Примеры со степенями 5 класс решать: Степень числа – формулы возведения в таблице (5 класс, математика)

Содержание

Урок 13. степень с натуральным показателем — Математика — 5 класс

Математика

5 класс

Урок № 13

Степень с натуральным показателем

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— понятие степени с натуральным показателем;

— вычисление квадрата числа;

— вычисление куба числа.

Тезаурус

Степень числа а с натуральным показателем n (n > 1) – это произведение n натуральных множителей, каждый из которых равен а. Записывается an, а- основание степени, n- показатель.

Квадрат числа – это вторая степень числа.

Куб числа – это третья степень числа.

Обязательная литература

  1. Никольский С. М. Математика: 5 класс. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.
  2. Потапов М. К. Математика. Книга для учителя.
    5-6 классы. // М. К. Потапов, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2010.- 256 с.

Дополнительная литература

  1. Бурмистрова Т. А. Математика. Сборник рабочих программ. 5-6 классы. // Составитель Т. А. Бурмистрова – М.: Просвещение, 2014.- 80 с.
  2. Потапов М. К. Математика: дидактические материалы. 6 класс. // М. К. Потапов, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2010.- 118 с.
  3. Чесноков А. С. Дидактические материалы по математике 5 класс. // А. С. Чесноков, К. И. Нешков. – М.: Академкнига, 2014.- 124 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Нам известно, что сумму нескольких одинаковых слагаемых принято записывать короче – в виде произведения:

4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 ∙ 5

Произведение одинаковых чисел также можно записать короче:

4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 = 45

Это произведение можно записать короче, полученный результат называют степенью. Читается так: «четыре в пятой степени».

Запись 43 (четыре в степени три) означает 4 ∙ 4 ∙ 4. При этом число 4 называют основанием степени, а число 3 – показателем степени. Число три показывает, сколько раз нужно взять множителем основание степени – число 4: 43 = 4 ∙ 4 ∙ 4 = 64.

Степенью числа а с натуральным показателем n (n > 1) называют произведение n натуральных множителей, каждый из которых равен а:

Рассмотрим несколько примеров. Вычислим 25, 2 в качестве множителя повторяется 5 раз, значит: 25 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 32.

Теперь вычислим 37. 3 в качестве множителя повторяется 7 раз, значит: 37 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 2187.

Таким образом, можно вычислить любую степень числа с натуральным показателем, большим единицы. Стоит запомнить, что любое число в первой степени будет ровняться ему самому, т. е.

a1 = a.

Вторую степень числа называют квадратом числа. Запись 42 читают «четыре в квадрате». Третью степень числа называют кубом числа. Запись 43 читают «четыре в кубе».

Обратите внимание на таблицы квадратов и кубов натуральных чисел. Со временем вы их запомните.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№ 1. Найдите чему равно 134 = ____.

Решение: чтобы узнать чему равно 134, надо представить 134 в виде произведения четырёх одинаковых множителей и выполнить умножение: 134 = 13 ∙ 13∙ 13 ∙ 13 = 28561.

Ответ: 134 = 28561

№ 2. Чему равна пятая степень 19? Выберите верный ответ.

  1. 247699
  2. 2476099
  3. 247609
  4. 2467099

Решение: чтобы вычислить 195, надо представить 195 в виде произведения пяти одинаковых множителей и выполнить умножение: 195 = 19 ∙ 19∙ 19 ∙ 19 = 2476099.

Ответ: 2. 2476099

Степень числа 5 класс

математика 5 класс

Тема урока: Степень числа

Планируемые результаты:

Учащийся научится возводить число в степень, вычислять значение выражения, содержашего степень.

Цели:

Предметные: познакомить учащихся с понятием степени числа, показателя степени, основания степени, научить выполнять порядок действий в выражении, содержащем степень.

Личностные: развивать критичность мышления, инициативу, находчивость , активность при решении математических задач.

Метапредметные: формировать умение определять понятия, создавать обобщения, устанавливать аналогии,классифицировать.

Тип урока:

Урок изучения нового материала

Основные понятия:

Степень числа, показатель степени, основание степени, квадрат числа, куб числа, возведение числа в степень, порядок выполнения действий в выражении, содержащем степень.

Формы контроля: фронтально, индивидуальная работа, решение теста, работа в парах

Предметные результаты
Знать:
— понятие степени;
— основание степени, показатель степени;
Уметь:
— читать и записывать выражения со степенями;
— находить значение степени в примерах;
— создавать творческие работы, презентации на заданную тему ;
— оценивать свою деятельность (успех, неуспех, ошибки умение сотрудничать, принимать мнения и варианты решения одноклассников), высказывать свои суждения, предположения, аргументы.

Понимать:
— в математике существует множество различных действий, знакомство с которыми будет происходить на протяжении всех лет обучения;
— важно научиться отличать умножение от степени и не путать их;
— многообразие предметов окружающего мира можно классифицировать, распределять на группы по существенным признакам.
Использовать (приобрётенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни) для:
— вычисления площади, объема при покупке обоев, плитки, краски и других строительных материалов.

Урок в 5-м классе призван сформировать понятие степени, умение чтения и записи выражений со степенями, тренировать вычислительные навыки, отработать навыки нахождения значения степени на примерах

Развивающие:
— развивать умение наблюдать;
— развивать коммуникативные навыки и способности учащихся посредством коллективной формы работы на уроке;
— обеспечить достижение указанной цели урока и создать на уроке условия для развития мыслительных способностей учащихся.


Воспитывающие:
— воспитывать интерес к предмету;
— воспитывать упорство в достижении цели, побуждать учеников к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей деятельности
— вызывать потребность в обосновании своих высказываний.
Познавательные:
— знать, какую операцию в математике называют степенью;
— познакомить с историей записи степени

Орг.момент

(самоопределение к деятельности)

Здравствуйте, дорогие ребята! Как вы видите, сегодня у нас гости, поздоровайтесь с ними и поделитесь своим хорошим настроением.

Итак, продолжаем свое путешествие по царству математики

Включаются в деловой ритм урока.

Личностные: самоопределяются, настраиваются на урок

Коммуникативные: планируют учебное сотрудничество с учителем и одноклассниками

Актуализация

Изучение нового материала

физминутка

Первичное закрепление

Включение знаний в систему

— Над какой темой мы работали на последних уроках?

— Какие учебные задачи мы решали с помощью умножения и деления?

-Какие умения нам для этого необходимы?

Приступим к математической разминке.

1) Упростите выражения:

13х + 17 х;

15у – 8у;

11k + 11k – 12k;

10d+d -11d

25а + 164 + 15а

2) Решите уравнение:

4х+4х = 816;

8а-5а = 333;

3) Угадайте корни уравнения:

x×x=49 y×y=100 с×с=1 к×к×к=0

Оцените свою работу(активность, правильное решение, умение слушать)

Выполните тест №1(приложение), с последующей самооценкой

Вспомните, каким действием можно заменить сложение?

5+5+5+5+5+5+5=5×7

Что показывает число 5, что показывает число 7?

А есть ли способ, который позволяет заменить произведение равных сомножителей?

5×5×5×5×5×5×5

Какие есть идеи?

Так вот, в математике принято записывать так:

5×5×5×5×5×5×5=57

400 лет назад французский математик Рене Декарт предложил такой способ записи произведения нескольких одинаковых множителей

-А как называется это выражение?

-Какой будет тема нашего урока?

Какую цель поставим на уроке?

С помощью решения каких задач мы сможем достичь этих целей?

Слайд степень: основание степени, показатель степени

Слайд с таблицами квадратов и кубов натуральных чисел с 1 до 10

Буратино потянулся,
Раз – нагнулся, два – нагнулся.
Руки в стороны развел,
Ключик видно не нашел.

Чтобы ключик нам достать,
Нужно на носочки встать

№549 найди ошибки

Самостоятельная работа

Вариант 1

Вариант 2

Учащиеся комментируют свои работы, ошибки, причины неуспешности, намечают пути их преодоления.

Отгадывают ребус

Формулируют тему, определяют цели урока

Работа в парах

(самопроверка, взаимооценка)

ответы на обратной стороне доски, комментируют работу своего соседа по парте.

Взаимопроверка по эталону( критерии: порядок действий, вычислительные ошибки, время).

Коммуникативные:

планирование учебного сотрудничества

Познавательные:

-умение действовать по алгоритму.

Логические:

— анализ объектов с целью выделения признаков;

— актуализация

мыслительных операций, необходимых для выполнения заданий

Регулятивные:

— контроль, оценка

Коммуникативные:

умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли

Регулятивные:

— целеполагание.

Личностные:

-самоопределение-мотивация учения.

Познавательные:

уметь ориентироваться в своей системе знаний:  отличать новое от уже известного с помощью учителя;

-умение структурировать знания, логическое выдвижение.

Коммуникативные:

умение слушать и понимать речь других;

Регулятивные:

-уметь планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей.

Коммуникативные:

— уметь оформлять свои мысли в устной и письменной форме;

— слушать и понимать речь других.

Познавательные:

умение классифицировать и систематизировать;

-умение действовать по алгоритму.

Личностные:

— готовность оценивать свой учебный труд, принимать оценки одноклассников, учителя.

________________________

Регулятивные:

— уметь планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей;

— уметь вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок

Познавательные:

— уметь добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке

Коммуникативные:

— уметь оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других

Домашнее задание

Обеспечиваю понимание детьми цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.

Рефлексия

-Что мы сегодня изучили на уроке?

-Чему научились?

-Над чем еще надо работать?

Записывают домашнее задание в дневник

Коммуникативные:

умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.

Познавательные:

Личностные: проводят самооценку, учатся адекватно принимать причины успеха (неуспеха)

Познавательные: проводят рефлексию способов и условий своих действий

Степень числа 5 класс Как найти степень числа.

Степень числа 5 класс

Как найти степень числа. Итак, разберёмся, что такое степень числа. Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращённое обозначение. Так, вместо произведения шести одинаковых множителей 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 пишут 46 и произносят «четыре в шестой степени». 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 = 46

Выражение 4 в степени 6 4 — основание степени; 6 — показатель степени.

В общем виде степень с основанием «a» и показателем «n» записывается с помощью выражения:

Запомните! Запись an читается так: «а в степени n» или «n-ая степень числа a». Исключение составляют записи: a2 — её можно произносить как «а в квадрате»; a3 — её можно произносить как «а в кубе».

Степенью числа «a» с натуральным показателем «n», бóльшим 1, называется произведение «n» одинаковых множителей, каждый из которых равен числу «a».

Конечно, выражения выше можно читать и по определению степени: a2 — «а во второй степени»; a3 — «а в третьей степени».

Особые случаи возникают, если показатель степени равен единице или нулю (n = 1; n = 0). Степенью числа «а» с показателем n = 1 является само это число: a1 = a Любое число в нулевой степени равно единице. a0 = 1 Ноль в любой натуральной степени равен нулю. 0n = 0 Единица в любой степени равна 1. 1n = 1

Выражение 00 (ноль в нулевой степени) считают лишённым смыслом. (-32)ст0 = 1 0ст253 = 0 1ст4 = 1 При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение значения степени.

При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение значения степени. Пример. Возвести в степень. 5ст3 = 5 • 5 • 5 = 125 2.5ст2 = 2.5 • 2.5 = 6.25

Возведение в степень отрицательного числа 5 класс

Запомните! Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым числом — положительным, отрицательным или нулём.

При возведении в степень положительного числа получается положительное число. При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.

При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или нечётным числом был показатель степени.

Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел. Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечётную степень, то получается отрицательное число. Так как произведение нечётного количество отрицательных сомножителей отрицательно.

Если же отрицательное число возводится в чётную степень, то получается положительное число. Так как произведение чётного количество отрицательных сомножителей положительно.

Запомните! Отрицательное число, возведённое в чётную степень, есть число положительное. Отрицательное число, возведённое в нечётную степень, — число отрицательное. Квадрат любого числа есть положительное число или нуль, то есть: a2 ≥ 0 при любом a.

Пример 2 • (- 3)ст2 = 2 • (- 3) • (- 3) = 2 • 9 = 18 — 5 • (- 2)ст3 = — 5 • (- 8) = 40

При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи (- 5)ст4 и -5ст4 это разные выражения. Результаты возведения в степень данных выражений будут разные.

Вычислить (- 5)ст4 означает найти значение четвёртой степени отрицательного числа. (- 5)ст4 = (- 5) • (- 5) • (- 5) • (- 5) = 625

В то время как найти -5ст4 означает, что пример нужно решать в 2 действия: Возвести в четвёртую степень положительное число 5. 5ст4 = 5 • 5 • 5 • 5 = 625 Поставить перед полученным результатом знак «минус» (то есть выполнить действие вычитание). -5ст4 = — 625

Обратите внимание! Вычислить: — 6ст2 — (- 1)ст4 6ст2 = 6 • 6 = 36 -6ст2 = — 36 (- 1)ст4 = (- 1) • (- 1) • (- 1) • (- 1) = 1 — (- 1)ст4 = — 1 — 36 — 1 = — 37

Порядок действий в примерах со степенями. 5 класс

Вычисление значения называется действием возведения в степень. Это действие третьей ступени.

Запомните! В выражениях со степенями, не содержащими скобки, сначала выполняют вовзведение в степень, затем умножение и деление, а в конце сложение и вычитание. Если в выражении есть скобки, то сначала в указанном выше порядке выполняют действия в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.

Пример Вычислить:

Для облегчения решения примеров полезно знать и пользоваться таблицей степеней.

Спасибо за внимание!

Топ-5 приложений для решения задач по математике

Мы отобрали для вас лучшие приложения для Android, которые созданы для решения практически любых задач по математике в два счета.

Математику по праву можно назвать царицей наук, которую в равной степени можно как любить, так и ненавидеть. Если задуматься всерьез, то мы используем знания по математике каждый день. Повсюду сталкиваемся с числами – на циферблате часов, на денежных банкнотах, в расписании уроков. Нам все время приходится выполнять простые и сложные математические операции – посчитать, через сколько минут начнется любимый фильм, сколько сдачи должны дать в магазине, когда приедет автобус.

Но для многих математика — это непонятные действия, числа, правила и задачи. Говорят, все познается в сравнении. Математика позволяет нам узнать, насколько что-то больше, длиннее, шире, дороже другого. Без знания математики невозможно построить дом, автомобиль. Если бы не математика, у нас бы никогда не было ни компьютеров, ни планшетов и смартфонов. Математическими расчетами пользуются все другие науки в мире. 

Простая арифметика, превращающаяся в дальнейшем в сложную алгебру и геометрию, заставляла многих ненавидеть эти дисциплины. Кому-то математика в школе давалась легко, а для кого-то она так и осталась чем-то далеким и непостижимым. Как ни крути, иногда умение считать деньги не спасает от необходимости решения сложных математических уравнений и неравенств. «Смартфон» дословно переводится как «умный телефон», и благодаря стороннему софту ему можно доверить даже самые сложные задачи. В век информационных технологий дела с этим обстоят совсем иначе. На помощь школьникам и студентам пришли смартфоны и планшеты с «умными» приложениями-калькуляторами, речь о которых пойдет в этой статье. Оговоримся сразу, что приложения не могут быть панацеей. Вам всё равно придется учить математику, а они лишь помогут вам, подскажут ход решения. Пока что данные приложения не могут справляться со сложными заданиями, но кое-что умеют.

Photomath

Одно из самых известных приложений для решения математических задач с первого же дня назвали ужасом для учителей математики. А разработчики просто называют его «камерой-калькулятором». Photomath интересно тем, что способно решить практически любую математическую задачу. Вам тяжело разобраться в решении логарифмических, квадратных, тригонометрических уравнений и неравенств? Трудно решать задачи с корнями, модулями, степенями, дробями, интегралами и факториалами? Теперь с помощью приложения Photomath решать такие задания не составит большого труда. Но самое интересно — приложение не просто решает математические задачи, а подробно расписывает ход расчетов. Это понравится не только учащимся и студентам, а также родителям, которые захотят проверить домашнее задание своего чада.

Пользователю понравится, что приложение Photomath способно работать в автоматическом режиме. Достаточно просто открыть его и сразу же активируется встроенный интерфейс камеры с заданной областью распознавания. Для того, что начать работу, необходимо расположить камеру так, чтобы математическая задача вместилась в эту область. Буквально через мгновение умные алгоритмы программы начнут анализировать данные на экране и практически моментально выдадут ответ. Если захотите увидеть весь ход решения вашей задачи, то просто нажмите на результат в красном прямоугольнике. В истории приложения сохраняются 10 последних записей, поэтому в любой момент сможете просмотреть решение предыдущей задачи. 

Иногда случается, что программа некорректно распознала те или иные математические символы в задании, решив неправильно при этом задачу. Но не отчаивайтесь. В Photomath у вас есть возможность отредактировать их в режиме калькулятора. Стоит отметить, разработчики очень хорошо продумали эту функцию. Здесь доступен калькулятор со всевозможными операторами, есть цифровая, текстовая и символьная раскладки. 

Долгое время приложение умело распознавать только напечатанное задание. Причем из книги было намного легче отсканировать его, чем с экрана ноутбука. Теперь же, наконец-то, появилась долгожданная функция распознавания рукописного текста. Все работает почти безупречно, но для лучшего результата желательно, чтобы запись была аккуратным почерком. 

Мне очень понравилось пользоваться приложением. Оно практически справляется с любым заданием со всей школьной программы по математике и алгебре, включая старшую и высшую школы. Да, приложение стоящее, абсолютно бесплатное, не содержит рекламы, как обычно бывает с такими приложениями, есть русский язык интерфейса, способно работать без подключения к Интернету, но и ошибок предостаточно. 

MalMath: Step by step solver

С помощью данного приложения вы сумеете решить математические задачи не только получив пошаговое описание процесса вычисления, но и построение необходимых графиков. Само приложение MalMath для Android полностью бесплатное, к тому же совершенно не содержит рекламы. Также у вас есть возможность использовать его без подключения к Интернету. Это является большим плюсом для него. Программа в первую очередь приглянется ученикам старших классов, студентам колледжей, а также университетов и академий. Дело в том, что MalMath умеет решать интегралы, производные, пределы, логарифмы, тригонометрические уравнения и неравенства, примеры с корнями и модулями. По крайней мере большую часть. Однако, вам придется в ручную вводить условие задания, так как функция распознавания с помощью камеры здесь не предусмотрена. Что касается его способностей, то они ограничиваются лишь задачами средней сложности с более скромным, чем у остальных приложений, описанием решений.

Интерфейс MalMath представлен на русском языке, выполнен в классическом стиле и оптимизирован под экраны смартфонов. У вас есть возможность в настройках изменить размер шрифта и скорость анимации. Открыв боковое меню, увидите, что оно включает пять пунктов: главный экран, рабочий лист, график, генератор задач, избранное. Но больше всего вам будет интересна функция «генератор задач». С ее помощью можно создавать случайные математические задачи с несколькими категориями и уровнями сложности, заданными в настройках. Все выражения и графики можно сохранять в избранном.

Сам процесс добавления задачи очень похож на вставку формул в Microsoft Word. Из собственного опыта отмечу, что, вроде бы все понятно и просто, но иногда довольно неудобно, особенно, что касается ввода сложных комбинаций с дробями и корнями. Придется потратить немного времени, чтобы привыкнуть к определенному принципу набора, но все же оно того стоит.

Mathway

Еще одно весьма заслуживающее внимания приложение, которое поможет справиться с математическими заданиями. Приложение является своеобразным инструмент для решения задач, который, помимо школьного курса математики, охватывает математический анализ, статистику, тригонометрию, линейную алгебру и даже химию. Если вы когда-то использовали веб-версию сервиса Mathway, то сразу же узнаете внешний вид и функциональные возможности данного приложения. Практически тот же интерфейс в виде мессенджера, в котором все действия происходят как бы в диалоге с виртуальным помощником. 

Стоит заметить, что именно данное приложение из рассматриваемых в этой статье является одним из самых интересных в плане качества решения. Вам понравится, что получите, пожалуй, наиболее развернутые пошаговые решения задач, к тому же на понятном русском языке. Немного странным выглядит тот факт, что в описании указано, что для просмотра пошагового решения, нужна платная подписка, хотя все функциональные возможности приложения совершенно бесплатны. Mathway поможет вам не только с решением уравнений, неравенств и прочих сложных выражений, но также сумеет построить графики, может найти число молекул в определенной массе тела. 

Mathway для Android тоже решает задачи с помощью камеры устройства, правда, реализована эта функция не самым лучшим образом. Для такого вывода у нас есть несколько веских причин. Во-первых, интерфейс камеры в программе крайне минималистичный, в нем почему-то нет даже области распознавания. Вам придется приловчится, чтобы выражение находилось по центру экрана, а рядом не должно быть других надписей, иначе приложение будет выдавать неправильное решение. Часто на практике камера захватывала только часть приложения, отсюда и ошибки. К тому же камера автоматически настроена на макро-режим, поэтому алгоритмы распознавания часто плохо срабатывают и выдают неправильный ответ. Лично мне иногда было гораздо проще и быстрее ввести задачу вручную. К тому же для этого в приложении есть просто шикарные возможности. Дело в том, что выдвигающееся боковое меню позволит вам получить доступ аж к 10 разделам, у каждого из которых есть свой собственный калькулятор с определенными символами, операторами, константами и прочими функциями. Очень удобно и практично.

Мне очень понравилось, что Mathway предлагает пользователю самому выбрать способ решения задачи, в зависимости от этого результаты могут меняться. Если не подходит один из способов, достаточно снова тапнуть на математическое выражение и выбрать другой вариант решения. Скажем сразу, если вы хотите быстро и оперативно получить нужный ответ к задаче, то Mathway вряд ли подойдет вам. Но, если хотите точности и развернутости ответа, а также у вас есть терпение самостоятельно вводить математические символы и знаки, то данное приложение весьма вам понравится. 

Mathpix

Mathpix — первое приложение, которое позволяет вам решать и визуализировать решения, распознавая рукописный текста, включая сложные формулы. Mathpix стремится заменить дорогие и устаревшие графические калькуляторы, чтобы обеспечить бесплатное и интересное учебное пособие для студентов-математиков по всему миру.

Я и вовсе хотел написать его первым среди всех приложений, так как это один из старожилов подобных приложений для решения математических задач. Оно намного раньше, в отличие от Photomath, получило способность распознавать рукописные математические задачи. Стоит заметить, что  суть и принцип работы обоих приложений очень похожи, но в целом сервис Mathpix рассчитан на более взрослую аудиторию. Оно умеет решать простые и не очень квадратные уравнения, легко справляется с задачами, в которых есть дробные выражения, а также корнями, логарифмами, интегралами, производными и т. д. То есть практически все, что есть в старших классах школы и первых курсов университета. Но особенно я бы отметил возможность построения графиков функций, благодаря интеграции с передовым графическим калькулятором Desmos. Этого нет ни у одного из представленных приложений, а это очень важно для решения задач алгебры и начала анализа.

Вам очень понравится работа алгоритмов распознавания текстов и условий у Mathpix. Программа практически в считанные секунды сканирует и считывает условие задачи. Тут же отправляет на сервер данные условия и почти мгновенно выдает ответ. Но ошибки тоже случаются, хотя довольно редко. При этом пользователю доступны инструменты для работы с задачами в режиме графика: редактирование вводных данных, добавление таблиц, заметок и дополнительных функций для нескольких графиков.

Я тут так пафосно расписал возможности приложения, но отмечу, что оно хорошо справляется только с несложными задачами. Если еще с построением элементарных графиков приложение справится, то с более сложными заданиями, которые включают тригонометрические и логарифмические уравнения, неравенства, а также уравнения с модулем, возникали большие проблемы. Приложение просто игнорировало их решение. Так что разработчикам еще необходимо потрудиться над возможностями своей программы.

Большинству пользователей не понравится, что отсутствует интерфейс на русском языке, а также подробное описания решения задач. Да и само приложение довольно-таки сложновато в использовании, элементы управления неудобны на смартфоне с небольшим экраном. Создалось впечатление,что это веб-версия приложения. Но решение всё же остается за вами.

MyScript Calculator

Ну и, наконец, самое интересное приложение MyScript Calculator, которое впервые появилось в начале 2013 года. К тому же, сразу получило признание на международной выставке CES и было отмечено за инновации. Мы привыкли, что в онлайн-калькуляторах либо роль считывателя играет камера устройства, либо вручную вводим данные. В приложении MyScript Calculator принцип подхода к математическим вычислениям кардинально отличается. Особенность MyScript Calculator заключается в том, что приложение работает только с рукописным вводом данных. Здесь даже отсутствуют кнопки, как таковые, а все, что имеется — это чистое полотно на весь экран, имитирующее бумагу-миллиметровку. Примеры для вычисления пользователь пишет пальцем или с помощью стилуса. В данном случае предпочтительнее будет использование планшета или фаблета с цифровым пером.

Вам понравится, что приложение автоматически сумеет распознать написанное вручную, переведет записи в нормальный цифровой вид и буквально в то же мгновение выдаст результат. Стоит отметить, что алгоритмы распознавания MyScript Calculator просто великолепные. На практике программа умудряется определить даже самые откровенные каракули. Также вы сможете отменить или повторить последние действия и полностью очистить экран от написанного. К тому же вас определенно порадует довольно большой список поддерживаемых символов и операторов, который поможет решить даже сложные задания. Несмотря на все это, приложение вряд ли пригодится студентам университетов. Даже несмотря на возможность работать с дробями, квадратными корнями, константами, решать уравнения, находить переменные, MyScript Calculator решит школьную программу, не более.

Основным недостатком MyScript Calculator для Android можно считать отсутствие подробного описания решений, программа выдает только итоговый результат. Хотя, учитывая концепцию приложения, возможно оно было бы лишним. А вот то, что здесь не хватает различных удобных мелочей, так это скорее пожелание разработчикам на будущее. К примеру, хотелось бы увидеть историю вычислений, возможность масштабировать экран и сохранять введенные задачи. Но, если все это отбросить в сторону, приложение действительно полезное, простое и оригинальное. 

Вместо тысячи слов…

Ну и в заключение все же хочется сказать, что хоть приведенные приложения и помогут вам справиться с математическими заданиями, но не забывайте, что это всего лишь программа. Она призвана помочь вам, а не добавлять вам знаний. Но еще раз повторюсь, данные приложения не являются панацеей для решения задач. Так, с некоторыми заданиями оно и вовсе не справится. К тому же иногда ошибаются в самых простейших случаях. Поэтому не стоит доверять им всецело, а все-таки учить математику.

Будем признательны, если в комментариях поделитесь своим опытом использования подобных приложений, которые облегчают изучение математики.

Урок по математике для 5 класса «Степень числа. Квадрат и куб числа»

ФИО учителя: Шиповалова Галина Геннадьевна

Должность: учитель математики и физики

ОУ: МБОУ СОШ пгт. Ярославский

Предмет: математика

Класс: 5

Тема урока: Степень числа. Квадрат и куб числа.

Базовый учебник: Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбург, Математика, 5 кл.: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: «Мнемозина», 2013.

Место в общей структуре курса: Блок «Арифметика», раздел I «Натуральные числа и действия над ними», глава I « Натуральные числа »,§3 «Умножение и деление натуральных чисел», 1урок по теме «Степень числа. Квадрат и куб числа».

Тип урок: урок «открытия» нового знания.

Цель урока: Образовательные:  

— организовать деятельность учащихся по восприятию, осмыслению и первичному закреплению новых знаний и способов деятельности по изучаемой теме,

— сформулировать основные понятия и правило выполнения действий в выражении, содержащим степень,

— научить применять новые знания при выполнении заданий.

Развивающие:

-развивать логическое мышление, смысловую память, произвольное внимание, самостоятельность;

-способствовать развитию обобщения.

Воспитательные:

-создать условия для развития познавательного интереса к предмету и уверенности в своих силах;

— воспитывать навыки коммуникативности в работе, умение слушать другого, уважение к мнению товарища.

Задачи урока:

Личностные: уметь грамотно излагать свои мысли, подмечать сходство и различие отдельных выражений;

Развивать активность и находчивость при решении задач, умение общаться в коллективе.

Метапредметные: формировать умение определять понятия, создавать обобщения, устанавливать аналогии, осуществлять контроль своей деятельности в процессе достижения результата.

Предметные: познакомить учащихся с понятием степени числа, показателя степени, основания степени, научить выполнять порядок действий в выражении, содержащем степень.


 

Организационный блок

    Планируемые результаты урока

    Понятия и термины, которые будут закреплены в ходе урока

    Степень числа, показатель степени, основание степени, квадрат числа, куб числа, возведение числа в степень, правило выполнения действий в выражении, содержащем степень.

     

    Предметные знания и умения, которыми овладеют обучающиеся в результате проведения урока

    Владение основным аппаратом понятий по данной теме, а именно обучающиеся научатся понимать действия со степенями, т. е.

    будут знать:

    1) Что такое степень числа? Основание степени? Показатель степени?

    2) Как вычислять квадрат и куб числа? как возводить число в степень?

    3) Порядок выполнения действий в выражении, содержащем степень?

    На основе знаний будут уметь:

    — читать и записывать степени чисел;

    — представлять произведение одинаковых множителей в виде степени;

    — находить значение степени числа.

     

    Универсальные учебные действия (УУД), которые будут формироваться в ходе урока

    Личностные: осознавать и вырабатывать собственную жизненную позицию в отношении себя и окружающих людей, проявлять ответственность за результаты своего учебного труда на основе сотрудничества и взаимопомощи.

    Регулятивные УУД: обнаруживать и формулировать с помощью учителя учебную проблему на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимися, и того, что еще неизвестно, определять цель учебной деятельности и контролировать свои действия; оценивать свою деятельность и одноклассника.

    Коммуникативные: слышать, слушать и понимать товарища, планировать и согласованно выполнять совместную деятельность, взаимно контролировать действия друг друга, правильно выражать свои мысли в речи, уважать в общении и сотрудничестве товарища и самого себя. Эффективно сотрудничать как с учителем, так и со сверстниками, уметь и быть готовым вести диалог, искать решения, оказывать поддержку друг другу.

    Познавательные УУД: выделять существенную информацию из текста, строить рассуждения в форме связи простых суждений об объекте.

     

    Инструкции и пояснения

       

    Вводное слово учителя

       

    Распределение по группам

    Работа в паре, группе.

     

    Выработка правил работы (определение норм, процедур работы)

    Учитель напоминает в целом о работе на уроке

     

    Мотивационный блок

      Эпиграф к уроку

      Слайд 1.

       

      Для того, что бы подвести учеников к теме урока используется задания, сводящееся к понятию степени.

         
           
           

      Информационный блок.

        Устные источники

        Устные упражнения из учебника

         

        Презентация

         
           

        Письменные источники

        Презентация (самостоятельная работа)

         

        Учебник

         

        Карточки Приложение 3

         
           
           
           

        Графические источники (схемы, диаграммы)

           

        Электронные источники

           
           

        Видео источники

        http://urokimatematiki. ru/prezentazii5klass

        Домашнее задание

        ДРУГИЕ (вещественные, изобразительные, статистические)

           

        Источники информации для учащихся подбирает учитель

        Слайд

        Решение примеров со степенями. Степенные выражения (выражения со степенями) и их преобразование

        Разделы: Математика

        Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

        Цели:

      1. обучающие – повторить определение степени, правила умножения и деления степеней, возведения степени в степень, закрепить умения решения примеров, содержащих степени,
      2. развивающие – развитие логического мышления учащихся, интереса к изучаемому материалу,
      3. воспитывающие – воспитание ответственного отношения к учебе, культуры общения, чувства коллективизма.
      4. Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, интерактивная доска, презентация “Степени” для устного счета, карточки с заданиями, раздаточный материал.

        План урока:

      5. Организационный момент.
      6. Повторение правил
      7. Устный счет.
      8. Историческая справка.
      9. Работа у доски.
      10. Физкультминутка.
      11. Работа на интерактивной доске.
      12. Самостоятельная работа.
      13. Домашнее задание.
      14. Подведение итогов урока.
      15. Ход урока

        I. Организационный момент

        Сообщение темы и целей урока.

        На предыдущих уроках вы открыли для себя удивительный мир степеней, научились умножать и делить степени, возводить их в степень. Сегодня мы должны закрепить полученные знания при решении примеров.

        II. Повторение правил (устно)

        1. Дайте определение степени с натуральным показателем? (Степенью числа а с натуральным показателем, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а . )
        2. Как умножить две степени? (Чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями, надо основание оставить тем же, а показатели сложить.)
        3. Как разделить степень на степень? (Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, надо основание оставить тем же, а показатели вычесть.)
        4. Как возвести произведение в степень? (Чтобы возвести произведение в степень, надо каждый множитель возвести в эту степень)
        5. Как возвести степень в степень? (Чтобы возвести степень в степень, надо основание оставить тем же, а показатели перемножить)
        6. III. Устный счет (по мультимедиа)

          IV. Историческая справка

          Все задачи из папируса Ахмеса, который записан около 1650 года до н. э. связаны с практикой строительства, размежеванием земельных наделов и т. п. Задачи сгруппированы по тематике. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений, здесь присутствует и возведение в разные степени, решение уравнений первой и второй степени с одним неизвестным.

          Полностью отсутствуют какие бы то ни было объяснения или доказательства. Искомый результат либо даётся прямо, либо приводится краткий алгоритм его вычисления. Такой способ изложения, типичный для науки стран древнего Востока, наводит на мысль о том, что математика там развивалась путём обобщений и догадок, не образующих никакой общей теории. Тем не менее, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что египетские математики умели извлекать корни и возводить в степень, решать уравнения, и даже владели зачатками алгебры.

          V. Работа у доски

          Найдите значение выражения рациональным способом:

          Вычислите значение выражения:

          VI. Физкультминутка

        7. для глаз
        8. для шеи
        9. для рук
        10. для туловища
        11. для ног
        12. VII. Решение задач (с показом на интерактивной доске)

          Является ли корень уравнения положительным числом?

          xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

          Формулы степеней и корней.

          Формулы степеней используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.

          Число c является n -ной степенью числа a когда:

          Операции со степенями.

          1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:

          2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

          3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:

          (abc…) n = a n · b n · c n …

          4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:

          5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:

          Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.

          Операции с корнями.

          1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:

          2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:

          3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:

          4. Если увеличить степень корня в n раз и в тоже время возвести в n -ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:

          5. Если уменьшить степень корня в n раз и в тоже время извлечь корень n -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:

          Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:

          Формулу a m :a n =a m — n можно использовать не только при m > n , но и при m 4:a 7 = a 4 — 7 = a -3 .

          Чтобы формула a m :a n =a m — n стала справедливой при m=n , нужно присутствие нулевой степени.

          Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице.

          Чтобы возвести действительное число а в степень m/n , необходимо извлечь корень n –ой степени из m -ой степени этого числа а :

          Формулы степеней.

          6. a n = — деление степеней;

          7. — деление степеней;

          8. a 1/n = ;

          Степени правила действия со степенями

          1. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей (с тем же показателем):

          (abc…) n = a n b n c n …

          Пример 1. (7 2 10) 2 = 7 2 2 2 10 2 = 49 4 100 = 19600. Пример 2. (x 2 –a 2) 3 = [(x +a)(x — a)] 3 =(x +a) 3 (x — a) 3

          Практически более важно обратное преобразование:

          a n b n c n … = (abc…) n

          т.е. произведение одинаковых степеней нескольких величин равно той же степени произведения этих величин.

          Пример 3. Пример 4. (a +b) 2 (a 2 – ab +b 2) 2 =[(a +b)(a 2 – ab +b 2)] 2 =(a 3 +b 3) 2

          2. Степень частного (дроби) равна частному от деления той же степени делимого на ту же степень делителя:

          Пример 5. Пример 6.

          Обратное преобразование:. Пример 7.. Пример 8..

          3. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:

          Пример 9.2 2 2 5 =2 2+5 =2 7 =128. Пример 10. (a – 4c +x) 2 (a – 4c +x) 3 =(a – 4c + x) 5 .

          4. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого

          Пример 11. 12 5:12 3 =12 5-3 =12 2 =144. Пример 12. (x-y) 3:(x-y) 2 =x-y.

          5. При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются:

          Пример 13. (2 3) 2 =2 6 =64. Пример 14.

          www.maths.yfa1.ru

          Степени и корни

          Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным ,

          нулевым и дробным показателем. О выражениях, не имеющих смысла.

          Операции со степенями.

          1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

          a m · a n = a m + n .

          2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются .

          3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.

          4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

          (a / b ) n = a n / b n .

          5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

          Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.

          П р и м е р. (2 · 3 · 5 / 15) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

          Операции с корнями. Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).

          1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

          2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

          3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:

          4. Если увеличить степень корня в m раз и одновременно возвести в m -ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:

          5. Если уменьшить степень корня в m раз и одновременно извлечь корень m -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:


          Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным , нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.

          Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:

          Т еперь формула a m : a n = a m — n может быть использована не только при m , большем, чем n , но и при m , меньшем, чем n .

          П р и м е р. a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

          Если мы хотим, чтобы формула a m : a n = a m n была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.

          Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

          П р и м е р ы. 2 0 = 1, ( 5) 0 = 1, ( 3 / 5) 0 = 1.

          Степень с дробным показателем. Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n –ой степени из m -ой степени этого числа а:

          О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений.

          где a ≠ 0 , не существует.

          В самом деле, если предположить, что x – некоторое число, то в соответствии с определением операции деления имеем: a = 0· x , т.e. a = 0, что противоречит условию: a ≠ 0

          любое число.

          В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x , то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x . Но это равенство имеет место при любом числе x , что и требовалось доказать.

          0 0 — любое число.

          Р е ш е н и е. Рассмотрим три основных случая:

          1) x = 0 это значение не удовлетворяет данному уравнению

          2) при x > 0 получаем: x / x = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,

          что x – любое число; но принимая во внимание, что в

          нашем случае x > 0 , ответом является x > 0 ;

          Свойства степени

          Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

          Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

          Свойство № 1


          Произведение степеней

          При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

          a m · a n = a m + n , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

          Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

        • Упростить выражение.
          b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
        • Представить в виде степени.
          6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17
        • Представить в виде степени.
          (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
        • Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями . Оно не относится к их сложению.

          Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2) на 3 5 . Это понятно, если
          посчитать (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 , а 3 5 = 243

          Свойство № 2


          Частное степеней

          При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

        • Записать частное в виде степени
          (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
        • Вычислить.

        11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
        Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
        3 8: t = 3 4

        Ответ: t = 3 4 = 81

        Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

        Пример. Упростить выражение.
        4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

        Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.

        2 11 − 5 = 2 6 = 64

        Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

        Нельзя заменять разность (4 3 −4 2) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4

        Свойство № 3


        Возведение степени в степень

        При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

        (a n) m = a n · m , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

      16. Пример.
        (a 4) 6 = a 4 · 6 = a 24
      17. Пример. Представить 3 20 в виде степени с основанием 3 2 .
      18. По свойству возведения степени в степень известно, что при возведении в степень показатели перемножаются, значит:

        Свойства 4


        Степень произведения

        При возведении степени в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель и результаты перемножаются.

        (a · b) n = a n · b n , где « a », « b » — любые рациональные числа; « n » — любое натуральное число.

        • Пример 1.
          (6 · a 2 · b 3 · c) 2 = 6 2 · a 2 · 2 · b 3 · 2 · с 1 · 2 = 36 a 4 · b 6 · с 2
        • Пример 2.
          (−x 2 · y) 6 = ((−1) 6 · x 2 · 6 · y 1 · 6) = x 12 · y 6
        • Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.

          (a n · b n)= (a · b) n

          То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

        • Пример. Вычислить.
          2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 = 10 4 = 10 000
        • Пример. Вычислить.
          0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 = 1
        • В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.

          Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216

          Пример возведения в степень десятичной дроби.

          4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4

          Свойства 5


          Степень частного (дроби)

          Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

          (a: b) n = a n: b n , где « a », « b » — любые рациональные числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.

        • Пример. Представить выражение в виде частного степеней.
          (5: 3) 12 = 5 12: 3 12
        • Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

        Рассмотрим тему преобразования выражений со степенями, но прежде остановимся на ряде преобразований, которые можно проводить с любыми выражениями, в том числе со степенными. Мы научимся раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, работать с основанием и показателем степени, использовать свойства степеней.

        Yandex.RTB R-A-339285-1

        Что представляют собой степенные выражения?

        В школьном курсе мало кто использует словосочетание «степенные выражения», зато этот термин постоянно встречается в сборниках для подготовки к ЕГЭ. В большинства случаев словосочетанием обозначаются выражения, которые содержат в своих записях степени. Это мы и отразим в нашем определении.

        Определение 1

        Степенное выражение – это выражение, которое содержит степени.

        Приведем несколько примеров степенных выражений, начиная со степени с натуральным показателем и заканчивая степенью с действительным показателем.

        Самыми простыми степенными выражениями можно считать степени числа с натуральным показателем: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 · a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . А также степени с нулевым показателем: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . И степени с целыми отрицательными степенями: (0 , 5) 2 + (0 , 5) — 2 2 .

        Чуть сложнее работать со степенью, имеющей рациональный и иррациональный показатели: 264 1 4 — 3 · 3 · 3 1 2 , 2 3 , 5 · 2 — 2 2 — 1 , 5 , 1 a 1 4 · a 1 2 — 2 · a — 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 — π , 2 3 3 + 5 .

        В качестве показателя может выступать переменная 3 x — 54 — 7 · 3 x — 58 или логарифм x 2 · l g x − 5 · x l g x .

        С вопросом о том, что такое степенные выражения, мы разобрались. Теперь займемся их преобразованием.

        Основные виды преобразований степенных выражений

        В первую очередь мы рассмотрим основные тождественные преобразования выражений, которые можно выполнять со степенными выражениями.

        Пример 1

        Вычислите значение степенного выражения 2 3 · (4 2 − 12) .

        Решение

        Все преобразования мы будем проводить с соблюдением порядка выполнения действий. В данном случае начнем мы с выполнения действий в скобках: заменим степень на цифровое значение и вычислим разность двух чисел. Имеем 2 3 · (4 2 − 12) = 2 3 · (16 − 12) = 2 3 · 4 .

        Нам остается заменить степень 2 3 ее значением 8 и вычислить произведение 8 · 4 = 32 . Вот наш ответ.

        Ответ: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .

        Пример 2

        Упростите выражение со степенями 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 .

        Решение

        Данное нам в условии задачи выражение содержит подобные слагаемые, которые мы можем привести: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

        Ответ: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

        Пример 3

        Представьте выражение со степенями 9 — b 3 · π — 1 2 в виде произведения.

        Решение

        Представим число 9 как степень 3 2 и применим формулу сокращенного умножения:

        9 — b 3 · π — 1 2 = 3 2 — b 3 · π — 1 2 = = 3 — b 3 · π — 1 3 + b 3 · π — 1

        Ответ: 9 — b 3 · π — 1 2 = 3 — b 3 · π — 1 3 + b 3 · π — 1 .

        А теперь перейдем к разбору тождественных преобразований, которые могут применяться именно в отношении степенных выражений.

        Работа с основанием и показателем степени

        Степень в основании или показателе может иметь и числа, и переменные, и некоторые выражения. Например, (2 + 0 , 3 · 7) 5 − 3 , 7 и . Работать с такими записями сложно. Намного проще заменить выражение в основании степени или выражение в показателе тождественно равным выражением.

        Проводятся преобразования степени и показателя по известным нам правилам отдельно друг от друга. Самое главное, чтобы в результате преобразований получилось выражение, тождественное исходному.

        Цель преобразований – упростить исходное выражение или получить решение задачи. Например, в примере, который мы привели выше, (2 + 0 , 3 · 7) 5 − 3 , 7 можно выполнить действия для перехода к степени 4 , 1 1 , 3 . Раскрыв скобки, мы можем привести подобные слагаемые в основании степени (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1) и получить степенное выражение более простого вида a 2 · (x + 1) .

        Использование свойств степеней

        Свойства степеней, записанные в виде равенств, являются одним из главных инструментов преобразования выражений со степенями. Приведем здесь основные из них, учитывая, что a и b – это любые положительные числа, а r и s — произвольные действительные числа:

        Определение 2

        • a r · a s = a r + s ;
        • a r: a s = a r − s ;
        • (a · b) r = a r · b r ;
        • (a: b) r = a r: b r ;
        • (a r) s = a r · s .

        В тех случаях, когда мы имеем дело с натуральными, целыми, положительными показателями степени, ограничения на числа a и b могут быть гораздо менее строгими. Так, например, если рассмотреть равенство a m · a n = a m + n , где m и n – натуральные числа, то оно будет верно для любых значений a , как положительных, так и отрицательных, а также для a = 0 .

        Применять свойства степеней без ограничений можно в тех случаях, когда основания степеней положительные или содержат переменные, область допустимых значений которых такова, что на ней основания принимают лишь положительные значения. Фактически, в рамках школьной программы по математике задачей учащегося является выбор подходящего свойства и правильное его применение.

        При подготовке к поступлению в Вузы могут встречаться задачи, в которых неаккуратное применение свойств будет приводить к сужению ОДЗ и другим сложностям с решением. В данном разделе мы разберем всего два таких случая. Больше информации по вопросу можно найти в теме «Преобразование выражений с использованием свойств степеней».

        Пример 4

        Представьте выражение a 2 , 5 · (a 2) − 3: a − 5 , 5 в виде степени с основанием a .

        Решение

        Для начала используем свойство возведения в степень и преобразуем по нему второй множитель (a 2) − 3 . Затем используем свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием:

        a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = a 2 .

        Ответ: a 2 , 5 · (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .

        Преобразование степенных выражений согласно свойству степеней может производиться как слева направо, так и в обратном направлении.

        Пример 5

        Найти значение степенного выражения 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

        Решение

        Если мы применим равенство (a · b) r = a r · b r , справа налево, то получим произведение вида 3 · 7 1 3 · 21 2 3 и дальше 21 1 3 · 21 2 3 . Сложим показатели при умножении степеней с одинаковыми основаниями: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21 .

        Есть еще один способ провести преобразования:

        3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 · 7 1 3 · 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 · 7 1 3 + 2 3 = 3 1 · 7 1 = 21

        Ответ: 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 · 7 1 = 21

        Пример 6

        Дано степенное выражение a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6 , введите новую переменную t = a 0 , 5 .

        Решение

        Представим степень a 1 , 5 как a 0 , 5 · 3 . Используем свойство степени в степени (a r) s = a r · s справа налево и получим (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6 = (a 0 , 5) 3 − a 0 , 5 − 6 . В полученное выражение можно без проблем вводить новую переменную t = a 0 , 5 : получаем t 3 − t − 6 .

        Ответ: t 3 − t − 6 .

        Преобразование дробей, содержащих степени

        Обычно мы имеем дело с двумя вариантами степенных выражений с дробями: выражение представляет собой дробь со степенью или содержит такую дробь. К таким выражениям применимы все основные преобразования дробей без ограничений. Их можно сокращать, приводить к новому знаменателю, работать отдельно с числителем и знаменателем. Проиллюстрируем это примерами.

        Пример 7

        Упростить степенное выражение 3 · 5 2 3 · 5 1 3 — 5 — 2 3 1 + 2 · x 2 — 3 — 3 · x 2 .

        Решение

        Мы имеем дело с дробью, поэтому проведем преобразования и в числителе, и в знаменателе:

        3 · 5 2 3 · 5 1 3 — 5 — 2 3 1 + 2 · x 2 — 3 — 3 · x 2 = 3 · 5 2 3 · 5 1 3 — 3 · 5 2 3 · 5 — 2 3 — 2 — x 2 = = 3 · 5 2 3 + 1 3 — 3 · 5 2 3 + — 2 3 — 2 — x 2 = 3 · 5 1 — 3 · 5 0 — 2 — x 2

        Поместим минус перед дробью для того, чтобы изменить знак знаменателя: 12 — 2 — x 2 = — 12 2 + x 2

        Ответ: 3 · 5 2 3 · 5 1 3 — 5 — 2 3 1 + 2 · x 2 — 3 — 3 · x 2 = — 12 2 + x 2

        Дроби, содержащие степени, приводятся к новому знаменателю точно также, как и рациональные дроби. Для этого необходимо найти дополнительный множитель и умножить на него числитель и знаменатель дроби. Подбирать дополнительный множитель необходимо таким образом, чтобы он не обращался в нуль ни при каких значениях переменных из ОДЗ переменных для исходного выражения.

        Пример 8

        Приведите дроби к новому знаменателю: а) a + 1 a 0 , 7 к знаменателю a , б) 1 x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 к знаменателю x + 8 · y 1 2 .

        Решение

        а) Подберем множитель, который позволит нам произвести приведение к новому знаменателю. a 0 , 7 · a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , следовательно, в качестве дополнительного множителя мы возьмем a 0 , 3 . Область допустимых значений переменной а включает множество всех положительных действительных чисел. В этой области степень a 0 , 3 не обращается в нуль.

        Выполним умножение числителя и знаменателя дроби на a 0 , 3 :

        a + 1 a 0 , 7 = a + 1 · a 0 , 3 a 0 , 7 · a 0 , 3 = a + 1 · a 0 , 3 a

        б) Обратим внимание на знаменатель:

        x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 2 — x 1 3 · 2 · y 1 6 + 2 · y 1 6 2

        Умножим это выражение на x 1 3 + 2 · y 1 6 , получим сумму кубов x 1 3 и 2 · y 1 6 , т. е. x + 8 · y 1 2 . Это наш новый знаменатель, к которому нам надо привести исходную дробь.

        Так мы нашли дополнительный множитель x 1 3 + 2 · y 1 6 . На области допустимых значений переменных x и y выражение x 1 3 + 2 · y 1 6 не обращается в нуль, поэтому, мы можем умножить на него числитель и знаменатель дроби:
        1 x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 + 2 · y 1 6 x 1 3 + 2 · y 1 6 x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 + 2 · y 1 6 x 1 3 3 + 2 · y 1 6 3 = x 1 3 + 2 · y 1 6 x + 8 · y 1 2

        Ответ: а) a + 1 a 0 , 7 = a + 1 · a 0 , 3 a , б) 1 x 2 3 — 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = x 1 3 + 2 · y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

        Пример 9

        Сократите дробь: а) 30 · x 3 · (x 0 , 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 , б) a 1 4 — b 1 4 a 1 2 — b 1 2 .

        Решение

        а) Используем наибольший общий знаменатель (НОД), на который можно сократить числитель и знаменатель. Для чисел 30 и 45 это 15 . Также мы можем произвести сокращение на x 0 , 5 + 1 и на x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 .

        Получаем:

        30 · x 3 · (x 0 , 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1)

        б) Здесь наличие одинаковых множителей неочевидно. Придется выполнить некоторые преобразования для того, чтобы получить одинаковые множители в числителе и знаменателе. Для этого разложим знаменатель, используя формулу разности квадратов:

        a 1 4 — b 1 4 a 1 2 — b 1 2 = a 1 4 — b 1 4 a 1 4 2 — b 1 2 2 = = a 1 4 — b 1 4 a 1 4 + b 1 4 · a 1 4 — b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

        Ответ: а) 30 · x 3 · (x 0 , 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 — 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , б) a 1 4 — b 1 4 a 1 2 — b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

        К числу основных действий с дробями относится приведение к новому знаменателю и сокращение дробей. Оба действия выполняют с соблюдением ряда правил. При сложении и вычитании дробей сначала дроби приводятся к общему знаменателю, после чего проводятся действия (сложение или вычитание) с числителями. Знаменатель остается прежним. Результатом наших действий является новая дробь, числитель которой является произведением числителей, а знаменатель есть произведение знаменателей.

        Пример 10

        Выполните действия x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 — x 1 2 — 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

        Решение

        Начнем с вычитания дробей, которые располагаются в скобках. Приведем их к общему знаменателю:

        x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1

        Вычтем числители:

        x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 — x 1 2 — 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 · x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 — x 1 2 — 1 · x 1 2 — 1 x 1 2 + 1 · x 1 2 — 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 — x 1 2 — 1 2 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 · x 1 2 + 1 — x 1 2 2 — 2 · x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = 4 · x 1 2 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2

        Теперь умножаем дроби:

        4 · x 1 2 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = 4 · x 1 2 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 · x 1 2

        Произведем сокращение на степень x 1 2 , получим 4 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 .

        Дополнительно можно упростить степенное выражение в знаменателе, используя формулу разности квадратов: квадратов: 4 x 1 2 — 1 · x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 — 1 2 = 4 x — 1 .

        Ответ: x 1 2 + 1 x 1 2 — 1 — x 1 2 — 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = 4 x — 1

        Пример 11

        Упростите степенное выражение x 3 4 · x 2 , 7 + 1 2 x — 5 8 · x 2 , 7 + 1 3 .
        Решение

        Мы можем произвести сокращение дроби на (x 2 , 7 + 1) 2 . Получаем дробь x 3 4 x — 5 8 · x 2 , 7 + 1 .

        Продолжим преобразования степеней икса x 3 4 x — 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Теперь можно использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями: x 3 4 x — 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 = x 3 4 — — 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 = x 1 1 8 · 1 x 2 , 7 + 1 .

        Переходим от последнего произведения к дроби x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

        Ответ: x 3 4 · x 2 , 7 + 1 2 x — 5 8 · x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

        Множители с отрицательными показателями степени в большинстве случаев удобнее переносить из числителя в знаменатель и обратно, изменяя знак показателя. Это действие позволяет упростить дальнейшее решение. Приведем пример: степенное выражение (x + 1) — 0 , 2 3 · x — 1 можно заменить на x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

        Преобразование выражений с корнями и степенями

        В задачах встречаются степенные выражения, которые содержат не только степени с дробными показателями, но и корни. Такие выражения желательно привести только к корням или только к степеням. Переход к степеням предпочтительнее, так как с ними проще работать. Такой переход является особенно предпочтительным, когда ОДЗ переменных для исходного выражения позволяет заменить корни степенями без необходимости обращаться к модулю или разбивать ОДЗ на несколько промежутков.

        Пример 12

        Представьте выражение x 1 9 · x · x 3 6 в виде степени.

        Решение

        Область допустимых значений переменной x определяется двумя неравенствами x ≥ 0 и x · x 3 ≥ 0 , которые задают множество [ 0 , + ∞) .

        На этом множестве мы имеем право перейти от корней к степеням:

        x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

        Используя свойства степеней, упростим полученное степенное выражение.

        x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 · x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

        Ответ: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

        Преобразование степеней с переменными в показателе

        Данные преобразования достаточно просто произвести, если грамотно использовать свойства степени. Например, 5 2 · x + 1 − 3 · 5 x · 7 x − 14 · 7 2 · x − 1 = 0 .

        Мы можем заменить произведением степени, в показателях которых находится сумма некоторой переменной и числа. В левой части это можно проделать с первым и последним слагаемыми левой части выражения:

        5 2 · x · 5 1 − 3 · 5 x · 7 x − 14 · 7 2 · x · 7 − 1 = 0 , 5 · 5 2 · x − 3 · 5 x · 7 x − 2 · 7 2 · x = 0 .

        Теперь поделим обе части равенства на 7 2 · x . Это выражение на ОДЗ переменной x принимает только положительные значения:

        5 · 5 — 3 · 5 x · 7 x — 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0 7 2 · x , 5 · 5 2 · x 7 2 · x — 3 · 5 x · 7 x 7 2 · x — 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0 , 5 · 5 2 · x 7 2 · x — 3 · 5 x · 7 x 7 x · 7 x — 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0

        Сократим дроби со степенями, получим: 5 · 5 2 · x 7 2 · x — 3 · 5 x 7 x — 2 = 0 .

        Наконец, отношение степеней с одинаковыми показателями заменяется степенями отношений, что приводит к уравнению 5 · 5 7 2 · x — 3 · 5 7 x — 2 = 0 , которое равносильно 5 · 5 7 x 2 — 3 · 5 7 x — 2 = 0 .

        Введем новую переменную t = 5 7 x , что сводит решение исходного показательного уравнения к решению квадратного уравнения 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

        Преобразование выражений со степенями и логарифмами

        Выражения, содержащие с записи степени и логарифмы, также встречаются в задачах. Примером таких выражений могут служить: 1 4 1 — 5 · log 2 3 или log 3 27 9 + 5 (1 — log 3 5) · log 5 3 . Преобразование подобных выражений проводится с использованием разобранных выше подходов и свойств логарифмов, которые мы подробно разобрали в теме «Преобразование логарифмических выражений».

        Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

        Степень используется для упрощения записи операции умножения числа само на себя. Например, вместо записи можно написать 4 5 {\displaystyle 4^{5}} (объяснение такому переходу дано в первом разделе этой статьи). {a}ix=cosax+isinax} , где i = (− 1) {\displaystyle i={\sqrt {(}}-1)} ; е — константа, примерно равная 2,7; а — произвольная постоянная. Доказательство этого равенства можно найти в любом учебнике по высшей математике.

        Предупреждения

        • При увеличении показателя степени ее значение сильно возрастает. Поэтому если ответ кажется вам неправильным, на самом деле он может оказаться верным. Вы можете проверить это, построив график любой показательной функции, например, 2 x .

        Одной из главных характеристик в алгебре, да и во всей математике является степень. Конечно, в 21 веке все расчеты можно проводить на онлайн-калькуляторе, но лучше для развития мозгов научиться делать это самому.

        В данной статье рассмотрим самые важные вопросы, касающиеся этого определения. А именно, поймем что это вообще такое и каковы основные его функции, какие имеются свойства в математике.

        Рассмотрим на примерах то, как выглядит расчет, каковы основные формулы. Разберем основные виды величины и то, чем они отличаются от других функций.

        Поймем, как решать с помощью этой величины различные задачи. Покажем на примерах, как возводить в нулевую степень, иррациональную, отрицательную и др.

        Онлайн-калькулятор возведения в степень

        Что такое степень числа

        Что же подразумевают под выражением «возвести число в степень»?

        Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд.

        Математически это выглядит следующим образом:

        a n = a * a * a * …a n .

        Например:

        • 2 3 = 2 в третьей степ. = 2 * 2 * 2 = 8;
        • 4 2 = 4 в степ. два = 4 * 4 = 16;
        • 5 4 = 5 в степ. четыре = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
        • 10 5 = 10 в 5 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
        • 10 4 = 10 в 4 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

        Ниже будет представлена таблица квадратов и кубов от 1 до 10.

        Таблица степеней от 1 до 10

        Ниже будут приведены результаты возведения натуральных чисел в положительные степени – «от 1 до 100».

        Ч-ло 2-ая ст-нь 3-я ст-нь
        1 1 1
        2 4 8
        3 9 27
        4 16 64
        5 25 125
        6 36 216
        7 49 343
        8 64 512
        9 81 279
        10 100 1000

        Свойства степеней

        Что же характерно для такой математической функции? Рассмотрим базовые свойства.

        Учеными установлено следующие признаки, характерные для всех степеней:

        • a n * a m = (a) (n+m) ;
        • a n: a m = (a) (n-m) ;
        • (a b) m =(a) (b*m) .

        Проверим на примерах:

        2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. С другой стороны 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

        Аналогично: 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2. Иначе 2 3-2 = 2 1 =2.

        (2 3) 2 = 8 2 = 64. А если по-другому? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

        Как видим, правила работают.

        А как же быть со сложением и вычитанием ? Всё просто. Выполняется сначала возведение в степень, а уж потом сложение и вычитание.

        Посмотрим на примерах:

        • 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
        • 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Обратите внимание: правило не будет выполняться, если сначала произвести вычитание: (5 — 3) 2 = 2 2 = 4.

        А вот в этом случае надо вычислять сначала сложение, поскольку присутствуют действия в скобках: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

        Как производить вычисления в более сложных случаях ? Порядок тот же:

        • при наличии скобок – начинать нужно с них;
        • затем возведение в степень;
        • потом выполнять действия умножения, деления;
        • после сложение, вычитание.

        Есть специфические свойства, характерные не для всех степеней:

        1. Корень n-ой степени из числа a в степени m запишется в виде: a m / n .
        2. При возведении дроби в степень: этой процедуре подвержены как числитель, так и ее знаменатель.
        3. При возведении произведения разных чисел в степень, выражение будет соответствовать произведению этих чисел в заданной степени. То есть: (a * b) n = a n * b n .
        4. При возведении числа в отрицательную степ., нужно разделить 1 на число в той же ст-ни, но со знаком «+».
        5. Если знаменатель дроби находится в отрицательной степени, то это выражение будет равно произведению числителя на знаменатель в положительной степени.
        6. Любое число в степени 0 = 1, а в степ. 1 = самому себе.

        Эти правила важны в отдельных случаях, их рассмотрим подробней ниже.

        Степень с отрицательным показателем

        Что делать при минусовой степени, т. е. когда показатель отрицательный?

        Исходя из свойств 4 и 5 (смотри пункт выше), получается :

        A (- n) = 1 / A n , 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

        И наоборот:

        1 / A (- n) = A n , 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

        А если дробь?

        (A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

        Степень с натуральным показателем

        Под ней понимают степень с показателями, равными целым числам.

        Что нужно запомнить:

        A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1…и т. д.

        A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3…и т. д.

        Кроме того, если (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2…то результат будет со знаком «+». Если отрицательное число возводится в нечетную степень, то наоборот.

        Общие свойства, да и все специфические признаки, описанные выше, также характерны для них.

        Дробная степень

        Этот вид можно записать схемой: A m / n . Читается как: корень n-ой степени из числа A в степени m.

        С дробным показателем можно делать, что угодно: сокращать, раскладывать на части, возводить в другую степень и т. д.

        Степень с иррациональным показателем

        Пусть α – иррациональное число, а А ˃ 0.

        Чтобы понять суть степени с таким показателем, рассмотрим разные возможные случаи:

        • А = 1. Результат будет равен 1. Поскольку существует аксиома – 1 во всех степенях равна единице;

        А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – рациональные числа;

        В этом случае наоборот: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 при тех же условиях, что и во втором пункте.

        Например, показатель степени число π. Оно рациональное.

        r 1 – в этом случае равно 3;

        r 2 – будет равно 4.

        Тогда, при А = 1, 1 π = 1.

        А = 2, то 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

        А = 1/2, то (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

        Для таких степеней характерны все математические операции и специфические свойства, описанные выше.

        Заключение

        Подведём итоги — для чего же нужны эти величины, в чем преимущество таких функций? Конечно, в первую очередь они упрощают жизнь математиков и программистов при решении примеров, поскольку позволяют минимизировать расчеты, сократить алгоритмы, систематизировать данные и многое другое.

        Где еще могут пригодиться эти знания? В любой рабочей специальности: медицине, фармакологии, стоматологии, строительстве, технике, инженерии, конструировании и т. д.

        На канал на youtube нашего сайта сайт, чтобы быть в курсе всех новых видео уроков.

        Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.

        Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a a … a=a n

        1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

        3. a n a m = a n + m

        4. (a n) m = a nm

        5. a n b n = (ab) n

        7. a n /a m = a n — m

        Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.

        Примеры показательных уравнений:

        В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.

        Приведем еще примеры показательных уравнений.
        2 x *5=10
        16 x — 4 x — 6=0

        Теперь разберем как решаются показательные уравнения?

        Возьмем простое уравнение:

        2 х = 2 3

        Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
        А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:

        2 х = 2 3
        х = 3

        Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.

        Теперь подведем итоги нашего решения.

        Алгоритм решения показательного уравнения:
        1. Нужно проверить одинаковые ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
        2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем степени и решаем полученное новое уравнение.

        Теперь прорешаем несколько примеров:

        Начнем с простого.

        Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.

        x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
        x=4 — 2
        x=2
        Ответ: x=2

        В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.

        3 3х — 9 х+8 = 0

        Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:

        Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=3 2 . Воспользуемся формулой степеней (a n) m = a nm .

        3 3х = (3 2) х+8

        Получим 9 х+8 =(3 2) х+8 =3 2х+16

        3 3х = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.

        3x=2x+16 получили простейшее уравнение
        3x — 2x=16
        x=16
        Ответ: x=16.

        Смотрим следующий пример:

        2 2х+4 — 10 4 х = 2 4

        В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (a n) m = a nm .

        4 х = (2 2) х = 2 2х

        И еще используем одну формулу a n a m = a n + m:

        2 2х+4 = 2 2х 2 4

        Добавляем в уравнение:

        2 2х 2 4 — 10 2 2х = 24

        Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2 2х,вот и ответ — 2 2х мы можем вынести за скобки:

        2 2х (2 4 — 10) = 24

        Посчитаем выражение в скобках:

        2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

        Все уравнение делим на 6:

        Представим 4=2 2:

        2 2х = 2 2 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
        2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
        х = 1
        Ответ: х = 1.

        Решим уравнение:

        9 х – 12*3 х +27= 0

        Преобразуем:
        9 х = (3 2) х = 3 2х

        Получаем уравнение:
        3 2х — 12 3 х +27 = 0

        Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены . Число с наименьшей степенью заменяем:

        Тогда 3 2х = (3 х) 2 = t 2

        Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:

        t 2 — 12t+27 = 0
        Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
        D=144-108=36
        t 1 = 9
        t 2 = 3

        Возвращаемся к переменной x .

        Берем t 1:
        t 1 = 9 = 3 х

        Стало быть,

        3 х = 9
        3 х = 3 2
        х 1 = 2

        Один корень нашли. Ищем второй, из t 2:
        t 2 = 3 = 3 х
        3 х = 3 1
        х 2 = 1
        Ответ: х 1 = 2; х 2 = 1.

        На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.

        Вступайте в группу

        Окружности Карлейля, или Как решать квадратные уравнения циркулем и линейкой • Библиотека

        Константин Кноп
        «Квант» №7, 2020

        Казалось бы, какая может быть связь между квадратными уравнениями и геометрическими инструментами— циркулем и линейкой? Однако эта связь есть, и ее исследование сразных сторон— увлекательнейшая задача, тесно связанная и сгеометрией, и салгеброй.

        А при чем тут Томас Карлейль? Согласно Википедии, это британский писатель, публицист, историк и философ, автор многотомных сочинений «Французская революция» (1837), «Герои, почитание героев и героическое вистории» (1841), «История жизни ФридрихаII Прусского» (1858–1865). О его занятиях математикой практически ничего не известно, и тем не менее, вчесть него назван класс окружностей, помогающих решать квадратные уравнения.

        А теперь— обо всем по порядку.

        Что мы подразумеваем под решением уравнений циркулем и линейкой?

        В школьных учебниках геометрии есть какие-то упоминания овозможности построения квадратичных иррациональностей спомощью геометрических инструментов, но восновном не ввиде практических алгоритмов построения, а вкачестве теоремы существования. Единственный школьный пример конкретного алгоритма, как-то связанного сквадратными уравнениями,— построение среднего геометрического. Давайте и мы тоже начнем сэтой задачи.

        Задача 1. Даны отрезки \(a\) и \(b\). Постройте отрезок, равный \(\sqrt{ab}\).

        Решение. Отложим на одной прямой \(AD = a\), \(DB = b\). Построим окружность на отрезке \(AB\) как на диаметре. Восставим кнему перпендикуляр вточке \(D\)— впересечении получим точку \(C\) (рис. 2\).)

        Обычно после решения этой задачи вшколе говорится, что поскольку мы умеем спомощью циркуля и линейки складывать, вычитать, также умножать и делить (пользуясь теоремой Фалеса), а вот теперь умеем и корни извлекать, то этого уже достаточно для того, чтобы по формулам для корней квадратного уравнения научиться строить отрезки соответствующей длины. Действительно, достаточно. Но ведь дико неудобно!

        К счастью, есть и нормальный способ «геометрического» решения квадратных уравнений, известный вот уже более двух веков. Этот способ впервые был описан шотландским математиком и физиком Джоном Лесли вего книге «Элементы геометрии и плоской тригонометрии», изданной в1809году. Водном из последующих изданий Лесли добавил сноску о том, что идея этого способа принадлежит его бывшему ученику Томасу Карлейлю.

        На рисунке 2, заимствованном из книги Лесли, сформулирована задача: «Построить прямоугольник, равновеликий данному прямоугольнику \(CDFE\), полупериметр которого равен данному отрезку \(BC\)». Ее решение, предложенное Карлейлем, показано на рисунке3. Прокомментируем построение на этом рисунке. Вначале данный отрезок \(BC\) откладывается на продолжении меньшей стороны четырехугольника \((CE)\). Затем на большей его стороне откладывается \(CG=CE\), после чего спомощью параллельных прямых достраивается четвертая вершина прямоугольника \(ABCG\). Теперь достаточно построить окружность на диаметре \(AD\)— точки \(J\) и \(K\) ее пересечения сотрезком \(BC\) и дадут искомые стороны прямоугольника (\(BJ\) и \(JC\) или, как изображено на рисунке, \(BK\) и \(KC=KI\)).

        Почему и как это работает? Проще всего ответить на этот вопрос спомощью системы координат. Поместим начало координат вточку \(C\), ось абсцисс направим влево (к\(B\)), а ось ординат вверх (к\(D\)). Кроме того, будем считать, что \(CE=e\), \(CB=b\), \(CD=d\). Тогда координатами точки \(A\) будут \((b;\ e)\), а значит, координатами \(M\) будут \((b/2;\ (d+e)/2)\). Это означает, что окружность сцентром\(M\) и радиусом \(MG\ (=MA=MD)\) имеет уравнение

        \[\left(x-\frac b2\right)^2+\left(y-\frac{d+e}{2}\right)^2=\left(\frac b2\right)^2+\left(\frac{d-e}{2}\right)^2,\]

        откуда

        \[x^2-bx+\left(\frac b2\right)^2+y^2-(d+e)y+\left(\frac {d+e}2\right)^2=\left(\frac b2\right)^2+\left(\frac{d-e}{2}\right)^2\]

        и

        \[x^2-bx+y^2-(d+e)y+de=0. 2-bx+de=0.\]

        Как мы знаем из школьной алгебры (теорема Виета), сумма корней этого уравнения равна \(b\), а произведение равно \(de\). Таким образом, если \(K\ (x_1;\ 0)\) и \(J\ (x_2;\ 0)\), то \(CK=CJ=x_1+x_2=b=CB\), а \(CK\cdot CJ=x_1\cdot x_2=de\), т.е. площадь прямоугольника со сторонами \(CK\) и \(BK=CJ\) действительно равна площади исходного прямоугольника\(CDFE\).

        То же самое можно было получить и не выписывая уравнения окружности, из чисто геометрических соображений. Ведь \(CK\cdot CJ\)— это произведение длины секущей на ее внешнюю часть, a \(de=CD\cdot CG\)— другое такое же произведение. По теореме осекущих, они равны, т.е. \(CK\cdot CJ=de\). А так как \(ABCD\)— прямоугольная трапеция, а \(M\)— середина ее боковой стороны, то высота вравнобедренном треугольнике \(MJK\) является одновременно средней линией трапеции и медианой втом же треугольнике. Отсюда сразу получаем, что \(CK=BJ\), а значит, \(CK+CJ=CB=b\).

        Осмысление того, что способ Карлейля годится не только для одной этой задачи, пришло далеко не сразу. 2-sx+p=0\). Тогда мы должны взять на координатной плоскости точки \(A\ (0;\ 1)\) и \(B\ (s;\ p)\), найти середину \(C\) отрезка \(AB\) и построить окружность сцентром в\(C\) и радиусом \(CA\) (рис.4). Точки пересечения этой окружности сосью абсцисс и будут корнями уравнения.

        Доказательство практически полностью повторяет решение задачи Лесли, приведенное выше.

        Но мы, кажется, собирались что-то строить циркулем и линейкой? А здесь координатная плоскость… Ничего страшного! Все, что нам на самом деле нужно от координат, вполне сводится кдвум осям. Действительно, вместо точки \(B\ (s;\ p)\) можно сразу рассмотреть ее проекции на оси \(B_1\ (s;\ 0)\) и \(B_2\ (0;\ p)\). Ведь если мы знаем коэффициенты \(a\) и \(p\), то построить именно эти точки на осях— проще простого. А дальше центр окружности получится пересечением серединных перпендикуляров к\(OB_1\) и \(AB_2\) (постарайтесь разобраться, почему это так, по рисунку5).

        Как видно из рисунка5, способ сокружностью Карлейля не только простой, но и удивительно легкий для запоминания. Кроме начала координат, требуются всего три точки— \(B_1\) (абсцисса которой равна коэффициенту \(s\)) откладывается на оси абсцисс, а \(A\ (0;\ 1)\) и \(B_2\) (ордината которой равна \(p\))— на оси ординат. Два серединных перпендикуляра, одна окружность— вуаля, корни готовы!

        Как это применять?

        Возможно, самое известное применение окружностей Карлейля— построение правильных многоугольников. Многие слышали о том, что построение правильного пятиугольника циркулем и линейкой возможно. (На самом деле— не только возможно, но было дано и полностью обосновано еще Евклидом.) Но многие ли пытались понять, как именно решается эта задача?

        Задача 2. Дана окружность сцентром \(O\) и точка \(A\) на ней. Постройте правильный пятиугольник \(ABCDE\), вписанный вэту окружность.

        Решение. Построение пятиугольника спомощью окружностей Карлейля отличается удивительной простотой. Начнем скоординатных осей, проведя через центр круга прямую\(OX\), перпендикулярную \(OA\) (рис. {\circ})\), т.е. углы \(AOB\) и \(AOE\) равны 72градусам, а углы \(AOC\) и \(AOD\)— 144градусам. А это и означает, что они являются вершинами правильного пятиугольника. Доказательство правильности построения на этом завершено.

        О сложности построений и «геометрографии» Эмиля Лемуана

        Француз Эмиль Мишель Гиацинт Лемуан по праву считается одним из отцов современной «геометрии треугольника». Вероятно, вы слышали оточке Лемуана втреугольнике или об окружностях Лемуана. Он же в1892году опубликовал работу «Геометрография, или искусство геометрических конструкций» («LaGéométrographie ou l’art des constructions géométriques»), вкоторой впервые предложил сравнивать различные геометрические построения по количеству требуемых элементарных операций (а лучшим построением считать то, на которое тратится меньшее число операций). Оптимальным («геометрографическим») способом Лемуан называет самый экономный из известных алгоритмов построения.

        Элементарных операций Лемуан насчитал пять:
        \(S_1\)— приложить линейку копределенной точке;
        \(S_2\)— провести прямую линию;
        \(C_1\)— поставить ножку циркуля вопределенную точку;
        \(C_2\)— изменить радиус циркуля, поставив ножку скарандашом вопределенную точку;
        \(C_3\)— провести циркулем окружность.

        При этом Лемуан считал циркуль устойчивым, т.е. после проведения окружности сохраняющим выставленный радиус. Таким образом, следующая окружность того же радиуса, по Лемуану, требует уже не трех операций: \(C_1+C_2+C_3\), а всего двух: \(C_1+C_3\).

        Сосчитаем, например, количество операций впостроении корней уравнения спомощью окружности Карлейля, показанном на рисунке5. Оси координат и точки \(A\), \(B_1\) и \(B_2\) заданы. Построение серединного перпендикуляра котрезку \(OB_1\)— это две окружности равных радиусов и одна прямая, т.е. \((2C_1+C_2+2C_3)+(2S_1+S_2)\). Следующий серединный перпендикуляр— это \((2C_1+2C_3)+(2S_1+S_2)\), потому что мы строим его, не меняя радиуса циркуля. Тем самым, мы построили центр, затратив 15элементарных операций. И наконец, сама окружность Карлейля— это еще \(C_1+C_2+C_3\). Итого «сложность» построения \(5C_1+2C_2+5C_3+4S_1+2S_2\) равна18.

        Упражнение 1. Придумайте другой способ построения окружности Карлейля, имеющий сложность17 или меньше.
        Подсказка. Центр этой окружности— середина отрезка, одним из концов которого является \(B_1\). Постройте сначала второй конец этого отрезка.

        Современная компьютерная игра-головоломка Euclidea (euclidea.xyz) также требует от решателей задач найти самое экономное построение, но, вотличие от Лемуана, не подсчитывает предварительные операции \(S_1\), \(C_1\) и \(C_2\), а считает только количество проведенных линий (т.е. \(S_2+C_3\) втерминологии Лемуана). Сточки зрения Euclidea, построение окружности Карлейля имеет сложность7.

        Можно ли отыскать корни квадратного уравнения сменьшей сложностью?

        Когда автор начинал писать эту статью, он предполагал, что этот вопрос будет повешен вкачестве финальной улыбки Чеширского Кота и оставлен читателю для самостоятельного решения. Однако планы немножко поменялись, и сейчас я хочу показать более экономный способ, а читателям предложить обдумать, нельзя ли найти еще лучший.

        Во-первых, откажемся от оси ординат. Зачем она нужна, если все корни мы ищем на оси абсцисс?

        Пусть у нас есть всего одна ось, а на ней— четыре известные точки \(O\ (0)\), \(E\ (1)\), \(S\ (X+Y)\) и \(P\ (XY)\). Последние две точки соответствуют коэффициентам того уравнения, которое мы хотим решить. Рисунок7 соответствует ситуации, когда \(0<XY<1<X+Y\), но это не очень критично— приведенное ниже построение работает и во многих других случаях, а если оно не будет работать из-за того, что какие-то окружности не пересекутся, то его не очень сложно адаптировать.

        Вначале проведем две окружности равных радиусов сцентрами в \(P\ (XY)\) и \(E\ (1)\) (рис.8)— как будто мы хотим строить середину отрезка между этими точками. Радиус окружностей возьмем таким, чтобы первая окружность прошла через точку \(S\ (X+Y)\). Отметим \(C\)— общую точку этих окружностей.

        Затем построим еще две окружности— окружность сцентром \(O\ (0)\), проходящую через \(C\), и окружность такого же радиуса сцентром \(S\). Их точку пересечения (любую из двух точек) назовем \(D\) (рис.9).

        И (немного неожиданный, как и полагается улыбке Кота) финальный шаг— окружность сцентром \(D\), радиус которой точно такой же, как удвух первых (рис. 2\). А поскольку середина этого отрезка имеет координату \((X+Y)/2\), то правый конец отрезка совпадает сбольшим из чисел \(X\), \(Y\), а левый— сменьшим.

        Сосчитаем сложность: \(2C_1+C_2+2C_3\) на первую пару окружностей, столько же на вторую и еще \(C_1+C_2+2C_3\) на последнюю окружность— всего \(5+5+3=13\), вместо прежних 17 или 18. Ура!

        Дополнение.

        Построение правильного 17-угольника

        Задача 3. Пусть дана окружность сцентром \(O\) и точка \(A\) на ней. Постройте правильный 17-угольник свершиной \(A\), вписанный вэту окружность.

        Эта задача, вотличие от трех неразрешимых задач древности, стала знаменитой после того, как была решена 19-летним Карлом Фридрихом Гауссом. Биографы Гаусса пишут, что только после ее решения Гаусс окончательно выбрал своей будущей профессией математику, а не литературу. Известна также легенда, что Гаусс завещал выбить на своем могильном камне изображение правильного 17-угольника. Кажется, даже если такое завещание было, то оно оказалось невыполненным, а вот на памятнике Гауссу вБрауншвейге след его юношеской работы есть (рис. {16}=2\cos(\pi/17)\), так что, зная величину \(\eta_{08}\), мы легко построим вершины правильного 17-угольника, соседние сзаданной вершиной \(A\) (аналогично построению вершин по точке \(H_2\) для правильного пятиугольника).

        Упражнения
        2. Вычислите произведение \(\eta_{08}\eta_{48}\).
        3. Дуайн ДиТемпл описал пошаговое построение правильного 17-угольника спомощью окружностей Карлейля (commons.wikimedia.org). Разберитесь вэтом построении.

        Тупой угол — определение, градус, треугольник, примеры

        В геометрии тупой угол определяется как угол, который больше 90° и меньше 180° . Часто в течение дня в течение 24 часов мы можем видеть часы, обрамляющие множество градусов тупого угла между минутной стрелкой и часовой стрелкой. Давайте узнаем больше о тупом угле и его свойствах.

        Что такое тупой угол?

        Определение тупого угла в геометрии гласит, что «угол, градусная мера которого больше 90° и меньше 180°, называется тупым углом». Другими словами, тупой угол — это угол между прямым углом и прямым углом. Посмотрите на некоторые примеры тупых углов, приведенные ниже.

        Тупой угол Градус

        В предыдущем разделе мы читали, что угол, который меньше 180 градусов и больше 90 градусов, называется тупым углом. Примерами градусов тупого угла являются 165°, 135°, 110°, 179°, 91° и т. д. Следовательно, градус тупого угла лежит в пределах от 90° до 180°.

        Тупые углы в реальной жизни

        Мы знаем, что углы больше 90° и меньше 180° называются тупыми углами. Вот несколько реальных примеров тупых углов. Можете ли вы заметить тупые углы на всех этих изображениях? Можете ли вы вспомнить больше объектов в реальной жизни, которые имеют тупые углы?

        Некоторые другие примеры тупых углов в реальной жизни приведены ниже:

        • Угол между часовой и минутной стрелками часов в положении «4 часа».
        • Угол между основанием открытого ноутбука и его экраном.
        • Углы, образованные лопастями потолочного вентилятора.

        Тупоугольный треугольник

        Если один из углов треугольника больше 90°, такой треугольник называется тупоугольным. Тупоугольный треугольник может быть равнобедренным или разносторонним. Равносторонний треугольник не может быть тупоугольным. Сторона, лежащая против тупого угла в треугольнике, является наибольшей стороной этого треугольника.Точно так же треугольник никогда не может быть прямым углом и тупым углом одновременно в соответствии со свойством суммы углов треугольника. Таким образом, можно сделать вывод, что если один из углов треугольника тупой, то два других угла треугольника должны быть острыми.

        В приведенных выше треугольниках один угол больше 90°. Поэтому их называют тупоугольными треугольниками или просто тупоугольными треугольниками . В тупоугольном треугольнике сумма квадратов двух сторон меньше квадрата большей стороны. В ΔABC стороны измеряются a,b,c так, что c является наибольшей стороной, мы имеем: a 2 + b 2 < c 2 . И наоборот, если в треугольнике a 2 + b 2 < c 2 , то треугольник является тупоугольным.

        Острые и тупые углы

        Существуют различные типы углов в зависимости от измерения. Углы меньше 90° называются острыми углами, а углы больше 90°, но меньше 180° называются тупыми.Посмотрите на изображение острых и тупых углов, приведенное ниже, а затем их разницу.

        Теперь давайте разберемся с острым и тупым углом в таблице ниже:

        Острый угол Тупой угол
        Он измеряет менее 90 градусов. Он имеет размеры больше 90 и меньше 180 градусов.
        Треугольник с тремя острыми углами известен как остроугольный треугольник. Треугольник с одним тупым и двумя острыми углами называется тупоугольным треугольником.
        Примеры острых углов: 56°, 12°, 79°, 43° и т. д. Примеры тупых углов: 124°, 179°, 150°, 95° и т. д.

        Важные примечания

        • Все углы величиной больше 90° и меньше 180° называются тупыми углами.
        • В тупоугольном треугольнике сумма квадратов двух сторон меньше квадрата наибольшей стороны.

        Нестандартное мышление!

        • Может ли треугольник иметь более одного тупого угла?
        • У какого многоугольника все внутренние углы тупые?
        • Может ли быть параллелограмм без тупого угла? Если да, то какой формы это может быть?

        Темы, относящиеся к тупым углам

        Ознакомьтесь с еще несколькими интересными статьями, посвященными тупому углу и его свойствам.

        Часто задаваемые вопросы о тупом угле

        Что такое тупой угол в геометрии?

        В геометрии мы читаем о различных типах углов. Каждый тип угла имеет свои характеристики, с помощью которых мы можем его идентифицировать. Точно так же тупой угол — это угол, который всегда меньше 180 градусов и больше 90 градусов.

        Как выглядит тупой угол?

        Углы с величиной больше 90° и меньше 180° в геометрии называются тупыми углами. Тупой угол находится между 90° и 180° и выглядит как откинутое кресло, угол под лестницей или угол, образованный между минутной и часовой стрелками часов в 10:15.

        Как нарисовать тупой угол?

        Определение тупого угла в геометрии гласит, что угол больше 90°, но меньше 180° называется тупым углом. Мы можем использовать транспортир и отметить любой угол между 90° и 180°, чтобы получился тупой угол.

        Каковы некоторые примеры тупых углов?

        145°, 150°, 178°, 149°, 91° являются примерами градусов тупого угла, поскольку они больше 90° и меньше 180°.

        Каковы свойства тупых углов?

        Ниже приведены свойства тупого угла:

        • Углы от 90 до 180 градусов.
        • Углы лежат между прямым и прямым углом.

        Могут ли два тупых угла быть дополнительными?

        Два тупых угла, каждый из которых больше 90°, не могут образовывать дополнительную пару углов, так как сумма будет больше 180°, что не удовлетворяет условию дополнительных углов.

        Что такое тупоугольный треугольник?

        Треугольник с одним тупым углом и двумя другими острыми углами является тупоугольным треугольником. Сумма всех трех внутренних углов будет 180 градусов.

        Что такое острый и тупой угол?

        Острый угол — это угол, размер которого меньше 90°, а углы больше 90°, но меньше 180° — тупые.

        Сколько градусов составляет тупой угол?

        Градус тупого угла всегда лежит в пределах от 90° до 180°.

        Класс 5 Геометрия – основы, задачи и решенные примеры

        • Геометрия – это раздел математики, который фокусируется на измерении и соотношении линий, углов, поверхностей, тел и точек.

         

        Угол – это соединение двух лучей с общим концом.

        • Угол измеряется в градусах. Степень обозначается °.

        Типы угла: острый угол, тупой угол, прямой угол, полный угол, нулевой угол, угол отражения и прямой угол.
        Острый угол: угол, градусная мера которого меньше 90 градусов, но больше 0 градусов.
        Тупой угол: Угол, градусная мера которого меньше 180 градусов, но больше 90 градусов.
        Прямой угол: Угол, градусная мера которого равна 90 градусов, называется прямым углом.
        Полный угол: угол, градусная мера которого равна 360 градусам, называется полным углом.
        Нулевой угол: Если мера угла равна нулю, его называют нулевым углом.
        Угол рефлекса: угол, величина которого больше 180 градусов, но меньше 360 градусов, называется углом рефлекса.
        Прямой угол: Угол, градусная мера которого равна 180 градусам, называется прямым углом.

        Примечание. Угол 360 градусов и угол 0 градусов отличаются.На 360 градусов приходится один полный оборот одного луча по отношению к другому. В то время как в нулевом угле такого поворота нет. Оба луча под углом 0 градусов лежат в одной плоскости.

        Построение угла 20 градусов с помощью линейки и циркуля.

         


        строк

        РЕШЕНИЕ: Углы = ABC, BCA, BAC, CDE, DEC, ECD, AEF, EFA, FAE
        Линии = AB, BC, CD, DE, EF, FA, AC, CE

        • Круг — это фигура, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра.Площадь круга= X R 2

        Треугольники

        • Треугольник — плоская фигура с тремя прямыми сторонами и тремя углами.
        • По признаку сторон треугольники делятся на: Разносторонние (все стороны разные), Равнобедренные (две стороны равны), Равнобедренные (Все стороны равны)

         

        • По признаку угла треугольники делятся на: остроугольные (все углы острые), прямоугольные (один угол равен 90 градусов), тупоугольные (один угол тупой), равноугольные (все углы равны).

        Куб

        • В геометрии куб представляет собой трехмерный твердотельный объект, ограниченный шестью квадратными гранями, сторонами, по три сходятся в каждой вершине.

        ПРИМЕР 1: Радиус окружности 3 см. Найдите его диаметр, длину окружности и площадь.

        РЕШЕНИЕ: Диаметр = 2 X Радиус = 2 X 3 = 6 см

        Окружность = 2 X X R = 2 X X 3 = 18,84 см Площадь = X R 2 = X (3) 2 = 28.27 см 2

         

        ПРИМЕР 2: Найдите количество треугольников на следующем рисунке и назовите их.

        РЕШЕНИЕ:Количество треугольников= 3

        Это= треугольник ABC, треугольник CDE, треугольник AEF
        треугольник ABC= прямоугольный треугольник
        треугольник CDE= равнобедренный треугольник
        треугольник AEF= прямоугольный треугольник

        • Площадь – это величина, выражающая протяженность двумерной поверхности или формы на плоскости.

        Площадь прямоугольной поверхности = длина X ширина единиц 2
        Площадь квадратной поверхности = a X a = a 2 единиц 2

        ПРИМЕР 1: Найдите площадь и периметр прямоугольника длиной 1 см и шириной 2 см

        РЕШЕНИЕ: Периметр = 2 X (Длина + Ширина) = 2 X (1+2) = 6 см
        Площадь = Длина X Ширина = 1 см X 2 см = 2 см 2

        ПРИМЕР 2: Найдите площадь и периметр квадрата со стороной 3см.

        РЕШЕНИЕ: Периметр = 4 X 3 см = 12 см
        Площадь = 3 см X 3 см = 9 см 2

        Q1) Назовите углы.

        Q2) Классифицируйте треугольники.

        Q3) Найдите периметр и площадь прямоугольника. (Подсказка: разделите неправильные прямоугольники на два правильных прямоугольника.)

        Q4) Найдите площадь и периметр приведенного ниже квадрата.


        • Только поверхность может иметь площадь.
        • Периметр прямоугольника = 2 х (длина + ширина)
          Периметр квадрата = 4 х
        • Площадь прямоугольника= Длина X Ширина
          Площадь квадрата= A 2
        • Площадь круга =
        • Окружность = 2 X X R
        • Диаметр = 2 X Радиус
        • Есть 7 углов = острый, тупой, рефлекторный, полный, нулевой, прямой и прямой угол.
        • По сторонам 3 треугольника= разносторонний, равнобедренный, равносторонний треугольник.
        • В зависимости от угла есть 4 треугольника = остроугольный, тупоугольный, прямоугольный и равноугольный треугольник

        Топ-5 навыков, которые ищут работодатели

        Конечной целью поступления в колледж является не только получение диплома, но и построение карьеры.Очевидно, что работодатели хотят убедиться, что вы подходите для работы, имея соответствующую степень, но им также необходимо знать, обладаете ли вы необходимым набором навыков.

        В число 5 лучших навыков, которые ищут работодатели, входят:

        1. Критическое мышление и решение проблем
        2. Работа в команде и сотрудничество
        3. Профессионализм и высокая трудовая этика
        4. Навыки устного и письменного общения
        5. Лидерство

        Почему важно критическое мышление?

        Критическое мышление необходимо практически для любой работы. Сотрудники должны иметь возможность анализировать доказательства, подвергать сомнению предположения, проверять гипотезы, наблюдать и делать выводы на основе любых данных. Критическое мышление — это не просто навык, а привычка, формируемая для помощи в решении проблем.

        Хотя критическому мышлению можно научить в классе, его необходимо применять во время учебы и реального опыта, чтобы у вас выработалась привычка использовать критическое мышление в повседневной жизни. По данным Национальной ассоциации колледжей и работодателей, навыки критического мышления являются главным приоритетом для работодателя при приеме на работу.Хотя навыки критического мышления — это то, что работодатели желают и считают наиболее важными, средний работодатель считает, что недавние выпускники лишь «отчасти владеют» навыками критического мышления. Это означает, что, хотя работодатели считают, что навыки критического мышления необходимы на 99,2%, только 55,8% выпускников владеют ими.

        Как развить навыки критического мышления

        Участвуя в активном обучении, учащиеся начнут применять навыки критического мышления в своей работе. Активное обучение происходит через множество возможностей.Будь то совместная образовательная возможность, стажировка, практические занятия, лаборатории или полевой опыт, активное обучение ставит студентов непосредственно в ситуацию, с которой они столкнулись бы в своей карьере. Таким образом, студент не только получает реальный опыт, но и может проверить свои навыки решения проблем и действительно начать их развивать.

        Навыки критического мышления также можно развивать, привлекая учащихся к обучению во время занятий. Участвуя в обсуждениях в классе, мероприятиях и взаимодействуя с другими студентами и преподавателем, вы не только разовьете свои навыки решения проблем посредством сотрудничества, но и поработаете над своими навыками работы в команде.

        Важность командной работы и сотрудничества на рабочем месте

        Хотя групповые проекты в колледже иногда могут показаться обременительными, эти групповые задания подготовят вас к вашей будущей рабочей среде. Командная работа необходима для работы по всему спектру. От строительных работ до маркетинга, от ухода за больными до актерского мастерства, командная работа и сотрудничество являются жизненно важной частью обеспечения бесперебойной работы организации или компании.

        Взаимодействуя и сотрудничая с вашими коллегами, организация или компания будут расти и добиваться успеха.У каждого свой набор навыков, которые они привносят в игру. Взаимодействуя со своими коллегами, вы можете прийти к лучшему заключению или идее, чем в одиночку. Приступая к новой карьере с качественными навыками командной работы, уже имеющимися в вашем кармане, вы можете быть на шаг впереди конкурентов. Хотя многие работодатели считали, что выпускники могут улучшить навыки критического мышления, работа в команде и сотрудничество были навыками, которыми большинство работодателей были очень впечатлены. 97,5% работодателей считают, что командная работа и сотрудничество важны на рабочем месте, а 77% считают, что выпускники успешно демонстрируют эти навыки.

        Еще несколько причин, по которым работодатели стремятся к выпускникам с навыками командной работы, заключается в том, что эти навыки могут способствовать единству на рабочем месте, командная работа может обеспечить повышение производительности, способствует синергии в работе и может предоставить новые возможности для обучения.

        Профессионализм и сильная рабочая этика

        У всех работодателей есть одна общая черта: они хотят, чтобы их сотрудники придерживались строгой трудовой этики и были профессионалами. Независимо от того, какую работу или карьеру вы найдете после окончания учебы, ваш работодатель будет ожидать от вас высокого профессионализма и трудовой этики.

        Есть одна характеристика, которую каждый работодатель хочет видеть в своих сотрудниках: профессионализм и твердая трудовая этика. Независимо от того, на какой работе вы окажетесь после окончания учебы, ваш работодатель будет ожидать от вас сильных профессиональных социальных навыков и отличной трудовой этики. В опросе о карьерных компетенциях работодателей все работодатели оценили «Профессионализм / трудовую этику» как 100% обязательный, но заявили, что только 42,5% сотрудников демонстрируют такое поведение.

        Развитие профессиональных навыков и навыков трудовой этики

        Во время ежедневных занятий, мероприятий и рабочего графика у вас есть возможность продолжать развивать свои профессиональные навыки. Эти навыки можно развивать с помощью простых задач, таких как пунктуальность и профессиональное отношение. Они также могут быть разработаны с помощью более трудоемких задач.

        Некоторые из этих задач могут включать в себя эффективное и своевременное завершение вашей работы. Люди, которые практикуют сильную трудовую этику, с меньшей вероятностью будут откладывать выполнение поставленной задачи и первыми берутся за новую задачу. Благодаря профессиональному отношению и сильной трудовой этике работодатели будут более заинтересованы в рассмотрении вас для продвижения по службе, новой работы или других положительных результатов.

        Навыки устного и письменного общения

        В наше технологическое время при написании короткого сообщения друзьям или родственникам может не соблюдаться грамматика, что, в свою очередь, может привести к ухудшению ваших навыков письменного или устного общения. Еще одна причина, по которой ваши коммуникативные навыки могут ухудшиться, — это отсутствие общения лицом к лицу. Хотя владение цифровыми технологиями необходимо для многих профессий, технологии не должны использоваться в качестве единственного средства коммуникации.Это снижает качество личных разговоров на рабочем месте. Это также навыки, которые многие выпускники могут улучшить. 95,9% работодателей считают коммуникативные навыки необходимыми, но считают, что только 41,6% демонстрируют эффективность этих навыков.

        Улучшение навыков устной речи

        Чрезмерная коммуникация — это одна из областей улучшения, которую относительно легко преодолеть. Чем проще сообщение, тем больше вероятность того, что оно будет точно воспринято. Ваше сообщение должно быть коротким, ясным и лаконичным.

        Еще один способ улучшить устную коммуникацию — привлечь аудиторию. Не только разговаривая, но и создавая беседу, вы можете лучше донести свои идеи и концепции, а также услышать новые идеи, вопросы или различную информацию.

        Наконец, будьте слушателем. Чтобы улучшить свои навыки и эффективно общаться, вы в первую очередь должны быть хорошим слушателем. Искренне слушая, что говорят другие, вы сможете давать более вдумчивые ответы и комментарии.

        Улучшение навыков письменного общения

        Во многих профессиях навыки письменного общения так же важны, как и навыки устного общения. Вы можете начать улучшать свои навыки письменного общения, организовав свои мысли. Когда вы пишете, вычитывайте свою работу, чтобы увидеть, звучит ли она беспорядочно, бессвязно или мысли не текут. Если это так, попробуйте сначала создать план своей работы, чтобы убедиться, что ваши мысли находятся в связном порядке, а затем начните писать.Это сделает вашу работу более профессиональной. Другой простой проблемой может быть просто ваша собственная неуверенность в том, что вы пишете. Если вы испытываете стресс из-за того, что то, что вы пишете, не похоже на качественную работу, используйте такую ​​программу, как быть слушателем или «инструментом удобочитаемости» Microsoft, чтобы увидеть, как звучит ваша работа, есть ли у вас структурные ошибки и т. д.

        Улучшая свои навыки общения, вы не только станете лучшим партнером, но и сможете стать лучшим лидером.

        Навыки лидерства

        Хотя на 68.6% работодателей ищут выпускников с качественными лидерскими качествами, большинство работодателей считают, что только 33% сотрудников демонстрируют лидерские качества. Сочетая критическое мышление, командную работу, профессионализм и трудовую этику, а также коммуникативные навыки, вы можете стать великим лидером на своем рабочем месте.

        Во-первых, вы должны найти свой стиль руководства. Как только вы определите свои сильные стороны и стандарты качества, вы сможете начать развивать свой стиль руководства на основе этих качеств.После того, как вы отточили свой стиль руководства, вы должны начать создавать культуру самоусиливающего поведения и практики. Когда люди видят, что вы полны энтузиазма и увлечены своей работой, они тоже приходят в восторг от своей работы. Создавая эту оптимистичную культуру, производительность и рабочий процесс увеличатся. В качестве альтернативы отсутствие энтузиазма и страсти окажет противоположное влияние на культуру на рабочем месте.

        Развитие навыков лидерства

        Оценка своих навыков и выявление сильных и слабых сторон, которые следует улучшить, — это первый шаг к вашей идеальной карьере.Практикуя и применяя критическое мышление, командную работу, профессионализм и трудовую этику, устное и письменное общение и лидерские качества, вы станете более желанными для многих работодателей.

        Урок уравнения для детей: определение и примеры — видео и расшифровка урока

        Что такое уравнение?

        Уравнение — это математическое предложение, в котором две равные части разделены знаком равенства.

        4 + 6 = 10 является примером уравнения.Мы видим слева от знака равенства 4 + 6 и справа от знака равенства 10.

        При решении математических задач, таких как определение того, сколько денег Максу осталось потратить, часть уравнения будет отсутствовать. Уравнение для задачи Макса будет выглядеть так:

        Как видите, уравнения также могут иметь константы, коэффициенты, переменные и операторы.

        Константы — это числа, которые не изменяются. 80 является константой в этом примере.

        Коэффициент — это число, прикрепленное к переменной. Коэффициенты используются в уравнениях умножения. Например, 12 — это коэффициент в уравнении 12 n = 24.

        Переменная — это буква, представляющая неизвестное число. В этой задаче b — это переменная и та часть, для которой нам нужно найти решение.

        Оператор сообщает вам, какую операцию использовать, включая сложение, вычитание, умножение и деление.

        Решение уравнений

        Чтобы решить это уравнение, Макс должен сам получить переменную с одной стороны. Он делает это с помощью обратных операций. Обратные операции подобны противоположностям. Какую бы операцию мы ни видели в уравнении, мы используем обратную операцию для решения. В данном случае оператор является знаком сложения. Поэтому мы будем использовать обратную операцию, вычитание, чтобы изолировать переменную.

        Кроме того, поскольку уравнения имеют знак равенства, они всегда должны оставаться равными и сбалансированными.Другими словами, что бы мы ни делали с одной частью уравнения, мы должны сделать то же самое с другой стороной. Давай попробуем!

        Первым шагом в выделении переменной является вычитание 80 из обеих частей нашего уравнения. 80-е слева отменяют или отменяют друг друга. Теперь наша переменная b находится сама по себе.

        Так как мы вычли 80 из одной части уравнения, мы должны сделать это и с другой стороны:

        Следовательно, у Макса осталось 40 долларов.Он может купить одну коробку стримеров.

        Потренируйтесь решать уравнения

        Хорошо, теперь ваша очередь. Итак, возьмите лист бумаги и карандаш. Я дам вам проблему, но не прокручивайте вниз, чтобы увидеть решение, пока вы не попытаетесь решить ее самостоятельно.

        Оскар копит деньги на велосипед стоимостью 245 долларов. Если у него уже есть сбережения в размере 62 долларов, сколько еще денег ему нужно, чтобы купить велосипед?

        Вот наше уравнение:

        Думаете, вы закончили? Хорошо.Продолжайте читать, чтобы увидеть, правильно ли вы решили ее.

        Во-первых, поскольку оператор представляет собой знак «плюс», мы знаем, что нам нужно выполнить обратную операцию, вычитание, чтобы изолировать переменную.

        Во-вторых, мы также знаем, что то, что мы делаем на одной стороне, мы должны делать и на другой.

        Итак, вычитая 62 из каждой части уравнения, мы видим, что x = 183.

        Оскару нужно накопить 183 доллара, чтобы купить велосипед.

        Резюме урока

        Хорошо, давайте уделим несколько минут тому, чтобы повторить то, что мы узнали. Хотя вы можете определить уравнение по его знаку равенства, поскольку это математические предложения, в которых две равные стороны разделены знаком равенства, уравнения также могут состоять из констант, переменных, коэффициентов и операторов. При решении уравнений важно использовать обратных операций , которые в основном являются противоположными, с обеих сторон уравнения, поэтому вы всегда сохраняете его сбалансированным.

        Дополнительные и дополнительные углы

        Есть много специальных отношений, которые могут быть сформированы с использованием углов.

        Вот два отношения.

        Дополнительные углы — это два угла, сумма которых равна 180°.

        Дополнительные углы — это два угла, сумма которых равна 90°.

        Существует простой способ запомнить их, используя первые буквы каждого слова.

        Буква S в дополнении может использоваться для образования числа 8 из 180.

        Буква C в комплементарном слове может использоваться для образования числа 9 из 90.

        Если мы знаем, что набор углов образует одно из этих особых отношений, мы можем определить меру другого угла.

        Пример №1: 43°

        Чтобы определить дополнение, вычтите заданный угол из 180.

        180 — 43 = 137°   Дополнение к 43° равно 137°.

        Чтобы определить дополнение, вычтите заданный угол из 90.

        90 — 43 = 47° Дополнение к 43° равно 47°.

        Пример №2: 61°

        180 — 61 = 119°   Дополнение к 61° равно 119°.

        90 — 61 = 29° Дополнение 61° равно 29°.

        Пример №3: 127°

        180 — 127 = 53° Дополнение к 127° равно 53°.

        127° уже больше 90°. Поэтому дополнения нет.

        Пример #4: Определение недостающего угла.

        Обратите внимание, что два угла для прямого угла, когда вместе. Это означает, что углы комплементарны и имеют в сумме 90°.

        90 — 62 = 28°


        Недостающий угол равен 28 градусам.

        Пример #5: Определить недостающий угол.

        Эти два угла образуют прямую линию. Прямые линии измеряют 180°. Это означает, что эти два угла являются дополнительными.

        180 — 77 = 103°


        Недостающий угол составляет 103 градуса.

        Давайте рассмотрим

        Дополнительные углы образуют прямой угол (L-образная форма) и имеют в сумме 90 градусов.

        Смежные углы образуют прямую и имеют в сумме 180 градусов.

        Если соотношение задано, вы можете вычесть заданный угол из суммы, чтобы определить меру отсутствующего угла.

        Что такое степень гуманитарных наук и что вы можете с ней делать?

        Степень гуманитарных наук включает изучение истории, литературы, письма, философии, социологии, психологии, творчества и многого другого. Программы гуманитарных наук разработаны, чтобы помочь вам сформулировать убедительные аргументы, хорошо общаться и решать проблемы.

        Изучение гуманитарных наук может дать вам «множество красок, которыми можно рисовать, чтобы создать яркую картину карьеры», — сказал Ториан Паркер , консультант по вопросам карьеры в Университете Южного Нью-Гэмпшира (SNHU). Это потому, что программы на получение степени предназначены для развития навыков межличностного общения, таких как:
        • Творчество
        • Сотрудничество
        • Эффективная связь
        • Критическое мышление

        «Благодаря этим навыкам гуманитарные науки (специальности) имеют уникальную возможность выбрать различные карьерные пути благодаря целостному подходу», — сказал Паркер. Получение степени гуманитарных наук может быть эффективным способом показать работодателям, что у вас есть навыки, необходимые для работы. актив в ряде областей.

        Что именно означают гуманитарные науки?

        Гуманитарные науки — это широкий термин, который может охватывать все, от театрального искусства до экономики.

        В качестве дисциплины эти предметы предназначены для того, чтобы дать вам общие знания и способность критически мыслить и изучать любой предмет, а не конкретные навыки, необходимые для технической профессии. Вместо этого гуманитарные науки оттачивают ваши исследовательские, писательские и критические навыки мышления.

        Что касается того, что вы можете сделать со степенью в области гуманитарных наук, преимущества выходят далеко за рамки конкретных предметных знаний, полученных на определенной степени.Когда приходит время выходить на рынок труда, у специалистов по гуманитарным специальностям есть огромное количество доступных им возможностей, в том числе в области науки, технологий, инженерии и математики (STEM) и бизнеса.

        Для чего нужна степень гуманитарных наук?

        При дальнейшем обучении почти все гуманитарные степени могут привести к карьере в сфере образования, что позволит выпускникам — с соответствующей квалификацией — поделиться своей страстью с другими. Эти степени также хорошо подходят для дальнейших исследований и исследований.Многие специалисты по гуманитарным наукам также заинтересованы в том, чтобы отдавать и общаться с людьми, что приводит их к карьере в политике, на государственной службе и в других помогающих профессиях.

        Это одни из наиболее традиционных направлений для гуманитарных специальностей, но выпускников можно найти почти во всех отраслях и профессиях. Их способность критически мыслить, быстро адаптироваться и решать проблемы востребована в областях STEM и бизнеса, где выпускники гуманитарных наук могут найти свою нишу в таких областях, как маркетинг, продажи, стратегия или работа, ориентированная на отношения, например, отношения с клиентами и управление счетами.

        Их навыки чтения, исследования и усваивания сложной информации могут помочь им быстро освоиться в технических предметах, даже если у них нет формального технического образования.

        Специалисты по гуманитарным наукам часто знают, как общаться с другими людьми, и могут преуспеть в добавлении «человеческого прикосновения» к любой области, в которую они входят. «Либеральные науки (специальности) подходят к проблемам на рабочем месте и в мире с уникальной точки зрения, используя гуманистические качества и динамику, которые иногда упускают из виду из-за узкого и единого подхода к решению проблем», — сказал Паркер.

        Какую работу вы можете получить со степенью гуманитарных наук?

        Вы можете с нетерпением ждать начала карьеры в бизнесе, правительстве, образовании и здравоохранении благодаря универсальным навыкам, которые дает гуманитарное образование. Ниже приведены некоторые популярные специальности и карьерные пути, которые вы можете рассмотреть.

        Связь

        Имея степень в области коммуникации, вы можете приобрести ключевые навыки для работы в таких отраслях, как журналистика, связи с общественностью, реклама и многое другое. Курсовая работа по публичным выступлениям и графическому дизайну поможет вам приступить к работе подготовленным к проведению презентаций, созданию публикаций и отчетов, а также передаче сообщений через цифровые носители.

        Некоторые должности в сфере связи включают:

        • Специалист по связям с общественностью : Вы заинтересованы в формировании общественного мнения о компании, организации или продукте? Опираясь на свои сильные навыки устной и письменной речи, специалисты по связям с общественностью создают пресс-релизы и разрабатывают программы для социальных сетей, чтобы повысить осведомленность и измерить вовлеченность. По данным Бюро статистики труда США (BLS), в 2020 году их средняя годовая зарплата составила 62 810 долларов.
        • Менеджер по рекламе, продвижению и маркетингу : Повышение интереса к различным продуктам и услугам в разных отраслях в качестве менеджера по рекламе, продвижению или маркетингу. Профессионалы в этих ролях планируют платные рекламные кампании на радио, телевидении, в Интернете и других СМИ; разрабатывать корпоративные или продуктовые веб-сайты и создавать рекламные кампании. По данным BLS, средняя годовая зарплата менеджеров по рекламе, продвижению и маркетингу в 2020 году составила 141 490 долларов.
        • Графический дизайнер : Можете ли вы рассказать убедительную историю с помощью инфографики и фотографии? Графические дизайнеры используют свои творческие способности и художественные навыки для создания визуальных концепций для корпоративных веб-сайтов, средств массовой информации и печатных изданий.По данным BLS, в 2020 году их средняя годовая зарплата составила 53 380 долларов.

        Узнайте, что еще вы можете сделать со степенью в области коммуникаций.

        Английский

        английских специалистов, специализирующихся на английском языке и литературе, проходят курсы по истории, общественным наукам и теории литературы и готовятся к работе в качестве писателей, историков или хранителей музеев. С родственными путями, такими как бакалавр в творческом письме или журналистике, вы можете сосредоточиться на рассказывании историй в жанрах документальной литературы, новостей, художественной литературы, сценария или поэзии.

        Учебная программа также предназначена для подготовки к работе в сфере связей с общественностью, кино, театра и рекламы, и это лишь некоторые из них.

        Некоторые рабочие места в этой области включают:

        • Редактор : Вы проявляете сильные навыки письма и внимание к деталям? Редакторы работают в самых разных отраслях и поддерживают как печатные, так и онлайн-издания. По данным BLS, в 2020 году их средняя зарплата составила 63 400 долларов.
        • Технический писатель : Технические писатели создают руководства по эксплуатации, веб-контент и другую вспомогательную документацию для продуктов и услуг. По данным BLS, в 2020 году их средняя зарплата составила 74 650 долларов.

        Узнайте, что еще вы можете делать со степенью по английскому языку.

        История

        Понимание прошлого является ключом к тому, чтобы помочь организациям интерпретировать важные исторические события и подготовиться к будущему. Опираясь на свои сильные исследовательские и аналитические навыки, вы сможете работать куратором, историческим интерпретатором или консультантом по вопросам политики с помощью степени по истории.

        Хотя специалисты по истории часто работают в политике, они также имеют квалификацию для работы в других сферах бизнеса, журналистики, права или образования.Специальность по истории также может подготовить вас к поступлению в юридическую школу.

        Некоторые вакансии в области истории включают:

        • Историк : Историки исследуют, анализируют, интерпретируют и пишут о прошлом, изучая исторические документы и источники, согласно BLS. Вы можете найти работу в музеях, архивах, исторических обществах и исследовательских организациях. По данным BLS, в 2020 году историки получали среднюю зарплату в размере 63 100 долларов.
        • Архивариус, куратор и работник музея : Архивариусы просматривают, обрабатывают, каталогизируют и сохраняют исторически ценные документы.Кураторы наблюдают за коллекциями произведений искусства и историческими артефактами и могут представлять свои исследования от имени учреждения. По данным BLS, музейные техники и реставраторы реставрируют предметы и документы и готовят музейные коллекции и экспонаты. По данным BLS, в 2020 году их средняя зарплата составила 52 140 долларов.

        Узнайте, что еще вы можете сделать со степенью по истории.

        Психология

        Изучение человеческого разума, степень по психологии сосредоточена на человеческом поведении и на том, как применять концепции к социальным и организационным проблемам, которые затрагивают нас во всем мире. Вы можете рассчитывать на работу в сфере управления персоналом, маркетинговых исследований и социальных услуг. Некоторые рабочие места в этой области включают в себя:

        • Консультант по вопросам злоупотребления психоактивными веществами, поведенческих расстройств и психического здоровья : В этой роли вы можете помочь людям вылечиться от алкоголизма, наркомании, расстройств пищевого поведения, проблем с психическим здоровьем или других психических или поведенческих проблем. По данным BLS, в 2020 году их средняя зарплата составила 47 660 долларов. Для этих ролей обычно требуется дополнительное образование и лицензия.
        • Аналитик по маркетинговым исследованиям : Сильные аналитические и критические навыки мышления помогают аналитикам по маркетинговым исследованиям определять, какие продукты люди хотят, кто их купит и какую цену они готовы заплатить. По данным BLS, в 2020 году их средняя зарплата составила 65 810 долларов.
        • Специалист по кадрам : Если вы заинтересованы в разрешении конфликтов между сотрудниками, проведении собеседований, найме и удержании сотрудников, вам может понравиться работа специалистом по кадрам. Чтобы быть успешным, вам нужны сильные межличностные и коммуникативные навыки. По данным BLS, в 2020 году средняя зарплата специалистов по кадрам составила 63 490 долларов.

        Узнайте, что еще вы можете делать со степенью психолога.

        Социология

        Сосредоточенные на социальном поведении и том, как люди ведут себя в группах, курсовая работа по социологии включает историю, религию, географию и исследования в области социальных наук, и это лишь некоторые из них. В этой области вы можете получить представление об исторических, экономических и политических проблемах общества и о том, как люди могут работать вместе для решения проблем.Роли, открытые для специалистов по социологии , включают работу в социальных службах, уголовном правосудии или общественном здравоохранении. Некоторые позиции в этой области включают в себя:

        • Менеджер по социальным и общественным услугам : Работа в одной из «помогающих профессий» требует от вас определения и оценки программ, отвечающих потребностям особых групп населения, таких как ветераны, пожилые люди или дети. Вы также можете сосредоточиться на служении людям, страдающим от токсикомании или бедности. По данным BLS, в 2020 году их средняя годовая зарплата составила 69 600 долларов.
        • Медицинские инструкторы и общественные работники здравоохранения : Чтобы добиться успеха в одной из этих ролей, вам необходимы сильные навыки межличностного общения и общения для разработки и оценки программ здравоохранения и создания материалов по различным темам здравоохранения. Медицинские работники и санитарные работники работают в больницах, государственных и некоммерческих организациях. По данным BLS, в 2020 году их средняя годовая зарплата составила 48 140 долларов.

        Узнайте, чем еще вы можете заниматься со степенью по социологии.

        Каковы преимущества гуманитарного образования?

        Получение степени в области гуманитарных наук поможет вам добиться успеха в быстро меняющемся мире, который требует от людей разработки творческих решений сегодня для решения сложных задач в будущем.

        Поэтому неудивительно, что бизнес-лидеры выступают в защиту этих основополагающих вопросов. Harvard Business Review рассмотрел три книги о том, как гуманитарные науки готовят студентов. Гуманитарные науки, утверждали авторы книг, посвящены способности учиться, задавать правильные вопросы, определять реальную проблему и никогда не упускать из виду настоящие человеческие потребности.

        Опрос Ассоциации американских колледжей и университетов (AACU) показал, что 80% работодателей считают, что все студенты должны иметь основы в области гуманитарных и естественных наук (источник AACU в формате PDF).

        «Учащимся нужна прочная основа в области гуманитарных наук, которая обеспечивает основу для улучшения их устного и письменного общения, критического мышления и этики для успеха в карьере», — сказал Том Патриа , консультант по вопросам карьеры в SNHU.

        Навыки межличностного общения необходимы для того, чтобы быть хорошим лидером, коммуникатором и критически мыслить, и часто развиваются на общеобразовательных курсах. Однако последствия образования в области гуманитарных наук выходят далеко за рамки этого.

        Иностранные языки учат другому взгляду на сам язык. Это означает, что сотрудник может беспрепятственно перемещаться между компьютерами, работодателями и клиентами, лучше понимая каждую точку зрения, ограничения и потребности. Философия поощряет логику и исследование, что приводит к тому, что сотрудник эффективно оценивает неожиданные ситуации.

        Включают ли гуманитарные науки науку?

        Основы математики и естественных наук также являются частью традиционных искусств.Навыки решения проблем, анализа и наблюдения, полученные в этих предметах, необходимы для прочной карьеры, когда искусственный интеллект (ИИ) и другие новые технологии вызывают будущие изменения на рабочем месте.

        Будущее свободных искусств в рабочей силе

        Учтите: рынок труда быстро меняется, и самыми востребованными навыками в будущем вполне могут стать гуманитарные науки. Автоматизация и ИИ затрагивают все больше и больше отраслей. Но такие навыки, как критическое мышление, построение отношений и рассказывание историй, не поддаются автоматизации и по-прежнему будут востребованы в рабочей силе.

        Отчет «Индикаторы гуманитарных наук» Американской академии искусств и наук показывает, что количество гуманитарных степеней, присуждаемых в 2018 году, было на 2% ниже, чем в предыдущем году, и на 14,1% ниже самого большого количества степеней, присуждаемых за один год — еще в 2012 году. И тем не менее, компетенции, полученные с помощью базовых предметов, таких как получение степени в области гуманитарных наук, имеют большее значение, чем когда-либо.

        Автоматизация и ИИ имеют ограничения из-за непредвиденных нюансов задачи или ее человеческих и эмоциональных элементов.ИИ нужны способные люди, чтобы управлять им и извлекать из него максимум пользы.

        В сегодняшних сильно оцифрованных средах с поддержкой ИИ возникает повышенная потребность в сотрудниках с навыками межличностного общения, гибким умом и способностью работать вместе с машинным обучением.

        AI используется с замечательным эффектом почти во всех секторах. Например, компании в сфере здравоохранения и страхования могут собирать данные для определения ставок клиентов с помощью датчиков Интернета вещей (IoT), которые фиксируют привычки вождения и образ жизни.Виртуальный оценщик претензий может даже свести к минимуму мошенничество, поскольку он занимается урегулированием и оплатой после аварии.

        И все же, испуганный водитель, звонящий в свою страховую компанию из канавы на обочине шоссе, хочет поговорить с человеком. Этот представитель службы поддержки клиентов должен уметь внимательно выслушать, собрать необходимую информацию и четко проинструктировать водителя о дальнейших действиях. На данный момент страховой компании требуются сотрудники с навыками решения проблем и коммуникативными навыками.

        В кабинете врача или больнице ИИ может собирать и обрабатывать более полные и точные данные, чем когда-либо мог надеяться человек. Но вместо того, чтобы заменить медсестер и офисных администраторов, эта автоматизированная возможность позволяет им сосредоточиться на том, что у них получается лучше всего — на обучении пациентов и предоставлении уникальной поддержки и коммуникации.

        Стремление конкурировать за карьеру в области STEM продолжает расти в мире, который все больше зависит от технологий. По данным Dr.Рут Лахти , заместитель вице-президента по гуманитарным, социальным наукам и консультированию в SNHU.

        Навыки межличностного общения по-прежнему актуальны на рабочем месте, и студенты, которые могут продемонстрировать свои творческие способности в таких областях, как письмо, общение, критическое мышление и сотрудничество, будут по-прежнему привлекательны для работодателей. По словам Лахти, наблюдается растущая тенденция к привлечению экспертов в области «цифровых гуманитарных наук», которые могут использовать цифровые ресурсы в своих исследованиях, преподавании и публикациях, чтобы сделать научные исследования более доступными для других.

        Подготовка к работе

        Несмотря на то, что они хорошо подготовлены для многих различных ролей, у выпускников гуманитарных специальностей может быть менее ясный путь к идеальной работе, чем у некоторых выпускников. Вот несколько предложений для специалистов по гуманитарным наукам, выходящих на рынок труда.

        • Создайте свой личный бренд : Студенты факультета гуманитарных наук умеют рассказывать истории и доносить сложные идеи. Когда пришло время выйти на рынок труда, им нужно использовать эти навыки, чтобы рассказать свою собственную историю, и они могут сделать это, создав личный бренд.
        • Думайте нестандартно : Будьте готовы исследовать различные отрасли с непредвзятостью и приобретать новые навыки и знания. Издательства — не единственные работодатели английских специалистов; ваш опыт и желание учиться могут быть полезны и на других рынках труда. «Поскольку я сам являюсь специалистом по гуманитарным наукам, то, как вы примените свое образование для своего карьерного роста, полностью зависит от вас», — сказал Райан Бернье , консультант по вопросам карьеры SNHU.
        • Разнообразьте свой набор навыков : Поскольку специальности по гуманитарным наукам могут быть полезны во многих областях, один из способов выделиться среди других кандидатов — изучить новые темы и навыки, которые можно применить в интересующей вас отрасли или организации. Например, если вы специалист по коммуникациям и хотите работать в технологической компании, вы можете расширить свой словарный запас и понимание предмета на факультативе по информационным технологиям. Вы также можете подписаться на технологические журналы, чтобы быть в курсе отраслевых новостей.

        Почему работодателям нравится гуманитарное образование?

        В своей книге «Вы можете все: удивительная сила «бесполезного» гуманитарного образования» редактор Forbes Джордж Андерс пишет, что компании ищут в потенциальных сотрудниках пять ключевых качеств:

        1. Стремление осваивать неизведанные области
        2. Способность решать мутные проблемы
        3. Хорошо отточенные аналитические методы
        4. Острое понимание групповой динамики
        5. Способность вдохновлять и убеждать других

        «Просто казалось, что существует огромный разрыв между публичной риторикой о том, что «вы должны идти по пути STEM, и нет другого пути, кроме STEM», и всеми этими интересными новыми вакансиями, которые появлялись. для людей со степенью гуманитарных наук», — сказал Андерс в истории колледжа USA TODAY.«Именно об этой скрытой силе экономики никто не хотел писать или говорить».

        Ребекка ЛеБёф, 18 лет, писатель из Университета Южного Нью-Гэмпшира. Свяжитесь с ней на LinkedIn.

        40 Научные проекты и эксперименты для пятого класса для практического обучения

        Когда дети могут опробовать новые концепции в практических занятиях, они действительно погружаются в процесс обучения. Вот почему мы такие большие поклонники научных экспериментов в классе или дома.Этот список проектов идеально подходит для того, чтобы помочь учащимся пятого класса изучать биологию, физику, химию и многое другое. Да начнется обучение!

        Плюс… ищете ресурсы, которые помогут объяснить вашим студентам научные и инженерные процессы? Запросите бесплатную копию нашего плаката «Думай как инженер» сегодня.

        1. Летать на самолетах с прищепками

        Испытайте инженерные способности учащихся пятого класса. Обеспечьте их прищепками и деревянными палочками и дайте им задание построить реалистичный самолет.Бонусные баллы, если он действительно может летать!

        Узнать больше: STEAMsational/Самолет для прищепок

        2. Продемонстрируйте «волшебный» герметичный пакет

        Так просто и так восхитительно! Все, что вам нужно, это пластиковый пакет с застежкой-молнией, острые карандаши и немного воды, чтобы взорвать мозги ваших учеников. Как только они будут должным образом впечатлены, научите их, как работает «трюк», объяснив химию полимеров.

        Узнайте больше: Steve Spangler Science

        3. Изучите науку о светящихся палочках

        Светящиеся палочки всегда пользуются большим успехом у детей, так что они отлично проведут время, изучая химические реакции, благодаря которым они работают.

        Узнайте больше: капля клея поможет

        4. Остановить эрозию почвы с помощью растений

        Эрозия почвы представляет собой серьезную проблему, приводящую к стихийным бедствиям, таким как оползни, а также создающую проблемы для фермеров, которые теряют ценный верхний слой почвы. Проведите этот эксперимент, чтобы узнать, как растения естественным образом помогают удерживать почву на месте.

        Узнать больше: Жизнь — это сад

        5. Наполните пузырь парами сухого льда

        Откройте для себя науку сублимации, превратив сухой лед из твердого вещества непосредственно в газ.Затем поэкспериментируйте с поверхностным натяжением, так как образующийся пар заполняет гигантский пузырь. Это так здорово увидеть в действии!

        Узнайте больше: Интересно, как

        6. Вырастить хрустальные снежинки

        Дети обожают хрустальные изделия, и в результате получится зимнее украшение для вашего класса. Ваши ученики узнают о пересыщенных растворах и кристаллизации. (Подробнее о зимних научных мероприятиях смотрите здесь.)

        Узнать больше: Корзиночки для маленьких ручек

        7.Крути свечную карусель

        Докажите, что горячий воздух поднимается вверх, используя свечи для вращения самодельной вертушки «карусели». Затем поэкспериментируйте, чтобы увидеть, как количество свечей влияет на скорость вращения.

        Узнайте больше: Научные друзья

        8. Побег из зыбучих песков

        Погрузитесь в науку о зыбучих песках и попутно узнайте о насыщении и трении. Вы создадите небольшой бассейн с «зыбучим песком» из кукурузного крахмала и воды, а затем поэкспериментируете, чтобы найти лучшие способы побега.

        Узнайте больше: Education.com

        9. Пишите невидимыми чернилами

        Детям понравится обмениваться секретными сообщениями со своими друзьями в этом проекте по кислотно-основным наукам. Смешайте воду и пищевую соду и используйте кисть, чтобы написать сообщение. Затем используйте виноградный сок, чтобы обнажить сообщение, или поднесите его к источнику тепла.

        Узнать больше: ThoughtCo

        10. Запустите цепную реакцию

        Узнайте о потенциальной и кинетической энергии, попробовав этот крутой научный эксперимент для пятого класса. Все, что вам нужно, это деревянные палочки и немного терпения.

        Узнайте больше: Steve Spangler Science

        11. Игра в мяч с помощью катапульты

        В этой интерпретации классического научного проекта пятого класса юным инженерам предлагается построить катапульту из простых материалов. Поворот? Они также должны создать «приемник», чтобы поймать парящий объект на другом конце.

        Узнайте больше: Научные друзья

        12. Узнайте, проводит ли вода электричество

        Мы всегда говорим детям, чтобы они вылезли из воды, когда приближается шторм.Этот научный проект 5-го класса помогает объяснить, почему.

        Узнайте больше: Воспитание новичков

        13. Прыжки на батуте

        Дети любят прыгать на батутах, но смогут ли они сами их построить? Узнайте об этом с помощью этого увлекательного задания STEM. Кроме того, ознакомьтесь с другими заданиями STEM для пятого класса здесь!

        Узнайте больше: Научите учащихся сообразительности

        14.

        Поплавковый маркер

        У детей глаза на лоб вылезут, когда ты «поднимешь» фигурку прямо со стола! Этот эксперимент работает из-за нерастворимости чернил сухостираемого маркера в воде в сочетании с более легкой плотностью чернил.

        Подробнее: Gizmodo

        15. Построить солнечную печь

        Узнайте о ценности солнечной энергии, построив печь, которая готовит еду без электричества. Наслаждайтесь вкусными угощениями, обсуждая, как мы можем использовать энергию солнца и почему важны альтернативные источники энергии. (Любите съедобные научные проекты? Получите больше идей здесь.)

        Узнать больше: Пустынная Чика

        16. Запустите собственную бутылочную ракету

        Отправляйтесь в путь с несколькими припасами и небольшой помощью законов движения.Предложите детям сначала придумать и украсить свои ракеты и посмотреть, какая из них может летать выше всех!

        Узнайте больше: Научные искры

        17. Соберите автомат для закусок

        Включите все, что учащиеся узнают о простых машинах, в один проект, когда вы предложите им построить автомат для закусок! Используя основные материалы, им нужно спроектировать и построить машину, которая доставляет закуски из одного места в другое. (Получите больше экспериментов с конфетами здесь.)

        Узнать больше: Левый мозг Craft Brain

        18.Взорвать гейзер с газировкой

        Кажется, дети никогда не устанут от этого грязного проекта, включающего диетическую газировку и конфеты Mentos. Вам понадобится большая открытая площадка для проведения этого эксперимента, который знакомит детей с молекулами газа и поверхностным натяжением.

        Узнайте больше: Steve Spangler Science

        19. Следите за биением сердца с зефиром

        Если вы сможете заставить свой пятый класс вести естественные науки достаточно тихо для этого, они смогут увидеть, как зефир подпрыгивает с каждым ударом их сердца!

        Узнайте больше: растущий класс за классом

        20.Откройте для себя прелести разложения

        Это хороший шанс применить научный метод и попрактиковаться в своих навыках наблюдения, используя только основные кухонные принадлежности. Задайте вопрос: «Какая пища будет гнить (разлагаться) быстрее всего?» Предложите учащимся выдвинуть гипотезу, понаблюдать, а затем сообщить о своих выводах. Получите печатный лист наблюдения по ссылке ниже.

        Узнайте больше: Нет времени на флешки

        21. Смешайте волшебный песок

        Что, если бы вы могли сделать песок, который «боится» воды? Этот научный эксперимент 5-го класса использует гидрофобный спрей для создания гидрофобного песка, который нужно увидеть, чтобы поверить в это.

        Узнать больше: Обучение мамы

        22. Сделайте свои собственные надувные мячи

        Вот еще одно применение буры, которую вы купили для изготовления слизи: самодельные прыгучие шарики! Учащиеся узнают о полимерах, смешивая буру с кукурузным крахмалом, клеем и водой в этом игривом эксперименте.

        Узнать больше: Баббл Даббл До

        23. Заставьте жука из фольги ходить по воде

        Поверхностное натяжение позволяет водомеркам танцевать на поверхности воды.Воссоздайте это научное явление с помощью маленьких «жучков» из алюминиевой фольги.

        Узнайте больше: Ученый на дому

        24.

        Соберите винт Архимеда

        Удивительно, как часто наука выглядит как магия, пока вы не поймете лежащие в ее основе принципы. Так обстоит дело с простым насосом, известным как винт Архимеда. Узнайте, как это работает и как создать его вместе со своим классом, по ссылке ниже.

        Узнайте больше: Научные друзья

        25. Узнайте, как желчь расщепляет жир

        Узнать о пищеварительной системе? Эта научная демонстрация для 5-го класса исследует назначение желчи, вырабатываемой печенью, которая расщепляет жир.

        Подробнее: Simple Southern

        26. Надуть воздушный шар, не надувая

        Это классический научный эксперимент, который поможет вам изучить реакции между кислотами и основаниями. Наполните бутылку уксусом, а шарик пищевой содой. Наденьте воздушный шар сверху, вытряхните пищевую соду в уксус и наблюдайте, как воздушный шар надувается.

        Подробнее: Все для мальчиков

        27. Используйте резинки для озвучивания акустики

        Изучите, как звуковые волны зависят от того, что их окружает, используя простую «гитару» с резиновой лентой. (Вашим ученикам очень понравится играть с ними!)

        Узнайте больше: Научные искры

        28. Изучение фильтрации воды

        Увидеть процесс очистки воды своими глазами. Выложите кофейные фильтры, песок и гравий на дно пустой чашки с отверстиями. Поместите чашку в пустую банку, налейте грязную воду и посмотрите, что произойдет.

        Узнать больше: Учи рядом со мной

        29. Откройте плотность с горячей и холодной водой

        С плотностью можно провести множество крутых научных экспериментов.Это очень просто, включает только горячую и холодную воду и пищевой краситель.

        Узнать больше: STEAMsational/Плотность горячей и холодной воды

        30. Научитесь наносить жидкости слоями

        Эта демонстрация плотности немного сложнее, но эффекты впечатляют. Медленно налейте в стакан жидкости, такие как мед, средство для мытья посуды, воду и медицинский спирт. Ваши ученики 5-го класса будут поражены, когда жидкости будут плавать одна над другой, как по волшебству (за исключением того, что это действительно наука).

        Узнайте больше: Steve Spangler Science

        31. Освещение в помещении

        В прохладный день с низкой влажностью используйте обернутую фольгой вилку и воздушный шар, чтобы создать в классе «молнию». Выключите свет, чтобы учащиеся лучше видели статическое электричество, которое вы создаете.

        Узнайте больше: Education.com

        32. Узнайте, чище ли рот у собаки, чем у человека

        Разрешите давний спор с помощью этого научного проекта для 5-го класса.Соберите слюну (как людей, так и собак) ватными тампонами и поместите каждый образец в маркированные чашки Петри. Проверьте колонии бактерий в каждом и сравните результаты.

        Узнайте больше: наука

        33. Переработайте газету в инженерную задачу

        Удивительно, как стопка газет может вызвать такой творческий подход. Предложите учащимся построить башню, поддержать книгу или даже построить стул, используя только газету и скотч!

        Узнайте больше: STEM-занятия для детей

        34.

        Варенье яблочное ломтиками

        Изучите окисление и ферменты, определив, какие методы сохранения продуктов лучше всего подходят для ломтиков яблок. Этот наблюдательный проект — простой способ применить научный метод в классе.

        Узнайте больше: Научные друзья

        35. Изучение основ генетики

        Отправьте своих учеников на задание, чтобы узнать больше об их генах и унаследованных чертах. Ссылка ниже включает печатную таблицу, которую они могут использовать, чтобы узнать о рецессивных и доминантных генах.

        Узнайте больше: Education.com

        36. Дизайн биосферы

        Этот проект действительно развивает творческий потенциал детей и помогает им понять, что все в биосфере на самом деле является частью одного большого целого. Вы будете ошеломлены тем, что они придумают!

        Узнать больше: Лэйни Ли

        37. Создание конвекционных потоков

        В этом простом эксперименте используются горячие и холодные жидкости и немного пищевого красителя, чтобы исследовать тепловую и кинетическую энергию, создающую конвекционные потоки. Сделайте шаг вперед и исследуйте, как конвекционные потоки работают в больших водоемах, таких как океаны.

        Узнайте больше: Education.com

        38. Утопайте или плавайте с банками из-под газировки

        Вот еще один простой эксперимент с плотностью. Поместите закрытые банки с обычной и диетической газировкой в ​​емкость с водой, чтобы увидеть, какая из них всплывает, а какая тонет. Различия связаны с использованием сахара и искусственных подсластителей.

        Узнайте больше: Cool Science Experiments HQ

        39.Самодельная лавовая лампа

        Эта тенденция 70-х возвращается — как научный проект 5-го класса! Узнайте о кислотах и ​​основаниях, собирая совершенно потрясающую лавовую лампу.

        Узнайте больше: Education.com

        40. Соберите торнадо в бутылке

        Существует множество версий этого классического научного эксперимента, но нам нравится эта, потому что она блестит! Учащиеся узнают о вихре и о том, что нужно для его создания.

        Добавить комментарий

        Ваш адрес email не будет опубликован.

        2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
        тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск