Решение систем уравнений и неравенств: Тема 4. Неравенства и системы неравенств – Решение системы неравенств · Калькулятор Онлайн

Системы уравнений и неравенств

 

Нелинейные алгебраические уравнения

161

 

 

 

 

 

 

 

 

Листинг 5.11. Численное решение уравнения, имеющего

 

 

 

бесконечное множество корней, приводит к одному из них

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

10

 

 

y 10

 

 

 

Given

 

 

 

 

 

 

x2

y

1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Find(x y)

3.377

10.402

Пока мы рассматривали примеры систем уравнений, число которых было таким же, как и число неизвестных, что встречается наиболее часто. Но число уравнений и неизвестных может и не совпадать. Более того, в вычислительный блок можно добавить дополнительные условия в виде неравенств. Например, введение ограничения на поиск только отрицательных значений x в рассмотренный выше листинг 5.10 приведет к нахождению другого решения, как это показано в листин-

ге 5.12.

Обратите внимание, что, несмотря на те же начальные значения, что и в листинге 5.10, в листинге 5.12 мы получили другой корень системы уравнений. Это произошло именно благодаря введению дополнительного неравенства, которое определено в блоке Given в предпоследней строке листинга 5.12.

Листинг 5.12. Численное решение системы алгебраических уравнений и неравенств

x

10

 

 

y 10

Given

 

 

 

x2 y

1

 

0

 

 

x

 

2y

1

 

 

 

 

 

 

 

 

x

0

 

 

 

Find (x y)

0.5

0.75

5.2.2. Уравнение с одним неизвестным: функция root

Для решения уравнения с одним неизвестным в Mathcad, помимо вычислительного блока Given/Find, предусмотрена встроенная функция root, которая, в зависимости от типа задачи, может включать либо два, либо четыре аргумента и, соответственно, использовать разные алгоритмы поиска корней:

root(f(x),x);

root(f(x),x,a,b):

f(x) — скалярная функция, определяющая уравнение f(x)=0;

x — имя скалярной переменной, относительно которой решается уравнение;

a,b — границы интервала, внутри которого происходит поиск корня.

Первый тип функции root, аналогично встроенной функции Find, требует дополнительного задания начального значения переменной x, для чего нужно просто перед применением функции root присвоить x некоторое число. Таким образом, присвоение начального значения требует априорной информации о примерной локализации корня, т. к. поиск корня будет производиться вблизи этого числа. Пример работы функции root объясняется листингом 5.13.

Листинг 5.13. Два варианта решения уравнения методом секущих

root ex

1

x

1 1

0

x 1

 

 

 

 

root ex

1

x

2.21

10 5

Как вы можете убедиться (первая строка листинга 5.13), для решения уравнения при помощи функции root(f(x),x,a,b) не требуется задавать начального приближения, а достаточно указать интервал [a,b]. Поиск корня будет осуществлен в промежутке между a и b альтернативным численным методом (Риддера или Брента). Когда функция root имеет четыре аргумента, следует помнить о двух ее особенностях. Во-первых, внутри интервала не должно находиться более одного корня, иначе будет найден один из них, заранее неизвестно, какой именно. Во-вторых, значения f(a) и f(b) должны иметь разный знак, иначе будет выдано сообщение об ошибке.

В чем же отличие встроенной функции Find от функции root? Оно состоит в том, что для решения одних и тех же задач используются различные численные алгоритмы (градиентные и метод секущих соответственно). В примерах уравнений с одним неизвестным, которые мы рассматривали до сего момента, выбор метода не влиял на окончательный результат, поскольку фигурировавшие в них функции были "хорошими", т. е. достаточно гладкими для поиска корня одним из градиентных методов, требующих, как известно, вычисления производных. Между тем бывают ситуации, когда применение того или иного метода имеет решающее значение.

Приведем пример простой функции f(x), корни которой удается отыскать только при помощи функции root (листинг 5.14). Она определена в первой строке этого листинга, а ее корень вычислен во второй строке. Из графика, представленного на рис. 5.5, видно, что f(x) имеет особенность в окрестности своего корня, являясь в ней разрывной. В завершающей части листинга 5.14 предпринимается попытка отыскать нулевое значение f(x) посредством вычислительного блока Given/Find, которая оказывается неудачной.

Нелинейные алгебраические уравнения

163

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.5. Модельная функция f(x) (продолжение листинга 5.14)

Листинг 5.14. Пример уравнения, которое удается решить только методом секущих

f(x)

 

 

(x

1.01)

0.5 if x 1.01

 

 

0

otherwise

 

 

 

 

 

 

root (f(x)

x 0

2)

1.01

x

1 Given f(x) 0 Find (x)

Остается добавить, что f(x) может быть функцией не только x, а любого количества аргументов. Именно поэтому в самой функции root необходимо определить, относительно какого из аргументов следует решить уравнение. Эта возможность проиллюстрирована листингом 5.15 на примере функции двух переменных f(x,y)=x2– y2+1. В нем сначала решается уравнение f(x,0)=0 относительно переменной x, а потом — другое уравнение f(0,y)=0 относительно переменной y, причем, благодаря удачному подбору начальных значений, вычисляются все корни данного квадратичного уравнения.

Таким образом, в обоих случаях один из аргументов функции f(x) воспринимается как неизвестное, а другой — как параметр. Не забывайте при численном решении уравнений относительно одной из переменных предварительно определить значения остальных переменных. Иначе попытка вычислить уравнения приведет к появ-

лению ошибки Эта переменная не определена (This variable or function is not defined above).

ПРИМЕЧАНИЕ

Для того чтобы отыскать зависимость корней уравнения, вычисленных по одной переменной, от других переменных, разработаны специальные эффективные алгоритмы. Об одной из возможностей читайте в разд. 5.3.3.

164

 

 

 

 

Глава 5

 

 

 

 

 

 

Листинг 5.15. Поиск корней уравнения, зависящего от двух переменных

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x y)

x2 y2 1

 

 

 

 

 

x

1

root(f(x

0)

x)

i

 

x

1

root(f(x

0)

x)

i

 

y

0

root(f(0

y)

y)

1

 

 

y

100

root(f(0

y)

y)

1

 

5.2.3. Корни полинома: функция polyroots

Если функция f(x) является полиномом, то все его корни можно определить, используя встроенную функцию:

 polyroots(v)

v — вектор, составленный из коэффициентов полинома.

Поскольку полином N-й степени имеет ровно N корней (некоторые из них могут быть кратными), вектор v должен состоять из N+1 элемента. В основе встроенной функции polyroots лежат специфические численные алгоритмы, а результатом ее действия является вектор, составленный из N корней рассматриваемого полинома. При этом нет надобности вводить какое-либо начальное приближение, как для функции root. Пример поиска корней полинома четвертой степени иллюстрируется листингом 5.16.

Коэффициенты рассматриваемого в примере полинома

f(x)=(x—3) (x—1)3=x4—6x3+12x2—10x+3

записаны в виде вектора в первой строке листинга. Первым в векторе должен идти свободный член полинома, вторым — коэффициент при x1 и т. д. Соответственно, последним N+1 элементом вектора должен быть коэффициент при старшей степени xN.

СОВЕТ

Иногда исходный полином имеется не в развернутом виде, а, например, как произведение нескольких полиномов. В этом случае определить все его коэффициенты можно, выделив его и выбрав в меню Символьные операции (Symbolics) пункт Развернуть (Expand). В ре-

зультате символьный процессор Mathcad сам преобразует полином в нужную форму; пользователю надо будет только корректно ввести ее в аргументы функции polyroots.

Листинг 5.16. Вычисление корней полинома

v (3 10 12 6 1 )T 0.992

1.004 7.177i 10 3

polyroots (v)

1.004

7.177i

10

3

 

3

 

 

Решение систем уравнений и неравенств

 Решение систем   УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ  (9 класс)  Презентация составлена учителем математики  МОУ «СОШ» п. Аджером Корткеросского района  Республики Коми  Мишариной Альбиной Геннадьевной

Решение систем

УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

(9 класс)

Презентация составлена учителем математики

МОУ «СОШ» п. Аджером Корткеросского района

Республики Коми Мишариной Альбиной Геннадьевной

Способы решения систем уравнений Способы решения систем неравенств  СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ СПОСОБ СЛОЖЕНИЯ решаем каждое неравенство системы отдельно и находим общее решение на числовой оси

Способы решения систем уравнений

Способы решения систем неравенств

  • СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ
  • СПОСОБ СЛОЖЕНИЯ
  • решаем каждое неравенство системы отдельно и находим общее решение на числовой оси
ПРИ РЕШЕНИИ СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ СПОСОБОМ ПОДСТАНОВКИ : Например: 3х + 2у = 4  х – 4у = 6 1. Из одного уравнения выражают одну переменную через другую 2. Подставляют во второе уравнение найденное выражение; 3. Решают полученное уравнение с одной переменной 4. Находят соответствующее значение другой переменной . Решение: из второго уравнения  x  = 4 y+6 Подставим данное выражение в первое уравнение: 3( 4 y+6) + 2y=4  12y+18+2y=4  14y  =  -14  y=-1  Найдем х: x=4∙(-1)+6  x=2  Ответ:  (2;-1)

ПРИ РЕШЕНИИ СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ СПОСОБОМ ПОДСТАНОВКИ :

Например: 3х + 2у = 4

х – 4у = 6

1. Из одного уравнения выражают одну переменную через другую

2. Подставляют во второе уравнение найденное выражение;

3. Решают полученное уравнение с одной переменной

4. Находят соответствующее значение другой переменной .

Решение: из второго уравнения

x = 4 y+6

Подставим данное выражение в первое уравнение: 3( 4 y+6) + 2y=4

12y+18+2y=4

14y = -14

y=-1

Найдем х: x=4∙(-1)+6

x=2

Ответ: (2;-1)

ПРИ РЕШЕНИИ СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ СПОСОБОМ СЛОЖЕНИЯ : 1 . умножают левую и правую части одного или обоих уравнений на некоторое число так, чтобы коэффициенты при одной из переменных в разных уравнениях стали противоположными числами; 2. складывают почленно полученные уравнения; 3. решают полученное уравнение с одной переменной; 4. находят соответствующее значение второй  переменной.  Например: 2х – 3у = 11  3х + 7у = 5 Решение: первое уравнение умножим на (-3), а второе - на 2  - 6х + 9у = - 33  6х + 14у = 10  23 y =-23  y=-1 Найдем х: 2x - 3· (-1) =11  2 x + 3 = 11  2х = -3 +11  2х = 8  х = 4  ОТВЕТ: ( 4 ;- 1 )

ПРИ РЕШЕНИИ СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ СПОСОБОМ СЛОЖЕНИЯ :

1 . умножают левую и правую части одного или обоих уравнений на некоторое число так, чтобы коэффициенты при одной из переменных в разных уравнениях стали противоположными числами;

2. складывают почленно полученные уравнения;

3. решают полученное уравнение с одной переменной;

4. находят соответствующее значение второй

переменной.

Например: 2х – 3у = 11

3х + 7у = 5

Решение: первое уравнение умножим на (-3), а второе - на 2

- 6х + 9у = - 33

6х + 14у = 10

23 y =-23

y=-1

Найдем х: 2x - 3· (-1) =11

2 x + 3 = 11

2х = -3 +11

2х = 8

х = 4

ОТВЕТ: ( 4 ;- 1 )

ПРИ РЕШЕНИИ СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ СПОСОБОМ СЛОЖЕНИЯ : 1 . умножают левую и правую части одного или обоих уравнений на некоторое число так, чтобы коэффициенты при одной из переменных в разных уравнениях стали противоположными числами; 2. складывают почленно полученные уравнения; 3. решают полученное уравнение с одной переменной; 4. находят соответствующее значение второй  переменной.  Например: 2х – 3у = 11  3х + 7у = 5 Решение: первое уравнение умножим на (-3), а второе - на 2  - 6х + 9у = - 33  6х + 14у = 10  23 y =-23  y=-1 Найдем х: 2x - 3· (-1) =11  2 x + 3 = 11  2х = -3 +11  2х = 8  х = 4  ОТВЕТ: ( 4 ;- 1 ) 6 2х – 4 3 Решение: решим каждое неравенство отдельно 5х + 1 6 2х – 4 3 5х 6 -1 2х 5х 5 2х х 1 х 3,5 1 3,5 х Ответ: (1; 3,5) решаем каждое неравенство системы отдельно изображаем полученные решения на числовой прямой и смотрим пересечения этих решений. Эта общая часть и является решением данной системы неравенств. "

Если надо решить систему неравенств, то :

Например 5х + 1 6

2х – 4 3

Решение: решим каждое неравенство отдельно

5х + 1 6 2х – 4 3

5х 6 -1 2х

5х 5 2х

х 1 х 3,5

1 3,5 х

Ответ: (1; 3,5)

  • решаем каждое неравенство системы отдельно
  • изображаем полученные решения на числовой прямой и смотрим пересечения этих решений.

Эта общая часть и является решением данной системы неравенств.

 1) Решают соответсвующее квадратное уравнение 2) Полученные корни отмечают на числовой оси (закрашивая точку или нет) 3) Делят числовую ось на интервалы 4) Определяют знак в одном из интервалов (при х=0) 5) Ставят знаки в других интервалах (чередуя + и - ) 6) Выбирают интервал(ы) с нужным знаком При решении систем неравенств, содержащих квадратное(ные) неравенство(а) применяют  метод интервалов

1) Решают соответсвующее квадратное уравнение

2) Полученные корни отмечают на числовой оси (закрашивая точку или нет)

3) Делят числовую ось на интервалы

4) Определяют знак в одном из интервалов (при х=0)

5) Ставят знаки в других интервалах (чередуя + и - )

6) Выбирают интервал(ы) с нужным знаком

При решении систем неравенств, содержащих квадратное(ные) неравенство(а) применяют

метод интервалов

 1) Решают соответсвующее квадратное уравнение 2) Полученные корни отмечают на числовой оси (закрашивая точку или нет) 3) Делят числовую ось на интервалы 4) Определяют знак в одном из интервалов (при х=0) 5) Ставят знаки в других интервалах (чередуя + и - ) 6) Выбирают интервал(ы) с нужным знаком При решении систем неравенств, содержащих квадратное(ные) неравенство(а) применяют  метод интервалов 0 Решение: решим каждое неравенство отдельно х ² - 3х + 2 0 2х ² - 3х – 5 0 Найдем корни соответствующих квадратных уравнений х ² - 3х + 2 = 0 2х ² - 3х – 5 = 0 По свойствам коэффициентов имеем: х 1 = 1 х 2 = 2 х 1 = -1 х 2 = 5/2= 2,5 Изобразим метод интервала на числовой оси: -1 1 2 2,5 х Ответ: (-1;1) υ (2;2,5) "

Решим систему неравенств:

х ² - 3х + 2 0

² - 3х – 5 0

Решение: решим каждое неравенство отдельно

х ² - 3х + 2 0 ² - 3х – 5 0

Найдем корни соответствующих квадратных уравнений

х ² - 3х + 2 = 0 ² - 3х – 5 = 0

По свойствам коэффициентов имеем:

х 1 = 1 х 2 = 2 х 1 = -1 х 2 = 5/2= 2,5

Изобразим метод интервала на числовой оси:

-1 1 2 2,5 х

Ответ: (-1;1) υ (2;2,5)

 1) Решают соответсвующее квадратное уравнение 2) Полученные корни отмечают на числовой оси (закрашивая точку или нет) 3) Делят числовую ось на интервалы 4) Определяют знак в одном из интервалов (при х=0) 5) Ставят знаки в других интервалах (чередуя + и - ) 6) Выбирают интервал(ы) с нужным знаком При решении систем неравенств, содержащих квадратное(ные) неравенство(а) применяют  метод интервалов 0 2) х-3у =6 2у-5х = -4 3) 5(х+у)-7(х-у) = 54 4(х+у)+3(х-у) = 51 "

Системы уравнений

1) 2х +у =6

-4х +3у =8

Системы неравенств

1) 3х – 2 ≥ х + 1

4 – 2х ≤ х – 2

2) х ² - 5х + 4 ≤ 0

9 - 4х 0

3) х ² - 3х + 2 0

² - 3х – 5 0

2) х-3у =6

2у-5х = -4

3) 5(х+у)-7(х-у) = 54

4(х+у)+3(х-у) = 51

1) 3(х+у)+1=х+4у Проверим ответы: 1) (-1;-1) 2) ( -3; 4 ]  3) любое число (-∞;+∞) 4) [ - 1,5; - 1)  7-2(х-у)=х-8у 2) 5х + 12 ≤ 3х+ 20  х  2х + 7 ≥ 0  3) 4х -6у =2  3у -2х =1 4) -2 ≤ 6х + 7

1) 3(х+у)+1=х+4у

Проверим ответы:

1) (-1;-1)

2) ( -3; 4 ]

3) любое число (-∞;+∞)

4) [ - 1,5; - 1)

7-2(х-у)=х-8у

2) 5х + 12 ≤ 3х+ 20

х

2х + 7 ≥ 0

3) 4х -6у =2

3у -2х =1

4) -2 ≤ 6х + 7

1) 3(х+у)+1=х+4у Проверим ответы: 1) (-1;-1) 2) ( -3; 4 ]  3) любое число (-∞;+∞) 4) [ - 1,5; - 1)  7-2(х-у)=х-8у 2) 5х + 12 ≤ 3х+ 20  х  2х + 7 ≥ 0  3) 4х -6у =2  3у -2х =1 4) -2 ≤ 6х + 7 0 "

5) 5(х+у)-7(х-у) = 54

Проверим ответы:

5) (9; 6)

6) (- ∞; 1 )

7)

4(х+у)+3(х-у) = 51

6) ² - 7х + 5 0

2 – х ≥ 0

7) ² - 2х – 1 0

х ² - х – 6 0

«Решение линейных уравнений, систем уравнений и неравенств»

Практическая работа по теме: «Решение линейных уравнений, систем уравнений и неравенств»

Цель :

  1. Повторить знания обучающихся в теме: «Решение линейных уравнений, систем уравнений и неравенств».
  2. Закрепить умения и навыки решения линейных уравнений, систем уравнений и неравенств .

  3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности обучающихся.

Оборудование: рабочие тетради и тетради для практических работ, ручка, калькулятор.

Продолжительность: 1 час

Порядок выполнения:

  1. Ознакомиться с теоретическим материалом и решением примеров .

  2. Сделать краткий конспект теоретического материала в рабочих тетрадях (основные понятия, определения, формулы, примеры).

  3. В тетрадях для практических работ выполнить практическую работу .

Теоретические сведения:


Линейные уравнения.
Уравнение вида ax+ b=0, где a и b — некоторые постоянные, называется линейным уравнением.
Если a0, то линейное уравнение имеет единственный корень: x = .
Если a=0; b  0, то линейное уравнение решений не имеет.
Если a=0; b = 0, то, переписав исходное уравнение в виде ax = -b, легко видеть, что любое x является решением линейного уравнения.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
При решении уравнений используются следующие свойства:
Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получите уравнение, равносильные данному.
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Примеры решения уравнений

№ п/п

Пример

Решение

1

2x – 3 + 4(x – 1) = 5

Пос Последовательно раскроем скобки, приведём

подобные члены и найдём x:

2x – 3 + 4x – 4 = 5

2x + 4x = 5 + 4 + 3,
6x = 12

x = 2. Ответ: 2.

2

-8(11-2х)+40=3(5х-4)

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, перенесем все слагаемые с х в левую часть уравнения, а слагаемые, не содержащие х, в правую часть, получим:
16х-15х=88-40-12

х=36  Ответ: 36.

3

2x – 3 + 2(x – 1) = 4(x – 1) – 7

2x + 2x – 4x = 3 +2 – 4 – 7

0x = – 6

 Ответ: 

4

2x + 3 – 6(x – 1) = 4(x – 1)+ 5

2x – 6x + 3 + 6 = 4 – 4x + 5
– 4x + 9 = 9 – 4x
-4x + 4x = 9 – 9
0x = 0 Ответ: Любое число.

Системы уравнений с двумя переменными
Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Решить систему — значит найти все ее решения или доказать, что их нет.
При решении линейных систем используют метод подстановки и метод сложения.

Примеры решения систем уравнений

Пример

Решение

5

Для решения этой системы применим метод подстановки. Выразим из первого уравнения х и подставим это значение  во второе уравнение системы, получим :

Ответ: (2; 3).

6

Для решения этой системы применим метод сложения уравнений. 8х=16, х=2. Подставим значение х=2 в первое уравнение, получим 10-у=9, у=1.
Ответ: (2; 1).

7

Эта система равносильна одному уравнению 2х+у=5, т.к. второе уравнение получается из первого умножением на 3. Следовательно, ей удовлетворяет любая пара чисел (х; 5-2х). Система имеет бесконечное множество решений.
Ответ: (х; 5-2х), х–любое.

8

Умножим первое уравнение на –2 и сложим

С со вторым уравнением, получим 0×х+0×у=-6. Этому у уравнению не удовлетворяет ни одна пара чисел. Сл Следовательно, эта система не имеет решений.
Ответ: система не имеет решений.

Линейные неравенства с одной переменной.

Линейным называется неравенство вида ax+b0 (соответственно ax+b 0, ax+b 0), где а и b – действительные числа, причем а0.
Неравенства решаются на основе следующих утверждений.
Теорема 1. Если какой-либо член неравенства с одной переменной перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, оставив при этом без изменения знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.
Теорема 2. Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же положительное число, оставив при этом без изменения знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.
Теорема 3. Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

Примеры решения неравенств

Пример

Решение

9

2(х-3)+5(1-х) 3(2х-5)

Раскрыв скобки, получим 2х-6+5-5х6х-15
-3х-1 6х-15

-9х -14

  Ответ: .

10

Освободимся от знаменателей, для чего умножим обе части неравенства на положительное число 6, оставив без изменения знак неравенства:

Далее последовательно получаем: 

Последнее неравенство верно при любом значении х, так как при любом значении переменной получается истинное

высказывание 0-55. Поэтому множеством его решений служит вся числовая прямая.
Ответ:


Система неравенств
Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют систему, если ставится задача найти множество общих решений заданных неравенств.
Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство, называется решением системы неравенств.
Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений неравенств, образующих систему. Неравенства, образующие систему, объединяются фигурной скобкой.

Пример решения систем неравенств

Пример

Решение

11

x

С помощью числовой прямой находим, что пересечением этих множеств служит интервал . Ответ: 

Варианты практической работы:

Вариант 1

Вариант 2

1.Решите уравнение

а)

б)

в)

г)

д)

2.Решите неравенство

а)

б)

3.Решите систему уравнений

а) методом сложения

б) методом подстановки

методом сложения

методом подстановки

4.Решите систему неравенств

Решение уравнений, систем уравнений и неравенств с двумя переменными

Задача 1. Какие геометрические фигуры задают следующие системы уравнений и неравенств:

а) hello_html_m89c130b.gif б) hello_html_m42203f66.gif

Решение

Выполним построение на координатной плоскости.

Для случая а) получим отрезок, принадлежащий прямой 2x­+3y-12=0

Для б) треугольник

hello_html_m2f701ff7.jpghello_html_72775782.jpg

Задача 2. Не выполняя рисунка на координатной плоскости выясните пересекает ли прямую x+y-6=0 отрезок, соединяющий точки:

а) A(-1;-4) и B(-7;3)

б) C(5;2) и D(10;-7)

Решение.

а) координаты точек A и B удовлетворяют неравенству x+y-6<0, т.е. они обе лежат ниже прямой x+y-6=0. Следовательно, отрезок, соединяющий точки A и B, данную прямую не пересекает.

б) координаты точки С удовлетворяют неравенству x+y-6>0, т.е. она лежит выше прямой x+y-6=0. Координаты точки D удовлетворяют неравенству

x+y-6<0, т.е. она лежит ниже прямой x+y-6=0. Следовательно, отрезок CD будет пересекать прямую.

С целью закрепления указанного учебного материала могут быть использованы и такие задачи.

Задача 3. Укажите координаты каких-либо двух точек, если известно, что отрезок, их соединяющий не пересекает прямую 3x-5y=4.

Задача 4. Запишите уравнение какой-либо прямой, которая пересекает отрезок, соединяющий точки A(-2;1) и B(3;5).

В курсе алгебры при изучении графиков уравнений или неравенств с двумя переменными могут быть предложены задачи на определение осей симметрии тех или иных геометрических фигур.

Задача 1. Имеет ли ось симметрии график уравнения x-3y+1=0?

Решение

График уравнения x-3y+1=0 есть прямая линия, следовательно, он имеет оси симметрии и их бесконечное множество.

Задача 2. Сколько осей симметрии имеет график уравнения x2+y2=16?

Решение

Графиком уравнения x2+y2=16 является окружность, следовательно, он имеет бесконечное множество осей симметрии.

Задача 3. Запишите уравнение осей симметрии фигуры, задаваемой системой неравенств.

hello_html_m2cfe733a.gif

Решение

Данная система неравенств задает квадрат ABCD.

hello_html_55115e7c.jpg

Всякий квадрат имеет 4 оси симметрии: KM; EF; AC; BD.

Прямая KM совпадает с ox, поэтому ее уравнение у=0.

Точка N имеет координаты (5;0), значит, x=5 – уравнение EF.

Прямая AC проходит через точки A(3;2) и C(7;-2), для определения коэффициентов k и b в общем уравнении прямой y=kx+b составим систему

hello_html_19338055.gifОтсюда k=-1, b=5, y=-x+5

Аналогично уравнение прямой CD: y=x-5

Осуществлению взаимосвязи курсов алгебры и геометрии способствуют также использование в курсе математики задач на вычисление площадей геометрических фигур, заданных уравнениями или их системами.

Задача 1. Найдите площадь треугольника, заданного системой неравенств

hello_html_26244dc6.gif

Решение

На координатной плоскости изображен заданный треугольник.

Определив координаты точек A,B,C,

hello_html_74d35061.jpgнаходим, что AC=6, OB=3.

hello_html_20ad5492.gif

Ответ: 9

Задача 2. Вычислите площадь треугольника, ограниченного прямыми

y-2x=-2, 3y=-4x+24 и осью абсцисс

Решение

hello_html_m23f44ed.jpg

Координаты A и C найдем как координаты точек пересечения прямых

y-2x=-2 и 3y=-4x+24 с осью абсцисс; получим A(1;0), C(6;0). Для отыскания координат точки B решим систему: hello_html_m3c6f6b1e.gif; B(3;4).

Итак, AC=5; BD=4, hello_html_f89de2b.gif

Ответ: 10

Задача 3. . Из условий х2 + у2 = 9, у2 + z2 = 16 и у2 = = хz для положительных x, у и z, не вычисляя их значений, указать значение выражения ху + уz.

Решение. Привычное задание решить систему уравнений

hello_html_m10f5e953.gifx2+y2=9

y2 +z2=16

y2= xz

у учащихся затруднений не вызывает. Однако в данном случае нужно, не решая систему, ответить на вопрос, чему равно значение выражения ху + уz.. Учитель может обратить внимание учащихся, что х, у и z положительны по условию и, таким образом, дать им некоторую подсказку, что задачу можно решить геометрически.

По теореме, обратной теореме Пифагора, числа х, у и 3 являются соответственно длинами кате­тов и гипотенузы треугольника ABD с прямым углом D. А рассмотрев второе уравнение системы, можно сделать вывод, что у, z и 4 также есть соответственно длины катетов и гипотенузы тре­угольника BCD с прямым углом D

Третье уравнение системы разрешает утверждать, что число у есть среднее пропорциональное чисел х и z, и по теореме, обратной теореме о пропор­циональных отрезках в прямоугольном треугольни­ке, угол ABCпрямой.

Теперь рассмотрим выражение ху + уz.

ху + Уz= (х + z.)*у = 2sАВС =3*4=12.

Примечание. Для данной системы уравнений за­дания могут быть и другие. Например, найти зна­чение выражения х + у + z или в каком отноше­нии находятся числа х и у; z и у;х + z и у.

hello_html_m669f9a76.png

«Решение систем уравнений и неравенств с одной переменной»

Урок по теме : «Решение систем уравнений и неравенств с одной переменной»

Тип урока: закрепление и совершенствование знаний, умений и навыков.

Оборудование: Доска, карточки для работы в парах, индивидуальные .

Цели урока:

-образовательные: систематизировать знания, вырабатывать умения решать неравенства с одной переменной на основе свойств квадратичной функции и методом интервалов; создать условия контроля усвоения знаний и умений;

-развивающие: формировать учебно-познавательные навыки по работе с дополнительным материалом, развивать логическое мышление, внимание;

-воспитательные: воспитывать интерес к изучению математики, активность и мобильность на уроке и самостоятельность.

Ход урока

« Пусть математика сложна,

Ее до края не познать,

Откроет двери всем она,

В них только надо постучать.»

1.Организационный момент.

1.Приветствие учащихся, тема ,цель мотивация урока

2.Актуализация знаний

«Ты-мне, я-тебе».

Учащиеся берут со стола карточки с вопросами и задают его любому однокласснику. Если тот не может ответить, отвечает сам.(способы решения систем уравнений ,свойства решения систем неравенств, решения корней уравнений, метод интервалов ,решение неравенств второй степени с одной переменной.)

2.Устная работа.

-Найти решение системы неравенств: (объяснить способ решения)

х+у=7 х-у=4

ху=12 ху=5

-Найти решение неравенств:

2х+2≥0

-5х≤10

Х2+7х+10 ≥0

3.Практическая часть.

Работа на повторение

Стр.30 № 154(4-5) решение систем уравнений способом подстановки

х2-ху+у2=7 х2-у=14

х+у=5 зх+у=4

Решение задач, составляя системы уравнений

Стр.30 №157 работа самостоятельно , взаимопроверка

Разность двух чисел равна 6, а произведение 216.Найдите эти числа.

Ответ :(18;12 и -18 ;-12)

Стр 31 №169 решение систем неравенств

х2+6х+5

х2+4х+30

2-10х+5

х2+3х-20

4.Работа в парах. Найти решение задачи

Периметр прямоугольника равен 82 м, диагональ 29 м .Найдите его стороны.

Ответ: (21 м и 20 м)

5.Работа по карточкам .

1.(х – 5)(х + 4)(х - 7),

2.х(х – 3)(х – 4),

3. – х(х – 5)(х – 6)(х +6),

6.«Найди ошибку»

1)2х2 + 13х – 7.

Решение:

2 + 13х -7 =0

D = - b2 – 4ас

D = 169 - 4·2·7 = 114,

х1 = 8 х2 = - .

Ответ: ( - ; 8).

2)х(х – 2)(х +5)(х – 8)

Решение:

Область определения: R,

Нули функции: х = -2; х = 5; х = 0; х = -8,

7.Подведение итогов. Рефлексия

- С какими трудностями Вы столкнулись?

- Какие приятные ощущения Вы испытали?

- Закончите фразу: «Я бы хотел похвалить себя за то, что…»

8.Домашнее задание: стр 31 № 163

Спасибо за урок.

1)2х2 + 13х – 7

Решение:

2 + 13х -7 =0

D = - b2 – 4ас

D = 169 - 4·2·7 = 113,

х1 = 7; х2 = - .

Ответ: ( - ; 7).

2)х(х – 3)(х +4)(х – 7)

Решение:

Область определения:R,

Нули функции: х = - 3; х = 4; х = - 7; х = 5,

1.(х – 5)(х + 4)(х - 7),

2.х(х – 3)(х – 4),

3. – х(х – 5)(х – 6)(х +6),

1.(х – 5)(х + 4)(х - 7),

2.х(х – 3)(х – 4),

3. – х(х – 5)(х – 6)(х +6),

1.(х – 5)(х + 4)(х - 7),

2.х(х – 3)(х – 4),

3. – х(х – 5)(х – 6)(х +6),

1.(х – 5)(х + 4)(х - 7),

2.х(х – 3)(х – 4),

3. – х(х – 5)(х – 6)(х +6),

1.(х – 5)(х + 4)(х - 7),

2.х(х – 3)(х – 4),

3. – х(х – 5)(х – 6)(х +6),

1.(х – 5)(х + 4)(х - 7),

2.х(х – 3)(х – 4),

3. – х(х – 5)(х – 6)(х +6),

1.(х – 5)(х + 4)(х - 7),

2.х(х – 3)(х – 4),

3. – х(х – 5)(х – 6)(х +6),

1.(х – 5)(х + 4)(х - 7),

2.х(х – 3)(х – 4),

3. – х(х – 5)(х – 6)(х +6),

Решение системы неравенств с одним неизвестным

Решить систему неравенств - это значит найти значения неизвестного, которые удовлетворяют КАЖДОМУ неравенству системы.

Алгоритм решения системы неравенств с одним неизвестным прост:

1. Сначала решаем каждое неравенство системы по отдельности, и на своей оси.  Последнее очень важно: часто при решении системы нелинейных неравенств делают такую ошибку: приравнивают к нулю левые части неравенств, находят корни и все корни наносят на одну ось. ЭТО НЕВЕРНО!

2. Решения всех неравенств совмещаем на одной числовой оси, и находим область,   над  которой расположено столько "стрелок", сколько неравенств в системе.

Рассмотрим пример. Решим систему неравенств:


Решим каждое неравенство системы, используя метод интервалов:

(1)  x2-x-20<0

Найдем корни квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства: x1=5, x2=-4

Нанесем их на числовую ось:

Расставим знаки. Для этого возьмем число, больше большего корня и подставим вместо х в левую часть неравенства.

Возьмем, например, число 10:

102-10-20>0, следовательно в самом правом промежутке ставим "+". Так как все корни нечетной кратности,  знаки меняются при переходе через корни:

Нас интересуют те значения неизвестного, при которых левая часть неравенства меньше 0:      Аналогично для второго неравенства:

(2) x2-2x-8<0 :

Выделим область,  в которой левая часть неравенства меньше 0:

Аналогично для третьего неравенства:

(3)    2x2+x-45<0

Теперь совместим на одной числовой оси решение трех неравенств:

Мы видим, что три "стрелки", изображающие решения всех трех неравенств проходят над отрезком (-2,4) - это и есть решение нашей системы неравенств.

Ответ: (-2,4)

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск