Признаки равенства прямоугольного треугольника: Признаки равенства прямоугольных треугольников, свойства катетов

Содержание

Прямоугольный треугольник. Определения и свойства

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (по двум катетам).

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (по катету и острому углу).

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (

по гипотенузе и острому углу).

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (по гипотенузе и катету).

 

Свойства прямоугольного треугольника

 

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

3. Теорема Пифагора:

, где – катеты, – гипотенуза. Видеодоказательство

4. Площадь прямоугольного треугольника с катетами :

5. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты  и гипотенузу следующим образом:

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

7. Радиус описанной окружности есть половина гипотенузы :

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

 

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

И, думаю, будет полезна  таблица формул для треугольника

Урок геометрии на тему «Признаки равенства прямоугольных треугольников». 7-й класс

Цель: создание условий для ознакомления с доказательством признаков равенства прямоугольных треугольников (по двум катетам; по гипотенузе и острому углу; по катету и прилежащему к нему острому углу).

Задачи:

Образовательные:

  • сформировать умения и навыки учащихся по теме: «Признаки равенства прямоугольных треугольников»;
  • закрепить знания о свойствах прямоугольных треугольников;

Развивающие:

  • развить логическое мышление учащихся, умения выделять главное, существенное, обобщать имеющуюся информацию; развить письменную и устную речь учащихся;

Воспитательные:

  • воспитать у учащихся интерес к предмету, самостоятельность, навыки самоконтроля;

Оборудование: компьютер, интерактивная доска;

Ход урока

1. Организационный момент.

Цель этапа: приветствие учащихся, готовность к уроку;

2. Актуализация знаний учащихся.

Цель этапа: Актуализация знаний учащихся, подготовка

учащихся к изучению нового материала (см.приложение 1)

(Отвечая на вопросы, учащиеся составляют ключевое слово «признак»)

Назвать элементы прямоугольного треугольника.

Какими свойствами обладают элементы прямоугольного треугольника (соотношение длин сторон)?

Сформулируйте свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 300.

Сформулируйте свойство острых углов прямоугольного треугольника.

Найти x. Буквы какого-то слова находятся в секторах треугольника.

Рисунок 1.

Составили слово «признак»

3. Изучение нового материала

Цель этапа: проведение исследования с учащимися для формулировки признаков равенства прямоугольных треугольников

Изучая треугольники, мы говорим, что он обладает некоторыми свойствами и признаками. (Выступление учащегося с презентацией. См. приложение1)

Мы повторили признаки равенства треугольников, а сегодня рассмотрим признаки равенства прямоугольных треугольников, будем решать задачи с их применением.

Доказывая равенство треугольников, сколько пар соответственно равных элементов находили? (см.приложение 1)

А возможно ли доказать равенство прямоугольных треугольников по двум катетам?

Перед вами два прямоугольных треугольника АВС и А1В1С1, у них соответственно равны катеты. Докажите, если это возможно, их равенство.

Можно ли уменьшить количество рассматриваемых элементов при доказательстве равенства прямоугольных треугольников? За счет чего? (

можно, за счет того, что один из углов у прямоугольных треугольников равен 90°).

Как можно сформулировать признак равенства прямоугольных треугольников, аналогичный первому признаку равенства треугольников?(по двум катетам)

№1. (По двум катетам)

Рисунок 2.

Дано: АВС и А1В1С1 , В=В1=900, АВ = А1В1, ВС = В1С1

Доказать: АВС =А1В1С1

Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников?

Как можно сформулировать признак равенства прямоугольных треугольников, аналогичный второму признаку равенства треугольников? (по катету и острому углу)

№2.

Рисунок 3.

Дано: АВС и А1В1С1 , В=В1=900, ВС = В1С1,С= С1

Доказать: АВС = А1В1С1

Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников?

Какой признак равенства треугольников лежит в основе следующего признака равенства прямоугольных треугольников — по гипотенузе и острому углу?

№3. (По гипотенузе и острому углу

)

Рисунок 4.

Дано: АВС и А1В1С1 , В=В1=900, АС = А1С1,А=А1

Доказать: АВС = А1В1С1

Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников?

4. Физкульминутка

Цель этапа: снятие психологического и эмоционального напряжения

5. Закрепление новых знаний:

Цель этапа: закрепление учащимися полученных знаний при решении задач на тему: «Признаки равенства прямоугольных треугольников»

Закрепим знания признаков равенства прямоугольных треугольников(См.приложение1):

(задача из учебника №267 с записью)

Дано: АВС - равнобедренный, AD и CE — высота АВС

Доказать: AD = CE

Доказательство:

Треугольники ADC и CEA прямоугольные, так как AD и CE высоты

АВС.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ADC и CEA: AC — общая гипотенуза, A=C (как углы при основании равнобедренного треугольника АВС). Значит ADC=CEA (по гипотенузе и острому углу)

Вывод: так как ADC=CEA, то AD=CE. Что и требовалось доказать.

6. Учебная диагностика

Цель этапа: получение информации для сравнения достигнутых результатов учебного занятия с первоначально запланированными задачами.

Задание на карточке (см.приложение2)

7. Итог урока

Цель этапа: подведение итогов урока, достижение целей урока

8. Домашнее задание

П.35 №262 , №264 Самостоятельно разобрать теорему на стр 78.

Признаки равенства прямоугольных треугольников — презентация онлайн

1. Пишем в тетрадь тему :

Признаки равенства
прямоугольных
треугольников

2. Гипотенузой называется сторона прямоугольного треугольника

противолежащая прямому углу.
Катетом называется сторона прямоугольного треугольника,
прилежащая к прямому углу.
К
MN катет
MК катет
КN гипотенуза
Если это выучили писать не надо!!!
M
N

3. Назовите свойства прямоугольного треугольника. Повторить , если не выучили записать

1.
2.
3.
4.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника
равна 90°
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против
угла в 30° равен половине гипотенузы.
Если катет равен половине гипотенузы то он лежит
против угла в 30°.
В прямоугольном треугольнике медиана,
проведённая из вершины прямого угла, равна
половине гипотенузы.

4. Признаки равенства прямоугольных треугольников

Следующие 5 слайдов переписать
вместе с чертежами и выучить –это
признаки

5. Признак равенства прямоугольных треугольников (по двум катетам)

• Если два катета одного
прямоугольного треугольника
соответственно равны двум
катетам другого треугольника, то
такие треугольники равны.

6. Признак равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету)

• Если гипотенуза и катет одного
прямоугольного треугольника
соответственно равны гипотенузе и
катету другого треугольника, то такие
треугольники равны.

7. Признак равенства прямоугольных треугольников (по катету и прилежащему углу)

• Если катет и прилежащий угол одного
прямоугольного треугольника
соответственно равны катету и
прилежащему углу другого
треугольника, то такие треугольники
равны

8. Признак равенства прямоугольных треугольников (по катету и противолежащему углу)

• Если катет и противолежащий угол
одного прямоугольного треугольника
соответственно равны катету и
противолежащему углу другого
треугольника, то такие треугольники
равны

9. Признаки равенства прямоугольных треугольников ( по гипотенузе и острому углу)

• Если гипотенуза и острый угол одного
прямоугольного треугольника
соответственно равны гипотенузе и
острому углу другого треугольника, то
такие треугольники равны

10.

Найдите равные прямоугольные треугольники (устно) ОТВЕТ:1 и 8; 3 и 4; 6 и 7; 2 и 5.
a
1)
2)
b
3)
b
с
4)
a
20°
a
6
6)
60°
5) с
20°
8)
6
60°
7)
a
Определите признаки равенства
прямоугольных треугольников(устно)
1 вариант
1)
3)
2)
2 вариант
1)
2)
3)

«Признаки равенства прямоугольных треугольников»

Урок геометрии в 7­м классе по теме: «Признаки равенства прямоугольных треугольников»  Тема: “Признаки равенства прямоугольных треугольников” Цель:  закрепление знаний (свойства прямоугольных треугольников), знакомство с некоторыми признаками равенства прямоугольных треугольников. Ход урока: I. Оргмомент. II. Устно. 1. Ответить на вопросы:  1. Назвать элементы прямоугольного треугольника. 2. Какими свойствами обладают элементы прямоугольного треугольника?  3. Докажите, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 300 ,  равен половине гипотенузы. 4. Докажите, что если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол лежащий против этого катета равен 300. 5. Найти x. Ответ выбрать из треугольника. Буквы какого­то слова находятся в  секторах треугольника. Обсуждение в парах (3 мин). Составили слово “признак”.  Рисунок 1. III. Изучение нового материала Изучая треугольники, мы говорим, что он обладает некоторыми свойствами и  признаками. А какие признаки равенства треугольников вам известны? Мы  сформулировали и доказали свойства прямоугольных треугольников, а сегодня  рассмотрим признаки равенства прямоугольных треугольников, будем решать задачи с  их применением. Доказывая равенство треугольников, сколько пар соответственно равных элементов  отыскивали? А возможно ли доказать равенство прямоугольных треугольников по двум  катетам?  Перед вами два прямоугольных треугольника АВС и А1В1С1, у них соответственно  равны катеты. Докажите, если это возможно, их равенство. №1. (По двум катетам) Рисунок 2. Дано:  АВС и  А1В1С1 ,  В= В1=900, АВ = А1В1, ВС = В1С1 Доказать:  АВС =  А1В1С1 Как прозвучит признак? (Затем задача №1) №2.  (По катету и прилежащему к нему острому углу) Дано:  АВС и  А1В1С1 ,  В= В1=900, ВС = В1С1,  С=  С1 Рисунок 3. Доказать:  АВС =  А1В1С1 Как прозвучит признак? (Затем задача №2) №3. (По гипотенузе и острому углу) Рисунок 4. Дано:  АВС и  А1В1С1 ,  В= В1=900, АС = А1С1,  А=  А1 Доказать:  АВС =  А1В1С1 Как прозвучит признак? (Затем задача №3) Задачи. Найти равные треугольники и доказать их равенство. Рисунок 5.  IV. Закрепление изученного на уроке. Решить следующую задачу. Дано:  АВС,  А1В1С1,  DAB= CBA=900, АD = BD Рисунок 6. Доказать:  CAB= DBA. Обсуждение в четверках (3 мин). Зачем задача из учебника №261 с записью. № 261. Дано:  АВС –равнобедренный, AD и CE – высота  АВС Рисунок 7. Доказать: AD = CE Доказательство:  1. Треугольники ADC и CEA прямоугольные, так как AD и CE высоты  АВС. 2. Рассмотрим прямоугольные треугольники ADC и CEA: AC – общая гипотенуза,  A= C (как углы при основании равнобедренного треугольника АВС). Значит  ADC= CEA (по гипотенузе и острому углу) 3. Вывод: так как  ADC= CEA, то AD=CE.  Что и требовалось доказать. V. Задание на дом. П.35 (три признака), №261 (доказать, что  АОС ­ равнобедренный), №268 (признак  равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу). На следующем уроке геометрии мы продолжим знакомство с признаками равенства  прямоугольных треугольников. Отметки выставлю также в следующий раз по  результатам за 2 урока. Дополнительно. Найти равные треугольники. Рисунок 8. Учитель: Тихонова Е. А.

Признаки равенства прямоугольных треугольников — 7 класс. Дистанционное обучение

Здравствуйте уважаемые ребята! Мои герои дистанционного обучения!

Отдельный привет родителям героев!

Давайте начнем наше с вами путешествие к знаниям!

Сегодня мы поговорим о прямоугольном треугольнике и его очень полезных свойствах!

В учебнике разбирается данная теория стр 76-77.

Сегодня мы поговорим о равенстве прямоугольных треугольников. Мы с вами уже в начале года изучали признаки равенства треугольников и вы знаете, что их три. Повторим эти признаки:

Данные три теоремы ( о равенстве треугольников) справедливы для треугольников общего вида. Но сегодня мы говорим о прямоугольных треугольниках. Они тоже имеют свои признаки равенства.

Согласитесь, треугольники ( прямоугольные), практически совершенная фигура, которая встречается везде.

Особенно прямоугольные. Угол комнаты, угол между предметами стоящими на полу, угол окна и.тд.

Особенно интересны исследования Египтян для подсчета высоты пирамиды с помощью прямоугольных треугольников. Об этом можете почитать отдельно, если интересно.

Возникает вопрос!  Когда мы обсуждаем, какие фигуры равны, говорим ли мы об их форме и размерах?

Говорим ли мы о том, что нужно, чтобы они были равными.

Рассмотрим, к примеру, форматы бумаг. Бывают разные: А-1; А-2; А-3 и т.д. Их соотношение дается ниже по размерам. 

Когда мы смотрим на рисунок, мы понимаем, что А-2 меньше А-1. .. А-0 больше всех остальных форматов.

И тогда закладывается понятие о том, какие фигуры равны. 

Лучше, конечно, сказать, что фигуры равны, если они совпадают при наложении.

Если прямая АС совпадает А1С1, прямая СВ совпадает с В1С1, а прямая АВ совпадает А1В1, то треугольники будут равны. Но это же третий признак. 

Вывод: признаки для того нужно знать, чтобы лишние опыты не приводить, не вырезать и не накладывать их друг на друга. Знаешь признаки, знаешь, что фигуры равны или нет. Это важно при доказательстве равенства элементов в фигурах. 

Но мы говорим о равенстве прямоугольных треугольников. Поэтому записываем тему:

Обязательно просмотреть видео: здесь вам все дословно расскажут про все четыре признака, которые нужно знать:
Видео YouTube

Изучим еще одно видео, где поясняются признаки равенства прямоугольных треугольников:

Видео YouTube

Домашнее задание: стр 76-77, выписать все признаки равенства прямоугольных треугольников. 

Выучить их и знать.  В качестве теста на два дня ( понедельник, вторник) даю объемный материал по доказательству равенства прямоугольных треугольников. Работа состоит из 10 заданий. Используйте признаки равенства треугольников и докажите какие треугольники между собой будут равны.

Отправить  фото работы, оформленные на листочке, по  почте [email protected]  

Обязательно подпишите чья работа и дата работы. Например: «Иванов Иван. ДЗ за 17.04.2020«

Образец оформления задания ниже: 



Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Этап урока, 
цель этапа

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Формируемые УУД

Этап 1. Организационный

Приветствие, организация внимания детей. Включение в деловой ритм. Задать благоприятный психологический настрой на работу.

Этап 2. Мотивирование к учебной деятельности

Цель этапа:

включение учащихся в деятельность

Приветствует, проверяет готовность к уроку, проверка домашнего задания, желает успеха.

Включение в деловой ритм.

— Кто испытал затруднения при выполнении домашнего задания?

— Чем отличались задачи? (Одни на нахождение неизвестных величин, а другие — на доказательства)

-Обменяйтесь тетрадями и оцените друг друга.

-В свой лист самоконтроля поставьте оценку, поставленную вашим соседом.

-О какой геометрической фигуре шла речь в обеих задачах?

Из истории возникновения треугольника.

Треугольник в геометрии играет особую

роль. Без преувеличения можно сказать, что почти вся геометрия строится на треугольнике. За несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили треугольник. Первые упоминания о треугольнике и его свойствах ученые находят в египетских папирусах, которым более 4000 лет. Треугольник неисчерпаем –постоянно открываются его новые свойства. Чтобы рассказать обо всех известных его свойствах, необходим том сравнимый по объему с томом Большой энциклопедии. Одни из самых удивительных задач в геометрии – задачи про треугольники. И вот одна из них: сколько треугольников на рисунке?)

Слайд 2

— А на каких уроках вы еще встречаетесь с треугольником?

— А в жизни?

Подготовка класса к работе: наличие рабочей тетради, учебника, канцелярских принадлежностей, проверка домашнего задания, оценивание товарища.

Делают вывод о важной роли треугольника.

Личностные результаты

Самоорганизация, самоопределение

Метапредметные результаты

Планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками

Личностные:
— сформированность позитивной моральной самооценки и моральных чувств.

Коммуникативные:
— умение слушать,
— строить продуктивное взаимодействие и сотрудничество со сверстниками и взрослыми,
— планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.

Познавательные: 
— умение  строить речевое высказывание.

Регулятивные:
— предвосхищение результата и уровня усвоения знаний.

Этап  3. Актуализации и  пробного учебного действия

Цель этапа: подготовка мышления учащихся и организация осознания ими внутренней потребности к построению нового способа действий.

Организует повторение знаний, закрепление умений.

-Чем пользовались при доказательстве второй задачи дома?

— А какие признаки для произвольных треугольников вы знаете?

— Сколько их? Перечислите.

— На прошлых уроках мы изучали какие треугольники?

— Что вы знаете о их свойствах?

Слайд 3, 4.

-Посмотрите на рисунок и определите сколько треугольников вы здесь видите? Слайд 5

-Заполните таблицу. Слайд 5

-Оцените себя, поставьте оценку в лист самоконтроля.

(без ошибок — оценка «5»

1 ошибка- оценка «4»

2- 3 ошибки — оценка «3»

Более 3 ошибок — оценка «2»)

Вывод.

— Что вы знаете про прямоугольный треугольник? (определение и свойства)

— Достаточно ли этого для решения задач с прямоугольными треугольниками? (Наверное, нет)

Чем мы пользовались при решении домашних задач? (применяли признаки равенства треугольников)

— Так к чему мы подошли при изучении прямоугольного треугольника?

— Кто сформулирует тему сегодняшнего урока?

-Хорошо. Сколько компонентов есть у треугольника?

— Сколько достаточно знать для доказательства равенства треугольников?

— А что уже известно в прямоугольном треугольнике?

— Как вы думаете сколько достаточно знать компонентов в прямоугольном треугольнике?

— Название сторон вы знаете, углы, прилежащие и противолежащие — тоже. Поэтому, давайте подумаем и составим возможные комбинации, по которым могут быть равны прямоугольные треугольники.

— Получили 5 комбинаций, других нет. Слад 6,7,8,9,10.

Решение задач на применение определения и свойств прямоугольного треугольника, свойств углов(внешнего угла треугольника, смежных углов), применение теоремы о сумме углов треугольника.

Анализ решения задач.

Вывод: признаки равенства прямоугольных треугольников применимы для доказательства равенства прямоугольных треугольников, выделяют эти признаки по компонентам самостоятельно.

 На данном этапе организуется подготовка учащихся к объяснению нового знания, выполнение ими пробного учебного действия и фиксация индивидуального затруднения.

Личностные:
— сформированностьпотребности в самовыражении и самореализации, позитивной моральной самооценки и моральных чувств.

Познавательные – анализ, обобщение, аналогия, классификация, извлечение необходимой информации; осознанное и произвольное построение речевого высказывания;

Регулятивные:
— планирование своих действий,
— внесение необходимых корректив в действие.

Коммуникативныевыражение своих мыслей с достаточной полнотой и точностью; аргументация своего мнения и позиции в коммуникации; учет разных мнений; использование критериев для обоснования своего суждения.

Этап  4. Построение нового знания

Цель этапа: Организовать анализ учащимися возникшей ситуации и на этой основе выявить места и причины затруднения, осознать то, в чем именно состоит недостаточность их знаний, умений или способностей.).

-Итак, сегодня на уроке мы изучаем…

Создает проблемную ситуацию

-Как вы думаете, как можно доказать равенство данных прямоугольных треугольников?

-На что будем опираться при доказательстве?

-На доске нарисованы пять пар прямоугольных треугольников.

— Расставьте на первой паре известные компоненты, и попробуйте доказать равенство первого признака. (1 учащийся у доски)

(затем рассмотреть оставшиеся признаки у доски)

Итак, 3 признака мы рассмотрели с доказательством, а доказательство 4-го рассмотрим на следующем уроке (дома вспомните какой метод использовали для доказательства признаков равенства треугольников). Пятый признак («По катету и противолежащему острому углу») не сформулирован в учебнике, он идет как отдельная задача, поэтому дома докажите его самостоятельно и наш следующий урок начнем именно с него)

Ставят цели, формулируют проблему и тему урока.

Личностные:
— формирование самоуважения и самопринятия.

Коммуникативные:
— построение понятных для партнёров высказываний,
— использование речи для регуляции своих действий.

Познавательные:
— использование знаково-символических средств
— структурирование знаний,
— установление причинно-следственных связей,
— построение рассуждения в форме связи простых суждений об объекте, его строении, свойствах и связях,
— формулирование проблемы,
— создание способов решения проблемы.

Этап 5. Выявление места и причины затруднения

Цель этапа:постановка целей учебной деятельности

Организует учащихся по исследованию проблемной ситуации

1. Решите задачу: слайд11

— Даны чертежи. Для каждой буквы укажите есть ли равные треугольники, и если есть, запишите название используемого признака.

(ответы : а) нет

б) по гипотенузе и катету

в) нет

г) по гипотенузе и острому углу

д) по катету и прилежащему острому углу

е) по двум катетам )

-В листе самооценке оценим себя.

— Какие затруднения возникли при решении данного задания?

Соотносят старые и полученные новые знания при решении задач.

На основе выполненных действий

делают вывод о равенстве прямоугольных треугольников.

Делают записи в тетрадях

Проговаривают признаки равенства прямоугольных треугольников

 Личностные:
— формирование мотивов достижения, формирования границ собственного знания и «незнания».

Коммуникативные:
-учёт разных мнений и стремление к координации различных позиций в сотрудничестве,

Регулятивные:
— принятие и сохранение учебной задачи,
— планирование своих действий в соответствии с поставленной задачей и условиями её реализации,

Познавательные:
— выделение существенной информации,
— формулирование проблемы, самостоятельное создание способов решения проблемы

Этап 6. Применение полученных знаний

Цель этапа: усвоение учащимися правильного применения признаков равенства прямоугольных треугольников

— Разделимся на группы (по 2 человека)

— На каждой парте – тест, решаем тест в группах слайд 12.

-После выполнения обменялись работами, и оценили работу другой группы. слайд 13.

— Оценка идет в оценочный лист.

— Давайте еще раз проверим свои полученные новые знания с помощью ответов «Согласен, не согласен» слайд 14. (работа устно, с проговариванием)

1.Устанавливают соответствие, обосновывают свой выбор.

2.Решение теста и оценивание товарищей

Личностные:
— формирование достижения целей,
Коммуникативные:
— понимание возможности различных позиций других людей, отличных от собственной,
— ориентировка на позицию партнёра,
— стремление к координации различных позиций в сотрудничестве,
— умение договариваться, приходить к общему решению

Регулятивные:
— принятие и сохранение учебной задачи,
Познавательные:
— структурирование знаний,
— построение речевого высказывания в устной и письменной форме,
— установление причинно-следственных связей,
— доказательство.

Этап 7 . Рефлексии учебной деятельности

Цель этапа: осознание учащимися своей учебной деятельности, самооценка результатов деятельности своей и всего класса.

Организует рефлексию, организует самооценку результатов учащихся.

— Теперь в листе самоконтроля выведем общую оценку за урок, учитывая и свою устную работу на уроке. Листы мне сдайте слайд 15.

Учитель задает домашнее задание с учетом уровня подготовки обучающихся (слайд 16)

все – изучить п. 36, выучить формулировки наизусть, доказательства прочитать и разобраться

задания по выбору:

1в. — № 262, 264,

2в. — № 268, 269

Осуществляют оценку урока и самооценку, соотносят цель и результаты, степень их соответствия

Отвечают на вопросы:

Какой материал повторили на уроке?

Что нового узнали?

С какими трудностями столкнулись?

Что необходимо повторить для успешной работы на следующем уроке?

Личностные:
— формирование адекватной позитивной самооценки, самоуважения и самопринятия,
— формирование границ собственного «знания « и «незнания».

Регулятивные:
— восприятие оценки учителя

Познавательные:
— построение речевого высказывания в устной и письменной форме,
— анализ,
— синтез.

Урок 25. прямоугольные треугольники — Геометрия — 7 класс

Геометрия

7 класс

Урок № 25

Прямоугольные треугольники

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • Виды треугольников.
  • Прямоугольный треугольник.
  • Свойства прямоугольного треугольника.
  • Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Тезаурус:

Остроугольный треугольник – треугольник, у которого все углы острые.

Тупоугольный треугольник – треугольник, у которого два угла острые, а третий – тупой.

Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один угол – прямой, т.е. равный 90°. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны – катетами.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный любому углу треугольника. Его градусная мера равна сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Основная литература:

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
  2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
  3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
  4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
  5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Давайте рассмотрим виды треугольников. Существуют следующие виды:

  1. Остроугольный треугольник – треугольник, у которого все углы острые.
  2. Тупоугольный треугольник – треугольник, у которого два угла острые, а третий – тупой.
  3. Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого два угла острые, а один – прямой, т.е. равный 90°. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны – катетами.

Обратите внимание, на рисунке изображён треугольник АВС с прямым углом С, в прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда является самой большой стороной.

Рассмотрим свойства прямоугольного треугольника:

  1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Сумма всех углов треугольника равна 180°, прямой угол равен 900, следовательно, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

  1. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла 300, равен половине гипотенузы.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, в котором ∠А – прямой, ∠В = 30° и, значит, ∠С = 60°.

Докажем, что FC = ½ BC

Достроим к треугольнику АВС равный ему треугольник ABD так, как у нас показано на рисунке. Получим треугольник ВСD, в котором ∠В = ∠D = 60°, поэтому DC = BC (по признаку равнобедренного треугольника). Но АС = ½ DC. Следовательно, АС = ½BC, что и требовалось доказать.

  1. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, у которого катет АС равен половине гипотенузы ВС. Докажем, что ∠АВС = 30°.

Достроим к треугольнику АВС равный ему треугольник ABD так, как у нас показано на рисунке. Получим равносторонний треугольник BCD. Углы равностороннего треугольника равны друг другу (т.к. сумма углов треугольника равна 180°, а в равностороннем треугольнике все углы равны, следовательно, 180° : 3= 60° – каждый угол равностороннего треугольника). В частности, ∠DВС = 60°. Но ∠DВС= 2∠АВС. Следовательно, ∠АВС = 30°, что и требовалось доказать.

Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами прямой, а любые два прямых угла равны, то из первого признака равенства треугольников следует:

если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

Далее из второго признака равенства треугольников следует:

если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему другого, то такие треугольники равны.

Рассмотрим ещё два признака равенства прямоугольных треугольников.

Теорема. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

Дано: ∆АВС и ∆НМХ, ∠С = ∠Х = 90°, АВ = НМ, ∠А = ∠Н.

Доказать: ∆АВС и ∆НМХ

Доказательство. Из первого свойства прямоугольных треугольников мы можем сделать вывод, что в таких треугольниках два других острых угла также равны, поэтому треугольники равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Теорема доказана.

Разбор заданий тренировочного модуля.

№ 1.Найдите острые углы прямоугольного равнобедренного треугольника.

Объяснение. Мы знаем, что сумма двух острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°, а в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, можно вычислить градусную меру острого угла прямоугольного равнобедренного треугольника: 90° : 2= 45°.

Ответ: острый угол прямоугольного равнобедренного треугольника равен 45°.

№ 2.Опираясь на рисунок, укажите, по какому признаку равны треугольники.

Варианты ответов:

  1. по катету и прилежащему к нему острому углу;
  2. по гипотенузе и прилежащему к ней острому углу;
  3. по катету и прямому углу;
  4. двум катетам.

Объяснение. На рисунке указано равенство катетов МС и ВС, углы МСН и ВСА вертикальны, значит, они равны. Следовательно, треугольники АВС и НСМ равны по катету и прилежащему к нему острому углу, подходит ответ 1.

Ответ: 1. по катету и прилежащему к нему острому углу.

Как определить, подобны ли прямоугольные треугольники

Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже. Если университетские наставники примут меры в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как так как ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

 

Особые прямоугольные треугольники

Центральные углы, вероятно, наиболее часто ассоциируются с окружностью, но ни в коем случае не единственные. Углы могут быть вписаны в окружность или образованы пересекающимися хордами и другими линиями.

Прямоугольный равнобедренный треугольник . Равнобедренный прямоугольный треугольник  имеет характеристики как равнобедренного, так и прямоугольного треугольников. У него две равные стороны, два равных угла и один прямой угол. (Прямой угол не может быть одним из равных углов, иначе сумма углов превысит 180°.) Следовательно, на рисунке 1 Δ ABC  является равнобедренным прямоугольным треугольником, и всегда должно выполняться следующее.

Рисунок 1   Прямоугольный равнобедренный треугольник.

Отношение сторон равнобедренного прямоугольного треугольника всегда равно 1 : 1 :  или x  :  x : x (рисунок 2 ).

Рисунок 2  Отношения сторон равнобедренного прямоугольного треугольника

Пример 1:  Если одна из равных сторон равнобедренного прямоугольного треугольника равна 3, каковы размеры двух других сторон?

Метод 1:  Используя соотношение x : x : x  для равнобедренных прямоугольных треугольников, тогда x  = 3, а другие стороны должны быть равны 3 и 3 .

Метод  2. Используя  Теорему Пифагора  и тот факт, что стороны этого прямоугольного треугольника равны,


Обе стороны имеют размеры 3 и 3 

Пример 2:  Если диагональ квадрата равна 6 , найдите длину каждой из его сторон.

Метод 1 : Диагональ квадрата делит его на два конгруэнтных равнобедренных прямоугольных треугольника. Посмотрите на рисунок 3 .


Рис. 3   Из диагонали квадрата можно построить два конгруэнтных равнобедренных прямоугольных треугольника.

Соотношение x : x : x для равнобедренных прямоугольных треугольников теперь можно применять, где x  = 6 . Итак, x = 6, и каждая сторона квадрата имеет меру 6.

Метод 2:  Используйте Теорему Пифагора . 6  представляет гипотенузу.

Пример 3:  Каковы размеры x , y и z  на рисунке 4 ?

Рисунок 4 Нахождение неизвестных частей этого прямоугольного треугольника

Следовательно, каждая сторона квадрата имеет размер 6.

45° + 90° + x ° = 180° (Сумма углов треугольника = 180°.) x  = 45°

Следовательно, это равнобедренный прямоугольный треугольник с отношением сторон x : x : x. Поскольку один катет равен 10, другой должен быть также равен 10, а гипотенуза равна 10, поэтому y  = 10 и z  = 10 .

30 °−  60 °−  90 °  прямоугольный треугольник . Прямоугольный треугольник 30 °− 60 °− 90 ° имеет уникальное соотношение сторон. Отношение сторон прямоугольного треугольника 30°−60°−90° равно 1 :  : 2 или x  :  x  : 2  x , расположенных следующим образом.

Рисунок 5  Отношения сторон треугольника 30°−60°−90°

Пример 4:  Если кратчайшая сторона прямоугольного треугольника с углами 30°−60°−90° равна 4, какова мера двух других сторон?

На Рисунке 6  x  находится напротив 30°. Тогда две другие стороны равны x  (напротив 60°) и 2  x  (напротив 90°). Поскольку самая короткая сторона равна 4, x  = 4. Следовательно, две другие стороны должны быть равны 4 A и 2(4) или 8.

Пример 4:  Если кратчайшая сторона прямоугольного треугольника с углами 30°−60°−90° равна 4, какова мера двух других сторон?

На Рисунке 6  x  находится напротив 30°. Тогда две другие стороны равны x  (напротив 60°) и 2  x  (напротив 90°). Поскольку самая короткая сторона равна 4, x  = 4. Следовательно, две другие стороны должны быть равны 4 A и 2(4) или 8. 

Рисунок 6  Используя самую короткую сторону треугольника 30°-60°-90°, чтобы найти остальные стороны.

Пример 5:  Если длина катета прямоугольного треугольника с углами 30°−60°−90° равна 8 , найдите длину гипотенузы.

На рисунке 7 более короткая сторона, x , расположена напротив угла 30°. x                                                                          . Гипотенуза равна 2 x . Так как x  = 8 , x  = 8. Так как x  = 8, то 2  x  = 16. Гипотенуза равна 16. 


Рисунок 7  Использование более длинного катета треугольника 30°−60°−90° для нахождения гипотенузы.

Пример 6:  Найдите длину высоты в равностороннем треугольнике с периметром 60 дюймов.

На рисунке 8 представлен равносторонний треугольник. Каждый угол имеет меру 60°. Если нарисована высота, она создает два прямоугольных треугольника 30°-60°-90°. Поскольку периметр равен 60 дюймам, а три стороны равны по размеру, то каждая сторона равна 20 дюймам (60 ÷ 3 = 20). Отношение сторон прямоугольного треугольника с углами 30°−60°−90° составляет x : x : 2 x .В этой задаче длина 20 дюймов представляет собой наибольшую сторону прямоугольного треугольника с углами 30°−60°−90°, поэтому 2  x  = 20, или x  = 10. Прямоугольный треугольник °-60°-90°, его размер x , высота 10 дюймов в длину.

Рисунок 8  периметр равностороннего треугольника для нахождения высоты

Отношения и размеры — Факты о прямоугольном треугольнике

Вы уже встретил прямоугольный треугольник в предыдущем уроке.Подружись с ним! Он один из самых популярных существующих полигонов, в основном из-за решения проблем способности.

Прямоугольный треугольник имеет один угол, равный 90 градусов. Прямоугольный треугольник может быть и равнобедренным треугольник — это значит, что у него две равные стороны. правый равнобедренный треугольник имеет угол 90 градусов и два угла по 45 градусов. Это единственный прямоугольный треугольник, который является равнобедренным треугольником. Эта версия прямоугольного треугольника настолько популярны, что их пластиковые модели изготавливаются и используются архитекторами, инженеры, плотники и художники-графики в их проектировании и строительстве работай.

Еще одно интересное прямоугольный треугольник это треугольник 30-60-90 градусов. Отношение этого треугольника самая длинная сторона к самой короткой стороне равна «два к одному». То есть самая длинная сторона вдвое длиннее самой короткой стороны. Он также изготовлен из пластика и широко используется в дизайне, черчении и строительстве.

Вы можете найти бесконечное количество примеров прямоугольных треугольников. Одним из самых известных является треугольник «3, 4, 5».»

Египтяне использовали этот треугольник для межевания земли. Некоторые считают, что они также использовали его помочь спроектировать их пирамиды. Сделали они это или нет, но треугольник 3-4-5 до сих пор используется геодезистами. Плотники и столяры также используют его для изготовления их углы прямые.

Пифагор был греческий математик, живший около 2500 лет назад и разработавший самая известная формула в геометрии, а может быть и во всей математике! Он доказал что для прямоугольного треугольника сумма квадратов двух сторон, которые соединяются под прямым углом равен квадрату третьей стороны.Третья сторона – сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника. Две более короткие стороны обычно называют «ногами».

Эта формула называется теоремой Пифагора в честь Пифагора. Обычно это пишется как уравнение ниже, где a и b являются мерами катетов треугольника и c есть мера гипотенузы.

Давайте попробуйте теорему Пифагора, используя этот прямоугольный треугольник со сторонами 5 12 см, а гипотенуза 13 см.Мы можем проверить, что теорема Пифагора верно, если подставить значения. Квадратный корень из 169 равен 13, что является мерой гипотенузы в этом треугольнике.

Теорема Пифагора имеет множество применений. Вы можете использовать его, чтобы проверить, действительно ли треугольник это прямоугольный треугольник. Или вы можете использовать его, чтобы найти недостающие меры сторон. Воспользуемся теоремой Пифагора, чтобы найти недостающую меру катет прямоугольного треугольника САМ.

Заменить значения в формулу и выполнить вычисления, как это. Мы находим, что квадрат гипотенузы, или с в квадрате, равен 400. Чтобы найти с, мы извлеките квадратный корень из 400, что равно 20. Это значение, которое мы ищем за отсутствующий размер ноги,

Тригонометрия — Терминология

Чтобы лучше понять некоторые проблемы, связанные с самолетами и движение необходимо использовать некоторые математические идеи из тригонометрия , изучение треугольников.Большинство людей знакомятся с тригонометрией в средней школе. В тригонометрии много сложных частей, но на этой странице нас интересуют главным образом определения и терминология. Начнем с общего треугольника. Треугольник – это замкнутая фигура, имеющая три стороны и три внутренних угла. Сумма трех углов любой треугольник равен 180 градусам. Если мы обозначим углы треугольника c , d и e , тогда:

с + d + е = 180 градусов

Существует два способа измерения углов внутри треугольника.Один из способов — измерить угол в градуса , где 360 градусов равняется полному кругу. То другой способ — измерить угол в радианах , где 2 пи радиан равны полный круг. Следовательно;

360 (градусов) = 2 * пи (радиан)

1 градус = 0,01745 радиан

1 радиан = 57,2957 градуса

Прямоугольный треугольник является частным случаем общего треугольника с один из его углов равен 90 градусов. Угол 90 градусов называется прямым углом , и именно отсюда прямоугольный треугольник получил свое название. Прямоугольный треугольник обладает некоторыми особыми свойствами, которые очень полезны для решения задач. Сумма трех углов прямоугольного треугольника равна 180 градусам и единице из углов равен 90 градусов. Тогда сумма двух других углов также равна 90 градусов. Для прямоугольного треугольника:

c + d = 90 градусов = пи/2 радиана

Важным фактором здесь является то, что если мы знаем (или измеряем) один угол прямоугольного треугольника, мы автоматически знаем значение другого угла. Если мы знаем значение d , то

в = 90 — г

Чтобы описать треугольник в целом, нам нужно знать значение двух углов; за право треугольника нам нужно знать (или измерить) только один угол.

Еще одна важная информация касается размер сторон прямоугольного треугольника. Назовем сторону прямоугольного треугольника, противоположную прямому углу гипотенуза .Это самая длинная сторона из трех сторон прямоугольного треугольника. Слово «гипотенуза» происходит от двух греческих слов что означает «растягиваться», так как это самая длинная сторона. Обозначим гипотенузу символом ч и мы обозначим две другие стороны a и b .

Независимо от величины гипотенузы, соотношение от размера стороны a по гипотенузе h зависит Только от величины угла между катетом и гипотенузой.Значение коэффициента равно функция угла и получил название косинус угла. На фигуре,

cos(c) = а/ч

Из соотношения углов прямоугольного треугольника можно определить другая функция угла, называемая синус угла, который связывает сторону b и гипотенуза:

грех (с) = б / ч

Ключевым моментом здесь является то, что если мы измеряем один угол, мы знаем значение всех три угла прямоугольного треугольника. А если дополнительно измерить одну сторону, мы можем использовать эти 90 343 тригонометрических функции 90 344, чтобы определить длину со всех трех сторон. Мы можем определить 5 единиц информации (2 угла и 3 стороны), сделав всего два измерения.

Между сторонами прямоугольного треугольника существует дополнительное отношение. Если мы нарисуем квадрат на гипотенузе и квадрат на каждой из двух сторон, площадь квадрата на гипотенузе равна сумме квадраты по бокам.2

Теорему Пифагора можно использовать с тригонометрическими функциями определить величину всех сторон прямоугольного треугольника.


Деятельность:

Экскурсии с гидом

Навигация ..


Домашняя страница руководства для начинающих

Калькулятор прямоугольного треугольника

Укажите 2 значения ниже, чтобы вычислить другие значения прямоугольного треугольника.Если в качестве единицы измерения угла выбран радиан, он может принимать такие значения, как пи/3, пи/4 и т. д.

   

Калькулятор связанных треугольников | Калькулятор теоремы Пифагора

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник — это тип треугольника, один из углов которого равен 90°. Прямоугольные треугольники и отношения между их сторонами и углами являются основой тригонометрии.

В прямоугольном треугольнике сторона, лежащая против угла 90°, является наибольшей стороной треугольника и называется гипотенузой.Стороны прямоугольного треугольника обычно обозначаются переменными a, b и c, где c — гипотенуза, а a и b — длины более коротких сторон. Их углы также обычно обозначаются заглавной буквой, соответствующей длине стороны: угол A для стороны a, угол B для стороны b и угол C (для прямоугольного треугольника это будет 90°) для стороны c, как показано ниже. . В этом калькуляторе греческие символы α (альфа) и β (бета) используются для неизвестных величин углов. h относится к высоте треугольника, которая представляет собой длину от вершины прямого угла треугольника до гипотенузы треугольника. Высота делит исходный треугольник на два меньших, подобных треугольника, которые также подобны исходному треугольнику.

Если все три стороны прямоугольного треугольника имеют целые числа, то такой треугольник называется пифагорейским. В треугольнике этого типа длины трех сторон вместе известны как пифагорейская тройка. Примеры включают: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17 и т. д.

Площадь и периметр прямоугольного треугольника вычисляются так же, как и любого другого треугольника.Периметр представляет собой сумму трех сторон треугольника, а площадь можно определить с помощью следующего уравнения:

Особые прямоугольные треугольники

Треугольник 30°-60°-90°:

30°-60°-90° относятся к измерению углов в градусах этого типа специального прямоугольного треугольника. В этом типе прямоугольного треугольника стороны, соответствующие углам 30°-60°-90°, имеют соотношение 1:√3:2. Таким образом, в треугольнике этого типа, если известна длина одной стороны и соответствующий угол стороны, длину других сторон можно определить, используя приведенное выше соотношение. Например, учитывая, что сторона, соответствующая углу 60°, равна 5, пусть a будет длиной стороны, соответствующей углу 30°, b будет длиной стороны 60°, а c будет длиной 90°. сторона.:

Углы: 30°: 60°: 90°

Соотношение сторон: 1:√3:2

Длина сторон: a:5:c

Затем, используя известные отношения сторон этого особого типа треугольника:

Как видно из вышеизложенного, зная только одну сторону треугольника 30°-60°-90°, можно относительно легко определить длину любой из других сторон.Этот тип треугольника можно использовать для вычисления тригонометрических функций, кратных π/6.

Треугольник 45°-45°-90°:

Треугольник 45°-45°-90°, также называемый равнобедренным прямоугольным треугольником, поскольку он имеет две стороны одинаковой длины, является прямоугольным треугольником, в котором стороны, соответствующие углам, 45°-45°-90° °, соблюдайте соотношение 1:1:√2. Как и в случае с треугольником 30°-60°-90°, зная длину одной стороны, можно определить длины других сторон треугольника 45°-45°-90°.

Углы: 45°: 45°: 90°

Соотношение сторон: 1:1:√2

Длина сторон: a:a:c

Учитывая с = 5:

Треугольники 45°-45°-90° можно использовать для вычисления тригонометрических функций для чисел, кратных π/4.

Простое руководство по треугольнику 30-60-90

Острые, тупые, равнобедренные, равнобедренные… Когда дело доходит до треугольников, существует много различных разновидностей, но лишь немногие являются «особенными». Эти специальные треугольники имеют стороны и углы, которые постоянны и предсказуемы, и их можно использовать для быстрого решения задач по геометрии или тригонометрии.И треугольник 30-60-90 — произносится как «тридцать шестьдесят девяносто» — действительно является очень особым типом треугольника.

В этом руководстве мы расскажем вам, что такое треугольник 30-60-90, почему он работает и когда (и как) использовать ваши знания о нем. Итак, приступим!

 

Что такое треугольник 30-60-90?

Треугольник 30-60-90 — это особый прямоугольный треугольник (прямоугольным треугольником считается любой треугольник, содержащий угол в 90 градусов), углы которого всегда равны 30, 60 и 90 градусов. Поскольку это особый треугольник, у него также есть значения длин сторон, которые всегда находятся в постоянном соотношении друг с другом.

Базовое соотношение треугольников 30-60-90:

Сторона, противоположная углу 30°: $x$

Сторона, противоположная углу 60°: $x * √3$

Сторона, противоположная углу 90°: $2x$

 

Например, треугольник 30-60-90 градусов может иметь длины сторон:

2, 2√3, 4

 

7, 7√3, 14

 

√3, 3, 2√3

(Почему более длинная сторона равна 3? В этом треугольнике самая короткая сторона ($x$) равна $√3$, поэтому для более длинной стороны $x√3 = √3 * √3 = √9 = 3$.А гипотенуза в 2 раза больше кратчайшего катета, или $2√3$)

 

И так далее.

Сторона, противоположная углу 30°, всегда является наименьшей , потому что 30 градусов — это наименьший угол. Сторона, противоположная углу 60°, будет средней длиной , потому что 60° — средний угол в градусах в этом треугольнике. И, наконец, сторона, противоположная углу 90°, всегда будет наибольшей стороной (гипотенуза) , потому что 90 градусов — это наибольший угол.

 

Хотя он может выглядеть похожим на другие типы прямоугольных треугольников, причина, по которой треугольник 30-60-90 настолько особенный, заключается в том, что вам нужно всего три элемента информации, чтобы найти все остальные измерения. Пока вы знаете значение двух углов и длины одной стороны (неважно, какой стороны), вы знаете все, что вам нужно знать о своем треугольнике.

Например, мы можем использовать формулу треугольника 30-60-90, чтобы заполнить все оставшиеся информационные пробелы треугольников ниже.

 

Пример 1

Мы видим, что это прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза в два раза длиннее одного из катетов. Это означает, что это должен быть треугольник 30-60-90 и меньшая заданная сторона противоположна 30°.

Следовательно, более длинная сторона должна располагаться напротив угла 60° и иметь размеры $6 * √3$, или $6√3$.

 

Пример 2

Мы видим, что это должен быть треугольник 30-60-90, потому что мы видим, что это прямоугольный треугольник с одним заданным измерением, 30°.Тогда немаркированный угол должен быть равен 60°.

Так как 18 — это мера, противоположная углу в 60°, она должна быть равна $x√3$. Тогда самая короткая нога должна быть равна $18/√3$.

(Обратите внимание, что длина ноги на самом деле будет $18/{√3} * {√3}/{√3} = {18√3}/3 = 6√3$, потому что знаменатель не может содержать радикал/квадратный корень) .

А гипотенуза будет $2(18/√3)$

(Обратите внимание, что, опять же, у вас не может быть радикала в знаменателе, поэтому окончательный ответ действительно будет в 2 раза больше длины ноги $6√3$ => $12√3$).

 

Пример 3

Опять же, нам даны два измерения угла (90° и 60°), поэтому третье измерение будет равно 30°. Поскольку это треугольник 30-60-90, а гипотенуза равна 30, самый короткий катет будет равен 15, а более длинный катет будет равен 15√3.

 

 

Не нужно обращаться к волшебному шару-восьмерке — эти правила работают всегда.

 

Почему это работает: 30-60-90 Доказательство теоремы о треугольнике

Но почему этот особый треугольник работает именно так? Откуда мы знаем, что эти правила законны? Давайте рассмотрим, как именно работает теорема о треугольнике 30-60-90, и докажем, почему эти длины сторон всегда будут постоянными.

Во-первых, давайте на секунду забудем о прямоугольных треугольниках и посмотрим на равносторонний треугольник .

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Поскольку сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180°, а $180/3 = 60$, равносторонний треугольник всегда будет иметь три угла по 60°.

Теперь опустим высоту от самого верхнего угла к основанию треугольника.

Теперь мы создали два прямых угла и два конгруэнтных (равных) треугольника.

Откуда мы знаем, что это равные треугольники? Поскольку мы отбросили высоту равностороннего треугольника , мы разделили основание ровно пополам. Новые треугольники также имеют одну общую длину стороны (высоту), и каждый из них имеет одинаковую длину гипотенузы. Поскольку они имеют три общие длины сторон (SSS), это означает , что треугольники конгруэнтны.

Примечание: два треугольника конгруэнтны не только на основе принципов длины стороны-стороны-стороны или SSS, но также на основе мер стороны-угла-стороны (SAS), угла-угла-стороны (AAS) и угла. -боковой угол (ASA).В принципе? Они определенно конгруэнтны.

Теперь, когда мы доказали конгруэнтность двух новых треугольников, мы можем видеть, что каждый из верхних углов должен быть равен 30 градусам (поскольку каждый треугольник уже имеет углы 90° и 60° и в сумме должен составлять 180°). . Это означает, что мы сделали два треугольника 30-60-90.

А поскольку мы знаем, что мы разрезаем основание равностороннего треугольника пополам, мы можем видеть, что сторона, противоположная углу в 30° (самая короткая сторона) каждого из наших треугольников 30-60-90, равна половине длины равностороннего треугольника. гипотенуза.2}/4$

$b = {√3x}/2$

Итак, у нас осталось: $x/2, {x√3}/2, x$

Теперь давайте умножим каждую меру на 2, чтобы упростить жизнь и избежать всех дробей. Таким образом, у нас осталось:

$x$, $x√3$, $2x$

Таким образом, мы можем видеть, что треугольник 30-60-90 будет всегда иметь согласованные длины сторон $x$, $x√3$ и $2x$ (или $x/2$, ${√3x }/2$ и $x$).

 

К счастью для нас, мы можем доказать истинность 30-60-90 правил треугольника без всех из них…это.

 

Когда использовать правила треугольника 30-60-90

Знание правил треугольника 30-60-90 поможет вам сэкономить время и энергию при решении множества различных математических задач, а именно широкого круга задач по геометрии и тригонометрии.

 

Геометрия

Правильное понимание треугольников 30-60-90 позволит вам решить вопросы геометрии, которые либо невозможно решить без знания этих правил соотношения, либо, по крайней мере, потребуется значительное время и усилия для решения «длинного пути». »

С помощью специальных соотношений треугольников вы можете вычислить отсутствующие высоты треугольников или длины катетов (без использования теоремы Пифагора), найти площадь треугольника, используя недостающую информацию о высоте или длине основания, и быстро вычислить периметры.

Каждый раз, когда вам нужно быстро ответить на вопрос, вам пригодится запоминание таких сокращений, как ваши правила 30-60-90.

 

Тригонометрия

Запоминание и понимание отношения треугольников 30-60-90 также позволит вам решать многие задачи по тригонометрии без использования калькулятора или необходимости аппроксимировать ваши ответы в десятичной форме.

Треугольник 30-60-90 имеет довольно простые синусы, косинусы и тангенсы для каждого угла (и эти измерения всегда будут согласованы).

Синус 30° всегда будет равен $1/2$.

Косинус 60° всегда будет равен $1/2$.

Хотя другие синусы, косинусы и тангенсы довольно просты, эти два проще всего запомнить, и они, скорее всего, появятся на тестах. Так что знание этих правил позволит вам найти эти тригонометрические измерения как можно быстрее.

 

Советы по запоминанию правил 30-60-90

Вы знаете, что эти правила соотношения 30-60-90 полезны, но как удержать информацию в голове? Чтобы запомнить правила треугольника 30-60-90, нужно помнить соотношение 1: √3 : 2 и знать, что самая короткая сторона всегда находится напротив самого короткого угла (30°), а самая длинная сторона всегда находится напротив угла. наибольший угол (90°).

Некоторые люди запоминают соотношение, думая: « $\bi x$, $\bo 2 \bi x$, $\bi x \bo √ \bo3$, », потому что последовательность «1, 2, 3» обычно легко запоминается. Единственная мера предосторожности при использовании этого метода заключается в том, чтобы помнить, что самая длинная сторона на самом деле равна $2x$, , а не $x$, умноженному на $√3$.

Еще один способ запомнить соотношение — использовать мнемоническую игру слов с соотношением 1: корень 3: 2 в правильном порядке. Например, «Джеки Митчелл вычеркнул Лу Герига и «выиграл и Рути»»: один, корень три, два. (Кроме того, это настоящий факт из истории бейсбола!)

Поэкспериментируйте со своими собственными мнемоническими приемами, если они вам не нравятся — спойте отношение к песне, найдите свои собственные фразы «один, корень три, два» или придумайте стихотворение с отношением.Вы даже можете просто вспомнить, что треугольник 30-60-90 — это половина равностороннего треугольника, и вычислить измерения оттуда, если вам не нравится их запоминать.

Однако вам имеет смысл запомнить эти правила 30-60-90, держите эти отношения в голове для будущих вопросов по геометрии и тригонометрии.

 

Запоминание — ваш друг, но вы можете его заставить.

 

Сообщает ли ваша школа ваш средний балл взвешенный или невзвешенный? Каким будет ваш средний балл, если рассматривать его на 4.Масштаб 0, 5.0 или 6.0? Используйте наш инструмент для расчета вашего невзвешенного и взвешенного среднего балла, чтобы выяснить, как вы оцениваете себя по сравнению с другими абитуриентами колледжа. Вы также получите наш запатентованный расчет среднего балла колледжа и советы о том, что нужно улучшить, чтобы стать лучшим абитуриентом колледжа.

 

Пример 30-60-90 Вопросы

Теперь, когда мы рассмотрели, как и почему треугольники 30-60-90, давайте поработаем над некоторыми практическими задачами.

 

Геометрия

Строитель прислоняет 40-футовую лестницу к стене здания под углом 30 градусов от земли.Земля ровная, а сторона здания перпендикулярна земле. Как далеко вверх по зданию доходит лестница с точностью до ближайшего фута?

 

Не зная наших специальных правил треугольника 30-60-90, нам пришлось бы использовать тригонометрию и калькулятор, чтобы найти решение этой проблемы, поскольку у нас есть только одна сторона треугольника. Но поскольку мы знаем, что это особый треугольник из числа , мы можем найти ответ за считанные секунды.

Если здание и земля перпендикулярны друг другу, это должно означать, что здание и земля образуют прямой (90°) угол. Также известно, что лестница касается земли под углом 30°. Таким образом, мы видим, что оставшийся угол должен быть равен 60°, что делает этот треугольник 30-60-90.

Теперь мы знаем, что гипотенуза (самая длинная сторона) этого числа 30-60-90 равна 40 футам, а это значит, что самая короткая сторона будет вдвое меньше. (Помните, что самая длинная сторона всегда в два раза — $2x$ — длиннее самой короткой стороны.) Поскольку самая короткая сторона находится напротив угла в 30°, а этот угол — это градусная мера лестницы от земли, это означает, что верхняя часть лестницы ударяется о здание в 20 футах от земли.

Наш окончательный ответ: 20 футов.

 

Тригонометрия

Если в прямоугольном треугольнике sin Θ = $1/2$ и длина кратчайшего катета равна 8. Какова длина недостающей стороны, которая НЕ является гипотенузой?

Поскольку вы знаете свои правила 30-60-90, вы можете решить эту задачу, не прибегая ни к теореме Пифагора, ни к калькулятору.

Нам сказали, что это прямоугольный треугольник, а из наших специальных правил прямоугольного треугольника мы знаем, что синус 30° = $1/2$.Следовательно, недостающий угол должен составлять 60 градусов, что делает этот треугольник 30-60-90.

И поскольку это треугольник 30-60-90, и нам сказали, что самая короткая сторона равна 8, гипотенуза должна быть равна 16, а недостающая сторона должна быть равна $8 * √3$, или $8√3$.

Наш окончательный ответ 8√3.

 

Советы на вынос

Запоминание правил для треугольников 30-60-90 поможет вам быстрее решать различные математические задачи .Но имейте в виду, что хотя знание этих правил и является удобным инструментом, который можно всегда носить на поясе, вы все же можете решить большинство проблем без них.

Следите за правилами $x$, $x√3$, $2x$ и 30-60-90 любым удобным для вас способом и старайтесь соблюдать их, если можете, но не паникуйте, если ваши разум отключается, когда наступает решающий момент. В любом случае, у вас есть это.

А если вам нужно больше практики, пройдите этот тест на треугольник 30-60-90. Удачной сдачи теста!

 

6 правил треугольника, которые необходимо знать

Правила и теоремы треугольника позволяют нам понять свойства этой фигуры.Как один из самых центральных элементов тригонометрии, треугольники имеют множество геометрических правил. Среди прочего, они помогают нам отличать прямоугольные треугольники от равносторонних треугольников и равнобедренных треугольников.

Давайте рассмотрим некоторые из наиболее известных тригонометрических правил треугольника.

Внутренние углы Правило

Правило внутренних углов гласит, что три угла треугольника должны быть равны 180°. Как вы можете видеть ниже, три угла тупоугольного треугольника ABC в сумме составляют 180°.

Стороны треугольника

Правило сторон треугольника утверждает, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны. См. Длины сторон остроугольного треугольника ниже. Сумма длин двух самых коротких сторон, 6 и 7, равна 13. Эта длина больше, чем длина самой длинной стороны, 8.

Правила сходства треугольников

Конгруэнтные треугольники — это треугольники, у которых соответствующие стороны и углы равны.В тригонометрической манере равные стороны и равные углы доказываются конгруэнтностью с помощью четырех правил конгруэнтности треугольников. Мы рассмотрим их по очереди.

№ 1: правило SSS

Правило стороны-стороны-стороны (SSS) гласит, что когда измерения трех сторон треугольника совпадают с измерениями трех сторон другого треугольника, эти две формы конгруэнтны.

См. прямоугольные треугольники ниже. Стороны треугольника DEF имеют ту же длину, что и треугольник GHI, поэтому они равны.

№ 2: Правило

ASA

Правило угла-стороны-угла (ASA) гласит, что когда два угла и одна сторона треугольника равны стороне другого треугольника, они являются конгруэнтными треугольниками.

См. треугольники JKL и MNO. Углы J и M, K и N (углы, противоположные длине гипотенузы), а также катеты гипотенузы обоих треугольников равны. Следовательно, треугольники JKL и MNO равны.

№ 3: Правило AAS

Правило угла-угла-стороны (AAS) утверждает, что если два треугольника обладают следующими соответствующими свойствами, они должны быть конгруэнтны:

  • Два уголка
  • Длина одной противоположной стороны без вершин

№ 4: Правило SAS

Правило сторона-угол-сторона (SAS) гласит, что если прилежащий угол и две прилежащие длины сторон треугольника равны длинам сторон другого треугольника, то они конгруэнтны.См. ниже треугольники CDE и FGH. Прямой угол C и угол F, длины d и g и длина гипотенузы c и f равны. Следовательно, треугольник CDE=FGH.

Важность правил треугольника

Расширение ваших знаний о правилах треугольника облегчит изучение других тригонометрических идей, таких как теорема Пифагора и правила косинуса, тангенса и синуса.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск