Пусть n принадлежит b причем n и m точки тогда: Геометрия. 8-10 класс: Параллельность прямых и плоскостей

Содержание

Геометрия. 8-10 класс: Параллельность прямых и плоскостей

Формулировки без доказательства

Некоторые следствия из аксиом


Теорема 1:

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Дано: М ₵ а

Доказать: 1) Существует α: а ∈ α, М ∈b ∈ α

                2) α — единственная


Доказательство: 
1) На прямой, а
выберем точки P и Q. Тогда имеем 3 точки – Р, Q, M, которые не лежат на одной прямой.

2) По аксиоме А1, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна, т.е. плоскость α, которая содержит прямую а и точку
М, существует.

3)  Теперь докажем, что α единственная. Предположим, что существует плоскость β, которая проходит и через точку М, и через прямую а, но тогда эта плоскость через точки
Р, Q, M. А через три точки Р, Q, M, не лежащие на одной прямой, в силу 1 аксиомы, проходит только одна плоскость.

4) Значит, эта плоскость  совпадает с плоскостью α .Следовательно 1)    На прямой, а выберем точки
P и Q. Тогда имеем 3 точки – Р, Q, M, которые не лежат на одной прямой.Следовательно α – единственная.   
Теорема доказана. 

Теорема 2 

Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. 

Дано: а∩b=M

Доказать: 1) Существует α: а ∈ α , b ∈ α
                2) α — единственная 


Доказательство:
1) На прямой b возьмем точку N, которая не совпадает с точкой М, то есть N ∈ b, N≠M


2) Тогда имеем точку N, которая не принадлежит прямой a. По предыдущей теореме, через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость. Назовем ее плоскостью α. Значит, такая плоскость, которая проходит через прямую a и точку N, существует.


3) Докажем единственность этой плоскости. Предположим противное. Пусть существует плоскость β, такая, которая проходит и через прямую а, и через прямую b. Но тогда она также проходит и через прямую а и точку N. Но по предыдущей теореме эта плоскость единственна, т.е. плоскость β совпадает с плоскостью α. 


4) Значит, мы доказали существование единственной плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые.


Теорема доказана. 

Теорема о параллельности прямых

Теорема: 


Через любую точку пространства, не лежащей на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной прямой. 


Дано: прямая а, M ₵ а

Доказать: Существует единственная прямая  b∥а, М ∈ b 


Доказательство:

1)    Через прямую а и точку М, не лежащей на ней, можно провести единственную плоскость ( 1 следствие). В плоскости α можно провести прямую b, параллельную а, проходящую через М.

2)    Докажем, что она единственная. Предположим, что существует другая прямая с, проходящая через точку М и параллельная прямой а. Пусть параллельные прямые а и с лежат в плоскости β. Тогда β проходит через М и прямую а. Но через прямую а и точку М проходит плоскость α.

3)    Значит, α и β совпадают. Из аксиомы параллельных прямых следует, что прямые b и с совпадают, так как в плоскости существует единственная прямая, проходящая через данную точку и параллельно заданной прямой.

Теорема доказана. 
Теорема о транзитивности прямых

Теорема:

Если две прямые параллельны третье прямой, то они
параллельны. 


Дано: а∥с, b∥c
Доказать: а∥b

Доказательство:

1)    Выберем произвольную точку k на прямой b. Тогда  существует единственная плоскость α проходящая через k и прямую а.

2)    Докажем, что прямая b лежит в плоскости α. Предположим противное. Пусть прямая b не лежит в плоскости α. Тогда пря мая b пересекает плоскость α в точке К. Так как прямые b и с параллельны, то, согласно лемме, прямая с также пересекает плоскость α. Прямые а и с также параллельны, значит, по лемме, прямая а также пересекает плоскость α, но это невозможно, но так как пря мая а лежит в плоскости α. По лучи ли противоречие. То есть, предположение было неверным, а значит, прямая b лежит в плоскости α.

3)    Д кажем, что прямые а и b не пресекаются. Предположим противное. Пусть прямые а и b пересекаются в некоторой точке М. Но тогда получается, что через точку М проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что невозможно в силу теоремы  Получили противоречие. Значит, прямые а и b не пересекаются.

4)    Мы доказали, что прямые а и b не пересекаются и что существует плоскость α, в которой лежат прямые а и b. Значит, прямые а и b параллельны (по определению), что и требовалось доказать.

Теорема доказана. 
Признак параллельности прямой и плоскости
Теорема: 


Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Дано: а∥b, b∈ α
Докажем: а∥α

Доказательство:

1)    Рассмотрим плоскость α и две параллельные прямые а и b, прямая b лежит в плоскости α, а прямая а не лежит в этой плоскости. Докажем, что прямая а параллельна плоскости α

2)    Предположим, это не так, то есть что прямая а пересекается с плоскостью α.Значит по лемме о пересечении плоскости параллельными пря мы ми (лемма приведена ниже), прямая b тоже пересекается с плоскостью α. Но это невозможно, так как прямая b по условию лежит в плоскости α. Итак, прямая а не пересекает плоскость α, поэтому она параллельна плоскости.

3)    Лемма: если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость. 

Теорема доказана. 

1 Следствие из признака параллельности прямой и плоскости

Теорема:

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельны данной прямой.

Дано: а∥α, а∈β, β∩α=b

Доказать: а∥b


Доказательство:

1)    Итак, пусть через прямую а, параллельную плоскости α, проходит плоскость , пересекающая плоскость α по прямой b. Докажем, что прямые а и b параллельны.
2)    Действительно, прямые а, b лежат в одной плоскости и не пересекаются, ведь в противном случае прямая а пересекала бы плоскость α, что невозможно, так как по условию прямая а параллельна плоскости α. Значит прямые а и b параллельны, что и требовалось доказать

2 Следствие из признака параллельности прямой и плоскости
Теорема: 

Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо параллельна данной плоскости, либо лежит в ней.

Дано: а∈α, а параллельно b

Доказать: b∈α либо b параллельно α

Доказательство: 1)    Пусть а и b – параллельные прямые, причем прямая а параллельна плоскости α. Следовательно, прямая а не пересекает плоскость α.
Тогда, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми, прямая b тоже не пересекает плоскость α. А это значит, что прямая b либо параллельна плоскости α либо лежит в ней, что и требовалось доказать.

\Теорема доказана.


Признак скрещивающихся прямых

     Теорема:

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся. 


Дано: CD∩α,AB∈α
Доказать: АB, CD — скрещивающиеся Доказательство:

Используем метод от противного. Предположим, что существует плоскость β, в которой лежит, и прямая АВ и прямая DC. Тогда в плоскости β лежит прямая АВ и точка С. Через прямую и точку, не лежащую на ней проходит единственная плоскость — α. Значит, такой плоскости β, в которой лежит, и прямая АВ и прямая DC, не существует. То есть, прямые АВ и DC – скрещивающиеся. 

Теорема доказана.

Теорема о скрещивающихся прямых

Теорема: 

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна. Дано: AB, CD – скрещивающиеся Доказать: 1) α∥СD, AB ∈α

                2) α — единственная

Доказательство: 1)    Проведем через точку А прямую АЕ, параллельную прямой DC. 2)    По теореме о параллельных прямых, такая прямая существует и притом только одна. 3)    Тогда через две пересекающиеся прямые АВ и АЕ можно провести единственную плоскость α. 4)    Так как прямая DC, которая не лежит в плоскости α, параллельна прямой АЕ, лежащей в плоскости α, значит, что прямая DC параллельна плоскости α, по признаку параллельности прямой и плоскости. Существование доказано.

5)    Докажем единственность такой плоскости. Пусть существует другая плоскость β, которая проходит через прямую АВ и параллельна прямой DC. Тогда прямая АЕ пересекает плоскость β, а значит и параллельная ей прямая DC пересекает плоскость β, по лемме. То есть, прямая DC не параллельна плоскости β. Получили противоречие. Следовательно, плоскость α – единственная. 

Теорема доказана.


Теорема о равенстве углов с со направленными сторонами


Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны. Дано: ОА∥О1А1, ОВ∥О1В1 Доказать: ∟АОВ=∟А1О1В1

Доказательство:

1)    На стороне луча ОА и О1А1 выберем точки А и А1 так, чтобы от резки ОА и О1А1 были равны. Аналогично, точки В и В1 выберем так, чтобы от резки ОВ и О1В1 были равны.

2)    Рассмотрим четырех уголь ник А1О1ОА (Рис. 3.). В этом четырехугольники стороны ОА и О1А1 параллельны и равны. По признаку параллелограмма, четырехугольник А1О1ОА является параллелограммом. Так как А1О1ОА – параллелограмм,  стороны ОО1 и АА1 параллельны и равны.

3)    Рассмотрим четырехугольник В1О1ОВ. В этом четырехугольнике стороны ОВ и О1В1 параллельны и равны. По признаку параллелограмма, четырехугольник В1О1ОВ является параллелограммом. Так как В1О1ОВ – параллелограмм, то стороны ОО1 и ВВ1 параллельны и равны.

4)    Прямая АА1 параллельна прямой ОО1, и прямая ВВ1 параллельна прямой ОО1, значит прямые АА1 и ВВ1 параллельны.

5)    Рассмотрим четырехугольник В1А1АВ. В этом четырехугольники стороны АА1 и ВВ1 параллельны и равны. По признаку параллелограмма, четырехугольник В1А1АВ является параллелограммом. Так как В1А1АВ – параллелограмм, то стороны АВ и А1В1 параллельны и равны.

 6)Рассмотрим треугольники АОВ и А1О1В1. Стороны ОА и О1А1равны по построению. Стороны ОВ и О1В1 также равны по построению. А как мы доказали, и стороны АВ и А1В1 тоже равны. Значит, треугольники АОВ и А1О1В1 равны по трем сторонам. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Значит, углы АОВ и А1О1В1 равны, что и требовалось доказать.

Теорема доказана. 

  

Признак параллельности плоскостей 


Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум  прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны. 

Дано: а∩b=M; a, b∈α; a1, b1∈β; a1∩b1

Доказать: α∥β


Теорема доказана. 


1 Свойство параллельных

Теорема:

Если две параллельные плоскости пересечены  третьей, то линии их пересечения параллельны.  

Дано: γ∩α=а, γ∩β=b, α∥β

Параллельность прямых и плоскостей

[музыка] расположение прямых на плоскости прямые могут совпадать пересекаться или быть параллельными перейдем взаимному расположению двух прямых в пространстве как и в планиметрии две различные прямые в пространстве либо пересекаются в одной точке либо не пересекаются то есть не имеют общих точек но второй случай допускает две возможности прямые лежат в одной плоскости или прямые не лежат в одной плоскости в первом случае они параллельны о втором такие прямые называются скрещивающимися определение две прямые в пространстве называются параллельными если они лежат в одной плоскости и не пересекаются определение скрещивающиеся прямые прямые которые не лежат в одной плоскости проиллюстрировать данное определение наглядно нам поможет куб давайте укажем некоторые пары параллельных прямых а.б. параллельно a1 и b1 абэ параллельна cd a1 и b1 параллельно c 1 d 1 cd параллельно c 1 d 1 и d параллельно а 1b 1d c параллельно b 1 c 1 d параллельно bc а 1 d 1 параллельно b 1 c 1 а теперь укажем некоторые пары скрещивающихся прямых как мы отметили они не должны лежать в одной плоскости а b и a 1 d 1 а b и b 1 c 1 cd и а 1 d 1 cd и b 1 c 1 d c & c 1 d 1 pci-1 b1 а b и b 1 c 1 абэ и 1 d 1 теорема через любую точку пространства не лежащую на данной прямой проходит прямая параллельная данной и притом только одна докажем ее по известной нам теореме о прямой и не лежащей на ней точки через прямой а и точку м проходит плоскость и притом только одна обозначим ее альфа прямая проходящая через точку м параллельна прямой а должна лежать в одной плоскости с точкой м и прямой а то есть в плоскости альфа в плоскости альфа через точку м проходит прямая параллельна прямой а и притом только одна это нам известно из курса планиметрии на чертеже это прямая обозначается буквой b следовательно б единственная прямая проходящая через точку м параллельна прямой а теперь по аналогии с параллельными прямыми введем понятие параллельных отрезков два отрезка называются параллельными если они лежат на параллельных прямых аналогично определяется параллельность отрезка и прямой а также параллельность двух лучей перейдем клемме о параллельности двух прямых и плоскости если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость та и другая прямая пересекает эту плоскость докажи мы и рассмотрим две параллельные прямые a и b и допустим что прямая пересекает плоскость альфа в точке м мы знаем что через параллельные прямые а и b можно провести только одну плоскость бета так как точка м находится на прямой а то м также принадлежит плоскости бета если у плоскостей альфа и бета есть общая точка м то у этих плоскостей есть общая прямая которая является прямой пересечении этих плоскостей по аксиоме четыре прямые о б ы п находятся в плоскости бета если в этой плоскости одна из параллельных прямых а пересекает прямую п то вторая прямая b также пересекает при точку пересечения прямых б и п обозначим н так как точка м находится на прямой птн находится в плоскости альфа и является единственной общей точкой прямой b и плоскости альфа значит прямая b пересекает плоскость альфа в точке n лемма доказана нам известно из курса планиметрии что если три прямые лежат в одной плоскости и две из них параллельно 3 то эти две прямые параллельны похожие утверждение имеет место и для трех прямых в пространстве теорема если две прямые параллельны третьей прямой то они параллельны докажем и и доказательства пусть нам данный прямая а параллельной прямой c и прямая b параллельная прямой c выберем точку м на прямой b через точку м и прямую о которой они содержат эту точку можно провести только одну плоскость возможны два случая прямая пересекает плоскость альфа или прямая b находится в плоскости альфа пусть прямая пересекает плоскость альфа значит прямая c которая параллельна прямой б тоже пересекает плоскость альфа так как а параллельно c то получается что а тоже пересекает эту плоскость но прямая а не может одновременно пересекать плоскость альфа и находиться в плоскости альфа получаем противоречие следовательно предположение что прямая пересекает плоскость альфа является неверным значит прямая b находится в плоскости альфа теперь нужно доказать что прямые а и b параллельны пусть у прямых а и b есть общая . л это означает что через . l проведены две прямые а и b которые параллельной прямой c но ранее доказанные теореме это невозможно поэтому предположение неверно и и прямые а и b не имеют общих точек так как прямые а и b находятся в одной плоскости альфа и у них нет общих точек то они параллельны рассмотрим виды взаимного расположения прямой и плоскости если две точки прямой лежат в данной плоскости то по xiaomi а один вся прямая лежит в этой плоскости из этого следует что возможны три расположения прямой и плоскости первая прямая лежит в плоскости второе прямая и плоскость имеет только одну общую точку то есть пересекаются третья прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки определение прямая и плоскость называются параллельными если они не имеют общих точек наглядный пример который дает представление о прямой параллельной плоскости эта линия пересечения стены и потолка а она параллельна плоскости пола рассмотрим теорему которую еще называют признаком параллельности прямой и плоскости если прямая не лежащие в данной плоскости параллельно какой-нибудь прямой на этой плоскости то эта прямая параллельна данной плоскости доказательства проведем от противного пусть а не параллельна плоскости альфа тогда прямая пересекает плоскость в некоторой точке а причем а не находится на б так как а параллельно б согласна признаку скрещивающихся прямых прямые а и b скрещивающиеся мы пришли к противоречию так как согласно данной информации а параллельно б они не могут быть скрещивающимися значит прямая должна быть параллельна плоскости альфа существует еще два утверждения которые используются при решении задач если плоскость проходит через данную прямую параллельными другой плоскости и пересекает эту плоскость та линия пересечение плоскостей параллельно данной прямой если одна из двух параллельных прямых параллельно данной плоскости то другая прямая либо тоже параллельно данной плоскости либо лежит в этой плоскости подведем итог нашего занятия мы с вами рассмотрели возможные случаи взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве познакомились с понятием параллельных и скрещивающихся прямых их основными свойствами изучили и доказали теорему о параллельных прямых пространстве и параллельности трех прямых а также узнали о существовании двух утверждений о параллельных прямых и плоскостях которые используются при решении задач

Параллельность прямых и плоскостей — презентация онлайн

Горкунова О. М.
Взаимное расположение в пространстве
2 прямых
Прямой и плоскости
2 плоскостей
Взаимное расположение 2 прямых в пространстве
Параллельность прямых
Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если
они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
a || b
с╫ а
с╫ b
Т (о параллельных прямых) Через любую точку пространства, не лежащую
на данной прямой проходит прямая,
параллельная данной, и притом только одна.
M ¢a
доказательство
b||а и МЄ b (b – единственная)
Определение. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на
параллельных прямых.
СD || АВ
Свойства параллельных прямых
Свойство 1. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную
плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость
доказательство
Свойство 2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они
параллельны
доказательство
Признаки параллельности прямых в пространстве:
Признак 1. Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости,
то они параллельны.
Доказана будет позже
Признак 2. Если в одной из пересекающихся плоскостей лежит прямая,
параллельная другой плоскости, то она параллельна линии
пересечения плоскостей.
Докажите самостоятельно
16. Параллельные прямые a и b лежат в плоскости α. Докажите, что прямая с,
пересекающая прямые a и b, также лежит в плоскости α.
17. На рисунке точки М, N, Q и Р — середины отрезков DB, DC, АС и АВ. Найдите
периметр четырехугольника MNQP, если AD= 12 см, ВС =14 см.
Из условий
PM || QN.
Отсюда следует, что P, Q, M и N лежат в 1 плоскости.
Получим, что MN и PQ — средние линии в ΔBDC и ΔABC,
значит, MN || BC и PQ || BC MN || PQ
MNPQ — параллелограмм
18. Точка C лежит на отрезке АВ. Через точку А проведена плоскость, а через точки
В и С — параллельные прямые, пересекающие эту плоскость соответственно в
точках В1 и С1. Найдите длину отрезка СС1, если: а) точка С — середина отрезка
АВ и ВВ1=7 см; б) АС:CB=3:2 и ВВ1=20см.
б)
Так как BB1 || CC1, то эти отрезки лежат в одной
плоскости р (из определения). Тогда С β и
В β, поэтому ВС β.
Значит, прямые ВВ1 СС1 АВ р.
Рассмотрим треугольник АВ1В в плоскости β.
(по 2-м углам)
а)
19. Стороны АВ и ВС параллелограмма ABCD пересекают плоскость α. Докажите,
что прямые AD и DC также пересекают плоскость α.
По лемме CD ∩ α, т.к. CD || AB, а АВ ∩ α.
По лемме AD ∩ α, т.к. AD || BC, а ВС ∩ α.
Теорема о параллельных прямых.
Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит
прямая, параллельная данной, и притом только одна.
М
b
а
Дано: а – прямая, М ¢ а
Доказать: b а, М Є b
b — единственная
Доказательство:
1) — единственная плоскость ( из С1)
2) М Є b и b а , причем b – единственная (из планиметрии)
ч.т.д.
Вернуться
Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми (Л1)
Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость,
то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Дано: а b, a ∩ = M
Доказать: b ∩
Доказательство:
1) а b , — един. плоскость
2) M Є

∩ = p ( по А3) , M Є p
b ∩ p = N, N Є
3) b ∩ = N,
N – единственная точка
ч.т.д.
вернуться
Теорема о трех прямых в пространстве.
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны
(если a c и b c, то a b).
c
Дано: а c, b c
а
b
К
Доказать: а b
(т.е. а и b лежат в одной плоскости
и а и b не пересекаются)
Доказательство:
1) Пусть К Є b, через а и К ¢ а проходит — единственная плоскость (из С1)
2) докажем, что b Є (методом от противного):
если b c и b ∩ , то с ∩ ( по Л1),
а ∩ , что невозможно, т.к. а
вернуться
3) (метод от противного) а b = P — противоречие , т.к. по Т (о параллельных
прямых) через точку Р проходит единственная прямая параллельная прямой с
2 нечетно, является достаточным условием, чтобы оправдать, что \large\color{red}n нечетно.

В дальнейшем вы оцените результат этой теоремы, так как он будет очень полезен при доказательстве того факта, что квадратный корень из 2 иррационален.

Нет необходимости изобретать велосипед. Я уже написал доказательство, очень похожее на это. Я приглашаю вас проверить это и вернуться сюда. Я обещаю, что после того, как вы ознакомитесь с другим моим уроком, доказать эту теорему не составит труда.2 четно, то n четно.

Однако в этом уроке я кратко расскажу о предварительных требованиях, поэтому вам может не понадобиться переходить по ссылке выше.


ОБЗОР ВАЖНЫХ ПОНЯТИЙ

◉ Во-первых, научитесь писать противоположное утверждение «если-то» (также известное как условное утверждение).

Противоположность

Если \color{blue}p, то \color{red}q

это

Если ~\color{red}q, то ~\color{blue}p.

  • Символ тильды ~ используется для обозначения отрицания или противоположности утверждения.
  • Помните, что условное утверждение логически эквивалентно своему противоположному. Следовательно, {\color{blue}p} \to {\color{red}q} \equiv ~\color{red}q \to ~\color{blue}p. Это означает, что если условный стеймент истинен, его контрапозитив также истинен. Кроме того, если условное утверждение ложно, то и его противоположность ложна.
  • Пример: Противоположное условному утверждению «Если число рационально, то оно может быть выражено как отношение двух целых чисел»: «Если число не может быть выражено как отношение двух целых чисел, то число равно иррациональный».2}+1 четно».

◉ Во-вторых, поймите, что четное число может быть выражено как произведение 2 и целого числа, то есть 2k для некоторого целого числа k.

  • Примеры четных чисел, записанных в форме 2k.

6=2(3)

18=2(9)

30=2(15)


МОЗГОВЫЙ ШТОРМ ПЕРЕД НАПИСАНИЕМ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

Нынешнюю форму утверждения невозможно будет доказать методом прямого доказательства. Для нас естественно искать альтернативную стратегию, чтобы доказать это.2 четно, то n четно.

границ | Анализ больших объемов данных на основе ядра

1. Введение

Быстрое развитие технологий привело к доступности и необходимости анализа массивных данных. Проблема возникает почти во всех сферах жизни, от медицины до национальной безопасности и финансов. Неотложная проблема при работе с огромным набором данных заключается в том, что его невозможно сохранить в памяти компьютера; поэтому нам приходится иметь дело с данными по частям, чтобы свести к минимуму доступ к внешней памяти.Другая проблема заключается в разработке эффективных численных алгоритмов для преодоления трудностей, например, при использовании обычных задач оптимизации в машинном обучении. С другой стороны, сама доступность огромного набора данных должна также привести к возможности решить некоторые проблемы, которые до сих пор считались неразрешимыми. Например, для глубокого обучения часто требуется большой объем обучающих данных, что, в свою очередь, помогает нам выяснить степень детализации данных. Помимо глубокого обучения, распределенное обучение также является популярным способом работы с большими данными.Хороший обзор таксономии для работы с массивными данными был недавно проведен Zhou et al. [1].

Как указано в работах Кукера и Смейла [2], Кукера и Чжоу [3] и Гирози и Поджио [4], основную задачу машинного обучения можно рассматривать как одну из задач аппроксимации функций на основе зашумленных значений целевой функции. , выбранные в точках, которые сами взяты из неизвестного распределения. Поэтому естественно искать методы теории аппроксимации для решения проблемы. Однако большинство результатов классической теории аппроксимации либо не являются конструктивными, либо изучают аппроксимацию функций только в известных областях.В этом столетии появилась новая парадигма рассмотрения аппроксимации функций на многообразиях, определяемых данными; хорошее введение в предмет можно найти в специальном выпуске [5] Applied and Computational Harmonic Analysis под редакцией Chui и Donoho. В этой теории предполагается гипотеза многообразия , т. е. что данные отбираются из распределения вероятностей μ * , поддерживаемого гладким, компактным и связным римановым многообразием; для простоты даже то, что μ * является римановой мерой объема для многообразия, нормированной как вероятностная мера.Следуя (например, [6–10]), сначала строится «графовый лапласиан» по данным и находится его собственное разложение. В упомянутых выше работах доказывается, что при стремлении размера данных к бесконечности лапласиан графа сходится к оператору Лапласа-Бельтрами на многообразии, а собственные значения (собственные векторы) сходятся к соответствующим величинам на многообразии. Большое количество работ посвящено изучению геометрии этого неизвестного многообразия (например, [11, 12]) на основе так называемого теплового ядра.Теория приближения функций на таких многообразиях также хорошо развита (например, [13–17]).

Узким местом в этой теории является вычисление собственного разложения матрицы, которое неизбежно огромно в случае больших данных. Ядерные методы использовались также в связи с аппроксимацией на многообразиях (например, [18–22]). Ядра, используемые в этом методе, обычно строятся как радиальная базисная функция (RBF) в окружающем пространстве, а методы представляют собой традиционные методы машинного обучения, включающие оптимизацию.Как упоминалось ранее, большие объемы данных создают большие трудности для решения этих задач оптимизации. Теоретические результаты в этой связи предполагают разложение Мерсера по собственным функциям Лапласа для ядра, удовлетворяющее определенным условиям. В этой статье мы развиваем общую теорию, включающую несколько ядер RBF, используемых в различных контекстах (примеры обсуждаются в разделе 2). Вместо использования методов, основанных на оптимизации, мы обеспечим прямое построение аппроксимации на основе того, что мы назвали эгнететами.Eignet определяется непосредственно с помощью собственного разложения на многообразии. Таким образом, мы сосредоточимся непосредственно на свойствах разложения Мерсера абстрактным и унифицированным образом, что позволит нам построить локальные приближения, подходящие для работы с массивными данными, без использования оптимизации.

Также возможно, что гипотеза многообразия неверна, и существует недавняя работа [23] Fefferman et al. предложить алгоритм проверки этой гипотезы. С другой стороны, наша теория приближения функций не обязательно использует всю мощь римановой геометрии.Поэтому в этой статье мы решили работать с общим локально компактным метрическим пространством с мерой, изолируя те свойства, которые необходимы для нашего анализа, и заменяя те, которые неприменимы в текущих условиях.

Наша мотивация связана с некоторыми недавними работами по распределенному обучению Zhou et al. [24–26], а также наши собственные работы по глубокому обучению [27, 28]. Например, в Lin et al. [26], аппроксимация выполняется на евклидовой сфере с использованием локализованного ядра, введенного в Mhaskar [29], где массивные данные делятся на более мелкие части, каждая из которых плотна на сфере, и полученные полиномиальные аппроксимации добавляются для получения окончательного результат.В Чуй и соавт. [24], аппроксимация выполняется на кубе и использует любую известную разреженность в представлении целевой функции в терминах сплайн-функций. В Mhaskar и Poggio [28] и Mhaskar [27] мы утверждали, что с точки зрения аппроксимации функции наблюдаемое превосходство глубоких сетей над мелкими является результатом способности глубоких сетей использовать любую композиционную структуру в целевой функции. . Например, при анализе изображения можно разделить изображение на более мелкие фрагменты, которые затем объединяются иерархическим образом, что приводит к древовидной структуре [30].Помещая неглубокую сеть в каждый узел для изучения тех аспектов целевой функции, которые зависят от пикселей, видимых до этого уровня, можно избежать проклятия размерности. В некотором смысле это стратегия «разделяй и властвуй», не столько в отношении самого набора данных, сколько в отношении размерности входного пространства.

Основные моменты этой статьи заключаются в следующем.

• Чтобы избежать явной, зависящей от данных собственной декомпозиции, мы вводим понятие эгнета, которое обобщает несколько сетей радиальных базисных функций и зональных функций. Мы строим готовые эгнететы, линейные комбинации которых можно построить, просто используя зашумленные значения целевой функции в качестве коэффициентов, чтобы получить желаемое приближение.

• Наша теория обобщает результаты на ряде примеров, обычно используемых в машинном обучении, некоторые из которых мы опишем в разделе 2.

• Использование методов оптимизации, таких как минимизация эмпирического риска, имеет внутреннюю сложность, а именно, минимизатор этого риска может не иметь связи с ошибкой аппроксимации.Есть и другие проблемы, такие как локальные минимумы, седловые точки, скорость сходимости и т. д., которые необходимо учитывать, а массивный характер данных делает эту задачу еще более сложной. Наши результаты не зависят от какой-либо оптимизации для определения необходимого приближения.

• Мы разработали теорию локальной аппроксимации с использованием эгнететов, так что для аппроксимации целевой функции в любом шаре пространства используется лишь относительно небольшой объем данных, данные подвыборки выполняются с использованием распределения, поддерживаемого в окрестности тот мяч. Точность аппроксимации настраивается автоматически в зависимости от локальной гладкости целевой функции на шаре.

• В обычных алгоритмах машинного обучения принято предполагать априорную оценку целевой функции, которая на языке теории приближения называется классом гладкости. Наша теория ясно демонстрирует, как массив данных может реально помочь в решении обратной задачи по определению локальной гладкости целевой функции с использованием вейвлет-подобного представления, основанного исключительно на данных.

• Наши результаты позволяют решить обратную задачу оценки плотности вероятности, из которой выбираются данные. В отличие от известных нам статистических подходов, нет ограничений на то, насколько точным может быть приближение асимптотически с точки зрения количества выборок; точность полностью определяется гладкостью функции плотности.

• Все наши оценки даны с точки зрения вероятности того, что ошибка будет небольшой, а не с точки зрения малого ожидаемого значения некоторой функции потерь.

Эта статья является абстрактной, теоретической и технической. В разделе 2 мы приводим ряд примеров, которые обобщаются нашей установкой. Абстрактная схема вместе с необходимыми определениями и предположениями обсуждается в разделе 3. Основные результаты формулируются в разделе 4 и доказываются в разделе 8. Доказательства требуют большой подготовки, которая представлена ​​в разделах 5–5. 7. Результаты в этих разделах не новы. Многие из них новы лишь в каком-то нюансе. Например, в разделе 7 мы доказали квадратурные формулы, необходимые для построения наших сборных сетей в вероятностной постановке, а также заменили оценку градиентов некоторым условием Липшица, что имеет смысл без структуры дифференцируемости на многообразие, как мы делали в наших предыдущих работах.Наша теорема 7.1 обобщает большинство наших предыдущих результатов в этом направлении, за исключением [31, теорема 2.3]. Мы стремились привести как можно больше доказательств, отчасти для полноты, а отчасти потому, что результаты не были сформулированы ранее в точно такой же форме, как здесь необходимо. В Приложении А мы даем краткое доказательство того, что гауссова верхняя оценка ядра теплопроводности выполняется для произвольных гладких компактных связных многообразий. Нам не удалось найти ссылку на этот факт. В Приложении B мы приводим основные оценки теории вероятностей, которые повсеместно используются в статье.

2. Мотивирующие примеры

В этой статье мы стремимся разработать объединяющую теорию, применимую к различным ядрам и областям. В этом разделе мы опишем некоторые примеры, которые побудили абстрактную теорию быть представленной в остальной части статьи. В следующих примерах q ≥ 1 является фиксированным целым числом.

Пример 2.1 . Пусть 𝕋 q = ℝ q /(2πℤ q ) — q -мерный тор.Расстояние между точками x = ( x 1 , ⋯, x Q ) и y = ( y 1 , ⋯, y Q ) определяется как max1≤k≤q|(xk-yk) mod 2π|. Тригонометрическая мономиальная система {exp( i k · ○) : k ∈ ℤ q } ортонормирована относительно меры Лебега, нормализованной как вероятностная мера на 𝕋 12 9012 9012(k)=π(q+1)/2Γ(q+12)αexp(-α|k|2),      α>0. □

Пример 2.2 . Если x=(x1,⋯,xq)∈[-1,1]q, то существует единственное θ=(θ1,⋯,θq)∈[0,π]q такое, что x = cos( θ ). Поэтому [-1, 1] Q можно рассматривать как факторное пространство 𝕋 Q , где все точки формы ε θ = {(ε 1 θ 1 , ⋯, ε q θ q )}, ε=(ε1,⋯,εq)∈{-1,1}q.Любую функцию на [−1, 1] q можно поднять до 𝕋 q , и это поднятие сохраняет все свойства гладкости функции. Наша установка ниже включает [−1, 1] q , где расстояние и мера определяются через отображение на тор, а полиномы Якоби с соответствующим весом считаются ортонормированным семейством функций. В частности, если G — периодическая функция активации, x = cos( θ ), y = cos( ϕ ), то функция G□ ∑ε∈{-1,1}qG(ε⊙(θ-ϕ)) — функция активации на [−1, 1] q с расширением ∑k∈ℤ+qbkTk(x)Tk(y ), где T k — тензорное произведение, ортонормированные полиномы Чебышева.( к )’s. □

Пример 2.3 . Пусть 𝕊q={x∈ℝq+1:|x|2=1} — единичная сфера в ℝ q +1 . Размерность 𝕊 q как многообразия равна q . Мы предполагаем, что геодезическое расстояние ρ на 𝕊 q и мера объема μ * нормированы как вероятностная мера. Мы отсылаем читателя к Мюллеру [33] за подробностями, описывая здесь только самое необходимое, чтобы получить представление о том, «что это вообще такое».Множество (классов эквивалентности) ограничений полиномов от q + 1 переменных с общей степенью < n до 𝕊 q называются сферическими полиномами степени < n . Множество ограничений однородных гармонических многочленов степени от ℓ до 𝕊 q обозначается через ℍ с размерностью d . Существует ортонормированный базис {Yℓ,k}k=1dℓ для каждого ℍ , который удовлетворяет формуле сложения

∑k =1dℓYℓ,k(x)Yℓ,k(y)=ωq-1-1pℓ(1)pℓ(x·y),

Откуда Ω Q -1 Q -1 — объем 𝕊 Q -1 Q -1 , и P — это степень ультрасферического полинома, так что семья { P } является ортонормированным относительно веса (1 − x 2 ) ( q −2)/2 на (−1, 1).(ℓ)|1/ℓ=1/π. □

Пример 2.4 . Пусть 𝕏 — гладкое компактное связное риманово многообразие (без края), ρ — геодезическое расстояние на 𝕏, μ * — риманова мера объема, нормированная как вероятностная мера, {λ k } — последовательность собственных значений (отрицательного) оператора Лапласа-Бельтрами на 𝕏, а ϕ k — собственная функция, соответствующая собственному значению λ k ; в частности, ϕ 0 ≡ 1. Этот пример, конечно же, включает примеры 2.1–2.3. Эгнет в этом контексте имеет вид x↦∑k=1nakG(x,xk), где функция активации G имеет формальное разложение вида G(x,y)=∑kb(λk)ϕk(x) фк(у). Одним из интересных примеров является тепловое ядро:

. ∑k=0∞exp(-λk2t)ϕk(x)ϕk(y).

     □

Пример 2.5 . Пусть 𝕏 = ℝ q , ρ — ℓ норма на 𝕏, μ * — мера Лебега. Для любого многомерного k∈ℤ+q (многомерная) функция Эрмита ϕ k определяется через производящую функцию

∑k∈ℤ+qϕk(x)2|k|1k!wk=π-1/4exp(-12|x-w|22+|w|22/4),w∈ℂq.(2.1)

Система {ϕ k } ортонормирована относительно μ * и удовлетворяет

∆ϕk(x)-|x|22ϕk(x)=-(2|k|1+1)ϕk(x),      x∈ℝq,

, где Δ — оператор Лапласа. Вследствие так называемого тождества Мелера получается [36], что

exp(-|x-32y|22)exp(-|y|22/4)=(32π)-q/2∑k∈ℤ+dϕk(x)ϕk(y)3-|k|1/2. (2.2)

Гауссовой сетью называется сеть вида x↦∑k=1nak(-|x-zk|22), где удобно думать о zk=32yk.

3. Установка и определения

3.1. Пространства данных

Пусть 𝕏 — связное локально компактное метрическое пространство с метрикой ρ. Для r > 0, x ∈ 𝕏 обозначим

𝔹(x,r)={y∈𝕏:ρ(x,y)≤r}, Δ(x,r)=замыкание(𝕏\𝔹(x,r)).

Если K ⊆ 𝕏 и x ∈ 𝕏, мы пишем, как обычно, ρ(K,x)=infy∈Kρ(y,x). Множество удобно обозначать

{ x ∈ 𝕏; ρ( K, x ) ≤ r } на 𝔹( K, r ).Диаметр K определяется как diam(K)=supx,y∈Kρ(x,y).

Для борелевской меры ν на 𝕏 (со знаком или положительной) мы обозначаем через |ν| его мера полной вариации, определенная для борелевских подмножеств K ⊂ 𝕏 на

|ν|(K)=supU∑U∈U|ν(U)|,

, где супремум находится по всем счетным измеримым разбиениям U K . В дальнейшем термин мера будет означать знаковую или положительную, полную, сигма-конечную, борелевскую меру. Такие термины, как «измеримый», будут означать «измеримый по Борелю».Если f :𝕏 → ℝ измеримо, K ⊂ 𝕏 измеримо и ν является мерой, мы определяем

‖f‖p,ν,K={{∫K|f(x)|pd|ν|(x)}1/p,if 1≤p<∞,|ν|-ess supx∈K|f(x )|, если p=∞.

Символ L P (ν, K ) обозначает набор всех измеримых функций F для которой ‖ F P , ν, K <∞, с обычное соглашение, согласно которому две функции считаются равными, если они равны |ν| — почти всюду на K .Множество C 0 ( K ) обозначает множество всех равномерно непрерывных функций на K , обращающихся в нуль на ∞. В случае, когда K = 𝕏, мы будем опускать упоминание K , за исключением случаев, когда это необходимо для избежания путаницы.

Зафиксируем неубывающую последовательность {λk}k=0∞ с λ 0 = 0 и λ k ↑ ∞ как k → ∞. Зафиксируем также положительную сигма-конечную борелевскую меру µ * на 𝕏 и систему ортонормированных функций {ϕk}k=0∞ ⊂ L1(µ*,𝕏)∩C0(𝕏), такую, что ϕ 0 ( x ) > 0 для всех x ∈ 𝕏.Определяем

Πn=span {ϕk:λk0. (3.1)

Удобно писать Π n = {0}, если n ≤ 0 и Π = ⋃ n >0 1n 9 0183 9 В дальнейшем будем предполагать, что Π плотно в C 0 (и, следовательно, в каждом L p , 1 ≤ p < ∞). Мы будем часто называть элементы Π полиномами диффузии в соответствии с [13].

Определение 3.1 . Мы скажем, что последовательность { A N } (или функция F : [0, ∞) → ℝ ) — Быстрый убыток , если Limn → ∞nSan=0 (соответственно , limx→∞xSf(x)=0 ) для каждого S > 0 . Последовательность { A } имеет полиномиальный рост Если там существует C 1 , C 2 > 0 Так что | a | ≤ c1nc2 для всех n ≥ 1 и аналогично для функций .

Определение 3.2 . Пространство 𝕏 (точнее, кортеж Ξ=(𝕏,ρ,µ*,{λk}k=0∞,{ϕk}k=0∞) ) называется пространством данных если выполняется каждое из следующих условий .

1. Для каждого x ∈ 𝕏, r > 0, 𝔹( x, r ) компактно .

2. ( Мяч Мера измерения ) Существует Q ≥ 1 и κ> 0 и κ> 0 со следующим свойством: для каждого x ∈ 𝕏, R > 0

µ*(𝔹(x,r))=µ*({y∈𝕏:ρ(x,y) (В частности, , μ * ({ y ∈ 𝕏: ρ( x, y ) = r }) = 0 2 .) 2 .)

3. ( Gaussian верхняя граница ) Существует κ 1 , κ 2 > 0 2 > 0 Так что для всех x, y ∈ 𝕏, 0 < T ≤ 1 ,

|∑k=0∞exp(-λk2t)ϕk(x)ϕk(y)|≤κ1t-q/2exp(-κ2ρ(x,y)2t). (3.3)

4. ( Основная компактность ) Для каждых N ≥ 1 N ≥ 1 , существует компактный набор 𝕂 N ⊂ 𝕏 Так, что функция N ↦ Diame ( 𝕂 n ) имеет полиномиальный рост, а функции

n↦supx∈𝕏\𝕂n∑λk и

n↦∫𝕏\𝕂n(∑λk быстро уменьшаются.(Обязательно , n↦μ*(𝕂n) также имеет полиномиальный рост.)

Примечание 3.1 . Предположим без ограничения общности, что 𝕂 n ⊆ 𝕂 m для всех n < m и что µ*(𝕂1)>0. □

Примечание 3.2 . Если 𝕏 компактно, то первое условие, а также существенное условие компактности выполняются автоматически. Мы можем взять 𝕂 n = 𝕏 для всех n .В этом случае будем неявно считать, что μ * является вероятностной мерой, а ϕ 0 ≡ 1.      □

Пример 3.1 . ( Случай многообразия ) Этот пример показывает, что наше понятие пространства данных обобщает установки в примерах 2.1–2.4. Пусть 𝕏 — гладкое компактное связное риманово многообразие (без края), ρ — геодезическое расстояние на 𝕏, μ * — риманова мера объема, нормированная как вероятностная мера, {λ k } — последовательность собственных значений (отрицательного) оператора Лапласа-Бельтрами на 𝕏, а ϕ k — собственная функция, соответствующая собственному значению λ k ; в частности, ϕ 0 ≡ 1.Если выполнено условие (3.2), то (𝕏,ρ,µ*,{λk}k=0∞,{ϕk}k=0∞) пространство данных. Конечно, условие существенной компактности выполняется тривиально (см. Приложение B для гауссовой верхней границы). □

Пример 3.2 . ( Hermite case ) Мы проиллюстрируем, как пример 2.5 включен в наше определение пространства данных. Соответственно, мы предполагаем установку, как в этом примере. Для a > 0 пусть ϕk,a(x)=a-q/2ϕk(ax). При λk=|k|1 система Ξa=(ℝq,ρ,µ*,{λk},{ϕk,a}) является пространством данных.Когда a = 1, мы будем опускать его упоминание в обозначениях в этом контексте. Первые два условия очевидны. Гауссова верхняя граница следует многомерному тождеству Мелера [37, уравнение 4.27]. Предположение о существенной компактности выполняется с 𝕂 n = 𝔹( 0 , cn ) для подходящей константы c (см. [38, гл. 6]). □

В оставшейся части этой статьи мы предполагаем, что 𝕏 — это пространство данных. Различные теоремы потребуют некоторых дополнительных предположений, два из которых мы сейчас перечислим.Не для каждой теоремы потребуется все это; мы явно укажем, какая теорема использует какие предположения, помимо того, что 𝕏 является пространством данных.

Первый из них касается произведения двух полиномов диффузии. Мы не знаем ни одной ситуации, когда оно не выполняется, но не можем доказать это вообще.

Определение 3.3 . ( Предмет товара ) Существует A * ≥ 1 и семья {Rj, k, n∈ A * N} Так что для каждого S > 0,

limn→∞nS(maxλk,λj Мы говорим, что сильный продукт удовлетворен, если вместо (3.4) у нас на каждые N > 0 и P, Q ∈ π N , PQ∈ΠA*n.

Пример 3.3 . В настройках примера 3.2, если P, Q ∈ π N , затем PQ = 0 для некоторых R ∈ π 2 N .Таким образом, предположение о продукте выполняется тривиально. Предположение о сильном произведении не выполняется. Однако если P, Q ∈ Π n , то PQ∈span{ϕk,2:λk

Примечание 3. 3 . Один из рецензентов нашей статьи указал на три недавние ссылки [39–41] на тему предположения о произведении. Первые два из них относятся к случаю многообразия (пример 3.1). Статья [41] расширяет результаты Lu et al.[40] к случаю, когда функции ϕ k являются собственными функциями более общего эллиптического оператора. Поскольку результаты в этих двух статьях качественно схожи, мы прокомментируем Lu et al. [40] и Штейнербергер [39].

Только в этом замечании пусть Kt(x,y)=∑kexp(-λk2t)ϕk(x)ϕk(y). Пусть λ k , λ j < n . Steinerberger [39] связывает E An (2, ϕ k ϕ j ) [см.6) ниже для определения] с

‖∫𝕏Kt(○,y)(ϕk(y)-ϕk(○))(ϕj(y)-ϕj(○))dµ*(y)‖2,µ*.

Хотя это дает некоторое представление о допущении о продукте, результаты не позволяют сделать вывод о заявленном допущении о продукте. Кроме того, трудно проверить, выполняются ли упомянутые в статье условия для данного многообразия.

В Lu et al. В [40] показано, что для любых ϵ, δ > 0 существует подпространство V размерности Oδ(ϵ-δn1+δ) такое, что для всех ϕ k , ∈ Π n , infP∈V‖ϕkϕj-P‖2,µ*≤ϵ.Подпространство V не обязательно должно быть Π An для любого A . С момента размера SPAN {φ K φ J } O ( N 2 ), результат имеет значение только в том случае, если 0 <Δ <1 и ε ≥ N 1−1/δ .

В работе Геллера и Пезенсона [42, теорема 6.1] показано, что сильное предположение о произведении (а значит, и предположение о произведении) выполняется в случае многообразия, когда многообразие является компактным однородным многообразием.Мы распространили эту теорему в Филбире и Мхаскаре [17, теорема A.1] на случай собственных функций общих эллиптических операторов в частных производных на произвольных компактных гладких многообразиях при условии, что функции коэффициентов в операторе удовлетворяют некоторым техническим условиям.

В наших результатах в разделе 4 нам понадобится следующее условие, которое служит цели градиента во многих наших более ранних теоремах о многообразиях.

Определение 3.4 . . |P(x)-P(y)|≤Bnρ(x,y)‖P‖∞,      x,y∈𝕏, P∈Πn.(3.5)

Примечание 3.4 . Как в случае многообразия, так и в случае Эрмита B n = cn для некоторой константы c > 0. Доказательство в случае Эрмита можно найти в Mhaskar [43], а в случае многообразия в Филбире и Мхаскаре [44]. □

3.2. Классы гладкости

Далее мы определяем интересующие нас классы гладкости.

Определение 3.5 . Функция w :𝕏 → ℝ будет называться весовой функцией , если wϕk∈C0(𝕏)∩L1(𝕏) k для всех 90.121 90.121Если w является весовой функцией, мы определяем

En(w;p,f)=minP∈Πn‖f-Pw‖p,µ*,     n>0,1≤p≤∞, f∈Lp(𝕏). (3. 6)

Мы будем опускать упоминание w , если w ≡ 1 на 𝕏.

Нам удобно обозначать через X p пространство {f∈Lp(𝕏):limn→∞En(p,f)=0}; X p = L p (𝕏), если 1 ≤ p < ∞ и X∞=C0(𝕏).

Определение 3.6 . Пусть 1 ≤ p ≤ ∞, γ > 0 и w весовая функция .

(a) Для f L p (𝕏) определим

‖f‖Wγ,p,w=‖f‖p,µ*+sup n>0nγEn(w;p,f),    (3.7)

и обратите внимание, что

‖f‖Wγ,p,w~‖f‖p,µ*+supn∈ℤ+2nγE2n(w;p,f). (3.8)

Космическое пространство W γ , P, W , P, W содержит все F для какой F W γ , P, W < ∞.

(б) Пишем Cw∞=⋂γ>0Wγ,∞,w . Если B является шаром в 𝕏, Cw∞(B) содержит функции из f∈Cw∞ , которые поддерживаются в B .

(c) если x 0 ∈ 𝕏 , пространство W γ , P, W ( x 0 ) содержит функции F такое, что существует r > 0 со свойством, что для любых ϕ∈Cw∞(𝔹(x0,r)), ϕ f W γ , .

Примечание 3.5 . Как в случае многообразия, так и в случае Эрмита характеристики классов гладкости W γ, p доступны в терминах конструктивных свойств функций, таких как число производных, оценки некоторых модулей гладкости или K -функционалов и т. д. В частности, класс C совпадает с классом бесконечно дифференцируемых функций, обращающихся в нуль на бесконечности.□

Теперь мы можем сформулировать еще одно предположение, которое потребуется при изучении локальной аппроксимации.

Определение 3.7 . ( Раздел Unity ) Для каждого R > 0 R > 0 , существует счетная семья Fr = {ψk, R} k = 0∞ функций в C со следующими свойствами:

1. каждый ψk, r∈Fr поддерживается на 𝔹 ( x K , R ) для некоторых x K ∈ 𝕏.

2. Для каждого ψk,r∈Fr и x ∈ 𝕏, 0 ≤ ψ k, r ( x ) ≤ 1,

3. Для любых x ∈ 𝕏 существует конечное подмножество Fr(x) ⊆ Fr такое, что

∑ψk,r∈Fr(x)ψk,r(y)=1,      y∈𝔹(x,r). (3.9)

Отметим некоторые очевидные наблюдения о разбиении единицы без простого доказательства.

Предложение 3.1 . Пусть r > 0, Fr — разбиение единицы .

(a) Обязательно, ∑ψk,r∈Fr(x)ψk,r опирается на 𝔹( x , 3 r ).

(б) Для x ∈ 𝕏, ∑ψk,r∈Frψk,r(x)=1.

Соглашение о константах В дальнейшем , c, c 1 , ⋯ будут обозначать общие положительные константы, зависящие только от обсуждаемых фиксированных величин, такие как Ξ, q , 3 κ0, κ0, κ0, 1 , κ 2 , различные параметры гладкости и вводимые фильтры. Их значение может быть разным в разных случаях, даже в пределах одной формулы. Обозначения A ~ B ~ B Средства C 1 1 A B C 2 2 A. □

Мы заканчиваем этот раздел определением ядра, играющего центральную роль в этой теории.

Пусть H :[0, ∞) → ℝ — функция с компактным носителем. Далее определим

ΦN(H;x,y)=∑k=0∞H(λk/N)ϕk(x)ϕk(y),      N>0, x,y∈𝕏.(3.10)

Если S ≥ 1 — целое число, а H есть S раза непрерывно дифференцируемое, то введем обозначение

‖|H‖|S:=max0≤k≤Smaxx∈ℝ|H(k)(x)|.

Следующее предложение напоминает об одном важном свойстве этих ядер. Предложение 3.2 доказано в Маджиони и Маскаре [13], а совсем недавно в значительно большей общности — в Маскаре [45, теорема 4.3].

Предложение 3.2 . Пусть S > q — целое число, H :ℝ → ℝ — четная, S раз непрерывно дифференцируемая функция с компактным носителем. Тогда для любых x, y ∈ 𝕏, N > 0,

|ΦN(H;x,y)|≤cNq‖|H|‖Smax(1,(Nρ(x,y))S). (3.11)

В дальнейшем пусть h :ℝ → [0, 1] — фиксированная бесконечно дифференцируемая четная функция, не возрастающая на [0, ∞), причем h ( t ) = 1, если | т | ≤ 1/2 и h ( t ) = 0, если t ≥ 1. Если ν — любая мера с ограниченной полной вариацией на 𝕏, мы определяем

σn(ν,h;f)(x)=∫𝕏Φn(h;x,y)f(y)dν(y).(k)=∫𝕏f(y)ϕk(y)dµ*(y)    (3.14)

.

3.3. Меры

В этом разделе мы опишем терминологию, связанную с мерами.

Определение 3.8 . Пусть d ≥ 0 . Мера ν∈M будет называться d обычная если

|ν|(𝔹(x,r))≤c(r+d)q,      x∈𝕏. (3.15)

Инфимум всех констант c , работающих в (3.15), будем обозначать через |||ν||| R, d , а класс всех d-регулярных мер будем обозначать через Rd.

Например, μ * само по себе находится в R 0 с ‖|μ*‖|R,0≤κ [ср. (3.2)]. В более общем случае, если w C 0 (𝕏), то мера wdμ * равна R 0 с ‖█w‖,0≤ мк*.

Определение 3.9 . (а) Последовательность N } 𝕏 называется Допустимая квадратурная последовательность измерения , если последовательность {| ν N | (𝕏 )} имеет полиномиальный рост, а

∫𝕏Pdνn=∫𝕏Pdµ*,      P∈Πn, n≥1.(3.16)

(b) последовательность N } 𝕏 называется Допустимый продукт Quadricious Sequence Если последовательность {| ν N | (𝕏)} имеет полиномиальный рост, а

∫𝕏P1P2dνn=∫𝕏P1P2dµ*,      P1,P2∈Πn, n≥1. (3.17)

(c) злоупотреблением терминологией, мы скажем, что мера ν ν N N допустимая квадратура (соответственно,

2 допустимый продукт квадратура 50122 ) порядка n , если |νn|≤c1nc (с константами, не зависящими от n) и (3. 16) [соответственно (3.17)] выполняется .

В случае, когда 𝕏 компактно, хорошо известная теорема Чакалова [46, упражнение 2.5.8, с. 100] показывает существование допустимых квадратурных мер произведения (даже вероятностных мер с конечным носителем). Однако для построения таких мер гораздо проще доказать существование допустимых квадратурных мер, как мы это сделаем в теореме 7.1, а затем использовать одно из предположений о произведениях для вывода допустимых квадратурных мер о произведениях.

Пример 3.4 . Пусть в случае многообразия верно предположение о сильном произведении, как в замечании 3.3. Если n ≥ 1 и C ⊂ 𝕏 — конечное подмножество, удовлетворяющее условиям теоремы 7.1, то теорема утверждает существование допустимой квадратурной меры с носителем на C. Если {ν n } — допустимая квадратурная мера последовательность, то {νA*n} — допустимая последовательность квадратурных мер произведения. В частности, для каждого n ≥ 1 существуют допустимые квадратурные меры произведения порядка n с конечным носителем.

Пример 3.5 . Рассмотрим случай Эрмита, как в примере 3.2. Для любых a > 0 и n ≥ 1 теорема 7.1, примененная к системе Ξ a , дает допустимые квадратурные меры порядка n с носителями на конечных подмножествах ℝ q из [− cn, cn ] q для соответствующего c ). В частности, допустимая квадратурная мера порядка n2 для Ξ2 является допустимой квадратурной мерой произведения порядка n для Ξ = Ξ 1 .□

3.4. Eignets

Понятие начального числа, определенное ниже, является обобщением различных ядер, описанных в примерах в разделе 2.

Определение 3.10 . A Функция B : [0, ∞) → (0, ∞) называется Гладкая маска Если B не увеличивается, и существует B * = B * * ( b ) ≥ 1 Так что отображение T B ( B * T ) / B ( T ) быстро уменьшается. Функция г : 𝕏 × 𝕏 → ℝ называется гладким ядром Если существует измеримая функция W = W ( г ): 𝕏 → ℝ Такое имеем формальное расширение (с гладкой маской б)

W(y)G(x,y)=∑kb(λk)ϕk(x)ϕk(y),      x,y∈𝕏. (3.18)

Если м ≥ 1 м ≥ 1 — это целое число, Eignet с м нейроны — это функция формы x↦σk = 1makg (x, yk) для у к ∈ 𝕏.

Пример 3.6 . В многообразном случае понятие энье включает все примеры, указанные в разделе 2, где W ≡ 1, за исключением примера гладкой функции ReLU, описанной в примере 2.3. В случае Эрмита (2.2) показывает, что ядро ​​G(x,y)=exp(-|x-32y|22), определенное на ℝ q × ℝ q , является гладким ядром с λ к = | к | 1 , ϕ k как в примере 2. 5, и b(t)=(32π)-q/23-t/2. Функция W здесь W(y)=exp(-|y|22/4). □

Примечание 3.6 . Можно ослабить условия на маске в определении 3.10. Во-первых, условие невозрастания b сделано только для упрощения наших доказательств. Их нетрудно модифицировать без этого предположения. Во-вторых, пусть b 0 :[0, ∞) → ℝ удовлетворяет | б 0 ( т )| ≤ b 1 ( t ) для гладкой маски b 1 , как указано в этом определении.Тогда функция b 2 = b + 2 b 1 является гладкой маской, как и b 1 . Пусть Gj(x,y)=∑k=0∞bj(λk)ϕk(x)ϕk(y), j = 0, 1, 2. Тогда G 0 ( x, y ) = Г 2 ( х, у ) — 2 Г 1 ( х, у ). Следовательно, все результаты в разделах 4 и 8 можно применить один раз к G 2 и один раз к G 1 , чтобы получить соответствующий результат для G 0 с другими константами. По этой причине мы упростим наше изложение, приняв кажущиеся ограничительными условия, указанные в определении 3.10. В частности, сюда относится пример гладкой сети ReLU, описанный в примере 2.3. □

Определение 3.11 . Пусть ν — мера на 𝕏 (со знаком или с ограниченной вариацией), а G C 0 (𝕏 × 𝕏) . Определяем

DG,n(x,y)=∑k=0∞h(λk/n)b(λk)-1ϕk(x)ϕk(y),n≥1, x,y∈𝕏,    (3.19)

и

𝔾n(ν;x,y)=∫𝕏G(x,z)W(z)DG,n(z,y)dν(z). (3.20)

Примечание 3.7 . Как правило, мы будем использовать последовательность квадратурных мер приближенного произведения вместо меры ν, где каждая из мер в последовательности имеет конечную поддержку, для построения последовательности сетей. В случае, когда 𝕏 компактно, теорема Чакалова показывает, что существует приближенная квадратурная мера произведения порядка m с опорой на (dim(Πm)+1)2 точек. Используя эту меру вместо ν, можно получить заранее изготовленный генератор 𝔾 n (ν) с (dim(Πm)+1)2 нейронами. Однако это не настоящая конструкция. При наличии предположения о продукте теорема 7.1 приводит к предварительно изготовленным сетям 𝔾 n конструктивным образом с количеством нейронов, как указано в этой теореме. □

4. Основные результаты

В этом разделе мы предполагаем условие Бернштейна-Липшица (определение 3.4) во всех теоремах. Заметим, что мера μ * может и не быть вероятностной мерой. Поэтому воспользуемся вспомогательной функцией f 0 , чтобы определить меру вероятности следующим образом.Пусть f 0 C 0 (𝕏), f 0 ≥ 0 для всех x ∈ 𝕏, и измерена вероятность dν*=f0. Необходимо, чтобы ν * было 0-регулярным и k:‖|ν*‖|R,0≤k‖f0‖∞,µ*. Мы предполагаем зашумленные данные вида ( y , ϵ) с совместным распределением вероятностей τ, определенным для борелевских подмножеств 𝕏 × Ω для некоторого пространства меры Ω, и с ν * , являющимся маргинальным распределением y с относительно т. Пусть F(y,ϵ) — случайная величина, подчиняющаяся закону τ, и обозначим

f(y)=𝔼τ(F(y,ϵ)|y).(4.1)

С помощью теоремы Фубини легко проверить, что если F интегрируема по τ, то для любых x ∈ 𝕏

𝔼τ(F(y,ϵ)Φn(x,y))=σn(ν*;f)(x):=∫𝕏f(y)Φn(x,y)dν*(y). (4.2)

Пусть Y — случайная выборка из τ, а {ν n } — квадратурная последовательность допустимого произведения в смысле определения 3.9. Определим [см. (3.20)]

Gn(Y;F)(x)=Gn(νB*n,Y;F)(x)=1|Y|∑(y,ϵ)∈YF(y,ϵ)𝔾n(νB*n;x,y ),     x∈𝕏, n=1,2,⋯,    (4.3)

, где B * соответствует определению 3.10.

Примечание 4.1 . Отметим, что сети 𝔾 n изготавливаются заранее независимо от данных. Таким образом, сеть Gn имеет только | Д | сроки в зависимости от данных. □

Наша первая теорема описывает восстановление локальной функции с использованием локальной выборки. Мы можем интерпретировать это в духе распределенного обучения, как в Chui et al. [24] и Лин и соавт. [26], где мы берем линейную комбинацию предварительно изготовленных сетей 𝔾 n , используя сами значения функции в качестве коэффициентов.Сети 𝔾 n обладают по существу тем же свойством локализации, что и ядра Φ n (см. теорему 8.2).

Теорема 4.1 . Пусть x 0 0 ∈ 𝕏 и R > 0 R > 0 Мы предполагаем раздел единства и найти функцию ψ ∈ C Поддерживаются на 𝔹 ( x 0 , 3 R ), , что равно 1 на 𝔹 ( x 0 , R ), 𝔪 = ∫𝕏∫𝕏dμ *, и пусть F 0 = ψ / 𝔪, dν*=f0dµ*. Мы предполагаем, что остальная часть установки соответствует описанию. Если f 0 f W γ, ∞ , , то для 0 < δ < 1, и |Y+2δnq0q,(9000/≥cnlog) Probτ({‖m|Y|∑(y,ϵ)∈YF(y,ϵ)𝔾n(νB*n;°,y)                     −f‖∞,µ*,𝔹(x0,r)≥c3n−γ} )                        ≤δ. (4.4)

Примечание 4.2 . Если { y 1 , ⋯, y M } является случайной выборкой из некоторой вероятностной меры, поддерживаемой на 𝕏, s=∑ℓ=1Mf0(yℓ), и мы строим подвыборку, используя Распределение, которое связывает массу F 0 ( y ( y j ) / с с каждым y J , затем вероятность выбора точек вне поддержки F 0 равно 0.Это приводит к подвыборке Y . Если M≥cnq+2γlog(nBn/δ), то можно использовать границу Чернова, Предложение B.1(b), чтобы показать, что | Д | велико, как указано в теореме 4.1. □

Далее сформулируем две обратные теоремы. Наша первая теорема дает точность при оценке плотности f 0 с использованием эгнетет вместо положительных ядер.

Теорема 4.2 . При настройке, как в теореме 8.3, пусть γ > 0, f 0 W γ, ∞ и

|Y|≥‖f0‖∞,µ*nq+2γlog(nBnδ).

Затем, с F≡1,

Probτ({‖1|Y|∑(y,ϵ)∈Y𝔾n(νB*n;∘,y)-f0‖∞≥c3n-γ})≤δ. (4.5)

Примечание 4.3 . В отличие от оценки плотности с использованием положительных ядер, не существует внутреннего предела точности, предсказываемой (4.5) для оценки f 0 . □

Следующая теорема дает полную характеристику классов локальной гладкости с помощью эгнететов. В частности, часть (b) следующей теоремы дает решение обратной задачи определения того, какому классу гладкости принадлежит целевая функция вблизи каждой точки 𝕏.Теоретически это приводит к обнаружению на основе данных сингулярностей и разреженности, аналогично тому, что предполагается в Chui et al. [24], но в гораздо более общем контексте.

Теорема 4.3 . Пусть F 0 C 0 (𝕏), F 0 0 ( x ) ≥ 0 для всех x ∈ 𝕏 и dν * = f0dμ * Будьте измерения вероятности , τ, F, и пусть f будет таким, как описано выше. Мы принимаем разделение единицы и предположение о произведении.Пусть S Q + 2, 0 <γ ≤ S, x 0 4 ∈ 𝕏, 0 <Δ <1. Для каждого j ≥ 0 Предположим, что Y J — случайная выборка из τ с |Yj|≥2c12j(q+2S)‖|ν*‖|R,0log(c22jB2j/δ). Тогда с τ-вероятностью ≥ 1 − δ

(а) если F F F W W Γ, ∞ ( x 0 ) Тогда существует шар 𝔹 , центрирован на x 9 0 такой, что

supj≥12jγ‖G2j(Yj;F)-G2j-1(Yj;F)‖∞,µ*,𝔹<∞.(4.6)

(b) если существует шар 𝔹 , сосредоточен на x 0 для которого (4.6) держит, затем F 0 F W Γ, ∞, ϕ 0 ( x 0 ).

5. Подготовительные результаты

Докажем нижнюю границу µ * (𝔹( x, r )) для x ∈ 𝕏 и 0 < r ≤ 1 (см. [47]).

Предложение 5.1 . У нас есть

µ*(𝔹(x,r))≥crq,      0 Для доказательства предложения напомним лемму, доказанную в Маскаре [14, предложение 5.1].

Лемма 5.1 . Пусть ν R D , N > 0 N > 0 , если г 1 : [0, ∞) → [0, ∞) — не увеличивая функция, затем , для любого N > 0, r > 0, x ∈ 𝕏,

Nq∫Δ(x,r)g1(Nρ(x,y))d|ν|(y)≤c2q(1+(d/r)q)q1-2-q‖|ν‖|R,d∫ rN/2∞g1(u)uq-1du.(5.2)

P КРЫША P ПОЛОЖЕНИЕ 5.1.

Пусть x ∈ 𝕏, r > 0 фиксируются в этом доказательстве, хотя константы не будут зависеть от них. В этом доказательстве мы пишем

Kt(x,y)=∑k=0∞exp(-λk2t)ϕk(x)ϕk(y).

Верхняя граница Гаусса (3.3) показывает, что для t > 0,

∫Δ(x,r)|Kt(x,y)|dµ*(y)≤κ1t-q/2∫Δ(x,r)exp(-κ2ρ(x,y)2/t)dµ*(y ). (5.3)

Пользуясь леммой 5. 1 с )/κ2:

∫Δ(x,r)|Kt(x,y)|dµ*(y)≤c∫Nr/2∞uq-1exp(-u2)du=c1∫(Nr/2)2∞uq/2-1e -udu≤c2(r2/t)(q-2)/2exp(-κ2r2/(4t)).(5.4)

Следовательно, обозначая в этом доказательстве только то, что κ 0 = ‖ϕ 0 , получаем, что

1=∫𝕏Kt(x,y)ϕ0(y)dµ*(y)≤κ0∫𝕏|Kt(x,y)|dµ*(y)≤κ0κ2t−q/2µ*(𝔹(x,r)) +c3(r2/t)(q−2)/2exp(−κ2r2/(4t).    (5.5)

Теперь мы выбираем t ~ r 2 так, чтобы c3(r2/t)(q-2)/2exp(-κ3r2/(4t))≤1/2, чтобы получить (5.1) для r с 4 . Оценка ясна для c 4 < r ≤ 1.□

Далее мы докажем некоторые результаты о системе {ϕ k }.

Лемма 5.2 . Для n ≥ 1, имеем

∑λk и

dim(Πn)≤cnqµ*(𝕂n). (5.7)

В частности, функция n ↦ dim(Π n ) имеет полиномиальный рост .

P КРЫША . Верхняя граница Гаусса с x = y подразумевает, что

∑k=0∞exp(-λk2t)ϕk(x)2≤ct-q/2,      0 Оценка (5.6) следует из тауберовой теоремы [44, предложение 4.1]. Существенная компактность показывает теперь, что для любого R > 0,

∫𝕏\Kn∑λk В частности,

dim(Πn)=∫𝕏∑λk             □

Далее докажем некоторые свойства операторов σ n и полиномов диффузии. Следующее предложение легко следует из леммы 5.1 и предложение 3.2. (ср. [14, 48]).

Предложение 5.2 . Пусть S, H такие же, как в предложении 3.2, d > 0, ν∈Rd, и x ∈ 𝕏.

(a) Если r ≥ 1/ N , , то

∫∆(x,r)|ΦN(H;x,y)|d|ν|(y)≤c(1+(dN)q)(rN)-S+q‖|ν‖|R,d‖ |Х‖|С. (5.8)

(б) У нас есть

∫𝕏|ΦN(H;x,y)|d|ν|(y)≤c(1+(dN)q)‖|ν‖|R,d‖|H‖|S,    (5. 9) ‖ΦN(H;x,∘)‖ν;𝕏,p≤cNq/p′(1+(dN)q)1/p‖|ν‖|R,d1/p‖|H‖|S,    (5 .10)

и

‖∫𝕏|ΦN(H;∘,y)|d|ν|(y)‖p≤c(1+(dN)q)1/p′‖|ν|‖R,d1/p′(|ν |(𝕏))1/p‖|H|‖S. (5.11)

Хорошо известна следующая лемма; доказательство дано в Mhaskar [15, лемма 5.3].

Лемма 5.3 . Пусть 1 , ν), (Ω 2 , τ) — пространства с сигма-конечной мерой , Ψ : Ω 1 × Ω 2 → ℝ 192 be интегрируемый ,

M∞:=ν-ess supx∈Ω1∫Ω2|Ψ(x,y)|dτ(y)<∞, M1:=τ-ess supy∈Ω2∫Ω1|Ψ(x,y)|dν(x) <∞,    (5.12)

и формально для τ-измеримых функций f : Ω 2 → ℝ,

T(f,x):=∫Ω2f(y)Ψ(x,y)dτ(y),      x∈Ω1.

Пусть 1 ≤ p ≤ ∞. Если f∈Lp(τ;Ω2) , то T ( f, x ) определено для ν – почти всех x ∈ Ω 1 , , ‖Tf‖ν;Ω1,p≤M11/pM∞1/p′‖f‖τ;Ω2,p,      f∈Lp(Ω2,τ). (5.13)

Теорема 5.1 . Пусть n > 0.Если P ∈ Π n /2 , то σ n ( P ) = P . Кроме того, для любого p с 1 ≤ p ≤ ∞ ,

‖σn(f)‖p≤c‖f‖p,      f∈Lp. (5.14)

Если 1 ≤ p ≤ ∞, и f L p (𝕏), , то

En(p,f)≤‖f-σn(f)‖p,µ*≤cEn/2(p,f). (5.15)

P КРЫША . Тот факт, что Σ N ( P ) = P для всех P ∈ π ∈ π N /2 подтверждается легко используя тот факт, что H ( T ) = 1 для 0 ≤ т ≤ 1/2.Используя (5.9) с μ * вместо |ν| и 0 вместо d , мы видим, что

supx∈𝕏∫𝕏|Φn(x,y)|dµ*(y)≤c.

Оценка (5.14) следует из леммы 5.3. Оценку (5.15) теперь обычно доказывается. □

Предложение 5.3 . для N ≥ 1, P ∈ Π N , 1 ≤ P ≤ ∞, и S > 0, У нас

‖P‖p,µ*,𝕏\𝕂2n≤c(S)n-S‖P‖p,µ*,𝕏.(5.16)

P КРЫША . В этом доказательстве все константы будут зависеть от S . Используя неравенство Шварца и существенную компактность, легко вывести, что

supx∈𝕏\𝕂2n∫𝕏|Φ2n(x,y)|dµ*(y)≤c1n-S,supy∈𝕏∫𝕏\𝕂2n|Φ2n(x,y)|dµ*(x)≤c1n-S. (5.17)

Следовательно, применение леммы 5.3 показывает, что

‖σ2n(f)‖p,µ*,𝕏\𝕂2n≤cn-S‖f‖p.

Мы используем P вместо f , чтобы получить (5.16). □

Предложение 5.4 . Пусть n ≥ 1, P ∈ Π n , 0 < p < r ≤ ∞. Затем

‖P‖r≤cnq(1/p-1/r)‖P‖p,      ‖P‖p≤cµ*(𝕂2n)1/p-1/r‖P‖r. (5.18)

P КРЫША . Первая часть (5.18) доказана в Маскаре [15, лемма 5.4]. В этой статье мера μ * считается вероятностной мерой, но это предположение не использовалось в этом доказательстве. Вторая оценка легко следует из предложения 5.3. □

Лемма 5.4 . Пусть R, N > 0, P , 1 , P 2 ∈ π N , 1 ≤ P, R, S ≤ ∞. (к)| ≤(dim(Πn))1/2‖P‖2≤c1nc‖P‖r. (5.20)

Теперь из предположения о произведении следует, что для p = 1, ∞ и λ k , λ j < n существует Rj,k,n∈ΠA*n такое, что для любой R > 0,

‖ϕkϕj-Rj,k,nϕ0‖p≤cn-R-2c,    (5.21)

, где c — константа, фигурирующая в (5.20). Неравенство выпуклости

‖f‖p≤‖f‖∞1/p′‖f‖11/p

показывает, что (5.21) справедливо для всех p , 1 ≤ p ≤ ∞.(k)|)≤cn-R‖P1‖r‖P2‖s.

     □

6. Локальная аппроксимация диффузионными полиномами

Далее запишем г ( t ) = ч ( t ) − ч (2 t ), и

τj(f)={σ1(f),если j=0,σ2j(f)−σ2j−1(f),если j=1,2,⋯. (6.1)

Заметим, что

τj(f)(x)=σ2j(µ*,g;f)(x)=∫𝕏f(y)Φ2j(g;x,y)dµ*(y),j=1,2,⋯. (6.2)

Из теоремы 5.1 видно, что для любых p , 1 ≤ p ≤ ∞,

f=∑j=0∞τj(f),      f∈Xp,    (6.3)

со схождением в смысле L р .

Теорема 6.1 . Пусть 1 ≤ p ≤ ∞, γ > 0, f X p , x 0 ∈ 𝕏. Мы принимаем разделение единицы и предположение о произведении .

(a) Если 𝔹 — шар с центром в точке x 0 , , то

sup n≥02nγ‖f-σ2n(f)‖p,µ*,𝔹~sup j≥02jγ‖τj(f)‖p,µ*,𝔹.(6.4)

(b) Если существует шар B с центром в точке x 0 такой, что

sup n≥02nγ‖f-σ2n(f)‖p,µ*,𝔹~sup j≥02jγ‖τj(f)‖p,µ*,𝔹<∞,    (6.5)

затем f W γ, p , ϕ 0 ( x 0 ).

(C) , если F W Γ, P ( x x x то (6.5) содержит .

Примечание 6.1 . В многообразном случае (пример 3.1) ϕ 0 ≡ 1. Таким образом, утверждения (b) и (c) теоремы 6. 1 дают необходимые и достаточные условия для f W γ, p ( x 0 ) через локальную скорость сходимости глобально определенного оператора σ n ( f ) и рост локальных норм операторов τ j 4 , 90 соответственно В случае Эрмита (пример 3.2), показано в Мхаскаре [49], что F W W Γ, P , Φ 0 Если и только если F W Γ, P . Следовательно, утверждения (b) и (c) теоремы 6.1 дают аналогичные необходимые и достаточные условия для f W γ, p ( x 0 ) и в этом случае. □

Доказательство теоремы 6.1 является рутинным, но мы набросаем его для полноты.

P КРЫША T ХЕОРЕМ 6.1.

Часть (а) легко доказать с помощью определений.

В оставшейся части этого доказательства мы фиксируем S > γ + q + 2. Чтобы доказать пункт (b), пусть ϕ ∈ C опирается на 𝔹. Тогда существует {Rn∈Π2n}n=0∞ такое, что

‖ϕ-Rn‖∞≤c(ϕ)2-nS. (6.6)

Далее, лемма 5.4 дает последовательность {Qn∈ΠA*2n} такую, что

‖Rnσ2n(f)-ϕ0Qn‖p≤c2-nS‖Rn‖∞‖σ2n(f)‖p≤c(ϕ)2-nS‖f‖p. (6.7)

Следовательно,

EA*2n(ϕ0;p,fϕ)≤‖fϕ-ϕ0Qn‖p≤c(ϕ)2-nS‖f‖p+‖fϕ-σ2n(f)Rn‖p≤c(ϕ)2-nS‖f‖ p+‖(f-σ2n(f))ϕ‖p+‖σ2n(f)(ϕ-Rn)‖p≤c(ϕ){2-nS‖f‖p+‖f-σ2n(f)‖p,µ* ,𝔹+‖σ2n(f)‖p‖ϕ-Rn‖∞}≤c(ϕ)2-nS‖f‖p+c(ϕ,f)(A*2-n)γ.

Таким образом, W γ, p , ϕ 0 (доказано на части 6b,

Чтобы доказать пункт (c), заметим, что существует r > 0 такое, что для любого ϕ∈C∞(𝔹(x0,6r)), W γ, p .Используя разбиение единицы [ср. Предложение 3.1(a)], мы находим ψ∈C∞(𝔹(x0,6r)) такое, что ψ( x ) = 1 для всех x ∈ 𝔹( x 0 , 2 r ), и пусть 𝔹 = 𝔹( x 0 , r ). В силу предложения 3.2 |Φ2n(x,y)|≤c(r)2-n(sq) для всех x B и y ∈ 𝕏\𝔹( x 0 , 2 р ). Следовательно,

‖σ2n((1-ψ)f)‖p≤|∫𝕏|(1-ψ(y))f(y)Φ2n(◦,y)|dµ*(y)‖p                                                     =|∫𝕏\𝔹( x0,2r)|(1-ψ(y))f(y)Φ2n(◦,y)|dµ*(y)‖p                                   ≤c(ψ,r)2-n(Sq)‖f‖p.(6.8)

Вспоминая, что ψ( x ) = 1 для x B и 𝕊 − q ≥ γ + 2, мы заключаем, что

‖f-σ2n(f)‖p,µ*,𝔹=‖ψf-σ2n(f)‖p,µ*,𝔹     ≤‖ψf-σ2n(ψf)‖p,µ*,𝔹+‖σ2n((1 -ψ)f)‖p     ≤cE2n(ψf)+c(ψ,r)2-n(Sq)‖f‖p     ≤c(r,ψ,f)2-nγ.

Это доказывает часть (с). □

Пусть {Ψ n : 𝕏 × 𝕏 → 𝕏} — семейство ядер (не обязательно симметричных). Немного злоупотребляя обозначениями, мы определяем, когда это возможно, для любой меры ν с ограниченной полной вариацией на 𝕏

σ(ν,Ψn;f)(x)=∫𝕏f(y)Ψn(x,y)dν(y),x∈𝕏, f∈L1(𝕏)+C0(𝕏),    (6.9)

и

τj(ν,{Ψn};f)={σ(ν,Ψ1;f), если j=0,σ(ν,Ψ2j;f)-σ(ν,Ψ2j-1;f), если j=1 ,2,⋯. (6.10)

Как обычно, мы будем опускать упоминание ν, когда ν = μ * .

Следствие 6.1 . Пусть выполнены предположения теоремы 6.1 и n :𝕏 × 𝕏 → 𝕏} — последовательность ядер (не обязательно симметричная) со свойством, что обе следующие функции n являются быстро уменьшается .

supx∈𝕏∫𝕏|Ψn(x,y)-Φn(x,y)|dµ*(y),supy∈𝕏∫𝕏|Ψn(x,y)-Φn(x,y)|dµ*(x ).(6.11)

(a) Если B является шаром с центром в точке x 0 , , то

sup n≥02nγ‖f-σ(Ψ2n;f)‖p,µ*,𝔹~sup j≥02jγ‖τj({Ψn};f)‖p,µ*,𝔹. (6.12)

(b) Если существует шар B с центром в x 0 такой, что

sup n≥02nγ‖f-σ(Ψ2n;f)‖p,µ*,𝔹~sup j≥02jγ‖τj({Ψn};f)‖p,µ*,𝔹<∞,    (6.13)

затем f W γ, p , ϕ 0 ( x 0 ).

(C) (C) Если F W Γ, P ( x x x x 0 ), 0 такое, что (6. 13) выполняется .

P КРЫША . Ввиду леммы 5.3, предположение о функциях в (6.11) подразумевает, что ‖σ (ψ N ; F ) — Σ N ( F ) ‖ P быстро уменьшается.□

7. Квадратурная формула

Цель этого параграфа — доказать существование допустимых квадратурных мер в общей постановке, как в этой статье. Идеи в основном развиты уже в наших ранних работах [17, 36, 43, 44, 50, 51], но всегда требуют оценки градиента полиномов диффузии. Здесь вместо этого мы используем условие Бернштейна-Липшица (определение 3.4).

Если C ⊂ 𝕂 ⊂ 𝕏, мы обозначаем

δ(K,C)=supx∈Kinfy∈Cρ(x,y),      η(C)=infx,y∈C,x≠yρ(x,y).(7.1)

Если K компактно, ϵ > 0, подмножество C ⊂ K является ϵ-отличимым, если ρ( x, y ) ≥ ϵ для любых x,y∈C, x y . Мощность максимального ϵ-отличимого подмножества K будет обозначаться через H ϵ ( K ).

Примечание 7.1 . Если C1 ⊂ C — максимальное δ(K,C)-отличимое подмножество C, x y , то легко вывести, что

δ(K,C)≤η(C1)≤2δ(K,C),      δ(K,C)≤δ(K,C1)≤2δ(K,C).

В частности, заменив C на C1, мы всегда можем считать, что

(1/2)δ(К,С)≤η(С)≤2δ(К,С). (7.2)

Теорема 7.1 . Мы принимаем условие Бернштейна-Липшица. Пусть n > 0, C1={z1,⋯,zM} ⊂ 𝕂2n — конечное подмножество, ϵ > 0 .

(a) Существует константа c (ϵ) со следующим свойством: если δ(𝕂2n,C1)≤c(ϵ)min(1/n,1/𝔹2n), то существуют не- отрицательные числа W k удовлетворяющие

0≤Wk≤cδ(𝕂2n,C1)q,     ∑k=1MWk≤cµ*(𝔹(𝕂2n,4δ(𝕂2n,C1))),    (7.3)

такое, что для каждого P ∈ Π n ,

|∑k=1MWk|P(zk)|-∫𝕏|P(x)|dµ*(x)|≤ϵ∫𝕏|P(x)|dµ*(x). (7.4)

(b) Пусть выполняются предположения пункта (a) с ϵ = 1/2. Существуют действительные числа w 1 , ⋯, w M такие, что | ш к | ≤ 2 W k , k = 1, ⋯, M , в частности,

∑k=1M|wk|≤cµ*(𝔹(𝕂2n,4δ(𝕂2n,C1))),    (7. 5)

и

∑k=1MwkP(zk)=∫𝕏P(x)dµ*(x),      P∈Πn. (7.6)

(c) Пусть δ > 0, C1 — случайная выборка из закона вероятности μ𝕂2n*, заданного выражением

µ𝕂2n*(B)=µ*(B∩𝕂2n)µ*(𝕂2n),

и ϵ n = min(1/ n , 1/ B 2 n ). Если

|C1|≥cϵn-qµ*(𝕂2n)log(µ*(𝔹(𝕂2n,ϵn))δϵnq),

, то утверждения (a) и (b) верны с µ𝕂2n*-вероятностью, превышающей 1−δ .

Чтобы доказать теорему 7.1, мы сначала напомним следующую теорему [52, теорема 5.1], примененную к нашему контексту. Утверждение Маскара [52, теорема 5.1] вроде бы требует, чтобы μ * было вероятностной мерой, но этот факт не требуется в доказательстве. Требуется только, чтобы μ * (𝔹( x, r )) ≥ cr q для 0 < r ≤ 1,900

Теорема 7.2 . Пусть τ — положительная мера с носителем на компактном подмножестве 𝕏, ϵ > 0, A — максимальное ϵ-отличимое подмножество supp(τ) и 𝕂=𝔹(A,2ϵ). Тогда существует подмножество C ⊆ A ⊆ supp(τ) и разбиение {Yy}y∈C множества 𝕂 с каждым из следующих свойств .

1. ( свойство объема ) Для y∈C, Y y ⊆ 𝔹( y , 18ϵ), (κ1/κq2)≤7-q*q (18ϵ)q и τ(Yy)≥(κ1/κ2)19-qminy∈Aτ(𝔹(y,ϵ))>0.

2. ( свойство плотности ) η(C)≥ϵ, δ(K,C)≤18ϵ.

3. ( свойство пересечения ) Пусть K 1 ⊆ K — компактное подмножество.Затем

|{y∈C:Yy∩K1≠∅}|≤(κ22/κ1)(133)qHϵ(K1).

P КРЫША T ТЕОРЕМА 7.1 (a), (b).

Заметим сначала, что эту теорему достаточно доказать для достаточно больших значений n . Ввиду предложения 5.3 мы можем выбрать n достаточно большим, чтобы для любого P ∈ Π n ,

‖P‖1,µ*,𝕏\𝕂2n≤n-S‖P‖1≤(ε/3)‖P‖1. (7.7)

В этом доказательстве мы будем писать δ=δ(𝕂2n,C1), так что 𝕂2n ⊂ 𝔹(C1,δ).Воспользуемся теоремой 7. 2, где τ — мера, связывающая массу 1 с каждым элементом C1, а δ вместо ϵ. Если A — максимальное δ-отличимое подмножество C1, то в этом доказательстве мы обозначаем 𝕂=𝔹(A,2δ) и замечаем, что 𝕂2n ⊂ 𝔹(C1,δ) ⊂ 𝕂 ⊂ 𝔹(𝕂2n,4δ). Мы получаем разбиение { Y y } множества 𝕂, как в теореме 7.2. Свойство объема подразумевает, что каждый Y y содержит по крайней мере один элемент C1. Мы строим подмножество C множества C1, выбирая ровно один элемент множества Yy∩C1 для каждого y .Затем мы можем переиндексировать C1 так, чтобы без ограничения общности C={z1,⋯,zN} для некоторого N M , и переиндексировать { Y y } как { Y K K }, так что Z K 9 K , K = 1, ⋯, N . Подводя итог, у нас есть подмножество {z1,⋯,zN} ⊆ C1 и разбиение {Yk}k=1N множества 𝕂 ⊃ 𝕂 2 n такие, что каждое Y k z k , 36δ) и µ*(Yk)~δq. В частности (ср. (7.7)), для любого P ∈ Π n ,

‖P‖1-‖P‖1,µ*,K≤(ε/3)‖P‖1. (7.8)

Положим теперь Wk=µ*(Yk), k = 1, ⋯, N , W k = 0, k = 1, N + ⋯ M .

Следующий шаг — доказать, что если δ ≤ c (ϵ) min(1/ n , 1/ B 2 n ), то

supy∈𝕏∑k=1N∫Yk|Φ2n(zk,y)-Φ2n(x,y)|dµ*(x)≤2ϵ/3.(7.9)

В этой части доказательства константы, обозначенные как c 1 , c 2 , ⋯, сохранят свое значение до тех пор, пока не будет доказано (7.9). Пусть у ∈ 𝕏. Пусть r ≥ δ будет выбрано позже, и в этом доказательстве запишем N={k:dist(y,Yk) j = 0, 1, ⋯, Lj={k:2jr≤dist(y,Yk)<2j+1r}. Поскольку r ≥δ и каждое Y k ⊂ 𝔹( z k , 36δ), в N не более чем c1(r/δ) q1(r/δ).Используя условие Бернштейна-Липшица и тот факт, что ‖Φ2n(◦,y)‖∞≤c2nq, получаем, что

∑k∈N∫Yk|Φ2n(zk,y)-Φ2n(x,y)|dµ*(x)≤c3µ*(Yk)nqB2nδ(r/δ)q≤c3µ*(B(zk,36δ)) nqB2nδ(r/δ)q≤c4(nr)qB2nδ. (7.10)

Далее, поскольку µ*(Yk)~δq, мы видим, что число элементов в каждом Lj равно ~ ( 2 j r /δ) q . Используя предложение 3.2 и тот факт, что S > q , мы выводим, что если r ≥ 1/ n , то

∑k∈L∫Yk|Φ2n(zk,y)-Φ2n(x,y)|dµ*(x)=∑j=0∞∑k∈Lj∫Yk|Φ2n(zk,y)-Φ2n(x, y)|dµ*(x)≤c5nq(nr)-S∑j=0∞2-jS{∑k∈Ljµ*(Yk)}≤c6(nr)qS.(7.11)

Поскольку S > q , мы можем выбрать r ~ ϵ n так, что 7 (ϵ)/ B 2 n ), так что в (7.10) c4(nr)q𝔹2nδ≤ϵ/3. Тогда (7.10) и (7.11) приводят к (7.9). Доказательство (7.9) завершено, мы, как обычно, вернемся к соглашению о константах.

Далее заметим, что для любого P ∈ Π n ,

P(x)=∫𝕏P(y)Φ2n(x,y)dµ*(y),      x∈𝕏.

Таким образом, мы заключаем, используя (7.9), что

|∑k=1Nµ*(Yk)|P(zk)|−∫K|P(x)|dµ*(x)|=|∑k=1N∫Yk(|P(zk)|−|P(x )|)dµ*(x)|≤∑k=1N∫Yk|P(zk)−P(x)|dµ*(x)≤∑k=1N∫Yk|∫𝕏P(y){Φ2n(zk, y)−Φ2n(x,y)}dµ*(y)|dµ*(x)≤∫𝕏|P(y)|{∑k=1N∫Yk|Φ2n(zk,y)−Φ2n(x,y )|dµ*(x)}dµ*(y)≤(2ϵ/3)∫𝕏|P(y)|dµ*(y).

Вместе с (7.8) это приводит к (7.4). Из определения Wk=µ*(Yk), k = 1, ⋯, N , Wk≤cδq и ∑k=1NWk=µ*(𝕂)=µ*(𝔹(𝕂2n,4δ)) . Поскольку W k = 0, если k N + 1, мы доказали (7.3), и тем самым мы завершили доказательство пункта (а).

Доказав часть (а), доказательство части (б) теперь является рутинным применением теоремы Хана-Банаха [ср. [17, 44, 50, 51]]. Применим часть (а) с ϵ = 1/2. Продолжая обозначения в доказательстве части (а), мы имеем

(1/2)‖P‖1≤∑k=1NWk|P(zk)|≤(3/2)‖P‖1,      P∈Πn. (7.12)

Теперь снабдим ℝ N нормой ‖|(a1,⋯,aN)‖|=∑k=1NWk|ak| и рассмотрим оператор выборки S: Πn→ℝN, заданный формулой S(P)=(P(z1),⋯,P(zN)), пусть V будет диапазоном действия этого оператора, и определим линейный функционал x * на V через x*(S(P))=∫𝕏Pdµ*.Оценка (7.12) показывает, что норма этого функционала ≤ 2. Теорема Хана-Банаха дает сохраняющее норму расширение , можно отождествить с вектором (w1,⋯,wN)∈ℝN. Положим w k = 0, если k N + 1. Тогда формула (7.6) выражает тот факт, что X * x является расширением . Сохранение норм показывает, что | ш к | ≤ 2 W k , если k = 1, ⋯, N , и ясно, что для k = N + 1, ⋯ 2 M 9012 | ш к | = 0 = Вт к .Это завершает доказательство пункта (b). □

Часть (c) теоремы 7.1 непосредственно следует из первых двух частей и следующей леммы.

Лемма 7.1 . Пусть ν * — вероятностная мера на 𝕏, 𝕂 ⊂ supp(ν * ) — компакт. Пусть ϵ, δ ∈ (0, 1], C — максимальное ϵ/2-отличное подмножество K , и νϵ=minx∈Cν*(𝔹(x,ϵ/2)). Если

M≥cνϵ-1log(c1µ*(𝔹(K,ϵ))/(δϵq)),

и { Z 1 1 , ⋯, Z м } Быть случайными образцами из закона о вероятности ν * затем

Probν*({δ(K,{z1,⋯,zM})>ϵ})≤δ. (7.13)

P КРЫША . Если δ( K , { z 1 , ⋯, z M }) > ϵ, то существует по крайней мере один x∈C такой, что )∩{ z 1 , ⋯, z M } = ∅. Для каждого x∈C px=ν*(𝔹(x,ϵ/2))≥νϵ. Считаем случайную величину z j равной 1, если z j ∈ 𝔹( x , ε/2), и 0 в противном случае.Используя (Б.2) при t = 1, мы видим, что

Prob(𝔹(x,ϵ/2)∩{z1,⋯,zM}=∅)≤exp(−Mpx/2)≤exp(−cMνϵ).

Так как |C|≤c1µ*(𝔹(K,ϵ))/ϵq,

Prob({δ(K,{z1,⋯,zM})>ϵ})≤c1µ*(𝔹(K,ϵ))ϵqexp(-cMνϵ).

Примем правую часть выше за δ и найдем M , чтобы доказать лемму. □

8. Доказательства результатов раздела 4

Мы предполагаем установку, как в разделе 4. Наша первая цель — доказать следующую теорему.

Теорема 8.1 .. Пусть τ, ν * , F, f такие, как описано в разделе 4. Примем условие Бернштейна-Липшица. Пусть 0 < δ <1. Предположим далее, что |F(y,ϵ)|≤1 для всех y ∈ 𝕏, ϵ ∈ Ω. Существуют константы c 1 , c 2 , такие, что если M≥c1nq‖|ν*‖|R,0log(cnBn/δ), и 1 ), ⋯, ( y M , ϵ M )} — случайная выборка из τ, тогда

Probν*({‖1M∑j=1MF(yj,ϵj)Φn(○,yj)−σn(ν*;f)‖∞≥c3nq‖|ν*|‖R,0log(cnBn‖|ν*|‖ R,0/δ)M})≤δ‖|ν*|‖R,0.(8.1)

Чтобы доказать эту теорему, запишем одно наблюдение. Следующая лемма является непосредственным следствием условия Бернштейна-Липшица и предложения 5.3.

Лемма 8.1 . Пусть выполнено условие Бернштейна-Липшица. Тогда для любых n > 0 и ϵ > 0, существует конечное множество Cn,ϵ ⊂ 𝕂2n такое, что |Cn,ϵ|≤cBnqϵ-qµ*(𝔹(𝕂2n,ϵ)) и для любого P ∈ Π n ,

|maxx∈Cn,ϵ|P(x)|-‖P‖∞|≤ϵ‖P‖∞.(8.2)

P КРЫША T HEOREM 8. 1.

Пусть x ∈ 𝕏. Мы рассматриваем случайные величины

Zj=F(yj,ϵj)Φn(x,yj),      j=1,⋯,M.

Тогда ввиду (4.2) 𝔼τ(Zj)=σn(ν*;f)(x) для каждого j . Далее, предложение 3.2 показывает, что для каждого j |Zj|≤cnq. Используя (5.10) с ν * вместо ν, N = n , d = 0, мы видим, что для каждого j ,

∫𝕏×Ω|Zj|2dτ≤∫𝕏|Φn(x,y)|2dν*(y)≤cnq‖|ν*‖|R,0.

Следовательно, из неравенства концентрации Бернштейна (B.1) следует, что для любого t ∈ (0, 1)

Prob({|1M∑j=1MF(yj,ϵj)Φn(x,yj)-σn(ν*;f)(x)|≥t/2})≤2 exp(-ct2Mnq‖|ν*‖| Р,0); (8.3)

Теперь заметим, что Z j , σn(ν*;f) все находятся в Π n . Взяв конечное множество Cn,1/2, как в лемме 8.1, так что |Cn,1/2|≤cBnqµ*(𝔹(𝕂2n,1/2))≤c1ncBnq, получаем, что

maxx∈Cn,1/2|1M∑j=1MF(yj,ϵj)Φn(x,yj)-σn(ν*;f)(x)|≥(1/2)‖1M∑j=1MF(yj ,ϵj)Φn(○,yj)-σn(ν*;f)‖∞.

Тогда (8.3) приводит к

Prob({‖1M∑j=1MF(yj,ϵj)Φn(x,yj)-σn(ν*;f)(x)‖∞≥t})≤c1Bnqnc exp(-c2t2Mnq|‖ν*‖|R ,0). (8.4)

Примем правую часть выше равной δ/|‖ν*‖|R,0 и решим для t , чтобы получить (8.1) (с различными значениями c, c 1 , c 2 ). □

Прежде чем приступить к доказательству результатов об эгнететах, мы сначала зафиксируем непрерывность и гладкость «гладкого ядра» G , как определено в определении 3.10.

Предложение 8.1 . Если г г — гладкое ядро, затем ( x, Y ) ↦ W ( Y ) г ( x, y ) находится в C0 (𝕏 × 𝕏) ∩L1(μ*×μ*;𝕏×𝕏). Далее, для любых p , 1 ≤ p ≤ ∞, и Λ ≥ 1,

supx∈𝕏‖W(○)G(x,○)-∑k:λk<Λb(λk)ϕk(x)ϕk(○)‖p≤c1Λcb(Λ). (8.5)

в частности, для каждого x, y ∈ 𝕏, W (○) г ( x , ○) и W ( Y ) г (○, y ) находятся в C .

P КРЫША . Пусть b будет гладкой маской, соответствующей G . Для любых S ≥ 1, B ( N ) ≤ CN S B ( N / B * ) ≤ CN S б (0). Таким образом, b само по себе быстро уменьшается. Далее, пусть r > 0. Тогда, учитывая, что B * ≥ 1 и b невозрастающее, получаем, что для S > 0, b ( B и ∫Λ∞trb(t)dt=(B*Λ)r+1∫1/B*∞urb(B*Λu)du≤cΛ−S∫1/B*∞u−S−1b(Λu)du≤ cΛ−S∫1∞u−S−1b(Λu)du≤cΛ−Sb(Λ).(8.6)

В этом доказательстве пусть s(t)=∑k:λk s ( t ) ≤ ct q , t . Если Λ ≥ ≥ 1, то, интегрируя по частям, получаем (помня, что b невозрастающее), что для любых x ∈ 𝕏

∑k:λk≥Λb(λk)ϕk(x)2=∫Λ∞b(t)ds(t)=−b(Λ)s(Λ)−∫Λ∞s(t)db(t)≤c1 {Λqb(Λ)−∫Λ∞tqdb(t)}≤c2{Λqb(Λ)+∫Λ∞tq−1b(t)dt}≤c3Λqb(Λ). (8.7)

Используя неравенство Шварца, заключаем, что

supx,y∈𝕏∑k:λk≥Λb(λk)|ϕk(x)ϕk(y)|≤c3Λqb(Λ). (8.8)

В частности, поскольку b быстро убывает, W (○) G ( x , ○) ∈ C 0 (𝕏) (а на самом деле, 2 2 W ) G ( x, y ) ∈ C 0 (𝕏 × 𝕏)) и (8.5) выполнено с p = ∞. Далее, для любого j ≥ 0 из существенной компактности следует, что

∫𝕏\𝕂2j+1Λ(∑k:λk∈[2jΛ,2j+1Λ)b(λk)ϕk(y)2)1/2dµ*(y)≤cΛ-S-qb(2jΛ)1/2.

Итак, существует r q такое, что

∫𝕏(∑k:λk∈[2jΛ,2j+1Λ)b(λk)ϕk(y)2)1/2dµ*(y)≤∫𝕂2j+1Λ(∑k:λk∈[2jΛ,2j+1Λ) b(λk)ϕk(y)2)1/2dµ*(y)+cΛ−S−qb(2jΛ)1/2≤c((2jΛ)qb(2jΛ))1/2µ*(𝕂2j+1Λ)≤ c((2jΛ)rb(2jΛ))1/2.

Следовательно, для любых x ∈ 𝕏

∫𝕏∑k:λk≥Λb(λk)|ϕk(x)ϕk(y)|dµ*(y)                      =∑j=0∞∫𝕏∑k:λk∈[2jΛ,2j+1Λ)b(λk) |ϕk(x)ϕk(y)|dµ*(y)                      ≤∑j=0∞{∑k:λk∈[2jΛ,2j+1Λ)b(λk)ϕk(x)2}1/2                        ∫𝕏( ∑k:λk∈[2jΛ,2j+1Λ)b(λk)ϕk(y)2)1/2dµ*(y)                      ≤c∑j=0∞(2jΛ)rb(2jΛ)≤c∑j=0∞ ∫2j-1Λ2jΛtr-1b(t)dt                       =c∫Λ/2∞tr-1b(t)dt≤cΛ-Sb(Λ). (8.9)

Это показывает, что

supx∈𝕏‖∑k:λk≥Λb(λk)|ϕk(x)ϕk(○)|‖1≤cΛ-Sb(Λ). (8.10)

Ввиду неравенства выпуклости

‖f‖p≤‖f‖∞1-1/p‖f‖11/p,      1 (8.8) и (8.10) приводят к

supx∈𝕏‖∑k:λk≥Λb(λk)|ϕk(x)ϕk(○)|‖p≤c1Λcb(Λ),      1≤p≤∞.

Отсюда, в свою очередь, следует, что WG ( x , ○) ∈ L p для всех x ∈ 𝕏, и выполняется (8.5). □

Фундаментальным фактом, связывающим ядра Φ n и сборные эгнететы 𝔾 n , является следующая теорема.

Теорема 8.2 . Пусть G — гладкое ядро, а n } — допустимая последовательность квадратурных мер произведения.Тогда для 1 p ≤ ∞

{supx∈𝕏‖𝔾n(νB*n;x,○)-Φn(x,○)‖p}

быстро уменьшается. В частности, для каждого S > 0

|𝔾n(νB*n;x,y)|≤c(S){nqmax(1,(Nρ(x,y))S)+n−2S}. (8.11)

P КРЫША . Пусть x ∈ 𝕏. В этом доказательстве мы определяем P n = P n, x как Pn(z)=∑k:λk z ∈ 𝕏, и заметим, что Pn∈ΠB*n. Ввиду предложения 8.1, разложение в (3.18) сходится в C0(𝕏×𝕏)∩L1(µ*×µ*;𝕏×𝕏), так что можно произвести почленное интегрирование, чтобы вывести, что для y ∈ 𝕏 ,

∫𝕏G(x,z)W(z)DG,n(z,y)dµ*(z)=∫𝕏Pn(z)DG,n(z,y)dµ*(z)                        +∑k:λk≥B *nb(λk)ϕk(x)∫𝕏ϕk(z)DG,n(z,y)dµ*(z).

По определению DG,n(○,y)∈Πnq, а значит, каждое из слагаемых в последнем выражении равно 0. Поэтому, учитывая, что h k / n ) = 0, если λ k > n , получаем

∫𝕏G(x,z)W(z)DG,n(z,y)dµ*(z)=∫𝕏Pn(z)DG,n(z,y)dµ*(z)=∑k:λk Поскольку DG,n(z, ○)∈Πn ⊂ ΠB*n, а ν𝔹*n — допустимая квадратурная мера произведения порядка B * n , отсюда следует, что

Φn(x,y)=∫𝕏Pn(z)DG,n(z,y)dνB*n(z),      y∈𝕏. (8.13)

Следовательно, для y ∈ 𝕏,

𝔾n(νB*n;x,y)-Φn(x,y)=∫𝕏{W(z)G(x,z)-Pn(z)}DG,n(z,y)dνB*n(z ).

Используя предложение 8.1 (используется с Λ = B * n ) и тот факт, что {|νB*n|(𝕏)} имеет полиномиальный рост, мы заключаем, что

‖𝔾n(νB*n;x,○)-Φn(x,○)‖p≤|νB*n|(𝕏)      ×‖W(○)G(x,○)-Pn‖∞supz∈𝕏‖DG ,n(z,○)‖p     ≤c1ncb(B*n)supz∈𝕏‖DG,n(z,○)‖p.(8.14)

С учетом предложения 5.4 и предложения 5.2 мы видим, что для любых z ∈ 𝕏

‖DG,n(z,○)‖p2≤c1n2c‖DG,n(z,○)‖22=c1n2c∑k:λk Теперь из (8.14) заключаем, что

‖𝔾n(νB*n;x,○)-Φn(x,○)‖p≤c1ncb(B*n)b(n).

Поскольку { b ( B * n )/ b ( n )} быстро убывает, это завершает доказательство. □

Все теоремы раздела 4 следуют из следующей основной теоремы.

Теорема 8.3 . Мы принимаем предположение о сильном произведении и условие Бернштейна-Липшица. С только что описанной установкой у нас есть

Probν*({‖Gn(Y;F)−σn(f0f)‖∞≥c3nq‖|ν*|‖R,0log(cnBn‖|ν*|‖R,0/δ)|Y|})≤δ ‖|ν*|‖R,0. (8.15)

В частности, для f ∈ 𝕏 (𝕏), Тогда

Probν*({‖𝔾n(Y;F)−f0f‖∞≥c3(nq‖|ν*|‖R,0log(cnBn‖|ν*|‖R,0/δ)|Y|+En/2( ∞,f0f))})≤δ‖|ν*|‖R,0. (8.16)

P КРЫША .Теоремы 8.1 и теорема 8.2 вместе приводят к (8.15). Поскольку σn(ν*;f)=σn(f0f), оценка 8.91 следует из теоремы 5.1, используемой при p = ∞. □

P КРЫША T ХЕОРЕМ 4.1.

Заметим, что при выборе f 0 , как в этой теореме, |‖ν*‖|R,0≤‖f0‖∞≤1/𝔪. Используя 𝔪δ вместо δ, мы получаем теорему 4.1 непосредственно из теоремы 8.3 с помощью несложных вычислений. □

P КРЫША T HEOREM 4.2.

Это следует непосредственно из теоремы 8.3, если выбрать F≡1. □

P КРЫША T ХЕОРЕМ 4.3.

Ввиду теоремы 8. 3 из наших предположений следует, что для каждого j ≥ 0

Probν*({‖G2j(Y;F)-σ2j(f0f)‖∞≤c2-jS})≤δ/2j+1.

Следовательно, с вероятностью ≥ 1 − δ для каждого j имеем ≥ 1,

‖G2j(Y;F)-G2j-1(Yj;F)-τj(f0f)‖∞≤c2-jS.

Следовательно, теорема следует из теоремы 6.1. □

Заявление о доступности данных

Оригинальные вклады, представленные в исследовании, включены в статью/дополнительный материал, дальнейшие запросы можно направлять соответствующему автору/ам.

Вклад авторов

Автор подтверждает, что является единственным автором этой работы и одобрил ее публикацию.

Конфликт интересов

Автор заявляет, что исследование проводилось при отсутствии каких-либо коммерческих или финансовых отношений, которые могли бы быть истолкованы как потенциальный конфликт интересов.

Сноски

Каталожные номера

1. Чжоу Л., Пань С., Ван Дж., Василакос А.В. Машинное обучение на больших данных: возможности и проблемы. Нейрокомпьютинг. (2017) 237 : 350–61. doi: 10.1016/j.neucom.2017.01.026

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

2. Кукер Ф., Смейл С. О математических основах обучения. Bull Am Math Soc. (2002) 39 : 1–49. doi: 10.1090/S0273-0979-01-00923-5

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

3. Кукер Ф., Чжоу Д.С. Теория обучения: точка зрения теории приближения , Vol. 24 .Кембридж: Издательство Кембриджского университета (2007).

Академия Google

4. Джироси Ф., Поджо Т. Сети и свойство наилучшего приближения. Биол Кибернет. (1990) 63 : 169–76. дои: 10.1007/BF00195855

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

5. Чуй С.К., Донохо Д.Л. Спецвыпуск: диффузионные карты и вейвлеты. Appl Comput Harm Anal. (2006) 21 :1–2. doi: 10.1016/j.acha.2006.05.005

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

7. Белкин М., Нийоги П. К теоретической основе многообразных методов, основанных на лапласиане. J Comput Syst Sci. (2008) 74 : 1289–308. doi: 10.1016/j.jcss.2007.08.006

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

8. Белкин М., Нийоги П. Обучение с полуучителем на римановых многообразиях. Мах Учиться. (2004) 56 : 209–39. doi: 10.1023/B:MACH.0000033120.25363.1e

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

9. Лафон С.С. Диффузионные карты и геометрические гармоники (докторская диссертация), Йельский университет, Нью-Хейвен, Коннектикут, США (2004 г.).

Академия Google

10. Зингер А. От графа к лапласиану многообразия: скорость сходимости. Appl Comput Harm Anal. (2006) 21 : 128–34. doi: 10.1016/j.acha.2006.03.004

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

11. Джонс П.В., Маджиони М., Шул Р. Универсальные локальные параметризации с помощью тепловых ядер и собственных функций лапласиана. Ann Acad Sci Fenn Math. (2010) 35 : 131–74. doi: 10.5186/aasfm.2010.3508

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

12. Ляо В., Маджони М. Адаптивные геометрические многомасштабные аппроксимации для изначально низкоразмерных данных. архив. (2016) 1611.01179.

Академия Google

13. Маджиони М., Мхаскар Х.Н. Диффузионные полиномиальные фреймы на метрических пространствах с мерой. Appl Comput Harm Anal. (2008) 24 : 329–53.doi: 10.1016/j.acha.2007.07.001

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

14. Мхаскар Х.Н. Эйнье для аппроксимации функций на многообразиях. Appl Comput Harm Anal. (2010) 29 : 63–87. doi: 10.1016/j.acha.2009.08.006

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

15. Мхаскар Х.Н. Обобщенный диффузионный фрейм для экономного представления функций на многообразиях, определяемых данными. Нейронная сеть. (2011) 24 :345–59.doi: 10.1016/j.neunet.2010.12.007

Реферат PubMed | Полный текст перекрестной ссылки | Академия Google

17. Филбир Ф., Мхаскар Х.Н. Меры Марцинкевича-Зигмунда на многообразиях. Дж Сложность. (2011) 27 : 568–96. doi: 10.1016/j.jco.2011.03.002

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

18. Розаско Л., Белкин М., Вито Э.Д. Об обучении с интегральными операторами. J Mach Learn Res. (2010) 11 :905–34.

Академия Google

21.Мхаскар Х, Переверзев С.В., Семенов В.Ю., Семенова Е.В. Основанное на данных построение ядер для полуконтролируемого обучения с меньшим количеством меток. Передний прикладной математический стат. (2019) 5 :21. doi: 10.3389/fams.2019.00021

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

22. Переверзев С.В., Ткаченко П. Регуляризация линейной функциональной стратегией с несколькими ядрами. Передний прикладной математический стат. (2017) 3 :1. doi: 10.3389/fams.2017.00001

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

23.Фефферман С., Миттер С., Нараянан Х. Проверка гипотезы многообразия. J Am Math Soc. (2016) 29 :983–1049. doi: 10.1090/jams/852

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

24. Чуй К.К., Линь С.-Б., Чжан Б., Чжоу Д.С. Реализация пространственной разреженности глубокими сетями с массивными данными. архив. (2019) 1912.07464.

Академия Google

25. Го З.К., Линь С.Б., Чжоу Д.С. Теория обучения распределенных спектральных алгоритмов. Обратная задача. (2017) 33 :074009. дои: 10.1088/1361-6420/aa72b2

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

26. Линь С.Б., Ван Ю.Г., Чжоу Д.С. Распределенная фильтрованная гиперинтерполяция для зашумленных данных на сфере. архив. (2019) 1910.02434.

Академия Google

27. Мхаскар Х.Н., Поджио Т. Глубокие и неглубокие сети: перспектива теории аппроксимации. Анальное приложение. (2016) 14 :829–48. дои: 10.1142/S0219530516400042

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

28.Мхаскар Х., Поджо Т. Аппроксимация функций глубокими сетями. архив. (2019) 1905.12882.

Академия Google

29. Мхаскар Х.Н. О представлении гладких функций на сфере конечным числом битов. Appl Comput Harm Anal. (2005) 18 : 215–33. doi: 10.1016/j.acha.2004.11.004

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

30. Смейл С., Росаско Л., Буври Дж., Капоннетто А., Поджо Т. Математика нейронной реакции. Основы вычислительной математики. (2010) 10 : 67–91. doi: 10.1007/s10208-009-9049-1

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

31. Мхаскар Х.Н. О представлении полосно-ограниченных функций с помощью конечного числа битов. Дж Сложность. (2002) 18 : 449–78. doi: 10.1006/jcom.2001.0637

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

32. Харди Р.Л. Теория и приложения мультиквадробигармонического метода 20 лет открытия 1968–1988 гг. Вычислительная математика Appl. (1990) 19 : 163–208. дои: 10.1016/0898-1221(90)-L

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

33. Мюллер А. Сферические гармоники , Vol. 17 . Берлин: Спрингер (2006).

Академия Google

34. Мхаскар Х.Н., Наркович Ф.Дж., Уорд Дж.Д. Аппроксимационные свойства сетей зональных функций с использованием разбросанных по сфере данных. Расширенная вычислительная математика. (1999) 11 : 121–37. дои: 10.1023/А:1018967708053

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

35. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного: Международная серия монографий по чистой и прикладной математике , Vol. 34 . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Dover Publications (2014).

Академия Google

36. Чуй К.К., Мхаскар Х.Н. Унифицированный метод восстановления сверхвысокого разрешения и разделения реальной экспоненциальной суммы. Appl Comput Harmon Anal. (2019) 46 :431–51.doi: 10.1016/j.acha.2017.12.007

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

37. Чуй К.К., Мхаскар Х.Н. Фурье-инвариантный метод нахождения точечных масс и вычисления их атрибутов. Appl Comput Harmon Anal. (2018) 45 :436–52. doi: 10.1016/j.acha.2017.08.010

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

38. Мхаскар Х.Н. Введение в теорию взвешенной полиномиальной аппроксимации , Vol. 56 . Сингапур: Всемирный научный Сингапур (1996).

Академия Google

39. Штайнербергер С. О спектральном разрешении произведений собственных функций Лапласа. архив. (2017) 1711.09826.

Академия Google

40. Lu J, Sogge CD, Steinerberger S. Аппроксимация точечных произведений собственных функций Лапласа. J Функция анал. (2019) 277 :3271–82. doi: 10.1016/j.jfa.2019.05.025

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

41. Лу Дж., Штайнербергер С.О точечных произведениях эллиптических собственных функций. архив. (2018) 1810.01024.

Академия Google

42. Геллер Д, Песенсон И.З. Ограниченные по полосам локализованные фреймы Парсеваля и пространства Бесова на компактных однородных многообразиях. J Геометр Анал. (2011) 21 : 334–71. doi: 10.1007/s12220-010-9150-3

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

43. Мхаскар Х.Н. Локальная аппроксимация с использованием функций Эрмита. В: Н. К. Говил, Р. Мохапатра, М.А. Кази, Г. Шмайссер, ред. Прогресс в теории приближений и применимом комплексном анализе . Чам: Спрингер (2017). п. 341–62. дои: 10.1007/978-3-319-49242-1_16

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

44. Филбир Ф., Мхаскар Х.Н. Квадратурная формула для полиномов диффузии, соответствующих обобщенному ядру теплопроводности. J Приложение для анализа Фурье. (2010) 16 : 629–57. doi: 10.1007/s00041-010-9119-4

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

45.Мхаскар ХН. Единая структура для гармонического анализа функций на ориентированных графах и изменяющихся данных. Appl Comput Harm Anal. (2018) 44 :611–44. doi: 10.1016/j.acha.2016.06.007

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

46. Ривлин Т.Дж. Многочлены Чебышева . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья (1974).

Академия Google

48. Мхаскар Х.Н. Приближенные квадратурные меры на пространствах, определяемых данными. В: Дик Дж., Куо Ф.Ю., Возняковски Х., редакторы. Festschrift к 80-летию Иэна Слоуна . Берлин: Спрингер (2017). п. 931–62. дои: 10.1007/978-3-319-72456-0_41

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

49. Мхаскар Х.Н. О степени аппроксимации в многомерной взвешенной аппроксимации. В: М. Д. Бухман и Д. Х. Маче, ред. Сложные задачи конструктивного приближения . Базель: Биркхойзер (2003). п. 129–41. дои: 10.1007/978-3-0348-7600-1_10

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

50.Мхаскар ХН. Теория приближений и нейронные сети. В: Материалы Международного семинара по вейвлет-анализу и приложениям . Дели (1999). п. 247–89.

Реферат PubMed | Академия Google

51. Мхаскар Х.Н., Наркович Ф.Дж., Уорд Дж.Д. Сферические неравенства Марцинкевича-Зигмунда и положительные квадратуры. Математические вычисления. (2001) 70 :1113–30. doi: 10.1090/S0025-5718-00-01240-0

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

54.Шубин МА. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория . Берлин: Спрингер (1987).

Академия Google

55. Григорьян А. Гауссовы верхние оценки ядра теплопроводности на произвольных многообразиях. J Дифф. геометрия. (1997) 45 : 33–52. дои: 10.4310/jdg/1214459753

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

56. Boucheron S, Lugosi G, Massart P. Неравенства концентрации: неасимптотическая теория независимости .Оксфорд: Издательство Оксфордского университета (2013).

Академия Google

57. Хагеруп Т., Руб К. Экскурсия по Чернову. Информировать о процессе. (1990) 33 :305–8. дои: 10.1016/0020-0190(90)-I

Полнотекстовая перекрестная ссылка | Академия Google

Приложение

A.

Гауссова верхняя граница многообразий

Пусть 𝕏 — компактное и связное гладкое q -мерное многообразие, g ( x ) = ( g i, j ( x ) 1 , а его метрика g i, j ( x )) будет обратным g ( x ).Оператор Лапласа-Бельтрами на 𝕏 определяется как

Δ(f)(x)=1|g(x)|∑i=1n∑j=1n∂i(|g(x)|gi,j(x)∂jf),

где | г | = det( г ). Символ Δ задается как

. a(x,ξ)=1|g(x)|∑i=1n∑j=1n(|g(x)|gi,j(x))ξiξj.

Тогда a ( x , ξ) ≥ c |ξ| 2 . Следовательно, теорема Хермандера [53, теорема 4.4], [54, теорема 16.1] показывает, что для x ∈ 𝕏

∑λj<λϕk(x)2≤cλq,      λ≥1. (А.1)

В свою очередь, [44, Proposition 4.1] подразумевает, что

∑k=0∞exp(-λk2t)ϕk(x)2≤ct-q/2,      t∈(0,1], x∈𝕏.

Тогда [55, теорема 1.1] показывает, что (3.3) выполнено.

B. Вероятностные оценки

Нам понадобятся следующие основные факты из теории вероятностей. Предложение B.1(a) ниже является переформулировкой Boucheron et al. [56, раздел 2.1, 2.7]. Доказательство предложения B.1(b) ниже дано Хагерупом и Рюбом [57, уравнение (7)].

Предложение B.1 . (а) ( ( бернштейн концентрация неравенство ) Пусть Z 1 , ⋯, Z м Будьте независимыми реальными ценными случайными величины, такие что для каждого J = 1, ⋯, М , | Z j | ≤ R и 𝔼(Zj2)≤V. Тогда для любого t > 0,

Prob(|1M∑j=1M(Zj-𝔼(Zj))|≥t)≤2 exp(-Mt22(V+Rt)). (8.18)

(B) ( Crernoff Continate ) Пусть м ≥ 1, 0 ≤ P ≤ 1, и Z 1 , ⋯, Z м быть случайными величинами, принимающими значения в {0, 1}, с Prob( Z k = 1) = p . Тогда для t ∈ (0, 1],

Prob(∑k=1MZk≤(1-t)Mp)≤exp(-t2Mp/2), Prob(|∑k=1MZk-Mp|≥tMp)≤2 exp(-t2Mp/2). (БИ 2)

1.3: n-мерное векторное пространство V(n)

Манипулирование направленными величинами, такими как скорости, ускорения, силы и т.п., имеет большое значение в классической механике и электродинамике. Необходимость упростить довольно сложные операции привела к развитию абстракции: концепции вектора .

Точное значение этого понятия скрыто в правилах, регулирующих его манипуляции. Эти правила делятся на три основные категории: они относятся к

  1. добавление векторов,
  2. умножение векторов на числа (скаляры),
  3. умножение векторов на векторы (внутреннее произведение и векторное произведение.

В то время как тонкие проблемы, связанные с 3, будут рассмотрены в следующей главе, мы продолжим здесь, чтобы показать, что правила, подпадающие под 1 и 2, находят свое точное выражение в абстрактной теории конечномерных векторных пространств.

Правила, относящиеся к сложению векторов, можно кратко выразить следующим образом: векторы — это элементы множества \(V\), которое образует абелеву группу при операции сложения, кратко — аддитивную группу.

Обратным к вектору является его отрицательное значение, нулевой вектор играет роль единицы.

Числа или «скаляры», упомянутые в (ii), обычно считаются действительными или комплексными числами. Для многих соображений, связанных с векторными пространствами, нет необходимости указывать, какая из этих альтернатив выбрана. На самом деле все, что нам нужно, это чтобы скаляры образовывали поле. Точнее, это элементы множества, замкнутого относительно двух бинарных операций: сложения и умножения, которые удовлетворяют общим коммутативным, ассоциативным и дистрибутивным законам; все операции обратимы, если они не включают деление на ноль.

Векторное пространство \(V(F)\) над полем F формально определяется как множество элементов, образующих аддитивную группу, которая может быть умножена на элементы поля F .

В частности, мы будем рассматривать вещественные и комплексные векторные поля \(V(R)\) и \(V(C)\) соответственно.

Попутно замечу, что использование понятия поля открывает путь для гораздо большего разнообразия интерпретаций, но в данном контексте это не представляет интереса. Напротив, тот факт, что мы рассматривали «вектор» как неопределенное понятие, позволит нам предложить в дальнейшем интерпретации, выходящие за рамки классической интерпретации как направленных величин.Таким образом, приведенное выше определение согласуется с интерпретацией вектора как пары чисел, указывающих количество двух химических соединений, присутствующих в смеси, или, альтернативно, как точки в фазовом пространстве, охватываемой координатами и импульсами системы массовых точек. .

Подытожим теперь ряд стандартных результатов теории векторных пространств.

Предположим, у нас есть набор ненулевых векторов \(\{\vec{x}_{1}, \vec{x}_{2}, \cdots , \vec{x}_{n}\}\ ) в V, которые удовлетворяют соотношению

\[\begin{array}{c} {\sum_{k} a_{k}\vec{x}_{k} = 0} \end{array} \label{EQ1.{m-1} b_{k}\vec{x}_{k}} \end{массив}\]

Определение 1.1

(линейный) базис в векторном пространстве V представляет собой набор \(E = \{\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \cdots , \vec{e}_{ n}\}\) линейно независимых векторов, таких что каждый вектор в V является линейной комбинацией \(\vec{e}_{n}\). Говорят, что базис охватывает или порождает пространство.

Векторное пространство конечномерно, если оно имеет конечный базис. Это фундаментальная теорема линейной алгебры о том, что количество элементов в любом базисе в конечномерном пространстве такое же, как и в любом другом базисе.{k}\vec{e}_{k} (k = l, 2, \cdots, n)\) называются компонентами \(\vec{x}\). Использование надстрочных индексов должно предложить контраст между свойствами преобразования координат и базиса, который будет получен в ближайшее время.

Использование базисов, называемых также системами координат, или фреймами удобно для работы с векторами — таким образом, сложение выполняется путем сложения координат. Однако выбор того или иного базиса вносит в формализм элемент произвольности, что требует контрмер.{i}}’} \end{массив} \label{EQ1.3.8}\]

Обратите внимание на характерное «переворачивание» индексов при переходе от уравнения \ref{EQ1.3.4} к уравнению \ref{EQ1.3.8} с одновременной сменой ролей старого и нового кадра. {n}} \end{pmatrix}}&{X = \begin{pmatrix} {\vec{e}_{1}}\\ {\vdots}\\ {\vec{e}_{k}} \end{pmatrix}} \end{массив}\]

Уравнение \ref{EQ1.{-1T}X} \end{массив}\]

Таким образом, мы ясно приходим к результатам, содержащимся в уравнениях \ref{EQ1.3.4} и \ref{EQ1.3.8}. Мы видим, что «объективные» или «инвариантные» представления векторов основаны на процедуре преобразования оснований и координат так называемым контрагредиентным способом.

Сам вектор \(\vec{x}\) иногда называют контравариантным вектором, чтобы отличать его свойства преобразования от ковариантных векторов, которые будут введены позже.k\) — элементы поля F, произведения которых все еще находятся в F, это просто числа. Неудивительно, что умножение векторов на другие векторы представляет собой тонкую проблему. Векторные пространства, в которых предусмотрена такая операция, называются алгебрами ; они заслуживают тщательного изучения.

В заключение следует указать, что есть интересные случаи, когда векторы имеют безразмерный характер. Они могут быть составлены из элементов поля F, которые располагаются в виде n-кортежей или в виде матриц \(m \times n\).

Случай \(n \times n\) особенно интересен, потому что умножение матриц превращает эти векторные пространства в алгебры в только что определенном смысле.

Доказательство того, что (p)1/n иррационально, когда p простое число и n>1 

Доказательство что (p)

1/n является иррациональным, когда p простое число и n>1

Проблема :
Пусть p — любое простое число, и пусть p удовлетворяет уравнению

х n — р = 0

или, что то же самое, х = (р) 1/n .

и указать что n > 1. 11 Докажите, что x — иррациональное количество.

 

Решение :
Доказательство того, что при этом условии x иррационально, будет сделано косвенно предполагая, что x является рациональным , затем показывая, что это предположение приводит к противоречию.

Пусть х быть рациональным; я.т. е. пусть x = a/b, где a и b — целые числа. Тогда:

р = x n = a n /b n = рациональное число.

С тех пор p — простое число, тогда p — целое число. Таким образом, либо:

б н = 1 или b n = a m где m < n 12
  1. Если b n = 1, тогда p = a n , и p имеет множители, отличные от p и 1, 13 нарушая предположение о простоте p.Следовательно, б н 1.
  2. Если б n = a m , где m < n, тогда p = a m+1 … a n , и у p все еще есть факторы, отличные от p и 1, 14 нарушая предположение о простоте p.

Специальный случай : Если m = n — 1, то p = a, и b n = p n — 1 , или p = б (n/[n — 1]) = б. Но если это последнее утверждение верно, то p = 1, и мы нарушаем предположение, что p — любое простое число.

С тех пор предположение, что x является рациональным числом, приводит к противоречиям в во всех возможных случаях мы должны заключить, что x иррационально.


11 Обратите внимание, что для n = 1 x = p и p = p/1 = p/ знак равно что является рациональным числом. Доказательство иррациональности справедливо только когда п > 1.

 

12 Если n = m, то p = 1, и предположение, что p — любое простое число, нарушается.

13 При этом условии p = a…a (берется n раз), а a — множитель [делитель] n раз.

14 То есть a — это множитель (n-m) раз.

Что нужно знать о краже личных данных

Узнайте, что такое кража личных данных, как защитить себя от этого и как узнать, украл ли кто-то ваши личные данные.

Что такое кража личных данных?

Кража личных данных — это когда кто-то использует вашу личную или финансовую информацию без вашего разрешения.

Они могут украсть ваше имя и адрес, номера кредитных карт или банковских счетов, номер социального страхования или номера счетов медицинского страхования. И они могли бы использовать их до

  • покупать вещи с помощью кредитных карт
  • получить новые кредитные карты на свое имя
  • открыть счет телефона, электричества или газа на ваше имя
  • украсть возврат налога
  • использовать свою медицинскую страховку для получения медицинской помощи
  • притворяться тобой, если их арестуют

Как защитить себя от кражи личных данных

Принятие мер по защите вашей личной информации может помочь вам избежать кражи личных данных.Вот что вы можете сделать, чтобы опередить похитителей личных данных.

Защита документов, содержащих личную информацию

Храните свои финансовые записи, карты социального обеспечения и Medicare, а также любые другие документы, содержащие личную информацию, в надежном месте. Когда вы решите избавиться от этих документов, уничтожьте их, прежде чем выбрасывать. Если у вас нет измельчителя, найдите местный день уничтожения или используйте маркер, чтобы зачеркнуть номера счетов.

Если вы получаете по почте выписки с личной информацией, заберите почту из почтового ящика как можно скорее.

Задавайте вопросы, прежде чем сообщать свой номер социального страхования

Некоторым организациям требуется ваш номер социального страхования, чтобы идентифицировать вас. Эти организации включают IRS, ваш банк и вашего работодателя. Организации, подобные этой, которым действительно нужен ваш номер социального страхования, не будут звонить, писать по электронной почте или писать вам, чтобы попросить его.

Другим организациям, которые могут запросить у вас номер социального страхования, он может и не понадобиться. Эти организации включают поставщика медицинских услуг, компанию или школу вашего ребенка.Задайте эти вопросы, прежде чем дать им свой номер социального страхования:

  • Зачем вам это нужно?
  • Как ты будешь его защищать?
  • Можно ли использовать другой идентификатор?
  • Можно ли использовать только последние четыре цифры моего номера социального страхования?

Защитите свою информацию от мошенников в Интернете и на вашем телефоне

Если вы входите в учетную запись в Интернете, используйте надежный пароль.

Добавить многофакторную аутентификацию для учетных записей, которые ее предлагают.Многофакторная аутентификация обеспечивает дополнительную безопасность, требуя два или более учетных данных для входа в вашу учетную запись. Дополнительные учетные данные, необходимые для входа в вашу учетную запись, делятся на две категории: что-то, что у вас есть — например, код доступа, который вы получаете через текстовое сообщение или приложение для аутентификации, или что-то, чем вы являетесь — например, сканирование вашего отпечатка пальца, вашей сетчатки или вашего лицо. Многофакторная аутентификация затрудняет доступ мошенников к вашим учетным записям, если они узнают ваше имя пользователя и пароль.

Не сообщайте свою личную информацию тем, кто звонит, отправляет электронные письма или текстовые сообщения.Это может быть мошенник, пытающийся украсть вашу информацию.

Как узнать, украл ли кто-то вашу личность

В дополнение к мерам по защите вашей информации полезно знать, как узнать, украл ли кто-то вашу личность. Есть вещи, которые вы можете сделать самостоятельно, чтобы обнаружить кражу личных данных. Есть также компании, которые продают кредитные услуги и услуги по мониторингу личности.

Что вы можете сделать, чтобы обнаружить кражу личных данных

Вот что вы можете сделать, чтобы обнаружить кражу личных данных:

  • Отслеживайте, какие счета вы должны и когда они должны быть оплачены. Если вы перестали получать счета, это может быть признаком того, что кто-то изменил ваш платежный адрес.
  • Просмотрите свои счета. Плата за вещи, которые вы не покупали, может быть признаком кражи личных данных. Так что, возможно, нового законопроекта вы не ожидали.
  • Проверьте выписку по банковскому счету. Снятие средств, которое вы не производили, может быть признаком кражи личных данных.
  • Получите и просмотрите свои кредитные отчеты.  Учетные записи на ваше имя, которые вы не узнаете, могут быть признаком кражи личных данных. Вот как вы можете получить бесплатные кредитные отчеты.

Если вы обнаружите, что кто-то неправомерно использует вашу личную информацию, посетите IdentityTheft.gov, чтобы сообщить о краже личных данных и исправить ситуацию.

Услуги мониторинга, услуги восстановления и страхование от кражи личных данных

Многие компании продают услуги по защите от кражи личных данных, которые могут включать кредитный мониторинг, мониторинг личных данных, услуги по восстановлению личных данных и страхование от кражи личных данных.Эти услуги также могут быть предложены вашим

  • банк или кредитный союз
  • поставщик кредитных карт
  • программа льгот для работодателя
  • страховая компания

Услуги кредитного мониторинга

Службы кредитного мониторинга сканируют активность, которая отображается в ваших кредитных отчетах. Они могут контролировать деятельность одного, двух или всех трех основных кредитных бюро — Equifax, Experian и TransUnion.

Службы кредитного мониторинга обычно предупреждают вас, когда

  • компания проверяет вашу кредитную историю
  • в ваших кредитных отчетах появляется новый кредит или счет кредитной карты
  • кредитор или сборщик долгов говорит, что ваш платеж просрочен
  • публичных записей показывают, что вы подали заявление о банкротстве
  • кто-то подает на вас в суд
  • ваш кредитный лимит меняется
  • ваша личная информация, такая как ваше имя, адрес или номер телефона, изменяется

Службы кредитного мониторинга не будут предупреждать вас, когда

  • кто-то снимает деньги с вашего банковского счета
  • кто-то использует ваш номер социального страхования для подачи налоговой декларации и получения возмещения

Если вы планируете воспользоваться услугой кредитного мониторинга, вот несколько вопросов, которые вы можете им задать:

  • Как часто вы проверяете кредитные отчеты на наличие изменений?
  • Какие из трех кредитных бюро вы контролируете?
  • Есть ли ограничение на то, как часто я могу просматривать свои кредитные отчеты?
  • Будет ли с меня взиматься плата каждый раз, когда я просматриваю свои кредитные отчеты?
  • Включены ли другие услуги, например доступ к моему кредитному рейтингу?

Услуги по мониторингу личности

Компании, предлагающие услуги по мониторингу личности, проверяют базы данных, собирающие различные типы информации, на предмет наличия в них новой или неточной информации о вас. Это может быть признаком того, что кто-то использует вашу личную информацию. Эти службы могут обнаруживать использование вашей личной информации, которое не будет отображаться в вашем кредитном отчете.

Службы мониторинга личности могут сообщить вам, когда ваша информация появится в

.
  • запрос на изменение адреса
  • протоколы суда или ареста
  • заказов на новые коммунальные, кабельные или беспроводные услуги
  • заявление на получение кредита до зарплаты
  • запрос на обналичивание чека
  • в социальных сетях
  • на веб-сайтах, которые похитители личных данных используют для торговли украденной информацией

Большинство служб мониторинга личности не будут предупреждать вас, если кто-то использует вашу информацию для

  • подать налоговую декларацию и получить возмещение
  • получить льготы Medicare
  • получить льготы Medicaid
  • получать социальные пособия
  • заявление на пособие по социальному обеспечению
  • заявка на пособие по безработице

Услуги по восстановлению личности

Компании, которые продают кредитные услуги и услуги по мониторингу личных данных, также могут предлагать услуги по восстановлению личных данных, чтобы помочь вам исправить любой ущерб, причиненный кражей личных данных. Эти услуги могут быть включены или оплачиваться дополнительно. Некоторые из услуг, которые они предлагают, могут быть вещами, которые вы можете сделать самостоятельно за небольшую плату или бесплатно.

Службы восстановления личности обычно предоставляют вам доступ к консультантам или кураторам, которые помогут вам восстановить вашу личность. Они могут

  • помощь в написании писем кредиторам и коллекторам
  • заморозить ваш кредитный отчет, чтобы похитители личных данных не открыли новые счета на ваше имя
  • проведет вас через документы, которые вы должны просмотреть

Некоторые службы будут представлять вас в отношениях с кредиторами или другими учреждениями, если вы официально предоставите им полномочия действовать от вашего имени.

Страхование от кражи личных данных

Компании, которые продают услуги мониторинга, также могут предлагать страхование от кражи личных данных. Эти услуги могут быть включены или оплачиваться дополнительно.

Страхование от кражи личных данных может покрывать

  • наличные расходы, непосредственно связанные с восстановлением вашей личности, например
    • стоимость копирования документов
    • почтовые расходы на пересылку документов
    • расходы на нотариальное заверение документов
  • заработная плата, которую вы потеряли
  • судебные издержки, которые вы заплатили

Страхование от кражи личных данных, как правило, не возмещает украденные деньги или финансовые убытки, возникшие в результате кражи.Большинство полисов не окупятся, если ваша потеря покрывается страховкой вашего домовладельца или арендатора. Если вы подумываете о страховании от кражи личных данных, спросите о франшизе и узнайте, что покрывается, а что нет.

Узнайте, как распознать признаки кражи личных данных в медицинских целях, кражи налоговых данных и кражи личных данных детей.

Комплексные профили биомаркеров и хемометрическая фильтрация метаболомики мочи для эффективного различения карциномы предстательной железы от доброкачественной гиперплазии кислоты были приобретены у Sigma Aldrich (Милан, Италия).

Аргинилфенилаланин (RF), серилгистидин (SH) и изолейцилпролилизолейцин (IPI) были предоставлены компанией Thermo Fischer Scientific (Италия). Меченый изотопами кофеин, креатинин, фенилаланин, бензойная кислота, эстрадиол, сульфат эстрадиола и глюкуронид эстрадиола были приобретены у Sigma Aldrich. Сверхчистая вода и муравьиная кислота были получены от Fischer Scientific (Уолтем, Массачусетс, США), а сверхчистый метанол (MeOH) был получен от Romil Pure Chemistry (Поццуоли, Италия). Креатинин определяли фотометрическим пикратным методом на приборе Architect C800 и наборе Abbott (Италия).Все стандартные маточные растворы готовили в метаноле с концентрацией 1 мг/мл и хранили при –20 °C до использования. Смешанный раствор внешнего стандарта, содержащий креатинин, таурин, путресцин, дофамин, гуанозин, цистин, бензойную кислоту, форместан, глюкуронид ДГТ, таурохолевую кислоту, РФ, SH и ИФИ, готовили в конечной концентрации 0,1–50 мкг мл . -1 в H 2 O/MeOH 80:20 ( об. /об. ) соответствующим разбавлением сверхчистой водой и хранят при — 20 °C до использования. Раствор смеси внутреннего стандарта, содержащий меченый изотопами кофеин, креатинин, фенилаланин, бензойную кислоту, эстрадиол, сульфат эстрадиола и глюкуронид эстрадиола, готовили в конечной концентрации 0.1–5 мкг/мл в H 2 O/MeOH 80:20 ( об./об. ) соответствующим разбавлением сверхчистой водой и хранят при температуре – 20 °C до использования.

Набор пациентов и сбор образцов

Субъекты, участвовавшие в этом исследовании, были набраны в отделении урологии больницы Сан-Луиджи в Орбассано (ТО, Италия) после одобрения справочным комитетом по этике больницы (номер протокола 17942). Все исследования проводились в соответствии с Хельсинкской декларацией.Информированное согласие подписали все пациенты, включенные в данное исследование. В исследование было включено 40 пациентов, в том числе 20 с РПЖ и 20 с доброкачественной гиперплазией предстательной железы (ДГПЖ). РПЖ был диагностирован с использованием нецелевой систематической трансректальной биопсии предстательной железы под ультразвуковым контролем (ТРУЗИ-GBx, 18–24 ядра) и/или повторной мультипараметрической магнитно-резонансной томографии (мп-МРТ) прицельной биопсии (4–6 ядер для единственного целевого поражения 54 ) . Образцы мочи собирали у пациентов с РПЖ до того, как они начали какое-либо специфическое лечение/терапию, фармакологическую, хирургическую и/или радиологическую.

Индекс массы тела (ИМТ), предшествующая медикаментозная терапия, ПСА и объем предстательной железы регистрировались для всех пациентов. Для пациентов с РПЖ также сообщалось о баллах по шкале Глисона (GS) при биопсии. В таблице 3 представлены биометрические данные пациентов и основные клинические данные. В исследование не включались пациенты, страдающие сахарным диабетом, другими карциномами и метаболическими заболеваниями. Кроме того, для включенных в исследование пациентов был проведен t-критерий Стьюдента, чтобы выяснить наличие существенных различий между группами. Как и ожидалось, только переменные ПСА и объем предстательной железы (т. е. особенности групп РПЖ и ДГПЖ) обеспечивали статистически значимое значение p ниже 0,05 (уровень значимости 95%).

Таблица 3 Характеристики и клинические данные зарегистрированных пациентов.

Образцы мочи собирали во время амбулаторных мероприятий, с 8 до 10 утра, в пробирки на 50 мл; сразу после сбора пять аликвот по 100 мкл отделяли и хранили при температуре  - 80 °C.Вскоре после этого они были отправлены в сухом льду экспресс-курьером на химический факультет Римского университета Ла Сапиенца (Италия) для инструментального анализа. Оставшийся объем хранили при 4 °C до проведения теста на креатинин (с использованием фотометрического определения пикрата).

Подготовка проб

Перед анализом образцы мочи размораживали при комнатной температуре и центрифугировали в течение 10 мин при 1000× г . Образцы контроля качества (КК) были получены путем объединения 20 мкл каждого из 40 образцов, включенных в исследование. Для каждого образца (образцы, контроль и контроль качества) 25 мкл мочи разводили в 70 мкл сверхчистой воды и добавляли 5 мкл смеси внутреннего стандарта (разведение 1:3, конечная смесь растворителей: H 2 O/MeOH). 99:1, об/об ). Образцы смеси внешних стандартов готовили путем разбавления 5 мкл смеси в 95 мкл сверхчистой воды (конечная смесь растворителей: H 2 O/MeOH 99:1, об./об. ), а холостые образцы состояли из H . 2 O/MeOH 99:1 ( об./об. ) Анализы УВЭЖХ-МСВР проводили после рандомизации образцов.

Анализ УВЭЖХ-МСВР

Для хроматографического разделения на Luna Omega Polar C18 (100 × 2,1 мм, размер частиц 1,6 мкм, Phenomenex, Торранс, США). Подвижные фазы представляли собой H 2 O/HCOOH (99,9:0,1, об./об. ; фаза A) и MeOH/HCOOH (99,9:0,1, об./об. ; фаза B) и смешивались со следующим градиентом : 1% фаза B в течение 2 мин; от 1 % фазы B до 99 % фазы B за 15 мин; 99 % фазы B в течение 5 мин (этап промывки) и 1 % фазы B в течение 5 мин (этап восстановления). Колонку поддерживали при 40°C с постоянным потоком 400 мкл мин -1 . Хроматографическую систему соединяли с гибридным масс-спектрометром Q Exactive с квадрупольно-орбитальной ловушкой (Thermo Fisher Scientific) с нагретым источником ESI, работающим как в режиме положительных, так и в режиме отрицательных ионов при следующих условиях: температура капилляра была установлена ​​на уровне 220 °C и 180 °C. °С для положительной и отрицательной полярности соответственно, напряжение распыления при 3200 В (+) и 2800 В (-), температура вспомогательного газового нагревателя при 280 °С (+) и 180 °С (-), защитный газ при 50 (усл. ), вспомогательный газ — 25 (условные единицы), продувочный газ — 0 (условные единицы), а уровень RF S-Lens — 50 (%).

Полное сканирование выполнялось в диапазоне m/z 70–1000 с разрешением 70 000 (полная ширина на полувысоте, FWHM, м / z 200). Целевое значение автоматической регулировки усиления (AGC) составляло 500 000 при полном сканировании с максимальным временем ввода ионов, установленным на 50 мс. Ширина изоляционного окна составляла 2 м/ z . Для только идентификации QC были выполнены первые 5 режимов сбора данных, зависящих от данных (DDA), с целевым значением AGC, установленным на 100 000. Диссоциация столкновений с более высокой энергией (HCD) была выполнена при 35% нормализованной энергии столкновения с разрешением 35 000 (FWHM @ м / z 200).Динамическое исключение установлено на 3 с. Масс-спектрометр калибровали перед анализом с использованием калибровочного раствора, предоставленного производителем (внешняя калибровка).

Необработанные файлы данных МС/МС были получены с помощью программного обеспечения Xcalibur (версия 3.1, Thermo Fisher Scientific). Хроматографический рабочий список схематически представлен в Таблице вспомогательной информации S6. Стабильность и производительность колонки проверяли до и после каждой аналитической секции с использованием холостой пробы и растворов внешнего стандарта.Надлежащее кондиционирование системы предшествовало вводу холостой пробы для вычитания фона, состоящей из десяти последовательных вводов контрольной пробы. Эта процедура позволила отбросить как примеси, присутствующие в подвижных фазах и системе ВЭЖХ-МС, так и соединения, подверженные сильным эффектам переноса (более 10%), которые могут изменить площади пиков, что может привести к смещению статистического анализа. После дальнейшего восстановления системы с еще десятью образцами QC рандомизированные образцы и контроли анализировали в пяти группах с последующей инъекцией QC.В HRMS хроматограмма записывается в цифровом формате, используя каждое сканирование в режиме полного сканирования в качестве точки для каждого анализируемого m/z. Поскольку скорость сканирования прибора фиксирована, тандемный МС-анализ, как в режиме DDA, так и в режиме сбора данных, не зависящего от данных (DIA), вызывает резкое уменьшение количества точек на хроматографический пик. Таким образом, образцы и контроли анализировались в режиме полного сканирования одной МС, чтобы гарантировать высококачественные формы пиков для веществ с высоким и низким содержанием 55 . В конце каждой последовательности выполнялись три инъекции QC ( QC только для идентификации QC) в режиме Top 5 DDA, состоящем из одного полного сканирования, за которым следует 5 тандемных МС-сканирований для получения МС/МС для последующей идентификации признаков.Смесь внешнего стандарта применялась в начале и в конце последовательности сбора данных для быстрой оценки эффективности методологии ЖХ-МС до и после сбора данных. Внутренний стандарт, добавленный в образцы, использовался для быстрой проверки потенциальных выбросов или макроскопических повреждений во время анализа, например, инструментальных ошибок во время ввода образца или значительного изменения времени удерживания соединения, а не использовался для нормализации образца, которая позже выполнялась во время обработки данных QC. нормализация на основе.Поскольку нецелевые данные МС не могут быть легко проверены, быстрая проверка со смесью внутреннего стандарта во время сбора данных была необходима для повторного анализа поврежденных образцов до окончания рабочего списка или для остановки и повторного запуска всей последовательности, если хроматографические или МС результаты были нестабильны. Примеры хроматограмм образцов, контролей и контрольных образцов представлены на рис. S1-S2 в режиме положительных и отрицательных ионов соответственно.

Предварительная обработка данных

Необработанные данные, полученные в результате анализа образцов, контрольных образцов и холостых проб, были предварительно обработаны с использованием программного обеспечения Compound Discoverer версии 3.1 (Термо Фишер Сайентифик). Выравнивание признаков было получено с помощью модели регрессии адаптивной кривой; всякий раз, когда модель адаптивной кривой терпела неудачу, вместо нее автоматически выбиралась линейная модель. Характеристики были выровнены и отфильтрованы, чтобы удалить соединения, также присутствующие в пустых образцах, из реальных образцов и контрольных образцов, поскольку они были отнесены либо к загрязнителям, либо к переносимым артефактам. Нормализация признаков на основе контроля качества проводилась на основе изменений площади пика во времени из-за различных инструментальных флуктуаций. Compound Discoverer позволяет выполнять коррекцию площади на основе контроля качества с течением времени, что означает, что для каждого отдельного признака строится линейная регрессия площади пика в образцах контроля качества с течением времени. Реакция каждой функции, по сути, подвержена увеличению площади пика (например, эффект переноса) и подавлению (например, постепенное накопление грязи на источнике ионов) с течением времени. Следовательно, каждую линейную регрессию можно скорректировать так, чтобы наклон каждой прямой кривой был равен нулю, и, в конце концов, каждый признак в выборках был скорректирован соответствующим образом.Кроме того, отфильтровывались признаки, отсутствовавшие во всех КК, и те, площадь которых в КК представляла стандартное отклонение выше 25%. Остальные признаки, подвергшиеся фрагментации в прогонах выборки только для идентификации QC, были экспортированы для статистического анализа.

. Статистический анализ.4.5, были нормализованы с использованием значений креатинина в моче, а затем импортированы в Matlab (версия 2019a).

Все последующие шаги были выполнены отдельно для двух наборов данных. Модель анализа основных компонентов (PCA) изначально была построена на данных автомасштабирования. Точки данных были окрашены в зависимости от порядка их введения, чтобы выделить возможное появление любого эффекта последовательности. Эти модели PCA были исследованы для выявления потенциального возникновения тенденций, связанных с клинической классификацией пациентов.

Алгоритм PLS-DA был применен для выбора наиболее эффективных переменных классификации и расчета эффективности классификации наборов данных, обработанных PLS и сокращенных. Был применен подход с повторной двойной перекрестной проверкой (r-dCV) с использованием модифицированной в домашних условиях версии протокола, ранее разработанного 42,56,57 . В r-dCV доступные данные организованы в два вложенных цикла перекрестной проверки: внешний, образцы которого не учитываются для имитации внешнего тестового набора, и внутренний, который используется для выбора модели и оптимизации ( мета-) параметры. В настоящем исследовании внутренняя и внешняя петли характеризовались 8 (внутренними) и 10 (внешними) группами делеций соответственно. Термин «повторение» предполагает, что во избежание соответствующего влияния состава групп отмены на окончательные характеристики модели вся процедура повторяется заданное количество раз ( прогонов , здесь 30), каждый раз изменяя распределение лица в рамках перекрестной проверки. Эта процедура не только позволяет оценить показатели качества классификации на выборках, которые не относятся к этапам построения модели и выбора модели (т.т. е. во внешнем контуре), но за счет многократного повторения вычисления dCV обеспечивает надежную оценку их доверительных интервалов. Таким образом, подход r-dCV позволил глубоко исследовать собранные данные, и на текущем этапе не проводилось внешней проверки разработанных моделей, чтобы избежать какой-либо предвзятости интерпретации данных, связанной с неоднородностью населения. Кроме того, в качестве дополнительной проверки, чтобы исключить возможность получения хороших результатов классификации только из-за случайных корреляций, были использованы перестановочные тесты (с 1000 рандомизациями) 57 для непараметрической оценки нулевого распределения основных показателей качества классификации, чтобы иметь возможность оценить их статистическую значимость и, при необходимости, получить соответствующие p-значения. В этом контексте идентификация потенциальных биомаркеров проводилась с помощью следующей стратегии выбора переменных фильтра, основанной на расчете рангового произведения (RP) и дальнейшем сравнении с оценками VIP. После реализации r-dCV с 30 прогонами и 8 группами отмены во внутреннем цикле на каждом наборе данных было построено в общей сложности 240 моделей. В конце расчета каждой модели каждой переменной присваивалась ранговая метка в зависимости от ее вклада в модель, оцениваемая на основе абсолютного значения связанного с ней коэффициента регрессии PLS, при этом предиктору с наибольшим вкладом присваивался ранг 1 и т. д. .Затем для каждой переменной общий вклад в 240 расчетных моделей суммировался ее ранговым произведением (RP), т. е. средним геометрическим ее рангов по всем подмоделям. Соответственно, переменные были отсортированы в порядке возрастания RP, и все переменные, имеющие значение ниже, чем среднее геометрическое RP по всем предикторам, были идентифицированы как значимые и выбраны в качестве предполагаемых биомаркеров. В качестве дополнительной формы проверки выбранные переменные сравнивались с теми, которые были определены как релевантные на основе расчета баллов VIP 58 , и были сохранены только совпадающие.Затем выбранные переменные были якобы идентифицированы с использованием их спектров МС/МС. Для метаболитов, присутствующих в базе данных mzCloud, сопоставление спектров МС/МС автоматически выполнялось программным обеспечением Compound Discoverer. Все другие метаболиты были предварительно идентифицированы путем сопоставления экспериментальных спектров МС и МС/МС с доступными библиотеками спектров, спектрами, представленными в литературе, и предсказанными спектрами, представленными в базе данных метаболомов человека (HMDB) 59 . Идентификационные данные представлены в таблицах S4 и S5 дополнительных материалов для ESI+ и ESI– соответственно.Все переменные, соответствующие экзогенным метаболитам или не идентифицированные, были отброшены. Окончательные размеры наборов данных ESI+ и ESI– составили 40 × 22 и 40 × 47 соответственно.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск