Решение степенного уравнения: Как решать показательно-степенные уравнения

Содержание

Примеры решения простейших показательных уравнений через преобразование правых частей

Решите уравнения:

а) 7x=1

б)

в)

г)

а) Очевидно, 7x=1 – это простейшее показательное уравнение, в его левой части находится степень положительного и отличного от единицы числа 7 с показателем x, а в правой – число 1.

Известно, что если правая часть простейшего показательного уравнения является положительным числом, то уравнение имеет единственный корень. В нашем случае справа находится число 1, оно положительное, следовательно, решаемое уравнение 7x=1 имеет единственный корень. Давайте найдем его.

Чтобы найти корень простейшего показательного уравнения, надо число в правой части представить в виде степени с основанием, равным основанию степени в левой части уравнения.

То есть, нам нужно число 1 представить в виде степени с основанием 7. Это довольно просто: 1=70 (при необходимости в статье «степень числа» найдите часть, в которой дается определение степени с нулевым показателем). Представление 1=70 позволяет от исходного уравнения 7x=1 перейти к уравнению 7x=70. Замена числа 1 степенью 70 является равносильным преобразованием уравнения, поэтому, исходное уравнение 7x=1 и полученное 7x=70 — равносильные уравнения.

Итак, остается решить уравнение 7x=70, его решение будет решением исходного уравнения. Единственный корень уравнения 7x=70 очевиден: x=0. Для убедительности стоит сослаться на хорошо известное свойство степеней: две степени с одинаковыми положительными и отличными от единиц основаниями равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.

Если приведенные рассуждения и простые преобразования проводить в уме, то решение примет следующий краткий вид:
7x=1,
7x=70,
x=0.

Покажем решение этого уравнения еще двумя способами.

Начинать решение уравнения 7x=1 можно так же как в предыдущем случае: переходить к уравнению 7x=70. То есть, фактически действовать по методу решения уравнений через преобразования. А дальше привлекать метод освобождения от внешней функции и на его основе от уравнения 7x=70 переходить к равенству x=0. Краткое решение будет выглядеть также, просто за ним стоят другие рассуждения.

Для решения уравнения 7x=1 подходит и метод логарифмирования:
7x=1,
log7

7x=log71
x=0.

б) Что за уравнение нам нужно решить? В левой части уравнения находится степень с положительным и отличным от единицы основанием и переменной x в показателе, в правой части – числовое выражение. Это указывает на то, что мы имеем дело с простейшим показательным уравнением.

Как известно, решение любого простейшего показательного уравнения следует начинать с выяснения, какое число находится в его правой части: отрицательное, нуль или положительное. В нашем случае, очевидно, что числовому выражению из правой части, то есть, выражению , отвечает положительное число. Из этого следует, что заданное уравнение имеет единственный корень. Переходим к его нахождению.

Известно, что для определения корня простейшего показательного уравнения нужно в первую очередь числовое выражение в правой части представить в виде степени с основанием, равным основанию степени из левой части уравнения. Значит, нам нужно выражение представить в виде степени с основанием, равным основанию степени 2

x, то есть, в виде степени числа 2. Справиться с этой задачей позволяют несложные преобразования (при необходимости смотрите преобразование выражений с корнями): . Это нам дает возможность перейти от исходного уравнения к равносильному уравнению . Остается сослаться на свойство степеней, утверждающее, что две степени с одинаковыми положительными и отличными от единицы основаниями равны тогда и только тогда, когда равны их показатели, и записать ответ: .

Запишем решение кратко:

Решение запишется абсолютно также, если заданное простейшее показательное уравнение начинать решать через преобразования, а продолжать по методу освобождения от внешней функции.

Уравнение можно решить и методом логарифмирования:

в) Уравнение решается аналогично. Выражение из правой части можно представить в виде степени с основанием 1/3 следующим образом:

Это позволяет от исходного уравнения перейти к уравнению , откуда очевиден корень , который является единственным.

Метод логарифмирования дает такой же результат при примерно таком же объеме работы.

г) Для решения простейшего показательного уравнения главное увидеть, что . Это действительно так:

Равенство нам нужно для того, чтобы представить выражение в правой части решаемого уравнения в виде степени с основанием, равным основанию степени в левой части уравнения:

Таким образом, исходное уравнение равносильно уравнению , откуда находим x=−2. Это единственный корень.

Показательные уравнения. Решение показательных уравнений.

Примеры решения показательных уравнений

Закрепим теорию практикой, то есть, рассмотрим примеры решения показательных уравнений. На них мы разберем все основные нюансы, возникающие при использовании того или иного метода решения показательных уравнений.

Начнем с примеров решения простейших показательных уравнений. В первом примере главный интерес представляют рассуждения, обосновывающие отсутствие корней у простейших показательных уравнений с отрицательными числами в правых частях.

Во втором примере показано, как оформлять решение простейших показательных уравнений с нулями в правых частях.

Вот пример решения простейших показательных уравнений, в обеих частях которых находятся степени с одинаковыми основаниями.

Простейшие показательные уравнения в следующем примере требуют изначального приведения уравнения к виду ax=ac.

Следующие простейшие показательные уравнения имеют положительное число в правой части и решаются через логарифм.

Теперь сосредоточимся на решении показательных уравнений методом уравнивания показателей. В первом примере внимание сосредоточим на самом методе.

Для решения следующего показательного уравнения методом уравнивания показателей достаточно вспомнить, что число можно рассматривать как степень этого числа с показателем 1.

Для закрепления метода уравнивания показателей предлагаем рассмотреть еще один пример решения показательного уравнения.

Дальше на примерах разберем, как проводится решение показательных уравнений методом разложения на множители.

Часто перед применением метода разложения на множители требуется провести некоторые преобразования показательного уравнения, чтобы получить произведение в левой части уравнения и нуль в правой части. Решим такой пример.

Теперь разберем на примерах, как проводится решение показательных уравнений методом введения новой переменной. Начнем с решения показательного уравнения, в записи которого переменная фигурирует только в составе одинаковых выражений.

Метод введения новой переменной используется и для решения показательных уравнений, переменная в которых находится в составе степеней с противоположными показателями. Вот пример решения такого показательного уравнения.

Есть и другие типичные показательные уравнения, решающиеся методом введения новой переменной. Вот характерные примеры с решениями.

Решение многих показательных уравнений упирается в проведение преобразований. Для показательных уравнений наиболее характерны преобразования, базирующиеся на свойствах степеней и на связи корней со степенями. В статье «Решение показательных уравнений через преобразования» Вы найдете массу соответствующих примеров с решениями.

Некоторые показательные уравнения в результате проведения преобразований могут сводиться к числовым равенствам. В статье «Решение показательных уравнений, сводящихся к числовым равенствам» дан принцип их решения. Решение двух показательных уравнений, первое из которых сводится к неверному числовому равенству, а второе – к верному, приведем здесь.

Показательные уравнения, в левой части которых находится некоторая дробь, а в правой – число 0, на области допустимых значений для этих уравнений заменяются уравнениями «числитель равен нулю». Вот примеры решения характерных показательных уравнений из статьи «Решение показательных уравнений дробь равна нулю».

Переходим к примерам решения показательных уравнений h(f(x))=h(g(x)) методом освобождения от внешней функции h. Главная сложность при их решении, обычно, заключается в том, чтобы разглядеть соответствующую структуру уравнения и обосновать, что внешняя функция принимает каждое свое значение по одному разу. За более полной информацией обращайтесь к материалу «Решение показательных уравнений методом освобождения от внешней функции», а вот соответствующий пример с решением.

Стоит привести пример решения показательного уравнения методом логарифмирования. Обычно методом логарифмирования решают показательные уравнения, части которого представляют собой степени, произведения или частные степеней, возможно, с числовыми коэффициентами. Дополнительный материал по теме есть в статье «Решение показательных уравнений методом логарифмирования». Сейчас приведем типовое решение показательного уравнения методом логарифмирования.

Иногда получить решение показательного уравнения позволяет ОДЗ. Это касается случаев, когда ОДЗ состоит из нескольких чисел или является пустым множеством. Подробнее об этом написано в статье «Решение показательных уравнений через ОДЗ». Здесь же нас интересует пример решения характерного показательного уравнения.

Остается рассмотреть примеры решения показательных уравнений каждым из направлений функционально-графического метода – графическим методом, через возрастание-убывание и методом оценки.

К решению показательных уравнений графическим методом обычно прибегают тогда, когда не видно других более простых методов решения и довольно легко построить графики функций, отвечающих частям уравнения. Этим условиям удовлетворяет показательное уравнение в следующем примере.

Решение показательных уравнений через возрастание-убывание обычно проводится тогда, когда очевиден или легко подбирается корень показательного уравнения и при этом очевидно или легко обосновывается, что одна из функций, отвечающих частям уравнения, возрастает, а другая – убывает. Вот соответствующий пример с типовым решением.

Наконец, приведем примеры решения показательных уравнений методом оценки. За теорией обращайтесь к статье «Решение показательных уравнений методом оценки».

3.1.9. Показательные и логарифмические уравнения



Глава 3. Решение уравнений и неравенств

3.1.

3.

1.9.
Показательные уравнения

Уравнения вида af (x) = b, a > 0, a ≠ 1, b > 0

По определению логарифма из основного логарифмического тождества получаем, что Если f (x) − алгебраическая функция, то и это уравнение будет алгебраическое, которое можно решить с помощью стандартных методов (так как − это конкретное число, такое же, как и 5,  π, и т. п.).

Уравнения вида 

Такие уравнения решаются в два этапа:

a) С помощью замены это уравнение сводится к уравнению F (t) = 0, у которого ищутся все его положительные корни (пусть таких корней ровно n штук).

b) Для каждого решается уравнение типа рассмотренного выше:

Эти два типа показательных уравнений являются основными, к ним сводятся все остальные методы.

Пример 1

Решите уравнение


Уравнения вида af (x) = ag (x), a > 0, a ≠ 1

В силу свойств монотонности показательной функции это уравнение равносильно уравнению f (x) = g (x).

Пример 2

Решите уравнение


Пример 3

Решите уравнение

Сразу заметим, что уравнение имеет вид что равносильно уравнению


Ответ. 1, –1.


Уравнения вида  af (x) = bg (x), a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1

Модель 3.3. Решение показательных уравнений

При решении таких уравнений применяется стандартный приём. Прологарифмируем обе его части по любому основанию. В нашем случае удобно логарифмировать по основанию a (или b), то есть по основанию показательной функции, входящей в уравнение:


А это уравнение уже можно решать стандартными алгебраическими способами, если f (x) и g (x) – алгебраические выражения.

Замечание. Рассмотренный приём перехода от уравнения af (x) = bg (x) к уравнению f (x) = g (x) loga b или, в общем случае, переход от уравнения

к уравнению
loga F (x) = logb G (x)  (a > 0, a ≠ 0) (2)
называется логарифмированием.

Заметим, что переход (1) → (2) в общем случае нарушает равносильность, так как логарифм существует только у неотрицательного числа.

Например, логарифмирование обеих частей уравнения x = x3, которое имеет вид (1), приводит нас к неравносильному уравнению lg x = lg x3 (область определения сузилась). Действительно,


Таким образом, произошла потеря корней исходного уравнения. Как видно, логарифмирование не является «безобидной» операцией, но в процессе решения уравнения типа af (x) = bg (x) эти неприятности не возникают, так как обе его части положительны.


Логарифмические уравнения

Уравнения вида loga f (x) = b, a > 0, a ≠ 1

Здесь предполагается, что f (x) − функция, уравнения с которой мы уже умеем решать. По определению логарифма из основного логарифмического тождества получаем, что f (x) = ab. Это уравнение можно решать любыми доступными методами, поскольку ab – это число.

Уравнения вида 

Совершенно аналогично показательным уравнениям, уравнения такого типа решаются в два этапа.

  • С помощью замены это уравнение сводится к уравнению F (x) = 0, у которого ищутся все его корни (пусть таких корней ровно n штук).

  • Для каждого решается уравнение типа рассмотренного выше:

Понятно, что совершенно не обязательно уравнение будет иметь рассмотренный вид. А значит, в процессе преобразований логарифмических уравнений следует стремиться к тому, чтобы привести все входящие в уравнение логарифмы к одному основанию. При этом необходимо помнить об области определения рассматриваемых выражений, стараясь, чтобы при преобразовании она не уменьшалась, − те корни, которые, возможно, будут приобретены, можно будет отсеять проверкой.

Пример 5

Решите уравнение

Преобразуем левую часть уравнения, приводя все логарифмы к основанию 7.


а) Корень последнего уравнения с учётом ограничения x > 1 есть x = 3.

б)

Поскольку мы использовали, вообще говоря, неравносильное преобразование суммы логарифмов в логарифм произведения (это расширяет область определения), то необходима проверка, которая показывает, что все три найденных числа являются корнями исходного уравнения. Заметим, что число x = 1 рассматривать не нужно, поскольку оно не входит в ОДЗ уравнения.

Ответ. 0, 3, −7.


Пример 6

Решите уравнение


Уравнения вида loga f (x) = loga g (x), a > 0, a ≠ 1

Модель 3.1. Решение логарифмических уравнений

ОДЗ данного уравнения: В силу монотонности логарифмической функции, каждое своё значение она принимает ровно один раз. Следовательно, в ОДЗ имеем:

Полная система равносильности выглядит так:

Из двух последних систем выбирается та, которая проще (это зависит от конкретного вида функций f (x) и g (x)). На практике, как правило, проще решить уравнение f (x) = g (x) и проверить для его корней положительность одной из функций: f (x) > 0 или g (x) > 0, так как из равенства одной из этих функций следует положительность и другой.

Рассмотренный переход от уравнения loga f (x) = loga g (x) к уравнению f (x) = g (x) называется потенцированием.

Заметим, что потенцирование не является равносильным преобразованием. Область определения уравнения при потенцировании расширяется, так как второе уравнение определено при всех x, для которых определены функции f (x) и g (x), а первое − только при тех x, для которых f (x) > 0 и g (x) > 0.

Пример 7

Решите уравнение

Преобразуем сумму логарифмов в логарифм произведения: или Потенцируя по основанию 10, имеем откуда x = –8, x = –10. Подстановка этих чисел в исходное уравнение даёт, что только x = –10 является корнем.

Ответ. x = –10.


Пример 8

Решите уравнение

Очевидна замена 6 sin x + 4 = t > 0 (это требование взято из ОДЗ, ведь от t берётся логарифм). Перейдём к равносильному уравнению:


Ответ. 






Показательно-степенные неравенства 11 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

1.

Свойства показательной функции, простейшие примеры

 

Показательно-степенные неравенства – это такие показательные неравенства, в которых основание является переменной величиной.

 

Начнем с небольшого повторения. Мы изучили свойства показательной функции и отметили, что показательная функция монотонна, причем может как возрастать, так и убывать.

Мы научились решать простейшие показательные уравнения и неравенства. Их решение основано на монотонности показательной функции:

Заметим, что в данном случае основание степени а – это конкретное число, не зависящее от х.

Рассмотрим примеры для степеней с постоянным основанием.

Пример 1 – решить уравнение:

Согласно методике решения простейших показательных уравнений, необходимо уравнять основания степеней, после этого приравнять показатели:

Пример 2 – решить неравенство:

Согласно методике решения простейших показательных неравенств при основании, большем единицы, необходимо уравнять основания степеней, после этого сравнить показатели, оставив знак неравенства без изменений:

Пример 3 – решить неравенство:

Согласно методике решения простейших показательных неравенств при основании, меньшем единицы, необходимо уравнять основания степеней, после этого сравнить показатели, изменив знак неравенства на противоположный:

 

2.

Решение показательно-степенного неравенства первым способом, пример

 

 

Все остальные более сложные показательные уравнения и неравенства сводятся к простейшим и решаются на основании вышеописанных методик.

 

Теперь рассмотрим случаи, когда основание степени – переменная величина, то есть а зависит от х:

Нам предстоит решать неравенства вида:

Необходимо рассматривать два случая:

Обратим внимание, что нужно еще рассмотреть третий случай:

Пример 4 – решить неравенство:

Функция, стоящая в левой части, называется показательно-степенной функцией, данная функция определена тогда, когда основание больше нуля.

Уравняем основания степеней:

Рассматриваем два случая:

Ответ:

 

3. Второй способ решения показательно-степенных неравенств

 

 

Рассмотрим другой способ решения показательно-степенного неравенства:

 

Имеем систему:

Распишем ее:

Напомним важный опорный факт:

На основании опорного факта можно переписать систему так:

При решении показательно-степенных неравенств первым способом необходимо решать две системы и объединять решения. При решении вторым способом нужно решить только одну систему, причем неравенство уже разложено на множители, т. е. удобно применить метод интервалов.

 

4. Решение примеров

 

 

Пример 5 – решить неравенство:

 

Уравняем основания степеней:

Пользуемся вторым способом:

Покажем решение первого неравенства методом интервалов:

Рис. 1. Решение неравенства

Добавим к решению второе неравенство:

Рис. 2. Иллюстрация к примеру 5

Очевиден ответ:

Пример 6:

Приведем к одинаковому основанию:

Решим первым способом:

Ответ:

Решим заданное неравенство вторым способом:

Проиллюстрируем решение:

Рис. 3. Иллюстрация к примеру 6

Ответ:

Очевидно, что второй способ более легкий в применении. Решим с его помощью следующее неравенство.

Пример 7:

Приведем к одинаковому основанию:

Составим систему:

Несложно заметить в первом неравенстве формулу разности квадратов, распишем:

При  первые две скобки первого неравенства положительны, имеем право их отбросить, получаем:

Ответ:

Итак, мы рассмотрели решение показательно-степенных неравенств. Далее перейдем к изучению логарифмов.

 

Список литературы

  1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
  2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
  3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интерне

  1. Mathematics-repetition.com (Источник).
  2. Matematika-10. blogspot.com (Источник).
  3. Matematika.uznateshe.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Решить неравенства:

а) ; б) ;

в); г) ;

2. Решить неравенства:

 

Показательные уравнения

Цели урока:

  • Закрепить методы решения показательных уравнений с использованием свойств показательной функции, замены переменной, почленного деления, обобщить и систематизировать методы решения показательных уравнений.
  • Развивать навыки сравнительного анализа, логического мышления, умение делать обобщения и выводы.
  • Воспитывать сознательное отношение к учению, познавательную активность, культуру умственного труда.

Ход урока

I. Организационный момент.

Учитель формулирует тему и цели урока.

«Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть — и далее подтвердить, что следуя этому методу, мы достигнем цели». (Г.Лейбниц)

II. Устный счет.

1. Решите уравнения.

А) 3=81;

Б) 0,4=0,16 ;

В) 5=125;

Г) 10=1000000.

Ответ: А) 4; Б) 2; В) 3; Г) 6.

2. Решите уравнения:

А) 5* 2=0,1-4 ;

Б) 0,3* 3= ;

В) ;

Г);

Ответ:

А) 4;

Б) ;

В) ;

Г) -3.

3. Решите неравенства:

А) ;

Б) ;

В);

Г).

Д) а если изменить знак неравенства?

Ответ: А) х > 4; Б)х ? -4 В)х ? -2; Г) нет решений; Д) х — любое число.

III. Актуализация знаний.

Учитель обращает внимание учащихся на то, что показательные уравнения входят в задания ЕГЭ. Поэтому всем необходимо знать основные методы решения показательных уравнений и уметь их применять при решении более сложных уравнений (уровень С). Вспомним основные методы решения показательных уравнений (Функционально-графический метод, метод уравнивания показателей, метод введения новой переменной, метод почленного деления).

Рассмотрим конкретные примеры:

1. Функционально-графический метод. Он основан на использовании графических иллюстраций, или каких-либо свойств функций.

Решите уравнение (11.61 а)

Построим в одной системе координат графики функций и у = 5 — х.

х -2 -1 0 1 2
у 1 4 16

у = 5 — х

Они пересекаются в одной точке (1; 4). Это же уравнение можно решить, используя свойства функции. Так как функция возрастает, а у = 5 — х убывает, то уравнение имеет единственный корень х = 1.

Ответ: 1.

2. Метод уравнивания показателей. Он основан на теореме о том, что уравнение, равносильно уравнению f(x) = g(x), где а — положительное число, отличное от 1.

Решите уравнение (12.9 а)

;

;

;

7х — 2,5 = х — 1,5;

6х =1;

х = .

Ответ: .

3. Метод введения новой переменной. С помощью удачной замены переменных некоторые показательные уравнения удается свести к алгебраическому виду, чаще всего к квадратному уравнению,(этот метод был рассмотрен на предыдущем уроке).Для его закрепления решаются более сложные задания. (12.30а) и (12.28а)

.

;

Пусть

;

р(t) = ;

Делители 6: 1; 2; 3; 6. р(-2) = -24 -16 +34 +6 = 0.

t 3 -4 -17 6
-2 3 -10 3 0

4. Применяются и другие методы: метод почленного деления.

Рассмотрим его на примере задания 12.37.

;

;

Пусть

;
— не удовлетворяет условию ;

;

х = 1.

Ответ: 1.

IV. Отработка навыков решения уравнений.

Решить уравнение: .

Решение:

1). Приравняв показатели, имеем

.

х1 = — 1, х2 = 3.

При этих значениях х получим соответственно — верные равенства, т.е. х = — 1 и х = 3 -корни уравнения.

Ответ: -2; -1; 3. Почему в ответе записано число -2?

Выражение в левой части уравнения представляет собой функцию, содержащую переменную, как в основании, так и в показателе степени. Для решения показательно-степенного уравнения нужно рассмотреть три случая:

Когда основание степени равно 1, 0 и когда оно отлично от указанных значений.

1). Если х+3=1, т.е. х=-2, то — верное равенство; значит, х = — 2 — корень уравнения.

2). Если х + 3 = 0, т.е. х = — 3, то в правой части получаем 0 — 6, — выражение, не имеющее смысла. Поэтому х = -3 не является корнем уравнения.

V. Проверка знаний обучающихся.

Самостоятельная работа проводится на два уровня :1 вариант (уровень 3-4) решают задания 855, 857, 859,861, 863, 865,867, 869 из сборника для подготовки к ЕГЭ. 2 вариант (уровень 4-5) задания 683, 685, 687, 689, 691, 693, 695, 697.

I вариант.

855 857 859 861 863 865 867 869
-6 3 -5 2 6 6 12 0

II вариант.

683 685 687 689 691 693 695 697
-2 2 3 5 2 0. 5 8.5 1.8

VI. Решение заданий ЕГЭ (часть С).

Учитель обращает внимание учащихся на то, что показательные уравнения входят в задания ЕГЭ.

Решить уравнение .

Для решения данного уравнения разложим на простые множители число 504 = 23 327.

;

;

Можете ли вы догадаться, какое число является корнем уравнения?

Разделим обе части уравнения на 0,

,

;

;

2х + 5 = 0;

х = -2,5.

Ответ: -2,5

VII. Домашнее задание.

12.30(б, в), 12.37 (б, в). Решите систему неравенств (С 3)

VIII. Подведение итогов.

заказ решений на аукционе за минимальную цену с максимальным качеством

Предлагаю идею сайта-аукциона по выполнению домашних заданий. Он будет включать:

  • решение задач по математике (сейчас доступен решебник Филиппова), физике, химии, экономике
  • написание лабораторных, рефератов и курсовых
  • выполнение заданий по литературе, русскому или иностранному языку.

Основное отличие от большинства сайтов, предлагающих выполнение работ на заказ – сайт рассчитан на две категории пользователей: заказчиков и решающих задания. Причем, по желанию (чтобы заработать, увеличить свой рейтинг, получить решение сложной задачи) пользователи могут играть любую из этих ролей.

Объединение сервисов в одну систему

Основой для идеи послужили несколько работающих систем, объединение которых позволит сделать сервис для решения задач на заказ. Эти системы:

  • Форум, где посетители обмениваются идеями и помогают друг другу
  • Система bugtracking, где обнаруженные проблемы проходят путь от публикации до принятия в исполнение и решения
  • Аукцион, где цена за товар или услугу определяется в результате торгов
  • Система рейтингов, где участники могут оценивать ответы друг друга. Причем, чем больше рейтинг пользователя, тем более значимым становится его голос

Принцип работы

Для удобства и проведения аналогий с реальной жизнью назовем заказчиков студентами, а решающих задания – репетиторами.

Итак, студенту необходимо решить несколько задач. Он заходит на сайт, выбирает раздел с соответствующей дисциплиной и создает новую тему (аналогия с форумом). Но при создании темы он также указывает стартовую (максимальную) цену, которую он готов заплатить за решение задач и крайний срок исполнения задания. Можно будет назначить и нулевую цену – если студенту нужно только бесплатное решение.

Как только тема создана, все пожелавшие подписаться на раздел репетиторы получают уведомление. Причем, условие получения уведомлений можно настроить. Например, уведомлять только о заказах со стартовой ценой более 500 р. и сроком решения не менее недели.

Заинтересовавшиеся репетиторы делают ставки. Причем студент (автор темы) видит ставки и может посмотреть информацию по каждому репетитору (его решения, рейтинг, дату начала участия в проекте). Когда студент посчитает нужным, он может остановить аукцион и назначить задание одному из репетиторов, сделавшему ставку (не обязательно самую низкую, т.к. можно учитывать и другие факторы – см. выше).

Деньги блокируются на счете студента, и репетитор начинает решать задание. Он должен представить его к сроку, заданному изначально. Выполненное решение публикуется в свободном доступе и его может оценить как заказчик, так и другие репетиторы. На этих оценках и строится рейтинг. Если к решению нет претензий – деньги окончательно переводятся со счета студента на счет репетитора.

За счет чего будет развиваться сервис

Первое – положительная обратная связь. Чем больше условий задач и решений будет опубликовано на сайте, тем чаще его будут находить пользователи через поисковики, будет больше ссылок на готовые решения. Именно поэтому важно размещать решенные задачи в свободном доступе. Знаю это по опыту своего сайта exir.ru (ex irodov.nm.ru) – большая ссылочная база получена исключительно за счет благодарных пользователей.

Второе – удобный сервис для заказчиков и для желающих заработать на решениях.

Преимущества для заказчиков

Студентам и школьникам не нужно перебирать десятки сайтов для сравнения цен, а потом надеяться, что после оплаты они получат качественное решение (и, вообще, все не закончится перечислением денег). Заказчики создают аукцион на понижение цены и могут смотреть на рейтинги желающих решить задачи и ранее выполненные ими решения. Кроме того, деньги окончательно перечисляются исполнителю только после полного решения.

Преимущества для решающих задания

Не нужно создавать и продвигать свой сайт, размещать множество объявлений во всех доступных источниках информации. Заказчики сами придут к вам. Не нужно решать все присланные задания с целью поддержания репутации – можно выбирать те, которые будут интересны по уровню сложности, цене и срокам решения.

Преимущества для владельца сервиса

Если вы не понимаете, какую выгоду получит делающий вам какое-нибудь предложение – будьте осторожны! 🙂 У меня уже есть большой опыт работы с сайтом, предоставляющим бесплатные решения по физике. И вариант с получением прибыли от размещения рекламы подходит и для нового сервиса. Кроме того, мне нравится помогать людям и довольно тяжело смотреть, как множество вопросов по задачам остаются на форуме без ответа. Предложенный аукцион решений сможет значительно сократить число вопросов без ответов.

В будущем возможен вариант и с получением некоторого небольшого процента от оплаты заказов. Но процент этот должен быть минимален и на начальном этапе он взиматься точно не будет.

Что необходимо для создания сервиса

  1. Самым важное сейчас – собрать команду, готовую принять участие в выполнении заданий. Если покупатели заходят в пустой магазин – они надолго забывают в него дорогу.

    Поэтому я собираю предварительные заявки от посетителей, готовых заниматься решениями. Не нужно подписания никаких договоров о намерениях. Просто сообщите, на какие темы вы готовы решать задания, какой у вас опыт подобной работы (e-mail: [email protected]). Когда сервис заработает – я пришлю приглашение на регистрацию.

  2. Выбрать платежную систему.
  3. Сделать подходящий движок для сайта. Нужно решить – создавать его с нуля или изменить какой-нибудь существующий движок (например, форумный) с открытой лицензией.
  4. Привлечь посетителей. Учитывая посещаемость exir.ru и число публикуемых на форуме вопросов, думаю, это не будет большой проблемой.
Видео с вопросами

: поиск набора решений экспоненциального уравнения

Стенограмма видео

Найдите набор решений 36 в степени 𝑥 плюс один минус шесть в степени 𝑥 плюс пять минус шесть в степени 𝑥 плюс 216 равно нулю.

Мы ищем решение, находя значения 𝑥, которые удовлетворяют нашему уравнению. И хотя это уравнение может выглядеть ужасно, есть несколько способов, которыми мы можем им манипулировать.Во-первых, мы воспользуемся тем фактом, что 𝑥 в 𝑎, умноженное на 𝑥 в степени 𝑏, равно 𝑥 в степени 𝑎 плюс 𝑏. Другими словами, при умножении двух чисел, основание которых равно, мы складываем их степени. А это значит, что мы можем записать 36 в степени 𝑥 плюс один как 36 в степени 𝑥 умножить на 36 в степени единицы или просто 36 в степени 𝑥 умножить на 36.

Точно так же мы можем записать шесть в степени из 𝑥 плюс пять как шесть в степени 𝑥 умножить на шесть в степени пять или шесть в степени 𝑥 умножить на 7776.Итак, наше уравнение становится 36 умножить на 36 в степени 𝑥 минус 7776 умножить на шесть в степени 𝑥 минус шесть в степени 𝑥 плюс 216 равно нулю. Но, конечно, 36 — это шесть в квадрате, поэтому мы можем записать 36 в степени 𝑥 как шесть в квадрате в степени 𝑥. Но в этом случае мы можем умножить показатели. Таким образом, мы можем далее переписать это как шесть в степени двойки 𝑥, что мы могли бы затем записать как шесть в степени 𝑥 в квадрате.

Затем мы возводим минус шесть в степень 𝑥. И наш второй член равен минус шести в степени 𝑥, умноженной на 7776 плюс один.Конечно, 7776 плюс один равно 7777. Таким образом, наше уравнение выглядит так, как показано на рисунке. Теперь это немного похоже на квадратное уравнение. Чтобы сделать это более понятным, давайте выполним замену. Мы собираемся позволить 𝑦 быть равным шести в степени 𝑥. Итак, наше уравнение принимает вид 36𝑦 в квадрате минус 7777𝑦 плюс 216 равно нулю. И у нас есть несколько способов решить это уравнение. Один из методов заключается в факторизации выражения в левой части. Мы могли бы также использовать заполнение квадрата или формулу квадратного уравнения.

Мы собираемся учесть это. И это может занять немного проб и ошибок. Но когда мы множим, мы получаем 36𝑦 минус один, умноженный на 𝑦 минус 216, равно нулю. Теперь, чтобы это было правдой, чтобы произведение этих двух двучленов было равно нулю, либо один, либо другой из двучленов сам должен быть равен нулю. Таким образом, 36𝑦 минус один равно нулю или 𝑦 минус 216 равно нулю. Давайте решим это первое уравнение для 𝑦, добавив единицу к обеим частям, чтобы получить 36𝑦 равно единице. Затем делим на 36.И мы видим, что решение этого уравнения 𝑦 равно единице больше 36.

Второе уравнение решить немного проще. Мы добавляем 216 к обеим частям, так что 𝑦 равно 216. Но, конечно, мы сказали, что для нахождения набора решений нам нужно найти значения 𝑥, которые удовлетворяют нашему уравнению. Итак, мы собираемся вернуться к нашей предыдущей замене 𝑦 равно шести в степени 𝑥. И мы можем сказать, что шесть в степени 𝑥 равно единице на 36 или шесть в степени 𝑥 равно 216. Теперь, для этого первого уравнения, единственное значение 𝑥, которое делает это верным, — это минус два.А для нашего второго уравнения это три. Итак, у нас есть два решения в нашем наборе решений. Они отрицательные два и три.

Алгебра: квадратные уравнения — EnchantedLearning.com

Алгебра: квадратные уравнения — EnchantedLearning.com Реклама.

EnchantedLearning.com — это сайт, поддерживаемый пользователями.
В качестве бонуса участники сайта получают доступ к версии сайта без баннерной рекламы и страницам, удобным для печати.
Нажмите здесь, чтобы узнать больше.


(Уже зарегистрированы? Нажмите здесь.)

Квадратное уравнение — это уравнение, в котором есть член второй степени и нет высших членов. Член второй степени — это переменная, возведенная во вторую степень, например x 2 . Когда вы рисуете квадратное уравнение, вы получаете параболу, а решения квадратного уравнения показывают, где парабола пересекает ось x.

Квадратное уравнение можно записать в виде:

,
, где a , b и c — числа ( a ≠0), а x — переменная.x является решением (или корнем), если он удовлетворяет уравнению ax 2 + bx + c = 0.

Вот некоторые примеры квадратных уравнений:

3x 2 + 9x — 2 = 0 6x 2 + 11x = 7 4x 2 = 13

Решение квадратичной формулы:
Некоторые квадратные уравнения можно легко решить с помощью факторизации. Некоторые простые в решении квадратные уравнения:
x 2 — 1 = 0

(х + 1)(х — 1) = 0

х = ±1

х 2 — 5х + 6 = 0

(х — 2)(х — 3) = 0

х = 2, 3

Большинство уравнений второй степени решить сложнее, и их нельзя решить простым факторингом.Квадратная формула — это общий способ решения любого квадратного уравнения:

Эта формула дает два решения, хотя эти два решения могут быть одинаковыми. (При решении любого полиномиального уравнения степени n существует не более n решений этого уравнения.)


Вывод квадратичной формулы:
Квадратная формула получается путем решения общего квадратного уравнения. Это один из способов вывести квадратную формулу:


Разделите каждую часть уравнения на a.

Вычтите из из каждой части уравнения.

Добавьте (b/2a) 2 к каждой стороне уравнения (чтобы завершить квадрат).

Найдите общий знаменатель для правой части уравнения.

Возьмите квадратный корень из каждой части уравнения.


Добавьте b/2a к каждой части уравнения.


Знак плюс или минус показывает, что есть два возможных решения.

  • Зеленая парабола имеет 2 точки пересечения.Соответствующее ему квадратное уравнение имеет 2 различных решения (x=1 и x=4).
  • Желтая парабола имеет 1 точку пересечения. Соответствующее ему квадратное уравнение имеет 1 решение (x=-3).
  • Фиолетовая парабола не имеет точек пересечения. Соответствующее ему квадратное уравнение не имеет решений.
Вы можете попытаться решить любое квадратное уравнение, используя квадратную формулу (или решив ее алгебраически, подобно тому, как мы только что вывели квадратную формулу выше).

Каждое квадратное уравнение имеет не более двух решений, но для некоторых уравнений два решения представляют собой одно и то же число, а для других нет решения на числовой прямой (поскольку оно включает квадратный корень из отрицательного числа).

Один из способов понять это визуально — понять, что когда вы рисуете квадратное уравнение (уравнение второй степени), вы получаете параболу. Когда вы устанавливаете квадратное уравнение равным нулю, это представляет точки, в которых парабола достигает оси x (х-пересечения, где y = 0).


Введение в алгебру — рабочие листы для печати

Зачарованное обучение ®
Более 35 000 веб-страниц
Примеры страниц для потенциальных подписчиков или нажмите ниже

Нажмите, чтобы прочитать нашу Политику конфиденциальности



Зачарованное обучение Поиск

Найдите на веб-сайте Enchanted Learning:

Реклама. Реклама. Реклама.

Copyright © 2005-2018 EnchantedLearning.com —— Как цитировать веб-страницу

Полиномиальное уравнение – свойства, методы и примеры

Первые несколько уравнений, которые вы научитесь решать на уроках алгебры, на самом деле являются примерами полиномиальных уравнений. Эти уравнения бывают разных форм и правил, поэтому очень важно, чтобы мы полностью понимали, что они из себя представляют и что они представляют, и важно, как мы можем манипулировать этими уравнениями.

Полиномиальные уравнения — это уравнения, содержащие полиномы с обеих сторон уравнения.

Поскольку мы имеем дело с полиномами и полиномиальными функциями, обязательно ознакомьтесь с нашей статьей о полиномиальных функциях.

Полиномиальные уравнения, такие как квадратичные функции, часто используются при моделировании движений, реальных функций и обширных технических и научных приложений. Вот почему нам нужно понять, как мы можем идентифицировать и решать полиномиальные уравнения .

Что такое полиномиальное уравнение?

Полиномиальные уравнения — это уравнения, содержащие полиномиальные выражения в обеих частях уравнения.Вот стандартная форма полиномиального уравнения.

Обратите внимание, что a n , a n-1 , … a o может быть любым комплексным числом, а показатели степени могут быть только целыми числами, чтобы они считались полиномиальными выражениями.

 Наличие знака равенства, за которым следует другое полиномиальное выражение, отличает полиномиальное уравнение от полиномиальных выражений.

Как видно из приведенного выше уравнения, считается, что полиномиальное уравнение имеет стандартную форму, когда члены расположены от члена с наибольшей степенью к члену с наименьшей степенью.

Определение и примеры полиномиальных уравнений

Полиномиальные уравнения содержат полиномиальные выражения, поэтому свойства полиномиальных функций все равно будут применяться. На самом деле, степень и количество членов полиномиального выражения также могут помочь нам классифицировать полиномиальные уравнения.

Давайте пойдем вперед и посмотрите на распространенные виды полиномиальных уравнений, которые мы можем столкнуться на основе степени на основе степени:

6 Пример

1

5

-3x + 1 = 4x + 5

4

полиномиальное уравнение

линейных уравнений

1

квадратичных уравнений

2

2

x 2 — 6x + 9 = 0

кубических уравнений

3

x 3 — 2x 2 + 3x = -5

квартальных уравнений

4

x 4 – 2x 2 = -4

 

Как решать полиномиальные уравнения?

              

Отличный способ визуализировать полиномиальные уравнения — представить их как результат объединения различных блоков. Когда цель состоит в том, чтобы найти корни, решения или решение полиномиального уравнения, мы должны найти способ разобрать каждый блок.

Вот несколько важных советов, которые следует помнить при решении полиномиальных уравнений:

  1. Если полиномиальное уравнение все еще не в своей стандартной форме, перепишите уравнение так, чтобы оно имело стандартную форму : все полиномиальные выражения в левой части и 0 справа.
  2. Упростите полиномиальное уравнение в стандартной форме и предскажите количество нулей или корней, которое может быть в уравнении.
  3. Если полиномиальное уравнение является линейным или квадратным уравнением, примените предыдущие знания для решения этих типов уравнений .
  4. Если полиномиальное уравнение имеет степень три или выше, начните с нахождения одного рационального множителя или нуля .
  5. Уберите этот коэффициент и повторите тот же процесс , пока не получите линейное уравнение или константу .
  6. Перечислите все корни или нули.

Давайте сделаем краткий обзор различных методов, которые мы можем применить для достижения шага 3.Как уже упоминалось, на данный момент мы должны уметь широко решать линейные и квадратные уравнения. Не беспокойтесь. Этот веб-сайт содержит несколько ресурсов об этих двух уравнениях на случай, если нам понадобится быстро освежить их в памяти.

Линейные уравнения

Линейные уравнения — это полиномиальные уравнения, имеющие степень 1.

ax + b = 0 уравнения.Совершенствуйте свое мастерство в решении линейных уравнений здесь.

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения представляют собой полиномиальные уравнения со степенью 2. форма квадратного выражения в правой части.

Полиномиальные уравнения (со степенью 3 или выше)

Вот захватывающая часть: что, если нам нужно найти нули решений полиномиального уравнения со степенью 3 или выше?

Некоторые уравнения кубической и четвертой степени можно разложить на множители группировкой и свести к уравнениям меньшей степени. Однако бывают случаи, когда поиск фактических факторов может быть сложной задачей.

Свойства и методы решения полиномиальных уравнений

Вот важные свойства полиномиальных уравнений, которые нам необходимо понять, чтобы легко находить действительные нули и корни полиномиального уравнения.

Действительные нули в функции

Количество действительных нулей, которое может иметь полиномиальная функция, равно значению степени. Что это значит? Если f(x) имеет степень 5, максимальное количество действительных нулей, которое может быть, равно 5.

Правило знаков Декарта

Это правило полезно, когда нам нужно найти нули полиномиального уравнения без его графика. Что делает правило знаков Декарта? Сообщает нам количество и положение нулей полиномиального уравнения.

Чтобы применить это правило, нам нужно соблюдать знаки между коэффициентами как f(x), так и f(-x). Допустим, у нас есть f(x) = 2x 4 — 2x 3 — 14x 2 + 2x + 12.

Подсчитайте, сколько раз коэффициенты меняют знак, и в таблице ниже показано, что означает результат:

то же самое (или меньше, чем на целое число) с изменениями знака числа, найденными в f (x), где k — целое число.

Количество нулей из f(-x)

Количество отрицательных действительных нулей будет таким же (или меньше, чем на целое число) с изменением знака числа, найденным в f(- Икс).

Давайте применим это с f (x) = 2x 4 — 2x 3 — 14x 2 + 2x + 12.

F (x) = 2x 4 2x 3 — 14x 2 + 2x + 12
F (-x) = 2x
F (-x) = 2x
F (-x) = 2x 4

6 + 2x 3 — 14X 2 — 2x + 12

из изменений в F (x) может быть 2 или 0 положительных действительных нулей. Точно так же из f (-x) также может быть 2 или 0 отрицательных действительных нулей.

Теорема о рациональных нулях

Эта теорема поможет нам сузить круг возможных рациональных нулей полиномиальной функции . Пусть p содержит все множители n (старший член), а q содержит все множители o (постоянный член).

Возможные рациональные нули полиномиального уравнения могут быть получены от деления p на q, p/q . Убедитесь, что список содержит все возможные выражения для p/q в самой низкой форме.

Используя тот же пример, f(x) = 2x 4 – 2x 3 – 14x 2 + 2x + 12, мы имеем p = 2 и q = 12 . Давайте продолжим и перечислим все возможные рациональные нули f(x).

9 9

Факторы P

± 1, ± 2

± 1, ± 2

6 Факторы Q

± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ±12

Возможные нули (p/q)

±1/12, ±1/6, ±1/4, ±1/3, ±1/2, ±2/3 , ±1, ±2

Значит ли это, что f(x) имеет 14 рациональных нулей? Нет, этот список говорит нам, что если f(x) имеет рациональные нули, то она будет взята из этого списка. Имея в виду , мы сократили возможности до разумного числа из обширного диапазона рациональных чисел .

Применение теоремы об остатках и синтетического деления

Как нам медленно находить рациональные нули f(x), когда у нас есть список p/q? Пришло время применить наши прошлые знания по теореме об остатках, факторной теореме и синтетическому делению. Не забудьте быстро освежить в памяти эти темы, нажав на ссылки.

  • Это означает, что мы можем попробовать каждый из перечисленных факторов и проверить остальные.
  • Если остаток равен нулю, значение p/q является корнем f(x).
  • Используйте полученные многочлены и повторяйте тот же процесс, пока не получим все нули f(x).

Нахождение нулей полиномиальной функции

Почему бы нам не применить то, что мы только что узнали, для нахождения нулей 2x 4 – 2x 3 – 14x 2 + 2x + 12 = 0? Из предыдущего раздела мы видели, что список возможных рациональных нулей f(x) таков: ±1/12, ±1/6, ±1/4, ±1/3, ±1/2, ±2. /3, ±1 и ±2.

Проверим, является ли x = 1 корнем f(x), используя синтетическое деление.

1  | 2 -2 -14 2 12

2 12

2 0 -14 -12

_________________________________

2 0 -14 -12 0

Так как остаток равно 0, (x — 1) — это фактор f (x) и x = 1 решение уравнения . Выразим f(x) как множитель (x – 1): f(x) = (x -1)(2x 3 – 14x – 12).

Используйте полученное кубическое выражение и найдите второй корень уравнения.Давайте посмотрим, является ли x = 2 корнем 2x 3 – 14x – 12.

-2  | 2 0 -14 -12

-4 8 12

-4 8 12

__________________________

2 -4-6 0

, следовательно, (x + 2) — это фактор f (x) и x = -2 root уравнение . Поскольку у нас есть квадратное выражение, мы можем разложить выражение на множители и найти два оставшихся нуля уравнения.

2x 2 – 4x – 6 = 0

2(x 2 – 2x – 3) = 0 ) = 0

x = 3, x = -1

Давайте продолжим и запишем все нули, которые мы решили для нашего полиномиального уравнения: x = 1, x = -2, x = 3 и x = -1 . Уравнение имеет четыре нуля, как мы и ожидали, поскольку оно имеет степень 4.

Примените аналогичный процесс при нахождении нулей других полиномиальных уравнений.

Вот руководство, которое поможет вам обобщить и выполнить шаги, которые могут потребоваться при нахождении нулей заданного полиномиального уравнения в стандартной форме:

Приведенное выше руководство поможет вам задать правильные вопросы, чтобы убедиться, что мы применяем наилучшую стратегию. при решении полиномиальных уравнений.

Почему бы нам не применить это, ответив на приведенные ниже вопросы?

Пример 1

Учитывая, что f(x) = -2x 3 + 4x 2 — 7x — 6, сколько изменений знака имеется в f(x) и f(-x)? Интерпретируйте результаты.

Решение

Мы можем немедленно проверить f(x) на изменение знака. У нас есть две смены знака : -2x 3 и 4x 2 и как +4x 2 и -7x.

Что касается f(-x), давайте сначала найдем выражение для f(-x).

f(-x) = 2x 3 + 4x 2 + 7x -6

Из этого мы можем видеть, что f(-x) имеет только одно изменение знака : между 7x и -6. Используя правило знаков Декарта, мы можем заключить, что:

  • Когда f(x) приравнивается к 0, результирующее уравнение может иметь два или ноль положительных действительных нулей .
  • Аналогично результирующее уравнение может иметь один отрицательный действительный ноль .

Пример 2

Верно или неверно? Учитывая, что полиномиальная функция g(x) имеет степень 3, уравнение g(x) = 0 всегда будет иметь три действительных нуля.

Решение

Уравнение g(x) = 0 будет иметь не более трех возможных действительных нулей. Это означает, что оно может иметь или не иметь ровно три действительных нуля. Еще одна функция, показывающая, что утверждение неверно, — это когда g(x) = x 3 + x.

Давайте решим уравнение и посмотрим на результаты для x. Поскольку выражение по-прежнему факторизуемо, мы вынесем х за множитель и приравняем х 2 + 1 к 0. = 0

x 2 + 1 = 0

x 2 = -1

Это будет верно только тогда, когда x = -i или x = i. Это ясно показывает, что g(x) может не иметь трех действительных нулей, несмотря на степень 3.Следовательно, утверждение неверно.

Пример 3

Найти значения x, которые удовлетворяют данному уравнению: 4x 5 — 4x 4 + 73x 2 = -18 (x -1) + 73x 3 .

Уравнение все еще не в своей стандартной форме, поэтому давайте продолжим и выделим все члены в левой части.

4x 5 – 4x 4 – 73x 3 + 73x 2 + 18x – 18 = 0

Используя теорему о рациональных нулях, давайте перечислим возможные уравнения с рациональными нулями.

Факторы P

± 1, ± 2, ± 4

Факторы Q

± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ±9, ±18

Возможные нули (p/q)

±1/18, ±1/9, ±1/6, ±1/3, ±2/9, ± 1/2, ±2/3, ±4/9, ±1, ±4/3, ±2, ±4

Проверим, является ли x = 1 корнем f(x), используя синтетическое деление .

1  | 4 -4 -73 73 18 -18

4 0 -73 0 18

________________________________________________________________

4 0 -73 0 18 0

Так как остаток равно 0, (x — 1) — это фактор выражения и х = 1 является решением. Давайте продолжим и попробуем x = 1/2 и x = -1/2, чтобы увидеть, являются ли они также нулями уравнения.

1/2  | 4 0 -73 0 18

2 1 -36 -18

_________________________________

4 2 -72 -36 0

Обязательно проверьте с результатом полинома. Теперь у нас есть (x – 1)(x – 1/2)(4x 3 + 2x 2 – 72x – 36) = 0,

-1/2  | 4 2-72 -36

-2 0 36

_____________________________

4 0 -72 0

Мы можем видеть, что x = -1/2 и x = 1/2 — оба Zeros из полиномиального уравнения от этих двух последовательные синтетические деления.

Теперь у нас есть (x – 1)(x – 1/2)(x + 1/2)(4x 2 – 72) = 0.Поскольку оставшееся выражение является квадратным выражением, мы можем приравнять его к 0 и решить оставшиеся нули полиномиального уравнения.

4x 2 — 72 = 0

4 (x 2 4 — 18) = 0

x 2 — 18 = 0

x 2 = 18

x = ± √18

x = ±2√2

Теперь у нас есть пять нулей для полиномиального уравнения (это уже максимально возможное количество нулей для полиномиального уравнения степени 5).

Следовательно, уравнение имеет набор решений: {-2√2, -1/2, 1/2, 1, 2√2}.