=xy−lnx,y(1)=1

245 .

(1+x2)y′=y−1,y(0)=0(1+x2)y′=y−1,y(0)=0

246 .

ху’=у+2xlnx,y(1)=5xy’=y+2xlnx,y(1)=5

247 .

(2+x)y′=y+2+x,y(0)=0(2+x)y′=y+2+x,y(0)=0

248 .

y′=xy+2xex,y(0)=2y′=xy+2xex,y(0)=2

249 .

ху’=у+2х,у(0)=1ху’=у+2х,у(0)=1

250 .

y′=2y+xex,y(0)=−1y′=2y+xex,y(0)=−1

251 .

Падающий объект массой mm может достичь конечной скорости, когда сила сопротивления пропорциональна его скорости с константой пропорциональности k. k. Составьте дифференциальное уравнение и решите скорость при начальной скорости 0,0.

252 .

Используя ваше выражение из предыдущей задачи, какова конечная скорость? ( Подсказка: Изучите предельное поведение; приближается ли скорость к значению?)

253 .

[T] Используя уравнение для конечной скорости, найдите пройденное расстояние. Сколько времени потребуется, чтобы упасть с высоты 50005000 метров, если масса равна 100100 кг, ускорение свободного падения равно 9,89,8 м/с 2 , а константа пропорциональности равна 4?4?

254 .

Более точный способ описать конечную скорость состоит в том, что сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости с константой пропорциональности k.k. Составьте дифференциальное уравнение и найдите скорость.

255 .

Используя ваше выражение из предыдущей задачи, какова конечная скорость? ( Подсказка: Изучите предельное поведение: приближается ли скорость к значению?)

256 .

[T] Используя уравнение для конечной скорости, найдите пройденное расстояние. Сколько времени потребуется, чтобы упасть с высоты 50005000 метров, если масса 100100 кг, ускорение свободного падения 9,8 м/с29,8 м/с2 и константа пропорциональности 4×4? Это занимает больше или меньше времени, чем ваша первоначальная оценка?

Для следующих задач определите, как параметр aa влияет на решение.

257 .

Решите общее уравнение y′=ax+y.y′=ax+y. Как изменение аа меняет поведение?

258 .

Решите общее уравнение y′=ay+x.y′=ay+x. Как изменение аа меняет поведение?

259 .

Решите общее уравнение y′=ax+xy.y′=ax+xy. Как изменение аа меняет поведение?

260 .

Решите общее уравнение y′=x+axy.y′=x+axy. Как изменение аа меняет поведение?

261 .

Решить y′−y=ekty′−y=ekt с начальным условием y(0)=0.у(0)=0. Когда kk приближается к 1,1, что происходит с вашей формулой?

Что нужно знать для изучения исчисления

Дифференциальные уравнения первого порядка — это уравнения, содержащие некоторую неизвестную функцию и ее первую производную. Основная цель этой обзорной статьи по Calculus III — обсудить свойства решений дифференциальных уравнений первого порядка и описать некоторые эффективные методы нахождения решений.

Стандартная форма

Стандартная форма дифференциального уравнения первого порядка для неизвестной функции y(t):

\dfrac{dy}{dt} = f(t,y)

Здесь f — некоторая функция двух переменных.Многие, но не все, дифференциальные уравнения первого порядка могут быть записаны в стандартной форме путем алгебраического решения относительно \dfrac{dy}{dt} и последующего присвоения f(t,y) правой части полученного уравнения.

Любая дифференцируемая функция y = y(t), которая удовлетворяет этому уравнению для всех t в некотором интервале, называется решением. Некоторые дифференциальные уравнения не имеют решений, тогда как другие дифференциальные уравнения имеют бесконечно много решений. Также возможно, что дифференциальное уравнение имеет ровно одно решение.Общее решение дифференциального уравнения – это множество всех решений. Дифференциальное уравнение вместе с дополнительным условием y(t_0) = y_0 , заданным при некотором значении независимой переменной t = t_0 , составляет задачу с начальным значением. Решением задачи с начальным значением является функция y(t), которая одновременно решает дифференциальное уравнение и удовлетворяет заданному вспомогательному условию y(t_0) = y_0 .

Уравнения с разделяющимися переменными

Не существует универсально применимой процедуры решения дифференциальных уравнений первого порядка в стандартной форме с произвольным f(t,y) .Здесь мы рассматриваем подмножество уравнений первого порядка, которые можно интегрировать напрямую.

Это возможно, если функция

ф(т,г)

может быть представлен в форме

f(t,y) = g(t) h(y)

Здесь g является функцией только t , а h является функцией только y . Дифференциальное уравнение

\dfrac{dy}{dt} = g(t) h(y)

называется отделимым. Мы можем записать это в дифференциальной форме

\dfrac{dy}{h(y)} — g(t) dt = 0

Общее решение этого уравнения дается следующим интегралом:

\int \dfrac{dy}{h(y)} — \int g(t) dt = C

Здесь C представляет произвольную постоянную интегрирования. 2 = грех т + 1

Однородные уравнения

Дифференциальное уравнение в стандартной форме

\dfrac{dy}{dt} = f(t,y)

является однородным, если

f(\alpha t,\alpha y) = f(t,y)

для любого действительного числа \alpha .

Такое уравнение всегда можно преобразовать в разделимое уравнение заменой независимой переменной

у = т, г

вместе с соответствующей производной:

\dfrac{dy}{dt} = t ,\dfrac{dz}{dt} + z

Полученное уравнение с переменными z и t

можно решить как разделимое дифференциальное уравнение, поскольку функция f

после такой замены оказывается функцией с одной переменной z .

Проиллюстрируем этот метод на примерах.

Пример 1

Рассмотрим уравнение:

\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{y+t}{t}

Сначала проверим условие однородности:

f(\alpha t,\alpha y) = \dfrac{\alpha y+\alpha t}{\alpha t} = \dfrac{y+t}{t} = f(t, y)

Во-вторых, мы вводим новую зависимую переменную,

z , так что z=y/t :

\dfrac{dy}{dt} = t ,\dfrac{dz}{dt} + z = z+1

Уравнение

т, \dfrac{dz}{dt} = 1

— дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными, которое можно интегрировать напрямую:

z = ln|Kt|

Здесь мы установили константу интегрирования

С=-,ln|К| ,

и отметили, что

лн|т| + пер|К| = ln|Кт| . 2

Линейные уравнения с переменными коэффициентами

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка в стандартной форме:

\dfrac{dy}{dt} = f(t,y) .

Дифференциальное уравнение является линейным, если f(t,y)

можно записать как функцию t, умноженную на y,

плюс еще одна функция

t : f(t,y) = — ,p(t) y + q(t) .

Следовательно, линейное дифференциальное уравнение всегда может быть выражено как:

\dfrac{dy}{dt} + p(t) y = q(t)

Здесь p и q

заданы функции независимой переменной t .

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка не могут быть решены прямыми методами интегрирования, потому что переменные неразделимы. В результате нам нужно использовать другой метод решения. Первым шагом является умножение линейного дифференциального уравнения на неопределенную функцию \mu(t) :

.

\mu(t) ,\dfrac{dy}{dt} + \mu(t) p(t) y = \mu(t) q(t)

Теперь вопрос состоит в том, можем ли мы выбрать \mu(t) так, чтобы левая часть этого уравнения распознавалась как производная от некоторого конкретного выражения. Отметим следующие равенства:

\dfrac{d}{dt} [\mu(t)y] = \mu(t) \dfrac{dy}{dt} + \dfrac{d\mu(t)}{dt},y = \mu (t) , \dfrac{dy}{dt} + \mu(t) p(t) y

Здесь второе равенство справедливо при условии, что \mu(t) удовлетворяет уравнению:

\dfrac{d\mu(t)}{dt} = p(t) \mu(t)

Это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными, которое можно напрямую интегрировать:

\int \dfrac{d\mu}{\mu} — \int p(t) dt = 0

Если временно предположить, что \mu(t) положителен, то мы имеем:

ln\mu(t) = \int p(t) dt + K

Выбирая произвольную константу K равной нулю, мы получаем простейшую возможную функцию для \mu .   А именно:

\mu(t) = exp\left(\int p(t) dt\right)

Обратите внимание, что коэффициент интегрирования \mu(t)

положительно для всех t ,

, как мы и предполагали. Возвращаясь к линейному дифференциальному уравнению, имеем:

\dfrac{d}{dt} [\mu(t)y] = \mu(t) q(t)

Следовательно, общее решение:

y = \dfrac{\int \mu(s) q(s) ds + C}{\mu(t)}

Обратите внимание, что для нахождения решения линейного дифференциального уравнения требуется два интегрирования: одно для получения интегрирующего множителя \mu(t) , а другое для получения y . 5}}

Точные уравнения и интегрирующие коэффициенты

Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение первого порядка:

м (t, y) + n (t, y) , \ dfrac {dy} {dt} = 0

Мы предполагаем, что оно не является ни линейным, ни сепарабельным, поэтому методы, подходящие для таких типов уравнений, здесь неприменимы. Но предположим, что мы можем определить такую ​​функцию Psi(t,y), что:

\dfrac{\partial Psi}{\partial t} = m(t,y) ,,\qquad \dfrac{\partial Psi}{\partial y} = n(t,y)

Тогда дифференциальное уравнение принимает вид:

, \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{d}{dt} ,Psi[t, y(t)] = 0

Такое дифференциальное уравнение называется точным уравнением.Решение точного уравнения задается неявно как

Psi(t,y) = C ,

, где, как обычно, C

представляет произвольную константу.

Систематический способ определения точности заданного дифференциального уравнения обеспечивается следующим тестом. Если m(t,y) и n(t,y) — непрерывные функции, то дифференциальное уравнение первого порядка вида:

м (t, y) + n (t, y) , \ dfrac {dy} {dt} = 0

точно тогда и только тогда, когда:

\dfrac{\partial m(t,y)}{\partial y} = \dfrac{\partial n(t,y)}{\partial t}

В некоторых случаях неточное дифференциальное уравнение может быть преобразовано в точное уравнение. Такое преобразование возможно, если умножить уравнение на подходящий интегрирующий множитель. Чтобы исследовать возможность реализации этой идеи в более общем виде, давайте умножим уравнение на функцию \mu , затем попробуем выбрать \mu так, чтобы полученное уравнение:

\mu(t,y) m(t,y) + \mu(t,y) n(t,y) ,\dfrac{dy}{dt} = 0

проходит проверку на точность:

\dfrac{\partial}{\partial y}[\mu m] = \dfrac{\partial}{\partial t}[\mu n]

Хотя в принципе интегрирующие коэффициенты являются мощным средством решения дифференциальных уравнений, на практике их можно найти только в особых случаях.Самая важная ситуация, в которой можно найти интегрирующие множители, возникает, когда \mu является функцией только одной из переменных t или y , а не обеих. Предполагая, что \mu является функцией только t , мы имеем:

\dfrac{d\mu}{dt} = g \mu ,, \qquad g = \dfrac{1}{n}\left( \dfrac{\partial m}{\partial y} — \dfrac{\partial n}{\partial t} \right)

Если   g является функцией только t , то коэффициент интегрирования \mu можно определить как:

\mu(t) = exp\left(\int g(t) dt\right)

Аналогичную процедуру можно использовать для определения условия, при котором дифференциальное уравнение имеет интегрирующий коэффициент, зависящий только от y . 2 = С

Завершение всего

В этой обзорной статье по исчислению III мы исследовали различные типы дифференциальных уравнений первого порядка, которые можно использовать. Теперь вы сможете определить тип дифференциального уравнения, а затем применить правильный метод его решения. Мы надеемся, что этот пост придаст вам большей уверенности в ваших знаниях дифференциальных уравнений первого порядка и облегчит изучение исчисления III.

Давайте применим все на практике.Попробуйте этот практический вопрос по дифференциальным уравнениям:

Хотите узнать больше о дифференциальных уравнениях?

На сайте Albert.io можно найти тысячи практических вопросов. Albert.io позволяет вам настроить учебный процесс так, чтобы он ориентировался на практику, в которой вам больше всего нужна помощь. Мы дадим вам сложные практические вопросы, которые помогут вам достичь мастерства в дифференциальных уравнениях.

Начните тренироваться здесь .

Вы учитель или администратор, заинтересованный в повышении успеваемости учащихся по дифференциальным уравнениям?

Узнайте больше о наших школьных лицензиях здесь .

Минимальные и максимальные решения дифференциальных уравнений первого порядка с отклоняющимися аргументами, зависящими от состояния | Краевые задачи

Мы начнем этот раздел с введения адекватных новых определений нижнего и верхнего решений задачи (1).

Обратите внимание первым, что τ ( T , γ ) ∈ I = I = I

— ∪ I 0 Для всех (T, γ) ∈I0 × C (I), поэтому для каждого t I 0 мы можем определить

τ*(t)=infγ∈C(I)τ(t,γ)∈I,τ*(t)=supγ∈C(I )τ(t,γ)∈I.

Определение 1 Будем говорить, что α,β∈C(I), с α β на I , являются нижним и верхним решением задачи (1), если α|I0, β|I0∈AC(I0) и выполняются следующие неравенства:

α′(t)≤minξ∈E(t)f(t,α(t),ξ)fora. at∈I0,α≤infγ ∈[α,β]Λ(γ)+konI-,

(2)

β′(t)≥minξ∈E(t)f(t,β(t),ξ)fora.a.t∈I0,β≥supγ∈[α,β]Λ(γ)+konI-,

(3)

где

E(t)=mins∈[τ*(t),τ*(t)]α(s),maxs∈[τ*(t),τ*(t)]β(s)(t∈I0 ),

и [α,β]={γ∈C(I):α≤γ≤β}..

Замечание 1 Определение 1 неявно требует, чтобы Λ было ограничено в [ α , β ].

С другой стороны, значения

minξ∈E(t)f(t,α(t),ξ) и maxξ∈E(t)f(t,β(t),ξ),

действительно Достигнутые почти каждый фиксированный T I 0 Благодаря непрерывности F ( T , α ( T ), ·) и F ( T , β ( t ), ·) на компактном комплекте E ( t ).

Теперь представим основной результат этой статьи.

Теорема 1 Предположим, что выполнены следующие условия:

( H 1 ) (нижнее и верхнее решения) Существуют α,β∈C(I), с α β на I, которые являются нижним и верхним решениями задачи ( 1).

( h h 2 ) (Caratheadory Условия)

( ч 2 ) — ( A ) Для всех х , y ∈ [Min T ∈44 ∈4 i α ( T ), Max T I β ( T )] Функция F (·, x , y ) измеримым и для а.а. T I I 0 , Все x ∈ [ α ( T ), β ( T )] и все Y E ( T ) по определению 1) функции f ( t , ·, y ) и f ( t , x , •) непрерывны .

( H 2 ) — ( b ) Для всех γ∈[α,β]={ξ∈C(I):α≤ξ≤β} функция τ (·, γ ) измеримо и для a.а. t I 0 оператор τ ( t , ·) непрерывен в C(I) (оснащенный им обычной топологией равномерной сходимости).

( H 2 ) — ( c ) Нелинейный оператор Λ:C(I)→ℝ непрерывен .

( H 3 (L 1 Связь) Существует ψ L

1 ( I 0 ) Такое, что для.а. T I 0 , Все x ∈ [ α ( T ), β ( T )] И все Y E (T) У нас есть

Тогда задача (1) имеет максимальное и минимальное решения в [ α , β ].

Доказательство . Как обычно, рассмотрим функцию

p(t,x)=α(t),ifx<α(t),x,ifα(t)≤x≤β(t),β(t),ifx>β (t),

и модифицированная задача

x′(t)=f(t,p(t,x(t)),p(τ(t,x),x(τ(t,x)) ))для.a.t∈I0,x(t)=Λ(p(⋅,x(⋅)))+k(t)для всех t∈I-.

(4)

Утверждение 1: Задача (4) имеет непустое и компактное множество решений . Рассмотрим оператор T:C(I)→C(I), который отображает каждое γ∈C(I) в непрерывную функцию , определенную для каждого t I как

Tγ(t) =Λ(p(⋅,γ(⋅)))+k(t),

и для каждого t I 0 как

Tγ(t)=Λ(p(⋅,γ( ⋅)))+k(t0)+∫t0tf(s,p(t,γ(s)),p(τ(s,γ),γ(τ(s,γ))))ds.

Элементарно проверить, что T — вполне непрерывный оператор из C(I) в себя (необходимо учесть замечание 1). Следовательно, теорема Шаудера гарантирует, что T имеет непустое и компактное множество неподвижных точек в C(I), которые являются в точности решениями задачи (4).

Утверждение 2: Каждое решение x уравнения (4) удовлетворяет α x x β на I и, следовательно, является решением (1) в [ α , β 9] .0tf(s,p(s,x(s)),p(τ(s,x),x(τ(s,x))))ds≤0,

противоречие с (5).

Аналогичные аргументы доказывают, что все решения x уравнения (4) подчиняются x β на I . Утверждение 3: Множество решений задачи (1) в [ α , β ] имеет максимальный и минимальный элементы . Множество

S={x∈C(I):xisasolutionof(1),x∈[α,β]}

непусто и компактно в C(I), так как совпадает с множеством неподвижных точек оператор Т . Тогда вещественнозначное непрерывное отображение

x∈S↦ℐ(x)=∫t0t0+Lx(s)ds

достигает своего максимума и минимума, т. е. существуют x*,x*∈S такие, что

ℐ(x*)=max{ℐ(x):x∈S}, ℐ(x*)=min{ℐ(x):x∈S}.

(6)

Теперь, если x∈S таково, что x x* на I , то мы имеем ℐ(x)≥ℐ(x*) и, согласно (6), ℐ(x)≤ℐ( Икс*). Итак, мы заключаем, что ℐ(x)=ℐ(x*), что вместе с x x* подразумевает, что x = x* на I .Следовательно, х * — максимальный элемент S. Таким же образом можно доказать, что х * — минимальный элемент.

Может возникнуть соблазн следовать стандартным идеям с нижним и верхним решениями, чтобы определить нижнее решение (1) как некоторую функцию α такую, что

α′(t)≤f(t,α(t), α(τ(t,α)))fora.at∈I0,

(7)

и верхнее решение как некоторая функция β такая, что

β′(t)≥f(t,β(t),β(τ(t,β))) for a. а.t∈I0.

(8)

Эти определения недостаточны для обеспечения существования решений (1) между заданными нижним и верхним решениями, как мы покажем в следующем примере.

Пример 1 Рассмотрим задачу с запаздыванием

x′(t)=-x(t-1)fora.at∈[0,1],x(t)=k(t)=-tfort∈[ -1,0].

(9)

Заметим, что функции α ( t ) = 0 и β ( t ) = 1, t ∈ [-1, 1], являются нижним и верхним решениями в обычном смысле для задачи ( 9).Однако, если x является решением задачи (9), то для п.в. t ∈ [0, 1] имеем

x′(t)=-x(t-1)=k(t-1)=-[-(t-1)]=t-1,

поэтому для всех t ∈ [0,1] мы вычисляем

x(t)=x(0)+∫0t(s-1)ds=t22-t,

и затем x ( t ) < α ( t ) для всех t ∈ (0,1]. Следовательно, (9) вообще не имеет решений между α и β .

Замечания 2 2) и (3) влекут (7) и (8), поэтому нижние и верхние решения в смысле определения 1 являются нижними и верхними решениями в обычном смысле, но обратное, вообще говоря, неверно.

Определение 1, вероятно, является наилучшим для (1), потому что оно сводится к некоторым определениям, которые можно найти в литературе в связи с частными случаями (1). Действительно, когда функция τ не зависит от второй переменной, то для всех t I 0 имеем )), β ( τ ( t ))] в определении 1. Следовательно, если f не убывает по третьей переменной, то определение 1 и обычное определение нижнего и верхнего решений имеют вид то же самое (этот факт мы будем использовать при доказательстве теоремы 2).Если, в свою очередь, f не возрастает по третьей переменной, то определение 1 совпадает с обычным определением связанных нижнего и верхнего решений (см., например, [5]).

Вообще говоря, в условиях теоремы 1 нельзя ожидать, что задача (1) будет иметь экстремальные решения в [ α , β ] (т.е. наибольшее и наименьшее решения в [ α , β ]). Это подтверждается следующим примером.

Пример 2 Рассмотрим задачу

x′(t)=f(t,x(t),x(τ(t))) for a.a.t∈I0=-π2,π,x-π2=0,

(10)

, где

f(t,x,y)=1,ify<-1,-y,if-1≤y≤1,-1,ify>1,

и τ(t)=π2-t .

Сначала проверим, что α(t)=-t-π2=-β(t), t I 0 , являются нижним и верхним решениями задачи (10). Из определения f следует, что для всех ( t , x , y ) ∈ I 0 × ℝ 2 имеем | f ( t , x , y )| ≤ 1, поэтому для всех t I 0 имеем

minξ∈E(t)f(t,α(t),ξ)≥-1=α′(t) и maxξ∈E( t)f(t,β(t),ξ)≤1=β′(t),

, где согласно определению 1

E(t)=απ2-t,βπ2-t=[t-π ,π-t].

Кроме того, α-π2=β-π2=0, поэтому α и β являются соответственно нижним и верхним решением уравнения (10), и тогда условие ( H 1 ) теоремы 1 выполняется. Так как выполняются также условия ( H 2 ) и ( H 3 ) (возьмем, например, ψ ≡ 1), получаем, что задача (1) имеет максимальное и минимальное решения в [ α , β ]. Однако мы покажем, что эта задача не имеет экстремальных решений из [ α , β ].

Семья x x ( t ) = λ cos t , t I 0 , где λ ∈ [-1,1], определяет множество решений (0 α x λ β для каждого λ ∈ [-1,1]. Обратите внимание, что нулевое решение не является ни наименьшим, ни наибольшим решением (10) в [ α , β ].≡0. Следовательно, задача (10) не имеет экстремальных решений в [ α , β ].

Несмотря на предыдущий пример, существование экстремальных решений задачи (1) между заданными нижним и верхним решениями можно доказать при еще нескольких предположениях. В частности, мы имеем следующий результат об экстремальности.

Теорема 2 Рассмотрим задачу

x′(t)=f(t,x(t),x(τ(t))) для a. a.t∈I0,x(t)=Λ(x)+k(t)для всех t∈I-.

(11)

Если (11) удовлетворяет всем условиям теоремы 1 и, кроме того, f не убывает по третьей переменной и Λ не убывает по [ α , β ], , то задача (11) имеет решение экстремальные решения в [ α , β ].

Доказательство . Теорема 1 гарантирует, что задача (11) имеет непустое множество решений между α и β .Мы покажем, что это множество решений на самом деле является направленным множеством, и тогда мы сможем заключить, что оно имеет экстремальные элементы в силу [9, теорема 1.2].

Согласно замечанию 2 нижнее решение α и верхнее решение β удовлетворяют соответственно неравенствам (7) и (8) и, наоборот, если α и β удовлетворяют (7) и ( 8) тогда они являются нижним и верхним решениями в смысле определения 1.

Пусть x 1 , x 2 ∈ [ α , β 1 ] два решения задачи ( . ,β].

Аналогичные рассуждения показывают, что множество решений уравнения (11) в [ α , β ] направлено вниз и, следовательно, является направленным множеством.

Далее покажем применимость теоремы 2.

Пример 3 Пусть L > 0, и рассмотрим следующее дифференциальное уравнение с отражением аргумента и особенностью при x = 0:

x′(t) =-tx(-t)для a.at∈[0,L],x(t)=k(t)=tcost-3tдля всехt∈[-L,0].

(12)

В этом случае функция, определяющая уравнение, есть f(t,y)=-ty, неубывающая относительно y .С другой стороны, функции

α(t)=-2tift<0,-12t,if0≤t≤L,

и

β(t)=-4tift<0,0,if0≤t≤L,

— нижнее и верхнее решения задачи (12). Действительно, для t ∈ [- L ,0] имеем -2 t k ( t ) ≤ -4 t и для п.в. t I 0 имеем

f(t,α(-t))=-12=α′(t),f(t,β(-t))=-14<β′ (т).

Следовательно, α и β являются нижним и верхним решениями задачи (12) в силу замечания 2.

Наконец, для а.о. T I I 0 и все y ∈ [ α (- T ), β (- T )] У нас есть

, поэтому проблема (12) имеет экстремальные решения в [ α , β ]. Заметим, что f допускает расширение Каратеодори до I 0 × ℝ вне множества

{(t,y)∈I0×ℝ:α(-t)≤y≤β(-t)},

, поэтому можно применить теорему 2.

На самом деле, мы можем решить задачу (12) в явном виде, поскольку дифференциальное уравнение и начальное условие дают задача (12) имеет единственное решение (см. рис. 1), которое дается формулой

Рис.

x(t)=∫0tdrcosr-3,t∈[0,L].

Домашняя страница Марлона Гомеса

Весна 2020

Этой весной я преподаю MAT 303 — Исчисление IV с приложениями (чтения 1 и 4). В связи с пандемией COVID-19 наш курс был переведен в онлайн-режим. Чтения встречаются через Zoom на По пятницам с 12:00 до 12:53 и по четвергам с 11:00 до 11:53 соответственно.

Я также помогаю лектору, профессору Деметре Казарасу, в Zoom лекции по средам и пятницам с 10:00 до 10:53.

Все материалы курса, включая расписание домашних заданий, можно найти на веб-странице курса в Blackboard.

Время работы :

  • Среда, с 9:00 до 10:00, в моем офисе.

Прежняя преподавательская и просветительская деятельность

Я преподаю в Стоуни-Брук с осени 2014 года. За это время Я был оценщиком, преподавал декламацию и был инструктором для Летние курсы.

Раньше я работала тренером по математике в средних и старших классах. Олимпиады (2011-2014) в различных частных школах моего родного города (Форталеза, Бразилия). Я также участвовал в проекте местного правительства г. город Варзеа-Алегри, Бразилия, чтобы провести олимпиаду по математике в малообеспеченные студенты из соседних сельских районов.

На уровне колледжа у меня был небольшой опыт, прежде чем я попал в Стоуни-Брук. в качестве заместителя профессора в Universidade da Integração Internacional da Lusofonia Afro-Brasileira (Реденсан, Бразилия) в 2012 году, а также в моей альма-матер, Федеральный университет Сеара (Форталеза, Бразилия), с 2013 по 2014 год.

Я также участвовал в просветительских мероприятиях с участием Учащиеся старших классов, через Математика в джинсах (2017) и Лето Программы Math Camp (с 2016 по 2019 год), две инициативы институт для STEM-образования.

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск