Радиус окружности описанной около равнобедренной трапеции формула: Радиус описанной окружности трапеции | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU

Содержание

Описанная окружность и равнобедренная трапеция. Свойство 4

Формула радиуса описанной окружности вокруг равнобедренной трапеции через высоту трапеции зависит от расположения центра окружности относительно трапеции.

 

Если центр окружности лежит внутри трапеции:

Если центр окружности лежит вне трапеции

Формула радиуса описанной окружности вокруг равнобедренной трапеции, если центр окружности лежит внутри трапеции

Формула радиуса описанной окружности вокруг равнобедренной трапеции, если центр окружности лежит вне трапеции

Вывод формулы радиуса описанной окружности вокруг равнобедренной трапеции

 

Шаг 1

 

Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD. Опишем вокруг нее окружность с центром в точке О. Пусть трапеция такая, что точка О лежит внутри трапеции.

Так как центр описанной окружности вокруг трапеции (точка О) лежит в точке пересечения ее серединных перпендикуляров, то построим серединные перпендикуляры к сторонам трапеции.

Так как высота трапеции – это перпендикуляр между основаниями, то примем за высоту трапеции отрезок серединного перпендикуляра к основаниям. Обозначим его НТ.

Нижнее основание трапеции обозначим буквой a, верхнее основание трапеции обозначим буквой b, боковую сторону – буквой с, высоту – буквой h.

Определим радиус этой окружности, через высоту трапеции.

Вывод формулы радиуса описанной окружности вокруг равнобедренной трапеции. Шаг 1

Вывод формулы радиуса описанной окружности вокруг равнобедренной трапеции. Шаг 2

Шаг 3

 

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHO.

BО – радиус окружности.

По теореме Пифагора:

Вывод формулы радиуса описанной окружности вокруг равнобедренной трапеции. Шаг 3

Шаг 4

 

Так как ОА и ОВ – радиусы окружности, то они равны, а значит, будут равны и их квадраты:

Тогда:

По построению:

Отсюда:

Подставим в формулу:

Решим полученное уравнение.  Воспользуемся формулой квадрата разности:

Отсюда:

Тогда радиус окружности, описанной вокруг равнобедренной трапеции, центр которой лежит внутри этой трапеции будет равен:

Получим:

Вывод формулы радиуса описанной окружности вокруг равнобедренной трапеции. Шаг 4

Шаг 5

 

Теперь рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD такую, что, центр описанной окружности лежит вне трапеции.

Вывод формулы радиуса описанной окружности вокруг равнобедренной трапеции. Шаг 5

Шаг 6

 

Рассмотрим прямоугольный треугольник AТO.

АО – радиус окружности.

По теореме Пифагора:

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHO.

BО – радиус окружности.

По теореме Пифагора:

Так как ОА и ОВ – радиусы окружности, то они равны, а значит, будут равны и их квадраты:

Тогда:

По построению:

Отсюда:

Подставим в формулу:

Решим полученное уравнение.  Воспользуемся формулой квадрата суммы:

Отсюда:

Тогда радиус окружности, описанной вокруг равнобедренной трапеции, центр которой лежит внутри этой трапеции будет равен:

Значит:

Формулы радиуса описанной окружности вокруг равнобедренной трапеции выведены.

Вывод формулы радиуса описанной окружности вокруг равнобедренной трапеции. Шаг 6

9E09BEAE0A118E93DED3D74128EA2C147A65428915829EB11235F7758F7B38C3

Радиус вписанной окружности определение. Как найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника

Очень часто при решении геометрических задач приходится совершать действия со вспомогательными фигурами. Например, находить радиус вписанной или описанной окружности и т.д. Данная статья покажет, как находить радиус окружности, описанной около треугольника. Или, иными словами, радиус окружности, в которую вписан треугольник.

Как найти радиус окружности, описанной около треугольника – общая формула

Общая формула выглядит следующим образом: R = abc/4√p(p – a)(p – b)(p – c), где R – радиус описанной окружности, p – периметр треугольника поделенный на 2 (полупериметр). a, b, c – стороны треугольника.

Найти радиус описанной окружности треугольника, если a = 3, b = 6, c = 7.

Таким образом, исходя из вышеприведенной формулы, вычисляем полупериметр:
p = (a + b + c)/2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.

Подставляем значения в формулу и получаем:
R = 3 × 6 × 7/4√8(8 – 3)(8 – 6)(8 – 7) = 126/4√(8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16√5.

Ответ: R = 126/16√5

Как найти радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника

Для нахождения радиуса окружности, описанной около равностороннего треугольника, существует довольно простая формула: R = a/√3, где a – величина его стороны.

Пример: Сторона равностороннего треугольника равна 5. Найти радиус описанной окружности.

Так как у равностороннего треугольника все стороны равны, для решения задачи нужно всего лишь вписать ее значение в формулу. Получим: R = 5/√3.

Ответ: R = 5/√3.


Как найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника

Формула выглядит следующим образом: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, где a и b – катеты и c – гипотенуза. Если сложить квадраты катетов в прямоугольном треугольнике, то получим квадрат гипотенузы. Как видно из формулы, данное выражение находится под корнем. Вычислив корень из квадрата гипотенузы, мы получим саму длину. Умножение получившегося выражения на 1/2 в итоге приводит нас к выражению 1/2 × c = c/2.

Пример: Вычислить радиус описанной окружности, если катеты треугольника равны 3 и 4. Подставим значения в формулу. Получим: R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2.5.

В данном выражение 5 – длина гипотенузы.

Ответ: R = 2.5.


Как найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника

Формула выглядит следующим образом: R = a²/√(4a² – b²), где a – длина бедра треугольника и b – длина основания.

Пример: Вычислить радиус окружности, если его бедро = 7, а основание = 8.

Решение: Подставляем в формулу данные значения и получаем: R = 7²/√(4 × 7² – 8²).

R = 49/√(196 – 64) = 49/√132. Ответ можно записать прямо так.

Ответ: R = 49/√132


Онлайн ресурсы для вычисления радиуса окружности

Можно очень легко запутаться во всех этих формулах. Поэтому при необходимости можно воспользоваться онлайн калькуляторами, которые помогут вам в решении задач на нахождение радиуса. Принцип работы таких мини-программ очень прост. Подставляете значение стороны в соответствующее поле и получаете готовый ответ. Можно выбрать несколько вариантов округления ответа: до десятичных, сотых, тысячных и т.д.

Сначала разберемся в отличии между кругом и окружностью. Чтобы увидеть эту разницу, достаточно рассмотреть, чем являются обе фигуры. Это бесчисленное количество точек плоскости, располагающиеся на равном расстоянии от единственной центральной точки. Но, если круг состоит и из внутреннего пространства, то окружности оно не принадлежит. Получается, что круг это и окружность, ограничивающая его (о-кру(г)жность), и бесчисленное число точек, что внутри окружности.

Для любой точки L , лежащей на окружности, действует равенство OL=R . {\circ}}

  • Используя радианную меру: CD = \alpha R
  • Диаметр, что перпендикулярен хорде, делит хорду и стянутые ею дуги пополам.

    В случае, если хорды AB и CD окружности имеют пересечение в точке N , то произведения отрезков хорд, разделенные точкой N , равны между собой.

    AN\cdot NB = CN \cdot ND

    Касательная к окружности

    Касательной к окружности принято называть прямую, у которой имеется одна общая точка с окружностью.

    Если же у прямой есть две общие точки, ее называют секущей .

    Если провести радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной к окружности.

    Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке.

    AC = CB

    Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть. {\circ}

    \angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

    На одной окружности находятся вершины треугольников с тождественными углами и заданным основанием.

    Угол с вершиной внутри окружности и расположенный между двумя хордами тождественен половине суммы угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри данного и вертикального углов.

    \angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac{1}{2} \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

    Угол с вершиной вне окружности и расположенный между двумя секущими тождественен половине разности угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри угла.

    \angle M = \angle CBD — \angle ACB = \frac{1}{2} \left (\cup DmC — \cup AlB \right)

    Вписанная окружность

    Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника.

    В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр.

    Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник.

    Площадь многоугольника с вписанной окружностью находится по формуле:

    S = pr ,

    p — полупериметр многоугольника,

    r — радиус вписанной окружности.

    Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен:

    r = \frac{S}{p}

    Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны.

    AB + DC = AD + BC

    В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности.

    Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

    r = \frac{S}{p} ,

    где p = \frac{a + b + c}{2}

    Описанная окружность

    Если окружность проходит через каждую вершину многоугольника, то такую окружность принято называть описанной около многоугольника

    . {\circ}

    Около любого треугольника можно описать окружность, причем одну-единственную. Центр такой окружности будет расположен в точке, где пересекаются серединные перпендикуляры сторон треугольника.

    Радиус описанной окружности можно вычислить по формулам:

    R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{b}{2 \sin B} = \frac{c}{2 \sin C}

    R = \frac{abc}{4 S}

    a , b , c — длины сторон треугольника,

    S — площадь треугольника.

    Теорема Птолемея

    Под конец, рассмотрим теорему Птолемея.

    Теорема Птолемея гласит, что произведение диагоналей тождественно сумме произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника.

    AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

    Рассмотрим окружность, вписанную в треугольник (рис. 302). Напомним, что ее центр О помещается на пересечении биссектрис внутренних углрв треугольника. Отрезки ОА, ОВ, ОС, соединяющие О с вершинами треугольника ABC, разобьют треугольник на три треугольника:

    АОВ, ВОС, СОА. Высота каждого из этих треугольников равна радиусу , и потому их площади выразятся как

    Площадь всего треугольника S равна сумме этих трех площадей:

    где — полупериметр треугольника. Отсюда

    Радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру.

    Для получения формулы для радиуса описанной окружности треугольника докажем следующее предложение.

    Теорем а: В любом треугольнике сторона равна диаметру описанной окружности, умноженному на синус противолежащего угла.

    Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и описанную вокруг него окружность, радиус которой обозначим через R (рис. 303). Пусть А — острый угол треугольника. Проведем радиусы ОВ, ОС окружности и опустим из ее центра О перпендикуляр ОК на сторону ВС треугольника. Заметим, что угол а треугольника измеряется половиной дуги ВС, для которой угол ВОС является центральным углом. Отсюда видно, что . Поэтому из прямоугольного треугольника СОК находим , или , что и требовалось доказать.

    Приведенный рис. 303 и рассуждение относятся к случаю острого угла треугольника; нетрудно было бы провести доказательство и для случаев прямого и тупого угла (читатель это проделает самостоятельно), но можно использовать теорему синусов (218.3). Так как должно быть откуда

    Теорему синусов записывают также в. виде

    и сравнение с формой записи (218.3) дает для

    Радиус описанной окружности равен отношению произведения трех сторон треугольника к его учетверенной площади.

    Задача. Найти стороны равнобедренного треугольника, если его вписанная и описанная окружности имеют соответственно радиусы

    Решение. Напишем формулы, выражающие радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника:

    Для равнобедренного треугольника с боковой стороной и основанием площадь выражается формулой

    или, сократив дробь на отличный от нуля множитель , будем иметь

    что приводит к квадратному уравнению относительно

    Оно имеет два решения:

    Подставив вместо его выражения в любое из уравнений для или R, найдем окончательно два ответа к нашей задаче:

    Упражнения

    1. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делнт гипотенузу в отношении Найти отношение каждого из катетов к гипотенузе.

    2. Основания равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равны а и b. Найти радиус окружности.

    3. Две окружности касаются внешним образом. Их общие касательные наклонены к линии центров под углом 30°. Длина отрезка касательной между точками касания равна 108 см. Найти радиусы окружностей.

    4. Катеты прямоугольного треугольника равны а и b. Найти площадь треугольника, сторонами которого служат высота и медиана данного треугольника, проведенные из вершины прямого угла, и отрезок гипотенузы между точками их пересечения с гипотенузой.

    5. Стороны треугольника равны 13, 14, 15. Найти проекцию каждой из них на две остальные.

    6. В треугольнике известны сторона и высоты Найти стороны b и с.

    7. Известны две стороны треугольника и медиана Найти третью сторону треугольника.

    8. Даны две стороны треугольника и угол а между ними: Найти радиусы вписанной и описанной окружностей.

    9. Известны стороны треугольника а, b, с. Чему равны отрезки, на которые они разбиваются точками касания вписанной окружности со сторонами треугольника?

    Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

    Сбор и использование персональной информации

    Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

    От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

    Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

    Какую персональную информацию мы собираем:

    • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. д.

    Как мы используем вашу персональную информацию:

    • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
    • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
    • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
    • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

    Раскрытие информации третьим лицам

    Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

    Исключения:

    • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
    • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

    Защита персональной информации

    Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

    Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

    Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

    В данной статье речь пойдёт о том, как выразить площадь многоугольника, в который можно вписать окружность, через радиус этой окружности. Сразу стоит отметить, что не во всякий многоугольник можно вписать окружность. Однако, если это возможно, то формула, по которой вычисляется площадь такого многоугольника, становится очень простой. Дочитайте эту статью до конца или посмотрите прилагающийся видеоурок, и вы узнаете, как же выразить площадь многоугольника через радиус вписанной в него окружности.

    Формула площади многоугольника через радиус вписанной окружности


    Нарисуем многоугольник A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 , не обязательно правильный, но такой, в который можно вписать окружность. Напомню, что вписанной называется окружность, которая касается всех сторон многоугольника. На рисунке это зелёная окружность с центром в точке O :

    Мы взяли здесь для примера 5-угольник. Но на самом деле это не имеет существенного значения, поскольку дальнейшее доказательство справедливо и для 6-угольника и для 8-угольника и вообще для любого сколь угодно «угольника».

    Если соединить центр вписанной окружности со всеми вершинами многоугольника, то он разобьётся на столько треугольников, сколько вершин в данном многоугольнике. В нашем случае: на 5 треугольников. Если же соединить точку O со всеми точками касания вписанной окружности со сторонами многоугольника, то получится 5 отрезков (на рисунке снизу это отрезки OH 1 , OH 2 , OH 3 , OH 4 и OH 5), которые равны радиусу окружности и перпендикулярны сторонам многоугольника, к которым они проведены. Последнее справедливо, поскольку радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной:

    Как же найти площадь нашего описанного многоугольника? Ответ прост. Нужно сложить площади всех полученных в результате разбиения треугольников:

    Рассмотрим, чему равна площадь треугольника . На рисунке снизу он выделен жёлтым цветом:

    Она равна половине произведения основания A 1 A 2 на высоту OH 1 , проведённую к этому основанию. Но, как мы уже выяснили, эта высота равна радиусу вписанной окружности. То есть формула площади треугольника принимает вид: , где r — радиус вписанной окружности. Аналогично находятся площади всех оставшихся треугольников. В результате искомая площадь многоугольника оказывается равна:

    Видно, что во всех слагаемых этой суммы ест общий множитель , который можно вынести за скобки. В результате получится вот такое выражение:

    То есть в скобках осталась просто сумма всех сторон многоугольника, то есть его периметр P . Чаще всего в этой формуле выражение заменяют просто на p и называют эту букву «полупериметром». В результате, окончательная формула принимает вид:

    То есть площадь многоугольника, в который вписана окружность известного радиуса, равна произведению этого радиуса на полупериметр многоугольника. Это и есть тот результат, в которому мы стремились.

    Отметит напоследок, что в треугольник, который является частным случаем многоугольника, всегда можно вписать окружность. Поэтому для треугольника эту формулу можно применять всегда. Для остальных многоугольников, с количеством сторон большим 3, сперва нужно убедиться, что в них можно вписать окружность. Если это так, можно смело использовать эту простую формулу и находить по ней площадь этого многоугольника.

    Материал подготовил , Сергей Валерьевич

    Радиус вписанной окружности, формулы, задачи.

    Окружность, вписанная в треугольник

    Существование окружности, вписанной в треугольник

          Напомним определение биссектрисы угла.

          Определение 1. Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

          Теорема  1 (Основное свойство биссектрисы угла). Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

    Рис. 1

          Доказательство. Рассмотрим произвольную точку D, лежащую на биссектрисе угла BAC, и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE, а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

    DF = DE,

    что и требовалось доказать.

          Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1). Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

    Рис. 2

          Доказательство. Рассмотрим произвольную точку D, лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE, а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

    что и требовалось доказать.

          Определение 2. Окружность называют окружностью, вписанной в угол, если она касается сторон этого угла.

          Теорема 3. Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

          Доказательство. Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC, а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

    Рис.3

          Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

    AF = AE,

    что и требовалось доказать.

          Замечание. Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

          Напомним определение биссектрисы треугольника.

          Определение 3. Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

          Теорема 4. В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

          Доказательство. Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC, и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

    Рис. 4

          Опустим из точки O перпендикуляры OD, OE и OF на стороны   треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

    OD = OE,

          Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

    OD = OF,

          Следовательно, справедливо равенство:

    OE = OF,

    откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC. Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

    Фигура

    Рисунок

    Формула

    Обозначения

    Произвольный треугольник

    Посмотреть вывод формулы

    a, b, c – стороны треугольника, S –площадь, 

    r –  радиус вписанной окружности, p – полупериметр

    .

    Посмотреть вывод формулы

    Равнобедренный треугольник

    Посмотреть вывод формулы

    a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание,   r –  радиус вписанной окружности

    Равносторонний треугольник

    Посмотреть вывод формулы

    a – сторона равностороннего треугольника,  r  –  радиус вписанной окружности

    Прямоугольный треугольник

    Посмотреть вывод формул

    a, b – катеты прямоугольного треугольника,   c   гипотенузаr – радиус вписанной окружности

         Определение 4. Окружностью, вписанной в треугольник, называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5).  В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности.

    Рис. 5

          Следствие. В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

    Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

          Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности, удобно представить в виде следующей таблицы.

    Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

          Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

    ,

    где a, b, c – стороны треугольника,  r –  радиус вписанной окружности,–  полупериметр (рис. 6).

    Рис. 6

          Доказательство. Из формулы

    с помощью формулы Герона получаем:

    что и требовалось.

          Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

    ,

    где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание,  r –  радиус вписанной окружности (рис. 7).

    Рис. 7

          Доказательство. Поскольку для произвольного треугольника справедлива формула

    ,

    где

    ,

    то, в случае равнобедренного треугольника, когда

    получаем

    что и требовалось.

          Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

    где a – сторона равностороннего треугольника,  r –  радиус вписанной окружности (рис. 8).

    Рис. 8

          Доказательство. Поскольку для равнобедренного треугольника справедлива формула

    ,

    то, в случае равностороннего треугольника, когда

    b = a,

    получаем

    что и требовалось.

          Замечание. Я рекомендую вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

          Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

    где a, b – катеты прямоугольного треугольника,   c    гипотенузаr –  радиус вписанной окружности.

          Доказательство. Рассмотрим рисунок 9.

    Рис. 9

          Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником, у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат. Следовательно,

    СВ = СF= r,

          В силу теоремы 3 справедливы равенства

          Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

    что и требовалось.

    Подборка задач по теме «Окружность, вписанная в треугольник».

    1.

    Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

    2.

    Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.

    3

    В треугольнике ABC  АС=4, ВС=3, угол C равен 90º. Найдите радиус вписанной окружности.

    4.

    Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 2+. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

    5.

    Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен 2. Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите с(–1).

    Приведем ряд задач из ЕГЭ с решениями.

    . Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .

    Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .

    Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

    Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .

    В ответ запишем .

    Ответ: .

    Задача 2.

    Задача 3.

    Задача 4.

    1. В произвольном  две боковые стороны 10см и 6см (AB и BC).   Найти радиусы описанной и вписанной окружностей
    Задача решается самостоятельно с комментированием.

    Решение: 

    Задача 5.

    В .

    1) Найти:   
    2) Доказать:  и найти СK 
    3) Найти: радиусы описанной и вписанной окружностей

    Решение:

    Задача 6.

    Радиус окружности вписанной в квадрат равен . Найти радиус окружности описанной около этого квадрата.
    Дано:

    Найти: ОС=?
    Решение: в данном случае задачу можно решить, воспользовавшись либо теоремой Пифагора, либо формулой для R. Второй случай будет проще, поскольку формула для R выведена из теоремы.


    Задача 7.

    Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен 2. Найдите гипотенузу с этого треугольника. В ответе укажите .

    Воспользуемся формулой радиуса окружности вписанной в треугольник:

    где a, b, c – стороны треугольника

    S – площадь треугольника

    Нам неизвестны ни стороны треугольника, ни его площадь. Обозначим катеты как х, тогда гипотенуза будет равна:

    А площадь  треугольника будет  равна 0,5х2.

    Значит

    Таким образом, гипотенуза будет равна:

    В ответе требуется записать:

    Ответ: 4

    Задача 8.

    В треугольнике ABC АС = 4, ВС = 3, угол C равен 900. Найдите радиус вписанной окружности.

    Воспользуемся формулой радиуса окружности вписанной в треугольник:

    где a, b, c – стороны треугольника

    S –  площадь треугольника

    Две стороны известны (это катеты), можем вычислить третью (гипотенузу), также можем вычислить и площадь.

    По теореме Пифагора:

    Найдём площадь:

    Таким образом:

    Ответ: 1

     Задача 9.

    Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.

    Воспользуемся формулой радиуса окружности вписанной в треугольник:

    где a, b, c –  стороны треугольника

    S – площадь треугольника

    Известны все стороны, вычислим и площадь. Её мы можем найти по формуле Герона:

    Тогда

    Таким образом:

    Ответ: 1,5

    Задача 10. (Из банка ЕГЭ)

     

    Задача 11. (Из банка ЕГЭ)

    Задача 12. (Из банка ЕГЭ)

    Задача 13. (Из банка ЕГЭ)

    Задача 14. (Из банка ЕГЭ)

    Задача 15.

    Найдите радиусы окружностей, вписанной в правильный треугольник и описанный около него, если их разность равна 4см.

    Сторона правильного треугольника вычисляется по формуле a = R√3, где R – радиус описанной окружности, и a = 2r√3 , где r – радиус вписанной окружности, приравняем стороны R√3  = 2·r√3 , отсюда R = 2r,  сдругой сторони по условию задачи R – r = 4 cм, отсюда r = 4 см,  тогда R = 2·4 см = 8 см

    Ответ: 4 см, 8 см

     Задача 16.
    Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 5. Найти:
    а) радиусы вписанной окружности;
    б) радиусы описанной окружности;
    в) расстояние от центра вписанной окружности до вершины наименьшего угла.
    Решение:
    1. По теореме Пифагора 
    2. О – центр описанной окружности, 

    Задача 17.

    В треугольнике с углами  и   вписана окружность. Найти углы треугольника, вершинамикоторого являются точки касания окружности со сторонами треугольника.

    Дано: точки касания вписанной окружности.

    Найти: 

    Решение:

    1.

    2. Из 

    3. Из 

    4. Из  

    5.

    Задача 18.

    В равнобедренную трапецию с основаниями 1 и 9 вписана окружность. Найти: а) боковую сторону; б) радиус вписанной окружности; в) высоту; г) диагональ.

    Приведу пример возможной самостоятельной работы по теме «Вписанная и описанная окружность».

    Карточки с задачами.
    1) В ABC AB = 8, BC = 10, . Найти высоту, опущенную из вершины B и  BAC.
    2) В ABC AB=12, BC = 9. Площадь треугольника 9. Найти радиусы вписанной и описанной окружностей.

    Пример математического диктанта.

    I. Математический диктант
    I вариант
    1. В любой треугольник можно вписать окружность? (Да/Нет)
    2. Центр вписанной в треугольник окружности является …
    3. Вокруг любого треугольника можно описать окружность? (Да/Нет)
    4. Центр окружности описанной около треугольника является …
    5. Если центр вписанной и описанной окружности совпадают, то это треугольник …
    6. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, совпадает с …
    7. Если в трапецию можно вписать окружность, то …
    8. Если вокруг трапеции можно описать окружность, то …
    9. Если центр окружности, описанной около треугольника находится вне его, то этот треугольник …
    10. Если центр окружности, описанной около треугольника, находится внутри его, то треугольник …
    Использовать взаимопроверку, заготовить заранее ответы на доске. Анализ ошибок.

    Вписанная и описанная окружности — методическая рекомендация. Геометрия, 8 класс.

    1. Треугольники, вписанные в окружность 1 вид — рецептивный лёгкое 1 Б. Определение по рисунку треугольников, вписанных в окружность.
    2. Треугольник, описанный около окружности 1 вид — рецептивный лёгкое 1 Б. Определение по рисунку треугольника, описанного около окружности.
    3. Четырёхугольник, описанный около окружности 2 вид — интерпретация лёгкое 1 Б. Вычисление стороны четырёхугольника, описанного около окружности.
    4. Треугольник, вписанный в окружность 2 вид — интерпретация среднее 1 Б. Определение вида треугольника, вписанного в окружность.
    5. Диаметр окружности, который является стороной вписанного треугольника 2 вид — интерпретация среднее 3 Б. Вычисление диаметра окружности, который является стороной вписанного треугольника.
    6. Углы равнобедренного треугольника, вписанного в окружность 2 вид — интерпретация среднее 3 Б. Вычисление углов равнобедренного треугольника, вписанного в окружность, если известна градусная мера дуги окружности.
    7. Стороны прямоугольного треугольника, вписанного в окружность, радиус окружности 2 вид — интерпретация среднее 3 Б. Вычисление сторон прямоугольного треугольника, вписанного в окружность, и радиуса окружности.
    8. Углы треугольника, описанного около окружности 1 вид — рецептивный среднее 3 Б. Вычисление углов треугольника, описанного около окружности.
    9. Треугольник, описанный около окружности, центральные углы 2 вид — интерпретация среднее 3 Б. Вычисление центральных углов, если в треугольник вписана окружность.
    10. Углы прямоугольного треугольника, описанного около окружности, центральные углы 2 вид — интерпретация среднее 4 Б. Вычисление углов прямоугольного треугольника, описанного около окружности, а также центральных углов.
    11. Углы треугольника, описанного около окружности, даны градусные меры дуг 2 вид — интерпретация среднее 4 Б. Вычисление углов треугольника, описанного около окружности, если известны градусные меры дуг, на которые делится окружность точками касания с треугольником.
    12. Медиана в прямоугольном треугольнике 2 вид — интерпретация среднее 1 Б. Вычисление гипотенузы.
    13. Окружность, описанная и вписанная в прямоугольный треугольник 2 вид — интерпретация среднее 3 Б. Вычисление радиуса окружности, вписанной и описанной около прямоугольного треугольника.
    14. Окружность, описанная и вписанная в треугольник 2 вид — интерпретация среднее 3 Б. Вычисление радиусов вписанной и описанной окружностей около треугольника, используется формула Герона.
    15. Углы трапеции, вписанной в окружность 3 вид — анализ лёгкое 3 Б. Вычисление углов трапеции, вписанной в окружность.
    16. Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию, градусные меры дуг 3 вид — анализ среднее 4 Б. Вычисление градусных мер дуг, образованных точками касания вписанной окружности и прямоугольной трапеции, если известен угол трапеции.
    17. Площадь трапеции, вписанной в окружность 3 вид — анализ среднее 5 Б. Вычисление площади трапеции, вписанной в окружность.
    18. Сторона и тупой угол ромба, описанного около окружности 3 вид — анализ среднее 3 Б. Вычисление стороны и тупого угла ромба, если известны его другой угол и диагональ.
    19. Радиус окружности, вписанной в трапецию 3 вид — анализ среднее 4 Б. Вычисление радиуса окружности, вписанной в трапецию.
    20. Сторона трапеции, описанной около окружности 3 вид — анализ среднее 5 Б. Вычисление боковой стороны трапеции и радиуса окружности, вписанной в трапецию.
    21. Площадь трапеции, описанной около окружности 3 вид — анализ среднее 6 Б. Вычисление площади трапеции, описанной около окружности.
    22. Окружность и равнобедренный треугольник 3 вид — анализ среднее 4 Б. Анализ ситуации с окружностью, описанной около остроугольного и тупоугольного треугольника, определение искомых углов.
    23. Площадь ромба, описанного около окружности 3 вид — анализ сложное 4 Б. Вычисление периметра и площади ромба, описанного около окружности.
    24. Радиус и площадь круга, вписанного в ромб 3 вид — анализ сложное 4 Б. Вычисление радиуса и площади круга, вписанного в ромб.
    25. Вопросы по треугольникам и окружностям 3 вид — анализ сложное 1 Б. Теоретические вопросы по треугольникам и вписанным и описанным окружностям.

    Св ва вписанной окружности. Как найти радиус окружности, описанной около треугольника

    Очень часто при решении геометрических задач приходится совершать действия со вспомогательными фигурами. Например, находить радиус вписанной или описанной окружности и т.д. Данная статья покажет, как находить радиус окружности, описанной около треугольника. Или, иными словами, радиус окружности, в которую вписан треугольник.

    Как найти радиус окружности, описанной около треугольника – общая формула

    Общая формула выглядит следующим образом: R = abc/4√p(p – a)(p – b)(p – c), где R – радиус описанной окружности, p – периметр треугольника поделенный на 2 (полупериметр). a, b, c – стороны треугольника.

    Найти радиус описанной окружности треугольника, если a = 3, b = 6, c = 7.

    Таким образом, исходя из вышеприведенной формулы, вычисляем полупериметр:
    p = (a + b + c)/2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.

    Подставляем значения в формулу и получаем:
    R = 3 × 6 × 7/4√8(8 – 3)(8 – 6)(8 – 7) = 126/4√(8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16√5.

    Ответ: R = 126/16√5

    Как найти радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника

    Для нахождения радиуса окружности, описанной около равностороннего треугольника, существует довольно простая формула: R = a/√3, где a – величина его стороны.

    Пример: Сторона равностороннего треугольника равна 5. Найти радиус описанной окружности.

    Так как у равностороннего треугольника все стороны равны, для решения задачи нужно всего лишь вписать ее значение в формулу. Получим: R = 5/√3.

    Ответ: R = 5/√3.


    Как найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника

    Формула выглядит следующим образом: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, где a и b – катеты и c – гипотенуза. Если сложить квадраты катетов в прямоугольном треугольнике, то получим квадрат гипотенузы. Как видно из формулы, данное выражение находится под корнем. Вычислив корень из квадрата гипотенузы, мы получим саму длину. Умножение получившегося выражения на 1/2 в итоге приводит нас к выражению 1/2 × c = c/2.

    Пример: Вычислить радиус описанной окружности, если катеты треугольника равны 3 и 4. Подставим значения в формулу. Получим: R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2.5.

    В данном выражение 5 – длина гипотенузы.

    Ответ: R = 2.5.


    Как найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника

    Формула выглядит следующим образом: R = a²/√(4a² – b²), где a – длина бедра треугольника и b – длина основания.

    Пример: Вычислить радиус окружности, если его бедро = 7, а основание = 8.

    Решение: Подставляем в формулу данные значения и получаем: R = 7²/√(4 × 7² – 8²).

    R = 49/√(196 – 64) = 49/√132. Ответ можно записать прямо так.

    Ответ: R = 49/√132


    Онлайн ресурсы для вычисления радиуса окружности

    Можно очень легко запутаться во всех этих формулах. Поэтому при необходимости можно воспользоваться онлайн калькуляторами, которые помогут вам в решении задач на нахождение радиуса. Принцип работы таких мини-программ очень прост. Подставляете значение стороны в соответствующее поле и получаете готовый ответ. Можно выбрать несколько вариантов округления ответа: до десятичных, сотых, тысячных и т.д.

    МКОУ «Волчихинская СШ №2»

    Учитель Бакута Е.П.

    9 класс

    Урок по теме «Формулы радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников»

    Цели урока:

    Образовательные: изучение формул радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников;

    Развивающие: активизация познавательной деятельности учащихся через решение практических задач, умение выбирать правильное решение, лаконично излагать свои мысли, анализировать и делать выводы.

    Воспитательные: организация совместной деятельности, воспитание у учащихся интереса к предмету, доброжелательности, умения выслушивать ответы товарищей.

    Оборудование: Мультимедийный компьютер, мультимедиапроектор, экспозиционный экран

    Ход урок:

    1. Организационный момент

    Чтобы спорилось нужное дело,

    А девизом нашего урока буду такие слова:

    Думать — коллективно!

    Решать — оперативно!

    Отвечать — доказательно!

    Бороться — старательно!

    2. Мотивация урока.

    3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

    Фронтальный опрос:

      Какая фигура называется многоугольником?

      Какой многоугольник называется правильным?

      Какое другое название правильного треугольника?

      Какое другое название правильного четырехугольника?

      Формула суммы углов выпуклого многоугольника.

      Формула угла правильного многоугольника.

    4. Изучение нового материала. (слайды)

      Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются окружности.

      Окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на окружности.

      Окружность можно вписать или описать около любого треугольника, причём центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника, а центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров.

      Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, причём центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.

      Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильного треугольника, правильного четырехугольника, правильного шестиугольника.

    Радиус вписанной окружности в правильный многоугольник (r):

    a — сторона многоугольника, N — количество сторон многоугольника

    Радиус описанной окружности правильного многоугольника(R):

    a — сторона многоугольника, N — количество сторон многоугольника.

    Заполним таблицу для правильного треугольника, правильного четырехугольника, правильного шестиугольника.

    5. Закрепление нового материала.

    Решить № 1088, 1090, 1092, 1099.

    6. Физминутка . Раз – потянуться Два – нагнуться

    Три – оглянуться Четыре – присест

    Пять – руки вверх Шесть – вперед

    Семь – опустили Восемь – сели

    Девять – встали Десять – снова сели

    7. Самостоятельная работа учащихся (работа в группах)

    Решить № 1093.

    8.Итоги урока. Рефлексия. Д/з.

    Какое впечатление у Вас сложилось? (Понравилось – не понравилось)

    – Какое настроение после урока? (Радостное – грустное)

    – Какое самочувствие? (Устал – не устал)

    – Какое отношение к пройденному материалу? (Понял – не понял)

    – Какова твоя самооценка после урока? (Доволен – не доволен)

    – Оцени свою активность на уроке. (Старался – не старался).

      п. 105-108 повторить;

      выучить формулы;

      1090, 1091, 1087(3)

    Есть у математики молва,

    Что она в порядок ум приводит,

    Потому хорошие слова

    Часто говорят о ней в народе.

    Ты нам, геометрия, даёшь

    Для победы важную закалку.

    Учится с тобою молодёжь

    Развивать и волю, и смекалку.

    Примечание Презентация содержит разделы:

    Повторение теоретического материала

    Проверка домашнего задания

    Вывод основных формул, т.е. новый материал

    Закрепление: решение задач в группах и самостоятельно

    Просмотр содержимого презентации


    «9_klass_pravilnye_mnogougolniki_urok_2»



    • Чтобы спорилось нужное дело,
    • Чтобы в жизни не знать неудач,
    • В математики мир отправимся смело,
    • В мир примеров и разных задач.

    ДЕВИЗ УРОКА

    Думать — коллективно!

    Решать — оперативно!

    Отвечать — доказательно!

    Бороться — старательно!

    И открытия нас ждут обязательно!



    Повторение.

    • Какая геометрическая фигура

    изображена на рисунке?

    D

    Е

    2.Какой многоугольник называется

    правильным?

    О

    3.Какая окружность называется

    вписанной в многоугольник?

    F

    С

    4.Какая окружность называется

    описанной около многоугольника?

    5.Назовите радиус вписанной окружности.

    А

    В

    Н

    6.Назовите радиус описанной окружности.

    7.Как найти центр вписанной в правильный

    многоугольник окружности?

    8.Как найти центр окружности описанной около

    правильного многоугольника?


    Проверка выполнения

    домашнего задания . .

    1084.

    β – угол, соответствующий

    дуге, которую стягивает

    сторона многоугольника .

    О

    А п

    А 2

    β

    Ответы:

    а) 6;

    б) 12;

    А

    А 1

    в) 4;

    г) 8;

    г) 10

    д) 20;

    е) 7.

    е) 5.



    ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК

    Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.


    Сумма углов правильного n -угольника

    Угол правильного n угольника


    Окружность называется вписанной в многоугольник,

    если все стороны многоугольника касаются этой окружности.

    Окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой

    окружности.


    Вписанная и описанная окружность

    Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.

    Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.



    Выведем формулу радиуса вписанной и радиуса описанной окружности правильного многоугольника.

    Пусть r – радиус вписанной окружности,

    R – радиус описанной окружности,

    п – количество сторон и углов многоугольника.

    Рассмотрим правильный п-угольник.

    Пусть а – сторона п-угольника,

    α – угол.

    Построим точку О – центр вписанной и описанной окружности.

    ОС – высота ∆АОВ.

    ∟ С = 90 º — (по построению),

    Рассмотрим ∆АОС:

    ∟ ОАС = α /2 — (ОА – биссектриса угла п- угольника),

    АС = а/2 – (ОС – медиана к основанию равнобедренного треугольника),

    ∟ АОВ = 360 º: п,

    пусть ∟АОС = β .

    тогда β = 0,5 ∙ ∟АОВ

    0,5 ∙ (360 º: п)

    2 sin (180 º: п)

    2 tg (180 º: п)


    Площадь правильного многоугольника

    Сторона правильного многоугольника

    Радиус вписанной окружности


    Группа 1 Дано: R , n =3 Найти: а

    Группа 2 Дано: R , n =4 Найти: а

    Группа 3 Дано: R , n =6 Найти: а

    Группа 4 Дано: r , n =3 Найти: а

    Группа 5 Дано: r , n = 4 Найти: а

    Группа 6 Дано: r , n = 6 Найти: а


    Группа 1 Дано: R , n =3 Найти: а


    Группа 2 Дано: R , n =4 Найти: а


    Группа 3 Дано: R , n =6 Найти: а


    Группа 4 Дано: r , n =3 Найти: а


    Группа 5 Дано: r , n = 4 Найти: а


    Группа 6 Дано: r , n = 6 Найти: а


    п = 3

    п = 4

    п = 6



    2 tg (180 º: п)

    2 sin (180 º: п)

    тогда 180 º: п

    У правильного треугольника п = 3,

    откуда 2 sin 60 º =

    тогда 180 º: п

    У правильного четырехугольника п = 4,

    откуда 2 sin 45 º =

    У правильного шестиугольника п = 6,

    тогда 180 º: п

    откуда 2 sin 30 º =


    Используя формулы радиусов вписанных и описанных окружностей некоторых правильных многоугольников, вывести формулы для нахождения зависимости сторон правильных многоугольников от радиусов вписанных и описанных окружностей и заполнить таблицу:

    2 R ∙ sin (180 º: п)

    2 r ∙ tg (180 º: п)


    треугольник

    шестиугольник


    Пп. 105 – 108;

    1087;

    1088 – подготовить таблицу.


    n = 4

    R

    r

    a 4

    P

    2

    6

    4

    S

    28

    16

    3

    3√2

    24

    32

    2√2

    4

    16

    16

    16√2

    32

    4√2

    2√2

    7

    3,5√2

    3,5

    49

    4

    2√2

    16

    2


    1087(5)

    Дано: S=16 , n =4

    Найти: a, r, R, P

    Мы знаем формулы:


    1088( 5 )

    Дано: P=6 , n = 3

    Найти: R, a, r, S

    Мы знаем формулы:


    108 9

    Дано:

    Найти:


    Подведем итог

    Мы знаем формулы:

    • п. 105-108 повторить;
    • выучить формулы;
    • 1090, 1091, 1087(3)

    Как найти радиус окружности? Этот вопрос всегда актуален для школьников, изучающих планиметрию. Ниже мы рассмотрим несколько примеров того, как можно справиться с поставленной задачей.

    В зависимости от условия задачи радиус окружности вы можете найти так.

    Формула 1: R = Л / 2π, где Л — это а π — константа, равная 3,141…

    Формула 2: R = √(S / π), где S — это величина площади круга.

    Формула 1: R = В/2, где В — гипотенуза.

    Формула 2: R = М*В, где В — гипотенуза, а М — медиана, проведенная к ней.

    Как найти радиус окружности, если она описана вокруг правильного многоугольника

    Формула: R = А / (2 * sin (360/(2*n))), где А — длина одной из сторон фигуры, а n — количество сторон в данной геометрической фигуре.

    Как найти радиус вписанной окружности

    Вписанной окружность называется тогда, когда она касается всех сторон многоугольника. Рассмотрим несколько примеров.

    Формула 1: R = S / (Р/2), где — S и Р — площадь и периметр фигуры соответственно.

    Формула 2: R = (Р/2 — А) * tg (а/2), где Р — периметр, А — длина одной из сторон, а — противолежащий этой стороне угол.

    Как найти радиус окружности, если она вписана в прямоугольный треугольник

    Формула 1:

    Радиус окружности, которая вписана в ромб

    Окружность можно вписать в любой ромб, как равносторонний, так и неравносторонний.

    Формула 1: R = 2 * Н, где Н — это высота геометрической фигуры.

    Формула 2: R = S / (А*2), где S — это а А — длина его стороны.

    Формула 3: R = √((S * sin А)/4), где S — это площадь ромба, а sin А — синус острого угла данной геометрической фигуры.

    Формула 4: R = В*Г/(√(В² + Г²), где В и Г — это длины диагоналей геометрической фигуры.

    Формула 5: R = В*sin (А/2), где В — диагональ ромба, а А — это угол в вершинах, соединяющих диагональ.

    Радиус окружности, которая вписана в треугольник

    В том случае, если в условии задачи вам даны длины всех сторон фигуры, то сначала высчитайте (П), а затем полупериметр (п):

    П = А+Б+В, где А, Б, В — длин сторон геометрической фигуры.

    Формула 1: R = √((п-А)*(п-Б)*(п-В)/п).

    А если, зная все те же три стороны, вам дана еще и то можете рассчитать искомый радиус следующим образом.

    Формула 2: R = S * 2(А + Б + В)

    Формула 3: R = S/п = S / (А+Б+В)/2), где — п — это полупериметр геометрической фигуры.

    Формула 4: R = (п — А) * tg (А/2), где п — это полупериметр треугольника, А — одна из его сторон, а tg (А/2) — тангенс половины противолежащего этой стороне угла.

    А ниже приведенная формула поможет отыскать радиус той окружности, которая вписана в

    Формула 5: R =А * √3/6.

    Радиус окружности, которая вписана в прямоугольный треугольник

    Если в задаче даны длины катетов, а также гипотенуза, то радиус вписанной окружности узнается так.

    Формула 1: R = (А+Б-С)/2, где А, Б — катеты, С — гипотенуза.

    В том случае, если вам даны только два катета, самое время вспомнить теорему Пифагора, чтобы гипотенузу найти и воспользоваться вышеприведенной формулой.

    С = √(А²+Б²).

    Радиус окружности, которая вписана в квадрат

    Окружность, которая вписана в квадрат, делит все его 4 стороны ровно пополам в точках касания.

    Формула 1: R = А/2, где А — длина стороны квадрата.

    Формула 2: R = S / (Р/2), где S и Р — площадь и периметр квадрата соответственно.

    В данной статье речь пойдёт о том, как выразить площадь многоугольника, в который можно вписать окружность, через радиус этой окружности. Сразу стоит отметить, что не во всякий многоугольник можно вписать окружность. Однако, если это возможно, то формула, по которой вычисляется площадь такого многоугольника, становится очень простой. Дочитайте эту статью до конца или посмотрите прилагающийся видеоурок, и вы узнаете, как же выразить площадь многоугольника через радиус вписанной в него окружности.

    Формула площади многоугольника через радиус вписанной окружности


    Нарисуем многоугольник A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 , не обязательно правильный, но такой, в который можно вписать окружность. Напомню, что вписанной называется окружность, которая касается всех сторон многоугольника. На рисунке это зелёная окружность с центром в точке O :

    Мы взяли здесь для примера 5-угольник. Но на самом деле это не имеет существенного значения, поскольку дальнейшее доказательство справедливо и для 6-угольника и для 8-угольника и вообще для любого сколь угодно «угольника».

    Если соединить центр вписанной окружности со всеми вершинами многоугольника, то он разобьётся на столько треугольников, сколько вершин в данном многоугольнике. В нашем случае: на 5 треугольников. Если же соединить точку O со всеми точками касания вписанной окружности со сторонами многоугольника, то получится 5 отрезков (на рисунке снизу это отрезки OH 1 , OH 2 , OH 3 , OH 4 и OH 5), которые равны радиусу окружности и перпендикулярны сторонам многоугольника, к которым они проведены. Последнее справедливо, поскольку радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной:

    Как же найти площадь нашего описанного многоугольника? Ответ прост. Нужно сложить площади всех полученных в результате разбиения треугольников:

    Рассмотрим, чему равна площадь треугольника . На рисунке снизу он выделен жёлтым цветом:

    Она равна половине произведения основания A 1 A 2 на высоту OH 1 , проведённую к этому основанию. Но, как мы уже выяснили, эта высота равна радиусу вписанной окружности. То есть формула площади треугольника принимает вид: , где r — радиус вписанной окружности. Аналогично находятся площади всех оставшихся треугольников. В результате искомая площадь многоугольника оказывается равна:

    Видно, что во всех слагаемых этой суммы ест общий множитель , который можно вынести за скобки. В результате получится вот такое выражение:

    То есть в скобках осталась просто сумма всех сторон многоугольника, то есть его периметр P . Чаще всего в этой формуле выражение заменяют просто на p и называют эту букву «полупериметром». В результате, окончательная формула принимает вид:

    То есть площадь многоугольника, в который вписана окружность известного радиуса, равна произведению этого радиуса на полупериметр многоугольника. Это и есть тот результат, в которому мы стремились.

    Отметит напоследок, что в треугольник, который является частным случаем многоугольника, всегда можно вписать окружность. Поэтому для треугольника эту формулу можно применять всегда. Для остальных многоугольников, с количеством сторон большим 3, сперва нужно убедиться, что в них можно вписать окружность. Если это так, можно смело использовать эту простую формулу и находить по ней площадь этого многоугольника.

    Материал подготовил , Сергей Валерьевич

    Если окружность располагается внутри угла и касается его сторон, её называют вписанной в этот угол. Центр такой вписанной окружности располагается на биссектрисе этого угла .

    Если же она лежит внутри выпуклого многоугольника и соприкасается со всеми его сторонами, она называется вписанной в выпуклый многоугольник.

    Окружность, вписанная в треугольник, соприкасается с каждой стороной этой фигуры лишь в одной точке. В один треугольник возможно вписать лишь одну окружность.

    Радиус такой окружности будет зависеть от следующих параметров треугольника:

    1. Длин сторон треугольника.
    2. Его площади.
    3. Его периметра.
    4. Величины углов треугольника.

    Для того чтобы вычислить радиус вписанной окружности в треугольник, не всегда обязательно знать все перечисленные выше параметры, поскольку они взаимосвязаны между собой через тригонометрические функции.

    Вычисление с помощью полупериметра

    1. Если известны длины всех сторон геометрической фигуры (обозначим их буквами a, b и c), то вычислять радиус придётся путём извлечения квадратного корня.
    2. Приступая к вычислениям, необходимо добавить к исходным данным ещё одну переменную — полупериметр (р). Его можно рассчитать, сложив все длины и полученную сумму разделив на 2. p = (a+b+c)/2. Таким образом можно существенно упростить формулу нахождения радиуса.
    3. В целом формула должна включать в себя знак радикала, под который помещается дробь, знаменателем этой дроби будет величина полупериметра р.
    4. Числителем данной дроби будет представлять собой произведение разностей (p-a)*(p-b)*(p-c)
    5. Таким образом, полный вид формулы будет представлен следующим образом: r = √(p-a)*(p-b)*(p-c)/p).

    Вычисление с учётом площади треугольника

    Если нам известна площадь треугольника и длины всех его сторон, это позволит найти радиус интересующей нас окружности, не прибегая к извлечению корней.

    1. Для начала нужно удвоить величину площади.
    2. Результат делится на сумму длин всех сторон. Тогда формула будет выглядеть следующим образом: r = 2*S/(a+b+c).
    3. Если воспользоваться величиной полупериметра, можно получить совсем простую формулу: r = S/p.

    Расчёт с помощью тригонометрических функций

    Если в условии задачи присутствует длина одной из сторон, величина противоположного угла и периметр, можно воспользоваться тригонометрической функцией — тангенсом. В этом случае формула расчёта будет иметь следующий вид:

    r = (P /2- a)* tg (α/2), где r — искомый радиус, Р — периметр, а — значение длины одной из сторон, α — величина противоположного стороне, а угла.

    Радиус окружности, которую необходимо будет вписывать в правильный треугольник, можно найти по формуле r = a*√3/6.

    Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

    В прямоугольный треугольник можно вписать только одну окружность . Центр такой окружности одновременно служит точкой пересечения всех биссектрис. Эта геометрическая фигура имеет некоторые отличительные черты, которые необходимо учесть, вычисляя радиус вписанной окружности.

    1. Для начала необходимо выстроить прямоугольный треугольник с заданными параметрами. Построить такую фигуру можно по размеру её одной стороны и величинам двух углов или же по двум сторонам и углу между этими сторонами. Все эти параметры должны быть указаны в условии задачи. Треугольник обозначается как АВС, причём С — это вершина прямого угла. Катеты при этом обозначаются переменными, а и b , а гипотенуза — переменной с .
    2. Для построения классической формулы и вычисления радиуса окружности необходимо найти размеры всех сторон описанной в условии задачи фигуры и по ним вычислить полупериметр. Если в условиях даются размеры двух катетов, по ним можно вычислить величину гипотенузы, исходя из теоремы Пифагора.
    3. Если в условии дан размер одного катета и одного угла, необходимо понять, прилежащий этот угол или противолежащий. В первом случае гипотенуза находится с помощью теоремы синусов: с=a/sinСАВ , во втором случае применяют теорему косинусов с=a/cosCBA .
    4. Когда все расчёты выполнены и величины всех сторон известны, находят полупериметр по формуле, описанной выше.
    5. Зная величину полупериметра, можно найти радиус. Формула представляет собой дробь. Её числителем является произведение разностей полупериметра и каждой из сторон, а знаменателем -величина полупериметра.

    Следует заметить, что числитель данной формулы является показателем площади. В этом случае формула нахождения радиуса гораздо упрощается — достаточно разделить площадь на полупериметр.

    Определить площадь геометрической фигуры можно и в том случае, если известны оба катета. По сумме квадратов этих катетов находится гипотенуза, далее вычисляется полупериметр. Вычислить площадь можно, умножив друг на друга величины катетов и разделив полученное на 2.

    Если в условиях даны длины и катетов и гипотенузы, определить радиус можно по очень простой формуле: для этого складываются длины катетов, из полученного числа вычитается длина гипотенузы. Результат необходимо разделить пополам.

    Видео

    Из этого видео вы узнаете, как находить радиус вписанной в треугольник окружности.

    Не получили ответ на свой вопрос? Предложите авторам тему.

    чему равен, способы нахождения через синус

    Радиус описанной около треугольника окружности

    Определение

    Треугольник является геометрической фигурой на плоскости, которая включает три стороны в виде отрезков, образованных с помощью соединения трех точек, не лежащих на одной прямой.

    Обозначают данную геометрическую фигуру символом △.

    Точками A, B и C обычно обозначают вершины треугольника. Отрезки AB, BC и AC определяют стороны треугольника, которые, как правило, обозначают с помощью латинской буквы. К примеру, AB = a, BC = b, AC = c.

    Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

    Внутренность треугольника представляет собой часть плоскости, которая ограничена сторонами треугольника. Стороны треугольника в вершинах формируют три угла, которые обычно обозначают, используя греческие буквы – \(\alpha, \beta, \gamma\) и другие. По этой причине треугольник получил название многоугольника с тремя углами. Для обозначения углов также применяют символ ∠, к примеру:

    • \(\alpha \)∠BAC или ∠CAB;
    • \(\beta\) ∠ABC или ∠CBA;
    • \(\gamma \)∠ACB или ∠BCA.

    Треугольники различают по величине углов или количеству равных сторон:

    • остроугольный, в котором все три угла острые, то есть меньше \(90^{0}\);
    • тупоугольный, обладает один из углов больше \(90^{0}\), а два остальных угла являются острыми;
    • прямоугольный с одним прямым углом в \(90^{0}\), двумя сторонами, образующими прямой угол, которые называют катетами, третьей стороной, расположенной напротив прямого угла в виде гипотенузы;
    • разносторонний, со сторонами разной длины;
    • равнобедренный, с двумя одинаковыми боковыми сторонами и третьей стороной в виде основания, углы при котором равны;
    • равносторонний (правильный) обладает тремя сторонами с одинаковой длиной и углами, равными по \(60^{0}\).
    Определение

    Окружностью называют замкнутую плоскую прямую, каждая точка которой равноудалена от данной точки или центра, лежащей в той же плоскости, что и кривая.

    Примечание

    Окружность, описанная около треугольника, является окружностью, проходящей через все три вершины рассматриваемого треугольника.

    Радиус окружности, описанной около треугольника, определяется с помощью специальных формул, подкрепленных соответствующими доказательствами. Первая закономерность позволяет рассчитать его согласно расширенной теореме синусов: 

    • радиус R окружности, описанной около треугольника, равен отношению стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего угла.

    Формула для нахождения радиуса:

    \(R=\frac{AB}{2\sin \angle C} =\frac{AC}{2\sin \angle B} =\frac{BC}{2\sin \angle A}\)

     

    Вторую формулу для определения радиуса описанной около треугольника окружности записывают таким образом:

    \(R=\frac{AB*BC*AC}{4S_{ABC}}\)

    Общий вид:

    \(R=\frac{abc}{4S}\)

    Таким образом, для определения радиуса окружности, которая описана около треугольника, требуется произведение длины сторон этой геометрической фигуры разделить на четыре площади треугольника.

    Площадь треугольника можно рассчитать, используя формулу Герона:

    \(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)

    В данном случае р обозначает полупериметр и определяется по формуле:

    \(p=\frac{a+b+c}{2}\)

    В результате преобразованная формула для определения радиуса описанной около треугольника окружности примет следующий вид:

    \(R=\frac{abc}{4\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}\)

    Представленные закономерности справедливы в случае любого треугольника, независимо от его вида. При расчетах необходимо учитывать расположение центра описанной окружности.

     

    Расположение центра окружности, описанной около треугольника:

    • остроугольный треугольник – во внутренней области;
    • прямоугольный треугольник – на середине гипотенузы;
    • тупоугольный треугольник – вне геометрической фигуры, напротив тупого угла.

    Вычисление радиуса через стороны

    Выше были рассмотрены формулы, с помощью которых можно определить радиус окружности, описанной вокруг треугольника, зная его стороны. {0}}{n}}\)

    Здесь а является длиной стороны многоугольника, n – определяет количество его сторон.

    Частным случаем правильного многоугольника является правильный треугольник. Тогда данную формулу можно применить для расчета радиуса окружности, описанной около правильного треугольника.

     

    Формула радиуса описанной окружности для правильного треугольника:

    \(R=\frac{a}{\sqrt{3}}\)

    Исключая иррациональность в знаменателе, получим:

    \(R=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

    Следует заметить, что в случае правильного треугольника радиус описанной окружности в два раза превышает радиус вписанной окружности:

    R=2r

    Формула для произвольного треугольника

    Как правило, при решении задач по геометрии необходимо вычислить радиус окружности, описанной около произвольного треугольника. В этом случае целесообразно воспользоваться формулой:

    \(R=\frac{abc}{4S}\)

     

    Справедливо следующее равенство:

    \(R=\frac{a}{2\sin \alpha }=\frac{b}{2\sin \beta }= \frac{c}{2\sin \gamma }\)

    где a, b, c являются длинами сторон треугольника, \(\alpha, \beta, \gamma\) определяются, как противолежащие этим сторонам углы, S представляет собой площадь треугольника.

    Формула для прямоугольного треугольника

    Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности можно определить по формуле:

    \(R=\frac{AB}{2}\)

     

    Таким образом, в случае прямоугольного треугольника радиус окружности, которая описана около него, равен половине гипотенузы. Как правило, ее обозначают с помощью «с», то есть АВ = с. Поэтому формула принимает следующий вид:

    \(R=\frac{c}{2}\)

    Примеры решения задач

    Задача 1

    Стороны треугольника равны 4, 6 и 9 см. Необходимо определить радиус окружности, которая описана около данного треугольника.

    Решение

    В первую очередь нужно рассчитать площадь рассматриваемого треугольника. Зная длины его сторон, ее можно определить с помощью формулы Герона:

    \(S=\sqrt{9.5(9.5-4)*(9.5-6)*(9.5-9)}\approx 9.56\)

    Затем достаточно просто найти радиус окружности:

    \(R=\frac{4*6*9}{4*9.56}\approx 5.65\)

    Ответ: радиус окружности равен 5. {\circ}\)

    Вычисли радиус окружности описанной около треугольника

    Радиус описанной около треугольника окружности можно найти по одной из двух общих формул.

    Кроме того, для правильного и прямоугольного треугольников существуют дополнительные формулы.

    Радиус описанной около произвольного треугольника окружности

    То есть радиус описанной окружности равен отношению длины стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего этой стороне угла.

    В общем виде эту формулу записывают так:

    То есть чтобы найти радиус описанной около треугольника окружности, надо произведения длин сторон треугольника разделить на четыре площади треугольника.

    Если площадь треугольника находить по формуле Герона

    где p — полупериметр,

    то получим формулу радиуса описанной около треугольника окружности через длины сторон:

    Обе эти формулы можно применить к треугольнику любого вида. Следует только учесть положение центра.

    Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы.

    Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника, напротив тупого угла.

    Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника

    Формула:

    То есть в прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.

    Обычно гипотенузу обозначают через c (AB=c) и формулу записывают так:

    Радиус окружности, описанной около правильного треугольника

    Если без иррациональности в знаменателе, то

    В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:

    Расчет параметров описанной вокруг треугольника окружности.

    Дополню коллекцию калькуляторов треугольников калькулятором, рассчитывающим параметры описанной вокруг треугольника окружности.
    Собственно, ключевой вопрос — найти ее радиус.

    Радиус ищется так:

    Калькулятор рассчитывает радиус, площадь описанной окружности, площадь треугольника и отношение площадей.

    a — боковые стороны трапеции

    c — нижнее основание

    b — верхнее основание

    d — диагональ

    h — высота

    p = ( a + d + c )/2

    Формула радиуса описанной окружности трапеции, (R)

    Радиус описанной окружности правильного многоугольника

    a — сторона многоугольника

    N — количество сторон многоугольника

    Радиус описанной окружности правильного многоугольника, ( R ):

    Радиус описанной окружности правильного шестиугольника

    a — сторона шестиугольника

    d — диагональ шестиугольника

    Радиус описанной окружности правильного шестиугольника (R):

    Радиус описанной окружности прямоугольника по стороне

    a , b — стороны прямоугольника

    d — диагональ

    Радиус описанной окружности прямоугольника (R):

    Найти радиус описанной окружности около квадрата

    a — сторона квадрата

    d — диагональ

    Радиус описанной окружности квадрата (R):

    Найти радиус описанной окружности треугольника, формула

    a , b , c — стороны треугольника

    p= ( a + b + c )/2

    Формула радиуса описанной окружности треугольника, ( R ):

    Найти радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне

    a — сторона треугольника

    Радиус описанной окружности равностороннего треугольника (R):

    найти радиус описанной окружности равнобедренного треугольника по сторонам

    Зная стороны равнобедренного треугольника, можно по формуле, найти, радиус описанной окружности около этого треугольника.

    a , b — стороны треугольника

    Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника (R):

    Найти радиус описанной окружности прямоугольного треугольника по катетам

    a , b — катеты прямоугольного треугольника

    c — гипотенуза

    Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника (R):

    Формула

    . Чему равна площадь круга, описанного и вписанного в квадрат, прямоугольный и равнобедренный треугольник, прямоугольную, равнобедренную трапецию

    • Длина диаметра — отрезок, проходящий через центр окружности и соединяющий две противоположные точки окружности, или радиус — отрезок, одна из крайних точек которого расположена в центре окружности, а вторая — по дуге окружности. Таким образом, диаметр равен длине радиуса, умноженной на два.
    • Значение числа π. Это значение является константой — иррациональной дробью, у которой нет конца. Однако он не периодический. Это число выражает отношение длины окружности к ее радиусу. Для вычисления площади круга в задачах школьного курса используется значение π, приведенное с точностью до сотых, — 3,14.

    Формулы для нахождения площади круга, его сегмента или сектора

    В зависимости от специфики условий геометрической задачи две формулы для нахождения площади круга:

    Чтобы определить, как найти площадь круга проще всего, нужно внимательно проанализировать условия задачи.

    В школьный курс геометрии включены также задания на вычисление площади отрезков или секторов, для которых используются специальные формулы:

    1. Сектор – это часть окружности, ограниченная окружностью и углом с вершиной, расположенной в центре. Площадь сектора рассчитывается по формуле: S = (π*r 2 /360)*А;
      • r — радиус;
      • А — угол в градусах.
      • r – радиус;
      • p — длина дуги.
    2. Есть и второй вариант S=0,5*p*r;

    3. Отрезок — это часть, ограниченная сечением окружности (хордой) и окружностью. Его площадь можно найти по формуле S = (π * r 2 / 360) * A ± С ∆ ;
    • r — радиус;
    • A – значение угла в градусах;
    • S ∆ – площадь треугольника, сторонами которого являются радиусы и хорда окружности; причем одна ее вершина расположена в центре окружности, а две другие — в точках касания дуги окружности с хордой.Важный момент — знак минус ставится, если значение А меньше 180 градусов, а знак плюс — если больше 180 градусов.

    Чтобы упростить решение геометрической задачи, можно вычислить площадь круга онлайн . Специальная программа быстро и точно сделает расчет за пару секунд. Как посчитать площадь фигур онлайн? Для этого нужно ввести известные исходные данные: радиус, диаметр, угол.

    Инструкция

    Используйте пи, чтобы найти радиус известного квадратного круга. Эта константа задает пропорцию между диаметром круга и длиной его границы (окружности). Окружность максимальной площади плоскости, которую можно покрыть с ее помощью, а диаметр равен двум радиусам, следовательно, площадь с радиусом также соотносятся между собой пропорцией, которую можно выразить через число Пи. Эта константа (π) определяется как площадь (S) и квадрат радиуса (r) круга. Отсюда следует, что радиус можно выразить как Квадратный корень из частного от деления площади на Пи: r=√(S/π).

    Долгое время Эрастофен возглавлял Александрийскую библиотеку, самую известную библиотеку древнего мира. Помимо того, что он вычислил размеры нашей планеты, он сделал еще ряд важных изобретений и открытий. Изобрел простой метод определения простых чисел, получивший название «решето Эрастотена».

    Он нарисовал «карту мира», на которой показал все части света, известные на тот момент древним грекам. Карта считалась одной из лучших для своего времени.Разработал систему долготы и широты и календарь, включающий високосные годы. Изобрел механическое устройство армиллярной сферы, которое первые астрономы использовали для демонстрации и предсказания видимого движения звезд на небе. Он также составил звездный каталог, в который вошли 675 звезд.

    Источники:

    • Греческий ученый Эратосфен из Кирены впервые в мире вычислил радиус Земли

    Окружность — это видимая совокупность множества точек, находящихся на одинаковом расстоянии от центра.Чтобы найти его площадь, нужно знать, что такое радиус, диаметр, число π и длина окружности.

    Величины, участвующие в вычислении площади круга

    Расстояние, ограниченное центром окружности и любой из точек окружности, называется радиусом этой окружности. геометрическая фигура. Длины всех радиусов одной окружности одинаковы. Отрезок линии между любыми двумя точками окружности, проходящей через центральную точку, называется диаметром. Длина диаметра равна длине радиуса, умноженной на 2.

    Для вычисления площади круга используется значение числа π. Эта величина равна отношению длины окружности к длине диаметра окружности и имеет постоянное значение. П = 3,1415926. Длина окружности рассчитывается по формуле L=2πR.

    Найдите площадь круга по радиусу

    Следовательно, площадь круга равна произведению числа π на радиус круга, возведенный во 2-ю степень. В качестве примера возьмем длину радиуса окружности равной 5 см.2. Другими словами, диаметр в степени 2 равен квадрату стороны в степени 2, умноженному на 2.

    Рассчитав значение длины диаметра круга, можно узнать и его радиус, а затем воспользоваться одной из формул определения площади круга.

    Площадь сектора круга

    Сектор – это часть окружности, ограниченная двумя радиусами и дугой между ними. Чтобы узнать его площадь, нужно измерить угол сектора. После этого необходимо составить дробь, в числителе которой будет значение угла сектора, а в знаменателе – 360.Для вычисления площади сектора значение, полученное в результате деления дроби, нужно умножить на площадь круга, рассчитанную по одной из приведенных выше формул.


    Кружки требуют более внимательного подхода и гораздо реже встречаются в заданиях B5. Однако общая схема решения еще проще, чем в случае многоугольников (см. урок «Площади многоугольников на координатной сетке»).

    Все, что требуется в таких задачах, это найти радиус окружности R.Затем можно вычислить площадь круга по формуле S = πR 2 . Из этой формулы также следует, что для решения достаточно найти R 2 .

    Чтобы найти указанные значения, достаточно указать на окружности точку, лежащую на пересечении линий сетки. А потом использовать теорему Пифагора. Рассмотрим конкретные примеры расчета радиуса:

    Задача. Найдите радиусы трех окружностей, изображенных на рисунке:

    Выполним дополнительные построения в каждом круге:


    В каждом случае на окружности выбирается точка B, которая лежит на пересечении линий сетки.Точка C в кругах 1 и 3 завершает фигуру до прямоугольного треугольника. Осталось найти радиусы:

    Рассмотрим треугольник ABC в первой окружности. По теореме Пифагора: R 2 = АВ 2 = АС 2 + ВС 2 = 2 2 + 2 2 = 8.

    Для второго круга все очевидно: R = AB = 2.

    Третий случай аналогичен первому. Из треугольника ABC по теореме Пифагора: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 1 2 + 2 2 = 5.

    Теперь мы знаем, как найти радиус круга (или хотя бы его квадрат). Следовательно, мы можем найти площадь. Есть задачи, где требуется найти площадь сектора, а не всей окружности. В таких случаях легко узнать, какой частью круга является этот сектор, и тем самым найти площадь.

    Задача. Найдите площадь S заштрихованного сектора. В ответе укажите S/π.

    Очевидно, сектор составляет четверть круга. Следовательно, S = 0.25 с. круг.

    Осталось найти S круга — площадь круга. Для этого выполним дополнительную конструкцию:

    Треугольник ABC прямоугольный. По теореме Пифагора имеем: R 2 = АВ 2 = АС 2 + ВС 2 = 2 2 + 2 2 = 8.

    Теперь находим площадь круга и сектора: S круга = πR 2 = 8π; S = 0,25 S круг = 2π.

    Наконец, искомое значение равно S /π = 2.

    Площадь сектора с неизвестным радиусом

    Это совершенно новый тип задач, ничего подобного в 2010-2011 годах не было.По условию нам дана окружность определенной площади(именно площади, а не радиуса!). Затем внутри этого круга выделяется сектор, площадь которого требуется найти.

    Радует то, что эти задачи самые простые из всех задач на квадрат, которые есть на ЕГЭ по математике. Кроме того, круг и сектор всегда размещаются на координатной сетке. Поэтому, чтобы узнать, как решать такие задачи, просто взгляните на картинку:

    Пусть площадь исходного круга S = 80.Затем его можно разбить на два сектора площадью S = 40 каждый (см. шаг 2). Аналогичным образом каждую из этих «полу» секторов можно разделить еще раз пополам — получится четыре сектора площадью S = 20 каждый (см. шаг 3). Наконец, можно разделить каждый из этих секторов еще на два — получится 8 секторов — «кусочков». Площадь каждого из этих «кусков» будет равна S = 10,

    .

    Обратите внимание: ни в одном задании ЕГЭ по математике нет деления на меньшее! Таким образом, алгоритм решения задачи Б-3 выглядит следующим образом:

    1. Разрежьте исходный круг на 8 секторов — «кусочков».Площадь каждого из них составляет ровно 1/8 площади всего круга. Например, если по условию круг имеет площадь S круга = 240, то «шишки» имеют площадь S = 240: 8 = 30;
    2. Узнайте, сколько «шишек» поместилось в исходном секторе, площадь которого вы хотите найти. Например, если наш сектор содержит 3 «шишки» площадью 30, то площадь искомого сектора S = 3·30 = 90. Это и будет ответом.

    Вот и все! Задача решается практически устно.Если вы все еще чего-то не понимаете, купите пиццу и разрежьте ее на 8 частей. Каждый такой кусок будет таким же сектором — «кусочком», который можно объединять в более крупные куски.

    А теперь давайте рассмотрим примеры из пробного экзамена:

    Задача. На клетчатой ​​бумаге начерчен круг площадью 40. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

    Итак, площадь круга равна 40. Разделим его на 8 секторов — каждый площадью S=40:5=8. Получаем:

    Очевидно, что заштрихованный сектор состоит ровно из двух «маленьких» секторов.Следовательно, его площадь 2·5=10. Вот и все решение!

    Задача. На клетчатой ​​бумаге начерчен круг площадью 64. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

    Снова разделите весь круг на 8 равных секторов. Очевидно, что площадь одного из них просто необходимо найти. Следовательно, его площадь равна S = 64:8 = 8,

    .

    Задача. На клетчатой ​​бумаге начерчен круг площадью 48 см. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

    Снова разделите круг на 8 равных секторов.Площадь каждого из них равна S = 48:8 = 6. В искомом секторе помещается ровно три сектора-«маленьких» (см. рисунок). Следовательно, площадь искомого сектора равна 3·6=18,

    .

    Как найти площадь круга? Сначала найдите радиус. Научитесь решать простые и сложные задачи.

    Окружность — это замкнутая кривая. Любая точка на линии окружности будет находиться на одинаковом расстоянии от центральной точки. Круг — плоская фигура, поэтому решать задачи с нахождением площади несложно.В этой статье мы рассмотрим, как найти площадь круга, вписанного в треугольник, трапецию, квадрат и описанного вокруг этих фигур.

    Чтобы найти площадь заданной фигуры, нужно знать, что такое радиус, диаметр и число π.

    Радиус R — это расстояние, ограниченное центром окружности. Длины всех R-радиусов одной окружности будут равны.

    Диаметр D — это линия между любыми двумя точками на окружности, проходящая через центральную точку.Длина этого отрезка равна длине R-радиуса, умноженной на 2.

    Число π является постоянной величиной, равной 3,1415926. В математике это число обычно округляют до 3,14.

    Формула нахождения площади круга по радиусу:

    Примеры решения задач на нахождение S-площади круга через R-радиус:

    Задача: Найдите площадь круга, если его радиус равен 7 см.

    Решение: S=πR², S=3,14*7², S=3,14*49=153,86 см².

    Ответ: Площадь круга равна 153,86 см².

    Формула для нахождения S-площади круга через D-диаметр:

    Примеры решения задач на нахождение S, если известно D:

    —————————————————————————————————————-

    Задача: Найдите S круга, если его D равно 10 см.

    Решение: P=π*d²/4, P=3.14*10²/4=3,14*100/4=314/4=78,5 см².

    Ответ: Площадь плоской круглой фигуры равна 78,5 см².

    Нахождение окружности S, если длина окружности известна:

    Сначала найдите радиус. Длина окружности рассчитывается по формуле: L=2πR, соответственно радиус R будет равен L/2π. Теперь находим площадь круга по формуле через р.

    Рассмотрим решение на примере задачи:

    ————————————————————————————————————-

    Задача: Найдите площадь круга, если известна длина окружности L — 12 см.

    Решение: Сначала найдем радиус: R=L/2π=12/2*3,14=12/6,28=1,91.

    Теперь найдем площадь через радиус: S=πR²=3,14*1,91²=3,14*3,65=11,46 см².

    Ответ: Площадь круга равна 11,46 см².



    Найти площадь круга, вписанного в квадрат, несложно. Сторона квадрата — это диаметр круга. Чтобы найти радиус, нужно разделить сторону на 2.

    Формула для нахождения площади круга, вписанного в квадрат:

    Примеры решения задач на нахождение площади круга, вписанного в квадрат:

    ————————————————————————————————————

    Задание №1: Известна сторона квадратной фигуры, равная 6 сантиметрам.Найдите S-площадь вписанного круга.

    Решение: S=π(a/2)²=3,14(6/2)²=3,14*9=28,26 см².

    Ответ: Площадь плоской круглой фигуры равна 28,26 см².

    —————————————————————————————————————

    Задание №2 : Найдите S круга, вписанного в квадратную фигуру, и его радиус, если одна сторона равна а=4 см.

    Решите так : Сначала найдите R=a/2=4/2=2 см.

    Теперь найдем площадь круга S=3.14*2²=3,14*4=12,56 см².

    Ответ: Площадь плоской круглой фигуры равна 12,56 см².



    Чуть сложнее найти площадь круглой фигуры, описанной квадратом. Но, зная формулу, можно быстро рассчитать это значение.

    Формула для нахождения S окружности, описанной вокруг квадратной фигуры:

    Примеры решения задач на нахождение площади круга, описанного возле квадратной фигуры:

    Задача





    Окружность, вписанная в треугольную фигуру, — это окружность, которая касается всех трех сторон треугольника.Окружность можно вписать в любую треугольную фигуру, но только в одну. Центр окружности будет точкой пересечения биссектрис углов треугольника.

    Формула нахождения площади круга, вписанного в равнобедренный треугольник:



    Когда известен радиус, площадь можно рассчитать по формуле: S=πR².

    Формула нахождения площади круга, вписанного в прямоугольный треугольник:



    Примеры решения задач:

    Задача №1



    Если в этой задаче нужно еще найти площадь круга радиусом 4 см, то это можно сделать по формуле: S=πR²

    Задача №2



    Решение:



    Теперь, когда вы знаете радиус, вы можете найти площадь круга через радиус. См. формулу выше.

    Задача №3



    Площадь окружности, описанной около прямоугольного и равнобедренного треугольника: формула, примеры решения задачи

    Все формулы нахождения площади круга сводятся к тому, что сначала нужно найти его радиус. Когда известен радиус, то найти площадь просто, как описано выше.

    Площадь круга, описанного около прямоугольного и равнобедренного треугольника, находится по следующей формуле:



    Примеры решения задач:



    Вот еще один пример решения задачи по формуле Герона.



    Решать такие задачи сложно, но с ними можно справиться, если знать все формулы. Такие задачи решают учащиеся 9 класса.

    Площадь окружности, вписанной в прямоугольную и равнобедренную трапецию: формула, примеры решения задачи

    У равнобедренной трапеции две стороны равны. У прямоугольной трапеции один угол равен 90º. Рассмотрим, как найти площадь круга, вписанного в прямоугольную и равнобедренную трапецию на примере решения задачи.

    Например, в равнобедренную трапецию вписана окружность, которая в точке касания делит одну сторону на отрезки m и n.

    Для решения этой задачи необходимо использовать следующие формулы:



    Нахождение площади круга, вписанного в прямоугольную трапецию, производится по следующей формуле:



    Если известна боковая сторона, то через это значение можно найти радиус. Высота стороны трапеции равна диаметру окружности, а радиус равен половине диаметра.Соответственно, радиус R=d/2.

    Примеры решения задач:



    Трапецию можно вписать в окружность, если сумма ее противоположных углов равна 180º. Следовательно, вписать можно только равнобедренную трапецию. Радиус для расчета площади окружности, описанной около прямоугольной или равнобедренной трапеции, рассчитывается по следующим формулам:





    Примеры решения задач:



    Решение: Большое основание в данном случае проходит через центр, так как в окружность вписана равнобедренная трапеция. Центр делит это основание ровно пополам. Если основание AB равно 12, то радиус R можно найти следующим образом: R=12/2=6.

    Ответ: Радиус равен 6.

    В геометрии важно знать формулы. Но запомнить их все невозможно, поэтому даже на многих экзаменах допускается использование специальной формы. Однако важно уметь найти правильную формулу для решения той или иной задачи. Практикуйтесь в решении разных задач на нахождение радиуса и площади круга, чтобы уметь правильно подставлять формулы и получать точные ответы.

    Видео: Математика | Вычисление площади круга и его частей

    Формула

    . Чему равна площадь круга, описанного и вписанного в квадрат, прямоугольный и равнобедренный треугольник, прямоугольную, равнобедренную трапецию

    Окружность — это видимая совокупность множества точек, находящихся на одинаковом расстоянии от центра. Чтобы найти его площадь, нужно знать, что такое радиус, диаметр, число π и длина окружности.

    Величины, участвующие в вычислении площади круга

    Расстояние, ограниченное центром окружности и любой из точек окружности, называется радиусом этой геометрической фигуры.Длины всех радиусов одной окружности одинаковы. Отрезок между любыми двумя точками окружности, проходящий через центральную точку, называется диаметром. Длина диаметра равна длине радиуса, умноженной на 2.

    Чтобы вычислить площадь круга, используйте значение π. Эта величина равна отношению длины окружности к длине диаметра окружности и имеет постоянное значение. П = 3,1415926. Длина окружности рассчитывается по формуле L = 2πR.2. Другими словами, диаметр в степени 2 равен стороне квадрата в степени 2, умноженной на 2.

    Рассчитав значение длины диаметра круга, можно узнать его радиус, а затем воспользоваться одной из формул определения площади круга.

    Площадь сектора круга

    Сектор – это часть окружности, ограниченная двумя радиусами и дугой между ними. Чтобы узнать его площадь, нужно измерить угол сектора. После этого нужно составить дробь, в числителе которой будет значение угла сектора, а в знаменателе – 360.Для вычисления площади сектора значение, полученное в результате деления дроби, необходимо умножить на площадь круга, рассчитанную по одной из приведенных выше формул.


    • Длина диаметра — отрезок, проходящий через центр окружности и соединяющий две противоположные точки окружности, или радиус — отрезок, одна из крайних точек которого находится в центре окружности, а второй находится на дуге окружности. Таким образом, диаметр равен длине радиуса, умноженной на два.
    • Значение числа π. Это значение является константой — иррациональной дробью, у которой нет конца. К тому же он не периодический. Это число выражает отношение длины окружности к ее радиусу. Для вычисления площади круга в задачах школьного курса используется значение π, приведенное с точностью до сотых, — 3,14.

    Формулы для нахождения площади круга, его сегмента или сектора

    В зависимости от специфики условий геометрической задачи две формулы для нахождения площади круга:

    Чтобы определить самый простой способ нахождения площади круга, нужно внимательно проанализировать условия задачи.

    В школьный курс геометрии входят также задания на вычисление площади отрезков или секторов, для чего применяются специальные формулы:

    1. Сектор – это часть окружности, ограниченная окружностью и углом с вершиной, расположенной в центре. Площадь сектора вычисляется по формуле: S = (π * r 2/360) * A;
      • р — радиус;
      • А — угол в градусах.
      • р — радиус;
      • p — длина дуги.
    2. Есть и второй вариант S=0,5*p*r;

    3. Отрезок – это часть, ограниченная сечением окружности (хордой) и окружностью. Его площадь можно найти по формуле S = (π * r 2/360) * A ± С ∆;
    • р — радиус;
    • А – значение угла в градусах;
    • S ∆ — площадь треугольника, сторонами которого являются радиусы и хорда окружности; при этом одна ее вершина расположена в центре окружности, а две другие — в точках касания дуги окружности с хордой.Важный момент – знак минус ставится, если значение А меньше 180 градусов, а знак плюс – если больше 180 градусов.

    Для упрощения решения геометрической задачи можно рассчитать площадь круга онлайн . Специальная программа быстро и точно рассчитает расчет за пару секунд. Как рассчитать онлайн площадь фигур? Для этого необходимо ввести известные исходные данные: радиус, диаметр, значение угла.

    Инструкции

    Используйте Пи, чтобы найти радиус на основе известной площади круга. Эта константа задает пропорцию между диаметром окружности и длиной ее границы (окружности). Длина круга – это максимальная площадь плоскости, которую можно покрыть им, а диаметр равен двум радиусам, поэтому площадь с радиусом также соотносятся между собой пропорцией, которую можно выразить через число Пи. Эта константа (π) определяется как площадь (S) и квадрат радиуса (r) круга.Отсюда следует, что радиус можно выразить как квадратный корень из частного от деления площади на число Пи: r = √(S/π).

    Долгое время Эрастофен возглавлял Александрийскую библиотеку, самую известную библиотеку античного мира. Помимо расчета размеров нашей планеты, он сделал ряд важных изобретений и открытий. Он изобрел простой метод определения простых чисел, получивший название «решето Эрастофена».

    Он нарисовал «карту мира», на которой показал все части света, известные древним грекам в то время.Карта считалась одной из лучших для своего времени. Разработал систему долготы и широты и календарь, включающий високосные годы. Изобрел армиллярную сферу, механическое устройство, использовавшееся ранними астрономами для демонстрации и предсказания видимого движения звезд на небе. Он также составил звездный каталог из 675 звезд.

    Источники:

    • Греческий ученый Эратосфен из Кирены впервые в мире рассчитал радиус Земли
    • Эратосфен «Расчет Земли»

    Как найти площадь круга? Сначала найдите радиус.Научитесь решать простые и сложные задачи.

    Окружность — это замкнутая кривая. Любая точка на линии окружности будет находиться на одинаковом расстоянии от центральной точки. Круг — плоская фигура, поэтому решать задачи с нахождением площади несложно. В этой статье мы рассмотрим, как найти площадь круга, вписанного в треугольник, трапецию, квадрат и описанного вокруг этих фигур.

    Чтобы найти площадь заданной фигуры, нужно знать, что такое радиус, диаметр и число π.

    Радиус R Расстояние, ограниченное центром окружности. Длины всех R-радиусов одной окружности будут равны.

    Диаметр D Линия между любыми двумя точками на окружности, проходящая через центральную точку. Длина этой линии равна длине R-радиуса, умноженной на 2.

    Число π Является постоянной величиной, равной 3,1415926. В математике это число обычно округляют до 3,14.

    Формула нахождения площади круга через радиус:

    Примеры решения задач на нахождение S-площади круга через R-радиус:

    Задание: Найдите площадь круга, если его радиус равен 7 см.

    Решение: S = πR², S = 3,14 * 7², S = 3,14 * 49 = 153,86 см².

    Ответ: Площадь круга равна 153,86 см².

    Формула нахождения S-площади круга через D-диаметр:

    Примеры решения задач на нахождение S, если известно D:

    —————————————————————————————————————-

    Задание: Найдите S круга, если его D равно 10 см.

    Решение: P = π * d² / 4, P = 3.14 * 10² / 4 = 3,14 * 100/4 = 314/4 = 78,5 см².

    Ответ: Площадь плоской круглой фигуры равна 78,5 см².

    Нахождение S окружности, если длина окружности известна:

    Сначала найдем радиус. Длина окружности рассчитывается по формуле: L = 2πR, соответственно радиус R будет равен L/2π. Теперь найдем площадь круга по формуле в пересчете на

    р.

    Рассмотрим решение на примере задачи:

    ————————————————————————————————————-

    Задание: Найдите площадь круга, если известна длина окружности L — 12 см.

    Решение: Сначала находим радиус: R = L / 2π = 12/2 * 3,14 = 12 / 6,28 = 1,91.

    Теперь найдем площадь через радиус: S = πR² = 3,14 * 1,91² = 3,14 * 3,65 = 11,46 см².

    Ответ: Площадь круга равна 11,46 см².



    Найти площадь круга, вписанного в квадрат, несложно. Сторона квадрата — это диаметр круга. Чтобы найти радиус, нужно разделить сторону на 2.

    Формула нахождения площади круга, вписанного в квадрат:

    Примеры решения задач на нахождение площади круга, вписанного в квадрат:

    ————————————————————————————————————

    Задание №1: Известна сторона квадратной фигуры, которая равна 6 сантиметрам.Найдите S-площадь вписанного круга.

    Решение: S = π (а/2) ² = 3,14 (6/2) ² = 3,14 * 9 = 28,26 см².

    Ответ: Площадь плоской круглой фигуры равна 28,26 см².

    —————————————————————————————————————

    Задача № 2 : Найдите S круга, вписанного в квадрат, и его радиус, если одна сторона равна а = 4 см.

    Решаем так : Сначала находим R = a / 2 = 4/2 = 2 см.

    Теперь находим площадь круга S = 3,14 * 2² = 3,14 * 4 = 12,56 см².

    Ответ: Площадь плоской круглой фигуры равна 12,56 см².



    Чуть сложнее найти площадь круглой формы, описанной вокруг квадрата. Но, зная формулу, можно быстро рассчитать это значение.

    Формула для нахождения S окружности, описанной вокруг квадратной фигуры:

    Примеры решения задач на нахождение площади круга, описанного вокруг квадратной фигуры:

    Задача





    Окружность, вписанная в треугольную фигуру, — это окружность, которая касается всех трех сторон треугольника.Вы можете вписать окружность в любую треугольную форму, но только в одну. Центр окружности будет точкой пересечения биссектрис углов треугольника.

    Формула нахождения площади круга, вписанного в равнобедренный треугольник:



    Когда радиус известен, площадь можно рассчитать по формуле: S = πR².

    Формула нахождения площади круга, вписанного в прямоугольный треугольник:



    Примеры решения задач:

    Проблема номер 1



    Если в этой задаче также необходимо найти площадь круга радиусом 4 см, то это можно сделать по формуле: S = πR²

    Проблема номер 2



    Решение:



    Теперь, когда вы знаете радиус, вы можете найти площадь круга, используя радиус.См. формулу выше в тексте.

    Проблема номер 3



    Площадь окружности, описанной около прямоугольного и равнобедренного треугольника: формула, примеры решения задачи

    Все формулы нахождения площади круга сводятся к тому, что сначала нужно найти его радиус. Когда известен радиус, легко найти площадь, как описано выше.

    Площадь окружности, описанной около прямоугольного и равнобедренного треугольника, находится по следующей формуле:



    Примеры решения задач:



    Вот еще один пример решения задачи по формуле Герона.



    Такие задачи решать сложно, но с ними можно справиться, если знать все формулы. Школьники решают такие задачи в 9 классе.

    Площадь окружности, вписанной в прямоугольную и равнобедренную трапецию: формула, примеры решения задачи

    У равнобедренной трапеции две стороны равны. У прямоугольной трапеции один угол равен 90º. Рассмотрим, как найти площадь круга, вписанного в прямоугольную и равнобедренную трапецию, на примере решения задач.

    Например, в равнобедренную трапецию вписана окружность, которая в точке касания делит одну сторону на отрезки m и n.

    Для решения этой задачи необходимо использовать следующие формулы:



    Нахождение площади круга, вписанного в прямоугольную трапецию, производится по следующей формуле:



    Если вы знаете сторону, то вы можете найти радиус, используя это значение. Высота стороны трапеции равна диаметру окружности, а радиус равен половине диаметра.Соответственно радиус равен R=d/2.

    Примеры решения задач:



    Трапецию можно вписать в окружность, если сумма ее противоположных углов равна 180º. Следовательно, вписать можно только равнобедренную трапецию. Радиус для расчета площади окружности, описанной около прямоугольной или равнобедренной трапеции, рассчитывается по следующим формулам:





    Примеры решения задач:



    Решение: Большое основание в данном случае проходит через центр, так как в окружность вписана равнобедренная трапеция.Центр делит это основание ровно пополам. Если основание AB равно 12, то радиус R можно найти так: R = 12/2 = 6,

    Ответ: Радиус равен 6.

    В геометрии важно знать формулы. Но все их запомнить невозможно, поэтому даже на многих экзаменах допускается использование специальной формы. Однако важно уметь найти правильную формулу для решения той или иной задачи. Потренируйтесь решать различные задачи на нахождение радиуса и площади круга, чтобы уметь правильно подставлять формулы и получать точные ответы.

    Видео: Математика | Вычисление площадей круга и его частей

    Калькулятор круга — это сервис, специально разработанный для расчета геометрических размеров фигур онлайн. Благодаря этому сервису вы легко сможете определить любой параметр фигуры, в основе которой лежит круг. Например: Вы знаете объем сферы, но вам нужно получить ее площадь. Это не может быть проще! Выберите подходящий вариант, введите числовое значение и нажмите «Рассчитать». Сервис не только выдает результаты расчетов, но и предоставляет формулы, по которым они были сделаны.С помощью нашего сервиса вы легко сможете рассчитать радиус, диаметр, длину окружности (периметр круга), площадь круга и сферы, объем сферы.

    Вычислить радиус

    Задача вычисления значения радиуса является одной из самых распространенных. Причина этого довольно проста, ведь зная этот параметр, можно легко определить значение любого другого параметра круга или шара. Наш сайт построен именно по такой схеме. Вне зависимости от того, какой исходный параметр вы выбрали, первым делом вычисляется значение радиуса и на его основе строятся все последующие расчеты. Для большей точности расчетов на сайте используется Пи, округленное до 10-го знака после запятой.

    Рассчитать диаметр

    Расчет диаметра — это самый простой тип расчета, который может сделать наш калькулятор. Получить значение диаметра вручную совсем не сложно, для этого совершенно не нужно прибегать к помощи интернета. Диаметр равен значению радиуса, умноженному на 2. Диаметр — важнейший параметр окружности, который чрезвычайно часто используется в быту… Абсолютно каждый должен уметь правильно рассчитывать и пользоваться. Используя возможности нашего сайта, вы за доли секунды рассчитаете диаметр с большой точностью.

    Узнать длину окружности

    Вы даже не представляете, сколько вокруг нас круглых предметов и какую важную роль они играют в нашей жизни. Умение рассчитать длину окружности необходимо каждому, от рядового водителя до ведущего инженера-конструктора. Формула расчета длины окружности очень проста: D = 2Pr.Расчет можно легко провести как на листе бумаги, так и с помощью этого интернет-помощника. Преимущество последнего в том, что он проиллюстрирует все расчеты чертежами. И вдобавок ко всему, второй способ гораздо быстрее.

    Вычислить площадь круга

    Площадь круга — как и все параметры, перечисленные в этой статье, является основой современной цивилизации. Уметь вычислять и знать площадь круга полезно всем без исключения слоям населения.Трудно представить область науки и техники, в которой не нужно было бы знать площадь круга. Формула для расчета, опять же, не сложная: S = PR 2. Эта формула и наш онлайн-калькулятор помогут вам легко найти площадь любого круга. Наш сайт гарантирует высокую точность расчетов и их молниеносное выполнение.

    Вычислите площадь шара

    Формула вычисления площади шара не сложнее формул, описанных в предыдущих пунктах.S = 4Pr 2. Этот простой набор букв и цифр уже много лет дает людям возможность точно вычислить площадь шара. Где его можно применить? Да везде! Например, вы знаете, что площадь земного шара составляет 510 100 000 квадратных километров. Бесполезно перечислять, где можно применить знание этой формулы. Область применения формулы вычисления площади шара слишком широка.

    Вычислить объем мяча

    Для расчета объема мяча используйте формулу V = 4/3 (Pr 3).Он был использован для создания нашего онлайн-сервиса. Сайт дает возможность рассчитать объем шара за считанные секунды, если знать любой из следующих параметров: радиус, диаметр, длину окружности, площадь окружности или площадь шара. Вы также можете использовать его для обратного расчета, например, чтобы узнать объем шара, чтобы получить значение его радиуса или диаметра. Благодарим вас за быстрый взгляд на возможности нашего калькулятора кругов. Надеемся, вам понравился наш сайт и вы уже добавили его в закладки.

    Равнобедренная трапеция с основаниями 12 и 16 вписана в окружность радиуса 10. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите площадь трапеции.

    Вопрос:

    Равнобедренная трапеция с основаниями 12 и 16 вписана в окружность радиуса 10. Центр окружности лежит внутри трапеции.

    Найдите площадь трапеции.

    Трапеция

    Трапеция – это четырехугольник с одной парой параллельных сторон.У равнобедренной трапеции непараллельные стороны равны по длине. Площадь трапеции определяется выражением

    $$\begin{выравнивание} А = \фракция{1}{2}(b_1+b_2)ч \end{выравнивание} $$

    , где {eq}b_1{/eq} и {eq}b_2{/eq} — длины параллельных сторон, а h — высота

    Ответ и объяснение: 1

    Для справки рассмотрите следующий рисунок.

    Трапеция, вписанная в окружность

    Из предоставленной информации мы уже знаем длины двух оснований, {eq}b_1=12{/eq} и {eq}b_2=16{/eq}.2 &= 36 \\[0,3 см] ч_2 &= 6 \end{выравнивание} $$

    Таким образом, высота трапеции равна

    $$\begin{выравнивание} h &= h_1 + h_2 \\[0,3 см] &= 8 + 6 \\[0,3см] &= 14 \end{выравнивание} $$

    А площадь трапеции равна

    $$\begin{выравнивание} A &= \frac{1}{2}(b_1 + b_2)h \\[0,3 см] &= \frac{1}{2}(12+16)(14) \\[0,3 см] &= \frac{1}{2}(392) \\[0,3 см] &= 196 \end{выравнивание} $$

    Квадрат, описанный около окружности.

    Площадь круга: формула Окружность – это часть плоскости, ограниченная окружностью. Главный показатель и для круга, и для окружности – радиус. Если она задана, площадь круга можно рассчитать по основной формуле S=πR2, где S — площадь круга, R — радиус окружности, ограничивающей круг, а π — постоянная равно 3,14. В условиях задачи можно задать длину окружности. Оно равно L=2πR. В этом случае необходимо сначала вычислить радиус, разделив заданное значение L на 2π, то есть воспользоваться формулой R=L/2π.

    По сторонам вписанного четырехугольника

    В окружность, ограничивающую окружность, можно вписать четырехугольник, сумма противоположных углов которого равна 180°, то есть он является квадратом или прямоугольником. В этом случае диаметр окружности, описанной вокруг четырехугольника, также является диагональю. Если в условиях даны размеры сторон четырехугольника, найти эту диагональ по теореме Пифагора не составит труда. Диагональ делит квадрат или прямоугольник на два прямоугольных треугольника, то есть является гипотенузой каждого из этих треугольников. Соответственно его можно найти, сложив квадраты сторон четырехугольника, то есть по формуле d2=a2+b2. Чтобы найти площадь круга, вам даже не нужно извлекать из результата квадратный корень, так как R = d/2. Чтобы найти квадрат радиуса, достаточно разделить квадрат диаметра на 4.

    По параметрам треугольника, вписанного в окружность

    Способ решения этого варианта задачи зависит от того, какой треугольник вписан и какие заданы его параметры.Если треугольник прямоугольный, алгоритм решения будет таким же, как и для квадрата или , так как сторона, противоположная прямому углу, всегда равна диаметру описанной окружности. Если даны размеры катетов, возведите каждую из них в квадрат и найдите сумму, а затем разделите результат на 4 и умножьте на число π. Если треугольник равносторонний, вам придется выполнить несколько дополнительных построений, чтобы в итоге получить прямоугольные треугольники, параметры которых вам известны. Например, в окружность с центром О вписан равносторонний треугольник АВС, сторона которого вам дана. Высоты розыгрыша AN, VM и CQ. Рассмотрим, например, прямоугольный треугольник A.Q.O. Вы знаете его гипотенузу AQ, которая равна половине стороны исходного треугольника, а также все углы, поэтому вы можете найти длину отрезка AQ, который также является радиусом окружности, площадь которой нужно найти , используя теорему синусов или косинусов.

    Чтобы формула нахождения радиуса вписанной окружности в квадрат r была правильно рассчитана, необходимо изначально вспомнить, какими свойствами обладает эта фигура.На площади:

    • все углы прямые, то есть равные 90°;
    • все стороны, как углы, равны;
    • диагонали равны, точка пересечения строго пополам и пересекаются под углом 90°.

    В то же время окружность, вписанная в выпуклый многоугольник, обязательно касается всех его сторон. Обозначим квадрат ABCD , точку пересечения его диагоналей O . Как видно на рисунке 1, пересечение прямых АС И BD дают равнобедренный треугольник АОВ , в котором стороны АО = ОВ , углы ОАВ = АВО , а угол АОБ =90°. Тогда радиус вписанной окружности в квадрат будет не чем иным, как высотой OE полученного равнобедренного треугольника AOB .

    Если предположить, что сторона квадрата равна при , то формула для нахождения радиуса вписанной окружности в квадрат будет выглядеть так:

    Пояснение : в равнобедренном треугольнике АОВ высоту ОЕ или радиус r разделить основание АВ пополам (свойства), при этом образуя прямоугольный треугольник с прямым углом ОЕВ .В малом треугольнике EVO основание OV образует со сторонами OE И EV углы 45°. Так треугольник EVO тоже равносторонний. Стороны ОЕ И EV равны.

    Для наглядности приведем численный пример нахождения значения радиуса вписанной окружности в квадрат со стороной, равной 13 см. В этом случае значение вписанного радиуса будет:

    Обратная задача также решается легко.Предположим, что известен радиус вписанной окружности — 9 см, тогда, разобрав пример нахождения значения радиуса вписанной окружности в квадрат, можно найти сторону квадрата:
    Находим неизвестное значение из это уравнение: .

    Окружность можно описать и вокруг квадрата. При этом каждая вершина фигуры будет касаться окружности. Следующая формула для нахождения радиуса описанной окружности вокруг квадрата будет еще проще. В этом случае R описанная окружность будет равна половине диагонали квадрата.В буквальном виде формула выглядит так (рисунок 2):

    Пояснение : после проведения диагоналей ABCD образовались два одинаковых прямоугольных треугольника ABC = CDA . Рассмотрим один из них. В треугольнике CAD :

    • угол CDA=90°;
    • сторон AD = CD . Знак равнобедренного треугольника;
    • впрыск DAC равно ACD .Они равны в 45°.

    Чтобы найти гипотенузу в этом прямоугольном треугольнике AC , нужно воспользоваться теоремой Пифагора:
    , следовательно
    Так как окружность касается вершин квадрата, а точка пересечения его диагоналей является центром описанной окружность (свойство), то отрезок ОС будет радиусом окружности. Это половина гипотенузы. Это утверждение следует из свойств равнобедренного треугольника или свойств диагоналей квадрата.Поэтому формула нахождения радиуса описанной окружности вокруг квадрата в нашем случае имеет следующий вид:

    Поскольку AD = CD , а свойства квадратного корня позволяют вынести одно из подкоренных выражений, тогда формула принимает вид:

    Численный пример нахождения значения радиуса описанной окружности вокруг квадрата будет следующим.
    Предположим, что диагональ квадрата равна , тогда:

    Окружность — это видимая совокупность множества точек, находящихся на одинаковом расстоянии от центра.Чтобы найти его площадь, нужно знать, что такое радиус, диаметр, число π и длина окружности.

    Величины, участвующие в вычислении площади круга

    Расстояние, ограниченное центром окружности и любой из точек окружности, называется радиусом этой окружности. геометрическая фигура. Длины всех радиусов одной окружности одинаковы. Отрезок линии между любыми двумя точками окружности, проходящей через центральную точку, называется диаметром. Длина диаметра равна длине радиуса, умноженной на 2.

    Для вычисления площади круга используется значение числа π. Эта величина равна отношению длины окружности к длине диаметра окружности и имеет постоянное значение. П = 3,1415926. Длина окружности рассчитывается по формуле L=2πR.

    Найдите площадь круга по радиусу

    Следовательно, площадь круга равна произведению числа π на радиус круга, возведенный во 2-ю степень. В качестве примера возьмем длину радиуса окружности равной 5 см.2. Другими словами, диаметр в степени 2 равен квадрату стороны в степени 2, умноженному на 2.

    Рассчитав значение длины диаметра круга, можно узнать и его радиус, а затем воспользоваться одной из формул определения площади круга.

    Площадь сектора круга

    Сектор – это часть окружности, ограниченная двумя радиусами и дугой между ними. Чтобы узнать его площадь, нужно измерить угол сектора. После этого необходимо составить дробь, в числителе которой будет значение угла сектора, а в знаменателе – 360.Для вычисления площади сектора значение, полученное в результате деления дроби, нужно умножить на площадь круга, рассчитанную по одной из приведенных выше формул.


    Прочтите статью, чтобы узнать, как найти площадь квадрата разными способами.

    Квадрат – это равносторонний прямоугольник. У данного правильного и плоского четырехугольника равны все стороны, углы и диагонали. В связи с тем, что такое равенство имеет место, формула расчета площади и других характеристик несколько изменена по сравнению с другими математическими фигурами.Но это не делает задачи слишком сложными. Давайте рассмотрим все формулы и решения задач в этой статье.

    Площадь S прямой и квадратный угольник вычисляется по формуле: a умножить на b . Но так как квадрат имеет полное равенство сторон, то его площадь будет равна: S=(a) во второй степени . Как найти длину стороны квадрата, зная его площадь?

    • Если известна площадь квадрата, то сторона находится путем вычисления площади из-под квадратного корня.
    • Например, если площадь квадрата равна 49, то какова длина стороны?
    • 49=(а) до второй степени . Решение: а=корень из 49=7. Ответ: 7 .

    Если вам нужно найти сторону квадрата, площадь которого слишком велика, то воспользуйтесь калькулятором. Сначала введите номер области, а затем нажмите знак корня на клавиатуре калькулятора. Полученное число и будет ответом.



    В этом примере мы будем использовать теорему Пифагора.Все стороны квадрата равны, а диагональ d будем считать гипотенузой прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом но . Теперь найдем диагональ квадрата, если известна его площадь:

    • Чтобы не расписывать всю теорему Пифагора, будем решать по второму варианту: d=a√2, где а — сторона квадрата.
    • Итак, мы знаем площадь квадрата, например, она равна 64. Значит одна сторона а=√64=8.
    • Получается d=8√2 . Корень из 2 не получается в виде целого числа, поэтому в ответе можно написать просто так: d=8√2 . Но, если вы хотите вычислить значение, то воспользуйтесь калькулятором: √2= 1,41421356237 и умножьте на 8, получится 11,3137084 .

    Важно: Обычно в математике в ответе не оставляют чисел с большим количеством цифр после запятой. Нужно округлить или оставить с корнем.Следовательно, ответ на нахождение диагонали, если площадь равна 64, будет: d=8√2 .

    Формула нахождения площади квадрата по диагонали проста:



    Теперь запишем решение для нахождения площади квадрата через диагональ:

    • Диагональ d=8.
    • 8 в квадрате равно 64.
    • 64 разделить на 2 равно 32.
    • Площадь квадрата 32.

    Совет: Эта задача имеет другое решение с помощью теоремы Пифагора, но оно более сложное. Поэтому используйте решение, которое мы рассмотрели.



    Периметр квадрата P сумма всех сторон. Чтобы найти его площадь, зная его периметр, нужно сначала вычислить сторону квадрата. Решение:

    • Допустим периметр равен 24. Делим 24 на 4 стороны, получается 6 — это одна сторона.
    • Теперь воспользуемся формулой нахождения площади, зная, чему равна сторона квадрата: S=a в квадрате, S=6 в квадрате=36 .
    • Ответ: 36

    Как видите, зная периметр квадрата, легко найти его площадь.



    Радиус R — это половина диагонали квадрата, вписанного в окружность. Теперь мы можем найти диагональ по формуле: d=2*R . Далее находим площадь квадрата, вписанного в круг заданного радиуса:

    • Диагональ в 2 раза больше радиуса. Например, радиус равен 5, тогда диагональ равна 2*5=10. .
    • Выше было описано, как найти площадь квадрата, если известна диагональ: S=диагональный квадрат, деленный на 2. S=10*10 и деленный на 2=50.
    • Ответ — 50 .

    Эта задача немного сложнее, но тоже легко решается, если знать все формулы.



    На рисунке видно, что радиус вписанной окружности равен половине стороны. Сторона находится по формуле, обратной показанной на рисунке: a=2*r .Тогда уже находим площадь квадрата, описанного около окружности с заданным радиусом по формуле S=a в квадрате . Решение:

    • Допустим, радиус равен 7. Сторона квадрата а равна 2*7=14.
    • S=14 в квадрате=196 .

    Если понимать суть решения подобных задач, то решать их можно легко и быстро. Давайте рассмотрим еще несколько примеров.

    Примеры решения задач по теме «Квадрат площади»

    Для закрепления пройденного материала и запоминания всех формул необходимо решить несколько примеров задач по теме «Площадь квадрата».Начнем с простой задачи и перейдем к решению более сложных: Примеры решения сложных задач на тему «Площадь квадрата»

    Теперь вы знаете, как пользоваться формулой площади площади, а значит, вам под силу любая задача. Удачи в дальнейшей учебе!

    Видео: Расчет площади квадрата

    Как найти площадь круга? Сначала найдите радиус. Научитесь решать простые и сложные задачи.

    Окружность — это замкнутая кривая.Любая точка на линии окружности будет находиться на одинаковом расстоянии от центральной точки. Круг — плоская фигура, поэтому решать задачи с нахождением площади несложно. В этой статье мы рассмотрим, как найти площадь круга, вписанного в треугольник, трапецию, квадрат и описанного вокруг этих фигур.

    Чтобы найти площадь заданной фигуры, нужно знать, что такое радиус, диаметр и число π.

    Радиус R — это расстояние, ограниченное центром окружности.Длины всех R-радиусов одной окружности будут равны.

    Диаметр D — это линия между любыми двумя точками на окружности, проходящая через центральную точку. Длина этого отрезка равна длине R-радиуса, умноженной на 2.

    Число π является постоянной величиной, равной 3,1415926. В математике это число обычно округляют до 3,14.

    Формула нахождения площади круга по радиусу:

    Примеры решения задач на нахождение S-площади круга через R-радиус:

    Задача: Найдите площадь круга, если его радиус равен 7 см.

    Решение: S=πR², S=3,14*7², S=3,14*49=153,86 см².

    Ответ: Площадь круга равна 153,86 см².

    Формула для нахождения S-площади круга через D-диаметр:

    Примеры решения задач на нахождение S, если известно D:

    —————————————————————————————————————-

    Задача: Найдите S круга, если его D равно 10 см.

    Решение: P=π*d²/4, P=3.14*10²/4=3,14*100/4=314/4=78,5 см².

    Ответ: Площадь плоской круглой фигуры равна 78,5 см².

    Нахождение окружности S, если длина окружности известна:

    Сначала найдем то, что равно радиусу. Длина окружности рассчитывается по формуле: L=2πR, соответственно радиус R будет равен L/2π. Теперь находим площадь круга по формуле через р.

    Рассмотрим решение на примере задачи:

    ————————————————————————————————————-

    Задача: Найдите площадь круга, если известна длина окружности L — 12 см.

    Решение: Сначала найдем радиус: R=L/2π=12/2*3,14=12/6,28=1,91.

    Теперь найдем площадь через радиус: S=πR²=3,14*1,91²=3,14*3,65=11,46 см².

    Ответ: Площадь круга равна 11,46 см².



    Найти площадь круга, вписанного в квадрат, несложно. Сторона квадрата — это диаметр круга. Чтобы найти радиус, нужно разделить сторону на 2.

    Формула для нахождения площади круга, вписанного в квадрат:

    Примеры решения задач на нахождение площади круга, вписанного в квадрат:

    ————————————————————————————————————

    Задание №1: Известна сторона квадратной фигуры, равная 6 сантиметрам.Найдите S-площадь вписанного круга.

    Решение: S=π(a/2)²=3,14(6/2)²=3,14*9=28,26 см².

    Ответ: Площадь плоской круглой фигуры равна 28,26 см².

    —————————————————————————————————————

    Задание №2 : Найдите S круга, вписанного в квадратную фигуру, и его радиус, если одна сторона равна а=4 см.

    Решите так : Сначала найдите R=a/2=4/2=2 см.

    Теперь найдем площадь круга S=3.14*2²=3,14*4=12,56 см².

    Ответ: Площадь плоской круглой фигуры равна 12,56 см².



    Чуть сложнее найти площадь круглой фигуры, описанной квадратом. Но, зная формулу, можно быстро рассчитать это значение.

    Формула для нахождения S окружности, описанной вокруг квадратной фигуры:

    Примеры решения задач на нахождение площади круга, описанного возле квадратной фигуры:

    Задача





    Окружность, вписанная в треугольную фигуру, — это окружность, которая касается всех трех сторон треугольника.Окружность можно вписать в любую треугольную фигуру, но только в одну. Центр окружности будет точкой пересечения биссектрис углов треугольника.

    Формула нахождения площади круга, вписанного в равнобедренный треугольник:



    Когда известен радиус, площадь можно рассчитать по формуле: S=πR².

    Формула нахождения площади круга, вписанного в прямоугольный треугольник:



    Примеры решения задач:

    Задача №1



    Если в этой задаче нужно еще найти площадь круга радиусом 4 см, то это можно сделать по формуле: S=πR²

    Задача №2



    Решение:



    Теперь, когда вы знаете радиус, вы можете найти площадь круга через радиус.См. формулу выше.

    Задача №3



    Площадь окружности, описанной около прямоугольного и равнобедренного треугольника: формула, примеры решения задачи

    Все формулы нахождения площади круга сводятся к тому, что сначала нужно найти его радиус. Когда известен радиус, то найти площадь просто, как описано выше.

    Площадь круга, описанного около прямоугольного и равнобедренного треугольника, находится по следующей формуле:



    Примеры решения задач:



    Вот еще один пример решения задачи по формуле Герона.



    Решать такие задачи сложно, но с ними можно справиться, если знать все формулы. Такие задачи решают учащиеся 9 класса.

    Площадь окружности, вписанной в прямоугольную и равнобедренную трапецию: формула, примеры решения задачи

    У равнобедренной трапеции две стороны равны. У прямоугольной трапеции один угол равен 90º. Рассмотрим, как найти площадь круга, вписанного в прямоугольную и равнобедренную трапецию на примере решения задачи.

    Например, в равнобедренную трапецию вписана окружность, которая в точке касания делит одну сторону на отрезки m и n.

    Для решения этой задачи необходимо использовать следующие формулы:



    Площадь круга, вписанного в прямоугольную трапецию, находится по следующей формуле:



    Если известна боковая сторона, то через это значение можно найти радиус. Высота стороны трапеции равна диаметру окружности, а радиус равен половине диаметра.Соответственно, радиус R=d/2.

    Примеры решения задач:



    Трапецию можно вписать в окружность, если сумма ее противоположных углов равна 180º. Следовательно, вписать можно только равнобедренную трапецию. Радиус для расчета площади окружности, описанной около прямоугольной или равнобедренной трапеции, рассчитывается по следующим формулам:





    Примеры решения задач:



    Решение: Большое основание в данном случае проходит через центр, так как в окружность вписана равнобедренная трапеция.Центр делит это основание ровно пополам. Если основание AB равно 12, то радиус R можно найти следующим образом: R=12/2=6.

    Ответ: Радиус равен 6.

    В геометрии важно знать формулы. Но запомнить их все невозможно, поэтому даже на многих экзаменах допускается использование специальной формы. Однако важно уметь найти правильную формулу для решения конкретной задачи. Потренируйтесь решать разные задачи на нахождение радиуса и площади круга, чтобы уметь правильно подставлять формулы и получать точные ответы.

    Видео: Математика | Вычисление площади круга и его частей

    РЕШЕНО: В окружность радиуса 10 вписана равнобедренная трапеция с основаниями 12 и 16 . Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите площадь трапеции.

    Проблема 26

    Легкая сложность

    Равнобедренная трапеция с основаниями 12 и 16 вписана в окружность радиусом 10 .Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите площадь трапеции.

    Лучшие преподаватели геометрии
    Курс геометрии

    (Несколько) Круговые теоремы

    В математике теорема …

    Теоремы об углах и окружности с хордами и касательными

    В математике тангенс…


    Присоединиться к курсу
    Рекомендуемые видео

    Найдите площадь наибольшей трапеции, которую можно вписать в окружность. ..

    Высота трапеции 5 дм.Основания имеют размеры 16 дюймов и 18 дюймов…

    Длина основания параллелограмма равна 16 дм, а высота i…

    Трапеция имеет высоту 14 дюймов и основания 20 дюймов и 23 дюйма. Ф…

    Периметр равнобедренной трапеции равен $40\mathrm{ft}$.База…

    Равнобедренная трапеция имеет основания 12 и $28 .$ Площадь равна 300 . Находить…

    Площадь трапеции определяется выражением $A=\frac{1}{2} h\left(b_{1}+b_{2}…

    Найдите площадь наибольшего равнобедренного треугольника, в который можно вписать. ..

    Прямоугольник длиной 16 $\mathrm{cm}$ и шириной 12 $\mathrm{cm}$ i…

    В упражнениях 10-18 найдите площадь каждой трапеции.Равнобедренный тр…



    Смотрите больше решенных вопросов в главе 11


    Стенограмма видео

    три самые большие трапеции, которые можно вписать в окружность радиуса Al с одним основанием на диаметре. Итак, первым делом давайте поместим этот кружок где-нибудь вверху. Представьте, что давайте поместим его в систему координат X y. Итак, это центр 00 Итак, сразу же, мы знаем, что это уравнение X в квадрате, плюс у в квадрате равно l в квадрате, на всякий случай, если нам это понадобится.Хорошо, теперь, раз у ловушки разрешено иметь одно основание по диаметру, значит, здесь будет одно основание, и тогда мы просто поставим вот так. Итак, мы пытаемся максимизировать Thio Largest. Хорошо, гм, наибольший означает максимизацию площади, в данном случае площади трапеции. Таким образом, площадь трапеции равна половине большого основания плюс малое основание, умноженное на высоту. Итак, большое основание — это весь диаметр круга. Так что это равно Thio L, потому что радиус равен l. Так что это константа. Итак, у нас есть половина л плюс маленькое «б» отсюда, Тио здесь.Так что давайте просто назовем эту точку X Y Итак, маленькое b равно двум X, а затем высота отсюда до сюда. Вот почему я собираюсь умножить это наполовину. Итак, это превратилось в 1 плюс X, умноженное на Y. Итак, теперь вы берете производную и приравниваете ее к нулю. Но у нас слишком много переменных. О, но мы знаем это, поэтому мы можем использовать это, чтобы избавиться от одного из них. Это наши ограничения. Так что позвольте мне написать это там. В этой задаче X в квадрате плюс у в квадрате равно в другом месте. Так что неважно, какой из них вы решаете за доп. Почему? Они оба одинаковы. Так что я просто собираюсь решить, почему? Настройки, одинаковое количество трудностей для решения. Я имел в виду такую ​​же сложность подключения. Не там то же самое. Итак, площадь равна l плюс X умножить на l в квадрате минус X в квадрате до половины. Упс. Я взял площадь прямо там. Ладно, возьму производную. Вот так. Это продукт, поэтому я буду использовать правило произведения: первое умножение на производную от второго плюс второе умножение на производную от первого.Ладно, помни, l — это константа, как если бы было пять или семь. Если вам не нравится буква l, поставьте число, а затем вернитесь к слову El, когда закончите. Хорошо. Где был я? Первый нарисовал второй, плюс второй раз. Производная от первой, которая всего одна. Хорошо, это тоже. И это тоже отменит. Я имею в виду, перепишите это как дробь, потому что так проще упростить. Таким образом, я получаю минус x, умноженный на l, плюс X на квадратный корень из l в квадрате минус x в квадрате плюс квадратный корень из l в квадрате минус X в квадрате на единицу. Я собираюсь установить это равным нулю. Собираюсь переместить один из них. Так что я переехал его. Это был минус. Оба минусовали. Я сделал их обоих. Кроме того, теперь я буду скрещивать, умножать и умножать эту сторону. Я получаю выдох плюс X в квадрате равно l в квадрате минус X в квадрате. Хорошо, у меня нет x в квадрате, поэтому мне нужно сделать, но мне нужно поставить все на одну сторону, потому что это квадратное уравнение. Итак, два X в квадрате плюс x l минус. L в квадрате равен нулю. Так что я буду учитывать это. Посмотрим, мне нужно два акцента и отл.Мне нужны буквы «л» и «л». И мне нужны плюс и минус. Как это выглядит? Так что они дадут мне два x квадрат плюс два x l минус x l минус в другом месте. Да, так что два x равно l X равно l больше или X равно минус l Хорошо, это может случиться, потому что это реальная вещь, так что X равно l больше to. Отлично. Итак, говоря, что вся, э-э, вся база в порядке, Бигби, помнится, говорил: «Маленькая пчелка — это два Х, что в два раза больше двух, что равно одному l». И тогда почему равно квадратному корню из l в квадрате минус x в квадрате, что будет квадратным корнем из l в квадрате минус l на два в квадрате, что будет квадратным корнем из l в квадрате минус l в квадрате на четыре, что будет квадратным корнем из трех.L в квадрате на четыре, что будет квадратом трех l на. Так что это размеры. Это то, о чем он просил меня? Найди площадь? О, ладно, значит, площадь равна половине большой B плюс малой b, умноженной на h. Таким образом, квадрат равен 3/4 l, умноженной на 3/4. Три л Итак, три квадрата по 3/4 л Квадрат это площадь

    Найдите площадь круга, если диаметр . Площадь круга в задаче B5

    — это плоская фигура, представляющая собой множество точек, равноудаленных от центра. Все они находятся на одинаковом расстоянии и образуют круг.

    Отрезок, соединяющий центр круга с точками на его окружности, называется радиусом . В каждом круге все радиусы равны друг другу. Линия, соединяющая две точки на окружности и проходящая через центр, называется диаметром . Формула площади круга вычисляется с помощью математической константы — числа π..

    Это интересно : число пи. представляет собой отношение длины окружности к длине ее диаметра и является постоянной величиной.Значение π = 3,1415926 использовалось после работы Л. Эйлера в 1737 г.

    Площадь круга можно вычислить с помощью константы π. и радиус окружности. Формула площади круга в пересчете на радиус выглядит так:

    Рассмотрим пример вычисления площади круга с помощью радиуса. Пусть дан круг радиусом R = 4 см. Найдем площадь фигуры.

    Площадь нашего круга будет равна 50.24 квадратных метра. см.

    Есть формула площадь круга через диаметр . Он также широко используется для расчета необходимых параметров. По этим формулам можно найти.

    Рассмотрим пример вычисления площади круга через диаметр, зная его радиус. Пусть дана окружность радиусом R = 4 см. Для начала найдем диаметр, который, как известно, в два раза больше радиуса.

    Теперь используем данные для примера расчета площади круга по приведенной выше формуле:

    Как видите, в результате получаем тот же ответ, что и при первых вычислениях.

    Знание стандартных формул вычисления площади круга поможет в дальнейшем легко определить площадь сектора и легко найти недостающие величины.

    Мы уже знаем, что формула площади круга вычисляется через произведение постоянной величины π на квадрат радиуса круга. Радиус можно выразить через длину окружности и подставить выражение в формуле площади круга через длину окружности:
    Теперь подставим это равенство в формулу вычисления площади круг и получим формулу нахождения площади круга, через длину окружности

    Рассмотрим пример вычисления площади круга через окружность.Пусть дан круг длиной l = 8 см. Подставим значение в полученную формулу:

    Общая площадь круга будет 5 квадратных метров. см.

    Площадь круга, описанного вокруг квадрата


    Очень легко найти площадь круга, описанного вокруг квадрата.

    Для этого потребуется только сторона квадрата и знание простых формул. Диагональ квадрата будет равна диагонали описанной окружности.Зная сторону а, ее можно найти по теореме Пифагора: отсюда.
    После того, как мы нашли диагональ, мы можем вычислить радиус: .
    А затем подставляем все в основную формулу площади круга, описанного вокруг квадрата:

    Окружность — это видимая совокупность множества точек, находящихся на одинаковом расстоянии от центра. Чтобы найти его площадь, нужно знать, что такое радиус, диаметр, число π и длина окружности.

    Величины, участвующие в вычислении площади круга

    Расстояние, ограниченное центральной точкой окружности и любой из точек окружности, называется радиусом этой геометрической фигуры.Длины всех радиусов одной окружности одинаковы. Отрезок линии между любыми двумя точками окружности, проходящей через центральную точку, называется диаметром. Длина диаметра равна длине радиуса, умноженной на 2.

    Для вычисления площади круга используется значение числа π. Эта величина равна отношению длины окружности к длине диаметра окружности и имеет постоянное значение. П = 3,1415926. Длина окружности рассчитывается по формуле L=2πR.2. Другими словами, диаметр в степени 2 равен стороне квадрата в степени 2, умноженной на 2.

    Рассчитав значение длины диаметра круга, можно узнать и его радиус, а затем воспользоваться одной из формул определения площади круга.

    Площадь сектора круга

    Сектор – это часть окружности, ограниченная двумя радиусами и дугой между ними. Чтобы узнать его площадь, нужно измерить угол сектора.После этого необходимо составить дробь, в числителе которой будет значение угла сектора, а в знаменателе — 360. Для вычисления площади сектора значение полученную в результате деления дробь необходимо умножить на площадь круга, рассчитанную по одной из приведенных выше формул.


    Как найти площадь круга? Сначала найдите радиус. Научитесь решать простые и сложные задачи.

    Окружность — это замкнутая кривая. Любая точка на линии окружности будет находиться на одинаковом расстоянии от центральной точки. Круг — плоская фигура, поэтому решать задачи с нахождением площади несложно. В этой статье мы рассмотрим, как найти площадь круга, вписанного в треугольник, трапецию, квадрат и описанного вокруг этих фигур.

    Чтобы найти площадь заданной фигуры, нужно знать, что такое радиус, диаметр и число π.

    Радиус R — это расстояние, ограниченное центром окружности.Длины всех R-радиусов одной окружности будут равны.

    Диаметр D — это линия между любыми двумя точками на окружности, проходящая через центральную точку. Длина этого отрезка равна длине R-радиуса, умноженной на 2.

    Число π является постоянной величиной, равной 3,1415926. В математике это число обычно округляют до 3,14.

    Формула нахождения площади круга по радиусу:

    Примеры решения задач на нахождение S-площади круга через R-радиус:

    Задача: Найдите площадь круга, если его радиус равен 7 см.

    Решение: S=πR², S=3,14*7², S=3,14*49=153,86 см².

    Ответ: Площадь круга равна 153,86 см².

    Формула для нахождения S-площади круга через D-диаметр:

    Примеры решения задач на нахождение S, если известно D:

    —————————————————————————————————————-

    Задача: Найдите S круга, если его D равно 10 см.

    Решение: P=π*d²/4, P=3.14*10²/4=3,14*100/4=314/4=78,5 см².

    Ответ: Площадь плоской круглой фигуры равна 78,5 см².

    Нахождение окружности S, если длина окружности известна:

    Сначала найдите радиус. Длина окружности рассчитывается по формуле: L=2πR, соответственно радиус R будет равен L/2π. Теперь находим площадь круга по формуле через р.

    Рассмотрим решение на примере задачи:

    ————————————————————————————————————-

    Задача: Найдите площадь круга, если известна длина окружности L — 12 см.

    Решение: Сначала найдем радиус: R=L/2π=12/2*3,14=12/6,28=1,91.

    Теперь найдем площадь через радиус: S=πR²=3,14*1,91²=3,14*3,65=11,46 см².

    Ответ: Площадь круга равна 11,46 см².



    Найти площадь круга, вписанного в квадрат, несложно. Сторона квадрата — это диаметр круга. Чтобы найти радиус, нужно разделить сторону на 2.

    Формула для нахождения площади круга, вписанного в квадрат:

    Примеры решения задач на нахождение площади круга, вписанного в квадрат:

    ————————————————————————————————————

    Задание №1: Известна сторона квадратной фигуры, равная 6 сантиметрам.Найдите S-площадь вписанного круга.

    Решение: S=π(a/2)²=3,14(6/2)²=3,14*9=28,26 см².

    Ответ: Площадь плоской круглой фигуры равна 28,26 см².

    —————————————————————————————————————

    Задание №2 : Найдите S круга, вписанного в квадратную фигуру, и его радиус, если одна сторона равна а=4 см.

    Решите так : Сначала найдите R=a/2=4/2=2 см.

    Теперь найдем площадь круга S=3.14*2²=3,14*4=12,56 см².

    Ответ: Площадь плоской круглой фигуры равна 12,56 см².



    Чуть сложнее найти площадь круглой фигуры, описанной квадратом. Но, зная формулу, можно быстро рассчитать это значение.

    Формула для нахождения S окружности, описанной вокруг квадратной фигуры:

    Примеры решения задач на нахождение площади круга, описанного возле квадратной фигуры:

    Задача





    Окружность, вписанная в треугольную фигуру, — это окружность, которая касается всех трех сторон треугольника.Окружность можно вписать в любую треугольную фигуру, но только в одну. Центр окружности будет точкой пересечения биссектрис углов треугольника.

    Формула нахождения площади круга, вписанного в равнобедренный треугольник:



    Когда известен радиус, площадь можно рассчитать по формуле: S=πR².

    Формула нахождения площади круга, вписанного в прямоугольный треугольник:



    Примеры решения задач:

    Задача №1



    Если в этой задаче нужно еще найти площадь круга радиусом 4 см, то это можно сделать по формуле: S=πR²

    Задача №2



    Решение:



    Теперь, когда вы знаете радиус, вы можете найти площадь круга через радиус.См. формулу выше.

    Задача №3



    Площадь окружности, описанной около прямоугольного и равнобедренного треугольника: формула, примеры решения задачи

    Все формулы нахождения площади круга сводятся к тому, что сначала нужно найти его радиус. Когда известен радиус, то найти площадь просто, как описано выше.

    Площадь круга, описанного около прямоугольного и равнобедренного треугольника, находится по следующей формуле:



    Примеры решения задач:



    Вот еще один пример решения задачи по формуле Герона.



    Решать такие задачи сложно, но с ними можно справиться, если знать все формулы. Такие задачи решают учащиеся 9 класса.

    Площадь окружности, вписанной в прямоугольную и равнобедренную трапецию: формула, примеры решения задачи

    У равнобедренной трапеции две стороны равны. У прямоугольной трапеции один угол равен 90º. Рассмотрим, как найти площадь круга, вписанного в прямоугольную и равнобедренную трапецию, на примере решения задач.

    Например, в равнобедренную трапецию вписана окружность, которая в точке касания делит одну сторону на отрезки m и n.

    Для решения этой задачи необходимо использовать следующие формулы:



    Площадь круга, вписанного в прямоугольную трапецию, находится по следующей формуле:



    Если известна боковая сторона, то через это значение можно найти радиус. Высота стороны трапеции равна диаметру окружности, а радиус равен половине диаметра.Соответственно, радиус R=d/2.

    Примеры решения задач:



    Трапецию можно вписать в окружность, если сумма ее противоположных углов равна 180º. Следовательно, вписать можно только равнобедренную трапецию. Радиус для расчета площади окружности, описанной около прямоугольной или равнобедренной трапеции, рассчитывается по следующим формулам:





    Примеры решения задач:



    Решение: Большое основание в данном случае проходит через центр, так как в окружность вписана равнобедренная трапеция.Центр делит это основание ровно пополам. Если основание AB равно 12, то радиус R можно найти следующим образом: R=12/2=6.

    Ответ: Радиус равен 6.

    В геометрии важно знать формулы. Но запомнить их все невозможно, поэтому даже на многих экзаменах допускается использование специальной формы. Однако важно уметь найти правильную формулу для решения той или иной задачи. Потренируйтесь решать разные задачи на нахождение радиуса и площади круга, чтобы уметь правильно подставлять формулы и получать точные ответы.

    Видео: Математика | Вычисление площади круга и его частей

    Кружки требуют более внимательного подхода и гораздо реже встречаются в заданиях B5. При этом общая схема решения еще проще, чем в случае с многоугольниками (см. урок «Площади многоугольников на координатной сетке»).

    Все, что требуется в таких задачах, это найти радиус окружности R. Затем можно вычислить площадь круга по формуле S = πR 2 . Из этой формулы также следует, что для решения достаточно найти R 2 .

    Чтобы найти указанные значения, достаточно указать на окружности точку, лежащую на пересечении линий сетки. А потом использовать теорему Пифагора. Рассмотрим конкретные примеры расчета радиуса:

    Задача. Найдите радиусы трех окружностей, изображенных на рисунке:

    Выполним дополнительные построения в каждом круге:


    В каждом случае на окружности выбирается точка B, которая лежит на пересечении линий сетки.Точка C в кругах 1 и 3 завершает фигуру до прямоугольного треугольника. Осталось найти радиусы:

    Рассмотрим треугольник ABC в первой окружности. По теореме Пифагора: R 2 = АВ 2 = АС 2 + ВС 2 = 2 2 + 2 2 = 8.

    Для второго круга все очевидно: R = AB = 2.

    Третий случай аналогичен первому. Из треугольника ABC по теореме Пифагора: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 1 2 + 2 2 = 5.

    Теперь мы знаем, как найти радиус круга (или хотя бы его квадрат). Следовательно, мы можем найти площадь. Есть задачи, где требуется найти площадь сектора, а не всей окружности. В таких случаях легко узнать, какой частью круга является этот сектор, и тем самым найти площадь.

    Задача. Найдите площадь S заштрихованного сектора. В ответе укажите S/π.

    Очевидно, сектор составляет четверть круга. Следовательно, S = 0.25 с. круг.

    Осталось найти S круга — площадь круга. Для этого выполним дополнительную конструкцию:

    Треугольник ABC прямоугольный. По теореме Пифагора имеем: R 2 = АВ 2 = АС 2 + ВС 2 = 2 2 + 2 2 = 8.

    Теперь находим площадь круга и сектора: S круга = πR 2 = 8π; S = 0,25 S круг = 2π.

    Наконец, искомое значение равно S /π = 2.

    Площадь сектора с неизвестным радиусом

    Это совершенно новый тип задач, ничего подобного в 2010-2011 годах не было.По условию нам дан круг определенной площади (именно площади, а не радиуса!). Затем внутри этого круга выделяется сектор, площадь которого требуется найти.

    Радует то, что эти задачи самые простые из всех задач на квадрат, которые есть на ЕГЭ по математике. Кроме того, круг и сектор всегда размещаются на координатной сетке. Поэтому, чтобы узнать, как решать такие задачи, просто взгляните на картинку:

    Пусть площадь исходного круга S = 80.Затем его можно разбить на два сектора площадью S = 40 каждый (см. шаг 2). Аналогичным образом каждую из этих «полу» секторов можно разделить еще раз пополам — получится четыре сектора площадью S = 20 каждый (см. шаг 3). Наконец, можно разделить каждый из этих секторов еще на два — получится 8 секторов — «кусочков». Площадь каждого из этих «кусков» будет равна S = 10,

    .

    Обратите внимание: ни в одном задании ЕГЭ по математике нет деления на меньшее! Таким образом, алгоритм решения задачи Б-3 выглядит следующим образом:

    1. Разрежьте исходный круг на 8 секторов — «кусочков».Площадь каждого из них составляет ровно 1/8 площади всего круга. Например, если по условию круг имеет площадь S круга = 240, то «шишки» имеют площадь S = 240: 8 = 30;
    2. Узнайте, сколько «шишек» поместилось в исходном секторе, площадь которого вы хотите найти. Например, если наш сектор содержит 3 «шишки» площадью 30, то площадь искомого сектора S = 3·30 = 90. Это и будет ответом.

    Вот и все! Задача решается практически устно.Если вы все еще чего-то не понимаете, купите пиццу и разрежьте ее на 8 частей. Каждый такой кусок будет таким же сектором — «кусочком», который можно объединять в более крупные куски.

    А теперь давайте рассмотрим примеры из пробного экзамена:

    Задача. На клетчатой ​​бумаге начерчен круг площадью 40. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

    Итак, площадь круга равна 40. Разделим его на 8 секторов — каждый площадью S=40:5=8. Получаем:

    Очевидно, что заштрихованный сектор состоит ровно из двух «маленьких» секторов.Следовательно, его площадь 2·5=10. Вот и все решение!

    Задача. На клетчатой ​​бумаге начерчен круг площадью 64. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

    Снова разделите весь круг на 8 равных секторов. Очевидно, что площадь одного из них просто необходимо найти. Следовательно, его площадь равна S = 64:8 = 8,

    .

    Задача. На клетчатой ​​бумаге начерчен круг площадью 48 см. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

    Снова разделите круг на 8 равных секторов.Площадь каждого из них равна S = 48:8 = 6. В искомом секторе помещается ровно три сектора-«маленьких» (см. рисунок). Следовательно, площадь искомого сектора равна 3·6=18,

    .

    Инструкция

    Используйте пи, чтобы найти радиус из известной площади круга. Эта константа задает пропорцию между диаметром круга и длиной его границы (окружности). Окружность круга – это максимальная площадь плоскости, которую можно покрыть с его помощью, а диаметр равен двум радиусам, следовательно, площадь с радиусом также соотносятся друг с другом пропорцией, которую можно выразить через Пи.Эта константа (π) определяется как площадь (S) и квадрат радиуса (r) круга. Отсюда следует, что радиус можно выразить как квадратный корень из частного от деления площади на число Пи: r=√(S/π).

    Долгое время Эрастофен возглавлял Александрийскую библиотеку, самую известную библиотеку античного мира. Помимо того, что он вычислил размеры нашей планеты, он сделал ряд важных изобретений и открытий. Изобрел простой метод определения простых чисел, получивший название «решето Эрастотена».

    Он нарисовал «карту мира», на которой показал все части света, известные на тот момент древним грекам. Карта считалась одной из лучших для своего времени. Он разработал систему долготы и широты и календарь, включающий високосные годы. Изобрел армиллярную сферу, механическое устройство, использовавшееся ранними астрономами для демонстрации и предсказания видимого движения звезд на небе. Он также составил звездный каталог, в который вошли 675 звезд.

    Источники:

    • Греческий ученый Эратосфен из Кирены впервые в мире вычислил радиус Земли

    Радиус описанной окружности этой трапеции.Описанная окружность и трапеция

    Как найти радиус описанной окружности трапеции?

    В зависимости от этих условий это можно сделать по-разному. Готовой формулы радиуса окружности, описанной около трапеции, не существует.

    I. Радиус окружности, описанной вокруг трапеции, как радиус окружности, описанной вокруг треугольника, вершины которого являются вершинами трапеции

    Окружность, описанная около трапеции, проходит через все ее вершины, поэтому она описана для любого из треугольников, вершины которых являются вершинами трапеции.

    В общем случае можно найти по одной из формул

    где а — сторона треугольника, а — угол, противолежащий ей;

    или по формуле

    где а, b, с — стороны, S — площадь треугольника.

    Для трапеции ABCD радиус можно найти, например, как радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABD:

    где синус угла А можно найти из прямоугольного треугольника ABF:

    III.Радиус окружности, описанной вокруг трапеции, как расстояние до точки пересечения серединных перпендикуляров

    Радиус описанной окружности – это точка пересечения серединных перпендикуляров со сторонами трапеции. (Можно рассуждать иначе: в равнобедренном треугольнике AOD (AO=OD=R) высота ON также является медианой. Для треугольника BOC аналогично).

    Если известна высота трапеции KN=h, основания AD=a, BC=b, то можно обозначить ON=x.

    Если центр окружности лежит внутри трапеции, OK=h-x, из прямоугольных треугольников ANO и BKO можно составить

    и приравнять правые части

    Решая это уравнение относительно x, можно найти R.

    IV. Если диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне, то центр описанной окружности лежит в середине большего основания, а радиус равен половине большего основания.

    \[(\Большой(\текст(Произвольная трапеция)))\]

    Определения

    Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.\круг\).

    2) Так как \(AD\параллель BC\) и \(BD\) секанс, то \(\угол DBC=\угол BDA\) лежит поперек.
    Также \(\угол BOC=\угол AOD\) как вертикальный.
    Следовательно, в двух углах \(\треугольник BOC \sim \треугольник AOD\).

    Докажем, что \(S_(\треугольник AOB)=S_(\треугольник COD)\). Пусть \(h\) — высота трапеции. Тогда \(S_(\треугольник ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\треугольник ACD)\). Потом: \

    Определение

    Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины сторон.

    Теорема

    Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна половине их суммы.


    Доказательство*

    1) Докажем параллелизм.


    Проведите линию \(MN»\параллельно AD\) (\(N»\в CD\) ) через точку \(M\) ). Тогда по теореме Фалеса (поскольку \(MN»\параллельно AD\параллельно BC, AM=MB\)) точка \(N»\) является серединой отрезка \(CD\)… Значит, точки \(N\) и \(N»\) совпадут.

    2) Докажем формулу.

    Нарисуем \(BB»\perp AD, CC»\perp AD\) . Пусть будет \(BB»\cap MN=M», CC»\cap MN=N»\).


    Тогда по теореме Фалеса \(M»\) и \(N»\) являются серединами отрезков \(BB»\) и \(CC»\) соответственно. Итак, \(MM»\) — это средняя линия \(\треугольник ABB»\) , \(NN»\) — это средняя линия \(\треугольник DCC»\) . Поэтому: \

    Поскольку \(MN\parallel AD\parallel BC\) и \(BB», CC»\perp AD\) , то \(B»M»N»C»\) и \(BM»N»C\) являются прямоугольниками.По теореме Фалеса из \(MN\parallel AD\) и \(AM=MB\) следует, что \(B»M»=M»B\) . Следовательно, \(B»M»N»C»\) и \(BM»N»C\) равные прямоугольники, следовательно, \(M»N»=B»C»=BC\) .

    Таким образом:

    \ \[=\dfrac12 \left(AB»+B»C»+BC+C»D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

    Теорема: свойство произвольной трапеции

    Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.


    Доказательство*
    С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы «Похожие треугольники».

    1) Докажем, что точки \(P\), \(N\) и \(M\) лежат на одной прямой.


    Проведите линию \(PN\) (\(P\) — точка пересечения продолжений сторон, \(N\) — середина \(BC\) ). Пусть она пересекает сторону \(AD\) в точке \(M\) . Докажем, что \(M\) является серединой \(AD\) .

    Рассмотрим \(\треугольник BPN\) и \(\треугольник APM\) . Они подобны по двум углам (\(\угол APM\) — общий, \(\угол PAM=\угол PBN\) как соответствующие при \(AD\параллели BC\) и секущей \(AB\)). Означает: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

    Рассмотрим \(\triangle CPN\) и \(\triangle DPM\) . Они подобны по двум углам (\(\угол DPM\) — общий, \(\угол PDM=\угол PCN\) как соответствующие при \(AD\параллели BC\) и секущей \(CD\)). Означает: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

    Отсюда \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\).Но \(BN=NC\) , следовательно, \(AM=DM\) .

    2) Докажем, что точки \(N, О, М\) лежат на одной прямой.


    Пусть \(N\) — середина \(BC\) , \(O\) — точка пересечения диагоналей. Нарисуйте линию \(NO\) , она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\) . Докажем, что \(M\) является серединой \(AD\) .

    \(\треугольник BNO\sim \треугольник DMO\) на два угла (\(\угол OBN=\угол ODM\) лежащие при \(BC\параллели AD\) и \(BD\) секущей; \(\ угол BON=\угол DOM\) как вертикальный).Означает: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

    Аналогично \(\треугольник CON\sim \треугольник AOM\). Означает: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

    Отсюда \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Но \(BN=CN\) , следовательно, \(AM=MD\) .

    \[(\Большой(\текст(Равнобедренная трапеция)))\]

    Определения

    Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов прямой.

    Трапеция называется равнобедренной, если ее стороны равны.

    Теоремы: свойства равнобедренной трапеции

    1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.

    2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

    3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, равнобедренные.

    Доказательство

    1) Рассмотрим равнобедренную трапецию \(ABCD\) .

    Из вершин \(B\) и \(C\) опустим на сторону \(AD\) перпендикуляры \(BM\) и \(CN\) соответственно. Так как \(BM\perp AD\) и \(CN\perp AD\) , то \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , тогда \(MBCN\) является параллелограммом, следовательно, \(BM = CN\) .

    Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABM\) и \(CDN\) . Поскольку у них равные гипотенузы и катет \(BM\) равен катету \(CN\) , эти треугольники конгруэнтны, следовательно, \(\угол DAB = \угол CDA\) .

    2)

    Так как \(AB=CD, \угол A=\угол D, AD\) — общее, то по первому признаку. Следовательно, \(AC=BD\) .

    3) Поскольку \(\треугольник ABD=\треугольник ACD\), то \(\угол BDA=\угол CAD\) . Следовательно, треугольник \(\треугольник AOD\) равнобедренный.Аналогично доказывается, что \(\треугольник BOC\) равнобедренный.

    Теоремы: признаки равнобедренной трапеции

    1) Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.

    2) Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.

    Доказательство

    Рассмотрим трапецию \(ABCD\) такую, что \(\угол A = \угол D\) .


    Достроим трапецию до треугольника \(AED\), как показано на рисунке.Так как \(\угол 1 = \угол 2\) , то треугольник \(AED\) равнобедренный и \(AE = ED\) . Углы \(1\) и \(3\) равны, так как соответствуют параллельным прямым \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AB\) . Точно так же углы \(2\) и \(4\) равны, но \(\угол 1 = \угол 2\) , тогда \(\угол 3 = \угол 1 = \угол 2 = \угол 4\ ), поэтому треугольник \(BEC\) также равнобедренный и \(BE = EC\) .

    В конце концов \(AB = AE — BE = DE — CE = CD\), т.е. \(AB = CD\) , что и требовалось доказать.

    2) Пусть \(AC=BD\) . Так как \(\треугольник AOD\sim \треугольник BOC\), то мы обозначаем их коэффициент подобия через \(k\) . Тогда если \(BO=x\) , то \(OD=kx\) . Подобно \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .


    Поскольку \(AC=BD\) , тогда \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Итак, \(\треугольник AOD\) равнобедренный и \(\угол OAD=\угол ODA\) .

    Таким образом, по первому признаку \(\треугольник ABD=\треугольник ACD\) (\(AC=BD, \угол OAD=\угол ODA, AD\)- общий).Итак, \(AB=CD\) , поэтому.

    Трапеция представляет собой четырехугольник с двумя параллельными сторонами, являющимися основаниями, и двумя непараллельными сторонами, являющимися сторонами.

    Существуют также такие названия, как равнобедренный или равнобедренный .

    Это трапеция с прямыми углами на боковой стороне.

    Trapeente Elements

    A, B Основы трапециевидной (параллель до б),

    м, N — сторон

    Trapeze,

    D 1, D 2 — диагонали Trapeze

    h- высота трапеция (отрезок, соединяющий основания и одновременно перпендикуляр к ним),

    МН- средняя линия (отрезок, соединяющий середины сторон).

    Площадь трапеции

    1. Через половину суммы оснований a, b и высоты h : S = \frac(a + b)(2)\cdot h
    2. Через среднюю линию MN и высоту h : S = MN\cdot h
    3. Через диагонали d 1 , d 2 и угол (\sin \varphi ) между ними: S = \frac(d_(1) d_(2) \sin \varphi)(2)

    Свойства трапеции

    Срединная линия трапеции

    средняя линия параллельна основаниям, равна их полусумме, и делит каждый отрезок с концами, расположенными на прямых, содержащих основания (например, высота цифра) пополам:

    МН || а, МН || b, MN = \frac(a + b)(2)

    Сумма углов трапеции

    Сумма углов трапеции , прилежащих к каждой стороне, равна 180^( \circ) :

    \alpha + \beta = 180^(\circ)

    \gamma + \delta =180^(\circ)

    Равновеликие треугольники трапеции

    Равновеликие , то есть, имеющие равные площади, являются отрезками диагоналей и треугольников AOB и DOC, образованных сторонами.(2) .

    Отношение длин отрезков и оснований

    Каждый отрезок, соединяющий основания и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой относительно:

    \frac(OX)( OY) = \frac(BC)(AD)

    Это будет верно и для высоты с самими диагоналями.

    Проектная работа «Интересные свойства трапеции» Выполнили: учащиеся 10 класса Кудзаева Элина Баззаева Диана МКОУ СОШ с.Н.Батако Руководитель: Гагиева А.О. 20.11.2015

    Цель работы: Рассмотреть свойства трапеции, которые не изучаются в школьном курсе геометрии, но при решении геометрических задач ЕГЭ из расширенной части С 4, возможно необходимо знать и уметь применять именно эти свойства.

    Свойства трапеции: Если трапецию разделить прямой, параллельной ее основаниям, равной а и b, на две трапеции одинакового размера.Тогда отрезок этой прямой, заключенный между сторонами, равен a B k

    Свойство отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции. Отрезок, параллельный основаниям, проходящий через точку пересечения диагоналей, равен: a в c

    Свойства трапеции: Отрезок прямой, параллельный основаниям трапеции, заключенный внутри трапеции, делится на его диагонали на три части. Тогда отрезки, примыкающие к сторонам, равны между собой.MP=OK R M O K

    Свойства равнобедренной трапеции: Если в трапецию можно вписать окружность, то радиус окружности в среднем пропорционален отрезкам, на которые точка касания делит сторону. OSWA D. EO

    Свойства равнобедренной трапеции: Если центр описанной окружности лежит на основании трапеции, то ее диагональ перпендикулярна стороне OABCD

    Свойства равнобедренной трапеции: В окружность можно вписать равнобедренная трапеция, если боковая сторона равна ее средней линии.C V A D h

    1) Если в условии задачи сказано, что в прямоугольную трапецию вписана окружность, то можно использовать следующие свойства: 1. Сумма оснований трапеции равна сумме сторон. 2. Расстояния от вершины трапеции до точек касания вписанной окружности равны. 3. Высота прямоугольной трапеции равна ее меньшей боковой стороне и равна диаметру вписанной окружности. 4. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции.5. Если точка касания делит боковую сторону на отрезки m и n, то радиус вписанной окружности равен

    Свойства прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность: 1) Четырехугольник, образованный центром вписанная окружность, точки касания и вершина трапеции представляет собой квадрат, сторона которого равна радиусу. (АМОЕ и БКОМ — квадраты со стороной r). 2) Если в прямоугольную трапецию вписана окружность, то площадь трапеции равна произведению ее оснований: S=AD*BC

    Доказательство: Площадь трапеции равна произведению половины суммы его оснований и высоты: Обозначим CF=m , FD=n .Так как расстояния от вершин до точек касания равны, то высота трапеции равна двум радиусам вписанной окружности, а

    I. Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под углом 90º. 1)∠ABC+∠BAD=180º (как внутренняя односторонняя с AD∥BC и секущей AB). 2) ∠ABK+∠KAB=(∠ABC+∠BAD):2=90° (потому что биссектрисы делят углы пополам). 3) Так как сумма углов треугольника равна 180º, то в треугольнике ABK имеем: ∠ABK+∠KAB+∠AKB=180º, следовательно, ∠AKB=180-90=90º.Вывод: биссектрисы боковых сторон трапеции пересекаются под прямым углом. Это утверждение используется при решении задач о трапеции, в которую вписана окружность.

    I I Пусть биссектриса угла ABC пересекает сторону AD в точке S. Тогда треугольник ABS равнобедренный с основанием BS. Следовательно, ее биссектриса AK также является медианой, т. е. точка K является серединой BS. Если M и N — середины сторон трапеции, то MN — средняя линия трапеции и MN∥AD.Поскольку M и K — середины треугольников AB и BS, MK — средняя линия треугольника ABS и MK∥AS. Так как через точку М можно провести только одну прямую, параллельную данной, то точка К лежит на средней линии трапеции.

    III. Точка пересечения биссектрис острых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию. В этом случае треугольники ABK и DCK равнобедренные с основаниями AK и DK соответственно. Таким образом, ВС=ВК+КС=АВ+CD. Вывод: Если биссектрисы острых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей меньшему основанию, то меньшее основание равно сумме сторон трапеции.У равнобедренной трапеции в этом случае меньшее основание вдвое больше боковой стороны.

    I V. Точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию. В этом случае треугольники ABF и DCF равнобедренные с основаниями BF и CF соответственно. Следовательно, AD=AF+FD=AB+CD. Вывод: Если биссектрисы тупых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей большему основанию, то большее основание равно сумме сторон трапеции.Равнобедренная трапеция в этом случае имеет большее основание в два раза больше стороны.

    Если в равнобедренную трапецию со сторонами a, b, c, d можно вписать окружности и описать вокруг нее окружности, то площадь трапеции равна

    — (греч. трапеция). 1) в геометрии четырехугольника, у которого две стороны параллельны, а две нет. 2) фигура, приспособленная для гимнастических упражнений. Словарь иностранных слов, входящих в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ТРАПЕЦИЯ…… Словарь иностранных слов русского языка

    Трапеция — Трапеция. ТРАПЕЦИЯ (от греч. trapezion, буквально стол), выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основания трапеции). Площадь трапеции равна произведению половины суммы оснований (средней линии) и высоты. … Иллюстрированный энциклопедический словарь

    Четырехугольник, снаряд, перекладина Словарь синонимов русского языка. трапециевидные п., кол во синонимов: 3 перекладина (21) … Словарь синонимов

    — (от греч. trapezion, буквально стол), выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основания трапеции). Площадь трапеции равна произведению половины суммы оснований (средняя линия) на высоту … Современная энциклопедия

    — (от греч. trapezion букв. таблица), четырехугольник, у которого две противоположные стороны, называемые основаниями трапеции, параллельны (на рисунке AD и BC), а две другие не параллельны.Расстояние между основаниями называется высотой трапеции (при… … Большой Энциклопедический словарь

    ТРАПЕЦИЯ Четырехугольная плоская фигура, две противоположные стороны которой параллельны. Площадь трапеции равна половине суммы параллельных сторон, умноженной на длину перпендикуляра между ними… Научно-технический энциклопедический словарь

    ТРАПЕЦИЯ, трапециевидная, с внутренней резьбой. (от греческого трапециевидного стола). 1. Четырехугольник с двумя параллельными и двумя непараллельными сторонами (мат.). 2. Гимнастический снаряд, состоящий из перекладины, подвешенной на двух канатах (спорт.). Акробатические… … Толковый словарь Ушакова

    ТРАПЕЦИЯ, а, жен. 1. Четырехугольник с двумя параллельными и двумя непараллельными сторонами. Основания трапеции (ее параллельные стороны). 2. Цирковой или гимнастический снаряд, перекладина, подвешенная на двух тросах. Толковый словарь Ожегова. ОТ… Толковый словарь Ожегова

    Самка, геом. четырехугольник с неравными сторонами, из которых две постенные (параллельные).Трапеция – это подобный четырехугольник, у которого все стороны разведены. Трапецоэдр, тело, разрезанное трапециями. Толковый словарь Даля. В И. Дал. 1863 1866 … Толковый словарь Даля

    — (Трапеция), США, 1956 г., 105 мин. Мелодрама. Начинающий акробат Тино Орсини поступает в цирковую труппу, где работает известный в прошлом воздушный гимнаст Майк Риббл. Однажды Майк выступал с отцом Тино. Молодой Орсини хочет, чтобы Майк… … Киноэнциклопедия

    Четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.Расстояние между параллельными сторонами. высота Т. Если параллельные стороны и высота содержат а, б и ч метров, то площадь Т. содержит квадратных метров … Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

    Фейсбук

    Твиттер

    В контакте с

    одноклассников

    Гугл+

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.

    2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
    тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск