Разложение на простые множители определение: Разложение числа на множители

Posted on by alexxlab

Содержание

разложение чисел на простые множители

 

Каждое натуральное число, кроме единицы, имеет два или более делителей. Например, число 7, делится без остатка только на 1 и на 7, то есть имеет два делителя. А у числа 8, делители 1, 2, 4, 8, то есть аж 4 делителя сразу.

Чем отличаются простые и составные числа

Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Числа, которые имеют только два делителя: единица и само это число, называются простыми числами.

Число 1 имеет только один делить, а именно само это число. Единица не относится ни к простым, ни к составным числам.

  • Например, число 7 простое, а число 8 составное.

Первые 10 простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Число 2 единственное четное простое число, все остальные простые числа нечетные.

Число 78 составное, так как помимо 1 и самого себя, оно делится еще и на 2. При делении на 2 получим 39. То есть 78= 2*39. В таких случаях говорят, что число разложили на множители 2 и 39.

Любое составное число можно разложить на два множителя, каждый из которых больше 1. С простым числом такой фокус не прокатит. Такие дела.

Разложение числа на простые множители

 Как уже отмечалось выше, любое составное число, можно разложить на два множителя. Возьмем, к примеру, число 210. Это число можно разложить на два множителя 21 и 10. Но числа 21 и 10 тоже составные, разложим и их на два множителя. Получим 10 = 2*5, 21=3*7. И в итоге число 210 разложилось уже на 4 множителя: 2,3,5,7. Эти числа уже простые и их разложить нельзя. То есть мы разложили число 210 на простые множители. 

При разложении составных чисел на простые множители, их обычно, записывают в порядке возрастания.

Следует запомнить, что любое составное число можно разложить на простые множители и причем единственным образом, с точностью до перестановки.

  • Обычно, при разложении числа на простые множители пользуются признаками делимости.

Разложим число 378 на простые множители

Будем записывать числа, разделяя их вертикальной чертой. Число 378 делится на 2, так как оканчивается на 8. При делении получим число 189. Сумма цифр числа 189 делится на 3, значит и само число 189 делится на 3. В результате получим 63.

Число 63 тоже делится на 3, по признаку делимости. Получаем 21, число 21 снова можно разделить на 3, получим 7. Семерка делится только на себя, получаем единицу. На этом закончено деление. Справа после черты получились простые множители, на которые раскладывается число 378.

378|2
189|3
  63|3
  21|3
    7|7
    1|

  • Следовательно,  число 378=2*2*3*3*3*7.

Нужна помощь в учебе?



Предыдущая тема: Признаки делимости на 3 и на 9: рассмотрим на примере и выведем правило
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspНаибольший общий делитель (НОД): определение, как найти, схема

Разложение на простые множители

Простые и составные числа

Базовое понятие, с которым необходимо познакомиться, — это что такое простые и что такое составные числа. Простое число — это число, которое без остатка делится только на себя и на единицу. Составное число — это число, у которого есть делитель отличный от себя и единицы. Например, число — простое, а — составное, так как .

Запомните, что единица не относится ни к

простым, ни к составным числам! Понятие простое/составное применимо только для натуральных чисел, .

Теперь мы ввести понятие «разложить на простые множители». Это значит, представить число как произведение простых чисел. Делается это очень просто: мы представляем число как произведение хоть каких-нибудь множителей, а дальше каждый множитель «дробим» до тех пор, пока не получится произведение только из простых чисел. Кстати, для подбора хоть какого-нибудь делителя нам помогут признаки делимости.

К слову, существует теорема, которая называется основная теорема арифметики: У любого натурального числа большего , существует единственное разложение на простые множители. Это знание позволяет раскладывать нам число так, как нам удобно, не боясь получить разные разложения.

Запомните, у каждого числа всего одно разложение на

простые множители!

Например:
Или:

Разложение на простые множители. Повышенный уровень

Немного сложнее дело обстоит с разложением на простые множители чисел типа или . Дело в том, что ни один признак делимости на небольшие числа не «выдаст» Вам, на что делится каждое из этих число, потому что они оба — произведение сравнительно крупных простых чисел: , а . Пытаясь найти, на что делится любое из этих чисел, нам ничего не остаётся, кроме как пробовать делить его на всё большие и большие простые множители. Однако, данный перебор может быть довольно долгим и утомительным. А если это число на самом деле простое, и мы не найдём его делителя? Неужели перебирать необходимо до самого исследуемого числа?

Ответ — нет! Есть теорема, которая ограничивает данный перебор, правда она для тех, кто знает, что такое «квадратный корень»:
У любого составного числа есть делитель не превосходящий квадратного корня их этого числа.

Пользоваться ей очень просто:

  1. Определяем корень из исследуемого числа (желательно взять с небольшим перебором)
  2. Перебираем все простые числа до этого корня в качестве делителя исходного числа
  3. Если оно поделилось на кого-то, то вот оно — искомое разложение на множители (не обязательно простые)
  4. Если ни на кого не поделилось, то делаем вывод, что исходное число является простым.

Например, для числа корень можно оценить числом , то есть пробовать делить его необходимо только на простые числа до , среди которых мы наткнёмся на , на которое оно поделится.

В олимпиаде для поступающих в 5 класс физико-математического лицея само разложение на простые множители как задание не встречается (на год, во всяком случае). Однако знать, что это такое необходимо, так как это облегчит решение уравнений, которые обязательно встретятся.

Урок на тему «Разложение составного числа на простые множители»

Разложение составного числа на простые множители
PPTX / 521. 85 Кб


Тема: Разложение числа на множители

Класс: 5 Б

Дата: 4.12.2018г

Присутствовали: _____________ Отсутствовали: __________

Цель: обобщить и систематизировать знания и умения учащихся по данной теме

Знать: определение простых и составных чисел;

алгоритм разложения составного числа на простые множители;

как найти НОД и НОК натуральных чисел;

Уметь: пользоваться таблицей простых чисел;

отличать простое число от составного;

раскладывать составное число на простые множители;

записывать число в виде произведения простых множителей;

находить число по произведению простых множителей.

Развивать: навык разложения числа на множители;

самостоятельную и познавательную активность;

математическую речь;

логическое мышление;

целеустремленность в достижении поставленной цели;

Воспитать: уважительное отношение друг другу;

культуру поведения на уроках математики;

Критерий оценивания: учащиеся умеют раскладывать число на простые множители

Тип урока: обобщение знаний

Ход урока.

Оргмомент. (2мин)

    Здравствуйте, ребята. Я рада вас приветствовать на нашем сегодняшнем уроке, хочу пожелать всем успеха и хороших отметок. Для начала улыбнитесь друг другу, садитесь.

    Эпиграфом к нашему сегодняшнему уроку, я выбрала следующие слова «Знания, которые не пополняются ежедневно, убывают с каждым днём». (французская пословица)

    Давайте постараемся, чтобы наши знания никогда не убывали.

    Сообщение темы и цели урока (2 мин)

      Тема нашего урока «Разложение составного числа на простые множители»

      Давайте сформулируем цель нашего сегодняшнего урока.

      (ответы учащихся)

      Сегодня на уроке мы будем работать по технологической карте, которая есть у каждого из вас на столе. Подпишите ее. Работать вы будете следующим образом: за каждое правильно выполненное задание вы будете себе ставить 1 балл, в конце урока вы посчитаете баллы и поставите себе оценку за урок.

      К каждому заданию у вас разработан критерий оценивания, где вы можете ставить + или -, если с данным критерием у вас возникают проблемы, в конце урока, вы сдадите эти листы, и я уже смогу оценить ваши знания. Для начала выставите себе оценку, которую как вы считаете, получите на сегодняшнем уроке.

      В конце листа у вас есть лестница успеха, определите на какой вы ступени находитесь на начало урока.

      В конце урока, мы проверим, изменилось ли ваше местоположение на этой лестнице.

      Проверка домашней работы. (3 мин)

        Отчет проверяющих.

        Устный счет. (2 мин)

          Для того, чтобы настроиться на работу, давайте повторим таблицу умножения.

          Актуализация ранее полученных знаний ( 4 мин)

            Работа в парах. Взаимооценивание.

            Устный опрос.

            Определение простого числа.

            Определение составного числа.

            Приведите 3 примера простых чисел.

            Приведите 3 примера составного числа.

            Назови число, которое является ни простым, ни составным?

              Задание на повторение. Элективный тест. (3 мин)

               

              №

              Вопрос

              А

              В

              С

              1

              НОД (15,30)

              5

              30

              15

              2

              НОК (6,9)

              6

              18

              2

              3

              НОК (4,7)

              28

              14

              2

              4

              НОД (5,4)

              2

              20

              1

              А – красная карточка

               

              В – желтая карточка

              С – зеленая карточка

               

              Оцените свою работу. За каждый правильный ответ поставьте себе 1 балл и не забываем оценивать себя по критериям.

              Работа по теме урока.

                Задание 3. Выберите простые множители из делителей заданных чисел (3 мин)


                 

                Обменялись листочками, посчитали количество правильных ответов, выставили балл, вернули листы.

                Работа в группах. (3 мин) «Лови ошибку»

                На презентации намерено допущена ошибка, задача учащихся при ответах быть внимательными, найти ошибку и обосновать ответ.

                Физминутка «Светофор» ( 2 мин)

                Задание 4. Разложите на множители следующие числа 105, 120, 42, 55, 380 (10 мин)

                Работа с доской.

                Учащиеся, которые работают на месте, оценивают работу отвечающих по критериям, если видят ошибку, поднимают красную карточку.

                Задание 5. Соедини число из левого столбца с числами правого столбца, каждое из которых является его разложением на простые множители ( 4 мин)


                 

                45 2∙2∙5∙5

                100 2∙3∙3

                44 3∙3∙5

                18 2∙2∙11


                 

                Проверка с презентацией. За каждый правильный ответ 1 балл.


                 

                Подведение итогов урока (5 мин)

                  Посчитайте баллы.

                  Поставьте себе оценку по критерию:

                  26 – 30б – «5»

                  21 -25б – «4»

                  11-20б -«3»

                  0-10 б – «2»

                  На ваших столах есть стикеры, подпишите их и приклейте свой стикер к нужной оценке, оценки ставите себе в дневник.

                  Рефлексия.

                  Определите свое положение на лестнице успеха на конец урока.

                  Поднимите зеленые карточки те, кто поднялся по лестнице вверх , красные – кто спустился вниз, желтые – кто остался на той же ступени.

                  Ответь на вопросы в конце карточки.

                  Ответь на вопросы. (зачитать 2 – 3 ответа)

                  1 Урок мне _____________

                  2. Мне было _____________

                  3. Тему урока я _______________

                  4. Я могу раскладывать числа на простые множители______(да/нет)

                  5. Я собой ___________________(доволен/недоволен)


                   

                  Домашняя работа. На ваших столах лежат карточки с домашней работой. Домашняя работа (погружение в новую тему)

                  Пример: рассмотрим сумму чисел 12 и 21, т. е. (12+21).

                  В этой сумме каждое из слагаемых делится на 3. Проверяя делимость суммы на 3, получим, что сумма 33 тоже делится на 3.

                  Проверьте аналогичным образом, делится ли сумма

                  (34+23) на 2.

                  (55+45) на 5

                  (63+42) на 7


                     

                    Всем спасибо. Урок окончен.

                     

                    ПРИЛОЖЕНИЕ

                    Тема: Разложение составного числа на простые множители.

                    ФИ _____________________________________________ Какую ты оценку сегодня получишь ____

                    Дата: 4.12.2018

                    Задание

                    Критерий оценивания

                    Баллы

                    Домашняя работа

                    — все выполнено верно – 2 балла

                    — допустил ошибки – 1 балл

                    — не выполнил дом. работу — 0 б

                    		 

                    1.Устный опрос (3 мин)

                    Определение простого числа.

                    Определение составного числа.

                    Приведите 3 примера простых чисел.

                    Приведите 3 примера составного числа.

                      5) Назови число, которое является ни простым, ни составным?

                      -знает , какое называется простым – 1 балл

                      -знает, какое число называется составным – 1 балл

                      -приводит примеры простых чисел – 1 балл

                      — приводит примеры составных чисел – 1балл

                      — называет число, которое является ни простым, ни составным – 1 б

                      		 

                      2. Задание на повторение. (3 мин)

                      №

                      Вопрос

                      А

                      В

                      С

                      1

                      НОД (15,30)

                      5

                      30

                      15

                      2

                      НОК (6,9)

                      6

                      18

                      2

                      3

                      НОК (4,7)

                      28

                      14

                      2

                      4

                      НОД (5,4)

                      2

                      20

                      1

                      -умеет находить НОД чисел;

                      — умеет находить НОК чисел;

                      		 

                      3. Выберите простые множители из делителей заданных чисел (3 мин)

                      Самостоятельно составь критерий оценивания к данному заданию.

                      		 

                      4.Разложите на множители следующие числа (8 мин)

                      105 120 42 55 380

                       

                       

                      -знает алгоритм разложения составного числа на простые множители;

                      -умеет раскладывать число на простые множители;

                      — записывает число в виде произведения его множителей с использованием степени;

                      		 

                      5.Соедини число из левого столбца с числами правого столбца, каждое из которых является его разложением на простые множители ( 3мин)

                      45 2∙2∙5∙5

                      100 2∙3∙3

                      44 3∙3∙5

                      18 2∙2∙11

                      -правильно находят числа с правого столбца

                      -соединяют с числами в левом столбце.

                      		 


                       

                      Посчитай баллы.

                      Критерий оценивания.

                      26 – 30б – «5»

                      21 -25б – «4»

                      11-20б -«3»

                      0-10 б – «2»

                      Оценка _________

                      Где ты находишься на этой лестнице на начало урока/на конец урока


                       

                      Ответь на вопросы.

                      1 Урок мне _____________

                      2. Мне было _____________

                      3. Тему урока я _______________

                      4. Я могу раскладывать числа на простые множители______(да/нет)

                      5. Я собой ___________________(доволен/недоволен)

                       

                      77, 78. Разложение числа на простые множители

                      Это надо знать
                      Раз­ло­жить на­ту­раль­ное число на мно­жи­те­ли – зна­чит пред­ста­вить его в виде про­из­ве­де­ния на­ту­раль­ных чисел.

                      Раз­ло­жить на­ту­раль­ное число на про­стые мно­жи­те­ли – зна­чит пред­ста­вить его в виде про­из­ве­де­ния про­стых чисел.

                      При раз­ло­же­нии боль­ших чисел на про­стые мно­жи­те­ли ис­поль­зу­ют за­пись в стол­бик:

                      Пример: Разложить число 84 на простые множители.

                      При разложении числа на простые множители делим его на простые множители, начиная с 2, затем берем 3, 5, 7, 11,…, пока в частном не получим число 1.

                      84 | 2   Делим на 2, т.к. число 84  делится на 2

                      42 | 2   Делим на 2, т.к. число 42 делится на 2

                      21 | 3   Делим на 3, т.к. число 21 делится на 3

                       7  | 7

                        Делим на 7, т.к. число 7 делится на 7

                       1  |

                      Ответ:  84 = 2∙ 2∙ 3∙ 7
                      Видеоурок



                      Домашнее задание

                       К уроку 77 (на 22.12)

                       П. 5. 2

                       № 1.175
                      Представьте число в виде произведения простых множителей:
                      1) 20;   2) 27;   3) 32;   4) 40;   5) 74;   6) 118.

                       № 1.185
                      Найдите три натуральных числа, которые имеют простые делители:
                      1) 2;    2) 2, 3;    3) 2, 3, 5;    4) 2, 5, 7, 11.

                      № 1.213
                      Найдите два простых числа, сумма и разность которых являются простыми числами.

                      К уроку 78 (на 23.12)

                       П. 5.2

                       № 1.174
                      Найдите все простые делители числа:
                      1) 8;  2) 18;  3) 24;   4) 60;  5) 100;   6) 300.

                       № 1.196
                      Не выполняя умножения, определите, делится ли произведение на 3, на 9.(Указание: разложите произведение на простые множители):
                      1) 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6
                      2) 11 ∙ 12 ∙ 13 ∙ 14 4) 42 ∙ 44 ∙ 46 ∙ 48 № 1.216
                      Найдите сумму двузначных чисел, соседями которых в натуральном ряду являются простые числа.

                      Разложение составного числа на простые множители

                      Предлагаю ученикам картинки: мозаика, радуга, столовые инструменты, рецепт салата. По картинкам попытаемся сформулировать тему и цель урока

                      Вопрос: Что объединяет эти картинки? Как его можно связать с темой урока? .

                      ( мoзаику можно сложить, салат состоит из ингредиентов, радуга из 7 цветов, столовый прибор из предметов которые нам всем известный.)

                      Фoрмулируем тему урока .

                      Задаем вопрос: что нам известно из данной темы, а что нам нужно узнать?

                      (натуральное числo, простые множители -это нам знакомо, разложение на простые множители – это не знакомo.)

                      Фoрмулировка цели урока.

                      Разлoжение составного числа на простые множители

                      Метoд перепутанной цепoчки

                      Цель:

                      1.Сoедините стрелками равные выражения

                      125 2∙2∙2∙3

                      60 2∙3∙11

                      24 2∙2∙5∙5∙

                      100 2∙2∙3∙5

                      66 5∙5∙5

                      2.Запишите одинаковые множители в виде степени

                      3. Запишите в виде произведения

                      125=53 60=22∙3∙5 24=23∙3 100=22∙52 66=2∙3∙11

                      Дескриптор

                      1. Выпoлнить произведение чисел

                      2. Найти соответствующее число

                      3. Записать oдинаковые множители в виде степени

                      4. Записать в виде произведения

                      Вывод: Всякое сoставное число можно разложить на простые множители. Если не учитывать порядка записи множители, то пoлучится одно и тоже разлoжение при любом способе.

                      Пoсле индивидуального изучения текста все вопросы oбсуждаются в группе.

                      Видео

                      Цель

                      Задание: Рабoта по группам

                      Разлoжите на простые мнoжители

                      1 группа

                      2 группа

                      3 группа

                      4 группа

                      150

                      204

                      369

                      400

                      После выполнения заданий, среди карточек выбирают правильные ответы с изображением павильонов стран, участвующих в EXPO.

                      Краткий рассказ ученика об ЕХРO

                      Дифференцирoванные задания. В виде математическая Эстафеты

                      Учащиеся в группах решают на выбoр следующие задачи (треугoльник- простые, квадрат – средние, круг – сложные) :

                      Задание треугольника:

                      1. Даны числа и их разложения на множители в таблице. Найти сoответствие числе с их разложениями, расставить буквы по порядку и сoставить слoво:

                      1) 60

                      2) 125

                      3) 120

                      4) 240

                      5) 164

                      6) 222

                      а

                      н

                      а

                      т

                      а

                      с

                      24∙3∙5

                      22∙41

                      22∙3∙5

                      23∙3∙5

                      2∙3

                      53

                      Задание квадрат:

                      1. Измерения ящика выражены выражены прoстыми числами, его oбъем равен 220 дм3. Найдите измерения ящика.

                      Задание окружности:

                      1. Даны числа: а=720 b= 90 с= 240

                      Напишите разложения чисел:

                      1)а∙ b

                      2)а: b

                      3)а∙ b:с

                      Критерии оценивания

                      Дескрипторы

                      треугольник

                      задание

                      Вернo разложил число на множители

                      квадрат

                      задание

                      Определяет, чтo ящик имеет форму параллелепипеда, число нужно разлoжить на три множителя

                      Использует запись в столбец и нахoдит множители

                      220=22∙5∙11

                      Вернo записывает oтвет:

                      4дм, 5дм и 11дм

                      окружность

                      задание

                      Вернo выполнил действия:

                      1)720= 24∙32∙5

                      2) 90= 2∙32∙5

                      3) 240= 24∙3∙5

                      а∙b=24∙32∙5∙2∙32∙5

                      2)a:b=24∙32∙5:(2∙32∙5)

                      3)а∙b:с=25∙34∙52:(24∙3∙5)

                      Прoверка на интерактивнoй доске

                      Индивидуальная рабoта

                      Испoльзуем графический oрганайзер.

                      Продолжите пoстроение дерева.

                      63 108 105

                      7




                      Каждому верному oтвету соответствуют 1 балл.

                      Если ты набрал:

                      баллoв – ты умница. баллов – ты молодец. У тебя неплохо получается, посмoтри, что тебе надо повторить. баллoв – хорошо.

                      Повтoри те задания , в которых допустил ошибки.

                      python — Разложить число на простые множители

                      Посмотрите, например, как сделано здесь. Существуют более сложные и эффективные методы. А также обратите внимание на решето Эратосфена (тут). Если вы хотите получать факторизацию не для одного числа, а для большого набора числел, то выгоднее использовать перебор по простым. Об этом я расскажу чуть ниже.

                      Кроме того, я думаю, что Вы имели ввиду, что хотите разложить число на простые множители, ведь так? Я сужу по Вашему замечанию, насчёт правильного ответа:

                      7 = [63, 3, 21, 3, 7] А должно: 63 = 3 * 3 * 7

                      Хотя, строки:

                      if n > 1:
   factors. append(n)
else:
   break

                      говорят о том, что Вы пытаетесь искать все делители.

                      В таком случае, нужно писать правильно заголовок вопроса, чтобы не смущать людей.

                      Насчёт Вашего решения. Я не понимаю, зачем Вы добавляете в итоговый список текущий делитель. Это неверно, так как добавлять в итоговый список следует лишь простые числа, а текущий делитель, очевидно, не простой. Так что строки:

                      if n > 1:
   factors.append(n)
else:
   break

                      лишние.

                      Для того, чтобы получить все делители, вам нужно слегка модифицировать Ваш алгоритм:

                      #!/usr/bin/env python3

n = int(input("Integer: "))
factors = []
d = 2
m = n # Запомним исходное число
while d * d <= n:
        if n % d == 0:
            factors.append(d)
            n//=d
        else:
            d += 1
factors.append(n) # Добавим последнеё простое число
print('{} = {}' .format(m, factors)) # Выводим исходное число и все простые множители.

                      Теперь о предподсчёте с простыми числами. 64). После этого полученное со входной строки число для факторизации будем раскладывать по простым следующим образом. Делим число n до тех пор, пока оно делится на i-ое простое. Все простые будем записывать в factors. Как только число перестаёт делиться на i-ое, берём i+1-ое число. И так до тех пор, пока n != 1.

                      Спешу заметить, что хранение простых чисел, разумеется, является затратным. НО! Для большинства задач очень подходит, так как не требуется вычислять простые числа свыше

                      100000000. Оперативная память современных ПК более чем позволяет хранить 1ГБ и более данных. Простых чисел оказывается не слишком много. Согласно одной довольно известной теореме о простых числах, их оказывается порядка n/ln(n) при возрастании n. Это означает, что для 100000000 их будет примерно 5,3 млн, что является вполне себе допустимым. Более того, даже 1 млрд. чисел выдержит среднестатистический ПК, так как простых числе окажется не более 50 млн. А значит, для памяти это будет 50 млн. 4-байтовых чиселок, т.е. 200000000 байт. В мегабайтах это всего лишь 200. Так что большой проблемы в хранении нет.

                      Разложение на простые множители | Универсальный образовательный портал UniverFiles.com


                      Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами,
                      скачайте ее файл и откройте в PowerPoint                       на своем компьютере.
                      Текстовое содержимое слайдов презентации:
                      Урок по математике 6 класс« Разложение на простые множители» Цели урока Познакомить учащихся с разложением на простые множители числа;повторить признаки делимости чисел и научить использовать их при разложении чисел на простые множители. Вычислить устно: 1,4+5,6 :2 — 1.7 : 0,3 *0,1 1: 4 +0,05 *7 +3,4 : 5 4- 3,4 *1.4 +0. 06 :1.8 *3 ? ? ? Из истории математики Изучением свойств простых чиселЗанимался русский математик Пафнутий Львович Чебышев доказал, что между любыми натуральными числами ,большим 1 , и числом, вдвое большим, всегда имеется не менее одного простого числа. Изучение нового материала Задача: Нужно выделить участок земли прямоугольной формы площадью 18 квадратных метров.Какими могут быть размеры этого участка , если они должны выражаться натуральными числами ? Решение задачи: 1) 18 = 1 *18 2) 18 = 2 * 9 3) 18 = 3 * 6 Ответ : размеры участка могут быть : 1 м и 18 м; 2 м и 9 м ; 3 м и 6 м. Решая задачу , мы число 18 представили в виде произведения натуральных чисел.Говорят : разложили на множители . Если в разложении , например , числа 18 = 3 *6 составной множитель 6 представить в виде произведения двух Простых множителей 2 и 3 , то тогда число 18 будет разложено на простые множители : 18 = 3 * 6 = 3* 2 * 3.Обычно записывают в порядке возрастания :18 = 2 * 3 * 3 Определения. Разложить ( натуральное) число на простые множители — значит , представить это число в виде произведения Продолжить 3276 = 2 * 2 * 3*3 * 7* 13 3276 1638 819 273 91 13 1 2 2 3 3 7 13 При разложении числа на простые множители произведение одинаковых множителей представляют в виде степени : 3276= Разложение на простые множители Всякое составное число может быть единственным образомпредставлено в виде произведения простых множителей.
                      Например,  48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3,    225 = 3 · 3 · 5 · 5,   1050 = 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .Для небольших чисел это разложение легко делается на основе таблицы умножения. Для больших чисел рекомендуем пользоваться следующим способом, который рассмотрим на конкретном примере. Разложим на простые множители число 1463. Для этого воспользуемся таблицей простых чисел:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,  41, 43,47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199. Разложение на простые множители Перебираем числа по этой таблице и останавливаемся на том числе, которое является делителем данного числа. В нашем примере это 7. Делим 1463 на 7 и получаем 209. Теперь повторяем процесс перебора простых чисел для 209 и останавливаемся на числе 11, которое является его делителем (см. параграф “Признаки делимости”). Делим 209 на 11 и получаем 19, которое в соответствии с этой же таблицей является простым числом. Таким образом, имеем: 1463 = 7 ∙ 11 ∙ 19, т.е. простыми делителями числа 1463 являются 7, 11 и 19. Закрепление изученного Устно:разложить простые на множители:16, 15, 20; 72 ;150; 25; 36 Выполнить письменно :№ 115( а ), 116.( а), 118 ( А , Б )Повторение : 122, 126 ( а , б, в) Самостоятельная работа Разложить на простые множители Вариант 1 Вариант 2. 1) 42 2) 220 3) 400 1) 54 2) 80 3) 250 42=2 * 3 * 7 42 2 21 3 7 7 54 = 2*3*3*3 54 2 27 3 9 3 3 3 2) 80 = 2*2*2*2*5 3)250 =2*5*5*5 Решение : 2 ) 220 = 2* 2*5*11 3)400= 2*2*2*2*5*5 Итог урока : Вопросы :а) существуют ли составные числа, которые нельзя разложить на простые множители ?б) чем могут отличаться два разложения одного и того же числа на простые множители?в)Что значит разложить число на простые множители?Домашнее задание : Изучить п.5 Решить № 134( а) , 135 (а.в) , 136

                      Приложенные файлы

                      разложение чисел на простые множители

                      Каждое натуральное число, кроме единицы, имеет два или более делителей. Например, число 7, делится без остатка только на 1 и на 7, то есть имеет два делителя. А у числа 8, делители 1, 2, 4, 8, то есть аж 4 делителя сразу.

                      Чем отличаются простые и составные числа

                      Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Числа, которые имеют только два делителя: единица и само это число, называются простыми числами.

                      Число 1 имеет только один делить, а именно само это число. Единица не относится ни к единому, ни к составному числу.

                      • Например, число 7 простое, а число 8 составное.

                      Первые 10 простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Число 2 единственное четное простое число, все остальные простые числа нечетные.

                      Число 78 составное, так как помимо 1 и самого себя, оно делится еще и на 2. При делении на 2 получим 39.То есть 78 = 2 * 39. В таких случаях говорят, что число разложили на множители 2 и 39.

                      Любое составное число можно разложить на два множителя, каждый из которых больше 1. С простым числом такой фокус не прокатит. Такие дела.

                      Разложение числа на простые множители

                      Как уже отмечалось выше, любое составное число, можно разложить на два множителя. Возьмем, число к примеру, число 210. Это можно разложить на два множителя 21 и 10. Но числа 21 и 10 тоже составные, разложим и их на два множителя.Получим 10 = 2 * 5, 21 = 3 * 7. И в итоге число 210 разложилось уже на 4 множителя: 2,3,5,7. Эти числа уже простые и их разложить нельзя. То есть мы разложили число 210 на простые множители.

                      При разложении составных чисел на простые множители, их обычно, записывают в порядке возрастания.

                      Следует запомнить, что любое составное число можно разложить на простые множители и единым образом, с точностью до перестановки.

                      • Обычно при разложении числа на простые множители пользуются признаками делимости.

                      Разложим число 378 на простые множители

                      Будем записывать числа, разделяя их вертикальной чертой. Число 378 делится на 2, так как оканчивается на 8. При делении получим число 189. Сумма цифр числа 189 делится на 3, значит и само число 189 делится на 3. В результате получим 63.

                      Число 63 тоже делится на 3, по признаку делимости. Получаем 21, число 21 снова можно разделить на 3, получим 7. Семерка делится только на себя, получаем единицу. На этом закончено деление.Справа после черты получились простые множители, которые раскладываются числом 378.

                      378 | 2
                      189 | 3
                      63 | 3
                      21 | 3
                      7 | 7
                      1 |

                      • Следовательно, число 378 = 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 7.

                      Нужна помощь в учебе?



                      Предыдущая тема: Признаки делимости на 3 и на 9: рассмотрим на примере и выведем правило
                      Следующая тема: & nbsp & nbsp & nbspНа больший общий делитель (НОД): определение, как найти, схему

                      Электронный справочник по математике для школьников арифметика простые и составные числа разложение на множители

                      Простые числа, составные числа

                      Содержание

                      Простые и составные числа

                      ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Простым числом называется натуральное число, отличное от 1 и такое, которое делится только на 1 и на самом себе.

                      Самого себя делится любое натуральное число из этого числа вытекает, что у простого числа других делителей нет.

                      ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Составным числом называется натуральное число, отличное от 1 и не являющееся общим.

                      Следовательно, у составного числа существует, по крайней мере, один делитель, отличный от 1 и самого числа.

                      ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Делители составного числа, отличные от 1 и самого числа, называют множителями .

                      Например, числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и т.д. являются простыми. Числа 4, 6, 8, 9, 10, 12 и т.д. являются составными.

                      ЗАДАЧА. Доказать, что полусумма двух последовательных простых чисел, больших 2, является составным числом.

                      РЕШЕНИЕ. Все простые числа простые числа 2 являются нечетными числами, а их сумма будет четным числом, а полусумма — натуральным числом.

                      Это натуральное число будет больше, чем меньшее из заданных последовательных простых чисел, и меньше, чем большее из них.

                      Так как заданные простые числа являются последовательными простыми числами, то между ними не может быть другими простыми числами, а, значит, их полусумма является составным числом.

                      ЗАМЕЧАНИЕ. Чтобы выяснить, является ли данное число простым или простым, достаточно проверить, делится ли это число на простые числа, не превосходящие числа.

                      Разложение натуральных чисел на множители (каноническое разложение натуральных чисел)

                      ТЕОРЕМА. Любое натуральное число, отличное от 1, можно представить в виде произведений множителей, являющихся простыми числами, причем единственным образом.

                      Иногда эту теорему формулируют так: любое натуральное число, отличное от 1, можно единственным разложить на простые множители .

                      ПРИМЕР. Разложить на множители число 816.

                      РЕШЕНИЕ.

                      Равенство

                      и есть единственное разложение числа 816 на простые множители. Простыми множителями в данном случае являются числа 2, 3 и 17.

                      Бесконечность множества простых чисел

                      ТЕОРЕМА. Множество простых чисел бесконечно.

                      ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Будем доказывать эту теорему от противного предположив, что множество простых чисел конечно.

                      Тогда рассмотрим число, равное произведению всех простых чисел плюс 1.Это число не делится ни на одно из простых чисел, поэтому его разложение на одно из простых чисел должно существовать, а с другой стороны не может быть ни одного из множителей, состоящего из простого числа.

                      Полученное противоречие доказывает, множество простых чисел должно быть бесконечным.

                      ЗАМЕЧАНИЕ. В нашем справочнике приведена таблица простых чисел от 1 до 10000.

                      Разложение на простые множители

                      Простые и составные числа

                      Базовое понятие, с которым необходимо познакомиться, — это что такое простые и что такое составные числа . Простое число — это без остатка делится только на себя и на единицу. Составное число — это число, у которого есть делитель отличный от себя и единицы. Например, число — простое, а — составное, так как.

                      Запомните, что единица не относится ни к основе , ни к составным числам! Понятие простое / составное применимо только для натуральных чисел,.

                      Теперь мы понятие «разложить на простые множители» .Это значит, представить число как произведение простых числа. Делается это очень просто: мы представляем число получится хоть каких-нибудь множителей, а дальше каждый множитель «дробим» до тех пор, пока не работает только из простых чисел. Кстати, для подбора хоть какого-нибудь делителя указывают признаки делимости.

                      К слову, существует теорема, которая называется основная теорема арифметики: У любого натурального числа большего, существует единственное разложение на простые множители .Это знание позволяет раскладывать нам число так, как нам удобно, не боясь получить разные разложения.

                      Запомните, у каждого числа всего одно разложение на простые множители !

                      Например:
                      Или:

                      Разложение на простые множители. Повышенный уровень

                      Немного сложнее дело типа обстоит с разложением на простые сложные множители чисел или. Дело в том, что ни один признак делимости на небольшие числа не «выдаст» каждое из этих чисел, потому что они оба — произведениеительно больших простых чисел :, а.Пытаясь найти, на что делится любое из этих чисел, нам ничего не остаётся, кроме как пробовать делить его на всё большие и большие простые множители . Однако данный перебор может быть довольно долгим и утомительным. А если это число на самом деле простое , и мы не найдём его делителя? Неужели перебирать необходимо до самого исследуемого числа?

                      Ответ — нет! Есть теорема, которая ограничивает данный перебор, правда для тех, кто знает, что такое «квадратный корень» :
                      У любого составного числа есть делитель не превосходящий квадратного корня их этого числа.

                      Пользоваться ей очень просто:

                      1. Определяем корень из исследуемого числа (желательно взять с небольшим перебором)
                      2. Перебираем все простые числа до этого корня в качестве делителя исходного числа
                      3. Если оно поделилось на кого-то, то вот оно — искомое разложение на множители (не обязательно простые)
                      4. Если ни на кого не поделилось, то делаем вывод, что исходное число является основным.

                      Например, для числа корень можно оценить число, то есть пробовать его, необходимо только на простые числа до, среди которых мы наткнёмся на, на которое оно поделится.

                      В олимпиаде для поступающих в 5 класс физико-математического лицея само разложение на простые множители как задание не встречается (на год, во всяком случае). Однако знать, что это такое необходимо, так как это облегчит решения, которые обязательно встретятся.

                      сайт школы №127 — сраничка учителя математики Спицыной Н.А.

                      сраничка учителя математики Спицыной Н.А. — 1


                      Страничка учителя математики Надежды Александровны Спицыной


                      Тема урока
                      Делители натурального числа

                      Теоретический материал в учебнике МАТЕМАТИКА 5 ​​(автор — Никольский С.М. и др.) страницы 142 — 143.
                      Что надо знать:
                      • Определение делителя числа: Натуральное число b называют ДЕЛИТЕЛЕМ натурального числа a, если число a делится на натуральное число b.
                      • Определение простого числа: Простым представителем называют такое натуральное число, которое больше единицы и делится только на 1 и само себя. (см. Стр 140)
                      • Понятие составного числа: Непростые натуральные числа, большие единицы называют составными.(см. стр.140)
                      • Понятие простого делителя: Если делитель — простое число, то его называют простым делителем.
                      • Признаки делимости на 2, 3, 5 (см. Стр.136 — 138):
                          Если число оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8, то оно делится на 2.
                          Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3
                          Если число оканчивается одной из цифр 0 или 5, то оно делится на 5
                      • Понятие разложения числа на простые множители
                      • Простые числа до 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 — ВЫУЧИТЬ !!! (таблица простых чисел указана на форзаце учебника)
                      Надо уметь
                      разложить составное число на простые множители : Разложить данное составное число на простые множители — значит представить его в виде произведения его простых делителей.

                      ПРИМЕР 1. РАЗЛОЖИТЬ ЧИСЛО 346 НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ.

                      ПРИМЕР 2. РАЗЛОЖИТЬ ЧИСЛО 333 НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ.

                      ЗАПОМНИ!
                      Любое натуральное число можно разложить в простой форме, причем это разложение единственно, с помощью порядка множителей.

                      Например:

                      все эти разложения отличаются только порядком множителей.

                      Надо
                      уметь находить все делители натурального числа из разложения на простые множители.

                      ПРИМЕР. НАЙТИ ВСЕ ДЕЛИТЕЛИ ЧИСЛА 36.

                      ОТВЕТ: 1, 2, 3, 4,6, 12, 18, 36 — других делителей нет.

                      ЗАДАНИЯ ДЛЯ УЧЕНИКОВ 5А КЛАССА:
                      1. Изучить материал учебника на странице 142 — 143;
                      2. Разобрать предложенные примеры в учебнике и на этой страничке;
                      3. Выполнить номера из учебника:
                          № 637; 641, 643 (образец оформления в учебнике),
                          № 645 (все составные числа разложить на простые множители !!!)
                      ОБРАЗЕЦ ОФОРМЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ:

                      Вопросы Возника? — ЗАДАВАЙ их на ФОРУМЕ в разделе УЧЕБА.
                      УДАЧИ и УСПЕХОВ в обучении !!!
                      Ваша Надежда Александровна.

                      77, 78. Разложение числа на простые множители

                      Это надо знать
                      Разложить натуральное число на множители — значит представить его в виде произведения натуральных чисел.

                      Разложить натуральное число на простые множители — значит представить его в виде произведения простых чисел.

                      При разложении больших чисел на простые множители используют запись в столбик:

                      Пример: Разложить число 84 на простые множители.

                      При разложении числа на простые множители делим его на простые множители, начиная с 2, затем берем 3, 5, 7, 11, …, пока в частном не получим число 1.

                      84 | 2 Делим на 2, т.к. число 84 делится на 2

                      42 | 2 Делим на 2, т.к. число 42 делится на 2

                      21 | 3 Делим на 3, т.к. число 21 делится на 3

                      7 | 7 Делим на 7, т. к. число 7 делится на 7

                      1 |

                      Ответ: 84 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 7
                      Видеоурок



                      Домашнее задание

                      К уроку 77 (на 22.12)

                      П. 5,2

                      № 1.175
                      Представьте число в виде произведения простых множителей:
                      1) 20; 2) 27; 3) 32; 4) 40; 5) 74; 6) 118.

                       № 1.185
                      Найдите три натуральных числа, имеют которые простые делители:
                      1) 2; 2) 2, 3; 3) 2, 3, 5; 4) 2, 5, 7, 11.

                      № 1.213
                      Найдите два которые числа, сумма и разность являются простыми числами.


                      К уроку 78 (на 23.12)

                      П. 5,2

                      № 1.174
                      Найдите все простые делители числа:
                      1) 8; 2) 18; 3) 24; 4) 60; 5) 100; 6) 300.

                      № 1.196
                      Не выполняя умножения, определите, делится ли произведение на 3, на 9. (Указание: разложите произведение на простые множители):
                      1) 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6
                      2) 11 ∙ 12 ∙ 13 ∙ 14 4) 42 ∙ 44 ∙ 46 ∙ 48 № 1.216
                      Найдите сумму двузначных чисел, соседями которых в натуральном ряду являются простые числа.

                      Разложение на простые множители | Универсальный образовательный портал UniverFiles.com


                      Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
                      Текстовое содержимое слайдов презентации:
                      Урок по математике 6 класс «Разложение на простые множители» Цели урока Познакомить учащихся с разложением на простые множители числа; повторить признаки делимости чисел и научить использовать их при разложении чисел на простые множители. Вычислить устно: 1,4 + 5,6 : 2 — 1,7 : 0,3 * 0,1 1: 4 +0,05 * 7 +3,4 : 5 4–3,4 * 1,4 +0,06 : 1. 8 * 3? ? ? Из истории математики Изучением свойств простых чиселЗанимался русский математик Пафнутий Львович Чебышев доказал, что между любыми натуральными числами, большим 1, и числом, вдвое большим, всегда имеется не менее одного простого числа.Изучение нового материала Задача: Нужно выделить участок земли прямоугольной формы площадью 18 квадратных метров. Решение задачи: 1) 18 = 1 * 18 2) 18 = 2 * 9 3) 18 = 3 * 6 Ответ: размеры участка могут быть: 1 м и 18 м; 2 м и 9 м; 3 м и 6 м. Решая задача, мы число 18 представили в виде произведений произведений чисел.Говорят: разложили на множители. Если в разложении, например, число 18 = 3 * 6 составной множитель 6 представить в виде произведения двух Простых множителей 2 и 3, то тогда число 18 будет разложено на простые множители: 18 = 3 * 6 = 3 * 2 * 3.Обычно записывают в порядке возрастания: 18 = 2 * 3 * 3 Определения. Разложить (натуральное) число на простые множители — значит, представить это число в виде произведения Продолжить 3276 = 2 * 2 * 3 * 3 * 7 * 13 3276 1638 819 273 91 13 1 2 2 3 3 7 13 При разложении числа на простые множители произведение одинаковых множителей представить в виде степени: 3276 = Разложение на простые множители Всякое составное число может быть единственным образомпредставлено в виде произведения простых множителей. Например, 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3, 225 = 3 · 3 · 5 · 5, 1050 = 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .Для небольших чисел это разложение легко делается на основе таблицы умножения. Для больших чисел рекомендуем пользоваться следующим способом, который рассмотрим на конкретном примере. Разложим на простые множители число 1463. Для этого воспользуемся таблицей простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.Разложение на простые множители Перебираем числа по этой таблице и останавливаемся на том числе. В нашем примере это 7. Делим 1463 на 7 и получаем 209. Теперь повторяем процесс перебора простых чисел для 209 и останавливаемся на числе 11, которое является его делителем (см. Параграф «Признаки делимости»). Делим 209 на 11 и получаем 19, которое в соответствии с этой же таблицей является основным числом. Таким образом, имеем: 1463 = 7 ∙ 11 ∙ 19, т. е. простыми делителями числа 1463 являются 7, 11 и 19.Закрепление изученного Устно: разложить простые на множители: 16, 15, 20; 72; 150; 25; 36 Выполнить письменно: № 115 (а), 116. (а), 118 (А, Б) Повторение: 122, 126 (а, б, в) Самостоятельная работа Разложить на простые множители Вариант 1 Вариант 2. 1) 42 2) 220 3) 400 1) 54 2) 80 3) 250 42 = 2 * 3 * 7 42 2 21 3 7 7 54 = 2 * 3 * 3 * 3 54 2 27 3 9 3 3 3 2) 80 = 2 * 2 * 2 * 2 * 5 3) 250 = 2 * 5 * 5 * 5 Решение: 2) 220 = 2 * 2 * 5 * 11 3) 400 = 2 * 2 * 2 * 2 * 5 * 5 Итог урока: Вопросы: а) существуют ли составные числа, которые нельзя разложить на простые множители? Б) чем отличаться два разложения одного и того же числа на простые множители? в) Что значит разложить число на простые множители?5 Решить № 134 (а), 135 (а.в), 136

                      Приложенные файлы

                      python — Разложить число на простые множители

                      Посмотрите, например, как сделано здесь. Существуют более сложные и эффективные методы. А также обратите внимание на решето Эратосфена (тут). Если вы хотите получить факторизацию не для одного числа, а для большого набора числел, то выгоднее использовать перебор по простому. Об этом я расскажу чуть ниже.

                      Кроме того, я думаю, что имели ввиду, что хотите разложить число на простые множители, так? Я сужу по Вашему замечанию, насчёт правильного ответа:

                        7 = [63, 3, 21, 3, 7] А должно: 63 = 3 * 3 * 7

                      Хотя, строки:

                        если n> 1:
   факторы.добавить (п)
еще:
   перерыв

                      о том, что Вы пытаетесь искать все делители.

                      В таком случае, нужно писать правильно заголовок вопроса, чтобы не смущать людей.

                      Насчёт Вашего решения. Я не понимаю, зачем Вы добавляете в итоговый список текущий делитель. Это неверно, как следует в итоговый список лишь простые числа, а текущий делитель, очевидно, не простой. Так что строки:

                        если n> 1:
   Factors.append (n)
еще:
   перерыв

                      лишние.

                      Для того, чтобы получить все делители, вам нужно слегка модифицировать Ваш алгоритм:

                        #! / Usr / bin / env python3

n = int (input ("Целое число:"))
факторы = []
d = 2
m = n # Запомним исходное число
а d * d <= n:
        если n% d == 0:
            Factors. append (d)
            n // = d
        еще:
            d + = 1
Factors.append (n) # Добавим последнеё простое число
print ('{} = {}' .format (m, factor)) # Выводим исходное число и все простые множители.

                      Теперь о предподсчёте с простыми числами.64 ). После этого полученное со входной строки число для факторизации будем раскладывать по простым образом. Делим число n до тех пор, пока оно делится на i -ое простое. Все простые будем записывать в факторах . Как только число перестаёт делиться на i -ое, берём i + 1 -ое число. И так до тех пор, пока n! = 1 .

                      Спешу заметить, что хранение простых чисел, разумеется, является затратным. НО! Для всех задач очень подходит, так как не требуется вычислять простые числа свыше 100000000 .Оперативная память современной ПК более чем позволяет хранить 1ГБ и более данных. Простых чисел оказывается не слишком много. Согласно одной известной теореме о простых числах, их оказывается порядка n / ln (n) при возрастании n . Это означает, что для 100000000 их будет примерно 5,3 млн , что является вполне себе допустимым. Более того, даже 1 млрд. чисел выдержит среднестатистический ПК, так как простой устойчивый не более 50 млн .А значит, для памяти это будет 50 млн . 4-байтовых чисел, т.е. 200000000 байт . В мегабайтах это всего лишь 200 . Так что большой проблемы в хранении нет.

                      .

                      Добавить комментарий

                      Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *