Прямая это в геометрии: Прямая и ее части – что такое в математике, правило

Содержание

Точка и линия | интернет проект BeginnerSchool.ru

С этой статьи мы начнем изучать элементы геометрии. Геометрия это раздел математики, изучающий пространственные структуры. Любая пространственная структура, или проще говоря, фигура состоит из точек. Поэтому одно из основных понятий в геометрии это ТОЧКА.

Точки принято обозначать буквами латинского алфавита. На маленьком отрезке может быть много точек. Посмотрите на рисунок: 

Здесь изображено четыре точки. Они обозначены латинскими буквами A, B, C и D. Через точки A и C проведена линия. Между точками A и С лежит точка D. Точка В не принадлежит линии.

Любая линия состоит из множества точек.

Возьмем обычную нитку. Натянув нитку, мы получим модель прямой линии, такую линию называют просто прямой. А если нитку расслабить, то получится модель кривой линии или просто кривой:

Кривые могут быть разными: короткими, длинными, замкнутыми и незамкнутыми, могут пересекать сами себя.

Через две точки можно провести любое количество кривых.

Прямые бесконечны. На чертежах изображают лишь небольшую часть прямой, но, на самом деле, прямая продолжается в обе стороны бесконечно долго.

Прямые могут быть горизонтальными, вертикальными и наклонными:

 Когда мы смотрим стоя в поле на соединение неба и земли, мы видим горизонт, это и есть модель горизонтальной линии. Когда мы возьмем один конец нитки, а к другому концу привяжем грузик, то нитка повиснет вертикально вниз – это модель вертикальной линии. Если нитку отклонить в любую сторону оставив её натянутой, то получится модель наклонной линии.

Через любые две точки можно провести только одну прямую: 

Прямую можно назвать по любым двум точкам, принадлежащим этой линии, то есть лежащим на ней. Можно прямую обозначить маленькой (строчной) латинской буквой.

На рисунке мы видим прямую АС. Также мы можем её назвать прямой а.

Давайте попробуем решить задачу.

Задача 1

Определить принадлежат ли точки B и D прямой АС изображенной на чертеже:

Итак, мы видим, что точка В лежит на прямой между точками А и С. Значит точка В принадлежит прямой. В свою очередь точка D находится в стороне от прямой. Значит точка D не принадлежит этой прямой.

Решим ещё задачу.

Задача 2

Определить принадлежит ли точка В прямой АС изображенной на чертеже:

Для того чтобы определить принадлежит ли точка В прямой АС продлим прямую до точки В.

 

Теперь мы видим, что точка В принадлежит прямой АС.

Спасибо, что Вы с нами.

Понравилась статья — поделитесь с друзьями:

Оставляйте пожалуйста комментарии в форме ниже

Вопросы к зачету по геометрии в 7 классе » Прямая, отрезок, луч, угол» (7 класс)

Вопросы к зачёту № 1

 

1.      Используя рисунок, укажите вертикальные углы.

 

                                 А

                                                               В

 

С                                                                    К

                                       О                                                                 

 

         N

2.     Какие углы называются смежными? Чему равна сумма смежных углов? Могут ли быть смежными прямой и острый углы?

3.     Какие прямые называются перпендикулярными? Каким свойством обладают две прямые, перпендикулярные третьей?

4.     Чему равна градусная мера угла, образованного биссектрисами двух смежных углов?

5.     Прочитайте запись К ∈ В и изобразите это на рисунке.

6.     Какая фигура называется углом? Объясните, как сравнить два угла.

7.     Какие углы называются вертикальными? Каким свойством обладают вертикальные углы? Сколько пар вертикальных углов образуется при пересечении двух прямых?

8.     Прямая а пересекает стороны угла А в точках Р и Q. Могут ли обе прямые AP и AQ быть перпендикулярными прямой а?

9.     Проведите прямую а. Отметьте на ней точки А и В. Отметьте ещё точку К так, чтобы К ∈ а. Какую фигуру имеют ввиду здесь под АВ?

10. Отметьте точку С на прямой АВ так, чтобы точка В оказалась серединой отрезка АС.

11. Какой угол называется острым, прямым, тупым?

12. Что такое градусная мера угла?

13. Луч L является биссектрисой неразвёрнутого угла hk. Может ли угол hL быть прямым или тупым?

14. С помощью транспортира начертите угол, равный 780, проведите биссектрису смежного с ним угла.

15. На рисунке     MOL =      KON. Есть ли ещё на рисунке равные углы?

     М                         О                         N   

       

 

          K                                                                  L


Задачи на отметку «3»

1.      Начертить отрезок CD, равный 5 см. С помощью линейки отметить на прямой CD точку М такую, что СМ = 2 см.                                                    а) Сколько таких точек можно отметить на прямой CD?                                б) Какова длина отрезка MD?                                                            Рассмотреть все возможные случаи.

2.     Известно, что      АОВ = 35 0,      ВОС = 50 0. Найдите угол АОС. Для каждого из возможных случаев сделайте чертёж с помощью линейки и транспортира.

3.     На рисунке прямые АВ и СD пересекаются в точке О так, что       АОD = 35 0. Найдите углы ОАС и ВОС.

 

                                         С                                                    А

                                                            О               350

                     

                                  В                                                                  D

4.      Дан луч h с началом в точке О, В   h, А   h, О-В-А (эта запись означает, что точка В лежит между точками О и А).                                                     а) Какой из отрезков ОВ или ОА имеет большую длину?                                     б) Найдите АВ, если ОА = 72 см, ОВ = 4,2 дм.

5.     Точка Р – середина отрезка МN. Найдите длину отрезка PN в метрах, если MN = 14 дм.

6.     На рисунке изображены три прямые, пересекающиеся в точке О. Найдите сумму углов 1, 2, 3.

                               О  

                        2                                  1

 

                                3

7.     Угол hk равен 1200, а угол hm равен 1500. Найдите угол km. Для каждого из возможных случаев сделайте чертёж.

8.     На рисунке   угол   АОВ = 500,   угол   FОЕ = 700.

Найдите углы АОС, ВОD, COE и COD.                                                                                   В       

                                                                                   А                     С        

                                                                                F                      D 

9.      Найдите изображённые на рисунке углы:                     E     

а) 1, 3, 4, если  угол  2 = 1170                                                              2

б) 1, 2, 4, если  угол  3 = 430 27 /                           1                                   3

                                                                                           4

10. Точка М – середина отрезка АВ, МВ = 4,3 дм. Найдите длину отрезка АВ               в миллиметрах.


Задачи на отметку «4»

 

1.      Точка С – середина отрезка АВ, точка О  середина отрезка АС                        а) Найдите АС, СВ, АО и ОВ, если АВ = 2 см;                                                          б) Найдите АВ, АС, АО и ОВ, если СВ = 3,2 см.

2.     Точка N лежит на отрезке МР. Расстояние между точками М и Р равно 24 см, а расстояние между N и М в 2 раза больше расстояния между точками N и Р. Найти расстояние                                                                                              а) между точками N и М;                                                                                     б) между точками N и Р.                                                   а 

3.     На рисунке а и в перпендикулярны,                             

   1 = 130

0.                                                                2              1                 в

Найдите углы 2, 3, 4      

                                                                                                          3

                                                                                        4

 

4.      Даны отрезок CD и точка М, причём CD = 17 см,

СМ = 13 см, DM = 5 см. Лежит ли точка М на отрезке СD?

5.     Найдите угол, образованный биссектрисами двух смежных углов.

6.     Найдите смежные углы, если: а) один из них на 450 больше другого;            б) их разность равна 35 0.

7.     На прямой m отмечены точки А, В и С так, что АС = 12 см, АВ = 8 см. Какой может быть длина отрезка ВС? (ВС = 20 см или ВС = 4 см).

8.     Угол АОВ = 120 0. Проведите луч ОС так, чтобы угол АОС равнялся 60

0 (рассмотрите два случая)

1)    Чему равен угол СОВ?

2)    Каким углом: острым, тупым или развёрнутым является угол СОВ?

3)    Является ли луч ОС биссектрисой угла АОВ?

9.     Луч ВD делит развёрнутый угол АВС на два угла, разность которых равна 460. Найдите образовавшиеся углы.

10. Найдите неразвёрнутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если                                                                                                                а) сумма двух из них равна 1140;                                                                                                   б) сумма трёх углов равна 2200.

  

                            

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи на отметку «5»

 

1.     Точки А, В и С лежат на одной прямой, точки М и N – середины отрезков АВ и АС. Докажите, что ВС = 2 MN.

2.     Отрезки АВ и СD пересекаются. Точка N лежит на отрезке CD, причём АN = 13 см, NВ = 12 см, АВ = 25 см. Может ли точка N быть точкой пересечения отрезков АВ и CD?. Ответ обоснуйте.

3.     Лучи k и t проходят между сторонами угла (gh), градусная мера которого равна 700. Угол, образованный биссектрисами углов (gk) и (th), равен 470. Найдите градусную меру угла (kt).

4.     Луч ВD делит прямой угол АВС на два угла, градусные меры которых относятся как 5 : 4. Найдите угол между лучом ВD и биссектрисой угла АВС.

5.     На прямой в отмечены последовательно точки C, D, E и F так, что         CD = EF. Расстояние между серединами отрезков CD и EF равно 12,4 см. Найдите расстояние между точками С и Е.

6.     Отрезок, равный 35 см, разделён на три неравных отрезка. Расстояние между серединами крайних отрезков равно 17 см. Найдите длину среднего отрезка.

7.     Отрезок АВ длины а разделён точками P и Q на три отрезка AP, PQ, QB так, что AP = 2PQ = 2QB. Найдите расстояние между:                                   а) точкой А и серединой отрезка QВ;                                                                       б) серединами отрезков АР и QВ.

8.     Отрезок длиной 36 см разделён на четыре неравные части. Расстояние между серединами крайних частей равно 30 см. Найдите расстояние между серединами средних частей.

9.     Луч k проходит между сторонами  угла (gh), градусная мера которого равна 2α . Найдите градусную меру угла, образованного биссектрисами углов (gk) и (kh).

10. На рисунке луч OV – биссектриса угла ZOY, а луч  OU – биссектриса угла XOY. Найдите угол  XOZ, если угол VOU = 800.

 

                                                               Y                 U

                                    V

                                                                                                       X

 

 

 

                     Z

 

    O

 

 

 

 

 

 


Вопросы к зачёту № 2

1.      Объясните, какая фигура называется треугольником?

Начертите треугольник и покажите его стороны, вершины и углы. Что такое периметр треугольника?

2.     Какие треугольники называют равными?

3.     Что такое теорема и доказательство теоремы?

4.     Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый признак равенства треугольников.

5.     Объясните, какой отрезок называется перпендикуляром, проведённым из данной точки к данной прямой.

6.     Какой отрезок называется медианой треугольника. Сколько медиан имеет треугольник?

7.     Какой отрезок называется биссектрисой треугольника? Сколько биссектрис имеет треугольник?

8.     Какой отрезок называется высотой треугольника? Сколько высот имеет треугольник?

9.     Какой треугольник называется равнобедренным? Как называются его стороны?

10. Какой треугольник называется равносторонним?

11. Докажите, что углы при основании равнобедренного треугольника равны.

12. Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе равнобедренного треугольника.

13. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую второй признак равенства треугольников.

14. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую третий признак равенства треугольников.

15. Что такое определение? Дайте определение окружности. Что такое центр, радиус, хорда и диаметр окружности?

16. Объясните, как отложить на данном луче от его начала отрезок, равный данному.

17.  Объясните, как отложить от данного луча угол, равный данному.

18.  Объясните, как построить биссектрису данного угла.

19. Объясните, как построить прямую, проходящую через данную точку, лежащую на данной прямой, и перпендикулярную этой прямой.

20. Объясните, как построить середину данного отрезка.  

 

 

 

 

 

 

 

Задачи на отметку «3»

 

1.      Треугольники АВС и KLM равны. Известно,  что  угол  АВС равен  углу  KLM,   угол  ВСА равен  углу  LMK,  АВ = 9 см, АС = 12 см. Чему равны соответствующие стороны треугольника KLM?

2.     Треугольники АВС и KLM равны. Известно, что KL = АВ, LM = ВС. Найдите соответствующие углы треугольника KLM, если  углол  АВС = 730, угол ВСА = 370.

3.     В треугольнике АВD отрезок  АF является медианой. Сравните длины отрезков  ВF и FD и, используя знаки >, <, =, запишите это соотношение.

                                                                                                  А

 

                                        В                                D

                                                         F

4.     Может ли высота треугольника находиться вне его?

5.     В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 7 см, а основание – 4 см. Вычислите периметр треугольника.

6.     В равностороннем треугольнике сторона равна 7 см. Вычислите периметр треугольника.

7.     Дана окружность с центром в точке О. По данным рисунка определить вид треугольника ВОА.

 

 

 

 

 

                                                                  А

                                                    В

8.     Докажите равенство треугольников ВАС и DСА, если   угол  САВ равен углу АСD и  угол САD равен углу АСВ.

9.     Дан треугольник АВС. Постройте:                                                                              а) биссектрису АК;

б) медиану ВМ;

в) высоту СН треугольника.

10. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный а) 450; б) 1300.

11.      СDЕ =    КFМ – равносторонние. Найдите периметр    КFМ, если сторона СD = 10 см.

 

 

 

 

 

 

Задачи на отметку «4»

 

1.      На рисунке отрезок АС является биссектрисой                   В

ВАD, АВ = АD. Найдите отрезок КD,                      А                  К               С

если отрезок КВ = 5 см.        

                                                                                                          D                                                                    

2.     На рисунке соответственные стороны ВD и АС         В

треугольников ВАD и СDА равны,

а угол АDВ равен углу DАС. Найдите угол ВАD,                                        С               если угол СDА = 1050.                                              А

3.     Две стороны треугольника равны 5 см и 3 см

Медиана, проведённая к третьей стороне, делит

данный треугольник на два. Найдите разность периметров               D

этих треугольников.                                                                           Е

4.     В равных треугольниках DЕА и FЕВ  угол  D равен углу F.

Докажите, что    АЕВ – равнобедренный.

5.     На сторонах угла А отложены равные отрезки АВ и АС,

а на биссектрисе угла А отмечена точка D.                                 D  А    В    F

Докажите, что треугольник DСВ равнобедренный.

Укажите его основание.

6.     Дана окружность с центром в точке О.

Хорда АВ равна радиусу. Определите вид                                            А

треугольника ВОА и найдите его углы.

7.     Радиус окружности с центром в точке О равен 7 см,                       

угол ВАО = 600. Найдите хорду АВ.                                                В    В

8.     Отрезки АD и СF – биссектрисы углов САВ и АСВ                          соответственно,  угол САВ равен углу АСВ.

Докажите равенство треугольников АDС и СFА.                    F               D

9.     Постройте окружность радиуса 6 см, проходящую

через две данные точки А и В, если:

а) АВ = 4 см,                                                                               А                    С

б) АВ = 6 см,

в) АВ = 8 см.

10. Периметр треугольника АВС равен 15 см. Сторона ВС больше стороны АВ на 2 см, а сторона АВ меньше стороны АС на 1 см. Найдите стороны треугольника.

        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи на отметку «5»

 

1.     К прямой а проведены перпендикулярные прямые АС и ВD, причём     АС = ВD. Точки С и D принадлежат прямой а. Докажите, что    АDВ =

              ВDС.

2.     По одну сторону от прямой АВ отмечены точки С и D так, что угол САВ равен углу DВА и DВ = СА. Докажите равенство треугольников АDВ и ВСА.

3.      Точки D и D1 являются серединами       В                              В1

соответствующих сторон равных                                           

треугольников АВС и А1В1С1.                                                                      

Докажите, что      АВD =     А1В1D1,                                С                                         

если  угол АСВ равен углуА1С1В1.   А                D                      А1               D1            С1               

4.     Треугольник TSR – равнобедренный с основанием ТR.

а) Докажите, что угол SТР равен уголу RQ;

б) Определите градусную меру угла SТР, если  угол SRТ = 460;

в) Определите градусную меру углов SТR и SRТ, если угол SRQ = 1340.

                                               S                                                                                        В

 

                                                                                                                        А                              С

                 Р                Т                      R                  Q                                            М                 К

5.      Треугольники АВD и DВС – равнобедренные                    D         

с равными основаниями АD и СD. Докажите, что:

 а)    АВD =      СВD;                                                                                   

б) медианы ВМ и ВК этих треугольников равны.              

6.     Внутри равнобедренного треугольника АВС с основанием АС отмечена точка О так, что АО = ВО = СО. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке D. а) Докажите, что отрезок ВD является медианой, биссектрисой и высотой данного треугольника. б) Определите  угол  ВАО и  угол ВСО, если  угол  АВС = 800.

7.     Даны две окружности с общим центром в точке О, АС и ВD – диаметры этих окружностей. Докажите, что треугольники АВО и СDО равны.

8.     Отрезки АВ и СD являются диаметрами

окружности с центром в точке О.                                В                 С

Докажите, что хорды АС и В D равны.                                    А                                   

9.      В треугольнике АВС  угол  А = 380,  угол  В = 1100,                        D

угол С = 320. На стороне АС отмечены точки D и Е так,

что точка D лежит на отрезке АЕ, ВD = DА, ВЕ = ЕС.                 М

Найдите  угол DВЕ.                                                                                          В         F

10. На рисунке АМ = МС, АЕ = DС,  угол ВDА равен углу FЕС.                    

Докажите, что АВ = FС.                                                           А        D    E      С

 

                           


Вопросы к зачету №3.

 1.Дайте определение параллельных прямых. Какие  два отрезка называются параллельными?

2.Что такое секущая? Назовите пары углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей.

3.Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

4.Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые па­раллельны.

5.Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

6.Расскажите о практических способах проведения па­раллельных прямых.

7.Объясните, какие утверждения называются аксиома­ми. Приведите примеры аксиом.

8.Докажите, что через данную точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной.

9.Сформулируйте аксиому параллельных прямых.

10.Какое утверждение называется следствием? Докажи­те, что прямая, пересекающая одну из двух парал­лельных прямых, пересекает и другую.

11.Докажите, что если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

12.Какая теорема называется обратной данной теореме?

Приведите примеры теорем, обратных данным.

13.Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны.

14.Докажите, что если прямая перпендикулярна к од­ной из двух параллельных прямых, то она перпенди­кулярна и к другой.

15.Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей: а) соответственные углы равны; б) сумма односторонних углов равна 180°.

 

 

 

                                                  Вопросы к зачету № 4

 

1.Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов треугольника.

2.Какой угол называется внешним углом треугольни­ка? Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

3.Докажите, что в любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой.

4.Какой треугольник называют остроугольным? Какой треугольник называется тупоугольным?

5.Какой треугольник называется прямоугольным? Как называются стороны прямоугольного треугольника?

6. Докажите, что в треугольнике:

   1)против большей стороны лежит больший угол;

   2)обратно, против большего угла лежит большая сто­рона

7. Докажите, что в прямоугольном треугольнике гипо­тенуза больше катета.

8. Докажите, что если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

9.Докажите, что каждая сторона треугольника мень­ше суммы двух других сторон. Что такое неравенство треугольника?

10.Докажите, что сумма двух острых углов прямоуголь­ного треугольника равна 90°.

11.Докажите, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипоте­нузы. Сформулируйте и докажите обратное утверж­дение.

12.Сформулируйте и докажите признак равенства ·пря­моугольных треугольников по гипотенузе и острому углу.

13.Сформулируйте и докажите признак равенства пря­моугольных треугольников по гипотенузе и катету.

14.Объясните, какой отрезок называется наклонной, проведенной из данной точки к данной прямой. АДВ равен 100 .Найти:/.С.

2.Один из углов треугольника равен сумме двух других. Доказать, что данный треугольник- прямоугольный.

З.В треугольнике АВС угол С равен 90 , угол В равен 35 ,СД-высота. Найти: углы треугольника АСД.

4.Найти углы треугольника АВС, если угол А на 60 меньше угла В и в 2 раза меньше угла С.

5.В треугольнике АВС угол С равен 90′, угол В равен 70 . На катете АС отложен отрезок СД, равный СВ. Найти: углы треугольника АВД.

б.Угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины наибольшего угла прямоугольного треугольника, равен 14°. Найти: острые углы данного треугольника.

7.Доказать, что основание равнобедренного треугольника параллельно биссектрисе одного из внешних углов.

8.Доказать, что если биссектрисы двух углов треугольника образуют при пересечении угол 135 , то этот треугольник- прямоугольный.

9.В прямоугольном треугольнике АВС ( угол С прямой) проведена высота С Д. Гипотенуза равна 12см, а угол СВА равен 30\

10. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ равно ВС) от вершин при основании отложены равные отрезки АД равно СЕ. Определить углы треугольника ДБЕ, если угол ВЕС равен ПО.

 

 

             

 

 

                                 

 

                                               Задачи на отметку «4»

1.АF параллельна ВД, АВ равен ВF, угол В равен 30°

Доказать: ВД- биссектриса угла СВF

Найти: угол А, угол F, сумму углов треугольника АВF

2.Дан треугольник АВС. Через вершину В проведена прямая ДЕ,

 параллельная стороне  АС.

Найти сумму углов треугольника АВС.

3.ДК- биссектриса   СДЕ. Угол СДК равен 28° ,угол СКД равен 75° .

Найти: углы треугольника СДЕ.

4.Прямая АС пересекается с прямой ВД в точке О.ОВ равна ОА,

ОС равна СД, угол ВОС равен 137° .

Найти: углы треугольников АОВ и СДО.

5. ВД- высота  АВС. ВД равна ДА. Угол С равен 30° .

Найти: угол АВС.

6.Дано: угол В равен 30° ,угол С равен 20° , угол ДFЕ

равен 70° .Найти: угол А.

7. В равнобедренном   СДЕ с основанием СЕ и углом Д,

равным 102° , проведена высота СH.

Найти: угол ДСH.

8. Внешний угол треугольника равен 140° , а внутренние углы,

не смежные с ним, относятся как 3:4.

Найти: внутренние углы треугольника.

9. Треугольник АВС- равнобедренный с основанием АВ.

Биссектрисы углов при основании пересекаются в точке Д.

Угол АДВ равен 100°. Найти: угол С

10.Один из внутренних углов треугольника в 3 раза больше другого,

а внешний угол, смежный с третьим внутренним углом, равен 100° .

Найти: внутренние углы треугольника

                                        


Задачи на отметку «3»

1.      Дан треугольник АВС. Сторона АВ равна стороне ВС,

Угол А равен 50° , ВМ- высота.

      Найти: угол СВМ.

      2.Дан треугольник АВС, сторона АВ равна 5см. АВ

равна ВС.

      Угол ВСД равен 120° .

      Найти: АС.

3.Дан треугольник АВС. Сторона АВ равна стороне ВС.

      Угол ВСД равен 125° .

      Найти: угол А, угол В, угол С.

4.Дан треугольник АВС. Внешние углы ДБС и ЕСВ

       равны соответственно 120° и 110° .

      Найти: угол А, угол В, уголС.

  5.Дан треугольник АВС. Угол 1 равен 40° ,

      угол 2 равен 85° .

      Найти: угол А,  угол В, угол С.

  6.Треугольник АВС- равнобедренный. ВД- биссектриса

      угла АВС. Угол АВД равен 20° .

      Найти: угол А, угол В, угол С.

  7. Дан треугольник АВС. Сторона АВ параллельна

      стороне СД. Угол ВСД равен 60° , угол ДСЕ равен 50° .

      Найти: углы треугольника АВС.

  8. В треугольнике СДЕ: СF- биссектриса, угол Д равен 68° ,

      угол  FСЕ равен 35° .

      Найти: угол Е, угол СFЕ.

 9. Внутренние углы треугольника АВС пропорциональны числам 2, 5, 8.

      Найти: углы треугольника АВС, внешние углы треугольника АВС

  10. В треугольнике АВС проведена биссектриса ВД. Угол А равен 50° ,

     угол В равен 60° . Найти: углы треугольника СВД.

 

 

Контрольная работа № 1

Вариант I

1 – 1. Какая фигура изображена на рисунке?


             А                                                                В

1 – 2. Начертите угол и измерьте его градусную меру.

1 – 3. Какие из точек, изображённых на рисунке:

           · А                       О               С   ·

L·                                     ·     

             K    ·                                                ·  X

·    N                                         ·  M                                         ·  B

 

а) принадлежат прямой АХ;

б) принадлежат отрезку NС?

 

2. Углы АОВ и СОD являются вертикальными,   угол АОВ = 700. Найдите     угол СОD.

 

3. На отрезке АВ взяты точки С и D. Найдите длину отрезка СD, если                АВ = 14 см, АС = 5 см, DВ = 6 см.

 

4. Может ли сумма трёх углов, получившихся при пересечении двух прямых, равняться 1000?

 

5. Луч ОК проходит между сторонами угла АОВ, равного 770, и делит его на два угла. Найдите величины данных углов, если один из них в 2,5 раза меньше другого.

 

Дополнительное задание

Прямые АВ и СD пересекаются в точке О. ОМ – биссектриса угла АОD. Найдите угол ВОD, если   угол МОС = 1220.

 

 

 

 

 

 


Контрольная работа № 1

Вариант II

1 – 1. Какая фигура изображена на рисунке?

                                          М

                  О

                          

                                                    N

1 – 2. Начертите отрезок и измерьте его длину в см.

1 – 3. Какие из точек, изображённых на рисунке:

 

           · А                       О               С   ·

L·                                     ·    

              K    ·                                                ·  X

·    N                                         ·  M                                         ·  B

 

а) принадлежат лучу КО;

б) не принадлежат прямой АВ?

 

2. Углы АОВ и ВОD являются смежными,   угол АОВ = 630. Найдите угол ВОD.

3. На отрезке АВ = 18 см взяли точку С. Найдите длины отрезков АС и ВС, если АС меньше ВС на 4 см.

4. Может ли сумма двух вертикальных углов быть равной 2700?

5. Найдите углы, которые образуются при пересечении двух прямых, если сумма трёх из образовавшихся углов равна 2980.

Дополнительное задание

Прямые АВ и СD пересекаются в точке О. ОМ – биссектриса угла АОD. Найдите угол ВОD, если угол МОС = 1220.

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа № 2

Вариант I                                                                                                 В

1 – 1. Какая фигура изображена на рисунке?

1 – 2. Начертите равносторонний треугольник МNК.               8                    8

1 – 3. Чем является отрезок ВМ в треугольнике             А

АВС, если АМ = МС?                         В                                        6            С

                                 М                             

А

                                         

                                                  С

 

2.  В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС ВМ – медиана треугольника. Чем ещё является ВМ в треугольнике АВС?

 

3.   На рисунке отрезки АВ и СD имеют общую середину О. Докажите, что углы ОDА и ОСВ равны.

                       А

 

                                                                          С

                                                   О

  D

 

                                                                               В

 

4. Может ли угол между стороной треугольника и биссектрисой прилегающего к ней угла быть тупым?

5. Равнобедренные треугольники АСD и ВСD имеют общее основание СD. Доказать, что углы АDВ и АСВ равны.

Дополнительное задание

На сторонах АВ, ВС, АС равнобедренного треугольника АВС с основанием АС отмечены точки М, К и Р соответственно так, что угол АМР  равен  углу РКС и АМ = КС. ВС?

 

2.  В равнобедренном треугольнике АВС    А                         С

      с основанием АС угол А = 490. Чему равен угол С?

                                                                                                              В

3.  Дано: АD – биссектриса угла ВАС, АВ = АС

     Доказать: DВ = DС.                                        А                            D

                                                                                                                 С

4. Две стороны и угол одного треугольника равны каким-то двум сторонам и углу другого треугольника. Могут ли эти треугольники быть неравными?

5. Отрезки АС и ВD пересекаются в середине О отрезка АС,    угол ВСD равен  углу    DАО.  Докажите, что треугольники ВОА и DОС равны.

 

 

                        О

 

 
         А                                                   D

 

 

 

В                                                        С

Дополнительное задание

На сторонах АВ, ВС, АС равнобедренного треугольника АВС с основанием АС отмечены точки М, К и Р соответственно так, что  угол АМР равен углу  РКС и АМ = КС. О – точка пересечения отрезков ВР и МК. Докажите, что:

а) РВ – биссектриса угла МРК;

б) отрезки МК и ВР взаимно перпендикулярны.

 

 

Контрольная работа № 3

Вариант I

1 – 1. Какие из пар прямых, изображённых на рисунке, являются параллельными?

 

                 а                      m          n                                 l                     p

 

 

b

 

 

1 – 2. Изобразите две параллельные прямые и секущую.

 

1 – 3. Из всех углов, изображённых на рисунке, выберите пары накрест лежащих углов.          

                            а                          в                                                             в

                                  1            2

                                               4          3                                                                                                                                  а

                                                                               с                   l           1           

                                                                  8           5

                                                                            7            6                                                                2

 

2.   На рисунке углы 1 и 2 равны. Что можно сказать о взаимном расположении прямых а и в?

                                                                                      c         3     

3. На рисунке m || n, угол 1 = 550.

Вычислите градусные меры углов 2 и 3.              m            2

                                                                                                 1

4. Могут ли односторонние углы оба быть тупыми?           n

5. Отрезок МТ – биссектриса треугольника МРК. Через точку Т проведена прямая, параллельная стороне МР и пересекающая сторону МК в точке Е. Вычислите градусные меры углов треугольника МТЕ, если угол ТЕМ = 1100.

Дополнительное задание

Из точек А и В, лежащих по одну сторону от прямой, проведены перпендикуляры АС и ВD к этой прямой, угол ВАС = 1120. Найдите угол АВД и докажите, что прямые АВ и СD пересекаются.

                                                                                                                                     

 

 


Контрольная работа № 3

Вариант II

1 – 1. Какие из пар прямых, изображённых на рисунке, являются параллельными?

                       k                          a      b                                           c

                               l                                            d

 

 

1 – 2. Начертить для прямой a параллельную ей прямую b.

1 – 3. Из всех углов, изображённых на рисунке,

 выберите пары соответственных углов.

                            а                           b                                                                      а

                                  1            2                                                                                             2

                                               4          3                                                                                                                                      b

                                                                               с                                      1           

                                                                  8           5

                                                                            7            6                                                               

 

2.   На рисунке угол 1 = 1120, угол 2 = 670. Что можно сказать о прямых a  и  b?

 

3. На рисунке СО = ОА и ВО = ОD.                 В                                       А

Докажите, что ВА || СD.

                                                                                                     О

 

                                                                         С                                      D          

4. Может ли при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой образоваться 8 острых углов?

5. Отрезок АD – биссектриса треугольника АВС. Через точку D проведена прямая, параллельная стороне АВ и пересекающая сторону АС в точке К. Вычислите градусные меры углов треугольника АDК, если угол ВАС = 840.

Дополнительное задание

Из точек А и В, лежащих по одну сторону от прямой, проведены перпендикуляры АС и ВD к этой прямой, угол ВАС = 112 0. Найдите угол АВD и докажите, что прямые АВ и СD пересекаются.

 

 

 


Контрольная работа № 4

Вариант I

1 – 1. Выберите равнобедренные треугольники

                     А                                                          M                                                  Q

                     600

                                                                                                     N        R        350                         350       P

     B      600                             C        K   400                    

       T                                                                 L                                                                                  X

 

                                                                                

                     F    1200                  G                   H                  400      S            Z       300                            800    Y

  1 – 2. Изобразите прямоугольный треугольник и измерьте его углы.

 

1 – 3. Изобразите внешний угол при вершине тупоугольного треугольника.

 

2. На рисунке угол А = 350, угол С = 700. Чему равен угол 1?

 

3. а) Вычислите градусные меры углов треугольника АВС.

    б) Найдите меньшую сторону треугольника АВС. (Ответ поясните)              

                                                                              D

                                                                          620           В

 

                                                 А                                                 400          С

4. Могут ли две стороны треугольника быть перпендикулярными к его третьей стороне?

5. Периметр равнобедренного треугольника равен 50 см, а одна из его сторон на 13 см больше другой. Найдите стороны треугольника.

Дополнительное задание

Один из внешних углов треугольника в два раза больше другого внешнего угла этого треугольника. Найдите меньший из них, если внутренний угол треугольника, не смежный с указанными внешними углами, равен 600.

 

 

 

 

 

Контрольная работа № 4

Вариант II

1 – 1. Выберите тупоугольные треугольники

                     А                                                          M                                                  Q

                     600

                                                                                                     N        R        350                         350       P

     B      600                           C        K   400                    

       T                                                                 L                                                                                  X

 

                                                                                

                     F    1200                  G                   H                  400      S            Z       300                            800    Y

1 – 2. Изобразите остроугольный треугольник и измерьте его углы.

1 – 3. Изобразите прямоугольный треугольник и измерьте его гипотенузу.

2.  Каким является треугольник АВС, если в нём углы А и С равны?

3.  а) Вычислите градусные меры углов треугольника MNK;

б) Найдите большую сторону треугольника MNK. (Ответ поясните)

                                                                     N

                   М        380

 

                                  680      К

 

                         Р

 

4. Может ли у треугольника быть два острых внешних угла?

 

5. Периметр равнобедренного треугольника равен 45 см, а одна из его сторон меньше другой на 12 см. Найдите стороны треугольника.

 

Дополнительное задание

Один из внешних углов треугольника в два раза больше другого внешнего угла этого треугольника. Найдите меньший из них, если внутренний угол треугольника, не смежный с указанными внешними углами, равен 600.

 

 

 

 

Контрольная работа № 5

Вариант I

1. Построить треугольник по трём сторонам длиной 2 см, 3 см и 4 см с помощью циркуля и линейки.

2. Вставьте недостающие слова вместо многоточия в следующем предложении: «Если … и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны … и острому углу другого, то такие треугольники …».

3. Вычислите длину гипотенузы треугольника АВС.

А

 

С    900          1200       В

                  9 см

 

4. Может ли прямоугольный треугольник быть равносторонним?

5. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный 1500.

 

 

Дополнительное задание

Построить с помощью циркуля и линейки угол, равный 112030/.

 

 

 

 

 

                                

 

 

 

                                                                                                                             

 

 

Контрольная работа № 5

Вариант II

1. Постройте прямоугольный треугольник по двум катетам длиной 3 и 4 см.

2. Вставьте недостающие слова вместо многоточия в следующем предложении: «Если … одного прямоугольного треугольника соответственно равны … другого, то такие треугольники …».

3. Вычислите длину гипотенузы треугольника АВС.

 

                                                  1500     В

А

               5 см

                        С

4. Могут ли неравные прямоугольные треугольники иметь равные гипотенузы?

5. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный 750.

 

 

Дополнительное задание

Построить с помощью циркуля и линейки угол, равный 112030/.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                                                                                                        

 

Вычислительная геометрия, или как я стал заниматься олимпиадным программированием.

Часть 2
Вступление

Это вторая часть моей статьи посвящена вычислительной геометрии. Думаю, эта статья будет интереснее предыдущей, поскольку задачки будут чуть сложнее.

Начнем с взаимного расположения точки относительно прямой, луча и отрезка.

Задача №1

Определить взаимное расположении точки и прямой: лежит выше прямой, на прямой, под прямой.

Решение
Понятно, что если прямая задана своим уравнением ax + by + c = 0, то тут и решать нечего. Достаточно подставить координаты точки в уравнение прямой и проверить чему оно равно. Если больше нуля, то точка находится в верхней полуплоскости, если равна нулю, то точка находится на прямой и если меньше нуля, то точка находится в нижней полуплоскости. Интереснее случай, когда прямая задана, задана координатами двух точек назовем их P1(x1, y1), P2(x2, y2). В этом случае можно спокойно найти коэффициенты a, b и c и применить предыдущее рассуждение. Но надо сначала подумать, оно нам надо? Конечно, нет! Как я говорил косое произведения — это просто жемчужина вычислительной геометрии. Давайте применим его. Известно, что косое произведение двух векторов положительно, если поворот от первого вектора ко второму идет против часовой стрелки, равно нулю, если векторы коллинеарны и отрицательно, если поворот идет по часовой стрелки. Поэтому нам достаточно посчитать косое произведение векторов P1P2 и P1M и по его знаку сделать вывод.

Задача №2

Определить принадлежит ли точка лучу.

Решение
Давайте вспомним, что такое луч: луч — это прямая, ограниченная точкой с одной стороны, а с другой стороны бесконечная. То есть луч задается некоторой начальной точкой и любой точкой лежащей на нем. Пусть точка P1(x1, y1) — начало луча, а P2(x2, y2) — любая точка принадлежащая лучу. Понятно, что если точка принадлежит лучу, то она принадлежит и прямой проходящей через эти точки, но не наоборот. Поэтому принадлежность прямой является необходимым, но не достаточным условием для принадлежности лучу. Поэтому от проверки косового произведения нам никуда не деться. Для достаточного условия нужно вычислить еще и скалярное произведение тех же векторов. Если оно меньше нуля, то точка не принадлежит лучу, если же оно не отрицательно, то точка лежит на луче. Почему так? Давайте посмотрим на рисунок.

Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на луче с начальной точкой P1(x1, y1), где P2(x2, y2) лежит на луче необходимо и достаточно выполнения двух условий:
1. [P1P2, P1M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой)
2. (P1P2, P1M) ≥ 0 – скалярное произведение (точка лежит на луче)

Задача №3

Определить принадлежит ли точка отрезку.

Решение
Пусть точки P1(x1, y1), P2(x2, y2) концы заданного отрезка. Опять-таки необходимым условием принадлежности точки отрезку является ее принадлежность прямой проходящей через P1, P2. Далее нам нужно определить лежит ли точка между точками P1 и P2, для этого нам на помощь приходит скалярное произведение векторов только на этот раз других: (MP1, MP2). Если оно меньше либо равно нуля, то точка лежит на отрезке, иначе вне отрезка. Почему так? Посмотрим на рисунок.

Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на отрезке с концами P1(x1, y1), P2(x2, y2) необходимо и достаточно выполнения условий:
1. [P1P2, P1M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой)
2. (MP1,MP2) ≤ 0 – скалярное произведение (точка лежит между P1 и P2)

Задача №4

Взаимное расположение двух точек относительно прямой.

Решение
В этой задаче необходимо определить по одну или по разные стороны относительно прямой находятся две точки.

Если точки находятся по разные стороны относительно прямой, то косые произведения имеют разные знаки, а значит их произведение отрицательно. Если же точки лежат по одну сторону относительно прямой, то знаки косых произведений совпадают, значит, их произведение положительно.
Итак:
1. [P1P2, P1M1] * [P1P2, P1M2] < 0 – точки лежат по разные стороны.
2. [P1P2, P1M1] * [P1P2, P1M2] > 0 – точки лежат по одну сторону.
3. [P1P2, P1M1] * [P1P2, P1M2] = 0 – одна (или две) из точек лежит на прямой.

Кстати, задача об определении наличия точки пересечения у прямой и отрезка решается точно также. Точнее, это и есть эта же задача: отрезок и прямая пересекаются, когда концы отрезка находятся по разные стороны относительно прямой или когда концы отрезка лежат на прямой, то есть необходимо потребовать [P1P2, P1M1] * [P1P2, P1M2] ≤ 0.

Задача №5

Определить пересекаются ли две прямые.

Решение
Будем считать, что прямые не совпадают. Понятно, что прямые не пересекаются, только если они параллельны. Поэтому, найдя условие параллельности, мы можем, определить пересекаются ли прямые.
Допустим прямые заданы своими уравнениями a1x + b1y + c1 = 0 и a2x + b2y + c2 = 0. Тогда условие параллельности прямых заключается в том, что a1b2 — a2b1 = 0.
Если же прямые заданы точками P1(x1, y1), P2(x2, y2), M1(x3, y3), M2(x4, y4), то условие их параллельности заключается в проверки косого произведения векторов P1P2 и M1M2: если оно равно нулю, то прямые параллельны.

В общем, то когда прямые заданы своими уравнениями мы тоже проверяем косое произведение векторов (-b1, a1), (-b2, a2) которые называются направляющими векторами.

Задача №6

Определить пересекаются ли два отрезка.

Решение
Вот эта задача мне, действительно, нравится. Отрезки пересекаются тогда, когда, концы каждого отрезка лежат по разные стороны от другого отрезка. Посмотрим на рисунок:

Итак, нам нужно проверить, чтобы концы каждого из отрезков лежали по разные стороны относительного концов другого отрезка. Пользуемся косым произведением векторов. Посмотрите на первый рисунок: [P1P2, P1M2] > 0, [P1P2, P1M1] < 0 => [P1P2, P1M2] * [P1P2, P1M1] < 0. Аналогично
[M1M2, M1P1] * [M1M2, M1P2] < 0. Вы наверно думаете, почему не меньше либо равно. А потому, что возможен следующий случай, при котором векторное произведение как раз и равно нулю, но отрезки не пересекаются:

Поэтому нам необходимо сделать еще одну проверку, а именно: принадлежит ли хотя бы один конец каждого отрезка другому (принадлежность точки отрезку). Эту задачу мы уже решали.

Итак, для того чтобы отрезки имели общие точки необходимо и достаточно:
1. Концы отрезков лежат по разные стороны относительно другого отрезка.
2. Хотя бы один из концов одного отрезка принадлежит другому отрезку.

Задача №7

Расстояние от точки до прямой.

Решение
Пусть прямая задана двумя точками P1(x1, y1) и P2(x2, y2).

В предыдущей статье мы говорили о том, что геометрически косое произведение — это ориентированная площадь параллелограмма, поэтому SP1P2M = 0,5*[P1P2, P1M]. С другой стороны каждому школьнику известна формула для нахождения площади треугольника: половина основание на высоту.
SP1P2M = 0,5*h*P1P2.
Приравнивая эти площади, находим

По модулю взяли потому, что первая площадь ориентированная.

Если же прямая задана уравнением ax + by + c = 0, то уравнение прямой проходящей через точку M перпендикулярной заданной прямой есть: a(y — y0) – b(x — x0) = 0. Теперь спокойно можно решить систему из полученных уравнений, найти их точку пересечения и вычислить расстояние от исходной точки до найденной: оно будет ровно ρ = (ax0 + by0 + c)/√(a2 + b2).

Задача №8

Расстояние от точки до луча.

Решение
Эта задача отличается от предыдущей тем, что в этом случае может получиться, так что перпендикуляр из точки не падает на луч, а падает на его продолжение.

В случае, когда перпендикуляр не падает на луч необходимо найти расстояние от точки до начала луча – это и будет ответом на задачу.

Как же определить падает ли перпендикуляр на луч или нет? Если перпендикуляр не падает на луч, то угол MP1P2 – тупой иначе острый (прямой). Поэтому по знаку скалярного произведения векторов мы можем определить попадает ли перпендикуляр на луч или нет:
1. (P1M, P1P2) < 0 перпендикуляр не попадает на луч
2. (P1M, P1P2) ≥ 0 перпендикуляр попадает на луч

Задача №9

Расстояние от точки до отрезка.

Решение
Рассуждаем аналогично предыдущей задаче. Если перпендикуляр не падает на отрезок, то ответом будет минимальное из расстояний от данной точки до концов отрезка.

Чтобы определить попадает ли перпендикуляр на отрезок нужно по аналогии с предыдущей задачей использовать скалярное произведение векторов. Если перпендикуляр не падает на отрезок, то либо угол MP1P2 либо угол MP2P1 будут тупыми. Поэтому по знаку скалярных произведений мы можем определить попадает ли перпендикуляр на отрезок или нет:
Если (P1M, P1P2) < 0 или (P2M, P2P1) < 0 то перпендикуляр не падает на отрезок.

Задача №10

Определить количество точек прямой и окружности.

Решение
Прямая и окружность может иметь нуль, одну или две точки пересечения. Давайте посмотрим на рисунки:

Здесь из рисунков и так все понятно. Мы имеем две точки пересечения, если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности. Одну точку касания, если расстояние от центра до прямой равно радиусу. И наконец, ни одной точки пересечения, если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности. Поскольку задача нахождения расстояние от точки до прямой была уже нами решена, то и эта задача тоже решена.

Задача №11

Взаимное расположение двух окружностей.

Решение
Возможные случаи расположения окружностей: пересекаются, касаются, не пересекаются.

Рассмотрим случай, когда окружности пересекаются, и найдем площадь их пересечения. Эту задачу я очень люблю, так как потратил на ее решение изрядное количество времени (было это давно — на первом курсе).



Вспомним теперь, что такое сектор и сегмент.

Пересечение кругов состоит из двух сегментов O1AB и O2AB.

Казалось бы необходимо сложить площади этих сегментов и все. Однако, все не так просто. Необходимо еще определить всегда ли эти формулы верны. Оказывается, нет!

Рассмотрим случай, когда центр второго круга O2 совпадает с точкой C. В этом случае d2 = 0 и за значение α примем α = π. В этом случае имеем полукруг с площадью 1/2 πR22.

Теперь рассмотрим случай, когда центр второго круга O2 находится между точками O1 и C. В этом случае получим отрицательное значение величины d2. Использование отрицательного значения d2 приводит к отрицательному значению α. В этом случае необходимо для правильного ответа прибавить к α 2π.

Заключение

Ну вот и все. Мы рассмотрели не все, но наиболее часто встречаемые задачи вычислительной геометрии касающиеся взаимного расположения объектов.

Надеюсь, Вам понравилось.

Пробелы в геометрии (линия, угол, луч, отрезок, прямая, кривая, замкнутая линии) — 5 ответов

Посещая дополнительные занятия мы поняли, что не умеем оперировать понятиями точка, линия, угол, луч, отрезок, прямая, кривая, замкнутая линии и рисовать их, точнее рисовать можем, но идентифицировать не получается.


Дети должны различать линии, кривые, окружности. Это развивает у них графику и чувство правильности при занятиях рисованием, аппликацией. Важно знать, какие основные геометрические фигуры существую, что из себя представляют. Разложите карточки перед ребенком, попросите нарисовать точно так же как на картинке. Повторите несколько раз.

На занятиях нам выдали следующие материалы:


Небольшая сказка.

В стране Геометрии жила-была точка. Она была маленькой. Ее оставил карандаш, когда наступил на лист тетради, и никто ее не замечал. Так и жила она, пока не попала в гости к линиям. (На доске рисунок.)

— Посмотрите, какие это были линии. (Прямые и кривые.)

Прямые линии похожи на натянутые веревочки, а веревочки, которые не натянули, — это кривые линии.

— Сколько прямых линий? (2.)

— Сколько кривых? (3.)

Прямая линия начала хвастаться: «Я самая длинная! У меня нет ни начала, ни конца! Я бесконечная!»

Очень интересно стало точке посмотреть на нее. Сама-то точка малюсенькая. Вышла она да так увлеклась, что не заметила, как наступила на прямую линию. И вдруг исчезла прямая линия. На ее месте появился луч.

Он тоже был очень длинный, но все-таки не такой, как прямая линия. У него появилось начало.

Испугалась точка: «Что же я наделала!» Хотела она убежать, да как назло наступила опять на луч.

И на месте луча появился отрезок. Он не хвастался, какой он большой, у него уже были и начало, и конец.

Вот так маленькая точка смогла изменить жизнь больших линий.

— Так кто догадался кто вместе с котиком пришел к нам в гости?( прямая линия, луч, отрезок и точка)

— Правильно вместе с котиком пришли прямая линия, луч, отрезок и точка к нам на урок.

-Кто догадался, что мы будем делать на этом уроке? (Учиться распознавать и чертить прямую линию, луч, отрезок.)

Вопросы:

— О каких линиях вы узнали? (О прямой, луче, отрезке.)

— Что узнали о прямой линии? (Она не имеет ни начала, ни конца. Она бесконечная.)

(Берем две катушки ниток, натягивает их, изображая прямую линию, и разматывая то одну, то другую, демонстрирует, что прямую можно продолжать в оба конца до бесконечности.)

— Что узнали о луче? (У него есть начало, но нет конца.) (Педагог берет ножницы, разрезает нитку. Показывает, что теперь линию можно продолжать только в один конец.)

— Что узнали об отрезке? (Унего есть и начало, и конец.) (Педагог отрезает другой конец нитки и показывает, что нитка не тянется. У нее есть и начало, и конец.)

— Как начертить прямую линию? (Провести по линейке линию.)

— Как начертить отрезок? (Поставить две точки и соединить их.)

И конечно прописи:


Если у кого-то есть в наличии дополнительные материалы по этой теме прошу поделиться!

Введение в геометрию.

Точка, прямая и отрезок

2. Глава 1 Начальные геометрические сведения.

Введение в геометрию.
Точка, прямая и отрезок.

3. Евклид (Eνκλειδηζ) (365-300 до н.э.) древнегреческий математик , автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по

математике «Начала» (13 книг).
Евклид. Рельеф работа Андреа
Пизано. Около 1334-1340 г.г.

4. Страницы «Начал» Евклида. Издание 1482 г.

Платон (477-347 до н.э.) —
древнегреческий философ, ученик Сократа и
учитель Евклида.
Многих мыслителей и
философов привлекала
знаменитая Академия
Платона. Уважение к
геометрии было
настолько велико, что
по преданию, у входа в
Академию Платона
имелась надпись:
Однажды Царь Птолемей I
сам захотел одолеть премудрости
геометрии, но довольно скоро
обнаружил, что изучение математики
– слишком тяжелое бремя.
Птолемей спросил Евклида:
«Нельзя ли постигнуть все тайны
науки как-нибудь проще?»
Евклид ответил:
Евдем Родосский
(IV век до н. э.)
объясняет происхождение термина
«геометрия» так: «Геометрия была
открыта египтянами и возникла при
измерении Земли. Это измерение
было им необходимо вследствие
разлития реки Нила, постоянно
смывавшего границы».

9. от древнегреческих слов «ge»- «земля» и «metreo»- «измеряю»

Геометрия – это наука, занимающаяся изучением
геометрических фигур и их свойств.
Какие геометрические фигуры вам известны?
прямая
куб
ломаная
цилиндр
отрезок
шар
луч
конус
прямоугольник
пирамида
квадрат
параллелепипед
По какому принципу данные геометрические
фигуры записаны в двух различных группах?
прямая
куб
ломаная
цилиндр
отрезок
шар
луч
конус
прямоугольник
пирамида
квадрат
параллелепипед
Часть геометрии, в которой рассматриваются
фигуры
НА ПЛОСКОСТИ
В ПРОСТРАНСТВЕ
Называется
Planum (лат) –
равнина, местность
(в 7-9 классах)
Sterio (лат) телесный, пространственный
(в 10-11 классах)

11.

Быстренько, не задумываясь, выберите из предложенных пяти фигур ту, которая вам больше понравилась. Геометрия изучает фигуры и их свойства.
А могут ли фигуры рассказать о нас?
Быстренько, не задумываясь,
выберите из предложенных пяти фигур ту,
которая вам больше понравилась.
Ломаная (Зигзаг)
Прямоугольник
Квадрат
Круг
Треугольник

12. Вот что говорят фигуры о нас


Соответствует трудолюбие, усердие, потребность
доводить начатое дело до конца, упорство. Любит
раз и навсегда заведенный порядок.
Это временная форма личности, ищет лучшее
положение.
Поэтому
любознателен,
пытлив,
интересно все происходящее, и смел.
Символ лидерства. Способен концентрироваться на
главной цели. Энергичен, неудержим, сильная
личность.
Самая
доброжелательная
фигура.
Способен
сопереживать, сочувствовать. Счастлив тогда, когда
все ладят друг с другом.
Символ творчества. Нравится комбинировать,
создавать что-то новое, оригинальное. Самый
восторженный и возбудимый.

13. Фигуры много знают о нас. Поэтому и мы должны узнать о них как можно больше.

Что же мы будем изучать в 7 классе?
Поможет нам в этом –
учебник. Авторы нашего
учебника: Л. С. Атанасян,
В. Ф. Бутузов, С, Б.
Кадомцев, Э. Г. Позняк,
И. И. Юдина.
Глава 1. Начальные геометрические
сведения.
Глава 2. Треугольники.
Глава 3. Параллельные прямые.
Глава 4. Соотношения между сторонам
и углами треугольника
Логическая цепочка:
начальные понятия –определения –
аксиомы — теоремы

14. – гимнастика для ума — витамин для мозга — язык геометрии

Без чертежа не изготовить ни
одной машины, не построить
здания. На нем можно
изъясняться, не прибегая к
словам. Древние математики
часто рисовали чертеж и вместо
доказательства писали только
одно слово: «СМОТРИ!»
Архимед (287-212 до н. э.) –
древнегреческий философ и
ученый. Уроженец и гражданин
Сиракуз (остров Сицилия).
Образование получил в
Александрии. Архимеду
принадлежит ряд важнейших
математических и физических
открытий (закон Архимеда).

15. Смерть Архимеда. Копия XVIII в. с римской мозаики II в.

По преданию, последними словами
Архимеда были:
«НЕ ТРОНЬ МОИХ ЧЕРТЕЖЕЙ!».
Предание гласит: во II
Пуническую войну во время
обороны своего родного города
Сиракузы Архимед придумал
множество механических устройств,
которые наводили ужас на
нападавших римлян, таки не
сумевших взять город приступом и
победивших лишь с помощью
предательства. В глубокой
задумчивости Архимед рисовал на
песке геометрические фигуры когда
на него напали римские воины.
Обозначение
.
А, В, С, Е, D, N, M …
.
a, b, c, d, AB, CD, NM …

17. Начальные геометрические сведения

Через одну точку
можно
провести
сколько
угодно
различных прямых
Через любые две
точки можно
провести прямую, и
притом только одну

18.

Начальные геометрические сведения А
a
А a
В a
С a
К
В
С
Е
D
К a
Е a

19. Начальные геометрические сведения

1
2
Две прямые либо
Параллельны
имеют одну общую
точку, либо не имеют
общих точек
Пересекаются

20. Отрезок – часть прямой ограниченная двумя точками. Эти точки называются концами отрезка ( отрезок содержит все точки прямой,

Начальные геометрические сведения
От резок – част ь прямой ограниченная двумя
точками. Эт и т очки называют ся концами от резка (
от резок содержит все т очки прямой, лежащие
между его концами и концы от резка)

21. Начальные геометрические сведения

A
C M
AC AM AO
CM CO
MO
O

22. Закрепление

F

23. Закрепление

1.
2.
3.
4.
1. Начертите прямую.
Как ее можно
обозначить?
2. Отметьте точку Т, не лежащую на
данной прямой, и точки D, E, K,
лежащие на этой прямой.

25. Специальные символы, позволяющие кратко записывать какое-либо утверждение.

є — принадлежит, «лежит»
є — не принадлежит, «не лежит»
3. Используя символы, запишите
предложение:
«Точка D принадлежит прямой AB,
точка C не принадлежит прямой a »
D є AB,

a
4. Используя рисунок и символы
є и є , запишите , какие точки
принадлежат прямой а, а какие –
нет.
-Сколько прямых можно провести через заданную точку А?
-Сколько прямых можно провести через две точки?
— Через любые две точки можно провести прямую?
СВОЙСТВО ПРЯМОЙ: Через любые две точки можно
провести прямую и притом только одну.
5. Начертите прямые a и b (XYи MK),
пересекающиеся в точке О.
пересечение
(XY ∩ MK = О)
Специальный символ: ∩-
a∩b=О
«Прямые a и b (XYи MK)
пересекаются в точке О».
Сколько общих точек может быть у двух прямых?
Задание:
сделать рисунки и обдумать ответ
6. На прямой a отметьте
последовательно точки О, A, B, C.
Запишите все получившиеся отрезки.
7. Начертите прямые a и b,
пересекающиеся в точке М. На прямой a
отметьте точку N, отличную от точки М.

Являются ли прямые М N и a различными прямыми?
Может ли прямая b проходить через точку N?
8. Дана прямая EF, A є EF, B є EF.
Может ли прямая АВ не пересекать
отрезок EF?
Проверь себя
6. ОА, ОВ, ОС, АВ, АС, ВС, ОА.
7.
a
b
М
N
a∩b=М
Nєa
a) прямая МN и прямая a совпадают, то есть это одна и та же
прямая.
b) прямая b не может проходить через точку N, т.к. она уже
проходит через точку M, а через точки М и N можно провести
прямую и притом только одну (это прямая а).
F
В
Е
8. Не может
На рисунке выделена
часть прямой,
ограниченная двумя
точками. Как называется эта фигура?
Определение: часть прямой, ограниченная двумя точками,
называется отрезком. Точи, ограничивающие отрезок,
называются его концами.
Обозначение: отрезок АС или СА
точки А и С – концы отрезка
Рассмотрите рисунок.
Что вы видите?
Запишите с помощью
символов.
О точке А, принадлежащей отрезку СB, говорят также, что точка
А лежит между точками С и B (если А – внутренняя
точка отрезка), а также, что отрезок AС содержит
точку А.
Обозначение: С – А – В – «точка А лежит между
точками С и B »
Решаем по учебнику:
страница 7 № 2, 5, 6.
Дополнительные задачи:
1. Сколько точек пересечения могут
иметь три прямые? Рассмотрите все
возможные случаи и сделайте
соответствующие рисунки.
2. На плоскости даны три точки. Сколько
прямых можно провести через эти
точки так, чтобы на каждой прямой
лежали хотя бы две из данных точек?
Рассмотрите все возможные случаи и
сделайте рисунки.

32. Обозначения

Запись
Чтение
A, B, C, …
Точка A, точка B, точка C, …
a, b, c, …
AB, CD, …
Прямая a, прямая b, …
Прямая AB, прямая CD, …
A a
B a
Точка A принадлежит прямой a.
Или прямая а проходит через
точку А.
Точка B не принадлежит прямой
a. Или прямая а не проходит
через точку В

33. Обозначения

Запись
a∩b=М
Чтение
Прямая а и прямая b
пересекаются в точке М.
Или прямая а и прямая b имеют
общую точку М.
АВ ∩ СD = О Прямая АВ и прямая СD
пересекаются в точке О.
Или прямая АВ и прямая СD
имеют общую точку О.
(часть
Отрезок МТ
прямой) МТ

34. Обозначения

Запись
с || d
Чтение
Прямая с и прямая d
параллельные.
a│b
Прямая а и прямая b
перпендикулярные.
С – А – В Точка А лежит между
точками С и B

35. Провешивание прямой на местности (от слова «веха») – практический способ проведения прямых на местности.

Провешивание прямой на мест ност и
(от слова «веха»)
– практический способ
проведения прямых на местности.
Проверь себя
б) одна
1.а) три
в) две
г) ни одной
2. а) одна прямая
б) три прямые

КРОССВОРД
Вставь пропущенное слово: «Через любые две
точки можно провести … ; и при том только
одну».
Математический знак
Название книги, в которой впервые был
систематизирован геометрический материал.
Геометрическая фигура на плоскости.
Геометрическая фигура в пространстве.
Раздел геометрии.
Математический знак ∩
Первоначальное понятие в геометрии.
Часть прямой, ограниченная двумя точками.
Древнегреческий математик.
Геометрическая фигура на плоскости.

38. Математический диктант (с последующей проверкой).


1. Начертите прямую и обозначьте ее буквой b.
а) Отметьте точку М, лежащую на прямой b.
б) Отметьте точку N, не лежащую на прямой b.
в) Используя символы и , запишите предложение: «Точка М лежит на
прямой b, а точка N не лежит на ней».
2. Начертите прямые а и b, пересекающиеся в точке М. На прямой а
отметьте точку N, отличную от точки М.
а) Являются ли прямые MN и а различными прямыми?
б) Может ли прямая b проходить через точку N?
(Ответы обоснуйте)

39. Проверка математического диктанта

М b; N b.

40. Проверка математического диктанта

1. Параграф 1 учебника пункты 1 и 2 прочитать, подготовить
ответы на вопросы 1, 2, 3 на странице 25. Пункт 2 на уроке
мы не рассматривали, дома самостоятельно с ним
познакомитесь.
2. В тетради решить задачи № 1, 3, 4, 7.
3. Дополнительная задача (за нее можно получить хорошую
отметку!)
Задача: Сколько различных прямых можно провести через
четыре точки? Рассмотрите все возможные случаи и
сделайте рисунки.
Что узнали нового, чему научились, что понравилось.
Оцените свою работу на уроке, нарисовав в тетради
следующие знаки:
• Старался, и всё получалось.
• Старался, но не всё получалось.
• Не старался.

Геометрические фигуры основные понятия. Точка в Евклидовой геометрии

Кандинский систематизировал свои взгляды на живопись в книге «Точка и линия на плоскости» (1926). Изучая геометрические формы, художник нашёл, что с их помощью можно усиливать или ослаблять свойства цвета. Для этой картины он использовал приглушённую палитру, смещённую к цветам, расположенным в одной части спектра.

Цитаты из книги:
ЛИНИЯ
Геометрическая линия – это невидимый объект. Она – след перемещающейся точки, то есть ее произведение. Она возникла из движения – а именно вследствие уничтожения высшего, замкнутого в себе покоя точки. Здесь произошел скачок из статики в динамику.
Таким образом, линия – величайшая противоположность живописного первоэлемента – точки. И она с предельной точностью может быть обозначена как вторичный элемент.

ВОЗНИКНОВЕНИЕ
Силы, приходящие извне, преобразовавшие точку в линию, могут быть различными. Разнообразие линий зависит от числа этих сил и их комбинаций.
В конце концов [происхождение] всех форм линий можно свести к двум случаям:
1. приложение одной силы и
2. приложение двух сил:
а) одно- или многократное поочередное воздействие обеих сил,
б) одновременное воздействие обеих сил.


ПРЯМАЯ
Если одна приходящая извне сила перемещает точку в каком-либо направлении, то возникает первый тип линии, причем выбранное направление остается неизменным, и сама линия стремится двигаться по прямому пути бесконечно.
Это – прямая, представляющая в своем напряжении самую сжатую форму бесконечной возможности движения.

Среди прямых мы выделяем три типа, по отношению к которым все прочие прямые – лишь отклонения.
1. Простейшая форма прямой – это горизонталь. В человеческом представлении она соответствует линии или поверхности, на которой человек стоит или передвигается. Итак, горизонталь – это холодная несущая основа, которая может быть продолжена на плоскости в различных направлениях. Холод и плоскостность – это основные звучания данной линии, она может быть определена как кратчайшая форма неограниченной холодной возможности движения.
2. Полностью противоположна этой линии и внешне, и внутренне стоящая к ней под прямым углом вертикаль, в которой плоскостность заменяется высотой, то есть холод – теплом. Таким образом, вертикаль является кратчайшей формой неограниченной теплой возможности движения.
3. Третий типичный вид прямой – это диагональ, которая схематичным образом под равным углом отклоняется от обеих вышеназванных и тем самым имеет к обеим равное тяготение, что и определяет ее внутреннее звучание, равномерное соединение холода и тепла. Итак: кратчайшая форма неограниченной тепло-холодной возможности движения .. .

Геометрическая фигура — множество точек на поверхности (зачастую на плоскости), которое образует конечное количество линий.

Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая линия . Отрезок, луч, ломаная линия — самые простые геометрические фигуры на плоскости.

Точка — мельчайшая геометрическая фигура, являющаяся основой других фигур во всяком изображении либо чертеже.

Каждая более сложная геометрическая фигура есть множество точек, которые обладают определенным свойством, характерное только для этой фигуры.

Прямая линия , либо прямая — это бесконечное множество точек, расположенных на 1-ой линии, которая не имеет начала и конца. На листе бумаги можно увидеть лишь часть прямой линии, т.к. она не имеет предела.

Прямую изображают так:

Часть прямой линии, которая ограничена с 2-х сторон точками, называют отрезком прямой, либо отрезком. Его изображают так:

Луч — это направленная полупрямая, имеющая точку начала и у которой нет конца. Луч изображают так:

Если на прямой поставить точку, то эта точка будет разбивать прямую на 2 противоположно направленных луча. Эти лучи называют дополнительными .

Ломаная линия — несколько отрезков, которые соединены друг с другом таким образом, что конец 1-го отрезка оказывается началом 2-го отрезка, а конец 2-го отрезка — началом 3-го отрезка и так далее, причем соседние (которые имеют 1-ну общую точку) отрезки располагаются на разных прямых. Когда конец последнего отрезка не совпадает с началом 1-го, значит, эта ломаная линия будет называться незамкнутой :

Когда конец последнего отрезка ломаной совпадает с началом 1-го, значит, эта ломаная линия будет замкнутой . Пример замкнутой ломаной — это всякий многоугольник:

Четырехзвенная замкнутая ломаная линия — четырехугольник (прямоугольник) :

Трехзвенная замкнутая ломаная линия —

Тема урока

Геометрические фигуры

Что такое геометрическая фигура

Геометрические фигуры – это совокупность множества точек, линий, поверхностей или тел, которые расположены на поверхности, плоскости или пространстве и формирует конечное количество линий.

Термин «фигура» в какой-то степени формально применяется к множеству точек, но как правило фигурой принято называть такие множества, которые расположенные на плоскости и ограничиваются конечным числом линий.

Точка и прямая — это основные геометрические фигуры, расположенные на плоскости.

К самым простым геометрическим фигурам на плоскости принадлежат — отрезок, луч и ломаная линия.

Что такое геометрия

Геометрия – это такая математическая наука, которая занимается изучением свойств геометрических фигур. Если дословно перевести на русский язык термин «геометрия», то он обозначает «землемерие», так как в стародавние времена основной задачей геометрии, как науки, стало измерение расстояний и площадей на поверхности земли.

Практическое применение геометрии бесценно во все времена и независимо от профессии. Без знаний геометрии не может обойтись ни рабочий, ни инженер, ни архитектор и даже художник.

В геометрии есть такой раздел, который занимается изучением различных фигур на плоскости и называется планиметрия.

Вам уже известно, что фигурой называют произвольное множество точек, находящиеся на плоскости.

К геометрическим фигурам принадлежат: точка, прямая, отрезок, луч, треугольник, квадрат, круг и другие фигуры, которые изучает планиметрия.

Точка

Из выше изученного материала вам уже известно, что точка относится к главным геометрическим фигурам. И хотя это самая малая геометрическая фигура, но она необходима для построения других фигур на плоскости, чертеже или изображении и является основой для всех остальных построений. Ведь построение более сложноватых геометрических фигур складывается из множества точек, характерных для данной фигуры.

В геометрии точки обозначают прописными буквами латинского алфавита, например, такими, как: А, В, С, D ….


А теперь подведем итог, и так, с математической точки зрения, точка является таким абстрактным объектом в пространстве, который не имеет объема, площади, длины и других характеристик, но остается одним из фундаментальных понятий в математике. Точка – это такой нульмерный объект, которые не имеет определения. По определению Евклида, точкой называют то, что невозможно определить.

Прямая

Как и точка, прямая относится к фигурам на плоскости, которая не имеет определения, так как состоит из бесконечного множества точек, находящихся на одной линии, которая не имеет ни начала ни конца. Можно утверждать, что прямая линия бесконечна и не имеет предела.


Если же прямая начинается и заканчивается точкой, то она уже не является прямой и называется отрезком.

Но иногда прямая, с одной стороны имеет точку, а с другой нет. В таком случае прямая превращается в луч.

Если же взять прямую и на ее средине поставить точку, то она разобьет прямую на два противоположно направленных луча. Данные лучи являются дополнительными.

Если же перед вами несколько отрезков, соединенных между собой так, что конец первого отрезка становиться началом второго, а конец второго отрезка — началом третьего и т. д., и эти отрезки находятся не на одной прямой и при соединении имеют общую точку, то такая цепочка является ломаной линией.

Задание

Какая ломаная линия называется незамкнутой?
Как обозначается прямая?
Как называется ломаная линия, у которой четыре замкнутых звена?
Какое название имеет ломаная линия с тремя замкнутыми звеньями?

Когда конец последнего отрезка ломаной совпадает с началом 1-го отрезка, то такую ломаную линию называют замкнутой. Примером замкнутой ломаной является любой многоугольник.

Плоскость

Как точка и прямая, так и плоскость является первичным понятием, не имеет определения и у нее нельзя увидеть ни начала, ни конца. Поэтому, при рассмотрении плоскости, мы рассматриваем только ту ее часть, которая ограничивается замкнутой ломаной линией. Таким образом, плоскостью можно считать любую гладкую поверхность. Этой поверхностью может быть лист бумаги или стола.

Угол

Фигура, которая имеет два луча и вершину, называется углом. Место соединения лучей, является вершиной этого угла, а его сторонами считаются лучи, которые этот угол образуют.



Задание:

1. Как в тексте обозначают угол?
2. Какими единицами можно измерить угол?
3. Какие бывают углы?

Параллелограмм

Параллелограмм — это четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны.

Прямоугольник, квадрат и ромб являются частными случаями параллелограмма.

Параллелограмм, имеющий прямые углы равные 90 градусам, является прямоугольником.

Квадрат — это тот же параллелограмм, у него и углы и стороны равны.

Что до определения ромба, то это такая геометрическая фигура, все стороны которого равны.

Кроме того, следует знать, что любой квадрат является ромбом, но не каждый ромб может быть квадратом.

Трапеция

При рассмотрении такой геометрической фигуры, как трапеция, можно сказать, что в частности она, как и четырехугольник имеет одну пару параллельных противолежащих сторон и является криволинейной.

Окружность и круг

Окружность — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.


Треугольник

Также к простым геометрическим фигурам принадлежит и уже изучаемый вами треугольник. Это один из видов многоугольников, у которого часть плоскости ограничена тремя точками и тремя отрезками, которые соединяют эти точки попарно. Любой треугольник имеет три вершины и три стороны.

Задание: Какой треугольник называют вырожденным?



Многоугольник

К многоугольникам относятся геометрические фигуры разных форм, у которых замкнутая ломаная линия.


В многоугольнике все точки, которые соединяют отрезки, являются его вершинами. А отрезки, из которых состоит многоугольник, являются его сторонами.

А известно ли вам, что возникновение геометрии уходит в глубину веков и связано с развитием различных ремесел, культуры, искусства и наблюдением за окружающим миром. Да и название геометрических фигур является тому подтверждением, так как их термины, возникли не просто так, а благодаря своей схожести и подобию.

Ведь термин «трапеция» в переводе с древнегреческого языка от слова «трапезион» обозначает столик, трапеза и другие производные слова.

«Конус» произошел от греческого слова «конос», что в переводе звучит, как сосновая шишка.

«Линия» имеет латинские корни и происходит от слова «линум», в переводе это звучит, как льняная нить.

А знаете ли вы, что если взять геометрические фигуры с одинаковым периметром, то среди них обладателем самой большой площади оказался круг.

Геометрическую фигуру определяют как любое множество точек.

Если все точки геометрической фигуры принадлежат одной плоскости она называется плоской. Например, отрезок, прямоугольник – это плоские фигуры. Существуют фигуры, не являющиеся плоскими. Это, например, куб, шар, пирамида.

Так как понятие геометрической фигуры определено через понятие множество, то можно говорить о том, что одна фигура включена в другую (или содержится в другой), можно рассматривать объединение, пересечение и разность фигур.

Точка – неопределяемое понятие. С точкой обычно знакомят, рисуя ее или прокалывая стержнем ручки в листочке бумаги. Считается, что точка не имеет ни длины, ни ширины, ни площади.

Линия – неопределяемое понятие. С линией знакомят, моделируя ее из шнура или рисуя на доске, на листе бумаги. Основное свойство прямой линии: прямая линия бесконечна. Кривые линии могут быть замкнутыми и незамкнутыми.

Луч – это часть прямой, ограниченная с одной стороны.

Отрезок – часть прямой, заключенная между двумя точками – концами отрезка.

Ломаная – линия из отрезков, соединенных последовательно под углом друг к другу. Звено ломаной – отрезок. Точки соединения звеньев называют вершинами ломаной.

Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало – его вершиной. Угол обозначают по-разному: указывают либо его вершину, либо его стороны, либо три точки: вершину и две точки на сторонах угла.

Угол называется развернутым, если его стороны лежат на одной прямой. Угол, составляющий половину развернутого угла, называется прямым. Угол, меньший прямого, называется острым. Угол, больший прямого, но меньше развернутого, называется тупым.

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

Треугольник – одна из простейших геометрических фигур. Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков. В любом треугольнике выделяют следующие элементы: стороны, углы, высоты, биссектрисы, медианы, средние линии.

Остроугольным называется треугольник, все углы которого острые. Прямоугольным – треугольник, который имеет прямой угол. Треугольник, который имеет тупой угол, называется тупоугольным. Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны и соответствующие углы равны. При этом соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон. Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона называется основанием треугольника.

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков, причем никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки – сторонами.

Диагональю называется отрезок, соединяющий противоположные вершины многоугольника.

Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые.

Квадрато м называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Многоугольником называется простая замкнутая ломаная, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а ее звенья – его сторонами. Отрезки, соединяющие не соседние, называются диагоналями.

Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, которая называется центром. Но поскольку в начальных классах не дается это классическое определение, знакомство с окружностью проводят методом показа, связывая его с непосредственной практической деятельностью по вычерчиванию окружности с помощью циркуля. Расстояние от точек до ее центра называется радиусом. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром.

Круг -часть плоскости, ограниченная окружностью.

Параллелепипед – призма, у которой основание – параллелограмм.

Куб – это прямоугольный параллелепипед, все ребра которого равны.

Пирамида – многогранник, у которого одна грань (ее называют основанием) – какой-нибудь многоугольник, а остальные грани (их называют боковыми) – треугольники с общей вершиной.

Цилиндр – геометрическое тело, образованное заключенными между двумя параллельными плоскостями отрезками всех параллельных прямых, пересекающих круг в одной из плоскостей, и перпендикулярных плоскостям оснований. Конус – тело, образованное всеми отрезками, соединяющими данную точку – его вершину – с точками некоторого круга – основание конуса.

Шар – множество точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии не большем некоторого данного положительного расстояния. Данная точка – это центр шара, а данное расстояние – радиус.

Геометрические фигуры представляют собой комплекс точек, линий, тел или поверхностей. Эти элементы могут располагаться как на плоскости, так и в пространстве, формируя конечное количество прямых.

Термин «фигура» подразумевает под собой несколько множеств точек. Они должны располагаться на одной или нескольких плоскостях и одновременно ограничиваться конкретным числом оконченных линий.

Основными геометрическими фигурами считаются точка и прямая. Они располагаются на плоскости. Кроме них, среди простых фигур выделяют луч, ломаную линию и отрезок.

Точка

Это одна из главных фигур геометрии. Она очень маленькая, но ее всегда используют для построения различных форм на плоскости. Точка — это основная фигура для абсолютно всех построений, даже самой высокой сложности. В геометрии ее принято обозначать буквой латинской алфавита, к примеру, A, B, K, L.

С точки зрения математики точка — это абстрактный пространственный объект, не обладающий такими характеристиками, как площадь, объем, но при этом остающийся фундаментальным понятием в геометрии. Этот нульмерный объект просто не имеет определения.

Прямая

Это фигура полностью размещается в одной плоскости. У прямой нет конкретного математического определения, так как она состоит из огромного количества точек, располагающихся на одной бесконечной линии, у которой нет предела и границ.

Существует еще и отрезок. Это тоже прямая, но она начинается и заканчивается с точки, а значит, имеет геометрические ограничения.

Также линия может превратиться в направленный луч. Такое происходит, когда прямая начинается с точки, но четкого окончания не имеет. Если же поставить точку посредине линии, то она разобьется на два луча (дополнительных), причем противоположно направленных друг к другу.

Несколько отрезков, которые последовательно соединяются друг с другом концами в общей точке и располагаются не на одной прямой, принято называть ломаной линией.

Угол

Геометрические фигуры, названия которых мы рассмотрели выше, считают ключевыми элементами, использующимися при построении более сложных моделей.

Угол — это конструкция, состоящая из вершины и двух лучей, которые выходят из нее. То есть стороны этой фигуры соединяются в одной точке.

Плоскость

Рассмотрим еще одно первичное понятие. Плоскость — это фигура, у которой нет ни конца, ни начала, равно как и прямой, и точки. Во время рассмотрения этого геометрического элемента во внимание берется лишь его часть, ограниченная контурами ломаной замкнутой линии.

Любую гладкую ограниченную поверхность можно считать плоскостью. Это может быть гладильная доска, лист бумаги или даже дверь.

Четырехугольники

Параллелограмм — это геометрическая фигура, противоположные стороны которой параллельны друг другу попарно. Среди частных видов этой конструкции выделяют ромб, прямоугольник и квадрат.

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все стороны соприкасаются под прямым углом.

Квадрат — это четырехугольник с равными сторонами и углами.

Ромб — это фигура, у которой все грани равны. При этом углы могут быть совершенно разными, но попарно. Каждый квадрат считается ромбом. Но в противоположном направлении это правило действует не всегда. Далеко не каждый ромб является квадратом.

Трапеция

Геометрические фигуры бывают совершенно разными и причудливыми. Каждая из них имеет своеобразную форму и свойства.

Трапеция — это фигура, которая чем-то схожа с четырехугольником. Она имеет две параллельные противоположные стороны и при этом считается криволинейной.

Круг

Эта геометрическая фигура подразумевает расположение на одной плоскости точек, равноудаленных от ее центра. При этом заданный ненулевой отрезок принято называть радиусом.

Треугольник

Это простая геометрическая фигура, которая очень часто встречается и изучается.

Треугольник считается подвидом многоугольника, расположенным на одной плоскости и ограниченным тремя гранями и тремя точками соприкосновения. Эти элементы попарно соединены между собой.

Многоугольник

Вершинами многоугольников называют точки, соединяющие отрезки. А последние, в свою очередь, принято считать сторонами.

Объемные геометрические фигуры

  • призма;
  • сфера;
  • конус;
  • цилиндр;
  • пирамида;

Эти тела имеют нечто общее. Все они ограничиваются замкнутой поверхностью, внутри которой находится множество точек.

Объемные тела изучают не только в геометрии, но и в кристаллографии.

Любопытные факты

Наверняка вам будет интересно ознакомиться с информацией, предоставленной ниже.

  • Геометрия сформировалась как наука еще в давние века. Это явление принято связывать с развитием искусства и разнообразных ремесел. А названия геометрических фигур свидетельствуют об использовании принципов определения подобия и схожести.
  • В переводе с древнегреческого термин «трапеция» обозначает столик для трапезы.
  • Если вы возьмете различные фигуры, периметр которых будет одинаковым, то наибольшая площадь гарантированно будет у круга.
  • В переводе с греческого языка термин «конус» обозначает сосновую шишку.
  • Существует известная картина Каземира Малевича, которая начиная с прошлого века притягивает к себе взгляды многих живописцев. Работа «Черный квадрат» всегда была мистической и загадочной. Геометрическая фигура на белом полотне восхищает и поражает одновременно.

Существует большое количество геометрических фигур. Все они отличаются параметрами, а порой даже удивляют формами.

Пробелы в геометрии (линия, угол, луч, отрезок, прямая, кривая, замкнутая линии). Точка. Кривая линия. Прямая линия. Отрезок. Луч. Ломаная линия

Посещая дополнительные занятия мы поняли, что не умеем оперировать понятиями точка, линия, угол, луч, отрезок, прямая, кривая, замкнутая линии и рисовать их, точнее рисовать можем, но идентифицировать не получается.

Дети должны различать линии, кривые, окружности. Это развивает у них графику и чувство правильности при занятиях рисованием, аппликацией. Важно знать, какие основные геометрические фигуры существую, что из себя представляют. Разложите карточки перед ребенком, попросите нарисовать точно так же как на картинке. Повторите несколько раз.

На занятиях нам выдали следующие материалы:

Небольшая сказка.

В стране Геометрии жила-была точка. Она была маленькой. Ее оставил карандаш, когда наступил на лист тетради, и никто ее не замечал. Так и жила она, пока не попала в гости к линиям. (На доске рисунок.)

Посмотрите, какие это были линии. (Прямые и кривые.)

Прямые линии похожи на натянутые веревочки, а веревочки, которые не натянули, — это кривые линии.

Сколько прямых линий? (2.)

Сколько кривых? (3.)

Прямая линия начала хвастаться: «Я самая длинная! У меня нет ни начала, ни конца! Я бесконечная!»

Очень интересно стало точке посмотреть на нее. Сама-то точка малюсенькая. Вышла она да так увлеклась, что не заметила, как наступила на прямую линию. И вдруг исчезла прямая линия. На ее месте появился луч.

Он тоже был очень длинный, но все-таки не такой, как прямая линия. У него появилось начало.

Испугалась точка: «Что же я наделала!» Хотела она убежать, да как назло наступила опять на луч.

И на месте луча появился отрезок. Он не хвастался, какой он большой, у него уже были и начало, и конец.

Вот так маленькая точка смогла изменить жизнь больших линий.

Так кто догадался кто вместе с котиком пришел к нам в гости?(прямая линия, луч, отрезок и точка)

Правильно вместе с котиком пришли прямая линия, луч, отрезок и точка к нам на урок.

Кто догадался, что мы будем делать на этом уроке? (Учиться распознавать и чертить прямую линию, луч, отрезок.)

О каких линиях вы узнали? (О прямой, луче, отрезке.)

Что узнали о прямой линии? (Она не имеет ни начала, ни конца. Она бесконечная.)

(Берем две катушки ниток, натягивает их, изображая прямую линию, и разматывая то одну, то другую, демонстрирует, что прямую можно продолжать в оба конца до бесконечности.)

Что узнали о луче? (У него есть начало, но нет конца. ) (Педагог берет ножницы, разрезает нитку. Показывает, что теперь линию можно продолжать только в один конец.)

Что узнали об отрезке? (Унего есть и начало, и конец.) (Педагог отрезает другой конец нитки и показывает, что нитка не тянется. У нее есть и начало, и конец.)

Как начертить прямую линию? (Провести по линейке линию.)

Как начертить отрезок? (Поставить две точки и соединить их.)

И конечно прописи:










Точка — это абстрактный объект, который не имеет измерительных характеристик: ни высоты, ни длины, ни радиуса. В рамках задачи важно только его местоположение

Точка обозначается цифрой или заглавной (большой) латинской буквой. Несколько точек — разными цифрами или разными буквами, чтобы их можно было различать

точка A, точка B, точка C
A B C
точка 1, точка 2, точка 3
1 2 3

Можно нарисовать на листке бумаги три точки «А» и предложить ребёнку провести линию через две точки «А». Но как понять через какие? A A A

Линия — это множество точек. У неё измеряют только длину. Ширины и толщины она не имеет

Обозначается строчными (маленькими) латинскими буквами

линия a, линия b, линия c
a b c

Линия может быть

  1. замкнутой, если её начало и конец находятся в одной точке,
  2. разомкнутой, если её начало и конец не соединены
замкнутые линии
разомкнутые линии
Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб и вернулся обратно в квартиру. Какая линия получилась? Правильно, замкнутая. Ты вернулся в исходную точку. Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб, зашёл в подъезд и разговорился с соседом. Какая линия получилась? Разомкнутая. Ты не вернулся в исходную точку. Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб. Какая линия получилась? Разомкнутая. Ты не вернулся в исходную точку.
  1. самопересекающейся
  2. без самопересечений
самопересекающиеся линии
линии без самопересечений
  1. прямой
  2. ломанной
  3. кривой
прямые линии
ломанные линии
кривые линии

Прямая линия — это линия которая не искривляется, не имеет ни начала, ни конца, её можно бесконечно продолжать в обе стороны

Даже когда виден небольшой участок прямой, предполагается, что она бесконечно продолжается в обе стороны

Обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами — точками, лежащими на прямой

прямая линия a
a
прямая линия AB
B A

Прямые могут быть

  1. пересекающимися, если имеют общую точку. Две прямые могут пересекаться только в одной точке.
    • перпендикулярными, если пересекаются под прямым углом (90°).
  2. параллельными, если не пересекаются, не имеют общей точки.
параллельные линии
пересекающиеся линии
перпендикулярные линии

Луч — это часть прямой, которая имеет начало, но не имеет конца, её можно бесконечно продолжать только в одну сторону

У луча света на картинке начальной точкой является солнце

солнышко

Точка разделяет прямую на две части — два луча A A

Луч обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается луч, а вторая — точка, лежащая на луче

луч a
a
луч AB
B A

Лучи совпадают, если

  1. расположены на одной и той же прямой,
  2. начинаются в одной точке,
  3. направлены в одну сторону
лучи AB и AC совпадают
лучи CB и CA совпадают
C B A

Отрезок — это часть прямой, которая ограничена двумя точками, то есть она имеет и начало и конец, а значит можно измерить её длину.

Длина отрезка — это расстояние между его начальной и конечной точками

Через одну точку можно провести любое число линий, в том числе прямых

Через две точки — неограниченное количество кривых, но только одну прямую

кривые линии, проходящие через две точки
B A
прямая линия AB
B A

От прямой «отрезали» кусочек и остался отрезок. Из примера выше видно, что его длина — наикратчайшее расстояние между двумя точками. ✂ B A ✂

Отрезок обозначается двумя заглавными(большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается отрезок, а вторая — точка, которой заканчивается отрезок

отрезок AB
B A

Задача: где прямая , луч , отрезок , кривая ?

Ломанная линия — это линия, состоящая из последовательно соединённых отрезков не под углом 180°

Длинный отрезок «поломали» на несколько коротких

Звенья ломаной (похожи на звенья цепи) — это отрезки, из которых состоит ломанная. Смежные звенья — это звенья, у которых конец одного звена является началом другого. Смежные звенья не должны лежать на одной прямой.

Вершины ломаной (похожи на вершины гор) — это точка, с которой начинается ломанная, точки, в которых соединяются отрезки, образующие ломаную, точка, которой заканчивается ломанная.

Обозначается ломанная перечислением всех её вершин.

ломанная линия ABCDE
вершина ломанной A, вершина ломанной B, вершина ломанной C, вершина ломанной D, вершина ломанной E
звено ломанной AB, звено ломанной BC, звено ломанной CD, звено ломанной DE
звено AB и звено BC являются смежными
звено BC и звено CD являются смежными
звено CD и звено DE являются смежными
A B C D E 64 62 127 52

Длина ломанной — это сумма длин её звеньев: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Задача: какая ломанная длиннее , а у какой больше вершин ? У первой линии все звенья одинаковой длины, а именно по 13см. У второй линии все звенья одинаковой длины, а именно по 49см. У третьей линии все звенья одинаковой длины, а именно по 41см.

Многоугольник — это замкнутая ломанная линия

Стороны многоугольника (помогут запомнить выражения: «пойти на все четыре стороны», «бежать в сторону дома», «с какой стороны стола сядешь?») — это звенья ломанной. Смежные стороны многоугольника — это смежные звенья ломанной.

Вершины многоугольника — это вершины ломанной. Соседние вершины — это точки концов одной стороны многоугольника.

Обозначается многоугольник перечислением всех его вершин.

замкнутая ломанная линия, не имеющая самопересечения, ABCDEF
многоугольник ABCDEF
вершина многоугольника A, вершина многоугольника B, вершина многоугольника C, вершина многоугольника D, вершина многоугольника E, вершина многоугольника F
вершина A и вершина B являются соседними
вершина B и вершина C являются соседними
вершина C и вершина D являются соседними
вершина D и вершина E являются соседними
вершина E и вершина F являются соседними
вершина F и вершина A являются соседними
сторона многоугольника AB, сторона многоугольника BC, сторона многоугольника CD, сторона многоугольника DE, сторона многоугольника EF
сторона AB и сторона BC являются смежными
сторона BC и сторона CD являются смежными
сторона CD и сторона DE являются смежными
сторона DE и сторона EF являются смежными
сторона EF и сторона FA являются смежными
A B C D E F 120 60 58 122 98 141

Периметр многоугольника — это длина ломанной: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и т. д.

Все мы когда-то изучали в школе геометрию, но далеко не каждый из нас вспомнит, что представляет собой отрезок. А уж тем более мало кто сможет объяснить понятие лучей, и как они обозначаются. Давайте постараемся в этой статье напомнить себе данные определения и рассмотрим их в математике. Также определим, что такое луч, и чем он отличается от светового. Если вникнуть, то понять будет несложно.

Определение понятий

Для начала давайте вспомним, что называется геометрией. Геометрия — это раздел математики, изучающий геометрические фигуры и их свойства. К ним относятся треугольник, квадрат, прямоугольник, параллелепипед, круг, овал, ромб, цилиндр и т. п. Простейшая фигура — это прямая. Она является бесконечной и не имеет начала. Две прямые пересекутся только в одной единственной точке. Через одну точку можно проводить бессчетное количество прямых линий. Каждая точка на линии делит ее на два .

Он состоит из точек, расположенных по одну сторону. Все понятия данных подмножеств можно именовать таким образом. Луч обозначают одной строчной латинской буквой или двумя заглавными, когда одна точка — начало (например, О), а вторая лежит на нем (например, F, К и Е) .

В основе геометрической фигуры, имеющей углы, лежат полупрямые. Они начинаются в точке, где пересекаются, но второй стороной направлены в бесконечность. Начало делит прямую на 2 части. На письме его обычно именуют двумя заглавными (OF) или одной буквой латиницы (а, в, с). Если дана прямая, то записывается ОВ в закругленных скобках: (ОВ). Если же это отрезок — в квадратных скобках.

Таким образом, луч — это часть прямой. Через любую точку можно провести множество прямых, но через 2 несовпадающие — только одну. Последние могут быть взаимодействовать только в трех вариантах: пересекаться, скрещиваться, быть параллельными друг другу. Существуют линейные уравнения, которые задают прямую на плоскости.

Обозначения в геометрии

Вариантов для обозначения несколько:

Нужно знать: Что такое и горизонтальное положение?

Отличие световых лучей от геометрических

В геометрии таковые понятия очень схожи. Луч — это линия, но она является энергией света . Другими словами — это небольшой пучок света. В оптике данное понятие, как и понятие прямой, в геометрии — базовое. У световых нет сконцентрированного направления, происходит дифракция. Но когда поток света очень сильный, расходимостью пренебрегают, и можно выделять четкое направление.

Точка и прямая являются основными геометрическими фигурами на плоскости.

Древнегреческий учёный Евклид говорил: «точка» – это то, что не имеет частей». Слово «точка» в переводе с латинского языка означает результат мгновенного касания, укол. Точка является основой для построения любой геометрической фигуры.

Прямая линия или просто прямая – это линия, вдоль которой расстояние между двумя точками является кратчайшим. Прямая линия бесконечна, и изобразить всю прямую и измерить её невозможно.

Точки обозначают заглавными латинскими буквами А, В, С, D, Е и др., а прямые теми же буквами, но строчными а, b, c, d, e и др. Прямую можно обозначить и двумя буквами, соответствующими точкам, лежащим на ней. Например, прямую a можно обозначить АВ.

Можно сказать, что точки АВ лежат на прямой а или принадлежат прямой а. А можно сказать, что прямая а проходит через точки А и В.

Простейшие геометрические фигуры на плоскости – это отрезок, луч, ломаная линия.

Отрезок – это часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, ограниченных двумя выбранными точками. Эти точки – концы отрезка. Отрезок обозначается указанием его концов.

Луч или полупрямая – это часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной её точки. Эта точка называется начальной точкой полупрямой или началом луча. Луч имеет точку начала, но не имеет конца.

Полупрямые или лучи обозначаются двумя строчными латинскими буквами: начальной и любой другой буквой, соответствующей точке, принадлежащей полупрямой. При этом начальная точка ставится на первом месте.

Получается, что прямая бесконечна: у неё нет ни начала, ни конца; у луча есть только начало, но нет конца, а отрезок имеет начало и конец. Поэтому только отрезок мы можем измерить.

Несколько отрезков, которые последовательно соединены между собой так, что имеющие одну общуюточкуотрезки (соседние) располагаются не на одной прямой, представляют собой ломаную линию.

Ломаная линия может быть замкнутой и незамкнутой. Если конец последнего отрезка совпадает с началом первого, перед нами замкнутая ломаная линия, если же нет – незамкнутая.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Прямая линия — уравнения, определение, свойства, примеры

Прямая линия – это бесконечная одномерная фигура, не имеющая ширины. Это комбинация бесконечных точек, соединенных по обе стороны от точки. Прямая линия не имеет в себе никакой кривой. Он может быть горизонтальным, вертикальным или наклонным. Если мы начертим угол между любыми двумя точками на прямой линии, мы всегда получим 180 градусов. В этом мини-уроке мы будем исследовать мир прямых линий, разбираясь в уравнениях прямых в разных форматах и ​​как решать вопросы, основанные на прямых линиях.

Что такое прямая линия?

Прямая линия — это линия бесконечной длины, на которой нет кривых. Прямую можно провести и между двумя точками, но оба ее конца уходят в бесконечность. Прямая линия — это фигура, образованная двумя точками А (х 1 , у 1 ) и В (х 2 , у 2 ) соединенными кратчайшим расстоянием между ними, а концы прямой продолжены до бесконечности.

На изображении ниже показана прямая линия между двумя точками A и B.Прямая линия AB представлена: \(\overleftrightarrow{A B}\)

Хотя прямые линии не имеют определенного начала или конца, в нашей повседневной жизни они представлены такими примерами, как железнодорожные пути или автострады.

Типы прямых линий

Прямые линии могут быть разных типов. Как правило, прямые линии классифицируются на основе их выравнивания. Их выравнивание относится к углу, который они образуют с осью x или осью y. По расположению прямых они бывают следующих типов:

  • Горизонтальные линии
  • Вертикальные линии
  • Косые или наклонные линии

Давайте рассмотрим их один за другим.

Горизонтальные линии

Линии, проведенные горизонтально и параллельные оси x или перпендикулярные оси y, называются горизонтальными линиями. Они образуют угол 0 o или 180 o с осью x и угол 90 o или 270 o с осью y.

На данном рисунке \(\overleftrightarrow{\text{AB}}\) — горизонтальная линия.

Вертикальные линии

Линии, нарисованные вертикально и параллельные оси y или перпендикулярные оси x, называются вертикальными линиями. Они образуют угол 90 o или 270 o с осью x и угол 0 o или 180 o с осью y.

На данном рисунке \(\overleftrightarrow{\text{CD}}\) — вертикальная линия.

Косые или наклонные линии

Линии, проведенные под наклоном или образующие угол, отличный от 0 o , 90 o , 180 o , 270 o , 360 o , 360 o с горизонтальными или вертикальными наклонными линиями линии.

На данном рисунке линии \(\overleftrightarrow{\text{EF}}\) и \(\overleftrightarrow{\text{GH}}\) являются наклонными линиями.

Свойства прямой линии

Свойства прямых линий описаны ниже.

  • Прямая линия имеет бесконечную длину. Мы никогда не сможем вычислить расстояние между двумя крайними точками линии.
  • Прямая линия имеет нулевые площади, нулевой объем. но имеет бесконечную длину.
  • Прямая линия – это одномерная фигура.
  • Через одну точку может проходить бесконечное количество линий, но только одна уникальная линия проходит через две точки.

Уравнение прямой

Уравнение прямой является линейным уравнением.Прямая линия на декартовой плоскости может иметь различные представления, основанные на известных переменных, углах и константах. Наклон прямой линии определяет направление прямой линии и говорит о том, насколько она крутая. Он рассчитывается как разница в координатах y/разница в координатах x, что также называется превышением пробега. Уравнение прямой имеет различные формы. Они следующие:

Общее уравнение прямой

Общее уравнение прямой может быть представлено как ax + by + c = 0, где

  • a, b, c являются константами, а
  • x, y — переменные.
  • Наклон -a/b

Наклон и точка пересечения Y Форма

Прямая линия, имеющая наклон m = tanθ, где θ — угол, образованный линией с положительной осью x, и точка пересечения y, поскольку b определяется как: y = mx + b, где m — наклон.

Форма точки наклона

Прямая линия с наклоном m = tanθ, где θ — угол, образованный линией с положительной осью x и проходящей через точку (x 1 , y 1 ), определяется по формуле: Форма точки наклона как y — у 1 = м(х — х 1 )

Двухточечная форма

Прямая линия, проходящая через точки (x 1 , y 1 ) и (x 2 , y 2 ), задается в двухточечной форме как: y — y 1 = [(y 2 — у 1 ) / (х 2 — х 1 )] (х — х 1 ).

Форма перехвата

Прямая линия, имеющая точку пересечения x как a и точку пересечения y как b, как показано на рисунке ниже, где точка A находится на оси x (вертикально здесь), а точка B находится на оси y (здесь горизонтально), дается в виде отрезка x/a + y/b = 1

Уравнение прямых, параллельных оси X или оси Y

Уравнение прямой, параллельной оси абсцисс, имеет вид: y = ± a, где

  • a — расстояние линии от оси x.Значение a равно +ve, если оно лежит выше оси x, и n-ve, если оно лежит ниже оси x.

Уравнение прямой, параллельной оси Y. определяется как: x = ± b, где

  • b — расстояние линии от оси Y. Значение b равно +ve, если оно лежит справа от оси y, и -ve, если оно лежит слева от оси y.

Ниже приведено изображение линий, параллельных оси x и оси y соответственно.

Типы уклонов

Угол, образованный линией с положительной осью x, является наклоном линии. Разные линии образуют разные углы с осью x. Линия может иметь наклон, меняющийся от положительного, отрицательного, нулевого или даже бесконечного наклона. Давайте посмотрим на некоторые случаи.

Нулевой наклон

Если линия образует угол 0 o с осью x, наклон линии равен 0. Наклон линии представлен m = tanθ

Здесь θ = 0 o . Следовательно, m = tan0 = 0. Следовательно, линия с наклоном 0 параллельна оси x.

Положительный наклон

Если линия образует угол между 0 o и 90 o с осью x, наклон линии положительный.

Отрицательный наклон

Если линия образует угол между 90 o и 180 o с осью x, наклон линии отрицателен.

Бесконечный наклон

Если линия образует угол 90 o с осью x или линия параллельна оси y, наклон линии не определен или бесконечен.

Как известно, наклон прямой m = tan θ

Здесь θ = 90 o . уклон m = tan 90 o не определен. Следовательно, линия с бесконечным наклоном параллельна оси у.

Важные замечания по прямой линии

Вот список нескольких моментов, которые следует помнить при изучении прямой линии:

  • Прямая не может проходить через три точки, не лежащие на одной прямой.
  • Если две прямые l и m совпадают, они следуют соотношению l = k × m, где k — действительное число.
  • Острый угол θ между двумя линиями, имеющими наклоны m 1 и m 2 , где m 2 > m 1 , можно вычислить по формуле tanθ = (m 2 — m 1 )/ (1 + m 2 × m 1 ).

☛Связанные темы

Вот список тем, связанных с прямой линией:

Часто задаваемые вопросы о прямых линиях

Что вы понимаете под прямой линией в геометрии?

Прямая линия — это бесконечная фигура без ширины.Это комбинация бесконечных точек, соединенных с обоих концов. Он не имеет кривых или вообще не имеет кривых. Он может быть вертикальным, горизонтальным или наклонным. Проще говоря, для детей дошкольного возраста мы используем прямую линию для сна или стоящую прямую линию.

Что вы используете, чтобы нарисовать прямую линию?

Прямую линию можно провести с помощью линейки, таврового угольника и т. д. Для проведения прямой линии между двумя точками также можно использовать различные геометрические инструменты, имеющие гладкую и плоскую поверхность.Прямая линия, проведенная между двумя точками, называется отрезком. Линейки — это широко используемый инструмент для проведения прямой линии между двумя точками или прямой линии в целом.

В чем разница между параллельными и перпендикулярными прямыми линиями?

Угол между двумя параллельными прямыми равен 0 градусов, а угол между двумя перпендикулярными прямыми равен 90 . Параллельные линии выровнены в направлении друг друга, тогда как перпендикулярные линии выровнены под углом 90 друг к другу.Наклоны параллельных линий равны друг другу, тогда как наклоны перпендикулярных линий не равны друг другу, а наклон одной линии равен отрицательной обратной величине наклона другой линии.

Каков наклон прямой линии?

Угол, образованный линией с положительной осью x, представляет собой наклон линии, состоящей из разных линий под разными углами с осью x. Линия может иметь наклон, меняющийся от положительного, отрицательного, нулевого или даже бесконечного наклона. Наклон линии специально измеряется по оси X или по горизонтальной линии.Чтобы измерить наклон любой линии, мы проводим горизонтальную линию из любой точки на данной линии и измеряем угол против часовой стрелки от горизонтальной линии до данной линии, а затем вычисляем тангенс θ данного угла.

Какое общее уравнение прямой линии?

Общее уравнение прямой может быть представлено как ax + by + c = 0, где

  • a, b, c являются константами, а
  • x, y — переменные.

Какой угол между двумя перпендикулярными прямыми?

Угол между двумя перпендикулярными линиями равен 90 градусов.Две перпендикулярные прямые выровнены таким образом, что произведение наклонов двух прямых равно -1. Перпендикулярные линии видны везде, например, угол стола, угол комнаты и т. д., и мы можем измерить угол между сторонами и узнать, что угол между перпендикулярными линиями равен 90 градусам.

Что такое параллельные прямые?

Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и никогда не пересекаются. Параллельные линии имеют отклонение друг от друга на 0 или 180 градусов.Они выровнены в одном направлении друг с другом. Если у нас есть две параллельные прямые, где нам известен наклон одной прямой, то мы можем приравнять наклон другой прямой, равной первой прямой, и узнать наклон другой прямой.

Прямые и изогнутые линии — Геометрия

Давным-давно (плюс-минус 2000 лет) существовала культура, которой мы обязаны значительной частью математики, которую мы знаем сегодня: Древняя Греция. Наиболее важный вклад, вероятно, был сделан Евклидом, который собрал всю информацию, которая была известна о математике в то время, и собрал ее в книгах под названием Элементы .Он не только собрал и организовал математику, но и «логически» организовал, или, скажем так, создал систему, организовавшую содержание материала согласно его подразумеваемой логике (дедуктивное рассуждение). Так в игру вступили аксиомы и теоремы… (аксиома подразумевает теорему), представляете, как это было важно? Трудно понять…

Евклид зарезервировал большую часть своих книг для g геометрия (греки любили это!), собственно, именно в этом разделе его работы оставались нетронутыми до 19 века (но теперь это все о высшей математике) .Так что действительно то, что мы изучаем сегодня в школе по геометрии, началось более двух тысяч лет назад!

В сегодняшнем посте мы сосредоточимся на изучении прямых и кривых линий, точно так же, как много лет назад изучал Евклид.

Существует множество способов определения прямых и изогнутых линий; наиболее сложный способ их определения следующий:

  • Прямая линия представляет собой последовательность точек, выровненных в одном направлении. Или, другими словами, чтобы перейти из одной точки в другую, мы никогда не меняем направление.

  • Наоборот, точки кривой линии меняют направление от одной точки к другой.

Мы можем наблюдать эти линии на следующем изображении:

Но это не единственный способ определить их! Первоначальный способ (и тот, которым пользуются в настоящее время в математике) более сродни методу, которым пользовался сам Евклид. Подумайте о двух точках на листе бумаги. Сколькими способами можно пройти из одной точки в другую?

Если нет никаких препятствий, есть много способов сделать это… например:

И это еще не все способы! Верно? Итак, вот ключевой вопрос: какая линия из всех линий, которые мы можем нарисовать, является самой короткой? Другими словами: какой кратчайший путь из А в Б? Вот оно! Последняя строка, синяя.И вот как мы определяем прямую линию.

Между двумя точками линия, соединяющая их, является прямой, если это кратчайшее возможное расстояние между ними.

Если линия не является кратчайшим расстоянием между двумя точками, это изогнутая линия.

Но подождите! А как насчет второй линии, которую мы нарисовали? Это особый случай, потому что это не одна строка, а несколько строк.

  • Линия, соединяющая A и C.
  • Линия, соединяющая C и D.
  • Линия, соединяющая D и E.
  • Линия, соединяющая E и B.

Итак, нам все еще нужно знать, что такое линия… как мы узнаем, есть ли у нас одна линия или несколько? Здесь все немного сложно, но я постараюсь объяснить.

Вообще говоря, линия не может иметь углов (это то, что мы называем производной в математике). Если у линии есть угол, это не одна линия, а несколько линий.В нашем примере у нас есть 3 угла.

Теперь мы можем разделить то, что мы сначала назвали линией, на несколько частей, потому что «линия, соединяющая А с В» больше неверна, потому что это не линия!

Как вы думаете, сколько прямых линий можно провести между A и B? Только один, верно? Но вы можете нарисовать много изогнутых линий! Евклид и все последовавшие за ним математики долгое время думали так же. До тех пор, пока в 19 веке не появился человек по имени Гаусс, который подумал… так что же произойдет, если я положу А и В на сферу? Например, самолет, вылетающий из Бостона в Мумбаи, не может следовать по прямой линии (при условии, что мы не можем сделать туннель), так какой же путь он выберет? И самое главное, есть ли еще такой?

 

Мы рассмотрим эту тайну в следующем посте…

Тем временем, если вы хотите продолжить изучение математики, создайте учетную запись на Smartick!

Подробнее:

Веселье — любимый способ обучения нашего мозга

Дайан Акерман

Smartick — увлекательный способ изучения математики
  • 15 минут веселья в день
  • Адаптируется к уровню вашего ребенка
  • Миллионы учеников с 2009 года

Группа создания контента.
Мультидисциплинарная и мультикультурная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
Они стремятся создать наилучший математический контент.

Геометрия: прямые линии

Геометрия: прямые линии

ç Указатель геометрии


Заболеваемость

Существует единственная ( прямая ) прямая , проходящая через любые две заданные точки. Если P и Q — точки, мы обозначаем полную прямую, простираясь за точки P и Q до пределов нашего зрения, через P-Q.Часть линии между двумя точками на ней, включающая две точек как конечных точек называется отрезком линии, обозначаемым PQ. Длина отрезка PQ равна расстоянию между точками P и Q, пишется d(P,Q) или просто PQ, когда смысл ясен. Отрезок прямой линии — это кратчайший путь между двумя точками.

Любые две пересекающиеся прямые имеют общую точку. Это следствие свойства предыдущего абзаца, поскольку, если бы две линии встретились в двух точках, между этими двумя точками не было бы уникальной линии.Если a, b — прямые, мы обозначаем точку через ab.

Две линии, которые не пересекаются в пределах нашего зрения, либо вергентны , либо параллельны . Чтобы сказать, два линии сходятся или параллельны, мы проводим пару линий из точки O, а не на линиях, чтобы пересекать линии в точках P, P’, Q, Q’. Тогда P-Q и P’-Q’ параллельны, когда PQ/OQ = P’Q’/OQ’, и вергентны, если эти отношения не равны.

Поперечный коэффициент

Если карандаш из четырех прямых пересечен секущей в четырех точках P, Q, R, S и другой секущей в P’, Q’, R’, S’, где PP’, QQ’, RR’, SS’ являются коллинеарными парами точек, затем PQ.RS/PR.QS = P’Q’.R’S’/P’R’.Q’S’. Это соотношение называется перекрестным соотношением . (или ангармоническое отношение ) и является свойством пучка, одинаковым для всех трансверсалей.


Гармоническая конфигурация

Если U, V и M — три точки на прямой, а P — любая точка не на этой прямой, то мы можем соединить PU, PV, PM и выбрать любую точку O на PM. Тогда линии VO, UO встретятся, скажем, с PU в X и PV в Y. Теперь линия XY будет либо параллельна UV, и в этом случае M будет средней точкой . UV, иначе XY и UV будут вергентными или встретятся в точке N.Эта точка N называется гармоническим сопряжением точки M относительно UV. С точки зрения расстояний это означает, что M и N делят длину UV внутри и снаружи в одном и том же отношении. То есть UM/MV = UN/NV.

Эта гармоническая конфигурация , таким образом, обеспечивает метод построения гармонического сопряжения, который зависит только от пересечения свойства прямых линий без необходимости измерения расстояний. Это проективная конструкция для гармонического сопряжения.


Тот факт, что М никогда не может быть идентичен N в гармонической конструкции, известен как Принцип Фано , который часто принимается как Аксиома. Это означает, что XYM не может быть прямой линией. Другими словами, это означает, что конфигурация 7 точек в 7 линиях с 3 точками на каждой линия и 3 линии через каждую точку невозможны в нормальной евклидовой геометрии.

Расположение N точек в N линиях с M точками на каждой линии и M линиями через каждую точку мы называем садом типа (N, M).Таким образом, Фано говорит нам, что сад типа (7, 3) невозможен. Гармоническая конфигурация имеет 8 точек и 7 линий.

Конфигурация Паппуса

Сад типа (8, 3) также невозможен. Первый случай, возможный в евклидовой геометрии, — это проиллюстрированный здесь случай (9, 3). Эта конфигурация иллюстрирует теорему Паппа : если на одной прямой есть три точки (A, B, C) и три соответствующие точки (D, E, F) на другой прямой, то шесть прямых, соединяющих пары несоответствующих точек (AE, BD) (AF, CD) (BF, CE), пересекаются попарно в точках точки (X, Y, Z), лежащие на одной прямой.


В особых случаях линии могут быть не пересекающимися, а сходящимися или параллельными. Например, если AE параллельна BD, то YZ также будет параллельно этим двум линиям. Если AE||BD и BF||CE, то CD||AF.

Эта конфигурация включает девять линий и девять точек. Любые две строки из трех можно принять за заданные и тогда определить другие три.

Конфигурация с двумя паппусами

Свойства линий и точек относительно пересечений (или падения) во многих отношениях симметричны.Это отношение симметрии называется двойственностью . Например, две точки определяют единственную прямую, проходящую через них, а две прямые определяют единственную точку, лежащую на их (либо вергентны, либо параллельны). Многие теоремы о точках и прямых остаются верными, если в формулировке теоремы поменять местами двойственные понятия. теорема.


Двойственная теорема Паппа утверждает: Если abc и def являются совпадающими или параллельными тройками прямых, то три прямые, соединяющие пары пересечений (ae)(bd) и (af)(cd) и (bf)(ce) также образуют совпадающую или параллельную тройку (xyz).Другими словами: если два треугольника в перспективе с двух разных точек, то они в перспективе с третьей точки.

Предлагает альтернативную посадку сада (9, 3).

Конфигурация Дезарга

Теорему, открытую Жираром Дезаргом (1593 — 1662) и опубликованную им в 1648 году, можно кратко сформулировать так: два треугольника (или более сложные фигуры) находятся в перспективе из точки тогда и только тогда, когда они находятся в перспективе из линии. Двумя фигурами в перспективе из точки мы имеем в виду, что линии (AD, BE, CF), соединяющие соответствующие точки на двух рисунках, пересекаются в точке (O).Двумя цифрами в перспективе от линия означает, что точки (BC.EF, CA.FD, AB.DE), в которых пересекаются соответствующие прямые на двух рисунках, лежат на одной прямой (XYZ).


Конфигурацию Дезарга можно интерпретировать как перспективный рисунок трехмерной конфигурации. Линии OAD, OBE, OCF ребра треугольной пирамиды и треугольники ABC и DEF являются плоскими сечениями пирамиды. Тогда точки X, Y, Z лежат на прямой пересечения этих двух плоскостей.

Эта конфигурация включает 10 линий и 10 точек в точно самодвойственных отношениях.

Особые случаи этой конфигурации возникают, когда некоторые линии параллельны. Если два треугольника ABC и DEF расположены со сторонами, параллельными (т. е. AB||DE, BC||EF, CA||FD), то линии, соединяющие соответствующие вершины, совпадают или параллельны. И наоборот, если два треугольника находятся в перспективе из точки или если прямые, соединяющие соответствующие вершины, параллельны и две пары сторон параллельны, то третья пара также параллельна.[Гильберт стр.71-71]

Конфигурация Чева-Менелай

Это «сжатая» версия конфигурации Дезарга. Вершины (A’, B’, C’) одного из треугольников в перспективе из точки (O) лежат на сторонах другого треугольника (А, В, С).

Для любого треугольника ABC и точки O, не лежащей на его сторонах, остальная часть конфигурации может быть построена просто путем соединения точек пересечения. Линия XYZ называется трилинейной полярной (или гармонической линией ) O относительно ABC.Обратно, если треугольник ABC и любая прямая XYZ пересекает его стороны, остальную часть фигуры можно построить. Тогда точка O является трехлинейным полюсом (или гармонической точкой ) XYZ. по отношению к АВС.

На этом рисунке гармоническая конструкция показана трижды. Точки X, Y, Z являются гармоническими сопряжениями точек A’, B’, C’ соответственно. по отношению к ВС, СА, АВ.


Теорема Менелая , данная Менелаем Александрийским (1 век нашей эры) в его книге Сферика , гласит: Если XYZ — секущая треугольника ABC, то XA.YC.ZB = XC.YB.ZA; это произведение трех чередующихся сегментов, взятых циклически равно произведению остальных трех. И наоборот, если соотношение выполняется, то XYZ коллинеарны.

Теорема Чевы , данная Джованни Чевой в его книге De Lineis Rectis (1678), гласит: Если прямые AO, BO, CO пересекают противоположные ребра в точках A’, B’, C’, то CB’.BC’.AA’ = B’B.C’A.A’C и, наоборот, если это соотношение выполняется три линии совпадают.

Конфигурация двойной шестерки

Конфигурация двойная шестерка состоит из 12 линий по 5 точек, пересекающихся попарно.Этот шаблон также возможен в трех измерениях, где отмеченные точки являются тогда единственными точками пересечения.


Прямые линии … еще, Координатная геометрия, Чистая математика

 

 

 

Параллельные линии

 

 

 

 

Параллельные линии составляют соответствующие углы (θ) с осью x.

 

Следовательно, их градиенты равны .

 

 

вернуться к началу

 

 

Перпендикулярные линии

 

 

 

 

 

Если две линии перпендикулярны друг другу, произведение их градиентов равно -1.

 

 

Если уклон AB равен м 1 , а уклон CD равен м 2 , тогда:

 

 

 

 

вернуться к началу

 

 

Уравнение прямой y = mx + c

 

 

 

 

Уравнение прямой задается как:

 

 

 

 

м уклон линии

c точка пересечения на оси Y

 

 

 

Пример

 

Каково уравнение прямой линии с градиентом 3, которая пересекает ось y в точке y= -3 ?

 

 

 

 

вернуться к началу

 

 

Поиск точки пересечения двух прямых

 

Здесь есть два типа проблем.

 

Один, где линии не перпендикулярны друг другу, а другой, когда они перпендикулярны.

 

Чтобы решить первую, достаточно одновременно решить уравнения линий.

 

В последнем случае дается только одно уравнение, а второе уравнение должно быть составлено на основе предоставленной информации. Далее необходимо действовать, как и раньше, т.е. решать оба уравнения одновременно.

 

 

Пример №1

 

Найдите точку пересечения двух прямых:

 

 

 

 

 

Пример №2

 

Прямая линия y = 2x + 4.5 пересекает другую перпендикулярно.

 

Если вторая прямая имеет точку пересечения -0,5 по оси Y, каковы координаты точки пересечения двух линий? (ответ на 1 д.п.)

 

 

 

 

вернуться к началу

 

 

Нахождение уравнения прямой из одной точки и градиента

 

Решение заключается в использовании выражения для градиента ( м ) для фактической точки ( x 1 , y 1 ) и обобщенной точки ( x,y ).

 

 

 

 

Уравнение прямой линии находится путем подстановки значений x 1 , y 1 и m в приведенное выше.

 

 

 

Пример

 

Линия градиента 3 проходит через точку (2,5). Что такое уравнение прямой?

 

 

 

 

вернуться к началу

 

 

Нахождение уравнения прямой по двум точкам

 

Решение сначала нахождение градиента м из x и y значений из точек ( x 1 1 , y 1 ) и ( x 2 , у 2 )

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение прямой линии находится путем подстановки x 1 , y 1 и м в уравнение для одной точки и градиента (предшествующее приведенному выше уравнению).

 

 

Пример

 

Найдите уравнение прямой между двумя точками (2,3) и (-5,7).

 

 

 

 

 

 

 

наверх

 

4.2: Плоскости и прямые

Геометрия плоскости и прямой линии, конечно, довольно проста, так что мы можем разобраться с ними в этом кратком вводном разделе всего за 57 уравнений.

Уравнение

\[Ax + By + Cz + D = 0 \label{4.2.1} \tag{4.2.1}\]

представляет собой самолет. Если \(D\) ≠ 0, часто удобно и экономит алгебру и вычисления без потери информации, разделив уравнение на \(D\) и переписав его в виде

\[ax + by + cz = 1. \label{4.2.2} \tag{4.2.2}\]

Ни в коем случае не обязательно, чтобы все коэффициенты были положительными. Если \(D = 0\), плоскость проходит через начало координат, и может быть удобно разделить уравнение \(\ref{4.2.1}\) на \(C\) и, следовательно, переписать его в виде

\[ax + by + z = 0. \label{4.2.3} \tag{4.2.3}\]

Плоскость, представленная уравнением \(\ref{4.2.2}\), пересекает \(yz\)-, \(zx\)- и \(xy\)-плоскости по прямым линиям

\[by + cz = 1 \label{4.2.4} \tag{4.2.4}\]

\[cz + ax = 1 \label{4.2.5} \tag{4.2.5}\]

\[ax + by = 1 \label{4.2.6} \tag{4.2.6}\]

и пересекает оси \(x\), \(y\)- и \(z\) в точке

.

\[x = x_0 = 1/a \label{4.2.7} \тег{4.2.7}\]

\[y = y_0 = 1/b \label{4.2.8} \tag{4.2.8}\]

\[z = z_0 = 1/c \label{4.2.9} \tag{4.2.9}\]

Геометрию можно увидеть на рисунке \(\text{IV.1}\)


\(\text{РИСУНОК IV.1}\)

Другим способом записи уравнения плоскости будет

.

\[\frac{x}{x_0} + \frac{y}{y_0} + \frac{z}{z_0} = 1. \label{4.2.10} \tag{4.2.10}\]

В этой форме \(x_0\), \(y_0\) и \(z_0\) являются пересечениями на \(x\)-, \(y\)- и \(z\)-осях.

Расстояние точки от плоскости

Теперь рассмотрим эту задачу. Пусть \(\text{P}_1 \ (x_1 ,y_1 ,z_1 )\) — некоторая точка в пространстве. Каково перпендикулярное расстояние от \(\text{P}_1\) до плоскости \(ax + by + cz = \frac{x}{x_0} + \frac{y}{y_0} + \frac{z} {z_0} = 1\)?

[Алгебра в следующих абзацах может показаться немного тяжелой. Если все, что вас интересует, это расстояние плоскости от начала координат, просто подставьте \(x_1 = y_1 = z_1 = 0\), и алгебра значительно упростится.2}} \метка{4.2.18} \тег{4.2.18}\]

Это положительное значение, если \(\text{P}_1\) находится на той же стороне плоскости, что и начало координат, и отрицательное, если оно находится на противоположной стороне. Если перпендикулярные расстояния двух точек от плоскости, рассчитанные по уравнению 4.4.18, имеют противоположные знаки, они находятся на противоположных сторонах плоскости. Если \(p = 0\), или даже если числитель уравнения 4.4.18 равен нулю, точка \(\text{P}_1 (x_1, y_1, z_1)\) находится, конечно, в плоскости.

Имеет смысл повторить эти результаты для случая, когда точка \(\text{P}_1\) совпадает с началом координат \(\text{O}\).2}} \тег{4.2.21} \метка{4.2.21}\]

Коэффициенты \(а\), \(b\), \(с\) являются отношением направлений нормали к плоскости; то есть это числа, пропорциональные направляющим косинусам.

Пример: Рассмотрим самолет

\[0,5x + 0,25y + 0,20z = 1 \label{4.2.22} \tag{4.2.22}\]

Плоскость пересекает оси \(x\)-, \(y\)- и \(z\)-оси в точках \((2,0,0), \0,4,0)\) и \(( 0,0,5)\). Ближайшая к началу координат точка плоскости \((1.4184, 0,7092, 0,5674)\). Перпендикулярное расстояние начала координат от плоскости равно \(1,6843\). Направляющие косинусы нормали к плоскости равны \((0,8422, 0,4211, 0,3369)\).

Уравнение плоскости, содержащей три заданные точки, можно найти следующим образом. Пусть \((x_1 , y_1 )\), \((x_2 , y_2 )\), \((x_3 , y_3 )\) будут тремя указанными точками, и пусть \((x , y)\) будет любой точкой в плоскости, содержащей эти три точки. Каждая из этих точек должна удовлетворять уравнению формы 4.2.1. То есть

\[xA + yB + zC + D = 0 \label{4.2.24} \tag{4.2.24}\]

\[x_1 A + y_1 B + z_1 C + D = 0 \label{4.2.25} \tag{4.2.25}\]

\[x_2 A + y_2 B + z_2 C + D = 0 \label{4.2.26} \tag{4.2.26}\]

\[x_3 A + y_3 B + z_3 C + D = 0 \label{4.2.27} \tag{4.2.27}\]

В этих уравнениях мы рассматриваем \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) как неизвестные, а \(x\), \(y\), \( z\), \(x_1\), \(y_1\)… как коэффициенты. У нас есть четыре линейных уравнения с четырьмя неизвестными и нет постоянного члена.Согласно теории уравнений, они согласуются, только если каждое из них является линейной комбинацией трех других. Это выполняется, только если определитель коэффициентов равен нулю:

\начать{массив}{| с с с с | c}
x & y & z & 1 \\
x_1 & y_1 & z_1 & 1 & = 0 \\
x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\
\label{4.2 .28} \tag{4.2.28}
\end{массив}

, а это уравнение искомой плоскости, содержащей три точки.Читатель заметит сходство этого уравнения с уравнением 2.2.4 для линии, проходящей между двумя точками в двумерной геометрии. Читатель может повторить это рассуждение, но вместо этого потребует, чтобы четыре точки удовлетворяли уравнению вида 4.2.2. Тогда будет четыре линейных уравнения с тремя неизвестными. В остальном аргумент тот же.

Теперь перейдем к вопросу о нахождении площади треугольника с заданными вершинами. Это легко сделать с числовым примером, и теперь читателю предлагается написать компьютерную программу на любом наиболее знакомом языке для выполнения следующих задач.\круг\). Наконец, вычислите площадь треугольника.

Данные для нескольких треугольников могут быть записаны в файл данных, который ваша программа читает, а затем записывает ответы в выходной файл. Кроме того, вы можете ввести координаты вершин одного треугольника и попросить компьютер считать данные с экрана монитора, а затем написать ответы на экране с последующим сообщением типа «Хотите попробовать другой треугольник ( 1) или выйти (2)?». Ваша программа также должна быть устроена так, чтобы она выдавала соответствующее сообщение, если три точки оказались на одной прямой.\круг\). Площадь равна \(6,708\).

Пример . Если координаты вершин

\[\text{A}(6,4,9), \quad \text{B}(2,6,17), \quad \text{C}(8,3,5)\]

площадь треугольника равна нулю, а точки лежат на одной прямой.

Вышеизложенное показало, что нетрудно численно вычислить площадь треугольника по координатам его вершин. Легко ли найти простую явную алгебраическую формулу для площади в терминах \((x_1, y_1, z_1)\), \((x_2, y_2, z_2)\) и \((x_3, y_3, z_3)\ )? Ссылаясь на рисунок \(\text{IV.2}\), можно поступить следующим образом.


\(\text{РИСУНОК IV.2}\)

Векторы \(\textbf{r}_2\) и \(\textbf{r}_3\) можно записать

\[\textbf{r}_2 = (x_2 — x_1) \textbf{i} + (y_2 — y_1) \textbf{j} + (z_2 — z_1) \textbf{k} \label{4.2.29} \ тег{4.2.29}\]

\[\textbf{r}_3 = (x_3 — x_1) \textbf{i} + (y_3 — y_1) \textbf{j} + (z_3 — z_1) \textbf{k} \label{4.2.30} \ тег{4.2.30}\]

где \(\textbf{i, j, k}\) — единичные векторы, параллельные осям \(x\)-, \(y\)- и \(z\)-.

Перемножение \(\textbf{r}_2\) и \(\textbf{r}_3\) дает (векторную) площадь параллелограмма, две стороны которого они образуют. Площадь \(\textbf{A}\) треугольника составляет половину этой площади, так что

\[2 \textbf{A} = \textbf{r}_2 \times \textbf{r}_3\]
\[= [(y_2 — y_1) (z_3 — z_1) — (y_3 — y_1) (z_2 — z_1)] \textbf{i}\]
\[+[(z_2 — z_1) (x_3 — x_1) — (z_3 — z_1) (x_2 — x_1)] \textbf{j}\]
\[+[( x_2 — x_1) (y_3 — y_1) — (x_3 — x_1) (y_2 — y_1)] \textbf{k} \label{4.2
\метка{4.2.33} \тег{4.2.33}\]

Это дает площадь явно через координаты вершин. Если он равен нулю, точки коллинеарны.

Объем тетраэдра равен \(\frac{1}{6} \times \text{основание} \times \text{высота}\). Комбинируя уравнение \(\ref{4.2.33}\) для площади треугольника с уравнением \(\ref{4.2.14}\) для перпендикулярного расстояния точки от плоскости, мы можем определить, что объем тетраэдра с вершинами

\[(x_0, y_0, z_0), \ (x_1, y_1, z_1), \ (x_2, y_2, z_2), \ (x_3, y_3, z_3)\]

это \[\frac{1}{6}
\begin{vmatrix}
x_0 & y_0 & z_ 0 & 1 \\
x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & z_3 & 1
\end{vmatrix}
\label{4.2.34} \тег{4.2.34}\]

Если этот определитель равен нулю, четыре точки лежат в одной плоскости.

В трехмерной координатной геометрии прямая линия описывается двумя уравнениями, представляющими собой пересечение двух плоскостей:

\[a_1 x + b_1 y + c_1 z = 1 \label{4.2.35} \tag{4.2.35}\]

\[a_2 x + b_2 y + c_2 z = 1 \label{4.2.36} \tag{4.2.36}\]

Если \(a_1/a_2 = b_1/b_2 = c_1/c_2\), нормали к двум плоскостям имеют одинаковые отношения направлений, поэтому плоскости параллельны и не пересекаются.В противном случае нормали к двум плоскостям имеют разные соотношения направлений \((a_1, b_1, c_1), \ (a_2, b_2, c_2)\), и, поскольку линия пересечения плоскостей находится под прямым углом к ​​обеим нормалям, отношения направлений линии находятся из векторного произведения векторов, нормальных к плоскостям. Таким образом, отношение направлений линии пересечения равно

.

\[(b_1 c_2 — b_2 c_1 , \ c_1 a_2 — c_2 a_1 , \ a_1 b_2 — a_2 b_1 ) \label{4.2.37} \tag{4.2.37}\]

Линия пересекает плоскости \(yz\)-, \(zx\)- и \(xy\)- в точке

\[y = \frac{c_2 — c_1}{b_1 c_2 — b_2 c_1} \quad z = \frac{b_1 — b_2}{b_1 c_2 — b_2 c_1} \label{4.2.38} \тег{4.2.38}\]

\[z = \frac{a_2 — a_1}{c_1 a_2 — c_2 a_1} \quad x = \frac{c_1 — c_2}{c_1 a_2 — c_2 a_1} \label{4.2.39} \tag{4.2.39 }\]

\[x = \frac{b_2 — b_1}{a_1 b_2 — a_2 b_1} \quad y = \frac{a_1 — a_2}{a_1 b_2 — a_2 b_1} \label{4.2.40} \tag{4.2.40 }\]

Пример вычисления прямой из пересечения двух плоскостей встречается в метеорной астрономии. Можно предположить плоскую Землю, что равносильно предположению, что высота метеора ничтожно мала по сравнению с радиусом Земли, а высота наблюдателя над уровнем моря пренебрежимо мала по сравнению с высотой метеора.\цирк.9\)

Покажите, что самолет с этим вторым свидетелем и метеором — это

\[0,0257x + 0,0153y + 0,0168z =1 \label{4.2.42} \tag{4.2.42}\]

Эти два уравнения описывают путь огненного шара в воздухе. Покажите, что если метеороид продолжает двигаться прямолинейно, он упадет на землю как метеорит \(42,4 \text{ км на восток}\) и \(6,0 \text{ км на юг}\) от начала координат \( \текст{О}\).


\(\text{РИСУНОК IV.3}\)

Как мы только что обсуждали, две непараллельные плоскости пересекаются по прямой.Обычно три непараллельные плоскости пересекаются в одной уникальной точке; ибо, если \(\text{L}\) является линией, образованной пересечением плоскостей \(\text{P}_1\) и \(\text{P}_2\), \(L\) обычно пересекают плоскость \(\text{P}_3\) в точке.

Пример : Самолеты

\[2x + 3y + 4z — 9 = 0 \label{4.2.43} \tag{4.2.43}\]

\[x + y -8z + 6 = 0 \label{4.2.44} \tag{4.2.44}\]

\[5x + 6y — 12z + 1 = 0 \label{4.2.45} \tag{4.2.45}\]

пересекаются в точке \((1, 1, 1)\).

Можно напомнить из теории линейных уравнений, что три уравнения

\[A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0 \label{4.2.46} \tag{4.2.46}\]

\[A_2 x + B_2 y + C_2z + D_2 = 0 \label{4.2.47} \tag{4.2.47}\]

\[A_3x + B_3 y + C_3 z + D_3 = 0 \label{4.2.48} \tag{4.2.48}\]

имеют единственное решение, только если

\[\Delta =
\begin{vmatrix}
A_1 & B_1 & C_1 \\
A_2 & B_2 & C_2 \\
A_3 & B_2 & C_3 \\
\end{vmatrix}
\neq 0
\label{ 4.2.49} \тег{4.2.49}\]

и, в геометрической интерпретации, это условие пересечения трех плоскостей в одной точке. Рассмотрим, однако, три самолета

\[2x + 3y + 4z — 9 = 0 \label{4.2.50} \tag{4.2.50}\]

\[x + y — 8z + 6 = 0 \label{4.2.51} \tag{4.2.51}\]

\[5x + 6y -20z + 12 = 0 \label{4.2.52} \tag{4.2.52}\]

Отношения направлений трех линий, найденные путем объединения плоскостей попарно (см. уравнение \(\ref{4.2.37}\)) равны

\[(-28, 20, -1) \четверка (-84, 60, -3) \четверка (28, -20, 1)\]

Можно заметить, что каждая из них кратна любой другой, а направляющие косинусы каждой из трех прямых идентичны, кроме знака: \(( \mp 0.\prime =
\begin{vmatrix}
A_1 & B_1 & D_1 \\
A_2 & B_2 & D_2 \\
A_3 & B_3 & D_3 \\
\end{vmatrix}
= 0 \label {4.\простое \neq 0\).

Classici Stranieri — Новости, электронные книги, аудиобиблиотеки бесплатно для консультации и бесплатного скачивания

Имя файла  
wikipedia-aa-html.7z
wikipedia-ab-html.7z
wikipedia-af-html.tar.7z
википедия-als-html.7z
wikipedia-am-html.7z
wikipedia-ang-html.7з
wikipedia-an-html.7z
wikipedia-arc-html.7z
wikipedia-ar-html.tar.7z
wikipedia-as-html.7z
wikipedia-ba-html.tar.7z
wikipedia-bar-html.7z
wikipedia-bat_smg-html.7z
wikipedia-bat_smg-html.tar.7z
wikipedia-bcl-html.tar.7z
wikipedia-be-html.tar.7z
wikipedia-bg-html.tar.7z
wikipedia-bh-html.tar.7z
wikipedia-bi-html.tar.7z
wikipedia-bm-html.tar.7z
wikipedia-bn-html.tar.7z
wikipedia-bo-html.tar.7z
wikipedia-bpy-html.tar.7z
wikipedia-br-html.tar.7z
wikipedia-bs-html.tar.7z
wikipedia-bug-html.tar.7z
wikipedia-bxr-html.tar.7z
wikipedia-ca-html.tar.7z
wikipedia-cdo-html.tar.7z
wikipedia-ceb-html.tar.7z
wikipedia-ce-html.tar.7z
wikipedia-ch-html.tar.7z
wikipedia-cho-html.tar.7z
wikipedia-chr-html.tar.7z
wikipedia-chy-html.tar.7z
wikipedia-co-html.tar.7z
wikipedia-crh-html.tar.7z
wikipedia-cr-html.tar.7z
wikipedia-csb-html.tar.7z
wikipedia-cs-html.tar.7z
wikipedia-cu-html.tar.7z
wikipedia-cv-html.tar.7z
wikipedia-cy-html.tar.7z
wikipedia-da-html.tar.7z
wikipedia-de-html.tar.7z
wikipedia-diq-html.tar.7z
wikipedia-dsb-html.tar.7z
wikipedia-dv-html.tar.7z
wikipedia-dz-html.tar.7z
wikipedia-ee-html.tar.7z
wikipedia-el-html.tar.7z
wikipedia-eml-html.tar.7z
wikipedia-en-html.tar.7z
wikipedia-eo-html.tar.7z
wikipedia-es-html.tar.7z
wikipedia-et-html.tar.7z
wikipedia-eu-html.tar.7z
wikipedia-ext-html.tar.7z
wikipedia-fa-html.tar.7z
wikipedia-ff-html.tar.7z
wikipedia-fi-html.tar.7z
wikipedia-fiu_vro-html.tar.7z
wikipedia-fj-html.tar.7z
wikipedia-fo-html.tar.7z
wikipedia-fr-html.tar.7z
wikipedia-frp-html.tar.7z
wikipedia-fur-html.tar.7z
wikipedia-fy-html.tar.7z
wikipedia-ga-html.tar.7z
wikipedia-gan-html.tar.7z
wikipedia-gd-html.tar.7z
wikipedia-gl-html.tar.7z
wikipedia-glk-html.tar.7z
wikipedia-gn-html.tar.7z
wikipedia-got-html.tar.7z
wikipedia-gu-html.tar.7z
wikipedia-gv-html.tar.7z
wikipedia-ha-html.tar.7z
wikipedia-hak-html.tar.7z
wikipedia-haw-html.tar.7z
wikipedia-he-html.tar.7z
wikipedia-hif-html.tar.7z
wikipedia-hi-html.tar.7z
wikipedia-ho-html.tar.7z
wikipedia-hr-html.tar.7z
wikipedia-hsb-html.tar.7z
wikipedia-hu-html.tar.7z
wikipedia-hy-html.tar.7z
wikipedia-hz-html.tar.7z
wikipedia-ia-html.tar.7z
wikipedia-id-html.tar.7z
wikipedia-ie-html.tar.7z
wikipedia-ig-html.tar.7z
wikipedia-ii-html.tar.7z
wikipedia-ik-html.tar.7z
wikipedia-ilo-html.tar.7z
wikipedia-io-html.tar.7z
wikipedia-is-html.tar.7z
wikipedia-it-html.7z
wikipedia-iu-html.tar.7z
wikipedia-ja-html.tar.7z
wikipedia-jbo-html.tar.7z
wikipedia-jv-html.tar.7z
wikipedia-kab-html.7z
wikipedia-ka-html.7z
wikipedia-kg-html.7z
wikipedia-ki-html.7z
wikipedia-kj-html.7z
wikipedia-kk-html.7z
wikipedia-kl-html.7z
wikipedia-km-html.7z
wikipedia-kn-html.7з
wikipedia-ko-html.tar.7z
wikipedia-kr-html.7z
wikipedia-ksh-html.7z
wikipedia-ks-html.7z
wikipedia-ku-html.7z
wikipedia-kv-html.7z
wikipedia-kw-html.7z
wikipedia-ky-html.7z
wikipedia-lad-html.tar.7z
wikipedia-la-html.tar.7z
wikipedia-lbe-html.tar.7z
wikipedia-lb-html.tar.7z
wikipedia-lg-html.tar.7z
wikipedia-li-html.tar.7z
wikipedia-lij-html.tar.7z
wikipedia-lmo-html.tar(1.7z)
wikipedia-ln-html.tar.7z
wikipedia-lo-html.tar.7z
wikipedia-lt-html.tar.7z
wikipedia-lv-html.tar.7z
wikipedia-mdf-html.tar.7z
wikipedia-mg-html.tar.7z
wikipedia-mh-html.tar.7z
wikipedia-mi-html.tar.7z
wikipedia-mk-html.tar.7z
wikipedia-ml-html.tar.7z
wikipedia-mn-html.tar.7z
wikipedia-mo-html.tar.7z
wikipedia-mr-html.tar.7z
wikipedia-mt-html.tar.7z
wikipedia-mus-html.tar.7z
wikipedia-my-html.tar.7z
wikipedia-myv-html.tar.7z
wikipedia-mzn-html.tar.7z
wikipedia-nah-html.tar.7z
wikipedia-na-html.tar.7z
wikipedia-nap-html.tar.7z
wikipedia-nds-html.tar.7z
wikipedia-ne-html.tar.7z
wikipedia-new-html.tar.7z
wikipedia-ng-html.tar.7z
wikipedia-nl-html.tar.7z
wikipedia-nn-html.tar.7z
wikipedia-no-html.tar.7z
wikipedia-nov-html.tar.7z
wikipedia-nrm-html.tar.7z
wikipedia-nv-html.tar.7z
wikipedia-ny-html.tar.7z
wikipedia-oc-html.tar.7z
wikipedia-om-html.tar.7z
wikipedia-or-html.tar.7z
wikipedia-os-html.tar.7z
wikipedia-pag-html.tar.7z
wikipedia-pa-html.tar.7z
wikipedia-pam-html.tar.7z
wikipedia-pap-html.tar.7z
wikipedia-pdc-html.tar.7z
wikipedia-pih-html.tar.7z
wikipedia-pi-html.tar.7z
wikipedia-pl-html.tar.7z
wikipedia-pms-html.tar.7z
wikipedia-ps-html.tar.7z
wikipedia-pt-html.tar.7z
wikipedia-quality-html.tar.7z
wikipedia-qu-html.tar.7z
wikipedia-rm-html.tar.7z
wikipedia-rmy-html.tar.7z
wikipedia-rn-html.tar.7z
wikipedia-ro-html.tar.7z
wikipedia-ru-html.tar.7z
wikipedia-rw-html.tar.7z
wikipedia-sah-html.tar.7z
wikipedia-sa-html.tar.7z
wikipedia-sc-html.tar.7z
wikipedia-scn-html.tar.7z
wikipedia-sco-html.tar.7z
wikipedia-sd-html.tar.7z
wikipedia-se-html.tar.7z
wikipedia-sg-html.tar.7z
wikipedia-sh-html.tar.7z
wikipedia-si-html.tar.7z
wikipedia-simple-html.tar.7z
wikipedia-sk-html.tar.7z
wikipedia-sl-html.tar.7z
wikipedia-sv-html.tar.7z
wikipedia-sw-html.tar.7z
wikipedia-ta-html.tar.7z
wikipedia-te-html.tar.7z
wikipedia-tet-html.tar.7z
wikipedia-tg-html.tar.7z
wikipedia-th-html.tar.7z
wikipedia-ti-html.tar.7z
wikipedia-tk-html.tar.7z
wikipedia-tlh-html.tar.7z
wikipedia-tl-html.tar.7z
wikipedia-tn-html.tar.7z
wikipedia-to-html.tar.7z
wikipedia-tpi-html.tar.7z
wikipedia-tr-html.tar.7z
wikipedia-ts-html.tar.7z
wikipedia-tt-html.tar.7z
wikipedia-tum-html.tar.7z
wikipedia-tw-html.tar.7z
wikipedia-ty-html.tar.7z
википедия-udm-html.tar.7z
wikipedia-ug-html.tar.7z
wikipedia-uk-html.tar.7z
wikipedia-ur-html.tar.7z
wikipedia-uz-html.tar.7z
wikipedia-vec-html.tar.7z
wikipedia-ve-html.tar.7z
wikipedia-vi-html.tar.7z
википедия-vls-html.tar.7z
wikipedia-vo-html.tar.7z
wikipedia-wa-html.tar.7z
wikipedia-war-html.tar.7z
wikipedia-wo-html.tar.7z
wikipedia-wuu-html.tar.7z
wikipedia-xal-html.tar.7z
wikipedia-xh-html.tar.7z
wikipedia-yi-html.tar.7z
wikipedia-yo-html.tar.7z
wikipedia-za-html.tar.7z
wikipedia-zea-html.tar.7z
wikipedia-zh-html.tar.7z
wikipedia-zu-html.tar.7z

Видео с вопросами: нахождение уравнения прямой в координатной геометрии

Стенограмма видео

Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения двух прямых 𝑦 минус девять равно нулю и 𝑥 минус 𝑦 равно нулю, которые пересекают положительные направления осей координат в двух точках на одном расстоянии от происхождения.

В этом вопросе нас просят найти уравнение прямой линии, и нам дают некоторую информацию, которая поможет нам определить уравнение этой линии. Во-первых, нам говорят, что эта прямая проходит через точку пересечения двух других прямых. И нам даны их уравнения: 𝑦 минус девять равно нулю и 𝑥 минус 𝑦 равно нулю. Нам также говорят, что прямая, которую нам нужно найти, пересекает положительные направления обеих осей координат в двух точках на одинаковом расстоянии от начала координат.И это полезная информация. Чтобы помочь нам понять это, давайте зарисуем то, что нам дали.

Нам сказали, что эта прямая пересекает обе оси координат с положительной стороны. И помните, мы обычно говорим, что 𝑦-отрезок прямой называется 𝑏. Итак, давайте назовем это значение 𝑏. Но в вопросе нам также говорят, что эти пересечения равноудалены от начала координат. Таким образом, 𝑥-перехват также должен находиться на расстоянии 𝑏 от начала координат. Это позволяет нам начертить прямую линию, для которой нужно найти уравнение.И мы уже можем заметить кое-что интересное на этом графике. Мы можем определить наклон этой линии. Мы можем сделать это, заметив, что на каждые 𝑏 единиц, которые мы перемещаем вправо, линия перемещается на 𝑏 единиц вниз. Таким образом, наклон этой линии отрицательный.

Также стоит отметить, что мы могли бы сделать это, подставив точки ноль, 𝑏 и 𝑏, ноль в уравнение для наклона линии. Это дало бы нам отрицательное число, умноженное на 𝑏 по сравнению с 𝑏, что является отрицательным. Теперь мы нашли наклон этой прямой линии.И нам говорят, что прямая проходит через точку пересечения между 𝑦 минус девять равно нулю и 𝑥 минус 𝑦 равно нулю. Итак, если мы найдем эту точку, мы можем использовать форму уравнения линии точка-наклон, чтобы определить уравнение этой линии. И мы можем найти координаты этой точки, вспомнив, что мы можем найти координаты точки пересечения двух прямых, решая их как одновременные уравнения. Нам нужно решить уравнения 𝑦 минус девять равно нулю и 𝑥 минус 𝑦 равно нулю.

Есть несколько способов сделать это. Мы можем допустить, что первое уравнение не содержит значения 𝑥. Таким образом, мы можем просто решить это для 𝑦. Мы просто добавляем девять к обеим частям уравнения. Это дает нам, что 𝑦 равно девяти. Теперь подставим 𝑦 равно девяти во второе уравнение. Это позволит нам найти 𝑥-координату точки пересечения. Это дает нам, что 𝑥 минус девять равно нулю. Теперь мы находим 𝑥, добавляя девять к обеим частям уравнения.Это дает нам, что 𝑥 равно девяти. Значит координаты точки пересечения этих двух прямых это точка девять, девять. Следовательно, наклон прямой, уравнение которой нужно найти, отрицательный, и она проходит через точку девять, девять.

Теперь мы можем найти уравнение прямой линии, используя форму точка-наклон для уравнения прямой линии. Напомним, что это говорит нам, что если линия имеет наклон 𝑚 и проходит через точку с координатами 𝑥 меньше единицы, 𝑦 меньше единицы, то ее уравнение может быть задано как 𝑦 минус 𝑦 меньше единицы равно 𝑚 умножить на 𝑥 минус 𝑥 меньше единицы.И мы уже показали, что наклон этой прямой отрицателен и проходит через точку с координатами девять, девять. Затем мы подставляем эти значения в форму точка-наклон. Получаем, что 𝑦 минус девять равно отрицательной единице, умноженной на 𝑥 минус девять. Теперь мы можем упростить это уравнение. Распределим минус по нашим скобкам. Получаем, что 𝑦 минус девять равно отрицательному 𝑥 плюс девять.

И, наконец, запишем это в общем виде уравнения прямой, взяв все члены в левую часть уравнения.Получаем, что 𝑥 плюс 𝑦 минус 18 равно нулю, что и является нашим окончательным ответом. Таким образом, мы смогли показать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения двух прямых 𝑦 минус девять равно нулю и 𝑥 минус 𝑦 равно нулю, которая пересекает положительные направления координатных осей в двух точек на одинаковом расстоянии от начала координат равно 𝑥 плюс 𝑦 минус 18 равно нулю.

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск