Разложите на множители a 2 b 2 2bc c 2: Разложите на множители: а) а² — b² — 2bc — c² б) 4d⁴

2-7x+2x-14=x(x-7)+2(x-7)=(x-7)(x+2)=0

x=7 или x=-2

1) х² — 9х+14 = 0

   Выделим полный квадрат: х² — 9х+14 = х² — 2*4,5х + 4,5²4,5² +14 =

= (х — 4,5)² — 20,25 + 14 = (х — 4,5)² — 6,25 = (х — 4,5)² — 2,5² =

= (х — 4,5 — 2,5)(х — 4,5 + 2,5) = (х — 7)(х — 2)  =>   уравнение имеет вид:

(х — 7)(х — 2) = 0

х — 7 = 0  или  х — 2 = 0

х  = 7  или  х  = 2

  

     Ответ:  2;   7.

2)  х²+5х — 14 = 0

    Выделим полный квадрат: х²+5х — 14 = х² + 2*2,5х + 2,5²2,5² — 14 =

= (х + 2,5)² — 6,25 — 14 = (х + 2,5)² — 20,25 =  (х + 2,5)² — 4,5² =

= (х + 2,5 — 4,5)(х + 2,5 + 4,5

) = (х — 2)(х + 7)  =>   уравнение имеет вид:

(х — 2)(х + 7) = 0

х — 2 = 0    или   х + 7 = 0

х  = 2         или   х = -7

      Ответ:  2;  — 7.

Содержание

Формулы сокращенного умножения — алгебра — 7 класс — Каталог файлов

Формулы сокращенного умножения 

Формула разности квадратов: a2 — b= (a-b)(a+b)

Показывает,что тождественно равны разность квадратов двух выражений и произведение разности и суммы двух данных выражений.

 

Данное тождество можно рассматривать с двух позиций,которые позволяют преобразовывать выражения  двух типов:

  1. правую часть тождества (a-b)(a+b) можно представить в виде левой a2 — b2 , то есть воспользоваться формулой сокращенного умножения
  2. левую часть тождества a2 — bможно представить в виде правой (a-b)(a+b),значит разложить на множители.

Например: необходимо перемножить числа 54 и 46.

54 * 46 = (50+4)(50-4) = 502 — 42 = 2500 — 16 = 2484.


Квадрат суммы двух выражений: (a+b)2 = a2 +2ab + b2.

 — Многочлен,который равен сумме квадратов первого и второго выражений и удвоенному произведению первого и второго выражений.

 

Это тождество можно рассматривать с двух позиций ,которые позволяют преобразовывать выражения двух типов:

  1. правую часть тождества a2 +2ab + bможно представить в виде левой части (a+b)2, то есть воспользоваться формулой сокращенного умножения.
  2. левую часть тождества (a+b)можно представить в виде правой a2 +2ab + b ,следовательно,разложить на множители. 

Например:следует преобразовать выражение (5a + 4b2)2.

(5a + 4b2)2  = 25a2 +40ab2 +16b4.


 Квадрат разности для двух выражений: (a-b)2 = (a2 — 2ab + b2)

— Многочлен,который равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений  и плюс квадрат второго выражения.

 

Данное тождество можно рассматривать с двух позиций,которые позволяют преобразовывать выражения двух типов:

  1. правую часть тождества a2 — 2ab + b2 можно представить в виде левой  (a-b), то есть воспользоваться формулой сокращенного умножения.
  2. левую часть тождества (a-b)можно представить в виде правой a2 — 2ab + b2,значит,разложить на множители.

Например,следует разложить на множители многочлен 25a2 +49c2 — 70ac.

25a2 + 49c2 — 70ac = 25a2— 70ac + 49c= (5a — 7c)2


Квадрат суммы трех выражений:

(a+b+c)2 = a2+b

2+c2 +2ab+2bc+2ac 

— Многочлен,который равен сумме квадратов первого,второго и третьего выражений и удвоенному произведению первого и второго выражений,удвоенному произведению первого и третьего выражений,удвоенному произведению второго и третьего выражений.

 

Это тождество можно рассматривать с двух позиций,которые помогают преобразовывать выражения двух типов:

  1. правую часть тождества a2+b2+c2 +2ab+2bc+2ac можно представить в виде левой (a+b+c)2, то есть воспользоваться формулой сокращенного умножения.
  2. левую часть тождества (a+b+c)можно представить в виде левой a2+b2+c2 +2ab+2bc+2ac, следовательно,разложить на множители.

Например,необходимо разложить на множители многочлен:

9n2 +4m

2 +z+12nm +4mz +6nz.

9n2 +4m2 +z+12nm +4mz +6nz = (3n+2m+z)2


Сумма кубов двух выражений: a3 + b3 = (a+b)(a2— ab + b2)

— Произведение суммы данных выражений и неполного квадрата их разности.

Неполным квадратом разности выражений a и b называется выражение a2 — 2ab + b2 ,в котором нет множителя 2

 

Данное тождество можно рассматривать с двух позиций,они позволяют преобразовывать выражения двух типов:

  1. правую часть тождества (a+b)(a2— ab + b2) можно представить в виде левой a3 + b3 ,то есть воспользоваться формулой сокращенного умножения.
  2. левую часть тождества a3 + bможно представить в виде правой (a+b)(a2— ab + b
    2
    ),значит разложить на множители.

Например,необходимо разложить на множители многочлен 27a+ 8b3.

27a+ 8b= (3a+2b)(9a2 — 6ab + 4b2)


Разность кубов двух выражений: a3 — b3 = (a — b)(a2 +ab +b2) 

— Произведение разности данных выражений и неполного квадрата их суммы.

Неполным квадратом суммы выражений a и b называется выражение a2 +2ab +b2, в котором нет множителя 2.

 

Это тождество можно рассматривать с двух позиций,которые позволяют преобразовывать выражения двух типов:

  1. правую часть тождества (a — b)(a2 +ab +b2) можно представить в виде левой a3 — b, то есть воспользоваться формулой сокращенного умножения.
  2. левую часть тождества a3 — bможно представить в виде правой (a — b)(a2 +ab +b2),значит разложить на множители.

Например,необходимо разложить на множители многочлен 64d6 — 8c3.

64d6 — 8c= (4d2 — 2c)(16d4 +8d2c + 4c2).


Куб суммы двух выражений: (a+b)3 = a3 +3a2b +3ab2 +b3.

— Многочлен,который равен сумме кубов данных выражений,утроенному произведению квадрата первого выражения и второго выражения и утроенному произведению первого выражения и квадрата второго выражения.

 

Данное тождество можно рассматривать с двух позиций,они позволяют преобразовывать выражения двух типов:

  1. правую часть тождества a3 +3a2b +3ab2 +bможно представить в виде левой (a+b)
    ,то есть воспользоваться формулой сокращенного умножения.
  2. левую часть тождества (a+b)3 можно представить в виде правой a3 +3a2b +3ab2 +b,следовательно,разложить на множители.

Например,необходимо разложить на множители многочлен c3 +6c2d +12cd2 +8d3

c3 +6c2d +12cd2 +8d= (c+2d)3.


Куб разности двух выражений:  (a — b)3 = a3 — 3a2b +3ab2 — b3.

— Многочлен,который равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения и второго выражения плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго выражения минус куб второго выражения.

 

Это тождество можно рассматривать с двух позиций,которые позволяют преобразовывать выражения двух типов:

  1. правую часть тождества a3 — 3a2b +3ab2 — bможно представить в виде левой (a — b)3, то есть воспользоваться формулой сокращенного умножения.
  2. левую часть тождества  (a — b)3  можно представить в виде правой a3 — 3a2b +3ab2 — b3,следовательно,разложить на множители.

Например,необходимо разложить на множители многочлен x3 — 8y3 — 6x2y +12xy2.

x3 — 8y3 — 6x2y +12xy2 = (x-2y)3.

Например,необходимо преобразовать выражение (3a — 2c)3.

 (3a — 2c)= 27a3 — 54 a2c +36ac2 — 8c3.

С-32. Вынесение общего множителя за скобки

Изображения обложек учебников приведены на страницах данного сайта исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации)

Авторы: Макарычев, Звавич, Кузнецова

Издательство: Просвещение

Вид УМК: дидактические материалы

На данной странице представлено детальное решение задания С-32. 2-24y-9

Add

Новыe решебники

© 2021 Copyright. Все права защищены. Правообладатель SIA Ksenokss.
Адрес: 1069, Курземес проспект 106/45, Рига, Латвия.
Тел.: +371 29-851-888 E-mail: [email protected]2″.  Еще 2 аналогичных замены.

Шаг 1 :

 c  2 
 Упростить ——
            а
 
Уравнение в конце шага 1 :
 c  2 
  (((((a  2  )-(b  2  ))-2bc)-——)+b)+c
                      а
 

Шаг 2:

Шаг 2:
Переписывание целого в качестве эквивалентной фракции:

2.1 Вычитание фракции из целого

Переписать целую в качестве фракции с использованием A в качестве знаменателя:

 A  2  - B  2  - B  2  - B  2  - B  2  - B  2  - B  2  - B  2  - B  2  - B  2  2bc (а  2  - б  2  - 2bc) • а
     а  2  - б  2  - 2bc = ————————————— = ——————————————————
                            1 год
 

Эквивалентная дробь: Образованная таким образом дробь выглядит иначе, но имеет то же значение, что и целое.

Общий знаменатель: Эквивалентная дробь и другая дробь, участвующая в вычислении, имеют один и тот же знаменатель

Попытка факторизовать многочлен от нескольких переменных:

 2.2 Факторинг 2 — B 2 — B 2 — 2BC

Попытайтесь факторировать эту многорегулируемую Trinomial с использованием пробной версии и ошибки

Факторизация не удалась

 
Добавление фракций, которые имеют общий знаменатель:
 

2.3. Добавление двух эквивалентные дроби
Сложите две эквивалентные дроби, которые теперь имеют общий знаменатель

Объедините числители вместе, подставьте сумму или разность к общему знаменателю, затем приведите к наименьшему члену, если возможно:

 (a  2  -b  2  -2bc) • a - (c  2  ) a  3  - ab  2  - 2abc - c  2 
 знак равно
           а а
 
Уравнение в конце шага 2 :
 (a  3  - ab  2  - 2abc - c  2  )
  (—————————————————————— + б) + в
             а
 

Шаг 3 :

 
Преобразование целого в виде эквивалентной дроби:
 

 3. 1   Прибавление целого к дроби

Перепишите целое в виде дроби, используя a в качестве знаменателя:

 b b • a
    б = — = —————
         1 год
 
Проверка для идеального куба:
 

3.2 A 3 — AB 2 — 2abc — C 2 не является идеальным кубом

 
, добавление фракций, которые имеют общий знаменатель:
 

3.3 Добавление две эквивалентные дроби

 (a  3  -ab  2  -2abc-c  2  ) + b • aa  3  - ab  2  - 20 3abc + ab1 - c 2 90
 знак равно
            а а
 
Уравнение в конце шага 3 :
 (a  3  - ab  2  - 2abc + ab - c  2 )
  ——————————————————————————— + с
               а
 

Шаг 4 :

 
Преобразование целого в виде эквивалентной дроби:
 

 4.1   Прибавление целого к дроби

Перепишите целое в виде дроби, используя a в качестве знаменателя:

 c c • a
    с = — = —————
         1 год
 
Добавление фракций, которые имеют общий знаменатель:
 

4. 2 Добавление двух эквивалентных фракций

 (A  3  -AB  2  -2ABC + AB-C  2 ) + C • AA  3  - аб  2  - 2абс + аб + ас - с  2 
 знак равно ————————
              а а
 
Попытка факторинга путем вытягивания:
 

 4.3      Разложение на множители: a 3 — ab 2 — 2abc + ab + ac — c 2  

Вдумчиво разбейте имеющееся выражение на группы, каждая из которых содержит два члена:

Группа 1: 1  2a 3 900 ab 2  
Группа 2: -2abc + ac
Группа 3:  ab — c 2  

Вытягивать из каждой группы отдельно:

Группа 1:  )
Группа 2: (2b — 1) • (-ac)
Группа 3:   (ab — c 2 ) • (1)

Поиск общих подвыражений :

Группа 1:   (a 2 — b 2 ) • (a)
Группа 3:   (ab — c 2 ) • (1)
Группа 2:   (2b — 1) • (-ac)

Плохие новости !! Разложение на множители путем вытягивания не удается:

Группы не имеют общего множителя и не могут быть сложены для образования умножения.

Конечный результат:

 a  3  + ab  2  + 2abc + ab + ac + c  2 
  ——————————————————————————————
                а
 

Формула факторизации. Что такое формула факторизации? Примеры

Формула факторизации используется для факторизации числа. Факторизация определяется как разбиение объекта на произведение другого объекта или факторов, которые при умножении вместе дают исходное число. Метод факторизации использует базовую формулу факторизации, чтобы привести любое алгебраическое или квадратное уравнение к его более простой форме, где уравнения представлены в виде произведения множителей, а не раскрытия скобок.Множителями любого уравнения могут быть целые числа, переменные или само алгебраическое выражение. Давайте узнаем больше о формуле факторизации, используя решенные примеры в следующих разделах.

Что такое формула факторизации?

Формула факторизации быстро разлагает число на меньшие числа или множители числа. Множитель – это число, на которое данное число делится без остатка. Формула факторизации данного значения может быть выражена как

.

где,

  • N = любое число
  • X, Y и Z = коэффициенты числа N
  • 90 255 a, b и c = показатели коэффициентов X, Y и Z соответственно.

Список формул факторизации для алгебраического уравнения

Существует множество алгебраических тождеств, которые помогают нам в факторизации алгебраических выражений и факторизации квадратных уравнений. Здесь перечислены некоторые.

  • (а + б) 2 = а 2 + 2аб + б 2
  • (а — б) 2 = а 2 — 2аб + б 2
  • (a + b) 3  =a + b + 3ab(a + b)
  • (а – б) = а – б – 3аб(а – б)
  • (а + б) 4  = а + 4а 3 б + 6а 2 б 2  + 4аб 3 9021 6 4 2
  • (а − б) 4  = а 4  — 4а 3 б + 6а 2 б 2  — 4аб 3 5 1 3

    2

  • (a + b + c) 2  = a 2  + b 2  +c 2  + 2ab + 2ac + 2bc
  • а 2 – б 2  = (а + б)(а – б)
  • а + б 2  = (а + б) 2 — 2аб
  • а 3 – б 3 = (а – б)(а 2 + аб + б 2 )
  • a + b = (a + b)(a – ab + b 2 )

Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы понять формулу факторизации.

Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы. С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.

Забронируйте бесплатный пробный урок

Примеры использования формулы факторизации

Пример 1: Сэм хочет разложить на множители число 40. Какова простая факторизация числа 40? Решите его, используя формулу факторизации.

Решение:    

Чтобы найти: Факторизация числа 40 на простые множители.
Использование формулы факторизации,
Формула факторизации для любого числа, N = X a  × Y b  × Z c
40 = 2 × 2 × 2 × 5
= 2 3 × 5

Ответ:   Разложение числа 40 на простые множители равно 2 3 × 5.

Пример 2:  Разложить на множители 2 — 625.

Решение: 

а 2 — 625 = а 2 — 25 2

Используя известное тождество, мы можем разложить этот многочлен на множители
а 2 — 25 2 имеет форму а 2 — б 2

Мы знаем, что a 2 — b 2 = (a+b) (a-b)
Таким образом, мы факторизуем многочлен как (a + 25) (a — 25)

Ответ: a 2 — 625 разлагается как (a + 25) (a — 25)

Пример 3:  Если факторизация числа равна  2 × 3 2 × 5.Найдите число, используя формулу факторизации.

Решение: 

Чтобы найти: Факторизованное число
Дано:
Разложение числа на множители = 2 × 2 × 3 × 3 × 5,
Использование формулы факторизации,
Формула факторизации для любого числа, N = X a  × Y b  × Z c
= (2 × 2 × 3 × 3 × 5)
= 2 2 × 3 2 × 5
= 180

Ответ: Факторизованное число равно 180.

Часто задаваемые вопросы о формуле факторизации

Что представляет N в формуле факторизации?

Общая формула факторизации выражается как N = X a  × Y b  × Z c . Здесь N представляет факторизованное число.

Что X, Y, Z представляют в формуле факторизации?

Общая формула факторизации выражается как N = X a  × Y b  × Z c . Здесь X, Y, Z представляют факторы факторизованного числа.

Что представляют a, b, c в формуле факторизации?

Общая формула факторизации выражается как N = X a  × Y b  × Z c . Здесь a, b, c представляют экспоненциальные степени факторов факторизованного числа.

Как факторизовать данные алгебраические выражения?

Мы факторизуем алгебраические выражения, используя известные алгебраические тождества. x 2 + 6x + 9 факторизуется как (x+3)(x + 3) с использованием известного алгебраического тождества (x+a) 2 = x 2 +2ax +a 2 .

решенных примеров на факторизацию

Мы в ask-math считаем, что учебные материалы должны быть бесплатными для всех. Пожалуйста, используйте содержимое этого веб-сайта для более глубокого понимания концепций. Кроме того, мы создали и разместили видеоролики на нашем YouTube.

Мы также предлагаем индивидуальные / групповые занятия / помощь в выполнении домашних заданий по математике с 4 по 12 классы по алгебре, геометрии, тригонометрии, предварительному исчислению и исчислению для учащихся из США, Великобритании, Европы, Юго-Восточной Азии и ОАЭ.

Также приветствуются связи со школами и образовательными учреждениями.

Свяжитесь с нами по [email protected] / Whatsapp +8367796 / Skype id: anitagovilkar.abhijit

Мы будем рады опубликовать видео в соответствии с вашими требованиями. Напишите нам.

В этом разделе вы можете увидеть Решенные примеры по факторизации. Внимательно просмотрите их, а затем решите свой вопрос.

Решенные примеры факторизации

Использование общего множителя

1) 4x + 8

Здесь 4 — общий множитель

4( x +2 ) — множители .2 + 9

Здесь 3 — общий делитель

= 3( x 3 + 2x 2 3
— делители.

—————- ————————————————————
Использование идентификаторов

1) 4x 2 + 20 x +25

Здесь первый и последний члены являются полными квадратами, поэтому мы будем использовать тождество


(2x ) 2 + 2 (2x)(5) +(5) 2

=(2x + 5) 2

Коэффициенты (2x +5)(2x +5)

— ————————————————— ———-
2) 9x 2 — 6x +1

Здесь первый и последний члены являются полными квадратами, поэтому мы будем использовать тождество


(3x ) 2 — 2 (3x)(5) +(1) 2

=(3x — 1) 2

—————— —————————————————
3) 2 — B 2 — C 2 — C 2 + D 2 — 2 (AD — BC)

Решение:
A 2 — B 2 — C 2 + D 2 — 2 (AD — BC)

= A 2 — B 2 — C 2 — C 2 + D 2 — 2AD + 2BC)

= (A 2 + D 2 — 2ad) + ( -b 2 — c 2 + 2bc)

= (a 2 — 2ad + d 2 ) — (b 2 2 — 2b0c)

= (a — d) 2 — (b — c) 2

= (a — d + b — c)[a — d -(b — c)][ использовать a 2 — b 2 = (a + b)(a — b)]

= ( a — d + b — c)(a — d — b + c)

———— ————————————————— —-
4) A 4 — 81

Раствор:
A 4 — 81

= (A 2 ) 2 — (9) 2

= (A 2 + 9)(a 2 — 9)

= (a 2 + 9)[a 2 -(3) 2 ] [используйте a 2 — b 2 = (a 2 — b 2 = (a 2 — b 2 = )(a — b)]

= (a 2 + 9)(a + 3)(a — 3) [ использовать a 2 — b 2 = (a + b)(a — b) ]


Факторизация

• Факторизация по общему фактору
• Факторизация путем группировки
• Факторизация с использованием идентичности
• Факторизация кубического полинома
• Решенные примеры на факторизацию

Главная Page

Россия-Украина Обновление кризиса — 3-й март 2022

Генассамблея ООН на экстренном заседании проголосовала за требование немедленного прекращения нападения Москвы на Украину и вывода российских войск.

RS Решения Агарвала: Факторизация многочленов — 2 Примечания | Учебная математика (Математика) Класс 9

RS Aggarwal Решения: Упражнение 3B — Факторизация многочленов

Q.1. Факторизация: 9x 2 – 16 лет 2
Ответ.
9x 2 −16y 2
=(3x) 2 −(4y) 2
=(3x+4y)(3x−3y)
[a 2 −1
2 b9001 а+б)(а-б)]

Q.2. Разложить на множители: (25/4 x 2 −1/9 y 2 )
Ответ. (25/4 x 2 -1/9 y 2 )
=(5/2 x) 2 -(1/3 y) 2
=(5/2 x + 1/3 y)(5/2 x−1/3 y)
[a 2 −b 2 =(a+b)(a−b)]

Q.3. Факторизация: 81 – 16x 2
Ответ.
81−16x 2
=9 2 −(4x) 2
=(9+4x)(9−4x) [a 2 −b 2 =(a+b)(a −b)]

Q. 4. Факторизация: 5 – 20x 2
Ответ.
5−20x 2
=5(1−4x 2 )
=5[1 2 −(2x) 2 ]
=5(1+2x)(1−2x)2 [a 9001 2 −b 2 =(a+b)(a−b)]

Q.5. Факторизация: 2x 4 – 32
Ответ.
2x 4 −32
=2(x 4 −16)
=2[(x 2 ) 2 −4 2 ]
+ 4(1×2 9000) 2 −4) [a 2 −b 2 =(a+b)(a−b)]
=2(x 2 +4)(x 2 −2 2 )
=2(x 2 +4)(x+2)(x−2) [a 2 −b 2 =(a+b)(a−b)]

Q.6. Разложить на множители: 3a 3 b − 243ab 3
Ответ.
3a 3 b−243ab 3 =3ab(a 2 −81b 2 )
=3ab[a 2 −(9b) 2 ] 3 +9б)

Q.7. Разложить на множители: 3x 3 − 48x
Ответ.
3x 3 −48x=3x(x 2 −16)
=3x(x 2 −4 2 )
=3x(x−4) (x+4)

90 . Разложить на множители: 27a 2 − 48b 2
Ответ. 27a 2 −48b 2 =3(9a 2 −16b 2 )
=3[(3a) 2 −(4b) 2 4)3030] 3а+4б)

В.9. Разложить на множители: x − 64x 3
Ответ. Q.10. Разложить на множители: 8ab 2 − 18a 3
Ответ.
8ab 2 −18a 3 =2a(4b 2 −9a 2 )
=2a[(2b) 2 −(3a) 2 2б+3а)

Q.11. Разложить на множители: 150 − 6x 2
Ответ. Q12. Факторизация: 2 – 50x 2
Ответ.
2−50x 2
=2(1−25x 2 )
=2[1 2 −(5x) 2 ]
=2(1+5x)(1−5×1) [a
2 −b 2 =(a+b)(a−b)]

Q. 13. Факторизация: 20x 2 – 45
Ответ.
20x 2 −45
=5(4x 2 −9)
=5[(2x) 2 −3 2 ]
=5(2x+3)(2x−3) [a 9001 2 −b 2 =(a+b)(a−b)]

Q.14. Факторизация: (3a + 5b)2 – 4c2
Ответ.
(3a+5b) 2 −4c 2
=(3a+5b) 2 −(2c) 2
=(3a+5b+2c)(3a+5b−2c) [a 2 −b 2 =(a+b)(a−b)]

Q.15. Факторизация: а 2 – б 2 – а – б
Ответ.
a 2 −b 2 −a−b
=(a+b)(a−b)−1(a+b) [a 2 −b 2 =(a+b)( a−b)]
=(a+b)[(a−b)−1]
=(a+b)(a−b−1)

Q.16. Факторизация: 4a 2 – 9b 2 – 2a – 3b
Ответ.
4a 2 −9b 2 −2a−3b
=(2a) 2 −(3b) 2 −1(2a+3b)
=(2a+3b)(2a−3b)−1 (2a+3b) [a 2 −b 2 =(a+b)(a−b)]
=(2a+3b)[(2a−3b)−1]
=(2a+3b) (2a−3b−1)

Q. 17. Факторизация: a 2 – b 2 + 2bc – c 2
Ответ.
A 2 -B 2 + 2BC-C 2
= A 2 — (B 2 -2BC + C 2 )
= A 2 — (B-C) 2 [a 2 −2ab+b 2 =(a−b) 2 ]
=[a+(b−c)][a−(b−c)] [a 2 −b 2 =(a+b)(a−b)]
=(a+b−c)(a−b+c)

Q.18. Факторизация: 4a 2 – 4b 2 + 4a + 1
Ответ.
4a 2 −4b 2 +4a+1
=(4a 2 +4a+1)−4b 2
=[(2a) 2 +2×29012+1 ]−4b 2
=(2a+1) 2 −(2b) 2 [a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2 ] 3 2a+1)+2b] [(2a+1)−2b] [a 2 −b 2 =(a+b)(a−b)]
=(2a+1+2b)(2a+ 1−2b)
= (2a+2b+1)(2a−2b+1)

Q.19. Разложить на множители: a + 2ab + b 2 − 9c 2
Ответ.
a 2 +2ab+b 2 −9c 2 =(a+b) 2 −(3c) 2
=(a+b−3c)(a+b+3c)

Q.20. Разложить на множители: 108a 2 − 3(b − c) 2
Ответ.
108a 2 −3(b−c) 2 =3[36a 2 −(b−c) 2 ]
=3[(6a)2−(b−c)2]
= 3(6a−b+c)(6a+b−c)

Q.21. Разложить на множители: (a + b) 3 − a − b
Ответ.
(a+b) 3 −a−b=(a+b) 3 −(a+b)
=(a+b)[(a+b) 2 −1]
=( a+b)[(a+b) 2 −1 2 ]
= (a+b)(a+b−1)(a+b+1)

Q.22. Разложить на множители: x 2 + y 2 – z 2 – 2xy
Ответ.
x 2 + Y 2 -Z 2 -Z -Z 2 -2xy
= (x 2 + Y 2 -2xy) -Z 2
= (X-Y) 2 -Z 2 [a 2 −2ab+b 2 =(a−b) 2 ]
=(x−y+z)(x−y−z) [a 2 −b 2 =(a+b)(a−b)]

Q. 23. Факторизация: x 2 + 2xy + y 2 – a 2 + 2ab – b 2
Ответ.
x 2 + 2xy + Y 2 -A 2 + 2ab-B 2
= (x 2 + 2xy + Y 2 ) — (A 2 -2ab + B 2 )
=(x+y) 2 −(a−b) 2 [a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2 и a 2 2ab013 +b 2 =(a−b) 2 ]
=[(x+y)+(a−b)][(x+y)−(a−b)] [a 2 −b 2 =(a+b)(a−b)]
=(x+y+a−b)(x+y−a+b)

Q.24. Факторизация: 25x 2 – 10x + 1 – 36y 2
Ответ.
25x 2 −10x +1−36y 2
= [(5x) 2 −2×5x×1+1 2 ]−(6y) 2

 =(0x017) 
 2  −(6y)  [a  2  −2ab+b  2  =(a−b)  2  ] 
= [(5x−1+6y)][(5x−1−6y) ] [a 2 −b 2 =(a+b)(a−b)]
=(5x+6y−1)(5x−6y−1)

Q. 25. Разложить на множители: a − b − a 2 + b 2
Ответ.
a−b−a 2 +b 2 =(a−b)−(a 2 −b 2 )
=(a−b)−(a−b)(a+b)
=(a−b)[1−(a+b)]
=(a−b)(1−a−b)

Q.26. Разложить на множители: a 2 − b 2 − 4ac + 4c 2
Ответ.
а 2 -b 2 -4ac+4c 2
=(a 2 -4ac+4c 2 )-b 2 03 +

7 =a (2c)

2 −b 2
=(a−2c) 2 −b 2
=(a−2c+b)(a−2c−b)

Q.27. Разложить на множители: 9 − a 2 + 2ab − b 2
Ответ.
9−a 2 +2ab−b 2 =9−(a 2 −2ab+b 2 )
=32−(a−b) 2
=[3−(a− b)][3+(a−b)]
=(3−a+b)(3+a−b)

Q.28. Разложить на множители: x 3 − 5x 2 − x + 5
Ответ.
x 3 −5x 2 −x+5
=x 2 (x−5)−1(x−5)
=(x−5)(x 2 −1)
=( x−5)(x 2 −1 2 )
= (x−5)(x−1)(x+1)

Q.29. Разложить на множители: 1 + 2ab – (a 2 + b 2 )
Ответ.
1+2ab−(a 2 +b 2 )
=1+2ab−a 2 −b 2
=1−a 2 +2ab−b 1 9 2 2 −(a 2 −2ab+b 2 )
=1 2 −(a−b) [a 2 −2ab+b 2 9 =(0a−13 b) 2 ]
= [1+(a−b)][1−(a−b)] [a 2 −b 2 =(a+b)(a−b)]
=(1+ а-б)(1-а+б)

В.30. Факторизация: 9а 2 + 6а + 1 – 36б 2
Ответ.
9a 2 +6a+1−36b 2
=[(3a) 2 +2×3a×1+1 2 ]−(6b) 2 =(3a+1012) 2 −(6b) [a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2 ]
=(3a+1−6b)(3a+1+6b) [a 2 −b 2 =(a−b)(a+b)]
=(3a−6b+1)(3a+6b+1)

Q. 31. Разложить на множители: x 2 − y 2 + 6y − 9
Ответ.
x 2 −y 2 +6y−9
=x 2 −(y 2 −6y+9)
=x 2 −(y 2 −2 + 3 2 )
=x 2 −(y−3) 2
=[x+(y−3)][x−(y−3)]
=(x+y−3)(x −y+3)

В.32. Разложить на множители: 4x 2 − 9y 2 − 2x − 3y
Ответ.
4x 2 −9y 2 −2x−3y
= (4x 2 −9y 2 )−(2x+3y)
= [(2x) 2 9 92) 1 0 0 0 −(2x+3y)
=(2x−3y)(2x+3y)−1(2x+3y)
=(2x+3y)(2x−3y−1)

Q.33. Разложить на множители: 9a 2 + 3a − 8b − 64b 2
Ответ.
9a 2 +3a−8b−64b 2
=9a2−64b2+3a−8b
=(3a)2−(8b)2+(3a−8b)
=(3a−8b)(3a+ 8b)+1(3a−8b)
=(3a−8b)(3a+8b+1)

Q.34. Факторизация: x 2 +1/x 2 −3
Ответ.
x 2 +1/x 2 −3
=x 2 +1/x 2 −2−1
= [x 2 +(1/x) −× 2 2 x×1/x]−1
=(x−1/x) 2 −1 2 [a 2 −2ab+b 2 =(a−b) 2 ]
=( x−1/x+1)(x−1/x−1) [a 2 −b 2 =(a−b)(a+b)]

Q.35. Разложить на множители: x 2 −2+1/x y 2
Ответ.
x 2 −2+1/x 2 −y 2
= [x 2 −2×x×1/x+(1/x) 2 ]−y 2 3 = (x−1/x) 2 −y 2 [a 2 −2ab+b 2 =(a−b) 2 ]
=(x−1/x+y)(x −1/x−y) [a 2 −b 2 =(a−b)(a+b)]
Отказ от ответственности:  Выражение вопроса должно быть x 2 −2+1/ х 2 −y 2 .То же самое было сделано до решения вопроса.

В. 36. Факторизация: x 4 +4/x 4
Ответ.
х 4 +4/х 4
4 +4/х 4 +4−4
=[(х 2 ) 1 2 +(01/013 90)0 2 +2×(х 2 )×(2/х 2 )]−2 2
=(х 2 +2/х 2 ) 90 1 3 32 90 [a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2 ]
=(x 2 +2/x 2 +2)(x 2 +2/x −2) [a 2 −b 2 =(a+b)(a−b)]

Q.37. Факторизация: x 8 – 1
Ответ.
x 8 -1 = (x 2 -1 2 -1 2
= (x 4 +1) (x 4 -1) [A 2 -B 2 =(a+b)(a−b)]
=(x 4 +1)[(x 2 ) 2 −1 2 ]
=(x 4 +1)(x 2 +1)(x 2 −1) [a 2 −b 2 =(a+b)(a−b)]
=(x 4 +1)(x 2 +1)(x 2 −1) 2
=(x 4 +1)(x 2 +1)(x+1)(x−1) [a 2 −b 2 =(a+b)(a−b)]

Q. 38. Факторизация: 16x 4 – 1
Ответ.
16x 4 -1
= (4x 2 ) 2 -1 2 -1 2
= (4x 2 +1) (4x 2 -1) [A 2 -B 2 =(a+b)(a−b)]
=(4x 2 +1)[(2x) 2 −1 2 ]
= (4x 2 +1)(2x+1 )(2x−1) [a 2 −b 2 =(a+b)(a−b)]

Q.39. 81x 4 – у 4
Ответ.
81x 4 -Y 4 4
= (9x 2 ) 2 - (Y 2 ) 2
= (9x 2 + Y 2 ) (9x 2 - y 2 ) [a 2 −b 2 =(a+b)(a−b)]
=(9x 2 +y 2 )[(3x) 2 13 −y 9 2 ]
= (9x 2 +y 2 )(3x+y)(3x−y) [a 2 −b 2 =(a+b)(a−b)]

В.40. х 4 – 625
Ответ.
x 4 -625
= (x 2 ) 2 -25 2
= (x 2 +25) (x 2 -25) [A 2 -B 2 =(a+b)(a−b)]

RS Aggarwal Решения: Упражнение 3C – Факторизация многочленов

Q.1. Разложить на множители: x 2 + 11x + 30
Ответ.
У нас есть:
x 2 +11x+30
Мы должны разделить 11 на два числа так, чтобы их сумма была равна 11, а их произведение равно 30.
Очевидно, 5+6=11 и 5×6=30.
∴ x 2 +11x+30
= x 2 +5x+6x+30
= x(x+5)+6(x+5)
=(x+5)(x+6)

Q.2. Разложить на множители: x 2 + 18x + 32
Ответ.
У нас есть:
x 2 +18x+32
Нам нужно разделить 18 на два числа так, чтобы их сумма была равна 18, а их произведение равно 32.
Ясно, что 16+2=18 и 16×2=32.
∴x 2 +18x+32
=x 2 +16x+2x+32
=x(x+16)+2(x+16)
=(x+16)(x+2)

В. 3. Факторизация: x 2 + 20x – 69
Ответ.
x 2 +20x-69
=x 2 +23x-3x-69
=x(x+23)-3(x+23)
=(x+23)(x-3)

Вопрос 4. х 2 + 19х – 150
Ответ.
x 2 +19x-150
=x 2 +25x-6x-150
=x(x+25)-6(x+25)
=(x+25)(x-6)

Вопрос 5. Разложить на множители: x 2 + 7x – 98
Ответ.
x 2 +7x-98
=x 2 +14x-7x-98
=x(x+14)-7(x+14)
=(x+14)(x-7)

В.6. Факторизация: x 2 +2√3x–24
Ответ.
x 2 +2√3x–24
= x 2 +4√3x-2√3x-24
= x(x+4√3)-2√3(x+4√3)
= (x+4√3)(x-2√3)

Q.7. Разложить на множители: x 2 – 21x + 90
Ответ.
x 2 -21x+90
=x 2 -15x-6x+90
=x(x-15)-6(x-15)
=(x-6)(x-15)

Вопрос 8. Разложить на множители: x 2 – 22x + 120
Ответ.
x 2 -22x+120
=x 2 -12x-10x+120
=x(x-12)-10(x-12)
=(x-10)(x-12)

В.9. Факторизация: x 2 – 4x + 3
Ответ.
x 2 -4x+3
=x 2 -3x-x+3
=x(x-3)-1(x-3)
=(x-1)(x-3)

Вопрос 10. Разложить на множители: x 2 +7√6x+60
Анс.
x 2 +7√6x+60
=x 2 +5√6x+2√6x+60
=x(x+5√6)+2√6(x+5√6)=( х+5√6)(х+2√6)

Q.11. Разложить на множители: x 2 +3√3x+6
Анс.
x 2 +3√3x+6
=x 2 +2√3x+√3x+6
=x(x+2√3)+√3(x+2√3)
=(x+ 2√3)(x+√3)

В.12. Факторизация: x 2 +6√6x+48
Ответ.
x 2 +6√6x+48
=x 2 +4√6x+2√6x+48
=x(x+4√6)+2√6(x+4√6)
= (х+4√6)(х+2√6)

В.13. Разложить на множители: x 2 +5√5x+30
Анс.
x 2 +5√5x+30
=x 2 +3√5x+2√5x+30
=x(x+3√5)+2√5(x+3√5)=( х+3√5)(х+2√5)

Q. 14. Факторизация: x 2 -24x-180
Анс.
x 2 -24x-180
=x 2 -30x+6x-180
=x(x-30)+6(x-30)
=(x-30)(x+6)

В.15. Факторизация: x 2 – 32x – 105
Ответ
. х 2 -32х-105
2 -35х+3х-105
=х(х-35)+3(х-35)
=(х-35)(х+3)

Вопрос 16. Факторизация: x 2 – 11x – 80
Анс.
x 2 -11x-80
=x 2 -16x+5x-80
=x(x-16)+5(x-16)
=(x-16)(x+5)

Вопрос 17. Разложить на множители: 6 – x – x 2
Ответ.
-x 2 -x+6
=-x 2 -3x+2x+6
=-x(x+3)+2(x+3)
=(x+3)(-x+ 2)
=(х+3)(2-х)

В.18. Разложить на множители: x 2 -√3x-6
Ответ.
x 2 -√3x-6
=x 2 -2√3x+√3x-6
=x(x-2√3)+√3(x-2√3)
=(x-2 √3)(x+√3)

Q.19. Разложить на множители: 40 + 3x – x2
Ответ.
-x 2 +3x+40
=-x 2 +8x-5x+40
=-x(x-8)-5(x-8)
=(x-8)(-x- 5)
=(8-х)(х+5)

Q.20. Разложить на множители: x 2 – 26x + 133
Ответ.
x 2 -26x+133
=x 2 -19x-7x+133
=x(x-19)-7(x-19)
=(x-19)(x-7)

В.21. Факторизация: x2-2√3x-24
Ответ.
x 2 -2√3x-24
=x 2 -4√3x+2√3x-24
=x(x-4√3)+2√3(x-4√3)
= (x-4√3)(x+2√3)

Q.22. Разложить на множители: x 2 -3√5x-20
Анс.
x 2 -3√5x-20
=x 2 -4√5x+√5x-20
=x(x-4√5)+√5(x-4√5)
=(x- 4√5)(x+√5)

Q.23. Разложить на множители: x 2 +√2x-24
Анс.
x 2 +√2x-24
=x 2 +4√2x-√2x-24
=x(x+4√2)-3√2(x+4√2)
=(x +4√2)(x-3√2)

В. 24. Факторизация: x 2 -2√2x-30
Ответ. x 2 -2√2x-30
=x 2 -5√2x+3√2x-30
=x(x-5√2)+3√2(x-5√2)
= (x-5√2)(x+3√2)

Q.25. Разложить на множители: x 2 − x − 156
Ответ.
У нас есть: x 2 -x-156
Нам нужно разделить (-1) на два числа так, чтобы их сумма была (-1), а их произведение равно (-156).
Очевидно, -13+12=-1 и -13×12=-156.
∴x 2 -x-156
=x 2 -13x+12x-156
=x(x-13)+12(x-13)
=(x-13)(x+12)

В.26. Факторизация: x 2 – 32x – 105
Ответ.
x 2 -32x-105
=x 2 -35x+3x-105
=x(x-35)+3(x-35)
=(x-35)(x+3)

Вопрос 27. Факторизация: 9x 2 + 18x + 8
Ответ.
9x 2 +18x+8
=9x 2 +12x+6x+8
=3x(3x+4)+2(3x+4)
=(3x+4)(3x+2)

Вопрос 28. Разложить на множители: 6x2 + 17x + 12
Ответ.
6x 2 +17x+12
=6x 2 +9x+8x+12
=3x(2x+3)+4(2x+3)
=(2x+3)(3x+4)

В.29. Разложить на множители: 18x 2 + 3x − 10
Ответ.
У нас есть: 18x 2 +3x-10
Нам нужно разделить 3 на два числа так, чтобы их сумма была равна 3, а их произведение было (-180), то есть 18×(-10).
Очевидно, 15+(-12)=3 и 15×(-12)=-180.
∴18x 2 +3x-10
=18x 2 +15x-12x-10
=3x(6x+5)-2(6x+5)
=(6x+5)(3x-2)

Q.30. Разложить на множители: 2x 2 + 11x − 21
Ответ.
Имеем: 2x 2 +11x-21
Нам нужно разделить 11 на два числа так, чтобы их сумма была равна 11, а их произведение равно (-42),
i.д., 2×(-21).
Очевидно, 14+(-3)
=11 и 14×(-3)
=-42.
∴2x 2 +11x-21
=2x 2 +14x-3x-21
=2x(x+7)-3(x+7)
=(x+7)(2x-3)

В. 31. Разложить на множители: 15x 2 + 2x − 8
Ответ.
У нас есть: 15x 2 +2x-8
Нам нужно разделить 2 на два числа так, чтобы их сумма была равна 2, а их произведение было (-120), то есть 15×(-8).
Очевидно, 12+(-10)=2
и 12×(-10)=-120.
∴15x 2 +2x-8
=15x 2 +12x-10x-8
=3x(5x+4)-2(5x+4)
=(5x+4)(3x-2)

В.32. Факторизация: 21x 2 + 5x – 6
Ответ.
21x 2 +5x-6
=21x 2 +14x-9x-6
=7x(3x+2)-3(3x+2)
=(3x+2)(7x-3)

Вопрос 33. Разложить на множители: 24x 2 − 41x + 12
Ответ.
Имеем: 24x 2 -41x+12
Нам нужно разделить (-41) на два числа так, чтобы их сумма была (-41), а их произведение равно 288, то есть 24×12.
Очевидно, (-32)+(-9)=-41 и (-32)×(-9)=288.
∴24x 2 -41x+12
=24x 2 -32x-9x+12
=8x(3x-4)-3(3x-4)
=(3x-4)(8x-3)

В. 34. Факторизация: 3x 2 – 14x + 8
Ответ.
3x 2 -14x+8
=3x 2 -12x-2x+8
=3x(x-4)-2(x-4)
=(x-4)(3x-2)
Отсюда , разложение 3x 2 – 14x + 8 равно (x-4)(3x-2).

Q.35. Разложить на множители: 2x 2 + 3x − 90
Ответ.
У нас есть: 2x 2 +3x-90
Нам нужно разделить 3 на два числа так, чтобы их сумма была равна 3, а их произведение было (-180), то есть 2×(-90).
Очевидно, -12 + 15 = 3 и -12×15 = -180.
∴2x 2 +3x-90
=2x 2 -12x+15x-90
=2x(x-6)+15(x-6)
=(x-6)(2x+15)

В.36. Разложить на множители: √5x 2 +2x-3√5
Ответ.
У нас есть: √5x 2 +2x-3√5
Нам нужно разделить 2 на два числа так, чтобы их сумма была равна 2, а произведение было (-15), то есть √5×(-3√5).
Очевидно, 5+(-3)=2 и 5×(-3)=-15.
∴√5x 2 +2x-3√5
=√5x 2 +5x-3x-3√5
=√5x(x+√5)-3(x+√5)
=(x+√5) )(√5x-3)

В. 37. Разложить на множители: 2√3x 2 +x-5√3
Ответ.
Имеем: 2√3x 2 +x-5√3
Нам нужно разделить 1 на два числа так, чтобы их сумма была равна 1, а произведение равно 30, т. е. 2√3×(-5√3).
Очевидно, 6+(-5)=1 и 6×(-5)=-30.
∴2√3x 2 +x-5√3
=2√3x 2 +6x-5x-5√3
=2√3x(x+√3)-5(x+√3)
=( х+√3)(2√3x-5)

Q.38. Разложить на множители: 7x 2 +2√14x+2
Ответ.
У нас есть: 7x 2 +2√14x+2
Нам нужно разделить 2√14 на два числа так, чтобы их сумма была 2√14, а произведение равно 14.
Очевидно, √14+√14=2
√14 и √14×√14=14.
∴7x 2 +2√14x+2
=7x 2 +√14x+√14x+2
=√7x(√7x+√2)+√2(√7x+√2)
=(√+7x 2)(√7x+√2)
=(√7x+√2)2

Q.39. Разложить на множители: 6√3x 2 -47x+5√3
Ответ.
У нас есть: 6√3x 2 -47x+5√3
Теперь нам нужно разделить (-47) на два числа так, чтобы их сумма была (-47), а их произведение равно 90.
Ясно, что (- 45)+(-2)=-47 и (-45)×(-2)=90.
∴6√3x 2 -47x+5√3
=6√3x 2 -2x-45x+5√3
=2x(3√3x-1)-5√3(3√3x-1 )
=(3√3x-1)(2x-5√3)

В.40. Разложить на множители: 5√5x 2 +20x+3√5
Ответ. У нас есть: 5√5x 2 +20x+3√5
Нам нужно разделить 20 на два числа так, чтобы их сумма была равна 20, а их произведение равно 75.
Ясно, что 15+5=20 и 15×5= 75
∴5√5x 2 +20x+3√5
=5√5x 2 +15x+5x+3√5
=5x(√5x+3)+√5(√5x+3)
=(√5x+3)(5x+√5)

Q.41. Факторизация: √3x 2 +10x+8√3
Ответ.
√3x 2 +10x+8√3
=√3x 2 +6x+4x+8√3
=√3x(x+2√3)+4(x+2√3)
=( x+2√3)(√3x+4)
Следовательно, факторизация √3x 2 +10x+8√3 равна (x+2√3)(√3x+4).

Q.42. Разложить на множители: √2x 2 +3x+√2
Ответ.
У нас есть: √2x 2 +3x+√2
Нам нужно разделить 3 на два числа так, чтобы их сумма была равна 3, а их произведение равно 2, то есть
√2×√2.
Очевидно, 2+1=3 и 2×1=2.
∴√2x 2 +3x+√2
=√2x 2 +2x+x+√2
=√2x(x+√2)+1(x+√2)
=(x+√2)(√2x +1)

Q.43. Разложить на множители: 2x 2 +3√3x+3
Ответ.
Имеем: 2x 2 +3√3x+3
Нам нужно разделить 3√3 на два числа так, чтобы их сумма была 3√3, а их произведение равно 6, т.е.е., 2×3.
Очевидно, 2√3+√3=3√3 и 2√3×√3=6.
∴2x 2 +3√3x+3=2x 2 +2√3x+√3x+3
=2x(x+√3)+√3(x+√3)
=(x+√3)(2x+ √3)

Q.44. Разложить на множители: 15x − x − 128
Ответ.
У нас есть: 15x 2 -x-28
Мы должны разделить (-1) на два числа так, чтобы их сумма была (-1), а их произведение равно (-420), т.е. 15×(-28) .
Очевидно, (-21)+20=-1 и (-21)×20=-420.
∴15x 2 -x-28
=15x 2 -21x+20x-28
=3x(5x-7)+4(5x-7)
=(5x-7)(3x+4)

В.45. Разложить на множители: 6x 2 - 5x - 21
Ответ.
Имеем: 6x 2 -5x-21
Нам нужно разделить (-5) на два числа так, чтобы их сумма была (-5), а их произведение равно (-126), т. е. 6×(-21) .
Очевидно, 9+(-14)=-5 и 9×(-14)=-126.
∴6x 2 -5x-21
=6x 2 +9x-14x-21
=3x(2x+3)-7(2x+3)
=(2x+3)(3x-7)

Q.46. Разложить на множители: 2x 2 − 7x − 15
Ответ.
Имеем: 2x 2 -7x-15
Нам нужно разделить (-7) на два числа так, чтобы их сумма была (-7), а их произведение равно (-30), т.е.д., 2×(-15).
Понятно, что (-10)+3=-7 и (-10)×3=-30.
∴2x2-7x-15
=2x2-10x+3x-15
=2x(x-5)+3(x-5)
=(x-5)(2x+3)

Q.47. Разложить на множители: 5x 2 − 16x − 21
Ответ.
Имеем: 5x 2 -16x-21
Нам нужно разделить (-16) на два числа так, чтобы их сумма была (-16), а их произведение равно (-105), т. е. 5×(-21) .
Очевидно, (-21)+5=-16 и (-21)×5=-105.
∴ 5x 2 -16x-21
=5x 2 +5x-21x-21
=5x(x+1)-21(x+1)
=(x+1)(5x-21)

В. 48. Факторизация: 6x 2 – 11x – 35
Ответ.
6x 2 -11x-35
=6x 2 -21x+10x-35
=3x(2x-7)+5(2x-7)
=(2x-7)(3x+5)
Отсюда , разложение 6x 2 – 11x – 35 равно (2x-7)(3x+5).

Q.49. Факторизация: 9x 2 – 3x – 20
Ответ.
9x 2 -3x-20
=9x 2 -15x+12x-20
=3x(3x-5)+4(3x-5)
=(3x-5)(3x+4)
Отсюда , факторизация 9x2 - 3x - 20 равна (3x-5)(3x+4).

В.50. Разложить на множители: 10x 2 − 9x − 7
Ответ.
Имеем: 10x 2 -9x-7
Нам нужно разделить (-9) на два числа так, чтобы их сумма была (-9), а их произведение равно (-70), т. е. 10×(-7) .
Понятно, что (-14)+5=-9 и (-14)×5=-70.
∴10x 2 -9x-7
=10x 2 +5x-14x-7
=5x(2x+1)-7(2x+1)
=(2x+1)(5x-7)

Q.51. Разложить на множители: x 2 -2x+7/16
Ответ.
Имеем:x 2 -2x+716
= (16x 2 -32x+7)/16
= 1/16 (16x 2 -32x+7)
Теперь нам нужно разделить (- 32) на два числа такие, что их сумма равна (-32), а их произведение равно 112, т.е.д., 16×7.
Очевидно, (-4)+(-28)=-32 и (-4)×(-28)=112.
∴x 2 - 2x + 7/16 = 1/16 (16x 2 -32x+7)
= 1/16 (16x 2 -4x-28x+7)
= 1/16 [4x (4x-1)-7(4x-1)]
= 1/16 (4x-1)(4x-7)

Q.52. Разложить на множители: (1/3)x 2 -2x-9
Ответ.
(1/3)x 2 -2x-9 = (x 2 -6x-27)/3
= (x 2 -9x+3x-27)/3
= (x(x- 9)+3(х-9))/3
= ((х-9)(х+3))/3
= (х-9)/3×(х+3)/1
=(1/ 3x-3)(x+3)
Следовательно, факторизация (1/3) x 2 -2x-9 равна (1/3x-3)(x+3).

Q.53. Разложить на множители: x 2 + 12/35 x+1/35
Ответ.
x 2 + 12/35x+ 1/35
= (35x 2 +12x+1)/35
= (35x 2 +7x+5x+1)/35
= (7x(5x+1) )+1(5x+1))/35= ((5x+1)(7x+1))/35
= (5x+1)/5 x (7x+1)/7
= (x+1/ 5) × (x+1/7)
Следовательно, факторизация x 2 +12/35x+1/35 равна (x+1/5)(x+1/7).

Q.54. Разложить на множители: 21x 2 -2x+ 1/21
Ответ.
21x 2 -2x+1/21
=21x 2 -x-x+1/21
=21x(x-1/21)-1(x-1/21)
=(x-1 /21)(21x-1)
Следовательно, факторизация 21x 2 -2x+1/21 равна (x-1/21)(21x-1).

Q.55. Факторизация: 3/2 x 2 +16x+10
Ответ.
3/2 x 2 +16x+10

Следовательно, факторизация 3/2 x 2 +16x+10 равна (x+10)(3/2x+1).

Q.56. Факторизация: 2/3x 2 - 17/3x-28
Ответ.
2/3x 2 -17/3 x-28

Следовательно, факторизация 2/3 x 2 - 17/3 x-28 равна (1/3x-4)(2x+7).

Q.57. Факторизация: 3/5 x 2 -19/5x+4
Ответ.
3/5 x 2 -19/5 x+4

Следовательно, факторизация 3/5 x 2 - 19/5 x+4 равна (1/5 x-1)(3x-4).

Q.58. Разложить на множители: 2x 2 -x+1/8
Ответ.
2x 2 -x+1/8

Следовательно, факторизация 2x 2 -x+1/8 равна (x-1/4)(2x-1/2).

Q.59. Разложить на множители: 2(x + y) 2 − 9(x + y) − 5
Ответ.
Имеем: 2(x+y) 2 -9(x+y)-5
Пусть:(x+y)=u
Таким образом, данное выражение принимает вид
2u 2 -9u-5
Теперь , мы должны разбить (-9) на два числа так, чтобы их сумма была (-9), а их произведение равно (-10).
Очевидно, -10+1=-9 и -10×1=-10.
∴2u 2 -9u-5
=2u 2 -10u+u-5
=2u(u-5)+1(u-5)
=(u-5)(2u+1)
Подставляя u=(x+y), получаем:
2(x+y) 2 - 9(x+y) - 5
= (x+y-5)[2(x+y)+1]
= (x+y-5)(2x+2y+1)

Q.60. Разложить на множители: 9(2a − b) 2 − 4(2a − b) − 13
Ответ.
Имеем: 9(2a-b) 2 -4(2a-b)-13
Пусть:(2a-b)=p
Таким образом, данное выражение принимает вид
9p 2 -4p-13
Теперь , мы должны разбить (-4) на два числа так, чтобы их сумма была (-4), а их произведение равно (-117).
Очевидно, -13+9=-4 и -13×9=-117.
∴ 9p 2 -4p-13
=9p 2 +9p-13p-13
=9p(p+1)-13(p+1)
=(p+1)(9p-13)
Положив p=(2a-b), получим: 9(2a-b) 2 -4(2a-b)-13
=[(2a-b)+1][9(2a-b)-13 ]
=(2a-b+1)[18a-9b-13]

Q. 61. Разложить на множители: 7(x−2y) 2 −25(x−2y)+12
Ответ. 7(x−2y) 2 −25(x−2y)+12
=7(x−2y) 2 −21(x−2y)−4(x−2y)+12
=[7 (x−2y)](x−2y−3)−4(x−2y−3)
= [7(x−2y)−4](x−2y−3)
= (7x−14y−4) (x−2y−3)7x-2y 2 -25x-2y+12
=7x-2y2-21x-2y-4x-2y+12
=7x-2yx-2y-3-4x-2y-3
=7x-2y-4x-2y-3
=7x-14y-4x-2y-3
Следовательно, факторизация 7(x−2y) 2 −25(x−2y)+12 равна (7x−14y− 4)(x−2y−3)

Q.62. Разложить на множители: 10(3x+1/x) 2 −(3x+1/x)−3
Ответ.
10(3x+1/x) 2 −(3x+1/x)−3
=10(3x+1/x) 2 −6(3x+1/x)+5(3x+1 /x)−3
= [2(3x+1/x)][5(3x+1/x)−3]+1[5(3x+1/x)−3]
=[5(3x+ 1/x)−3][2(3x+1/x)+1]
= (15x+5/x−3)(6x+2/x+1)
Следовательно, факторизация 10(3x+1/ x) 2 −(3x+1/x)−3 равно (15x+5/x−3)(6x+2/x+1)

Q. 63. Разложить на множители: 6(2x−3/x) 2 +7(2x−3/x)−20
Ответ. 6(2x−3/x) 2 +7(2x−3/x)−20
=6(2x−3/x) 2 +15(2x−3x)−8(2x−3x) −20
= [3(2x−3/x)][2(2x−3/x)+5]−4[2(2x−3/x)+5]
=[2(2x−3/x) )+5][3(2x−3/x)−4]
= (4x−6/x+5)(6x−9/x−4)
Следовательно, факторизация 6(2x−3/x) 2 +7(2x−3/x)−20 равно (4x−6/x+5)(6x−9/x−4)

Q.64. Факторизация: (a+2b) 2 +101(a+2b)+100
Ответ.
(а+2b) 2 +101(а+2b)+100
=(а+2b) 2 +100(а+2b)+1(а+2b)+100
=(а+2b) )[(a+2b)+100]+1[(a+2b)+100]
=[(a+2b)+1][(a+2b)+100]
=(a+2b+1) (a+2b+100)
Следовательно, факторизация (a+2b) 2 +101(a+2b)+100 равна (a+2b+1)(a+2b+100)

Q.65 . Факторизация: 4x 4 + 7x 2 – 2
Ответ.
4x 4 + 7x 2 -2 = 4x4 + 8x 2 -x 2 -2
= 4x 2 (x 2 +2) -1 (x 2 +2 )
= (4x 2 −1)(x 2 +2)
Следовательно, факторизация 4x 4 + 7x 2 - 2 равна (4x 2 + 1)(x 2 3 2)

В. 66. Оценить {(999) 2 – 1}.
Ответ. {(999) 2 −1}
= {(999) 2 −1 2 }
= (999−1)(999+1)
=(998)(1000)
=90 Следовательно, {(999) 2 – 1} = 998000.

RS Aggarwal Решения: Упражнение 3D – Факторизация многочленов

Q.1. Развернуть:
(i) (a + 2b + 5c) 2
(ii) (2b − b + c) 2
(iii) (a − 2b − 3c) 2
Ответ.
(i) (a+2b+5c) 2
=(a) 2 + (2b) 2 +(5c) 2 +2(a)(2b)+2(2b)( 5c)+2(5c)(a)               =a 2 +4b 2 +25c 2 +4ab+20bc+10ac
(ii) (2a−b+c) 2 =[(2a) +(−b)+(c)] 2
=(2a) 2 +(−b) 2 +(c) 2 +2(2a)(−b)+2(−b )(c)+4(a)(c)
=4a 2 +b 2 +c 2 −4ab−2bc+4ac
(iii) (a−2b−3c) 2 =[ a+(−2b)+(−3c)] 2
=(a) 2 +(−2b) 2 +(−3c) 2 +2(a)(−2b)+2( −2b)(−3c)+2(a)(−3c)
=a 2 +4b 2 +9c 2 −4ab+12bc−6ac

Q. 2. Развернуть:
(i) (2a − 5b − 7c) 2
(ii) (−3a + 4b − 5c) 2
(iii) (12a+14) 2
Ответ.
(i) (2a−5b−7c) 2
= [(2a)+(−5b)+(−7c)] 2
=(2a) 2 +(−5b) 2 +(−7c) 2 +2(2a)(−5b)+2(−5b)(−7c)+2(2a)(−7c)
=4a 2 +25b 2 +49c 2 −20ab+70bc−28ac
(ii) (−3a+4b−5c) 2 =[(−3a)+(4b)+(−5c)] 2
=(−3a) 2 +(4b) 2 +(-5c) 2 +2(-3a)(4b)+2(4b)(-5c)+2(-3a)(-5c)
=9a 2 +16b 2 +25c 2 −24ab−40bc+30ac
(iii) (1/2a−1/4b+2) 2 =[(a/2)+(−b/4)+( 2)] 2
= (а 2 ) 2 + (−b 4 ) 2 +(2) 2 +2(a/2)(−b/4)+2 (−b/4)(2)+2(a/2)(2)
=a 2 /4+b 2 /16+4−ab/4−b+2a

Q. 3. Разложить на множители: 4x 2 + 9y 2 + 16z 2 + 12xy − 24yz − 16xz.
Ответ. Имеем: 4x 2 +9y 2 +16z 2 +12xy−24yz−16xz
=(2x) 2 +(3y) 2 +(−04z) 9 2x)(3y)+2(3y)(-4z)+2(-4z)(2x)
= [(2x)+(3y)+(-4z)] 2
=(2x+3y-4z ) 2

Q. 4. Разложить на множители: 9x 2 + 16y 2 + 4z 2 − 24xy + 16yz − 12xz
Ответ.
Имеем: 9x 2 +16y 2 +4z 2 −24xy+16yz−12xz
=(−3x) 2 +(4y) 2 901 3 +(02z) −3x)(4y)+2(4y)(2z)+2(2z)(−3x)
= [(−3x)+(4y)+(2z)] 2
=(−3x+4y+ 2з) 2

Q.5. Разложить на множители: 25x 2 + 4y 2 + 9z 2 - 20xy - 12yz + 30xz.
Ответ. Имеем: 25x 2 +4y 2 +9z 2 −20xy−12yz+30xz
=(5x) 2 +(−2y) 2 901 3 +(03z) 5x)(−2y)+2(−2y)(3z)+2(3z)(5x)
= [(5x)+(−2y)+(3z)] 2
=(5x−2y+3z ) 2

В. 6. 16x 2 + 4y 2 + 9z 2 – 16xy – 12yz + 24xz
Ответ.
16x 2 +4y 2 +9z 2 −16xy−12yz+24xz
=(4x) 2 +(−2y) 2 +(1x2) 2900 −2y)+2(−2y)(3z)+2(3z)(4x)
=(4x−2y+3z) 2 [с использованием a 2 +b 2 +c 2 +2ab +2bc+2ca=(a+b+c) 2 ]
Следовательно, 16x 2 + 4y 2 + 9z 2 – 16xy – 12yz + 24xz = (4x−3 y+3z) 1 22 1 22

В.7. Оценить
(i) (99) 2

(ii) (995) 2
(iii) (107) 2
Ответ.
(i) (99) 2 =(100−1) 2
=[(100)+(−1)] 2
= (100) 2 +2×(100)×( −1)+(−1) 2
=10000−200+1
=9801
(ii) (995) 2 =(1000−5) 2
=[(1000)+(−5 )]. 2 =(100+7) 2
=(100) 2 +2×(100)×(7)+(7) 2
=10000+1400+49
=11949

9 RS 038005

Решения Аггарвала: Упражнение 3E — Факторизация многочленов

Q. 1. Расширение
(i) (3x + 2) 3
(ii) (3a+1/4b) 3
(iii) (1+2/3 a) 90 3
Ответ. (i) (3x+2) 3 =(3x) 3 +3×(3x) 2 x2+3×3x×(2) 2 +(2) 3
=27x 3 +54x 2 +36x+8
(ii) (3a+1/4b) 3 =(3a) 3 +(1/4b) 3 +3(3a) 3 (1/4B) +3 (3A) (14b) 2 = 27A 3 + 1/64B 3 + 27A 2 / 4B + 9A / 16B 2
(III) (1 + 2 /3a) 3 =(2/3a) 3 +3×(2/3a) 2 ×1+3a2/3a×(1) 2 +(1)                                        +2a+1iii 1+23a3=23a3+3×23a2×1+3a23a×12+13                         =8/27a 3 +43a 2 +2a+1

2. Расширение

(i) (5a – 3b) 3
(ii) (3x−5/x) 3
(iii) (4/5a−2) 2 3 Ответ (i) (5a−3b) 3 =(5a) 3 −(3b) 3 −3(5a) 2 (3b)+3(5a)(3b) 2 5            3 −27b 3 −225a 2 b+135ab 2
(ii) (3x−5/x) 3 =(3x) 3 − −(05/x) 3(3x) 2 (5/x)+3(3x)(5/x) 2
=27x 3 −125/x 3 −135x+225/x
(iii) (4 /5a−2) 3 =(4/5a) 3 −(2) 3 −3(4/5a) 2 (2)+3(4/5a)(2) 2
=64/125a 3 −8−96/25a 2 +48/5a

Q. 3. Факторизация 8a 3 +27b 3 +36a 2 b+54ab 2
Ответ.
8A 3 + 27B 3 + 36A 2 + 36A 2 B + 54AB 2
= (2A) 3 + (3b) 3 +3 (2A) 2 (3B) +3 ( 2a) (3b) 2
= (2A + 3b) 3
, следовательно, факторизация 8А 3 + 27B 3 + 36A 2 B + 54AB 2

Q.4. Факторизация 64a 3 −27b 3 −144a 2 b+108ab 2
Анс.
64A 3 -27B 3 -144A 2 B + 108AB 2
= (4A) 3 - (3B) 3 -3 (4A) 2 (3B) +3 ( 4а) (3b) 2
= (4A-3B) 3
, следовательно, факторизация 64А 3 -27B 3 -27B 3 -144A 2 B + 108AB 2

Q. 5. Факторизация 1+27/125 a 3 +9a/5+27a 2 /24
Ответ.
1+27/125 a 3 +9a/5+27a 2 /25
=(1) 3 +(3/5a) 3 +3(1) 2 (3/5 a)+3(1)(3/5a) 2
Следовательно, факторизация 1+27/125 a 3 +9a/5+27a 2 /25 равно (1+3/5a) 3

В.6. Факторизация 125x 3 −27y 3 −225x 2 y+135xy 2
Ответ. 125x 3 -27Y 3 -2225x 2 y + 135xy 2
= (5x) 3 - (3Y) 3 -3 (5x) 2 (3Y) +3 ( 5x) (3Y) 2
= (5x-3Y) 3
, следовательно, Факторизация 125x 3 -27Y 3 -225x 2 y + 135xy 2 IS (5x-3Y) 3

В.7. Разложить на множители: a 3 x 3 −3a 2 bx 2 +3ab 2 x−b 3
Ответ.
A 3 x 3 -3A 2 BX 2 + 3AB 2 x-B 3
= (AX) 3 - (B) 3 -3 (AX) 2 (b)+3(ax)(b) 2
= (ax-b) 3
Следовательно, факторизация a 3 x 3 −3a 2 bx 2 2 + 3ab 2 x−b is (ax−b) 3 .

В.8. Факторизация: 64/125a 3 −96/25a 2 +48/5a−8
Анс.
64/125 a 3 −96/25 a 2 +48/5 a−8
=(4/5 a) 3 −(2) 3 −3(4/5 a) 2 (2)+3(4/5 а)(2) 2
=(4/5 а-2) 3
Следовательно, факторизация 64/125 а 3 -96/25 а 2 +48/5 a это (4/5a−2) 3 это (4/5a-2) 3 .

Q.9. Разложить на множители a 3 – 12a(a – 4) – 64
Ответ.
a 3 −12a(a−4)−64
=a 3 −12a 2 +48a−64
=(a) 3 −(4) 3 9013 −3(2) 2 (4)+3(a)(4) 2
= (a-4) 3
Следовательно, факторизация 3 – 12a(a – 4) – 64 равна (a−4) 3 .

В.10. Оценить
(i) (103) 3
(ii) (99) 3
Ответ.
(i) (103) 3 =(100+3) 3
=(100) 3 +(3) 3 +3(100) 2 (3)+3(100) (3) 2
=1000000+27+

+2700


=10
(ii) (99) 3 =(100−1) 3
=(100 109) 2 3 3 −3(100) 2 (1)+3(100)(1) 2
=1000000−1−30000+300
=1000300−30001
=970299

4s - Факторизация многочленов

Q.1. Разложить на множители: x 3 + 27
Ответ.
x 3 +27=(x) 3 +(3) 3
=(x+3)(x 2 −3x+3 2 )
=(x+3)(x 2 −3x+9)

Q.2. Факторизация: 27a 3 + 64b 3
Ответ.
Мы знаем, что x 3 +y 3
=(x+y)(x 2 +y 2 −xy)x 3 +y 3

3 7 Дано: 64б  3  
х = 3а, у = 4б
27а 3 + 64б 3 =(3а+4б)(9а 2 +16б 2 0 9004 -102аб)3. Факторизация: 125a 3 +1/8
Ответ. 125a3+1/8=(5a) 3 +(1/2) 3
=(5a+1/2)[(5a) 2 −5a×1/2+(1/2) 2 ]
=(5a+1/2)(25a 2 −5a/2+1/4)

Q.4. Разложить на множители: 216x 3 +1/125
Ответ.
216x 3 +1/125=(6x) 3 +(1/5) 3
=(6x+1/5)[(6x) 2 −6x×1/5+(1 /5) 2 ]
=(6x+1/5)(36x 2 −6x/5+1/25)

Q.5. Разложить на множители: 16x 4 + 54x
Ответ.
16x 4 +54x
=2x(8x 3 +27)
=2x[(2x) 3 +(3) 3 ]
=2x(2x+3)[(02) 2 −2x×3+3 2 ]
=2x(2x+3)(4x 2 −6x+9)

Разложить на множители: 7a 3 + 56b 3
Ответ.
7a 3 +56b 3 =7(a 3 +8b 3 )
=7[(a) 3 +(2b) 3 7 =[a ] 7 а 2 -a×2b+(2b) 2 ]
=7(a+2b)(a 2 -2ab+4b 2 )

Q. 7. Разложить на множители: х 5 + х 2
Ответ.
x 5 + x 2 = X 2 (x 3 (x 2
= x 2 (x 3 +1 3 )
= x 2 (x + 1 )(x 2 −x×1+1 2 )
=x 2 (x+1)(x 2 −x+1)

Q.8. Разложить на множители: a 3 + 0,008
Ответ.
а 3 +0,008=а 3 +(0,2) 3
=(а+0,2)[а 2 -а×(0,2)+(0,2) 2 7 =(а+) 900 0.2)(а 2 −0,2а+0,04)

Q.9. Факторизация: 1 – 27a 3
Ответ.
1−27a 3 =1 3 −(3a) 3
=(1−3a)[1 2 +1×3x+(3a) 2 ]
=(1−3a) 1+3а+9а 2 )

Q.10. Разложить на множители: 64a − 343
Ответ.
64a 3 −343=(4a) 3 −(7) 3
=(4a−7)(16a 2 +4a×7+7 2 )
=(4a−7) (16а 2 +28а+49)

В. 11. Разложить на множители: x 3 − 512
Ответ.
x 3 −512 =x 3 −8 3
=(x−8)(x 2 +8x+8 2 )
=(x−8)(x 2 8x+64)

Q.12. Разложить на множители: a 3 − 0,064
Ответ.
a 3 −0,064=(a) 3 −(0,4) 3
=(a−0,4)[a 2 +a×(0,4)+(0,4) 2
= (
) а-0,4)(а 2 +0,4а+0,16)

Q.13. Разложить на множители: 8x 3 −1/27y 3
Ответ.
8x 3 −127y 3 =(2x) 3 −(1/3y) 3
=(2x−1/3y)[(2x) 2 +2x×1/3y+( /3y) 2 ]
=(2x−1/3y)(4x 2 +2x/3y+1/9y 2 )

Q.14. Разложить на множители: x 3 /216−8y 3
Ответ.
Мы знаем a 3 −b 3 =(a−b)(a 2 +b 2 +ab)
Имеем, /6) 3 −(2y) 3
Итак, a=x/6,b=2y
x 3 /216−8y 3 =(x/6−2y)((x/6 Q15. Разложить на множители: x − 8xy 3
Ответ. x−8xy 3 =x(1−8y 3 )
=x[1 3 −(2y) 3 ]
=x(1−2y)(1 2 +1×2y (2y) 2 )
=x(1−2y)(1+2y+4y 2 )

Q.16. Факторизация: 32x 4 – 500x
Ответ.
32x 4 – 500x=4x(8x 3 −125)=4x((2x) 3 −5 3 )
известно
a a = 3 −b )(a 2 +b 2 +ab)
a=2x,b=5
32x 4 – 500x=4x((2x) 3 −5 3 − )

x = ( 5)(4x 2 +25+10x)

Q.17. Разложить на множители: 3a 7 b − 81a 4 b 4
Ответ.
3A 7 B-81A 4 B 4 = 3A 4 = 3A 4 B (A 3 B (A 3 -27B 3 )
= 3A 4 B [A 3 - (3B) 3 ]
=3a 4 b(a−3b)[a 2 +a×3b+(3b) 2 ]
=3a 4 b(a−3b)(a 2 9b 2 )

Q. 18. Разложить на множители: x4 y4 – xy
Ответ.
Используя тождество
a 3 −b 3 =(a−b)(a 2 +b 2 +ab)
x 4 y 4 –xy 9 y 3 −1)
=xy(xy−1)(x 2 y 2 +1+xy)

Q.19. Факторизация: 8x 2 y 3 – x 5
Ответ.
8x 2 Y 3 -x 5 = x 2 (8Y 3 -x 3 )
= x 2 (2y-x) (4Y 2 + x2 + 2xy )

Q.20. Факторизация: 1029 – 3x 3
Ответ.
1029–3x 3
=3(343−x 3 )
=3(7 3 −x 3 )
=3(7−x)(49+x 2 + x 2 2 +

В.21. Разложить на множители: x 6 − 729
Ответ.
x 6 -729 = (x 2 ) 3 - (9) 3
= [x 2 -9] [(x 2 ) 2 × 9+9 2 ]
= [x 2 −3 2 ](x 4 +9x 2 +81)
= (x+3)(x−3)(x 2 4 4 +18x 2 +81−9x 2 )
=(x+3)(x−3)[(x 2 ) 2 +2×x 2 ×9+9 2 − 9x 2 ]
= (x+3)(x−3)[(x 2 +9) 2 −(3x) 2 ]
=(x+3)(x−3)( x 2 +9+3x)(x 2 +9−3x)
=(x+3)(x−3)(x 2 +3x+9)(x 2 −3x+9 )

В. 22. Факторизация: x 9 – y 9
Ответ.
x 9 -y 9 = (x 3 ) 3 - (Y 3 ) 3
Мы знаем
A 3 -B 3 = (A-B) ( 2 + b 2 + b ab)
a = x 3 , b = y 3
Итак, x 9 -Y 9 = (x 3 ) 3 - ( Y 3 ) 3 ) 3
= (x 3 ) (x 6 + y 6 + x 3 y 3 )
= (x-y) (x 2 +y 2 +xy)(x 6 +y 6 +x 3 y 3 )

Q.23. Разложить на множители: (a + b) 3 − (a − b) 3
Ответ.
(a + b) 3 −(a−b) 3 =[(a+b)−(a−b)][(a+b) 2 +(a+b)(a− b)+(a−b) 2 ]
=(a+b−a+b)[a 2 +2ab+b 2 +a 2 −b 2 +a 2 −2ab+b 2 ]
= 2b(3a 2 +b 2 )

Q. 24. Разложить на множители: 8a 3 − b 3 − 4ax + 2bx
Ответ.
8a 3 −b 3 −4ax+2bx=[(2a) 3 −(b) 3 ]−2x(2a−b)
=(2a−b)[(2a) 2 +2ab+b 2 ]−2x(2a−b)
=(2a−b)(4a 2 +2ab+b 2 )−2x(2a−b)
=(2a−b) (4a 2 +2ab+b 2 −2x)

Q.25. Разложить на множители: а 3 + 3а 2 b + 3ab 2 + b 3 − 8
Ответ.
A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 + B 3 -8 = (A 3 + B 3 + 3AB 2 B + 3AB 2 ) -8
= [a 3 +b 3 +3ab(a+b)]−8
=(a+b) 3 −2 3
=(a+b−2)[(a+b) 2 +2(a+b)+2 2 ]
=(a+b−2)[(a+b) 2 +2(a+b)+4]

Q.26 . Разложить на множители: a 3 −1/a 3 −2a+2/a
Ответ.
a 3 −1/a 3 −2a+2/a=(a 3 −1/a 3 )−2(a−1/a)
= [(a) 3 −(1/a) 3 ]−2(a−1/a)
=(a−1/a)[a 2 +a×1/a+(1/a)2]−2(a −1/a)
=(a−1/a)(a 2 +1+1/a 2 )−2(a−1/a)
=(a−1/a)(a Q.27. Разложить на множители: 2a 3 + 16b 3 − 5a − 10b
Ответ. 2a 3 +16b 3 −5a−10b=2[a 3 +8b 3 ]−5(a+2b)
=2[a 3 +(2b) 39002] −5(a+2b)
=2(a+2b)[a 2 −a×2b+(2b) 2 ]−5(a+2b)
=2(a+2b)(a 2 −2ab+4b 2 )−5(a+2b)
=(a+2b)[2(a 2 −2ab+4b 2 )−5]

Q.28. Факторизация: a 6 + b 6
Ответ.
A 6 + B 6 = (A 2 ) 3 + (B 2 ) 3
= (A 2 + B 2 ) [((A 2 ) 2 -A 2 B 2 + (B 2 ) 2 ]
= (A 2 + B 2 ) (A 4 -A 2 B 2 +b 4 )

Q. 29. Факторизация: a 12 – b 12
Ответ.
A 12 - B 12
= (A 6 + B 6 ) (A 6 -B 6 )
= [(A 2 ) 3 + (B 2 ) 3 ] [(A 3 ) 2 - (B 3 ) 2 ]
= [(A 2 + B 2 ) (A 4 + B 4 -A 2 B 2 B 2 )] [(A 3 -B 3 ) (A 3 + B 3 )]
= [(A 2 + B 2 )(a 4 +b 4 −a 2 b 2 )][(a−b)(a 2 +b 2 +ab)(a+b)(a 2 +b 2 −ab)]
=(a−b)(a 2 +b 2 +ab)(a+b)(a 2 +b 2 −ab)(a 2 +b 2 )(a 4 +b 4 −a 2 b 2 )

Q. 30. Факторизация: x 6 – 7x 3 – 8
Ответ.
Пусть x 3 =y
Итак, уравнение принимает вид (y−8)(y+1)
= (x 3 −8)(x 3 +1)
= (x−2)(x 2 +4+2x)(x+1) (x 2 +1−x)

Q.31. Разложить на множители: x 3 – 3x2 + 3x + 7
Ответ.
х 3 – 3х 2 + 3х + 7
=х3–3х 2 +3х+7
3 –3х 2 +3х+7х1 1090 3x 2 +3x−1+8
=(x 3 –3x 2 +3x−1)+8
=(x−1) 3 +2 3
=(x−1 +2)[(x−1) 2 +4−2(x−1)]
=(x+1)[x 2 +1−2x+4−2x+2]
=(x+ 1)(х 2 -4х+7)

В.32. Факторизация: (x +1) 3 + (x – 1) 3
Ответ.
(x +1) 3 + (x – 1) 3
=(x+1+x−1)[(x+1)2+(x−1)2−(x−1)( x+1)]
=(2x)[(x+1) 2 +(x−1) 2 −(x 2 −1)]
=2x(x 2 +1+2x +x 2 +1−2x−x 2 +1)
=2x(x2+3)

Q. 33. Факторизация: (2a +1) 3 + (a – 1) 3
Ответ.
(2a +1) 3 + (a – 1) 3
=(2a+1+a−1)[(2a+1) 2 +(a−1) 2 −(2a +1)(a−1)]
=(3a)[4a 2 +1+4a+a 2 +1−2a−2a 2 +2a−a+1]
=3a[3a 2 +3а+3]
=9а(а 2 +а+1)

Q.34. Факторизация: 8(x + y) 3 – 27(x – y) 3
Ответ.
8(x + y) 3 – 27(x – y) 3
=[2(x+y)] 3 − [3(x−y)] 3
=(2x+ 2y−3x+3y)[4(x+y) 2 +9(x−y) 2 +6(x 2 −y 2 )]
=(−x+5y)[4 (x 2 +y 2 +2xy)+9(x 2 +y 2 −2xy)+6(x 2 −y 2 )]
=(−x+5y) [4x 2 +4y 2 +8xy+9x 2 +9y 2 −18xy+6x 2 −6y 2 ]
+ 70 3 (−1x+5y) 2 −10xy)

В. 35. Факторизация: (x +2) 3 + (x – 2) 3
Ответ.
(x +2) 3 + (x – 2) 3
=(x+2+x−2)[(x+2) 2 +(x−2) 2 −(x Q.36 . Разложить на множители: (x + 2) 3 – (x – 2) 3
Ответ. (x + 2) 3 – (x – 2) 3
=(x+2−x+2)[(x+2) 2 +(x−2) 2 +(x 2 −4)]
=4[x 2 +4+4x+x 2 +4−4x+x 2 −4]
=4(3x 2 +4)

4 В.37. Докажите, что (0,85×0,85×0,85+0,15×0,15×0,15)/(0,85×0,85−0,85×0,15+0,15×0,15)=1.
Ответ. LHS: (0,85×0,85×0,85+0,15×0,15×0,15)/(0,85×0,85−0,85×0,15+0,15×0,15)
=(0,85) 3 +(0,15) 3 /(0,852) 2 −0,85×0,15+(0,15) 2
Мы знаем a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 +b 2 −ab) 900,007 Здесь b=0,15
(0,85) 3 +(0,15) 3 /(0,85) 2 -0,85×0,15+(0,15) 2
=(0. Q .38. Докажите, что (59×59×59−9×9×9)/(59×59+59×9+9×9)=50.
Ответ. ( 59×59×59−9×9×9)/(59×59+59×9+9×9)
=(59) 3 −9 3 /59 2 +59×9 +9 2
Мы знаем a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 +b 2 −ab)
Здесь a=59,b=9
Итак, (( 59−9)(59 2 +9 2 +59×9))/(59 2 +9 2 +59×9)=59−9=50:RHS
Таким образом, LHS=RHS

RS Aggarwal Solutions: Упражнение 3G - Факторизация многочленов

Q.1. Найдите произведение: (x + y − z) (x 2 + y 2 + z 2 − xy + yz + zx)
Ответ.
(x+y−z)(x 2 +y 2 +z 2 −xy+yz+zx)
=[x+y+(−z)][x 2 +y 2 +(−z) 2 −xy−y×(−z)−[−z]×x]
=x 3 +y 3 +(−z) 3 −3x×y× (−z)
=x 3 +y 3 −z 3 +3xyz

Q. 2. Найдите произведение: (x – y − z) (x 2 + y 2 + z 2 + xy – yz + xz)
Ans
.(x – y − z) (x 2 + y 2 + z 2 + xy – yz + xz)
= (x+(−y)+(−z)) (x 2 +y 2 +z 2 +xy–yz+xz)
Мы знаем
(a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 −ab−bc−ca)
= a 3 +b 3 +c 3 −3abc
Здесь a=x,b=−y,c=−z
(x+(−y)+(−z)) (x 2 +y 2 +z 2 +xy–yz+xz)
=x 3 −y 3 −z 3 −3xyz

Q.3. Найдите произведение: (x − 2y + 3) (x 2 + 4y 2 + 2xy − 3x + 6y + 9)
Ответ.
(x − 2y + 3)(x 2 +4y 2 +2xy−3x+6y+9)
=(x − 2y + 3)(x 2 +4y 2 +9+2xy +6y−3x)
=[x+(−2y)+3][x 2 +(−2y) 2 +(3) 2 −x×(−2y)−(−2y)×3 −3×x]
=(x) 3 +(−2y) 3 +(3) 3 −3(x)(−2y)(3)
=x 3 −8y 3 +27+18xy

В. 4. Найдите произведение: (3x – 5y + 4) (9x 2 + 25y 2 + 15xy − 20y + 12x + 16)
Ответ.
(3x−5y+4)(9x 2 +25y 2 +15xy−20y+12x+16)
=(3x+(−5y)+4)(9x 2 +25y 2 +16 +15xy−20y+12x)
(a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 −ab−bc−ca)
=a 3 +b 3 +c 3 −3abc
Здесь a=3x,b=−5y,c=4
(3x+(−5y)+4)(9x 2 +25y 2 +16+15xy−20y+12x)
=(3x) 3 +(−5y) 3 +4 3 −3×3x(−5y)(4)
=27x3−125y3+64+180xy

Q.5. Разложить на множители: 125a 3 + b 3 + 64c 3 − 60abc
Ответ.
125a 3 +b 3 +64c 3 −60abc=(5a) 3 +(b) 3 +(4c) 3 09×7×0(09×5a0b) +b+4c)[(5a) 2 +(b) 2 +(4c) 2 −5a×b−b×4c−5a×4c]
=(5a+b+4c)(25a 2 +b 2 +16c 2 −5ab−4bc−20ac)

Q. 6. Разложить на множители: a 3 + 8b 3 + 64c 3 − 24abc
Анс.
a 3 +8b 3 +64c 3 −24abc=a 3 +(2b) 3 +(4c) a 3 +−3×a×0b×04c +4c)[a 2 +(2b) 2 +(4c) 2 −a×2b−2b×4c−4c×a]
=(a+2b+4c) (a 2 + 4b2+16c 2 -2ab-8bc-4ca)

Q.7. Разложить на множители: 1 + b 3 + 8c 3 − 6bc
Ответ.
1+b 3 +8c 3 −6bc=(1) 3 +(b) 3 +(2c) 3 −3×1×b×2c
=(1+b+ 2c)[1 2 +b 2 +(2c) 2 −1×b−b×2c−1×2c]
=(1+b+2c)(1+b 2 +4c 2 −b−2bc−2c)

В.8. Разложить на множители: 216 + 27b 3 + 8c 3 − 108abc
Ответ.
216+27b 3 +8c 3 −108abc
=(6) 3 +(3b) 3 +(2c) 3 −3×6×3b×2c

7 = (6) 3 +(2c) +2c)[6 2 +(3b) 2 +(2c) 2 −6×3b−3b×2c−2c×6]
=(6+3b+2c)(36+9b 2 +4c 2 −18b−6bc−12c)

Q. 9. Разложить на множители: 27a 3 − b 3 + 8c 3 + 18abc
Анс.
27a 3 −b 3 +8c 3 +18abc=(3a) 3 +(−b) 3 +(2c) 3 ×(b)×(3a) ×(2c)
= [3a+(-b)+2c][(3a) 2 +(-b) 2 +(2c) 2 -3a(-b)-(-b)2c- 3a×2c]
=(3a−b+2c)(9a 2 +b 2 +4c 2 +3ab+2bc−6ac)

Q.10. Разложить на множители: 8a 3 + 125b 3 − 64c 3 + 120abc
Ответ.
8a 3 +125b 3 −64c 3 +120abc=(2a) 3 +(5b) 3 +(−4c) 3(−4c) 3(−4c) 3(−4c) 3() −3 (−4c)
= (2a+5b−4c)[(2a) 2 +(5b) 2 +(−4c) 2 −(2a)(5b)−(5b)(−4c) −(2a)×(−4c)]
=(2a+5b−4c)(4a 2 +25b 2 +16c 2 −10ab+20bc+8ac)

Q.11. Разложить на множители: 8 − 27b 3 − 343c 3 − 126bc
Ответ.
8−27b 3 −343c 3 −126bc
=(2) 3 +(−3b) 3 +(−7c) 3 −3×(2)×(−3b) (-7c)
= [2+(-3b)+(-7c)][(2) 2 +(-3b) 2 +(-7c) 2 -(2)(-3b) −(−3b)(−7c)−(2)(−7c)]
=(2−3b−7c)(4+9b 2 +49c 2 +6b−21bc+14c)

Q .12. Разложить на множители: 125 − 8x 3 − 27y 3 − 90xy
Ответ.
125−8x 3 −27y 3 −90xy=5 3 +(−2x) 3 +(−3y) 3 −3×5×(−2x)×(−3y)
=[5+(−2x) +(−3y)][5 2 +(−2x) 2 +(−3y) 2 −5×(−2x)−(−2x)(−3y )−5×(−3y)]                                   = (5−2x−3y)(25+4x2+9y2+10x−6xy+15y)

Q.13. Разложить на множители: 2√2a 3 + 16√2b 3 +c 3 −12abc
Ответ. 2√2a 3 +16√2b 3 +c 3 −12abc
=(√2a) 3 +(2√2b) 3 √2b) × 2 +c 900 )×(2√2b)×(c)
=(√2a+2√2b+c)[(√2a) 2 +(2√2b) 2 +c 2 −(√2a) ×(2√2b)−(2√2b)×(c)−(2√a)×(c)]
=(√2a+2√2b+c)(2a 2 +8b 2 + c 2 −4ab−2√2bc−√2ac)

Q. 14. Факторизация: 27x 3 – y 3 – z 3 – 9xyz
Анс.
27x 3 −y 3 –z 3 –9xyz
=(3x) 3 −y 3 −z −3×(y)×(z−−−)×(z−−−)×(z−−)×(z)×(3x) )
Мы знаем,
a 3 +b 3 +c 3 −3abc
=(a+b+c)(a 2 +b 2 +c 3 −b−c−c 2 −ca)
a=3x,b=−y,c=−z
(3x) 3 −y 3 −z 3 −3×(3x)×(−y)×(−z)
=(3x−y−z)(9x 2 +y 2 +z 2 +3xy−yz+3xz)

Q.15. Разложить на множители: 2√2a 3 +3√3b 3 +c 3 −3√6abc
Ans
.2√2a 3 +3√3b 3 +c 3 −3√6abc
=(√2a) 3 +(√3b) 3 +c 3(2√3b) 3 +c 3(2√3b) 3 +c 3 (√3b)c
Мы знаем
x 3 +y 3 +z 3 −3xyz=(x+y+z)(x 2 +y 2 +z 3x90 −yz−zx)
x=√2a,y=√3b,z=c
(√2a) 3 +(√3b) 3 +c 3 −3(√2a)(√3b) c
=(√2a+√3b+c)(2a 2 +3b 2 +c 2 − - √2ac)

Q. 16. Факторизация: 3√3a 3 −b 3 −5√5c 3 −3√15abc
Ответ.
3√3a 3 −b 3 −5√5c 3 −3√15abc
=(√3a) 3 +(−b) 3 3 +(− 1 3(√3a)(−b)(−√5c)
Мы знаем
x 3 +y 3 +z 3 −3xyz=(x+y+z)(x 2 +y 2 +z 2 −xy−yz−zx)
Здесь x=(√3a),y=(−b),z=(−√5c)
3√3a 3 −b 3 −5√5c 3 −3√15abc
=(√3a) 3 +(−b) 3 +(−√5c) 3 −3(√3a)(−b)(−√ 5c)
=(√3a−b−√5c)(3a 2 +b 2 +5c 2 +√3ab−√5bc+√15c)

Q.17. Разложить на множители: (a − b) 3 + (b − c) 3 + (c − a) 3
Ответ.
(a−b) 3 +(b−c) 3 +(c−a) 3
Полагая (a−b)=x, (b−c)=y и (c−a) =z, получаем:
(a−b) 3 +(b−c) 3 +(c−a) 3
=x 3 +y 3 +z 3 [ Где (x+y+z)=(a−b)+(b−c)+(c−a)=0]
=3xyz [(x+y+z)=0 ⇒x3+y3+z3=3xyz ]
=3(a−b)(b−c)(c−a)

Q. 18. Факторизация: (a−3b) 3 +(3b−c) 3 +(c−a) 3
Ответ. Мы знаем x 3 +y 3 +z 3 −3xyz=(x+y+z)(x 2 +y 2 +z 2 −xy−yz0zx7) x 3 +y 3 +z 3 =(x+y+z)(x 2 +y 2 +z 2 −xy−yz−zx)+3xyz
=(a−3b),y=(3b−c),z=(c−a)
(a−3b) 3 +(3b−c) 3 +(c−a) 3
=(a−3b+3b−c+c−a)[(a−3b) 2 +(3b−c) 2 +(c−a) 2 −(a−3b)(3b− c)−(3b−c)(c−a)−(c−a)(a−3b)]+3(a−3b)(3b−c)(c−a)
=0+3(a− 3b)(3b-c)(c-a)
=3(a-3b)(3b-c)(c-a)

Q.19. Разложить на множители: (3a − 2b) 3 + (2b − 5c) 3 + (5c − 3a) 3
Ответ.
Положим (3a−2b)=x, (2b−5c)=y и (5c−3a)=z.
Имеем:
x+y+z = 3a−2b+2b−5c+5c−3a=0
Теперь (3a−2b) 3 +(2b−5c) 3 +(5c−3a) 3 =x 3 +y 3 +z 3
=3xyz [Здесь x+y+z=0. Итак, x3 + y3 + z3 = 3xyz]
= 3(3a−2b)(2b−5c)(5c−3a)

Q.20. Разложить на множители: (5a − 7b) 3 + (9c − 5a) 3 + (7b − 9c) 3
Ответ.
Положим (5a−7b)=x, (9c−5a)=z и (7b−9c)=y.
Здесь x+y+z = 5a − 7b + 9c−5a+7b−9c=0
Таким образом, имеем:
(5a−7b) 3 +(9c−5a) 3 +(7b− 9c) 3 =x 3 +z 3 +y 3
=3xzy   [Когда x+y+z=0, x 3 +y 3 +z 3 2 ]
=3 (5a−7b)(9c−5a)(7b−9c)

Q.21. Разложить на множители: a 3 (b − c) + b 3 (c − a) 3 + c 3 (a − b) 3
Ответ.
Имеем: a 3 (b−c) 3 +b 3 (c−a) 3 +c 3 (a−b) 3 = [a(b−c) ] 3 +[b(c−a)] 3 +[c(a−b)] 3
Положим a(b−c) = x
b(c−a) = y
c( a−b) = z
Здесь x+y+z = a(b−c)+b(c−a)+c(a−b)
=ab − ac + bc − ab + ac − bc
= 0
Таким образом, имеем:
a 3 (b−c) 3 +b 3 (c−a) 3 +c 3 (a−b) 3 3 =x 9 + y 3 + z 3
=3xyz [Когда x+y+z =0, x3 + y3+ z3 =3xyz. ]
=3 a(b-c)b(c-a)c(a-b)
=3abc(a-b)(b-c)(c-a)

Q.22. Оценить
(i) (–12) 3 + 7 3 + 5 3
(ii) (28) 3 + (–11) 3 3 3
Ответ.
(i) (–12) 3 + 7 3 + 5 3
Мы знаем, x 2 +y 2 +z 2 -xy-yz-zx)
x 3 +y 3 +z 3 =(x+y+z)(x 2 y 2 +z 2 −xy−yz−zx)+3xyz
Здесь x=(−12),y=7,z=5
(−12) 3 +7 3 +5 3
=(−12+7+5)[(−12) 2 +7 2 +5 2 −7(−12)−35+60]+3(−12)×35
=0−1260
= -1260
(ii) (28) 3 + (–15) ​​ 3 + (–13) 3
Мы знаем
x 3 0 3 +1 +2y 900 3 −3xyz=(x+y+z)(x 2 +y 2 +z 2 −xy−yz−zx)
x 3 +y 3 +2z 90 =(x+y+z)(x 2 +y 2 +z 2 −xy−yz−zx)+3xyz
Здесь x=(−28),y=−15,z=− 13
(28) 3 +(−15) 3 +(−13) 900 12 3
=(28−15−13)[(28) 2 +(−15) 2 +(−13) 2 −28(−15)−(−15)(−13) −28(−13)]+3×28(−15)(−13)
=0+16380=16380

Q. 23. Докажите, что (a+b+c) 3 −a 3 −b 3 −c 3 =3(a+b) (b+c) (c+a)
Ответ.
(a+b+c) 3 =[(a+b)+c] 3
= (a+b) 3 +c 3 +3(a+b)c(a+ b+c)
⇒(a+b+c) 3 =a 3 +b 3 +3ab(a+b)+c 3 +3(a+b)c(a+b) +c)
⇒(a+b+c) 3 −a 3 +b 3 −c 3 =3ab(a+b)+3(a+b)c(a+b+ c)
⇒ (a+b+c) 3 −a 3 +b 3 −c 3 =3(a+b)[ab+ca+cb+c 2 ]
⇒ (a+b+c) 3 −a 3 +b 3 −c 3 =3(a+b)[a(b+c)+c(b+c)]
⇒( a+b+c) 3 −a 3 +b 3 −c 3 =3(a+b)(b+c)(a+c)

Q.24. Если все a, b, c отличны от нуля и a + b + c = 0, докажите, что a 2 /bc+b 2 /ca+c 2 /ab=3.
Ответ.
a+b+c=0
⇒a 3 +b 3 +c 3 =3abc
Таким образом, имеем: 2 /ab)=(a 3 +b 3 +c 3 )/abc
=3abc/abc
=3

Q. {c}\)

\(a_{b}\)

\(\sqrt{a}\)

\(\sqrt[b]{a }\)

\(\frac{a}{b}\)

\(\cfrac{a}{b}\)

\(+\)

\(-\)

\(\ раз\)

\(\дел\)

\(\pm\)

\(\cdot\)

\(\amalg\)

\(\ast \)

\(\barwedge\)

\(\bigcirc\)

\(\bigodot\)

\(\bigoplus\)

\(\bigotimes\)

\(\bigsqcup\)

\(\bigstar\)

\(\bigtriangledown\)

\(\bigtriangleup\)

\(\blacklozenge\)

\(\blacksquare\)

\(\blacktriangle\) \(\blacktriangledown\)

\(\bullet\)

\(\cap\)

\(\cup\)

\(\circ\)

\(\circledcirc\)

\( \dagger\)

\(\ddagger\)

\(\diamond\)

\(\dotplus\)

\(\lozenge\)

\(\mp\)

\(\ominus \)

\(\oplus\)

\(\oslash\)

\(\otimes\)

\(\setminus\)

\(\sqcap\)

\(\sqcup\)

\(\квадрат\)

\(\звезда\)

\(\треугольник\)

\(\треугольник вниз\)

\(\trianglelef t\)

\(\Cap\)

\(\Cup\)

\(\upplus\)

\(\vee\)

\(\veebar\)

\(\клин\ )

\(\wr\)

\(\следовательно\)

\(\left ( a \right )\)

\(\left \| a \right \|\)

\(\left [ a \right ]\)

\(\left \{ a \right \}\)

\(\left \lceil a \right \rceil\)

\(\слева \lпол a \справа \rпол\)

\(\слева ( a \справа )\)

\(\vert a \vert\)

\(\leftarrow\)

\ (\leftharpoondown\)

\(\leftharpoonup\)

\(\leftrightarrow\)

\(\leftrightharpoons\)

\(\mapsto\)

\(\rightarrow\)

\(\ rightharpoondown\)

\(\rightharpoonup\)

\(\rightleftharpoons\)

\(\to\)

\(\Стрелка влево\)

\(\Стрелка влево\)

\(\Стрелка вправо\) )

\(\overset{a}{\leftarrow}\)

\(\overset{a}{\rightarrow}\)

\(\приблизительно \)

\(\asymp \)

\ (\cong \)

\(\dashv \)

\(\doteq \)

\(= \)

\(\equiv \)

\(\frown \)

9000 4 \(\geq \)

\(\geqslant \)

\(\gg \)

\(\gt \)

\(| \)

\(\leq \)

\(\leqslant \)

\(\ll \)

\(\lt \)

\(\models \)

\(\neq \)

\(\ngeqslant \)

\(\ngtr \)

\(\nleqslant \)

\(\nless \)

\(\not\equiv \)

\(\overset{\ underset{\mathrm{def}}{}}{=} \)

\(\parallel \)

\(\perp \)

\(\prec \)

\(\preceq \)

\(\sim\)

\(\simeq\)

\(\smile\)

\(\succ\)

\(\succeq\)

\(\vdash\)

\( \in \)

\(\ni \)

\(\notin \)

\(\nsubseteq \)

\(\nsupseteq \)

\(\sqsubset \)

\(\sqsubseteq \)

\(\sqsupset \)

\(\sqsupseteq \)

\(\subset \)

\(\subseteq \)

\(\subseteqq \)

\

\(\supseteqq \)

\

\)

\(\супсете q \)

\(\supseteqq \)

\(\emptyset\)

\(\mathbb{N}\)

\(\mathbb{Z}\)

\(\mathbb{Q} \)

\(\mathbb{R}\)

\(\mathbb{C}\)

\(\alpha\)

\(\beta\)

\(\gamma\)

\(\delta\)

\(\epsilon\)

\(\zeta\)

\(\eta\)

\(\theta\)

\(\iota\)

\( \kappa\)

\(\lambda\)

\(\mu\)

\(\nu\)

\(\xi\)

\(\pi\)

\(\rho \)

\(\sigma\)

\(\tau\)

\(\upsilon\)

\(\phi\)

\(\chi\)

\(\psi\)

\(\omega\)

\(\Gamma\)

\(\Delta\)

\(\Theta\)

\(\Lambda\)

\(\Xi\)

\(\Pi\)

\(\Sigma\)

\(\Ипсилон\)

\(\Phi\)

\(\Ps i\)

\(\Omega\)

\((a)\)

\([a]\)

\(\lbrace{a}\rbrace\)

\(\frac{a +b}{c+d}\)

\(\vec{a}\)

\(\binom {a} {b}\)

\({a \brack b}\)

\ ({a \brace b}\)

\(\sin\)

\(\cos\)

\(\tan\)

\(\cot\)

\(\sec\)

\(\csc\)

\(\sinh\)

\(\cosh\)

\(\tanh\)

\(\coth\)

\(\bigcap {a}\)

\(\bigcap_{b}^{} a\)

\(\bigcup {a}\)

\(\bigcup_{b}^{} a\)

\(\coprod {a} \)

\(\coprod_{b}^{} a\)

\(\prod {a}\)

\(\prod_{b}^{} a\)

\(\sum_{ a=1}^b\)

\(\sum_{b}^{} a\)

\(\sum {a}\)

\(\underset{a \to b}\lim\)

\(\int {a}\)

\(\int_{b}^{} a\)

\(\iint {a}\)

\(\iint_{b}^{} а\)

\(\int_{a}^{b}{c}\)

\(\iint_{a}^{b}{c}\)

\(\iiint_{a}^{ b}{c}\)

\(\oint{a}\)

\(\oint_{b}^{} a\)

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск