Решение иррациональных уравнений онлайн с подробным решением: Как решать систему квадратных уравнений под корнем. Способы решения иррациональных уравнений

Содержание

Решение иррациональных уравнений с помощью замены переменной

В этой статье я расскажу о том, как  решать довольно сложные иррациональные уравнения с помощью замены переменной.

Я не устаю повторять, что  замена переменной и разложение на множители — два универсальных приема, которые надо всегда держать в голове. Однако, не всегда замена переменной очевидна, и о некоторых видах замены догадаться сложно, их нужно знать.

В этой статье я хочу поделиться с вами несколькими красивыми способами решения иррациональных уравнений.

1. Решим уравнение:

Мы видим, что в уравнении присутствует корень третьей степени и квадратный корень. Чтобы избавиться от иррациональности, нам пришлось бы, в конечном итоге, возводить уравнение в шестую степень. Можете при желании попробовать самостоятельно этот способ, но мы пойдем другим путем.

Давайте введем замену:

пусть   и ,  

Выразим подкоренные выражения:

,   , 

Теперь перед нами стоит задачи найти линейную комбинацию покоренных выражений, в результате которой получилось бы просто число.

В данном случае все просто: если мы сложим подкоренные выражения, то получим число 1:

Тогда вместо нашего уравнения мы получим систему:

Выразим в первом уравнении  через , так как возводить выражение в квадрат проще, чем в третью степень:

Подставим во второе уравнение:

Отсюда:

,  ,  

Найдем соответствующие значения :

,  ,  . Условию  удовлетворяют все значения.

Теперь самое время вернуться к исходной переменной. Вспомним, что,

Отсюда ,  ,  ,

,  ,  

Ответ: {2; 10; 1}

2. Теперь я предлагаю вам рассмотреть решение более сложного иррационального уравнения, уровня С3.

Решим уравнение:

Введем замену 

Получим уравнение:

Перенесем все слагаемые влево:

Теперь мы видим, что имеем дело с однородным уравнением, и, так как  не является корнем уравнения (при этом значении х переменная t обращается в ноль), разделим обе части уравнения на 

Получим:

Решим квадратное уравнение относительно 

Получим:  или 

Вернемся к исходной переменной.

Теперь нам надо решить два уравнения:

(1)

(2)

Решим уравнение (1):

Вспомним, как решаются простейшие иррациональные уравнения и перейдем к равносильной системе:

Решим первое уравнение системы. Получим:

,  

Условию удовлетворяет только корень 

Решим уравнение (2):

Возведем обе части уравнения в квадрат и перейдем  к равносильной системе:

Решим первое уравнение системы. Получим:

,  

Условию  удовлетворяет только корень 

Ответ: , 

3. И, наконец, я предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК с подробным решением уравнения уровня С3:


И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Задачи с решением по высшей математике

Двойные интегралы в прямоугольных координатах

Изложены определение двойного интеграла и его геометрический смысл. Решены задачи на изменение порядка интегрирования в повторном интеграле, вычисление площади фигуры, вычисление двойного интеграла.

Тройные интегралы в прямоугольных координатах

Изложено определение тройного интеграла и решены задачи на его вычисление, а также на вычисление объема тела, ограниченного поверхностями.

Замена переменных в двойном и тройном интегралах

Изложен порядок замены переменных в двойном и тройном интегралах. Приведены формулы вычисления якобиана. Вычисление двойных и тройных интегралов с переходом к полярным, цилиндрическим и сферическим координатам.

Приложения кратных интегралов в механике

Рассмотрены формулы для вычисления массы плоской пластинки и тела с помощью двойных и тройных интегралов, а также формулы статистических моментов, моментов инерции и координат центра тяжести пластинки и тела.

Криволинейные интегралы 1-го рода

Рассмотрены криволинейные интегралы I рода (криволинейные интегралы по длине дуги), их свойства и формулы вычисления. Приведены примеры вычисления криволинейных интегралов I рода, заданных различными способами.

Криволинейные интегралы 2-го рода

Рассмотрены криволинейные интегралы II рода (криволинейные интегралы по координатам), их свойства и формулы вычисления. Формула Грина. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Приведены примеры вычисления криволинейных интегралов II рода, заданных различными способами.

Приложения криволинейных интегралов

Приведены формулы и примеры вычисления массы дуги кривой, работы, совершаемой силой вдоль кривой. Формулы вычисления статистических моментов и моментов инерции кривой. Длина дуги кривой и площадь фигуры, которая вычисляется с помощью криволинейного интеграла.

Поверхностные интегралы 1-го рода

Рассмотрены поверхностные интегралы I рода (поверхностные интегралы по площади поверхности), их свойства и формулы вычисления. Приведены примеры вычисления поверхностных интегралов I рода, заданных различными способами.

Поверхностные интегралы 2-го рода

Рассмотрены поверхностные интегралы II рода (поверхностные интегралы по координатам), их свойства и формулы вычисления.

Приведены примеры вычисления поверхностных интегралов II рода, заданных различными способами.

Метод замены переменной в неопределённом интеграле

Во многих случаях подынтегральное выражение не позволяет сразу же найти интеграл по таблице. Тогда введение новой переменной интегрирования помогает свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной.

Вводится новая переменная, назовём её t. Например,

Далее dx определеяем как дифференциал по переменной t. После этого интеграл можно найти по таблице интегралов. Заменив обратно t на функцию от x, находим данный интеграл окончательно.

Прежде чем перейти к подробным решениям примеров, следует привести теорему, в которой обобщаются перечисленные выше действия.

Теорема.  Пусть функция определена и дифференцируема на некотором промежутке Т и пусть Х – множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда, если на множестве Х функция f(x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула

                        (1)

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределённом интеграле.

Метод замены переменной обычно применяется, когда подынтегральное выражение представляет собой независимую переменную, умноженную на многочлен от этой переменной, или на тригонометрическую функцию от этой переменной или на степенную функцию (в том числе корень) от этой переменной.

Надо полагать, вы уже держите перед собой домашние задания и готовы применять к ним приёмы по аналогии с теми, которые мы ниже рассмотрим. При этом не обойтись без преобразований выражений. Для этого потребуется открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

Пример 1.  Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

Решение. Производим замену x − 1 = t; тогда x = t + 1. Отсюда dx = dt. По формуле (1)

(воспользовались табличными интегралами 7, 9 и 10).

Возвращаясь к переменной x, окончательно получаем

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.


Замечание. При замене переменной в неопределённом интеграле иногда более удобно задавать не х как функцию t, а, наоборот, задавать t как функцию от x.

Заметим, что удачный выбор подстановки обычно представляет известные трудности. Для их преодоления необходимо овладеть техникой дифференцирования и хорошо знать табличные интегралы.

Пример 2.  Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

.

Решение. Положим . Отсюда
.
По формуле (1) и, пользуясь табличными интегралом 13

, находим

.

Возвращаясь к переменной x, окончательно получаем

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Если трудно уследить, куда в процессе решения примера 2 делись и , это признак того, что нужно повторить действия со степенями из элементарной (школьной) математики.

Пример 3.  Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

.

Решение. Положим , откуда и .

Тогда , в свою очередь .

Заменяем переменную и получаем:

,

где степени при t

складываются. Продолжаем преобразования и, пользуясь уже упомянутым табличным интегралом 7, получаем:

Приводим дроби к общему знаменателю и возвращаемся к переменной x. Решаем и получаем ответ:

Пример 7.  Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

.

Решение. Положим , откуда , , .

Тогда

(не забываем о правиле дифференцирования сложной функции).

Заменяем переменную и получаем:

.

Возвращаясь к переменной х, получаем ответ:

.

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 8.  Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

.

Решение. Положим , откуда , .

Заменяем переменную и получаем:

Подставляя вместо t его выражение через x получаем ответ:

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Кому лишь смутно понятно или совсем не понятно, как преобразуются выражения в примере 5, пожалуйста, повторите из курса элементарной (школьной) математики действия с корнями, степенями и дробями!

И если вы ещё не открыли в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями, то сделайте это сейчас!

Пример 9.  Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

.

Решение. Положим , тогда
.

Заменяем переменную и получаем:

Решение с переменной t получено с использованием формулы 21 из таблицы интегралов.

Подставляя вместо t его выражение через x получаем ответ:

.

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Начало темы «Интеграл»

Продолжение темы «Интеграл»

Поделиться с друзьями

Калькулятор квадратного корня с шагами

Что такое квадратный корень

Наверняка в повседневной жизни вы сталкивались с такой ситуацией, что вам нужно было извлечь корень числа или выполнить несколько других математических действий, чтобы произвести финансовые расчеты, например, при расчете доходности депозита в банке или того, насколько подходит Ипотечный кредит есть на условиях, но под рукой в то время не было обычного электронного калькулятора или специальной программы? В этом случае вам будет незаменим этот удобный и простой в использовании онлайн-калькулятор корня.

На нашем сайте есть онлайн-калькулятор корня. Вы можете вычислить математический корень любого числа. Здесь вы можете вычислить квадрат, кубик и корень любой другой степени (включая дробные степени!). На числа тоже нет ограничений, они также поддерживают дроби. Приятного вам расчета! Этот сайт поможет школьникам, студентам колледжей и тем, кто ищет надежный онлайн-инструмент для извлечения квадратного корня. В школе эту тему изучают попутно, но в жизни иногда требуется выполнить самое быстрое и абсолютно правильное математическое задание.

Онлайн-калькулятор корня поможет вам вычислить корень любой степени и даст подробное решение как для арифметических, так и для алгебраических корней. Кроме того, этот калькулятор упрощает определение корня и дает подробное решение для четных корней отрицательного числа. Чтобы извлечь корень, введите два числа — основание (из которого извлекается корень) и степень. Онлайн-калькулятор корня извлечет корень. Степень может быть как положительной, так и отрицательной. Число, из которого следует извлечь корень, должно быть больше нуля.

Извлечение квадратного корня на калькуляторе — это удобная, доступная, быстрая и точная операция. Онлайн-калькулятор корня с решением на сайте покажет любое значение из указанного вами числа. Воспользуйтесь простой возможностью быстро вычислить значения из любых положительных чисел. Используйте этот калькулятор, чтобы найти корни положительных действительных чисел. Программа поможет вам найти в режиме онлайн как квадратные, так и кубические корни, а также корни любых других степеней.

Растворитель свободных радикалов

Пользователи поисковых систем пришли на эту страницу вчера, введя следующие ключевые фразы:

квадратные крестики-нолики

балансировка математических уравнений

правила квадратного корня

выучить предварительную алгебру бесплатно онлайн

примеры математики мелочи математика

бесплатные распечатки по математике для 7 класса

онлайн-график функций

математические вопросы и викторина для 7 8 9

класса

математика ТРИВИИ

алгебра в колледже для чайников

Texas Instruments TI-83 Plus справочник по алгебре

разница между интегрированной математикой 1 и алгеброй 1

тренировочные листы предварительного исчисления для домашних школьников

пример рабочего листа факторизации квадратных уравнений

Алгебра функции и факторинг

третий корень на ti 89

саксонская алгебра 2 ключ ответа

как найти кубический корень из 108

онлайн игра для восьмилетних детей

Рабочий лист алгебраических дробей

решатель задач по алгебре

алгебраический кружок

образец экзаменационной работы 6 класса

определение LCD и LCM в математике

Предалгебраическое определение

ged,Fl рабочие тетради для студентов онлайн скачать

как решать проценты и отношения

наибольшие дроби

Двоичное преобразование рабочих листов

решение задач по алгебре

Matlab для тригонометрии

алгебраические операции разложения и разложения многочленов

Элементарная и средняя алгебра 4-е издание

11 плюс алгебра

квадратный корень excel

упрощение подкоренных выражений путем факторизации

бесплатный вступительный тест по английскому языку для начинающих

решение уравнений 2-го порядка

как решать алгебраические уравнения с дробями

Листы с домашним заданием для 2 и 3 класса

для печати

задачи и решения по физике бесплатные книги

3 класс Тест на сложение и вычитание

сложение и вычитание дробных многочленов

бесплатные уроки алгебры в 6 классе

бесплатный вопрос и ответ

распечатки тетрадей по математике для средней школы

простой способ найти lcm

бесплатные экзамены. ком

Шпаргалки Prentice-Hall

Решение уравнений с заданиями 6 класс

образцы тестов по алгебре

калькулятор кубического корня

преобразование Фурье решить pde

процентные уравнения

исследовательский проект для элементарного

Найдите НОК уравнений

скачать тест на технические способности

как сделать алгебраизатор дробей

скачать эмулятор t183

Бумаги по математике, используемые в школе

Рабочий лист радикальных выражений

бесплатные математические листы и вопросы для 7 и 8 классов

Математика Prentice Hall California Algebrai

алгебра параболических уравнений

применение алгебры

формулы преобразования

может ti 89 решает квадратные уравнения?

использовать когнитивный репетитор по алгебре онлайн

бесплатная онлайн-помощь по математике для 6-классников

даже ответы на исчисление 8-е издание larson

примеры математических мелочей

Ти 83 читы

дифференциальное уравнение второго порядка подстановкой

Математика 5 класса по стандартной форме

орлеан Ханна алгебра прогноз тест примеры

Шпаргалка по всемирной истории для 8-го класса

Скачать бесплатно рабочую тетрадь\практику по математике для 5 класса.

пример пиктограммы для печати

вычислять параболические уравнения

Обман по алгебре в колледже

«Основы статистики» «Обучай/Я»

трехчленный решатель

ti 84 загрузок игр

онлайн калькулятор квадратного корня

бесплатные тесты по математике для 8 класса в Онтарио

преобразование дробей в смешанные числа

Рабочий лист по математике для 7-го класса

алгебраическая группировка терминов в сочетании с другими методами

Как решить систему квадратичных уравнений

Образец программы курса алгебры

калькулятор для перевода центров в квадратные сантиметры

Рабочий лист уравнений баланса алгебры

таблица формул предварительной алгебры

решить уравнение четвертого порядка в excel

бесплатные тесты по математике для 6-го класса

учить алгебру бесплатно в интернете

калькулятор решать рациональные выражения

как умножать и делить рациональные выражения

кратные упражнения по математике

процесс решения задач по алгебре

правильные ответы по линейной алгебре

рабочий лист плитки алгебры

Макдугал Литтел «Концептуальная физика» Рецензии

скачать бесплатно книгу решений по учету затрат

квадратные корни из показателей

Учебник по основам математики онлайн скачать бесплатно

скачать тест способностей

Шпаргалка по формуле физики для печати

упрощение показателей

Калькулятор иррациональных квадратных корней

программы экономики ти-89

калькулятор упрощающих выражений

образец работы по математике в квадратном уравнении

Научная запись Смешанные рабочие листы

Бесплатные печатные рабочие листы по алгебре

домашнее задание по умножению целых чисел

добавление рабочих листов с положительными и отрицательными целыми числами + текстовые задачи

Скачать эмулятор ti 84 plus

glencoe+math задачи с решениями

алгебра Разность квадратов

СКАЧАТЬ PREALGEBRA & INTRODUCTORY ALGEBRA SECOND EDITION ELAYN MARTIN-GAY

элементарные операции с числовыми и алгебраическими дробями

калькулятор гиперболы

практика общих кратных

прентис холл алгебра 1 глава 1

Matlab решает дифференциальное уравнение x, y, t

квадратичная игра

практические рабочие листы по алгебре

Рабочий лист по алгебре для 7-го класса для печати

Калькулятор наименьшего общего знаменателя

бесплатно скачать книги по способностям

Пример блок-схемы пятого класса

листы сложения и вычитания смешанных чисел

Уравнение онлайн-перестановщика Matlab

решатель 4 уравнение 4 неизвестных

чикаги математика онлайн программа

сменить базу ти-84 плюс калькулятор

квадратичная формула деятельности

математический(форма 1)(алгебраическое выражение)

рабочие листы по геометрии для 12 класса

онлайн-калькулятор, который может находить квадратные корни

вычисление положительных и отрицательных чисел или выражения

упростить калькулятор радикалов

повторение по математике 11 класс канада

GCSE по математике для чайников

как вводить задачи по алгебре в TI-83 Plus

решатель одновременных уравнений

Свойство алгебры+рабочий лист

упростить алгебраические уравнения

Практическая работа для 10 класса

программная алгебра

Какой основной принцип можно использовать для упрощения многочлена? Какое значение имеет порядок операций при упрощении многочлена?

рабочие листы по алгебре

3780423#post3780423

ПРОШЛЫЕ ДОКУМЕНТЫ GMAT

Процентные листы 5-го класса

кумон скачать материал

изучение алгебры быстро

Биттингер по предварительной алгебре (2-е издание)

Эмулятор калькулятора ti84

интеграл с использованием алгебраической замены

рабочий лист по алгебре frre

план урока по упрощению числовых выражений

Рабочие листы с дробями по математике ks3

Математические мелочи 6 класса

общий знаменатель 105

Н. C Прентис Холл Математика

бесплатные онлайн-вопросы по алгебре для 9-го класса

факторизация квадратного уравнения четвертого порядка

решение 4 уравнений с 4 неизвестными

Решатель полиномов четвертого порядка

Саксонский курс 1 студенческое издание электронная книга скачать бесплатно

Практика вступительного экзамена по алгебре

кубический корень из 16

деление полиномиальных задач ключ ответа

компас алгебра

математический ответ женщины=зло

калькулятор упрощения в 1

раз

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ 10-Я СТЕПЕНЬ

пример основных алгебраических задач с решениями

Математическая помощь форма свободного наклона/пересечения

обмануть онлайн-тест по математике

как использовать квадратные уравнения в калькуляторе

выражение распределительного свойства, онлайн калькулятор

Как разделить трехзначное число на однозначное число

полиномы — уравнения пересечения наклона

теоремы связаны с умножением рациональных алгебраических выражений

скачать книгу бухгалтерского учета бесплатно

британский метод алгебры

апекс алгебра обзоры

введите задачу по алгебре и получите ответы бесплатно

математический лист по матрицам

решение квадратного числа четвертого порядка

трудный год 10 вопросы по алгебре

ти 86 против ти 84 плюс

решить параболу калькулятор

ручной раствор артина

как упростить радикал

вычислить строку суммы java

комплексный номер

бесплатные рабочие листы 8-го класса

программа для репетиторов по алгебре 1

лаура кэндлер математика pdf

Листы учебника по алгебре для 10 класса

Онлайн калькулятор квадратного корня

триганометрия

бесплатные рабочие листы и игры по алгебре

упрощение подкоренных выражений

ПЕЧАТИ GED

Издательство математических текстов Онтарио 5 класс

математический колледж бесплатно

дискретная математика скачать

Факторинг 7-го класса Алабамы

сложное математическое уравнение

Рабочий лист правил экспоненты

физический вопрос из сингапура

четвертый квадратный корень

алгебра я

алгебра простых уравнений для седьмого стандарта

примерные вопросы по алгебре год 8

научить ребенка вычислять соотношения

решение радикалов

Рабочие листы Формулы и переменные

Java 5 преобразовать строку в bigdecimal

«Элементарная алгебра для студентов» + ангел + электронная книга

как найти хорошего репетитора по математике irvine, ca

рассчитать комбинацию перестановок вероятности

LCM по математике с переменными

Презентации Powerpoint по алгебре 1 (Математика Прентис Холл)

гипербола и функции функции

смешанное число до десятичных знаков

aptidude вопрос и ответ

преобразовать десятичную дробь в sqrt

бесплатные листы задач по алгебре для средней школы

бесплатные рабочие листы для печати на 1 год

бесплатные рабочие листы по алгебре

бесплатный рабочий лист четвертого класса

печатные бесплатные тесты 4 класса

обсуждение проблемы линейного уравнения первого порядка

бесплатная экзаменационная бумага

простой способ решить aptitude

рабочие листы для сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел с числовой строкой

План урока, Математика 5 класса, одна неделя

Рабочий лист дерева факторов

калькулятор параболы

математические мелочи о линейной функции

преобразование процентов в дроби в десятичные числа

специальный куб алгебры продукта

сложение, вычитание, умножение, деление

программа о сложении и вычитании дробей в Visual Basic версии 6. 0

Калькулятор: Эмулятор TI-84 Plus онлайн

бесплатная саксонская электронная книга по математике

сложные уравнения

программа для решения математических задач

Эддисон Уэсли Опыт решения задач по математике 5 класс

калькулятор упрощения в 1

раз

сложение и вычитание четырех- и пятизначных чисел

онлайн-решатель уравнений, шаг

бесплатное онлайн-издание для учителей prentice hall

тест по математике 8 лет

бесплатный калькулятор алгебры 2

скачать бесплатно для Aptitude Tuters

как преобразовать десятичные квадратные футы в дробные квадратные футы

бесплатный онлайн тест по математике для 9-х классов

механика жидкости Макгроу Хилл отвечает

ti 84 кубический квадратный корень

алгебра калькулятор фактор

математика 105 для чайников

математическая практика 6 и 7 класс

уравнение дроби распределения

как выучить предварительную алгебру бесплатно

скачать бесплатно программу репетитора по математике

бесплатные рабочие листы расширены из четвертого класса по математике

5 класс перестановка

графический вычислитель

дроби первого сорта

онлайн-учебник упражнения «литература» «гленко» «9 класс»

рабочий лист по биологии для печати

Применение метода Гаусса Джордана. пдф

тесты по математике для предварительной алгебры

Глядя на два линейных уравнения, как вы можете сказать, что соответствующие прямые параллельны?

Упрощенная форма 49 алгебры

рационализация решателя трехчленного знаменателя

вопросы о способностях к элементарным наукам

примеры текстовых задач по квадратным уравнениям

математический тест наибольший общий делитель

формула квадратного корня

Математические карточные игры 6 класс

способы решения квадратного корня

ЖК рабочие листы

рассчитать НОД

предварительная алгебра для 8-х классов

задача по алгебре

Прентис Холл Концептуальная физика

проблемы с альгербой

бесплатные математические листы для первоклассников

алгебра 2 с анализом

вопросы о вероятностных способностях

Идентифицирует квадратичные отношения в таблице

научи меня тригонометрии

простая факторизация знаменателя

процентные уравнения

простые способы выучить алгебру

«Бесплатный тест SAT II по биологии»

бесплатные рабочие листы для печати по пропорциям отношения

квадратные корни

Операции восьмого класса с целыми числами, рабочие листы

Вопросы о способностях с ответами

Решатель числовых уравнений Matlab

задачи по алгебре по возрасту для 5 класса

Самый простой способ объяснить алгебру новичку

листы с домашним заданием для начальной школы

решение дифференциальных уравнений второго порядка Matlab

самая сложная тема по алгебре

линейная интерполяция ти-83 плюс

Рациональные выражения и их графики

какие бесплатные загрузки используются в бухгалтерии

Калькулятор обратного Лапласа

Макдугалл маленькая преалгебра

c бумаги для проверки способностей

План урока по поиску наименьшего общего знаменателя

«Математические рабочие листы», «12 класс» и «Бесплатно»

бесплатные распечатанные карточки для GCSE

калькулятор для шестого класса

Онлайн-учебник предварительной алгебры Алабамы

контрольная по математике за 8 класс

линейное уравнение (задача) [колледж алгебры]

бесплатные математические листы с основанием 2

уравнения с переменными с обеих сторон калькулятор

4 класс математика бесплатно онлайн

математика алгебра прентис холл 1

Программа факторинга для ти 84 плюс

решение квадратных уравнений с несколькими переменными

формулы тригонометрических функций. п.п.

Рабочий лист практики факторов

математические уравнения

Калькулятор рациональных выражений факторов

похожие рабочие листы терминов

уравнение Пифагора

калькулятор квадратного корня алгебра

вопросы и ответы по тригонометрии

онлайн калькулятор дробей

тесты для Glencoe-McGraw math connect

радикальные экзамены

инструменты для помощи в промежуточной алгебре

Рабочий лист повседневной жизни

Код DAE Matlab, pdf

Игры по алгебре для 9 класса

Вычитание отрицательных чисел из рабочего листа

Измените отрицательный знак на положительный, если вы перевернете дробь

.

алгебраический базовый корень

Решатели формул функций в колледже алгебры

четырехъядерная формула игры

Рабочий лист сложения, вычитания, умножения и деления целых чисел

как преподавать LCM для детей

бесплатный онлайн курс базовой математики

рабочие листы степени

интерактивная игра для вычисления алгебраических выражений

упражнения для факторизации задач

взлом т-89

Рабочие листы по элементарной алгебре

Экзамен Orleans-Hanna по алгебре

плюс две модели опросных листов TamilNadu

математика алгебра прентис холл

задачи по алгебре решаются бесплатно

сумматор TI 83 Plus

Проценты теста по математике штата Нью-Йорк для 6-го класса

бесплатные образцы тестов по математике для 8-го класса

распечатки тетрадей по математике для 7 класса

скачать Prentice Hall Концептуальная физика

9 класс алгебра для печати

добавление целых рабочих листов

fбесплатные рабочие листы для девятого класса

факторинговый комплекс квадратичный матлаб

Распечатка словаря по математике для 5-го класса Флориды

упрощение кубических корней

Addison-Wesley Math Placement Test

какой-то пример математических мелочей

решение уравнений с несколькими переменными

самый сложный вопрос по математике

конечное поведение гиперболы

Matlab, второго порядка, неоднородное, линейное, дифференциальное уравнение

преобразование квадратных корней в десятичные дроби

получить ответ на алгебраические выражения

онлайн банк вопросов Aptitude

ТИ 83 ЛКМ

Флорида 7-й класс науки Макдугал Литтел онлайн

алгебра для чайников/ распечатки

Графический калькулятор обучающие занятия для начинающих

бесплатная триггерная помощь

самый сложный урок математики в мире

Бесплатные распечатки 3 класс математика

Смешанный обзорный лист для 6-го класса бесплатно

ПО для создания положительных целых чисел

Решения линейной системы Excel n-го порядка

Рабочая тетрадь McDougal Littell Pre-Algebra

упрощающая база показателей

рабочий лист, решение систем линейных неравенств

Экзамен mcq по гидромеханике

онлайн-инструмент параболы

комбинация перестановок GMAT

решить формулу квадратных уравнений

занятия по алгебре gcse

l Найдите рабочий лист с наименьшим общим знаменателем

ap + расчетные графики

методика бесплатной алгебры

вопросы по алгебре в денежной проблеме

упростить калькулятор

ОТВЕТЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ КОЭФФИЦИЕНТА ПОЛИНОМОВ

онлайн-инструменты построения графиков для полиномиального уравнения 3-й степени

преобразование в смешанные числа

планы уроков оценки выражений

онлайн-экзамены по математике для старших классов

Решение квадратных уравнений рабочий лист

по какой формуле делать коэффициенты

клен участок 3d поверхность

задачи по алгебре с часами

алгебра

Хоутон и Миффлин предварительный экзамен по алгебре

онлайн-решатель математических задач

математическая формула цикла

форма вершины функции

десятичные точки смешанных чисел

Листы с домашним заданием для 2 и 3 класса

8 класс алгебра 1 ответ

самый простой способ выучить алгебру

игра сложения и вычитания целых чисел

Математические листы для первого класса

3 правила сложения, вычитания, умножения и деления

приложение по алгебре

обратная сторона бревна 10

рабочие листы по математике для 10 класса в Онтарио

алгебраическая замена (исчисление)

Бесплатные печатные листы для 8-го класса

тест на способности скачать бесплатно

уравнения промежуточной алгебры

онлайн-калькулятор одновременных уравнений

обозреватель науки +конверсии

mcqs по биологии для печати

операции с квадратным корнем

математика для 11 класса «скачать бесплатно»

java конвертировать десятичное число в целое число

Ти-84 формула экономия

домен и диапазон онлайн калькулятор

первокурсник алгебра гарнизон isd tx

интерактивная математика с наименьшим общим делителем

калькулятор факторинга ti-30x

www. 6 класс math.com

применение парабола-картинки

Вычислить линейные футы

как писать подкоренные выражения после извлечения квадратного корня

практиковать тест алгебраических выражений

факторинг комплексных уравнений

различные способы решения квадратных корней и показателей

экзамен по общей математике 11 класса

Вещественные системы счисления (алгебра 1)

деление двух дробей с дробными показателями

код линейных функций Java

ПРЕОБРАЗОВАТЬ ДЕСЯТИЧНУЮ ЧАСТЬ В ДРОБЬ

конвертировать 2/3

Практические вопросы GCSE 9 класса

Рабочие листы по математике для 7 класса

рабочие листы по сложению и вычитанию пятизначных чисел

fminsearch, значения x y полинома, matlab, функция

бесплатные рабочие листы по геометрии для 9-го класса

общий вопрос о способностях

простой трехчлен факторинга

блок-схема выполнения редукции Гаусса-Джордана

РАСПЕЧАТКА УРАВНЕНИЯ АЛГЕБРЫ 1

Справка по алгебре для 9 класса

общие математические задачи базовый рабочий лист по математике в колледже

Учебная программа по математике для 11 класса в Онтарио

решатель Пифагора

Распечатка расписания по математике для 4 класса

Калькулятор выражения квадратного корня

рабочие листы кумон для печати

уравнение 3 порядка решить

математика мелочи

Калькулятор упрощения уравнений

формула длины окружности

Полином 3-го порядка

Ф. 2 онлайн-теста по математике

ответы по алгебре 1 книга

алгебраические уравнения

конвертировать десятичные дроби в калькулятор смешанных чисел

Матрица заболеваемости + MATLAB

понимание квадратных корней и показателей

нахождение квадратных корней из несовершенных квадратов

Математические уравнения 6-го класса

решить производную онлайн

БЕСПЛАТНЫЙ ОНЛАЙН-АЛГЕБРАТОР КАЛЬКУЛЯТОР

изучение алгебры 1

Математические уравнения для восьмого класса бесплатно онлайн

Листы по математике для девятого класса

Руководство по математике для 9-го класса в Нью-Йорке

Кроссворд по математике для 6 класса

правила построения графиков по математике

+ рецензент вступительных экзаменов в среднюю школу

рабочие листы для 8 класса по алгебре

бесплатные рабочие листы для 8 класса

математические формулы а уровень pdf

сб математических комбинаций

уравнение для параболы, проходящей через заданные точки

план урока surds

3D кленовое поле

алгебраизатор загрузок

графическое отображение алгебраических уравнений

колледж алгебра

рабочие листы по электрике

рабочие листы перестановки

предварительная алгебра + планы уроков + мгроу хилл

Бесплатные ответы на домашние задания по математике

алгебра + PDF

рабочие листы рациональных показателей

алгебра 116 ответ

Геометрия Автор: McDougal Littell Problems

печатная алгебра 1 и 2 практика

разделение подобных терминов

ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЭМУЛЯТОРА TI-84

калькулятор наименьшего общего знаменателя

бесплатные экзаменационные работы по биологии

алгебра 2 с отличием помощь

графический калькулятор linux

алгебра для начинающих

Бесплатные математические задачи решены

Решатели задач по алгебре бесплатно

Рабочие листы по алгебре для 9 класса

разница между кубом синуса и кубом синуса

7 класс Алгебра. Рабочие листы переменных и выражений

список перестановок слова+javascript

научи меня простому способу алгебры

рабочие листы линейных уравнений

сдал тест по математике в интеграле

несовершенные квадратные корни

Калькулятор умножения алгебраических выражений

фракционные печатные формы

как определить функцию по трем переменным

поиск вершины на графическом калькуляторе

лист добавления положительных и отрицательных целых чисел

Квадратное уравнение, комплексный коэффициент

умножить и упростить, разложив на множители

гэд математика для чайников

алгебра clep тест сложность

алгебра линейных уравнений с 4 неизвестными

бесплатный рабочий лист по алгебре для учащихся 9-х классов

шпаргалка по математике бесплатно

Алгебра с наименьшим общим знаменателем

свойство дистрибутива для записи переменного выражения

Квадратный корень по математике 3-го класса

конвертер смешанных чисел в десятичные числа

сложные алгебраические выражения

умножение отрицательного числа на ti-83

бесплатные вопросы о способностях

исследовательский проект по геометрии

TI-84 загрузок

Целочисленные игры и занятия

где я могу найти копию плана урока для 9 класса

Упрощение умножения кубического корня

TI 84 для начинающих рабочий лист

холт математика книга алгебра

Лист для печати по предварительному изучению алгебры

игры excel + Crossing the River: BrainTeaser, The Right Kind II + прохождение

бесплатно скачать тестовые документы на способности iba

разница между предварительной алгеброй и вводной алгеброй

базовая программа для решения кубического уравнения

пример сложных словесных задач по линейным уравнениям

что такое бином первой степени

Предварительная алгебра 8 класса

калькулятор в квадратном корне

Практика по алгебре в 9 классе

решение с. тупица

рабочие листы для 8 класса

отрицательные числа и баскетбол

онлайн-решатель чисел арифметической последовательности

частичные дроби для решения биномиальной теоремы

расширенная математическая формула

ПО для эмуляции ti 84

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ И ФИЗИКЕ ДЛЯ 11 И 12 КЛАССОВ

справочники по алгебре

рабочие листы по концептуальной физике

Ф.2 математическая алгебра

обучение алгебре одной матрицы

бесплатные рабочие листы для печати для 5-го класса + преобразования

квадратичные словесные задачи

экспоненциальные правила с квадратными корнями

Практические рабочие листы по соотношениям и скорости

полиномы

комбинировать похожие термины игры и уроки

Детские распечатанные листы по алгебре

вероятность кат/6

как сдать алгебру в колледже

программа для алгебры

как решать дроби с корнями в знаменателе

формула Пифагора онлайн

помощь по алгебре

завершение квадратного уравнения с двумя переменными

Рабочий лист вероятности по алгебре 2

задачи по тригонометрии с ответами и решениями

упрощение числа в кубе

сложение и вычитание целых чисел в PowerPoint

логарифмы для чайников

макдугал литтел ответы

glencoe математика алгебра 2 издание для учителей ответы

полиномы третьего порядка

интерактивный линейный график

английский вопрос о способностях

пример перестановки и комбинации задач со словами

мелочи вопрос и ответ об алгебре

решать математические наклоны

Расширенный калькулятор фракций

Научная нотация Смешанные рабочие листы

полиномиальное уравнение четыре класса

графические апплеты линейных уравнений

бесплатный онлайн-тест на пригодность для 6-го класса

Решения «Анализ: введение в доказательство» 2004 г.

Программа по математике для 8 класса Онтарио

Приложение для поиска квадратичных корней TI 84

добавление рабочего листа чисел со знаком

логика в математике-тригонометрии

упростить радикалы дроби 1/3

бесплатный банк вопросов, математика, 11th

11+ практических работ по математике онлайн

КАК РАСЧЕТ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ ТОЧКИ ПОВОРОТА

расширение подкоренных выражений

Каково наименьшее общее кратное чисел 14, 75 и 78

?

решение линейных комбинаций

линейные уравнения PowerPoint

«алгебраическая плитка»

скачать бесплатно рабочие листы для 7-го класса

решатель радикальных уравнений

решить онлайн алгебру

решатель радикальных выражений

как заставить график отображаться на графическом калькуляторе

13+размер

математика и английский язык 8 класс распечатки

УЧЕБНЫЕ ЛИСТЫ ПО АЛГЕБРЕ

точка максимума функции извлечения квадратного корня

вопросы о способностях бесплатно

КАКОЙ КАЛЬКУЛЯТОР TI КУПИТЬ ДЛЯ 8-ГО КЛАССА?

9 класс математика по дроби и процентному тесту

радикальный калькулятор

Алгебра 2 ответы

квадратные уравнения сложения и вычитания

промежуточные онлайн-решения по алгебре

численный анализ mcq’s

РЕШИТЕЛЬ УРАВНЕНИЙ ОНЛАЙН

алгебра мелочи

основные уравнения Комбинация перестановок

макдугал литтел геометрия ответы

Решение радикальных уравнений — ChiliMath

Чтобы научиться решать радикальные уравнения, требуется много практики и знакомство с различными типами задач. В этом уроке цель состоит в том, чтобы показать вам подробные проработанные решения некоторых задач с разным уровнем сложности.

Что такое радикальное уравнение?

Уравнение, в котором переменная содержится внутри подкоренного символа или имеет рациональный показатель степени. В частности, мы будем иметь дело с квадратным корнем, который является следствием наличия показателя степени \Large{1 \over 2}.

Ключевые этапы:

1) Изолировать радикал с одной стороны уравнения

2) Возведите в квадрат обе части уравнения, чтобы исключить радикальный символ

3) Решите уравнение, которое получается после возведения в квадрат

4) Сверьте свои ответы с исходным уравнением, чтобы избежать посторонних значений


Примеры решения радикальных уравнений

Пример 1 : Решение радикального уравнения

Радикал сам по себе находится на одной стороне, поэтому можно возвести в квадрат обе части уравнений, чтобы избавиться от символа радикала. Затем выполните обычные действия по решению линейных уравнений.

Вы должны ВСЕГДА проверять свои ответы, чтобы убедиться, что они «действительно» являются решением. Некоторые ответы из ваших расчетов могут быть посторонними. Подставьте x = 16 обратно в исходное радикальное уравнение, чтобы увидеть, дает ли оно верное утверждение.

Да, проверяет, так что x = 16 — это решение.


Пример 2 : Решение радикального уравнения

Установка выглядит хорошо, потому что радикал снова изолирован с одной стороны.Так что я могу возвести в квадрат обе стороны, чтобы исключить этот символ квадратного корня. Будьте осторожны с правой частью при возведении в квадрат бинома (x−1). Вы должны правильно применять метод FOIL.

Переносим все члены в правую часть уравнения, а затем продолжаем выносить трехчлен на множители. Применяя свойство нулевого произведения, мы получаем значения x = 1 и x = 3 .

Предупреждение : Всегда проверяйте расчетные значения из исходного радикального уравнения, чтобы убедиться, что они являются верными ответами, а не посторонними или «ложными» ответами.

Выглядит хорошо для обоих наших найденных значений x после проверки, поэтому наши решения x = 1 и x = 3 .


Пример 3 : Решение радикального уравнения

Нам нужно признать, что радикальный символ еще не изолирован с левой стороны. Это означает, что мы должны избавиться от этого -1 , прежде чем возводить в квадрат обе части уравнения. Простой шаг добавления обеих сторон на 1 должен решить эту проблему.После этого «новое» уравнение похоже на те, которые мы рассмотрели до сих пор.

Наши возможные решения: x = −2 и x = 5 . Обратите внимание, что я использую слово «возможный», потому что оно не является окончательным, пока мы не выполним процесс проверки наших значений по сравнению с исходным радикальным уравнением.

Поскольку мы приходим к ложному утверждению, когда x = −2, поэтому это значение x считается посторонним  , поэтому мы игнорируем его! Остается один верный ответ: x = 5 .


Пример 4 : Решение радикального уравнения

Левая часть выглядит немного беспорядочно, потому что там два радикальных символа. Но это не так уж и плохо! Всегда помните ключевые шаги, предложенные выше. Поскольку оба квадратных корня находятся на одной стороне, это означает, что он определенно готов для возведения в квадрат всего радикального уравнения.

Итак, для нашего первого шага давайте возведем в квадрат обе стороны и посмотрим, что получится.

Для задач такого типа совершенно нормально видеть еще один радикальный символ после первого применения возведения в квадрат.Из этого следует хорошая новость: остался только один. С этого момента попробуйте снова изолировать единственный радикал на левой стороне, что должно заставить нас переместить остальные на противоположную сторону.

Как видите, это упрощенное радикальное уравнение определенно знакомо . Приступайте к обычному способу решения и убедитесь, что вы всегда сверяете решенные значения x с исходным радикальным уравнением.

Я предоставляю вам проверить, действительно ли x = 4 является решением.


Пример 5 : Решение радикального уравнения

Эта задача очень похожа на пример 4. Единственное отличие состоит в том, что на этот раз оба радикала имеют биномиальные выражения. Подход также заключается в том, чтобы возвести в квадрат обе стороны, поскольку радикалы находятся на одной стороне, и упростить. Но нам нужно выполнить второе применение возведения в квадрат, чтобы полностью избавиться от символа квадратного корня.

Решение x = 2 . Вы можете проверить это, подставив значение обратно в исходное радикальное уравнение и убедиться, что оно дает верное утверждение.


Пример 6 : Решение радикального уравнения

Похоже, что наш первый шаг — выровнять обе стороны и посмотреть, что получится потом. Не забывайте комбинировать одинаковые члены каждый раз, когда возводите стороны в квадрат. Если случится так, что после первого применения процесса возведения в квадрат сгенерируется еще один подкоренной символ, то имеет смысл сделать это еще раз. Помните, наша цель — избавиться от радикальных символов, чтобы освободить переменную, которую мы пытаемся решить или изолировать.

Что ж, похоже, нам нужно снова возвести в квадрат обе стороны из-за нового сгенерированного радикального символа. Но прежде чем сделать это, мы должны изолировать радикал с одной стороны уравнения. Я оставлю квадратный корень слева, и это заставит меня сдвинуть все вправо.

Пока выглядит хорошо! Теперь пришло время снова свести обе стороны в квадрат, чтобы окончательно устранить радикал.

Будьте осторожны при возведении в квадрат левой части уравнения. Вы также должны возвести в квадрат -2 слева от корня.

Теперь у нас есть квадратное уравнение в стандартной форме. Лучший способ найти x — использовать квадратичную формулу, где a = 7, b = 8 и c = −44.

Таким образом, возможные решения: x = 2 и x = {{ — 22} \over 7}.

Я оставлю вам проверить эти два значения «x» обратно в исходное радикальное уравнение. Я надеюсь, вы согласны с тем, что x = 2  — единственное решение, а другое значение – лишнее, так что не обращайте на него внимания!


Пример 7 : Решение радикального уравнения

Есть два способа решить эту проблему.Я мог бы сразу возвести в квадрат обе стороны, чтобы избавиться от радикалов, или сначала умножить два радикала, а затем возвести в квадрат. Обе процедуры должны приводить к одинаковым ответам при правильном выполнении. Для этого я буду использовать второй подход.

Затем переместите все влево и решите полученное квадратное уравнение. Вы можете использовать квадратичную формулу для ее решения, но, поскольку ее легко вычислить, я просто вынесу ее за скобки.

Возможные решения: x = {{ — 5} \over 2} и x = 3 .

Я оставлю вам проверить ответы. Единственным ответом должно быть x = 3, что делает другой ответ лишним.


Рабочие листы радикальных уравнений


Вас также может заинтересовать:

Упрощение радикальных выражений
Сложение и вычитание радикальных выражений
Умножение радикальных выражений
Рационализация знаменателя

Решение радикальных уравнений: шаги и примеры — видео и расшифровка урока

Что такое радикал?

Что такое радикал? Вы можете подумать (и правильно), что радикал — это тот, кто высказывается против несправедливости.Они хотят делать что-то новым и нетрадиционным способом. Хотя это и правда, это совсем не поможет в решении задач по алгебре.

Для целей этого урока радикал является алгебраическим термином под символом квадратного корня. Например:

Это не обязательно должен быть квадратный корень; это может быть кубический корень, корень четвертой степени или любое другое число. Квадратный корень является наиболее распространенным и подразумевается, когда используется только радикальный символ.Если требуется другой корень, в «v» корневого символа будет небольшой верхний индекс, например:

.

Цифра 3 означает, что это кубический корень , что означает, что член внутри корня равен члену, который был умножен сам на себя трижды. Например:

Это верно, потому что 2 * 2 * 2 = 8.

Обратные операции

У каждой математической операции есть обратная операция , операция, противоположная ей: для сложения это вычитание; для умножения это деление; а для квадратного корня — в квадрате. Обратные операции имеют решающее значение для решения алгебраических уравнений.

Например, если вы хотите решить следующее: x + 2 = 3. Вам нужно получить только x . Для этого вы выполняете обратную операцию, чтобы переместить 2 в правую часть уравнения. Это означает, что вы вычитаете (противоположно сложению) 2 из обеих частей уравнения. х + 2 = 3. Вычтите по 2 с обеих сторон, и вы получите х = 1. И ваша проблема решена.

Уравнения с радикалами

Метод решения уравнений, содержащих радикалы, включает тот же процесс.Чтобы изолировать x (или любую другую переменную), вам нужно выполнить обратные операции, чтобы переместить все числа в правую часть уравнения. Это не обязательно должна быть правая сторона. Это просто самый обычный способ ведения дел. В любом случае вы получите один и тот же ответ.

Давайте рассмотрим пример. Решите для x :

Первым шагом к решению является удаление радикального символа путем выполнения обратной операции, заключающейся в возведении в квадрат обеих сторон. 2 = 16. Теперь задача проста. x — 1 = 16. Просто прибавьте по единице к обеим сторонам, и получится x = 17.

Но подождите! Есть еще кое-что!

Однако на радикалах проблема не заканчивается. Всегда есть вероятность, что вы получите ответ, который называется посторонним корнем . Это ответ, который кажется рабочим, но неправильным, когда вы проверяете свои ответы. Вот почему в задачах, содержащих радикалы, всегда нужно проверять свой ответ.Это не распространено, но может быть ответ, который не работает. Единственный способ узнать это — проверить свой ответ, подставив его вместо x в исходной задаче.

В этом случае исходная задача была √( x — 1) = 4. Подставьте 17 вместо x , и мы получим √(17 — 1) = 4, или √(16) = 4. Для этого Проблема, число 17 работает, поэтому мы подтвердили его как ответ.

Аналогично решаются задачи, содержащие другие корни. Например:

Поскольку это кубический корень, первое, что нам нужно сделать, это кубировать обе стороны.

Что дает нам:

Затем вычтите 4 из обеих частей, чтобы получить x = 23. Опять же, поскольку нам нужно проверить наличие посторонних корней, мы подставим ответ обратно в исходное уравнение.

Поскольку это подтверждается, мы знаем, что 23 — правильный ответ.

Что это означает в реальном мире?

Есть много областей, где радикалы используются в реальных жизненных ситуациях. Одним из наиболее распространенных мест является вычисление площадей, а также использование теоремы Пифагора. Есть два других распространенных уравнения, в которых используются радикалы. Первая — это формула видимости, которая гласит, что v = 1,225 * √ a , где v = видимость (в милях), а a = высота над уровнем моря (в футах). Эта формула расскажет вам, как далеко вы можете видеть в ясный день.

Другая формула помогает врачам выписывать лекарства. Некоторые лекарства требуют знания площади поверхности тела пациента (ППТ) и уравнения для определения ПТП = √( wh / 3600), где w = вес (в фунтах), а h = рост (в см) .

Давайте рассмотрим пример. Женщина на дельтаплане может видеть на 29 миль до горизонта. Используя формулу видимости, насколько высоко она находится над землей?

Формула видимости снова v = 1.2. Итак, 560 футов = a , что означает, что дельтаплан находится на высоте 560 футов над землей.

Краткий обзор урока

Чтобы решить любое алгебраическое уравнение, необходимо выполнить обратные операции, чтобы изолировать переменную. Если уравнение содержит радикал, обратной операцией для его решения является возведение его в квадрат (или в куб). Это устранит радикал и позволит вам решить уравнение.

Результаты обучения

Процесс изучения тем этого видеоурока может помочь вам:

  • Дать определение «радикалу» применительно к математике
  • Решите радикальное уравнение с помощью обратных операций
  • Понимание использования радикалов в реальных сценариях

ч2_4

Чтобы решить радикал уравнения мы используем следующее свойство степеней:

 

          Для любого положительное целое число n ,

                   Если a = b верно, то a n = b n также верно.

 

         Обязательно сначала изолируйте радикальный термин.

         

СОДЕРЖАНИЕ

1. 4 Радикальные уравнения и функции

 

Необходимые знания и навыки:

        рабочее знание и понимание упрощающих радикалов

 

Условия знать:

· Кубический корень

· Эквивалентные уравнения

· Посторонний раствор

· Индекс

· Совершенные кубики                                

· Совершенные квадраты                                    

· Квадратное уравнение

· Радикальный

· Радикальный знак

· Радиканд

· Рациональный номер

· Квадратный корень

· Срок  

                                                                          

 

 

Подготовка к навыкам: решение квадратных уравнений; Радикалы к рациональным показателям; Рациональный показатель степени

Концепция подготовка: Решение простых радикальных уравнений

 

Ниже приведены примеры радикальных уравнений.

 

                    

 

Уравнение

 

НЕ является радикальным уравнением, хотя оно содержит радикалы, потому что переменная НЕ стоит под знаком радикала.

                      

Как вы решили #3a — 3j в концепте подготовительные упражнения?

 

Один из способов — поднять все уравнение (обе стороны) в показатель степени, что устраняет знак корня. Помните, что экспоненты и радикалы обратные операции, означающие, что одна отменяет другую. Чтобы исключить квадратный корень, возведите уравнение в квадрат; к исключить кубический корень, кубировать уравнение и т. д.

 

Устранение радикалы: Подробнее

Когда уравнение возведенные в степень, каждая СТОРОНА нужно возводить в степень НЕ каждый термин в отдельности.

 

Распространенные ошибки

 

Пример 1. Решить  

 

Квадрат с обеих сторон:                                                        

 

                                                                             

Найти x:                                                                 

           

Проверка:                                                                                  

 

Проверка по графику:

 

Примечание что если мы воспользуемся нашим графическим калькулятором и установим , получаем такой график: (График ниже был создан с помощью программного продукта под названием КЛЕН. График вашего калькулятора может не иметь такое же хорошее разрешение.)

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обратите внимание, что точка пересечения находится в точке . Что это говорит нам о решении?

 

Пример 2. Решить    

 

Изолируйте корневой термин:

                                                                                           

Квадрат с обеих сторон:                                                           

Решить для x:                                                                            

 

Проверка:                                                                                           

Проверка по графику:

 

вкл. ваш графический калькулятор, установите  и окно просмотра на [-10,50] на [-10, 20], чтобы получить график, подобный следующему.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примечание что точка пересечения имеет координату x- из 38. О чем это говорит нам наше алгебраическое решение?

 

 

Подробнее

 

 

РЕШЕНИЕ РАДИКАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ДВА РАДИКАЛА

В следующем примере есть два радикалы и, таким образом, более вовлечены. Основная процедура такая же, хотя нам нужно возвести обе стороны в квадрат. уравнения дважды.

Нам все еще нужно изолировать (либо) сначала один из радикалов.

 

Пример 3. Решить    

 

Выделите один радикальный термин:

                                                  

Квадрат с обеих сторон:                                                  

Обратите внимание, что правая часть представляет собой бином,

поэтому нам нужно быть осторожным, чтобы квадрат это правильно,

с использованием биномиального умножения или фольги: комбайн, как термины здесь

           

                                                                    Итак,     

 

Объедините похожие термины:                                               

 

Сейчас мы собираемся повторить всю процедуру, изолируя радикал, затем снова квадрат с обеих сторон.

 

Изолировать радикал, оставшийся от                

вычитая 14 и м с обеих сторон:                                                               

 

 

Снова подравняйте обе стороны:                                                

                                                                         Здесь нам не нужно ФОЛЬГИРОВАНИЕ, просто используйте правила показателей.

                                                       

           

                                                                                    

                                                                            

Получить одну сторону = 0:                                                                             

                                                                                                   (3. 1)

 

Сделать факторинг проще, делим (3.1) через на 9:    

Коэффициент:                                                                    

Установите каждый фактор на 0 и решить:

 

Проверить исходное уравнение:

   Для м = 11:                          

Так м = 11 НЕ является решением.Это произошло потому, что мы возвели обе стороны в квадрат уравнения.

 

 Для   м = -1:                        

 

Итак, m= — 1 — единственное решение.

Обратите внимание, что следующий график с  поддерживает наше алгебраическое решение:

 

                                                                                          Y1

 

 

                                     Y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Другие рабочие примеры

 

Деятельность с графиками

 

Домашнее задание

 

Предыдущий раздел

Следующая секция

Как проверить наличие посторонних решений?

Много раз в алгебре, особенно когда вы имеете дело с радикальными функциями, вы получаете то, что вы называете посторонними решениями . Это решения уравнения, которые вы получите в результате вашей алгебры, но они все равно неверны. Дело не в том, что ваш процесс неправильный; просто это решение не вписывается в уравнение (иногда математика очень усложняет).

Чтобы определить, являются ли ваши решения посторонними или нет, вам нужно подключить каждое из них обратно к заданному уравнению и посмотреть, работают ли они. Иногда это очень утомительный процесс, но при правильном использовании может избавить вас от хлопот на тестах или викторинах.2 — 5x = 0# (вычесть #x# и 4 с обеих сторон)

#х(х-5)=0#. следовательно, # x = 0 и x = 5 # (свойство нулевого продукта)

Теперь у нас есть два решения; 0 и 5. Теперь давайте подставим каждое из них обратно в исходное уравнение и посмотрим, работают ли они:

.

5:

#sqrt(5+4) = 5-2#
#sqrt(9) = 3#
#3 = 3#

Следовательно, 5 — проверенное решение.

0:

#sqrt(0+4) = 0-2#
#sqrt(4) = -2#
#2 ≠ -2#

Следовательно, 0 — это , а не решение.

Следовательно, мы бы классифицировали 0 как постороннее решение данного уравнения.

Калькулятор:

  • Приравнять уравнение к нулю
    (в итоге получается #sqrt(x+4) — x + 2 = 0#)
  • Вставьте это в кнопку #y=# на калькуляторе TI-83/84
  • Найдите значение каждого из ваших решений (перейдите к 2nd->Calc->Value и введите свое решение для #x#)
  • В ответ на каждый из них вы должны получить ноль. Если вы этого не сделаете, это решение является посторонним.

Зачастую это гораздо более простой способ сделать это, но, как я уже говорил выше, важно, чтобы вы знали, как делать это и вручную, так как часто учителя могут попросить вас показать работу, а вы не можете всегда есть калькулятор, чтобы помочь вам.

Надеюсь, помогло 🙂

*уравнение с http://hotmath.com/*

Решение радикальных уравнений — Алгебра II

Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже. Если университетские наставники примут меры в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как так как ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
Сент-Луис, Миссури 63105

Или заполните форму ниже:

 

6.3 Решение радикальных уравнений — алгебра среднего уровня

Цели обучения

  • Решение радикальных уравнений
    • Изолировать радикальный член в уравнении, используя алгебру и правила для радикалов и показателей
    • Определите радикальное уравнение без решений или посторонних решений
  • Приложения с радикальными уравнениями
    • Кинетическая энергия
    • Том
    • Свободное падение

Теперь, когда вы понимаете, как объединять радикальные термины и выражения с помощью алгебраических операций, вы можете решать уравнения, содержащие радикалы. Вскоре мы сможем помочь Джоан (и Анне) выяснить, какой высоты должна быть лестница! В этом уроке вы будете использовать свойства сложения и умножения равенства, а также правила для показателей степени.

Уравнение, содержащее подкоренное выражение , называется подкоренным уравнением . Решение радикальных уравнений требует применения правил показателей и соблюдения некоторых основных алгебраических принципов. В некоторых случаях это также требует поиска ошибок, возникающих при возведении неизвестных величин в четную степень.

Изолировать радикальный термин

Основная стратегия решения радикальных уравнений состоит в том, чтобы сначала выделить радикальный член, а затем возвести обе части уравнения в степень, чтобы удалить радикал. (Причина использования степеней станет ясна через мгновение.) Это тот же тип стратегии, который вы использовали для решения других нерадикальных уравнений: перестройте выражение, чтобы изолировать переменную, которую вы хотите знать, а затем решите полученное уравнение. {2}}=x\).{2}}\\x=64\конец{массив}\)

Ответить

\(x=64\) является решением \(\sqrt{x}-3=5\)

Чтобы проверить свое решение, вы можете заменить x на 64 дюйма в исходном уравнении. \(\sqrt{64}-3=5\)? Да, квадратный корень из 64 равен 8 и \(8-3=5\).

Обратите внимание, как вы объединили одинаковые члены, а затем возвели в квадрат обе сторон уравнения в этой задаче. Это стандартный метод удаления радикала из уравнения. Важно изолировать радикал на одной стороне уравнения и максимально упростить до возведения в квадрат .Чем меньше членов перед возведением в квадрат, тем меньше дополнительных членов будет создано в процессе решения.

В приведенном выше примере под радикалом находилась только переменная x . Иногда вам нужно будет решить уравнение, которое содержит несколько членов под корнем. Выполните те же шаги, чтобы решить их, но обратите внимание на критический момент: возведите в квадрат обе стороны уравнения, а не отдельные члены . Посмотрите, как решаются следующие две задачи.{2}}=х+8\). Теперь упростите уравнение и найдите x .

\(\начало{массив}{г}х+8=9\\х=1\конец{массив}\)

Проверьте свой ответ. Замена 1 на x в исходном уравнении дает истинное утверждение, поэтому решение верно.

\( \begin{array}{r}\sqrt{1+8}=3\\\sqrt{9}=3\\3=3\end{array}\)

Ответить

\(x=1\) является решением \(\sqrt{x+8}=3\).

В следующем видеопримере вы увидите еще два примера, похожих на приведенные выше.{2}}\,\,\,\конец{массив}\)

Упростите уравнение и найдите x .

\(\начало{массив}{r}2x+3=25\\2x=22\\x=11\конец{массив}\)

Проверьте свой ответ. Замена 11 на x в исходном уравнении дает истинное утверждение, поэтому решение верно.

\( \begin{array}{r}1+\sqrt{2(11)+3}=6\\1+\sqrt{22+3}=6\\1+\sqrt{25}=6\ \1+5=6\\6=6\конец{массив}\)

Ответить

\( x=11\) является решением для \( 1+\sqrt{2x+3}=6\).

Решение радикальных уравнений

Выполните следующие четыре шага, чтобы решить радикальное уравнение. {2}\).

  • После удаления радикала найдите неизвестное.
  • Проверить все ответы.
  • Определите радикальное уравнение без решений или посторонних решений

    Следовать правилам важно, но не менее важно обращать внимание на математику перед вами, особенно при решении радикальных уравнений. Взгляните на следующую проблему, которая демонстрирует потенциальную ловушку, связанную с согласованием обеих сторон для устранения радикала.

    Пример

    Решить.{2}}\)

    Напишите упрощенное уравнение и найдите a .

    \(\начало{массив}{r}a-5=4\\a=9\конец{массив}\)

     

    Теперь проверьте решение, подставив \(a=9\) в исходное уравнение.

    Не проверяет!

    \( \begin{array}{r}\sqrt{9-5}=-2\\\sqrt{4}=-2\\2\ne -2\end{array}\)

    Ответить

    Нет решения.

    Посмотрите на это: ответ \(a=9\) не дает истинного утверждения при подстановке обратно в исходное уравнение.Что случилось?

    Проверьте исходную задачу: \(\sqrt{a-5}=-2\). Обратите внимание, что радикал установлен равным \(-2\), и помните, что главный квадратный корень числа может быть только положительным . Это означает, что никакое значение для a не приведет к подкоренному выражению, положительный квадратный корень которого равен \(-2\)! Вы могли сразу это заметить и сделать вывод, что для и решений нет. Но почему процесс возведения в квадрат дал ответ \(a=9\), который оказался неверным?

    Ответ заключается в самом процессе возведения в квадрат .{4}\) равно 16. Таким образом, когда вы возвели в квадрат -2 и получили 4 в этой задаче, вы искусственно сделали количество положительным. Вот почему вы все же смогли найти значение для a : вы решили задачу, как если бы вы решали\( \sqrt{a-5}=2\)! (Правильное решение \( \sqrt{a-5}=-2\) на самом деле «нет решения».)

    Неверные значения переменной, такие как введенные в результате процесса возведения в квадрат, называются посторонними решениями . Посторонние решения могут выглядеть как реальные решения, но вы можете идентифицировать их, потому что они не будут создавать истинное утверждение при подстановке обратно в исходное уравнение.Это одна из причин, почему проверка вашей работы так важна: если вы не проверяете свои ответы, подставляя их обратно в исходное уравнение, вы можете внести в задачу посторонние решения.

    В следующем видео мы представляем больше примеров решения радикальных уравнений путем выделения радикального члена с одной стороны.

    Может быть трудно понять, почему вообще существуют посторонние решения. Размышление о посторонних решениях путем построения графика уравнения может помочь вам понять, что происходит.{2}}+8x+16=x+10\). Возведение обеих сторон в квадрат могло привести к постороннему решению.

    Вы можете построить график \(x+4=\sqrt{x+10}\) на координатной плоскости, разбив его на систему двух уравнений: \(y=x+4\) и \(y=\sqrt{ х+10}\). График показан ниже. Обратите внимание, как два графика пересекаются в одной точке, когда значение x равно \(-1\). Это значение x , которое удовлетворяет обоим уравнениям, поэтому является решением системы.

    Теперь, после работы, которую мы проделали в задаче-примере, давайте возведем оба выражения в квадрат, чтобы удалить переменную из радикала.{2}+8x+16\) и \(y=x+10\) показаны ниже. Обратите внимание, как два графика пересекаются в двух точках, когда значения x равны \(-1\) и \(-6\).

    Хотя \(x=-1\) показано как решение на обоих графиках, возведение в квадрат обеих частей уравнения привело к добавлению постороннего решения, \(x=-6\). Опять же, именно поэтому так важно проверять свои ответы при решении радикальных уравнений!

    Пример

    Решить. \( 4+\sqrt{x+2}=x\)

    Показать решение Выделите корневой термин.{2}}-9x+14\конец{массив}\)

    Этот многочлен также может быть выражен как произведение двух двучленов: \((x-7) \cdot (x-2)\).

    \(\начало{массив}0=\влево(х-7\вправо)\влево(х-2\вправо)\конец{массив}\)

    Чтобы произведение было равно нулю, хотя бы один из двух множителей должен быть равен нулю. Приравняйте каждый множитель к нулю и найдите х.

    \( \begin{array}{c}\left( x-7 \right)=0\text{ или }\left( x-2 \right)=0\\x=7\text{ or }x= 2\конец{массив}\)\(\)

    Теперь проверьте оба решения, подставив их в исходное уравнение.

    \( \begin{array}{r}4+\sqrt{7+2}=7\\4+\sqrt{9}=7\\4+3=7\\7=7\\\text{ ИСТИНА!}\\\\4+\sqrt{2+2}=2\\4+\sqrt{4}=2\\4+2=2\\6=2\\\текст{ЛОЖЬ!}\ конец{массив}\)

    Так как \(x=2\) дает ложное утверждение, это лишнее решение.

    Ответить

    \(x=7\) — единственное решение.

    В следующем видео мы покажем еще один пример радикальных уравнений, имеющих посторонние решения. Всегда не забывайте проверять свои ответы на радикальные уравнения.

    В нашем последнем примере мы будем использовать разность квадратов для решения радикального уравнения с двумя радикалами.Вы увидите, что мы должны сначала изолировать и устранить один радикал, а затем заняться изоляцией и устранением другого. Мы также будем использовать методы факторизации для трехчленов и принцип нулевого произведения, чтобы решить это уравнение.

    Пример

    Решить \(\sqrt{2x+3}+\sqrt{x — 2}=4\).

    Покажи ответ

    Поскольку это уравнение содержит два радикала, мы изолируем один радикал, удаляем его, а затем изолируем второй радикал.

    \(\begin{array}{ll}\sqrt{2x+3}+\sqrt{x — 2}\hfill& =4\hfill & \hfill \\ \sqrt{2x+3}\hfill& =4-\ sqrt{x — 2}\hfill & \text{Вычесть }\sqrt{x — 2}\text{ с обеих сторон}.{2}-86x+249=0\hfill & \hfill \\ \left(x — 3\right)\left(x — 83\right)=0\hfill & \text{Умножение и решение}.\hfill \ \ x=3\hfill & \hfill \\ x=83\hfill & \hfill \end{массив}\)

    Предлагаемые решения: \(x=3\) и \(x=83\). Проверьте каждое решение в исходном уравнении.

    \(\begin{array}{l}\sqrt{2x+3}+\sqrt{x — 2}\hfill& =4\hfill \\ \sqrt{2x+3}\hfill& =4-\sqrt{x — 2}\hfill \\ \sqrt{2\left(3\right)+3}\hfill& =4-\sqrt{\left(3\right)-2}\hfill \\ \sqrt{9}\hfill& =4-\sqrt{1}\hfill \\ 3\hfill& =3\hfill \end{массив}\)

    Одним из решений является \(x=3\).

    Проверка \(x=83\).

    \(\begin{array}{l}\sqrt{2x+3}+\sqrt{x — 2}\hfill&=4\hfill \\ \sqrt{2x+3}\hfill&=4-\sqrt{x — 2}\hfill \\ \sqrt{2\left(83\right)+3}\hfill&=4-\sqrt{\left(83 — 2\right)}\hfill \\ \sqrt{169}\hfill& =4-\sqrt{81}\hfill \\ 13\hfill&\ne -5\hfill \end{массив}\)

    Единственным решением является \(x=3\). Мы видим, что \(x=83\) — лишнее решение.

    Ответить

    Единственным решением является \(x=3\)

    В нашем последнем видео мы показываем решение еще одного радикального уравнения, которое имеет квадратные корни в обеих частях уравнения.Обратите особое внимание на то, как вы возводите в квадрат сторону, имеющую сумму радикального члена и константы.

    Численное вычисление радикалов

    Обычно значение квадратного корня или другого радикала можно найти с помощью калькулятора или компьютера, но на удивление легко вычислить радикалы вручную. Простой итеративный метод вычисления квадратных корней был известен древним вавилонянам (1500 г. до н.э.) и грекам (100 г. н.э.). Этот вавилонский метод (иногда называемый методом Героя) был обобщен Исааком Ньютоном много столетий спустя.2=25\) и \(16 \le 23 \le 25\). Для простоты мы будем использовать 4.5 в качестве отправной точки.

    Если бы \(x=4,5\) был квадратным корнем, то \(23 \div 4,5\) должно было точно равняться 4,5, но поскольку \(\sqrt{23}\) равно , а не ровно 4,5, наше приближение имеет некоторые ошибка в нем: \(23 \div 4. 5 = 5.11111\).

    Если бы у нас было точное значение квадратного корня, то 4,5 и 5,11111 точно совпадали бы. Вавилонский метод говорит, что наше следующее значение для извлечения квадратного корня должно быть на полпути между 4.5 и 5,11111 или 4,80556.

    Теперь мы просто повторяем процесс. Если бы \(x=4,80556\) был квадратным корнем, то \(23 \div 4,80556\) должно было точно равняться 4,80556, но в нашем приближении есть некоторая ошибка: \(23 \div 4,80556 = 4,78612\). Наше новое значение находится посередине между этими двумя, или 4,79584.

    Повторите процесс еще раз, чтобы проверить наш ответ: \(23 \div 4,79584 = 4,79582\). В нашем приближении все еще есть некоторая ошибка, но теперь эта ошибка меньше четвертого знака после запятой. Наше приближение для квадратного корня из 23 равно 4.7958.

    Модифицированную версию того же процесса можно использовать для аппроксимации кубических корней, корней n-й степени или любой другой гладкой функции. Все без калькулятора.

    Приложения с радикальными уравнениями

    Кинетическая энергия

     

    Одним из способов измерения количества энергии, которой обладает движущийся объект (например, автомобиль или американские горки), является определение его кинетической энергии. Кинетическая энергия (\(E_{k}\), измеряемая в джоулях) объекта зависит от массы объекта ( m , измеряется в кг) и скорости ( v , измеряется в метрах в секунду).Скорость объекта можно записать как \(v=\sqrt{\frac{2{{E}_{k}}}{m}}\).

     

     

    Пример

    Чему равна кинетическая энергия объекта массой 1000 кг, движущегося со скоростью 30 метров в секунду?

    Показать решение Определите переменные и известные значения.

    \(\begin{array}{l}E_{k}=\text{unknown}\\\,\,m=1000\\\,\,\,\,v=30\end{массив}\)

    Подставьте значения в формулу.

    \( 30=\sqrt{\frac{2{{E}_{k}}}{1000}}\)

    Решите радикальное уравнение для E k .{2}}\\\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,900=\frac {2{{E}_{k}}}{1000}\\\\900\cdot 1000=\frac{2{{E}_{k}}}{1000}\cdot 1000\\\\\, \,\,\,\,\,\,\,900,000=2{{E}_{k}}\\\\\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{900,000 }{2}=\frac{2{{E}_{k}}}{2}\\\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,450,000={{ E}_{k}}\end{массив}\)

    Теперь проверьте решение, подставив его в исходное уравнение.

    \( \begin{array}{l}30=\sqrt{\frac{2\cdot 450,000}{1,000}}\\30=\sqrt{\frac{900,000}{1,000}}\\30=\sqrt {900}\\30=30\конец{массив}\)

    Ответить

    Кинетическая энергия составляет 450 000 Дж.

    Вот еще один пример нахождения кинетической энергии движущегося объекта.

    Том

    Муравьи-жнецы, обнаруженные на юго-западе США, создают обширную взаимосвязанную сеть туннелей для своих гнезд. В результате всех этих раскопок очень распространенным надземным признаком гнезда муравьев-жнецов является коническая насыпь из мелкого гравия или песка

    .

    Радиус конуса, высота которого в два раза больше его радиуса, определяется как: \(r=\sqrt[3]{\frac{3V}{2\pi}}\).

     

    Пример

    Насыпь из гравия имеет форму конуса с высотой, равной удвоенному радиусу. Вычислите объем такой насыпи из гравия, радиус которой составляет 3,63 фута. Используйте \(\pi =3,14\).

    Покажи ответ

    Радиус конуса, учитывая его объем, можно найти по следующей формуле: \(r=\sqrt[3]{\frac{3V}{2\pi}}\), \(r\ge 0\\\ )

    Выполните кубирование с обеих сторон, чтобы исключить кубический корень. {2}\).2\\\pm\sqrt{\frac{h-600}{-16}}=t\end{массив}\)

    На этом давайте остановимся и поговорим о том, имеет ли смысл включать обе \(\pm\sqrt{\frac{h-600}{-16}}\). Мы хотим, чтобы время было только положительным, так как мы говорим об измеримой величине, поэтому мы ограничим наши ответы только \(+\sqrt{\frac{h-600}{-16}}\)

    Мы хотим знать, в какое время высота будет 400 футов, поэтому мы можем заменить 400 на h.

    \(\begin{array}{ccc}\sqrt{\frac{400-600}{-16}}=t\\\sqrt{\frac{-200}{-16}}=t\\\sqrt{ 12.5}=t\\3.54=t\конец{массив}\)
    Ответить

    Требуется 3,54 секунды, чтобы объект оказался на высоте 400 футов.

    Анализ раствора

    Мы сделали обязательным ограничение подкоренных выражений неотрицательными числами. В предыдущем примере мы разделили на отрицательное число, а затем извлекли квадратный корень, чтобы найти t. В этом примере можно ли получить отрицательное число в подкоренной части? Другими словами, для каких значений высоты у нас может возникнуть проблема, когда мы можем взять квадратный корень из отрицательного числа? Мы можем использовать алгебру, чтобы ответить на этот вопрос.

    Переведем наш вопрос в неравенство. Опять же, при каких значениях h мы получим отрицательную величину под радикалом?

    Подкоренное число равно \(\frac{h-600}{-16}\), поэтому, если мы установим неравенство, мы сможем решить его для h:

    \(\begin{array}{ccc}\frac{h-600}{-16}\lt0\\-16\cdot\frac{h-600}{-16}\lt0\cdot{-16}\\ h-600\gt0\\h\gt600\конец{массив}\)

    Мы можем интерпретировать это как «когда высота больше 600 футов, подкоренная часть будет отрицательной и, следовательно, не будет действительным числом.Если вы перечитаете вопрос, то увидите, что высоты больше 600 даже не имеют смысла, потому что объект начинается с высоты 600 футов и падает к земле, поэтому высота уменьшается. Понимание того, в какой области находятся наши переменные, важно в задачах приложений, чтобы мы могли получить ответы, которые имеют смысл.

    Радикальные уравнения играют важную роль в науке, технике и даже музыке. Иногда вам может понадобиться использовать то, что вы знаете о радикальных уравнениях, для решения различных переменных в задачах такого типа.

    Резюме

    Обычный метод решения радикальных уравнений заключается в возведении обеих частей уравнения в любую степень, которая уберет из уравнения знак радикала. Но будьте осторожны: когда обе части уравнения возводятся в степень и даже , существует вероятность того, что будут введены посторонние решения. При решении радикального уравнения важно всегда проверять свой ответ, подставляя значение обратно в исходное уравнение. Если вы получаете истинное утверждение, то это значение является решением; если вы получите ложное утверждение, то это значение не является решением.

     


    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.