Решение неравенства примеры: Тема 4. Неравенства и системы неравенств

Содержание

Решение неравенств второй степени с одной переменной

Неравенства вида:

где х — переменная,

a, b, c - некоторые числа.

В левой части неравенства записан квадратный трёхчлен. Решение неравенства сводится к нахождению множества значений переменной х, при которых квадратный трёхчлен принимает положительные или отрицательные значения.

Алгоритм решения неравенств второй степени:

1.     Определить направление ветвей параболы .

2.     Найти корни квадратного уравнения .

3.     Изобразить схематический график.

4.     Выбрать множество значений х, соответствующих знаку неравенства.

5.     Записать ответ.

Решим несколько неравенств второй степени, придерживаясь данного алгоритма.

Первое неравенство:

Рассмотрим квадратичную функцию:

Так как а=1, значит ветви параболы направлены вверх.

Отметим эти значения на оси:

Решением данного неравенства будет объединение промежутков:

Второе неравенство:

Рассмотрим квадратичную функцию:

Так как а=3, значит ветви параболы направлены вверх.

Решим соответствующее квадратное уравнение:

Отметим эти значения:

Решением данного неравенства будет:

Третье неравенство:

Рассмотрим квадратичную функцию:

Так как а=-7, значит ветви параболы направлены вниз.

Решим соответствующее квадратное уравнение:

Данное неравенство не имеет решений.

Пример.

Определить, при каком значении переменной

b уравнение имеет корни:

 

Найдем дискриминант этого уравнения:

Тогда выполнение задания сводиться к решению неравенства второй степени. Причём с нестрогим знаком, больше либо равно.

Применив алгоритм, найдем корни уравнения:

Изобразим их на числовой прямой:

Уравнение имеет корни:

Пример.

Решить систему неравенств:

Решим каждое неравенство в отдельности.

В первом случае:

Во втором случае:

Мы получили решение двух неравенств второй степени. Вернёмся к системе. Решением системы будет пересечение двух решений. Значит, решением системы будет объединение промежутков:

Примеры решения неравенств — презентация онлайн

ГИА — 2016
Открытый банк заданий
по математике
Задача №8
Ответ: 2
Ответ: 3
Ответ: 4
Ответ: 1
Ответ: 4
Ответ: 4
Ответ: 3
Ответ: 1
Ответ:
Ответ: 3
Ответ:
Ответ:
Ответ:
Ответ: 3
Ответ: 3
Ответ: 2

10.

Примеры решения неравенств Решите неравенство:
-8х-6>0
8х 6 0
8x 6
x 0,75
х
-0,75
Ответ:
; 0,75
Решите неравенство:
5x 1 0
5х 1 0
5x 1
x 0,2
х
-0,2
Ответ:
0,2;
При каких значениях х значение выражения
-3х+2 меньше значения выражения 4+3х ?
3х 2 4 3x
6x 2
1
x
3
1
3
1
Ответ: ;
3
х
Решите неравенство:
3 4 х 9
3 4 х 9
12 3x 9
3x 21
x 7
х
-7
Ответ:
7;
Решите неравенство:
7 х 3 4 3x
7 х 3 4 3x
7 x 21 4 3x
10 x 25
x 2,5
х
-2,5
Ответ:
2,5;
Решите неравенство:
5 2 3х 5 1
5 2 3х 5 1
5 6x 10 1
6x 6
x 1
х
1
Ответ:
1;
Решите неравенство:
4х 4 3х 5 8x 8
4 х 4 3х 5 8x 8
4x 12х 20 8x 8
8x 12
x 1,5
х
1,5
Ответ:
;1,5
Решите неравенство:
х 8 х 12 0
2
х 8 х 12 0
2
х 8 х 12 0
2
x1 6 x2 2
( х 6)( х 2) 0
х
-6
Ответ:
6; 2
-2
Решите неравенство:
х 5 х 36 0
2
х 5 х 36 0
2
х 5 х 36 0
x1 9 x2 4
2
( х 9)( х 4) 0
х
-9
Ответ:
9;4
4
Решите неравенство:
х 12 х 9 9 x х
2
х 12 х 9 9 x х
2
2 х 3х 9 0
2
2 х 3х 9 0
x1 1,5 x2 3
2
2
2
2( х 1,5)( х 3) 0
х
-1,5
Ответ:
3
; 1,5 3;
Решите неравенство:
x 20
х х 9 x
920
2
х 9 х 20 0
2
х 9 х 20 0
x1 5 x2 4
( х 5)( х 4) 0
2
2
х
-5
Ответ:
-4
; 5 4;
Решите неравенство:
х х 4 2 6 х
2
2
х х 4 6х
2
5х х 4 0
2
5х х 4 0
x1 0,8 x2 1
5( х 0,8)( х 1) 0
2
х
-0,8
Ответ:
1
; 0,8 1;
Решите неравенство:
2 х15
152 х 2 х
х х 2
х
2
х 2 х 15 0 : (-1)
2
х 2 х 15 0
2
х 2 х 15 0
x1 5 x2 3
( х 5)( х 3) 0
2
2
2
2
х
-5
Ответ:
5;3
3
Решите неравенство:
2 3
24 х 8 x 28 х
4 х 8 x 28 х 3
2
2
4 х 8 x 28 х 6 х 9
2
5 х 14 х 19 0 : (-1)
2
5 х 14 х 19 0
2
5 х 14 х 19 0
2
2
x1 1 x2 3,8
5( х 1)( х 3,8) 0
х
-1
3,8
Ответ:
; 1 3,8;

Равносильные неравенства.

Основные приемы решения неравенств

Два неравенства, содержащие одни и те же неизвестные, называются равносильными, если они верны при одних и тех же значениях этих неизвестных.

Так же определяется равносильность двух систем неравенств.

Пример 1. Неравенства 3х+1 > 2x+4 и 3x > 2x+3 равносильны, так как оба верны при x > 3 и оба неверны, когда x ≤ 3

Пример 2. Неравенства 2x ≤ 6 и x≤ 9 не равносильны, так как решение первого есть x ≤ 3, а решение второго -3x ≤ x ≤ 3, так что, например x = -4 первое верно, а второе неверно.

Процесс решения неравенства заключается в основном в замене данного неравенства (или данной системы неравенств) другими равносильными1. При решении неравенств применяются следующие основные приемы (ср. § 18).

1. Замена одного выражения другим, тождественно ему равным.
2. Перенос слагаемого из одной части неравенства в другую с заменой знака на противоположный (в силу § 50, п.3).


3. Умножение или деление обеих частей неравенства на одну и ту же числовую величину (не равную нулю). При этом если множитель положителен, то знак неравенства остается тем же, если же отрицателен, то знак неравенства меняется на противоположный (§ 50, п.6).

Каждое их этих преобразований дает неравенство, равносильное исходному.

Пример. Дано неравенство (2x-3)< 4x2+2. Заменяем левую часть тождественно равным выражением 4x2-12x+9. Получаем 4x2-12x+9 < 4x2+2. Переносим из правой части член 4x2в левую, а из левой части член 9 в правую часть. После приведения подобных членов получаем

-12x(7/12).

Умножать (а также делить) неравенство на нуль нельзя. Умножая или деля обе части неравенства на буквенные выражения, мы получаем неравенство, которое, как правило, не равносильно исходному.

Пример. Дано неравенство (x-2)x < x-2. Если разделить обе его части на x-2, то получим x < 1. Но это неравенство не равносильно исходному, так как, например, значение x=0 не удовлетворяет неравенству (x-2)x < x-2. Неравенство x < 1 тоже не равносильно исходному, так как, например, значение x=3 неравенству (x-2)x

Решение неравенств: обзор

Решение Неравенства: обзор (стр. 1 из 3)

Разделы: Линейные неравенства, Квадратичные неравенства, Другие неравенства


Решение линейных неравенств очень похоже на решение линейные уравнения, за исключением одной маленькой, но важной детали: вы переворачиваете знак неравенства всякий раз, когда вы умножаете или делите неравенство на минус. Самый простой способ показать это на нескольких примерах:

    1)

     

    Графически, решение:

    только разница между линейным уравнением « x + 3 = 2″ и это линейное неравенство что у меня знак «меньше» вместо «равно» подписать. Метод решения точно такой же: вычесть 3 из любая сторона.

    Обратите внимание, что решение неравенства «меньше, но не равно» изображается скобками (или открытой точкой) в конечной точке, указывает, что конечная точка не включена в решение.

    2)

    Графически, решение:

    единственная разница между линейным уравнением «2 − х = 0 дюймов и это линейное неравенство является знаком «больше чем» вместо знака «равно».

    Обратите внимание, что « х » в решении не «должен» быть слева. Однако часто легче представить, что означает решение. с переменной слева. Не бойтесь переставлять вещи на ваш вкус.

    3)

     

    Графически, решение:

    только разница между линейным уравнением «4 x + 6 = 3 x — 5» и это неравенство является «меньше или равно» знак вместо простого знака «равно». Решение метод точно такой же.

    Обратите внимание, что решение неравенства «меньше или равно» на графике с квадратной скобкой (или закрытой точкой) в конечная точка, указывающая, что конечная точка включена в решение.

    4)

     

    Графически, решение:

    метод решения здесь состоит в том, чтобы разделить обе части на положительные два.

    Авторские права © Элизабет Стапель 1999-2011 Все права защищены

    5)

     

    Графически, решение:

    Это является частным случаем, отмеченным выше.Когда я разделил на минус два, мне пришлось перевернуть знак неравенства.

Правило из примера 5 выше часто кажется учащимся необоснованным в первый раз, когда они его видят. Но подумайте о неравенствах с числами вместо переменных. Вы знаете, что число четыре больше числа два: 4 > 2. Умножение через это неравенство на −1, мы получаем −4 < −2, что числовая строка показывает верно:

Если бы мы не перевернули неравенство, мы бы получили «−4 > −2», что явно не соответствует действительности.

Верх  |  1 | 2 | 3   | Вернуться к индексу  Далее >>

Процитировать эту статью как:

Стапель, Элизабет. «Решение неравенства: обзор». Пурпурная математика . Доступно с
https://www.purplemath.com/modules/ineqsolv. хтм . Доступ [Дата] [Месяц] 2016
 

 

Решение линейных неравенств: элементарные примеры

Решение Линейные неравенства:
Элементарные примеры 
(стр. 2 из 3)

Разделы: Введение и форматирование, Элементарные примеры, Расширенный примеры


    Если бы мне дали «2 х = 9″, я бы разделили по 2 с каждой стороны.Я могу сделать то же самое здесь:

    Тогда решение: x < 9 / 2

    …или, если хотите десятичные дроби (и если ваш инструктор примет вместо них десятичные эквиваленты дробей):

    Если бы мне дали « x / 4 = 1 / 2 «, Я бы умножил обе части на 4. Я могу сделать то же самое здесь:

    Тогда решение: x > 2

    Помните, как я это говорил решение линейных неравенств «почти» точно такое же, как решение линейные уравнения? Ну, это единственное место, где все по-другому. Чтобы объяснить, что я собираюсь сделать, рассмотрим следующее: Авторское право © Элизабет Стапель 2002-2011 Все права защищены

    Что происходит с вышеперечисленным неравенство, когда я умножаю на –1? Возникает соблазн сказать, что ответ будет «–3 > –2″.Но –3 не больше , чем –2; на самом деле меньше . То есть правильное неравенство на самом деле следующее:

    Как видите, умножение отрицательным («–1», в этом случае) перевернул знак неравенства с «больше чем» на «меньше чем». Это новый способ решения неравенств:

    .

      При решении неравенств если вы умножаете или делите на минус, вы также должны перевернуть знак неравенства.

    Чтобы решить «–2 x < 5", мне нужно разделить на минус («–2»), поэтому мне нужно будет перевернуть неравенство:

    Тогда решение: x > –5 / 2

  • Решить (2 x – 3) / 4   < 2 .

    Сначала я умножу через 4. Начиная с «4» положительно, мне не нужно переворачивать знак неравенства:


Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактикуйтесь в решении линейного неравенства. Попробуйте введенное упражнение или введите свое собственное упражнение. Затем нажмите кнопку «бумажный самолетик», чтобы сравнить ответ на Мэтуэй. (Или пропустите виджет и продолжите урок.)

(Нажмите, чтобы просмотреть шаги) на экране ответов виджета вы перейдете на сайт Mathway для платного обновления .)


    Это то, что называется «сложное неравенство». Это работает так же, как обычные неравенства, за исключением того, что у него три «стороны». Так, например, когда я перейти к вычесть 4, Мне придется вычесть его со всех трех «сторон».


Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы потренироваться решать интервальное неравенство. Попробуйте введенное упражнение или введите свое собственное упражнение. Затем нажмите кнопку «бумажный самолетик», чтобы сравнить ответ на Мэтуэй. (Или пропустить виджет и продолжить урок.)

(Нажмите, чтобы просмотреть шаги) на экране ответов виджета вы перейдете на сайт Mathway для платного обновления . )

<< Предыдущий  Наверх  |  1 | 2 | 3   | Вернуть к индексу  Далее >>

Процитировать эту статью как:

Стапель, Элизабет. «Решение линейных неравенств: элементарные примеры». Пурпурная математика . Доступно с
https://www.purplemath.com/modules/ineqlin2.htm . Доступ [Дата] [Месяц] 2016
 

Решение неравенств

Линейных неравенств называют также первыми неравенства степени, как высшая степень переменной (или местоимения) в этих неравенствах равно 1.

напр. 4 х > 20 — неравенство первой степени, которое часто называют линейным неравенством.

Многие задачи можно решить с помощью линейных неравенств.

Мы знаем, что линейное уравнение с одной прочислительной имеет только одно значение для решения, которое верно. Например, линейное уравнение 6 x = 24 верно только тогда, когда x = 4. Однако линейное неравенство 6 x > 24 выполняется, когда x > 4. Итак, существует много значений x , которые удовлетворяют неравенству 6 x > 24.

Точно так же мы можем показать, что все числа больше 4 удовлетворяют этому неравенство.


Неравенства, связанные с одной операцией
Напомним, что:
  • одно и то же число можно вычесть из обеих частей неравенства
  • к обеим частям неравенства можно добавить одно и то же число
  • обе части неравенства можно умножить (или разделить) на тот же положительный номер
  • , если неравенство умножается (или делится) на одно и то же отрицательное номер, затем:


Вычитание числа из каждой части неравенства

Вычитание числа из каждой части неравенства не меняет знак неравенства.

Пример 21

Решение:


Примечание:

(i) Набор решений состоит из всех чисел больше 4 и отображается в числовой строке следующим образом:

      Кольцо под номером 4 на этой диаграмме означает, что 4 не является элементом набор решений.


Пример 22

Решение:


Примечание:

(i) Набор решений состоит из всех чисел, меньших или равных до 2, как показано в следующей числовой строке.


      Сплошная точка на цифре 2 на диаграмме означает, что 2 является элементом множества решений.


Основные термины

линейных неравенства, первое степень неравенства

10 решений по борьбе с экономическим неравенством

На этой фотографии, сделанной 10 сентября 2009 года, сборочный завод Ford Motor Company в Уиксоме площадью 320 акров пустует в Уиксоме, штат Мичиган (AP Photo/Paul Sancya)

На прошлой неделе CBS представила Портфель , новую реалити-программу, созданную Дэвидом Брумом, который также продюсирует Самый большой неудачник .В отличие от участников других популярных реалити-шоу, люди в Портфель не соревнуются за полностью оплаченный приз за медовый месяц или возможность работать шеф-поваром во всемирно известном ресторане. Скорее, борющимся семьям дарят портфель, наполненный наличными в размере 101 000 долларов, которых достаточно, чтобы вытащить их из нынешних экономических трудностей, чтобы они больше не жили от зарплаты до зарплаты.

Но «сумма денег, изменяющая жизнь», как выразился Брум, не предлагается без оговорки: Портфель затем бессердечно призывает эти семьи определить, готовы ли они разделить денежный приз с другой семьей, которая считается нуждающимся в равной или большей степени.Получателям портфеля предоставляется информация о трудностях другой семьи, чтобы определить, заслуживают ли они больше денег или, по крайней мере, некоторой их части. Затем происходит встреча между семьями лицом к лицу, на которой выясняется, будут ли и как разделены деньги, и — подождите — что обеим семьям на самом деле дали портфели с наличными и сказали решить, кто был более достоин бабла.

По сути, Портфель противопоставляет финансовые трудности одной семьи другим, подталкивая семьи к грани «доказывания», что они достойны денежной помощи.

Просить семьи определить, кто из них испытывает «наибольшую нужду» или «наиболее заслуживает», — это невозможный выбор, который не должна делать ни одна семья. В 2006 году, в преддверии краха автомобильной промышленности, завод автозапчастей, на котором работал мой отец, должен был закрыться. Я отчетливо помню непреодолимую тревогу и надвигающуюся неуверенность в экономическом будущем моей семьи, которые я чувствовал в 16 лет: я начал задаваться вопросом, потеряем ли мы наш дом, смогу ли я поступить в колледж, или наша семья будет в состоянии выдержать неожиданную неотложную медицинскую помощь, если мой отец потеряет работу.

Натравливание борющихся американцев друг против друга усиливается нашей нынешней экономической политикой и бюджетными дебатами.

Чувствуя себя совершенно безнадежно, я молился, чтобы другой завод был закрыт вместо завода моего отца. В конце концов, фабрика моего отца осталась открытой, но другие поблизости закрылись.

В то время я считал, что мои молитвы служат интересам краткосрочной безопасности и долгосрочной стабильности моей семьи. Мои родители много работали, чтобы обеспечить нас, и играли по правилам; разве мы не заслужили право на экономическую безопасность? Оглядываясь назад, я, по сути, делал то же самое, что и семьи в . Портфель : определить, превосходят ли настоящие трудности и экономические трудности их собственной семьи тяжелое финансовое положение другой семьи.

Когда я впервые узнал о предпосылке Портфель , я сразу подумал о тех рабочих, чьи семьи содержались автомобильной промышленностью, пока они не получили уведомление об административном правонарушении. В частности, я думаю об их детях, которые, как и я, возможно, также молились о сохранении рабочих мест своих родителей или опекунов, но чья жизнь была перевернута.

Натравливание борющихся американцев друг против друга не является чем-то новым для Соединенных Штатов; Различие между так называемыми «недостойными бедняками» и «достойными бедняками» уже давно диктует политические дебаты о том, как наиболее эффективно бороться с бедностью в Америке.Более того, стравливание борющихся американцев друг с другом усиливается нашей нынешней экономической политикой и бюджетными дебатами.

На федеральном уровне мы видим, как борющиеся американцы противопоставляются друг другу из-за драконовских, самовольных ограничений бюджета, которые противопоставляют друг другу важнейшие приоритеты внутренних расходов, такие как программы профессиональной подготовки, доступное жилье и финансирование школ. На уровне штатов мы видим, как законодатели классифицируют «заслуживающих бедных» и «недостойных бедных», принимая такие меры, как обязательное тестирование на наркотики и требования к работе для людей, нуждающихся в денежной помощи.Кроме того, мы заставляем борющиеся семьи прыгать через обручи, которые не требуются от других людей, получающих государственную помощь.

Вместо того, чтобы уделять внимание телевизионным программам, увековечивающим пагубные стереотипы о «достойных бедняках», американское общество должно направить свое коллективное сознание на поддержку политики, которая выведет эти семьи из экономических трудностей. Такие меры, как повышение федеральной минимальной заработной платы, принятие законодательства об оплачиваемых больничных, расширение программы Medicaid во всех штатах, инвестирование в высококачественные дошкольные программы и сдерживание стремительного роста стоимости обучения в колледжах Америки — это лишь некоторые из многих способов, которыми мы можем помочь справиться с бедственным положением американских семей. Возможно, тогда этим семьям не пришлось бы прибегать к эксплуататорским параметрам новейшего дополнения CBS в прайм-тайм.

В своем рекламном ролике Портфель справедливо отмечает, что «по всей Америке трудолюбивые семьи среднего класса ощущают на себе влияние растущего долга и сокращения зарплат». Но, используя очень реальную и болезненную борьбу, которая сопровождает финансовые трудности, Портфель оказывает медвежью услугу семьям рабочего и среднего класса Америки, выставляя их страдания как «развлечение в прайм-тайм».

Научитесь решать неравенства и строить графики на числовой прямой

В этом видео мы научимся решать линейные неравенства. После того, как вы закончите этот урок, просмотрите все наши уроки по алгебре 1 и практические задачи.

Например:

Сначала разделим неравенства:

                                            

                              

 

                                                    

                                                      

Пример 1

Сначала разделим неравенства:

                                          

                              

                                                 

                                                 

                                                    

Пример 2

5x+3\leq18
Сначала вычтите 3 с обеих сторон
5x+3-3\leq18-3
5x\leq15
Затем разделите 5 с обеих сторон, чтобы выделить x
\dfrac{5x}{5}\leq \dfrac{15}{5}
x\leq 3

Стенограмма видеоурока

В этом уроке мы рассмотрим решение линейных неравенств.

Это очень похоже на решение линейных уравнений, за исключением одного:

Если мы умножаем или делим на отрицательное число, мы должны перевернуть знак неравенства.

Таким образом, такой знак можно было бы перевернуть в другую сторону и получить такой .

Давайте рассмотрим пример:

Итак, давайте будем рассматривать знак неравенства как обычный знак равенства при решении.

Сначала добавим с обеих сторон.

Отсюда мы должны разделить на, чтобы изолировать файл .

И получаем

Это наш ответ.

Итак, если нам нужно изобразить это на графике, давайте нарисуем числовую линию и нарисуем незакрашенный круг в точке . Открытый круг, потому что не равно. Затем сделайте стрелку, идущую влево.

Далее имеем

Опять же, при решении мы будем рассматривать его как обычное уравнение.

Первое, что нам нужно сделать, это избавиться от , поэтому мы вычтем обе стороны.

Тогда давайте найдем путем деления на .

И поскольку мы делим на , нам нужно поменять знак неравенства.

Наш ответ

Помните, что при делении на отрицательное число всегда нужно перевернуть знак.

Не имеет значения, положительный или отрицательный дивиденд. Все, о чем мы заботимся, это когда делитель отрицательный, это время, когда мы меняем знак.

Если мы нарисуем ответ, давайте нарисуем числовую линию.

Нарисуйте незакрашенный круг под номером . Это не закрашенный кружок, потому что он не равен.

Поскольку больше, нарисуйте линию, идущую вправо.

Опять же, решение неравенств очень похоже на решение обычных уравнений, за исключением того, что если мы умножаем или делим на отрицательное число, мы должны поменять знак.

Еще одно отличие состоит в том, что у нас не будет явного ответа или явного решения для . Это будет диапазон чисел.

У нас не будет равно числу.

Наш ответ: любое число меньше или больше числа. Вплоть до бесконечности.

Здесь мы имеем более сложное неравенство.

У нас два разных условия.

и

Что нам нужно сделать, так это разделить это на два разных неравенства.

и

Сначала решим левое неравенство.

Добавим с обеих сторон.

Затем решите делением на .

Теперь решим второе неравенство.

Начнем с добавления с обеих сторон.

Затем найдите, разделив обе части на .

Давайте нарисуем числовую линию, чтобы изобразить эти два неравенства, начиная с и заканчивая .

Для , мы должны нарисовать незакрашенный круг под номером . Открытый круг, потому что это не равно. А так как оно больше, нарисуйте линию, идущую вправо.

Теперь для , поэтому давайте нарисуем заштрихованный круг в , так как он также равен ему. Затем нарисуйте линию, идущую влево.

Далее проведите линию к другому кругу.

Теперь этот отрезок представляет наше решение.

Наш ответ можно также записать как:

Обратите внимание, что две конечные точки также являются конечными номерами — и .

И находится где-то между этими двумя числами, но также может быть равно .

Давайте еще одно комплексное неравенство.

Разобьем это на два простых неравенства.

и

Давайте поработаем над первым неравенством, сложив обе части.

Чтобы решить, разделите обе части на.

Теперь решим второе неравенство.

Начнем с добавления с обеих сторон.

Чтобы найти , мы разделим обе части на .

Итак, теперь мы нарисуем это числовой линией.

Нарисуйте открытый круг, так как он не равен. Затем нарисуйте линию, идущую вправо, так как больше, чем .

Затем нарисуйте заштрихованный круг, потому что он может быть равен ему. Затем нарисуйте линию, идущую влево, так как меньше, чем .

Две стрелки указывают в разные стороны.

Теперь мы можем записать наше решение как

.

или

не сможет удовлетворить обоих, поэтому пишем «или».

2.5 Решение линейных неравенств — средний уровень алгебры 2e

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Графические неравенства на числовой прямой
  • Решение линейных неравенств
  • Переведи слова в неравенство и реши
  • Решение приложений с линейными неравенствами

Будь готов 2.

13

Прежде чем начать, пройдите этот тест на готовность.

Перевести с алгебры на английский: 15>x.15>х.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 1.3.

Будь готов 2.14

Переведите в алгебраическое выражение: 15 меньше, чем x .
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 1.8.

Графические неравенства на числовой прямой

Какое число сделает неравенство x>3x>3 верным? Вы думаете, что « x может быть четыре»? Это верно, но x тоже может быть 6, или 37, или даже 3.001. Любое число больше трех является решением неравенства x>3.x>3.

Мы показываем все решения неравенства x>3x>3 на числовой прямой, заштриховывая все числа справа от трех, чтобы показать, что все числа больше трех являются решениями. Поскольку число три само по себе не является решением, мы поставили перед ним открывающую скобку.

Мы также можем представить неравенства, используя обозначение интервала . Верхнего предела решения этого неравенства нет.В интервальных обозначениях мы выражаем x>3x>3 как (3,∞).(3,∞). Символ ∞∞ читается как « бесконечность ». Это не настоящее число.

На рис. 2.2 показаны как числовая линия, так и интервальная запись.

Фигура 2.2 Неравенство x>3x>3 изображено на этой числовой прямой и записано в интервальной записи.

Мы используем символ левой скобки (, чтобы показать, что конечная точка неравенства не включена. Символ левой скобки, [, показывает, что конечная точка включена.

Неравенство x≤1x≤1 означает, что все числа меньше или равны единице. Здесь нужно показать, что одно тоже является решением. Мы делаем это, помещая скобку в x=1.x=1. Затем мы заштриховываем все числа слева от единицы, чтобы показать, что все числа меньше единицы являются решениями. См. рис. 2.3.

Нижняя часть этих чисел не ограничена. Мы пишем x≤1x≤1 в записи интервала как (−∞,1].(−∞,1]. Символ −∞−∞ читается как «отрицательная бесконечность». На рис. 2.3 показаны как числовая прямая, так и запись интервала.

Фигура 2.3 Неравенство x≤1x≤1 изображено на этой числовой прямой и записано в интервальной записи.

Неравенства, числовые линии и запись интервалов

В обозначениях неравенств на числовой прямой и в обозначениях интервалов используются одни и те же символы для обозначения конечных точек интервалов.

Пример 2,48

Изобразите каждое неравенство на числовой прямой и запишите в виде интервала.

ⓐ х≥−3x≥−3 ⓑ х<2,5x<2.5 ⓒ x≤−35x≤−35

Решение

Попытайся 2,95

Изобразите каждое неравенство на числовой прямой и запишите в виде интервала: ⓐ x>2x>2 ⓑ x≤−1,5x≤−1,5 ⓒ x≥34.x≥34.

Попытайся 2,96

Изобразите каждое неравенство на числовой прямой и запишите в виде интервала: ⓐ x≤−4x≤−4 ⓑ x≥0,5x≥0,5 ⓒ x<−23,x<−23.

Какие числа больше двух, но меньше пяти? Вы думаете, скажем, 2,5,3,323,4,4,99?2.5,3,323,4,4,99? Мы можем представить все числа от двух до пяти с помощью неравенства 2

Фигура 2,4

Пример 2,49

Изобразите каждое неравенство на числовой прямой и запишите в виде интервала.

ⓐ −3

Решение

Попытайся 2,97

Изобразите каждое неравенство на числовой прямой и запишите в виде интервала:

ⓐ −2

Попытайся 2,98

Изобразите каждое неравенство на числовой прямой и запишите в виде интервала:

ⓐ −6

Решение линейных неравенств

Линейное неравенство очень похоже на линейное уравнение, но знак равенства заменен знаком неравенства. Линейное неравенство — это неравенство с одной переменной, которое может быть записано в одной из форм: ax+bc ,ax+b>c или ax+b≥c.ax+b≥c.

Линейное неравенство

Линейное неравенство — это неравенство с одной переменной, которое может быть записано в одной из следующих форм, где a , b и c — действительные числа и a≠0a≠0:

ax+bc,ax+b≥c.ax+bc,ax+b≥c.

Когда мы решали линейные уравнения, мы могли использовать свойства равенства, чтобы складывать, вычитать, умножать или делить обе части и при этом сохранять равенство.Аналогичные свойства справедливы и для неравенств.

Мы можем прибавить или вычесть одно и то же количество из обеих частей неравенства и при этом сохранить неравенство. Например:

Обратите внимание, что знак неравенства остался прежним.

Это приводит нас к свойствам сложения и вычитания неравенства.

Сложение и вычитание свойства неравенства

Для любых чисел a , b и c , если a a+c Для любых чисел a , b и c, , если a>b,thena>b, то

а+с>б+са-с>б-са+с>б+са-с>б-с

Мы можем прибавить или вычесть одно и то же количество из обеих частей неравенства и при этом сохранить неравенство.

Что произойдет с неравенством, если мы разделим или умножим обе его части на константу?

Давайте сначала умножим и разделим обе части на положительное число.

Знаки неравенства остались прежними.

Остается ли неравенство неизменным при делении или умножении на отрицательное число?

Обратите внимание, что когда мы заполняли знаки неравенства, знаки неравенства меняли свое направление.

Когда мы делим или умножаем неравенство на положительное число, знак неравенства остается прежним.Когда мы делим или умножаем неравенство на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.

Это дает нам свойство неравенства умножения и деления.

Свойство умножения и деления неравенства

Для любых номеров a , b и c ,

умножить или разделить на положительное ifa0,thenacbandc>0,thenac>bcandac>bc.умножить или разделить на отрицательноеifabcandac>bc.ifa>bandc<0,thenac0,thenacbandc>0,thenac>bcandac>bc.умножьте или разделите на отрицательноеifabcandac>bc.ifa>bandc<0,thenac Когда мы делим или умножаем неравенство на a :

  • положительное число, неравенство остается прежним.
  • отрицательное число, неравенство меняется на противоположное.

Иногда при решении неравенства, как в следующем примере, переменная заканчивается справа.Мы можем переписать неравенство в обратном порядке, чтобы получить переменную слева.

x>aимеет то же значение, что и aaимеет то же значение, что и aa Думайте об этом так: «Если Ксандер выше Энди, то Энди ниже Ксандера».

Пример 2,50

Решите каждое неравенство. Нанесите решение на числовую прямую и запишите решение в интервальной записи.

ⓐ x−38≤34x−38≤34 ⓑ 9y<​549y<​54 ⓒ −15<35z−15<35z

Решение

Попытайся 2.99

Решите каждое неравенство, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи:

ⓐ p−34≥16p−34≥16 ⓑ 9c>729c>72 ⓒ 24≤38m24≤38m

Попытайся 2.100

Решите каждое неравенство, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи:

ⓐ r−13≤712r−13≤712 ⓑ 12d≤​6012d≤​60 ⓒ −24<43n−24<43n

Будьте осторожны при умножении или делении на отрицательное число — не забывайте менять знак неравенства.

Пример 2,51

Решите каждое неравенство, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

ⓐ −13m≥65−13m≥65 ⓑ n−2≥8n−2≥8

Решение

Попытайся 2.101

Решите каждое неравенство, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи:

ⓐ −8q<32−8q<32 ⓑ k−12≤15.k−12≤15.

Попытайся 2.102

Решите каждое неравенство, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи:

ⓐ −7r≤​−70−7r≤​−70 ⓑ u−4≥−16.и-4≥-16.

Для решения большинства неравенств требуется более одного шага. Мы следуем тем же шагам, что и в общей стратегии решения линейных уравнений, но обязательно уделяем пристальное внимание умножению или делению, чтобы изолировать переменную.

Пример 2,52

Решите неравенство 6y≤11y+17,6y≤11y+17, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

Решение

Попытайся 2.103

Решите неравенство, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи: 3q≥7q−23,3q≥7q−23.

Попытайся 2.104

Решите неравенство, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов: 6x<10x+19,6x<10x+19.

При решении неравенств обычно проще всего собрать переменные на той стороне, где коэффициент при переменной больше. Это устраняет отрицательные коэффициенты, и поэтому нам не нужно умножать или делить на минус, а это значит, что нам не нужно помнить об изменении знака неравенства.

Пример 2,53

Решите неравенство 8p+3(p−12)>7p−28,8p+3(p−12)>7p−28, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Решение
8р+3(р-12)>7р-288р+3(р-12)>7р-28
Максимально упростите каждую сторону.
Распределить. 8p+3p-36>7p-288p+3p-36>7p-28
Объедините похожие термины. 11p-36>7p-2811p-36>7p-28
Вычтите 7p7p с обеих сторон, чтобы получить
переменных слева, так как 11>7.11>7.
11p-36-7p>7p-28-7p11p-36-7p>7p-28-7p
Упрощение. 4р-36>-284р-36>-28
Добавьте 36 к обеим сторонам, чтобы собрать константы
справа.
4р-36+36>-28+364р-36+36>-28+36
Упрощение. 4п>84п>8
Разделите обе части неравенства на
4; неравенство остается прежним.
4п4>​844п4>​84
Упрощение. р>2р>2
Нарисуйте решение на числовой прямой.
Запишите решение в интервальной записи. (2,∞)(2,∞)

Попытайся 2.105

Решите неравенство 9y+2(y+6)>5y−249y+2(y+6)>5y−24, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

Попытайся 2.106

Решите неравенство 6u+8(u−1)>10u+326u+8(u−1)>10u+32, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Точно так же, как некоторые уравнения являются тождествами, а некоторые противоречиями, неравенства также могут быть тождествами или противоречиями. Мы распознаем эти формы, когда при решении неравенства у нас остаются только константы. Если результатом является истинное утверждение, у нас есть тождество. Если результатом является ложное утверждение, мы имеем противоречие.

Пример 2,54

Решите неравенство 8x−2(5−x)<4(x+9)+6x,8x−2(5−x)<4(x+9)+6x, нарисуй решение на числовой прямой и напиши решение в интервальной записи.

Решение
Максимально упростите каждую сторону. 8x−2(5−x)<4(x+9)+6x8x−2(5−x)<4(x+9)+6x
Распределить. 8x−10+2x<4x+36+6x8x−10+2x<4x+36+6x
Объедините похожие термины. 10x−10<10x+3610x−10<10x+36
Вычтем 10 x с обеих сторон, чтобы получить
переменных слева.
10x−10−10x<10x+36−10x10x−10−10x<10x+36−10x
Упрощение. −10<36−10<36
x исчезли, и у нас есть истинное выражение
.
Неравенство есть тождество.
Решение — все действительные числа.
Нарисуйте решение на числовой прямой.
Запишите решение в интервальной записи. (-∞,∞)(-∞,∞)

Попытайся 2.107

Решите неравенство 4b-3(3-b)>5(b-6)+2b4b-3(3-b)>5(b-6)+2b, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Попытайся 2.

108

Решите неравенство 9h−7(2−h)<8(h+11)+8h9h−7(2−h)<8(h+11)+8h, нарисуй решение на числовой прямой и запиши решение в интервальной записи.

Мы можем очищать дроби в неравенствах так же, как мы это делали в уравнениях. Опять же, будьте осторожны со знаками при умножении или делении на минус.

Пример 2,55

Решите неравенство 13a−18a>524a​+34,13a−18a>524a​+34, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Решение

Попытайся 2.109

Решите неравенство 14x−112x>16x+7814x−112x>16x+78, нарисуй решение на числовой прямой и запиши решение в виде интервалов.

Попытайся 2.110

Решите неравенство 25z−13z<115z−3525z−13z<115z−35, нарисуй решение на числовой прямой и запиши решение в интервальной записи.

Перевести в неравенство и решить

Чтобы перевести английские предложения в неравенства, нам нужно распознать фразы, которые указывают на неравенство. Некоторые слова просты, например, «больше чем» и «меньше чем». Но другие не так очевидны. В Таблице 2.2 показаны некоторые общие фразы, обозначающие неравенства.

>> ≥≥ << ≤≤
больше

больше

больше

больше
больше или равно

не меньше

не меньше

минимум
меньше

меньше

меньше

меньше
меньше или равно

не больше

не больше

не больше

Стол 2. 2

Пример 2,56

Переведи и реши. Затем нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Двадцать семь меньше, чем xi, по крайней мере, 48. Двадцать семь меньше, чем xi, по крайней мере, 48.
Решение

Попытайся 2.111

Переведи и реши. Затем нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Девятнадцать меньше p не меньше 47.

Попытайся 2.112

Переведи и реши. Затем нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

Четыре больше, чем не больше 15.

Решение приложений с помощью линейных неравенств

Многие жизненные ситуации требуют решения неравенств. Метод, который мы будем использовать для решения приложений с линейными неравенствами, очень похож на тот, который мы использовали при решении приложений с уравнениями.

Мы прочитаем задачу и убедимся, что все слова поняты. Далее мы определим, что мы ищем, и назначим переменную для ее представления. Мы переформулируем задачу в одном предложении, чтобы ее было легко перевести в неравенство. Затем решим неравенство.

Иногда приложение требует, чтобы решение было целым числом, но алгебраическое решение неравенства не является целым числом. В этом случае мы должны округлить алгебраическое решение до целого числа.Контекст приложения будет определять, будем ли мы округлять в большую или меньшую сторону.

Пример 2,57

Дон выиграла мини-грант в размере 4000 долларов на покупку планшетных компьютеров для своего класса. Планшеты, которые она хотела бы купить, стоят 254,12 доллара каждый, включая налог и доставку. Какое максимальное количество планшетов можно купить?

Решение
Шаг 1. Прочтите проблему.
Шаг 2.Определите , что вы ищете. максимальное количество таблеток, которые можно купить на рассвете
Шаг 3. Назовите то, что вы ищете.
Выберите переменную для представления этого количества. Letn=количество таблеток. Letn=количество таблеток.
Шаг 4. Перевести . Напишите предложение, которое дает информацию, чтобы найти его. 254,12 долл. США, умноженное на количество планшетов, не превышает 4000 долл. США.
Превратите в неравенство. 254,12n≤4000254,12n≤4000
Шаг 5. Решить неравенство.
Но n должно быть целым числом таблеток, поэтому округлите до 15.
n≤15,74n≤15n≤15,74n≤15
Шаг 6. Проверьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл.
Если округлить цену до 250 долларов, 15 планшетов будут стоить 3750 долларов, а 16 планшетов — 4000 долларов.Таким образом, максимум 15 планшетов по цене $254,12 кажется разумным.
Шаг 7. Ответьте на вопрос полным предложением. Рассвет можно купить максимум 15 таблеток.

Попытайся 2.

113

У Энджи есть 20 долларов, чтобы купить коробки сока для дошкольного пикника ее сына. Каждая упаковка коробок сока стоит 2,63 доллара. Какое максимальное количество пачек она может купить?

Попытайся 2.114

Даниэль хочет удивить свою девушку, отметив день рождения в ее любимом ресторане.Ужин будет стоить 42,75 доллара США на человека, включая чаевые и налог. Его бюджет на вечеринку составляет 500 долларов. Какое максимальное количество людей может быть у Даниэля на вечеринке?

Пример 2,58

Телефонный тариф

стоит Талейше 28,80 долларов в месяц плюс 0,20 доллара за текстовое сообщение. Сколько текстовых сообщений она может отправить/получить, чтобы ее ежемесячный счет за телефон не превышал 50 долларов?

Решение
Шаг 1. Прочтите проблему.
Шаг 2. Определите , что вы ищете. количество текстовых сообщений, которые Талейша может сделать
Шаг 3. Назовите то, что вы ищете.
Выберите переменную для представления этого количества. Lett=количество текстовых сообщений.Lett=количество текстовых сообщений.
Шаг 4. Переведите Напишите предложение, которое дает информацию, чтобы найти его. 28,80 долл. США плюс 0,20 долл. США, умноженное на количество текстовых сообщений, меньшее или равное 50 долл. США.
Превратите в неравенство. 28,80+0,20t≤5028,80+0,20t≤50
Шаг 5. Решить неравенство. 0,2t≤21,2t≤106текстовых сообщений0,2t≤21,2t≤106текстовых сообщений
Шаг 6. Проверьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл.
Да, 28,80+0,20(106)=50. Да, 28,80+0,20(106)=50.
Шаг 7. Напишите предложение, отвечающее на вопрос. Талейша может отправить/получить не более 106 текстовых сообщений, чтобы ее счет не превышал 50 долларов.

Попытайся 2.115

У Серхио и Лизет очень ограниченный бюджет на отпуск. Они планируют арендовать автомобиль у компании, которая берет 75 долларов в неделю плюс 0,25 доллара за милю. Сколько миль они могут проехать в течение недели, не выходя за рамки своего бюджета в 200 долларов?

Попытайся 2.116

Счет за отопление

Rameen составляет 5,42 доллара в месяц плюс 1,08 доллара за тепло. Сколько терм может использовать Рамин, если он хочет, чтобы его счет за отопление составлял не более 87,50 долларов.

Прибыль — это деньги, которые остаются после вычета затрат из дохода. В следующем примере мы найдем количество работ, которые должна выполнять женщина-предприниматель каждый месяц, чтобы получать определенную прибыль.

Пример 2,59

Фелисити занимается каллиграфией.Она берет 2,50 доллара за приглашение на свадьбу. Ее ежемесячные расходы составляют 650 долларов. Сколько приглашений она должна написать, чтобы получать прибыль не менее 2800 долларов в месяц?

Решение
Шаг 1. Прочтите проблему.
Шаг 2. Определите , что вы ищете. количество приглашений Фелисити нужно написать
Шаг 3. Назовите то, что вы ищете.
Выберите переменную для ее представления.
Letj=количество приглашений.Letj=количество приглашений.
Шаг 4. Переведите. Напишите предложение, которое дает информацию, чтобы найти его. 2,50 доллара США, умноженные на количество приглашений минус 650 долларов США, составляют как минимум 2 800 долларов США.
Превратите в неравенство. 2,50j−650≥28002,50j−650≥2800
Шаг 5. Решить неравенство. 2.5j≥3450j≥1380приглашений2,5j≥3450j≥1380приглашений
Шаг 6. Проверьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл.
Если бы Фелисити написала 1400 приглашений, ее прибыль составила бы
2,50(1400) − 650, или 2850 долларов. Это более 2800 долларов.
Шаг 7. Напишите предложение, отвечающее на вопрос. Фелисити должна написать не менее 1380 приглашений.

Попытайся 2.117

У Калеба есть бизнес по присмотру за домашними животными. Он берет 32 доллара в час. Его ежемесячные расходы составляют 2272 доллара. Сколько часов он должен работать, чтобы получать прибыль не менее 800 долларов в месяц?

Попытайся 2.

118

У Эллиота есть бизнес по уходу за ландшафтом. Его ежемесячные расходы составляют 1100 долларов. Если он берет 60 долларов за работу, сколько работ он должен выполнить, чтобы получать прибыль не менее 4000 долларов в месяц?

Во многих случаях в общий расход вносят вклад несколько величин.Мы должны обязательно учитывать все индивидуальные расходы, когда решаем подобные проблемы.

Пример 2,60

Малик планирует шестидневную поездку на летние каникулы. У него есть 840 долларов сбережений, и он зарабатывает 45 долларов в час за репетиторство. Поездка обойдется ему в 525 долларов за перелет, 780 долларов за еду и осмотр достопримечательностей и 95 долларов за ночь в отеле. Сколько часов он должен заниматься с репетитором, чтобы иметь достаточно денег для оплаты поездки?

Решение
Шаг 1. Прочитайте проблему.
Шаг 2. Определите , что вы ищете. количество часов, которое Малик должен обучать
Шаг 3. Назовите то, что вы ищете.
Выберите переменную для представления этого количества. Leth=количество часов.Leth=количество часов.
Шаг 4. Переведите. Напишите предложение, которое дает информацию, чтобы найти его. Расходы должны быть меньше или равны доходам. Стоимость авиабилетов плюс стоимость еды и осмотра достопримечательностей, а также счет в гостинице должны быть меньше, чем сбережения плюс сумма, заработанная на репетиторстве.
Превратите в неравенство. 525+780+95(6)≤840+45ч525+780+95(6)≤840+45ч
Шаг 5. Решить неравенство. 1,875≤840+45h2,035≤45h33≤hh≥231,875≤840+45h2,035≤45h33≤hh≥23
Шаг 6.Проверьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл.
Подставляем 23 в неравенство.
1,875≤840+45h2,875≤840+45(23)1,875≤18751,875≤840+45h2,875≤840+45(23)1,875≤1875
Шаг 7. Напишите предложение, отвечающее на вопрос. Малик должен заниматься репетиторством не менее 23 часов.

Попытайся 2.119

У лучшей подруги Бренды свадьба, и мероприятие продлится три дня. У Бренды 500 долларов сбережений, и она может зарабатывать 15 долларов в час, присматривая за детьми. Она рассчитывает заплатить 350 долларов за перелет, 375 долларов за еду и развлечения и 60 долларов за ночь за свою долю в номере отеля. Сколько часов она должна нянчиться, чтобы у нее было достаточно денег, чтобы заплатить за поездку?

Попытайся 2.120

Джосуэ хочет отправиться в 10-дневное путешествие с друзьями следующей весной. Бензин будет стоить ему 180 долларов, еда — 450 долларов, а проживание в номере в мотеле — 49 долларов за ночь. У него есть 520 долларов сбережений, и он может заработать 30 долларов за каждую уборку снега на подъездной дорожке.Сколько подъездных дорог он должен расчистить, чтобы хватило денег на поездку?

Раздел 2.5 Упражнения

Практика делает совершенным

Графические неравенства на числовой прямой

В следующих упражнениях изобразите каждое неравенство на числовой прямой и запишите в виде интервалов.

296 .


ⓐ x<−2x<−2
ⓑ x≥−3,5x≥−3,5
ⓒ x≤23x≤23

297 .


ⓐ x>3x>3
ⓑ x≤−0,5x≤−0,5
ⓒ x≥13x≥13

298 .


ⓐ x≥−4x≥−4
ⓑ x<2,5x<2,5
ⓒ x>−32x>−32

299 .


ⓐ x≤5x≤5
ⓑ x≥−1,5x≥−1,5
ⓒ x<−73x<−73

300 .


ⓐ −5 ⓑ −3≤x<1−3≤x<1
ⓒ 0≤x≤1,50≤x≤1,5

301 .


ⓐ −2 ⓑ −5≤x<−3−5≤x<−3
ⓒ 0≤x≤3,50≤x≤3,5

302 .


ⓐ −1 ⓑ −3 ⓒ −1,25≤x≤0−1,25≤x≤0

303 .


ⓐ −4 ⓑ −5 ⓒ −3,75≤x≤0−3,75≤x≤0

Решение линейных неравенств

В следующих упражнениях решите каждое неравенство, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

304 .


ⓐ a+34≥710a+34≥710
ⓑ 8x>728x>72
ⓒ 20>25ч30>25ч

305 .


ⓐ б+78≥16б+78≥16
ⓑ 6л<486л<48
ⓒ 40<58к40<58к

306 .


ⓐ f−1320<−512f−1320<−512
ⓑ 9t≥−279t≥−27
ⓒ 76j≥4276j≥42

307 .


ⓐ г-1112<-518г-1112<-518
ⓑ 7с<-287с<-28
ⓒ 94г≤3694г≤36

308 .


ⓐ −5u≥65−5u≥65
ⓑ a−3≤9a−3≤9

309 .


ⓐ −8v≤96−8v≤96
ⓑ b−10≥30b−10≥30

310 .


ⓐ −9c<126−9c<126
ⓑ −25 311 .


ⓐ −7d>105−7d>105
ⓑ −18>q−6−18>q−6

В следующих упражнениях решите каждое неравенство, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

316 .

12x+3(x+7)>10x−2412x+3(x+7)>10x−24

317 .

9y+5(y+3)<4y-359y+5(y+3)<4y-35

318 .

6ч-4(ч-1)≤7ч-116ч-4(ч-1)≤7ч-11

319 .

4к-(к-2)≥7к-264к-(к-2)≥7к-26

320 .

8m−2(14−m)≥​7(m−4)+3m8m−2(14−m)≥​7(m−4)+3m

321 .

6n−12(3−n)≤9(n−4)+9n6n−12(3−n)≤9(n−4)+9n

322 .

34б-13б<512б-1234б-13б<512б-12

323 .

9u+5(2u−5)≥12(u−1)+7u9u+5(2u−5)≥12(u−1)+7u

324 .

23г-12(г-14)≤16(г+42)23г-12(г-14)≤16(г+42)

325 .

45ч-23(ч-9)≥115(2ч+90)45ч-23(ч-9)≥115(2ч+90)

326 .

56а-14а>712а+2356а-14а>712а+23

327 .

12v+3(4v−1)≤19(v−2)+5v12v+3(4v−1)≤19(v−2)+5v

В следующих упражнениях решите каждое неравенство, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

330 .

23п-2(6-5п)>3(11п-4)23п-2(6-5п)>3(11п-4)

331 .

18q−4(10−3q)<5(6q−8)18q−4(10−3q)<5(6q−8)

332 .

−94x≥−512−94x≥−512

333 .

−218y≤−1528−218y≤−1528

Преобразование в неравенство и решение

В следующих упражнениях переведите и решите. Затем нанесите решение на числовую прямую и запишите решение в интервальной записи.

338 .

Три больше ч не меньше 25.

339 .

Шесть больше k превышает 25.

340 .

Десять меньше, чем w равно минимум 39.

341 .

Двенадцать меньше x не меньше 21.

342 .

Минус пять раз r не более 95.

343 .

Дважды отрицательно s меньше 56.

344 .

Девятнадцать меньше b не больше −22,−22.

345 .

На пятнадцать меньше равно как минимум −7,−7.

Решение приложений с линейными неравенствами

В следующих упражнениях решите.

346 .

Алан загружает поддон коробками, каждая из которых весит 45 фунтов. Поддон может безопасно выдерживать не более 900 фунтов. Сколько коробок он может безопасно загрузить на поддон?

347 .

На лифте в многоквартирном доме Ехире есть табличка с надписью, что максимальный вес составляет 2100 фунтов. Если средний вес одного человека составляет 150 фунтов, сколько человек могут безопасно подняться на лифте?

348 .

Андре присматривает квартиры с тремя своими друзьями.Они хотят, чтобы ежемесячная арендная плата не превышала 2360 долларов. Если соседи по комнате поделят арендную плату поровну между четырьмя из них, какова максимальная арендная плата, которую будет платить каждый?

349 .

Арлин получила подарочную карту на 20 долларов в кафе. Ее любимый напиток со льдом стоит 3,79 доллара. Какое максимальное количество напитков она может купить с помощью подарочной карты?

350 .

Тиган любит играть в гольф. В следующем месяце он заложил в бюджет 60 долларов на тренировочное поле. Каждый раз, когда он уходит, это обходится ему в 10,55 доллара за ведро мячей.Какое максимальное количество раз он может посетить тренировочное поле в следующем месяце?

351 .

Райан берет с соседей 17,50 долларов за то, чтобы они помыли их машину. Сколько машин он должен вымыть следующим летом, если его цель — заработать не менее 1500 долларов?

352 .

Кешад получает 2400 долларов в месяц плюс 6% от продаж. Его брат зарабатывает 3300 долларов в месяц. На какую сумму от общего объема продаж ежемесячная заработная плата Кешада будет выше, чем ежемесячная заработная плата его брата?

353 .

Кимуен нужно зарабатывать 4150 долларов в месяц, чтобы оплачивать все свои расходы.Ее работа приносит ей 3475 долларов в месяц плюс 4% от ее общего объема продаж. Каков минимальный общий объем продаж Кимуен, чтобы она могла оплатить все свои расходы?

354 .

Андре предложили работу начального уровня. Компания предложила ему 48 000 долларов в год плюс 3,5% от общего объема продаж. Андре знает, что средняя зарплата за эту работу составляет 62 000 долларов. Каким должен быть общий объем продаж Андре, чтобы его заработок был по крайней мере таким же высоким, как средний заработок за эту работу?

355 .

Натали рассматривает два предложения работы.Первая работа будет приносить ей 83 000 долларов в год. Второй заплатит ей 66 500 долларов плюс 15% от ее общего объема продаж. Каким должен быть ее общий объем продаж, чтобы ее зарплата во втором предложении была выше, чем в первом?

356 .

Счет Джейка за воду составляет 24,80 доллара США в месяц плюс 2,20 доллара США за сотню кубических футов воды. Какое максимальное количество ccf может использовать Джейк, если он хочет, чтобы его счет не превышал 60 долларов?

357 . Телефонный план

Kiyoshi стоит 17,50 долларов в месяц плюс 0,15 доллара за текстовое сообщение.Какое максимальное количество текстовых сообщений может использовать Киёси, чтобы телефонный счет не превышал 56,60 долларов?

358 . Телевизионный план

Марлона стоит 49,99 долларов в месяц плюс 5,49 долларов за первый фильм. Сколько первых фильмов он может посмотреть, если хочет, чтобы его ежемесячный счет не превышал 100 долларов?

359 .

Келлен хочет арендовать банкетный зал в ресторане для детского праздника своей кузины. Ресторан берет 350 долларов за банкетный зал плюс 32,50 доллара на человека за обед. Сколько человек может принять Келлен в душе, если она хочет, чтобы максимальная стоимость составляла 1500 долларов?

360 .

Мошде занимается парикмахерским бизнесом из своего дома. Она берет 45 долларов за стрижку и укладку. Ее ежемесячные расходы составляют 960 долларов. Она хочет иметь возможность вкладывать не менее 1200 долларов в месяц на свой сберегательный счет, чтобы открыть собственный салон. Сколько «стрижек и укладок» она должна сделать, чтобы сэкономить не менее 1200 долларов в месяц?

361 .

Noe устанавливает и настраивает программное обеспечение на домашних компьютерах. Он берет 125 долларов за работу. Его ежемесячные расходы составляют 1600 долларов. На скольких работах он должен работать, чтобы получить прибыль не менее 2400 долларов?

362 .

Кэтрин — личный повар. Она берет 115 долларов за обед на четверых. Ее ежемесячные расходы составляют 3150 долларов. Сколько обедов на четверых она должна продать, чтобы получить прибыль не менее 1900 долларов?

363 .

Мелисса делает ожерелья и продает их через Интернет. Она берет 88 долларов за ожерелье. Ее ежемесячные расходы составляют 3745 долларов. Сколько ожерелий она должна продать, чтобы получить прибыль не менее 1650 долларов?

364 .

Пять студенческих правительственных чиновников хотят пойти на съезд штата.Это будет стоить им 110 долларов за регистрацию, 375 долларов за транспорт и питание и 42 доллара на человека за отель. На сберегательный счет студенческого самоуправления заложено 450 долларов. Остальную часть денег они могут заработать на автомойке. Если они берут 5 долларов за машину, сколько машин они должны вымыть, чтобы иметь достаточно денег для оплаты поездки?

365 .

Цезарь планирует четырехдневную поездку, чтобы навестить своего друга из колледжа в другом штате. Это будет стоить ему 198 долларов на перелет, 56 долларов на местный транспорт и 45 долларов в день на еду.У него есть сбережения в размере 189 долларов, и он может зарабатывать 35 долларов за каждую стрижку газона. Сколько газонов он должен постричь, чтобы хватило денег на поездку?

366 .

Алонзо работает автосервисом. Он берет 175 долларов за машину. Он планирует переехать из родительского дома и снять свою первую квартиру. Ему нужно будет заплатить 120 долларов за подачу заявления, 950 долларов за залог и арендную плату за первый и последний месяцы в размере 1140 долларов в месяц. У него есть сбережения в размере 1810 долларов. Сколько машин он должен купить, чтобы хватило денег на аренду квартиры?

367 .

Ын-Гён работает репетитором и зарабатывает 60 долларов в час. У нее есть 792 доллара сбережений. Она планирует юбилейную вечеринку для своих родителей. Она хотела бы пригласить 40 гостей. Вечеринка обойдется ей в 1520 долларов за еду и напитки и 150 долларов за фотографа. У нее также будет услуга для каждого из гостей, и каждая услуга будет стоить 7,50 долларов. Сколько часов она должна заниматься репетиторством, чтобы хватило денег на вечеринку?

Математика на каждый день
368 .

Максимальная нагрузка на сцену В 2014 году в Фуллертоне, штат Калифорния, обрушилась сцена средней школы, когда 250 учеников вышли на сцену для финала музыкального спектакля.Два десятка школьников получили ранения. Сцена могла выдержать максимум 12 750 фунтов. Если предположить, что средний вес студента составляет 140 фунтов, каково максимальное количество студентов, которые могут безопасно находиться на сцене?

369 .

Максимальный вес лодки В 2004 году в гавани Балтимора затонуло водное такси, пять человек утонули. Водное такси имело максимальную вместимость 3500 фунтов (25 человек со средним весом 140 фунтов). Средний вес 25 человек в водном такси, когда оно затонуло, составлял 168 фунтов на человека.Каким должно быть максимальное количество людей такого веса?

370 .

Свадебный бюджет Адель и Уолтер нашли идеальное место для свадебного приема. Стоимость составляет 9850 долларов США для группы до 100 человек плюс 38 долларов США за каждого дополнительного гостя. Сколько гостей может присутствовать, если Адель и Уолтер хотят, чтобы общая стоимость не превышала 12 500 долларов?

371 .

Бюджет душа Пенни планирует детский душ для своей невестки. Ресторан берет 950 долларов за до 25 гостей, плюс 31 доллар.95 за каждого дополнительного гостя. Сколько гостей может присутствовать, если Пенни хочет, чтобы общая стоимость не превышала 1500 долларов?

Письменные упражнения
372 .

Объясните, почему необходимо обратить неравенство при решении −5x>10,−5x>10.

373 .

Объясните, почему необходимо обратить неравенство при решении n−3<12.n−3<12.

374 .

Найдите свой счет за телефон за последний месяц и почасовую зарплату, которую вам платят на работе. Подсчитайте количество часов работы, которое потребуется вам, чтобы заработать как минимум достаточно денег, чтобы оплатить счет за телефон, написав соответствующее неравенство, а затем решив его. Считаете ли вы, что это подходящее количество часов? Подходит ли вам этот тарифный план?

375 .

Узнайте, сколько единиц у вас осталось после этого семестра, чтобы достичь цели колледжа, и оцените количество единиц, которые вы можете сдать за каждый семестр в колледже. Подсчитайте количество терминов, которое потребуется вам для достижения цели вашего колледжа, написав соответствующее неравенство, а затем решив его. Это приемлемое количество терминов, пока вы не достигнете своей цели? Какими способами вы могли бы ускорить этот процесс?

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство выполнения целей этого раздела.

ⓑ После просмотра контрольного списка, как вы думаете, хорошо ли вы подготовились к следующему разделу? Почему или почему нет?

Решение неравенств (видео и практические вопросы)

Привет! Добро пожаловать в этот обзор неравенств! Сегодня мы рассмотрим, что такое неравенство и как решать проблемы неравенства. Давайте начнем!

Прежде чем мы углубимся в неравенства, давайте напомним себе, что такое равенство. Мы знаем, что «равенство» или уравнение представляют значения, равные друг другу.Знак равенства — это обозначение, обозначающее уравнение, и он символизирует «уравновешивание» выражений с обеих сторон. Чтобы решить линейное уравнение , мы используем сложение, вычитание, умножение и деление в определенном порядке , чтобы «изолировать» переменную с одной стороны уравнения и константу с другой стороны. Вы «решили» линейное уравнение, когда известно значение этой переменной. Это единственное значение, которое при подстановке обратно в исходное уравнение приведет к «истинному» утверждению.

Как решать неравенства

Для быстрого обзора рассмотрим следующий пример:

Решите уравнение для \(x\).

\(3x-2=x+8\)

Во-первых, мы хотим получить наши переменные с одной стороны и константы с другой. Поэтому я собираюсь добавить 2 с обеих сторон. Это дает нам:

\(3x=x+10\)

Затем я собираюсь вычесть \(x\) с этой стороны, а затем и с этой стороны (потому что мы хотим сделать то же самое). дело с двух сторон).Это дает нам:

\(2x=10\)

А затем, чтобы получить \(x\) само по себе, делим на 2 с обеих сторон, что дает нам:

\(x=5\)

Уравнение утверждает, что выражение слева от знака равенства, \(3x-2\), эквивалентно выражению справа, \(x+8\). Наша цель — найти единственное значение \(х\), которое делает это утверждение верным.

Итак, теперь мы проверим нашу работу; что мы собираемся сделать, так это заменить 5 везде, где мы видим \(x\).

\(3(5)-2=15-2=13\)

Теперь проверим с другой стороны.

\(5+8=13\)

И эти два значения равны друг другу.

\(13=13\)

Обзор этих шагов имеет смысл, потому что они остаются почти такими же, когда решают неравенства . Есть случай для некоторых задач, которые требуют небольшой корректировки неравенства, но мы сосредоточимся на этом позже.

Важно понимать, что если решение линейного уравнения приводит к одному решению, то решение неравенства приводит к множеству множества решений .Процедура решения определяет критическое значение или «границу», которая определяет набор решений.

Обозначение неравенств определяет, включено или нет критическое значение, полученное в результате процесса решения, в набор решений. В частности, символы и > определяют набор решений, который не включает критическое значение.

Это означает, что неравенство \(x\)\(25\) представляет собой набор всех чисел, больших, но не равных 25.

Мы можем немного изменить это обозначение, чтобы включить критическое значение, которое получается от процесса решения.Обратите внимание на строку под символами: \(\leq\) и \(\geq\). Используя предыдущие примеры, \(x\leq 10\) — это множество всех чисел, меньших или равных 10, а \(x\geq 25\) — это числа, большие или равные 25.

Когда неравенства на числовой линии незакрашенный кружок используется для критического значения, чтобы указать, что оно НЕ включено в набор решений, в то время как закрытый кружок указывает, что оно включено, как показано здесь:

Давайте разберем это обозначение с помощью нескольких примеры решения неравенств.

\(3x+2 \leq 17\)

Здесь используется тот же подход, что и при решении уравнения, но символ неравенства интерпретируется иначе.

Первым шагом для выделения переменного члена является вычитание 2 с обеих сторон. Это дает нам:

\(3x \leq 15\)

Второй шаг — определить критическое значение \(x\) путем деления обеих частей на 3:

\(x \leq 5\ )

Результат \(x \leq 5\) утверждает, что все значения x , которые меньше или равны 5, будут удовлетворять исходному неравенству.

Давайте попробуем еще один:

\(24x-1>99-x\)

Помните, что в этом примере используется другой символ неравенства, что означает, что критическое значение, которое вы найдете, не будет включено в набор решений.

Подход к этой многоступенчатой ​​задаче состоит в том, чтобы собрать переменные члены в одну сторону и постоянные члены в другую. Итак, мы добавим 1 к обеим сторонам, а также добавим x к обеим сторонам. Это дает нам:

\(25x > 100\)

Затем мы разделим обе части на 25.

\(x> 4\)

Это дает нам критическое значение 4, потому что \(x> 4\). Это последнее неравенство, \(x> 4\), говорит нам, что все значения x , которые больше, но не равны 4, находятся в этом наборе решений.

Как уже упоминалось, есть время, когда вы должны внести коррективы в неравенство, прежде чем будет определен набор решений. При делении или умножении на отрицательное значение в процессе решения необходимо изменить направление символа неравенства на противоположное! Это необходимо, поскольку при этих операциях происходит изменение знака.

Следующий пример иллюстрирует эту концепцию:

\( -5x \geq 20\)

В этом неравенстве требуется только один шаг для определения критического значения. В частности, нам нужно разделить обе части на -5. Поскольку деление целого числа со знаком приводит к изменению знака, необходимо также изменить направление символа неравенства с \(\geq\) на \(\leq \). Итак, делим на -5 с обеих сторон. Не забудьте перевернуть знак неравенства, и в результате получится:

\(x\leq -4\)

Набор решений — это все значения x , которые меньше или равны -4.

Давайте посмотрим, сможете ли вы решить этот последний пример самостоятельно. Обязательно:

1. Обратите внимание на символ неравенства, чтобы определить, будет ли набор решений включать или НЕ включать критическое значение, и
2. Убедитесь, что вы изменили направление символа неравенства, если вам нужно умножить или разделить на отрицательное значение в процессе решения.

\(-12x+2\)

Поставьте видео на паузу и посмотрите, что вы можете придумать.

Хорошо, давайте решать вместе.

Соберите переменные с одной стороны, а постоянные с другой.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.