Решение систем линейных уравнений методом крамера методом гаусса: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Содержание

Метод крамера для произвольных систем линейных уравнений. Метод крамера решения систем линейных уравнений


2. Решение систем уравнений матричным методом (при помощи обратной матрицы).
3. Метод Гаусса решения систем уравнений.

Метод Крамера.

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ ).

Формулы на примере системы из двух уравнений с двумя переменными.
Дано: Решить методом Крамера систему

Относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы Вычисление определителей. :



Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Пример 1:
Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:


Заменим в этом определителе первый столбец столбцом коэффициентов из правой части системы и найдем его значение:

Сделаем аналогичное действие, заменив в первом определителе второй столбец:

Применим

формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Ответ:
Замечание: Этим методом можно решать системы и большей размерности.

Замечание: Если получается, что , а делить на ноль нельзя, то говорят, что система не имеет единственного решения. В этом случае система имеет или бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

Пример 2 (бесконечное количество решений):

Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Решение систем методом подстановки.

Первое из уравнений системы — равенство, верное при любых значениях переменных (потому что 4 всегда равно 4). Значит, остается только одно уравнение. Это уравнение связи между переменными .
Получили, решением системы являются любые пары значений переменных, связанных между собой равенством .

Общее решение запишется так:
Частные решения можно определять выбирая произвольное значение у и вычисляя х по этому равенству связи.

и т.д.
Таких решений бесконечно много.
Ответ: общее решение
Частные решения:

Пример 3 (решений нет, система несовместна):

Решить систему уравнений:

Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Применять формулы Крамера нельзя. Решим эту систему методом подстановки

Второе уравнение системы — равенство, неверное ни при каких значениях переменных (конечно же, так как -15 не равно 2). Если одно из уравнений системы не верно ни при каких значениях переменных, то и вся системы не имеет решений.
Ответ: решений нет

В первой части мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу рекомендую ознакомиться с первой частью. Возможно, некоторым посетителям покажется материал слишком простым, но по ходу решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.

А сейчас мы разберём правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы изложены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными способами.

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

;

Ответ : ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам.

Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

.

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера , при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

** ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной , если у неё нет ни одного решения, и совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой , а более одного – неопределённой .

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

.

На основании теоремы Крамера

………….
,

где

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

Пример 2.

.

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Решение. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы — (2; -1; 1).

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

К началу страницы

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором , решающим методом Крамера.

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных — буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Следующий пример — на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

Метод Крамера или так называемое правило Крамера – это способ поиска неизвестных величин из систем уравнений. Его можно использовать только если число искомых значений эквивалентно количеству алгебраических уравнений в системе, то есть образуемая из системы основная матрица должна быть квадратной и не содержать нулевых строчек, а также если её детерминант не должен являться нулевым.

Теорема 1

Теорема Крамера Если главный определитель $D$ основной матрицы, составленной на основе коэффициентов уравнений, не равен нулю, то система уравнений совместна, причём решение у неё существует единственное. Решение такой системы вычисляется через так называемые формулы Крамера для решения систем линейных уравнений: $x_i = \frac{D_i}{D}$

В чем заключается метод Крамера

Суть метода Крамера в следующем:

  1. Чтобы найти решение системы методом Крамера, первым делом вычисляем главный определитель матрицы $D$. Когда вычисленный детерминант основной матрицы при подсчёте методом Крамера оказался равен нулю, то система не имеет ни одного решения или имеет нескончаемое количество решений. В этом случае для нахождения общего или какого-либо базисного ответа для системы рекомендуется применить метод Гаусса.
  2. Затем нужно заменить крайний столбец главной матрицы на столбец свободных членов и высчитать определитель $D_1$.
  3. Повторить то же самое для всех столбцов, получив определители от $D_1$ до $D_n$, где $n$ — номер крайнего справа столбца.
  4. После того как найдены все детерминанты $D_1$…$D_n$, можно высчитать неизвестные переменные по формуле $x_i = \frac{D_i}{D}$.

Приёмы для вычисления определителя матрицы

Для вычисления определителя матрицы с размерностью больше чем 2 на 2, можно использовать несколько способов:

  • Правило треугольников, или правило Саррюса, напоминающее это же правило. Суть метода треугольников в том, что при вычислении определителя произведения всех чисел, соединённых на рисунке красной линией справа, записываются со знаком плюс, а все числа, соединённые аналогичным образом на рисунке слева – со знаком минус. B то, и другое правило подходит для матриц размером 3 х 3. В случае же правила Саррюса сначала переписывается сама матрица, а рядом с ней рядом переписываются ещё раз её первый и второй столбец. Через матрицу и эти дополнительные столбцы проводятся диагонали, члены матрицы, лежащие на главной диагонали или на параллельной ей записываются со знаком плюс, а элементы, лежащие на побочной диагонали или параллельно ей — со знаком минус.

Рисунок 1. Правило треугольников для вычисления определителя для метода Крамера

  • С помощью метода, известного как метод Гаусса, также иногда этот метод называют понижением порядка определителя. В этом случае матрица преобразуется и приводится к треугольному виду, а затем перемножаются все числа, стоящие на главной диагонали. Следует помнить, что при таком поиске определителя нельзя домножать или делить строчки или столбцы на числа без вынесения их как множителя или делителя. В случае поиска определителя возможно только вычитать и складывать строки и столбы между собой, предварительно помножив вычитаемую строку на ненулевой множитель. Также при каждой перестановке строчек или столбцов матрицы местами следует помнить о необходимости смены конечного знака у матрицы.
  • При решении методом Крамера СЛАУ с 4 неизвестными, лучше всего будет применять именно метод Гаусса для поиска и нахождения определителей или опредлять детерминант через поиск миноров.

Решение систем уравнений методом Крамера

Применим метод Крамера для системы из 2 уравнений и двумя искомыми величинами:

$\begin{cases} a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end{cases}$

Отобразим её в расширенной форме для удобства:

$A = \begin{array}{cc|c} a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end{array}$

Найдём определитель основной матрицы, также называемый главным определителем системы:

$D = \begin{array}{|cc|} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end{array} = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Если главный определитель не равен нулю, то для решения слау методом Крамера необходимо высчитать ещё парочку определителей от двух матриц с заменёнными столбцами основной матрицы на строчку свободных членов:

$D_1 = \begin{array}{|cc|} b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end{array} = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin{array}{|cc|} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end{array} = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Теперь найдём неизвестные $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac {D_1}{D}$

$x_2 = \frac {D_2}{D}$

Пример 1

Метод Крамера для решения СЛАУ с основной матрицей 3 порядка (3 x 3) и тремя искомыми.

Решите систему уравнений:

$\begin{cases} 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 — x_3 = 10 \\ \end{cases}$

Сосчитаем главный детерминант матрицы пользуясь вышеизложенным под пунктом номер 1 правилом:

$D = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) — (-1) \cdot 2 \cdot 3 = — 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = — 64$

А теперь три других детерминанта:

$D_1 = \begin{array}{|ccc|} 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end{array} = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) — (-1) \cdot 2 \cdot 21 = — 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = — 296$

$D_2 = \begin{array}{|ccc|} 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = — 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108$

$D_3 = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 — (-2) \cdot 3 \cdot 10 — (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = — 60$

Найдём искомые величины:

$x_1 = \frac{D_1} {D} = \frac{- 296}{-64} = 4 \frac{5}{8}$

$x_2 = \frac{D_1} {D} = \frac{108} {-64} = — 1 \frac {11} {16}$

$x_3 = \frac{D_1} {D} = \frac{-60} {-64} = \frac {15} {16}$

Метод гаусса и крамера примеры с решением.

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе
2. Решение систем уравнений матричным методом (при помощи обратной матрицы).
3. Метод Гаусса решения систем уравнений.

Метод Крамера.

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ ).

Формулы на примере системы из двух уравнений с двумя переменными.
Дано: Решить методом Крамера систему

Относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы Вычисление определителей. :



Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Пример 1:
Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:


Заменим в этом определителе первый столбец столбцом коэффициентов из правой части системы и найдем его значение:

Сделаем аналогичное действие, заменив в первом определителе второй столбец:

Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Ответ:
Замечание: Этим методом можно решать системы и большей размерности.

Замечание: Если получается, что , а делить на ноль нельзя, то говорят, что система не имеет единственного решения. В этом случае система имеет или бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

Пример 2 (бесконечное количество решений):

Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Решение систем методом подстановки.

Первое из уравнений системы — равенство, верное при любых значениях переменных (потому что 4 всегда равно 4). Значит, остается только одно уравнение. Это уравнение связи между переменными .
Получили, решением системы являются любые пары значений переменных, связанных между собой равенством .
Общее решение запишется так:
Частные решения можно определять выбирая произвольное значение у и вычисляя х по этому равенству связи.

и т.д.
Таких решений бесконечно много.
Ответ: общее решение
Частные решения:

Пример 3 (решений нет, система несовместна):

Решить систему уравнений:

Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Применять формулы Крамера нельзя. Решим эту систему методом подстановки

Второе уравнение системы — равенство, неверное ни при каких значениях переменных (конечно же, так как -15 не равно 2). Если одно из уравнений системы не верно ни при каких значениях переменных, то и вся системы не имеет решений.
Ответ: решений нет

В первой части мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу рекомендую ознакомиться с первой частью. Возможно, некоторым посетителям покажется материал слишком простым, но по ходу решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом.

А сейчас мы разберём правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы изложены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными способами.

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

;

Ответ : ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

Методы Крамера и Гаусса – одни из самых популярных методов решения СЛАУ . К тому же, в ряде случаев целесообразно использовать именно конкретные методы. Сессия близка, и сейчас самое время повторить или освоить их с нуля. Сегодня разбираемся с решением методом Крамера. Ведь решение системы линейных уравнений методом Крамера — весьма полезный навык.

Системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных алгебраических уравнений – система уравнений вида:

Набор значений x , при котором уравнения системы обращаются в тождества, называется решением системы, a и b – вещественные коэффициенты. Простенькую систему, состоящую из двух уравнений с двумя неизвестными, можно решить в уме либо выразив одну переменную через другую. Но переменных (иксов) в СЛАУ может быть гораздо больше двух, и здесь простыми школьными манипуляциями не обойтись. Что же делать? Например, решать СЛАУ методом Крамера!

Итак, пусть система состоит из n уравнений с n неизвестными.

Такую систему можно переписать в матричном виде

Здесь A – основная матрица системы, X и B , соответственно, матрицы-столбцы неизвестных переменных и свободных членов.

Решение СЛАУ методом Крамера

Если определитель главной матрицы не равен нулю (матрица невырожденная), систему можно решать по методу Крамера.

Согласно методу Крамера, решение находится по формулам:

Здесь дельта – определитель главной матрицы, а дельта x n-ное – определитель, полученный из определителя главной матрицы путем заменой n-ного столбца на столбец свободных членов.

В этом и заключается вся суть метода Крамера. Подставляя найденные по вышеприведенным формулам значения x в искомую систему, убеждаемся в правильности (или наоборот) нашего решения. Чтобы Вы быстрее уловили суть, приведем ниже пример подробного решения СЛАУ методом Крамера:

Даже если у Вас не получится с первого раза, не расстраивайтесь! Немного практики, и Вы начнете щелкать СЛАУ как орешки. Более того, сейчас совершенно необязательно корпеть над тетрадью, решая громоздкие выкладки и исписывая стержень. Можно легко решить СЛАУ методом Крамера в режиме онлайн, лишь подставив в готовую форму коэффициенты. Испробовать онлайн калькулятор решения методом Крамера можно, к примеру, на этом сайте .

А если система оказалась упорной и не сдается, Вы всегда можете обратиться за помощью к нашим авторам, например, чтобы . Будь в системе хоть 100 неизвестных, мы обязательно решим ее верно и точно в срок!

Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными

Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать в таком же виде, как и для системы двух уравнений, т.е.

(2.4)

если 0. Здесь

Это есть правило Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .

Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:

Решение . Находим определитель основной матрицы системы

Поскольку 0, то для нахождения решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислим еще три определителя:

Проверка:

Следовательно, решение найдено правильно.

Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядка, наводят на мысль, что такие же правила можно сформулировать и для линейных систем любого порядка. Действительно имеет место

Теорема Крамера. Квадратная система линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы системы (0) имеет одно и только одно решение и это решение вычисляется по формулам

(2.5)

где  – определитель основной матрицы ,  i определитель матрицы , полученной из основной, заменой i -го столбца столбцом свободных членов .

Отметим, что если =0, то правило Крамера не применимо. Это означает, что система либо не имеет вообще решений, либо имеет бесконечно много решений.

Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.

2.4. Определители n-го порядка

Дополнительным минором M ij элемента a ij называется определитель, получаемый из данного путем вычеркивания i -й строки и j -го столбца. Алгебраическим дополнением A ij элемента a ij называется минор этого элемента, взятого со знаком (–1) i + j , т.е. A ij = (–1) i + j M ij .

Например, найдем миноры и алгебраические дополнения элементов a 23 и a 31 определителя

Получаем

Используя понятие алгебраического дополнения можно сформулировать теорему о разложении определителя n -го порядка по строке или столбцу .

Теорема 2.1. Определитель матрицы A равен сумме произведений всех элементов некоторой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:

(2.6)

Данная теорема лежит в основе одного из основных методов вычисления определителей, т.н. метода понижения порядка . В результате разложения определителя n -го порядка по какой-либо строке или столбцу, получается n определителей (n –1)-го порядка. Чтобы таких определителей было меньше, целесообразно выбирать ту строку или столбец, в которой больше всего нулей. На практике формулу разложения определителя обычно записывают в виде:

т.е. алгебраические дополнения записывают в явном виде через миноры.

Примеры 2.4. Вычислить определители, предварительно разложив их по какой-либо строке или столбцу. Обычно в таких случаях выбирают такой столбец или строку, в которой больше всего нулей. Выбранную строку или столбец будем обозначать стрелкой.

2.5. Основные свойства определителей

Разлагая определитель по какой-либо строке или столбцу, мы получим n определителей (n –1)-го порядка. Затем каждый из этих определителей (n –1)-го порядка также можно разложить в сумму определителей (n –2)-го порядка. Продолжая этот процесс, можно дойти до определителей 1-го порядка, т.е. до элементов матрицы, определитель которой вычисляется. Так, для вычисления определителей 2-го порядка придется вычислить сумму двух слагаемых, для определителей 3-го порядка – сумму 6 слагаемых, для определителей 4-го порядка – 24 слагаемых. Число слагаемых будет резко возрастать по мере увеличения порядка определителя. Это означает, что вычисление определителей очень высоких порядков становится довольно трудоемкой задачей, непосильной даже для ЭВМ. Однако вычислять определители можно и по-другому, используя свойства определителей.

Свойство 1 . Определитель не изменится, если в нем поменять местами строки и столбцы, т.е. при транспонировании матрицы :

.

Данное свойство свидетельствует о равноправии строк и столбцов определителя. Иначе говоря, любое утверждение о столбцах определителя справедливо и для его строк и наоборот.

Свойство 2 . Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).

Следствие . Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

Свойство 3 . Общий множитель всех элементов в какой-либо строке (столбце) можно вынести за знак определителя .

Например,

Следствие . Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю .

Свойство 4 . Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца), прибавить элементы другой строки (столбца), умноженной на какое-либо число .

Например,

Свойство 5 . Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц:

Метод Крамера или так называемое правило Крамера – это способ поиска неизвестных величин из систем уравнений. Его можно использовать только если число искомых значений эквивалентно количеству алгебраических уравнений в системе, то есть образуемая из системы основная матрица должна быть квадратной и не содержать нулевых строчек, а также если её детерминант не должен являться нулевым.

Теорема 1

Теорема Крамера Если главный определитель $D$ основной матрицы, составленной на основе коэффициентов уравнений, не равен нулю, то система уравнений совместна, причём решение у неё существует единственное. Решение такой системы вычисляется через так называемые формулы Крамера для решения систем линейных уравнений: $x_i = \frac{D_i}{D}$

В чем заключается метод Крамера

Суть метода Крамера в следующем:

  1. Чтобы найти решение системы методом Крамера, первым делом вычисляем главный определитель матрицы $D$. Когда вычисленный детерминант основной матрицы при подсчёте методом Крамера оказался равен нулю, то система не имеет ни одного решения или имеет нескончаемое количество решений. В этом случае для нахождения общего или какого-либо базисного ответа для системы рекомендуется применить метод Гаусса.
  2. Затем нужно заменить крайний столбец главной матрицы на столбец свободных членов и высчитать определитель $D_1$.
  3. Повторить то же самое для всех столбцов, получив определители от $D_1$ до $D_n$, где $n$ — номер крайнего справа столбца.
  4. После того как найдены все детерминанты $D_1$…$D_n$, можно высчитать неизвестные переменные по формуле $x_i = \frac{D_i}{D}$.

Приёмы для вычисления определителя матрицы

Для вычисления определителя матрицы с размерностью больше чем 2 на 2, можно использовать несколько способов:

  • Правило треугольников, или правило Саррюса, напоминающее это же правило. Суть метода треугольников в том, что при вычислении определителя произведения всех чисел, соединённых на рисунке красной линией справа, записываются со знаком плюс, а все числа, соединённые аналогичным образом на рисунке слева – со знаком минус. B то, и другое правило подходит для матриц размером 3 х 3. В случае же правила Саррюса сначала переписывается сама матрица, а рядом с ней рядом переписываются ещё раз её первый и второй столбец. Через матрицу и эти дополнительные столбцы проводятся диагонали, члены матрицы, лежащие на главной диагонали или на параллельной ей записываются со знаком плюс, а элементы, лежащие на побочной диагонали или параллельно ей — со знаком минус.

Рисунок 1. Правило треугольников для вычисления определителя для метода Крамера

  • С помощью метода, известного как метод Гаусса, также иногда этот метод называют понижением порядка определителя. В этом случае матрица преобразуется и приводится к треугольному виду, а затем перемножаются все числа, стоящие на главной диагонали. Следует помнить, что при таком поиске определителя нельзя домножать или делить строчки или столбцы на числа без вынесения их как множителя или делителя. В случае поиска определителя возможно только вычитать и складывать строки и столбы между собой, предварительно помножив вычитаемую строку на ненулевой множитель. Также при каждой перестановке строчек или столбцов матрицы местами следует помнить о необходимости смены конечного знака у матрицы.
  • При решении методом Крамера СЛАУ с 4 неизвестными, лучше всего будет применять именно метод Гаусса для поиска и нахождения определителей или опредлять детерминант через поиск миноров.

Решение систем уравнений методом Крамера

Применим метод Крамера для системы из 2 уравнений и двумя искомыми величинами:

$\begin{cases} a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end{cases}$

Отобразим её в расширенной форме для удобства:

$A = \begin{array}{cc|c} a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end{array}$

Найдём определитель основной матрицы, также называемый главным определителем системы:

$D = \begin{array}{|cc|} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end{array} = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Если главный определитель не равен нулю, то для решения слау методом Крамера необходимо высчитать ещё парочку определителей от двух матриц с заменёнными столбцами основной матрицы на строчку свободных членов:

$D_1 = \begin{array}{|cc|} b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end{array} = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin{array}{|cc|} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end{array} = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Теперь найдём неизвестные $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac {D_1}{D}$

$x_2 = \frac {D_2}{D}$

Пример 1

Метод Крамера для решения СЛАУ с основной матрицей 3 порядка (3 x 3) и тремя искомыми.

Решите систему уравнений:

$\begin{cases} 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 — x_3 = 10 \\ \end{cases}$

Сосчитаем главный детерминант матрицы пользуясь вышеизложенным под пунктом номер 1 правилом:

$D = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) — (-1) \cdot 2 \cdot 3 = — 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = — 64$

А теперь три других детерминанта:

$D_1 = \begin{array}{|ccc|} 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end{array} = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) — (-1) \cdot 2 \cdot 21 = — 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = — 296$

$D_2 = \begin{array}{|ccc|} 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = — 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108$

$D_3 = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 — (-2) \cdot 3 \cdot 10 — (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = — 60$

Найдём искомые величины:

$x_1 = \frac{D_1} {D} = \frac{- 296}{-64} = 4 \frac{5}{8}$

$x_2 = \frac{D_1} {D} = \frac{108} {-64} = — 1 \frac {11} {16}$

$x_3 = \frac{D_1} {D} = \frac{-60} {-64} = \frac {15} {16}$

Теорема Крамера

Системы линейных алгебраических уравнений При решении систем линейных уравнений обсуждаются 3 вопроса: а) существует ли решение системы уравнений, б) сколько разных решений имеет система уравнений, в) алгоритм решения. Ниже излагаются основные результаты в этой области математики, позволяющие исчерпывающим образом ответить на эти вопросы.

Теорема Крамера

Система двух уравнений, два неизвестных

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений \[ a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1, \quad \quad(17) \] \[ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2, \quad \quad(18) \]

числа \(a_{ik}, b_i\), \(i,k=1,2\) считаются заданными, требуется найти неизвестные \(x_1,x_2\) . Эту систему можно решить исключением неизвестных. Например, умножим первое уравнение на \(a_{22}\) и вычтем второе, умноженное на \(a_{12}\), получим:

\[ (a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12})x_1=b_1a_{22}-b_2a_{12}, \]

так что если \(a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12} \neq 0, \) \[ x_1=\frac{b_1a_{22}-b_2a_{12}}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}. \quad \quad(19) \]

Если второе уравнение умножить на \(a_{11}\) и вычесть из него первое уравнение, умноженное на \(a_{21}\), получим: \[ x_2=\frac{a_{11}b_2-a_{21}b_1}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}. \quad \quad(20) \]

Введем следующие обозначения. Матрицей коэффициентов системы уравнений (17)-(18) назовем матрицу \[ A=\left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right), \] столбец правых частей системы \[ B=\left (\begin{array}{c} b_1 \\b_2 \end{array} \right). \]

Тогда формулы (19), (20) можно переписать следующим образом: \[ x_1=\frac{detC_1}{detA}, x_2=\frac{detC_2}{detA}, \quad \quad(21) \] где матрица \(C_k\), \(k=1,2\), получается из матрицы \(A\) заменой ее \(k\)-того столбца на столбец \(B\). Формулы (21) называются формулами Крамера для системы из 2 уравнений с двумя неизвестными. Они описывают единственное решение системы уравнений в данном случае.

Система \(n\) уравнений, \(n\) неизвестных

Рассмотрим систему \(n\) линейных алгебраических уравнений с \(n\) неизвестными, \[ a_{11}x_1+a_{12}x_2+ . {-1}B. \]

В целом решение систем методом Крамера и методом обратной матрицы требует выполнения 2 условий: матрица коэффициентов системы должна быть квадратной ( т.е. число уравнений должно совпадать с числом неизвестных) и эта матрица должна быть невырожденной. К тому же практическая реализация этих методов связана с весьма громоздкими вычислениями, так что они имеют лишь теоретическое значение. На практике используют существенно более простой в реализации метод Гаусса, который к тому же позволяет решать и более общие системы уравнений. Этот метод описан ниже.

Решить системы методом Крамера и методом обратной матрицы.

а) \[ x_1+x_2+2x_3=-1, \] \[ 2x_1-x_2+2x_3=-4, \] \[ 4x_1+x_2+4x_3=-2. \]

б) \[ 3x_1+2x_2+x_3=5, \] \[ 2x_1+3x_2+x_3=1, \] \[ 2x_1+x_2+3x_3=11. \]

в) \[ 2x_1+x_2-x_3=2, \] \[ 3x_1+x_2-2x_3=3, \] \[ x_1+x_3=3. \]

«Ах, Крамер, я Вас любила!». Самый изящный метод решения систем линейных уравнений | Математика не для всех

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм «Математика не для всех», чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!

Дорогой Читатель, я уже писал недавно о самом простом методе решения систем линейных уравнений (вот и он). Описанный способ являлся самым популярным, но далеко не самым красивым. Максимальное изящество имеет метод Крамера несмотря на то, что требует обращения с матрицами. Уверяю Вас, в них нет ничего сложного, тем более в статье я проведу небольшой ликбез. Поехали!

Что такое матрица ?

Числовая матрица — это по своей сути таблица, состоящая из строк и столбцов.

Квадратная матрица А 3-го порядка

Квадратная матрица А 3-го порядка

Кроме понимания, что такое матрица, для решения систем линейных уравнений методом Крамера необходимо знать «определитель матрицы» — скалярную величину (число), которую можно поставить в соответствие любой квадратной матрице. Иначе в терминах отображений (почитайте про них, очень понятно):

Т.е. определитель (детерминант) — это функция, которая отображает (ставит в соответствие) квадратную матрицу порядка n на некоторое число из R (множество вещественных чисел — подробнее тут). У определителя есть много интересных свойств, например, если переставить строки матрицы, то его знак изменится, или если прибавить одну строку матрицы к другой (хоть даже умноженную на какое-либо число) детерминант вообще не изменится.

Как вычислить определитель матрицы?

На самом деле способов его вычисления существует несколько. Для матриц первого и второго ранга вычисления слишком тривиальны:

Определитель матрицы первого порядка равен единственному элементу этой матрицы. Для второй матрицы необходимо вычислить разность произведений элементов главной (от 1 к 3) и побочной диагонали (от 4 к -2).

Определитель матрицы первого порядка равен единственному элементу этой матрицы. Для второй матрицы необходимо вычислить разность произведений элементов главной (от 1 к 3) и побочной диагонали (от 4 к -2).

Для матрицы третьего порядка существует мнемоническое «правило треугольника», но мне всегда было проще пользоваться исходным способом: а именно разбивать матрицу 3-го порядка на матрицы 2-го и вычислять их определители (метод разложения по строкам):

Определитель матрицы обозначается прямыми скобками

Определитель матрицы обозначается прямыми скобками

Надеюсь, максимально понятно объяснил. Обратите внимание на минус между первым и вторым слагаемым!

Решение системы линейных уравнений методом Крамера

Швейцарский математик Габриэль Крамер (1704 — 1752). Источник: https://eponym.ru/GaleryImages/IE3AKRY96810I9YJ576FOZV70. jpg

Швейцарский математик Габриэль Крамер (1704 — 1752). Источник: https://eponym.ru/GaleryImages/IE3AKRY96810I9YJ576FOZV70.jpg

Итак, пусть у нас имеется система линейных уравнений вида :

Тогда мы можем записать ЧЕТЫРЕ определителя на основе этих коэффициентов:

В определителях столбец коэффициентов при соответствующей неизвестной (например, при x1) заменяется столбцом свободных членов системы (b1,b2,b3). Тогда решение будет равно:

Сложно? На примере вспомните или поймете элементарно. Имеем систему уравнений:

Прежде всего запомните, что если в одном из уравнений отсутствует одна из переменных, её надо дописать с нулем, чтобы не забыть. Вычисляем определители по формулам:

Почти готово, подставляем и получаем ответ:

Да, ответ не очень красивый, но это обусловлено случайными коэффициентами, придуманными «на лету». Кстати, может было бы удобнее решить эту систему методом Гаусса?

Существует еще один классный метод решения систем линейных уравнений. Он может показаться сложнее, но с точки зрения алгоритмической сложности он на голову обходит, например, метод Крамера и совсем немного уступает методу Гаусса.

Подписывайтесь, об этом методе расскажу в одном из следующих выпусков!

Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием.

Путеводитель по каналу «Математика не для всех»

**************************************************************************

О чем я еще пишу:

Теорема неслучайности: неравенство Чебышева
Песнь о замечательных пределах
Ответ тем, кто отрицает пользу математики в обычной жизни
Про важные и интересные числа
Экзотические тригонометрические формулы, которые не дают в школе

б) метод Крамера для решения системы линейных уравнений.

Построение графика временной функции

Похожие главы из других работ:

Алгоритмы решения задач

3. МЕТОДЫ решения системы линейных уравнений

Система линейных алгебраических уравнений — это система уравнений вида (1) Здесь m — количество уравнений, а — количество неизвестных; x1, x2, …, xn — неизвестные, которые надо определить, a11, a12,…, amn — коэффициенты системы, b1, b2…

Особенности вычисления определителя матрицы

2.2 Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

Пусть дана квадратная матрица A размером NxN. Требуется вычислить её определитель. Воспользуемся идеями метода Гаусса решения систем линейных уравнений. Дана система: a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2 … an1 x1 + an2 x2 + …..

Построение графика временной функции

2.2.2 Схема алгоритма подпрограммы решения системы двух линейных уравнений

Схема алгоритма подпрограммы ПП2 решения системы двух линейных уравнений приведена на рисунке 2. 4 В состав схемы алгоритма входят 6 блоков. Блок 1 — это начало, блок 6 — это конец. Работа подпрограммы начинается с блока 2…

Программная реализация методов решения системы линейных уравнений

1.1 Системы линейных алгебраических уравнений

Многие задачи экономического характера сводятся к решению систем линейных уравнений. Систему [1] вида принято называть системой n линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с n неизвестными. При этом произвольные числа aij (i = 1, 2,…, n; j = 1, 2,……

Программная реализация методов решения системы линейных уравнений

1.3 Матричный метод решения систем линейных уравнений.

Пусть дана система линейных уравнений: Рассмотрим матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных: Свободные члены и неизвестные можно записать в виде матрицы столбцов: Тогда, используя правило умножение матриц…

Разработка программы решения системы линейных уравнений

1. Описание математических методов решения систем линейных уравнений

. ..

Разработка статических и динамических библиотек на языке программирования С/C++ в операционных системах UNIX

4.2 Создание динамической библиотеки для решения системы линейных уравнений

В качестве примера использования динамических библиотек напишем программу для решения системы линейных уравнений. Пусть система имеет вид: a11*x1+a12*x2=b1; a21*x1+a22*x2=b2; Решение этой системы находим через обратную матрицу A-1…

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса средствами языка программирования Visual Basic

Системы линейных алгебраических уравнений

Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (или, линейная система…

Решение системы линейных уравнений методом Крамера

1.1.1 Системы линейных уравнений

Опр. Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений с n неизвестными, называется система вида , Рис.1 Система линейных уравнений Здесь — количество уравнений, а — количество неизвестных. где числа aij (i=1,2,…,m, j-1,2,……

Решение функциональных и вычислительных задач средствами пакетов прикладных программ MathCAD и электронных таблиц Excel

Решение системы линейных алгебраических уравнений

1. Решение СЛАУ с помощью given(дано) и find(найти). Сделаем проверку: 2. С помощью функции lsolve. Задаем матрицу А, состоящую из коэффициентов при неизвестных, и матрицу В, состоящую из свободных коэффициентов. 3. С помощью обратной матрицы…

ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения системы алгебраических уравнений

2. Операции численного решения системы линейных алгебраических уравнений

ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения системы алгебраических уравнений

2.1 Решение системы линейных алгебраических уравнений методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса)

a11?x1+ a12?x2+ a13?x3+ a14?x4=b1 a21?x1+ a22?x2+ a23?x3+ a24?x4=b2 (1) a31?x1+ a32?x2+ a33?x3+ a34?x4=b3 a41?x1+ a42?x2+ a43?x3+ a44?x4=b4 Составим расширенную матрицу системы (1): Преобразуем матрицу А. ..

ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения системы алгебраических уравнений

2.2 Решение системы линейных алгебраических уравнений методом последовательного исключения неизвестных (метод Холесского)

Метод Холесского заключается в представлении матрицы в виде произведения двух треугольных матриц L и U , имеющих следующий вид: диагональные элементы L матрицы равны единице…

ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения системы алгебраических уравнений

2.5 Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений

Однородной системой линейных алгебраических уравнений называют такую систему, свободные члены которой равны нулю, т.е…

ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения системы дифференциальных уравнений

2.5.2 Численный метод решения системы дифференциальных уравнений при нулевых начальных условиях и заданном внешнем воздействии y=cos(2t) c помощью MATHCAD

Рисунок 3. 2. Графики изменения переменных состояния системы при нулевых начальных условиях и воздействии y=cos(2t) Как видно из графиков решения совпадают…

Контрольная работа на тему: системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений

Задание: Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса.

Цель: формирование умения решать системы линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

5.1. Изучите теоретические основы решения системы линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса.

5.2. Решите систему уравнений, используя правило Крамера:

5.3. Решите систему линейных уравнений по методу Гаусса:

5.4. Фирма для перевозки грузов может заказывать машины трех видов. Если она закажет по одной машине каждого вида, то перевезёт 12 тонн груза. Если закажет по две машины первого и второго вида и одну машину третьего вида, то перевезёт 19 тонн груза. Если же фирма закажет по две машины первого и третьего вида и одну машину второго вида, то перевезёт 20 тонн груза. Какова грузоподъемность каждого вида машин?

Методические указания по выполнению работы:

Для решения систем линейных уравнений применяют правило Крамера и метод Гаусса.

1. Правило Крамера решения системы линейных уравнений с неизвестными.

Система линейных уравнений с неизвестными имеет единственное решение, если определитель , составленный из коэффициентов при неизвестных, отличен от нуля:

где — определитель, полученный из определителя заменой столбца коэффициентов при столбцом свободных членов;

— определитель, полученный из определителя заменой столбца коэффициентов при столбцом свободных членов;

— определитель, полученный из определителя заменой столбца коэффициентов при столбцом свободных членов.

Пример 1.

Решите систему уравнений по правилу Крамера:

Решение:

Составим определитель из коэффициентов при неизвестных и вычислим его:

Определитель отличен от 0, следовательно, система имеет единственное решение. Для его нахождения вычислим , и :

По правилу Крамера найдем неизвестные:

Замечание. Для проверки правильности решения системы уравнений необходимо подставить найденные значения неизвестных в каждое из уравнений данной системы. При этом, если все уравнения обратятся в тождества, то система решена верно.

Истинно.

Итак, решение системы найдено правильно.

Ответ:

2. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

  1. Составьте расширенную матрицу системы — матрицу, состоящую из коэффициентов при неизвестных и столбца свободных членов.
  2. С помощью элементарных преобразований приведите полученную матрицу к ступенчатому виду.
  3. Восстановите систему линейных уравнений, равносильную исходной, начиная с последнего уравнения, и найдите значения неизвестных.

Метод Гаусса является более универсальным, чем правило Крамера, так как позволяет находить решения в следующих случаях:

  1. число уравнений не равно числу неизвестных.
  2. если в правиле Крамера .

Ответ на вопрос о существовании и количестве решений системы линейных уравнений дает теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности системы линейных уравнений): система линейных уравнений с неизвестными совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы (матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных) равен рангу расширенной матрицы , причем:

  1. если (ранг матрицы равен числу неизвестных), то система имеет единственное решение;
  2. если (ранг матрицы меньше числа неизвестных), то система имеет бесконечное множество решений.

Все возможные случаи решения системы линейных уравнений (одно решение, нет решений, множество решений) разобраны в примерах 2-4.

Пример 2.

Решите систему уравнений методом Гаусса:

Решение:

Выпишем расширенную матрицу системы и приведем её к ступенчатому виду:

Поменяем местами первую и третью строки матрицы, что равносильно перестановке первого и третьего уравнений системы. Это позволит нам избежать появления дробных коэффициентов
при последующих вычислениях.

Первую строку полученной матрицы умножаем последовательно на (-2) и (-3) и сложим соответственно со второй и третьей строками, при этом будет иметь вид:

Для упрощения вычислений умножим третью строку на (-0,1) и поменяем ее местами со второй строкой. Тогда получим:

Далее, умножая вторую строку матрицы на 9 и складывая с третьей, окончательно получим:

Восстановим из полученной матрицы систему уравнений, равносильную данной, начиная с последнего уравнения:

Из последнего уравнения находим: .

Подставим во второе уравнение системы: .

После подстановки и в первое уравнение получим: ; . Итак, .

Проверка:

Следовательно, решение системы найдено верно.

Ответ: .

Пример 3.

Найдите все решения системы линейных уравнений:

Решение:

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду.

Домножим первую строку на (-2) и сложим ее со второй строкой:

Сложим первую и третью строки:

Домножим вторую строку на 2 и сложим ее с третьей строкой:

Вычеркнем нулевую строку:

Видим, что ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен двум. Следовательно, в силу критерия Кронеккера-Капелли, система имеет решения. Так как ранг матрицы (два) меньше числа неизвестных (три), то система имеет бесчисленное множество решений. Найдем эти решения.

Восстановим систему уравнений, равносильную исходной:

Пусть — свободная переменная, которая может принимать любые числовые значения. Выразим из первого уравнения : .

Подставим данное выражение во второе уравнение:

Такое решение будем называть общим решением системы. Запишем общее решение системы в виде тройки чисел: .

Ответ: .

Пример 4.

Докажите, что система линейных уравнений не имеет решений:

Решение:

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду.

Домножим первую строку на (-3) и сложим ее со второй строкой:

Домножим первую строку на 2 и сложим ее с третьей строкой:

Сложим вторую и третью строки:

Видим, что ранг основной матрицы (2) не равен рангу расширенной матрицы (3). Следовательно, в силу критерия Кронеккера-Капелли, система не имеет решений.

На этой странице вы сможете посмотреть все остальные темы готовых контрольных работ по высшей математике:

Готовые контрольные работы по высшей математике

Обратите внимание на похожие контрольные работы возможно они вам будут полезны:

Решение линейных уравнений методом Крамера: правило и примеры.

Правило крамера.

Среди способов решения линейных уравнений — не только методика Гаусса и метод обратной матрицы, но и правило Крамера. Метод основан на работе с определителями и позволяет легко решить систему уравнений.

Следует отметить, что метод Крамера подходит только для тех ситуаций, когда определитель не равен нулю. В ином случае придется использовать метод Гаусса.

Итак, как же решается система линейных уравнений по методу Крамера?

Решение линейных уравнений по Крамеру.

Пример решения системы линейных уравнений методом Крамера.

Разберем на примере.

Первый этап работы — это вычислить главный определитель системы, в нашем случае:

Как уже было сказано, если определитель системы равен нулю, то метод Крамера не подходит для работы, поскольку выходит, что система или не имеет решений, или имеет бесконечное множество их. В таком случае используется метод Гаусса.

Если же определитель больше или меньше нуля, то методом Крамера мы можем вычислить единственное верное решение. Для этого необходимо найти еще два определителя системы:

Теперь остается лишь найти корни уравнения, а они рассчитываются по следующим формулам:

Рассмотрим еще один пример. Возьмем систему линейных уравнений:

Метод Крамера – наиболее удобный метод как раз для работы со сложными уравнениями, включающими в себя десятичные дроби. Иные методы оказываются сложнее, да и в вычислениях можно просто запутаться. Здесь же все довольно просто. Находим главный определитель:

Определитель не равен нулю, следовательно, система имеет решение, и мы можем найти его методом Крамера.

Таким образом, получаем, что а = — 0,35, в = 37,77. Система линейных уравнений полностью решена, можно записывать ответ.

Похожие статьи

Решение линейных систем с использованием правила Крамера

Решение линейных систем с использованием правила Крамера


Что такое правило Крамерса

Правило Крамерса — это метод решения систем линейных уравнений, в которых число неизвестных равно количеству уравнений в системе. Этот метод состоит из набора уравнений, включающих определители и отношения, чтобы получить уникальный набор решений для линейной системы.

На протяжении этого урока мы сосредоточимся на объяснении метода решения системы, которую мы будем называть правилом Крамерса 3×3 и правилом Крамерса 2×2, это означает, что мы сосредоточимся на случаях, когда у нас есть система уравнений с 3 уравнениями для 3 неизвестных ( n=3) или система с 2 уравнениями для 2 неизвестных (n=2).Причина этого в том, что правило Крамерса непрактично, когда система имеет более высокий порядок, чем 3, другие методы, такие как решение линейной системы с матрицами с использованием исключения Гаусса или простое решение систем линейных уравнений путем подстановки гораздо более эффективны с точки зрения вычислений. работать через линейную систему. Правило Стилла Крамерса является важной частью линейной алгебры, которую следует учитывать из-за ее математической строгости и глубокого понимания транскрипции линейных систем в матрицы и наоборот, когда такие системы имеют уникальные решения.

Как пользоваться правилом Крамерса

Но что такое правило Крамерса perse? Вместо того, чтобы повторять определение правила Крамерса, давайте немного лучше продемонстрируем технику, подробно рассмотрев ее шаги.

Действия при использовании линейной алгебры по правилу Крамерса:

1. \enspace Для линейной системы из трех уравнений и трех неизвестных и для линейной системы из двух уравнений и двух неизвестных, представленных ниже:
ax+by+cz=m ax+ by + cz = m \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad ax+by+cz=m dx+ey+fz=nax+by=mdx+ey+fz=n \quad \quad ax+by=m dx+ey+fz=nax+by=m gz+hy+iz=ocx+dy=ngz+hy+iz=o \quad \quad cx+dy=n gz+hy+iz=ocx+dy=n Уравнение 1: Системы линейных уравнений. 3 уравнения для 3 неизвестных слева, 2 уравнения для 2 неизвестных справа 2. \enspace Систему линейных уравнений необходимо преобразовать в матрицу и дополнить.
    1. В расширенной матрице элементы в левой части вертикальной линии, представляющей знак равенства, соответствуют квадратной матрице коэффициентов. Эта квадратная матрица коэффициентов будет использоваться для получения ряда определителей на нашем следующем шаге.
    2. В расширенной матрице элементы вектора-столбца справа от знака равенства будут использоваться в качестве замены определенных элементов при получении набора определителей на следующем шаге.
    3. Расширенные матрицы для системы с тремя уравнениями и тремя неизвестными и системы двух уравнений с двумя неизвестными, представленной в уравнении 1, выглядят следующим образом:

    4. Уравнение 2: расширенные матрицы из систем линейных уравнений
    5. Учтите, что правило Крамерса можно использовать с любой системой из n уравнений для n неизвестных (пока уравнений столько же, сколько неизвестных, количество не имеет значения). Мы выбрали для представления случаи, в которых  n=3 \, n = 3\, n=3 и  n=2  \, n = 2 \, n=2, поскольку именно они обычно используются, прежде чем мы решим продолжить наши вычисления. другой и более удобной техникой.
3. \enspace Затем нам нужно вычислить  n+1  \, n+1 \, n+1 определителей.
    1. Другими словами, для случая, когда  n=3  \, n=3 \, n=3, мы будем вычислять 4 определителя. Для случая, когда  n=2 \, n = 2 \, n=2, вычислим 3 определителя.
    2. Все определители названы на основе переменных, содержащихся в рассматриваемой системе линейных уравнений. Например, для случая, когда в системе три неизвестных, у вас есть переменные xxx, yyy, zzz, следовательно, определители будут: DxD_xDx​, DyD_yDy​, DzD_zDz​.Для случая, когда в системе два неизвестных, у вас есть переменные xxx, yyy, следовательно, определители будут: DxD_xDx​, DyD_yDy​. Кроме того, в каждом случае всегда есть дополнительный определитель, который мы просто называем DDD.
    3. Определитель DDD всегда является определителем матрицы квадратных коэффициентов (которую мы назвали CCC) из левой части расширенной матрицы. Для систем, где  n=3 \, n= 3 \, n=3 и  n=2 \, n=2 \, n=2. Определитель DDD будет следующим:

    4. Уравнение 3: Определитель D
    5. Определители DxD_xDx​, DyD_yDy​, Dz…D_z …Dz​… получаются путем замены вектора-столбца b из уравнения 2 в соответствующий столбец матрицы квадратных коэффициентов.

Уравнение 4: Формулировка определителей D x , D y , D z 4. \enspace После того, как определители были вычислены, мы просто следуем следующим соотношениям, чтобы получить значения переменных из систем уравнений:
x=DxD \large x= \frac{D_x}{D} \quad \quad \quad \quad \quad x=DDx​​
y=DyDx=DxD \large y= \frac{D_y}{D} \quad \quad x= \frac{D_x}{D} y=DDy​​x=DDx​​
z=DzDy=DyD \large z= \frac{D_z}{D} \quad \quad y= \frac{D_y}{D} z=DDz​​y=DDy​​ Уравнение 5: Нахождение решений переменных для систем линейных уравнений. 3 уравнения для 3 неизвестных слева, 2 уравнения для 2 неизвестных справа
В общем, каждое уравнение для каждой переменной, как показано в уравнении 5, представляет собой то, что мы называем формулой правила Крамерса. Во многих книгах и опубликованных материалах это называется просто правилом Крамерса, тогда как на самом деле этот метод требует нескольких уравнений. По той же причине иногда вы можете увидеть этот метод, называемый матричным правилом Крамерса (обычно ссылаясь на расширенную матрицу из уравнения 2 или набор определителей из уравнений 3 и 4).

Как видите, решение систем уравнений с помощью правила Крамерса очень быстро становится очень утомительным, и именно поэтому этот метод обычно остается в стороне, и люди предпочитают использовать такие методы, как сокращение строк посредством исключения Гаусса. Если мы сравним такие два метода, мы ясно увидим, что по мере увеличения количества уравнений в системе и, следовательно, неизвестных, матрицы правил Крамерса становятся больше, а метод длиннее, поскольку для его решения требуется n + 1 количество определителей; Мало того, с увеличением n и определители становятся больше.
Поэтому в этом уроке мы сосредоточимся на решении систем линейных уравнений, содержащих до 3 уравнений с 3 неизвестными, более высокие значения n предлагается решать с помощью других методов решения систем линейных уравнений.

Правило Крамерса для решения системы уравнений

Объяснив этапы выполнения правила Крамерса, давайте научимся использовать его при решении систем линейных уравнений.
Мы разделим этот раздел на две части: одна посвящена решению системы из 2 уравнений с 2 ​​неизвестными (n=2n=2n=2), а другая посвящена решению системы из 3 уравнений с 3 неизвестными.
Используйте правило Крамерса для решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, как показано ниже: х+2у=3х+2у=3 х+2у=3 2x+3y=12x+3y=1 2x+3y=1 Уравнение 6: Система 2 линейных уравнений для 2 неизвестных
Преобразуем систему в расширенную матрицу: Уравнение 7: Расширенная матрица для системы 2×2
Затем мы вычисляем 3 требуемых определителя (помните, что шаг 3 нашего метода диктует, что нам нужно вычислить  n+1  \, n+1 \,n+1 определитель. Для этого случая у нас есть система из 2 неизвестных, таким образом n=2  \, n=2 \, n=2, поэтому  n+1=2+1=3 \, n+1 = 2+1 =3\, n+1=2+1=3, и, следовательно, нужно решить 3 определителя).
Следуя уравнению 3, мы сначала решим определитель правила Крамерса D: Уравнение 8: Определитель правила Крамерса D
Обратите внимание, что этот определитель DDD является просто определителем матрицы квадратных коэффициентов из левой части расширенной матрицы в уравнении 7.

Теперь, чтобы решить определители, связанные с каждой из переменных в уравнениях из системы, нам нужно заменить столбец, относящийся к каждой переменной в матрице квадратных коэффициентов, на столбец из правой части расширенной матрицы.Таким образом, определители DxD_xDx​, DyD_yDy​ равны:

Уравнение 9: Детерминанты правила Крамерса, относящиеся к каждой переменной
Чтобы наконец найти уникальное решение для каждой переменной в уравнениях, мы теперь решим уравнение правила Крамерса для каждого из них: x=DxD=7−1=−7 \large x = \frac{D_x}{D} = \frac{7}{-1} = -7 x=DDx​=−17​=−7
y=DyD=−5−1=5 \large y = \frac{D_y}{D} = \frac{-5}{-1} = 5 y=DDy​=−1−5​=5 Уравнение 10: Решение переменных x и y
Итак, система решена! Решения для переменных xxx и yyy таковы: x=−7,y=5x=-7, y=5x=−7,y=5.
Теперь давайте посмотрим на процесс выполнения правила Крамерса 3×3!
Используйте правило Крамерса, чтобы решить систему уравнений с тремя неизвестными, как показано ниже: х+4у+3г=1 х+4у+3г=1 х+4у+3г=1 х+2у+9г=1х+2у+9г=1 х+2у+9г=1 х+6у+6г=1х+6у+6г=1 х+6у+6г=1 Уравнение 11: Система 3 линейных уравнений для 3 неизвестных
Преобразуем систему в расширенную матрицу: Уравнение 12: Расширенная матрица для системы 3×3
А затем вычисляем 4 необходимых определителя. Начиная с определителя DDD: Уравнение 13: Определитель правила Крамерса D
Этот определитель DDD является просто определителем матрицы квадратных коэффициентов из левой части расширенной матрицы в уравнении 12.
Теперь, чтобы решить определители, связанные с каждой из переменных в уравнениях из системы, мы заменим столбец, относящийся к каждой переменной в квадратной матрице коэффициентов, столбцом, идущим из правой части расширенной матрицы. Итак, определители DxD_xDx​, DyD_yDy​, DzD_zDz​ равны: Уравнение 14: Детерминанты правила Крамерса, относящиеся к каждой переменной
Решение для переменных xxx, yyy и zzz: x=DxD=−18−18=1 \large x = \frac{D_x}{D} = \frac{-18}{-18} = 1 x=DDx​=−18−18​=1
y=DyD=0−18=0 \large y = \frac{D_y}{D} = \frac{0}{-18} = 0 y=DDy​=−180​=0
z=DzD=0−18=0 \large z = \frac{D_z}{D} = \frac{0}{-18} = 0 z=DDz​=−180​=0 Уравнение 15: Решение переменных x и y
Итак, система решена! х=1,у=0,г=0х=1, у=0, г=0х=1,у=0,г=0

Таким образом, чтобы использовать правило Крамера для решения линейных уравнений, мы: перепишем систему в расширенную матрицу, используем левую часть этой матрицы как матрицу квадратных коэффициентов, а правую часть как замену для связанных с ней уравнений. для каждой переменной в матрице коэффициентов, установите n + 1 определителей для системы, оцените определители и примените уравнения правила Крамерса, чтобы найти уникальные решения для переменных.

Помните, что если вы не полностью удовлетворены этой техникой, вы всегда можете выполнить доказательство по правилу Крамерса, решив систему, используя любой из других методов, которые вы уже знаете для решения линейных систем уравнений.

Примеры правил Крамерса

В этом разделе мы добавим несколько других примеров упражнений, в которых мы используем правило Крамерса для решения систем уравнений. Мы начнем с нескольких примеров систем 2×2 и закончим проблемой 3×3.
Пример 1 Решите следующую линейную систему, используя правило Крамерса: 5x+3y=1 5x+3y=15x+3y=1 х+у=2х+у=2х+у=2 Уравнение 16: Система 2 линейных уравнений для 2 неизвестных
Преобразуем систему в расширенную матрицу: Уравнение 17: Расширенная матрица для системы 2×2
А затем вычисляем 3 необходимых определителя: Уравнение 18: Детерминанты правила Крамерса
Теперь используйте DDD, DxD_xDx​, DyD_yDy​, чтобы окончательно найти уникальное решение для каждой переменной в уравнениях: х=DxD=-52=-2. 5 \large x = \frac{D_x}{D} = \frac{-5}{2} = -2,5 x=DDx​=2−5​=−2,5
y=DyD=92=4,5 \large y = \frac{D_y}{D} = \frac{9}{2} = 4,5 y=DDy​=29​=4,5 Уравнение 19: Решение переменных x и y
Итак, решения для переменных xxx и yyy таковы: x=−2,5,y=4,5x=-2,5, y=4,5x=−2,5,y=4,5
Пример 2 Решите следующую линейную систему, используя правило Крамерса: у=3х+5 у=3х+5 у=3х+5 у=4х-2у=4х-2 у=4х-2 Уравнение 20: Система 2 линейных уравнений для 2 неизвестных
Мы преобразуем приведенную выше систему в стандартную запись, чтобы позже мы могли преобразовать ее в расширенную матрицу: y=3x+5 y=3x+5 \quad y=3x+5→−3x+y=5 \quad -3x+y=5−3x+y=5 y=4x−2y=4x-2 \quad y=4x−2→−4x+y=−2 \quad -4x+y=-2 −4x+y=−2 Уравнение 21: Система 2 линейных уравнений для 2 неизвестных
Преобразуем систему в расширенную матрицу: Уравнение 22: Расширенная матрица для системы 2×2
А затем вычисляем 3 необходимых определителя: Уравнение 23: Детерминанты правила Крамерса
Теперь используйте DDD, DxD_xDx​, DyD_yDy​, чтобы окончательно найти уникальное решение для каждой переменной в уравнениях: x=DxD=71=7 \large x = \frac{D_x}{D} = \frac{7}{1} = 7 x=DDx​=17​=7
y=DyD=261=26 \large y = \frac{D_y}{D} = \frac{26}{1} = 26 y=DDy​=126​=26 Уравнение 24: Решение переменных x и y
Итак, решения для переменных xxx и yyy таковы: x=7,y=26x=7, y=26x=7,y=26
Пример 3 Решите следующую линейную систему, используя правило Крамерса: 2x+4y=3 2x+4y=32x+4y=3 4x+8y=64x+8y=64x+8y=6 Уравнение 25: Система 2 линейных уравнений для 2 неизвестных
Преобразуем систему в матрицу правил Крамерса (расширенная матрица): Уравнение 26: Расширенная матрица для системы 2×2
А затем вычисляем 3 необходимых определителя: Уравнение 27: Детерминанты правила Крамерса
Теперь используйте DDD, DxD_xDx​, DyD_yDy​, чтобы окончательно найти уникальное решение для каждой переменной в уравнениях: x=DxD=00=0 \large x = \frac{D_x}{D} = \frac{0}{0} = 0 x=DDx​=00​=0
y=Dyy=00=0 \large y = \frac{D_y}{y} = \frac{0}{0} = 0 y=yDy​​=00​=0 Уравнение 28: Решение переменных x и y
Итак, решения для переменных xxx и yyy таковы: x=0,y=0x=0, y=0x=0,y=0
Пример 4 Для последнего примера правила Крамерса мы будем решать систему из 3 уравнений для 3 неизвестных: х+3у+4г=4 х+3у+4г=4х+3у+4г=4 −x+3y+2z=2-x+3y+2z=2−x+3y+2z=2 3x+9y+6z=-63x+9y+6z=-63x+9y+6z=-6 Уравнение 29: Система 3 линейных уравнений для 3 неизвестных
Преобразуем систему в расширенную матрицу: Уравнение 30: Расширенная матрица для системы 3×3
А затем вычисляем 4 искомых определителя: Уравнение 31: Детерминанты правила Крамерса
Теперь используйте DDD, DxD_xDx​, DyD_yDy​, чтобы окончательно найти уникальное решение для каждой переменной в уравнениях: x=DxD=72−36=−2 \large x = \frac{D_x}{D} = \frac{72}{-36} = -2 x=DDx=-3672=-2
y=DyD=72−36=−2 \large y = \frac{D_y}{D} = \frac{72}{-36} = -2 y=DDy​​=−3672​=−2
y=DzD=−108−36=3 \large y = \frac{D_z}{D} = \frac{-108}{-36} = 3 y=DDz​=−36−108​=3 Уравнение 32: Решение переменных x, y и z
И система решается! Решения для переменных xxx, yyy и zzz таковы: x=−2,y=−2,z=3x=-2, y=-2, z=3x=-2,y=-2,z=3

В этом последнем упражнении мы хотели бы поработать над доказательством правила Крамерса, решив систему из уравнения 24 другим методом и проверив результат.
Таким образом, мы используем подстановку для решения системы:

запуск с тремя уравнениями:
x + 3y + 4z=4−x + 3y + 2z=23x + 9y + 6z=−6 x \, + \, 3y \, + \, 4z=4 \quad \quad \quad -x \, + \ , 3y \, + \, 2z=2 \quad \quad \quad 3x \, + \, 9y \, + \, 6z=-6x+3y+4z=4−x+3y+2z=23x+9y+6z =−6
решить forx x x в 1-м уравнении и подставить его в 3-м:
х=4-3y-4zx =4-3y-4z х=4-3y-4z
3(4−3y−4z) + 9y + 6z=−6  3(4-3y-4z) \, + \, 9y \, + \, 6z=-6 \; 3(4−3y−4z)+9y+6z=−6→  −6z + 12=−6 \; -6z \, + \, 12=-6 −6z+12=-6
−6z=−18  -6z=-18 \; −6z=−18→  z=3 \; г=3 г=3 Уравнение 33: Решение системы 3×3 подстановкой (часть 1)
Теперь продолжим технику подстановки, подставив найденное значение переменной zzz в первое и второе уравнения и получим новую упрощенную систему из 2-х уравнений для 2-х неизвестных: х + 3y + 4z=4  x \, + \, 3y \, + \, 4z = 4 \; x+3y+4z=4→  x + 3y + 4(3)=4   \; х \, + \, 3у \, + \, 4(3) = 4 \; х+3у+4(3)=4→  х + 3у=−8 \; х \, + \, 3y=-8x+3y=-8
−x + 3y + 2z=2  -x \, + \, 3y \, + \, 2z = 2 \; −x+3y+2z=2→  −x + 3y + 2(3)=2   \;-x \, + \, 3y \, + \, 2(3)= 2 \; −x+3y+2(3)=2→  −x + 3y=−4 \; — х \, + \, 3у=-4-х+3у=-4
Новые уравнения:
x + 3y=−8−x + 3y=−4x \, + \, 3y=-8 \quad \quad \quad -x \, + \, 3y=-4x+3y=-8−x+3y= −4 Уравнение 34: Решение системы 3×3 подстановкой (часть 2)
Используя эти новые выражения из уравнения 29, найдите x во втором уравнении и подставьте его в первое уравнение, чтобы найти yyy: 3y + 4=x  3y \, + \, 4=x \; 3y+4=x→  (3y + 4) + 3y=−8 \; (3y \, + \, 4) \, + \, 3y=-8(3y+4)+3y=-8 6y + 4=−8  6y \, + \, 4 = -8 \; 6y+4=−8→  6y=−12 \; 6у=-126у=-12 у=-2у=-2у=-2 Уравнение 35: Решение системы 3×3 подстановкой (часть 3)
И завершаем это, подставляя найденное значение y во второе выражение из уравнения 29: −x + 3y=−4  -x \, + \, 3y=-4 \; −x+3y=−4→  −x + 3(−2)=−4 \; -х \, + \, 3(-2)=-4-х+3(-2)=-4 −x−6=−4  -x-6=-4 \; −x−6=−4→  −x=2 \; -х=2-х=2 х=-2х=-2х=-2 Уравнение 36: Решение системы 3×3 подстановкой (часть 4)
Окончательные найденные значения переменных xxx,yyy и zzz: x=−2,y=−2,z=3x=-2, y=-2, z=3x=-2,y=-2,z =3

Таким образом, уникальные решения для переменных в линейной системе уравнений совпадают с ответами, полученными с помощью правила Крамерса для матриц! И вы можете ясно видеть, что оба подхода хороши для нас, чтобы использовать их при решении систем.

В завершение нашего сегодняшнего урока, как всегда, у нас есть несколько рекомендаций для ваших дальнейших занятий. Во-первых, это подробная статья, в которой вы можете найти пример использования правила Крамерса для решения двух уравнений с двумя неизвестными. И затем эта ссылка на обратную матрицу и правило Крамерса, где вы можете найти пример системы 3×3 внизу.

На этом урок окончен, увидимся на следующем!

Решение систем линейных уравнений с тремя переменными с использованием определителей — видео и стенограмма урока

Правило Крамера

Мы будем использовать правило Крамера.Это правило позволяет нам найти решение, используя только определители. Основным определителем является матрица коэффициентов. Назовем этот определитель D . Тогда у нас есть один определитель для каждой из наших переменных, D sub x , D sub y и D sub z . Чтобы найти D sub x , мы заменяем первый столбец, столбец x , в матрице коэффициентов постоянными числами и находим определитель этой матрицы. Для D sub y мы заменяем второй столбец в матрице коэффициентов постоянными числами, а затем находим определитель.Для D sub z заменяем третий столбец и затем находим определитель. Тогда решение x равно D sub x , деленное на D . Решение y равно D sub y , деленному на D . Решение z равно D sub z , деленному на D .

Поиск определителей

Готовы ли вы сейчас найти определители? Давай сделаем это. Как только вы найдете свои детерминанты, найти ответ будет проще простого! Находя свои определители, просто будьте осторожны со своими знаками и с тем, какие числа нужно умножать, а какие нужно складывать.

Наша матрица коэффициентов такова.

Цифры — это просто коэффициенты перед переменными в левой части уравнений. Первый столбец — это все x переменных коэффициентов. Второй столбец — это все y переменных коэффициентов. Третий столбец — это все z переменных коэффициентов.

Определитель нашей матрицы коэффициентов равен 1(-1 * -2 — -1 * 3) — 1(2 * -2 — -1 * 0) + 1(2 * 3 — -1 * 0) = 1( 2 + 3) — 1 (-4 + 0) + 1 (6 + 0) = 1 (5) — 1 (-4) + 1 (6) = 5 + 4 + 6 = 15.Наш D равен 15.

Теперь нам нужно найти наши D sub x , D sub y и D sub z . Чтобы найти эти определители, нам нужно заменить каждый столбец постоянными числами. Постоянные числа таковы.

Чтобы найти D sub x , мы заменяем первый столбец нашей матрицы коэффициентов этими постоянными числами, а затем находим определитель этой матрицы.

Определитель этой матрицы равен 6 (-1 * -2 — -1 * 3) — 1 (-3 * -2 — -1 * 0) + 1 (-3 * 3 — -1 * 0) = 6 (2 + 3) — 1 (6 + 0) + 1 (-9 + 0) = 6 (5) — 1 (6) + 1 (-9) = 30 — 6 — 9 = 15. D sub x равно 15.

Матрица для D sub y такая. Мы заменили второй столбец нашими постоянными числами.

Определитель этой матрицы равен 1 (-3 * -2 — -1 * 0) — 6 (2 * -2 — -1 * 0) + 1 (2 * 0 — -3 * 0) = 1 (6 + 0) — 6 (-4 + 0) + 1 (0 + 0) = 1 (6) — 6 (-4) + 1 (0) = 6 + 24 + 0 = 30. D sub y равно 30.

Наша последняя матрица предназначена для D sub z . Именно этот.

Определитель этой матрицы равен 1 (-1 * 0 — -3 * 3) — 1 (2 * 0 — -3 * 0) + 6 (2 * 3 — -1 * 0) = 1 (0 + 9) — 1(0 + 0) + 6(6 + 0) = 1(9) — 1(0) + 6(6) = 9 — 0 + 36 = 45. D sub z равно 45.

Нахождение Решения

Теперь, когда мы нашли все наши определители, следующим шагом будет поиск решений путем деления наших определителей. Чтобы найти решение x , мы берем D sub x и делим его на D .Чтобы найти решение y , мы берем D sub y и делим его на D . Чтобы найти решение z , мы берем D sub z и делим его на D . Вы готовы найти наши решения?

Решение x: x = D sub x / D = 15 / 15 = 1. Решение y : y = D sub y / = 1 D / 2. Решение z равно z = D sub z / D = 45 / 15 = 3.Тогда наше полное решение будет (1, 2, 3), где x = 1, y = 2 и z = 3. Теперь мы закончили.

Итоги урока

Чему мы научились? Мы узнали, что система линейных уравнений с тремя переменными представляет собой набор из трех линейных уравнений с тремя переменными и без показателей степени. Мы можем использовать правило Крамера, чтобы решить такую ​​систему. Правило Крамера позволяет найти решение, просто найдя четыре определителя и затем разделив их.Первый определитель, D , является определителем матрицы коэффициентов. Второй, третий и четвертый определители вычисляются из матриц, образованных заменой постоянных чисел в каждом столбце. D sub x , определитель матрицы, образованной подстановкой постоянных чисел в первый столбец матрицы коэффициентов, является вторым нужным нам определителем. D sub y является определителем матрицы, образованной заменой второго столбца матрицы коэффициентов постоянными числами.А D sub z является определителем матрицы, образованной заменой третьего столбца матрицы коэффициентов постоянными числами. После нахождения этих определителей ответ находится путем деления наших определителей. Решение x — это D sub x / D . Решение y — это D sub y / D . И окончательное решение z — это D sub z / D .

Результаты обучения

Посмотрите урок и укрепите свои знания, чтобы вы могли делать следующее:

  • Распознавать систему линейных уравнений с тремя переменными
  • Найдите решение этой системы, используя правило Крамера
  • Найти определители и решить систему линейных уравнений с тремя переменными

Метод исключения Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений

Что вы знаете о решении систем линейных уравнений? Этот тип заданий часто предлагается учащимся в домашнем задании по линейной алгебре. В одном из наших видео мы обсуждали, что система линейных уравнений может быть решена с использованием правила Крамера, которое включает поиск определителей, и это может быть сложно при работе с системами из 4, 5 или более уравнений. К счастью, есть еще один метод, который позволяет избежать массовых вычислений. И это называется методом исключения Гаусса (или сокращением строк).
Рассмотрим систему $m$ линейных уравнений с $n$ неизвестными, записанную в следующем виде:

\left\{ \begin{align}a_{11}x_1+a_{12}x_2+…+a_{1n}x_n =b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+…+a_{2n}x_n =b_2\\ …& & \\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+…+a_{mn}x_n =b_m\end{выровнено}\right.
где x_1, x_2, …, x_n– неизвестные,
a_{ij}– коэффициенты при неизвестных,
b_i– свободные члены (правые части уравнений).

Вот видеоверсия этого урока:

Давайте думать об этом как о наборе условий, дающих нам информацию о неизвестных. Это можно записать как… если взять, скажем, столько-то этого неизвестного, отмеченного как х_1, и столько-то другого неизвестного – х_2, то какое-то количество следующего неизвестного и, скажем, просуммировать их – получится столько-то из b_1.Конечно, этой информации недостаточно для определения всех неизвестных, поэтому уравнений больше. если мы возьмем столько же неизвестных x_1 и вычтем столько же из x_2, затем добавим некоторые другие неизвестные и вычтем еще какие-то – мы получим столько же из b_2. И так далее.
Хорошо, идем дальше. Что еще можно сказать об этой системе?

  •  совершенно очевидно, что мы можем поменять местами любую пару уравнений в наборе, потому что порядок, в котором мы получаем эту информацию, не важен. Идея состоит в том, чтобы иметь достаточно информации, но не особенно упорядоченной;
  • другой простой вывод, который приходит на ум, состоит в том, что мы можем умножить обе части любого уравнения на любую ненулевую константу и это не изменит систему, как и прибавив к обеим частям любого из уравнений соответствующие части любого другого уравнения .

Мы можем выполнять эти элементарные преобразования столько раз, сколько захотим. Это приведет к эквивалентной системе уравнений, потому что при этом мы фактически не производим и не уменьшаем информацию о неизвестных, а просто реорганизуем ее.

Что мы будем делать со всем этим? Очевидно, мы найдем эти свойства существенными при решении системы уравнений методом Гаусса.

Давайте рассмотрим пример системы линейных уравнений из реальной жизни:

\left\{ \begin{align}2x_1+4x_2-3x_3+2x_4 =0\\x_1-2x_2+5x_3+2x_4 =2\\2x_2-4x_3+5x_4 =-1\\2x_3+x_4 =-3 \end {выровнено}\справа.

Это хорошая привычка сначала формировать красивые столбцы переменных, прежде чем решать какую-либо систему. Это должно уберечь нас от ошибок, и мы будем двигаться быстрее. Во-вторых, перестроим систему так, чтобы уравнения со всеми неизвестными оказались вверху. Теперь давайте выберем первые два уравнения из системы и исключим первое неизвестное из одного из них. Неважно, какое уравнение и какое неизвестное выбрать, единственное условие — оба уравнения должны его содержать :). Давайте выберем первое и второе и намерены исключить первое неизвестное x_1. За несколько шагов мы сформируем подходящее представление о системе, вот увидите.

Хорошо, вернемся к устранению. Как это сделать? Более чем просто — сначала умножаем или делим одно из выбранных уравнений на некоторое число, чтобы в нем было столько же x_1, сколько в другом, но с обратным знаком. Во-вторых, мы складываем соответствующие части этих двух уравнений, и таким образом неизвестный x_1 сокращается. Причинно не будет разницы, если мы добавим первое уравнение ко второму или наоборот.

Итак, давайте умножим первое уравнение на \frac{1}{2}, добавим его ко второму и заменим существующее второе уравнение новым. Проделав все это, мы получаем новую эквивалентную систему:

.

\left\{ \begin{align}2x_1+4x_2-3x_3+2x_4 =0\\-4x_2+\frac{13}{2} x_3+x_4 =2\\2x_2-4x_3+5x_4 =-1\\2x_3+ x_4 =-3 \end{выровнено}\вправо.

Как видите, мы исключили x_1 из второй строки.

Теперь умножим его на \frac{1}{2}, добавим результат к уравнению в третьей строке, а затем заменим существующее уравнение вновь полученным.

\left\{ \begin{align}2x_1+4x_2-3x_3+2x_4 =0\\-4x_2+\frac{13}{2} x_3+x_4 =2\\-\frac{3}{4}x_3+\frac {11}{2}x_4 =0\\2x_3+x_4 =-3 \конец{выровнено}\справа.

Мы исключили x_2 из третьего уравнения. Нашим последним ходом будет исключение x_3 из четвертого уравнения.

Итак, давайте умножим это на -\frac{3}{8}, добавим к уравнению третьей строки и поместим результат в четвертую строку.

Наша окончательная эквивалентная система выглядит следующим образом:

\left\{ \begin{align}2x_1+4x_2-3x_3+2x_4 =0\\-4x_2+\frac{13}{2} x_3+x_4 =2\\-\frac{3}{4}x_3+\frac {11}{2}x_4 =0\\ \frac{41}{8}x_4 =\frac{9}{8} \end{выровнено}\right.

Получили систему верхнетреугольного вида.

Нахождение неизвестных треугольной системы называется обратным ходом метода Гаусса. На самом деле довольно легко понять, как двигаться дальше. Сначала найдем x_4 из четвертого уравнения. Затем мы просто подставим x_4 в третье уравнение, чтобы найти x_3. После этого мы подставим x_4 и x_3 во второе уравнение, чтобы найти x_2. Затем, наконец, зная x_2, x_3 и x_4, мы можем легко найти x_1 из первого уравнения.

Итак, вот ответ нашей системы:

\left\{ \begin{align}x_1 =-\frac{88}{41}\\x_2=\frac{89}{41}\\x_3=\frac{66}{41}\\ x_4 =\ frac{9}{41} \end{align}\right.

Можете проверить, если хотите.

 

В общем случае может случиться так, что при преобразовании системы мы получим противоречивое уравнение вида  0 = b, где b \neq 0. Это означает, что система не имеет решений. Такие системы называются несовместными.

Также может случиться так, чтобы вы следовали методу правильно, но не получили эту красивую треугольную форму и это последнее уравнение \frac{41}{8}x_4 = \frac{9}{8}, из которого вы можете вывести x_4 и решить систему.Вместо этого вы сталкиваетесь со случаем, когда вы можете выразить одни неизвестные только в терминах другого. Бояться нечего, это нормально 🙂 В одном из следующих разделов мы выберем пример, показывающий именно этот случай.

Метод исключения Гаусса часто даже более удобен, чем метод Крамера (правило Крамера), который требует вычисления определителей, и эта операция сложна для систем высокого порядка. Напротив, исключение Гаусса может быть выполнено сравнительно легко для систем порядка выше, скажем, 4, когда вычисление определителей усложняется.

Подведение итогов. Если вы хотите решить систему линейных уравнений с помощью исключения Гаусса, сначала вам нужно получить вашу систему в треугольной (или трапецеидальной) форме. Для этого вы спускаетесь по своей системе и шаг за шагом исключаете переменные из уравнений. После этого вы поднимаетесь и постепенно находите переменные (или выражаете их через другие). Не забудьте проверить свои ответы, подключив их к исходной системе, это поможет избежать ошибок и правильно выполнить домашнее задание.

3.5 Детерминанты и правило Крамера – Алгебра колледжа для управленческих наук

Мы научились решать системы уравнений с двумя переменными и тремя переменными, а также несколькими методами: подстановкой, сложением, методом исключения Гаусса, использованием обратной матрицы и построением графика. Некоторые из этих методов легче применять, чем другие, и они более подходят в определенных ситуациях. В этом разделе мы изучим еще две стратегии решения систем уравнений.

Вычисление определителя матрицы 2×2

Определитель — это действительное число, которое может быть очень полезно в математике, поскольку имеет множество применений, например, для вычисления площади, объема и других величин. Здесь мы будем использовать определители, чтобы определить, является ли матрица обратимой, используя элементы квадратной матрицы, чтобы определить, существует ли решение системы уравнений. Однако, возможно, одним из наиболее интересных приложений является их использование в криптографии.Защищенные сигналы или сообщения иногда отправляются закодированными в матрице. Данные можно расшифровать только с помощью обратимой матрицы и определителя. Для наших целей мы сосредоточимся на определителе как признаке обратимости матрицы. Вычисление определителя матрицы включает в себя следование определенным шаблонам, описанным в этом разделе.

Определитель матрицы 2 2, заданный

определяется как:

от

Обратите внимание, что для определителей мы используем прямые вертикальные линии. Другими словами, дет.

Выглядит знакомо? Должно. Помните, что это был знаменатель в скаляре, который мы умножаем на матрицу 2 2 с переключенными диагоналями и противоположными диагоналями, чтобы создать обратную. Таким образом, обратная матрица 2 2, как показано выше, будет:

.

   

Найдите определитель данной матрицы

от

Использование правила Крамера для решения системы двух уравнений с двумя переменными

Теперь мы представим последний метод решения систем уравнений, использующий определители.Этот метод, известный как правило Крамера, восходит к середине 18 века и назван в честь его новатора, швейцарского математика Габриэля Крамера (1704–1752), который представил его в 1750 году. системы с любым числом неизвестных при условии, что у нас есть такое же количество уравнений, что и неизвестных.

Правило Крамера даст нам единственное решение системы уравнений, если она существует. Однако, если система не имеет решения или имеет бесконечное число решений, на это будет указывать определитель . Несогласованные решения имеют по крайней мере один определитель числителя, отличный от нуля. Зависимые решения имеют ноль в качестве определителя в обоих числителях. Для нахождения общего решения необходимо использовать другой метод.

Чтобы понять, как и почему работает правило Крамера, мы направим вас к исходному материалу в OpenStax College Algebra.

Короче говоря, правило Крамера начинается с системы уравнений, например:

   

   

, и мы можем показать, что

   

Обратите внимание, что знаменатель для обоих и является определителем матрицы коэффициентов.

Мы можем использовать эти формулы для решения, но правило Крамера также вводит новое обозначение:

 

Обратите внимание, что ключом к правилу Крамера является замена интересующего столбца переменных столбцом констант и вычисление определителей. Затем мы можем выразить и как:

   

Правило Крамера — это метод, использующий определители для решения систем уравнений, в которых число уравнений равно числу переменных.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными.

   

   

Решение с использованием правила Крамера задается как:

   

Для

Если мы ищем , столбец заменяется столбцом констант. Если мы ищем для , столбец заменяется постоянным столбцом.

Решите следующую систему, используя правило Крамера

Найти

Найти

Найти

Решение (2,-3).

Используйте правило Крамера, чтобы решить систему уравнений.

Вычисление определителя матрицы

Найти определитель матрицы несложно, но найти определитель матрицы сложнее. Один из методов состоит в том, чтобы дополнить матрицу повторением первых двух столбцов, получив матрицу. Затем мы вычисляем сумму произведений записей вниз по каждой из трех диагоналей (слева вверху справа внизу) и вычитаем произведения записей вверх по каждой из трех противоположных диагоналей (слева внизу справа вверху). Это легче понять с визуальным и пример.

Найдите определитель матрицы.

   

Шаг 1: Дополнить первыми двумя столбцами:

   

Шаг 2: От верхнего левого угла к нижнему правому: умножьте числа по первой диагонали. , затем начните с и умножьте слева направо по диагонали, а затем . Добавьте эти три продукта.

Шаг 3: Теперь сверху справа: умножьте записи по обратной диагонали. , затем начните с и умножьте справа налево по диагонали, а затем .Добавьте эти три продукта и вычтите это значение из значения на шаге 2.

Алгебра выглядит следующим образом:

   

   

Найдите определитель матрицы :

Дополните матрицу первыми двумя столбцами и следуйте формуле. Таким образом,

Детерминанты также можно найти с помощью технологий. После того, как матрица введена в ваш калькулятор. Переход к МАТРИЦА – МАТЕМАТИКА и det и вызов рассматриваемой матрицы предоставит определитель для матрицы. В Excel =mdeterm также найдет определитель матрицы. Методы, упомянутые в этом разделе, работают только для указанного размера. Для больших матриц рекомендуется использовать калькулятор, Excel или другую программу.

Найдите определитель матрицы .

от

Использование правила Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными

Теперь, когда мы можем найти определитель матрицы, мы можем применить правило Крамера для решения системы из трех уравнений и трех неизвестных.Правило Крамера для систем следует той же схеме, что и для систем. Однако требуются дополнительные расчеты.

Рассмотрим систему:

   

где:

   

Если мы записываем определитель, мы заменяем столбец постоянным столбцом. Если мы записываем определитель, мы заменяем столбец постоянным столбцом. Если мы записываем определитель, мы заменяем столбец постоянным столбцом. Всегда проверяйте ответ.

Решите следующую систему, используя правило Крамера.

Используйте правило Крамера.

Затем,

Решение (1,3,-2).

Используйте правило Крамера для решения системы:

а. Решите систему уравнений (если возможно), используя правило Крамера.

Начнем с нахождения определителей:

Теперь мы знаем, что оно либо зависимо, либо противоречиво.Давайте посмотрим на один из других определителей.

Поскольку -16 \neq 0, у нас есть противоречивое решение.

б. Решите следующую систему уравнений (если возможно, или дайте общее решение, если зависит).

Найдем D с помощью техники, калькулятора или Excel.

Мы знаем, что это зависимая или противоречивая система. Мы могли бы найти все три других определителя, чтобы увидеть, является ли он зависимым, и если да, то нам пришлось бы использовать rref в калькуляторе, чтобы найти общее решение. По этой причине сейчас быстрее просто использовать rref. Существует онлайн-версия от planetcalc.

Сокращенная ступенчатая форма строки матрицы:

В виде уравнений это:

Итак, если это какое-то реальное число, то:

Вот несколько свойств, которые могут упростить и ускорить поиск определителей.

  1. Если матрица имеет форму верхнего треугольника (в нижнем треугольнике под диагональю все нули), то определитель равен произведению элементов по главной диагонали.
  2. При перестановке двух строк определитель меняет знак.
  3. Если две строки или два столбца идентичны, определитель равен нулю.
  4. Если матрица содержит строку или столбец из нулей, определитель равен 0.
  5. Определитель обратной матрицы равен обратной величине определителя матрицы .
  6. Если какая-либо строка или столбец умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент.

 

(PDF) Сравнение между правилом Крамера и предлагаемым методом исключения Крамера 2 на 2 для решения систем из трех или более линейных уравнений

Сравнение между правилом Крамера и предлагаемым методом исключения Крамера 2 × 2

для решения систем трех или более линейных уравнений

DKR Babajee

Совет по научным и академическим исследованиям, Allied Network for Policy, Research and Actions for Sustainability (ANPRAS), Mauritius

email: [email protected] com

Abstract

Правило Крамера — это 262-летний подход к решению систем n линейных уравнений с n переменными. Для системы

из 3 линейных уравнений правило Крамера требует вычисления определителей четырех матриц 3 × 3 (9

определителей матриц 2 × 2 или 9 кофакторов). Метод также не работает, когда определитель матрицы коэффициентов

равен нулю.

В этой работе мы предлагаем метод исключения Крамера 2 × 2, который состоит из решения первых двух линейных

уравнений с использованием правила Крамера и получения выражений первой и второй переменных через третью

переменную.Подставив эти выражения в третье уравнение, мы получим значение третьей переменной, а затем непосредственно получим

решений остальных переменных. Таким образом, мы уменьшаем количество вычислений определителей

до 5.

Мы показываем, что предложенный нами метод эквивалентен классическому правилу Крамера для решения общих систем из 3

линейных уравнений и может быть использован для решения систем из 3 линейные уравнения, когда определитель матрицы коэффициентов

3 × 3 равен нулю. Мы покажем, как применить метод исключения Крамера 2 × 2 для системы n линейных

уравнений на примере и покажем его преимущество перед классическим правилом Крамера.

Ключевые слова

Правило Крамера, системы линейных уравнений, определители, 2 × 2 метод исключения Крамера.

1 Правило Крамера для решения систем n линейных уравнений

Правило Крамера [2] обычно преподается на курсах бакалавриата как ценный инструмент для решения систем линейных уравнений.

Правило Крамерса дает явное выражение для решения системы и поэтому важно теоретически

.Кляйн [6] описал педагогический подход, основанный на правиле Крамера.

Система N линейных уравнений дается

A

1,1

x

1

+ A

1,2

x

2

+ A

1,3

x

3

+ A

1,4

x

4

+ … + A

1, N

x

N

= B

1

, ( 1)

A

2,1

x

1

+ A

2,2

x

2

+ A

2,3

x

3

+ A

2,4

x

4

+ . .. + A

2, N

x

N

= B

2

, (2)

A

3,1

x

1

+ A

3, 2

x

2

+ A

3,3

x

3

+ A

3,4

x

4

+ … + A

3, n

x

N

= B

3

, (3)

A

40008

x

1

+ A

4,2

x

2

+ a

4,3

x

3

+ a

4,4

x

4

+ … + а

4,n

x

n

= b

4

, (4)

.

.

.

A

N, 1

N, 1

x

1

+ A

N, 2

x

2

+ A

N, 3

x

3

+ A

n,4

x

4

+ … + a

n,n

x

n

= b

n

9 90.(5)

Система может быть написана в Matrix Form

AX = B, (6)

где

a =

A

1,1

A

1,2

A

1,3

A

1,4

. . . а

1,n

а

2,1

а

2,2

а

2,3

8

8

904 900. . а

2,n

а

3,1

а

3,2

а

3,3

8

8

900 . . а

3,n

а

4,1

а

4,2

а

4,3

а

4,3

900 . . а

4,n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. . . .

.

.

.

a

n,1

a

n,2

a

n,3

a

n,4

. .

n, N

, x =

x

1

x

2

30008 x

3

4

4

4

.

.

.

x

N

и B =

1

1

2

2

B

3

B

4

.

.

.

B

N

0 Решая линейные системы

Обратная замена

Напомним, что линейная система уравнений состоит из набора двух или более линейных уравнений с одинаковыми переменными. Линейная система, состоящая из трех уравнений стандартной формы, расположенных так, что переменная x не входит ни в одно уравнение после первого, а переменная y не входит ни в одно уравнение после второго, называется верхнетреугольной формой A линейная система, состоящая из уравнений с тремя переменными в стандартной форме, расположенных так, что переменная x не стоит после первого уравнения, а переменная y не стоит после второго уравнения. . Например,

Обратите внимание, что система образует треугольник, в котором каждое последующее уравнение содержит на одну переменную меньше. В общем

Линейные системы в верхней треугольной форме{a1x+b1y=c1b2y=c2   {a1x+b1y+c1z=d1b2y+c2z=d2c3z=d3

Если линейная система находится в этой форме, мы можем легко найти одну из переменных, а затем подставить обратно, чтобы найти оставшиеся переменные.

Пример 1

Решите: {3x−y=72y=−2.

Решение:

Напомним, что решения линейных систем с двумя переменными, если они существуют, представляют собой упорядоченные пары ( x , y ). Мы можем легко определить значение y , используя второе уравнение.

2у=-2у=-1

Затем используйте первое уравнение 3x−y=7 и тот факт, что y=−1, чтобы найти x .

3x−y=73x−(−1)=73x+1=73x=6x=2

Ответ: (2,−1)

Пример 2

Решите: {x−6y+2z=163y−9z=5z=−1.

Решение:

Напомним, что решения линейных систем с тремя переменными, если они существуют, представляют собой упорядоченные тройки ( x , y , z ). Используйте второе уравнение 3y−9z=5 и тот факт, что z=−1, чтобы найти y .

3y−9z=53y−9(−1)=53y+9=53y=−4y=−43

Затем подставьте y и z в первое уравнение.

x−6y+2z=16x−6(−43)+2(−1)=16x+8−2=16x+6=16x=10

Ответ: (10,−43,−1)

Попробуйте это! Решите: {4x−y+3z=12y−9z=−23z=2.

Ответ: (14, 2, 23)

Матрицы и исключение Гаусса

Целью этого раздела является разработка метода, упрощающего процесс решения линейных систем. Начнем с определения матрицы. Прямоугольный массив чисел, состоящий из строк и столбцов, который представляет собой прямоугольный массив чисел, состоящий из строк и столбцов. Учитывая линейную систему в стандартной форме, мы создаем матрицу коэффициентов. Матрица коэффициентов линейной системы в стандартной форме, записанная так, как они появляются, выстроены в линию без переменных или операций.записав коэффициенты в том виде, в котором они появляются, без переменных или операций, как показано ниже.

Матрица коэффициента линейной системы

{A1x + B1y + C1Z = D1A2x + B2Y + C2Z = D2A3x + B3Y + C3Z = D3 ⇒ [A1B1C1A2B2C2A3B3C3]

Строки представляют коэффициенты в уравнениях, а столбцы представляют коэффициенты каждой переменной. Кроме того, если мы включим столбец, представляющий константы, мы получим то, что называется расширенной матрицей. Матрица коэффициентов с включенным столбцом констант.. Для линейной системы с двумя переменными

Линейная система дополненная матрица Matrix {A1x + B1y = C1A2x + B2y = C2 ⇔ [A1B1 | C1A2B2 | C2]

А для линейной системы с тремя переменными имеем

Линейная система дополненная матрица Matrix {A1x + B1y + C1Z = D1A2x + B2Y + C2Z = D2A3x + B3y + C3Z = D3 ⇔ [A1B1C1 | D1A2B2C2 | D2A3B3C3 | D3]

Примечание : Вертикальная пунктирная линия обеспечивает визуальное разделение матрицы коэффициентов и столбца констант. В других ресурсах по алгебре, с которыми вы можете столкнуться, это иногда опускается.

Пример 3

Постройте расширенную матрицу, соответствующую: {9x−6y=0−x+2y=1 .

Решение:

Эта система состоит из двух линейных уравнений в стандартной форме; следовательно, коэффициенты в матрице появляются так же, как и в системе.

{9x−6y=0−x+2y=1       ⇔          [9−6|0−12|1]  

Пример 4

Постройте расширенную матрицу, которая соответствует: {x+2y-4z=52x+y-6z=84x-y-12z=13  .

Решение:

Поскольку уравнения приведены в стандартной форме, коэффициенты появляются в матрице так же, как и в системе.

{x+2y−4z=52x+y−6z=84x−y−12z=13           ⇔         [12−4 |521−6 9]|04−1−13 0|

Матрица имеет верхнетреугольную форму, если все элементы ниже ведущего ненулевого элемента в каждой последующей строке равны нулю. Например,

Обратите внимание, что элементы ниже главной диагонали равны нулю, а коэффициенты выше образуют треугольную форму.В общем

верхняя треугольная форма [A1B10B2] [A1B1C10B2C200C3]

Это важно, потому что в этом разделе мы описываем процесс, с помощью которого можно выполнить определенные операции для создания эквивалентной линейной системы в верхнем треугольном виде, чтобы ее можно было решить с помощью обратной подстановки. Обзор процесса представлен ниже:

Когда система находится в форме верхнего треугольника, мы можем использовать обратную подстановку, чтобы легко решить ее.Важно отметить, что представленные здесь расширенные матрицы представляют собой линейные системы уравнений в стандартной форме.

Следующие элементарные операции над строкамиОперации, которые можно выполнить для получения эквивалентных линейных систем. в результате получаются расширенные матрицы, представляющие эквивалентные линейные системы:

  1. Любые два ряда можно поменять местами.
  2. Каждый элемент в строке может быть умножен на ненулевую константу.
  3. Любая строка может быть заменена суммой этой строки и кратной другой.

Примечание: Эти операции согласуются со свойствами, используемыми в методе исключения.

Чтобы эффективно решить систему линейных уравнений, сначала постройте расширенную матрицу. Затем примените соответствующие элементарные операции над строками, чтобы получить расширенную матрицу в верхнетреугольной форме. В этой форме эквивалентная линейная система может быть легко решена с помощью обратной замены. Этот процесс называется методом исключения Гаусса. Этапы используются для получения эквивалентной линейной системы в верхнем треугольном виде, чтобы ее можно было решить с помощью обратной подстановки., названный в честь Карла Фридриха Гаусса (1777–1855).

Рисунок 3.1

Карл Фридрих Гаусс (Википедия)

Шаги для решения линейного уравнения с двумя переменными с помощью исключения Гаусса перечислены в следующем примере.

Пример 5

Решите с помощью матриц и исключения Гаусса: {9x−6y=0−x+2y=1 .

Решение:

Перед началом этого процесса убедитесь, что уравнения в системе имеют стандартную форму.

Шаг 1 : Постройте соответствующую расширенную матрицу.

{9x−6y=0−x+2y=1       ⇔          [9−6|0−12|1]  

Шаг 2 : Примените элементарные операции над строками для получения верхней треугольной формы. В этом случае нам нужно только исключить первый элемент второй строки, −1. Для этого умножьте второй ряд на 9 и прибавьте его к первому ряду.

Теперь используйте это, чтобы заменить вторую строку.

[9−6|0012|9]

В результате получается расширенная матрица в форме верхнего треугольника.

Шаг 3 : Преобразуйте обратно в линейную систему и решите с помощью обратной подстановки. В этом примере у нас есть

[9−6|0012|9]          ⇒          {9x−6y=012y=9

Решите второе уравнение для y ,

12г=9г=912г=34

Подставьте это значение вместо y в первое уравнение, чтобы найти x ,

9x−6y=09x−6(34)=09x−92=09x=92x=12

Ответ: (12, 34)

Шаги по использованию исключения Гаусса для решения линейного уравнения с тремя переменными перечислены в следующем примере.

Пример 6

Решить с помощью матриц и исключения Гаусса: {x+2y−4z=52x+y−6z=84x−y−12z=13   .

Решение:

Перед началом этого процесса убедитесь, что уравнения в системе имеют стандартную форму.

Шаг 1 : Постройте соответствующую расширенную матрицу.

{x+2y−4z=52x+y−6z=84x−y−12z=13           ⇒         [12−4 |521−6 |84−1−12    [12−4 |521−6 |84−1−12 |030|03

Шаг 2 : Примените элементарные операции над строками для получения верхней треугольной формы. Начнем с удаления первого элемента второй строки, в данном случае 2. Для этого умножьте первую строку на −2, а затем добавьте ее ко второй строке.

[12−4  |521−6  |84−1−12  |13]⇒×(−2)−2−48−10+21−680−32−2

Используйте это, чтобы заменить вторую строку.

[12−4 |50−32 |−24−1−12 |13]

Затем удалите первый элемент третьей строки, в данном случае 4, умножив первую строку на -4 и добавив его к третьей строке.

[12−4  |50−32  |−24−1−12  |13]⇒×(−4)−4−816−20+4−1−12130−94−7

Используйте это, чтобы заменить третью строку.

[12−4 |50−32 |−20−94 |−7]

В результате получается расширенная матрица, в которой элементы ниже первого элемента первой строки равны нулю. Затем удалите второй элемент в третьей строке, в данном случае -9. Умножьте вторую строку на −3 и прибавьте к третьей строке.

Используйте это, чтобы заменить третью строку, и мы увидим, что мы получили матрицу в форме верхнего треугольника.

[12−4 |50−32 |−200−2 |−1]

Шаг 3 : Преобразуйте обратно в линейную систему и решите с помощью обратной подстановки. В этом примере у нас есть

  [12−4 |50−32 |−200−2 |−1]    ⇒          {x+2y−4z=5−3y+2z=−2−2z=−1     

Ответ: Читателю остается проверить, что решение равно (5,1,12).

Примечание: Обычно работа, связанная с заменой строки путем умножения и сложения, выполняется на стороне с использованием черновой бумаги.

Пример 7

Решите с помощью матриц и исключения Гаусса: {2x−9y+3z=−18x−2y−3z=−8−4x+23y+12z=47   .

Решение:

Начнем с преобразования системы в расширенную матрицу коэффициентов.

{2x-9Y + 3Z = -18x-2Y-3Z = -8-4x + 23Y + 12Z = 47 ⇒ [2-93 | -181-2-3 | -8-42312 | 47]

Элементарные операции со строками упрощаются, если начальный ненулевой элемент в строке равен 1. По этой причине начните с того, что поменяйте местами первый и второй ряды.

Замените вторую строку суммой −2, умноженной на первую и вторую строки.

Замените третью строку суммой четырех значений первой и третьей строк.

Далее разделите строку 3 на 15.

Поменять местами третий ряд со вторым рядом.

Затем замените строку 3 на сумму 5, умноженную на вторую и третью строки.

В результате получается матрица в форме верхнего треугольника. Матрица находится в форме эшелона строк. Матрица имеет треугольную форму, в которой старший ненулевой элемент каждой строки равен 1. Если она находится в верхнем треугольном виде, где старший ненулевой элемент каждой строки равен 1. Мы можем получить эту форму, заменив третью строку на результат деления на 9.

Преобразовать в систему линейных уравнений и решить методом обратной подстановки.

[1−2−3 |−8010 |1001 |13] ⇒   {x−2y−3z=−8y=1z=13

Здесь y = 1 и z=13. Подставьте в первое уравнение, чтобы найти x .

x−2y−3y=−8x−2(1)−3(13)=−8x−2−1=−8x−3=−8x=−5

Ответ: Следовательно, решение равно (−5,  1,  13).

Техническое примечание : Многие современные калькуляторы и системы компьютерной алгебры могут выполнять исключение Гаусса. Сначала вам нужно будет узнать, как ввести матрицу.Затем используйте функции калькулятора, чтобы найти форму эшелона строк. Мы рекомендуем вам провести некоторые веб-исследования по этой теме для вашей конкретной модели калькулятора.

Попробуйте это! Решите методом исключения Гаусса: {x−3y+2z=164x−11y−z=692x−5y−4z=36   .

Ответ: (6, −4, −1)

Напомним, что некоторые непротиворечивые линейные системы зависимы, т. е. имеют бесконечно много решений.А некоторые линейные системы не имеют одновременного решения; это несовместимые системы.

Пример 8

Решите, используя матрицы и метод исключения Гаусса: {x−2y+z=42x−3y+4z=74x−7y+6z=15   .

Решение:

Начнем с преобразования системы в расширенную матрицу коэффициентов.

{x-2y + z = 42x-3Y + 4Z = 74x-7Y + 6Z = 15 ⇒ [1-21 | 42-34 | 74-76 | 15]

Замените вторую строку на -2(строка 1)+(строка 2) и замените третью строку на -4(строка 1)+(строка 3).

[1−21 |4012 |−1012 |−1] 

Заменить третью строку на −1(строка 2)+(строка 3).

[1−21 |4012 |−1000 |0] 

Последняя строка указывает, что это зависимая система, потому что преобразование расширенной матрицы обратно в уравнения, которые у нас есть,

{х-2у+г=4у+2г=-10х+0у+0г=0

Обратите внимание, что строка нулей соответствует следующему тождеству:

0x+0y+0z=00=0    ✓

В этом случае мы можем выразить бесконечное множество решений через z . Из второй строки имеем следующее:

у+2г=-1у=-2г-1

И из первого уравнения

x-2y+z=4x-2(-2z-1)+z=4x+5z+2=4x=-5z+2

Решения имеют вид (x,  y,  z)=(−5z+2,−2z−1,  z), где z — любое действительное число.

Ответ: (−5z+2,−2z−1,z)

Зависимые и несогласованные системы могут быть идентифицированы в расширенной матрице коэффициентов, когда все коэффициенты в одной строке равны нулю.

Если ряду нулей соответствует нулевая константа, то матрица представляет собой зависимую систему. Если константа отлична от нуля, то матрица представляет собой противоречивую систему.

Попробуйте это! Решите с помощью матриц и исключения Гаусса: {5x−2y+z=−310x−y+3z=0−15x+9y−2z=17  .

Ответ: Ø

Ключевые выводы

  • Линейная система в форме верхнего треугольника может быть легко решена с помощью обратной замены.
  • Увеличенная матрица коэффициентов и исключение Гаусса могут быть использованы для упрощения процесса решения линейных систем.
  • Чтобы решить систему с использованием матриц и исключения Гаусса, сначала используйте коэффициенты для создания расширенной матрицы. Примените элементарные операции над строками, чтобы получить матрицу в верхнем треугольном виде. Преобразуйте матрицу обратно в эквивалентную линейную систему и решите ее с помощью обратной замены.

Тематические упражнения

    Часть A: обратная замена

      Решите с помощью обратной замены.

    1. {5x−3y=2y=−1

    2. {3x+2y=1y=3

    3. {х-4у=12у=-3

    4. {х-5у=310у=-6

    5. {4x−3y=−167y=0

    6. {3x−5y=−104y=8

    7. {2х+3у=-13у=2

    8. {6х-у=-34у=3

    9. {х-у=02у=0

    10. {2x+y=23y=0

    11. {х+3у-4г=1у-3г=-2г=3

    12. {х-5у+4г=-1у-7г=10г=-2

    13. {х-6у+8г=23у-4г=-42г=-1

    14. {2x−y+3z=−92y+6z=−23z=2

    15. {10x−3y+z=1311y−3z=92z=−6

    16. {3x−2y+5z=−244y+5z=34z=−12

    17. {х-у+2г=12у+г=13г=-1

    18. {х+2у-г=2у-3г=16г=1

    19. {х-9у+5г=-32у=103г=27

    20. {4x         −    z=33y−2z=−12z=−8

    Часть B: Матрицы и исключение Гаусса

      Построить соответствующую расширенную матрицу (не решать).

    1. {х+2у=34х+5у=6

    2. {6x+5y=43x+2y=1

    3. {х-2у=12х-у=1

    4. {х-у=2-х+у=-1

    5. {−х+8у=32у=2

    6. {3x−2y=4−y=5

    7. {3x−2y+7z=84x−5y−10z=6−x−3y+2z=−1

    8. {x−y−z=02x−y+3z=−1−x+4y−3z=−2

    9. {х-9у+5г=-32у=103г=27

    10. {4x−z=33y−2z=−12z=−8

    11. {8x+2y=-13-2y+z=112x-5z=-18

    12. {х-3г=2у+6г=42х+3у=12

      Решение с использованием матриц и метода исключения Гаусса.

    1. {х-5у=22х-у=1

    2. {х-2у=-1х+у=1

    3. {10x−7y=15−2x+3y=−3

    4. {9x−10y=23x+5y=−1

    5. {3x+5y=82x−3y=18

    6. {5x−3y=−147x+2y=−1

    7. {9x+15y=53x+5y=7

    8. {6x−8y=1−3x+4y=−1

    9. {х+у=0х-у=0

    10. {7x−3y=03x−7y=0

    11. {2x−3y=4−10x+15y=−20

    12. {6x−10y=20−3x+5y=−10

    13. {х+у-2г=-1-х+2у-г=1х-у+г=2

    14. {х-у+г=-2х+2у-г=6-х+у-2г=3

    15. {2x−y+z=2x−y+z=2−2x+2y−z=−1

    16. {3x−y+2z=7−x+2y+z=6x+3y−2z=1

    17. {х-3у+г=6-х-у+2г=42х+у+г=3

    18. {4x−y+2z=12x−3y+2z=7−2x+3y+4z=−16

    19. {2x−4y+6z=−43x−2y+5z=−25x−y+2z=1

    20. {3x+6y+9z=62x−2y+3z=0−3x+18y−12z=5

    21. {−x+y−z=−23x−2y+5z=13x−5y−z=3

    22. {х+2у+3г=43х+8у+13г=212х+5у+8г=16

    23. {2x−4y−5z=3−x+y+z=13x−4y−5z=−4

    24. {5x−3y−2z=43x−6y+4z=−6−x+2y−z=2

    25. {−2x−3y+12z=44x−5y−10z=−1−x−3y+2z=0

    26. {3x−2y+5z=104x+3y−3z=−6x+y+z=2

    27. {х+2у+г=-3х+6у+3г=7х+4у+2г=2

    28. {2x−y+z=14x−y+3z=52x+y+3z=7

    29. {2x+3y−4z=03x−5y+3z=−105x−2y+5z=−4

    30. {3x−2y+9z=2−2x−5y−4z=35x−3y+3z=15

    31. {8x+2y=-13-2y+z=112x-5z=-18

    32. {х-3г=2у+6г=42х+3у=12

    33. {9x+3y−11z=62x+y−3z=17x+2y−8z=3

    34. {3x−y−z=4−5x+y+2z=−36x−2y−2z=8

    35. {2x−4y+3z=153x−5y+2z=185x+2y−6z=0

    36. {3x−4y−3z=−144x+2y+5z=12−5x+8y−4z=−3

    Часть C: Дискуссионная доска

    1. Исследуйте и обсудите историю исключения Гаусса. Кому приписывают первую разработку этого процесса? Опубликуйте что-нибудь интересное, связанное с этой историей.

    2. Исследовать и обсудить историю современной матричной записи. Кому приписывают разработку? В каких областях они используются сегодня? Опубликуйте свои выводы на доске обсуждений.

ответы

  1. (−15,−1)

  2. (−5,−32)

  3. (−32,23)

  4. (−6,−2,−12)

  5. (85,0,−3)

  6. (73,23,−13)

  1. [12 |345 |6]

  2. [1−2 |12−1 |1]

  3. [−18 |302 |2]

  4. [3−27 |84−5−10 |6−1−32 |−1]

  5. [1−95 |−3020 |10003 |27]

  6. [820 |−130−21 |1120−5 |−18]

  7. (13,−13)

  8. (32,0)

  9. (х, 23х-43)

  10. (12,12,−12)

  11. (1,0,12)

  12. (−8,−12z+52,z)

  13. (−32,−12, 0)

Правило Крамера – объяснение и примеры

Чтобы решить систему уравнений, мы в основном используем метод подстановки , метод исключения, или метод построения графиков. Мы также можем использовать матричную алгебру для решения системы уравнений. Такие процессы, как исключение Гаусса (также известное как исключение Гаусса-Джордана), могут помочь решить систему уравнений с $3$ или более неизвестными. Мы также можем использовать правило Крамера для решения системы.

Что такое правило Крамера?

Правило Крамера — это метод решения системы уравнений с использованием определителей.

В этом уроке мы рассмотрим, что такое правило Крамера и как решить систему уравнений.Ниже приведены некоторые примеры и практические задачи.

Что такое правило Крамера?

Правило Крамера — это метод решения системы уравнений с использованием определителей. Это и есть красота правила Крамера. Мы можем найти значение одной переменной без решения всей системы (или других переменных).

Помните определители?

Рассмотрим матрицу размера $ 2 \times 2 $, показанную ниже:

$ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $

Определитель этой матрицы определяется выражением:

$ det( A ) = | А | = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad – bc $

Примечание. Мы использовали обозначения $ 3 $ для обозначения определителя.

Теперь рассмотрим матрицу $ 3 \times 3 $, показанную ниже:

$ B = \begin{bmatrix} { a }  & { b } & c \\ { d } & { e } & f \\ g & h & i  \end {bmatrix} $

Определитель этой матрицы равен:

$ det( B ) = | Б | = \begin{vmatrix} { a }  & { b } & c \\ { d } & { e } & f \\ g & h & i  \ end {vmatrix} =  a \begin {vmatrix} { e }  & f \\ h & i  \end {vmatrix} – b \begin{vmatrix} d  & f \\ g & i  \end {vmatrix} + c \begin{vmatrix} d  & e \\ g & h  \end {vmatrix} $

Обратите внимание, что мы разбили матрицу $3\x 3$ на более мелкие матрицы $2\x 2$.Вертикальные черточки за пределами матриц $ 2 \times 2 $ указывают на то, что мы должны взять определитель. Зная определитель $ 2 \times 2 $ матриц, мы можем дополнительно упростить формулу:

$ det(B)=| Б | = a(ei-fh) – b(di – fg) + c(dh-eg) $

Рассмотрим систему уравнений, показанную ниже:

$ \begin{align*} { 2x } + 3y &= \ , { 7 } \\ { – 3x } + 4y  &= { 15 }  \end{align*} $

Теперь мы назовем некоторые матрицы, которые помогут нам использовать правило Крамера для решения этой системы позже на.

  • Следуя формуле определителя $ 2 \times 2 $, мы можем записать определяющую матрицу как:

$ D = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ { – 3 } & 4 \end{vmatrix }  $

Мы назвали его «D».

  • Подставив постоянные коэффициенты из системы в первый столбец (вместо $ x $s), можно написать другую матрицу:

$  D_{ x } = \begin{vmatrix} 7 & 3 \\ { 15 } & 4 \end{vmatrix}  $

Мы обозначили его «$ D_{ x } $» и назвали его x-матрицей .

  • Аналогично, подставив константы из системы во второй столбец (вместо $y$s), можно написать другую матрицу:

$  D_{ y } = \begin{vmatrix} 2 & 7 \ \ { – 3 } & 15 \end{vmatrix}  $

Мы обозначили его «$ D_{ y } $» и назвали его y-матрицей .

Теперь формула правила Крамера для решения переменных $ x $ и $ y $ показана ниже:

$ x = \frac{ D_{ x } }{ D } = \frac{ \begin {vmatrix} 7 и 3 \\ { 15 } & 4 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ { – 3 } & 4 \end{vmatrix} } $

$ y = \ frac { D_{ y } }{ D } = \frac{ \begin{vmatrix} 2 и 7 \\ { – 3 } & 15 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ { – 3 } & 4 \end{vmatrix} } $

В следующем разделе мы покажем, как на самом деле использовать правило и решить систему! Обратите внимание, что мы не можем использовать правило Крамера, когда определитель матрицы равен $ 0 $! Нулевой определитель может означать:

  • Система несовместна (не имеет решений)
  • Система зависима (имеет бесконечные решения)

В этом случае приходится полагаться на другие методы в решение системы, такой как метод замены/исключения или метод исключения Гаусса.

Как пользоваться правилом Крамера?

Давайте решим систему уравнений ( переменные $ 2 $ ), используя правило Крамера, чтобы увидеть концепцию вживую в действии!

Решите приведенную ниже систему уравнений, используя правило Крамера:

$ \begin{align*} { 2x } + y &= \, { 7 } \\ {  3x } – 2y  &= { – 7 } \end{align*} $

Первым шагом является запись определителей этой системы уравнений, определителя ( $ D $ ), определителя $ x – $ ( $ D_ { x } ) и определителя $ y – $ ($D_{у}).Давайте воспользуемся выученной формулой и запишем их:

$  D = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ {  3 } &  { – 2 } \end{vmatrix}  $

$  D_{ x } = \begin {vmatrix} 7 & 1 \\ { – 7 } & { – 2 } \end{vmatrix}  $

$  D_{ y } = \begin{vmatrix} 2 & { 7 } \\ { 3 } & { – 7 } \end{vmatrix}  $

Вспомните формулу для вычисления определителя $ 2 \times 2 $:

Для матрицы $ 2 \times 2 $ — 

$ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $

Определитель вычисляется как —

$ det( A ) = | А | = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad – bc $

Вычислим определители:

$  D = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ {  3 } & { – 2 } \end{vmatrix} = ( 2 )( – 2 ) – ( ​​1 )( 3 ) = – 4 – 3 = – 7   $

$  D_{ x } = \begin{vmatrix} 7 & 1 \ \ { – 7 } & { – 2 } \end{vmatrix} = ( 7 )( – 2 ) – ( ​​1 )( – 7 ) = – 14 – ( – 7 ) = – 14 + 7 = – 7   $

$  D_{ y } = \begin{vmatrix} 2 & { 7 } \\ { 3 } & { – 7 } \end{vmatrix} = ( 2 )( – 7 ) – ( ​​7 )( 3 ) = -14 – 21 = – 35     $

Теперь мы можем использовать формулы и, таким образом, Правило Крамера для решения переменных $ x $ и $ y $. Ниже показано:

$ x = \frac{ D_{ x } }{ D } = \ frac{ – 7 }{ – 7 } = 1 $

$ y = \ frac{D_{ y } }{ D } = \frac{ – 35 }{ – 7 } = 5 $

набор решений системы равен (1, 5) .

Вы можете заметить, что если бы мы хотели решить только для $ 1 $ переменных, не решая всю систему, мы могли бы легко использовать формулу для одной переменной, чтобы найти ее. Правило Крамера — довольно изящный инструмент для поиска решений системы уравнений.Мы увидим несколько примеров, а также один с переменными $3$.

Пример 1

Решите приведенную ниже систему уравнений, используя правило Крамера:

$ \begin{align*} { – x } – y &= \, { 5 } \\ { 2x } + y  &= { 4 }  \end{align*} $

Решение

Первым шагом является запись определителей этой системы уравнений, определитель ( $ D $ ), $ x – $ определитель ( $ D_ { x } ) и определитель $ y – $ ( $ D_{ y } ).Воспользуемся выученной формулой и запишем их:

$  D = \begin{vmatrix} – 1 & – 1 \\ {  2 } &  { 1 } \end{vmatrix}  $

$  D_{ x } = \ begin{vmatrix} 5 & – 1 \\ { 4 } & { 1 } \end{vmatrix}  $

$  D_{ y } = \begin{vmatrix} – 1 & { 5 } \\ { 2 } & { 4 } \end{vmatrix}  $

Мы будем использовать формулу для вычисления определителей матриц $ 2 \times 2 $ для вычисления матриц $ D $, $ D_{ x } $ и $ D_ { y } $.

$ D = \begin{vmatrix} – 1 & – 1 \\ { 2 } &  { 1 } \end{vmatrix}  = (– 1 )( 1 ) – (– 1 )( 2 ) = – 1 + 2 = 1   $

$  D_{ x } = \begin{vmatrix} 5 & – 1 \\ { 4 } & { 1 } \end{vmatrix} = ( 5 )( 1 ) – ( ​​– 1 )( 4 ) = 5 + 4 = 9  $

$  D_{ y } = \begin{vmatrix} – 1 & { 5 } \\ { 2 } & { 4 } \end{vmatrix}  = ( – 1 )( 4 ) – ( ​​5 )( 2 ) = – 4 – 10 = – 14    $

Теперь воспользуемся формулами, изученными в правиле Крамера, чтобы найти значения переменных:

$ x = \frac{ D_{ x } }{ D } = \frac{ 9 }{ 1 } = 9 $

$ y = \frac{D_{ y } }{ D } = \frac{ – 14 }{ 1 } = – 14 $

система стоит $ (9, — 14) $.

Рассмотрим пример с переменными $3$.

 
Пример 2

Решите приведенную ниже систему уравнений с помощью правила Крамера: – c  &= 5  \\ a – 2b + 3c = 6 \end{align*} $


Решение

Первый шаг – записать определители этой системы уравнений, определитель ($D$), $a – $детерминант ($D_{a}), $b–$ определитель ($D_{b}) и $c–$ определитель ($D_{c}). Давайте воспользуемся выученной формулой и запишем их:

$  D = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & -3 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix}  $

$  D_{ a } = \begin{vmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 5 & -3 & -1 \\ 6 & -2 & 3 \end{vmatrix}  $

$  D_{ b } = \begin{vmatrix} 2 & -1 & -2 \\ 3 & 5 & -1 \\ 1 & 6 & 3 \end{vmatrix}  $

$  D_{c } = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 3 & -3 & 5 \\ 1 & -2 & 6 \end{vmatrix}  $

Для матрицы вида:

$ B = \begin{bmatrix} { a }  & { b } & c \\ { d } & { e } & f \\ g & h & i  \end {bmatrix} $

Определитель вычисляется как:

$ | Б | = a(ei-fh) – b(di – fg) + c(dh-eg) $

Теперь воспользуемся правилом Крамера и вычислим значения переменных $a $, $b$ и $c$ .Шаги показаны ниже (мы не показывали подробные шаги нахождения определителей $ 3 \times 3 $ матриц):

$ a = \frac{ D_{ a } }{ D } = \frac{ \ begin{vmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 5 & -3 & -1 \\ 6 & -2 & 3 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & -3 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} } = \frac{-26}{-26} =1 $

$ b = \frac{D_{ b } }{ D } = \frac{ \begin{vmatrix} 2 & -1 & -2 \\ 3 & 5 & -1 \\ 1 & 6 & 3 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & -3 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} } = \frac{26}{-26} = -1 $

$ c = \frac{D_{ c } }{ D } = \frac{ \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 3 & -3 & 5 \\ 1 & -2 & 6 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & -3 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} } = \frac{-26}{-26} = 1$

набор решений системы равен $ ( 1, – 1,1)$.

Практические вопросы

  1. Решите приведенную ниже систему уравнений, используя правило Крамера:

    $ \begin{align*} { 5x } + 2y &= \, {10 } \\ { – x } + 4y &= { 20 }  \end{align*} $

  2. Решите приведенную ниже систему уравнений, используя правило Крамера:

    $ \begin{align*} 3x – 4y + z &= \, -5 \ \ x – y – z  &= – 10  \\ 6x – 8y + 2z = 10 \end{align*} $

Ответы

  1. Первый шаг – записать определители этой системы уравнений, определитель ($D$), определитель $x–$ ($D_{x}$) и определитель $y–$ ($D_{y}$).Давайте воспользуемся выученной формулой и запишем их:

    $  D = \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ {  – 1 } &  { 4 } \end{vmatrix}  $

    $  D_{ x } = \begin {vmatrix} 10 & 2 \\ { 20 } & { 4 } \end{vmatrix}  $

    $  D_{ y } = \begin{vmatrix} 5 & { 10 } \\ { – 1 } & { 20 } \ end{vmatrix}  $

    Мы будем использовать формулу для вычисления определителей матриц $ 2 \times 2 $ для вычисления матриц $ D $, $ D_{ x } $ и $ D_ { y } $.

    $  D = \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ {  – 1 } &  { 4 } \end{vmatrix}  = ( 5 )( 4 ) – ( ​​2 )( -1 ) = 20 + 2 = 22   $

    $  D_{x} = \begin{vmatrix} 10 & 2 \\ {20} & {4} \end{vmatrix} = (10)(4) – (2)(20) = 40 – 40 = 0 $

    $  D_{y} = \begin{vmatrix} 5 & {10} \\ {– 1} & {20} \end{vmatrix} = (5)(20) – (10)(-1) = 100 + 10 = 110    $

    Теперь воспользуемся формулами, изученными в правиле Крамера, чтобы найти значения переменных:

    $ x = \frac{ D_{ x } }{ D } = \frac{ 0 }{ 22 } = 0 $

    $ y = \frac{D_{ y } }{ D } = \frac{ 110 }{ 22 } = 5 $

    набор решений системы равен $ (0, 5) $ .

  2. Первым шагом является запись определителей этой системы уравнений, определитель ($D$), определитель $x-$ ($D_{x} ), определитель $y-$ ($D_{y}) $,  и определитель $ z – $ ( $ D_{ z } ) $. Давайте воспользуемся выученной формулой и запишем их:

    $  D = \begin{vmatrix} 3 & -4 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 6 & -8 & 2 \end{vmatrix}  $

    $  D_{ x } = \begin{vmatrix} 5 & -4 & 1 \\ -10 & -1 & -1 \\ 10 & -8 & 2 \end{vmatrix}  $

    $  D_{ y } = \begin{vmatrix} 3 & 5 & 1 \\ 1 & -10 & -1 \\ 6 & 10 & 2 \end{vmatrix}  $

    $  D_{ z } = \begin{vmatrix} 3 & -4 & 5 \\ 1 & -1 & -10 \\ 6 & -8 & 10 \end{vmatrix}  $

    Напомним, что $ 3 \times 3 $ матрица вида:

    $ B = \begin {bmatrix} { a }  & { b } & c \\ { d } & { e } & f \\ g & h & i  \end {bmatrix} $

    Имеет определитель, равный:

    $ | Б | = a(ei-fh) – b(di – fg) + c(dh-eg) $

    Сначала найдем значение определителя, $D$,

    $ D = \begin{vmatrix} 3 & -4 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 6 & -8 & 2 \end{vmatrix} = 3(-2-8) +4(2+6) +1(-8+6) = 3(-10) + 4(8) +1(-2) = 0 $

    Определитель этой матрицы равен $ 0 $; таким образом, мы не можем решить систему, используя правило Крамера!!

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск