Примеры решения методом гаусса матриц: Решение СЛАУ 3-его порядка методом Гаусса, пример № 1

Содержание

Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет — Сибстрин

22 февраля приглашаем студентов и всех желающих на лекцию итальянского архитектора Элизабетты Фаббри

22 февраля 2022 года (вторник) приглашаем студентов, преподавателей и сотрудников университета на лекцию итальянского архитектора Элизабетты Фаббри (Elisabetta Fabbri). Мероприятие организовано институтом архитектуры и градостроительства НГАСУ (Сибстрин) в сотрудничестве с WWTC MOSCOW LLC. Тема лекции: Итальянское искусство и архитектура в современном мире. Место проведения: ауд. 239 Время проведения: начало в 13.30 Элизабетта Фаббри (Elisabetta Fabbri) – руководитель реставрационной мастерской в Венеции, заслуженный архитектор Италии. За время своей почти 20-летней профессиональной деятельности являлась куратором реставрационных работ в важнейших оперных театрах Италии: «Ла Скала» в Милане

ИМД приглашает желающих изучать английский язык на организационное собрание

Уважаемые студенты и преподаватели! 24 февраля 2022 года (четверг) в 13. 40 и 17.20 в ауд. 313 главного корпуса состоится организационное собрание для желающих изучать английский язык. Курс «English in Use» направлен на формирование базовых языковых компетенций, погружение обучающегося в иноязычную образовательную среду, подготовку студента к сдаче экзамена по английскому языку (практика овладения лексико-грамматическим минимумом по темам образовательной программы «Иностранный язык», чтение текстов по специальности на английском языке). Курс рассчитан на 108 часов (3 месяца). По итогам прохождения курсов выдается сертификат государственного образца. Стоимость обучения: 16 500 руб за весь курс.

В НГАСУ (Сибстрин) состоялся семинар по применению современных методов очистки сточных вод для молочных предприятий

17 февраля 2022 года в НГАСУ (Сибстрин) состоялся семинар по теме «Обзор современных методов очистки сточных вод для молочных предприятий», организованный кафедрой Водоснабжения и водоотведения и Международной кафедрой ЮНЕСКО «Экологически безопасные технологии природообустройства и водопользования» при поддержке Совета молодых ученых университета. Спикером мероприятия выступил генеральный директор ООО «ЭНВИРО-ХЕМИ ГмбХ»/EnviroChemie GmbH (г. Екатеринбург) Михаил Карякин. Немецкая компания EnviroChemie GmbH была организована в 1976 году и специализируется на проектировании, поставке и монтаже оборудования очистки промышленных сточных вод. За 20 лет работы компании в России реализовано более 150 крупных проектов…

Решение методом жордана гаусса. Метод Гаусса-Жордана

Однажды немецкий математик Вильгельм Йордан (мы неверно транскрибируем с немецкого Jordan как Жордан) сел решать очередную систему уравнений. Он любил этим заниматься и в свободное время совершенствовал свои навыки. Но вот настал момент, когда ему наскучили все методы решения и метод Гаусса в том числе…

Предположим, дана система с тремя уравнениями, тремя неизвестными и записана её расширенная матрица . В наиболее распространенном случае получаются стандартные ступеньки , и так каждый день…. Одно и то же – как беспросветный ноябрьский дождь.

На некоторое время развевает тоску другой способ приведения матрицы к ступенчатому виду: , причём он совершенно равноценен и может быть неудобен только по причине субъективного восприятия. Но всё рано или поздно приедается…. И подумал тогда Жо рдан – а зачем вообще мучиться с обратным ходом гауссовского алгоритма? Не проще ли сразу получить ответ с помощью дополнительных элементарных преобразований?

…да, такое бывает только по любви =)

Для освоения данного урока «чайникам» придётся пойти путём Жо рдана и прокачать элементарные преобразования хотя бы среднего уровня, прорешав, минимум, 15-20 соответствующих заданий. Поэтому если вы смутно понимаете, о чём идёт разговор и/или у вас возникнет недопонимание чего-либо по ходу занятия, то рекомендую ознакомиться с темой в следующем порядке:

Ну, и совсем замечательно, если отработано понижение порядка определителя .

Как все поняли, метод Гаусса-Жордана представляет собой модификацию метода Гаусса и с реализацией основной, уже озвученной выше идеи, мы встретимся на ближайших экранах. Кроме того, в число немногочисленных примеров данной статьи вошло важнейшее приложение –

нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований .

Не мудрствуя лукаво:

Пример 1

Решить систему методом Гаусса-Жордана

Решение : это первое задание урока Метод Гаусса для чайников , где мы 5 раз трансформировали расширенную матрицу системы и привели её к ступенчатому виду:

Теперь вместо обратного хода в игру вступают дополнительные элементарные преобразования. Сначала нам необходимо получить нули на этих местах: ,
а потом ещё один ноль вот здесь: .

Идеальный с точки зрения простоты случай:

(6) Ко второй строке прибавили третью строку. К первой строке прибавили третью строку.

(7) К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –2.

Не могу удержаться от иллюстрации итоговой системы:

Ответ :

Предостерегаю читателей от шапкозакидательского настроения – это был простейший демонстрационный пример.

Для метода Гаусса-Жордана характерны свои специфические приёмы и не самые удобные вычисления, поэтому, пожалуйста, настройтесь на серьёзную работу.

Не хочу показаться категоричным или придирчивым, но в подавляющем большинстве источников информации, которые я видел, типовые задачи рассмотрены крайне плохо – нужно обладать семью пядями во лбу и потратить массу времени/нервов на тяжёлое неуклюжее решение с дробями. За годы практики мне удалось отшлифовать, не скажу, что самую лучшую, но рациональную и достаточно лёгкую методику, которая доступна всем, кто владеет арифметическими действиями:

Пример 2

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса-Жордана.

Решение : первая часть задания хорошо знакома:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –1. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3. К четвертой строке прибавили первую строку, умноженную на –5.

(2) Вторую строку разделили на 2, третью строку разделили на 11, четвёртую строку разделили на 3.

(3) Вторая и третья строки пропорциональны, 3-ю строку удалили. К четвёртой строке прибавили вторую строку, умноженную на –7

(4) Третью строку разделили на 2.

Очевидно, что система имеет бесконечно много решений, и наша задача – привести её расширенную матрицу к виду .

Как действовать дальше? Прежде всего, следует отметить, что мы лишились вкусного элементарного преобразования – перестановки строк. Точнее говоря, переставить-то их можно, но в этом нет смысла (просто выполним лишние действия). И далее целесообразно придерживаться следующего шаблона:

Находим наименьшее общее кратное чисел третьего столбца (1, –1 и 3), т.е. – наименьшее число, которое бы делилось без остатка и на 1, и на –1 и на 3. В данном случае, это, конечно же, «тройка». Теперь

в третьем столбце нам нужно получить одинаковые по модулю числа , и этими соображениями обусловлено 5-е преобразование матрицы:

(5) Первую строку умножаем на –3, вторую строку умножаем на 3. Вообще говоря, первую строку можно было умножить тоже на 3, но это было бы менее удобно для следующего действия. К хорошему привыкаешь быстро:


(6) Ко второй строке прибавили третью строку. К первой строке прибавили третью строку.

(7) Во втором столбце два ненулевых значения (24 и 6) и нам снова нужно получить одинаковые по модулю числа . В данном случае всё сложилось довольно удачно – наименьшее кратное 24, и эффективнее всего умножить вторую строку на –4.

(8) К первой строке прибавили вторую.

(9) Заключительный штрих: первую строку разделили на –3, вторую строку разделили на –24 и третью строку разделили на 3. Это действие выполняется

В ПОСЛЕДНЮЮ ОЧЕРЕДЬ! Никаких преждевременных дробей!

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система:

Элементарно выражаем базисные переменные через свободную:

и записываем:

Ответ : общее решение:

В подобных примерах применение рассмотренного алгоритма чаще всего оправдано, поскольку обратный ход метода Гаусса обычно требует трудоёмких и неприятных вычислений с дробями.

И, разумеется, крайне желательна проверка, которая выполняется по обычной схеме, рассмотренной на уроке Несовместные системы и системы с общим решением .

Для самостоятельного решения:

Пример 3

Найти базисное решение с помощью элементарных преобразований

Такая формулировка задачи предполагает использование метода Гаусса-Жордана, и в образце решения матрица приводится к стандартному виду с базисными переменными . Однако всегда держите на заметке, что

в качестве базисных можно выбрать и другие переменные . Так, например, если в первом столбце громоздкие числа, то вполне допустимо привести матрицу к виду (базисные переменные ), или к виду (базисные переменные ), или даже к виду с базисными переменными . Существуют и другие варианты.

Но всё-таки это крайние случаи – не стОит лишний раз шокировать преподавателей своими знаниями, техникой решения и уж тем более не надо выдавать экзотических жордановсих результатов вроде . Впрочем, бывает трудно удержаться от нетипового базиса, когда в исходной матрице, скажем, в 4-м столбце есть два готовых нуля.

Примечание

: термин «базис» имеет алгебраический смысл и понятие геометрического базиса здесь не при чём!

Если в расширенной матрице данных размеров вдруг обнаруживается пара линейно зависимых строк, то её следует попытаться привести к привычному виду с базисными переменными . Образец такого решения есть в Примере №7 статьи об однородных системах линейных уравнений , причём там выбран другой базис .

Продолжаем совершенствовать свои навыки на следующей прикладной задаче:

Как найти обратную матрицу методом Гаусса?

Обычно условие формулируют сокращённо, но, по существу, здесь также работает алгоритм Гаусса-Жордана. Более простой метод нахождения обратной матрицы для квадратной матрицы мы давным-давно рассмотрели на соответствующем уроке, и суровой поздней осенью тёртые студенты осваивают мастерский способ решения.

Краткое содержание предстоящих действий таково: сначала следует записать квадратную матрицу в тандеме с единичной матрицей: . Затем с помощью элементарных преобразований необходимо получить единичную матрицу слева, при этом (не вдаваясь в теоретические подробности) справа нарисуется обратная матрица. Схематически решение выглядит следующим образом:

(Понятно, что обратная матрица должна существовать)

Демо-пример 4

Найдём обратную матрицу для матрицы с помощью элементарных преобразований. Для этого запишем её в одной упряжке с единичной матрицей, и понеслась «двойка скакунов»:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –3.

(2) К первой строке прибавили вторую строку.

(3) Вторую строку разделили на –2.

Ответ :

Сверьтесь с ответом первого примера урока Как найти обратную матрицу?

Но то была очередная заманивающая задачка – в действительности решение гораздо более длительно и кропотливо. Как правило, вам будет предложена матрица «три на три»:

Пример 5


Решение : присоединяем единичную матрицу и начинаем выполнять преобразования, придерживаясь алгоритма «обычного» метода Гаусса :

(1) Первую и третью строки поменяли местами. На первый взгляд, перестановка строк кажется нелегальной, но на самом деле переставлять их можно – ведь по итогу слева нам нужно получить единичную матрицу, а справа же «принудительно» получится именно матрица (вне зависимости от того будем ли мы переставлять строки в ходе решения или нет) . Обратите внимание, что здесь вместо перестановки можно организовать «шестёрки» в 1-м столбце (наименьшее общее кратное (НОК) чисел 3, 2 и 1) . Решение через НОК особенно удобно, когда в первом столбце отсутствуют «единицы».

(2) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили 1-ю строку, умноженную на –2 и –3 соответственно.

(3) К 3-й строке прибавили 2-ю строку, умноженную на –1

Вторая часть решения проводится по уже известной из предыдущего параграфа схеме: перестановки строк становятся бессмысленными, и мы находим наименьшее общее кратное чисел третьего столбца (1, –5, 4): 20. Существует строгий алгоритм нахождения НОК, но здесь обычно хватает подбора. Ничего страшного, если взять бОльшее число, которое делится и на 1, и на –5, и на 4, например, число 40. Отличие будет в более громоздких вычислениях.

К слову о вычислениях. Для решения задачи совсем не зазорно вооружиться микрокалькулятором – числа здесь фигурируют немалые, и будет очень обидно допустить вычислительную ошибку.

(4) Третью строку умножаем на 5, вторую строку на 4, первую строку на «минус двадцать»:

(5) К 1-й и 2-й строкам прибавили третью строку.

(6) Первую и третью строки разделили на 5, вторую строку умножили на –1.

(7) Наименьшее общее кратное ненулевых чисел второго столбца (–20 и 44) равно 220. Первую строку умножаем на 11, вторую строку – на 5.

(8) К первой строке прибавили вторую строку.

(9) Первую строку умножили на –1, вторую строку разделили «обратно» на 5.

(10) Теперь на главной диагонали левой матрицы целесообразно получить наименьшее общее кратное чисел диагонали (44, 44 и 4). Совершенно понятно, что это число 44. Третью строку умножаем на 11.

(11) Каждую строку делим на 44. Данное действие выполняется в последнюю очередь!

Таким образом, обратная матрица:

Внесение и вынесение -й, в принципе, лишние действия, но того требует протокол оформления задачи.

Ответ :

Проверка выполняется по обычной схеме, рассмотренной на уроке об обратной матрице .

Продвинутые люди могут несколько сократить решение, но должен предупредить, спешка тут чревата ПОВЫШЕННЫМ риском допустить ошибку.

Аналогичное задание для самостоятельного решения:

Пример 6

Найти обратную матрицу методом Гаусса-Жордана.

Примерный образец оформления задачи внизу страницы. И ради того, чтобы вы «не проехали мимо с песнями» я оформил решение в уже упомянутом стиле – исключительно через НОК столбцов без единой перестановки строк и дополнительных искусственных преобразований. По моему мнению, эта схема – если и не самая, то одна из самых надёжных .

Иногда бывает удобно более короткое «модернистское» решение, которое заключается в следующем: на первом шаге всё как обычно: .

На втором шаге накатанным приёмом (через НОК чисел 2-го столбца) организуются сразу два нуля во втором столбце: . Перед данным действием особенно трудно устоять, если во 2-м столбце нарисовались одинаковые по модулю числа, например, те же банальные «единицы».

И, наконец, на третьем шаге точно так же получаем нужные нули в третьем столбце: .

Что касается размерности, то в большинстве случаев приходится разруливать матрицу «три на три». Однако время от времени встречается лайт-версия задачи с матрицей «два на два» и хард… – специально для всех читателей сайт:

Пример 7

Найти обратную матрицу с помощью элементарных преобразований

Это задание из моей собственной физматовской контрольной работы по алгебре, …эх, где мой первый курс =) Пятнадцать лет назад (листочек на удивление ещё не пожелтел) , я уложился в 8 шагов, а сейчас – всего лишь в 6! Матрица, кстати, весьма творческая – на первом же шаге просматривается несколько заманчивых путей решения. Моя поздняя версия внизу страницы.

И заключительный совет – после таких примеров очень полезна гимнастика для глаз и какая-нибудь хорошая музыка для релаксации =)

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 3: Решение : запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований получим базисное решение:


(1) Первую и вторую строки поменяли местами.

(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 5.
(3) Третью строку разделили на 3.
(4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2.
(5) Третью строку разделили на 7.
(6) Наименьшее кратное чисел 3-го столбца (–3, 5, 1) равно 15. Первую строку умножили на 5, вторую строку умножили на –3, третью строку умножили на 15.
(7) К первой строке прибавили 3-ю строку. Ко второй строке прибавили 3-ю строку.
(8) Первую строку разделили на 5, вторую строку разделили на –3, третью строку разделили на 15.
(9) Наименьшее кратное ненулевых чисел 2-го столбца (–2 и 1) равно: 2. Вторую строку умножили на 2
(10) К первой строке прибавили вторую строку.
(11) Вторую строку разделили на 2.
Выразим базисные переменные через свободные переменные :

Ответ : общее решение:

Пример 6: Решение : обратную матрицу найдём с помощью элементарных преобразований:


(1) Первую строку умножили на –15, вторую строку умножили на 3, третью строку умножили на 5.

(2) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили первую строку.
(3) Первую строку разделили на –15, вторую строку разделили на –3, третью строку разделили на –5.
(4) Вторую строку умножили на 7, третью строку умножили на –9.
(5) К третьей строке прибавили вторую строку.


(6) Вторую строку разделили на 7.

(7) Первую строку умножили на 27, вторую строку умножили на 6, третью строку умножили на –4.
(8) К первой и второй строкам прибавили третью строку.
(9) Третью строку разделили на –4. К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.
(10) Вторую строку разделили на 2.
(11) Каждую строку разделили на 27.
В результате:
Ответ :

Пример 7: Решение : найдём обратную матрицу методом Гаусса-Жордана:
(1) К 1-й и 4-й строкам прибавили 3-ю строку.
(2) Первую и четвёртую строки поменяли местами.
(3) Ко 2-й строке прибавили 1-ю строку. К 3-й строке прибавили 1-ю строку, умноженную на 2:


(4) К 3-й строке прибавили 2-ю строку, умноженную на –2. К 4-й строке прибавили 2-ю строку.
(5) К 1-й и 3-й строкам прибавили 4-ю строку, умноженную на –1.
(6) Вторую строку умножили на –1, третью строку разделили на –2.
Ответ :

Метод Гаусса-Жордана предназначен для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он является модификацией метода Гаусса . Если метод Гаусса осуществляется в два этапа (прямой ход и обратный) то метод Гаусса-Жордана позволяет решить систему в один этап. Подробности и непосредственная схема применения метода Гаусса-Жордана описаны в примерах.

Во всех примерах $A$ обозначает матрицу системы, $\widetilde{A}$ — расширенную матрицу системы. О матричной форме записи СЛАУ можно прочесть .

Пример №1

Решить СЛАУ $ \left\{ \begin{aligned} & 4x_1-7x_2+8x_3=-23;\\ & 2x_1-4x_2+5x_3=-13;\\ & -3x_1+11x_2+x_3=16. \end{aligned} \right.$ методом Гаусса-Жордана.

Давайте перейдём от последней полученной нами матрице к системе:

$$ \left\{ \begin{aligned} & 0\cdot x_1+1\cdot x_2+0\cdot x_3=1;\\ & 1\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3=-2;\\ & 0\cdot x_1+0\cdot x_2+1\cdot x_3=-1. \end{aligned} \right. $$

Упрощая полученную систему, имеем:

$$ \left\{ \begin{aligned} & x_2=1;\\ & x_1=-2;\\ & x_3=-1. \end{aligned} \right. $$

Полное решение без пояснений выглядит так:

Хоть этот способ выбора разрешающих элементов вполне допустим, но предпочтительнее выбирать в качестве разрешающих элементов диагональные элементы матрицы системы. Мы рассмотрим этот способ ниже.

Выбор разрешающих элементов на главной диагонали матрицы системы.

Так как этот способ решения полностью аналогичен предыдущему (за исключением выбора разрешающих элементов), то подробные пояснения пропустим. Принцип выбора разрешающих элементов прост: в первом столбце выбираем элемент первой строки, во втором столбце берём элемент второй строки, в третьем столбце — элемент третьей строки и так далее.

Первый шаг

В первом столбце выбираем элемент первой строки, т.е. в качестве разрешающего имеем элемент 4. Понимаю, что выбор числа 2 кажется более предпочтительным, так как это число всё-таки меньше, нежели 4. Для того, чтобы число 2 в первом столбце переместилось на первое место, поменяем местами первую и вторую строки:

$$ \left(\begin{array} {ccc|c} 4 & -7 & 8 & -23\\ 2 & -4& 5 & -13 \\ -3 & 11 & 1 & 16 \end{array} \right)\rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} 2 & -4& 5 & -13\\ 4 & -7 & 8 & -23 \\ -3 & 11 & 1 & 16 \end{array} \right) $$

Итак, разрешающий элемент представлен числом 2. Точно так же, как и ранее, разделим первую строку на 2, а затем обнулим элементы первого столбца:

$$ \left(\begin{array} {ccc|c} 2 & -4& 5 & -13\\ 4 & -7 & 8 & -23 \\ -3 & 11 & 1 & 16 \end{array} \right) \begin{array} {l} I:2 \\\phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} 1 & -2& 5/2 & -13/2 \\4 & -7 & 8 & -23\\ -3 & 11 & 1 & 16 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ II-4\cdot I\\ III+3\cdot I \end{array} \rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} 1 & -2& 5/2 & -13/2\\0 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 5 & 17/2 & -7/2 \end{array} \right). $$

Второй шаг

На втором шаге требуется обнулить элементы второго столбца. В качестве разрешающего элемента выбираем элемент второй строки, т.е. 1. Разрешающий элемент уже равен единице, поэтому никаких строк менять местами не будем. Кстати сказать, если бы мы захотели поменять местами строки, то первую строку трогать не стали бы, так как она уже была использована на первом шаге. А вот вторую и третью строки запросто можно менять местами. Однако, повторюсь, в данной ситуации менять местами строки не нужно, ибо разрешающий элемент уже оптимален — он равен единице.

$$ \left(\begin{array} {ccc|c} 1 & -2& 5/2 & -13/2\\0 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 5 & 17/2 & -7/2 \end{array} \right) \begin{array} {l} I+2\cdot II \\ \phantom{0}\\ III-5\cdot II \end{array} \rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} 1 & 0 & -3/2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 0 & 37/2 & -37/2 \end{array} \right). $$

Второй шаг окончен. Переходим к третьему шагу.

Третий шаг

На третьем шаге требуется обнулить элементы третьего столбца. В качестве разрешающего элемента выбираем элемент третьей строки, т.е. 37/2. Разделим элементы третьей строки на 37/2 (чтобы разрешающий элемент стал равен 1), а затем обнулим соответствующие элементы третьего столбца:

$$ \left(\begin{array} {ccc|c} 1 & 0 & -3/2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 0 & 37/2 & -37/2 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ III:\frac{37}{2} \end{array} \rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} 1 & 0 & -3/2 & -1/2 \\ 0 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array} \right) \begin{array} {l} I+2\cdot III\\II+3/2\cdot III\\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow \left(\begin{array} {ccc|c} 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array} \right). $$

Ответ получен: $x_1=-2$, $x_2=1$, $x_3=-1$. Полное решение без пояснений выглядит так:

Все остальные примеры на этой странице будут решены именно вторым способом: в качестве разрешающих будем выбирать диагональные элементы матрицы системы.

Ответ : $x_1=-2$, $x_2=1$, $x_3=-1$.

Пример №2

Решить СЛАУ $ \left\{ \begin{aligned} & 3x_1+x_2+2x_3+5x_4=-6;\\ & 3x_1+x_2+2x_4=-10;\\ & 6x_1+4x_2+11x_3+11x_4=-27;\\ & -3x_1-2x_2-2x_3-10x_4=1. \end{aligned} \right.$ методом Гаусса-Жордана.

Запишем расширенную матрицу данной системы : $\widetilde{A}=\left(\begin{array} {cccc|c} 3 & 1 & 2 & 5 & -6\\ 3 & 1& 0 & 2 & -10 \\ 6 & 4 & 11 & 11 & -27 \\ -3 & -2 & -2 & -10 & 1 \end{array} \right)$.

В качестве разрешающих элементов станем выбирать диагональные элементы матрицы системы: на первом шаге возьмём элемент первой строки, на втором шаге элемент второй строки и так далее.

Первый шаг

Нам нужно обнулить соответствующие элементы первого столбца. В качестве разрешающего элемента возьмём элемент первой строки, т.е. 3. Соответственно первую строку придётся разделить на 3, чтобы разрешающий элемент стал равен единице. А затем обнулить все элементы первого столбца, кроме разрешающего:

$$ \left(\begin{array}{cccc|c} 3 & 1 & 2 & 5 & -6\\ 3 & 1 & 0 & 2 & -10\\ 6 & 4 & 11 & 11 & -27\\ -3 & -2 & -2 & -10 & 1\end{array}\right) \begin{array} {l} I:3\\ \phantom{0}\\\phantom{0}\\\phantom{0}\end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 3 & 1 & 0 & 2 & -10\\ 6 & 4 & 11 & 11 & -27\\ -3 & -2 & -2 & -10 & 1\end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ II-3\cdot I\\III-6\cdot I\\IV+3\cdot I\end{array} \rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & -1 & 0 & -5 & -5\end{array}\right). $$

Второй шаг

Переходим к обнулению соответствующих элементов второго столбца. В качестве разрешающего элемента мы уславливались взять элемент второй строки, но сделать этого мы не в силах, так как нужный элемент равен нулю. Вывод: будем менять местами строки. Первую строку трогать нельзя, так как она уже использовалась на первом шаге. Выбор небогат: или меняем местами вторую и третью строки, или же меняем местами четвёртую и вторую. Так как в четвёртой строке наличествует (-1), то пусть в «обмене» поучавствует именно четвёртая строка. Итак, меняем местами вторую и четвёртую строки:

$$ \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & -1 & 0 & -5 & -5\end{array}\right)\rightarrow \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & -1 & 0 & -5 & -5\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end{array}\right) $$

Вот теперь всё в норме: разрешающий элемент равен (-1). Бывает, кстати, что смена мест строк невозможна, но это обговорим в следующем примере №3. А пока что делим вторую строку на (-1), а затем обнуляем элементы второго столбца. Обратите внимание, что во втором столбце элемент, расположенный в четвёртой строке, уже равен нулю, поэтому четвёртую строку трогать не будем.

$$ \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & -1 & 0 & -5 & -5\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\II:(-1) \\\phantom{0}\\\phantom{0}\end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1/3 & 2/3 & 5/3 & -2\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 2 & 7 & 1 & -15\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end{array}\right) \begin{array} {l} I-1/3\cdot II\\ \phantom{0} \\III-2\cdot II\\\phantom{0}\end{array} \rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end{array}\right). $$

Третий шаг

Приступаем к обработке третьего столбца. В качестве разрешающего элемента мы условились брать диагональные элементы матрицы системы. Для третьего шага это означает выбор элемента, расположенного в третьей строке. Однако если мы просто возьмём элемент 7 в качестве разрешающего, то всю третью строку придётся делить на 7. Мне кажется, что разделить на (-2) попроще. Поэтому поменяем местами третью и четвёртую строки, и тогда разрешающим элементом станет (-2):

$$ \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\end{array}\right) \rightarrow \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25\end{array}\right) $$

Разрешающий элемент — (-2). Делим третью строку на (-2) и обнуляем соответствующие элементы третьего столбца:

$$ \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4\\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25\end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0} \\III:(-2)\\\phantom{0}\end{array}\rightarrow \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2/3 & 0 & -11/3\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 1 & 3/2 & 2\\ 0 & 0 & 7 & -9 & -25\end{array}\right) \begin{array} {l} I-2/3\cdot III\\ \phantom{0} \\ \phantom{0}\\IV-7\cdot III\end{array}\rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & -1 & -5\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 1 & 3/2 & 2\\ 0 & 0 & 0 & -39/2 & -39\end{array}\right). $$

Четвёртый шаг

Переходим к обнулению четвёртого столбца. Разрешающий элемент расположен в четвёртой строке и равен числу $-\frac{39}{2}$.

$$ \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & -1 & -5\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 1 & 3/2 & 2\\ 0 & 0 & 0 & -39/2 & -39\end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0} \\ \phantom{0}\\IV:\left(-\frac{39}{2}\right) \end{array}\rightarrow \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & -1 & -5\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 1 & 3/2 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2\end{array}\right) \begin{array} {l} I+IV\\ II-5\cdot IV \\ III-3/2\cdot IV \\ \phantom{0} \end{array}\rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & -3\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -5\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2\end{array}\right). $$

Решение окончено. Ответ таков: $x_1=-3$, $x_2=-5$, $x_3=-1$, $x_4=2$. Полное решение без пояснений:

Ответ : $x_1=-3$, $x_2=-5$, $x_3=-1$, $x_4=2$.

Пример №3

Решить СЛАУ $\left\{\begin{aligned} & x_1-2x_2+3x_3+4x_5=-5;\\ & 2x_1+x_2+5x_3+2x_4+9x_5=-3;\\ & 3x_1+4x_2+7x_3+4x_4+14x_5=-1;\\ & 2x_1-4x_2+6x_3+11x_5=2;\\ & -2x_1+14x_2-8x_3+4x_4-7x_5=20;\\ & -4x_1-7x_2-9x_3-6x_4-21x_5=-9. \end{aligned}\right.$ методом Гаусса-Жордана. Если система является неопределённой, указать базисное решение.

Подобные примеры разбираются в теме «Общее и базисное решения СЛАУ» . Во второй части упомянутой темы данный пример решён с помощью метод Гаусса . Мы же решим его с помощью метода Гаусса-Жордана. Пошагово разбивать решение не станем, так как это уже было сделано в предыдущих примерах.

$$ \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 3 & 0 & 4 & -5\\ 2 & 1 & 5 & 2 & 9 & -3\\ 3 & 4 & 7 & 4 & 14 & -1\\ 2 & -4 & 6 & 0 & 11 & 2\\ -2 & 14 & -8 & 4 & -7 & 20\\ -4 & -7 & -9 & -6 & -21 & -9 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ II-2\cdot I\\ III-3\cdot I\\ IV-2\cdot I\\ V+2\cdot I\\VI+4\cdot I \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 3 & 0 & 4 & -5\\ 0 & 5 & -1 & 2 & 1 & 7\\ 0 & 10 & -2 & 4 & 2 & 14\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 12\\ 0 & 10 & -2 & 4 & 1 & 10\\ 0 & -15 & 3 & -6 & -5 & -29 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ II:5 \\ \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ \phantom{0} \\ \phantom{0}\end{array} \rightarrow \\ \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 3 & 0 & 4 & -5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 1/5 & 7/5\\ 0 & 10 & -2 & 4 & 2 & 14\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 12\\ 0 & 10 & -2 & 4 & 1 & 10\\ 0 & -15 & 3 & -6 & -5 & -29 \end{array}\right) \begin{array} {l} I+2\cdot II \\ \phantom{0}\\ III-10\cdot II\\ IV:3\\ V-10\cdot II\\VI+15\cdot II \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 22/5 & -11/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 1/5 & 7/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & -8 \end{array}\right). $$

Полагаю, что одно из сделанных преобразований всё-таки требует пояснения: $IV:3$. Все элементы четвёртой строки нацело делились на три, поэтому сугубо из соображений упрощения мы разделили все элементы этой строки на три. Третья строка в преобразованной матрице стала нулевой. Вычеркнем нулевую строку:

$$ \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 22/5 & -11/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 1/5 & 7/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & -8 \end{array}\right) $$

Нам пора переходить к третьему шагу, на котором должны быть обнулены элементы третьего столбца. Однако диагональный элемент (третья строка) равен нулю. И смена мест строк ничего не даст. Первую и вторую строки мы уже использовали, поэтому их трогать мы не можем. А четвёртую и пятую строки трогать нет смысла, ибо проблема равенства нулю разрешающего элемента никуда не денется.

В этой ситуации проблема решается крайне незамысловато. Мы не можем обработать третий столбец? Хорошо, перейдём к четвёртому. Может, в четвёртом столбце элемент третьей строки будет не равен нулю. Однако четвёртый столбец «болеет» той же проблемой, что и третий. Элемент третьей строки в четвёртом столбце равен нулю. И смена мест строк опять-таки ничего не даст. Четвёртый столбец тоже не можем обработать? Ладно, перейдём к пятому. А вот в пятом столбце элемент третьей строки очень даже не равен нулю. Он равен единице, что довольно-таки хорошо. Итак, разрешающий элемент в пятом столбце равен 1. Разрешающий элемент выбран, поэтому осуществим дальшейшие преобразования метода Гаусса-Жордана:

$$ \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 22/5 & -11/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 1/5 & 7/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & -8 \end{array}\right) \begin{array} {l} I-22/5\cdot III \\ II-1/5\cdot III \\ \phantom{0}\\ IV+III\\ V+2\cdot III \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 0 & -99/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 0 & 3/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \rightarrow \\ \rightarrow\left|\text{Удаляем нулевые строки}\right|\rightarrow \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 0 & -99/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 0 & 3/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right)$$

Мы привели матрицу системы и расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Ранги обеих матриц равны $r=3$, т.е. надо выбрать 3 базисных переменных. Количество неизвестных $n=5$, поэтому нужно выбрать $n-r=2$ свободных переменных. Так как $r

На «ступеньках» стоят элементы из столбцов №1, №2, №5. Следовательно, базисными будут переменные $x_1$, $x_2$, $x_5$. Свободными переменными, соответственно, будут $x_3$, $x_4$. Столбцы №3 и №4, соответствующие свободным переменным, перенесём за черту, при этом, конечно, не забыв сменить им знаки.

$$ \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 13/5 & 4/5 & 0 & -99/5\\ 0 & 1 & -1/5 & 2/5 & 0 & 3/5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right)\rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -99/5 & -13/5 & -4/5\\ 0 & 1 & 0 & 3/5 & 1/5 & -2/5\\ 0 & 0 & 1 & 4 & 0 & 0\end{array}\right). $$

Из последней матрицы получим общее решение: $\left\{\begin{aligned} & x_1=-\frac{99}{5}-\frac{13}{5}x_3-\frac{4}{5}x_4;\\ & x_2=\frac{3}{5}+\frac{1}{5}x_3-\frac{2}{5}x_4;\\ & x_3 \in R;\\ & x_4\in R;\\ & x_5=4. \end{aligned}\right.$. Базисное решение найдём, приняв свободные переменные равными нулю, т.е. $x_3=0$, $x_4=0$:

$$ \left\{\begin{aligned} & x_1=-\frac{99}{5};\\ & x_2=\frac{3}{5};\\ & x_3=0;\\ & x_4=0;\\ & x_5=4. \end{aligned}\right. $$

Задача решена, осталось лишь записать ответ.

Ответ : Общее решение: $\left\{\begin{aligned} & x_1=-\frac{99}{5}-\frac{13}{5}x_3-\frac{4}{5}x_4;\\ & x_2=\frac{3}{5}+\frac{1}{5}x_3-\frac{2}{5}x_4;\\ & x_3 \in R;\\ & x_4\in R;\\ & x_5=4. \end{aligned}\right.$, базисное решение: $\left\{\begin{aligned} & x_1=-\frac{99}{5};\\ & x_2=\frac{3}{5};\\ & x_3=0;\\ & x_4=0;\\ & x_5=4. \end{aligned}\right.$.

4. Метод Жордана — Гаусса.

Схема с выбором главного элемента состоит в том, что требование неравенства нулю диагональных элементов akk, на которые происходит деление в процессе исключения, заменятся более жестким: из всех элементов К-го столба выбрать наибольший по модулю и переставить уравнения так, чтобы этот элемент оказался на месте элемента акк. Выбор главного элемента и связанная с ним перестановка строк необходимы в тех случаях, когда на каком-либо i-ом шаге акк=0 либо же акк очень мало по остальными элементами i- го столбца: при делении на такое «малое» акк будут получаться большие числа с большими абсолютными погрешностями, в результате чего решение может сильно исказиться.

Ниже излагается алгоритм полного исключения неизвестных или метод Жордана – Гаусса. Суть метода состоит в том, что, рассмотрев первое уравнение, в нем неизвестное с коеффициэнтом, отличным от нуля (в дальнейшем разрешающий элемент), и разделив первое уравнение на этот коэффициент, с помощью первого уравнения исключают это неизвестное из всех уравнений, кроме первого. Выбрав во втором уравнении неизвестное с коэффициентом, отличным от нуля, и разделив на него второе уравнение, с помощью второго исключают другие неизвестные из всех уравнений, кроме второго и т.д., т.е. с помощью одного уравнения производят полное исключение одного неизвестного. Процесс продолжается до тех пор, пока не будут использованы все уравнения.

Как известно, системы линейных алгебраических уравнений могут имеет одно решение, множество решений или системы несовместны. При элементарных преобразованиях элементов матрицы системы эти случаи выявляются в следующем:

1. В процессе исключений левая часть I –го уравнения системы обращается в нуль, а правая часть равна некоторому числу, отличному от нуля. т.е. 02+=bc0.

Это означает, что система не имеет решений, так как I – му уравнению не могут удовлетворять никакие значения неизвестных;

2. Левая и правая части I – го уравнения обращаются в нуль. Это означает, что I – ое уравнение является линейной комбинацией остальных, ему удовлетворяет любое найденное решение системы, поэтому оно может быть отброшено. В системе количество неизвестных больше количества уравнений и, следовательно, такая система имеет множество решений;

3. После того как все уравнения использованы для исключения неизвестных получено решение системы.

Таким образом, конечной целью преобразований Жордана-Гаусса является получение из заданной линейной системы

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1,n+1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2,n+1

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm. n+1

Здесь x1, x2, …, xn — неизвестные, которые надо определить. a11, a12, …, amn — коэффициенты системы — и b1, b2, … bm — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (aij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b1 = b2 = … = bm = 0), иначе — неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) — совокупность n чисел c1, c2, …, cn, таких что подстановка каждого ci вместо xi в систему (1) обращает все ее уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c1(1), c2(1), …, cn(1) и c1(2), c2(2), …, cn(2) совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2).

Совместная система вида (1) называется определенной, если она имеет единственное решение; если же у нее есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределенной. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

Решим следующую систему уравнений:

Запишем её в виде матрицы 3×4, где последний столбец является свободным членом:

Проведём следующие действия:

· К строке 2 добавим: -4 * Строку 1.

· К строке 3 добавим: -9 * Строку 1.

· К строке 3 добавим: -3 * Строку 2.

· Строку 2 делим на -2

· К строке 1 добавим: -1 * Строку 3.

· К строке 2 добавим: -3/2 * Строку 3.

· К строке 1 добавим: -1 * Строку 2.

В правом столбце получаем решение:

.

В методе Ньютона наблюдается ускорение сходимости процесса приближений. 5. Метод касательных (метод Ньютона) Метод касательных, связанный с именем И. Ньютона, является одним из наиболее эффективных численных методов решения уравнений. Идея метода очень проста. Возьмём производную точку x0 и запишем в ней уравнение касательной к графику функции f(x): y=f(x0)+ f ¢(x) (x-x0) (1.5) Графики…

Решения от численных методов расчёта. Для определения корней уравнения не требуется знания теорий групп Абеля, Галуа, Ли и пр. и применения специальной математической терминологии: колец, полей, идеалов, изоморфизмов и т.д. Для решения алгебраического уравнения n — ой степени нужно только умение решать квадратные уравнения и извлекать корни из комплексного числа. Корни могут быть определены с…



Математики тригонометрической подстановки и проверка эффективности разработанной методики преподавания. Этапы работы: 1. Разработка факультативного курса на тему: «Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач» с учащимися классов с углубленным изучением математики. 2. Проведение разработанного факультативного курса. 3. Проведение диагностирующей контрольной…

«проявляется» лишь в процессе преобразований. Очевидность и «завуалированность» новой переменной мы рассмотрим на конкретных примерах во второй главе данной работы. 2. Возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений В этой главе выявим возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений в стандартных и нестандартных…

метод Гаусса–Жордана — один из наиболее известных и широко применяемых методов решения систем линейных уравнений. Матричный метод и метод Крамера обладают тем недостатком, что они не дают ответа в том случае, когда detA = 0, а определяют лишь единственное решение при detA неравном 0. Еще одним недостатком является то, что объем математических вычислений в рамках этих методов резко возрастает с ростом числа уравнений. Метод Гаусса практически свободен от этих недостатков.

Алгоритм метода Гаусса

  1. На основании системы линейных уравнений составляем расширенную матрицу системы;
  2. Приводим матрицу к «треугольному» виду;
  3. Определяем ранги основной и расширенной матриц, и на основании этого делаем вывод о совместности системы и количестве допустимых решений;
  4. В случае, если система имеет единственное решение производим обратную подстановку и находим его, если система имеет множество решений: выражаем базисные переменные через переменные которые могут принимать произвольные значения;
Комментарий к шагу 2 Метода Гаусса. Треугольной называют матрицу, в которой все элементы расположенные ниже главной диагонали равны нулю.

Для приведения исходной расширенной матрицы к треугольному виду используем следующие два свойства определителей:

Свойство 1. Определитель не изменит свое значение, если ко всем элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы параллельной строки (столбца), умноженные на произвольное одно и то же число.

Свойство 2. При перестановке двух любых столбцов или строк матрицы ее определитель меняет знак на противоположный, а абсолютная величина определителя остается неизменной.

На основании этих свойств определителей составим алгоритм преобразования матрицы к треугольному виду:

  1. Рассматриваем строку i(начиная с первой). Если, элемент a i i равен нулю, меняем местами i-ю и i+1-ю строки матрицы. Знак определителя при этом изменится на противоположный. Если a 1 1 отличен от нуля — переходим к следующему шагу;
  2. Для каждой строки j, ниже i-й находим значение коэффициента K j =a j i /a i i ;
  3. Пересчитываем элементы всех строк j, расположенных ниже текущей строки i, с использованием соответствующих коэффициентов по формуле: a j k нов. =a j k -K j *a i k ; После чего, возвращаемся к первому шагу алгоритма и рассматриваем следующую строку, пока не доберемся до строки i=n-1, где n — размерность матрицы A
  4. В полученной треугольной матрице расчитываем произведение всех элементов главной диагонали Пa i i , которое и будет являтся определителем;

Другими словами, суть метода можно сформулировать следующим образом. Нам необходимо сделать нулевыми все элементы матрицы ниже главной диагонали. Сначала мы получаем нули в первом столбце. Для этого мы последовательно вычитаем первую строку, домноженную на нужное нам число (такое, чтоб при вычитании мы получили ноль в первом элементе строки), из всех ниже лежащих строк. Затем проделываем то же самое для второй строки, чтобы получить нули во втором столбце ниже главной диагонали матрицы. И так далее пока не доберемся до предпоследней строки.

Каждой системе линейных уравнений поставим в соответствие расширенную матрицу , полученную присоединением к матрице А столбца свободных членов:

Метод Жордана–Гаусса применяется для решения системы m линейных уравнений с n неизвестными вида:

Данный метод заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе уравнений с матрицей определенного вида.

Над строками расширенной матрицы осуществляем следующие элементарные преобразования:

1. перестановка двух строк ;

2. умножение строки на любое число, отличное от нуля ;

3. прибавление к одной строке другой строки, умноженной на некоторое число ;

4. отбрасывание нулевой строки (столбца) .

Пример 2.11. Решить методом Жордана–Гаусса системы линейных уравнений:

а ) Х 1 + Х 2 + 2Х 3 = -1

2Х 1 — Х 2 + 2Х 3 = -4

4Х 1 + Х 2 + 4Х 3 = -2

Решение: Составим расширенную матрицу:

Итерация 1

В качестве направляющего элемента выбираем элемент . Преобразуем первый столбец в единичный. Для этого ко второй и третьей строкам прибавляем первую строку, соответственно умноженную на (-2) и (-4). Получим матрицу:

На этом первая итерация закончена.

Итерация 2

Выбираем направляющий элемент . Так как , то делим вторую строку на -3. Затем умножаем вторую строку соответственно на (-1) и на 3 и складываем соответственно с первой и третьей строками. Получим матрицу

Итерация 3

Выбираем направляющий элемент . Так как , то делим третью строку на (-2). Преобразуем третий столбец в единичный. Для этого умножаем третью строку соответственно на (-4/3) и на (-2/3) и складываем соответственно с первой и второй строками. Получим матрицу

откуда Х 1 = 1, Х 2 = 2, Х 3 = -2.

Закончив решение, на этапе обучения необходимо выполнять проверку, подставив найденные значения в исходную систему, которая при этом должна обратиться в верные равенства.

б ) Х 1 – Х 2 + Х 3 – Х 4 = 4

Х 1 + Х 2 + 2Х 3 +3Х 4 = 8

2Х 1 +4Х 2 + 5Х 3 +10Х 4 = 20

2Х 1 – 4Х 2 + Х 3 – 6Х 4 = 4

Решение: Расширенная матрица имеет вид:

Применяя элементарные преобразования, получим:

Исходная система эквивалентна следующей системе уравнений:

Х 1 – 3Х 2 – 5Х 4 = 0

2Х 2 + Х 3 + 4Х 4 = 4

Последние две строки матрицы A (2) являются линейно зависимыми.

Определение. Строки матрицы e 1 , e 2 ,…, e m называются линейно зависимыми , если существуют такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:

где 0 =(0, 0…0). Строки матрицы являются линейно независимыми , когда комбинация этих строк равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю.

В линейной алгебре очень важно понятие ранга матрицы , т.к. оно играет очень большое значение при решении систем линейных уравнений.

Теорема 2.3 (о ранге матрицы). Ранг матрицы равен максимальному числу её линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные её строки (столбцы).

Ранг матрицы A (2) равен 2, т.к. в ней максимальное число линейно независимых строк равно 2 (это первые две строки матрицы).

Теорема 2.4 (Кронекера–Капели). Система линейных уравнений совместна и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. r = n, то система имеет единственное решение.

2. Если ранг матрицы системы меньше числа переменных, т.е. r

В данном случае система имеет 4 переменных, а её ранг равен 2, следовательно, она имеет бесконечное множество решений.

Определение. Пусть r n , r переменных x 1 , x 2 ,…, x r называются базисными , если определитель матрицы из коэффициентов при них (базисный минор ) отличен от нуля. Остальные n – r переменных называются свободными .

Определение. Решение системы, в котором все n – r свободных переменных равны нулю, называется базисным .

Совместная система m линейных уравнений с n переменными (m ) имеет бесконечное множество решений, среди которых базисных решений конечное число, не превосходящее , где .

В нашем случае , т. е. система имеет не более 6 базисных решений.

Общее решение имеет вид:

Х 1 = 3Х 2 +5Х 4

Х 3 = 4 – 2Х 2 – 4Х 4

Найдем базисные решения. Для этого полагаем Х 2 = 0, Х 4 = 0, тогда Х 1 =0, Х 3 = 4. Базисное решение имеет вид: (0, 0, 4, 0).

Получим другое базисное решение. Для этого в качестве свободных неизвестных примем Х 3 и Х 4 . Выразим неизвестные Х 1 и Х 2 через неизвестные Х 3 и Х 4:

Х 1 = 6 – 3/2Х 2 – Х 4

Х 2 = 2 – 1/2Х 3 – 2Х 4 .

Тогда базисное решение имеет вид: (6, 2, 0, 0).

Пример 2.12. Решить систему:

X 1 + 2X 2 – X 3 = 7

2X 1 – 3X 2 + X 3 = 3

4X 1 + X 2 – X 3 = 16

Решение.Преобразуем расширенную матрицу системы

Итак, уравнение, соответствующее третьей строке последней матрицы, противоречиво – оно привелось к неверному равенству 0 = –1, следовательно, данная система несовместна. Данный вывод можно также получить, если заметить, что ранг матрицы системы равен 2, тогда как ранг расширенной матрицы системы равен 3.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса с примером

Метод Гаусса не требует никаких глубоких математических познаний и доступен практически каждому — достаточно просто понимать алгоритм вычислений и справляться с простейшими действиями, такими, как сложение и умножение. Кроме того, этот метод подходит для тех случаев, когда применить методы Крамера или обратной матрицы невозможно по условию задачи.

Рассмотрим решение систем уравнений методом Гаусса на примере.

Пример решения систем линейных уравнений методом Гаусса.

Изучим принцип работы метода на примере, взяв следующую систему уравнений:

Первое, что нужно сделать — это записать нашу задачу в виде матрицы расширенного вида — иначе говоря, оставить в уравнениях только числовые коэффициенты.

Затем при помощи элементарных преобразований получившаяся матрица приводится к виду «треугольника». Делается это в несколько шагов:

1. Первая и вторая строки матрицы меняются местами.
2. Во вторую, третью и четвертую строку добавляются элементы первой строки, умноженные на – 5, — 3 и — 4.
3. Вторая и третья строки снова меняются местами, в то время как к третьей и четвертой добавляются элементы второй строки (умноженные на 4 и 1).
4. Затем из четвертого уравнения вычитается третье (умноженное на 11 и – 3).

Записывается все это следующим образом:

Получившаяся матрица переводится обратно в исходную систему уравнений:

Как видно по картинке, мы получили искомый «треугольник».

Теперь остается только решить простейшие уравнения.

5х4 = 30, следовательно, х4 = 6. Подставляем результат в третью строку:

Теперь, опираясь на полученные результаты, решаем уравнение из второй строки:

И последний шаг — найти значение х1, что не составит никакого труда, учитывая уже имеющиеся у нас данные:

Система уравнений полностью решена. Можно записывать ответ: х1 = 7, х2 = — 8, х3 = — 5, х4 = 6.

Похожие статьи

Уничтожение матриц. Исключение матриц (или решение системы… | Соломон Се | Основы линейной алгебры

Исключение матриц (или решение системы линейных уравнений ) является самым первым и фундаментальным навыком. Это, наверное, первый урок из всех курсов

Прежде чем изучать решение систем линейных уравнений , вам действительно нужно ознакомиться со всеми основными терминами, иначе перейти к следующему этапу может быть очень сложно. .
И в этом случае лучший способ узнать об этом — через Википедию.

JFR, основные условия: Гауссовская ликвидация , Gauss-jordan Ликвидация , Aupmented Matrix , Elementary Row , Элементарная матрица , ROW Echeelon Форма (REF) , Снижение Строка Echelon Форма (RREF) , Треугольная форма .

Это Алгоритм сокращения строк для решения системы линейных уравнений.

См. вики: Исключение Гаусса
См. простую вики: Исключение Гаусса
Пример: showme.com

для создания типа матрицы, называемой расширенной матрицей .
Затем элементарных операции над строками используются для упрощения матрицы.
Цель исключения Гаусса состоит в том, чтобы получить матрицу в ступенчато-строковой форме .
Если матрица имеет форму строк-ступеней , которая также называется Треугольная форма .
В некоторых определениях исключения Гаусса говорится, что результат матрицы должен быть в уменьшенной ступенчато-строковой форме .
Исключение Гаусса, которое создает уменьшенный результат матрицы строк-ступеней, иногда называют Исключение Гаусса-Жордана .

Для упрощения вот структура:

  • Алгоритм: Исключение Гаусса
  • Шаг 1: Перепишите систему в расширенную матрицу .
  • Шаг 2: Упростите матрицу с помощью Элементарные операции со строками .
  • Результат:
  • ROW Echelon Форма или
  • Уменьшенная форма эшелона

, и если мы сделаем результат только в RREF , поэтому название алгоритма также можно назвать:

  • алгоритм: Исключение Гаусса-Джордана
  • Шаг 1: Перепишите систему в расширенную матрицу .
  • Шаг 2: Упростите матрицу с помощью Элементарные операции со строками .
  • Результат: Только в Сокращенная форма эшелона

Элементарные операции со строками используются для упрощения матрицы .

Используются три типа операций со строками:

  • Тип 1: Переключение одной строки на другую строки .
  • Тип 2: Умножение строки на ненулевое число .
  • Тип 3: Добавление строки из другой строки . (!Примечание: вы можете только ДОБАВИТЬ их, но не вычесть , но вы можете ДОБАВИТЬ отрицательное)

Запутанная операция: Посмотрите, где был поставлен отрицательный знак :

Предположим, цель состоит в том, чтобы найти решение для линейной системы ниже:

Сначала нам нужно преобразовать его в форму Augmented Matrix :

Затем мы применяем Elementary Row Operations , и в результате получим Row Echelon Form :

В конце, если мы хотели бы, мы можем далее применить некоторые операции со строками, чтобы получить матрицу в Сокращенная форма эшелона строк :

Чтение этой матрицы говорит нам, что решения для этой системы уравнений возникают, когда x = 2, y = 3, и z = -1.

Обратитесь к этому видео-лекции: REF & RREF.

Неважно это Квадратная Матрица или нет, может быть Диагональ или Главная диагональ , а можно вообще диагональ не рисовать.
Имеет значение только ЧТО ВЫШЕ 1 И ЧТО НИЖЕ 1.

  • REF: Для каждого столбца все числа ниже 1 ДОЛЖНЫ БЫТЬ 0. Неважно, какие числа больше 1.
  • RREF : Для каждого столбца все числа выше и ниже 1 ДОЛЖНЫ БЫТЬ 0.Нас не волнует, если в столбце нет 1.

Значит мы вносим в матрицу еще один столбец, который представляет Правую часть системы уравнений, числа справа от знака =

5.

Когда мы применяем исключение к линейным уравнениям , мы работаем с обеими сторонами одновременно. Но для компьютерных программ это часто относится к Левая сторона и помните операции, а. грамм. умножьте число или сложите уравнения вместе, когда левая сторона будет закончена, примените те же операции к правой стороне.

Если для данной Матрицы было сказано, что это Расширенная Матрица , мы должны предположить, что Последний Столбец — это Столбец Решения .

  • Эквивалентные системы: Линейные системы с ТАКИМ НАБОРОМ РЕШЕНИЙ.
  • Эквивалентные матрицы: две матрицы, где одна матрица может быть превращена в другую матрицу с помощью элементарных операций над строками .

или называется курсор , или , или , или , или Базовая переменная .

См. это видео от mathispower4u.

Это означает значение, которое представляет неизвестную переменную в каждом столбце. В столбце нет разворота , если вы не можете получить 1 в этом столбце.

Если в столбце нет сводной точки, это означает, что эта неизвестная переменная столбца может быть любым числом , поэтому мы называем ее свободной переменной .

опорные точки находятся после сокращения строк , а затем возвращаются к Исходной матрице, столбцы С опорными точками называются опорными столбцами .

Все просто: когда вы решаете одну неизвестную переменную в линейной системе, вы подставляете значение обратно в другие уравнения. Мы называем этот процесс обратной заменой .

-

Гаусс Джордан Исключение – объяснение и примеры

  Метод исключения Гаусса-Жордана представляет собой алгоритм решения линейной системы уравнений.Мы также можем использовать его, чтобы найти обратную обратимую матрицу. Давайте сначала посмотрим на определение:

Исключение Гаусса-Жордана или исключение Гаусса — это алгоритм решения системы линейных уравнений путем представления ее в виде расширенной матрицы, уменьшения ее с помощью операций над строками и представления системы в сокращенной строке. -ступенчатая форма для нахождения значений переменных.

В этом уроке мы подробно рассмотрим метод исключения Гаусса и способы решения системы линейных уравнений методом исключения Гаусса-Жордана.Примеры и практические вопросы будут следовать.

Что такое исключение Гаусса?

Исключение Гаусса — это структурированный метод решения системы линейных уравнений. Таким образом, это алгоритм, который можно легко запрограммировать для решения системы линейных уравнений. Основная цель исключения Гаусса-Джордана:

  • представить систему линейных уравнений в расширенной матричной форме
  • затем выполнить над ней операции со строками $ 3 $ до сокращенной эшелонированной формы строк (RREF) достигается
  • Наконец, мы можем легко распознать решения из RREF

Давайте посмотрим, что такое расширенная матричная форма, $ 3 $ операции над строками, которые мы можем выполнять над матрицей, и уменьшенная эшелонированная форма строки матрицы.

Расширенная матрица

Ниже показана система линейных уравнений:

$ \begin{align*} 2x + 3y &= \,7 \\ x – y  &= 4  \end{align*} $

We запишет расширенную матрицу этой системы, используя коэффициенты уравнений и записав ее в стиле , показанном ниже:

$ \left[ \begin{array}{ rr | r } 2 & 3 & 7 \\ 1 & -1 & 4  \end{array} \right] $

Пример использования одновременных уравнений $ 3 $ показан ниже:

$ \begin{align*} 2x + y + z  &= \,10 \\ x + 2y + 3z &= 1 \\  – x – y – z  &= 2  \end{align*} $

Представление этой системы в виде расширенной матрицы:

$ \left [ \begin{массив}{ ррр | r } 2 & 1 & 1 & 10 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ – 1 & – 1 &  – 1  & 2  \end{array} \right] $

Операции со строками над матрицей

Есть $ 3 $ элементарных операций над строками , которые мы можем выполнять над матрицами.Это не изменит решения системы. Это:

  1. Перестановка $ 2 $ строк
  2. Умножение строки на ненулевой ($\neq 0 $) скаляр
  3. Сложение или вычитание скаляра, кратного одной строки, другой строке.

Сокращенная эшелонированная форма строк

Основная цель метода исключения Гаусса Жордана состоит в том, чтобы использовать $ 3 $ элементарных операций со строками над расширенной матрицей, чтобы привести ее к уменьшенной эшелонированной форме строк (RREF). Говорят, что матрица имеет сокращенную ступенчатую форму строк , также известную как каноническая форма строк , если выполняются следующие $ 4 $ условия:

  1. строк с нулевыми элементами (все элементы этой строки равны $ 0 $ s) находятся внизу матрицы.
  2. ведущая запись (первая ненулевая запись в строке) каждой ненулевой строки расположена справа   ведущей записи строки непосредственно над ней.
  3. Первая запись в любой ненулевой строке равна $ 1 $.
  4. Все записи в столбце, содержащем ведущую запись ($1$), являются нулями.

Как выполнить исключение Гаусса Жордана

В методе исключения Гаусса Жордана нет определенных шагов, но приведенный ниже алгоритм описывает шаги, которые мы выполняем, чтобы получить сокращенную эшелонированную форму расширенной матрицы.

  1. Поменять местами строки так, чтобы все строки с нулевыми элементами оказались внизу матрицы.
  2. Поменять местами строки так, чтобы строка с самой большой крайней левой цифрой находилась в верхней части матрицы.
  3. Умножьте верхнюю строку на скаляр, который преобразует начальную запись верхней строки в $ 1 $ (если первая запись верхней строки равна $ a $, умножьте ее на $ \frac{ 1 }{ a } $, чтобы получить $1$).
  4. Прибавьте или вычтите кратные числа из верхней строки к другим строкам, чтобы все записи в столбце ведущей записи верхней строки были равны нулю.
  5. Выполните шаги $ 2–4 $ для следующей крайней левой ненулевой записи , пока все ведущие записи каждой строки не будут равны $ 1 $.
  6. Поменяйте местами строки так, чтобы первая запись каждой ненулевой строки находилась справа от первой записи строки непосредственно над ней

На первый взгляд, запомнить шаги не так просто. Это вопрос решения нескольких проблем, пока вы не освоите процесс. Существует также фактор интуиции , который играет БОЛЬШУЮ роль в выполнении метода исключения Гаусса-Жордана.

Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы пояснить процесс решения системы линейных уравнений с помощью метода исключения Гаусса-Жордана .

 
Пример 1

Решите систему, показанную ниже, используя метод исключения Гаусса Жордана: 3x } – 4y  &= { 14 }  \end{align*} $

Решение

Первым шагом является запись расширенной матрицы системы.Мы покажем это ниже:

$ \left[ \begin{array}{ r r | r } – 1 & 2 & – 6 \\ 3 & -4 & 14  \end{array} \right] $

Теперь наша задача состоит в том, чтобы привести матрицу к приведенной эшелонированной форме строк (RREF), выполнив $ 3 $ элементарные операции со строками.

Увеличенная матрица, которая у нас есть:

$ \left[ \begin{array}{ r r | r } – 1 & 2 & – 6 \\ 3 & – 4 & 14  \end{array} \right] $

Шаг 1:

Мы можем умножить первую строку на $ – 1 $, чтобы сделать начальный вход $1$. Ниже показано:

$ \left[ \begin{array}{ r r | r } 1 & – 2 & 6 \\ 3 & – 4 & 14  \end{array} \right] $

Шаг 2:

Теперь мы можем умножить первую строку на $ 3 $ и вычесть ее из второй ряд. Ниже показано:

$ \left[ \begin{array}{ r r | r } 1 & -2 & 6 \\ {3 – ( 1 \times 3 ) } & { -4 – ( -2 \times 3 ) } & { 14 –  ( 6 \times 3 ) }  \end{array} \ right] $

$  = \left[  ​​\begin{array}{ rr | r } 1 & – 2 & 6 \\ 0 & 2 & – 4  \end{array} \right] $

У нас есть $ 0 $ в качестве первой записи второй строки.

Шаг 3:

Чтобы сделать вторую запись второй строки $ 1 $, мы можем умножить вторую строку на $ \ frac { 1 }{ 2 } $. Ниже показано:

$  \left[ \begin{array}{ r r | r } 1 & – 2 & 6 \\ { \frac{ 1 }{ 2 } \times 0} & { \frac{ 1 }{ 2 } \times 2 } & { \frac{ 1 }{ 2 } \times – 4}  \end{array} \right] $

$  = \left[ \begin{array}{ rr | r } 1 & – 2 & 6 \\ 0 & 1 & – 2  \end{array} \right] $

Шаг 4:

Мы почти у цели!

Вторая запись первой строки должна быть $0$. Для этого умножаем вторую строку на $2$ и прибавляем к первой строке. Ниже показано:

$ \left[ \begin{array}{ r r | r } { 1 + (0 \times 2 ) } & { – 2 + (1 \times 2 ) } & {6 + ( – 2 \times 2 ) } \\ 0 & 1 & – 2  \end{array} \ right] $

$  = \left[  ​​\begin{array}{ rr | r } 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & – 2  \end{array} \right] $

Это  уменьшенный эшелон строк   из . Из расширенной матрицы мы можем написать два уравнения (решения):

$ \begin{align*} x  + 0y &= \, 2 \\  0x  + y  &=  -2  \end{align*} $

$ \begin{align*} x &= \, 2 \\ y &= – 2  \end{align*} $

Таким образом, решением системы уравнений является $ x = 2 $ и $ y = – 2$.

Пример 2

Решите систему, показанную ниже, используя метод исключения Гаусса Жордана:

$ \begin{align*} x + 2y &= \, 4 \\ x – 2y  &= 6  \end{ align*} $


Решение

Запишем расширенную матрицу системы уравнений:

$ \left[  ​​\begin{array}{ rr | r } 1 & 2 & 4 \\ 1 & – 2 & 6  \end{array} \right] $

Теперь мы выполняем элементарные операции со строками над этой матрицей, пока не придем к сокращенной ступенчатой ​​форме строк.

Шаг 1:

Умножаем первую строку на $1$ и затем вычитаем ее из второй строки. По сути, это вычитание первой строки из второй строки:

$ \left[ \begin{array}{ r r | r } 1 & 2 & 4 \\ 1 – 1 & – 2 – 2 & 6 – 4  \end{массив} \right] $

$ =\left[ \begin{array}{ r r | r } 1 & 2 & 4 \\ 0 & – 4 & 2  \end{array} \right] $

Шаг 2:

Умножаем вторую строку на $ -\frac{ 1 }{ 4 }$, чтобы получить вторая запись строки, $ 1 $:

$\left[ \begin{array}{ rr | r } 1 & 2 & 4 \\ 0 \times -\frac{ 1 }{ 4 } & – 4 \times -\frac{ 1 }{ 4 } & 2 \times -\frac{ 1 }{ 4 }  \end {массив} \right] $

$ =\left[ \begin{array}{ rr | r } 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & -\frac{ 1 }{ 2 }  \end{array} \right] $

Шаг 3:

Наконец, мы умножаем вторую строку на $ – 2 $ и добавьте его в первую строку, чтобы получить уменьшенную форму эшелона строк этой матрицы:

$\left[ \begin{array}{ rr | r } 1+(- 2\times 0) & 2+( - 2 \times 1) & 4 + ( - 2 \times -\frac{ 1 }{ 2 } ) \\ 0 & 1 & -\frac{ 1 }{ 2 }  \end{array} \right] $

$=\left[ \begin{array}{ rr | r } 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & -\frac{ 1 }{ 2 }  \end{array} \right] $

Это  сокращенный ряд строк   формы . Из расширенной матрицы мы можем написать два уравнения (решения):

$ \begin{align*} x + 0y &= \, 5 \\ 0x+ y  &= -\frac{ 1 }{ 2 }  \end {align*} $

$ \begin{align*} x &= \, 5 \\ y &= -\frac{ 1 }{ 2 }  \end{align*} $

Таким образом, решение системы уравнений есть $ x = 5 $ и $ y = -\frac{ 1 }{ 2 } $.

Практические вопросы
  1. Решите систему, показанную ниже, используя метод исключения Гаусса Жордана:

    $ \begin{align*} 2x + y &= \, – 3 \\ – x – y  &= 2  \end{align*} $

  2. Решите систему, показанную ниже, используя метод исключения Гаусса-Жордана:

    $ \begin{align*} x + 5y &= \, 15 \\ – x + 5y  &= 25 \end{align*} $

Ответы

  1. Начнем с записи расширенной матрицы системы уравнений:

    $ \left[ \begin{array}{rr | r} 2 & 1 & – 3 \\ – 1 & – 1 & 2  \end{array} \right] $

    Теперь мы выполняем элементарные операции со строками, чтобы получить наше решение.

    Первый,
    Меняем местами знаки во второй строке и меняем местами строки. Итак, имеем:
    $ \left[ \begin{array}{r r | r} 1 & 1 & – 2 \\ 2 & 1 & – 3  \end{array} \right] $
    Second,
    Вычтем дважды первую строку из второй строки:
    $ \left[ \begin{array}{ рр | r} 1 & 1 & – 2 \\ 2 – ( 2 \times 1 ) & 1 – ( 2 \times 1 ) & – 3 – ( 2 \times – 2 )  \end{array} \right] $
    $ = \left[ \begin{массив}{rr | r} 1 & 1 & – 2 \\ 0 & – 1 & 1  \end{array} \right] $
    Третий,
    Инвертируем вторую строку, чтобы получить:
    $ = \left[\begin{array}{rr | r} 1 & 1 & – 2 \\ 0 & 1 & – 1  \end{array} \right] $
    Наконец,
    Вычитаем вторую строку из первой и получаем:
    $ = \left[\begin{ массив}{рр | r} 1 & 0 & – 1 \\ 0 & 1 & – 1  \end{array} \right] $

    Из этой расширенной матрицы мы можем написать два уравнения (решения):

    $ \begin{align *} x + 0y &= \, – 1 \\ 0x+ y  &= – 1   \end{align*} $

    $ \begin{align*} x &= \, – 1 \\ y &= – 1  \ end{align*} $

    Таким образом, решением системы уравнений является $ x = – 1  $ и $ y = – 1 $.

  2. Расширенная матрица системы:
    $ \left[\begin{array}{rr|r} 1 & 5 & 15 \\ – 1 & 5 & 25  \end{array} \right] $
    Давайте привести эту матрицу к сокращенному ступенчатому виду строк и найти решение системы.

    Во-первых,
    Отмените первую строку, затем вычтите ее из второй строки, чтобы получить:
    $ \left[ \begin{array}{rr|r} 1 & 5 & 15 \\ – 1 – ( – 1 ) & 5 – ( – 5 ) & 25 – ( – 15)  \end{array} \right] $
    $ =\left[ \begin{array}{rr|r} 1 & 5 & 15 \\ 0 & 10 & 40  \ end{array} \right] $
    Second,
    Разделите вторую строку на $10$, чтобы получить:
    $ \left[\begin{array}{rr | r} 1 & 5 & 15 \\ 0 & 1 & 4  \end{array} \right] $
    Затем
    Умножьте вторую строку на $ 5 $ и вычтите ее из первой строки, чтобы окончательно получить решение:
    $ \left[\begin{массив}{rr | r} 1 – ( 5 \times 0 ) & 5 – ( 5 \times 1 ) & 15 – ( 5 \times 4 ) \\ 0 & 1 & 4  \end{array} \right] $
    $ =\left[ \начать{массив}{рр | r} 1 & 0 & – 5 \\ 0 & 1 & 4  \end{array} \right] $
    Это сокращенная форма эшелона строк (RREF). Из этой дополненной матрицы мы можем написать два уравнения (решения):

    $ \begin{align*} x &= \, – 5 \\ y &= 4  \end{align*} $

    Таким образом, решение системы уравнений $ x = – 5 $ и $ y = 4 $.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Как использовать метод исключения Гаусса для решения системы уравнений?

ПРИМЕР:

Используйте исключение Гаусса, чтобы решить следующую систему уравнений.

#x+2y+3z=-7#
#2x-3y-5z=9#
#-6z-8y+z=-22#

Решение:

Настроить расширенную матрицу формы.

#((1,2,3,|,-7),(2,3,-5,|,9),(-6,-8,1,|,22))#

Цель 1. Получите 1 в верхнем левом углу.

Уже сделано.

Цель 2a: Получить ноль под единицей в первом столбце.

Умножьте строку 1 на #-2#, чтобы получить

#((-2,-4,-6,|,14))#

Добавьте результат в строку 2 и поместите результат в строку 2.

Мы обозначаем операции как #-2R_2+R_1→R_2#.

#((1,2,3,|,-7),(2,3,-5,|,9),(-6,-8,1,|,22)) stackrel(-2R_1+R_2→ R_2)(→) ((1,2,3,|,-7),(0,-7,-11,|,23),(-6,-8,1,|,22))#

Цель 2b: Получить еще один ноль в первом столбце.

Для этого нам понадобится операция #6R_1+R_3→R_3#.

#((1,2,3,|,-7),(0,-7,-11,|,23),(-6,-8,1,|,22)) stackrel(6R_2+R_3→ R_3)(→) ((1,2,3,|,-7),(0,-7,-11,|,23),(0,4,19,|,-64))#

Цель 2с. Получить оставшийся ноль.

Умножить строку 2 на #-1/7#.

#((1,2,3,|,-7),(0,-7,-11,|,23),(0,4,19,|,-64)) stackrel(-(1/7) )R_2 → R_2)(→) ((1,2,3,|,-7),(0,1,11/7,|,-23/7),(0,4,19,|,-64 ))#

Теперь используйте операцию #-4R_2+R_3 →R_3#.

#((1,2,3,|,-7),(0,1,11/7,|,-23/7),(0,4,19,|,-64)) stackrel(-4R_2 +R_3 →R_3)(→) ((1,2,3,|,-7),(0,1,11/7,|,-23/7),(0,0,89/7,|, -356/7))#

Умножить третью строку на #7/89#.

#((1,2,3,|,-7),(0,1,11/7,|,-23/7),(0,0,89/7,|,-356/7)) stackrel(7/89R_3 →R_3)(→) ((1,2,3,|,-7),(0,1,11/7,|,-23/7),(0,0,1,| ,-4))#

Цель 3. Используйте обратную подстановку, чтобы получить значения #x#, #y# и #z#.

Цель 3а. Вычислить #z#.

#z =-4#

Цель 3б. Вычислить #y#.

#y+11/7z=-23/7#
#y-44/7=-23/7#
#y=44/7-23/7=21/7#

#у=3#

Цель 3с. Вычислить х.

#x+2y+3z=-7#
#x+6-12=-7#
#x-6=-7#

#х=1#

Решение #x=1,y=3,z=-4#

Алгоритм исключения Гаусса

Подраздел 2.5.1 Некоторые матрицы, связанная система уравнений которых легко решается

Элементарные операции над строками позволяют нам изменять матрицы и связанные с ними системы линейных уравнений, не изменяя решения этих уравнений. Цель состоит в том, чтобы в конечном итоге получить матрицы, которые сделают эти общие решения очевидными. Вот несколько примеров.

  • Дополненная матрица

    \begin{уравнение*} \left[\begin{массив}{cccc|c} 1\амп 0\амп 0\амп 0\амп 1\\ 0\амп 1\амп 0\амп 0\амп 2\\ 0\амп 0\амп 1\амп 0\амп 5\\ 0\амп 0\амп 0\амп 1\амп -1 \конец{массив}\справа] \end{уравнение*}

    соответствует системе линейных уравнений

    \begin{уравнение*} \begin{массив}{cccccc} x_1\ампер \amp \amp \amp =\amp 1\\ \усилитель x_2\усилитель \усилитель \усилитель =\усилитель 2\\ \усилитель \усилитель x_3\усилитель \усилитель =\усилитель 5\\ \amp \amp \amp x_4\amp =\amp -1 \конец{массив} \end{уравнение*}

    Сами уравнения фактически описывают единственное решение! Обратите внимание на структуру матрицы коэффициентов, которая делает это возможным. В каждой строке есть только одна ненулевая запись, ее значение равно 1, и по мере того, как вы переходите от одной строки к другой, ненулевая запись перемещается на один столбец вправо.

  • Дополненная матрица

    \begin{уравнение*} \left[\begin{массив}{cc|c} 1\амп 1\амп 4\\ 0\амп 2\амп 6 \конец{массив}\справа] \end{уравнение*}

    соответствует системе линейных уравнений

    \begin{уравнение*} \begin{массив}{rcc} x_1+x_2\усилитель =\усилитель 4\\ 2x_2\амп =\амп 6 \конец{массив} \end{уравнение*}

    Последнюю строку решить легко: получаем \(x_2=3\text{.}\) Используя это значение, также легко решить \(x_1+x_2=x_1+3=4\text{,}\) или \(x_1=1\text{.}\)

  • Дополненная матрица

    \begin{уравнение*} \left[\begin{массив}{ccc|c} 1\amp 1\amp 1\amp 4\\ 0\amp 0\amp 2\amp 6 \end{массив}\right] \end{уравнение*}

    соответствует системе линейных уравнений

    \begin{уравнение*} \begin{массив}{rcc} x_1+x_2+x_3\amp =\amp 4\\ 2x_3\amp =\amp 6 \конец{массив} \end{уравнение*}

    Как и раньше, мы получаем \(x_3=3\text{. }\) У нас остаются две переменные undefined: второй присваиваем параметр: \(x_2=t\text{.}\) Используя это значение, имеем \(x_1+x_2+x_3=x_1+t+3 =4\text{,}\) или \(x_1=1-t\text{.}\) Теперь мы знаем решения: \(x_1=1-t\text{,}\) \(x_2=t\ text{,}\) \(x_3=3\), где \(t\) может быть любым вещественным числом. На самом деле мы можем проверить этот результат с помощью первого уравнения: \(x_1+x_2+x_3=(1-t) + t + 3=4\text{.}\) Компактный способ записи этого решения: \((x_1 ,x_2,x_3)=(1-t,t,3)\text{.}\)

Из приведенных примеров видно, что наличие большого количества нулей в матрице коэффициентов полезно для вычисления решений.Также ясно, что если первая ненулевая запись в строке равна единице, то вычисление упрощается. Наш план состоит в том, чтобы с помощью элементарных операций над строками преобразовать заданную матрицу коэффициентов в матрицу с этими свойствами, а затем описать все решения. Вот некоторые наблюдения, которые нам помогут:

  1. Если в столбце есть какая-то ненулевая запись, мы всегда можем сделать верхнюю запись ненулевой, поменяв строки местами, при необходимости используя \(R_1\leftrightarrow R_i\) для некоторого \(i>1\text{. }\)

  2. Если первая ненулевая запись строки \(R_i\) равна \(\lambda\text{,}\), мы можем преобразовать ее в 1, используя \(R_i\leftarrow \tfrac 1\lambda R_i\text{ .}\)

  3. Если две строки \(R_i\) и \(R_j\) имеют ненулевые записи в некотором столбце \(k\text{,}\), мы можем превратить запись \(j,k\) в ноль, используя \( R_j \leftarrow R_j - \frac{a_{j,k}}{a_{i,k}} R_i\text{.}\)

Подраздел 2.5.2 Эшелонная форма ряда

Теперь мы хотим определить общий класс матриц, соответствующие системы линейных уравнений которых имеют решения, которые легко найти. Эти матрицы имеют особый набор нулей и единиц и, как говорят, имеют эшелонированную форму из 90 838 строк.

Рисунок 2.5.1. Матрица в форме эшелона строк

Приведенная выше матрица дает представление о том, чего мы хотим. Обратите внимание, что линия лестницы, проведенная через матрицу, имеет все элементы под ней, равные нулю. Записи, отмеченные символом \(*\), могут принимать любое значение.

Первая ненулевая запись в строке (если она есть) называется ведущей записью. Если он равен \(1\text{,}\), то он называется ведущим.

Определение 2.5.2. Эшелонно-рядная форма.

Матрица находится в ступенчатой ​​форме строки , если

  • Каждая ведущая запись является ведущей.

  • Каждая запись ниже первой имеет вид \(0\text{.}\)

  • По мере продвижения вниз по матрице ведущие перемещаются вправо.

  • Любые все нулевые строки находятся внизу.

КПП 2.5.3.

Какие из следующих матриц имеют форму эшелона строк?

  • \(\displaystyle \begin{bmatrix} 1\amp2\amp3\amp4\\ 0\amp5\amp6\amp7\\ 0\amp0\amp8\amp9\\ 0\amp0\amp0\amp10 \end{bmatrix}\)

  • \(\displaystyle \begin{bmatrix} 1\amp2\amp3\amp4\\ 0\amp1\amp2\amp3\\ 0\amp0\amp0\amp0\\ 0\amp0\amp0\amp1 \end{bmatrix}\)

  • \(\displaystyle \begin{bmatrix} 1\amp2\amp3\amp4\\ 0\amp1\amp2\amp3\\ 0\amp0\amp0\amp1\\ 0\amp0\amp0\amp0 \end{bmatrix}\)

  • \(\displaystyle \begin{bmatrix} 1\amp2\amp3\amp4\\ 0\amp1\amp6\amp7\\ 0\amp0\amp1\amp1\\ 0\amp0\amp1\amp1 \end{bmatrix}\)

  • \(\displaystyle \begin{bmatrix} 1\amp0\amp0\amp0\\ 0\amp0\amp0\amp0\\ 0\amp0\amp0\amp0\\ 0\amp0\amp0\amp0 \end{bmatrix}\)

Решение
  • Не в форме эшелона строк, потому что не каждая ведущая запись является \(1\text{. }\)

  • Не в форме эшелона строк, потому что нулевая строка не находится внизу.

  • Рядная эшелонированная форма.

  • Не эшелонированная форма строки, потому что ведущая запись имеет ненулевую запись под ней.

  • Рядная эшелонированная форма.

Подраздел 2.5.3 Алгоритм исключения Гаусса

Теперь план начинается с расширенной матрицы и с помощью последовательности элементарных операций над строками изменяется на новую матрицу, в которой легко найти решения связанной системы линейных уравнений.Так как любая элементарная операция над строками оставляет решения неизменными, решения конечной системы линейных уравнений будут идентичны решениям исходной.

Работаем со столбцами матрицы слева направо и меняем матрицу следующим образом:

  1. Начните с первого столбца. Если все записи равны нулю, перейдите к следующему столбцу справа.

  2. Если в столбце есть ненулевые записи, при необходимости поменяйте строки местами, чтобы получить ненулевую запись сверху.

  3. При необходимости измените верхнюю запись на \(1\text{.}\)

  4. Для любой ненулевой записи ниже верхней используйте элементарную операцию строки, чтобы изменить ее на ноль.

  5. Теперь рассмотрим часть матрицы ниже верхней строки и правее рассматриваемого столбца: если таких строк или столбцов нет, остановитесь, так как процедура закончена. В противном случае проделайте ту же процедуру на новой матрице .

Вот первый пример:

\begin{уравнение*} \начать{массив}{г} 3x_1-2x_2-x_3+x_4=1\\ 6x_1-8x_2+x_3+2x_4=4 \конец{массив} \end{уравнение*}

имеет расширенную матрицу

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 3 \амп -2 \ампер -1 \ампер 1 \ампер 1\ 6 амп -8 амп 1 амп 2 амп 4 \end{bматрица}.\end{уравнение*}

Нам не нужно менять местами строки, чтобы сделать верхнюю запись первого столбца отличной от нуля, поэтому мы продолжаем делать верхнюю запись \(1\), используя элементарную операцию строки \(R_1\gets \frac13R_1\text{. } \) Матрица становится

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 1 \amp -\frac23 \amp -\frac13 \amp\frac13 \amp\frac13 \\ 6 амп -8 амп 1 амп 2 амп 4 \end{bматрица}. \end{уравнение*}

Теперь мы должны сделать все записи ниже верхней в столбце равными нулю.Такая запись, конечно, всего одна, поэтому с помощью \(R_2\leftarrow R_2-6R_1\text{,}\) получаем

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 1 \amp -\frac23 \amp -\frac13 \amp\frac13 \amp\frac13 \\ 0 \amp -4 \amp 3 \amp 0 \amp 2 \end{bmatrix}\text{.} \end{уравнение*}

Мы закончили с первым столбцом, поэтому продолжим ту же процедуру с матрицей, полученной удалением первой строки и первого столбца:

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} -4 \амп 3 \ампер 0 \ампер 2 \end{bматрица}.\end{уравнение*}

Поскольку имеется только одна строка, нам нужно только изменить верхнюю запись на \(1\) с помощью деления на \(-4\text{,}\), то есть \(R_1\gets -\frac14R_1\text{. }\) Тогда мы получим

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 1 \amp -\frac34 \amp 0 \amp -\frac12 \end{bматрица}. \end{уравнение*}

и, подставив обратно в исходную матрицу, получим

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 1 \amp -\frac23 \amp -\frac13 \amp\frac13 \amp\frac13 \\ 0 \amp 1 \amp -\frac34 \amp 0 \amp -\frac12 \end{bmatrix} \end{уравнение*}

Матрица имеет форму эшелона строк.Теперь мы можем определить все решения исходной системы линейных уравнений. Первая ненулевая запись в первой строке находится в первом столбце, столбце, связанном с \(x_1\text{.}\). Первая ненулевая запись во второй строке аналогично связана с \(x_2\text{.} \) Мы назначаем параметры другим переменным: \(x_3=s\) и \(x_4=t\text{.}\). Затем вторая строка сообщает нам, что \(x_2-\frac34s =-\frac12 \text{ ,}\) или \(x_2=\frac34s-\frac12\text{.}\) Теперь, когда мы знаем \(x_2\text{,}\), мы можем использовать первую строку, чтобы найти \(x_1\text{: }\) получаем \(x_1-\frac23x_2-\frac13s+\frac13t=\frac13\text{.}\) Мы подставляем наше известное значение для \(x_2\) в это уравнение, и после некоторого упрощения мы получаем \(x_1=\tfrac56s-\tfrac13t\text{. }\) Таким образом, мы имеем: Все решения до

\begin{уравнение*} \начать{массив}{г} 3x_1-2x_2-x_3+x_4=1\\ 6x_1-8x_2+x_3+2x_4=4 \конец{массив} \end{уравнение*}

имеют форму

\begin{уравнение*} \begin{массив}{rcl} x_1\amp =\amp\tfrac56s-\tfrac13t\\ x_2\amp =\amp -\tfrac12 +\tfrac34 с\\ x_3\амп =\ампер с\\ x_4\amp =\amp т \конец{массив} \end{уравнение*}

, где \(s\) и \(t\) - любые действительные числа.Более компактно мы запишем это как \((x_1,x_2,x_3,x_4)= \tfrac56s-\tfrac13t,-\tfrac12 +\tfrac34 s,s,t)\text{.}\) Другими словами, для любого приписывая \(s\) и \(t\text{,}\) действительные числа, мы получаем решение системы линейных уравнений.

Легко (и полезно) проверить, что подстановка \(x_1,\dots,x_4\) в два уравнения действительно дает решение.

Теперь рассмотрим другой пример с уравнениями

\начать{выровнять*}{3} x_1 \amp {}+2x_2 \amp{}-2x_3 \amp{}= \amp{}-1\\ 3x_1 \amp{}- 2x_2 \amp{}-4x_3 \amp{}= \amp{}3\\ 4x_1 \amp \amp{}-2x_3 \amp{}= \amp{}-2\\ -x_1 \amp {}-x_2 \amp{}+2x_3 \amp{}= \amp{}0 \end{выравнивание*}

и соответствующая ему расширенная матрица, измененная методом исключения Гаусса:

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 1\амп 2\амп -2\амп -1\ 3\амп -2\амп -4\амп 3\\ 4\амп 0\амп -2\амп -2\\ -1\ампер -1\ампер 2\ампер 0 \end{bmatrix} \начать{массив}{с} \\R_2 \стрелка влево R_2-3R_1\\ R_3\получает R_3-4R_1\\ R_4\получает R_4+R_1 \конец{массив} \end{уравнение*}

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 1\амп 2\амп -2\амп -1\ 0\амп -8\амп 2\амп 6\\ 0\амп -8\амп 6\амп 2\\ 0\амп 1\амп 0\амп -1 \end{bmatrix} \начать{массив}{с} R_2\gets-\frac18 R_2\\ R_3\gets R_3+8R_2\\R_4\gets R_4-R_2 \конец{массив} \end{уравнение*}

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 1\амп 2\амп -2\амп -1\ 0\amp 1\amp -\frac14\amp -\frac34\\ 0\амп 0\амп 4\амп -4\\ 0\amp 0\amp\tfrac14 \amp -\tfrac14 \end{bmatrix} \начать{массив}{с} R_3 \gets\frac14 R_3\\R_4\gets R_4-\frac14 R_3 \конец{массив} \end{уравнение*}

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 1\амп 2\амп -2\амп -1\ 0\amp 1\amp -\frac14\amp -\frac34\\ 0\амп 0\амп 1\амп -1\\ 0\амп 0\амп 0\амп 0 \end{bmatrix} \end{уравнение*}

Последняя строка для любого выбора \(x_1, x_2, x_3\text{,}\) сводится к \(0=0,\), поэтому любое решение связанных первых трех уравнений также будет решением последнего один. Другими словами, последняя строка матрицы не влияет на набор решений и может быть исключена из матрицы. Третья строка дает \(x_3=-1.\) Вторая строка дает \(x_2=-1\), а первая строка дает \(x_1=-1.\) Следовательно, есть одно решение: \((x_1, х_2,х_3)=(-1,-1,-1).\)

Теперь немного изменим уравнения из последнего примера (правая часть последнего уравнения изменена с \(0\) на \(1\)):

\начать{выровнять*}{3} x_1 \amp {}+2x_2 \amp{}-2x_3 \amp{}= \amp{}-1\\ 3x_1 \amp{}- 2x_2 \amp{}-4x_3 \amp{}= \amp{}3\\ 4x_1 \amp \amp{}-2x_3 \amp{}= \amp{}-2\\ -x_1 \amp {}-x_2 \amp{}+2x_3 \amp{}= \amp{}1 \end{выравнивание*}

Исключение Гаусса почти идентично

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 1\амп 2\амп -2\амп -1\ 3\амп -2\амп -4\амп 3\\ 4\амп 0\амп -2\амп -2\\ -1\амп -1\амп 2\амп 1 \end{bmatrix} \end{уравнение*}

уменьшается до

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 1\амп 2\амп -2\амп -1\ 0\amp 1\amp -\frac14\amp -\frac34\\ 0\амп 0\амп 1\амп -1\\ 0\амп 0\амп 0\амп 1 \end{bmatrix} \end{уравнение*}

Теперь в последней строке указано \(0x_1+0x_2+0x_3=1\text{,}\), что для любого выбора \(x_1\text{,}\) \(x_2\) и \(x_3\text{ ,}\) сводится к \(0=1\) и никогда не бывает истинным. Это означает, что исходная система уравнений не имеет решений, то есть система несовместна.

Здесь мы можем сделать полезное наблюдение: если строка расширенной матрицы имеет вид

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 0 \amp 0 \amp 0 \amp \cdots \amp 0 \amp * \end{bmatrix} \end{уравнение*}

, где \(*\) равно нулю или отлично от нуля, происходит одно из двух:

  1. \(*=0\) в этом случае строка может быть удалена из матрицы

  2. \(*\not=0\) в этом случае решения нет.

Пример 2.5.4.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

\begin{уравнение*} \begin{массив}{rcl} х+у+г\амп =\амп 1\\ 2x+y+z \amp =\amp 2\\ 3x+ay+bz\amp =\amp c \конец{массив} \end{уравнение*}

Мы хотим знать значения \(a,\) \(b\) и \(c\), для которых нет решений, одно решение или более одного решения. Чтобы решить эту проблему, мы применяем исключение Гаусса к расширенной матрице:

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 1\амп 1\амп 1\амп 1\\ 2\амп 1\амп 1\амп 2\\ 3\амп а\амп б\амп с \end{bmatrix} \begin{матрица}R_2\получает R_2-2R_1\\ R_3\получает R_3-3 R_1\конец{матрица} \end{уравнение*}

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 1\amp 1\amp 1\amp 1\\0\amp -1\amp -1\amp 0\\0\amp a-3\amp b-3\amp c-3 \end{ bматрица} \begin{matrix}R_2\gets -R_2\\R_3\gets R_3-(a-3)R_2\end{matrix} \end{уравнение*}

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 1\amp 1\amp 1\amp 1\\0\amp 1\amp 1\amp 0\\0\amp 0\amp b-a\amp c-3 \end{bmatrix} \end{уравнение*}

Анализ последней строки говорит нам обо всем: если \(b-a\not=0,\), то существует ровно одно решение. Если \(b-a=0,\) и \(c-3\not=0,\), то решений нет. В противном случае (когда \(b=a\) и \(c=3\)) существует бесконечное число решений.

Упражнения Упражнения
1.

Найдите все решения системы уравнений

\начать{выравнивать*} х+2у-г \amp=2\\ х+у-г\усилитель=0\\ 2x-y+z\amp=3 \конец{выравнивание*}

Решение

Приводим расширенную матрицу в ступенчатую форму строк:

\begin{уравнение*} \begin{bmatrix} 1 \amp 2 \amp -1 \amp 2\\ 1 \amp 1 \amp -1 \amp 0\\ 2 \ампер -1 \ампер 1 \ампер 3\\ \end{bmatrix} \\ \начать{массив}{л} R_2\получает R_2 - R_1\\ R_3\получает R_3-2R_1 \конец{массив} \\ \begin{bmatrix} 1 \amp 2 \amp -1 \amp 2\\ 0 \amp -1 \amp 0 \amp -2\\ 0 \amp -5 \amp 3 \amp -1\\ \end{bmatrix} \\ \начать{массив}{л} R_2\получает -R_2\\ \конец{массив} \\ \begin{bmatrix} 1 \amp 2 \amp -1 \amp 2\\ 0 \усилитель 1 \усилитель 0 \усилитель 2\\ 0 \amp -5 \amp 3 \amp -1\\ \end{bmatrix} \\ R_3\получает R_3+5R_2 \\ \begin{bmatrix} 1 \amp 2 \amp -1 \amp 2\\ 0 \усилитель 1 \усилитель 0 \усилитель 2\\ 0 \усилитель 0 \усилитель 3 \усилитель 9\\ \end{bmatrix} \\ R_3\gets\frac13 R_3 \\ \begin{bmatrix} 1 \amp 2 \amp -1 \amp 2\\ 0 \усилитель 1 \усилитель 0 \усилитель 2\\ 0 \усилитель 0 \усилитель 1 \усилитель 3\\ \end{bmatrix} \end{уравнение*}

Последняя строка дает \(z=3\text{. }\) Вторая строка дает \(y=2\text{.}\) Первая строка дает \(x=2-2y+z=2-4+3=1\text{,}\) и так далее является единственным решением \((x,y,z)=(1,2,3)\text{.}\)

Решающие системы с исключением Гаусса – Алгебра и тригонометрия

Цели обучения

В этом разделе вы:

  • Напишите расширенную матрицу системы уравнений.
  • Напишите систему уравнений из расширенной матрицы.
  • Выполнение операций со строками над матрицей.
  • Решите систему линейных уравнений с помощью матриц.
Рис. 1. Немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777–1855).

Карл Фридрих Гаусс жил в конце 18-го и начале 19-го веков, но до сих пор считается одним из самых плодовитых математиков в истории. Его вклад в математику и физику охватывает такие области, как алгебра, теория чисел, анализ, дифференциальная геометрия, астрономия и оптика, среди прочих. Его открытия, касающиеся теории матриц, изменили то, как математики работали последние два столетия.

Впервые мы столкнулись с методом исключения Гаусса в книге «Системы линейных уравнений: две переменные». В этом разделе мы вернемся к этой технике решения систем, на этот раз с использованием матриц.

Написание расширенной матрицы системы уравнений

Матрица может служить средством представления и решения системы уравнений. Чтобы выразить систему в матричной форме, мы извлекаем коэффициенты переменных и констант, и они становятся элементами матрицы.Мы используем вертикальную линию, чтобы отделить записи коэффициентов от констант, по существу заменяя знаки равенства. Когда система записывается в такой форме, мы называем ее расширенной матрицей.

Например, рассмотрим следующую систему уравнений.

Мы можем записать эту систему в виде расширенной матрицы:

Мы также можем написать матрицу, содержащую только коэффициенты. Это называется матрицей коэффициентов.

Система уравнений три на три, такая как

имеет матрицу коэффициентов

и представлен расширенной матрицей

Обратите внимание, что матрица написана таким образом, что переменные располагаются в своих собственных столбцах: x - термины идут в первом столбце, y - термины во втором столбце и z - термины в третьем столбце. Очень важно, чтобы каждое уравнение было написано в стандартных формах, чтобы переменные выстраивались в ряд. Когда в уравнении отсутствует переменный член, коэффициент равен 0,

.

Как

Учитывая систему уравнений, напишите расширенную матрицу.

  1. Запишите коэффициенты членов x в виде чисел в первом столбце.
  2. Запишите коэффициенты y -членов в виде чисел во втором столбце.
  3. Если имеется z -членов, запишите коэффициенты в виде чисел в третьем столбце.
  4. Нарисуйте вертикальную линию и запишите константы справа от линии.

Написание расширенной матрицы для системы уравнений

Напишите расширенную матрицу для данной системы уравнений.

[reveal-answer q="fs-id1165137727716″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165137727716″]

Расширенная матрица отображает коэффициенты переменных и дополнительный столбец для констант.

[/ скрытый ответ]

Попробуйте

Запишите расширенную матрицу данной системы уравнений.

[reveal-answer q="fs-id1165134301343″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165134301343″]

[/скрытый ответ]

Написание системы уравнений из расширенной матрицы

Мы можем использовать расширенные матрицы, чтобы помочь нам решать системы уравнений, потому что они упрощают операции, когда системы не перегружены переменными. Однако важно понимать, как переключаться между форматами, чтобы сделать поиск решений более плавным и интуитивно понятным.Здесь мы будем использовать информацию в расширенной матрице, чтобы записать систему уравнений в стандартной форме.

Написание системы уравнений из расширенной матричной формы

Найдите систему уравнений из расширенной матрицы.

[reveal-answer q="fs-id1165137737608″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165137737608″]

Когда столбцы представляют переменные [latex]y,\,[/latex] и

[/ скрытый ответ]

Попробуйте

Напишите систему уравнений из расширенной матрицы.

[reveal-answer q="fs-id1165135528897″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165135528897″]

[/скрытый ответ]

Выполнение операций со строками над матрицей

Теперь, когда мы можем записывать системы уравнений в расширенной матричной форме, мы рассмотрим различные операции со строками, которые можно выполнять над матрицей, такие как сложение, умножение на константу и перестановка строк.

Выполнение операций со строками над матрицей — это метод, который мы используем для решения системы уравнений.Для того, чтобы решить систему уравнений, мы хотим преобразовать матрицу в строчно-ступенчатую форму, в которой единицы по главной диагонали от левого верхнего угла до нижнего правого угла, и нули в каждой позиции ниже главной диагонали как показано.

Мы используем операции со строками, соответствующие операциям с уравнениями, чтобы получить новую матрицу, эквивалентную строкам в более простой форме. Вот рекомендации по получению формы ряд-эшелон.

  1. В любой ненулевой строке первое ненулевое число равно 1.Он называется ведущим 1.
  2. Любые строки со всеми нулями помещаются внизу матрицы.
  3. Любой интерлиньяж 1 находится ниже и правее предыдущего интерлиньяжа 1.
  4. Любой столбец, содержащий ведущую единицу, имеет нули во всех остальных позициях в столбце.

Чтобы решить систему уравнений, мы можем выполнить следующие операции со строками, чтобы преобразовать матрицу коэффициентов в ступенчатую форму, и выполнить обратную подстановку, чтобы найти решение.

  1. Поменять местами ряды.(Обозначение:)
  2. Умножить строку на константу. (Обозначение:)
  3. Добавить произведение строки, умноженной на константу, к другой строке. (Обозначение:

Каждая из операций строки соответствует операциям, которые мы уже изучили для решения систем уравнений с тремя переменными. С этими операциями есть несколько ключевых ходов, которые быстро достигнут цели записи матрицы в форме строки-эшелона. Чтобы получить матрицу в форме строки-эшелона для поиска решений, мы используем метод исключения Гаусса, который использует операции со строками для получения 1 в качестве первой записи, чтобы строка 1 могла использоваться для преобразования оставшихся строк.

Исключение Гаусса

Метод исключения Гаусса относится к стратегии, используемой для получения ступенчато-строковой формы матрицы. Цель состоит в том, чтобы написать матрицу с числом 1 в качестве записи вниз по главной диагонали и со всеми нулями ниже.

Первый шаг стратегии Гаусса включает в себя получение 1 в качестве первой записи, так что строка 1 может использоваться для изменения строк ниже.

Как

При заданной расширенной матрице выполните операции над строками, чтобы получить эшелонированную форму.

  1. В первом уравнении старший коэффициент должен быть равен 1. При необходимости поменяйте местами строки или умножьте на константу.
  2. Используйте операции со строками, чтобы получить нули в первом столбце после первой записи 1.
  3. Используйте операции со строками, чтобы получить 1 в строке 2, столбце 2.
  4. Используйте операции со строками, чтобы получить нули вниз по столбцу 2, ниже ввода 1.
  5. Используйте операции со строками, чтобы получить 1 в строке 3, столбце 3.
  6. Продолжайте этот процесс для всех строк, пока не будет 1 в каждом элементе вниз по главной диагонали, а ниже не останутся только нули.
  7. Если какие-либо строки содержат все нули, поместите их внизу.

Решение системы методом исключения Гаусса

Решите данную систему методом исключения Гаусса.

Попробуйте

Решите данную систему методом исключения Гаусса.

[reveal-answer q="fs-id1165137732121"]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165137732121″]

[/скрытый ответ]

Использование исключения Гаусса для решения системы уравнений

Используйте исключение Гаусса, чтобы решить заданную
систему уравнений.

Решение зависимой системы

Решите систему уравнений.

Выполнение операций со строками над расширенной матрицей 3 × 3 для получения формы строк-эшелонов

Выполнить операции со строками над заданной матрицей, чтобы получить форму строки-эшелона.

Попробуйте

Запишите систему уравнений в строчно-кулисной форме.

[reveal-answer q="fs-id1165134189887″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165134189887″]

[/скрытый ответ]

Решение системы линейных уравнений с использованием матриц

Мы увидели, как написать систему уравнений с расширенной матрицей, а затем, как использовать операции со строками и обратную подстановку для получения ступенчатой ​​формы.Теперь мы сделаем еще один шаг вперед, чтобы решить систему линейных уравнений 3 на 3. Общая идея состоит в том, чтобы исключить все переменные, кроме одной, с помощью операций со строками, а затем выполнить обратную замену для решения других переменных.

Решение системы линейных уравнений с использованием матриц

Решите систему линейных уравнений с помощью матриц.

Решение зависимой системы линейных уравнений с использованием матриц

Решите следующую систему линейных уравнений с помощью матриц.

Попробуйте

Решите систему с помощью матриц.

[reveal-answer q="fs-id1165135172200"]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ a = "fs-id1165135172200"]
[/ скрытый ответ]

Можно ли решить любую систему линейных уравнений методом исключения Гаусса?

Да, система линейных уравнений любого размера может быть решена методом исключения Гаусса.

Как

Дана система уравнений. Решите ее с помощью матриц с помощью калькулятора.

  1. Сохранить расширенную матрицу как матричную переменную
  2. Используйте функцию ref( в калькуляторе, вызывая каждую матричную переменную по мере необходимости.

Решение систем уравнений с матрицами с помощью калькулятора

Решите систему уравнений.

Применение матриц 2 × 2 к финансам

Кэролайн инвестирует в общей сложности 12 000 долларов в две муниципальные облигации, одна из которых приносит 10,5% годовых, а другая — 12%.Годовой процент, полученный по двум инвестициям в прошлом году, составил 1335 долларов. Сколько было вложено по каждой ставке?

Применение матриц 3 × 3 к финансам

Ava инвестирует в общей сложности 10 000 долларов США в три счета, один из которых выплачивает 5% годовых, другой - 8% годовых, а третий - 9% годовых. Годовой процент, полученный по трем инвестициям в прошлом году, составил 770 долларов. Сумма, вложенная под 9%, вдвое превышала сумму, вложенную под 5%. Сколько было вложено по каждой ставке?

[reveal-answer q="fs-id1165134589597″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165134589597″]

У нас есть система из трех уравнений с тремя переменными. Letbe сумма, инвестированная под 5% годовых, letbe сумма, инвестированная под 8% годовых, и letbe сумма, инвестированная под 9% годовых. Таким образом,

В качестве матрицы имеем

Теперь мы выполняем исключение Гаусса, чтобы получить форму строки-эшелона.

Третья строка сообщает usthus

Вторая строка говорит нам Подставляя мы получаем

Первая строка говорит нам о подстановке и мы получаем

Ответ: 3000 долларов инвестировано под 5%, 1000 долларов инвестировано под 8% и 6000 долларов инвестировано под 9%.[/скрытый ответ]

Попробуйте

Небольшая обувная компания взяла кредит в размере 1 500 000 долларов США, чтобы расширить свой ассортимент. Часть денег была взята в долг под 7%, часть – под 8%, а часть – под 10%. Сумма займа под 10% в четыре раза превышала сумму займа под 7%, а годовой процент по всем трем кредитам составлял 130 500 долларов. Используйте матрицы, чтобы найти сумму займа по каждой ставке.

[reveal-answer q="fs-id1165137547014″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165137547014″]

150 000 долларов США под 7%, 750 000 долларов США под 8%, 600 000 долларов США под 10%

[/скрытый ответ]

Основные понятия

  • Расширенная матрица — это матрица, содержащая коэффициенты и константы системы уравнений. См. (Рисунок).
  • Матрица, дополненная постоянным столбцом, может быть представлена ​​в виде исходной системы уравнений. См. (Рисунок).
  • Операции со строками включают умножение строки на константу, добавление одной строки к другой строке и перестановку строк.
  • Мы можем использовать исключение Гаусса для решения системы уравнений. См. (Рисунок), (Рисунок) и (Рисунок).
  • Операции со строками выполняются над матрицами для получения ступенчатой ​​формы. См. (Рисунок).
  • Чтобы решить систему уравнений, запишите ее в расширенной матричной форме.Выполните операции со строками, чтобы получить форму строки-эшелона. Обратно заменить, чтобы найти решения. См. (Рисунок) и (Рисунок).
  • Калькулятор можно использовать для решения систем уравнений с использованием матриц. См. (Рисунок).
  • Многие реальные проблемы можно решить с помощью расширенных матриц. См. (Рисунок) и (Рисунок).

Секционные упражнения

Устный

Можно ли любую систему линейных уравнений записать в виде расширенной матрицы? Объясните, почему да или почему нет. Объясните, как записать эту расширенную матрицу.

[reveal-answer q="fs-id1165134155093″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165134155093″]

Да. Для каждой строки коэффициенты при переменных записываются поперек соответствующей строки и ставится вертикальная черта; то константы располагаются справа от вертикальной черты.

[/скрытый ответ]

Можно ли любую матрицу представить в виде системы линейных уравнений? Объясните, почему да или почему нет. Объясните, как записать эту систему уравнений.

Существует ли только один правильный метод использования строковых операций над матрицей? Попробуйте объяснить две разные операции со строками, которые можно использовать для решения расширенной матрицы

. [reveal-answer q="fs-id1165134036654″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165134036654″]

Нет, существует множество правильных способов использования строковых операций над матрицей.Два возможных способа: (1) Поменять местами строки 1 и 2. Затем (2) Затем разделить строку 1 на 9.

[/скрытый ответ]

Можно ли решить матрицу, запись которой равна 0 по диагонали? Объясните, почему да или почему нет. Что бы вы сделали, чтобы исправить ситуацию?

Может ли матрица, состоящая из 0 элементов для всей строки, иметь одно решение? Объясните, почему да или почему нет.

[reveal-answer q="fs-id1165137639609″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165137639609″]

№Матрица с 0 элементами для всей строки будет иметь либо ноль, либо бесконечно много решений.

[/скрытый ответ]

Алгебраический

Для следующих упражнений напишите расширенную матрицу для линейной системы.

[reveal-answer q="fs-id1165133145058″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165133145058″]

[/скрытый ответ]

[reveal-answer q="fs-id1165137418199″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165137418199″]

[/скрытый ответ]

Для следующих упражнений напишите линейную систему из расширенной матрицы.

[reveal-answer q="fs-id1165137

4″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165137

4″]

[/скрытый ответ]

[reveal-answer q="fs-id1165137836994"]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ a=”fs-id1165137836994″]
[/скрытый ответ]

[reveal-answer q="fs-id1165135440480"]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165135440480″]

[/скрытый ответ]

Для следующих упражнений решите систему методом исключения Гаусса.

[reveal-answer q="fs-id1165135151213″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165135151213″]

Нет решений

[/скрытый ответ]

[reveal-answer q="fs-id1165134329612″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165134329612″]

[/скрытый ответ]

[reveal-answer q="fs-id1165135473768″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165135473768″]

[/скрытый ответ]

[reveal-answer q="fs-id1165135580980"]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165135580980″]

[/скрытый ответ]

[reveal-answer q="fs-id1165137843205"]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ a = "fs-id1165137843205"]
[/ скрытый ответ]

[reveal-answer q="fs-id1165133243532″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165133243532″]

[/скрытый ответ]

[reveal-answer q="fs-id1165137501549″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165137501549″]

[/скрытый ответ]

[reveal-answer q="fs-id1165135551136″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165135551136″]

[/скрытый ответ]

[reveal-answer q="fs-id1165133141313″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165133141313″]

[/скрытый ответ]

[reveal-answer q="fs-id1165135620833″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165135620833″]

[/скрытый ответ]

[reveal-answer q="fs-id1165134188796″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165134188796″]

[/скрытый ответ]

[reveal-answer q="fs-id1165135496208"]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165135496208″]

[/скрытый ответ]

[reveal-answer q="fs-id1165134138496″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165134138496″]

[/скрытый ответ]

[reveal-answer q="fs-id1165135407366″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165135407366″]

[/скрытый ответ]

[reveal-answer q="fs-id1165135665476″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165135665476″]

[/скрытый ответ]

Расширения

В следующих упражнениях используйте метод исключения Гаусса для решения системы.

[reveal-answer q="fs-id1165137471175″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165137471175″]

[/скрытый ответ]

[reveal-answer q="fs-id1165135263629″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165135263629″]

[/скрытый ответ]

[reveal-answer q="fs-id1165135354918"]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165135354918″]

Решений не существует.

[/скрытый ответ]

Реальные приложения

Для следующих упражнений создайте расширенную матрицу, описывающую ситуацию, и найдите желаемое решение.

Каждый день в магазине кексов продается 5000 кексов с шоколадным и ванильным вкусом. Если шоколадный вкус в 3 раза популярнее ванильного, сколько каждого кекса продается в день?

В конкурирующем магазине кексов ежедневно продаются кексы на 4520 долларов.Шоколадные кексы стоят 2,25 доллара, а кексы «Красный бархат» — 1,75 доллара. Если общее количество кексов, продаваемых в день, равно 2200, сколько каждого вкуса продается каждый день?

[reveal-answer q=”fs-id1165137767240″]Показать решение[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”fs-id1165137767240″]860 красного бархата, 1340 шоколадок[/hidden-answer]

Вы вложили 10 000 долларов США в два счета: один с простой процентной ставкой 3%, другой с процентной ставкой 2,5%. Если ваш общий процентный платеж через год составил 283 доллара.50, сколько было на каждом счету по прошествии года?

Вы вложили 2300 долларов на счет 1 и 2700 долларов на счет 2. Если общая сумма процентов через год составляет 254 доллара, а на счете 2 процентная ставка в 1,5 раза больше, чем на счете 1, каковы процентные ставки? Предположим, простые процентные ставки.

[reveal-answer q="fs-id1165134254294"]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165134254294″]

4% для счета 1, 6% для счета 2

[/скрытый ответ]

Bikes’R’Us производит велосипеды, которые продаются по цене 250 долларов. Это обходится производителю в 180 долларов за велосипед плюс первоначальный взнос в размере 3500 долларов. Через какое количество проданных велосипедов производитель станет безубыточным?

Крупный магазин бытовой техники рассматривает возможность покупки пылесосов у небольшого производителя. Магазин сможет приобрести пылесосы по цене 86 долларов каждый, а стоимость доставки составит 9200 долларов, независимо от того, сколько пылесосов продано. Если магазин должен начать получать прибыль после продажи 230 единиц, сколько он должен брать за пылесосы?

[reveal-answer q="fs-id1165135456730″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165135456730″]

$126

[/скрытый ответ]

Три самых популярных вкуса мороженого — шоколадное, клубничное и ванильное, составляющие 83% вкусов, продаваемых в магазине мороженого.Если ванильное мороженое продается на 1% больше, чем клубничное, более чем в два раза, а шоколадное — на 11% больше, чем ванильное, то какую долю от общего потребления мороженого составляют ароматы ванили, шоколада и клубники?

В магазине мороженого растет спрос на три вкуса. В прошлом году банановое, тыквенное и каменистое мороженое составили 12% от общего объема продаж мороженого. В этом году те же три вида мороженого составили 16,9% продаж мороженого. Продажи каменистой дороги увеличились вдвое, продажи бананов выросли на 50%, а продажи тыквы выросли на 20%.Если мороженое «Каменная дорога» имеет на один процент меньше продаж, чем банановое мороженое, выясните процент продаж каждого отдельного мороженого в прошлом году.

[reveal-answer q="fs-id1165135255463″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165135255463″]

Банан 3%, тыква 7%, каменистая дорога 2%

[/скрытый ответ]

Пакет ореховой смеси содержит кешью, фисташки и миндаль. Всего в пакете 1000 орехов, а миндаля на 100 меньше, чем фисташек.Орехи кешью весят 3 г, фисташки — 4 г, а миндаль — 5 г. Если мешок весит 3,7 кг, узнайте, сколько орехов каждого вида находится в мешке.

Пакет ореховой смеси содержит кешью, фисташки и миндаль. Изначально в мешке было 900 орехов. 30 % миндаля, 20 % кешью и 10 % фисташек были съедены, и теперь в мешке осталось 770 орехов. Изначально орехов кешью было на 100 штук больше, чем миндаля. Для начала подсчитайте, сколько орехов каждого типа было в пакете.

[reveal-answer q="fs-id1165133294879″]Показать решение[/reveal-answer]
[скрытый ответ = ”fs-id1165133294879″]

100 миндаля, 200 кешью, 600 фисташек

[/скрытый ответ]

Глоссарий

расширенная матрица
матрица коэффициентов, присоединенная к столбцу констант, разделенному вертикальной чертой в скобках матрицы
матрица коэффициентов
матрица, содержащая только коэффициенты из системы уравнений
Исключение Гаусса
с использованием элементарных операций над строками для получения матрицы в виде эшелона строк
главная диагональ
записей из левого верхнего угла по диагонали в правый нижний угол квадратной матрицы
рядно-эшелонная форма
после выполнения операций со строками, матричная форма, содержащая единицы вниз по главной диагонали и нули на каждом месте ниже диагонали
эквивалент строки
две матрицы эквивалентны по строкам, если одна может быть получена из другой путем выполнения основных операций со строками
рядовые операции
добавление одной строки к другой строке, умножение строки на константу, перестановка строк и т. д. с целью получения эшелонированной формы строки

Матрицы и системы уравнений

6.1 - Матрицы и системы уравнений

Определение матрицы

  • Прямоугольный массив действительных чисел
  • м строк по n столбцов
  • Названо с использованием заглавных букв
  • Первый нижний индекс — строка, второй нижний индекс — столбец

Терминология

  • Матрица с m строк и n столбцов называется матрицей порядка m x n .
  • Квадратная матрица — это матрица с равным количеством строк и столбцов.Поскольку количество строки и столбцы одинаковы, говорят, что он имеет порядок n .
  • Главной диагональю квадратной матрицы являются элементы от левого верхнего угла к правому нижнему матрица.
  • Матрица-строка — это матрица, имеющая только одну строку.
  • Матрица-столбец — это матрица, имеющая только один столбец.
  • Матрица только с одной строкой или одним столбцом называется вектором.

Преобразование систем линейных уравнений в Матрицы

Каждое уравнение в системе становится строкой.Каждая переменная в система становится столбцом. Переменные удаляются, и коэффициенты помещаются в матрицу. Если включена правая сторона, это называется расширенной матрицей. Если правая сторона не включена, это называется матрицей коэффициентов.

Система линейных уравнений...

 х + у - г = 1
3х - 2у + г = 3
4x + y - 2z = 9 

становится расширенной матрицей...

  х и г справа  
  1 1 -1 1  
  3 -2 1 3  
  4 1 -2 9  

Элементарные операции с рядами

Элементарные операции со строками — это операции, которые могут быть выполнены с матрицей и будут генерировать эквивалентная строкам матрица. Если матрица является расширенной матрицей, построенной из системы линейных уравнений, то матрица, эквивалентная строкам, будет иметь тот же набор решений, что и исходная матрица.

При работе с системами линейных уравнений можно было выполнить три операции. что не изменит множество решений.

  1. Поменять местами два уравнения.
  2. Умножить уравнение на ненулевую константу.
  3. Умножить уравнение на ненулевую константу и добавить его к другому уравнению, заменив это уравнение.

Когда система линейных уравнений преобразуется в расширенную матрицу, каждое уравнение становится ряд. Итак, теперь есть три элементарные операции со строками, которые дадут эквивалент строки матрица.

  1. Замена двух рядов
  2. Умножить строку на ненулевую константу
  3. Умножить строку на ненулевую константу и добавить ее к другой строке, заменив эту строку.

Формы рядного эшелона и сокращенного рядного эшелона

Это строковые эквивалентные формы матрицы. Можно легко решить систему линейных уравнений когда матрицы находятся в одной из этих форм.

Форма рядного эшелона

Матрица имеет форму строки-эшелона, если выполняются следующие условия.

  1. Если есть строка со всеми нулями, то она находится внизу матрицы.
  2. Первый ненулевой элемент любой строки равен единице. Этот элемент называется ведущим.
  3. Ведущий элемент любой строки находится справа от ведущего элемента предыдущего ряда.
Примечания
  • Ведущий в ряду не обязательно должен быть непосредственно справа от ведущего в ряду предыдущий ряд.
  • Матрица в ступенчато-строковой форме будет иметь нули под ведущими единицами.
  • Исключение по Гауссу переводит матрицу в эшелонированную форму, а затем выполняется обратная замена. требуется для завершения поиска решений системы.
  • Строково-ступенчатая форма матрицы не обязательно уникальна.

Уменьшенная форма рядного эшелона

Матрица находится в сокращенной форме строки-эшелона, когда выполняются все условия формы строки-эшелона и все элементы выше, как и ниже, ведущие равны нулю.

  1. Если есть строка со всеми нулями, то она находится внизу матрицы.
  2. Первый ненулевой элемент любой строки равен единице. Этот элемент называется ведущим.
  3. Ведущий элемент любой строки находится справа от ведущего элемента предыдущего ряда.
  4. Все элементы выше и ниже ведущей единицы равны нулю.
Примечания
  • Ведущий в ряду не обязательно должен быть непосредственно справа от ведущего в ряду предыдущий ряд.
  • Матрица в ступенчато-строковой форме будет иметь нули как над, так и под ведущими единицами.
  • Исключение Гаусса-Жордана переводит матрицу в редуцированную ступенчато-строковую форму.
  • Для завершения поиска решений системы не требуется обратной подстановки.
  • Редуцированная строчно-ступенчатая форма матрицы уникальна.

Исключение Гаусса

  • Записать систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы
  • Выполните элементарные операции со строками, чтобы преобразовать матрицу в эшелонированную форму строк
  • Преобразование матрицы обратно в систему линейных уравнений
  • Используйте обратную замену, чтобы получить все ответы

Исключение Гаусса-Джордана

  • Записать систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы
  • Выполните элементарные операции со строками, чтобы привести матрицу в сокращенную ступенчатую форму строк
  • Преобразование матрицы обратно в систему линейных уравнений
  • Обратная замена не требуется

Поворотный

  • Поворот — это процесс, который автоматизирует операции со строками, необходимые для помещения матрицы в рядно-эшелонная или уменьшенная рядно-эшелонная форма
  • В частности, поворот превращает элементы выше или ниже ведущей единицы в нули

Типы растворов

Возможны три типа решений при решении системы линейных уравнений

Независимый
  • Непротиворечивый
  • Уникальное решение
  • Матрица с уменьшенным числом строк имеет то же количество ненулевых строк, что и переменные
  • Левая часть обычно представляет собой единичную матрицу, но не обязательно
  • Чтобы получить независимое решение, уравнений должно быть не меньше числа переменных.
  х и г справа  
  1 0 0 3  
  0 1 0 1  
  0 0 1 2  

Когда вы преобразуете расширенную матрицу обратно в форму уравнения, вы получаете x=3, у=1 и г=2.

Зависимый
  • Непротиворечивый
  • Много решений
  • Запишите ответ в параметрической форме
  • Матрица с уменьшенным числом строк содержит больше переменных, чем ненулевые строки
  • Не обязательно должен быть ряд нулей, но обычно он есть.
  • Это также может произойти, когда уравнений меньше, чем переменных.
  х и г справа  
  1 0 3 4  
  0 1 -2 3  
  0 0 0 0  

Первое уравнение будет x + 3z = 4.Решение для x дает x = 4 - 3z.

Второе уравнение будет y - 2z = 3. Решение для y дает y = 3 + 2z.

Столбец z не очищен (все нули, кроме одно число), поэтому другие переменные будут определены через z. Следовательно, г будет параметр т и решение ...

х = 4 - 3т, у = 3 + 2т, г = т

Несоответствие
  • Нет решения
  • Матрица с уменьшенным числом строк имеет ряд нулей в левой части, но правая часть не равна нулю.
  х и г справа  
  1 0 3 4  
  0 1 -2 3  
  0 0 0 2  

Здесь нет решения.Вы можете записать это как нулевое множество Ø, пустой набор {} или нет решения.

Исключение по Гауссу и матричные методы

Методы исключения по Гауссу и матричные методы





Система линейных уравнений может привести к матричной форме. Каждый уравнение становится строкой, и каждый переменная становится столбцом. Ан добавлен дополнительный столбец для Правая сторона.Система показаны линейные уравнения и результирующая матрица.

Система линейных уравнений...

 3x + 2y - 4z = 3
2x + 3y + 3z = 15
5x - 3y + z = 14 

становится расширенной матрицей...

  х и г справа  
  3 2 -4 3  
  2 3 3 15  
  5 -3 1 14  

Цель при решении системы уравнений состоит в том, чтобы по возможности привести расширенную матрицу к сокращенной ступенчато-строковой форме.

Существуют три элементарные операции со строками, которые можно использовать для размещения матрицы в редуцированная рядно-кулисная форма.

Каждое из требований редуцированной ступенчато-строковой матрицы может быть удовлетворено с помощью элементарной строки операции.

  • Если есть строка, состоящая только из нулей, то она находится внизу матрицы.
    Поменяйте местами две строки матрицы, чтобы переместить строку со всеми нулями вниз.
  • Первый ненулевой элемент любой строки равен единице.Этот элемент называется ведущим.
    Умножьте (разделите) строку на ненулевую константу, чтобы сделать первый ненулевой элемент в один.
  • Ведущий в любом ряду находится справа от ведущего в предыдущем ряду.
    Умножьте строку на ненулевую константу и добавьте ее к другой строке, заменив эту строку. То Суть этой элементарной операции со строками состоит в том, чтобы превратить числа в нули. Делая числа под ведущими в ноль, он заставляет первый ненулевой элемент любой строки быть справа от ведущего предыдущего ряда.
  • Все элементы выше и ниже ведущей единицы равны нулю.
    Умножьте строку на ненулевую константу и добавьте ее к другой строке, заменив эту строку. То смысл этой элементарной операции со строками состоит в том, чтобы сделать числа равными нулю. Разница здесь что вы очищаете (обнуляете) элементы над ведущим, а не чуть ниже ведущий.

Что такое поворот?

Цель поворота — сделать элемент выше или ниже ведущего в ноль.

«Поворотный элемент» или «поворотный элемент» — это элемент в левой части матрицы. что вы хотите элементы выше и ниже равны нулю.

Обычно этот элемент равен единице. Если вы можете найти книгу, в которой упоминается поворот, они, как правило, сказать вам, что вы должны развернуться на один. Если ограничиться тремя элементарными рядами операций, то это верное утверждение.

Однако, если вы хотите объединить вторую и третью элементарные операции над строками, вы придумать еще одну операцию над строками (не элементарную, но все же допустимую).

  • Вы можете умножить строку на ненулевую константу и добавить ее к ненулевому кратному другой строку, заменяя эту строку.

Ну и что? Если вам необходимо развернуться на одном, то вы должны иногда использовать второй элементарную операцию со строкой и разделить строку на ведущий элемент, чтобы сделать ее единицей. Деление приводит к дробям. Хотя дроби — ваши друзья, вы с меньшей вероятностью сделаете ошибку если вы их не используете.

В чем подвох? Если вы не будете ориентироваться на единицу, вы, вероятно, столкнетесь с большими числами. Большинство люди готовы работать с большими числами, чтобы избежать дробей.

Сводной процесс

Поворот работает, потому что общее кратное (не обязательно наименьшее) общее кратное) двух чисел всегда можно найти путем умножения два числа вместе. Возьмем пример, который у нас был раньше, и очистить первую колонку.

  х и г справа  
  3 2 -4 3  
  2 3 3 15  
  5 -3 1 14  

Полезные советы

  • Хотя на один разворот не обязательно, но очень желательно. Поворот на единицу означает, что вы умножаете на 1 (что легко сделать).
  • Поворачиваться по главной диагонали приятно, но не обязательно. Некоторым людям нравится начинать с верхнего левого угла и двигаться вниз к Нижний правый.
  • Пока вы выполняете поворот только один раз для строки и столбца, столбцы, которые были очищены, останутся очищенными.
  • Поскольку целью поворота является очистка столбца свода, выбор столбец, в котором уже есть нули, экономит время, потому что у вас нет чтобы изменить строку, содержащую ноль.

Выбор оси

  • Выберите столбец с наибольшим количеством нулей.
  • Использовать строку или столбец только один раз
  • Повернуть на одну, если возможно
  • Поворот по главной диагонали
  • Никогда не поворачивайте на ноль
  • Никогда не поворачивайте на правую сторону

Поскольку в первом ряду никого нет, у нас есть два варианта: Либо мы делим первую строку на три и работаем с дробями, или делаем поворот на три и получить большие числа. Это тот вариант, который я собираюсь использовать. я повернусь на тройке в R 1 C 1 . Идите вперед и обведите это как опорный элемент. В зависимости от вашего браузера вы могут видеть элементы поворота, обведенные красным или просто с * перед ним.

  х и г справа  
  *3 2 -4 3  
  2 3 3 15  
  5 -3 1 14  

Идея состоит в том, чтобы превратить числа в рамку (желтые) в ноль.Использование комбинированного операция строки (это не элементарная операция), это можно сделать по 3R 2 - 2R 1 → R 2 и 3R 3 - 5R 1 → R 3 .

Единственная неизменяемая строка — это строка, содержащая опорный элемент (элемент 3). Весь смысл процесса поворота состоит в том, чтобы сделать значения в прямоугольниках равными нулю. Перепишите сводную строку и очистите (обнулите) опорную колонку.

  х и г справа  
  *3 2 -4 3  
  0        
  0        

Чтобы заменить значения в строке 2, каждый новый элемент получается путем умножения элемент заменяется во второй строке на 3 и вычитается в 2 раза элемент в первом строку из того же столбца, что и заменяемый элемент.

Чтобы выполнить поворот, поместите один палец на шарнир (обведено кружком). номер), и один палец на заменяемом элементе. Перемножьте эти два числа вместе. Теперь поместите один палец на цифре в рамке в той же строке, что и элемент, который вы замена и другого пальца в поворотном ряду и то же самое столбец как номер, который вы заменяете. Умножьте эти два числа вместе. Возьмите изделие с осью и вычесть произведение без опоры.

  х и г справа  
  *3 2 -4 3  
  2 3 3 15  
  5 -3 1 14  

Чтобы заменить 3 в R 2 C 2 , вы должны взять 3(3) - 2(2) = 9 - 4 = 5.

Чтобы заменить 3 в R 2 C 3 , вы должны взять 3(3) - 2(-4) = 9 + 8 = 17.

Чтобы заменить 15 в R 2 C 4 , вы должны взять 3(15) - 2(3) = 45 - 6 = 39.

Чтобы заменить -3 в R 3 C 2 , вы должны взять 3(-3) - 5(2) = -9 - 10 = -19.

Чтобы заменить 1 в R 3 C 3 , вы должны взять 3(1) - 5(-4) = 3 + 20 = 23

Чтобы заменить 14 в R 3 C 4 , вы должны взять 3 (14) - 5 (3) = 42 - 15 = 27.

Вот как выглядит процесс.

  х и г справа  
  поворотный ряд, копия
3
поворотный ряд, копия
2
поворотный ряд, копия
-4
поворотный ряд, копия
3
 
  поворотная стойка, прозрачная
0
3(3) - 2(2)
5
3(3) - 2(-4)
17
3(15) - 2(3)
39
 
  поворотная стойка, прозрачная
0
3(-3) - 5(2)
-19
3(1) - 5(-4)
23
3(14) - 5(3)
27
 

Или, если убрать комментарии, то матрица после первого пивота выглядит так.

  х и г справа  
  3 2 -4 3  
  0 5 17 39  
  0 -19 23 27  

Пришло время повторить весь процесс.Проходим и выбираем другое место для разворота. Мы хотел бы, чтобы это было на главной диагонали, единице или имело нули в столбце. К сожалению, у нас не может быть ни того, ни другого. Но так как мы должны умножить все другие числа по оси, мы хотим, чтобы она была маленькой, поэтому мы будем поворачиваться на 5 в R 2 C 2 и убрать 2 и -19.

  х и г справа  
  3 2 -4 3  
  0 *5 17 39  
  0 -19 23 27  

Начните с копирования сводной строки (2-я строка) и очистки сводного столбца (2-я строка). столбец).Ранее очищенные столбцы останутся очищенными.

  х и г справа  
    0      
  0 *5 17 39  
  0 0      

Вот расчеты для нахождения следующего взаимодействия. Будьте внимательны в 3-ю строку, где мы вычитаем -19 раз значение. Поскольку мы вычитаем отрицательный, я пошел дальше и написал плюс 19.

  х и г справа  
  5(3) - 2(0)
15
поворотная стойка, прозрачная
0
5(-4) - 2(17)
-54
5(3) - 2(39)
-63
 
  поворотный ряд, копия
0
поворотный ряд, копия
5
поворотный ряд, копия
17
поворотный ряд, копия
39
 
  ранее очищенный
0
поворотная стойка, прозрачная
0
5(23) + 19(17)
438
5(27) + 19(39)
876
 

И полученная матрица.

  х и г справа  
  15 0 -54 -63  
  0 5 17 39  
  0 0 438 876 ​​  

Обратите внимание, что все элементы в первой строке кратны 3, а все элементы в последней строке кратны 438.Мы разделим, чтобы уменьшить ряды.

  х и г справа  
  5 0 -18 -21  
  0 5 17 39  
  0 0 1 2  

Это имело дополнительное преимущество: мы получили 1 именно там, где нам нужно. вращаться.Итак, мы начнем с 1 в R 3 C 3 и очистим -18 и 17. Обведите вашу точку опоры и обведите остальные числа рамкой. этот столбец, чтобы очистить.

  х и г справа  
  5 0 -18 -21  
  0 5 17 39  
  0 0 *1 2  

Скопируйте вниз сводную строку и очистите сводную колонку.Ранее очищенные столбцы останется очищенным до тех пор, пока вы не выполните поворот в строке или столбце дважды.

  х и г справа  
    0 0    
  0   0    
  0 0 *1 2  

Обратите внимание, что с каждым разом требуется выполнять меньше вычислений. Вот расчеты для этой опоры. Опять же, поскольку значение в сводном столбце в первая строка -18 и мы вычитаем, я написал это как + 18.

  х и г справа  
  1(5) +18(0)
5
ранее очищенный
0
поворотная стойка, прозрачная
0
1(-21) + 18(2)
15
 
  ранее очищенный
0
1(5) - 17(0)
5
поворотная стойка, прозрачная
0
1(39) - 17(2)
5
 
  поворотный ряд, копия
0
поворотный ряд, копия
0
поворотный ряд, копия
1
поворотный ряд, копия
2
 

И полученная матрица.

  х и г справа  
  5 0 0 15  
  0 5 0 5  
  0 0 1 2  

Обратите внимание, что первая и вторая строки кратны 5, поэтому мы можем уменьшить их. ряды.

  х и г справа  
  1 0 0 3  
  0 1 0 1  
  0 0 1 2  

И окончательный ответ: x = 3, y = 1 и z = 2. Вы также можете написать это как упорядоченная тройка {(3,1,2)}.

Надеюсь, вы заметили, что когда я работал над этим примером, я не следовал подсказкам Я дал. Это потому, что я хотел, чтобы вы увидели, что произойдет, если вы не развернетесь. на одном. Был один, на главной диагонали, в исходной матрице, и было бы лучше начать там.

Резюме

  • Тщательно выбирайте поворотный элемент.
  • Выбор столбца с нулями означает меньший поворот.
  • Выбор единицы в качестве опорной уменьшает числа, упрощает умножение и оставляет ненулевые элементы в очищенном столбце то же (менее поворотные)
  • Поворот по главной диагонали означает, что вам не придется переключать ряды, чтобы поместить матрицу в редуцированная рядно-кулисная форма.
  • Не поворачиваться на ноль.
  • Не поворачивайте на правую сторону.
  • Использовать строку или столбец только один раз
  • Берем продукт с осью минус продукт без стержня

Специальные чемоданы

Если вы получили строку со всеми нулями, кроме правой части, то система не имеет решения.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск