Производная функции на графике: График производной функции

Содержание

Наименьшее значение производной. Производная функции

Производная функции — одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна . Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное — понять смысл.

Запомним определение:

Производная — это скорость изменения функции.

На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Вот другой пример.

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть.

А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная , — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается .

Покажем, как найти с помощью графика.

Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной

.

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси .

Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника :

Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике под номером .

Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

Величина в этом уравнении называется

угловым коэффициентом прямой . Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси .

.

Мы получаем, что

Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других — убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

В точке функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке , образует острый угол с положительным направлением оси . Значит, в точке производная положительна.

В точке наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол с положительным направлением оси . Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке производная отрицательна.

Вот что получается:

Если функция возрастает, ее производная положительна.

Если убывает, ее производная отрицательна.

А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках (точка максимума) и (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

Точка — точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке с «плюса» на «минус».

В точке — точке минимума — производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

Если производная положительна, то функция возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

возрастает точка максимума убывает точка минимума возрастает
+ 0 0 +

Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задач ЕГЭ. Другое — на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.

Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая

:

В точке касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки функция возрастала — и после точки продолжает возрастать. Знак производной не меняется — она как была положительной, так и осталась.

Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется

Сергей Никифоров

Если производная функции знакопостоянна на интервале, а сама функция непрерывна на его границах, то граничные точки при­со­еди­ня­ют­ся как к про­ме­жут­кам воз­рас­та­ния, так и к про­ме­жут­кам убы­ва­ния, что полностью соответствует определению возрастающих и убывающих функций.

Фарит Ямаев 26.10.2016 18:50

Здравствуйте. Как же (на каком основании) можно утверждать, что в точке, где производная равна нулю, функция возрастает. Приведите доводы. Иначе, это просто чей-то каприз. По какой теореме? А также доказательство. Спасибо.

Служба поддержки

Значение производной в точке не имеет прямого отношения к возрастанию функции на промежутке. Рассмотрите, например, функции — все они возрастают на отрезке

Владлен Писарев 02.11.2016 22:21

Если функция возрастает на интервале (а;b) и определена и непрерывна в точках а и b, то она возрастает на отрезке . Т.е. точка x=2 входит в данный промежуток.

Хотя, как правило возрастание и убывание рассматривается не на отрезке, а на интервале.

Но в самой точке x=2, функция имеет локальный минимум. И как объяснять детям, что когда они ищут точки возрастания (убывания), то точки локального экстремума не считаем, а в промежутки возрастания (убывания) — входят.

Учитывая, что первая часть ЕГЭ для «средней группы детского сада», то наверное такие нюансы- перебор.

Отдельно, большое спасибо за «Решу ЕГЭ» всем сотрудникам- отличное пособие.

Сергей Никифоров

Простое объяснение можно получить, если отталкиваться от определения возрастающей/убывающей функции. Напомню, что звучит оно так: функция называется возрастающей/убывающей на промежутке, если большему аргументу функции соответствует большее/меньшее значение функции. Такое определение никак не использует понятие производной, поэтому вопросов о точках, где производная обращается в ноль возникнуть не может.

Ирина Ишмакова 20.11.2017 11:46

Добрый день. Здесь в комментариях я вижу убеждения, что границы включать нужно. Допустим, я с этим соглашусь. Но посмотрите, пожалуйста, ваше решение к задаче 7089. Там при указании промежутков возрастания границы не включаются. И это влияет на ответ. Т.е. решения заданий 6429 и 7089 противоречат друг другу.

Проясните, пожалуйста, эту ситуацию.

Александр Иванов

В заданиях 6429 и 7089 совершенно разные вопросы.

В одном про промежутки возрастания, а в другом про промежутки с положительной производной.

Противоречия нет.

Экстремумы входят в промежутки возрастания и убывания, но точки, в которых производная равна нулю, не входят в промежутки, на которых производная положительна.

A Z 28.01.2019 19:09

Коллеги, есть понятие возрастания в точке

(см. Фихтенгольц например)

и ваше понимание возрастания в точке x=2 противочет классическому определению.

Возрастание и убывание это процесс и хотелось бы придерживаться этого принципа.

В любом интервале, который содержит точку x=2, функция не является возрастающей. Поэтому включение данный точки x=2 процесс особый.

Обычно, чтобы избежать путаницы о включении концов интервалов говорят отдельно.

Александр Иванов

Функция y=f(x) называется возрастающей на некотором промежутке, если бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует бо́льшее значение функции.

В точке х=2 функция дифференцируема, а на интервале (2; 6) производная положительна, значит, на промежутке }

Задание № 6. Производная функции. ЕГЭ . Математика. 2

      БАЗА ЗАДАНИЙ

Задание № 6. Производная функции.

26. На рисунке изображён график функции y=f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. В скольких из этих точек производная функции 

f(x) отрицательна?

27. На рисунке изображён график функции y=f(x). На оси абсцисс отмечены десять точек:  x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна?

28. На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x) и отмечены девять точек на оси абсцисс:  x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9. В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна?

29. На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x) и отмеченышесть точек на оси абсцисс:  x1, x2, x3, x4, x5, x6В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?

30. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечено шесть точек:  x1, x2, x3, x4, x5, x6. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции f(x)?

31. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечено семь точек:  x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции f(x)?

32. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x).  На оси абсцисс отмечено восемь точек:  x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции f(x)?

33. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечено одиннадцать точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции f(x)?

34. На рисунке изображён график функции y=f(x). На оси абсцисс отмечены точки − 1, 2, 3, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

35. На рисунке изображён график функции y=f(x). На оси абсцисс отмечены точки − 2, − 1, 3, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

36. На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки -2, -1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

37. На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки -2, -1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

38. На рисунке изображён график  y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (− 2; 9). В какой точке отрезка [2; 8] функция f(x) принимает наибольшее значение?

39. На рисунке изображён график  y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (− 8; 4). В какой точке отрезка [− 2; 3] функция f(x) принимает наименьшее значение?

40. На рисунке изображён график  y=f '(x) — производной функции f(x),  определённой на интервале (− 3; 8). В какой точке отрезка [− 2; 3] функция f(x) принимает наименьшее значение?

41. На рисунке изображён график  y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (− 8; 3). В какой точке отрезка [− 6; −1] функция f(x) принимает наибольшее значение?

42. На рисунке изображён график  y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (−9; 8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−3; 3].

43. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-11;11). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [-10;10].

44. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (− 11; 6). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих отрезку [− 6; 4].

45. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (− 3; 19). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [− 2; 15].

46. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-11;3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

47. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-2;12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

48. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (− 2; 11). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y=f(x) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

49. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (− 4; 13). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции y=f(x) параллельна прямой y=−2x−10 или совпадает с ней.

50. На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале  (− 4; 13). Определите количество точек, в которых касательная к графику функции y=f(x) параллельна прямой y=14. 

Как определить знак производной по графику функции. Что такое производная

Производная функции — одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна . Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное — понять смысл.

Запомним определение:

Производная — это скорость изменения функции.

На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Вот другой пример.

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная , — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается .

Покажем, как найти с помощью графика.

Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной .

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси .

Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника :

Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике под номером .

Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

Величина в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой . Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси .

.

Мы получаем, что

Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других — убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

В точке функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке , образует острый угол ; с положительным направлением оси . Значит, в точке производная положительна.

В точке наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол ; с положительным направлением оси . Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке производная отрицательна.

Вот что получается:

Если функция возрастает, ее производная положительна.

Если убывает, ее производная отрицательна.

А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках (точка максимума) и (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

Точка — точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке с «плюса» на «минус».

В точке — точке минимума — производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

Если производная положительна, то функция возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

возрастает точка максимума убывает точка минимума возрастает
+ 0 0 +

Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задачи . Другое — на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.

Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая :

В точке касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки функция возрастала — и после точки продолжает возрастать. Знак производной не меняется — она как была положительной, так и осталась.

Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется

{\large\bf Производная функции}

Рассмотрим функцию y=f(x) , заданную на интервале (a, b) . Пусть x — любое фиксированная точка интервала (a, b) , а Δx — произвольное число, такое, что значение x+Δx также принадлежит интервалу (a, b) . Это число Δx называют приращением аргумента.

Определение . Приращением функции y=f(x) в точке x , соответствующим приращению аргумента Δx , назовем число

Δy = f(x+Δx) — f(x) .

Считаем, что Δx ≠ 0 . Рассмотрим в данной фиксированной точке x отношение приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента Δx

Это отношение будем называть разностным отношением. Так как значение x мы считаем фиксированным, разностное отношение представляет собой функцию аргумента Δx . Эта функция определена для всех значений аргумента Δx , принадлежащих некоторой достаточно малой окрестности точки Δx=0 , за исключением самой точки Δx=0 . Таким образом, мы имеем право рассматривать вопрос о существовании предела указанной функции при Δx → 0 .

Определение . Производной функции y=f(x) в данной фиксированной точке x называется предел при Δx → 0 разностного отношения, то есть

При условии, что этот предел существует.

Обозначение . y′(x) или f′(x) .

Геометрический смысл производной : Производная от функции f(x) в данной точке x равна тангенсу угла между осью Ox и касательной к графику этой функции в соответствующей точке:

f′(x 0) = \tgα .

Механический смысл производной : Производная от пути по времени равна скорости прямолинейного движения точки:

Уравнение касательной к линии y=f(x) в точке M 0 (x 0 ,y 0) принимает вид

y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0) .

Нормалью к кривой в некоторой ее точке называется перпендикуляр к касательной в той же точке. Если f′(x 0)≠ 0 , то уравнение нормали к линии y=f(x) в точке M 0 (x 0 ,y 0) записывается так:

Понятие дифференцируемости функции

Пусть функция y=f(x) определена на некотором интервале (a, b) , x — некоторое фиксированное значение аргумента из этого интервала, Δx — любое приращение аргумента, такое, что значение аргумента x+Δx ∈ (a, b) .

Определение . Функция y=f(x) называется дифференцируемой в данной точке x , если приращение Δy этой функции в точке x , соответствующее приращению аргумента Δx , может быть представимо в виде

Δy = A Δx +αΔx ,

где A — некоторое число, не зависящее от Δx , а α — функция аргумента Δx , являющая бесконечно малой при Δx→ 0 .

Так как произведение двух бесконечно малых функций αΔx является бесконечно малой более высокого порядка, чем Δx (свойство 3 бесконечно малых функций), то можем записать:

Δy = A Δx +o(Δx) .

Теорема . Для того, чтобы функция y=f(x) являлась дифференцируемой в данной точке x , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную. При этом A=f′(x) , то есть

Δy = f′(x) Δx +o(Δx) .

Операцию нахождения производной обычно называют дифференцированием.

Теорема . Если функция y=f(x) x , то она непрерывна в этой точке.

Замечание . Из непрерывности функции y=f(x) в данной точке x , вообще говоря, не вытекает дифференцируемость функции f(x) в этой точке. Например, функция y=|x| — непрерывна в точке x=0 , но не имеет производной.

Понятие дифференциала функции

Определение . Дифференциалом функции y=f(x) называется произведение производной этой функции на приращение независимой переменной x :

dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx .

Для функции y=x получаем dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx , то есть dx=Δx — дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.

Таким образом, можем записать

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

Дифференциал dy и приращение Δy функции y=f(x) в данной точке x , оба отвечающие одному и тому же приращению аргумента Δx , вообще говоря, не равны друг другу.

Геометрический смысл дифференциала : Дифференциал функции равен приращению ординаты касательной к графику данной функции, когда аргумент получает приращение Δx .

Правила дифференцирования

Теорема . Если каждая из функций u(x) и v(x) дифференцируема в данной точке x , то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии, что v(x)≠ 0 ) также дифференцируемы в этой точке, причем имеют место формулы:

Рассмотрим сложную функцию y=f(φ(x))≡ F(x) , где y=f(u) , u=φ(x) . В этом случае u называют промежуточным аргументом , x независимой переменной .

Теорема . Если y=f(u) и u=φ(x) — дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции y=f(φ(x)) существует и равна произведению этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной, т.е.

Замечание . Для сложной функции, являющейся суперпозицией трех функций y=F(f(φ(x))) , правило дифференцирования имеет вид

y′ x = y′ u u′ v v′ x ,

где функции v=φ(x) , u=f(v) и y=F(u) — дифференцируемые функции своих аргументов.

Теорема . Пусть функция y=f(x) возрастает (или убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки x 0 . Пусть, кроме того, эта функция дифференцируема в указанной точке x 0 и ее производная в этой точке f′(x 0) ≠ 0 . Тогда в некоторой окрестности соответствующей точки y 0 =f(x 0) определена обратная для y=f(x) функция x=f -1 (y) , причем указанная обратная функция дифференцируема в соответствующей точке y 0 =f(x 0) и для ее производной в этой точке y справедлива формула

Таблица производных

Инвариантность формы первого дифференциала

Рассмотрим дифференциал сложной функции. Если y=f(x) , x=φ(t) — дифференцируемы функции своих аргументов, то производная функции y=f(φ(t)) выражается формулой

y′ t = y′ x x′ t .

По определению dy=y′ t dt , тогда получим

dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx ,

dy = y′ x dx .

Итак, доказали,

Свойство инвариантности формы первого дифференциала функции : как в случае, когда аргумент x является независимой переменной, так и в случае, когда аргумент x сам является дифференцируемой функцией новой переменной, дифференциал dy функции y=f(x) равен производной этой функции, умноженной на дифференциал аргумента dx .

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Мы показали, что дифференциал dy функции y=f(x) , вообще говоря, не равен приращению Δy этой функции. Тем не менее с точностью до бесконечно малой функции более высокого порядка малости, чем Δx , справедливо приближенное равенство

Δy ≈ dy .

Отношение называют относительной погрешностью равенства этого равенства. Так как Δy-dy=o(Δx) , то относительная погрешность данного равенства становится как угодно малой при уменьшении |Δх| .

Учитывая, что Δy=f(x+δ x)-f(x) , dy=f′(x)Δx , получим f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δx или

f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx .

Это приближенное равенство позволяет с ошибкой o(Δx) заменить функцию f(x) в малой окрестности точки x (т.е. для малых значений Δx ) линейной функцией аргумента Δx , стоящей в правой части.

Производные высших порядков

Определение . Второй производной (или производной второго порядка) функции y=f(x) называется производная от ее первой производной.

Обозначение второй производной функции y=f(x) :

Механический смысл второй производной . Если функция y=f(x) описывает закон движения материальной точки по прямой линии, то вторая производная f″(x) равна ускорению движущейся точки в момент времени x .

Аналогично определяется третья, четвертая производная.

Определение . n -й производной (или производной n -го порядка) функции y=f(x) называется производная от ее n-1 -й производной:

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′ .

Обозначения: y″′ , y IV , y V и т.д.

При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и обозначают символом

Тот процесс, с помощью которого из данной функции f(x) получают новую функцию f » (x) , называют дифференцированием и состоит он из следующих трех шагов: 1) даем аргументу x приращение  x и определяем соответствующее приращение функции  y = f(x+  x) -f(x) ; 2) составляем отношение

3) считая x постоянным, а  x 0, находим
, который обозначаем черезf » (x) , как бы подчеркивая тем самым, что полученная функция зависит лишь от того значения x , при котором мы переходим к пределу. Определение : Производной y » =f » (x) данной функции y=f(x) при данном x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т.е. конечен. Таким образом,
, или

Заметим, что если при некотором значении x , например при x=a , отношение
при x 0 не стремится к конечному пределу, то в этом случае говорят, что функция f(x) при x=a (или в точке x=a ) не имеет производной или не дифференцируема в точке x=a .

2. Геометрический смысл производной.

Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрест­ностях точки x 0

f(x)

Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку гра­фика функции — точку А(x 0 , f (х 0)) и пересекающую график в некоторой точке B(x;f(x)). Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ∆АВС: АС = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x .

Так как АС || Ox, то ALO = BAC = β (как соответственные при параллельных). Но ALO — это угол наклона секущей АВ к положи­тельному направлению оси Ох. Значит, tgβ = k — угловой коэффициент прямой АВ.

Теперь будем уменьшать ∆х, т.е. ∆х→ 0. При этом точка В будет прибли­жаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться. Пре­дельным положением секущей АВ при ∆х→ 0 будет прямая (a), называемая касательной к графику функции у = f (х) в точке А.

Если перейти к пределу при ∆х → 0 в равенстве tgβ =∆y/∆x, то получим
илиtg =f «(x 0), так как
-угол накло­на касательной к положительному направлению оси Ох
, по определению производной. Но tg = k — угловой коэффициент каса­тельной, значит, k = tg = f «(x 0).

Итак, геометрический смысл производной заключается в следую­щем:

Производная функции в точке x 0 равна угловому коэффициенту ка­сательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x 0 .

3.

Физический смысл производной.

Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в любой момент времени x(t). Известно (из курса физики), что средняя скорость за промежуток времени равна отношению расстояния, пройденного за этот промежуток времени, на время, т.е.

Vср = ∆x/∆t. Перейдем к пределу в последнем равенстве при ∆t → 0.

lim Vср (t) = (t 0) — мгновенная скорость в момент времени t 0 , ∆t → 0.

а lim = ∆x/∆t = x»(t 0) (по определению производной).

Итак, (t) =x»(t).

Физический смысл производной заключается в следующем: произ­водная функции y = f (x ) в точке x 0 — это скорость изменения функции f (х) в точке x 0

Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени.

(t) = x»(t) — скорость,

a(f) = »(t) — ускорение, или

Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно найти угловую скорость и угловое ускорение при вращатель­ном движении:

φ = φ(t) — изменение угла от времени,

ω = φ»(t) — угловая скорость,

ε = φ»(t) — угловое ускорение, или ε = φ»(t).

Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно найти линейную плотность неоднородного стержня:

m = m(х) — масса,

x  , l — длина стержня,

р = m»(х) — линейная плотность.

С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических колебаний. Так, по закону Гука

F = -kx, x – переменная координата, k- коэффициент упругости пружины. Положив ω 2 =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника х»(t) + ω 2 x(t) = 0,

где ω = √k/√m частота колебаний (l/c), k — жесткость пружины (H/m).

Уравнение вида у» + ω 2 y = 0 называется уравнением гармонических колебаний (механических, электрических, электромагнитных). Решени­ем таких уравнений является функция

у = Asin(ωt + φ 0) или у = Acos(ωt + φ 0), где

А — амплитуда колебаний, ω — циклическая частота,

φ 0 — начальная фаза.

Содержание статьи

ПРОИЗВОДНАЯ –производной функции y = f (x ), заданной на некотором интервале (a , b ) в точке x этого интервала, называется предел, к которому стремится отношение приращения функции f в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Производную принято обозначать так:

Широко употребляются и другие обозначения:

Мгновенная скорость.

Пусть точка M движется по прямой. Расстояние s движущейся точки, отсчитываемое от некоторого начального ее положения M 0 , зависит от времени t , т.е. s есть функция времени t : s = f (t ). Пусть в некоторый момент времени t движущаяся точка M находилась на расстоянии s от начального положения M 0, а в некоторый следующий момент t + Dt оказалась в положении M 1 – на расстоянии s + Ds от начального положения (см. рис .).

Таким образом, за промежуток времени Dt расстояние s изменилось на величину Ds . В этом случае говорят, что за промежуток времени Dt величина s получила приращение Ds .

Средняя скорость не может во всех случаях точно охарактеризовать быстроту перемещения точки M в момент времени t . Если, например, тело в начале промежутка Dt перемещалось очень быстро, а в конце очень медленно, то средняя скорость не сможет отразить указанных особенностей движения точки и дать представление об истинной скорости ее движения в момент t . Чтобы точнее выразить истинную скорость с помощью средней скорости, надо взять меньший промежуток времени Dt . Наиболее полно характеризует скорость движения точки в момент t тот предел, к которому стремится средняя скорость при Dt ® 0. Этот предел называют скоростью движения в данный момент:

Таким образом, скоростью движения в данный момент называется предел отношения приращения пути Ds к приращению времени Dt , когда приращение времени стремится к нулю. Так как

Геометрическое значение производной. Касательная к графику функции.

Построение касательных – одна из тех задач, которые привели к рождению дифференциального исчисления. Первый опубликованный труд, относящийся к дифференциальному исчислению и принадлежащий перу Лейбница, имел название Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого род исчисления .

Пусть кривая есть график функции y = f (x ) в прямоугольной системе координат (см . рис.).

При некотором значении x функция имеет значение y = f (x ). Этим значениям x и y на кривой соответствует точка M 0(x , y ). Если аргументу x дать приращение Dx , то новому значению аргумента x + Dx соответствует новое значение функции y+ Dy = f (x + Dx ). Соответствующей ему точкой кривой будет точка M 1(x + Dx , y + Dy ). Если провести секущую M 0M 1 и обозначить через j угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox , из рисунка непосредственно видно, что .

Если теперь Dx стремится к нулю, то точка M 1 перемещается вдоль кривой, приближаясь к точке M 0, и угол j изменяется с изменением Dx . При Dx ® 0 угол j стремится к некоторому пределу a и прямая, проходящая через точку M 0 и составляющая с положительным направлением оси абсцисс угол a, будет искомой касательной. Ее угловой коэффициент:

Следовательно, f ´(x ) = tga

т.е. значение производной f ´(x ) при данном значении аргумента x равняется тангенсу угла, образованного касательной к графику функции f (x ) в соответствующей точке M 0(x ,y ) с положительным направлением оси Ox .

Дифференцируемость функций.

Определение. Если функция y = f (x ) имеет производную в точке x = x 0, то функция дифференцируема в этой точке.

Непрерывность функции, имеющей производную. Теорема.

Если функция y = f (x ) дифференцируема в некоторой точке x = x 0, то она в этой точке непрерывна.

Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное заключение неверно, т.е. из того, что в какой-нибудь точке x = x 0 функция y = f (x ) непрерывна не следует, что она в этой точке дифференцируема. Например, функция y = |x | непрерывна для всех x (–Ґ х x = 0 не имеет производной. В этой точке не существует касательной к графику. Есть правая касательная и левая, но они не совпадают.

Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях. Теорема о корнях производной (теорема Ролля). Если функция f (x ) непрерывна на отрезке [a ,b ], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах x = a и x = b обращается в нуль (f (a ) = f (b ) = 0), то внутри отрезка [a ,b ] существует, по крайней мере одна, точка x = с , a c b, в которой производная f ў(x ) обращается в нуль, т.е. f ў(c ) = 0.

Теорема о конечных приращениях (теорема Лагранжа). Если функция f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка [a , b ] найдется по крайней мере одна точка с , a c b, что

f (b ) – f (a ) = f ў(c )(b a ).

Теорема об отношении приращений двух функций (теорема Коши). Если f (x ) и g (x ) – две функции, непрерывные на отрезке [a , b ] и дифференцируемые во всех внутренних точках этого отрезка, причем g ў(x ) нигде внутри этого отрезка не обращается в нуль, то внутри отрезка [a , b ] найдется такая точка x = с , a c b, что

Производные различных порядков.

Пусть функция y = f (x ) дифференцируема на некотором отрезке [a , b ]. Значения производной f ў(x ), вообще говоря, зависят от x , т. е. производная f ў(x ) представляет собой тоже функцию от x . При дифференцировании этой функции получается так называемая вторая производная от функции f (x ), которая обозначается f ўў (x ).

Производной n- го порядка от функции f (x ) называется производная (первого порядка) от производной n- 1го и обозначается символом y (n ) = (y (n – 1))ў.

Дифференциалы различных порядков.

Дифференциал функции y = f (x ), где x – независимая переменная, есть dy = f ў(x )dx , некоторая функция от x , но от x может зависеть только первый сомножитель f ў(x ), второй же сомножитель (dx ) является приращением независимой переменной x и от значения этой переменной не зависит. Так как dy есть функция от x , то можно определить дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала функции называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d 2y :

d (dx ) = d 2y = f ўў(x )(dx ) 2 .

Дифференциалом n- го порядка называется первый дифференциал от дифференциала n- 1го порядка:

d n y = d (d n –1 y ) = f (n )(x )dx (n ).

Частная производная.

Если функция зависит не от одного, а от нескольких аргументов x i (i изменяется от 1 до n , i = 1, 2,… n ), f (x 1, x 2,… x n ), то в дифференциальном исчислении вводится понятие частной производной, которая характеризует скорость изменения функции нескольких переменных, когда изменяется только один аргумент, например, x i . Частная производная 1-ого порядка по x i определяется как обычная производная, при этом предполагается, что все аргументы, кроме x i , сохраняют постоянные значения. Для частных производных вводятся обозначения

Определенные таким образом частные производные 1-ого порядка (как функции тех же аргументов) могут, в свою очередь, также иметь частные производные, это частные производные второго порядка и т.д. Взятые по разным аргументам такие производные называются смешанными. Непрерывные смешанные производные одного порядка не зависят от порядка дифференцирования и равны между собой.

Анна Чугайнова


Дата: 20.11.2014

Таблица производных.

Производная — одно из главных понятий высшей математики. В этом уроке мы познакомимся с этим понятием. Именно познакомимся, без строгих математических формулировок и доказательств.

Это знакомство позволит:

Понимать суть несложных заданий с производной;

Успешно решать эти самые несложные задания;

Подготовиться к более серьёзным урокам по производной.

Сначала — приятный сюрприз.)

Строгое определение производной основано на теории пределов и штука достаточно сложная. Это огорчает. Но практическое применение производной, как правило, не требует таких обширных и глубоких знаний!

Для успешного выполнения большинства заданий в школе и ВУЗе достаточно знать всего несколько терминов — чтобы понять задание, и всего несколько правил — чтобы его решить. И всё. Это радует.

Приступим к знакомству?)

Термины и обозначения.

В элементарной математике много всяких математических операций. Сложение, вычитание умножение, возведение в степень, логарифмирование и т.д. Если к этим операциям добавить ещё одну, элементарная математика становится высшей. Эта новая операция называется дифференцирование. Определение и смысл этой операции будут рассмотрены в отдельных уроках.

Здесь же важно понять, что дифференцирование — это просто математическая операция над функцией. Берём любую функцию и, по определённым правилам, преобразовываем её. В результате получится новая функция. Вот эта новая функция и называется: производная.

Дифференцирование — действие над функцией.

Производная — результат этого действия.

Так же, как, например, сумма — результат сложения. Или частное — результат деления.

Зная термины, можно, как минимум, понимать задания.) Формулировки бывают такие: найти производную функции; взять производную; продифференцировать функцию; вычислить производную и т.п. Это всё одно и то же. Разумеется, бывают и более сложные задания, где нахождение производной (дифференцирование) будет всего лишь одним из шагов решения задания.

Обозначается производная с помощью штришка вверху справа над функцией. Вот так: или f»(x) или S»(t) и так далее.

Читается игрек штрих, эф штрих от икс, эс штрих от тэ, ну вы поняли…)

Штрих также может обозначать производную конкретной функции, например: (2х+3)» , (x 3 , (sinx)» и т.д. Часто производная обозначается с помощью дифференциалов, но такое обозначение в этом уроке мы рассматривать не будем.

Предположим, что понимать задания мы научились. Осталось всего ничего — научиться их решать.) Напомню ещё раз: нахождение производной — это преобразование функции по определённым правилам. Этих правил, на удивление, совсем немного.

Чтобы найти производную функции, надо знать всего три вещи. Три кита, на которых стоит всё дифференцирование. Вот они эти три кита:

1. Таблица производных (формулы дифференцирования).

3. Производная сложной функции.

Начнём по порядку. В этом уроке рассмотрим таблицу производных.

Таблица производных.

В мире — бесконечное множество функций. Среди этого множества есть функции, которые наиболее важны для практического применения. Эти функции сидят во всех законах природы. Из этих функций, как из кирпичиков, можно сконструировать все остальные. Этот класс функций называется элементарные функции. Именно эти функции и изучаются в школе — линейная, квадратичная, гипербола и т.п.

Дифференцирование функций «с нуля», т. е. исходя из определения производной и теории пределов — штука достаточно трудоёмкая. А математики — тоже люди, да-да!) Вот и упростили себе (и нам) жизнь. Они вычислили производные элементарных функций до нас. Получилась таблица производных, где всё уже готово.)

Вот она, эта табличка для самых популярных функций. Слева — элементарная функция, справа — её производная.

Рекомендую обратить внимание на третью группу функций в этой таблице производных. Производная степенной функции — одна из самых употребительных формул, если только не самая употребительная! Намёк понятен?) Да, таблицу производных желательно знать наизусть. Кстати, это не так трудно, как может показаться. Попробуйте решать побольше примеров, таблица сама и запомнится!)

Найти табличное значение производной, как вы понимаете, задание не самое трудное. Поэтому очень часто в подобных заданиях встречаются дополнительные фишки. Либо в формулировке задания, либо в исходной функции, которой в таблице — вроде и нету. ..

Рассмотрим несколько примеров:

1. Найти производную функции y = x 3

Такой функции в таблице нет. Но есть производная степенной функции в общем виде (третья группа). В нашем случае n=3. Вот и подставляем тройку вместо n и аккуратно записываем результат:

(x 3) » = 3·x 3-1 = 3x 2

Вот и все дела.

Ответ: y» = 3x 2

2. Найти значение производной функции y = sinx в точке х = 0.

Это задание означает, что надо сначала найти производную от синуса, а затем подставить значение х = 0 в эту самую производную. Именно в таком порядке! А то, бывает, сразу подставляют ноль в исходную функцию… Нас же просят найти не значение исходной функции, а значение её производной. Производная, напомню — это уже новая функция.

По табличке находим синус и соответствующую производную:

y» = (sin x)» = cosx

Подставляем ноль в производную:

y»(0) = cos 0 = 1

Это и будет ответ.

3. Продифференцировать функцию:

Что, внушает?) Такой функции в таблице производных и близко нет.

Напомню, что продифференцировать функцию — это просто найти производную этой функции. Если забыть элементарную тригонометрию, искать производную нашей функции достаточно хлопотно. Таблица не помогает…

Но если увидеть, что наша функция — это косинус двойного угла , то всё сразу налаживается!

Да-да! Запомните, что преобразование исходной функции до дифференцирования вполне допускается! И, случается, здорово облегчает жизнь. По формуле косинуса двойного угла:

Т.е. наша хитрая функция есть не что иное, как y = cosx . А это — табличная функция. Сразу получаем:

Ответ: y» = — sin x .

Пример для продвинутых выпускников и студентов:

4. Найти производную функции:

Такой функции в таблице производных нет, разумеется. Но если вспомнить элементарную математику, действия со степенями. .. То вполне можно упростить эту функцию. Вот так:

А икс в степени одна десятая — это уже табличная функция! Третья группа, n=1/10. Прямо по формуле и записываем:

Вот и всё. Это будет ответ.

Надеюсь, что с первым китом дифференцирования — таблицей производных — всё ясно. Осталось разобраться с двумя оставшимися китами. В следующем уроке освоим правила дифференцирования.

Первая производная функции в точке показывает. Что такое производная?Определение и смысл производной функции

В задаче B9 дается график функции или производной, по которому требуется определить одну из следующих величин:

  1. Значение производной в некоторой точке x 0 ,
  2. Точки максимума или минимума (точки экстремума),
  3. Интервалы возрастания и убывания функции (интервалы монотонности).

Функции и производные, представленные в этой задаче, всегда непрерывны, что значительно упрощает решение. Не смотря на то, что задача относится к разделу математического анализа, она вполне по силам даже самым слабым ученикам, поскольку никаких глубоких теоретических познаний здесь не требуется.

Для нахождения значения производной, точек экстремума и интервалов монотонности существуют простые и универсальные алгоритмы — все они будут рассмотрены ниже.

Внимательно читайте условие задачи B9, чтобы не допускать глупых ошибок: иногда попадаются довольно объемные тексты, но важных условий, которые влияют на ход решения, там немного.

Вычисление значения производной. Метод двух точек

Если в задаче дан график функции f(x), касательная к этому графику в некоторой точке x 0 , и требуется найти значение производной в этой точке, применяется следующий алгоритм:

  1. Найти на графике касательной две «адекватные» точки: их координаты должны быть целочисленными. Обозначим эти точки A (x 1 ; y 1) и B (x 2 ; y 2). Правильно выписывайте координаты — это ключевой момент решения, и любая ошибка здесь приводит к неправильному ответу.
  2. Зная координаты, легко вычислить приращение аргумента Δx = x 2 − x 1 и приращение функции Δy = y 2 − y 1 .
  3. Наконец, находим значение производной D = Δy/Δx. Иными словами, надо разделить приращение функции на приращение аргумента — и это будет ответ.

Еще раз отметим: точки A и B надо искать именно на касательной, а не на графике функции f(x), как это часто случается. Касательная обязательно будет содержать хотя бы две таких точки — иначе задача составлена некорректно.

Рассмотрим точки A (−3; 2) и B (−1; 6) и найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Найдем значение производной: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .

Рассмотрим точки A (0; 3) и B (3; 0), найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Теперь находим значение производной: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .

Рассмотрим точки A (0; 2) и B (5; 2) и найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Осталось найти значение производной: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Из последнего примера можно сформулировать правило: если касательная параллельна оси OX, производная функции в точке касания равна нулю. В этом случае даже не надо ничего считать — достаточно взглянуть на график.

Вычисление точек максимума и минимума

Иногда вместо графика функции в задаче B9 дается график производной и требуется найти точку максимума или минимума функции. При таком раскладе метод двух точек бесполезен, но существует другой, еще более простой алгоритм. Для начала определимся с терминологией:

  1. Точка x 0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x 0) ≥ f(x).
  2. Точка x 0 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x 0) ≤ f(x).

Для того чтобы найти точки максимума и минимума по графику производной, достаточно выполнить следующие шаги:

  1. Перечертить график производной, убрав всю лишнюю информацию. Как показывает практика, лишние данные только мешают решению. Поэтому отмечаем на координатной оси нули производной — и все.
  2. Выяснить знаки производной на промежутках между нулями. Если для некоторой точки x 0 известно, что f’(x 0) ≠ 0, то возможны лишь два варианта: f’(x 0) ≥ 0 или f’(x 0) ≤ 0. Знак производной легко определить по исходному чертежу: если график производной лежит выше оси OX, значит f’(x) ≥ 0. И наоборот, если график производной проходит под осью OX, то f’(x) ≤ 0.
  3. Снова проверяем нули и знаки производной. Там, где знак меняется с минуса на плюс, находится точка минимума. И наоборот, если знак производной меняется с плюса на минус, это точка максимума. Отсчет всегда ведется слева направо.

Эта схема работает только для непрерывных функций — других в задаче B9 не встречается.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−5; 5]. Найдите точку минимума функции f(x) на этом отрезке.

Избавимся от лишней информации — оставим только границы [−5; 5] и нули производной x = −3 и x = 2,5. Также отметим знаки:

Очевидно, в точке x = −3 знак производной меняется с минуса на плюс. Это и есть точка минимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7]. Найдите точку максимума функции f(x) на этом отрезке.

Перечертим график, оставив на координатной оси только границы [−3; 7] и нули производной x = −1,7 и x = 5. Отметим на полученном графике знаки производной. Имеем:

Очевидно, в точке x = 5 знак производной меняется с плюса на минус — это точка максимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−6; 4]. Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−4; 3].

Из условия задачи следует, что достаточно рассмотреть только часть графика, ограниченную отрезком [−4; 3]. Поэтому строим новый график, на котором отмечаем только границы [−4; 3] и нули производной внутри него. А именно, точки x = −3,5 и x = 2. Получаем:

На этом графике есть лишь одна точка максимума x = 2. Именно в ней знак производной меняется с плюса на минус.

Небольшое замечание по поводу точек с нецелочисленными координатами. Например, в последней задаче была рассмотрена точка x = −3,5, но с тем же успехом можно взять x = −3,4. Если задача составлена корректно, такие изменения не должны влиять на ответ, поскольку точки «без определенного места жительства» не принимают непосредственного участия в решении задачи. Разумеется, с целочисленными точками такой фокус не пройдет.

Нахождение интервалов возрастания и убывания функции

В такой задаче, подобно точкам максимума и минимума, предлагается по графику производной отыскать области, в которых сама функция возрастает или убывает. Для начала определим, что такое возрастание и убывание:

  1. Функция f(x) называется возрастающей на отрезке если для любых двух точек x 1 и x 2 из этого отрезка верно утверждение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Другими словами, чем больше значение аргумента, тем больше значение функции.
  2. Функция f(x) называется убывающей на отрезке если для любых двух точек x 1 и x 2 из этого отрезка верно утверждение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сформулируем достаточные условия возрастания и убывания:

  1. Для того чтобы непрерывная функция f(x) возрастала на отрезке , достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была положительна, т.е. f’(x) ≥ 0.
  2. Для того чтобы непрерывная функция f(x) убывала на отрезке , достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была отрицательна, т.е. f’(x) ≤ 0.

Примем эти утверждения без доказательств. Таким образом, получаем схему для нахождения интервалов возрастания и убывания, которая во многом похожа на алгоритм вычисления точек экстремума:

  1. Убрать всю лишнюю информацию. На исходном графике производной нас интересуют в первую очередь нули функции, поэтому оставим только их.
  2. Отметить знаки производной на интервалах между нулями. Там, где f’(x) ≥ 0, функция возрастает, а где f’(x) ≤ 0 — убывает. Если в задаче установлены ограничения на переменную x, дополнительно отмечаем их на новом графике.
  3. Теперь, когда нам известно поведение функции и ограничения, остается вычислить требуемую в задаче величину.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7,5]. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки.

Как обычно, перечертим график и отметим границы [−3; 7,5], а также нули производной x = −1,5 и x = 5,3. Затем отметим знаки производной. Имеем:

Поскольку на интервале (− 1,5) производная отрицательна, это и есть интервал убывания функции. Осталось просуммировать все целые числа, которые находятся внутри этого интервала:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14. nx. Формулы производных высших порядков.

Производная экспоненты равна самой экспоненте (производная e в степени x равна e в степени x):
(1) (e x )′ = e x .

Производная показательной функции с основанием степени a равна самой функции, умноженной на натуральный логарифм от a :
(2) .

Вывод формулы производной экспоненты, e в степени x

Экспонента — это показательная функция, у которой основание степени равно числу e , которое является следующим пределом:
.
Здесь может быть как натуральным, так и действительным числом. Далее мы выводим формулу (1) производной экспоненты.

Вывод формулы производной экспоненты

Рассмотрим экспоненту, e в степени x :
y = e x .
Эта функция определена для всех . Найдем ее производную по переменной x . По определению, производная является следующим пределом:
(3) .

Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим свойствам и правилам. Для этого нам понадобятся следующие факты:
А) Свойство экспоненты :
(4) ;
Б) Свойство логарифма :
(5) ;
В) Непрерывность логарифма и свойство пределов для непрерывной функции:
(6) .
Здесь — некоторая функция, у которой существует предел и этот предел положителен.
Г) Значение второго замечательного предела:
(7) .

Применяем эти факты к нашему пределу (3). Используем свойство (4):
;
.

Сделаем подстановку . Тогда ; .
В силу непрерывности экспоненты,
.
Поэтому при , . В результате получаем:
.

Сделаем подстановку . Тогда . При , . И мы имеем:
.

Применим свойство логарифма (5):
. Тогда
.

Применим свойство (6). Поскольку существует положительный предел и логарифм непрерывен, то:
.
Здесь мы также воспользовались вторым замечательным пределом (7). Тогда
.

Тем самым мы получили формулу (1) производной экспоненты.

Вывод формулы производной показательной функции

Теперь выведем формулу (2) производной показательной функции с основанием степени a . Мы считаем, что и . Тогда показательная функция
(8)
Определена для всех .

Преобразуем формулу (8). Для этого воспользуемся свойствами показательной функции и логарифма .
;
.
Итак, мы преобразовали формулу (8) к следующему виду:
.

Производные высших порядков от e в степени x

Теперь найдем производные высших порядков. Сначала рассмотрим экспоненту:
(14) .
(1) .

Мы видим, что производная от функции (14) равна самой функции (14). Дифференцируя (1), получаем производные второго и третьего порядка:
;
.

Отсюда видно, что производная n-го порядка также равна исходной функции:
.

Производные высших порядков показательной функции

Теперь рассмотрим показательную функцию с основанием степени a :
.
Мы нашли ее производную первого порядка:
(15) .

Дифференцируя (15), получаем производные второго и третьего порядка:
;
.

Мы видим, что каждое дифференцирование приводит к умножению исходной функции на . Поэтому производная n-го порядка имеет следующий вид:
.

Содержание статьи

ПРОИЗВОДНАЯ –производной функции y = f (x ), заданной на некотором интервале (a , b ) в точке x этого интервала, называется предел, к которому стремится отношение приращения функции f в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Производную принято обозначать так:

Широко употребляются и другие обозначения:

Мгновенная скорость.

Пусть точка M движется по прямой. Расстояние s движущейся точки, отсчитываемое от некоторого начального ее положения M 0 , зависит от времени t , т.е. s есть функция времени t : s = f (t ). Пусть в некоторый момент времени t движущаяся точка M находилась на расстоянии s от начального положения M 0, а в некоторый следующий момент t + Dt оказалась в положении M 1 – на расстоянии s + Ds от начального положения (см. рис .).

Таким образом, за промежуток времени Dt расстояние s изменилось на величину Ds . В этом случае говорят, что за промежуток времени Dt величина s получила приращение Ds .

Средняя скорость не может во всех случаях точно охарактеризовать быстроту перемещения точки M в момент времени t . Если, например, тело в начале промежутка Dt перемещалось очень быстро, а в конце очень медленно, то средняя скорость не сможет отразить указанных особенностей движения точки и дать представление об истинной скорости ее движения в момент t . Чтобы точнее выразить истинную скорость с помощью средней скорости, надо взять меньший промежуток времени Dt . Наиболее полно характеризует скорость движения точки в момент t тот предел, к которому стремится средняя скорость при Dt ® 0. Этот предел называют скоростью движения в данный момент:

Таким образом, скоростью движения в данный момент называется предел отношения приращения пути Ds к приращению времени Dt , когда приращение времени стремится к нулю. Так как

Геометрическое значение производной. Касательная к графику функции.

Построение касательных – одна из тех задач, которые привели к рождению дифференциального исчисления. Первый опубликованный труд, относящийся к дифференциальному исчислению и принадлежащий перу Лейбница, имел название Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого род исчисления .

Пусть кривая есть график функции y = f (x ) в прямоугольной системе координат (см . рис.).

При некотором значении x функция имеет значение y = f (x ). Этим значениям x и y на кривой соответствует точка M 0(x , y ). Если аргументу x дать приращение Dx , то новому значению аргумента x + Dx соответствует новое значение функции y+ Dy = f (x + Dx ). Соответствующей ему точкой кривой будет точка M 1(x + Dx , y + Dy ). Если провести секущую M 0M 1 и обозначить через j угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox , из рисунка непосредственно видно, что .

Если теперь Dx стремится к нулю, то точка M 1 перемещается вдоль кривой, приближаясь к точке M 0, и угол j изменяется с изменением Dx . При Dx ® 0 угол j стремится к некоторому пределу a и прямая, проходящая через точку M 0 и составляющая с положительным направлением оси абсцисс угол a, будет искомой касательной. Ее угловой коэффициент:

Следовательно, f ´(x ) = tga

т. е. значение производной f ´(x ) при данном значении аргумента x равняется тангенсу угла, образованного касательной к графику функции f (x ) в соответствующей точке M 0(x ,y ) с положительным направлением оси Ox .

Дифференцируемость функций.

Определение. Если функция y = f (x ) имеет производную в точке x = x 0, то функция дифференцируема в этой точке.

Непрерывность функции, имеющей производную. Теорема.

Если функция y = f (x ) дифференцируема в некоторой точке x = x 0, то она в этой точке непрерывна.

Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное заключение неверно, т.е. из того, что в какой-нибудь точке x = x 0 функция y = f (x ) непрерывна не следует, что она в этой точке дифференцируема. Например, функция y = |x | непрерывна для всех x (–Ґ х x = 0 не имеет производной. В этой точке не существует касательной к графику. Есть правая касательная и левая, но они не совпадают.

Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях. Теорема о корнях производной (теорема Ролля). Если функция f (x ) непрерывна на отрезке [a ,b ], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах x = a и x = b обращается в нуль (f (a ) = f (b ) = 0), то внутри отрезка [a ,b ] существует, по крайней мере одна, точка x = с , a c b, в которой производная f ў(x ) обращается в нуль, т.е. f ў(c ) = 0.

Теорема о конечных приращениях (теорема Лагранжа). Если функция f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка [a , b ] найдется по крайней мере одна точка с , a c b, что

f (b ) – f (a ) = f ў(c )(b a ).

Теорема об отношении приращений двух функций (теорема Коши). Если f (x ) и g (x ) – две функции, непрерывные на отрезке [a , b ] и дифференцируемые во всех внутренних точках этого отрезка, причем g ў(x ) нигде внутри этого отрезка не обращается в нуль, то внутри отрезка [a , b ] найдется такая точка x = с , a c b, что

Производные различных порядков.

Пусть функция y = f (x ) дифференцируема на некотором отрезке [a , b ]. Значения производной f ў(x ), вообще говоря, зависят от x , т.е. производная f ў(x ) представляет собой тоже функцию от x . При дифференцировании этой функции получается так называемая вторая производная от функции f (x ), которая обозначается f ўў (x ).

Производной n- го порядка от функции f (x ) называется производная (первого порядка) от производной n- 1го и обозначается символом y (n ) = (y (n – 1))ў.

Дифференциалы различных порядков.

Дифференциал функции y = f (x ), где x – независимая переменная, есть dy = f ў(x )dx , некоторая функция от x , но от x может зависеть только первый сомножитель f ў(x ), второй же сомножитель (dx ) является приращением независимой переменной x и от значения этой переменной не зависит. Так как dy есть функция от x , то можно определить дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала функции называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d 2y :

d (dx ) = d 2y = f ўў(x )(dx ) 2 .

Дифференциалом n- го порядка называется первый дифференциал от дифференциала n- 1го порядка:

d n y = d (d n –1 y ) = f (n )(x )dx (n ).

Частная производная.

Если функция зависит не от одного, а от нескольких аргументов x i (i изменяется от 1 до n , i = 1, 2,… n ), f (x 1, x 2,… x n ), то в дифференциальном исчислении вводится понятие частной производной, которая характеризует скорость изменения функции нескольких переменных, когда изменяется только один аргумент, например, x i . Частная производная 1-ого порядка по x i определяется как обычная производная, при этом предполагается, что все аргументы, кроме x i , сохраняют постоянные значения. Для частных производных вводятся обозначения

Определенные таким образом частные производные 1-ого порядка (как функции тех же аргументов) могут, в свою очередь, также иметь частные производные, это частные производные второго порядка и т.д. Взятые по разным аргументам такие производные называются смешанными. Непрерывные смешанные производные одного порядка не зависят от порядка дифференцирования и равны между собой.

Анна Чугайнова

Когда человек сделал первые самостоятельные шаги в изучении математического анализа и начинает задавать неудобные вопросы, то уже не так-то просто отделаться фразой, что «дифференциальное исчисление найдено в капусте». Поэтому настало время набраться решимости и раскрыть тайну появления на светтаблицы производных и правил дифференцирования . Начало положено в статьео смысле производной , которую я настоятельно рекомендую к изучению, поскольку там мы как раз рассмотрели понятие производной и начали щёлкать задачи по теме. Этот же урок носит ярко выраженную практическую направленность, более того,

рассматриваемые ниже примеры, в принципе, можно освоить и чисто формально (например, когда нет времени/желания вникать в суть производной). Также крайне желательно (однако опять не обязательно) уметь находить производные «обычным» методом – хотя бы на уровне двух базовых занятий: Как найти производную?и Производная сложной функции.

Но без чего-чего сейчас точно не обойтись, так это безпределов функций . Вы должны ПОНИМАТЬ, что такое предел и уметь решать их, как минимум, на среднем уровне. А всё потому, чтопроизводная

функции в точке определяется формулой:

Напоминаю обозначения и термины: называютприращением аргумента ;

– приращением функции;

– это ЕДИНЫЕ символы («дельту» нельзя «отрывать» от «икса» или «игрека»).

Очевидно, что является «динамической» переменной,– константой и результат вычисления предела– числом(иногда – «плюс» либо «минус» бесконечностью) .

В качестве точки можно рассмотреть ЛЮБОЕ значение, принадлежащееобласти определения функции, в котором существует производная.

Примечание : оговорка «в котором существует производная» –в общем случае существенна ! Так, например, точкахоть и входит в область определения функции, но производной

там не существует. Поэтому формула

не применима в точке,

и укороченная формулировка без оговорки будет некорректна. Аналогичные факты справедливы и для других функций с «обрывами» графика, в частности, для арксинуса и арккосинуса.

Таким образом, после замены , получаем вторую рабочую формулу:

Обратите внимание на коварное обстоятельство, которое может запутать чайника: в данном пределе «икс», будучи сам независимой переменной, исполняет роль статиста, а «динамику» задаёт опять же приращение . Результатом вычисления предела

является производная функция.

Исходя из вышесказанного, сформулируем условия двух типовых задач:

– Найти производную в точке , используя определение производной.

– Найти производную функцию , используя определение производной. Эта версия, по моим наблюдениям, встречается заметно чаще и ей будет уделено основное внимание.

Принципиальное отличие заданий состоит в том, что в первом случае требуется найти число (как вариант, бесконечность) , а во втором –

функцию . Кроме того, производной может и вовсе не существовать.

Как ?

Составить отношение и вычислить предел.

Откуда появилась таблица производных и правила дифференцирования? Благодаря единственному пределу

Кажется волшебством, но в

действительности – ловкость рук и никакого мошенничества. На уроке Что такое производная? я начал рассматривать конкретные примеры, где с помощью определения нашёл производные линейной и квадратичной функции. В целях познавательной разминки продолжим тревожитьтаблицу производных , оттачивая алгоритм и технические приёмы решения:

По сути, требуется доказать частный случай производной степенной функции, который обычно фигурирует в таблице: .

Решение технически оформляется двумя способами. Начнём с первого, уже знакомого подхода: лесенка начинается с дощечки, а производная функция – с производной в точке.

Рассмотрим некоторую (конкретную) точку, принадлежащуюобласти определения функции, в которой существует производная. Зададим в данной точке приращение (разумеется, не выходящее за рамки о/о -я) и составим соответствующее приращение функции:

Вычислим предел:

Неопределённость 0:0 устраняется стандартным приёмом, рассмотренным ещё в первом веке до нашей эры. Домножим

числитель и знаменатель на сопряженное выражение :

Техника решения такого предела подробно рассмотрена на вводном уроке о пределах функций .

Поскольку в качестве можно выбрать ЛЮБУЮ точкуинтервала

То, осуществив замену, получаем:

В который раз порадуемся логарифмам:

Найти производную функции , пользуясь определением производной

Решение : рассмотрим другой подход к раскрутке той же задачи. Он точно такой же, но более рационален с точки зрения оформления. Идея состоит в том, чтобы в начале решения избавиться от

подстрочного индекса и вместо буквы использовать букву.

Рассмотрим произвольную точку, принадлежащуюобласти определения функции(интервалу), и зададим в ней приращение.А вот здесь, кстати, как и в большинстве случаев, можно обойтись без всяких оговорок, поскольку логарифмическая функция дифференцируема в любой точке области определения.

Тогда соответствующее приращение функции:

Найдём производную:

Простота оформления уравновешивается путаницей, которая может

возникнуть у начинающих (да и не только). Ведь мы привыкли, что в пределе изменяется буква «икс»! Но тут всё по-другому: – античная статуя, а– живой посетитель, бодро шагающий по коридору музея. То есть «икс» – это «как бы константа».

Устранение неопределённости закомментирую пошагово:

(1) Используем свойство логарифма .

(2) В скобках почленно делим числитель на знаменатель.

(3) В знаменателе искусственно домножаем и делим на «икс» чтобы

воспользоваться замечательным пределом , при этом в качествебесконечно малой величины выступает.

Ответ : по определению производной:

Или сокращённо:

Предлагаю самостоятельно сконструировать ещё две табличные формулы:

Найти производную по определению

В данном случае составленное приращение сразу же удобно привести к общему знаменателю. Примерный образец оформления задания в конце урока (первый способ).

Найти производную по определению

А тут всё необходимо свести к замечательному пределу . Решение оформлено вторым способом.

Аналогично выводится ряд других табличных производных . Полный список можно найти в школьном учебнике, или, например, 1- м томе Фихтенгольца. Не вижу особого смысла переписывать из книг и доказательства правил дифференцирования – они тоже порождены

формулой .

Переходим к реально встречающимся заданиям: Пример 5

Найти производную функции , используя определение производной

Решение : используем первый стиль оформления. Рассмотрим некоторую точку, принадлежащую, и зададим в ней приращение аргумента. Тогда соответствующее приращение функции:

Возможно, некоторые читатели ещё не до конца поняли принцип, по которому нужно составлять приращение . Берём точку(число) и находим в ней значение функции:, то есть в функцию

вместо «икса» следует подставить. Теперь берём

Составленное приращение функции бывает выгодно сразу же упростить . Зачем? Облегчить и укоротить решение дальнейшего предела.

Используем формулы , раскрываем скобки и сокращаем всё, что можно сократить:

Индейка выпотрошена, с жаркое никаких проблем:

В итоге:

Поскольку в качестве можно выбрать любое действительное число, то проведём заменуи получим.

Ответ :по определению.

В целях проверки найдём производную с помощью правил

дифференцирования и таблицы:

Всегда полезно и приятно знать правильный ответ заранее, поэтому лучше мысленно либо на черновике продифференцировать предложенную функцию «быстрым» способом в самом начале решения.

Найти производную функции по определению производной

Это пример для самостоятельного решения. Результат лежит на поверхности:

Вернёмся к стилю №2: Пример 7

Давайте немедленно узнаем, что должно получиться. По правилу дифференцирования сложной функции :

Решение : рассмотрим произвольную точку, принадлежащую, зададим в ней приращение аргументаи составим приращение

Найдём производную:

(1) Используем тригонометрическую формулу

(2) Под синусом раскрываем скобки, под косинусом приводим подобные слагаемые.

(3) Под синусом сокращаем слагаемые, под косинусом почленно делим числитель на знаменатель.

(4) В силу нечётности синуса выносим «минус». Под косинусом

указываем, что слагаемое .

(5) В знаменателе проводим искусственное домножение, чтобы использовать первый замечательный предел . Таким образом, неопределённость устранена, причёсываем результат.

Ответ :по определению Как видите, основная трудность рассматриваемой задачи упирается в

сложность самого предела + небольшое своеобразие упаковки. На практике встречаются и тот и другой способ оформления, поэтому я максимально подробно расписываю оба подхода. Они равноценны, но всё-таки, по моему субъективному впечатлению, чайникам целесообразнее придерживаться 1-го варианта с «икс нулевым».

Пользуясь определением, найти производную функции

Это задание для самостоятельного решения. Образец оформлен в том же духе, что предыдущий пример.

Разберём более редкую версию задачи:

Найти производную функции в точке, пользуясь определением производной.

Во-первых, что должно получиться в сухом остатке? Число Вычислим ответ стандартным способом:

Решение : с точки зрения наглядности это задание значительно проще, так как в формулевместо

рассматривается конкретное значение.

Зададим в точке приращениеи составим соответствующее приращение функции:

Вычислим производную в точке:

Используем весьма редкую формулу разности тангенсов и в который раз сведём решение кпервому

замечательному пределу:

Ответ :по определению производной в точке.

Задачу не так трудно решить и «в общем виде» – достаточно заменить наили простов зависимости от способа оформления. В этом случае, понятно, получится не число, а производная функция.

Пример 10 Используя определение, найти производную функциив точке

Это пример для самостоятельного решения.

Заключительная бонус-задача предназначена, прежде всего, для студентов с углубленным изучением математического анализа, но и всем остальным тоже не помешает:

Будет ли дифференцируема функция в точке?

Решение : очевидно, что кусочно-заданная функциянепрерывна в точке, но будет ли она там дифференцируема?

Алгоритм решения, причём не только для кусочных функций, таков:

1) Находим левостороннюю производнуюв данной точке: .

2) Находим правостороннюю производнуюв данной точке: .

3) Если односторонние производныеконечны и совпадают:

, то функциядифференцируема в точкеи

геометрически здесь существует общая касательная (см. теоретическую часть урока Определение и смысл производной ).

Если получены два разных значения: (одно из которых может оказаться и бесконечным) , то функция не дифференцируема в точке.

Если же обе односторонние производные равны бесконечности

(пусть даже разных знаков), то функция не

дифференцируема в точке , но там существует бесконечная производная и общая вертикальная касательная к графику(см. Пример 5 урока Уравнение нормали ) .


Дата: 20.11.2014

Таблица производных.

Производная — одно из главных понятий высшей математики. В этом уроке мы познакомимся с этим понятием. Именно познакомимся, без строгих математических формулировок и доказательств.

Это знакомство позволит:

Понимать суть несложных заданий с производной;

Успешно решать эти самые несложные задания;

Подготовиться к более серьёзным урокам по производной.

Сначала — приятный сюрприз.)

Строгое определение производной основано на теории пределов и штука достаточно сложная. Это огорчает. Но практическое применение производной, как правило, не требует таких обширных и глубоких знаний!

Для успешного выполнения большинства заданий в школе и ВУЗе достаточно знать всего несколько терминов — чтобы понять задание, и всего несколько правил — чтобы его решить. И всё. Это радует.

Приступим к знакомству?)

Термины и обозначения.

В элементарной математике много всяких математических операций. Сложение, вычитание умножение, возведение в степень, логарифмирование и т.д. Если к этим операциям добавить ещё одну, элементарная математика становится высшей. Эта новая операция называется дифференцирование. Определение и смысл этой операции будут рассмотрены в отдельных уроках.

Здесь же важно понять, что дифференцирование — это просто математическая операция над функцией. Берём любую функцию и, по определённым правилам, преобразовываем её. В результате получится новая функция. Вот эта новая функция и называется: производная.

Дифференцирование — действие над функцией.

Производная — результат этого действия.

Так же, как, например, сумма — результат сложения. Или частное — результат деления.

Зная термины, можно, как минимум, понимать задания.) Формулировки бывают такие: найти производную функции; взять производную; продифференцировать функцию; вычислить производную и т. п. Это всё одно и то же. Разумеется, бывают и более сложные задания, где нахождение производной (дифференцирование) будет всего лишь одним из шагов решения задания.

Обозначается производная с помощью штришка вверху справа над функцией. Вот так: или f»(x) или S»(t) и так далее.

Читается игрек штрих, эф штрих от икс, эс штрих от тэ, ну вы поняли…)

Штрих также может обозначать производную конкретной функции, например: (2х+3)» , (x 3 , (sinx)» и т.д. Часто производная обозначается с помощью дифференциалов, но такое обозначение в этом уроке мы рассматривать не будем.

Предположим, что понимать задания мы научились. Осталось всего ничего — научиться их решать.) Напомню ещё раз: нахождение производной — это преобразование функции по определённым правилам. Этих правил, на удивление, совсем немного.

Чтобы найти производную функции, надо знать всего три вещи. Три кита, на которых стоит всё дифференцирование. Вот они эти три кита:

1. Таблица производных (формулы дифференцирования).

3. Производная сложной функции.

Начнём по порядку. В этом уроке рассмотрим таблицу производных.

Таблица производных.

В мире — бесконечное множество функций. Среди этого множества есть функции, которые наиболее важны для практического применения. Эти функции сидят во всех законах природы. Из этих функций, как из кирпичиков, можно сконструировать все остальные. Этот класс функций называется элементарные функции. Именно эти функции и изучаются в школе — линейная, квадратичная, гипербола и т.п.

Дифференцирование функций «с нуля», т.е. исходя из определения производной и теории пределов — штука достаточно трудоёмкая. А математики — тоже люди, да-да!) Вот и упростили себе (и нам) жизнь. Они вычислили производные элементарных функций до нас. Получилась таблица производных, где всё уже готово.)

Вот она, эта табличка для самых популярных функций. Слева — элементарная функция, справа — её производная.

Рекомендую обратить внимание на третью группу функций в этой таблице производных. Производная степенной функции — одна из самых употребительных формул, если только не самая употребительная! Намёк понятен?) Да, таблицу производных желательно знать наизусть. Кстати, это не так трудно, как может показаться. Попробуйте решать побольше примеров, таблица сама и запомнится!)

Найти табличное значение производной, как вы понимаете, задание не самое трудное. Поэтому очень часто в подобных заданиях встречаются дополнительные фишки. Либо в формулировке задания, либо в исходной функции, которой в таблице — вроде и нету…

Рассмотрим несколько примеров:

1. Найти производную функции y = x 3

Такой функции в таблице нет. Но есть производная степенной функции в общем виде (третья группа). В нашем случае n=3. Вот и подставляем тройку вместо n и аккуратно записываем результат:

(x 3) » = 3·x 3-1 = 3x 2

Вот и все дела.

Ответ: y» = 3x 2

2. Найти значение производной функции y = sinx в точке х = 0.

Это задание означает, что надо сначала найти производную от синуса, а затем подставить значение х = 0 в эту самую производную. Именно в таком порядке! А то, бывает, сразу подставляют ноль в исходную функцию… Нас же просят найти не значение исходной функции, а значение её производной. Производная, напомню — это уже новая функция.

По табличке находим синус и соответствующую производную:

y» = (sin x)» = cosx

Подставляем ноль в производную:

y»(0) = cos 0 = 1

Это и будет ответ.

3. Продифференцировать функцию:

Что, внушает?) Такой функции в таблице производных и близко нет.

Напомню, что продифференцировать функцию — это просто найти производную этой функции. Если забыть элементарную тригонометрию, искать производную нашей функции достаточно хлопотно. Таблица не помогает…

Но если увидеть, что наша функция — это косинус двойного угла , то всё сразу налаживается!

Да-да! Запомните, что преобразование исходной функции до дифференцирования вполне допускается! И, случается, здорово облегчает жизнь. По формуле косинуса двойного угла:

Т.е. наша хитрая функция есть не что иное, как y = cosx . А это — табличная функция. Сразу получаем:

Ответ: y» = — sin x .

Пример для продвинутых выпускников и студентов:

4. Найти производную функции:

Такой функции в таблице производных нет, разумеется. Но если вспомнить элементарную математику, действия со степенями… То вполне можно упростить эту функцию. Вот так:

А икс в степени одна десятая — это уже табличная функция! Третья группа, n=1/10. Прямо по формуле и записываем:

Вот и всё. Это будет ответ.

Надеюсь, что с первым китом дифференцирования — таблицей производных — всё ясно. Осталось разобраться с двумя оставшимися китами. В следующем уроке освоим правила дифференцирования.

Подготовка к ЕГЭ.Задание В8. Геометрический и физический смысл производной — Математика — ЕГЭ

Прямая является касательной к графику функции . Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Прямая является касательной к графику функции . Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания меньше 0.

Прямая является касательной к графику функции . Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания меньше 0.

Прямая является касательной к графику функции . Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени с.

Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени с.

Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени с.

Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени с.

Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени с.

Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени с.

Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени с.

Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени с.

Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени с.

Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени с.

Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени с.

Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени с.

Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени с.

Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени с.

Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени с.

Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 69 м/с?

Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 4 м/с?

Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

3.2: Производная как функция

Цели обучения

  • Определить производную заданной функции.
  • Постройте производную функцию по графику заданной функции.
  • Укажите связь между производными и непрерывностью.
  • Опишите три условия, при которых функция не имеет производной.
  • Объясните значение производной высшего порядка.

Как мы видели, производная функции в данной точке дает нам скорость изменения или наклон касательной к функции в этой точке.Если мы продифференцируем функцию положения в данный момент времени, мы получим скорость в этот момент. Кажется разумным заключить, что знание производной функции в каждой точке даст ценную информацию о поведении функции. Однако процесс нахождения производной даже при нескольких значениях с использованием методов из предыдущего раздела быстро стал бы довольно утомительным. В этом разделе мы определяем производную функцию и изучаем процесс ее нахождения.

Производные функции

Функция производной дает производную функции в каждой точке области определения исходной функции, для которой определена производная.Мы можем формально определить производную функцию следующим образом.

Определение: производная функция

Пусть \(f\) — функция. Производная функция , обозначаемая \(f’\), является функцией, область определения которой состоит из таких значений \(x\), что существует следующий предел:

\[f'(x)=\lim_{h→0}\frac{f(x+h)−f(x)}{h}. \метка{derdef}\]

Функция \(f(x)\) называется дифференцируемой в \(a\), если \(f'(a)\) существует. В более общем смысле функция называется дифференцируемой на \(S\), если она дифференцируема в каждой точке открытого множества \(S\), а дифференцируемой функцией является функция, в которой \(f'( x)\) существует в своей области определения.

В следующих нескольких примерах мы используем уравнение \ref{derdef} для нахождения производной функции.

Пример \(\PageIndex{1}\): нахождение производной функции извлечения квадратного корня

Найдите производную от \(f(x)=\sqrt{x}\).

Раствор

Начните непосредственно с определения производной функции.

Подставьте \(f(x+h)=\sqrt{x+h}\) и \(f(x)=\sqrt{x}\) в \(f'(x)= \displaystyle \lim_{h →0}\frac{f(x+h)−f(x)}{h}\).

\(f'(x)=\displaystyle \lim_{h→0}\frac{\sqrt{x+h}−\sqrt{x}}{h}\)  
\(=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{\sqrt{x+h}−\sqrt{x}}{h}⋅\frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{ х}}{\sqrt{х+ч}+\sqrt{х}}\) Умножить числитель и знаменатель на \(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\) без распределения в знаменателе.
\(=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{h}{h\left(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\right)}\) Умножьте числители и упростите.2}{ч}\) Упростить
\(=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{h(2x−2+h)}{h}\) Вынести \(h\) из числителя
\(=\displaystyle\lim_{h→0}(2x−2+h)\) Отменить общий множитель \(h\)
\(=2x−2\) Оценить предел

Упражнение \(\PageIndex{1}\)

Найдите производную от \(f(x)=x^2\). 2−2x\справа)=2x−2\). Таким образом, для функции \(y=f(x)\) каждое из следующих обозначений представляет собой производную от \(f(x)\):

\(f'(x), \quad \dfrac{dy}{dx}, \quad y’,\quad \dfrac{d}{dx}\big(f(x)\big)\).

Вместо \(f'(a)\) мы также можем использовать \(\dfrac{dy}{dx}\Big|_{x=a}\). Использование нотации \(\dfrac{dy}{dx}\) (называемой нотацией Лейбница) довольно распространено в технике и физике. Чтобы лучше понять эти обозначения, вспомним, что производная функции в точке — это предел наклона секущих по мере приближения секущих к касательной.Наклоны этих секущих часто выражаются в виде \(\dfrac{Δy}{Δx}\), где \(Δy\) — разность значений \(y\), соответствующая разнице в \(x \) значения, которые выражаются как \(Δx\) (рисунок \(\PageIndex{1}\)). Таким образом, производная, которую можно рассматривать как мгновенную скорость изменения \(у\) по отношению к \(х\), выражается как

.

\(\displaystyle \frac{dy}{dx}= \lim_{Δx→0}\frac{Δy}{Δx}\).

Рисунок \(\PageIndex{1}\): производная выражается как \(\dfrac{dy}{dx}=\displaystyle\lim_{Δx→0}\frac{Δy}{Δx}\).

График производной

Мы уже обсуждали, как построить график функции, поэтому, имея уравнение функции или уравнение производной функции, мы могли бы построить график. Учитывая оба, мы ожидаем увидеть соответствие между графиками этих двух функций, поскольку \(f'(x)\) дает скорость изменения функции \(f(x)\) (или наклон касательной строка к \(f(x)\)).

В примере \(\PageIndex{1}\) мы обнаружили, что для \(f(x)=\sqrt{x}\), \(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{ Икс}}\).Если мы изобразим эти функции на тех же осях, как на рисунке \(\PageIndex{2}\), мы сможем использовать графики, чтобы понять связь между этими двумя функциями. Во-первых, мы замечаем, что \(f(x)\) возрастает по всей своей области, а это означает, что наклоны ее касательных во всех точках положительны. Следовательно, мы ожидаем \(f'(x)>0\) для всех значений x в его области определения. Кроме того, по мере увеличения \(x\) наклоны касательных линий к \(f(x)\) уменьшаются, и мы ожидаем увидеть соответствующее уменьшение \(f'(x)\). 2−2x,\; f'(x)=2x−2\). Графики этих функций показаны на рисунке \(\PageIndex{3}\). Обратите внимание, что \(f(x)\) убывает при \(x<1\). Для этих же значений \(x\), \(f'(x)<0\). Для значений \(x>1\) \(f(x)\) возрастает и \(f'(x)>0\). Кроме того, \(f(x)\) имеет горизонтальную касательную в точках \(x=1\) и \(f'(1)=0\).

Рисунок \(\PageIndex{3}\): производная \(f'(x)<0\), где функция \(f(x)\) убывает, и \(f'(x)>0\), где \(f(x)\) возрастает. Производная равна нулю, если функция имеет горизонтальный тангенс

Пример \(\PageIndex{3}\): набросок производной с помощью функции

Используйте следующий график \(f(x)\), чтобы нарисовать график \(f'(x)\).2−4\). На каком интервале находится график \(f'(x)\) над осью \(x\)?

Подсказка

График \(f'(x)\) положителен, где \(f(x)\) возрастает.

Ответить

\((0,+∞)\)

Производные и непрерывность

Теперь, когда мы можем построить график производной, давайте рассмотрим поведение графиков. Сначала рассмотрим связь между дифференцируемостью и непрерывностью.Мы увидим, что если функция дифференцируема в точке, она должна быть там непрерывной; однако функция, непрерывная в точке, не обязательно должна быть дифференцируемой в этой точке. На самом деле функция может быть непрерывной в точке и не быть дифференцируемой в этой точке по одной из нескольких причин.

Дифференцируемость подразумевает непрерывность

Пусть \(f(x)\) — функция и \(a\) находится в ее области определения. Если \(f(x)\) дифференцируема в \(а\), то \(f\) непрерывна в \(а\).

Доказательство

Если \(f(x)\) дифференцируема в \(a\), то \(f'(a)\) существует и, если положить \(h = x — a\), мы имеем \(x = a + h \), и поскольку \(h=xa\to 0\), мы можем видеть, что \(x\to a\).

Затем

\[ f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\nonumber\]

можно переписать как

\(f'(a)=\displaystyle \lim_{x→a}\frac{f(x)−f(a)}{x−a}\).

Мы хотим показать, что \(f(x)\) непрерывно в \(a\), показав, что \(\displaystyle \lim_{x→a}f(x)=f(a). \) Таким образом,

\(\begin{align*} \displaystyle \lim_{x→a}f(x) &=\lim_{x→a}\;\big(f(x)−f(a)+f(a) \big)\\[4pt]
&=\lim_{x→a}\left(\frac{f(x)−f(a)}{x−a}⋅(x−a)+f(a) \right) & & \text{Умножить и разделить }(f(x)−f(a))\text{ на }x−a.\\[4pt]
&=\left(\lim_{x→a}\frac{f(x)−f(a)}{x−a}\right)⋅\left( \lim_{x→a} \;(x−a)\right)+\lim_{x→a}f(a)\\[4pt]
&=f'(a)⋅0+f(a)\\[4pt]
&= ф(а). \конец{выравнивание*}\)

Следовательно, поскольку \(f(a)\) определено и \(\displaystyle \lim_{x→a}f(x)=f(a)\), мы заключаем, что \(f\) непрерывно в \ (а\).

Мы только что доказали, что дифференцируемость влечет непрерывность, но теперь мы рассмотрим, влечет ли непрерывность дифференцируемость. Чтобы определить ответ на этот вопрос, мы исследуем функцию \(f(x)=|x|\).2}}=+∞\).

Таким образом, \(f'(0)\) не существует. Беглый взгляд на график \(f(x)=\sqrt[3]{x}\) проясняет ситуацию. Функция имеет вертикальную касательную в точке \(0\) (рисунок \(\PageIndex{5}\)).

Рисунок \(\PageIndex{5}\): Функция \(f(x)=\sqrt[3]{x}\) имеет вертикальную касательную в точке \(x=0\). Он непрерывен в точке \(0\), но не дифференцируем в точке \(0\).

Функция \(f(x)=\begin{cases} x\sin\left(\frac{1}{x}\right), & & \text{ if } x≠0\\0, & & \ text{ if } x=0\end{cases}\) также имеет производную, которая демонстрирует интересное поведение при \(0\).

Мы видим, что

\(f'(0)=\displaystyle \lim_{x→0}\frac{x\sin\left(1/x\right)−0}{x−0}= \lim_{x→0}\ sin\left(\frac{1}{x}\right)\).

Этот предел не существует, в основном потому, что наклоны секущих постоянно меняют направление по мере приближения к нулю (рис. \(\PageIndex{6}\)).

Рисунок \(\PageIndex{6}\): функция \(f(x)=\begin{cases} x\sin\left(\frac{1}{x}\right), & & \text{ if } x≠0\\0, & & \text{ если } x=0\end{cases}\) не дифференцируемо в \(0\).

Итого:

  1. Заметим, что если функция не непрерывна, то она не может быть дифференцируемой, так как каждая дифференцируемая функция должна быть непрерывной. Однако, если функция непрерывна, она может не быть дифференцируемой.
  2. Мы видели, что \(f(x)=|x|\) не может быть дифференцируемым в \(0\), потому что предел наклона касательных линий слева и справа не одинаков. Визуально это привело к появлению острого угла на графике функции в точке \(0.\) Отсюда заключаем, что для того, чтобы быть дифференцируемой в точке, функция должна быть «гладкой» в этой точке.
  3. Как мы видели на примере \(f(x)=\sqrt[3]{x}\), функция не может быть дифференцируемой в точке, где есть вертикальная касательная.
  4. Как мы видели с \(f(x)=\begin{cases}x\sin\left(\frac{1}{x}\right), & & \text{ if } x≠0\\0, & &\text{ if } x=0\end{cases}\) функция может не быть дифференцируемой в точке и более сложными способами.2+bx+c, & & \text{, если }x<−10\\−\frac{1}{4}x+\frac{5}{2}, & & \text{, если } x≥−10\ end{cases}\), где \(x\) и \(f(x)\) указаны в дюймах. Для плавного движения автомобиля по трассе функция \(f(x)\) должна быть одновременно непрерывной и дифференцируемой в точке \(−10\). 2+bx+(10b−5)−5}{x+10} & & \text{Подставить}c=10b−5.2, & & \text{ если } x≥3\end{cases}\) как непрерывны, так и дифференцируемы в \(3\).

    Подсказка

    Используйте пример \(\PageIndex{4}\) в качестве руководства.

    Ответить

    \(a=6\) и \(b=−9\)

    Производные высшего порядка

    Производная функции сама по себе является функцией, поэтому мы можем найти производную производной. Например, производная функции положения — это скорость изменения положения или скорость.Производная скорости — это скорость изменения скорости, то есть ускорение. Новая функция, полученная дифференцированием производной, называется второй производной. Кроме того, мы можем продолжать брать производные, чтобы получить третью производную, четвертую производную и так далее. В совокупности они называются производными более высокого порядка . n}.2−3h}{ч}\) Упростите числитель. \(=\displaystyle \lim_{h→0}(4x+h−3)\) Вынесите \(h\) в числителе и сократите с \(h\) в знаменателе. \(=4x−3\) Возьмите предел.

    Затем найдите \(f»(x)\), взяв производную от \(f'(x)=4x−3.\)

    \(f»(x)=\displaystyle \lim_{h→0}\frac{f'(x+h)−f'(x)}{h}\) Используйте \(f'(x)=\displaystyle \lim_{h→0}\frac{f(x+h)−f(x)}{h}\) с \(f ‘(x)\) в место \(f(x).3\), найти \(a(t).\)

    Подсказка

    Используйте пример \(\PageIndex{6}\) в качестве руководства.

    Ответить

    \(а(т)=6т\)

    Ключевые понятия

    • Производной функции \(f(x)\) называется функция, значение которой в точке \(x\) равно \(f'(x)\). {\text{th}}\) называется производной высшего порядка

      Авторы и авторство

      • Гилберт Странг (MIT) и Эдвин «Джед» Херман (Харви Мадд) со многими авторами.Этот контент от OpenStax лицензирован по лицензии CC-BY-SA-NC 4.0. Скачать бесплатно на http://cnx.org.

      • Пол Сибургер (Общественный колледж Монро) добавил объяснение альтернативного определения производной, используемого в доказательстве того, что дифференцируемость подразумевает непрерывность.

      Как сравнить график функции и ее производной — Блог Magoosh

      Чтение графа производных является важной частью учебного плана AP Calculus.Типичные проблемы исчисления включают в себя заданную функцию или график функции и поиск информации о точках перегиба, наклоне, вогнутости или существовании производной.

      Существует ли производная?

      Во-первых, глядя на график, мы должны знать, существует ли вообще производная функции. Наш производный пост в блоге содержит немного больше информации об этом.

      Три ситуации, когда производная не существует

      Если на кривой есть разрыв, производной не будет.

      Это каждый раз, когда на кривой есть разрыв, когда две части кривой не соединяются.

      Типы несплошностей:

      Имеется устранимый разрыв. Представьте себе линейную функцию, такую ​​как y = x + 3. Если бы мы добавили ограничение, при котором x не определено при x = 0, у нас был бы такой разрыв.

      Существует бесконечный разрыв. Это происходит, когда у нас есть любое уравнение, в котором есть разрыв между двумя непрерывными участками кривой из-за того, что асимптоты достигают бесконечности.Например, пусть у = 3/(х-2). Обратите внимание, у нас есть две вертикальные асимптоты, которые не соединяются.

      Наконец, у нас есть разрыв скачка. Это происходит с кусочными функциями, где два участка просто не соединяются.

      Производная не существует там, где есть острый угол.

      Это часто происходит с проблемами абсолютного значения. Посмотрим на график y = √x 2

      При x = 0 производная отсутствует, потому что мы имеем резкий изгиб кривой.

      Наконец, нигде нет производной, если есть вертикальный участок графика.

      Если есть вертикальный участок графика, наклон не определен; следовательно, производная не существует.

      Чтение графика производных.

      Глядя на график, мы должны иметь возможность быстро увидеть наклон в любой точке и получить приблизительное представление о том, каким должен быть наклон. Это позволяет легко сопоставить график с его производной.

      Глядя на первый график, сможете ли вы определить, какой из трех графиков ниже является графиком производной?

      ф'(х):

       

      и

      б

      с

       

      Несколько ключей для получения правильного ответа.Сразу видно, что это какая-то тригонометрическая функция. Мы знаем, что наклон функции равен 0 в нескольких точках; следовательно, график производной должен в какой-то точке проходить через ось абсцисс. Также, глядя на график, мы должны увидеть, что это происходит где-то между -2,5 и 0, а также между 0 и 2,5. Одного этого достаточно, чтобы убедиться, что последний график является правильным ответом.

      График функции на основе производной и двойной производной.

      Производная и двойная производная говорят нам несколько ключевых вещей о графике:

      (Хорошая практика AP: как мы можем определить, является ли она минимальной или максимальной?)

       

      Ниже приведен график производной f(x).

      Вот график функции. Можем ли мы увидеть, как они соответствуют?

      Умение читать графики производной и знание того, какой должна быть общая форма исходной функции, является важной частью учебного плана AP Calculus. Убедитесь, что вы знаете, как определить точки перегиба, локальные минимумы и максимумы, а также где функция увеличивается или уменьшается.

      Гарантированно улучшите свой результат SAT или ACT. Начните свою 1-недельную бесплатную пробную версию Magoosh SAT Prep или 1-недельную бесплатную пробную версию Magoosh ACT Prep сегодня!

      • Закари — бывший инженер-механик, а нынешний школьный учитель физики, математики и информатики.Он окончил Университет Макгилла в 2011 году и работал в автомобильной промышленности в Детройте, прежде чем перейти к образованию. Он преподает и занимается репетиторством в течение последних пяти лет, но вы также можете найти его в приключениях, чтении, скалолазании и путешествиях, когда появляется возможность.

        Просмотреть все сообщения

      Кстати, Magoosh может помочь вам подготовиться к экзаменам SAT и ACT. Нажмите сюда, чтобы узнать больше!

      Математические визуализации | Полиномиальные функции и производная (1): Линейные функции

      Простейшими функциями являются линейные функции. Их формулы представляют собой полиномы первой или нулевой степени (это случай, когда функция является постоянной функцией). Их графики представляют собой прямые линии.

      Нас интересует изучение производной простых функций с помощью интуитивного и визуального подхода. Начнем с линейной функции.

      ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ

      Производную функции в точке можно определить как мгновенную скорость изменения или как наклон касательной к точке. график функции в этой точке.Мы можем сказать, что этот наклон тангенса функции в точке есть наклон функция.

      Наклон функции, вообще говоря, будет зависеть от x. Тогда, начиная с функции, мы можем получить новую функцию, производную от исходной функции.

      Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием.

      Значение производной функции для любого значения x представляет собой наклон исходной функции в точке x.

      Как нарисовать производную заданной функции (в нашем случае линейной)?

      Общая процедура проста: мы начинаем рисовать касательную к функции в заданной точке.

      В нашем случае это очень просто, потому что касательная к прямой — это одна и та же линия:

      Затем проводим параллельную прямую касательной, проходящей через значение x-1, и получаем прямоугольный треугольник. Длина вертикальной стороны — наклон касательной.

      Затем мы можем нарисовать производную линейной функции, что очень просто, потому что это постоянная функция. Значение этого постоянная функция представляет собой наклон исходной линейной функции.

      Например, линейная функция с положительным наклоном:

      Другой пример, линейная функция с отрицательным наклоном:

      Когда функция является постоянной функцией, ее график представляет собой горизонтальную линию (наклон равен 0). Тогда производная постоянной функции есть постоянная функция 0.

      Одна простая и интересная идея заключается в том, что когда мы переводим вверх и вниз график функции (мы добавляем или вычитаем число из исходной функции), производная не меняется.Причина очень интуитивна, и мы можем поиграть с интерактивным приложением, чтобы увидеть это свойство. Когда ты перемещайте фиолетовую точку, которую вы переводите, вверх и вниз по графику, и производная будет такой же:

      Важно отметить, что производная многочлена степени 1 является постоянной функцией (многочленом степени 0). Когда мы вывести такую ​​полиномиальную функцию, результатом будет многочлен, степень которого на 1 меньше исходной функции.

      Когда мы изучаем интеграл от многочлена степени 1, мы видим, что в этом случае новая функция является многочленом степени 2.Еще один градус чем исходная функция.

      Эти результаты связаны с основной теоремой исчисления.

      ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

      Майкл Спивак, Исчисление, третье издание, Publish-or-Perish, Inc.

      Том М. Апостол, исчисление, второе издание, John Willey and Sons, Inc.

      БОЛЬШЕ ССЫЛОК

      Производная кубической функции есть квадратичная функция, парабола.

      Многочлены Лагранжа — это многочлены, проходящие через n заданных точек.Мы используем полиномы Лагранжа, чтобы исследовать общую полиномиальную функцию и ее производную.

      Если производная от F(x) равна f(x), то мы говорим, что неопределенный интеграл от f(x) по x есть F(x). Мы также говорим, что F является первообразной или примитивной функцией f.

      Две точки определяют прямую линию. Как функцию мы называем ее линейной функцией. Мы можем видеть наклон линии и то, как мы можем получить уравнение линии через две точки. Мы изучаем также точку пересечения x и y линейного уравнения.

      Степени с натуральными показателями — простые и важные функции. Их обратные функции — это степень с рациональными показателями (радикал или корень n-й степени).

      Многочлены степени 2 являются квадратичными функциями. Их графики представляют собой параболы. Чтобы найти точки пересечения, мы должны решить квадратное уравнение. Вершина параболы – это максимум или минимум функции.

      Многочлены степени 3 являются кубическими функциями. Реальная кубическая функция всегда пересекает ось x хотя бы один раз.

      В качестве введения в кусочно-линейные функции мы изучаем линейные функции, ограниченные открытым интервалом: их графики подобны сегментам.

      Кусочная функция — это функция, которая определяется несколькими подфункциями. Если каждая часть является постоянной функцией, то кусочная функция называется кусочно-постоянной функцией или ступенчатой ​​функцией.

      Непрерывная кусочно-линейная функция задается несколькими отрезками или лучами, соединенными без скачков между ними.

      Интегральное понятие связано с понятием площади. Мы начали рассматривать область, ограниченную графиком функции и осью x между двумя вертикальными линиями.

      Монотонные функции на отрезке интегрируемы. В этих случаях мы можем ограничить ошибку, которую мы делаем, аппроксимируя интеграл с помощью прямоугольников.

      Если мы считаем нижний предел интегрирования а фиксированным и если мы можем вычислить интеграл для различных значений верхнего предела интегрирования b, то мы можем определить новую функцию: неопределенный интеграл от f.

      Легко вычислить площадь под прямой линией. Это первый пример интегрирования, позволяющий понять идею и ввести несколько основных понятий: интеграл как площадь, пределы интегрирования, положительные и отрицательные области.

      Вычислить площадь под параболой сложнее, чем вычислить площадь под линейной функцией. Мы показываем, как аппроксимировать эту площадь с помощью прямоугольников и что интегральная функция многочлена степени 2 является многочленом степени 3.

      Мы можем увидеть некоторые основные понятия об интеграции, применяемые к общей полиномиальной функции. Интегральные функции полиномиальных функций — это полиномиальные функции, имеющие на одну степень больше, чем исходная функция.

      Основная теорема исчисления говорит нам, что каждая непрерывная функция имеет первообразную, и показывает, как построить ее с помощью интеграла.

      Вторая фундаментальная теорема исчисления — мощный инструмент для вычисления определенного интеграла (если мы знаем первообразную функции).

      Увеличивая степень, полином Тейлора все больше и больше приближает экспоненциальную функцию.

      Увеличивая степень, полином Тейлора все больше и больше приближает синусоидальную функцию.

      Функция не определена для значений меньше -1. Многочлены Тейлора относительно начала координат аппроксимируют функцию между -1 и 1.

      Функция имеет сингулярность при -1. Многочлены Тейлора относительно начала координат аппроксимируют функцию между -1 и 1.

      Функция имеет сингулярность при -1. Многочлены Тейлора относительно начала координат аппроксимируют функцию между -1 и 1.

      Эта функция имеет две действительные особенности при -1 и 1. Полиномы Тейлора аппроксимируют функцию на интервале с центром в центре ряда. Его радиус — это расстояние до ближайшей сингулярности.

      Это непрерывная функция и не имеет реальных особенностей. Однако ряд Тейлора аппроксимирует функцию только на интервале.Чтобы понять это поведение, мы должны рассмотреть сложную функцию.

      Деловые вычисления

      Вторая производная и вогнутость

      Графически функция является вогнутой вверх , если ее график изогнут отверстием вверх (рис. 1а). Точно так же функция является вогнутой вниз , если ее график открывается вниз (рис. 1b).

      Рисунок 1

      На этом рисунке показана вогнутость функции в нескольких точках. Обратите внимание, что функция может быть вогнутой независимо от того, возрастает она или убывает.

      Например, эпидемия : Предположим, началась эпидемия, и вы, как член конгресса, должны решить, эффективно ли текущие методы борются с распространением болезни или нужны более радикальные меры и больше денег. На рисунке 2 ниже \(f(x)\) — это количество людей, у которых есть заболевание в момент времени \(x\), и показаны две разные ситуации. Как на Рисунке 2a, так и на Рисунке 2b количество людей с заболеванием \(f(\text{now})\) и скорость, с которой заболевают новые люди, \(f'(\text{now} )\), подобные.Разница в этих двух ситуациях заключается в вогнутости \(f\), и эта разница вогнутости может сильно повлиять на ваше решение.

      Рис. 2

      На рис. 2а \(f\) вогнута вниз в точке «сейчас», наклоны уменьшаются, и кажется, что она сходит на нет. Мы можем сказать: «\(f\) увеличивается с убывающей скоростью». Похоже, что нынешние методы начинают брать эпидемию под контроль.

      На рисунке 2b \(f\) вогнута вверх, наклоны увеличиваются, и похоже, что он будет увеличиваться все быстрее и быстрее.Похоже, эпидемия все еще вышла из-под контроля.

      Различия между графиками возникают из-за того, увеличивается или уменьшается производная

      Производная функции f — это функция, дающая информацию о наклоне \(f\). Производная говорит нам, увеличивается или уменьшается исходная функция .

      Поскольку \(f’\) является функцией, мы можем взять ее производную. Эта вторая производная также дает нам информацию о нашей исходной функции \(f\).Вторая производная дает нам математический способ сказать, как изогнут график функции. Вторая производная говорит нам, является ли исходная функция вогнутой вверх или вниз .

      Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, поддерживающего видео HTML5

      Вторая производная

      Пусть \(y=f(x)\). Вторая производная от \(f\) является производной от \(y’=f'(x) \).

      Используя простую запись, это \( f»(x) \) или \( y» \).2} \). Это читается вслух как «вторая производная от y (или f)».

      Если \( f»(x) \) положительно на интервале, график \( y=f(x) \) является вогнутым вверх на этом интервале. Мы можем сказать, что \(f\) увеличивается (или уменьшается) с возрастающей скоростью .

      Если \( f»(x) \) отрицательно на интервале, график \( y=f(x) \) вогнут вниз на на этом интервале. Мы можем сказать, что \(f\) увеличивается (или уменьшается) с убывающей скоростью .5. \]

      Если \(f(x)\) представляет положение частицы в момент времени \(x\), то \(v(x) = f ‘(x)\) будет представлять скорость (скорость изменения положения ) частицы и \(a(x) = v ‘(x) = f »(x)\) будет представлять собой ускорение (скорость изменения скорости) частицы.

      Вы, вероятно, знакомы с ускорением во время вождения или езды на автомобиле. Спидометр сообщает вам вашу скорость (скорость). Когда вы уходите с остановки и нажимаете на педаль газа, вы ускоряетесь – увеличиваете свою скорость.2\)}\).

      В моменты времени 0 и 1 ускорение отрицательное, поэтому скорость частицы в этих точках должна уменьшаться — частица замедляется. В момент времени 2 скорость положительна, поэтому скорость частицы увеличивается.

      Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, поддерживающего видео HTML5

      Точки перегиба

      Определение (точка перегиба)

      Точка перегиба — это точка на графике функции, в которой вогнутость функции изменяется с вогнутой вверх на нижнюю или с вогнутой вниз на верхнюю.

      Пример 3

      Какие из отмеченных точек на графике ниже являются точками перегиба?

      Вогнутость изменяется в точках b и g. В точках a и h график вогнут вверх с обеих сторон, поэтому вогнутость не меняется. В точках c и f график вогнут вниз с обеих сторон. В точке e, хотя график там выглядит странно, график вогнут вниз с обеих сторон — вогнутость не меняется.

      Точки перегиба возникают при изменении вогнутости.Поскольку мы знаем связь между вогнутостью функции и знаком ее второй производной, мы можем использовать это для нахождения точек перегиба.

      Рабочее определение

      Точка перегиба — это точка на графике, где вторая производная меняет знак.

      Чтобы вторая производная менял знак, она должна быть либо равна нулю, либо быть неопределенной. Таким образом, чтобы найти точки перегиба функции, нам нужно только проверить точки, где \(f »(x)\) равно 0 или не определено.{-5/3}\). \(h»\) не определяется, если \(x = 0\), но \(h»(\text{отрицательное число}) \gt 0\) и \(h»(\text{положительное число }) \lt 0\), поэтому \(h\) меняет вогнутость в точке (0,0), а (0,0) является точкой перегиба \(h\).

      Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, поддерживающего видео HTML5

      Пример 5

      Нарисуйте график функции с \(f(2) = 3\), \(f ‘(2) = 1\) и точкой перегиба в (2,3).

      Здесь показаны два возможных решения.

      Значение производной

      5

      Скорость изменения функции
      при определенном значении x

      Наклон прямой

      Наклон касательной к кривой

      Сеанс кривой

      Коэффициент разности

      Определение производной

      Производная от f ( x ) = x 2

      Дифференцируемый при x

      Обозначения для производной

      Простое частное разности

      Раздел 2: Проблемы

      Производная от f ( x ) = 2 x − 5

      Уравнение касательной к кривой

      Производная от f ( x ) = x 3

      ИСЧИСЛЕНИЕ ПРИМЕНЯЕТСЯ К вещам, которые не изменяются с постоянной скоростью. Скорость под действием силы тяжести, число рождений и смертей в популяции, единицы х на каждую единицу х . Значения функции, называемой производной, будут варьироваться в зависимости от скорости изменения.

      Теперь, поскольку мы считаем x независимой переменной, а y зависимой, то любое изменение Δ x значения x приведет к изменению Δ y значения у . На прямой скорость изменения — столько-то единиц х на каждую единицу х — постоянна и называется наклоном линии.

      Наклон прямой линии это число:

      Δ у
      Δ х
       =    =   Изменение y -координата
      Изменение x -координата
       .

      (Тема 8 предварительного исчисления.)

      Прямая линия имеет один и только один наклон; одна и только одна скорость изменения.

      Если x представляет, например, время, а y представляет расстояние, то

      Прямолинейный график, который их связывает, указывает на постоянную скорость. Скажем, 45 миль в час — в каждый момент времени.

      Наклон касательной к кривой

      Исчисление, однако, связано со скоростью изменения, которая не является постоянной.

      Если эта кривая представляет расстояние Y в зависимости от времени X , то скорость изменения — скорость — в каждый момент времени непостоянна.Вопрос, который задает исчисление, звучит так: «Какова скорость изменения точно в точке P ?» Ответом будет наклон касательной к кривой в этой точке. И метод нахождения этого наклона — этого числа — был замечательным открытием как Исаака Ньютона (1642–1727), так и Готфрида Лейбница (1646–1716). Это метод нахождения того, что называется производной.

      Сеанс кривой

      Касательная — это прямая линия, которая касается кривой. Сеанс – это прямая линия, пересекающая кривую. Следовательно, рассмотрим секущую, которая пересекает кривую в точках P и Q . Тогда наклон этой секущей равен

      .
      Δ у
      Δ х
       = 

      Но исчисление снова задает вопрос:  Как функция изменяется точно при x 1 ?

      Каков наклон касательной к кривой в точке P ?

      Однако мы не можем вычислить точно как при P , потому что тогда Δ y и Δ x были бы равны 0, а значение было бы совершенно неоднозначным.

      Поэтому мы будем рассматривать все более и более короткие расстояния Δ x , что приведет к последовательности секущих —

      — последовательность склонов. И мы определим касательную в точке P как предел этой последовательности наклонов.

      Этот наклон, этот предел и будет значением того, что мы назовем производной.

      Коэффициент разности

      Пусть y = f ( x ) — непрерывная функция, и пусть координаты фиксированной точки P на графике равны ( x , f ( x 90)). (Тема 4 предварительного исчисления.) Пусть теперь x изменится на величину Δ x . Тогда новая координата x равна x + Δ x .
      Это координата x Q на графике.

      Но когда значение x изменяется, в результате происходит изменение Δ y
      значения y , то есть значения f ( x ). Его новое значение равно f ( x + Δ x ). Координаты Q : ( x + Δ x ,   f ( x + Δ x )).

      Затем

      Вот определение наклона касательной в точке P :

      Наклон касательной в точке P
      представляет собой предел изменения функции (числитель)
      , деленный на изменение независимой переменной
      по мере того, как это изменение приближается к 0.

      Поскольку Δ x , а не x , является переменной, приближающейся к 0, x остается постоянной, и этот предел будет функцией x . Поскольку она будет получена из f ( x ), мы называем ее производной функцией или производной от f ( x ). Чтобы напомнить нам, что оно было получено из f ( x ), мы обозначаем его как f’ ( x ) — « f-prime из x «.»

      Это частное —

      — называется фактором Ньютона или разностным фактором. Его вычисление и упрощение — фундаментальная задача дифференциального исчисления.

      Опять же, коэффициент разности является функцией Δ x . Но для упрощения письменных вычислений вместо Δ x будем писать ч .

      Δ x = ч
       
      Δ у = f ( x + ч ) − f ( x )

      Коэффициент разности тогда становится:

      Теперь выразим определение производной следующим образом.

       

       

      ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.  Под производной функции f ( x ) мы понимаем следующий предел, если он существует:

      Мы называем этот предел функцией f ‘ ( x ) — « f — простое число x » — и когда этот предел существует, мы говорим, что f само по себе дифференцируемо при x , и что f имеет производную.

       

      Итак, мы берем предел разностного отношения, когда ч приближается к 0.Когда этот предел существует, это означает, что частное разности может быть сделано как можно ближе к этому пределу — « f ‘ ( x )» — как нам угодно. (Урок 2.)

      Что касается x , мы должны считать его фиксированным. Это конкретное значение, при котором мы оцениваем   f ‘ ( x ).

      На практике мы должны упростить частное разности, прежде чем приблизить h к 0. Мы должны выразить числитель —

      f ( x + ч ) − f ( x )

      — таким образом , что мы можем разделить его на х .

      Подводя итог: производная — это функция — правило — которое присваивает каждому значению x наклон касательной в точке ( x , f ( x )) на график f ( x ). Это скорость изменения f ( x ) в этой точке.

      В качестве примера мы применим определение, чтобы доказать, что наклон касательной к функции ), составляет 2 х .

        ТЕОРЕМА. ф ( x )  =  х 2
       
      подразумевает     
       
        f ( x )  =   2 х .

      Доказательство.   Вот коэффициент разности, который мы будем упрощать:

      1)   ( x + ч ) 2 x 2
                ч
       
      2) = x 2 + 2 xh + h 2 x 2
      H
       
      3) = 2 xh + h 2
             h
       
      4) = 2 х + ч .

      Переходя от строки 1) к строке 2, мы возвели в квадрат бином x + h . (Урок 18 алгебры.)

      Переходя к строке 3), мы вычли x 2 с. То есть мы вычли из ( x ).

      Переходя к строке 4), мы разделили числитель на ч . (Урок 20 из Алгебра.)

      Мы можем это сделать, потому что ч никогда не будет равным 0, даже если мы возьмем предел (Урок 2).

      Завершим определение производной и возьмем предел:

      f ‘ ( x ) = (2 x + ч )
       
        = 2 х .

      Это то, что мы хотели доказать.

       

       

      Всякий раз, когда мы применяем определение, мы должны алгебраически манипулировать разностным коэффициентом, чтобы мы могли просто заменить h на 0. На самом деле, вся теория пределов со всеми ее сложностями и тонкостями была изобретена именно для того, чтобы оправдать это. (Бедных Ньютона и Лейбница критиковали за то, что они предлагали обоснования, которые не нравились изобретателям пределов 19-го века.) Здесь мы можем положить ч = 0, потому что разностное частное сводится к 2 x + ч , и, следовательно, многочлен от ч .

      Проблема. Пусть f ( х ) = х 2 , и вычислим наклон касательной к графику —

      а)  при x = 5,

      Так как f’ ( x ) = 2 x , то при x = 5 наклон касательной равен 10.

      б) при x = −3. −6.

      c)  при x = 0.0.

      Дифференцируемый при x

      Согласно определению, функция будет дифференцируемой при разрешении x , если там существует определенный предел. Графически это означает, что график с этим значением x будет иметь касательную. При каких же значениях функция , а не будет дифференцируема?

      Там, где нет касательной

      Выше приведены два примера.Функция слева не имеет производной при x = 0, потому что там функция разрывна. При x = 0 касательной явно нет.

      Что касается графика справа, это функция абсолютного значения, y  = | х |. (Тема 5 Precalculus.) И невозможно определить касательную в точке x = 0, потому что график образует там острый угол. На самом деле, наклон касательной при приближении x к 0 слева равен −1.Однако наклон, приближающийся справа, равен +1. Наклон касательной в точке 0 — которая была бы производной в точке x = 0 — следовательно , ​​не существует . (Определение 2.2.)

      Функция абсолютного значения, тем не менее, непрерывна при x = 0. Поскольку левый предел самой функции, когда x приближается к 0 , равен правому пределу, а именно 0.   Это иллюстрирует непрерывность в точке не является гарантией дифференцируемости — существования касательной — в этой точке.

      (Наоборот, если функция дифференцируема в точке — если есть касательная — она также будет и там непрерывной. График будет гладким и не будет иметь разрывов.)

      Поскольку дифференциальное исчисление является изучением производных, оно в основном связано с функциями, которые дифференцируемы при всех значениях их областей определения. Такие функции называются дифференцируемыми функциями.

      Можете ли вы назвать элементарный класс дифференцируемых функций?

      Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
      Чтобы снова закрыть ответ, нажмите «Обновить» («Reload»).
      Сначала подумай об этом сам!

      Полиномы.

      Обозначения для производной

      Поскольку производная является этим пределом: тогда символ для самого предела (Читайте: «dee- y , dee- x «)

      Например, если

      у = х 2 ,
       
        тогда, как мы видели,
      = 2 х .

      «Ди- и , ди- х — производное от х по отношению к х — равно 2 х

      Мы также пишем

      y’ ( х ) = 2 х .

      » y — простое число x равно 2 x

      Этот символ сам по себе:     д  
      дх
       («ди, ди- x «) , называется

      дифференцирующий оператор .Мы должны взять производную от того, что следует за ним.

      Например,

        д  
      дх
      f ( x )  означает производную по отношению к x от f ( x ).
        д  
      дт
      (4 t 3 − 5) обозначает производную по отношению к t
        г (4 т 3 − 5).

      И так далее.

      Простое частное разности

      Коэффициент разности — это версия . И время от времени мы будем использовать последний. То есть изменение значения функции y = f ( x ) равно y + Δ y . Следовательно, коэффициент разности равен

      .

      Иногда будет удобно выразить разностное частное как

      Примечание : Когда Δ x приближается к 0 — по мере того, как точка Q приближается к P вдоль кривой — тогда Δ y или, что то же самое, Δ f также приближается к 0.То есть

      Теперь учащийся должен решить задачи, требующие определения производной.

      Содержание | Дом


      Пожалуйста, сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставался онлайн.
      Даже 1 доллар поможет.


      Copyright © 2021 Лоуренс Спектор

      Вопросы или комментарии?

      Электронная почта:  [email protected] com


      График производной функции | Сессия 1: Введение в деривативы | Часть A: Определение и основные правила | 1.Дифференциация | Расчет с одной переменной | Математика

      ПРОФЕССОР: Добро пожаловать на декламацию. Сегодня в этом видео мы рассмотрим, как мы можем определить график производной функции по графику самой функции.

      Итак, я дал здесь функцию. Мы называем это просто у равно f от х — или это кривая, у равно f от х. Итак, мы думаем о функции f от x. Я не даю вам уравнение для функции. Я просто даю вам график.И что я хочу, чтобы вы сделали, что я хочу, чтобы мы сделали в это время, так это выяснили, как будет выглядеть кривая y, равная f простому числу x. Такова наша цель.

      Итак, сначала мы попытаемся выяснить, что мы знаем о f простом числе x. Итак, я хочу напомнить вам, что когда вы думаете о производной функции, помните, что выход ее производной измеряет наклон касательной в каждой точке. Вот что нас интересует, так это понимание наклона касательной этой кривой при каждом значении x.

      Поэтому, когда вы думаете о производной, всегда проще всего найти места, где наклон касательной равен 0. Потому что это единственные места, где вы можете надеяться изменить знак производной. Итак, что мы хотели бы сделать, это сначала определить на этой кривой, где касательная имеет наклон, равный 0. И я думаю, что есть два места, где мы можем найти это довольно легко. Каким бы ни было это значение x, этот наклон равен 0. Это будет горизонтальная касательная.И затем каким бы ни было это значение x. Наклон там тоже 0. Горизонтальная касательная.

      Но есть и третье место, где наклон касательной равен 0, и оно скрыто прямо здесь. И на самом деле, я втянул — может быть, вы думаете, что есть еще несколько — но мы собираемся предположить, что эта функция всегда продолжается вниз по этому региону. Таким образом, есть три места, где касательная горизонтальна. Так что я могу даже немного нарисовать их здесь. У вас есть три горизонтальные касательные линии.

      Итак, в этих точках мы знаем, что значение производной равно 0, выход равен 0. И теперь мы можем определить, где между этими областями значения производной положительные и отрицательные?

      Итак, что я собираюсь сделать, так это ниже, я просто проведу линию, и мы будем как бы отслеживать знаки производной. Так что позвольте мне просто рисовать. Это будет что-то вроде нашего знака f Prime. OK. Так что это собирается сказать нам, каковы наши знаки.Итак, прямо внизу, мы будем отслеживать.

      Итак, вот, я сейчас спущусь. Здесь мы знаем, что знак простого числа f равен 0. Хорошо? Мы знаем, что там он равен 0. Мы знаем, что здесь он также равен 0, и мы знаем, что здесь он также равен 0. OK?

      А теперь вопрос, каков знак f простого числа в этой области? Таким образом, слева от того, что это значение x. Каков знак f в этой области, в этой области и затем вправо? Так что на самом деле есть… мы можем разделить значения x слева от любого значения x, между этими двумя значениями, между этими двумя значениями и справа от этого значения x.Это действительно то, что нам нужно сделать, чтобы определить, каковы знаки f простого числа.

      Итак, еще раз, что мы хотим сделать, чтобы понять f простое, мы посмотрим на наклон касательной кривой y равно f от x. Итак, давайте выберем место в этой области слева от нуля, скажем, прямо здесь, и посмотрим на касательную. Какой наклон имеет касательная? Ну, у него положительный наклон. И на самом деле, если вы посмотрите сюда, вы увидите, что все склоны положительны. Таким образом, f prime больше 0 здесь.А сейчас я просто запишу это. Буду иметь ввиду как плюс. Знак там положительный.

      Теперь, если я посмотрю вправо от того места, где f простое число равно 0, если я поищу значение x справа, я увижу, что по мере того, как я двигаюсь вправо, касательная изгибается вниз. Так позвольте мне сделать это с мелом. Вы видите, что касательная выглядит, имеет отрицательный наклон наклона. Если я нарисую одну точку, это выглядит примерно так. Так что наклон здесь отрицательный. Так что здесь я могу записать это. Здесь перед f перед простым знаком стоит минус.

      Теперь, если я посмотрю между этими двумя значениями x, которые, как я говорю, здесь равны 0, а здесь это 0 для значений x, и я возьму точку, мы заметим, что знак здесь тоже отрицательный. Так что на самом деле знак f prime изменился в этом нуле f, но не изменился вокруг этого нуля f. Итак, он отрицательный, а затем снова становится отрицательным. Он отрицательный, затем 0, затем отрицательный.

      И затем, если я посмотрю вправо от этого значения x и возьму точку, я увижу, что наклон касательной положительный.Так что знак там положительный.

      Итак, у нас есть производная положительная, потом 0, потом отрицательная, потом 0, потом отрицательная, потом 0, потом положительная. Так что многое происходит. Но я, если я хочу построить график, теперь, когда y равно f простому числу x, у меня есть своего рода отправная точка, с помощью которой я могу это сделать.

      Итак, что я могу сделать, так это то, что я знаю, что производная 0— Я собираюсь нарисовать производную синим цветом, здесь— производная равна 0, ее вывод равен 0 в этих местах. Так что я расставлю эти точки.И затем, если бы я просто пытался получить приблизительное представление о том, что происходит, производная положительна слева от этого значения x. Так что это определенно идет вниз. Это идет вниз. Ой, позвольте мне сделать их немного темнее. Он снижается, потому что он положительный. Он приближается к 0 — он должен оставаться выше оси X, но должен стремиться к 0. Верно?

      Чему это на самом деле соответствует? Ну, посмотрите, что делают склоны. Наклоны этих касательных линий, когда я двигаюсь в направлении х, наклон — дайте мне просто держать руку и смотреть, что делает моя рука — наклон всегда положителен, но он становится все менее и менее вертикальным, правильно ? Он движется к горизонтали.

      Итак, склон, который был здесь более крутым, становится менее крутым. Крутизна на самом деле является величиной производной. На самом деле это измерение того, насколько далеко находится выход от 0. Так как производная становится менее крутой, значения производной должны приближаться к 0.

      Что происходит, когда здесь производная равна 0? Ну, внезапно наклоны становятся отрицательными. Таким образом, выходы производной отрицательны. Это идет вниз.

      Но потом, как только он снова попадет сюда, обратите внимание, что происходит.Производная снова равна 0, и обратите внимание, как я туда попал. Производная отрицательна, а затем она начинает… Наклон этих касательных линий становится меньше. Верно? Они были крутыми, а потом где-то начинают становиться мельче.

      Итак, в значениях x между здесь и здесь есть место, где производная настолько крута, насколько это возможно в этой области, а затем становится менее крутой. Самая крутая точка — это точка, в которой у вас самая большая величина в этой области для f простого числа. Вот где он будет дальше всего от 0.Так что, если я предполагаю, похоже, что прямо здесь касательная настолько крута, насколько это возможно в этой области, между этими двумя нулями, а затем она становится менее крутой. Итак, я бы сказал, прямо здесь мы должны сказать: хорошо, это так низко, как сейчас, и теперь оно вернется. OK?

      Надеюсь, это имеет смысл. Мы еще увидим это здесь.

      Между этими двумя нулями происходит то же самое. Но заметьте — мы должны быть осторожны — мы не должны проходить через 0 здесь, потому что вывод производной, знак отрицательный.Верно? Обратите внимание, касательная, она была отрицательной, отрицательной, отрицательной, 0, о, она все еще отрицательная. Таким образом, выходы по-прежнему отрицательные, и они будут отрицательными вплоть до этого нуля.

      И нам нужно снова увидеть, что то же самое, что случилось в этом регионе, произойдет и в этом регионе. Дело в том, что, опять же, мы здесь 0. Нас здесь 0. Итак, где-то посередине, мы начинаем с 0, касательные линии начинают становиться круче, затем в какой-то момент они перестают становиться круче, они начинают становиться мельче.Это место выглядит, может быть, прямо здесь. Это своего рода самая крутая касательная, затем она становится менее крутой.

      Так что это место, где величина производной будет самой большой в этом регионе. И на самом деле, я как бы нарисовал это, они выглядят примерно одинаковой крутизны в этих двух местах, поэтому я, вероятно, должен поставить результаты примерно одинаковыми здесь. Их величины примерно одинаковы. Так что это должно отскочить, иди сюда. Я сделал это немного острее, чем хотел.OK?

      Вот оно. Это результат здесь… или касательная, извините. Касательная линия при этом значении x является самой крутой, которую мы получаем в этой области, поэтому выходное значение при этом значении x является самым низким, который мы получаем. И затем, когда мы находимся справа от этого нуля для производной, мы начинаем видеть положительные линии касательных — мы уже указывали на это — и они становятся более положительными. Итак, он начинается с 0, становится положительным, а затем становится еще более положительным. Что-то вроде этого примерно так и будет.

      Итак, позвольте мне заполнить пунктирные линии, чтобы мы могли видеть это ясно. Что ж, это не точно, но это довольно хороший рисунок, я думаю, мы можем сказать, f простого числа x. y равно f простому числу x.

      А теперь я задам вам вопрос. Я напишу это на доске, а потом дам вам время подумать над этим. Итак, позвольте мне написать вопрос.

      Это, найти функцию, равную y— или извините— найти функцию g от x так, что y равно g простому числу x выглядит так, как y равно f простому числу x.Хорошо, позвольте мне прояснить это, а затем я дам вам время подумать об этом. Итак, я хочу, чтобы вы нашли функцию g от x, чтобы график ее производной, y равнялся g простому числу x, выглядел точно так же, как график, который мы нарисовали здесь синим цветом, y равен f простому числу x. Теперь я не хочу, чтобы вы нашли что-то с точки зрения х квадратов и х кубов. Я не хочу, чтобы вы обнаружили, что фактическое g x равно чему-то в терминах x. Я хочу, чтобы вы просто попытались найти связь, которая должна быть с f. Так что я дам мне минутку, чтобы подумать об этом и выработать ваш ответ, и я вернусь, чтобы сказать вам.

      ОК. Добро пожаловать обратно.

      Итак, мы ищем функцию g от x, так что ее производная, когда я нарисую ее, y равна g простому числу x, я получаю точно такую ​​же кривую, как синяя. Синий. И дело в том, что если вы немного подумали об этом, то вам действительно нужна функция, которая выглядит точно так же, как эта функция, y равно f от x, при всех значениях x с точки зрения ее наклонов, но эти наклоны может произойти смещение вверх или вниз в любом месте. Итак, дело в том, что если я возьму функцию y, равную f от x, и добавлю к ней константу, которая сдвигает весь график вверх или вниз, касательные линии не затронуты этим сдвигом.И поэтому я получаю точно такую ​​же картину, когда беру производную от этого графика. Когда я смотрю на это, касательная наклоняется на этом графике.

      Итак, вы можете нарисовать другую картинку и проверить ее самостоятельно, если вы не уверены, сдвиньте это, сдвиньте эту кривую вверх, а затем посмотрите, что касательные линии делают на этой кривой. Но тогда вы увидите, что выходные данные его производной точно такие же.

      На этом мы остановимся.

      Что такое производная? Визуальное объяснение с примерами и графиками с цветовой кодировкой.

      3+5$$

      С помощью процесса, называемого дифференцированием 1 , мы можем найти другую функцию, связанную с $$f$$.2$$

      1 Дифференцирование означает нахождение производной.

      Два обозначения производной

      Производная говорит нам о скорости изменения

      Пример 1

      Предположим, что $$D(t)$$ — это функция, которая измеряет наше расстояние от дома (в милях) как функцию времени (в часах).

      Тогда $$D(2) = 5$$ означает, что вы находитесь в 5 милях от дома через 2 часа,

      и $$D'(2) = 20$$ говорят нам, что по прошествии 2 часов…

      $$ \frac{\mbox{наше расстояние меняется на 20 миль. ..}}{\mbox{за каждый проходящий час.}} = \frac{\mbox{20 миль}}{\mbox{каждый час}} = 20 \mbox{ миль в час.} $$

      Таким образом, $$D'(2) = 20$$ говорит нам, что по прошествии 2 часов наша скорость составляет 20 миль в час.

      Пример 2

      Предположим, что $$C(x)$$ — стоимость (в долларах) производства $$x$$ тонн макарон.

      Тогда $$C(30) = 15{,}000$$ говорит нам, что производство 30 тонн макарон будет стоить 15000 долларов,

      и $$C'(30) = 48{,}000$$ говорит нам, что когда мы производим 30 тонн макарон, связанные с этим затраты увеличиваются со скоростью 48 000 долларов за тонну.

      Производная говорит нам о наклонах касательных линий

      Давайте еще раз посмотрим на обозначения Лейбница для производной. Если $$y = f(x)$$ — наша функция, то производная может быть записана как

      $$\frac{dy}{dx} = \frac{\mbox{изменение \(y\)}}{\mbox{изменение \(x\)}} = \mbox{наклон линии!} $$

      Производные значения — это наклоны линий.В частности, это наклоны линий, которые касаются функции. См. пример ниже.

      Пример 3

      Предположим, у нас есть функция 2 , где $$f(2) = 3$$ и $$f'(2) = 1$$. Первое уравнение говорит нам, что точка $$(2,3)$$ находится на графике функции. Второе уравнение сообщает нам наклон касательной, проходящей через эту точку.

      Точно так же, как наклон говорит нам о направлении, в котором движется линия, значение производной говорит нам о направлении, в котором кривая движется в определенном месте.3$$.

      Определение производной

      Предположим, у нас есть функция $$f(x)$$, и мы хотим найти производную. Как мы можем сделать это? Самый простой способ — использовать определение производной:

      $$f'(x) = \displaystyle\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) — f(x)} h$$

      Варианты определения

      Существует два популярных варианта приведенного выше определения.Они математически эквивалентны приведенному выше.

      1. $$\displaystyle f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) — f(x)}{\Delta x}$$
      2. $$\displaystyle f'(x) = \lim_{x\to a} \frac{f(x) — f(a)}{x-a}$$

      На следующем уроке мы потренируемся дифференцировать функции, используя определение производной.

      Ошибка: Нажмите «Не робот», затем повторите попытку загрузки.

      .

      Добавить комментарий

      Ваш адрес email не будет опубликован.

      2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
      тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск