Разница между сферой и шаром: Сфера и шар – определение, формула объема и площади с примерами

Содержание

Открытый урок по геометрии на тему «Сфера и шар»

Разработка урока в 9 классе «Сфера и шар»

Учебный предмет: геометрия

Класс: 9А класс

Автор: Вакалова Н.Н.

Тема урока: Сфера и шар

Цель урока: знакомство с шаром и сферой, их элементами и свойствами; выяснить сходства и различия между сферой и шаром; познакомиться с формулами объёма шара и площади сферы; научиться применять формулы при решении задач; рассмотреть примеры сферы и шара из окружающего мира

Тип урока: изучение и первичное закрепление нового материала; постановка и решение учебной задачи

Формы организации учебной деятельности: индивидуальная, парная, фронтальная

Технология: проблемное обучение

Методы: проблемно-поисковой, словесный, метод учебной дискуссии, устный метод контроля, практический метод, опрос с компьютерной поддержкой (система голосования), индивидуальный опрос, фронтальный опрос

Оборудование: компьютер; мультимедийный проектор, мультимедийная доска, система голосования для тестирования; классная доска, указка, магниты для доски; презентация к уроку «Сфера и шар», учебник; раздаточный материал; карточки «Окружность» и «Круг»; глобус; шар из ниток

Межпредметные связи: алгебра, технология, черчение, повседневная жизнь

УМК: Атанасян Л. С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И.

Задачи урока:

Образовательные: знакомство с шаром и сферой, их элементами и свойствами; выяснить сходства и различия между сферой и шаром; познакомиться с формулами объёма шара и площади сферы; научиться применять формулы при решении задач; рассмотреть примеры сферы и шара из окружающего мира

Развивающие: развивать умение анализировать, сравнивать и делать выводы; развивать грамотную математическую речь

Воспитательные: воспитывать умение высказывать свое мнение; воспитывать умения участвовать в диалоге; формировать способность к позитивному сотрудничеству.

Цели

Личностные

Уметь:

  • излагать свои мысли;

  • понимать смысл поставленной задачи;

  • приобретать новые знания, умения, совершенствовать имеющиеся;

  • осваивать новые виды деятельности;

  • участвовать в творческом, созидательном процессе.

Метапредметные

Регулятивные

Уметь:

  • организовывать собственную учебную деятельность;

  • оценивать выполненные задания;

  • ставить учебные цели;

  • задавать вопросы на уточнение;

  • адекватно оценивать результаты деятельности;

  • осуществлять самоконтроль.

Познавательные

Уметь:

  • извлекать необходимую информацию из прослушанного материала;

  • структурировать информацию в виде записи выводов и определений;

  • обобщать и анализировать полученные знания;

  • находить различия между определенными понятиями.

Коммуникативные

Уметь:

  • вести диалог с учителем;

  • слушать собеседника;

  • участвовать в обсуждении содержания материала;

  • эффективно сотрудничать;

  • плодотворно работать в парах, оказывать и принимать помощь;

  • соотносить свое мнение с мнением других участников учебного коллектива.

Предметные

Уметь:

  • давать определение сферы, шара, радиуса и диаметра сферы, радиуса и диаметра шара;

  • находить различия между сферой и шаром;

  • приводить примеры сферы и шара, которые встречаются в повседневной жизни;

  • применять формулы площади сферы и объёма шара при решении задач;

  • решать задачи с использованием формул площади сферы и объёма шара.

Технологическая карта урока

Дидактическая

структура

Цели

Формы, методы

Деятельность

учащегося

Деятельность

учителя

Планируемый

результат

1.

Организационный

момент

Проверка готовности к занятию (наличие тетрадей, письменных принадлежностей).

Активизация учащихся.

Фронтальная

форма

организации

Словесный метод

Приветствуют учителя стоя (молча), садятся за парты после приветствия

Приветствует учащихся.

Проверяет их готовность к уроку.

Регулятивные:

уметь организовывать собственную учебную деятельность

2.

Актуализация

опорных знаний

для изучения

новой темы

Проверка знаний основных

определений, умений учащихся различать окружность и круг.

Индивидуальная,

Фронтальная

форма

организации

Словесный метод

Отвечают на вопросы,

беседуют с учителем

Спрашивает основные определения, различие между окружностью и кругом.

Проводит опрос с использованием презентации.

Озвучивает тему урока.

Регулятивные:

уметь оценивать выполненные задания

3.

Постановка

учебной задачи

Постановка

перед учащимися планируемых целей и задач.

Создание проблемной ситуации.

Фронтальная

форма

организации

Словесный метод

Слушают учителя

Озвучивает цели и задачи урока

Регулятивные:

Уметь ставить учебные задачи

Коммуникативные:

уметь вести диалог с учителем

4.

Совместное

исследование и

решение

учебной задачи

Поиск решения учебной задачи.

4.1. Теоретическое

изучение основных

определений и

терминов

Создание условий для самостоятельной формулировки учащимися определений сферы, шара, радиуса и диаметра сферы, радиуса и диаметра шара.

Индивидуальная,

Фронтальная

форма

организации

Метод учебной

дискуссии

Беседуют с учителем, делают записи в тетради

Создает условия для самостоятельной формулировки учащимися определений сферы, шара с помощью наглядных примеров.

Используя презентацию, вводит основные определения.

Организовывает устный коллективный анализ учебной задачи. Фиксирует выдвинутые учащимися гипотезы, организует их обсуждение.

Учебные действия:

знать определение сферы, шара, радиуса и диаметра сферы, радиуса и диаметра шара

Регулятивные:

уметь задавать вопросы на уточнение

Познавательные:

уметь извлекать необходимую информацию из прослушанного материала, уметь структурировать информацию в виде записи выводов и определений; находить различия между определенными понятиями

Коммуникативные:

уметь слушать собеседника; соотносить свое мнение с мнением других участников учебного коллектива

Личностные: уметь излагать свои мысли; участвовать в творческом, созидательном

процессе, приобретать новые знания, совершенствовать имеющиеся

4. 2.

Диагностика

Оценка промежуточных результатов усвоения основных определений, понимания разницы между сферой и шаром.

Фронтальная

форма

организации

Словесный,

Проблемно-поисковый

метод

Индивидуальный опрос

Фронтальный опрос

Беседуют с учителем,

общаются в паре,

отвечают на вопросы учителя

Спрашивает различие между сферой и шаром.

Показывает картинки с изображениями, просит распределить их по понятиям сфера и шар.

Учебные действия:

уметь давать определения понятиям сфера и шар, радиус и диаметр сферы, радиус и диаметр шара, уметь находить различия между понятиями сфера и шар

Регулятивные:

уметь адекватно оценивать результаты деятельности

Познавательные:

уметь извлекать необходимую информацию из прослушанного материала; обобщать и анализировать полученные знания

Коммуникативные:

уметь участвовать в обсуждении содержания материала

Личностные: уметь грамотно излагать свои мысли, понимать смысл поставленной задачи, осваивать новые виды деятельности; участвовать в творческом процессе

4. 3.

Теоретическое

изучение формул

площади сферы и

объёма шара

Запись формул

площади сферы и объёма шара.

Фронтальная,

Индивидуальная

форма

организации

Словесно-индуктивный

метод

Слушают учителя, делают записи в

тетради, опираясь

на презентацию, учебник

Сообщает формулы площади сферы и объёма шара

Учебные действия:

узнать формулы площади сферы и объёма шара

Регулятивные:

уметь задавать вопросы на уточнение

Познавательные:

уметь извлекать необходимую информацию из прослушанного материала, уметь структурировать информацию в виде записи выводов и определений

Коммуникативные:

уметь слушать собеседника

Личностные: уметь излагать свои мысли; приобретать новые знания, умения, совершенствовать имеющиеся

4. 4.

Диагностика

Оценка усвоения понимания

области применения формул

площади сферы и объёма круга

Индивидуальная,

Фронтальная

форма

организации

Словесный метод

Устный метод контроля

Отвечают на вопросы, беседуют с учителем

Спрашивает у учащихся, где в повседневной жизни встречаются шар и сфера, какие знают формулы для сферы и шара

Учебные действия:

уметь объяснять область применения уравнения сферы

Регулятивные:

уметь адекватно оценивать результаты деятельности

Познавательные:

уметь извлекать необходимую информацию из прослушанного материала; обобщать и анализировать полученные знания

Коммуникативные:

уметь участвовать в обсуждении содержания материала

Личностные: уметь грамотно излагать свои мысли

4. 5.Изучение

практического

применения

формул площади

сферы и объёма

круга

Освоение умений

решения задач с

использованием

формул площади сферы и объёма шара

Фронтальная

форма

организации

Словесный метод

Практический метод

Записывают решение задачи, работают с учебником

Решают на доске задачу на применение формул

площади сферы и объёма шара с комментированием

Учебные действия:

изучить применение формул

площади сферы и объёма шара

Коммуникативные:

уметь эффективно сотрудничать

Личностные: приобретать новые знания, умения, совершенствовать имеющиеся

4.6.

Диагностика

Оценка усвоения формул

площади сферы и объёма шара, умений применять ее при решении задач.

Фронтальная

форма

организации

Словесный метод

Практический метод

Решают поставленную задачу вместе с учителем, делают записи в тетради, задают вопросы, выходят к доске по команде учителя

Определяет задачи для решения их в классе.

Вызывает учащихся к доске.

Помогает учащимся при решении задач.

Отвечает на вопросы.

Учебные действия:

научиться решать задачи с использованием формул

площади сферы и объёма шара

Регулятивные:

уметь задавать вопросы на уточнение

Коммуникативные:

уметь слушать собеседника, уметь эффективно сотрудничать

Личностные: уметь излагать свои мысли

5.

Решение

частных задач

с применением

открытого

способа решения

адач.

Закрепление

нового материала.

Отработка умений и навыков изображать сферу, применять уравнение сферы для решения задач.

Парная,

индивидуальная формы

организации

Словесный метод

Практический метод

Решают поставленные задачи самостоятельно в тетради, делают самопроверку парами.

Определяет задачу для решения.

Отвечает на вопросы.

Контролирует процесс самопроверки.

Учебные действия:

отработать умения решать задачи с использованием уравнения сферы

Регулятивные:

уметь осуществлять самоконтроль

Коммуникативные:

уметь плодотворно работать в парах, оказывать и принимать помощь

6.

Контроль и

самопроверка

Оценка уровня

усвоения новых учебных действий.

Фронтальная

форма

организации

Словесный метод

Опрос (система голосования)

Проходят тестирование по системе голосования

Объясняет, как пройти тестирование, отвечает на вопросы

Регулятивные:

Уметь осуществлять самоконтроль, адекватно оценивать результаты деятельности

7.

Подведение

итогов.

Рефлексия.

Самооценка

достижения целей и

задач урока у учащихся. Рефлексия учащихся по поводу своего психоэмоционального состояния,

мотивации своей деятельности и взаимодействия с учителем,

сверстниками.

Фронтальная,

индивидуальная формы

организации

Словесный метод

Беседуют с учителем, отвечают на вопросы учителя, задают вопросы учителю

Делают вывод об уровне усвоения и степени эмоциональной усталости во время урока

Подводит итоги занятия.

Отвечает на вопросы учащихся, задает им вопросы по новому материалу.

Регулятивные:

уметь адекватно оценивать результаты деятельности, уметь задавать вопросы на уточнение

Коммуникативные:

уметь слушать собеседника

Личностные: уметь излагать свои мысли

Своей работой на уроке

я — доволен/ не доволен.

Урок мне показался – коротким/ длинным

За урок я – не устал/ устал

Мое настроение стало – лучше/хуже.

И планируют, что необходимо повторить, выучить, знать к следующему уроку

8.

Инструктаж

по выполнению

домашнего задания

Объяснение оформления и способов работы при выполнении домашнего задания

Фронтальная форма организации

Словесный метод

Записывают домашнее задание, слушают объяснение учителя, задают вопросы

Объясняет, каким образом должно быть оформлено домашнее задание, отвечает на вопросы

Регулятивные:

уметь задавать вопросы на уточнение

Коммуникативные:

уметь слушать собеседника

9. Завершение

Оповещение об окончании занятия после звонка

Фронтальная форма организации

Словесный метод

Убирают учебники, тетради и учебные принадлежности, обеспечивают порядок учебного места, прощаются с учителем

Прощается с учащимися

Регулятивные:

уметь организовывать собственную учебную деятельность

Как определить площадь сферы.

Сфера, шар, сегмент и сектор. Формулы и свойства сферы. Секущая, хорда, секущая плоскость сферы и их свойства

Многие из нас любят играть в футбол или, по крайней мере, почти каждый из нас слышал про эту знаменитую спортивную игру. Всем известно, что в футбол играют мячом.

Если спросить прохожего, форму какой геометрической фигуры имеет мяч, то часть людей скажут, что форму шара, а часть, что формы сферы. Так кто же из них прав? И в чем разница между сферой и шаром?

Важно!

Шар — это пространственное тело. Внутри шар чем-либо заполнен. Поэтому у шара можно найти объем.

Примеры шара в жизни: арбуз и стальной шарик.

Шар и сфера, подобно кругу и окружности, имеют центр, радиус и диаметр.

Важно!

Сфера — поверхность шара. У сферы можно найти площадь поверхности.

Примеры сферы в жизни: волейбольный мяч и шарик для игры в настольный теннис.

Как найти площадь сферы

Запомните!

Формула площади сферы: S = 4π R 2

Для того, чтобы найти площадь сферы, необходимо вспомнить, что такое степень числа . Зная определение степени, можно записать формулу площади сферы следующим образом.
S = 4π R 2 = 4π R · R;

Закрепим полученные знания и решим задачу на площадь сферы.

Зубарева 6 класс. Номер 692(а)

Условие задачи:

  • Вычислите площадь сферы, если её радиус равен 1 = 3 · = = / (4 · 3) = ) = = ) =
    = = = = 1
  • R 3 = 1
  • R = 1 м

Важно!

Уважаемые родители!

При окончательном расчете радиуса не надо заставлять ребенка считать кубический корень. Учащиеся 6-го класса еще не проходили и не знают определение корней в математике.

В 6 классе при решении такой задачи используйте метод перебора.

Спросите ученика, какое число, если его умножить 3 раза на самого себя даст единицу.

Сфера и шар – это аналог круга и окружности в трехмерном пространстве. Стоит поговорить о каждой из этих фигур, выделить сходства и различия, а так же формулы, свойственные этим фигурам.

Большая часть геометрических построений производится в плоскости, но в старших классах начинают изучать трехмерные фигуры. 3\over3}$

Объем показывает, какое пространство занимает фигура. Чтобы понять, что такое объем нужно представить себе фигуру полой. Тогда объем это количество воды, которое можно налить в эту фигуру

Шар, как и любую другую трехмерную фигуру, можно рассечь плоскостью. Секущей плоскостью шара является круг, центр которого можно найти, опустив из центра шара перпендикуляр на окружность.

Рис. 2. Сечение шара.

Сфера это фигура, представляющая собой множество точек в пространстве, равноудаленных от центра сферы. Сфера:

  • Имеет те же формулы объема и площади поверхности, что и шар.
  • Секущая плоскость сферы это окружность
  • Центр секущей окружности, находится так же, как и в случае с шаром

Рис. 3. Сфера.

В чем различие

Тогда возникает вопрос, а чем отличается шар от сферы кроме определения? Дело в том, что различия шара и сферы куда более размыты, нежели различия круга и окружности. Сфера так же имеет объем и площадь поверхности.

Пожалуй, кроме определения, разница заключается в том, что в задачах никогда не находят объем сферы. Как правило, ищут объем шара. Это не значит, что у сферы нет объема. Это трехмерная фигура, поэтому объем у нее есть.

Просто проводится аналогия с окружностью, у которой нет площади. Это не правило, но скорее традиция, которую нужно запомнить: в геометрии не приветствуется формулировка объем сферы.

Еще одно отличие, которое можно считать более или менее значимым: секущая плоскость сферы: окружность, которая не имеет внутреннего пространства, но имеет длину. Секущая плоскость шара: круг, который имеет площадь и не имеет длины окружности. Поэтому стоит быть аккуратным в формулировках задачи, чтобы не было ошибок из-за подобных мелочей.

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое сфера и шар. Поговорили об их сходствах и различии. Узнали, что различий у этих фигур почти нет. Решили, что не стоит приводить такую формулировку, как объем сферы.

Тест по теме

Оценка статьи

Средняя оценка: 4. 7 . Всего получено оценок: 105.

Определение.

Сфера (поверхность шара ) — это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, которые находятся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром сферы (О).

Сферу можно описать, как объёмную фигуру, которая образуется вращением окружности вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.

Определение.

Шар — это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, расстояние от которых не превышает определенного расстояния до точки, называемой центром шара (О) (совокупность всех точек трехмерного пространства ограниченных сферой).

Шар можно описать как объёмную фигуру, которая образуется вращением круга вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.

Определение. Радиус сферы (шара) (R) — это расстояние от центра сферы (шара) O к любой точке сферы (поверхности шара).

Определение. Диаметр сферы (шара) (D) — это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара) и проходящий через ее центр.

Формула. Объём шара :

V = 4 π R 3 = 1 π D 3
3 6

Формула. Площадь поверхности сферы через радиус или диаметр:

S = 4π R 2 = π D 2

Уравнение сферы

1. Уравнение сферы с радиусом R и центром в начале декартовой системе координат :

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Уравнение сферы с радиусом R и центром в точке с координатами (x 0 , y 0 , z 0) в декартовой системе координат :

(x — x 0) 2 + (y — y 0) 2 + (z — z 0) 2 = R 2

Определение. Диаметрально противоположными точками называются любые две точки на поверхности шара (сфере), которые соединены диаметром.

Основные свойства сферы и шара

1. Все точки сферы одинаково удалены от центра.

2. Любое сечение сферы плоскостью является окружностью.

3. Любое сечение шара плоскостью есть кругом.

4. Сфера имеет наибольший объём среди всех пространственных фигур с одинаковой площадью поверхности.

5. Через любые две диаметрально противоположные точки можно провести множество больших окружностей для сферы или кругов для шара.

6. Через любые две точки, кроме диаметрально противоположных точек, можно провести только одну большую окружность для сферы или большой круг для шара.

7. Любые два больших круга одного шара пересекаются по прямой, проходящей через центр шара, а окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках.

8. Если расстояние между центрами любых двух шаров меньше суммы их радиусов и больше модуля разности их радиусов, то такие шары пересекаются , а в плоскости пересечения образуется круг.


Секущая, хорда, секущая плоскость сферы и их свойства

Определение. Секущая сферы — это прямая, которая пересекает сферу в двух точках. Точки пересечения называются точками протыкания поверхности или точками входа и выхода на поверхности.

Определение. Хорда сферы (шара) — это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара).

Определение. Секущая плоскость — это плоскость, которая пересекает сферу.

Определение. Диаметральная плоскость — это секущая плоскость, проходящая через центр сферы или шара, сеченме образует соответственно большую окружность и большой круг . Большая окружность и большой круг имеют центр, который совпадают с центром сферы (шара).

Любая хорда, проходящая через центр сферы (шара) является диаметром.

Хорда является отрезком секущей прямой.

Расстояние d от центра сферы до секущей всегда меньше чем радиус сферы:

d

Расстояние m между секущей плоскостью и центром сферы всегда меньше радиуса R:

m

Местом сечения секущей плоскости на сфере всегда будет малая окружность , а на шаре местом сечения будет малый круг . Малая окружность и малый круг имеют свои центры, не совпадающих с центром сферы (шара). Радиус r такого круга можно найти по формуле:

r = √R 2 — m 2 ,

Где R — радиус сферы (шара), m — расстояние от центра шара до секущей плоскости.

Определение. Полусфера (полушар) — это половина сферы (шара), которая образуется при ее сечении диаметральной плоскостью.

Касательная, касательная плоскость к сфере и их свойства

Определение. Касательная к сфере — это прямая, которая касается сферы только в одной точке.

Определение. Касательная плоскость к сфере — это плоскость, которая соприкасается со сферой только в одной точке.

Касательная пряма (плоскость) всегда перпендикулярна радиусу сферы проведенному к точке соприкосновения

Расстояние от центра сферы до касательной прямой (плоскости) равно радиусу сферы.

Определение. Сегмент шара — это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью. Основой сегмента называют круг, который образовался в месте сечения. Высотой сегмента h называют длину перпендикуляра проведенного с середины основы сегмента к поверхности сегмента.

Формула. Площадь внешней поверхности сегмента сферы с высотой h через радиус сферы R:

S = 2π Rh

Сфера, шар, сегмент и сектор. Формулы и свойства

Определение.

Сфера (поверхность шара) — это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, которые находятся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром сферы (О).

Сферу можно описать, как объёмную фигуру, которая образуется вращением окружности вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.

Определение.

Шар — это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, расстояние от которых не превышает определенного расстояния до точки, называемой центром шара (О) (совокупность всех точек трехмерного пространства ограниченных сферой).

Шар можно описать как объёмную фигуру, которая образуется вращением круга вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.

Определение. Радиус сферы (шара) (R) — это расстояние от центра сферы (шара) O к любой точке сферы (поверхности шара).

Определение. Диаметр сферы (шара) (D) — это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара) и проходящий через ее центр.

Формула. Объём шара: Формула. Площадь поверхности сферы через радиус или диаметр:

S = 4πR2 = πD2

Уравнение сферы

1. Уравнение сферы с радиусом R и центром в начале декартовой системе координат:

x2 + y2 + z2 = R2

2. Уравнение сферы с радиусом R и центром в точке с координатами (x0, y0, z0) в декартовой системе координат:

(x — x0)2 + (y — y0)2 + (z — z0)2 = R2

3. Параметрическое уравнение сферы с центром в точке (x0, y0, z0):
x = x0 + R · sin θ · cos φy = y0 + R · sin θ · sin φz = z0 + R · cos θ
где θ ϵ [0,π], φ ϵ [0,2π].

Определение. Диаметрально противоположными точками называются любые две точки на поверхности шара (сфере), которые соединены диаметром.

Основные свойства сферы и шара

1. Все точки сферы одинаково удалены от центра.

2. Любое сечение сферы плоскостью является окружностью.

3. Любое сечение шара плоскостью есть кругом.

4. Сфера имеет наибольший объём среди всех пространственных фигур с одинаковой площадью поверхности.

5. Через любые две диаметрально противоположные точки можно провести множество больших окружностей для сферы или кругов для шара.

6. Через любые две точки, кроме диаметрально противоположных точек, можно провести только одну большую окружность для сферы или большой круг для шара.

7. Любые два больших круга одного шара пересекаются по прямой, проходящей через центр шара, а окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках.

8. Если расстояние между центрами любых двух шаров меньше суммы их радиусов и больше модуля разности их радиусов, то такие шары пересекаются, а в плоскости пересечения образуется круг.


Секущая, хорда, секущая плоскость сферы и их свойства

Определение. Секущая сферы — это прямая, которая пересекает сферу в двух точках. Точки пересечения называются точками протыкания поверхности или точками входа и выхода на поверхности.

Определение. Хорда сферы (шара) — это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара).

Определение. Секущая плоскость — это плоскость, которая пересекает сферу.

Определение. Диаметральная плоскость — это секущая плоскость, проходящая через центр сферы или шара, сечение образует соответственно большую окружность и большой круг. Большая окружность и большой круг имеют центр, который совпадают с центром сферы (шара).

Любая хорда, проходящая через центр сферы (шара) является диаметром.

Хорда является отрезком секущей прямой.

Расстояние d от центра сферы до секущей всегда меньше чем радиус сферы:

d < R

Расстояние m между секущей плоскостью и центром сферы всегда меньше радиуса R:

m < R

Местом сечения секущей плоскости на сфере всегда будет малая окружность, а на шаре местом сечения будет малый круг. Малая окружность и малый круг имеют свои центры, не совпадающих с центром сферы (шара). Радиус r такого круга можно найти по формуле:

r = √R2 — m2,

где R — радиус сферы (шара), m — расстояние от центра шара до секущей плоскости.

Определение. Полусфера (полушар) — это половина сферы (шара), которая образуется при ее сечении диаметральной плоскостью.

Касательная, касательная плоскость к сфере и их свойства

Определение.Касательная к сфере — это прямая, которая касается сферы только в одной точке.

Определение.Касательная плоскость к сфере — это плоскость, которая соприкасается со сферой только в одной точке.

Касательная пряма (плоскость) всегда перпендикулярна радиусу сферы проведенному к точке соприкосновения

Расстояние от центра сферы до касательной прямой (плоскости) равно радиусу сферы.

Определение. Сегмент шара — это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью. Основой сегмента называют круг, который образовался в месте сечения. Высотой сегмента h называют длину перпендикуляра проведенного с середины основы сегмента к поверхности сегмента. Формула. Площадь внешней поверхности сегмента сферы с высотой h через радиус сферы R:

S = 2πRh

Формула. Объём сегмента сферы с высотой h через радиус сферы R: Определение. Срез шара — это часть шара, которая образуется в результате его сечения двумя параллельными плоскостями и находится между ними. Определение. Сектором называется часть шара, ограниченная совокупностью всех лучей, исходящих из центра шара О и образующих круг на его поверхности с радиусом r. Формула. Площадь поверхности сектора S с высотой O1H (h) через радиус шара OH (R):

S = πR(2h + √2hR — h2)

Формула. Объём сектора V с высотой O1H (h) через радиус шара OH (R):

Определение. Касательными сферами (шарами) называются любые две сферы (шара), которые имеют одну общую точку соприкосновения. Если расстояние между центрами больше суммы радиусов, то фигуры не касаются и не пересекаются.

Определение. Концентрическими сферами называются любые две сферы, которые имеют общий центр и радиусы различной длины.

Сколько радиусов у сферы. Шар как геометрическая фигура

Сфера — это одно из первых тел, обладающих высокой симметрией, свойства которого изучают в школьном курсе геометрии. В данной статье рассматривается формула сферы, ее отличие от шара, а также приводится расчет площади поверхности нашей планеты.

Сфера: понятие в геометрии

Чтобы лучше понять формулу поверхности, которая будет дана ниже, необходимо познакомиться с понятием сферы. В геометрии она представляет собой трехмерное тело, которое заключает в себе некоторый объем пространства. Математическое определение сферы следующее: это совокупность точек, которые лежат на определенном одинаковом расстоянии от одной фиксированной точки, называемой центром. Отмеченное расстояние — это радиус сферы, который обозначается r или R и измеряется в метрах (километрах, сантиметрах и других единицах длины).

На рисунке ниже приведена описанная фигура. Линии показывают контуры ее поверхности. Черная точка — центр сферы.

Получить эту фигуру можно, если взять окружность и начать ее вращать вокруг любой из осей, проходящей через диаметр.

Сфера и шар: в чем разница и в чем сходство?

Часто школьники путают эти две фигуры, которые внешне похожи друг на друга, но обладают совершенно разными физическими свойствами. Сфера и шар в первую очередь отличаются своей массой: сфера — это бесконечно тонкий слой, шар же — это объемное тело конечной плотности, которая одинакова во всех его точках, ограниченных сферической поверхностью. То есть шар обладает конечной массой и является вполне реальным объектом. Сфера — это фигура идеальная, не имеющая массы, которая в действительности не существует, но она является удачной идеализацией в геометрии при изучении ее свойств.

Примерами реальных объектов, форма которых практически соответствует сфере, являются новогодняя игрушка в виде шарика для украшения елки или мыльный пузырь.

Что касается сходства между рассматриваемыми фигурами, то можно назвать следующие их признаки:

  • обе они обладают одинаковой симметрией;
  • для обеих формула площади поверхности является одинаковой, более того, они обладают равной площадью поверхности, если их радиусы равны;
  • обе фигуры при равных радиусах занимают одинаковый объем в пространстве, только шар его заполняет полностью, а сфера лишь ограничивает своей поверхностью.

Сфера и шар равного радиуса приведены на рисунке ниже.

Заметим, что шар, так же как и сфера, является телом вращения, поэтому его можно получить, если вращать вокруг диаметра круг (не окружность!).

Элементы сферы

Так называются геометрические величины, знание которых позволяет описать либо всю фигуру, либо отдельные ее части. Основными ее элементами являются следующие:

  • Радиус r, который уже был упомянут ранее. Он является расстоянием от центра фигуры до сферической поверхности. По сути, это единственная величина, которая описывает все свойства сферы.
  • Диаметр d, или D. Это отрезок, концы которого лежат на сферической поверхности, а середина проходит через центральную точку фигуры. Диаметр сферы можно провести бесконечным числом способов, но все полученные отрезки будут иметь одинаковую длину, которая равна удвоенному радиусу, то есть D = 2*R.
  • Площадь поверхности S — двумерная характеристика, формула для которой будет приведена ниже.
  • Связанные со сферой трехмерные углы измеряются в стерадианах. Один стерадиан — это угол, вершина которого лежит в центре сферы, и который опирается на часть сферической поверхности, имеющей площадь R 2 .

Геометрические свойства сферы

Из приведенного описания этой фигуры можно самостоятельно догадаться об этих свойствах. Они следующие:

  • Любая прямая, которая пересекает сферу и проходит через ее центр, является осью симметрии фигуры. Поворот сферы вокруг этой оси на любой угол переводит ее в саму себя.
  • Плоскость, которая пересекает рассматриваемую фигуру через ее центр, делит сферу на две равные части, то есть является плоскостью отражения.

Площадь поверхности фигуры

Эта величина обозначается латинской буквой S. Формула вычисления площади сферы имеет следующий вид:

S = 4*pi*R 2 , где pi ≈ 3,1416.

Формула демонстрирует, что площадь S может быть вычислена при условии знания радиуса фигуры. Если же известен ее диаметр D, тогда формулу сферы можно записать так:

Иррациональное число pi, для которого приведены четыре знака после запятой, в ряде математических расчетов можно использовать с точностью до сотых, то есть 3,14.

Любопытно также рассмотреть вопрос, скольким стерадианам соответствует вся поверхность рассматриваемой фигуры. Исходя из определения этой величины, получаем:

Ω = S/R 2 = 4*pi*R 2 /R 2 = 4*pi стерадиан.

Для вычисления любого объемного угла следует в выражение выше подставить соответствующее значение площади S.

Поверхность планеты Земля

Формулу сферы можно применить для определения на которой мы живем. Перед тем как приступать к вычислениям, следует сделать пару оговорок:

  • Во-первых, Земля не обладает идеальной сферической поверхностью. Ее экваториальный и полярный радиусы равны 6378 км и 6357 км соответственно. Отличие между этими цифрами не превышает 0,3%, поэтому для расчета можно взять средний радиус 6371 км.
  • Во-вторых, рельеф является трехмерным, то есть на ней имеются впадины и горы. Эти характерные особенности планеты приводят к увеличению ее площади поверхности, тем не менее, в расчете их учитывать не будем, поскольку даже самая большая гора, Эверест, составляет 0,1% от земного радиуса (8,848/6371).

Используя формулу сферы, получаем:

S = 4*pi*R 2 = 4*3,1416*6371 2 ≈ 510,066 млн. км 2 .

Россия, по официальным данным, занимает площадь 17,125 млн км 2 , что составляет 3,36% от поверхности планеты. Если же учесть, что к суше относятся лишь 150,387 млн км 2 , тогда площадь нашей страны составит 11,4% от всей территории, не покрытой водой.

Шар – это тело, состоящее из всех точек пространства, которые находятся на расстоянии, не большем данного от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние – радиусом шара. Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой. Точками сферы являются все точки шара, которые удалены от центра на расстояние, равное радиусу. Любой отрезок, который соединяет центр шара с точкой шаровой поверхности, тоже называется радиусом. Проходящий через центр шара отрезок, который соединяет две точки шаровой поверхности, называется диаметром. Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.

Шар является телом вращения, так же как конус и цилиндр. Шар получается при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси.

Площадь поверхности шара можно найти по формулам:

где r – радиус шара, d – диаметр шара.

Объём шара находится по формуле:

V = 4 / 3 πr 3 ,

где r – радиус шара.

Теорема. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Исходя из данной теоремы, если шар с центром O и радиусом R пересечён плоскостью α, то в сечении получается круг радиуса r с центром K. Радиус сечения шара плоскостью можно найти по формуле

Из формулы видно, что плоскости, равноудалённые от центра, пересекают шар по равным кругам. Радиус сечения тем больше, чем ближе секущая плоскости к центру шара, то есть чем меньше расстояние ОК. Наибольший радиус имеет сечение плоскостью, проходящей через центр шара. Радиус этого круга равен радиусу шара.

Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью, называется большим кругом, а сечение сферы – большим кругом, а сечение сферы – большой окружностью.

Теорема. Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.

Плоскость, которая и проходит через точку А шаровой поверхности и перпендикулярна радиусу, проведённому в точку А, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой касания.

Теорема. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку – точку касания.

Прямая, которая проходит через точку А шаровой поверхности перпендикулярно к радиусу, проведённому в эту точку, называется касательной.

Теорема. Через любую точку шаровой поверхности проходит бесконечно много касательных, причём все они лежат в касательной плоскости шара.

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью. Круг ABC – основание шарового сегмента. Отрезок MN перпендикуляра, проведенного из центра N круга ABC до пересечения со сферической поверхностью, – высота шарового сегмента. Точка M – вершина шарового сегмента.

Площадь поверхности шарового сегмента можно вычислить по формуле:

Объём шарового сегмента можно найти по формуле:

V = πh 2 (R – 1/3h),

где R – радиус большого круга, h – высота шарового сегмента.

Шаровой сектор получается из шарового сегмента и конуса, следующим образом. Если шаровой сегмент меньше полушара, то шаровой сегмент дополняется конусом, у которого вершина в центре шара, а основанием является основание сегмента. Если же сегмент больше полушара, то указанный конус из него удаляется.

Шаровой сектор – это часть шара, ограниченная кривой поверхностью сферического сегмента (на нашем рисунке – это AMCB) и конической поверхностью (на рисунке – это OABC), основанием которой служит основание сегмента (ABC), а вершиной – центр шара O.

Объем шарового сектора находится по формуле:

V = 2/3 πR 2 H.

Шаровый слой – это часть шара, заключённая между двумя параллельными плоскостями (на рисунке плоскостями ABC и DEF), пересекающими сферическую поверхность. Кривая поверхность шарового слоя называется шаровым поясом (зоной). Круги ABC и DEF – основания шарового пояса. Расстояние NK между основаниями шарового пояса – его высота.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

В главе 2 мы продолжим “строительную геометрию» и расскажем о строении и свойствах важнейших пространственных фигур — шара и сферы, цилиндров и конусов, призм и пирамид. Большинство предметов, созданных руками человека, — здания, машины, мебель, посуда и т.д., и т.п., состоит из частей, имеющих форму этих фигур.

§ 4. СФЕРА И ШАР

После прямых и плоскостей сфера и шар — самые простые, но очень важные и богатые разнообразными свойствами пространственные фигуры. О геометрических свойствах шара и его поверхности — сферы — написаны целые книги. Некоторые из этих свойств были известны еще древнегреческим геометрам, а некоторые найдены совсем недавно, в последние годы. Эти свойства (вместе с законами естествознания) объясняют, почему, например, форму шара имеют небесные тела и икринки рыб, почему в форме шара делают батискафы и футбольные мячи, почему так распространены в технике шарикоподшипники и т.д. Мы можем доказать лишь самые простые свойства шара. Доказательства других, хотя и очень важных свойств, часто требуют применения совсем не элементарных методов, хотя формулировки таких свойств могут быть очень простыми: например, среди всех тел, имеющих данную площадь поверхности, наибольший объем у шара.

4.1. Определения сферы и шара.

Определяются сфера и шар в пространстве совершенно так же, как окружность и круг на плоскости. Сферой называется фигура, состоящая из всех точек пространства, удаленных от данной

ной точки на одно и то же (положительное) расстояние.

Эта точка называется центром сферы, а расстояние — ее радиусом (рис. 4.1).

Итак, сфера с центром О и радиусом R — это фигура, образованная всеми точками X пространства, для которых

Шаром называется фигура, образованная всеми точками пространства, находящимися на расстоянии не большем данного (положительного) расстояния от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние — его радиусом.

Итак, шар с центром О и радиусом R — это фигура, образованная всеми точками X пространства, для которых

Те точки X шара с центром О и радиусом R, для которых образуют сферу. Говорят, что эта сфера ограничивает данный шар или что она является его поверхностью.

‌‌‌V‌ районная научно-практическая конференция исследовательских, проектных и творческих работ учащихся «Первые шаги в науке»

Исследовательская работа по теме:

«Сфера и шар – обычные геометрические тела».

Выполнил: ученик 9 класса МБОУ

«Кочетовская средняя общеобразовательная школа» Романов Дима.

Руководитель: учитель математики и физики Тремаскина В.С.

Введение ___________________________________________________________3

1. История изучения геометрических тел: шар, сфера_______________________3

2. Сфера и шар.

2.1. Понятие сферы и шара___________________________________________3-4

2.2. Уравнение сферы________________________________________________4

2.3. Взаимное расположение сферы и плоскости_________________________4-6

2.4. Касательная плоскость к сфере____________________________________6-7

2.5. Площадь сферы и объём шара____________________________________ 7

2.6. Получение сферы_______________________________________________ 7-8

2.7. Нахождение сферы и шара в природе______________________________ 9-13

2.8.Сфера и шар в повседневной жизни_________________________________14-15

2. 9.Применение сферы и шара в архитектуре____________________________16-22

2.10. Применение сферы и шара в геодезии______________________________23

2.11Применение сферы и шара в астрономии и географии_________________24

2.12. Сфера и шар в искусстве_________________________________________25

Заключение___________________________________________________________25

Литература___________________________________________________________26

Актуальность выбранной темы.

На протяжении веков человечество не переставало пополнять свои научные знания в той или иной области наук. Множество ученых геометров, да и простых людей, интересовались такой фигурой как шар и его “оболочкой”, носящей название сфера. Многие реальные объекты в физике, астрономии, биологии и других естественных науках имеют форму шара. Поэтому вопросам изучения свойств шара отводилась в различные исторические эпохи и отводится в наше время значительная роль.

Цель исследования: изучить геометрические тела шар и сферу, рассмотреть их применение в разных областях науки, в повседневной жизни, в природе, создать презентацию «Сфера и шар – обычные геометрические тела».

Задачи:

1. Собрать материал о шаре и сфере используя различные источники информации, в том числе Интернет-ресурсы.

2. Систематизировать материал о шаре и сфере.

4. Создать презентацию«Сфера и шар – обычные геометрические тела ».

5. Представить работу на уроке геометрии при изучении темы «Сфера и шар».

Объект исследования : сфера и шар

Предмет исследования : элементы и свойства сферы и шара

Гипотеза: Шары нам нужны для того что бы делать наш мир более разнообразным и объёмным.

Методы: частично-поисковый, исследовательский, сравнительный анализ, синтез, практический.

Результат исследования: полученные знания нужны не только астрономам, штурманам морских кораблей, самолетов, космических кораблей, которые по звездам определяют свои координаты, но и строителям шахт, метрополитенов, тоннелей, архитекторам, а также при геодезических съёмках больших территорий поверхности Земли, когда становится необходимым учитывать её шарообразность, в повседневной жизни.

Научная новизна: теоретический материал представлен в форме доступной для понимания учащимися старших классов.

Практическая значимость: данный материал может использоваться в качестве основы для элективного курса в классах физико-математического профиля, на уроках при изучении тем «Сфера и шар».

Введение

На протяжении многих веков человечество не переставало пополнять свои научные знания в той или иной области науки. Стереометрия, как наука о фигурах в пространстве, неотъемлемо связана со многими из научных дисциплин. К таким дисциплинам относятся: математика, физика, информатика и программирование, а также химия и биология. В последних стоит проблема изучения микромира, который представляет собой сложнейшую комбинацию различных частиц в пространстве относительно друг друга. В архитектуре постоянно используются теоремы и следствия из стереометрии.

Множество учёных геометров, да и простых людей, интересовались такой фигурой как шар и его «оболочкой», носящей название сфера. Удивительно, но шар является единственным телом, обладающим большей площадью поверхности при объёме, равном объёму других сравниваемых тел, таких как куб, призма или прочие всевозможные многогранники. С шарами мы имеем дело ежедневно. К примеру, почти каждый человек пользуется шариковый ручкой в конец стержня которой вмонтирован металлический шар, вращающийся под действием сил трения между ним и бумагой и в процессе поворота на своей поверхности шар «выносит» очередную порцию чернил. В автомобильной промышленности изготавливаются шаровые опоры, являющиеся очень важной деталью в автомобиле и обеспечивающей правильный поворот колёс и устойчивость машины на дороге. Элементы машин, самолётов, ракет, мотоциклов, снарядов, плавательных судов, подвергающиеся постоянным воздействиям воды или воздуха, преимущественно имеют какие либо сферические поверхности, называемые обтекателями.

История изучения геометрических тел: шар, сфера

Шаром принято называть тело, ограниченное сферой, т. е. шар и сфера – это разные геометрические тела. Однако оба слова « шар» и « сфера» происходят от одного и того же греческого слова « сфайра» — мяч. При этом слово « шар» образовалось от перехода согласных сф в ш.

В XI книге «Начал» Евклид определяет шар как фигуру, описанную вращающимся около неподвижного диаметра полукругом. В древности сфера была в большом почёте. Астрономические наблюдения над небесным сводом неизменно вызывали образ сферы.

Сфера всегда широко применялась в различных областях науки и техники.

2.1. Понятие сферы и шара

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Данная точка называется центром сферы, а данное расстояние – радиусом сферы.

Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий

через ее центр, называется диаметром сферы.

Центр, радиус, диаметр сферы называется также центром, радиусом и диаметром шара.

2.2. Уравнение сферы

МС = (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 + (z – z 0 ) 2

    МС = R , или МС2 = R2

следовательно уравнение

сферы имеет вид:

(x — x 0 ) 2 + (y — y 0 ) 2 + (z — z 0 ) 2 = R 2

2.3. Взаимное расположение сферы и плоскости

Дано:

Сфера радиуса R с центром С (х 0 ; у 0 ; z 0), точка М (х; у; z ) лежит на сфере.

Чему равно расстояние МС?

Т. к. МС = R , то


M

R

с


Дано: плоскость α , сфера (С; R ),

d — расстояние от центра С до плоскости α .

Введем систему координат, где точка С (x 0 ;y 0 ;z 0). Составим уравнения сферы и плоскости α .

z

П
усть точка С лежит на оси z . Тогда ее координаты (0; 0; d ).

Уравнение сферы:

Уравнение плоскости α : z = 0

Исследуем систему уравнений:


z = 0


Тогда

1
) d

Тогда

уравнение окружности (О; r )

Сечение сферы плоскостью – окружность

2
) d = R .

Тогда

Верно при

х = 0 и у = 0

Сфера и плоскость имеют одну общую точку.

3
) d > R .

Тогда

не имеет решений.

Сфера и плоскость не имеют общих точек.

2.4. Касательная плоскость к сфере


Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

Теорема. Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Дано: сфера с центром О и радиусом R , α — касательная к сфере в точке А плоскость.

Доказать: OA а .

Доказательство: Пусть OA не перпендикулярна плоскости а , тогда OA является наклонной к плоскости, значит, расстояние от центра до плоскости d R . Т.е. сфера должна пересекаться с плоскостью по окружности, но это не удовлетворяет условию теоремы. Значит, OA а .

Докажем обратную теорему.

Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Дано: сфера с центром О и радиусом OA , а, OA а .

Доказать: а – касательная плоскость.

Доказательство: Т.к. OA а , то расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу. Значит, сфера и плоскость имеют одну общую точку. По определению, плоскость является касательной к сфере.

2.5. Площадь сферы и объём шара

и шара радиуса определяются формулами:

Доказательство

Возьмём четверть круга радиуса R с центром в точке . Уравнение окружности этого круга: , откуда .

Функция непрерывная, возрастающая, неотрицательная. При вращении четверти круга вокруг оси Ox образуется полушар, следовательно:

Откуда Ч. т. д.

Доказательство

Ч. т. д.

Часть шара, [ ] осекаемая от него какой-нибудь плоскостью, называется шаровым или сферическим сегментом. Основанием шарового сегмента называется кругABCD . Высотой шарового сегмента называется отрезок NM , т.е. длина перпендикуляра, восстановленного из центраN основания до пересечения с поверхностью шара. ТочкаM называется вершиной шарового сегмента.

Объем шарового сегмента выражается формулой:

V = π h 2 ( R 1/3 h)

Шаровой слой — это часть шара [ ], заключенная между двумя секущими параллельными плоскостями. Шаровой пояс или Шаровая зона — это кривая поверхность шарового слоя. Круги ABC и DEF это основания шарового пояса. Расстояние между основаниямиON — это высота шарового слоя.

Объем шарового слоя выражается формулой:

V = 1/6 π h 3 + 1/2 π( r 1 2 + r 2 2 ) h

Шаровой сектор — это часть шара [ ], ограниченная кривой поверхностью шарового сегмента и конической поверхностью основанием которой служит основание сегмента, а вершиной — центр шара.

Объем шарового сектора равен , основание которой имеет ту же площадь, что и вырезаемая сектором часть шаровой поверхности, а высота равна радиусу

V = 1/3 R S = 2/3 π R 2 h


2.6. Получение сферы

Сферу можно получить вращением полуокружности АСВ вокруг диаметра АВ

2. 7. Нахождение сферы и шара в природе

Загадки природы — Шары-послания. Эти загадочные каменные образования идеально круглой формы были обнаружены в конце 1940-х годов в джунглях центрально американской Республики Коста-Рика. Шары имеют размеры от 10 см до 3-4 метров в диаметре. При аэросъемке выяснилось, что они разбросаны по поверхности земли не случайно, а составляют геометрические фигуры. Возможно даже, что шары не разбросаны, а разложены в виде огромной звездной карты; каждый шар — это звезда с соответствующим описанием.

Среди гипотез происхождения шаров есть только экзотические версии: от пришельцев до скульпторов Атлантиды. Есть версия и о том, что шары вырезали (в расчете на будущие дивиденды от туризма) скучающие нацистские мигранты, наводнившие Латинскую Америку после краха «третьего рейха». Естественными причинами объяснить обилие шаров и странные рисунки на них не удалось. В Казахстане при разработке песчаного карьера на достаточно большой глубине также были обнаружены несколько крупных экземпляров таких валунов… Об этой находке сообщала комиссия «Феномен»; увы, фотографий находок не сохранилось.

Хрустальный шарик. Макросъёмка. На ветке какого-то дерева лежит шар из стекла, в нём отражается окружающая его природа. Очень симпатичные жёлтые цветочки и зелёная сочная трава.


Светящиеся шары

на фото в местах силы — результат распада урана или плазмоидная форма жизни?

Храм Гроба Господня и другие места Израиля

И
нтересное природное явление
на берегу мичиганского озера сформировались тысячи правильных ледяных шаров

Морские водоросли в виде необычных шаров

Странные шары появились на побережье Хэмптона, что на восточном побережье США, в июне 2002 года. Приливная волна стала выносить несметное число таких зеленоватых шаров — мягких, отдаленно напоминающих губку и размером с мячик для тенниса или гольфа. На расстоянии примерно 300 метров или больше весь песчаный пляж буквально был усеян такими шарами. Тут же начались споры- что это и откуда? В дебаты оказались вовлеченными и биологи маринисты, и отдыхающие на пляже, и случайные прохожие. Прежде никто не видел здесь ничего подобного.


Природа боится симметрии, природа не знает идеальных геометрических фигур. Зато человек может заставить природу приобрести эти чуждые ей формы. Наглядный пример тому — творчество корейского художника Lee Jae-Hyo, который создает из стволов деревьев идеальные сферы



Т

ысячи небольших фиолетовых шариков странным образом оказались в центре пустыни в штате Аризона, США. Жители города Тусон Джеральдина Варгас и ее муж обнаружили необъяснимое скопление непонятных шаров пару недель назад во время прогулки по окрестностям. «Мы фотографировали природу пустыни, когда натолкнулись на это странное место… не понимаю, как мы сразу его не заметили? — рассказала Джеральдина журналистам. – Оно просто искрилось на солнце». Фотографы отправили фото со странными объектами своей знакомой зоологу, но она не смогла сказать, что же это такое, у нее даже не было никаких предположений на этот счет.



2.8 Сфера и шар в повседневной жизни

Н
а геометрический шар похожи глобус, футбольный мяч, новогодние игрушки.






Шар из пенопласта своими руками

Зорбинг (zorbing) – это один из самых модных экстремальных развлечений на сегодняшний день. Зорбинг позволит вам испытать новые, необычно яркие и мощные ощущения и встряхнуться от обыденности повседневной жизни.


Что такое шар Зорб

Зорб (ZORB) представляет из себя прозрачную сферу (шар) диаметром 3,2 метра внутри которой находится сфера диаметром 1,8 метра, в которой находится зорбонавт (пассажир зорба ). Пространство между этими сферами наполняется воздухом, давлением которого сферы распираются между собой, а стропами, наоборот, удерживаются. Такая система очень хорошо амортизирует, сглаживает неровности трассы и делает катание безопасным.

2. 9.Применение сферы и шара в архитектуре


Такой дом называется ВИГВАМ . Такие дома строят ИНДЕЙЦЫ .

Шары и полусферы из нержавеющей стали




Фонтан «Вращающийся шар » в Санкт-

Петербурге —

Современные дома


А если дом не просто на дереве, а ещё и в форме шара.


Это поселок из самых настоящих круглых домов .


С
овременные круглые дома





Монреальская Биосфера — выставочный павильон США на Экспо-67 в Канаде,

созданная архитектором Ричардом Фуллером.



Отель в виде прозрачных шаров

В
о французском городе Рубе (Roubaix) в одном из парков открыли портативные гостиничные номера Hotel Bolha. Сделали это специально для людей, которые даже в центре городских джунглей желают побыть ближе к природе. Концепцию пузыря придумал дизайнер Пьер Стефан Дюма. Такая продвинутая конструкция была создана с целью временного присоединения постояльцев к неизведанному. Ведь не многие могут себе позволить поспать под круглым потолком.


Платье из шаров.

Дачный офис Скоро весна (а там и лето) и многие начнут ездить на дачу отдыхать.
Но иногда на даче нужно поработать (чтоб тебя!). Нет места где уединится?
Можно вот в таком вот небольшом шарообразном сооружение «Archipod»:


ЭНЕРГОЭФФЕКТИВНОСТЬ в архитектуре . Умный Дом — молекула.

В парке науки и техники La Vilette, построенном на месте скотобойни на восточной окраине Парижа, бросается в глаза гигантский шар, в зеркальной поверхности которого отражается парижское небо и окружающий пейзаж. На сегодняшний день это здание считается самым совершенным в мире сооружением сферической формы. Парижане называют его «Жеод» (Gеode). Это – панорамный

кинотеатр с самым большим в Европе экраном . дом-шар зеркало


Такие шары из ниток можно просто подвесить к веткам дерева, если ваш праздник проходит на природе, или к потолку. А также ими можно оформить банкетный стол, дополнив композицию свечами и цветами.


2.10. Применение сферы и шара в геодезии.

Картографические проекции

отображения всей поверхности земного эллипсоида (См. ) или какую-либо её части на плоскость, получаемые в основном с целью построения карты.

Масштаб. К. п. строятся в определённом масштабе. Уменьшая мысленно земной эллипсоид в М раз, например в 10 000 000 раз, получают его геометрическую модель — , изображение которого уже в натуральную величину на плоскости даёт карту поверхности этого эллипсоида. Величина 1: М (в примере 1: 10 000 000) определяет главный, или общий, масштаб карты. Т. к. поверхности эллипсоида и шара не могут быть развёрнуты на плоскость без разрывов и складок (они не принадлежат к классу развёртывающихся поверхностей (См. )), любой К. п. присущи искажения длин линий, углов и т.п., свойственные всякой карте. Основной характеристикой К. п. в любой её точке является частный масштаб μ. Это — величина, обратная отношению бесконечно малого отрезка ds на земном эллипсоиде к его изображению на плоскости: μ min ≤ μ ≤ μ max , и равенство здесь возможно лишь в отдельных точках или вдоль некоторых линий на карте. Т. о., главный масштаб карты характеризует её только в общих чертах, в некотором осреднённом виде. Отношение μ/М называют относительным масштабом, или увеличением длины, разность М = 1.

1. Сети сферических координатных линий.


2.11. Применение сферы и шара в астрономии и географии.

Сфера и шар, так же как окружность и круг, рассматривали еще в глубокой древности. Открытие шарообразности Земли, появление представлений о небесной сфере дали толчок к развитию специальной науки – СФЕРИКИ, изучающей расположенные на сфере фигуры.

Осуществляя кругосветные путешествия, мореплаватели заметили, что при возвращении в то же место наблюдается потеря или выигрыш целых суток, что было бы совершенно невозможно, если бы Земля имела форму диска.

Итак, доказательствами шарообразности Земли в настоящее время служат:

    Всегда кругообразная фигура горизонта в океане и в открытых низменностях или плоскогорьях;

    Кругосветные путешествия.

    Постепенное приближение или удаление предметов;

И
зучая различные географические карты, мы обнаружили, что в географии есть географические названия, связанные с шаром. Например, между Северным и Южными островами Новой Земли есть пролив, который соединяет Баренцево и Карское моря, который называется Маточкин Шар, или пролив между берегами острова Вайгач и материком Евразии – Югорский Шар. Мы думаем, что эти проливы названы шарами в силу того, что их размеры, форма дна напоминают шаровую поверхность.

2.12. Сфера и шар в искусстве

Математика Эшера

Кроме того, «игрой» с логикой пространства являются картины Эшера, на которых изображены различные «невозможные фигуры»; Эшер изображал их как отдельно, так и в сюжетных литографиях и гравюрах


Три сферы. 1946


Рука с отражающей сферой. 1935

Заключение

Думаю, что собранный мной материал и знания, полученные в ходе проделанной работы можно использовать на уроках геометрии, труда, в повседневной жизни, в качестве основы для элективного курса в классах физико-математического профиля, а так же на внеклассных занятиях для расширения кругозора учеников.

    Адамар Ж. Элементарная геометрия. Ч.2. М. Учпедгиз, 1958. Андреев

    Атанасян Л.С. Геометрия. Ч.2. – М: Просвещение, 1987. – 352с.

    Базылев В.Т. Геометрия. М: Просвещение, 1975.

    Базылев В.Т. Сборник задач по геометрии. М: Просвещение, 1980. -240с.

    Егоров И.П. Геометрия. – М: Просвещение, 1979. – 256с.

    Егоров И.П. Основания геометрии. – М: Просвещение, 1984. – 144с.

    Задачник «Кванта»: Математика. Часть 1. / Под ред. Н.Б. Васильева. М: 1997.

    Розенфельд Б.А. История неевклидовой геометрии. Развитие понятия о геометрическом пространстве. М. Наука., 1976. – 408с.

    Энциклопедия элементарной математики. Кн.4 – Геометрия. М., 1963.

10.Интернет-ресурсы.

Шар и сфера — это прежде всего геометрические фигуры, и если шар — это геометрическое тело, то сфера — это поверхность шара. Этими фигурами интересовались еще многие тысячи лет назад до н.э.

Впоследствии когда было открыто, что Земля — это шар, а небо — небесная сфера, получило развитие новое увлекательное направление в геометрии — геометрия на сфере или сферическая геометрия. Для того, чтобы рассуждать о размере и объеме шара, нужно сначала дать ему определение.

Шар

Шаром радиуса R с центром в точке О в геометрии называют тело, которое создано всеми точками пространство, имеющими общее свойство. Эти точки находятся на расстоянии, не превышающем радиуса шара, то есть заполняют все пространство меньше радиуса шара во все стороны от его центра. Если мы рассмотрим только те точки, которые равноудалены от центра шара — мы будем рассматривать его поверхность или оболочку шара.

Как можно получить шар? Мы можем вырезать из бумаги круг и начать его вращать вокруг его же диаметра. То есть диаметр круга будет осью вращения. Образованная фигура — будет шар. Поэтому шар называют также телом вращения. Потому что он может быть образован путем вращения плоской фигуры — круга.

Возьмем какую-нибудь плоскость и разрежем ею наш шар. Подобно тому как мы режем ножом апельсин. Кусок, который мы отсечем от шара, называется шаровым сегментом.

В Древней Греции умели не только работать с шаром и сферой, как с геометрическими фигурами, например, использовать их при строительстве, а также умели расчитывать площадь поверхности шара и объем шара.

Сферой иначе называется поверхность шара. Сфера — это не тело — это поверхность тела вращения. Однако так как и Земля и многие тела имеют сферическую форму, например капля воды, то изучение геометрических соотношений внутри сферы получило большое распространение.

Например, если мы соединим две точки сферы между собой прямой линией, то эта прямая линия назовется хордой, а если эта хорда пройдет через центр сферы, который совпадает с центром шара, то хорда назовется диаметром сферы.

Если мы проведем прямую линию, которая коснется сферы всего в одной точке, то эта линия будет называться касательной. Кроме того, эта касательная к сфере в этой точке будет перпендикулярна к радиусу сферы, проведенному в точку касания.

Если мы продолжим хорду до прямой в одну и другую сторону от сферы, то эта хорда станет называться секущей. Или можно сказать иначе — секущая к сфере содержит в себе ее хорду.

Объем шара

Формула для вычисления объема шара имеет вид:

где R — радиус шара.

Если нужно найти объем шарового сегмента — воспользуйтесь формулой:

V сег =πh 2 (R-h/3), h — высота шарового сегмента.

Площадь поверхности шара или сферы

Чтобы вычислить площадь сферы или площадь поверхности шара (это одно и то же):

где R — радиус сферы.

Архимед очень любил шар и сферу, он даже попросил оставить на его гробницу рисунок, на котором в цилиндр вписан шар. Архимед считал, что объем шара и его поверхность равны двум третьим от объема и поверхности цилиндра, в который вписан шар»

Сфера и шар сообщение.

Разница между шаром и сферой

Шар – это тело, состоящее из всех точек пространства, которые находятся на расстоянии, не большем данного от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние – радиусом шара. Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой. Точками сферы являются все точки шара, которые удалены от центра на расстояние, равное радиусу. Любой отрезок, который соединяет центр шара с точкой шаровой поверхности, тоже называется радиусом. Проходящий через центр шара отрезок, который соединяет две точки шаровой поверхности, называется диаметром. Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.

Шар является телом вращения, так же как конус и цилиндр. Шар получается при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси.

Площадь поверхности шара можно найти по формулам:

где r – радиус шара, d – диаметр шара.

Объём шара находится по формуле:

V = 4 / 3 πr 3 ,

где r – радиус шара.

Теорема. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Исходя из данной теоремы, если шар с центром O и радиусом R пересечён плоскостью α, то в сечении получается круг радиуса r с центром K. Радиус сечения шара плоскостью можно найти по формуле

Из формулы видно, что плоскости, равноудалённые от центра, пересекают шар по равным кругам. Радиус сечения тем больше, чем ближе секущая плоскости к центру шара, то есть чем меньше расстояние ОК. Наибольший радиус имеет сечение плоскостью, проходящей через центр шара. Радиус этого круга равен радиусу шара.

Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью, называется большим кругом, а сечение сферы – большим кругом, а сечение сферы – большой окружностью.

Теорема. Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.

Плоскость, которая и проходит через точку А шаровой поверхности и перпендикулярна радиусу, проведённому в точку А, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой касания.

Теорема. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку – точку касания.

Прямая, которая проходит через точку А шаровой поверхности перпендикулярно к радиусу, проведённому в эту точку, называется касательной.

Теорема. Через любую точку шаровой поверхности проходит бесконечно много касательных, причём все они лежат в касательной плоскости шара.

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью. Круг ABC – основание шарового сегмента. Отрезок MN перпендикуляра, проведенного из центра N круга ABC до пересечения со сферической поверхностью, – высота шарового сегмента. Точка M – вершина шарового сегмента.

Площадь поверхности шарового сегмента можно вычислить по формуле:

Объём шарового сегмента можно найти по формуле:

V = πh 2 (R – 1/3h),

где R – радиус большого круга, h – высота шарового сегмента.

Шаровой сектор получается из шарового сегмента и конуса, следующим образом. Если шаровой сегмент меньше полушара, то шаровой сегмент дополняется конусом, у которого вершина в центре шара, а основанием является основание сегмента. Если же сегмент больше полушара, то указанный конус из него удаляется.

Шаровой сектор – это часть шара, ограниченная кривой поверхностью сферического сегмента (на нашем рисунке – это AMCB) и конической поверхностью (на рисунке – это OABC), основанием которой служит основание сегмента (ABC), а вершиной – центр шара O.

Объем шарового сектора находится по формуле:

V = 2/3 πR 2 H.

Шаровый слой – это часть шара, заключённая между двумя параллельными плоскостями (на рисунке плоскостями ABC и DEF), пересекающими сферическую поверхность. Кривая поверхность шарового слоя называется шаровым поясом (зоной). Круги ABC и DEF – основания шарового пояса. Расстояние NK между основаниями шарового пояса – его высота.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Для получения грамотного ответа на вынесенный в заголовок вопрос читателю статьи потребуется хорошенько напрячь свои способности к абстрактному мышлению и как следует углубиться в определённые разделы математики, что ему доводилось изучать в школе. А для стимуляции воображения нелишним будет напомнить, что «Образование есть то, что остаётся после того, когда забывается всё, чему нас учили» (авторство фразы приписывается А.Эйнштейну).

Небольшое погружение в один из разделов математики

Для начала потребуется вспомнить о существовании науки геоме́трии (в несколько вольном переводе с греческого это слово означает «землемеренье») — обособленном разделе математики, специализирующемся на изучении пространственных структур, их отношений между собой и различных возникающих из этого обобщений. Важно, что несмотря на подобное «приземлённое» происхождения названия эта наука оперирует сугубо абстрактными понятиями, которые в привычном нам мире не существуют в прямом физическом воплощении.

Одно из таких базовых понятий — это геометрическая точка . Напрягите своё воображение: в отличие от «точки карандашом», «точки от булавки» и так далее эта точка представляет из себя полностью абстрактный объект в воображаемом пространстве без каких-либо измеримых характеристик типа «толщины», «цвета» и так далее (математики любят при этом произносить словосочетание «нульмерный объект»). В принципе, всё остальное в геометрии будет далее определяться исходя именно из этой абстракции.

Следующее нужно для дальнейших рассуждений понятие — это «ритуальная» математическая фраза «геометри́ческое ме́сто то́чек» (ГМТ). C её помощью описывается некоторое множество (совокупность) точек, подпадающих под определённое отношение (свойство) — таким образом задаётся «геометрическая фигура». Пример: сфе́ра (от древнегреческого σφαῖρα, изначально обозначающего мяч/шар) — это геометрическое место таких точек пространства, которое можно описать как равноудалённое (находящееся на строго одном расстоянии) от некоторой заданной точки, обычно называемой «центром сферы».

Расстояние же от центра сферы до этого ГМТ принято называть «радиусом сферы». Во время всех этих манипуляций важно продолжать помнить, что сфера — понятие более эфемерное, чем даже всем привычный и знакомый мыльный пузырь: у любого мыльного пузыря всё-таки есть вполне ощутимая стенка из водно-мыльной плёнки микроскопической толщины, которую можно физически измерить (и даже проткнуть), а у сферы — нет!

Теперь обратимся к определению шара: под шаром понимается совокупность всех таких точек пространства, что находится от определённой точки (центра шара) на расстоянии, не большем заданного (радиуса шара). Иначе говоря, шар является «геометрическим телом» — тем, что согласно первичному определению Евклида «имеет длину, ширину и глубину» (в современных учебниках это определение менее наглядно: «часть пространства, ограниченная своей образуемой формой»).

Попутно отметим, что использованные здесь способы задания сферы и шара через центр и радиус — не единственные: например, задание сферы/шара в пространстве можно выполнить посредством вращения окружности, круга и т. д. (глубоко заинтересовавшимся этим вопросом настоятельно рекомендуется ознакомиться с отдельным разделом геометрии под названием «Фигуры и тела вращения», поскольку это часто применяемый способ задания самых различных геометрических фигур и тел в пространстве).

Таким образом, и в случае сферы, и в случае шара приходится иметь дело с определённым образом заданным геометрическим местом точек (то есть геометрической фигурой), однако лишь в случае шара можно говорить о геометрическом теле. Любопытно отметить, что строго говоря сферу из шара можно «вычесть»: в этом случае математики говорят об «открытом шаре». Однако «по умолчанию» имеет место «замкнутый шар», где сфера является его естественной границей и принадлежащей ему частью.

Резюме

И шар, и сфера являются абстрактными геометрическими объектами (геометрическими фигурами), задаваемыми через некоторое геометрическое место точек пространства — например, с помощью понятия центра шара/сферы и радиуса шара/сферы. Однако только шар является полноценным геометрическим телом, поскольку включает в себя не только описание ограничивающей его поверхности, но и всей той части пространства, что в себя эта поверхность заключает. С такой точки зрения сфера — лишь внешняя абстрактная граница (поверхность) задаваемого в пространстве шара.

Шар – это тело, состоящее из всех точек пространства, которые находятся на расстоянии, не большем данного от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние – радиусом шара. Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой. Точками сферы являются все точки шара, которые удалены от центра на расстояние, равное радиусу. Любой отрезок, который соединяет центр шара с точкой шаровой поверхности, тоже называется радиусом. Проходящий через центр шара отрезок, который соединяет две точки шаровой поверхности, называется диаметром. Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.

Шар является телом вращения, так же как конус и цилиндр. Шар получается при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси.

Площадь поверхности шара можно найти по формулам:

где r – радиус шара, d – диаметр шара.

Объём шара находится по формуле:

V = 4 / 3 πr 3 ,

где r – радиус шара.

Теорема. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Исходя из данной теоремы, если шар с центром O и радиусом R пересечён плоскостью α, то в сечении получается круг радиуса r с центром K. Радиус сечения шара плоскостью можно найти по формуле

Из формулы видно, что плоскости, равноудалённые от центра, пересекают шар по равным кругам. Радиус сечения тем больше, чем ближе секущая плоскости к центру шара, то есть чем меньше расстояние ОК. Наибольший радиус имеет сечение плоскостью, проходящей через центр шара. Радиус этого круга равен радиусу шара.

Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью, называется большим кругом, а сечение сферы – большим кругом, а сечение сферы – большой окружностью.

Теорема. Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.

Плоскость, которая и проходит через точку А шаровой поверхности и перпендикулярна радиусу, проведённому в точку А, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой касания.

Теорема. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку – точку касания.

Прямая, которая проходит через точку А шаровой поверхности перпендикулярно к радиусу, проведённому в эту точку, называется касательной.

Теорема. Через любую точку шаровой поверхности проходит бесконечно много касательных, причём все они лежат в касательной плоскости шара.

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью. Круг ABC – основание шарового сегмента. Отрезок MN перпендикуляра, проведенного из центра N круга ABC до пересечения со сферической поверхностью, – высота шарового сегмента. Точка M – вершина шарового сегмента.

Площадь поверхности шарового сегмента можно вычислить по формуле:

Объём шарового сегмента можно найти по формуле:

V = πh 2 (R – 1/3h),

где R – радиус большого круга, h – высота шарового сегмента.

Шаровой сектор получается из шарового сегмента и конуса, следующим образом. Если шаровой сегмент меньше полушара, то шаровой сегмент дополняется конусом, у которого вершина в центре шара, а основанием является основание сегмента. Если же сегмент больше полушара, то указанный конус из него удаляется.

Шаровой сектор – это часть шара, ограниченная кривой поверхностью сферического сегмента (на нашем рисунке – это AMCB) и конической поверхностью (на рисунке – это OABC), основанием которой служит основание сегмента (ABC), а вершиной – центр шара O.

Объем шарового сектора находится по формуле:

V = 2/3 πR 2 H.

Шаровый слой – это часть шара, заключённая между двумя параллельными плоскостями (на рисунке плоскостями ABC и DEF), пересекающими сферическую поверхность. Кривая поверхность шарового слоя называется шаровым поясом (зоной). Круги ABC и DEF – основания шарового пояса. Расстояние NK между основаниями шарового пояса – его высота.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

— (греч. sphaira шар). 1) твердое тело, в котором все точки поверхности одинаково отдалены от внутренней точки, называемой центром шар; изображение земли в виде глобуса. 2) часть пространства, в котором планета совершает свой путь. 3) в фигуральном … Словарь иностранных слов русского языка

Жен., греч. шар, шарообразное тело или пустота, или изображенье его на бумаге; в приложении к небесным телам: шар обращаемый на оси своей, представляющий землю нашу, или небесную твердь, с означеньем всех воображаемых кругов. Армилярная сфера,… … Толковый словарь Даля

сфера — ы, ж. sphère f. &LT;гр. sphaira. 1. геом. Замкнутая поверхность, все точки которой одинаково удалены от одной точки (центра /. БАС 1. | перен. Сфер десять пролетев воздушных, Узрел вдали питейный дом. И. Наумов Ясон. // Ирои комич. поэма 560. 2.… … Исторический словарь галлицизмов русского языка

Сферы, жен. [греч. sphaira шар]. 1. То же, что шар (мат.). 2. перен. Область, место, пределы, в к рых существует, действует, развивается, применяется что н. (книжн.). «Смотря по свойству поэтического таланта и по степени его выработанности, сфера … Толковый словарь Ушакова

СФЕРА, ы, жен. 1. Область, пределы распространения чего н. С. деятельности. С. влияния. 2. Среда, общественное окружение. В своей сфере. Высшие сферы (о правящих, аристократических кругах). 3. Замкнутая поверхность, все точки к рой равно удалены… … Толковый словарь Ожегова

См. область … Словарь синонимов

Сфера — (Хабаровск,Россия) Категория отеля: 3 звездочный отель Адрес: Переулок Дежнева 15, Хабаровск … Каталог отелей

Сфера компонент сложных слов, означающих: 1) одну из оболочек планет и звёзд: астеносфера атмосфера барисфера биосфера геосфера гетеросфера гидросфера гомосфера ионосфера литосфера магнитосфера мезосфера стратосфера субстратосфера… … Википедия

— (от греческого sphaira шар), 1) область действия, пределы распространения чего либо (например, сфера влияния). 2) Общественное окружение, среда, обстановка … Современная энциклопедия

— (от греч. sphaira шар) 1) область действия, пределы распространения чего либо (напр., сфера влияния).2) Общественное окружение, среда, обстановка …

Замкнутая поверхность, все точки которой одинаково удалены от одной точки (центра сферы). Отрезок, соединяющий центр сферы с какой либо ее точкой (а также его длина), называется радиусом сферы. Площадь поверхности сферы S=4?R2, где R радиус сферы … Большой Энциклопедический словарь

Книги

  • Сфера , Эггерс, Дэйв. Роман лидера новой волны американской литературы, жестокая сатира на современный мир социальных сетей и сплошного белого шума. СФЕРА — корпорация добра: она совершенствует мир, делая его…
  • Сфера , Дэйв Эггерс. Мэй Холланд крупно повезло. Она работает в идеальной компании «Сфера» – союз блистательных умов поколения, где все прислушиваются ко всем и все вдохновенно совершенствуют мир. Здесь Мэй…

Определение.

Сфера (поверхность шара ) — это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, которые находятся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром сферы (О).

Сферу можно описать, как объёмную фигуру, которая образуется вращением окружности вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.

Определение.

Шар — это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, расстояние от которых не превышает определенного расстояния до точки, называемой центром шара (О) (совокупность всех точек трехмерного пространства ограниченных сферой).

Шар можно описать как объёмную фигуру, которая образуется вращением круга вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.

Определение. Радиус сферы (шара) (R) — это расстояние от центра сферы (шара) O к любой точке сферы (поверхности шара).

Определение. Диаметр сферы (шара) (D) — это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара) и проходящий через ее центр.

Формула. Объём шара :

V = 4 π R 3 = 1 π D 3
3 6

Формула. Площадь поверхности сферы через радиус или диаметр:

S = 4π R 2 = π D 2

Уравнение сферы

1. Уравнение сферы с радиусом R и центром в начале декартовой системе координат :

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Уравнение сферы с радиусом R и центром в точке с координатами (x 0 , y 0 , z 0) в декартовой системе координат :

(x — x 0) 2 + (y — y 0) 2 + (z — z 0) 2 = R 2

Определение. Диаметрально противоположными точками называются любые две точки на поверхности шара (сфере), которые соединены диаметром.

Основные свойства сферы и шара

1. Все точки сферы одинаково удалены от центра.

2. Любое сечение сферы плоскостью является окружностью.

3. Любое сечение шара плоскостью есть кругом.

4. Сфера имеет наибольший объём среди всех пространственных фигур с одинаковой площадью поверхности.

5. Через любые две диаметрально противоположные точки можно провести множество больших окружностей для сферы или кругов для шара.

6. Через любые две точки, кроме диаметрально противоположных точек, можно провести только одну большую окружность для сферы или большой круг для шара.

7. Любые два больших круга одного шара пересекаются по прямой, проходящей через центр шара, а окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках.

8. Если расстояние между центрами любых двух шаров меньше суммы их радиусов и больше модуля разности их радиусов, то такие шары пересекаются , а в плоскости пересечения образуется круг.


Секущая, хорда, секущая плоскость сферы и их свойства

Определение. Секущая сферы — это прямая, которая пересекает сферу в двух точках. Точки пересечения называются точками протыкания поверхности или точками входа и выхода на поверхности.

Определение. Хорда сферы (шара) — это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара).

Определение. Секущая плоскость — это плоскость, которая пересекает сферу.

Определение. Диаметральная плоскость — это секущая плоскость, проходящая через центр сферы или шара, сеченме образует соответственно большую окружность и большой круг . Большая окружность и большой круг имеют центр, который совпадают с центром сферы (шара).

Любая хорда, проходящая через центр сферы (шара) является диаметром.

Хорда является отрезком секущей прямой.

Расстояние d от центра сферы до секущей всегда меньше чем радиус сферы:

d

Расстояние m между секущей плоскостью и центром сферы всегда меньше радиуса R:

m

Местом сечения секущей плоскости на сфере всегда будет малая окружность , а на шаре местом сечения будет малый круг . Малая окружность и малый круг имеют свои центры, не совпадающих с центром сферы (шара). Радиус r такого круга можно найти по формуле:

r = √R 2 — m 2 ,

Где R — радиус сферы (шара), m — расстояние от центра шара до секущей плоскости.

Определение. Полусфера (полушар) — это половина сферы (шара), которая образуется при ее сечении диаметральной плоскостью.

Касательная, касательная плоскость к сфере и их свойства

Определение. Касательная к сфере — это прямая, которая касается сферы только в одной точке.

Определение. Касательная плоскость к сфере — это плоскость, которая соприкасается со сферой только в одной точке.

Касательная пряма (плоскость) всегда перпендикулярна радиусу сферы проведенному к точке соприкосновения

Расстояние от центра сферы до касательной прямой (плоскости) равно радиусу сферы.

Определение. Сегмент шара — это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью. Основой сегмента называют круг, который образовался в месте сечения. Высотой сегмента h называют длину перпендикуляра проведенного с середины основы сегмента к поверхности сегмента.

Формула. Площадь внешней поверхности сегмента сферы с высотой h через радиус сферы R:

S = 2π Rh

Сайт Иванской Светланы Алексеевны — Тема 8.

2 Тела вращения

Категории раздела

Статистика


Онлайн всего: 1

Гостей: 1

Пользователей: 0

Тема 8.2 Тела вращения

Оглавление:

Сфера и шар

К оглавлению…

Определения:

  1. Сфера – замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Сфера также является телом вращения, образованным при вращении полуокружности вокруг своего диаметра. Радиусом сферы называется отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо точкой сферы.
  2. Хордой сферы называется отрезок, соединяющий две точки сферы.
  3. Диаметром сферы называется хорда, проходящая через ее центр. Центр сферы делит любой его диаметр на два равных отрезка. Любой диаметр сферы радиусом R равен 2R.
  4. Шар – геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, которые находятся на расстоянии не большем заданного от некоторого центра. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Обратите внимание: поверхность (или граница) шара называется сферой. Можно дать и такое определение шара: шаром называется геометрическое тело, состоящее из сферы и части пространства, ограниченного этой сферой.
  5. Радиусомхордой и диаметром шара называются радиус, хорда и диаметр сферы, которая является границей данного шара.
  6. Разница между шаром и сферой аналогична разнице между кругом и окружностью. Окружность – это линия, а круг – это ещё и все точки внутри этой линии. Сфера – это оболочка, а шар – это ещё и все точки внутри этой оболочки.
  7. Плоскость, проходящая через центр сферы (шара), называется диаметральной плоскостью.
  8. Сечение сферы (шара) диаметральной плоскостью называется большой окружностью (большим кругом).

Теоремы:

  • Теорема 1 (о сечении сферы плоскостью). Сечение сферы плоскостью есть окружность. Заметим, что утверждение теоремы остается верным и в случае, если плоскость проходит через центр сферы.
  • Теорема 2 (о сечении шара плоскостью). Сечение шара плоскостью есть круг, а основание перпендикуляра, проведенного из центра шара к плоскости сечения, есть центр круга, полученного в сечении.

Наибольший круг, из числа тех, которые можно получить в сечении данного шара плоскостью, лежит в сечении, проходящем через центр шара О. Он то и называется большим кругом. Его радиус равен радиусу шара. Любые два больших круга пересекаются по диаметру шара AB. Этот диаметр является и диаметром пересекающихся больших кругов. Через две точки сферической поверхности, расположенные на концах одного диаметра (на рис.  Aи B), можно провести бесчисленное множество больших кругов. Например, через полюса Земли можно провести бесконечное число меридианов.

Определения:

  1. Касательной плоскостью к сфере называется плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.
  2. Касательной плоскостью к шару называется касательная плоскость к сфере, которая является границей этого шара.
  3. Любая прямая, лежащая в касательной плоскости сферы (шара) и проходящая через точку касания, называется касательной прямой к сфере (шару). По определению касательная плоскость имеет со сферой только одну общую точку, следовательно, касательная прямая также имеет со сферой только одну общую точку – точку касания.

Теоремы:

  • Теорема 1 (признак касательной плоскости к сфере). Плоскость, перпендикулярная радиусу сферы и проходящая через его конец, лежащий на сфере, касается сферы.
  • Теорема 2 (о свойстве касательной плоскости к сфере). Касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

 

Многогранники и сфера

К оглавлению…

Определение: В стереометрии многогранник (например, пирамида или призма) называется вписанным в сферу, если все его вершины лежат на сфере. При этом сфера называется описанной около многогранника (пирамиды, призмы). Аналогично: многогранник называется вписанным в шар, если все его вершины лежат на границе этого шара. При этом шар называется описанным около многогранника.

Важное свойство: Центр сферы, описанной около многогранника, находится на расстоянии, равном радиусу R сферы, от каждой вершины многогранника. Приведем примеры вписанных в сферу многогранников:

Определение: Многогранник называется описанным около сферы (шара), если сфера (шар) касается всехграней многогранника. При этом сфера и шар называются вписанными в многогранник.

Важно: Центр сферы, вписанной в многогранник, находится на расстоянии, равном радиусу r сферы, от каждой из плоскостей, содержащих грани многогранника. Приведем примеры описанных около сферы многогранников:

 

Объем и площадь поверхности шара

К оглавлению…

Теоремы:

  • Теорема 1 (о площади сферы). Площадь сферы равна:

где: R – радиус сферы.

  • Теорема 2 (об объеме шара). Объем шара радиусом R вычисляется по формуле:

 

Шаровой сегмент, слой, сектор

К оглавлению…

Шаровой сегмент

В стереометрии шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая секущей плоскостью. При этом соотношение между высотой, радиусом основания сегмента и радиусом шара:

где: h − высота сегмента, r − радиус основания сегмента, R − радиус шара. Площадь основания шарового сегмента:

Площадь внешней поверхности шарового сегмента:

Площадь полной поверхности шарового сегмента:

Объем шарового сегмента:

Шаровой слой

В стереометрии шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными плоскостями. Площадь внешней поверхности шарового слоя:

где: h − высота шарового слоя, R − радиус шара. Площадь полной поверхности шарового слоя:

где: h − высота шарового слоя, R − радиус шара, r1r2 − радиусы оснований шарового слоя, S1S2 − площади этих оснований. Объем шарового слоя проще всего искать как разность объемов двух шаровых сегментов.

Шаровой сектор

В стереометрии шаровым сектором называется часть шара, состоящая из шарового сегмента и конуса с вершиной в центре шара и основанием, совпадающим с основанием шарового сегмента. Здесь подразумевается, что шаровой сегмент меньше чем пол шара. Площадь полной поверхности шарового сектора:

где: h − высота соответствующего шарового сегмента, r − радиус основания шарового сегмента (или конуса), R − радиус шара. Объем шарового сектора вычисляется по формуле:

 

Цилиндр

К оглавлению…

Определения:

  1. В некоторой плоскости рассмотрим окружность с центром O и радиусом R. Через каждую точку окружности проведем прямую, перпендикулярную плоскости окружности. Цилиндрической поверхностью называется фигура, образованная этими прямыми, а сами прямые называются образующими цилиндрической поверхности. Все образующие цилиндрической поверхности параллельны друг другу, так как они перпендикулярны плоскости окружности.

  1. Прямым круговым цилиндром или просто цилиндром называется геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, которые перпендикулярны образующим цилиндрической поверхности. Неформально, можно воспринимать цилиндр как прямую призму, у которой в основании круг. Это поможет легко понять, а при необходимости и вывести формулы для объема и площади боковой поверхности цилиндра.
  2. Боковой поверхностью цилиндра называется часть цилиндрической поверхности, расположенная между секущими плоскостями, которые перпендикулярны ее образующим, а части (круги), отсекаемые цилиндрической поверхностью на параллельных плоскостях, называются основаниями цилиндра. Основания цилиндра – это два равных круга.
  3. Образующей цилиндра называется отрезок (или длина этого отрезка) образующей цилиндрической поверхности, расположенный между параллельными плоскостями, в которых лежат основания цилиндра. Все образующие цилиндра параллельны и равны между собой, а также перпендикулярны основаниям.
  4. Осью цилиндра называется отрезок, соединяющий центры кругов, являющихся основаниями цилиндра.
  5. Высотой цилиндра называется перпендикуляр (или длина этого перпендикуляра), проведенный из какой-нибудь точки плоскости одного основания цилиндра к плоскости другого основания.  В цилиндре высота равна образующей.
  6. Радиусом цилиндра называется радиус его оснований.
  7. Цилиндр называется равносторонним, если его высота равна диаметру основания.
  8. Цилиндр можно получить поворотом прямоугольника вокруг одной из его сторон на 360°.
  9. Если секущая плоскость параллельна оси цилиндра, то сечением цилиндра служит прямоугольник, две стороны которого – образующие, а две другие – хорды оснований цилиндра.
  10. Осевым сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось. Осевое сечение цилиндра – прямоугольник, две стороны которого есть образующие цилиндра, а две другие – диаметры его оснований.
  11. Если секущая плоскость, перпендикулярна оси цилиндра, то в сечении образуется круг равный основаниям. На чертеже ниже: слева – осевое сечение; в центре – сечение параллельное оси цилиндра; справа – сечение параллельное основанию цилиндра.

 

Цилиндр и призма

К оглавлению…

Призма называется вписанной в цилиндр, если ее основания вписаны в основания цилиндра. В этом случае цилиндр называется описанным около призмы. Высота призмы и высота цилиндра в этом случае будут равны. Все боковые ребра призмы будут принадлежать боковой поверхности цилиндра и совпадать с его образующими. Так как под цилиндром мы понимаем только прямой цилиндр, то вписать в такой цилиндр можно также только прямую призму. Примеры:

Призма называется описанной около цилиндра, если ее основания описаны около оснований цилиндра. В этом случае цилиндр называется вписанным в призму. Высота призмы и высота цилиндра в этом случае также будут равны. Все боковые ребра призмы будут параллельны образующим цилиндра. Так как под цилиндром мы понимаем только прямой цилиндр, то вписать такой цилиндр можно только в прямую призму. Примеры:

 

Цилиндр и сфера

К оглавлению. ..

Сфера (шар) называется вписанной в цилиндр, если она касается оснований цилиндра и каждой его образующей. При этом цилиндр называется описанным около сферы (шара). Сферу можно вписать в цилиндр, только если это равносторонний цилиндр, т.е. диаметр его основания и высота равны между собой. Центром вписанной сферы будет служить середина оси цилиндра, а радиус этой сферы будет совпадать с радиусом цилиндра. Пример:

Цилиндр называется вписанным в сферу, если окружности оснований цилиндра являются сечениями сферы. Цилиндр называется вписанным в шар, если основания цилиндра являются сечениями шара. При этом шар (сфера) называется описанным около цилиндра. Вокруг любого цилиндра можно описать сферу. Центром описанной сферы также будет служить середина оси цилиндра. Пример:

На основе теоремы Пифагора легко доказать следующую формулу, связывающую радиус описанной сферы (R), высоту цилиндра (h) и радиус цилиндра (r):

 

Объем и площадь боковой и полной поверхностей цилиндра

К оглавлению. ..

Теорема 1 (о площади боковой поверхности цилиндра): Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности его основания на высоту:

где: R – радиус основания цилиндра, h – его высота. Эта формула легко выводится (или доказывается) на основе формулы для площади боковой поверхности прямой призмы.

Площадью полной поверхности цилиндра, как обычно в стереометрии, называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. Площадь каждого основания цилиндра (т.е. просто площадь круга) вычисляется по формуле:

Следовательно, площадь полной поверхности цилиндра Sполн. цилиндра вычисляется по формуле:

Теорема 2 (об объеме цилиндра): Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту:

где: R и h – радиус и высота цилиндра соответственно. Эта формула также легко выводится (доказывается) на основе формулы для объема призмы.

Теорема 3 (Архимеда): Объём шара в полтора раза меньше объёма, описанного вокруг него цилиндра, а площадь поверхности такого шара в полтора раза меньше площади полной поверхности того же цилиндра:

 

Конус

К оглавлению…

Определения:

  1. Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга (называемого основанием конуса), точки, не лежащей в плоскости этого круга (называемой вершиной конуса) и всех возможных отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Неформально, можно воспринимать конус как правильную пирамиду, у которой в основании круг. Это поможет легко понять, а при необходимости и вывести формулы для объема и площади боковой поверхности конуса.

  1. Отрезки (или их длины), соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Все образующие прямого кругового конуса равны между собой.
  2. Поверхность конуса состоит из основания конуса (круга) и боковой поверхности (составленной из всех возможных образующих).
  3. Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
  4. Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой конус, называя его для краткости просто конусом.
  5. Наглядно прямой круговой конус можно представлять себе, как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси. При этом боковая поверхность конуса образуется вращением гипотенузы, а основание – вращением катета, не являющимся осью.
  6. Радиусом конуса называется радиус его основания.
  7. Высотой конуса называется перпендикуляр (или его длина), опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту, т.е. прямая проходящая через центр основания и вершину.
  8. Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение равнобедренный треугольник, основание которого – диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса. Такое сечение называется осевым.

  1. Если секущая плоскость проходит через внутреннюю точку высоты конуса и перпендикулярна ей, то сечением конуса является круг, центр которого есть точка пересечения высоты и этой плоскости.
  2. Высота (h), радиус (R) и длина образующей (l) прямого кругового конуса удовлетворяют очевидному соотношению:

 

Объем и площадь боковой и полной поверхностей конуса

К оглавлению…

Теорема 1 (о площади боковой поверхности конуса). Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую:

где: R – радиус основания конуса, l – длина образующей конуса. Эта формула легко выводится (или доказывается) на основе формулы для площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Площадью полной поверхности конуса называется сумма площади боковой поверхности и площади основания. Площадь основания конуса (т.е. просто площадь круга) равна: Sосн = πR2. Следовательно, площадь полной поверхности конуса Sполн. конуса вычисляется по формуле:

Теорема 2 (об объеме конуса). Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту:

где: R – радиус основания конуса, h – его высота. Эта формула также легко выводится (доказывается) на основе формулы для объема пирамиды.

 

Усеченный конус

К оглавлению…

Определения:

  1. Плоскость, параллельная основанию конуса и пересекающая конус, отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усеченным конусом.

  1. Основание исходного конуса и круг, получающийся в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями, а отрезок, соединяющий их центры — высотой усеченного конуса.
  2. Прямая проходящая через высоту усеченного конуса (т.е. через центры его оснований) является его осью.
  3. Часть боковой поверхности конуса, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конуса, расположенные между основаниями усеченного конуса, называются его образующими.
  4. Все образующие усеченного конуса равны между собой.
  5. Усеченный конус может быть получен при повороте на 360° прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к основаниям.
Формулы для усеченного конуса:

Объем усеченного конуса равен разности объемов полного конуса и конуса, отсекаемого плоскостью, параллельной основанию конуса.  Объём усечённого конуса вычисляется по формуле:

где: S1 = πr12 и S2 = πr22 – площади оснований, h – высота усечённого конуса, r1 и r2 – радиусы верхнего и нижнего оснований усеченного конуса. Однако на практике, всё же удобнее искать объем усеченного конуса как разность объёмов исходного конуса и отсеченной части. Площадь боковой поверхности усеченного конуса также можно искать как разность между площадями боковой поверхности исходного конуса и отсеченной части.

Действительно, площадь боковой поверхности усеченного конуса равна разности площадей боковых поверхностей полного конуса и конуса, отсекаемого плоскостью, параллельной основанию конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:

где: P1 = 2πr1 и P2 = 2πr2 – периметры оснований усеченного конуса, l – длина образующей.  Площадь полной поверхности усеченного конуса, очевидно, находится как сумма площадей оснований и боковой поверхности:

Обратите внимание, что формулы для объема и площади боковой поверхности усеченного конуса получены на основе формул для аналогичных характеристик правильной усеченной пирамиды.

 

Конус и сфера

К оглавлению…

Конус называется вписанным в сферу (шар), если его вершина принадлежит сфере (границе шара), а окружность основания (само основание) является сечением сферы (шара). При этом сфера (шар) называется описанной около конуса. Вокруг прямого кругового конуса всегда можно описать сферу. Центр описанной сферы будет лежать на прямой содержащей высоту конуса, а радиус этой сферы будет равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения конуса (это сечение является равнобедренным треугольником). Примеры:

Сфера (шар) называется вписанной в конус, если сфера (шар) касается основания конуса и каждой его образующей. При этом конус называется описанным около сферы (шара). В прямой круговой конус всегда можно вписать сферу. Её центр будет лежать на высоте конуса, а радиус вписанной сферы будет равен радиусу окружности, вписанной в осевое сечение конуса (это сечение является равнобедренным треугольником). Примеры:

 

Конус и пирамида

К оглавлению…

  • Конус называется вписанным в пирамиду (пирамида – описанной около конуса), если основание конуса вписано в основание пирамиды, а вершины конуса и пирамиды совпадают.
  • Пирамида называется вписанной в конус (конус – описанным около пирамиды), если ее основание вписано в основание конуса, а боковые ребра являются образующими конуса.
  • Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

Календарь

«  Март 2022  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
 123456
78910111213
14151617181920
21222324252627
28293031

Архив записей

Как найти радиус сферы если известна площадь.

Площадь сферы

Многие из нас любят играть в футбол или, по крайней мере, почти каждый из нас слышал про эту знаменитую спортивную игру. Всем известно, что в футбол играют мячом.

Если спросить прохожего, форму какой геометрической фигуры имеет мяч, то часть людей скажут, что форму шара, а часть, что формы сферы. Так кто же из них прав? И в чем разница между сферой и шаром?

Важно!

Шар — это пространственное тело. Внутри шар чем-либо заполнен. Поэтому у шара можно найти объем.

Примеры шара в жизни: арбуз и стальной шарик.

Шар и сфера, подобно кругу и окружности, имеют центр, радиус и диаметр.

Важно!

Сфера — поверхность шара. У сферы можно найти площадь поверхности.

Примеры сферы в жизни: волейбольный мяч и шарик для игры в настольный теннис.

Как найти площадь сферы

Запомните!

Формула площади сферы: S = 4π R 2

Для того, чтобы найти площадь сферы, необходимо вспомнить, что такое степень числа . Зная определение степени, можно записать формулу площади сферы следующим образом.
S = 4π R 2 = 4π R · R;

Закрепим полученные знания и решим задачу на площадь сферы.

Зубарева 6 класс. Номер 692(а)

Условие задачи:

  • Вычислите площадь сферы, если её радиус равен 1 = 3 · = = / (4 · 3) = ) = = ) =
    = = = = 1
  • R 3 = 1
  • R = 1 м

Важно!

Уважаемые родители!

При окончательном расчете радиуса не надо заставлять ребенка считать кубический корень. Учащиеся 6-го класса еще не проходили и не знают определение корней в математике.

В 6 классе при решении такой задачи используйте метод перебора.

Спросите ученика, какое число, если его умножить 3 раза на самого себя даст единицу.

Шар и сфера — это прежде всего геометрические фигуры, и если шар — это геометрическое тело, то сфера — это поверхность шара. Этими фигурами интересовались еще многие тысячи лет назад до н. э.

Впоследствии когда было открыто, что Земля — это шар, а небо — небесная сфера, получило развитие новое увлекательное направление в геометрии — геометрия на сфере или сферическая геометрия. Для того, чтобы рассуждать о размере и объеме шара, нужно сначала дать ему определение.

Шар

Шаром радиуса R с центром в точке О в геометрии называют тело, которое создано всеми точками пространство, имеющими общее свойство. Эти точки находятся на расстоянии, не превышающем радиуса шара, то есть заполняют все пространство меньше радиуса шара во все стороны от его центра. Если мы рассмотрим только те точки, которые равноудалены от центра шара — мы будем рассматривать его поверхность или оболочку шара.

Как можно получить шар? Мы можем вырезать из бумаги круг и начать его вращать вокруг его же диаметра. То есть диаметр круга будет осью вращения. Образованная фигура — будет шар. Поэтому шар называют также телом вращения. Потому что он может быть образован путем вращения плоской фигуры — круга.

Возьмем какую-нибудь плоскость и разрежем ею наш шар. Подобно тому как мы режем ножом апельсин. Кусок, который мы отсечем от шара, называется шаровым сегментом.

В Древней Греции умели не только работать с шаром и сферой, как с геометрическими фигурами, например, использовать их при строительстве, а также умели расчитывать площадь поверхности шара и объем шара.

Сферой иначе называется поверхность шара. Сфера — это не тело — это поверхность тела вращения. Однако так как и Земля и многие тела имеют сферическую форму, например капля воды, то изучение геометрических соотношений внутри сферы получило большое распространение.

Например, если мы соединим две точки сферы между собой прямой линией, то эта прямая линия назовется хордой, а если эта хорда пройдет через центр сферы, который совпадает с центром шара, то хорда назовется диаметром сферы.

Если мы проведем прямую линию, которая коснется сферы всего в одной точке, то эта линия будет называться касательной. Кроме того, эта касательная к сфере в этой точке будет перпендикулярна к радиусу сферы, проведенному в точку касания.

Если мы продолжим хорду до прямой в одну и другую сторону от сферы, то эта хорда станет называться секущей. Или можно сказать иначе — секущая к сфере содержит в себе ее хорду.

Объем шара

Формула для вычисления объема шара имеет вид:

где R — радиус шара.

Если нужно найти объем шарового сегмента — воспользуйтесь формулой:

V сег =πh 2 (R-h/3), h — высота шарового сегмента.

Площадь поверхности шара или сферы

Чтобы вычислить площадь сферы или площадь поверхности шара (это одно и то же):

где R — радиус сферы.

Архимед очень любил шар и сферу, он даже попросил оставить на его гробницу рисунок, на котором в цилиндр вписан шар. Архимед считал, что объем шара и его поверхность равны двум третьим от объема и поверхности цилиндра, в который вписан шар»

Площадь искривленной поверхности, которую нельзя развернуть на плоскость, вычисляют так. Разбивают поверхность на такие куски, которые уже достаточно мало отличаются от плоских. Потом находят площади этих кусков, как если бы они были плоскими (например, заменяя их проекциями на плоскости, от которых поверхность мало отклоняется). Сумма их площадей и даст приближенно площадь поверхности. Так поступают на практике: площадь поверхности купола получается как сумма площадей покрывающих его кусков листового металла (рис. 17.5). Еще

лучше это видно на примере земной поверхности. Она искривлена — примерно сферическая. Но участки, небольшие в сравнении с размерами всей Земли, измеряют как плоские.

Вычисляя плоскость сферы, описывают вокруг нее близкую к ней многогранную поверхность. Ее грани будут приближенно представлять куски сферы, а ее площадь дает приближенно площадь самой сферы. Ее дальнейшее вычисление основано на следующей лемме.

Лемма. Объем многогранника Р, описанного вокруг сферы радиуса R, и площадь его поверхности связаны соотношением

Замечание: Аналогичным соотношением связаны площадь многоугольника Q, описанного вокруг круга радиуса и его периметр (рис. 17.6):

Опишем вокруг сферы какой-либо многогранник Р. Пусть у него граней Разобьем Р на пирамиды с общей вершиной в центре О и с гранями в основаниях (рис. 17.7).

Каждая такая грань лежит в касательной плоскости сферы и, значит, перпендикулярна радиусу сферы в точке касания. Значит, этот радиус есть высота пирамиды Поэтому ее объем будет:

где — площадь грани Сумма этих площадей дает площадь поверхности многогранника Р, а сумма объемов пирамид — его объем Поэтому

Теорема (о площади сферы). Площадь сферы радиуса R выражается формулой:

Пусть дана сфера радиуса R. Возьмем на ней П точек, не лежащих в одной полусфере, и проведем через них касательные плоскости к сфере. Эти плоскости ограничат многогранник описанный вокруг сферы. Пусть — объем многогранника — площадь его поверхности, V — объем шара, ограниченного рассматриваемой сферой, и S — ее площадь.

Определение.

Сфера (поверхность шара ) — это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, которые находятся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром сферы (О).

Сферу можно описать, как объёмную фигуру, которая образуется вращением окружности вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.

Определение.

Шар — это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, расстояние от которых не превышает определенного расстояния до точки, называемой центром шара (О) (совокупность всех точек трехмерного пространства ограниченных сферой).

Шар можно описать как объёмную фигуру, которая образуется вращением круга вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.

Определение. Радиус сферы (шара) (R) — это расстояние от центра сферы (шара) O к любой точке сферы (поверхности шара).

Определение. Диаметр сферы (шара) (D) — это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара) и проходящий через ее центр.

Формула. Объём шара :

V = 4 π R 3 = 1 π D 3
3 6

Формула. Площадь поверхности сферы через радиус или диаметр:

S = 4π R 2 = π D 2

Уравнение сферы

1. Уравнение сферы с радиусом R и центром в начале декартовой системе координат :

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Уравнение сферы с радиусом R и центром в точке с координатами (x 0 , y 0 , z 0) в декартовой системе координат :

(x — x 0) 2 + (y — y 0) 2 + (z — z 0) 2 = R 2

Определение. Диаметрально противоположными точками называются любые две точки на поверхности шара (сфере), которые соединены диаметром.

Основные свойства сферы и шара

1. Все точки сферы одинаково удалены от центра.

2. Любое сечение сферы плоскостью является окружностью.

3. Любое сечение шара плоскостью есть кругом.

4. Сфера имеет наибольший объём среди всех пространственных фигур с одинаковой площадью поверхности.

5. Через любые две диаметрально противоположные точки можно провести множество больших окружностей для сферы или кругов для шара.

6. Через любые две точки, кроме диаметрально противоположных точек, можно провести только одну большую окружность для сферы или большой круг для шара.

7. Любые два больших круга одного шара пересекаются по прямой, проходящей через центр шара, а окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках.

8. Если расстояние между центрами любых двух шаров меньше суммы их радиусов и больше модуля разности их радиусов, то такие шары пересекаются , а в плоскости пересечения образуется круг.


Секущая, хорда, секущая плоскость сферы и их свойства

Определение. Секущая сферы — это прямая, которая пересекает сферу в двух точках. Точки пересечения называются точками протыкания поверхности или точками входа и выхода на поверхности.

Определение. Хорда сферы (шара) — это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара).

Определение. Секущая плоскость — это плоскость, которая пересекает сферу.

Определение. Диаметральная плоскость — это секущая плоскость, проходящая через центр сферы или шара, сеченме образует соответственно большую окружность и большой круг . Большая окружность и большой круг имеют центр, который совпадают с центром сферы (шара).

Любая хорда, проходящая через центр сферы (шара) является диаметром.

Хорда является отрезком секущей прямой.

Расстояние d от центра сферы до секущей всегда меньше чем радиус сферы:

d

Расстояние m между секущей плоскостью и центром сферы всегда меньше радиуса R:

m

Местом сечения секущей плоскости на сфере всегда будет малая окружность , а на шаре местом сечения будет малый круг . Малая окружность и малый круг имеют свои центры, не совпадающих с центром сферы (шара). Радиус r такого круга можно найти по формуле:

r = √R 2 — m 2 ,

Где R — радиус сферы (шара), m — расстояние от центра шара до секущей плоскости.

Определение. Полусфера (полушар) — это половина сферы (шара), которая образуется при ее сечении диаметральной плоскостью.

Касательная, касательная плоскость к сфере и их свойства

Определение. Касательная к сфере — это прямая, которая касается сферы только в одной точке.

Определение. Касательная плоскость к сфере — это плоскость, которая соприкасается со сферой только в одной точке.

Касательная пряма (плоскость) всегда перпендикулярна радиусу сферы проведенному к точке соприкосновения

Расстояние от центра сферы до касательной прямой (плоскости) равно радиусу сферы.

Определение. Сегмент шара — это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью. Основой сегмента называют круг, который образовался в месте сечения. Высотой сегмента h называют длину перпендикуляра проведенного с середины основы сегмента к поверхности сегмента.

Формула. Площадь внешней поверхности сегмента сферы с высотой h через радиус сферы R:

S = 2π Rh

Поделитесь статьей с друзьями:

Похожие статьи

Шар против Сферы — В чем разница?

Ballnoun

Твердая или полая сфера или ее часть.

«шарик слюны»; «фекальный шарик»;

Сферасуществительное

(математика) Правильный трехмерный объект, каждое поперечное сечение которого представляет собой окружность; фигура, описываемая вращением окружности вокруг своего диаметра.

Ballnoun

Количество струн, ниток и т. д., намотанных в сферическую форму.

«моток шерсти»; «моток шпагата»;

Spherenoun

Сферический физический объект; глобус или шар.

Ballnoun

(баллистика) Твердая сферическая невзрывная ракета для пушки и т. д.

Spherenoun

Видимый внешний предел пространства; край неба, представляемый как полый шар, внутри которого, кажется, заключены небесные тела.

Ballnoun

Округлая выпуклая часть какой-либо части тела.

‘подушечка большого пальца;’; «подушечка стопы»;

Spherenoun

Любой из концентрических полых прозрачных шаров, которые, как раньше считалось, вращались вокруг Земли и несли небесные тела; первоначально считалось, что их было восемь, а позже девять и десять; считалось, что трение между ними вызывает гармоничный звук (музыку сфер).

Ballnoun

(анатомия) Передняя часть нижней части стопы, сразу за пальцами.

Сфераимение

(мифология) Область деятельности планеты; или, в более широком смысле, область влияния бога, героя и т. д.

Ballnoun

Земной шар; земная сфера.

Сферасуществительное

(образно) Область, в которой что-то или кто-то действует; чья-то провинция, домен.

Ballnoun

(математика) Множество точек в метрическом пространстве, лежащих в пределах заданного расстояния (радиуса) данной точки; в частности, гомолог диска в евклидовом пространстве любого количества измерений.

Spherenoun

(геометрия) Набор всех точек в трехмерном евклидовом пространстве (или n-мерном пространстве в топологии), которые находятся на фиксированном расстоянии от фиксированной точки.

Ballnoun

Множество точек топологического пространства, лежащих внутри некоторого открытого множества, содержащего данную точку; аналог диска в евклидовом пространстве.

Сфераимение

(логика) Расширение общей концепции или совокупности индивидуумов или видов, к которым она может быть применена.

Ballnoun

Предмет, обычно сферический, используемый для игр.

Sphereverb

(переходный) Поместить в сферу или среди сфер; окутывать.

Ballnoun

(спорт) Круглый или эллипсовидный объект.

Sphereverb

(переходный) Делать круглым или сферическим; совершенствовать.

Ballnoun

Любая простая игра с мячом.

‘Дети играли в мяч на пляже.’; «Дети играли в мяч в саду.’;

Сфераимение

Тело или пространство, содержащееся под единственной поверхностью, которая в каждой части одинаково удалена от точки внутри, называемой ее центром.

Ballnoun

(бейсбол) Поле, выходящее за пределы зоны удара.

Spherenoun

Следовательно, любой шар или шаровидное тело, особенно небесное, как солнце, планета или земля.

‘Из небесных тел, сначала солнце, Могучую сферу он создал. ’;

Ballnoun

(пинбол) Возможность запустить пинбол в игру.

‘Если вы наберете миллион очков, вы получите еще один мяч.’;

Сфераим.

Видимая поверхность неба, которая считается сферической и везде равноудаленной, на которой небесные тела, по-видимому, имеют свои места и на которой различные астрономические круги по прямому восхождению и склонению, экватор, эклиптика и т. д. должны быть начерчены; идеальная геометрическая сфера с астрономическими и географическими кругами в соответствующих положениях на ней.

Ballnoun

(крикет) Одна подача боулера, шесть из которых составляют овер.

Сфераимение

Расширение общей концепции или совокупности индивидуумов или видов, к которым она может быть применена.

Ballnoun

(футбол) Пас; удар мячом в сторону товарища по команде.

Сферасуществительное

Цепь или диапазон действия, знания или влияния; компас; провинция; работа; место существования.

‘Чтобы быть вызванным в огромную сферу, и чтобы никто не видел, чтобы двигаться в ней. ’; «Вырывание ее из обычных отношений с человечеством и замыкание ее в сфере самой себя». «Каждый в своей скрытой сфере радости или горя обитают наши духи-отшельники».;

Сфераимение

Ранг; порядок общества; социальные позиции.

Ballnoun

Ерунда.

‘Чушь какая, и ты это знаешь!’;

Сферасуществительное

Орбита звезды; розетка.

Мужество.

‘Сомневаюсь, что у него хватит смелости отчитать его.’;

Sphereverb

Поместить в сферу или среди сфер; проникнуть.

‘Славная планета СолВ благородном возвышении восседает на троне и сферически средь других.’;

Ballnoun

Обтянутая кожей подушка, прикрепленная к ручке, называемой шаровой бабкой; ранее использовавшийся печатниками для окрашивания формы, а затем замененный валиком.

Sphereverb

Придать форму округлости; сделать сферическим, или сферическим; совершенствовать.

Ballnoun

Большая таблетка, форма, в которой лекарство давали лошадям; болюс.

Сферасуществительное

определенная среда или образ жизни;

«его социальная сфера ограничена»; «это была закрытая территория занятости»; «он вне моей орбиты»;

Spherenoun

любой артефакт сферической формы

Ballnoun

(неофициальный) Очень приятное времяпрепровождение.

‘У меня был бал на этом концерте.’;

Spherenoun

географическая область, в которой одна нация очень влиятельна

Ballverb

(переходный) Сформировать или свернуть в шар.

«для хлопковых клубков»;

Сферасуществительное

особый аспект жизни или деятельности;

«он был беспомощен в важном секторе своей жизни»;

Ballverb

(металлообработка) Для нагрева в печи и формирования шаров для прокатки.

Spherenoun

твердая фигура, ограниченная сферической поверхностью (включая пространство, которое она заключает)

Ballverb

Для полового акта с.

Spherenoun

трехмерная замкнутая поверхность, каждая точка которой равноудалена от центра. собираться в шарики.

‘Мячи для лошадей; снежки.’;

Spherenoun

видимая поверхность воображаемой сферы, на которую проецируются небесные тела

Ballverb

Модно или круто.

Spherenoun

круглая твердая фигура или ее поверхность, каждая точка которой равноудалена от ее центра.

Ballverb

Играть в баскетбол.

Spherenoun

сферический объект; шар или глобус

«маркеры на маршруте включали две бросающиеся в глаза черные сферы»;

Ballinterjection

(Австралийский футбол) Апелляция толпы за то, что она удерживает мяч против захваченного игрока.Это слышно почти каждый раз, когда игрок соперника захватывается, независимо от того, соблюдаются ли правила о «предварительной возможности» избавиться от мяча.

Spherenoun

глобус, представляющий землю

‘комната была завалена книгами, картами и сферами’;

Ballnoun

Любое круглое или округлое тело или масса; сфера или глобус; как клубок шпагата; шар снега.

Spherenoun

небесное тело

‘иногда он доставал свой телескоп, чтобы убедиться, что сферы все еще вращаются в порядке’;

Ballnoun

Сферическое тело любого вещества или размера, с которым можно играть, например, бросать, стучать, пинать и т. д.

Spherenoun

небо воспринимается как свод, на котором или в котором небесные тела представлены лежащими.

Ballnoun

Общее название игр, в которых мяч бросают, пинают или сбивают. См. Бейсбол и Футбол.

Spherenoun

каждая из серии вращающихся концентрически расположенных сферических оболочек, в которых ранее считалось, что небесные тела находятся в фиксированном соотношении.

Ballnoun

Любой твердый сферический, цилиндрический или конический снаряд из свинца или железа, предназначенный для выстрела из огнестрельного оружия; как пушечное ядро; винтовочная пуля; — часто используется вместе; как, порошок и мяч.Сферические шарики для огнестрельного оружия меньшего размера обычно называют пулями.

Spherenoun

область деятельности, интерес или опыт; часть общества или аспект жизни, отличающийся и объединяемый определенной характеристикой

«политические реформы, соответствующие реформам в экономической сфере»;

Ballnoun

Пылающее округлое тело взлетело в воздух; ящик, наполненный горючими веществами, предназначенными для взрыва и воспламенения или воспламенения либо для образования дыма или зловония; как огненный шар; вонючий шар.

Sphereverb

заключать в или как бы в сферу

‘плакальщики, окруженные своими темными одеждами’;

Ballnoun

Обтянутая кожей подушка, прикрепленная к ручке, называемой шаровой бабкой; — раньше использовался печатниками для окрашивания формы, но теперь заменен валиком.

Sphereverb

сформируйте в округленное или совершенное целое

‘до сих пор у вас все еще было добро в глазах ваших’;

Ballnoun

Округлая выпуклая часть какой-либо части тела; как подушечка большого пальца; подушечка стопы.

Сфера

Сфера (от греч. σφαῖρα — сфера, ) — геометрический объект в трехмерном пространстве, являющийся поверхностью шара (т. е. аналог круглых объектов в двух измерениях, где а описывает его ). Подобно кругу в двумерном пространстве, сфера математически определяется как набор точек, находящихся на одинаковом расстоянии r от данной точки в трехмерном пространстве.

‘шар, шар’; ‘круг’; «диск»;

Ballnoun

Большая таблетка, форма, в которой лекарство обычно дают лошадям; болюс.

Ballnoun

Земной шар или земля.

‘Обойти темный земной шар.’;

Ballnoun

Поданный мяч, по которому не ударил отбивающий, который не прошел над домашней пластиной на высоте не выше плеча отбивающего и не ниже его колена (т. е. вне зоны удара). Если питчер подает четыре мяча до того, как будут объявлены три страйка, отбивающий переходит на первую базу, и действие по подаче четырех мячей называется прогулкой.

Ballnoun

яичко; обычно используется во множественном числе.

Ballnoun

Общественное собрание с целью танцев; — обычно применяется к роскошному или официальному случаю.

Ballnoun

Очень приятно провести время; как, у нас был бал на свадьбе.

Ballverb

Собирать шарики, которые прилипают к ногам, как от сырого снега или глины; собираться в шарики; как конские мячи; снежные шары.

Ballverb

Нагреть в печи и сформировать шарики для скатывания.

Ballverb

Сформировать или свернуть в шар; как, к шарику хлопка.

Ballnoun

круглый предмет, по которому ударяют, бросают или пинают в играх;

‘при его подаче мяч пролетел 90 миль в час’; ‘мэр выбросил первый мяч’; «мяч закатился в угловую лузу»;

Ballnoun

твердый шар, выпущенный из мушкета;

«они должны были носить шомпол, а также порох и шарики»;

Ballnoun

объект сферической формы;

«огненный шар»;

Ballnoun

люди собрались на пышный торжественный танец;

‘шар уже опустел, прежде чем сработала пожарная сигнализация’;

Ballnoun

одна из двух мужских половых желез, производящих сперматозоиды и секретирующих андрогены;

‘она ударила его по яйцам и ушла’;

Ballnoun

сферический предмет, используемый в качестве игрушки;

‘он играл со своим резиновым мячиком в ванной’;

Ballnoun

Американский комик, наиболее известный как звезда популярной телевизионной программы (1911-1989)

Ballnoun

компактная масса;

«комок грязи попал ему в плечо»;

Ballnoun

роскошный официальный танец

Ballnoun

более или менее округлое анатомическое тело или масса; подушечка стопы человека или подушечка у основания большого пальца;

‘он стоял на цыпочках’;

Ballnoun

игра с мячом и битой между двумя командами по 9 игроков; команды по очереди бьют с битой, пытаясь забить;

‘он играл в бейсбол в старшей школе’; «на каждом пустыре была игра в бейсбол»; «было желание провести мяч Национальной лиги в этом районе»; «играть в мяч!»;

Ballnoun

поле, которое не находится в зоне страйка;

«он бросил девять мячей подряд, прежде чем тренер его дернул»;

Ballverb

сформировать в шар путем намотки или прокатки;

«шариковая шерсть»;

Ballnoun

твердый или полый предмет сферической или яйцевидной формы, который пинают, бросают или ударяют в игре

«мяч для крикета»;

Ballnoun

сферический объект или масса материала

‘он раздавил карту в шар’; «клубок шерсти»;

Ballnoun

сплошная невзрывная ракета для огнестрельного оружия.

Ballnoun

игра с мячом

‘он встречает группу детей, играющих в мяч’;

Ballnoun

бейсбол

‘молодые люди закончат колледж и станут профессиональными мячами’; «дети играют в мяч на этой стоянке уже почти сто лет»;

Ballnoun

(в крикете) подача мяча боулером игроку с битой

‘за полвека ему досталось всего сорок мячей’;

Ballnoun

(в футболе) передача мяча в указанном направлении или способом

«Уилан отправил длинный мяч Годдарду»;

Ballnoun

(в бейсболе) подача за пределами зоны удара, которую отбивающий не пытается отбить

«он полностью проигнорировал ее, и судья назвал ее мячом»;

Ballnoun

закругленная выпуклая часть стопы у основания большого пальца.

Ballnoun

закругленная выступающая часть кисти у основания большого пальца.

Ballnoun

официальное общественное собрание для танцев

«Энн танцевала с капитаном на костюмированном балу»; «бальное платье»;

Ballverb

сжать или придать (чему-либо) округлую форму

‘Роберт скомкал салфетку и бросил ее на тарелку’;

Ballverb

крепко сжать (кулак)

‘она сжала кулак так, что ногти впились в ладони’;

Ballverb

образуют круглую форму

«рыболовные сети в конце концов сворачиваются и тонут»;

Ballverb

оберните корневой ком (дерева или кустарника) для его защиты во время транспортировки.

Ballverb

иметь половые сношения с.

Ballverb

(цветка) не раскрывается должным образом, распадается в полураспустившемся бутоне.

Мяч

Мяч представляет собой круглый предмет (обычно сферический, но иногда может быть овальным) для различных целей. Он используется в играх с мячом, где ход игры следует за состоянием мяча, когда игроки ударяют, пинают или бросают его.

Разница между кругом и сферой

Основная разница между кругом и сферой заключается в том, что круг является фигурой и является 2D (двумерным).мы можем рассчитать только площадь поверхности круга, а не объем, тогда как сфера — это трехмерный (трехмерный) объект, имеющий указанный объем. мы также можем вычислить площадь поверхности и объем сферы.

обзор

Многие путают эти две формы и думают, что они одинаковы. хотя круг и сфера имеют идеальную симметрию относительно своих центральных точек, и оба являются круглыми объектами, между ними есть большая разница.

говоря о круге, это двухмерный объект, а сфера — трехмерный объект.все их точки лежат на одном и том же расстоянии, известном как r (радиус), до его центральной точки O.

Что такое круг?

это геометрическое место точек, которое эквивалентно данной точке в ее центре. расстояние от любой точки окружности до ее центра называется радиусом окружности.

площадь круга равна π 2  , не имея объема. Таким образом, мы можем сказать, что круг можно полностью определить от его центральной точки (O) до его радиуса (r). где r — длина радиуса.

В целях геометрии круг является хорошо известной и часто используемой фигурой. поскольку круг очень популярен каждый день, используя примеры во многих областях науки, таких как геология и география. эллипс — это видоизмененная форма круга. формула круга для нахождения его площади с радиусом r равна πr 2 .  

Что такое сфера?

как круг, это трехмерный объект и геометрическая форма в пространстве. это геометрическое место точек, находящихся на фиксированном расстоянии от центра сферы в пространстве.расстояние от любой точки сферы до ее центра называется радиусом r.

с другой стороны, половина сферы называется полушарием. Итак, большой круг сфер делит его на 2 полушария одинаковой длины. Отличным примером сферы является игра с любым мячом на земле, таким как мяч для крикета, хоккейный мяч, теннисный мяч или футбол. все являются примерами сферы.

его диаметр — это линия, которая соединяет две его наиболее удаленные точки через его центральную точку и, следовательно, образует самую длинную прямую линию.

круг — это побочный продукт пересечения сферы на две части. кроме того, мы можем найти площадь сферы, используя формулу 4πr 2 . чтобы найти объем сферы, мы можем использовать следующую формулу 4/3πr 3 . в обеих формулах r представляет собой радиус сферы.

Ключевые точки — круг против сферы

  • круг окружает объект на плоскости, а другой — в пространстве.
  • круглая форма известна как двумерная, а сферическая форма — как трехмерная.
  • мы можем вычислить только площадь круга, но в случае сферы можно вычислить площадь и объем.

Пример круга и сферы

в обоих есть центр на эквивалентном расстоянии, называемый фокальной точкой. все точки находятся на одинаковом расстоянии от этого фокуса. единственная разница в том, что круг — это двумерная плоскость, а сфера — это трехмерный объект. общий пример сферы — футбол, яблоко, шарики и т. д. Колесо велосипеда — пример круга.

Часто задаваемые вопросы

Является ли круг сферой?

нет, окружность считают круглой в двумерной плоскости и мы можем вычислить ее площадь только тогда, когда сфера является плоскостью в трехмерном пространстве. площадь и объем оба могут быть рассчитаны в сфере.

Сколько кругов составляет сферу?

нам нужно бесконечное количество кругов, чтобы сделать одну сферу.

Как выглядит сфера?

представляет собой пространство круглой формы, похожее на шар, имеющее сплошную поверхность без краев.

Вам также могут понравиться:

Отличие сферы от круга ~ БЗУ НАУКА

Круги и сферы круглые формы. Поскольку они круглой формы, вот почему большинство людей сбиты с толку. об этих формах. Большинство людей думают, что круги и сферы — это одинаковые формы. Они должны знать, что есть разница между сферой и круг. Причина этого в том, что круг является двумерной фигурой. На С другой стороны, сфера — это трехмерный объект.Эти две формы различным образом. Вот почему людям приходится сталкиваться с множеством проблем, чтобы понять эти две формы. Здесь мы обсудим разницу между этими две формы.

Что такое круг?

Чтобы сформировать круг, мы должны переместить точку вокруг фиксированной точки на постоянном расстоянии. Другими словами, мы можем сказать что окружность состоит из множества точек на плоскости. Эти точки находятся на фиксированное расстояние от фиксированной точки. Линия, соединяющая центр круга с любой точкой на окружности является радиусом окружности. В том же кругу, все радиусы имеют одинаковую длину. Линия, соединяющая две точки окружности является аккордом. Если хорда проходит через центр окружности, то диаметр окружности. Это означает, что для нахождения диаметра окружности нужно чтобы соединить два радиуса. Поэтому длина диаметра окружности в два раза больше как и его радиус.

Что такое Сфера?

Трехмерная форма круга известен как сфера. В сфере мы должны видеть все точки на поверхности сферы.Эти точки находятся на равном расстоянии от центра сфера. Ширина и обхват сферы являются постоянными. Объем сферы лучше. С другой стороны, его площадь поверхности меньше. Средняя кривизна сфера также постоянна. Футбол – лучший пример сферы. Там нет объема круга. С другой стороны, мы можем измерить объем сферы по формуле. В случае круга мы можем определить его площадь. С другой стороны, в случае сферы мы можем определить площадь поверхности и объем.

Разница между сферой и кругом

Сфера и круг различны по Различные пути. Мы постараемся определить их различия один за другим.

1. Разница между определениями сферы и Круг

Круг формируется в виде замкнутая изогнутая линия. Все точки этой замкнутой кривой находятся на одном уровне. расстояние. Это означает, что геометрическое место точки фиксированной длины от фиксированной точка образует окружность. Неподвижной точкой окружности является ее центр.С другой стороны, если мы соединим эту фиксированную точку с другой точкой на окружности, это радиус окружности. Точно так же мы можем также сформировать сферу, нарисовав геометрическое место точки вокруг неподвижной точки. Во всяком случае, это трехмерный объект в космос. Подводя итог, можно сказать, что круг — это круглый объект на плоскости. С другой стороны, сфера — это круглый объект в пространстве.

2. Разница между формулами сферы и окружности

Чтобы найти площадь круга, мы используем формула πr 2 .С другой стороны, чтобы найти площадь сферы, мы используем формулу 4πr 2 . Как мы уже обсуждали ранее, существует нет объема круга. Так или иначе, чтобы узнать объем шара, мы используйте формулу 4/3πr 3 .

3. Размеры

В определениях окружности и сферы, мы обсудили, что круг — это круглый объект на плоскости. Это почему это двухмерная фигура. С другой стороны, сфера является круглым объект в пространстве.Вот почему это трехмерный объект.

4. Формула диаметра

Диаметры обеих окружностей и сферы одинаковые. Чтобы найти диаметры сфер и окружностей, мы используем формула 2r . Это означает, что если мы соединить две точки круга или сферы линией, проходящей через центр круга или сферы, он образует диаметр круга или сферы.

5. Формула окружности

Чтобы найти длину окружности, мы используем формулу 2 π r .С другой стороны, мы не можем найти длину окружности сферы, потому что она не имеет окружности.

6. Уравнения

И круги, и сферы имеют уравнения. Также есть разница между уравнениями окружностей и сфер. Их уравнения приведены ниже;

Уравнение окружности:

(х-а) 2 +(у-б) 2 = г 2

Уравнение сфера:

(x−h) 2 +(y−k) 2 +(z−l) 2 =r 2

7.Примеры

Мы можем найти примеры сферы и круги практически во всех сферах жизни. Здесь мы обсудим примеры из жизни кругов и сфер. Реальными примерами кругов являются колеса и монеты. и т. д. С другой стороны, реальными примерами сфер являются шары и планеты. и т.д.

8. Что это?

Пока понимая разницу между двумя терминами, вы также должны попытаться узнать ответ на этот вопрос. Причина в том, что любой может задать этот вопрос об этих терминах.Если кто-нибудь задает этот вопрос о круге, вы должны ответить, что это фигура. На с другой стороны, если кто-то задаст тот же вопрос о сфере, вы должны ответить что это объект.

9. Компоненты сферы и круга

В случае круга мы можем найти из единственной области. С другой стороны, в случае сферы мы можем найти объем вместе с площадью поверхности.

Вам также может быть интересно прочитать:

Прайм Числа и составные числа

8 Виды треугольников с картинками

Решенные примеры, относящиеся к сфере и кругу

После понимания разницы между этими двумя круговыми формы, мы можем легко решить примеры, относящиеся к этим круглым формам.

1.  Какова площадь круга, радиус 7 см?

Решение:

Радиус окружности = 7 см

Формула для нахождения площади круга = πr 2

После помещения значений в это формулы, получим ответ 153,86 кв.см.

2.  Какова площадь футбольного мяча, радиус которого 4 см?

Решение:

Радиус футбольного мяча = 4 см

Формула чтобы найти площадь футбольного мяча = 4πr 2                                      

После ввода значений в эту формулу, мы получим ответ 200. 96 кв. см.

Сфера — значение, формулы, свойства, примеры

Сфера — трехмерный объект круглой формы. В отличие от других трехмерных фигур, сфера не имеет ни вершин, ни ребер. Все точки на его поверхности равноудалены от его центра. Другими словами, расстояние от центра сферы до любой точки поверхности равно. Мы видим вокруг себя много объектов реального мира, которые имеют сферическую форму. Наша планета Земля не имеет идеальной формы сферы, но ее называют сфероидом.Причина, по которой его называют сфероидом, заключается в том, что он почти похож на шар.

Что такое сфера?

В геометрии сфера — это трехмерная объемная фигура, имеющая круглую форму. С математической точки зрения это комбинация набора точек, соединенных одной общей точкой на равных расстояниях в трех измерениях. Некоторые примеры сферы включают баскетбольный мяч, мыльный пузырь, теннисный мяч и т. д. Важными элементами сферы являются следующие:

  • Радиус : длина отрезка, проведенного между центром сферы и любой точкой на ее поверхности. Если «O» — это центр сферы, а A — любая точка на ее поверхности, то расстояние OA — это ее радиус (посмотрите на изображение ниже для справки).
  • Диаметр : Длина отрезка от одной точки на поверхности сферы до другой точки, прямо противоположной ей, проходящей через центр, называется диаметром сферы. Длина диаметра ровно в два раза больше длины радиуса.
  • Окружность : Длина большого круга сферы называется ее окружностью.На приведенном ниже рисунке граница пунктирного круга или поперечное сечение сферы, содержащей ее центр, называется ее окружностью.
  • Том : Как и любой другой трехмерный объект, сфера также занимает некоторое пространство. Это количество пространства, которое он занимает, называется его объемом. Выражается в кубических единицах.
  • Площадь поверхности : Площадь, занимаемая поверхностью сферы, является площадью ее поверхности. Измеряется в квадратных единицах.

Формулы сфер

Как мы обсуждали в предыдущем разделе, сфера имеет радиус, диаметр, длину окружности, площадь поверхности и объем. Учитывая, что сфера имеет радиус «r», в следующей таблице перечислены важные формулы сферы.

Имя Формула
Диаметр 2 × радиус сферы
Окружность 2πr, где π — константа, принимающая значение 22/7 или 3.14 (примерно)
Площадь поверхности 4πr 2
Том (4/3)πr 3

Площадь поверхности сферы

Площадь, покрытая внешней поверхностью сферы, называется площадью поверхности сферы. Измеряется в квадратных единицах. Следовательно, формула для нахождения площади поверхности шара:

Площадь поверхности сферы, S = 4πr 2

В пересчете на диаметр площадь поверхности сферы определяется как S = 4π(d/2) 2 , где d — диаметр. Ознакомьтесь с площадью поверхности сферы для получения более подробной информации.

Объем сферы

Объем сферы – это мера пространства, которое она может занять. Измеряется в кубических единицах. Формула объема сферы приведена ниже:

Объем сферы, V = (4/3)πr 3

где,

  • В объем
  • r — это радиус, а
  • π (пи) составляет прибл. 3.14 или 22/7.

Подробнее читайте в статье об объеме сферы.

Свойства сферы

Сфера — это трехмерный объект, все точки внешней поверхности которого равноудалены от центра. Следующие свойства сферы помогут вам легко идентифицировать сферу. Они следующие:

  • Симметричен во всех направлениях.
  • Имеет только изогнутую поверхность.
  • У него нет ни ребер, ни вершин.
  • Любая точка на поверхности находится на постоянном расстоянии от центра, известном как радиус.
  • Сфера не является многогранником, потому что у нее нет вершин, ребер и плоских граней. Многогранник — это объект, у которого обязательно должна быть плоская грань.
  • Пузырьки воздуха принимают форму сферы, потому что площадь поверхности сферы наименьшая.
  • Среди всех фигур с одинаковой площадью поверхности сфера будет иметь наибольший объем. Формула объема сферы: 4/3 × πr 3 кубических единиц.

Окружность сферы

Окружность сферы определяется как длина большого круга сферы.Это общая граница большого круга. Большой круг — это тот, который содержит центр и диаметр сферы. Это максимально возможный круг, который можно нарисовать внутри сферы. Его также можно определить как поперечное сечение сферы, когда она разрезана по диаметру. Окружность сферы можно рассчитать, если ее радиус известен по формуле 2πr единиц , которая совпадает с формулой длины окружности.

Разница между кругом и сферой

Круг и сфера — две разные формы.Важные различия между кругом и сферой заключаются в следующем:

Круг Сфера
Круг — это двумерная фигура. Сфера — это трехмерная форма.
Окружность простирается в двух направлениях: по оси X и по оси Y. Он простирается в трех направлениях: по оси x, по оси y и по оси z.
Не имеет объема. Имеет объем, так как занимает некоторое пространство.
Имеет одну плоскую поверхность. Имеет одну изогнутую поверхность.
Площадь круга πr 2 квадратных единиц. Площадь поверхности сферы составляет 4πr 2 квадратных единиц.

Важные примечания:

  • Площадь поверхности сферы равна 4πr 2 .
  • Объем сферы равен 4/3πr 3 .
  • В геометрии половина сферы известна как «полусфера».
  • Общая площадь поверхности и объем формулы полушария составляют ровно половину формул площади сферы и объема сферы.

► Похожие темы

Проверьте эти интересные статьи, связанные с формой сферы. Нажмите, чтобы узнать больше!

Часто задаваемые вопросы о Сфере

Что такое форма сферы?

Сфера — это трехмерная фигура без вершин и краев.Все точки на его поверхности равноудалены от его центра. Некоторые реальные примеры сферы включают футбольный мяч, баскетбольный мяч, модель земного шара и т. д. Поскольку сфера является трехмерным объектом, она имеет площадь поверхности и объем.

Каков диаметр сферы?

Длина отрезка, соединяющего две противоположные точки на поверхности сферы, проходящей через ее центр, называется диаметром сферы. Его можно рассчитать, умножив радиус на 2.

Как найти площадь поверхности сферы?

Площадь поверхности сферы – это площадь, занимаемая ее внешней поверхностью или границей. Проще говоря, количество материала, используемого для покрытия внешней части сферы, дает площадь ее поверхности. Формула для нахождения площади поверхности сферы: 4πr 2 квадратных единиц.

Как найти объем сферы?

Объем сферы — это количество пространства, занимаемого сферой. Например, представьте себе сферический воздушный шар.Количество воздуха внутри шара и есть его объем. Формула объема сферы: (4/3) π r 3 кубических единиц.

Есть ли у сферы лицо?

Под гранью понимается плоская или изогнутая поверхность трехмерного объекта. Например, у куба 6 граней. Таким образом, сфера имеет только одну грань, которая является криволинейной поверхностью. У него нет плоских граней.

В чем разница между кругом и сферой?

Круг и сфера — разные объекты.Поскольку они оба имеют круглую форму, это создает путаницу, как будто эти две формы похожи. Различия, указывающие на то, что оба объекта являются разными объектами, следующие:

  • Круг — это двухмерная фигура, тогда как сфера — это трехмерный объект.
  • Окружность вытянута по оси x и оси y, тогда как сфера вытянута в трех направлениях (ось x, ось y и ось z).
  • У круга есть только площадь, а у сферы есть площадь поверхности и объем.

Трехмерна ли сфера?

Да, сфера — это трехмерный объект, занимающий три оси: ось X, ось Y и ось Z. У него есть площадь поверхности и объем, как и у любого другого трехмерного объекта.

В чем разница между сферой и сфероидом?

Сфера — это трехмерный объект идеальной сферической формы. Радиус сферы одинаков во всех точках сферы от ее центра, тогда как сфероид похож на сферу, но радиус не одинаков во всех точках от центра сфероида.Планета Земля считается сфероидом по своей природе.

Как найти длину окружности сферы?

Окружность сферы – это длина границы большого круга сферы. Это поперечное сечение, которое содержит центр сферы. Его можно рассчитать по формуле 2πr единиц.

Является ли мяч сферой? — Celebrity.fm — # 1 Официальные звезды, Business & People Network, Wiki, история успеха, биография и цитаты

Шар сферический ; он имеет форму сферы — трехмерной версии двумерного круга.

Таким образом, что такое сфера в сфере кино?

Во всех смыслах и целях сама сфера выглядит просто как объект без цели или мотива . Все, что произошло в ходе миссии, было результатом собственных действий членов экипажа. Они решили войти в земной шар и получили силы, которые невольно проявили их страхи и неуверенность.

Имея это в виду, является ли сфера двухмерной или трехмерной?

3D объекты включают сферу, куб, прямоугольный параллелепипед, пирамиду, конус, призму, цилиндр.

Кроме того, есть ли у сферы лицо?

Грань — это плоская или изогнутая поверхность трехмерной фигуры. Например, у куба шесть граней, у цилиндра три, а у сферы только одна .

В чем разница между сферой и шаром?

Мяч против сферы

Сфера — геометрический объект с замкнутой поверхностью. Поверхность находится на постоянном расстоянии от фиксированной точки, которая известна как центр. Мяч – это предмет шарообразной формы, который часто встречается в быту. Даже при многих вариациях мяч может сохранять свою сферическую форму.

Во-вторых, ходил ли Норман в сферу?

Норман сбегает и входит в сферу , таким образом, также получая силу буквально превращать свои мысли в реальность, и мчится против рассчитанной по времени взрывчатки, чтобы отговорить Бет от ее самоубийственного буйства и спасти Гарри.

Кто умирает в сфере?

Общее количество тел в фильме – четыре. Барнс (Питер Койот) — разрезается пополам закрывающейся дверью. Тед (Лив Шрайбер) — сожжен огнем во время атаки гигантского кальмара. Элис «Тини» Флетчер (Куин Латифа) — убита напавшей медузой.

Чем заканчивается сфера?

В конце концов мы знаем, что Сфера является сознательным (или, по крайней мере, полусознательным) существом , потому что она может не отражать определенные объекты на своей поверхности; и он также выбирает, когда впустить кого-то внутрь. Когда кто-то побывал внутри, этот человек получает «особую способность» материализовать мысли.

Является ли ромб двухмерной или трехмерной формой?

2D-формы имеют только 2 измерения и являются плоскими, т.е. квадрат, прямоугольник, треугольник, круг, пятиугольник, шестиугольник, семиугольник, восьмиугольник, девятиугольник, десятиугольник, параллелограмм, ромб, воздушный змей, четырехугольник, трапеция. 3D-объекты имеют три измерения .

Является ли сфера двухмерной формой?

Обратите внимание, что обычная сфера является 2-сферой, потому что это 2-мерная поверхность (которая вложена в 3-мерное пространство).

Формы двухмерные или трехмерные?

Форма и форма являются элементами искусства соответственно. … Формы плоские и, следовательно, двумерные (2D)… по сути, форма — это линия, которая окружает себя и создает область. Фигуры имеют только 2 измерения (длину и ширину). Формы, с другой стороны, не плоские… они трехмерные (3D) .

Есть ли у сферы стороны?

Сфера не имеет краев и, следовательно, углов . У него одна изогнутая грань, которая идет по всему периметру. Пирамида с квадратным основанием, пирамида с треугольным основанием и конус имеют вершину.

Как называется грань шара?

сфера имеет единственную изогнутую поверхность и не имеет ребер или вершин. вершина. Чтобы было понятнее, грань можно назвать основанием и точка будет вершиной, а не вершиной.

Какие есть 7 различных форм лица?

7 основных форм лица: овальное, круглое, квадратное, ромбовидное, сердцевидное, грушевидное и продолговатое .

Сколько точек у сферы?

Геометрические свойства. Сфера однозначно определяется четырьмя точками , которые не лежат в одной плоскости. В более общем смысле сфера однозначно определяется четырьмя условиями, такими как прохождение через точку, касание плоскости и т. д.

Что такое формула цилиндра?

Раствор. Формула объема цилиндра: V=Bh или V=πr2h. Радиус цилиндра 8 см, высота 15 см.Подставьте 8 вместо r и 15 вместо h в формуле V=πr2h .

Является ли футбол полым шаром?

Ассоциация футбола

Правило 2 игры определяет, что мяч представляет собой наполненную воздухом сферу с окружностью 68–70 см (27–28 дюймов), весом 410–450 г (14–16 унций), надутую до давление от 0,6 до 1,1 атмосферы (60–111 кПа или 8,7–16,1 фунта на квадратный дюйм) «на уровне моря» и покрыты кожей или «другим подходящим материалом».

Что такое сфера в математике?

Сфера, В геометрии множество всех точек в трехмерном пространстве, лежащих на одинаковом расстоянии (радиус) от данной точки (центра) , или результат вращения окружности вокруг одного из ее диаметров.Компоненты и свойства сферы аналогичны кругу.

Когда была написана сфера?

Сфера (роман)

Обложка первого издания
Автор Майкл Крайтон
Жанр Научная фантастика
Издатель Кнопф
Дата публикации 12 мая 1987 г.

Является ли Земля идеальной сферой?

Несмотря на то, что наша планета является сферой, она не является идеальной сферой.Из-за силы, возникающей при вращении Земли, Северный и Южный полюса немного плоские. Вращение Земли, колебательное движение и другие силы заставляют планету очень медленно менять форму, но она все еще круглая.

Как называется половина сферы?

Полусфера является половиной сферы. … Полушарие происходит от греческого и сочетает в себе приставку полу-, что означает «половина», со сферой или «совершенно круглым шаром». Мы говорим о Земле, разделенной на экваторе на северное и южное полушария (или на нулевом меридиане на восточное и западное полушария).

Конго правда?

Конго, , основанный на реальных событиях , выйдет из Норвегии, режиссер Мариус Холст. Реальная история действий двух норвежских граждан в конглезских джунглях, их тюремного заключения, жизни и смерти после этого станет Конго – художественным фильмом режиссера Мариуса Холста.

Что такое четырехсторонняя фигура?

Определение: Четырехугольник — это многоугольник с 4 сторонами.

Как называется шестигранная фигура?

Шестигранная фигура шестиугольник , семигранная фигура семиугольник, а восьмиугольник имеет восемь сторон… Есть названия для многих различных типов многоугольников, и обычно количество сторон важнее, чем название форма.

Алмаз 2D или 3D?

Алмаз — это четырехугольник, 2-мерная плоская фигура с четырьмя замкнутыми прямыми сторонами. Но алмаз также относится к категории ромбов, потому что у него четыре равные стороны, а противоположные углы равны.


Последнее обновление: 22 дня назад – Авторы: 10 – Участники: 4 – Ссылки: 49 интервью и сообщений; 10 видео.

Узнайте все о своем любимце. знаменитости на Celebrity Interviews и не забудьте поделиться этим постом!

Разница между кругом и сферой

Круг vs. Сфера

Разница между Кругом и Сферой: – Когда мы говорим о геометрических фигурах, здравый смысл часто приводит нас к некоторым ошибкам и смешиванию одного с другим; вплоть до того, чтобы называть вещь именем, которое ей не соответствует.

Ниже мы увидим две цифры, которые довольно часто путают, но на самом деле имеют много отличий. Речь идет о круге и сфере. Посмотрим, каковы отличительные признаки.

Разница между кругом и сферой

Круг

Окружность – это плоская и круглая фигура, граница которой (окружность) составлена ​​из точек, равноудаленных от фиксированной точки (центра).

Окружность представляет собой двумерную фигуру и плоскость. Это простая форма евклидовой геометрии, в которой набор всех точек на плоскости находится на фиксированном расстоянии от данной фиксированной точки; известен как центр.

Окружность — это простая замкнутая кривая, которая делит плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю.

Технически это известно как диск. Это кривая, которая сохраняет фиксированное расстояние, когда ее рисуют от центральной точки.

За изучение и разработку этой фигуры отвечает один из разделов математики, геометрия, хотя она также используется в других областях, таких как исчисление и астрономия.

Некоторыми примерами кругов в реальном мире являются колеса, пластины и поверхность монеты.

Терминология круга включает следующие определения:

  • Центр : равноудаленная точка точек на окружности.
  • Радиус : Отрезок линии, соединяющий центр круга с любой другой точкой круга. Это длина сегмента окружности, которая составляет половину диаметра.
  • Диаметр : это отрезок, концы которого находятся в окружности и проходят через центр окружности.Соедините две противоположные точки окружности.
  • Окружность : длина цепи по окружности.
  • Хорда : это отрезок линии, концы которого находятся в окружности.
  • Танген t: прямая линия, которая касается окружности в определенной точке.
  • Дуга : соединенная часть окружности.


Сфера — сплошная круглая фигура. На его поверхности каждая из его точек равноудалена от его центра.

Сфера

Это трехмерная фигура, имеющая объем. Напоминает мяч.

Расстояние (r) — это радиус сферы, а середина — это центр сферы.

Максимальное расстояние, проходящее непосредственно через сферу, проходит через ее центр и, следовательно, в два раза больше ее радиуса; это диаметр.

Любая плоскость, включающая центр сферы, делит ее на две равные полусферы.

Архимед создал формулу сферы.

Сфера также определяется как поверхность, образованная вращением окружности любого диаметра.

Любое поперечное сечение сферы является окружностью.

Как и в кругах, в сферах все точки находятся на фиксированном расстоянии от их центра.

Примерами сфер в природе являются пузыри, планеты и капли воды.

Основные свойства сферы:
  • Все точки сферы находятся на одинаковом расстоянии от фиксированной точки.
  • Контуры и плоские сечения сфер представляют собой окружности.
  • Сферы имеют постоянную ширину и окружность.
  • Сферы не имеют центра на поверхности.
  • Сферы имеют больший объем и меньшую площадь поверхности.
  • Сферы имеют постоянную среднюю кривизну.

Ключевые различия между Кругом и Сферой
  • Окружность — это фигура, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра.
    • Сфера представляет собой твердую фигуру, полностью круглую; причем каждая точка его поверхности находится на равном расстоянии от его центра.
  • Круг — это двумерная фигура, а сфера — трехмерная фигура.
  • В круге вы можете рассчитать только площадь вашей поверхности,
    • в то время как в сфере вы можете рассчитать площадь поверхности, а также объем.
  • Примеры кругов: браслеты и шины. Примеры сфер: теннисные мячи и планеты.

Как найти объем сферы

Сфера, примерно, имеет форму обычного теннисного или футбольного мяча. Форма настолько распространена в природе, от формы планет и звезд до маленьких капель воды. Он также имеет значение в технике и науке. Поэтому важно знать атрибуты сфер и способ их измерения. Объем — один из таких атрибутов.

Математически сфера определяется как поверхность, созданная набором точек, находящихся на постоянном расстоянии от фиксированной точки в пространстве, где постоянная яма известна как центр, а расстояние от центра до поверхности известно как радиус.Говорят, что любой объект, демонстрирующий вышеупомянутую характеристику, имеет сферическую форму. Если внутри сферы пусто, она называется сферической оболочкой или полой сферой. Если внутренняя часть сферы заполнена, она называется твердой сферой.

Объем сферы – Формула

Объем сферы находится по формуле

 

 

Эта формула была впервые выведена Архимедом из того, что сфера занимает 2/3 объема описанного цилиндра.Полусфера — это половина полной сферы, а объем полусферы — это половина сферы. Следовательно, объем полусферы находится по формуле

Объем полусферы – формула

 

 

 

Эти формулы получены методами интегрирования. Рассмотрим сферу радиусом r с центром в начале осей координат, как показано выше. Небольшое приращение расстояния в направлении x определяется как dx.2 дх. Следовательно, объем сферы дается интегралом в пределах радиуса

Чтобы найти объем сферы, нужно знать только одну меру сферы, которая является радиусом сферы. Если диаметр известен, радиус можно легко вычислить, используя соотношение D=2r.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.